# P-adische norm

De $p$-adische norm, gedefinieerd voor elk priemgetal $p$, is een gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen anders dan de gewone absolute waarde en de triviale absolute waarde. Het belang van de $p$-adische norm ligt in de introductie van p-adische getallen. Volgens de stelling van Ostrowski is elke gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen equivalent met de gewone absolute waarde, de triviale, of een $p$-adische norm.

## Definitie

Als gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde zijn er bij een gegeven priemgetal $p$ voor elk rationaal getal $q$ gehele getallen $t,n$ en $a$ zo, dat:
    $q=p^{a}\cdot {\frac {t}{n}}$
en $t$ en $n$ niet door $p$ kunnen worden gedeeld.
De $p$-adische norm van $q\neq 0$ is dan gedefinieerd als:
    $\|q\|_{p}=p^{-a}$
Daarnaast is
    $\|0\|_{p}=0$
Bij elk rationaal getal $q$ zijn er priemgetallen $p_{1},\ldots ,p_{n}$ en gehele getallen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ zo, dat:
    $q=p_{1}^{a_{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{a_{n}}$.
Dus is voor $k=1,\ldots ,n$
    $\|q\|_{p_{k}}=p_{k}^{-a_{k}}$
en voor ieder ander priemgetal $p$:
    $\|q\|_{p}=1$

### Voorbeelden

* De getallen ... −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, ... die niet door 5 kunnen worden gedeeld, hebben de 5-adische norm 5$^0$ = 1.
* De getallen ... −10, −5, 5, 10, 15, 20, 30, ... zijn deelbaar door 5, maar niet door 25 en hebben dus de 5-adische norm $5^{-1}={\tfrac {1}{5}}$.
* De getallen ... −50, −25, 25, 50, 75, 100, 150, ... hebben de 5-adische norm $5^{-2}={\tfrac {1}{25}}$.
* $\left|\left|{\frac {7}{250}}\right|\right|_{5}=5^{3}=125$, vanwege de factor $5^{3}$ in de noemer.
* Voor $x={\tfrac {63}{550}}=2^{-1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}$ geldt:
       $\|x\|_{2}=2,\|x\|_{3}={\tfrac {1}{9}},\|x\|_{5}=25,\|x\|_{7}={\tfrac {1}{7}},\|x\|_{11}=11$
       $|x|_{p}=1$ voor alle andere priemgetallen $p$.
* Cauchyrijen
       Het hangt af van de gebruikte metriek of een rij al dan niet een cauchyrij is, .
       De reeks $1+5+5^{2}+5^{3}+\ldots +5^{n}+\ldots$ is normaal niet convergent, maar in de 5-adische norm wel. De som van de eerste $n$ termen is
          ${\frac {1-5^{n}}{1-5}}=-{\frac {1}{4}}+{\frac {5^{n}}{4}}$.
       De 5-adische norm van de laatste term is $5^{-n}$. De 5-adische limiet van deze reeks is gelijk aan $-{\frac {1}{4}}$.

### Niet-archimedisch

De $p$-adische normen hebben een sterkere ongelijkheid dan de driehoeksongelijkheid:
    $\|x\pm y\|_{p}\leq \max(\|x\|_{p},\|y\|_{p})$
Een ultrametriek wordt door een dergelijke ongelijkheid bepaald. De bijbehorende metriek is dus een ultrametriek.
Uit deze ongelijkheid volgt meteen dat $\|nx\|_{p}\leq \|x\|_{p}$ met $n\in \mathbb {N}$. Men zegt in dit verband dat de p-adische norm niet-archimedisch is. Een belangrijk gevolg hiervan betreft de convergentie van oneindige reeksen. In $\mathbb {Q} _{p}$, en meer algemeen in elke complete ruimte met een niet-archimedische norm, is een oneindige reeks alleen dan convergent als haar algemene term naar nul gaat. Dit staat in schril contrast met de situatie in $\mathbb {R}$, waar de grens tussen convergente en divergente reeksen veel moeilijker te trekken valt.

## Eigenschappen

    $\|q\|_{p}\geq 0$
    $\|q\|_{p}=0\Rightarrow q=0$
    $\|-q\|_{p}=\|q\|_{p}$
    $\|qr\|_{p}=\|q\|_{p}\|r\|_{p}$
    $\|q+r\|_{p}\leq \|q\|_{p}+\|r\|_{p}$
    $\|q+r\|_{p}\leq \max(\|q\|_{p},\|r\|_{p})$

## Metriek

De $p$-adische norm induceert op $\mathbb {Q}$ een $p$-adische metriek, een ultrametriek, door de afstandsfunctie met isometrische translaties
    $d_{p}(a,b)=\|a-b\|_{p}$
Beschouwen we de zo geconstrueerde 5-adische metriek, dan convergeert in $\mathbb {Q}$ de rij $(1,5,5^{2},5^{3},5^{4},\ldots )$ naar 0, terwijl de rij $(1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},\ldots )$ weliswaar begrensd is, maar geen cauchyrij is, want voor alle $n$ is:
    $d_{5}\left({\tfrac {1}{2^{n}}},{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\right)=\left\|{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\right\|_{5}=1$