# Isotherme coördinaten

In de differentiële meetkunde binnen de wiskunde zijn isotherme coördinaten of conforme coördinaten $(u,v)$ lokale coördinaten op een riemann-variëteit $M$ waarbij de metriek conform is met de euclidische metriek. Dit betekent dat in isotherme coördinaten de riemann-metriek $g$ lokaal de vorm heeft van:
    $g=\varphi (dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2})$
waar $\varphi$ conforme factor, welke een gladde functie is. Als de riemann-variëteit georiënteerd is, zijn er die beweren dat een coördinatensysteem met die oriëntatie moet overeenkomen om isotherm te zijn.

## Isotherme coördinaten op oppervlakken

Isotherme coördinaten op oppervlakken werden voor het eerst in 1822 door Gauss geïntroduceerd, die het bestaan van de coördinaten bewees op een willekeurig oppervlak met een analytische metriek, volgens de resultaten op omwentelingsoppervlakken van Lagrange uit 1779. Korn en Lichtenstein bewezen dat isotherme coördinaten bestaan rond elk punt op een 2D-riemann-variëteit.

### Beltrami-vergelijking

Het bestaan van isotherme coördinaten kan worden bewezen door bekende existentiestellingen toe te passen voor de Beltrami-vergelijking, die gebaseerd zijn op L$^p$-schattingen voor singuliere integrale operatoren van Calderón en Zygmund. Een eenvoudigere benadering van de Beltrami-vergelijking is in 2000 door Adrien Douady gegeven.
Als de riemann-metriek lokaal wordt gegeven als
    $ds^{2}=E\ dx^{2}+2F\ dx\ dy+G\ dy^{2}$
dan heeft het in de complexe coördinaat $z=x+iy$ de vorm
    $ds^{2}=\lambda \left|\ dz+\mu \ d{\overline {z}}\ \right|^{2}$
waarbij $\lambda$ en $\mu$ glad zijn met $\lambda >0$ en $\left\vert \mu \right\vert <1$. Oftewel,
    $\lambda ={1 \over 4}(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}\ }})$ en
    $\mu ={(E-G+2iF) \over 4\lambda }$
Een lokale coördinaten grafiek $(U;(u,v))$ van $M^{2}$ wordt een isotherme coördinaten systeem genoemd. In isotherme coördinaten $(u,v)$ is de lokale metriek dan
    $ds^{2}=e^{\rho }(du^{2}+dv^{2})$
waarbij $\rho$ glad is. De complexe coördinaat $w=u+iv$ voldoet aan
    $e^{\rho }\ |dw|^{2}=e^{\rho }|w_{z}|^{2}\left|\ dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\ d{\overline {z}}\ \right|^{2}$
zodat de coördinaten $(u,v)$ isotherm zullen zijn als de Beltrami-vergelijking
    ${\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}$
een diffeomorfe oplossing heeft. Het is bewezen dat een dergelijke oplossing bestaat in elke buurt waar $\lVert \mu \rVert _{\infty }<1$.

### Gaussiaanse kromming

De gaussiaanse kromming neemt in de isotherme coördinaten $(u,v)$ een eenvoudigere vorm aan, namelijk
    $K=-{\frac {1}{2}}e^{-\rho }\left({\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial v^{2}}}\right)$

#### voetnoten

* ↑ (de) CF Gauss. Allgemeine Auflösung der Aufgabe: die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegenen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird, 1822. blz 463–475. Gearchiveerd op 20 april 2023.
* ↑ (fr) J-L Lagrange. Sur la construction des cartes géographiques, 1779. in Œuvres complètes, 4, blz 637-692
* ↑ (de) A Korn. Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen, 1914. blz 215–229, Springer Berlin Heidelberg ISBN 978-3-642-50426-6
* ↑ (de) L Lichtenstein. Zur Theorie der konformen Abbildung: Konforme Abbildung nicht-analytischer, singularitätenfreier Flächenstücke auf ebene Gebiete, 1916. voor Bulletin international de l'Académie des sciences de Cracovie 1e jaargang. Gearchiveerd op 10 april 2022.
* ↑ (en) L Ahlfors. Lectures on quasiconformal mappings, 1966. voor de American Mathematical Society ISBN 0-8218-3644-7
* ↑ (en) Yōichi Imayoshi en Masahiko Taniguchi, 雅彦 谷 口. An introduction to Teichmüller spaces, 1992. blz 20-21 en 92–104, Springer Tokyo ISBN 4-431-70088-9
* ↑ (fr) A Douady. Le théorème d'intégrabilité des structures presque complexes, 5 augustus 2011. blz 307–324

#### websites

* (en) The Encyclopedia of Mathematics. Isothermal coordinates.