# I sistemi di equazioni (superiori)
## Equazione lineare in due incognite

DEFINIZIONE 1. Una equazione di primo grado (in $n$ incognite) si chiama equazione lineare.
Problema: Determinare due numeri naturali la cui somma sia 16.
Soluzione L'ambiente del problema è l'insieme $\mathbb {N}$ dei numeri naturali. Indicati con $x$ e $y$ i due numeri richiesti dal quesito, il problema si formalizza con l'equazione $x+y=16$, equazione in due incognite, di primo grado.
Determiniamo l'Insieme Soluzione del problema proposto. L'obiettivo è trovare $x\in \mathbb {N}$ e $y\in \mathbb {N}$ tali che $x+y=16$ oppure $(x;y)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid x+y=16$. Le coppie di numeri naturali che sono soluzioni dell'equazione sono facilmente determinabili e sono tutte quelle riportate nella tabella seguente. :
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| $y$ | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
L'Insieme Soluzione del problema posto è dunque formato dalle 17 coppie di numeri naturali sopra elencate. Riformuliamo il problema cercando coppie di numeri razionali la cui somma sia 16. In simboli scriviamo $x\in \mathbb {Q}$ e $y\in \mathbb {Q}$ tali che $x+y=16$ oppure $(x;y)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \mid x+y=16$.
Possiamo subito dire che tutte le coppie precedenti sono soluzione del problema, ma ce ne sono infinite altre, ad esempio la coppia $(-7;+23)$ è soluzione del problema perché sostituendo a $x$ il valore $-7$ e a $y$ il valore $+23$ si ha $(-7)+(+23)=16$. Dal procedimento si capisce che anche la coppia $(+23;-7)$ è soluzione del problema perché $(+23)+(-7)=16$.
Se attribuiamo un valore arbitrario a $x$, l'altro elemento della coppia soluzione si può ottenere sottraendo da 16 il valore di $x$: $y=16-x$.
Completa tu:
se $x=-3$ allora $y=16-(-3)=\ldots \ldots$ e la coppia (…; …) è soluzione dell'equazione;
se $x={\tfrac {3}{2}}$ allora $y=\ldots \ldots \ldots$, la coppia (……; ……) è soluzione dell'equazione;
se $x=\ldots \ldots \ldots$ allora $y=$ ………, la coppia (……; ……) è soluzione dell'equazione;
se $x=\ldots \ldots \ldots$allora $y=$ ………, la coppia (……; ……) è soluzione dell'equazione.
Quindi, se l'ambiente del problema è l'insieme $\mathbb {Q}$, troviamo infinite coppie di numeri razionali che soddisfano il problema. E ancora, se formuliamo il problema nell'insieme dei numeri reali $\mathbb {R}$, troveremo tutte le infinite coppie soluzione del problema: basta assegnare all'incognita $x$ valori reali arbitrari e determinare di conseguenza il corrispondente valore di $y=16-x$.
Se $x={\sqrt {2}}\Rightarrow y=16-{\sqrt {2}}$, quindi la coppia $\left({\sqrt {2}};16-{\sqrt {2}}\right)$ è soluzione dell'equazione.
Completa:
se $x=-2{\sqrt {3}}+1$ allora $y=\ldots \ldots \ldots$
se $x=16+{\tfrac {3{\sqrt {5}}}{2}}$ allora $y=\ldots \ldots \ldots$ :
DEFINIZIONE 2. Si chiama Insieme Soluzione $({\text{I.S.}})$ di un'equazione di primo grado in due incognite $x$ e $y$, l'insieme delle coppie ordinate di valori che sostituiti rispettivamente a $x$ e a $y$ rendono vera l'uguaglianza.

### Rappresentazione di un'equazione lineare sul piano cartesiano

Esempio: Determinare l'insieme soluzione dell'equazione $3y-x+1=0$ con $x\in \mathbb {R}$ e $y\in \mathbb {R}$.
Osserviamo che l'equazione assegnata ha due incognite ed è di primo grado; l'insieme soluzione sarà formato dalle infinite coppie ordinate $(x;y)$ di numeri tali che $3y-x+1=0$.
Possiamo verificare che la coppia $(1;0)$ è soluzione dell'equazione, ma come facciamo a determinare tutte le coppie che soddisfano quella equazione?
Fissiamo l'attenzione sull'incognita $y$, pensiamo l'equazione come un'equazione nella sola $y$, ricaviamo $y$ come abbiamo fatto nelle equazioni di primo grado ad una sola incognita, applicando i principi di equivalenza delle equazioni:
$3y-x+1=0\Rightarrow 3y=x-1\Rightarrow {\tfrac {3y}{3}}={\tfrac {x-1}{3}}\Rightarrow y={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{3}}.$
Dunque, al variare di $x$ in $\mathbb {R}$, si ottengono tutte le infinite soluzioni dell'equazione assegnata. Prova a determinarne alcune: :
| $x$ | $y$ | coppia |
| $0$ | $\ldots$ | ($0;\ldots$) |
| $1$ | $\ldots$ | ($1;\ldots$) |
| $-1$ | $\ldots$ | ($-1;\ldots$) |
In verità non possiamo elencare tutte le infinite coppie che risolvono quella equazione, ma possiamo darne una rappresentazione grafica.
Gli assi cartesiani
La formula
$y={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{3}}$
rappresenta una funzione lineare; riportiamo le coppie trovate in un riferimento cartesiano ortogonale e tracciamo la retta che rappresenta la funzione.
Una qualunque equazione lineare $ax+by+c=0$ ammette infinite soluzioni, costituite da coppie ordinate di numeri reali; esse sono le coordinate cartesiane dei punti della retta grafico della funzione $y=-{\tfrac {a}{b}}x-{\tfrac {c}{b}}$. La formula $y=-{\tfrac {a}{b}}x-{\tfrac {c}{b}}$ si chiama equazione esplicita della retta. :
ESEMPIO 1. Risolvi graficamente l'equazione $y+{\tfrac {2}{3}}x-2=0{\text{, con }}x\in \mathbb {R} \;{\text{ e }}\;y\in \mathbb {R}$.
L'equazione assegnata è in due incognite, di primo grado, è cioè una equazione lineare. Nel riferimento cartesiano ortogonale essa rappresenta una retta.
Troviamo l'equazione esplicita della retta:
$y+{\tfrac {2}{3}}x-2=0\Rightarrow y=-{\tfrac {2}{3}}x+2.$
Individuiamo l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse $y$: $q=2$, quindi $P(0;2)$ è un punto della retta.
Troviamo un altro punto appartenente alla retta: se $x=3$ allora $y=0$, quindi $A(3;0)$ è un punto della retta.
Disegniamo la retta nel piano cartesiano: le coppie $(x;y)$, coordinate dei punti della retta tracciata, sono le infinite soluzioni dell'equazione assegnata.

## Risoluzione di sistemi di equazioni lineari

PROBLEMA 1.
Nel rettangolo $ABCD$, la somma del doppio di ${\overline {AB}}$ con la metà di ${\overline {BC}}$ è di $98{\text{m}}$; aumentando ${\overline {AB}}$ di $3{\text{m}}$ e ${\overline {BC}}$ di $2{\text{m}}$, il perimetro del rettangolo diventa di $180{\text{m}}$. Determinare l'area in ${\text{m}}^{2}$ del rettangolo.
Dati: $2{\overline {AB}}+{\tfrac {1}{2}}{\overline {BC}}=98{\text{m}}{\text{,}}\quad 2({\overline {AB}}+3+{\overline {BC}}+2)=180{\text{m}}.$
Obiettivo: Area
Soluzione Per determinare l'area del rettangolo dobbiamo moltiplicare le misure delle sue dimensioni ${\text{Area}}\;={\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}$ che però non conosciamo; il problema ha quindi due incognite.
Analizzando i dati possiamo osservare che ci sono fornite due informazioni che legano le grandezze incognite. Se poniamo ${\overline {AB}}=x$ e ${\overline {BC}}=y$ otteniamo le due equazioni:
$2x+{\tfrac {1}{2}}y=98;\quad 2(x+3+y+2)=180$
che dovranno risultare soddisfatte per una stessa coppia di numeri reali.
DEFINIZIONE 3. Si definisce sistema di equazioni l'insieme di più equazioni, in due o più incognite, che devono essere verificate contemporaneamente. La scrittura formale si ottiene raggruppando le equazioni mediante una parentesi graffa.
Analizzeremo in particolare i sistemi in due equazioni e due incognite.
DEFINIZIONE 4. L'Insieme Soluzione (${\text{I.S.}}$) di un sistema di equazioni in due incognite è formato da tutte le coppie di valori che rendono contemporaneamente vere tutte le equazioni del sistema.
DEFINIZIONE 5. Si chiama grado di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. In particolare, se le equazioni che lo compongono sono di primo grado, il sistema si chiama sistema lineare.
La forma normale o canonica di un sistema lineare è:
$\left\{{\begin{array}{l}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{array}}\right.{\text{, con }}a_{1}{\text{, }}b_{1}{\text{, }}c_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}b_{2}{\text{ e }}c_{21}{\text{ numeri reali.}}$
Il problema precedente si formalizza dunque con il sistema
$\left\{{\begin{array}{l}2x+{\tfrac {1}{2}}y=98\\2(x+3+y+2)=180\end{array}}\right.$
composto da due equazioni in due incognite di primo grado e pertanto il suo grado è 1 (è un sistema lineare). La sua forma canonica si ottiene sviluppando i calcoli nella seconda equazione
$\left\{{\begin{array}{l}2x+{\tfrac {1}{2}}y=98\\2x+2y=170\end{array}}\right..$

### Procedimento per ottenere la forma canonica di un sistema

La forma canonica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite è, come abbiamo visto,
$\left\{{\begin{array}{l}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{array}}\right.$
con $a_{1}$, $b_{1}$, $c_{1}$, $a_{2}$, $b_{2}$ e $c_{2}$ numeri reali.
ESEMPIO 2. Scrivere in forma canonica il sistema:
$\left\{{\begin{array}{l}4x^{2}-(y+2x)^{2}=x+1-y(4x+y-1)\\{\tfrac {x-2}{2}}+{\tfrac {y+3}{3}}=0\end{array}}\right..$
Eseguiamo i calcoli nella prima equazione e riduciamo allo stesso denominatore la seconda equazione:
$\left\{{\begin{array}{l}4x^{2}-y^{2}-4x^{2}-4xy=x+1-4xy-y^{2}+y\\3x-6+2y+6=0\end{array}}\right..$
Per mezzo del primo principio di equivalenza delle equazioni portiamo le incognite al primo membro e sommiamo i termini simili, ottenendo
$\left\{{\begin{array}{l}x+y=-1\\3x+2y=0\end{array}}\right.$
che è la forma canonica cercata.

### Metodo di sostituzione

Risolvere il sistema significa determinare tutte le coppie di numeri reali che soddisfano contemporaneamente le due equazioni.
Analizziamo i diversi metodi che permettono di ottenere l'Insieme Soluzione, cominciamo dal metodo di sostituzione.
ESEMPIO 3. $\left\{{\begin{array}{l}-3x+y=2\\5x-2y=7\end{array}}\right.$.
Il sistema si presenta già in forma canonica. Il metodo di sostituzione si svolge nei seguenti passi:
Passo I  scegliamo una delle due equazioni e una delle due incognite da cui partire. Applicando i principi d'equivalenza delle equazioni, ricaviamo questa incognita. Nel nostro esempio, partiamo dalla prima equazione e ricaviamo l'incognita $y$
$\left\{{\begin{array}{l}-3x+y=2\\5x-2y=7\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}y=2+3x\\5x-2y=7\end{array}}\right..$
Passo II  sostituiamo nella seconda equazione, al posto dell'incognita trovata, l'espressione a cui essa risulta uguale dalla prima equazione. Nel nostro esempio abbiamo
$\left\{{\begin{array}{l}y=2+3x\\5x-2y=7\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}y=2+3x\\5x-2(2+3x)=7\end{array}}\right..$
Passo III  svolgiamo i calcoli nella seconda equazione. Nel nostro esempio
$\left\{{\begin{array}{l}y=2+3x\\5x-4-6x=7\end{array}}\right..$
Passo IV  risolviamo la seconda equazione, che ora è un'equazione di primo grado in una sola variabile. Nel nostro esempio, ricaviamo $x$ dalla seconda equazione
$\left\{{\begin{array}{l}y=2+3x\\5x-4-6x=7\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}y=2+3x\\-x=7+4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}y=2+3x\\x=-11\end{array}}\right..$
Passo V  sostituiamo nella prima equazione il valore numerico dell'incognita trovata e avremo un'equazione di primo grado nell'altra incognita. Risolviamo quest'ultima equazione. Nel nostro esempio
$\left\{{\begin{array}{l}y=2+3x\\x=-11\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}y=-31\\x=-11\end{array}}\right..$
Passo VI  possiamo ora scrivere l'insieme soluzione. Nel nostro esempio ${\text{I.S.}}=\{(-11;-31)\}$.
In conclusione, il sistema è determinato, la coppia ordinata $(-11;-31)$ verifica contemporaneamente le due equazioni del sistema.
ESEMPIO 4. $\left\{{\begin{array}{l}{\tfrac {1}{2}}(x-1)+3\left(y+{\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {1}{6}}\\y\left(1+{\tfrac {2}{5}}\right)-2={\tfrac {4}{5}}-{\tfrac {x-1}{5}}\end{array}}\right..$
* Il sistema non si presenta nella forma canonica. Svolgiamo i calcoli e portiamo il sistema in forma canonica: $\left\{{\begin{array}{l}3x+18y=-2\\x+7y=15\end{array}}\right.;$
* ricaviamo $x$ dalla seconda equazione: $\left\{{\begin{array}{l}3x+18y=-2\\x=15-7y\end{array}}\right.;$
* abbiamo fatto questa scelta perché possiamo ottenere il valore di $x$ con facilità e senza frazioni. Sostituiamo nella prima equazione al posto di $x$ l'espressione trovata: $\left\{{\begin{array}{l}3\cdot (15-7y)+18y=-2\\x=15-7y\end{array}}\right.;$
* risolviamo la prima equazione che è di primo grado nella sola incognita $y$: $\left\{{\begin{array}{l}-3y=-47\\x=15-7y\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}y={\tfrac {47}{3}}\\x=15-7y\end{array}}\right.;$
* sostituiamo il valore di $y$ nella seconda equazione: $\left\{{\begin{array}{l}y={\tfrac {47}{3}}\\x=15-7\left({\tfrac {47}{3}}\right)\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x=-{\tfrac {284}{3}}\\y={\tfrac {47}{3}}\end{array}}\right..$
* ↑ dal nome del matematico svizzero Gabriel Cramer (1704 - 1752).