# Algoritmi di correlazione nel rilevamento sonar

Gli algoritmi di correlazione nel rilevamento sonar sono gli strumenti matematici usati per descrivere il comportamento di un sistema di correlazione (correlatore). Gli algoritmi di correlazione, implementati in hardware o in software negli apparati sonar, consentono di scoprire in mare segnali acustici altrimenti difficilmente rivelabili.

## Correlatore

Il correlatore ha lo scopo di rivelare segnali coerenti tra loro; riceve una coppia di questi, l’uno ritardato rispetto all'altro e potenzialmente inquinati dal disturbo, li moltiplica tra loro o in modo analogico o in modo digitale, ne integra il prodotto per fornire in uscita una tensione od un valore numerico che indica il grado di coerenza dei segnali ed il loro stato rispetto al rumore. Funzionalmente, un correlatore è costruito secondo lo schema a blocchi di figura 1:
I correlatori sono definiti da due tipi di algoritmi:
* Algoritmo di correlazione per segnali analogici
* Algoritmo di correlazione per segnali digitali

## Algoritmo di correlazione per segnali analogici

L'algoritmo di correlazione o funzione di correlazione $C(\tau )$ mostra la legge di variazione dell'ampiezza del segnale d'uscita di un correlatore analogico in assenza di rumore perturbante d'ingresso $(N/S=0)$:
L'ampiezza della $C(\tau )$ varia in dipendenza di $\tau ;S$ secondo l'espressione:
$C(\tau )={S^{2}\left[{\frac {\sin {(2\pi \cdot DF\cdot \tau )}}{(2\pi \cdot DF\cdot \tau )}}\cos {(2\pi \cdot F_{o}\cdot \tau )}\right]}$
dove:
$DF$ = metà della larghezza di banda del ricevitore che definisce i segnali.
$F_{o}$ = frequenza media della banda.
$S$ = è l'ampiezza dei segnali applicati
In figura 2 il grafico di $C(\tau )$ per $\quad S=1;\quad DF=2000\ Hz;\quad F_{o}=3000\ Hz$ ; ascisse $1000\ \mu S$ fondo scala.
Il massimo della curva indica che i segnali applicati al correlatore sono tra loro coerenti; l'ascissa del massimo, $800\ \mu S.$ indica il valore del ritardo esistente tra i due segnali.
Il trattamento dei segnali con il correlatore analogico consente il massimo guadagno nel rapporto $S/N$ rispetto ad altri modelli di correlazione; ciò al prezzo di una complessa implementazione nei sistemi di calcolo.

## L'effetto del disturbo nella correlazione analogica

L'ampiezza della $C(\tau )$dipende dall'ampiezza del segnale applicato al correlatore, il disturbo $N$ ne provoca un'ondulazione anomala, ondulazione tanto più ampia quanto il rapporto $S/N$ è piccolo.
L'algoritmo che consente il calcolo dell'ampiezza dell'ondulazione $Nv$ all'uscita del correlatore, definita come varianza, è dato dall'espressione:
$Nv={\sqrt[]{\frac {(S^{2}+N^{2})^{2}+S^{4}}{4\cdot RC\cdot DF}}}$
dove:
$DF$ = metà della larghezza di banda del ricevitore che definisce i segnali.
$S$ = è l'ampiezza dei segnali applicati
$N$ = è l'ampiezza del rumore che inquina il segnale
$RC$ = è la costante di tempo d'integrazione, espressa in secondi, facente parte del sistema di correlazione
Le grandezze di $S;N;Nv$, per un correlatore di tipo analogico, sono in volt eff.
La presenza della varianza $Nv$ incide sulla risposta del correlatore e il grafico che rappresenta la $C(\tau )$ viene alterato presentandosi, ad esempio, come in figura 3:
L'ampiezza della varianza $Nv$ dipende, oltre che dal rapporto$S/N$, anche dal valore della costante di tempo $RC$, maggiore il valore di $RC$ minore ne è l'ampiezza.
Il valore di $RC$ determina anche la velocità di risposta del correlatore, più è elevato più la velocità si riduce, un giusto compromesso deve essere scelto in base alle necessità operative del sonar.

## Algoritmo di correlazione per segnali digitali

L'algoritmo di correlazione o funzione di correlazione digitale $C(\tau )$ mostra la legge di variazione dell'ampiezza del segnale d'uscita di un correlatore.
L'ampiezza della $C(\tau )$ varia in dipendenza di $\tau ;S/N.$ secondo l'algoritmo:
$C(\tau )={\frac {2}{\pi }}\arcsin {\left[K{\frac {\sin {(2\pi \cdot DF\cdot \tau )}}{(2\pi \cdot DF\cdot \tau )}}\cos {(2\pi \cdot F_{o}\cdot \tau )}\right]}$
dove:
$DF$ = metà della larghezza di banda del ricevitore che definisce i segnali.
$F_{o}$ = frequenza media della banda.
$K$ = funzione che dipende dal rapporto tra le ampiezze dei segnali “S” e l’ampiezza del disturbo “N” secondo l’espressione: $K={\frac {1}{1+(N/S)^{2}}}$
In figura 4 il grafico di $C(\tau )$ per $\quad N=0;\quad DF=2000\ Hz;\quad F_{o}=3000\ Hz$; ascisse $1000\ \mu S.$ fondo scala.
Il massimo della curva indica che i segnali applicati al correlatore sono tra loro coerenti; l'ascissa del massimo, $800\ \mu S.$ indica il valore del ritardo esistente tra i due segnali.
Il trattamento dei segnali con la funzione indicata porta ad una perdita di circa 3 dB sul rapporto $S/N$ rispetto al precedente trattamento analogico; con il vantaggio, molto importante, di una notevole semplificazione dell'hardware e dei processi di calcolo.

## L'effetto del disturbo nella correlazione digitale

L'ampiezza della $C(\tau )$, nel correlatore digitale, non dipende dall'ampiezza del segnale applicato al correlatore ma dal disturbo $N$ che ne provoca una riduzione, riduzione tanto più penalizzante quanto il rapporto $S/N$ è piccolo.
Per rapporti $S/N$ elevati la funzione $C(\tau )$ ha ampiezza elevata e segue il profilo della funzione $\arcsin x$.
Per rapporti $S/N$ bassi la funzione $C(\tau )$ ha ampiezza bassa e segue il profilo della funzione $\sin x/x$.
L'algoritmo che consente il calcolo della variazione d'ampiezza della $C(\tau )$ per $\tau =0$, è dato dall'espressione:
$C(0)={\frac {2}{\pi }}\arcsin {\frac {1}{1+(N/S)^{2}}}$
Se il disturbo $N$ è assente $K=1$ e la $C(\tau )$ ha il massimo valore come illustrato in figura 4.
Se il disturbo $N$ è presente l'ampiezza della $C(\tau )$ si riduce come, ad esempio, nel grafico di figura 5 per un rapporto $S/N=1/2.5$
Il processo di correlazione digitale genera un rumore d'uscita $Ni$, indicato come varianza, indipendente dall'ampiezza dei rumori d'ingresso, sempre presente all'uscita di un correlatore di questo tipo.
$Ni$ è governato dall'algoritmo:
$Ni=(2/\pi ){\sqrt[]{\frac {1}{6/7\cdot 4\cdot RC\cdot DF}}}$
L'ampiezza della varianza $Ni$ dipende dal valore della costante di tempo $RC$, maggiore il valore di $RC$ minore ne è l'ampiezza.
Il valore di $RC$ determina anche la velocità di risposta del correlatore, più è elevato più la velocità si riduce, un giusto compromesso deve essere scelto in base alle necessità operative del sonar.
Per $S/N$ decrescente la $C(\tau )$ decresce fino al suo azzeramento come mostra la curva di figura 6 tracciata per $S/N$ variabile da $S/N=1/1000$ $(-\ 60\ dB)$ a $S/N=1000$ $(+\ 60\ db)$:

## Variabili probabilistiche

Nell'impiego degli algoritmi di correlazione, per rapporti $S/N$ molto piccoli, intervengono altre serie di variabili non deterministiche:
$Priv=x\%$, percentuale di probabilità di rivelare il segnale
$Pfa=y\%$, percentuale di probabilità che il rumore provochi una falsa presenza di un segnale
Il legame tra queste e il rapporto $S/N$ dipende da un caratteristico parametro probabilistico indicato con la lettera $d$ secondo le espressioni:
$d=f(Priv,Pfa)$
e
$({\frac {S}{N}})^{4}={\frac {d}{2RC(f_{2}-f_{1})}}$
dove:
    $RC$ è la costante d'integrazione del correlatore
    $f_{2}-f_{1}$ è la larghezza di banda del ricevitore
Il valore del parametro $d$ è fondamentale nel calcolo delle portate di scoperta del sonar.