# Insiemi numerici (scuola media)

I numeri sono nati per permetterci di contare. Che sia uno, due, tre... oppure primo, secondo, terzo... in entrambi i casi era necessario avere un numero per poter indicare quanto un insieme era grande oppure quale era la posizione di un determinato oggetto nell'ordine dato. Video per chi non ama leggere: Supermat, Insiemi numerici, su YouTube, 23 ott 2020.

## I numeri

I numeri sono nati per contare, quindi misurare, la grandezza o l'ordine e quindi le rappresentazioni primitive facevano corrispondere ad un oggetto un segno.
Dalle prime rappresentazioni confuse si sviluppano diversi metodi di scrittura dei numeri. In alcune scritture compaiono segni che permettono di indicare insiemi di una data numerosità, ad esempio il segno V per indicare il numero 5 nel sistema di numerazione romano.
Partendo dalla rappresentazione a stanghette nel tempo nel continente indiano si sviluppò un sistema di numerazione che assegnava dieci segni differenti, zero compreso, le cifre, per indicare il numero degli elementi dei primi insiemi. Ad esempio il segno $\equiv$ diventa 3.
L'invenzione dello zero permise di scrivere i numeri con il nostro sistema decimale e posizionale, sistema che rende piuttosto facile fare i calcoli. Attraverso la civiltà araba poi il sistema numerico giunse a noi intorno al 1200.
L'insieme dei numeri naturali, compreso lo zero, viene indicato con il simbolo $\mathbb {N} _{0}$.

## La rette dei numeri

Si può fare una fotografia ai numeri naturali? La retta dei numeri ci permette di rappresentarli non ci staranno mai tutti, ma, grazie alle zoommate, possiamo ottenere grafici che ne contengono quanti ne desideriamo.

## Le operazioni con i numeri
### Addizione, moltiplicazione e potenze

Le prime testimonianze dell'utilizzo dei numeri nei calcoli e nella risoluzione di problemi risalgono a circa 5000 anni fa.
Sono state ritrovate tavole dove vengono riportati i problemi e la loro soluzione provenienti dalle antiche civiltà della Mesopotamia e dell'Egitto. E' probabile che l'addizione sia nata insieme ai numeri, per sommare due mucchietti di sassolini basta contarli una volta raggruppati.
E così, contestualmente, saranno state usate le sue proprietà:
* commutativa, l'ordine con il quale vengono raggruppati oggetti non influisce sul loro numero totale, e
* associativa, unire più gruppi di oggetti ridà ancora lo stesso numero qualsiasi sia il modo in cui vengono raggruppati.
L'insieme dei numeri naturali ospita naturalmente l'addizione, la moltiplicazione e persino l'elevamento a potenza. La somma di due numeri naturali ha come risultato un numero naturale, e così la moltiplicazione o l'elevamento a potenza. Per queste operazioni non abbiamo bisogno di inventare altri numeri, altri insiemi numerici.

### Troviamo un insieme per le frazioni

Già i matematici dell'antico Egitto usavano le frazioni nei loro calcoli. I Babilonesi ne hanno fatto un uso minore probabilmente dovuto all'adozione della base 60 che avendo ben dieci divisori restituisce risultati interi per le divisioni con 2, 3, 4, 5 e 6.
Aggiungendo così le frazioni ai numeri naturali si ottiene l'insieme dei razionali positivi $\mathbb {Q} ^{+}$ che permette di svolgere le operazioni di divisione restituendo un risultato numerico.
Ogni frazione corrisponde sempre ad un numero decimale, espresso cioè con cifre dopo la virgola, anche se in alcuni casi la rappresentazione decimale è infinita come ad esempio ${\frac {1}{3}}=0,{\bar {3}}=0,33333....$. Le frazioni trovano infiniti posti, punti, dove posizionarsi sulla retta dei numeri. Per posizionare una frazione possiamo pensare al numero decimale corrispondente, che nei casi periodicità ci chiede una approssimazione, oppure, in modo geometrico, prendendo una segmento di lunghezza pari al numeratore e suddividendolo poi in parti pari al denominatore. Come si vede in figura dove si utilizzano due copie della retta dei numeri per ottenere in quella superiore la posizione di ${\frac {3}{2}}$

### Gli interi aggiungiamo i negativi

Sebbene già conosciuti ai matematici indiani i numeri negativi, gli interi $\mathbb {Z}$, arrivarono in Europa molto più tardi. Come trovare una soluzione alla sottrazione quando il minuendo è più piccolo del sottraendo, come ad esempio in $3-5=?$. Come fare in modo che le operazioni conosciute continuino a funzionare? Alla prima domanda si può provare a trovare una risposta usando come modello il resoconto dei propri soldi: alle entrate corrispondono numeri positivi, alle uscite numeri negativi e così trovare che la sottrazione di una entrata corrisponde alla somma di una uscita e così via.

## I razionali tutte le frazioni

Una volta ammesso che possono esistere i numeri negativi ci si rende conto che anche le frazioni possono essere negative e così nasce l'insieme del razionali $\mathbb {Q}$.