# Badon Ghijben/Beginselen der stelkunst/Volgorde der bewerkingen

Aantekeningen N°. 1, behoorende bij §11.
Wij hebben gezegd, dat de haakjes, waartusschen men in het algemeen een stelkunstigen vorm plaatst, die aan nieuwe bewerkingen wordt onderworpen, kunnen weggelaten worden, indien het zonder die haakjes duidelijk genoeg blijken zou, dat de aangewezene bewerking den geheelen vorm betreft. Wij hebben ons daarmede vergenoegd, eensdeels uit overtuiging, dat de leerling, die onzen leiddraad behoorlijk volgt, van zelven met het regte gebruik der haakjes gemeenzaam zal worden; anderdeels, omdat wij hem niet dadelijk wilden ophouden met verklaringen, die voor den aanvanger te omslagtig of te ingewikkeld kunnen geacht worden. Wie echter eene volkomene gestrengheid in het oog wil houden, zal de vraag niet kunnen terughouden: Wanneer blijkt het zonder haakjes duidelijk genoeg, dat eene aangewezene bewerking eenen geheelen vorm betreft? Wanneer kan men alzoo de haakjes weglaten? Het is deze vraag, die wij hier zullen trachten te beantwoorden. Het niet plaatsen tusschen haakjes, van een vorm waarop nieuwe bewerkingen moeten worden aangeduid, kan drie verschillende oorzaken hebben:
* Eene aangenomene overeenkomst, door het gebruik gewettigd.
* Eene uit zich zelve blijkende overtolligheid der haakjes.
* Eenige bewezene stelling, waaruit blijkt, dat het al of niet tusschen haakjes plaatsen van den zamenstellenden vorm geenen invloed heeft op de getallenwaarde van den nieuw verkregen vorm.
Het is hoofdzakelijk de eerstegenoemde dezer drie oorzaken, die ene opzettelijke beschouwing vereischt. Onderstellen wij, dat men de beide volgende bewerkingen te verrigten heeft: den vorm ab tot de n$^{de}$ magt te verheffen, en het getal a met den met den vorm b$^n$ te vermenigvuldigen. Plaatst men dan, volgens het algemeene voorschrift, de vormen, waarop deze bewerkingen worden toegepast, voor zoo ver het geene enkele letters zijn, tusschen haakjes, dan verkrijgt men:
* voor de n$^{de}$ magt van ab ... (ab)$^n$
* voor het product van ab ... a(b)$^n$
en laat men uit deze verkregene vormen de haakjes weg,
Welk der beide vormen (ab)$^n$ of a(b$^n$) wordt nu bedoeld, indien er ab$^n$ geschreven staat? De laatste. Waarom? Omdat men dit zoo is overeengekomen. De aangenomene overeenkomst is dus hier, dat de magtsverheffing een zekeren voorrang boven de vermenigvuldiging heeft; zoodat, als er zonder haakjes ab$^n$ staat, de magtsverheffing als de voorafgegane en de vermenigvuldiging als de opvolgende bewerking wordt beschouwd. Een dergelijken voorrang heeft men aan de magtsverheffing boven de andere bewerkingen toegekend:
* a : b$^n$ beteekent dus a : (b$^n$) en niet (a : b)$^n$ ;
* ${\sqrt[{p}]}$ a$^n$ beteekent dus ${\sqrt[{p}]}$ (a$^n$) en niet (${\sqrt[{p}]}$ a)$^n$ ;
* a ± b$^n$ beteekent dus a ± (b$^n$) en niet (a ± b)$^n$ .
Onderstellen wij, dat men nog de beide volgende bewerkingen wil aanduiden: het getal a met den vorm b-c te vermenigvuldigen, en den vorm ab met c te verminderen. Plaatst men weder, vóór dat men deze bewerkingen aanduidt, de vormen, die geene enkele letters zijn, tusschen haakjes, dan verkrijgt men:
* voor het product van a met b-c ... a(b - c) ;
* voor het verschil van ab en c ... (ab) - c ,
en laat men uit deze verkregene vormen de haakjes weg,
Het is nu weder blootelijk eene aangenomene overeenkomst, dat men door ab-c den vorm (ab)-c en geenszins den vorm a(b - c) bedoelt. Deze overeenkomst geeft dus aan de vermenigvuldiging eenen voorrang boven de aftrekking; zoodat, als er zonder haakjes ab - c staat, de vermenigvuldiging als de voorafgegane en de aftrekking als de opvolgende bewerking wordt aangezien. Men heeft aan de vermenigvuldiging een gelijken voorrang boven de deeling, worteltrekking en optelling toegekend:
* a : bc beteekent dus a : (bc) en niet (a : b)c;
* ab : c beteekent dus (ab) : c en niet a(b : c);
* ${\sqrt[{n}]}$ ab beteekent dus ${\sqrt[{n}]}$ (ab) en niet (${\sqrt[{n}]}$ a)b;
* c ± a - b beteekent dus c ± (ab) en niet ( c ± a)b.
Even als men den voorrang der magtsverheffing boven de vijf andere, en dien der vermenigvuldiging boven de vier overblijvende bewerkingen heeft aangenomen, heeft de deeling den voorrang boven de worteltrekking, optelling en aftrekking:
* ${\sqrt[{n}]}$ a : b beteekent dus ${\sqrt[{n}]}$ (a : b) en niet (${\sqrt[{n}]}$ a) : b ;
* a ± b : c beteekent dus a ± (b : c) en niet (a ± b) : c .
* b : c ± a beteekent dus (b : c) ± a en niet b : (c ± a) .
Verder heeft de worteltrekking den voorrang boven de optelling en aftrekking:
Daar eindelijk de optelling en aftrekking alleen van elkander verschillen, door het gebruik der teekens + en -, is het onnoodig, tusschen deze beide bewerkingen eenigen voorrang te onderscheiden; staan eenige getallen, met de teekens + en - er tusschen, achter elkander geschreven, zonder dat er haakjes gebruikt zijn, dan worden daardoor opvolgende vermeerderingen en verminderingen aangewezen, in de natuurlijke volgorde, waarin de getallen voorkomen:
en dat men dezelfde uitdrukking, door het gebruik van haakjes, nog in vele andere gedaanten zou kunnen schrijven, is geen bloot gevolg van aangenomene overeenkomsten, omtrent de beteekenis die men aan het stelkunstig schrift geeft, maar van stelkunstige waarheden, die op redeneringen steunen.
Men heeft dus aan de bewerkingen boven elkander den voorrang gegeven in deze volgorde: 1. Magtsverheffing, 2. Vermenigvuldiging, 3. Deeling, 4. Worteltrekking, 5. Optelling en Aftrekking, waardoor alle dubbelzinnigheid in het stelkunstige schrift is vermeden zonder dat daartoe een meer dan noodig getal haakjes is ingevoerd. Moet eene bewerking op eenen vorm aangeduid worden, en heeft de laatstvorige bewerking, waardoor die vorm ontstaan is, den voorrang, dan wordt die vorm, ten gevolge der aangenomene overeenkomst, niet tusschen haakjes geplaatst. Heeft de laatstvorige bewerking dien voorrang niet (waaronder het geval van gelijknamige bewerkingen begrepen is), dan moet de vorm tusschen haakjes geplaatst worden, indien niet de tweede of derde der genoemde oorzaken, dat is eene blijkbare overtolligheid der haakjes of eenige bewezene waarheid, zulks onnoodig maken. Op dezen regel hebben wij slechts deze uitzonderingen in gebruik gevonden, dat men:
* door ${\sqrt[{n}]}$a${\sqrt[{m}]}$b bedoelt (${\sqrt[{n}]}$a)(${\sqrt[{m}]}$b) en niet ${\sqrt[{n}]}$(a${\sqrt[{m}]}$b),
* door ${\sqrt[{n}]}$a : ${\sqrt[{m}]}$ b bedoelt (${\sqrt[{n}]}$a) : (${\sqrt[{m}]}$b) en niet ${\sqrt[{n}]}$(a : ${\sqrt[{m}]}$b),
en deze bedoeling gaat verloren, indien men, in de zonder haakjes geschrevene vormen, volgens den regel, aan de vermenigvuldiging of deeling van a met of door ${\sqrt[{m}]}$b, den voorrang boven het trekken van den n$^{de}$magtswortel wilde geven. De tweede oorzaak, eene uit zich zelve blijkbare overtolligheid der haakjes, valt, waar zij plaats heeft, van zelve in het oog. Zoo kan b.v. als a:b met ${\sqrt[{n}]}$c vermenigvuldigd moet worden, in plaats van (a:b) (${\sqrt[{n}]}$c) geschreven worden (a:b) ${\sqrt[{n}]}$c ; want hoezeer de vermenigvuldiging den voorrang boven de worteltrekking heeft, is het in den laatsten vorm onmogelijk de vermenigvuldiging uit te voeren, zoolang de worteltrekking niet heeft plaats gehad. Moet a + b door c - d gedeeld worden dan kan men zonder haakjes schrijven ${\frac {a+b}{c-d}}$ ; want de deeling heeft wel den voorrang boven de optelling en aftrekking, maar is onuitvoerbaar, zoo niet de optelling en aftrekking, vooraf hebben plaats gehad. De volgende vormen verkeeren allen in het geval, dat men de daarin voorkomende haakjes, als blijkbaar, kan weglaten:
$(b^{n})a\,;(b^{n}):a\,;(b^{n})\pm a\,;a({\sqrt[{n}]}b);b:({\sqrt[{n}]}a);b\pm ({\sqrt[{n}]}a);{\sqrt[{n}]}({\sqrt[{m}]}a);$
${\frac {(b^{n})}{a}};{\frac {a}{(bc)}};{\frac {(bc)}{a}};{\frac {({\sqrt[{n}]}a)}{a}};{\frac {(a\pm b)}{b}};({\frac {a}{b}})-({\frac {c}{d}});{\frac {b}{(a\pm c)}}.$
Het was om de algemeenheid van den regel, dien wij voor de aangenomene overeenkomst gegeven hebben, beter in het oog te doen vallen, dat wij ons daarbij, voor de deeling, van het teeken : bediend hebben. Maakt men echter voor de deeling alleen van de schrijfwijze der gebrokens gebruik, dan wordt een groot deel der gevallen, waarin men de haakjes op grond der overeenkomst kan weglaten, tot het weglaten op grond van blijkbare overtolligheid teruggebragt. Gebruikt men het teeken : alleen, waar men de gelijkheid van twee quotiënten wil voorstellen, dat is, alleen om eene gewone evenredigheid te schrijven, dan is het, op grond van de wijze waarop men zulk eene evenredigheid leest, almede eene blijkbare overtolligheid, de termen dier evenredigheid tusschen haakjes te stellen. De derde oorzaak eindelijk, die het onnoodig maakt, sommige vormen bij nieuwe bewerkingen tusschen haakjes te plaatsen, rust op bewezene gelijkheden. Zoo kan men voor (ab)(cd) schrijven abcd, op grond van het aangevoerde in het slot van § 6; voor (a - b) + (c - d) kan men schrijven a - b + c - d, op grond der formule (4) van § 21 ; voor (am)n kan men amn schrijven, op grond der formule (32) van § 51 ; voor (${\sqrt[{p}]}$a)$^q$ kan men schrijven ${\sqrt[{p}]}$a$^q$, op grond der formule (74) van § 107; enz. Ten slotte, zullen wij de zamenstelling van den vorm, die in § 11 voorkomt, nagaan:
* Bij het optellen der producten ac en bd zijn geene haakjes gebruikt, omdat de bewerkingen, waardoor ac en bd ontstaan zijn, den voorrang hebben boven de optelling; voor de som is dus niet geschreven (ac) + (bd), maar ac + bd.
* Bij het brengen van e-f tot de tweede magt, is die tusschen haakjes geplaatst, omdat de bewerking, waardoor e-f ontstaan is, den voorrang niet heeft boven de magtsverheffing; voor de tweede magt van e-f, is dus niet e-f², maar (e-f)² geschreven.
* Bij het vermenigvuldigen van ac+bd met (e-f)², is ac + bd wel, maar (e-f)² niet tusschen haakjes geplaatst, omdat de optelling, waardoor ac+bd ontstaan is, den voorrang niet beeft boven de vermenigvuldiging, terwijl de magtsverheffing, waaruit (e-f)² is voortgekomen, dien voorrang wel heeft; voor het product is dus niet (ac+bd)((e-f)²) of (ac+bd)((e-f)²), maar (ac+bd)(e-f)² geschreven.
* Bij het verheffen tot de derde magt, van den vorm ghi is die vorm tusschen haakjes geplaatst, omdat de bewerking waardoor ghi ontstaan is, den voorrang niet heeft boven de magtsverheffing ; voor die derde magt is dus geschreven (ghi)³.
* Bij bet aftrekken der vormen (ac+bd)(e-f)² en (ghi)³, zijn die vormen niet tusschen haakjes geplaatst, omdat de bewerkingen, waardoor zij het laatst ontstaan zijn, (vermenigvuldiging wat den eersten, magtsverheffing wat den tweeden vorm betreft) beide den voorrang boven de aftrekking hebben; voor het verschil is dus niet geschreven [(ac+bd)(e-f)²] - [(ghi)³], maar (ac+bd)(e-f)² - (ghi)³.
* Bij het aftrekken der breuken ${\frac {k}{l}}$ en ${\frac {m}{n}}$ zijn die vormen niet tusschen haakjes geplaatst, wegens do blijkbare overtolligheid der haakjes; men heeft dus voor het verschil van deze beide breuken niet geschreven $({\frac {k}{l}})-({\frac {m}{n}})$ maar ${\frac {k}{l}}-{\frac {m}{n}}$ .
* Bij het deelen van den laatsten vorm, in den laatsten verkregenen (ac+bd)(e-f)²-(ghi)³, zijn weder deze vormen niet tusschen haakjes gesteld, uit hoofde van hunne blijkbare overtolligheid; en eindelijk is
* Om dezelfde reden, bij het trekken van den vierdemagtswortel uit het laatstverkregene quotiënt, dat quotiënt tusschen geene haakjes geplaatst.

## Voetnoot

Enkele voorbeelden uit het boek waarin worteltrekken lager staat dan vermenigvuldigen en delen: √4×3 = √(12) ; √2ab³ = b√2ab ; √(a-b)²(c+d)$^4$ = (a-b)(c+d)² ; √ab(a+b)² = (a+b)√ab ; ${\sqrt[{3}]}$-54a³b³c³ = -3abc ${\sqrt[{3}]}$2 . Wortels zijn niet voorzien van een bovenstreep.