# Reine stemming

De reine stemming of stemming van Zarlino is een stemming met een toonladder waarin de muzikale intervallen bestaan uit breuken van kleine gehele getallen: 2/1 voor het octaaf, 3/2 voor de kwint, 4/3 voor de kwart, 5/4 voor de grote terts, en 6/5 voor de kleine terts. De overige intervallen (zoals de grote en kleine secunde) worden van deze verhoudingen afgeleid. De reine stemming werd in de 16e eeuw ontwikkeld door de Italiaanse muziektheoreticus Gioseffo Zarlino.
Onafhankelijk van de stemming wordt de term 'rein' ook gebruikt voor de intervallen reine kwart en reine kwint ter onderscheiding van de verminderde en overmatige vormen.

## Verhouding tot de boventoonreeks

De reine stemming is gebaseerd op de harmonische boventoonreeks. Bij iedere toon die gespeeld of gezongen wordt klinken namelijk boventonen mee, die een veelvoud zijn van de grondtoon. De eerste boventoon klinkt bijvoorbeeld tweemaal zo hoog als de grondtoon, en kan dus weergegeven worden met de breuk 2/1. De eerste boventonen van de grondtoon hebben de volgende toonafstanden:
* Eerste boventoon (2/1): octaaf
* Tweede boventoon (3/1): octaaf + kwint
* Derde boventoon (4/1): 2 octaven
* Vierde boventoon (5/1): 2 octaven + grote terts
* Vijfde boventoon (6/1): 2 octaven + kwint
Deze tonen kunnen op een snaarinstrument gespeeld worden door een snaar 2 keer zo kort te maken, of 3 keer zo kort etcetera.
Gebaseerd op deze boventonen kunnen de toonafstanden van de reine stemming vastgesteld worden. Een kwint komt bijvoorbeeld overeen met het verschil tussen de eerste boventoon (2/1) en de tweede boventoon (3/1) en krijgt daarom de breuk 3/2. Een reine kwart komt overeen met het verschil tussen de tweede boventoon (3/1) en de derde boventoon (4/1), en krijgt daarom de breuk 4/3. Een overzicht:
    1/1reine prime 2/1rein octaaf 3/2reine kwint 4/3reine kwart 5/4grote terts 8/5kleine sext 5/3grote sext 6/5kleine terts 9/8grote secunde (grote grote secunde) 10/9grote secunde (kleine grote secunde) 16/15kleine secunde
Een octaaf geldt als volmaakt consonant. Na het octaaf worden de reine kwint (3/2) en de reine kwart (4/3) als consonant ervaren. De beide tertsen en sexten worden als onvolkomen consonant beschouwd.
Opmerkelijk is dat de grote secunde op twee manieren gestemd kan worden. Ten eerste als het verschil tussen een kwint en een kwart: (3/2)/(4/3) = 9/8, ten tweede als het verschil tussen een kwart en een kleine terts: (4/3)/ (6/5) = 10/9. Er is dus een klein verschil in toonhoogte: (9/8)/(10/9) = 81/80. Dit verschil in toonhoogte wordt het didymische komma genoemd.

## Toonladders in reine stemming

Reine majeurladder De reine majeur-toonladder is de 7-tonige groteterts-ladder (do-ladder, ionische ladder) met als frequentie-verhoudingen:
    naamdoremifa solati(do) verhouding met grondtoon  1/1 9/85/44/3 3/25/315/82/1 verhouding onderling 9/810/916/159/8 10/99/816/15
Reine mineurladder Wat de natuurlijke kleineterts-ladder (la-ladder, eolische ladder) betreft, kan de benaming reine mineur-toonladder niet alleen de op de la-positie beginnende reine majeurladder
    verhouding met grondtoon 1/19/86/527/20 3/28/59/52/1 verhouding onderling 9/816/159/810/9 16/159/810/9
aanduiden, maar ook de daaruit door verwisseling van een 'grote' en een 'kleine' hele toonafstand ontstane ladder
    verhouding met grondtoon 1/19/86/54/3 3/28/59/52/1 verhouding onderling 9/816/1510/99/8 16/159/810/9
met een echt reine vierde trap (kwart) 4/3.
Geen reine 12-tonige ladder Er zijn meerdere voorstellen gedaan om de reine zeventonige ladder met nog vijf 'tussentonen' aan te vullen tot een twaalftonige ladder; tot één canonieke versie heeft dat echter niet geleid.

## Modulatie
### Kwintmodulaties

Onderstaande tabel toont het resultaat van opeenvolgende verschuivingen van de reine grotetertstoonladder (onderaan) over telkens een reine kwint (of een reine kwart in de andere richting, dat komt op hetzelfde neer). Nieuwe tonen zijn steeds met octaafstappen teruggebracht tot het uitgangsoctaaf.
In elke regel geldt voor twee van de zeven tonen dat ze in de regel erboven niet meer voorkomen: steeds verdwijnen de toonhoogtes van fa en la, en komen er twee nieuwe toonhoogtes bij: de ene - ti - vrijwel midden tussen de oude fa en so in, de andere - re - 22 cents (81/80, een didymisch komma) boven de oude la. Bij verschuiving over een kwint omlaag zijn het de toonhoogtes van re en ti die niet (niet precies) terugkomen.
Na drie kwintverschuivingen is er nog één oorspronkelijke toonhoogte over. Na twaalf kwintverschuivingen valt het resultaat (na zeven octaven terugschuiven) vrijwel samen met de uitgangsladder, het verschil is 23,46 cent ( (3/2)$^{12}$, in de tabel 24 cent door cumulatieve afronding). Krap 1/8 hele toon.
    Elke kwintverschuiving van de reine majeurladder geeft twee andere toonhoogtes; in de cellen staat de relatieve naam van de ladderpositie en de afstand in cents tot de grondtoon linksonder. do 24re 228 mi 410fa 522so 726la 908 ti 1112do 1224 so 24la 206ti 410 do 522re 726mi 908fa 1020so 1224 re 24mi 206fa 318so 522la 704ti 908do 1020re 1224 la 2ti 206do 318re 522mi 704fa 816 so 1020la 1202 mi 2fa 114so 318la 500ti 704do 816re 1020mi 1202 ti 2do 114 re 318mi 500fa 612so 816la 998ti 1202 so 114la 296ti 500do 612re 816mi 998fa 1110 re 114mi 296fa 408so 612 la 794ti 998do 1110 la 92ti 296do 408re 612mi 794fa 906so 1110 mi 92fa 204so 408la 590ti 794do 906re 1110 ti 92do 204 re 408mi 590fa 702 so 906la 1088 fa 0so 204la 386ti 590do 702re 906 mi 1088fa 1200 do 0re 204 mi 386fa 498so 702la 884ti 1088do 1200

### Tertsmodulaties

Bij een verschuiving van de reine majeurladder over een grote terts (5/4) verdwijnen er niet twee, maar vier tonen uit de ladder en komen er dus ook vier nieuwe bij. Na een drietal groteterts-modulaties ligt het resultaat - na octaafverschuiving - vrij dicht onder de uitgangsladder (afwijking 125/128, ofwel 41 cents).
Een modulatie over een kleine terts (6/5) vervangt ook steeds vier van de zeven laddertonen. Nu verschijnt er pas na negentien verschuivingen een goede benadering van de uitgangsladder; dat zal in de muziekpraktijk geen rol spelen, ook al is de afwijking dan nog geen 3 cents: (6/5)$^{19}$ / 2$^5$ ≈ −2,8 cent.

## Tussen opvolgende laddertonen liggen meer dan twee reine modulatie-tonen

De tabel toont de afstanden tot grondtoon do van de tonen van de reine majeurladder, aangevuld met de tonen die ontstaan door modulatie van die ladder over een of twee (grote) tertsen of kwinten, omhoog en omlaag. Gerangschikt naar toonhoogte binnen één octaaf; de grijstint wisselt bij 50, 150, 250, ... cents.
    Reine tonen na een of twee terts- of kwintmodulaties van de reine majeurladder       een modulatie          twee     modulaties        afstand tot do    verhouding cents do1/1    0 la + terts25/24  ≈ 71 re + terts + kwint135/128  ≈ 92 fa − terts16/15 ≈ 112 la − kwint10/9 ≈ 182 re9/8 ≈ 204 ti + terts75/64 ≈ 275 fa − kwint − kwint32/27 ≈ 294 so − terts6/5 ≈ 316 mi5/4 ≈ 386 re + kwint + kwint81/64 ≈ 408 do − terts − terts32/25 ≈ 427 la + terts + terts125/96 ≈ 457 fa4/3 ≈ 498 re − terts + kwint27/20 ≈ 520 la + terts − kwint25/18 ≈ 569 re + terts ti + kwint45/32 ≈ 590 fa − terts − kwint64/45 ≈ 610 re − terts − terts36/25 ≈ 631 ti + terts + terts375/256 ≈ 661 la − kwint − kwint40/27 ≈ 680 so3/2 ≈ 702 mi + terts25/16 ≈ 773 do − terts8/5 ≈ 814 la5/3 ≈ 884 re + kwint27/16 ≈ 906 fa − terts − terts128/75 ≈ 925 re + terts + terts225/128 ≈ 977 fa − kwint16/9 ≈ 996 re − terts9/5≈ 1018 ti15/8≈ 1088 so − terts − terts48/25≈ 1129 mi + terts + terts125/64≈ 1159 do2/1 1200
Weer andere reine toonhoogten komen voor bij modulaties over een kleine terts (tweemaal een kwint minus een terts). En nog weer andere bij de verschillende modulatie-mogelijkheden van een reine mineur-toonladder. Allemaal tonen die, in tegenstelling tot de tonen van de evenredige twaalfverdeling van het octaaf, rein genoemd worden. Een muziekschrift kan die enorme verscheidenheid aan theoretisch reine toonhoogtes bij lange na niet weergeven. Dat hoeft ook niet, want de violist en de zanger zijn voor al die finesses toch op hun gehoor en gevoel aangewezen.