# Fresnelvergelijkingen

De fresnelvergelijkingen of wetten van Fresnel, ontdekt door Augustin Jean Fresnel, beschrijven hoe licht breekt en weerkaatst als het op een grensvlak tussen stoffen met een verschillende brekingsindex valt.

## Definities

Als licht een grensvlak ontmoet tussen stoffen met een verschillende brekingsindex (n$_1$ en n$_2$) kan zowel weerkaatsing als breking optreden.
In de bijgaande figuur treft een invallende lichtstraal PO in O het grensvlak tussen twee media (stoffen) met brekingsindex n$_1$ en n$_2$. Een deel van de straal wordt weerkaatst als de straal OQ en een ander deel gebroken als de straal OS. De hoeken die de invallende (i = invallend), weerkaatste (r = reflectie) en gebroken (t = transmissie) bundels maken met de normaal op het grensvlak worden aangeduid met respectievelijk θ$_i$, θ$_r$ en θ$_t$. Het verband tussen die hoeken is de reflectiewet en de wet van Snellius.

## Formules voor weerkaatsing en breking

De invallende energie I$_i$ (of energie per tijd, oftewel vermogen) wordt verdeeld over de weerkaatste en gebroken bundels. De fracties van de energie in de weerkaatste en gebroken bundels worden aangeduid als respectievelijk de reflectiecoëfficiënt R en de transmissiecoëfficiënt T. We veronderstellen dat de stoffen niet-magnetisch zijn. Dus:
    $R={\frac {I_{r}}{I_{i}}}$ en
    $T={\frac {I_{t}}{I_{i}}}$
Vanwege behoud van energie geldt
    $R+T=1$.
De waarden van R en T hangen af van de polarisatie van de invallende lichtstraal. Als het licht gepolariseerd is met de vector van het elektrisch veld haaks op het vlak van de bijgaande figuur (s-gepolariseerd), dan geldt voor de reflectiecoëfficiënt:
    $R_{s}=\left[{\frac {\sin(\theta _{t}-\theta _{i})}{\sin(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos(\theta _{i})-n_{2}\cos(\theta _{t})}{n_{1}\cos(\theta _{i})+n_{2}\cos(\theta _{t})}}\right]^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos(\theta _{i})-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}{n_{1}\cos(\theta _{i})+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}}\right]^{2}$
waarin θ$_t$ berekend kan worden uit θ$_i$ met de wet van Snellius. De formule is vereenvoudigd met behulp van formules uit de goniometrie.
Voor invallend licht dat in het vlak van de bijgaande figuur gepolariseerd is (elektrische vector in het vlak van de figuur, p-polarisatie), geldt:
    $R_{p}=\left[{\frac {\tan(\theta _{t}-\theta _{i})}{\tan(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos(\theta _{t})-n_{2}\cos(\theta _{i})}{n_{1}\cos(\theta _{t})+n_{2}\cos(\theta _{i})}}\right]^{2}=\left[{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}-n_{2}\cos(\theta _{i})}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}+n_{2}\cos(\theta _{i})}}\right]^{2}$
De bijbehorende transmissiecoëfficiënten T worden gegeven door $T_{s}=1-R_{s}\,$ en $T_{p}=1-R_{p}\,$.
Voor ongepolariseerd invallend licht (een gelijk mengsel van s- en p-polarisaties), is de reflectiecoëfficiënt $R={\frac {R_{s}+R_{p}}{2}}\,$.
Soortgelijke vergelijkingen gelden voor de verhoudingen van de coëfficiënten voor de elektrische veld-amplitudes: deze heten ook fresnelvergelijkingen.

## Brewsterhoek

Voor een bepaalde hoek is bij gegeven brekingsindices n$_1$ en n$_2$ R$_p$ gelijk aan nul en wordt een p-polariseerde invallende lichtstraal dus geheel gebroken zonder weerkaatsing. Deze hoek staat bekend als de Brewsterhoek en ligt rond de 56° voor breking van glas naar lucht en rond 53° voor breking van water naar lucht. Dit geldt alleen als de brekingsindices van beide stoffen reële getallen zijn.Voor stoffen die licht absorberen, zoals metalen en halfgeleiders is n een complex getal en wordt R$_p$ in het algemeen voor geen enkele invalshoek gelijk aan nul.

## Grenshoek

Als een lichtstraal van een dichter naar een ijler medium loopt (dat wil zeggen n$_1$ > n$_2$), dan wordt boven een bepaalde kritieke hoek, de grenshoek, alle licht weerkaatst en wordt R$_s$ = R$_p$ = 1. Dit verschijnsel heet totale (interne) weerkaatsing. De grenshoek voor glas in lucht ligt bij 41.8°.

## Loodrechte inval

Als het licht vrijwel loodrecht invalt op het grensvlak (θ$_i$ ≈ θ$_t$ ≈ 0) worden de reflectie- en transmissiecoëfficiënten gegeven door:
    $R=R_{s}=R_{p}=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}$
    $T=T_{s}=T_{p}=1-R={\frac {4n_{1}n_{2}}{\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}$

## Glas

Voor standaard glas is de reflectiecoëfficiënt ongeveer 0,04. De weerkaatsing van een ruit gebeurt zowel aan de voor- als achterkant, waarbij een deel van het licht heen en weer weerkaatst wordt tussen beide kanten. De gecombineerde reflectiecoëfficiënt hiervoor is 2R/(1 + R), als interferentie verwaarloosd kan worden.

## Interferentie

Er treedt interferentie op bij meervoudige weerkaatsing van licht tussen twee evenwijdige grensvlakken: teruggekaatste en doorgelaten lichtstralen versterken en verzwakken elkaar, zoals bijvoorbeeld in olie die op water drijft. Dit effect wordt toegepast in Fabry-Pérot-interferometers, anti-reflectiecoatings en andere optische filters.

## Algemene formules

In dit artikel wordt verondersteld dat de permeabiliteit μ in beide stoffen gelijk is aan die voor vacuüm, μ$_0$ . Bij benadering is dit juist voor de meeste diëlektrische materialen. De algemene fresnelvergelijkingen zijn ingewikkelder.