# Quotiëntenlichaam

Een quotiëntenlichaam of breukenlichaam is in de wiskunde het lichaam dat wordt gemaakt uit een integriteitsgebied $R$ en dat uit elementen bestaat die kunnen worden opgevat als breuken van elementen uit $R$. Een belangrijk voorbeeld is het lichaam $\mathbb {Q}$ van de rationale getallen, als quotiëntenlichaam van het integriteitsgebied $\mathbb {Z}$ van de gehele getallen.

## Constructie

Zij $R$ een integriteitsgebied. Men construeert zijn quotiëntenlichaam als volgt. Beschouw eerst het cartesische product
    ${\overline {R}}=R\times \left(R\setminus \{0\}\right)=\left\{(r,s)\in R\times R:s\neq 0\right\}$
Op ${\overline {R}}$ beschouwen we de volgende relatie $\sim$:
    $(r,s)\sim (u,v)\Leftrightarrow r\cdot v=s\cdot u$
Dit is een equivalentierelatie. De onderliggende verzameling van het quotiëntenlichaam bestaat uit de equivalentieklassen van deze equivalentierelatie en wordt als $Q(R)$ genoteerd.
Een optelling en een vermenigvuldiging in $Q(R)$ laten zich als volgt definiëren:
    $(r,s)+(u,v)=(r\cdot v+s\cdot u,s\cdot v)$
    $(r,s)\cdot (u,v)=(r\cdot u,s\cdot v)$
De equivalentieklasse van het koppel $(r,s)$ wordt meestal genoteerd als de breuk ${\frac {r}{s}}$, of $r/s$, of als $rs^{-1}$. Men noemt $r$ de teller en $s$ de noemer van de breuk.

### Voorbeelden

* Zoals hierboven aangegeven zijn de rationale getallen de breuken waarvan de tellers en noemers gehele getallen zijn.
* Ieder lichaam is een integriteitsgebied, en is gelijk aan zijn eigen breukenlichaam.
* De polynomen in een variabele met coëfficiënten in een gegeven lichaam $K$ vormen een integriteitsgebied $K[X]$. Het breukenlichaam bestaat uit de veeltermbreuken of rationale functies en wordt met $K(X)$ genoteerd.
* De analytische functies op een open deelverzameling der complexe getallen vormen een integriteitsgebied. Het quotiëntenlichaam bestaat uit de meromorfe functies.

## Inbedding van een integriteitsgebied in zijn quotiëntenlichaam

De functie die elk oorspronkelijk ringelement $r$ afbeeldt op de breuk $r/1$ is een ringhomomorfisme van $R$ naar $Q(R)$. Dit homomorfisme is injectief, dus $R$ is isomorf met een deelring van $Q(R)$.
Het quotiëntenlichaam is het kleinste lichaam dat $R$ omvat, in de zin dat ieder lichaam dat $R$ omvat, een deellichaam heeft dat isomorf is met $Q(R)$.

## Lokalisatie

Bovenstaande constructie kan nog op twee manieren verder veralgemeend worden. Enerzijds laat men de eis vallen dat $R$ een domein is, dus $R$ is een willekeurige commutatieve ring met eenheidselement. Anderzijds neemt men als noemerverzameling niet noodzakelijk $R_{0}$, maar een willekeurige deelverzameling$S$ van $R$ die multiplicatief gesloten is, dat wil zeggen dat het product van twee willekeurige elementen van $S$ opnieuw in $S$ ligt.
We definiëren als volgt een equivalentierelatie $\sim$ op de cartesisch product $R\times S$:
    $(r,s)\sim (u,v)\Leftrightarrow \exists x\in S:x\cdot (r\cdot v-s\cdot u)=0$
Het rechterlid is een beetje ingewikkelder dan hierboven omdat $R$ niet noodzakelijk nuldelervrij is. Als we de oorspronkelijke definitie zouden handhaven, dan is de transitiviteit van de relatie niet langer gegarandeerd.
De verzameling der equivalentieklassen wordt breukenring of lokalisatie van $R$ in $S$ genoemd, en genoteerd $R_{S}$ of $RS^{-1}$

### Voorbeeld

Als $p$ een priemideaal is van $R$, dan is de complementverzameling $R-p$ multiplicatief gesloten. Men spreekt van de lokalisatie van $R$ in het priemideaal $p$ en wordt, enigszins inconsequent, genoteerd met $R_{p}$. Deze ring bestaat uit breuken waarvan de noemer niet in $p$ ligt. Het is een lokale ring, wat de benaming lokalisatie verantwoordt. Zijn uniek maximaal ideaal bestaat uit de veelvouden van elementen van $p$, strikt genomen: van de breuken waarvan de teller een veelvoud is van $p$, en de noemer niet.
Het quotiëntenlichaam van een domein is hiervan een bijzonder geval, dat ontstaat door naar het priemideaal {0} te kijken.

### Inbedding

De hierboven gedefinieerde afbeelding die $r$ op $r/1$ afbeeldt, is nog steeds een homomorfisme van ringen. Ze is evenwel alleen injectief als $R$ een integriteitsgebied is.