# Warmtevergelijking

De warmtevergelijking of diffusievergelijking is een elementaire parabolische partiële differentiaalvergelijking die onder andere de variatie van temperatuur in een gegeven gebied in de tijd kan beschrijven.

## Definitie

In drie dimensies heeft de vergelijking de volgende vorm:
    $u_{t}=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})$,
waarin:
* $u(t,x,y,z)$ de temperatuur is als functie van tijd en ruimte;
* $u_{t}$, de partiële afgeleide naar de tijd, de mate van temperatuurverandering is in de tijd in een gegeven punt;
* $u_{xx}$, $u_{yy}$, en $u_{zz}$ de tweede partiële afgeleiden zijn van de temperatuur naar een van de richtingen $x,\,y$ en $z$.
* $k$ een materiaal-specifieke constante, de temperatuurvereffeningscoëfficiënt is
Voor willekeurige dimensies kan de warmtevergelijking door middel van de Laplace-operator beschreven worden.
    $u_{t}=k\Delta u$
Hierin wordt de Laplace-operator genomen over de variabelen die de ruimte beschrijven (in bovenstaand voorbeeld $x,\,y$ en $z$).

## Natuurkundige interpretatie

De variabelen $u_{xx}$ zijn tweede afgeleiden naar (in dit geval) de dimensie $x$:
* $u$ weerspiegelt de temperatuur in elk punt;
* $u_{x}$ geeft het verloop van de temperatuur, en de warmte die gaat stromen is daarmee evenredig;
* $u_{xx}$ geeft het verschil in warmtestromen (bijvoorbeeld links in en rechts uit) en bepaalt daarmee hoeveel warmte op elk punt blijft hangen;
* de warmte die blijft hangen bepaalt hoeveel de temperatuur toeneemt, ofwel de waarde van $u_{t}$.
In dit alles spelen van het materiaal afhankelijke evenredigheidsfactoren een rol; die factoren zijn samengebracht in de warmtediffusiviteit $k$:
* $\lambda$ bepaalt hoeveel warmte door het materiaal gaat stromen als gevolg van de temperatuurgradiënt;
* er is geen omrekenfactor voor de bepaling van het verschil tussen warmtestromen;
* $1/{\rho \cdot c_{p}}$ bepaalt hoeveel de temperatuur van het materiaal toeneemt door de vastgehouden warmte.

## Probleemstelling, randvoorwaarden

Om van de warmtevergelijking een zinvolle wiskundige (en fysische) probleemstelling te maken, moet ze nog aangevuld worden met randvoorwaarden. Dat wil zeggen dat bepaalde aspecten van de onbekende functie $u$ a priori worden vastgelegd op de rand van een deelverzameling van de ruimte-tijd. Meestal neemt dit de vorm aan van een afzonderlijke beginvoorwaarde op tijdstip $t=0$ en een ruimtelijke randvoorwaarde op de rand van een deelverzameling van de ruimtelijke coördinaten. In dat geval zoeken we naar functies $u$ voor strikt positieve tijdstippen en voor ruimtelijke coördinaten die binnen de gegeven deelverzameling liggen.
Voor de beginvoorwaarde wordt meestal de waarde van $u$ zelf vastgelegd voor $t=0$ en voor elke mogelijk punt in de ruimte (of het relevante deel van de ruimte).
Voor de ruimtelijke randvoorwaarde legt men meestal de waarde van $u$ zelf vast (probleem van Dirichlet), of haar richtingsafgeleide loodrecht op de rand van de gegeven verzameling (probleem van Neumann), of een combinatie van beide.

### Voorbeeld

De temperatuurverdeling en -evolutie in een dunne geïsoleerde staaf van lengte $L$ wordt beschreven door een warmtevergelijking in één tijdelijke en één ruimtelijke coördinaat
    $u_{t}=ku_{xx}$
De beginvoorwaarde specificeert de temperatuurverdeling $f$ op het begintijdstip $t=0$:
    $\forall x\in [0,L]:u(0,x)=f(x)$
Het thermische isolement van de staaf vertolkt zich in de Neumann-randvoorwaarden
    $\forall t>0:u_{x}(t,0)=u_{x}(t,L)=0$

## Oplossing

De aanpak bestaat er meestal in, voor de specifieke vorm van de randvoorwaarden een geschikte greense functie te vinden. Bij ruimtelijke dimensie een betekent dit een functie
    $g(t_{1},x_{1},t_{2},x_{2})$
die als functie van $t_{1}$ en $x_{1}$ voldoet aan de warmtevergelijking, maar waarbij de rand- en beginvoorwaarden herleid zijn tot een diracfunctie geconcentreerd in $(t_{2},\,x_{2})$.
De eigenlijke oplossing van het randvoorwaardeprobleem is dan de integraal van deze greense functie, gewogen met de echte begin- en randvoorwaarden als functie van $t_{2}$ en $x_{2}$.
* Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Heat_equation op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.