# Sulla coppia Priv; Pfa al variare di Si/Ni nei correlatori digitali

Una lezione relativa alla coppia $Priv;Pfa$ è stata sviluppata in precedenza al fine di illustrare al meglio il comportamento dei correlatori digitali in presenza di rumore; una nuova analisi di queste variabili è proposta in questa al fine di mostrare come, una volta scelta la terna $d$; $Priv$; $Pfa$, si possano mantenere tali valori, modificando ad arte la costante di tempo d'integrazione $RC$, in un ampio campo di variabilità del rapporto segnale/disturbo $(Si/Ni)$ all'ingresso del correlatore.
L'analisi è svolta a solo titolo dimostrativo al fine d'illustrare al meglio le relazioni che legano tra loro le variabili della terna sopra indicata.

## La variazione del parametro d in funzione del rapporto Si/Ni

La relazione che lega il parametro $d$ al rapporto $Si/Ni$ è data dalla funzione $d=f(Si/Ni)$:
    $d\cong 2(\mathbf {BW} )RC\left({\frac {Si}{Ni}}\right)^{4}$
Una volta stabilito il valore di banda $BW$ e la costante di tempo $RC$ si può tracciare, in scala lineare/logaritmica a $3$ decadi, la curva rappresentativa di tale funzione, così come mostrato in figura 1, ad esempio, per i seguenti valori: $BW=7000\ Hz$ con $RC=0.1\ S$, per un campo di variabilità di $Si/Ni$ esteso tra $Si/Ni=-20\ dB$ e $Si/Ni=0\ dB$.
Dalla figura si evince che variando $Si/Ni$ tra $-20\ dB$ e circa $-6\ dB$ il valore della funzione che esprime $d$ varia da un minimo $d=0.15$ ad un massimo di $d=100$; ad ogni possibile valore del $d$ sono associabili infinite coppie di $Priv$ e; $Pfa$, secondo le curve ROC.
Se nelle nelle curve ROC assumiamo per esempio: $d=9$, e con esso la coppia $Priv=96\%$ e $Pfa=10\%$, dalla figura 1 possiamo stabilire il punto, indicato con un cerchietto rosso, di coordinate :
$Si/Ni=-11\ dB$ e $d=9$ a significare che con un rapporto $Si/Ni=-11\ dB$, con $BW=7000\ Hz$ e $RC=0.1\ S.$, è possibile, una volta regolato il livello di soglia, avere il $96\%$di $Priv$ con un $10\%$ di $Pfa$.
La figura 1 mostra che se il rapporto $Si/Ni=-11\ dB$ varia in più od in meno, varia anche il valore $d=9$ in più od in meno con la conseguente variazione della coppia $Priv$ e $Pfa$. Vedremo, nel prosieguo, come la variazione della coppia $Priv$ e $Pfa$, dipendente dalla variazione di $Si/Ni$, può essere annullata agendo sul valore della costante del tempo d'integrazione $RC$.

## La funzione d = f( Si/Ni ) parametrizzata su RC

Per mettere in evidenza il legame tra $d$ e $RC$ è utile tracciare una famiglia di curve relative alla funzione $d=f(Si/Ni)$ con parametro $RC$ variabile secondo la tabella:
    RC in Sec.0.10.20.30.40.50.6123456
così come mostra la figura 2:
Come evidenziato dalla riga orizzontale rossa in figura 2 si vede che per ben $12$ funzioni $d=f(Si/Ni)$, tracciate per i citati parametri $RC$, il valore $d=9$ può essere mantenuto al variare di $Si/Ni$ purché si assegni l'adatto valore della costante d'integrazione $RC$; il mantenimento del valore del $d$ assicura l'esistenza della coppia $Priv=96\%$ e $Pfa=10\%$ come voluto.

## La funzione RC = f(Si/Ni)

Una volta determinata la possibilità di mantenere costante il valore del $d,$ tramite variazioni della costante di tempo $RC$ al fine di ottenere, per qualsiasi valore di $Si/Ni$, inalterata la coppia $Priv=96\%$ e $Pfa=10\%$, è interessante tracciare la curva $RC=f(Si/Ni)$ con la quale stabilire quale valore di $RC$ assegnare all'integratore in dipendenza del rapporto $Si/Ni$ nel caso in esempio per $d=9$
La funzione in oggetto, per $d=9$, è:
    $RC\cong {\frac {9}{2(\mathbf {BW} )\left({\frac {Si}{Ni}}\right)^{4}}}$
Il grafico di $RC=f(Si/Ni)$ è riportato in figura 3: