# Punt (geometria)

En geometria, un punt (var. ponch) es lo mai pichon element constitutiu de l'espaci geometric, es a dire un luòc ont se pòt distinguir pas cap d'autre luòc qu'el meteis.

## En geometria euclidiana elementària

Lo punt, segon Euclides, es çò qu'a pas cap de partida. Se pòt tanben dire mai simplament qu'un punt designa pas un objècte mas un emplaçament. A donc pas cap dimension, longor, largor, espessor, volum o airal. Sa sola caracteristica es sa posicion. Se dich a vegada qu'es « infinidament pichon ». Totas las figuras del plan e de l'espaci son constituidas d'ensemble de punts.
Lo punt essent considerat coma l'unic element comun a doas drechas secantas, se representa abitualament lo punt per una crotz (interseccion de dos segmentets) puslèu que par le glif del meteis nom.
Quand lo plan o l'espaci es dotat d'una marca cartesiena, se pòt posicionar tot punt al respècte dels axes d'aquela marca per sas coordonadas cartesianas; lo punt es alara associat a un parelh de reals en dimension 2 o un triplet de reals en dimension 3. Existís pasmens d'autres biais de marcar los punts (coordonadas polaras en dimension dos, coordonadas esfericas o coordonadas cilindricas en dimension 3)

## En geometria afina

Dins un espaci afin E associat a l'espaci vectorial V, los elements de E son nomenats los punts e los elements de V son nomenats los vectors. A cada parelh de punts (A,B), s'associa un vector: $\phi (A,B)={\vec {u}}$ verificant las proprietats seguentas:
    – la relacion de Chasles : $\phi (A,B)+\phi (B,C)=\phi (A,C)$;
    – se A es fixat, i a correspondéncia bijectiva entre los punts de l'espaci afin E e los vectors de l'espaci vectorial V, es l'applicacion que, al punt B, associa lo vector $\phi (A,B)$.

## En geometria projectiva

En geometria projectiva, los punts de l'espaci projectiu E associat a l'espaci vectorial V son las drechas vectorialas de V. Quand l'espaci vectorial V es de dimension n, e que li es associat un espaie afin A, es frequent d'associar a l'espaci E dos ensembles de punts: l'ensemble dels punts d'un sosespaci afin A' de dimension n-1 d'equacion x = 1 (per exemple) e l'ensemble de las drechas vectorialas del sosespaci vectorial V' associat a A.
L'espaci projectiu E es alara assimilat a un espaci afin A' que s'apond las drechas vectorialas de V'. Se distinguís alara, dins E, los punts de tipe afin (aqueles dins A') e los autres nomenats punts a l'infinit.
En particular, se K es un còs, lo K-plan projectifu (l'espaci projectiu associat a K$^2$) es assimilable al còs K que s'apond un punt a l'infinit.

## Istòria

La nocion de punt, en matematicas, a uèi un sens fòrça larg. Istoricament, los punts èra los « constituissents » fondamentals, los « atòms », qu'èran fach las drechas, los plan e l'espaci, tals coma los concebavan los geomètres grècs de l'Antiquitat. se disiá atal qu'una drecha, un plan o l'espaci tot entièr èran d'ensemble de punts.
Dempuèi la creacion de la teoria dels ensembles par Georg Cantor a la fin del sègle XIX e l'espelida de las « estructuras matematicas » que se ne seguís, s'utiliza lo tèrme de « punt » per designar un element quin que siá d'un ensemble que se decidís arbitrariament de nomenar « espaci »: es tanben que se parlarà d'un punt de la drecha dels nombre reals (alors que los Grècs faisiá evidentament la distinccion entre un « punt » e un « nombre »), d'un punt d'un espaci metric, d'un espaci topografic, d'un espaci projectiu, eca.
De brèu, sufisís qu'un matematician qualifica « d'espaci » tal o tal ensemble, al sens mai general d'aquel tèrme e dotat de proprietats particularas regidas per d'axiòmas, per que sos elements sián sul còp qualificats de « punts ».
Atla, uèi, lo tèrme « d'espaci » essent gaireben vengut sinonim « d'ensemble », lo tèrme « punt » es donc gaireben vengut sinomim « d'element ». Aqueles tèrmes « d'espaci » e de « punts » son just utilizat per lor poder suggestiu, quitament s'aqueles tèrmes en question a pas mai a veire amb la geometria.

## Referéncias

* Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61-75.
* De Laguna, T., 1922, « Point, line and surface as sets of solids », The Journal of Philosophy 19: 449-61.
* Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015-31.
* Whitehead A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2$^{en}$ éd., 1925.
* --------, 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
* --------, 1979 (1929). Procès et réalité. Free Press.

## Ligams extèrnes

* Definition of Point amb applet interactive
* Points definition pages, amb d'animacions interactiva tan utilas per ensen har. Math Open Reference
* (en) Point de PlanetMath
* (en) Eric W. Weisstein, « Point », MathWorld