# Equilibrio interno alla città
## Modello di Alonso-Muth-Mills

Per tutte le casistiche, salvo diversamente specificato, verranno utilizzate le seguenti notazioni:
* $W$: reddito reale pro-capite;
* $t(d)$: funzione che indica quanto costa il trasporto per compiere la distanza $d$;
* $L$: è l'area di un ipotetico blocco di terreno minimo dove può essere costruita una casa.
* $r(d)$: funzione che indica il costo di un terreno $L$ localizzato alla distanza $d$ dal centro città.
* $C$: è ciò che rimane del reddito dell'abitante della città per il consumo personale. Posto che un individuo non occupi più di $L$, si ha $C=W-t(d)-r(d)$.
* $U(C,L)$ funzione di utilità. Nei nostri esempi poniamo $U(C,L)=C+\alpha \ln L$, ma potrebbe essere qualsiasi altra forma funzionale.

### Modello di città radiale con la sola distanza variabile

L'individuo si trova di fronte al problema di scegliere la distanza ottima dal centro in cui collocarsi. Si tratta del problema di massimizzare l'utilità trovando la distanza ottima $d^{*}$, dunque $\max _{d}U(C,L)$. Assunta $U$ come premesso si ha ${\frac {\partial }{\partial d}}[W-t(d)-r(d)L+\alpha \ln L]=0\Leftrightarrow -{\frac {\partial t(d)}{\partial d}}=L{\frac {\partial r(d)}{\partial d}}$
Se ipotizziamo che $t(d)=td$, cioè che i trasporti siano lineari nella distanza con proporzione pari a 1, allora l'equazione sopra diventa: ${\frac {\partial }{\partial d}}[W-td-r(d)L+\alpha \ln L]=0\Leftrightarrow -{\frac {t}{L}}={\frac {\partial r(d)}{\partial d}}$
Vogliamo ora trovare la funzione della rendita avendo solo la sua derivata. Il problea si risolve integrandola per la sua variabile $d$, dunque: $r(d)=\int -{\frac {t}{L}}\mathrm {d} d=-{\frac {1}{L}}\int t\mathrm {d} d=c-{\frac {td}{L}},\forall c\in \mathbb {R}$
Dunque $d^{*}$ è ottimo se rende vera l'equazione della rendita appena ricavata. Posto $c=r(0)$, cioè la rendita al centro città, l'equazione precedente si può esprimere come $r(d)=r(0)-{\frac {td}{L}}$. Questa si può anche esprimere in relazione alla rendita al margine della città, ${\bar {r}}=r({\bar {d}})=r\left({\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}\right)$. Si avrà allora ${\bar {r}}=r(0)-{\frac {t{\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}}{L}}\Leftrightarrow r(0)={\bar {r}}+{\frac {t{\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}}{L}}$, che combinato alla prima equazione di questo paragrafo, genera $r(d)={\bar {r}}+{\frac {t{\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}}{L}}-{\frac {td}{L}}={\bar {r}}+{\frac {t}{L}}\left({\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}-d\right)$. Perveniamo allora al primo risultato del modello:
In una città a forma circolare, di area $NL$, con popolazione $N$ e superficie unitaria per abitante $L$ valori costanti esogenamente dati, con costi di trasporto lineari nella distanza per un coefficiente $t\in \mathbb {R}$, affinché ogni punto della città rappresenti una localizzazione indifferente per l'individuo, la rendita deve essere pari a:
$r(d)={\bar {r}}+{\frac {t}{L}}\left({\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}-d\right)$
Se ciò si verifica, ogni punto della città massimizza l'utilità dell'individuo ed essa si ritrova in uno stato di equilibrio spaziale interno.

#### Statica comparata della funzione di utilità

Con la rendita d'equilibrio, la funzione di utilità diventa $U(C,L)=W-\left[{\bar {r}}+{\frac {t}{L}}\left({\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}-d\right)\right]L-td+\alpha \ln L=W-{\bar {r}}L-t{\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}+td-td+\alpha \ln L=W-{\bar {r}}L-t{\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}+\alpha \ln L$, da cui si perviene ai seguenti risultati:
* ${\frac {\partial U}{\partial W}}=1>0$, se tutti i cittadini dispongono dello stesso reddito di partenza, l'utilità cresce linearmente con il reddito.
* ${\frac {\partial U}{\partial {\bar {r}}}}=-L<0$, dunque l'utilità è ovviamente decrescente (e in modo lineare) alla rendita.
* ${\frac {\partial U}{\partial t}}=-{\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}<0$, dunque l'utilità è intuitivamente decrescente (e in modo lineare) al costo unitario di trasporto;
* ${\frac {\partial U}{\partial N}}=-{\frac {Lt}{2{\sqrt {LN}}{\sqrt {\pi }}}}<0$, dunque l'utilità è decrescente rispetto alla popolazione della città.

### Modello di città radiale con variabili $d$ e $N$

La novità è l'introduzione di $N£ come variabile; dunque le città non sono più di dimensione data, ma questa può variare.
Esiste una situazione di equilibrio tra due città a livello di popolazione quando vivere in esse genera nell'individuo il medesimo livello di utilità, che chiamiamo $u$. Ricordando che la rendita in equilibrio è uguale a ${\bar {r}}+{\frac {t}{L}}\left({\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}-d\right)$, si ha $W-td-\left[{\bar {r}}+{\frac {t}{L}}\left({\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}-d\right)\right]L+\alpha \ln L={\bar {U}}\Leftrightarrow$$W-td-L{\bar {r}}-t{\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}+td+\alpha \ln L={\bar {U}}\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow W-L{\bar {r}}-t{\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}+\alpha \ln L={\bar {U}}\Leftrightarrow$. Risolviamo ora per $N$ per trovare la popolazione d'equilibrio: $W-L{\bar {r}}-{\bar {U}}\alpha \ln L=t{\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}\Leftrightarrow$${\frac {W-L{\bar {r}}-{\bar {U}}\alpha \ln L}{t}}={\sqrt {\frac {NL}{\pi }}}\Leftrightarrow$$\left({\frac {W-L{\bar {r}}-{\bar {U}}\alpha \ln L}{t}}\right)^{2}=N{\frac {L}{\pi }}\Leftrightarrow$ da cui si arriva al risultato finale $N={\frac {\pi }{L}}\left({\frac {W-L{\bar {r}}-{\bar {U}}\alpha \ln L}{t}}\right)^{2}$. Per ciò:
In una città a forma circolare, con superficie unitaria per abitante $L$ costanti esogenamente dato, con costi di trasporto lineari nella distanza per un coefficiente $t\in \mathbb {R}$, affinché ogni punto della città rappresenti una localizzazione indifferente per l'individuo e ogni città rappresenti una localizzazione indifferente per l'individuo rispetto a ogni altra città, la popolazione di ogni città deve essere pari a: $N={\frac {\pi }{L}}\left({\frac {W-L{\bar {r}}-{\bar {U}}\alpha \ln L}{t}}\right)^{2}$

#### Statica comparata dell'equilibrio della popolazione

Se chiamiamo $N(W,{\bar {r}},t)={\frac {\pi }{L}}\left({\frac {W-L{\bar {r}}-{\bar {U}}\alpha \ln L}{t}}\right)^{2}$