# Spazi vettoriali

Per questa lezione sono utili le nozioni di Gruppo e Campo algebrico.

## Spazi e sottospazi vettoriali

Un insieme di vettori $V$ appartenenti ad un qualsiasi campo formano uno spazio vettoriale se $(V;+)$ è un gruppo abeliano e $(V;*)$, con $*$ prodotto per uno scalare, gode della proprietà distributiva, associativa, esistenza dell'elemento neutro e dello 0. In altri termini, esplicitando le proprietà:
    $\forall u,v,w\in V$
* $(u+v)+w=u+(v+w)\,\!$
* $\exists O:v+O=v\,\!$
* $\exists -v:v+(-v)=O\,\!$
* $u+w=w+u\,\!$
    $\forall u,v,w\in V,\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$
* $\lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v\,\!$
* $v(\lambda +\mu )=\lambda v+\mu v\,\!$
* $(\lambda \mu )v=\lambda (\mu v)\,\!$
* $0v=O\,\!$
* $1v=v\,\!$
Un sottospazio vettoriale di $V$ è un insieme $U\subseteq V$ con la proprietà di chiusura per le operazioni di somma e prodotto per uno scalare, cioè:
    $\forall u,u^{\prime }\in U,\lambda \in \mathbb {R} :u+u^{\prime }\in U,\lambda u\in U$

#### Esempi di spazi e sottospazi vettoriali

$\mathbb {R} ^{3}$ è uno spazio vettoriale. Infatti soddisfa tutte le proprietà descritte sopra.

## Combinazioni lineari di vettori

$n$
$v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$
$a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R}$
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=a_{1}v_{1}+\ldots +a_{n}v_{n}\in V$.
Si definisce inoltre il sottospazio generato dai $v_{1},...,v_{n}$ l'insieme delle combinazioni lineari dei $v_{1},...,v_{n}$, cioè:
    ${\mathcal {L}}(v_{1},...,v_{n}):=\left(v_{i}\in V,a_{i}\in \mathbb {R} \mid \sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)$
Dunque, dato $U\,$ uno spazio vettoriale e $V\subseteq U$ sottospazio vettoriale, diremo che i vettori $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\,$ generano il sottospazio $V\,$ se tutti gli elementi di $V\,$ possono essere scritti come combinazione lineare dei vettori $v_{i}\,$.
Si osservi che dalla sola definizione data non è necessario che tali generatori siano "necessari" per generare lo spazio. Non è escluso cioè che togliendo dall'insieme un vettore, il sottospazio vettoriale così generato resti lo stesso.

#### Esempi

* Dato un vettore non nullo $v\in V\,$ si ha che il sottospazio generato da $v$ (spesso indicato con $\langle v\rangle$ o anche come ${\text{span}}(v)\,$ o come ${\mathcal {L}}(v)$) è l'insieme di tutti i multipli di $v\,$. La verifica delle proprietà di sottospazio è immediata.
* (solo per studenti con nozioni di geometria analitica) Consideriamo il sottospazio vettoriale di $\mathbb {R} ^{3}\,$ con equazioni cartesiane $W:z=0\,$ nell'usuale sistema di coordinate. Si osserva facilmente che un insieme di generatori di tale sottospazio è dato dai vettori ${\hat {i}},{\hat {j}}$ definiti nell'esempio successivo.
Infatti un generico punto del sottospazio ha la forma $w={\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\0\end{pmatrix}}$ e può quindi essere scritto come $w=w_{1}{\hat {i}}+w_{2}{\hat {j}}\,$.
Questo dimostra che il sottospazio generato da ${\hat {i}}\,$ e ${\hat {j}}\,$ contiene $W\,$. Il viceversa è banalmente vero unicamente osservando che i due generatori appartengono entrambi al sottospazio $W$.
* Rispetto all'esempio appena considerato si può osservare che qualsiasi coppia di vettori della forma $k_{i}{\hat {i}},k_{j}{\hat {j}}\,$ con $k_{i},k_{j}\neq 0$, genera lo stesso sottospazio $W\,$.

## Dipendenza e indipendenza lineare

Definizione: un insieme di vettori $v_{1},...,v_{n}\in V$ si dicono linearmente dipendenti se esistono degli $a_{1},...,a_{n}\in \mathbb {R}$ non tutti nulli tali che
    $a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n}=O$.
Viceversa, i vettori si dicono linearmente indipendenti, ovvero se
    $a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n}=O\Rightarrow a_{1}=...=a_{n}=0$.
Vedremo più avanti, quando studieremo i sistemi lineari, metodi più efficaci per determinare la dipendenza o indipendenza lineare di un insieme vettori. In ogni caso, facciamone comunque qualche esempio utile a chi ha già nozioni di sistemi lineari e rango di una matrice.