# Anelli e sottoanelli

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## Definizione e proprieta'

Sia $A\,\!$ un insieme non vuoto, e siano $f\,\!$ e $g\,\!$ due operazioni binarie di $A\,\!$. La struttura $<A,f,g>\,\!$ si dice un anello se $f\,\!$ e $g\,\!$ godono delle seguenti proprietà:
* $<A,f>\,\!$ è un gruppo abeliano;
* $<A,g>\,\!$ è un semigruppo;
* $g\,\!$ è distributiva (sia a destra sia a sinistra) rispetto a $f\,\!$.
Se sono soddisfatte le proprietà, $A\,\!$ si dice sostegno dell'anello.
Per facilitare la comprensione degli argomenti successivi, si usano per $f\,\!$ e $g\,\!$ rispettivamente la notazione additiva $+\,\!$ e quella moltiplicativa $\cdot \,\!$ . Inoltre un anello $<A,+,\cdot >$, ove possibile, sarà denotato con $A\,\!$. Quindi un anello sarà una struttura $<A,+,\cdot >\,\!$ che soddisfa le seguenti proprietà:
* $<A,+>\,\!$ è un gruppo abeliano
* $<A,\cdot >\,\!$ è un semigruppo
* $a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca\,\!$
$<A,+>\,\!$ si dice gruppo abeliano additivo e $<A,\cdot >\,\!$ si dice un semigruppo moltiplicativo. Per la proprietà 1., ovviamente risulta essere $x+y=y+x\ \forall x,y\in A$. Quindi $x\,\!$ e $y\,\!$ si dicono permutabili se vale $xy=yx\,\!$.

### Regole di calcolo in un anello

Sia $A\,\!$ un anello. Allora valgono le seguenti regole del calcolo discendenti dalle proprietà di un anello, che ricordiamo:
* Da $A\,\!$ gruppo abeliano additivo, $\forall x,y\in A,\forall m,n\in \mathbb {Z}$:
** $(m+n)x=mx+nx\,\!$
** $m(nx)=(mn)x=n(mx)\,\!$
** $n(x+y)=nx+ny\,\!$
* Da $A\,\!$ semigruppo moltiplicativo, $\forall x\in A,\forall m,n\in \mathbb {Z}$:
** $x^{m}x^{n}=x^{m+n}=x^{n}x^{m}\,\!$
** $(x^{m})^{n}=x^{mn}=(x^{n})^{m}\,\!$
Oltre alle regole sopra citate, ci sono nuove regole ottenute grazie alla proprietà distributiva, $\forall x,y,z\in A,\ \forall n\in \mathbb {Z}$:
* $x0=0=0x\,\!$;
${\begin{cases}0x=(0+0)x=0x+0x\\x0=x(0+0)=x0+x0\end{cases}}\Rightarrow 0x=0=x0$
$\Box$
* $(-x)y=-(xy)=x(-y)\,\!$;
${\begin{cases}0=0y=(x+(-x))y=xy+(-x)y\\0=x0=x(y+(-y))=xy+x(-y)\end{cases}}\Rightarrow (-x)y=-(xy)=x(-y)$
$\Box$
* $(-x)(-y)=xy\,\!$;
$(-x)(-y)=-((-x)y)=-(-(xy))=((-1)\cdot (-1))(xy)=xy\,\!$
$\Box$
* $x(y-z)=xy-xz\,\!$ e $(y-z)x=yx-zx\,\!$;
${\begin{cases}x(y-z)=x(y+(-z))=xy+x(-z)=xy-xz\\(y-z)x=(y+(-z))x=yx+(-z)x=yx-zx\end{cases}}$
$\Box$
* $(nx)y=n(xy)=x(ny)\,\!$.
Per $n\geq 0\,\!$ si procede per induzione su $n\,\!$: ${\begin{cases}n=0\Rightarrow (0x)y=0y=0=0(xy)=0=x0=x(0y)\\n=1\Rightarrow (1x)y=xy=1(xy)=xy=x(1y)\\n=2\Rightarrow (2x)y=(x+x)y=xy+xy=2(xy)=xy+xy=x(y+y)=x(2y)\\n\geq 3\Rightarrow {\begin{cases}(nx)y=(x+(n-1)x)y=xy+((n-1)x)y{\overset {I.I.}{=}}xy+(n-1)(xy)=n(xy)\\x(ny)=x(y+(n-1)y)=xy+x(n-1)y{\overset {I.I.}{=}}xy+(n-1)(xy)=n(xy)\end{cases}}\Rightarrow (nx)y=n(xy)=x(ny)\end{cases}}$ Per $n<0\,\!$, allora $-n>0\,\!$, e quindi si sfrutta quello che si è già dimostrato sopra: ${\begin{cases}(nx)y=((-n)(-1)x)y=((-n)(-x))y=(-n)((-x)y)=(-n)(-(xy))=(-n)(-1)(xy)=n(xy)\\x(ny)=x((-n)(-1)y)=x((-n)(-y))=(-n)(x(-y))=(-n)(-(xy))=(-n)(-1)(xy)=n(xy)\end{cases}}\Rightarrow (nx)y=n(xy)=x(ny)$
$\Box$

#### Elementi di calcolo combinatorio

Riprendiamo alcuni argomenti di teoria degli insiemi. Se $S\,\!$ e $T\,\!$ sono due insiemi finiti, con $|S|\,\!$ si intende il numero degli elementi di $S\,\!$, con $P(S)\,\!$ l'insieme delle parti di $S\,\!$, con $T^{S}\,\!$ l'insieme delle applicazioni di $S\,\!$ in $T\,\!$ e con $Sym(S)\,\!$ il gruppo delle permutazioni di $S\,\!$. Inoltre se $R\,\!$ è una relazione d'equivalenza in $S\,\!$, allora $S/R\,\!$ è l'insieme quoziente di $S\,\!$ su $R\,\!$.
Ricordiamo alcuni risultati generali (senza dimostrazione):
* $|P(S)|=2^{|S|},\ \ |T^{S}|=|T|^{|S|},\ \ |Sym(S)|=|S|!$
* Siano $S\,\!$ e $T\,\!$ due insiemi finiti e non vuoti, con $n=|S|\leq |T|=k\,\!$. Allora esistono applicazioni iniettive di $S\,\!$ in $T\,\!$, e il loro numero è $n(n-1)\dots (n-k+1)\,\!$
* Siano $S\,\!$ e $T\,\!$ due insiemi infiniti. Allora:
** $|S\times T|=|S|\cdot |T|$
** $|S\cup T|=|S|+|T|-|S\cap T|$
* Se $S\,\!$ è un insieme finito e $R\,\!$ è una relazione d'equivalenza in $S\,\!$ tale che per ogni $x\in S\,\!$ accade che $|[x]_{R}|=k\,\!$, allora: $|S|=k\cdot |S/R|\,\!$
Sia $S\,\!$ un insieme costituito da $n\geq 1\,\!$ elementi. Per ogni $0\leq k\leq n\,\!$, $S\,\!$ possiede sottoinsiemi di $k\,\!$ elementi. Una $k\,\!$-parte di $S\,\!$ è un sottoinsieme di $S\,\!$ costituito da $k\,\!$ elementi.
Con ${n \choose k}$ si denota il numero delle $k\,\!$-parti di $S\,\!$, che si legge "n su k" e si chiama coefficiente binomiale d'ordine n e indice k.
Per ogni $n\geq 1\,\!$ e per ogni $0\leq k\leq n\,\!$, valgono le seguenti uguaglianze:
* ${n \choose 0}=1={n \choose n}$ ; ${n \choose 1}=n$ ; ${n \choose k}={n \choose n-k}$
Basta far notare che la $0\,\!$-parte di $S\,\!$ corrisponde all'insieme vuoto e la $n\,\!$-parte di $S\,\!$ corrisponde a $S\,\!$. Inoltre le $1\,\!$-parti di $S\,\!$ corrispondono ai singleton degli elementi di $S\,\!$, che ne sono $n\,\!$.
$k\,\!$
$S\,\!$
$n-k\,\!$
$S\,\!$
$B\,\!$
$S\smallsetminus B\,\!$
$\Box$
Una proposizione importante è la seguente (senza dimostrazione): $\forall n\geq 1,\forall k:1\leq k\leq n,\ {n \choose k}={\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}}$

#### Teorema binomiale

Adesso si può procedere al famoso:
Siano $a,b\,\!$ elementi permutabili di un anello $A\,\!$. Allora per ogni intero $n\geq 1\,\!$ si ha: $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}=a^{n}+na^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+\dots +{n \choose n-1}ab^{n-1}+b^{n}$
$(a+b)^{n}\,\!$
$(a+b)(a+b)\dots (a+b)\,\!$
$n\,\!$
$2^{n}\,\!$
$x_{1}\dots x_{n}\,\!$
$a\,\!$
$b\,\!$
$a\,\!$
$b\,\!$
$a\,\!$
$b\,\!$
$b\,\!$
$k\,\!$
$x_{1}\dots x_{n}=a^{n-k}b^{k}\,\!$
$0\leq k\leq n$
$a^{n-k}b^{k}\,\!$
$b\,\!$
$k\,\!$
$a\,\!$
$n-k\,\!$
$2^{n}\,\!$
$k\,\!$
$n\,\!$
${n \choose k}$
$\Box$
Come immediata conseguenza, se l'anello $A\,\!$ è commutativo, ossia se il monoide moltiplicativo è commutativo, allora la formula vale per ogni $a\,\!$ e $b\,\!$ in $A\,\!$.

## zero divisori, domini e campi

Quando il prodotto di due numeri è zero, allora ci viene automatico pensare che se il prodotto è nullo uno dei due fattori (o tutti e due) è certamente nullo. E questo vale in $\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ e in qualsiasi altro campo e dopo vedremo il motivo. Ma non è valido in generale per tutti gli anelli e quando un numero b non nullo, moltiplicato per un altro numero a non nullo anch'esso da come risultato 0, b viene detto zero-divisore .
La cosa a prima vista può lasciare perplessi (essendo di solito abituati a lavorare con i numeri reali), ma ora vedremo un esempio pratico che mostrera' come effettivamente esistono anelli contenenti elementi non nulli divisori dello zero. Prendiamo l'insieme $(\mathbb {Z} _{6},+,\cdot )$, cioè l'anello delle classi di resto modulo 6. Vediamo innanzitutto che sia un anello e di che tipo sia. Ma per fare questo è necessario considerare il caso generale.
* $(\mathbb {Z} _{n},+,\cdot )$ riguardo l'addizione è certamente un gruppo abeliano perché abbiamo visto che in $\mathbb {Z} _{n}$ l'addizione tra interi è compatibile con la congruenza. È quindi possibile sommare classi di resto come sommare interi e quindi abbiamo visto che $(\mathbb {Z} _{n},+)$ è un gruppo (abeliano, oltretutto).
* verifichiamo ora innanzitutto che anche l'operazione prodotto tra interi sia compatibile con la congruenza. Verifichiamo quindi che
$\left\{{\begin{matrix}a\equiv b(n)\\a'\equiv b'(n)\end{matrix}}\right.\Rightarrow aa'\equiv bb'(n)$ Possiamo allora scrivere le due congruenze come $\left\{{\begin{matrix}a=nq+b\\a'=nq'+b'(n)\end{matrix}}\right.$ Svluppando i calcoli otteniamo $a\cdot a'=(nq+b)\cdot (nq'+b')=n^{2}qq'+nqb'+nq'b+bb'=n(nqq'+qb'+q'b)+bb'\Leftrightarrow a\cdot a'\equiv b\cdot b'(n)$
Quindi la moltiplicazione di interi è compatibile con la congruenza modulo n e possiamo definire il monoide commutativo $(\mathbb {Z} _{n},\cdot )$ e quindi ottenere che $[a][b]=[ab],\forall a,b\in \mathbb {Z} _{n}$. Infatti, essendo valide la proprieta' del monoide moltiplicativo degli interi (elemento neutro, commutatività e proprieta' associativa) esse continueranno ad essere valide anche per $(\mathbb {Z} _{n},\cdot )$ avendo infatti appena verificato che la relazione di congruenza e la moltiplicazione di interi sono compatibili.
Tornando al nostro esempio di $(\mathbb {Z} _{6},+,\cdot )$, in baso alla dimostrazione precedente, esso sarà quindi "composto" da il gruppo abeliano $(\mathbb {Z} _{6},+)$ e il monoide commutativo $(\mathbb {Z} _{6},\cdot )$ ed è perciò un anello commutativo con 6 elementi, ovvero $[0],[1],[2],[3],[4],[5]$ Questo anello ha degli elementi zero-divisori, ovvero elementi diversi da zero il cui prodotto è invece proprio zero. Per dimostrarlo ci basta far vedere, con un controesempio, che è falso che non esistono in questo anello degli zero-divisori. E ci basta prendere, ad esempio, $[2]\cdot [3]=[6]=[0]$. Abbiamo quindi visto che in $(\mathbb {Z} _{6},+,\cdot )$ esistono degli elementi non nulli che moltiplicati tra loro danno invece l'elemento nullo.
Diamo ora alcune importanti definizioni:
* Un anello che non ha elementi zero divisori si dice dominio di integrità
* Un anello i quali elementi diversi da zero formano due gruppi (additivo e moltiplicativo) si chiama corpo
* Un corpo commutativo si chiama campo
Avevamo prima detto che viene naturale pensare che quando abbiamo zero come risultato di un prodotto, allora uno dei due fattori o tutti e due sono nulli. Questo perché siamo abituati a ragionare con i numeri reali, che sono un campo. Ebbene, dimostriamo che ogni campo è un dominio di integrità, ovvero che ogni campo non ha zero-divisori. Infatti sia $\mathbb {A}$ un campo. Allora per ogni $a,b,\in \mathbb {A}$ si possono presentare due casi per il quale $a\cdot b=0$
* se $a=0$ non c'e' nulla da dimostrare. il prodotto tra a e b è ovviamente zero.
* se invece a non è nullo, essendo appartenenti ad un campo, esistera' certamente $a^{-1}$ quindi
$ab=0,a\neq 0\Rightarrow b=1b=(aa^{-1})b=a^{-1}(ab)=a^{-1}(0)=0$
Quindi, in un campo, il prodotto nullo implica necessariamente che uno dei due fattori (o entrambi) sia nullo e quindi è un dominio di integrità.