# Discrete Kansrekening/Momenten/Vraagstukken
## 7.7 Vraagstukken
### A1. DK701

Zij X het aantal ogen dat met een zuivere dobbelsteen geworpen wordt.
a. Bereken het tweede moment en het derde centrale moment van X. b. Bereken ook σ(X).

### A2. DK702

De simultane kansverdeling p$_{X,Y}$(i,j) van X en Y wordt voor 0 ≤ a ≤ 1 gegeven in de volgende tabel.
a. Bereken ρ(X,Y). b. Voor welke waarde(n) van a zijn X en Y ongecorreleerd? c. Voor welke waarde(n) van a zijn X en Y o.o.?

### A3. DK703

Bepaal $\mathrm {var} \sum _{i=1}^{n}X_{i}$, als a. X$_i$ = X voor i = 1,2,...,n; b. X$_1$,X$_2$,...,X$_n$ o.o. zijn en alle dezelfde kansverdeling hebben als X.

### A4. DK704

De s.v. X is homogeen verdeeld op de getallen 1,2,3,4,5. teken de grafiek van de volgende twee functies van a (a>0):
    P(|X-EX|>a)
en
    (var X)/a$^2$.
Geef commentaar n.a.v. de ongelijkheid van Chebyshev.

### A5. DK705

Bereken voor de door de tabel bepaalde simultane verdeling p$_{X,Y}$(x,y) de covariantie van X en Y, alsmede de correlatiecoëfficiënt van X en Y.

### A6. DK706

We trekken met terugleggen n knikkers uit een vaas met M witte en N-M rode knikkers. Het getrokken aantal witte noemen we X.
a. Bereken var X voor (M,N,n)=(4,11,7). We doen ook n trekkingen zonder terugleggen; het aantal getrokken witte noemen we nu Y.
b. Bereken eveneens var Y voor dezelfde M,N en n. c. Hoe moet bij de gebruikte waarden van M en N de variabele n gekozen worden, opdat de varianties in beide gevallen gelijk zijn?

### A7. DK707

Bereken voor de multinomiaal verdeelde vector (X$_1$,X$_2$,X$_3$,X$_4$) met parameters n=10, m=4, p$_1$=p$_2$=1/4, p$_3$=1/3 en p$_4$=1/6 de correlatiecoëfficiënten ρ(X$_1$,X$_4$) en ρ(X$_2$,X$_3$).

### A8. DK708

Toon aan dat $\mathrm {cov} \left({\frac {X-EX}{\sigma (X)}},{\frac {Y-EY}{\sigma (Y)}}\right)=\rho (X,Y).$

### B1. DK709

Zij X een s.v. waarvan het derde moment bestaat. Druk het derde centrale moment van X uit in het eerste, tweede en derde moment van X.

### B2. DK710

Ga na dat de gegeven uitdrukkingen voor de varianties van de verschillende verdelingen in stelling 7.3.1. juist zijn.

### B3. DK711

Bewijs stelling 7.4.2.a — d.

### B4. DK712

Bewijs dat voor iedere s.v. X en voor iedere a>0 geldt:
    $P(|X|>a)<-{\tfrac {1}{a}}E|X|.$

### B5. DK713

We werpen driemaal een zuivere munt. Zij X het aantal malen kruis minus het aantal malen munt en Y=X$^2$. a. Zijn X en Y onderling onafhankelijk? b. Bereken cov(X,Y).

### B6. DK714

De simultane verdeling van X en Y wordt gegeven door P(X=±1,Y=±1)=1/4. a. Bereken cov(X,Y). b. Zijn X en Y o.o.? Beantwoord dezelfde vragen voor het geval dat de verdeling gegeven wordt door P(X=x,Y=y)=1/4 voor (x,y)=(1,0),(-1,0), (0,-1) of (0,1).

### B7. DK715

Geef een simultane verdeling van afhankelijke s.v.-en X en Y met a. cov(X,Y) = 0, b. cov(X,Y) = 9.

### B8. DK716

Een vaas bevat 3 rode en 5 zwarte knikkers. Zonder teruglegging nemen we 4 knikkers uit de vaas. Zij X het aantal weggenomen rode en Y het aantal zwarte. a. Bereken ρ(X,Y)
b. Vind a, b en c zodanig dat P(aX+bY=c) = 1.

### B9. DK717

De s.v. Y kan m verschillende waarden p$_1$,...,p$_m$ aannemen (0<p$_i$<1). Gegeven Y=p is de s.v. X B(n,p)-verdeeld. a. Bepaal E(X|Y) als functie van Y en bepaal z'n verdeling. b. Laat zien dat ρ(X,Y) = n σ(Y)/σ(X).

### B10. DK718

Een vaas bevat N knikkers, waarvan er M rood zijn. We trekken zonder teruglegging n knikkers en definiëren X$_k$=1 of 0 al naar gelang de k-e getrokken knikker rood is of niet. Bereken ρ(X$_i$,X$_j$) voor i≠j.

### B11. DK719

In een rij Bernoulli-experimenten met succeskans p (0<p<1) stelt N de wachttijd op het eerste succes voor. Als het eerste succes de n-e keer optreedt doet de experimentator nog eens n pogingen. Met X geven we het aantal successen aan bij deze pogingen. a. Bepaal P(X=0). b. Bepaal E(X|N) en z'n verdeling. c. Toon aan dat E(XN|N) = N·E(X|N). d. Bereken ρ(N,X).

### B12. DK720

De s.v.-en X en Y zijn onderling onafhankelijk en beide Poisson-verdeeld met parameter respectievelijk 2 en 4. Zij Z=X+Y.
a. Toon aan dat Z Poisson-verdeeld is met parameter 6. b. Bepaal de voorwaardelijke verdeling van X gegeven Z=z. c. Bepaal E(X|Z) en controleer de relatie E(E(X|Z)) = EX. d. Bereken ρ(X,Z)

### B13. DK721

De s.v.-en X en Y hebben een simultane verdeling. We definiëren var(X|Y) op analoge wijze als E(X|Y). Toon aan dat
    var X = var E(X|Y) + E var(X|Y)