# Il calcolo delle traiettorie dei raggi acustici in mare sotto il raggio limite

In questa lezione prendiamo in esame le traiettorie dei raggi acustici che si propagano sotto il raggio limite.
Dei raggi limite abbiamo trattato nella 4^ e 5^ lezione di questa materia dove si dimostra come, con il batitermogramma preso a modello, l'angolo di radenza sul trasduttore per il raggio limite sia: $\theta o=1.094$°.
I raggi che partono dal trasduttore con angoli di radenza superiori a 1.094°, angolo di radenza che caratterizza il raggio limite, transitano verso il fondo così come riporta la figura 1:

## Le grandezze delle variabili utilizzate nelle fasi di calcolo a seguire

Le grandezze utilizzate per le computazioni sono espresse con unità di misura anglosassoni:
Temperature: (°F ) in gradi Fahrenheit ( °F = °C x 9/5 + 32 )
Profondità: (ft) in feet ( ft = mt x 3.281 )
Distanze: (yd) in yard ( yd = m x 1.094 )
Gli angoli, in grandezze universali, sono espressi sia in radianti che in gradi sessagesimali.

## L'obiettivo dei calcoli

I calcoli hanno come obiettivo la valutazione di n coppie di coordinate in grado di consentire il tracciamento di una curva, la traiettoria del percorso del suono sotto il raggio limite, che si sviluppa secondo una o più archi di circonferenza così come indicato in figura 1.
In questo particolare procedimento l'ascissa $(S)$ , distanza dalla sorgente acustica espressa in yard, è la variabile dipendente mentre l'ordinata $(D)$, variabile indipendente, è la profondità dei punti di calcolo in feet.
L'arco denominato " angolo di radenza" è l'angolo formato tra la tangente del cerchio e un segmento parallelo all'asse delle ascisse passante per il punto di tangenza.
La valutazione del valore di quest'angolo è fondamentale nel definire l'andamento della $S=f(D)$.
Per ciascuna coppia di coordinate il valore della variabile $(D)$ è stabilito dall'operatore mentre il valore di $(S)$ ne è una funzione :$S=f(D)$.
Più elevato è il numero delle coppie più punti definiscono la traiettoria.
I calcoli devono essere eseguiti a 9 decimali.

## Procedura di calcolo per un raggio a radenza maggiore di 1.094°

Il calcolo di $S=f(D)$ si affronta fissando a priori l'angolo di radenza che, come vedremo, si deve scostare di poco da $1.094$° per avere una traiettoria sensibilmente lontana dal raggio limite del quale abbiamo trattato nella 5^ lezione di questa materia, la procedura si articola così come sotto riportato:
-p0 DATI DI BASE
I dati di base che consentono lo sviluppo del problema, secondo la procedura indicata in precedenza sono esplicitabili dal "BATITERMOGRAMMA" di figura 2.
In esso s'individuano due andamenti della temperatura (traccia rossa):
* nel primo tratto di mare, compreso tra quota $0$ e quota $65\$ ft, la temperatura è costante a $70\$ °F (strato isotermo)
* nel secondo tratto di mare, compreso tra quota $65\$ ft e quota $265\$ ft, la temperatura
decresce da $70$ °F a $56\$ °F (strato termoclino).
Con quest'ultimi valori si calcola $g2$ per lo strato termoclino:
* T media: $Tm=(70+56)/2$ = $63$ °F
* gradiente di temperatura $gt$: $gt=(56-70)/(quota265-quota65)$ = $-0.070$ °F/ ft
* gradiente di velocità $g2$: $g2=g1-[11.25-0.09\cdot Tm]\cdot gt$ = $-0.3724$
In tutte le lezioni relative al calcolo del percorso dei raggi acustici in mare è assunto un identico profilo di batitermogramma.
-p1- IMPOSTAZIONE DATI INIZIALI
* temperatura dell'acqua $(T=70)$ nello strato isotermo in °F
* salinità $(sa=35)$ in parti per mille
* quota di calcolo $(D)$ in ft
* profondità del trasduttore $(d1=15)$ in ft
* profondità max dello strato isotermo $(d2)=65$ ft
* gradiente di velocità del suono nello strato isotermo $(g1)=0.0182$
* gradiente di velocità del suono nello strato termoclino $(g2)=-0.3724$
Calcolo del gradiente della velocità del suono:
-p2- CALCOLI A QUOTA TRASDUTTORE
* calcolo velocità suono sul trasduttore: $C15$
* calcolo raggio della traiettoria sul trasduttore: $r1=c15/g1\$ in ft
* calcolo raggio strato termoclino: $r2=c15/g2\$ in ft
* angolo di radenza del nuovo raggio: si assume, ad esempio, $(\theta )=1.2$°
-p3 CALCOLO DELL' ASCISSA DEL PUNTO DI TRANSIO DEL RAGGIO TRA ISOTERMO E TERMOCLINO
La procedura mira al calcolo della funzione $S1=r1\cdot DS1/3$ che restituisce l'ascissa del punto della traiettoria che ha ordinata DS1 ( punto di transizione tra strato isotermo e strato termoclino ).
* si stabilisce la quota di calcolo: $(D)=65\$ ft
* si calcola la differenza: $DD1=D-d1$
* si calcola: $Delta1$ = $DD1/r1$
* si calcola $\cos \theta$
* si calcola $\operatorname {sen} \theta$
* si procede all'incremento di $\cos \theta$: $k1=\cos \theta +Delta1$
* si calcola $z1=\arccos(k1)$ (in radianti)
* si calcola $j1=\operatorname {sen}(z1)$
* si calcola la differenza: $DS1=\operatorname {sen}(z1)-\operatorname {sen}(\theta )$
* infine l'ascissa $S1=f(D)$ nello strato isotermo: $S1=r1\cdot DS1/3$
- p4 CALCOLO ASCISSA A QUOTA FISSA $D=65\$ ft
* ripetendo la procedura in p3 per $D=65\$ ft si ha: $S65=f(65)$
-p5 CALCOLO DELLE ASCISSE DI UN PUNTO DELLA TRAIETTORIA NELLO STRATO TERMOCLINO
* si stabilisce la quota di calcolo: $65<(D)<265\$ ft
* si calcola la differenza: $DD2=D-quota65\$ ft
* si calcola: $Delta2=DD2/r2$
* si calcola $\cos \theta$
* si calcola $\operatorname {sen} \theta$
* si procede all'incremento di $\cos \theta$ : $k2=\cos \theta +Delta2$
* si calcola $z2=\arccos(k2)\$ (in radianti)
* si calcola $j2=\operatorname {sen}(z2)$
* si calcola la differenza: $DS2=\operatorname {sen}(z2)-\operatorname {sen}(\theta )$
* si calcola l'incremento $Sincr.=r2\cdot DS2/3$
* infine l'ascissa $S2=f(D)$ nello strato termoclino: $S2=S65+Sincr.$

## L’esecuzione dei calcoli

In aiuto a chi segue questa lezione è stato studiato un apposito programma di calcolo in Visual Basic dal quale è derivato un file eseguibile: il gr4.exe.
L'eseguibile in oggetto è scaricabile all'indirizzo:
Wikiraggiosottolimite oppure sottolimite
Il programma consente due tipi di operazioni: il calcolo delle singole coppie di coordinate e il tracciamento delle traiettorie dei raggi acustici.
La prima operazione, una volta inserite le variabili quali: Temperatura, Salinità = $35$ , Quota di calcolo = $115$ ft, consente, dopo avere premuto il pulsante Calcolo, la generazione di una schermata così come mostra la figura 3; la schermata riporta i dati di tutti i passi di calcolo illustrati in precedenza.
I calcoli mostrano come per $D=115$ ft la $S(D)$ sia: $S(D)=1478$ yd.
La seconda operazione, una volta inserite le variabili quali: Temperatura, Salinità, Quota di calcolo, e premuti nell'ordine i pulsanti Calcolo e Grafica genera una schermata così come mostra la figura 4 che riporta il tracciato del raggio acustico nello strato isotermo e in quello termoclino.
La figura mostra l'ascissa del reticolo cartesiano che si estende da $0\ a\ 4000$ yd.
La curva tracciata evidenzia, con un dischetto nero il punto di passaggio $(D=65;S=1129yd)$ tra lo strato isotermo e lo strato termoclino e con un dischetto blu, il punto definito dalla coppia di coordinate $D=115$ ft; $S=1478$ yd computate in precedenza.

## Confronto grafico tra traiettoria limite e traiettoria sotto il limite

Impiegando il tracciato calcolato nella 4^ lezione (figura 4) di questa materia e il grafico di figura 4 della presente lezione si può fare un interessante confronto, vedi figura 5, tra il percorso del raggio limite (a tratto blu) e il percorso di un raggio sotto il limite (a tratto rosso) che parte dal trasduttore con un angolo di radenza di $1.2$°

## note

* ↑ l'angolo di radenza indicato è stato calcolato nelle due lezioni precedenti e dipende dal profilo del batitermogramma comune a tutte le lezioni.
* ↑ La temperatura $T=70$ °F è relativa allo strato isotermo, la temperatura minima nello strato termoclino è, come riportato in figura 2, di 56 °F