# Classificazione dei quadrilateri (scuola media)

In geometria il quadrilatero$^{VK}$ è un poligono con quattro lati$^{VK}$, e quindi quattro vertici$^{VK}$ e quattro angoli$^{VK}$, e due diagonali$^{VK}$. Il quadrilatero è il poligono con il minor numero di lati nel quale si possono tracciare diagonali$^{VK}$.
Video per chi non ama leggere: i quadrilateri Schooltoon, Definizione e proprietà dei quadrilateri - Geometria - Secondaria di Primo Grado, su YouTube, 19 ott 2020.
I quadrilateri$^{VK}$ possono essere suddivisi a secondo delle relazioni tra i lati$^{VK}$, tra gli angoli$^{VK}$ e per le caratteristiche delle loro diagonali$^{VK}$.

## Elementi nel quadrilatero

Gli elementi di un quadrilatero sono:
* i vertici $A,B,C\ e\ D$ (sono punti)
* i lati $AB,BC,CD,DA$ (sono segmenti)
* gli angoli interni ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}}$, nella figura è evidenziato il solo angolo interno ${\hat {DAB}}$
* gli angoli esterni che sono formati dal prolungamento di un lato e dal lato consecutivo, in figura è evidenziato solo l'angolo formato dal prolungamento del lato $DA$ con il lato $AB$
* le diagonali $AC\ e\ BD$
Nel quadrilatero:
* i lati $AB$ e $BC$ sono consecutivi
* i lati $AB$ e $BC$ sono adiacenti all'angolo ${\hat {B}}$
* i lati $AB$ e $CD$ sono opposti
* gli angoli ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ sono adiacenti al lato $AB$
* gli angoli ${\hat {A}}$ e ${\hat {C}}$ sono opposti
* i vertici $A$ e $B$ sono consecutivi
* le diagonali sono segmenti che uniscono vertici non consecutivi
osservando la figura si estendono queste definizioni a tutti gli altri elementi.

## Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero

Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande

## Quadrilateri convessi
### Somma angoli interni

La somma degli angoli interni di un quadrilatero convesso si può facilmente dedurre dal fatto che una diagonale lo taglia a metà dividendolo in due triangoli cosa che permette di calcolare la somma degli angoli interni come doppio rispetto a quella di un triangolo:
cosa che corrisponde anche all'applicazione della formula generale
e così il quadrilatero regolare, il quadrato, avrà gli angoli interni che misurano

### Numero delle diagonali

Anche il numero delle diagonali in un quadrilatero è facilmente ricavabile dall'osservazione, ed anche in questo caso l'osservazione viene confermata dalla teoria. Anche per calcolare il numero delle diagonali si può applicare la formula
che per un quadrilatero diventa

## Quadrilateri inscritti

Un poligono si può inscrivere in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un punto. Per i quadrilateri è possibile individuare un'altra condizione.
Tutti i triangoli con base un lato e vertici il circocentro sono isosceli, infatti i lati obliqui sono dei raggi della circonferenza. Gli angoli alla base di questi triangoli sono uguali e sommando gli angoli consecutivi si ottiene che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari.

## Quadrilateri circoscritti

Con una proprietà analoga dovuta alle tangenti che corrispondono ai lati otteniamo che in un quadrilatero circoscritto sono uguali le somme dei lati opposti.

## Classificazione

Possiamo procedere in due modi nella classificazione dei quadrilateri partendo dalla semplice caratteristica generica di avere 4 lati e aggiungendo man mano le proprietà che definiscono i diversi sottoinsiemi oppure partendo dal quadrilatero regolare il quadrato e levando mano a mano le proprietà che lo caratterizzano.

### Dal quadrato ai quadrilateri
#### Il quadrato

Il quadrato$^{VK}$ è probabilmente il poligono che viene studiato per primo nella carriera scolastica di uno studente. Il quaderno a quadretti favorisce il disegno di questo particolare quadrilatero.
Il quadrato ha molte proprietà:
* ha quattro lati uguali
* ha quattro angoli uguali
il quadrato è un poligono regolare per queste due prime proprietà
* ha due diagonali uguali e perpendicolari che si tagliano a metà
queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare quadrati di grandi dimensioni
* è circoscrivibile e inscrittibile in una circonferenza
infatti il quadrato ha angoli opposti supplementari e sono uguali le somme di lati opposti

#### Il rettangolo

Anche il rettangolo si disegna facilmente su un quaderno a quadretti
Le proprietà del rettangolo sono:
* ha quattro angoli uguali
ma non avendo i lati uguali il rettangolo non è un poligono regolare$^{VK}$
* ha due diagonali uguali che si tagliano a metà
queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rettangoli di grandi dimensioni
* è inscrittibile in una circonferenza
ovviamente gli angoli opposti sono supplementari, infatti sono due retti, si può anche osservare che i vertici del rettangolo sono equidistanti dal punto di incontro delle diagonali,
* non è circoscrivibile ad una circonferenza
infatti non sono uguali le somme dei lati opposti

#### Il rombo

Le proprietà del rombo sono:
* ha quattro lati uguali
ma non avendo gli angoli uguali il rombo non è un poligono regolare$^{VK}$
* ha due diagonali perpendicolari che si tagliano a metà
queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rombi di grandi dimensioni
* è circoscrivibile ad una circonferenza
le quattro bisettrici degli angoli si incontrano nel centro del rombo e sono uguali le somme dei lati opposti
* non è inscrittibile in una circonferenza
infatti gli angoli opposti non sono supplementari

#### Il parallelogramma (romboide)

Il parallelogramma$^{VK}$, anche detto romboide deve il suo nome al fatto di avere i lati opposti paralleli.
Le proprietà del parallelogramma quindi sono:
* lati opposti paralleli
* lati opposti uguali
* angoli opposti uguali
* angoli adiacenti allo stesso lato supplementari
* diagonali che si tagliano a metà, ma non sono uguali

#### Il trapezio

Il trapezio$^{VK}$ è il quadrilatero che aggiunge alla proprietà di avere quattro lati quella di avere due di essi paralleli.
Grazie a questa proprietà si possono così distinguere gli elementi del trapezio:
* la base maggiore, il lato maggiore dei due lati paralleli
* la base minore, ovviamente, il lato più corto dei due lati paralleli
* i lati obliqui
* la distanza tra le due basi parallele è l'altezza del trapezio
Le proprietà del trapezio$^{VK}$ sono:
* due lati paralleli
* angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari
questa seconda proprietà è una conseguenza della prima per le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale,
I trapezi si possono classificare in tre diversi tipi:
* scaleni
* isosceli
* rettangoli
* Il trapezio$^{VK}$ scaleno ha lati obliqui diversi e di conseguenza quattro angoli diversi.
* Il trapezio$^{VK}$ isoscele ha i lati obliqui uguali e di conseguenza angoli adiacenti alla base maggiore uguali tra loro così come i due angoli adiacenti alla base minore.
* Il trapezio$^{VK}$ rettangolo ha due angoli retti poichè ha uno dei due lati obliqui perpendicolare alle basi.
* Il trapezio$^{VK}$ ottusangolo ha un angolo ottuso

##### Trapezio e circonferenza

Il trapezio isoscele è sempre inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti sono supplementari. Non lo sono il trapezio rettangolo e quello scaleno, gli angoli opposti non sono sicuramente supplementari, se lo fossero si ricadrebbe nel caso del trapezio isoscele e del rettangolo.
Tutti e tre i diversi tipi di trapezio possono però soddisfare la condizione per essere circoscritti, in alcuni casi quindi il trapezio isoscele è sia inscritto che circoscritto, circocentro e incentro non coincidono però a meno di non considerare il caso limite del quadrato.
* Trapezio Circoscritto
* Trapezio Rettangolo Circoscritto
* Trapezio Isoscele Inscritto
* Trapezio Isoscele Inscritto Circoscritto

#### Esercizi per imparare le proprietà del trapezio
### Dai quadrilateri al quadrato
#### Quadrilateri convessi

Tra tutti i quadrilateri il sottoinsieme che mostra di avere proprietà geometricamente significative è quello dei quadrilateri convessi.