# Sul guadagno di direttività delle basi idrofoniche

Il guadagno di direttività orizzontale delle basi idrofoniche, indicato con ( $Go$ ), espresso, sia in termini lineari che in deciBel, è una delle peculiarità relative a queste strutture che, con la caratteristica di direttività, definiscono i dati salienti dei sistemi acustici riceventi e/o trasmittenti.
La variabile ( $Go$ ) è indispensabile per i calcoli della portata di scoperta di un sonar.
Il guadagno di direttività di un sistema acustico è espresso dal rapporto tra il massimo livello di segnale ricevuto e il livello del rumore ambiente captato; pù elevato è tale rapporto, migliori sono le prestazioni della base.
Il guadagno di direttività è calcolabile, a seconda della tipologia delle basi acustiche, con alcune formule di relativa semplice applicabilità; la dimostrazione rigorosa delle formule è invece molto complessa e non intuitiva.
Per le ragioni di cui sopra esporremmo la dimostrazione dei principi generali che governano la materia attraverso un percorso facilmente comprensibile, con introduzione a carattere sperimentale, che presuppone però l'assunto. accettabile soltanto per questa dimostrazione, che la distanza $D$ tra gli idrofoni sia non inferiore a $10\ \lambda$; dove $\lambda$ è la lunghezza d'onda della frequenza di lavoro.

## Configurazione per l’analisi del guadagno di direttività

La base idrofonica più semplice con la quale impostare un'analisi del guadagno di direttività è il dipolo, costituito, come definito dal nome, da due sensori omnidirezionali $(i1-i2)$ così come mostrato in figura 1; in essa s'individuano la congiungente $D$ tra i due, l'asse perpendicolare ad essa passante sulla mezzeria, due amplificatori con filtro passa basso, due interruttori $k1,K2$ e un circuito sommatore, a guadagno unitario con tensione d'uscita $Rs$
I filtri definiscono le frequenze delle tensioni di rumore e di segnale nella banda generica compresa tra $0$ e $F1$ con una frequenza media nella banda indicata con $fm$

## Tre ipotetici casi da analizzare

Secondo la figura 1 possiamo avere:
* I° - Idrofoni a distanza $D$ maggiore di $10\ \lambda$; in presenza del solo rumore del mare.
Supponiamo che i due sensori siano colpiti dal solo rumore del mare, generato in due zone lontane tra loro , e che questo generi ai capi di ciascun idrofono una tensione efficace che definiremo rispettivamente come $:vn1,vn2.$
Le tensioni di rumore $vn1$ ed $vn2$ applicate ai relativi amplificatori + filtri, siano disponibili all'uscita di questi, in banda definita, ad un livello di:
    $vn1=1\ mVeff.$
    $vn2=1\ mVeff.$
In generale, date le caratteristiche di casualità del rumore del mare nelle diverse zone dove sono collocati gli idrofoni, le pressioni acustiche generate sono diverse da punto a punto e colpiscono gli idrofoni del dipolo in modo che le tensioni da essi prodotte sono, ad ogni istante, diverse tra loro sia in ampiezza che in polarità pur restando identico il valore efficace.
* II°- Idrofoni coincidenti per $D=0$ ; in presenza del solo rumore del mare.
Ipotizziamo ora, idealmente, che i due sensori siano compenetrati l'uno nell'altro nella stessa zona di mare, per $D=0$, in tal caso i livelli di tensione generati saranno, come nel caso precedente:
    $vn1=1\ mVeff.$
    $vn2=1\ mVeff.$
essendo però prodotti dalla stessa identica pressione acustica agente, negli stessi punti, avranno sempre sia l'ampiezza che la polarità istantanea identiche contrariamente al caso precedente.
* III° - Idrofoni a generica distanza $D$; presenza del solo segnale di una sorgente acustica.
Supponiamo che i due sensori siano colpiti dal segnale di una sorgente acustica posta sull'asse del dipolo (per $\alpha =0$° ).
In questo caso, indipendentemente da qualsiasi valore $D$, i due idrofoni riceveranno l'onda acustica nello stesso tempo e avranno sempre identiche ampiezze e polarità istantanee.
Supponiamo altresì che ciascun idrofono, all'uscita del blocco amplificatore + filtro, generi una tensione efficace ai livelli sotto indicati:
    $vs1=1\ mVeff.$
    $vs2=1\ mVeff.$

## Caratteristiche della somma con riferimento alla figura 1

Applicando, tramite $K1$ e $K2$, le tensioni al sommatore, alla sua uscita, $Rs$, abbiamo i seguenti dati:
Nel I° caso, dove le tensioni di rumore non sono identiche ne in ampiezza ne in polarità istantanee si ha:
solo $k1$ chiuso $Rs=1\ mVeff.$
solo $k2$ chiuso $Rs=1\ mVeff.$
    $k1;k2$ chiusi $Rs=1.41\ mVeff.$ per ($D>10\ \lambda$) dove ( $\lambda =1530/fm$ )
Questo è il caso della somma di due tensioni di rumore caotico che come tali si sommano secondo la radice quadrata della somma dei quadrati dei loro valori efficaci (somma tra potenze).
La condizione $D>10\ \lambda$; è imposta per avere una correlazione quasi nulla tra $vn1;vn2$.
Nel II° caso, dove le tensioni di rumore sono identiche in ampiezza e polarità istantanee si ha:
solo $k1$ chiuso $Rs=1\ mVeff.$
solo $k2$ chiuso $Rs=1\ mVeff.$
    $k1;k2$ chiusi $Rs=2\ mVeff.$
Questo è il caso della somma di due tensioni di rumore identiche che come tali si sommano linearmente secondo i loro valori efficaci.
Nel III° caso , dove le tensioni di segnale sono identiche in ampiezza e polarità istantanee si ha:
solo $k1$ chiuso $Rs=1\ mVeff.$
solo $k2$ chiuso $Rs=1\ mVeff.$
    $k1;k2$ chiusi $Rs=2\ mVeff.$
Questo è il caso della somma di due tensioni di segnale identiche che come tali si sommano linearmente secondo i loro valori efficaci.

## Analisi dei valori della somma

Da quanto abbiamo visto in precedenza, per il rumore del mare, il valore della somma $Rs$ nei casi I° e II° può presentarsi, in funzione di $D$, da un valore massimo $Rs=2\ mVeff.$ per $D=0$ ad un valore minimo $Rs=1.41\ mVeff.$ per $D>10\ \lambda$.
Se la tensione $Rs$ rappresenta la somma di due rumori la indicheremo con $usn$.
Nel III° caso, del segnale, si ha $Rs=2\ mVeff.$ indipendente dal valore $D$.
Se la tensione $Rs$ rappresenta la somma di due segnali la indicheremo con $uss$; se rappresenta la somma di due rumori la indicheremo con $usn$.
In base alla definizione di guadagno di direttività , $Go$, inteso come rapporto tra il massimo segnale ed il rumore, nel caso in esame possiamo scrivere:
    $Go=uss/usn$
dove $uss$ è la tensione somma dei due segnali e $usn$ è la somma dei due rumori.
che nel caso in analisi può essere scritto :
    $Go=uss/usn$ = $2\ mVeff.\ /\ 2\ mVeff.=1$ per $D=0$
oppure
    $Go=uss/usn$ = $2\ mVeff.\ /\ 1.41\ mVeff.=1.41$ per $D>10\ \lambda$
Si ha quindi una variabilità di $Go$ in funzione di $D$ dovuta, come vedremo, dal coefficiente di correlazione esistente tra le due tensioni di rumore $vn1;vn2.$
Se $D>10\ \lambda$ possiamo quindi scrivere:
    $Go=uss/usn$ = $(vs1+vs2)/{\sqrt {[(vn1)^{2}+(vn2)^{2}]}}$
Se la base non fosse un dipolo ma un insieme lineare di $m$ sensori omnidirezionali e la distanza tra due contigui fosse $D>10\ \lambda$; il valore del guadagno di direttività potrebbe essere espresso con:
    $Go=uss/usn$ = $(vs1+vs2+..+vsm)/{\sqrt {[(vn1)^{2}+(vn2)^{2}+...+(vnm)^{2}]}}$
Se consideriamo ora di valore unitario tanto i contributi $vs$ che $vn$ il valore di $Go$ diventa:
    $Go=m/{\sqrt {m}}$ razionalizzando si ha:
    $Go={\sqrt {m}}$
Il guadagno di direttività viene generalmente espresso in $dB$ quindi:
    $Go\quad (dB)=20\cdot log_{10}{\sqrt {m}}$
    $Go\quad (dB)=10\cdot log_{10}{m}$
La formula si adatta sia al calcolo approssimativo del $Go$ di una cortina che del dipolo:
per il dipolo $m=2$ quindi: $Go\quad (dB)=10\cdot log_{10}{2}$ = $3\ dB$
per la cortina, se $m=10$ ad esempio:
    $Go\quad (dB)=10\cdot log_{10}{10}$ = $10\ dB$
La formula alla quale siamo pervenuti, pur senza rigore formale, risponde ai risultati degli algoritmi, che esporremo di seguito, ottenuti per via puramente analitica.
Chiudiamo l'analisi rimarcando infine che il guadagno di direttività di una base di sensori subacquei, nel presupposto che $D>10\ \lambda ;$, è originato dal fatto che : le tensioni idrofoniche dovute ai segnali si sommano linearmente mentre le tensioni idrofoniche dovute al rumore si sommano secondo la radice quadrata della somma dei loro quadrati.

## Sul valore D > 10 lambda

Si è visto che nel dipolo con il variare del $D$ si passa da $Go=1$ , per $D=0$ , a $Go=1.41$ per $D>10\ \lambda$ ciò a seguito del fatto che variando $D$ è come si spostasse la zona di mare e di conseguenza l'aumento del tempo di transito delle onde acustiche di rumore da un idrofono all'altro.
Per $D=0$ il tempo di transito è nullo e $vn1;vn2$ sono uguali (massima coerenza); per $D$ crescente cresce il tempo di transito $Tt$ e si riduce la coerenza tra le due tensioni; $Tt$ varia secondo l'espressione: $Tt=D/1530$.
Per avere un'indicazione della variabilità della coerenza tra $vn1;vn2$ in funzione di $D$ si deve ricorrere alla funzione di correlazione di segnali a larga banda opportunamente inserita nell'algoritmo empirico espresso dalla 1) che esprime il guadagno di direttività $(G)$ in funzione del numero dei sensori $(m)$ e della funzione di correlazione $(C)$ dipendente a sua volta dalla variabile $D$:
    1)
    $G=20\log({\frac {m}{[m]{\frac {(2)^{C}}{2}}}})$
dove: $c=[Sin\ (6.28\cdot F1\cdot Tt)/(6.28\cdot F1\cdot Tt)]$
    $F1$ = frequenza superiore della banda di $vn1;vn2$
    $Tt=D/1530$
Un esempio dell'impiego dell'algoritmo per avere un'indicazione approssimata dell'andamento di
    $G$ in funzione di $D$;
supponiamo che siano:
    $F1=1500\ Hz$
    $m=4\ \$ (base idrofonica a $4$ elementi)
    $\lambda =1530/(1500)$ $\approx 1\ m$
la curva, in funzione di $D$ , che scaturisce dall'algoritmo 1) è:
Dalla figura 2 si osserva che con il crescere del valore $D$ il guadagno di direttività aumenta, ondulando, e tende al valore di $10\cdot log_{10}{4}=6\ dB$ per $D>>\lambda$
Il guadagno massimo di direttività si ha per:
    $D=(4.7\ div)\cdot$ $(0.15\ m/div)=0.7\ m$.

## La funzione di correlazione tra vn1 e vn2

Per comprendere meglio il meccanismo della somma delle tensioni di rumore che ha generato la curva di figura 2 si può osservare la figura 2/a che mostra la variazione della correlazione tra due tensioni di rumore $vn1\ \$ $vn2$ in funzione di $D$ .
Il valore massimo di correlazione si ha per $D=0$, dove le due tensioni sono identiche in ampiezze e polarità istantanee.
Il valore minimo di correlazione si ha per $D=4.7$ dove le tensioni non sono più coerenti tra loro.
Infine quando $D$ tende a valori molto superiori a $\lambda$ ; la scorrelazione tra le tensioni di rumore è massima.

## Guadagno di direttività verticale

I calcoli del guadagno di direttività illustrati in precedenza si riferivano a cortine di sensori omnidirezionali estese in orizzontale; generalmente gli idrofoni che formano una cortina sono formati a loro volta da un insieme di sensori che sono posti lungo l'asse di un cilindretto come si vede in figura 3.
Gli idrofoni di figura 3 sono posizionati sui sottomarini con l'asse verticale del cilindretto perpendicolare al piano orizzontale della superficie del mare.
In virtù della loro geometria questi idrofoni sono omnidirezionali nel piano orizzontale e dotati di guadagno di direttività proprio nel piano verticale.
In questo caso il guadagno di direttività della base idrofonica è il prodotto dei due guadagni, l'uno relativo alla distribuzione in orizzontale dei sensori, l'altro relativo al guadagno di direttività verticale del singolo elemento di figura 3.
Il calcolo del guadagno di quest'ultimo è fattibile nello stesso modo sviluppato per le cortine idrofoniche orizzontali.
Il guadagno di direttività complessivo del nuovo insieme tiene pertanto conto di:
    $Go$ = guadagno orizzontale di cortina
    $Gv$ = guadagno verticale del sensore
Se $Go\ ;\ Gv$ sono espressi in dimensioni lineari il guadagno totale si computa:
    $Gt=Go\cdot Gv$
Se $Go\ ;\ Gv$ sono espressi in deciBel il guadagno totale si computa:
    $Gt\quad (dB)=Go\quad (dB)+Gv\quad (dB)$.

## Le formule classiche per il calcolo del guadagno di direttività

Una volta appreso, di massima, qual è la fisica che genera il guadagno di direttività delle basi idrofoniche, possiamo prendere in esame quattro algoritmi classici per il loro utilizzo nelle computazioni correnti. Gli algoritmi che sono illustrati hanno il guadagno di direttività $G$ espresso in forma lineare; ovvero non in deciBel.
* Il primo algoritmo illustrato nella 2) riguarda la base formata da due idrofoni, il dipolo:
    2)
    $G={\frac {2}{[1+{\frac {\operatorname {sen} 2\pi {\frac {d}{\lambda }}}{2\pi {\frac {d}{\lambda }}}}]}}$
nella quale le due variabili sono:
    $d$ = distanza tra i due sensori
    $\lambda =1530/f$
* Il secondo algoritmo 3), è relativo al guadagno di direttività di una cortina d'idrofoni:
    3)
    $G={\frac {1}{{\frac {1}{n}}+\sum _{p=1}^{n-1}{\frac {(n-p)\operatorname {sen}[2p{\frac {\pi d}{\lambda }}]}{n^{2}p{\frac {\pi d}{\lambda }}}}}}$
Per la cortina le variabili sono:
    $n$ = numero dei sensori
    $d$ = distanza tra i sensori
    $\lambda =1530/f$
    $p=$ numero compreso tra $1$ e $n-1$
* Il terzo algoritmo nella 4) riguarda una base idrofonica rettilinea e continua :
    4)
    $G={\frac {1}{{\frac {\lambda }{\pi l}}[s_{i}({\frac {2\pi l}{\lambda }})-{\frac {\lambda }{\pi l}}\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\pi l}{\lambda }}]}}$
dove le variabili sono:
    $l$ = lunghezza della cortina
    $\lambda =1530/f$
    $Si$ = integralseno
* Il quarto algoritmo e relativo ad una formula empirica, la 5), per il calcolo del guadagno di direttività di una base idrofonica di forma rettangolare:
    5)
    $G\thickapprox {\frac {4\pi A-2\lambda {\sqrt {A}}+2\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}}}$
Dove le variabili sono:
    $\lambda =1530/f$
    $A=$ superficie della base in $m^{2}$

## Calcolo del guadagno di direttività Gt dal diagramma delle caratteristiche di direttività

Data una base rettangolare (la proiezione di una base cilindrica sul piano passante per un diametro potrebbe essere assunta come tale); ad esempio per la base cilindrica di figura 3a:
Se si conoscono i diagrammi di direttività (caratteristiche di direttività orizzontale e verticale ) si possono ricavare le larghezze dei lobi a $-3\ dB$ per calcolare il guadagno di direttività $Gt$, espresso in deciBel con la formula 6) :
    6)
    $Gt=10\log {\frac {6.28}{\operatorname {sen}(Bo)\operatorname {sen}({\frac {Bv}{2}})}}$
dove:
con $Bo$ s'intende la larghezza in gradi del lobo della caratteristica di direttività orizzontale misurato a $-3\ dB$ .
con $Bv$ s'intende la larghezza in gradi del lobo della caratteristica di direttività verticale misurato a $-3\ dB$ .
Il guadagno di direttività Gt di questo algoritmo è espresso in deciBel.
Un semplice esempio:
siano date nelle figure 4 e 5 le caratteristiche di direttività di una base idrofonica rettangolare:
In figura 4 è rappresentata la curva di direttività orizzontale la cui larghezza a $-3\ dB$ è $Bo=18^{\circ }$.
In figura 5 è rappresentata la curva di direttività verticale la cui larghezza a $-3\ dB$ è $Bv=45^{\circ }$.
Applicando la 6) otteniamo:
    $Gt=$ $10\cdot log_{10}[{6.28/(\sin \ 18^{\circ }\cdot \sin \ 22.5^{\circ })}]=17\ dB$