# Numeri razionali

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Abbiamo visto che dati due numeri interi $p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} -\{0\}$ non è sempre possibile trovare un $x\in \mathbb {Z}$ che sia soluzione di un'equazione del tipo $qx=p$: infatti questa equazione ammette una soluzione intera se e solo se $p$ è multiplo di $q$. In tal caso si dividono per $q\neq 0$ entrambi i membri e si ottiene che $x=p:q$. Tutto cambia invece quando $p$ non è divisibile per $q$. È noto a tutti che si può eseguire la divisione euclidea (con resto) ottenendo un quoziente e un resto. Tuttavia però questo procedimento non è una vera e propria operazione. Nasce per questo motivo la necessità di dare uno e un solo risultato a una qualsiasi divisione tra due numeri interi, dei quali il secondo diverso da zero. Quindi riconsiderando la precedente equazione
$qx=p\Leftrightarrow x={\frac {p}{q}}=p:q$

## Costruzione formale

Costruzione dei numeri razionali: ogni classe di equivalenza può essere rappresentata come una retta passante per l'origine, che passa per ogni coppia ordinata che rappresenta quel numero razionale. Da un punto di vista formale, non è possibile definire i numeri razionali semplicemente come coppie di numeri interi (cioè come l'insieme delle frazioni del tipo $a/b$), perché in questo caso, ad esempio, le coppie (3,2) e (6,4) sarebbero numeri diversi, mentre tra i razionali vale l'uguaglianza
    ${\frac {3}{2}}={\frac {6}{4}}.$
È necessario quindi introdurre le nozioni di relazione e classe d'equivalenza, nel modo seguente.
Ogni numero razionale è una classe di equivalenza di coppie ordinate di numeri interi $(a,b)$, con $b$ diverso da zero. La relazione di equivalenza è la seguente
    $\left(a,b\right)\sim (c,d){\mbox{ se e solo se }}ad=bc$
L'addizione e la moltiplicazione di numeri razionali sono definite come
    $\left(a,b\right)+(c,d)=(ad+bc,bd)$
    $\left(a,b\right)\times (c,d)=(ac,bd)$
Si verifica che entrambe le operazioni così definite sono compatibili con la relazione di equivalenza: il loro risultato, infatti, non dipende dalle particolari coppie ordinate scelte per indicare i numeri razionali da sommare o moltiplicare. L'insieme quoziente di questa relazione è quindi Q.
Si noti che le operazioni ora definite non sono altro che la formalizzazione delle consuete operazioni tra frazioni:
    ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$
    ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$
Con le operazioni di cui sopra, $Q$ risulta un campo, ove la classe di $(0,1)$ gioca il ruolo dello zero, e la classe di $(1,1)$ quello di uno. L'opposto della classe di $(a,b)$ è la classe di $(-a,b)$. Inoltre, se $a\neq 0$, ovvero la classe di $(a,b)$ è diversa da zero, allora la classe di $(a,b)$ è invertibile, ed ha per inverso la classe di $(b,a)$.
La classe di equivalenza corrisponde all'esistenza di più rappresentazioni come frazione dello stesso numero razionale:
    ${\frac {a}{b}}={\frac {ka}{kb}}$
per ogni k intero non nullo.
Possiamo definire anche un ordine totale su Q nel modo seguente:
    $(a,b)\leq (c,d){\mbox{ se e solo se }}(bd>0{\mbox{ e }}ad\leq bc){\mbox{ oppure }}(bd<0{\mbox{ e }}ad\geq bc)$

## Scrittura decimale

Come tutti i numeri reali, i numeri razionali possono essere rappresentati tramite il sistema numerico decimale. Lo sviluppo decimale dei numeri razionali ha la particolarità di essere periodico: un numero reale è razionale se e solo se nella sua scrittura esiste una sequenza finita di cifre (detta periodo) che si ripete all'infinito, da un certo punto in poi dopo la virgola.
Ad esempio:
    $1/3=0,{\bar {3}}=0,333...$ (si ripete il periodo "3" all'infinito)
    $50/41=1,{\overline {21951}}=1,219512195121951...$
    $3/4=0,75{\bar {0}}=0,75000...=0,75$
    $1=1,{\bar {0}}=1,00000...$
Un numero razionale può essere descritto quindi "soprallineando" il periodo, come in questi esempi.
Questa equivalenza tra razionali e numeri periodici implica che nessun numero razionale è normale in una qualunque base. Può essere usata anche per dimostrare l'irrazionalità di molti numeri: ad esempio
    $0,11010010001\cdots$
dove ogni 1 è separato da una sequenza di zeri di lunghezza crescente, è irrazionale in qualsiasi base, in quanto, se fosse razionale, il suo periodo conterrebbe una sequenza finita di zeri separati da 1. Tuttavia nell'espansione possono essere trovati gruppi di zeri di qualsiasi lunghezza, e quindi un periodo di tal genere non può esistere. Con metodi simili si può dimostrare che la costante di Copeland-Erdos $0,23571113...$ formata, in base dieci, dalla giustapposizione dei numeri primi, è irrazionale.
Questa tecnica è tuttavia inutile per provare l'irrazionalità di numeri non definiti in base alla loro espansione decimale, come ${\sqrt {2}}$ e pi greco.

### Frazioni continue

I numeri razionali hanno una rappresentazione in frazione semplice finita, e sono gli unici a possedere questa proprietà. Inoltre sono gli unici in cui la rappresentazione non è unica, ma doppia: ad esempio
    ${\frac {38}{15}}=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{7}}}}}}=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1}}}}}}}}$

## Struttura algebrica

Munito di addizione, moltiplicazione e relazione d'ordine, l'insieme $\mathbb {Q}$ ha la struttura algebrica di un campo ordinato archimedeo, e tuttavia non è un campo completo (si può dimostrare che - ricordando la definizione di campo completo - un sottoinsieme A delle x appartenenti a Q e positive, tali che x al quadrato sia minore di due, ha come estremante superiore il valore due, che non appartiene però al campo stesso).
L'unico sottocampo del campo dei numeri razionali è se stesso. Gli elementi neutri per la somma ed il prodotto sono rispettivamente 0 ed 1. La caratteristica del campo è 0; si può dimostrare inoltre che ogni campo con caratteristica 0 contiene un sottocampo isomorfo ai numeri razionali, e quindi che ogni campo di questo tipo può essere considerato come un'estensione dei razionali. In particolare, i razionali ne formano il sottocampo fondamentale.
La chiusura algebrica dei numeri razionali non è formata dai numeri reali, ma dai numeri algebrici, i quali formano uno spazio vettoriale di dimensione infinita sui razionali.
Il campo dei numeri razionali è inoltre il campo dei quozienti dell'insieme $\mathbb {Z}$ dei numeri interi.

## I razionali come spazio metrico

Per il teorema di Ostrowski, i razionali sono uno spazio metrico rispetto solo a due tipi di valore assoluto: l'usuale modulo
    $|x|_{\infty }:={\begin{cases}x&\mathrm {~se~} x\geq 0\\-x&\mathrm {~se~} x<0.\end{cases}}$
e il valore assoluto p-adico
    $|x|_{p}:={\begin{cases}0&\mathrm {~se~} x=0\\p^{-n}&\mathrm {~altrimenti} .\end{cases}}$
dove p è un qualsiasi numero primo e n è tale che $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$ e a, b e p sono a due a due coprimi. Le norme riferiti a questi due valori assoluti sono rispettivamente
    $d(x,y)=|x-y|_{\infty }$
e
    $d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}$
I razionali non sono completi rispetto a nessuna di queste due norme: i completamenti sono rispettivamente i numeri reali e i numeri p-adici. Quest'ultimo è particolarmente usato in teoria dei numeri, mentre l'introduzione dei numeri reali è necessaria per poter stabilire alcuni teoremi fondamentali dell'analisi, tra cui il teorema degli zeri e il teorema di Weierstrass.

## Numerabilità

Le frazioni in rosso sono quelle che non rappresentano nuovi numeri razionali. $\mathbb {Q}$ è numerabile, cioè esiste una corrispondenza biunivoca tra i razionali e i numeri naturali. Questo risultato, apparentemente paradossale (è naturale, infatti, pensare che le frazioni siano "molte di più" degli interi), è stato dimostrato da Georg Cantor. Il suo ragionamento si basa sul diagramma a fianco: possiamo infatti ordinare i razionali positivi, seguendo le frecce, in modo che ad ognuno di essi sia assegnato un numero naturale; anzi, ogni numero sarà contato infinite volte (perché ognuno ha un'infinità di rappresentazioni diverse), ma questo non può rendere l'insieme $\mathbb {Q}$ più grande. Lo stesso argomento può essere usato per dimostrare che i razionali negativi sono numerabili. Poiché l'unione di due insiemi numerabili è ancora numerabile, $\mathbb {Q}$ risulta quindi essere numerabile.
Al contrario, l'insieme dei numeri reali non è numerabile, e quindi "quasi tutti" i numeri reali sono irrazionali. Questo implica che, sebbene $\mathbb {Q}$ sia denso in $\mathbb {R}$, abbia misura di Lebesgue nulla.

## Polinomi

L'anello dei polinomi a coefficienti razionali si indica con $\mathbb {Q} [X]$. Al contrario dei polinomi a coefficienti reali o complessi, non esiste un criterio semplice per individuare l'eventuale irriducibilità di un polinomio a coefficienti razionali.
La maggior parte dei criteri usati si basano sul lemma di Gauss, il quale afferma che un polinomio a coefficienti interi è riducibile nell'anello $\mathbb {Q} [X]$ se e solo se è riducibile in fattori di grado maggiore di 0 nell'anello $\mathbb {Z} [X]$ dei polinomi a coefficienti interi. Poiché ogni polinomio a coefficienti razionali può essere trasformato in uno a coefficienti interi moltiplicando per il massimo comun divisore dei denominatori senza cambiare la sua irriducibilità, questo lemma permette di applicare ai polinomi a coefficienti razionali alcuni criteri, come il criterio di Eisenstein, che si applicano sui polinomi a coefficienti interi.
In particolare, questo criterio permettere di costruire polinomi irriducibili di qualunque grado: ad esempio
    $P(x)=x^{6}+3x^{5}+33x^{4}+6x^{2}+9x+12$
è irriducibile. Questo non avviene negli anelli di polinomi a coefficienti reali o complessi: nel primo caso i polinomi irriducibili possono essere solamente di primo o di secondo grado, mentre nel caso complesso, in conseguenza del teorema fondamentale dell'algebra, ogni polinomio si scompone in fattori di primo grado.

### Radici razionali

Al contrario di quanto avviene con le radici reali (o complesse), esiste un algoritmo molto veloce per stabilire quali siano (se esistono) gli zeri razionali di un polinomio (a coefficienti interi, forma a cui può essere ridotto ogni polinomio a coefficienti razionali). Il teorema delle radici razionali afferma infatti che, se
    $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$
con gli $a_{i}$ interi, allora, nelle eventuali radici razionali p/q, p è un divisore di $a_{0}$ e q di $a_{n}$. Poiché i divisori di questi due numeri sono in numero finito, sarà sufficiente, per il teorema del resto, controllare se per ogni coppia di divisori si ha P(p/q)=0 (nel qual caso p/q è una radice) oppure no.

## Razionali complessi

I razionali complessi, o razionali gaussiani per analogia con gli interi gaussiani, sono quei numeri complessi nella forma a+ib, dove a e b sono razionali e i rappresenta l'unità immaginaria. L'insieme dei razionali gaussiani forma un campo, che è il campo dei quozienti dell'anello degli interi gaussiani.
Tale insieme si denota generalmente con $\mathbb {Q} (i)$, cioè il più piccolo campo contenente i razionali e l'unità immaginaria i.

## Approssimazioni razionali

Poiché i razionali sono densi in $\mathbb {R}$, possono essere usati per approssimare i numeri reali. Il primo risultato ad essere dimostrato è che per ogni irrazionale $\alpha$ esistono infiniti razionali p/q tali che
    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$
Un risultato importante è il teorema di Liouville, dimostrato nel 1844 da Joseph Liouville: esso asserisce che se $\alpha$ è un numero algebrico di grado n, allora esiste una costante c>0 tale che
    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {c}{q^{n}}}$
per ogni razionale p/q. Da questo Liouville riuscì a costruire i primi esempi di numeri trascendenti (detti oggi numeri di Liouville), mostrando che per questi esistevano delle successioni di razionali che rendevano impossibile l'esistenza di un tale c.
Nel 1955 Klaus Roth dimostrò che per ogni algebrico $\alpha$ e per ogni $\epsilon >0$ la disuguaglianza
    $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\epsilon }}}$
può avere solamente un numero finito di soluzioni in cui p e q sono interni coprimi. Tale risultato migliorava quelli ottenuti in precedenza da Axel Thue e Carl Ludwig Siegel.