# Applicazioni lineari
## Definizione

Siano $V$ e $W$ $\mathbb {K}$-spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali con il nome di applicazioni lineari.
Si dice applicazione lineare da $V$ a $W$ un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:
* $f(v+v^{\prime })=f(v)+f(v^{\prime }),\forall v,v^{\prime }\in V$
* $f(\lambda v)=\lambda f(v),\forall v\in V,\forall \lambda \in \mathbb {K}$
È anche possibile verificare le due proprietà contemporaneamente, cioè verificare se
    $f(\lambda v+\lambda ^{\prime }v^{\prime })=\lambda f(v)+\lambda ^{\prime }f(v^{\prime })$

#### Esempio

$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4},(x,y)\to (2y,0,x+y,x-y)$ verificare che sia un'applicazione lineare, cioè verificare se valgono le proprietà di omomorfismo.
Prendiamo allora un altro elemento di $\mathbb {R} ^{2}$ $(x',y')\to (2y',0,x'+y',x'-y')$. Verifichiamone le proprietà:
* $f{\Big(x,y)+(x',y'){\Big )}=f{\Big(x+x',y+y'){\Big )}=(2(y+y'),0,(x+x')+(y+y'),(x+x')-(y+y'))=$
    $(2y,0,x+y,x-y)+(2y',0,x'+y',x'-y')=f((x,y))+f((x',y'))$
* $f(\kappa (x,y))=f((\kappa x,\kappa y))=(\kappa 2y,\kappa 0,\kappa (x+y),\kappa (x-y))=\kappa (2y,0,x+y,x-y)=\kappa f((x,y))$
Dalla definizione, se $\lambda =0$ o $\lambda =-1$, abbiamo che
    $f(0v)=0f(v)=0$
    $f(v-v')=f(0)=0$
e da qui sappiamo sempre che $f(0)=0$.

### Isomorfismo tra $V$ e $\mathbb {K} ^{n}$

Sia ${\mathcal {B}}=(v_{1},\dots ,v_{n})$ una base di $V$. La funzione
    $f_{B}:V\to \mathbb {K} ^{n},v\mapsto (k_{1},\dots ,k_{n})$
associa ad ogni vettore di $V$ le sue coordinate rispetto alla base ${\mathcal {B}}$.
Dimostrate per esercizio che $f_{B}$ è un'applicazione lineare, ma concentriamoci sul fatto che è biunivioca. Infatti ogni vettore $v$ si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei $(v_{1},\dots ,v_{n})$ e viceversa ogni combinazione di $(v_{1},\dots ,v_{n})$ definisce un vettore di $V$. Dunque $f_{B}$ è biunivoca ed essendo una applicazione lineare, essa è un isomorfismo. Ciò dunque mette in evidenza un fattore molto importante: $V$ e $\mathbb {K} ^{n}$ sono isomorfi tra loro, dunque è possibile lavorare in $V$ con la comodità di maneggiare con valori numerici invece che con vettori.
Esiste anche la funzione identità
    $I_{v}:V\to V,v\mapsto v$
che è un automorfismo.

## Proposizioni sulle applicazioni lineari

Sia $f:V\to W$ un'applicazione lineare, $S$ un generico sottospazio vettoriale di $V$ e $S'$ un generico sottospazio di $W$. Allora:
* l'immagine di un sottospazio (di $V$) è ancora un sottospazio (di $W$), cioè
       $f(S)=S'$;
* $f^{-1}(S')=S$, cioè la controimmagine di un sottospazio vettoriale di $W$ è ancora un sottospazio vettoriale di $V$;
* $f|_{S}:S\to f(S)$ è un omomorfismo.

### Nucleo e immagine di $f$

Si dice nucleo dell'applicazione lineare $f$ il sottospazio
    $f^{-1}(0)=Ker(f)=\{v\in V\mid f(v)=0_{W}\}$
L'immagine di $f$ è analoga alla definizione di immagine di una funzione qualsiasi e si denota con $Im(f)$.
Sia $f:V\to W$ un'applicazione lineare. $f$ è:
* un monomorfismo $\Leftrightarrow Ker(f)=0$;
* un epimorfismo $\Leftrightarrow Im(f)=W$
* I
** $\Rightarrow )$ - $f$ è un monomorfismo e $v,v'\in Ker(f)$. Allora $f(v+v')=0\Rightarrow f(v)+f(v')=0\Rightarrow f(v-v')=0\Rightarrow f(0)=0$. Dunque l'unico elemento di $Ker(f)$ è $0$.
** $\Leftarrow )$ - Se $Ker(f)=0$ e $f(v)=f(v')$ allora $f(v)-f(v')=0$. Dunque $f(v-v')=0\Rightarrow (v-v')\in Ker(f)$ e siccome per ipotesi l'unico elemento di $Ker(f)$ è $0$, implica che $v-v'=0$ dunque $v=v'$ e questo prova che $f$ è iniettiva.
* II
** $\Rightarrow )$ - $f$ epimorfismo implica, per definizione di suriettività, che $\forall w\in W\exists v\in V\mid w=f(v)$. Dunque per definizione $Im(f)=W$.
** $\Leftarrow )$ - Se $Im(f)=W$, allora per ogni $w\in W\exists v\in V\mid w=f(v)$, che è la definizione di suriettività.
Sia $f:V\to W$ un'applicazione lineare e $v_{i},i=1,\dots ,n$. Valgono allora le seguenti asserzioni:
* Se $V=<v_{i}>\Rightarrow Im(f)=<f(v_{i})>$, cioè $f$ porta un insieme di generatori di $V$ in un insieme di generatori di $Im(f)$;
* Se $v_{1},\dots ,v_{n}$ sono linearmente dipendenti allora lo sono anche $f(v_{1}),\dots ,f(v_{n})$ e se $f(v_{i})$ sono linearmente indipendente lo sono anche i $v_{i}$;
* $f$ monomorfismo e $v_{1},\dots ,v_{n}$ linearmente indipendenti lo sono anche i $f(v_{1}),\dots ,f(v_{n})$.
* $V=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}$, quindi ogni vettore $u\in V$ è $u=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}$. Dunque, ogni vettore $w\in W$ è $w=f(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i})$ e per la proprietà di omomorfismo abbiamo $w=\sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}f(v_{i}))$. Essendo $w$ un generico vettore di $W$ possiamo dedurre che tutti i vettori di $W$ si possono scrivere come combinazioni lineari dei $f(v_{1}),\dots ,f(v_{n})$ quindi essi generano $W$.
* Essendo linearmente dipendenti esistono dei $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ non tutti nulli tali che $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}=0$. Dunque $f\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}\right)=f(0)=\sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}f(v_{i}))=0$ sono anche linearmente dipendenti perché per ipotesi gli $\alpha _{i}$ sono non tutti nulli. Se invece i vettori $f(v_{i})\in W$ sono linearmente indipendenti, allora $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(v_{i})=0\Rightarrow \alpha _{1}=\dots =\alpha _{n}=0$. Segue che $0=f\left(\sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}v_{i})\right)=f(0)$, cioè i $\sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}v_{i})$ si annullano solo quanto tutti i coefficienti sono nulli. Dunque pure i $v_{i}$ linearmente indipendenti.
* $f$ monomorfismo significa che è una applicazione lineare iniettiva e $v_{1}\dots ,v_{i}$ linearmente indipendenti per ipotesi. Per la prima proposizione della sezione, $Ker(f)=0$ e questo accade per il vettore nullo di $V$ cioè quando gli $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ sono tutti nulli. Dunque $f\left(\sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}v_{i})\right)=\sum _{i=1}^{n}\left(\alpha _{i}f(v_{i})\right)=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{n}\left(\alpha _{i}f(v_{i})\right)\in Ker(f)\Leftrightarrow \alpha _{1}=\dots =\alpha _{n}=0$. Quindi sono linearmente indipendenti anche gli $f(v_{i})\in W$.

### Corollari e Proposizioni su basi e dimensioni

Sia ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ una base di $V$. Allora $f({\mathcal {B}}=\{f(v_{1}),\dots ,f(v_{n})\})$ genera $Im(f)$. Quindi se $f$ è:
* un monomorfismo $\Rightarrow f({\mathcal {B}})$ è una base di $Im(f)$;
* un epimorfismo $\Rightarrow f({\mathcal {B}})$ genera $W$;
* un isomorfismo $\Rightarrow f({\mathcal {B}})$ è una base di $W$.
* un isomorfismo $\Rightarrow \dim V=\dim W$
Sia ${\mathcal {B}}=(v_{1},\dots ,v_{n})$ una base ordinata di $V$ e $(w_{1},\dots ,w_{n})$ una $n$-upla di $W$.
Allora esiste una sola applicazione lineare $f:V\to W$ tale che $f(v_{i})=w_{i}$.
* (Esistenza) $f$ porta i $v\in V$ in $w\in W$, cioè $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}\mapsto \sum _{i=1}^{n}\beta _{i}w_{i}$. Tale funzione è lineare (provate a verificarlo) e dunque esiste l'applicazione lineare.
* (unicità). Supponiamo che $f(v)$ e $g(v)$ siano due applicazioni lineari $V\to W$, tali che $f(v_{i})=w_{i}$ e $g(v_{i})=w_{i}$. Allora
    $w=g(v)=g\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}g(v_{i})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}w_{i}$
    $w=f(v)=f\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(v_{i})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}w_{i}$
Dunque $f=g$.
Se $\dim V=\dim W$ gli spazi vettoriali V e W sono isomorfi