# I poligoni (scuola media)

Un Poligono$^{VK}$ è la parte di piano$^{VK}$ racchiusa da una spezzata non intrecciata.

## Caratteristiche dei poligoni

Una prima classificazione dei poligoni li divide in poligoni concavi e poligoni convessi. Vengono poi presi in considerazione i soli poligoni convessi, poichè presentano alcune proprietà che si possono dimostrare. Si procede nella classificazione per numero di lati e si studiano in particolare i poligoni con 3 lati triangoli e quelli con 4 lati i quadrilateri. Presentano proprietà particolari anche i poligoni regolari$^{VK}$ che hanno tutti i lati e gli angoli uguali.

### Poligoni concavi

Un poligono concavo contiene almeno un prolungamento di un suo lato. Cosa che equivale ad avere almeno un angolo interno concavo, maggiore di 180°.

### Poligoni convessi

I poligoni convessi hanno tutti gli angoli interni convessi, minori di 180°.

#### Poligoni regolari

I poligoni regolari hanno tutti gli angoli interni e i lati uguali.

### Poligoni equilateri

Tutti i poligoni regolari sono equilateri ma esistono poligoni equilateri non regolari, come ad esempio il rombo.

### Poligoni equiangoli

Tutti i poligoni regolari sono equiangoli ma esistono poligoni equilateri non regolari, come ad esempio il rettangolo.

## Proprietà dei poligoni

Sebbene alcune delle proprietà appartengono anche ad alcuni poligoni concavi, in generale le proprietà sono da ritenersi applicabili ai poligoni convessi.

## Classificazione dei poligoni lati

I poligoni si classificano poi per il numero di lati, triangoli, tre lati, quadrilateri, quattro lati, pentagoni e così via.
Dei triangoli e dei quadrilateri vengono poi studiate le proprietà, come ad esempio uguaglianza di due lati, nei triangoli, oppure parallelismo dei lati opposti nei quadrilateri, che ci permettono di classificarli.
Dei poligoni con numero di lati maggiore vengono individuate le proprietà comuni a tutti i poligoni regolari.

### Numero delle diagonali

Per calcolare il numero delle diagonali di un poligono di $n$ lati si applica la formula
Infatti osservando la figura si possono contare le diagonali uscenti da ogni vertice che sono esattamente pari al numero totale dei vertici, e quindi dei lati, meno il vertice stesso e i due vertici vicini, ad esempio dal punto E escono diagonali verso A, B e C. E quindi da ogni vertice escono $(n-3)$ diagonali. Per contarle tutte si deve quindi moltiplicare per il numero di vertici $n\cdot (n-3)$,ci si rende conto, però, che in questo modo ogni diagonale viene contata due volte ad esempio la diagonale $CE$ viene contata sia come uscente da $C$, sia come uscente da $E$, quindi per ottenere il numero delle diagonali dopo averle contate si deve dividere per 2 la moltiplicazione e si ottiene la formula.

### Somma angoli esterni

Qualsiasi sia il numero dei lati di un poligono convesso la somma degli angoli esterni sarà sempre 360°
Immaginando di percorrere camminando il perimetro di una qualsiasi poligono convesso alla fine del percorso ci ritroveremmo girati esattamente dalla stessa parte, cioè aver compiuto un giro su noi stessi (360°). Quindi poiché abbiamo dovuto modificare la nostra direzione su ogni vertice di un angolo pari all'angolo esterno la somma di queste svolte è 360°, somma degli angoli esterni.

#### Angoli esterni poligoni regolari

Non è difficile comprendere che nei poligoni regolari la misura di un angolo esterno è dato dalla formula
* Angoli esterni poligoni regolari
* triangolo equilatero ${\frac {360^{\circ }}{3}}=120^{\circ }$
* quadrato ${\frac {360^{\circ }}{4}}=90^{\circ }$
* pentagono ${\frac {360^{\circ }}{5}}=72^{\circ }$
* esagono ${\frac {360^{\circ }}{6}}=60^{\circ }$

### Somma angoli interni

Osservando al figura nel paragrafo precedente si può facilmente comprendere che la somma degli angoli interni di un poligono si può calcolare moltiplicando $180^{\circ }$ per il numero dei vertici, che è lo stesso dei lati, e sottraendo dal risultato 360°, somma degli angoli esterni.
equivalente alla formula
Allo stesso risultato si giunge anche suddividendo un poligono in triangoli che hanno come basi i lati del poligono.
La somma degli angoli dei triangoli è la moltiplicazione del numero dei lati, che è il numero dei triangoli, per 180° dalla quale va sottratto l'angolo giro centrale.

### Angoli interni poligoni regolari

Dalla formula della somma degli angoli interni si ricava facilmente la misura degli angoli interni dei diversi poligoni regolari:
* Angoli interni poligoni regolari
* triangolo equilatero ${\frac {180^{\circ }}{3}}=60^{\circ }$
* quadrato ${\frac {2\cdot 180^{\circ }}{4}}=90^{\circ }$
* pentagono ${\frac {3\cdot 180^{\circ }}{5}}=108^{\circ }$
* esagono ${\frac {4\cdot 180^{\circ }}{6}}=120^{\circ }$
* ennagono ${\frac {7\cdot 180^{\circ }}{9}}=140^{\circ }$
e così via.
Per calcolare la misura di un angolo interno di un poligono regolare di n lati si deve dunque usare la formula
$\alpha ={\frac {(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}}$

### Poligoni inscritti e poligoni circoscritti

Alcuni poligoni si possono inscrivere in una circonferenza, cioè esiste una circonferenza che passa per tutti i vertici. Altri si possono circoscrivere, cioè esiste una circonferenza che è tangente a tutti i lati..

#### Poligoni inscritti

Un poligono può essere inscritto in una circonferenza se tutti gli assi di tutti i suoi lati si incontrano in un punto. Per le proprietà degli assi il punto di incontro è equidistante da tutti i vertici e quindi è il centro della circonferenza circoscritta.

#### Poligoni circoscritti

Un poligono può essere circoscritto ad una circonferenza se tutti le bisettrici di tutti i suoi angoli si incontrano in un punto. Per le proprietà degli assi il punto di incontro è equidistante da tutti i lati e quindi è il centro della circonferenza inscritta.
I poligoni regolari possono essere sia inscritti che circoscritti ad una circonferenza. Assi dei lati e bisettrici degli angoli si incontrano nel centro del poligoni regolari.

## Esercizi per imparare i poligoni e le loro proprietà
### Coding

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