# Teoria dei gruppi

$(G,\cdot )$
* l'operazione $\cdot$ è associativa;
* $\exists$ l'elemento neutro $1$;
* ogni elemento è simmetrizzabile, $x\cdot x^{-1}=1$.
$G$
$H\subseteq G$
* $\forall h_{1},h_{2}\in H,\ h_{1}\cdot h_{2}\in H$
* $\exists 1\in H$
* $\forall h\in H,\ \exists h'\in H|h\cdot h'=1$
    $f=\left({\begin{matrix}1&2&\cdots &n\\f(1)&f(2)&\cdots &f(n)\end{matrix}}\right)$
Su un insieme $A$ con $|A|=n$, ci sono $n!$ possibili permutazioni:
    $n(n-1)(n-2)\cdots 1=n!$
${\mathit {P}}$
$A$
$|A|=n$
$n!$
$(P,\cdot )$
* la composizione di permutazioni è ancora una permutazione;
* l'operazione è associativa;
* il neutro è la funzione identità;
* ogni permutazione è invertibile.
Vedere l'esempio sul gruppo delle permutazioni su tre elementi

### Laterali

$(G,\cdot )$
$H\subseteq G$
$g\in G$
    $gH=\{gh,\ \forall h\in H\}$
Analogamente, si dice laterale destro individuato da $g\in G$ l'insieme
    $Hg=\{hg,\forall h\in H\}$
Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni $S_{3}$.
$H\subseteq G$
${\mathcal {S}}$
$H$
$G$
${\mathcal {S}}$
$G$
${\mathcal {D}}$
$H$
$G$
$G$
$H$
    $|H|=|gH|\ \forall g\in G$
Analogamente per i laterali destri.
* $\forall g\in G$, $gH$ non è un insieme vuoto, visto che $1\in G\Rightarrow 1\in H$;
* l'insieme dei laterali sinistri (destri) è una partizione di $G$, quindi è tutto $G$;
* l'intersezione tra i laterali è nulla, essendo una partizione. Infatti, siano $g,g_{1},g_{2}\in G$ e sia
    $g\in g_{1}H\cap g_{2}H$
Allora, esistono $h_{1},h_{2}\in H$ tali che
    $g_{1}h_{1}=g_{2}h_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}h_{2}{h_{1}}^{-1}$
A questo punto, $\forall h\in H$ si ha
    $g_{1}h=g_{2}h_{2}{h_{1}}^{-1}h=g_{2}h_{2}{h_{1}}^{-1}H=g_{2}H$
da cui si ottiene
    $g_{1}H\subseteq g_{2}H$
$\forall gH$
$G$
$|H|=|gH|$
    ${\begin{matrix}f:H&\rightarrow &gH\\h&\rightarrow gh\end{matrix}}$
$C:A\rightarrow B$
$A$
$B$
$A\times B$
* è ovunque definita, $\forall a\in A\ \exists b\in B|(a,b)\in C$
* è funzionale, $\forall a\in A\ \exists {\text{ al piu un }}b\in B|(a,b)\in C$
* è suriettiva, $\forall (a,b)\in C\ \exists a\in A,b\in B|f(a,b)=(a,b)$
* è iniettiva, $\forall (a,b)\in C\ \exists {\text{ al piu un }}a\in A,b\in B|f(a,b)=(a,b)$
    $\exists x_{1}\neq x_{2}\in A|f(x_{1},b)=f(x_{2},b)=(a,b)$
allora si ha:
       $\left.{\begin{matrix}f(x_{1},b)=(x_{1},b)\\f(x_{2},b)=(x_{2},b)\end{matrix}}\right\$
$f$
    $Im(f)=\left\{b\in B|\exists a\in A|f(a)=b\right\}$
* una funzione $f$ è suriettiva sse $Im(f)=B$, cioè tutto l'immagine è tutto il codominio.
* $f$ è una funzione, perché $\forall h\in H$ è univocamente determinato $g\in G|f(h)=g$.
* $f$ è iniettiva, infatti $f(h_{1})=f(h_{2})\Rightarrow gh_{1}=gh_{2}\Leftrightarrow h_{1}=h_{2}$
$G$
$G$
$|G|=n$
$|H|=k$
$i$
$k$
$i$
$n=ki$
$i$
$H$
$G$
$H$
$G$
$H$
$G$
$(H\triangleleft G)$
    $\forall g\in G,\ gH=Hg$
Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni $S_{3}$.
$(G,\cdot )$
Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni $S_{3}$.
$(G,\cdot )$
$G/N$
$N$
$(G,\cdot )$
$N\triangleleft G$
${\mathcal {S}}$
    ${\frac {G}{N}}=\left\{g_{1}N,g_{2}N,\cdots \right\}=\{Ng_{1},Ng_{2},\cdots \}$
All'interno del quoziente si ha
* $g_{1}N={\bar {g_{1}}}N$
* $g_{2}N={\bar {g_{2}}}N$
Siccome $N$ è normale, allora è verificate l'equazione
    $g_{1}Ng_{2}N={\bar {g_{1}}}N{\bar {g_{2}}}N$