# Equazioni di Maxwell (superiori)
## Introduzione

Le leggi fondamentali alla base dell'elettromagnetismo furono messe insieme grazie al lavoro di un grande numero di scienziati, tra cui C. Coulomb, H. Oersted, A. Ampère, J. Henry e M. Faraday. Una prima sintesi dell'elettromagnetismo è dovuta a C. Gauss che, enunciando i due teoremi che rappresentano le prime due equazioni di Maxwell, mise per primo le basi per la teoria completa dell'elettromagnetismo che verrà descritta nel seguito. I Teoremi stabiliscono come da una parte le cariche sono le sorgenti del campo elettrico e dell'altra che le correnti elettriche sono le sorgenti del campo magnetico.
Il lavoro di sintesi sull'elettromagnetismo è dovuto a J. Maxwell che negli anni tra il 1860 ed il 1870 sviluppò una formulazione completa dell'elettromagnetismo comprendente tutte le leggi studiate. Vi è da aggiungere che le leggi dell'elettromagnetismo così sviluppate, che qui saranno descritte nella loro formulazione moderna, sono in disaccordo con il principio di relatività galileiana e solo la relatività ristretta di A. Einstein ha permesso di risolvere tale incongruenza riformulando il principio di relatività. Notiamo infatti che le equazioni di Maxwell conservano la loro validità anche in relatività ristretta, quindi è la relatività galileiana che risulta inadeguata a descrivere il mondo fisico, se si considera il valore finito della velocità della luce.
Se non viene specificato diversamente la trattazione è riferita al caso del vuoto, la presenza di materia rende necessaria una trattazione più articolata.

## Equazioni di Maxwell in forma Integrale

I campi elettrici e magnetici hanno molte differenze, ma presentano anche notevoli somiglianze dal punto di vista matematico. Se si sceglie una superficie chiusa arbitraria dello spazio $S\$, la legge di Gauss applicata al campo elettrico e magnetico comporta che:
| $\int _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{o}}}\$ | (1) |
L'equivalente per il campo di induzione magnetica:
| $\int _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}=0\$ | (2) |
Queste due equazioni integrali rappresentano una chiara manifestazione di simmetria dei due campi in assenza di cariche elettriche. Infatti se si è in una regione di spazio dove non è presente la carica elettrica le due equazioni formalmente sono equivalenti.
Tale simmetria è apparentemente mancante tra la legge di Faraday e di Ampère.
Infatti la legge di Faraday afferma che la derivata temporale del flusso magnetico attraverso una superficie aperta $S\$ delimitata con una linea chiusa $L\$ è pari alla circuitazione (cambiata di segno) di un campo elettromotore indotto nel circuito $L\$, matematicamente;:
| $\oint _{L}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}\$ | (3) |
La legge di Ampère, invece afferma semplicemente che la circuitazione del campo magnetico attraverso un cammino chiuso $L\$ è proporzionale alla corrente totale concatenata ad $L\$, (cioè la corrente totale che attraversa la superficie $S\$ di cui $L\$ è la frontiera):
| $\oint _{L}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\mu _{o}i\$ | (4) |
Mentre il campo elettromotore della legge di Faraday è legato alla variazione nel tempo del campo magnetico. Nella legge di Ampère vi è un legame tra campi magnetici e correnti elettriche stazionarie senza l'intervento di campi elettrici variabili nel tempo. La asimmetria è evidente ed è dovuta alla incompletezza della eq.4, che quindi non ha valore generale.
Le eq.1 e eq.2 sono state rappresentate matematicamente nella forma data, dopo che molti esperimenti di Fisica avevano evidenziato il contenuto delle equazioni stesse. La formulazione precisa della legge che deve essere sostituita alla eq.4 per renderla completa è dovuta J. Maxwell che la formulò nella metà dell'800, tale legge verrà verificata sperimentalmente solo molti anni dopo. Il termine aggiuntivo mancante rende simmetriche le eq. 3 e eq.4 (nella forma completa). Infatti la forma completa della legge di Ampère contiene il fatto che la variazione del flusso del campo elettrico concatenato genera un campo magnetico.
Rimane una asimmetria dovuta alla assenza di monopoli magnetici, se ci fossero i monopoli magnetici le eq. 1 e 2 sarebbero simili. Ma anche le leggi di Faraday e di Ampère (eq. 3 e 4).

## La corrente di spostamento

Completiamo il termine mancante al teorema di Ampère (eq. 4). Ci basiamo su un semplice esperimento, gedanken (pensato in tedesco), che potrebbe essere eseguito ai nostri giorni. Consideriamo un semplice condensatore a piatti circolari piani e paralleli (di superficie $S\$ e distanza $d\$ tra le armature). Immaginiamo il condensatore inizialmente scarico e che venga caricato in una maniera qualsiasi, ma possiamo affermare in forma generale che una corrente $i(t)\$ attraverserà i fili elettrici che connettono le armature. Consideriamo la linea chiusa $L\$ mostrata nella figura a fianco.
Tale cammino chiuso può delimitare una superficie $S_{1}\$ che attraversa il filo dove scorre una corrente $i(t)\$ o una altra superficie $S_{2}\$ che passa attraverso le armature del condensatore: unica regione di spazio in cui durante la carica del condensatore è presente un campo elettrico variabile nel tempo ${\vec {E}}(t)\$ (se l'induzione tra le armature del condensatore è completa). Se eseguiamo l'integrale di linea di ${\vec {B}}\$ lungo la linea $L\$ se tale linea comprende la superficie $S_{1}\$ avremo che:
    $\oint _{L}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\mu _{o}i(t)$
Mentre se la linea delimita la superficie $S_{2}\$ il secondo membro sarebbe identicamente nullo.
Questa è una chiara contraddizione che dipende dall'avere trascurato la quantità $i_{sp}\$, detta corrente di spostamento, tra le armature del condensatore:
    $i_{sp}=\varepsilon _{o}\int _{S_{2}}{\frac {\partial {\vec {E}}(t)}{\partial t}}\cdot {\vec {dS}}=\varepsilon _{o}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi (E)\$
dove $\Phi (E)\$ è il flusso elettrico che attraversa la generica superficie $S_{i}\$ delimitata dalla linea $L\$. Da una semplice analisi dimensionale appare che tale quantità, non solo ha le dimensioni di una corrente, ma coincide istante per istante con la corrente $i(t)\$. Infatti la carica istantanea sulle armature del condensatore vale:
$Q(t)=\varepsilon _{o}{\frac {S}{d}}V(t)=\varepsilon _{o}{\frac {S}{d}}|E(t)|d=\varepsilon _{o}S|E(t)|\$
Ma la sua derivata nel tempo è pari alla corrente $i(t)\$ che carica il condensatore:
$i(t)=\varepsilon _{o}{\frac {\partial |E(t)|}{\partial t}}S\$
Il teorema di Ampère in forma completa si scrive:
| $\oint _{L}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\mu _{o}i+\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi (E)=\mu _{o}i+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi (E)\$ | (5) |
Quindi campi elettrici variabili nel tempo producono campi magnetici, analogamente a quanto succede tra campi magnetici variabili nel tempo e campi elettrici. Notiamo come si sia sostituita a $\mu _{o}\varepsilon _{o}\$ l'inverso della velocità della luce nel vuoto al quadrato $1/c^{2}\$.
La corrente di spostamento non è una astrazione matematica, ma una realtà fisica. Infatti tornando all'esempio di prima tra le armature del condensatore durante il processo di carica si forma un campo magnetico coassiale con il condensatore cilindrico, ma di intensità in genere così piccola da essere con difficoltà misurabile, per questo la corrente di spostamento è stata prevista teoricamente prima di essere stata misurata sperimentalmente, al contrario delle altre proprietà dell'elettromagnetismo che sono state messe in evidenza prima sperimentalmente e poi inquadrate in equazioni matematiche.
La corrente di spostamento, qui introdotta in un caso particolare da una condizione di continuità sulle correnti elettriche in circuiti interrotti da condensatori, ha un significato fisico più generale, ed esprime il fatto che campi elettrici variabili nel tempo generano campi magnetici.

## L'operatore Nabla

Se definiamo con ${\vec {\nabla }}\$ il seguente operatore vettoriale:
${\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\vec {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\vec {k}}\right)\$
Dato un campo vettoriale generico ${\vec {A}}\$:
${\vec {A}}=A_{x}{\vec {i}}+A_{y}{\vec {j}}+A_{z}{\vec {k}}\$
Il prodotto scalare di ${\vec {\nabla }}\$ con tale generico campo vettoriale viene chiamata divergenza:
$div{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\$
La divergenza di un campo vettoriale è uno scalare che misura in qualche maniera la variazione spaziale del campo stesso.

## Teorema della divergenza

Dimostriamo analiticamente che per il flusso di un campo vettoriale ${\vec {A}}\$ attraverso una superficie chiusa $S\$ che delimita un volume $T\$ vale la seguente eguaglianza:
| $\int _{S}{\vec {A}}\cdot {\vec {ds}}=\int _{T}div{\vec {A}}\ d\tau \$ | (6) |
Tale relazione permette di trasformare un integrale di superficie in un integrale di volume e va sotto il nome di Teorema della divergenza.
Dimostrazione: Consideriamo un campo vettoriale ${\vec {A}}(x,y,z)\$, definito in una regione di spazio all'interno del quale le componenti di ${\vec {A}}\$ sono derivabili rispetto alle variabili $x,y,z\$. Calcoliamo il flusso di ${\vec {A}}\$ uscente da un volume infinitesimo: un parallelepipedo di dimensioni lineari $dx,dy,dz\$. Detto ${\vec {A}}_{o}\$ il campo al centro del parallelepipedo. Il flusso dalle facce ortogonali all'asse delle $x\$ del campo valgono, a meno di infinitesimi di ordine superiore:
$d\Phi _{ABHE}=-\left(A_{ox}-\left.{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right|_{o}{\frac {dx}{2}}\right)dydz\$
$d\Phi _{CDGF}=\left(A_{ox}+\left.{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right|_{o}{\frac {dx}{2}}\right)dydz\$
Quindi:
$d\Phi _{ABHE}+d\Phi _{CDGF}=\left.{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right|_{o}d\tau \$
Dove si è definito $d\tau =dxdydz\$ il volume del parallelepipedo infinitesimo. In maniera analoga si trova che i contributi al flusso attraverso le facce ortogonali agli assi $y\$ e $z\$. In maniera che il flusso totale attraverso le sei facce del parallelepipedo valgono:
$d\Phi =\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)d\tau \$
Avendo omesso il pedice $o\$. Con la definizione di divergenza si può scrivere in maniera più compatta:
$d\Phi =div{\vec {A}}dxdydz\$
L'espressione del flusso uscente attraverso le facce del parallelepipedo infinitesimo. A partire da tale relazione, si ricava facilmente, per semplice integrazione, il flusso uscente attraverso la superficie $S\$ che racchiude un volume finito $\tau \$. Va infatti osservato che la somma dei flussi elementari $d\Phi \$ dà contributo nullo per tutte le superfici elementari interne ed $S\$, ognuna delle quali è attraversata due volte, ma in versi opposti, quando si calcola il flusso uscente da due volumi contigui. Integrando, si ottiene quindi:
$\Phi _{S}({\vec {A}})=\int _{S}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\cdot {\vec {dS}}=\int _{\tau }{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}d\tau \$
L'espressione algebrica del teorema della divergenza che afferma che il flusso un vettore ${\vec {A}}\$ attraverso una superficie chiusa $S\$ è pari all'integrale della divergenza del vettore ${\vec {A}}\$ calcolato nel volume $\tau \$ racchiuso da $S\$. Notiamo come la divergenza sia un operatore differenziale che applicato al campo vettoriale ${\vec {A}}\$ lo trasformi in uno scalare.

## Applicazione del teorema della divergenza ai campi elettrici

Applichiamo il teorema della divergenza ai campi elettrici. Per quanto riguarda i campi elettrici qualsiasi sia la superficie $S\$ che delimita una regione di spazio si ha che :
$\int _{\tau }{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}d\tau ={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\int _{\tau }\rho (x,y,z)d\tau \$
Poiché l'identità tra gli integrali vale qualsiasi sia la superficie chiusa di integrazione $S\$, l'equazione deve valere qualsiasi sia il volume di integrazione, tale condizione implica da un punto di vista matematico che gli integrandi siano eguali da cui segue che, localmente, omettendo la dipendenza esplicita dalle coordinate spaziali:
| ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\rho \$ | (7) |
Tale equazione costituisce la prima equazione di Maxwell. Questa equazione è sostanzialmente equivalente alla legge di Gauss, dalla quale è stata dedotta nell'ipotesi che valga il teorema della divergenza. Questo comporta che per potere passare dalla notazione integrale a quella differenziale il campo elettrico ${\vec {E}}\$ sia derivabile in ogni punto della regione di spazio considerata: ipotesi aggiuntiva rispetto al teorema di Gauss.

## Applicazione del teorema della divergenza ai campi magnetici

Applichiamo il teorema della divergenza ai campi magnetici. Consideriamo quindi una generica superficie $S\$ che delimita una regione di spazio $\tau \$, per quanto riguarda l'induzione magnetica vale sempre la eq.2 e quindi applicando il teorema della divergenza si ha che:
$\int _{\tau }{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}d\tau =0\$
Per essere tale integrale nullo qualsiasi sia la regione di spazio $\tau \$ deve essere nullo l'integrando segue quindi che :
| ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$ | (8) |
Tale equazione esprime il forma locale il fatto che non vi sono i monopoli magnetici.

## Il teorema di Stokes

Il prodotto vettoriale di ${\vec {\nabla }}\$ con il generico vettore ${\vec {A}}\$ viene chiamato rotore:
$rot{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}=\left({\begin{matrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{matrix}}\right)=\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right){\vec {i}}+\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right){\vec {j}}+\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right){\vec {k}}$
Il rotore di un campo vettoriale dà una misura dei vortici presenti nel campo stesso. Per esempio se il campo vettoriale è dato dal vettore velocità delle particelle di fluido in un condotto, la presenza di vortici determina un rotore non nullo del vettore velocità.
Si dimostra analiticamente che la circuitazione di un generico vettore ${\vec {A}}\$ attraverso una linea chiusa $L\$ che delimita una superficie aperta $S\$ valga esattamente:
$\oint {\vec {A}}\cdot {\vec {dl}}=\int _{S}rot{\vec {A}}\cdot {\vec {ds}}\$
(9)
Questa equazione permette di trasformare un integrale di linea in uno di superficie.

## Legge di Faraday e di Ampère in forma locale mediante il teorema di Stokes

Per quanto riguarda l'equazione di Faraday eq.3 può essere scritta come:
$\oint _{L}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=-{\frac {d}{dt}}\int _{S}{\vec {B}}\cdot {\vec {ds}}$
Dove $L\$ è la linea che delimita la superficie $S\$. Applicando a questa equazione la eq.9 si ha:
$\int _{S}rot{\vec {E}}\cdot {\vec {ds}}=-{\frac {d}{dt}}\int _{S}{\vec {B}}\cdot {\vec {ds}}$
Se la superficie $S\$ non varia nel tempo:
$\int _{S}\left(rot{\vec {E}}+{\frac {d{\vec {B}}}{dt}}\right)\cdot {\vec {ds}}=0$
Per essere nullo tale integrale indipendentemente dalla superficie di integrazione $S\$, deve essere nullo l'integrando:
| $rot{\vec {E}}=-{\frac {dB}{dt}}$ | (10) |
Questa è l'espressione della legge di Faraday in forma locale.
Infine dalla equazione di Ampère (eq.5) scritta in maniera generale, definendo la corrente come flusso della densità di corrente ${\vec {J}}\$ :
$\oint _{L}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\mu _{o}\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {1}{c^{2}}}\int _{S}{\frac {\vec {dE}}{dt}}\cdot {\vec {ds}}$
Ma il primo termine può essere riscritto mediante la equazione di Stokes (eq.9):
$\int _{S}rot{\vec {B}}\cdot {\vec {ds}}=\mu _{o}\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {1}{c^{2}}}\int _{S}{\frac {\vec {dE}}{dt}}\cdot {\vec {ds}}$
Quindi:
$\int _{S}\left(rot{\vec {B}}-\mu _{o}{\vec {J}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\vec {dE}}{dt}}\right)\cdot {\vec {ds}}=0$
Per essere nullo tale integrale indipendentemente dalla superficie di integrazione $S\$, deve essere nullo l'integrando, da cui:
| $rot{\vec {B}}=\mu _{o}{\vec {J}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\vec {dE}}{dt}}$ | (11) |
Questa è l'espressione della legge di Ampère in forma locale.

## Equazioni di Maxwell in forma differenziale

Le equazioni 7, 8, 10 ed 11 rappresentano le equazioni di Maxwell in forma locale o differenziale, e sono qui ripetute per completezza:
| ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\rho$ | (7) |
| ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$ | (8) |
| ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$ | (10) |
| ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{o}{\vec {J}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$ | (11) |
Queste equazioni contengono tutte le proprietà dell'elettromagnetismo se accoppiate alla espressione della Forza di Lorentz:
| ${\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})\$ | (12) |
e all'equazione di continuità della carica:
| $\int _{S}{\vec {J}}\cdot \operatorname {d} {\vec {S}}=-{\frac {\partial Q}{\partial t}}\$ | (13) |