# Quantità di moto

La quantità di moto di un corpo è una grandezza fisica definita come il prodotto tra la sua massa e la sua velocità; si indica con il simbolo $P$. $P=mv$, con unità di misura $kg\times m/s$.
Più il valore della quantità di un corpo è elevata, più è difficile rallentarlo.

## Conservazione della quantità di moto

Se consideriamo un urto tra due corpi in cui non agiscono forze esterne (si dice che è un sistema isolato", la quantità di moto si conserva, cioè la quantità di moto totale iniziale e quella totale finale sono uguali. Questa legge è nota come legge della conservazione della quantità di moto.

## Impulso

L'impulso è una grandezza fisica collegata alla quantità di moto, e corrisponde a $I=F\times t$. Per il teorema dell'impulso, $I=P_{f}-P_{i}$, cioè l'impulso di una forza che agisce su un corpo in un certo intervallo di tempo è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo stesso, nel medesimo intervallo di tempo. Dimostriamo questo teorema, iniziando scrivendo la formula per calcolare l'impulso:
$I=F\times t$. Per la seconda legge della dinamica $F=m\times a$ (il valore della forza è uguale prodotto di massa e accelerazione), sostituendo otteniamo $I=ma\times t$. Ma $a\times t=v_{f}-v_{i}$. Sostituendo nuovamente otteniamo la formula $I=m\times (v_{f}-v_{i})$, che possiamo riscrivere come $I=mv_{f}-mv_{i}=P_{f}-P_{i}$, come volevamo dimostrare.

## Urti

Gli urti tra più corpi si dividono diverse tipologie. Vediamo le principali.

### Urto anelastico

In un urto anelastico i due corpi che si scontrano sono solidali, cioè rimangono attaccati. Pertanto, la loro velocità finale è la stessa: $v$$_{1{\displaystyle1}}$$^{f{\displaystylef}}$ $=$ $v$$_{2{\displaystyle2}}$$^{f{\displaystylef}}$. In questa situazione vale la legge della conservazione della quantità di moto illustrata precedentemente:
    $m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=(m_{1}+m_{2})v_{f}$
Da quest'equazione ricaviamo che in un urto anelastico possiamo calcolare la velocità di finale dei due corpi utilizzando la formula
$v_{f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}$, dove $v_{1i}$ e $v_{2i}$ sono le velocità iniziali del primo e del secondo corpo. $m_{1}$ e $m_{2}$ sono invece le due masse.

### Urto elastico

Negli urti elastici, invece, i due corpi non rimangono attaccati, le loro velocità finali hanno quindi valori diversi. Inoltre, si conservano sia l'energia cinetica $K$ che la quantità di moto $P$. Scriviamo il sistema
    ${\begin{cases}K_{i}=K_{f}\\P_{i}=P_{f}\end{cases}}$
che possiamo riscrivere come
    ${\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}v_{1i}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2i}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1f}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2f}^{2}\\m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}\end{cases}}$
In entrambe le equazioni possiamo raccogliere i termini $m_{1}$ e $m_{2}$ e poi dividere la prima equazione per la seconda. Inoltre dobbiamo ricordarci del prodotto notevole della differenza di quadrati: $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$. Seguendo questi passaggi otteniamo
    ${\begin{cases}m_{1}v_{1i}^{2}-m_{1}v_{1f}^{2}=m_{2}v_{2f}^{2}-m_{2}v_{2i}^{2}\rightarrow m_{1}(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f})=m_{2}(v_{2f}-v_{2i})(v_{2f}+v_{2i})\\m_{1}(v_{1i}-v_{1f})=m_{2}(v_{2f}-v_{2i})\end{cases}}$
e poi dividiamo membro a membro:
$v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i}$
Risolvendo, il sistema appare così:
    ${\begin{cases}v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i}\\m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}\end{cases}}$
Rielaborando le equazioni possiamo trovare le formule delle due velocità finali:
    ${\begin{cases}v_{1f}={\frac {(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2f}={\frac {(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}}\end{cases}}$