# Subrejeccion

En matematicas, una subrejeccion o aplicacion subrejectiva (var. sobrejeccion, suberjeccion, o...) es una aplicacion que sei valors emplisson tot lo codomeni.

## Definicion

Estent dos ensembles X e Y, una aplicacion f : X → Y es dicha subrejectiva se e solament se :
    per tot element y dau codomeni Y, existís aumens un element x dau domeni X tau que f(x) = y.
Autrament dich, f es subrejectiva se e solament se son imatge f(X) es egau au codomeni Y.

## Exemples e còntraexemple

* Per tot ensemble X, l'aplicacion identica de X es subrejectiva.
* L'aplicacion u : N → N definida per u(n) = Ent(n / 2) (onte per tot reau x, "Ent(x)" es la partida entiera de x) es subrejectiva : per tot element p dau codomeni N, existís aumens un element n dau domeni N tau que u(n) = p : per exemple 2 p ; mai l'element 2 p + 1 convèn tanben e se pòt verificar que per tot entier naturau p, l'eqüacion u(n) = p d'inconeguda n a pas d'autra solucion que :
    n' = 2 p e n" = 2 p + 1.
* L'aplicacion v : N → N definida per v(n) = 2 n + 1 es pas subrejectiva, car (per exemple) existís ges d'entier naturau n tau que v(n) = 6. Pus explicitament, l'imatge de l'aplicacion v es l'ensemble deis entiers naturaus impars : es diferent dau codomeni N.
* La foncion f : R → [0,+∞[ definida per f(x) = x$^2$ es subrejectiva, car per tot element dau codomeni, valent a dire per tot reau positiu y, se pòt definir lo reau $x={\sqrt {y}}$ , e f(x) = y.
* La foncion g : R → R definida per g(x) = x$^2$ es pas subrejectiva, car se se chausís dins lo codomeni un reau y tau que y < 0, existís ges de reau x tau que x$^2$ = y. Pus explicitament, l'imatge de la foncion g es l'ensemble [0,+∞[ dei reaus positius : es diferent dau codomeni R.
* La foncion logaritme neperian $\ln :\;]0,+\infty [\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}$ es subrejectiva.

## Proprietats

* Una aplicacion f : X → Y es subrejectiva se e solament s'existís una aplicacion g : Y → X tala que f o g siá egala a l'aplicacion identica de Y (aquesta proposicion es equivalenta a l'axiòma de la chausida).
* Se f : X → Y e g : Y → Z son d'aplicacions subrejectivas, alora l'aplicacion compausada g o f : X → Z es subrejectiva.
* Se g o f es subrejectiva, alora g es subrejectiva (mai se pòt que f o siá pas)
* f : X → Y es subrejectiva se e solament se, quinei que sián leis aplicacions g, h : Z → X, la relacion g o f = h o f implica g = h.
* Se f : X → Y es subrejectiva e B es un sosensemble de Y, alora f(f$^{−1}$(B)) = B. Ansin, en aquest cas, se pòt retrobar B a partir de l'imatge invèrs f$^{−1}$(B).
* Tota aplicacion f : X → Y pòt èsser descompausada sota la forma f = i o s, onte :
** s : X → f(X) definida per s(x) = f(x) es subrejectiva
** i : f(X) → Y definida per i(y) = y es injectiva (es l'injeccion canonica de l'imatge f(X) de f dins lo codomeni Y de f ).
* Tota subrejeccion indutz una bijeccion d'un ensemble quocient de son domeni vèrs son codomeni. Pus precisament, estent una aplicacion subrejectiva f : X → Y, se pòt definir ansin una relacion binària dins X : per tot pareu (x, x' ) d'elements de X :
       x ~ x' se e solament se f(x) = f(x' ).
    Es de bòn veire qu'es una relacion d'equivaléncia ; per tot element x de X, se notarà [x] sa classa d'equivaléncia. Coma f es constanta sus cada classa d'equivaléncia (per definicion de la relacion binària), existís una aplicacion unica f$_~$: X /~ → Y tala que per tot element [x] de l'ensemble quocient X /~ : f$_~$([x]) = f(x) (es la proprietat universala de l'ensemble quocient).
       a) La subrejectivitat de f$_~$ resulta d'aquela de f : per tot element y de Y, existís x element de X tau que f(x) = y, donc f$_~$([x]) = y.
       b) De mai, se [x] e [x' ] son doas classas d'equivaléncia talei que f$_~$([x]) = f$_~$([x' ]), alora f(x) = f(x' ), donc x ~ x' : se'n dedutz l'egalitat dei doas classas d'equivaléncia, donc l'injectivitat de f$_~$.
       c) Ansin, l'aplicacion f$_~$: X /~ → Y es bijectiva, çò qu'èra de demostrar.
* S'existís una aplicacion subrejectiva f : X → Y, alora X a aumens tant d'elements coma Y, au sens dei nombres cardinaus.
* Se X e Y son d'ensembles finits qu'an lo meteis nombre d'elements, alora per tota aplicacion f : X → Y, lei proposicions seguentas son equivalentas :
** f es subrejectiva
** f es injectiva
** f es bijectiva

## Vejatz tanben

* ensemble
* aplicacion
* injeccion
* bijeccion