# Introduzione ai sistemi riceventi in correlazione

- La scoperta dei segnali mascherati dai disturbi.-
I processi di correlazione tra segnali, trattati a livello tecnico matematico nelle lezioni seguenti, assumono in questa esposizione una veste più semplice ed intuitiva mediante immagini e procedure di calcolo.
Queste righe trattano delle caratteristiche dei segnali e dei rumori nell'ambiente marino, del funzionamento del rivelatore d'energia che sarà preso come paragone per la successiva esposizione del funzionamento del correlatore, di quest'ultimo si evidenzieranno le caratteristiche salienti sia in termini di discriminazione dei segnali coperti dal rumore, sia dell'effetto che il disturbo provoca sulla capacità di rivelazione.
Ricordando che i processi di correlazione possono essere implementati sia con routine software sia con insiemi di componenti elettronici sparsi, si tratti di singoli correlatori o di correlatori multipli, vediamo di sviluppare questo lavoro secondo la seconda strada per un più semplice comprensione delle problematiche relative a questi importanti mezzi di scoperta dei segnali idrofonici.

## Come si presentano i segnali idrofonici ed i segnali d'uscita dei correlatori.

I segnali idrofonici dei quali trattiamo sono sempre generati dai gruppi pari di sensori idrofonici ( 2; 4; 6; 8; ecc.. ) quali ad esempio quelli del sonar IP70 dei quali un esemplare è mostrato in figura 1:
Le tensioni d'uscita di una coppia d'idrofoni nel caso in cui questi siano colpiti dal solo rumore del mare è mostrata su oscilloscopio, per uno dei due, in figura 2
Questo tipo di tensione avrebbe lo stesso aspetto se assieme al rumore del mare fosse presente anche un flebile rumore generato da una nave.
Se nell'ambiente marino è presente il rumore generato da una nave a livello sensibilmente elevato, rispetto al rumore del mare, i segnali d'uscita della coppia d'idrofoni mostreranno l'insieme del rumore del mare nel quale emerge il rumore del bersaglio così come mostra, per uno dei due idrofoni, la figura 3 :
Se la situazione ambientale porta alla condizione di figura 3 nessun processo di correlazione è necessario dato che la presenza del segnale, essendo il suo livello elevato, è manifestamente evidenziata rispetto al rumore ambiente.
L'implementazione dei processi di correlazione, per evidenziare piccoli segnali mascherati dal rumore del mare è d'obbligo quando, nonostante la presenza di un segnale, all'uscita dei sensori idrofonici si osserva ancora l'immagine mostrata in figura 2; i questo caso non si può quindi affermare, quando l'immagine oscilloscopica è quella indicata, ne la presenza ne l'assenza di segnale, confondendosi quest'ultimo nell'insieme della tensione di rumore.
In tal caso per scoprire se il segnale è presente o assente si deve operare con un sistema di correlazione; l'utilizzo di tale mezzo nel caso di presenza di segnale è illustrato da fotografie rilevate su sistemi sperimentali:
La fotografia di figura 4 mostra l'uscita di un sistema di correlazione multiplo quando il rumore del mare è presente e il segnale è assente.
La fotografia di figura 5 mostra l'uscita menzionata quando il segnale è presente a livello di 1 e il rumore a livello 2.5.
Si deve osservare che nelle due fotografie le tracce luminose ondulanti non sono quelle all'uscita degli idrofoni illustrate in figura 2 ma prodotti spuri generati dai correlatori.
Con questi metodi si può scoprire, sotto particolari condizioni, segnali a livello di 1/10 rispetto al rumore ambiente anch'esso presente.
Dato che nel prosieguo della esposizione si farà cenno a segnali "coerenti" ed "incoerenti" la figura 5a che segue mostra graficamente la differenza tra i due:

## Il rivelatore d'energia per la scoperta del segnale in mezzo al disturbo

Prima di esaminare per via numerica i sistemi di correlazione è utile, per confronti successivi, analizzare il processo di rivelazione d'energia.
Alle origini delle tecniche per la scoperta dei bersagli in mezzo al rumore del mare il dispositivo che andava per la maggiore era il rivelatore d'energia; con questo circuito si confrontava il suo livello d'uscita in presenza del solo rumore del mare, e di seguito, con la presenza di rumore più il segnale.
Il rivelatore di energia è costituito da due sezioni;
* I^ "sezione: sommatore"
* II^ "sezione: rivelatore".
Lo schema elettrico della seconda sezione è riportato in figura 6:
L'uscita del rivelatore è una tensione continua, $Vurcc$ , di ampiezza proporzionale al segnale alternato d'ingresso, la $Vurcc$ presenta un'ondulazione perturbante detta varianza la cui ampiezza dipende dal valore del prodotto $(R5\cdot C2)$ espresso in secondi ( costante di tempo d'integrazione ).
Se il valore di $(R5\cdot C2)$ cresce la varianza diminuisce ma il rivelatore ha una riduzione della velocità di risposta ; un giusto compromesso và scelto in base delle necessità operative.
Dato che ad ogni sistema di scoperta sono previste sempre coppie di idrofoni le tensioni d'uscita di questi, per essere applicate alla II^ sezione, dovranno essere sommate tra loro; la somma è eseguita nella I^ sezione secondo lo schema elettrico riportato in figura 7:
Per comprendere il comportamento del circuito facciamo un semplice esempio numerico:
Supponiamo che i due idrofoni di figura 7 captino soltanto i rumori del mare $(N1;N2)$ e che la loro uscita, in termini di tensione sia :
    $N1=10\ mVeff.$ per un idrofono ed $N2=10\ mVeff$. per l'altro.
Le due tensioni non saranno tra loro coerenti perché generate da rumori del mare incidenti su idrofoni disposti volutamente a distanza calibrata tra loro.
Le due tensioni incoerenti, inviate al sommatore, si addizioneranno secondo le loro potenze e il risultato dell'operazione sarà:
    $SommaN={\sqrt {(N1^{2}+N2^{2})}}$ = ${\sqrt {(10^{2}+10^{2})}}$ = $14,1mVeff.$
Se fissiamo ora per il rivelatore un guadagno $G=Vurcc/Veff.$ = $710\quad$ la $\quad SommaN$, applicata ad esso, produrrà all'uscita una tensione continua $Vurcc=710\cdot 14.1mVeff\quad$ = $10Vcc.\$
Supponiamo ora che assieme al rumore incoerente che colpisce gli idrofoni siano presenti due segnali di ampiezza metà rispetto al rumore per un rapporto segnale disturbo pari a $(S/N)=0.5$ ;
    $S1=5\ mVeff$. ed $S2=5\ mVeff$ che provenendo dalla stessa sorgente siano coerenti e come tali si sommino secondo le loro ampiezze:
    $SommaS=S1+S2$ = $5+5=10\ mVeff.$
    $SommaS$ non è però coerente con $SommaN$ pertanto si addizionerà a quest'ultima secondo le potenze quindi la tensione totale d'uscita del sommatore sarà:
    $SommaT={\sqrt {(SommaS^{2}+SommaN^{2})}}$ = ${\sqrt {(10^{2}+14.1^{2})}}$ = $17.28\ mVeff$ e di conseguenza $Vurcc$ sarà :
    $Vurcc=710\cdot 17.28\ mVeff.$ = $12.27\ Vcc$ con un incremento, rispetto alla presenza
di solo rumore, di $12.27\ Vcc.-\ 10\ Vcc.=2.27\ Vcc$
Questo incremento, apprezzabile, denuncia la presenza del segnale quando questo è, come nell'esempio, pari alla metà del rumore.
Se il segnale invece di essere la metà del rumore ne è, ad esempio, $1/5$ pari ad un rapporto tra segnale e disturbo $(S/N)=0.2$ avremo una diversa situazione come mostrano le seguenti operazioni:
    $S1=2\ mVeff.;S2=2\ mVeff.$ quindi $SommaS=4\ mVeff.$
perciò :$SommaT={\sqrt {(SommaS^{2}+SommaN^{2})}}$ = ${\sqrt {(4^{2}+14.1^{2})}}$ = $14.6\ mVeff$
per conseguenza $Vurcc$ sarà: $Vurcc=710\cdot SommaT$ = $710\cdot 14.6\ mVeff.=10.36\ Vcc$ con un incremento di $10.36\ Vcc.-10\ Vcc.=0.36\ Vcc.$
L'entità di questo modesto incremento,$0.36\ Vcc$ su $10\ Vcc$ è difficilmente misurabile in presenza delle ondulazioni dovute alla varianza e non consente facilmente la scoperta del segnale $S.$
Se esaminiamo i due incrementi come percentuali del livello della tensione di rumore $Vuecc=10\ Vcc$ abbiamo:
per $S/N=0.5$ la percentuale è $(2.27\ Vurcc\cdot 100)/10\ Vurcc=22$%
per $S/N=0.2$ la percetuale è $(0.36\ Vurcc\cdot 100)/10\ Vurcc=3.6$%
Queste percentuali, indipendenti dal guadagno $G$ del rivelatore d'energia, saranno utili per il confronto tra rivelazione d'energia e correlazione.
La curva di figura 8 mostra l'andamento dell'incremento in funzione del rapporto tra segnale e disturbo con riferimento ad un generico livello del rumore, all'uscita del sommatore di figura 7, fissato a $1\ mVeff.$, ciascun rumore prima della somma vale $0.7\ mVeff.$:
la funzione che genera il grafico è:
    $\Delta Vurcc={\sqrt {(2\cdot (S/N)^{2}+1)}}$
+==Le tecniche di correlazione per la rivelazione dei segnali mascherati dal disturbo ==
Un sistema di correlazione, a differenza del rivelatore d'energia, se il gruppo idrofonico è costituito da 2 soli elementi non impiega alcun sommatore: le tensioni degli idrofoni sono applicate direttamente al sistema così come mostra figura 9:
Dal punto di vista relativo al livello d'uscita del correlatore rispetto al rivelatore d'energia il primo, quando le tensioni idrofoniche sono incoerenti, presenta tensione continua a livello 0 più una componente perturbante detta varianza; è per questa caratteristica che la capacità di discriminazione del segnale da parte del correlatore è superiore, come vedremo, a quella del rivelatore di energia.
Il correlatore invece della somma delle tensioni idrofoniche eseguita per il rivelatore ne esegue il prodotto secondo l'espressione:
    $Vu=(N1+S1)\cdot (N2+S1)$
L'operazione di moltiplicazione sopra indicata non è agevole da svilupparsi per via analogica data la difficoltà di messa a punto dei circuiti elettronici necessari; se invece di moltiplicare i segnali in ampiezza e segno si esegue l'operazione utilizzando soltantanto i segni si ottengono ottimi risultati con circuitazione semplice; il correlatore che funziona su tale principio è denominato correlatore a coincidenza di polarità o correlatore digitale.
Per trasformare i segnali idrofonici da analogici ( ampiezze e segni ) in segnali a due stati ( solo i segni ) si limitano in ampiezza le tensioni idrofoniche da applicare al correlatore così come mostra la figura 10:.
La figura mostra il segnale analogico in rosso, i suoi passaggi per gli zeri in blu e la conseguente forma del segnale limitato in ampiezza, in nero, quest'ultima cambia segno $(0)$ od $(1)$ ogni qualvolta la tensione analogica, ondulando, passa per il valore $0$.
Quando le tensioni idrofoniche sona trasformate in tensioni a due stati l'operazione di moltiplicazione tra esse è una semplice funzione logica di tipo nor esclusivo, il cui circuito e risposta logica sono mostrate in figura 11:
L'uscita $U$ del circuito esegue la funzione logica riportata nella tabellina mentre il gruppo $R1C1$, sommando nel tempo i successivi stati di $U$ ( processo d'integrazione ), rende una tensione continua $Vucc+varianza.$
La struttura di figura 11 è di fatto un correlatore in grado di rivelare un segnale coerente mascherato da rumori incoerenti.
Il livello di tensione continua ai capi di $C1$, per una tensione di alimentazione del circuito logico di $+10\ V$ , segue il seguente prospetto in dipendenza dello stato dei segnali applicati:
* Per segnali d'ingresso coerenti si ha $Vucc=+10\ V$
* Per segnali d'ingresso incoerenti si ha $Vucc=+5\ V$
* Il livello $Vucc=0\ V$ si riscontra in casi molto particolari di coerenza tra i segnali
Per rendere più perspicuo l'impiego del correlatore, ed avere livello $Vucc=0$ quando i segnali sono incoerenti, si trasla verso il basso la tensione ai capi di $C1$ , nel nostro caso di $5\ Vcc,$ tramite il circuito di figura 11a derivato dal circuito di figura 11:
Con il circuito di figura 11a il prospetto precedente diventa:
* Per segnali d'ingresso coerenti si ha $Vucc=+5\ V$
* Per segnali d'ingresso incoerenti si ha $Vucc=0\ V$
* Il livello $Vucc=-5\ V$ si riscontra in casi molto particolari di coerenza tra i segnali.

## Osservazioni numeriche sul correlatore digitale

Una dimostrazione numerica semplice del funzionamento del correlatore in dipendenza del rapporto tra segnale e disturbo $(S/N)$ , simile a quella del rivelatore d'energia non è possibile, è invece tracciabile una curva del tipo riportato in figura 12 ottenuta applicando la formula, valida per piccoli rapporti $S/N$:
    $Vucc={\frac {10}{3.14}}Arcsen{\begin{Bmatrix}{\frac {1}{[1+({\frac {Ni}{Si}})^{2}]}}\end{Bmatrix}}$
L'espressione, calibrata per il circuito di figura 11a ( CMOS alimentato a $10\ V$ ), consente il calcolo dell'ampiezza della $Vucc$ all'uscita del correlatore del circuito citato in dipendenza del rapporto Segnale/Disturbo $(S/N)$
Nella formula il valore massimo raggiungibile nell'ipotesi che il rumore $N$ sia nullo è $Vucc=+5\ V$ , quando invece il segnale è uguale al rumore $S/N=1$ è $Vucc=+1.65\ V$.
Per segnale $S$ assente: $S=0$ ; è $Vucc=0+\ varianza$ come mostra figura 12:
La curva è tracciata tra $S/N=0$ ( assenza di segnale ) e $S/N=1$ ( segnale e rumore sono di uguale ampiezza ).
In corrispondenza di questi due rapporti di $S/N$ la $Vucc$ del correlatore varia da : $Vucc=0$ a $Vucc=1.65$.
Si osservi che, per semplicità espositiva, ne la formula ne il grafico mostrano la varianza che invece è d'importanza rilevante per questi sistemi; l'ampiezza della varianza dipende dal prodotto $R1\cdot C1$ di figura 11a; se tale valore cresce la varianza diminuisce ma il correlatore ha una riduzione della velocità di risposta ; anche per il correlatore come per il rivelatore d'energia un giusto compromesso và scelto in base delle necessità operative; della varianza tratteremo in dettaglio di seguito.
Il calcolo delle percentuali d'incremento della tensione in uscita del rivelatore d'energia ha avuto come riferimento la tensione continua dovuta al solo rumore del mare; nel caso del correlatore il riferimento dovrebbe essere fatto su $Vucc=0$ più la varianza.
Per avere un'idea della percentuale d'incremento della $Vcc$ in uscita dal correlatore in dipendenza del rapporto $S/N$ dei segnali d'ingresso, non potendola calcolare rispetto al livello $0$ , possiamo supporre che il circuito di figura 11a (CMOS alimentato a $10\ Vcc$) abbia un fuori zero di $+0.1\ Vcc$ ; in tal caso per $S/N=0$ la $Vucc$ d'uscita sarà $+0.1\ Vcc$; se ora assumiamo il rapporto $S/N=0.2$, già utilizzato nell'esempio del rivelatore di energia, la tensione d'uscita del correlatore, in base alla curva di figura 12, è $+0.12\ Vucc$. con un livello di tensione totale $Vucc$ all'uscita del correlatore di:
    $Vucc=Vucc(fuorizero)+Vucc$ = $+0.1\ Vcc+0.12\ Vcc=+0.22\ Vcc$ con incremento di $+0.12Vcc$ su $+0.1\ Vcc$ pari ad una percentuale del $(0.12\cdot 100)/0.1=120$ %.
Il confronto tra le caratteristiche del rivelatore d'energia e il correlatore, in questo esempio atipico, mostra: per $S/N=0.2$ il primo ha un incremento della tensione d'uscita del $4$% il secondo del $120$% naturalmente, ignorando volutamente la varianza che, come mostreremo di seguito, ha un notevole incidenza sulla capacità di discriminazione del correlatore.

## La varianza nei correlatori digitali

L'effetto della varianza sulla capacità di discriminazione di un correlatore digitale è di notevole importanza; un'idea del comportamento della sua tensione d'uscita è illustrato in figura 13 dove si mostra il confronto tra l'uscita del correlatore, in assenza di varianza ( caso ideale ) e lo stesso in presenza della varianza ( caso reale ) :
Il calcolo della varianza ( $Nu$ ), nei correlatori digitali, non dipende dal rapporto tra il segnale e il disturbo ma dal valore di $R1\cdot C1$ espresso in secondi (costante di tempo d'integrazione ) e dalla banda delle frequenze del rumore indicata con $(F2-F1)$così come mostra la formula seguente:
    $Nu={\frac {10}{3.14{\sqrt {{\frac {6}{7}}4RC(F2-F1)}}}}$
La formula è calibrata per circuito di figura 11 ( CMOS alimentato a 10V ).
L'andamento di $Nu$ in funzione del prodotto $R1\cdot C1$ espresso in secondi è riportato in figura 14 per una banda di frequenza che si estende tra $F1=1000\ Hz$ e $F2=3000\ Hz$
La curva ha in ascisse il valore di $R1\cdot C1$ espresso in secondi.
In ordinate il valore efficace di $Nu$ tra $Nu=0$ e $Nu=200\ mVeff$.
Per $R1\cdot C1=0.1\ Sec$ il livello della varianza è $Nu=121\ mVeff.$
Per $R1\cdot C1=1\ Sec$. il livello della varianza è $Nu=38.4\ mVeff$.
Per valutare ora l'effetto della varianza in un correlatore digitale prendiamo ad esempio il circuito di figura 11a che supponiamo ora con fuori zero nullo; se assumiamo $S/N=0.3$, in base alla curva di figura 12, il livello d'uscita del correlatore è di $0.26\ Vcc$ $(260\ mVcc).$
Se supponiamo ora che per necessità operative il prodotto $R1\cdot C1$ sia: $R1\cdot C1=0.5\ S$ e che la banda del segnale sia fissata a $2000\ Hz$ da figura 14 si ricava il valore della varianza :
    $Nu=53\ mVeff.$ con un valore $V(picco-picco)$ ( per il rumore può essere considerato pari a circa $4$ volte il valore eff.) abbiamo;
    $Nupp.=4\cdot 53\ mVeff.$ = $202\ mVpp$ ; come si vede i picchi della varianza sono inferiori al livello di uscita del correlatore che in questo caso consentirà di rivelare con certezza la presenza del bersaglio così come mostra la figura 15.
L'uscita del correlatore è di fatto una tensione ondulante la cui ampiezza varia entro la fascia della varianza intorno al livello di $260\ mVcc$ restando, nei valori minimi, sempre nettamente superiore allo zero.

## Computazioni, simulazioni e controlli su correlatori digitali

Concludiamo questa lezione con una serie di figure molto interessanti che mostrano, in un ampio intervallo del rapporto $S/N$, come varia la $Vucc$ al variare di $S/N$ e come la varianza la perturbi.
La figura 16 mostra l'andamento teorico della $Vucc$ all'uscita di un correlatore digitale al variare del rapporto $S/N$; il grafico, di colore rosso, segue di fatto, in forma estesa, l'andameto della curva di figura 12 computata in un più ampio intervallo della variabilità di $S/N.$
Questa curva teorica consente il controllo dell'andamento della $Vucc$ di un correlatore dopo la sua costruzione in laboratorio, i rilievi sperimentali che mirano a stabilire il corretto funzionamento del correlatore al variare del rapporto segnale/disturbo devono essere, ragionevolmente, coincidenti con la curva calcolata.
La curva di figura 16 è tracciata con:
* il rapporto $S/N$ in ascisse che varia da $0.06$ a $16$ con scala non lineare.
* la $Vucc$, nelle ordinate, varia da $0\ V$ a $+5\ V$ con scala lineare $(0.5\ V/div)$
* assenza di varianza perché l'espressione impiegata non la calcola.
La figura dell'andamento sperimentale di un correlatore digitale:
A scopo di studio è stata sviluppata una routine software in grado di simulare il funzionamento di un correlatore in laboratorio; si generano matematicamente:
* la funzione logica ed analogica di figura 11
* il segnale $S$
* il rumore $N$
* la costante di tempo $R1\cdot C1$
* il rapporto $S/N$
Il risultato, riportato in figura 17, è lo stesso che potrebbe essere ottenuto in laboratorio da un correlatore fisico con l'uscita $Vucc$ collegata ad un oscilloscopio:
La curva di figura 17, tracciata in blu, ha:
* il rapporto $S/N$ in ascisse che varia da $0.06$ a $16$ con scala non lineare.
* la $Vucc$, nelle ordinate varia da $0\ V$ a $+5\ V$ con scala lineare $(0.5\ V/div)$
* il profilo seghettato per effetto della varianza che perturba la $Vucc$
* l'ampiezza della perturbazione è dipendente dal valore simulato di $R1\cdot C1$ , in questo esempio
    $R1\cdot C1=1\ S.$
La figura del confronto tra curva teorica e curva sperimentale di un correlatore digitale:
Per chiudere questo argomento mostriamo in figura 18 la sovrapposizione delle due curve precedenti per vedere quanto la seconda ( sperimentale ) coincida mediamente con la prima ( teorica ); si noti come in questa figura la varianza sia riportata per punti indicanti l'escursione massima e non la seghettatura di figura 17 che maschererebbe il tracciato rosso.
In figura sono evidenziate con cifre rosse l'ascissa $S/N=0.3$ e l'ordinata $VUcc=0.26\ V$ utilizzate per l'esempio di paragrafo 5); per questo si può vedere che per $S/N=0.3$ la $Vucc$ e $Nupp$ rispondono alle computazioni fatte in detto paragrafo.
Nella figura 18 possiamo vedere come la curva teorica passi nella media dell'ampiezza della varianza confermando, in questo caso, che la simulazione software è aderente alla condizione reale voluta.
In figura sono evidenziate con cifre rosse l'ascissa $S/N=0.3$ è l'ordinata $VUcc=0.26\ V$ utilizzate. per l'esempio. nel paragrafo che tratta della varianza; per questo si può vedere che per $S/N=0.3$ la $Vucc$ e $Nupp$ rispondono alle computazioni fatte in detto paragrafo.