# Limiti
## Richiami agli insiemi di numeri reali

Dato che esiste per ogni punto della retta orientata $r$ (detta retta reale) un elemento dell'insieme $\mathbb {R}$, possiamo identificare ogni sottoinsieme di $\mathbb {R}$, cioè un insieme numerico di punti della retta $r$.

### Intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (intervallo illimitato) o un segmento (intervallo limitato) della retta reale.

#### Intervalli limitati

Un intervallo può essere chiuso o aperto. Possono differire a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo.
* L'intervallo chiuso contiene tutti i valori inclusi tra a e b. (Fig. 1)
* L'intervallo aperto contiene tutti i valori tra a e b esclusi. (Fig. 2)
* L'intervallo aperto a sinistra contiene tutti i valori tra a e b con a escluso. (Fig. 3)
* L'intervallo aperto a destra contiene tutti i valori tra a e b con b escluso. (Fig. 4)
Gli intervalli limitati sono segmenti della retta reale con estremi a e b, con a < b e lunghezza b - a, chiamata ampiezza dell'intervallo.
I valori ${\frac {b-a}{2}}$ e ${\frac {b+a}{2}}$ sono rispettivamente il raggio e il centro dell'intervallo.

### Intervalli illimitati

Un intervallo illimitato corrisponde a una semirettta di origine a; pertanto uno degli estremi dell'intervallo è il numero a, mentre l'altro è $\pm \infty$ (più o meno infinito). Essi non sono numeri reali, quindi sono sempre esclusi dall'intervallo.
L'insieme dei numeri reali è definito dall'intervallo $]-\infty ;+\infty [$.
* L'intervallo aperto illimitato a sinistra contiene tutti i valori maggiori di a. (Fig. 5)
* L'intervallo chiuso illimitato a sinistra contiene tutti i valori maggiori o uguali ad a. (Fig. 6)
* L'intervallo aperto illimitato a destra contiene tutti i valori minori di a. (Fig. 7)
* L'intervallo aperto illimitato a destra contiene tutti i valori minori od uguali ad a. (Fig. 8)

## Intorni di un punto

Quando $\delta _{1}=\delta _{2}$, si parla di intorno completo circolare di $x_{0}$. In particolare, $I^{-}(x_{0})=]x_{0}-\delta [$ è l'intorno sinistro, mentre $I^{+}(x_{0})=]x_{0}+\delta [$ è l'intorno destro di $x_{0}$

## $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L$

Consideriamo la funzione $y=f(x)$, definita nell'insieme D, e studiamo il suo comportamento quando $x$ assume valori prossimi a $x_{0}$, ma non proprio quest'ultimo perché è fuori dall'insieme D.
In base al grafico, possiamo dire che più ci avviciniamo a $x_{0}$, più $f(x)$ si avvicina ad L.
Consideriamo, per esempio, la funzione $y=f(x)={\frac {2x^{2}-6x}{x-3}}$, cui dominio è $D=\mathbb {R} -$ 3
Non avrebbe senso calcolare $f(3)$, perché la funzione non è definita in quel punto. Nonostante ciò, possiamo sempre studiare il comportamento della funzione vicino al punto $x_{0}$.
Notiamo che la funzione più si avvicina ad $x_{0}$, più si avvicina al valore $L$.

### Definizione con gli intorni circolari

Esprimiamo lo stesso concetto in un altro modo: considerato un qualunque intorno circolare di ampiezza $\epsilon$, che indicheremo con $I_{\epsilon }$, esiste sempre un intorno i cui punti x, con $x\neq 3$ , hanno immagine $f(x)$ contenuta in $I_{\epsilon }$.
Nei punti di quell'intorno infatti ci sono quei valori di x che soddisfano la disequazione: $\displaystyle |f(x)-6|<\displaystyle \epsilon$ → $\displaystyle \mid {\frac {2x^{2}-6x}{x-5}}-6\mid \ <\ \epsilon$
Raccogliamo 2x nel numeratore della frazione, ed essendo $x\neq 3$, semplifichiamo:
$\displaystyle \mid {\frac {2x\not {(x-3)}}{\not {x-3}}}-6\mid \ <\ \epsilon \rightarrow |\ 2x-6\mid <\ \epsilon \ \rightarrow \ 2\cdot |x-3|<\epsilon \rightarrow |x-3|<{\frac {\epsilon }{2}}$
Notiamo il caso particolare del valore assoluto, quindi:
$\displaystyle 3-{\frac {\epsilon }{2}}<x<3+{\frac {\epsilon }{2}}$
Le soluzioni della disequazione sono i punti dell'intorno
$\displaystyle I(3)=]3-{\frac {\epsilon }{2}};3+{\frac {\epsilon }{2}}[$

#### Interpretazione geometrica

Osserviamo il seguente grafico di $y={\frac {2x^{2}-6x}{x-3}}$, che è uguale a quella $y=2x$ per $x\neq 3$, e consideriamo degli intorni di 3 assegnando ad $\epsilon$ alcuni valori sempre più piccoli.
Possiamo notare che i valori di $f(x)$ si trovano sempre più vicini a 6.
Possiamo dunque dire che "per x che tende a 3, $f(x)$ ha limite 6" e scriviamo:
$\lim _{x\rightarrow 3}f(x)=6$

### Limite destro e sinistro
#### Limite destro

Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo: $\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=L$
Si legge "limite di x che tende a $x_{0}^{+}$ da destra". Significa che x si avvicina a $x_{0}$ ma rimanendo sempre maggiore di $x_{0}$
La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza $|f(x)-l|<\epsilon$ deve essere verificata per ogni intorno appartenente a un intorno destro di $x_{0}$, ossia a un intorno del tipo $]x_{0};x_{0}+\delta [$, che indichiamo con $I^{+}(x_{0})$

#### Limite sinistro

Analogamente, il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simbolo: $\lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=L$
Si legge "limite di x che tende a $x_{0}^{-}$ da sinistra". Significa che x si avvicina a $x_{0}$ ma rimanendo sempre minore di $x_{0}$
La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza $|f(x)-l|<\epsilon$ deve essere verificata per ogni intorno appartenente a un intorno sinistro di $x_{0}$, ossia a un intorno del tipo $]x_{0}-\delta ;x_{0}[$, che indichiamo con $I^{-}(x_{0})$

## $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\pm \infty$
### $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty$

Se per certi valori di x che si avvicinano ad un certo $x_{0}$, i valori di una funzione cresce sempre di più, si dice che la funzione ha limite $+\infty$.

#### Definizione

Se $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty$, si dice che la funzione $f$ diverge positivamente.

#### Interpretazione geometrica

Osserviamo il seguente grafico generico di $y=f(x)$ e consideriamo degli intorni di $x_{0}$ sempre più piccoli, assegnando ad $M$ valori sempre più grandi.
Possiamo notare che i valori di $f(x)$ sono sempre più grandi, fino a raggiungere $+\infty$. Possiamo dunque dire che "per x che tende a $x_{0}$, $f(x)$ ha limite $+\infty$" e scriviamo:
$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty$

### $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=-\infty$

Esistono anche funzioni che decrescono sempre di più all'avvicinarsi di x al punto $x_{0}$. In questo caso si dice che la funzione ha limite $-\infty$. per x che tende a $x_{0}$. In generale vale la seguente definizione:
Se $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=-\infty$, si dice che la funzione $f$ diverge negativamente.