# Le piastre sottili

Si definisce piastra sottile un elemento strutturale in cui una dimensione (spessore) è trascurabile rispetto alle altre due. Si distingue dalle lastre sottili per la condizione di carico: le piastre sono caricate ortogonalmente al loro piano, le lastre parallelamente ad esso.
Lo studio di questi elementi è di gran lunga più complesso rispetto a quello delle travi, ed anche la loro comprensione intuitiva risulta meno immediata rispetto alle travi. Ciò è dovuto ad una serie di fattori, come il fatto che la contrazione trasversale è in questi casi bloccata, o la praticamente assoluta presenza di momenti torcenti che influenzano il comportamento statico dell'insieme, oltre naturalmente ad una maggiore difficoltà analitica, spinta a tal punto che in moltissimi casi il problema risulta irrisolvibile.
Lo studio delle piastre è effettuato solitamente con riferimento al suo piano medio, che è quel piano perpendicolare allo spessore che taglia la piastra in due porzioni di uguali dimensioni. La teoria alla base dell'analisi delle piastre è denominata teoria di Kirchhoff.
Nello studio delle piastre sottili isotrope si fanno le seguenti ipotesi:
* il materiale di cui è composto la piastra è perfettamente elastico, omogeneo e isotropo;
* la relazione costitutiva del materiale è del tipo fornito dalla legge di Hooke, e presenta medesime costanti elastiche per ogni tipo di carico;
* lo spessore della piastra è costante e per definizione piccolo rispetto alle altre dimensioni;
* la generica fibra elementare che prima dell'azione dei carichi era rettilinea e perpendicolare al piano medio si mantiene tale anche in seguito all'inflessione della piastra;
* la tensione normale al piano della piastra è trascurabile;
* gli spostamenti trasversali sono così piccoli che la curvatura in ogni generica direzione è valutabile come derivata seconda dello spostamento trasversale in quella direzione;
* nel piano medio della piastra non agiscono tensioni normali, e cioè non nascono deformazioni interne al piano medio, che può essere considerato inestensibile;
* il peso proprio della piastra è incluso nei carichi considerati;
* gli angoli della piastra non possono sollevarsi.
Considerando una terna di assi cartesiani nel piano medio come riferimento, chiamato $z$ l'asse perpendicolare al piano medio della piastra e $y$ e $x$ gli altri due, dovrà essere:
* $\sigma _{z}\,=\,0$ per ogni punto della piastra (in base all'ipotesi 5);
* $\sigma _{x}\,=\,\sigma _{y}\,=\,0\;\epsilon _{x}\,=\,\epsilon _{y}\,=\,0$ per tutti i punti del piano medio della piastra (in base all'ipotesi 7).

## Le tensioni e le deformazioni nella piastra

In seguito ad un'azione esterna, la generica piastra subirà naturalmente una serie di deformazioni e al suo interno si svilupperanno delle tensioni. Per studiare la deformazione della stessa si fa riferimento, come già detto, al piano medio della piastra, il quale dall'essere un piano nella configurazione indeformata diventa una superficie curva nella configurazione attuale. Tale superficie è chiamata superficie elastica della piastra, con ovvia analogia alla linea elastica nel caso della trave.
Si suppone che la piastra sia originariamente disposta in senso orizzontale, e quindi i carichi esterni sono verticali, dal momento che per definizione una piastra è caricata ortogonalmente al suo piano.
Fatta questa premessa, è possibile calcolare nel generico punto $P$ del piano medio la tangente dell'angolo che la superficie elastica forma con l'orizzontale nella direzione prima dell'asse $x$ e poi dell'asse $y$, che data la piccolezza degli angoli in gioco si approssima essere esattamente uguale al valore dell'angolo stesso:
$\alpha _{x}\,=\,{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}$
$\alpha _{y}\,=\,{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}$
Per l'ipotesi 4 fatta in precedenza, questo angolo si mantiene costante per tutti i punti appartenenti alla fibra originariamente perpendicolare al piano medio. Per l'ipotesi 7, inoltre, per il generico punto del piano medio $v_{x}=v_{y}=0$, per cui per ogni punto $P'$ distante $z$ dal piano medio si ha:
${\begin{cases}v_{x}\,=\,-z\alpha _{x}\,=\,-z{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}\\v_{y}\,=\,-z\alpha _{y}\,=\,-z{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}\end{cases}}$
Note le componenti dello spostamento è possibile determinare le componenti della deformazione in relazione a $v_{z}$:
${\begin{cases}\epsilon _{xx}\,=\,{\frac {\delta v_{x}}{\delta x}}\,=\,-z{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}\\\epsilon _{yy}\,=\,{\frac {\delta v_{y}}{\delta y}}\,=\,-z{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\\\gamma _{xy}\,=\,{\frac {\delta v_{x}}{\delta y}}+{\frac {\delta v_{y}}{\delta x}}\,=\,-2z{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x\delta y}}\\\gamma _{xz}\,=\,\gamma _{yz}\,=\,0\end{cases}}$
Quest'ultima posizione, in realtà, deriva direttamente dall'ipotesi 7: le quantità $\gamma _{xz}\,\gamma _{yz}$, infatti, rappresentano la variazione dell'angolo tra le direzioni $x$ e $y$ rispetto a $z$ nel passare dalla configurazione indeformata a quella attuale. Questa variazione, tuttavia, è nulla proprio in considerazione dell'ipotesi 7, la quale impone appunto che l'angolo retto tra le direzioni citate si mantenga tale anche in seguito alla deformazione.
Si trascura, invece, il valore di $\epsilon _{zz}$.
Noti questi valori, in base all'ipotesi 2, è possibile calcolare le componenti della tensione tramite le relazioni costitutive, ricordando che comunque si ha $\sigma _{z}=0$:
${\begin{cases}\epsilon _{xx}\,=\,{\frac {1}{E}}\left(\sigma _{xx}-\nu \sigma _{yy}\right)\\\epsilon _{yy}\,=\,{\frac {1}{E}}\left(\sigma _{yy}-\nu \sigma _{xx}\right)\end{cases}}$
Da qui, con alcuni passaggi matematici, si arriva a:
${\begin{cases}\sigma _{xx}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left(\epsilon _{xx}+\nu \epsilon _{yy}\right)\\\sigma _{yy}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left(\epsilon _{yy}+\nu \epsilon _{xx}\right)\end{cases}}$
Sostituendo le espressioni precedentemente trovate per $\epsilon _{xx}$ ed $\epsilon _{yy}$ si può scrivere:
${\begin{cases}\sigma _{xx}\,=\,-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\right)\\\sigma _{yy}\,=\,-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}\right)\end{cases}}$
Per le tensioni tangenziali si ha:
${\begin{cases}\tau _{xy}\,=\,G\,\gamma _{xy}\,=\,-2Gz{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x\delta y}}=-{\frac {E}{1-\nu }}z{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x\delta y}}\\\tau _{xz}\,=\,G\,\gamma _{xz}\,=\,0\\\tau _{yz}\,=\,G\,\gamma _{yz}\,=\,0\end{cases}}$