# Gruppi del punto tridimensionali

Nel caso dello spazio bidimensionale abbiamo ricavato innanzitutto i gruppi di rotazioni proprie; abbiamo poi introdotto l'unica operazione impropria in 2D (la linea di simmetria), completando quindi la derivazione di tutti i gruppi di rotazioni proprie e improprie in due dimensioni. Abbiamo poi imposto le limitazioni conseguenti alla natura reticolare degli ornamenti, così ottenendo i dieci gruppi cristallografici del punto (in 2D). Seguiremo anche per lo spazio tridimensionale la stessa strategia di derivazione.

## 7.1.1. Rotazioni proprie in 3D: gruppi ciclici.

Ai gruppi ciclici di rotazioni attorno ad un punto nello spazio 2D, corrispondono in 3D altrettanti gruppi ciclici di rotazioni attorno ad un asse:
C$_1$ C$_2$ C$_3$ C$_4$ …… C$_n$ ……
Ad esempio con C$_4$ indichiamo il gruppo di rotazioni proprie E (identità), R$_{90°}$, R$_{180°}$, R$_{270°}$ attorno ad un asse (asse ‘quaternario').
In generale R$_i$R$_j$ = R$_j$R$_i$, ovvero i gruppi ciclici di rotazioni proprie sono commutativi.

## 7.1.2. Rotazioni proprie in 3D: gruppi diedrici

La configurazione spaziale rappresentata nella Fig. 28 che segue e corrispondente al gruppo del punto in 2D che abbiamo denotato D$_4$' (4mm) è riportata in sé dalle rotazioni proprie e dalle quattro linee di riflessione. Nello spazio 3D tale configurazione può essere riportata in sé mediante sole operazioni proprie: le rotazioni attorno all'asse ‘quaternario' (indicato A$_4$) e le quattro rotazioni di 180° attorno a quattro assi orizzontali (indicati A$_2$) disposti, come le linee di riflessione nella configurazione bidimensionale, a intervalli angolari di 45°.
Fig. 28. Dal gruppo del punto D4' (4mm) in 2D al gruppo D4 (422) in 3D.
Tale configurazione, la cui simmetria denoteremo D$_4$, è caratterizzata dalle 8 operazioni proprie qui di seguito elencate e disposte come illustrato nella parte destra della figura:
D$_4$ E, R$_{90°}$, R$_{180°}$, R$_{270°}$, $^A$R$_{180°}$, $^B$R$_{180°}$, $^C$R$_{180°}$, $^D$R$_{180°}$.
Agli infiniti gruppi D$_1$', D$_2$', D$_3$', D$_4$',…… D$_n$',…… corrispondono, in 3D, gli infiniti gruppi diedrici: D$_2$, D$_3$, D$_4$,…… D$_n$,…… di sole rotazioni proprie. Nell'elenco abbiamo omesso il gruppo D$_1$ (E, R$_{180°}$) poiché esso corrisponde al gruppo ciclico C$_2$.

## 7.1.3. Rotazioni proprie in 3D: gruppi di rotazioni proprie dei poliedri regolari

Si può completare la derivazione di tutti i gruppi di rotazioni proprie in 3D con l'introduzione dei gruppi di rotazioni proprie dei poliedri regolari. A differenza di quanto accade nelle due dimensioni (esistono infiniti poligoni regolari), "...la situazione è del tutto diversa nello spazio tridimensionale: nello spazio non esiste un numero infinito di poliedri regolari; ve ne sono solo cinque, spesso chiamati i ‘solidi platonici' per la parte di primo piano a loro riservata da Platone nella sua filosofia della natura. Essi sono: il tetraedro regolare, il cubo, l'ottaedro, il dodecaedro (le cui facce sono 12 pentagoni regolari), e l'icosaedro (le cui facce sono venti triangoli equilateri)" (da Weyl, La simmetria).
Si hanno solo tre nuovi gruppi. Infatti ottaedro e cubo da una parte, pentagonododecaedro e icosaedro dall'altra sono solidi polari; in ogni coppia di solidi polari a facce dell'uno corrispondono vertici dell'altro e viceversa; qualsiasi rotazione che lasci invariato l'uno lascia invariato anche l'altro. La figura polare del tetraedro è lo stesso tetraedro (si scambiano le posizioni di vertici e facce). Nel seguito sono riportati i cinque poliedri regolari (Fig. 29, 30, 31) con indicazione della posizione degli assi di simmetria (A$_n$ indica un generico asse di ordine n), degli elementi (facce, vertici e spigoli) del poliedro, nonché dell'ordine del corrispondente gruppo di simmetria (numero delle operazioni presenti).
Fig. 29. Il tetraedro con descrizione della disposizione relativa degli assi di ordine 2 e 3.
Tetraedro: 4 facce a triangolo equilatero, 4 vertici, 6 spigoli Elementi di simmetria: E 4A$_3$ 3A$_2$ Il gruppo di simmetria è indicato con T (nella notazione di Schoenflies) e ha ordine 12.
Fig. 30. Ottaedro e cubo con descrizione della disposizione relativa degli assi di ordine 4, 3 e 2.
Ottaedro: 8 facce a triangolo equilatero, 6 vertici, 12 spigoli Cubo: 6 facce quadrate, 8 vertici, 12 spigoli Elementi di simmetria comuni ai due poliedri: E 4 A$_3$ 3 A$_4$ 6 A$_2$ Il gruppo di simmetria è indicato con O (nella notazione di Schoenflies; talora è indicato con K) e ha ordine 24.
Fig. 31. Dodecaedro e icosaedro con descrizione della disposizione relativa degli assi di ordine 4, 3 e 2.
Dodecaedro: 12 facce a pentagono regolare, 20 vertici, 30 spigoli Icosaedro: 20 facce a triangolo equilatero, 12 vertici, 30 spigoli Elementi di simmetria comuni ai due poliedri: E 6 A$_5$ 10 A$_3$ 15 A$_2$ Il gruppo di simmetria è indicato con I (nella notazione di Schoenflies; talora è indicato con P) e ha ordine 60.
Si osservi come il numero delle facce F, dei vertici V e degli spigoli S soddisfino la relazione di Eulero: F + V = S + 2.
Con l'introduzione dei tre gruppi T, O ed I la derivazione dei gruppi di rotazioni proprie in 3D è completata: C$_n$, D$_n$, T, O, I costituiscono l'insieme di tali gruppi.

## 7.1.4. Operazioni improprie

Nello spazio bidimensionale la sola operazione impropria è la linea di simmetria. In tre dimensioni si hanno le seguenti operazioni improprie.
La inversione rispetto ad un punto: dato un oggetto, l'oggetto inverso si ottiene facendo corrispondere ad ogni punto a coordinate x, y, z, il punto a coordinate –x, -y, -z; i e -1 sono i simboli utilizzati per denotare l'inversione nella notazione di Schoenflies e nella notazione internazionale (o cristallografica, o di Mauguin), rispettivamente.
La riflessione rispetto a un piano: se il piano è a,b l'oggetto riflesso si ottiene facendo corrispondere ad ogni punto a coordinate x, y, z, il punto a coordinate x, y, -z; σ e m sono i simboli utilizzati per denotare il piano di riflessione nella notazione di Schoenflies e nella notazione internazionale, rispettivamente.
Le rotoinversioni: la operazione di rotoinversione di ordine n è una operazione composta di una rotazione di 2π/n attorno ad un asse, seguita dall'inversione rispetto ad un punto giacente sull'asse; -n è la notazione utilizzata per indicare il corrispondente elemento di simmetria (notazione internazionale).
Le rotoriflessioni: la operazione di rotoriflessione di ordine n è una operazione composta di una rotazione di 2π/n attorno ad un asse, seguita dalla riflessione nel piano ortogonale all'asse. S$_n$ è la notazione utilizzata per indicare il corrispondente elemento di simmetria (notazione di Schoenflies).
Si può mostrare che la configurazione spaziale che si ottiene operando con un asse di rotoinversione è ottenibile anche operando con un asse di rotoriflessione, anche se i loro ordini sono generalmente diversi. In particolare:
    assi di rotoinversione di ordine n, con n dispari, corrispondono ad assi di rotoriflessione di ordine 2n;
    assi di rotoinversione di ordine n, con n = 4m+2 (ovvero n = 2, 6, 10,…), corrispondono ad assi di rotoriflessione di ordine n/2;
    assi di rotoinversione di ordine n, con n = 4m (ovvero n = 4, 8, 12,..) coincidono con assi di rotoriflessione dello stesso ordine.
È pertanto possibile introdurre, accanto alla inversione ed alla riflessione, le sole rotoinversioni, tralasciando le rotoriflessioni. È questa la scelta effettuata nel sistema di notazione internazionale (o cristallografica, o di Mauguin), nel quale gli assi di rotoinversione (e i relativi gruppi di simmetria) sono indicati -1, -2, -3, -4, ... A stretto rigore anche l'inversione in un punto e la riflessione in un piano potrebbero essere tralasciate, poiché esse corrispondono a operazioni di rotoinversione di ordine 1 e 2, rispettivamente. La notazione di Schoenflies (utilizzata dagli spettroscopisti e dai chimici teorici) privilegia invece gli assi di rotoriflessione.
È importante sottolineare il fatto che tutte le operazioni improprie si possono considerare come prodotto di una rotazione propria e dell'inversione:
σ = i C$_2$
S$_n$ = σC$_n$ = i C$_2$ C$_n$ = i C$_m$
È da osservare che non tutti i gruppi impropri contengono l'inversione come operazione di simmetria singolarmente presente. Essa può anche presentarsi come fattore in una operazione composta.

## 7.1.5. Derivazione dei gruppi impropri

Siano R$_n$ le rotazioni proprie e S$_n$ le rotazioni improprie nel generico gruppo improprio G. Valgono, ovviamente, le relazioni:
R$_i$ R$_j$ = R$_k$ (a)
S$_i$ S$_j$ = R$_k$ (b)

### Struttura dei gruppi impropri
#### Lemma 1

    Ogni gruppo improprio G deve contenere operazioni proprie altrimenti, secondo (b), non sarebbe chiuso.

#### Lemma 2

    . Da (a) discende che le operazioni proprie di G, R$_1$, R$_2$, R$_3$,…. formano gruppo.

#### Teorema

    Se R$_1$, R$_2$,…. R$_n$ è il sottogruppo di operazioni proprie in G e S è una qualsiasi operazione impropria di G, allora tutte le operazioni di G sono esprimibili come:
    R$_1$ R$_2$ R$_3$ …… . R$_n$
    SR$_1$ SR$_2$ SR$_3$ ..........SR$_n$
    Infatti anche S$^{-1}$ è in G ed è operazione impropria. Per qualsiasi operazione impropria S$_i$ sarà:
    S$^{-1}$ S$_i$ = R$_j$ S S$^{-1}$ S$_i$ = S R$_j$ (c. v. d.).

### Gruppi impropri con inversione

La struttura di tali gruppi impropri, aventi l'inversione come operazione singolarmente presente, è molto semplice:
R$_1$ R$_2$ R$_3$ …… R$_n$
iR$_1$ iR$_2$ iR$_3$ ...........iR$_n$
Ogni gruppo proprio G genera un gruppo improprio con inversione.
Gli infiniti gruppi di rotazioni proprie C$_n$, 'D$_n$, T, O, I generano altrettanti gruppi contenenti l'inversione, gruppi che potremmo convenientemente indicare (in attesa di dare le corrispondenti notazioni di Schoenflies ed internazionale):
-C$_n$, -D$_n$, -T, -O, -I

### Gruppi impropri senza inversione

Consideriamo il gruppo improprio G:
R$_1$ R$_2$ R$_3$ …… R$_n$ (a)
SR$_1$ SR$_2$ SR$_3$ ..........SR$_n$
Apportiamo in esso la sostituzione, sempre possibile, S = i R'.
G risulta ora:
R$^1$ R$_2$ R$_3$ …… R$_n$
i R'R$_1$ i R'R$_2$ i R'R$_3$ ...... i R'R$_n$
ovvero:
R$_1$ R$_2$ R$_3$ …… R$_n$ (b)
i R$_1$' i R$_2$' i R$_3$' ...... i R$_n$'
con R$_i$' = R' 'R$_i$
Tutte le rotazioni proprie in (b), sole o associate all'inversione, formano un gruppo G:
R$_1$ R$_2$ R$_3$ …… R$_n$ (c)
R$_1$' R$_2$' R$_3$' ...... R$_n$'
Infatti, dalla (b) si ha che iR$_i$' iR$_j$' = R$_k$, con R$_k$ nella 1$_a$ fila di (b) e anche di (c). D'altra parte iR$_i$' iR$_j$' = R$_i$'R$_j$', quindi in (c) R$_i$'R$_j$' = R$_k$. Il gruppo (c) è quindi chiuso.
Se ne conclude che ogni gruppo improprio G di ordine n senza inversione può essere ricavato da un gruppo proprio G di ordine n e contenente un sottogruppo di ordine n/2 (sottogruppo dimezzante), lasciando invariate le operazioni di tale sottogruppo e moltiplicando le operazioni residue per l'inversione.
Ad esempio: il gruppo proprio C$_4$ (E, R$_{90°}$, R$_{180°}$, R$_{270°}$) ha come sottogruppo dimezzante C$_2$ (E, R$_{180°}$). Le due operazioni di C$_2$ costituiscono le operazioni proprie del gruppo improprio che stiamo formando; le due operazioni improprie si ottengono dalle due rotazioni residue in C$_4$ (R$_{90°}$, R$_{270°}$) moltiplicandole per l'inversione. Il gruppo così ottenuto:
E R$_{180°}$
iR$_{90°}$ iR$_{270°}$
può essere provvisoriamente indicato, tenuto conto della modalità di derivazione, come C$_4$C$_2$.
In generale, dai già ricordati gruppi propri C$_n$, D$_n$, 'T, O, I, possono essere derivati i seguenti gruppi impropri non contenenti l'inversione come operazione singolarmente presente:
C$_{2n}$C$_n$ (n = 1, 2, 3,…)
D$_n$C$_n$ (n = 1, 2, 3,….)
D$_{2n}$D$_n$ (n = 2, 3,….)
OT
L'ultimo gruppo è reso possibile dal fatto che il gruppo T delle rotazioni proprie del tetraedro è sottogruppo dimezzante del gruppo O delle rotazioni proprie dell'ottaedro.
(Esercitazione sui gruppi del punto. Vai a PAGINA INTERATTIVA )