# Angoli (scuola media)

Un angolo è la parte di piano$^{VK}$ compresa tra due semirette$^{VK}$ aventi l'origine$^{VK}$ in comune.
Una seconda definizione, più dinamica, associa l'angolo alla rotazione che una delle due semirette fa rispetto all'altra, un buon esempio è il movimento delle lancette dell'orologio ed anche il movimento dei pianeti in orbita o una qualsiasi rotazione. Nell'immagine qui sotto i raggi delle orbite della terra e di mercurio disegnano dinamicamente un angolo.

## Angolo convesso ed angolo concavo

Un angolo è detto convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati, nella figura l'angolo $\alpha$ è convesso e l'angolo $\beta$ è concavo.
Aggiungendo i punti ${\text{B e D}}$ possiamo identificare gli angoli con le lettere latine maiuscole, l'angolo convesso è l'angolo ${\widehat {DAB}}$ mentre quello concavo è ${\widehat {BAD}}$, per convenzione gli angoli girano in senso antiorario.

## Misura degli angoli

Vi sono due sistemi principali per misurare gli angoli nei quali come unità di misura si usano i gradi oppure i radianti. Nella misura in gradi un angolo giro, immaginandoci le semirette come lancette di un orologio un giro completo, viene suddivisa in 360° gradi, nella seconda la misura dell'angolo corrisponde alla lunghezza dell'arco di circonferenza misurata in raggi.

### Misura in gradi sessagesimali

Un angolo$^{VK}$ misura un grado grado$^{VK}$ se è la trecentosessantesima parte di un angolo giro, cioè di una rotazione completa. I sottomultipli del grado seguono un sistema sessagesimale:
e
La nostra misura del tempo si avvale dello stesso sistema infatti 1 ora = 60 minuti e 1 minuto = 60 secondi.

### Angoli noti

In base alla loro grandezza gli angoli vengono chiamati...
* 0°< Angolo acuto < 90°
* Angolo retto = 90°
* 90°< Angolo ottuso < 180°
* Angolo piatto = 180°
* 180°< Angolo concavo < 360°
* Angolo giro = 360°

### Misura in radianti

Nella figura seguente si mostra che la misura di una circonferenza di diametro 1 è $\pi$, numero che può essere conosciuto solo approssimativamente e che nei calcoli consideriamo uguale a 3,14.
Considerando che il raggio è metà della circonferenza e pensando all'angolo come al percorso fatto in orbita per compiere un giro completo corrisponde a percorrere 3,14 diametri, o meglio 6,28 raggi, e quindi
La misura di un angolo giro in radianti, cioè la misura della circonferenza misurata in raggi è proprio $\pi$.
Non è difficile comprendere che:
* $90^{\circ }={\frac {2\cdot \pi }{4}}={\frac {\pi }{2}}$
* $180^{\circ }={\frac {2\cdot \pi }{2}}=\pi$
* $270^{\circ }=3\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {3}{2}}\pi$
In generale la misura di un angolo in radianti è un numero puro, cioè senza dimensioni che corrisponde al rapporto tra l'arco di circonferenza e il raggio
La misura di un angolo in radianti non dipende dalla circonferenza considerata infatti osservando la figura
si comprende che all'aumento della lunghezza dell'arco corrisponde un aumento del raggio e quindi $\alpha ={\frac {Bb'}{Ab}}={\frac {Cc'}{Ac}}={\frac {Dd'}{Ad}}$
Le formule che permettono di passare dalla misura di un angolo in radianti $\alpha$ a quella in gradi $\alpha ^{\circ }$ e viceversa sono

### Angoli noti in radianti

* 0< Angolo acuto < ${\frac {\pi }{2}}$
* Angolo retto = ${\frac {\pi }{2}}$
* ${\frac {\pi }{2}}$< Angolo ottuso < $\pi$
* Angolo piatto = $\pi$
* $\pi$< Angolo concavo < $2\pi$
* Angolo giro = $2\pi$

## Due rette tagliate da una trasversale

A secondo delle posizioni che gli angoli assumono relativamente alle rette e gli uni nei confronti degli altri vengono denominati:
* gli angoli verdi sono una coppia di angoli alterni interni
* gli angoli gialli sono alterni esterni
* i blu e i rossi sono corrispondenti
* gli angoli rosa sono angoli coniugati interni
* gli angoli ocra sono coniugati esterni
Se le rette sono parallele:
* gli angoli alterni interni sono uguali tra loro
* gli alterni esterni sono uguali
* i corrispondenti sono uguali tra loro
* gli angoli coniugati sono supplementari, la loro somma fa 180°