# Appunti sulle piastre sottili

Una piastra sottile è un elemento strutturale riconducibile ai fini dell'analisi ad un elemento bidimensionale piano, caricato in senso perpendicolare ad esso.
Le ipotesi alla base dell'analisi sono:
* materiale perfettamente elastico, omogeneo e isotropo;
* la relazione costitutiva del materiale presenta medesime costanti elastiche per ogni tipo di carico;
* lo spessore della piastra è costante e per definizione piccolo rispetto alle altre dimensioni;
* la generica fibra elementare che prima dell'azione dei carichi era rettilinea e perpendicolare al piano medio si mantiene tale anche in seguito all'inflessione della piastra;
* la tensione normale al piano della piastra è trascurabile;
* gli spostamenti trasversali sono così piccoli che la curvatura in ogni generica direzione è valutabile come derivata seconda dello spostamento trasversale in quella direzione;
* nel piano medio della piastra non agiscono tensioni normali, e cioè non nascono deformazioni interne al piano medio, che può essere considerato inestensibile;
* peso proprio della piastra incluso nei carichi considerati;
* angoli della piastra impossibilitati a sollevarsi.
In base a queste ipotesi, $\sigma _{z}\,=\,0$ per ogni punto della piastra e $\sigma _{x}\,=\,\sigma _{y}\,=\,0\;\epsilon _{x}\,=\,\epsilon _{y}\,=\,0$ per tutti i punti del piano medio della piastra.
Esprimendo tutto in funzione dell'abbassamento $v_{z}$, le componenti di spostamento, deformazione e tensione sono:
${\begin{cases}v_{x}\,=\,-z{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}\\v_{y}\,=\,-z{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}\\v_{z}\end{cases}}$
(in base all'ipotesi che le fibre si mantengono rettilinee nella configurazione attuale)
${\begin{cases}\epsilon _{x}\,=\,-z{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}\\\epsilon _{y}\,=\,-z{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\\\epsilon _{z}=0\\\gamma _{xy}\,=\,-2z{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x\delta y}}\\\gamma _{xz}\,=\,\gamma _{yz}\,=\,0\end{cases}}$
(applicando le definizioni di ognuna delle componenti di deformazione)
${\begin{cases}\sigma _{xx}\,=\,-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\right)\\\sigma _{yy}\,=\,-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}\right)\\\tau _{xy}\,=-{\frac {E}{1-\nu }}z{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x\delta y}}\\\tau _{xz}\,=\,\tau _{yz}\,=\,0\end{cases}}$
(dalle relazioni costitutive)

## Caratteristiche della sollecitazione

L'azione complessiva delle tensioni fornisce tre momenti per unità di lunghezza, due flettenti ed uno torcente:
${\begin{cases}M_{x}=-B\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\right)\\M_{y}=-B\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}\right)\\M_{xy}=-B\left(1-\nu \right){\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x\delta y}}\end{cases}}$
Essendo $B={\frac {Es^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)}}$ la rigidezza flessionale della piastra.
Per l'equilibrio alla traslazione verticale dell'elemento di piastra si considera anche l'azione di due tagli (anch'essi per unità di lunghezza), per quanto ciò sia incongruente con l'annullarsi delle componenti di tensione tangenziale con direzione $z$:
${\begin{cases}T_{x}=-B{\frac {\delta }{\delta x}}\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\right)\\T_{y}=-B{\frac {\delta }{\delta y}}\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\right)\end{cases}}$
Nella generica direzione, per l'equilibrio dell'elemento di piastra con due facce parallele agli assi e una alla direzione generica $n$, le caratteristiche della sollecitazione valgono:
${\begin{cases}&M_{n}={\frac {1}{2}}\left(M_{x}+M_{y}\right)+{\frac {1}{2}}\left(M_{x}-M_{y}\right)cos2\alpha -M_{xy}sin2\alpha \\&M_{nm}={\frac {1}{2}}\left(M_{x}-M_{y}\right)sin2\alpha +M_{xy}cos2\alpha \\&T_{n}=T_{x}cos\alpha +T_{y}sin\alpha \end{cases}}$
Il taglio e il momento torcente in corrispondenza del contorno possono essere riuniti in un unico parametro, che è la reazione verticale del vincolo:
$R_{n}=T_{n}+{\frac {\delta M_{nm}}{\delta m}}$
Tale reazione, in corrispondenza di punti angolosi nel contorno, fornisce una forza concentrata, mentre nella parte continua del contorno è una forza per unità di lunghezza.

## L'equazione della superficie elastica

Per l'equilibrio alla traslazione verticale del generico elemento di piastra si giunge a definire l'equazione differenziale della superficie elastica:
${\frac {\delta ^{4}v_{z}}{\delta x^{4}}}+2{\frac {\delta ^{4}v_{z}}{\delta x^{2}\delta y^{2}}}+{\frac {\delta ^{4}v_{z}}{\delta y^{4}}}={\frac {p}{B}}$

## La piastra circolare

Nel caso di piastra circolare conviene riferire il tutto rispetto alle coordinate polari, e nel caso di piastra caricata in modo assialsimmetrico le caratteristiche della sollecitazione non nulle diventano:
${\begin{cases}&M_{r}=-B\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+\nu {\frac {dv_{z}}{rdr}}\right)\\&M_{\theta }=-B\left({\frac {dv_{z}}{rdr}}+\nu {\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}\right)\\&T_{r}=-B{\frac {d}{dr}}\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+{\frac {dv_{z}}{rdr}}\right)\end{cases}}$
Per l'equilibrio alla rotazione rispetto al piano $rz$, supponendo che agiscano un carico uniformemente distribuito e un carico concentrato al centro della piastra, si può scrivere:
${\begin{cases}{\frac {dv_{z}}{dz}}={\frac {pr^{3}}{16B}}+{\frac {Pr}{8\pi B}}(2\ln r-1)-{\frac {C_{1}r}{2}}\\v_{z}={\frac {pr^{4}}{64B}}+{\frac {Pr^{2}}{8\pi B}}(\ln r-1)-{\frac {C_{1}r^{2}}{4}}+C_{3}\end{cases}}$
Le costanti di integrazione si devono valutare in base alle condizioni al contorno. Per carico generico (purché assialsimmetrico) la piastra può essere risolta facendo ricorso alle linee di influenza.

## La piastra ellittica incastrata al contorno caricata uniformemente

Per la piastra ellittica incastrata al contorno è ancora possibile avere una soluzione analitica:
${\begin{cases}v_{z}=f\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\right)\\{\frac {dv_{z}}{dx}}=-{\frac {2x}{a}}f\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\right)\\{\frac {dv_{z}}{dy}}=-{\frac {2y}{b}}f\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\right)\end{cases}}$
La freccia al centro vale:
$f={\frac {p}{8B}}{\frac {a^{2}b^{2}}{3a^{4}+2a^{2}b^{2}+3b^{4}}}$
(sostituendo i termini trovati nell'equazione della superficie elastica per la piastra generica)
Dall'equazione della superficie elastica è possibile ricavare qualsiasi altro parametro utile nell'analisi della piastra.

## Piastra generica

Per tutte le altre piastre è necessario ricorrere ad altri metodi risolutivi, come il metodo degli sviluppi in serie semplici o doppie, il metodo agli elementi finiti o alle differenze finite.