# Alcuni importanti teoremi sulle successioni
#### Corollario

Siano $(a_{n}),\ (b_{n})$ due successioni convergenti a $\lambda$ e $\mu$. Allora:
(i) se $\lambda <\mu \Rightarrow \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}<b_{n},\ \forall n>m$
(ii) se $a_{n}<b_{n},\ \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \ \lambda \leq \mu$

##### Dimostrazione

Dimostriamo la prima implicazione. Per l'algebra delle successioni si ha che $b_{n}-a_{n}\to \mu -\lambda >0$ e per il Teorema della permanenza del segno anche $b_{n}-a_{n}>0,\ \forall n>m$ e dunque $a_{n}<b_{n}$.
Proviamo ora la seconda affermazione ragionando per assurdo. Se $\lambda >\mu$ avremmo, per il punto (i), che esiste un $m\in \mathbb {N}$ tale che $a_{n}>b_{n},\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$ ma questo contraddice l'ipotesi e l'asserto è così provato.
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#### Teorema (dei due carabinieri o del confronto)

Siano $(a_{n}),\ (b_{n}),\ (c_{n})$ successioni tali che
$a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n},\ \ \forall n\in \mathbb {N}$
Supponiamo inoltre che $(a_{n})$ e $(b_{n})$ convergano a $\lambda \in \mathbb {R}$. Allora anche
$\lim _{n\to \infty }c_{n}=\lambda$
Il Teorema si chiama anche "dei due carabinieri" non a caso; infatti intuitivamente è come se il limite di $c_{n}$ rimanga intrappolato tra i due "carabinieri" $\lambda$, cioè un qualcosa di tipo
${\begin{matrix}a_{n}&&c_{n}&&b_{n}\\\downarrow &&&&\downarrow \\\lambda &\Rightarrow &\downarrow &\Leftarrow &\lambda \\&&\lambda &&\end{matrix}}$

##### Dimostrazione

Per ipotesi $(a_{n})$ e $(b_{n})$ convergono a $\lambda$, dunque
$\forall \varepsilon >0\ \exists m'\in \mathbb {N} \ :\ \lambda -\varepsilon <a_{n}<\lambda +\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m'$
$\forall \varepsilon >0\ \exists m''\in \mathbb {N} \ :\ \lambda -\varepsilon <b_{n}<\lambda +\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m''$
Se $n>\max\{m',m''\}$, si ha che $\lambda -\varepsilon <a_{n}\leq b_{n}<\lambda +\varepsilon$, ma sappiamo che in mezzo alle due successioni ci sono i $c_{n}$ e vale per tutti gli $n\in \mathbb {N}$.
Dunque $\lambda -\varepsilon <a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}<\lambda +\varepsilon$ e posto $m=\max\{m',m''\}$ si ha
$\forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ \lambda -\varepsilon <c_{n}<\lambda +\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$
e dunque converge.
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#### Teorema del Carabiniere Isolato

Siano $(a_{n}),\ (b_{n})$ successioni tali che $a_{n}\leq b_{n},\ \ \forall n\in \mathbb {N}$.
    1) Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=+\infty$ allora $\exists \lim _{n\to \infty }b_{n}=+\infty$.
    2) Se $\lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty$ allora $\exists \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$.
Questo Teorema è molto simile a quello precedente, ma in questo caso la successione rimane intrappolata tra il "carabiniere" e un muro, rappresentato da $\pm \infty$, oltre il quale non si può andare.
Bisogna però prestare attenzione ad usare il teorema nel verso giusto, infatti supponendo che $a_{n}\leq b_{n},\ \forall n\in \mathbb {N}$ se abbiamo $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$ nulla si può dire del limite di $(b_{n})$ e viceversa se $\lim _{n\to \infty }b_{n}=+\infty$, nulla si può dire del limite di $(a_{n})$.
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#### Teorema (del confronto per successioni divergenti)

Siano $(a_{n}),\ (b_{n})$ due successioni e $(a_{n})\to +\infty ,\ \forall n\in \mathbb {N}$. Se $a_{n}\leq b_{n},\ \forall n\in \mathbb {N}$ si ha che anche $(b_{n})\to +\infty$ cioè $(a_{n})$, che va all'infinito ed è minore di $(b_{n})$, "spinge" anche $(b_{n})$ all'infinito insieme ad essa.
Analogamente l'inverso, cioè se $a_{n}\leq b_{n},\ \forall n\in \mathbb {N}$ e $(b_{n})$ diverge negativamente, spinge $(a_{n})$ a $-\infty$.

##### Dimostrazione

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=+\infty \Leftrightarrow \forall k\in \mathbb {R} \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$. Se $b_{n}\geq a_{n}$ per tutti gli $n\in \mathbb {N}$ e $a_{n}>k$ sempre per tutti gli $n$, certamente anche ogni $b_{n}$ è maggiore di $k$ e dunque anch'essa tende a $+\infty$.
In modo identico si prova la seconda affermazione.
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## Successioni limitate

Sia $(a_{n})$ una successione reale. Diciamo che $(a_{n})$ è
* superiormente limitata se $\exists m\in \mathbb {R} \ :\ a_{n}\leq m,\ \forall n\in \mathbb {N}$
* inferiormente limitata se $\exists m\in \mathbb {R} \ :\ m\leq a_{n},\ \forall n\in \mathbb {N}$
Se la successione è sia inferiormente che superiormente limitata, essa si dice semplicemente limitata e notiamo che $(a_{n})$ è limitata se e solo se $|a_{n}|\leq m,\ \forall n\in \mathbb {N}$, cioè se e solo se $-m\leq a_{n}\leq m\ \forall n\in \mathbb {N}$.

#### Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)

Ogni successione convergente è limitata.

##### Dimostrazione

Prendiamo in esame una generica successione $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ e supponiamo che essa risulti convergente, ciò implica che $a_{n}\to A\in \mathbb {R}$ quando $n\to +\infty$, o scritto in modo più formale:
$\forall \varepsilon >0$
$\exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$
$\forall n>N$
$|a_{n}-A|<\varepsilon$
Detto questo:
$|a_{n}|=|a_{n}-A+A|\leq |a_{n}-A|+|A|$
Per ipotesi possiamo trovare $N\in \mathbb {N}$ tale che $|a_{n}-A|<\varepsilon ,\forall n>N$ pertanto:
$|a_{n}|<\varepsilon +|A|,\forall n>N$
possiamo concludere che
$|a_{n}|\leq M\,\!$
$M:=\max\{|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{N}|,\varepsilon +|A|\}$
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Chiamiamo infinitesima una successione $(a_{n})$ convergente a $0$, cioè se $\lim _{n\to \infty }(a_{n})=0$.

#### Proposizione

Se $(a_{n})$ è infinitesima e $(b_{n})$ è limitata, $(a_{n}b_{n})$ infinitesima.
In altri termini, il prodotto tra una successione infinitesima e un'altra limitata genere una successione infinitesima.

##### Dimostrazione

Siccome $(b_{n})$ è limitata per ipotesi, esiste un $m\ :\ |b_{n}|\leq m,\ \forall n\in \mathbb {N}$. Dunque $0\leq |a_{n}b_{n}|\leq m|a_{n}|,\ \forall n\in \mathbb {N}$. Ma $(a_{n})$ tende a $0$ e dunque anche $m|a_{n}|$ tende a $0$.
La successione $|a_{n}b_{n}|$ è intrappolata tra due successioni che tendono a $0$ dunque, per il Teorema dei carabinieri, $|a_{n}b_{n}|\to 0$ e quindi è infinitesima.
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## Successioni di Cauchy

Sia $(a_{n})$ una successione reale. $(a_{n})$ si dice che è una successione di Cauchy se
$\forall \varepsilon >0\ \exists p\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon ,\ \forall n,m\in \mathbb {N} ,\ n,m>p$
In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

#### Proposizione

Ogni successione convergente successione è una successione di Cauchy.

##### Dimostrazione

Sia $(a_{n})$ convergente a $\lambda$. Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha:
$\forall \varepsilon >0\ \exists p\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>p$
Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di $\varepsilon$ prendo ${\frac {\varepsilon }{2}}$, tanto $\varepsilon$ è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora
$\forall \varepsilon >0\ \exists p\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-\lambda |<{\frac {\varepsilon }{2}},\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>p$
Dunque
$|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-\lambda |+|\lambda -a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$
ed infine
$|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$
e questo prova la proposizione.
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#### Teorema (completezza sequenziale di $\mathbb {R}$)

Se $(a_{n})$ è una successione reale di Cauchy, allora è convergente.

##### Dimostrazione

Dobbiamo provare che esiste $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lambda \in \mathbb {R}$. Consideriamo una successione di Cauchy $(a_{n})$. Abbiamo che $\forall \varepsilon >0\exists p\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}},\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>p$.
Fissiamo ora un numero $k\in \mathbb {R}$ e otteniamo $|a_{n}-a_{m}|<k,\ \forall n,m\in \mathbb {N} ,\ n,m>p$. Allora
$|a_{n}|\leq |a_{n}-a_{p+1}|+|a_{p+1}|<k+|a_{p+1}|$
e dunque, per ogni $n$ si ha che
$|a_{n}|\leq \max\{|a_{1}|,\dots ,|a_{p}|,k+|a_{p+1}|\}$
dunque $(a_{n})$ è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di $(a_{n})$ $(a_{k_{n}})$ convergente a $\lambda \in \mathbb {R}$. Dunque $\forall \varepsilon >0\exists p_{1}\ :\ |a_{k_{n}}-\lambda |<{\frac {\varepsilon }{2}},\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>p_{1}$. Poniamo poi $P=\max\{p,p_{1}\}$ e se $n>P$ (e dunque $k_{n}>P$ perché $k_{n}\geq P$) abbiamo
$|a_{n}-\lambda |\leq |a_{n}-a_{k_{n}}|+|a_{k_{n}}-\lambda |<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$
Dunque $(a_{n})$ converge a $\lambda$.
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