# Esercizi sulla logica di base (superiori)

I seguenti esercizi riguardano La Logica di Base studiati nella Lezione 6. Essi sono divisi per paragrafi in modo tale da favorire la scelta degli esercizi specifici.

## Le proposizioni

ESERCIZIO 1. Quali delle seguenti frasi sono proposizioni logiche?
* A. I matematici sono intelligenti.
* B. 12 è un numero dispari.
* C. Pascoli è stato un grande poeta.
* D. Pascoli ha scritto La Divina Commedia.
* E. Pascoli ha scritto poesie.
* F. Lucia è una bella ragazza.
* G. Lucia ha preso 8 al compito di matematica.
* H. Il parallelogramma è una figura strana.
* I. Per favore, fate silenzio.
* J. 2 + 2 = 5.
* K. I miei insegnanti sono laureati.

## Algebra delle proposizioni

ESERCIZIO 2. A partire dalle due proposizioni: p = «16 è divisibile per 2», q = «16 è divisibile per 4» costruisci le proposizioni p V q e p /\ q.
ESERCIZIO 3. A partire dalle proposizioni: p = «18 è divisibile per 3», q = «18 è numero dispari» costruisci le proposizioni di seguito indicate e stabilisci il loro valore di verità.
* A. p V q. V F.
* B. p /\ q. V F.
* C. -p. V F.
* D. -q. V F.
* E. p V -q. V F.
* F. p /\ -q. V F.
* G. -p V -q. V F.
* H. -p /\ -q. V F.
* I. -(p /\ q). V F.
ESERCIZIO 4. A partire dalle proposizioni a = «20 è minore di 10», b = «20 è maggiore di 10», c = «20 è multiplo di 5», d = «20 è dispari» scrivi per esteso le seguenti proposizioni composte e stabilisci il loro valore di verità.
* A. a V b. V F.
* B. a /\ c. V F.
* C. d /\ a. V F.
* D. -a /\ b. V F.
* E. a V -b. V F.
* F. (- V a-b) V (c V d). V F.
* G. (a V -b) /\ (c _ -d). V F.
ESERCIZIO 5. Date le proposizioni p = «oggi è lunedì», q = «oggi studio matematica» riscrivi in simboli le seguenti proposizioni composte:
* A. Oggi è lunedì e studio matematica.
* B. Oggi non è lunedì e studio matematica.
* C. Oggi è lunedì e non studio matematica.
* D. Oggi non è lunedì e non studio matematica.
ESERCIZIO 6. In quale delle seguenti proposizioni si deve usare la o inclusiva e in quali la o esclusiva:
* A. Nelle fermate a richiesta l'autobus si ferma se qualche persona deve scendere o salire.
* B. Luca sposerà Maria o Claudia.
* C. Fammi chiamare da Laura o da Elisa.
* D. Si raggiunge l'unanimità quando sono tutti favorevoli o tutti contrari.
ESERCIZIO 7. A partire dalla preposizioni: p = «oggi pioverà» e :p = «oggi non pioverà» scrivere le proposizioni p Y -p, p V -p, p /\ -p. Scrivere quindi la loro tabella della verità.
ESERCIZIO 8. Scrivere le tabelle di verità delle formule:
* A. p /\ (p V q).
* B. p V (p /\ q).
* C. p Y (p /\ q).
* D. p /\ (p Y q).
* E. (p V -q) /\ (-p V q).
* F. (p V q) /\ r.
* G. (-p V q) ^ (p /\ q).
* H. -(p V q) /\ (p V -q).
* I. (p V -q) /\ -(r).
* J. (p /\ q) /\ (-q).
* K. (p V q) V (-q).
* L. (-p V -q) /\ (-p V -q).
ESERCIZIO 9. Verificare che, date due proposizioni p e q, la proposizione composta (-p/\q)V(p/\-q) è equivalente alla proposizione p Y q. Dimostrare l'equivalenza verificando che le tavole della verità sono uguali.

## Predicati e quantificatori

ESERCIZIO 10. Qual è la negazione della frase «Ogni volta che ho preso l'ombrello non è piovuto»?
* A. Almeno una volta sono uscito con l'ombrello ed è piovuto.
* B. Quando esco senza ombrello piove sempre.
* C. Tutti i giorni in cui non piove esco con l'ombrello.
* D. Tutti i giorni che è piovuto ho preso l'ombrello.
ESERCIZIO 11. Scrivi le negazioni delle seguenti frasi che contengono dei quantificatori.
* A. Al compito di matematica eravamo tutti presenti.
* B. Ogni giorno il professore ci dà sempre compiti per casa.
* C. Ogni giorno Luca vede il telegiornale.
* D. Tutti i miei familiari portano gli occhiali.
* E. Tutti hanno portato i soldi per la gita.

## Implicazione

ESERCIZIO 12. Sono date le frasi p = «Mario è cittadino romano», q = «Mario è cittadino italiano», scrivi per esteso le seguenti implicazioni e indica quale di esse è vera.
* A. p ===> q.
* B. q ===> p.
* C. q <===> p.
ESERCIZIO 13. Trasforma nella forma «Se ... allora ... » le seguenti frasi:
* A. Un oggetto lanciato verso l'alto ricade a terra.
* B. Quando piove prendo l'ombrello.
* C. I numeri la cui ultima cifra è 0 sono divisibili per 5.
* D. Per essere promosso occorre aver raggiunto la sufficienza.
ESERCIZIO 14. Date le proposizioni p, q, r costruisci la tavola di verità delle seguenti proposizioni:
* A. p ===> -q.
* B. -p ===> q.
* C. -p ===> -q.
* D. p ===> (q /\ r).
* E. (p V q) ===> r.
* F. (p /\ q) ===> p.
* G. (p ===> q) /\ -q.
* H. (p /\ q) <===> (-p V -q).
* I. (p ===> q) V (q ===> p).
ESERCIZIO 15. Completa i seguenti ragionamenti:
* A. Se un numero è multiplo di 10 allora è pari; il numero n non è pari quindi ......
* B. Se il sole tramonta fa buio; il sole è tramontato quindi ......
ESERCIZIO 16. Dimostra con un controesempio che non è vera l'affermazione «Tutti i multipli di 3 sono dispari».
ESERCIZIO 17. [Giochi d'autunno, 2010] Ecco le dichiarazioni rilasciate da quattro amiche:
* Carla: «Io non sono né la più giovane né la più anziana».
* Liliana: «Io non sono la più giovane».
* Milena: «Io sono la più giovane».
* Anna: «Io sono la più anziana».
Il fatto è che una di loro (e solo una) ha mentito. Chi è, delle quattro amiche, effettivamente la più giovane?
ESERCIZIO 18. [I Giochi di Archimede, 2011] Dopo una rissa in campo l'arbitro vuole espellere il capitano di una squadra di calcio. È uno tra Paolo, Andrea e Gabriele ma, siccome nessuno ha la fascia al braccio, non sa qual è dei tre. Paolo dice di non essere il capitano; Andrea dice che il capitano è Gabriele; Gabriele dice che il capitano è uno degli altri due. Sapendo che uno solo dei tre dice la verità, quale delle affermazioni seguenti è sicuramente vera?
* A. Gabriele non è il capitano.
* B. Andrea dice la verità.
* C. Paolo dice la verità.
* D. Andrea è il capitano.
* E. Gabriele mente.
ESERCIZIO 19. [I Giochi di Archimede, 2010] Un celebre investigatore sta cercando il colpevole di un omicidio tra cinque sospettati: Anna, Bruno, Cecilia, Dario ed Enrico. Egli sa che il colpevole mente sempre e gli altri dicono sempre la verità.
* Anna afferma: «Il colpevole è un maschio».
* Cecilia dice: «É stata Anna oppure è stato Enrico».
* Enrico dice: «Se Bruno è colpevole allora Anna è innocente».
Chi ha commesso l'omicidio?
ESERCIZIO 20. [I Giochi di Archimede, 2009] Quattro amici, Anna, Bea, Caio e Dino, giocano a poker con 20 carte di uno stesso mazzo: i quattro re, le quattro regine, i quattro fanti, i quattro assi e i quattro dieci. Vengono distribuite cinque carte a testa.
* Anna dice: «Io ho un poker!» (quattro carte dello stesso valore).
* Bea dice: «Io ho tutte e cinque le carte di cuori».
* Caio dice: «Io ho cinque carte rosse».
* Dino dice: «Io ho tre carte di uno stesso valore e anche le altre due hanno lo stesso valore».
Sappiamo che una e una sola delle affermazioni è falsa; chi sta mentendo?
ESERCIZIO 21. [I Giochi di Archimede, 2008] Un satellite munito di telecamera inviato sul pianeta Papilla ha permesso di stabilire che è falsa la convinzione di qualcuno che: «su Papilla sono tutti grassi e sporchi». Determina la verità delle seguenti affermazioni:
* A. Su Papilla almeno un abitante è magro e pulito.
* B. Su Papilla tutti gli abitanti sono magri e puliti.
* C. Almeno un abitante di Papilla è magro.
* D. Almeno un abitante di Papilla è pulito.
* E. Se su Papilla tutti gli abitanti sono sporchi, almeno uno di loro è magro.
ESERCIZIO 22. [I Giochi di Archimede, 2000] Anna, Barbara, Chiara e Donatella si sono sfidate in una gara di nuoto fino alla boa. All'arrivo non ci sono stati ex aequo. Al ritorno, Anna dice: «Chiara è arrivata prima di Barbara»; Barbara dice: «Chiara è arrivata prima di Anna»; Chiara dice: «Io sono arrivata seconda». Sapendo che una sola di esse ha detto la verità,
* A. Si può dire solo chi ha vinto.
* B. Si può dire solo chi è arrivata seconda.
* C. Si può dire solo chi è arrivata terza.
* D. Si può dire solo chi è arrivata ultima.
* E. Non si può stabilire la posizione in classifica di nessuna.
ESERCIZIO 23. [I Giochi di Archimede, 1999] «In ogni scuola c'è almeno una classe in cui sono tutti promossi». Volendo negare questa affermazione, quale dei seguenti enunciati sceglieresti?
* A. In ogni scuola c'è almeno una classe in cui sono tutti bocciati.
* B. In ogni scuola c'è almeno un bocciato in tutte le classi
* C. C'è almeno una scuola che ha almeno un bocciato in ogni classe.
* D. C'è almeno una scuola in cui c'è una classe che ha almeno un bocciato.
ESERCIZIO 24. [I Giochi di Archimede, 1997] Se il pomeriggio ho giocato a tennis, la sera ho fame e se la sera ho fame, allora mangio troppo. Quale delle seguenti conclusioni non posso trarre da queste premesse?
* A. Se gioco a tennis il pomeriggio, allora la sera ho fame e mangio troppo.
* B. Se la sera ho fame, allora mangio troppo, oppure ho giocato a tennis il pomeriggio.
* C. Se la sera non ho fame, allora non ho giocato a tennis il pomeriggio.
* D. Se la sera non ho fame, allora non mangio troppo.
* E. Se la sera non mangio troppo, allora non ho giocato a tennis il pomeriggio.
ESERCIZIO 25. [I Giochi di Archimede, 1998] Su un'isola vivono tre categorie di persone: i cavalieri, che dicono sempre la verità, i furfanti, che mentono sempre, ed i paggi che dopo una verità dicono sempre una menzogna e viceversa. Sull'isola incontro un vecchio, un ragazzo e una ragazza. Il vecchio afferma: «Io sono paggio»; «Il ragazzo è cavaliere». Il ragazzo dice: «Io sono cavaliere»; «La ragazza è paggio». La ragazza afferma infine: «Io sono furfante»; «Il vecchio è paggio». Si può allora affermare che:
* A. C'è esattamente un paggio.
* B. Ci sono esattamente due paggi.
* C. Ci sono esattamente tre paggi.
* D. Non c'è alcun paggio.
* E. Il numero dei paggi non è sicuro.
ESERCIZIO 26. Dimostra che in ogni festa c'è sempre una coppia di persone che balla con lo stesso numero di invitati. (Suggerimento: w:Principio dei cassetti.