# Algoritmi per lo studio degli effetti del disturbo nei correlatori digitali.

Gli algoritmi che ci accingiamo a proporre nella prima lezione di questa materia completano la conoscenza delle prestazioni di questo tipo di dispositivi per l'impiego nella rivelazione di deboli segnali inquinati dal disturbo.

## Rivisitazione degli algoritmi per la correlazione incrociata

Per esaminare gli effetti del disturbo sui processi di correlazione digitale iniziamo a riscrivere l’algoritmo studiato nelle lezioni precedenti relativo alla correlazione incrociata tra due segnali $f1(t)\ e\ f2(t)$ :
l'algoritmo citato, formulato per assenza di disturbi, è riportato nella 1):
$C(\tau )x1,2=(2/\pi )\arcsin \left\{{\frac {\sin \ [2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]\cdot \cos \ [2\cdot \pi \cdot Fo\cdot (\tau -\tau *)]}{[2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]}}\right\}\ \ \$ 1)
La crva di $C(\tau )x1,2$ per i valori di :
$F1=2000\ Hz$
$F1=6000\ Hz$
$\tau *=200\ \mu s$
$\tau$ variabile da $0\ a\ 1000\ \mu s$
è tracciata in figura 1:
Evidenziamo ora due particolari di questa curva per confrontarli in seguito con analoghi in presenza dei disturbi:
* Il massimo della $C(\tau )x1,2$ per $\tau =200\ \mu s$ ha ampiezza massima normalizzata ad $1.$
* Il massimo della $C(\tau )x1,2$ è distinto da una cuspide caratteristica della presenza nella 1 ) della funzione arcoseno.

## L'algoritmo per il calcolo e il tracciamento della C(tao) x1,2 in presenza del disturbo

In questa dimostrazione assumiamo che le ampiezze dei segnali $F1(t)\ e\ F2(t)$ applicate all'ingresso del correlatore siano uguali e le indichiamo con $si$.
Analogamente i disturbi $n1(t)\ e\ n2(t)$ che inquinano i segnali hanno uguale ampiezza $ni$ e si intendono tra loro non coerenti.
L'algoritmo di cui al titolo è riportato nella 2):
$C(\tau )x1,2=(2/\pi )\arcsin K\cdot \left\{{\frac {\sin \ [2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]\cdot \cos \ [2\cdot \pi \cdot Fo\cdot (\tau -\tau *)]}{[2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]}}\right\}\ \ \$ 2)
dove $K$ è una variabile dipendente dal rapporto tra l'ampiezza del segnale $si$ e l'ampiezza del disturbo $ni$ secondo la 3)
$K=\left[{\frac {1}{1+(ni/si)^{2}}}\right]\ \ \$ 3)
Dalla 3) si osserva che se il rumore è assente: $ni=0$ si ha $K=1$ e la 2) è identica alla 1).
La variazione del rapporto $(si/ni)$ trasforma completamente l'andamento della curva di figura 1 così come mostrano i seguenti quattro tracciati di figura 2:
Le quattro curve della figura 2 mostrano la trasformazione della curva di figura 1 mano a mano che il rapporto s/n decresce
* Per $si/ni=20\ dB$ (rapporto $10\ a\ 1$ ) la $C(\tau )x1,2$ ha un valore di poco inferiore ad $1$ e la cuspide si è di poco alterata.
* Per $si/ni=10\ dB$ (rapporto $3.3\ a\ 1$ ) la $C(\tau )x1,2$ ha un valore di $0.7$ e la cuspide si è trasformata nell'andamento della funzione $(\sin \ x)/x$ .
* Per $si/ni=0\ dB$ (rapporto $1\ a\ 1$ ) la $C(\tau )x1,2$ scende a $0.3$.
* Per $si/ni=-6\ dB$ (rapporto $1\ a\ 2$ ) la $C(\tau )x1,2$ scende a $0.1$.
In figura 2 si può osservare che mano a mano che l'ampiezza delle curve decresce aumenta lo spessore della traccia; questo fenomeno è dovuto al peggioramento del rapporto $si/ni$ che evidenzia la presenza della varianza che è più marcata per piccoli rapporti $si/ni.$
L'andamento dell'ampiezza della $Cx1,2(\tau )$ per $\tau =\tau *$ è dato dalla funzione.
$Sux=(2/\pi )\cdot \arcsin \left[{\frac {1}{1+(ni/si)^{2}}}\right]\ \ \$ 4).
L'andamento di $Sux$ in funzione del rapporto $si/ni$ espresso in deciBel è riportato in figura 3 , per $si/ni$ variabile da -$60\ dB$ ( rapporto $1/1000$) a +$60\ dB$ ( rapporto $1000/1$)
Vedremo in seguito che lo studio del comportamento della 2) e della 4) sono di fondamentale importanza per la scoperta di piccoli segnali coperti dai disturbi.