# Filtri passa basso

In questa lezione tratteremo dei filtri passa basso passivi, strutture che giocano un ruolo molto importante nell’ambito della progettazione dei circuiti analogici; le funzioni esplicate da questi dispositivi vengono svolte mediante l’impiego di componenti che non richiedono alimentazione alcuna, da qui il nome di strutture passive.

## Sui filtri passa basso

Un filtro passa basso ideale è un circuito che ha il compito di consentire il passaggio di tensioni elettriche la cui frequenza può essere compresa tra $f=0\ Hz\ \$ a $\ \ f=f1\ Hz$ , oltre la frequenza $f1$ tutte le tensioni vengono bloccate e all’uscita del filtro non si ha alcun segnale.
L’andamento grafico di questo comportamento è riportato in figura 1:
In figura sono evidenziate le due zone caratteristiche del filtro, la zona passante, entro la quale i segnali d’ingresso possono transitare purché abbiano frequenze inferiori ad $f1$, e la zona non passante, nella quale nessun segnale avente frequenza superiore a $f1$, può transitare.
Il profilo della curva di risposta di un passa basso reale ha però un andamento molto diverso da quello di figura 1; nell’intervallo di frequenze che precede e che segue il valore di $,f1$ il percorso tra zona passante e zona non passante non avviene bruscamente, come in figura 2, ma gradualmente, secondo una curva caratteristica la cui pendenza è tanto più elevata quanto maggiore è la complessità del filtro passa basso; si ha perciò una curva di risposta reale del tipo di quella indicata in figura 2:
In figura 2 si vede come la risposta del filtro passa basso consenta di attenuare le frequenze superiori a $f1$, secondo una certa curva caratterizzata dal punto di ascissa $,f1$, ed ordinata –$3\ dB$, e dalla pendenza della curva stessa espressa in $,dB/ottava$; il valore di $f1$, è detto frequenza di taglio.
Si comprende che più è elevata la pendenza della curva tanto più il filtro reale tende a diventare un filtro ideale.
La pendenza è di –$6\ dB$ per ogni componente reattivo presente nel filtro; tre componenti reattivi, quali, ad esempio, due condensatori ed un’induttanza provocano una pendenza di -$18\ db/ottava.$

### Lo schema elettrico di un filtro passa basso

Lo schema elettrico di un filtro passa basso, nella configurazione circuitale più semplice, detta “cellula” di Butterworth:, è mostrato in figura 3.
Nella figura si vedono i componenti che costituiscono la struttura filtrante, due resistenze $,R1\ ed\ R2,$ uguali tra loro, due condensatori $,C1\ e\ C2$, anch’essi uguali tra loro ed un’induttanza $L.$
La tensione del segnale d’ingresso, $Vi$, è applicata in serie alla resistenza $,R1$ ; il segnale d’uscita $,Vu$, è presente ai capi di $,R2.$
Questa configurazione della cellula necessita di un segnale d’ingresso il cui generatore abbia un’impedenza molto più bassa del valore di $,R1$, si dice in questo caso che il generatore deve essere un “generatore di tensione”, ciò comporta una perdita di $6\ dB$, perdita d’inserzione, per la partizione della tensione $Vi$ da parte di $R1\ e\ R2.$
Un circuito filtrante con le stesse caratteristiche di risposta di quello mostrato in figura 3 è realizzabile per il filtraggio di segnali prodotti da “generatori di corrente”, generatori che hanno un’impedenza molto più elevata di $,R1$; lo schema di questo filtro è mostrato in figura 4.
In questo circuito la corrente del segnale d’ingresso è applicata sulla resistenza $R1$ ed il segnale d’uscita $Vu$, come nel circuito precedente, è presente ai capi di $R2$, in questo caso la tensione $Vi$ non subisce nessuna perdita d’inserzione.

### Progetto dei filtri

Il progetto di entrambi i filtri passa basso sopra illustrati è fattibile, con semplici formule di calcolo, mediante il dimensionamento dei componenti in dipendenza del valore voluto della frequenza di taglio $f1$, le formule in oggetto sono le seguenti:
$C=1/(2\cdot \pi \cdot f1\cdot R)$
$L=R/(\pi \cdot f1)$
dove
$C$ è espresso in Farad
$L$ è espresso in Henry
e deve essere $R=R1=R2$ espresso in Ohm

### Caratteristiche elettriche

Per le soluzioni circuitali alle quali si applicano le formule indicate si hanno le seguenti caratteristiche:
Filtro passa basso con segnale $Vi$ da generatore di tensione
* Perdita d’inserzione nella zona passante $Att.={-}6\ dB$,
* Attenuazione alla frequenza di taglio rispetto al livello della zona passante $Att.={-}3\ dB$,
* Attenuazione totale alla frequenza di taglio $Att.={-}3\ dB{-}6\ dB={-}9\ dB$,
* Pendenza della curva d’attenuazione ben oltre il valore di $f1$: $Att.={-}18\ dB/ottava$, (pari alla riduzione dell’ampiezza del segnale di $8\ volte$ ad ogni raddoppiamento della frequenza)
Filtro passa basso con segnale $Vi$ da generatore di corrente
* Perdita d’inserzione nella zona passante $Att.=0\ dB$,
* Attenuazione alla frequenza di taglio rispetto al livello della zona passante $Att.={-}3\ dB$
* Attenuazione totale alla frequenza di taglio $Att.={-}3\ dB{-}0\ dB={-}3\ dB$
* Pendenza della curva d’attenuazione ben oltre il valore di $f1$ : $Att.={-}18\ dB/ottava$, (pari alla riduzione dell’ampiezza del segnale di $8\ volte$, ad ogni raddoppiamento della frequenza)
La differenza tra la prima configurazione circuitale e la seconda, a prima vista, farebbe propendere per l’adozione incondizionata della seconda, ma la scelta dipende esclusivamente dalle caratteristiche dei circuiti elettronici che devono impiegare i filtri passa basso che, in alcuni casi richiedono la prima ed in altri la seconda.
L’impiego delle formule di calcolo è subordinato, sia alla frequenza di taglio voluta, sia dal valore di $R$ che deve essere commisurato ai circuiti elettronici che forniscono la tensione d’ingresso $Vi$ o che usufruiscono della tensione d’uscita $Vu.$
La semplicità delle formule consente un facile dimensionamento dei componenti ma pone serie difficoltà nel calcolo della risposta teorica del filtro che non può essere affrontata in termini elementari; dal punto applicativo la difficoltà di calcolo delle curve di risposta è superabile mediante curve “normalizzate” già tracciate e di facile impiego.

### Esempio di progetto di un filtro passa basso

Dati di progetto
Sia da realizzare un filtro passa basso in grado di essere accoppiato ad un generatore di tensione avente una $Zu=50\ \Omega$, si voglia una frequenza di taglio $f1=6700\ Hz$, ed una pendenza di -$18\ dB/ottava.$
Dimensionamento della resistenza
Il dati di progetto prevedono una configurazione circuitale come quella di figura 3 per cui:
Il valore di $R=R1=R2$, deve essere commisurato al valore di $Zu=50\ \Omega$, quindi dovrà essere:
$R>>Zu$
ovvero
$R>>50\ \Omega$
per ottenere questa condizione è opportuno, se possibile, che $R$,sia almeno $100\ volte$ il valore di $Zu$ quindi
$R=R1=R2=5000\ \Omega$.
La possibilità che $R$ possa essere del valore calcolato dipende dai valori di $L\ e\ C$ che ne conseguono; se i valori saranno realizzabili il dato di $R$ sarà accettabile altrimenti dovrà essere rivisto.
Calcolo di $L\ e\ C$
Dati $f1=6700\ Hz\ e\ R=5000\ \Omega$
il calcolo di $L$ si effettua con la formula:
$L=R/(\pi \cdot f1)=5000\ \Omega /(3.14\cdot 6700\ Hz)=237.7\ mH$
il calcolo di $C$ si effettua con la formula:
$C=1/(2\cdot \pi \cdot f1\cdot R)=1/(6.28\cdot 6700\ Hz\cdot 5000\ \Omega )=4753\ pF$
Quindi $C1=C2=C=4753\ pF$ ( con precisione dell’ $1.25\%$)
Entrambi i componenti calcolati sono di valore accettabile, quindi il valore di $R=5000\ \Omega$ è adatto al progetto; se ad esempio fossero risultati, od $L=237\ H\ o\ C=47\ pF$ la cosa non sarebbe stata possibile per i seguenti motivi: Un’induttanza da $237\ H$ non sarebbe stata realizzabile per le notevoli dimensioni richieste.
Un condensatore da $47\ pF$ sarebbe stato troppo piccolo ed il filtro avrebbe subito senz’altro l’influenza dei valori delle diverse capacità parassite distribuite, paragonabili al valore di $C.$

### Tracciamento delle curve di risposta

La curva di risposta del circuito di figura 3
Poter disporre dell’andamento grafico delle curve di risposta di un filtro è utile per il controllo della normale funzionalità del circuito una volta costruito.
Dato che il calcolo diretto in base ai valori calcolati di $R\ ;\ C\ ;\ L$ non è fattibile semplicemente, utilizziamo la curva di risposta universale, tracciata in figura 5 che si adatta a tutti i filtri passa basso che hanno la struttura di figura 3:
La curva di risposta universale ha in ascisse il rapporto $f/f1$, ed in ordinate l’attenuazione del filtro ad intervalli di $2\ dB$ per divisione.
Per utilizzare la curva di figura5 dobbiamo determinare il rapporto $f/f1$ per ciascuna frequenza per la quale desideriamo stabilire l’attenuazione prodotta dal filtro; se vogliamo ad esempio conoscere l’attenuazione del nostro filtro alla frequenza
$f=12000\ Hz$ dobbiamo:
* calcolare il rapporto: $f/f1=12000\ Hz/6700\ Hz\approx 1.8$
* tracciare una perpendicolare dall’ascissa d’ampiezza $1.8$ e trovare il punto d’incontro con la curva
* tracciare una perpendicolare dal punto d’incontro all’asse delle ordinate sul quale si leggerà il valore d’attenuazione di circa $21.5\ dB.$
Come si vede il procedimento è semplice e consente di utilizzare la curva per controllare il corretto funzionamento del filtro una volta costruito.
A questo proposito si deve osservare che tra i valori d’attenuazione teorici, rilevati con l’ausilio della curva di figura 5, e valori misurati in laboratorio si potranno trovare differenze dell’ordine di circa $1\ dB$ a causa, sia dell’incertezza delle misure, sia per le perdite naturali che si hanno nell’induttanza.
La curva di risposta del circuito di figura 4
La curva di risposta del circuito di figura 4 è riportata in figura 6, per essa valgono le considerazioni fatte in precedenza.

### Osservazioni generali

Sulla pendenza della curva d'attenuzione
Il progetto della cellula passa basso si conclude con alcune osservazioni che ne chiariscono meglio il funzionamento.
Del filtro di cui abbiamo trattato s’è detto che nella zona d’attenuazione la pendenza è di –$18\ dB/ottava$, questa caratteristica è controllabile soltanto per valori di frequenza lontani dalla frequenza di taglio $f1$.
Un’idea quantitativa di questo comportamento si ha immediatamente dall’esame della curva di risposta di figura 5; se consideriamo l’attenuazione al punto d’ascissa $1$ con il punto d’ascissa $2$ , corrispondenti rispettivamente a due frequenze l’una il doppio dell’altra, si vede che nel primo punto l’attenuazione è di ${-}9\ dB$ e nel secondo punto di ${-}24\ dB$ con un salto di $15\ dB$ contro i ${-}18\ dB$ che sono la caratteristica teorica della cellula.
Se ora esaminiamo altri due punti della curva più lontani da $f1,$ il punto di ascissa $1.8$ e il punto di ascissa $3.6,$ riscontriamo per il primo un’attenuazione di –$22\ dB$ e per il secondo un’attenuazione di circa -$39.7\ dB$ con un salto di $17.7\ dB$ che si avvicina sensibilmente al valore teorico della pendenza di –$18\ dB/ottava$ dichiarata per questo tipo di cellula.
Sulla banda passante della curva
Sempre esaminando la curva di figura 5 vediamo come sia presente un’attenuazione di –$6\ dB$ anche nella zona passante, l’attenuazione in oggetto, della quale abbiamo già accennato in precedenza, è dovuta alla partizione tra le due resistenze $R1\ ed\ R2$ che terminano la cellula, questo fatto, una volta noto, è irrilevante perché la quota fissa d’attenuazione d’inserzione di –$6\ dB$ si ripercuote su tutte le frequenze, sia nella zona passante sia nella zona d’attenuazione, con la conseguenza che il rapporto tra ampiezza delle tensioni nelle due zone è indipendente dall’attenuazione d’inserzione, ma dipende soltanto dalla pendenza naturale d’attenuazione del filtro.
Sulle misure di laboratorio
Nelle prove del funzionamento del filtro non è facile controllare le zone d’attenuazione elevate che superino attenuazioni di – $40\ dB;$ misure di questo genere richiedono molta cura e voltmetri selettivi che consentano la misura soltanto attorno alla frequenza per la quale si vuole controllare l’attenuazione, senza queste attenzioni si rischia di misurare tensioni interferenti che non provengono dal filtro sotto esame traendo conclusioni errate sul funzionamento della cellula.