# Topologie, spazi topologici e basi

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In questa lezione cominceremo ad introdurre i principali ingredienti della topologia.
Prerequisiti sono sicuramente alcune nozioni di insiemistica di base e un'infarinatura di geometria e analisi, nonché una familiarità con il linguaggio matematico e i suoi ragionamenti. Cercheremo comunque di dare per scontato solo lo stretto indispensabile per non appesantire troppo la trattazione

# Spazi Topologici e Topologie

Il concetto base su cui si basa tutta la topologia è appunto la topologia. Vediamo in dettaglio cosa si vuole intendere con questa locuzione.

## Definizioni

In seguito con ${\mathcal {P}}(X)\,$ intendiamo l'insieme delle parti di $X\,$, cioè l'insieme dei suoi sottoinsiemi.
In generale una topologia non è nient'altro che la scelta, tra tutti i possibili sottoinsiemi di $X$, di una famiglia particolare di questi. L'idea intuitiva che possiamo tenere presente è la scelta, all'interno di una famiglia molto vasta, degli elementi più ''semplici''. Ovviamente la nozione di semplice non sarà così immediata ma serve a farci capire come gli elementi della topologia saranno sottoinsiemi di cui conosceremo praticamente tutto.
Esplicitiamo ora in modo preciso che caratteristiche deve avere una famiglia di sottoinsiemi $X\,$ per essere una topologia.

### Topologia

Un sottoinsieme $\tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ si dice una topologia su $X$ se verifica le seguenti richieste:

#### (TOP1)

    L'unione di una qualunque famiglia di elementi di $\tau$ è ancora un elemento di $\tau$, cioè $\forall \{Y_{i}\}_{i\in I}\subseteq \tau \Rightarrow \bigcup _{i\in I}Y_{i}\in \tau$

#### (TOP2)

    L'intersezione di una famiglia finita di elementi di $\tau$ è ancora un elemento di $\tau$, cioè $\forall Y_{1},\dots ,Y_{n}\in \tau \Rightarrow Y_{1}\cap \cdots \cap Y_{n}\in \tau$

#### (TOP3)

    L'insieme vuoto e l'intero spazio sono elementi di $\tau$, cioè $\emptyset \in \tau \wedge X\in \tau$
Gli elementi della topologia $\tau$ si dicono gli aperti nella topologia $\tau$.

### Spazio Topologico

$(X,\tau )\,$
$X\,$
$\tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)\,$

## Esempi

Analizziamo ora qualche esempio di base per prendere confidenza con questo concetto che sembra molto astratto.
* In modo ovvio e naturale $\tau ={\mathcal {P}}(X)$ è una topologia su $X\,$; infatti le tre proprietà che definiscono una topologia sono immediatamente verificate. La topologia così introdotta prende il nome di topologia discreta. È facile verificare che in uno spazio topologico discreto (cioè dotato della topologia discreta) tutti i singoletti sono aperti, cioè $\{x\}\in \tau \quad \forall x\in X$.
* Analogamente al punto precedente $\tau =\{\emptyset ,X\}$ è una topologia che prende il nome di topologia indiscreta (o banale).
* Consideriamo $\tau =\{Y\subseteq X\mid \#(X-Y)<\infty \}\cup \{\emptyset ,X\}$. Si vede facilmente che questa appena definita è una topologia che prende il nome di topologia cofinita. Provate per esercizio a verificare che se lo spazio $X\,$ ha cardinalità finita questa topologia coincide con la topologia discreta.
* Lo spazio ${\mathcal {S}}=\{0,1\}$ con la topologia $\tau =\{\emptyset ,\{0,1\},\{1\}\}$ è noto come spazio di Sierpinski. Questo spazio, seppur così semplice racchiude una quantità notevolissima di casi ed esempi importantissimi su cui torneremo in seguito.
* È abbastanza naturale introdurre topologie su spazi finiti arbitrari, semplicemente considerando un sottoinsieme dell'insieme delle parti e verificando che esso verifica le proprietà di topologia. Provate per esercizio a scrivere tutte le possibili topologie per un insieme di 3 elementi e per uno di 4. Siete in grado di trovare una stima per il numero di topologie di un insieme finito di $n$ elementi?

# Basi di topologie

Ora che abbiamo introdotto il nostro ingrediente principale, ovvero la topologia, la domanda successiva che dobbiamo porci è: in che modo si può dare una topologia ad uno spazio? E in secondo luogo: l'introduzione della topologia permette una descrizione migliore e più articolata dello spazio in questione?
Abbiamo già visto come, scegliendo opportunamente alcune famiglie di sottoinsiemi di uno spazio si possa ''costruire manualmente'' una topologia. Tuttavia il procedimento sembra ancora piuttosto astratto. Per entrare nella trattazione topologica più costruttiva dobbiamo impadronirci di modi più pratici per presentare una topologia per uno spazio. L'idea fondamentale è il concetto di base

## Basi
### Definizione

Data una topologia $\tau \,$ su $X\,$, un sottoinsieme ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ è una base di $\tau \,$ se per ogni ogni elemento $A$ di $\tau$ esiste una famiglia $\{B_{i}\}_{i\in I}$ di ${\mathcal {B}}$ la cui unione coincide con $A$, in simboli matematici:
    $\forall A\in \tau \quad \exists \{B_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {B}}\mid A=\bigcup _{i\in I}B_{i}$
Si vede chiaramente come una base sia un sottoinsieme che gode di proprietà più deboli rispetto a una topologia. In particolare ogni topologia è tautologicamente una base di se stessa. Tuttavia il concetto di base non è così astratto. Si vede in particolare che ogni elemento di una topologia può essere 'approssimato' da elementi della base. In altri termini, conoscendo gli elementi della base possiamo conoscere qualsiasi aperto della topologia. In effetti la proprietà è un po' più forte di quello che sembra. Vale infatti la seguente

### Proposizione

$X\,$
${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$

#### (B1)

    $\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B=X$

#### (B2)

    $\forall B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}\quad \forall x\in B_{1}\cap B_{2}\quad \exists {\overline {B}}\in {\mathcal {B}}\mid x\in {\overline {B}}\subseteq B_{1}\cap B_{2}$
$\tau =\{\cup _{B\in {\mathcal {B}}'}\mid {\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {B}}\}$
$X\,$
${\mathcal {B}}\,$

#### Dimostrazione

Verifichiamo che l'insieme $\tau$ così definito verifica le tre proprietà di topologia. Innanzitutto osserviamo che $\tau \,$ ha come elementi unioni di famiglie qualsiasi di elementi di ${\mathcal {B}}\,$. Mostriamo ora in dettaglio che $\tau \,$ è una topologia.

##### (TOP1)

    Il fatto che $X\in \tau$ segue dall'ipotesi (B1), mentre il fatto che $\emptyset \in \tau$ è immediato dalla definizione di $\tau$.

##### (TOP2)

    Dobbiamo mostrare che l'unione arbitraria di elementi ti $\tau \,$ è ancora un elemento di $\tau \,$. Questo è vero e segue da $\bigcup _{i\in I}(\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}_{i}})=\bigcup _{B\in \cup _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}}$.

##### (TOP3)

    È sufficiente mostrare che dati $A_{1},A_{2}\in \tau$ si ha che $A_{1}\cap A_{2}\in \tau$. Infatti una volta mostrato questo segue direttamente che un'intersezione di un numero finito di elementi di $\tau \,$ appartiene ancora a $\tau \,$. Osserviamo preliminarmente che, poiché $A_{1}{\text{ e }}A_{2}$ sono elementi di $\tau \,$, essi saranno della forma $A_{1}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}_{1}}B$ e $A_{2}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}_{2}}B$ dove ${\mathcal {B}}_{1}$ e ${\mathcal {B}}_{2}\subseteq {\mathcal {B}}\,$. Ora $\forall x\in A_{1}\cap A_{2}$ esisteranno almeno due elementi $B_{1}\in {\mathcal {B}}_{1}$ e $B_{2}\in {\mathcal {B}}_{2}$ tali che $B_{1}\subset A_{1}$, $B_{2}\subset A_{2}$ e $x\in B_{1}\cap B_{2}$. Allora per la proprietà (B2) esiste ${\overline {B}}\in {\mathcal {B}}$ tale che $x\in {\overline {B}}\subseteq B_{1}\cap B_{2}\subset A_{1}\cap A_{2}$. Abbiamo mostrato dunque che per ogni punto dell'intersezione esiste un elemento di ${\mathcal {B}}$ contenuto nell'intersezione che contiene quel punto. Ovvero l'intersezione $A_{1}\cap A_{2}$ può essere scritta come unione di elementi di ${\mathcal {B}}$ e quindi appartiene a $\tau$. $\ \qquad \Box$

## Prebasi
### Definizione

Data una topologia $\tau \,$ su $X\,$, un sottoinsieme ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ è una prebase di $\tau \,$ se $\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B=X$
Le basi sono un tipo particolare di prebasi. Usando la caratterizzazione della proposizione precedente, una base può essere vista come una prebase che verifica anche la condizione (B2). Una prebase può sempre essere estesa a formare una base aggiungendole tutte le sue intersezioni finite (la sua chiusura per intersezioni finite).
Vediamo ora come da una prebase può essere costruita una base. Il procedimento è abbastanza intuitivo: nella prebase non ho la chiusura per intersezioni finite. Considererò allora una base ottenuta dalla prebase includendo anche tutte le intersezioni finite di elementi della prebase.
Più precisamente vale la seguente proposizione.

### Proposizione

$X\,$
${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$
$\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B=X$
${\mathcal {B}}$
${\mathcal {B}}'=\{\bigcap _{i=1}^{n}B_{i}\mid B_{i}\in {\mathcal {B}}\forall i=1,\dots ,n\}$
La dimostrazione segue immediatamente dalla proposizione precedente.

## Esempio: la retta reale

Vediamo ora come i concetti di base e prebase appena introdotti ci permettano di introdurre topologie concrete su spazi concreti in maniera molto efficiente.
Il caso principale che analizzeremo sarà lo spazio $\mathbb {R}$ e le sue successive potenze $\mathbb {R} ^{n}$. Dall'analisi sappiamo che $\mathbb {R}$ ha una struttura molto ricca: può infatti essere visto come spazio vettoriale, come campo, come corpo, posso introdurre una nozione di calcolo differenziale etc. Tuttavia le nozioni analitiche di limite e di derivata si fondano su concetti come intervallo aperto (o chiuso) e palle aperte (o chiuse) che sono, guarda caso, particolari tipi di aperti (o chiusi) nella topologia standard di $\mathbb {R}$. Analizziamo questa affermazione.
Abbiamo appena detto che un ruolo fondamentale nei numeri reali giocano gli intervalli e in particolare quelli aperti. Vediamo come si può costruire una topologia di $\mathbb {R}$ in cui gli intervalli aperti siano per l'appunto aperti.
È ovvio che gli intervalli aperti come sottoinsieme di ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ non formano una topologia: infatti non verificano né la proprietà (TOP2) né la proprietà (TOP3). Ad esempio si vede facilmente che un'unione di intervalli non è sempre un intervallo, come nel seguente caso
$\nexists \ a,b\in \mathbb {R} \mid (a,b)=(1,2)\ \bigcup \ (3,4)$
Se dunque non c'è speranza di ricavare una topologia direttamente dagli intervalli aperti potremmo sempre controllare che essi formino una base e quindi costruire la topologia che ha per base gli intervalli aperti. Per verificare che gli intervalli aperti costituiscono effettivamente una base bisogna verificare le due proprietà che caratterizzano una base:

### (B1)

    $\bigcup _{a,b\in \mathbb {R} }(a,b)=\mathbb {R}$

### (B2)

    $\forall a,b,c,d\in \mathbb {R} \wedge \forall x\in (a,b)\ \cap \ (c,d)\ \exists \ e,f\in \mathbb {R} \mid x\in (e,f)\subseteq (a,b)\cap (c,d)$
Si vede facilmente che la prima proprietà è banalmente verificata. Per la seconda bisogna fare un piccolo sforzo in più. Consideriamo la seguente figura:
possiamo cercare di formalizzare l'idea intuitiva che il disegno ci offre. Intanto distinguiamo preliminarmente due casi:
* Se l'intersezione dei due intervalli è vuota non c'è nulla da dimostrare.
* Se viceversa l'intersezione non è vuota allora posso supporre (al più rinominando gli estremi) che $b\geq c$ e quindi $x$ sarà tale che $c<x<b$. In altre parole si avrà che $\mid x-c\mid >0$ e anche $\mid x-b\mid >0$. Questo ci dice semplicemente che "c'è dello spazio tra c e b" tutto compreso nell'intersezione dei due intervalli. A questo punto basta porre $e={\frac {x+c}{2}}$ e $f={\frac {x+b}{2}}$ e ottenere che $x\in (e,f)\subseteq (a,b)\ \cap \ (c,d)$.
Abbiamo così mostrato che gli intervalli aperti formano una base per $\mathbb {R}$. La topologia generata da questa base prende il nome di topologia euclidea della retta reale. Approfondiremo meglio questa costruzione e la sua estensione al caso pluridimensionale nella prossima lezione.
Provate per esercizio a mostrare che le semirette aperte destre (o sinistre) formano una prebase della topologia euclidea sulla retta reale.