# Harmonische ligging

Van vier verschillende punten $A,B,S$ en $T$ die op één lijn liggen, zegt men dat de paren $(A,B)$ en $(S,T)$ harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als
    ${\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}$
Daarin staat $|AB|$ voor de lengte van het lijnstuk $AB$.
De punten $S$ en $T$ worden harmonische verwanten ten opzichte van (c.q. bij) het puntenpaar $(A,B)$ genoemd. Ook wel: de punten $A,B$ scheiden de punten $S,T$ harmonisch.
Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding $(A,B;S,T)$ van de punten gelijk is aan $-1$.

## Constructies

Gegeven zijn de punten $A,B$ en $S$ die op één lijn liggen; $S$ ligt in dit geval tussen $A$ en $B$. Te construeren: het punt $T$ op de lijn $AB$ zó dat de puntenparen $(A,B)$ en $(S,T)$ elkaar harmonisch scheiden.

### Eerste constructie
#### Constructiestappen

    1. Punt = C \\ niet op de lijn AB 2. Lijn(C, A) ; Lijn(C, B) ; Lijn(C, S) 3. PuntOp(CS) = M 4. Lijn(A, M) ; Lijn(B, M) 5. Snijpunt(AM, BC) = F ; Snijpunt(BM, AC) = E 6. Lijn(E, F) 7. Snijpunt(EF, AB) = T
Dan is T het gevraagde punt.

### Tweede constructie
#### Constructiestappen

    1. Lijn(A, B) = g 2. Cirkel(AB) = k \\ AB is middellijn, M is middelpunt 3. Loodlijn(S, g) = l \\ loodlijn in S op g 4. Snijpunt(k, l) = Q 5. Lijnstuk(M, Q) = MQ 6. Loodlijn(Q, MQ) = t \\ raaklijn in Q aan k 7. Snijpunt(t, g) = T
Dan is T de harmonisch verwante van S bij het puntenpaar (A, B).

## Bewijzen
### Eerste constructie

De juistheid van deze constructie volgt uit de stelling van Ceva en die van Menelaos. Immers, daaruit blijkt opvolgend dat:
    ${\frac {|AS|}{|SB|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1$
en dat:
    ${\frac {|AT|}{|BT|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1$
Zodat ${\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}$.

### Tweede constructie

Met $MA=MB=MQ=r,MS=p,TS=q$ is dan:
    ${\frac {|AS|}{|BS|}}\cdot {\frac {|BT|}{|AT|}}={\frac {r+p}{r-p}}\cdot {\frac {p+q-r}{p+q+r}}$
Rekening houdend met de relatie $r^{2}=p(p+q)=p^{2}+pq$, die geldt in de rechthoekige driehoek $MTQ$, leidt dit tot:
    ${\frac {|AS|}{|BS|}}\cdot {\frac {|BT|}{|AT|}}={\frac {pr+qr-pr}{pr+qr-pr}}=1$, zodat ook hier ${\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}$.

## Relatie met het harmonisch gemiddelde

Omdat de dubbelverhouding $(A,B;S,T)=-1$, volgt dat
    $|AS|\cdot |BT|-|AT|\cdot |BS|=0$
zodat
    $|AS|\cdot (|AB|-|AT|)+|AT|\cdot (|AB|-|AS|)=0$
of:
    $|AS|\cdot |AB|+|AT|\cdot |AB|=2|AT|\cdot |AS|$
Dus is
    ${\frac {1}{|AS|}}+{\frac {1}{|AT|}}={\frac {2}{|AB|}}$,
wat inhoudt dat $|AB|$ het harmonisch gemiddelde is van $|AS|$ en $|AT|$.

## Midden van het eerste lijnstuk

Als $(A,B)$ en $(S,T)$ harmonisch liggen en $M$ het midden is van $AB$, dan geldt
    $|MB|^{2}=|MS|\cdot |MT|$,
    $|MS|\cdot |ST|=|AS|\cdot |SB|$.

## Harmonische ligging van lijnen

Daar het begrip dubbelverhouding ook gedefinieerd is voor een vierstraal − dit is een geordend viertal coplanaire, concurrente, rechte lijnen − kan men ook harmonische ligging van zo'n vierstraal definiëren. De vierstraal $(a,b,c,d)$ is harmonisch als zijn dubbelverhouding $(abcd)$ gelijk is aan −1.
Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.
* De vierstraal $(a,b,c,d)$ is harmonisch.
* De lijnen $c$ en $d$ liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen $a$ en $b$.
* Lijn $d$ is harmonisch toegevoegd aan lijn $c$ ten opzichte van de lijnen $a$ en $b$.

### Voorbeelden

* De bissectrices van twee lijnen liggen harmonisch ten opzichte van die twee lijnen.
* Twee diagonalen van een volledige vierhoek liggen harmonisch ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
* De poollijn van een punt $P$, ten opzichte van de rechten $a$ en $b$ met snijpunt $S$, is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn $SP$ ten opzichte van de lijnen$a$ en $b$.