# Il cerchio di Mohr

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Per descrivere lo stato tensionale di un punto del continuo è possibile avvalersi di un metodo grafico di rappresentazione chiamato 'cerchio di Mohr dal nome di Mohr, che ne propose l'utilizzo.
Dette $s_{1},s_{2},s_{3}$ le tensioni principali relative al punto considerato e $z_{1},z_{2},z_{3}$ le relative direzioni principali, si considera un piano $\pi$ avente come normale una delle direzioni principali, ad esempio $z_{3}$. Qualunque piano si consideri perpendicolare al piano prima definito, denominata $\mathbf {n}$ la sua normale, dovrà essere $\tau _{n3}=0$, dal momento che per definizione di direzione principale si ha $\tau _{3n}=0$ e per il rispetto delle equazioni indefinite di equilibrio $\tau _{n3}=\tau _{3n}$. Per il generico piano considerato, dunque, la tensione $\mathbf {t_{n}}$ sarà interamente compresa nel piano $\pi$, e con riferimento a tale direzione e alla sua perpendicolare $\nu$ lo stato tensionale può essere così espresso:
${\begin{matrix}\sigma _{n}&\tau _{n\nu }&0\\\tau _{\nu n}&\sigma _{\nu }&0\\0&0&s_{3}\end{matrix}}$
Si consideri ora un sistema di riferimento cartesiano avente assi $\sigma ,\tau$ e si valuti in tale sistema di riferimento la posizione di un punto di coordinate $(\sigma _{n};\tau _{n\nu })$: questo punto rappresenta in questo piano la tensione agente sul piano di normale $\mathbf {n}$ nel punto del continuo considerato.
Detto $\alpha$ l'angolo compreso tra l'asse $z_{1}$ e la direzione $n$, si può studiare la posizione dei punti che nel piano $\sigma ,\tau$ descrivono le tensioni agenti su tutti gli infiniti piani perpendicolari a $\pi$ attraverso il parametro $\alpha$. Noto che $n_{1}=\cos \alpha ;n_{2}=\sin \alpha ;n_{3}=0;\nu _{1}=\cos(\pi /2+\alpha )=-\sin \alpha ;\nu _{2}=\sin(\pi /2+\alpha )=\cos \alpha$, si può scrivere:
${\begin{cases}\sigma _{n}=\sigma _{1}\cos ^{2}\alpha +\sigma _{2}\sin ^{2}\alpha +2\sigma _{12}\sin \alpha \cos \alpha \\\tau _{n\nu }=-\sigma _{1}\sin \alpha \cos \alpha +\sigma _{2}\sin \alpha \cos \alpha +\sigma _{12}(\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha )\end{cases}}$
Si può dimostrare che queste espressioni descrivono una circonferenza di raggio $R$ e con centro di coordinate $C\left({\frac {\sigma _{1}+\sigma _{2}}{2}};0\right)$.
Si può altresì dimostrare che, considerando il piano $\sigma ,\tau$ costruito in modo che l'asse $\sigma$ sia equiverso a $y_{1}$ e l'asse $\tau$ opposto a $y_{2}$, esiste un punto $P$ definito polo della rappresentazione tale che mandando da esso la retta parallela al piano considerato (quindi la traccia del piano stesso, e cioè la direzione $\nu$ ad esso parallela), quest'ultima interseca il cerchio di Mohr nel punto che identifica la tensione $t_{n}$ su quel piano. Di conseguenza tale rappresentazione è in grado di sintetizzare in sè tutte le tensioni agenti sugli infiniti piani perpendicolari a $\pi$, e questi valori sono facilmente valutabili semplicemente conoscendo la giacitura del piano in analisi.
In base a quanto detto è altresì possibile definire le tensioni e le direzioni principali: per definizione di tensione principale, quest'ultima è quella tensione normale a cui corrisponde tensione tangenziale nulla, motivo per cui appare scontato che le tensioni principali sono rappresentate dalle ascisse dei punti in cui il cerchio di Mohr interseca l'asse $\sigma$. Le direzioni associate a questi valori, cioè trovate unendo questi punti con il polo della rappresentazione, sono le tracce dei piani su cui agiscono queste tensioni principali, per cui si sono trovate anche le direzioni principali.
Si può notare come effettivamente le tensioni principali siano effettivamente le massime e le minime: dal momento che il centro del cerchio di Mohr è ubicato sull'asse $\sigma$, infatti, i punti di ascissa massima e minima sono esattamente quelli che rappresentano le tensioni principali.
Per costruzione le direzioni principali descriveranno sempre un angolo mutuo pari a $\pi /2$: essendo il polo della rappresentazione un punto ubicato sulla circonferenza, ed essendo i punti relativi alle tensioni principali posti agli estremi di una circonferenza, qualunque sia il polo e qualunque siano i valori delle tensioni principali descriveranno sempre un angolo alla circonferenza relativa ad una corda di dimensione pari al diametro, che per definizione è pari esattamente all'angolo retto.
Ugualmente accade per i piani sottoposti all'azione tangenziale massima, per le medesime ragioni. Si può osservare, infatti, che i punti che li rappresentano sono anch'essi disposti agli estremi di un diametro, e in particolare del diametro perpendicolare a quello considerato precedentemente. In corrispondenza dei piani con tensione tangenziale massima, dunque, agisce una tensione normale che ha lo stesso valore dell'ascissa del centro del cerchio di Mohr:
${\frac {\sigma _{1}+\sigma _{2}}{2}}$
Si può anche osservare che tra i piani sollecitati dalla tensione principale e quelli a tensione tangenziale massima sussiste un angolo pari a $\pi /4$: per comprendere questo si osservi che l'angolo al centro che connette i punti relativi a questi due piani è sicuramente pari a $\pi /2$; noto che l'angolo al centro considerato è sempre doppio del generico angolo alla circonferenza che sussiste sulla stessa corda, le tracce dei due piani formano tra loro un angolo pari a $\pi /4$.

## Arbelo di Mohr

Nella trattazione precedente si è scelta arbitrariamente la direzione $z_{3}$ quale quella normale al piano $\pi$ considerato. In virtù dell'arbitrarietà della scelta, alle medesime conclusioni si può arrivare considerando il cerchio di Mohr rispetto al piano $\pi '$ perpendicolare a $z_{1}$ e al piano $\pi ''$ perpendicolare a $z_{2}$. A seguito della costruzione dei tre cerchi di Mohr relativi ai tre piani citati, è possibile analizzare i rapporti esistenti tra questi. L'area compresa tra i tre cerchi di Mohr è denominata arbelo di Mohr.
Il cerchio di Mohr relativo al piano $\pi '$ avrà estremi $z_{2}<z_{3}$, quello relativo al piano $\pi ''$ avrà estremi $z_{1}<z_{3}$, mentre quello relativo al piano $\pi$ illustrato in precedenza avrà estremi $z_{1}<z_{2}$. Avendo ordinato le tre tensioni principali in modo che $s_{1}<s_{2}<s_{3}$, al piano $\pi '$ di normale $z_{1}$ corrisponde la tensione minima, al piano $\pi ''$ di normale $z_{2}$ corrisponde la tensione principale intermedia, al piano $\pi$ di normale $z_{3}$ corrisponde la tensione massima. Di conseguenza, ponendo i tre cerchi di Mohr sul medesimo piano, si osserverà che il cerchio relativo al piano $\pi ''$ avrà un diametro sicuramente maggiore degli altri due, dal momento che questo è pari alla differenza tra le due tensioni di grado estremo. Tenendo conto del fatto che la tensione tangenziale massima descritta dal generico cerchio di Mohr è uguale al raggio dello stesso, appare ovvio come il cerchio di Mohr costruito perpendicolarmente alla direzione $z_{2}$ contenga in sè le informazioni sulle massime sollecitazioni agenti nel punto, mentre tutti gli altri cerchi di Mohr che è possibile costruire nel punto possono trarre in inganno.
Per questo motivo, tenuto conto che all'atto dell'applicazione pratica di questi concetti ciò che maggiormente interessa sono le sollecitazioni massime, solitamente i cerchi di Mohr si costruiscono rispetto all'asse $z_{2}$, e cioè rispetto al piano in cui agisce la tensione principale intermedia.