# Mersennepriemgetal

In de wiskunde is een mersennepriemgetal een priemgetal van de vorm $2^{n}-1$, met $n$ een natuurlijk getal.
Getallen $M_{n}$ van de vorm
    $M_{n}=2^{n}-1$
worden mersennegetallen genoemd. In sommige definities wordt geëist dat de exponent $n$ een priemgetal is. Mersennegetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht.
Als $M_{n}$ een mersennepriemgetal is, is de exponent $n$ zelf ook een priemgetal. Immers:
    $2^{ab}-1=(2^{a}-1)\left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\ldots +2^{(b-1)a}\right)$

## Geschiedenis

Tabel van het vermoeden van Mersenne: $n\leq 263$ :
| P: $M_{n}$ is priem —: $M_{n}$ is samengesteld Mersenne had gelijk. Hij had het fout. |||||||||
| $n$ | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 |
| $M_{n}$ | P | P | P | P | — | P | P | P |
| $n$ | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 |
| $M_{n}$ | — | — | P | — | — | — | — | — |
| $n$ | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
| $M_{n}$ | — | P | — | — | — | — | — | P |
| $n$ | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 |
| $M_{n}$ | — | — | — | P | — | — | P | — |
| $n$ | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
| $M_{n}$ | — | — | — | — | — | — | — | — |
| $n$ | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
| $M_{n}$ | — | — | — | — | — | — | — | — |
| $n$ | 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 |
| $M_{n}$ | — | — | — | — | — | — | — | — |
Mersenne beweerde in 1644 dat $p=M_{n}$ priem is als $n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257$, maar dat $p$ een samengesteld getal is wanneer $n$ een van de andere priemgetallen, kleiner dan 257, is. Mersenne zat er wat betreft bovenstaande rij vijf keer naast. $M_{67}$ en $M_{257}$ zijn geen priemgetallen, terwijl $M_{61}$, $M_{89}$ en $M_{107}$ dit juist wel zijn.
Het grootste bekende priemgetal is sinds 1952 een mersennepriemgetal, met uitzondering van de periode van 1989 tot 1992 toen een ander getal was gevonden. Er wordt met GIMPS door distributed computing, over internet, naar nieuwe priemgetallen gezocht. Het is in 1996 begonnen en sinds 2005 zijn alle nieuwe grootste priemgetallen, steeds mersennepriemgetallen, met GIMPS gevonden. Het grootst bekende priemgetal is in oktober 2024 gevonden: het is 2$^{136279841}$-1. Het was het 52e mersennepriemgetal dat is gevonden.

## Theorie

De drie kleinste mersennepriemgetallen zijn
    $M_{2}=3,\ M_{3}=7,\ M_{5}=31$
Hoewel mersennegetallen $M_{p}$ alleen priem kunnen zijn als $p$ ook een priemgetal is, zijn er mersennegetallen $M_{p}$ die geen priemgetal zijn, terwijl $p$ dat wel is.
Het kleinste tegenvoorbeeld is het mersennegetal
    $M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89$
Het ontbreken van een duidelijke regel om te bepalen of een gegeven mersennegetal een priemgetal is maakt de zoektocht naar mersennepriemgetallen een interessante taak, die, aangezien mersennegetallen zeer snel groeien, heel snel zeer moeilijk wordt. De Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen is een efficiënte priemgetaltest, die wordt gebruikt om te bepalen of een mersennegetal ook een mersennepriemgetal is. Deze test is eenvoudiger uit te voeren dan testen voor andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een mersennepriemgetal.

## Perfecte getallen en mersennepriemgetallen

Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Als namelijk $2^{n}-1$ een priemgetal is, dan is $2^{n-1}(2^{n}-1)$ een perfect getal. Het omgekeerde geldt ook: ieder, in ieder geval even, perfect getal kan worden geschreven als $2^{n-1}(2^{n}-1)$ waarbij $n$ een priemgetal is en $2^{n}-1$ een mersennepriemgetal.
Voorbeeld: voor $n=3$ geldt dat $2^{n}-1=7$ een priemgetal is, en $2^{n-1}(2^{n}-1)=2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28$ een perfect getal is.
Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie en in het genereren van toevalsgetallen, dat gaat met de mersennetwister.

## Bekende mersennepriemgetallen

Er zijn op dit moment 52 mersennepriemgetallen bekend, het laatste en het grootste is in oktober 2024 gevonden.
| naam M$_n$ | getal | datum van ontdekking | ontdekt door |
| M$_{52}$ | 2$^{136279841}$−1 met 41 024 320 cijfers | 12 oktober 2024 | L Durant met GIMPS |
| M$_{51}$ | 2$^{82589933}$−1 met 24 862 048 cijfers | 7 december 2018 | P Laroche met GIMPS |
| M$_{50}$ | 2$^{77232917}$−1 met 23 249 425 cijfers | 26 december 2017 | J Pace met GIMPS |
| M$_{49}$ | 2$^{74207281}$−1 met 22 338 618 cijfers | 7 januari 2016 | C Cooper met GIMPS |
| M$_{48}$ | 2$^{57885161}$−1 met 17 425 170 cijfers | 25 januari 2013 | C Cooper met GIMPS |
| M$_{47}$ | 2$^{42643801}$−1 met 12 837 064 cijfers | 12 april 2009 | OM Strindmo met GIMPS |
| M$_{46}$ | 2$^{37156667}$−1 met 11 185 272 cijfers | 6 september 2008 | H-M Elvenich met GIMPS |
| M$_{45}$ | 2$^{43112609}$−1 met 12 978 189 cijfers | 23 augustus 2008 | Universiteit van Californië - Los Angeles met GIMPS |
| M$_{44}$ | 2$^{32582657}$−1 met 9 808 358 cijfers | 4 september 2006 | C Cooper en S Boone met GIMPS |
| M$_{43}$ | 2$^{30402457}$−1 met 9 152 052 cijfers | 15 december 2005 | C Cooper en S Boone met GIMPS |
| M$_{42}$ | 2$^{25964951}$−1 met 7 816 230 cijfers | 28 februari 2005 | M Nowak in samenwerking, Duitsland |
| M$_{41}$ | 2$^{24036583}$−1 met 7 235 733 cijfers | 15 mei 2004 | J Findley in samenwerking, Verenigde Staten |
| M$_{40}$ | 2$^{20996011}$−1 met 6 320 430 cijfers | 17 november 2003 | M Shafer in samenwerking, Verenigde Staten |
| M$_{39}$ | 2$^{13466917}$−1 | 14 november 2001 | M Cameron in samenwerking, Canada |
| M$_{38}$ | 2$^{6972593}$−1 | 1 juni 1999 | N Hajratwala in samenwerking, Verenigde Staten |
| M$_{37}$ | 2$^{3021377}$−1 | 27 januari 1998 | R Clarkson in samenwerking, Verenigde Staten |
| M$_{36}$ | 2$^{2976221}$−1 | 24 augustus 1997 | G Spence in samenwerking, Verenigd Koninkrijk |
| M$_{35}$ | 2$^{1398269}$−1 | november 1996 | J Armengaud in samenwerking, Frankrijk |
| M$_{34}$ | 2$^{1257787}$−1 | 1996 | D Slowinski en P Gage |
| M$_{33}$ | 2$^{859433}$−1 | 1994 | D Slowinski en P Gage |
| M$_{32}$ | 2$^{756839}$−1 | 1992 | D Slowinski en P Gage |
| M$_{31}$ | 2$^{110503}$−1 | 1988 | D Slowinski |
| M$_{30}$ | 2$^{216091}$−1 | 1985 | D Slowinski |
| M$_{29}$ | 2$^{132049}$−1 | 1983 | W Colquitt en L Welsh |
| M$_{28}$ | 2$^{86243}$−1 | 1982 | D Slowinski |
| M$_{26}$, M$_{27}$ | 2$^{23209}$−1, 2$^{44497}$−1 | 1979 | LC Noll |
| M$_{25}$ | 2$^{21701}$−1 | 1978 | LC Noll en L Nickel |
| M$_{24}$ | 2$^{19937}$−1 | 1971 | B Tuckerman |
| M$_{21}$ - M$_{23}$ | 2$^{9689}$−1, 2$^{9941}$−1, 2$^{11213}$−1 | 1963 | DB Gillies |
| M$_{19}$, M$_{20}$ | 2$^{4253}$−1, 2$^{4423}$−1 | 1961 | A Hurwitz |
| M$_{18}$ | 2$^{3217}$−1 | 1957 | H Riesel |
| M$_{13}$ - M$_{17}$ | 2$^{521}$−1, 2$^{607}$−1, 2$^{1279}$−1, 2$^{2203}$−1, 2$^{2281}$−1 | 1952 | RM Robinson |
| M$_1$ - M$_{12}$ | 2$^2$−1, 2$^3$−1, 2$^5$−1, 2$^7$−1, 2$^{13}$−1, 2$^{17}$−1 2$^{19}$−1, 2$^{31}$−1, 2$^{61}$−1, 2$^{89}$−1, 2$^{107}$−1, 2$^{127}$−1 | voor 1915 | Oud-Griekse wiskunde, Pietro Cataldi, Leonhard Euler, I Pervushin, RE Powers, Édouard Lucas |

### voetnoten

* ↑ (en) Rij: A000668 Mersenne primes (of form 2^p - 1 where p is a prime). (en) Rij: A000225 a(n) = 2^n - 1. (Sometimes called Mersenne numbers, although that name is usually reserved for A001348.) (en) Rij: A001348 Mersenne numbers: 2^p - 1, where p is prime. Gearchiveerd op 21 september 2024.
* ↑ (en) C Caldwell voor de University of Tennessee. Het grootste bekende priemgetal per jaar: een korte geschiedenis, december 2018. exacte datum niet vermeld
* 1 2 (en) Mersenne Prime Number discovery - 2$^{136279841}$-1 is Prime! (21 oktober 2024). Geraadpleegd op 22 oktober 2024.
* ↑ (en) GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2$^{82,589,933}$−1. 21 december 2018. Gearchiveerd op 6 september 2024.

### websites

* (en) GIMPS-project: Great Internet Mersenne Prime Search