OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Leer jezelf ecologisch tuinieren/Nachtschadefamilie

De Nachtschadefamilie (Solanaceae) is een familie van bedektzadige planten. De familie bevat veel giftige planten, bijvoorbeeld de zwarte nachtschade, die deels als medicijn gebruikt worden, maar ook bekende nutsgewassen als de aardappel, de aubergine, de paprika en de tomaat.
De zwarte nachtschade (Solanum nigrum) is de plant waaraan het geslacht solanum (nachtschade) zijn naam te danken heeft. De naam solanum is waarschijnlijk afkomstig van het Latijnse solari, wat met verzachtend of verdovend kan worden vertaald. De naam schade (Engels: shade) verwijst mogelijk naar de vergiftige eigenschappen van een aantal solanum-soorten, die iemand schade kunnen toebrengen. Het woord nacht kan op de avond wijzen, verschillende bloemen uit deze familie geven pas tegen de nacht een sterke geur af.
De familie bevat ruim 95 geslachten en meer dan 2300 soorten - volgens sommige indelingen zelfs meer dan 3000 soorten. In het bijzonder in Zuid- en Midden-Amerika is het geslacht wijd verspreid.
De planten zijn kruidachtige planten of kleine struiken. De bladeren om en om tegenoverstaand, de bloemen zijn punt-symmetrisch en hebben een karakteristieke vruchtbeginsel bestaande uit twee hokjes. De vruchten zijn bessen of doosvruchten.
De werkzame stoffen zijn vaak alkaloïden, waaronder vaak tropanalkaloïde, die het zenuwstelsel van mensen en veel dieren kan beïnvloeden.

## Geslachten

* Atropa
* Brugmansia
* Capsicum
* Datura
* Hyoscyamus
* Lampionplant (Physalis)
* Lycium
* Nachtschade (Solanum)
* Nicandra
* Nicotiana
* Petunia
De soorten staan beschreven in de hoofdstukken over de geslachten.

## Interne taxonomie

Wat betreft de interne taxonomie van deze familie is er niet veel overeenstemming. Het is niet ongebruikelijk om onderfamilies te onderscheiden, maar welke dat moeten zijn is dan weer een tweede vraag. In de omschrijving zoals gehanteerd door het APG II systeem (2003) is de familie groter dan elders wordt aangenomen: ze omvat dan namelijk ook de planten die voorheen de families duckeodendraceae, goetzeaceae en nolanaceae vormden.

## Externe links

* Duckeodendraceae, Goetzeaceae, Nolanaceae
* Nolanaceae
# Leer jezelf ecologisch tuinieren/Naakte lathyrus

| 1 | 2 | 3 | 4 |
Klik op een foto voor een vergroting. Ander gewas? Zoek in het Register.
| Alle families? | Familie: Vlinderbloemen (Leguminosae) Geslacht: Lathyrus Soort: Lathyrus aphaca |
| Geschikt als/voor: | Klimplant. |
| Rode lijst. | Deze in het wild voorkomende plant staat op de rode lijst in Nederland en/of België. Dat betekent dat ze kwetsbaar of (bijna) uitgestorven zijn. Zaai of plant ze en verspreid overtollig zaad. |
| Beschermd. | Deze plant is wettelijk beschermd in Nederland en/of België. Dat betekent dat ze (bijna) uitgestorven zijn. Zaai of plant ze en verspreid overtollig zaad. |
| Stengel/Tak: | Heeft opstijgende of klimmende stengels. |
| Blad: | De middelste en bovenste bladeren bestaan uit ranken met 0,5-4 cm grote, bladachtige steunblaadjes. |
| Bloei: Bloem: Meer van dezelfde kleur? | Mei tot juli. 6-18 mm lange, gele bloemen met aan de binnenkant van de vlag een honingmerk van bruinrode lijnen. |
| Vrucht: | De vrucht is een 2-3 cm lange en 4-6 mm brede, iets gebogen peul. De giftige, 3-4 mm lange, bruine tot zwarte, grijs berijpte zaden zijn plat-eivormig. |
| Hoogte/Lengte: Meer van dezelfde hoogte? | ± 20-60 cm. |
| Bodem: Meer onder dezelfde omstandigheden? | Verklaring van gebruikte afkortingen/symbolen bij zon/water. Grondsoort: Kalkrijke grond. Zon Water ◔ ∼ |
| FAQ: | Vragen en/of antwoorden over de Naakte lathyrus? |
| Maan(d) | Werk | KK | KT | LT | VW | ZD | PA | RA |
| | | | | 1 | | | | |
# Leer jezelf ecologisch tuinieren/Myrsinaceae

Werk in uitvoering. Aan dit artikel wordt voorlopig nog gewerkt. Gelieve het niet te bewerken totdat dit sjabloon is weggehaald.
Myrsinaceae is een botanische naam, voor een familie van tweezaadlobbige planten. Een familie onder deze naam wordt universeel erkend door systemen voor plantentaxonomie. Wel is er een aanmerkelijk verschil tussen de klassieke en de moderne omschrijving. In de klassieke omschrijving bestaat ze uit houtige planten (inclusief de planten die in het APG II systeem (2003) de familie Maesaceae vormen). Volgens de moderne omschrijving is de familie wat groter; in de omschrijving volgens APG omvat ze zowel kruiden, heesters, bomen als lianen.

## In Nederland en België

Uitgaande van deze ruime omschrijving komen in Nederland en België de volgende soorten voor:
* Anagallis (geslacht Guichelheil)
** Blauw guichelheil (Anagallis arvensis subsp. foemina)
** Rood guichelheil (Anagallis arvensis subsp. arvensis)
** Teer guichelheil (Anagallis tenella)
* Glaux
** Melkkruid (Glaux maritima))
* Lysimachia (geslacht Wederik)
** Boswederik (Lysimachia nemorum)
** Penningkruid (Lysimachia nummularia)
** Puntwederik (Lysimachia punctata)
** Moeraswederik (Lysimachia thyrsiflora)
** Grote wederik (Lysimachia vulgaris)
* Trientalis
** Zevenster (Trientalis europaea)
Echter, de 23e druk van de Heukels handhaaft deze soorten in de sleutelbloemfamilie (Primulaceae).

## Cronquist

In de klassieke omschrijving bestaat ze uit houtige planten (inclusief de planten die in het APG II systeem (2003) de familie Maesaceae vormen).
In het Cronquist-systeem (1981) is de plaatsing in een orde Primulales.

## Externe links

* Sjabloon:Link APWeb
* Sjabloon:Link DELTA angio
* Myrsinaceae in de Flora of China
* Myrsinaceae in de Madagascar Catalogue
* Myrsinaceae in de Flora of Pakistan
* Sjabloon:Link MBG images Madagascar
* Myrsinaceae op FloraBase - the Western Australian Flora
* Myrsinaceae in de NCBI Taxonomy Browser

## Geslachten

De geslachten volgens de Angiosperm Phylogeny Website (15 november 2007): Abromeitia, Aegiceras, Amblyanthopsis, Amblyanthus, Anagallis, Antistrophe, Ardisia, Ardisiandra, Asterolinon, Badula, Conandrium, Coris, Ctenardisia, Cybianthus, Cyclamen, Discocalyx, Elingamita, Embelia, Emblemantha, Fittingia, Geissanthus, Gentlea, Glaux, Graphardisia, Grenacheria, Heberdenia, Hymenandra, Labisia, Loheria, Lysimachia, Monoporus, Myrsine, Oncostemum, Parathesis, Pelletiera, Pleiomeris, Rapanea, Sadiria, Solonia, Stimpsonia, Stylogyne, Tapeinosperma, Tetrardisia, Trientalis, Valerioanthus, Vegaea, Walleniella, Yunckeria
# Leer jezelf ecologisch tuinieren/Naaldenkervel

| Rode lijst. | Deze in het wild voorkomende plant staat op de rode lijst in Nederland en/of België. Dat betekent dat ze kwetsbaar of (bijna) uitgestorven zijn. Zaai of plant ze en verspreid overtollig zaad. |
| Beschermd. | Deze plant is wettelijk beschermd in Nederland en/of België. Dat betekent dat ze (bijna) uitgestorven zijn. Zaai of plant ze en verspreid overtollig zaad. |
| FAQ: | Vragen en/of antwoorden over de Naaldenkervel? |
| Maan(d) | Werk | KK | KT | LT | VW | ZD | PA | RA |
# Leer jezelf ecologisch tuinieren/Nachtschade

Nachtschade (Solanum) is een geslacht van planten in de nachtschadefamilie (Solanaceae). Het geslacht is met 1500-1700 verschillende soorten het grootste geslacht in de nachtschadefamilie. In de regel zijn de soorten kruidachtig, vaak rankend of klimmend. Veel soorten komen in de tropen voor, maar een aantal komt ook in gematigde streken voor.
De tomaat was vroeger bij het geslacht Lycopersicon ingedeeld, maar wordt nu als lid van de nachtschaden gezien.
Alleen bitterzoete en zwarte nachtschade behoren tot de inheemse flora van Nederland.

## Soorten

* Aardappel (Solanum tuberosum)
* Aubergine (Solanum melongena)
* Bitterzoet (Solanum dulcamara)
* Blauwe aardappelstruik (Solanum rantonnetii)
* Driebloemige nachtschade (Solanum triflorum)
* Glansbes nachtschade (Solanum nitidibaccatum)
* Solanum crispum
* Tomaat (Solanum lycopersicum)
* Zwarte nachtschade (Solanum nigrum)

## Waardplant

Dit geslacht is waardplant voor onder andere:
* Acherontia lachesis
* Acherontia atropos (Doodshoofdvlinder)
* Acherontia styx
* Acraea acerata
* Amerila bubo
* Coelonia fulvinotata
* Ctenoplusia limbirena
* Dircenna klugii
* Helicoverpa armigera (Katoendaguil)
* Helicoverpa assulta
* Hypoleria cassotis
* Spilosoma atridorsia
* Spilosoma aurantiaca
* Spilosoma jacksoni
* Spodoptera litura
Nachtschade-achtigen staan bekend om hun gevoeligheid voor een schimmelziekte veroorzaakt door de schimmel phytophora. De ziekte is bekend onder de naam aardappelziekte. In tegenstelling tot wat de naam suggereert zijn andere gewassen uit het nachtschade geslacht ook vatbaar voor de ziekte. Onder tuinders zijn tomaten, paprika en aubergine bekend als doelwit van de ziekte.
# Kookboek/Aardappelsoep

Aardappelsoep bestaat fundamenteel uit blokjes aardappel, gekookt in bouillon en daarna gepureerd. Verder zijn er op dit basisrecept heel veel varianten mogelijk; naar smaak kunnen allerlei uiteenlopende ingrediënten worden toegevoegd of juist weggelaten.

## Ingrediënten

De hoeveelheden kunnen naar eigen inzicht worden aangepast.

### Basisingrediënten

* Aardappels , geschild en in blokjes
* bouillon

### Optioneel

* groenten (bijv. plakjes wortel , prei en/of ui in ringen, bladselderij , ...)
* boter (om te bakken)
* zure room
* voor de smaak: zout , peper of cayennepeper

## Bereiding

Er zijn verschillende manieren om aardappelsoep te maken.
Meteen alles koken in de bouillon:
* Los de bouillonblokjes op in kokend water (reken 0,5 dl water per blokje)
* Voeg de aardappelblokjes en de fijngesneden overige groenten toe.
* Laat alles in ca. 10 minuten gaar koken.
* Pureer de soep.
* Voeg de zout en/of (cayenne-)peper toe om het geheel op smaak te brengen en eventueel room om de soep wat romiger te maken
In plaats van verse groenten kan ook met bijv. champignons worden gewerkt. Deze worden dan eerst in plakjes gesneden, apart gebraden en vervolgens aan de soep toegevoegd wanneer deze bijna klaar is. Tijdens het koken kan in dit geval aan de soep een scheutje azijn worden toegevoegd. Ook kan er een blaadje laurier worden meegekookt. Op het einde kan naar smaak een klein beetje citroensap worden toegevoegd.
Weer andere variaties zijn bijvoorbeeld met tomaat en dille of met zalm en garnalen (in dit geval moet visbouilllon worden gebruikt).
Een andere manier om aardappelsoep te maken is de aardappelblokjes en groenten eerst in boter laten aanbraden, vervolgens ca. 2,5 dl heet water erbij schenken en het geheel in ca. een half uur gaar laten worden. Daarna pureren, verdunnen met ca. 0,5 l bouillon en nog een paar minuten zachtjes laten doorkoken. De soep op smaak brengen met zout en peper. Naar smaak kunnen verder bepaalde kruiden (peterselie, bieslook, bladselderij...) worden toegevoegd. Eventueel kan ook room worden toegevoegd.

## Externe links

* okokorecepten.nl, voor allerlei mogelijke variaties met aardappelsoep
# Kookboek/Afrikaanse keukens

De Afrikaanse keukens zijn relatief onbekend, behalve wellicht de keukens van Noord-Afrika, die wat betreft ingrediënten en bereidingswijze dichter aansluiten op de Mediterrane en Midden-Oosterse keukens. Onder Afrikaanse keukens verstaan we onder andere:
* de Ethiopische keuken
* de Zuid-Afrikaanse keuken
# Kookboek/Abrikotines
## Ingrediënten

* 100 gram savarindeeg
* 5 abrikozen
* rum
* dikke abrikozenpulp

## Bereiding

* Verdeel de 100 gram savarindeeg over 5 beboterde ovale bakvormpjes.
* Leg in het midden van de deeg een halve abrikoos.
* Na dit gedaan te hebben laat je het deeg 20 minuten rijzen om het daarna af te bakken in een oven van 200 graden gedurende 15 tot 18 minuten.
* Los de gebakjes uit de vormen en trempeer ze met rum.
* Abrikoteer ze met de dikke abrikozenpulp.
# Kookboek/Aardbeienijs

Dessert | Receptenindex
Aardbeienijs zelf maken is niet moeilijk en de smaak is heerlijk natuurlijk zonder chemische bijsmaak.

## Ingrediënten

* 500 g aardbeien
* 80 g suiker
* 1 zakje vanillesuiker
* sap van een halve citroen
* 3 dooiers
* 80 g suiker (tweede)
* 3 dl room
* 4 grote meringues (eventueel schuimgebak)

## Benodigdheden

* vergiet
* keukenmachine
* garde
* cakevorm
* keukenplastic
* vrieskast

## Bereidingswijze

* Aarbeien wassen en afschudden of met keukenpapier drogen
* Met de eerste deel suiker, het zakje vanillesuiker en de citroensap pureren
* De dooiers (alleen het eigeel) met het tweede gedeelte van het suiker tot een crème opslaan
* Vermengen met het aarbeienmengsel
* De room stijf slaan en 2/3 van deze room bij het mengsel mengen
* De cakevorm van binnen afdekken met het keukenplastic
* De helft van het mengsel in een vorm afvullen
* De meringues fijn verbrokkelen en op de massa in de vorm strooien (gelijkelijk verdelen)
* Afdekken met het derde deel van de room die nog over is
* Hierbovenop de rest van het aarbeienmengsel doen
* Het geheel een nacht lang in de vriezer laten
* Het ijs een half uur voor het serveren uit de vriezer halen, het ijs uit de cakevorm halen en het plastic verwijderen

## Tip

De aarbeien kunnen vooraf behandeld worden met de citroensap en de suiker (marineren), dat maakt het nog lekkerder.

## Variaties

De aarbeien vervangen door frambozen of bramen.
# Kookboek/Advocaatbavarois

Cake, gebak en taart | Receptenindex

## Ingrediënten

* 12 g gelatineblaadjes
* 2 eierdooiers
* 50 g kristalsuiker
* 100 ml melk
* 200 g advocaat-pudding
* 250 g mascarpone-kaas
* 100 ml room
* 50 g poedersuiker (bloemsuiker)
* 2 eiwitten
* Chocoladeschilfers

## Bereiding

* Week de gelatine in koud water.
* Klop de eierdooiers samen met de kristalsuiker en de melk luchtig op.
* Verwarm dit mengsel al roerend tot ongeveer 70°C (maar laat het nooit koken; anders verliest het ei zijn bindend vermogen!)
* Knijp de gelatine uit en los hierin op.
* Voeg de advocaat en de mascarpone toe.
* Laat dit alles even opstijven.
* Klop de room op en roer dit voorzichtig onder dit mengsel.
* Klop het eiwit op en roer ook dit hieronder.
* Giet het mengsel in een ingeöliede springvorm.
* Laat de bavarois enkele uren opstijven in de koelkast.
* Verwijder de vorm. Versieren kan met chocoladeschilfers.
# Kookboek/Aardappelsoesjes

Franse keuken | Soort gerecht | Receptenindex Herzoginkartoffel (fcm).jpg
Pommes Duchecesse is een (bij)gerecht met als hoofdbestanddeel aardappelen.

## Ingrediënten

* 500 gram gekookte kruimige (b.v. eigenheneimers of bintjes) aardappelen
* 150 ml room
* 50 gram roomboter of margarine
* 150 ml water
* 100 gram bloem
* 1 ei
* zout
* peper
* nootmuskaat

### Bereiding

* Maak een smeuïge puree van de gekookte aardappels en wat room.
* Laat de boter in 150 ml kokend water smelten
* Voeg de bloem en een mespunt zout toe
* Blijf roeren tot het soezendeeg als een bal van de pan loslaat
* Neem de pan van het vuur en meng het ei door het soezenbeslag.
* Meng het soezendeeg met de aardappelpuree en breng het op smaak met zout, peper en nootmuskaat en verhit olie in een frituurpan
* Vorm met twee lepels balletjes van het mengsel en bak ze in gedeelten in de hete olie goudbruin
* Laat de soesjes uitlekken op keukenpapier
# Kookboek/Aardbei

Aardbei (Fragaria) is een geslacht bloeiende planten uit de rozenfamilie (Rosaceae), vooral bekend om zijn eetbare vrucht.
Minder bekend is hoe ook de bladeren perfect bruikbaar zijn in de keuken. Er zijn meer dan twintig soorten aardbeien.

## Soorten

In Nederland en België komen de bosaardbei (Fragaria vesca) en de zeldzame grote bosaardbei (Fragaria moschata) in het wild voor.
In de winkel treft men vooral cultuuraardbeien (Fragaria x ananassa) die op hun beurt een Europese kruising zijn van de wilde Noord-Amerikaanse Virginia Stawberry (Fragaria virginiana) en de Chilean Strawberry (Fragaria chiloensis), die in het wild voorkomt aan de Amerikaanse Westkust en op Hawaï.

## Rassen

Het meest geteelde ras in Nederland en België is Elsanta. Zeer goed smakende rassen zijn Korona, Vima Zanta en Lambada. Het allervroegste ras is Karina, maar geeft weinig vruchten. Doordragende rassen zijn onder andere Rapella, Evita, Everest, Selva, Koning Kim, Everglade en Ostara.

## Consumptie

Verse aardbeien zijn gezond, rijk aan ijzer en vitamine A en C. Ze zijn licht laxerend. Echter bij baby's en zeer jonge kinderen kan het eten van verse aardbeien een allergische reactie veroorzaken.
Men dient aarbeien voor consumptie met water te spoelen. Dit gebeurt zonder eerst het kroontje te verwijderen, anders neemt de vrucht te makkelijk het spoelwater op.
Aardbeien worden puur gegeten, soms bestrooid met suiker. Daarnaast kan de vrucht verwerkt worden in fruitsalades, yoghurt, jam, stroop, sorbet, roomijs, kaas, taart, gebak en alcoholische dranken.
De bladeren van de bosaardbei en grote bosaardbei zijn geschikt voor toevoeging aan salade of thee. Bij voorkeur kiest men hiervoor rozenbottelthee, eveneens uit de familie van de Rosaceae en eveneens rijk aan Vitamine A, B1, B2 en C.

## In andere talen

* en: a strawberry
* fr: une fraise
* gl: un amorodo
* de: eine Erdbeere
* it: una fragola
* es: una fresa
* sv: en jordgubbe
* n: et jordbaer
* Bosaardbei
* Grote bosaardbei
* Cultuuraardbei
* Fragaria chiloensis
* Aardbei in chocolade
* Aardbeisorbet
* Aardbeigebak
* Aardbeienlikeur

## Recepten met aardbei

* Kookboek/Confituur
* Kookboek/Aardbeienijs
* Kookboek/Milkshake
* Kookboek/Superbeitjes
* Kookboek/Fraises Wilhelmine
# Kookboek/Advocaat

Nagerecht | Receptenindex Een heerlijke eierlikeur, gemakkelijk zelf te maken.

## Ingrediënten

* 8 eierdooiers
* 1 pakje (8g) vanillesuiker
* ± 200ml gecondenseerde melk
* 350g suiker
* 1 druppel amandelextract
* 150g alcohol van ± 94%, of brandewijn

## Bereidingswijze

* Meng alles bijeen. roer alles met een garde glad.
* Gaar dit mengsel daarna au bain marie.
* Stop het mengsel in bijvoorbeeld een jampot (of twee) en bewaar in de koelkast.

## Variaties

* Vervang een deel van de suiker door honing.
* Voeg wat chocolade toe aan het mengsel voor chocoladeadvocaat.
# Lineaire algebra/Coördinatisering

Hoofdstukken :
Lineaire ruimte
Lineaire combinatie
Lineair onafhankelijk stelsel
Volledig stelsel
Basis
Dimensie
Rang
Coördinatisering
Coördinatentransformatie
Lineaire afbeelding
Kern
Matrix
Getallenruimte
Kolom- en rijvector
Eenvorm
Duale ruimte
Lineaire algebra/Covariant en contravariant
Transformaties
Inproduct
Bilineaire vorm
Kwadratische vorm
Tensor :
In een eerdere stelling hebben we aangetoond dat elke vector op precies één manier te schrijven is als lineaire combinatie van de vectoren uit een basis. De coëfficiënten van die combinatie leggen dus samen met de vectoren in de basis de vector vast. We noemen die coëfficiënten de coördinaten van de vector ten opzichte van de basis. Voor een $n$-dimensionale vectorruimte $V$ over $K$ met basis $(b_{1},\ldots ,b_{n})$ vormen de coördinaten $\xi _{1}\ldots ,\xi _{n}$ van de vector $x=\xi _{1}b_{1}+\ldots +\xi _{n}b_{n}$ een vector $(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ in de lineaire ruimte $K^{n}$.

## Definitie 8.1

Zij $V$ een vectorruimte met dimensie $n$ over het lichaam $K$ en $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ een basis van $V$. Als voor $x\in V$ geldt:
    $x=\xi _{1}b_{1}+\ldots +\xi _{n}b_{n}=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}b_{i}$,
heten de getallen $\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}$ de coördinaten van $x$ t.o.v. de basis $B$.
Zoals boven al opgemerkt vormen de coördinaten een vector in de ruimte van de getallenrijtjes. De afbeelding die aan een vector z'n coördinaten t.o.v. een basis $B$ toevoegt, noemen we een coördinatisering.

## Definitie 8.2

Zij $V$ een vectorruimte met dimensie $n$ over het lichaam $K$ en $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ een basis van $V$. De afbeelding:
    $\kappa _{B}:V\to K^{n}$,
gedefinieerd door:
    $\kappa _{B}(\xi _{1}b_{1}+\ldots +\xi _{n}b_{n})=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$,
heet coördinatisering t.o.v. de basis $B$.
Een coördinatisering beeldt een $n$-dimensionale vectorruimte $V$ over $K$ af op de ruimte $K^{n}$. Daarbij worden de basisvectoren uit de basis $B$ afgebeeld op de zgn. eenheidsvectoren, die een basis vormen van $K^{n}$. Alles wat de structuur van $V$ betreft, kunnen we bestuderen in $K^{n}$.
# Lineaire algebra/Duale ruimte

Hoofdstukken :
Lineaire ruimte
Lineaire combinatie
Lineair onafhankelijk stelsel
Volledig stelsel
Basis
Dimensie
Rang
Coördinatisering
Coördinatentransformatie
Lineaire afbeelding
Kern
Matrix
Getallenruimte
Kolom- en rijvector
Eenvorm
Duale ruimte
Lineaire algebra/Covariant en contravariant
Transformaties
Inproduct
Bilineaire vorm
Kwadratische vorm
Tensor :
De lineaire ruimte van de eenvormen op V is nauw met V verbonden en wordt daarom op een speciale manier aangeduid.

## Definitie 16.1

De lineaire ruimte van de eenvormen op V heet de duale ruimte V$^*$ van V.

### Voorbeelden

Neem steeds $K=\mathbb {R}$,
* Zij $\ V=\mathbb {R} ^{n}$, dan zijn de projecties $p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{i}$ element van de duale ruimte $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$.
* Zij $\!\ V=C[-\pi ,\pi ]$, d.w.z de ruimte van de continue functies op $[-\pi ,\pi ]$, dan is $a_{n}(f)=\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx$ een element van de duale ruimte van $C[-\pi ,\pi ]$.
* Zij $\ V=\mathbb {R} [x]$, d.w.z. de lineaire ruimte van alle veeltermen, dan zijn $ev:\mathbb {R} [x]\to \mathbb {R} :p(x)\mapsto p(5)$ en $D:\mathbb {R} [x]\to \mathbb {R} :p(x)\mapsto p'(\pi )\$ twee verschillende elementen van de duale ruimte van de veeltermen.

## Stelling 16.1

Als V de dimensie n heeft, is ook de dimensie van V$^*$ gelijk aan n.

### Bewijs

Kies een basis $(v_{1},...,v_{n})\,$ van V en definieer de eenvormen $(v_{1}^{*},...,v_{n}^{*})\,$ door:
    $v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}$ dus 1 als i=j en 0 als i en j verschillend zijn
Deze eenvormen vormen een basis van de duale ruimte, want ze zijn onafhankelijk en een willekeurige eenvorm u is een lineaire combinatie van deze eenvormen, immers voor iedere basisvector $v_{i}$ geldt:
    $u(v_{i})=u(v_{1})v_{1}^{*}(v_{i})+\ldots +u(v_{n})v_{n}^{*}(v_{i})=\left(u(v_{1})v_{1}^{*}+\ldots +u(v_{n})v_{n}^{*}\right)(v_{i}).$
Voor lineaire combinaties van de $v_{i}$ gelden vergelijkbare uitspraken omdat de onderliggende afbeeldingen lineair zijn.
Voor de eenvorm u geldt daarom dat
    $u=u(v_{1})v_{1}^{*}+\ldots +u(v_{n})v_{n}^{*}$
Iedere willekeurige eenvorm u is dus te schrijven als lineaire combinatie van de n eenvormen $v_{i}^{*}$.
De bovengenoemde basis van de duale ruimte die als het ware bij een basis van de oorspronkelijke ruimte hoort speelt een speciale rol en heeft daarom ook een speciale naam.

## Definitie 16.2

De basis $(v_{1}^{*},...,v_{n}^{*})\,$ van de duale ruimte V$^*$ die met de basis $(v_{1},...,v_{n})\,$ van V verbonden is door:
    $v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}$
heet de duale basis van $(v_{1},...,v_{n})\,$.