# Isoperimetrisch quotiënt

In de meetkunde is het isoperimetrisch quotiënt een maat voor de relatie tussen de omsloten oppervlakte en de omtrek van vlakken, en het ingesloten volume en de oppervlakte van ruimtelijke figuren, dus een maat voor de relatie tussen de 'buitenkant' en het 'binnenste' van een vorm. De maat is voor gelijkvormige figuren gelijk. Het gaat er bij het isoperimetrisch probleem om bij een gegeven omtrek of oppervlakte de figuur met de grootste oppervlakte, respectievelijk het grootste volume te vinden. De cirkel is de vlakke, en de bol het lichaam die de oplossingen zijn. Daarom is het isoperimetrisch quotiënt zo gedefinieerd dat het voor deze figuren de waarde 1 heeft. Het isoperimetrisch quotiënt is voor alle figuren dus kleiner dan of gelijk aan 1; dat wordt de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.
Het begrip isoperimeter is van het Grieks afgeleid en betekent gelijke omhullende afmetingen.

## Definitie

Voor een vlakke figuur met oppervlakte $A$ en omtrek $O$ wordt het isoperimetrisch quotiënt $IQ$ gegeven door:
    $IQ=4\pi {\frac {A}{O^{2}}}$
Voor een ruimtelijke figuur met inhoud $V$ en oppervlakte $A$ wordt het isoperimetrisch quotiënt $IQ$ gegeven door:
    $IQ=36\pi {\frac {V^{2}}{A^{3}}}$

## Eigenschappen

* Isoperimetrische ongelijkheid: voor alle figuren en lichamen is $IQ\leq 1$.
* Van gelijkvormige figuren is het isoperimetrisch quotiënt gelijk, aangezien de machten van de voor de afmetingen van het lichaam bepalende factor tegen elkaar wegvallen.
* Voor de cirkel en de bol is $IQ({\text{cirkel}})=IQ({\text{bol}})=1$.

## Tabel

In de onderstaande tabel staat voor een aantal ruimtelijke figuren het isoperimetrisch quotiënt, oplopend geordend. De genoemde, afnemende oppervlakten in bijvoorbeeld cm² behoren steeds bij een inhoud van 1000 cm³.
    afgeknotte icosaëder stompe dodecaëder bol
    Ruimtelijke figuurOppervlakte bij een inhoud van 1000$IQ$ viervlak 721 0,302 kegel met $h=2r{\sqrt {2}}$ 609 0,5 kubus 600 0,523 regelmatig achtvlak 572 0,605 cilinder $h=2r$ 553 0,667 regelmatig twaalfvlak 531 0,755 regelmatig twintigvlak 515 0,829 afgeknotte icosaëder 500 0,903 stompe dodecaëder 492 0,947 bol 484 1
* ↑ kegelvorm met het hoogste isoperimetrisch quotiënt
* 1 2 3 exact
* ↑ De afgeknotte icosaëder wordt veelvuldig in het leer of plastic uitgevoerd als voetbal. Waarom hiervoor niet een stompe dodecaëder wordt toegepast die meer de bol benadert, zal duidelijk zijn: een afgeknotte icosaëder bezit 32 vlakken en een stompe dodecaëder bestaat uit 92 vlakken, en is daardoor ingewikkelder.
* ↑ niet exact 500, met een extra decimaal wordt het 500,3

## Verhouding tussen oppervlak en omtrek bij regelmatige veelhoeken

Regelmatige veelhoeken zijn tweedimensionale meetkundige figuren, bestaande uit een eindig aantal lijnstukken die alle dezelfde lengte hebben. Voorbeelden hiervan zijn:
* de gelijkzijdige driehoek
* het vierkant
* de regelmatige vijfhoek
* de regelmatige zeshoek
In onderstaande tabel staat de isoperimetrische ongelijkheid voor een aantal regelmatige veelhoeken met oplopende IQ en kleiner wordende omtrek O. Voor de omtrek O in bijvoorbeeld cm wordt uitgegaan van een oppervlak A van 1000 cm$^2$.
    vierkant zeventienhoek cirkel
    Regelmatige veelhoek Omtrek bij een oppervlakte van 1000 IQ driehoek 144 0,605 vierkant 127 0,785 vijfhoek 121 0,865 zeshoek 118 0,907 achthoek 115 0,948 tienhoek 114 0,967 twaalfhoek 113 0,977 zeventienhoek 112,75 0,988 vierentwintighoek 112,42 0,994 cirkel 112 1
Proclus, een Grieks neoplatonisch filosoof en wiskundige, zei over de cirkel het volgende: "De cirkel is de eerste, de eenvoudigste en de meest volmaakte figuur." Dante Alighieri zei later over de cirkel: Lo cerchio è perfetissima figura, De cirkel is het meest volmaakte figuur.