# Caratterizzazione sintetica delle variabili casuali

In molti casi pratici interessa conoscere alcune caratteristiche sintetiche, dette momenti, di una variabile casuale. Queste caratteristiche possono essere calcolate dalla funzione di densità di probabilità.

### Valor medio delle variabili casuali

$X$
$f_{X}(x)$
$X$
    $\mu _{X}=E[X]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)dx$
Nel caso di variabili casuali discrete, invece, è definito come
    $\mu _{X}=E[X]=\sum _{i}x_{i}p_{i}$
visto che si ha
    $f_{X}(x)=\sum _{i}p_{i}\delta (x-x_{i})$
$\{\Omega ,F,P\}$
$A\in F$
$X=I_{A}$
    $E[X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=0\cdot (1-P(A))+1\cdot P(A)=P(A)$
Si noti che il valor medio della funzione può non essere un risultato possibile per l'esperimento.
    $f_{X}(x)=p\cdot \delta (x-1)+(1-p)\cdot \delta (x)$
da cui
    $E[X]=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p$
    $f_{X}(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\delta (x-k)\ \lambda >0$
da cui si ha
    $E[X]=\sum _{k=0}^{\infty }ke^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$
Siccome vale la proprietà
    $e^{\lambda }=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot {\frac {de^{\lambda }}{d\lambda }}=e^{\lambda }=\sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {\lambda ^{k-1}}{k!}}$
allora si ottiene
    $E[X]=\left(\sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {\lambda ^{k-1}}{k}}e^{-\lambda }\lambda \right)=e^{\lambda }e^{-\lambda }\lambda =\lambda$
    $f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&x\in (a,b)\\0&{\text{altrove}}\end{matrix}}\right.$
Allora, il valore atteso sarà
    ${\begin{aligned}E[X]&=\int _{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {x}{b-a}}dx\\&={\frac {1}{b-a}}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{a}^{b}\\&={\frac {(b^{2}-a^{2})}{b-a}}\cdot {\frac {1}{2}}\\&={\frac {(b-a)(b+a)}{2(b-a)}}\\&={\frac {a+b}{2}}\end{aligned}}$
$E[X]$
    $X~N(\mu _{X},\sigma _{X})$
${\underline {X}}$
$f_{\underline {X}}(\cdot )$
    $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ (una funzione di Borel)
si ha che, per la variabile casuale
    $Y=g({\underline {X}})$
vale
    $E[Y]=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{Y}(y)dy=\int _{-\infty }^{+\infty }g(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})f_{\underline {X}}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}$
Nel caso particolare in cui $n=1$ e con una variabile casuale discreta, si ha
    $f_{X}(x)=\sum _{i}p_{i}\delta (x-x_{i})$
da cui
    $Y=g(X)$
ha
    $f_{Y}(y)=\sum _{i}p_{i}\delta (y-g(x_{i}))=\sum _{j}\left(\sum _{i\ |\ g(x_{i})=y_{j}}p_{i}\right)\delta (y-y_{j})$
da cui si ottiene
    ${\begin{aligned}E[Y]&=\int _{-\infty }^{+\infty }yf_{Y}(y)dy\\&=\sum _{j}y_{j}\left(\sum _{i\ |\ g(x_{i})=y_{j}}p_{i}\right)\\&=\sum _{i}g(x_{i})p_{i}\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)f_{X}(x)dx\end{aligned}}$
$n$
    $Y=a_{1}g_{1}(x)+a_{2}g_{2}(x)+\cdots +a_{n}g_{n}(x)$
Questo porta alla proprietà
    $E[Y]=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E[g_{i}(x)]$
se poi si impone $a_{i}=1\ \forall i$, allora si ha che $X=(X_{1},X_{2},\cdots X_{n})$ e vale
    $Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$
da cui
    $E[Y]=\sum _{i=1}^{n}E[X_{i}]$

### Varianza delle variabili casuali

$X$
$f_{X}(x)$
    $\sigma _{X}^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{2}f_{X}(x)dx$
con
    $\mu _{X}=E[X]$
La varianza si può definire anche come
    $\sigma _{X}^{2}=E[(x-\mu _{X})^{2}]$
Se la variabile casuale è discreta anziché continua, allora si ha
    $\sigma _{X}^{2}=\sum _{i}p_{i}(x_{i}-\mu _{X})^{2}$
$\mu _{X}=\sum _{i}x_{i}p_{i}$
$n$
$\{\Omega ,F,P\}$
$F=2^{\Omega }$
* $P(\{1\})=p$
* $P(\{0\})=(1-p)=q$
Si definisce lo spazio prodotto
    ${\bar {\Omega }}=\Omega \times \Omega \times \cdots \times \Omega$
    ${\bar {F}}=F\otimes F\otimes \cdots \otimes F$
    ${\bar {P}}=P\times P\times P\times \cdots \times P$
Se $X$ rappresenta il numero di successi su $n$ prove, si ha
    $P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$
da cui
    ${\begin{aligned}E[X]&=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}\\&=\sum _{k=1}^{n}k{\frac {n!}{(n-k)!k!}}p^{k}q^{n-k}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}p^{k}q^{n-k}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {n!}{(n-k-1)!k!}}p^{k+1}q^{n-k-1}\\&=np\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-1)!}{(n-k-1)!k!}}p^{k}q^{n-k-1}=np\end{aligned}}$
Si ha:
    ${\begin{aligned}\sigma _{X}^{2}&=E[(X-\mu _{X})^{2}]\\&=E[(X^{2}-2\mu _{X}X+\mu _{X}^{2})]\\&=E[X^{2}]-\mu _{X}^{2}+2E[X]\mu _{X}\mu _{X}\\&=E[X^{2}]-\mu _{X}^{2}=E[X^{2}]-E^{2}[X]\end{aligned}}$
    $f_{X}(x)=p\delta (x-1)+q\delta (x)$
da cui
* $E[X]=p$
* $E[X^{2}]=1^{2}\cdot p+0\cdot q=p$
di conseguenza
    $\sigma _{X}^{2}=E[X^{2}]-E^{2}[X]=p-p^{2}=p(1-p)=pq$
$X~U(a,b)$
* $E[X]={\frac {b+a}{2}}$
* ${\begin{aligned}E[X^{2}]&=\int _{a}^{b}{\frac {1}{b-a}}x^{2}dx\\&={\frac {1}{b-a}}\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{a}^{b}\\&=\cdots \\&={\frac {1}{3}}(b^{2}+ab+a^{2})\end{aligned}}$
da cui si ottiene
    ${\begin{aligned}\sigma _{X}^{2}&=E[X^{2}]-E^{2}[X]\\&={\frac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})-{\frac {1}{4}}(a^{2}+ab+b^{2})\\&={\frac {(a^{2}+ab+b^{2})}{12}}\end{aligned}}$
    $N(\mu ,\sigma )\Rightarrow f_{X}(\alpha )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(\alpha -\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
Allora, vale
    $\sigma _{X}^{2}=E[(X-\mu _{X})^{2}]={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int _{-\infty }^{+\infty }(\alpha -\mu )^{2}e^{-{\frac {(\alpha -\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}d\alpha$
Si impone $\alpha -\mu =\beta$ e si ha
    $\sigma _{X}^{2}={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int _{-\infty }^{+\infty }\beta ^{2}e^{-{\frac {\beta ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}d\beta$
Siccome vale
    $\int gh'=gh-\int g'h$
allora, con
* $g=\beta$
* $h'={\frac {\beta ^{2}}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {\beta ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
* $h=e^{-{\frac {\beta ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
si ha
    ${\begin{aligned}\sigma _{X}^{2}&=-{\frac {\sigma }{\sqrt {2\pi }}}\left\{\left[\beta e^{-{\frac {\beta ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]-\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {\beta ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}d\beta \right\}\\&=\sigma ^{2}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {\beta ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}d\beta =\sigma ^{2}\end{aligned}}$

### Momenti delle variabili casuali

$X$
$f_{X}(x)$
$n$
$X$
    $m_{n,X}=E[X^{n}]=\int _{-\infty }^{+\infty }\alpha ^{n}f_{X}(\alpha )d\alpha$
$X$
$f_{X}(x)$
$n$
$X$
    $m_{n,X}^{c}=E[(X-\mu _{X})^{n}]=\int _{-\infty }^{+\infty }(\alpha -\mu _{X})^{n}f_{X}(\alpha )d\alpha$

#### Proprietà

Il valore atteso di una funzione di due variabili casuali $X$ e $Y$, con
* densità di probabilità $f_{X,Y}(x,y)$
* $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ (funzione di Borel)
è dato da
    $E[g(X,Y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }g(\alpha ,\beta )f_{X,Y}(\alpha ,\beta )d\alpha d\beta$
Inoltre, se vale
    $g(\alpha ,\beta )=ag_{1}(\alpha ,\beta )+bg_{2}(\alpha ,\beta )$
allora
    $E[g(X,Y)]=aE[g_{1}(\alpha ,\beta )]+bE[g_{2}(\alpha ,\beta )]$

##### Somma di variabili casuali

Siano $X$ e $Y$ due variabili casuali. Allora il valore atteso è
    $E[X+Y]=E[X]+E[Y]=\mu _{X}+\mu _{Y}$
mentre la varianza è
    $E[((X+Y)-(\mu _{X}+\mu _{Y}))^{2}]=E[(X-\mu _{X})^{2}]+E[(Y-\mu _{Y})^{2}]+2E[(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2E[(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]\neq \sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}$
nel caso di indipendenza, si ha
    $E[(X+Y-(\mu _{X}+\mu _{Y}))^{2}]=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}$

##### Prodotto di variabili casuali

Siano $X$ e $Y$ due variabili casuali. Allora il valore atteso del loro prodotto è
    $E[XY]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\alpha \beta f_{XY}(\alpha ,\beta )d\alpha d\beta \neq E[X]\cdot E[Y]$
Se poi $X$ e $Y$ sono indipendenti, allora si ha
    $E[XY]=E[X]\cdot E[Y]$
La varianza, invece, è
    $\sigma _{XY}^{2}=\mathbb {E} {\Big{\bigXY-\mathbb {E} [XY]{\big )}^{2}{\Big ]}=\mathbb {E} [X^{2}Y^{2}]-\mathbb {E} [XY]^{2}$
Ancora una volta, nel caso di indipendenza, si ha
    $\sigma _{XY}^{2}=\mathbb {E} {\Big{\bigXY-\mathbb {E} [XY]{\big )}^{2}{\Big ]}=\mathbb {E} [X^{2}Y^{2}]-\mathbb {E} [XY]^{2}=\sigma _{X}^{2}\cdot \sigma _{Y}^{2}+\mathbb {E} [Y]^{2}\cdot \sigma _{X}^{2}+\mathbb {E} [X]^{2}\cdot \sigma _{Y}^{2}$

### Variabili casuali incorrelate

$X$
$Y$
$f_{XY}$
    $E[XY]=E[X]\cdot E[Y]$
Si ha
    ${\begin{aligned}X,Y{\text{ indipendenti }}&\Rightarrow &{\text{ incorrelate }}\\X,Y{\text{ incorrelate }}&\not \Rightarrow &{\text{ indipendenti }}\end{aligned}}$
Si ricordano le definizioni:
* incorrelazione $\Rightarrow \ E[XY]=E[X]\cdot E[Y]$
* indipendenza $\Rightarrow \ f_{XY}(\alpha ,\beta )=f_{X}(\alpha )\cdot f_{Y}(\beta )$
$X$
$Y$
    $f_{XY}(\alpha ,\beta )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{4}}&(\alpha ,\beta )=(1,1){\text{ oppure }}(\alpha ,\beta )=(-1,1)\\{\frac {1}{2}}&(\alpha ,\beta )=(0,0)\\0&{\text{ altrimenti }}\end{matrix}}\right.$
Allora, si ha
    $E[XY]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\alpha \beta f_{X,Y}(\alpha ,\beta )d\alpha d\beta =(-1)\cdot (-1)\cdot {\frac {1}{4}}+0\cdot 0\cdot {\frac {1}{2}}+(-1)\cdot (1)\cdot {\frac {1}{4}}=0$
    $f_{X}(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{XY}(\alpha ,\beta )d\beta =\cdots =\left\{{\begin{matrix}1/4&x=-1\\1/2&x=0\\1/4&x=1\\0&{\text{ altrove }}\end{matrix}}\right.$
Allo stesso modo, si ha
    $f_{Y}(\beta )=\left\{{\begin{matrix}1/2&y=0\\1/2&y=1\\0&{\text{ altrove }}\end{matrix}}\right.$
Si ha
    $E[X]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)dx=0$
    $E[Y]=\int _{-\infty }^{+\infty }yf_{Y}(y)dy={\frac {1}{2}}$
Se due variabili casuali sono congiuntamente gaussiane e sono incorrelate, allora sono anche indipendenti; vale il viceversa.
$X$
$Y$
$f_{XY}$
    $E[XY]=0$
$X\perp Y$
Si ha:
* $X,Y{\text{ incorrelate }}\not \Rightarrow X\perp Y$
* $X\perp Y\not \Rightarrow X,Y{\text{ incorrelate}}$
* $\left\{{\begin{matrix}X,Y{\text{ incorrelate}}\\\mu _{X}=0{\text{ e/o }}\mu _{Y}=0\end{matrix}}\right.\Rightarrow X\perp Y$
* $\left\{{\begin{matrix}X\perp Y\\\mu _{X}=0{\text{ e/o }}\mu _{Y}=0\end{matrix}}\right.\Rightarrow X,Y{\text{ incorrelate}}$
* $X,Y{\text{ indipendenti}}\not \Rightarrow X\perp Y$
* $\left\{{\begin{matrix}X,Y{\text{ indipendenti}}\\\mu _{X}=0{\text{ e/o }}\mu _{Y}=0\end{matrix}}\right.\Rightarrow X\perp Y$
* $X,Y{\text{ indipendenti}}\Rightarrow (X-\mu _{X})\perp (Y-\mu _{Y})$
$X$
$Y$
$f_{XY}$
    $C_{X,Y}=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})f_{XY}(x,y)dxdy$
dove si ha
* $\mu _{X}=E[X]$
* $\mu _{Y}=E[Y]$
Una definizione alternativa è
    ${\begin{aligned}C_{X,Y}&=E[(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]\\&=E[XY]-\mu _{X}E[Y]+\mu _{X}\mu _{Y}-\mu _{Y}E[X]\\&=E[XY]-E[X]\cdot E[Y]\end{aligned}}$
Si ha che due variabili casuali $X$ e $Y$ sono incorrelate quando $C_{X,Y}=0$.
$X$
$Y$
$f_{XY}$
$X$
$Y$
    $r={\frac {C_{X,Y}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}$
$X$
$f_{X}$
    $Y=aX+b$
Mostrare che $r=1$ se $a>0$ e $r=-1$ se $a<0$.
$x$
$Y$
* $r=0\Rightarrow X,Y{\text{ incorrelate}}$
* $r=1\Rightarrow X,Y{\text{ non incorrelate}}$
Si ha
    $C_{XY}=E[(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]$
dove
    $\mu _{Y}=E[Y]=E[aX+b]=a\mu _{X}+b$
da cui
    ${\begin{aligned}C_{XY}&=E[(X-\mu _{X})(aX+\not b-(a\mu _{X}+\not b))]\\&=E[(X-\mu _{X})a(X-\mu _{X})]\\&=aE[(X-\mu _{X})^{2}]\\&=a\cdot \sigma _{X}^{2}\end{aligned}}$
Si ha
    $\sigma _{Y}^{2}=E[(Y-\mu _{Y})^{2}]=E[a^{2}(X-\mu _{X})^{2}]=a^{2}\sigma _{X}^{2}$
da cui si può calcolare il coefficiente di correlazione
    $r={\frac {C_{XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {a\sigma _{X}^{2}}{\sigma _{X}|a|\sigma _{X}}}={\frac {a}{|a|}}=\left\{{\begin{matrix}1&a>0\\-1&a<0\end{matrix}}\right.$