# Lenti e specchi

In questa lezione esamineremo come i fenomeni della riflessione e rifrazione vengono usati negli specchi (piani o curvi) e nelle lenti. La lezione si può dividere in due argomenti principali: catottrica, quando il fenomeno studiato è la riflessione, e diottrica, quando invece è la rifrazione l'oggetto dello studio.

## Definizioni utili

Definiamo alcuni termini che verranno usati per spiegare il funzionamento di specchi e lenti:

### asse ottico

    la linea lungo la quale si sviluppa il sistema ottico

### punto oggetto

    è l'oggetto da cui partono i raggi luminosi

### punto immagine

    è il punto dal quale sembrano provenire i raggi riflessi o rifratti

### fuoco

    il punto immagine di raggi provenienti dall'infinito, paralleli all'asse ottico
L'immagine, in particolare, può essere

### reale

    se i raggi passano effettivamente per il punto immagine

### virtuale

    se i raggi non passano per il punto immagine, che è solo l'incontro dei loro prolungamenti

### invertita

    se l'immagine è simmetrica all'oggetto, rispetto a un piano o ad un centro di simmetria

### ingrandita

    se la distanza rispetto all'asse ottico del punto immagine è diversa da quella del punto oggetto. L'ingrandimento si calcola come $M={\frac {h'}{h}}$ dove $h'\,\!$ e $h\,\!$ sono le distanze dall'asse rispettivamente del punto immagine e del punto oggetto.

## Catottrica

La catottrica tratta dei fenomeni di riflessione, e quindi in questa sezione parleremo di specchi.

### Specchio piano

I raggi luminosi, partendo dall'oggetto, incontrano la superficie dello specchio e vengono riflessi con un angolo identico a quello di incidenza ma opposto rispetto alla perpendicolare allo specchio (per la seconda legge di Snell).
Osservando la figura, si nota che la distanza $h'\,\!$ del punto immagine dall'asse ottico è uguale alla distanza $h$ del punto oggetto dall'asse. Quindi l'immagine non è ingrandita:
    $M={\frac {h'}{h}}=1$
L'immagine è virtuale, perché i raggi non passano per il punto immagine, ed è invertita rispetto al piano dello specchio.
Lo specchio non ha un fuoco, perché raggi provenienti dall'infinito sono sempre perpendicolari allo specchio, vengono quindi riflessi nella stessa direzione, rimanendo paralleli, senza incontrarsi in nessun punto.

### Specchio sferico concavo

Nel trattare gli specchi sferici, dobbiamo innanzitutto fare un'approssimazione, dovuta al fatto che i raggi provenienti da un unico punto oggetto, riflessi dalla superficie (interna o esterna) di una sfera non si incontrano tutti in uno stesso punto immagine.
Se però prendiamo in considerazione solo i raggi parassiali, ovvero quelli che formano piccoli angoli con l'asse ottico (angoli per i quali $\sin \theta \cong \theta$), e la cui distanza dall'asse ottico è molto piccola rispetto al raggio dello specchio, allora possiamo affermare con sufficiente precisione che i raggi si incontrano in un unico punto immagine.
Nel parlare di specchi sferici, tutti i raggi considerati si suppongono parassiali.
Per determinare la posizione dell'immagine di un oggetto in uno specchio sferico concavo, consideriamo due raggi particolari:
* il raggio che dall'oggetto incontra lo specchio nel punto $V$ dove questo interseca l'asse ottico; in questo punto la perpendicolare allo specchio è proprio l'asse ottico, quindi il raggio viene riflesso dalla parte opposta dell'asse, formando con questo un angolo uguale all'angolo di incidenza;
* il raggio che passa per il centro $C$ dello specchio, e quindi incontra la superficie dello specchio perpendicolarmente, venendo riflesso lungo la stessa direzione.
Il punto di incontro di questi due raggi, o dei loro prolungamenti, è il punto immagine.
Osservando il disegno, in cui sono rappresentati questi due raggi, si possono individuare due coppie di triangoli simili:
* il triangolo $OO'C$ e il triangolo $II'C$
* il triangolo $OO'V$ e il triangolo $II'V$
da questi ricaviamo, rispettivamente le formule:
* ${\frac {h'}{h}}={\frac {r-s'}{s-r}}=M$
* ${\frac {h'}{h}}={\frac {s'}{s}}=M$
Combinandole, otteniamo (provare per credere):
    ${\frac {2}{r}}={\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s'}}$
che è l'equazione dello specchio concavo sferico.
Con questa equazione possiamo determinare il fuoco dello specchio: ricordando che è il punto immagine di raggi provenienti dall'infinito, calcoliamo il limite del secondo membro dell'equazione
    $\lim _{s\to \infty }{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s'}}={\frac {1}{s'}}$
da cui
    $f=s'={\frac {r}{2}}$
Le caratteristiche dell'immagine, in uno specchio sferico concavo, dipendono dalla posizione del punto oggetto. In particolare si distinguono tre casi:
* $s>r\,\!$, ovvero il punto oggetto, lungo l'asse ottico, si trova prima del centro dello specchio;
* $r>s>{\frac {r}{2}}$, cioè quando il punto oggetto si trova tra il centro e il fuoco;
* ${\frac {r}{2}}>s$ ovvero quando il punto oggetto si trova tra il fuoco e lo specchio.

#### Oggetto lontano

La situazione è quella rappresentata nel disegno precedente.
In questo caso l'immagine è reale, è invertita rispetto al centro di simmetria costituito dal centro $C$ dello specchio, ed è rimpicciolita ( $M<1\,\!$ dalle equazioni viste in precedenza).

#### Oggetto tra il centro e il fuoco

Si tratta di una situazione opposta alla precedente: l'immagine è sempre reale e invertita rispetto al centro $C$ dello specchio, ma è ingrandita ( dato che $s'>s\,\!$, allora $M>1\,\!$ ).

#### Oggetto tra il fuoco e lo specchio

In questo caso l'immagine è virtuale, perché i raggi sembrano provenire da un punto immagine oltre lo specchio; è invertita solo rispetto al piano tangente allo specchio nel punto $V$, ed è ingrandita.

### Specchio sferico convesso

Analizziamo ora la riflessione di un punto oggetto in uno specchio sferico convesso.
Come per lo specchio concavo, per determinare la posizione del punto immagine si tracciano i due raggi particolari:
* il raggio che dall'oggetto incontra lo specchio nel punto $V$ dove questo interseca l'asse ottico;
* il raggio che passa per il centro $C$ dello specchio, incontra la superficie dello specchio perpendicolarmente e viene riflesso lungo la stessa direzione;
l'intersezione del prolungamento dei raggi è la posizione del punto immagine.
Anche in questo caso possiamo trovare le due coppie di triangoli simili:
* $OO'V$ e $II'V$
* $OO'C$ e $II'C$
da cui si ottengono le relazioni (considerando $r\,\!$ e $s'\,\!$ negativi perché opposti rispetto a $s\,\!$)
    $M={\frac {h'}{h}}={\frac {-s'}{s}}$
    $M={\frac {h'}{h}}={\frac {s'-r}{s-r}}$
che sono le stesse equazioni dello specchio concavo, cambiate di segno. Combinandole, si ottiene la stessa equazione generale, che quindi è valida per ogni specchio sferico:
    ${\frac {2}{r}}={\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s'}}$
L'immagine è virtuale, rimpicciolita e invertita rispetto al piano tangente al punto $V$ dove lo specchio interseca l'asse ottico.

### Specchio parabolico

Negli specchi parabolici, a differenza di quelli sferici, tutti i raggi paralleli all'asse ottico vengono riflessi incontrandosi nel fuoco, e non solo quelli vicini all'asse.
Per questo motivo le antenne satellitari hanno il profilo di una parabola: in questo modo il segnale, proveniente dal satellite (quindi con raggi pressoché paralleli) viene riflesso e concentrato sul ricevitore posto sul fuoco della parabola. Diversamente da quello che potrebbe sembrare, il ricevitore non fa ombra al segnale sull'antenna, perché questa viene costruita in modo che l'asse ottico coincida con il sostegno del ricevitore.

### Specchio ellissoidale

All'interno di uno specchio ellissoidale concavo tutti i raggi provenienti da un punto oggetto posto in uno dei due fuochi si incontrano formando un punto immagine in corrispondenza dell'altro fuoco.
Questa caratteristica è sfruttata nei proiettori ellissoidali, come ad esempio i fari delle automobili, nei quali la luce emessa da una lampadina posta in uno dei fuochi viene concentrata nell'altro fuoco, fatta fuoruscire da un'apertura nello specchio, e trasformata in un fascio di raggi paralleli da una lente.

## Diottrica

Mentre la catottrica si occupava dei fenomeni di riflessione, la diottrica si occupa dei fenomeni di rifrazione. È quindi un'applicazione della terza legge di Snell.
La superficie di contatto tra due mezzi con diverso indice di rifrazione viene chiamata diottro.

### Diottro sferico

Come per gli specchi sferici, anche per i diottri sferici i raggi che da uno stesso punto oggetto e vengono rifratti non si incontrano esattamente in un unico punto immagine, e quindi anche in questo caso sarà necessario approssimare e considerare solo i raggi parassiali.
Analizziamo il diagramma per trovare un'equazione che descriva il funzionamento del diottro sferico.
Siano:
* $n_{1}\,\!$ l'indice di rifrazione del mezzo esterno;
* $n_{2}\,\!$ l'indice di rifrazione del mezzo interno.
Dalla legge di Snell:
    $n_{1}\sin {\theta _{i}}=n_{2}\sin {\theta _{r}}\,\!$
Considerando solo raggi parassiali, possiamo approssimare il seno all'angolo stesso:
    $n_{1}\theta _{i}=n_{2}\theta _{r}\,\!$
Osservando lo schema si possono ricavare diverse uguaglianze:
* $\tan {\alpha }={\frac {d}{s}}\cong \alpha$
* $\tan {\beta }={\frac {d}{r}}\cong \beta$
* $\tan {\gamma }={\frac {d}{s'}}\cong \gamma$
* $\theta _{i}=\alpha +\beta \,\!$
* $\theta _{r}=\beta -\gamma \,\!$
Effettuiamo alcuni passaggi:
    $n_{1}\left(\alpha +\beta \right)=n_{2}\left(\beta -\gamma \right)$
    $n_{1}\alpha +\left(n_{1}-n_{2}\right)\beta +n_{2}\gamma =0$
    $n_{1}{\frac {d}{s}}+\left(n_{1}-n_{2}\right){\frac {d}{r}}+n_{2}{\frac {d}{s'}}=0$
    ${\frac {n_{1}}{s}}+{\frac {n_{1}-n_{2}}{r}}+{\frac {n_{2}}{s'}}=0$
ottenendo:
    ${\frac {n_{1}}{s}}+{\frac {n_{2}}{s'}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{r}}$
che è l'equazione del diottro sferico.

### Lenti sottili

Accoppiando due diottri, si ottiene una lente, che quindi è l'unione di due superfici che dividono il cammino ottico in tre regioni con differenti indici di rifrazione.
In particolare, avendo appena studiato il comportamento dei diottri sferici, ci occuperemo di lenti sferiche, e per semplificare i calcoli considereremo la lente sottile, ovvero di uno spessore trascurabile rispetto alle altre grandezze.
Analizziamo nel dettaglio lo schema.
Il raggio esce dal punto oggetto $O$, viene rifratto dalla prima superficie dando origine ad una prima immagine $I_{1}$, viene nuovamente rifratto dalla seconda superficie dando una seconda immagine $I_{2}$, che può trovarsi davanti o dietro la lente a seconda delle sue caratteristiche.
Le equazioni dei due diottri sono:
* ${\frac {n_{1}}{s_{1}}}+{\frac {n_{2}}{s_{1}'}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{r_{1}}}$
* ${\frac {n_{2}}{s_{2}}}+{\frac {n_{3}}{s_{2}'}}={\frac {n_{3}-n_{2}}{r_{2}}}$
Inoltre sappiamo che:
    $s_{2}=t-s_{1}'\approx -s_{1}'$
(ricordo che, così come sono rappresentati nel disegno, $s_{1}'\,\!$ e $r_{2}\,\!$ hanno un valore negativo)
Sommando tra loro le due equazioni dei diottri e applicando la terza otteniamo l'equazione della lente sferica sottile:
    ${\frac {n_{1}}{s_{1}}}+{\frac {n_{3}}{s_{2}'}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{r_{1}}}+{\frac {n_{3}-n_{2}}{r_{2}}}$
che per una lente in aria ($n_{1}=n_{3}=1\,\!$) diventa:
    ${\frac {1}{s_{1}}}+{\frac {1}{s_{2}'}}=(n-1)\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)$

#### Fuoco e piano focale

Ricordando che il fuoco è il punto immagine formato dai raggi che provengono dall'infinito, cerchiamo il fuoco di una lente in aria calcolando il limite del primo membro dell'equazione:
    $\lim _{s_{1}\to \infty }{\frac {1}{s_{1}}}+{\frac {1}{s_{2}'}}={\frac {1}{s_{2}'}}={\frac {1}{f}}$
Quindi il fuoco si può calcolare come l'inverso del secondo membro dell'equazione:
    ${\frac {1}{f}}=(n-1)\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)$
Considerando un qualsiasi fascio di raggi paralleli tra loro provenienti dall'infinito che vengono rifratti dalla lente, ma non necessariamente paralleli all'asse ottico, questi formano un punto immagine su un piano ad una distanza $f\,\!$ dalla lente: questo è il piano focale.

#### Diottria

Il valore ${\frac {1}{f}}$, espresso in ${\mbox{m}}^{-1}$, si chiama diottria, e ha una proprietà particolare che adesso dimostreremo.
Prendiamo due lenti sullo stesso asse ottico ad una distanza $d$ molto piccola.
Dalle equazioni delle lenti:
* ${\frac {1}{s_{1}}}+{\frac {1}{s_{1}'}}={\frac {1}{f_{1}}}$
* ${\frac {1}{s_{2}}}+{\frac {1}{s_{2}'}}={\frac {1}{f_{2}}}$
Inoltre, dato che l'immagine della prima lente è l'oggetto per la seconda, e considerando trascurabile la distanza $d$:
    $s_{2}=d-s_{1}'\cong -s_{1}'$
Sommando le due equazioni delle lenti e applicando la terza:
    ${\frac {1}{s_{1}}}+{\frac {1}{s_{2}'}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}={\frac {1}{f}}$
Questa equazione evidenzia che due lenti a breve distanza sono equivalenti ad una lente che ha come diottria la somma delle diottrie delle due lenti.
Generalizzando questo a $k\,\!$ lenti:
    ${\frac {1}{f}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{f_{i}}}$

#### Ingrandimento

Ricordando che l'ingrandimento è $M={\frac {h'}{h}}$, guardando le figure delle sezioni seguenti ci si accorge facilmente che anche in questo caso vale la formula:
    $M={\frac {-h'}{h}}={\frac {-s'}{s}}$
Dove, come sempre, $h\,\!$ e $h'\,\!$ sono le altezze e $s\,\!$ e $s'\,\!$ le distanze dalla lente rispettivamente dell'oggetto e dell'immagine; $h'\,\!$ è negativo perché, come si vede nell'immagine della lente convergente, l'immagine è capovolta rispetto all'oggetto.
Sostituendo nell'equazione ${\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s'}}={\frac {1}{f}}$, si ottiene:
    ${\frac {1}{s}}-{\frac {1}{Ms}}={\frac {1}{f}}$
Dopo alcuni passaggi si ottiene:
    $M={\frac {f}{f-s}}$

#### Tipi di lente

A seconda del valore del raggio $r$ dei due lati della lente, questa può assumere diverse forme, e presentare diversi valori di $f$.

##### Lente convergente

Le lenti biconvesse, piano-convesse e le lenti concavo-convesse con $\left|r_{convesso}\right|<\left|r_{concavo}\right|$, presentano un valore di $f>1\,\!$.
Queste lenti tendono ad aumentare la convergenza (o diminuire la divergenza) dei raggi che la attraversano, e per questo si dice convergente. Graficamente si possono stilizzare come un segmento con frecce verso l'esterno alle estremità, che ricorda la forma di una lente biconvessa.
Ricordando la formula dell'ingrandimento:
    $M={\frac {f}{f-s}}$, e $f>0$ perché la lente è convergente,
il comportamento si può distinguere in diversi casi:

###### oggetto molto lontano ($s>2f\,\!$)

    $-1<M<0\,\!$: l'immagine è rimpicciolita, reale e invertita rispetto all'asse ottico.

###### oggetto distante il doppio del fuoco ($s=2f\,\!$)

    $M=-1\,\!$: l'immagine è reale e non è modificata nelle dimensioni, è invertita rispetto all'asse ottico.

###### oggetto a una distanza compresa tra il fuoco e il doppio del fuoco ($f<s<2f\,\!$)

    $M<-1\,\!$: l'immagine è ingrandita, è reale e invertita rispetto all'asse ottico.

###### oggetto sul piano focale ($s=f\,\!$)

    In questo caso i raggi escono dalla lente paralleli, senza incontrarsi mai: non esiste un punto immagine. Si calcola allora l'ingrandimento visuale, convenzionalmente espresso come $m={\frac {\tan {\theta }}{\tan {\theta _{0}}}}={\frac {d}{f}}$ dove $\theta \,\!$ è l'angolo con cui escono dalla lente i raggi provenienti dall'oggetto sul piano focale, e $\theta _{0}\,\!$ è l'angolo col quale quello stesso oggetto si vedrebbe ad occhio nudo da una distanza $d\,\!$ convenzionalmente di 25 cm.

###### oggetto tra il fuoco e la lente ($s<f\,\!$)

    $M>1\,\!$ : si forma un'immagine virtuale dalla stessa parte della lente; l'immagine è ingrandita e dritta.

##### Lente divergente

Come si può facilmente immaginare, le lenti che hanno un valore di $f<0$, cioè le lenti biconcave, piano-concave e le lenti convesso-concave con $\left|r_{convesso}\right|>\left|r_{concavo}\right|$, tendono ad aumentare la convergenza dei fasci di raggi che le attraversano, e sono quindi dette divergenti.
Le lenti divergenti si rappresentano con un segmento con frecce alle estremità che puntano verso il centro, ricordando in questo modo il profilo di una lente biconcava.
Fortunatamente le lenti divergenti hanno un solo tipo di comportamento: osservando la formula dell'ingrandimento per le lenti
    $M={\frac {f}{f-s}}$
si nota che, per $f<0$, $0<M<1$ qualunque sia $s$ ($s$ è sempre positivo, se fosse dall'altra parte della lente basterebbe pensare il sistema ottico da destra verso sinistra). L'immagine è quindi rimpicciolita, dritta e virtuale.

## Numero F

Una proprietà comune sia agli specchi non piani sia alle lenti (a tutti i sistemi ottici dotati di fuoco, quindi, è il numero F (f/#), cioè il cono di luce che il sistema ottico è in grado di ricevere da un punto oggetto posto nel suo fuoco. Numericamente è il rapporto tra la distanza focale $f$ e il diametro $D$ della lente o dello specchio:
    $F={\frac {f}{D}}$
È un numero adimensionale e si esprime con F seguita dal numero: ad esempio F1.4, F2, F11 ecc...

## Aberrazioni

Tutto ciò che è stato detto fino ad adesso era basato su due principali approssimazioni:
* i raggi erano considerati parassiali, così che potessero formare un unico punto immagine;
* l'indice di rifrazione è stato considerato lo stesso per tutti i raggi.
Se queste approssimazioni sono valide, l'immagine di un oggetto piano ortogonale all'asse ottico deve avere queste caratteristiche:
* essere stigmatica, ovvero ad ogni punto oggetto deve corrispondere un unico punto immagine;
* giacere su un piano ortogonale all'asse ottico;
* avere lo stesso ingrandimento per ogni parte dell'immagine.
Nella realtà, invece, è facile che queste approssimazioni non siano valide, per raggi non parassiali, perché l'indice di rifrazione cambia a seconda della lunghezza d'onda, o per altri motivi.
Nel dettaglio, i principali problemi, o aberrazioni, che si possono incontrare sono:
* aberrazioni cromatiche dovute al cambiamento dell'indice di rifrazione al variare della lunghezza d'onda;
* aberrazioni geometriche, a loro volta divisibili in
** coma o astigmatismo, quando i raggi colpiscono la lente con un angolo troppo grande: a un singolo punto oggetto non corrisponde un preciso punto immagine;
** aberrazioni di sfericità; quando i raggi incidenti sono troppo distanti dall'asse ottico e risentono della forma sferica della lente; anche in questo caso il punto immagine non è preciso;
** curvatura di campo quando l'immagine di un oggetto piano risulta invece su una superficie sferica;
** distorsione