# I teoremi sull'elasticità lineare

Nota la legge che lega tensioni e deformazioni, è possibile approcciarsi al problema dell'equilibrio elastico, che consiste nel determinare:
* il campo vettoriale degli spostamenti $v$ in ogni punto del corpo;
* il campo tensoriale del tensore $T$ delle tensioni nei punti del corpo;
* il campo tensoriale del tensore $E$ delle deformazioni in tutto il continuo;
a partire dalla conoscenza della geometria del corpo in analisi, dei valori delle forze esterne (di superficie sulla superficie libera e di volume), gli spostamenti assegnati sulla parte di frontiera vincolata, la densità del corpo, e le caratteristiche del materiale di cui è composto (cioè i valori di $A_{ikjh}$ per ogni punto del corpo stesso).
Per risolvere questo problema è possibile fare riferimento ad alcuni teoremi e principi che il materiale elastico lineare deve soddisfare.

## Principio di sovrapposizione degli stati elastici

Il principio di sovrapposizione degli stati elastici (generalmente noto anche come principio di sovrapposizione degli effetti) afferma che dati due stati elastici descritti da $(v',\;E',\;T')$ e $(v'',\;E'',\;T'')$ generati rispettivamente dai sistemi di forze $(Y',\;p')$ e $(Y'',\;p'')$, detti $\alpha$ e $\beta$ due generici numeri reali, la generica combinazione lineare $\alpha (v',\;E',\;T')+\beta (v'',\;E'',\;T'')$ è uno stato elastico corrispondente all'applicazione del sistema di forze $(\alpha Y'+\beta Y'',\;\alpha p'+\beta p'')$.
Tale principio è direttamente correlato alla supposta linearità esistente tra le caratteristiche tenso-deformative.
Bisogna precisare che questo principio di sovrapposizione non è valido per l'energia $\Phi$: nel calcolo di quest'ultima, infatti, persisterà sempre una certa influenza che i due sistemi combinati linearmente hanno. Infatti, partendo dalla sua espressione ad esempio riferita esclusivamente alle deformazioni, si ha in generale:
$\Phi ={\frac {1}{2}}\int _{C}\left(\sum _{i,k,j,h=1}^{3}A_{ikjh}\epsilon _{ik}\epsilon _{jh}\right)dV$
Particolarizzando l'espressione per il caso in analisi e posto per semplicità di trattazione $\alpha =\beta =1$ si ottiene:
$\Phi ={\frac {1}{2}}\int _{C}\left(\sum _{i,k,j,h=1}^{3}A_{ikjh}(\epsilon _{ik}'+\epsilon _{ik}'')(\epsilon _{jh}'+\epsilon _{jh}'')\right)dV$
da cui:
$\Phi ={\frac {1}{2}}\int _{C}\left(\sum _{i,k,j,h=1}^{3}A_{ikjh}\epsilon _{ik}'\epsilon _{jh}'+\sum _{i,k,j,h=1}^{3}A_{ikjh}\epsilon _{ik}'\epsilon _{jh}''+\sum _{i,k,j,h=1}^{3}A_{ikjh}\epsilon _{ik}''\epsilon _{jh}'+\sum _{i,k,j,h=1}^{3}A_{ikjh}\epsilon _{ik}''\epsilon _{jh}''\right)dV$
Da ciò, considerando che il tensore $A$ è simmetrico e quindi lo scambio degli indici rende indifferente il valore, si ottiene:
$\Phi =\Phi '+\Phi ''+\int _{C}\left(\sum _{i,k,j,h=1}^{3}A_{ikjh}\epsilon _{ik}'\epsilon _{jh}''\right)dV$

## Il teorema di unicità dell'equilibrio elastico

Il teorema di unicità dell'equilibrio elastico di Kirchhoff afferma che la soluzione ad un dato problema dell'equilibrio elastico è unica.
Per dimostrare l'asserzione precedente si immagini al contrario che sia possibile che a un dato sistema di forze esterne $(Y,p)$ sia possibile correlare due soluzioni $(v',E',T')$ e $(v'',E'',T'')$. Per il principio di sovrapposizione degli stati elastici ad un sistema di forze esterne $(Y-Y,p-p)$ deve corrispondere uno stato elastico $(v,E,T)=(v'-v'',E'-E'',T'-T'')$.
In queste condizioni il lavoro compiuto dalle forze esterne è naturalmente nullo (dal momento che sono nulle tutte le forze esterne), e per il principio dei lavori virtuali a questa condizione si accompagna il necessario annullamento anche del lavoro delle forze interne:
$\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}\sigma _{ik}\epsilon _{ik}\right)dV=\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}A_{ikjh}\epsilon _{ik}\epsilon _{jh}\right)dV=0$
Tuttavia, avendo definito il tensore $A$ come strettamente positivo, l'unica condizione possibile perché l'ultimo integrale espresso sia nullo è che siano nulle tutte le componenti $\epsilon _{ik}$. Ugualmente si può dimostrare che devono essere identicamente nulle anche le componenti di $v$ e $T$. Da ciò deriva che i due stati elastici inizialmente supposti devono necessariamente coincidere, per cui la soluzione dell'equilibrio elastico è per forza di cose unica.

## Il teorema di Lamè-Clapeyron

Il teorema di Lamè-Clapeyron afferma che il lavoro delle forze esterne è pari al doppio dell'energia di deformazione che misura il lavoro prodotto per portare il corpo dalla configurazione di riferimento (con spostamenti, deformazioni e tensioni nulle) a quella attuale.
Il teorema in analisi è valido solo sotto l'ipotesi che l'intera frontiera del corpo sia libera, cioè priva di vincoli e in corrispondenza di questa siano assegnati degli sforzi, o che sulla superficie eventualmente vincolata gli spostamenti assegnati siano nulli (cioè i vincoli sono rigidi).
Si consideri il sistema di forze e tensioni $Y,\;p,\;T$ effettivamente agenti sul corpo (dunque equilibrato per ipotesi) e il sistema di spostamenti e deformazioni $v,\;E$ generato dal primo sistema (dunque congruente perché soluzione dell'equilibrio elastico), e si applichi il principio dei lavori virtuali ai due sistemi:
$\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}v_{i}\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}v_{i}\right)dV=\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}\epsilon _{ki}\sigma _{ki}\right)dV$
Il primo membro è esattamente il lavoro prodotto dalle forze esterne. Il secondo membro, in base alla definizione fornita di energia di deformazione, è esattamente il doppio dell'energia di deformazione:
$\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}v_{i}\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}v_{i}\right)dV=2\Phi$
Di questo teorema è possibile fornire un'interpretazione fisica: supponendo che il campo di forze agenti sul corpo sia conservativo e che il corpo esterno sia isolato dall'ambiente, l'energia di deformazione $\Phi$ può essere immaginata come il lavoro compiuto dalle forze attraverso un cammino di deformazione che le faccia passare da un valore nullo al valore attuale. Il lavoro delle forze esterne, cioè, è pari al doppio del lavoro che queste compirebbero in un percorso di carico che, partendo dal valore nullo, giunga al loro valore finale. Oppure, in maniera del tutto analoga, si può affermare che l'energia di deformazione è uguale alla metà del lavoro che le forze compirebbero se durante tutto il percorso di deformazione attingessero al loro valore massimo.

## Il teorema di Betti

Il teorema di Betti afferma che dati due sistemi equilibrati di forze, il lavoro che le forze del primo sistema compiono sugli spostamenti causati dal secondo è uguale al lavoro che le forze del secondo sistema compiono sugli spostamenti prodotti dal primo. Analogamente il teorema può essere espresso affermando che il lavoro che le tensioni del primo sistema compiono sulle deformazioni causate dal secondo è uguale al lavoro che le tensioni del secondo sistema compiono sulle deformazioni prodotte dal primo.
Si considerino due sistemi di forze esterne $(Y',\;p')$ e $(Y'',\;p'')$, per effetto dei quali il corpo assume una configurazione descritta dai campi $(v',\;E',\;T')$ e $(v'',\;E'',\;T'')$ rispettivamente. Si applichi allora il principio dei lavori virtuali considerando le forze e le tensioni del primo sistema con gli spostamenti e le deformazioni del secondo e viceversa:
${\begin{cases}\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p'_{i}v''_{i}\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y'_{i}v''_{i}\right)dV=\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}\epsilon ''_{ki}\sigma '_{ki}\right)dV\\\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p''_{i}v'_{i}\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y''_{i}v'_{i}\right)dV=\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}\epsilon '_{ki}\sigma ''_{ki}\right)dV\end{cases}}$
Esprimendo i due secondi membri solo in funzione delle $\epsilon$ si ottiene:
${\begin{cases}\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}A_{kijh}\epsilon '_{jh}\epsilon ''_{ki}\right)dV\\\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}A_{kijh}\epsilon ''_{jh}\epsilon '_{ki}\right)dV\end{cases}}$
Queste quantità, per effetto della simmetria del tensore $A$, si possono dimostrare uguali, per cui:
$\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p'_{i}v''_{i}\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y'_{i}v''_{i}\right)dV=\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p''_{i}v'_{i}\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y''_{i}v'_{i}\right)dV$
Per arrivare ad una interpretazione fisica del teorema si immagini di applicare al corpo inizialmente solo il primo sistema di forze, che compirà un lavoro $L_{1}$. Al momento dell'applicazione del secondo sistema di forze, poi, quest'ultimo compirà un lavoro pari a $L_{2}$. L'applicazione del secondo sistema di forze, tuttavia, genererà una variazione della configurazione del corpo, che in generale interesserà anche i punti di applicazione delle forze del primo sistema. Queste ultime, dunque, compiranno ulteriore lavoro $L_{1,2}$ per effetto degli spostamenti causati dall'applicazione del secondo sistema di forze. Il lavoro complessivo sarà dunque $L=L_{1}+L_{2}+L_{1,2}$. Ragionando in maniera analoga ma considerando di applicare prima il secondo sistema di forze si ottiene $L=L_{1}+L_{2}+L_{2,1}$. I due lavori complessivi, tuttavia, devono essere necessariamente uguali, dal momento che in entrambi i casi il corpo giunge alla medesima configurazione, per cui deve essere $L_{1,2}=L_{2,1}$. Quest'ultima espressione è analoga a quella fornita nella dimostrazione del teorema, e la quantità indicata viene chiamata lavoro indiretto o mutuo dei due sistemi di forze.

## Il teorema di Maxwell

Il teorema di Maxwell afferma che date due forze di uguale intensità applicate in due punti qualsiasi del continuo, lo spostamento del punto in cui è applicata la prima forza nella sua stessa direzione per effetto della seconda forza, è uguale allo spostamento del punto in cui è applicata la seconda forza nella sua stessa direzione per effetto dell'applicazione della prima forza.
Questo teorema è, in realtà, un caso particolare del precedente teorema di Betti, ma ne viene spesso data autonomia rispetto al teorema precedente a causa di ragioni storiche e per l'importanza che assume nella risoluzione dei problemi dell'ingegneria.
Si considerino due forze $F'$ e $F''$ applicate in due punti distinti del corpo $P'$ e $P''$ rispettivamente, sia detto $v''$ ( e $v'$) lo spostamento del punto $P'$ ($P''$) per effetto della forza $F''$ ($F'$), e sia $v''_{1}$ ($v'_{2}$) la componente di questo spostamento nella direzione di $F'$ ($F''$). Per il teorema di Betti i lavori che le forze compiono per effetto degli spostamenti causati dall'altra forza devono essere uguali, per cui $F'v''_{1}=F''v'_{2}$. Se si considerano due forze uguali da tale uguaglianza discende che:
$v''_{1}\;=\;v'_{2}$
Questo teorema è di incontestabile importanza nella costruzione delle linee di influenza, e può essere molto utile perché permette di sostituire la ricerca di uno spostamento di più difficile determinazione con quella di uno spostamento facilmente calcolabile o già noto.

## Il teorema di Castigliano

Il teorema di Castigliano afferma che la componente dello spostamento del punto di applicazione di una forza nella direzione della forza stessa è pari alla derivata dell'energia totale di deformazione rispetto alla forza stessa. Il teorema è esprimibile anche in forma duale, cioè che la forza è pari alla derivata dell'energia di deformazione rispetto allo spostamento subito dal suo punto di applicazione nella direzione della forza stessa.
Si consideri un continuo caricato in maniera del tutto generica, e si analizzi una forza concentrata $F$ applicata nel punto $P$. Si immagini ora di incrementare il valore della forza di una quantità infinitesima $dF$. Si procede dunque a valutare la variazione dell'energia di deformazione totale del corpo per effetto di questo incremento della forza, considerando $dF$ come un'ulteriore forza indipendente applicata al continuo. Tale variazione sarà pari alla somma di due termini:
* il lavoro mutuo tra la forza considerata e il sistema di forze precedentemente agenti, che per il teorema di Betti può calcolarsi come $dFv$;
* il lavoro che la forza compie sullo spostamento che essa stessa causa $dFdv$, che essendo infinitesimo di ordine superiore può trascurarsi.
Di conseguenza:
$d\Phi =dFv\to v={\frac {d\Phi }{dF}}$

## L'energia vincolata

A questo punto appare opportuno fare alcune precisazioni riguardanti lo stato iniziale del corpo considerato. Solitamente, infatti, si ipotizza che il corpo si trovi inizialmente nello stato naturale, intendendo quest'ultimo come quello stato elastico in cui le deformazioni e le tensioni del corpo sono ovunque identicamente nulle. Nella pratica, tuttavia, può accadere che questa situazione non venga verificata, e al contrario si debba considerare un corpo che abbia già in sè delle tensioni e delle deformazioni intrinseche. In linea generale è possibile distinguere in due categorie le cause che possono aver generato una situazione di questo tipo:
* cause che generano una condizione in cui le tensioni interne sono autoequilibrate (ad esempio a causa di variazioni termiche disuguali, azioni di raffreddamento di una massa fusa a velocità diverse, etc);
* cause che generano tensioni interne non equilibrate tra loro (ad esempio per vincoli sovrabbondanti o incompatibili con lo stato indeformato del corpo, per cui la risultante delle tensioni interne trova equilibrio con la reazione dei vincoli).
In entrambi i casi il lavoro delle forze complessivamente agenti sul corpo è nulla: nel primo caso perché il lavoro delle forze esterne (essendo nulle) è nullo e per il principio dei lavori virtuali è nullo anche il lavoro delle forze interne; nel secondo caso il lavoro delle forze esterne è nullo perché i loro punti di applicazione non subiscono spostamenti (nell'ipotesi di vincoli rigidi), per cui è nullo anche il lavoro delle forze interne.
In entrambi i casi si dice che il corpo è sottoposto ad uno stato di coazione, e le tensioni interne al corpo sono definite autotensioni. Il corpo sottoposto ad uno stato di coazione possiede un'energia elastica a causa della presenza delle autotensioni e derivante dall'energia della causa che l'ha prodotto. Tale energia è definita energia vincolata. Se si suppone ora che al corpo in analisi vengano applicate delle forze esterne, si può dimostrare che l'energia complessiva posseduta dal sistema è pari alla somma delle energie relative ai singoli stati elastici: in questo caso, cioè, il principio di sovrapposizione degli stati elastici è valido anche con riferimento all'energia.
Al contrario di qualsiasi altro caso considerabile, infatti, non esiste lavoro mutuo tra i due sistemi di sforzi, dal momento che le forze derivanti dallo stato di coazione fanno un lavoro complessivamente nullo perché non esistono forze esterne in grado di generare lavoro indiretto (prima categoria di cause) o se esistono compiono lavoro nullo (seconda categoria di cause).
Di conseguenza, è valido considerare come situazione di partenza quella del corpo allo stato naturale, dal momento che per il principio di sovrapposizione degli effetti e per le considerazioni precedenti è possibile ricavare l'effettivo stato attuale del corpo sommando l'energia di deformazione calcolata in quella ipotesi con l'energia vincolata.
In particolare il teorema di Lamè-Clapeyron fornisce esclusivamente il lavoro di deformazione compiuto dalle forze esterne, a cui va aggiunta l'energia vincolata precedentemente definita per conoscere l'energia totale del sistema. I teoremi di Betti e Maxwell valgono ancora senza alcuna modifica in presenza dell'energia vincolata, purché questa non cambi il suo valore nel corso del processo deformativo.

## Il principio di minimo dell'energia potenziale totale

Il principio di minimo dell'energia potenziale totale afferma che la differenza tra l'energia totale di deformazione e il lavoro compiuto dalle forze esterne è minima in corrispondenza della soluzione del problema elastico.
Si consideri uno stato elastico $(v*,E*,T*)$ cinematicamente ammissibile, e cioè quel generico stato elastico che soddisfi alle condizioni di regolarità, congruenza, costitutive e al contorno con riferimento agli spostamenti sulla superficie vincolata; l'unica differenza con la soluzione del problema elastico, quindi, è il non rispetto dell'equilibrio. Si definisce ora l'energia potenziale totale nel modo seguente:
${\mathcal {E}}=\Phi (E^{*})-\left[\int _{C}Yv^{*}dV+\int _{S_{l}}pv^{*}dS\right]$
Si consideri ora lo stato elastico $(v',E',T')$ soluzione del problema elastico, e lo stato elastico $(v,E,T)=(v*-v',E*-E',T*-T')$. Si applichi poi il teorema dei lavori virtuali considerando le forze realmente agenti $Y,p$ e le tensioni $T'$ derivanti dalla soluzione del problema, e come spostamenti e deformazioni $v,E$:
$\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}v_{i}\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}v_{i}\right)dV=\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}\epsilon _{ki}\sigma '_{ki}\right)dV$
D'altra parte, per quanto si è trovato in precedenza, si può scrivere:
$\Phi ^{*}=\Phi '+\Phi +\int _{C}\left(\sum _{i,k,j,h=1}^{3}\sigma _{ik}'\epsilon _{ik}\right)dV\to \Phi ^{*}-\Phi '-\Phi =\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}\sigma _{ik}'\epsilon _{ik}\right)dV$
Considerando che i due secondi membri delle equazioni precedenti sono uguali, è possibile uguagliare i due primi membri:
$\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}v_{i}\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}v_{i}\right)dV=\Phi ^{*}-\Phi '-\Phi$
Da qui, avendo in precedenza definito $v=v*-v'$, si può scrivere:
$\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}(v_{i}^{*}-v_{i}')\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}(v_{i}^{*}-v_{i}')\right)dV=\Phi ^{*}-\Phi '-\Phi$
Riarrangiando:
$\Phi =\Phi ^{*}-\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}v_{i}^{*}\right)dS-\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}v_{i}^{*}\right)dV-\Phi '+\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}v_{i}'\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}v_{i}'\right)dV\to$
$\Phi =\left[\Phi ^{*}-\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}v_{i}^{*}\right)dS-\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}v_{i}^{*}\right)dV\right]-\left[\Phi '-\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}v_{i}'\right)dS-\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}v_{i}'\right)dV\right]$
Dalla definizione data di energia potenziale totale si ottiene:
$\Phi ={\mathcal {E}}^{*}-{\mathcal {E}}'$
Da cui:
$\Phi +{\mathcal {E}}'={\mathcal {E}}^{*}$
Tenendo conto che $\Phi$ è un valore positivo:
${\mathcal {E}}^{*}\geq {\mathcal {E}}'$
Cioè il valore dell'energia potenziale totale correlato alla soluzione dell'equilibrio elastico è il minimo rispetto a tutti gli altri stati cinematicamente ammissibili.

## Il principio di minimo dell'energia complementare

Il principio di minimo dell'energia complementare afferma che la differenza tra l'energia elastica e il lavoro delle forze di superficie sugli spostamenti prescritti è minima in corrispondenza della soluzione dell'equilibrio elastico.
Si definisca un campo di sforzo staticamente ammissibile $T*$, tale cioè che soddisfi alle condizioni di equilibrio e regolarità. Per il generico stato di sforzo si definisce energia complementare la seguente quantità:
${\mathcal {E}}_{(C)}=\Phi (T^{*})-\int _{S_{v}}t_{n}^{*}v^{*}dS$
Si consideri ora la soluzione del problema elastico $(v',E',T')$ e uno stato di sforzo $T=T*-T'$. Per motivazioni analoghe a quelle del teorema precedente, si può scrivere:
$\Phi ^{*}-\Phi '-\Phi =\int _{C}\left(\sum _{i,k,j,h=1}^{3}\sigma _{ik}\epsilon _{ik}'\right)dV$
Si applichi ora il teorema dei lavori virtuali utilizzando come sistema di forze e tensioni $(Y=0,p=t*_{n},T*)$ e come sistema spostamenti e deformazioni $(v',E')$, cioè derivanti dalla soluzione del problema elastico:
$\int _{S_{v}}\left(\sum _{i=1}^{3}t_{ni}v_{i}'\right)dS=\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}\epsilon _{ki}'\sigma _{ki}\right)dV$
Essendo i due secondi membri uguali nelle ultime due equazioni scritte, si possono uguagliare i primi membri:
$\Phi ^{*}-\Phi '-\Phi =\int _{S_{v}}\left(\sum _{i=1}^{3}t_{ni}v_{i}'\right)dS$
Per come è stato definito lo stato di sforzo è $t_{ni}=t_{ni}*-t_{ni}'$, per cui:
$\Phi ^{*}-\Phi '-\Phi =\int _{S_{v}}\left(\sum _{i=1}^{3}t_{ni}^{*}v_{i}'\right)dS+\int _{S_{v}}\left(\sum _{i=1}^{3}t_{ni}'v_{i}'\right)dS$
$\Phi =\Phi ^{*}-\int _{S_{v}}\left(\sum _{i=1}^{3}t_{ni}^{*}v_{i}'\right)dS-\Phi '-\int _{S_{v}}\left(\sum _{i=1}^{3}t_{ni}'v_{i}'\right)dS$
Essendo $v_{i}'=v_{i}*$ dal momento che lo spostamento è un dato a priori per la superficie vincolata si ottiene:
$\Phi ={\mathcal {E}}_{(C)}^{*}-{\mathcal {E}}_{(C)}'$
Dal momento che $\Phi$ è una quantità sicuramente positiva resta dimostrato che:
${\mathcal {E}}_{(C)}^{*}\geq {\mathcal {E}}_{(C)}'$
Si può osservare che sommando membro a membro i termini derivanti dalle definizioni di energia totale ed energia complementare si ottiene:
${\mathcal {E}}+{\mathcal {E}}_{(C)}=\Phi (E)-\left[\int _{C}YvdV+\int _{S_{l}}pvdS\right]+\Phi (T)-\int _{S_{v}}t_{n}vdS$
Noto il teorema di Lamè-Clapeyron, si ottiene:
${\mathcal {E}}+{\mathcal {E}}_{(C)}=0$
Se i vincoli sono supposti rigidi ($v=0$ su tutta la superficie vincolata), si ha ${\mathcal {E}}_{(C)}=\Phi$ e il teorema viene detto teorema di Manabrea, il quale afferma che in presenza di vincoli tutti rigidi alla frontiera del corpo l'energia di deformazione elastica totale $\Phi$ ha valore minimo in corrispondenza della soluzione del problema elastico.