# Gravitazione (superiori)

La legge di gravitazione universale stabilisce che dati ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza che è diretta lungo la congiungente i due punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale all'inverso del quadrato della loro distanza. Newton quando fece questa affermazione dimostrò che grandi masse e con simmetria sferica si comportano come se le loro masse fossero concentrate nel loro centro. Questa è una legge universale derivata da osservazioni sperimentali su corpi celesti. Ma il primo test della legge tra masse in laboratorio è dovuto a Cavendish nel 1798 cioè 111 anni dopo la pubblicazione dei Principia di Newton. La legge di Newton è stata superata dalla teoria della relatività generale di A. Einstein, ma continua ad essere una eccellente approssimazione nella maggior parte delle applicazioni. Solo quando è necessaria estrema precisione, o quando si è in presenza di campi gravitazionali particolarmente intensi o per orbite di pianeti molto vicine alle stelle come quella di Mercurio.

## La legge di Gravitazione Universale

Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi.
    $\mathbf {F} _{12}=-G{m_{1}m_{2} \over {\vert \mathbf {r} _{12}\vert }^{2}}\,\mathbf {\hat {r}} _{12}$
dove:
* F$_{12}$ è la forza tra le masse;
* G è la costante gravitazionale(6.673×10$^{−11}$ N · (m/kg)$^2$);
* m$_1$ è la prima massa;
* m$_2$ è la seconda massa;
* |r$_{12}$| = |r$_2$ − r$_1$| è la distanza tra i due punti materiali.
* $\mathbf {\hat {r}} _{12}={\frac {\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}{\vert \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\vert }}$ è il versore tra i due punti.

## Le leggi di Keplero

Le leggi di Keplero derivate dalle precise osservazioni di Tycho Brahe sono le seguenti:

### Prima Legge di Keplero

I pianeti girano intorno al sole formando orbite ellittiche e il sole occupa uno dei due fuochi. Il pianeta girando intorno al sole si troverà in un punto più vicino al sole detto perielio, in un punto più lontano detto afelio.

#### Dimostrazione

Innanzitutto il problema bidimensionale del moto in campo centrale può essere facilmente ridotto a un caso unidimensionale utilizzando la definizione del potenziale efficace.
Le equazioni del moto, infatti, possono essere riscritte considerando la forma
    $V_{\text{eff}}={\frac {L^{2}}{2r^{2}}}+V(r)={\frac {L^{2}}{2r^{2}}}-{\frac {k}{r}}$
In un moto in campo centrale, la relazione tra l'angolo $\theta$ e la distanza dall'origine $r$ è data dall'integrale:
    $\theta =\int {\frac {L/r^{2}\,\mathrm {d} r}{\sqrt {2(E-V_{\text{eff}}(r))}}}=\int {\frac {L/r^{2}\,\mathrm {d} r}{\sqrt {2(E-V_{\text{eff}}(r))}}}=\arccos {\frac {L/r-k/L}{\sqrt {(2E+k^{2}/L^{2})}}}$
dove la costante integrativa è stata posta uguale a zero. Ciò significa che l'integrale viene calcolato a partire dal pericentro dell'orbita.
Definendo ora le quantità:
    $p=L^{2}/k,\qquad e={\sqrt {1+2EL^{2}/k^{2}}}$
e invertendo opportunamente l'espressione di $\theta$ si giunge all'equazione
    $r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}$.
Questa altro non è che l'espressione di una qualunque conica in coordinate polari centrata in un fuoco.
Se $e<1,$ questa rappresenta un'ellisse con eccentricità $e$ e semilato retto $p$.
In particolare, è possibile ottenere i valori dei semiassi $a$ e $b$:
$a={\frac {p}{1-e^{2}}}={\frac {L^{2}/k}{1-1-2EL^{2}/k^{2}}}=-{\frac {k}{2|E|}}$
$b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {L^{2}/k}{\sqrt {1-1-2EL^{2}/k^{2}}}}={\frac {L}{2|E|}}$

### Seconda Legge di Keplero

La velocità areolare con cui il raggio vettore spazza l'orbita è costante. La velocità areolare, in questo caso, è la derivata temporale della superficie spazzata dal raggio vettore che congiunge il sole con un pianeta.

#### Dimostrazione

Introducendo un sistema di coordinate polari $(r,\theta )$, con i rispettivi versori $(\mathbf {\hat {r}} ,\mathbf {\hat {\theta }} )$ si ha, banalmente $\mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}}$.
Derivando tale quantità rispetto al tempo, si ottiene (applicando la regola della derivazione del prodotto e ricordando che: :$\mathbf {\dot {\hat {r}}} ={\dot {\theta }}\mathbf {\hat {\theta }}$, $\mathbf {\dot {\hat {\theta }}} =-{\dot {\theta }}\mathbf {\hat {r}}$
    $\mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\theta }}\mathbf {\hat {\theta }}$
Ora, considerando per semplicità la massa unitaria, il momento angolare $\mathbf {L}$ vale (sfruttando le proprietà del prodotto vettoriale)
    $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {\dot {r}} =\mathbf {r} \times {\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +\mathbf {r} \times r{\dot {\theta }}\mathbf {\hat {\theta }} =r{\dot {\theta }}(\mathbf {r} \times \mathbf {\hat {\theta }} )=r^{2}{\dot {\theta }}(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {\theta }} )=r^{2}{\dot {\theta }}$
diretto ortogonalmente al piano in cui si svolge il moto.
Per la legge di conservazione del momento angolare, segue che la quantità $r^{2}{\dot {\theta }}$ è un integrale del moto.
Considerando la velocità areolare $C$ come derivata temporale dell'area spazzata dal raggio vettore, si ha:
    $\mathrm {d} S={\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}\mathrm {d} t$
Infatti, considerando un angolo $\mathrm {d} \theta ={\dot {\theta }}\mathrm {d} t$, l'area spazzata nell'intervallo temporale infinitesimo, l'elemento d'area è data dalla metà del quadrato di $r$ per l'angolo al centro.
Eseguendo la derivata, $C={\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {1}{2}}L$.
Pertanto la velocità areolare è un integrale del moto.
Si può notare come la validità della seconda legge sia del tutto indipendente dall'espressione del potenziale considerato, essa infatti è una proprietà di tutti i potenziali centrali.

### Terza Legge di Keplero

Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'orbita cioè:
    $T^{2}=kr^{3}\,\!$

#### Dimostrazione

Nelle espressioni di $a$ e $b$ ricavate dalla prima legge di Keplero, si può notare come il semiasse maggiore $a$ sia dipendente solo dall'energia totale del sistema, mentre il semiasse minore sia anche funzione del momento angolare. Poiché il periodo di rotazione, nel moto in campo centrale, è funzione della sola energia, questo fatto permette di inferire per il periodo una relazione solo riguardante il semiasse maggiore dell'ellisse.
In particolare, si avrà (essendo $\pi ab$ l'area dell'ellisse e $C$ la velocità areolare, il cui valore è costante e uguale a $L/2$).
$T(E)={\frac {\pi ab}{C}}=\pi {\frac {k}{2|E|}}{\frac {L}{\sqrt {2|E|}}}{\frac {2}{L}}=\pi k{\frac {\sqrt {2}}{2}}|E|^{-3/2}$
Ora, recuperando l'espressione di $a$ in funzione dell'energia si ha $|E|={\frac {k}{2a}}$, sostituendo tale valore nell'equazione precedente si ottiene
$T(E)=\pi k{\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\frac {2a}{k}}\right)^{3/2}$
da cui si deduce che $T^{2}\propto a^{3}$ come afferma appunto la terza legge di Keplero.

## Campo gravitazionale

Il campo gravitazionale è un campo vettoriale che descrive la forza gravitazionale che sarebbe applicata su un corpo di massa unitaria in ogni dato punto dello spazio. È pari alla accelerazione di gravità in quel punto.
È una generalizzazione della forma vettoriale, che diventa particolarmente utile se più di sue oggetti sono coinvolti (ad esempio per un razzo tra la terra e la luna. Per 2 oggetti (ad esempio oggetto 2 il razzo, oggetto 1 la terra), si scrive semplicemente r invece di r$_{12}$ ed m invece of m$_2$ e definiamo il campo gravitazionale g(r) come:
    $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{m_{1} \over {{\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}}$
Così che si può scrivere:
    $\mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} ).$
Questa formulazione dipende dagli oggetti che danno origine al campo. Le dimensioni fisiche del campo sono quelle di una accelerazione e nel Sistema Internazionale si misura in m/s$^2$.
Il campo gravitazionale è un campo conservativo; questo significa che il lavoro fatto dalla gravità da un posizione ad un'altra è indipendente dal percorso seguito. Di conseguenza esiste un potenziale gravitazionale V(r) tale che:
    $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).$
Se m$_1$ è una massa puntiforme o la massa di una sfera con densità che dipende solo dalla distanza r dal centro della sfera (un corpo a simmetria radiale, il campo gravitazionale g(r) all'interno come all'esterno il campo gravitazionale dipende solo dalla distanza r. In particolare all'esterno della sfera:
    $V(r)=-G{\frac {m_{1}}{r}}.$
Applicando la legge di Gauss nel caso gravitazionale ad un corpo simmetrico radialmente , il campo gravitazionale si ricava dalla equazione:
    $\int _{A}\,\,\mathbf {g(r)} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM_{int}$
Dove $A$ è una superficie chiusa e $M_{int}$ è la massa all'interno della superficie.
Perciò, per una sfera vuota di raggio $R$ e massa totale $M$
    $|\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\mbox{if }}r\geq R\end{cases}}$
Per una sfera piena uniforme di raggio $R$ e massa totale $M$:
    $|\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\mbox{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\mbox{if }}r\geq R\end{cases}}$

## Lavoro della forza gravitazionale

Calcoliamo il lavoro di una forza gravitazionale: $dW={\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\vec {u}}d{\vec {s}}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}dr=-\Delta E_{p}$.
Otteniamo l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale:
    $E_{p}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r}}$
Questa espressione, se noi prendiamo come convenzione che all'infinito $E_{p}=0\ e\ F=0\,\!$, notiamo che avvicinandosi ad una massa che genera un campo gravitazionale il lavoro è positivo e quindi si acquista energia cinetica e di conseguenza velocità.
Anche in questo caso isoliamo il contributo di una delle due masse ed otteniamo $V=-G{\frac {m}{r}}$ e di conseguenza
    ${\vec {G}}=-{\vec {\operatorname {grad} }}\,V=-\nabla V$
come ci si doveva aspettare in presenza di un campo conservativo.