# Derivati su tassi di interesse
## Tassi di interesse

I tassi di interesse rappresentano uno dei fattori più rilevanti ai fini della valutazione dei derivati. Essi definiscono gli importi che i "prenditori di fondi" (borrowers) devono pagare ai "prestatori di fondi" (lenders): maggiore è il rischio di credito, più alto sarà il tasso di interesse richiesto.

### Strumenti del mercato monetario

I principali strumenti impiegati dai soggetti operanti sui monetari sono i depositi interbancari e gli zero-coupon bond. A differenza degli strumenti impiegati sui mercati finanziari essi hanno scadenze più brevi e hanno lo scopo di gestire la liquidità.

### Tipologie di tassi
#### Tassi su Titoli di Stato

I Treasury rates sono i tassi a cui si finanziano gli Stati nella loro valuta locale. In genere, si assume che sia nulla la probabilità che uno Stato risulti insolvente su un'obbligazione denominata nella sua stessa valuta e per questo tali titoli sono considerati privi di rischio. Tuttavia, i derivatives traders solitamente non usano i Treasury rates come proxy dei tassi privi di rischio, ma i tassi Libor.

#### Tassi Libor

Il Libor è l'acronimo di London Interbank Offered Rate ed è il tasso al quale una banca è disposta a prestare denaro a un'altra banca in forma di deposito, che può essere considerato come analogo a un prestito.
Per le banche il Libor rappresenta il costo-opportunità del capitale, essendo questo il tasso al quale possono finanziarsi a breve termine presso altre banche.
Il Libor, pur non essendo completamente privo di rischio di credito, è tuttavia molto vicino a questa condizione. Inoltre, il loro uso da parte dei trader è giustificato dal fatto che il livello dei tassi sui Treasury è tenuto artificialmente basso da norme fiscali e regolamentari.
I tassi Libor sono determinati dalle negoziazioni tra banche e cambiano al modificarsi delle condizioni economiche, in modo che domanda e offerta di fondi siano sempre in equilibrio.
Analogamente, bisogna considerare che operazioni finanziarie denominate in Euro utilizzano spesso l'Eurobor, scambiato sulla piazza di Francoforte, al posto del Libor come base per il calcolo dei tassi d'interesse.

#### Tassi di riporto

A volte, le attività di trading vengono finanziate con "contratti di riporto", ossia con pronti contro termine (repos): un soggetto vende titoli sul mercato spot a una controparte e si impegna a ricomprarli successivamente a un prezzo che in genere è leggermente più elevato. La controparte sta così prestando denaro e la differenza fra il prezzo forward al quale i titoli vengono ricomprati e quello spot al quale sono venduti rappresenta l'interesse che questa percepisce. Il tasso di interesse applicato in questa circostanza è noto come "tasso di riporto" (repo rate): tali tassi comportano rischi di credito ridotti, dato che per la controparte è sempre possibile rifarsi sui titoli del debitore.

### Come si misurano i tassi di interesse

La frequenza di capitalizzazione degli interessi definisce l'unità di misura dei tassi d'interesse e le differenze fra un regime di capitalizzazione e l'altro possono essere paragonate alle differenze tra chilometri e miglia.
Supponiamo che un capitale iniziale $A$ venga investito per $n$ anni a un tesso di interesse annuo pari a $R$. Se gli interessi vengono capitalizzati una solo volta l'anno, il valore finale dell'investimento è pari ad
    $A\left(1+R\right)^{n}$
Se, diversamente, vengono capitalizzati $m$ volte l'anno, alla fine del periodo l'investimento varrà
    $A\left(1+{\frac {R}{m}}\right)^{m*n}$

#### Regimi di capitalizzazione

* Interesse semplice: $FV=PV(1+rt)$
* Interesse composto: $FV=PV(1+r)^{t}$
* Interesse continuo: $FV=PVe^{rt}$
* Leggi di equivalenza finanziaria (formule di conversione fra regimi di capitalizzazione)
$FV$ rappresenta il montante e $PV$ il valore attuale dell'investimento. Se assumiamo $FV=1$ allora $PV$ è detto fattore di sconto e ci dice quanto vale oggi un euro di domani. Se invece assumiamo $PV=1$ allora $FV$ è detto fattore di capitalizzazione e ci dice quanto vale domani un euro di oggi.
La differenza più sostanziale sta nella scelta fra l'impiego dell'interesse semplice o dell'interesse composto. I risultati non si discostano molto invece nel caso si decida di utilizzare la regola dell'interesse composto o quella nel continuo. L'uso dell'interesse continuo è però particolarmente vantaggioso per le proprietà dei logaritmi che semplificano spesso in modo determinante il calcolo e la derivazione delle formule della teoria finanziaria.

### Zero rates

Lo "Zero-coupon rate a $n$ anni" (anche detto "Zero rate") è il tasso di interesse relativo a un investimento che incomincia oggi e dura per $n$ anni. Capitale e interessi vengono incassati a scadenza e non ci sono pagamenti intermedi (cedole o cuponi).
Questo tasso è quello reso alla scadenza da un titolo senza cedole emesso da uno Stato per finanziarsi. Essendo un tasso risk-free che non presenta il problema del reimpiego delle cedole emesse viene impiegato per le operazioni di attualizzazione e capitalizzazione dei flussi di cassa, ossia per spostarli in avanti o indietro lungo l'asse temporale.
(grafico...)

### Valutazione delle obbligazioni

Molte obbligazioni (bonds) pagano periodicamente una cedola. Il capitale—detto valore nominale o v. facciale—viene pagato a scadenza.
Il prezzo teorico di questi titoli può essere calcolato come somma dei valori attuali dei pagamenti, utilizzando per l'attualizzazione un unico tasso e gli zero rates appropriati per ciascuna scadenza. Questo è possibile perché, immaginando di avere a disposizione ZCB per tutte le scadenze, è possibile immaginare ogni cedola e il pagamento finale ognuno come una ZCB scontato ad oggi.
Immaginiamo di avere un titolo con durata tre anni che stacchi cedole annuali al tasso del 4% su un nozionale $N=\mathrm {\euro} 100$ e supponiamo di osservare sul mercato obbligazionario i seguenti zero rates:
| $r_{1}$ | $r_{2}$ | $r_{3}$ |
| 1% | 1,25% | 2% |
(grafico...)
${\begin{alignedat}{2}V_{M}&=4e^{-0,01*1}+4e^{-0,0125*2}+104e^{-0,02*3}\\&=105,804951\end{alignedat}}$

#### Bond Yields

Lo yield to maturity di un coupon-bond è quel valore sintetico che indica qual è il tasso medio di rendimento tale che, usato per scontare tutti i flussi di cassa garantiti dal titolo, dà la sua quota di mercato (valore di mercato).
$c_{1}e^{-t_{1}R_{R}}+c_{2}e^{-t_{2}R_{R}}+(c_{3}+V_{N})e^{-t_{3}R_{R}}=V_{M}$ dove $R_{R}$ è il tasso di rendimento, $c_{n}$ la cedola staccata al tempo $t_{n}$ e $V_{N}$ il valore nominale, mentre $V_{M}$ è il valore di mercato.

#### Par Yields

Il tasso di rendimento alla pari (par yield) relativo a una certa scadenza è quel tasso cedolare che assicura l'eguaglianza tra il prezzo di un'obbligazione e il suo valore nominale. Tale valore cedolare è solitamente detto par-coupon (cedola di parità).
Un par yeld è quella cedola che garantisce che il valore attuale di tutti i flussi futuri di un bond sia uguale alla pari.
$c*e^{-t_{1}R_{1}}+c*e^{-t_{2}R_{2}}+(c+N)*e^{-t_{3}R_{3}}=V_{N}$
In generale, possiamo anche scrivere $V_{N}=A{\frac {c}{m}}+V_{N}d\Rightarrow c={\frac {(V_{N}-V_{N}d)m}{A}}$ dove $d$ è il fattore di attualizzazione di 1 euro incassato a scadenza, $A$ il valore attuale di una rendita che paga $V_{N}$ euro in ciascuna data di pagamento delle cedole e $m$ il numero di cedole staccate in un anno.
(esempio...)
Si dice che un bond quota "sopra la pari" quando ha un rendimento superiore a quello medio di mercato, il contrario vale per un bond che quota "sotto la pari".

### Determinazione dei Treasury Zero Rates

Uno dei metodi di determinazione degli "Zero rate dei titoli di Stato" è quello di desumerli dalle quotazioni dei Treasury bill anche detti Zero-coupon bond (ZCB). Non vi sono però ZCB per tutte le scadenze: per ovviare a questo problema un metodo rapido è quello di utilizzare gli yield-to-maturity per leggere i rendimenti di mercato oltre l'anno. Questo metodo risulta però scorretto dato che gli yield-to-maturity non sono confrontabili fra loro, essendo rendimenti medi calcolati sotto l'ipotesi che la curva sia piatta (flat).
Un secondo metodo utilizzato dagli analisti finanziari per ottenere la curva degli Zero rates (o yield-curve) è allora il c.d. "metodo bootstrap": una procedura ricorsiva che utilizza titoli di Stato provvisti di cedole per ovviare alla mancanza di titoli zero-coupon per una certa data.
L'algoritmo che se ne ricava può essere riassunto nella seguente formula generale da applicare ricorsivamente a partire dalla prima data per la quale non si abbia uno ZCB a disposizione e procedendo così in avanti lungo la curva del tempo. $R_{n}={\frac {1}{t_{n}}}\ln {\frac {1+c_{n}}{B_{0}-c_{n}\sum _{k=1}^{n-1}e^{-R_{k}t_{k}}}}$
| Valore nominale ($) | Vita residua (anni) | Cedola annuale ($) | Prezzo del titolo ($) |
| 100 | 0,25 | 0 | 96,5 |
| 100 | 0,50 | 0 | 94,0 |
| 100 | 1,00 | 0 | 90,9 |
| 100 | 1,50 | 10 | 95,5 |
| 100 | 2,00 | 18 | 102,5 |
$R_{1}={\frac {1}{0,25}}\ln \left[{\frac {100}{96,5}}\right]=0,142509$ $R_{2}={\frac {1}{0,50}}\ln \left[{\frac {100}{94,0}}\right]=0,123751$ $R_{3}={\frac {1}{1,00}}\ln \left[{\frac {100}{90,9}}\right]=0,095410$
${\begin{alignedat}{4}R_{4}&={\frac {1}{1,50}}\ln \left[{\frac {100+5}{95,5-5(e^{-0,123751*0,50}+e^{-0,095410*1,00})}}\right]\\&=0,666667*\ln \left[{\frac {105}{95,5-5(0,939999+0,909000)}}\right]\\&=0,666667*\ln(1,217320664)\\&=0,131102\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{4}R_{5}&={\frac {1}{2,00}}\ln \left[{\frac {100+9}{102,5-9(e^{-0,123751*0,50}+e^{-0,095410*1,00}+e^{-0,131102*1,50})}}\right]\\&=0,5*\ln \left[{\frac {109}{102,5-9(0,939999+0,909000+0,821476)}}\right]\\&=0,5*\ln(1,389142)\\&=0,164343\end{alignedat}}$
I tassi $R_{4}$ e $R_{5}$ individuati sono gli unici tassi spot a essere coerenti con i tassi a sei mesi e a un anno e con i dati riportati in tabella.
Nell'usare il metodo illustrato è importante tenere presenti alcune semplificazioni sulle quali si basa. Innanzi tutto si ipotizza che la curva fra le scadenze sia lineare, inoltre solitamente si disegna la curva come se fosse piatta prima del primo dato e dopo l'ultimo calcolati. Inoltre, nel caso non si disponga di titoli con scadenze esattamente corrispondenti agli stacchi cedolari semestrali il metodo più semplice e immediato che si può utilizzare è quello dell'interpolazione lineare dei prezzi dei titoli prima di impiegarli nel metodo bootstrap: $R_{x}=R_{1}+(R_{2}-R_{1}){\frac {T_{x}-T_{1}}{T_{2}-T_{1}}}$

### Tassi Forward

I tassi di interesse a termine sono tassi, relativi a periodi futuri del tempo, già incorporati—impliciti—nei tassi spot correnti.
| Anno ($n$) | Tasso spot per un investimento a $n$ anni (% anno) | Tasso forward per l'$n$-esimo anno (% anno) |
| 1 | 3,0 | - |
| 2 | 4,0 | 5,0 |
| 3 | 4,3 | 4,6 |
| 4 | 5,5 | 6,7 |
In cambio di un investimento di 100 € oggi il soggetto riceverà fra un anno $\mathrm {\euro} 100e^{0,03*1}=\mathrm {\euro} 103,05$. Il tasso forward, implicito nei tassi spot, per il secondo anno può essere calcolato in base al valore dei tassi spot a uno e due anni ed è quel tasso per il secondo anno che, combinato con il tasso spot a un anno, fornisce il 4,0% complessivo per due anni. $\mathrm {\euro} 100e^{0,03*1}+\mathrm {\euro} 100e^{F_{1,2}*1}=\mathrm {\euro} 100e^{0,04*2}\Rightarrow F_{1,2}=5,0\%$ $\mathrm {\euro} 100e^{0,04*1}+\mathrm {\euro} 100e^{F_{2,3}*1}=\mathrm {\euro} 100e^{0,043*2}\Rightarrow F_{2,3}=4,6\%$
In generale possiamo scrivere ${\begin{alignedat}{2}F_{m,n}&={\frac {R_{n}T_{n}-R_{m}T_{m}}{T_{n}-T_{m}}}\\&=R_{n}+(R_{n}-R_{m}){\frac {T_{m}}{T_{n}-T_{m}}}\end{alignedat}}$
Se la zero curve è inclinata verso l'alto tra $T_{m}$ e $T_{n}$, con $R_{n}>R_{m}$, ne segue che il tasso forward sarà maggiore di entrambi i tassi spot $F_{m,n}>R_{n}>R_{m}$. Analogamente, se la curva è inclinata negativamente il tasso forward risulterà minore di entrambi i tassi spot.
Attraverso un ragionamento basato sull'esclusione dell'esistenza di possibilità di arbitraggio è possibile dimostrare che il mercato spot e il mercato forward sono connessi da una specifica relazione. Al verificarsi di disallineamenti fra i due mercati, infatti, sarebbe possibile per gli operatori sfruttare opportunità di arbitraggio basate su strategie di rollover. Se infatti non valesse la relazione di non arbitraggio $(1+R_{2}t_{2})=(1+R_{1}t_{1})(1+F_{1,2}\Delta )$ allora, se il tasso forward fosse maggiore di quello equo, un arbitraggista potrebbe
* raccogliere sul mercato spot a lunga al tasso $R_{2}$;
* impiegare sul mercato spot a breve al tasso $R_{1}$;
* impiegare sul mercato forward al tasso $F_{1,2}$ (rollover)
ottenendo un profitto certo. Come in tutti questi casi infatti il ragionamento è semplice: il soggetto economico avrà convenienza a comprare ciò che costa meno e vendere ciò che costa di più.
Questo ragionamento mostra anche come il tasso spot sia interpretabile anche come un tasso forward con differimento nullo, ovvero come una media ponderata dei tassi forward adiacenti: $R_{2}={\frac {1}{t_{2}}}[F_{0,1}(t_{1}-t_{0})+F_{1,2}(t_{2}-t_{1})]$. Dunque quando i tassi forward sono crescenti anche la loro media cresce e quindi crescono anche i tassi spot: da un punto di vista economico ciò significa che se ci sono aspettative di rialzo dei tassi forward, allora anche le aspettative sui tassi spot dovranno essere crescenti (teoria delle aspettative).

### Forward Rate Agreements

Un Forward Rate Agreement (FRA) è un contratto derivato, in quanto il suo valore dipende dall'evoluzione dei tassi di interesse, con cui due controparti bancarie si impegnano a scambiarsi un tasso fisso con uno variabile.
Se un investitore ritiene che i futuri tassi spot saranno diversi dai tassi forward correnti può trovare interessante un'operazione che comporta la negoziazione di un contratto detto Forward Rate Agreement (FRA): un contratto forward in cui due parti si accordano su un tasso di interesse da applicare a un certo capitale per un certo periodo di tempo.
Sia $R_{F}$ il tasso di interesse fissato nel FRA; $F_{1,2}$ il tasso Libor forward per il periodo tra $T_{1}$ e $T_{2}$ osservato oggi; $R_{V}$ il tasso Libor spot osservato al tempo $T_{1}$ per la scadenza $T_{2}$; $N$ il capitale nozionale del contratto. Assumiamo inoltre che i tassi non siano composti continuamente, ma con una frequenza coerente con la loro scadenza: se, ad esempio, $T_{1}-T_{2}=0,5$ allora il tasso sarà composto trimestralmente e così via.
In un normale finanziamento al tasso Libor corrente la società A riceverebbe dalla società B il tasso $R_{V}$. Con la stipula di un FRA invece il tasso viene bloccato al livello $R_{F}$ e la società riceve (o paga) il differenziale $R_{F}-R_{V}$. Al tempo $T_{2}$, il pagamento a favore di A originato da questo differenziale è pari a $L(R_{F}-R_{V})(T_{2}-T_{1})$.
Possiamo anche reinterpretare il FRA immaginando che
* la società A riceva gli interessi sul capitale $N$ tra $T_{1}$ e $T_{2}$ al tasso fisso $R_{F}$ e paga gli interessi sullo stesso capitale al tasso spot di mercato $R_{V}$;
* la società B riceve gli interessi sul capitale $N$ tra $T_{1}$ e $T_{2}$ al tasso spot di mercato $R_{V}$ e paga gli interessi sullo stesso capitale al tasso fisso $R_{F}$.
Di solito i FRA vengono liquidati al tempo $T_{1}$: in tal caso il loro payoff va attualizzato.

#### Valutazione di un FRA

Bisogna innanzitutto notare che il valore di un FRA è nullo quando $R_{F}=F_{1,2}$, infatti in tale caso è sempre possibile bloccare a costo nullo il tasso forward relativo a un certo periodo di tempo futuro. La differenza di valore fra il FRA che promette $R_{F}$ e quello che promette $F_{1,2}$, dato che i due contratti si differenziano solo per gli interessi che si incassano al tempo $T_{2}$, è pari al valore attuale della differenza tra i pagamenti per interessi: $L(R_{F}-F_{1,2})(T_{2}-T_{1})e^{-R_{2}T_{2}}$ dove $R_{2}$ è il tasso zero rate (composto continuamente) osservato al tempo zero per la scadenza $T_{2}$. Dato che il valore del FRA che promette $F_{1,2}$ è nullo, allora il valore del FRA che premette di ricevere $R_{F}$ è pari a $V_{FRA}=N(R_{F}-F_{1,2})(T_{2}-T_{1})e^{-R_{2}T_{2}}$ Dunque, è possibile determinare il valore corrente di un FRA
* calcolando il payoff sotto l'ipotesi che i tassi di interesse forward si realizzino ($R_{V}=F_{1,2}$);
* attualizzare il payoff in base al tasso d'interesse privo di rischio.

### Duration

I soggetti che detengono bond necessitano di un'idea della loro redditività (yield to maturity) e della rischiosità della sua detenzione.
La duration di un'obbligazione misura il tempo che il portatore del titolo deve attendere, in media, prima di ricevere capitale e interessi. Uno ZCB che scade dopo $n$ anni ha una duration di $n$ anni, mentre un coupon-bond con stessa scadenza ha una duration inferire dato che alcuni dei pagamenti vengono incassati prima della scadenza.
La "durata finanziaria" è inoltre approssimativamente uguale al rapporto tra la variazione proporzionale del prezzo di un titolo e la variazione assoluta del suo tasso di rendimento.
Normalmente una duration maggiore si accompagna a un rischio finanziario maggiore del titolo; ciò significa che a un movimento dei tassi si accompagna un movimento del prezzo del titolo tanto più brusco quanto più alta è la duration del titolo stesso.
Possiamo definire la duration di un titolo come $D=\sum _{i=1}^{n}t_{i}\left({\frac {c_{i}e^{-yt_{i}}}{B}}\right)$ pertanto la duration è definibile come una media ponderata dei tempo $t_{i}$, con pesi pari alla quota del valore attuale del titolo rappresentata dell'$i$-esimo pagamento.

##### Duration modificata

Se $y$ è composto $m$ volte l'anno si definisce la duration modificata come $D^{*}={\frac {D}{1+y/m}}$

##### Duration di un portafoglio

La duration di un portafoglio di obbligazioni è definita come media ponderata delle duration dei singoli titoli, con pesi pari alla quota del valore attuale del portafoglio rappresentata da ciascun titolo.

#### Convexity

L'approssimazione basata sulla duration è valida solo per piccole variazioni dei tassi di rendimento: due portafogli possono avere stessa duration ma comportarsi in maniera differente di fronte a grandi variazioni dei tassi di rendimento. Possiamo allora migliorare l'approssimazione mostrata dalla durazion con un fattore noto come convexity che può essere misurato come $C={\frac {1}{B}}{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y^{2}}}$
Espandendo in serie di Taylor, un'approssimazione più accurata di $\Delta B$ è data da ${\frac {\Delta B}{B}}=-D\Delta y+{\frac {1}{2}}C(\Delta y)^{2}$
Se, oltre alla duration, anche la convexity netta del portafoglio è nulla, le istituzioni finanziarie risultano immunizzate non solo rispetto a piccoli spostamenti paralleli della yield curve, ma anche da spostamenti di maggiore entità. Continuano comunque a rimanere esposti nei confronti di spostamenti non paralleli.

### Teorie della Term Structure

Negli anni sono state elaborate diverse teorie circa le determinanti della configurazione delle zero curve. Esse non devono essere viste come alternative, ma piuttosto come complementari, pur avendo fra loro pesi differenti in termini di esplicatività globale.
Quella più semplice è la "teoria delle aspettative" secondo cui i tassi di interesse a lungo termine dovrebbero riflettere le aspettative sui futuri tassi di interesse a breve: si sostiene cioè che un tasso forward sia uguale alle aspettative del futuro tasso spot per quel periodo.
Una seconda è nota come "teoria della segmentazione dei mercati". Essa sostiene che non vi sia alcuna relazione fra tassi di interesse a breve, medio e lungo termine, dato che istituzioni diverse investono in titoli di diversa durata, senza realizzare scambi fra loro: i tassi di differente durata rifletteranno dunque aspettative di operatori differenti.
La teoria forse più interessante, nota come "teoria della preferenza per la liquidità", sostiene infine che i tassi forward dovrebbero essere sempre più alti dei tassi spot attesi. L'ipotesi alla base è che gli investitori preferiscano mantenere la loro liquidità e investire in fondi per periodi più brevi e che le imprese preferiscano, a loro volta, prendere in prestito a tasso fisso per periodi più lunghi.

## Determinazione dei prezzi Forward e dei prezzi Futures

Dobbiamo ora domandarci quale sia la relazione che guida la determinazione dei prezzi sui mercati spot, forward e futures.
Per semplicità e chiarezza espositiva, non considereremo inizialmente né la presenza di costi di transazione, né la presenza di sistemi fiscali. Ipotizzeremo inoltre che non vi sia razionamento del credito e che il tasso pagato da tutti per indebitarsi sia sempre quello risk-free. Infine, immagineremo che vi sia sempre un altro soggetto che sia capace di approfittare di qualunque opportunità di arbitraggio istantaneamente.

### Beni di investimento e beni di consumo

I beni (attività sottostanti) d'investimento sono trattati da soggetti che hanno finalità di solo investimento (copertura, speculazione, arbitraggio) e che ritengono utile includere questi beni nel loro portafoglio. Sui mercati di questi beni possono dunque esservi numerosi operatori che hanno scopi puramente "finanziari". I beni di consumo sono invece attività la cui contrattazione ha uno scopo primario agganciato all'economia reale. Queste differenze si riflettono sul modo in cui si determinano i prezzi su di un certo mercato.

### Vendite allo scoperto

La vendita allo scoperto (short selling) è un'operazione finanziaria che consiste nella vendita, effettuata nei confronti di uno o più soggetti terzi, di titoli non direttamente posseduti dal venditore. Più in generale con questa terminologia si denominano tutti i tipi di operatività finanziaria attuata con l'intento di ottenere un profitto a seguito di un trend o movimento ribassista delle quotazioni di titoli (azioni, strumenti, beni) prezzati in una borsa valori.
La vendita allo scoperto è un'operatività finanziaria di tipo prettamente speculativo e orientata verso un orizzonte temporale d'investimento di breve periodo. Per questo è generalmente sconsigliabile usarla come tecnica d'investimento di medio e lungo termine.
Questa operazione è spesso vista non positivamente anche per l'effetto di aumento della pressione dal lato dell'offerta su di un certo mercato che comporta. Bisogna però notare come un operatore che oggi vende allo scoperto domani andrà a ingrossare le fila della domanda.
Il meccanismo si basa sull'idea di farsi prestare l'attività da qualcuno che la possiede: pertanto la vendita allo scoperto si configura come un prestito non di denaro bensì di titoli e, dunque, per il "servizio" di cui si è usufruito vi sarà un interesse da corrispondere al datore del prestito. La controparte si assumerà un rischio di insolvenza e cercherà dunque di avere una garanzia (ad es. un portafoglio di titoli) che sarà tanto maggiore quanto maggiore è l'incertezza generale esistente sul mercato.
I grandi prestatori di titoli sono i Fondi di investimento mentre le istituzioni che più spesso ricorrono a vendite allo scoperto sono ad esempio i settori di trading delle Banche d'affari.

### Opportunità di arbitraggio

Gli arbitraggisti mirano a ottenere profitti sfruttando una strategia che ha rischio equivalente di un'altra ma presenta un costo di implementazione minore.
Ipotizziamo che esista un titolo che non paga dividendi contrattato al prezzo di 40,00 € sul mercato spot e al prezzo di 43,00 € sul mercato forward a 3 mesi e immaginiamo che il tasso di interesse a 3 mesi in euro sia pari al 5% annuo. L'arbitraggista dunque ha di fronte a sé l'evoluzione di tre differenti mercati: quello del debito (sul quale osserva le quotazioni del tasso di interesse), quello spot e quello forward. Egli può attuare una strategia c.d. Cash and Carry che consiste nel comprare oggi il titolo sul mercato spot finanziandosi a debito al tasso di interesse risk-free e tenendo il titolo per tre mesi per poi rivenderlo al nuovo prezzo spot che si osserverà sul mercato al risolversi dell'alea. Questa strategia per essere implementata costa all'operatore $\mathrm {\euro} 40e^{0,05*3/12}=\mathrm {\euro} 40,50$. Alternativamente l'arbitraggista può decidere di implementare una strategia a termine, consistente nell'entrare oggi lungo su un contratto forward, che gli costerà $\mathrm {\euro} 43$. Sarà dunque conveniente comprare sul mercato spot e vendere su quello forward così da ottenere un guadagno immediato e senza rischio pari a $\mathrm {\euro} (43-40,50)=\mathrm {\euro} 2,50$. Nella situazione contraria, se il prezzo forward fosse di 39,00 € allora l'arbitraggista venderebbe allo scoperto a pronti e comprerebbe a termine ottenendo un profitto di $\mathrm {\euro} (40,50-39)=\mathrm {\euro} 1,50$.

### Relazione di non-arbitraggio

Dall'esempio fatto se ne ricava che la relazione di non-arbitraggio che dobbiamo mettere in equilibrio è $F_{0}=S_{0}e^{rT}.$<nr /> Questa relazione lega il mercato spot a quello forward e dipende dal passaggio del tempo ($T$) e dal suo costo ($r$) dato dalla remunerazione per il prestito del denaro o dei titoli necessario nel caso della strategia cash and carry e della strategia a termine rispettivamente.

#### Divieto di vendita allo scoperto

Si può dimostrare come la relazione di non-arbitraggio continui a valere anche nel caso in cui il regolatore decidesse di vietare la vendita allo scoperto. Supponendo ragionevolmente infatti che sul mercato vi siano numerosi operatori che possiedono il titolo dell'esempio fatto allora questi troveranno conveniente venderlo sul mercato spot e ricomprarlo immediatamente a termine. Dunque, a condizione che gli altri mercati funzionino il regolatore può impedire eccessi di offerta legati alla possibilità di vendite allo scoperto senza rischiare di compromettere la relazione di non-arbitraggio sulla quale si basa il funzionamento dei mercati.

#### Beni di investimento che offrono redditi noti

Se un titolo offre con certezza un dividendo $D$ nel futuro, allora il suo prezzo forward sarà pari a $F_{0}=(S_{0}-I)e^{rT}$, dove $I=De^{-rT}$ è il valore attuale del flusso di cassa futuro.
Se il flusso di cassa fosse invece espresso in termini di dividend-yield ($D/S$) e non in termini assoluti, allora l'espressione del prezzo forward sarebbe $F_{0}=S_{0}e^{(r-q)T}$.

### Valore di un contratto Forward

La relazione di non-arbitraggio vista serve a stabilire il prezzo di consegna, fissandolo per contratto uguale al prezzo forward osservato sul mercato nel momento della stipula. L'uguaglianza fra il prezzo di esercizio ($K$) e quello forward ($F_{0}$) vale però solo al momento della stipula, dato che con il passare del tempo il prezzo di esercizio rimane fermo ma il prezzo del titolo si muove a rialzo o a ribasso secondo le pressioni di domanda e di offerta che si registrano sul mercato. Questi movimenti comportano un'incertezza circa il valore del contratto che si risolve solo a scadenza. Può dunque accadere che il contratto abbia un valore positivo quando $F_{0}>F_{0+\delta t}$ o negativo quando $F_{0}<F_{0+\delta t}$. Il valore del contratto varia nel tempo a al variare di $F_{0}$, $r$ e $T$ secondo la relazione $f=\alpha (F_{0}-K)e^{-rT}$ con $\alpha >0$ per un forward lungo e $\alpha <0$ per un forward corto.

#### Valore di un contratto Future

Un contratto future è del tutto analogo a quello forward se non per il meccanismo di regolazione giornaliera che caratterizza il contratto regolamentato. Questa caratteristica comporta una differenze di valore fra i due contratti nel caso in cui i tassi di interesse siano molto volatili —evento legato alla presenza di una forte incertezza sui mercati— nel qual caso la possibilità di reinvestire giornalmente gli utili alle nuove condizioni di mercato può comportare un disallineamento fra i prezzi dei due strumenti.

#### Futures su beni di consumo

Nel caso il contratto sia scritto su un bene di consumo si dovranno tenere in conto anche i costi di immagazzinamento in modo analogo e contrario al caso di un titolo che offra flussi di cassa futuri certi. Avremo cioè che $F_{0}=(S_{0}+U)e^{rT}$ $F_{0}=S_{0}e^{(r+u)T}$
In generale potremmo scrivere la relazione di non arbitraggio come $F_{0}=S_{0}e^{cT}$, dove $c$ rappresenta il cost of carry.

## Risorse

* Elenco dei Titoli di Stato