# Introduzione ai circuiti risonanti
### Area d'applicazione

I circuiti risonanti, detti anche circuiti accordati o selettivi, sono strutture fondamentali per la progettazione dell’elettronica analogica; con essi si realizzano oscillatori, filtri di banda, circuiti di reiezione, sistemi di accordo per trasduttori, ecc.

### Configurazion dei circuiti risonanti

La configurazione di un circuito risonante si avvale dei componenti elementari quali un’induttanza ed un condensatore collegati tra loro, o in serie o in parallelo, così come è mostrato in figura 1.
Nella figura sono rappresentate le due configurazioni circuitali nell’ipotesi che entrambi i componenti che le costituiscono siano privi di perdite.
La caratteristica dei circuiti risonanti è data dalla “ frequenza di risonanza”, frequenza per la quale il circuito risonante parallelo presenta impedenza elevata mentre il circuito risonante serie presenta impedenza bassa.
Alla frequenza di risonanza, e in assenza di perdite, i valori numerici di $Xc$ e di $Xl$ coincidono, sia per il circuito parallelo che per il circuito serie, da ciò si ricava la formula generale che consente il calcolo di tale frequenza:
$Fr=1/[(2\cdot \pi )\cdot {\sqrt {L\cdot C}}]$
dove
$Fr$ è la frequenza è espressa in Hertz
$C$ la capacità è espressa in Farad
$L$ l’induttanza in Henry
Un rapido calcolo consentirà di comprendere come impiegare la formula:
Supponiamo di dover calcolare la frequenza di risonanza di un circuito formato dal parallelo di un condensatore da $0.1\ \mu F$ ed un’induttanza da $30\ mH$; applicando la formula si ha:
$Fr=1/[(2\cdot \pi )\cdot {\sqrt {0.03\ H\cdot 0.1\cdot 10^{-6}F}}]=2907.23\ Hz$
Sviluppando la formula in $L$od in $C$ si ottengono due espressioni utili per calcolare, una volta stabilita la frequenza $Fr$ voluta, quale valori di $C$ di $L$ utilizzare per realizzare il circuito risonante interessato; le due formule sono le seguenti:
$L=1/[(2\cdot \pi \cdot Fr)^{2}\cdot C]$
$C=1/[(2\cdot \pi \cdot Fr)^{2}\cdot L]$
Le formule ora indicate sono utili per il calcolo di un componente nel caso in cui, impostata la frequenza di risonanza desiderata, si abbia a disposizione l’altro componente; vediamo due esempi:
Si voglia realizzare un circuito risonante alla frequenza di $12000\ Hz$ avendo a disposizione un condensatore da $10000\ pF$ ; si applica la prima formula e si ottiene:
$L=1/[(2\cdot 3.14\cdot 12000)^{2}\cdot 0.01\cdot {10^{-6}}\ F]=17.6/mH$
Si voglia realizzare un circuito risonante alla frequenza di $32000\ Hz$ avendo a disposizione un’induttanza da $3\ mH;$ si applica la seconda formula e si ottiene:
$C=1/[(2\cdot 3.14\cdot 32000)^{2}\cdot 0.003\ H]=8253\ pF$
È indispensabile a questo punto ricordare che abbiamo iniziato l’esame dei circuiti risonanti partendo da configurazioni circuitali prive di perdite allo scopo di non mettere troppe variabili in gioco; è giunto ora il momento di rivedere i circuiti di figura 1 e di completarli con i simboli circuitali relativi alle perdite dei componenti (figura 2) .
Nella figura con i simboli $Rp\ ;\ Rs$ sono indicate le perdite complessive del condensatore e dell’induttanza, queste resistenze ideali caratterizzano il coefficiente di merito del circuito risonante che, similmente a quello dei singoli componenti, è indicato con il simbolo $Q.$,.
L’introduzione di questa nuova variabile è alla base di tutte le computazioni relative all’impiego pratico dei circuiti risonanti; è necessario pertanto esplicitarla con l’ausilio di una formula di calcolo.
Il coefficiente di merito per un circuito risonante parallelo si esprime come:
$Q=Rp/Xl$
oppure come:
$Q=Rp/Xc$
Il coefficiente di merito per un circuito risonante serie si esprime come segue:
$Q=Xl/Rs$
oppure:
$Q=Xc/Rs$
Vediamo ora di applicare le formule per il calcolo del $Q$ dei due circuiti risonanti di cui si sono calcolati i componenti all’inizio.
Per il primo caso, in cui abbiamo calcolato l’induttanza, i valori che definiscono il circuito risonante sono:
$L=17.6\ mH$
$F=12000\ Hz$ $C=10000\ pF$
supponiamo che tale circuito sia di tipo parallelo con una resistenza di perdita complessiva pari a
$Rp=300000\ Ohm$
calcolando la reattanza $Xl$ risulta
$Xl=6.28\cdot 12000\ Hz\cdot 17.6\ mH=1326.3\ Ohm$
ed infine il valore del coefficiente di merito
$Q=300000\ Ohm/1326.3\ Ohm\approx 226$
Il valore del $Q$ che abbiamo ottenuto è da ritenersi buono per la maggior parte delle applicazioni pratiche in bassa frequenza; valori superiori sono realizzabili.
Per il secondo caso, in cui abbiamo calcolato la capacità, i valori che definiscono il circuito risonante sono:
$L=3\ mH$
$F=32000\ Hz$
$C=8253\ pF$
Supponiamo che tale circuito sia di tipo serie con una resistenza di perdita complessiva pari a
$Rs=55\ Ohm$
calcolando la reattanza Xl risulta
$Xl=6.28\cdot 32000\ Hz\cdot 3\ mH=602.8\ Ohm$
ed infine il valore del coefficiente di merito
$Q=602.8\ Ohm/55\ Ohm\approx 11$
Il valore del $Q$ che abbiamo ottenuto è da ritenersi poco buono per la maggior parte delle applicazioni pratiche; valori superiori sono realizzabili.
Gli esercizi che abbiamo ora sviluppato erano strutturati ad arte per mostrare come applicare le formule di calcolo ed ottenere, in un caso un $Q$ elevato, e nell’altro un $Q$ basso; nell’ impiego pratico il valore del $Q$ dipenderà, o dalle condizioni fisiche dei componenti, o dalle condizioni imposte dal progettista per ottenere risultati particolari. Nelle lezioni successive esamineremo questa importante problematica.