# Successioni di funzioni

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## Definizione e funzione limite

Sia $\varnothing \neq I\subseteq R$. Sia ${\mathcal {F}}$ l'insieme delle funzioni $f:I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Una successione di funzioni (reali a valori reali) è un'applicazione definita in questo modo:
$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }:n\in \mathbb {N} \to f_{n}\in {\mathcal {F}},\ f_{n}:I\to \mathbb {R}$
Questa definizione contiene il concetto di successione reale: fissato un qualsiasi $x\,\!$ in $I\,\!$, $(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }$ è l'applicazione che, ad ogni $n\in \mathbb {N}$, associa il numero reale $f_{n}(x)\,\!$.
Si può definire la successione di funzioni anche come una funzione in due variabili, ossia:
$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }:(n,x)\in \mathbb {N} \times I\to f(n,x)\in \mathbb {R}$
Con questa definizione viene messa in evidenza la dipendenza della funzione da $n\,\!$ e da $x\,\!$.
Avendo visto che $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ può essere espressa come un'applicazione che, ad ogni $x\,\!$ in $I\,\!$, associa $(f_{n}(x))\,\!$ nell'insieme delle successioni reali, si può trasportare il concetto di limite di una successione reale al limite di una successione di funzioni, definita nel modo seguente:
sia $I'=\{x\in I\ |\ \exists l(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)\in \mathbb {R} \}$. Tale insieme viene definito insieme di convergenza della successione.
Supponiamo $I'\neq \varnothing$. Allora è possibile definire l'applicazione: $f:x\in I'\to f(x)=l(x)\in \mathbb {R}$.
$f\,\!$ è definita come la funzione limite della successione $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, ossia $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x),\ \forall x\in I'$.

## Definizione delle convergenze

Una successione di funzioni $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, definita in $I\subseteq \mathbb {R}$, si dice che converge puntualmente a una funzione $f\,\!$ in $I'\subseteq I$ se, e solo se $f\,\!$ è limite della successione di $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, ossia, per la definizione di limite di una successione reale:
$\forall \varepsilon >0,\forall x\in I',\exists m\ :\ \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,\forall n>m$
Va notato che, in base a questa definizione, $m\,\!$ dipende non solo da $\varepsilon$, ma anche, in generale, da $x\,\!$.
Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successione di funzioni definita in $I\subseteq \mathbb {R}$. Allora essa converge uniformemente a $f\,\!$ in $I'\subseteq I$ se, e solo se, in poche parole, $m\,\!$ dipende solo da $\varepsilon$, ossia:
$\forall \varepsilon >0,\exists m\ :\ \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,\forall x\in I',\forall n>m$
Per definizione, se una successione di funzioni converge puntualmente(risp. uniformemente) alla funzione limite in $I\,\!$, allora è chiaro che converge puntualmente(risp. uniformemente) $\forall I'\subseteq I$.
La convergenza uniforme ha la seguente e utile equivalenza, facilmente dimostrabile:
* $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, definito in $I\subseteq \mathbb {R}$, converge uniformemente a $f\,\!$ in $I'\subseteq I$
* $\forall \varepsilon >0,\exists m\ :\ \sup _{I'}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,\forall n>m$, ossia, $\lim _{n\rightarrow +\infty }\sup _{I'}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0$
Questa equivalenza è molto utile per verificare la convergenza uniforme.

## Esempi

Nota: inserire degli esempi

## Collegamento tra le due convergenze

Se $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente a $f\,\!$ in $I'\,\!$, allora converge puntualmente in $I'\,\!$.

### Dimostrazione

Sia fissato $\varepsilon >0\,\!$, e sia $m\,\!$ tale che $\sup _{I'}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,\forall n>m$. È chiaro che, per la proprietà dell'estremo superiore, se scelgo $x\in I'$, $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|\leq \sup _{I'}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$. Per l'arbitrarietà di $\varepsilon \,\!$ e $x\,\!$, si è giunti alla tesi.
Il viceversa non vale in generale.
Nota: mostrarlo con un esempio
$\Box$

## Criteri di Cauchy
### Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale

$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge puntualmente a $f\,\!$ in $I\,\!$ se e solo se $\forall x\in I,\forall \varepsilon >0,\exists m{\mbox{ (dipendente da epsilon e da x) }}\ :\ \left|f_{k}(x)-f_{h}(x)\right|<\varepsilon ,\forall h,k>m$

#### Dimostrazione

$\Rightarrow )$ $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge puntualmente in $I\,\!$, quindi, $\forall x\in I\,\!$, la successione numerica $(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }$ è convergente ma, come è noto, ogni successione convergente è di Cauchy, quindi vale la tesi. $\Leftarrow )$
In base alle ipotesi, $\forall x\in I\,\!$, la successione numerica $(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }$ è di Cauchy ma, in base al teorema di Cauchy sulle successioni numeriche, essa deve convergere a un valore $l(x)\,\!$, e quindi esiste ed è finito, $\forall x\in I$, il limite della successione di funzioni, che denotiamo con $f\,\!$, da cui segue la tesi.
$\Box$

### Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente a $f\,\!$ in $I\,\!$ se e solo se $\forall \varepsilon >0,\exists m\ :\ \left|f_{k}(x)-f_{h}(x)\right|<\varepsilon ,\forall x\in I,\forall h,k>m$

#### Dimostrazione

${\begin{aligned}\Rightarrow )&\varepsilon >0,\exists m:\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,\ \forall n>m,\forall x\in I\\&h,k>m\Rightarrow \left|f_{k}(x)-f_{h}(x)\right|\leq \left|f_{k}(x)-f(x)\right|+\left|f(x)-f_{h}(x)\right|<2\varepsilon ,\ \forall x\in I\end{aligned}}$
    Dall'arbitrarietà di $\varepsilon$, segue la tesi.
$\Leftarrow )$ $\varepsilon >0,\exists m:\left|f_{k}(x)-f_{h}(x)\right|<\varepsilon ,\ \forall h,k>m,\forall x\in I$
    $x\in I\Rightarrow (f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }$ è di Cauchy in $\mathbb {R}$, quindi $\exists f:I\to \mathbb {R} :\lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}(x)=f(x)$ e quindi c'è convergenza puntuale.
    Per il teorema della permanenza del segno, se $\varepsilon >0,\exists m:\left|f_{k}(x)-f_{h}(x)\right|<\varepsilon ,\ \forall h,k>m,\forall x\in I$, allora $\lim _{h\rightarrow +\infty }\left|f_{k}(x)-f_{h}(x)\right|\leq \varepsilon \Rightarrow \left|f_{k}(x)-f(x)\right|\leq \varepsilon ,\ \forall k>m,\forall x\in I$. Dall'arbitrarietà di $\varepsilon$, segue la tesi.$\Box$

## Convergenza uniforme e continuità
### Teorema di inversione dei limiti

Bisogna ricordare che, se $I\subseteq \mathbb {R}$, allora $D(I)\,\!$ è chiamato derivato di $I\,\!$, ed è l'insieme dei suoi punti di accumulazione (se si ha bisogno, rivederli qui).
Supponiamo che $D(I)\neq \varnothing$. Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente a $f\,\!$ in $I\,\!$. Sia $x_{0}\in D(I)$. Supponiamo inoltre che $\forall n,\exists \lim _{x\rightarrow x_{0}}f_{n}(x)=l_{n}\in \mathbb {R}$. Allora:
$\exists \lim _{n\rightarrow +\infty }\left(\lim _{x\rightarrow x_{0}}f_{n}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\left(\lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}(x)\right)\in \mathbb {R}$
$\exists \lim _{n\rightarrow +\infty }l_{n}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)\in \mathbb {R}$
Attenzione: la validità del teorema viene perduta se si sostituisce nelle ipotesi la convergenza uniforme con quella puntuale!

#### Dimostrazione

Sia fissato $\varepsilon >0$. Per il criterio di Cauchy uniforme, sia $m\in \mathbb {N}$ tale che $\forall h,k>m,\left|f_{k}(x)-f_{h}(x)\right|<\varepsilon ,\forall x\in I$. Sapendo che $\forall n,\exists \lim _{x\rightarrow x_{0}}f_{n}(x)=l_{n}\in \mathbb {R}$, allora, per il teorema della permanenza del segno (se si vuole rivederlo, qui), $\left|l_{k}-l_{h}\right|\leq \varepsilon ,\ \forall k,h>m$. Ciò mostra che la successione $(l_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ è di Cauchy, quindi converge verso un $l\in \mathbb {R}$, e quindi $\exists \lim _{n\rightarrow +\infty }l_{n}=l\in \mathbb {R}$.
Sia fissato $\varepsilon >0$. Allora: $\left|f(x)-l\right|=\left|f(x)-f_{n}(x)+f_{n}(x)-l_{n}(x)+l_{n}(x)-l\right|\leq \left|f(x)-f_{n}(x)\right|+\left|f_{n}(x)-l_{n}(x)\right|+\left|l_{n}(x)-l\right|$
${\begin{aligned}1)&\exists m_{1}:\left|l_{n}(x)-l\right|<\varepsilon ,\ \forall n>m_{1}\\2)&\exists m_{2}:\sup _{I}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,\ \forall n>m_{2}\end{aligned}}\Rightarrow \left|f(x)-l\right|<2\varepsilon +\left|f_{n}(x)-l_{n}(x)\right|,\ \forall n>m=\max\{m_{1},m_{2}\},\forall x\in I$ Siano fissati $\varepsilon ,m\,\!$ e $n>m\,\!$. Per ipotesi $\exists \lim _{x\rightarrow x_{0}}f_{n}(x)=l_{n}\in \mathbb {R}$, quindi $\exists \delta >0:\left|f_{n}(x)-l_{n}\right|<\varepsilon ,\forall x\in I:\left|x-x_{0}\right|<\delta$. Ciò implica che fissato $\varepsilon >0,\exists \delta >0:\left|f(x)-l\right|<3\varepsilon ,\ \forall x\in I:\left|x-x_{0}\right|<\delta$.
Per l'arbitrarietà di $\varepsilon$, è stato dimostrato che: $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=l$
$\Box$

### Corollario (Teorema sulla continuità del limite)

Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente a $f\,\!$ in $I\,\!$. Sia $x_{0}\in I\cap D(I)$. Se, $\forall n\in \mathbb {N}$, $f_{n}\,\!$ è continua in $x_{0}\,\!$, allora $f\,\!$ è continua in $x_{0}\,\!$
Attenzione:vale la stessa considerazione fatta nel precedente teorema.

#### Dimostrazione

$f(x_{0})=\lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}(x_{0})=\lim _{n\rightarrow +\infty }\left(\lim _{x\rightarrow x_{0}}f_{n}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\left(\lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$, da cui la tesi.
$\Box$

### Criterio 1

Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successione di funzioni continue, che converge uniformemente a $f\,\!$ in $I\,\!$. Se $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I$ una successione reale che converge a $x\in I\,\!$, allora:
$\lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}(x_{n})=f(x)$

#### Dimostrazione

$\left|f_{n}(x_{n})-f(x)\right|=\left|f_{n}(x_{n})-f_{n}(x)+f_{n}(x)-f(x)\right|\leq \left|f_{n}(x_{n})-f(x_{n})\right|+\left|f(x_{n})-f(x)\right|$ Sia fissato $\varepsilon >0$. Per l'uniforme convergenza, $\exists m_{1}:\left|f_{n}(x)-f_{x)\right|<\varepsilon ,\ \forall n>m_{1},\forall x\in I$. Per il teorema sulla continuità del limite, $x_{n}\rightarrow x\Rightarrow f(x_{n})\rightarrow f(x)\,\!$, e quindi $\exists m_{2}:\left|f(x_{n})-f(x)\right|<\varepsilon ,\ \forall n>m_{2}$.
In conclusione, fissato $\varepsilon >0,\exists m=\max\{m_{1},m_{2}\}:\left|f_{n}(x_{n})-f(x)\right|\leq \left|f_{n}(x_{n})-f(x_{n})\right|+\left|f(x_{n})-f(x)\right|<2\varepsilon ,\ \forall n>m$, da cui la tesi.
$\Box$

## Convergenza uniforme ed integrabilità
### Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successione di funzioni integrabili (secondo Riemann) in $[a,b],a<b\,\!$ che converge uniformemente a $f\,\!$ in $[a,b]\,\!$. Allora $f\,\!$ è integrabile, e vale la formula:
$\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

#### Dimostrazione

$\forall n\in \mathbb {N} ,M_{n}=\sup \left\{\left|f_{n}(x)-f(x)\right|,x\in [a,b]\right\}\Rightarrow |f-f_{n}|=|f_{n}-f|\leq M_{n}\Rightarrow -M_{n}\leq f-f_{n}\leq M_{n}\Rightarrow f_{n}-M_{n}\leq f\leq f_{n}+M_{n}$. Ricordando che $\int _{\_a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{\_b}f(x)\,dx$, e $\int _{\_a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{\_b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx,\ \forall n\in \mathbb {N}$ (rivedere Integrale di Riemann), allora si può dire che: $\forall n\in \mathbb {N} ,\ 0\leq \int _{a}^{\_b}f(x)\,dx-\int _{\_a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}[f_{n}(x)+M_{n}]\,dx-\int _{a}^{b}[f_{n}(x)-M_{n}]\,dx=$ $=\int _{a}^{b}[f_{n}(x)+M_{n}-f_{n}(x)+M_{n}]\,dx=\int _{a}^{b}2M_{n}\,dx=2(b-a)M_{n}\rightarrow 0$, per l'uniforme convergenza della successione. Ciò implica che $\int _{a}^{\_b}f(x)\,dx=\int _{\_a}^{b}f(x)\,dx$, e quindi $f\,\!$ è integrabile.
Inoltre: $\left|\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|=\left|\int _{a}^{b}\left[f_{n}(x)-f(x)\right]\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|\,dx\leq$ $\leq (b-a)\cdot \max _{x\in [a,b]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=(b-a)\cdot \sup _{x\in [a,b]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|$. Sia fissato $\varepsilon >0$. Per ipotesi $\exists m\ :\ \sup _{x\in [a,b]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,\forall n>m$.
Quindi: $\left|\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq (b-a)\cdot \sup _{x\in [a,b]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<(b-a)\varepsilon ,\ \forall n>m$, cioè la tesi.
$\Box$

## Convergenza uniforme e derivabilità

Dimostriamo i seguenti due lemmi:

### Lemma 1

Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successione di funzioni derivabili in $[a,b],a<b\,\!$. Supponiamo che $\exists x_{0}\in [a,b]:f_{n}(x_{0})$ sia convergente e che $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$ converga uniformemente in $[a,b]\,\!$. Allora $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente in $[a,b]\,\!$

#### Dimostrazione

$\forall x\in [a,b]$ e per $h,k\in \mathbb {N}$ si ha: $\left|f_{k}(x)-f_{h}(x)\right|=\left|\left(f_{k}(x_{0})-f_{h}(x_{0})\right)+\left(f_{k}(x)-f_{h}(x)\right)-\left(f_{k}(x_{0})-f_{h}(x_{0})\right)\right|\leq$ $\left|f_{k}(x_{0})-f_{h}(x_{0})\right|+\left|\left(f_{k}(x)-f_{h}(x)\right)-\left(f_{k}(x_{0})-f_{h}(x_{0})\right)\right|$ . Per il teorema di Lagrange, applicato alla funzione $f_{k}-f_{h}\,\!$, $\exists x_{1}\in [x_{0},x]$ (supponiamo $x>x_{0}\,\!$) tale che: $\left|\left(f_{k}(x)-f_{h}(x)\right)-\left(f_{k}(x_{0})-f_{h}(x_{0})\right)\right|=|x-x_{0}|\cdot \left|f'_{k}(x_{1})-f'_{h}(x_{1})\right|\leq (b-a)\left|f'_{k}(x_{1})-f'_{h}(x_{1})\right|$. Da ciò segue che: $\left|f_{k}(x)-f_{h}(x)\right|\leq \left|f_{k}(x_{0})-f_{h}(x_{0})\right|+(b-a)\left|f'_{k}(x_{1})-f'_{h}(x_{1})\right|$. Fissato $\varepsilon >0$. Per il criterio di Cauchy uniforme, $\exists m_{1}:\left|f'_{k}(x)-f'_{h}(x)\right|<\varepsilon ,\ \forall h,k>m_{1},\forall x\in [a,b]$ Per il criterio di Cauchy per le successioni reali, $\exists m_{2}:\left|f_{k}(x_{0})-f_{h}(x_{0})\right|<\varepsilon ,\ \forall h,k>m_{2}$ Cioè: $\left|f_{k}(x)-f_{h}(x)\right|<2\varepsilon ,\ \forall h,k>m=\max {m_{1},m_{2}},\forall x\in [a,b]$
$\Box$

### Lemma 2

Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successione di funzioni derivabili che converge uniformemente in $[a,b],a<b\,\!$. Sia $x_{0}\in [a,b]\,\!$, e sia: $g_{n}(x)={\frac {f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})}{x-x_{0}}},\ \forall x\in [a,b]\smallsetminus \{x_{0}\}$ Se $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$ converge uniformemente in $[a,b]\,\!$, allora $(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$ converge uniformemente in $[a,b]\smallsetminus \{x_{0}\}$

#### Dimostrazione

Per $h,k\in \mathbb {N}$ e per $x\in [a,b]\smallsetminus \{x_{0}\}$, $g_{h}(x)-g_{k}(x)={\frac {(f_{k}(x)-f_{h}(x))-(f_{k}(x_{0})-f_{h}(x_{0}))}{x-x_{0}}}$ Per il teorema di Lagrange, applicato a $f_{k}-f_{h}\,\!$, $\forall x\in [a,b]\smallsetminus \{x_{0}\},\exists x_{1}\in [x_{0},x]$ se $x>x_{0}\,\!$, altrimenti in $[x,x_{0}]\,\!$, tale che: $g_{k}(x)-g_{h}(x)=f'_{k}(x_{1})-f'_{h}(x_{1})\,\!$. Per il criterio di Cauchy uniforme, applicato a $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$, $\forall \varepsilon >0,\exists m:\left|g_{k}(x)-g_{h}(x)\right|=\left|f'_{k}(x)-f'_{h}(x)\right|<\varepsilon ,\ \forall h,k>m,\forall x\in [a,b]\smallsetminus \{x_{0}\}$.
Quindi $(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$ converge uniformemente in $[a,b]\smallsetminus \{x_{0}\}$, cioè la tesi.
$\Box$

### Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata

Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successione di funzioni derivabili in un intervallo $I\,\!$. Supponiamo che $\exists x_{0}\in I:f_{n}(x_{0})$ sia convergente e che $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$ converga uniformemente in ogni $[a,b]\subseteq I$. Allora $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente in ogni $[a,b]\subseteq I$ verso una funzione $f\,\!$, derivabile in ogni $[a,b]\subseteq I$ e risulta: $f'(x)=\lim _{n\rightarrow +\infty }f'_{n}(x)$

#### Dimostrazione

Dal lemma 1 segue che $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente in ogni $[a,b]\subseteq I$. Sia $f\,\!$ la funzione limite. Fissati $a,b\in I$, e fissato $x_{0}\in [a,b]$, definiamo: $g_{n}(x)={\frac {f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})}{x-x_{0}}},\ \forall x\in [a,b]\smallsetminus \{x_{0}\}$, $g(x)={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},\ \forall x\in [a,b]\smallsetminus \{x_{0}\}$. Per il lemma 2, $(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$ converge uniformemente verso $g$ in $[a,b]\smallsetminus \{x_{0}\}$. Dal teorema di inversione dei limiti si ha: $\lim _{n\rightarrow +\infty }f'_{n}(x_{0})=\lim _{n\rightarrow +\infty }\left(\lim _{x\rightarrow x_{0}}g_{n}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\left(\lim _{n\rightarrow +\infty }g_{n}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)=f'(x_{0})$. Per l'arbitrarietà di $a\,\!$,$b\,\!$ e $x_{0}\,\!$, segue la tesi.
$\Box$

## Convergenza uniforme e monotonia
### Teorema del Dini per le successioni di funzioni

Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successione di funzioni continue in $[a,b],a<b\,\!$, monotona rispetto a n (cioè, se ad esempio crescente: $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x),\forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in [a,b]$), convergente puntualmente in $[a,b]\,\!$ verso una funzione continua $f\,\!$. Allora $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente verso $f\,\!$ in $[a,b]\,\!$.

#### Dimostrazione

Supponiamo che $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sia monotona crescente (quindi $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x),\forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in [a,b]$). Supponiamo, per assurdo, che $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ non converga uniformemente in $[a,b]\,\!$. Quindi $\exists \varepsilon _{0}:\forall m\in N,\exists k>m,x\in [a,b]$ tale che:
$\left|f_{k}(x)-f(x)\right|\geq \varepsilon _{0}$
Osserviamo che $f_{n}(x)\leq f(x),\forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in [a,b]\Rightarrow \left|f_{k}(x)-f(x)\right|=f(x)-f_{k}(x)$. Fissato $h\in \mathbb {N} ,m=h$. Allora $\exists n_{h}>h,\exists x_{h}\in [a,b]:f(x_{h})-f_{n_{h}}(x_{h})\geq \varepsilon$ Fissato $i\in \mathbb {N} ,i<n_{h}$, quindi $f_{n_{h}}\geq f_{i}\Rightarrow -f_{n_{h}}\leq -f_{i}\Rightarrow f(x_{h})-f_{i}(x_{h})\geq f(x_{h})-f_{n_{h}}(x_{h})\geq \varepsilon _{0},\ \forall h\in \mathbb {N}$ La successione $(x_{h})_{h\in \mathbb {N} }\subset [a,b]$, quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, $\exists (x_{h_{j}})_{j\in \mathbb {N} }\subset [a,b],\exists x_{0}\in [a,b]:x_{h_{j}}\rightarrow x_{0}$ Sappiamo che $f(x_{h_{j}})-f_{i}(x_{h_{j}})\geq \varepsilon _{0},\forall i<n_{h_{j}}$. Per il teorema della permanenza del segno, $\lim _{j\rightarrow +\infty }f(x_{h_{j}})-f_{i}(x_{h_{j}})=f(x_{0})-f_{i}(x_{0})\geq \varepsilon _{0}>0$ Per lo stesso teorema $\lim _{i\rightarrow +\infty }f(x_{0})-f_{i}(x_{0})=f(x_{0})-f(x_{0})=0\geq \varepsilon _{0}>0$, e quindi 0>0, ovviamente assurdo.
L'errore è sorto nell'aver supposto che $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ non converga uniformemente in $[a,b]\,\!$, e quindi la tesi è verificata.
$\Box$

### Teorema 2

Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successione di funzioni, definite in $[a,b],a<b\,\!$ e monotone rispetto alla variabile $x\in [a,b]$, che converge puntualmente in una funzione continua $f\,\!$ in $[a,b]\,\!$. Allora $f\,\!$ è crescente, e la convergenza è uniforme in $[a,b]\,\!$

#### Dimostrazione

Fissato $\varepsilon >0$. Per ipotesi $f\,\!$ è continua in $[a,b]\,\!$, e quindi, per il teorema di Cantor, uniformemente continua, e quindi: $\exists \sigma =\{a=x_{0},\dots ,x_{h}=b\}:\left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon ,\forall x,y\in [x_{i},x_{i+1}],\forall i\in \{0,\dots ,h-1\}$ Visto che c'è convergenza puntuale, siano $(m_{x_{i}})_{i=0,..,h}$ i raggi di convergenza puntuale associati agli $x_{i}$ (e a $\varepsilon$, ovviamente), e sia $m=\max _{i=0,..,h}\{m_{x_{i}}\}$. $\varepsilon >0,\exists m:|f_{n}(x_{i})-f(x_{i})|<\varepsilon ,\ \forall n>m,\forall i=0,\dots ,h$. Fissati $i\in \{0,\dots ,h-1\}$ e $x:x_{i}\leq x\leq x_{i+1}\Rightarrow f_{n}(x_{i})\leq f_{n}(x)\leq f_{n}(x_{i+1})$. Ecco cosa succede: $f_{n}(x)-f(x)=f_{n}(x)-f_{n}(x_{i+1})+f_{n}(x_{i+1})-f(x_{i+1})+f(x_{i+1})-f(x)\leq$ $\leq f_{n}(x_{i+1})-f_{n}(x_{i+1})+f_{n}(x_{i+1})-f(x_{i+1})+f(x_{i+1})-f(x)=f_{n}(x_{i+1})-f(x_{i+1})+f(x_{i+1})-f(x)$. Scegliendo un $n>m\,\!$, allora: $f_{n}(x)-f(x)<2\varepsilon$ $f_{n}(x)-f(x)=f_{n}(x)-f_{n}(x_{i})+f_{n}(x_{i})-f(x_{i})+f(x_{i})-f(x)\geq$ $\geq f_{n}(x_{i})-f_{n}(x_{i})+f_{n}(x_{i})-f(x_{i})+f(x_{i})-f(x)=f_{n}(x_{i})-f(x_{i})+f(x_{i})-f(x)$ Sempre per $n>m\,\!$, $f_{n}(x)-f(x)>-2\varepsilon$
E quindi è stato mostrato che, $\forall \varepsilon >0,\exists m:\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<2\varepsilon ,\ \forall n>m,\forall x\in [a,b]$, cioè la tesi.
$\Box$

## Compattezza delle funzioni continue in $[a,b]$

Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ una successione di funzioni definite in un sottoinsieme di $\mathbb {R} \,\!$ contenente $[a,b],a<b\,\!$. Tali funzioni si dicono equilimitate in $[a,b]\,\!$ se e solo se $\exists M>0:|f_{n}(x)|\leq M,\ \forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in [a,b]$.
Tali funzioni si dicono equicontinue in $[a,b]\,\!$ se e solo se $\forall \varepsilon >0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0:\forall x,y\in [a,b]:|y-x|<\delta ,|f_{n}(y)-f_{n}(x)|<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N}$.

### Teorema di Ascoli-Arzelà

Se $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ è una successione di funzioni equilimitate ed equicontinue in $[a,b],a<b\,\!$, allora essa ammette una successione estratta $(f_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ convergente uniformemente in $[a,b]\,\!$.

#### Dimostrazione

Sia $K=[a,b]\cap \mathbb {Q}$ l'insieme dei razionali di $[a,b]\,\!$. Essendo $\mathbb {Q} \,\!$ di cardinalità infinita, allora $K\,\!$, sottoinsieme di cardinalità infinita, è equipotente a $\mathbb {Q} \,\!$, ma esso è a sua volta equipotente a $\mathbb {N} \,\!$, e quindi $K\,\!$ lo possiamo scrivere come una successione numerica: $K=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$.
* Diagonale di Cantor:
Consideriamo $x_{1}\,\!$: la successione $(f_{n}(x_{1}))_{n\in \mathbb {N} }$ è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta $(f_{n}^{(1)}(x_{1}))_{n\in \mathbb {N} }$ (non è la successione delle derivate) convergente in $\mathbb {R} \,\!$. Sia $y_{1}=f^{(1)}(x_{1})\,\!$ il limite di tale successione. Consideriamo $x_{2}\,\!$: la successione $(f_{n}^{(1)}(x_{2}))_{n\in \mathbb {N} }$ è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta $(f_{n}^{(2)}(x_{2}))_{n\in \mathbb {N} }$ (non è la successione delle derivate seconde) convergente in $\mathbb {R} \,\!$. Sia $y_{2}=f^{(2)}(x_{2})\,\!$ il limite di tale successione. Procedendo nella stessa maniera $k-1\,\!$ volte, si trova che: Consideriamo $x_{k-1}\,\!$la successione $(f_{n}^{(k-1)}(x_{k-1}))_{n\in \mathbb {N} }$ è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta $(f_{n}^{(k)}(x_{k-1}))_{n\in \mathbb {N} }$ (non è la successione delle derivate k-esime) convergente in $\mathbb {R} \,\!$. Sia $y_{k}=f^{(k)}(x_{k})\,\!$ il limite di tale successione. Inoltre, per ogni $k\in \mathbb {N} \,\!$ $(f_{n}^{(k)})_{n\in \mathbb {N} }$ converge a $y_{j},\ \forall j=1,\dots ,k-1$.
Procedendo indefinitamente, si è costruita la seguente tabella di successioni: ${\begin{matrix}f_{1}^{(1)}(x_{1})&f_{2}^{(1)}(x_{1})&\cdots &f_{k}^{(1)}(x_{1})&\cdots \cdots &\rightarrow y_{1}\\f_{1}^{(2)}(x_{2})&f_{2}^{(2)}(x_{2})&\cdots &f_{k}^{(2)}(x_{2})&\cdots \cdots &\rightarrow y_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \ddots &\vdots \\f_{1}^{(k)}(x_{k})&f_{2}^{(k)}(x_{k})&\cdots &f_{k}^{(k)}(x_{k})&\cdots \cdots &\rightarrow y_{k}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \ddots &\vdots \end{matrix}}$
Adesso consideriamo la successione diagonale, ossia la seguente successione: $(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(f_{n}^{(n)})_{n\in \mathbb {N} }$. Per l'osservazione fatta precedentemente, per ogni $j\in \mathbb {N}$, $(g_{n}(x_{j}))_{n\in \mathbb {N} }$ converge a $y_{j}\,\!$.
* Successione di Cauchy:
Fissato $\varepsilon >0$, sia $\delta >0$ tale che $\forall x,y\in [a,b]:|y-x|<\delta ,|f_{n}(y)-f_{n}(x)|<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N}$. Suddividiamo $[a,b]\,\!$ in $t\,\!$ sottointervalli $(I_{i})_{i=1,\dots ,t}\,\!$ aventi ampiezza minore di $\delta \,\!$, e quindi $t>{\frac {b-a}{\delta }}$, e in ciascuno degli intervalli $I_{i}\,\!$, scegliamo un razionale, siano essi $(x_{j_{i}})_{i=1,\dots ,t}$. Allora, $\forall x\in [a,b],\exists r\in \{1,\dots ,t\}:|x-x_{j_{r}}|\leq \delta$. Inoltre, per ogni $r\in \{1,\dots ,t\}$, $(g_{n}(x_{j_{r}}))_{n\in \mathbb {N} }$ converge, e quindi essa è di Cauchy, e quindi $\exists m\in \mathbb {N} :|g_{h}(x_{j_{r}})-g_{k}(x_{j_{r}})|<\varepsilon ,\forall h,k>m,\forall r=1,\dots ,t$. Fissato $x\in [a,b]$, sia $r\in {1,\dots ,t}$ tale che $|x-x_{j_{r}}|\leq \delta$. Allora, per ogni $h,k>m\,\!$:
$|g_{h}(x)-g_{k}(x)|\leq |g_{h}(x)-g_{h}(x_{j_{r}})|+|g_{h}(x_{j_{r}})-g_{k}(x_{j_{r}})|+|g_{k}(x_{j_{r}}-g_{k}(x)|<3\varepsilon$, e quindi $(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ soddisfa il criterio di Cauchy uniforme, e quindi $(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente in $[a,b]\,\!$.
$\Box$