# Equazioni di Maxwell nel vuoto

Immaginiamo di avere una regione di spazio in cui il campo elettrico e magnetico, variabili nel tempo. Se la regione è vuota, priva di cariche e di correnti elettriche dovute a cariche in moto. Le equazioni di Maxwell si riducono a:
| ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0$ | (1) |
| ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$ | (2) |
| ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$ | (3) |
| ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$ | (4) |

## Onde elettromagnetiche piane

Se non vi è dipendenza dai campi elettrico e magnetico che da una sola coordinata spaziale cartesiana. Assumiamo tale coordinata come asse delle $x\$. Le derivate parziali in $y\$ e $z\$ sono identicamente nulle per cui le equazioni di Maxwell si riducono in forma esplicita a 8 equazioni.
Dalla eq.1 e 2:
| ${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}=0$ | (5) |
| ${\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}=0$ | (6) |
Le tre componenti dell'eq. 3:
| $0=-{\frac {\partial B_{x}}{\partial t}}$ | (7) |
| $-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}=-{\frac {\partial B_{y}}{\partial t}}$ | (8) |
| ${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-{\frac {\partial B_{z}}{\partial t}}$ | (9) |
Mentre le tre componenti dell'eq. 4:
| $0={\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}$ | (10) |
| $-{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$ | (11) |
| ${\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}$ | (12) |
L'equazione 5 e 10 dicono, $E_{x}\$, la componente del campo elettrico nella direzione spaziale assunta come unica in cui avviene la variazione non varia né nel tempo e nello spazio: quindi non vi è campo che si propaga in tale direzione. Lo stesso, dalle eq. 6 e 7, per quanto riguarda la componente del campo di induzione magnetica, $B_{x}\$, nella stessa direzione. Rimangono le equazioni: 8,9,11 e 12.
Derivando parzialmente rispetto alla x la 8 e al tempo la 12, si ha:
| $-{\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial x\partial t}}$ | (13) |
| ${\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial t\partial x}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial t^{2}}}$ | (14) |
Da cui per il teorema di teorema di Schwarz (l'ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente), segue che:
| ${\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial t^{2}}}$ | (15) |
Cioè la componente del campo elettrico lungo l'asse delle $z\$ soddisfa l'equazione delle onde.
Anche la componente nella direzione normale della induzione magnetica, $B_{y}\$, soddisfa una equazione simile, come si trova derivando parzialmente rispetto alla x la 12 e al tempo la 8:
| ${\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial t^{2}}}$ | (16) |
Ma in realtà le due soluzioni sono non indipendenti. In quanto l'operazione di derivazione parziale ha introdotto delle soluzioni spurie come vedremo meglio in seguito.
Derivando parzialmente rispetto alla x la 9 e al tempo la 11 e utilizzando il teorema di Schwarz, si ha:
| ${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}}$ | (17) |
Anche la componente nella direzione normale della induzione magnetica, $B_{z}\$, soddisfa una equazione simile come si trova derivando, parzialmente rispetto alla x la 11 e al tempo la 9:
| ${\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial t^{2}}}$ | (18) |
Quindi dalle equazioni di Maxwell è possibile una equazione delle onde per le sole componenti trasversali delle onde, la componente lungo la direzione di propagazione $x\$ non è possibile.
Apparentemente sono possibili 4 equazioni delle onde indipendenti per $E_{y}\$ (eq.17), $E_{z}\$ (eq.15), $B_{y}\$ (eq.16) e $B_{z}\$ (eq.18). In realtà le componenti indipendenti sono solo due. Cioè mentre è possibile avere $E_{y}\$ indipendente da $E_{z}\$ o $B_{y}\$ indipendente da $B_{z}\$.
In realtà le equazioni 8 e 12 da cui siamo partiti esprimono una relazione molto stretta tra $E_{y}(x,t)\$ e $B_{y}(x,t)\$, che dovendo soddisfare l'equazioni delle onde, non possono essere che a meno di una costante moltiplicativa che la stessa funzione, cioè solo se:
| $E_{y}(x,t)=\pm cB_{y}(x,t)\$ | (19) |
col segno + o - a seconda che l'onda sia progressiva o regressiva.
Analogamente per $E_{z}(x,t)\$ e $B_{z}(x,t)\$:
| $E_{z}(x,t)=\pm cB_{z}(x,t)\$ | (20) |

## Caso generale

Le onde elettromagnetiche piane hanno delle caratteristiche generali appena viste che valgono nel vuoto: cioè sono trasversali, localmente due sole componenti sono indipendenti. In realtà applicando l'operatore rotore alla equazione 3 si ha:
| ${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})=-{\vec {\nabla }}\times {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})$ | (21) |
Ora rotore di un rotore, si dimostra sviluppando l'espressione matematica, che è un vettore che ha componenti x:
    $[{\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})]_{x}=-{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}+{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})=-{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}$
in quanto dalla eq.1 la divergenza di ${\vec {E}}\$ è nulla.
Mentre invece sostituendo nella eq. 21 (componente x) l'eq. 4 si ha che:
    $-\left.{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})\right|_{x}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}_{x}}{\partial t}}\right)=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}}\$
Quindi unendo queste due espressioni si ha che:
| ${\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}}\$ | (22) |
Analogamente per tutte le componenti di ${\vec {E}}\$ ( e anche di ${\vec {B}}\$) in maniera compatta si scrive che:
| $\nabla ^{2}{\vec {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$ | (23) |
| $\nabla ^{2}{\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}$ | (24) |
La conclusione è che dalle equazioni di Maxwell è possibile ricavare un campo elettromagnetico che si propaga nel vuoto senza l'intervento di nessun mezzo. Fino al XIX secolo si ipotizzava che esistesse un mezzo (molto rigido e poco denso) attraverso cui si propagavano le onde elettromagnetiche: l'etere.
Le più semplici onde (non solo elettromagnetiche) sono le onde monocromatiche. Lontani dalle sorgenti delle onde tutte le onde sono scomponibili nella somma di tali onde. Infatti nella trattazione fatta abbiamo ignorato come si producono le onde elettromagnetiche cioè le sorgenti. Questo è un argomento a parte che sarà trattato in seguito. Una onda elettromagnetica piana viene rappresentata per la parte elettrica da:
| ${\vec {E}}({\vec {r}},t)={\vec {E}}_{o}\cos({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi )$ | (25) |
Dove ${\vec {E}}_{o}\$ è detta l'ampiezza dell'onda e nelle onde piane è costante, $\varphi \$ è la fase dell'onda, ${\vec {k}}\$ è il vettore d'onda che come per tutte le onde è diretto nella direzione di propagazione.
La parte magnetica dell'onda piana si ricava dalla relazione appena vista e qui indicata in maniera sintetica, indicando con ${\vec {c}}\$ il vettore velocità di propagazione dell'onda:
| ${\vec {B}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c^{2}}}{\vec {c}}\times {\vec {E}}({\vec {r}},t)\$ | (26) |
Spesso si preferisce usare la rappresentazione esponenziale (indicando come si fa sempre in elettromagnetismo l'unità immaginaria con $j={\sqrt {-1}}\$):
| ${\vec {E}}({\vec {r}},t)={\vec {E}}_{o}e^{j\left({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi \right)}$ | (27) |
Si dimostra mediante la formula di Eulero che la parte reale della rappresentazione esponenziale di una onda piana coincide con la rappresentazione sinusoidale. Una onda piana è una onda che si propaga senza attenuazione, conservando quindi la sua ampiezza, non sfasandosi che in maniera assolutamente prevedibile ed è chiaramente una astrazione utile per la trattazione generale.

### Onde Sferiche

Consideriamo un altro caso importante quello in cui la sorgente e di conseguenza l'onda abbia una simmetria sferica. In questo caso l'equazione delle onde va riscritta in coordinate polari quindi ripartendo dalla equazione delle onde. Considerando la componente elettrica (ma sarebbe stata identico considerare la componente magnetica):
| $\nabla ^{2}{\vec {E}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}\$ | (28) |
Se l'onda è sferica, possiamo sostituire ${\vec {E}}({\vec {r}},t)\$ con ${\vec {E}}(r,t)\$, cioè è indipendente da $\theta \$ e $\phi \$, ma anche l'espressione di $\nabla ^{2}\$ si semplifica trasformando l'equazione delle onde in una forma unidimensionale:
| ${\frac {\partial ^{2}[r{\vec {E}}(r,t)]}{\partial r^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}[r{\vec {E}}(r,t)]}{\partial t^{2}}}\$ | (29) |
La soluzione più semplice, formalmente simile ad un'onda piana unidimensionale è:
| $r{\vec {E}}(r,t)={\vec {A}}_{o}e^{j(kr-\omega t+\varphi )}\$ | (30) |
Quindi:
| ${\vec {E}}(r,t)={\frac {{\vec {A}}_{o}}{r}}e^{j(kr-\omega t+\varphi )}\$ | (31) |
La grandezza costante vettoriale ${\vec {A}}_{o}\$ ha le dimensioni di campo elettrico per una lunghezza, quindi allontanandosi l'ampiezza del campo elettrico va con l'inverso della distanza dal centro della distribuzione. La caratteristica trasversale viene ovviamente mantenuta per cui la direzione di ${\vec {A}}_{o}\$ è perpendicolare alla direzione radiale.