# Doppio bipolo

Quasi tutti i sistemi che si affronteranno nel corso e comunque quasi tutti i sistemi reali non banali hanno una struttura che associa ad una tensione in ingresso uno o più tensioni in uscita. Il caso generico più diffuso è composto da una tensione in ingresso ed una tensione in uscita (detti in genere $V_{in}$ e $V_{out}$). Questo tipo di struttura è detta doppio bipolo. In realtà, in ogni caso, non ci sono da considerare solo le tensioni, ma anche le due correnti: $I_{in}$ e $I_{out}$. Per costruire un legame matematico fra gli elementi si possono supporre valide le seguenti formule:
    $I_{in}=y_{i}V_{i}+y_{r}V_{o}$
    $I_{out}=y_{f}V_{i}+y_{o}V_{o}$
ovvero, da un punto di vista matriciale
    ${\begin{bmatrix}I_{i}\\I_{o}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{i}&y_{r}\\y_{f}&y_{o}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{i}\\V_{o}\end{bmatrix}}$
con ogni $y$ appartenente a ${\overline {\overline {Y}}}$ matrice delle ammettenze
Si osserva che $y_{r}$ dovrebbe essere il più possibile vicina a zero, in quanto non è bene che il carico a valle vada a influire sul sistema generatore a monte

### Funzioni di Rete

Vista la struttura di un generico doppio bipolo, possiamo cercare di comprendere alcune caratteristiche del sistema stesso in funzione di come agisce sugli ingressi e sulle uscite.
Innanzitutto definiamo le caratteristiche:
* $A_{v}$ è detto guadagno di tensione
* $A_{i}$ è detto guadagno di corrente
* $Z_{i}$ è detto Impedenza equivalente all'ingresso
* $Z_{o}$ è detto impedenza equivalente all'uscita
Poiché queste ultime due definizioni dipendono da trasformazioni di Norton o Thevenin, possiamo ricavare anche altri due valori:
* $V_{uca}$ è detto Tensione equivalente a corrente alternata, calcolata all'interno del bipolo secondo Thevenin
* $I_{ucc}$ è detto Corrente equivalente a corrente continua, calcolata all'interno del bipolo secondo Norton
Queste sono le relazioni che intercorrono fra i vari elementi
| | ${\overline {z}}$ | ${\overline {y}}$ | ${\overline {h}}$ |
| ${\overline {A_{c}}}$ | ${\frac {{\overline {z}}_{f}{\overline {Z}}_{c}}{{\overline {D}}_{z}+{\overline {z}}_{i}{\overline {Z}}_{c}}}$ | $-{\frac {{\overline {y}}_{f}}{{\overline {y}}_{o}+{\overline {Y}}_{c}}}$ | $-{\frac {{\overline {h}}_{f}}{{\overline {D}}_{h}+{\overline {h}}_{i}{\overline {Y}}_{c}}}$ |
| ${\overline {A_{i}}}$ | $-{\frac {{\overline {z}}_{f}}{{\overline {z}}_{o}+{\overline {Z}}_{c}}}$ | ${\frac {{\overline {y}}_{f}{\overline {Y}}_{c}}{{\overline {D}}_{y}+{\overline {y}}_{i}{\overline {Y}}_{c}}}$ | ${\frac {{\overline {h}}_{f}}{1+{\overline {h}}_{o}{\overline {Z}}_{c}}}$ |
| ${\overline {Z_{i}}}$ ovvero ${\overline {Y_{i}}}={\frac {1}{\overline {Z_{i}}}}$ | ${\overline {Z}}_{i}={\overline {z_{i}}}-{\frac {{\overline {z_{r}}}{\overline {z_{f}}}}{{\overline {z_{o}}}+{\overline {Z_{c}}}}}$ | ${\overline {Y}}_{i}={\overline {y_{i}}}-{\frac {{\overline {y_{r}}}{\overline {y_{f}}}}{{\overline {y_{o}}}+{\overline {Y_{c}}}}}$ | ${\overline {Z_{i}}}={\overline {h_{i}}}-{\frac {{\overline {h_{r}}}{\overline {h_{f}}}}{{\overline {h_{o}}}+{\overline {Y_{c}}}}}$ |
| ${\overline {Z_{o}}}$ ovvero ${\overline {Y_{o}}}={\frac {1}{\overline {Z_{o}}}}$ | ${\overline {Z}}_{o}={\overline {z}}_{o}-{\frac {{\overline {z}}_{r}{\overline {z}}_{f}}{{\overline {z}}_{i}+{\overline {Z}}_{g}}}$ | ${\overline {Y_{o}}}={\overline {y}}_{o}-{\frac {{\overline {y}}_{r}{\overline {y}}_{f}}{{\overline {y}}_{i}+{\overline {Y}}_{g}}}$ | ${\overline {Y_{o}}}={\overline {h}}_{o}-{\frac {{\overline {h}}_{r}{\overline {h}}_{f}}{{\overline {h}}_{i}+{\overline {Z}}_{g}}}$ |
| ${\frac {\overline {V_{uca}}}{\overline {V_{g}}}}$ | ${\frac {\overline {z_{f}}}{{\overline {z_{i}}}+{\overline {Z_{g}}}}}$ | $-{\frac {\overline {y_{f}}}{{\overline {D_{y}}}{\overline {Z_{g}}}+{\overline {y_{o}}}}}$ | $-{\frac {\overline {h_{f}}}{{\overline {D_{h}}}+{\overline {h_{o}}}{\overline {Z_{g}}}}}$ |
| ${\frac {\overline {I_{u}cc}}{I_{g}}}$ | $-{\frac {\overline {z_{f}}}{{\overline {D_{z}}}{\overline {Y_{g}}}+{\overline {z_{o}}}}}$ | ${\frac {\overline {y_{f}}}{{\overline {y_{i}}}+{\overline {Y_{g}}}}}$ | ${\frac {\overline {h_{f}}}{{\overline {h_{i}}}{\overline {Y_{g}}}+1}}$ |