# Flessione semplice

Nota: Inserire immagine
Una trave si definisce sottoposta a flessione semplice quando ai suoi estremi agiscono soltanto dei momenti flettenti. Si definisce poi flessione retta quella sollecitazione in cui il momento flettente agisce lungo un piano principale d'inerzia, flessione deviata quella dove il momento flettente non agisce su un piano principale d'inerzia. In ogni caso è sempre possibile ricondurre lo studio della flessione deviata a quello di due flessioni rette, dal momento che si può comunque scomporre il momento flettente agente nelle sue componenti secondo le direzioni principali d'inerzia, e per il principio di sovrapposizione degli effetti risolvere separatamente le due flessioni rette e sommare le componenti degli stati elastici trovati.
La trattazione seguente, dunque, sarà fatta supponendo che la sollecitazione agisca secondo un asse principale di inerzia. In particolare si supporrà che il momento flettente agente sia $M_{x}$, e che quindi gli assi $x,y$ siano gli assi principali d'inerzia.

## Analisi della tensione

Saint Venant suppose che lo stato tensionale associato al sistema in analisi avesse le seguenti caratteristiche:
${\begin{cases}\tau _{zx}=\tau _{zy}=0\\\sigma _{z}=ky\end{cases}}$
Egli suppose, cioè, che la tensione normale longitudinale avesse una variazione lineare nella sezione in dipendenza della coordinata $y$
Lo stato tensionale del corpo, in base a questa ipotesi, è ancora monoassiale come nel caso dello sforzo normale centrato, ma a differenza di quel caso esso non si mantiene costante in ogni punto del corpo. Il tensore di tensione assume la forma seguente:
$[T]={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&ky\end{bmatrix}}$
Dai legami esistenti tra le caratteristiche della sollecitazione e le tensioni si ottiene:
${\begin{cases}V_{x}(z)=\int _{A}\tau _{zx}dA=0\\V_{y}(z)=\int _{A}\tau _{zy}dA=0\\N(z)=\int _{A}\sigma _{z}dA=0\\M_{x}(z)=\int _{A}\sigma _{z}ydA=M\\M_{y}(z)=\int _{A}\sigma _{z}xdA=0\\M_{t}(z)=\int _{A}(\tau _{zy}x-\tau _{zx}y)dA=0\end{cases}}$
* $N(z)=\int _{A}\sigma _{z}dA=0$ impone in pratica che sia: $\int _{A}kydA=0$ Portando $k$ fuori dal segno di integrale (essendo costante) si ottiene: $k\int _{A}ydA=0$. L'integrale indicato rappresenta il momento statico della sezione, che in questo caso è nullo essendo calcolato con riferimento al baricentro della sezione. L'espressione, dunque, è verificata per qualsiasi valore di $k$.
* $M_{x}(z)=\int _{A}\sigma _{z}ydA=M$ può riscriversi come $M=\int _{A}ky^{2}dA$, che porta a $M=k\int _{A}y^{2}dA$. L'integrale indicato rappresenta il momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse $x$, e viene indicato solitamente come $J_{x}$. Può dunque scriversi $M=kJ_{x}\to k={\frac {M}{J_{x}}}$
* $M_{y}(z)=\int _{A}\sigma _{z}xdA=0$ Sostituendo l'espressione della $\sigma _{z}$ si ottiene: $\int _{A}kyxdA=0$ da cui si può scrivere portando fuori dall'integrale il termine $k$ costante, $k\int _{A}yxdA=0$ Ma l'integrale rappresenta il momento centrifugo $J_{xy}$ relativo ai due assi $x,y$, il quale è nullo avendoli supposti principali d'inerzia. Per cui il valore di $M_{y}$ è nullo per qualsiasi valore di $k$.
In definitiva si è ottenuto $\sigma _{z}={\frac {M}{J_{x}}}y$, che è chiamata formula di Navier
L'asse $x$ è, per ogni sezione della trave, scarico. A causa di questa caratteristica esso viene definito asse neutro. L'asse $y$, a sua volta, è chiamato asse di sollecitazione, e rappresenta la traccia sulla sezione del piano di sollecitazione $yz$, così definito perché la coppia sollecitante appartiene a questo piano. Si fa notare che nel nostro caso gli assi neutro e di sollecitazione sono tra loro ortogonali, ma questa condizione non è sempre vera: questi due assi, infatti, sono tra loro ortogonali solo se la flessione è retta, potendo invece avere angolazioni differenti nel caso della flessione deviata.
Nota: Inserire cerchio di Mohr e spiegazione

## Analisi della deformazione

Una volta note le componenti di tensione, si procede a valutare le componenti di deformazione attraverso le equazioni costitutive:
${\begin{cases}\epsilon _{x}=-{\frac {1}{E}}\nu \sigma _{z}=-\nu {\frac {M}{EJ_{x}}}y\\\epsilon _{y}=-{\frac {1}{E}}\nu \sigma _{z}=-\nu {\frac {M}{EJ_{x}}}y\\\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}\sigma _{z}={\frac {M}{EJ_{x}}}y\\\gamma _{xy}=0\\\gamma _{xz}={\frac {1}{G}}\tau _{xz}=0\\\gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}=0\end{cases}}$
Il coefficiente di dilatazione cubica, quindi, vale: $\Theta ={\frac {M}{EJ_{x}}}(1-2\nu )y$
La variazione di volume dell'intera trave vale: $\Delta V=\int _{C}\Theta dV=\int _{C}{\frac {M}{EJ_{x}}}(1-2\nu )ydV={\frac {M}{EJ_{x}}}(1-2\nu )\int _{C}ydV={\frac {M}{EJ_{x}}}(1-2\nu )\int _{l}dz\int _{A}ydA$.
Ma $\int _{A}ydA=0$ perché è il momento statico della sezione rispetto a $x$, che è baricentrico, per cui $\Delta V\;=\;0$. La sollecitazione di flessione semplice, dunque, non genera alcuna variazione complessiva di volume. Si fa notare, tuttavia, che esistono comunque degli allungamenti e degli accorciamenti di fibre, ma l'effetto complessivo delle fibre che si allungano e che si accorciano è equilibrato, cioè le parti che si allungano lo fanno in misura uguale all'accorciamento delle fibre che si accorciano. In particolare, se $M$ è positivo, le fibre tese sono quelle disposte nella parte inferiore della trave, e viceversa quelle compresse.
Si fa notare, inoltre, che le componenti della deformazione non dipendono dalla coordinata $z$, per cui l'assetto della deformazione della generica sezione della trave è uguale a quello di tutte le altre.
Nota: Inserire immagine
A rigore, bisognerebbe considerare il fatto che la presenza di $\epsilon _{x};\epsilon _{y}$ provoca un cambiamento nella forma della sezione, che a sua volta influenza il valore di $J_{x}$. Infatti, laddove $\sigma _{z}<0$ si ha una espansione laterale della sezione, e viceversa nel caso contrario. Solitamente, tuttavia, si è soliti trascurare questa interconnessione tra il momento d'inerzia e la deformazione della sezione, e si considera il momento d'inerzia calcolato nella sezione indeformata. Questa semplificazione, tuttavia, non porta ad errori eccessivi: si ricorda, infatti, che in virtù dell'ipotesi di spostamenti infinitesimi, i punti della sezione si spostano di una quantità trascurabile, per cui la variazione di $J_{x}$ risulta essere anch'essa trascurabile.

## Analisi degli spostamenti

A partire dalle deformazioni è possibile conoscere gli spostamenti:
${\begin{cases}\epsilon _{x}={\frac {\delta v_{x}}{\delta x}}=-\nu {\frac {M}{EJ_{x}}}y\\\epsilon _{xy}={\frac {1}{2}}\gamma _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta y}}+{\frac {\delta v_{y}}{\delta x}}\right)=0\\\epsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\gamma _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}\right)=0\\\epsilon _{y}={\frac {\delta v_{y}}{\delta y}}=-\nu {\frac {M}{EJ_{x}}}y\\\epsilon _{yz}={\frac {1}{2}}\gamma _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{y}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}\right)=0\\\epsilon _{z}={\frac {\delta v_{z}}{\delta z}}={\frac {M}{EJ_{x}}}y\end{cases}}$
Tralasciando gli sviluppi matematici, infine si ottiene:
${\begin{cases}v_{x}=-\nu {\frac {M}{EJ_{x}}}xy\\v_{y}=-{\frac {M}{2EJ_{x}}}[z^{2}-\nu (x^{2}-y^{2})]\\v_{z}={\frac {M}{EJ_{x}}}yz\end{cases}}$
Studiamo ora la posizione del generico punto appartenente alla trave in seguito alla deformazione. In questa situazione il punto di coordinate originarie $x,y,z$ avrà ora coordinate:
${\begin{cases}x'=x+v_{x}=x\left(1-\nu {\frac {M}{EJ_{x}}}y\right)\\y'=y+v_{y}=y-{\frac {M}{2EJ_{x}}}[z^{2}-\nu (x^{2}-y^{2})]\\z'=z+v_{z}=z\left(1+{\frac {M}{EJ_{x}}}y\right)\end{cases}}$
Potendo scrivere $y=y'-v_{y}=y'+{\frac {M}{2EJ_{x}}}[z^{2}-\nu (x^{2}-y^{2})]$, dalla terza equazione si ottiene:
$z'=z\left(1+{\frac {M}{EJ_{x}}}y'+{\frac {M}{EJ_{x}}}{\frac {M}{2EJ_{x}}}[z^{2}-\nu (x^{2}-y^{2})]\right)$
Il rapporto ${\frac {M}{EJ_{x}}}$ è, nell'ambito della teoria della deformazione infinitesima, una quantità infinitesima, per cui è possibile trascurare il termine in cui compare al quadrato perché infinitesimo di ordine superiore. Si ottiene perciò:
$z'=z\left(1+{\frac {M}{EJ_{x}}}y'\right)$
Tale equazione corrisponde all'equazione di un piano parallelo a $yz$, che si mantiene tale anche in seguito alla deformazione.
Nota: Inserire immagine
Questa considerazione è molto importante, dal momento che in seguito a questa si può affermare la conservazione delle sezioni piane: le sezioni della trave, cioè, in seguito alla deformazione restano piane.
Le sezioni non restano, però, mutuamente parallele. Si può dimostrare che esse si mantengono appartenenti ad un fascio di piani avente come sostegno la retta di coordinate $(x,{\frac {EJ_{x}}{M}},0)$. I punti aventi medesime coordinate $(x,y)$, cioè, si dispongono a deformazione avvenuta su un arco di circonferenza di raggio ${\frac {EJ_{x}}{M}}$ e centro $(x,{\frac {EJ_{x}}{M}},0)$. La linea che descrive l'asse della trave in seguito alla deformazione, e che in questo caso è un arco di circonferenza, è definita linea elastica della trave, che in questo caso ha la seguente equazione:
$v_{y}=-{\frac {M}{2EJ_{x}}}z^{2}$

## Rigidezza flessionale

La misura della rigidezza della trave a questa sollecitazione passa attraverso la misura del suo incurvamento. Tale entità è definita dalla grandezza curvatura, la quale è il reciproco del raggio di curvatura, e quindi vale ${\frac {1}{r}}={\frac {M}{EJ_{x}}}$.
Si definisce rigidezza flessionale la quantità $K_{Mx}=EJ_{x}$, che esprime la capacità della trave di opporsi ad una sollecitazione di momento flettente, e dipende sia dalle caratteristiche del materiale che dalla sezione, in questo caso non semplicemente dalla sua area come nello sforzo normale centrato, ma anche dalla sua forma.
Può, dunque, scriversi:
${\frac {1}{r}}={\frac {M}{K_{Mx}}}$
Nota: inserire immagine
La curvatura citata ha un preciso significato fisico: ricordando che l'espressione di un angolo in radianti è ricavabile dal rapporto tra l'arco che descrive su una circonferenza generica e il raggio della stessa, il rapporto ${\frac {1}{r}}$ rappresenta l'angolo mutuo formato da due sezioni a distanza unitaria. In pratica, si immagini nella trave indeformata due sezioni aventi distanza $\Delta z=1$; in seguito alla deformazione, poiché l'asse della trave è neutro, si ha $\sigma _{z}=0=\epsilon _{z}$, per cui la distanza tra le due sezioni misurate nell'asse baricentrico (curvato) è ancora unitaria; le tracce dei due piani contenenti le sezioni considerate sul piano $y,z$ si incontrano nel centro del fascio che contiene tutte le rette così definite, e formano tra loro un angolo $\gamma$: tale angolo è espresso tramite il rapporto tra l'arco che descrive sulla circonferenza descritta dall'asse della trave deformata (di lunghezza unitaria) e il raggio di tale circonferenza (pari a $r$), e cioè $\gamma ={\frac {1}{r}}$.
Se invece di considerare due sezioni a distanza unitaria si considerano due sezioni a distanza generica $z$ si ottiene:
$\gamma ={\frac {M}{K_{Mx}}}z$
Considerando le due sezioni di estremità della trave, invece, si ha:
$\gamma ={\frac {M}{K_{Mx}}}l$

## Moduli di resistenza

In ambito ingegneristico appare di primaria importanza valutare le tensioni di grado estremo che sollecitano la sezione, dal momento che tutti i materiali hanno un limite di sopportabilità delle tensioni oltre il quale si rompono. Al contrario del caso dello sforzo normale centrato studiato in precedenza, in cui la tensione $\sigma _{z}$ (unica non nulla) era costante in tutta la trave, qui la tensione cambia considerando punti diversi della sezione.
Come nel caso dello sforzo normale centrato, anche qui l'unica tensione non nulla è la $\sigma _{z}$. La sua espressione, attraverso la formula di Navier trovata in precedenza, è la seguente:
$\sigma _{z}={\frac {M}{J_{x}}}y$
Dal momento che esiste una diretta proporzionalità tra $\sigma _{z}$ e la coordinata $y$, appare ovvio che le tensioni di grado estremo si manifestano nei punti aventi rispettivamente $y=y_{max};y=y_{min}$. In pratica, i valori massimo (cioè la trazione massima) e minimo (la compressione massima) si hanno nei punti della sezione più distanti dal baricentro. In particolare:
$\sigma _{z,max}={\frac {M}{J_{x}}}y_{max}$
$\sigma _{z,min}={\frac {M}{J_{x}}}y_{min}$
Con riferimento alla sezione in analisi si possono definire due moduli di resistenza relativi all'asse $x$:
${\begin{cases}W_{x}'={\frac {J_{x}}{y_{max}}}\\W_{x}''={\frac {J_{x}}{y_{min}}}\end{cases}}$
Per mezzo di queste quantità, dipendenti esclusivamente dalle caratteristiche della sezione, è possibile calcolare direttamente le tensioni massime in trazione e compressione:
$\sigma _{z}={\frac {M}{W_{x}}}$
Particolare attenzione va posta nel calcolo delle tensioni massime generate da una flessione deviata: in questo caso, infatti, è necessario valutare in quali punti la somma delle tensioni generate dalle due flessioni rette è massima. In pratica, non è possibile a priori definire i punti maggiormente sollecitati come nel caso della flessione retta, dal momento che le relazioni esistenti tra i momenti e i moduli di resistenza nelle due direzioni modificano sostanzialmente il calcolo. In ogni caso, i punti maggiormente sollecitati saranno sicuramente posti al contorno della sezione.

## Energia di deformazione

L'energia di deformazione vale:
$\Phi ={\frac {1}{2}}\int _{C}\sum _{i,k=1}^{3}\sigma _{ik}\epsilon _{ik}dV={\frac {1}{2E}}\int _{C}\sigma _{z}^{2}dV={\frac {1}{2E}}\int _{l}dz\int _{A}{\frac {M^{2}}{J_{x}^{2}}}y^{2}dA={\frac {l}{2E}}{\frac {M^{2}}{J_{x}^{2}}}\int _{A}y^{2}dA={\frac {1}{2}}{\frac {M^{2}l}{EJ_{x}}}$

## Validità della soluzione

La soluzione trovata è effettivamente la soluzione del problema elastico della trave sollecitata da uno stato tensionale alle basi caratterizzato da un valore variabile linearmente di $\sigma _{z}=M/J_{x}y$.