# Ondergroep (wiskunde)

In de groepentheorie is een ondergroep of deelgroep $H$ van een gegeven groep $G$ met de groepsbewerking $*$ een deelverzameling van $G$ die zelf ook een groep is bij dezelfde groepsbewerking $*$. Dat $H$ een ondergroep is van $G$, wordt genoteerd met $H\leq G$.

## Definitie

De deelverzameling $H\subseteq G$ van een groep $(G,*)$ heet een ondergroep van $(G,*)$, als $H$ met de groepsbewerking $*$ van $(G,*)$ zelf een groep is.
Dat houdt in dat de beperking van de bewerking $*$ tot $H$ voldoet aan de axioma's voor groepsbewerking.
Als de ondergroep $H$ van een groep $G$ gevormd wordt door een echte deelverzameling van $G$, is $(H,*)$ een echte ondergroep van $(G,*)$. Voor iedere groep $G$ is er de triviale ondergroep met alleen het neutrale element.

## Nevenklassen

Gegeven een groep $(G,*)$ en een ondergroep $H\leq G$, dan onderscheidt men voor ieder element $g\in G$ de nevenklassen van $g$ in $G$. De linkernevenklasse $gH$ van $H$ bepaald door $g$ is
    $gH=\{gh\mid h\in H\}$
en de rechternevenklasse $Hg$
    $Hg=\{hg\mid h\in H\}$.
Iedere ondergroep $H$ van een groep $G$ heeft in $G$ altijd evenveel linker- als rechternevenklassen. Een ondergroep heet een normaaldeler van de groep als linker- en rechternevenklassen samenvallen.

## Orde

Voor een eindige groep $G$ kan de orde, dat wil zeggen het aantal elementen, van die groep door de orde van alle ondergroepen $H$ ervan worden gedeeld. Dat is de stelling van Lagrange. Het quotiënt van de orde van $G$ en van $H$ is het aantal nevenklassen van $H$ in $G$.

## Eigenschappen

* Het neutrale element van een ondergroep $H\leq G$ is hetzelfde als het neutrale element van $G$ zelf.
* De inverse $h^{-1}$ van een element $h\in H$ in een ondergroep $H\leq G$ is gelijk aan de inverse $h^{-1}$ van het element in de groep $h\in G$.
* De doorsnede van twee ondergroepen is ook een ondergroep.
* Een deelverzameling $H\subseteq G$ is dan en slechts dan een ondergroep van de groep $G$, als in $H$ tenminste het neutrale element voorkomt, $H$ gesloten is onder de groepsbewerking en de inverse $h^{-1}$ van ieder element $h\in H$ ook een element van $H$ is. Dit houdt in: dat met $a,b\in H$ ook $ab\in H$ en $a^{-1}\in H$.
* Als $H$ eindig is, dan is $H$ dan en slechts dan een ondergroep van $G$, als $H$ gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element $a\in H$ een eindige cyclische ondergroep van $H$ en is de inverse van $a$ gelijk aan $a^{-1}=a^{n-1}$, waarin $n$ de orde is van $a$. Dat betekent dat $n$ het kleinste getal is, zodat $a^{n}=e$ met $e$ het neutrale element van $G$ en van $H$.
* Ieder element $a$ van een groep $G$ genereert een cyclische ondergroep $\langle a\rangle$. Als er een positief geheel getal $n$ is zodanig dat $\langle a\rangle$ isomorf is met $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, dan is $n$ gelijk aan de orde van $a$. Is $\langle a\rangle$ isomorf met $\mathbb {Z}$, dan zegt men dat $a$ van een oneindige orde is.
* Voor een deelverzameling $S\subseteq G$ bestaat er een kleinste ondergroep $H$ die $S$ omvat. $H$ is de doorsnede van alle ondergroepen die $S$ omvatten, wordt aangeduid met $\langle S\rangle$ en de door $S$ voortgebrachte ondergroep genoemd. Een element van $G$ is dan en slechts dan een element van $\langle S\rangle$ als het een eindig product is van elementen van $S$ en hun inverses.
* De ondergroepen van een groep vormen onder inbedding een volledige tralie die de tralie van ondergroepen wordt genoemd.
* Ondergroepen van cyclische groepen zijn ook cyclisch.
* De vereniging van ondergroepen is alleen dan een ondergroep in het triviale geval dat een van beide ondergroepen de andere omvat.

## Voorbeeld

Laat $G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}$ een commutatieve groep zijn met als groepsbewerking de optelling modulo acht. De cayley-tabel van de groep is
    + 0 2 4 6 1 3 5 7 0 02461357 2 24603571 4 46025713 6 60247135 1 13572460 3 35714602 5 57136024 7 71350246
Het neutrale element onder optellen van deze groep is 0. Deze groep wordt onder optellen door het element 1 voortgebracht, dus is een cyclische groep. De groep heeft een paar niet-triviale ondergroepen: $J=\{0,4\}$, $H=\{0,2,4,6\}$ en $J$ is een ondergoep van $H$. De cayley-tabel voor $H$ bestaat uit het linkerboven kwadrant van de cayley-tabel voor $G$.
* ↑ In Nederland is ondergroep gebruikelijk, in Vlaanderen is deelgroep gangbaarder.