# Calcolatore della probabilità di rivelazione nel sonar

Il calcolatore oggetto di questa lezione, individuabile dalla sigla PREDICTOR, è stato progettato a soli fini didattici per consentire esercitazioni specifiche su diverse materie del corso che trattano delle variabili: $Priv;\ \ \ Pfa;\ \ \ Si/Ni;\ \ \ BW;\ \ \ d$

## Considerazioni in via di principio

La probabilità di rivelazione, nel caso in cui un sommergibile decida di attaccare un bersaglio, è di aiuto per la strategia operativa, stabilire quale percentuale di rivelazione $Priv$è probabile una volta deciso quale percentuale di falsi allarmi $Pfa$accettare.
Questo tipo di valutazioni è agevolato dalla conoscenza del rapporto segnale/disturbo $(Si/Ni)$ disponibile al momento della decisione grazie ad un sistema analogico o numerico che calcola tale rapporto una volta puntato il bersaglio.
Nella scoperta sonar con i metodi di correlazione a due stati si utilizza spesso l'algoritmo di calcolo del rapporto $Si/Ni$ per dedurne, una volta inseriti i parametri $BW$ ( banda di ricezione del sonar ) ed $RC$ ( costante di tempo d'integrazione ) e una volta fissata una certa probabilità di falso allarme $Pfa$, il valore della probabilità di rivelazione indicata con $Priv.$
Si tratta quindi del computo della funzione:
    $Priv=f[Pfa;\ \ BW;\ \ Rc;\ \ Si/Ni;\ \ d]$
da sviluppare con il calcolatore oggetto di questa lezione.

## Come si presenta il pannello virtuale del PREDICTOR

Il pannello del calcolatore, visibile in figura 1, è diviso in tre sezioni così individuate:
* A) Sezione per l'inserzione dati: $BW$ in hertz; $RC$ in secondi; $Si/Ni$ in $dB$
Pigiando il pulsante "calcolo" si ottiene il valore del parametro $d$, questo è mostrato nel label inferiore ed è messo automaticamente a calcolo per la computazione finale.
* B) Sezione per l'inserzione del valore di $Pfa$ stabilito e, dopo pressione del pulsante, calcolo della variabile $q$, indicata e messa automaticamente a calcolo.
* C) Sezione per il computo finale del valore di $Priv$ che viene mostrato nel label inferiore una volta pigiato il pulsante calcolo.
Nella sezione è collocato anche il pulsante di Reset per l'azzeramento di tutti i dati numerici.

### Calcoli nella sezione A

I calcoli della sezione A) si basano sulle seguenti considerazioni:
La funzione che esprime come varia l'ampiezza del livello $Crt$ d'uscita di un correlatore a due stati al variare di $Si/Ni$ è:
    $Crt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)\arcsin \left[{\frac {1}{1+\left({\frac {Ni}{Si}}\right)^{2}}}\right]\qquad \qquad 1)$
Dallo sviluppo della 1) discende la 2) che consente il calcolo del rapporto $Si/Ni$ in $dB$ in funzione del livello d'uscita $Crt$ del correlatore:
    $\left({\frac {s}{n}}\right)_{db}=20\log \left[{\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{\operatorname {sen} \left(\pi \cdot {\frac {C}{2}}\right)}}-1}}}\right]\qquad \qquad 2)$
La 2) mostra come sia possibile stabilire a calcolo il valore di $Si/Ni$ una volta determinato il livello di $Crt$, detto livello può essere sia in forma analogica che numerica in dipendenza del tipo di trattamento dei segnali.
Ed infine il calcolo della funzione $d=f(Si/Ni;Bw;RC)$:
    $d\cong 2(\mathbf {BW} )RC\left({\frac {Si}{Ni}}\right)^{4}$
Questa è valida soltanto per rapporti $Si/Ni<-15\ dB$.
Il valore $d$ può essere computato anche per $Si/Ni$ espresso in $dB$ con l'espressione:
    $d=2\cdot BW\cdot RC\cdot 10^{\left[{\frac {\left({\frac {Si}{Ni}}\right)_{db}}{20}}\right]^{4}}\qquad \qquad \qquad 4)$

### Calcoli nella sezione B

Per le computazioni della variabile $q$:
    $p(FA)=\left({\frac {1}{2}}\right)\left\{1-erf\left({\frac {q}{\sqrt {2}}}\right)\right\}\qquad \qquad 5)$
Con processo software iterativo si ricava il valore di $q$ in funzione di $Pfa$

### Calcoli nella sezione C

L'algoritmo per il calcolo di $Priv$:
    $p(Riv.)=\left({\frac {1}{2}}\right)\left\{1-erf\left[{\frac {\left(q-{\sqrt {d}}\right)}{\sqrt {2}}}\right]\right\}\qquad 6)$
Con processo software si ricava il valore di $Priv$ in funzione di $d\ e\ q$ computati in precedenza nella sezione A e nella sezione B.

## Esempio di calcolo

Utilizzando il file eseguibile PREDICTOR oppure
pred
si può sviluppare il seguente esempio di calcolo:
DATI:
* Banda di ricezione impostata sul sonar: $BW=2000\ Hz$
* Costante di tempo d'integrazione impostata sul sistema di correlazione del sonar: $RC=2\ S$.
* Rapporto segnale/disturbo d'ingresso letto su apposito indicatore del sonar dopo il puntamento del bersaglio:
    $Si/Ni=-18\ dB$
* Percentuale di falso allarme accettata: $Pfa=10\%$
Dopo l'inserzione dei dati e la successiva azione sui tre pulsanti di calcolo delle tre sezioni si ha la schermata risolutiva riportata in figura 2:
Dalla figura si vede che con i dati impostati la previsione della probabilità di rivelazione è nell'ordine di: $Priv=55\%$.
Come accennato in precedenza il calcolatore rende dati teorici validi di $Priv$ soltanto se i rapporti $Si/Ni$sono inferiori a $-15\ dB$ ed i valori del parametro $d$ sono inferiori a $40.$
I calcoli sviluppati dalle sezioni B) e C), in dipendenza dei valori inseriti, possono richiedere un sensibile tempo di elaborazione.
I pulsanti di colore verde in attesa di essere premuti, cambiano colore dopo la pressione, il calcolo dura fino a che il pulsante di calcolo permane di colore rosso.

## note

* ↑ La probabiità di scoperta è indicata indifferentemente con $p(D)$ o P.riv.
* ↑ La probabiità di falso allarme è indicata indifferentemente con $p(FA)$ o Pfa.