# Verzamelingen/Basisbewerkingen

Na het bestuderen van dit hoofdstuk:
    Weet je wat doorsnede van twee verzamelingen is
    Weet je wat de vereniging van twee verzamelingen is
    Weet je wat het complement van een verzameling is.
    Weet je hoe je twee verzamelingen kunt aftrekken.

## Basisbewerkingen van / Operaties op verzamelingen

In het vorige hoofdstuk hebben we gezien wat een deelverzameling is en wat we er mee kunnen doen. In dit hoofdstuk kijken we naar 3 bewerkingen op verzamelingen: De doorsnede, de vereniging en het complement. We gebruiken Venn-diagrammen als illustratie.

## Doorsnede

De doorsnede van twee verzamelingen is een verzameling met de elementen die in beide verzamelingen voorkomen. We noteren de doorsnede met het ∩ teken.
Voorbeeld:
    Als A={1,2,3,4,5} en B={4,5,6,7,8}, dan bestaat de doorsnede A$\cap$ B = {4,5}
Definitie:
    $A\cap B=\{x\mid x\in A{\text{ en }}x\in B\}$
Andere voorbeelden zijn:
* Als B={de kleuren van de Belgische vlag}={Geel, Rood, Zwart} en D={de kleuren van de Duitse vlag} dan B$\cap$D = B=D.
* Als A={a,b,c} en B={ x,y,z} dan A$\cap$B = $\phi$
* Als $A=\{x\mid x\in \mathbb {N} ,x>0\}$ en $B=\{x\mid x\in \mathbb {N} ,x<=0\}$, dan $A\cap B=\{0\}$
* Laat $A=\{f(x)\mid \ x\in \mathbb {N} {\text{ en }}f(x)=3x+2\}$. Laat $B=\{f(x)\mid \ x\in \mathbb {N} {\text{ en }}f(x)=-4x+3\}$. Dan bestaat $A\cap B=\{0\}$ uit het kruispunt van de twee lijnen.
De Doorsnede heeft een aantal overeenkomsten met het optellen bij gewoon rekenen in $\mathbb {R}$:
    EigenschapRekenenDoorsnede Gesloten Als a en b natuurlijke, gehele, rationele of reële getallen zijn, dan is a+b een natuurlijk, geheel, rationaal of reëel getal Als A en B verzamelingen zijn, dan is A ∩ B ook een verzameling. Commutatief a + b = b+a A ∩ B = B ∩ A Associatief a + (b + c) = (a +b ) + c A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Neutraal element of 0-element a + 0 = a voor alle a A ∩ U = A voor alle A Inverse bewerking Voor alle a is er een invers element b zodat a+b = 0 Voor deze eigenschap kent de doorsnede geen overeenkomst
In de tak van wiskunde die w:Groep (wiskunde):Groepentheorie genoemd wordt, wordt een set verzamelingen met de doorsnede bewerking als een (abelse) semi-groep gezien.

## Vereniging

De tegenhanger van de doorsnede is de Vereniging. Wanneer we 2 verzamelingen A en B hebben, dan bevat de vereniging A ∪ B van die twee verzamelingen alle elementen die in A zitten, en daarbij alle elementen die in B zitten, en natuurlijk dus ook alle elementen die in de doorsnede A
Voorbeelden:
* Als A={a, b, c} en B={c, d, e}.
    Dan is A ∪ B = {a, b, c, d, e}
* Als A={y(x):y(x)=ax+b} en B={f(y):x(y)=c}, dan bevat A alle lijnen in het platte vlak met uitzondering van de vertikale lijn, en B bevat alle vertikale lijnen. De vereniging bevat dan alle lijnen in het platte vlak.
Definitie
    A ∪ B = {x:x $\in$ A of x $\in$ B}
We kunnen hier een zelfde tabel opstellen als bij de doorsnede.
    EigenschapRekenenVereniging Gesloten Als a en b natuurlijke, gehele, rationele of reële getallen zijn, dan is a+b een natuurlijk, geheel, rationaal of reëel getal Als A en B verzamelingen zijn, dan is A ∩ B ook een verzameling. Commutatief a + b = b+a A ∪ B = B ∪ A Associatief a + (b + c) = (a +b ) + c A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C Neutraal element of 0-element a + 0 = a voor alle a A ∪ $\phi$ = A voor alle A Inverse bewerking Voor alle a is er een invers element b (namelijk -a) zodat a+b = 0 Voor deze eigenschap kent de vereniging geen overeenkomst

## Complement

De derde basisbewerking is het complement.
Definitie: Het Complement van een verzameling A bestaat uit alle elementen uit het Universele verzameling U die niet in de verzameling A zitten.. We noteren het complement als :$A^{c}$ of ${\bar {A}}$. Er is geen verschil in betekenis tussen $A^{c}$ en ${\bar {A}}$, het zijn gewoon twee verschillende notaties voor een en hetzelfde begrip.
Meer wiskundig geformuleerd:
    $A^{c}=\{x\in U\mid x\notin A\}$
Voorbeelden:
    U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, oftewel de verzameling van alle cijfers. Stel A={1, 2, 3}. Dan $A^{c}$ = {0, 4, 5, 6, 7, 8, 9}}
In een Venndiagram:

### Eigenschappen

Het complement van het complement van een verzameling is de verzameling zelf:
    $(A^{c})^{c}=A$ (stelling 3.1)
Samen met het complement vormt een verzameling de hele universele verzameling:
    $A^{c}\cup A=U$ (stelling 3.2)
Een verzameling heeft geen gemeenschappelijk element met zijn complement:
    $A^{c}\cap A=\emptyset$ (stelling 3.3)
'Buiten' de universele verzameling is niets:
    $U^{c}=\emptyset$ (stelling 3.4)
    $\emptyset ^{c}=U$ (stelling 3.5)

## Verschil

De Vereniging van verzamelingen lijkt ogenschijnlijk wel wat op optellen, al is het duidelijk dat er verschillen zijn. Zo is bijvoorbeeld het aantal elementen in A ∪ B niet per definitie hetzelfde als de som van het aantal elementen in A + het aantal elementen in B.
Toch bestaat er een operatie die we 'aftrekking' noemen.
Definitie
    B-A=(x:x$\in$B en x$\notin$A}
Voorbeelden
* Laat A={1, 2, 3, 4, 5} en B={4 , 5, 6, 7, 8, 9}. Dan is B-A={1, 2, 3}
* Laat A={(x,y): y=ax^2+bx+c} en B={(x,y):y=dx=e}. Dan bestaat A-B uit de verzameling 'echte' parabolen, A-B={(x,y): y=ax^2+bx+c met a ongelijk 0}

## Deelverzamelingen - enkele hulpstellingen

* Als D$_1$ en D$_2$ deelverzamelingen van V zijn, dus D$_1$ ⊆ V en D$_2$ ⊆ V, dan is (D$_1$$\cap$D$_2$) ⊆ (D$_1$ ∪ D$_2$)(propositie 3.1)
* Als D$_1$ en D$_2$ deelverzamelingen van V zijn, dus D$_1$ ⊆ V en D$_2$ ⊆ V, dan D$_1$$\cap$D$_2$⊆ V (propositie 3.2)
* Als D$_1$ en D$_2$ deelverzamelingen van V zijn, dus D$_1$ ⊆ V en D$_2$ ⊆ V, dan D$_1$ ∪ D$_2$⊆ V (propositie 3.3)
Bewijs:
propositie 3.1: als x een element van de doorsnede van D$_1$ en D$_2$ is, dan is x een element van D1. Omdat D$_1$ een deelverzameling is van de vereniging van D$_1$ en D$_2$, is x een element van de vereniging.
Propositie 3.2 volgt direct uit propositie 3.1 en 3.3D$_1$, We bewijzen daarom propositie 3.3:
Laat x een willekeurig element van de vereniging van D$_1$ en D$_2$ zijn. Dan is x een element van D$_1$ en/of van D$_2$. Stel het is een element van D$_1$. Omdat dit een deelverzameling van V is, is x een element van V. Idem als x een element van D$_2$ zou zijn. q.e.d.

## Toepassingen

De Engelse wiskundig Charles Ludwig Dodgson, beter bekend als w:Lewis Carroll, schreef behalve verrukkelijke kinderboeken ook wiskundige boeken. Hij verzamelde een groot aantal problemen in boeken als "Symbolic Logic" en "The game of Logic". We zullen er hier enkele beschrijven, omdat deze met verzamelingen kunnen worden opgelost.
Voorbeeld
a. Geen vette dieren rennen goed b. Sommige hazewindhonden rennen goed Wat kunnen we hier uit concluderen?
Hoe pakken we dit aan? We zien 3 verzamelingen, die we hierbij gelijk met een letter aangeven. V=Vette dieren, G=Goede renners, H=hazewindhonden. De eerste bewering (a.) zegt dat de verzamelingen V en G disjunct zijn, dus een lege doorsnede hebben. De tweede bewering (b.) zegt dat de doorsnede van G en H niet leeg is. Laat x een element van de doorsnede van G en H zijn. Omdat x dan element van G is, en G en V geen gemeenschappelijke elementen hebben, is x dus geen element van V. Terugvertaald naar onze vraag: Sommige hazewindhonden zijn niet vet.
Zie de opgaven voor meer van zijn problemen.

## Engels

* Doorsnede: Intersection
* Vereniging: Union
* Complement: Complement
* Verschil: Difference

## Opgaven

    III.1 Geef van de volgende beweringen aan of ze waar of niet waar zijn:
    III.1.i) De Universele verzameling U heeft complement $\phi$
    III.1.ii) De Universele verzameling U heeft geen complement
    III.1.iii) De leger verzameling $\phi$ is zijn eigen complement
    III.1.iv) Als twee verzamelingen A en B disjunct zijn, is de doorsnede $\phi$
    III.1.v) Als een element e geen element is van A, die deel is van Universele verzameling U, dan is e $\in$ A$^c$
    III.2 Schrijf de volgende verzamelingen uit in de vorm {element 1, ... , element n}
    III.2.i) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A ⋂ B?
    III.2.ii) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A ⋃ B?
    III.2.iii) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A-B?
    III.2.iv) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en B={2, 4, 6, 8}, wat is dan A\B?
    III.2.v) Als A= {1, 2, 3, 4, 5} en de Universele verzameling is $\mathbb {N}$, wat is dan A$^c$?
    III.3) Schrijf minstens 3 deelverzamelingen van {Geit, Varken, Koe, Kip} op.
    III.4) Wat is de vereniging van {do, re, mi} en (bas, tenor}?
    III,5) Wat zijn de elementen van {Koe, kip, kat, kariboe, krokodil} - {kip, kariboe, kat, koala, kolibri}?
    III.6
Sommige vakanties zijn regenachtig. Regenachtige dagen zijn vermoeiend. Wat kun je hieruit concluderen?
    III.7
Geen oude konijnen zijn egoïstisch Alle zwarte konijnen zijn egoïstisch Wat kun je hieruit concluderen?
    III.8
Babies zijn onlogisch Niemand die een krokodil aankan, wordt veracht Onlogische personen worden veracht Wat kun je hieruit concluderen?
    III.9
Onder de spijskaart in een chique restaurant stond: "Goed voedsel is niet goedkoop - Goedkoop voedsel in niet goed"
Zijn dit twee verschillende beweringen, of komen ze op hetzelfde neer? (Dit probleem komt o.a. voor in "A beginners guide to Mathematical Logic", geschreven door de Amerikaanse wiskundige Raymond Smullyan. Mogelijk is dit probleem eerder door anderen al geformuleerd).
Samenvatting: In dit hoofdstuk heb je geleerd dat:
    de doorsnede van twee verzamelingen (A ∩ B) bestaat uit de elementen die in zowel A als B voorkomen
    de vereniging van twee verzamelingen (A ∪ B) bestaat uit de elementen die in minstens 1 van de twee verzamelingen voorkomen.
    het Complement van een verzameling bestaat uit de elementen die niet in verzameling A voorkomen. We noteren het Complement als A$^C$
    Het verschil van 2 verzamelingen A-B bestaat uit de elementen die wel in A maar niet in B zitten.