# Lineaire algebra/Lineair onafhankelijk stelsel

Hoofdstukken :
Lineaire ruimte
Lineaire combinatie
Lineair onafhankelijk stelsel
Volledig stelsel
Basis
Dimensie
Rang
Coördinatisering
Coördinatentransformatie
Lineaire afbeelding
Kern
Matrix
Getallenruimte
Kolom- en rijvector
Eenvorm
Duale ruimte
Lineaire algebra/Covariant en contravariant
Transformaties
Inproduct
Bilineaire vorm
Kwadratische vorm
Tensor :
De ruimte die door de vector $x$ wordt voortgebracht, is dezelfde als de ruimte die door $x$ en een veelvoud van $x$ wordt voortgebracht. De toevoeging van dat veelvoud is overbodig, want dat was al element van de deelruimte. We zeggen dat dat veelvoud (lineair) afhankelijk is van $x$. Zo ook met de ruimte die door twee vectoren wordt opgespannen. Die verandert niet als we een vector toevoegen die er al toe behoort. Elke lineaire combinatie van $x$ en $y$ is lineair afhankelijk van $x$ en $y$. Een vector $z$ buiten de door $x$ en $y$ voortgebrachte deelruimte voegt iets nieuws toe, als het tenminste niet de 0 is. Zo'n vector is lineair onafhankelijk van $x$ en $y$. Liever zeggen we dat $x,y$ en $z$ een lineair onafhankelijk stelsel vormen. Daarin kun je er geen weglaten zonder dat de voortgebrachte deelruimte verandert.

## Definitie 3.1.a

Het eindige stelsel vectoren $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ heet lineair onafhankelijk als de 0 alleen als lineaire combinatie met alle coëfficiënten 0 geschreven kan worden, dus als:
    $\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}x_{i}=0\Rightarrow \forall _{i}\,\alpha _{i}=0$.

## Definitie 3.1.b

Een willekeurig stelsel vectoren $(x_{i},i\in I)$ heet lineair onafhankelijk als elk eindig deelstelsel lineair onafhankelijk is.

## Definitie 3.1.c

Een stelsel vectoren heet lineair afhankelijk als dit stelsel niet lineair onafhankelijk is.

### Voorbeelden

In de driedimensionele euclidische ruimte zijn de de vectoren $(1,1,0)$ en $(0,1,2)$ lineair onafhankelijk, want stel maar dat:
    $a(1,1,0)+b(0,1,2)=0$.
Dan is dus:
    $a(1,1,0)+b(0,1,2)=(a,a+b,2b)=(0,0,0)$,
zodat volgt: $a=0$ en $b=0$.
De drie vectoren $(1,1,0),(0,1,2)$ en $(-1,0,2)$ zijn niet lineair onafhankelijk, want:
    $(1,1,0)-(0,1,2)+(-1,0,2)=0$.
Een lineair onafhankelijk stelsel bevat nooit de 0, want we zouden de 0 als lineaire combinatie kunnen vormen met voor de 0 de coëfficiënt 1 en de overige 0.

## Stelling 3.1

De vectoren in een lineair onafhankelijk stelsel zijn alle ongelijk aan 0.
Laten we uit een lineair onafhankelijk stelsel een vector weg, zeg $x_{1}$, dan zit deze niet meer in de door de rest voortgebrachte deelruimte, want stel maar dat
    $x_{1}=\alpha _{2}x_{2}+\ldots +\alpha _{m}x_{m}$
dan is
    $-x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\ldots +\alpha _{m}x_{m}=0$.
En omdat $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}$ lineair onafhankelijk zijn, moeten alle coëfficiënten gelijk zijn aan 0, maar de coëfficiënt van $x_{1}$ is $-1$.
Daarom geldt de volgende stelling.

## Stelling 3.2

Is een stelsel vectoren lineair afhankelijk, dan is er ten minste een vector die een lineaire combinatie is van de overige.

### Voorbeelden

De drie vectoren $(1,1,0),(0,1,2)$ en $(-1,0,2)$ zijn lineair afhankelijk, want er geldt:
    $(1,1,0)-(0,1,2)+(-1,0,2)=0$.
We kunnen elk als lineaire combinatie van de andere twee schrijven, bijvoorbeeld:
    $(1,1,0)=(0,1,2)-(-1,0,2)$.
Ook de drie vectoren $(1,1,0),(0,1,2)$ en $(2,2,0)$ zijn lineair afhankelijk, want er geldt:
    $2(1,1,0)-(2,2,0)=0$.
We kunnen wel $(2,2,0)$ schrijven als een veelvoud van $(1,1,0)$, maar de vector $(0,1,2)$ is geen lineaire combinatie van $(1,1,0)$ en $(2,2,0)$.