# Frequenza ottimale fos

Il calcolo della frequenza ottimale fos ( Frequency operating standard ) per un sonar passivo coinvolge numerose variabili non sempre quantizzabili con precisione, perciò anche il valore di tale frequenza non può essere calcolato con esattezza.
Nei casi di scoperta su distanze superiori ai $33\ km$, quando è difficile la scelta migliore tra le diverse le leggi che governano l'attenuazione per assorbimento, gli errori su (fos) possono essere anche dell'ordine del $30\ \%$.

## Specificazione

Nonostante le difficoltà citate questo tipo di calcolo resta l'unico possibile per fornire unn'idea sulla frequenza ottimale nella scoperta sonar; la determinazione di tale frequenza è fattibile con il metodo di seguito illustrato.

## Definizione delle variabili di calcolo

Le operazioni per la definizione delle variabili di calcolo si articolano partendo dal noto sistema trascendente relativo al calcolo della portata di un sonar passivo:
${\begin{cases}TL=60+20\cdot \log _{10}{R}+\alpha \cdot R\\TL=SL+DI-NL-DT+10\cdot \log _{10}{BW}\end{cases}}$
La ricerca della frequenza caratteristica $f$, per il funzionamento del sonar passivo con ricevitore in correlazione, si concretizza nello stabilire quale frequenza è in grado di rendere massimo il rapporto $Si/Ni$ dei segnali ricevuti.
Esaminando le funzioni che costituiscono il sistema trascendete l’unica che ha come variabile indipendente il rapporto $Si/Ni$ è il $DT$, tramite la funzione probabilistica $d$, secondo l’espressione :
$y=DT=5\cdot \log _{10}{(d\cdot BW/2\cdot RC)}$ dove la variabile $d$, dipendente la rapporto $Si/Ni$ è data, con discreta approssimazione, dall’espressione:
$d\approx 2\cdot BW\cdot (Si/Ni)^{4}$
Ciò premesso è indubbio che la ricerca della frequenza caratteristica per il sonar si possa avere risolvendo l'equazione:
$y{'}={\frac {\mathrm {d} \ DT}{\mathrm {d} f}}\ =0$

### Calcolo della derivata d DT / df

Per il calcolo di $y{'}={\frac {\mathrm {d} \ DT}{\mathrm {d} f}}\$ dal sistema trascendente si esplicita $y=DT$ come segue:
$SL+DI-NL-DT+10\cdot \log _{10}{BW}=60+20\cdot \log _{10}{R}+\alpha \cdot R$
da cui la funzione $y=DT$:
$y=DT=SL+DI-NL+10\cdot \log _{10}{BW}-60\ -20\cdot \log _{10}{R}-\alpha \cdot R\ \ \ \$ 1)
Dato che quasi tutte le variabili della nuova equazione 1) sono funzioni della frequenza anche il $DT$ è funzione della stessa.
Si tratta quindi di procedere alla ricerca del punto notevole della funzione in 1), tramite la valutazione della sua derivata prima rapporto alla frequenza: $y{'}={\frac {\mathrm {d} \ DT}{\mathrm {d} f}}$.

#### Impostazione della derivata del DT

Il calcolo della derivata di $y=DT$ rapporto alla frequenza, è così impostato:
${\frac {\mathrm {d} \ DT}{\mathrm {d} f}}\ =d\ [SL+DI-NL+10\cdot \log _{10}{BW}-60\ -20\cdot \log _{10}{R}-\alpha \cdot R]/df$
essendo la derivata di una somma algebrica possiamo scrivere:
${\frac {\mathrm {d} \ DT}{\mathrm {d} f}}\ =d\ (SL)/df+d\ (DI)/df-d\ (NL)/df+d\ (10\cdot \log _{10}{BW}\ )/df+d\ (-60\ -20\cdot \log _{10}{R})/df-d\ (\alpha \cdot R)/df$
nella quale si possono eliminare le derivate nulle delle variabili indipendenti da f ottenendo:
${\frac {\mathrm {d} \ DT}{\mathrm {d} f}}\ =d\ (SL)/df+d\ (DI)/df-d\ (NL)/df-d\ (\alpha \cdot R)/df$
A seguito di lunghi sviluppi la ${\frac {\mathrm {d} \ DT}{\mathrm {d} f}}\$ risulta:
$y{'}={\frac {\mathrm {d} \ DT}{\mathrm {d} f}}\ =(-8.68/f)-(-8.68/f)+(8.68/f)-0.02\cdot f\cdot R=(8.68/f)-0.02\cdot f\cdot R$
Il punto notevole del $DT$ si ha risolvendo in $\ f\$ l'equazione $y{'}={\frac {\mathrm {d} \ DT}{\mathrm {d} f}}\ =0$ il cui risultato è:
$f={\sqrt {(434/R)}}\ \ \ \$ 2)
dove $f$ è in $kHz$ ed $R$ in $km.$
L'espressione 2), mostra come la frequenza fos dipenda dalla distanza $R$ della sorgente acustica; ad ogni valore di $R$ corrisponde pertanto una determinata frequenza.
Per la determinazione delle caratteristiche del punto notevole, massimo o minimo, si computa la derivata seconda:
$y{''}=(-8.68/f^{2})-0.02f\cdot R$ che sostituendo $f$ della 2) diventa:
$y{''}=[-8.68/(434/R)]-0.02\cdot R\ {\sqrt {434/R}}$
che, ad esempio, per $R=40\ km$ vale $-3.43<0$ denunciando un massimo.
Se ad esempio:
* $R=40\ km$ il valore ottimale della frequenza di ricezione fos è: $f=3.3\ kHz$.
* $R=80\ km$ il valore ottimale della frequenza di ricezione fos è: $f=2.3\ kHz.$

## note

* ↑ La frequenza ottimale è il valore della variabile che rende massimo il rapporto $S_{i}/N_{i}$ al quale corrisponde la massima porta di scoperta del sonar.
* ↑ Si parla di frequenza caratterisica e non di frequenza ottiale in quanto, se si trova un punto notevole, si deve accertare che questo sia l'ascisssa di un massimo
* ↑ L'espressione è valida per rapporti $Si/Ni<0.5\ (-6\ dB)$
* ↑ NB: nella formula il rapporto $Si/Ni$ è in forma decimale
* ↑ Per semplificare le procedure di calcolo la legge d'attenuazione $\alpha$ per assorbimento è stata assunta come :$\alpha =0.01\cdot f^{2}$
* ↑ Variabili indipendenti da f:$\ \ 60+20\cdot \log _{10}{R}\$ e $\ 10\cdot \log _{10}{BW}$
* ↑ La difficoltà di calcolo dipende dalle leggi che governano $SL\ :\ NL\ e\ \alpha$ al variare della frequenza f.