# Filtri Digitali

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## Finite Impulse Response

L'uscita di un filtro FIR è una somma pesata degli ultimi N ingressi, dove N è l'ordine del filtro. Se i coefficienti del FIR sono simmetrici (come nel caso di filtri ottenuti col metodo della finestratura) allora il filtro è a fase lineare, cioè il ritardo introdotto dal filtro è costante per tutte le componenti in frequenza.

### Metodo della finestratura

Nell'elaborazione numerica dei segnali una funzione finestra è una funzione nulla (nei casi reali è sufficiente che sia quasi nulla) al di fuori di un certo intervallo. Se la finestra assume un valore costante all'interno dell'intervallo si parla di finestra rettangolare. Una finestra può essere implementata come filtro in quanto applicando una finestratura rettangolare al segnale si ottiene il segnale per valori interni all'intervallo e si annullano le sue componenti per valori esterni. La finestra rettangolare tuttavia è solo ideale in quanto non implementabile realmente, esistono altre finestre che la approssimano. In generale per ottenere un filtro si moltiplica la finestra per la trasformata della funzione rettangolare.
La funzione ottenuta è però centrata in zero e quindi non causale. Per renderla causale e quindi implementabile la si trasla verso destra.

## Infinite Impulse Response

I filtri IIR possono essere considerati come la controparte digitale di un qualsiasi filtro analogico. La sua uscita è ottenuta come combinazione lineare di precedenti ingressi ed uscite da cui deriva la sua risposta ”infinita” all'impulso. I filtri IIR normalmente richiedono una complessità computazionale minore rispetto ad un filtro FIR con performance simili. Per contro essi non presentano una linearità di fase e possono avere problemi di instabilità se non progettati correttamente.

### Tecniche di progetto a partire da modelli analogici
#### Metodo della trasformazione bilineare o metodo di Tustin

È un'approssimazione lineare della funzione logaritmica naturale che intercorre tra z ed s per una corretta mappatura dei due piani. Per determinare la risposta in frequenza di un filtro a tempo continuo viene valutata Ha (s) in s = jω. Allo stesso modo per determinare la risposta in frequenza di un filtro digitale a tempo discreto viene valutata Hd (z) in z = exp(jωT ). Usando la trasformazione bilineare si può pervenire al legame tra le due.

#### Metodo dell' invarianza all'impulso

La tecnica dell'invarianza all'impulso consente di ottenere la risposta all'impulso h(n) del filtro a tempo discreto come una versione campionata della risposta all'impulso ha (t) di un filtro analogico che soddisfi le specifiche di progetto. In via pratica si cerca di mappare i gli zeri ed i poli dal piano s al piano z. Queste relazioni non descrivono però una mappatura biunivoca tra i due piani. Per garantire la biunivocità deve verificarsi − fc/2 ≤ fa ≤ fc/2, cioè i poli e gli zeri del filtro analogico devono essere minori della frequenza di campionamento dimezzata.

### Prototipo di filtro analogico

Abbiamo visto la trasformazione bilineare e l'invarianza all'impulso per realizzare filtri a tempo discreto a partire da un filtro analogico. Il progetto di un filtro IIR richiede la sintesi del filtro analogico rispettando le specifiche imposte alla sua risposta in frequenza.
Indipendentemente dalla tipologia di filtro da voler implementare, una banda di transizione stretta, valori prossimi all'unità del minimo guadagno in banda passante e valori molto bassi del massimo guadagno in banda di arresto necessitano di un ordine elevato. La fase del filtro non viene solitamente presa in considerazione per l'implementazione, in ogni caso infatti essi non avranno fase lineare. Come filtri analogici convertibili in filtri digitali IIR vengono usati i filtri Butterworth, Chebyshev ed ellittici. Essi si ottengono inizialmente come filtri passa basso da cui sono ricavabili passa alto, bassa banda e taglia banda.

#### Filtri Butterworth

Garantiscono massima piattezza in banda passante e banda arrestata, ma sono lenti nella transizione. Hanno fase non lineare.

#### Filtri Chebyshev

Sono caratterizzati da una transizione più rapida dei filtri Butterworth, ma presentano dei ripple. Ne esistono quindi di due tipologie:
* Ripple in banda passante e piatti in banda arrestata
* Piatti in banda passante e ripple in banda arrestata
Entrambi hanno fase non lineare.

#### Filtri ellittici

Garantiscono una transizione rapidissima, ma presentano sia ripple in banda passante che in banda arrestata. Hanno fase non lineare.