# Transmissielijnen/Smith-chart

De ingangsimpedantie $Z_{in}$ hangt met de belastingsimpedantie samen door de volgende relatie voor de relatieve waarden:
    $z_{in}={\frac {z_{L}+\tanh(\gamma L)}{1+z_{L}\tanh(\gamma L)}}$.
Omdat het om complexe grootheden gaat, is dit voor "handmatige" berekening een bewerkelijk karwei, maar de tegenwoordige computers voeren een dergelijke berekening met bijvoorbeeld programma's als Maple of Excel gemakkelijk uit.
In het verleden, vóór het gebruik van computers, lag dit anders. Er bleek echter een relatief eenvoudige grafische methode te zijn, de z.g.n. Smith-kaart, die berustte op de relatie tussen de (relatieve) impedantie $z$ en de reflectiecoëfficiënt $\Gamma$ op enig punt van de lijn.
    $z={\frac {1+\Gamma }{1-\Gamma }}$
en omgekeerd
    $\Gamma ={\frac {z-1}{z+1}}$.
De methode bepaalt bij de belastingimpedantie via geschikte cirkelvormige coördinaten de bijbehorende reflectiecoëfficiënt aan het einde van de lijn. De reflectiecoëfficiënt aan het begin van de lijn kan dan eenvoudig bepaald worden door de relatie:
    $\Gamma _{0}=\Gamma _{L}e^{-2\gamma L}$,
die voor verliesvrije lijnen slechts een door de lengte bepaalde fasedraaiing betekent. Vervolgens wordt de bij deze reflectiecoëfficiënt behorende ingangsimpedantie weer van de cirkelvormige coördinaten afgelezen.
De hele procedure verloopt grafisch m.b.v. een Smith-kaart, een nomogram voor het omrekenen van de beide complexe parameters $\Gamma$ en $Z$ in elkaar. Tegenwoordig is het gebruik van Smith-kaarten in de praktijk min of meer achterhaald.

### Achtergrond Smith-kaart

Het nomogram berust op de volgende constateringen:
Noem
    $\Gamma =x+jy$
en
    $z=r+ji$
dan is:
    $z=r+ji={\frac {1+\Gamma }{1-\Gamma }}={\frac {1+x+jy}{1-x-jy}}={\frac {1-x^{2}-y^{2}+2jy}{(1-x)^{2}+y^{2}}}$.
Dus
    $r={\frac {1-x^{2}-y^{2}}{(1-x)^{2}+y^{2}}}$
en
    $i={\frac {2x}{(1-x)^{2}+y^{2}}}$
Dwz.
    $r(1-x)^{2}+ry^{2}=1-x^{2}-y^{2}$
of anders geschreven:
    $\left({\frac {1}{1+r}}\right)^{2}=\left(x-{\frac {r}{1+r}}\right)^{2}+y^{2}$.
Voor vaste r zijn dit cirkels om het middelpunt $\left({\frac {r}{1+r}},0\right)$ met straal ${\frac {1}{1+r}}$.
Evenzo:
    $i(1-x)^{2}+iy^{2}=2y$,
of anders geschreven:
    $\left({\frac {1}{i}}\right)^{2}=(x-1)^{2}+\left(y-{\frac {1}{i}}\right)^{2}$
Voor vaste $i$ zijn dit cirkels om het middelpunt $(1,1/i)$ met straal $1/i$.
In de bovenstaande figuur 1 zien we het principe van een Smith-kaart. De figuur toont volle cirkels voor de waarden 0, 0.33, 1 en 3 van het reële deel $r$ van de impedantie $z$. De delen van cirkels daar "dwars" op zijn de lijnen voor de waarden 2, 1, 0.5, 0 (=as), -0.5, -1 en -2 van het imaginaire deel i van de impedantie $z$.
In de figuur is een (relatieve) impedantie $z=0{,}33+0{,}5\,j$ aangegeven, dus met $\mathrm {Re} (z)=0{,}33$ en $\mathrm {Im} (z)=0{,}5$. De bijbehorende reflectiecoëfficiënt $\Gamma$ kan worden afgelezen in de gewone rechthoekige coördinaten, maar wordt meestal in poolcoördinaten $|\Gamma |$ en $\arg(\Gamma )$ gegeven. De absolute waarde $|\Gamma |$ kan gevonden worden als fractie van de straal van de buitenste cirkel. Er geldt: $|\Gamma |=0{,}6$ en $\arg(\Gamma )=123^{\circ }$.
In onderstaande figuur zien we een in de praktijk gebruikte Smith-kaart.

## Toepassing

Voor toepassing van de Smith-kaart gaan we uit van een verliesvrije lijn, of een lijn die bij de signaalfrequentie een zuiver ohmse karakteristieke impedantie heeft.
Het gebruik van een Smith-kaart gaat in beginsel in de volgende drie stappen.
* De gegeven impedantie $z$ wordt uitgezet op het cirkelvormige coördinatenstelsel voor het reele deel $r$ en het imaginaire deel $i$ van $z$. In het centrale rechthoekige coördinatenstelsel stelt het uitgezette punt de reflectiecoëfficiënt $\Gamma$ voor. Dit stelsel is voor het gemak gegeven in poolcoördinaten en bepaalt dus $|\Gamma |$ en $\arg(\Gamma )$. In figuur 2 is de (relatieve) impedantie $z=0{,}33+0{,}5\,j$ uitgezet.
* Bij een verliesvrije lijn wordt, door omcirkelen om de oorsprong over de juiste hoek, de reflectiecoëfficiënt aan het begin (of in een ander punt) van de lijn gevonden. In geval van demping door de lijn, kan de grootte van de reflectiecoëfficiënt aangepast worden. In figuur 2 komt de lengte van de lijn (of het relevante gedeelte) overeen met een hoek $\Phi =38{,}5^{\circ }$. Door omcirkelen over het dubbele van deze hoek wordt de reflectiecoëfficiënt aan het begin (of op een ander plaats) van de lijn gevonden.
* Op het cirkelvormige coördinatenstelsel kan de bijbehorende impedantie $z'$ worden afgelezen. In het geval van figuur 2 is dat: $z'=1{,}25+1{,}6\,j$.

### Reciproke

De Smith-kaart kan ook gebruikt worden om van een (relatieve) impedantie $z$ de reciproke waarde $1/z$ te bepalen. Er geldt immers:
    $z={\frac {1+\Gamma }{1-\Gamma }}$,
dus
    ${\frac {1}{z}}={\frac {1-\Gamma }{1+\Gamma }}$,
en de waarde daarvan kan afgelezen worden bij $-\Gamma$.
In figuur 3 lezen we van de impedantie $z=0{,}33+0{,}5\,j$ de inverse waarde $1/z=1{,}92-1{,}38\,j$ af.
+++++++++++++++++++++++++++++++++werk in uitvoering++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Ook voor admittanties kan de Smith-kaart gebruikt worden. Immers:
en
zodat met -G ipv. G gerekend moet worden. Dus G spiegelen tov. oorsprong.