# Elettrodinamica (superiori)
## Elettrodinamica

In elettrostatica per definizione le cariche sono immobili e si studiano i fenomeni elettrici in condizione di equilibrio delle distribuzioni di cariche. Il raggiungimento dello stato di equilibrio viene raggiunto dal movimento delle cariche libere. Un conduttore è attraversato da una corrente elettrica ogni qual volta delle cariche si spostano da un punto all'altro del conduttore. Il movimento caotico dovuto alla agitazione termica non comporta nessuna corrente netta. Si chiama velocità di deriva la velocità media dei vari portatori di carica all'interno del conduttore in condizioni dinamiche a causa del campo elettrico localmente presente. L'insieme delle velocità di deriva delle varie cariche comporta una corrente macroscopica di conduzione. Si definisce corrente di conduzione $I\$ la quantità carica totale $dQ\$ che attraversa una sezione del conduttore nel tempo $dt\$:
| $I={\frac {dQ}{dt}}\$ | (1) |
Nel sistema SI l'unità di misura della corrente è l'Ampere (simbolo $A\$) definito come:
| $[A]={\frac {[C]}{[s]}}\$ | (2) |
Nel sistema SI l'ampere è una unità di misura fondamentale. La ragione pratica del considerare l'ampere come una grandezza fondamentale, deriva dal fatto che le correnti elettriche sono più facilmente misurabili e producibili delle cariche elettriche libere. Se in maniera opportuna si mantiene la d.d.p. costante nel tempo, una volta che si sono stabilizzati i parametri del sistema la corrente non varia più nel tempo. In questo caso si parla di corrente stazionaria, cioè una corrente che non varia nel tempo. Notare che la presenza netta di una corrente in un conduttore non significa che il conduttore diventa carico, ma solo che si ha un flusso dei portatori di carica. La convenzione che si usa è quella che i portatori di carica siano positivi e che quindi la corrente fluisca dai punti a potenziale più alto verso quelli a potenziale più basso. Per fare scorrere una corrente in un conduttore sono necessari dei generatori o di corrente o di differenza di potenziale che verranno trattati nel seguito: in questa prima parte consideriamo di avere a disposizione oggetti ideali che ci forniscono le correnti o le differenze di potenziale che vogliamo.

## Densità di corrente

Consideriamo un conduttore, all'interno del quale si abbiano $n\$ portatori di carica liberi per unità di volume ciascuno di carica $q\$. Al moto caotico dovuto all'agitazione termica, con una velocità quadratica media molto elevata, si sovrappone un moto di deriva caratterizzato da una velocità di deriva ${\vec {v}}_{d}\$. Le velocità di deriva sono parallele o antiparallele al campo ${\vec {E}}\$ localmente presente nel conduttore, a seconda se $q\$ è positiva o negativa. Notiamo che a differenza del caso elettrostatico il campo elettrico è non nullo all'interno dei conduttori.
Le ${\vec {v_{d}}}\$ costituiscono un campo vettoriale, definito all'interno del conduttore la cui sezione è $S\$. Dentro il conduttore, consideriamo un tubo di flusso elementare del campo vettoriale ${\vec {v_{d}}}\$ e sia $d{\vec {S}}\$ una sezione, non necessariamente normale al tubo di flusso. La quantità di carica $dq\$ che nel tempo $dt\$ passa attraverso la sezione $d{\vec {S}}\$ vale:
| $dq=nq{\vec {v_{d}}}\cdot d{\vec {S}}dt=nqv_{d}dS_{n}dt\$ | (3) |
dove $dS_{n}\$ rappresenta la proiezione di $d{\vec {S}}\$ normale al tubo di flusso.
Alla quantità:
| ${\vec {J}}=nq{\vec {v_{d}}}\$ | (4) |
si dà il nome di densità di corrente. Le dimensioni fisiche di ${\vec {J}}\$ sono:
$[J]=[L]^{-3}[C][L][t]^{-1}=[I][L]^{-2}\$
cioè di una corrente su una superficie e nel SI l'unità di misura è:
$[J]=\left[{\frac {A}{m^{2}}}\right]\$
Possiamo anche scrivere che:
$dI={\frac {dq}{dt}}=nq{\vec {v_{d}}}\cdot d{\vec {S}}={\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}\$
Integrata sull'intera sezione $S\$ del conduttore si ha che la corrente:
| $I=\int _{S}{\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}\$ | (5) |
Quindi la corrente è il flusso della densità di corrente elettrica attraverso la superficie $S\$.

## Conservazione della carica elettrica

Abbiamo visto che la carica elettrica si conserva. L'applicazione di tale principio si può esprimere matematicamente con l'introduzione della densità di corrente. Consideriamo la figura a fianco in cui viene rappresentata la sezione di una superficie $S\$ chiusa che al tempo $t\$ racchiude la carica totale $Q(t)\$.
Se trascorso un tempo $dt\$ la carica diminuisce di $-dQ\$. Per la conservazione della carica una corrente elettrica (rappresentata dalle frecce nella figura) deve avere attraversato la superficie $S\$. In maniera che:
| $-dQ=\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\vec {dS}}dt\$ | (6) |
Quindi posso scrivere:
| $-{\frac {dQ}{dt}}=\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\vec {dS}}$ | (7) |
Tale equazione è spesso indicata con il nome di equazione di continuità in forma integrale. In condizioni stazionarie, cioè quando la carica all'interno del volume considerato non varia nel tempo, l'equazione diviene:
| $\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\vec {dS}}=0$ | (8) |
Questo vuole dire che il flusso della corrente attraverso una qualsiasi superficie chiusa è nullo. In conseguenza di questo se consideriamo un filo conduttore, essendo per definizione nullo il flusso uscente dalla superficie laterale.
La equazione di continuità (7) può essere espressa in forma locale se il campo vettoriale ${\vec {J}}\$ è derivabile. Infatti definendo $T\$ il volume che ha come contorno la superficie $S\$ si ha che usando la definizione di $Q\$:
| $Q(t)=\int _{T}\rho d\tau$ | (9) |
e se la superficie di contorno $S\$ non varia nel tempo:
| ${\frac {dQ}{dt}}=\int _{T}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}d\tau$ | (10) |
Notare come mentre $Q(t)\$ dipenda solo dal tempo quindi la sua rispetto al tempo è una derivata totale , in genere $\rho \$ invece dipende anche dallo spazio oltre che dal tempo quindi la derivata temporale è parziale. Se si sostituisce nella equazione (7) al primo membro l'espressione (10) e per quanto riguarda il secondo membro si usa il teorema della divergenza:
| $-\int _{T}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}d\tau =\int _{T}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}d\tau$ | (11) |
La scelta del volume $T\$ è arbitraria, quindi affinché i due integrali coincidando occorre che anche gli integrandi siano eguali, cioè:
| $-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}$ | (12) |
Che è detta l'equazione di continuità in forma locale.
Ritornando alla espressione integrale, eq. 8, nel caso stazionario applicato alla figura del conduttore a sezione variabile:

### $\int _{S1}{\vec {J}}\cdot {\vec {dS}}+\int _{S2}{\vec {J}}\cdot {\vec {dS}}=0$

Ma
$\int _{S1}{\vec {J}}\cdot {\vec {dS}}=-I_{1}\$ ed $\int _{S2}{\vec {J}}\cdot {\vec {dS}}=I_{2}\$, quindi:

### $I_{1}=I_{2}\$

Cioè la corrente attraverso le due sezioni è la stessa.
Se la regione di spazio in cui convergono più fili conduttori, non ha capacità elettrica, anche in condizioni non stazionarie la carica contenuta nella regione di spazio non può variare essendo identicamente nulla. Tale regione di spazio viene detto nodo. L'applicazione della (7) comporta che :
| $I_{1}+I_{2}+I_{3}+....+I_{n}=0\$ | (13) |
La somma delle correnti che convergono su un nodo è nulla: la somma delle correnti entranti eguaglia le uscenti. Questa legge viene detta prima legge di Kirchhoff.

## Legge di Ohm

Nei conduttori le cariche libere si muovono come in un fluido molto viscoso. Come sappiamo dalla meccanica del punto se la viscosità è molto elevata il sistema raggiunge la condizione di velocità di deriva in un tempo molto rapido. La fase di accelerazione del moto avviene in un tempo trascurabile e la forza di trascinamento $q{\vec {E}}$ viene bilanciata dalla forza di attrito viscoso $-m{\vec {v}}_{d}/\tau$. Dove $m\$ è la massa dei portatori di carica (gli elettroni in genere) e $\tau \$ è il tempo medio tra gli urti e $q\$ la carica delle cariche libere (gli elettroni normalmente). Ma essendo:

### ${\vec {v}}_{d}={\frac {\vec {J}}{nq}}\$

Posso scrivere che: $q{\vec {E}}=m{\frac {\vec {J}}{nq\tau }}\$
da cui risulta:
| ${\vec {E}}={\frac {m}{nq^{2}\tau }}{\vec {J}}=\rho {\vec {J}}$ | (14) |
Tale legge viene chiamata legge di Ohm in forma microscopica. La legge di Ohm vale sempre nei conduttori, mentre per quanto riguarda le altre sostanze: semiconduttori, isolanti (gas, liquidi solidi) ha un intervallo limitato di validità. Infatti in genere in queste sostanze solo se il campo elettrico è inferiore ad un certo valore (dipendente dal mezzo e spesso dalla sua storia) si ha una proporzionalità diretta tra campo elettrico e densità di corrente. La quantità:
$\rho ={\frac {m}{nq^{2}\tau }}\$
è detta resistività elettrica ed è una grandezza che dipende dal mezzo considerato. Non si faccia confusione con una altra grandezza la densità di carica contenuta, per la quale si usa per convenzione universalmente accettata lo stesso simbolo, per evitare confusione la densità di carica non verrà più utilizzata nel seguito di questo capitolo. La resistività elettrica nei metalli varia approssimativamente in maniera lineare con la temperatura secondo la legge:
| $\rho =\rho _{0}(1+\alpha T)\$ | (15) |
Con $\alpha \$ detto coefficiente di temperatura, $\rho _{0}\$ la resistività alla temperatura di riferimento (comunemente $^{o}0\ C$).
| Tipo | Sostanza | $\rho \ (\Omega \cdot m)\$ | $\alpha (^{o}C^{-1})\$ |
| Conduttore | Ag | $1.6\cdot 10^{-8}\$ | $0.0038\$ |
| Conduttore | Cu | $1.7\cdot 10^{-8}\$ | $0.0039\$ |
| Conduttore | Al | $2.8\cdot 10^{-8}\$ | $0.0039\$ |
| Conduttore | Fe | $1\cdot 10^{-7}\$ | $0.005\$ |
| Conduttore | NiCr | $1\cdot 10^{-6}\$ | $0.0004\$ |
| Semiconduttore | Si | $0.001-640\$ | $-0.075\$ |
| Isolante | Legno | $\approx 10^{8}\$ | $\ \$ |
| Isolante | Vetro | $\approx 10^{12}\$ | $\ \$ |
| Isolante | Quarzo | $7.5\cdot 10^{17}\$ | $\ \$ |
| Isolante | Teflon | $10^{22}-10^{24}\$ | $\ \$ |
In tabella sono date le resistività ed i coefficienti di temperatura di alcune sostanze a temperatura ambiente. Volutamente sono state messe nella tabella dei metalli, tutti con resistività molto bassa, ed altri materiali. La figura mostra la resistività dell'Alluminio che in un grande intervallo di temperatura ha una dipendenza lineare con la temperatura, in genere, per altri metalli, la linearità vale in un intervallo più limitato di temperatura. La distinzione tra conduttori ed isolanti diventa quantitativa con la definizione di resistività elettrica come appare chiaro dalla tabella. Mentre la legge di Ohm, vale senza limitazione nei conduttori, purché la temperatura sia mantenuta costante, nelle altre sostanze la validità è limitata al fatto che il campo elettrico localmente sia molto inferiore alla rigidità dielettrica del mezzo. Infatti nei dielettrici la velocità di drift dei pochi portatori di carica presenti, al contrario che nei conduttori, può diventare molto elevata in quanto è facile avere campi elettrici localmente molto intensi, quindi la dinamica dei portatori di carica è più complicata in quanto la dinamica nei mezzi poco viscosi è molto diversa da quella dei mezzi molto viscosi.
La espressione data in eq.14 è poco utilizzabile in pratica poiché nei conduttori è più facile misurare la d.d.p. macroscopica che il campo elettrico locale. Consideriamo un cilindro conduttore di lunghezza $l\$, sezione normale $S\$ e resistività $\rho \$. Se applichiamo una d.d.p. $V\$ tra gli estremi:
$|E|l=V\$
Inoltre:
$|J|S=I\$
Sostituendo tale quantità nella eq.14, proiettando nella direzione della velocità di deriva, risulta:
| ${\frac {V}{l}}={\frac {\rho I}{S}}\$ | (16) |
Da cui se definisco:
| $R=\rho {\frac {l}{S}}\$ | (17) |
la resistenza del conduttore, posso riscrivere la eq.14 come:
| $V=IR\$ | (16) |
Che è detta di Ohm in forma macroscopica ( o semplicemente legge di Ohm). Se il conduttore non è a sezione costante ed al limite la resistività varia con la posizione la generalizzazione della eq.15 porta a:
| $R=\int _{0}^{l}\rho (x){\frac {dx}{S(x)}}\$ | (19) |
Le dimensioni fisiche di una resistenza sono quelle di una d.d.p divisa una corrente, l'unità di misura utilizzata nel SI per misurare le resistenze è l'Ohm ($\Omega \$):
$[\Omega ]={\frac {[V]}{[A]}}\$
Le resistenze sono dei componenti circuitali rappresentati dal simbolo mostrato in figura.
La foto inoltre mostra alcune resistenze commerciali, i colori sono convenzionali e servono ad identificare la loro resistenza e tollerenza (errore nel

### Resistenze in parallelo

Immaginiamo di avere $n\$ resistenze ciascuna di valore $R_{i}\$ poste in parallelo come mostrato in figura.
Definiamo come $I_{i}\$ la corrente che scorre in ciascun resistore. La d.d.p. $V_{i}\$ ai capi di ogni resistenza sarà eguale (come nel caso dei condensatori in parallelo), mentre la corrente totale $I\$ è data dalla somma delle correnti che scorrono nei vari resistori, a causa della I legge di Kirchhoff:
$I=\sum _{i=1}^{n}I_{i}\$
Ma dalla legge di Ohm applicata ad ogni resistore:
$I=\sum _{i=1}^{n}{\frac {V}{R_{i}}}=V\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}\$
Quindi il parallelo di $n\$ resistori si comporta come un'unica resistenza equivalente di valore eguale a:
| $R_{e}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}}}\$ | (20) |

### Resistenze in serie

Immaginiamo di avere $n\$ resistenze in serie di valore $R_{i}\$ come mostrato in figura. Definiamo con $V_{i}\$ la d.d.p ai capi di ogni resistenza. La d.d.p. totale è pari alla d.d.p. ai capi del sistema sarà la somma delle d.d.p. dei singoli elementi. La corrente che scorre nei vari resistori è eguale a causa di quello che abbiamo visto nelle condizioni stazionarie per i fili percorsi da corrente.
Da cui segue che:
$V=\sum _{i=1}^{n}V_{i}=I\sum _{i=1}^{n}R_{i}\$
Quindi la serie di $n\$ resistenze equivale ad una resistenza equivalente pari alla somma dei singoli elementi:
| $R_{e}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}\$ | (21) |
Si noti come le resistenze elettriche si comportano in maniera opposta ai condensatori per quanto riguarda la serie ed il parallelo.

## Legge di Joule

In un generico conduttore (non necessariamente rispettante la legge di Ohm), in cui scorre una corrente $I\$ e ai cui capi vi è una d.d.p. pari a $V\$, tutta l'energia elettrica ceduta al conduttore viene dissipata o in calore o in altre forme di energia. Quantitativamente la potenza elettrica dissipata è pari al lavoro compiuto sulla carica $dQ\$ che nel tempo $dt\$ va tra il punto $a\$ e $b\$ la cui d.d.p. vale $V\$.
| $P=V{\frac {dQ}{dt}}=VI\$ | (22) |
In particolare, se per il conduttore vale la legge di Ohm, la eq.22 si può scrivere come:
| $P=I^{2}R={\frac {V^{2}}{R}}\$ | (23) |
Da un punto di vista microscopico, considerando i singoli portatori di carica a causa del moto viscoso la potenza dissipata è pari secondo le leggi della meccanica del punto per ogni portatore a :
$P=q{\vec {E}}\cdot {\vec {v_{d}}}\$
Anche se non valesse la legge di Ohm eq.12 potrei scrivere tale espressione. Esplicitando $v_{d}\$ in termini di ${\vec {J}}\$ e moltiplicando per le $dN=ndT\$ cariche presenti nel volume $dT\$:
| $dP_{T}=dTnq{\vec {E}}\cdot {\vec {v_{d}}}=dT{\vec {E}}\cdot (nq{\vec {v_{d}}})=dT{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}\$ | (24) |
Quindi per unità di volume:
| $P_{u}={\vec {E}}\cdot {\vec {J}}\$ | (25) |
Quindi in un volume $T\$ la potenza totale dissipata vale:
$P=\int _{T}{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}dT\$
Se vale la legge di Ohm la eq.(25) si riduce a:
| $P_{u}=\rho J^{2}={\frac {E^{2}}{\rho }}\$ | (26) |
A temperatura ambiente, come regola generale, si può affermare che una potenza dissipata maggiore di qualche decina di $W/cm^{3}\$ richiede in genere metodi di dissipazione particolari per evitare che i conduttori si scaldino eccessivamente.
La potenza per unità di volume massima che ha dei limiti imposti dal meccanismo di dissipazione della energia, in genere di natura termica, porta al fatto che le linee elettriche vanno dimensionate (sezione proporzionale alla corrente massima) in funzione della corrente massima. Inoltre si realizzano semplici limitatori di corrente elettrica, mediante fili sottili, sospesi, detti nel linguaggio comune fusibili: sono degli elementi che per effetto Joule quando sono attraversati da una corrente superiore ad un certo valore si spezzano interrompendo i circuiti elettrici.
Alcuni esempi possono aiutare a capire meglio: il concetto di velocità di drift, un faro una macchina, un filo conico e la legge di Joule, tre resistenze, resistenze serie e parallelo, una nuvola di pioggia,