# Engel-expansie

De engel-expansie of engel-ontwikkeling van een positief reëel getal $x$ is de niet-dalende rij positieve gehele getallen $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ waarvoor
    $x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\ldots ={\frac {1}{a_{1}}}\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\ldots \right)\right)\right)$
en
    $1\leq a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots$
De engel-ontwikkeling is genoemd naar de wiskundige Friedrich Engel, die ze in 1913 bestudeerde.
Elk positief rationaal getal heeft een unieke eindige en een daarvan afgeleide unieke oneindige engel-ontwikkeling. Een positief irrationaal getal heeft een unieke oneindige engel-ontwikkeling. De eindige engel-ontwikkeling van een rationaal getal stelt dat getal voor als een Egyptische breuk.

## Berekening

Het is alleen interessant de engel-expansie te berekenen voor getallen tussen 0 en 1, aangezien de expansie begint met een rij 1-en ter lengte van het gehele deel van het getal. Dat blijkt overigens ook uit het algoritme.
Voor $0<x<1$ wordt $a_{1}$ bepaald door de eis dat:
    ${\frac {1}{a_{1}}}\leq x<{\frac {1}{a_{1}-1}}$,
wat betekent dat:
    $a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{x}}\right\rceil$
Het volgende getal $a_{2}$ volgt analoog uit de eis:
    ${\frac {1}{a_{2}}}\leq a_{1}x-1<{\frac {1}{a_{2}-1}}$
Dit gaat zo verder en leidt tot het volgende algoritme.
De engel-expansie van een gegeven getal $x$ kan men als volgt berekenen:
* Neem $u_{1}=x$;
* bereken iteratief voor $k=1,2,3,\ldots$
       $a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil$ en
       $u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1$
    Hierin is $\left\lceil r\right\rceil$ de ceiling van $r$.
* Het algoritme eindgt als $u_{i}$ gelijk wordt aan 0.

### Berekeningsvoorbeeld

De engel-expansie van 1,3 geeft achtereenvolgens:
    $u_{1}=1{,}3$
    $a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}3}}\right\rceil =1$
    $u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}3\cdot 1-1=0{,}3$
    $a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}3}}\right\rceil =4$
    $u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}3\cdot 4-1=0{,}2$
    $a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}2}}\right\rceil =5$
    $u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}2\cdot 5-1=0$
Hier stopt het algoritme en de engel-expansie van 1,3 is {1, 4, 5}:
    $1{,}3={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 4}}+{\frac {1}{1\cdot 4\cdot 5}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}$

## Engel-ontwikkeling voor rationale getallen

Het algoritme voor de berekening van de engel-ontwikkeling getal bepaalt de volgende term $u_{i+1}$ als volgt. Als $u_{i}=a/b$, dan is $u_{i+1}=(-b{\bmod {a}})/b$. De teller In de resterende breuk wordt steeds kleiner en het algoritme stopt dus na een eindig aantal stappen.
Uit deze eindige ontwikkeling kan een oneindige afgeleid worden. Vanwege de relatie
    ${\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{k}}}$
kan het laatst bepaalde getal $n$ in de ontwikkeling vervangen worden door een oneindige rij getallen $n+1$.
Zo is bijvoorbeeld
    $1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\ldots \}$
Dit is te vergelijken met de voorstelling van een rationaal getal met eindig veel decimalen als het decimale getal met de laatste decimaal verminderd met 1 en gevolgd door oneindig veel cijfers 9.

## Voorbeelden

De engel-expansies van enkele bekende constanten zijn:
    $\pi =\{1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,\ldots \}$ - rij A006784 in OEIS
    ${\sqrt {2}}=\{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144,\ldots \}$ - rij A028254 in OEIS
    $e=\{1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\ldots \}$ - rij A000027 in OEIS
De engel-expansie van het getal $e$ is dus 1 gevolgd door de rij van alle natuurlijke getallen. In het algemeen geldt:
    $e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\ldots \}$