# Gruppi cristallografici del punto

L'elenco completo dei gruppi del punto in 3D è qui sotto riportato, utilizzando le notazioni introdotte nel corso della loro derivazione:
C$_n$ (n = 1, 2,….), D$_n$ (n = 2, 3,…), T, O, I
-C$_n$ , -D$_n$ , -T, -O, -I
C$_{2n}$C$_n$ (n = 1, 2, 3,…); D$_n$C$_n$ (n = 2, 3,….); D$_{2n}$D$_n$ (n = 2, 3,….); OT
Il numero di tali gruppi, che ricorrono nello studio delle molecole, si riduce drasticamente se imponiamo la limitazione della compatibilità con strutture periodiche tridimensionali. Già abbiamo visto nello studio delle strutture in 2D che la presenza simultanea della simmetria traslazionale impone delle restrizioni alla simmetria rotazionale: ‘solo punti di rotazione di ordine 1, 2, 3, 4, 6 sono compatibili con le traslazioni reticolari'. Tale limitazione si estende anche alle tre dimensioni, con semplice sostituzione nella espressione tra virgolette del termine assi al termine punti.
I gruppi che si ottengono imponendo tale limitazione, ovvero i gruppi cristallografici del punto (o classi cristalline) sono solo 32:
C$_n$ (n = 1, 2, 3, 4, 6), D$_n$, (n = 2, 3, 4, 6), T, O 11 gruppi di rotazioni proprie
-C$_n$ (n = 1, 2, 3, 4, 6), -D$_n$ (n = 2, 3, 4, 6), -T, -O 11 gruppi impropri con inversione
C$_{2n}$C$_n$ (n = 1, 2, 3), D$_n$C$_n$ (n = 2, 3, 4, 6), D$_{2n}$D$_n$ (n = 2, 3), OT 10 gruppi impropri senza inversione

## 7.2.1. Notazioni e rappresentazioni grafiche

Esistono due principali sistemi di notazione per i gruppi del punto, la notazione introdotta da Schoenflies, utilizzata particolarmente da spettroscopisti e chimici teorici, e la notazione internazionale, introdotta da Mauguin ed utilizzata dai cristallografi.
Nel seguito presenteremo i simboli – in ciascuna delle due notazioni – per i soli gruppi cristallografici del punto. Sarà semplice, per il lettore interessato, dedurre la corretta notazione per ogni altro gruppo del punto.

### Gruppi C$_n$, D$_n$, T, O

I simboli ora indicati sono quelli utilizzati nella notazione di Schoenflies. Gli elementi di simmetria che caratterizzano i vari gruppi sono gli assi rotazione; essi vengono designati 1, 2, 3, 4, 6 nella notazione internazionale (vedi Fig. 32) e lo stesso simbolo è utilizzato per denotare il corrispondente gruppo ciclico di simmetria.
Fig. 32. Rappresentazione grafica degli assi di rotazione propria di ordine 1, 2, 3, 4 e 6, e corrispondenti simboli nella notazione internazionale.
Il generico gruppo diedrico D$_n$ (notazione di Schoenflies) è caratterizzato dalla presenza di un asse di ordine n e di n assi di ordine 2 disposti, nel piano ortogonale all'asse di ordine n, ad intervalli angolari di 2p/2n.
La notazione internazionale per i quattro gruppi diedrici è: 222, 32, 422, 622. Essi sono rappresentati in Fig. 33.
Fig. 33. Rappresentazione grafica della distribuzione degli assi di simmetria nei gruppi 222, 32, 422, 622.
Si osservi la notazione 32 per il gruppo caratterizzato dalla presenza di un asse ternario e tre assi binari nel piano ortogonale; la notazione è semplice ed essenziale, indicando un solo asse binario, poiché le operazioni dell'asse ternario generano automaticamente gli altri due assi binari. È opportuno sottolineare la differenza dal caso del gruppo 222: è ben vero che dato un asse di ordine due ed un secondo asse 2 ad esso ortogonale, la presenza di un terzo asse di ordine 2, ortogonale ai precedenti, è necessaria perché l'insieme delle operazioni di simmetria formi gruppo; tuttavia i due assi di ordine 2 ortogonali al primo non sono equivalenti e devono essere indicati nella corrispondente notazione. Tali considerazioni devono essere estese ai gruppi 422 e 622: nel primo gli assi 2 ‘interni' (Fig. 33) sono equivalenti (appartengono alla stessa classe, nella terminologia della teoria dei gruppi) come sono equivalenti gli assi ‘esterni'; nel secondo la terna di assi 2 ‘interni' (Fig. 33) sono equivalenti, come sono equivalenti gli assi 2 ‘esterni'. Le due notazioni 422 e 622 sono pertanto pienamente descrittive, pur nella loro essenzialità, dei corrispondenti gruppi di simmetria.
La notazione internazionale per i due gruppi O e T è 432 e 23, rispettivamente. Gli elementi di simmetria rotazionale in O (vedi Fig. 30) sono infatti i tre assi quaternari che passano per vertici opposti dell'ottaedro (o normali a facce opposte del cubo), i quattro assi ternari ortogonali a facce opposte dell'ottaedro (o che passano per vertici opposti del cubo), i sei assi binari che passano per spigoli opposti dell'ottaedro (o del cubo). Gli elementi di simmetria rotazionale in T sono i tre assi binari che passano per spigoli opposti del tetraedro ed i quattro assi ternari, ortogonali alle facce del tetraedro e passanti per i vertici opposti. Disponendo tetraedro ed ottaedro (o cubo) in modo che i quattro assi ternari, elementi di simmetria comuni ai due gruppi T e O, abbiano la stessa orientazione, i tre assi binari del tetraedro sono iso-orientati rispetto ai tre assi quaternari dell'ottaedro (o del cubo). Ricordando che l'ordine dei gruppi T ed O è 12 e 24, rispettivamente, si può concludere che il gruppo T è un sottogruppo dimezzante di O.
Anche in questi casi la notazione internazionale è pienamente descrittiva ed essenziale, una volta che siano state definite le relazioni angolari tra gli assi 2 e 3 nel gruppo del tetraedro e tra gli assi 4, 3 e 2 nel gruppo dell'ottaedro. Nel primo, l'asse 2 e l'asse 3 formano un angolo di 54°44' (metà dell'angolo ‘tetraedrico' 109°28') e l'applicazione dell'asse ternario genera - dal primo asse 2 – gli altri due assi binari; questi ultimi – a loro volta – generano, dal primo asse 3, gli altri tre assi ternari: 23 è quindi la notazione appropriata per il gruppo ora discusso. Simili considerazioni mostrano che la notazione 432 descrive in maniera appropriata il gruppo delle rotazioni proprie dell'ottaedro (e del cubo). La rappresentazione grafica della distribuzione degli assi di simmetria nei due gruppi è presentata nella Fig. 34.
Fig. 34. Rappresentazione grafica della distribuzione degli assi di simmetria nei gruppi 23 (T) e 432 (O).
=== Gruppi -C$_n$, -D$_n$, -T, -O
I gruppi impropri in discussione sono caratterizzati dalla presenza dell'inversione come elemento singolarmente presente. È opportuno ricordare che le operazioni R$_{180°}$, inversione i, riflessione m in un piano ortogonale all'asse sono operazioni necessariamente compresenti (il prodotto di due di esse genera la terza). Pertanto nei gruppi indicati –C$_2$, -C$_4$, -C$_6$, la combinazione della operazione R$_{180°}$, sempre presente con assi di ordine pari, con l'inversione genera un piano di simmetria ortogonale all'asse. Nella notazione internazionale tali gruppi sono indicati 2/m, 4/m, 6/m (il piano m al denominatore indica la sua ortogonalità rispetto all'asse); la notazione di Schoenflies per tali gruppi è C$_{2h}$, C$_{4h}$, C$_{6h}$ (h per horizontal, rispetto alla verticalità dell'asse). I gruppi -C$_1$ e -C$_3$ avranno notazione internazionale -1 e -3 (simboli degli assi di rotoinversione di ordine 1 e 3, rispettivamente) e notazione di Schoenflies C$_i$ (o S$_2$) e C$_{3i}$ (o S$_6$) (S$_2$ e S$_6$ sono i simboli degli assi di rotoriflessione di ordine 2 e 6 rispettivamente)..
Nel caso dei gruppi –D$_n$ si avranno non solo piani m ortogonali agli assi principali, ma anche piani m ortogonali agli assi binari: -D$_2$, -D$_4$, -D$_6$ avranno notazione internazionale 2/m 2/m 2/m, 4/m 2/m 2/m, 6/m 2/m 2/m, rispettivamente; la notazione di Schoenflies sarà: D$_{2h}$, D$_{4h}$, D$_{6h}$. -D$_3$ avrà notazione internazionale -32/m, e notazione di Schoenflies D$_{3d}$ (vedi Fig. 35).
Fig. 35. Rappresentazione grafica della distribuzione degli assi di simmetria nel gruppo -3 2/m (D$_{3d}$).
Sulla base delle considerazioni precedenti, si possono facilmente derivare le notazioni internazionali per i gruppi -T, -O, rispettivamente 2/m -3, 4/m -3 2/m.
La rappresentazione grafica di ciascuno degli 11 gruppi impropri contenenti l'inversione è facilmente ottenibile da quella degli 11 gruppi propri inserendo un piano di simmetria ortogonale a ciascuno degli assi di ordine 2, 4, 6 e trasformando l'asse ternario in un asse ternario di inversione.

### Gruppi C$_{2n}$C$_n$, D$_n$C$_n$, D$_{2n}$D$_n$, OT

I gruppi impropri in discussione non contengono l'inversione come operazione singolarmente presente. I gruppi indicati C$_2$C$_1$, C$_4$C$_2$, C$_6$C$_3$ corrispondono ad assi di rotoinversione di ordine 2, 4, 6 rispettivamente, ovvero -2 = m, -4, -6 = 3/m. La corrispondente notazione di Schoenflies per tali gruppi è: C$_h$ (o C$_s$, o S$_1$), S$_4$, C$_{3h}$ (o S$_3$). Nei gruppi D$_2$C$_2$, D$_3$C$_3$, D$_4$C$_4$, D$_6$C$_6$, la combinazione degli assi binari ortogonali all'asse principale con l'inversione genera piani di simmetria paralleli ad esso. Nella notazione internazionale tali gruppi sono indicati come 2mm, 3m, 4mm, 6mm (i piani m al ‘numeratore' indicano il loro parallelismo con l'asse; per i simboli ora introdotti valgono, mutatis mutandis, le stesse considerazioni fatte nel caso dei gruppi 222, 322, 422, 622). La notazione di Schoenflies per tali gruppi è: C$_{2v}$, C$_{3v}$, C$_{4v}$, C$_{6v}$ (v per vertical). La rappresentazione grafica di tali gruppi è riportata nella Fig. 36 (i piani sono indicati con tratto marcato).
Fig. 36. Distribuzione degli elementi di simmetria nei gruppi 2mm, 3m, 4mm e 6mm.
Nei gruppi D$_4$D$_2$, D$_6$D$_3$ gli assi quaternario e senario divengono assi -4 e -6 rispettivamente; per quanto riguarda gli assi binari, una classe rimane immutata, l'altra dà origine, combinata con l'inversione, a piani di simmetria. Nella notazione internazionale tali gruppi sono indicati: -42m, -62m (D$_{2d}$ e D$_{3v}$ nella notazione di Schoenflies). La rappresentazione grafica è qui sotto riportata (Fig. 37); i tratti sottili indicano gli assi binari, i tratti marcati indicano i piani di simmetria (si osservi che è anche indicato, per il gruppo -62m, il piano di simmetria orizzontale; infatti -6 = 3/m).
Fig. 37. Distribuzione degli elementi di simmetria nei gruppi -42m e -62m.
Per quanto riguarda il gruppo OT, le operazioni relative all'asse ternario rimangono immutate; l'asse quaternario diventa un asse quaternario di inversione (vedi C$_4$C$_2$), gli assi binari danno luogo a piano di simmetria ortogonali ad essi. La notazione internazionale per tale gruppo è -43m (T$_d$ nella notazione di Schoenflies).
Le 32 classi cristalline sono elencate in Tab. 7. La Tabella riporta per ciascun gruppo il simbolo provvisorio, utilizzato nel corso della derivazione, la notazione internazionale e la corrispondente notazione di Schoenflies.
Tab. 7. I 32 gruppi cristallografici del punto in 3D :
| Simboli provvisori | Notazione internazionale | Notazione di Schoenflies |
| C$_1$ | 1 | C$_1$ |
| C$_2$ | 2 | C$_2$ |
| C$_3$ | 3 | C$_3$ |
| C$_4$ | 4 | C$_4$ |
| C$_6$ | 6 | C$_6$ |
| D$_2$ | 222 | D$_2$ |
| D$_3$ | 32 | D3 |
| D$_4$ | 422 | D$_4$ |
| D$_6$ | 622 | D$_6$ |
| T | 23 | T |
| O | 432 | O |
| C$_2$C$_1$ | m | C$_h$ (S$_1$, C$_s$) |
| C$_4$C$_2$ | -4 | S$_4$ |
| C$_6$C$_3$ | -6 (3/m) | C$_{3h}$ (S$_3$) |
| D$_2$C$_2$ | 2mm | C$_{2v}$ |
| D$_3$C$_3$ | 3m | C$_{3v}$ |
| D$_4$C$_4$ | 4mm | C$_{4v}$ |
| D$_6$C$_6$ | C$_{6v}$ |
| D$_4$D$_2$ | -4 2 m | D$_{2d}$ |
| D$_6$D$_3$ | D$_{3v}$ |
| OT | -4 3 m | T$_d$ |
Tab. 8. Distribuzione delle 32 classi cristalline nei sette sistemi cristallografici. :
| | C$_n$ | -C$_n$ | D$_n$ | -D$_n$ | C$_{2n}$C$_n$ | D$_n$C | D$_{2n}$D$_n$ |
| Sistema triclino | 1 | -1 | | | | | |
| Sistema monoclino | 2 | 2/m | | | m (-2) |
| Sistema rombico | | | 222 | 2/m2/m2/m | | 2mm |
| Sistema tetragonale | 4 | 4/m | 422 | 4/m2/m2/m | -4 | 4mm | -42m |
| Sistema trigonale | 3 | -3 | 32 | -32/m | | 3m |
| Sistema esagonale | 6 | 6/m | 622 | 6/m2/m2/m | -6 (3/m) | 6mm | -62m |
| Sistema cubico | 23 | 2/m-3 | 432 | 4/m-3 2/m | | | -43m |