# Gruppi del piano

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Abbiamo ora gli elementi per cominciare a rispondere al problema, che abbiamo posto in precedenza, determinare tutti i possibili gruppi di operazioni di simmetria (traslazionali, rotazionali e composte) che riportano in sé una struttura bidimensionale periodica.
La determinazione di tali gruppi di simmetria — i gruppi del piano — può essere facilitata esaminando il problema da un diverso punto di vista: costituiscono il gruppo del piano di una struttura data tutte le operazioni che, a partire dall'unità asimmetrica, generano l'intera struttura. Consideriamo ora la struttura (b) in Fig. 3: tale struttura può ottenersi anche applicando all'unità asimmetrica 7 l'operatore 2 e generando in tal modo il motivo, motivo che, ripetuto dalle infinite traslazioni reticolari, genera l'intera struttura. Lo schema conseguente, qui sotto riportato (Fig. 15) mostra che il gruppo del piano può ottenersi dalla semplice combinazione del gruppo del punto con il reticolo, o i reticoli, con esso compatibili.
Il gruppo del piano della struttura (b) in Fig. 3 risulta quindi dalla combinazione del gruppo del punto 2 con le traslazioni del reticolo con esso compatibile (reticolo a cella obliqua primitiva, n. 1 in Fig. 13); una notazione conveniente per tale gruppo di simmetria è p2. Il gruppo del piano della struttura (a) in Fig. 3 risulta dalla combinazione del gruppo del punto 1 con le traslazioni del reticolo con esso compatibile (ancora una volta reticolo a cella obliqua primitiva, n. 1 in Fig. 13); una notazione conveniente per tale gruppo di simmetria è p1. Entrambe le strutture ora menzionate hanno lo stesso tipo di reticolo (cella obliqua p), ma mentre nel caso della struttura (a) associato a ciascun punto reticolare c'è un motivo asimmetrico (ovvero a simmetria 1), nell'altro caso associato a ciascun punto reticolare c'è un motivo a simmetria rotazionale 2. Le simmetrie rotazionali 1 e 2 sono le sole compatibili con una cella obliqua. Passando ad un reticolo a maglia quadrata (n. 2 in Fig. 13), associando a ciascun punto reticolare motivi a simmetria 4mm oppure 4, otteniamo due diverse tipi strutturali, caratterizzati dai gruppi del piano p4mm e p4 rispettivamente.
Nel caso del reticolo con cella ‘esagonale' (n. 3 in Fig. 13) a ciascun punto reticolare possono essere associati motivi a simmetria 6mm, 6, 3m e 3. Per quanto riguarda i motivi a simmetria 3m, occorre osservare che vi sono due maniere distinte di disporre le linee di riflessione rispetto agli assi della cella: linee di riflessioni coincidenti con gli assi della cella, ovvero normali agli assi della cella; i due corrispondenti gruppi del piano vengono designati p31m e p3m1 rispettivamente. I gruppi del piano corrispondenti alle altre simmetrie rotazionali compatibili con lo stesso reticolo sono designati p6mm, p6, p3.
Le simmetrie rotazionali m e 2mm sono compatibili con due tipi di reticolo a cella rettangolare, primitiva e centrata (reticoli n. 4 e 5 in Fig. 13). Sono quindi possibili quattro distinti gruppi del piano, ovviamente designati pm, p2mm, cm, c2mm.
In tal modo, partendo dai cinque tipi di reticolo bidimensionali ed associando, in ciascuno di essi, ad ogni punto reticolare un motivo avente simmetria compatibile col reticolo, si ottengono tredici strutture con simmetrie corrispondenti a tredici diversi gruppi del piano. Nella procedura sin qui seguita - i cui risultati sono riassunti nella Tabella 4 - abbiamo utilizzato le sole operazioni di simmetria sin qui introdotte: da un lato le operazioni di simmetria di un oggetto finito (rotazioni attorno ad un punto, riflessione in una linea), dall'altra le traslazioni reticolari. I tredici gruppi così ottenuti non esauriscono i possibili gruppi del piano.
Tab. 4. Gruppi del piano ottenuti per combinazione dei gruppi cristallografici del punto bidimensionali con i tipi di reticolo con essi compatibili. :
| Gruppi del punto | Tipo di reticolo | Gruppi del piano |
| 1, 2 | p | p1, p2 |
| 4, 4mm | p | p4, p4mm |
| 3, 3m, 6, 6mm | p | p3, p3m1, p31m, p6, p6mm |
| m, 2mm | p | c |
| | pm, p2mm | cm, c2mm |
Prima di procedere a ricavare i restanti gruppi del piano è opportuno soffermarsi ad esaminare più attentamente le operazioni che costituiscono i vari gruppi del piano ora ottenuti. Ogni gruppo del piano possiede innanzitutto un sottogruppo di operazioni di simmetria traslazionale. Fanno inoltre parte del gruppo le simmetrie rotazionali associate agli infiniti punti reticolari. Il gruppo comprende poi tutte le nuove operazioni generate dalla combinazione delle operazioni rotazionali con le traslazioni. Nei due seguenti paragrafi sarà studiato l'effetto della combinazione di una rotazione con una traslazione e di una riflessione con una traslazione.

## 6.3.1 Composizione delle rotazioni proprie con le traslazioni reticolari.

Si esamini il caso generale della composizione di una rotazione α attorno ad un punto A con la traslazione AA', considerando il risultato dell'applicazione di tale coppia ordinata di operazioni ad una linea l passante per A e facente un angolo α/2 con la normale ad AA' (Fig. 16).
La rotazione α porta la linea l in l$_1$, la successiva traslazione AA' porta l$_1$ in l$_2$ che incontra l in B: il moto complessivo della linea l è perciò equivalente (vedi Fig. 16) ad una rotazione attorno a B di un angolo α nello stesso senso (antiorario nel caso illustrato) della rotazione attorno ad A. Poiché sia la rotazione α attorno ad A, sia la traslazione AA' sono applicate all'intero piano, è l'intero piano che deve essere ruotato attorno a B come risultato dell'operazione composta. Quindi una rotazione attorno ad un punto A di un angolo α, seguita da una traslazione t (che porta A in A') è equivalente ad una rotazione α attorno ad un punto B situato sulla linea BM normale ad AA' nel suo punto di mezzo M e collocato ad una distanza BM da AA' pari a:
    BM = (AA'/2) cotg α/2 (6.10)
Nella Tabella 5 vengono riportati i valori assunti da BM per i diversi possibili valori di α, indicando con t la lunghezza AA'.
Tab. 5. Altezza del punto B rispetto alla traslazione t (AA') per le diverse rotazioni α :
| | α | α/2 | cotg α/2 | BM |
| 180° | π | π/2 | 0 | 0 |
| 120° | 2/3π | π/3 | √3/3 | √3/6 t |
| 90° | π/2 | π/4 | 1 | 1/2 t |
| 60° | π/3 | π/6 | √3 | √3/2 t |
| -120 | -2/3π | -π/3 | -√3/3 | -√3/6 t |
| -90° | -π/2 | -π/4 | -1 | -1/2 t |
Consideriamo l'applicazione dei risultati ora ottenuti nei diversi casi che si possono presentare:
A) combinazione della rotazione di 180° attorno ad un punto A con le diverse traslazioni reticolari. È sufficiente limitarsi a considerare la combinazione della rotazione con i tre vettori t$_1$, t$_2$ e t$_1$+t$_2$ associati ad una singola cella elementare. Tale combinazione genera punti di rotazione di ordine 2 in B, C, D rispettivamente (Fig. 17).
B) combinazione delle rotazioni di 120° e 240° attorno ad A con le traslazioni reticolari t$_1$ e t$_1$+t$_2$ di una cella esagonale (t$_2$ è equivalente a t$_1$ per simmetria rotazionale e quindi ogni risultato ottenuto combinando rotazioni attorno ad A con t$_2$ è equivalente a quelli ottenuti combinando tali rotazioni con t$_1$) (Fig. 18).
Le rotazioni di 120° e –120° (= 240°) in A, combinate con la traslazione t$_1$ generano rispettivamente rotazioni di 120° in B', ovvero in B, equivalente a C per traslazione, e di –120° in C. Le rotazioni di 120° e –120° (= 240°) in A, combinate con la traslazione t$_1$+t$_2$ generano rispettivamente rotazioni di 120° in C e di –120° in B. Poiché ogni punto ammette comunque una rotazione di 0° (o m360°), attorno a B e C sono possibili rotazioni di 120°, 240°, 360°: tali punti sono quindi punti di rotazione di ordine 3, come quelli situati ai vertici della cella elementare.
C) combinazione delle rotazioni di 90°, 180° e –90° (= 270°) con le traslazioni t$_1$ e t$_1$ + t$_2$ di una cella quadrata (t$_2$ è equivalente a t$_1$) (Fig. 19). Le rotazioni di 90°, 180° e –90° attorno ad A, combinate con la traslazione t$_1$, generano rotazioni di 90° attorno a B', ovvero attorno a B ad esso equivalente per traslazione, di 180° attorno a C e di –90° attorno a B. Le stesse rotazioni, combinate con la traslazione t$_1$ + t$_2$, generano, oltre che le rotazioni di 90° e –90° in A$_2$ e A$_1$ (che, essendo equivalenti per traslazione ad A, ovviamente possiedono tali operazioni di simmetria rotazionale), anche la rotazione di 180° attorno a B: tale rotazione, assieme a quelle di 90° e –90° attorno allo stesso punto, precedentemente ottenute, indica che B è punto di rotazione di ordine 4; C è punto di rotazione di ordine 2.
D) combinazione delle rotazioni di 60°, 120°, 180°, -120°, -60° attorno ad A (punto di rotazione di ordine 6) con la traslazione t$_1$ (t$_1$ + t$_2$ e t$_2$ sono equivalenti a t$_1$ per simmetria rotazionale) (Fig. 20): sono generate le rotazioni di 60°, 120°, 180°, -120°, -60° rispettivamente attorno ad A' (equivalente ad A per traslazione), B' (equivalente a B per traslazione), M, C e A". Poiché B e C sono equivalenti per simmetria rotazionale, sono possibili attorno a B e C rotazioni di 120° e –120°: essi sono quindi punti di rotazione di ordine 3. M, e così pure M', sono punti di rotazione di ordine 2.

## 6.3.2 Composizione delle riflessioni con le traslazioni reticolari.

a) Consideriamo dapprima l'effetto della combinazione di una riflessione con una traslazione in una direzione ortogonale alla linea di riflessione. La Figura 21 mostra che riflettere in m$_1$ e traslare di t equivale a riflettere in m$_2$, linea di riflessione posta a distanza t/2 da m$_1$.
b) Composizione di una riflessione con una traslazione parallela. Il fregio rappresentato in Fig. 22 [con fregio o ornamento si intende una struttura monodimensionalmente periodica (cioè con traslazioni s = nt con n intero), costituita da oggetti bidimensionali] ha come operazioni di simmetria: le traslazioni aventi t come vettore base, la riflessione m e le infinite operazioni ottenute combinando m con le traslazioni. Tali operazioni composte — riflessioni con traslazione (operazioni improprie) — sono chiamate scorrimenti (glides in inglese) e possono essere denotate con m$_τ$, dove τ indica la componente traslatoria. Il gruppo di operazioni che riportano in sé il fregio di Fig. 22 è costituito quindi dalle operazioni:
....... -t E t 2t 3t 4t.....
....... .m$_{-t}$. m m$_t$ m$_{2t}$ m$_{3t}$ m$_{4t}$ .....
La composizione di due operazioni improprie mτ dà una traslazione, somma delle due componenti traslatorie. In particolare:
m$_τ$ m$_τ$ = (τm) (τm) = τ (mm) τ = 2τ (la riflessione commuta con le traslazioni; mm = E).
Per lo scorrimento m$_t$ più semplice (tra quelli elencati nel gruppo di simmetria sopra presentato), l'applicazione della relazione precedente dà:
m$_t$ m$_t$ = (mt)$^2$ = 2t
È possibile uno scorrimento m$_τ$ ancora più semplice, tale che il suo quadrato corrisponda a t? Perché ciò si verifichi occorre che la componente τ corrisponda a t/2.
Un fregio al quale sia applicabile tale operazione di simmetria è rappresentato in Fig. 23. Le operazioni di simmetria di tale fregio sono le seguenti:
........ -t E t 2t 3t 4t .....
....... m$_{-t/2}$ m$_{t/2}$ m$_{3t/2}$ m$_{5t/2}$ m$_{7t/2}$ m$_{9t/2}$ .....
È facile constatare come tale insieme di operazioni costituisca gruppo. L'operazione caratteristica m$_{t/2}$ viene simboleggiata con la lettera g (glide) e rappresentata da una linea tratteggiata. Il corrispondente gruppo di operazioni può convenientemente scriversi:
........ -t E t 2t 3t 4t ......
........ g$_{-t}$ g g$_t$ g$_{2t}$ g$_{3t}$ g$_{4t}$ ......
assumendo, in tal modo, la struttura tipica dei gruppi impropri.
L'operazione ora introdotta è un'operazione di tipo nuovo, impossibile in oggetti finiti, compatibile solo con oggetti periodici infiniti. E' proprio l'introduzione di tale nuova operazione di simmetria che ci consentirà di completare l'elenco dei gruppi del piano.
c) Composizione di una riflessione con una traslazione generale.
Il ‘prodotto' (composizione) delle due operazioni (t m) può scriversi (t|| t⟂ m) = t|| (t⟂ m), poiché t = t|| t⟂.
Ma (t⟂ m) equivale, per quanto discusso in a), ad un piano di riflessione m' posto a distanza t⟂/2 da m. Quindi: t|| (t⟂ m) = t|| m', ovvero m'$_{t||}$, linea di riflessione con traslazione (glide) (Fig. 24).
Si osservi quanto segue: il punto reticolare in A è riportato in B dalla traslazione t; la riflessione in m$_2$ riporta A in A'; inoltre la doppia applicazione della operazione m'$_{t||}$ riporta A in A''. Si individua, in tal modo, un reticolo a maglia centrata.
Pertanto quanto sopra discusso può anche esprimersi come segue: eventuali linee di simmetria parallele a lati di reticoli centrati comportano, necessariamente, la presenza di glides che si alternano con esse (Fig. 24).