# Processi stocastici, stazionarietà ed ergodicità e densità spettrale di potenza

Un processo casuale potrebbe essere, per esempio, quando si acquisisce un segnale con un oscilloscopio collegato ad un generatore di forme d'onda; la sinusoide generata sarà $\sin(2\pi ft+\Phi )$, dove $\Phi$ è una variabile casuale.

### Processi casuali

Un processo casuale $\{X(t),t\in T\}$ è una collezione di variabili casuali indicizzate dal tempo $t\in T$. Quindi, $X({\bar {t}})\ \forall {\bar {t}}\in T$ è una variabile casuale definita nello spazio di probabilità $\{\Omega ,F,P\}$. Fissato l'istante temporale ${\bar {t}}\in T$, si ha una funzione misurabile
    $X({\bar {t}}):\Omega \to \mathbb {R}$
che parte dallo spazio $(\Omega ,F)$ per giungere allo spazio $(\mathbb {R,B(R)} )$. È possibile indicare un processo stocastico anche con la notazione
    $X(t,s):\Omega \times T\to \mathbb {R}$
dove $X(t,s)$ è misurabile rispetto ad $s$.
Se $T=\mathbb {R}$, il processo si dice a tempo continuo; al contrario, se $T=\mathbb {Z}$, allora il processo si dice a tempo discreto.
Se fissiamo $s\in \Omega$, allora $X(s)$ è una funzione del tempo, altrimenti detta realizzazione.
$X(t)=V$
$V$
    $f_{V}(v)={\frac {1}{2}}\delta (v-1)+{\frac {1}{2}}\delta (v-1)$
Osservazione: fissato un qualunque ${\bar {t}}\in T$, la variabile casuale resta sempre la stessa
    $f_{V}({\bar {t}})={\frac {1}{2}}\delta ({\bar {t}}-1)+{\frac {1}{2}}\delta ({\bar {t}}-1)\ \forall {\bar {t}}\in T$
$X(t)=V$
$V\sim U[0,1]$
$X(t)$
    $X(t)=V\cdot \sin(\omega t)$
tale che
* $\omega$ è costante;
* $f_{v}(v)={\frac {2}{3}}\delta (v-1)+{\frac {1}{3}}\delta (v+1)$

### Caratterizzazione statistica del processo

$X(t,s)$
    $(\Omega ,F,P)=\{[0,1],\mathbb {B} ([0,1]),U[0,1]\}$
definito come
    $X(t,s)=\left\{{\begin{matrix}1&s\in \left[0,{\frac {1}{T}}\right]\\-1&s\in \left({\frac {1}{T}},T\right]\end{matrix}}\right.{\text{ con }}t\in \{1,2,\cdots ,\infty \}$

#### Realizzazioni

Fissato $s$ a scelta, disegnamo una realizzazione del processo nel tempo.

#### Variabili casuali

Fissato il tempo, si ha una variabile casuale osservando varie realizzazioni del processo, in quel preciso istante temporale.
    ${\bar {t}}=1\Rightarrow X({\bar {t}},s)=\left\{{\begin{matrix}1&s\in [0,1]\\-1&s\in \varnothing \end{matrix}}\right.$
       $f_{V}(v,{\bar {t}}=1)=\delta (v-1)$
    ${\bar {t}}=2\Rightarrow X(s,{\bar {t}})=\left\{{\begin{matrix}1&s\in \left[0,{\frac {1}{2}}\right]\\-1&s\in \left({\frac {1}{2}},1\right]\end{matrix}}\right.$
       $f_{V}(v,{\bar {t}}=2)={\frac {1}{2}}\delta (v-1)+{\frac {1}{2}}\delta (v+1)$
    ${\bar {t}}=3\Rightarrow X(s,{\bar {t}})=\left\{{\begin{matrix}1&s\in \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\\-1&s\in \left({\frac {1}{3}},1\right]\end{matrix}}\right.$
       $f_{V}(v,{\bar {t}}=2)={\frac {1}{3}}\delta (v-1)+{\frac {2}{3}}\delta (v+1)$
$1$
${\bar {t}}\to \infty$
$-1$
$1$
${\bar {t}}\to \infty$

#### Densità di probabilità

    $f_{V}(v,t)={\frac {1}{t}}\delta (v-1)+{\frac {t-1}{t}}\delta (v+1)$
Per il calcolo della densità congiunta del second'ordine, è necessario fissare due istanti temporali $t_{1},t_{2},\ \forall t_{1}<t_{2}$.
    1. $X(t_{1})=1,\ X(t_{2})=1$
    In questo caso, si ha
       ${\begin{aligned}P(X(t_{1})=1,X(t_{2})=1)&=P\left(\{s\in \Omega \ |\ X(t_{1},s)=1,X(t_{2},s)=1\}\right)\\&=P\left(\left\{s\in \left[0,{\frac {1}{t_{2}}}\right]\right\}\right)\\&={\frac {1}{t_{2}}}\end{aligned}}$
    2. $X(t_{1})=1,\ X(t_{2})=-1$
    In questo caso, si ha
       ${\begin{aligned}P(X(t_{1})=1,X(t_{2})=-1)&=P\left(\{s\in \Omega \ |\ X(t_{1},s)=1,X(t_{2},s)=-1\}\right)\\&=P\left(\left\{s\in \left[{\frac {1}{t_{2}}},{\frac {1}{t_{1}}}\right]\right\}\right)\\&={\frac {1}{t_{1}}}-{\frac {1}{t_{2}}}\end{aligned}}$
    3. $X(t_{1})=-1,\ X(t_{2})=-1$
    In questo caso, si ha
       ${\begin{aligned}P(X(t_{1})=-1,X(t_{2})=-1)&=P\left(\{s\in \Omega \ |\ X(t_{1},s)=-1,X(t_{2},s)=-1\}\right)\\&=P\left(\left\{s\in \left({\frac {1}{t_{1}}},1\right]\right\}\right)\\&=1-{\frac {1}{t_{1}}}\end{aligned}}$
Da qui si ottiene che la densità di probabilità congiunta risulta
    ${\begin{aligned}f_{V(t_{1})V(t_{2})}(v_{1},v_{2})={\frac {1}{t_{1}}}&\delta (v_{1}-1)\delta (v_{2}-1)+\\&+\left({\frac {1}{t_{1}}}-{\frac {1}{t_{2}}}\right)\cdot \delta (v-1)\delta (v+1)+\\&+\left(1-{\frac {1}{t_{1}}}\right)\delta (v_{1}+1)\delta (v_{2}+1)\end{aligned}}$
$f_{V(t_{1})}(v_{1})$
$f_{V(t_{1})V(t_{2})}(v_{1},v_{2})$

### Caratterizzazione statistica di un processo

Si prendano diversi istanti di tempo $t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}\in T,\ n\in \mathbb {N}$. Si definisce la quantità
    $P[X(t_{1}),X(t_{2}),\cdots ,X(t_{n})\in B]\ \forall B\in \mathbb {B(R} ^{n})$
come la probabilità finito-dimensionale del processo $X(t,x)$. Dato che $X(t)$ è una variabile casuale, la quantità appena definita è pari alla probabilità congiunta di un vettore n-dimensionale di variabili casuali, con $X_{i}=X(t_{i})\ \forall i=1,2,\cdots ,n$.
In modo equivalente ai vettori di variabili casuali, un processo è caratterizzato dalla densità di probabilità congiunta, che si indica con
    ${\begin{aligned}f_{X}&(x_{1},x_{2},\cdots x_{n};t_{1},t_{2},\cdots t_{n})\\&=f_{X(t_{1})\cdots X(t_{n})}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})=_{n=2}f_{X}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})\\&=f_{X(t_{1})X(t_{2})}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}$
Dalla congiunta è sempre possibile ottenere le marginali, che possono essere pensate come delle congiunte di ordine inferiore.
    $X(t)=V\sin \left(\omega t\right)$
con $\omega$ costante e con una qualsiasi $f_{V}(v)$. Si vogliono calcolare tutte le quantità definite finora. Si ha
    $f_{X(t)}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {f_{V}(g^{-1}(x))}{\left|{\frac {dg}{dv}}(g^{-1}(x))\right|}}&\left|{\frac {dg}{dv}}(g^{-1}(x))\right|\neq 0\\0&{\text{altrimenti}}\end{matrix}}\right.=\left\{{\begin{matrix}{\frac {f_{V}\left({\frac {x}{\sin(\omega t)}}\right)}{\left|\sin(\omega t)\right|}}&\left|\sin(\omega t)\right|\neq 0\\0&{\text{ altrimenti }}\end{matrix}}\right.$
$X$
$Y$
$U[0,1]$
    $Z={\frac {\max(X,Y)}{\min(X,Y)}}$

### Ergodicità dei processi casuali

Supponendo di avere un processo stocastico $X$ stazionario (in senso lato), andiamo a cercare di dedurre qualcosa dalla sua densità di probabilità $f_{X}(x)$ generando una realizzazione nel tempo. Vedremo che se il processo è ergodico, medie d'insieme e temporali coincidono.
Consideriamo un processo $\{X(t),t\in \mathbb {R} \}$, con $X(t,s):\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definito sullo spazio di probabilità $\{\Omega ,F,P\}$. Fissato l'esito $s\in \Omega$, otteniamo una realizzazione $X(\cdot ,s)$. Vogliamo capire se (e sotto quali condizioni) è possibile determinare delle caratteristiche di $X(t)$, osservando un'unica realizzazione.
Se il processo è stazionario in senso lato, allora
    $\mu _{X}(t)=\mu _{X}\ \forall t\in \mathbb {R}$
Consideriamo la realizzazione $X(\cdot ,s)$ in una finestra $\left[-{\frac {T}{2}},{\frac {T}{2}}\right]$.
File:TFA realizzazione per ergodicita processi.jpg
$X(\cdot ,s)$
    $A_{X,T}(s)={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}X(t,s)dt$
$T$
$A_{X,T}(s)$
$s$
La grandezza $A_{X,T}({\bar {s}})$ è una stima, si riferisce ad una particolare realizzazione ${\bar {s}}$.
$A_{X,T}(s)$
    $E\left[A_{X,T}(s)\right]=\mu _{X}$
ossia se
    $E\left[A_{X,T}(s)\right]={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}E[X(t,s)]dt=\mu _{X}=E[X(t)]$
$A_{X,T}(s)$
* $A_{X,T}(s)$ è non polarizzato
* la varianza $\sigma _{A_{X,T}}$ tende ad annullarsi all'aumentare del tempo di osservazione
       $\sigma _{A_{X,T}}\to _{T\to \infty }0$
    Questo equivale a dire che $A_{X,T}$ tende, in maniera quadratica, al valor medio del processo, con un tempo di osservazione infinito si può ottenere il valore certo, senza incertezza.
$A_{X,T}$
$\mu _{X}$
$X(t)$
$\{X(t),t\in \mathbb {R} \}$
    $A_{X,T}\to _{{\mathcal {L}}^{2}}\mu _{x}\Leftrightarrow \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}C_{X}(\tau )d\tau =0\Rightarrow R_{X}(\tau )\to \mu _{X}$
${\mathcal {L}}^{2}$
$C_{X}(\tau )$
Il teorema di Slutsky permette di facilitare il compito di verifica dell'ergodicità di un dato processo. Una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché $X(T)$ sia ergodico è che
    $C_{X}(\tau )\to _{\tau \to \infty }0$
$X(t)=V$
$V$
    $C_{X}(\tau )=R_{X}(\tau )-\mu _{V}^{2}=E[V^{2}]-\mu _{V}^{2}=\sigma _{V}^{2}$
Dal teorema di Slutsky, si ha
    $\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma _{V}^{2}d\tau \neq 0$
    $X(t)=A\sin \left(\omega t\right)+B\cos(\omega t)+C$
con $C$ e $\omega$ costanti, mentre $A$ e $B$ sono variabili casuali incorrelate tra loro ed a media nulla. Si ha
    $\mu _{X}(t)=C$
    $C_{X}(\tau )=\sigma _{X}^{2}\cos(\omega t)$
Applicando la consizione sufficiente appena vista, si ha
    $C_{X}(\tau )\not \to _{\tau \to \infty }0$
Questo fatto non vuol dire che il processo non possa ancora essere ergodico (la condizione è sufficiente, ma non è necessaria). Nel caso in cui, invece, $C=0$, allora grazie al teorema di Slutky si ottiene
    $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}C_{X}(\tau )d\tau =0$
$C=0$
In modo alternativo, si può definire l'ergodicità del processo $\{X(t),t\in T\}$ nel seguente modo:
* se $X(t)$ è WSS di prim'ordine, allora
       $E[X(t)]=\mu _{X}(t)=\mu _{X}$
    Di conseguenza, si ha che $X(t)$ è un processo ergodico rispetto al valor medio se è verificato
       $P(\{s\in \Omega \ |\ A_{X,T}(s)=\mu _{X}\})=1$
    Questa si dice convergenza in probabilità, o convergenza qox (per quasi ogni $x$). Se $\Omega$ è continuo, possono esistere alcuni $s$ per cui non è verificata l'equazione, ma se questi punti sono isolati (concetto di qox), allora si ha comunque la convergenza cercata. La probabilità di un particolare $s$, infatti, è infinitesima (nel caso di processi a tempo continuo, lo stesso non vale per processi a tempo discreto).
* $X(t)$ WSS del second'ordine è ergodico rispetto alla sua funzione di autocorrelazione se vale
       $P(\{s\in \Omega \ |\ \varphi _{X,T}(\tau ,s)=R_{X}(\tau )\})=1$
    Anche questa è una convergenza in probabilità, con
       $\varphi _{X,T}(\tau ,s)\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}X(t,s)X(t+\tau ,s)dt$
    che è l'autocorrelazione temporale del processo. In termini pratici, questo equivale a dire che
       $R_{X}(t,t+\tau )=E[X(t)X(t+\tau )]=R_{X}(\tau )=\varphi _{X,T}(\tau ,s)$
dove $E[\cdot ]$ è la solita stima della funzione di autocorrelazione e $R_{X}(\tau )$ è l'autocorrelazione d'insieme, che viene a coincidere con l'autocorrelazione temporale $\varphi _{X,T}(\tau ,s)$.

### Densità spettrale di potenza

Consideriamo il processo $\{X(t),t\in T\}$. Fissato $s\in \Omega$ otteniamo una realizzazione che in generale rappresenta un segnale di potenza non periodico, quindi non è possibile dare una caratterizzazione frequenziale attraverso la trasformata di Fourier (in modo diretto). È tuttavia possibile caratterizzare i processi casuali almeno in termini di spettro di potenza. A questo proposito, consideriamo il processo
    $X_{T}(t,s)=X(t,s)\cdot rect\left({\frac {t}{T}}\right)$
Limitatamente al periodo $T$, il segnale diventa ad energia finita,
    $E=\int _{-\infty }^{+\infty }|X_{T}(t,s)|^{2}dt=\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}|X(t,s)|^{2}dt<\infty$
quindi si ha anche lo spettro di potenza finito,
    ${\frac {1}{T}}=\int _{-\infty }^{+\infty }|X_{T}(f,s)|^{2}df$
$\{X(t),t\in T\}$
    $S_{X}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}E\left[\left|X_{T}(f,s)\right|^{2}\right]$
dove $X_{T}(f,s)$ è una variabile casuale ottenuta da
    $X_{T}(f,s)=\int _{-\infty }^{+\infty }X_{T}(t,s)e^{-j2\pi ft}dt$
$X_{T}(t,s)$

#### Proprietà della densità spettrale di potenza

    1. $S_{X}(f)\geq 0\ \forall f$
    2. ${\frac {|X_{T}(f,s)|^{2}}{T}}$ è detto periodogramma del processo
    3. Teorema di Wiener-Kinchine; se un processo stocastico è stazionario in senso lato (del second'ordine), allora si ha
          $S_{X}(f)=F[R_{X}(\tau )]=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{X}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$
    4. Se $X(t)$ è a valori reali, allora $S_{X}(f)$ è pari, di conseguenza si ha che
          $R_{X}\left(\tau \right)=R_{X}(-\tau )$
    5. $\int _{-\infty }^{+\infty }S_{X}(f)df=R_{X}(0)=P_{X}$ che è la potenza del processo
    6. $R_{X}(\tau )=F^{-1}\left[S_{X}(f)\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }S_{X}(f)e^{j2\pi f\tau }df$
$X(t)=V$
$V$
$f_{V}(v)$
* $R_{X}(\tau )=E\left[X(t)X(t+\tau )\right]=E[V^{2}]=\sigma _{V}^{2}+\mu _{V}^{2}$
* $S_{X}(f)=(\sigma _{V}^{2}+\mu _{V}^{2})\cdot \delta (f)$
$R_{X}(\tau )$
$\delta$
    $X(t)=A\sin \left(\omega t\right)+B\cos(\omega t)+C$
con $C$ e $\omega$ definiti, con $A$ e $B$ variabili casuali incorrelate e a media nulla. Allora, si ha
* $E\left[X(t)\right]=C$
* $R_{X}\left(\tau \right)=\sigma ^{2}\cos(\omega t)+C^{2}$
* $S_{X}(f)={\frac {\sigma ^{2}}{2}}\left[\delta \left(f+{\frac {\omega }{2\pi }}\right)+\delta \left(f-{\frac {\omega }{2\pi }}\right)\right]+C^{2}\delta (f)$

### Descrizione congiunta dei processi stocastici

Consideriamo $\{X(t),t\in T\}$ e $\{Y(t),t\in T\}$ due processi definiti sullo stesso spazio di probabilità $(\Omega ,F,P)$. Se volessimo caratterizzare congiuntamente i due processi, dovremmo fare
    $f_{X,Y}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n},y_{1},y_{2},\cdots y_{m};t_{1},t_{2},\cdots t_{n},t_{1}^{\prime },t_{2}^{\prime },\cdots t_{m}^{\prime })$
e questo dovrebbe valere:
* $\forall t_{1}\ t_{2}<\cdots <t_{n}\in T$
* $\forall t_{1}^{\prime }\ t_{2}^{\prime }<\cdots <t_{n}^{\prime }\in T$
* $\forall m,n\in \mathbb {N}$
Questa è la densità congiunta finito-dimensionale; passando invece alle descrizioni sintetiche, si possono identificare:
* i valori medi
       $\mu _{X}(t)=E[X(t)]$
       $\mu _{Y}(t)=E[Y(t)]$
* le funzioni di autocorrelazione
    $R_{X}(t_{1},t_{2})=E\left[X(t_{1})X(t_{2})\right]$
    $R_{Y}(t_{1},t_{2})=E\left[Y(t_{1})Y(t_{2})\right]$
* le funzioni di covarianza
    $C_{X}(t_{1},t_{2})=E\left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t1)\right)\left(X(t_{2})-\mu _{X}(t_{2})\right)\right]$
    $C_{Y}(t_{1},t_{2})=E\left[\left(Y(t_{1})-\mu _{Y}(t1)\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]$
* le funzioni di crosscorrelazione
    $R_{XY}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})Y(t_{2})]$
    $R_{YX}(t_{1},t_{2})=E[Y(t_{1})X(t_{2})]$
* le funzioni di crosscovarianza
    ${\begin{aligned}C_{XY}(t_{1},t_{2})&=E\left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t1)\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]\\&=R_{XY}(t_{1},t_{2})-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2})\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}C_{YX}(t_{1},t_{2})&=E\left[\left(Y(t_{1})-\mu _{Y}(t1)\right)\left(X(t_{2})-\mu _{X}(t_{2})\right)\right]\\&=R_{YX}(t_{1},t_{2})-\mu _{Y}(t_{1})\mu _{X}(t_{2})\end{aligned}}$
$\{X(t),t\in T\}$
$Y(t),t\in T\$
$(\Omega ,F,P)$
    ${\begin{aligned}f_{X,Y}&(x_{1},x_{2},\cdots x_{n},y_{1},y_{2},\cdots y_{m};t_{1},t_{2},\cdots t_{n},t_{1}^{\prime },t_{2}^{\prime },\cdots t_{m}^{\prime })\\&=f_{X}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n},;t_{1},t_{2},\cdots t_{n})\cdot f_{Y}(y_{1},y_{2},\cdots y_{m};t_{1}^{\prime },t_{2}^{\prime },\cdots t_{m}^{\prime })\end{aligned}}$
e questo deve valere:
* $\forall m,n\in \mathbb {N}$
* $\forall t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}\in T$
* $\forall t_{1}^{\prime }<t_{2}^{\prime }<\cdots <t_{n}^{\prime }\in T$
$\{X(t),t\in T\}$
$Y(t),t\in T\$
$(\Omega ,F,P)$
    $E[X(t_{1})Y(t_{2})]=R_{XY}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})]\cdot E[Y(t_{2})]=\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2})$
Nel caso particolare in cui i processi siano delle variabili casuali gaussiane, allora si ha che
    ${\text{ incorrelazione }}\Leftrightarrow {\text{ indipendenza }}$
mentre i tutti gli altri casi si ha
    ${\begin{aligned}{\text{ incorrelazione }}&\not \Leftrightarrow &{\text{ indipendenza }}\\{\text{ indipendenza }}&\Rightarrow &{\text{ incorrelazione }}\end{aligned}}$
$\{X(t),t\in T\}$
$\{X(t),t\in T\}$
$\{Y(t),t\in T\}$
$\{X(t),t\in T\}$
$\{Y(t),t\in T\}$
* $\left\{{\begin{matrix}\mu _{X}(t)=\mu _{X}\\\mu _{Y}(t)=\mu _{Y}\\R_{X}(t,t+\tau )=R_{X}(\tau )\\R_{Y}(t,t+\tau )=R_{Y}(\tau )\end{matrix}}\right.$
* $R_{XY}(t,t+\tau )=R_{XY}(\tau )\ \forall t,\tau \in T$
Nel caso di processi congiuntamente stazionari in senso lato (WSS), si ha
    $R_{YX}(t,t+\tau )=R_{YX}(0,\tau )=R_{XY}(\tau )\ \forall t,\tau \in T$
e vale
    $R_{YX}(\tau )=R_{XY}(-\tau )$
Inoltre, vale
    $|R_{XY}(0)|^{2}\leq R_{X}(0)R_{Y}(0)$
$X(t)$
$Y(t)$
$Z(t)=X(t)+Y(t)$
    ${\begin{aligned}R_{Z}(t,t+\tau )&=E[((X(t_{1})+Y(t_{1}))\cdot (X(t_{2})+Y(t_{2}))]\\&=E[(X(t_{1})X(t_{2})+Y(t_{1})Y(t_{2})+X(t_{1})Y(t_{2})+Y(t_{1})X(t_{2}))]\\&=R_{X}(t_{1},t_{2})+R_{Y}(t_{1},t_{2})+R_{XY}(t_{1},t_{2})+R_{YX}(t_{1},t_{2})\\&=R_{X}(\tau )+R_{Y}(\tau )+R_{XY}(\tau )+R_{YX}(\tau )\end{aligned}}$
    $\mu _{Z}(t)=E[X(T)+Y(t)]=\mu _{X}(t)+\mu _{Y}(t)=\mu _{X}+\mu _{Y}$
$X(t)$
$Y(t)$
$Z(t)=X(t)Y(t)$
    $\mu _{Z}(t)=E[X(t)Y(t)]=\mu _{X}\mu _{Y}$
    ${\begin{aligned}R_{Z}(t,t+\tau )&=E[Z(t)Z(t+\tau )]\\&=E[X(t)Y(t)X(t+\tau )Y(t+\tau )]\\&=E[(X(t)X(t+\tau ))(Y(t)Y(t+\tau ))]\\&=E[X(t)X(t+\tau )]\cdot E[Y(t)Y(t+\tau )]\\&=R_{X}(\tau )R_{Y}(\tau )\end{aligned}}$