# L'instabilità per carico di punta

Tra i fenomeni di instabilità, quello più importante è senza dubbio l'instabilità per carico di punta. Essa si verifica nelle aste compresse snelle, aventi cioè un'elevata snellezza che si può intendere in prima battuta come il rapporto tra la sua estensione e la sua rigidezza flessionale. Questo tipo di instabilità fu inizialmente studiato da Eulero intorno alla metà del XVIII secolo, che giunse ai risultati teorici che tuttora sono alla base dello studio di questi fenomeni. La sua importanza dal punto di vista pratico, però, venne alla luce solo molto più tardi, quando l'impiego sempre più esteso di materiali ad elevata resistenza ha permesso una notevole riduzione delle sezioni resistenti con conseguente aumento della snellezza degli elementi portanti.
Nella trattazione seguente si abbandonerà il criterio energetico precedentemente utilizzato per studiare l'instabilità: l'utilizzo di quest'ultimo, infatti, comporterebbe difficoltà analitiche a dir poco notevoli. Si preferisce, perciò, fare riferimento al criterio statico, che consiste nel supporre una configurazione deformata prossima a quella banale di equilibrio e studiarla in relazione ai carichi esterni.
Nota: Inserire immagine del problema e link del centro di taglio
Per studiare il fenomeno si consideri un'asta prismatica elastica omogenea rettilinea di lunghezza $l$ opportunamente vincolata agli estremi e sottoposta ad una forza di compressione $F$ e ad una generica distribuzione di carichi distribuiti $q(x)$ e concentrati $Q(x)$ nella direzione $x$ ortogonale al suo asse $z$. Si considera inoltre che il piano $x-z$ considerato sia di simmetria della sezione, in modo che la flessione sia retta e il piano di flessione contenga il centro di taglio.
Nota: Inserire immagine dell'elemento infinitesimo
Si consideri il generico elemento di lunghezza infinitesima $dz$ appartenente all'asta nella generica configurazione deformata e se ne studi l'equilibrio. L'equilibrio alla traslazione secondo l'asse $x$ fornisce:
$(T+dT)-T+q(x)dz=0\to q(x)=-{\frac {dT}{dz}}$
L'equilibrio alla rotazione rispetto al punto $P$ al centro della faccia di coordinata $z$ dell'elemento fornisce:
$M+qdz{\frac {dz}{2}}+(T+dT)dz-(M+dM)+F{\frac {dv_{x}}{dz}}dz=0$
Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore si ottiene:
$T={\frac {dM}{dz}}-F{\frac {dv_{x}}{dz}}$
Se si considerano trascurabili i contributi del taglio e dello sforzo normale nella deformazione rispetto a quello dovuto al momento flettente si ottiene l'espressione trovata per la linea elastica e che esprime la curvatura assunta dall'asse dell'asta in seguito alla deformazione:
$EJ{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}=-M$
Dalle espressioni precedenti è possibile conoscere le espressioni in forma differenziale della linea elastica in relazione a taglio e carico distribuito nell'ipotesi di asta a sezione costante:
Derivando una prima volta l'espressione precedente rispetto alla direzione $z$ si ottiene:
${\frac {d}{dz}}\left(EJ{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}\right)=-{\frac {dM}{dz}}$
Usufruendo dell'espressione del taglio trovata in precedenza $T={\frac {dM}{dz}}-F{\frac {dv_{x}}{dz}}\to {\frac {dM}{dz}}=T+F{\frac {dv_{x}}{dz}}$ si può scrivere:
${\frac {d}{dz}}\left(EJ{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}\right)=-T-F{\frac {dv_{x}}{dz}}\to$
$\to {\frac {d}{dz}}\left(EJ{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}\right)+F{\frac {dv_{x}}{dz}}=-T$
Supponendo che l'asta considerata abbia sezione costante in tutto il suo sviluppo può scriversi:
$EJ{\frac {d^{3}v_{x}}{dz^{3}}}+F{\frac {dv_{x}}{dz}}=-T$
Derivando ulteriormente rispetto alla direzione $z$ si ottiene:
$EJ{\frac {d^{4}v_{x}}{dz^{4}}}+F{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}=-{\frac {dT}{dz}}$
Sostituendo l'espressione precedentemente trovata $q(x)=-{\frac {dT}{dz}}$ si ottiene:
$EJ{\frac {d^{4}v_{x}}{dz^{4}}}+F{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}=q(x)$
$EJ{\frac {d^{3}v_{x}}{dz^{3}}}+F{\frac {dv_{x}}{dz}}=-T$
$EJ{\frac {d^{4}v_{x}}{dz^{4}}}+F{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}=q(x)$

## La ricerca del carico critico

Se si considera il caso in cui sull'asta agisca solo la forza di compressione $F$, l'equazione differenziale trovata in precedenza diventa omogenea:
$EJ{\frac {d^{4}v_{x}}{dz^{4}}}+F{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}=0$
Tale equazione ha come integrale generale la seguente espressione:
$v_{x}=A\operatorname {sen} az+B\cos az+Cz+D$
in cui si è posto $a^{2}={\frac {F}{EJ}}$ per semplicità di scrittura.
I termini $A,B,C,D$ sono costanti di integrazione da determinarsi sulla base delle condizioni al contorno.
Per i calcoli successivi risulterà utile scrivere le espressioni delle derivate dell'integrale generale:
${\frac {dv_{x}}{dz}}=Aa\cos az-Ba\operatorname {sen} az+C$
${\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}=-Aa^{2}\operatorname {sen} az-Ba^{2}\cos az$

### Asta con cerniera e carrello

Nota: Inserire immagine del problema
Considerando l'asta vincolata ad un estremo con una cerniera e all'altro con un carrello le condizioni al contorno da imporre sono le seguenti:
${\begin{cases}v_{x}(z=0)=v_{x}(z=l)=0\\\left({\frac {dv_{x}^{2}}{dz^{2}}}\right)_{z=0}=\left({\frac {dv_{x}^{2}}{dz^{2}}}\right)_{z=l}=0\end{cases}}$
Tali posizioni corrispondono alle seguenti condizioni:
${\begin{cases}v_{x}(z=0)=B+D=0\\v_{x}(z=l)=A\operatorname {sen} al+B\cos al+Cl+D=0\\\left({\frac {dv_{x}^{2}}{dz^{2}}}\right)_{z=0}=-a^{2}B=0\\\left({\frac {dv_{x}^{2}}{dz^{2}}}\right)_{z=l}=-Aa^{2}\operatorname {sen} al-Ba^{2}\cos al=0\end{cases}}$
Perché sia possibile una soluzione diversa da quella banale per cui $A=B=C=D=0$, che corrisponde alla configurazione rettilinea, è necessario che il determinante della matrice costruita con i coefficienti delle equazioni precedenti si annulli:
${\begin{vmatrix}0&1&0&1\\\operatorname {sen} al&\cos al&l&1\\0&-a^{2}&0&0\\-a^{2}\operatorname {sen} al&-a^{2}\cos al&0&0\end{vmatrix}}=0$
Si calcola dunque il determinante della matrice:
$0{\begin{vmatrix}\cos al&l&1\\-a^{2}&0&0\\-a^{2}\cos al&0&0\end{vmatrix}}-1{\begin{vmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-a^{2}\operatorname {sen} al&0&0\end{vmatrix}}+0{\begin{vmatrix}\operatorname {sen} al&\cos al&1\\0&-a^{2}&0\\-a^{2}\operatorname {sen} al&-a^{2}\cos al&0\end{vmatrix}}-1{\begin{vmatrix}\operatorname {sen} al&\cos al&l\\0&-a^{2}&0\\-a^{2}\operatorname {sen} al&-a^{2}\cos al&0\end{vmatrix}}=0$
Considerando che l'ultimo termine è l'unico diverso da zero in ogni caso lo si calcola:
$-\left(\operatorname {sen} al{\begin{vmatrix}-a^{2}&0\\-a^{2}\cos al&0\end{vmatrix}}-\cos al{\begin{vmatrix}0&0\\-a^{2}\operatorname {sen} al&0\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}0&-a^{2}\\-a^{2}\operatorname {sen} al&-a^{2}\cos al\end{vmatrix}}\right)=0$
In cui l'unico termine non identicamente nullo è ancora l'ultimo, per cui:
$a^{4}\operatorname {sen} al=0$
$a={\sqrt {\frac {P}{EJ}}}\neq 0$
Perché il determinante della matrice sia uguale a zero, è necessario che sia:
$\operatorname {sen} al=0$
Questa posizione è soddisfatta per qualsiasi valore di $a$ per cui risulti $al=n\pi$, cioè $a={\frac {n\pi }{l}}$ con $n$ un generico numero intero.
In base a tale condizione si può scrivere la successione dei carichi per cui esistono configurazioni di equilibrio diverse da quella banale rettilinea:
$F_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EJ}{l^{2}}}$
Ponendo $\operatorname {sen} al=0$ (per cui conseguentemente $\cos al=1$) le espressioni precedenti corrispondenti alle condizioni ai vincoli diventano:
${\begin{cases}v_{x}(z=0)=B+D=0\\v_{x}(z=l)=B+Cl+D=0\\\left({\frac {dv_{x}^{2}}{dz^{2}}}\right)_{z=0}=-a^{2}B=0\\\left({\frac {dv_{x}^{2}}{dz^{2}}}\right)_{z=l}=-Ba^{2}=0\end{cases}}$
Nota: Inserire immagine delle varie configurazioni deformate possibili
Che forniscono $B=C=D=0$ mentre $A$ resta indeterminato. L'integrale generale, quindi, diventa:
$v_{x}=A\operatorname {sen} az=A\operatorname {sen} {\frac {n\pi }{l}}z$
che rappresenta una funzione sinusoidale di lunghezza d'onda pari a ${\frac {2l}{n}}$.
Tra tutti i carichi della successione precedentemente definita, di interesse ingegneristico risulta essere il primo: ai carichi successivi, infatti, corrispondono altre configurazioni di equilibrio che si instaurano con azioni esterne via via crescenti; ma già dal primo termine della successione, che è il più piccolo, si instaura un regime di instabilità, per cui l'inizio dell'instabilità si ha in corrispondenza del carico avente $n=1$. A tale valore corrisponde il carico critico, che ha la seguente espressione:
$F_{n=1}=F_{crit}={\frac {\pi ^{2}EJ}{l^{2}}}$
Per $F<F_{crit}$ l'unica configurazione di equilibrio possibile è quella rettilinea, mentre per $F>F_{crit}$ questa configurazione diventa instabile (pur rimanendo una configurazione equilibrata) e accanto a questa si accoppia un'ulteriore configurazione equilibrata (ma stabile) avente una deformata con lunghezza d'onda pari a $2l$. Ciò significa che la distanza tra due punti di flesso è esattamente pari a $l$, cioè la lunghezza dell'asta.

### Asta incastrata

Nota: Inserire immagine del problema
Considerando l'asta incastrata ad un estremo e libera all'altro le condizioni al contorno da imporre sono le seguenti:
${\begin{cases}v_{x}(z=0)=B+D=0\\{\frac {dv_{x}}{dz}}_{z=0}=Aa+C=0\\{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}_{z=l}=A\operatorname {sen} al+B\cos al=0\\\left(EJ{\frac {d^{3}v_{x}}{dz^{3}}}+F{\frac {dv_{x}}{dz}}\right)_{z=l}=C=0\end{cases}}$
Tralasciando lo sviluppo della matrice costruita con i coefficienti delle equazioni precedenti, che tra l'altro è operativamente uguale allo sviluppo fatto per l'asta con carrello e cerniera, si giunge a dire che esistono configurazioni equilibrate oltre a quella banale rettilinea solo se:
$\cos al=0$
e cioè:
$al={\frac {2n-1}{2}}\pi \to a={\frac {2n-1}{2l}}\pi$
La successione di carichi associata a tale valore è la seguente:
$F_{n}={\frac {(2n-1)^{2}\pi ^{2}EJ}{4l^{2}}}$
Il valore più piccolo di questa successione è:
$F_{crit}={\frac {\pi ^{2}EJ}{4l^{2}}}$
Tale valore è pari a 1/4 del valore trovato per l'asta con cerniera e carrello. Sostituendo $\cos al=0$ nelle espressioni delle condizioni ai vincoli si ottiene che $A=C=0\;;B=-D$, per cui la deformata dell'asta assume l'espressione seguente:
Nota: Inserire immagine della deformata
$v_{x}=D\left(1-\cos {\frac {\pi z}{2l}}\right)$
La deformata, cioè, ha forma sinusoidale di lunghezza d'onda $4l$, per cui i punti di flesso consecutivi distano tra loro $2l$.

### Asta con altre condizioni di vincolo

La medesima trattazione si può applicare per qualsiasi condizione di vincolo a cui è sottoposta l'asta. Tralasciando gli sviluppi per ogni caso particolare, che non hanno niente di diverso rispetto ai due già presentati e non aggiungerebbero nulla alla conoscenza dell'argomento, si presentano i valori del carico critico per alcune condizioni di vincolo:
| Vincolo al primo estremo | Vincolo al secondo estremo | Carico critico |
| Cerniera | Carrello | ${\frac {\pi ^{2}EJ}{l^{2}}}$ |
| Incastro | Estremo libero | ${\frac {1}{4}}{\frac {\pi ^{2}EJ}{l^{2}}}$ |
| Incastro | Carrello | $2{\frac {\pi ^{2}EJ}{l^{2}}}$ |
| Incastro | Doppio pendolo | $4{\frac {\pi ^{2}EJ}{l^{2}}}$ |
Dalla tabella precedente si può notare come tutti i carichi critici corrispondono a meno di un fattore moltiplicativo. Inglobando il fattore moltiplicativo nella lunghezza $l$ in modo che risulti $l_{0}=\alpha l$, si ottiene al denominatore un parametro chiamato lunghezza libera di inflessione, la quale rappresenta esattamente la distanza tra due punti di flesso successivi nell'espressione della deformata:
| Vincolo al primo estremo | Vincolo al secondo estremo | Lunghezza libera di inflessione |
| Cerniera | Carrello | $l\;$ |
| Incastro | Estremo libero | $2l\;$ |
| Incastro | Carrello | $0,7l\;$ |
| Incastro | Doppio pendolo | $0,5l\;$ |
Utilizzando questo parametro è possibile unificare l'espressione del carico critico per qualsiasi condizione di vincolo attraverso la formula di Eulero:
$F_{crit}={\frac {\pi ^{2}EJ}{l_{0}^{2}}}$
Nota: Inserire link al raggio d'inerzia
Quest'ultima formula può esprimersi in altro modo: considerando il fatto che $J=A\rho ^{2}$ con $\rho$ raggio di inerzia della sezione relativo al piano di flessione considerato, definita la quantità $\lambda =l_{0}/\rho$ snellezza dell'asta, si può scrivere:
$F_{crit}={\frac {\pi ^{2}EA}{\lambda _{0}^{2}}}$