# Infinit

Lo mot « infinit » (del latin finitus, « limitat »), es un adjectiu servent a qualificar una causa qu'a pas de limit en nombre o en grandor. L'infinit es tanben un nom masculin significant :
* (matematicas) Concèpte per designar çò qu'es superior a tot nombre real.
** L’infinit es abitualament notat ∞.
* (filosofia) Çò qu'es pas finit, çò qu'a pas de fin.
* (mai corrent) Natura, caractèr de çò que finís pas, o sembla pas de finir.

## Dins las matematicas

S'encontra las grandors infinidas dins divèrsas brancas de las matematicas, jol doble aspècte de nombre segon la teoria dels nombres cardinals e de l'espaci segon la teoria de la mesura. Aqueles dos aspèctes son pas exactament los meteisses, atal un segment o un disc an una infinitat de ponts mas una mesura finida.

### Dins la teoria dels ensembles

Un ensemble E es infinit se e solament se, es equipotent a cap d'interval bornat de N, o d'un biais equivalent, s'existís al mens una familha non voida de sosensembles de E qu'a pas d'element minimal per l'inclusion.

#### Ensembles infinits denombrables

Un ensemble infinit se ditz denombrable se e solament se, existís una bijeccion entre el meteis e N. Intuitivament, un ensemble infinit es denombrable se e solament se, se pòt « enumerar » los seus elements: lo « primièr » element, lo « segond » element, lo « tresen » element, seguent atal sans s'arrestar.
Per exemple, se pòt mostrar que l'ensemble Q dels nombres racionals es denombrable.
L'ensemble N$^2$ = N x N dels parelhs d'entièrs naturals es el meteis denombrable, perque a tot parelh (p,q), se pòt associar lo nombre n = [(p+q)(p+q+1)/2] + p, e se verificarà aisidament que la foncion atal definida es injectiva.
Dins l'exemple çai sus, l'enumeracion dels parelhs es « efectiva » : lo procèssus per enumerar es un procèssus calculatòri, un algoritme. Mas se pòt fòrça plan aver mostrat qu'un ensemble es infinit denombrable, per exemple en mostrant qu'es un sosensemble dels entièrs e pòt pas èsser finit, sens èsser capable de donar un procèssus efectiu d'enumeracion. Vejatz ensemble recursivament enumerable.
Se s'admet l'axiòma de la causida, e solament dins aquela condicion, tot ensemble E es en correspondéncia biunivòca amb un ordinal; lo pus pichon ordinal per que E es equipotent es alara par definicion lo cardinal de E.
Lo cardinal d'un ensemble finit es un nombre entièr natural.
Lo cardinal d'un ensemble infinit se ditz « transfinit ». Lo cardinal (se ditz tanben « poténcia ») dels ensembles infinits denombrables es notat $\aleph _{0}$ (« aleph-zèro »).

#### Ensembles infinits non denombrables

Un ensemble infinit non denombrable se pòt pas metre en bijeccion amb N. Se pòt pas establir una lista de sos elements.
Per l'ensemble dels nombres reals es çò meteis. Los nombres reals forman un còrs commutatiu totalament ordenat R, arquimedian e tal que tota partida majorada admet una bòrna superiora ; R es l'unic còrs, alevat d'isomorfisme, per satisfar aquelas proprietats ; es lo sus-còrs minimal de Q per satisfar lo critèri de Cauchy.
L'ensemble dels reals compreses entre 0 e 1 es ja non denombrable : la demostracion se fa amb l'argument de la diagonala de Cantor.
Se ditz que R a la poténcia del continú, sa poténcia (o son cardinal) es $2^{\aleph _{0}}$, lo cardinal de l'ensemble de las partidas de N. L'argument diagonal de Cantor mòstra al meteis temps que $\aleph _{1}$, lo pus pichon cardinal non denombrable, es inferior o egal a $2^{\aleph _{0}}$ (dins ZFC). L'egalitat d'aqueles dos cardinals, que se nomena l'ipotèsi del continú, es independenta dels axiòmas de la teoria dels ensembles ZFC.

### En geometria

Los pintres de la Renaissença, cercant una representacion del real que siá fidèla amb nòstra percepcion, desvolopèron los metòdes de representacion perspectiva. De linhas orizontalas parallèlas « se còpan a l'infinit » dins l'espaci e a un punt sul quadre; aquel punt del quadre atal que la linha d'orizont del quadre correspondon a la realitat particulara en doas dimensions (2D).
La geometria projectiva consistís a apondre a l'espaci afin usual de punts dits « a l'infinit » dins cada direccion. La tòca es de pas mai far de distincion entre drechas secantas e drechas parallèlas, aquelas darrièras avent un punt comun a l'infinit. Es un esplech de simplificacion remarcable. Per exemple, en geometria projectiva, existís pas mai qu'un sol tipe de conicas en plaça de tres.

#### En optica geometrica

* Un objècte situat « a l'infinit » es una font emetent de rais luminoses parallèls,
* Un imatge se forma « a l'infinit » quand los rais luminoses que lo forman son parallèls.
Un uèlh normal (emmetròp) o corregit deu veire net un imatge a l'infinit (Punctum remotum).

### En topologia
#### compactificacion

L'apondi d'un element ∞ dins un espaci topologic localament compacte permet de rendre aquel espaci compacte. S'agís de la compactificacion d'Alexandroff.
Siá $(E,U\,)$ un espaci topologic localament compacte, son compactificat es l'espaci $(E\cup \{\infty \},U'\,)$, ont $\infty$ es un element exterior a E, e U' es obtengut de U en li apondent totes los complementaris dins $E\cup \{\infty \}$ dels compactes de $(E,U\,)$.
Se pòt alara definir los « vesinatges de l'infinit » : s'agís de tota partida contenent un dubèrt de U'\ U.

#### complecion
## En fisica

Al començament del sègle XX, la fisica se trobèt dins l'impossibilitat d'explicar divèrses fenomèns, que lo fach qu'un còrs negre a l'equilibre termodinamic es supausat rainar un flux infinit. Aquel problèma foguèt resolgut per l'introduccion dels quanta per Planck, aquò forma la basa de la fisica quantica.
Dins lo quadre de la relativitat generala, lo Big Bang condusís, dins son interpretacion ninòia, cap a l'aparicion de valors infinidas (se parla quitament de singularitats) a l'origina dels temps, aportant atal la pròva que nòstras coneissenças fisicas actualas son pas capablas de descriure aquela epòca alunhada de l'istòria de l'Univèrs.
Dins de brancas de la fisica, coma la teoria quantica dels camps o la fisica estatistica, los cercaires poguèron eliminar las divergéncias indesiradas de la teoria amb de tecnicas matematicas de renormalizacion. Aquelas tecnicas se son pas poscudas fins ara aplicadar a la teoria de la gravitacion.

## En filosofia

Es la primièra de las quatre antinomias de Kant exprimida dins la Critica de la rason pura :
* TÈSI : « Lo monde a un començament dins lo temps ; es bornat dins l’espaci. » Seriá, en efèit, absurde d’admetre una seria al meteis temps infinida e realizada. La totalitat dels èssers o dels fenomèns forma un nombre que despassa nòstra imaginacion, mas qu'es un nombre real, e l’infinit despassa totes los nombres. Lo passat conten un nombre d’èssers e de fenomèns que cada instant apond. Es contradictòri de nomenar infinit çò qu'aumenta o pòt aumentar. Lo meteis rasonament refuta l'eternitat del passat : l’eternitat es infinida, non aumentabla e cada instant aumenta lo passat.
* ANTITÈSI : « Lo monde a pas de començament o de bòrnas ; es infinit dins lo temps e dins l’espaci. » Se lo monde foguèsse eternal e sens mesura, n'envelopariá doncas d’un temps e d’un espaci voide. Mas un temps voide ne renclausís pas cap de causa, pas cap de condicion, pas cap de possibilitat de començament, res auriá jamai pogut començar. Bornar lo monde dins lo temps, es anientar aquel. E un espaci voide es res. Dire qu’un espaci voide limita lo monde, dire que lo monde es limitat par res, es dire dins un meteis temps que lo monde es limitat e qu’es pas limitat.

## En teologia

En Índia, dempuèi l'antiquitat, la religion jaïnista considerava lo monde coma infinit.
Las religions monoteïstas an generalament una nocion d'infinitat (o per precisar las nocions d'eternitat e de transcendéncia), quita se son mens formalizadas que la nocion matematica correspondenta.
Una de las primièras manifestacions d'aquela nocion remonta a l'Egipte anciana, del temps d'Akhenaton, amb lo culte del dieu Aton.
Dins los exemples precedents, l'idèa de transcendéncia es associada a una nocion d'espaci o de temps infinit. A l'epòca modèrna Cantor associèt tanben l'infinit l'infinitat numerica, considerant que sos trabalh suls nombres cardinals e ordinals avián d'implicacions teologicas.

## Istòria
### Usatge e operabilitat de las quantitats infinidas
#### L'infinit potencial pels ancians

Los matematicians totjorn utilizèron l'apartenéncia e l'inclusion mas aguèron las pus grandas dificultats a formular amb aquelas relacions de teorèmas suls nombres e sus las grandors. Atal Euclides, en plaça de dire que l'ensemble dels nombres primièrs es infinit, diguèt «per tota quantitat donada de nombres primièrs, existís un mai grand». Atal, Aristòtel refusa de considerar qu'una linha drecha es compausada de punts.
Galileo Galilei remarca qu'existís una correspondéncia biunivòca entre los nombres e lors carrats, d'aquò dedutz que l'afirmacion comuna «lo tot es pus grand que la partida» se verifica pas quand se tracta de quantitats infinidas. Pasmens, i pas cap de motivacion per l'estudi dels ensembles infinits, i vei la pròva del caractèr non operacional de tals ensembles, posicion aprovada mai de dos sègles aprèp per Cauchy. Atal doncas, quasiment fins a l'epòca modèrna, los matematicians an pas volgut utilizar dirèctament los ensembles infinits e an preferit rasonar « en compreneson » sus las proprietats de lors elements. Se contentavan alara de la possibilitat d'aumentar tota grandor donada, o de la demenir se s'agís d'una grandor continua.
Aquò empacha pas la naissença de calcul infinitesimal, atal la frasa «per tot ε > 0 existís n$_0$ tal que n ≥ n$_0$ implica», doncas, atal que o reconeis Bourbaki, aquela posicion aviá permés de desvolopaments importants tot en pausant de parabandas.

#### L'infinit potencial pels constructivistas modèrnes

Eissit de la « crisi dels fondaments » del començament del sègle XX, lo corrent intuicionista promogut per Brouwer, refusa los metòdes de la logica classica, supausada de s'aplicar pas en tot cas als objèctes infinits. Uèi ara aquel tèrme d'intuicionista s'aplica a una axiomatizacion ben precisa de la logica sens tèrç exclús. Una fòrma de filosofia matematica que se revendica volontièrs d'aquela de Brouwer es la del corrent constructivista, qu'un representant conegut, Roger Apéry expausèt atal la concepcion de l'infinit:
       «S'extrapòla la realitat, lo matematician constructiu refusa las ipotèsis fantasticas dels platonicians ; en efèit [...] constata que la matematica se debana dins lo temps. [...] son immortalitat li permet d'aténher de nombres tan grands coma vòl, mas pas de definir totes los nombres; crei en l'infinit potencial, pas en l'infinit actual.»
Se vei segon aquel tèxte que pels constructivistas, contrariament al punt de vista majoritari que considèra d'ensembles que lors partidas son donadas simultaneament, las matematicas an per objècte un procèssus, que sas estapas se construisson sequencialament; perque per eles s'agís ben d'una activitat umana; «existís pas de matematicas sens matematician» diguèt Apéry.

#### L'infinit actual e lo temps

A l'Edat Mejana, sant Bonaventura afirmèt que d'un pur punt de vista logic — independentament de çò que diguèt la Bíblia — èra impossible que lo monde aguèsse totjorn existit; Tomàs d'Aquin refuta aquela afirmacion per un rasonament formal, res en l'abséncia d'informacion permetent pas d'exclure a priori una eternitat actualament acabada.
Un sofisme celèbre, imaginat pel creacionista american W.L. Craig segon una parabòla de Bertrand Russell que sa tòca èra autra, pretend de demostrar l'impossibilitat d'una durada infinida acabada, e doncas provat atal que lo monde aguèt un començament, per l'istòria de Tristram Shandy, qu'escriguèt son autobiografia al ritme d'un an d'escritura per jornada viscuda, e faguèt aquò totas las annadas del passat. Se doncas lo temps jamai comencèt, quin jorn de sa vida Tristram Shandy es a comentar aquela annada? Cap de jorn del passat convendriá pas, doncas es pas possible que lo temps aja pas una origina.
L'engana es evidenta per qui coneis las coordenadas cartesianas e las istòrias dels trens que se rejonhon: lo scenari compòrta una contradiccion; Tristram Shandy qu'escriu 365,25 còps mens lèu que lo relòtge comencèt necessariament son autobiografia un jorn, aquò invalida l'argument.

### Dins l'imatjariá populara

Dins l'expression populara, l'adjectiu « infinidas » es a vegadas emplegat per qualificar d'espandidas fòrça vastas o de quantitats fòrça grandas.
Remarquem que quitament finits, los fòrça grands nombres pòdon èsser dificils a concebre. Atal las seguidas de Goodstein son de seguidas definidas fòrça simplament que concebon de nombres que despassan l'entendement.
Qualques autors modèrnes s'inspirèron de l'istòria biblica de la Torre de Babel per comparar « lo cèl » a una tòca infinidament alunhada..

### Las notacions

Lo simbòl ∞ que se tròba sovent en analisi foguèt emplegat pel primièr còp en 1655 per John Wallis, dins son obratge De sectionibus conicis, e pauc aprèp dins l'Arithmetica Infinitorum : «esto enim ∞ nota numeri infiniti.»
Tres ipotèsis existisson sus l'origina d'aquela causida. La mai comunament admesa es que s'agís d'une evolucion de la chifra designant '1000' dins la numeracion romana : successivament Ⓧ, puèis CIƆ, abans de venir M. L'evolucion grafica del segon simbòl auriá donat $\infty$. Lo simbòl actual seriá doncas simplament l’evolucion de la ligadura minuscula cıɔ en escritura manuscrita onciala.
Una autra ipotèsi es que lo simbòl seriá eissit de la letra grèga ω, darrièra de l'alfabet grèc, e metafòra correnta per designer l'extremitat finala.
E darrièra, Georges Ifrah, dins son enciclopèdia « L'istòria universala de las chifras », explica que la grafia de l'infinit remonta a la civilizacion indiana, e pus precisament a la mitologia indiana. L'Ananta (tèrme sanskrit per infinit), la « sèrp infinida » del dieu Vishnu, se representa enrotlada d'esperela semblant un « uèit reversat ».

## Nòtas e referéncias

* ↑ (fr)Alfred Tarski Sur les ensembles finis 1924 Fund. Math. t.6 p.45, p.95
* ↑ (en)Patrick Suppes Axiomatic set theory Van Nostrand 265 p.
* ↑ (fr)Roland Fraïssé Logique mathématique, t.1 Gauthier-Villars París 1971, p. 12-13-14
* ↑ (fr)J. Garsoud, Analyse mathématique, Dunod París 1968 p.29
* ↑ (fr)Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F. Paris 1972 p. 38
* ↑ (en) C. W. Misner, Kip Thorne & John Wheeler : Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), chapitre 44.
* ↑ (de) (1939) Sigmund Freud Der Mann Moses und die monotheistische Religion, Ed. Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main - 1964
* ↑ (en)Jaina mathematics, J J O'Connor et E F Robertson.
* ↑ §3.2, Erkenntnis, The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set, Ignacio Jané, May 1995
* ↑ (it)Galileo Galilei Opere, Ristampa della Edizione Nazionale, Barbara Firenze 129-39, t. 8 pp.78-80
* ↑ (fr)Bourbaki, Éléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV p.58
* ↑ (fr)Bourbaki, Éléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV pp.57-58
* ↑ (fr)Bourbaki, Éléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV p.58
* ↑ Brouwer sembla pasmens pas refusar l'infinit actual. Dins sa Dissertation de 1907, p. 97, escriguèt: «Quant a l’infinit actual dels cantorians, existís plan, baste que lo confiniam a çò que pòt èsser intuitivament construit, e que nos absteniam de l’espandre per las combinasons logicas que pòdon pas èsser realizadas» - Citat per Michel Bourdeau La critique de la théorie des ensembles dans la dissertation de Brouwer Math. & Sci. hum. / Mathematics and Social Sciences (41e année, n° 164, 2003, p. 29-43)
* ↑ (fr)Obratge collectiu « Penser les mathématiques », collòqui de l'ENS, Ed Seuil 1982 p.63 ISBN 2-02-006061-2 exposé en ligne
* ↑ Texte en linha d'Ezio Vailati, South Illinois University
* ↑ (en)Robin Small The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 37, No. 2 (Jun., 1986), pp. 213-216 résumé de la critique
* ↑ Stefan Zweig "La torre de Babel" ensag tome 3: «Lors savis s’apercebèron qu’una sciéncia practicada per un pòble sol poiriá pas aténher l’infinit»
* ↑ (en) Earliest uses of symbols of calculus

### Articles connèxes

* Nombre cardinal
* Nombre ordinal
* Nombre transfinit
* Infinidament petit
* quanta