# Equilibrio di mercato

La teoria dell'equilibrio economico generale si occupa di studiare quali sono le leggi che regolano il funzionamento del mercato e, in ultima analisi, la formazione dei prezzi.

## Obiettivi della lezione

* Presentare il concetto di equilibrio competitivo nell'ambito di un'economia di scambio
* Presentare il teorema dell'esistenza di Arrow-Debreu
* Introdurre l'equilibrio competitivo nell'ambito di economie di produzione

## Equilibrio generale

Nelle lezioni su Teoria classica del consumatore e Teoria classica dell'impresa abbiamo visto il comportamento di agenti razionali che si trovano a prendere delle decisioni al fine di massimizzare la loro utilità (il loro profitto). In particolare abbiamo assunto che gli agenti prendono le loro decisioni dati i prezzi, ossia sotto l'ipotesi di price-taking.
Dalla nascita della disciplina economica, uno dei primi obiettivi, se non il primo, fu quello di comprendere il meccanismo di formazione del prezzo dei beni: da allora diverse teorie hanno cercato di dare una spiegazione al valore dei beni, basti pensare alla teorie di Adam Smith sul valore d'uso e valore di scambio, di Karl Marx sul valore lavoro e così via. Tali teorie vanno sotto il nome di Teorie del valore.
Nei corsi di microeconomia la visione comunemente accettata è quella della teoria marginalista o neoclassica, che poggia sulle teorie utilitaristiche del consumatore e sulla teoria dell'impresa, per poi introdurre i due tipi di agente in un unico ambiente e determinare l'equilibrio economico generale: il prezzo è tale che la domanda eguaglia l'offerta, ossia il mercato è in equilibrio (detta anche condizione di market clearing). Tale teoria fu introdotta da Léon Walras, considerato da Joseph Schumpeter il più grande economista di tutti i tempi, nel 1874: con tale teoria Walras introdusse in termini matematici la famosa mano invisibile di Adam Smith.
In sostanza nell'analisi dell'equilibrio generale, oltre ai vettori degli input, degli output e del consumo, anche il vettore dei prezzi diventa endogeno. In questa lezione presenteremo l'equilibrio generale in ambito di teorie di scambio, ossia senza produzione, con dotazioni esogenamente assegnate ai consumatori; nella parte finale della lezione accenneremo brevemente alle economie di produzione, la cui analisi è un po' più complessa.

## Economia di puro scambio

Si abbiano:
* L beni, indicizzati come $l\in \left\{1,2,...,L\right\}$
* H consumatori, indicizzati come $h\in \left\{1,2,...,H\right\}$, ciascuno con:
** una sua funzione di utilità $u^{h}\left(\mathbf {x} ^{h}\right):\mathbb {R} _{+}^{L}\rightarrow \mathbb {R}$
** un vettore $\mathbf {\omega } ^{h}\in \mathbb {R} _{+}^{L}$ di dotazione iniziale di ciascun bene per ciascun individuo.
Una certa economia di scambio sarà dunque indicata come $\left\{u^{h},\mathbf {\omega } ^{h}\right\}_{h=1}^{H}$.
Dato il problema di ottimizzazione del consumatore $\max _{\mathbf {x} ^{h}}u^{h}\left(\mathbf {x} ^{h}\right)$ soggetto al vincolo $\mathbf {p} \mathbf {x} ^{h}\leq \mathbf {p} \mathbf {\omega } ^{h}$, sia $\mathbf {x} ^{h}\left(\mathbf {p} \right)$ il consumo ottimale dell'individuo h a prezzi dati (ossia la domanda marshalliana).
Definiamo ora lo scambio netto per l'individuo h come la differenza tra la domanda e la dotazione iniziale, ossia $\mathbf {z} ^{h}\left(\mathbf {p} \right)\equiv \mathbf {x} ^{h}\left(\mathbf {p} \right)-\mathbf {\omega } ^{h}$: possiamo quindi scrivere il vincolo come $\mathbf {p} \mathbf {z} ^{h}\left(\mathbf {p} \right)\leq 0$, che per la legge di Walras (presentata nella teoria classica del consumatore) sarà stringente, ossia $\mathbf {p} \mathbf {z} ^{h}\left(\mathbf {p} \right)=0$.
Definiamo inoltre la funzione di eccesso di domanda ad un certo livello dei prezzi come lo scambio netto aggregato, ossia $\mathbf {z} \left(\mathbf {p} \right)\equiv \sum _{h=1}^{H}\mathbf {z} ^{h}\left(\mathbf {p} \right)$. Sempre per la legge di Walras, si avrà $\mathbf {p} \mathbf {z} \left(\mathbf {p} \right)=0$.
La condizione di equilibrio di mercato o market clearing consiste nel trovare il prezzo tale che la funzione di eccesso di domanda sia non positiva: $\sum _{h=1}^{H}\mathbf {x} ^{h}\left(\mathbf {p} \right)\leq \sum _{h=1}^{H}\mathbf {\omega } ^{h}\Rightarrow \mathbf {z} \left(\mathbf {p} \right)\leq 0$.

### Equilibrio competitivo

Un equilibrio competitivo in un'economia di scambio $\left\{u^{h},\mathbf {\omega } ^{h}\right\}_{h=1}^{H}$ è:
* un vettore di prezzi $\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{L}$ e
* un'allocazione di beni di consumo $\mathbf {X} \equiv \left(\mathbf {x} ^{1},\mathbf {x} ^{2},...,\mathbf ^{H}\right)$
tali che:
* dato $\mathbf {p}$, $\mathbf {x} ^{h}$ risolve il problema di massimizzazione dell'utilità per ciascun h
* in $\mathbf {p}$, il mercato è in equilibrio.
Rimane da chiarire, a questo punto, se tale equilibrio esiste sempre, se è unico e di quali proprietà gode.

### Teorema dell'esistenza

Nel 1954 gli economisti Kenneth Arrow e Gerard Debreu dimostrarono il seguente teorema
Se $\mathbf {z} \left(\mathbf {p} \right)$ soddisfa la legge di Walras e le domande individuali sono funzioni continue, allora esiste $\mathbf {p} ^{*}$ tale che $\mathbf {z} \left(\mathbf {p} ^{*}\right)\leq 0$
Le ipotesi del teorema sono abbastanza generali, ed in particolare la continuità delle funzioni di domanda è garantita dalla convessità delle preferenze.

### Unicità dell'equilibrio

Per quanto riguarda l'unicità dell'equilibrio, questa non può essere garantita in generale, come dimostrato dal teorema di Sonnenschein, Mantel e Debreu. Intuitivamente ciò è dovuto alla presenza degli effetti reddito (di cui si è parlato nella Teoria classica del consumatore): in sostanza al variare del prezzo si ha, oltre all'effetto prezzo, anche l'effetto reddito, che si possono compensare o rinforzare reciprocamente, generando la possibilità che più di un vettore di prezzi possa costituire un equilibrio.
Le altre proprietà dell'equilibrio competitivo verranno trattate nella lezione sull'Economia del benessere.

## Economie di produzione

In questo tipo di economie aggiungiamo le seguenti entità:
* imprese, indicizzate da $j\in \left\{1,2,...,J\right\}$
* tecnologie di produzione, identificate dagli insiemi di produzione $Y^{j}\subset \mathbb {R} ^{L}$
* quote di proprietà: ogni consumatore h possiede una quota $\theta ^{hj}\,\!$ dell'impresa j
* un'allocazione è, dunque, $\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right)\equiv \left(\mathbf {x} ^{1},\mathbf {x} ^{2},...,\mathbf {x} ^{H},\mathbf {y} ^{1},\mathbf {y} ^{2},...,\mathbf {y} ^{L}\right)$, tale che $\mathbf {x} ^{h}\in \mathbb {R} _{+}^{L}\quad \forall h$ e $\mathbf {y} ^{j}\in Y^{j}\quad \forall j$
Un'allocazione si dirà possibile se $\sum {h=1}^{H}\mathbf {x} ^{h}=\sum {h=1}^{H}\mathbf {\omega } ^{h}+\sum {j=1}^{J}\mathbf {y} ^{j}$, ossia se il consumo totale di ogni bene è pari alla somma delle dotazioni iniziali e delle quantità prodotte di quel bene.
Un equilibrio competitivo in un'economia di produzione consiste in:
* un vettore di prezzi $\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{L}$ e
* un'allocazione $\left(\mathbf {X} ^{*},\mathbf {Y} ^{*}\right)$
tali che:
* dato $\mathbf {p}$, $\mathbf {x} ^{*h}$ risolve il problema di massimizzazione dell'utilità per ciascun h: $\max _{\mathbf {x} ^{h}}u\left(\mathbf {x} ^{h}\right)\quad s.v.\mathbf {p} \mathbf {x} ^{h}\leq \mathbf {p} \mathbf {\omega } ^{h}+\sum _{j=1}^{J}\theta ^{hj}\left(\mathbf {p} \mathbf {y} ^{j}\right)\quad \forall h$
* dato $\mathbf {p}$, $\mathbf {y} ^{*j}$ risolve il problema di massimizzazione del profitto per ciascun j: $\max _{\mathbf {y^{j}} \in Y^{j}}\mathbf {p} \mathbf {y} ^{j}\quad \forall j$
* in $\mathbf {p}$, si ha $\sum _{h=1}^{H}\mathbf {x} ^{*h}=\sum _{h=1}^{H}\mathbf {\omega } ^{h}+\sum _{j=1}^{J}\mathbf {y} ^{*j}$

## Esercizi

Si consideri un'economia di puro scambio con due individui, A e B, e due beni, x e y. La funzione di utilità di A è $u_{A}\left(x_{A},y_{A}\right)\equiv x_{A}^{\frac {1}{4}}y_{A}^{\frac {3}{4}}$, mentre quella di B è $u_{B}\left(x_{B},y_{B}\right)\equiv x_{B}^{\frac {3}{4}}y_{B}^{\frac {1}{4}}$.
Le dotazioni iniziali di ciascun bene sono date da $\left(x_{A}^{0},y_{A}^{0}\right)=\left(1,1\right)$ per A e $\left(x_{B}^{0},y_{B}^{0}\right)=\left(1,1\right)$ per B.
Definire l'equilibrio competitivo di questa economia e trovare il prezzo e l'allocazione che ne soddisfa le condizioni (si noti che si parla di prezzo, in quanto uno dei due beni funziona da numerario per l'altro, ossia il prezzo di un bene va fissato uguale all'unita, o comunque costante, mentre l'altro sarà definito in rapporto al primo).