# Gauss-kwadratuur

Gauss-kwadratuur is een door Carl Friedrich Gauss bedachte en door hem in 1814 gepubliceerde methode (kwadratuur). om een integraal numeriek te benaderen. Gauss-kwadratuur levert van alle numerieke integratiemethodes de hoogste algebraïsche nauwkeurigheid op. De vorm met orthogonale polynomen, zoals die tegenwoordig gehanteerd wordt, stamt uit 1826 en is afkomstig van Carl Jacobi.

## Achtergrond

De achterliggende gedachte van gauss-kwadratuur is de integraal van een functie te benaderen door de gewogen som van de functiewaarden in een aantal zogeheten steunpunten $(x_{k})_{k}$:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}\,f(x_{k})$
Dit blijkt goed mogelijk te zijn, als de functie benaderd kan worden door een polynoom van voldoend hoge graad
    $f(x)\approx P(x)$
en voor elke $n$ de steunpunten en de gewichten $(w_{k})_{k}$ eenmalig zo gekozen kunnen worden dat de benadering exact is voor polynomen van maximaal de graad $2n-1$:
    $\int _{a}^{b}P(x)\,{\rm {d}}x=\sum _{k=1}^{n}w_{k}\,P(x_{k})$
Bovendien is de benadering voor andere functies in bepaalde zin met deze keuze optimaal.
De benaderende polynoom wordt geschreven als een lineaire combinatie van polynomen uit een rij orthogonale polynomen met betrekking tot het inproduct
    $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,{\rm {d}}x$
Er is nog een vrije keuze wat de norm van de polynomen betreft, en een geschikte keuze is de polynomen normeren op 1, zodat ze een orthonormaal stelsel vormen.
Omdat $P_{0}(x)=c$ en $\langle P_{0},P_{0}\rangle =c^{2}(b-a)=1$, is
    $P_{0}(x)=c={\frac {1}{\sqrt {b-a}}}$
en
    $\langle P_{0},P_{m}\rangle =0$ voor $m>0$
Dus is ook voor $m>0$:
    $\int _{a}^{b}P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=0$
Door deze eisen zijn de polynomen vastgelegd.
Elke polynoom $P$ van de graad $n$ is een lineaire combinatie van de polynomen $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$:
    $P(x)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\,P_{k}(x)$
waarin
    $\alpha _{k}=\langle P,P_{k}\rangle$
immers:
    $\langle P,P_{k}\rangle =\left\langle \sum _{m=0}^{n}\alpha _{m}\,P_{m},P_{k}\right\rangle =\sum _{m=0}^{n}\alpha _{m}\,\langle P_{m},P_{k}\rangle =\sum _{m=0}^{n}\alpha _{m}\,\delta _{mk}=\alpha _{k}$
Er blijft dus nog de gewichten $w_{k}$ en steunpunten $x_{k}$ te bepalen zo, dat voor $m=0,\ldots ,n$
    $\sum _{k=1}^{n}w_{k}P_{m}(x_{k})=\int _{a}^{b}P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=\delta _{m0}\,{\sqrt {b-a}}$
Voor het steunpunt $x_{k}$ neemt men de $k$-de wortel van $P_{n}$, dan ontstaat voor de gewichten een stelsel van $n$ lineaire vergelijkingen (van de $n+1$ vergelijkingen is die voor $m=n$ triviaal, aangezien $P_{n}(x_{k})=0$).
    $\sum _{k=1}^{n}w_{k}P_{m}(x_{k})=0$ voor $m=1,\ldots ,n-1$
    $\sum _{k=1}^{n}w_{k}=b-a$
De vergelijkingen kunnen omgevormd worden tot het stelsel:
    $\sum _{k=1}^{n}w_{k}x_{k}^{m}=\int _{a}^{b}x^{m}\,{\rm {d}}x={\tfrac {1}{m+1}}(b^{m+1}-a^{m+1})$ voor $m=0,\ldots n-1$
Voor de zo bepaalde steunpunten en gewichten geldt nu dat inderdaad:
    $\int _{a}^{b}P(x)\,{\rm {d}}x=\int _{a}^{b}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\,P_{k}(x)\,{\rm {d}}x=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\,\int _{a}^{b}P_{k}(x)\,{\rm {d}}x=$
       $=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\,\sum _{i=1}^{n}w_{i}P_{k}(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}P_{k}(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}P(x_{i})$

## Gauss-legendrekwadratuur

Gauss-legendrekwadratuur (GLK) is een speciaal geval van gauss-kwadratuur. Ze dient om de integraal van een functie $f(x)$ over het interval $[-1,\,1]$ numeriek te benaderen. Dat gebeurt door de gewogen som te nemen van de functiewaarden $f(x_{i})$ in bepaalde steunpunten $x_{i}$. Het aantal steunpunten in de GLK-formule van graad $n$ is $n+1$.
    $\int _{-1}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})$
De steunpunten zelf liggen bij een bepaalde graad $n$ van GLK vast en liggen symmetrisch rondom de oorprong 0. Het zijn de wortels van de legendreveelterm van de graad $n+1$. Ze zijn niet equidistant. Dat betekent dat de afstand tussen twee opeenvolgende punten $x_{i}$ en $x_{i+1}$ niet altijd dezelfde is. Daarmee onderscheidt GLK zich van andere numerieke integratiemethoden die meestal wel equidistante steunpunten hebben.
De gewichten $(w_{i})$ liggen ook vast bij een bepaalde graad $n$. Ze kunnen berekend worden uit de legendreveelterm $P_{n+1}$ van graad $n+1$:
    $w_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})\left(P'_{n+1}(x_{i})\right)^{2}}}$
Gauss-legendrekwadratuur van graad $n$ heeft een nauwkeurigheidsgraad van $2n+1$. Dat betekent dat GLK van graad $n$ een veelterm van graad $2n+1$ exact kan integreren. De hoge nauwkeurigheidsgraad, vergeleken met andere numerieke integratiemethodes, is een gevolg van de orthogonaliteit van de legendreveeltermen op het interval $[-1,\,1]$.

## Uitbreiding

De methode kan worden uitgebreid tot een- of tweezijdig onbegrensde intervallen en inproducten van de vorm:
    $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)W(x)\,{\rm {d}}x$,
waarin de functie $W$ een geschikte wegingsfuntie is en de benadering van de vorm is:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=\int _{a}^{b}g(x)W(x)\,{\rm {d}}x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}\,g(x_{k})$

### Formule

De integraal van de functie $f$ met gewichtsfunctie $W$ wordt door de kwadratuurformule als volgt benaderd:
    $\int _{a}^{b}W(x)f(x)\,{\rm {d}}x\approx \sum _{k=1}^{n}{\frac {c_{n}/c_{n-1}}{P_{n}'(x_{k})P_{n-1}(x_{k})}}f(x_{k})$
Daarin
* is $P_{n}(x)$ een polynoom van de graad $n$ en vormen de polynomen $P_{n}$ een voor de integraal orthonormaal stelsel, dus:
    $\int _{a}^{b}W(x)P_{n}(x)P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=\delta _{nm}$
* zijn $x_{1},\ldots ,x_{n}$ de nulpunten van $P_{n}(x)$
* is $c_{m}$ de coëfficiënt van $x^{m}$ in $P_{m}(x)$
* stelt $P'_{n}(x)$ de afgeleide van $P_{n}(x)$ voor
* is $\delta _{nm}$ de kroneckerdelta, dus 1 als $n=m$ en 0 als $n\neq m$

### Gauss-laguerrekwadratuur

Gauss-laguerrekwadratuur is de toepassing van Gauss-kwadratuur op functies op het interval $[0,\infty )$ en gewichtsfunctie $W(x)=e^{-x}$. Een stelsel orthogonale polynomen wordt gevormd door de laguerre-polynomen. De te benaderen integraal wordt geschreven en benaderd als
    $\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }e^{-x}e^{x}f(x)\,\mathrm {d} x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}\,e^{x_{k}}f(x_{k})$

### Gauss-hermitekwadratuur

Gauss-hermitekwadratuur is de toepassing van Gauss-kwadratuur op functies op het interval $(-\infty ,\infty )$ en gewichtsfunctie $W(x)=e^{-x^{2}}$ . Een stelsel orthogonale polynomen wordt gevormd door de hermite-polynomen. De te benaderen integraal wordt geschreven en benaderd als
    $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}e^{x^{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}\,e^{x_{k}^{2}}f(x_{k})$

## Voorbeeld

Op het interval $[-1,\,1]$ vormen de legrendre-polynomen een orthogonaal stelsel. Voor $n=4$ is de genormeerde versie
    $P_{4}(x)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt {\tfrac {9}{2}}}(35x^{4}-30x^{2}+3)$
Deze polynoom is kwadratisch in $x^{2}$, dus zijn de nulpunten van de vorm
    $x^{2}={\frac {30\pm 4{\sqrt {30}}}{70}}$,
dus
    $x_{4}=-x_{1}={\sqrt {{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {4}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}}$
    $x_{3}=-x_{2}={\sqrt {{\tfrac {3}{7}}-{\tfrac {4}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}}$
De vergelijkingen voor de gewichtsfactoren zijn:
    $\sum _{k=1}^{4}w_{k}=2$
    $\sum _{k=1}^{4}w_{k}x_{k}=\sum _{k=1}^{4}w_{k}x_{k}^{3}=0$
    $\sum _{k=1}^{4}w_{k}x_{k}^{2}={\tfrac {2}{3}}$,
waaruit volgt
    $w_{1}=w_{4}$ en $w_{2}=w_{3}$
    $w_{1}+w_{2}=1$
    $w_{1}x_{1}^{2}+(1-w_{1})x_{2}^{2}={\tfrac {1}{3}}$
Dus is
    $w_{1}={\frac {{\tfrac {1}{3}}-x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}={\frac {{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {4}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}{{\tfrac {8}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}}={\tfrac {1}{2}}+({\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {3}{7}}){\tfrac {7}{8}}{\sqrt {\tfrac {10}{3}}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {5}{6}}}$
zodat
    $w_{1}=w_{4}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {5}{6}}}\quad$ en $\quad w_{2}=w_{3}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {5}{6}}}$
Als benadering voor de integraal
    $I=\int _{-1}^{1}\cos({\tfrac {\pi }{2}}x)\,{\rm {d}}x={\frac {4}{\pi }}=1{,}2732395\ldots$
geeft Gauss-kwadratuur:
    $I\approx \sum w_{k}\cos({\tfrac {\pi }{2}}x_{k})=1{,}2732295\ldots$
De gewichtsfactoren kunnen ook met de genoemde formule berekend worden:
    $w_{1}={\frac {c_{4}/c_{3}}{P_{4}'(x_{1})P_{3}(x_{1})}}$
Nu is
    $P_{4}'(x_{1})/c_{4}=4x_{1}^{3}-{\tfrac {12}{7}}x_{1}$
en
    $P_{3}(x)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\tfrac {7}{2}}}(5x^{3}-3x)$
dus
    $c_{3}={\tfrac {5}{2}}{\sqrt {\tfrac {7}{2}}}$
en
    $c_{3}P_{3}(x_{1})={\tfrac {35}{8}}(5x_{1}^{3}-3x_{1})$.
Invullen levert:
    $w_{1}={\frac {1}{(4x_{1}^{3}-{\tfrac {12}{7}}x_{1})({\tfrac {35}{8}}(5x_{1}^{3}-3x_{1}))}}=$
       $={\frac {2}{5(7x_{1}^{3}-3x_{1})(5x_{1}^{3}-3x_{1})}}=$
       $={\frac {2}{5(35x_{1}^{6}-36x_{1}^{4}+9x_{1}^{2})}}$
Omdat $x_{1}$ een nulpunt is van $P_{4}$, is $35x_{1}^{4}=30x_{1}^{2}-3$, met als gevolg:
    $w_{1}={\frac {2}{5(x_{1}^{2}(30x_{1}^{2}-3)-36x_{1}^{4}+9x_{1}^{2})}}=$
       $={\frac {1}{15x_{1}^{2}(1-x_{1}^{2})}}=$
       $={\frac {49}{6(30+4{\sqrt {30}})(10-{\sqrt {30}})}}=$
       $={\frac {49}{6(18+{\sqrt {30}})}}=$
       $={\frac {49}{6(18^{2}-30)}}(18-{\sqrt {30}})=$
       $={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {5}{6}}}$