# Le Equazioni e Disequazioni con Moduli (superiori)
## Valore assoluto

Riprendiamo la definizione già vista in “Algebra 1” di valore assoluto. Il valore assoluto o modulo di un numero $a$, indicato con $|a|$, è lo stesso numero $a$ se esso è maggiore o uguale a zero, o il suo opposto, cioè $-a$, se è minore di zero. In sintesi scriviamo:
$\left|a\right|={\begin{cases}a&{\text{ se }}a\geq 0\\-a&{\text{ se }}a<0\end{cases}}$
Per esempio $\left|+7\right|=7$, $\left|-3\right|=-(-3)=3$, $\left|0\right|=0$, $\left|-1\right|=1$, $\left|1\right|=1$.
In maniera analoga definiamo il valore assoluto di un’espressione algebrica. Il valore assoluto o modulo dell’espressione algebrica $E=x^{2}-3x$, indicato con $\left|x^{2}-3x\right|$, è una funzione definita per casi, cioè definita da espressioni diverse su sottoinsiemi diversi del dominio,
$f(x)=\left|x^{2}-3x\right|={\begin{cases}x^{2}-3x&{\text{ se }}x^{2}-3x\geq 0\\-\left(x^{2}-3x\right)&{\text{ se }}x^{2}-3x<0\end{cases}}.$
Risolvendo la disequazione $x^{2}-3x\geq 0$ si esplicitano i due sottoinsiemi in cui sono definite le due espressioni algebriche, cioè
$f(x)=\left|x^{2}-3x\right|={\begin{cases}x^{2}-3x&{\text{ se }}x\leq 0\vee x\geq 3\\-x^{2}+3x&{\text{ se }}0<x<3\end{cases}}.$
In generale, la funzione valore assoluto o modulo di un’espressione algebrica viene definita come:
$\left|f(x)\right|={\begin{cases}f(x)&{\text{ se }}f(x)\geq 0\\-f(x)&{\text{ se }}f(x)<0\end{cases}}.$
La funzione $f(x)$ è detta argomento del valore assoluto.
ESEMPIO 1. Per la funzione $f(x)=\left|{\sqrt {3}}+3x\right|$ trovare le espressioni algebriche che descrivono i due casi.
Per definizione si ha:
$f(x)=\left|{\sqrt {3}}+3x\right|={\begin{cases}{\sqrt {3}}+3x&{\text{ se }}{\sqrt {3}}+3x\geq 0\Rightarrow x\geq -{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\sqrt {3}}-3x&{\text{ se }}{\sqrt {3}}+3x<0\Rightarrow x<-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\end{cases}}.$
ESEMPIO 2. Data la funzione $f(x)=\left|x^{2}-4\right|+\left|x+1\right|-2x$ descriverla per casi, eliminando i valori assoluti.
Dobbiamo studiare i segni dei due binomi in valore assoluto
${\begin{array}{l}x^{2}-4\geq 0\quad \Rightarrow \quad x\leq -2\vee x\geq 2{\text{ e}}\\x+1\geq 0\quad \Rightarrow \quad x>-1.\end{array}}$
La situazione è rappresentata con maggiore chiarezza nel grafico seguente.
* Nell’intervallo $x<-2$ l’argomento del primo valore assoluto è positivo e quello del secondo è negativo;
* nell’intervallo $-2\leq x<-1$ tutti e due gli argomenti del valore assoluto sono negativi;
* nell’intervallo $-1\leq x<2$ l’argomento del primo valore assoluto è negativo, quello del secondo è positivo;
* nell’intervallo $x\geq 2$ entrambi gli argomenti sono positivi.
In sintesi
$f(x)={\begin{cases}(x^{2}-4)-(x+1)-2x&{\text{ se }}x<-2\\-(x^{2}-4)-(x+1)-2x&{\text{ se }}-2\leq x<-1\\-(x^{2}-4)+(x+1)-2x&{\text{ se }}-1\leq x<2\\(x^{2}-4)+(x+1)-2x&{\text{ se }}x>2\end{cases}}.$

## Equazioni in una incognita in valore assoluto
### Equazioni nelle quali l’incognita è presente solo all’interno del modulo

* Equazioni con valore assoluto del tipo $\left|f(x)\right|=k{\text{ con }}k\geq 0$.
ESEMPIO 3. Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-7\right|=3$.
Per la definizione di valore assoluto si ha che $\left|x^{2}-7\right|={\begin{cases}x^{2}-7&{\text{ se }}x^{2}-7\geq 0\\-x^{2}+7&{\text{ se }}x^{2}-7<0\\\end{cases}}\;$, pertanto l’equazione diventa
$\left|x^{2}-7\right|=3\Rightarrow {\begin{cases}x^{2}-7=3&{\text{ se }}x^{2}-7\geq 0\\-x^{2}+7=3&{\text{ se }}x^{2}-7<0\\\end{cases}}$
ovvero il tutto equivale all’unione dei due sistemi
$\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7\geq 0}\\{x^{2}-7=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7<0}\\{-x^{2}+7=3}\end{array}}\right..$
Moltiplicando per $-1$ ambo i membri dell’equazione del secondo sistema otteniamo:
$\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7\geq 0}\\{x^{2}-7=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7<0}\\{x^{2}-7=-3}\end{array}}\right..$
Si vede abbastanza facilmente che sia nel primo che nel secondo sistema le due disequazioni sono sempre verificate. Infatti, nel primo sistema l’equazione $x^{2}-7=3$ verifica automaticamente la disequazione $x^{2}-7\geq 0$ in quanto è richiesto che $x^{2}-7$ sia uguale a $3$, pertanto è necessariamente positivo. Stesso ragionamento vale per il secondo sistema. In altre parole, per risolvere la disequazione data è sufficiente risolvere le due equazioni $x^{2}-7=3$ e $x^{2}-7=-3$ unendone le soluzioni. Quindi
${\begin{array}{l}x^{2}-7=3\Rightarrow x^{2}=10\Rightarrow x_{1}=-{\sqrt {10}}\;\vee \;x_{2}={\sqrt {10}}{\text{ e}}\\x^{2}-7=-3\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x_{3}=-2\;\vee \;x_{4}=2.\end{array}}$
L’insieme delle soluzioni è quindi: $\left\{-{\sqrt {10}}{\text{, }}{\sqrt {10}}{\text{, }}-2{\text{, }}+2\right\}$.
Procedura risolutiva  Per risolvere un’equazione del tipo $\left|f(x)\right|=k\,{\text{ con }}k\geq 0$ è sufficiente risolvere la doppia equazione $f(x)=\pm k$.
ESEMPIO 4. Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-x\right|=1.$
L’equazione $\left|x^{2}-x\right|=1$ si risolve unendo le soluzioni delle equazioni $x^{2}-x=1$ e $x^{2}-x=-1$. cioè:
${\begin{array}{l}x^{2}-x=1\quad \Rightarrow \quad x^{2}-x-1=0\quad \Rightarrow \quad x_{1}={\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\;\vee \;x_{2}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}{\text{ e}}\\x^{2}-x=-1\quad \Rightarrow \quad x^{2}-x+1=0\quad \Rightarrow \quad \Delta <0\quad \Rightarrow \quad {\text{I.S.}}=\emptyset .\end{array}}$
L’insieme soluzione dell’equazione data è quindi
${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}{\text{, }}{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right\}.$
* Equazioni con valore assoluto del tipo ${\left|f(x)\right|=k{\text{ con }}k<0}$.
Se $k<0$ l’equazione è impossibile. In questo caso $\left|f(x)\right|=k$ è una contraddizione, in quanto un valore assoluto di una espressione è sempre un valore positivo.
ESEMPIO 5. Risolvere la seguente equazione $\left|x-7\right|=-1$. Impostiamo la ricerca delle soluzioni con il metodo generale presentato in uno degli esempi precedenti. L’equazione corrisponde alla soluzione dell’unione dei due sistemi seguenti
$\left\{{\begin{array}{l}{x-7\geq 0}\\{x-7=-1}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x-7<0}\\{x-7=1}\end{array}}\right..$
Entrambi i sistemi non hanno soluzioni reali. L’equazione è impossibile.

### Equazioni nelle quali l’incognita si trova anche fuori dal modulo

ESEMPIO 6. Risolvere la seguente equazione $\left|-1+3x\right|=7x+4.$
L’equazione presenta un valore assoluto al primo membro.
Tenendo conto che
$\left|-1+3x\right|={{\begin{cases}-1+3x&{\text{ se }}-1+3x\geq 0\Rightarrow x\geq {\tfrac {1}{3}}\\1-3x&{\text{ se }}-1+3x<0\Rightarrow x<{\tfrac {1}{3}}\end{cases}}{\text{,}}}$
l’equazione si trasforma nell’unione dei due sistemi
$\left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{3}}}\\{-1+3x=7x+4}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{3}}}\\{1-3x=7x+4}\end{array}}\right..$
Risolvendo si ha
$\left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{3}}}\\{4x=-5\Rightarrow x=-{\tfrac {5}{4}}}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{3}}}\\{10x=-3\Rightarrow x=-{\tfrac {3}{10}}}\end{array}}\right..$
La soluzione $-{\tfrac {5}{4}}$ non è accettabile in quanto non è maggiore di ${\tfrac {1}{3}}$. Pertanto rimane la soluzione $x=-{\tfrac {3}{10}}$ (che è minore di ${\tfrac {1}{3}}.$)
ESEMPIO 7. Risolvere la seguente equazione $\left|-2x+5\right|=x-3$.
Esplicitiamo i due casi dell’argomento
$\left|-2x+5\right|={\begin{cases}-2x+5&{\text{ se }}-2x+5\geq 0\Rightarrow x\leq {\tfrac {5}{2}}\\2x-5&{\text{ se }}-2x+5<0\Rightarrow x>{\tfrac {5}{2}}\end{cases}}.$
L’equazione si trasforma quindi nell’unione dei due sistemi:
$\left\{{\begin{array}{l}{x\leq {\tfrac {5}{2}}}\\{-2x+5=x-3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x>{\tfrac {5}{2}}}\\{2x-5=x-3}\end{array}}\right..$
Risolviamo ciascun sistema
$\left\{{\begin{array}{l}{x\leq {\tfrac {5}{2}}}\\{-3x=-8\Rightarrow x={\tfrac {8}{3}}}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x>{\tfrac {5}{2}}}\\{x=2}\end{array}}\right.$
ognuno dei quali risulta impossibile, cioè ${\text{I.S.}}_{1}=\emptyset$ e ${\text{I.S.}}_{2}=\emptyset$.
Quindi l’insieme soluzione dell’equazione data è ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset \cup \emptyset =\emptyset$: l’equazione è impossibile.
ESEMPIO 8. Risolvere la seguente equazione $\left|2x-1\right|=x+2$.
L’equazione si trasforma nell’unione dei due sistemi
$\left\{{\begin{array}{l}{2x-1\geq 0}\\{2x-1=x+2}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{2x-1<0}\\{-2x+1=x+2}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{2}}}\\{x=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{2}}}\\{x=-{\tfrac {1}{2}}}\end{array}}\right..$
Quindi le soluzioni sono $x=3$ e $x=-{\tfrac {1}{2}}.$

## Equazioni con più espressioni in valore assoluto

ESEMPIO 9. Risolvere la seguente equazione $\left|2x-3\right|-\left|1-2x\right|+x=4$.
L’equazione presenta due espressioni in valore assoluto; ciascuna espressione sarà sviluppata in due modi diversi dipendenti dal segno assunto dai rispettivi argomenti. Si presenteranno allora quattro casi e l’insieme soluzione dell’equazione sarà ottenuto dall’unione delle soluzioni dei singoli casi. Per semplificare il procedimento studiamo il segno di ciascun argomento e poi confrontiamo i segni con uno schema grafico:
Si presentano tre casi:
* Caso I: $\left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{2}}}\\{-(2x-3)-(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.$;
* Caso II: $\left\{{\begin{array}{l}{{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}}\\{-(2x-3)+(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.$;
* Caso III: $\left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {3}{2}}}\\{(2x-3)+(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.$.
In ogni sistema la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. Risolviamo.
Caso I:
$\left\{{\begin{array}{l}x<{\tfrac {1}{2}}\\-(2x-3)-(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x<{\tfrac {1}{2}}\\x=2\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{1}=\emptyset .$
Il sistema è impossibile in quanto $2$ non è minore di ${\tfrac {1}{2}}$.
Caso II:
$\left\{{\begin{array}{l}{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}\\-(2x-3)+(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}\\x=0\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset .$
Il sistema è impossibile in quanto 0 non appartiene all’intervallo $\left[{\tfrac {1}{2}}{\text{, }}{\tfrac {3}{2}}\right).$
Caso III:
$\left\{{\begin{array}{l}x\geq {\tfrac {3}{2}}\\(2x-3)+(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x\geq {\tfrac {3}{2}}\\x=6\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{3}=\{6\}.$
La soluzione in questo caso è accettabile.
Conclusione: ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}\cup {\text{I.S.}}_{3}=\{6\}.$
ESEMPIO 10. Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-4\right|-3x=\left|x-1\right|$.
Confrontiamo il segno di ciascun argomento servendoci dello schema:
In questo esempio dobbiamo esaminare 4 casi che si esplicitano nei sistemi:
* Caso I:
$\left\{{\begin{array}{l}{x<-2}\\{x^{2}-4-3x=-x+1}\Rightarrow x_{1}=1-{\sqrt {6}}\;\vee \;x_{2}=1+{\sqrt {6}}\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{1}=\emptyset .$
* Caso II:
$\left\{{\begin{array}{l}{-2\leq x<1}\\{-x^{2}+4-3x=-x+1}\Rightarrow x_{1}=-3\;\vee \;x_{2}=1\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset .$
* Caso III:
$\left\{{\begin{array}{l}{1\leq x<2}\\{-x^{2}+4-3x=x-1}\Rightarrow x_{1}=-5\;\vee \;x_{2}=1\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{3}=\{1\}.$
* Caso IV:
$\left\{{\begin{array}{l}{x\geq 2}\\{x^{2}-4-3x=x-1}\Rightarrow x_{1}=2-{\sqrt {7}}\;\vee \;x_{2}=2+{\sqrt {7}}\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{4}=\left\{2+{\sqrt {7}}\right\}.$
Conclusione: ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}\cup {\text{I.S.}}_{3}\cup {\text{I.S.}}_{4}=\left\{1{\text{, }}2+{\sqrt {7}}\right\}$.
PROCEDURA 1. Risoluzione di un’equazione con valori assoluti:
* l’incognita è presente solo nell’argomento del modulo. L’equazione è del tipo $\left|f(x)\right|=k$ e si risolve studiando $f(x)=\pm k$. Se $k<0$ l’equazione è impossibile;
* l’incognita si trova anche al di fuori del modulo. Si analizza il segno dell’argomento del modulo e si risolvono i due sistemi dove la prima condizione è la disequazione che vincola il segno dell’argomento e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. L’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei due sistemi;
* è presente più di un modulo che ha l’incognita nel proprio argomento. Si studia il segno di ogni argomento e dallo schema che ne segue si costruiscono e quindi si risolvono i sistemi in cui la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione in base al segno definito. Anche in questo caso l’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei vari sistemi.

## Disequazioni con valore assoluto

Primo caso:  disequazioni nella forma $\left|f(x)\right|<k$ con $k>0$.
La disequazione si risolve studiando l’unione dei due sistemi
$\left\{{\begin{array}{l}{f(x)\geq 0}\\{f(x)<k}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{f(x)<0}\\{f(x)>-k}\end{array}}\right.$
che hanno soluzioni $0\leq f(x)<k\;\vee \;-k<f(x)<0$ cioè:
$-k<f(x)<k\quad {\text{ o anche }}\quad \left\{{\begin{array}{l}{f(x)<k}\\{f(x)>-k}\end{array}}\right..$
ESEMPIO 11. Risolvere la seguente disequazione $\left|x^{2}-1\right|<3$.
La disequazione diventa $-3<x^{2}-1<3$ oppure
$\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-1<3}\\{x^{2}-1>-3}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}<4}\\{x^{2}>-2}\end{array}}\right..$
La prima disequazione $x^{2}<4$ è verificata per $-2<x<2$.
La seconda è sempre verificata perché il quadrato $x^{2}$ è sempre maggiore di un numero negativo. L’insieme soluzione della disequazione assegnata è quindi $-2<x<2.$
Secondo caso:  disequazioni nella forma $\left|f(x)\right|>k$ con $k>0$.
Per il procedimento svolto nel caso precedente queste disequazioni si trasformano sempre nelle disequazioni
$f(x)<-k\;\vee \;f(x)>k.$
ESEMPIO 12. Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-4\right|>4.$
L’equazione diventa $x^{2}-4<-4\;\vee \;x^{2}-4>4$. Spostando $-4$ al secondo membro otteniamo $x^{2}<0\;\vee \;x^{2}>8.$
La prima disequazione $x^{2}<0$ non ha soluzioni in quanto il quadrato $x^{2}$ non può essere minore di 0. La seconda ha per soluzioni $x<-2{\sqrt {2}}\;\vee \;x>2{\sqrt {2}}.$

### Disequazioni in cui l’incognita si trova anche fuori dal modulo

ESEMPIO 13. Risolvere la seguente disequazione $\left|x^{2}-x\right|<2x^{2}+3x-1.$
Studiamo il segno dell’argomento del modulo
$x^{2}-x\geq 0\quad \Rightarrow \quad x(x-1)\geq 0\quad \Rightarrow \quad x\leq 0\vee x\geq 1.$
La disequazione assegnata si sdoppia nell’unione di due sistemi:
$\left\{{\begin{array}{l}{x\leq 0\;\vee \;x\geq 1}\\{x^{2}-x<2x^{2}+3x-1}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{0<x<1}\\{-x^{2}+x<2x^{2}+3x-1}\end{array}}\right..$
Semplificando le disequazioni si ha:
$\left\{{\begin{array}{l}{x\leq 0\;\vee \;x\geq 1}\\{x^{2}+4x-1>0}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{0<x<1}\\{3x^{2}+2x-1>0}\end{array}}\right..$
Quindi rappresentiamo gli insiemi soluzione dei due sistemi in uno schema, così possiamo trovare agevolmente l’insieme soluzione della disequazione data.
L’insieme soluzione della disequazione data è $x<-2-{\sqrt {5}}\;\vee \;x>{\tfrac {1}{3}}.$

### Disequazioni con più valori assoluti

ESEMPIO 14. Risolvere la seguente disequazione $\left|x+1\right|\geq \left|x^{2}-1\right|.$
Studiamo il segno di ciascun argomento e poi confrontiamo i segni con uno schema grafico:
Si presentano tre casi, quindi tre sistemi:
$\left\{{\begin{array}{l}{x<-1}\\{-(x-1)\geq x^{2}-1}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{-1\leq x<1}\\{x+1\geq -\left(x^{2}-1\right)}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x\geq 1}\\{x+1\geq x^{2}-1}\end{array}}\right..$
Risolviamo il primo sistema:
$\left\{{\begin{array}{l}x<-1\\x^{2}+x\leq 0\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x<-1\\-1\leq x\leq 0\end{array}}\right..$
In questo caso non si hanno soluzioni: ${\text{I.S.}}_{1}=\emptyset .$
Risolviamo il secondo sistema:
$\left\{{\begin{array}{l}-1\leq x<1\\x^{2}+x\geq 0\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}-1\leq x<1\\x\leq -1\vee x\geq 0\end{array}}\right..$
In questo caso le soluzioni sono: $0\leq x<1\vee x\geq 0.$
Risolviamo il terzo sistema:
$\left\{{\begin{array}{l}x\geq 1\\x^{2}-x-2\leq 0\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x\geq 1\\-1\leq x\leq 2\end{array}}\right..$
In questo caso le soluzioni sono: $1\leq x\leq 2.$
Adesso rappresentiamo gli insiemi soluzione dei tre sistemi in uno schema, così possiamo trovare l’insieme soluzione della disequazione data.
Unendo tutte le soluzioni si ha: $x=-1\;\vee \;0\leq x\leq 2$.