# Instabilità dell'equilibrio elastico

Nell'ambito della progettazione di un'opera di ingegneria, oltre a tener conto della resistenza che un dato elemento strutturale è in grado di offrire, è fondamentale anche tenere conto della possibilità che esso presenti una instabilità dell'equilibrio, intendendo quest'ultimo come un mutamento sostanziale dei caratteri della sua deformazione. Un problema di questo tipo, se fino a qualche secolo fa era pura astrazione matematica, attualmente riveste un'importanza fondamentale, dal momento che l'utilizzo di materiali sempre più resistenti (come l'acciaio) ha reso possibile l'utilizzo di sezioni sempre più ridotte per sorreggere carichi piuttosto importanti, e appare intuitivo che un elemento snello è più soggetto a fenomeni di instabilità.
Dato un elemento in una configurazione di equilibrio sottoposto a carichi via via crescenti, può accadere che oltre un certo limite l'equilibrio da essere stabile diventa instabile, e cioè diventa tale che ad una variazione infinitesima qualsiasi della sua configurazione non corrisponde il ristabilimento della configurazione originaria. In pratica, in una situazione di equilibrio instabile lo spostamento infinitesimo prodotto da una ipotetica causa esterna fa sì che il corpo cambi completamente la sua configurazione, tendendo a raggiungere un altro stato di equilibrio (stavolta stabile) sotto quello stesso carico, che in alcuni casi è effettivamente possibile.
Per eliminare ogni possibile dubbio fin dall'inizio, si fa notare che l'affermazione precedente, secondo cui in alcuni casi è possibile che un medesimo corpo abbia più configurazioni di equilibrio sotto il medesimo carico, può apparire essere in contraddizione con il teorema dell'unicità dell'equilibrio elastico, secondo cui la soluzione al problema dell'equilibrio elastico è appunto unica. Si fa notare, tuttavia, che nella dimostrazione di quel teorema si è fatto uso della teoria della deformazione infinitesima: il teorema citato, dunque, vale solo quando gli spostamenti dei punti del corpo sono piccoli rispetto alle sue dimensioni, mentre lo studio dell'instabilità è fatto con riferimento a un fenomeno per cui queste quantità sono tutt'altro che trascurabili rispetto alle dimensioni del corpo stesso. Nel caso in analisi, dunque, il teorema dell'unicità dell'equilibrio elastico non ha validità, e sono in teoria possibili più configurazioni del corpo sotto le medesime condizioni.
Nello studio della stabilità dell'equilibrio si possono utilizzare tre approcci, presentati in ordine decrescente di generalità:
* approccio dinamico, che consiste nel valutare in senso dinamico gli spostamenti dei punti del corpo verificando che infine si trovino in un intorno del punto iniziale;
* approccio energetico, che deriva la conoscenza della stabilità da considerazioni sull'energia del sistema;
* approccio statico, che tuttavia non fornisce indicazioni sul comportamento dell'elemento una volta iniziata l'instabilità.
Nel seguito si utilizzerà l'approccio energetico, dal momento che il primo è di non facile impiego e il terzo non permette di fare considerazioni sul comportamento dell'elemento instabilizzato. Il criterio energetico deriva dalla considerazione che l'energia potenziale elastica totale ha derivata prima nulla in corrispondenza di una configurazione di equilibrio. Da questa considerazione, se quel punto rappresenta un massimo l'equilibrio è instabile, se rappresenta un minimo è stabile.
Nello studio dei fenomeni di instabilità è di fondamentale importanza conoscere il comportamento dell'elemento una volta raggiunta l'instabilità. Per questo motivo si propongono dei problemi che in maniera semplificata permettono di studiare questo aspetto, e che sono in grado di fornire una visione chiara delle differenti possibilità.

## Instabilità per diramazione stabile

Nota: Inserire immagine del problema
Si consideri un'asta rigida di lunghezza $l$ vincolata ad una cerniera elastica di costante $k$ e sottoposta ad un carico assiale $P$ nell'altro estremo. La configurazione assunta dall'asta può essere descritta facendo ricorso ad un'unica coordinata lagrangiana $\theta$, che rappresenta la rotazione dell'asta rispetto alla configurazione originaria.
Considerando la generica configurazione, sull'asta agiscono due momenti:
* un momento esterno $M_{e}=Pl\sin \theta$;
* un momento interno $M_{i}=k\theta$.
Dall'uguaglianza $M_{e}=M_{i}$ (indispensabile per l'equilibrio, che deve essere comunque soddisfatto), si ha:
$P={\frac {k\theta }{l\sin \theta }}$
Nota: Inserire immagine sul carico critico
Tale equazione indica che per ogni valore di $\theta$ esiste un valore di $P$ che ne assicura l'equilibrio. Considerando la geometria del sistema, appare ovvio che in ogni caso la configurazione originaria è equilibrata, ma non è detto che questo equilibrio resti sempre stabile. Facendo tendere $\theta \to 0$, infatti, si ottiene il valore di $P$ in corrispondenza del quale diventa possibile l'equilibrio anche per altre configurazioni. Tale valore viene definito carico critico $P_{crit}$, e in corrispondenza di questo l'equilibrio si biforca, rappresentando l'andamento del comportamento dell'asta una volta superata la fase critica.
$P_{crit}={\frac {k}{l}}$
Per valutare la stabilità dell'equilibrio si consideri l'energia potenziale totale del sistema. Quest'ultima è data dalla somma dell'energia potenziale elastica e della variazione dell'energia posizionale della forza $P$. Dal momento che abbiamo considerato il corpo rigido, l'energia potenziale elastica del sistema corrisponde all'energia potenziale elastica fornita in corrispondenza del vincolo elastico, e che viene valutata per mezzo del teorema di Lamè-Clapeyron:
${\mathcal {E}}={\frac {1}{2}}k\theta ^{2}-Pl(1-\cos \theta )$
Le condizioni di equilibrio precedentemente analizzate possono essere trovate attraverso la derivata prima, nei punti in cui quest'ultima si annulla:
${\frac {d{\mathcal {E}}}{d\theta }}=k\theta -Pl\sin \theta =0$
Per lo studio della stabilità delle varie configurazioni di equilibrio si studia la derivata seconda:
${\frac {d^{2}{\mathcal {E}}}{d\theta ^{2}}}=k-Pl\cos \theta$
Per studiare la stabilità della configurazione equilibrata originaria si studia l'equazione precedente ponendo $\theta =0$. In questa condizione le situazioni possibili sono due:
${\begin{cases}P<P_{crit}={\frac {k}{l}}\to {\frac {d^{2}{\mathcal {E}}}{d\theta ^{2}}}>0\\P>P_{crit}={\frac {k}{l}}\to {\frac {d^{2}{\mathcal {E}}}{d\theta ^{2}}}<0\end{cases}}$
Tenendo conto che qualora la derivata seconda è positiva ci si trova in una situazione di energia potenziale totale minima, si ha che per $P<P_{crit}$ l'equilibrio è stabile, per $P>P_{crit}$ l'equilibrio è instabile.
Per studiare la stabilità delle altre configurazioni di equilibrio si tiene conto della derivata seconda dell'energia potenziale totale del sistema con un valore di $\theta$ e sostituendo a $P$ il valore che soddisfa l'equilibrio:
${\frac {d^{2}{\mathcal {E}}}{d\theta ^{2}}}=k-{\frac {k\theta }{l\sin \theta }}l\cos \theta \to$
$\to {\frac {d^{2}{\mathcal {E}}}{d\theta ^{2}}}=k\left(1-l{\frac {\theta }{l\tan \theta }}\right)>0$
Essendo questa quantità positiva, per le motivazioni date in precedenza, l'equilibrio si rivela stabile. Tale condizione è anche comprensibile intuitivamente osservando che per valori di $\theta$ crescenti deve aumentare anche $P$, per cui l'avanzamento verso stati di equilibrio via via più gravosi deve essere accompagnata da un aumento del carico. In corrispondenza del carico dato, dunque, il sistema eventualmente disturbato ritorna alla situazione originaria perché la nuova configurazione (avente $\theta$ differente) non rispetta le condizioni precedenti.
Un'instabilità di questo tipo si verifica ad esempio per travi caricate di punta e per lastre soggette a sforzi di compressione e taglio nel loro piano.

## Instabilità per diramazione instabile

Nota: Inserire immagine del problema
Si consideri un'asta incernierata ad un estremo e vincolata all'altro estremo per mezzo di un pendolo elastico, caricata in tale estremo parallelamente al suo asse da un carico $P$. Valgono per questo problema le medesime osservazioni fatte per il precedente. In questo caso l'energia potenziale totale del sistema è pari a:
${\mathcal {E}}={\frac {1}{2}}kl^{2}\sin \theta ^{2}-Pl(1-\cos \theta )$
In corrispondenza dei punti in cui la sua derivata prima è nulla si hanno le configurazioni di equilibrio:
${\frac {d{\mathcal {E}}}{d\theta }}={\frac {1}{2}}kl^{2}\sin 2\theta -Pl\sin \theta =0$
Da tale espressione si può ottenere il legame tra carico e inclinazione dell'asta:
$P=kl\cos \theta$
da cui si ricava il valore del carico critico:
$P_{crit}=kl$
La derivata seconda dell'energia potenziale totale del sistema è pari a:
${\frac {d^{2}{\mathcal {E}}}{d\theta ^{2}}}=kl^{2}\cos 2\theta -Pl\cos \theta$
In corrispondenza della configurazione originaria si ha:
${\frac {d^{2}{\mathcal {E}}}{d\theta ^{2}}}=kl^{2}-Pl$
che distingue come in precedenza la parte stabile per $P<P_{crit}$ da quella instabile nel caso contrario. Sostituendo l'espressione del carico in funzione dell'inclinazione dell'asta nella derivata seconda dell'energia potenziale totale si ottiene:
${\frac {d^{2}{\mathcal {E}}}{d\theta ^{2}}}=kl^{2}\cos 2\theta -kl\cos \theta l\cos \theta \to$
$\to {\frac {d^{2}{\mathcal {E}}}{d\theta ^{2}}}=kl^{2}(\cos 2\theta -\cos \theta ^{2})<0$
Nota: Inserire immagine sull'andamento della stabilità
Al di là del carico critico, cioè, non esistono configurazioni di equilibrio stabili. Ciò equivale a dire che una volta raggiunto il carico critico l'elemento subisce una instabilizzazione tale da non potersi più ritrovare un equilibrio stabile. Tale osservazione può essere intuitivamente compresa se si osserva l'andamento delle configurazioni equilibrate: perché possa persistere l'equilibrio è necessario che all'aumentare dell'inclinazione dell'asta diminuisca il carico, e in una condizione in cui il carico è costante e maggiore del carico critico non esistono configurazioni equilibrate stabili.
Questo genere di instabilità si può osservare nel caso di cilindro sottile compresso.

## Instabilità per cedimento progressivo

Nota: continuare