# Le misure di fase

Le misure di fase, tra segnali aventi la stessa frequenza, possono essere condotte con precisione disponendo di idoneo strumento (fasometro) con il quale procedere rapidamente ai rilievi interessati.
In questo caso le misure si eseguono collegando i due ingressi dello strumento ai due punti del circuito nei quali sono presenti i due segnali la cui la relazione di fase deve essere controllata.
Sull’impiego del fasometro l’unico accorgimento da seguire consiste nell’impiego di cavi adatti, per il collegamento sui punti di misura, affinché le loro capacità non alterino le fasi dei segnali sotto controllo.
Lo strumento citato, però, dato il sensibile costo e l’uso sporadico, non è generalmente disponibile nell’ambito di modeste attrezzature di laboratorio; il tecnico, quindi, deve studiare come misurare gli sfasamenti tra i segnali con i mezzi comuni a sua disposizione.

## Misure di fase con l’oscilloscopio

Misure di fase non molto precise, ma significative, possono essere fatte utilizzando un oscilloscopio dotato degli assi x e y con il quale esaminare alcune figure caratteristiche dette “ figure di Lissajous”; questo semplice metodo richiede il collegamento dello strumento al circuito sotto misura secondo lo schema di figura 1
Nella figura si osserva:
* a sinistra il circuito sotto controllo nel quale sono individuati i due terminali ai quali fanno capo i segnali S1 e S2 tra i quali deve essere eseguita la misura di fase.
* a destra l’oscilloscopio nel quale sono evidenziati i due ingressi agli assi x e y.
* il collegamento della zona di massa del circuito con i terminali di massa dello strumento.
* il collegamento del segnale S1 all’ingresso di deflessione verticale (asse y) dell’oscilloscopio.
* il collegamento del segnale S2 all’ingresso di deflessione orizzontale (asse x) dell’oscilloscopio.
* lo schermo dell’oscilloscopio, suddiviso dai caratteristici assi ortogonali, attraversati da una figura ellittica ( figura di Lissajous) sulla quale si individuano, il punto d’ ampiezza massima, indicato con la lettera A e il punto d’incontro con l’ asse y indicato con la lettera B.
Per meglio individuare la posizione delle figure sul video sono stati distinti i quattro quadranti dello schermo ombreggiando il I° e il III° ( così possiamo dire che l’asse maggiore dell’ellisse tracciato in figura interseca il I° e il III° quadrante)
La misura che illustreremo è valida soltanto se i guadagni di amplificazione dei due assi dell’oscilloscopio sono identici tra loro: la procedura per il rilievo dello sfasamento tra due segnali è la seguente:
* si regolano i guadagni dei due assi dello strumento affinché la figura che compare sullo schermo abbia l’ampiezza più grande possibile ( maggiori sono le dimensioni del tracciato migliore è la precisione dei rilievi successivi).
* si controllano con cura i guadagni dei due assi, dopo l’aggiustaggio delle dimensioni della figura, per evitare errori accidentali sull’uguaglianza tra i due.
* si procede al rilievo delle variabili A e B aiutandosi con le tacche delle divisioni del reticolo graduato dello schermo; si osserva, inoltre, se l’asse dell’ellisse interseca i quadranti I° e III° o II° e IV° (la variabile A è il valore dell’ordinata del punto più alto dell’ellisse, la variabile B è l’ordinata del punto d’intersezione tra l’ellisse e l’asse y).
* si calcola il rapporto $B/A$
* se l’asse maggiore dell’ellisse taglia il I° e il III° quadrante si calcola lo sfasamento con la formula
$\phi =\arcsin \ (B/A)$ o si utilizza il grafico di figura 3
* se l’asse maggiore dell’ellisse taglia il II° e il IV° quadrante si calcola lo sfasamento con la formula
$\phi =180{-}\arcsin \ (B/A)$ o si utilizza il grafico di figura 4.
Prima di mostrare gli esempi di misura di fase è interessante osservare, in figura 2, un certo numero di tracciati caratteristici che possono comparire sullo schermo dell’oscilloscopio per alcuni valori particolari di sfasamento:
La prima immagine a sinistra mostra il tracciato che si visualizza sullo schermo dell’oscilloscopio quando la fase tra due segnali è $0$ ° : in questo caso l’ellisse è schiacciata al punto di comparire come un segmento disposto tra il I° e il III° quadrante, si ha $B/A=0.$
La seconda immagine a sinistra mostra il tracciato che si visualizza sullo schermo dell’oscilloscopio quando la fase tra due segnali è $45$ ° oppure $315$ ° : in questo caso l’asse maggiore dell’ellisse è disposto tra il I° e il III° quadrante e si ha $B/A=0.707.$
L’immagine centrale mostra il tracciato che si visualizza sullo schermo dell’oscilloscopio quando la fase tra due segnali è $90$ ° oppure $270$ ° : in questo caso l’ellisse si è deformata in un cerchio è si ha $B/A=1.$
La penultima immagine mostra il tracciato che si visualizza sullo schermo dell’oscilloscopio quando la fase tra due segnali è $135$ ° oppure $225$ ° : in questo caso l’asse maggiore dell’ellisse è disposto tra il II° e il IV° quadrante e si ha $B/A=0.707.$
L’ultima immagine mostra il tracciato che si visualizza sullo schermo dell’oscilloscopio quando la fase tra due segnali è $180$ ° : in questo caso l’ellisse è schiacciata al punto di comparire come un segmento disposto tra il II° e il IV° quadrante, si ha $B/A=0.$
Da questa serie di immagini si comprende come il metodo possa condurre ad ambiguità nella misura dello sfasamento tra due segnali ad eccezione del caso in cui questo sia $0$° o $180$ °.
Il problema dell’ambiguità di misura è comune a molti metodi di rilievo della fase tra due segnali; vedremo in seguito come tenerne conto.
Vediamo di seguito come affrontare la misura della fase con due esempi numerici e grafici senza porci il problema dell’ambiguità di misura.

### Primo esempio

Dati rilevati sull'oscilloscopio
Supponiamo che dopo gli aggiustaggi del caso si sia formata sull'oscilloscopio di misura un’ellisse con l’asse maggiore disposto tra il I° e il III° quadrante, la misura della variabile $A$ ha indicato $A=6$ divisioni del reticolo, la misura della variabile $B$ ha indicato $B=4$ divisioni del reticolo.
Valutazioni dello sfasamento
Essendo l’asse maggiore dell’ellisse disposto tra il I° e il III° quadrante, lo sfasamento tra i due segnali si valuta con l’espressione $\phi =\arcsin \ (B/A)$ ( asse per il I° e III° quadrante) o utilizzando il grafico di figura 3:
A scopo didattico utilizzeremo entrambi i metodi per la determinazione di in modo che il lettore possa poi scegliere quello che gli è più congeniale:
* Metodo numerico:
il rilievo strumentale ha individuato l'asse maggiore dell'ellisse intersecare il I° e III° quadrante, si utilizza pertanto l’espressione di calcolo $\phi =\arcsin \ (B/A)$ che, con i valori rilevati di $A=6\ e\ B=4$, consente di ottenere:
$\phi =\arcsin \ (4/6)=41.8$°
* Metodo grafico:
essendo l’asse maggiore dell’ellisse disposto tra il I° e III° quadrante si deve fare riferimento alla curva di figura 3.
Dopo aver calcolato il rapporto $B/A=4/6=0.66$ lo si individua sull'asse delle ascisse e da questo, intercettando la curva, l’ordinata corrispondente che indica uno sfasamento $\phi =42$°.

### Secondo esempio

Si supponga di rilevare i seguenti dati sull'oscilloscopio
Dopo gli aggiustaggi del caso si è formata sull'oscilloscopio un’ellisse con l’asse maggiore disposto tra il II° e il IV° quadrante, la misura di della variabile $A$ ha indicato $A=5.2$ divisioni del reticolo, la misura della variabile $B$ ha indicato $B=2.8$ divisioni del reticolo.
Valutazioni dello sfasamento
Essendo l’asse maggiore dell’ellisse disposto tra il II° e il IV° quadrante lo sfasamento tra i due segnali si valuta con l’espressione
$\phi =180{-}\arcsin \ (B/A)$ ( asse per il II° e IV° quadrante)
o utilizzando il grafico di figura 4.
A scopo didattico utilizzeremo entrambi i metodi per la determinazione di $\phi$ in modo che il lettore possa poi scegliere, anche in questo caso, quello che gli è più congeniale:
Metodo numerico
il rilievo strumentale ha individuato l’asse maggiore dell’ellisse intersecare il II° e IV° quadrante, si utilizza pertanto l’espressione di calcolo
$\phi =180{-}\arcsin \ (B/A)$ che con i valori rilevati di $A=5.2\ e\ B=2.8$ consente di ottenere: $\phi =147.2$°
Metodo grafico
essendo l’asse maggiore dell’ellisse disposto tra il II° e VI° quadrante si deve far riferimento alla curva di figura 4.
dopo aver calcolato il rapporto $B/A=2.8/5.2=0.53$ lo si individua sull'asse delle ascisse e da questo, intercettando la curva, l’ordinata corrispondente che indica uno sfasamento $\phi =148$°

## Il problema dell’ambiguità nella misura di fase con l’oscilloscopio

Il problema dell’ambiguità di misura non si pone quando sia conosciuto, a priori, che il campo entro il quale si può trovare lo sfasamento da rilevare è inferiore a $180$° (questa condizione si verifica in pratica il più delle volte).
L’incertezza nasce invece nei casi in cui l’entità dello sfasamento sia assolutamente sconosciuta come negli esempi condotti in precedenza.
Abbiamo infatti imparato a interpretare le figure di Lissajous per la misura dello sfasamento tra due segnali aventi la stessa frequenza, abbiamo inoltre sviluppato gli esercizi i cui risultati ci serviranno ora per cercare di risolvere il problema dell’ambiguità di misura.
Gli esercizi menzionati hanno portato ai seguenti risultati
-ellisse con l’asse maggiore disposto tra i quadranti I° e III: sfasamento calcolato $\phi =41.8$°
-ellisse con l’asse maggiore disposto tra i quadranti II° e IV: sfasamento calcolato $\phi =147.2$°
Le ellissi che sono servite alla determinazione di questi sfasamenti sono anche rappresentative di sfasamenti $\phi 1\ e\ \phi 2$ che si ottengono dai primi con la differenza a $360$° , in altre parole:
* l’ellisse che ha consentito il calcolo di $\phi =41.8$° è anche espressione di uno sfasamento $\phi 1=360^{\circ }{-}41.8^{\circ }=318.2$°
* l'ellisse che ha consentito il calcolo di $\phi =147.42$° è anche espressione di uno sfasamento
$\phi 2=360^{\circ }{-}147.42^{\circ }=212.58$°
Ecco quindi che le misure eseguite, non essendo conosciuto a priori se il campo entro il quale poteva trovarsi lo sfasamento da rilevare era inferiore a $180$°, sono ambigue, non consentono infatti di stabilire quali sono in realtà gli sfasamenti veri tra i segnali esaminati: $41.8$° o $318.2$° ; $147.42$° o $212.58$°
La soluzione al problema si ha mediante l’esame del senso di movimento del pennello elettronico dell’oscilloscopio.
-se il pennello elettronico ruota nel senso delle lancette dell’orologio sono validi gli sfasamenti che scaturiscono dalle formule:
$\phi =\arcsin(B/A)$ ( asse per il I° e III° quadrante)
$\phi =180{-}\arcsin(B/A)$ ( asse per il II° e IV° quadrante)
o dalle curve 3 e 4.
-se il pennello elettronico ruota in senso contrario alle lancette dell’orologio sono validi gli sfasamenti che scaturiscono dalle formule:
$\phi =360{-}\arcsin(B/A)$ ( asse per il I° e III° quadrante)
$\phi =180+\arcsin(B/A)$ ( asse per il II° e VI° quadrante)
o dalla differenza a $360$° dei dati ricavati dalle curve 3 e 4.
Quanto detto è chiaro ma non facilmente verificabile; se ad esempio facessimo una misura di fase tra due tensioni a frequenza molto bassa, si riuscirebbe ad individuare il senso di rotazione del pennello elettronico e il problema sarebbe immediatamente risolto.
Normalmente, però, i segnali hanno valori di frequenza tali da non consentire la visione del senso di movimento del pennello elettronico e quindi deve essere adottato un sistema per poterlo stabilire.
Tra i diversi metodi escogitati per individuare il senso di rotazione del pennello elettronico ne citiamo uno tra i più semplici: si realizza uno sfasatore variabile da inserire, prima delle operazioni di misura, in serie ad uno dei due segnali, incrementando lo sfasamento lentamente si osserva un‘alterazione dell’ellisse che si sposta nel senso di rotazione del pennello elettronico.
Una volta individuato il senso di rotazione, si ripristina la misura in assenza dello sfasatore.