# Esercizi sulle reti elettriche (superiori)

Di seguito verranno proposti e risolti – con differenti approcci – alcuni semplici esercizi relativi alle reti elettriche resistive in corrente continua.

## Concetti propedeutici

Prerequisiti fondamentali per la risoluzione degli esercizi che seguono sono la conoscenza della Legge di Ohm, dei Principi di Kirchhoff ai nodi e alle maglie e – naturalmente – del concetto di resistenze elettriche in serie e in parallelo.

### Legge di Ohm

La Legge di Ohm recita che la tensione $V$ (si misura in Volt simbolo $V$) è pari alla resistenza $R$ (si misura in Ohm simbolo $\Omega$) moltiplicata per l'intensità di corrente $I$ (si misura in Ampere simbolo $A$). Pertanto si ha:
$V=R\cdot I\quad ;\quad R={\frac {V}{I}}\quad ;\quad I={\frac {V}{R}}$.

### Primo principio di Kirchhoff

Il primo principio di Kirchhoff (noto anche come legge di Kirchhoff applicata ai nodi) dice che la somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla. Più semplicemente: la somma delle correnti entranti in un nodo è pari alla somma delle correnti uscenti dal nodo stesso, come mostrato in figura.
    $\overbrace {\sum _{i=1}^{n}I_{i}} ^{\text{entranti}}=\overbrace {\sum _{k=1}^{m}I_{k}} ^{\text{uscenti}}$,
nel caso specifico di figura, si ottiene:
    $I_{2}+I_{3}=I_{1}+I_{4}$.

### Secondo principio di Kirchhoff

Il secondo principio di Kirchhoff (noto anche come legge di Kirchhoff applicata alle maglie) dice che la somma algebrica delle cadute di tensione in una maglia è nulla. Più semplicemente: in una maglia, la somma delle tensioni generate è pari alla somma delle cadute di tensione, come mostrato in figura.
    $\overbrace {\sum _{i=1}^{n}V_{i}} ^{\text{generatori}}=\overbrace {\sum _{k=1}^{m}V_{k}} ^{\text{carichi}}$,
nel caso specifico di figura, si ottiene:
    $V_{4}=V_{1}+V_{2}+V_{3}$.

### Resistenze in serie

Due, o più, resistenze si dicono in serie quando sono attraversate dalla stessa corrente. In questo caso, la resistenza equivalente è pari alla loro somma:
    $R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+\dots +R_{n}$.
Se le resistenze sono tutte uguali, si ha:
    $R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}R=R+R+R+\dots +R=nR$.

### Resistenze in parallelo

Due, o più, resistenze si dicono in parallelo quando sono sottoposte alla stessa tensione. In questo caso, l'inverso della resistenza equivalente è pari alla somma dell'inverso di tutte le resistenze:
    ${\frac {1}{R_{eq}}}=\sum _{1=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\dots +{\frac {1}{R_{n}}}$;
pertanto, la resistenza equivalente è pari a:
    $R_{eq}={\frac {1}{\sum _{1=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\dots +{\frac {1}{R_{n}}}}}$.
Se le resistenze sono tutte uguali, si ha:
    $R_{eq}={\frac {1}{\sum _{1=1}^{n}{\frac {1}{R}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R}}+\dots +{\frac {1}{R}}}}={\frac {1}{\frac {n}{R}}}={\frac {R}{n}}$.
Infine, un caso di interesse, è quando le resistenze in parallelo sono soltanto due. In questo caso si ha:
    $R_{eq}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}={\frac {1}{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}\cdot R_{2}}}}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$.

## Esercizio 1

Un dispositivo mobile ha una batteria da $3,3~{\text{V}}$ e $2~600~{\text{mAh}}$. Il suo caricatore ha un'uscita da $5~{\text{V}}$ e $2~{\text{A}}$ (la tensione del caricatore è superiore a quella del dispositivo mobile per motivi che verranno chiariti in seguito).
Calcolare il tempo di carica; la resistenza equivalente del dispositivo in stand by se – per ipotesi – dopo tre giorni il dispositivo è completamente scarico; la resistenza equivalente del dispositivo quando si cercano i Pokémon e la batteria si scarica dopo 50'.
Il tempo di carica è pari a:
    $t_{carica}={\frac {I_{totale}\cdot T_{tot}}{I_{carica}}}={\frac {2~600~{\text{mAh}}}{2~{\text{A}}}}={\frac {2,6~{\text{Ah}}}{2~{\text{A}}}}=1,3~{\text{h}}=1~{\text{h}}~18'.$
La resistenza del dispositivo in stand by si ottiene calcolando, prima il flusso di corrente in tali condizioni e – a seguire – il tempo di scarica.
    $I_{stand~by}={\frac {I_{totale}\cdot T_{tot}}{T_{stand~by}}}={\frac {2~600~{\text{mAh}}}{3~{\text{gg}}}}={\frac {2~600~{\text{mAh}}}{72~{\text{h}}}}\simeq 36,11~{\text{mA}},$
    $R_{stand~by}={\frac {V}{I_{stand~by}}}={\frac {3,3~{\text{V}}}{36,11~{\text{mA}}}}=91,4~\Omega .$
Giocando con i Pokemon, attività che richiede al dispositivo più energia, la durata della batteria diminuisce (come mostrato dai dati del problema), di conseguenza ci si aspetta che la corrente istantanea aumenti e diminuisca la resistenza equivalente.
    $I_{Pokemon}={\frac {I_{totale}\cdot T_{tot}}{T_{Pokemon}}}={\frac {2~600~{\text{mAh}}}{50'}}\simeq {\frac {2~600~{\text{mAh}}}{0,83~{\text{h}}}}\simeq 3,133~{\text{A}},$
    $R_{Pokemon}={\frac {V}{I_{Pokemon}}}={\frac {3,3~{\text{V}}}{3,133~{\text{A}}}}\simeq 1~\Omega .$

## Esercizio 2

Un dispositivo mobile richiede un alimentatore stabilizzato (il quale eroghi una tensione continua e stabile) di $5~{\text{V}}$ per caricarsi. Purtroppo, l'alimentatore si è appena rotto. Si hanno a disposizione una batteria da $9~{\text{V}}$ e varie resistenze elettriche.
Quale circuito occorre realizzare per ottenere in uscita una tensione pari a $5~{\text{V}}$?
Il problema si risolve ricorrendo a un partitore di tensione, circuito ampiamente utilizzato quando si vuole ottenere una frazione della tensione di partenza. È costituito da due (o più) resistenze in serie, le quali ripartiscono la tensione del generatore in due (o più) parti: una da $4~{\text{V}}$ e – la rimanente – da $5~{\text{V}}$ (quella che si desidera in uscita).
La tensione in uscita è, pertanto, pari a:
    $V_{OUT}=R_{2}\cdot I_{TOT}=R_{2}{\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}=R_{2}{\frac {V_{G}}{R_{1}+R_{2}}}=V_{G}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}.$
La soluzione più semplice è $4~{\text{k}}\Omega$ e $5~{\text{k}}\Omega$, ma – purtroppo – questi valori non sono in commercio. I valori di resistenza che più si avvicinano a un'uscita di $5~{\text{V}}$ sono $R_{1}=3,3~{\text{k}}\Omega$ e $R_{2}=4,7~{\text{k}}\Omega$. L'errore commesso – nel calcolo della tensione d'uscita – è di $288~{\text{mV}}$, ed essa vale $V_{OUT}=5,288~{\text{V}}$.
Lo schema di montaggio del circuito sovrastante, è il seguente:

## Esercizio 3

Dato il circuito in figura determinale la corrente $I_{R_{3}}$.
Legenda :
| Grandezza | Valore |
| $V_{G}$ | $18~{\text{V}}$ |
| $R_{1}$ | $2~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{2}$ | $2~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{3}$ | $3~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{4}$ | $6~{\text{k}}\Omega$ |
Come prima cosa si ridisegna il circuito in modo che diventi più comprensibile, seguendo il flusso delle correnti.
Di seguito la risoluzione del circuito utilizzando il metodo top-down/bottom-up, ovvero partendo dalla corrente/tensione che si desidera trovare fino ai termini noti.
    $I_{R_{3}}={\frac {V_{AB}}{R_{3}}}={\frac {6~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}$
    $V_{AB}=R_{AB}\cdot I_{TOT}=1~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=6~{\text{V}}$
    $R_{AB}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+{\frac {1}{R_{4}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{2~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{3~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{6~{\text{k}}\Omega }}}}=1~{\text{k}}\Omega$
    $R_{3,4}={\frac {R_{3}\cdot R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}={\frac {18~{\text{M}}\Omega ^{2}}{9~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$
    $R_{AB}={\frac {R_{3,4}\cdot R_{2}}{R_{3,4}+R_{2}}}={\frac {R_{3,4}}{2}}={\frac {2~{\text{k}}\Omega }{2}}=1~{\text{k}}\Omega \qquad {\text{Poiché }}R_{2}=R_{3,4}$
    $R_{TOT}=R_{1}+R_{AB}=2~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega$
    $I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}.$

## Esercizio 4

Dato il circuito di Figura determinale la tensione che cade su $R_{5}$.
Legenda :
| Grandezza | Valore |
| $V_{G}$ | $20~{\text{V}}$ |
| $R_{1}$ | $1,5~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{2}$ | $1~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{3}$ | $1~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{4}$ | $4~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{5}$ | $200~\Omega$ |
Come prima cosa si ridisegna il circuito in modo che diventi più comprensibile.
Di seguito la risoluzione del circuito utilizzando il metodo top-down/bottom-up.
    $V_{R_{5}}=R_{5}\cdot I_{3-5}=200~\Omega \cdot 5~{\text{mA}}=1~{\text{V}}$
    $I_{3-5}={\frac {V_{AC}}{R_{3-5}}}={\frac {5~{\text{V}}}{1~{\text{k}}\Omega }}=5~{\text{mA}}$
    $V_{AC}=V_{G}-V_{R_{1}}=20~{\text{V}}-15~{\text{V}}=5~{\text{V}}$
    $R_{3-5}=R_{AB}+R_{5}=800~\Omega +200~\Omega =1~{\text{k}}\Omega$
    $R_{AB}={\frac {R_{3}\cdot R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}={\frac {1~{\text{k}}\Omega \cdot 4~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega }}=800~\Omega$
    $V_{R_{1}}=R_{1}\cdot I_{TOT}=1,5~{\text{k}}\Omega \cdot 10~{\text{mA}}=15~{\text{V}}$
    $I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {20~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=10~{\text{mA}}$
    $R_{TOT}=R_{1}+R_{AC}=1,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =1,5~{\text{k}}\Omega +0,5~{\text{k}}\Omega =2~{\text{k}}\Omega$
    $R_{AC}={\frac {R_{2}\cdot R_{3-5}}{R_{2}+R_{3-5}}}={\frac {1~{\text{k}}\Omega \cdot 1~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega }}=500~\Omega$

## Esercizio 5

Dato il circuito di figura determinare la corrente circolante su $R_{6}$.
Legenda :
| Grandezza | Valore |
| $V_{G}$ | $24~{\text{V}}$ |
| $R_{1}$ | $500~\Omega$ |
| $R_{2}$ | $500~\Omega$ |
| $R_{3}$ | $2,5~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{4}$ | $1~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{5}$ | $3~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{6}$ | $6~{\text{k}}\Omega$ |
In questo caso si risolverà l'esercizio diversamente dagli esercizi precedenti. Non si ricorrerà alla tecnica top-down/bottom-up. Si procederà al calcolo della resistenza totale e – dopodiché – al calcolo della corrente richiesta.
Di norma, per la risoluzione di un esercizio di questo genere (dopo il calcolo della resistenza totale) sono richiesti un numero di passaggi elementari pari a quelli usati nel corso del calcolo della resistenza totale, a meno che non si ricorra a formule quali partitore di tensione o altro. In questo caso il numero di calcoli necessari potrebbe diminuire.

### Calcolo della resistenza totale

    $R_{BC}={\frac {R_{5}\cdot R_{6}}{R_{5}+R_{6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$
    $R_{4-6}=R_{4}+R_{BC}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega$
    $R_{2,3}=R_{2}+R_{3}=500~\Omega +2,5~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega$
    $R_{AC}={\frac {R_{2,3}\cdot R_{4-6}}{R_{2,3}+R_{4-6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=1,5~{\text{k}}\Omega \quad ;\quad R_{AC}={\frac {R_{4-6}}{2}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega }{2}}=1,5~{\text{k}}\Omega$
    $R_{TOT}=R_{1}+R_{AC}=500~\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega =2~{\text{k}}\Omega$

### Calcolo della corrente su R6

A questo punto, partendo dalla corrente totale, si arriverà al dato richiesto. Passo dopo passo.
    $I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {24~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{mA}}$
    $V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=1,5~{\text{k}}\Omega \cdot 12~{\text{mA}}=18~{\text{V}}$
    $I_{4-6}={\frac {V_{AC}}{R_{4-6}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}$
    $V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{4-6}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}$
    $I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}$

### Risoluzione utilizzando i partitori di tensione

    $V_{AC}=V_{G}{\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{AC}}}=24~{\text{V}}{\frac {1,5~{\text{k}}\Omega }{500~\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega }}=18~{\text{V}}$
    $V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{4}+R_{BC}}}=18~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}}$
    $I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}$

## Esercizio 6

Dato il circuito di figura determinare la caduta di tensione su $R_{7}$.
Legenda :
| Grandezza | Valore |
| $V_{G}$ | $30~{\text{V}}$ |
| $R_{1}$ | $3~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{2}$ | $1~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{3}$ | $5~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{4}$ | $750~\Omega$ |
| $R_{5}$ | $3~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{6}$ | $6~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{7}$ | $250~\Omega$ |

### Risoluzione col metodo dell'Esercizio 5

    $R_{CD}={\frac {R_{5}\cdot R_{6}}{R_{5}+R_{6}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$
    $R_{4-7}=R_{4}+R_{CD}+R_{7}=750~\Omega +2~{\text{k}}\Omega +250~\Omega =3~{\text{k}}\Omega$
    $R_{2,3}=R_{2}+R_{3}=1~{\text{k}}\Omega +5~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega$
    $R_{AB}={\frac {R_{2,3}\cdot R_{4-7}}{R_{2,3}+R_{4-7}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega$
    $R_{TOT}=R_{1}+R_{AB}=3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =5~{\text{k}}\Omega$
    $I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {30~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}$
    $V_{AB}=R_{AB}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}$
    $I_{4-7}={\frac {V_{AB}}{R_{4-7}}}={\frac {12~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=4~{\text{mA}}$
    $V_{R_{7}}=R_{7}\cdot I_{4-7}=250~\Omega \cdot 4~{\text{mA}}=1~{\text{V}}$

### Risoluzione utilizzando i partitori di tensione

    $V_{AB}=V_{G}{\frac {R_{AB}}{R_{1}+R_{AB}}}=30~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}}$
    $V_{R_{7}}=V_{AB}{\frac {R_{7}}{R_{4}+R_{CD}+R_{7}}}=12~{\text{V}}{\frac {250~\Omega }{750~\Omega +2~{\text{k}}\Omega +250~\Omega }}=1~{\text{V}}$

## Esercizio 7

Dato il circuito di figura determinare la caduta di tensione su $R_{7}$.
Legenda :
| Grandezza | Valore |
| $V_{G}$ | $45~{\text{V}}$ |
| $R_{1}$ | $1~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{2}$ | $1,5~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{3}$ | $500~\Omega$ |
| $R_{4}$ | $6~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{5}$ | $1~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{6}$ | $3~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{7}$ | $2~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{8}$ | $4~{\text{k}}\Omega$ |

### Risoluzione dell'esercizio 7

Si procede con il calcolo della resistenza totale $R_{TOT}$:
    $R_{7-8}=R_{7}+R_{8}=2~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega ,$
    $R_{BC}={\frac {R_{6}\cdot R_{7-8}}{R_{6}+R_{7-8}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$
    $R_{5-8}=R_{5}+R_{BC}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =3~{\text{k}}\Omega ,$
    $R_{AC}={\frac {R_{4}\cdot R_{5-8}}{R_{4}+R_{5-8}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$
    ${\begin{aligned}R_{TOT}&=R_{1}+R_{3}+R_{AC}+R_{2}\\&=1~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =5~{\text{k}}\Omega .\end{aligned}}$
    $I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {45~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=9~{\text{mA}},$
    $V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 9~{\text{mA}}=18~{\text{V}},$
    $I_{5-8}={\frac {V_{AC}}{R_{5-8}}}={\frac {18~{\text{V}}}{3~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}},$
    $V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{5-8}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}},$
    $I_{7-8}={\frac {V_{BC}}{R_{7-8}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}},$
    $V_{7}=R_{7}\cdot I_{7-8}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{mA}}=4~{\text{V}}.$

### Risoluzione dell'esercizio con i partitori di tensione

    ${\begin{aligned}V_{AC}&=V_{G}\cdot {\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{3}+R_{AC}+R_{2}}}\\&=45~{\text{V}}\cdot {\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega }}=18~{\text{V}},\end{aligned}}$
    $V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{5}+R_{BC}}}=18~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=12~{\text{V}},$
    $V_{7}=V_{BC}{\frac {R_{7}}{R_{7}+R_{8}}}=12~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{2~{\text{k}}\Omega +4~{\text{k}}\Omega }}=4~{\text{V}}.$

## Esercizio 8

Dato il circuito di figura determinare la corrente circolante su $R_{6}$.
Legenda :
| Grandezza | Valore |
| $V_{G}$ | $36~{\text{V}}$ |
| $R_{1}$ | $1,5~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{2}$ | $2~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{3}$ | $3~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{4}$ | $500~\Omega$ |
| $R_{5}$ | $5~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{6}$ | $2~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{7}$ | $6~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{8}$ | $3~{\text{k}}\Omega$ |

### Risoluzione dell'esercizio 8

Come prima cosa si procede col calcolo della resistenza totale $R_{TOT}$.
Inizialmente, si procede al calcolo del parallelo tra le resistenze $R_{6}$, $R_{7}$ e $R_{8}$. Questo processo può avvenire in due diversi modi: con il calcolo diretto (tramite la formula del parallelo), oppure tramite il calcolo del parallelo a due, a due.
    $R_{BC}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{6}}}+{\frac {1}{R_{7}}}+{\frac {1}{R_{8}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{2~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{6~{\text{k}}\Omega }}+{\frac {1}{3~{\text{k}}\Omega }}}}={\frac {1}{\frac {3+1+2}{6~{\text{k}}\Omega }}}=1~{\text{k}}\Omega .$
In alternativa, come si è detto, è possibile eseguire il calcolo della $R_{BC}$ per parti:
    $R_{78}={\frac {R_{7}\cdot R_{8}}{R_{7}+R_{8}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$
    $R_{BC}={\frac {R_{6}\cdot R_{78}}{R_{6}+R_{78}}}={\frac {2~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{k}}\Omega }{2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=1~{\text{k}}\Omega .$
Ora, $R_{5}$ e $R_{BC}$ sono in serie, pertanto:
    $R_{5-8}=R_{5}+R_{BC}=5~{\text{k}}\Omega +1~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega .$
Calcolando il parallelo tra $R_{3}$ e $R_{5-8}$ si ottengono solo resistenze in serie:
    $R_{AC}={\frac {R_{3}\cdot R_{5-8}}{R_{3}+R_{5-8}}}={\frac {3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{k}}\Omega ,$
pertanto, la resistenza totale $R_{T}$ è pari a:
    $R_{T}=R_{1}+R_{2}+R_{AC}+R_{4}=1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =6~{\text{k}}\Omega .$
La corrente totale $I_{TOT}$ è pari a:
    $I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{T}}}={\frac {36~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}.$
La tensione tra i nodi $A$ e $C$ è pari a:
    $V_{AC}=R_{AC}\cdot I_{TOT}=2~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=12~{\text{V}}.$
A questo punto è possibile calcolare la corrente che attraversa la resistenza $R_{5-8}$:
    $I_{5-8}={\frac {V_{AC}}{R_{5-8}}}={\frac {12~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{mA}}.$
Di conseguenza, la tensione che cade ai capi dei nodi $B$ e $C$ è pari a:
    $V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{5-8}=1~{\text{k}}\Omega \cdot 2~{\text{mA}}=2~{\text{V}}.$
Pertanto, la corrente circolante nella resistenza $R_{6}$ è:
    $I_{R_{6}}={\frac {V_{BC}}{R_{6}}}={\frac {2~{\text{V}}}{2~{\text{k}}\Omega }}=1~{\text{mA}}.$

### Risoluzione dell'esercizio 8 col metodo dei partitori di tensione

I partitori di tensione consentono di accorpare due, o più, calcoli rendendo più snella la risoluzione dell'esercizio.
In alternativa, la tensione ai capi del nodo $AC$, può essere ottenuta dalla formula del partitore di tensione, la quale sostituisce quelle utilizzate per il calcolo di $R_{T}$, $I_{TOT}$ e – naturalmente – $V_{AC}$ stessa:
${\begin{aligned}V_{AC}&=V_{G}{\frac {R_{AC}}{R_{1}+R_{2}+R_{AC}+R_{4}}}\\&=36~{\text{V}}{\frac {2~{\text{k}}\Omega }{1,5~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +500~\Omega }}=12~{\text{V}}\end{aligned}}.$
Di conseguenza, la tensione ai capi dei nodi $B$ e $C$ (e, delle resistenze a essi connesse) sarà pari a:
    $V_{BC}=V_{AC}{\frac {R_{BC}}{R_{5-8}}}=12~{\text{V}}{\frac {1~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega }}=2~{\text{V}},$
espressione che sostituisce i successivi due calcoli.
Pertanto, la corrente circolante su $R_{6}$ si ottiene con la medesima formula del caso precedente.

## Esercizio 9

Dato il circuito di figura determinare la tensione sulla resistenza $R_{10}$.
Legenda :
| Grandezza | Valore |
| $V_{G}$ | $60~{\text{V}}$ |
| $R_{1}$ | $3~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{2}$ | $1,5~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{3}$ | $500~\Omega$ |
| $R_{4}$ | $500~\Omega$ |
| $R_{5}$ | $5,5~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{6}$ | $1~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{7}$ | $2~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{8}$ | $5~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{9}$ | $2~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{10}$ | $3~{\text{k}}\Omega$ |
| $R_{11}$ | $500~\Omega$ |
| $R_{12}$ | $2~{\text{k}}\Omega$ |

### Risoluzione dell'esercizio 9

Come prima cosa si procede col calcolo della resistenza totale $R_{TOT}$.
    $R_{9,10}=R_{9}+R_{10}=2~{\text{k}}\Omega +3~{\text{k}}\Omega =5~{\text{k}}\Omega$
    $R_{BC}={\frac {R_{8}\cdot R_{9,10}}{R_{8}+R_{9,10}}}={\frac {5~{\text{k}}\Omega \cdot 5~{\text{k}}\Omega }{5~{\text{k}}\Omega +5~{\text{k}}\Omega }}=2,5~{\text{k}}\Omega$
    $R_{6,11}=R_{6}+R_{7}+R_{BC}+R_{11}=1~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega +2,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega =6~{\text{k}}\Omega$
    $R_{4,5}=R_{4}+R_{5}=500~\Omega +5,5~{\text{k}}\Omega =6~{\text{k}}\Omega$
    $R_{AD}={\frac {R_{4,5}\cdot R_{6,11}}{R_{4,5}+R_{6,11}}}={\frac {6~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{k}}\Omega }{6~{\text{k}}\Omega +6~{\text{k}}\Omega }}=3~{\text{k}}\Omega$
Da sottolineare che i due calcoli delle resistenze in parallelo, trattandosi di resistenze di ugual valore, potevano essere svolti con la formula $R_{eq}=R/2$.
    $R_{TOT}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{AD}+R_{12}=3~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega +3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega =10~{\text{k}}\Omega$.
A questo punto, la corrente totale erogata dal circuito è pari a:
    $I_{TOT}={\frac {V_{G}}{R_{TOT}}}={\frac {60~{\text{V}}}{10~{\text{k}}\Omega }}=6~{\text{mA}}$,
da cui si evince la caduta di tensione ai capi dei nodi $AD$:
    $V_{AD}=R_{AD}\cdot I_{TOT}=3~{\text{k}}\Omega \cdot 6~{\text{mA}}=18~{\text{V}}$.
È ora possibile calcolare la corrente nel ramo che attraversa la resistenza $R_{6,11}$:
    $I_{6,11}={\frac {V_{AD}}{R_{6,11}}}={\frac {18~{\text{V}}}{6~{\text{k}}\Omega }}=3~{\text{mA}}$.
Questo valore poteva essere facilmente calcolato ricordando che le resistenze $R_{4,5}$ e $R_{6,11}$ sono uguali, pertanto ripartiscono la corrente in due parti uguali.
Quindi, la tensione ai capi dei nodi $BC$ è pari a:
    $V_{BC}=R_{BC}\cdot I_{6,11}=2,5~{\text{k}}\Omega \cdot 3~{\text{mA}}=7,5~{\text{V}}$.
La corrente che attraversa la resistenza $R_{9,10}$ è pari a:
    $I_{9,10}={\frac {V_{BC}}{R_{9,10}}}={\frac {7,5~{\text{V}}}{5~{\text{k}}\Omega }}=1,5~{\text{mA}}$,
ovvero la metà di $I_{6,11}$, come nel caso precedente.
Infine, la tensione che cade sulla resistenza $R_{10}$ vale:
    $V_{R_{10}}=R_{10}\cdot I_{9,10}=3~{\text{k}}\Omega \cdot 1,5~{\text{mA}}=4,5~{\text{V}}$.

### Risoluzione dell'esercizio 9 col metodo dei partitori di tensione

Come visto in precedenza, i calcoli comunque necessari, sono quelli iniziali a esclusione di $R_{TOT}$ in avanti. A questo punto, infatti (avendo solo resistenze in serie) è possibile calcolare direttamente $V_{AD}$:
    $V_{AD}=V_{G}{\frac {R_{AD}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{AD}+R_{12}}}=60~{\text{V}}{\frac {3~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega +1,5~{\text{k}}\Omega +500~\Omega +3~{\text{k}}\Omega +2~{\text{k}}\Omega }}=18~{\text{V}}$.
Il secondo passaggio è:
    $V_{BC}=V_{AD}{\frac {R_{BC}}{R_{AD}}}=18~{\text{V}}{\frac {2,5~{\text{k}}\Omega }{3~{\text{k}}\Omega }}=7,5~{\text{V}}$.
Infine, il risultato cercato, è dato da:
    $V_{R_{10}}=V_{BC}{\frac {R_{10}}{R_{9,10}}}=7,5~{\text{V}}{\frac {2,5~{\text{k}}\Omega }{5~{\text{k}}\Omega }}=4,5~{\text{V}}$.