# Analisi matematica e grafica del comportamento di un correlatore al variare del rapporto segnale / disturbo.

La valutazione del rapporto segnale/rumore all'uscita di un ricevitore in correlazione è di basilare importanza per lo studio delle dinamiche dei segnali e per le previsioni di scoperta degli stessi.
Il rumore d'uscita del ricevitore in correlazione dipende dal rapporto $(Si/Ni)$, dove $Si$ è il livello dei segnali e $Ni$ è il livello dei disturbi, misurati entrambi, all'ingresso del ricevitore.
L'uscita di un ricevitore, ovvero la funzione di correlazione, può presentarsi in diversi modi in dipendenza del rapporto $Si/Ni$ come indicato, ad esempio, nelle due figure ottenute variando il ritardo rf tra i due segnali d'ingresso in modo ciclico:
In figura 1 la funzione di correlazione ottenuta con un rapporto $Si/Ni$ pari a $-8\ dB\quad (0.40/1)$ ; in figura 2 la stessa funzione ottenuta con un rapporto $Si/Ni$ sensibilmente inferiore al precedente: $Si/Ni$ pari a $-12\ dB\quad (0.25/1)$.
Fotografie scattate sull'oscilloscopio per la misura del livello d'uscita di un ricevitore prototipico in un sistema di correlazione multiplo sperimentale di laboratorio.

## Gli algoritmi relativi al comportamento dell'uscita di un ricevitore

Il comportamento del livello d'uscita di un ricevitore in correlazione $C(\tau )$ in dipendenza del rapporto del tra il segnale $(Si)$ e il disturbo $(Ni)$ ; $(Si/Ni)$ è determinato da due caratteristici algoritmi:
Il primo algoritmo è relativo alla variazione d'ampiezza del livello d'uscita del ricevitore secondo l'espressione:
$C(\tau )={\frac {2}{\pi }}\arcsin {\left[K{\frac {\sin(2\pi DF\tau )}{2\pi DF\tau }}\cos {(2\pi F_{O}\tau )}\right]}$
Dove:
$DF$ = metà della larghezza di banda del ricevitore che definisce i segnali.
$F_{O}$ = frequenza media della banda.
$K$ = funzione che dipende dal rapporto tra le ampiezze dei segnali $Si$ e l’ampiezza del disturbo $Ni$ secondo l’espressione: $K={\frac {1}{1+({\frac {N}{S}})^{2}}}$.
L'algoritmo mostra come la $C(\tau )$ decresca in ampiezza con il ridursi del rapporto $Si/Ni$; la decrescita non incrementa il rumore d'uscita del ricevitore.
Il secondo algoritmo è relativo all'ampiezza della varianza d'uscita $Nv$ del ricevitore calcolabile secondo l'espressione:
$Nv=(2/\pi ){\sqrt[]{\frac {1}{(6/7)\cdot 4\cdot RC\cdot Bw}}}$
dove:
* $Bw$= ampiezza della banda di ricezione
* $RC$= costante di tempo d'integrazione del correlatore
La varianza, come mostra l'algoritmo, è indipendente dal rapporto $Si/Ni$.
L'ampiezza di $Nv$ dipende dal valore della costante di tempo $RC$ e dalla larghezza $Bw$ della banda d'ascolto del ricevitore, maggiori sono i valori di $RC;Bw$ minore ne è l'ampiezza.
Il valore di $RC$ determina anche la velocità di risposta del correlatore, più è elevato più la velocità si riduce, un giusto compromesso deve essere scelto in base alle necessità operative.
L'effetto contemporaneo della riduzione di $C(\tau )$, a seguito del decremento di $Si/Ni$, e dell'incremento di $Nv$ con il decrescre di $RC;Bw$ caratterizza il rapporto segnale/disturbo $[C(\tau )/Nv]$ all'uscita del ricevitore.

## Modalità di computazione del rapporto C(tao) / Nv all'uscita di un ricevitore in funzione del rapporto (Si/Ni)

Prima dell'avvento dei computer gli sviluppi matematici necessari per la previsione delle caratteristiche d’uscita di un correlatore, dipendenti dal rapporto $(Si/Ni)$, richiedevano lunghi tempi di lavoro con risultati non sempre soddisfacenti.
Oggi, grazie ai personal computer, si possono implementare particolari routine di calcolo sviluppate in linguaggio Visual Basic che, oltre ai singoli livelli numerici, consentono la costruzione grafica dell'andamento del livello d’uscita del ricevitore in ogni condizione operativa.
Il calcolo dell'ampiezza delle funzioni di correlazione e della varianza che le inquina consente un’analisi accurata del comportamento dei ricevitori tramite un'interfaccia virtuale tra operatore e software di calcolo.
Con il software si sviluppano gli algoritmi riportati in precedenza che prevedono il loro calcolo in funzione del rapporto $(Si/Ni)$ all'ingresso del ricevitore e della costante di tempo d'integrazione $RC$.
Il primo algoritmo è messo nel programma come routine che replica, punto dopo punto, l'espressione di $C(\tau )$.
Il secondo algoritmo è messo nel programma simulando, via software, una distribuzione casuale delle ampiezze di $Nv$ nel tempo.
La presenza della varianza d'uscita $Nv$ altera istante dopo istante l'ampiezza della funzione di correlazione producendo nel grafico di calcolo un'alterazione dello spessore della traccia, tanto più evidente quanto il rapporto $(Si/Ni)$ è piccolo.

## Il software di calcolo

Implementando sul P.C. il programma in Visual Basic, riportato in calce, si realizza il pannello virtuale di controllo del sistema di valutazione costituito da:
* sette Textbox, evidenziati con numeri rossi per la routine di programma, per l'inserzione delle variabili caratteristiche:
* un command. di avvio del computo
* un reticolo cartesiano per la presentazione delle curve di correlazione calcolate come mostrato in figura 3 :
Il sistema, una volta copiate le routine di calcolo, può essere implementato con qualsiasi linguaggio di programmazione.

## Esempi di valutazione

Una volta installato il software si possono sviluppare alcuni esempi di valutazione che riguardano il calcolo ed il tracciamento di 11 funzioni di correlazione inquinate dal disturbo a diversi livelli, relative ad un generico ricevitore, in modo da illustrare il progressivo decadimento dell'ampiezza del livello d'uscita del ricevitore in dipendenza del rapporto decrescete di $Si/Ni$.
L'analisi inizia con un esempio di calcolo per rapporto $Si/Ni$ molto elevato $(Si/Ni=60\ dB)\ (dec.1000/1)$; praticamente in assenza di rumore.
Si prosegue con gli esempi decrementando il rapporto $Si/Ni$ dai $60\ db$ iniziali a $-18\ db\ (dec.0.125/1)$ e calibrando, dove necessario, il valore della costante di tempo $RC$ e il moltiplicatore di scala $m.y$ al fine di consentire all'operatore la visione del picco di correlazione all'uscita del ricevitore come se fosse una prova di laboratorio.
Per consentire un confronto tra un esempio e i successivi le prime quattro variabili:
restano fisse; naturalmente si possono impostare dette variabili per qualsiasi valore necessario ad altri tipi di esercizi.

## Primo esempio Si/Ni = 60 db

Corr. digitale in banda $F_{1};\ F_{2}$ con le variabili:
il calcolatore sviluppa la schermata di figura 4:
Il grafico mostra la funzione di correlazione, al massimo livello normalizzato $C(\tau )=1$ , praticamente in assenza di varianza dato il valore elevato del rapporto $Si/Ni=60\ dB\quad (1/1000)$.
In queste condizioni la probabilità di scoperta del segnale sarà:
$Priv=100\%$ con $Pfa=0$.

## Secondo esempio Si/Ni = 18 dB

Corr. digitale in banda $F_{1};\ F_{2}$ con le variabili:
il calcolatore sviluppa la schermata di figura 5:
Il grafico mostra la funzione di correlazione, ad un livello $C(\tau )=0.9$, ancora elevato, in presenza di modesta varianza dato che il valore del rapporto $Si/Ni=18\ dB\quad (8/1)$ è ancora elevato; lo spessore della traccia non è infatti aumentato rispetto al caso precedente.
Anche in questo caso la probabilità di scoperta del segnale sarà:
$Priv=100\%$ con $Pfa=0$.

## Terzo esempio Si/Ni = 12 dB

Corr. digitale in banda $F_{1};\ F_{2}$con le variabili:
il calcolatore sviluppa la schermata di figura 6:
Il grafico mostra la funzione di correlazione ad un livello $C(\tau )=0.8$, medio elevato, in presenza di modesta varianza dato che il valore del rapporto è stato portato a $Si/Ni=12\ dB\quad (4/1)$ lo spessore della traccia è lievemente aumentato rispetto al caso precedente.
Sussistono ancora le condizioni $Priv=100\%$ con $Pfa=0$.

## Quarto esempio Si/Ni = 6 dB

Corr. digitale in banda $F_{1};\ F_{2}$ con le variabili:
il calcolatore sviluppa la schermata di figura 7:
Il grafico mostra la funzione di correlazione ad un livello $C(\tau )=0.6$, medio, in presenza di sensibile varianza dato che il valore del rapporto $Si/Ni(12\ dB)$ è sceso da $12\ dB$ a $6dB\quad (2/1)$; lo spessore della traccia è infatti più evidente rispetto al caso precedente.
Sussistono ancora le condizioni $Priv=100\%$ e $Pfa=0$.

## Quinto esempio Si/Ni = 0 dB

Corr. digitale in banda $F_{1};\ F_{2}$ con le variabili:
il calcolatore sviluppa la schermata di figura 8:
Il grafico mostra la funzione di correlazione ad un livello caratteristico di ampiezza $C(\tau )\approx 0.33$, in presenza di sensibile varianza dato che il valore del rapporto $Si/Ni$ è sceso da $6\ dB$, dell'esercizio precedente, a $0\ dB\quad (1/1)$; lo spessore della traccia è nettamente evidente.
Sussistono ancora le condizioni $Priv=100\%$ e$Pfa=0$

## Sesto esempio Si/Ni = -6 dB

Corr. digitale in banda $F_{1};\ F_{2}$ con le variabili:
il calcolatore sviluppa la schermata :
Il grafico mostra la funzione di correlazione ad un livello di ampiezza $C(\tau )\approx 0.12$, piccolo, in presenza di sensibile varianza dato che il valore del rapporto $Si/Ni$ è sceso da $0\ dB$, dell'esercizio precedente, a $-6\ dB\quad (0.5/1)$; lo spessore della traccia è nettamente evidente.
Siamo al limite delle condizioni $Priv=100\%$ e $Pfa=0$

## Settimo esempio Si/Ni = -12 dB

Corr. digitale in banda $F_{1};\ F_{2}$ con le variabili:
il calcolatore sviluppa la schermata di figura 10:
Il grafico mostra la funzione di correlazione ad un livello $C(\tau )\approx 0.05$ di ampiezza appena percepibile e in presenza di varianza elevata.
Non sussistono più le condizioni $Priv=100\%$ e $Pfa=0$; le nuove variabili probabilistiche richiedono valutazioni separate.
Il grafico suggerisce il ricalcolo della curva per un valore di $RC=10\ S.$ per ridurre la varianza e $m.y=10$ per espandere la funzione nell'asse |

## Ottavo esempio (ricalcolo del settimo esempio)

Corr. digitale in banda $F_{1};\ F_{2}$ con le variabili:
il calcolatore sviluppa la schermata di figura 11:
Il grafico mostra la funzione di correlazione ad un livello $C(\tau )\approx 0.4$ di ampiezza medio bassa e in presenza di varianza elevata.
La varianza è presente, sia nella zona lontana dal picco di correlazione, sia sulla sommità del picco stesso.
Non sussistono più le condizioni $Priv=100\%$ e $Pfa=0$; le nuove variabili probabilistiche richiedono valutazioni separate.

## Nono esempio Si/Ni = - 18 dB

Corr. digitale in banda $F_{1};\ F_{2}$con le variabili:
il calcolatore sviluppa la schermata di figura 12:
Il grafico, con l'aiuto di una freccia, mostra la funzione di correlazione praticamente invisibile.
Si ripete il calcolo, nell'esempio decimo, per un valore di $RC=10\ S.$

## Decimo esempio (ricalcolo del nono esempio)

Corr. digitale in banda $F_{1};\ F_{2}$con le variabili:
il calcolatore sviluppa la schermata di figura 13:
Il grafico, con l'aiuto di una freccia, mostra ancora la funzione di correlazione praticamente invisibile ma con una evidente riduzione della varianza. Si ripete il calcolo, nell'esempio undicesimo, per un valore di $RC=100\ S.\quad m.y=10$ amplificando quindi l'ampiezza della curva di $10$ volte.

## Undicesimo esempio (ricalcolo del decimo esempio)

Corr. digitale in banda $F_{1};\ F_{2}$con le variabili:
il calcolatore sviluppa la schermata di figura 14:
Il grafico mostra ora una funzione di correlazione visibile, $C(\tau )\approx 0.1$ con una evidente riduzione della varianza.
Le variabili $RC;\quad m.y$, da un punto di vista teorico, potranno essere aumentate per ottenere risultati visivi migliori dei precedenti ma non saranno aderenti alle condizioni tecniche di scoperta legate alle tecnologie di sviluppo dei ricevitori in correlazione.
La libertà dell'assunzione di qualsiasi valore di $RC$ per l'abbattimento della varianza è valido per esercitazioni sull'argomento ma, da un punto di vista di operatività del sistema, si deve ricordare che con l'incremento di $RC$ il ricevitore riduce la possibilità di scoprire segnali la cui interdipendenza cambia velocemente.

## Impostazione del software

In ambiente di sviluppo Visual Basic inserimento degli oggetti nel Form come indicato in figura 15 nel rispetto della numerazione indicata in rosso..
Azione di copia e incolla del programma:
Listato