# Strumenti minimi di teoria degli insiemi

Vengono presentati in questa pagina gli strumenti minimi di teoria degli insiemi, ovvero i concetti che stanno alla base dell'insiemistica e delle relazioni tra insiemi.

## Inclusione

Dati due insiemi A, B, può accadere che tutti gli elementi del primo insieme siano anche elementi del secondo insieme. Tale situazione, espressa in linguaggio matematico è la formula:
$\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)$
Questa proprietà si riassume con un simbolo $\subseteq$ detto di "inclusione": $A\subseteq B$.

## Insieme vuoto

Un insieme vuoto, indicato con il simbolo $\varnothing$, oppure $\emptyset$, è un insieme a cui non appartiene alcun elemento. Qualunque insieme contiene un insieme vuoto.

## Uguaglianza

Dati due insiemi A e B, può accadere che essi siano uguali. In insiemistica "uguali" significa che tutti gli elementi del primo sono anche elementi del secondo insieme, e viceversa. Questa è una definizione di uguaglianza che si dice estensiva, ovvero legata esclusivamente a quali elementi appartengono agli insiemi. Ovviamente questa proprietà si indica con il simbolo =, ed è formalmente equivalente ad una doppia inclusione, ovvero:
$A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B\wedge B\subseteq A)$
Infatti, nella maggior parte delle dimostrazioni, per dimostrare un'uguaglianza tra due insiemi si procede separatamente a dimostrare le due inclusioni.

## Unione

Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia tutti gli elementi del primo e tutti gli elementi del secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama unione di A e B e si indica con il simbolo $A\cup B$, e una definizione formale è la seguente:
$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$

### Proprietà

* commutatività
* associatività
* riflessività

## Intersezione

Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia solo gli elementi che sono sia nel primo che nel secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama intersezione di A e B e si indica con il simbolo $A\cap B$, definito con:
$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$

### Proprietà

* commutatività
* associatività
* riflessività

## Differenza

Dati due insiemi A e B, si definisce differenza $A\setminus B$ l'insieme degli elementi che appartengono al primo insieme (A) ma non al secondo (B).
$A\setminus B=\{x\mid x\in A\wedge x\not \in B\}$

### Insieme complementare

Nel caso in cui sia $A\subseteq X$, si definisce insieme complementare il risultato della differenza $X\setminus A$. Spesso si sottointende X, ovvero l'insieme in cui A è contenuto, e si indica l'insieme complementare di A soltanto con il simbolo $A^{C}\,$

## Coppia ordinata

Nulla negli insiemi può distinguere un ordine degli elementi. Si utilizza una definizione apposita per creare un insieme nel quale, a tutti gli effetti, c'è un primo elemento ed un secondo elemento. Questo tipo di insieme si chiama coppia ordinata: dati due elementi x e y, l'insieme
$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\,$
A dimostrare che effettivamente x è il primo elemento e y è il secondo, c'è un teorema che stabilisce che: due coppie ordinate (a, b) e (c, d) sono uguali se e solo se a = c e b = d.

## Prodotto cartesiano

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## Funzione

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## Biiezione

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