# Mechanica van materialen

Krachten, momenten, spanningen en rekken
Krachten
Statica
Momenten
Rek
Wet van Hooke
Opgelegde vervorming
Elastische vervorming
Structureel gedrag
Geometrische eigenschappen dwarsdoorsnede
Snedekrachten
Verplaatsingen
Mechanische eigenschappen
Materiaalmodel
Materiaalproeven
Spanningscriterium
WSBN :
Dit boek behandelt de krachtwerking, en het resultaat ervan, in homogene lichamen. Deze cursus is gedeeltelijk gebaseerd op een cursus van Ahmed masoud uit de Engelstalige Wikibooks.

## Inleiding

De Mechanica van materialen is de studie die zich bezighoudt met krachten, stabiliteit en vervormingen van materialen. In dit boek veronderstellen we dat de gebruikte materialen homogeen zijn, wat wil zeggen dat de eigenschappen in ieder punt van het materiaal gelijk zijn (dit is een benadering van de werkelijkheid) en dat deze eigenschappen ook gelden op infinitesimaal (oneindig) kleine schaal.

### Krachten

Er zijn verschillende types krachten die op een lichaam kunnen werken. In de mechanica wordt vaak met een puntkracht gewerkt, een kracht die op één punt van het lichaam aangrijpt. In de praktijk echter zullen aangebrachte krachten hun werking spreiden over een bepaald oppervlak of volume. Deze laatste. volumekrachten genoemd, zijn krachten die "in" het bewuste lichaam werken, zoals de zwaartekracht, of magnetische aantrekking. Voor starre lichamen kunnen volumekrachten echter wat hun werking betreft als puntkracht met een geschikt aangrijpingspunt beschouwd worden; zo is de volumekracht zwaartekracht equivalent met een puntkracht aangrijpend in het zwaartepunt van het lichaam.
Voor ieder lichaam in evenwicht (een lichaam niet in versnelde beweging) geldt de derde wet van Newton, die zegt dat de aangebrachte krachten door andere krachten (bijv. reactiekrachten) tegengewerkt worden. In twee dimensies kunnen uit die derde wet drie vergelijkingen gedestilleerd worden: de som van de horizontale en de som van de verticale krachten aangrijpend op het lichaam is nul, en het krachtmoment in een willekeurig punt is ook nul (deze laatste voorwaarde houdt in dat het lichaam niet roteert).
Deze voorwaarden van actie en reactie gelden niet alleen voor het totale lichaam, maar ook voor iedere willekeurige doorsnede van het lichaam.

### Rek

Als op een materiaal een trekkracht uitgeoefend wordt, zal het materiaal in meerdere of mindere mate rek vertonen. De mate van de rek hangt behalve van de aangelegde kracht, af van de vorm van het materiaal en een materiaaleigenschap. De (relatieve) rek ε van een materiaal wordt gedefinieerd als de verhouding van de lengteverandering ΔL en de originele lengte L. De (relatieve) rek ε is dus een dimensieloze grootheid:
    $\epsilon ={\frac {\Delta L}{L}}$.
De relatieve rek wordt ook wel technische rek genoemd, omdat het de grootheid is die men experimenteel meet. Van een materiaal dat eerst een rek ε$_1$ ondergaat en daarna een rek ε$_2$, is de totale rek echter niet ε$_1$ + ε$_2$. Immers:
    $\epsilon _{totaal}={\frac {\Delta _{1}+\Delta _{2}}{L_{1}}}=\epsilon _{1}+\epsilon _{2}{\frac {L_{2}}{L_{1}}}=\epsilon _{1}+\epsilon _{2}{\frac {L_{1}+\Delta _{1}}{L_{1}}}=\epsilon _{1}+\epsilon _{2}+\epsilon _{1}\epsilon _{2}$
Dat is een onplezierige eigenschap van de technische rek die ontstaat doordat we pas optellen als er al veel uitgerekt is. We moeten eigenlijk steeds na een heel klein beetje uitrekken de rek bijtellen. Dat komt neer op een integraal van de technische rek. De zo gedefinieerde rek heet ware rek:
    $\epsilon _{n}=\int _{L_{0}}^{L_{1}}{\frac {dL}{L}}=\ln \left({\frac {L_{1}}{L_{0}}}\right)=\ln(1+\epsilon )$
Ware rekken kunnen wel opgeteld worden. Als eerst gerekt is van L$_0$ naar L$_1$ en vervolgens van L$_1$ naar L$_2$, is de ware rek:
    $\epsilon _{n}=\ln(1+\epsilon _{1}+\epsilon _{2}+\epsilon _{1}\epsilon _{2})=\ln(1+\epsilon _{1})+\ln(1+\epsilon _{2})=\epsilon _{n1}+\epsilon _{n2}\,$
Hebben we de beweging van alle punten van de constructie gegeven als een functie u(x), dan kan de langsrek berekend worden als $epsilon={\frac {du}{dx}}$. De totale vervorming van de constructie is dan $\int _{0}^{L}{du}=\int _{0}^{L}{\epsilon _{x}dx}$

#### Rekstrookje

Een rekstrookje is een elektronische component waarmee de mate van uitrekken of inkrimpen van een materiaal kan worden gemeten. Ook het al of niet onder torsie staan, kan hiermee worden bepaald.
Een rekstrookje bestaat uit een folie met daarop een elektrische geleider. Men plakt dit strookje aan het voorwerp waarvan de rek gemeten moet worden. De werkingswijze van een rekstrookje berust op het principe dat bij een gelijkblijvende vierkantsweerstand van een elektrische geleider de weerstand tussen twee tegenovergestelde zijden van een rechthoekig vlak van deze geleider bepaald wordt door de hoogte/breedte verhouding daarvan.
Als het rekstrookje uitgerekt wordt, dan wordt de daarop aangebrachte elektrische geleider een fractie langer, en gelijktijdig een fractie smaller (en tevens ook een fractie dunner, wat de vierkantsweerstand ook nog doet stijgen). Daardoor stijgt de elektrische weerstand van het rekstrookje een fractie, en dat kan met een gevoelige weerstandsmeter gemeten worden.

### Wet van Hooke

De wet van Hooke zegt dat de uitrekking van een materiaal recht evenredig is met de (normaal)kracht welke op de veer wordt uitgeoefend. Deze wet werd door Robert Hooke empirisch vastgesteld bij veren.
In formulevorm: $\!\sigma =E\epsilon$
hier is E de proportionaliteitsconstante. E is ongeveer constant bij alle materialen (zelfs indien ze gelegeerd zijn), en wordt de elasticiteitsmodulus genoemd.
In deze cursus werken we met homogene materialen, zodat de eigenschappen in alle punten gelijk zijn. Dit wil niet noodzakelijk zeggen dat de eigenschappen in alle richtingen gelijk zijn. Materialen die hieraan voldoen (bijv. metalen) zijn isotroop. Materialen waar de eigenschappen verschillen per richting, zoals hout, zijn anisotroop.
Vullen we de wet in in de gegeven vergelijking, dan komt er:
$\sigma =E\epsilon \rightarrow \epsilon ={\frac {\sigma }{E}}$
$\Delta =\int _{0}^{L}{\frac {\sigma }{E}}dx=\int _{0}^{L}{\frac {P}{AE}}dx$
Of
$\Delta ={\frac {PL}{AE}}$

### Poisson-factor

We hebben gezien dat de rek evenwijdig aan een aangebrachte spanning beschreven wordt door de wet van Hooke. Bij proeven constateert men verder dat wanneer men aan een materiaal in een bepaalde richting trekt, het materiaal stuikt in de richtingen loodrecht op de aangebrachte richting.
Deze dwarsrek is in vele materialen lineair verbonden met de langsrek. De verhouding van de dwarsrek op de langsrek is de Poisson-factor ν (Poisson ratio, of factor van Poisson):
$\nu =\left|{\frac {\mbox{dwarsrek}}{\mbox{langsrek}}}\right|=-{\frac {\epsilon _{dwars}}{\epsilon _{langs}}}$
De grootte van de dwarsrek is dan: $\epsilon _{dwars}=-\nu .\epsilon _{langs}=-\nu .{\frac {\sigma }{E}}$.
Let op het minteken, wanneer het materiaal in de langsrichting wordt samengedrukt, dan rekt het in dwarsrichting uit, en omgekeerd.
Theoretisch is de waarde van de poissonfactor begrensd: $-1<\nu <{\frac {1}{2}}$; in de praktijk is het onwaarschijnlijk (hoewel niet onmogelijk , ) dat een materiaal dat onder druk wordt gezet dwars krimpt: praktisch is ν $0<\nu <{\frac {1}{2}}$

#### Enkele materialen en hun Poisson-factor

Bij metalen is de modulus ongeveer ${\frac {1}{3}}$ (het volume bij trekspanning blijft dus niet constant: het materiaal zet uit). Bij een ν van 0,5 is de compressiemodulus (zie verder) oneindig, welke kracht ook op het materiaal aangebracht wordt, het volume blijft constant, dus is de kracht nodig om het volume te veranderen "oneindig".
| materiaal | poisson factor |
| aluminiumlegering | 0,33 |
| gietijzer | 0,21-0,26 |
| glas | 0,24 |
| klei | 0,30-0,45 |
| kurk | ca. 0,00 |
| rubber | 0,50 |
| staal | 0,27-0,30 |

#### Aangepaste wet van Hooke
### Temperatuurseffecten

Bijna alle materialen veranderen van lengte bij een temperatuursverschil. Deze uitzetting wordt gekarakteriseerd door α, de thermische uitzettingscoëfficiënt.
De rek van een materiaal door een temperatuursverschil is $\epsilon =\alpha .\Delta T$.
Om juister te zijn is de rek t.o.v. een basistemperatuur T$_0$ gegeven door $\epsilon =\alpha .(T-T_{0})$.
Wanneer deze rek echter tegengehouden wordt, bijvoorbeeld doordat beide zijden vast verbonden zijn, spreekt men van een verhinderde vervorming. Deze verhindering kan tot grote spanningen leiden.

### Energie opgenomen in het materiaal

Wanneer een materiaal aan een normaalkracht onderworpen wordt, wordt de uitgeoefende energie in het materiaal opgeslagen. Bij het aanbrengen van de kracht zal het materiaal rekken, waardoor de aangrijpingskracht zal veranderen, en energie verbruikt wordt.
De energie die opgeslagen wordt in een materiaal is de oppervlakte onder de trek-rek kromme. Deze oppervlakte is tevens een maatstaaf voor de taaiheid van materiaal. Voor een veer, met een lineaire trek-rek kromme, de veerconstante k en een rek x is dit oppervlak gelijk aan 1/2 k x$^2$. Voor een staaf, met een 'veerconstante' ${\frac {AE}{L}}$ en een rek ${\frac {PL}{AE}}$, is de opgeslagen energie ${\frac {P^{2}L}{2.AE}}$.
Een gedeelte van de opgenomen energie wordt gebruikt om het materiaal plastisch te vervormen, het gedeelte van de elastische vervorming komt bij het bezwijken van het materiaal opnieuw vrij. Dit zorgt bij brosse materialen, materialen met alleen een elastische vervorming , tot een knap-breuk. Het gebruik van brosse materialen bijv. bij de constructie van bouwwerken wordt vermeden niet alleen omdat er knapbreuken optreden, maar ook omdat de breuk onaangekondigd gebeurd: de rek bij breuk is namelijk erg klein.

### Principe van Saint-Venant

Tot hiertoe hebben we verondersteld dat een puntkracht zich onmiddellijk volledig over het oppervlak van het materiaal verdeelt volgens $\!\sigma =P/A$, en niet voor een geconcentreerde belasting zorgt. In werkelijkheid geldt deze veronderstelling slechts op een bepaalde afstand van de aangebrachte kracht. Volgens de Franse wetenschapper Saint-Venant is deze afstand gelijk aan de breedte van de balk.

### Elastische en plastische vervorming

Tot hier hebben we telkens verondersteld dat materialen elastisch reageren wanneer er een kracht aangebracht wordt, zodat aan de Wet van Hooke voldaan is. Wordt de belasting van het materiaal verwijderd, dan keert de oorspronkelijke vorm van het materiaal terug. Vandaar de benaming "elastische" vervorming. Dit geldt voor de meeste materialen, wanneer een kleine spanning aangebracht wordt. Brosse materialen (beton, hardmetalen, glas) vervormen elastisch tot breuk optreedt.
Wanneer grotere belastingen op een materiaal aangebracht worden, dan geldt het verband tussen de rek en de belasting niet meer, en zal het materiaal een plastische vervorming vertonen (ductiliteit). Zodra de belasting verwijderd wordt, keert het elastische deel van de vervorming terug. De plastische vervorming blijft echter aanwezig. De maximale trekspanning die een constructie-element kan verdragen zonder plastisch te vervormen heet de vloeigrens.
Bij plastische vervorming glijden kristalblokken langs elkaar, waarbij lijnvormige fouten ontstaan en de materiaalspanning toeneemt. Hierdoor neemt de weerstand tegen verdere vervorming toe, wat tot uitdrukking komt in een grotere hardheid. Bij éénkristallen, die een homogeen kristalrooster hebben, is plastische vervorming het gemakkelijkst. Ook de vorm van het kristalrooster kan van invloed zijn. Zo is een hexagonaal kristalrooster aanmerkelijk moeilijker te vervormen dan een kubisch rooster, omdat er minder glijvlakken zijn.
Bij het toevoegen van ionen van een ander materiaal aan een metaal, legeren, kunnen spanningen ontstaan wanneer de 'vreemde' ionen niet goed in het kristalrooster passen. Dit maakt plastische vervorming moeilijker en de hardheid groter.

### Glijding en modulus

Hierboven zagen we dat voor een normaalspanning aangebracht op een materiaal de wet van Hooke geldt. Een soortgelijk verband geldt ook tussen een aangebrachte schuifspanning τ en de afschuifhoek die optreedt γ: τ = Gγ. De verhoudingsconstante in deze gelijkheid is de glijdingsmodulus (vergelijk met de elasticiteitsmodulus). In tegenstelling tot bij normaalkrachten heeft een schuifspanning enkel invloed op de glijding evenwijdig met de spanning, en niet op de glijding in loodrecht op de kracht staande richtingen.

### Veralgemeende wet van Hooke

Tot hiertoe hebben we drie materiaalconstanten gezien die het gedrag van een materiaal op een aangebracht spanning beschrijven: E, G en ν.
Wordt het materiaal tegelijkertijd door normaalspanningen in allerlei richtingen belast, dan is de rek in een bepaalde richting een resultaat van alle aangebrachte normaalspanningen. Beschouwen we een een kubus die met drie normaalspanningen, volgens de x-, y- en z-as, belast wordt met normaalspanningen σ$_x$, σ$_y$ en σ$_z$, dan kunnen de rekken in de x-, y- en z-richting, ε$_x$, ε$_y$ en ε$_z$, als volgt berekend worden:
ε$_x$ = σ$_x$/E − νσ$_y$/E − νσ$_z$/E
ε$_y$ = −νσ$_x$/E + σ$_y$/E − νσ$_z$/E
ε$_z$ = −νσ$_x$/E − νσ$_y$/E + σ$_z$/E
Glijdingen in een richting zijn een gevolg enkel van schuifspanningen aangebracht in die richting:
γ$_{xy}$ = τ$_{xy}$/G
γ$_{yz}$ = τ$_{yz}$/G
γ$_{zx}$ = τ$_{zx}$/G
Deze eenvoudige formules gelden enkel voor isotrope materialen, materialen waarvan de eigenschappen in alle richtingen gelijk zijn.

### Verband tussen de E, G en ν

De elasticiteitsmodulus, de glijdingsmodulus en de poissonmodulus zijn met volgende formule verbonden:
$G={\frac {E}{2\left(1+\nu \right)}}$

### Voorbeeld: drukvat

Drukvaten zijn dunwandige containers die een gas of vloeistof op hoge druk bevatten. In dit voorbeeld zoeken we de spanning σ, die ontstaan wanneer het vat onder druk gebracht wordt. We nemen een dunwandig drukvat, omdat het dan aanvaardbaar is te veronderstellen dat de wandspanningen constant zijn over de wanddikte. Dit resulteert in eenvoudige vergelijkingen om de spanningen uit te rekenen.
Veronderstel een cilindrisch vat, aan beide zijden afgesloten, met straal r, wanddikte t en druk p.
Voor de axiale spanning:
    $\pi r^{2}p=2\pi rt\sigma _{a}\Rightarrow \sigma _{a}={\frac {pr}{2t}}$
Voor de radiale spanning:
    $2rp=2t\sigma _{r}\Rightarrow \sigma _{r}={\frac {rp}{t}}$
Is het vat aan de uiteinden open, dan is uiteraard de axiale spanning gelijk aan nul.
In praktijk is de berekening ingewikkelder, dan wil men namelijk dat de dikte van het drukvat groter is dan de grootte van de scheur die zal optreden, zodat het plots bezwijken van het drukvat vermeden wordt.