# Limitazioni del differenziale di riconoscimento tra segnali a due stati

Titolo : limitazioni del differenziale di riconoscimento tra segnali a due stati
In alcune voci di questa categoria che, direttamente o indirettamente, trattano del differenziale di riconoscimento afferente ai sistemi di rivelazione in correlazione per segnali a due stati, non si è mai accennato a valori di questo inferiori a $-18\ dB\ ;\ -20\ dB$; la ragione della limitazione, oggetto di questa pagina, è intrinseca nelle funzioni matematiche che definiscono i processi di correlazione dei segnali a due stati subordinati poi alle velocità di spostamento dei mezzi navali.

## Definizione sintetica del termine "Differenziale di Riconoscimento"

Il differenziale di Riconoscimento $\Delta$, espresso in $dB$, è il minimo rapporto $si/ni$ con il quale un sonar può rivelare la presenza del bersaglio mascherato dal rumore.
Secondo le convenzioni il differenziale di riconoscimento che caratterizza un rivelatore è il minimo valore $\Delta$ per il quale si abbia:
Probabilità di falso allarme $P(fa)=10\ \%$
Probabilità di rivelazione $P(riv.)=50\ \%$

## La funzione che governa il processo di correlazione a due stati

Per discutere sulle limitazioni di cui al titolo si ripropone, in prima battuta, come si è già mostrato in molte voci della categoria, la funzione caratteristica che esprime come varia l'ampiezza del livello di correlazione, $C=f(si/ni)$, in funzione del rapporto segnale \ disturbo:
$C={\frac {2}{3.14}}Arcsen{\begin{Bmatrix}{\frac {1}{[1+({\frac {ni}{si}})^{2}]}}\end{Bmatrix}}\ \ \$ 1)
La 1), calcolata per $si/ni$ variabile da $-60\ dB\ a\ +60\ dB,$ è riportata in figura 1 in forma normalizzata:
Le scale sono:
* ascisse: $(si/ni)\ in\ dB\ ;\ 6\ dB/div.$
* ordinate $C(si/ni)$, adimensionali; $0.1/div.$
Dall'esame del grafico si vede come per valori di $si/ni$ dell'ordine di $-18\ dB$ il livello della funzione di correlazione $C(si/ni)$ ha ampiezza molto piccola tale da pregiudicare l'indicazione della sua presenza limitando la probabilità di scoprire il segnale $si$.
L'analisi più approfondita del problema viene affrontato nelle successive sezioni.

## Esame del problema in termini numerici

Un modo rigoroso per indagare sulle limitazioni del differenziale di riconoscimento consiste nell'esame della variazione del rapporto $si/ni$ secondo la funzione 2), che esprime come varia il parametro $d$ in funzione di $si/ni$
$d=2\ BW\ RC\left({\frac {si}{ni}}\right)^{4}\ \ \$ 2)
dove:
* $d=$ parametro probabilistico adimensionale (curve ROC) dipende da $P(riv)\ ;\ P(fa)$
* $BW=$ banda dei segnali applicati al correlatore in $Hz$
* $RC=$costante di tempo d'integrazione del correlatore in $s$. La variabile RC esercita sul correlatore un duplice effetto: a) determina il differenziale di riconoscimento; b) determina la velocità di assestamento della tensione all'uscita del correlatore.
Dalla 2) si ricava la 3) per $si/ni$ funzione di $RC$ per $d\ e\ BW$ costanti:
$(si/ni)={\sqrt[{4}]{d/(2\ BW\ RC)}}\ \ \$ (rapporto in numero puro) 3)

### Computo della 3)

Per il computo della 3), ad esempio con $BW=6000\ Hz$ e per un differenziale di riconoscimento che consenta:
Probabilità di falso allarme $P(fa)=10\ \%$
Probabilità di rivelazione $P(riv.)=50\ \%$
il valore $d$ da determinare con il calcolatore curve ROC risulta $d=1.6$; si indicano le due costanti della 3):
$d=1.6\ e\ BW=6000\ Hz$
con le quali calcolare la curva di figura 2 con $si/ni$ funzione di $RC$ variabile da $1\ a\ 10\ s.$
Dalla figura 2 si vede che per ottenere rapporti $si/ni$ dell'ordine dei $-24\ dB$ è necessaria una costante di tempo di $RC=10\ s$; dalla pendenza della curva s'intuisce che ulteriori incrementi del valore di $RC$ portano a irrilevanti miglioramenti del differenziale di riconoscimento.

### Osservazioni

Un valore di $RC=10\ s$ potrebbe andare bene per situazioni di correlazione tra segnali generati da una sorgente praticamente immobile; nel caso del sonar a fasci preformati che deve seguire le evoluzioni di un bersaglio possono valere le seguenti considerazioni:
Supponiamo che un CT navighi a $30$ nodi alla distanza di $10000\ m$ da un sottomarino in fase di scoperta sonar come indicato in figura 3. Consideriamo la cinematica dei due mezzi al tempo to nel quale il sonar del sottomarino rivela la posizione della nave bersaglio sotto un angolo di $\alpha =30^{\circ }$. Data la velocità del bersaglio di $30$ nodi $\approx 56\ km/h$ nel tempo di $1\ s$ l'angolo $\alpha$ si incrementerà di circa 1°, se il sonar del sottomarino è dotato di un sistema a fasci preformati in correlazione, 360 fasci su 360° (un fascio ogni 1°), il segnale correlato passerà dall'uscita di un correlatore all'uscita di quello contiguo in $1\ s$. i correlatori pertanto dovranno avere una risposta di assestamento nell'ordine di $1\ s$. corrispondenti, in base a figura 2, ad un differenziale di riconoscimento limitato a circa $-19\ dB$.
I dati emersi nelle sezioni illustrano quindi le limitazioni al differenziale di riconoscimento; limitazioni dovute in parte alle funzioni matematiche che governano il fenomeno e in parte all'impiego dei correlatori in situazioni relative a bersagli mobili.