# Valutazioni numeriche sul disturbo nei correlatori digitali.

Nella prima lezione di questa materia abbiamo preso in esame il comportamento delle $C(\tau )x1,2$ in presenza di rumore che inquina il segnale, l'esame è stato condotto analizzando l'algoritmo sotto indicato:
$C(\tau )x1,2=(2/\pi )\arcsin K\cdot \left\{{\frac {\sin \ [2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]\cdot \cos \ [2\cdot \pi \cdot Fo\cdot (\tau -\tau *)]}{[2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]}}\right\}\ \ \$ 1)
dove $K$ è una variabile dipendente dal rapporto tra l'ampiezza del segnale $si$ e l'ampiezza del disturbo $ni$ secondo la 2)
$K=\left[{\frac {1}{1+(ni/si)^{2}}}\right]\ \ \$ 2)
con $ni\ e\ si$ espressi come numeri decimali.

## Dai valori di C(tao)x 1,2 normalizzati alla tensione Sux all'uscita del correlatore

L'analisi della 1) ha portato, come esempio dell'effetto del rumore sul segnale, alla serie di curve della $C(\tau )x1,2$ che riportiamo in figura 1:
Le curve sono normalizzate e la loro ampiezza è indipendente dalle caratteristiche tecniche del correlatore contrariamente alle curve mostrate nella 3^ lezione della materia I correlatori digitali.
Nella citata lezione si mostrava l'andamento di una $C(\tau )x1,2$ relativa ad un ben specificato correlatore alimentato con una tensione continua $Val.=+5\ V$; la curva in oggetto è riportata in figura 2:
In questo caso specifico l'algoritmo per il calcolo della $C(\tau )x1,2$ è dato dalla 1) modificata con l'inserzione di $Val.$ così come mostra la 3):
$C(\tau )x1,2=(Val./\pi )\arcsin K\cdot \left\{{\frac {\sin \ [2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]\cdot \cos \ [2\cdot \pi \cdot Fo\cdot (\tau -\tau *)]}{[2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]}}\right\}\ \ \$ 3).
Per $\tau =\tau *$ si può riscrivere la 3 sostituendo l'indicazione $C(\tau )x1,2$ con $Sux$:
$Sux=(Val./\pi )\arcsin \ K\ \$ 3a).
dove $K=\left[{\frac {1}{1+(ni/si)^{2}}}\right]\ \ \$
Esempio di calcolo di $Sux$
Dati:
$si=10\ mv.eff$
$ni=10\ mv.eff$
$Val.=15V$ si ha:
$K=\left[{\frac {1}{1+(10/10)^{2}}}\right]\ \ \ =0.5$
$Sux=(15/\pi )\arcsin \ 0.5\ \ =2.5\ V.cc$

## Valutazioni numeriche sulle curve di figura 1

Se consideriamo ora le curve di figura 1 come generate da un correlatore alimentato con $Val.=+5\ V$ i valori massimi delle curve potranno leggersi come tensioni elettriche continue $Sux$ ai seguenti livelli rapportati al valore massimo $1$ corrispondente a $2.5\ V.$
Secondo figura 1, con $ni\ e\ si$ espressi come numeri decimali, si ha:
Per $si=1\ ;\ sn=0$: $\ \ \mathbb {C} (\tau )x1,2$ = 1 : $\ \ \ Sux=2.5\ V$
Per $si=10\ ;\ ni=1\ \ \ (20\ dB)$ $\ \ \ C(\tau )x1,2$ = .9 : $\ \ \ Sux=2.25\ V$
Per $si=3.3\ ;\ ni=1\ \ \ (10\ dB)$ $\ \ \ C(\tau )x1,2$ = .7 : $\ \ \ Sux=1.55\ V$
Per $si=1\ ;\ ni=1\ \ \ (0\ dB)$ $\ \ \ C(\tau )x1,2$ = .33 : $\ \ \ Sux=0.82\ V$
Per $si=0.5\ ;\ ni=1\ \ \ (-6\ dB)$ $\ \ \ C(\tau )x1,2$ = .15 : $\ \ \ Sux=0.37\ V$

## Considerazioni tecniche sulle tensioni Sux e la varianza Nux

Le variazioni delle tensioni $Sux$ in uscita dal correlatore mostrano come l'incremento del livello del disturbo riduca le loro ampiezze, ampiezze che possono scendere anche a livelli estremamente piccoli tali da non potersi facilmente rilevare.
A questo punto si potrebbe pensare come amplificare le $Sux$ in modo da poterle rilevare con precisione a qualsiasi livello queste si manifestino.
Purtroppo tale operazione non è fattibile dato che, all'uscita del correlatore, oltre la $Sux$ è presente, sovrapposta ad essa, una tensione alternata la cui ampiezza è indipendente dal rapporto $si/ni$, detta tensione indicata come varianza $Nux$ verrebbe amplificata con la $Sux$ lasciando di fatto l'iniziale difficoltà a rilevare piccoli valori di $Sux$.
La valutazione di questa nuova variabile è subordinata sia alla banda dei filtri d'ingresso del correlatore sia al valore della costante di tempo dell'integratore componenti visibili, evidenziati in grigio, nello schema a blocchi di figura 3:
Il valore di $Nux$, si calcola con l'espressione
$Nux=\left[{\frac {Val.}{\pi \cdot {\sqrt {(6/7)\cdot 4\cdot RC\cdot (F2-F1)}}}}\right]$
dove:
per $Nux$ espresso in volt efficaci devono essere:
$RC$ = costante di tempo d'integrazione in secondi
$F2-F1$ = Larghezza di banda dei filtri di precorrelazione in Hertz
Esempio di calcolo di $Nux$
Siano dati:
$F1=6000\ Hz$
$F2=9000\ Hz$
$RC=1\ s$
$Val.=15\ V$
si ha:
$Nux=\left[{\frac {15}{\pi \cdot {\sqrt {(6/7)\cdot 4\cdot 1\cdot (9000-6000)}}}}\right]=47\ mV$ efficaci.

## Il rapporto Sux/ Nux all'uscita dell'integratore

Il rapporto $Sux/Nux$ rappresenta il rapporto segnale/disturbo all'uscita del correlatore ed è calcolabile con l'espressione:
$Sux/Nux=(\arcsin \ K\ )\cdot {\sqrt {(6/7)\cdot 4\cdot RC\cdot (F2-F1)}}$
Algoritmo valido per piccoli rapporti $si/ni$ con $ni\ e\ si$ espressi come numeri decimali.
Esempio di calcolo di $Sux/Nux$
Dati:
$si=10\ mV.eff$
$ni=10\ mV.eff$
$F1=6000\ Hz$
$F2=9000\ Hz$
$RC=1\ s$
si ha:
$K=\left[{\frac {1}{1+(10/10)^{2}}}\right]\ \ \ =0.5$
$Sux/Nux=(\arcsin \ 0.5\ )\cdot {\sqrt {(6/7)\cdot 4\cdot 1\cdot (9000-6000)}}=53$
In termini logaritmici :
$(Sux/Nux)dB=20\cdot log_{10}\ {53}\approx 35\ dB$