# Integrale di Riemann

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Consideriamo l'intervallo $[a,b]\in \mathbb {R}$ con $a<b$.
Chiamiamo scomposizione di $[a,b]$ un sottoinsieme $\sigma \in [a,b]$ comprendente gli estremi $a,b$.
$\sigma =\{a=x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}=b\}$
È possibile definire su $[a,b]$ la misura di ogni intervallo $I_{k}=[x_{k},x_{k+1}]$ (è possibile farlo perché $\mathbb {R}$ è archimedeo) come $(x_{k+1}-x_{k})$. Inoltre
$\sum _{i=1}^{n}(x_{k+1}-x_{k})=b-a$
Definiamo il parametro di finezza di $\sigma$:
$|\sigma |\in \mathbb {R} =\max\{(x_{k+1}-x_{k}),k=1,\dots ,n\}$
cioè quanto al massimo può misurare un intervallo della scomposizione $\sigma$. In altri termini, $|\sigma |<|\sigma '|$ significa che $\sigma$ è una scomposizione di $[a,b]$ in un numero di intervalli maggiore rispetto a $\sigma '$ dunque $\sigma '\supseteq \sigma$.
Indichiamo l'insieme totale di tutte le scomposizioni possibili di $[a,b]$ l'insieme denotato con $\Omega _{[a,b]}$.

## Somme inferiori e somme superiori di una funzione limitata

Sia $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ una funzione limitata. Se $\sigma \in \Omega _{[a,b]}$, è detta somma superiore di $f$ relativa a $\sigma$
$S(f,\sigma )\in \mathbb {R} =\sum _{i=1}^{n}\sup _{I_{i}}f\cdot (x_{i+1}-x_{i})$
Graficamente:
Analogamente si definiscono le somme inferiori come
$s(f,\sigma )\in \mathbb {R} =\sum _{i=1}^{n}\inf _{I_{i}}f\cdot (x_{i+1}-x_{i})$
e la figura sarà simile a quella sopra, se non per il fatto che i rettangoli non "superano" la funzione ma stanno tutti sotto di essa. In altri termini, le somme superiori approssimano per eccesso l'area sottesa alla funzione nell'intervallo $[a,b]$, mentre quelle inferiori la approssimano per difetto. Dunque risulta ovviamente che $s(f,\sigma )\leq S(f,\sigma ),\forall \sigma \in \Omega _{[a,b]}$. Osserviamo inoltre che, per ogni scomposizione $\sigma$, si ha:
$\inf _{[a,b]}f\cdot (b-a)=\sum _{i=1}^{n}\inf _{[a,b]}f\cdot (x_{i+1}-x_{i})\leq s(f,\sigma )\leq S(f,\sigma )\leq \sum _{i=1}^{n}\sup _{[a,b]}f\cdot (x_{i+1}-x_{i})=\sup _{[a,b]}\cdot (b-a)$
Definiamo ora l' integrale inferiore e superiore da $a$ a $b$ di $f$, denotato con $\int _{\_a}^{b}f(x){\rm {d}}x\in \mathbb {R}$ e $\int _{a}^{\_b}f(x){\rm {d}}x\in \mathbb {R}$ il numero reale tale che:
$\int _{\_a}^{b}f(x){\rm {d}}x=\sup\{s(f,\sigma ),\sigma \in \Omega _{[a,b]}\}$
$\int _{a}^{\_b}f(x){\rm {d}}x=\inf\{S(f,\sigma ),\sigma \in \Omega _{[a,b]}\}$
In altri termini, l'integrale inferiore è quella somma inferiore che approssima meglio l'area di $f$ in $[a,b]$ tra tutte le scomposizioni $\sigma$ possibili. Analogamente l'integrale superiore.

#### Proposizione

Per ogni funzione limitata $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ si ha
$\int _{\_a}^{b}f(x){\rm {d}}x\leq \int _{a}^{\_b}f(x){\rm {d}}x$

#### Lemma

Sia $\sigma$ una scomposizione più fine di $\sigma '$, cioè $\sigma \supseteq \sigma '$. Allora, per qualsiasi $\sigma ,\sigma '\in \Omega _{[a,b]}$ si ha che
$S(f,\sigma )\leq S(f,\sigma ')$
$s(f,\sigma )\geq s(f,\sigma ')$
Inoltre, siano $\xi ',\xi ''\in \Omega _{[a,b]}$ e $\sigma =\xi '\cup \xi ''$. Risulta allora che:
$s(f,\xi ')\leq S(f,\xi '')$
cioè, prese due qualsiasi scomposizioni, una qualsiasi somma inferiore è sempre più piccola di una qualsiasi somma superiore.

##### Dimostrazione del Lemma

Sia $\sigma =\sigma '\cup \{c\}$, cioè $\sigma$ è più grande di $\sigma '$ solo per un punto in più $\{c\}$. Abbiamo $\sigma '=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{p},x_{p+1},\dots ,x_{n}\}$ e $x_{p}<c<x_{p+1}$ in $\sigma$. Notiamo innanziutto che le due somme differiscono soltanto nell'intervallo $[x_{p},x_{p+1}]$, ma per il resto sono uguali. Per provare che $S(f,\sigma )\leq S(f,\sigma ')$, facciamo vedere che la differenza tra $S(f,\sigma )$ e $S(f,\sigma ')$ è minore di zero e in virtù di quanto abbiamo appena notato, possiamo solo considerare l'intervallo $[x_{p},x_{p+1}]$ in quanto tutti gli altri intervalli, essendo i medesimi in entrambe le scomposizioni, si annullano. Dunque :
$S(f,\sigma )-S(f,\sigma ')=\sup _{[x_{p},c]}f\cdot (c-x_{p})+\sup _{[c,x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-c)-\sup _{[x_{p},x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-x_{p})\leq$
$\sup _{[x_{p},x_{p+1}]}f\cdot (c-x_{p})+\sup _{[x_{p},x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-c)-\sup _{[x_{p},x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-x_{p})=0$
Analogamente per le somme inferiori:
$s(f,\sigma )-s(f,\sigma ')=\inf _{[x_{p},c]}f\cdot (c-x_{p})+\inf _{[c,x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-c)-\inf _{[x_{p},x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-x_{p})\geq$
$\inf _{[x_{p},x_{p+1}]}f\cdot (c-x_{p})+\inf _{[x_{p},x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-c)-\inf _{[x_{p},x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-x_{p})=0$
Abbiamo così dimostrato che le somme superiori (inferiori) di una certa scomposizione sono più piccole (più grandi) delle somme di un'altra scomposizione mano a mano che aumenta la finezza della scomposizione.
Inoltre, qualsiasi somma inferiore è minore uguale di qualsiasi altra somma superiore, a prescindere dalle rispettive scomposizioni. Infatti:
$\sigma \supseteq \xi ',\sigma \supseteq \xi ''\Rightarrow s(f,\xi ')\leq s(f,\sigma )\leq S(f,\sigma )\leq S(f,\xi '')$
$\Box$

##### Dimostrazione della Proposizione

È una diretta conseguenza del Lemma precedente.
$\Box$

## Funzioni integrabili

Una funzione limitata $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ si dice integrabile secondo Riemann se
$\int _{\_a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{\_b}f(x)dx$
ed in tal caso l' integrale di $f$ da $a$ a $b$ si denota con
$\int _{a}^{b}f(x)dx$
Vedremo ora alcuni teoremi che ci aiuteranno a stabilire quando una funzione è integrabile (secondo Riemann). Denoteremo con ${\mathcal {R}}_{[a,b]}$ l'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann nell'intervallo $[a,b]$.
Cominciamo proprio con il teorema omonimo.

#### Teorema (di Riemann)

Sia $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ una funzione limitata. Allora $f\in {\mathcal {R}}_{[a,b]}$ se e solo se
$\forall \varepsilon >0\ \exists \sigma \in \Omega _{[a,b]}\ :\ S(f,\sigma )-s(f,\sigma )<\varepsilon$
cioè $f$ è integrabile nel senso di Riemann se e solo se esiste almeno una scomposizione nell'insieme di tutte le scomposizioni possibili in $[a,b]$ tale che la differenza tra la somma superiore e quella inferiore relativa alla scomposizione in oggetto sia piccola quanto si voglia.
Diciamo fra noi che è un'affermazione un po' "imparentata" con la definizione di integrale appena data, tuttavia è un teorema che risulta comodo e conveniente conoscere.

##### Dimostrazione

Dimostriamo l'implicazione $\Rightarrow$ utilizzando un piccolo "artificio" esclusivamente per semplificare la comprensione della dimostrazione, ma che naturalmente non ne invalida la correttezza. Se $f$ è integrabile, esiste una qualche scomposizione $\sigma '\in \Omega _{[a,b]}$ per cui $S(f,\sigma ')<\int _{a}^{\_b}f(x)dx+{\frac {\varepsilon }{2}}$, cioè esisterà certamente una qualche scomposizione (che chiamiamo $\sigma '$) tale che la somma superiore relativa a questa scomposizione sia minore della più piccola tra le somme superiori aumentata di un certo valore (che noi chiamiamo ${\frac {\varepsilon }{2}}$) per quanto esso sia piccolo a piacere. Per ipotesi $f\in {\mathcal {R}}_{[a,b]}$, dunque $\int _{a}^{\_b}f(x)dx+{\frac {\varepsilon }{2}}=\int _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {\varepsilon }{2}}$. Analogamente esiste una scomposizione $\sigma ''$ tale che $s(f,\sigma '')>\int _{\_a}^{b}f(x)dx-{\frac {\varepsilon }{2}}$ e anche qui, per l'ipotesi che $f$ sia integrabile, $\int _{\_a}^{b}f(x)dx-{\frac {\varepsilon }{2}}=\int _{a}^{b}f(x)dx-{\frac {\varepsilon }{2}}$. Ricapitolando, abbiamo dunque:
$S(f,\sigma ')<\int _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {\varepsilon }{2}}$
$s(f,\sigma '')>\int _{a}^{b}f(x)dx-{\frac {\varepsilon }{2}}$
Sia ora $\sigma =\sigma '\cup \sigma ''$ e dunque $\sigma \supseteq \sigma '$ e $\sigma \supseteq \sigma ''$. Per il lemma 1.2, abbiamo che $S(f,\sigma )\leq S(f,\sigma ')$ e $s(f,\sigma )\geq s(f,\sigma '')$ essendo $\sigma$ una scomposizioni più fine o uguale alle altre due. Dunque:
$S(f,\sigma )-s(f,\sigma )\leq S(f,\sigma ')-s(f,\sigma '')<\int _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {\varepsilon }{2}}-\left(\int _{a}^{b}f(x)dx-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$
Dimostriamo ora l'implicazione inversa, cioè assumiamo che $\forall \varepsilon >0\ \exists \sigma \in \Omega _{[a,b]}\ :\ S(f,\sigma )-s(f,\sigma )<\varepsilon$ e traiamone che $f\in {\mathcal {R}}_{[a,b]}$. Per ipotesi, si ha allora:
$\int _{a}^{\_b}f(x)dx-\int _{\_a}^{b}f(x)dx\leq S(f,\sigma )-s(f,\sigma )<\varepsilon$
e di conseguenza $\int _{a}^{\_b}f(x)dx-\int _{\_a}^{b}f(x)dx<\varepsilon \Leftrightarrow \int _{a}^{\_b}f(x)dx<\int _{\_a}^{b}f(x)dx+\varepsilon \Leftrightarrow \int _{a}^{\_b}f(x)dx\leq \int _{\_a}^{b}f(x)dx$ .
Ma la Proposizione 1.1 sostiene che si ha sempre $\int _{a}^{\_b}f(x)dx\geq \int _{\_a}^{b}f(x)dx$, dunque mettendo insieme le cose traiamo che
$\int _{a}^{\_b}f(x)dx=\int _{\_a}^{b}f(x)dx$
e dunque $f$ è integrabile secondo Riemann.
$\Box$