# Transmissielijnen/Stub

Om bij een bepaalde belasting Z$_L$, een gewenste aanpassing te bereiken, wordt wel een zgn. stub (stomp) geplaatst. Een stub is een eindje transmissielijn (bij toepassing altijd open of kortgesloten i.v.m .verliezen), in serie of parallel met de lijn zelf. Door keuze van plaats, type en lengte van de stub kan impedantieaanpassing plaatsvinden, meestal zo dat de ingangsimpedantie gelijk wordt aan Z$_0$. Wij behandelen alleen dat geval.

## Voorbeeld

Van een verliesvrije transmissielijn is gegeven:
    $\,Z_{0}=50\Omega$
en
    $\,L=1{,}242\lambda _{lyn}$.
De lijn is belast met:
    $\,Z_{L}=15-20j\Omega$.
We plaatsen een stub, van hetzelfde type lijn als de lijn zelf, aan het begin van de lijn, en bepalen de lengte van de stub uitgedrukt in de golflengte op de lijn:
    $\,L_{s}=\sigma \lambda _{lyn}$,
zo, dat de ingangsimpedantie juist gelijk is aan Z$_0$.
Van het lijngedeelte net achter de stub is de ingangsimpedantie:
    $z_{in}={\frac {z_{L}+\tanh(\gamma L)}{1+z_{L}\tanh(\gamma L)}}={\frac {0{,}3-0{,}4j+j\tan(1{,}242\times 2\pi )}{1+(0{,}3-0{,}4j)j\tan(1{,}242\times 2\pi )}}=1{,}03+1{,}49j\approx 1+1{,}5j$.
Plaatsen we in serie met de lijn een stub, dan moet deze een impedantie hebben van
    $\,z_{in,s}=-1{,}5j$,
dus kortgesloten, met een lengte bepaald door (Z$_{Ls}$ = 0, want de stub is kortgesloten):
    $\,-1{,}5j=j\tan(\beta L_{s})$,
dus:
    $\,\tan(\beta L_{s})=-1{,}5$.
Voor de kleinste positieve stublengte is:
    $\,2\pi \sigma =\pi -\arctan(1{,}5)$,
zodat:
    $\,\sigma =0{,}5-{\frac {\arctan(1{,}5)}{2\pi }}=0{,}156$.
De stub moet dus een lengte hebben van:
    $\,L_{s}=\sigma \lambda _{lijn}=0{,}156\lambda _{lijn}$.
Omdat een stub in verband met anders optredende verliezen altijd open of kortgesloten genomen wordt, kan de stub alleen de reactieve component van de impedantie ter plaatse compenseren. In het bovenstaande voorbeeld is de lengte van de transmissielijn zo gekozen, dat het ohmse (reële) deel van de ingangsimpedantie (bijna) gelijk is aan de karateristieke impedantie. Daardoor kon de stub, die het reactieve deel moet compenseren, aan het begin van de lijn geplaatst worden. We kunnen de lijn nu willekeurig verlengen door er een stuk voor te plaatsen. Omdat de lijn op de plaats van de stub karakteristiek is afgesloten, zal de ingansimpedantie van de verlengde lijn overal gelijk zijn aan de karakteristieke impedantie.
In het algemeen zal de afstand L$_1$ van de stub tot het einde van de lijn ook bepaald moeten worden. Deze afstand volgt uit de eis dat de vervangingsimpedantie Z$_{in,1}$van het deel van de lijn na de stub een ohmse component heeft gelijk aan de karakteristieke impedantie, dus:
    $\,Re(z_{in,1})=1$.
De stub compenseert dan het reactieve gedeelte.
Weliswaar kunnen formules gevonden worden voor de lengte en de plaats van de stub, maar deze zijn tamelijk ingewikkeld, zodat we in elk afzonderlijk geval de vergelijking oplossen.

## Voorbeeld (vervolg)

De lengte van de lijn laten we in het midden, maar we plaatsen de stub op een afstand
    $\,L_{1}=\tau \lambda _{lijn}$
van het einde van de lijn.
De vervangingsimpedantie van het deel van de lijn na de stub is:
    $z_{in,1}={\frac {z_{L}+jt}{1+jz_{L}t}}={\frac {0{,}3-0{,}4j+jt}{1+(0{,}3-0{,}4j)jt}}={\frac {0{,}3+j(t-0{,}4)}{1+0{,}4t+0{,}3jt}}$,
waarin
    $\,t=\tan(\beta L_{1})=\tan(2\pi \tau )$.
We bepalen t uit:
    $1=Re(z_{in,1})={\frac {0{,}3(1+0{,}4t)+0{,}3t(t-0{,}4)}{(1+0{,}4t)^{2}+(0{,}3t)^{2}}}={\frac {0{,}3+0{,}3t^{2}}{1+0{,}8t+0{,}25t^{2}}}$,
waaruit volgt:
    $\,0{,}05t^{2}-0{,}8t-0{,}7=0$.
Oplosing:
    $t={\frac {0{,}8\pm {\sqrt {0{,}78}}}{0{,}1}}=8\pm {\sqrt {78}}$.
We zoeken alleen de positieve oplossing, dus:
    $t=\tan(2\pi \tau )=8+{\sqrt {78}}=16{,}8$,
waaruit volgt:
    $\tau ={\frac {\arctan(16{,}8)}{2\pi }}=0{,}241$
De stub kan dus geplaatst worden op een afstand:
    $\,L_{1}=\tau \lambda _{lijn}=0{,}241\lambda _{lijn}$.
Omdat bij een verliesvrije lijn, de toestand van de lijn steeds na een golflengte hetzelfde is, kunnen we de stub ook een veelvoud van de golflengte verder plaatsen. Zo zagen we in het begin van dit voorbeeld dat de stub 1 golflengte verder was geplaatst.
In het eerste deel van het voorbeeld hebben we een kortgesloten stub gebruikt in serie met de lijn. Het is ook mogelijk dat een open stub gebruikt moet worden, of een parallel met de lijn geplaatste stub.