# Curve: rappresentazione e proprietà

Una curva nello spazio è una curva che giace nello spazio ed è identificabile da una funzione continua:
    $\alpha :I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
dove $I$ è un intervallo nell'insieme dei numeri reali.
L'immagine di una curva viene anche chiamata supporto della curva. Talvolta si usa l'espressione curva anche per indicare il supporto di una curva.

## Rappresentazione parametrica

La migliore rappresentazione della curva è sicuramente quella parametrica, del tipo:
    $\alpha (t):{\begin{cases}x=\phi (t)\\y=\psi (t)\\z=\chi (t)\end{cases}}$
oppure: $\alpha (t)=\left(\phi (t),\psi (t),\chi (t)\right)$
dove $t\in I$ si chiama parametro.
La condizione di continuità non basta per rappresentare e studiare le curve intese come oggetti filiformi ad una dimensione con le caratteristiche di regolarità volute. La condizione aggiuntiva è che la curva piana sia differenziabile entro I.
Una curva nello spazio parametrizzata: $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t),\chi (t))$ si dice differenziabile in ogni punto di I se le funzioni $\phi (t)$, $\psi (t)$ e $\chi (t)$ hanno derivate continue in ogni punto dell'intervallo.
Una curva nello spazio differenziabile si dice regolare in un punto $t_{0}$ se $\alpha '(t_{0})=\left(\phi '(t_{0}),\psi '(t_{0}),\chi '(t_{0})\right)\neq (0,0,0)$ e regolare in I se $\alpha '(t)\neq \left(0,0,0\right)$ in ogni punto di I.
Un punto $t_{0}$ per cui $\alpha '(t_{0})=\left(0,0,0\right)$ è un punto singolare per la curva.
Una curva è semplice se non si autointerseca, ovvero se
    $\forall \ t_{1}\neq t_{2}\in I\Longrightarrow \alpha (t_{1})\neq \alpha (t_{2})$.

### Retta tangente

La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva. Sia $\alpha (t)$ una curva differenziabile e $P_{0}=\alpha (t_{0})$ un punto regolare. Si può definire la retta tangente (chiamata anche velocità) alla curva nel punto $P_{0}$, la retta parallela al vettore:
    $\alpha '(t_{0})=\left(\phi '(t_{0}),\psi '(t_{0}),\chi '(t_{0})\right)$.
Chiamiamo versore tangente:
    $T(t_{0})={\frac {\alpha '(t_{0})}{|\alpha '(t_{0})|}}$.

### Retta normale

Ogni curva regolare permette di definire una retta normale in ogni suo punto. Considerato un punto della curva, la retta normale è quella singola retta che passa per il punto in considerazione, è perpendicolare alla retta tangente e alla curva.

### Riparametrizzazione

Data una curva $\alpha :I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$ differenziabile e una funzione $t=t(s)$ definita sull'intervallo $S\longrightarrow I$ allora la curva:
    $\beta =\alpha \circ t:S\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},$
tale che per ogni $s\in S\longrightarrow \beta (s)=\alpha (t(s)),$ è una riparametrizzazione della curva $\alpha$. La riparametrizzazione è regolare se: $t(S)=I$ e se $t'(s)\neq 0$.
    Vale il seguente teorema: se $\beta =\alpha \circ t$ è una riparametrizzazione di $\alpha$ tramite $t=t(s)$ allora:
    $\beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))$
    Dimostrazione
Se
    $\alpha (t)=\left(\phi (t),\psi (t),\chi (t)\right)$
allora
    $\beta (s)=\left(\phi (t(s)),\psi (t(s)),\chi (t(s))\right)$
e per la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene:
    ${\frac {d\phi \left(t(s)\right)}{ds}}={\frac {d\phi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}$
    ${\frac {d\psi \left(t(s)\right)}{ds}}={\frac {d\psi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}$
    ${\frac {d\chi \left(t(s)\right)}{ds}}={\frac {d\chi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}$
    e così si ottiene:
    $\beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\left({\frac {d\phi }{ds}},{\frac {d\psi }{ds}},{\frac {d\chi }{ds}}\right)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))$

### Ascissa curvilinea

Si definisce ascissa curvilinea oppure parametro lunghezza arco la riparametrizzazione particolare ottenuta fissando l'estremo inferiore di integrazione a in modo che l'integrale:
    $s(t)=\int _{a}^{t}\|\alpha '(u)\|du=\int _{a}^{b}{\sqrt {\phi '^{2}+\psi '^{2}+\chi '^{2}}}du$
dipenda solo dall'estremo superiore t inteso come variabile. Questa funzione è la lunghezza dell'arco di curva a partire da un punto fisso a e può avere segno. Si può sempre riparametrizzare la curva nell'ascissa curvilinea.
L'ultima affermazione si dimostra nel modo seguente:
dato che $s'(t)=\|\alpha '(t)\|>0$ allora si può invertire s(t) e se la sua inversa è t = t(s) allora si ha la riparametrizzazione ascissa curvilinea o naturale data da:
    $\beta (s)=\alpha (t(s))$.

### Curvatura

Data una parametrizzazione ascissa curvilinea della curva $\alpha (s)$ definiamo curvatura il vettore:
    ${\vec {k}}(s)={\vec {T}}'(s)$
e curvatura scalare il suo modulo.

### Formule di Frenet

Una curva nello spazio (sufficientemente regolare) ha in ogni punto un sistema di riferimento detto triedro di Frenet, dato da una terna di versori tangente, normale e binormale. Da notare che il poter definire il triedro di Frenet in ogni punto della curva è subordinato al fatto che la curva abbia versore tangente e normale in ogni punto della curva: per questo motivo si parlerà d'ora in poi di campo dei versori tangenti e campo dei versori normali. Inoltre la curva deve essere due volte derivabile e questa è una condizione aggiuntiva non prevista nella definizione precedente.
Sia $\alpha (s)=\left(\phi (s),\psi (s),\chi (s)\right)$ una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea. Il campo dei versori tangenti alla curva è dato da:
    ${\overrightarrow {T(s)}}={\frac {\alpha '(s)}{\|\alpha '(s)\|}}$
Il campo dei versori normali è dato da:
    ${\overrightarrow {N(s)}}={\frac {T'(s)}{\|T'(s)\|}}$
Sfruttando la definizione di curvatura si può dare un'altra forma al campo dei versori normali:
    ${\overrightarrow {N(s)}}={\frac {T'(s)}{k(s)}}$
Poiché $T$ ha norma costante, anche la quantità $\|T\|^{2}$ sarà costante, ovvero
    $\left(\left\|T\right\|^{2}\right)'=0$
riscrivendo:
    $\left(T\cdot T\right)'=0$
Sviluppando si ottiene:
    $2T\cdot T'=0$
Ovvero il vettore $T'$ è ortogonale a $T$ e quindi parallelo ad $N$.
Si definisce ancora il campo dei versori binormali:
    ${\overrightarrow {B(s)}}={\overrightarrow {T(s)}}\times {\overrightarrow {N(s)}}$
L'importanza del triedro di Frenet è che esso è un sistema di riferimento ortonormale "mobile", cioè al muoversi del punto $P$ lungo la curva $\alpha (s)$, il triedro di Frenet si muove in modo solidale con $P$ e rimane sempre un sistema ortonormale. In altre parole il triedro di Frenet è una base ortormale e quindi si hanno le formule di Frenet:
    ${\begin{cases}{\overrightarrow {T'(s)}}=a_{1}\cdot {\overrightarrow {T(s)}}+b_{1}\cdot {\overrightarrow {N(s)}}+c_{1}\cdot {\overrightarrow {B(s)}}\\{\overrightarrow {N'(s)}}=a_{2}\cdot {\overrightarrow {T(s)}}+b_{2}\cdot {\overrightarrow {N(s)}}+c_{2}\cdot {\overrightarrow {B(s)}}\\{\overrightarrow {B'(s)}}=a_{3}\cdot {\overrightarrow {T(s)}}+b_{3}\cdot {\overrightarrow {N(s)}}+c_{3}\cdot {\overrightarrow {B(s)}}\end{cases}}$
Se abbiamo una parametrizzazione qualsiasi della curva: $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t),\chi (t))$, formalmente il triedro di Frenet è uguale e si hanno le formule di Frenet:
    ${\begin{cases}{\overrightarrow {T'(t)}}=k(t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {N(t)}}\\{\overrightarrow {N'(t)}}=-k(t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {T(t)}}+\tau (t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {B(t)}}\\{\overrightarrow {B'(t)}}=-\tau (t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {N(t)}}\end{cases}}$
questo perché se per esempio ${\vec {T}}(s(t))$ è il campo tangente della parametrizzazione qualsiasi allora la sua derivata rispetto a t:
    ${\frac {\overrightarrow {T'(s(t))}}{ds}}\cdot {\frac {ds(t))}{dt}}=k(s(t))\cdot {\overrightarrow {N(s(t))}}\cdot \|\alpha '(t)\|$
e così via per le altre due formule di Frenet.

### Curvatura e torsione

Una curva nello spazio è quindi interamente definita dai due parametri curvatura e torsione. Fondamentale a questo punto è il loro calcolo esplicito sia in parametrizzazione ascissa curvilinea, che in parametrizzazione qualsiasi.

### Curvatura e torsione in parametrizzazione naturale

Sia $\alpha (s)=\left(\phi (s),\psi (s),\chi (s)\right)$ la parametrizzazione naturale di una curva due volte differenziabile. Allora per ogni punto è definito il triedro di Frenet
    $1)\ {\overrightarrow {T(s)}}={\frac {\alpha '(s)}{\|\alpha '(s)\|}}$
    $2)\ {\overrightarrow {N(s)}}={\frac {T'(s)}{\|T'(s)\|}}={\frac {T'(s)}{k(s)}}$
    $3)\ {\overrightarrow {B(s)}}={\overrightarrow {T(s)}}\times {\overrightarrow {N(s)}}$
Calcoliamoci la curvatura e la torsione:
    $k(s)=\|\alpha ''(s)\|=\|\alpha '(s)\times \alpha ''(s)\|$
    $\tau (s)={\frac {\alpha '(s)\cdot \alpha ''(s)\times \alpha '''(s)}{k^{2}(s)}}$

### Curvatura e torsione in parametrizzazione qualsiasi

Sia $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t),\chi (t))$ una parametrizzazione qualsiasi di una curva due volte differenziabile. Allora dalla curvatura e dalla torsione sono:
    $k(t)={\frac {\|\alpha '(t)\times \alpha ''(t)\|}{\|\alpha '(t)\|^{3}}}$
    $\tau (t)=-{\frac {\alpha '(t)\times \alpha ''(t)\cdot \alpha '''(t)}{\|\alpha '(t)\times \alpha ''(t)\|^{2}}}$