# Numeri reali

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## Relazione d'ordine

Sia $R$ una relazione. Si dice che $R$ è una relazione d'ordine se è
* riflessiva
* transitiva
* antisimmetrica.
Se tale relazione è assegnata ad un insieme $A$, allora si dice che $A$ è ordinato e si indica con $(A,\leq )$.
Ad esempio, consideriamo la relazione così definita
    $xRy\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb {N} \ :\ x+n=y$
È sufficiente verificare le tre proprietà per dimostrare che $R$ è una relazione d'ordine. E infatti, è l'usuale relazione d'ordine di $\leq$.
Se $x\leq y$ oppure $y\leq x$, allora la relazione si dice di ordine totale (o lineare).

### Insiemi limitati

Sia $(A,\leq )$ un insieme ordinato e $A'\subseteq A$ un sottoinsieme non vuoto. Allora $a\in A$ si dice maggiorante di $A'$ se
$a\geq b,\ \forall b\in A'$
Analogamente si dice che $a\in A$ è minorante di $A$ se
$a\leq b,\ \forall b\in A'$
Se $a$ è maggiorante (minorante) ed è anche appartenente ad $A'$, allora si dice che $a$ è il massimo (minimo) di $A'$. Si indicano rispettivamente con
$\max A\ \ \ \ \ \min A$
Non tutti gli insiemi hanno massimo e minimo, ma se li hanno, essi sono unici. Dimostriamolo solo nel caso del massimo. Consigliamo di provare come esercizio a dimostrare il caso del minimo.

#### Proposizione (unicità di massimo e minimo)

Sia $(A,\leq )\neq \emptyset$ e $A\subseteq B$. Se $A$ ha massimo, allora è unico.

##### Dimostrazione

Sia $m=\max A$. Supponiamo che esista un altro $m'=\max A$. Allora, per la definizione di massimo, si ha
    $m,m'\in A\ \ m\geq a\in A$(*) e
    $m'\geq a\in A$(**).
Siccome $m'$ è un elemento di $A$, per la (*) si ha $m\geq m'$. D'altra parte, siccome anche $m\in A$, per la (**) abbiamo $m'\geq m\in A$. Allora altro non può essere che
$m=m'$
$\Box$

### Estremo superiore e inferiore

Si dice estremo superiore il più piccolo dei maggioranti ed estremo inferiore il più grande dei minoranti. In altri termini:
$\sup A=\min\{x\geq a,\ \forall a\in A\}$
$\inf A=\max\{x\leq a,\ \forall a\in A\}$
Anche per l'estremo superiore e inferiore, se esistono sono unici. Non tutti gli insiemi però hanno tali estremi, perché non tutti gli insiemi hanno un insieme dei maggioranti o minoranti (e dunque non ha senso quanto scritto appena sopra).
Vediamo ora alcuni esempi di quello che abbiamo visto finora.

#### Esempi

1. Sia $A=\{x\in \mathbb {Q} \ :\ 0\leq x<1\}$. Studiamo un po' questo insieme.
    $A$ è l'insieme dei numeri razionali non negativi e più piccoli di 1. Innanzitutto notiamo che, da quello che abbiamo appena detto, tutti gli elementi dell'insieme sono più piccoli di 1 e quindi, equivalentemente, 1 è un maggiorante. Gli elementi di $A$ sono però tutti quei razionali strettamente più piccoli 1, dunque 1 è il minore tra i maggioranti perché se $\lambda$ fosse un maggiorante e fosse minore di 1, allora si avrebbe che $\lambda \geq x\in A$ pur essende stesso un elemento di $A$ e questo non è possibile perché possiamo sempre trovare un altro numero razionale $y\in \mathbb {Q} \ :\ x<y<1,\ \forall x\in \mathbb {Q}$. Dunque un $\lambda$ siffatto non è un maggiorante e dunque $\sup A=1$.
    Osserviamo anche che gli elementi di $A$ sono tutti maggiori o uguali di 0 ma $0\in A$ e questo equivale alla definizione di minimo. Dunque $0=\min A$.
Nota: vedere se scrivere il teorema 3.7
Se un insieme ordinato $A$ ha maggioranti, tale insieme si dice superiormente limitato. Analogamente si dice inferiormente limitato se esistono minoranti.

## Completezza di un insieme

Un insieme ordinato $A$ si dice completo se ogni suo sottoinsieme superiormente limitato ha estremo superiore in $A$.

#### Proposizione (esistenza dell'estremo inferiore in un insieme completo)

Sia $(\mathbb {I} ,\leq )$ completo e $A\subseteq \mathbb {I} ,\ A\neq \emptyset$. Allora $A$ ha estremo inferiore in $\mathbb {I}$.

##### Dimostrazione

$A$ è inferiormente limitato per ipotesi, dunque certamente esiste in $\mathbb {I}$ l'insieme dei minoranti di $A$
$M=\{m\leq a,\ \forall a\in A\}$
Osserviamo anche l'inverso, cioè che ogni elemento di $A$ è maggiorante di $M$, dunque $M$ ha estremo superiore in $\mathbb {I}$ (perché, per ipotesi, $\mathbb {I}$ è completo). Sia $\lambda =\sup M$. Ogni elemento di $A$ è più grande di ogni elemento di $M$ ma anche $a\geq \lambda ,\ \forall a\in A$ dato che $\lambda$ è il più piccolo tra i maggioranti di $M$. Ma allora $\lambda \in M$ e dunque $\lambda =\max M$. Infine, essendo $\lambda$ il massimo dei minoranti di $A$, è per definizione l'estremo inferiore di $A$.
$\Box$
Dimostriamo che $(\mathbb {Q} ,\leq )$ non è completo, quindi che esistono sottoinsiemi superiormente limitati ma che non hanno estremo superiore. (d'ora in avanti indicheremo con $\mathbb {Q}$ l'insieme $(\mathbb {Q} ,\leq )$.
Per giungere al nostro scopo, dimostriamo che non è vero che $\mathbb {Q}$ è completo; dunque forniamo un controesempio. Consideriamo
$R=\{x\in \mathbb {Q} \ :\ x>0,\ x^{2}<2\}$
$R$ non è ovviamente vuoto ed ha dei maggioranti (ad esempio 2 è un maggiorante, visto che $2^{2}=4>2\Rightarrow 2>x,\forall x\in R$). Proviamo ora che non esiste l'estremo superiore di questo insieme, cioè che non esiste un $m\in \mathbb {Q}$ il minore di tutti i maggioranti di $R$.
Ragioniamo per assurdo e supponiamo che $m=\sup R$ esista.
* Se $m^{2}<2$, allora $m\in R$. Però esiste certamente $\varepsilon \in \mathbb {Q}$ tale che $(m+\varepsilon )^{2}<2$. Infatti $\mathbb {Q}$ è un insieme denso, dunque tra due razionali esiste sempre un altro razionale; in questo caso se $2=m+\alpha$, si ha $0<\varepsilon <\alpha$ e dunque $m+\varepsilon <m+\alpha =2$.
    Ma allora $m\in R$ e $m+\varepsilon \in R$ e da qui si ottiene che in $R$ c'è un valore più grande di $m$ e questo contraddice l'ipotesi che $m^{2}<2$.
* Se $m^{2}=2$, possiamo scrivere anche $m={\frac {p}{q}}$ (con $p,q$ primi tra loro) e quindi ${\frac {p^{2}}{q^{2}}}=2$. Da qui $p^{2}=2q^{2}$ e il fatto che il secondo membro sia pari, ci dice che $p^{2}$ è pari e dunque lo è anche $p$. Allora possiamo scrivere il tutto come $4y^{2}=2q^{2}$ (con $p=2y$) ed equivalentemente $2y=^{2}=q^{2}$. Per lo stesso ragionamento di prima, anche $q$ è pari e questa è una contraddizione perché avevamo supposto $p,q$ primi tra loro!
    Questa è anche la prova classica che esistono numeri non razionali.
* Infine, se $m^{2}>2$, allora esiste certamente (per lo stesso criterio del punto 1) un $\varepsilon \in \mathbb {Q}$ tale che $(m-\varepsilon )^{2}>2$. Ma $x^{2}<(m-\varepsilon )^{2}$ e siccome entrambi i membri sono positivi, $x<m-\varepsilon$ e dunque $m-\varepsilon$ è un maggiorante di $R$ e abbiamo finito, perché questo contraddice l'ipotesi che $m$ sia il più piccolo dei maggioranti e dimostra che non può essere nemmeno $m^{2}>2$