# Forme lineari delle equazioni di portata per il sonar

Le forme lineari delle equazioni di portata consentono una più facile interpretazione dei legami tra le variabili che sono coinvolte nei calcoli specifici, al contrario delle analoghe di tipo logaritmo normalmente impiegate per le stime delle portate di scoperta del sonar.

## Il sistema logaritmico per il calcolo della portata di un sonar passivo

L'espressione logaritmica per il calcolo della portata di scoperta è mostrata nel sistema:
${\begin{cases}TL=60+20\cdot \log _{10}{R}+\alpha \cdot R\\TL=SL+DI-NL-DT+20\cdot \log _{10}{\sqrt {BW}}\end{cases}}$
dove:
nella prima equazione:
$TL=$ attenuazione dovuta al percorso del segnale in mare, espressa in decibel, dipendente dalla distanza $R$ espressa in $km$ e dal coefficiente d'assorbimento $\alpha$ espresso in $dB/km$.
nella seconda equazione:
$TL=$ attenuazione massima accettabile, funzione delle caratteristiche del sonar, espressa in decibel, dipendente da:
* $BW=$ banda delle frequenze di ricezione del sonar in $Hz$.
* $SL=$ rumore "spettrale" irradiato dal bersaglio in $dB/\mu Pa/{\sqrt {Hz}}/1\ m$.
* $NL=$rumore "spettrale" del mare in $dB/\mu Pa$ $/{\sqrt {Hz}}$.
* $DI=$ guadagno di direttività della base idrofonica ricevente in $dB$.
* $DT=$ soglia di rivelazione in correlazione in $dB$ a sua volta dipendente da:
** $d$ = parametro probabilistico
** $BW$ = banda del ricevitore
** $RC$ = costante d'integrazione del rivelatore

## Esplicitazione in termini lineari della prima equazione del sistema

L'equazione relativa all'attenuazione del suono durante la sua propagazione in mare, prima equazione del sistema, con $R$ espresso in $km$, è scritta in forma logaritmica:
$TL=60+20\cdot \log _{10}{R}+\alpha \cdot R$
dove tutti gli addendi sono espressi in decibel.
La formula discende da una serie di rapporti tra grandezze lineari che assumono sigle simili alle logaritmiche ma a caratteri diversi per distinguerle da quest'ultime.
Il primo rapporto tra grandezze è relativo al calcolo dell'intensità acustica di emissione $Ie_{Rm}$ (misurata alla distanza di $R$ metri dal semovente che la genera) che, nella propagazione ideale del suono per divergenza sferica, è data da:
$Ie_{Rm}=\left({\frac {Wac}{4\cdot \pi \cdot R^{2}}}\right)$
La formula mostra come l'intensità acustica $Ie_{Rm}$ emessa dal semovente, dipendente dalla potenza acustica $Wac$, si espanda secondo superfici sferiche attenuandosi secondo il quadrato della distanza $R$.
L'espressione di $Ie_{Rm}$ per $R=1\ m$ è data da:
$Ie_{1m}=\left({\frac {Wac}{4\cdot \pi }}\right)$
Il valore dell'intensità, rilevato ad $1\ m$ dal semovente, è detto Livello della Sorgente.
L'intensità acustica $Ie_{1m}$, misurata ad 1 metro dal generatore, si propaga in mare subendo un'attenuazione $Att$ data dal rapporto:
$Att=Ie_{1m}/Ie_{Rm}$ = $\left[{\frac {\left({\frac {Wac}{4\cdot \pi }}\right)}{\left({\frac {Wac}{4\cdot \pi \cdot R^{2}}}\right)}}\right]$ = $R^{2}$
L'attenuazione $Att$, calcolata secondo il rapporto tra due intensità acustiche, è valida anche per le pressioni acustiche conseguenti.
La trasformazione dell’attenuazione $Att$, in termini logaritmici (decibel), vede il simbolo $Att$ assumere la forma del secondo addendo della prima equazione del sistema:
$Att(dB)=\ 10\cdot \log _{10}{Att}$ = $\ 10\cdot \log _{10}{R^{2}}\$ = $20\cdot \log _{10}{R}$
La variabile $R$, espressa in metri in questo contesto, è generalmente indicata in chilometri; in tal caso $Att(dB)$ si presenta come:
$Att(dB)=20\cdot \log _{10}{(1000\cdot R)}$ = $20\cdot \log _{10}{1000}+20\cdot \log _{10}{R}$ = $60+20\cdot \log _{10}{R}$
come nei primi due addendi dell'equazione del $TL$.
Nella propagazione del suono in mare una seconda causa d'attenuazione, indicata nel terzo addendo dell’equazione, è dovuta all'assorbimento dell'energia acustica da parte del mezzo di trasmissione.
Questa attenuazione, funzione della frequenza, è stata studiata da Thorp e definita dalla formula:
$\alpha =\left[{\frac {0.1\cdot f^{2}}{1+f^{2}}}\right]+\left[{\frac {40\cdot f^{2}}{4100+f^{2}}}\right]+\left[{\frac {2.75\cdot f^{2}}{10^{4}}}\right]$
dove:
$\alpha$ in $dB/km$
$f$ in $kHz$
$\alpha$ è espresso in decibel per ogni chilometro di percorso del suono, ne consegue che il terzo addendo dell'equazione iniziale si presenta in termini logaritmici come il prodotto: $\alpha \cdot R$.

## Esplicitazione in termini lineari della seconda equazione del sistema

L'equazione relativa al margine d'attenuazione $TL$ consentito dal sonar, seconda equazione del sistema, è scritta in forma logaritmica:
$TL=SL+DI-NL-DT+20\cdot \log _{10}{\sqrt {BW}}$
dove tutti gli addendi sono espressi in decibel.
La formula discende da una serie di prodotti e rapporti tra grandezze lineari che assumono sigle simili alle logaritmiche ma a caratteri diversi per distinguerle da quest'ultime:
$tl=\left({\frac {sl\cdot di\cdot {\sqrt {bw}}}{nl\cdot dt}}\right)$
dove:
* $tl$ Attenuazione massima accettabile del segnale generato dal bersaglio (espressa come numero puro)
* $sl$ Livello di pressione acustica emesso dal bersaglio (espresso in $\mu Pa/{\sqrt {Hz}}$)
* $di$ Ampiezza del guadagno della base acustica (espressa come numero puro)
* ${\sqrt {bw}}$ Radice quadrata della banda del ricevitore (espressa come ${\sqrt {Hz}}$)
* $nl$ Livello di pressione acustica dovuto arumore del mare (espresso in $\mu Pa/{\sqrt {Hz}}$)
* $dt$ Differenziale di riconoscimento (espresso in funzione di ${\sqrt {bw}}$ )
secondo la formula: $dt={\sqrt {d\cdot bw/2\cdot RC}}$
Specificazioni:
* 1^ -La grandezza di $tl$ è un numero puro in quanto rapporto tra variabili espresse nelle stesse unità di misura, infatti:
Entrambi i valori della coppia $sl/nl$ sono in $\mu Pa/{\sqrt {Hz}}$
Entrambi i valori della a coppia ${\sqrt {bw}}/dt$ sono dipendenti dalla radice quadrata della banda di ricezione del sonar.
* 2^ -$tl$ è direttamente proporzionale alle variabili $sl;{\sqrt {bw}};di$; l'attenuazione massima accettabile $tl$ raddoppia se raddoppia il livello della pressione del segnale emesso dal bersaglio o l'ampiezza della radice quadrata della banda di ricezione, o il guadagno della base ricevente del sonar.
* 3^ -$tl$ è inversamente proporzionale alle variabili $nl;dt$; l'attenuazione massima accettabile $tl$ dimezza se raddoppia o il livello del rumore del mare, o il differenziale di riconoscimento del sonar.
Calcolando $tl$ in forma logaritmica, in decibel, abbiamo:
$20\cdot log_{10}{(tl)}=20\cdot log_{10}{(sl)}+20\cdot log_{10}{(di)}+20\cdot log_{10}{({{\sqrt {b}}w)}}-20\cdot log_{10}{(nl)}-20\cdot log_{10}{(dt)}$
nominando:
* $20\cdot log_{10}{(tl)}=TL$
* $20\cdot log_{10}{(ls)}=SL$
* $20\cdot log_{10}{(di)}=DI$
* $20\cdot log_{10}{({\sqrt {bw}})}=20\cdot log_{10}{({\sqrt {BW}})}$
* $20\cdot log_{10}{(nl)}=NL$
* $20\cdot log_{10}{(dt)}=DT$
si ottiene l'equazione logaritmica iniziale:$TL=SL+DI-NL-DT+20\cdot \log _{10}{\sqrt {BW}}$