# Krommingstensor van Riemann

De krommingstensor van Riemann, kortweg krommingstensor of riemann-tensor, is een belangrijk object in de differentiaalmeetkunde, de tak van de wiskunde, die gekromde oppervlakken en ruimten zoals pseudo-riemann-variëteiten bestudeert.
De krommingstensor geeft de mate aan, waarin een oppervlak of hogerdimensionale ruimte meetkundig verschilt van een pseudo-euclidische ruimte zoals een euclidische ruimte of de minkowski-ruimte ("vlakke ruimten").
Typische stellingen uit de euclidische meetkunde die niet langer opgaan in gekromde ruimten, zijn:
* De som van de hoeken van een driehoek bedraagt 180 graden ($\pi$ radialen);
* De oppervlakte van een sfeer (boloppervlak) is 4 maal pi maal het kwadraat van de straal.
De krommingstensor is niet één getal, ook geen getallenrij of getallenvierkant (matrix), maar een "vierdimensionaal" getallenschema: een vierde-orde-tensor.
De krommingstensor is genoemd naar Bernhard Riemann, samen met Carl Friedrich Gauss, de grondlegger van de intrinsieke differentiaalmeetkunde.

## Definitie

Zij $(M,g)$ een $n$-dimensionale pseudo-riemann-variëteit. Noteer $[ij,k]$ voor de christoffelsymbolen van de eerste soort, en $\Gamma _{jk}^{i}$ voor de christoffelsymbolen van de tweede soort. De krommingstensor is de tensor van orde 4, waarvan de (1,3)-componenten (eenmaal contravariant en driemaal covariant) gegeven worden door de formule (in einsteinnotatie):
    $R_{jkl}^{i}={\partial \Gamma _{jl}^{i} \over \partial x^{k}}-{\partial \Gamma _{jk}^{i} \over \partial x^{l}}+\Gamma _{jl}^{\mu }\Gamma _{\mu k}^{i}-\Gamma _{jk}^{\mu }\Gamma _{\mu l}^{i}$
Men kan bewijzen, dat deze functies inderdaad de componenten van een tensor vormen door gebruik te maken van de coördinatentransformatie van christoffelsymbolen. De christoffelsymbolen zelf zijn niet tensorieel.

## Covariante notatie

Soms wordt de riemann-krommingstensor ook viermaal covariant genoteerd, dus als een (4,0)-tensor, met de eenvoudige overgangsformule
    $R_{ijkl}=g_{i\gamma }R_{jkl}^{\gamma }$
Men kan deze (4,0)-tensor ook rechtstreeks uitdrukken in de christoffelsymbolen
    $R_{ijkl}={1 \over 2}\left({\partial ^{2}g_{il} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}+{\partial ^{2}g_{jk} \over \partial x^{i}\partial x^{l}}-{\partial ^{2}g_{ik} \over \partial x^{j}\partial x^{l}}-{\partial ^{2}g_{jl} \over \partial x^{i}\partial x^{k}}\right)+g^{\alpha \beta }\left([jk,\alpha ].[il,\beta ]-[ik,\alpha ]-[jl,\beta ]\right)$
(de tweede term is een som over $\alpha$ en $\beta$).
Hier duidt $g_{ij}$ een component van de metrische tensor aan, en $g^{kl}$ een element van zijn inverse matrix.

## Symmetrieën

A priori kan een vierde-orde-tensor tot $n^{4}$ onafhankelijke componentfuncties hebben. Bij de riemann-tensor wordt dit aantal sterk beperkt door symmetrieën ten opzichte van bepaalde permutaties van de indices:
* Antisymmetrisch in de eerste twee indices: $R_{ijkl}=-R_{jikl}$
* Antisymmetrisch in de laatste twee indices: $R_{ijkl}=-R_{ijlk}$
* Verwisselbaarheid van de eerste twee met de laatste twee indices: $R_{ijkl}=R_{klij}$
* Cyclische permutatie van de laatste drie indices $R_{ijkl}+R_{iljk}+R_{iklj}=0.$
De tweede symmetrie volgt rechtstreeks uit de eerste en de derde; men kan ook aantonen, dat de derde symmetrie rechtstreeks volgt uit de eerste, de tweede en de vierde.
Deze symmetrieën herleiden het aantal onafhankelijke componenten van de riemann-tensor tot
    ${n^{2}(n^{2}-1) \over 12}$
Uit de derde symmetrie volgt, dat de riemann-tensor, opgevat als een multilineaire functie $R(X,Y,Z,W)$ van vier raakvectoren, volledig vastligt door zijn gedrag in de tweedimensionale deelruimten van de raakruimte. Als $R(X,Y,Z,W)=0$ voor alle $X,Y\in T_{p}M,$ dan is $R(X,Y,Z,W)=0$ voor alle $X,Y,Z,W\in T_{p}M.$

## Kenmerk van lokaal vlakke variëteiten

De krommingstensor van een $n$-dimensionale pseudo-riemann-variëteit is overal 0 als en slechts als de variëteit lokaal isometrisch is met de euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{n}$. Riemann ontdekte de tensor trouwens door op zoek te gaan naar een nodige en voldoende voorwaarde opdat een gegeven metriek $g_{ij}dy^{i}dy^{j}$ door een geschikte coördinatentransformatie zou kunnen omgevormd worden tot de constante euclidische metriek $(dx^{i})^{2}.$
Merk op, dat de isometrie slechts lokaal is, dus op voldoende kleine omgevingen van ieder gegeven punt $p$. Zo kan men bijvoorbeeld de torus $\mathbb {T} ^{2}$ uitrusten met een metrische tensor, die een vlakke ruimte oplevert. Er bestaat echter geen globale isometrie $\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$.