# Fasci preformati con metodo numerico

Questa pagina è un'estensione della conferenza
Le funzioni di correlazione e i fasci preformati con processo numerico tenuta il 2018 presso L' Accademia Navale di Livorno.
Nella scoperta sonar l'impiego dei fasci preformati garantisce il controllo simultaneo di tutto l'arco dell' orizzonte per l'individuazione di eventuali bersagli attivi.
I fasci preformati sono un insieme di sistemi direttivi ciascuno orientato per una direzione stabilita.
Dei singoli sistemi direttivi si è già trattato nelle voci facenti parte di questa categoria dove la formazione della direttività del fascio è affidata ai sistemi analogici di elaborazione.
In questa pagina accenneremo alla costruzione di un sistema direttivo per via numerica che può essere parte di un insieme di fasci preformati o un fascio singolo, impostato sull'elaborazione numerica dei segnali idrofonici che in questo caso, dopo amplificazione e filtraggio, richiedono la conversione Analogico/Digitale per il loro trattamento.

## Richiamo alla formazione del fascio acustico per via analogica

Il caso più semplice che interessa il dimensionamento di un sistema a fasci preformati è relativo ad una base circolare dato che la struttura di ciascun fascio è identica per tutti gli altri.
Consideriamo la base idrofonica circolare di figura 1a, in essa osserviamo la posizione delle singole coppie d'idrofoni, indicate con:
1-18; 2-17 ; 3-16; 4-15 ...
Supponiamo, ad esempio, che il suono della sorgente So colpisca la base secondo l'angolo $\alpha =0$° e che i tempi d'impatto rispetto alla coppia (1-18) siano:
$t(1-18)=0\ \mu s$
$t(2-17)=42\ \mu s$
$t(3-16)=111\ \mu s$
$t(4-15)=215\ \mu s$
Dato che il massimo della curva di direttività della base si ottiene con la somma di tutte le tensioni degli idrofoni che abbiano lo stesso tempo di percorrenza si può impostare la seguente tabella nella quale si elencano i tempi d'impatto ed i tempi di ritardo necessari affinché l'esigenza sia soddisfatta:
Tabella 1
| Coppie | Tempo d'impatto $\mu s$ | Ritardo aggiunto $\mu s$ | Somma ritardi $\mu s$ |
| $(1-18)$ | $0$ | $t1=215$ | $215$ |
| $(2-17)$ | $42$ | $t2=173$ | $215$ |
| $(3-16)$ | $111$ | $t3=104$ | $215$ |
| $(4-15)$ | $215$ | $t4=0$ | $215$ |
Applicando i ritardi ora calcolati si ottiene una configurazione elettrica della base circolare "compensata" (tutti i segnali ricevuti sono messi in coerenza tra loro e sommati) come mostra la figura 1b
Per il fascio contiguo, formato dalle coppie 2-1; 3-18; 4-17; 5-16, la geometria è identica a quella precedente ed i ritardi da applicare sono gli stessi; questo per tutti gli altri fasci il cui asse passi tra due idrofoni contigui.
I tempi di ritardo necessari per la formazione dei fasci possono essere realizzati in diversi modi; per semplici strutture sonar con catene di ritardo analogiche, per sonar a trattamento misto dei segnali i ritardi possono essere fatti con dei registri a slittamento, per strutture complesse la rimessa in coerenza è affidata al software di calcolatori superveloci.

## La formazione del fascio acustico per via numerica

La descrizione del formatore del fascio acustico per via numerica è svolta, similmente a quanto fatto per i fasci analogici nella sezione precedente, mediante l'illustrazione di blocchi funzionali senza ricorrere a sviluppi di carattere matematico, quest'ultimi saranno illustrati su copia in pdf dello studio originale al quale si fa riferimento in seguito.
Quanto andremo ad esporre si riferisce ad una tra le diverse metodologie di processo che sono state sviluppate per la formazione numerica dei fasci acustici.
Secondo la struttura circolare esaminata in precedenza la disposizione per la formazione del fascio per via numerica è quella di figura 2 nella quale si vedono gli idrofoni della base acustica, idealmente già amplificati, collegati ad altrettanti convertitori A/D l'uscita dei quali, in forma numerica, è inviata al sistema di processo oggetto della presente pagina.
Il compito dei convertitori A/D è duplice:
* I° = trasformare i segnali idrofonici da analogici a digitali in forma numerica
* II° = nella trasformazione imporre il ritmo di campionatura secondo $Tc=1/Fc\$ dove, secondo Nyquist, $Fc>\ 2\cdot (Fmassima)$ ricevuta dalla base acustica.

## Semplice dimostrazione della validità del teorema di Nyquist

E' utile ricordare che un segnale campionato secondo il punto II° della sezione precedente contiene tutta l'informazione del segnale originale tale che lo stesso può essere ricostruito secondo il percorso indicato, a solo titolo dimostrativo, in figura 2a:
nella figura seguiamo il funzionamento dei blocchi d'elaborazione:
* Il segnale è applicato ad un convertitore analogico digitale (A/D) per essere trasformato in una sequenza di numeri.
* Il convertito A/D esegue anche la campionatura al ritmo $Tc=1/Fc\$ dove, secondo Nyquist, deve essere: $Fc>\ 2\cdot (Fmassima)$.
* La ricostruzione del segnale campionato si esegue con il convertitore digitale analogico (D/A) che rende alla sua uscita un segnale analogico distribuito in due bande di frequenza, una utile l'altra spuria.
* La banda spuria all'uscita del convertitore D/A è bloccata dal filtro interpolatore ottenendo all' uscita di questo la replica del segnale applicato all'ingresso di tutta la catena.
E' sulla base di questo assunto che si sviluppano i ragionamenti che seguono.

## Sezioni del processo matematico

Il processo matematico completo, illustrato in figura 3, ricalca quello analogico mostrato in figura 1b. In figura 3 sono indicate quattro sezioni operative:
* Sezione 1 - convertitori A/D: convertono i segnali idrofonici in sequenze numeriche che si ripetono al ritmo della frequenza di campionamento $Fc;(Fc$ deve essere maggiore del doppio della frequenza massima dei segnali idrofonici Fmax.)
* Sezione 2 - blocchi numerici di ritardo: con l'ausilio di memorie d'appoggio immagazzinano e traslano, ad intervalli $\Delta t=1/Fc$, le sequenze numeriche per disporle in stringhe tra loro coerenti.
* Sezione 3 - organo per la somma delle diverse componenti numeriche rimesse in coerenza
* Sezione 4 - convertitore D/A : conversione dei dati numerici d'uscita dalla routine di somma con filtraggio passa basso: in uscita segnale analogico del fascio.
Un'idea del contenuto numerico delle memorie relativo alle 4 coppie di stringhe provenienti dai convertitori A/D è mostrato in figura 3/a dove l'ampiezza delle barrette verticali indica l'entità del numero memorizzato mentre gli intervalli orizzontali tra le barrette corrispondono in debita scala al valore $\Delta t=1/Fc$.
si osservi che la coppia a1-u1 è la prima ad essere convertita (tempo 0); a distanza temporale di $42\ \mu s$. è presente la a2-u2 ; a $111\ \mu s$. rispetto alla prima la a3-u3; ed infine per ultima, a $215\ \mu s$ la a4-u4.
Se la conversione A/D fosse fatta idealmente a frequenza infinita ($\Delta t=1/Fc)$ = $0$, se il processore potesse operare a velocità illimitata, l'uscita del fascio potrebbe essere utilizzata, semplicemente, disponendo dopo il convertitore D/A un semplice filtro passa basso, ciò in virtù del fatto che le stringhe potrebbero essere traslate tra loro e coincidere perfettamente prima di essere sommate ed il problema della formazione dei fasci acustici per via numerica sarebbe così risolto.
In realtà molti problemi incidono sulla frequenza di conversione dei dati da parte dei dispositivi A/D limitandone la velocità, altrettanto dicasi per i processori matematici; problemi resi ancora più evidenti quando il numero dei fasci da calcolare ed il numero dei sensori che li compongono sia elevato, si presentano quindi notevoli difficoltà nella realizzazione di fasci preformati numerici.
Una delle cause che limitano la velocità di conversione A/D dipende dal fatto che i convertitori, dovendo essere il più vicino possibile agli amplificatori idrofonici devono inviare i dati convertiti al processore disposto a notevole distanza, richiedendo pertanto considerevoli bande passanti sui cavi di collegamento tra convertitori A/D e calcolatore.

## Sulla valutazione dei tempi di ritardo del formatore fasci numerico

Se prendiamo a modello la base acustica di figura 1a, nell'ipotesi che essa riceva segnali acustici non superiori a $Fmax=10000Hz$ , possiamo fare un esempio sulla valutazione dei tempi che devono essere rispettati nel formatore numerico dei fasci.
La sezione 1 di figura 3, dopo aver campionato i segnali della base alla frequenza $Fc>2Fmax$ (ad esempio:$Fc=22222Hz$), invia gli 8 segnali convertiti alla sezione 2, si veda figura 3/a, questa ha il compito di immagazzinarli e di traslarli affinché, similmente a quanto mostrato nella tabella 1, tutte le 8 stringhe, da inviare al sommatore alla sezione 3, abbiano subito lo stesso ritardo indicato nella citata tabella in $215\mu s$ .
Visti i valori numerici in gioco possiamo osservare che le 8 stringhe di dati sono caricate nella sezione 2 ad un ritmo pari a $1/Fc=1/22222$ = $45\ \mu s.$ ciò significa che gli slittamenti delle stringhe di figura 3/a, eseguite dalla stessa sezione per rimetterle in coerenza prima di inviarle alla sezione 3 del sommatore, possono essere soltanto a passi di $45\ \mu s$. o suoi multipli.
In queste condizioni la tabella 1 dei ritardi potrà essere così redatta indicando anche la percentuale d'errore commesso a causa del valore di $1/Fc$:
Tabella 2
| Coppie | Ritardo calcolato da aggiungere $\mu S$ | Ritardo disponibile (multipli di $1/Fc)\ \mu s$ | Errore percentuale |
| $(1-18)$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $(2-17)$ | $42$ | $45\ (1\ passo\ da\ 45\ \mu s)$ | $+7.14$ |
| $(3-16)$ | $111$ | $90\ (2\ passi\ da\ 45\ \mu s)$ | $-18.9$ |
| $(4-15)$ | $215$ | $225\ (5\ passi\ da\ 45\ \mu s)$ | $+4.65$ |
Gli errori riportati in tabella 2 pregiudicano negativamente la formazione del fascio:
* 1- Il lobo principale tende ad allargasi riducendo il guadagno di direttività.
* 2- Si accentuano le ampiezze dei lobi secondari.
Visti i dati sembrerebbe semplice ridurre gli errori aumentando la $Fc$ anche al di là di quanto necessario secondo Nyquist.
Si dimostra infatti, nella tabella 3, che per ridurre gli errori entro $2\%$ il tempo di campionatura dovrebbe essere :
$\Delta t^{*}=\Delta t/20$ = $45/20=2.25\ \mu s$.
Tabella 3
| Coppie | Ritardo calcolato da aggiungere $\mu s$ | Ritardo disponibile (multipli di $1/Fc*)\ \mu s$ | Errore percentuale |
| $(1-18)$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $(2-17)$ | $42$ | $42.75\ (19\ passi\ da\ 2.25\ \mu S)$ | $+1.78$ |
| $(3-16)$ | $111$ | $112.5\ (50\ passi\ da\ 2.25\ \mu S)$ | $+1.35$ |
| $(4-15)$ | $215$ | $216\ (96\ passi\ da\ 2.25\ \mu s)$ | $+0.46$ |
A tale valore di $\Delta t^{*}$ la nuova frequenza di campionatura $Fc*$ dovrebbe essere:
$Fc*=1/\Delta t^{*}$ = $1/2.25\ \mu S=0.44\ MHz$
Dato il valore sensibilmente elevato di $Fc*$ non sarà opportuno seguire questa strada per ottenere più precisione nella rimessa in coerenza dei segnali evitando inoltre i problemi relativi alla trasmissione dati al processore.
Da questa osservazione prende corpo l'argomento riportato in questa lezione che mostra come ridurre artificiosamente gli intervalli di campionatura all'interno del processore ben sotto il valore di $1/Fc$ che resta ancora quello stabilito dalla conversione A/D.
La riduzione degli intervalli di campionatura all'interno del processore è possibile dato l'assunto fondamentale menzionato nel paragrafo 3: (E' utile ricordare che un segnale campionato secondo il punto II° contiene tutta l'informazione del segnale )

## Una diversa forma del processo

Per ottenere una riduzione del tempo di campionatura si utilizza un modello di processo diverso da quello mostrato in figura 3; una soluzione che prevede una forma particolare di "interpolazione" così come riportato in figura 4:
* Sezione 1 - convertitori A/D: convertono i segnali idrofonici in sequenze numeriche che si ripetono al ritmo della frequenza di campionamento Δt = 1/Fc.
* Sezione 2 - memorie d'appoggio per immagazzinare le sequenze di dati
* Sezione 3 - scansione delle memorie di sezione 2 ed inserimento, tra tutti i campioni successivi, di $k$ locazioni di memoria a livello zero; si generano nuove stringhe.
* Sezione 4 - scansione delle nuove stringhe di sezione 3 e interpolazione.
* Sezione 5 - slittamento e somma delle nuove stringhe a passi di $\Delta t/k$.
* Sezione 6 - conversine D/A e filtraggio; uscita fascio.
Per comprendere meglio quanto sopra esposto possiamo fare ricorso al dettaglio della figura 4a che illustra la composizione dei segnali lungo la catena di figura 4:
La sequenza in parole:
* I segnali idrofonici sono convertiti in forma numerica alla frequenza di campionamento $Fc$
* I campioni numerici sono depositati in memorie d'appoggio
* Un primo sistema di scansione esplora le memorie d'appoggio per creare stringhe dati nelle quali tra ogni coppia di valori memorizzati sono inseriti $k$ valori nulli
* Un secondo sistema di scansione esplora le nuove stringhe e ne interpola i valori
* La nuova esplorazione e la conseguente interpolazione generano altre stringhe nelle quali compaiono sia i valori numerici iniziali sia i valori numerici che l'interpolazione assegna ai gruppi delle $k$ cellule quindi disponibili stringhe con intervalli di campionatura artificiale molto più numerosi degli originali generati con $Tc=1/Fc.$
Con queste stringhe è possibile eseguire traslazioni e somme per la rimessa in coerenza con la precisione voluta.

## Il processo matematico

La descrizione del processo matematico al quale abbiamo accennato è molto complessa, si fornisce al lettore il testo originale di R.G. Pridham e A. Mucci disponibile in file pdf cliccando su collegamenti esterni: