# Limiti operativi dei correlatori multipli

L'esame dei limiti operativi dei correlatori multipli inizia con l'analisi di un correlatore digitale singolo che sarà poi messo a confronto con i primi.

## Esame numerico dei livelli di un correlatore digitale singolo

II diverso comportamento tra correlatori singoli e insiemi di correlatori si può evidenziare iniziando un'analisi sul funzionamento dei primi.
Applicando la 1) sotto riportata è facilmente calcolabile la tensione $C(\tau )x1,2$ all'uscita di un correlatore digitale singolo in dipendenza del rapporto $Si/Ni$ all'ingresso dei limitatori.
$C(\tau )x1,2=(Val./\pi )\cdot \arcsin \left[{\frac {1}{1+(Ni/Si)^{2}}}\right]\ \ \$ 1).
Se l' EXCLUSIVE-NOR del correlatore è alimentato con $Val.=5\ V$ si può costruire la seguente tabella dove $Si/Ni$ è espresso in $dB$ , $Ni/Si$ in termini adimensionali e $C(\tau )x1,2\ in\ mVc.c.$:
dalla tabella si osserva che la $C(\tau )x1,2$ varia da $2500\ mVcc,$ per $Si$ in assenza di disturbo, a $1.6\ mV$ per $Si/Ni={-}30\ dB.$.
Per i livelli più piccoli di $C(\tau )x1,2$, al di là della scarsa probabilità
$P.riv$ di discriminare la $C(\tau )x1,2$ immersa nella varianza, emerge una significativa problematica tecnica; riuscire ad apprezzare, ad esempio per il livello più basso, un valore di $C(\tau )x1,2=1.6\ mV$ rispetto al livello di zero che, come abbiamo già avuto occasione di vedere in merito alla taratura dei singoli correlatori digitali, può essere spostato di alcuni millivolt in più o in meno rispetto allo zero teorico.
Da questa disamina già si vede che i livelli di $C(\tau )x1,2$ per $Si/Ni$ sotto i -$22\ dB$ non sarebbero già più apprezzabili all'uscita di un correlatore digitale nemmeno se la varianza fosse nulla.
Qualche miglioramento si potrebbe ottenere portando la tensione $Val$, nel caso di circuitazione digitale di tipo CMOS, a $Val.=+15\ V$, in questo modo i livelli di $C(\tau )x1,2$ riportati in tabella assumerebbero valori $3$ volte tanto e il limite precedente $Si/Ni={-}22\ dB$ si sposterebbe a $Si/Ni={-}26\ dB.$

## Esame numerico dei livelli in uscita da un sistema di correlazione digitale multiplo

In questo caso ci troviamo di fronte non più ad un singolo correlatore ma ad $N$circuiti di correlazione che, sia per le tolleranze sui singoli chip, sia per differenza sulla circuitazione accessoria non possono garantire che al livello zero di $C(\tau )x1,2$ per $Si/Ni=0$ tutte le $N$ $C(\tau )x1,2$ siano identiche.
Questa situazione porta come conseguenza che anche in assenza di segnale $Si$, da rivelare, in presenza soltanto di $Ni$ la serializzazione delle $N$ uscite dei correlatori non è una tensione a livello uniforme uguale a $0,$ ma una successione di $N$ scalini di ampiezza diversa che dipendono dal fatto che gli $N$ correlatori non sono identici.
Quanto ora detto è mostrato chiaramente in figura 1 dove la sigla $DV$ indica la differenza massima tra le differenze degli $N$ correlatori.
E' chiaro a questo punto che i calcoli che si possono fare sul differenziale di riconoscimento sono limitati da queste discontinuità; infatti non sarà certo possibile andare a misurare una $C(\tau )x1,2$ che a seguito del rapporto $Si/Ni$ può portare ad un valore di $C(\tau )x1,2$ inferiore o dello stesso ordine del $DV$ ora evidenziato.
Prove di laboratorio su sistemi di correlazione multipla, equipaggiati con componenti industriali del tipo CMOS alimentati con $Val.=15\ V$ hanno mostrato che, pur dedicando tutta la cura possibile alla messa a punto del sistema, il valore di $DV,$ misurato su $N$ canali di correlazione difficilmente può scendere sotto i $40\ mVpp.$
Questo dato è significativo se comparato ad una nuova tabella, simile alla precedente, ma calcolata per $Val.=+15\ V$ come segue:
dalla tabella si osserva che affinché la $C(\tau )x1,2$ possa emergere dalle discontinuità naturali del sistema, indipendentemente dall'effetto della varianza che in questo caso volutamente trascuriamo, deve essere almeno nettamente superiore al $DV=40\ mV$; in questo caso la tabella ci indica, per $C(\tau )x1,2=75\ mV$ un rapporto $Si/Ni={-}18\ dB$.
Ecco quindi che i calcoli del differenziale di riconoscimento non possono prescindere dalle caratteristiche costruttive del sistema che, in ogni caso, non consente di rivelare la presenza di $Si$ in mezzo al rumore se la $C(\tau )x1,2$ ad esso corrispondente non è almeno $C(\tau )x1,2=75\ mVpp$ così come mostra, per il correlatore numero sei, la figura 2:

### Conclusioni

Nel caso sopra riportato si deve pertanto assumere come differenziale intrinseco del sistema multiplo di correlazione $Si/Ni={-}18\ dB$ ed in base al valore della costante di tempo dell'integratore, della banda dei segnali di ingresso, assunta $P.fa=10\%$ ricavare il corrispondente valore della $P.riv.$
Un semplice esempio può chiudere questo argomento:
Dati:
* $(Si/Ni)dB={-}18$ pari a $Si/Ni=0.126$
* $RC=1\ s.$
* $F2-F1=3000\ Hz$
* $P.fa.=10\%$
essendo :
$d=2\cdot (F2-F1)\cdot RC\cdot (si/ni)^{4}\$
si calcola il valore del $d:$
$d=2\cdot (3000\ Hz)\cdot 1\ s\cdot (0.126)^{4}=1.5\ \ \ \$
che dalle curve ROC per:
$d=1.5\ e\ P.fa.=10\%$ porta ad un valore di $P.riv.=50\%.$
Si conclude quindi che, a causa dell'hardware, il differenziale di riconoscimento non potrà mai essere inferiore a ${-}18\ dB$ anche se si assumeranno diversi valori per tutte le altre variabili in gioco.

## note

* ↑ Espressione valida per $C(\tau )x1,2=1$ (massimo grado di correlazione)
* ↑ Vedi lezione 5^ della materia Effetti dei disturbi nei processi di correlazione