# Klassieke Mechanica/Statica/Virtuele arbeid

De methode van de virtuele arbeid

# Inleiding

De methode van de virtuele arbeid is een zeer efficiënte methode voor het berekenen van het evenwicht van samengestelde systemen als men niet geïnteresseerd is in de inwendige krachten. De methode verschilt echter totaal van de klassieke vectoriële methode. Deze aanpak vertrekt van het idee dat een versnelling van het systeem ook een toename of afname van de kinetische energie betekent. Dat kan alleen via een toevoer of afvoer van energie door de aangrijpende krachten. Geen versnelling betekent dus geen toevoer of afname van energie. Energie is een scalaire grootheid, de energievergelijkingen zijn scalaire vergelijkingen. Daarom wordt deze methode soms de scalaire methode genoemd.
Deze methode is echter bijzonder geschikt om bij een complex mechanisme een verband te leggen tussen krachten op twee of meer punten van het systeem. Bij deze methode wordt het systeem een beetje bekeken als een black box. Men oefent er op één plaats een kracht op uit en de methode laat toe uit te rekenen welke kracht men op een andere plaats moet uitoefenen voor evenwicht, zonder dat men alle inwendige krachten moet berekenen. Zie bv. het voorbeeld van de ruitvormige krik aan het einde van dit hoofdstuk. Ook laat de methode toe op een meer automatische manier de evenwichtsvergelijkingen op te stellen. Ze vormt de aanloop naar de methode van Lagrange, die de dynamische situatie (met lineaire versnelling en hoekversnelling) zal behandelen.
De basisideeën zullen eerst uitgelegd worden aan de hand van een systeem met één puntmassa. Dat zal dan uitgebreid worden naar samengestelde systemen en systemen met meerdere vrijheidsgraden.

# Systeem van één puntmassa

De methode van de virtuele arbeid vertrekt van de energie-beschouwing van het systeem. In differentiaalvorm wordt dit voor 1 puntmassa:
    $\sum {\vec {F_{i}}}\cdot d{\vec {r}}=m{\vec {a}}\cdot d{\vec {r}}$
In het linkerlid staat de differentiaal van de arbeid van de uitwendige krachten. Integreren van deze uitdrukking tussen twee posities geeft de arbeid die nodig is voor deze overgang. Een nulpunt van de integrand is een stationair punt van deze integraal en ook een nulpunt van de versnelling en dus een evenwichtspunt van het systeem. We kunnen deze voorwaarde herschrijven m.b.v. de betrekking
    $d{\vec {r}}={\vec {v}}\,dt$
als
    $\sum {\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {v}}\,dt=0$
Deze differentiaal heeft nog altijd de dimensie van een arbeid. Het nulpunt moet komen van:
    $\sum {\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {v}}=0$
Deze uitdrukking kan nu nul zijn als er wel een som van krachten is maar deze loodrecht staat op de snelheid. Dit is o.a. het geval bij krachten in sommige ideale verbindingen met de omgeving. Deze krachten wisselen geen arbeid uit met het systeem of omdat hun aangrijpingspunt stilstaat of omdat de verplaatsing steeds loodrecht staat op de kracht. Ze kunnen dus weggelaten worden in bovenstaande som. Meer algemeen: bij de methode van de virtuele arbeid moeten we geen rekening houden met de ideale verbindingen maar alleen met de actieve krachten, d.i. de krachten die energie uitwisselen met het systeem bij een verplaatsing van dit systeem.
De dimensie van bovenstaande formule is echter geen arbeid meer maar vermogen. Men zal dan ook spreken van de methode van de virtuele vermogens ( in het Frans: "Le théorème des puissances virtuelles"). Verder wordt teruggekomen op formules waarvan de dimensie wel een arbeid is.

## Voorbeeld 1

Dit wordt even uitgewerkt voor een zeer eenvoudig voorbeeld, nl. de mathematische slinger (zie figuur 1). De optredende krachten zijn hier de spanning S in het touw en het gewicht G. De spanning S staat echter altijd loodrecht op v : het touw is een ideale verbinding. Men moet dus alleen zoeken naar het punt waar ${\vec {G}}\cdot {\vec {v}}$ nul wordt. Voor de slinger is het duidelijk dat G loodrecht zal staan op v in de onderste stand. Dit is dus een evenwichtspositie van de slinger.

# Veralgemeende coördinaten en vrijheidsgraden

Alhoewel in dit voorbeeld de positie van de puntmassa in een tweedimensioneel systeem m.b.v. twee coördinaten moet gespecificeerd worden, bestaat er een verband tussen beide daar de puntmassa enkel op een cirkelbaan kan bewegen. De positie kan dus, bij behoud van de bestaande verbindingen, eenduidig vastgelegd worden met één parameter. Dit kan één van beide coördinaten zijn, maar ook bv. de hoek van het touw met de verticale. Wanneer zoals hier één parameter voldoende is om de positie van het systeem vast te leggen, spreekt men van een systeem met één vrijheidsgraad.
    Het aantal vrijheidsgraden van een systeem is het aantal onafhankelijke parameters dat nodig is om de positie van het systeem eenduidig te bepalen, bij behoud van de bestaande verbindingen. Deze parameters noemt men de veralgemeende coördinaten q$_i$.
Onafhankelijk betekent dat het mogelijk is de waarde van één parameter te veranderen zonder dat er iets verandert aan de andere. Bij de methode van de virtuele arbeid zal men niet meer met de cartesische coördinaten werken, maar met deze veralgemeende coördinaten. Dit onderstelt dat er voor elk aangrijpingspunt van een kracht een functie is van de vorm :
    ${\vec {r_{i}}}={\vec {f_{i}}}(q_{1},q_{2},...q_{i},...q_{n})$
Dit noemt men de transformatievergelijkingen.
Het grote voordeel van de veralgemeende coördinaten over bv. de cartesische coördinaten is dat men als veralgemeende coördinaten parameters kan kiezen die zinvol zijn voor het gegeven probleem: een hoek, een afstand, de positie van een bepaald onderdeel. Ook leidt de methode van de virtuele arbeid op een vrij automatische manier tot een stelsel van vergelijkingen.
Voor het voorbeeld van de slinger kan men θ als veralgemeende coördinaat gebruiken. Men krijgt dan als transformatievergelijkingen (let op de tekens):
    ${\begin{matrix}x=-l.\sin {\theta }&y=-l.\cos {\theta }\\v_{x}=-l.\cos {\theta }.{\frac {d\theta }{dt}}&v_{y}=l.\sin {\theta }.{\frac {d\theta }{dt}}\end{matrix}}$
Hiermede wordt ${\vec {G}}\cdot {\vec {v}}=0$ :
    $-G.v_{y}=-G.l.\sin {\theta }.{\frac {d\theta }{dt}}=0$
Oplossing is : θ = 0 , daar dθ/dt de hoeksnelheid is waarmede het punt eventueel door de evenwichtsstand zou passeren.
Er kan opgemerkt worden dat voor één voorwerp de methode van de virtuele arbeid zelden korter uitvalt dan de klassiek methode. Voor het geval van de slinger had men de bovenstaande formule kunnen vinden door de som van de krachten loodrecht op het touw te projecteren om de spanning S eruit te houden.

# Samengesteld systeem met één vrijheidsgraad

Er moet nu een dubbele veralgemening gemaakt worden: van een systeem van één puntmassa naar een systeem met meerdere puntmassa's en dan verder naar een systeem met reële voorwerpen. Bij een systeem met meerdere massa's moet elke massa in evenwicht zijn. Hierbij moet men alle krachten die op elke massa werken in rekening brengen. Wanneer men opnieuw naar energiebeschouwingen overgaat, bestaat er bij een systeem met één vrijheidsgraad een verband tussen de verplaatsingen (en de snelheden) van de verschillende puntmassa's. Wanneer men rekening houdt met deze verbanden, valt bij sommeren over alle onderdelen niet alleen de bijdragen van de ideale verbindingen met de omgeving weg, maar ook de bijdrage van de ideale inwendige verbindingskrachten. Deze geven dan immers alleen energie door van het ene onderdeel naar het andere, maar vermeerderen of verminderen de totale som niet.
Bij reële onvervormbare (of starre) voorwerpen vormen de inwendige krachten ook ideale verbindingen. We kunnen dus ook werken met de verplaatsingen (of snelheden) van de aangrijpingspunten van krachten op reële onvervormbare voorwerpen.
Men zou de vorige formule nu moeten schrijven met een dubbele som: over alle krachten op elke puntmassa en over alle puntmassa's. Meestal beperkt men zich tot één som over alle krachten, waarbij sommige verplaatsingen (of snelheden) dezelfde kunnen zijn. Men krijgt nu:
    $\sum {\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {v_{i}}}=0$
    met i lopend over alle krachten.
In deze vermogensbalans heeft de bijdrage van elke kracht een zekere gewichtsfactor. Dit gewicht bestaat uit twee elementen:
* de cosinus van de hoek tussen de kracht en de snelheid. Niet de volledige kracht moet verrekend worden, maar, door het scalair product, alleen de projectie van de kracht op de raaklijn aan de baan van het aangrijpingspunt;
* de verhouding van de snelheden van de verschillende aangrijpingspunten. In de formule staan de snelheden van de aangrijpingspunten, maar, daar de som nul moet zijn, hebben uiteindelijk alleen de onderlinge verhoudingen van de snelheden belang.

## Voorbeeld 2

Laat men dit even toepassen op een systeem met twee actieve krachten en 1 vrijheidsgraad.
De krachten om de vaste katrollen op hun plaats te houden leveren geen arbeid en worden dus niet in rekening gebracht (ideale verbindingen met de omgeving). De uitdrukking voor het evenwicht wordt dus:
    ${\vec {L}}\cdot {\vec {v_{1}}}+{\vec {S}}\cdot {\vec {v_{2}}}=0$
De scalaire producten worden uitgewerkt met goniometrische vorm:
    ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a.b.\cos \theta$ met θ de hoek tussen de vectoren a en b.
Verder weet men uit de regel van het aantal touwen dat v$_2$ = 3.v$_1$ Men krijgt dus:
    L.v$_1$.cos 180° + S.v$_2$.cos 0° = 0
    -L.v$_1$ + S.3.v$_1$ = 0
Waaruit: S = L/3

# Meerdere vrijheidsgraden

De snelheid van de aangrijpingspunten kan uitgerekend worden in functie van de veralgemeende coördinaten q$_j$ m.b.v. de kettingregel van het differentiëren als:
    ${\vec {v_{i}}}=\sum _{j}{{\frac {\partial {\vec {r_{i}}}}{\partial q_{j}}}.{\frac {dq_{j}}{dt}}}$
Wanneer men dit invoert in de vorige evenwichtsvoorwaarde bekomt men:
    $\sum {\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {v_{i}}}=\sum _{j}{\sum _{i}{{\vec {F_{i}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r_{i}}}}{\partial q_{j}}}.{\frac {dq_{j}}{dt}}}}=0$
Voor een functie van meerdere veranderlijken kan men een parameternet tekenen, d.i. een netwerk van krommen die men bekomt door één variabele te laten veranderen en alle andere constant te houden. Door elk punt moet één exemplaar van de krommen behorend bij elke parameter passeren. Hieronder vindt men functies van 2 veranderlijken, van de vorm z = f(x,y). De parameterlijnen lopen dus parallel aan de assen. Voor een extremum, maximum of minimum, of correcter: een stationair punt, moet de raaklijn aan elke parameterkromme horizontaal zijn.
Voor evenwicht zal men een nulpunt moeten hebben voor de bijdrage volgens de raaklijn aan de kromme van elke onafhankelijke veranderlijke, van elke veralgemeende coördinaat. Dit betekent dat voor elke q$_j$ moet gelden :
    $\sum _{i}{{\vec {F_{i}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r_{i}}}}{\partial q_{j}}}{\frac {dq_{j}}{dt}}}=0$

## Voorbeeld 3

De figuur stelt een massa voor die langs een staaf kan glijden maar daarbij tegengehouden wordt door een veer. De staaf kan vrij ronddraaien rond haar bovenste ophangpunt. We onderstellen de staaf massaloos en geen wrijving tussen massa en staaf. De krachten die op de massa werken zijn:
* de zwaartekracht G
* de kracht van de veer F
Dit is een systeem met 2 vrijheidsgraden. De positie van de massa langs de staaf kan gewijzigd worden zonder dat de hoek van de staaf verandert en omgekeerd. We nemen als veralgemeende coördinaten de afstand r en de hoek θ. Het bijhorend parameternet ziet er dan uit als op de figuur hiernaast.
De snelheid ${\vec {v}}$ kan dus gesplitst worden in een component ${\vec {v_{r}}}$, veroorzaakt door een verandering van r en gericht volgens de staaf en naar beneden, en ${\vec {v_{\theta }}}$ veroorzaakt door de verandering van θ en loodrecht op de staaf en naar links (r en θ zijn in feite poolcoördinaten: zie kinematica: poolcoördinaten). Hier zijn dit orthogonale componenten, maar dit hoeft niet. Opsplitsen volgens deze componenten levert:
    ${\vec {F}}\cdot \ ({\vec {v_{r}}}+{\vec {v_{\theta }}})+{\vec {G}}\cdot ({\vec {v_{r}}}+{\vec {v_{\theta }}})=({\vec {F}}+{\vec {G}})\cdot {\vec {v_{r}}}+{\vec {G}}\cdot {\vec {v_{\theta }}}=0$
Daar de kracht F loodrecht staat op v$_θ$ is het scalair product van beide nul.
Daar het effect van een verandering van elke parameter nul moet zijn is dit equivalent met 2 vergelijkingen:
    $({\vec {F}}+{\vec {G}})\cdot {\vec {v_{r}}}=0$
    ${\vec {G}}\cdot {\vec {v_{\theta }}}=0$
Na uitwerken van de scalaire producten:
    (- F + G.cosθ).v$_r$ = 0
    G.sinθ.v$_θ$ = 0
Daar alle krachten op hetzelfde punt aangrijpen, speelt hier geen verhouding tussen de snelheden en kan men die onmiddellijk wegdelen uit de vergelijkingen. Er blijft:
    -F + G.cosθ = 0
    G.sinθ = 0
Uit de laatste vergelijking volgt θ=0. In de eerste moet de kracht van de veer uitgedrukt worden in functie van r als F = k(r-r$_0$). Hieruit kan men dan r halen.
Daar het hier over één puntmassa ging, had men deze vergelijkingen ook onmiddellijk op de klassieke manier kunnen vinden. Een toepassing die meer de kracht van de aanpak laat zien is de studie van de ruitvormige krik zoals die verder behandeld wordt.

# De klassieke formulering

Bij evenwicht moet de energiebijdrage voor elke veralgemeende coördinaat nul zijn. Het blijkt dat het differentiëren van de veralgemeende coördinaat naar de tijd een overbodige bewerking is want deze term kan altijd weggedeeld worden. Men zou zich dus kunnen beperken tot het differentiëren van de ${\vec {r_{i}}}$ naar de q$_j$. Klassiek echter schrijft men de evenwichtsvoorwaarde van de virtuele arbeid A onder de vorm van een differentiaal en met de specifieke delta δ. Men krijgt dan:
    $\delta A=\sum _{i}{{\vec {F_{i}}}\cdot \delta {\vec {r_{i}}}}=\sum _{j}{(\sum _{i}{{\vec {F_{i}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r_{i}}}}{\partial q_{j}}})\delta q_{j}}}=0$
met i lopend over alle krachten en j over alle vrijheidsgraden.
De factor δq$_j$ staat hier niet voor een ingebeelde verplaatsing, zoals meestal gezegd wordt, maar voor de aanduiding van de onafhankelijke variabele. Het nulpunt moet komen van de coëfficiënt die ervoor staat.
De gewoonte om deze uitdrukking als een differentiaal te schrijven is in de praktijk zeer nuttig. Voor een systeem met één vrijheidsgraad zullen alle termen immers in functie van één veralgemeende coördinaat moeten uitgedrukt worden, moeten dus alle termen eindigen op dezelfde δq. Als dit niet het geval is moeten er supplementaire verbanden tussen de gebruikte parameters gezocht worden. Indien er meerdere vrijheidsgraden zijn zal men groeperen naar de verschillende δq$_j$ en moet de coëfficiënt van elke δq$_j$ nul zijn:
    $\sum _{i}{{\vec {F_{i}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r_{i}}}}{\partial q_{j}}}}\,=\,0$ voor elke q$_j$
Er zijn dus steeds evenveel vergelijkingen als veralgemeende coördinaten of vrijheidsgraden. De factor ${\vec {F_{i}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r_{i}}}}{\partial q_{j}}}$ zal de dimensie hebben van een kracht als de q$_j$ een verplaatsing is of de dimensie van een moment als de q$_j$ een hoek is. Het product van deze factor met δq$_j$ moet immers de dimensie van een arbeid hebben. Wanneer er momenten gegeven zijn kan men de virtuele arbeid van deze momenten berekenen als
    ${\vec {M}}\cdot \delta {\vec {\theta }}$
Men zou dus steeds een term van de vorm
    $\delta A=\sum _{i}{{\vec {M_{i}}}\cdot \delta {\vec {{\theta }_{i}}}}=\sum _{j}{\sum _{i}{{\vec {M_{i}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {{\theta }_{i}}}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}}}=0$
mogen toevoegen aan de vorige vorm voor de virtuele arbeid. De meest algemene vorm van de methode van de virtuele arbeid is dus :
    $\sum _{i}{{\vec {F_{i}}}\cdot \delta {\vec {r_{i}}}}+\sum _{i}{{\vec {M_{i}}}\cdot \delta {\vec {{\theta }_{i}}}}=0$

# De klassieke uitwerking

Voor de praktijk zullen we dus geen snelheden berekenen, maar alleen de differentiaal van de verplaatsing. We beginnen best met eerst de vectoriële vorm volgens de formule hierboven op te schrijven . Voor het voorbeeld van de twee vrijheidsgraden geeft dit :
    ${\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{F}+{\vec {G}}\cdot \delta {\vec {r}}_{G}=0$
Daar beide krachten op hetzelfde punt werken, kan men hier de indices bij de positievector weglaten.
Nu moet men beslissen hoe men elk van de termen, elk scalair product, zal uitrekenen. Bemerk dat er hier geen sprake is van projecteren van deze vergelijking daar elke term een reëel getal is en geen vector. Een scalair product kan men uitrekenen in termen van orthogonale coördinaten of m.b.v. de goniometrische vorm.

## a) Berekening in termen van orthogonale coördinaten

    ${\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}=F_{x}.\delta x+F_{y}.\delta y+F_{z}.\delta z$
* Hierbij stellen F$_x$, F$_y$, F$_z$ de projecties op de assen voor met het correcte teken.
* De factoren δ$_x$, δ$_y$, δ$_z$ berekent men door differentiëren van de coördinaten van de aangrijpingspunten. Hierbij moeten deze coördinaten het correcte teken hebben!
De uitwerking in termen van orthogonale coördinaten is vooral aangewezen als de krachten evenwijdig zijn aan de coördinaatassen. De bovenstaande som telt dan immers maar één term.
Voorbeeld Voor het voorbeeld is deze methode aangewezen voor het gewicht:
    ${\vec {G}}\cdot \delta {\vec {r}}=-G.{\delta }_{y}$
Met
    y = -r.cosθ
    δy = -δr.cosθ + r.sinθ.δθ
Invullen in vorige uitdrukking levert:
    ${\vec {G}}\cdot \delta {\vec {r}}=$ G.cosθ.δr - G.r.sinθ.δθ

## b) Berekening met de goniometrische vorm

Bij de goniometrische vorm zal men de kracht projecteren op de de raaklijn aan de baan die gevolgd wordt bij toename van de veralgemeende coördinaat. Het is duidelijk dat de bijdrage van het gewicht in de vorige berekeningen ook op deze manier kan gelezen worden. In de praktijk zal de goniometrische vorm vooral nuttig zijn bij schuin geplaatste krachten waarbij de projectie van de kracht op de raaklijn sneller en eenvoudiger op te schrijven is dan de uitdrukking in termen van orthogonale coördinaten. Dit is vooral het geval als de richting van kracht en raaklijn steeds samenvalt (hoek tussen beide 0° of 180°) en deze richting zelf veranderlijk is. Denk b.v. aan het schuine touw in figuur 2. Men kan dit onder verscheidene hoeken houden, maar als men het scalair product met de goniometrische vorm uitwerkt, dan heeft deze hoek geen belang, zoals hij trouwens fysisch geen belang heeft. Een ander voorbeeld wordt hieronder uitgewerkt.
Voorbeeld Voor F in het voorbeeld werd reeds opgemerkt dat een verandering van θ resulteert in een verplaatsing loodrecht op F, dus zonder energieverandering. Alleen bij verandering van r zal er arbeid geleverd worden door of op de veer. Daar een toename van r een verplaatsing oplevert in tegengestelde zin van de kracht, wordt de goniometrische vorm:
    ${\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}=$ F.δr.cos 180° = -F.δr
Groeperend naar de veralgemeende coördinaten krijgen we dus voor het geheel
    $\sum _{i}{{\vec {F_{i}}}\cdot \delta {\vec {r_{i}}}}=$ (-F + G.cosθ).δr + (G.r.sinθ).δθ
Dit resulteert in dezelfde twee vergelijkingen zoals hoger.

## c) Speciaal geval: potentiaalkrachten

(Voor de definitie en berekening van potentiële energie, zie Elementaire dynamica, potentiaalkrachten) Voor een potentiaal kracht F geldt
    $E_{p}=-\int {{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}}$
Hieruit volgt onmiddellijk:
    $\delta E_{p}=-{\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}$
of
    ${\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}=-\delta E_{p}$
Voorbeeld De potentiële energie van de veer in het voorbeeld wordt duidelijk alleen beïnvloed door de parameter r:
    $E_{p}=k{\frac {(r-r_{0})^{2}}{2}}$
Waaruit:
    $\displaystyle -\delta E_{p}=-k(r-r_{0})\delta r$ ... ut supra

# Keuze van het assenkruis

Bij virtuele arbeid gebruikt men de posities van de aangrijpingspunten. Het assenkruis van de posities zal dus nauwkeurig moeten gespecifiëerd worden: plaats van de oorsprong, oriëntatie van de assen.
Bij virtuele arbeid houdt men geen rekening met krachten in ideale verbindingen. Het mechanisme waardoor de ideale verbindingskrachten met de omgeving geen arbeid leveren of afvoeren, berust op het feit dat ofwel het aangrijpingspunt zich niet verplaatst, ofwel zich alleen loodrecht op de kracht verplaatst. Dit is normaal alleen het geval in een vast assenkruis.
Wanneer men een assenkruis vastmaakt aan een bewegend punt van het systeem, dan kan men elke verplaatsing schrijven als een som van een sleepverplaatsing (verplaatsing van dat punt) en een relatieve verplaatsing t.o.v. dat punt. Alle sleepverplaatsingen geven een term die bestaat uit de som van alle krachten x de sleepverplaatsing. Daar bij evenwicht de som van alle krachten nul is, verandert dit de arbeidsbalans niet. Maar binnen een bewegend assenkruis zullen de aangrijpingspunten van de ideale verbindingskrachten een andere (relatieve) beweging uitvoeren dan in het vaste en kunnen dan wel arbeid uitwisselen met het systeem. Men zou in dit geval dus zeer zorgvuldig alle krachten en hun aangrijpingspunt moeten beschouwen om te zien welke werkelijk nog ideale verbindingskrachten zijn. Als men echter de reaktiekrachten met de omgeving moet kennen, zal men meestal naar de klassieke oplossingsmethode moeten grijpen voor men virtuele arbeid zou kunnen toepassen. Dit is niet zinvol. In de praktijk moet men dus met een vast assenkruis werken.
Voorbeeld Nemen we als voorbeeld het systeem van de figuur hiernaast, waarin AB en BC ideale staven zijn met lengte a. In elk vast assenkruis zullen de reacties R$_A$ en R$_C$ geen arbeid leveren bij een beweging van het systeem. Bevestigt men echter het assenkruis aan B, dan levert het gewicht geen arbeid meer, maar wel deze reactiekrachten. Hun aangrijpingspunten bewegen nu immers op een cirkel rond B. Zij 2 θ de hoek tussen de staven in B en de veer ontspannen als de beide staven horizontaal liggen.
Eerste methode: assenkruis in A
Met een klassiek assenkruis in A, levert de kracht in A bij verandering van θ geen arbeid (vast punt). De verticale kracht in C heeft ook geen verticale verplaatsing, dus geen arbeid. Alleen het gewicht en de veer leveren arbeid. Men krijgt:
    $-G\delta y_{B}+F_{v}\delta x_{C}=0$
Voor de virtuele verplaatsingen vindt men:
    $y_{B}=-a\cos \theta$ waaruit $\delta y_{B}=a\sin \theta \delta \theta$
    $x_{C}=2a\sin \theta$ waaruit $\delta x_{C}=2a\cos \theta \delta \theta$
    $F_{v}=k\Delta l=k(2a-2a\sin \theta )=2ak(1-\sin \theta )$
Alles invullen in de vergelijking levert:
    $-Ga\sin \theta \delta \theta +2ak(1-\sin \theta )2a\cos \theta \delta \theta$
Men kan dit ook schrijven als:
    $\tan \theta ={\frac {2ak(1-\sin \theta )}{G/2}}={\frac {F_{v}}{G/2}}$
wat uitdrukt dat de som van beide krachten in C volgens de staaf moet liggen.
Tweede methode: assenkruis in B
Daar AB een ideale staaf is, moet de kracht in A volgens de staaf liggen. Het punt A beweegt binnen dit assenkruis echter op een cirkel. Kracht en verplaatsing staan loodrecht op elkaar. De kracht in A levert dus geen arbeid. Omwille van de symmetrie in B moet de verticale component van de kracht in elke staaf gelijk zijn aan de helft van het gewicht. Ook R$_C$ zal dus gelijk zijn aan G/2. Deze kracht kent nu wel een verticale verplaatsing. Men krijgt:
    $R_{C}\delta y_{C}+F_{v}\delta x_{C}=0$
Voor de virtuele verplaatsingen vindt men nu:
    $y_{C}=a\cos \theta$ waaruit $\delta y_{C}=-a\sin \theta \delta \theta$
    $x_{C}=a\sin \theta$ waaruit $\delta x_{C}=a\cos \theta \delta \theta$
De uitdrukking voor de kracht in de veer blijft hetzelfde. Men krijgt:
    $-{\frac {G}{2}}a\sin \theta \delta \theta +2ak(1-\sin \theta )\,a\cos \theta \delta \theta$
wat duidelijk kan herleid worden tot dezelfde uitdrukking als hierboven.

# Enkele toepassingen
## De keukenbalans

Als voorbeeld van een toepassing waarbij de kracht van de methode van de virtuele arbeid tot uiting komt, beschouwen we eerst het probleem van de keukenbalans. Deze bestaat uit twee schalen, rustend op een arm die in het midden ondersteund is (zie figuur ).
Het is ten zeerste wenselijk dat het resultaat van een weging niet beïnvloed wordt door de positie van de last of van de gewichten in de schalen. Stellen we de last voor door een kracht L en de gewichten door een kracht G, dan levert de methode van de virtuele arbeid (in een klassiek verticaal horizontaal-assenkruis):
    -L.δy$_l$ - G.δy$_r$ = 0
Opdat de positie binnen de schalen geen invloed zou hebben, moeten beide vertikale verplaatsingen onafhankelijk zijn van de positie binnen de schaal. Dit betekent dus dat de schalen moeten transleren. Hiervoor is een eenvoudige constructie bekend, nl. de parallellogramgeleiding. De steun van de schalen wordt m.b.v. 2 staven op zijn plaats gehouden. De eindpunten van deze staven vormen een parallellogram. Hier is dit dubbel uitgevoerd. C en D zijn het midden van AE en BF en vaste scharnierpunten. De vierhoek ABFE is steeds een parallellogram en AB en EF blijven steeds evenwijdig met CD. Door deze eenvoudige constructie transleren de schalen en is het resultaat van een weging onafhankelijk van de posities binnen de schaal.
Voor een wiskundige uitwerking stelt met dat θ de hoek is van AE met de horizontale en de oorsprong van het klassieke assenkruis in C ligt. Dan zijn de y-coördinaten van de linkse en rechtse schaal, met a de afstand van A of E tot de schaal (AC =CE):
    $y_{l}=-AC\sin \theta +a\quad \quad y_{r}=CE\sin \theta +a$
Differentiëren naar θ:
    $\delta y_{l}=-AC\cos \theta .\delta \theta \quad \quad \delta y_{r}=CE\cos \theta .\delta \theta$
en als evenwichtsvergelijking:
    $\displaystyle -L.\delta y_{l}-G.\delta y_{r}=0$
Of
    $\displaystyle -L(-AC\cos \theta .\delta \theta )=G(CE\cos \theta .\delta \theta )$
δθ kan hieruit weggelaten worden. Voor θ verschillend van 90° kan cos θ weggedeeld worden. Men blijft dan met een resultaat waarbij er een onverschillig evenwicht is, d.w.z. bij een last = gewicht is er evenwicht voor elke hoek θ. Voor een verschil tussen last en gewicht zal de weegschaal naar één zijde doorslaan tot de schalen gestopt worden. In het geval van θ = 90° zou AE verticaal staan, waarbij er ook evenwicht zou zijn voor elke waarde van last en gewicht.
Van een goede weegschaal verwacht men dat ze bij een klein verschil tussen de massa's in de schalen, een klein beetje schuin gaat staan, maar niet volledig doorslaat naar één kant. Hiervoor is nodig dat de lijn AE een beetje onder het steunpunt in C passeert Als de steunpunten in C en D een kleine afstand d boven AE en BF liggen, dan worden de y-coördinaten gegeven door:
    $y_{l}=-d\cos \theta -AC\sin \theta +a\quad \quad y_{r}=-d\cos \theta +CE\sin \theta +a$
Na differentiëren;
    $\delta y_{l}=d\sin \theta -AC\cos \theta .\delta \theta \quad \quad \delta y_{r}=d\sin \theta +CE\cos \theta .\delta \theta$
Men ziet dat voor de linkse schaal δy wat minder negatief wordt, dus in absolute waarde kleiner, en voor de rechtse schaal groter. Hierdoor ontstaat er een evenwichtshoek bij een verschil van de massa's.:
    $\tan \theta ={\frac {AC(L-G)}{d(L+G)}}$
Men ziet dat hoe kleiner d, hoe gevoeliger de balans, d.i. hoe groter de uitwijking voor zelfde verschil tussen de schalen.

## Ruitvormige krik

Het tweede probleem is het berekenen van de kracht geleverd door een eenvoudige ruitvormige krik.
Een krik is een vorm van hefboom. De eenvoudigste vorm van hefboom is een staaf met een scharnierpunt, waarop twee krachten aangrijpen: de kracht en de last. Men onderscheidt dikwijls 3 vormen van hefbomen volgens de onderlinge ligging van het aangrijpingspunt van kracht en last. Het verband tussen beide kan eenvoudig gevonden worden door het momentenevenwicht op te schrijven t.o.v. het scharnierpunt. Voor een ingewikkelder hefboom zoals de ruitvormige krik gaat die aanpak niet meer op. Virtuele arbeid levert dan de oplossing.
In plaats van te rekenen met de kracht op de zwengel, zal rechtstreeks met het moment gerekend worden. De evenwichtsvoorwaarde is dan :
    ${\vec {G}}\cdot \delta {\vec {r_{A}}}+{\vec {M}}\cdot \delta {\vec {\theta }}=0$
Men voert een klassiek assenkruis in, met oorsprong in C. De virtuele arbeid geleverd door het gewicht kan opnieuw geschreven worden als:
    -G.δy$_A$
Men heeft nu echter twee parameters, y$_A$ en θ, terwijl dit duidelijk een systeem is met één vrijheidsgraad. Er moet dus een verband gezocht worden tussen δy$_A$, de verplaatsing van A, en de verdraaiing van de zwengel. In dit verband speelt de schroefdraad in B natuurlijk een centrale rol. Het verband tussen verdraaiing van zwengel en de verplaatsing van B wordt gegeven door de spoed van de schroefdraad. Deze spoed S wordt uitgedrukt in cm/toer : de lineaire verplaatsing veroorzaakt door een omwenteling van 1 toer. Bij θ in radialen in plaats van toeren heeft men :
    $\Delta (BD)=\pm S{\frac {\Delta \theta }{2\pi }}$
of met differentialen:
    $\delta (BD)=\pm S{\frac {\delta \theta }{2\pi }}$ (a)
Om te weten welk teken te gebruiken wordt gesteund op het feit dat draaien in de richting van het moment de last omhoog doet bewegen en dat dan de afstand BD kleiner wordt. Bij draaien in de richting van het moment is het scalair product van M en δθ positief en gewoon M.δθ. De evenwichtsvoorwaarde wordt nu :
    -G.δy$_A$ + M.δθ = 0
Nota: wanneer men met de kracht op de hendel zou willen werken en L de lengte van de hendel is, dan zou de verplaatsing van het aangrijpingspunt van de kracht L.δθ zijn. De virtuele arbeid geleverd door die kracht wordt dan F.L.δθ, waarin F.L = M. Men komt dus op dezelfde formules uit.
Men heeft verder:
    y$_A$ = 2a cosα waaruit δy$_A$ = -2a sinα.δα
Alles invullen in vorige uitdrukking:
    -G.-2a sinα.δα + M.δθ = 0 (b)
Om een verband te vinden tussen δθ en δα drukt men de verandering van BD uit in functie van beide. Als de last omhoog beweegt moet de afstand BD kleiner worden. Men moet dus het minteken kiezen in (a). Men drukt nu ook BD uit als functie van α : BD=2a.sinα . Hieruit haalt men:
    δ(BD)=2a.cosα.δα
Alles invullen levert :
    $\delta (BD)\,=\,2a.cos\alpha .\delta \alpha \,=\,-S{\frac {\delta \theta }{2\pi }}$
Men kan dit b.v. oplossen voor δα en dat invoeren in (b).
De oplossing wordt (mits α verschilt van 0):
    $G={\frac {2\pi }{S\tan \alpha }}M$
Bij α=0 wordt het gewicht G opgenomen door de staven zonder dat de stang BD erbij komt kijken (in theorie). Dit is een speciale stand, waarin de vergelijkingen feitelijk niet meer opgaan. Dit is typisch voor de methode van de virtuele arbeid: singulariteiten van de formules duiden op speciale standen waarin de oorspronkelijke vergelijkingen niet gelden.
Dit voorbeeld laat ook duidelijk de kracht zien van de methode van de virtuele arbeid. Men moet het systeem niet ontbinden in zijn onderdelen. Voor de nodige verbanden redeneert men op verplaatsingen, wat relatief eenvoudig is en wat men zich veel concreter kan voorstellen dan krachten. Maar het blijft daardoor ook een soort "black box"-systeem. Men krijgt een verband tussen de krachten op twee of meer punten van het systeem, maar over de manier waarop die inwendig overgedragen worden, krijgt men geen informatie.

## Derde voorbeeld

Tenslotte een voorbeeld waarbij nog een andere aanpak gebruikt wordt. Gegeven is een stangenstelsel zoals weergegeven in de figuur hiernaast, waarop twee krachten werken, nl. F$_1$ en F$_2$. Gevraagd wordt de kracht F in punt A bij evenwicht te berekenen. De afstand DB is 4/5 van de afstand DC. F$_1$ = 240 N, F$_2$ = 60 N.
De evenwichtsvoorwaarde volgens de virtuele arbeid is:
    ${\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{A}+{\vec {F}}_{1}\cdot \delta {\vec {r}}_{E}+{\vec {F}}_{2}\cdot \delta {\vec {r}}_{c}=0$
Daar alle krachten volgens een klassiek xy-assenkruis liggen, voert men een xy-assenkruis in met oorsprong in D. De voorwaarde wordt dan:
    $-F\delta x_{A}-F_{1}\delta y_{E}+F_{2}\delta x_{c}=0$  (1)
Het is een systeem met één vrijheidsgraad. Als veralgemeende coördinaat kan men bv. de hoek van CD met de x-as kiezen. Zij dit de hoek θ. Men moet nu de x-coördinaat van A en C en de y-coördinaat van E bepalen en deze dan differentiëren.
a) x$_C$ is rechtstreeks functie van θ :
    $x_{C}=DC\cos \theta \quad \delta x_{C}=-DC\sin \theta .\delta \theta =-y_{C}\delta \theta$
b) Het punt E ligt in het midden van AB:
    $y_{E}={\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}\quad \delta y_{E}={\frac {\delta y_{A}+\delta y_{B}}{2}}=\delta y_{B}/2$
want A beweegt niet in y-richting.
c) De afstand AB is constant:
    $(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}=AB^{2}$
Differentiëren:
    $2(x_{B}-x_{A})(\delta x_{B}-\delta x_{A})+2(y_{B}-y_{A})(\delta y_{B}-\delta y_{A})=0$
Oplossen naar δx$_A$:
    $\delta x_{A}=\left({\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}\right)\delta y_{B}+\delta x_{B}$
    $x_{B}=DB\cos \theta \quad \delta x_{B}=-DB\sin \theta \delta \theta =-y_{B}\delta \theta$
    $y_{B}=DB\sin \theta \quad \delta y_{B}=-DB\cos \theta \delta \theta =x_{B}\delta \theta$
Alles in (1)
    $-F\left[\left({\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}\right)x_{B}-y_{B}\right]\delta \theta -F_{1}{\frac {x_{B}}{2}}\delta \theta -F_{2}y_{C}\delta \theta =0$
Dit is een uitdrukking in één veralgemeende coördinaat. δθ kan men nu weglaten. Uiteindelijk blijven alleen cartesische coördinaten in de formule staan, waarvan de numerieke waarde gemakkelijk kan afgelezen worden uit de figuur. Men krijgt:
    -F [(5/10)10-20]- 240(10/2)-60*25 = 0
Waaruit volgt F = 180 N

## Berekenen van verbindingskrachten

Alhoewel de methode van de virtuele arbeid precies interessant is omdat de meeste verbindingskrachten er niet in voorkomen, kan men met een klein trucje de methode toch gebruiken om eventueel ook een verbindingskracht uit te rekenen. Het trucje bestaat erin de verbinding weg te nemen maar de verbindingskracht te behouden. Op die manier creëert men een supplementaire vrijheidsgraad. Men kan dan berekenen welke verbindingskracht er moet uitgeoefend worden om het systeem in dezelfde positie te houden als met de verbinding.

# Slotbemerkingen
## Een beetje geschiedenis

De methode van de virtuele arbeid is een zeer oude methode. Sommigen verwijzen naar Archimedes (287 -212 v. Chr.) die zou gezegd hebben: "Geef mij een steunpunt en ik til de wereld op". Later vindt men redeneringen via arbeid bij Simon Stevin(1548-1620) en Galileo(1564-1642), dus bijna honderd jaar voor Newton(1642-1726), onder de vorm dat bij elk hefboomsysteem de arbeid die men er aan één zijde in steekt als product van een kleine kracht met een grote verplaatsing er aan de andere zijde moet uitkomen als een grote kracht met een kleine verplaatsing. Op dat ogenblik was de differentiaal- en integraalrekening nog onbestaande en misschien ligt daar voor een deel de oorzaak van het spreken over ingebeelde verplaatsingen.
De methode werd verder ontwikkeld door Bernoulli(1771), d'Alembert(1743) en Lagrange(1788). Ze wordt echter met zeer grote verschillen voorgesteld. Er zijn veel auteurs die werken met virtuele snelheden in plaats van virtuele verplaatsingen. De methode zou dan de methode van het virtuele vermogen moeten heten en wordt door sommigen dan ook zo genoemd. Het werken met virtuele snelheden vermijdt in elk geval dat men spreekt over infinitesimaal kleine verplaatsingen, een uitdrukking die, met de de huidige nauwkeuriger formulering van differentiaalrekenen, bij vele wiskundigen in ongenade gevallen is. Bij de auteurs die met verplaatsingen werken zijn er enkele die met werkelijke verplaatsingen werken. Voor de meeste gaat het echter over differentialen van de verplaatsing. Tenslotte zijn er verschillen in de verplaatsingen (of snelheden) die men beschouwt. Voor velen gaat het over volledig vrije verplaatsingen. In dat geval kan het principe van de virtuele arbeid omgewisseld worden met de tweede wet van Newton, d.i. men kan het principe van de virtuele arbeid als fundamenteel principe aannemen en daaruit dan de tweede wet van Newton afleiden. De verplaatsingen die de verbindingen respecteren heten dan compatibele verplaatsingen. Hier werd alleen gewerkt met verplaatsingen die de verbindingen respecteren. Bij bewegende systemen kan dan men een onderscheid maken tussen de verplaatsingen in een tijdsspan dt en de mogelijke verplaatsingen verenigbaar met de verbindingen op een ogenblik t. Deze laatste noemt men de virtuele verplaatsingen. Elke virtuele verplaatsing komt dan overeen met een wijziging van de betrokken parameter.
Het verschil tussen virtuele en werkelijke verplaatsingen is dus niet in het algemeen te formuleren en is feitelijk maar van belang als men dynamische situaties gaat beschrijven. Zie hiervoor het hoofdstuk over de methode van Lagrange.
-- Einde --