# Oscillatore armonico (meccanica quantistica)

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## Introduzione

In meccanica classica, si definisce oscillatore armonico (nel seguito abbreviato in O.A.) un sistema meccanico soggetto ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio; si tratta di un problema ampiamente studiato, di cui è nota la soluzione. Inizieremo col considerare il caso più semplice di un sistema unidimensionale, per poi generalizzare la trattazione in seguito.
In un O.A. unidimensionale, la particella è vincolata a muoversi su di un asse. Sia $q$ la coordinata della sua posizione sull'asse, con il centro della forza come origine, $p$ il suo momento, $m$ la sua massa e $F=-m\omega ^{2}q$ la forza di richiamo cui è soggetta. Il problema corrispondente in meccanica quantistica è quello di una particella di massa $m$, con Hamiltoniana
${\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}(p^{2}+m^{2}\omega ^{2}q^{2}),$
con la coordinata $q$ e il momento $p$ legate dalla relazione
$[q,p]=i\hbar .$

## Autovalori e autovettori dell'Hamiltoniana

Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo:
$H={\frac {\mathcal {H}}{\hbar \omega }},\quad Q={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}\,q,\quad P={\sqrt {\frac {1}{m\hbar \omega }}}\,p.$
Trasformiamo il nostro problema in quello equivalente di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore
$H={\frac {1}{2}}(P^{2}+Q^{2}),\qquad [Q,P]=i.$
Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione $\{Q\}$, e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo $P=-i{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} Q}}:$
${\frac {1}{2}}\left[-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} Q^{2}}}+Q^{2}\right]\varphi (Q)=\varepsilon \varphi (Q).$
Tuttavia seguiremo un metodo diverso, dovuto a Dirac, che consiste nella costruzione degli autovettori di $H$ applicando un particolare operatore ad uno di essi.
Poniamo:
$a={\frac {\sqrt {2}}{2}}\left(Q+iP\right),\quad a^{\dagger }={\frac {\sqrt {2}}{2}}\left(Q-iP\right).$
Ognuno di tali operatori è l'hermitiano coniugato dell'altro, e si verifica facilmente che:
$[a,a^{\dagger }]=1,\quad H={\frac {1}{2}}(aa^{\dagger }+a^{\dagger }a),\quad Q={\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+a^{\dagger }),\quad P={\frac {\sqrt {2}}{2i}}(a-a^{\dagger }).$
Ponendo $N=a^{\dagger }a$, si ricava:
$H=N+{\frac {1}{2}},\quad Na=a(N-1),\quad Na^{\dagger }=a^{\dagger }(N+1).$
Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di $N$ (si vede subito che si tratta di un operatore hermitiano).
Se $|\nu \rangle$ è un autovettore di $N$, appartenente all'autovalore $\nu$, allora:
* $\nu \geq 0;$
* $\nu =0\Rightarrow a|\nu \rangle =0;$
* Se $\nu \neq 0,\,|\nu \rangle$ è un vettore non nullo di norma $\nu \langle \nu |\nu \rangle ,$ ed è un autovettore di $N$ appartenente all'autovalore $\nu -1;$
* $a^{\dagger }|\nu \rangle$ è sempre un vettore non nullo di norma $(\nu +1)\langle \nu |\nu \rangle ,$ ed è un autovettore di $N$ appartenente all'autovalore $\nu +1.$
Dalla definizione di norma sul nostro spazio di Hilbert ricaviamo:
$\|a|\nu \rangle \|^{2}=\langle \nu |a^{\dagger }a|\nu \rangle =\langle \nu |N|\nu \rangle =\nu \langle \nu |\nu \rangle ;$
$\|a^{\dagger }|\nu \rangle \|^{2}=\langle \nu |aa^{\dagger }|\nu \rangle =\langle \nu |N+1|\nu \rangle =(\nu +1)\langle \nu |\nu \rangle .$
In uno spazio di Hilbert, la norma di un vettore è non negativa, ed è uguale a 0 se e solo se si tratta del vettore nullo; questa proprietà è garantita se e solo $\nu \geq 0.$
È ovvio che nel caso in cui $\nu =0$, il vettore $a|\nu \rangle$ coincide col vettore nullo. Inoltre troviamo:
$Na|\nu \rangle =a(N-1)|\nu \rangle =(\nu -1)a|\nu \rangle ;$
$Na^{\dagger }|\nu \rangle =a^{\dagger }(N+1)|\nu \rangle =(\nu +1)a^{\dagger }|\nu \rangle .$
$\Box$
Sia ora $\nu >0$; possiamo applicare il teorema al vettore $a|\nu \rangle$, appartenente all'autovalore $\nu -1$: questo implica $\nu \geq 1$. Se $\nu >1$, possiamo applicare il teorema al vettore $a^{2}|\nu \rangle$. Iterando questo ragionamento, costruiamo un insieme di autovettori
$a|\nu \rangle ,a^{2}|\nu \rangle ,\ldots ,a^{p}|\nu \rangle ,\ldots ,$
appartenenti rispettivamente agli autovalori
$\nu -1,\nu -2,\ldots ,\nu -p,\ldots \,.$