# Stelling van Wilson

De stelling van Wilson is een wiskundige stelling die zegt dat $p$ dan en slechts dan een priemgetal is, als:
    $(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$.
De congruentie $(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$ kan ook worden geformuleerd als: $p$ is een deler van $(p-1)!+1$.
De stelling werd voor het eerst geformuleerd door Ibn al-Haytham, ook bekend als Alhazen, maar is naar John Wilson genoemd. Wilson was een student van Edward Waring. Die formuleerde de stelling in 1770, maar noch hijzelf noch Wilson konden de stelling bewijzen. Lagrange gaf het eerste bewijs in 1771. Leibniz kende de stelling een eeuw eerder ook, maar publiceerde die niet.
Voor de notaties ! faculteit en ≡ congruent zie aldaar.

## Bewijs

Uit het ongerijmde: stel dat $(p-1)!+1$ door $p$ is te delen en dat $p$ weer door een getal $d$ met $1<d<p$ is te delen. Omdat $d$ een van de getallen $2,3,\ldots ,p-1$ is, is $(p-1)!$ door $d$ te delen. $(p-1)!+1$ is ook door $d$ te delen, dus zou ook 1 door $d$ te delen zijn. Dit is in tegenspraak met de veronderstelling.

### Omgekeerd
#### Eerste bewijs

Dit bewijs gebruikt dat voor een priemgetal $p>2$ de verzameling $G=\{1,2,\ldots ,p-1\}$ een groep is onder vermenigvuldiging modulo $p$. Dit betekent dat er voor ieder element $a\in G$ een uniek invers element $b\in G$ is zodanig dat $ab\equiv 1\!\!{\pmod {p}}$. Als $a^{2}\equiv 1{\pmod {p}}$, dan is $a^{2}-1=(a+1)(a-1)\equiv 0{\pmod {p}}$ en omdat $p$ een priemgetal is, moet $a\equiv -1\equiv p-1{\pmod {p}}$ of $a\equiv 1{\pmod {p}}$.
Met andere woorden: 1 en $p-1$ zijn hun eigen inverse, maar ieder ander element van $G$ heeft een inverse verschillend van zichzelf. Als dus paarsgewijs alle elementen van $G$ met hun inverse bij elkaar genomen worden en allemaal met elkaar vermenigvuldigd, is het product $(p-1)!$ modulo $p$ gelijk aan −1.
Voor $p=11$ is bijvoorbeeld
    $10!=1\cdot 10\cdot (2\cdot 6)(3\cdot 4)(5\cdot 9)(7\cdot 8)\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ 11)$
In het geval dat $p=2$ is de stelling eenvoudig te controleren.

#### Tweede bewijs

Stel p is een priemgetal groter dan 2. Beschouw de polynomen
    $g(x)=(x-1)(x-2)\cdots (x-(p-1))$
en
    $f(x)=g(x)-(x^{p-1}-1)$.
De constante term in $f(x)$ is $(p-1)!+1$.
$f(x)$ is een polynoom, waarvan de graad ten hoogste $p-2$ is, met dus ten hoogste $p-2$ nulpunten; Modulo $p$ geldt hetzelfde. Volgens de kleine stelling van Fermat is ieder van de getallen $1,2,\ldots ,p-1$ een nulpunt van $f(x)$. Dit is onmogelijk, tenzij $f(x)=0{\pmod {p}}$, oftewel tenzij iedere coëfficiënt van $f(x)$ door $p$ is te delen, en de constante $(p-1)!+1$ dus ook.

## Samengestelde getallen

Voor samengestelde getallen $n>4$ geldt:
    $(n-1)!\equiv 0\mod n$,
d.w.z. $(n-1)!$ is deelbaar door $n$.
Voor $n=4$ is:
    $(n-1)!=3!\equiv 2\mod 4$

## Algemene vorm van de stelling

Een algemene vorm is voor ieder oneven priemgetal $p$ en voor ieder positief geheel getal $k$ kleiner dan $p$:
    $(k-1)!(p-k)!\ \equiv \ (-1)^{k}\mod p$
hetgeen met volledige inductie is te bewijzen.
Van Gauss is de volgende vorm van de stelling bekend:
    $\prod _{\begin{matrix}1\leq a<m\\(a,m)=1\end{matrix}}a\equiv {\begin{cases}-1\mod m&{\text{voor }}m=4,\,p^{\alpha },\,2p^{\alpha }\\\ \ \ 1\mod m&{\text{anders}}\end{cases}}$
waarin $p$ een oneven priemgetal is.

## Voorbeeld

De volgende tabel toont de waarden van $n$ van 2 tot 30, $(n-1)!$ en $(n-1)!\mod n$. Als $n$ een priemgetal is, dan is de achtergrondkleur roze. En als $n$ een samengesteld getal is, dan is de achtergrondkleur lichtgroen.
    Tabel van rest modulo $n$ $n$$(n-1)!$$(n-1)!\ {\bmod {\ }}n$ 211 322 462 5244 61200 77206 850400 9403200 103628800 11362880010 12399168000 1347900160012 1462270208000 15871782912000 1613076743680000 172092278988800016 183556874280960000 19640237370572800018 201216451004088320000 2124329020081766400000 22510909421717094400000 23112400072777760768000022 24258520167388849766400000 256204484017332394393600000 26155112100433309859840000000 274032914611266056355840000000 28108888694504183521607680000000 2930488834461171386050150400000028 3088417619937397019545436160000000
* ↑ Oefening 1.22 in (en) Everest, Graham, Ward, Thomas (2005). An Introduction to Number Theory. Springer Graduate Texts in Mathematics 232, Londen, "Hoofdstuk 1. A Brief History of Prime", 7-42. ISBN 978-1-85233-917-3. Voor $m=2$ verdwijnt het onderscheid tussen de twee gevallen.