# Segregazione urbana in base al reddito

Le domande a cui questa risorsa vuole dare risposta sono le seguenti:

## Modello basato sulle esternalità sociali

Prendiamo due classi sociali generali definite come poveri (indicati con P) e ricchi (indicati con R). Non preoccupiamoci della loro dimensione numerica in termini assoluti, ma consideriamo solo il loro peso percentuale. In altri termini la popolazione è normalizzata a 1 e di conseguenza $0<P<1\Rightarrow R=1-P$. La percentuale dei poveri che vivono in città è denotata con P$^c${\textstyle P^{c}}, quella che vive in campagna è P$^s${\textstyle P^{s}}.
Sia $k$ il prezzo delle case in campagna e, di conseguenza, quello delle case in città k+Δ{\textstyle k+\Delta }, ovviamente con delta strettamente positivo e fissato. Si supponga che sia fissato il numero di case in città C{\textstyle C} così come quello delle case in campagna 1−C{\textstyle 1-C}, e che di tali beni non ci sia scarsità tale da costringere qualcuno a dover vivere in campagna solo perché in città non ci sono case e viceversa.
Ogni abitante dello spazio, denotando con l'indice $i$ il luogo (città o campagna), con j{\textstyle j} la classe sociale, con W{\textstyle W} il reddito, con $K$ il costo delle abitazioni, con $T$ il costo dei trasporti (ovviamente il trasporto dalla campagna è più proporzionalmente più alto che quello in città per compensare il maggiore costo della casa, dunque $T^{c}=t$ e $T^{s}=t+\Delta$ ), con $\alpha _{j}v(P^{i})$ che rappresenta le esternalità sociali, cioè l'utilità data da particolari fattori sociali (nel nostro esempio il parametro $\alpha _{j}$ dipende dalla classe sociale e $v(P^{i})$ indica il grado di apprezzamento nel vivere assieme a dei poveri in funzione alla quota di poveri presenti in zona $i$), ha la seguente funzione di utilità:
$U_{j}^{i}=W-K^{i}-T^{i}+\alpha _{j}v(P^{i})$
E' ragionevole ipotizzare che i ricchi non amino mai stare vicino ai poveri, dunque $\alpha _{r}<0$, mentre per i poveri è meno ovvio stabilire se siano indifferenti a stare con altri poveri $\alpha _{p}=0$, se preferiscono vivere assieme ad altri poveri $\alpha _{p}>0$ oppure se lo percepiscono come un'esternalità negativa $\alpha _{p}<0$.

### Equilibrio misto

Supponiamo che ci siano tanti poveri in città quanti in campagna, cioè che $P^{c}=P^{s}$. In tal caso si è sempre in equilibrio spaziale poiché l'utilità per qualunque classe sociale è la medesima in qualunque zona:
$U_{p}^{c}=U_{p}^{s}\Leftrightarrow W-k-\Delta -t+\alpha _{p}v(P^{c})=W-k-t-\Delta +\alpha _{p}v(P^{s})$
che si verifica sempre perché se $P^{c}=P^{s}$ allora $\alpha _{p}v(P^{c})=\alpha _{p}v(P^{s})$.
La stessa cosa vale ovviamente per i ricchi:
$U_{r}^{c}=U_{r}^{s}\Leftrightarrow W-k-\Delta -t+\alpha _{p}r(P^{c})=W-k-t-\Delta +\alpha _{r}v(P^{s})$

### Equilibrio di segregazione (poveri in città)

Consideriamo ora il caso in cui si verificano le seguenti condizioni: 1. Tutti i poveri vivono in città, mentre i ricchi possono scegliere se vivere in città o in campagna; 2. I prezzi delle case in città sono influenzati dalle esternalità sociali dei ricchi, e sono definiti come: $K^{c}=k+\Delta +\alpha _{r}v\left({\frac {P}{C}}\right)$. La seconda condizione ci dice che i prezzi delle case in città tengono conto anche dell'avversione per i ricchi nello stare assieme ai poveri (rappresentata dalla percentuale dei poveri sulle case disponibili, dunque dalla densità dei poveri) , aggiustando il prezzo di conseguenza analogamente a quanto succede per i trasporti.
Vediamo in quali circostanze questa è una configurazione di equilibrio, cioè non si verificherà alcuno spostamento di poveri verso la campagna (mentre, ricordiamo, i ricchi possono vivere sia in città che in campagna). L'utilità dei poveri in città è $U_{p}^{c}=W-k-\Delta -\alpha _{r}\left({\frac {P}{C}}\right)-t+\alpha _{p}v\left({\frac {P}{C}}\right)=W-k-\Delta -t+(\alpha _{p}-\alpha _{r})v\left({\frac {P}{C}}\right)$ , mentre in campagna sarebbe $U_{p}^{s}=W-k-t-\Delta$ . L'utilità dei ricchi in città e in campagna è la medesima: $U_{r}^{C}=W-k-\Delta +\alpha _{r}v\left({\frac {P}{C}}\right)-t+\alpha _{r}v\left({\frac {P}{C}}\right)=W-k-\Delta -t=W-k-t-\Delta =U_{r}^{s}$ . Tutti i poveri risiederanno in città e verificano la condizione 1 se la loro utilità in città è maggiore rispetto a quella che otterrebbero in campagna, cioè se: $U_{p}^{c}\geq U_{p}^{s}\Leftrightarrow W-k-\Delta -t+(\alpha _{p}-\alpha _{r})v\left({\frac {P}{C}}\right)\geq W-k-t-\Delta \Leftrightarrow \alpha _{p}-\alpha _{r}\geq 0$ che si verifica se e solo se $\alpha _{p}\geq \alpha _{r}$. A queste condizioni nessun povero è incentivato a lasciare la città.

### Equilibrio di segregazione (ricchi in città)

Supponiamo ora che i ricchi debbano vivere tutti in città, mentre tocca ai poveri la scelta tra campagna o città.
I prezzi delle case in campagna sono sempre $K$, mentre quelle di città sono pari a $K^{c}=k+\Delta -\alpha _{p}v(1)+\alpha _{p}v\left(1-{\frac {1-P}{C}}\right)$.
L'utilità dei poveri in città è uguale a quella che ottengono in campagna: $U_{p}^{c}=W-t-k-\Delta +\alpha _{p}v(1)-\alpha _{p}v\left(1-{\frac {R}{C}}\right)+\alpha _{p}v\left(1-{\frac {R}{C}}\right)=W-t-k-\Delta -\alpha _{p}v(1)=W-t-\Delta -k-\alpha _{p}v\left(1-{\frac {R}{C}}\right)=W-t-\Delta -k-\alpha _{p}v\left(1-{\frac {0}{C}}\right)=W-t-\Delta -k-\alpha _{p}v(1)=U_{p}^{s}$
L'utilità dei ricchi in città è: $U_{r}^{c}=W-t-k-\Delta +\alpha _{p}v(1)-\alpha _{p}v\left(1-{\frac {R}{C}}\right)+\alpha _{r}v\left(1-{\frac {R}{C}}\right)=$$W-t-k-\Delta +\alpha _{p}v(1)+(\alpha _{r}-\alpha _{p})v\left(1-{\frac {R}{C}}\right)$. L'utilità dei ricchi in campagna è: $U_{r}^{s}=W-t-\Delta -k+\alpha _{r}v\left(1-{\frac {R}{C}}\right)=$$W-t-\Delta -k+\alpha _{r}v\left(1-{\frac {0}{C}}\right)=W-t-\Delta -k+\alpha _{r}v(1)$
Dunque, una tale segregazione è un equilibrio possibile se U$_r$$^c$≥U$_r$$^s${\textstyle U_{r}^{c}\geq U_{r}^{s}}, che si verifica quando $W-t-k-\Delta +\alpha _{p}v(1)+(\alpha _{r}-\alpha _{p})v\left(1-{\frac {R}{C}}\right)\geq W-t-\Delta -k+\alpha _{r}v(1)\Leftrightarrow$$\alpha _{p}v(1)+(\alpha _{r}-\alpha _{p})v\left(1-{\frac {R}{C}}\right)\geq \alpha _{r}v(1)\Leftrightarrow$$(\alpha _{p}-\alpha _{r})v(1)-(\alpha _{p}-\alpha _{r})v\left(1-{\frac {R}{C}}\right)\geq 0\Leftrightarrow \alpha _{p}-\alpha _{r}\geq 0$ che si verifica se e solo se $\alpha _{p}\geq \alpha _{r}$.
| Caso | Equilibrio stabile | |
| $\alpha _{r}>\alpha _{p}$ | Misto | Abbiamo già dimostrato che tutti i casi di segregazione richiedono che $\alpha _{p}\geq \alpha _{r}$ . Se così non fosse si ha un equilibrio instabile: se tutti i poveri sono in città, le esternalità sociali negative abbattono ogni possibile vantaggio dovuto ai risparmi sui costi delle abitazioni e ciò provocherebbe una fuga dei poveri dalla città. Se invece fossero i ricchi a essere in città, si verifica l'esatto opposto: le esternalità negative dovute ai poveri sono minori rispetto ai vantaggi della città. |
| $\alpha _{p}>\alpha _{r}$ | Segregazione | |

### Stabilità dell'equilibrio con esternalità sociali fisse

Ci chiediamo ora quanto gli equilibri sopra descritti siano stabili nel tempo, cioè quanto siano sensibili alle perturbazioni. Nel modello che segue consideriamo solo l'esternalità causata dai poveri come variabile perturbante.
Affinché vi sia un equilibrio, l'utilità nel risiedere in città o in campagna deve essere la stessa per ogni classe sociale. Dunque si deve avere $U_{j,t}^{c}=U_{j,t}^{s}\Leftrightarrow W-k-\Delta -t+\alpha _{j}v(P_{t-1}^{c})=W-k-t-\Delta +\alpha _{j}v(P_{t-1}^{s})$. Questo equivale a dire $\alpha _{j}v(P_{t-1}^{c})=\alpha _{j}v(P_{t-1}^{s})\Leftrightarrow \alpha _{j}\left[v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right]=0$ , per ogni classe sociale.
La stessa situazione di equilibrio deve verificarsi tra le classi sociali, cioè $U_{r}^{i}=U_{p}^{i},\forall i$. Da ciò consegue $\alpha _{r}\left[v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right]=\alpha _{p}\left[v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right]$; tuttavia, escludendo il caso banale in cui $\alpha _{r}=\alpha _{p}$, questa situazione può verificarsi se e solo se $v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})=0\Leftrightarrow v(P_{t-1}^{c})=v(P_{t-1}^{s})$ da cui discende $P_{t-1}^{c}=P_{t-1}^{s}$. In altri termini, si ha equilibrio stabile misto quando città e campagna hanno la stessa quota di poveri al tempo $t-1$.
Caso $\alpha _{p}>\alpha _{r}$ e $P_{t-1}^{c}>P_{t-1}^{s}$
Il differenziale di utilità tra città e campagna per i poveri è $U_{p,t}^{c}-U_{p,t}^{s}=W-k-\Delta -t+\alpha _{p}v(P_{t-1}^{c})-W+k+\Delta +t-\alpha _{p}(P_{t-1}^{s})=\alpha _{p}\left(v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right)$. Analogamente per i ricchi si ha: $U_{r,t}^{c}-U_{r,t}^{s}=W-k-\Delta -t+\alpha _{r}v(P_{t-1}^{c})-W+k+\Delta +t-\alpha _{r}(P_{t-1}^{s})=\alpha _{r}\left(v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right)$. Confrontiamo ora i due differenziali: $\alpha _{p}\left(v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right)-\alpha _{r}\left(v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right)=(\alpha _{p}-\alpha _{r})\left(v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right)>0$ essendo entrambi i fattori per ipotesi maggiori di zero.
Da ciò deriva che per i poveri la città rappresenta un guadagno di utilità maggiore, se in città ci sono più poveri che in campagna; pertanto essi formeranno una segregazione d'equilibrio con tutti i poveri in città. La città avrà una densità di poveri pari a ${\frac {P}{C}}$.
Caso $\alpha _{p}>\alpha _{r}$ e $P_{t-1}^{c}<P_{t-1}^{s}$
Come in precedenza, il differenziale di utilità tra città e campagna per i poveri è $\alpha _{p}\left(v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right)$. Analogamente per i ricchi si ha ancora $U_{r,t}^{c}-U_{r,t}^{s}=\alpha _{r}\left(v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right)$. Confrontiamo nuovamente i due differenziali: $\alpha _{p}\left(v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right)-\alpha _{r}\left(v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right)=(\alpha _{p}-\alpha _{r})\left(v(P_{t-1}^{c})-v(P_{t-1}^{s})\right)<0$ essendo entrambi per ipotesi il primo fattore positivo e il secondo negativo.
Da ciò deriva che per i poveri la campagna rappresenta un guadagno di utilità maggiore, pertanto essi formeranno una segregazione d'equilibrio con tutti i poveri in campagna. La città avrà una densità di poveri pari a $0$, se vi sono abbastanza abitazioni in campagna. Se il numero di abitazioni in campagna è pari a $P$, allora in città si avrà una densità di ricchi di ${\frac {1-P}{C}}$ e in campagna una densità di poveri pari a 1.
Tabella di riepilogo La tabella seguente mostra gli equilibri stabili a seconda delle differenti condizioni iniziali, sotto l'ipotesi che $\alpha _{p}>\alpha _{r}$.
| Condizione iniziale | Equilibrio stabile |
| $P^{c}=P^{s}$ | Equilibrio misto |
| $P^{c}>P^{s}$ | Segregazione poveri in città |
| $P^{c}<P^{s}$ | Segregazione poveri in campagna |
Se la probabilità di avere una maggiore concentrazione di poveri in città è uguale a quella di avere un maggiore concentrazione di poveri in campagna, allora il modello predirrebbe una sostanziale equidistribuzione delle casistiche reali di luoghi con poveri in città e poveri in campagna.

### Stabilità dell'equilibrio con esternalità sociali differenziate tra città e campagna

Proviamo ora a vedere che succede ipotizzando che l'esternalità sociale vari in concomitanza con la densità di poveri. L'idea alla base è che in città l'esternalità che proviene dai poveri è più pronunciata che in campagna, per il fatto che la maggiore densità abitativa della città “fa sentire di più” le esternalità. Supponiamo allora di introdurre un parametro $\theta \in (0,1)$ che abbassi l'esternalità in campagna, rendendola così pari a $\theta \alpha _{j}v(P_{(t-1)}^{s})$, per ogni classe sociale $j$ . Per la città resta invece immutata l'esternalità $\alpha _{j}v(P_{(t-1)}^{c})$.

#### Equilibrio misto

L'esistenza dell'equilibrio misto impone che $U_{j}^{c}(t)=U_{j}^{s}(t)$, per ogni classe sociale $j$. L'equazione si sviluppa nel solito modo: $W-k-\Delta -t+\alpha _{j}v(P_{(t-1)}^{c})-W+k+t-\Delta -\theta \alpha _{j}v(P_{(t-1)}^{s})=0$, cioè $\alpha _{j}v(P_{(t-1)}^{c})-\theta \alpha _{j}v(P_{(t-1)}^{s})=0\Leftrightarrow v(P_{(t-1)}^{c})-\theta v(P_{(t-1)}^{s})=0$. Per ipotesi iniziale, $v(\cdot )$ è una funzione strettamente crescente. Siccome $\theta <1$, allora l'equazione si verifica solo per valori di $P_{(t-1)}^{s}$ strettamente maggiori di $P_{(t-1)}^{c}$, cioè i poveri devono essere più in campagna che in città, contro molte evidenze empiriche che suggeriscono con ciò il difficile avveramento di un modello a equilibrio misto.

#### Segregazione di poveri in città

Come prima, affinché si stabilizzi un equilibrio del genere deve esserci un vantaggio differenziale dei poveri a stare in città maggiore di quello dei ricchi, dunque U$_p$$^c$−U$_p$$^s$>U$_r$$^c$−U$_r$$^s$U_{p}^{c}-U_{p}^{s}>U_{r}^{c}-U_{r}^{s}. Sviluppiamo la disequazione: $W-t-k-\Delta +\alpha _{p}v(P_{(t-1)}^{c})-W+t+k+\Delta -\theta \alpha _{p}v(P_{(t-1)}^{s})-W-t-\Delta -k-\alpha _{r}v(P_{(t-1)}^{c})+W+t+\Delta +k-\theta \alpha _{r}v(P_{(t-1)}^{s})>0$ che da $\alpha _{p}\left[v(P_{(t-1)}^{c})-\theta v(P_{(t-1)}^{s})\right]-\alpha _{r}\left[v(P_{(t-1)}^{c})-\theta v(P_{(t-1)}^{s})\right]>0\Leftrightarrow (\alpha _{p}-\alpha _{r})\left[v(P_{(t-1)}^{c})-\theta v(P_{(t-1)}^{s})\right]>0$ che si verifica se entrambi i fattori sono positivi.
Supponiamo che $\alpha _{p}>\alpha _{r}$. Dobbiamo allora vedere in quali circostanze anche $v(P_{(t-1)}^{c})-\theta v(P_{(t-1)}^{s})>0$. Se $\theta \in (0,1)$, allora esistono dei valori di $P_{(t-1)}^{s}>P_{(t-1)}^{c}$ tali che, comunque, $v(P_{(t-1)}^{c})-\theta v(P_{(t-1)}^{s})>0$, e ciò significa che esistono casi in cui c'è segregazione di poveri in città anche in presenza di una quota maggiore di poveri in campagna. Se $\theta$ è molto piccolo, dunque la presenza dei poveri è “poco sentita” in campagna anche se questi sono tanti, allora è possibile un equilibrio di segregazione dei poveri in città anche con tanti poveri in campagna al tempo $t-1$.
Questo equilibrio dunque è tanto più probabile quanto $\theta \to 0^{+}$, cioè se l'impatto dell'esternalità dei poveri è comunque limitato.

#### Segregazione di ricchi in città

Ripercorriamo la strada appena fatta per la segregazione dei poveri in città. Affinché i ricchi si stabilizzano tutti in città deve esserci un vantaggio differenziale di questi superiore a quello dei poveri, dunque $U_{r}^{c}-U_{r}^{s}>U_{r}^{c}-U_{r}^{s}$. Sviluppiamo ancora la disequazione: $W-t-k-\Delta +\alpha _{r}v(P_{(t-1)}^{c})-W+t+\Delta +k-\theta \alpha _{r}v(P_{(t-1)}^{s})-W+t+k+\Delta -\alpha _{p}v(P_{(t-1)}^{c})+W-t-\Delta -k+\theta \alpha _{p}v(P_{(t-1)}^{s})>0\Leftrightarrow \alpha _{r}v(P_{(t-1)}^{c})-\theta \alpha _{r}v(P_{(t-1)}^{s})-\alpha _{p}v(P_{(t-1)}^{c})+\theta \alpha _{p}v(P_{(t-1)}^{s})>0$ , e infine $(\alpha _{r}-\alpha _{p})\left[v(P_{(t-1)}^{c})-\theta v(P_{(t-1)}^{s})\right]>0$.
Sotto l'ipotesi “di ragionevolezza” che $\alpha _{p}>\alpha _{r}$, l'ultima disequazione implica che deve aversi $v(P_{(t-1)}^{c})-\theta v(P_{(t-1)}^{s})<0$ per verificarsi e dunque per consentire l'equilibrio di segregazione di tutti i ricchi in città. Questo non può avvenire se $P_{(t-1)}^{c}>P_{(t-1)}^{s}$. Se invece $P_{(t-1)}^{c}<P_{(t-1)}^{s}$ l'equilibrio sarebbe possibile, se $\theta \to 1$ o comunque è sufficientemente grande.
Il parametro $\theta$ rende dunque più probabile l'equilibrio se è grande, dunque l'equilibrio di segregazione dei ricchi in città presuppone una alta quota di poveri in campagna contestuale a un alto impatto dell'esternalità.

## Modello basato sulle esigenze abitative

Supponiamo ora che un fattore importante nelle scelte di localizzazione sia la quantità di terra disponibile, lo “spazio” per avere una casa più grande. Fissiamo per i poveri la quantità minima di terra per vivere, una unità, mentre il ricco vorrebbero $\Lambda >1$ unità di terra per se.
Il modello suppone inoltre un “premio” aggiuntivo nel costo di trasporto per i ricchi, secondo il detto “il tempo è denaro”. L'autore del modello pensa il tempo sia più costoso per i ricchi che per i poveri, dunque i commuting cost di trasporto sarebbero $t+\Delta$ per i poveri che vivono in campagna e $t+\Delta \lambda$ per i ricchi campagnoli. Vediamo le condizioni affinché vi sia segregazione di poveri in città.
Affinché vi sia una segregazione di poveri in città, deve esserci indifferenza tra città e campagna nei ricchi e un differenziale di utilità della città maggiore nei poveri rispetto ai ricchi. In termini matematici si ha l'indifferenza dei ricchi $U_{r}^{c}=U_{r}^{s}\Leftrightarrow W-T_{r}^{c}-H_{r}^{c}=W-T_{r}^{s}-H_{r}^{s}\Leftrightarrow T_{r}^{c}+H_{r}^{c}=T_{r}^{s}+H_{r}^{s}$ e la si può esprimere in termini più chiari in questo modo: $T_{r}^{c}-T_{r}^{s}=-(H_{r}^{c}-H_{r}^{s})$. Indicando con $D_{h}=H_{j}^{c}-H_{j}^{s}$ il differenziale nel costo delle abitazioni e ricordando che i ricchi vogliono sempre $\Lambda$ terra, possiamo riscrivere l'equazione in questo modo: $T_{r}^{c}-T_{r}^{s}=-\Lambda D_{h}$ per poi esplicitare i costi di trasporto $t-t-\lambda \Delta =-\Lambda D_{h}\Leftrightarrow \lambda \Delta =\Lambda D_{h}\Leftrightarrow D_{h}=\Delta {\frac {\lambda }{\Lambda }}$, ed è un differenziale positivo.

## Modello basato sulle esigenze abitative

Supponiamo ora che un fattore importante nelle scelte di localizzazione sia la quantità di terra disponibile, lo “spazio” per avere una casa più grande. Fissiamo per i poveri la quantità minima di terra per vivere, una unità, mentre il ricco vorrebbero $\Lambda >1$ unità di terra per se.
Il modello suppone inoltre un “premio” aggiuntivo nel costo di trasporto per i ricchi, secondo il detto “il tempo è denaro”. L'autore del modello pensa il tempo sia più costoso per i ricchi che per i poveri, dunque i commuting cost di trasporto sarebbero $t+\Delta$ per i poveri che vivono in campagna e $t+\Delta \lambda ,\lambda >1$ per i ricchi campagnoli. Vediamo le condizioni affinché vi sia segregazione di poveri in città.
Affinché vi sia una segregazione di poveri in città, deve esserci indifferenza tra città e campagna nei ricchi e un differenziale di utilità della città maggiore nei poveri rispetto ai ricchi. In termini matematici si ha l'indifferenza dei ricchi $U_{r}^{c}=U_{r}^{s}\Leftrightarrow W-T_{r}^{c}-H_{r}^{c}=W-T_{r}^{s}-H_{r}^{s}\Leftrightarrow T_{r}^{c}+H_{r}^{c}=T_{r}^{s}+H_{r}^{s}$ e la si può esprimere in termini più chiari in questo modo: $T_{r}^{c}-T_{r}^{s}=-(H_{r}^{c}-H_{r}^{s})$. Indicando con $D=H_{j}^{c}-H_{j}^{s}$ il differenziale nel costo delle abitazioni e ricordando che i ricchi vogliono sempre $\Lambda$ terra, possiamo riscrivere l'equazione in questo modo: $T_{r}^{c}-T_{r}^{s}=-\Lambda D$ per poi esplicitare i costi di trasporto $t-t-\lambda \Delta =-\Lambda D\Leftrightarrow \lambda \Delta =\Lambda D\Leftrightarrow D=\Delta {\frac {\lambda }{\Lambda }}$, ed è un differenziale positivo.
Abbiamo detto che il differenziale di utilità della città deve essere maggiore per i poveri che per i ricchi. Allora deve verificarsi $W-T_{p}^{c}-H_{p}^{r}-W+T_{p}^{s}+H_{p}^{s}-W-T_{r}^{c}-H_{r}^{c}+W+T_{r}^{s}+H_{r}^{s}\geq 0\Leftrightarrow$$-T_{p}^{c}-H_{p}^{r}+T_{p}^{s}+H_{p}^{s}-T_{r}^{c}-H_{r}^{c}+T_{r}^{s}+H_{r}^{s}\geq 0\Leftrightarrow$ $-(T_{p}^{c}-T_{p}^{s})+(T_{r}^{c}-T_{r}^{s})-(H_{p}^{c}-H_{p}^{s})+(H_{r}^{c}-H_{r}^{s})\geq 0\Leftrightarrow$ $-(t-t-\Delta )+(t-t-\Delta \lambda )-D+\Lambda D\geq 0\Leftrightarrow$$\Delta -\lambda \Delta -D+\Lambda D\geq 0\Leftrightarrow -D+\Delta \geq \lambda \Delta -\Lambda D$ da cui si ricava, ricordando che $D=\Delta {\frac {\lambda }{\Lambda }}$,: $-{\frac {\lambda \Delta }{\Lambda }}+\Delta \geq \lambda \Delta -\Lambda {\frac {\lambda }{\Lambda }}\Delta \Leftrightarrow \Delta {\frac {\lambda }{\Lambda }}\leq \Delta -\lambda \Delta +\lambda \Delta \Leftrightarrow {\frac {\lambda }{\Lambda }}\leq 1$ che porta al risultato finale: $\lambda \leq \Lambda$.
Questo risultato mostra quanto segue: è possibile avere l'equilibrio dei poveri segregati in città se e solo se lo svantaggio dei ricchi in termini di trasporto $\lambda$ è minore della domanda maggiorata di spazio per le case $\Lambda$. In parole povere, i ricchi vanno a vivere in campagna se per loro è più importante avere una casa grande che perdere tempo nel viaggio da pendolari.