# Prove ripetute

Le prove ripetute sono un caso particolare di prove indipendenti, infatti si ripetono $n$ prove indipendenti dello stesso esperimento casuale $(\Omega _{1},F_{1},P_{1})$.
Lo spazio di probabilità è $(\Omega ,F,P)$ dove
* $\Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}\times \cdots \times \Omega _{n}$
* $F=F_{1}\times F_{2}\times \cdots \times F_{n}$
* $P=P_{1}\times P_{2}\times \cdots \times P_{n}$

## Prove bernoulliane

Le prove bernoulliane sono un sottocaso delle prove ripetute che rispondono alla domanda "l'evento si verifica o no?". Nel settore delle telecomunicazioni, potrebbe essere per esempio "l'errore si verifica o no?".
Le prove bernoulliane sono delle prove ripetute in cui si pone l'attenzione su un evento $A\in F_{1}$, chiamato successo, che si verifica con probabilità
    $P_{1}\left(A\right)=p$
in ogni singola prova. ${\bar {A}}$ è detto insuccesso e si verifica con probabilità
    $P_{1}\left({\bar {A}}\right)=1-p=q$
Dato che $A$ è l'evento di interesse, si può considerare
    $F_{1}=\{\varnothing ,A,{\bar {A}},\Omega _{1}\}$
con
* $P_{1}(A)=p$
* $P_{1}({\bar {A}})=q$
In generale, si vuole determinare la probabilità $P_{n}(k)$ che, su $n$ prove, l'evento $A$ si verifichi $k$ volte in un qualunque ordine.
Consideriamo lo spazio di probabilità prodotto $(\Omega ,F,P)$ associato alle $n$ prove. L'evento di interesse è
    $B=\{B_{1}\times B_{2}\times \cdots \times B_{n}\}{\text{ t.c. }}B_{i}\in A,\ i\in I,\ B_{j}\in {\bar {A}},\ j\in {\bar {I}}$
dove $I$ è un qualsiasi insieme di indici con cardinalità $k$.
Prendiamo $B_{1}\times B_{2}\times B_{3}$, cioè $(k=3)$. Allora vogliamo
    $B_{1},B_{2},B_{3}\in A$
mentre i successivi
    $B_{4},B_{5},B_{6}\in {\bar {A}}$
$I$
$n=3,k=2$
* $A\times A\times {\bar {A}}$
* $A\times {\bar {A}}\times A$
* ${\bar {A}}\times A\times A$
Nel caso di prove ripetute bernoulliane, il numero di configurazioni con $k$ volte $A$ e $(n-k)$ volte ${\bar {A}}$ è pari al valore
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}$
Il numero delle possibili combinazioni di questo tipo è pari a ${\binom {n}{k}}$. Indichiamo con $B_{i}$ una di queste possibili configurazioni e $B(k)$ l'evento che contiene tutte le possibili combinazioni favorevoli,
    $B(k)=\bigcup _{i=1}^{\binom {n}{k}}B_{i}$.
La probabilità di questo $B(k)$ è
    $P((A\times A\times \cdots A\times {\bar {A}}\times {\bar {A}}\times \cdots \times {\bar {A}}))=p^{k}\cdot q^{n-k}$
cioè
    $P_{n}(k)=P\left(B(k)\right)=\sum _{i=1}^{\binom {n}{k}}P(B_{i})=\sum _{i=1}^{\binom {n}{k}}p^{k}\cdot q^{n-k}={\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}$
Gli eventi $B(k),k=0,1,...,n$ sono tra di loro disgiunti, con
    $\Omega =\bigcup _{k=0}^{n}B(k)$
Dato che $P_{n}(K)$ soddisfa l'assioma di probabilità
    $1=P(\Omega )=\sum _{k}P(B_{k})=\sum _{k}{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$
allora si ha che
    $\sum _{k}P_{n}(k)=1$
Concludendo, $P_{n}(k)$ segue una legge di probabilità binomiale.
Vogliamo sapere la probabilità che la parola sia esatta, con probabilità di errore sul bit singolo $P_{\epsilon }(b)=10^{-3}$.
Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.
* Costruire il modello probabilistico.
* Determinare la probabilità di pescare esattamente 2 cuori;
* Determinare la probabilità che almeno una carta sia di cuori.
Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.
$0<p<1$
$npq\gg 1$
    $P_{n}(k)={\binom {n}{k}}p^{n}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}e^{-\left({\frac {(k-np)^{2}}{2npq}}\right)}$
$k$
${\sqrt {npq}}$
$npq$
1. Per $n\to \infty$, si ha
       ${\frac {{\sqrt {2\pi npq}}\left({\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right)p^{k}q^{n-k}}{e^{-(k-np)^{2}/2npq}}}\to 1$
2. Se $q=p=1/2$ (per esempio, una moneta), si ha
* $A={\text{ 5 teste su 10 lanci }}\Rightarrow P(A)=0,25$
* $B={\text{ 50 teste su 100 lanci }}\Rightarrow P(A)=0,08$
* $C={\text{ 500 teste su 1000 lanci }}\Rightarrow P(A)=0,025$
3. La probabilità si accumula in un intorno $\lfloor np\rfloor$ al tendere di $n\rightarrow \infty$.
* $D={\text{ 4 teste su 6 lanci }}\Rightarrow P(A)=0,66$
* $E={\text{ 40 teste su 60 lanci }}\Rightarrow P(A)=0,96$
* $F={\text{ 400 teste su 600 lanci }}\Rightarrow P(A)=0,99$