# Congruent getal

Een congruent getal is een geheel getal dat de oppervlakte kan zijn van een rechthoekige driehoek waarvan de lengten van de zijden rationale getallen zijn. Het kleinste congruente getal is 5, behorend bij een driehoek met zijden 3/2, 20/3 en 41/6; het volgende is 6, behorend bij de Egyptische driehoek (zijden 3, 4 en 5 lang). Daarna volgen 7, 13, 14, 15, 20, 21 enzovoorts.
Congruente getallentabel: $n\leq 120$ :
| —: niet-congruent getal C: vierkantvrij congruent getal V: Congruent getal met vierkante factor |||||||||
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| | — | — | — | — | C | C | C | — |
| $n$ | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| | — | — | — | — | C | C | C | — |
| $n$ | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| | — | — | — | V | C | C | C | V |
| $n$ | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |
| | — | — | — | V | C | C | C | — |
| $n$ | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| | — | C | — | — | C | C | C | — |
| $n$ | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |
| | C | — | — | — | V | C | C | — |
| $n$ | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 |
| | — | — | — | V | C | V | C | V |
| $n$ | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 |
| | — | — | — | V | C | C | V | — |
| $n$ | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 |
| | C | — | — | — | C | C | C | — |
| $n$ | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
| | — | — | — | — | C | C | C | V |
| $n$ | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 |
| | — | — | — | V | C | C | C | V |
| $n$ | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 |
| | — | — | — | V | C | C | C | V |
| $n$ | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |
| | — | — | — | — | C | C | C | — |
| $n$ | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 |
| | — | — | — | — | C | C | C | V |
| $n$ | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 |
| | — | — | — | V | V | C | C | V |
Er is geen enkel algoritme bekend dat van een gegeven getal eenduidig kan beslissen of het een congruent getal is of niet.

## Algebraïsche definitie

Een geheel getal $a$ heet een congruent getal als er positieve gehele getallen $x,\,y,\,z$ en $t$ bestaan die een oplossing vormen van het stelsel van twee Diofantische vergelijkingen:
    $x^{2}-ay^{2}=z^{2}$
    $x^{2}+ay^{2}=t^{2}$
Dat houdt in dat het gehele getal $a$ congruent is, als er rationale getallen $p,\,q,\,r$ zijn,zodanig dat
    $q^{2}-a=p^{2}$
en
    $q^{2}+a=r^{2}$
Het bovenstaande stelsel van Diofantische vergelijkingen oplossen is equivalent aan het oplossen van de Diofantische vergelijking:
    $x^{2}-a^{2}y^{4}=z^{2}$

## Eigenschappen

Als $a$ een congruent getal is dan is elk product van $a$ met het kwadraat van een geheel getal ook congruent. Het volstaat dus om congruente getallen te zoeken tussen de kwadraatvrije getallen, dat zijn de getallen die geen kwadraat als deler hebben. Men noemt deze de primitieve congruente getallen (rij A006991 in OEIS).
In 1952 bewees Kurt Heegner dat alle priemgetallen in de rij 5, 13, 21, 29, 37, ... (stappen van 8) congruent zijn. Congruente getallen zijn echter niet allemaal priemgetallen.
Volgens de laatste stelling van Fermat kunnen kwadraten geen congruente getallen zijn.
In 1974 formuleerden Alter en Curtz het volgende vermoeden: als $a\equiv 5,\ 6{\text{ of }}7\ {\pmod {8}}$ dan is $a$ een congruent getal.

## Enkele voorbeelden

Positieve gehele getallen van de volgende vorm zijn steeds congruente getallen:
    $x^{4}+4y^{4}$
    $2x^{4}+2y^{4}$
    $x^{4}-y^{4}$
Hierin zijn $x$ en $y$ gehele getallen. Als $x$ en $y$verschillende pariteit hebben (een getal is even en het andere is oneven) dan zijn volgende getallen ook congruent:
    $x^{4}+6x^{2}y^{2}+y^{4}$
    $x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}$

## Verband met elliptische krommen

Een positief geheel getal $a$ is congruent als de elliptische kromme
    $ay^{2}=x^{3}-x$
een rationaal punt heeft met $y$ verschillend van nul (een rationaal punt is een punt $(x,y)$met rationale coördinaten $x$ en $y$). Het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer voorspelt dat dit altijd het geval is als $a$ congruent is met 5, 6, of 7 modulo 8.