# Wiskunde voor MBO techniek/Logaritme

| Vorige pagina | Inhouds­opgave | Volgende pagina | Index |

# Logaritme

Rond 1600 is het idee om te kunnen vermenigvuldigen door op te tellen, of te delen door af te trekken, verder uitgewerkt door de Schotse wiskundige Napier. Hij bedacht het volgende:
Als exponenten op deze manier gebruikt worden, heten ze logaritme. Omdat het grondtal uiteraard belangrijk is voor de uitkomst, wordt dit aangegeven bij de logaritmefunctie. Helaas zijn er twee verschillende manieren in gebruik:
* $^2$log(8) = 3.0 want 2$^3$ = 8. Het grondtal staat in superscript voor de aanduiding van de logfunctie.
* log$_2$(8) = 3.0 want 2$^3$ = 8. (ook dan) Het grondtal staat in subscript tussen de aanduiding van de logfunctie en het getal waarvan de logaritme genomen moet worden.

### Tabel 1: Meer voorbeelden met 2 als grondtal

| Getal | $^2$log(getal) | Getal | $^2$log(getal) | Getal | $^2$log(getal) | Getal | $^2$log(getal) |
| 0.0625 | -4 | 1 | 0.0 | 8 | 3.0 | 128 | 7.0 |
| 0.125 | -3 | ${\sqrt {2}}$ | 0.5 | 16 | 4.0 | 256 | 8.0 |
| 0.25 | -2 | 2 | 1.0 | 32 | 5.0 | 512 | 9.0 |
| 0.5 | -1 | 4 | 2.0 | 64 | 6.0 | 1024 | 10.0 |
* De vermenigvuldiging $4\ \times \ 8$ wordt dan de exponent van 4 plus de exponent van 8. Dat wordt dus: $2+3=5$. Kijk je vervolgens welk getal bij de exponent 5 hoort dan vind je 32.
* De deling $2\ /\ 32$ wordt $1\ -\ 5\ =\ -4$, waar 0.0625 als uitkomst bijhoort.
$=2\ \times \ 4\ =\ 8$
${\frac {-4}{2}}\ =\ -2$

# Logaritme met 10 als grondtal

$2^{10}$
$10^{3}$
$4\ =\ 2\ *\ 2\ \Rightarrow \ \log(4)=\ \log(2)\ +\ \log(2)\ =\ 0,3010\ +\ 0,3010\ =\ 0,6020$
Bij 5 kun je bedenken dat de logaritme van 10 één moet zijn (10$^1$ = 10) en 5 = 10/2. Dus:
    $\log {(5)}\ =\ 1{,}0000\ -\ 0{,}3010\ =\ 0{,}6990$.
Bij ${\sqrt {2}}$ geldt dat de logaritme daarvan, omdat het over de 2e machtswortel van 2 gaat:
    $\log {\sqrt {2}}\ =\ {\frac {0{,}3010}{2}}\ =\ 0{,}1505$ moet zijn.

## Toepassen van de rekenregels

Zo is 16 gelijk aan $4\ \times \ 4$ dus $^{10}\log {16}\ =\ ^{10}\log {4}+^{10}\log {4}\ =\ 0.6020\ +\ 0.6020\ =\ 1.2040$ Op deze manier is de logaritme alle machten van 2 te bepalen, maar ook van getallen als 1,6 of 0,16:
    $\mathrm {1{,}6\ =\ {\frac {16}{10}}\ \Longrightarrow \ log(1{,}6)\ =log(16)\ -\ log(10)\ =\ 1.2040\ -\ 1{,}0000\ =\ 0{,}2040}$.
en
    $\mathrm {0{,}16\ =\ {\frac {16}{100}}\ \Longrightarrow \ log(0{,}16)\ =log(16)\ -\ log(100)\ =\ 1.2040\ -\ 2{,}0000\ =\ -0{,}7960}$.
$2\ \times \ 10$
$^{10}\log {20}\ =^{10}\log {2}\ +\ ^{10}\log {10}\ =\ 0.3010\ +\ 1.0000\ =1.3010$
$250\ =\ {\frac {1000}{4}}$
$^{10}\log(250)\ =\ ^{10}\log(1000)\ -\ ^{10}\log(4)\ =\ 3,0000\ -\ 0.6020\ =\ 2.3980$

### Tabel 2: Meer voorbeelden met 10 als grondtal

| Getal | $^{10}$log(getal) | Getal | $^{10}$log(getal) | Getal | $^{10}$log(getal) | Getal | $^{10}$log(getal) |
| 0.0001 | -4.0000 | 1 | 0.0000 | 100 | 2.0000 |
| 0.001 | -3.0000 | 2 | 0.3040 | 1000 | 3.0000 |
| 0.01 | -2.0000 | ${\sqrt {10}}$ | 0.5000 | 10000 | 4.0000 |
| 0.1 | -1.0000 | 5 | 0,6960 | 10 | 1.0000 | 100000 | 5.0000 |

## Toepassingen van logaritme

Voor de wiskundige uit de tijd van de eerder genoemde Napier bleef de taak om van getallen als 3, 7, 11, 13 (de priemgetallen) de logaritme uit te rekenen. Als je de logaritme van 2 én van 3 weet, is de logaritme van 6 een kwestie van optellen. Hoewel het bepalen van de logaritmes van de priemgetallen een lastige klus was die veel nauwkeurigheid vereiste, is de winst vervolgens enorm.
Op allerlei terreinen van wetenschap en techniek worden berekeningen nu een stuk eenvoudiger. Tien getallen met elkaar vermenigvuldigen is op papier een lastige klus. Van tien getallen de logaritme opzoeken, deze onder elkaar noteren en optellen is veel eenvoudiger.

### Hedendaags gebruik van logaritmes

Het oorspronkelijke gebruik van logaritmes, berekeningen makkelijker laten verlopen, is door de huidige rekenmachines vrijwel vergeten. Toch kom je ze nog regelmatig verstopt tegen. Vooral om grootheden te beschrijven die meerdere ordes van grootte kunnen hebben is dit het geval.

#### Rekenliniaal

    Als voorloper van de rekenmachine speelde de op logarimtes gebaseerde rekenliniaal een belangrijke rol in de technische en wetenschappelijke ontwikkeling in de periode van 1610 tot 1970.

#### Rekenmachines

    In rekenmachines worden getallen met een komma gehanteerd met behulp van logaritmes. Daardoor worden vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken met een acceptabele snelheid uitgevoerd.

#### Aardbevingen

    De bij aardbevingen gebruikte schaal van Richter is een logaritmische schaal. Is de sterkte een eenheid groter dan is de kracht van de beving 10 keer zo groot.

#### Decibel

    De sterkte van geluid wordt gemeten in decibel (dB). Hierbij geldt dat een verhoging van 10 dB de geluidsdruk met een factor 10 laat stijgen. Doordat de schaal logaritmisch is, betekent de volgende toename van 10 dB weer een toename met een factor 10. Een toename van 20 db betekent dus een toename in geluidsdruk van 10 keer 10, ofwel 100!

#### Zuursterkte

    In de scheikunde wordt zuursterkte van een oplossing aangegeven in pH. Van de concentratie waterstof-ionen in een oplossing wordt de negatieve logaritme genomen en als pH doorgegeven. De negatieve waarde is het gevolg van het feit dat de concentratie meestal (veel) kleiner is dan 1, waardoor bijna altijd negatieve waarden voor de logaritme gevonden worden.
$^{10}\log(2)\ =\log(2)=0{,}3010$
| Vorige pagina | Inhouds­opgave | Volgende pagina | Index |