# Liouville-getal

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Liouville-getal een reëel getal $x$ met de eigenschap dat voor elk positief geheel getal $n$, er gehele getallen $p$ en $q$ bestaan, met $q>1$ en zodanig dat
    $0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}$
In 1844 bewees Joseph Liouville dat alle Liouville-getallen transcendent zijn. Hiermee gaf hij ook het eerste bewijs van het bestaan van transcendente getallen.

## Het bestaan van Liouville-getallen

De volgende constructie laat zien dat Liouville-getallen inderdaad bestaan.
Zij $b\geq 2$ een geheel getal, en $(a_{1},a_{2},\ldots )$ een rij met voor alle $k=1,2,3,\ldots ,\ a_{k}\in \{0,1,2,\ldots ,b-1\}$, en zodat er oneindig veel getallen $k$ zijn waarvoor geldt dat $a_{k}\neq 0$. Definieer het getal $x$ door
    $x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}=a_{1}b^{-1}+a_{2}b^{-2}+a_{3}b^{-6}+a_{4}b^{-24}+\ldots$
In het speciale geval waarin $b=10$ en $a_{k}=1$ voor alle $k$, wordt de uitkomst hiervan de constante van Liouville genoemd.
Uit de definitie volgt dat de representatie van $x$ in grondtal $b$ gegeven wordt door:
    $x=(0,a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}000\ldots )_{b}$
Aangezien de representatie van $x$ in het grondtal $b$ geen repeterend gedeelte heeft, volgt hieruit dat $x$ irrationaal is. Voor elk rationaal getal $p/q$ geldt dus dat $\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>0$.
Definieer nu voor elk positief geheel getal $n\geq 1,\ q_{n}$ en $p_{n}$ door
    $q_{n}=b^{n!};\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}$
Dan geldt:
    $0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}=$
       $={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{{q_{n}}^{n}}}$
De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat
    $n\cdot n!=n\cdot n!+n!-n!=(n+1)!-n!$
Hieruit kunnen we concluderen dat elke op deze manier geconstrueerde $x$ een Liouville-getal is.
Uit deze constructie volgt ook meteen dat de verzameling van Liouville-getallen overaftelbaar is. Neem bijvoorbeeld $b=10$, dan komt elke rij van cijfers tussen 0 en 9 waar oneindig veel cijfers niet nul zijn overeen met een uniek Liouville-getal. Met een diagonaalargument kan men dan eenvoudig laten zien dat deze deelverzameling van de Liouville-getallen overaftelbaar is, en dus ook de gehele verzameling van Liouville-getallen.

## Irrationaliteit

Het blijkt dat het getal $x=c/d$, waarin $c$ en $d$ gehele getallen zijn met $d>0$, niet kan voldoen aan de ongelijkheden waardoor de Liouville-getallen gedefinieerd zijn. Aangezien elk rationaal getal op dergelijke wijze als $c/d$ geschreven kan worden, zal hieruit volgen dat geen enkel Liouville-getal rationaal is.
Iets specifieker blijkt dat als $n$ een geheel getal is waarvoor geldt dat $2^{n-1}>d$, er dan geen enkel tweetal gehele getallen $(p,q)$ met $q>1$ bestaat dat tegelijkertijd aan beide van de twee volgende ongelijkheden voldoet:
    $0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}$
Stel $p$ en $q$ zijn gehele getallen met $q>1$. Dan geldt:
    $\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|cq-dp|}{dq}}$
Als $cq-dp=0$, is $|x-p/q|=0$, waardoor $(p,q)$ niet aan de eerste ongelijkheid voldoet. Als $cq-dp>0$, geldt, vanwege het feit dat $c,d,p$ en $q$ alle geheel zijn, dat $cq-dp\geq 1$. Hieruit volgt dat
    $\left|x-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|cq-dp|}{dq}}\geq {\frac {1}{dq}}$
Omdat $2^{n-1}>d$, volgt hieruit dat
    $\left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}$,
waaruit volgt dat $(p,q)$ niet aan de tweede ongelijkheid voldoet.
Hieruit concluderen we dat er als $2^{n-1}>d$, er geen tweetal $(p,q)$ bestaat dat aan beide ongelijkheden voldoet. Rationale getallen kunnen dus geen Liouville-getallen zijn; dus alle Liouville-getallen zijn irrationaal.

## Transcendentie

Alle Liouville-getallen zijn transcendent. Het bewijs hiervan begint met een lemma dat een bepaalde eigenschap van irrationale algebraïsche getallen beschrijft. Deze eigenschap ontbreekt bij Liouville-getallen, en omdat Liouville-getallen irrationaal zijn, volgt hieruit dat Liouville getallen transcendent zijn.

### Lemma

Zij $\alpha$ een irrationaal nulpunt van de veelterm $f$ van graad $n>0$ met gehele coëfficiënten, dan bestaat er een reëel getal $A>0$ zodanig dat voor alle gehele getallen $p$ en $q$ met $q>0$ geldt
    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}$

### Bewijs

Zij $M$ de maximale waarde van $|f'(x)|$ (de absolute waarde van de afgeleide van $f$) op het interval $[\alpha -1,\alpha +1]$. Laat $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}$ de verschillende nulpunten van $f$ zijn die ongelijk zijn aan $\alpha$. Kies een getal $A>0$ dat voldoet aan
    $A<\min(1,{\frac {1}{M}},|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|)$
Stel nu dat er gehele getallen $p$ en $q$ bestaan die het lemma tegenspreken. Dan geldt
    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min(1,{\frac {1}{M}},|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|)$
Dus $p/q$ zit in het interval $[\alpha -1,\alpha +1]$; $p/q$ is geen nulpunt van $f$ en er zijn ook geen nulpunten tussen $p/q$ en $\alpha$. Uit de middelwaardestelling volgt dat er een $x_{0}$ tussen $p/q$ en $\alpha$ bestaat zodat
    $f(\alpha )-f({\frac {p}{q}})=(\alpha -{\frac {p}{q}})f'(x_{0})$
Aangezien $\alpha$ een nulpunt van $f$ is, maar $p/q$ niet, is $|f'(x_{0})|>0$, en dus kunnen we de bovenstaande vergelijking als volgt herschikken:
    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|f(\alpha )-f({\frac {p}{q}})|}{|f'(x_{0})|}}={\frac {|f({\frac {p}{q}})|}{|f'(x_{0})|}}$
De polynoom $f$ is van de vorm $\sum _{i=0}^{n}c_{i}x^{i}$ waarin elke $c_{i}$ geheel is; dus $|f(p/q)|$ kan geschreven worden als
    $\left|f({\frac {p}{q}})\right|=\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right|={\frac {1}{q^{n}}}\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right|\geq {\frac {1}{q^{n}}}$
waarbij de laatste ongelijkheid geldt omdat $p/q$ geen nulpunt is (dus $|f(p/q)|>0$) en omdat $p$ en $q$, en alle $c_{i}$ geheel zijn.
Dus $|f(p/q)|\geq 1/q_{n}$. Omdat $f'(x_{0})\leq M$ vanwege de definitie van $M$, en $1/M>A$ vanwege de definitie van $A$, volgt hieruit dat
    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {f({\frac {p}{q}})}{f'(x_{0})}}\right|\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\geq \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|$
Dit is een contradictie, dus zulke $p$ en $q$ kunnen niet bestaan, waarmee het lemma bewezen is.

### Bewijs van de bewering

Zij $x$ een Liouville-getal. Dan is $x$ irrationaal, zoals eerder bewezen is. Stel $x$ is algebraïsch van graad $n$, dan bestaat er volgens het lemma een positief reëel getal $A$ zodat voor alle gehele getallen $p$ en $q$ met $q>1$ geldt dat
    $\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}$
Zij $r$ een positief geheel getal zodanig dat $1/2^{r}\leq A$. Stel $m=r+n$. Omdat $x$ een Liouville-getal is, bestaan er gehele getallen $a$ en $b$ met $b>1$ zodat
    $\left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}$
wat het lemma tegenspreekt. Dus elk Liouville-getal is transcendent.