# Sterkteleer/Axiale trek en druk-2

Als aanvulling bij deel 1 over axiale trek en druk komen hier enkele complexere gevallen aan bod.

# Hyperstatische gevallen bij axiale trek of druk
## Definitie en berekeningswijze

Een systeem is statisch onbepaald of hyperstatisch, als de krachten die op dit systeem inwerken niet allemaal berekend kunnen worden met de beschikbare evenwichtsvergelijkingen uit de statica. Een systeem kan inwendig of uitwendig hyperstatisch zijn, al naargelang ofwel de inwendige of de uitwendige krachten niet met de evenwichtsvergelijkingen bepaald kunnen worden. Systemen kunnen ook tegelijk inwendig en uitwendig hyperstatisch zijn.
Voor de berekening van hyperstatische gevallen moet men naast de evenwichtsvergelijkingen van de statica, ook gebruik maken van vergelijkingen die de vervormingen van het systeem in rekening brengen. Op die manier kan met steeds een voldoende aantal extra vergelijkingen opstellen, de zogenaamde elasticiteitsvergelijkingen. Tesamen met de evenwichtsvergelijkingen vormen de elasticiteitsvergelijkingen een stelsel met evenveel vergelijkingen als onbekenden. De elasticiteitsvergelijkingen zijn meestal de uitdrukking van een vooraf vaststaande eigenschap van de verplaatsingen.
Om deze vervormingen te kunnen berekenen is het noodzakelijk om zowel de geometrische karakteristieken (sectie A, Lengte L, ...) als de materiaalkarakteristieken (Elasticiteitsmodulus E, poisson-coëfficiënt ν, ...) op voorhand te kennen. Hierin ligt het grote onderscheid met isostatische structuren.
In een dimensioneringsvraagstuk zijn deze geometrische en materiaalkarakteristieken juist de onbekenden. Er zal dan op voorhand een schatting gemaakt moeten worden van de afmetingen en daarna kan de berekening uitgevoerd worden. Het resultaat moet teruggekoppeld worden naar de schattingen, waarna de afmetingen eventueel aangepast kunnen worden gevolgd door een nieuwe berekening.

## Uitwendig hyperstatisch systeem

De staaf AB op de figuur rechts is vast verbonden met twee onwrikbare massieven in A en B. In een punt C van deze staaf grijpt axiale een kracht P aan. Om de reactiekrachten R$_A$ en R$_B$ te bepalen hebben we slechts één evenwichtsvergelijking ter beschikking:
    $R_{A}+R_{B}=P\!$
Dit is één evenwichtsvergelijking met twee onbekenden R$_A$ en R$_B$. Het is systeem is statisch onbepaald. We dienen op zoek te gaan naar een bijkomende vergelijking om de snedekrachten te bepalen. We zullen één bijkomende elasticiteitsvergelijking moeten opstellen.
Als we de horizontale verplaatsing δ in het punt C beschouwen, is het duidelijk dat deze verplaatsing gelijk is aan de verlenging van het balkdeel AC. De verkorting van het balkdeel CB is eveneens gelijk aan δ. We kunnen dus een elasticiteitsvergelijking opstellen die uitdrukt dat de verlenging van balkdeel AC gelijk is aan de verkorting van balkdeel CB:
    $\delta ={\frac {R_{A}\cdot a}{EA}}={\frac {R_{B}\cdot b}{EA}}\Rightarrow {\frac {R_{A}}{R_{B}}}={\frac {b}{a}}$
De twee bovenstaande vergelijkingen vormen een stelsel waaruit R$_A$ en R$_B$ opgelost kunnen worden:
    $R_{A}={\frac {P\cdot b}{L}}$
    $R_{B}={\frac {P\cdot a}{L}}$
Als we het geval onderzoeken waarbij AC en CB verschillende geometrische en materiaalkarakteristieken hebben, zoals op de figuur rechts geschetst, blijft de redenering dezelfde:
* evenwichtsvergelijking:
    $R_{A}+R_{B}=P\!$
* de elasticiteitsvergelijking wordt dan:
    $\delta ={\frac {R_{A}\cdot a}{E_{A}A_{A}}}={\frac {R_{B}\cdot b}{E_{B}A_{B}}}\Rightarrow {\frac {R_{A}}{R_{B}}}={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {E_{A}A_{A}}{E_{B}A_{B}}}$
We stellen vast dat de verhouding van de rekstijfheid EA van de verschillende delen het resultaat beïnvloedt. Dit zal bij hyperstatische systemen steeds het geval zijn. Dit is een groot verschil met de statisch bepaalde systemen, daar hebben de precieze opbouw en de materiaaleigenschappen geen invloed op de krachtenwerking.

## Inwendig hyperstatisch systeem

Op de figuur rechts wordt een buis (L$_2$, A$_2$, E$_2$) met een bout (L$_1$, A$_1$, E$_1$) opgespannen tussen twee eindstukken. De begintoestand is spanningsloos. Indien de moer over een afstand "a" wordt aangedraaid, dan zal de buis onder druk komen te staan en de bout op een evengrote trekkracht belast worden. We hebben te maken met een inwendige hyperstatisch systeem.
Om deze krachten te berekenen blijft geen enkele evenwichtsvergelijking over. We noemen X de drukkracht op de buis. Deze is gelijk aan de trekkracht op de bout.
Uit de figuur is op te maken dat de verkorting van de buis en de verlenging van de bout samen gelijk moeten zijn aan de afstand "a". Zo verkrijgen we volgende elastiticiteitsvergelijking:
    ${\frac {X\cdot L_{1}}{E_{1}A_{1}}}+{\frac {X\cdot L_{2}}{E_{2}A_{2}}}=a$
Hieruit kan X worden opgelost:
    $X={\frac {a}{{\frac {L_{1}}{E_{1}A_{1}}}+{\frac {L_{2}}{E_{2}A_{2}}}}}$
Zoals in elk hyperstatisch geval is het ook hier nodig om de afmetingen en materiaaleigenschappen te kennen.

## Voorspanning

Wanneer een samengestelde structuur belast wordt met een langskracht P, dan zal de toeslaatbare spanning normaal gezien niet tegelijkertijd in de verschillende samenstellende delen van de structuur bereikt worden. Van zodra in één materiaal de maximale toelaatbare spanning bereikt is, mag de last de P niet meer verhoogd worden. De andere materialen worden in dat geval niet economisch gebruikt.
Om te bereiken dat alle materialen zo doeltreffend mogelijk gebruikt worden, zal men de structuur aan een aangepaste voorspanning onderwerpen. De voorspankracht "X" die hiervoor gebruikt wordt, zal men proberen zodanig te kiezen dat onder de ontwerpbelasting P de toelaatbare spanning tegelijkertijd bereikt wordt in alle materialen.
Als voorbeeld bekijken we het geval op de figuur rechts, waarop een mof en een spanbout zijn afgebeeld. De spanbout wordt vooraf aan een voorlopig onbekende trekkracht onderworpen, waardoor de bout een verlenging δ$_1$ ondergaat. Daarna worden de stukken (mof en bout) samengesteld. Na het samenstellen wordt de uitwendige trakkracht X gelost.
Het samengestelde stuk gedraagt zich nu alsof het onderworpen werd aan een drukkracht "-X". Hierdoor ontstaat in de mof een drukkracht X$_2$ en in de bout een drukkracht ΔX$_1$. In feite is deze drukkracht in de bout een vermindering van de oorspronkelijke trekkracht X in de bout. Mof en bout ondergaan dezelfde verkorting δ$_2$.
Als we benaderend stellen dat de lengte van de bout en de mof dezelfde zijn, dan zijn de krachten evenredig met de relatieve stijfheden , zodat we de optredende krachten kunnen als volgt kunnen berekenen:
    $\Delta X_{1}=-X{\frac {E_{1}A_{1}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}}$
    $X_{2}=-X{\frac {E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}}$
Als daarna een uitwendige kracht P aangrijpt, worden hierdoor bijkomende inwendige krachten opgewekt die op de dezelfde wijze berekend kunnen worden:
* in de bout : $P{\frac {E_{1}A_{1}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}}$
* in de mof : $P{\frac {E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}}$
De resulterende spanningen in de spanbout en de mof worden dan:
    $\sigma _{1}={\frac {X}{A_{1}}}+{\frac {P-X}{A_{1}}}\cdot {\frac {E_{1}A_{1}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}}$
    $\sigma _{2}={\frac {P-X}{A_{2}}}\cdot {\frac {E_{1}A_{2}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}}$
De voorspankracht X wordt nu zodanig gekozen, dat σ$_1$ en σ$_2$ tegelijkertijd de toelaatbare spanningen σ$_1$ en σ$_2$ bereiken. De maximale opneembare last op het stuk wordt dan:
    $P={\overline {\sigma _{1}}}\cdot A_{1}+{\overline {\sigma _{2}}}\cdot A_{2}$
Indien P op voorhand vastligt, is kan X niet éénduidig bepaald worden uit de spanningsvergelijkingen (twee vergelijkingen voor slechts 1 onbekende), zodat de waarde van X niet optimaal zal zijn. Door aanpassingen van de afmetingen (doorsnede) kan men dan opnieuw verkrijgen dat de toegelaten spanningen in bout en mof tegelijkertijd bereikt worden.
De hierboven geschetste werkwijze wordt op grote schaal toegepast bij voorgespannen beton. Hierbij wordt het beton, dat slechts een zeer kleine treksterkte heeft van ongeveer 2 à 4 N/mm$^2$ voorafgaandelijk aan de belasting onder drukspanning gebracht. Er zijn twee te onderscheiden methodes:
* Voorspanning met nagerekt staal (systeem ontwikkeld door Eugène Freyssinet): Het beton wordt gestort rond beschermbuizen waarin kabelstrengen zijn aangebracht die na uitharding van het beton aangespannen worden, waardoor het beton onder druk komt. Deze methode wordt meestal gebruikt bij naspanning op de werf.
* Voorspanning met voorgerekt staal: Hierbij wordt het beton gestort rond aangespannen kabels, die na het het verharden van het syteem van hun spanning worden ontlast (doorgeknipt, doorgebrand), waardoor het beton onder druk komt. Deze methode wordt meestal gebruikt bij prefabstukken.
Een groot voordeel van de techniek van het voorspannen is dat de dwarsafmetingen beperkter gehouden kunnen worden (minder materiaalverbruik). Een nadeel in vele toepassingen is de verhoogde vervormbaarheid van het systeem.

# Dynamische en stootbelasingen bij axiale trek of druk
## Berekeningswijze en basisveronderstellingen

In alle voorafgaande gevallen werden steeds statische lasten behandeld: de lasten grijpen gelijdelijk aan, zodat in alle onderdelen van de structuur de vervormingen en de spanningen gelijktijdig optreden. Er ontstaan geen noemenswaardige versnellingen.
Bij schokbelastingen, die aangebracht worden met een bepaalde kinetische energie, is dit niet meer het geval. De spanningen kunnen plaatselijk hoog oplopen en een veelvoud bereiken van de spanningen bij statische lasten.
Schokgolven geven aanleiding tot complexe vervormingsgolven. Om toch een benaderende studie met de methodes van de sterkteleer te kunnen maken, worden twee basisonderstellingen gemaakt:
* De vervormingen en de daarbij horende spanningen gebeuren zonder vertraging en treden tegelijkertijd op in alle delen van de beschouwde structuur. Er wordt dus aangenomen dat de snelheid waarmee de vervormingsgolf zich voortplant oneindig groot is.
* De elastische vervorming onder inwerking van een dynamische last P, is dezelfde als de vervorming die zou optreden ten gevolge van een verhoogde statische belasting λP.
De verhogingscoëfficiënt λ noemt men de dynamische coëfficiënt of stootcoëfficiënt.
Men neemt dus aan dat, met "i" de index voor de dynamische last en "o" de index voor de statische last:
    $\varepsilon _{i}=\lambda \varepsilon _{o}$
Hieruit volgt meteen:
    $\sigma _{i}=\lambda \sigma _{o}\!$
De elastische vervormingsenergie A$_i$ is een functie van σ$_i$$^2$ waaruit volgt:
    $A_{i}=\lambda ^{2}A_{o}\!$

## Stootbelasting op een prismatische staaf, met verwaarlozing van het eigengewicht van de staaf

Op de figuur rechts zien we een vertikaal opgehangen staaf BC met aan het uiteinde een uitkragende flens. Het valblok M valt neer vanop een hoogte h. We stellen P=M.g het gewicht van het valblok en p=m.g het gewicht van de staaf. Na de stootbelasting uitgeoefend door het valbok op de staaf, wordt de staaf verlengd over een afstand δ$_i$.
Volgende bijkomende veronderstellingen worden gemaakt:
* De massa m van de staaf is verwaarloosbaar ten opzichte van de massa M van het valblok.
* Tijdens de stoot gaat geen energie verloren in trillingen of plastische vervormingen, alleen de staaf BC kan vervormen en deze neemt alle beschikbare energie van het valblok over.
* De overdracht van energie gebeurt ogenblikkelijk en de energie spreidt zich gelijkmatig over de ganse staaf uit.
Rekening houdend met deze veronderstellingen kan de oplossing afgeleid worden uit de wet van het behoud van energie.
Bij de stootbelasting wordt de kinetische energie door het valblok op de staaf overgedragen en gaat de staaf BC uitrekken tot in de laagste stand B'C. Tussen de beginstand bij aanvang van de stoot in B en de eindtoestand in B' levert het valblok nog een bijkomende arbeid P.δ$_i$ . In B' is de totale geleverde arbeid van het valblok (uitwendige arbeid) A$_u$ dus de som van de kinetische energie en de extra arbeid:
    $A_{u}={\frac {Mv^{2}}{2}}+Mg\delta _{i}$
De snelheid v vlak voor de stoot kan berekend worden door de omzetting van potentiële energie van het valblok in kinetische energie:
    $Mgh={\frac {Mv^{2}}{2}}\Rightarrow v={\sqrt {2gh}}$
$\Rightarrow A_{u}={\frac {M{\sqrt {2gh}}^{2}}{2}}+Mg\delta _{i}=Mg(h+\delta _{i})=P(h+\delta _{i})$
Deze uitwendige energie moeten we volledig in de staaf terugvinden als als elastische vervormingsenergie A$_i$:
    $A_{i}=\int _{L}(\int _{A}{\frac {\sigma _{i}^{2}}{2E}}dA)dL={\frac {\sigma _{i}^{2}}{2E}}\cdot A\cdot L$
De verlenging van de staaf BC tot B'C kunnen we ook als volgt uitschrijven in functie van de spanning:
    $\delta _{i}={\frac {\sigma _{i}\cdot L}{E}}\Rightarrow \sigma _{i}={\frac {\delta _{i}\cdot E}{L}}$
$\Rightarrow A_{i}={\frac {\sigma _{i}^{2}}{2E}}\cdot A\cdot L={\frac {AE}{2L}}\cdot \delta _{i}^{2}$
Door gelijkstelling van de uitwendige energie A$_u$ en de inwendige energie A$_i$ vinden we:
    $Ph+P\delta _{i}={\frac {AE}{2L}}\cdot \delta _{i}^{2}\Rightarrow \delta _{i}^{2}-{\frac {2PL}{EA}}\cdot \delta _{i}-{\frac {2PL}{EA}}\cdot h=0$
De term PL/EA is gelijk aan de verlenging δ$_o$ onder de statische belasting P. Hierdoor kunen we de laatste vergelijking herwerken tot:
    $\delta _{i}^{2}-2\delta _{o}\cdot \delta _{i}-2\delta _{o}\cdot h=0$
Oplossen van deze tweedegraadsvergelijking in δ$_i$ levert:
    $\delta _{i}=\delta _{o}+{\sqrt {\delta _{o}^{2}+2h\delta _{o}}}$
Hieruit volgt de stootcoëfficiënt λ :
    $\lambda ={\frac {\delta _{i}}{\delta _{o}}}=1+{\sqrt {1+{\frac {2h}{\delta _{o}}}}}$

### conclusies

Een last P die met een schok aangijpt veroorzaakt dus dezelfde spanning en rekken als een statische last λP.
De maximale verlenging in functie van de valsnelheid wordt:
    $\delta _{i}=\delta _{o}+{\sqrt {\delta _{o}^{2}+\delta _{o}\cdot {\frac {v^{2}}{g}}}}$
Indien de valhoogte h = 0 spreekt men van een plotselinge belasting. De valsnelheid is dan v=0. Men vindt:
    $\delta _{i}=\delta _{o}+{\sqrt {\delta _{o}^{2}}}=2\delta _{o}$
    $\lambda ={\frac {\delta _{i}}{\delta _{o}}}=2$
De maximale verlenging en de spanning zijn dus 2 maal groter dan de statische grootheden. De inwendige vervormingsarbeid wordt:
    $A_{i}=\lambda ^{2}\cdot A_{o}=4A_{o}=4\cdot {\frac {P\cdot \delta _{o}}{2}}=2P\cdot \delta _{o}$
Wanneer daarentegen de valhoogte h groot wordt ten opzichte van de verlenging δ$_i$, dan kan de tweedegraadsvergelijking herschreven worden als:
    $\delta _{i}^{2}-2\delta _{o}\cdot \delta _{i}-2\delta _{o}\cdot h=\delta _{i}^{2}-2\delta _{o}\cdot (\delta _{i}+h)\approx \delta _{i}^{2}-2h\delta _{o}=0$
$\Rightarrow \delta _{i}\approx {\sqrt {2h\delta _{o}}}={\sqrt {2h{\frac {PL}{EA}}}}$
    $\lambda ={\frac {\delta _{i}}{\delta _{o}}}={\sqrt {\frac {2h\delta _{o}}{\delta _{o}^{2}}}}={\sqrt {\frac {2hEA}{PL}}}$
De overeenstemmende spanning in de staaf is dan:
    $\sigma _{i}=\lambda \cdot \sigma _{o}={\sqrt {\frac {2h\delta _{o}}{\delta _{o}^{2}}}}\cdot {\frac {P}{A}}={\sqrt {{\frac {2E}{AL}}\cdot {\frac {Pv^{2}}{2g}}}}={\sqrt {{\frac {2E}{AL}}\cdot {\frac {Mv^{2}}{2}}}}$
Uit deze laatste formule blijkt duidelijk dat de optredende spanning groter wordt bij grotere wordende kinetische energie van het valblok en bij groter wordende elasticiteitsmodules van de staaf. De spanning wordt kleiner bij groter wordend volume van de staaf.
Maatregelen die kunnen genomen worden om de spanning σ$_i$ te verminderen zijn dus het vergroten van het volume en het verkleinen van de elasticiteitsmodulus. Deze begrippen zijn fundamenteel bij de studie van het dempen of opnemen van schokken. Wegens zijn lage elasticiteismodulus is rubber bijvoorbeeld een geschikt schokdempend materiaal. Uit de laatste formule kan men voor een gegeven materiaal (E gekend) het benodigde volume berekenen opdat een bepaalde hoeveelheid kinetische energie zou kunnen opgenomen worden zonder overschrijding van de toelaatbare spanning σ
    ${\mbox{Volume}}=A\cdot L={\frac {2E}{{\overline {\sigma }}^{2}}}\cdot {\frac {Mv^{2}}{2}}$
Dit volume is dus recht evenredig met de op te nemen kinetische energie.

## Stootbelasting op een prismatische staaf, met inrekening van het eigengewicht van de staaf

We beschouwen dezelfde tekening als in de vorige paragraaf. Wanneer de massa m van de staaf BC verwaarloosbaar is, kan men stellen dat de totale energie van het valblok integraal als vervormingsenergie op de staaf wordt overgedragen.
Wanneer de massa m niet verwaarloosbaar is, gaat er bij de botsing tussen de twee massa's een belangrijk deel van de energie verloren. Er ontstaan in feite spannings- en vervormingsgolven. Het uiteinde C van de staaf staat stil, terwijl uiteinde B wordt aangestoten en de snelheid van het valblok krijgt. Alle delen van de staaf worden niet ineens en niet in dezelfde mate beïnvloed door de stoot. Een oplossing binnen het domein van de sterkteleer is maar mogelijk mits vereenvoudigde veronderstellingen aan te nemen.
We nemen aan dat:
* De botsing gebeurt volmaakt plastisch. Dit wil zeggen dat beide massa's na de botsing als één geheel verder samen bewegen.
* We nemen opnieuw aan dat de energie van het valblok ogenblikkelijk en gelijkmatig op de ganse massa van de staaf wordt overgebracht.
We kunnen nu de wet van behoud van beweging uit de dynamica toepasssen:
    $Mv=(M+m)v_{1}\!$
    waarbij v de snelheid van de massa M is voor de botsing en v$_1$ de snelheid van de massa's M en m na de botsing.
    $v_{1}={\frac {M}{M+m}}\cdot v$
We kunnen ook het behoud van energie (uitwendige arbeid = inwendige arbeid) toepassen. Als we veronderstellen dat de massa m geconcentreerd is in het botsingspunt B, dan geldt analoog aan de vorige paragraaf:
    $A_{u}={\frac {Mv^{2}}{2}}+(M+m)g\delta _{i}=Ph+(P+p)\delta _{i}$
    $A_{i}={\frac {AE}{2L}}\cdot \delta _{i}^{2}$
$\Rightarrow {\frac {AE}{2L}}\cdot \delta _{i}^{2}=Ph+(P+p)\delta _{i}$ $\Rightarrow \delta _{i}^{2}-2\cdot {\frac {(P+p)L}{EA}}\delta _{i}-2P\cdot {\frac {L}{EA}}\cdot h=0$
    Met de verlenging onder statische belasting $\delta _{o}={\frac {(P+p)L}{EA}}$ wordt dit:
    $\delta _{i}^{2}-2\cdot \delta _{o}\cdot \delta _{i}-2\cdot {\frac {P}{P+p}}\cdot h\cdot \delta _{o}=0$
Deze vergelijking heeft als oplossing:
    $\delta _{i}=\delta _{o}+{\sqrt {\delta _{o}^{2}+2h\delta _{o}\cdot {\frac {P}{P+p}}}}$
Verdere veronderstellingen kunnen gemaakt worden betreffende de verplaatsingssnelheid van diverse staafdeeltjes na de botsing. De winst aan nauwkeurigheid weegt echter meestal niet op tegen het vereiste bijkomende rekenwerk.

### Bewegingsvergelijking

Wanneer het gewicht P in de laagste stand gekomen is, gaat de staaf elastisch terugveren, zodat het gewicht een op- en neergaande beweging gaat uitvoeren, rond de nulstand δ$_o$ van de statische verlenging. De beweging is een gedempte oscillatie wegens de inwendige traagheid van het materiaal van de staaf.
Dit is enkel zo als bij het einde van de opwaartse beweging, de massa van het valblok niet opnieuw omhoog wordt geslingerd, waardoor de oscillatiebeweging gestoord wordt.
Door de inwendige wrijvingsverliezen komt de staaf uiteindelijk tot rust bij de verlenging δ$_o$.
De beweging is in feite een soort overgang van het dynamische effect tot de statische toestand, en voldoet aan volgende vergelijking:
    $(M+m)\cdot {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+C\cdot {\frac {dx}{dt}}+{\frac {EA}{L}}\cdot x=0$
    met "x" de uitwijking uit de evenwichtspositie.
Als de demping C = 0 dan is de beweging een ongedempte harmonische trilling met de natuurlijke frequentie $\omega ={\sqrt {\frac {g}{\delta _{o}}}}$ en met als amplitude A=δ$_i$ - δ$_o$.

## Weerstand tegen dynamische stootbelasting in het elastisch domein
### De weerstand tegen stootsbelastingen is recht evenredig met de elastische vervormingsenergie

Voor een prismatisch stuk met lengte L en doorsnede A uit een materiaal met elasticiteitsgrens σ$_e$ en elasticiteitsmodulus E is deze energie gegeven door de formule, afgeleid uit hoger opgestelde formule met P$_e$=σ$_e$A:
    $\left({\frac {Mv^{2}}{2}}\right)_{\mbox{max}}={\frac {\sigma _{e}^{2}\cdot L\cdot A}{2E}}={\frac {P_{e}^{2}\cdot L}{2EA}}$
Inkervingen of lokale vernauwingen kunnen deze weerstand echter zeer sterk doen dalen, omdat de elastische vervormingsenergie die erin opgestapeld kan worden zeer veel kleiner is. Een eenvoudig voorbeeld zal dit verduidelijken (zie figuur rechts).
We vergelijken de prismatische ronde staaf 1 met lengte L, diameter D$_1$ en doorsnede A$_1$, met een dikkere staaf 2, met diameter D$_2$ en doorsnede A$_2$. Staaf 2 is over een lengte L'=αL vernauwd is tot doorsnede A$_1$.
Voor statische belastingen zijn beide stukken even sterk:
    $P_{e}=\sigma _{e}\cdot A_{1}$
Voor dynamische belasting is de maximaal opneembare elastische energie A$_1$$^e$ die in staaf 1 kan opgehoopt worden:
    $A_{1}^{e}={\frac {P_{e}^{2}\cdot L}{2EA_{1}}}$
Voor staaf 2 is de maximale opneembare normaalkracht ook P$_e$, zodat de maximaal opneembare energie A$_2$$^e$ in staaf 2 gelijk is aan:
    $A_{2}^{e}={\frac {P_{e}^{2}\cdot \alpha L}{2EA_{1}}}+{\frac {P_{e}^{2}\cdot (L-\alpha L)}{2EA_{2}}}$
De verhouding A$_2$$^e$/A$_1$$^e$ is dan gelijk aan:
    ${\frac {A_{2}^{e}}{A_{1}^{e}}}=\alpha +{\frac {(L-\alpha L)}{L}}\cdot {\frac {A_{1}}{A_{2}}}=\alpha +{\frac {A_{1}}{A_{2}}}-\alpha \cdot {\frac {A_{1}}{A_{2}}}=1-(1-\alpha )\cdot {\frac {A_{2}-A_{1}}{A_{2}}}$
Uit deze formule blijkt dat de opneembare vervormingsenergie afneemt als de ingekerfde zone (α) kleiner wordt. Dit valt intuïtief te verklaren doordat de maximale spanning σ$_e$ wordt bepaald door de vernauwde zone, zodat in de bredere zone de spanningen een stuk onder de maximale spanning zullen blijven. De vervormingsenergie wordt echter mee bepaald door het kwadraat van deze (lagere) spanning.
Bij een ingekerfde staaf waar bijvoorbeeld D$_2$ = 2D$_1$ en α=1/5 is de maximale vervormingsenergie nog slechts 40% van de energie die in de staaf met diameter D$_1$ over de ganse lengte.
De weerstand van een ingekerfd stuk tegen dynamische belasting is dus veel kleiner dan deze van het prismatisch stuk met dezelfde sterkte tegen statische belasting. Onder stootbelasting zal de spanning in de vernauwde zone algauw de elasticiteitsgrens overschrijden, wat aanleiding kan geven tot breuk. Dit gevaar wordt nog verhoogd door de onvermijdelijke spanningsconcentraties in de zones van plotse verandering in de dwarsdoorsnede.
Uit de laatste formule is omgekeerd ook af te leiden dat de weerstand tegen axiale stootbelasting kan verhoogd worden door het overtollige volume (L-αL).(A$_2$ - A$_1$) weg te snijden en zo een zuiver prismatisch stuk over te houden. Bij bouten die onderworpen zijn aan axiale schokbelastingen zal men daarom het effen steelgedeelte afdraaien tot een dikte gelijk aan de keeldiameter van de draad.

## Voortplantingssnelheid van de vervormingen en spanningen bij axiale stootbelasting

De vervormingen en spanningen planten zich met een zekere snelheid voort vanaf het aangestoten uiteinde A naar het uiteinde B (zie figuur rechts). Om de grootte van deze voortplantingssnelheid of golfsnelheid C te bepalen, veronderstellen dat de spanningen en vervormingen zich voortplanten met een recht golffront. Het tijdsverschil tussen het ogenblik waarop de spanningsgolf een bepaald punt bereikt en het ogenblik waarop de golf de in dat punt haar maximale waarde bereikt wordt in de komende afleiding verwaarloosbaar klein verondersteld.
Na een zekere tijd t heeft de golf punt 1 bereikt en een tijd dt later bereikt ze het punt 2 op een afstand dx verder gelegen. De voortplantingssnelheid C is dus:
    $C={\frac {dx}{dt}}$
Terwijl de golf van 1 naar 2 beweegt, ondergaat het elementaire balkdeeltje dx een verlenging gelijk aan Pdx/EA. De verschillende doorsnedes tussen punt 1 en punt 2 verplaatsen zich naar links toe met eenzelfde verplaatsingssnelheid v. De materiële verplaatsing van snede 1 naar 1' gedurende de tijdsspanne dt bedraagt:
    $v\cdot dt={\frac {P\cdot dx}{EA}}$
Hieruit leiden we hetvolgende verband af tussen de materiële verplaatsingssnelheid v, de golfsnelheid C en de optredende rek ε:
    $v={\frac {P}{A}}\cdot {\frac {1}{E}}\cdot {\frac {dx}{dt}}={\frac {\sigma }{E}}\cdot C=\varepsilon \cdot C$
Op het elementair balkdeeltje 1-2 kunnen we ook het behoud van impuls uitschrijven tussen de tijdstippen t en t+dt:
    $dM\cdot (v-v_{0})=P\cdot dt$
We kunnen stellen dat v$_0$ = 0, aangezien voor het tijdstip t alle deeltjes in 1-2 in rust zijn. Met de eerder gevonden uitdrukking voor v wordt dit:
    $v\cdot dM=\left({\frac {P}{EA}}\cdot C\right)\cdot (\rho \cdot A\cdot dx)=P\cdot dt\,\Rightarrow C\cdot {\frac {dx}{dt}}={\frac {PAE}{PA\rho }}\,\Rightarrow C^{2}={\frac {E}{\rho }}$
    $C={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}$
Dit is de formule van Newton die de voortplantingssnelheid van het geluid geeft in een oneindig milieu met soortelijke massa ρ en elasticiteitsmodulus E. Merk op de voortplantingssnelheid (of celeriteit) C onafhankelijk is van de kracht P.
De voorgaande eenvoudige formule is slechts geldig in het ééndimensionale geval, zoals een dunne staaf of draad. Als de dwarse afmetingen van het stuk relatief belangrijk zijn vergeleken met de langsafmetingen, dan kan men langs een algemene redenering de volgende formule voor de celeriteit C afleiden:
    $C={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}\cdot {\sqrt {\frac {1-\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$
Voor een dunne plaat die in beide richtingen oneindig uitgestrekt is bekomt ment de uitdrukking:
    $C={\sqrt {\frac {E}{\rho \cdot (1-\nu ^{2})}}}$
De hierboven opgegeven formules zijn geldig bij trek en druk, en ook bij buiging. In het geval van afschuiving en wringing, waarbij uitsluitend schuifspanningen worden opgewekt, kan men volgende formule afleiden:
    $C={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E}{2\rho \cdot (1+\nu )}}}$
Omgekeerd kan ook de verplaatsingssnelheid v van de materiële deeltjes berekend worden:
    $v=\varepsilon \cdot C={\frac {\sigma }{E}}\cdot {\sqrt {\frac {E}{\rho }}}={\frac {\sigma }{\sqrt {E\cdot \rho }}}$

### Voorbeelden

Voor staal met E = 200 kN/mm$^2$ en ρ = 7850 kg/m$^3$ geldt:
    $C={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}={\sqrt {\frac {200.000\times 10^{6}}{7850}}}\approx 5.100\,{\text{m/s}}$
Voor beton en gewapend beton vindt men waarden tussen 3.500 en 5.000 m/s, afhankelijk van de betonkwaliteit, waarbij hoge snelheden overeenkomen met grotere betonsterktes.
Bij een stalen staaf die aan een spanning van 120 N/mm$^2$ wordt onderworpen, is de materiële verplaatsingssnelheid v gelijk aan:
    $v=C\cdot {\frac {\sigma }{E}}=5.100\times {\frac {120}{200.000}}\approx 3,0\,{\text{m/s}}$