# Correlatori a cancellazione varianza propria
## Principi e sviluppi

Nei processi teorici di correlazione tra segnali in bande di rumore s'ipotizza un tempo d'integrazione infinito, gli algoritmi che li caratterizzano non rispecchiano pertanto i processi reali dove invece l'integrazione è finita.
L'integrazione finita di un correlatore genera delle ondulazioni che sovrapponendosi alla funzione di correlazione ne alterano sensibilmente il profilo; il problema si risolve, se strettamente necessario, con i correlatori a cancellazione varianza propria.
Il funzionamento di questo particolare correlatore è illustrato, per semplicità, nel presupposto che i processi di calcolo siano riferiti alle caratteristiche delle funzioni di correlazione analogiche.
Da questi sviluppi concettuali discendono, secondo Van Vleck, analoghi sviluppi nell'ambito della correlazione digitale.

### La funzione di correlazione teorica

L'algoritmo 1) esprime la funzione di correlazione analogica incrociata nel presupposto teorico che il tempo d'integrazione sia infinitamente grande, e che per tale presupposto non si evidenzi nella formula stessa la presenza della varianza propria dovuta ai segnali.
$C(\tau -\ \tau *)_{1,2}\ \left[{\frac {\sin[\ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]\cdot \cos \ [2\cdot \pi \cdot Fo\cdot (\tau -\tau *)]}{[2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]}}\right]\ \ \$ 1)
dove:
$DF$ = metà della larghezza di banda del ricevitore che definisce i segnali.
$F_{o}$ = frequenza media della banda.
Nelle applicazioni dei metodi di correlazione la situazione sopra menzionata è poco significativa se i segnali sono inquinati dai disturbi, dato che in questi casi la varianza dovuta a questi ultimi è generalmente preponderante rispetto a quella dovuta ai soli segnali.
La cosa è diversa invece nei casi in cui i segnali non siano inquinati dai disturbi, o comunque lo siano poco, perché in queste situazioni la varianza d'uscita del correlatore è determinata prevalentemente dai segnali stessi e ciò nuoce al fine delle misure.
Per eliminare quasi totalmente la varianza dovuta ai soli segnali esiste un metodo che consente di ottenere buoni risultati senza intervenire sul valore della frequenza di taglio dell'unita integratore .
Questo metodo agisce soltanto per l'abbattimento della varianza dei segnali tra loro correlati; agisce sempre meno mano a mano che i segnali si dissociano fino al punto di non incidere assolutamente sull'attenuazione della varianza quando le grandezze $f1(t)\ e\ f2(t)$ applicate al correlatore sono completamente scorrelate tra loro; questa condizione è identica alla presenza dei soli rumori all'ingresso del correlatore.

### Lo schema a blocchi

Il metodo per la cancellazione della varianza dei segnali si basa sull'elaborazione della funzione di correlazione analogica incrociata secondo lo schema a blocchi di figura:
Il sistema può operare con segnali $f(t)$ di tipo stazionario definiti in bande di frequenze aventi uniforme distribuzione spettrale.
II circuito esegue la correlazione normale nel canale 1 e la presenta al primo ingresso dell'amplificatore sommatore S, esegue la correlazione secondo i segnali in quadratura nel canale 2 e la presenta al secondo ingresso del sommatore, il risultato di questa operazione genera in uscita di S di una funzione di correlazione di ampiezza $C(\tau )$ depurata della varianza dovuta ai segnali $f(t).$

#### Principio del funzionamento

Il funzionamento del correlatore si spiega, secondo lo schema a blocchi della figura della prima sezione, ricordando l'algoritmo dal quale discendono tutte le funzioni di correlazione:
$C(\tau )_{1,2}=1/To\int _{0}^{To}[f_{1}(t)]\cdot [f_{2}(t+\tau )]\,dt\ \ \ \$ 2).
dove la $C(\tau )_{1,2}$ si ottiene dal moltiplicatore con il prodotto $P=f_{1}(t)\cdot f_{2}(t+\tau )$ integrato nel tempo.
Applicando l'uscita del moltiplicatore al blocco integratore, secondo lo schema a blocchi, si otterrà, all'uscita di questo la somma di tutti i prodotti nel tempo come indicato dall'integrale della 2), la varianza sarà tanto più piccola quanto sarà elevata la costante di tempo dell'integratore, soltanto per integrazione ideale per tempo infinito la varianza sarà nulla.

##### Sviluppi teorici

Se i segnali $f_{1}(t)\ e\ f_{2}(t)$ sono del tipo
$f(t)=A\sin \omega t$
il moltiplicatore del canale 1 elaborerà i segnali d'ingresso nel seguente modo:
$P_{1}=f_{1}(t)\cdot f_{2}(t+\tau )=A\sin \omega t\cdot A\sin \omega (t+\tau )=(A^{2}/2)\cdot \cos \omega \tau \ \ {-}\ \ (A^{2}/2)\cdot \cos(2\omega t+\omega \tau )$
dove il primo termine dovuto al prodotto è la $C(\tau )_{1,2}$ voluta e il secondo termine è la varianza che dovrebbe essere filtrata dal circuito integratore.
Il moltiplicatore del canale 2 elaborerà i segnali di ingresso $A\sin \omega t$ dopo averli trasformati in $A\cos \omega t$ tramite le cellule di sfasamento a $90$° che precedono il moltiplicatore; i risultato della moltiplicazione sarà pertanto:
$P_{2}=A\cos \omega t\cdot A\cos \omega (t+\tau )=(A^{2}/2)\cdot \cos \omega \tau \ \ {+}\ \ (A^{2}/2)\cdot \cos(2\omega t+\omega \tau )$
dove il primo addendo dovuto al prodotto è la stessa $C(\tau )_{1,2}$ ottenuta nel canale 1 e il secondo addendo è la varianza che deve essere filtrata dal circuito integratore.
Confrontando $P_{1}\ con\ P_{2}$ si osserva che le componenti della varianza sono l'una positiva e l'altra negativa e che pertanto sommando i prodotti dei due canali si ottiene la funzione di correlazione a varianza del segnale zero indipendentemente dal tempo d'integrazione.

### Osservazioni

Il procedimento matematico mostra che la cancellazione totale della varianza del segnale si ha se lo sfasamento del canale 2 è di $90$° esatti e quando i guadagni dei due canali di correlazione sono identici.
Eventuali errori sullo sfasamento dei segnali o sull'uguaglianza dei guadagni degli stadi di amplificazione non consentono la cancellazione completa della varianza del segnale.
Il risultato ottenuto per segnali monocromatici è ovviamente estensibile per segnali definiti in bande di frequenze purché lo sfasamento di $90$° per ciascun segnale del canale 2 sia mantenuto per tutte le frequenze contenute nella banda.

## note
### Annotazioni

* ↑ Varianza propria
* ↑ La varianza propria è l'insieme delle ondulazioni generate dai segnali, privi di disturbi, applicati al correlatore.
* ↑ Data la complessa circuitazione richiesta per questo sistema non si adatta ad una molteplicità di correlatori, come ad esempio per i fasci preformati. La metodologia è invece molto utile nel progetto di correlatori per misure di laboratorio
* ↑ Correlazione tra segnali a due stati ottenuti mediante il processo di limitazione d'ampiezza dei segnali analogici
* ↑ La frequenza di taglio è legata alla costante di tempo dell'integratore, più bassa è tale frequenza maggiore è l'attenuazione della varianza
* ↑ Le dimensioni della frequenza di taglio subordinano la velocità di assestamento del correlatore; nel caso di applicazioni sul sonar l'inseguimento di un siluro richiede elevate frequenze di taglio, l'inseguimento di un bersaglio passivo lontano richiede frequenze di taglio basse.
* ↑ La scelta del segnale sinusoidale è voluta per la semplificazione della dimostrazione a seguire
* 1 2 Sviluppi trigonometrici secondo Werner

### Fonti

* ↑ Faran, p.62.
* ↑ Del Turco, p. 53.
* ↑ Del Turco, pp. 198 - 203.
* ↑ Del Turco, pp.34 - 36.
* ↑ Vardanega, p. 20.
* ↑ Vardanega, p.20.
* ↑ Del Turco, pp.180 - 183.