# Forme bilineari

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In questa lezione comincia il nostro studio degli spazi euclidei, cioè spazi in cui sono definiti i classici concetti metrici quali angolo, distanza, perpendicolarità, ecc... che non abbiamo mai affrontato (e non hanno senso) in uno spazio vettoriale normale.

## Forme bilineari

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $\mathbb {K}$. Una applicazione
$b:V\times V\to \mathbb {K}$
si dice forma bilineare su $V$ se gode delle seguenti proprietà:
* $b(\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {w} )=b(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )+b(\mathbf {v} ',\mathbf {w} )$
* $b(\mathbf {v} ,\mathbf {w} +\mathbf {w} ')=b(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )+b(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ')$
* $b(k\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=b(\mathbf {v} ,k\mathbf {w} )=kb(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$
$\forall \mathbf {v} ,\mathbf {v} ',\mathbf {w} ,\mathbf {w} '\in V,\ \ k\in \mathbb {K}$
Inoltre $b$ si dice simmetrica se
$b(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=b(\mathbf {w} ,\mathbf {v} )$
mentre si dice antisimmetrica se
$b(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=-b(\mathbf {w} ,\mathbf {v} )$
sempre per ogni $\mathbf {v} \mathbf {w} \in V$.
Vediamo alcuni esempi di forme bilineari.
* La forma bilineare nulla $0(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$ è una forma bilineare simmetrica e antisimmetrica.
* Il prodotto riga per colonna usuale nel calcolo matriciale è una forma bilineare. Infatti, sia $A=(a_{ij})\in M_{n}(\mathbb {K} )$ e consideriamo i vettori colonna $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$, abbiamo $b(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\ ^{t}\mathbf {x} A\mathbf {y} =\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}a_{ij}y_{j}\in \mathbb {K}$ Dimostrate per esercizio che si tratta effettivamente di una forma bilineare.
* Se la matrice dell'esempio 2 $A=(a_{ij})\in M_{n}(\mathbb {K} )$ è la matrice identità, otteniamo la cosiddetta forma simmetrica standard su $\mathbb {K}$ definita come
$b(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\ ^{t}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dots +x_{n}y_{n}\in \mathbb {K}$
Vediamo ora la matrice associata ad una applicazione bilineare.
Sia $V$ un $\mathbb {K}$-spazio vettoriale di dimensione $n$ e sia $\{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\}$ una sua base. Sia inoltre $b:V\times V\to \mathbb {K}$ una forma bilineare su $V$. Allora la matrice di $b$ rispetto alla base appena definita è
$A=(a_{ij})\in M_{n}(\mathbb {K} )\ :\ a_{ij}=b(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j}),\ \forall i,j=1,\dots ,n$

## Prodotti scalari

Sia $(\mathbb {K} ,+,\cdot ,\leq )$ un campo ordinato. Una forma bilineare simmetrica su $V$ si dice prodotto scalare se
$b(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0\Leftrightarrow \mathbf {v} =0$
Il prodotto scalare si indica con il simbolo $<,>$.
Con lo stesso simbolo viene denotato anche il prodotto scalare definito positivo, ossia un prodotto scalare tale che: $b(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )\geq 0,\ \forall \mathbf {v} \in V$.
Quel prodotto scalare tale che
$<\mathbf {v} ,\mathbf {w} >=\mathbf {v} _{1}\mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} _{2}\mathbf {w} _{2}+\dots +\mathbf {v} _{n}\mathbf {w} _{n}$
si indica con $\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}$ e si chiama prodotto scalare standard.
$V$
$(V,<,>)$

#### Teorema (Disuguaglianza di Schwarz)

Siano $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V$. Allora
$<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}>^{2}\ \leq \ <\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}><\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}>$
e l'uguaglianza vale se e solo se $\mathbf {v} _{1}$ e $\mathbf {v} _{2}$ sono linearmente dipendenti.

##### Dimostrazione

Supponiamo i vettori diversi da zero, altrimenti il teorema è banale.
Sia $\mathbf {w}$ un vettore combinazione lineare di $\mathbf {v} _{1}$ e $\mathbf {v} _{2}$, quindi $\mathbf {w} =x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2}$. Per la definizione di prodotto scalare:
$0\leq \ <\mathbf {w} ,\mathbf {w} >=<x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2},x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2}>=x_{1}^{2}<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}>+2x_{1}x_{2}<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}>+x_{2}^{2}<\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}>$
Prendendo $\mathbf {w}$ tale che $x_{1}=<\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}>$ e $x_{2}=-<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}>$ otteniamo al secondo membro
$<\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}>^{2}<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}>-2<\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}><\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}>^{2}+<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}>^{2}<\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}>$
Dividendo ambo i membri per $<\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}>$, che è strettamente positivo perché abbiamo supposto $\mathbf {v} _{2}$ non nullo, otteniamo
$0\leq \ <\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}><\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}>-<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}>^{2}\Longleftrightarrow <\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}>^{2}\leq \ <\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}><\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}>$
L'eguaglianza vale se e solo se:
$\mathbf {w} =x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2}=<\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}>\mathbf {v} _{1}-<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}>\mathbf {v} _{2}=0$, cioè $\mathbf {v} _{1}$ e $\mathbf {v} _{2}$ sono linearmente dipendenti.
$\Box$

### Norma di un vettore

Si definisce in uno spazio vettoriale euclideo la norma di un vettore $\mathbf {v} \in V$ come
$||\mathbf {v} ||={\sqrt {<\mathbf {v} ,\mathbf {v} >}}$
Utilizzando la norma, si può esprimere la disuguaglianza di Schwartz come $|<\mathbf {v} ,\mathbf {w} >|\ \leq \ ||\mathbf {v} ||\ ||\mathbf {w} ||$. La norma di un vettore gode delle seguenti proprietà:
* $||\mathbf {v} ||\geq 0,\ \mathbf {v} \neq 0$
* $||x\mathbf {v} ||=|x|\ ||\mathbf {v} ||,\ \forall x\in \mathbb {K}$
* $||\mathbf {v} +\mathbf {w} ||\leq ||\mathbf {v} ||+||\mathbf {w} ||$ e vale l'uguaglianza se e solo se $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w}$ sono paralleli.
La proprietà 3 è la nota disuguaglianza triangolare che dimostriamo nel seguente modo:
$||\mathbf {v} +\mathbf {w} ||^{2}=<\mathbf {v} +\mathbf {w} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} >=||\mathbf {v} ||^{2}+2<\mathbf {v} ,\mathbf {w} >+||\mathbf {w} ||^{2}\leq ||\mathbf {v} ||^{2}+2||\mathbf {v} ||\ ||\mathbf {w} ||+||\mathbf {w} ||^{2}=(||\mathbf {v} ||+||\mathbf {w} ||)^{2}$$\Leftrightarrow ||\mathbf {v} +\mathbf {w} ||\leq ||\mathbf {v} ||+||\mathbf {w} ||$
$\Box$

## Vettori e insiemi ortogonali

Due vettori $\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$ si dicono ortogonali (o perpendicolari) se e solo se $<\mathbf {v} ,\mathbf {w} >=0$.
Sia $\{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\}$ un insieme di vettori non nulli di $V$. Tale insieme si dice ortogonale se sono ortogonali tutti i vettori dell'insieme presi due a due, cioè se
$<\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j}>=0\,\ \forall i,j=1,\dots ,n\ ,\ i\neq j$
Nel caso $<\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j}>=1\ ,\ i=j$, cioè $<\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i}>=1$, allora l'insieme si dice ortonormale. Equivalentemente, un insieme ortonormale è un insieme ortogonale i cui vettori sono dei versori.
Se un insieme ortogonale od ortonormale è una base di una spazio vettoriale, si dice semplicemente che tale base è una base ortogonale o ortonormale.

#### Lemma

Sia $\{\mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{n}\}$ un insieme ortogonale. Allora
* i $\mathbf {w} _{i}$ sono linearmente indipendenti;
* Se $n=\dim(V)$, $\{\mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{n}\}$ è una base (ortogonale) di $V$;
* $\forall \mathbf {v} \in V$, il vettore $\mathbf {v} '=\mathbf {v} -\sum _{i=1}^{n}{\frac {<\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{i}>}{<\mathbf {w} _{i},\mathbf {w} _{i}>}}\mathbf {w} _{i}$ è ortogonale a ciascuno di essi.

##### Dimostrazione

1. Basta dimostrare che se due vettori non nulli sono ortogonali, allora sono indipendenti.
Siano $\mathbf {v} _{1}$ e $\mathbf {v} _{2}$ due vettori non nulli, e tali che $<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}>=0$. Sia $\mathbf {w}$ un qualunque vettore combinazione lineare di $\mathbf {v} _{1}$ e $\mathbf {v} _{2}$, ossia $\mathbf {w} =x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2}$.
Devo dimostrare che $\mathbf {w} =0$ implica che $x_{1}=x_{2}=0$.
Sia $0=\mathbf {w} =x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2}$. Allora deve succedere che
$0=<\mathbf {w} ,\mathbf {w} >=<x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2},x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2}>=x_{1}^{2}<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}>+x_{2}^{2}<\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}>+2x_{1}x_{2}<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}>=x_{1}^{2}<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}>+x_{2}^{2}<\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}>$
Quindi $x_{1}^{2}<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}>=-x_{2}^{2}<\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}>$.
I due vettori sono non nulli, quindi i due prodotti scalari sono positivi, e quindi, affinché l'eguaglianza valga, deve essere che $x_{1}^{2}$ e $x_{2}^{2}$ devono essere nulli, da cui segue la tesi.
2. Dalla 1. segue che un insieme di $n$ vettori indipendenti in uno spazio $V$ di dimensione $n$ è una base.
3. Fissiamo un indice $j\in \{1,\dots ,n\}$, e sia $\mathbf {w} _{j}$ un vettore della base ortogonale. Prendiamo un vettore $\mathbf {v} \in V$, e sia $\mathbf {v} '$ il vettore definito nell'enunciato. Ecco cosa succede:
$<\mathbf {w} _{j},\mathbf {v} '>=<\mathbf {w} _{j},\mathbf {v} >-<\mathbf {w} _{j},\sum _{i=1}^{n}{\frac {<\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{i}>}{<\mathbf {w} _{i},\mathbf {w} _{i}>}}\mathbf {w} _{i}>=<\mathbf {w} _{j},\mathbf {v} >-\sum _{i=1}^{n}{\frac {<\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{i}>}{<\mathbf {w} _{i},\mathbf {w} _{i}>}}<\mathbf {w} _{j},\mathbf {w} _{i}>$
Visto che stiamo in una base ortogonale, $<\mathbf {w} _{j},\mathbf {w} _{i}>=0,\ \forall i\neq j$, e quindi la sommatoria si riduce al termine ${\frac {<\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{j}>}{<\mathbf {w} _{j},\mathbf {w} _{j}>}}<\mathbf {w} _{j},\mathbf {w} _{j}>=<\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{j}>$.
In definitiva: $<\mathbf {w} _{j},\mathbf {v} '>=<\mathbf {w} _{j},\mathbf {v} >-<\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{j}>=0$.
Tutto ciò è vero, qualunque sia $\mathbf {v}$ e qualunque sia $j$, ossia la tesi.
$\Box$

### Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Sia $B=(\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})$ una base di $(V,<,>)$. Allora $O=(\mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{n})$ costituito dai vettori
       $\mathbf {w} _{1}=\mathbf {v} _{1}$
       $\mathbf {w} _{2}=\mathbf {v} _{2}-{\frac {<\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} _{1}>}{<\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{1}>}}\mathbf {w} _{1}$
       $\vdots$
       $\mathbf {w} _{n}=\mathbf {v} _{n}-\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {<\mathbf {v} _{n},\mathbf {w} _{i}>}{<\mathbf {w} _{i},\mathbf {w} _{i}>}}\mathbf {w} _{i}$
è una base ortogonale.

##### Dimostrazione

Osserviamo che $\mathbf {w} _{i}\in {\mathcal {L}}(\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{i}),\ \forall i\in \{1,\dots ,n\}$ e che ogni $\mathbf {w} _{i}$ è non nullo. Infatti, se per assurdo un qualche $\mathbf {w} _{p}$ fosse nullo, avremmo
       $\mathbf {w} _{p}=\mathbf {v} _{p}-\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {<\mathbf {v} _{p},\mathbf {w} _{i}>}{<\mathbf {w} _{i},\mathbf {w} _{i}>}}\mathbf {w} _{i}\Leftrightarrow \mathbf {v} _{p}=\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {<\mathbf {v} _{p},\mathbf {w} _{i}>}{<\mathbf {w} _{i},\mathbf {w} _{i}>}}\mathbf {w} _{i}\in {\mathcal {L}}(\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n-1})$ e questo contraddice l'ipotesi che $B$ sia una base.
Per il Lemma precedente, sappiamo che ogni $\mathbf {w} _{p}$ è ortogonale al vettore $\mathbf {w} _{p-1}$ che lo precede nella n-upla $O$, dunque $O$ è un insieme ortogonale.
Sempre per il Lemma deduciamo che i $\mathbf {w} _{i}$ sono linearmente indipendenti e pertanto costituiscono una base.
$\Box$
Questo algoritmo ci permette di ottenere una base ortogonale a partire da una base di partenza data.

#### Proposizione (esistenza di una base ortonormale)

Sia $B=(\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})$ una base ortogonale di $V$. Esiste allora una base ortonormale costituita dai vettori
$\mathbf {u} _{p}={\frac {1}{||\mathbf {v} _{p}||}}\mathbf {v} _{p}$

##### Dimostrazione

$<\mathbf {u} _{r},\mathbf {u} _{s}>=<{\frac {1}{||\mathbf {v} _{s}||}}\mathbf {v} _{s},{\frac {1}{||\mathbf {v} _{r}||}}\mathbf {v} _{r}>={\frac {1}{||\mathbf {v} _{r}||\ ||\mathbf {v} _{s}||}}<\mathbf {v} _{r},\mathbf {v} _{s}>={\begin{cases}1,\ r=s\\0,\ r\neq s\end{cases}}$
Dunque tutti i vettori $\mathbf {u} _{i}$ sono ortonormali.
$\Box$

#### Esempi

* Sia $(V,<,>)$ di dimensione 4 e sia $\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\mathbf {e} _{4}\}$ una base di $V$ ortonormale (è la base canonica). Consideriamo poi i vettori
$\mathbf {v} _{1}=(0,1,0,1),\ \mathbf {v} _{2}=(2,1,0,1),\ \mathbf {v} _{3}=(-1,0,0,1),\ \mathbf {v} _{4}=(0,0,1,0)$
       Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt per ottenere una base ortogonale.
          $\mathbf {w} _{1}=\mathbf {v} _{1}$
          $\mathbf {w} _{2}=\mathbf {v} _{2}-{\frac {<\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}>}{<\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{1}>}}\mathbf {w} _{1}=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2}{2}}\mathbf {w} _{1}=\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}=2\mathbf {e} _{1}$
          $\mathbf {w} _{3}=\mathbf {v} _{3}-\sum _{i=1}^{2}{\frac {<\mathbf {v} _{3},\mathbf {w} _{i}>}{<\mathbf {w} _{i},\mathbf {w} _{i}>}}\mathbf {w} _{i}=$$\mathbf {v} _{3}-{\frac {<\mathbf {v} _{3},\mathbf {v} _{1}>}{<\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}>}}\mathbf {v} _{1}-{\frac {<\mathbf {v} _{3},2\mathbf {e} _{1}>}{<2\mathbf {e} _{1},2\mathbf {e} _{1}>}}2\mathbf {e} _{1}=$$\mathbf {v} _{3}-{\frac {1}{2}}\mathbf {v} _{1}-{\frac {-2}{4}}2\mathbf {e} _{1}=-{\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{4}$
          $\mathbf {w} _{4}=\mathbf {v} _{4}-\sum _{i=1}^{3}{\frac {<\mathbf {v} _{4},\mathbf {w} _{i}>}{<\mathbf {w} _{i},\mathbf {w} _{i}>}}\mathbf {w} _{i}=\dots =\mathbf {v} _{4}$
Dunque $\left((0,1,0,1),2\mathbf {e} _{1},-{\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{4},(0,0,1,0)\right)$ è una base ortogonale di $V$.

#### Proposizione

Sia $\ U=(\mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n})$ una base ortonormale dello spazio euclideo $V$. Poniamo inoltre $\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {u} _{i}$ e $\mathbf {v} '=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\mathbf {u} _{i}$. Allora
$<\mathbf {v,w} >=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$

##### Dimostrazione

$<\mathbf {v,w} >=\ <\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {u} _{i},\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {u} _{j}>=\sum _{i\neq j=1}^{n}x_{i}y_{j}<\mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{j}>+\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}<\mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{i}>=0+\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$
$\Box$