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## Introduzione

Un compressore è per definizione una macchina operatrice che innalza la pressione di un gas mediante l'impiego di energia meccanica. In questa lezione approfondiremo i principi di costruzione e funzionamento delle due versioni più comuni di compressore turbomeccanico: compressori centrifughi e compressori assiali (multistadio).

### La compressione del gas

Per portare un gas da una pressione ad una maggiore si possono operare diversi tipi di trasformazione.
Una possibile trasformazione da poter operare è l'isoterma, che prevede però il mantenimento di una temperatura costante, con necessaria fuoriuscita di calore dal sistema durante la trasformazione. Questa trasformazione sarebbe ottimale dal punto di vista del lavoro meccanico richiesto, tuttavia la fuoriuscita di calore dal sistema compressore è difficile da ottenere perché un compressore è difficile da raffreddare data la propria configurazione.
Un secondo tipo di trasformazione è quella adiabatica - ben più facile da operare e simile a ciò che avviene realmente in un compressore - che consiste in una compressione in cui non c'è flusso di calore né entrante né uscente dal sistema. Questo non vuol dire che non venga prodotto del calore (cosa che avviene sempre in un processo reale): il calore prodotto dalle dissipazioni viene semplicemente immagazzinato dal fluido, la cui temperatura cresce nell'attraversare la macchina.

### Principi di ottimizzazione

Per mantenere quanto più basso il lavoro esterno richiesto per operare la compressione, qualunque compressore dovrebbe:
* operare la trasformazione del gas a bassa temperatura
* operare la trasformazione del gas a basso volume specifico
* non caricare eccessivamente la girante o il diffusore, soprattutto non in modo sbilanciato (vedi il paragrafo dedicato)
* limitare le dissipazioni: perdite di cattiva incidenza, attriti, viscosità, fenomeni di stallo etc.
* massimizzare il flusso di calore del compressore verso l'esterno

### Relazioni fisiche

Una compressione adiabatica ( q = 0 ) si può modellizzare come ideale (trascurando ogni dissipazione: l$_w$ = 0) oppure come reale ( l$_w$ > 0 ).
L'adiabatica ideale viene detta anche isoentropica, dato che se non c'è né scambio di calore ( q = 0, in quanto adiabatica) né dissipazioni ( l$_w$ = 0, in quanto ideale ), allora anche l'entropia del gas non varia (perché ds = dq / T + dl$_w$ / T ed entrambi i membri sono nulli).
    Nota: nello scrivere le seguenti equazioni trascureremo le variazioni di velocità del fluido tra ingresso ed uscita dei compressore, ipotesi semplificativa realistica perché queste variazioni sono solitamente di poco conto rispetto alla variazione delle altre grandezze. Lo stesso, a maggior ragione, varrà per le variazioni di quota geodetica.

#### Adiabatica ideale (isoentropica)

Per un'adiabatica ideale (o isoentropica) vale:
    $pv^{\gamma }=cost\quad {\mbox{e}}\quad {\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}$
e, definito il rapporto di compressione β = p$_2$ / p$_1$:
    $l_{id}=c_{p}T_{1}(\beta ^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1)$

#### Adiabatica reale (politropica)

Per un'adiabatica reale modellizziamo la trasformazione con una politropica con indice n > γ, per cui vale:
    $pv^{n}=cost\quad {\mbox{e}}\quad {\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {n-1}{n}}$
e, ancora definito il rapporto di compressione β = p$_2$ / p$_1$:
    $l_{r}=\Delta h=h_{2}-h_{1}=c_{p}(T_{2}-T_{1})=c_{p}T_{1}\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1\right)=c_{p}T_{1}(\beta ^{\frac {n-1}{n}}-1)$
Per entrambe le trasformazioni è chiaro che il lavoro è minore al diminuire di T$_1$ (temperatura del gas in ingresso), perciò è sempre conveniente comprimere un gas alla temperatura più bassa possibile (entro i limiti tecnici ed economici: difficilmente si parte da temperature inferiori alla temperatura ambiente). Questo fenomeno è effetto della divergenza delle isobare all'aumentare della temperatura.

### Rendimenti
#### Rendimento isoentropico

Il rendimento isoentropico di un compressore è definito come il rapporto tra il lavoro necessario per compiere la compressione in maniera isoentropica e il lavoro reale necessario:
    $\eta _{is_{C}}={\frac {L_{is}}{L}}={\frac {h_{2is}-h_{1}}{h_{2}-h1}}={\frac {c_{p}(T_{2is}-T_{1})}{c_{p}(T_{2}-T1)}}={\frac {T_{2is}-T_{1}}{T_{2}-T1}}$
Il rendimento isoentropico indica quanto la trasformazione reale si avvicina ad una isoentropica, ovvero una trasformazione senza irreversibilità. Esso perciò è un indice della qualità della macchina (ma vedremo nel prossimo paragrafo come esso sottostimi l'efficienza a rapporti di compressione β elevati e come non sia del tutto adatto a confrontare macchine con rapporti di compressione β differenti).

#### Lavoro di contro-recupero

Il fenomeno del lavoro di contro-recupero (L$_{CR}$) è l'effetto termodinamico per cui una trasformazione adiabatica reale di compressione richiede un lavoro L tale da vincere anche l'espansione del gas dovuta all'effetto termico del lavoro dissipato (L$_{CR}$), oltre che il lavoro meccanico di compressione (L$_{is}$ = ∫vdp ) e gli attriti stessi (L$_w$).
    $L=L_{is}+L_{W}+L_{CR}$
L' effetto termico del lavoro dissipato consiste, fisicamente, nell'espansione del gas dovuta alla degradazione di lavoro in energia interna. In parole più semplici, gli attriti meccanici e viscosi all'interno della macchina fanno sì che aumenti la temperatura del fluido, il quale si espande.
Questo effetto è controproducente per l'efficienza del compressore, ma non è legato alla qualità costruttiva della macchina.

#### Rendimento politropico

Un tipo di rendimento più esatto è il rendimento politropico, così definito:
    $\eta _{y}={\frac {\delta L_{id}}{\delta L}}={\frac {v\,dp}{\delta L}}$
Rendimento che può essere scritto, tramite alcuni passaggi, anche come:
    $\eta _{y}={\frac {\gamma -1}{\gamma }}{\frac {ln\beta }{ln{\frac {T_{2}}{T_{1}}}}}$
questo perché:
    $\eta _{y}={\frac {\delta L_{id}}{\delta L}}={\frac {v\,dp}{dh}}={\frac {\int v\,dp}{c_{p}dT}}$
e, noto che:
       $v={\frac {RT}{p}}$
    e che dalla relazione di Mayer si ottiene:
       $c_{p}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}$
possiamo facilmente sostituire e arrivare alla relazione:
    ${\frac {dT}{T}}={\frac {\gamma -1}{\gamma \eta _{y}}}{\frac {dp}{p}}$
che integrata dà proprio il risultato prima anticipato:
    $\eta _{y}={\frac {\gamma -1}{\gamma }}{\frac {ln\beta }{ln{\frac {T_{2}}{T_{1}}}}}$
Questo rendimento ha il vantaggio di non tenere conto del lavoro di contro-recupero, che non è segno di inefficienza della macchina. Difatti esso è una sorta di rendimento infinitesimale, perciò è più adatto a valutare l'efficienza di una macchina, e confrontarla, indipendentemente dal rapporto di compressione.
Il rendimento politropico di un compressore è infatti sempre superiore al relativo rendimento isoentropico:
    $\eta _{y_{C}}\,>\,\eta _{is_{C}}$

#### Legame tra politropica e isoentropica

Il rendimento politropico permette di legare e confrontare la trasformazione reale, politropica di indice n, con la relativa compressione adiabatica reversibile, difatti vale la relazione:
    ${\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\beta ^{\frac {n-1}{n}}=\beta ^{\frac {\gamma -1}{\gamma \,\eta _{y}}}$
É inoltre possibile ricavare il valore dell'esponente n di una qualunque trasformazione, conoscendo i rapporti β e T2/T1, isolando n dalla seguente relazione:
    $ln{\frac {T_{2}}{T_{1}}}=ln\beta \cdot {\frac {n-1}{n}}$
ottenuta dalla definizione di politropica (e utilizzando i logaritmi e le loro proprietà):
    ${\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\beta ^{\frac {n-1}{n}}\quad \Rightarrow \quad ln{\frac {T_{2}}{T_{1}}}=ln\beta ^{\frac {n-1}{n}}=ln\beta \cdot {\frac {n-1}{n}}$

### Intercooler: compressione inter-refrigerata

Per limitare il lavoro da compiere per effettuare la compressione, un buon principio è quello di cercare di rendere quanto più isoterma la compressione. Questo si può ottenere scomponendo la compressione in più stadi e refrigerando il fluido tra una compressione e l'altra. Il vantaggio di questa tecnica viene dalla diminuzione del lavoro di compressione a pari rapporto di compressione, dovuto all'inferiore temperatura iniziale Ti delle compressioni successive alla prima, visto che:
    $l_{id}=c_{p}T_{i}(\beta ^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1)$
Questo risultato si può individuare anche sul grafico T-s, in cui è ben visibile come l'area sottesa alla trasformazione isocora di raffreddamento - che solo per una trasformazione isocora rappresenta il lavoro richiesto - diminuisca con l'aumentare degli stadi di interrefrigerazione e con il diminuire della temperatura di interrefrigerazione.
Una soluzione ideale consisterebbe nel disporre di un elevato o infinito numero di stadi di interrefrigrazione, ma nella pratica è conveniente non superare i due o tre stadi, visto il significativo ingombro degli scambiatori di calore e viste le dissipazioni che si verificano nei loro condotti.

## Compressori centrifughi

I compressori centrifughi si caratterizzano per lo sfruttamento dell'accelerazione centrifuga del fluido all'interno del rotore, fortemente sviluppato in senso radiale.

### Funzionamento

Il compressore centrifugo è costituito da un disco palettato (girante o impeller) messo in rotazione ad alta velocità. A causa della forza centrifuga impressa dal disco palettato, l'aria viene aspirata dal centro della girante ed accelerata radialmente con un certo incremento di pressione statica. L'aria, una volta lasciata la girante, viene convogliata in un diffusore costituito da canali divergenti (diffusore: parte statorica della turbomacchina) che converte l'energia cinetica in energia di pressione.
Generalmente i compressori centrifughi sono progettati in modo tale che l'aumento di pressione avvenga per metà nella girante e per metà nel diffusore, cioè con un grado di reazione pari ad 1/2. Maggiore è la velocità di rotazione della girante e maggiore sarà la portata e l'aumento di pressione. Il limite superiore alla velocità di rotazione è però dettato da considerazioni costruttive legate agli sforzi meccanici che agiscono sul disco e alla velocità dell'aria in uscita dalla girante che deve essere minore di Mach 1 per evitare gli effetti di comprimibilità e di pompaggio che porterebbero ad un crollo dell'efficienza del compressore.
I principi di progettazione di un compressore centrifugo, nel complesso, sono simili a quelli utilizzati per progettare una pompa centrifuga.

### La girante

La progettazione della girante deve tener conto:
* dell'effetto di aumento della velocità periferica lungo il raggio della corono d'ingresso, rendendo così necessario un certo svergolamento delle pale.
* dell'inefficienza prodotta dallo stallo dei canali palari, che possono bloccarsi in presenza di velocità vicine a quella del suono
* dell'inefficienza prodotta dall'eventuale distacco di vortice e dallo stallo del diffusore, che avviene più facilmente con diffusore molto caricato
perciò le giranti sono frequentemente progettate con pale rivolte all'indietro (β$_2$ > 90° rispetto alla velocità periferica u). Questo è vantaggioso dal punto di vista della diminuzione della velocità in uscita, ma produce una diminuzione del salto di pressione prodotto, che visualizziamo come lavoro euleriano:
    $l_{eu}=u_{2}\cdot v_{2t}-u_{1}\cdot v_{1t}=u_{2}\cdot v_{2t}=u_{2}(u_{2}+w_{2t})=u_{2}(u_{2}+v_{m}cotg(\beta _{2}))$
    con:
   * v$_m$ velocità assoluta meridiana (in questo caso, radiale)
Questa relazione ci fa notare che se l'angolo β$_2$ < 90°, allora il lavoro (e quindi il Δp) aumenta all'aumentare della v$_m$ (direttamente proporzionale alla portata), altrimenti se > 90° il lavoro (e ancora anche il Δp) diminuisce con l'aumentare di v$_m$ e Q. Tuttavia ciò non è un problema, perché è sufficiente aumentare la velocità di rotazione. Vediamo perché ciò è vantaggioso.
L'aumento della velocità di rotazione, pur producendo un aumento di velocità del fluido in uscita, tuttavia non riporta alle condizioni di velocità troppo elevata in uscita che si avevano prima di aumentare la velocità di rotazione, producendo dunque un complessivo vantaggio: riduzione della velocità in uscita e, contemporaneamente, mantenimento del salto di pressione voluto.

#### Grado di reazione

Ricordando che il grado di reazione si definisce solitamente come:
    $\chi ={\frac {\Delta p}{\Delta p_{T}}}$
possiamo tuttavia partire dalla formulazione equivalente:
    $\chi ={\frac {\Delta h}{\Delta h_{T}}}={\frac {\Delta h}{l_{eu}}}={\frac {\Delta h}{u_{2}\cdot v_{2t}}}$
usando la definizione di rotalpia (I = h + w$^2$/2 - u$^2$/2 )
    $\chi ={\frac {{\frac {\Delta u^{2}}{2}}-{\frac {\Delta w^{2}}{2}}}{u_{2}\cdot v_{2t}}}={\frac {\Delta u^{2}-\Delta w^{2}}{\Delta v^{2}+\Delta u^{2}-\Delta w^{2}}}$
Si deduce quindi che i compressori con girante a pale in avanti hanno gradi di reazione bassi, viste le alte velocità in uscita e visto l'alto carico affidato al diffusore.
L'opposto vale per i compressori con girante a pale all'indietro, che hanno gradi di reazione alti, viste le più basse velocità in uscita e visto il minore carico affidato al diffusore.
Tuttavia, complessivamente, i compressori centrifughi sono macchine che funzionano prevalentemente a reazione.

### Il diffusore

I compressori centrifughi sono praticamente sempre dotati di un diffusore per convertire l'energia cinetica in uscita dalla girante in energia di pressione. I diffusori sono formati da una parte palettata assialsimmetrica e poi seguiti da un voluta solitamente a forma di spirale logaritmica troncata.

## Compressori assiali

I compressori assiali sono caratterizzati da un flusso completamente assiale (o quasi) che attraversa schiere consecutive di palettature rotoriche e statoriche alternate. Questa configurazione viene detta multistadio, difatti in un solo compressore solitamente si hanno tra i 10 e i 20 stadi rotore-statore, ognuno dei quali attua un piccolo rapporto di compressione, solitamente compreso tra 1,1 e 1,3 per mantenere elevata l'efficienza (compressori aeronautici che funzionano a velocità soniche utilizzano anche rapporti fino a circa 1,6). Si ricordi che il rapporto di compressione di n stadi in serie è dato da $\beta _{stadio}^{n}$
Un primo elemento progettuale da tenere in considerazione è la progressiva diminuzione del volume specifico del gas durante i vari stadi di compressione, e quindi la conseguente diminuzione della portata volumetrica che si avrebbe in un condotto a sezione costante: per evitare ciò la sezione del condotto corona-circolare attraversato dal fluido deve essere progettato in modo tale da restringersi progressivamente lungo il percorso del gas (come si può vedere nelle immagini).

### Palettatura e grado di reazione

Ricordiamo che il grado di reazione si definisce come:
    $\chi ={\frac {\Delta p}{\Delta p_{T}}}$
ed indica quanto la palettatura sfrutti il salto di pressione del fluido (e non la sua variazione di velocità). Esso si può scrivere anche come
    $\chi ={\frac {\Delta h}{\Delta h_{T}}}={\frac {\Delta h}{l_{eu}}}={\frac {\Delta h}{u_{2}\cdot v_{2t}}}$
usando la definizione di rotalpia (I = h + w$^2$/2 - u$^2$/2 )
    $\chi ={\frac {{\frac {\Delta u^{2}}{2}}-{\frac {\Delta w^{2}}{2}}}{u_{2}\cdot v_{2t}}}={\frac {\Delta w^{2}}{\Delta v^{2}-\Delta w^{2}}}$
Inoltre ricordiamo che stiamo analizzando singoli stadi del compressore (assiale multistadio) e che, spesso, tali compressori sono progettati a stadio ripetuto, ovvero composti da stadi S-R identici ripetuti n volte (fatta eccezione per il primo e dell'ultimo stadio, di cui parleremo in seguito). Perciò in questa comune situazione vale che la velocità di ingresso in uno stadio sia identica in modulo e direzione a quella d'uscita: $\mathbf {v_{1}} =\mathbf {v_{3}}$
Possiamo distinguere i tipi di palettatura in funzione del loro grado di reazione.

#### χ = 0,5

I compressori con palettatura rotorica χ = 0,5 sono molto vicini alla situazione di ottimo, perché ben bilanciano il carico sul rotore e sullo statore. Vediamone le caratteristiche.
Per rispettare questa condizione sul grado di reazione, la pala del rotore deve essere tale da avere un angolo di pala all'ingresso β1 simmetrico all'angolo della velocità assoluta di uscita dalla girante α2. Questa configurazione richiede allo statore una pala esattamente simmetrica, che possa riportare la velocità in condizioni identiche a quelle d'ingresso (questo è un vantaggio costruttivo, vedremo perché).

#### χ = 0

I compressori con palettatura rotorica χ = 0 impongono una forte variazione di velocità con il rotore (senza produrre nessun salto di pressione ai suoi estremi), recuperando poi tutta l'energia cinetica in pressione con lo statore, che risulta molto caricato e soggetto ad effetti di distacco di vortice e stallo.
Per rispettare questa condizione sul grado di reazione, la pala del rotore deve essere simmetrica, ovvero tale da avere un angolo di pala all'ingresso β1 simmetrico all'angolo di pala in uscita β2. Il risultato sui triangoli di velocità è che la velocità relativa non cambia in modulo, ma ne viene solo riflessa la direzione.

#### χ = 1

I compressori con palettatura rotorica χ = 1 impongono tutto il salto di pressione dello stadio sul rotore (senza produrre alcuna variazione del modulo della velocità alle sue estremità), utilizzando lo statore solo per raddrizzare la velocità come nelle condizioni d'ingresso. In questo caso è dunque il rotore ad essere molto caricato e soggetto ad effetti di distacco di vortice e stallo.
Per rispettare questa condizione sul grado di reazione, la pala del rotore deve essere tale da produrre una velocità assiale d'uscita dal rotore v2 simmetrica - rispetto alla direzione assiale - alla v1 d'ingresso. Il risultato sui triangoli di velocità, questa volta, è che la velocità assoluta non cambia in modulo, ma ne viene solo riflessa la direzione.

#### Primo e ultimo stadio

Come per tutte le macchine operatrici, conviene ottimizzare l'angolo d'ingresso e d'uscita nella macchina in modo tale da accogliere un flusso entrante con velocità puramente meridiana (assiale) e tale da farlo uscire con velocità puramente assiale (ovvero limitando al minimo l'energia cinetica in uscita, ponendola al minimo dovuto al mantenimento della portata, cioè in direzione puramente assiale).

#### Conclusioni

In conclusione va detto che solitamente non si utilizzano soluzioni estreme, ma prevalentemente con χ attorno allo 0,5.
Inoltre si noti che tipicamente i canali palari di statori e rotori assumono una sezione progressivamente divergente se in quell'elemento di macchina vi è un aumento di pressione (cioè un χ>0). Altrimenti le sezioni si manterranno costanti.