# Gruppi del punto bidimensionali

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## 6.1.1 Gruppi di rotazioni proprie

Il cerchio ha evidentemente la simmetria descritta dal gruppo di tutte le rotazioni nel piano, un gruppo infinito (contiene un numero infinito di operazioni di simmetria). Vogliamo determinare i gruppi finiti di rotazioni e prenderemo in esame innanzitutto i gruppi di rotazioni proprie.
Un qualsiasi gruppo di rotazioni proprie dovrà contenere l'operazione identità (elemento unità del gruppo E, rotazione di 0° ovvero R$_{360°}$); se poi il gruppo contiene la rotazione R$_α$, conterrà di necessità anche R$_{2α}$, R$_{3α}$, ....R$_{nα}$. Affinché il gruppo sia finito dovrà essere:
    R$_{nα}$ = E, (6.1)
ovvero:
    nα = 2π α = 2π/n (6.2)
Le operazioni del gruppo sono:
    E, R$_α$, R$_{2α}$,....R$_{(n-1)α}$.
Il gruppo di tali n operazioni si chiama gruppo ciclico e si indica C$_n$
Poiché
    R$_{2α}$ = R$_α$R$_α$ = (R$_α$)$^2$ (6.3)
    R$_{3α}$ = R$_α$R$_α$R$_α$ = (R$_α$)$^3$ (6.4)
    R$_{(n-1)α}$ = R$_α$R$_α$........R$_α$ = (R$_α$)$^{n-1}$ (6.5)
il gruppo ciclico C$_n$ si può anche descrivere come costituito dalle operazioni: E, R$_α$, (R$_α$)$^2$.... (R$_α$)$^{n-1}$, con (R$_α$)$^n$ = E.
Esistono infiniti gruppi ciclici:
C$_1$, C$_2$, C$_3$, ......C$_n$,......
È opportuno osservare che i gruppi ciclici sono abeliani (commutativi). L'inverso di una generica operazione Rα di un gruppo ciclico è l'operazione R$_{(n-1)α}$ = (R$_α$)$^{n-1}$. Infatti R$_α$(R$_α$)$^{n-1}$ = E.
Nella Figura 7 sono rappresentate configurazioni spaziali corrispondenti alle simmetrie dei gruppi ciclici C$_1$, C$_2$, C$_3$, C$_4$.

## 6.1.2 Gruppi impropri

Rotazione impropria nel piano è la riflessione in una linea. Introduciamo tale operazione in un gruppo ciclico generico, costituito dalle operazioni E, R$_α$, R$_{2α}$,....R$_{(n-1)α}$. La linea di riflessione dovrà passare per il punto attorno al quale si compiono le rotazioni, poiché vogliamo costruire un gruppo del punto (gruppo di rotazioni proprie ed improprie che lasciano immobile almeno un punto).
L'introduzione della linea di riflessione m$_1$ significa che dovremo avere anche le operazioni R$_α$m$_1$, R$_{2α}$m$_1$,..... La Fig. 8 mostra che l'operazione R$_α$m$_1$ equivale ad una riflessione in una linea m$_2$ posta ad un angolo di α/2 rispetto a m$_1$.
Pertanto, l'introduzione di una linea di riflessione m1 accanto alle operazioni del gruppo C$_4$ (E, R$_{90°}$, R$_{180°}$, R$_{270°}$) comporta l'introduzione di altre tre linee: m$_2$, m$_3$, m$_4$, facenti con m$_1$ angoli di 45°, 90°, 135° rispettivamente. Ancora: l'introduzione di una linea di riflessione m$_1$ accanto alle operazioni del gruppo C$_3$ (E, R$_{120°}$, R$_{240°}$) comporta l'introduzione di altre due linee: m$_2$, m$_3$, facenti con $_m$$_1$ angoli di 60°, 120°, rispettivamente. In generale l'introduzione di una linea di riflessione m$_1$ accanto alle operazioni proprie di un gruppo ciclico C$_n$ comporta l'introduzione di altre n-1 linee di riflessione m$_2$, m$_3$,....m$_n$, facenti con m$_1$ angoli di α/2, α, 3α/2, 2α,....(n-1)α/2.
L'insieme di tutte le rotazioni proprie e improprie (riflessioni) di tale gruppo, in totale 2n operazioni, verrà indicato con D$_n$'.
Dall'esame della Figura 9 sono immediatamente evidenti importanti aspetti della struttura dei gruppi impropri: ogni gruppo improprio di ordine n è costituito da n/2 operazioni proprie (esse costituiscono gruppo - sottogruppo dimezzante del gruppo dato) e da n/2 operazioni improprie. Inoltre, le operazioni improprie possono essere ottenute prendendo una qualsiasi di esse (m$_1$ nell'esempio di Fig. 9a). Una dimostrazione rigorosa di tali aspetti sarà data quando tratteremo dei gruppi del punto in tre dimensioni.
Ad ogni gruppo ciclico C$_n$ corrisponde un gruppo D$_n$': è opportuno osservare come C$_n$ sia sottogruppo dimezzante di D$_n$'. Tutti i possibili gruppi finiti di rotazioni (proprie e improprie) del piano sono riassunti nella tabella seguente (tavola di Leonardo).
Tab. 1. Tavola di Leonardo :
| C$_1$ | C$_2$ | C$_3$ | C$_4$ | … | C$_n$ |
| D$_1$' | D$_2$' | D$_3$' | D$_4$' | … | D$_n$' |

## 6.1.3 Gruppi del punto cristallografici

Non abbiamo finora posto alcuna limitazione alle simmetrie possibili. Vogliamo ora vedere quali dei gruppi della Tabella 1 sono compatibili con strutture periodiche bidimensionali. Infatti la presenza simultanea della simmetria traslazionale impone delle restrizioni alla simmetria rotazionale.
Sia A un punto di rotazione di ordine n (α = 2π/n) e t una traslazione reticolare.
Anche A' (Fig. 10) è ovviamente punto di rotazione di ordine n: B si ottiene da A' ruotando di α attorno ad A e B' si ottiene da A ruotando di α attorno ad A': b = BB' dovrà essere una traslazione reticolare parallela a t. Quindi:
    b = t - 2t cos α = mt con m intero (6.6)
    m = 1 - 2 cos α (6.7)
    2 cos α = 1 - m = M (6.8)
    cos α = M/2 con M intero (6.9)
La Tabella 2 presenta tutti i possibili valori di M, cos α, α e l'ordine della rotazione, mentre la Fig. 11 due esempi di simmetrie rotazionali compatibili con le traslazioni.
Tab. 2. Rotazioni compatibili con le traslazioni reticolari :
| M | cos α | α | n(2π/α) |
| -2 | -1 | π | 2 |
| -1 | 1/2 | 2π/3 | 3 |
| 0 | 0 | π/2 | 4 |
| 1 | 1/2 | π/3 | 6 |
| 2 | 1 | 2π | 1 |
La limitazione imposta alle possibili simmetrie rotazionali riduce i gruppi cristallografici del punto bidimensionali ai seguenti dieci:
| C$_1$ | C$_2$ | C$_3$ | C$_4$ | C$_{6n}$ |
| D$_1$' | D$_2$' | D$_3$' | D$_4$' | D$_6$' |
Nella Fig. 12 sono date le notazioni internazionali per tali gruppi e le loro rappresentazioni grafiche.