# Limiti e derivate di funzioni di più variabili

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## Introduzione

Come per le funzioni ad una sola variabile, anche per le funzioni a più variabili è possibile utilizzare e definire i concetti di limite e derivata. Inoltre, date le più dimensioni, sarà necessario ampliare questi concetti e parlare di derivate parziali, gradiente e definire il concetto di continuità, derivabilità e differenziabilità in più variabili.
La lezione si concentrerà sulle funzioni di due variabili reali sia per la loro semplicità che per la loro caratteristica di essere rappresentabili geometricamente; tuttavia i concetti di cui parleremo si potranno immediatamente estendere a funzioni di più di due variabili.

## Limite di funzione a due variabili

Sinteticamente un limite di una funzione di due variabili si può scrivere così:
    $l=\lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)$
oppure, in modo ancora più compatto, considerando il punto $v=(x,y)$ e $v_{0}=(x_{0},y_{0})$:
    $l=\lim _{v\to v_{0}}f(v)$
Il limite l di una funzione f in un punto (x0,y0) indica il valore "a cui si avvicinano sempre di più" i valori della funzione quando viene calcolata in punti sempre più vicini ad (x0,y0).

### Definizione metrica

Per avere una definizione più rigorosa bisogna utilizzare una definizione metrica, che tenga in considerazione il concetto di distanza (definizione applicabile agli spazi euclidei). Per esprimere la distanza tra due punti v1 e v2 si utilizza la seguente simbologia, detta norma:
    distanza tra v1 e v2 = $\|v_{1}-v_{2}\|$
Consideriamo la funzione
    $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$
Essa ha limite $l$ in un punto di accumulazione $(x_{0},y_{0})$ appartenente a $\mathbb {R} ^{2}$ se per ogni numero reale $\epsilon >0$ esiste un numero reale $\delta >0$ tale che:
    $\|f(x,y)-l\|<\epsilon$ per ogni $(x,y)$ con $0<\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|<\delta$.
Se il limite esiste è unico, per il teorema di unicità del limite (come per le funzioni ad una sola variabile).

### Calcolo del limite

Per verificare l'esistenza del limite in un certo punto v0=(x0,y0) ed eventualmente calcolarne il valore bisogna verificare che, lungo qualunque traiettoria ci si avvicini al valore v0, la funzione tenda ad un certo singolo valore l. Se ciò non avviene vuol dire che non esiste limite in v0.
Fondamentale è la condizione lungo qualunque traiettoria ci si avvicini, infatti per verificare e calcolare un limite non basterà per esempio fissare il valore y=y0 e avvicinarsi al valore v0 muovendosi lungo la sola retta y=y0, facendo tendere solo x a x0. Infatti sarà necessario avvicinarsi lungo qualunque traiettoria, motivo per cui viene utile trasformare le coordinate cartesiane in coordinate polari, centrando la nuova origine proprio nel punto v0.
Attuando la trasformazione:
    ${\begin{cases}x=x_{0}+\rho \cos \theta \\y=y_{0}+\rho \sin \theta \end{cases}}$
e ricomponendo la funzione: $f(x,y)=F(x_{0}+\rho cos\theta ,y_{0}+\rho \sin \theta )$
A questo punto, dato che il limite non varia al variare delle coordinate, sarà sufficiente verificare che il limite L sia zero, in modo indipendente da $\theta$:
    $\lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)=\lim _{\rho \to 0}F(x_{0}+\rho \cos \theta ,y_{0}+\rho \sin \theta )=L$
* Ad esempio verifichiamo l'esistenza ed eventualmente calcoliamo il seguente limite in (0,0), dove la funzione non è definita (perché il denominatore è nullo in (0,0) ):
    $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac {3x^{2}\cdot y}{x^{2}+y^{2}}}$
    Dunque trasformiamo in coordinate polari secondo la seguente trasformazione:
    ${\begin{cases}x=\rho \cos \theta \\y=\rho \sin \theta \end{cases}}$
    e sostituiamo:
    $\lim _{\rho \rightarrow 0}{\frac {3(\rho \cos \theta )^{2}\cdot \rho \sin \theta }{(\rho \cos \theta )^{2}+(\rho \sin \theta )^{2}}}$
    Compiendo passaggi algebrici e utilizzando per il denominatore l'eguaglianza trigonometrica fondamentale $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$, otteniamo:
    $\lim _{\rho \rightarrow 0}{\frac {3\rho ^{2}\cos ^{2}\theta \cdot \rho \sin \theta }{\rho ^{2}\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}=\quad \lim _{\rho \rightarrow 0}{\frac {3\rho ^{3}\cos ^{2}\theta \sin \theta }{\rho ^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}}=\quad \lim _{\rho \rightarrow 0}{\frac {3\rho ^{3}\cos ^{2}\theta \sin \theta }{\rho ^{2}}}=\quad \lim _{\rho \rightarrow 0}3\rho \ \cdot \ \cos ^{2}\theta \sin \theta =\quad 0$
    Il risultato finale è una moltiplicazione di $3\rho$, che è un infinitesimo in quanto nel limite tende a zero, per il prodotto $\cos ^{2}\theta \sin \theta$, che per ogni valore di $\theta$ è un elemento limitato in quanto seno e coseno sono funzioni che oscillano tra -1 e 1, quindi anche il loro prodotto sarà un valore limitato. La moltiplicazione di un infinitesimo per un valore limitato dà comunque un infinitesimo. Dunque il limite è zero.
* Verifichiamo l'esistenza ed eventualmente calcoliamo il seguente limite in (0,0), dove la funzione non è definita (perché il denominatore è nullo in (0,0) ):
    $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac {x^{2}-2xy+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}$
    Ora, prima di trasformare le coordinate, possiamo ad esempio rapidamente verificare che, avvicinandoci a (0,0) lungo una qualunque retta passante per l'origine y = mx (non una qualunque traiettoria curvilinea, ma soltanto traiettorie rettilinee), il limite esista e sia unico almeno in questa restrizione del dominio della funzione.
    Attuaiamo quindi la restrizione del dominio, ponendo $y=mx$ con $m\in \mathbb {R}$, che si può scrivere sinteticamente come:
    $\ f|_{y=mx}$
    $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ f|_{y=mx}=\quad \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {x^{2}-2x(mx)+(mx)^{2}}{x^{2}+(mx)^{2})}}=\quad \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {x^{2}(1-2m+m^{2}}{x^{2}(1+m^{2})}}=\quad \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-2m+m^{2}}{1+m^{2}}}$
    Il risultato ottenuto è indipendente da x ma anzi dipendente da m: al variare di m varia il valore del limite. Questo risultato non è compatibile con l'esistenza di un limite, che deve essere unico e non deve variare con la direzione di avvicinamento, ovvero la pendenza m della retta. Ciò è sufficiente per concludere che il limite in (0,0) non esiste.
    Per affermare ciò non è stato necessario compiere la trasformazione di coordinate. Tuttavia, se il risultato fosse stato compatibile con l'esistenza di un limite (unico), questo genere di procedimento non sarebbe stato sufficiente per affermare che il limite esistesse realmente. Sarebbe stato quindi comunque necessario procedere con la trasformazione in coordinate polari.

## Continuità

Il concetto di continuità in due dimensioni è anche in questo caso un'estensione a partire dal caso mono-dimensionale. Tuttavia anche in questo caso una funzione si può dire continua in un punto $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ se in tale punto il limite (bi-dimensionale) è uguale al valore della funzione:
    $\lim _{P\rightarrow P_{0}}f(P)=f(P_{0})$

## Derivate

Nel passare alle funzioni a più variabili la derivata non è più unica, ma dipendente dal numero di variabili. Nel caso di due variabili avremo dunque due derivate, dette derivate parziali, ognuna relativa ad una singola variabile.
Sinteticamente si indicano con i seguenti simboli:
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ oppure $\ f_{x}$ è la derivata parziale della funzione f su x
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ oppure $\ f_{y}$ è la derivata parziale della funzione f su y
Derivare su una sola variabile significa ottenere una funzione derivata parziale che rappresenta la componente della pendenza, punto per punto, lungo l'asse della variabile scelta.

### Calcolo delle derivate parziali

Per calcolare una derivata parziale di una funzione data, è sufficiente derivare prima su una variabile, considerando come variabile solo la variabile scelta e come costante le altre variabili. Poi compiere la stessa operazione per le altre variabili.
* Calcoliamo le derivate parziali della seguente funzione di due variabili:
    $f(x,y)=x+y^{2}$
       ${\frac {\partial f}{\partial x}}=1$
       ${\frac {\partial f}{\partial y}}=2y$
* Calcoliamo le derivate parziali della seguente funzione di due variabili:
    $f(x,y)=x^{2}y^{3}+e^{5x}$
       ${\frac {\partial f}{\partial x}}=2xy^{3}+5e^{5x}$
       ${\frac {\partial f}{\partial y}}=3x^{2}y^{2}$
* Calcoliamo le derivate parziali della seguente funzione di tre variabili:
    $f(x,y,z)=4x\cdot 2y+6z^{2}$
       ${\frac {\partial f}{\partial x}}=8y$
       ${\frac {\partial f}{\partial y}}=8x$
       ${\frac {\partial f}{\partial z}}=12z$

## Gradiente

Possiamo ora definire il gradiente.
Data una funzione f reale, il gradiente di f è una funzione a valori vettoriali che ha per componenti le derivate parziali della funzione f.
Esso si indica nei seguenti modi: $grad\ f=\nabla f=\left[{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right]$
    Nota: la lettera $\nabla$ si legge nabla.

## Derivata direzionale

Le derivate parziali non sono altro che derivate lungo due direzioni particolari, ovvero quelle degli assi. Tuttavia si può derivare lungo qualunque direzione: questa operazione si definisce derivata direzionale.
Data una funzione f ed un generico vettore v che indichi la direzione lungo la quale si intende derivare, ${\underline {v}}=[a,b]$ (per comodità consideriamo che il vettore sia un versore, ovvero sia normalizzato, ovvero abbia lunghezza $\|v\|=1$), la derivata direzionale è data dal seguente limite:
$D_{\underline {v}}[f(P_{0})]=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+at,y_{0}+bt)-f(x_{0},y_{0})}{t}}$

## Piano tangente

Il piano tangente in un punto $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ alla funzione f, intesa come superficie nello spazio tridimensionale, è dato dalla seguente equazione:
    $z=f(x_{0},y_{0})+f_{x}|_{P_{0}}(x-x_{0})+f_{y}|_{P_{0}}(y-y_{0})$
    Nota:
   * $f_{x}|_{P_{0}}$ è la derivata parziale di f su x, nel punto P$_0$.

## Differenziabilità

Una funzione è differenziabile se, in ogni punto, essa è ben approssimabile ad un - singolo - piano.
Per verificare la differenziabilità in un punto $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ è sufficiente provare che il seguente limite sia nullo: $\lim _{(h,k)\rightarrow (0,0)}{\frac {f(x_{0}+h,y_{0}+k)-\left[f(x_{0},y_{0})+f_{x}|_{P_{0}}\cdot h+f_{y}|_{P_{0}}\cdot k\right]}{\sqrt {h^{2}+k^{2}}}}=0$
    Note:
   * h, k sono numeri reali
   * $f_{x}|_{P_{0}}$ è la derivata parziale di f su x, nel punto P$_0$.

### Conseguenze della differenziabilità

Una funzione differenziabile ha le seguenti proprietà:
* Il vettore gradiente indica in ogni punto la direzione (sul piano x-y) di massima crescita (nella direzione z) della funzione.
* Vale in ogni punto la regola del gradiente, per cui la derivata direzionale in P$_0$ lungo v è uguale al prodotto scalare tra il gradiente nel punto P$_0$ ed il versore direzione v:
    $D_{\underline {v}}[f(P_{0})]=\nabla f|_{P_{0}}\cdot \mathbf {v}$
* Il gradiente in ogni punto è sempre perpendicolare alle linee di livello passanti per il punto.

### Rapporto tra differenziabilità, derivabilità e continuità

Se $F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ è una funzione differenziabile in x$_0$, allora essa ammette tutte le derivate parziali in x$_0$.
Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in x$_0$ garantisca anche la differenziabilità in x$_0$. Ad esempio la funzione reale di due variabili reali
    $F(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0&(x,y)=(0,0)\\{\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}}&(x,y)\neq (0,0)\end{matrix}}\right.$
ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che non sia continua in (0,0) impedisce la sua differenziabilità in (0,0).
Tuttavia se F è di classe C$^1$ in un intorno di x$_0$, cioè se esistono tutte le derivate parziali di F e queste sono funzioni continue, allora F è differenziabile in x$_0$. Vale quindi, se $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ è aperto,
    $F\in C^{1}(\Omega )\quad \Rightarrow \quad F{\mbox{ differenziabile in }}\Omega \quad \Rightarrow \quad F\in C^{0}(\Omega )$.

## Polinomio di Taylor in due variabili

Il polinomio di Taylor in due variabili è un'estensione del polinomio di Taylor in una sola variabile.
    $T(x_{1},\cdots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\dots ,a_{d})$
Al secondo ordine, ad esempio, si presenta così:
    $T_{f,P_{0}}^{n}(P)=f(P_{0})\quad +\quad f_{x}|_{P_{0}}(x-x_{0})+f_{y}|_{P_{0}}(y-y_{0})\quad +\quad {\frac {1}{2}}\left(f_{xx}|_{P_{0}}(x-x_{0})^{2}+2f_{xy}|_{P_{0}}(x-x_{0})(y-y_{0})+f_{yy}|_{P_{0}}(y-y_{0})^{2}\right)$