# Crescita economica
## Il modello di Solow

Nell'ambito della teoria della crescita in economia, il modello di Solow-Swan o modello neoclassico di crescita, studia la dinamica della crescita economica di un paese nel lungo periodo e venne sviluppato da Robert Solow (1956) a partire dal modello Harrod-Domar. In particolare, sulla base degli assunti neoclassici, questo modello introduce la sostituibilità tra fattori produttivi e dunque la possibilità di aggiustamenti nel lungo periodo del rapporto capitale-prodotto (o intensità di capitale) che era considerata costante nel modello di Harrod-Domar. L'introduzione dell'ipotesi di sostituibilità tra lavoro e capitale ha come conseguenza che, nel modello di Solow, contrariamente a quanto avviene in quello di Harrod-Domar, l'equilibrio di crescita del sistema economico è stabile e la crescita del prodotto pro capite nel lungo periodo risulta funzione del solo progresso tecnico.

### Le assunzioni del modello
#### Fattori produttivi e output

Il modello di Solow si focalizza su quattro variabili:
* Y l'output;
* K lo stock di capitale;
* L il lavoro;
* A la "conoscenza" o indice della produttività del lavoro.
$Y(t)=F(K(t);A(t)L(t))$
Il tempo non entra direttamente nella funzione di produzione, ma solo indirettamente attraverso gli altri parametri. Y(t) varia se e solo se variano K(t), L(t) o A(t). In particolare, a parità di capitale e lavoro, si ha un aumento del prodotto solo a seguito di un progresso tecnologico. A ed L entrano in F(.) come prodotto: AL è detto lavoro effettivo. Questo modo di specificare A implica che, nel modello, il rapporto K/L alla fine si stabilizza: cosa confermata dalle osservazioni empiriche. Inoltre, costruire il modello in modo tale che questo rapporto si stabilizzi nel lungo periodo, rende più semplice l'analisi.

#### Funzione di produzione (di tipo neoclassico)

* La funzione di produzione presenta rendimenti di scala costanti (CRS) nei suoi argomenti: K ed AL; Questa assunzione permette di scrivere la funzione della forma intensiva. Posto λ = 1/AL abbiamo F(K/AL , 1) = 1/AL F(K,AL) dove
** K/AL=k rappresenta il capitale per unità di lavoro effettivo;
** Y/AL=y rappresenta l'output per unità di lavoro effettivo.
$f(k)=F(k,1)=>y=f(k)$
Possiamo cioè scrivere l'output per unità di lavoro effettivo come una funzione del capitale per unità di lavoro effettivo.
Le variabili k e y non hanno in se nessun significato specifico, ma risulta più facile lavorare con queste piuttosto che con le due variabili, K ed L, della funzione di produzione.
* Assumiamo che f(k) soddisfi le condizioni
** f(0)=0;
** f'(k)>0;
** f(k)<0.
La produttività marginale del capitale è positiva, ma decrescente all'aumentare del capitale per unità di lavoro effettivo.
* Assumiamo che f(.) soddisfi le Condizioni di Inada (1964):
** lim_k->0 f'(k)=infinito;
** lim_k->infinito f'(k)=0.
Ciò garantisce che il sentiero dell'economia non diverga.
Una forma funzionale che rispetta le condizioni ora imposte è la funzione Cobb-Douglas $F(K,AL)=K^{a}(AL)^{1-a},0<a<1,$ che è omogenea di grado 1 (CRS) e può essere scritta nella forma intensiva $f(k)=F(K/AL,1)=(K/AL)^{a}=k^{a}.$ Si può dimostrare che rispetta anche tutte le altre condizioni poste.

#### Specificazioni sui tassi di crescita dei fattori

Il modello è sviluppato nel tempo continuo. Il livello iniziale di K, L ed A è dato. L ed A crescono ad un tasso costante:
* dot{L}(t)=nL(t)
* dot{A}(t)=gA(t)
con n e g parametri esogeni.
Il tasso di crescita di una variabile si riferisce al saggio di variazione proporzionale; ad es. il tasso di crescita di X(t) è dato da dot{X}(t)/X(t). Il tasso di crescita di una variabile è pari al tasso di crescita del suo logaritmo naturale: d ln X(t) / dt = d ln X(t) / dX(t) * dX(t) / dt} = 1/X(t) dot{X}(t).
Sappiamo allora che
* $lnL(t)=lnL(0)+nt$
* $lnA(t)=lnA(0)+gt$
Ne segue che
* $L(t)=L(0)e^{nt}$
* $A(t)=A(0)e^{gt}$
Quindi assumiamo che L ed A crescano esponenzialmente.
Il prodotto viene suddiviso fra consumo ed investimento. La frazione di output destinata agli investimenti (s) è esogena e costante. Un'unità di capitale destinata all'investimento produce una nuova unità di capitale. Inoltre, il capitale esistente si deprezza ad un tasso δ. Dunque, dot{K}(t) = sY(t) - δ K(t).
L'unica restrizione imposta ad n e g è che n+g+δ=1.