# Le caratteristiche della sollecitazione nelle piastre

Al contrario di quanto avviene con le travi, nelle piastre per definire le caratteristiche della sollecitazione non si può considerare una sezione, ma è necessario fare riferimento ad elementi di dimensione unitaria.

## Momenti

Nota: Inserire immagine contenente le caratteristiche della sollecitazione
Considerando un elemento di piastra dalle dimensioni $x\;y$ unitarie, è possibile identificare tre momenti che agiscono sulle facce dell'elemento per effetto della restante parte di struttura: due momenti flettenti e un momento torcente.
Vengono indicati con $M_{x}$ il momento flettente che agisce parallelamente alla dimensione $x$, e cioè che esplica la sua azione nel piano $x-z$, con $M_{y}$ quello che agisce nella direzione di $y$, e con $M_{xy}$ il momento torcente che agisce sulle facce dell'elemento in analisi.
$M_{x}=\int _{-s/2}^{s/2}\sigma _{x}zdz=-{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\right)\int _{-s/2}^{s/2}z^{2}dz=-{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\right){\frac {s^{3}}{12}}=-{\frac {Es^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)}}\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\right)$
Si pone:
$B={\frac {Es^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)}}$
Per comprendere cosa rappresenta $B$ si consideri che ${\frac {s^{3}}{12}}$ rappresenta il momento di inerzia della sezione considerata. Per una sezione rettangolare di lati bxh, infatti, esso vale $J={\frac {bh^{3}}{12}}$, e considerando che in questo caso la larghezza è unitaria e l'altezza è rappresentata dallo spessore si comprende come l'espressione di $B$ sia molto simile all'espressione della rigidezza flessionale di una trave avente quella sezione $\left({\frac {Es^{3}}{12}}\right)$. Il termine $B$, quindi, rappresenta la rigidezza flessionale della piastra, e si differenzia dall'omologa nel caso della trave solo per il fattore $\left(1-\nu ^{2}\right)$, il quale è dovuto alla contrazione laterale che nelle piastre non avviene liberamente come nelle travi.
Di conseguenza si può scrivere:
$M_{x}=-B\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\right)$
e con ragionamento analogo si può arrivare a scrivere:
$M_{y}=-B\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}\right)$
Qualora il sistema di riferimento abbia l'asse $z$ rivolto verso il basso, che tra l'altro è la convenzione più diffusa nell'analisi delle piastre, i momenti assumono valore positivo quando tendono le fibre inferiori. Dal momento che le analisi sono state effettuate considerando un elemento di dimensioni unitarie, in realtà le quantità trovate non rappresentano dei momenti flettenti veri e propri, ma rappresentano dei momenti flettenti per unità di lunghezza, e per questo dimensionalmente hanno le dimensioni di una forza:
$[M_{i}]\,=\,{\frac {[F\cdot L]}{[L]}}\,=\,[F]$
Questa considerazione, naturalmente, vale anche per il momento torcente $M_{xy}$, dal momento che anche quest'ultimo è calcolato con riferimento ad un elemento di dimensioni unitarie nel modo seguente:
$M_{xy}=\int _{-s/2}^{s/2}\tau _{xy}zdz=-{\frac {E}{1+\nu }}{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x\delta y}}\int _{-s/2}^{s/2}z^{2}dz=-{\frac {Es^{3}}{12\left(1+\nu \right)}}{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x\delta y}}=-B\left(1-\nu \right){\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x\delta y}}$
La quantità prima definita è positiva quando le tensioni tangenziali nei punti al di sopra del piano medio agiscono con una direzione opposta all'asse di riferimento.
Naturalmente, dato che $\tau _{xy}=\tau _{yx}$, i momenti torcenti lungo le facce del medesimo elemento considerato saranno uguali $M_{xy}=M_{yx}$

## Tagli

Nell'elemento di dimensioni unitarie si riconoscono agire due tagli:
$T_{x}=\int _{-s/2}^{s/2}\tau _{xz}dz$
$T_{y}=\int _{-s/2}^{s/2}\tau _{yz}dz$
Così definiti questi tagli dovrebbero avere valore nullo, dal momento che sono nulle le tensioni tangenziali da cui dipendono. In realtà, tuttavia, l'ipotesi alla base di questa affermazione è un'ipotesi semplificativa, e d'altro canto se non considerassimo i tagli prima definiti non sarebbe mai possibile effettuare alcuna verifica alla traslazione verticale. Per questo motivo nella trattazione si presenta un'incongruenza, la quale è tuttavia comunemente tollerata.
Per il calcolo dei tagli si ricorre alle equazioni indefinite di equilibrio della piastra: si considera un elemento infinitesimo della piastra di dimensioni in pianta $dx\;dy$ e con altezza pari allo spessore. Facendo l'equilibrio attorno alla retta parallela all'asse $x$ passante per lo spigolo dell'elementino considerato si ottiene:
$T_{x}dydx=\left(M_{x}+{\frac {\delta M_{x}}{\delta x}}dx\right)dy-M_{x}dy+\left(M_{yx}+{\frac {\delta M_{yx}}{\delta y}}dy\right)dx-M_{yx}dx$
Operando analogamente per l'asse $y$ si ha:
$T_{y}dxdy=\left(M_{y}+{\frac {\delta M_{y}}{\delta y}}dy\right)dx-M_{y}dx+\left(M_{xy}+{\frac {\delta M_{xy}}{\delta x}}dx\right)dy-M_{xy}dy$
Da queste relazioni è possibile arrivare a definire i valori dei tagli:
$T_{x}=-B{\frac {\delta }{\delta x}}\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\right)\;\;T_{y}=-B{\frac {\delta }{\delta y}}\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}\right)$
Analogamente a quanto visto per i momenti, i tagli non hanno le dimensioni di una forza ma di una forza per unità di lunghezza.

## Le caratteristiche della sollecitazione secondo una generica direzione

Nota: Inserire immagine esplicativa
Si supponga di conoscere le caratteristiche della sollecitazione secondo due direzioni $x\;y$ e di voler conoscere nella medesima porzione di piastra il valore delle caratteristiche della sollecitazione secondo un'altra direzione generica di normale $\mathbf {n}$ inclinata rispetto all'asse $y\;$ di un generico angolo $\;\alpha$.
Si considera un elemento infinitesimo di piastra a forma di prisma a base triangolare. Il triangolo di base è costruito in modo che abbia i tre lati paralleli ai due assi $x\;y$ e alla direzione $\mathbf {m}$ normale ad $\mathbf {n}$ e quindi parallela al piano rispetto al quale si vogliono trovare le caratteristiche della sollecitazione. Le dimensioni del prisma sono:
* base: $dx\,\,dy\,\,dm$
* altezza: $s\,$
Naturalmente valgono le seguenti relazioni tra i lati del triangolo:
$dm={\frac {y}{cos\alpha }}={\frac {x}{sin\alpha }}$
Nota: Inserire passaggi matematici che permettono di arrivare alla soluzione
Facendo l'equilibrio alla rotazione intorno alla direzione $m$ e intorno alla direzione $n$ e facendo l'equilibrio alla traslazione verticale si ottiene:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&M_{n}={\frac {1}{2}}\left(M_{x}+M_{y}\right)+{\frac {1}{2}}\left(M_{x}-M_{y}\right)cos2\alpha -M_{xy}sin2\alpha \\&M_{nm}={\frac {1}{2}}\left(M_{x}-M_{y}\right)sin2\alpha +M_{xy}cos2\alpha \\&T_{n}=T_{x}cos\alpha +T_{y}sin\alpha \end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
Volendo fare la stessa analisi per la direzione $m$ perpendicolare a quella finora analizzata si ottiene:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&M_{m}={\frac {1}{2}}\left(M_{x}+M_{y}\right)-{\frac {1}{2}}\left(M_{x}-M_{y}\right)cos2\alpha +M_{xy}sin2\alpha \\&M_{mn}=-M_{nm}=-{\frac {1}{2}}\left(M_{x}-M_{y}\right)sin2\alpha -M_{xy}cos2\alpha \\&T_{m}=T_{x}sin\alpha -T_{y}cos\alpha \end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
Provando a sommare $M_{m}\,+\,M_{n}$ il risultato che si ottiene è esattamente pari a $M_{x}\,+\,M_{y}$. Cioè, a causa dell'arbitrarietà con cui si è scelta la direzione $n$, è possibile affermare che la somma dei momenti flettenti per unità di lunghezza secondo due direzioni ortogonali è un invariante, cioè non varia con la giacitura.
In generale, variando l'inclinazione del piano considerato (cioè $\alpha$), cambiano anche i momenti flettenti torcenti e il taglio. Le relazioni espresse in precedenza, tuttavia, sono funzioni periodiche, le quali dunque presentano un massimo e un minimo interni al campo $0\leq \alpha \leq \pi$. I valori delle caratteristiche della sollecitazione di grado estremo sono:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&M_{n}={\frac {1}{2}}\left(M_{x}+M_{y}\right)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(M_{x}-M_{y}\right)^{2}+4M_{xy}}}\\&M_{nm}=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(M_{x}-M_{y}\right)^{2}+4M_{xy}}}\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
Il valore dell'angolo $\alpha$ che massimizza il momento flettente è fornito da:
$tg2\alpha ={\frac {2M_{xy}}{\left(M_{x}-M_{y}\right)}}$
Il momento torcente, invece, assume valore massimo quando:
$tg2\alpha ={\frac {\left(M_{x}-M_{y}\right)}{2M_{xy}}}$
È interessante notare come in corrispondenza dei momenti flettenti massimo e minimo il momento torcente assume valore nullo. Questi valori, similmente a come già fatto per le tensioni e le deformazioni, si è soliti definirli momenti principali, e le direzioni in cui si sviluppano direzioni principali. Si rileva anche che le direzioni cui corrispondono i valori estremi dei momenti flettenti e torcenti presentano tra loro un angolo pari a $\pi /4$.