# Valutazione delle performance dei regolatori

In tutte le applicazioni industriali in cui i regolatori hanno un ruolo critico è necessario esguire dei test di performance su essi. Questa valutazione è chiamata process monitoring o process control benchmarking. Nella letteratura scientifica esistono diversi metodi per valutare la bontà di un regolatore e in questa lezione ne tratteremo solo alcuni, principalmente applicati a sistemi SISO. Il risultato che ne deriva può essere poi riutilizzato per ritarare il regolatore o riprogettarlo da capo, al fine di migliorarne le prestazioni.

## Introduzione

Si stima che il 60% dei regolatori in uso oggi abbiano problemi di performance, tra i quali: errata calibrazione, mancata ricalibrazione, errori di design, eccessiva sensibilità ai disturbi e un'impropria struttura di controllo.
Una tecnica di valutazione delle performance di un regolatore deve fornire alcune garanzie:
* la metrica scelta deve rappresentare il processo in modo significativo utilizzando tecniche universalmente riconosciute;
* le performance devono poter essere calcolate, possibilmente online;
* i disturbi e le variazioni del setpoint presenti nelle misure di validazione non devono influire in modo significativo sulla valutazione;
* deve essere sensibile alla mancata o errata calibrazione;
* deve garantire una certa soglia di identificabilità del problema, ovvero deve possibilmente fornire informazioni utili al fine di capire perché le performance del regolatore non sono buone;

## Controllo a minima varianza
### H-index

L'indice di Harris è una misura delle performance di un regolatore in retroazione. Si definisce come il rapporto tra la varianza effettiva dell'output ($\sigma _{y}^{2}$) e la varianza del controllore a minima varianza ($\sigma _{MV}^{2}$):
    $H={\frac {\sigma _{y}^{2}}{\sigma _{MV}^{2}}}$
L'indice assume valori compresi nell'intervallo $[1;+\infty ]$ e $H=1$ indica il regolatore ideale, ovvero con varianza uguale al controllore a minima varianza.
Anche se il valore massimo per cui il regolatore è accettabile dipende dal contesto d'uso e dal processo, possiamo assumere che nella maggior parte dei casi il valore limite per l'Harris Index è di circa $50-100$.
Nota: in alcuni casi l'indice è rappresentato con il reciproco di quello indicato, variando in tal caso nell'intervallo $[0;1]$. Per conformità in questa lezione si utilizzerà la convenzione precedentemente indicata.
Similmente si definisce l'indice di Harris normalizzato:
    $NH=1-{\frac {\sigma _{MV}^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}$
In questo caso, valore alti dell'indice indicano una pessima taratura del regolatore, mentre valori bassi non forniscono nessuna informazione (non è possibile stabilire con l'Harris Index se il regolatore è stato tarato bene, ma solo se è stato tarato male).

### Assessment-Index

In condizioni di controllo a minima varianza generalizzata (GMV) si minimizza la aseguente funzione di costo:
    $J_{GMV}=E[P_{c}e(k)+F_{c}u(k)]$
dove $P_{c}$ e $F_{c}$ rappresentano opportuni pesi che devono essere selezionati in fase di design. In particolare influenzano le performance del regolatore, il tasso di rejection e il livello di robustezza. L'Assessment Index anche chiamavo GMV Performance Index è definito come il ratio:
    $\eta _{GMV}={\frac {J_{GMV}}{J_{EFF}}}$
dove $J_{GMV}$ è il valore della funzione di costo in condizioni GMV, mentre $J_{EFF}$ è il valore effettivo del regolatore in esame.

## Indici
### Idle-Index

L'Idle-Index è un indice di prestazione dei regolatori utilizzato per valutare la velocità di risposta del regolatore e in particolare rappresenta quando velocemente compensa i bruschi disturbi. Non risulta particolarmente indicativo della bontà di inseguimento del setpoint. È stato proposto da Hagglund Tore nel 1997.
L'idle-index al passo $k$ è così espresso:
    $I^{k}={\frac {t_{+}^{k}-t_{-}^{k}}{t_{+}^{k}+t_{-}^{k}}}$
dove (essendo $h$ il tempo di campionamento):
    $t_{+}^{k}={\begin{cases}t_{+}^{k-1}+h\quad {\text{se}}\quad \Delta u\Delta y>0\\t_{+}^{k-1}\quad \quad \quad {\text{se}}\quad \Delta u\Delta y\leq 0\end{cases}}$
    $t_{-}^{k}={\begin{cases}t_{-}^{k-1}+h\quad {\text{se}}\quad \Delta u\Delta y<0\\t_{-}^{k-1}\quad \quad \quad {\text{se}}\quad \Delta u\Delta y\geq 0\end{cases}}$
$I^{k}$ è evidentemente compreso nell'intervallo $[-1;1]$. Più $I^{k}$ è vicino a 1, più la compensazione è lenta. Viceversa, se è vicino a -1, il regolatore è da considerarsi ben tarato. Tuttavia, per valori vicini a -1, il regolatore potrebbe oscillare; per questo motivo, possiamo considerare buoni valori di $I^{k}$ vicini a 0.