# Soluzioni della piastra circolare

Al fine di risolvere completamente il problema della piastra è necessario calcolare le costanti di integrazione precedentemente introdotte, e per fare questo bisogna imporre delle condizioni al contorno.

## Piastra circolare incastrata al contorno

Nota: Inserire immagine della geometria del problema
Supponiamo che la piastra sia incastrata agli estremi. In questa situazione le condizioni al contorno da imporre sono le seguenti:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&v_{z}(r=R)\,=\,0\\&{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}(r=R)=0\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&{\frac {pR^{4}}{64B}}+{\frac {PR^{2}}{8\pi B}}(\ln R-1)-{\frac {C_{1}R^{2}}{4}}+C_{3}=0\\&{\frac {pR^{3}}{16B}}+{\frac {PR}{8\pi B}}(2\ln R-1)-{\frac {C_{1}R}{2}}=0\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
Da cui si giunge a:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&C_{1}={\frac {pR^{2}}{8B}}+{\frac {P}{4\pi B}}(2\ln R-1)\\&C_{3}={\frac {pR^{4}}{64B}}+{\frac {PR^{2}}{16\pi B}}\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
Noti questi valori, è possibile scrivere in maniera completa l'equazione della superficie elastica della piastra:
$v_{z}={\frac {pr^{4}}{64B}}+{\frac {Pr^{2}}{8\pi B}}(\ln r-1)+{\frac {pR^{4}}{64B}}+{\frac {PR^{2}}{16\pi B}}-{\frac {pR^{2}r^{2}}{32B}}-{\frac {Pr^{2}}{16\pi B}}(2\ln R-1)={\frac {p}{64B}}(R^{2}-r^{2})^{2}+{\frac {P}{16\pi B}}(R^{2}-r^{2}-2r^{2}\ln {\frac {R}{r}})$
Dall'equazione della superficie elastica è possibile calcolare qualsiasi aspetto deformativo o tensionale della piastra. Di certo rilievo ingegneristico può essere il calcolo della freccia:
$f={\frac {p}{64B}}R^{4}+{\frac {P}{16\pi B}}R^{2}$
Naturalmente, rivestono importanza i momenti che si sviluppano. I momenti flettenti al contorno sono dati da:
$M_{r}=-{\frac {pR^{2}}{8}}-{\frac {P}{4\pi }}$ e $M_{\theta }=-\nu {\frac {pR^{2}}{8}}-\nu {\frac {P}{4\pi }}$
Non ha senso, nella situazione in analisi, tenere in considerazione i momenti al centro, dal momento che a causa della forza concentrata nel centro della piastra essi assumono in quel punto valore infinito.
I momenti flettenti agenti in ogni punto della piastra sono calcolabili nel modo seguente:
$M_{r}={\frac {p}{16}}[(1+\nu )R^{2}-(3+\nu )r^{2}]+{\frac {P}{4\pi }}[(1+\nu )\ln {\frac {R}{r}}-1]$
$M_{\theta }={\frac {p}{16}}[(1+\nu )R^{2}-(1+3\nu )r^{2}]+{\frac {P}{4\pi }}[(1+\nu )\ln {\frac {R}{r}}-\nu ]$

### Considerazioni

Vale la pena spendere alcune parole sui risultati ottenuti.
Nel caso agisca solo il carico distribuito il momento massimo si ha in corrispondenza dell'incastro, e il rapporto tra i due è pari a ${\frac {1+\nu }{2}}<1$
A parità di carico complessivo se la forza concentrata e il carico distribuito agiscono distintamente la forza concentrata fornisce una freccia massima quadrupla e momenti al contorno doppi rispetto a quelli provocati dal carico distribuito.
Una certa attenzione meritano i momenti flettenti agenti al centro della piastra quando agisce solo il carico concentrato: in questo caso, infatti, questi sono uguali a:
$M_{r}=M_{\theta }={\frac {pR^{2}}{16}}(1+\nu )$
Considerando il carico complessivo $Q=p\pi R^{2}$ si ottiene:
$M_{r}=M_{\theta }={\frac {Q}{16\pi }}(1+\nu )$
Come si può notare, il risultato è indipendente dall'estensione della piastra. Al contrario delle travi, in cui il momento al centro dipende dalla luce della trave stessa, nelle piastre l'aumento del braccio della forza dovuto ad un aumento del raggio è compensato dal contestuale aumento della sezione resistente.

## Piastra circolare appoggiata al contorno

Nota: Inserire immagine della geometria del problema
Nel caso in cui la piastra sia appoggiata le condizioni al contorno che è necessario imporre sono le seguenti:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&v_{z}(r=R)\,=\,0\\&M_{r}(r=R)=0\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&{\frac {pR^{4}}{64B}}+{\frac {PR^{2}}{8\pi B}}(\ln R-1)-{\frac {C_{1}R^{2}}{4}}+C_{3}=0\\&-B\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+\nu {\frac {1}{R}}{\frac {dv_{z}}{dr}}\right)=0\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
Da questi dati si può ricavare il valore delle due costanti d'integrazione:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&C_{1}={\frac {3+\nu }{1+\nu }}{\frac {pR^{2}}{8B}}+{\frac {1}{1+\nu }}{\frac {P}{4\pi B}}(2\ln R+1+2\nu \ln R-\nu )\\&C_{3}={\frac {5+\nu }{1+\nu }}{\frac {pR^{4}}{64B}}+{\frac {3+\nu }{1+\nu }}{\frac {PR^{2}}{16\pi B}}\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
Per permettere di capire come si è giunti a tale risultato è possibile visionare i passaggi necessari.
Le equazioni di partenza per definire le costanti di integrazione sono le seguenti:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&{\frac {pR^{4}}{64B}}+{\frac {PR^{2}}{8\pi B}}(\ln R-1)-{\frac {C_{1}R^{2}}{4}}+C_{3}=0\\&-B\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+\nu {\frac {1}{R}}{\frac {dv_{z}}{dr}}\right)=0\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
Si riportano ora l'equazione della superficie elastica e la sua derivata prima e seconda, necessarie per i passaggi successivi:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&v_{z}={\frac {pR^{4}}{64B}}+{\frac {Pr^{2}}{8\pi B}}(\ln r-1)-{\frac {C_{1}r^{2}}{4}}+C_{3}\\&{\frac {dv_{z}}{dr}}={\frac {pr^{3}}{16B}}+{\frac {Pr}{8\pi B}}(2\ln r-1)-{\frac {C_{1}r}{2}}\\&{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}={\frac {3pr^{2}}{16B}}+{\frac {P}{8\pi B}}(2\ln r+1)-{\frac {C_{1}}{2}}\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
Si sostituiscono i risultati così ottenuti nella seconda delle equazioni che esprimono le condizioni al contorno:
$-B\left({\frac {3pr^{2}}{16B}}+{\frac {P}{8\pi B}}(2\ln r+1)-{\frac {C_{1}}{2}}+\nu {\frac {1}{R}}\left({\frac {pr^{3}}{16B}}+{\frac {Pr}{8\pi B}}(2\ln r-1)-{\frac {C_{1}r}{2}}\right)\right)=0$
Da qui, dopo alcuni semplici passaggi matematici, si arriva a definire la prima costante d'integrazione:
$C_{1}={\frac {3+\nu }{1+\nu }}{\frac {pR^{2}}{8B}}+{\frac {1}{1+\nu }}{\frac {P}{4\pi B}}(2\ln R+1+2\nu \ln R-\nu )$
Una volta calcolata $C_{1}$ è possibile sostituirne il valore nella prima delle equazioni che esprimono le condizioni al contorno:
${\frac {pR^{4}}{64B}}+{\frac {PR^{2}}{8\pi B}}(\ln R-1)-{\frac {R^{2}}{4}}\left({\frac {3+\nu }{1+\nu }}{\frac {pR^{2}}{8B}}+{\frac {1}{1+\nu }}{\frac {P}{4\pi B}}(2\ln R+1+2\nu \ln R-\nu )\right)+C_{3}=0$
Sempre con una serie di passaggi matematici non particolarmente complicati si può arrivare a scrivere:
$C_{3}={\frac {5+\nu }{1+\nu }}{\frac {pR^{4}}{64B}}+{\frac {3+\nu }{1+\nu }}{\frac {PR^{2}}{16\pi B}}$
Definite le costanti d'integrazione è possibile indicare l'equazione della superficie elastica:
$v_{z}={\frac {p}{64B}}(R^{2}-r^{2})\left({\frac {5+\nu }{1+\nu }}R^{2}-r^{2}\right)+{\frac {P}{16\pi B}}\left[{\frac {3+\nu }{1+\nu }}(R^{2}-r^{2})-2r^{2}\ln {\frac {R}{r}}\right]$
Da questa equazione è possibile conoscere completamente lo stato deformativo e le caratteristiche della sollecitazione per ogni punto della piastra. Di indubbio interesse ingegneristico sono la freccia massima e la rotazione al contorno della piastra:
$f={\frac {pR^{4}}{64B}}+{\frac {PR^{2}}{16\pi B}}{\frac {3+\nu }{1+\nu }}$
$\phi (r=R)=-{\frac {pR^{3}}{8B}}{\frac {1}{1+\nu }}-{\frac {PR}{4\pi B}}{\frac {1}{1+\nu }}$
Al contorno della piastra esiste solo il momento flettente $M_{\theta }$, che assume il valore seguente:
$M_{\theta }=(1-\nu ){\frac {pR^{2}}{8}}+(1-\nu ){\frac {P}{4\pi }}$
Al centro della piastra, come nel caso precedente, i momenti flettenti assumono valore infinito. Se invece si considerasse agente solo il carico distribuito si avrebbe:
$M_{r}=M_{\theta }=(3+\nu ){\frac {pR^{2}}{16}}$
Come nel caso di piastra incastrata al contorno, considerando in quest'ultimo caso il carico complessivo $Q$ il momento al centro risulta indipendente dalla misura di $R$ per le stesse motivazioni espresse in precedenza.