# Serie numeriche

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## Definizione

Sia $a_{n}$ (con $n\in \mathbb {N}$) una successione di numeri reali.
Diciamo serie di termine generale $a_{n}$ la scrittura formale $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$, e la successione $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ prende il nome di successione delle somme parziali della serie.
Consideriamo ora il limite per $n\to \infty$ della successione $S_{n}$.
Se tale limite esiste ed è finito, la serie si dice convergente; se il limite esiste ed è uguale a $+\infty$ oppure a $-\infty$, la serie si dice divergente (positivamente o negativamente), ed in entrambi i casi, la serie si dice regolare.
Se invece il limite non esiste, la serie si dice indeterminata.

### Esempio

La serie di Mengoli è definita come:
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(k+2)}}$
Si dimostra, utilizzando il principio di induzione (lo studente può verificarlo per esercizio), che:
$S_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{(k+1)(k+2)}}={\frac {n}{n+1}}$
da cui:
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(k+2)}}=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {n}{n+1}}=1$
La serie è quindi convergente.

### Proprietà basilari

Lo studente può facilmente verificare, tramite le nozioni di limite di successione e di sommatoria, che:
Se le serie di termini generali $a_{k}$ e $b_{k}$ sono regolari, e se anche la serie di termine generale $a_{k}+b_{k}$ è regolare, allora risulta:
$\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}+b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
e lo stesso vale per:
$\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}-b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}-\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
inoltre:
$\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}*b_{k})\neq \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}*\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
Se la serie di termine generale $a_{k}$ è regolare, allora la serie di termine generale $c\cdot a_{k}$, con $c$ numero reale, è anch'essa regolare, e risulta:
$\sum _{k=0}^{\infty }c\cdot a_{k}=c\cdot \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

## Serie convergenti
### Condizione necessaria per la convergenza di una serie

Se la serie $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ è convergente, allora $\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$
È importante ricordare che la condizione è necessaria, ma non sufficiente.

#### Dimostrazione

Siano $S_{n}$ la successione delle somme parziali, ed $S$ il valore a cui essa converge (per ipotesi); poiché:
$a_{n}=S_{n}-S_{n-1},\ \ \forall n\in \mathbb {N}$, $n>0$
risulta:
$\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n}-S_{n-1}=\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n}-\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n-1}=S-S=0$
$\Box$
Nota: inserire collegamento a serie armonica come esempio che la condizione non è sufficiente

### Criterio di Cauchy per le serie

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ converge se e solo se $\forall \varepsilon >0$ esiste $\nu \in \mathbb {N}$ tale che:
$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}\right|=\left|a_{n+1}+\ldots +a_{n+p}\right|<\varepsilon ,\ \ \ \ \forall n,p\in \mathbb {N} ,n\geq \nu$

#### Dimostrazione

Sia $S_{n}\,\!$ la successione delle somme parziali.
Per il criterio di Cauchy per le successioni, $S_{n}$ converge se e solo se $\forall \varepsilon >0$ esiste $\nu \in \mathbb {N}$ tale che $\left|s_{m}-s_{n}\right|<\varepsilon$ per $m,n\geq \nu$.
Se prendiamo $m>n$ allora $m=n+p$ per qualche $p\in \mathbb {N}$, con $p\neq 0$; l'asserto segue allora dal fatto che:
$\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}=\sum _{k=0}^{n+p}a_{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}=s_{m}-s_{n}$.
$\Box$

### Teorema del resto
#### Dimostrazione
## Serie a termini non negativi

Una serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ si dice a termini non negativi (positivi) se $\forall n\in \mathbb {N} ,\ \ a_{n}\geq 0\ \left(>0\right)$.
La sua successione $s_{n}\,\!$ delle somme parziali è monotona non descrescente (crescente); risulta infatti $\forall n\in \mathbb {N}$:
$s_{n+1}=s_{n}+a_{n+1}\geq s_{n}\ \left(>s_{n}\right)$
In base al teorema di esistenza del limite di una successione monotona, risulta vero il seguente teorema sulle serie a termini non negativi:
Una serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ a termini non negativi è regolare, cioè non può essere indeterminata;
In particolare può solo convergere o divergere positivamente.

## Criteri di convergenza per serie a termini non negativi

È spesso complicato calcolare esplicitamente la successione delle somme parziali; per questo motivo può essere utile avere degli strumenti per stabilire a priori il carattere di una serie;
I seguenti criteri sono validi per serie a termini non negativi.

### Criterio del confronto

Siano $a_{n}\!$ e $b_{n}\!$ due successioni tali che $0\leq a_{n}\leq b_{n},\ \forall n>\nu ,$ con $\nu \in \mathbb {N} \!$ fissato.
Si ha:
$\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}<+\infty \ \ \Rightarrow \ \ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}<+\infty$
$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=+\infty \ \ \Rightarrow \ \ \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}=+\infty$

#### Dimostrazione
### Criterio degli infinitesimi

Sia $a_{n}$ una successione a termini non negativi. Supponiamo che, fissato un numero reale $\rho$ esista il limite: $l=\lim _{n\to +\infty }n^{\rho }a_{n}$ Si ha: $l\neq +\infty ,\rho >1\Rightarrow \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}<+\infty$ $l\neq 0,\rho \leq 1\Rightarrow \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=+\infty$

#### Dimostrazione
### Criterio del rapporto

Si ha la serie a termini positivi $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ tale che esista $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=l$
Essa:
- converge se $l<1$
- diverge se $l>1$
- il criterio non è risolutivo se $l=1$

#### Dimostrazione

Se $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=l<1$ possiamo definire un numero k compreso tra l ed 1 per ogni n maggiore di un certo N abbastanza grande.
$\forall n>N,\ {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<k$
da cui
$a_{n}<a_{n-1}k<a_{n-2}k^{2}<a_{n-3}k^{3}<\dots <a_{N+1}k^{n-(N+1)}=\left({\frac {a_{N+1}}{k^{N+1}}}\right)k^{n}$
$\left({\frac {a_{N+1}}{k^{N+1}}}\right)$ è una costante ininfluente ai fini della determinazione del carattere della serie.
$k^{n}$ è una serie geometrica di ragione k minore di 1 e che quindi converge.
Quindi dato che una successione maggiorante di $a_{n}$ risulta convergente, anche $a_{n}$ risulta convergente.

### Criterio della radice
#### Dimostrazione

Supponiamo che il limite di ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sia un certo numero L < 1. Allora puoi fissare un numero q nell'intervallo aperto (L , 1), cioè un numero q STRETTAMENTE maggiore di L e STRETTAMENTE minore di 1. Applica la definizione di limite alla successione ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ scegliendo un particolare $\epsilon$, precisamente $\epsilon =q-L$ (puoi farlo perché q - L è positivo); per tutti gli indici n da un certo N in avanti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sarà compreso tra $L-\epsilon$ ed $L+\epsilon$, cioè tra 2L - q e q. Ciò significa che per tutti gli indici n sufficientemente grandi hai la disuguaglianza ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<q$. Il primo n per il quale vale la disuguaglianza appena detta è N: dunque è ${\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}<q$, cioè $a_{N+1}<q\cdot a_{N}$ (occhio! qui si utilizza il fatto che i termini sono positivi, altrimenti le disuguaglianze cambiano verso e il criterio va a farsi friggere). Ma abbiamo anche ${\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}<q$, il che implica $a_{N+2}<q\cdot a_{N+1}<q^{2}\cdot a_{N}$. Proseguendo in questo modo hai per un generico k la disuguaglianza $a_{N+n}<q^{n}\cdot a_{N}$. Ma questo significa che la serie (per n da N a infinito) di $a_{n}$ si maggiora con la costante $a_{N}$ moltiplicata per la serie (per n da N a infinito) di $q^{n}$, che è una serie geometrica convergente, in quanto ha ragione minore di 1. Per il criterio del confronto, la serie (per n da N a infinito) di $a_{n}$ converge (nota che anche qui si usa l'ipotesi serie a termini positivi, perché altrimenti il criterio del confronto non vale). Abbiamo ovviamente tralasciato i primi termini della serie (fino all'indice N - 1), ma questo non è un problema, perché il carattere di una serie non cambia eliminando o alterando un numero finito di termini..

## Serie Alternate

Una serie del tipo $\sum _{k=1}^{\infty }\left(-1\right)^{k-1}a_{k}$, con $a_{n}>0,\ \ \forall n\in \mathbb {N}$, si dice serie alternata; la successione delle somme parziali corrispondente sarà:
$s_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\ldots +\left(-1\right)^{n-1}a_{n}$
Seguono un criterio di convergenza specifico per serie di questo tipo, ed un teorema valido per ogni tipo di serie, ma molto utile nello studio del carattere di quelle alternate.

### Criterio di convergenza per le serie alternate

Per studiare il carattere delle serie a termini alterni del tipo $\sum _{k=1}^{\infty }\left(-1\right)^{k-1}a_{k}$, con $a_{n}>0,\ \ \forall n\in \mathbb {N}$ si usa il criterio di Liebniz:
1)$\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$
2)$\ a_{n}$ è monotona decrescente, ovvero $\ a_{n}>=a_{n+1}$
allora la serie è convergente.

#### Dimostrazione

Poiché {a$_n$} è decrescente, per ogni n si ha che
    $s_{2n}\geq s_{2n}-a_{2n+1}+a_{2n+2}=s_{2n+2}$
da cui segue che
    $s_{0}\geq s_{2}\geq s_{4}\geq \cdots \geq s_{2n}\geq \cdots$
Similmente
    $s_{2n+1}\leq s_{2n+1}+a_{2n+2}-a_{2n+3}=s_{2n+3}$
e quindi
    $s_{1}\leq s_{3}\leq s_{5}\leq \cdots \leq s_{2n+1}\leq \cdots$
Si hanno quindi due successioni: una decrescente formata dai termini pari delle somme parziali e una crescente formata dai termini dispari delle somme parziali. Inoltre $s_{2n+1}=s_{2n}-a_{2n+1}\leq s_{2n}$ e quindi ogni elemento della seconda successione è minore di ogni elemento della prima. Possiamo porre $D=\lim _{n\to \infty }s_{2n+1}$ e $P=\lim _{n\to \infty }s_{2n}$. Per ogni n si ha
    $s_{2n+1}\leq D\leq P\leq s_{2n}$
perché se fosse D>P potremmo trovare delle somme parziali di termine pari a una distanza minore di ogni $\varepsilon$ da P e termine dispari distanti da D meno di $\varepsilon$; per $\varepsilon$ sufficientemente piccolo si avrebbe allora un termine dispari maggiore di uno pari, cosa che abbiamo già dimostrato essere impossibile.
Inoltre la distanza tra P e D diventa più piccola di ogni a$_m$; ma tale successione tende a 0, e quindi così fa P-D, ovvero P = D. Poniamo S = P = D. Essendo S il limite delle somme parziali pari, per la definizione di limite per ogni $\varepsilon >0$ esiste m tale che $|S-s_{n}|<\varepsilon$ per ogni n>m (n pari). Allo stesso modo, essendo S il limite delle somme parziali dispari, esiste k tale che la disuguaglianza vale per ogni n dispari maggiore di k. Quindi prendendo $h=\mathrm {max} ~(m,k)$ la disuguaglianza vale per ogni n>h, per ogni n pari e dispari, e si ha quindi
    $\lim _{n\to \infty }s_{n}=S$
e la serie converge.

### Osservazioni sulla dimostrazione

* Dalla dimostrazione, abbiamo che $|S-s_{n}|\leq a_{n+1}$; il che significa che, approssimando la somma della serie con la somma parziale $n$-esima, l'errore commesso non supera il termine successivo trascurato (preso in modulo). Ad esempio, si consideri la serie:
       $\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}$;
    calcolando la somma dei primi dieci termini, si ottiene
       $s_{10}=\sum _{k=1}^{10}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\approx -0,6456$,
    mentre la somma infinita vale esattamente
       $S=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}=-\ln {2}\approx -0,6931$,
    e si nota che $|s_{10}-S|\approx |-0,6456+0,6931|=0,0475<0,090909...={\frac {1}{11}}$.
* Se l'ipotesi che la successione sia non crescente viene sostituita con quella (più debole) di successione asintoticamente non crescente (cioè $a_{k}\geq 0\ \forall k,\lim _{k\to +\infty }{a_{k}}=0,a_{k}\sim b_{k}$ dove $\{b_{k}\}$ soddisfa le ipotesi del teorema di Leibniz), il teorema non è più valido.

### Convergenza assoluta

Una serie di termine generale $a_{n}\,\!$ si dice assolutamente convergente, per definizione, se la serie di termine generale $\left|a_{n}\right|$ risulta convergente.
Vale il seguente teorema:
Se una serie converge assolutamente, essa è convergente.
Il teorema è particolarmente utile, perché, qualsiasi sia la successione $a_{n}\,\!$, la serie di termine generale $\left|a_{n}\right|$ risulta essere a termini non negativi, e può essere quindi analizzata con i relativi criteri.
Una serie che sia convergente, ma non assolutamente convergente, si dice condizionatamente convergente.

#### Dimostrazione

Per ipotesi, la serie $\sum _{k=1}^{\infty }\left|a_{k}\right|$ è convergente.
Consideriamo la serie $\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)$; essa converge per il criterio del confronto, poiché:
$0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,\ \ \ \ \forall k\in \mathbb {N}$
Dal momento che:
$\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum _{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|$
Il limite per $n\to +\infty$ del primo mebro deve necessariamente esistere finito, poiché esistono finiti i limiti dei singoli addendi del secondo membro.
$\Box$