# Il filtro attivo passa banda
## Sui filtri attivi passa banda

Lo schema di un filtro attivo passa banda, realizzato con microamplificatori, è riportato in figura 1.
Lo schema è formato da due sezioni funzionali:
La prima, costituita dall’integrato A1, ha il solo compito di offrire alla seconda sezione la bassa impedenza richiesta per il corretto funzionamento del filtro attivo.
La seconda, costruita attorno ad A2, costituisce, da sola, il filtro attivo; i componenti del circuito hanno le seguenti funzioni:
* i componenti marcati in grigio, $R1,R2,R3,C1,C2,$ formano la rete di sintesi che conferisce al filtro il valore caratteristico della “frequenza di centro banda” e della “larghezza di banda”.
* i componenti $R4,R5$ formano la rete di controreazione di A2 che consente alla “curva di risposta del filtro” di avere il profilo voluto.
Prima di proseguire nella descrizione del filtro vediamo di chiarire parte della terminologia citata:
* Per frequenza di centro banda $fc$ di un filtro passa banda s’intende la frequenza per la quale il filtro viene progettato.
* Per “larghezza di banda” di un filtro passa banda s’intende il valore dell’intervallo di frequenza, $\Delta f,$ oltre il quale l’attenuazione, da modesta che era nella zona nella quale il segnale è destinato a transitare (zona passante), inizia a mostrare il primo cenno d’attenuazione con una perdita di –$3\ dB$rispetto alla zona passante.
La curva indicativa di figura 2 mostra la “curva di risposta di un filtro passa banda” ed il posizionamento della frequenza centrale $fc$ e dell’intervallo $\Delta f.$
Mostrata la curva di risposta del filtro vediamo come calcolarne i componenti tenendo sempre come base di lavoro lo schema di figura 1:
La frequenza $fc$ di centro banda del filtro e la larghezza di banda $\Delta f$ si calcolano con la formule:
$fc=1/[2\cdot \pi \cdot R\cdot C\cdot {\sqrt {(1+R/R1)}}\ \ ]$
$\Delta f=2/(2\cdot \pi \cdot C\cdot R1)$
dove
$R1$ espressa in Ohm
$R=R2=R3$ espresse in Ohm
$C=C1=C2$ espresse in Farad
Le formule impongono che i valori di $R2\ ed\ R3$ siano uguali tra loro, così come uguali devono essere $C1\ e\ C2$ .
Le tolleranze dei componenti devono essere entro $1\%$ dei valori risultanti dai calcoli.
Per il calcolo dei valori dei componenti $R1,R2,R3,C1,C2$ è conveniente trasformare le formule sopra indicate per ottenere:
$C=1/(\pi \cdot \Delta f\cdot R1)$
$R=(1/2\cdot \pi \cdot fc\cdot C)$
Le formule sono valide se, dopo aver scelto $R1,$ risulta che il rapporto $R1/R>6.$
La prima formula consente il calcolo di $C=C1=C2$ in dipendenza del valore di $\Delta f\ e\ R1.$
La seconda formula consente il calcolo di $R=R2=R3$ in dipendenza di $C$ e di $fc.$
Il circuito di amplificazione di A2 può essere in corrente continua anche se il filtro passa banda non lo richiede.
Il guadagno $G$cc di A2 deve essere sempre impostato, inderogabilmente, al valore prestabilito di:
$Gcc=3$
Per ottimizzare la stabilità in corrente continua di A2 i valori delle due resistenze $R3\ ed\ R4,$ che formano l’anello di controreazione, devono essere calcolate secondo le formule:
$R5=Gcc\cdot 2\cdot R3$
$R4=2\cdot R3/[1{-}(1/Gcc)]$

## Calcolo di un filtro passa banda

Sulla scorta degli elementi acquisiti, vediamo come progettare un filtro passa banda attivo mediante lo sviluppo del seguente esercizio:
Dati di base
Sia da progettare un filtro passa banda attivo avente una frequenza di centro banda $fc=10000\ Hz$ ed una larghezza di banda $\Delta f=500\ Hz.$
La resistenza d’ingresso deve essere superiore a $10000\ \Omega .$
Scelta dei circuiti integrati
La scelta dei circuiti integrati è legata al valore di $fc$ ; se $fc$ è molto alta, sarà necessario scegliere microamplificatori per alta frequenza, nel nostro caso invece con $fc=10000\ Hz$ , qualsiasi integrato con basso fuori zero d’ingresso potrà essere selezionato.
Calcolo della rete di sintesi
Iniziamo il calcolo con la determinazione del valore di $C=C1=C2$ in funzione del $\Delta f$ voluto, $\Delta f=500\ Hz$, secondo la formula:
$C=1/(\pi \cdot \Delta f\cdot R1)$
per far ciò dobbiamo scegliere un valore per $R1$ che non rappresenti, da un lato, un carico eccessivo per A1 e dall’altro un valore troppo elevato tale da rendere il valore di $C$ troppo piccolo; un ragionevole compromesso è di porre $R1=100000\ \Omega$ quindi:
$C=1/(3.14\cdot 500\ Hz\cdot 100000\ \Omega )=6369\ pF$
Saranno quindi $C1=C2=C=6369\ pF\pm 1\%$
Proseguiamo ora con il calcolo di $R$ in funzione del valore di $fc=10000\ Hz$ e di $C$ sopra determinato con la formula:
$R=(1/2\cdot \pi \cdot fc\cdot C)$
$R=1/6.28\cdot 10000\ Hz\cdot 6369\cdot 10^{-12}\ F)=2500\ \Omega$
Saranno: $R2=R3=R=2500\ \Omega \pm 1\%$
Verifica del rapporto $R1/R$
La verifica del rapporto $R1/R$ è indispensabile per l’accettazione dei valori dei componenti calcolati; deve essere
$R1/R>6$
Dai nostri calcoli risulta :
$R1=100000\ \Omega$
$R=2500\ \Omega$
Quindi
$R1/R=100000\ \Omega /2500\ \Omega =40$
soddisfa l’assunto.
Calcolo della rete di controreazione di A2
Il calcolo dei valori della rete di controreazione di A2 si eseguono con le formule indicate in precedenza con $Gcc=3$
$R5=3\cdot 2\cdot 2500\ \Omega =15000\ \Omega$
$R4=2\cdot 2500\ \Omega /[1{-}(1/3)]=7500\ \Omega$
Calcolo di Ro
Essendo richiesta una resistenza d’ingresso del filtro maggiore di $10000\ \Omega$ il valore di $Ro$ può essere scelto sensibilmente superiore a $10000\ \Omega$ onde minimizzare le tensioni di fuori zero di A1, quindi: $Ro=22000\ \Omega$.
Tracciamento della curva di risposta di riferimento
Per consentire il controllo del funzionamento del filtro si deve impiegare un tracciato campione sopra il quale sovrapporre i valori delle attenuazioni ricavati in sede di prova sul circuito sperimentale.
Dato che tutti i profili delle curve di risposta di filtri attivi passa banda, costruiti secondo lo schema di figura 1, sono simili, basterà averne uno per cambiare di volta in volta il valore di $fc\ e\ \Delta f$ e degli altri valori della scala delle frequenze per adattarlo al progetto in prova.
Con l’aiuto della funzione citata la curva di risposta del nostro filtro è tracciata in figura 3; in essa si osserva che il massimo è in corrispondenza della frequenza $fc=10000\ Hz$, la zona passante è compresa tra $9750\ Hz\ e\ 10250\ Hz$ , così come si confà ad un $\Delta f=500\ Hz,$ l’attenuazione alle frequenze di $9750\ Hz\ e\ 10250\ Hz$ è di $3\ dB.$
È interessante indicare come varia l’attenuazione del filtro di banda nei campi di variabilità della frequenza non riportati nel grafico di figura 3:
Nell’intervallo da $10000\ Hz\ a\ 16000\ Hz$ l’ampiezza scende fino a raggiungere un’attenuazione di circa $26\ dB$, per frequenze superiori a $16000\ Hz$ la curva d’attenuazione è molto meno inclinata e si avvicina ad una pendenza di soli $6\ dB/ottava$.
Nell’intervallo da $10000\ Hz\ a\ 6000\ Hz$ l’ampiezza scende fino a raggiungere un’attenuazione di circa $26\ dB$, per frequenze inferiori a $6000\ Hz$ la curva d’attenuazione è molto meno inclinata e si avvicina ad una pendenza di soli $6\ dB/ottava$.
La curva non mostra il guadagno che il circuito di figura 1 presenta alla frequenza di centro banda, come invece lo mostravano le curve di risposta dei filtri passa basso e passa alto illustrate nella lezione precedente, ma soltanto l’attenuazione rispetto al guadagno unitario indicato al livello di $0\ dB.$
Il guadagno complessivo a centro banda è legato ai valori dei componenti ed è di circa $3.5\ dB.$
Per la funzione matematica di calcolo dell’andamento della risposta si veda l’appendice A3

## note

* ↑ I componenti in oggetto devono avere valori entro la tolleranza del $\pm \ 1\%$ rispetto ai valori emersi dai calcoli