# Spanningen - vervormingen - inwendige energie
## Spanningen op een willekeurig vlak

(link)
    ${\vec {t}}=T_{s}.{\vec {n}}$
waarbij:
* ${\vec {t}}$ : De spanningsvector op een vlak met willekeurige oriëntatie.
* ${\vec {n}}$ : De eenheidsvector loodrecht op ditzelfde vlak.
* $T_{s}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}$ : De spanningstensor.

## Algemeen stelsel van 15 differentiaalvergelijkingen in 15 onbekenden (spanningen, vervormingen en verplaatsingen)
### Evenwichtsvergelijkingen in functie van spanning

(link)
    ${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+X=0$
    ${\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+Y=0$
    ${\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z=0$

#### Randvoorwaarden in randpunten bij de evenwichtsvergelijkingen in functie van spanning

    ${\overline {X}}=n_{x}.\sigma _{x}+n_{y}.\tau _{yx}+n_{z}.\tau _{zx}$
    ${\overline {Y}}=n_{x}.\tau _{xy}+n_{y}.\sigma _{y}+n_{z}.\tau _{zy}$
    ${\overline {Z}}=n_{x}.\tau _{xz}+n_{y}.\tau _{yz}+n_{z}.\sigma _{z}$

### Geometrische Betrekkingen

(link)
    $\varepsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}$
    $\varepsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}$
    $\varepsilon _{z}={\frac {\partial w}{\partial z}}$
    $\gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}$
    $\gamma _{yz}={\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}$
    $\gamma _{zx}={\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}$

### Wet van Hooke

(link) Enkel voor isotrope materialen:
    $\varepsilon _{x}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})]$
    $\varepsilon _{y}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{z}+\sigma _{x})]$
    $\varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})]$
    $\gamma _{xy}={\frac {\tau _{xy}}{G}}$
    $\gamma _{yz}={\frac {\tau _{yz}}{G}}$
    $\gamma _{zx}={\frac {\tau _{zx}}{G}}$

## Glijdingsmodulus

(link)
    $G={\frac {E}{2(1+\nu )}}$

## Kubische volumeverandering

(link)
    $\,e={\frac {\Delta V}{V}}=\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z}$

### kubische volumeverandering bij alzijdige constante trek/druk

(link)
    $\,e={\frac {3\sigma }{E}}(1-2\nu )$

## Vervormingsenergie per volumeëenheid (Inwendige potentiële energie)

(link)

### in functie van spanningen

    $U={\frac {1}{2E}}(\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2})-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{x}.\sigma _{y}+\sigma _{y}.\sigma _{z}+\sigma _{z}.\sigma _{x})+{\frac {1}{2G}}(\tau _{xy}^{2}+\tau _{yz}^{2}+\tau _{zx}^{2})$

### in functie van spanningen en vervormingen

    $U={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}.\varepsilon _{x}+\sigma _{y}.\varepsilon _{y}+\sigma _{z}.\varepsilon _{z}+\tau _{xy}.\gamma _{xy}+\tau _{yz}.\gamma _{yz}+\tau _{zx}.\gamma _{zx})$

# Axiale trek en druk
## Algemene uitdrukkingen

(link)

### spanning

    $\sigma _{x}={\frac {N}{A(x)}}\!$

### rek

    $\varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}={\frac {N}{E.A(x)}}$
    $\varepsilon _{y}=\varepsilon _{z}=-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}=-\nu {\frac {N}{E.A(x)}}$

### verlenging

* algemene formule (link):
    $\delta =\int _{0}^{L}\varepsilon _{x}dx=\int _{0}^{L}{\frac {\sigma _{x}}{E}}dx=\int _{0}^{L}{\frac {N(x)}{EA(x)}}dx$
* constante normaalkracht en constante dwarsdoorsnede:
    $\delta ={\frac {PL}{EA}}$
* toepassing: kegelvormige balk (link)
    $\delta ={\frac {4PL}{E\pi D_{1}D_{2}}}$
* toepassing: met inrekening eigengewicht (link)
    $\delta ={\frac {PL}{EA}}+{\frac {\rho gL^{2}}{2E}}={\frac {PL}{EA}}+{\frac {GL}{2EA}}$
    $L_{\text{max}}={\frac {A\cdot {\overline {\sigma }}-P}{\rho gA}}$

## Lichaam met gelijke sterkte op trek of druk

(link)

### doorsnede

    $A=A_{0}\cdot e^{\frac {\rho gx}{\sigma }}$

### verlenging

    $\delta ={\frac {\sigma L}{E}}$

## Eenvoudige hyperstatische gevallen

* Niet homogene dwarsdoorsnede (link)
    $X_{i}={\frac {E_{i}\cdot A_{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(E_{i}\cdot A_{i})}}\cdot P$
* Temperatuurspanningen (link)
    $\sigma =-E\cdot \alpha \cdot \Delta T$
* Temperatuurspanningen bij niet-homogene dwarsdoorsnede: (link)
    $X={\frac {(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cdot \Delta T}{{\frac {1}{E_{1}A_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}A_{2}}}}}$

## Dunwandige cilindrische stukken

(link)

### spanning - ketelformule

    $\sigma ={\frac {q\cdot r}{e}}$

### verlenging

    $\delta _{o}={\frac {2\pi qr^{2}}{Ee}}$

### spanning bij draaiende ring

    $\sigma =\rho \omega ^{2}r^{2}\!$

## Inwendige vervormingsenergie bij axiale trek of druk

(link)
* Vervormingsenergie per volume
    $U={\frac {\sigma ^{2}}{2E}}={\frac {E\varepsilon ^{2}}{2}}$
* Totale vervormingsenergie
    $A_{v}=\int _{L}\left[\int _{A}\left({\frac {N(x)}{A}}\right)^{2}{\frac {1}{2E}}dA\right]dx$
* Totale vervormingsenergie bij constante normaalkracht en dwarsdoorsnede
    $A_{v}={\frac {N^{2}\cdot L}{2EA}}$
* Resiliëntie
    $U_{\mbox{max}}={\frac {R_{e}^{2}}{2E}}$