# Segregazione urbana in base alla razza

Le domande a cui questa risorsa vuole dare risposta sono le seguenti:
Prendiamo come modello una città con due quartieri, Q1 e Q2, e i due macro-gruppi immigrati $E$ e italiani $I$, normalizzando dunque la popolazione a 1, come al solito.
Si supponga che i non immigrati non possano vivere tutti in un solo quartiere, cioè che nessuno dei due quartieri è grande abbastanza da ospitare tutta la popolazione autoctona. Inoltre, si assuma che i due quartieri siano della stessa dimensione, cioè metà della città.
Supponiamo che Q1 sia abitato prevalentemente da italiani, e che a causa di ciò essi subiscono un'esternalità sociali quantificabile in $G$: razzismo, discriminazioni sul lavoro, ostilità diffusa, ecc.
Sia $W$ il reddito; $H^{i}$ il costo delle abitazioni nel quartiere $i$; $\alpha _{j}E^{i}$ l'esternalità sociale del gruppo $j$ proporzionale alla quota di immigrati nel quartiere $i$; $\beta _{j}$ la preferenza per il quartiere 1 degli individui gruppo sociale $j$. Quest'ultima non è uguale per tutti gli individui, ma si distribuisce in modo simmetrico attorno a alla media 0 con funzione di ripartizione $F(\beta )$ che è la stessa sia per gli italiani che per gli stranieri. L'utilità degli abitanti nel quartiere 1 è ${\begin{cases}U_{I}^{1}=W-H^{1}-\alpha _{I}E^{1}+\beta _{I}\\U_{E}^{1}=W-H^{1}+\alpha _{E}E^{1}+\beta _{E}-G\end{cases}}$. Quella degli abitanti del quartiere 2 è ${\begin{cases}U_{I}^{1}=W-H^{2}-\alpha _{I}E^{2}\\U_{E}^{1}=W-H^{2}+\alpha _{E}E^{2}\end{cases}}$.
Si noti subito che, nel modello, per la popolazione autoctona la presenza degli immigrati è un'esternalità negativa, rappresenta una disutilità, mentre per gli immigrato è l'esatto contrario.

## Equilibrio misto
### Nessuna barriera per gli immigrati

Supponiamo che $I=E$ e che $G=0$. Si deve avere equilibrio per entrambi i quartieri, cioè: ${\begin{cases}U_{I}^{1}=U_{I}^{2}\\U_{E}^{1}=U_{E}^{2}\end{cases}}$. Risolviamo il sistema: ${\begin{cases}W-H^{1}-\alpha _{I}E^{1}+\beta _{I}=W-H^{2}-\alpha _{I}E^{2}\\W-H^{1}+\alpha _{E}E^{1}+\beta _{E}=W-H^{2}+\alpha _{E}E^{2}\end{cases}}\Rightarrow$${\begin{cases}H^{1}+\alpha _{I}E^{1}-\beta _{I}=H^{2}+\alpha _{I}E^{2}\\H^{1}-\alpha _{E}E^{1}-\beta _{E}=H^{2}-\alpha _{E}E^{2}\end{cases}}\Rightarrow$${\begin{cases}(H^{1}-H^{2})=(\alpha _{I}E^{2}-\alpha _{I}E^{1})+\beta _{I}\\(H^{1}-H^{2})=(\alpha _{E}E^{1}-\alpha _{E}E^{2})+\beta _{E}\end{cases}}$. Secondo le ipotesi $I=E$, dunque si ha: ${\begin{cases}(H^{1}-H^{2})=\beta _{I}\\(H^{1}-H^{2})=\beta _{E}\end{cases}}$
Indichiamo i due valori di $\beta$ d'equilibrio come $\beta _{I}^{*}$ e $\beta _{E}^{*}$, e dato che sono uguali, indichiamo il valore d'equilibrio $\beta ^{*}$. Abbiamo detto prima che non tutti gli individui hanno un valore di $\beta =0$, cioè il valore medio, ma questi si distribuiscono secondo la funzione di ripartizione $F$. La condizione di equilibrio spaziale dice che tutti gli individui con $\beta _{j}>\beta ^{*}$ preferiscono vivere nel quartiere 1, e viceversa. Quelli che hanno il valore $\beta ^{*}$ sono indifferenti e vivono al confine tra i due quartieri.
Se ipotizziamo un differenziale $(H^{1}-H^{2})$ positivo, allora si ha $F(\beta ^{*})>50\%$ e questo implica che (essendo la popolazione normalizzata a 1) $F(\beta ^{*})>50\%$ voglia vivere nel quartiere 2, visto che ha $\beta _{j}\leq \beta ^{*}$, mentre $1-F(\beta ^{*})<50\%$ voglia vivere nel quartiere 1, visto che ha $\beta _{j}>\beta ^{*}$. In altri termini, con $(H^{1}-H^{2})>0$ non si ha affatto un equilibrio misto, ma uno sbilanciamento in favore del quartiere 2.
Se poniamo invece il differenziale nullo, allora ovviamente $F(\beta ^{*})=F(0)=50\%$ e la popolazione si distribuisce in modo indifferente in entrambi i quartieri.

### Barriera per gli immigrati

Ipotizziamo ora $G>0$. Si deve avere ancora equilibrio per entrambi i quartieri, cioè: ${\begin{cases}U_{I}^{1}=U_{I}^{2}\\U_{E}^{1}=U_{E}^{2}\end{cases}}$. Risolviamo il sistema: ${\begin{cases}W-H^{1}-\alpha _{I}E^{1}+\beta _{I}=W-H^{2}-\alpha _{I}E^{2}\\W-H^{1}+\alpha _{E}E^{1}+\beta _{E}-G=W-H^{2}+\alpha _{E}E^{2}\end{cases}}\Rightarrow$${\begin{cases}H^{1}+\alpha _{I}E^{1}-\beta _{I}=H^{2}+\alpha _{I}E^{2}\\H^{1}-\alpha _{E}E^{1}-\beta _{E}+G=H^{2}-\alpha _{E}E^{2}\end{cases}}\Rightarrow$${\begin{cases}(H^{1}-H^{2})=(\alpha _{I}E^{2}-\alpha _{I}E^{1})+\beta _{I}\\(H^{1}-H^{2})+G=(\alpha _{E}E^{1}-\alpha _{E}E^{2})+\beta _{E}\end{cases}}$. Secondo le ipotesi $I=E$, dunque si ha ${\begin{cases}(H^{1}-H^{2})=\beta _{I}\\(H^{1}-H^{2})+G=\beta _{E}\end{cases}}$.
I valori di $\beta$ d'equilibrio sono ora diversi a seconda dell'etnia: $\beta _{I}^{*}=(H^{1}-H^{2})$ per gli italiani e $\beta _{E}^{*}=(H^{1}-H^{2})+G$ per gli immigrati. Se $G>0$ allora il quartiere 1 è preferito in maggior misura dagli italiani che dagli immigrati. Vediamolo analiticamente.
Gli immigrati in $Q2$ sono quelli che hanno un $\beta _{E}\leq \beta _{E}^{*}$, dunque sono $E^{1}=E\cdot F\left((H^{1}-H^{2})+G\right)$. Gli immigrati in $Q1$ sono quelli che hanno un $\beta _{E}>\beta _{E}^{*}$, dunque sono $E\cdot E^{2}=[1-F\left((H^{1}-H^{2})+G\right)]$. Seguendo lo stesso ragionamento fatto in precedenza, notiamo che la quota di immigrati $E^{2}$ è sempre maggiore di quella $E^{1}$, visto che $F\left((H^{1}-H^{2})+G\right)>50\%$ e ovviamente $1-F\left((H^{1}-H^{2})+G\right)<50\%$. Dunque non si ha affatto un equilibrio misto, con ancora uno sbilanciamento a favore del quartiere 2, cioè "il ghetto".

## Segregazione degli immigrati nel ghetto

Battezziamo il quartiere 2 come ghetto. Sia avrà segregazione degli immigrati nel ghetto se $E^{1}=0,E^{2}={\frac {E}{0.5}}=2E$, ricordando infatti che ogni quartiere (tra cui anche il ghetto) è grande metà città dunque la densità di $E$ immigrati in un quartiere è ${\frac {E}{\frac {1}{2}}}=2E$. Per le premesse fatte inizialmente, nessun quartiere può contenere per intero gli italiani; perciò parte di essi vivrà comunque anche nel ghetto.
Al confine, la condizione di indifferenza è $U_{I}^{1}=U_{I}^{2}\Leftrightarrow W-H^{1}-\alpha _{I}E^{1}+\beta _{I}=W-H^{2}-\alpha _{I}E^{2}\Leftrightarrow H^{1}+\alpha _{I}E^{1}-\beta _{I}=H^{2}+\alpha _{I}E^{2}\Leftrightarrow$$(H^{1}-H^{2})-\beta _{I}=\alpha _{I}E^{2}-\alpha _{I}E^{1}$. Dal momento che nel quartiere 1 non abita nessun povero (in una situazione di equilibrio di segregazione), $E^{1}=0$ e $E^{2}=2E$ e dunque $(H^{1}-H^{2})-\beta _{I}=2E\alpha _{I}$ e infine $\beta _{I}^{*}=(H^{1}-H^{2})-2E\alpha _{I}$
Gli italiani con un $\beta _{I}\leq \beta _{I}^{*}$ vorranno vivere nel ghetto, mentre quelli con un $\beta _{I}>\beta _{I}^{*}$ esigeranno di vivere nel quartiere 1. Dunque gli italiani che vorranno vivere nel quartiere 1 sono $[1-F((H^{1}-H^{2})-\alpha _{I})](1-P)$. Se gli immigrati sono segregati nel ghetto, allora nel Q1 vivono solo italiani; siccome abbiamo ipotizzato una città divisa in due quartieri di eguali dimensioni, allora il quartiere 1 offre la metà delle case disponibili in città, cioè è in grado di ospitare metà della popolazione cittadina. Di conseguenza si ha ${\frac {1}{2}}=[1-F(\beta _{I}^{*})](1-P)$ che si sviluppa in ${\frac {1}{2}}-(1-P)=-(1-P)F(\beta _{I}^{*})\Leftrightarrow (1-P)-{\frac {1}{2}}=(1-P)F(\beta _{I}^{*})\Leftrightarrow {\frac {1-2P}{2(1-P)}}=F(\beta _{I}^{*})$ da cui si ricava $\beta _{I}^{*}=F^{-1}\left({\frac {1-2P}{2(1-P)}}\right)$. Combinando i risultati con l'equazione $\beta _{I}^{*}=(H^{1}-H^{2})-\alpha _{I}$ si ottiene $(H^{1}-H^{2})=2E\alpha _{I}+F^{-1}\left({\frac {1-2P}{2(1-P)}}\right)$.
Per avere totale segregazione degli immigrati nel ghetto, deve aversi che anche l'immigrato con la più alta preferenza per il quartiere 1 deve comunque preferire di rimanere nel ghetto. Cioè $U_{E}^{1}\leq U_{E}^{2},\forall \beta _{E}$. Sviluppando: $W-H^{1}+\alpha _{E}E^{1}+\beta _{max}\leq W-H^{2}-\alpha _{E}E^{2}\Leftrightarrow \beta _{max}\leq (H^{1}-H^{2})-\alpha _{E}E^{2}+G$. Sostituendo con i risultati ottenuti sopra si ha il risultato finale $\beta _{max}\leq 2E\alpha _{I}+F^{-1}\left({\frac {1-2P}{2(1-P)}}\right)+\alpha _{E}2E+G$ cioè: $\beta _{max}\leq 2E(\alpha _{I}+\alpha _{E})+F^{-1}\left({\frac {1-2P}{2(1-P)}}\right)+\alpha _{E}2E+G$
Dunque la segregazione nel ghetto è tanto più probabile quanto $G$ è alta e alti sono gli spillover sociali $\alpha _{I}$ e $\alpha _{E}$. Naturalmente $\beta _{max}$ deve essere finito.

## Modello generico di equilibrio

Qualora la condizione in precedenza vista non si verifica, si avrà sempre che qualche immigrato tra quelli con la preferenza maggiore per il quartiere 1 ci andrà a vivere.