# Flessione composta

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Una trave è sottoposta a flessione composta quando è sollecitata da un'azione di taglio nel baricentro della sezione. Per effetto delle due forze $V$ uguali ed opposte si genera nelle varie sezioni della trave un'altra sollecitazione oltre a quella tagliante, e cioè un momento flettente. A differenza del caso della flessione semplice, dunque, il momento flettente agente nelle sezioni della trave non si mantiene più costante.
Come nel caso della flessione semplice, è possibile distinguere il caso della flessione composta retta o deviata, a seconda che l'asse attorno al quale si sviluppa il momento sia principale d'inerzia o meno. Ma quest'ultimo asse è definito dalla direzione in cui agisce $V$, e in particolare l'asse attorno al quale agisce il momento flettente è perpendicolare alla direzione di $V$. Di conseguenza si può definire la flessione come retta o deviata anche con riferimento alla direzione di $V$.
Ugualmente a quanto già detto per la flessione semplice, è sempre possibile scomporre la flessione composta deviata in due flessioni composte rette semplicemente scomponendo la forza $V$ agente nelle due componenti secondo gli assi principali d'inerzia e studiando separatamente gli effetti che generano.
Per quanto detto in precedenza si considererà nel seguito che il taglio agisca secondo uno degli assi principali d'inerzia della sezione, e in particolare si supponga che il taglio agisca secondo la direzione dell'asse $y$

## Analisi della tensione

A differenza dei casi precedentemente studiati, la distribuzione delle tensioni relativa a questo problema non è immediatamente rilevabile per mezzo di semplici considerazioni intuitive. Per questo motivo, invece di fornire direttamente la distribuzione delle tensioni, è necessario fare alcuni ragionamenti preliminari.
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Si supponga di voler trovare la tensione tangenziale media agente in corrispondenza di una generica corda della sezione. Per questo si consideri una porzione infinitesima di trave di lunghezza $dz$ e tagliata da un piano perpendicolare alla sezione la cui traccia è esattamente la corda considerata. Sulla porzione di trave così definita agiscono le seguenti tensioni:
* $\sigma _{z}$ in corrispondenza della sezione alla coordinata $z$;
* ${\frac {\delta \sigma _{z}}{\delta z}}dz$ nella sezione di coordinata $z+dz$;
* $\tau _{nz}$ nella faccia della porzione di trave in cui è stato effettuato il taglio longitudinale (con $n$ direzione ortogonale alla corda considerata);
* $\tau _{zn}$ e ${\frac {\delta \tau _{zn}}{\delta z}}dz$ nelle due sezioni di estremità della porzione di trave considerata.
Sulla superficie laterale, in virtù delle ipotesi iniziali formulate da Saint Venant, non agisce alcuna tensione.
Per l'equilibrio alla traslazione nella direzione $z$ dovrà essere:
$\int _{c}\tau _{nz}dzd\psi =\int _{A'}{\frac {\delta \sigma _{z}}{\delta z}}dzdA$
avendo indicato con $\psi$ la coordinata relativa alla direzione della corda, con $c$ la corda stessa e con $A'$ l'area della parte di sezione considerata.
Avendo considerato che il taglio agisce esclusivamente secondo la direzione $y$, che è principale d'inerzia, l'unica componente del momento flettente agente nella generica sezione è $M_{x}$, e per la formula di Navier trovata per la flessione semplice può scriversi:
$\sigma _{z}={\frac {M_{x}}{J_{x}}}y\to {\frac {\delta \sigma _{z}}{\delta z}}={\frac {\delta M_{x}}{\delta z}}{\frac {y}{J_{x}}}$
Ricordando la relazione tra taglio e momento flettente per cui il primo è pari alla derivata del secondo, può scriversi:
${\frac {\delta \sigma _{z}}{\delta z}}=V_{y}{\frac {y}{J_{x}}}$
Per cui la relazione precedente può scriversi:
$\int _{c}\tau _{nz}dzd\psi =\int _{A'}V_{y}{\frac {y}{J_{x}}}dzdA$
Dal momento che $V_{y}$ e $J_{x}$ sono costanti, si possono portare fuori dal segno di integrale:
$\int _{c}\tau _{nz}dzd\psi ={\frac {V_{y}}{J_{x}}}\int _{A'}ydzdA$
Ma $\int _{A'}ydA$ rappresenta il momento statico $S_{n,A'}$ di $A'$ rispetto alla direzione $n$, che è costante rispetto a $z$. Per cui:
$\int _{c}\tau _{nz}dzd\psi ={\frac {V_{y}S_{n,A'}dz}{J_{x}}}$
A questo punto è necessario fermarsi, dal momento che questa formula non può fornirci indicazioni sulla reale distribuzione delle tensioni tangenziali $\tau _{nz}$. Tuttavia, se si accetta di tralasciare la ricerca della reale distribuzione di queste tensioni e ci si accontenta di avere una buona approssimazione del valore delle tensioni tangenziali, si può considerare il valore medio di $\tau _{nz}$, e cioè quel valore $\tau _{nz,med}$ tale che:
$\tau _{nz,med}c=\int _{c}\tau _{nz}d\psi$
Nell'equazione precedente, dunque, può scriversi:
$\tau _{nz,med}cdz={\frac {V_{y}S_{n,A'}dz}{J_{x}}}$
In definitiva si ottiene che il valore medio della tensione tangenziale $\tau _{nz}$ è pari a:
$\tau _{nz,med}={\frac {V_{y}S_{n,A'}}{J_{x}c}}$
Questa formula è detta formula di Jourawsky.
Con riferimento alle due direzioni $x,y$, si ottiene che $\tau _{yz}$ è trascurabile perché proporzionale al momento statico $S_{y,A'}$, per cui le uniche componenti di tensione non nulle sono:
${\begin{cases}\tau _{xz,med}={\frac {V_{y}S_{x,A'}}{J_{x}c}}\\\sigma _{z}={\frac {V_{y}}{J_{x}}}yz\end{cases}}$
Si fa notare che è possibile sostituire al valore puntuale della tensione tangenziale il suo valor medio su tutta la corda senza errori eccessivi solo se la lunghezza della corda stessa è limitata. Dal momento, poi, che la tensione tangenziale dipende dal valore del momento statico della parte di sezione considerata, esso assumerà valore nullo laddove questo si annulla, e cioè nei punti estremi della sezione . Al contrario $S_{x,A'}$ attinge al suo valore massimo in corrispondenza della corda baricentrica, dal momento che lì il momento statico è massimo. Non è detto, tuttavia, che il massimo di $tau_{xz,med}$ venga raggiunto in corrispondenza della corda baricentrica, dal momento che esiste una proporzionalità inversa anche con la lunghezza $c$ della corda.

## Analisi della deformazione

A questo punto è possibile procedere a valutare le deformazioni che insorgono nella trave per effetto dell'azione del taglio e del momento flettente da esso causato. Si tenga sempre a mente, tuttavia, che questa trattazione è in realtà un'approssimazione, dal momento che uno studio più rigoroso dovrebbe tenere in conto della reale distribuzione delle tensioni tangenziali nella sezione.
Per mezzo delle equazioni costitutive, si deduce:
${\begin{cases}\epsilon _{x}=-{\frac {1}{E}}\nu \sigma _{z}=-\nu {\frac {M}{EJ_{x}}}y=-\nu {\frac {V_{y}}{EJ_{x}}}yz\\\epsilon _{y}=-{\frac {1}{E}}\nu \sigma _{z}=-\nu {\frac {M}{EJ_{x}}}y=-\nu {\frac {V_{y}}{EJ_{x}}}yz\\\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}\sigma _{z}={\frac {V_{y}}{EJ_{x}}}yz\\\gamma _{xy}=0\\\gamma _{xz}={\frac {1}{G}}\tau _{xz}={\frac {1}{G}}{\frac {V_{y}S_{x,A'}}{J_{x}c}}\\\gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}=0\end{cases}}$
Le espressioni delle $\epsilon _{i}$, come si può osservare, sono del tutto omologhe a quelle incontrate nello studio della flessione semplice. A differenza di quel caso, tuttavia, lo stato deformativo della trave non è più indipendente dalla coordinata $z$, per cui quest'ultimo cambia considerando differenti sezioni. Gli scorrimenti mutui, però, si mantengono costanti.
Il coefficiente di dilatazione cubica vale $\Theta ={\frac {V_{y}}{EJ_{x}}}yz(1-2\nu )$
La variazione di volume dell'intera trave vale $\Delta V=\int _{C}\Theta dV=\int _{C}{\frac {V_{y}}{EJ_{x}}}yz(1-2\nu )dV={\frac {V_{y}}{EJ_{x}}}(1-2\nu )\int _{l}zdz\int _{A}ydA$
Ugualmente a quanto detto per la flessione semplice, $\int _{A}ydA=0$ perché momento statico rispetto ad un asse baricentrico, per cui $\Delta V=0$.

## Analisi degli spostamenti

A partire dalle deformazioni è possibile conoscere gli spostamenti subiti dai punti della trave.
Si ritiene, tuttavia, non opportuno sviluppare completamente questa analisi.
La linea elastica associata a questa sollecitazione è pari alla somma di due linee elastiche: l'una dovuta all'azione del momento flettente, l'altra dovuta al taglio, riferiti a spostamenti secondo due direzioni ortogonali tra loro. Tuttavia, in linea generale, gli spostamenti generati dalla seconda linea elastica sono trascurabili rispetto a quelli causati dalla prima, per cui solitamente si accetta di non considerarli .

## Rigidezza a taglio

L'energia di deformazione complessiva del sistema può pensarsi come somma di due contributi: l'uno derivante dalle $\sigma _{z}$ (e cioè dal momento flettente), l'altra dalle $\tau _{xz}$. Essa vale, dunque:
$\Phi =\Phi _{f}+\Phi _{t}={\frac {1}{2E}}\int _{V}\sigma _{z}^{2}dV+{\frac {1}{2G}}\int _{V}\tau _{xz}^{2}dV$
Conviene sviluppare separatamente le due componenti:
$\Phi _{f}={\frac {1}{2E}}\int _{V}\sigma _{z}^{2}dV={\frac {1}{2E}}\int _{V}{\frac {V_{y}^{2}}{J_{x}^{2}}}y^{2}z^{2}dV={\frac {V_{y}^{2}}{2EJ_{x}^{2}}}\int _{l}z^{2}dz\int _{A}y^{2}dA$
Ma $\int _{A}y^{2}dA=J_{x}$, per cui può scriversi:
$\Phi _{f}={\frac {V_{y}^{2}}{6EJ_{x}}}l^{3}$
$\Phi _{t}={\frac {1}{2G}}\int _{V}\tau _{xz}^{2}dV={\frac {1}{2G}}\int _{V}{\frac {V_{y}^{2}S_{x,A'}^{2}}{J_{x}^{2}c^{2}}}dV={\frac {1}{2G}}\int _{l}dz\int _{A}{\frac {V_{y}^{2}S_{x,A'}^{2}}{J_{x}^{2}c^{2}}}dA$
Ma le quantità $V_{y};J_{x}$ sono costanti, per cui può scriversi:
$\Phi _{t}={\frac {V_{y}^{2}}{2GJ_{x}^{2}}}\int _{l}dz\int _{A}{\frac {S_{x,A'}^{2}}{c^{2}}}dA$
Ricordando che il momento d'inerzia di una sezione può esprimersi come prodotto tra l'area della sezione e il raggio d'inerzia nella sezione considerata $J_{x}=A\rho _{x}$, che $\int _{A}{\frac {S_{x,A'}^{2}}{c^{2}}}dA$ può scriversi come $\int _{x}\int _{y}{\frac {S_{x,A'}^{2}}{c^{2}}}dxdy$ e che abbiamo considerato corde parallele all'asse $y$ (per cui né $A'$ né $c$ variano con $x$), può scriversi:
$\Phi _{t}={\frac {V_{y}^{2}}{2GA}}{\frac {1}{A\rho _{x}^{2}}}l\int _{x}{\frac {S_{x,A'}^{2}}{c^{2}}}dx$
Per comodità si è soliti introdurre il fattore di taglio $\chi$, definito nel modo seguente:
$\chi ={\frac {1}{A\rho _{x}^{2}}}l\int _{x}{\frac {S_{x,A'}^{2}}{c^{2}}}dx$
Questo fattore tiene conto della forma della sezione sempre maggiore dell'unità e privo di dimensioni. In particolare per le sezioni di forma rettangolare e quadrata si ha $\chi =6/5$, per quelle circolari $\chi =10/9$.
In definitiva può scriversi:
$\Phi _{t}=\chi {\frac {V_{y}^{2}l}{2GA}}$
Considerando il teorema di Lamè-Clapeyron, tralasciando il contributo del momento flettente, può scriversi:
$V_{y}v_{y}=\chi {\frac {V_{y}^{2}l}{GA}}\to {\frac {v_{y}}{l}}=\chi {\frac {V_{y}}{GA}}$
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Il rapporto citato rappresenta lo scorrimento tra le sezioni: per effetto del taglio, infatti, le sezioni non ruotano reciprocamente (lo fanno per effetto del momento flettente), ma scorrono tra loro, ovvero in una vista longitudinale le tracce delle sezioni si mantengono nella direzione $y$ iniziale, ma si spostano mutuamente. Denominata $\gamma _{t}$ tale quantità, si può introdurre la rigidezza a taglio della trave, definita come $K_{V}=GA$. In definitiva, dunque, può scriversi:
$\gamma _{t}=\chi {\frac {V_{y}}{K_{V}}}$
La rigidezza al taglio ha un significato omologo alle rigidezze trovate in precedenza.

## Trascurabilità del contributo del taglio alla deformazione

Nella trattazione si è detto che solitamente si trascura il contributo del taglio nello studio della deformazione della trave. Al fine di non lasciare questa considerazione come un'imposizione e per cercare di farne comprendere le motivazioni sottese, si consideri il rapporto tra gli spostamenti prodotti dal taglio e dal momento flettente per effetto del medesimo carico:
${\frac {v_{y,V}}{v_{y,M}}}={\frac {\chi {\frac {V_{y}l}{GA}}}{\frac {V_{y}l^{3}}{EJ_{x}}}}={\frac {\chi {\frac {1}{GA}}}{\frac {l^{2}}{EJ_{x}}}}$
Poiché il momento d'inerzia può esprimersi come prodotto dell'area per il quadrato del raggio d'inerzia, riorganizzando l'espressione, si ottiene:
${\frac {v_{y,V}}{v_{y,M}}}={\frac {\chi {\frac {1}{GA}}}{\frac {l^{2}}{EA\rho _{x}^{2}}}}={\frac {\chi {\frac {1}{G}}}{\frac {l^{2}}{E\rho _{x}^{2}}}}=\chi {\frac {E}{G}}{\frac {\rho _{x}^{2}}{l^{2}}}$
Mentre i moduli di elasticità $G,E$ sono tra loro confrontabili, si ha che $l>>\rho _{x}$, dal momento che per ipotesi il solido trave è molto allungato
. Il rapporto tra i quadrati di queste due dimensioni, dunque, è estremamente piccolo, per cui anche il rapporto tra i due spostamenti considerati è tale. Ciò significa che lo spostamento provocato dal taglio è molto più piccolo di quello generato dal momento flettente, ed è sicuramente trascurabile in confronto a questo.