# Strutture algebriche

$A$
$\star$
$(A,\star )$
$(a,\star )$
$e$
$(A,\star )$
$e$
    $\forall a\in A,\ a\star e=e\star a=a$
Supponiamo per assurdo che esistano due neutri $e_{1}$ ed $e_{2}$. Allora, si ha
    $a\star e_{1}=e_{1}\star a=a$
    $a\star e_{2}=e_{2}\star a=a$
Imponendo $a=e_{1}$, si ha
    $e_{1}\star e_{2}=e_{2}\star e_{1}=e_{1}$
Imponendo $a=e_{2}$, si ha
    $e_{2}\star e_{1}=e_{1}\star e_{2}=e_{2}$
$e_{1}=e_{2}$
$(A,\star )$
$a\in A$
$\exists {\bar {a}}\in A|a\star {\bar {a}}={\bar {a}}\star a=e$
${\bar {x}}$
${\bar {\bar {x}}}$
$x$
$x,{\bar {x}},{\bar {\bar {x}}}\in A$
    ${\bar {x}}\star x=x\star {\bar {x}}=e=x\star {\bar {\bar {x}}}={\bar {\bar {x}}}\star x$
da cui
    ${\bar {x}}=e\star {\bar {x}}=({\bar {\bar {x}}}\star x)\star x=e\star {\bar {\bar {x}}}={\bar {\bar {x}}}$

### Anelli e gruppi

$(G,\star )$
* l'operazione $\star$ è associativa;
* esiste l'elemento neutro $e$;
* $\forall x\in G\ \exists {\bar {x}}|x{\bar {x}}={\bar {x}}x=e$, cioè esiste l'elemento simmetrico (inverso).
$(G,\cdot )$
Esempi.
* $(\mathbb {N} ,+)$ è un semigruppo, non ha il simmetrico
* $(\mathbb {N} ,\cdot )$ è un semigruppo, non ha il simmetrico
* $(\mathbb {Z} ,+)$ è un gruppo abeliano
* $(\mathbb {Z} ,\cdot )$ è un monoide commutativo (sono simmetrizzabili solo $\pm 1$)
$(A,+,\cdot )$
Nell'esempio, $(\mathbb {Z} ,+)$ è un gruppo abeliano, $(\mathbb {Z} ,\cdot )$ è un semigruppo. Siccome valgono le distributive, allora $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ è un anello.
$(A,+,\cdot )$
$1$
$(A,+,\cdot )$
$\cdot$
$0\neq x\in (A,+\cdot )$
    $\exists u\neq 0,\ y\in (A,+,\cdot )|x\cdot y=0$
$(A,+,\cdot )$
$K$
$(K,+,\cdot )$
* $(K,+)$ è un gruppo abeliano;
* $(K\setminus \{0\},\cdot )$ è un gruppo abeliano;
* valgono le proprietà distributive.
Per esempio,
* $(\mathbb {Q} ,+)$ è un gruppo abeliano
* $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot )$ è un gruppo abeliano
quindi $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ è un campo. Anche $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ è campo, così come $(\mathbb {C} ,+,\cdot )$. Nelle classi di resti, $(\mathbb {Z} _{n},+,\cdot )$ è anello, perché $(\mathbb {Z} _{n},\cdot )$ è soltanto un semigruppo.
$x\neq 0$
    $\exists {\bar {x}}|{\bar {x}}x=x{\bar {x}}=1$
Sia $x$ divisore dello zero, cioè $\exists y\neq 0|x\cdot y=0$. Allora, si ha l'assurdo
    ${\bar {x}}(xy)=({\bar {x}}x)y=0\Rightarrow y=0$
Esempio di semigruppo, $(\mathbb {Z} _{6},\cdot )$, con divisori dello zero:
| $\cdot$ | [0] | [1] | [2] | [3] | [4] | [5] |
| [0] | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| [1] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| [2] | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| [3] | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| [4] | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 |
| [5] | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Esempio di gruppo, $(\mathbb {Z} _{5},\cdot )$, senza divisori dello zero:
| $\cdot$ | [0] | [1] | [2] | [3] | [4] |
| [0] | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| [1] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| [2] | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| [3] | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| [4] | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |
$(\mathbb {Z} _{n},+,\cdot )$
$n$
$(\mathbb {Z} _{n})$
$[a]$
$(a,n)=1$
* Ipotesi: $[a]$ invertibile
* Tesi: $(a,n)=1$
Per assurdo, sia $(a,n)\neq 1$. Allora, $\exists k|a=k{\bar {a}},\ n=k{\bar {n}}$, dove $k$ è un divisore comune. Si impone
    $1<{\bar {a}}<n{\text{ e }}1<{\bar {n}}<n$
Si ha
    $[a][{\bar {n}}]=[{\bar {a}}k{\bar {n}}]=[{\bar {a}}n]=[0]$
Di conseguenza, $a$ risulta essere un divisore dello zero, che è assurdo essendo $a$ anche un elemento invertibile per ipotersi. Questo significa che
    $\exists {\bar {x}}|x{\bar {x}}={\bar {x}}x=1$
ma, se $x$ è divisore dello zero, si ha anche
    $\exists y\neq 0|xy=0$
da cui risulterebbe
    $xy=0\Rightarrow {\bar {x}}xy=y=0$
* Ipotesi: $(a,n)=1$
* Tesi: $[a]$ è invertibile
Sia
    $H=\{[a][x]\}$, \ \forall [x] \in \mathbb{Z}_n
con $H\subseteq \mathbb {Z} _{n}$. Se in $H$ ci sono tutti gli elementi di $\mathbb {Z} _{n}$, compresa l'unità, allora $[a]$ è invertibile. Infatti, se esiste $[1]\in H$, allora $\exists x|[a][x]=[1]$.
Dimostro che $[a][x]=[a][y]\Leftrightarrow [x]=[y]$, il che vuol dire che $|H|=n\Rightarrow H=\mathbb {Z} _{n}$.
Si ha $[ax]=[ay]$, con
* $1\leq a<n$
* $1\leq x<n$
* $1\leq y<n$
* $x>y$ per comodità.
Allora, si ha
    $[ax-ay]=[a(x-y)]=[0]$
da cui
    $a(x-y)=kn$
$n$
$a$
$(x-y)$
$(x-y)<n$
$x=ny$
$(\mathbb {Z} _{n},+,\cdot )$
$n$
$(\mathbb {Z} n,+,\cdot )$
$\forall [a]\in \mathbb {Z} _{n},\ [a]\neq 0$
    $\forall a\neq 0,\ 1<a<n,\ (a,n)=1\Rightarrow n{\text{ è primo}}$
$n$
$n$
$n$
    $\forall a\neq 0,\ 1<a<n,\ (a,n)=1$
$(\mathbb {Z} _{n})$
$\forall [a]\neq [0]$
$[a]$
Il lemma vuol dire che, se tutti i numeri $a$ che precedono $n$ sono primi con $n$, allora $n$ è un numero primo; ne $n$ è un numero primo, allora tutti i numeri che lo precedono sono primi con lui.

### Gruppi ciclici

$(G,\cdot )$
$g\in G$
$<g>$
$G$
$g$
In genere, un sottogruppo ciclico è compoeto da tutte le potenze del generatore, cioè
    $<g>=\left\{1,g,g^{2},g^{3},\cdots \right\}$
$g\in G$
$g$
$o(g)$
$k$
$g^{k}=1$
Il periodo di un elemento coincide con l'ordine del sottogruppo generato dall'elemento stesso.
$g\in G$
$G$
$G$
| $\left(\mathbb {Z} _{13},\cdot \right)$ | [0] | [1] | [2] | [3] | [4] | [5] | [6] | [7] | [8] | [9] | [10] | [11] | [12] |
| [0] | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| [1] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| [2] | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
| [3] | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 2 | 5 | 8 | 11 | 1 | 4 | 7 | 10 |
| [4] | 0 | 4 | 8 | 12 | 3 | 7 | 11 | 2 | 6 | 10 | 1 | 5 | 9 |
| [5] | 0 | 5 | 10 | 2 | 7 | 12 | 4 | 9 | 1 | 6 | 11 | 3 | 8 |
| [6] | 0 | 6 | 12 | 5 | 11 | 4 | 10 | 3 | 9 | 2 | 8 | 1 | 7 |
| [7] | 0 | 7 | 1 | 8 | 2 | 9 | 3 | 10 | 4 | 11 | 5 | 12 | 6 |
| [8] | 0 | 8 | 3 | 11 | 6 | 1 | 9 | 4 | 12 | 7 | 2 | 10 | 5 |
| [9] | 0 | 9 | 5 | 1 | 10 | 6 | 2 | 11 | 7 | 3 | 12 | 8 | 4 |
| [10] | 0 | 10 | 7 | 4 | 1 | 11 | 8 | 5 | 2 | 12 | 9 | 6 | 3 |
| [11] | 0 | 11 | 9 | 7 | 5 | 3 | 1 | 12 | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 |
| [12] | 0 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Osservando la tabella $\mathbb {Z} _{13}$ si vede che:
* $o(1)=1$
* $o(3)=o(9)=3$
* $o(4)=o(10)=6$
* $o(5)=o(8)=4$
I valori 2, 5, 7 e 11 hanno periodo 12, quindi sono elementi generatori, o elementi primitivi, di $G$.
Abbiamo visto che $6^{k}$ genera $\left(\mathbb {Z} _{13}\setminus \{0\},\cdot \right)$ sse $(k,12)=1$.
    $<6>=\{6,10,8,9,2,12,7,3,5,4,11,1\}=\left\{6^{1},6^{2},6^{3},6^{4},6^{5},6^{6},6^{7},6^{8},6^{9},6^{10},6^{11},6^{12}\right\}$
Allora , ci sono 3 possibili sottogruppi di $<6>$ e sono generati da 2, 7 e 11.