# Le quattro operazioni (scuola media)

Video per chi non ama leggere: addizione e sottrazione: Schooltoon, Addendi, somma, minuendo, sottraendo, differenza - Algebra - Secondaria di Primo Grado, su YouTube, 20 ott 2020.
Video per chi non ama leggere: moltiplicazione: Schooltoon, La moltiplicazione tra numeri naturali - Algebra - Secondaria di Primo Grado, su YouTube, 12 gen 2021.
Video per chi non ama leggere: divisione: Schooltoon, La divisione tra numeri naturali - Algebra - Secondaria di Primo Grado, su YouTube, 18 gen 2021.
Le quattro operazioni fondamentali sono: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Le quattro operazioni servono per trovare rispettivamente la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente.
L'immagine dell'Albero rappresenta il fatto che sulla capacità di contare si costruiscano tutte le operazioni nei numeri naturali.

## Addizione

Video per chi non ama leggere: addizione e sottrazione: Schooltoon, Addendi, somma, minuendo, sottraendo, differenza - Algebra - Secondaria di Primo Grado, su YouTube, 20 ott 2020.
L’addizione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, ottenuto contando di seguito al primo tante unità quante ne indica il secondo. Conto 4 sassolini e li tengo in mano, nella stessa mano ne metto altri 3, contandoli, ed infine conto ripartendo da capo tutti i sassolini che ho in mano scoprendo così di averne 7. L'addizione nei numeri naturali si spiega quindi con la semplice operazione del contare.
I numeri da sommare si chiamano addendi$^{VK}$ mentre il risultato si chiama somma$^{VK}$ o totale$^{VK}$. Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione, perché qualunque numero addizionato a 0 dà sempre il numero di partenza.
Sappiamo sommare poichè sappiamo contare.

## Sottrazione

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La sottrazione è l'operazione che permette di togliere una quantità da un'altra, o di calcolare la differenza tra due quantità.
$12-2=10$
12 si chiama minuendo$^{VK}$ e 2 si chiama sottraendo$^{VK}$; il risultato cioè 10 si chiama resto$^{VK}$ o' differenza$^{VK}$. La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione, lo zero sottratto a un numero non lo modifica.
$8-0=8$

## Moltiplicazione

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La moltiplicazione è l'operazione per trovare il prodotto fra due numeri. I due numeri da moltiplicare si chiamano fattori$^{VK}$ e il risultato si chiama prodotto$^{VK}$. Il numero neutro è l'1: qualsiasi numero moltiplicato per 1 è sempre uguale alla quantità che viene moltiplicata.
$12*1=12$
$3*6=18$

## Divisione

Video per chi non ama leggere: divisione: Schooltoon, La divisione tra numeri naturali - Algebra - Secondaria di Primo Grado, su YouTube, 18 gen 2021.
La divisione è l’operazione che si utilizza per raggruppare o distribuire una quantità in parti uguali.
$24:4=6.$
Il dividendo$^{VK}$ è il numero che verrà diviso per il divisore$^{VK}$, ottenendo così il quoziente$^{VK}$. La divisione può essere rappresentata anche con la frazione. La divisione è l’operazione inversa alla moltiplicazione.
$10:2=5$
$5*2=10$
Non è possibile dividere un numero per 0.

## Divisioni con il resto

Il risultato di una divisione con il resto$^{VK}$ si compone di:
* quoziente$^{VK}$ che è il numero che indica le volte per le quali si deve moltiplicare il divisore$^{VK}$ per raggiungere il suo multiplo$^{VK}$ minore e più vicino al dividendo$^{VK}$
* resto che è la differenza tra il dividendo ed il multiplo trovato, ed è strettamente minore del divisore.
Schematicamente:
$dividendo\ :\ divisore\ =\ quoziente$ con $\ resto\ =\ dividendo\ -\ quoziente\ \cdot \ divisore$
e quindi
$dividendo\ =\ quoziente\ \cdot \ divisore\ +\ resto$
Per trovare il quoziente, e di conseguenza il resto, possiamo procedere in diversi modi a seconda degli strumenti che abbiamo a disposizione.

### La regola manuale

La regola, l'algoritmo$^{VK}$, per fare le divisioni con il resto$^{VK}$ la si impara a scuola, anche se, dopo l'avvento delle calcolatrici$^{VK}$, lo si dimentica piuttosto velocemente.
Per maggiore chiarezza cominciamo con lo scrivere un esempio che commentiamo
${\begin{aligned}&{\widehat {75}}{\breve {3}}:18=41\\&{\underline {72\ \ \ }}\\&\ \ 33\\&{\underline {\ \ 18\ \ }}\\&\ \ 15\end{aligned}}$
Si scelgono dal dividendo partendo da sinistra un numero di cifre adeguate a rappresentare un numero maggiore del divisore, nel nostro esempio ${\widehat {75}}$ le prime due poiché $75>18$.
Si esegue la divisione del numero rappresentato per il divisore ottenendo così la prima cifra del quoziente, nel nostro caso $4$ poiché $18\cdot 4=72$, si sottrae dal numero rappresentato dalle prime due cifre il multiplo del divisore ottenuto moltiplicandolo per la prima cifre del quoziente $75-18\cdot 4=75-72=3$ e si scrive questo primo resto in basso. Nel nostro caso in questo modo abbiamo scoperto che il divisore sta $40$ volte nel dividendo
A questo punto si abbassa la successiva cifra del dividendo $3$ ottenendo un numero che rappresenta una quantità nella quale il divisore è contenuto meno di una decina di volte. Si procede a alla divisione $33:18=1$ dalla quale, nel nostro esempio, si ottiene la cifra delle unità del divisore. Si calcola il resto come fatto per la cifra delle decine $33-18\cdot 1=15$ il resto ottenuto è il resto della divisione, incidentalmente osserviamo che il resto è, come deve essere, strettamente minore del divisore. ...e ci mancherebbe!

### Trovare il resto con una calcolatrice

La calcolatrice ci permette di fare tutti i calcoli che vogliamo purtroppo però se volgiamo svolgere la divisione con il resto non abbiamo un risultato così immediato, infatti la clacolatrice esegue la divisione e ci restituisce come quoziente$^{VK}$ un numero decimale con la virgola, ovviamente nel caso in cui il dividendo non sia una multiplo del divisore. E' possibile però facendo due altri veloci calcoli ricavare il Quoziente intero ed il Resto. Una volta eseguita per ottenere il resto la divisione basta sottrarre dal dividendo la moltiplicazione del divisore per il quoziente calcolato senza decimali, troncato alle unità.

#### Ad esempio

Eseguiamo $65:17=$
ed otteniamo
a questo punto per calcolare il resto moltiplichiamo' dapprima il divisore per la parte intera del quoziente $17\cdot 3=51$
e poi troviamo il resto sottraendo dal dividendo il prodotto trovato e $resto=65-51=14$.
e quindi $65:17=3$ e $resto=14$.

### Usare il computer (Scratch)

Per trovare il quoziente in una divisione con il resto si può procedere anche per tentativi, ma facendo i calcoli a mano questa maniera potrebbe rivelarsi troppo dispendiosa in tempo ed energia. Vero è che si può sempre cominciare da una stima per poi approssimarla fino a renderla corretta. Avendo a disposizione un computer che può fare molti calcoli, anche complessi, in poco tempo. Possiamo provare a programmalo in modo da eseguire la divisione con resto per tentativi.
Partiamo dall'osservare che il risultato della divisione con il resto si compone di un quoziente e del resto, altrimenti non si chiamerebbe così;-) Il quoziente rappresenta il fattore$^{VK}$ per il quale si deve moltiplicare il divisore per ottenere il suo multiplo più piccolo e più vicino possibile al dividendo. Grazie alla capacità del computer troveremo il quoziente con tentativi ripetuti, avendo l'accortezza di mantenerli ordinati, facendo incrementare il quoziente, cosa che di conseguenza farà diminuire il resto fino a che diventerà più piccolo del divisore, cosa che completa la ricerca del multiplo. In altre parole il quoziente (risultato) della divisione è uno dei due fattori di quel multiplo del divisore
tale che la differenza che chiamiamo resto
diventa più piccola del divisore, ed la più piccola possibile.
Se tutto funziona a dovere possiamo in generale scrivere
espressione che è vera anche nel caso in cui il dividendo è minore del divisore, caso nel quale il quoziente è uguale a 0.
Per fare questo lavoro programmando con Scratch non faremo altro che costruire un ciclo ripeti fino a che una condizione non diventi vera, dove la condizione sarà appunto il fatto che il resto calcolato per differenza tra dividendo e ipotetici multipli del divisore diventerà minimo, il più piccolo, quello più piccolo del divisore.
Facendo un esempio:
osservo che $dividendo\ >\ divisore$ quindi il mio primo ipotetico $quoziente=1$ e calcolando il $resto=\ dividendo\ -\ quoziente\cdot divisore=27-1\cdot 11=16$ il primo resto è più grande del divisore $16>11$,
quindi procedo
secondo tentativo $quoziente=2$ e calcolando il $resto=\ dividendo\ -\ quoziente\cdot divisore=27-2\cdot 11=5$ il primo resto è più piccolo del divisore $5<11$,
ho trovato il risultato
Un tutorial per Scratch lo trovate Divisioni con il resto (scuola media)

## Divisibilità

Un numero naturale n è divisibile per un altro numero naturale, m, se la divisione del primo, n il dividendo, per il secondo, m il divisore, da come resto 0. Usando la moltiplicazione il primo numero n risulta un multiplo del numero m. Ad esempio 72 è divisibile per 9 poiché
notiamo che come scritto sopra $72$ è un multiplo di $9$ infatti

### Esercizi per imparare la divisibilità

Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni.

## Proprietà
### Commutativa

    Se cambio l’ ordine dei termini, il risultato non cambia (addizione, moltiplicazione)
$4+3=7$
$3+4=7$
$3*2=6$
$2*3=6$

### Associativa

    In un'operazione con più termini, se sommo o moltiplico fra di loro due numeri, il risultato non cambia (addizione, moltiplicazione)
$28+35+12+15=90$
$(28+12)+(35+15)=40+50=90$

### Dissociativa

    Scomponendo un termine in due numeri, il risultato non cambia (addizione, moltiplicazione)
$49+231=280=40+9+200+30+1=280$
$20-10=10+10-5+5$

### Invariantiva

    Solo la sottrazione e la divisione hanno la proprietà invariantiva; se aggiungi o togli la stessa quantità al minuendo e al sottraendo il risultato non cambia.
* sottrazione: se sommo o sottraggo lo stesso numero al minuendo e al sottraendo, il risultato non cambia.
* divisione: se moltiplico o divido lo stesso numero al divisore e al dividendo, il risultato non cambia.

### Distributiva

* moltiplicazione: se devo moltiplicare un' addizione o una sottrazione per un numero, posso moltiplicare i termini per quel numero; il risultato non cambia.
* divisione: se devo dividere un'addizione o una sottrazione per un numero, posso dividere i termini per quel numero. Il risultato non cambia.

## Lo zero

Zero significa niente o nullo. Se la differenza tra il numero di oggetti in due insiemi è zero, significa che i due insiemi contengono lo stesso numero di elementi. Zero va però distinto da "assenza di valore" poiché si tratta di due concetti diversi: per esempio se la temperatura è zero, l'acqua ghiaccia (nel caso della gradazione Celsius della temperatura); se invece manca il dato della temperatura (assenza del valore) nulla si può dire.