# Esercizi sulla Dinamica dei sistemi di punti materiali (superiori)

I seguenti esercizi riguardano la Dinamica dei sistemi di punti materiali studiata nella Lezione 5 di Meccanica.

## Esercizi
### 1. Treno

Un treno è composto di una motrice e da tre vagoni, ed ha, inizialmente, una accelerazione $a_{o}\$. Supponiamo che la motrice ed i vagoni abbiano ognuno massa $M\$. Determinare: a) la forza motrice $F_{M}\$ della motrice, b) la forza $f_{1}\$ che esercita la motrice sul I vagone, c) la forza $f_{3}\$ che esercita il II vagone sul III.
(dati del problema $a_{o}=0.5\ m/s^{2}$, $M=2\cdot 10^{4}kg$)
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### 2. Manubrio

Un manubrio è costituito da due masse uguali collegate da una sbarretta di massa trascurabile di lunghezza $2d\$: supponiamo che inizialmente esso ruoti liberamente intorno ad un asse ortogonale al centro della sbarretta con velocità angolare $\omega _{i}\$. Se in virtù di forze interne le due masse vengono avvicinate in maniera da distare alla fine solo $d/2\$ dal centro dell'asse di rotazione.
Determinare: La velocità angolare finale del sistema ed il lavoro fatto dalle forze interne.
(dati del problema $\omega _{i}=20\ rad/s\$, $d=0.5\ m$, $m=2\ kg$)
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### 3. Blocchi con molla

Su un piano orizzontale sono posti due blocchi di masse $M_{1}\$ ed $M_{2}\$ rispettivamente. Tra i due blocchi, inizialmente fermi, è sistemata una molla, di massa trascurabile, mantenuta compressa con un corto filo di collegamento tra i blocchi. Ad un certo istante il filo viene tagliato ed i due blocchi vengono messi in movimento dalla molla. Si osserva che la velocità acquistata dalla massa $M_{1}\$ è $v_{1}\$.
Determinare l'energia elastica della molla nella configurazione iniziale.
(dati del problema $M_{1}=2\ kg$, $M_{2}=3\ kg$, $v_{1}=0.5\ m/s$, si trascuri l'attrito del piano)
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### 4. Due masse appese

Su un piolo liscio (senza attrito) scorre un filo flessibile inestensibile e di massa trascurabile che collega due masse $m_{1}\$ ed $m_{2}\$. Le masse sono inizialmente ferme trattenute alla stessa quota, si mettono in moto sotto l'azione della forza peso. Calcolare l'accelerazione del centro di massa e la forza esercitata dal piolo (filo+ masse).
(dati del problema $m_{1}=2\ kg\$, $m_{2}=4\ kg\$)
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### 5. Giostra

Una giostra è costituita da due seggiolini di massa $m=90\ kg$ (compresi gli occupanti) sospesi a due funi di lunghezza $l=3\ m$. Il sistema, assimilabile a un pendolo conico con due masse, è inizialmente posto in rotazione con velocità angolare $\omega _{1}\$ attorno ad un asse verticale sul quale sono ancorate le funi che si dispongono su un piano contenente la verticale ad angoli $\theta _{1}=45^{\circ }\$ sui lati opposti.
a) Determinare la tensione $T\$ della fune nella configurazione iniziale e il momento angolare totale del sistema. b) Supponendo che i due occupanti, esercitando forze interne per esempio utilizzando una fune, riescano ad avvicinarsi riducendo l'angolo delle funi di sospensione al valore $\theta _{2}=30^{\circ }\$, calcolare la velocità dei seggiolini. c) Determinare il lavoro fatto dalle forze interne per passare dallo stato a) allo stato b).
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## Soluzioni
### 1. Treno

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Il sistema ha un solo grado di libertà, per cui ogni grandezza cinematica o dinamica, può esprimersi come uno scalare nella direzione del moto. Le equazioni del moto sono:
$F_{M}-f_{1}=Ma_{o}\$
$f_{1}-f_{2}=Ma_{o}\$
$f_{2}-f_{3}=Ma_{o}\$
$f_{3}=Ma_{o}\$
Sommandole:
$F_{M}=4Ma_{o}=40\ kN$
$f_{1}=F_{M}-Ma_{o}=30\ kN$
$f_{3}=Ma_{o}=10\ kN$

### 2. Manubrio

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Dovendosi conservare il momento della quantità di moto:
$2dm\omega _{i}d=2{\frac {d}{2}}m\omega _{f}{\frac {d}{2}}\$
$\omega _{f}=4\omega _{i}=80\ rad/s$
L'energia cinetica iniziale vale:
$E_{i}=m\omega _{i}^{2}d^{2}\$
$E_{f}=m\omega _{f}^{2}{\frac {d^{2}}{4}}=4E_{i}\$
Quindi l'energia cinetica aumenta di:
$E_{f}-E_{i}=3E_{i}=600\ J$
L'aumento di energia cinetica è dovuto alle sole forze interne.

### 3. Blocchi con molla

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Le forze che agiscono sono solo interne quindi essendo nulla la quantità di moto iniziale:
$M_{2}v_{2}+M_{1}v_{1}=0\$
$v_{2}=-{\frac {M_{1}}{M_{2}}}v_{1}=-0.33\ m/s$
Che è anche l'energia cinetica della massa 2 quindi l'energia cinetica vale:
$E_{k}={\frac {1}{2}}M_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}M_{2}v_{2}^{2}=0.42\ J$
che coincide con l'energia elastica della molla.

### 4. Due masse appese

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Scelto $z\$ diretto verso l'alto:
    $m_{2}a_{2}=-m_{2}g+T_{1}\$
    $m_{1}a_{1}=-m_{1}g+T_{1}\$
Ma essendo il filo inestensibile $a_{1}=-a_{2}\$ quindi:
    $m_{2}a_{2}=-m_{2}g+T_{1}\$
    $-m_{1}a_{2}=-m_{1}g+T_{1}\$
che sottratte:
    $(m_{1}+m_{2})a_{2}=(m_{1}-m_{2})g\$
    $a_{2}=g{\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=-3.3\ m/s^{2}\$
Quindi l'accelerazione del centro di massa delle due masse vale:
    $a_{cm}={\frac {m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=-g{\frac {(m_{1}-m_{2})^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=-1.1\ m/s^{2}\$
Quindi applicando la I equazione cardinale della meccanica si ha che:
    $F_{t}-m_{1}g-m_{2}g=(m_{1}+m_{2})a_{cm}\$
    $F_{t}=(m_{1}+m_{2})(g+a_{cm})=52\ N$

### 5. Giostra

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a) Inizialmente per ognuna delle due masse posso scrivere, nella direzione verticale (asse $z\$):
    $T\cos \theta _{1}=mg\$
quindi:
    $T=1247\ N\$
La componente della tensione del filo lungo la direzione orizzontale è inizialmente la sola forza centripeta, del moto rotatorio con raggio:
    $r_{1}=l\sin \theta _{1}=2.12\ m\$
Quindi:
    $m{\frac {v_{1}^{2}}{r_{1}}}=T\sin \theta _{1}\$
    $v_{1}={\sqrt {\frac {Tr_{1}\sin \theta _{1}}{m}}}=4.6\ {\rm {m/s}}\$
Quindi:
    ${\vec {L}}=m{\vec {r_{1}}}\times {\vec {v_{1}}}+m{\vec {r_{2}}}\times {\vec {v_{2}}}=2mr_{1}v_{1}{\vec {k}}\$
    $|{\vec {L}}|=1.74\cdot 10^{3}\ {\rm {kg\,m}}^{2}{\rm {s}}^{-1}\$
b)
Poiché agiscono solo forze interne, ${\vec {L}}\$ si conserva e poiché nella condizione finale la direzione rimane la stessa, si deve avere che:
    $2ml\sin \theta _{1}v_{1}=2ml\sin \theta _{2}v_{2}\$
    $v_{2}=v_{1}{\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=6.4\ {\rm {m/s}}\$
c)
L'Energia meccanica iniziale vale:
    $E_{o}=mv_{1}^{2}+2mgl(1-\cos \theta _{1})\$
mentre quella finale vale:
    $E_{f}=mv_{2}^{2}+2mgl(1-\cos \theta _{2})\$
La differenza:
    $E_{f}-E_{o}=m[v_{2}^{2}-v_{1}^{2}+2gl(\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})]=1030\ {\rm {J}}\$
è positiva e rappresenta l'energia acquistata dal sistema a spese delle forze interne.