# Serie di funzioni

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## Definizione di serie e convergenze di serie

Sia $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$ una successione di funzioni reali, definite in $I\subseteq \mathbb {R} \,\!$. Si definisce (analogamente al caso delle serie numeriche) serie di funzioni di termine generale $f_{n}\,\!$ la scrittura $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}$, e la successione $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!,s_{n}=\sum _{k=1}^{n}f_{k}$ si dice successione delle somme parziali.
La scrittura $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}$ viene usata anche per indicare il limite della successione delle somme parziali.
Se, $\forall x\in I\,\!$, la serie numerica $\sum _{i=1}^{\infty }f_{k}(x)\,\!$ converge, ossia se la successione $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$ converge puntualmente in $I\,\!$, allora la serie di funzioni si dice che converge puntualmente in $I\,\!$.
Se la successione $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$ converge uniformemente in $I\,\!$, la serie di funzioni si dice che converge uniformemente in $I\,\!$.
Inoltre, la serie di funzioni $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}$ si dice assolutamente convergente in $I\,\!$ se e solo se la serie $\sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}|$ converge puntualmente.
Infine, una serie di funzioni di termine generale $f_{n}\,\!$ si dice totalmente convergente in $I\,\!$ se e solo se: $\exists (M_{n})_{n\in \mathbb {N} },M_{n}\geq 0:|f_{n}(x)|\leq M_{n},\ \forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} ,\ \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}<+\infty$
È chiaro che, se una serie di funzioni converge puntualmente, uniformemente o totalmente in $I\,\!$, essa converge, rispettivamente puntualmente, uniformemente o totalmente, in ogni sottoinsieme $I'\subseteq I$.

### Criteri di Cauchy per le serie di funzioni

Si vede che, $\forall x\in I,\forall n,p\in \mathbb {N}$, $s_{n+p}(x)-s_{n}(x)=f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)\,\!$. Da cui si deducono, a partire dai criteri di Cauchy per le successioni, i seguenti criteri:
La serie di funzioni di termine generale $f_{n}\,\!$ converge puntualmente in $I\,\!$ se e solo se: $\forall x\in I,\forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} :|f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)|<\varepsilon ,\ \forall n>m,\forall p\in \mathbb {N}$
La serie di funzioni di termine generale $f_{n}\,\!$ converge uniformemente in $I\,\!$ se e solo se: $\forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} :|f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)|<\varepsilon ,\ \forall x\in I,\forall n>m,\forall p\in \mathbb {N}$

### Collegamento tra la varie convergenze

* Se una serie di funzioni converge assolutamente oppure uniformemente, allora converge puntualmente.
* La convergenza totale di una serie di funzioni implica sia la sua convergenza uniforme, sia la sua convergenza assoluta.

#### Dimostrazione

* Già è noto che le successioni di funzioni convergenti uniformemente convergono puntualmente.
Grazie alla disuguaglianza triangolare: $|f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)|\leq |f_{n+1}(x)|+\dots +|f_{n+p}(x)|,\ \forall x\in I,\forall n,p\in \mathbb {N}$, dal criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale $|f_{n}|\,\!$, si verifica il criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale $f_{n}\,\!$, quindi la tesi.
* Sia $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}\,\!$ una serie di funzioni che converge totalmente in $I\,\!$. Sia $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} },M_{n}\geq 0:|f_{n}(x)|\leq M_{n},\ \forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} ,\ \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}<+\infty$.
Per il criterio di Cauchy relativo alle serie numeriche: $\forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} :M_{n+1}+\dots +M_{n+p}<\varepsilon ,\ \forall n>m,\forall p\in \mathbb {N}$. Da ciò segue che, $\forall x\in I,\forall n>m,\forall p\in \mathbb {N}$: $|f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)|\leq |f_{n+1}(x)|+\dots +|f_{n+p}(x)|\leq M_{n+1}+\dots +M_{n+p}<\varepsilon$.
Quindi è soddisfatto il criterio di Cauchy uniforme sia per la serie $\sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}|\,\!$, sia per $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}\,\!$, ossia le due serie convergono uniformemente, ma per la proposizione precedente, la serie di termine $f_{n}\,\!$ converge sia assolutamente, sia uniformemente in $I\,\!$, ossia la tesi.
$\Box$
Per la verifica della totale convergenza, è utile, nella pratica, verificare se la serie numerica di termine generale $\sup _{x\in I}|f_{n}(x)|$ converge. Infatti vale il seguente risultato:

### Criterio 1

Una serie di funzioni converge totalmente, se e solo se la serie di termine generale $\sup _{x\in I}|f_{n}(x)|$ converge.

#### Dimostrazione

Se la serie di funzioni converge totalmente, allora: $\exists (M_{n})_{n\in \mathbb {N} },M_{n}\geq 0:|f_{n}(x)|\leq M_{n},\ \forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} ,\ \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}<+\infty$.
Quindi, $\forall n\in \mathbb {N} \,\!$, $f_{n}\,\!$ ha un maggiorante che converge. Tuttavia, $\sup _{x\in I}|f_{n}(x)|\leq M_{n},\forall n\in \mathbb {N}$, poiché, per definizione del sup, è il più piccolo dei maggioranti, e quindi la serie del sup converge, per il criterio del confronto tra due serie numeriche. Il viceversa è ovvio.
$\Box$

## Teoremi sulla convergenza uniforme delle serie

Grazie al teorema di inversione dei limiti e ai teoremi di passaggio sotto il segno di derivata e integrale, si possono dedurre i seguenti teoremi sulle serie di funzioni convergenti uniformemente (stiamo ad indicare $I=[a,b],a<b\,\!$):

### Teorema sulla continuità della somma

Se una serie di funzioni continue converge uniformemente in $I\,\!$, allora il limite è una funzione anch'essa continua in $I\,\!$

### Teorema di integrazione per le serie

Se la serie $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}$ di funzioni integrabili in $I\,\!$ converge uniformemente, allora la serie è integrabile in $I\,\!$, e vale:
$\int _{a}^{b}\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty }\int _{a}^{b}f_{k}(x)\,dx$
E quindi, si dice che la serie può essere integrata termine a termine.

### Teorema di derivazione per le serie

Se la serie $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}$ di funzioni derivabili in $I\,\!$ converge in $I\,\!$, e la serie derivata $\sum _{k=1}^{\infty }f'_{k}$ converge uniformemente in $I\,\!$, allora la serie $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}$ è derivabile in $I\,\!$, e vale:
$\left(\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}\right)'=\sum _{k=1}^{\infty }f'_{k}$
E quindi, si dice che la serie può essere derivata termine a termine.

## Serie di potenze

Sia $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$ una successione reale. La serie di funzioni $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\,\!$ prende il nome di serie di potenze di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$.
Vi è da notare che, ponendo $x=0\,\!$, la serie di potenze di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$ si riduce allo $0\,\!$, e quindi $0\,\!$ sta nell'insieme di convergenza della serie, che si può denotare con $X\,\!$.

### Teorema 1

Se la serie di potenze di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$ converge per qualche $\xi \neq 0\,\!$, allora la serie converge totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $]\!-\!|\xi |,|\xi |[\,\!$.

#### Dimostrazione

Dato che la serie numerica di termine generale $a_{n}\xi ^{n}\,\!$ converge, allora la successione $(a_{n}\xi ^{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$ converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia: $\exists M\in \mathbb {R} :\forall n\in \mathbb {N} ,|a_{n}\xi ^{n}|\leq M$. Sia $\eta \in ]\!-\!|\xi |,|\xi |[\,\!$, quindi $|\eta |<|\xi |\,\!$. Allora, $\forall x\in \mathbb {R} :|x|\leq |\eta |$, $|a_{n}x^{n}|=|a_{n}\xi ^{n}|{\frac {|x^{n}|}{|\xi ^{n}|}}\leq M\left({\frac {|x|}{|\xi |}}\right)^{n}\leq M\left({\frac {|\eta |}{|\xi |}}\right)^{n},\forall n\in \mathbb {N}$. La serie numerica di termine generale $M_{n}=M(|\eta |/|\xi |)^{n}\,\!$ è una serie geometrica di ragione strettamente minore di $1\,\!$, che quindi converge, da cui segue che la serie di potenze converge totalmente in ogni $[-\!|\eta |,|\eta |]\subset ]\!-\!|\xi |,|\xi |[\,\!$, e quindi, scelti $a,b\in [-\!|\eta |,|\eta |]:a<b$, la serie converge totalmente in ogni $[a,b]\subseteq [-\!|\eta |,|\eta |]\subset ]\!-\!|\xi |,|\xi |[\,\!$, da cui la tesi.
Di conseguenza, $X\,\!$ è un intervallo di $\mathbb {R} \,\!$ contenente $0\,\!$. Il prossimo teorema illustra che forma abbia tale intervallo:

### Teorema 2

Sia $\rho =\sup X\,\!$. Allora $\rho \geq 0\,\!$, e si hanno tre casi:
* $\rho =0\Leftrightarrow X=\{0\}\,\!$
* $\rho =+\infty \Leftrightarrow X=\mathbb {R}$
* $0<\rho <+\infty \Leftrightarrow ]\!-\!\rho ,\rho [\subseteq X\subseteq [-\rho ,\rho ]$, ossia la serie converge $\forall |x|<\rho \,\!$, e la serie non converge $\forall |x|>\rho \,\!$

#### Dimostrazione

Supponiamo, per assurdo, che $\rho <0\,\!$. Allora, per il teorema precedente, la serie di potenze convergerebbe in particolare in tutti i punti di $]\rho ,0]\,\!$, il che contrasta con il fatto che $\rho =\sup X\,\!$.
I primi due * sono banalmente dimostrabili.
$\Rightarrow )\,\!$ Sia $x\,\!$ tale che $|x|<\rho \,\!$. Allora, per la proprietà dell'estremo superiore, esiste un $\xi \in X$ tale che $|x|<\xi \leq \rho \,\!$. E quindi, per il teorema precedente, la serie converge in $x\,\!$. Se, per assurdo, la serie convergesse in un qualche punto $\xi \,\!$ tale che $|\xi |>\rho \,\!$, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare, in ogni $x\in [\rho ,|\xi |[$, che contraddice il fatto che $\rho =\sup X\,\!$, da cui l'assurdo.
$\Leftarrow )\,\!$ Sia $0<\rho _{1}<+\infty \,\!$ tale che la serie converge in ogni $|x|<\rho _{1}\,\!$, e la serie non converge in ogni $|x|>\rho _{1}\,\!$. Se la serie converge in ogni $|x|<\rho _{1}\,\!$, allora $]-\rho _{1},\rho _{1}[\subseteq X\,\!$, e quindi $\rho _{1}\leq \rho =\sup X\,\!$.
Se, per assurdo, $\rho _{1}<\rho \,\!$, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare in ogni $x\in [\rho _{1},\rho [\,\!$, il che contraddice l'ipotesi che la serie non converge in ogni $|x|>\rho _{1}\,\!$, da cui l'assurdo.
$\Box$
Si conclude che, in base al teorema precedente, se $\rho =\sup X\,\!$, l'insieme di convergenza contiene sicuramente di un intervallo aperto di centro $0\,\!$ e di raggio $\rho \,\!$, che si riduce al solo ${0}\,\!$ se $\rho =0\,\!$,e che si estende a tutto $\mathbb {R} \,\!$, se $\rho =+\infty \,\!$. Inoltre, tale insieme non si può estendere oltre l'intervallo chiuso e limitato di centro $0\,\!$ e raggio $\rho \,\!$. Allora diciamo che $\rho \,\!$ è il raggio di convergenza della serie di potenze. Il teorema non dice nulla se la serie converge in $|x|=\rho \,\!$. In generale, comunque, la serie può non convergere per tali valori.

### Esempi

* La serie $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ è, come è noto, la serie geometrica di ragione $x\,\!$, che converge se $|x|<1\,\!$, e diverge se $|x|>1\,\!$. Quindi il raggio di convergenza della serie è $1\,\!$. Tuttavia, per $x=1\,\!$, la serie diverge positivamente, mentre per $x=-1\,\!$, la serie non è regolare, e quindi $X=]-1,1[\,\!$.
* La serie $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k^{2}}}$ ha raggio di convergenza $1\,\!$, e la serie converge sia per $x=1\,\!$ (la serie armonica con $p>1\,\!$), sia per $x=-1\,\!$ (criterio di Leibniz), quindi $X=[-1,1]\,\!$.
* La serie $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k}}$ ha raggio di convergenza $1\,\!$, e la serie converge per $x=-1\,\!$ (criterio di Leibniz), ma non per $x=1\,\!$ (serie armonica con $p\leq 1\,\!$), quindi $X=[-1,1[\,\!$.
I criteri indicati nel seguito facilitano la ricerca del raggio di convergenza della serie.

### Criterio di Cauchy-Hadamard

Sia $\rho \,\!$ il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$. Se $\exists \lim _{n}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=l$, allora: ${\begin{cases}l=+\infty &\Rightarrow \rho =0\\0<l<+\infty &\Rightarrow \rho ={\frac {1}{l}}\\l=0&\Rightarrow \rho =+\infty \end{cases}}$

#### Dimostrazione

Per ogni $x\neq 0,\lim _{n}{\sqrt[{n}]{|a_{n}x^{n}|}}=l|x|$. Se $l=0\,\!$, allora, per il criterio della radice, la serie converge per ogni $x\in \mathbb {R}$, e quindi $\rho =+\infty \,\!$. Se $l=+\infty \,\!$, allora, per il criterio della radice, la serie converge in solo in $0\,\!$, e quindi $\rho =0\,\!$.
Se $0<l<+\infty \,\!$, allora, per il criterio della radice, la serie converge se $|x|<{\frac {1}{l}}$, e la serie non converge se $|x|>{\frac {1}{l}}$, ossia, per il teorema precedente, $\rho ={\frac {1}{l}}$.
$\Box$

### Criterio di D'Alembert

Sia $\rho \,\!$ il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$. Se $\exists \lim _{n}\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=l$, allora: ${\begin{cases}l=+\infty &\Rightarrow \rho =0\\0<l<+\infty &\Rightarrow \rho ={\frac {1}{l}}\\l=0&\Rightarrow \rho =+\infty \end{cases}}$

#### Dimostrazione

Per ogni $x\neq 0,\lim _{n}\left|{\frac {a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}}}\right|=l|x|$. Se $l=0\,\!$, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge per ogni $x\in \mathbb {R}$, e quindi $\rho =+\infty \,\!$. Se $l=+\infty \,\!$, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge in solo in $0\,\!$, e quindi $\rho =0\,\!$.
Se $0<l<+\infty \,\!$, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge se $|x|<{\frac {1}{l}}\,\!$, e la serie non converge se $|x|>{\frac {1}{l}}\,\!$, ossia, per il teorema precedente, $\rho ={\frac {1}{l}}$.
$\Box$
Si definisce serie derivata di una serie di potenze di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$ la serie di potenze di coefficienti $((n+1)a_{n+1})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$, ossia la serie ottenuta derivando termine a termine la serie di partenza.

### Teorema sul raggio di convergenza della serie derivata

Sia $\rho \,\!$ il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$, e sia $\rho '\,\!$ il raggio di convergenza della serie derivata. Allora $\rho '=\rho$.

#### Dimostrazione

$\rho \leq \rho ')\,\!$ Supponiamo che la serie di potenze di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$ converga in $x_{0}\,\!$. Da ciò segue che la successione $(a_{n}x_{0}^{n})_{n\in \mathbb {N} }\,\!$ converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia $\exists L>0:|a_{n}x_{0}^{n}|\leq L\forall n\in \mathbb {N} _{0}$. Allora, $\forall |x|<|x_{0}|,\forall n\in \mathbb {N} _{0}$: $|(n+1)a_{n+1}x^{n}|=(n+1){\frac {|a_{n+1}x_{0}^{n}|}{|x_{0}^{n}|}}|x^{n}|=(n+1){\frac {|a_{n+1}x_{0}^{n+1}|}{|x_{0}|}}\left|{\frac {x}{x_{0}}}\right|^{n}\leq {\frac {L}{|x_{0}|}}\left|{\frac {x}{x_{0}}}\right|^{n}$. La serie di termine generale $|x/x_{0}|^{n}\,\!$ è la serie geometrica di ragione strettamente minore di 1, e quindi convergente. Da ciò segue che la serie di potenze di coefficienti $((n+1)a_{n+1})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$, ossia la serie derivata, converge in ogni punto $|x|<|x_{0}|\,\!$, da cui segue che $\rho \leq \rho '\,\!$.
$\rho \geq \rho ')\,\!$ Supponiamo che la serie derivata converge in $x_{0}\,\!$. Allora, come prima: $\exists M>0:|(n+1)a_{n+1}x_{0}^{n}|\leq M\forall n\in \mathbb {N} _{0}$, quindi, $\forall |x|<|x_{0}|,\forall n\in \mathbb {N}$: $|a_{n}x^{n}|={\frac {1}{n}}{\frac {|na_{n}x_{0}^{n}|}{|x_{0}^{n}|}}|x^{n}|={\frac {1}{n}}|na_{n}x_{0}^{n-1}||x_{0}|\left|{\frac {x}{x_{0}}}\right|^{n}\leq {\frac {M|x_{0}|}{n}}\left|{\frac {x}{x_{0}}}\right|^{n}\leq M|x_{0}|\left|{\frac {x}{x_{0}}}\right|^{n}$.
La serie di termine generale $|x/x_{0}|^{n}\,\!$ converge, perché è la serie di ragione strettamente minore di 1, da cui segue che la serie di potenze di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$ converge in ogni punto $|x|<|x_{0}|\,\!$, da cui segue che $\rho \geq \rho '\,\!$.
$\Box$
Si definisce serie integrale di una serie di potenze di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$ la serie di potenze di coefficienti $(0,a_{n}/(n+1))_{n\in \mathbb {N} }\,\!$, ossia la serie ottenuta integrando termine a termine la serie di partenza.

### Teorema di derivazione e integrazione delle serie di potenze

Sia $\rho \,\!$ il raggio di convergenza, supposto non nullo, di una serie di potenze di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$. Supponiamo che $f(x)\,\!$ la sua somma, ossia: $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},\ \forall |x|<\rho ,\rho >0$. Allora risulta anche: $f'(x)=\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}x^{k-1},\ \forall |x|<\rho ,\ \int _{0}^{t}f(t)dt=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k+1}}x^{k+1},\ \forall |x|<\rho$

#### Dimostrazione

Per il teorema precedente, la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza della serie iniziale, la quale ha a sua volta lo stesso raggio di convergenza della serie integrale, e quindi le tre serie convergono uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $]\!-\!\rho ,\rho [\,\!$, con $\rho \,\!$ il raggio di convergenza, da cui segue la tesi per il teorema di derivazione ed integrazione per le serie.
$\Box$

### Serie di potenze generalizzato

Si dice serie di punto iniziale $x_{0}\in \mathbb {R}$ e di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$ la serie: $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}$. Ponendo $y=x-x_{0}\,\!$, la serie suddetta si riconduce alla serie di punto iniziale 0, da cui si deduce che, se $\rho \,\!$ è il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$, allora la serie di punto iniziale $x_{0}\in \mathbb {R}$ e di coefficienti $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$ converge assolutamente: solo in $x_{0}\,\!$ se $\rho =0\,\!$; in $\mathbb {R} \,\!$ se $\rho =+\infty \,\!$; in ogni punto $x\,\!$ tale che $|x-x_{0}|<\rho \,\!$ e non converge in ogni punto $x\,\!$ tale che $|x-x_{0}|>\rho \,\!$.

## Serie di Taylor

Sia $f:]a,b[\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,a<b$. Sia $x_{0}\in ]a,b[\,\!$. $f\,\!$ si dice sviluppabile in serie di potenze di punto iniziale $x_{0}\,\!$ se esiste una successione numerica $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\,\!$ tale che $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k},\ \forall x\in ]a,b[$

### Teorema 1

Sia $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k},\ \forall |x-x_{0}|<\rho ,\rho >0$. Allora $f\,\!$ è indefinitamente derivabile in $]x_{0}-\rho ,x_{0}+\rho [\,\!$, e valgono le due uguaglianze: $f^{(m)}(x)=\sum _{k=m}^{\infty }{\frac {k!}{(k-m)!}}a_{k}(x-x_{0})^{k-m},\ \forall m\in \mathbb {N} _{0},\forall |x-x_{0}|<\rho$, con ${\frac {k!}{(k-m)!}}=k(k-1)\dots (k-m+1),\forall k\geq m$ $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k},\ \forall |x-x_{0}|<\rho$

#### Dimostrazione

Applicando $m\in \mathbb {N}$ volte il teorema di derivazione per le serie di potenze, si ottiene la prima uguaglianza: $f^{(m)}(x)=m!a_{m}+(m+1)!a_{m+1}(x-x_{0})+{\frac {(m+2)!}{2!}}a_{m+2}(x-x_{0})^{2}+\dots +k(k-1)\dots (k-m+1)a_{k}(x-x_{0})^{k-m}+\dots ,\ \forall m\in \mathbb {N} _{0},\forall |x-x_{0}|<\rho$.
Posto $x=x_{0}\,\!$, $f^{(m)}(x_{0})=m!a_{m}+0+...+0+...=m!a_{m},\ \forall m\in \mathbb {N} _{0}$, da cui $a_{m}={\frac {f^{(m)}(x_{0})}{m!}}$, da cui si ottiene la seconda uguaglianza, ossia la tesi.
$\Box$
$f:]a,b[\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,a<b$ indefinitamente derivabile in $]a,b[\,\!$. $f\,\!$ si dice sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_{0}\,\!$ in $]a,b[\,\!$ se: $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k},\ \forall x\in ]a,b[$
La serie al secondo membro si dice serie di Taylor della funzione $f\,\!$ di punto iniziale $x_{0}\,\!$. La serie di Taylor della funzione $f\,\!$ di punto iniziale $0\,\!$ si dice serie di Mac Laurin di $f\,\!$.
Non tutte le funzioni indefinitamente derivabili sono sviluppabili in serie di Taylor.
Nota: Fare un esempio

### Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor

Sia $f:]a,b[\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,a<b$ indefinitamente derivabile in $]a,b[\,\!$. Supponiamo che esistono $M,L>0\,\!$ tali che: $|f^{(n)}(x)|\leq ML^{n},\ \forall n\in \mathbb {N} _{0},\forall x\in ]a,b[$. Allora $\forall x_{0}\in ]a,b[\,\!$, $f\,\!$ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_{0}\,\!$ in $]a,b[\,\!$

#### Dimostrazione

Fissato $n\in \mathbb {N} \,\!$. Consideriamo il resto $n\,\!$-esimo di Lagrange della formula di Taylor di $f\,\!$ di punto iniziale un qualunque punto $x_{0}\in ]a,b[\,\!$: $\exists x_{1}\in ]a,b[:R_{n}(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}={\frac {f^{(n+1)}(x_{1})}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}$. Per ipotesi si ha che: $\left|{\frac {f^{(n+1)}(x_{1})}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}\right|={\frac {|f^{(n+1)}(x_{1})|}{(n+1)!}}|x-x_{0}|^{n+1}\leq {\frac {ML^{n+1}}{(n+1)!}}|x-x_{0}|^{n+1},\ \forall n\in \mathbb {N} ,\forall x,x_{0}\in ]a,b[$.
La serie di termine generale ${\frac {ML^{n}}{n!}}|x-x_{0}|^{n}$ converge per il criterio del rapporto: $\lim _{n\rightarrow +\infty }\left({\frac {ML^{n+1}}{(n+1)!}}|x-x_{0}|^{n+1}\right)\left({\frac {n!}{ML^{n}}}{\frac {1}{|x-x_{0}|^{n}}}\right)=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {L|x-x_{0}|}{n+1}}=0$.
Da cui segue che: $\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {ML^{n}}{n!}}|x-x_{0}|^{n}=0$, quindi la tesi.
$\Box$

#### Esempio

Sia $f(x)=e^{x}\,\!$. Si sa che $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} )$, e le derivate di $f(x)\,\!$ sono: $f^{n}(x)=e^{x}\,\!$ , per ogni $x\in \mathbb {R}$ e per ogni $n\in \mathbb {N}$.
Sia poi $R\in \mathbb {R}$ un numero arbitrario. Dato che la funzione è (strettamente) crescente in $\mathbb {R}$, allora $f^{n}(x)=e^{x}\leq e^{R},\ \forall x\leq R$.
Quindi posto $M=e^{R}\,\!$ e $L=1\,\!$, risulta che $f^{n}(x)\leq ML^{n},\ \forall x\leq R$.
Per il teorema 1 risulta che $f\,\!$ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_{0}\,\!$ in $]-\infty ,R[\,\!$, qualunque sia $x_{0}\in ]-\infty ,R[\,\!$.
Dato che $R\,\!$ è stato scelto in maniera arbitraria in $\mathbb {R}$, allora si può concludere che $f\,\!$ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_{0}\,\!$ in $\bigcup _{R\in \mathbb {R} }]-\infty ,R[=]-\infty ,+\infty [=\mathbb {R} \,\!$.

### Teorema 2

Sia $f:]a,b[\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,a<b$ indefinitamente derivabile in $]a,b[\,\!$. Sia $x_{0}\in ]a,b[\,\!$. Se $f'(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{(k-1)!}}(x-x_{0})^{k-1},\ \forall x\in ]a,b[$, allora $f\,\!$ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_{0}\,\!$ in $]a,b[\,\!$.

#### Dimostrazione

Siano $c,d\in ]a,b[\,\!$ tale che $x_{0}\in [c,d]\,\!$. Allora la serie $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{(k-1)!}}(x-x_{0})^{k-1}$ converge totalmente in $[c,d]\,\!$, quindi uniformemente in $[c,d]\,\!$ alla funzione $f'\,\!$. Chiaramente la serie di Taylor di $f\,\!$ di punto iniziale $x_{0}\,\!$ converge per $x=x_{0}\,\!$.
Valgono le ipotesi del teorema di derivazione delle serie di funzioni, e quindi la serie di Taylor di $f\,\!$ di punto iniziale $x_{0}\,\!$ converge uniformemente in $[c,d]\,\!$ in una funzione $g\,\!$ tale che $g(x_{0})=f(x_{0})\,\!$, e $g'(x)=f'(x),\forall x\in [c,d]$. Per il teorema fondamentale per il calcolo integrale, $f(x)=g(x),\forall x\in [c,d]$, da cui, per l'arbitrarietà di $c\,\!$ e $d\,\!$, segue la tesi.
$\Box$