# Equilibrio spaziale tra le città

Le domande a cui questa lezione vuole dare risposta sono le seguenti:
* Perché ci sono città grandi e città piccole? In altri termini, come si spiega la loro eterogeneità quanto a dimensione?
* Qual è l'influenza di fattori esterni come clima, paesaggio, ecc. nella dimensione delle città?

## Zipf's Law

Si supponga di ordinare $n$ città in modo decrescente rispetto alla dimensione $size$. Sia poi l'ordine sulla lista della città i-esima $rank_{i}$, cioè $rank_{1}=1,rank_{2}=2$ e così via. La distribuzione segue la regola rank-size se:
$\ln(rank_{i})=\ln q-m\ln(size_{i})$con $q,m\in \mathbb {R}$. La Legge di Zipf's stabilisce che il valore di $m$ è empiricamente molto vicino a 1.

## Le "amenities"

Il modello che andiamo a illustrare intende spiegare come le amenità (caratteristiche del paesaggio, attrattive, clima, ecc.) sarebbero la causa dell'eterogeneità delle città, al punto che anche in una situazione di equilibrio tali differenze persistono.
Sia $U(C,a)$ la funzione di utilità dell'abitante, con variabili $C$ bene di consumo generico (al netto della spese, ecc.) e $a$ le amenità del luogo. In una situazione di equilibrio tutte le città presentano lo stesso livello di utilità, poniamo $u$. Vale pertanto $U(C,a)=u$. Innanzitutto vediamo come varia la quantità del bene consumata al variare delle amenità, cioè ci chiediamo se una città con una presenza maggiore di amenità comporta un consumo del bene $C$ maggiore o minore rispetto alla città più povera di amenità. Consideriamo allora il differenziale totale della funzione di utilità $dU(C,a)={\frac {\partial U}{\partial C}}dC+{\frac {\partial U}{\partial a}}da$ e fissiamo l'incremento di $U(C,a)$ a zero, in quanto l'utilità deve sempre essere pari a $u$ per mantenere l'equilibrio. Si ha allora $0={\frac {\partial U}{\partial C}}dc+{\frac {\partial U}{\partial a}}da\Leftrightarrow {\frac {\partial U}{\partial C}}dc=-{\frac {\partial U}{\partial a}}da\Leftrightarrow {\frac {dc}{da}}=-{\frac {\partial U/\partial a}{\partial U/\partial C}}$L'equazione ci mostra che l'incremento del bene di consumo con un incremento delle amenità è negativo, cioè in una città ricca di amenità si consumano meno beni.

### Domanda

Per illustrare il modello, consideriamo dapprima il consumo e prendiamo come esempio una funzione di utilità Cobb-Douglas così definita: $U(C,H,\theta )=\theta H^{\alpha }C^{1-\alpha }$ , dove $H$ è la quantità di "casa", $r_{H}$ è l'affitto unitario del bene "casa", $C$ è il bene di consumo definito come ciò che resta del reddito dopo aver pagato i costi relativi all'abitazione: $C=W-r_{H}H$. Infine $\theta$ è un parametro reale che indica l'influenza complessiva delle amenità, e $\alpha$ rappresenta la percentuale di spesa del bene $C$ o della casa $H$ sul reddito $W$. Esplicitando $C$ in questo modo si ottiene una funzione di utilità espressa nella sola variabile $H$: $U(H,\theta )=\theta H^{\alpha }(W-r_{H}H)^{1-\alpha }$
Il problema ora consiste nella massimizzazione dell'utilità dell'abitante $\max _{H}U(H,\theta )$. Essendo una Cobb-Douglas, dunque con degli esponenti, conviene trasformarla in logaritmi ottenendo così:$U(H,\theta )=\ln \theta +(1-\alpha )\ln(W-r_{H}H)+\alpha \ln H$
Si ha allora:
${\frac {\partial U}{\partial H}}=0\Leftrightarrow -{\frac {1-\alpha }{W-r_{H}H}}r_{H}+{\frac {\alpha }{H}}=0\Leftrightarrow {\frac {1-\alpha }{W-r_{H}H}}r_{H}={\frac {\alpha }{H}}\Leftrightarrow (1-\alpha )r_{H}=W{\frac {\alpha }{H}}-r_{H}\alpha \Leftrightarrow r_{H}-\alpha r_{H}+\alpha r_{H}=W{\frac {\alpha }{H}}\Leftrightarrow r_{H}H=W\alpha$ da cui finalmente il valore ottimo di H:$H={\frac {W\alpha }{r_{H}}}$Siccome $C=W-r_{H}H$, si ha che $W-r_{H}{\frac {W\alpha }{r_{H}}}=W-W\alpha$ e da ciò il valore d'equilibrio di C è ovviamente $C=W(1-\alpha )$
Abbiamo premesso che $u$ è il valore di utilità di equilibrio per tutte le città. Di conseguenza l'utilità indiretta $V(W,r_{H},\theta )$ è pari a$V(W,r_{H},\theta )=\theta [W(1-\alpha )]^{1-\alpha }\left({\frac {\alpha }{r_{H}}}W\right)^{\alpha }=u\Leftrightarrow W^{1-\alpha }(1-\alpha )^{1-\alpha }\alpha ^{\alpha }r_{H}^{-\alpha }W^{\alpha }=u$ , da cui si ottiene la condizione di ottimo dell'utilità del consumo:$\theta W(1-\alpha )^{1-\alpha }\alpha ^{\alpha }r_{H}^{-\alpha }=u$
Supponiamo ora di prendere una variabile $A$ che rappresenta delle amenità in "qualche modo" correlate con il salario, l'affitto e il livello globale di amenità $\theta$. Come prima, passiamo al logaritmo e trasformiamo così la funzione di utilità in $\ln \theta +\ln W-\alpha \ln r_{H}+(1-\alpha )\ln(1-\alpha )+\alpha \ln \alpha$. Vediamo ora cosa succede derivando per $A$ e mantenendo l'ottimalità, dunque ${\frac {\partial \ln U}{\partial A}}=0$ si ha${\frac {\partial \ln U}{\partial A}}=0\Leftrightarrow {\frac {\partial \ln \theta }{\partial A}}+{\frac {\partial \ln W}{\partial A}}-\alpha {\frac {\partial \ln r_{H}}{\partial A}}+(1-\alpha ){\frac {\partial \ln(1-\alpha )}{\partial A}}+\alpha {\frac {\partial \ln \alpha }{\partial A}}=0\Leftrightarrow {\frac {\partial \ln \theta }{\partial A}}=\alpha {\frac {\partial \ln r_{H}}{\partial A}}-{\frac {\partial \ln W}{\partial A}}$
L'equazione sopra ci dice che la variazione complessiva del livello di amenità è dato dal prodotto della percentuale sul reddito destinata alla casa con l'impatto delle amenità sul prezzo della casa, "disturbato" dall'impatto che le amenità hanno sul salario.

### Produzione del bene di consumo

Siano:
* $A$ il parametro che indica la produttività della città;
* $n$ il numero dei lavoratori;
* $k$ il capitale mobile;
* $z$ il capitale immobile della singola azienda;
* $W$ è il salario unitario, e il prezzo unitario per il capitale $k$ è 1.
Si abbia poi, come esempio, la funzione di ricavo $An^{\beta }k^{\gamma }z^{1-\beta -\gamma }$, che ha rendimenti di scala costanti. Perciò la funzione di profitto è $An^{\beta }k^{\gamma }z^{1-\beta -\gamma }-Wn-k-z$. Massimizziamo ora il profitto del produttore. Le variabili in gioco sono $n$, cioè quanti lavoratori possono essere occupati, e $k$, cioè il capitale mobile impiegabile. Il problema è dunque$\max _{n,k}An^{a}k^{b}z^{1-a-b}-Wn-k-z$ e le relative condizioni del primo ordine ${\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial n}}An^{a}k^{b}z^{1-a-b}-Wn-k-z=0\Leftrightarrow \beta An^{\beta -1}k^{\gamma }z^{1-\beta -\gamma }=W\\{\frac {\partial }{\partial n}}An^{a}k^{b}z^{1-a-b}-Wn-k-z=0\Leftrightarrow \gamma An^{\beta }k^{\gamma -1}z^{1-\beta -\gamma }=1\end{cases}}$.
Si tratta allora di risolvere il sistema che segue per trovare la domanda di lavoro da parte dei produttori:
${\begin{cases}W=\beta An^{\beta -1}k^{\gamma }z^{1-\beta -\gamma }=\beta An^{\beta -1}z^{1-\beta -\gamma }(\gamma An^{\beta }z^{1-\beta -\gamma })^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}=\beta \gamma ^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}A^{\frac {(1-\gamma )+\gamma }{1-\gamma }}n^{\frac {(\beta -1)(1-\gamma )+\beta \gamma }{1-\gamma }}z^{\frac {(1-\gamma )(1-\beta -\gamma )+\gamma (1-\beta -\gamma )}{1-\gamma }}=\beta \gamma ^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}A^{\frac {1}{1-\gamma }}n^{-{\frac {1-\beta -\gamma }{1-\gamma }}}z^{\frac {1-\beta -\gamma }{1-\gamma }}\\1=\gamma An^{\beta }k^{\gamma -1}z^{1-\beta -\gamma }\Leftrightarrow k=(\gamma An^{\beta }z^{1-\beta -\gamma })^{-{\frac {1}{\gamma -1}}}=(\gamma An^{\beta }z^{1-\beta -\gamma })^{\frac {1}{1-\gamma }}\end{cases}}$ che porta al risultato conclusivo della domanda di lavoro $W=\beta \gamma ^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}A^{\frac {1}{1-\gamma }}\left({\frac {z}{n}}\right)^{\frac {1-\beta -\gamma }{1-\gamma }}$
Questo risultato è utile esprimerlo anche in termini aggregati. Considerando che $z={\frac {Z}{Q}}$ e $n={\frac {N}{Q}}$, con $Q$ il numero totale delle aziende in città, si ha $W=\beta \gamma ^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}A^{\frac {1}{1-\gamma }}\left({\frac {Z}{N}}\right)^{\frac {1-\beta -\gamma }{1-\gamma }}$

### Produzione delle case

Consideriamo ora le scelte ottime di produzione nel settore delle case. Supponiamo, per ipotesi, che le case abbiano una funzione di produzione che sia H=hL{\textstyle H=hL}, cioè la quantità di terrà per la densità costruttiva $h$. Prescindiamo da ogni forma della città (circolare, lineare, ecc.) e consideriamo soltanto che la terra è un bene scarso in quantità finita L$^¯${\textstyle {\bar {L}}}, e ciò comporta in una società di mercato l'insorgenza di un rendita della terra $p_{L}$. Indichiamo poi la variabile prezzo delle case come p$_H${\textstyle p_{H}}. Sia infine la funzione di costo di produzione delle case $c(h)=ch^{\delta },\delta >1$.
Dobbiamo ora massimizzare la funzione di profitto dei costruttori, dunque risolvere il seguente problema :$\max _{H,h,L}p_{H}H-c(h)L-p_{L}L=\max _{h,L}p_{H}(hL)-ch^{\delta }L-p_{L}L\rightarrow {\begin{cases}{\frac {\partial \pi }{\partial h}}=0\Leftrightarrow L(p_{h}-\delta ch^{\delta -1})=0\\{\frac {\partial \pi }{\partial h}}=0\Leftrightarrow p_{H}h-ch^{\delta }-p_{L}=0\end{cases}}$
Risolviamo la prima equazione del sistema: $p_{H}=\delta ch^{\delta -1}\Leftrightarrow {\frac {p_{H}}{c\delta }}=h^{\delta -1}\Leftrightarrow h=\left({\frac {p_{H}}{c\delta }}\right)^{\frac {1}{\delta -1}}$
Risolviamo ora la seconda con il valore di h{\textstyle h} trovato: $p_{L}=p_{h}\left({\frac {p_{H}}{c\delta }}\right)^{\frac {1}{\delta -1}}-c\left({\frac {p_{H}}{c\delta }}\right)^{\frac {\delta }{\delta -1}}=p_{H}^{\frac {\delta -1+1}{\delta -1}}c^{-{\frac {1}{\delta -1}}}\delta ^{-{\frac {1}{\delta -1}}}-p_{H}^{\frac {\delta }{\delta -1}}c^{\frac {\delta -1-\delta }{\delta -1}}\delta ^{-{\frac {\delta }{\delta -1}}}=p_{H}^{\frac {\delta }{\delta -1}}c^{-{\frac {1}{\delta -1}}}\delta ^{-{\frac {1}{\delta -1}}}-p_{H}^{\frac {\delta }{\delta -1}}c^{-{\frac {1}{\delta -1}}}\delta ^{-{\frac {\delta }{\delta -1}}}=p_{H}^{\frac {\delta }{\delta -1}}c^{-{\frac {1}{\delta -1}}}\left(\delta ^{-{\frac {1}{\delta -1}}}-\delta ^{-{\frac {\delta }{\delta -1}}}\right)$. Possiamo semplificare ulteriormente questa espressione considerando che $\delta ^{-{\frac {\delta }{\delta -1}}}\delta =\delta ^{-{\frac {1}{\delta -1}}}$, e scrivere dunque: $\left[p_{H}^{\frac {\delta }{\delta -1}}\delta ^{-{\frac {\delta }{\delta -1}}}\delta -p_{H}^{\frac {\delta }{\delta -1}}\delta ^{-{\frac {\delta }{\delta -1}}}\right]c^{-{\frac {1}{\delta -1}}}=c^{-{\frac {1}{\delta -1}}}\left({\frac {p_{H}}{\delta }}\right)^{\frac {\delta }{\delta -1}}(\delta -1)$ , e tale è il prezzo di equilibrio della terra derivato da p$_H${\textstyle p_{H}}, perciò:$p_{L}=c^{-{\frac {1}{\delta -1}}}\left({\frac {p_{H}}{\delta }}\right)^{\frac {\delta }{\delta -1}}(\delta -1)$
Per trovare il valore d'equilibrio di p$_H${\textstyle p_{H}}, dobbiamo porre in eguaglianza domanda e offerta. In questo modello si ipotizza che l'affitto sia proporzionale al prezzo della casa, dunque $r_{H}=\mu p_{H},\mu \in [0,1]$. La domanda aggregata di abitazioni è $NH$, mentre l'offerta è $h{\bar {L}}$, da cui l'equazione $NH=\left({\frac {p_{H}}{c\delta }}\right)^{\frac {1}{\delta -1}}{\bar {L}}\Leftrightarrow N{\frac {W\alpha }{\mu p_{H}}}=\left({\frac {p_{H}}{c\delta }}\right)^{\frac {1}{\delta -1}}{\bar {L}}$ . Risolviamola ora per $p_{H}$: $N{\frac {W\alpha }{\mu }}=p_{H}\left({\frac {p_{H}}{c\delta }}\right)^{\frac {1}{\delta -1}}{\bar {L}}=p_{H}^{\frac {\delta -1+1}{\delta -1}}(c\delta )^{-{\frac {1}{\delta -1}}}{\bar {L}}=p_{H}^{\frac {\delta }{\delta -1}}(c\delta )^{-{\frac {1}{\delta -1}}}{\bar {L}}\Leftrightarrow p_{H}^{\frac {\delta }{\delta -1}}={\frac {NW\alpha }{{\bar {L}}\mu }}(c\delta )^{\frac {1}{\delta -1}}\Leftrightarrow p_{H}=\left({\frac {NW\alpha }{{\bar {L}}\mu }}\right)^{\frac {\delta -1}{\delta }}(c\delta )^{{\frac {1}{\delta -1}}{\frac {1-\delta }{\delta }}}$ da cui si deriva finalmente il valore del prezzo d'equilibrio delle case: $p_{H}=(c\delta )^{\frac {1}{\delta }}\left({\frac {NW\alpha }{{\bar {L}}\mu }}\right)^{\frac {\delta -1}{\delta }}$
Completiamo l'equazione del prezzo d'equilibrio della terra con il valore di p$_H${\textstyle p_{H}} appena trovato: $p_{L}=c^{-{\frac {1}{\delta -1}}}\left[(c\delta )^{\frac {1}{\delta }}\left({\frac {NW\alpha }{{\bar {L}}\mu }}\right)^{\frac {\delta -1}{\delta }}\delta ^{-1}\right]^{\frac {\delta }{\delta -1}}(\delta -1)=c^{-{\frac {1}{\delta -1}}}(c\delta )^{\frac {1}{\delta -1}}{\frac {NW\alpha }{{\bar {L}}\mu }}\delta ^{-{\frac {\delta }{\delta -1}}}(\delta -1)=c{\frac {NW\alpha }{{\bar {L}}\mu }}\delta ^{\frac {1-\delta +\delta -1}{\delta -1}}-\delta ^{\frac {1-\delta }{\delta -1}}=c{\frac {NW\alpha }{{\bar {L}}\mu }}\delta -\delta ^{-{\frac {\delta -1}{\delta -1}}}$ , da cui segue immediatamente che$p_{L}=c{\frac {NW\alpha }{{\bar {L}}\mu }}\left(\delta -{\frac {1}{\delta }}\right)$

### Equilibrio generale

A questo punto abbiamo tutti i dati per poter determinare l'equilibrio economico generale nella città. Per farlo occorre soddisfare la massimizzazione dell'utilità del consumo, quella della produzione del bene generico e quella delle case, risolvendo il seguente sistema:${\begin{cases}\theta W(1-\alpha )^{1-\alpha }\alpha ^{\alpha }r_{H}^{-\alpha }=u\Leftrightarrow \theta W(1-\alpha )^{1-\alpha }\alpha ^{\alpha }(\mu p_{H})^{-\alpha }=u\\\beta \gamma ^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}A^{\frac {1}{1-\gamma }}\left({\frac {\bar {Z}}{N}}\right)^{\frac {1-\beta -\gamma }{1-\gamma }}=W\\p_{H}=(c\delta )^{\frac {1}{\delta }}\left({\frac {NW\alpha }{{\bar {L}}\mu }}\right)^{\frac {\delta -1}{\delta }}\end{cases}}$