# Numeri reali (seconda parte)

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## Proprietà di $\mathbb {R}$

* $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )$ è un campo commutativo e totalmente ordinato.
* $(\mathbb {R} ,\leq )$ è completo.
La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutativo e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio. La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato $A\subseteq \mathbb {R}$, esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

## Valore assoluto

Sia $x\in \mathbb {R}$. Si definisce il valore assoluto (o modulo) di $x$ il numero reale $|x|=\max\{x,-x\}$.

#### Proposizione (proprietà del valore assoluto)

$\forall x,y\in \mathbb {R}$,
* $|x|\geq 0$
* $\pm x\leq |x|$
* $|xy|=\left|x\right|\left|y\right|$
* $\forall m>0,|x|\leq m\Leftrightarrow -m\leq x\leq m$
* $-|x|\leq x\leq |x|$
* $\forall m>0,|x|\geq m\Leftrightarrow x\leq -m\vee x\geq m$
* $|x+y|\leq \left|x\right|+\left|y\right|$ (disuguaglianza triangolare)

##### Dimostrazione

La 1 segue dal fatto che $\{x;-x\}$ contiene sempre un numero non negativo e uno non positivo: infatti essendo il numero non negativo maggiore o uguale a ciascun elemento di $\{x;-x\}$, si ha che il massimo di tale insieme è questo numero. In conclusione $\max\{x;-x\}=|x|\geq 0$.
La 2 segue dal fatto che $|x|$ è il massimo dell'insieme $\{x;-x\}$, mentre la 3 è facile da verificare.
Si dimostra la 4. Se $x\geq 0$, allora $|x|=x\leq m$, mentre se $x<0$, allora $|x|=-x\leq m$, da cui $x\geq -m$ . In conclusione $-m\leq x\leq m$. La 4 vale anche se si sostituiscono $\leq$ e $\geq$ con rispettivamente $<$ e $>$. La 5 è diretta conseguenza della 4: basta porre infatti $m=|x|$.
Si dimostra la 6. Se $x\geq 0$, allora $|x|=x\geq m$, mentre se $x<0$, allora $|x|=-x\geq m$, da cui $x\leq -m$ . Concludendo $x\leq -m\vee x\geq m$. La 6 vale anche se si sostituiscono $\geq$ e $\leq$ con rispettivamente $>$ e $<$.
Riguardo alla disuguaglianza triangolare, se almeno uno dei due numeri è zero, la tesi è verificata. Se sono entrambi diversi da zero, per la proprietà 5 abbiamo $-|x|\leq x\leq |x|$ e $-|y|\leq y\leq |y|$, da cui sommando membro a membro si ha $-|x|-|y|=-(|x|+|y|)\leq x+y\leq |x|+|y|$. In conclusione per la proprietà 4
$|x+y|\leq |x|+|y|$

## Parte intera

Sia $x\in \mathbb {R}$. Si definisce parte intera di $x\,$ il numero intero, denotato con $[x]\,$, tale che:
$[x]=\max\{p\in \mathbb {Z} |p\leq x\}$
Si può verificare facilmente che $\forall x\in \mathbb {R} ,[x]\leq x<[x]+1$.

## Mantissa

Sia $x\in \mathbb {R}$ e $[x]\,$ parte intera di $x\,$. Si definisce il mantissa di $x\,$ il numero reale, denotato con $(x)\,$, tale che:
$(x)=x-[x]\,$
Si può dimostrare facilmente che $\forall x\in \mathbb {R} ,0\leq (x)<1$. Infatti sottraendo ai membri di $[x]\leq x<[x]+1$ il numero $[x]$ ,si ottiene, ricordando la definizione di mantissa, $0\leq (x)<1$.

## Induzione matematica e insiemi induttivi

Un insieme $I\subseteq \mathbb {R}$ tale che
* $1\in I$
* $x\in I\Rightarrow x+1\in I$
si dice induttivo.

### Insieme dei numeri naturali

Chiamiamo insieme dei numeri naturali $\mathbb {N}$ l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi.
Facciamo notare che per definizione $\mathbb {N}$ è un insieme induttivo e che ogni insieme induttivo lo contiene.

#### Teorema (principio di induzione matematica)

Sia $P(n)$ una proposizione logicamente significativa. Se
* $P(1)$ è vera
* $P(n)\Rightarrow P(n+1)$
allora $P(n)$ è vera per ogni $n\in \mathbb {N}$.

##### Dimostrazione

Sia $M$ l'insieme degli $n\in \mathbb {N}$ per cui valgano le condizioni 1 e 2. $M$ è allora un insieme induttivo e quindi $\mathbb {N} \subseteq M$. D'altra parte si ha, per ipotesi, che $M\subseteq \mathbb {N}$. In conclusione $M=\mathbb {N}$.

## Importanti considerazioni finali
#### Lemma

$\mathbb {N}$ non è superiormente limitato.

##### Dimostrazione del Lemma

Infatti, se lo fosse, per la completezza di $\mathbb {R}$ esisterebbe un reale $m$ tale che $m=\sup \mathbb {N}$. Però, siccome $m$ è il minore di tutti i maggioranti, $m-1$ non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno $n\in \mathbb {N}$ si ha che $m-1<n$ e dunque $m<n+1\in \mathbb {N}$ e abbiamo finito, perché l'ipotesi che $m$ sia un maggiorante è contraddetta.

#### Teorema (proprietà di Archimede)

$\mathbb {R}$ è archimedeo, ovvero $\forall x>0,y>0\exists n\in \mathbb {N} \ :\ nx>y$.

##### Dimostrazione

Sia invece $\forall n\in \mathbb {N} ,nx\leq y$. Dunque $\forall n\in \mathbb {N} ,n\leq {\frac {y}{x}}$ e quindi $\mathbb {N}$ è superiormente limitato, il che è impossibile: il teorema è dimostrato per assurdo.

#### Teorema (densità dell'insieme dei numeri razionali in quello dei numeri reali)

Siano $x,y\in \mathbb {R} \$ e sia $x<y$, allora $\exists z\in \mathbb {Q} \ :\ x<z<y$.

##### Dimostrazione

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che $x<y$ da cui si evince facilmente che $y-x>0$. Essendo $\mathbb {R}$ archimedeo, allora esisterà un $n\in \mathbb {N}$ tale che
$n(y-x)>1\Leftrightarrow ny>nx+1$
Ora notando che
$nx<[nx]+1\leq nx+1$
si ha
$nx<[nx]+1<ny$
Dividendo per $n$ tutti i tre membri si ricava
$x<{\frac {[nx]+1}{n}}<y$
in cui $z={\frac {[nx]+1}{n}}\in \mathbb {Q}$.

#### Teorema (densità dell'insieme dei numeri irrazionali in quello dei numeri reali)

Siano $x,y\in \mathbb {R} \$ tali che $x<y$, allora $\exists z\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \ :\ x<z<y$.

##### Dimostrazione

Dall'ipotesi $x<y$ segue che $x-{\sqrt {2}}<y-{\sqrt {2}}$. Per il precedente teorema, esiste almeno un numero $q\in \mathbb {Q}$ tale che
$x-{\sqrt {2}}<q<y-{\sqrt {2}}$
da cui, aggiungendo a tutti i membri ${\sqrt {2}}$,
$x<q+{\sqrt {2}}<y$
Non è difficile verificare che $z=q+{\sqrt {2}}\in \mathbb {R} -\mathbb {Q}$.

#### Intervalli

Terminiamo con la seguente conclusione.
Dati $x,y\in \mathbb {R} \$ tali che $x<y$, l'insieme $\left\{z\in \mathbb {R} :x<z<y\right\}$ contiene almeno un numero razionale ed almeno un numero irrazionale.
Ha senso quindi parlare di intervallo. Per convenzione, dati $a<b$,
$(a;b):=\left\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\right\}$
$[a;b):=(a;b)\cup \left\{a\right\}$
$(a;b]:=(a;b)\cup \left\{b\right\}$
$[a;b]:=(a;b)\cup \left\{a;b\right\}$
$(a;+\infty ):=\left\{x\in \mathbb {R} :x>a\right\}$
$[a;+\infty ):=(a;+\infty )\cup \left\{a\right\}$
$(-\infty ;a):=\left\{x\in \mathbb {R} :x<a\right\}$
$(-\infty ;a]:=(-\infty ;a)\cup \left\{a\right\}$
Poniamo inoltre $(-\infty ;+\infty ):=\mathbb {R}$.