# L'elasticità lineare

Lo studio della tensione e della deformazione fatto finora prescinde da qualsiasi correlazione causa-effetto esistente. È evidente, tuttavia, che ai fini pratici non riuscire a correlare le tensioni e le deformazioni che queste provocano sarebbe una lacuna inaccettabile. La legge che lega queste due quantità è definita legame costitutivo del materiale, il quale è naturalmente differente a seconda del tipo di materiale studiato.
I legami costitutivi possibili sono in numero elevatissimo, dal momento che devono essere in grado di fornire una base teorica allo studio dei materiali più svariati, e tenendo conto che i materiali possono assumere comportamenti differenti a seconda dello stato tensionale cui sono sottoposti il problema si fa ancor più complicato. Per questo motivo in questa sede si farà riferimento alla correlazione più semplice tra i legami costitutivi, che si riferisce ai materiali elastici lineari.

## La legge di Hooke generalizzata

La relazione esistente tra le componenti di tensione e quelle di deformazione per i materiali elastici lineari è espressa dall'equazione seguente:
$\sigma _{ik}=\sum _{j,h=1}^{3}A_{ikjh}\epsilon _{jh}$
Tale espressione è di tipo lineare, e generalizza la ben nota legge di Hooke. Il termine $A_{ikjh}$ rappresenta i coefficienti o costanti di elasticità, i quali sono le componenti di un tensore del quarto ordine $A$. Le componenti del tensore sono in numero di $3^{4}=81$. Quest'ultimo correla le tensioni e le deformazioni, e in esso sono contenute le informazioni relative alla risposta del materiale ad uno stato di sollecitazione. In termini tensoriali l'espressione precedente assume la forma seguente:
$\mathbf {T=AE}$
Se si impone che il tensore delle tensioni è simmetrico (per l'equilibrio), si ottiene che $A_{ikjh}=A_{kijh}=A_{kihj}=A_{ikhj}$. In base a tale posizione, le componenti indipendenti del tensore $A$ diventano 36.
Se il tensore $A$ è invertibile, e cioè esiste il tensore inverso $C=A^{-1}$, è possibile scrivere:
$\epsilon _{ik}=\sum _{j,h=1}^{3}C_{ikjh}\sigma _{jh}$
Tale espressione, duale della precedente, permette di conoscere lo stato deformativo del corpo causato da un dato stato tensionale. Perché sia possibile tale invertibilità è necessario che $A$ sia definito strettamente positivo

## L'energia di deformazione e l'iperelasticità

Supponiamo l'esistenza di una funzione $\phi$ tale che:
${\frac {\delta \phi (\epsilon _{ik})}{\delta \epsilon _{ik}}}=\sigma _{ik}$
Si definisce tale funzione (in sei variabili) energia specifica di deformazione, e se esiste il materiale viene definito iperelastico.
Per comprendere il significato di $\phi$ si consideri un corpo che passi da uno stato deformativo cui competono delle $(\epsilon _{ik})_{1}$ ad un altro avente $(\epsilon _{ik})_{2}$ attraverso un percorso deformativo, cioè passando attraverso una serie di stati deformativi intermedi. Si definisce, dunque, un parametro $\alpha$, in grado di descrivere con la sua variazione il percorso di deformazione. Si fa in modo, cioè, che le componenti della deformazione $\epsilon _{ik}$ siano dipendenti da tale parametro. In virtù della linearità supposta per il legame costitutivo, anche le componenti di tensione $\sigma _{ik}$ dipenderanno in maniera lineare da $\alpha$. Si valuti allora il lavoro compiuto dalle tensioni sulle deformazioni per effetto del percorso di deformazione:
$L=\int _{(\epsilon _{ik})_{1}}^{(\epsilon _{ik})_{2}}\sum _{i,k=1}^{3}\sigma _{ik}d\epsilon _{ik}=\int _{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\sum _{i,k=1}^{3}\sigma _{ik}{\frac {d\epsilon _{ik}}{d\alpha }}d\alpha$
In generale l'espressione precedente denota una dipendenza del lavoro con il percorso compiuto. Tuttavia, per come è stata definita l'energia specifica di deformazione, se quest'ultima esiste la forma differenziale nelle sei variabili indipendenti $\epsilon _{ik}$ diventa un differenziale esatto, per cui:
$L=\int _{(\epsilon _{ik})_{1}}^{(\epsilon _{ik})_{2}}d\phi =\phi _{2}-\phi _{1}$
Da ciò derivano alcune considerazioni relative ai materiali iperelastici:
* il lavoro non dipende dal percorso ma solo dai punti di partenza e di arrivo, e per un percorso di deformazione chiuso è nullo;
* $\phi$ è una funzione di stato del sistema;
* dal punto di vista fisico nella deformazione non c'è dissipazione di energia;
* si può dimostrare che per l'esistenza di $\phi$ il tensore $A$ deve essere simmetrico, e cioè $A_{ikjh}=A_{jhik}$. In seguito a ciò le costanti elastiche indipendenti diventano 21.
Per esprimere analiticamente il valore dell'energia specifica di deformazione si consideri un percorso di deformazione che parta da una condizione indeformata (per cui, cioè, $(\epsilon _{ik})_{1}=0$), e che il parametro $\alpha$ precedentemente utilizzato per descrivere il percorso di deformazione sia $0<\alpha <1$ (cioè abbia in corrispondenza della configurazione iniziale valore 0 e di quella finale 1). Il lavoro sotto queste condizioni è:
$L=\phi =\int _{0}^{(\epsilon _{ik})_{1}}\sigma _{ik}d\epsilon _{ik}=\int _{0}^{1}\alpha (\sigma _{ik})_{2}d\alpha (\epsilon _{ik})_{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i,k=1}^{3}\sigma _{ik}\epsilon _{ik}$
Si può introdurre la quantità $\Phi$, che è chiamata energia di deformazione elastica totale ed è definita nel modo seguente:
$\Phi =\int _{C}\phi dV$