# Analisi della tensione

Dato il vettore della tensione $\mathbf {t_{n}}$, è naturalmente possibile dedurne le componenti secondo qualsiasi terna di assi cartesiani ortogonali presi come sistema di riferimento:
$t_{ni}\,=\,\mathbf {t_{n}\cdot i_{i}}$
Può dimostrarsi interessante, tuttavia, fare riferimento non a direzioni generiche, ma alla direzione $\mathbf {n}$ normale al piano considerato. Di norma il vettore della tensione è inclinato rispetto a tale direzione, e su $\mathbf {n}$ agisce una componente di $\mathbf {t_{n}}$. Tale componente è chiamata tensione normale nella direzione $\mathbf {n}$:
$\sigma _{n}\,=\,\mathbf {t_{n}\cdot n}$
Considerando poi due generiche direzioni per completare la terna di riferimento, che saranno naturalmente per definizione ortogonali a $\mathbf {n}$, le componenti di $\mathbf {t_{n}}$ lungo queste ultime sono chiamate tensioni tangenziali:
$\tau _{n\nu }\,=\,\mathbf {t_{n}\cdot \nu }$
Tali tensioni sono considerate come quelle che la porzione ${\mathcal {C^{+}}}$ esercita su ${\mathcal {C^{-}}}$, per cui le tensioni normali sono positive quando tendono a far allontanare le due porzioni (sono, cioè, di trazione), mentre le tensioni tangenziali dipendono dal verso della generica direzione considerata.
Considerando i tre piani coordinati agli assi del generico sistema di riferimento, è possibile raccogliere le informazioni relative allo stato di tensione nel punto in una matrice:
${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\tau _{12}&\tau _{13}\\\tau _{21}&\sigma _{22}&\tau _{23}\\\tau _{31}&\tau _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$
In essa la prima riga rappresenta le componenti rispetto ai tre assi della tensione considerata agente sul piano di normale 1, ed ugualmente le altre due righe per le altre direzioni. Gli elementi della diagonale principale rappresentano le tensioni normali dei tre piani. I pedici stanno ad indicare il primo la normale al piano in cui si intende applicata la tensione, il secondo la direzione in cui la componente agisce.

## Valutazione della tensione lungo una direzione generica

Nota: Inserire immagine del tetraedro di Cauchy come http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cauchy_tetrahedron.svg ma con nomenclatura coerente con il testo
Si consideri il tetraedro di Cauchy, cioè un tetraedro nell'intorno del punto $P$ considerato avente tre facce secondo le direzioni del sistema di riferimento prescelto e la quarta di normale generica $\mathbf {n}$. Su di esso agiscono le forze di volume $\mathbf {Y}$, scomponibili lungo i tre assi del sistema di riferimento a dare $\mathbf {Y_{1}} \;\mathbf {Y_{2}} \;\mathbf {Y_{3}} \;$, e le forze interne $\mathbf {t_{1}dA_{1}} \;\mathbf {t_{2}dA_{2}} \;\mathbf {t_{3}dA_{3}} \;\mathbf {t_{n}dA}$. Per l'equilibrio nella generica direzione j deve essere:
$\mathbf {Y_{j}} dV\,+\,\mathbf {t_{nj}} dA\,+\,\sum _{k=1}^{3}\sigma _{kj}dA_{k}\,=\,0$
Dato che $dV=dA{\frac {dh}{3}}$, quindi un infinitesimo di ordine superiore, si trascura il termine che lo contiene. Noto che $dA_{i}=dA\cdot \mathbf {n_{i}}$, si può scrivere:
$t_{nj}=\sum _{k=1}^{3}\sigma _{kj}n_{i}$
Tale relazione si può ricondurre alla seguente:
$\mathbf {t_{n}} \,=\,T\;\mathbf {n}$
dove $T$ è detto tensore di tensione, e la matrice che lo rappresenta è la matrice trasposta di quella presentata in precedenza.
Si possono, quindi, calcolare le tensioni normali e tangenziali relative alla direzione $\mathbf {n}$:
$\sigma _{n}=\sum _{k=1}^{3}t_{nk}n_{k}=\sum _{i,k=1}^{3}\sigma _{ik}n_{i}n_{k}$
$\tau _{n\nu }=\sum _{k=1}^{3}t_{nk}\nu _{k}=\sum _{i,k=1}^{3}\sigma _{ik}n_{i}\nu _{k}$
In definitiva, data l'arbitrarietà con cui si è scelta la direzione $\mathbf {n}$, note le componenti di tensione secondo tre direzioni ortogonali è possibile conoscere lo stato di tensione lungo qualsiasi direzione.

## Le equazioni indefinite di equilibrio

Nota: Inserire immagine esplicativa di quanto detto nel testo
Così come nello studio della deformazione si sono fatte delle considerazioni per garantire la congruenza della stessa, per le tensioni si rende necessario fare delle considerazioni analoghe, ma in termini di equilibrio. Perché sia garantito l'equilibrio nel punto $P$ considerato, infatti, è necessario che le componenti della tensione soddisfino alcune equazioni dette equazioni indefinite di equilibrio, che si riferiscono all'intorno del punto considerato, e che sono l'applicazione degli stessi principi di equilibrio propri dei corpi estesi.
Si considera un elemento a forma di parallelepipedo avente un vertice in $P$ e di spigoli di lunghezza infinitesima $dy_{1}\;dy_{2}\;dy_{3}$. Sulle tre facce giacenti sui piani effettivamente compresi tra gli assi del riferimento, come già visto per il tetraedro di Cauchy, agiscono le forze $-\mathbf {t_{1}} dA_{1}\;-\mathbf {t_{2}} dA_{2}\;-\mathbf {t_{2}} dA_{2}$. Sulle altre tre facce, tuttavia, la tensione in generale non si mantiene uguale alle facce parallele, ma diventa, con riferimento al generico componente:
$\sigma '_{ik}=\sigma _{ik}+{\frac {\delta \sigma _{ik}}{\delta y_{i}}}dy_{i}$
Facendo l'equilibrio alla traslazione secondo la generica direzione $k$, ricordando che il secondo indice delle componenti ne identifica la direzione, avremo:
$\sum _{i=1}^{3}[-\sigma _{ik}dA_{i}+\sigma '_{ik}dA_{i}]+Y_{k}dV=0\to \sum _{i=1}^{3}[-\sigma _{ik}dA_{i}+(\sigma _{ik}+{\frac {\delta \sigma _{ik}}{\delta y_{i}}}dy_{i})dA_{i}]+Y_{k}dV=0\to \sum _{i=1}^{3}{\frac {\delta \sigma _{ik}}{\delta y_{i}}}dy_{i}dA_{i}+Y_{k}dV=0$
Per cui le equazioni indefinite di equilibrio possono essere così sintetizzate:
$Y_{k}=-\sum _{i=1}^{3}{\frac {\delta \sigma _{ik}}{\delta y_{i}}}$
Tale ultima posizione può essere espressa anche come:
$div\,T\;+\;Y\;=\;0$
L'ulteriore condizione perché sia verificato l'equilibrio è quella che si riferisce alla rotazione. Supponiamo di dover fare l'equilibrio alla rotazione intorno al generico i-esimo asse:
$(\sigma '_{jk}dA_{j}+\sigma _{jk}dA_{j}){\frac {dy_{j}}{2}}-(\sigma '_{kj}dA_{k}+\sigma _{kj}dA_{k}){\frac {dy_{k}}{2}}=0$
$(\sigma _{jk}dA_{j}+{\frac {\delta \sigma _{jk}}{\delta y_{j}}}dy_{j}dA_{j}+\sigma _{jk}dA_{j}){\frac {dy_{j}}{2}}-(\sigma _{kj}dA_{k}+{\frac {\delta \sigma _{kj}}{\delta y_{k}}}dy_{k}dA_{k}+\sigma _{kj}dA_{k}){\frac {dy_{k}}{2}}=0$
Da qui, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, si ottiene:
$(2\sigma _{jk}dA_{j}){\frac {dy_{j}}{2}}-(2\sigma _{kj}dA_{k}){\frac {dy_{k}}{2}}=0$
Considerando che le quantità $dA_{j}dy_{j}\;dA_{k}dy_{k}$ rappresentano il prodotto tra un'area e l'estensione del parallelepipedo nella direzione parallela ad essa, è ovvio che siano entrambe uguali al volume del parallelepipedo infinitesimo considerato, e quindi possono essere semplificate. Dopo ciò si arriva ad affermare:
$\sigma _{kj}\,=\,\sigma _{jk}$
Cioè, perché sia soddisfatto l'equilibrio alla rotazione, il tensore della tensione $T$ deve essere simmetrico.
Caso a sè nel considerare l'equilibrio fanno le regioni di frontiera. In questa parte del corpo, infatti, l'equilibrio alla traslazione si trasforma: detta $\mathbf {n}$ la normale della frontiera nel punto considerato, la tensione relativa a quella direzione deve essere necessariamente uguale all'azione che proviene dall'esterno, cioè:
$\mathbf {t_{n}} =\mathbf {p}$
Ulteriore distinzione va fatta per le parti di frontiera libere, in cui $\mathbf {p} =0$, e quelle vincolate, in cui l'azione ha un valore generalmente diverso da zero.

## Tensioni e direzioni principali

Come per la deformazione, in maniera del tutto equivalente dal punto di vista formale, è possibile definire anche per la tensione quelle che sono definite le tensioni e le direzioni principali. Allo stesso modo, infatti, si definiscono gli autovalori ed autovettori del tensore di tensione $T$ e se ne definiscono gli invarianti lineare, quadratico e cubico. Allo stesso modo, poi, è possibile decomporre il suddetto tensore in una componente sferica ed una deviatorica.
Inviluppando le direzioni principali interne ad un generico corpo soggetto ad una generica combinazione di carichi si possono individuare tre famiglie di linee, di cui quelle relative alle tensioni massima e minima vengono solitamente chiamate isostatiche di trazione e compressione. La particolarità di queste direzioni, le quali sono naturalmente funzione delle modalità con cui il corpo stesso è sottoposto a forze, è che lungo esse la materia è impegnata esclusivamente con sforzi normali di compressione e di trazione. L'assenza di sforzi tangenziali lungo queste direzioni è un fatto molto positivo per l'economia del sistema, dal momento che in generale la materia è in grado di resistere meglio ad azioni normali rispetto a quanto non faccia con azioni tangenziali. D'altronde esistono esempi in natura di tessuti organici le cui fibre resistenti sono pressoché coincidenti con le isostatiche, motivo per cui sono in grado di accompagnare ad un peso ridotto un'elevata resistenza agli sforzi.