# Basiskennis chemie 4/Tweedegraads x2-a

| Vorige pagina | Inhouds­opgave | Volgende pagina | Index |

## Tweede graads vergelijkingen
### Voorbeeld 1: x$^2$ - bekende = 0

De vorm waarin de kwadratische vergelijking hierboven staat is de eenvoudigste vorm ervan. In het voorbeeld hieronder zal voor de bekende waarde $2{\frac {1}{4}}$ gebruikt worden. Net als bij isoleren van een onbekende is ook nu weer de vraag: welke waarde voor x maakt de vergelijking kloppend? Je kunt eerst voor een aantal waarden van x uitrekenen welke waarde er uit de vergelijking ${\ce {y\ =\ x^{2}\ -\ 2{\frac {1}{4}}}}$ komt:
       ${\begin{matrix}\mathrm {x-waarden} &-3&-2&-1&0&1&2&3\\\mathrm {y-waarden} &6{\frac {3}{4}}&1{\frac {3}{4}}&-1{\frac {1}{4}}&-2{\frac {1}{4}}&-1{\frac {1}{4}}&1{\frac {3}{4}}&6{\frac {3}{4}}\\\end{matrix}}$
In de figuur hiernaast staat de grafiek getekend van ${\ce {y\ =\ x^{2}\ -\ 2{\frac {1}{4}}}}$ en de vraag voor welke waarden is de vergelijking waar kun je in de figuur ook stellen als: op welke punten gaat de grafiek door de x-as?
$x^{2}\ -\ 2{\frac {1}{4}}\ =\ 0$
$y\ =\ x^{2}\ -\ 2{\frac {1}{4}}$
$-2{\frac {1}{4}}$
$2{\frac {1}{4}}$
$x^{2}\ =\ 2{\frac {1}{4}}$
Met vergelijking 2 was je klaar als het om een eerste graads vergelijking ging. Helaas kun je nu prima zien wat de waarde van de onbekende met zichzelf vermenigvuldigd is, maar over "x" zelf kun je nog weinig zeggen. Gelukkig is er in de wiskunde een functie om het getal te vinden dat met zichzelf vermenigvuldigt $2{\frac {1}{4}}$ oplevert: de wortel.
${\sqrt {x^{2}}}\ =\ {\sqrt {2{\frac {1}{4}}}}$
$x^{2}$
$x\ =\ {\sqrt {2{\frac {1}{4}}}}$
Met je rekenmachine kun je vervolgens de wortel uit $2{\frac {1}{4}}$ uitrekenen. Als je het goed doet komt er 1,5 uit.
    Als je rekenmachine geen speciale knop voor de wortelfunctie heeft is dan vaak de combinatie van de toetsen <shift> of <2nd> met <x$^2$> bruikbaar.
Ter controle kun je het nog een keer terugrekenen: en inderdaad:
       $\left(1{\frac {1}{2}}\right)^{2}\ -\ 2{\frac {1}{4}}\ =\ 2{\frac {1}{4}}\ -\ 2{\frac {1}{4}}\ =\ 0$ $x\ =\ 1{\frac {1}{2}}$verg. 5
Bij bovenstaande oplossing hoort nog een heel belangrijke opmerking:
Dat wil zeggen: de wortel uit 9 is 3, want 3 keer 3 is 9.
${\begin{matrix}x&=&1{\frac {1}{2}}&\mathrm {of} \\x&=&-1{\frac {1}{2}}\end{matrix}}$
$\pm$
$\pm$
$x\ =\ \pm 1{\frac {1}{2}}$
Een belangrijke regel bij het oplossen van dit soort vergelijkingen is dat een kwadraat altijd positief is. Vindt je dus op een bepaald moment:
       ${\ce {x^2 \ = \ -getal}}$
dan is het niet mogelijk de wortel te trekken. De vergelijking heeft geen wortels Het kan zijn dat je "ergens" in de bewerkingen een fout gemaakt hebt. Je kunt dan het beste de hele serie bewerkingen nog een keer noteren zonder naar je eerdere notities te kijken. Doe je dat wel, en je hebt ergens een fout gemaakt, dan zit het er dik in dat je dezelfde fout nog een keer maakt. Kom je de tweede keer op de zelfde vergelijking, en dus "geen wortels" uit, dan is dat blijkbaar zo.
$y\ =\ x^{2}\ +\ 2{\frac {1}{4}}$
$x^{2}\ +\ 2{\frac {1}{4}}\ =\ 0$
$y\ =\ x^{2}\ +\ 2{\frac {1}{4}}$

### Voorbeeld 2

In het voorgaande voorbeeld is de meest eenvoudige vorm van de kwadratische vergelijking besproken. Je hebt gezien dat het vooral een kwestie is van de overbrengingsregels netjes toepassen en uiteindelijk worteltrekken en rekening houden met de positieve en de negatieve uitkomst. Met verwijzing naar de verschillende overbrengingsregels wordt onderstaand voorbeeld zonder verdere uitleg uitgewerkt: Los x op uit:
       ${\frac {2x^{2}}{3}}\ -\ 7\ =\ 0$
       ${\frac {2x^{2}}{3}}\ =\ 7$
       $2x^{2}\ =\ 7\ *\ 3$
       $x^{2}\ =\ {\frac {7\ *\ 3}{2}}$
       $x\ =\ +\ {\sqrt {\frac {7\ *\ 3}{2}}}\approx \ 3{,}24037034.....$ of
       $x\ =\ -\ {\sqrt {\frac {7\ *\ 3}{2}}}\approx \ -3{,}24037034.....$
Deze uitkomst kun je ook noteren op de manier van vergelijking 7 in voorbeeld 1:
       $x\ =\ \pm {\sqrt {\frac {7\ *\ 3}{2}}}\approx \ \pm 3{,}24037034.....$

### Voorbeeld 3

${\ce {a.x^{2}\ +\ c\ =\ 0}}$
${\ce {a.x^{2}\ = \ - c}}$
${\ce {x^{2}\ = \ {\frac {- c}{a}}}}$
${\ce {x\ =\ \pm {\sqrt {\frac {-c}{a}}}}}$
| Vorige pagina | Inhouds­opgave | Volgende pagina | Index |