# Discrete Kansrekening/Simultane kansverdelingen/Functies van stochastische variabelen
## 5.4 Functies van stochastische variabelen

Als X een (discrete) stochastische variabele is, is ook de compositie Y = g$\circ$X van X en een functie g (meestal geschreven als g(X)) weer een s.v. We kunnen dat schematisch als volgt weergeven:
       $S{\xrightarrow {\quad X\quad }}\mathbb {R} {\xrightarrow {\quad g\quad }}\mathbb {R}$
       $S{\xrightarrow {\quad \quad Y=g\circ X\quad \quad }}\mathbb {R}$
Zo is bv. Y = (X-3)$^2$ een (discrete) stochastische variabele; immers Y(s) = (X(s)-3)$^2$ bepaalt weer een functie op de uitkomstenruimte S. Ook functies van de componenten X$_1$,X$_2$,...,X$_n$ van een stochastische vector, bv. X$_1$ + X$_2$ - X$_3$ , 2(X$_1$ - X$_n$) zijn weer s.v.-en. In het voorgaande zijn we eigenlijk al zulke functies van s.v.-en tegengekomen. Bij het twee keer werpen van een dobbelsteen is het maximale ogenaantal Z van beide worpen te schrijven als Z = max(X,Y), waarin X en Y de ogenaantallen van respectievelijk de eerste en tweede worp waren. Algemeen geldt de volgende stelling.
Stelling 5.4.1 Laat X$_1$,X$_2$,...,X$_n$ s.v.-en zijn op een kansruimte (S,P) en zij
    $g:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$
voor zekere k ≤ n, dan is ook g(X$_1$,...,X$_k$) een s.v. op (S,P).
Hoe kunnen we uit de gegeven simultane kansverdeling van een n-tal s.v.-en X$_1$,X$_2$,...,X$_n$ de verdeling van een functie g(X$_1$,X$_2$,...,Xk) van een k- tal van deze s.v.-en bepalen? Eigenlijk hebben we dit al gedaan, zoals uit het volgende voorbeeld blijkt.
Voorbeeld 1 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg) De simultane verdeling van het ogenaantal X van de eerste worp en van het ogenaantal Y van de tweede worp wordt voor elke x = 1,2,...,6 en y = 1,2,...,6 gegeven door: P(X=x en Y=y) = 1/36. De verdeling P(Z=z) van het totale ogenaantal Z = X + Y kunnen we als volgt bepalen; bv. voor z=5:
    P(Z=5) = P(X=1 en Y=4 of X=2 en Y=3 of X=3 en Y=2 of X=4 en Y=1) =
       = P(X=1 en Y=4) + P(X=2 en Y=3) + P(X=3 en Y=2) + P(X=4 en Y=1) =3/36.
Algemeen geldt:
Stelling 5.4.2 Laat X$_1$,...,X$_k$ s.v.-en zijn op een kansruimte (S,P) en zij
    $g:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$,
dan wordt de kansverdeling van Y = g(X$_1$,...,X$_k$) bepaald door:
    $S_{Y}=\{g(x_{1},...,x_{k})|(x_{1},...,x_{k})\in S_{X}\}=\{g(x_{1}(s),...,x_{k}(s))|s\in S\}$,
en
    $\,p_{Y}(y)=\sum _{\{y=g(x_{1},...,x_{k})\}}p_{X_{1},...,X_{k}}(x_{1},...,x_{k})$,
voor y ∈ S$_Y$.
Bewijs: We bewijzen alleen de tweede uitspraak; we stellen X = (X$_1$,...,X$_k$) en x = (x$_1$,...,x$_k$):
    $\,p_{Y}(y)=P(g(X)=y)=\sum _{\{s:g(X(s))=y\}}p(s)=\sum _{\{x:g(x)=y\}}p_{X}(x).$
Opmerking 1 We kunnen ook g zelf opvatten als s.v. op de kansruimte (S$_X$,P$_X$) en de theorie van hoofdstuk 2 toepassen.
In het bijzonder zullen we kijken naar de som van twee s.v.-en X en Y (gedefinieerd op dezelfde kansruimte). De resultaten laten zich gemakkelijk generaliseren naar een n-tal, maar dat zullen we niet expliciet doen.
Stelling 5.4.3 Laat X en Y een simultane verdeling hebben, dan wordt de verdeling van X + Y voor
    $z\in S_{X+Y}=\{x+y|x\in S_{X},y\ \in S_{Y}\}$
gegeven door de kansfunctie
    $p_{X+Y}(z)=P(X+Y=z)=\sum _{x+y=z}p_{X,Y}(x,y)=\sum _{x\in S_{X}}p_{X,Y}(x,z-x)$.
Als X en Y o.o. zijn kunnen we nog schrijven:
    $p_{X+Y}(z)=\sum _{x\in S_{X}}p_{X,Y}(x,z-x)=\sum _{x\in S_{X}}p_{X}(x)p_{Y}(z-x)$,
voor $z\in S_{X}+Y$
Anders geschreven:
    $P(X+Y=z)=\sum _{x\in S_{X}}P(X=x)P(Y=z-x)$.
De beide laatste sommaties noemen we wel convolutiesommen en we duiden de verdeling p$_{X+Y}$ van X+Y aan als de convolutie van p$_X$ en p$_Y$.
Definitie 5.4.1 Onder de convolutie van twee kansfuncties p$_1$ en p$_2$, verstaan we de functie p$_1$* p$_2$, gedefinieerd door:
    $\,(p_{1}*p_{2})(x)=\sum _{u}p_{1}(u)p_{2}(x-u).$.
Stelling 5.4.4 De convolutie p$_1$ * p$_2$ van twee kansfuncties p$_1$ en p$_2$ is zelf ook een kansfunctie.
We kunnen de verdeling van de som van twee onafhankelijke s.v.-en als volgt karakteriseren:
Stelling 5.4.5 Als X en Y onafhankelijke s.v.-en zijn, is de kansverdeling p$_{X+Y}$ van hun som de convolutie van hun kansfuncties p$_X$ en p$_Y$; dus p$_{X+Y}$ = p$_X$ * p$_Y$.
In de praktijk is de convolutiesom alleen van belang als er ook daadwerkelijk "convolutie" optreedt, dwz. als (p$_X$*p$_Y$)(z) niet slechts bepaald wordt door een of enkele toevallig van 0 verschillende summanden in de convolutiesom ∑ p$_X$(x)p$_2$(z-x). Daadwerkelijke convolutie doet zich bv. voor als X en Y geheelwaardige s.v.-en zijn. Overigens blijkt dan dat slechts in enkele bijzondere gevallen de convolutiesom te berekenen is.
We geven nu enkele voorbeelden van de berekening van de verdeling van functies van s.v.-en.
Voorbeeld 2 Zij X het ogenaantal bij een worp met een dobbelsteen en Y = (X-3)$^2$. In de volgende tabel staan de relevante grootheden die benodigd zijn om de verdeling van Y te bepalen.
    $\quad x$123456totaal $P(X=x)$1/61/61/61/61/61/61 $y=(x-3)^{2}$410149
Daaruit lezen we af: S$_Y$ = {0,1,4,9} en voor de kansfunctie van Y:
    $y$0149totaal $P(Y=y)$1/62/62/61/61
want bv. P(Y=4) = P(X=1 of X=5) = P(X=1) + P(X=5) = 2/6.
Voorbeeld 3 (multinomiale verdeling; vervolg) We bekijken een multinomiale verdeling met parameters n, 4 en p$_1$,p$_2$,p$_3$ und p$_4$, en noemen de s.v.-en X, Y, Z en U. Wat is de verdeling van V = (X,Y,Z+U)?
    $S_{V}=\{(x,y,z+u)|(x,y,z,u)\in S_{X,Y,Z,U}\}=\{(k,l,m)|k+l+m=n\}$
en
    $p_{Y}(k,l,m)=\sum _{z+u=m}p_{X,Y,Z,U}(k,l,z,u)=\sum _{z+u=m}{\frac {n!}{k!l!z!u!}}p_{1}^{k}p_{2}^{l}p_{3}^{z}p_{4}^{u}=$
       $={\frac {n!}{k!l!m!}}p_{1}^{k}p_{2}^{l}\sum _{z}{\frac {m!}{z!(m-z)!}}p_{3}^{z}p_{4}^{m-z}={\frac {n!}{k!l!m!}}p_{1}^{k}p_{2}^{l}(p_{3}+p_{4})^{m}$,
dus een multinomiale verdeling met parameters n, 3 en p$_1$,p$_2$,p$_3$+ p$_4$.
Voorbeeld 4 Laat X en Y o.o. zijn en beide binomiaal verdeeld met parameters resp. m en p en n en p. Dan vinden we voor de verdeling van X+Y:
    S$_{X+Y}$ = {x+y|x = 0,1,...,m en y = 0,1,...,n} = {0,1,...,m+n}
en
    $p_{X+Y}(z)=(p_{X}*p_{Y})(z)=\sum _{x=0}^{m}p_{X}(x)p_{Y}(z-x)=$
       $=\sum _{x=0}^{m}{\tbinom {m}{x}}p^{x}(1-p)^{m-x}{\tbinom {n}{z-x}}p^{z-x}(1-p)^{n-z+x}=$
       $=p^{z}(1-p)^{m+n-z}\sum _{x=0}^{m}{\tbinom {m}{x}}{\tbinom {n}{z-x}}=$
       $={\tbinom {n+m}{z}}p^{z}(1-p)^{m+n-z}.$
dus een binomiale verdeling met parameters m+n en p.
Als de s.v.-en X, Y en Z o.o. zijn, volgt automatisch dat ook bv. X+Y en Z$^2$ o.o. zijn. We formuleren deze eigenschap algemeen.
Stelling 5.4.6 Laat de s.v.-en X$_1$,X$_2$,...,X$_n$ onderling onafhankelijk zijn en zij g: R$^k$ → R voor zekere k ≤ n, dan zijn ook g(X$_1$,...,X$_k$), X$_{k+1}$,...,X$_n$ o.o.
Voorbeeld 5 (drie worpen met een dobbelsteen) We beschrijven het experiment door de o.o. s.v.-en X,Y en U, die de ogenaantallen van resp. de eerste, tweede en derde worp voorstellen. De simultane verdeling wordt dus gegeven door P(X=x en Y=y en U=u) = 1/216 voor x,y,u = 1,2,...,6.
We mogen nu concluderen dat bv. de som X + Y van de ogenaantallen van de eerste twee worpen onafhankelijk is het aantal ogen U bij de derde worp. Ook zijn bv. X en max(Y,U) o.o.