# Dubbelevenredige zetelverdeling

Dubbelevenredige of dubbelproportionele zetelverdeling, of kortweg dubbelevenredig of dubbelproportioneel, is een toewijzingsmethode die de algehele verkiezingsuitslag als uitgangspunt neemt bij het evenredig verdelen van zetels over meervoudige kiesdistricten. De rekenmethode is bedacht door de Duitse wiskundige Friedrich Pukelsheim en wordt met name toegepast in Zwitserse kantons.
Het principe van dubbelevenredigheid houdt in dat de algehele zetelverdeling leidend blijft bij het evenredig verdelen van partijzetels over kiesdistricten. Dit wordt bereikt door eerst de zetelverdeling per kiesdistrict en per partij te berekenen, gevolgd door de zetelverdeling binnen de kiesdistricten. Als laatste worden er correcties toegepast om optimale evenredigheid op beide niveaus te bereiken.
Een dubbelevenredige zetelverdeling voorkomt het ontstaan van overhangmandaten omdat de algehele verkiezingsuitslag altijd leidend blijft. Daarnaast is het niet nodig om vereffeningszetels te reserveren aangezien alle zetels als directe districtszetels beschouwd kunnen worden.
Verschil met vereffeningszetels :
| | Stap 1 | Stap 2 | Stap 3 | Stap 4 |
| Dubbelevenredige zetelverdeling | Zetelgrootte van de kiesdistricten bepalen | Algehele zetelverdeling per partij bepalen | Voorlopige zetelverdeling binnen de kiesdistricten bepalen | Correcties toepassen om directe districtszetels toe te kennen |
| Vereffeningszetels | Zetelgrootte van de kiesdistricten bepalen | Directe districtszetels toekennen binnen kiesdistricten | Algehele zetelverdeling per partij bepalen | Vereffeningszetels toewijzen aan partijen en evt. kiesdistricten |

## Procesbeschrijving

Het principe van dubbelevenredigheid wordt bereikt door de volgende stappen te nemen:

### Bovenste verdeling

* Zetelgrootte van de kiesdistricten bepalen: Al voor de verkiezingen kan de zetelgrootte van elke kiesdistrict worden vastgesteld. Dit is meestal gebaseerd op het aantal inwoners. Dit bepaalt hoeveel zetels er in totaal te winnen zijn in elke regio.
* Algehele zetelverdeling per partij bepalen: De verkiezingsuitslag wordt bepaald door het totale aantal stemmen over alle kiesdistricten heen op te tellen. Dit bepaalt hoeveel zetels elke partij te verdelen heeft over de verschillende kiesdistricten.

### Onderste verdeling

* Voorlopige zetelverdeling binnen de kiesdistricten bepalen: De zetels worden vervolgens verdeeld over de kiesdistricten op basis van de algehele uitslag. Eerst worden de zetels evenredig verdeeld binnen elk kiesdistrict zodat partijen hun zetels verkrijgen in de kiesdistricten waar ze het populairst zijn.
* Correcties toepassen om directe districtszetels toe te kennen: Als laatste worden correcties toegepast om ervoor te zorgen dat elke kiesdistrict en elke partij precies genoeg zetels toebedeeld krijgen. Vervolgens kunnen alle zetels worden beschouwd als directe districtszetels.

## Bovenste verdeling

Bij de bovenste verdeling wordt het zeteltotaal voor elk kiesdistrict en elke partij berekend met behulp van een bepaalde methode zoals de methode van grootste overschotten of de Sainte-Laguë-methode.
Wanneer deze bovenste zetelverdeling is afgerond, is de uiteindelijke grootte van de kiesdistricten en de sterkte van partijen binnen het parlement definitief. De onderste verdeling bepaalt alleen in welke specifieke kiesdistricten de partijzetels worden toegewezen.
Stel dat er drie kiesdistricten zijn: I, II en III, en drie partijen: A, B en C. Binnen deze kiesdistricten worden er 20 zetels verdeeld. De grootste-overschottenmethode wordt toegepast voor optimale evenredigheid.

### Zetelgrootte van de kiesdistricten bepalen

Voor de verkiezingen kan het zetelaantal per kiesdistrict worden bepaald. In dit voorbeeld volgt de zetelverdeling het aantal stemmen, maar meestal wordt het zetelaantal bepaald door het aantal inwoners.
Omdat er 3805 kiezers zijn en er 20 zetels zijn, is de kiesdeler 190¼ stemmen per zetel. De uitkomst voor de zetelverdeling van de kiesdistricten wordt hieronder weergegeven.
| Kiesdistrict | Stemmen | Stemmen/kiesdeler | Volle zetels | Restzetel | Totaal |
| I | 1347 | 7.1 | 7 | | 7 |
| II | 1014 | 5.3 | 5 | | 5 |
| III | 1444 | 7.6 | 7 | 1 | 8 |
| Totaal | 3805 | Kiesdeler = 190¼ | 19 | 1 | 20 |

### Algehele zetelverdeling per partij bepalen

Wanneer de verkiezingsuitslagen binnen zijn, worden alle stemmen van alle kiesdistricten opgeteld. De uitkomst voor de zetelverdeling van de partijen wordt hieronder weergegeven.
| Partij | Stemmen | Stemmen/kiesdeler | Volle zetels | Restzetel | Totaal |
| A | 983 | 5.2 | 5 | | 5 |
| B | 2040 | 10.7 | 10 | 1 | 11 |
| C | 782 | 4.1 | 4 | | 4 |
| Totaal | 3805 | Kiesdeler = 190¼ | 19 | 1 | 20 |

## Onderste verdeling

De onderste verdeling moet de zetels over elke regionale partijlijst verdelen op een manier die zowel de zetelverdeling van de partij als de zetelverdeling van de kiesdistricten respecteert.
Het resultaat wordt verkregen door een herhalend proces. Eerst wordt voor elke kiesdistrict een districtsdeler berekend voor de stemmen die aan elke regionale partijlijst in die kiesdistrict zijn toegekend. Voor elke partij wordt met een partijdeler begonnen van 1.
Het doel van dit iteratieve proces is in feite om de districtsdelers en partijdelers zo aan te passen dat
* Het aantal zetels op elke regionale partijlijst gelijk is aan het aantal stemmen gedeeld door zowel de regionale als de partijdeler, dat vervolgens wordt afgerond met behulp van de afrondingsmethode van de Sainte-Laguë-methode die is gebruikt, en
* De som van de zetels van alle regionale partijlijsten van één partij is gelijk aan het aantal zetels dat in de bovenste verdeling voor die partij is berekend, en
* De som van de zetels op alle regionale partijlijsten van één kiesdistrict is gelijk aan het aantal zetels dat in de bovenste verdeling voor die kiesdistrict is berekend.

### Voorlopige zetelverdeling binnen de kiesdistricten bepalen

In eerste instantie moeten districtsdelers worden gevonden om de zetels van elke kiesdistrict over de regionale partijlijsten te verdelen. In de tabellen zijn er voor elke regionale partijlijst twee cellen. Hieronder wordt het aantal stemmen weergegeven inclusief het aantal toegewezen zetels.
| Partij | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Totaal | Totaal |
| Partij | I | I | II | II | III | III | | Totaal | Totaal |
| A | 123 | 1 | 45 | 0 | 815 | 5 | 983 | 6 |
| B | 912 | 4 | 714 | 4 | 414 | 2 | 2040 | 10 |
| C | 312 | 2 | 255 | 1 | 215 | 1 | 782 | 4 |
| Totaal | 1347 | 7 | 1014 | 5 | 1444 | 8 | 3805 | 20 |
| Districtsdeler | 205 | 205 | 200 | 200 | 180 | 180 | | |

### Correcties toepassen om directe districtszetels toe te kennen

Deze laatste stap kan worden gezien als het aanpassen van de stemkracht van de kiezers van elke partij met de minimaal noodzakelijke hoeveelheid, zodat de resultaten per kiesdistrict evenredig worden per partij. Met behulp van de Sainte-Laguë-methode wordt gegarandeerd dat dit iteratieve proces eindigt met de juiste zetelaantallen voor elke regionale partijlijst.
De volgende twee correctiestappen worden uitgevoerd totdat deze doelstelling is bereikt:
* De partijdelers zodanig aanpassen dat de zetelverdeling binnen elke partij correct is met de gekozen methode.
* De districtsdelers zodanig aanpassen dat de zetelverdeling binnen de kiesdistricten correct is met de gekozen methode.
Nu wordt er begonnen met een partijdeler van 1 en wordt het aantal zetels binnen elke partij gecontroleerd (dat wil zeggen, vergeleken met het aantal dat is berekend in de bovenste verdeling):
| Partij | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Totaal | Totaal | Partijdeler |
| Partij | I | I | II | II | III | III | | Totaal | Totaal | Partijdeler |
| A | 123 | 1 | 45 | 0 | 815 | 5 | 983 | 6 | 1 |
| B | 912 | 4 | 714 | 4 | 414 | 2 | 2040 | 10 | 1 |
| C | 312 | 2 | 255 | 1 | 215 | 1 | 782 | 4 | 1 |
| Totaal | 1347 | 7 | 1014 | 5 | 1444 | 8 | 3805 | 20 |
| Districtsdeler | 205 | 205 | 200 | 200 | 180 | 180 |
Omdat niet alle partijen het juiste aantal zetels hebben, moet er een correctiestap worden uitgevoerd: voor partij A en B moeten de kiesdelers worden aangepast. De kiesdeler voor A moet worden verhoogd en de kiesdeler voor B moet worden verlaagd:
| Partij | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Totaal | Totaal | Partijdeler |
| Partij | I | I | II | II | III | III | | Totaal | Totaal | Partijdeler |
| A | 123 | 1 | 45 | 0 | 815 | 4 | 983 | 5 | 1,1 |
| B | 912 | 5 | 714 | 4 | 414 | 2 | 2040 | 11 | 0,95 |
| C | 312 | 2 | 255 | 1 | 215 | 1 | 782 | 4 | 1 |
| Totaal | 1347 | 8 | 1014 | 5 | 1444 | 7 | 3805 | 20 |
| Districtsdeler | 205 | 205 | 200 | 200 | 180 | 180 |
Nu moeten de kiesdelers voor kiesdistrict I en III worden aangepast. Omdat kiesdistrict I één zetel te veel heeft (8 in plaats van de 7 zetels die bij de bovenste verdeling zijn berekend), moet de kiesdeler van die kiesdistrict omhoog worden gebracht. Omgekeerd moet de kiesdeler van kiesdistrict III omlaag.
| Partij | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Totaal | Totaal | Partijdeler |
| Partij | I | I | II | II | III | III | | Totaal | Totaal | Partijdeler |
| A | 123 | 1 | 45 | 0 | 815 | 4 | 983 | 5 | 1,1 |
| B | 912 | 5 | 714 | 4 | 414 | 3 | 2040 | 12 | 0,95 |
| C | 312 | 1 | 255 | 1 | 215 | 1 | 782 | 3 | 1 |
| Totaal | 1347 | 7 | 1014 | 5 | 1444 | 8 | 3805 | 20 |
| Districtsdeler | 210 | 210 | 200 | 200 | 170 | 170 |
Opnieuw moeten de kiesdelers voor de partijen worden aangepast:
| Partij | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Totaal | Totaal | Partijdeler |
| Partij | I | I | II | II | III | III | | Totaal | Totaal | Partijdeler |
| A | 123 | 1 | 45 | 0 | 815 | 4 | 983 | 5 | 1,1 |
| B | 912 | 4 | 714 | 4 | 414 | 3 | 2040 | 11 | 0,97 |
| C | 312 | 2 | 255 | 1 | 215 | 1 | 782 | 4 | 0,98 |
| Totaal | 1347 | 7 | 1014 | 5 | 1444 | 8 | 3805 | 20 |
| Districtsdeler | 210 | 210 | 200 | 200 | 170 | 170 |
Nu komen de zetelaantallen van de drie partijen en de drie kiesdistricten overeen met de aantallen die in de bovenste verdeling zijn berekend. Daarmee is het iteratieve proces voltooid en is de verdeling van de directe districtszetels bekend.
| Zetels | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Kiesdistrict | Totaal |
| Partij | I | II | III | Totaal |
| A | 1 | 0 | 4 | 5 |
| B | 4 | 4 | 3 | 11 |
| C | 2 | 1 | 1 | 4 |
| Totaal | 7 | 5 | 8 | 20 |

## Gebruik

De in de praktijk gebruikte methode voor een dubbelproportionele zetelverdeling werd in 2003 beschreven door de Duitse wiskundige Friedrich Pukelsheim. Deze methode wordt nu gebruikt voor kanton- en gemeenteraadsverkiezingen in bepaalde Zwitserse kantons, zoals Zürich (sinds 2006), Aargau en Schaffhausen (sinds 2008), Nidwalden, Zug (sinds 2013), Schwyz (sinds 2015), Wallis (sinds 2017) en Graubünden (sinds 2021).
De biproportionele zetelverdeling wordt ook gebruikt bij nationale verkiezingen voor de Bulgaarse Nationale Vergadering.

## Voor- en nadelen

Het belangrijkste voordeel van deze methode is dat ze zowel een eerlijke verdeling van zetels tussen de regio’s als tussen de partijen mogelijk maakt. De methode zorgt ervoor dat de verhouding tussen het aantal ontvangen stemmen en het aantal toegewezen zetels per partij zo gelijk mogelijk is. Dit minimaliseert de verschillen tussen grote en kleine partijen en garandeert een zeer nauwkeurige en evenwichtige zetelverdeling.
Een nadeel is echter dat binnen een kiesdistrict de voorkeuren voor specifieke partijen minder nauwkeurig worden gereflecteerd in de zetelverdeling. Het systeem is vooral gericht op het evenredigheid op het hoogste niveau, waardoor lokale voorkeuren soms wat minder zichtbaar zijn in de uiteindelijke zeteltoewijzing binnen de kiesdistricten.

## Java-applicatie

* Berechnung von Anzahlen mit Zuteilungsmethoden im Internet / Calculation of Allocations by Apportionment Methods in the Internet, Java-Programma BAZI voor de berekening van de dubbelevenredige zetelverdelingen via math.uni-augsburg.de