OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Trapezio: calcolo dell'area (scuola media)
## Trapezio: calcolo dell'area

Creiamo il codice per disegnare un trapezio e calcolarne l'area.

## Versione di Scratch utilizzata

La versione di scratch usata in questo progetto è scratch 3.0 online.

## Cosa richiede l'esercizio

Creare il codice per far disegnare al nostro sprite un trapezio e calcolarne l'area.

## Disegnare il trapezio

Lo sprite utilizzato sarà quello della matita avendo l'accortezza di far corrispondere il centro dello scratch con la punta della matita. Cancellato il gatto e inserita la matita nella scheda disegno si seleziona l'intero sprite e lo si sposta centrando il mirino azzurro con la punta. I vertici del trapezio saranno posizionati usando le coordinate cartesiane, e poiché lo stage di scratch ha coordinate in pixel (-180<y<180, -240<x<240) le misure delle basi e dell'altezza del trapezio avranno dimensioni in centinaia:
* 200<BaseMaggiore<300
* 100<base minore<200
* 100<altezza<200
Si comincia con il posizionare la punta della matita in una angolo in basso a sinistra dello stage.
La matita deve sapere le misure della Base Maggiore, dell'altezza e della base minore. Per ognuna delle tre grandezze lo sprite chiederà l'immissione di un valore. Nella figura viene riportato il pezzo di codice che riguarda la base maggiore. Una volta ricevuta la misura la matita, con la penna abbassata, si porterà nel punto di coordinate ottenute sommando alla coordinata x la misura della base maggiore. Si procede più o meno così anche per l'altezza, che serve a disegnare il primo lato obliquo, individuando il terzo vertice del trapezio. La posizione del terzo vertice ha la coordinata x ottenuta sottraendo 50 pixel a quella del secondo estremo della Base Maggiore, ovviamente è possibile procedere in modo diverso tenuto conto delle limitazioni delle misure dei lati del trapezio. La coordinata y si ottiene invece sommando a -100, ascissa della base maggiore, la misura dell'altezza. Disegnato il primo lato obliquo si procede con la base minore ed infine si collega il quarto vertice al primo.

## Calcolo area

Una volta disegnato il trapezio con i blocchi operazione adeguatamente composti, il più esterno è quello della divisione per 2, si procede al calcolo dell'area e all'assegnazione alla variabile area.

## Ottimizzazione del progetto

Il progetto potrebbe essere migliorato:
* inserendo degli avvisi durante l'esecuzione
* inserendo dei controlli sulle misure introdotte
* riparametrizzando le misure attraverso dei calcoli in modo da renderle piccole numeri interi minori di 100

## Variabili

Cominciamo con preparare le variabili necessarie (input) al funzionamento:
* Base Maggiore = BaseMax
* base minore = basemin
* altezza = altezza

## Progetto (smonatato) su Scratch

https://scratch.mit.edu/projects/789243347/
# Trasformazioni lineari di spazi vettoriali, nucleo, immagine, iniettività e suriettività
## Trasformazioni Lineari

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K$. Una funzione $t:V\to W$ è detta trasformazione lineare (o applicazione lineare) se soddisfa le seguenti proprietà:
* $\forall \ \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V,\ \ f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )\$
* $\forall \ \mathbf {x} \in V,\ k\in \mathbb {R} ,\ \ f(k\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\$

### Tipi di Trasformazioni Lineari
#### Endomorfismo

Una trasformazione lineare $t:V\to V$ ovvero da $V$ a sè stesso è detta endomorfismo.

##### Esempi
#### Isomorfismo

Una trasformazione lineare $t:V\to W$ biunivoca è detta isomorfismo.

##### Esempi
#### Automorfismo

Un trasformazione lineare $t:V\to W$ che sia allo stesso tempo un endomorfismo e un isomorfismo è detta automorfismo.

##### Esempi
### Nucleo

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K$ e sia $t:V\to W$ una trasformazione lineare.
Chiamiamo nucleo l'insieme ${\textrm {Ker}}(t)\ =\left\{\mathbf {v} \in V|f(x)=\mathbf {0} \right\}\leq \ V$.
Quindi il nucleo è il sottinsieme di $V$ costituito dai punti che vengono portati dalla trasformazione $t$ nell'elemento neutro di $W$.
In particolare si ha che l'immagine del vettore nullo è il vettore nullo, quindi il nucleo è sempre diverso dall'insieme vuoto.

### Immagine

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K$ e sia $t:V\to W$ una trasformazione lineare.
Chiamiamo immagine l'insieme ${\textrm {Im}}(t)\ =\left\{\mathbf {w} \in W|\exists \mathbf {v} \in V:t(\mathbf {v} )=\mathbf {w} \right\}\leq \ W$.
Quindi l'immagine è il sottinsieme di $W$ costituito di quegli elementi di $W$ per i quali esiste un elemento di $V$ che venga portato in $W$ da $t$.
Come per il nucleo dato che l'immagine del vettore nullo è lo stesso vettore nullo, l'immagine è sempre diversa dall'insieme vuoto.
# Calcolo della diagonale del rombo (scuola media)
## Titolo progetto

Quiz sul calcolo della diagonale del rombo.

## Versione di Scratch utilizzata

Versione online 3.0

## Cosa richiede l'esercizio

L'esercizio richiede di creare un quiz per esercitarsi con i problemi del calcolo della diagonale del rombo, sapendo la misura dell'area e dell'altra diagonale.

## Script da progettare

Le immagini degli script e degli sprites sono state tutte pubblicate con la licenza CC - BY - SA 3.0 su Wikimedia Commons.
| Sprite | Codice | Codice |
| Teacher sprite | Script1 | Script2 |

## Variazioni sul tema

Si possono cambiare:
* sfondo
* sprite
* domande.

## Progetto pubblicato all'interno della Community

https://scratch.mit.edu/projects/362555895/
# Calcolo automatico dell' Integrale di Fresnel

$C(x):=\int _{0}^{x}\cos \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)\,dt\ \ \ \$ La Funzione di Fresnel
Il calcolo automatico dell'integrale di Fresnel è fattibile con i file eseguibili WikIntegral o Integr disponibili all'indirizzo indicato nei collegamenti esterni.
Il file consente, su selezione da pulsante, il calcolo di otto diversi integrali; alla posizione 8 si trova la sezione relativa a Fresnel.
Il file n° 8 consente una precisione superiore dell'ordine dei dati riportati nei tabulati del testo di M. Abramowitz e I. Stegun.

### Applicativo

Dati: $x=2.9268$ ; $dt=0.00001$
si ha il risultato mostrato in figura 9:
# Calcolo automatico funzioni integrali seno e coseno

    $\operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt\ \ \$ Funzione Integrale Seno
$\operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{+\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt\ \ \$ Funzione Integrale Coseno
Il valore di $\nu$; che compare nella formula (costante di Eulero) vale $\nu =0.5772156649.$
Il calcolo automatico delle Funzioni Integrali Seno e Coseno è fattibile con i file eseguibili WikIntegral o Integr disponibili all'indirizzo indicato nei collegamenti esterni.
Il file consente, su selezione da pulsante del pannello INTEGRALMATH, il calcolo di otto diversi integrali; alle posizioni 3 e 4 si trovano le sezioni relative alla funzioni citate. .
I file consentono una precisione di poco inferiore dell'ordine dei dati riportati nei tabulati del testo di M. Abramowitz e I. Stegun.

### Applicazioni Seno Integrale

La procedura per l'immissione dati è come la precedente :
* s'imposta la variabile $x$ ( scelta d'esempio $x=0.550$ )
* s'imposta il valore del $dt$ di calcolo ( ad esempio $dt=0.00001$ )
a seguito dell'azione sul bottone calcolo si ha la schermata di figura 4 con il risultato:
    $Si(0.550)=0.54084.$

### Applicazioni Coseno Integrale

La procedura per l'immissione dati è la solita:
* s'imposta la variabile $x$ ( scelta d'esempio $x=0.3214$ )
* s'imposta il valore del $dt$ di calcolo ( ad esempio $dt=0.00001$ ):a seguito dell'azione sul bottone calcolo si ha la schermata di figura 5 che indica
il risultato:
    $Ci(0.3214)=-0.58357$
# Calcolo del voto all'Esame di Terza Media

Al termine delle varie prove la Commissione deve calcolare il Voto complessivo dell'esame di terza media
Il voto viene calcolato facendo la media aritmetica dei punteggi di:
* Tutte le prove scritte.
* La prova orale.
* Il giudizio di idoneità con cui si è stati ammessi all’esame.
In pratica i docenti assegnano per ogni prova un voto da 1 a 10, compiono la somma degli stessi voti e li dividono per il numero di prove effettuate (scritte, orali e giudizio di idoneità). Il risultato ottenuto che va da 1 a 10 è il Voto della prova d'esame. Se tale voto è uguale o superiore al 6 si sarà superato l'esame. Chi ottiene 10 può, a discrezione della commissione, anche ottenere la Lode.
# Calcolo della base del perimetro e della base del parallelogramma (scuola media)
## Soluzione

Immagine del progetto e breve spiegazione del progetto realizzato

## Script da progettare

Le immagini degli script e degli sprites sono state tutte pubblicate con la licenza CC - BY - SA 3.0 su Wikimedia Commons.
| Sprite | Codice |
| immagine dello sprite | immagine del codice |
| immagine dello sprite | immagine del codice |
| immagine dello sprite | immagine del codice |

## Variazioni sul tema

Si possono cambiare:
* sfondo
* sprite
* domande
* argomento

## Progetto pubblicato all'interno della Community

https://scratch.mit.edu/projects/362551518/
# Calcolo del minimo numero di fasci preformati per il sonar

L'argomento relativo al calcolo del minimo numero di fasci preformati per il sonar. è stato sviluppato nelle fasi progettuali dei sonar IPD70 installati sui sottomarini clase Sauro.
Data l'unicità degli svilippi matematici si riporta il testo originale in formato PDF edito dalla Soc. SELENIA di Roma affinche nessun passaggio possa essere trascurato od errato.
# Calcolo delle barriere nella radioprotezione

Nella progettazione dei locali che devono ospitare sorgenti di radiazioni ionizzanti è indispensabile il calcolo delle barriere che fungono da protezione ai lavoratori ed alla popolazione. Ai fini del calcolo si può utilizzare la procedura proposta dall'NCRP 49. Questa procedura suddivide le barriere in due categorie, le barriere primarie, atte a schermare dal fascio diretto delle radiazioni ionizzanti, e le barriere secondarie, che servono da schermo alla radiazione del fascio primario scatterata dal bersaglio e dalla radiazione dall'apparato sorgente delle radiazioni ionizzanti.
Per quanto riguarda la radiazione primaria viene definito un coefficiente adimensionale di trasmissione
    $f_{u}={\frac {K_{a}\cdot d^{2}}{K_{a_{n}}WUT}}$
dove
    K$_a$ è il limite del kerma in aria settimanale che si vuole ottenere al di là della barriera
    K$_{an}$ è l'intensità di kerma in aria per mA della macchina radiogena misurato ad un metro dalla macchina stessa
    d è la distanza tra la sorgente di radiazioni ed il bersaglio
    W è il carico di lavoro della macchina, espresso in (mA · minuti)/settimana
    U è il fattore d'uso della barriera
    T è il fattore i utilizzo della barriera
Nella pratica si preferisce usare un fattore di trasmissione, indicato con B, che è definito come:
    $B=f_{u}\cdot K_{a_{n}}.$
e viene misurato in
    $\left[\mathrm {\frac {Gy\cdot m^{2}}{mA\cdot min}} \right]\,.$
Nell'NCRP 49 e 76 e nell'ICRP 33 ed 82a si trovano i grafici, per diversi materiali, dei valori di B in funzione delle energia per diversi spessori ed i grafici di B in funzione degli spessori per diverse energia. Con la formula f$_u$ è possibile calcolare B. Conoscendo l'energia del fascio incidente e conoscendo B si può quindi risalire agli spesso ri di filtrazione attraverso i grafici che si trovano in letteratura.
# Foscolo: Raimondo Montecuccoli
## Raccolta letture integrative
### Presentazione delle Opere di Raimondo Montecuccoli

Il capitano Ugo Foscolo, per ingraziarsi il generale Augusto Caffarelli, aiutante di campo di Napoleone e ministro della Guerra del Regno d'Italia curò una edizione delle opere di Raimondo Montecuccoli, con una ricca premessa sull'arte della guerra. L'opera si inserisce anche in una polemica con Madame de Staël sull'attitudine militare degli italiani.
* Foscolo:Premesse
* Il metodo dell'autore
* Considerazione prima
* Considerazione seconda
* Considerazione terza
* Considerazione quarta
* Considerazione quinta
* Considerazione sesta
# Fotografia digitale
## Fotografia digitale

Anche se inizialmente ha destato molte perplessità, a causa della risoluzione insufficiente, l'avvento della fotografia digitale, in fotogrammetria , ha portato una vera rivoluzione. Si pensi semplicemente alla possibilità di verificare, al momento della ripresa, la validità della ripresa effettuata. La foto, riportata a destra, è stat scattata in occasione di una ricerca sull'impiego di una comune camera digitale nel rilievo fotogrammetrico di un trullo. Mentre con la camera stereometrica analogica, di affidabilità collaudata, occorre attendere lo sviluppo delle lastre per la verifica, con la camera digitale, l'operatore, con l'ausilio di un portatile, in tempo reale, controlla sia i fotogrammi, si la precisione del rilievo, con l'ausilio di un semplice software.

## Orientamento del fotogramma

Il posiziona mento della lastra o della pellicola piana sul quadro immagine, nelle camere analogiche, era tutt'altro che fisso. All'interno dello chassis porta-lastra, il supporto sensibile godeva sempre di una buona tolleranza e per indicarne l'orientamento, sul quadro immagine erano riportati dei riferimenti (spesso luminosi) che impressi sul fotogramma, ne assicuravano l'orientamento in fase di restituzione. Nell'immagine riportata a destra e ripresa con la camera stereometrica Wild C120, si nota facilmente il diverso orientamento dell'immagine e sulla stessa si vedono le due marche di riferimento disposte in prossimità dei lati verticali. Nella camera digitale il supporto sensibile conserva sempre lo stesso orientamento
# Foscolo: Raimondo Montecuccoli/Considerazione seconda

ìLettura per il corso di strategie'
Come il più importante stratega del seicento veniva visto da Ugo Foscolo

## De' catafratti

I. Quest'armatura è magnificata da' poeti, benché gli storici greci e romani ne parlino come di barbara merce. Da un luogo d'Arriano pare che s'incominciasse a coprire di squamme ferree i soli cavalli delle carra falcate. Certo è che la cavalleria catafratta venne in Europa dall'Asia, e che non fu adottata, quando le armi romane prevalevano, se non nel settentrione.
A' giorni d'Ammiano e di Nazarieno pareano formidabili que' Sarmati catafratti che a' tempi di Traiano non resistevano alle legioni: Mirum dictu, ut sit omnis sarmatarum virtus velut extra ipsos; nihil ad pedestrem pugnam tam ignavum; ubi per turmas advenere, vix ulla acies obstiterit. Sed tum humido die et soluto gelu neque conti neque gladii, quos praelongos utraque manu regunt, usui, lapsantibus equis et cataphractarum pondere. Id principibus et nobilissimo cuique tegmen, ferreis laminis aut praedaro corio consertum, ut adversus ictus impenetrabile, ita impetu hostium provolutis inhabile ad resurgendum. Nel medio evo per la barbarie in che declinò l'arte della guerra e per l'uso de' duelli quest'armatura divenne frequente, e vediamo ne' castelli feudali assai simulacri di cavalieri e di cavalli vestiti di ferro.
II. Risorgendo l'arte, le armi della cavalleria grave si ridussero come sono descritte dal Montecuccoli. E dal Montecuccoli in qua, prevalendo le artiglierie, le grandi masse d'eserciti e il sistema di moltiplicare le masse per la velocità, le armi difensive si andarono disusando. Oggi appena rimane a' corazzieri, cavalleria più d'ogni altra grave nell'odierna milizia, il busto di ferro e la celata. Da che il generale Seydlitz, autore della tattica e della disciplina de' cavaleggieri prussiani, superò con la precisione e l'agilità dei movimenti e con la rapidità delle marcie gli squadroni austriaci, i principi invece di perfezionare gli ordini delle loro armi corsero a imitare le altrui; si scemarono i reggimenti de' corazzieri, e gli eserciti si popolarono d'ussari e di cacciatori.
Quanto ingiustamente i cavaleggieri fossero sprezzati nel secolo XVII appare dall'uso che ne trasse Federigo, e dalle recenti campagne in Germania ed in Polonia; ma dalla battaglia di Marengo e dalle stesse campagne in Germania appare altresì quanto i cavalarmati e segnatamente i corazzieri abbiano cospirato all'evento delle battaglie decisive e statarie: i catafratti insomma valevano soltanto alla difesa; gli ussari e i cacciatori all'offesa; ma la cavalleria armata, in cui le ordinanze e la disciplina possono conciliare la solidità e l'agilità, varrà mirabilmente alla difesa e alla offesa.
# Revisione del Concordato

Il Concordato, pure essendo il risultato di un incontro tra il regime fascista e la Santa sede, durò molto più del regime a cui era colleto. Nello stendere la costituzione della Repubblica Italiana laici e cattolici introdussero unitariamente l'articolo 7 che dava un rilievo costituzionale ai patti lateranensi. Con il tempo, però molti articoli del concordato cominciavano a mostrare i nuovi limiti rispetto ai principi costituzionali. La formula per uscire dall'impasse fu trovata in una revisione del solo Concordato, lasciando, però, fermi i principi dei Patti Lateranensi.
I nuovi accordi hanno preso il nome di 'accordo di villa Madama noto anche come nuovo concordato o concordato bis, fu una serie di patti volti a «regolare le condizioni della religione e della Chiesa in Italia» e stipulati dall'allora Presidente del Consiglio Bettino Craxi per la Repubblica italiana e il Segretario di Stato Card. Agostino Casaroli per la Santa Sede.
La normativa relativa alla Chiesa Cattolica è contenuta nella Legge 25 marzo 1985, n. 121 di ratifica ed esecuzione degli accordi firmati a Roma il 18 febbraio 1984, cui si aggiunge un Protocollo addizionale.
L'accordo vede come contraenti la Santa Sede e lo Stato italiano,i cui rapporti sono già regolati dai "Patti Lateranensi", che possono essere modificati di comune accordo senza ricorrere a "revisione costituzionale", ma che necessitano di ulteriori modifiche consensuali del Concordato Lateranense a causa del continuo processo di trasformazione politico/sociale.
L'Accordo consta di quattordici articoli i quali non fanno altro che affermare e tutelare:
* Art 1- L'Indipendenza e la Sovranità dei due Ordinamenti, Stato e Chiesa in linea con il dettato Costituzionale -art 7-.
* Art 2- Le garanzie in ordine alla missione salvifica, educativa e evangelica della Chiesa Cattolica.
* Art 3- Le garanzie in merito alla libera organizzazione ecclesiastica in Italia.
* Art 4- Immunità e Privilegi per figure ecclesiastiche.
* Art 5- Gli Edifici di Culto che non possono essere requisiti,occupati,espropriati,demoliti o violati da forza pubblica se non per casi di "urgente necessità".
* Art 6- Le festività Religiose.
* Art 7- Le nuove discipline degli Enti Ecclesiastici.
* Art 8- Gli effetti civile del vincolo matrimoniale celebrato in forma canonica.
* Art 9- L'istituzione di scuole e la parificazione delle stesse alle Scuole Pubbliche.
* Art 10-La Parificazione delle qualifiche e dei Diplomi ottenuti nelle scuole Ecclesiastiche.
* Art 11-L'Assistenza Spirituale.
* Art 12-Il Patrimonio Artistico e Religioso.
* Art 13-La Volontà in merito al Valore Giuridico del Nuovo Accordo.
* Art 14-In caso di difficoltà interpretative o applicative,l' art 14 impone ai due contraenti di risolvere in maniera amichevole tali le divergenze tramite un'apposita Commissione paritetica.
# Reticoli

Cristallografia geometrica > Reticoli
* Indice delle lezioni di:
** Cristallografia geometrica
* Torna al corso:
** Scienze della terra
Le caratteristiche traslazionali delle strutture [per es. Fig. 3(a,b,c)] sono rappresentate dall'insieme di punti ottenuto sostituendo ciascun motivo con un punto. Nella Fig. 4, è rappresentato il reticolo corrispondente alla struttura (a).
Un reticolo bidimensionale è definito univocamente dalla coppia di vettori non collineari a e b. Infatti si definisce reticolo bidimensionale semplice di punti, l'insieme dei punti estremità dei vettori
    t = ma + nb (4.1)
spiccati da un'origine O, con a e b non collineari e m ed n numeri interi positivi, negativi o nulli.
Si definisce cella elementare il parallelogramma costruito sulla coppia di vettori a, b. Occorre precisare che i vettori a e b possono essere scelti in infiniti modi diversi: nella Fig. 4 sono indicate tre possibili scelte della coppia di vettori a e b; per ciascuna scelta è possibile, mediante la (1), ricostruire il reticolo R(I). Le tre celle corrispondenti alle tre possibili scelte della coppia di vettori base hanno la stessa area. Tali celle hanno punti reticolari solo ai vertici: sono definite celle semplici. È talora conveniente scegliere vettori di riferimento a, b che individuano celle multiple, aventi punti reticolari non solo ai vertici ma anche all'interno della cella. Nel caso del reticolo illustrato nella Fig. 5 i vettori a, b definiscono una cella doppia. La cella individuata dai vettori a', b' è invece una cella semplice. È opportuno osservare che l'area della cella costruita sui vettori a, b è doppia di quella della cella costruita sui vettori a' e b'. La sua introduzione è giustificata dal fatto che essa indica immediatamente, con l'ortogonalità dei due vettori, la particolare simmetria del corrispondente reticolo.
Abbiamo visto in precedenza come la struttura (a) sia riportata in sé da operazioni di traslazione, mentre le strutture (b) e (c) sono riportate in sé da operazioni di rotazione propria e da riflessioni, rispettivamente: ciò si traduce nel dire che tali strutture, (b) e (c), possiedono, oltre alla simmetria traslazionale, anche simmetria rotazionale (propria e impropria, rispettivamente). Lo studio delle proprietà di simmetria di oggetti finiti o infiniti (come le strutture in esame) è semplificato dalla introduzione di alcune nozioni di teoria dei gruppi: tale teoria ci fornisce la terminologia ed il quadro matematico per lo studio della simmetria.
# Reticoli bidimensionali

Cristallografia geometrica > Reticoli bidimensionali
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Il più generale tipo di reticolo (1 in Fig. 13) è compatibile con le simmetrie rotazionali 1 e 2. Simmetrie rotazionali più alte impongono limitazioni al valore del rapporto a:b e/o al valore dell'angolo γ.
Le simmetrie 4 e 4mm sono compatibili con un reticolo a maglie quadrate (cella elementare 2 in Fig. 13), mentre le simmetrie 3, 3m, 6, 6mm sono compatibili con un reticolo con vettori base a 120° (cella 3 in Fig. 13).
Per quanto riguarda la simmetria m, si consideri un punto, non collocato sulla linea, ed il punto da esso ottenuto per riflessione nella linea. I due punti definiscono un filare normale alla linea. Si potranno verificare due situazioni distinte, rappresentate nella Fig. 14a. Se si considerano ora filari adiacenti potranno verificarsi tre distinti casi: ricorrenza costante delle situazioni (I) e (II) di Fig. 14a, alternanza regolare delle situazioni (I) e (II) (Fig. 13b). Nei primi due casi si avrà un reticolo rettangolare (a ≠ b, γ = 90°); nel secondo caso si avrà un reticolo a losanga (a = b, γ qualsiasi). È facile verificare che questi due reticoli, compatibili con la simmetria m, sono anche compatibili con la simmetria 2mm. Il reticolo con cella a losanga è anche riferibile ad una cella rettangolare centrata.
I cinque tipi di reticolo hanno simmetrie rotazionali 2 (ret. 1), 2mm (ret. 4 e 5), 4mm (ret. 2) e 6mm (ret. 3). Passando dai reticoli alle strutture, sostituendo cioè ai punti reticolari (oggetti totalsimmetrici) i motivi, la simmetria rotazionale può abbassarsi passando dalla massima corrispondente ad un certo tipo di reticolo sino alla minima ancora compatibile con quel tipo di reticolo: si ottengono in tal modo, partendo dai quattro gruppi di massima simmetria, i dieci gruppi cristallografici del punto nelle due dimensioni (Tab. 3).
Tab. 3. Gruppi di simmetria dei reticoli bidimensionali e relativi sottogruppi :
| Gruppi di massima simmetria | Sottogruppi |
| 2 | 1 |
| 2mm | m |
| 4mm | 4 |
| 6mm | 6, 3m, 3 |