# Teoria classica dell'impresa

La Teoria classica dell'impresa è quella parte della teoria microeconomia che si occupa di studiare il comportamento di un produttore il cui obiettivo è di massimizzare il profitto.

## Obiettivi della lezione

* Presentare il problema primale - massimizzazione del profitto - dell'impresa ed ottenere la funzione di offerta, di domanda degli input e la funzione di profitto
* Presentare il problema duale - minimizzazione del costo - dell'impresa ed ottenere la funzione di domanda condizionale dei fattori di produzione e la funzione di costo
* Individuare i collegamenti tra i due problemi, sfruttando l'analisi svolta nella Teoria classica del consumatore.

## Insieme di produzione

Come per la teoria del consumatore, considereremo un agente che si trova a dover prendere delle decisioni ottimali in condizione di certezza e con prezzi dati. Per prima cosa bisogna introdurre i concetti di produzione; si ha:
* uno spazio dei beni $\mathbb {R} ^{L}$; si noti che non si considerano solo i positivi.
* un insieme di produzione $Y\subset \mathbb {R} ^{L}$; tale insieme sintetizza ciò che è tecnologicamente possibile, all'interno dello spazio dei beni.
Nell'insieme di produzione si avrà che $y_{i}<0$rappresenteranno gli input e $y_{i}>0$rappresenteranno gli output. Assumeremo che l'impresa ha come obiettivo la massimizzazione del profitto e che i prezzi siano lineari negli input e negli output.
Come per la teoria del consumatore abbiamo fatto delle assunzione al fine di rendere possibile la massimizzazione dell'utilità, così faremo per l'insieme di produzione:
* Y è non vuoto e chiuso;
* se $\mathbf {y} \in Y$ e $\mathbf {y} \geq 0$allora$\mathbf {y} =0$, ciò significa che se non ci sono input (nessuna $y_{i}$ è negativa) allora non c'è neanche output (non è possibile il pasto gratis, mentre è possibile l'inazione);
* se $\mathbf {y} \in Y$ e $\mathbf {y} '\leq \mathbf {y}$allora$\mathbf {y} '\in Y$, ciò significa che è sempre possibile sprecare input per produrre lo stesso output o produrre meno output a parità di input;
* se $\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\in Y$ allora $\mathbf {y} +\mathbf {y} '\in Y$;
* Y è convesso;
Definiamo inoltre il concetto di rendimenti di scala come la relazione che lega la variazione degli input alla variazione degli output; i rendimenti di scala si dicono:
* non crescenti se $\mathbf {y} \in Y$ implica che $\alpha \mathbf {y} \in Y$ per $\alpha \in [0,1]$;
* non decrescenti se $\mathbf {y} \in Y$ implica che $\alpha \mathbf {y} \in Y$ per $\alpha \in [1,\infty )$;
* costanti se $\mathbf {y} \in Y$ implica che $\alpha \mathbf {y} \in Y$ qualunque $\alpha$ (i rendimenti di scala sono dunque costanti se sono sia non crescenti sia non decrescenti).
A questo punto possiamo facilmente notare che la convessità dell'insieme di produzione implica che i rendimenti di scala devono essere non crescenti: la verifica è lasciata per esercizio (basta applicare la definizione di insieme convesso facendo la combinazione lineare di una combinazione input-output con la combinazione dell'inattività).
Si noti che fino ad ora abbiamo fatto riferimento all'insieme di produzione e non alla funzione di produzione, che definiremo nel caso di un solo output come la "frontiera efficiente" dell'insieme di produzione, ossia il massimo valore di output raggiungibile dato un certo livello degli input (l'insieme di produzione sarà dunque l'area sottesa a tale superficie o curva, nel caso di un solo input).

## Massimizzazione del profitto

Definiamo quindi il problema primale dell'impresa come la massimizzazione del profitto dati i prezzi e la tecnologia disponibile:
$\max _{\mathbf {y} \in Y}\mathbf {p} \mathbf {y}$
Il problema avrà un'unica soluzione e sarà risolvibile con il metodo di Lagrange se il problema è convesso, il che è vero se le assunzioni sull'insieme di produzione sono valide: si noti infatti che l'insieme di produzione è convesso ed i prezzi sono lineari, dunque, come per il problema del consumatore, la soluzione sarà il punto di tangenza. Denotiamo la soluzione del problema di massimo con $\mathbf {y} \left(\mathbf {p} \right)$ ed il massimo profitto raggiungibile con $\pi \left(\mathbf {p} \right)\equiv \mathbf {p} \mathbf {y} \left(\mathbf {p} \right)$, che chiameremo funzione di profitto.

### Proprietà

* La funzione di profitto è omogenea di grado 1;
* La funzione di profitto è convessa;
* Vale il lemma di Hotelling: se la soluzione è unica (ossia dato p, $\mathbf {y} \left(\mathbf {p} \right)$ assume un unico valore), allora la funzione di profitto è differenziabile e $y_{i}\left(\mathbf {p} \right)={\frac {\partial \pi \left(\mathbf {p} \right)}{\partial p_{i}}}$;
* Date le proprietà 2 e 3, si ha ${\frac {\partial y_{i}\left(\mathbf {p} \right)}{\partial p_{i}}}\geq 0$:
** legge dell'offerta: se il prezzo di un output cresce, la sua offerta cresce,
** legge della domanda di input: se il prezzo di un input cresce, la sua domanda decresce (si ricordi infatti che gli input sono le $y_{i}$ aventi valore negativo).

### Unico output

D'ora in poi tratteremo il problema dell'impresa con un solo output, ed indicheremo con $y$ l'output e con $\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{K}$ il vettore di dimensione K degli input; il problema diventa quindi:
$\max _{\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{K}}pf\left(\mathbf {x} \right)-\mathbf {w} \mathbf {x}$
dove con $f\left(\mathbf {x} \right)$ indichiamo la funzione di produzione, come definita precedentemente, con $p$ indichiamo il prezzo dell'output e $\mathbf {w}$ il vettore dei prezzi degli input. Le condizioni del primo ordine sono: ${\frac {\partial f\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{k}}}\leq {\frac {w_{k}}{p}}\quad \forall k$ e ${\frac {\partial f\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{k}}}={\frac {w_{k}}{p}}\quad ifx_{k}>0$.

### Caratteristiche delle tecnologie

Definiamo innanzitutto il saggio marginale di sostituzione tecnica analogamente al saggio marginale di sostituzione del problema del consumatore, ossia: $SMST_{i,j}\equiv {\frac {\frac {\partial f\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{j}}}}$, ed è uguale all'inclinazione dell'isoquanto$\left\{\mathbf {x} '\in \mathbb {R} _{+}^{K}|f\left(\mathbf {x} '\right)=y\right\}$ nel punto $\mathbf {x}$ (si noti che abbiamo definito l'isoquanto analogamente alla curva di indifferenza).
Possiamo inoltre ridefinire i rendimenti di scala nel caso di un solo input come:
* crescenti se $f\left(t\mathbf {x} \right)>tf\left(\mathbf {x} \right)$;
* decrescenti se $f\left(t\mathbf {x} \right)<tf\left(\mathbf {x} \right)$.
Definiamo l'elasticità di sostituzione come $\sigma _{i,j}\left(\mathbf {x} \right)\equiv {\frac {d\,ln\left({\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right)}{d\,ln\left({\frac {\frac {\partial f\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{j}}}}\right)}}={\frac {d{\frac {x_{j}}{x_{i}}}}{\frac {x_{j}}{x_{i}}}}{\frac {{\frac {\partial f\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{i}}}/{\frac {\partial f\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{j}}}}{d\left({\frac {\partial f\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{i}}}/{\frac {\partial f\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{j}}}\right)}}$ ossia l'elasticità del rapporto di due input rispetto al rapporto dei loro prodotti marginali (analoga definizione vale per l'elasticità di sostituzione riferita alla funzione di utilità del consumatore).
Definiamo infine l'elasticità di scala come $\mu \left(\mathbf {x} \right)\equiv \left.\left({\frac {d\left(lnf\left(t\mathbf {x} \right)\right)}{d\,ln\left(t\right)}}\right)\right|_{t=1}={\frac {\sum _{k=1}^{K}x_{k}{\frac {\partial f\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{k}}}}{f\left(\mathbf {x} \right)}}$ ossia l'elasticità della funzione di produzione rispetto ad una variazione di scala degli input.

## Minimizzazione del costo

Il problema duale dell'impresa consiste nella minimizzazione del costo necessario alla produzione di una data quantità di output (si noti l'analogia col problema duale del consumatore):
$\min _{\left.\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{K}\right|f\left(\mathbf {x} \right)\geq y}\mathbf {w} \mathbf {x}$
La soluzione di tale problema, $\mathbf {x} \left(\mathbf {w} ,y\right)$, viene detta domanda condizionale dei fattori, mentre il costo minimo necessario alla produzione di y, $c\left(\mathbf {w} ,y\right)\equiv \mathbf {w} \mathbf {x} \left(\mathbf {w} ,y\right)$ viene detto funzione di costo.
Sfruttando la soluzione già ottenuta per il problema duale del consumatore, le proprietà delle domanda condizionale dei fattori sono analoghe a quelle della domanda hicksiana, mentre le proprietà della funzione di costo sono analoghe a quelle della funzione di spesa minima del consumatore.
Una volta nota la funzione di costo, possiamo ottenere facilmente il livello ottimale di produzione risolvendo il seguente problema di massimo: $\max _{y\in \mathbb {R} _{+}}py-c\left(\mathbf {w} ,y\right)$, la cui condizione del primo ordine è $p={\frac {\partial c\left(\mathbf {w} ,y\right)}{\partial y}}$, ossia costo marginale uguale prezzo.

## Esercizi

Data la funzione di produzione $y=\left(x_{1}^{\rho }+x_{2}^{\rho }\right)^{\frac {\beta }{\rho }}$, si risolva il problema primale ed il problema duale e si verifichi che le proprietà valide per il problema del consuamatore valgono anche per il problema dell'impresa. Si calcoli inoltre l'elasticità di scala e l'elasticità di sostituzione (si noterà che per questa funzione l'elasticità di sostituzione è costante: questa, infatti, è una funzione CES).