# Teorema del confronto, di Cauchy

Analisi matematica > Teorema del confronto, di Cauchy
* Indice delle lezioni di:
** Analisi matematica
* Torna al corso:
** Matematica

## Alcuni importanti teoremi
#### Teorema (del confronto per funzioni)

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$, $f,g,h:A\to \mathbb {R}$, $x_{0}\in D(A),\ x_{0}\in {\overline {\mathbb {R} }}$. Se esiste un intervallo $H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}$ per cui $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ per ogni $x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$ e se i limiti delle due funzioni estremi $f(x)$ e $g(x)$ sono uguali, allora si ha che
$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)$
In altre parole, è come se le due funzioni $f$ e $g$ "intrappolassero" $h$.

##### Dimostrazione

Poniamo $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\lambda$.
Se $\lambda =\pm \infty$, abbiamo già visto prima cosa succede.
Se invece $\lambda \in \mathbb {R}$, utilizziamo il Lemma visto all'inizio per la dimostrazione. Sia allora $(x_{n})$ una successione in $A\setminus \{x_{0}\}$ convergente a $x_{0}$. Allora
    $\lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=\lambda$ e
    $\lim _{n\to +\infty }g(x_{n})=\lambda$.
Poiché la successione converge a $x_{0}$, $x_{n}\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H,\forall n>m\in \mathbb {N}$ (lo abbiamo visto prima, nella dimostrazione della prima implicazione del Lemma iniziale). Allora, per come è definito il teorema, si ha
    $f(x_{n})\leq h(x_{n})\leq g(x_{n}),\ \forall n>m$
Per il Teorema dei due carabinieri (riferito alle successioni) si ha che $h(x_{n})\to \lambda$ per $n\to +\infty$ e per il Lemma iniziale e poiché $(x_{n})$ è una arbitraria successione in $A\setminus \{x_{0}\}$ convergente ad $x_{0}$ abbiamo
$\lim _{x\to x_{0}}h(x)=\lambda$
$\Box$

#### Teorema (di Cauchy)

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$, $x_{0}$ un punto di accumulazione di $A$ reale o $\pm \infty$ ed $f:A\to \mathbb {R}$. Allora
$\exists \lambda \in \mathbb {R} \ :\ \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda \Longleftrightarrow$
$\forall \varepsilon >0\exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ \left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon ,\forall x,y\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$
In parole povere, esiste il limite di una funzione se e solo se i suoi termini sono vicini quanto si voglia.

##### Dimostrazione

$\Rightarrow )$ . Supponiamo per ipotesi che esista il limite di $f(x)$ e che sia $\lambda$ questo limite. Allora, utilizzando la definizione di limite e "truccandola" un po', abbiamo:
    $\forall \varepsilon >0\ \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ \left|f(x)-\lambda \right|<{\frac {\varepsilon }{2}},\ \forall x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$.
Ora, per ogni $x,y\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$ si ha
$\left|f(x)-f(y)\right|\leq \left|f(x)-\lambda \right|+\left|\lambda -f(y)\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$
che è proprio la seconda affermazione.
$\Leftarrow )$ . Utilizziamo sempre il Lemma che abbiamo visto all'inizio e consideriamo dunque una successione in $A\setminus \{x_{0}\}$ convergente a $x_{0}$ che chiamiamo, con grande fantasia, $(x_{n})$.
Per ipotesi si ha che
    $\forall \varepsilon >0\exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ \left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon ,\forall x,y\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$
Nota: finire la dimostrazione... pag 115
$\Box$
La valutazione NON è un modo per denigrare una voce e meno che meno il suo autore! Questo strumento serve per dare all'autore ed ai contributori un mezzo per sapere velocemente cosa pensa la comunità della voce in questione ed eventualmente, migliorarla. Se hai dato un giudizio negativo o molto negativo, per favore, motiva il tuo giudizio nella pagina di discussione.
| Molto positiva | Positiva | Neutra | Negativa | Molto negativa |