# Esercizi sull'Elettrostatica (superiori)

I seguenti esercizi riguardano la Carica elettrica studiata nella Lezione 1, i Campi elettrici studiato nella Lezione 2, il Potenziale elettrico studiato nella Lezione 4, i Conduttori studiati nella Lezione 5 e i Dielettrici studiati nella Lezione 6 di Elettromagnetismo.

## Esercizi
### 1. Forza elettrica e gravitazionale

Calcolare il rapporto tra l'attrazione elettrica $F_{e}\$ tra un protone ed un elettrone e l'attrazione gravitazionale $F_{g}\$.
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### 2. Quattro cariche eguali

Quattro cariche eguali $Q\$ sono poste su ognuno degli spigoli di un quadrato di lato $l\$ (piano $xy\$). Determinare il modulo del campo elettrico generato da una singola carica e dall'insieme delle cariche in un punto sull'asse del quadrato a distanza $l\$ (cioè sull'asse $z\$ nel punto $(0,0,l)\$ se l'origine è al centro del quadrato).
(dati del problema $Q=6\ \mu C$, $l=1\ m$)
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### 3. Tre cariche eguali

Tre cariche eguali $q\$ praticamente puntiformi sono poste nel vuoto ai vertici di un triangolo equilatero di lato $l\$. Quale carica $q_{o}\$ va posta nel centro del triangolo affinché la forza che agisce su ciascuna carica risulti nulla.?
(dati del problema $q=0.1\ \mu C$)
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### 4. Due sbarrette perpendicolari

Due sbarrette sottili di materiale isolante, lunghe $l\$, sono disposte perpendicolarmente tra di loro. Detta $d\$ la distanza del punto $P\$ dalla estremità delle due sbarrette. Su ciascuna sbarretta è distribuita uniformemente una carica $q\$. Determinare l'intensita' del campo elettrico in $P\$.
(dati del problema $l=1\ m$, $q=5\ nC$, $d=0.1\ m$)
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### 5. Dipoli differenza di potenziale

Un dipolo: due cariche $q\$ di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una distanza $d\$. Determinare la differenza di potenziale (rispetto all'infinito) esatta ed approssimata, in un punto a distanza $3d\$, la cui congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di $\theta \$ con la congiungente delle cariche stesse.
(dati del problema $q=5\ nC$, $d=3\ cm$, $\theta =20^{o}\$ )
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### 6. Un disco uniformemente carico

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di un disco di raggio $R\$ posto nel vuoto su cui è distribuita uniformemente una carica $Q\$.
(dati $Q=1\ \mu C$, $R=10\ cm$).
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### 7. Otto cariche eguali

Otto cariche eguali $Q\$ sono disposte sui vertici di un cubo di lato $a\$. Assunto un sistema di riferimento con origine al centro del cubo e con assi delle coordinate paralleli agli spigoli del cubo. Determinare il campo elettrico su uno qualsiasi degli assi delle coordinate a distanza $\alpha a\$ dall'origine, confrontando tale valore con il campo calcolato approssimativamente (ipotesi di una carica puntiforme equivalente al centro). Inoltre scrivere la formula esatta per $\alpha \$ generico.
(dati del problema: $a=1\ cm$, $Q=1\ nC$, $\alpha =3\$ )
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### 8. Quattro cariche di segno opposto

Sui vertici di un quadrato di lato $l\$ sono disposte delle cariche eguali in modulo $Q\$, ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta. Determinare il modulo della forza elettrica che agisce su ogni carica.
(dati del problema $Q=6\ mC$, $l=1\ m$)
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### 9. Un dipolo

Un dipolo: due cariche $q\$ di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una distanza $d\$. Determinare il rapporto tra l'intensità esatta ed approssimata del campo elettrico ad una distanza $2d\$ dal loro centro, in un punto la cui congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di $\theta =45^{o}\$ con la congiungente delle cariche stesse.
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### 10. Una spira circolare carica

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di una spira circolare filiforme di raggio $R\$ posta nel vuoto in cui è distribuita uniformemente una carica $Q\$. Discutere i casi limite: $x\rightarrow 0\$ e $x\gg R\$
(dati $Q=1\ \mu C$, $R=10\ cm$).
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### 11. Un semplice quadripolo

Sui vertici di un quadrato di lato $l\$ sono disposte delle cariche eguali in modulo $q\$, ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta.
Scrivere l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle $x\$, ed in particolare calcolarne il valore per $x=0,l,10l\$ .
(dati del problema $q=4\ \mu C\$, $l=10\ cm\$)
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### 12. Una sbarretta sottile isolante

Una sbarretta sottile di materiale isolante ha una lunghezza $l\$. Su di essa è distribuita uniformemente una carica $q\$. Assunto un riferimento cartesiano con asse $x\$ coincidente con la direzione della sbarretta e origine nel suo centro. Trovare per quali $d\$ sono di pari intensità i campi elettrici in (d,0) e (0,d) a meno dell'1\%. (dati del problema $l=1\ m$, $q=5\ nC$)
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### 13. Tre particelle cariche

Tre particelle cariche sono poste come in figura, separate da una distanza $d\$. Le cariche $q_{1}\$ e $q_{2}\$ sono tenute ferme, da forze non elettriche, mentre la carica $q_{3}\$ soggetta alla sola forza elettrica è in equilibrio. Si determini il valore di $q_{1}\$ e la forza elettrica che agisce sulla carica $1\$.
(dati del problema $q_{2}=1\ nC$, $q_{3}=2\ nC$, $d=1\ cm$)
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### 14. Anello carico

Su un anello di raggio $R\$ è distribuita uniformemente la carica $q\$. Una particella di carica $-q\$ viene posta con velocità nulla a distanza $R\$ dal centro. Determinare la velocità della particella quando passa per l'origine (immaginando che la particella sia vincolata a muoversi sull'asse normale al piano passante per il centro dell'anello).
(dati del problema $q=10^{-6}\ C$, $R=10\ cm$, $m=1\ g$ )
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### 15. Due dipoli

Due dipoli elettrici di piccole dimensioni sono eguali e posti sullo stesso asse a distanza $z\$. a) Determinare la forza con cui attraggono. b) Se invece l'asse del primo (a sinistra rimane lo stesso) ed il secondo viene ruotato di 90o e sono sempre posti alla stessa distanza quale è il momento della forza che il primo esercita sul secondo?
(dati del problema $|p|=10^{-10}\ Cm\$, $z=1\ cm\$)
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### 16. Piano con foro

Una particella dotata di carica $q\$ e massa $m\$ si trova in prossimità di un piano orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme $\sigma \$ in cui è praticato un foro circolare di raggio $R\$ e centro $C\$.
1) Si calcoli l'altezza $h_{o}\$ rispetto a $C\$ del punto lungo l'asse del foro in cui la particella è in equilibrio.
2) Se la particella è inizialmente ferma lungo l'asse ad un'altezza $h_{o}/2\$ rispetto a $C\$, osservando che la particella attraversa il centro del foro, quale sarà la sua velocità?
(Dati del problema: $q=1\ nC$, $m=1\ mg$, $\sigma =1\ \mu C/m^{2}$, $R=1\ m$. Si intende che agiscono sulla particella sia le forze elettrostatiche che la forza peso)
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### 17. Due sbarre allineate

Due sbarrette sottili di lunghezza $l\$ sono cariche uniformemente con una carica $-q\$ e $q\$ come mostrato in figura. Le sbarrette sono disposte secondo l'asse delle $x\$ con i loro centri distanti $a\$.
Determinare il campo generato nel centro del sistema (origine delle coordinate) e nel punto $10a\$ (sull'asse delle $x\$). (Nel secondo punto eventualmente si può approssimare il sistema con un dipolo equivalente).
(Dati del problema $l=5\ cm\$, $q=10\ nC\$, $a=20\ cm\$)
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### 18. Anello con distribuzione dipolare

Un anello che giace nel piano x,y ed ha raggio $R\$, ha una carica che varia lungo la circonferenza secondo la legge:
$\lambda =A\sin \theta \$
dove $\theta \$ è l'angolo con l'asse delle $x\$ per cui la carica è positiva per $y>0\$ e negativa per $y<0\$. Determinare 1) la carica totale di mezzo anello per $y>0\$; 2) l'espressione del campo elettrico nei punti lungo l'asse $z\$ ed in particolare per $z=R\$; 3) il dipolo elettrico equivalente del sistema .
(dati del problema $R=1\ cm\$, $A=10^{-9}\ C/m\$)
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### 19. Piano tagliato

Un piano infinito carico con una densità di carica uniforme $\sigma \$ ha uno stretto taglio di dimensioni $d\$. Determinare il campo generato sulla normale al taglio a grande distanza da $D\$ ($d\ll D\$).
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### 20. Goccia d'olio

Una goccia sferica di olio (liquido isolante) ha una carica distribuita uniformemente al suo interno di Q$_o$ e sulla sua superficie un campo elettrico pari a E$_o$. Determinare a) il raggio R$_o$ della sfera b) la differenza di potenziale tra la superficie della goccia ed il suo centro c) l'energia necessaria a creare tale distribuzione di carica e come cambia tale energia se la goccia di spezza in due frammenti identici sferici di pari densità (elettrica e di massa) separati ad una distanza molto maggiore delle loro dimensioni (praticamente all'infinito).
(dati del problema $Q_{o}=1\ nC$, $E_{o}=10^{6}\ V/m$)
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### 21. Tre cariche sui vertici di un quadrato

Su tre vertici di un quadrato di lato $a\$ sono fissate rispettivamente due cariche positive $q\$ ed una negativa $-2q\$ come mostrato in figura. Sul quarto spigolo $P_{1}\$ viene posta una carica $q_{1}\$, di massa $m_{1}\$ con velocità nulla. Determinare: a) l'accelerazione della carica $q_{1}\$ nel punto $P_{1}\$ e b) la velocità con cui arriva nel punto $P_{2}\$ (sulla continuazione della diagonale del quadrato).
(Dati del problema: $q=1\ nC\$, $a=1\ mm\$, $q_{1}=1\ pC\$, $m_{1}=10^{-10}\ kg\$)
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### 22. Due cariche sui vertici di un triangolo

Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con cateti di lunghezza $l\$. Sulla ipotenusa (asse orizzontale) ad un estremo è posta una carica puntiforme $Q_{1}\$, mentre all'estremità opposta è posta una carica $Q_{2}\$ di valore variabile pari a $Q_{2}=\alpha Q_{1}\$. Determinare sul vertice $P\$ opposto all'ipotenusa del triangolo: a) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente orizzontale; b) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente verticale; c) il valore di $\alpha \$ per cui è minimo il modulo del campo elettrico ed il suo valore.
(Dati del problema: $Q_{1}=1\ \mu C\$, $l=1\ m\$, $-1\leq \alpha \leq 1\$)
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### 23. Semisfera

Determinare il campo elettrico al centro di una semisfera di materiale isolante con pareti sottili e forma semisferica raggio $R\$ e carica $Q\$.
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### 24. Carica e dipolo

Una carica $q=100\ pC\$ è posta nell'origine delle coordinate e ad una distanza $d=1\ cm\$ vi è un dipolo elettrico, con momento $|p|=2\times 10^{-14}\ Cm\$, orientato parallelamente alle linee del campo generato dalla carica (così da essere attratto) . Assunto come asse delle $x\$ la congiungente la carica ed il dipolo; determinare a) la forza con cui si attraggono, nell'ipotesi che le dimensioni fisiche del dipolo siano trascurabili rispetto a $d=1\ cm\$; b) il campo elettrico generato nel punto $x=2d/3\$; c) la differenza di potenziale tra $x=0.2d\$ e $x=0.8d\$.
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## Soluzioni
### 1. Forza elettrica e gravitazionale

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L'attrazione gravitazionale tra un protone ed un elettrone può essere espressa come:
$F_{g}=G\ {\frac {m_{p\ }m_{e}}{r^{2}}}\$
Con $m_{p}\$ abbiamo indicato la massa del protone,
$m_{p}=1.672623\cdot 10^{-27}\ kg$
$G=6.7\cdot 10^{-11}\ Nm^{2}/kg^{2}$
mentre con $m_{e}\$ indichiamo la massa dell'elettrone,
$m_{e}=9.109389\cdot 10^{-31}\ kg\$
L'attrazione elettrostatica, sempre tra un protone ed un elettrone, vale:
$F_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}\$
Con $e\$ abbiamo indicato sia la carica del protone che la carica dell'elettrone,
$e=1.60217733\cdot 10^{-19}\ C$
Dato che le due forze dipendono nello stesso modo dalla distanza, il loro rapporto ne è indipendente, a qualsiasi distanza, quindi:
$R={\frac {F_{e}}{F_{g}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\ {\frac {e^{2}}{G\ m_{p}m_{e}}}={\frac {9\cdot 10^{9}\cdot \left(1.6\cdot 10^{-19}\right)^{2}}{6.7\cdot 10^{-11}\cdot \left(1.67\cdot 10^{-27}\right)\cdot \left(9.1\cdot 10^{-31}\right)}}\approx 2\cdot 10^{39}$

### 2. Quattro cariche eguali

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La distanza di ogni carica dal punto dato vale:
$r={\sqrt {l^{2}/2+l^{2}}}=l{\sqrt {3/2}}$
Ognuna delle cariche genera un campo in modulo pari a:
$|E|={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}={\frac {Q}{6\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}=3.6\cdot 10^{4}\ V/m$
La componente di tale campo nella direzione del piano del quadrato si annulla con quella dello spigolo opposto. Per cui solo la componente lungo l'asse del quadrato non è nulla ed eguale per tutti gli spigoli:
$E_{a}=|E|{\frac {l}{r}}={\frac {Q}{6\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}{\frac {l}{r}}={\frac {Q}{6\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\$
Quindi sommando i 4 contributi:
$|E_{t}|={\frac {4Q}{6\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}=1.17\cdot 10^{5}\ V/m$

### 3. Tre cariche eguali

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Al centro di ogni poligono regolare il campo elettrico è nullo per ragioni semplici di geometria. Quindi ci interessa solo la forza che agisce sugli spigoli del triangolo.
Se definiamo $1\$ e $2\$ le cariche in basso e $3\$ quella in alto disponendole come in figura. Detto $l\$ il lato del triangolo:
$|F_{13}|=|F_{23}|={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q^{2}}{l^{2}}}\$
Le componenti delle due forze nella direzione $x\$ si annullano a vicenda per cui rimane solo la componente lungo $y\$ se definisco $\theta \$ l'angolo formato dalla verticale con i lati obliqui del triangolo. Tale angolo vale $30^{o}\$. Quindi la componente lungo l'asse $y\$ di tali forze valgono:
    $F_{13y}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q^{2}}{l^{2}}}\cos \theta \$
Quindi la forza totale vale:
    $F_{ty}=2{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q^{2}}{l^{2}}}\cos \theta ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q^{2}}{l^{2}}}{\sqrt {3}}\$
avendo sostituito a $\cos 30^{o}\$ il suo valore ${\sqrt {3}}/2\$.
La distanza dai vertici della carica al centro è l'ipotenusa (r) di un triangolo rettangolo con cateto $l/2\$ e angolo tra ipotenusa e cateto di $30^{o}\$. Quindi:
    $r\cos 30^{o}={\frac {l}{2}}\qquad \rightarrow r=l/{\sqrt {3}}\$
Quindi la forza dovuta alla carica al centro:
    $F_{0y}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{o}q}{r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{o}q}{(l/{\sqrt {3}})^{2}}}\$
Affinché la forza totale sia nulla:
${\frac {qq_{o}}{4\pi \epsilon _{o}(l/{\sqrt {3}})^{2}}}+{\frac {q^{2}{\sqrt {3}}}{4\pi \epsilon _{o}l^{2}}}=0\$
quindi:
$q_{o}=-q{\frac {\sqrt {3}}{3}}=-58\ nC$

### 4. Due sbarrette perpendicolari

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Detto:
$\lambda ={\frac {q}{l}}\$
Il campo generato dalla prima barretta vale:
$E_{x}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{d}^{d+l}{\frac {\lambda dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{l}}\left[{\frac {1}{d}}-{\frac {1}{d+l}}\right]=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}d(d+l)}}\$
Per simmetria quello generato dall'altra sbarretta vale:
$E_{y}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}d(d+l)}}\$
Quindi l'intensità del campo vale: $|E|={\frac {q{\sqrt {2}}}{4\pi \varepsilon _{o}d(d+l)}}=578\ V/m$

### 5. Dipoli differenza di potenziale

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Assunta origine sul centro del dipolo e asse delle $x\$ coincidente con l'asse del dipolo. Le coordinate del punto valgono:
$x_{1}=3d\cos \theta =0.085\ m$
$y_{1}=3d\sin \theta =0.031\ m$
Quindi il punto dista dalla carica positiva:
$d_{1}={\sqrt {(x_{1}-d/2)^{2}+y_{1}^{2}}}=0.076\ m$
e da quella negativa:
$d_{2}={\sqrt {(x_{1}+d/2)^{2}+y_{1}^{2}}}=0.104\ m$
Il potenziale esatto vale:
$V_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}q\left({\frac {1}{d_{1}}}-{\frac {1}{d_{2}}}\right)=160\ V$
Mentre quello approssimato vale:
$V_{a}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {qd3d\cos \theta }{(3d)^{3}}}=156\ V$

### 6. Un disco uniformemente carico

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La densità di carica superficiale vale:
    $\sigma ={\frac {Q}{\pi R^{2}}}\$
Seguendo la falsariga dell'esercizio sulla spira carica in cui una spira di raggio $r\$ e con carica $Q\$ distribuita uniformemente sull'anello $\lambda =Q/2\pi r\$, generava un campo su un punto generico dell'asse:
    $E_{x}={\frac {\lambda R}{2\varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}}$
Se consideriamo i differenziali equivalenti: $dE_{x}\$ invece di $E_{x}\$ e $dQ=\sigma 2\pi rdr=(Q2rdr)/(R^{2})\$ invece di $Q\$. Si ha che:
    $dE_{x}={\frac {Q2rdr}{4\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}}\$
Quindi:
    $E_{x}={\frac {Qx}{4\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{R}{\frac {2rdr}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}}={\frac {Qx}{4\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {-2}{(r^{2}+x^{2})^{1/2}}}\right]_{0}^{R}={\frac {Q}{2\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {x}{|x|}}-{\frac {x}{(R^{2}+x^{2})^{1/2}}}\right]\$
Se $x\ll R\$ il termine ${\frac {x}{(R^{2}+x^{2})^{1/2}}}\$ è trascurabile e quindi:
    $E_{x}\approx {\frac {2Q}{4\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\$
Mentre se $x\gg R\$ si può approssimare $E_{x}\$ facendo lo sviluppo di Taylor del termine all'interno delle parentesi quadre con:
    $\left[1-{\frac {x}{(R^{2}+x^{2})^{1/2}}}\right]\approx {\frac {R^{2}}{2x^{2}}}\$
quindi quando $x\gg R$ si ha che lungo l'asse il campo vale:
    $E_{x}={\frac {Q}{4\pi x^{2}\varepsilon _{o}}}$
come quello di una carica puntiforme posta sull'asse.

### 7. Otto cariche eguali

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La distanza tra il punto e le 4 cariche vicine del cubo vale:
$d_{1}={\sqrt {(a\alpha -a/2)^{2}+a^{2}/2}}=0.0255\ m$
L'unica componente del campo che non si compensa tra spigolo opposti è quella lungo l'asse delle $x\$ quindi essendo il coseno dell'angolo formato con l'asse delle $x\$:
$\cos \theta _{1}={\frac {\alpha a-a/2}{\sqrt {(a\alpha -a/2)^{2}+a^{2}/2}}}=0.962$
Analogamente per le cariche lontane:
$d_{2}={\sqrt {(a\alpha +a/2)^{2}+a^{2}/2}}=0.035\ m$
$\cos \theta _{2}={\frac {\alpha a+a/2}{\sqrt {(a\alpha +a/2)^{2}+a^{2}/2}}}=0.98$
Quindi il valore del campo esatto, nella sola direzione $x\$, vale: $E_{e}={\frac {q}{\pi \varepsilon _{o}}}\left({\frac {\cos \theta _{1}}{d_{1}^{2}}}+{\frac {\cos \theta _{2}}{d_{2}^{2}}}\right)=7.89\cdot 10^{4}\ V/m$
Mentre quello approssimato vale:
$E_{a}={\frac {2q}{\pi \varepsilon _{o}(\alpha a)^{2}}}=8\cdot 10^{4}\ V/m$
La formula generale vale: $E_{e}={\frac {q}{\pi \varepsilon _{o}a^{2}}}\left\{{\frac {\alpha -1/2}{[(\alpha -1/2)^{2}+1/4]^{3/2}}}+{\frac {\alpha +1/2}{[(\alpha +1/2)^{2}+1/4]^{3/2}}}\right\}$
che per $\alpha \$ grande diventa:
$E_{e}\approx {\frac {2q}{\pi \varepsilon _{o}(\alpha a)^{2}}}$

### 8. Quattro cariche di segno opposto

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Le due cariche vicine, generano due forze attrattive di intensità:
    $|F_{1}|={\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}=3.27\ 10^{5}\ N$
Quindi in totale, essendo a $90^{o}\$ una forza attrattiva lungo la diagonale pari a:
    $|F_{a}|={\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}{\sqrt {2}}=4.57\ 10^{5}\ N$
La carica più lontana, genera una forza repulsiva lungo la diagonale pari a:
    $|F_{r}|={\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}2}}=1.62\ 10^{5}\ N$
Quindi in totale la forza è attrattiva e vale:
    $|F_{t}|=|F_{a}|-|F_{r}|=2.96\ 10^{5}\ N$

### 9. Un dipolo

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Assunto come origine il centro delle due cariche e la loro congiungente come asse delle $x\$, mentre la perpendicolare sul piano è l'asse delle $y\$: $-q\$ è in $(-d/2,0,0)\$, $+q\$ è in $(d/2,0,0)\$, mentre il punto è in (${\sqrt {2}}d,{\sqrt {2}}d,0\$). Quindi la distanza dalla carica negativa vale:
    $|r_{-}|={\sqrt {2d^{2}+(d{\sqrt {2}}+d/2)^{2}}}=d{\sqrt {2+2+1/4+{\sqrt {2}}}}=2.4d\$
Mentre da quella positiva:
    $|r_{+}|={\sqrt {2d^{2}+(d{\sqrt {2}}-d/2)^{2}}}=d{\sqrt {2+2+1/4-{\sqrt {2}}}}=1.7d\$
Il campo esatto per le componenti x vale:
    $E_{x+}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {d{\sqrt {2}}-d/2}{(1.7d)^{3}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.19\$
    $E_{x-}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {d{\sqrt {2}}+d/2}{(2.4d)^{3}}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.14\$
    $E_{x}=E_{x+}+E_{x-}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.049\$
Il campo approssimato per le componenti y vale:
    $E_{y+}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {d{\sqrt {2}}}{(1.7d)^{3}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.29\$
    $E_{y-}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {d{\sqrt {2}}}{(2.4d)^{3}}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.1\$
    $E_{y}=E_{y+}+E_{y-}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.191\$
$|E_{e}|={\sqrt {E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}}=0.19753{\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}$
Mentre quello approssimato:
    $p=(qd,0,0)\$
    $r=({\sqrt {2}}d,{\sqrt {2}}d,0)\$
Quindi:
    ${\vec {p}}\cdot {\vec {r}}={\sqrt {2}}qd^{2}\$
Essendo:
    ${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}r^{5}}}\left[3({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}){\vec {r}}-r^{2}{\vec {p}}\right]\$
    $E_{x}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}2^{5}d^{5}}}\left[3{\sqrt {2}}qd^{2}{\sqrt {2}}d-4d^{2}qd\right]={\frac {q}{4\pi \epsilon _{o}d^{2}}}0.0625\$
    $E_{y}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}d^{5}}}\left[3{\sqrt {2}}qd^{2}{\sqrt {2}}d\right]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.187\$
per cui:
    $|E_{a}|={\sqrt {E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}}=0.19764{\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}\$
Quindi il rapporto vale:
    ${\frac {|E_{e}|}{|E_{a}|}}=0.9994\$
Quindi le componenti esatte sono diverse da quelle approssimate, ma il modulo del campo elettrico è molto simile.

### 10. Una spira circolare carica

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La densità di carica vale:
    $\lambda ={\frac {Q}{2\pi R}}\$
Assunta come origine il centro della spira e asse delle $x\$ l'asse della spira. Il campo elettrico generato dal generico elemento ${\vec {dl}}\$ di circonferenza vale in modulo:
    $|dE|={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {\lambda dl}{r^{2}}}\$
Dove:
    $r^{2}=R^{2}+x^{2}\$
Interessa calcolare solo la componente $dE_{x}\$ di ${\vec {dE}}\$. Infatti per ogni elemento ${\vec {dl}}\$ esiste un altro elemento, diametralmente opposto, che genera una componente normale all'asse $x\$ uguale ed opposta a quella generata dall'elemento considerato.
    $dE_{x}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {\lambda dl}{r^{2}}}\cos \vartheta \$
Detto $\vartheta \$ l'angolo formato dalla congiungente l'elementino $dl\$ con il punto sull'asse e l'asse delle $x\$. Integrando su $dl\$ lungo tutta la circonferenza, e considerando che, fissato $x\$, sia $R\$, che $\vartheta \$ sono costanti:
    $E_{x}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {\lambda }{r^{2}}}\cos \vartheta \int dl={\frac {2\pi R}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {\lambda }{r^{2}}}\cos \vartheta$
Geometricamente è facile mostrare che:
    $\cos \vartheta ={\frac {x}{\sqrt {R^{2}+x^{2}}}}\$
Quindi:
    $E_{x}={\frac {\lambda R}{2\varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+R^{2})^{3/2}}}\$
Essendo:
    $\lambda ={\frac {Q}{2\pi R}}\$
    $E_{x}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+R^{2})^{3/2}}}\$
Tale campo vale per $x=0\$:
    $E_{x}(x=0)=0\$
Inoltre:
    $E_{x}(x\gg R)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {1}{x^{2}}}$
Nella figura viene graficato il valore della funzione $E_{x}\$ e della espressione approssimata ottenuta ponendo all'origine una carica $Q\$

### 11. Un semplice quadripolo

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Solo la componente $y\$ del campo elettrico è diversa da 0, in particolare le due cariche più distanti (rispetto a un punto sull'asse delle $x\$ positivo) generano un campo:
    $E_{1y}=-{\frac {2ql/2}{4\pi \varepsilon _{o}\left[(x+l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}\$
mentre le più vicine:
    $E_{1y}=+{\frac {2ql/2}{4\pi \varepsilon _{o}\left[(x-l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}\$
Quindi in totale:
    $E_{y}={\frac {ql}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left\{{\frac {1}{\left[(x-l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}-{\frac {1}{\left[(x+l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}\right\}\$
Ovviamente tale funzione vale $0\$ per $x=0\$, mentre per gli altri due casi:
    $E_{y}(x=l)=9.3\ MV/m\$
    $E_{y}(x=10l)=1.08\ kV/m\$
A grande distanza si comporta come un quadripolo il cui campo diminuisce con la quarta potenza della distanza.

### 12. Una sbarretta sottile isolante

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a) Detto :
    $\lambda ={\frac {q}{l}}\$
Il campo generato dalla sbarretta nel punto (d,0), vale:
$E_{x}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{-l/2}^{l/2}{\frac {\lambda dx}{\left(d-x\right)^{2}}}={\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{o}}}\left[{\frac {1}{d-l/2}}-{\frac {1}{d+l/2}}\right]={\frac {\lambda l}{4\pi \varepsilon _{o}(d^{2}-l^{2}/4)}}$
Nel punto (0,d) per ragioni di simmetria il campo può essere solo diretto secondo l'asse delle y, per cui:
$E_{y}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{-l/2}^{l/2}{\frac {\lambda dx}{\left(x^{2}+d^{2}\right)}}{\frac {d}{\sqrt {x^{2}+d^{2}}}}={\frac {\lambda d}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left[{\frac {x}{d^{2}{\sqrt {x^{2}+d^{2}}}}}\right]_{-l/2}^{l/2}={\frac {\lambda l}{4\pi \varepsilon _{o}d{\sqrt {l^{2}/4+d^{2}}}}}$
Notare come a parità di distanza sempre nel punto (0,d) il campo sia inferiore al valore in (d,0).
A grande distanza i due valori coincidono e tendono a:
${\frac {\lambda l}{4\pi \varepsilon _{o}d^{2}}}\$
Quindi imponendo che:
${\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}(d^{2}-l^{2}/4)}}=1.01{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}d{\sqrt {l^{2}/4+d^{2}}}}}\$
${\frac {1}{d^{2}-l^{2}/4}}={\frac {1.01}{d{\sqrt {l^{2}/4+d^{2}}}}}\$
Segue che la condizione viene realizzata se:
$d\geq 6.14\ m$

### 13. Tre particelle cariche

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Il problema è unidimensionale per cui si omette il segno di vettore. Perché la forza elettrica che agisce sulla carica $3\$ sia nulla occorre che:
    $F_{13}+F_{23}=0\$
Quindi essendo:
    $F_{13}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{1}q_{3}}{(2d)^{2}}}\$
    $F_{23}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{2}q_{3}}{(d)^{2}}}\$
Occorre che:
    ${\frac {q_{1}}{(2d)^{2}}}=-{\frac {q_{2}}{d^{2}}}\$
    $q_{1}=-4q_{2}=-4\ nC\$
La forza elettrica che agisce sulla carica $1\$ vale (diretta da sinistra a destra):
    $F_{31}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{1}q_{3}}{(2d)^{2}}}=0.18\ mN\$
Mentre quella dovuta alla carica $2\$ vale (diretta da sinistra a destra):
    $F_{21}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{d^{2}}}=0.36\ mN\$
In totale quindi:
    $F_{1}=F_{31}+F_{21}=0.54\ mN$

### 14. Anello carico

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La densità di carica vale:
$\lambda ={\frac {Q}{2\pi R}}\$
Assunta come origine il centro della spira ed asse delle $x\$ l'asse della spira. La d.d.p. tra un punto a distanza $x\$ dal centro della spira vale:
$V(x)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0}^{2\pi R}{\frac {\lambda dl}{\sqrt {R^{2}+x^{2}}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{\sqrt {R^{2}+x^{2}}}}\$
Quindi:
$V(0)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}R}}\$
$V(R)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}R{\sqrt {2}}}}\$
Quindi:
$E_{c}=-q\left[V(R)-V(0)\right]={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}R}}\left[1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]=0.026\ J$
$v={\sqrt {\frac {2E_{c}}{m}}}=7.2\ m/s\$

### 15. Due dipoli

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Scegliamo un sistema di coordinate sul centro del primo dipolo e con l'asse $z\$ diretto come l'asse del dipolo. Il campo sull'asse di un dipolo, a grande distanza dal centro, vale:
$E_{z}={\frac {p}{2\pi \varepsilon _{o}z^{3}}}\$
Quindi la derivata:
${\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=-{\frac {3p}{2\pi \varepsilon _{o}z^{4}}}\$
$F_{z}=-{\frac {3p^{2}}{2\pi \varepsilon _{o}z^{4}}}=0.054\ N$
Mentre se il secondo è ortogonale alla direzione immutata del primo.
Il primo genera il campo calcolato prima che quindi produce un momento sull'altro pari a:
$|M|={\frac {p^{2}}{2\pi \varepsilon _{o}z^{3}}}=1.8\cdot 10^{-4}\ Nm\$

### 16. Piano con foro

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Il campo generato dal piano lungo l'asse del foro si calcola usando il principio di sovrapposizione, infatti per quanto riguarda il piano, assunto come $z\$, l'asse verticale:
$E_{z}={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\$
Mentre, per quanto riguarda un disco di carica $-\sigma \$:
$E_{z}=-{\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\left[1-{\frac {z}{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}}\right]\$
Quindi in totale:
$E_{z}={\frac {\sigma z}{2\epsilon _{0}{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}}}\$
La condizione di equilibrio è:
$qE_{z}-mg=0\$
Da cui si ricava:
$h_{o}={\frac {R}{\sqrt {(q\sigma /2\epsilon _{0}mg)^{2}-1}}}\approx 17.6\ cm$
la differenza di potenziale tra $0\$ e $h_{o}/2\$ vale:
$V(h_{0}/2)-V(0)=-\int _{0}^{h_{0}/2}E(z)dz=-{\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\left[{\sqrt {z^{2}+R^{2}}}\right]_{0}^{h_{0}/2}={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\left(R-{\sqrt {(h_{0}/2)^{2}+R^{2}}}\right)\$
Agendo solo forze conservative si ha:
${\frac {1}{2}}mv^{2}=q[V(h_{0}/2)-V(0)]+mg{\frac {h_{o}}{2}}\$
Quindi:
$v={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {q[V(h_{0}/2)-V(0)]+mgh_{o}/2}}=1.12\ m/s$

### 17. Due sbarre allineate

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Detto:
    $\lambda ={\frac {q}{l}}\$
Se chiamiamo $r\$ la distanza generica di un elemento infinitesimo delle sbarrette dall'origine. Il campo generato, da un tratto infinitesimo della prima barretta sull'asse delle $x\$ al centro vale: Quindi genera al centro in totale:
    $E_{x}(x=0)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}{\frac {dr}{r^{2}}}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[-{\frac {1}{r}}\right]_{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}=-{\frac {\lambda }{2\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{a-l}}-{\frac {1}{a+l}}\right]\$
Al centro l'altra sbarretta genera lo stesso campo in intensità e verso per cui:
    $E_{xt}(x=0)=-{\frac {\lambda }{\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{a-l}}-{\frac {1}{a+l}}\right]=-19\ kV/m\$
In un punto generico dell'asse delle x per $x>a/2+l/2\$: La prima sbarretta genera un campo:
    $E_{x}^{-}(x)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}{\frac {dr}{(x-r)^{2}}}\$
Facendo un cambiamento di variabile:
    $E_{x}^{-}(x)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{x+a/2+l/2}^{x+a/2-l/2}{\frac {dy}{y^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[-{\frac {1}{y}}\right]_{x+a/2+l/2}^{x+a/2-l/2}=\$
    $E_{x}^{-}(10a)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[{\frac {1}{10a+a/2+l/2}}-{\frac {1}{10a+a/2+l/2}}\right]=-19.18\ V/m\$
Analogamente per l'altra sbarretta:
    $E_{x}^{+}(x)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{a/2-l/2}^{a/2+l/2}{\frac {dr}{(x-r)^{2}}}\$
Facendo un cambiamento di variabile:
    $E_{x}^{+}(x)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{x-a/2+l/2}^{x-a/2-l/2}{\frac {dy}{y^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[{\frac {1}{y}}\right]_{x-a/2+l/2}^{x-a/2-l/2}=\$
    $E_{x}^{+}(10a)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[{\frac {1}{10a-a/2-l/2}}-{\frac {1}{10a-a/2+l/2}}-\right]=24.91\ V/m\$
In totale quindi:
    $E_{xt}(x=10a)=E_{x}^{-}(10a)+E_{x}^{+}(10a)=4.52\ V/m\$
Mentre il dipolo equivalente vale:
    $p=qa\$
Quindi il campo generato vale:
    $E_{x}\approx {\frac {qa}{2\pi \epsilon _{0}(10a)^{3}}}=4.49\ V/m\$
Praticamente eguale al valore approssimato.

### 18. Anello con distribuzione dipolare

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La carica per $y>0\$ è quella che si ha se $0\leq \theta \leq \pi \$:
$q^{+}=\int _{0}^{\pi }\lambda dl\$
Ma $dl=Rd\theta \$ e $\lambda =A\sin \theta \$ quindi:
$q^{+}=RA\int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta =RA\left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi }=2RA=20\ pC\$
Il campo elettrico in modulo generato da un elemento dl vale:
$|dE|={\frac {\lambda dl}{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})}}={\frac {AR\sin \theta d\theta }{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})}}\$
$dE_{z}=|dE|{\frac {z}{(R^{2}+z^{2})^{1/2}}}={\frac {ARz}{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\sin \theta d\theta \$
$E_{z}=\int _{0}^{2\pi }dE_{z}={\frac {ARz}{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\int _{0}^{2\pi }\sin \theta d\theta =0\$
$dE_{x}=|dE|{\frac {R}{(R^{2}+z^{2})^{1/2}}}\cos \theta d\theta \$
$E_{x}={\frac {AR^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\int _{0}^{2\pi }\sin \theta \cos \theta d\theta =0\$
$dE_{y}=-|dE|{\frac {R}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\sin \theta d\theta \$
$E_{y}=-{\frac {AR^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}\theta d\theta =-{\frac {AR^{2}}{4\varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\$
Quindi nel caso di $z=R\$:
$E_{y}=-{\frac {A}{4\varepsilon _{o}R2^{3/2}}}\approx 1000\ V/m\$
mentre per quanto riguarda il dipolo equivalente, basta prendere due tratti infinitesimi simmetrici opposti rispetto all'asse delle $x\$, che distano $2R\sin \theta \$ con una carica $dq=RA\sin \theta d\theta \$:
$dp_{y}=RA\sin \theta d\theta 2R\sin \theta =2R^{2}A\sin ^{2}\theta d\theta \$
Ed integrare su metà della circonferenza:
$p_{y}=2R^{2}A\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta d\theta =R^{2}A\pi =3.14\cdot 10^{-13}\ Cm\$
Avendo sostituita l'espressione dell'integrale:
$\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta d\theta ={\frac {\pi }{2}}\$
Si poteva ottenere lo stesso risultato calcolando $E_{y}\$ a grande distanza sull'asse.

### 19. Piano tagliato

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Il campo generato dal piano sulla verticale si calcola usando il principio di sovrapposizione: un piano infinito con densità $\sigma \$ ed una striscia carica con densità $-\sigma \$. Per quanto riguarda il piano, assunto come $z\$, l'asse verticale:
    $E_{z}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\$
Mentre, per quanto riguarda una striscia di larghezza $d\$ e densità di carica $-\sigma \$, è equivalente al campo generato da un insieme di fili a distanza ${\sqrt {x^{2}+D^{2}}}\$, per ciascuno dei quali:
    $|dE|={\frac {\sigma dx}{2\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {x^{2}+D^{2}}}}}\$
La componente lungo l'asse delle $z\$ di tale campo è l'unica che non si annulla per ragioni di simmetria quindi:
    $dE_{z}={\frac {\sigma Ddx}{2\pi \varepsilon _{o}(x^{2}+D^{2})}}\$
    $E_{z}={\frac {\sigma D}{2\pi \varepsilon _{o}}}\int _{-d/2}^{d/2}{\frac {dx}{x^{2}+D^{2}}}={\frac {2\sigma D}{2\pi \varepsilon _{o}D}}\arctan(d/2D)\$
Se $d\ll D\$ si ha che $\arctan(d/2D)\approx d/2D\$ e quindi:
    $E_{z}\approx {\frac {\sigma d}{\pi \varepsilon _{o}2D}}\$
Quindi in totale: $E_{z}\approx {\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}[1-d/(\pi D)]\$

### 20. Goccia d'olio

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Per il teorema di Gauss, il campo elettrico che attraversa una sfera di raggio $r$, avente lo stesso centro della goccia, è radiale e vale:
$E(r)={\frac {Q_{r}}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}$
con Q$_r$ pari alla carica contenuta all'interno della sfera.
a)
Quindi, sulla superficie della goccia, vale:
$E_{0}={\frac {Q_{o}}{4\pi \varepsilon _{o}R_{o}^{2}}}$
$R_{0}={\sqrt {\frac {Q_{o}}{4\pi \varepsilon _{o}E_{0}}}}=0.003\ m$
b)
Poiché la carica è distribuita uniformemente, la densità di carica è costante, pertanto
$\rho ={\frac {Q_{r}}{v_{r}}}={\frac {Q_{o}}{v_{o}}}$
per ogni r > 0, indicando con v$_r$ il volume della sfera di raggio r e con v$_o$ il volume della goccia d'olio.
$Q_{r}={\frac {Q_{o}v_{r}}{v_{o}}}={\frac {Q_{o}r^{3}}{R_{o}^{3}}}$
La differenza di potenziale vale:
$\Delta V=-\int _{0}^{R_{o}}E(r)dr=-\int _{0}^{R_{o}}{\frac {Q_{r}}{\varepsilon _{o}4\pi r^{2}}}dr=\int _{0}^{R_{o}}{\frac {Q_{o}r}{4\pi \varepsilon _{o}R_{o}^{3}}}dr=-{\frac {Q_{o}}{8\pi \varepsilon _{o}R_{o}}}=-1.5\ kV$
c)
Quindi la densità di carica vale:
$\rho =8.85\cdot 10^{-3}\ C/m^{3}$
Immaginiamo di costruire la goccia sferica, quando il raggio vale $r$ con $0<r<R_{0}\$, il potenziale (rispetto all'infinito della superficie della sfera vale:
$V(r)=Q(r)/(4\pi \varepsilon _{o}r)\$
con $Q(r)=\rho 4/3\pi r^{3}\$, quindi:
$V(r)=\rho r^{2}/(3\varepsilon _{o})\$
Se aggiungiamo una carica $dq\$:
$dq=\rho 4\pi r^{2}dr\$
L'energia necessaria sarà:
$dU=dqV(r)={\frac {\rho ^{2}4\pi r^{4}}{3\varepsilon _{o}}}dr\$
$U_{0}=\int _{0}^{R_{0}}{\frac {\rho ^{2}4\pi r^{4}}{3\varepsilon _{o}}}dr={\frac {\rho ^{2}4\pi R_{0}^{5}}{15\varepsilon _{o}}}={\frac {3Q_{0}^{2}}{20\pi \varepsilon _{o}R_{0}}}=1.8\cdot 10^{-6}\ J$
Se la sfera si spezza in due sfere di stessa densità:
$2R_{1}^{3}=R_{0}^{3}$
$R_{1}=R_{0}/{\sqrt[{3}]{2}}=0.0021\ m$
$U_{f}=2{\frac {3(Q_{0}/2)^{2}}{20\pi \varepsilon _{o}R_{1}}}={\frac {3(Q_{0})^{2}}{40\pi \varepsilon _{o}R_{1}}}=1.3\cdot 10^{-6}\ J$

### 21. Tre cariche sui vertici di un quadrato

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a) Il campo elettrico generato nel punto $P_{1}\$ dalla carica $-2q\$ è diretto secondo la diagonale e vale:
$E_{1d}={\frac {-2q}{4\pi \varepsilon _{o}a^{2}2}}\$
quello generato dalle cariche poste sugli altri due spigoli valgono:
$|E_{2}|={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}a^{2}}}\$
Le componenti nella direzione perpendicolare alla diagonale si annullano e rimane solo la componente lungo la diagonale (opposta a quella della carica $-2q\$)
$E_{2d}={\frac {2q}{4\pi \varepsilon _{o}a^{2}{\sqrt {2}}}}\$
Quindi in totale:
$E_{d}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}a^{2}}}({\sqrt {2}}-1)=3.7\cdot 10^{6}\ V/m\$
Quindi dalla equazione di Newton l'accelerazione vale:
$a_{1}={\frac {qq_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}a^{2}m_{1}}}({\sqrt {2}}-1)=3.7\cdot 10^{4}\ m/s^{2}\$
b) Il potenziale nel punto $P_{1}\$ (rispetto all'infinito) vale :
$V_{1}={\frac {-2q}{4\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {2}}a}}+{\frac {2q}{4\pi \varepsilon _{o}a}}={\frac {q}{2\pi \varepsilon _{o}a}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\$
(il primo termine dovuto alla cariche $q\$, l'altro dovuto alla carica $-2q\$) Il potenziale nel punto $P_{2}\$ (rispetto all'infinito) vale :
$V_{2}={\frac {-2q}{4\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {2}}2a}}+{\frac {2q}{4\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {5}}a}}={\frac {q}{2\pi \varepsilon _{o}a}}\left({\frac {1}{\sqrt {5}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)\$
Quindi la differenza di potenziale tra $V_{1}\$ e $V_{2}\$
vale:
$\Delta V=V_{1}-V_{2}={\frac {q}{2\pi \varepsilon _{o}a}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)=3580\ V\$
Quindi:
${\frac {1}{2}}m_{1}v_{2}^{2}=q_{1}\Delta V\$
$v_{1}=8.5\ m/s\$

### 22. Due cariche sui vertici di un triangolo

→ Vai alla traccia Il campo generato dalla carica 1 ha componenti:
    $E_{x1}=E_{y1}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}{\sqrt {2}}}}\$
mentre quello generato dalla carica 2:
    $E_{x2}=-E_{y2}={\frac {Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}{\sqrt {2}}}}={\frac {\alpha Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}{\sqrt {2}}}}\$
Quindi in totale
    $E_{x}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {2}}l^{2}}}(1-\alpha )\$
    $E_{y}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {2}}l^{2}}}(1+\alpha )\$
a) $E_{x}\$ è massimo quando $\alpha =-1\$ e vale:
    $E_{x}={\frac {Q_{1}}{2{\sqrt {2}}\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}=12.7\ kV/m\$
mentre $E_{y}=0\$.
b) $E_{y}\$ è massimo quando $\alpha =1\$ e vale
    $E_{y}={\frac {Q_{1}}{2{\sqrt {2}}\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}=12.7\ kV/m\$
mentre $E_{x}=0\$.
c) Il modulo del campo elettrico vale:
    $|E|={\sqrt {E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}\$
che è minima quando $\alpha =0\$ e vale:
    $|E|={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}=9\ kV/m\$

### 23. Semisfera

→ Vai alla traccia
La densità di carica è:
    $\sigma ={\frac {Q}{2\pi R^{2}}}$
Definendo con $\theta \$ l'angolo tra l'asse della semisfera e il generico anello in cui possiamo dividere la superficie. Il generico anello ha un raggio $r=R\sin \theta \$ e dista dal centro della semisfera $x=R\cos \theta \$. Quindi il generico anello ha una carica:
    $dq=\sigma 2\pi rRd\theta =\sigma 2\pi R^{2}\sin \theta d\theta \$
Un anello carico genera su un punto a distanza $x\$ un campo:
    $dE_{x}={\frac {dq}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}}\$
Quindi in questo caso il generico anello infinitesimo:
    $dE_{x}={\frac {\sigma 2\pi R^{2}\sin \theta d\theta }{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {R\cos \theta }{R^{3}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}={\frac {\sigma \sin \theta \cos \theta d\theta }{2\varepsilon _{o}}}\$
Quindi:
    $E_{x}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \cos \theta d\theta ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{1}\sin \theta d\sin \theta ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {\sin ^{2}\theta }{2}}\right]_{0}^{1}={\frac {\sigma }{4\varepsilon _{o}}}={\frac {Q}{8\pi \varepsilon _{o}R^{2}}}\$

### 24. Carica e dipolo

→ Vai alla traccia
a)
Un dipolo, posto nel punto di coordinate $d\$, genera lungo il suo asse un campo pari:
    $E_{x}={\frac {1}{2\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {p}{(d-x)^{3}}}\$
In particolare per $x=0\$ (dove è la carica $q\$):
    $E_{x}={\frac {1}{2\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {p}{(d)^{3}}}=360\ V/m\$
Quindi la forza attrattiva sulla carica $q\$ vale:
    $F=qE_{x}={\frac {1}{2\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {pq}{(d)^{3}}}=121\ nN\$
b)
Il campo generato lungo l'asse delle x per $x\leq 0\$ vale:
    $E_{xt}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{x^{2}}}+{\frac {1}{2\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {p}{(d-x)^{3}}}\$
Quindi se $x=2/3d=6.7\ mm\$:
    $E_{xt}=3\cdot 10^{4}\ V/m\$
c)
La differenza di potenziale dovuta alla carica vale:
    $DV_{q}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0.2d}^{0.8d}{\frac {1}{x^{2}}}dx={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left[{\frac {1}{x}}\right]_{0.8d}^{0.2d}=337\ V\$
La differenza di potenziale dovuta al dipolo vale:
    $DV_{p}=-{\frac {p}{2\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0.2d}^{0.8d}{\frac {1}{(d-x)^{3}}}dx\$
Facendo un cambio di variabile $y=d-x\$:
    $DV_{p}={\frac {p}{2\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0.8d}^{0.2d}{\frac {1}{y^{3}}}dy={\frac {p}{2\pi \varepsilon _{o}}}\left[-{\frac {1}{2y^{2}}}\right]_{0.8d}^{0.2d}=42\ V\$
Quindi in totale:
    $DV=DV_{q}+DV_{p}=379\ V\$