# Lijnvermenigvuldiging

Een lijnvermenigvuldiging (ook wel axiale vermenigvuldiging) is een afbeelding (transformatie) van het euclidische vlak op zichzelf, waarbij twee vaste rechte lijnen $a$ en $r$, die niet evenwijdig zijn, en een reëel getal $k\neq 0$ een rol spelen bij het bepalen van het beeldpunt $P'$ van een punt $P$ in dat vlak.
Het beeld $P'=V(P)$ van ieder punt $P$ bij een lijnvermenigvuldiging $V$ wordt als volgt bepaald (zie figuur 1):
* Het punt $O$ (verderop ter onderscheid, bij een punt $X$, ook wel geschreven als $O_{x}$) is het snijpunt met de lijn $a$ van de lijn $p$ die door het punt $P$ gaat en die evenwijdig is met de lijn $r$.
* Het punt $P'$ ligt zó op de lijn $p$ dat $OP'=|\,k\,|\cdot OP$.
* Als $k>0$ is, dan liggen $P$ en $P'$ aan dezelfde kant van $O$. Is $k<0$, dan liggen $P$ en $P'$ aan verschillende kanten van $O$ (het punt $O$ ligt dan op het lijnstuk $PP'$).

## Naamgeving

De lijn $a$ is de affiniteitsas (of collineatie-as) van $V$, kortweg ook wel de as van $V$. De (richting van de) lijn $r$ is de richting van $V$. Het getal $k$ is de (vermenigvuldigings)factor van $V$.
Als $a$ en $r$ niet loodrecht op elkaar staan, dan is $V$ scheef: een scheve lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as $a$ met richting $r$.
Als $a$ loodrecht staat op $r$, dan is $V$ recht (of orthogonaal): een rechte lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as $a$. In dit laatste geval wordt het woord ‘rechte’ soms weggelaten.
Als $k=1$ is, is $V$ de zogeheten identieke afbeelding: voor ieder punt $P$ is dan $V(P)=P$.

## Een andere definitie

De factor $k$ kan ook worden vastgelegd door een gegeven punt $R$ en het beeldpunt $R'$ daarvan. Deze punten worden meestal op de lijn $r$ gekozen.
Liggen $R$ en $R'$ daarbij aan verschillende kanten van $O_{r}$ (het snijpunt van $r$ en $a$), dan is $k$ negatief; zie figuur 2, waarin $k\approx -0,46$.
N.B. Als het getal $k$ op deze manier wordt vastgelegd, is de lijnvermenigvuldiging van een punt geheel met passer en (ongemerkte) liniaal uit te voeren. Het op de lijn $a$ liggend punt $S$ van de verbindingslijn tussen $R$ en het te vermenigvuldigen punt $P$ speelt daarbij een ‘intermediërende’ rol.

## Eigenschappen

In deze paragraaf is $V$ een scheve of rechte lijnvermenigvuldiging t.o.v. de as $a$, met richting $r$ en met $k\neq 1$.
* De lijn $a$ is invariant onder $V$: voor ieder punt $S$ van $a$ is $V(S)=S$.
* De lijn $r$ wordt niet puntsgewijs op zichzelf afgebeeld: voor ieder punt $R$ van $r$ geldt dat $R'=V(R)$ op de lijn $r$ ligt, waarbij dan $R'\neq R$ (als $R=O_{r}$, dan is $k=0$, en die waarde is uitgesloten).
* Een rechte lijn wordt door $V$ afgebeeld op een rechte lijn. Het snijpunt van een lijn en diens beeldlijn ligt op de lijn $a$ (mits die lijn niet evenwijdig is met $r$).
* Een deelverhouding op een lijnstuk is gelijk aan de (door $V$ ingesneden) deelverhouding op het beeldlijnstuk; zie figuur 3, waarin $(PQD)=(P'Q'D')$.
* Evenwijdige lijnen worden door $V$ afgebeeld op evenwijdige lijnen; zie figuur 4.
Op grond van deze eigenschappen behoren de lijnvermenigvuldigingen tot de zogeheten affiene transformaties van het vlak.

## Twee toepassingen

1. Bij grafieken van functies (in een standaard $xOy$-assenstelsel) wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij verticaal en horizontaal vermenigvuldigen van (de grafiek van) de functie (richtingverschaling); dat wil zeggen:
    a. verticaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de $x$-as;
    b. horizontaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de $y$-as.
Voorbeeld. In figuur 5 is de grafiek van de functie $y=f(x)=3-|\,x-3\,|$ weergegeven op het interval $[0\,;\,6]$. Het beeld van (de grafiek van) $f$ is bepaald met de verticale vermenigvuldiging $V_{x}$ waarbij $k=1{\tfrac {1}{2}}$; daarbij is $V_{x}(P)=P'$. De grafiek van het $V_{x}$-beeld van de grafiek van $f$ heeft daarmee het voorschrift:
    $y=1{\tfrac {1}{2}}(3-|\,x-3\,|)=4{\tfrac {1}{2}}-1{\tfrac {1}{2}}|\,x-3\,|$
In dezelfde figuur is op $f$ ook de horizontale vermenigvuldiging $V_{y}$ met $k=1{\tfrac {1}{3}}$ toegepast, beperkt tot het interval $[0\,;\,3]$ op de $y$-as. Daarbij is $V_{y}(Q_{1})=Q_{1}'$ en $V_{y}(Q_{2})=Q_{2}'$.
Is nu $Q=(x_{o},y_{o})$, voor $Q=Q_{1},\,Q_{2}$, dan is:
    $V_{y}(Q)=(1{\tfrac {1}{3}}x_{o},y_{o})=(x_{n},y_{n})$
zodat:
    $x_{n}=1{\tfrac {1}{3}}x_{o}$ en $y_{n}=y_{o}$
Omdat zo’n punt $Q$ op de grafiek van $f$ ligt, geldt ook:
    $y_{o}=3-|\,x_{o}-3\,|$
Daaruit volgt door substitutie:
    $y_{n}=3-|\,{\tfrac {3}{4}}x_{n}-3\,|$
Het functievoorschrift van het $V_{y}$-beeld van de (grafiek van de) functie $f$ is dan:
    $y=3-|\,{\tfrac {3}{4}}x-3\,|$
2. In de meetkunde wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij de analytische behandeling van de ellips: het beeld van een cirkel bij een rechte (of scheve) lijnvermenigvuldiging t.o.v. een middellijn van die cirkel is namelijk een ellips.
Voorbeeld. Zie figuur 6, waarin $AA_{t}$ een middellijn is van de cirkel $G$. De vergelijking van $G$, met middelpunt $O$ en straal $a$, is in een standaard $xOy$-assenstelsel:
    $x^{2}+y^{2}=a^{2}$
Voor een punt $P$ op $G$ is $P=(a\cos \varphi ,\,a\sin \varphi )$, waarbij $\varphi$ de (veranderlijke) hoek is tussen de positieve $x$-as en het lijnstuk $PO$ (met $0\leq \varphi <360^{\circ }$).
Wordt op $G$ de verticale vermenigvuldiging $V_{x}$ toegepast met factor $b/a$ (hier is $b<a$), dan geldt voor $P'=V_{x}(P)$:
    $P'=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi )=(x_{n},y_{n})$ of ook: $x_{n}=a\cos \varphi ,\,y_{n}=b\sin \varphi$
Dus is:
    ${\frac {{x}_{n}}{a}}=\cos \varphi ,\ {\frac {{y}_{n}}{b}}=\sin \varphi$
Kwadrateren geeft nu de relatie:
    ${{({\frac {{x}_{n}}{a}})}^{2}}+{{({\frac {{y}_{n}}{b}})}^{2}}=1$
De meetkundige plaats van de punten $P'$ bij veranderende waarden van $\varphi$ heeft dan de vergelijking:
    ${\frac {{x}^{2}}{{a}^{2}}}+{\frac {{y}^{2}}{{b}^{2}}}=1$
Dit is de vergelijking van een ellips met middelpunt $O$ waarvan de lengtes van de halve assen gelijk zijn aan $a$ en $b$.
In figuur 6 is ook de cirkel $G'$, met middelpunt $O$ en straal $b$, weergegeven. Voor het snijpunt $P^{*}$ van $OP$ met $G'$ is $P^{*}=(b\cos \varphi ,\,b\sin \varphi )$.
Wordt nu op de cirkel $G'$ de horizontale vermenigvuldiging $V_{y}$ met factor $a/b$ toegepast, dan geldt voor het beeldpunt $V_{y}(P^{*})$ van $P^{*}$:
    $V_{y}(P^{*})=(a\cos \varphi ,\,b\sin \varphi )=P'$
En daaruit blijkt dat de horizontale vermenigvuldiging van de cirkel $G'$ hetzelfde effect heeft als de verticale vermenigvuldiging van de cirkel $G$: in beide gevallen is dat de ellips met middelpunt $O$ en halve assen $a$ en $b$.

## Uitbreiding tot $\mathbb {R} ^{3}$

De lijn $a$ moet in de driedimensionale euclidische ruimte vervangen worden door een vlak $\alpha$ om ook in die ruimte een dergelijke vermenigvuldiging met richting $r$ te kunnen definiëren: een vlakvermenigvuldiging $V$. De lijn $r$ moet daarbij het vlak $\alpha$ snijden.
De constructie van het beeldpunt $P'=V(P)$ van $P$ gaat in dit geval als volgt; zie figuur 7.
* De lijn $p$ gaat door het punt $P$ en is evenwijdig met de lijn $r$.
* Het punt $O_{p}$ is het snijpunt van de lijn $p$ met het vlak $\alpha$.
* Het punt $P'$ ligt zó op de lijn $p$ dat $O_{p}{P'}=|\,k\,|\cdot O_{p}{P}$. Als $k>0$ is, dan liggen $P$ en $P'$ aan dezelfde kant van $O_{p}$; is $k<0$, dan liggen $P$ en $P'$ aan verschillende kanten van $O_{p}$ (dus aan verschillende kanten van het vlak $\alpha$).