# Indovinello Numero 3

Questo indovinello è strutturato come il precedente, solo che risulta essere molto più complesso.

## Quesito

Abbiamo a disposizione 12 palline, uguali per forma e dimensione. 11 di queste hanno la stessa massa, mentre una è di peso diverso. Abbiamo inoltre una bilancia a braccia uguali perfettamente tarata e funzionante.
L'indovinello sta nel trovare quale è la pallina di peso diverso in sole tre pesate e determinare se è più o meno pesante delle altre.

## Soluzione

Per praticita numereremo le palline da 1 a 12. Il concetto generale di risoluzione è simile a quello dell'Indovinello 2, però il ragionamento è più fine.
Prima pesata
La prima cosa da fare è confrontare 4 palline con altre 4. Poniamo che la nostra pesata sia tra il gruppo di 1, 2, 3 e 4 e il gruppo di 5, 6, 7 e 8. Possono quindi verificarsi due eventi diversi: la bilancia potrebbe pendere da una parte oppure potrebbe rimanere in equilibrio. Analizziamo quindi i vari casi.
Svolgimento a bilancia in equilibrio
Partiamo dal caso più semplice: la pallina di peso diverso sarà nel gruppo di 9, 10, 11 e 12. Prendendo una pallina qualsiasi dalla 1 alla 6 (noi prendiamo la 1) sappiamo certamente che essa pesa quanto le altre (tranne l'unica diversa naturalmente). Facciamo quindi una pesata tra 1 e 9 da una parte e 10 e 11 dall'altra. Se la bilancia si troverà in equilibrio la pallina diversa sarà certamente la 12, e la terza pesata tra questa e qualsiasi altra determinerà se il peso è maggiore o minore delle altre. Se invece la bilancia sarà sbilanciata, dobbiamo tenere in considerazione che non sappiamo se la nostra pallina sia di massa maggiore o minore, quindi opereremo nella seguente maniera. Mettiamo che la bilancia penda verso il piatto dove sono la 10 e la 11. Possiamo quindi ipotizzare sia che la 10 o la 11 sia la pallina diversa e pesi di più oppure che la pallina diversa sia la 9 e pesi di meno. Facendo la terza pesata tra 10 e 11 possiamo quindi osservare un fatto: la bilancia penderà verso la pallina diversa, che sarà inevitabilmente più pesa. Se la bilancia sarà in equilibrio la pallina diversa sarà la 9, e risulterà essere più leggera delle altre. Naturalmente se la seconda pesata farà pendere la bilancia verso la 9 e la 1 il procedimento sarà lo stesso, solo che la 10 o la 11 saranno più leggere oppure la 9 più pesa.
Svolgimento a bilancia non in equilibrio
Questo è il caso più complesso da analizzare. Poniamo innanzitutto che la bilancia penda verso il primo piatto. Di conseguenza o la pallina è contenuta nel gruppo 1, 2, 3 e 4 ed è più pesa oppure è tra 5, 6, 7 e 8 e pesa meno. Facendo una pesata tra 1, 2 e 5 e 3, 4 e 6 possiamo valutare un fatto: 1, 2, 3 e 4 possono essere a questo punto solo a peso pari o maggiore delle altre, mentre 5 e 6 a peso pari o minore. Se la bilancia penderà verso il primo piatto le palline ancora in gioco solo la 1, la 2 e la 6. Se invece la bilancia penderà dall'altra parte le palline interessate rimarrano la 3, la 4 e la 5. In entrambi i casi il procedimento (noi prendiamo in considerazione solo le palline 1, 2 e 6): si mette su un piatto la 1 e sull'altro la 2. Nel caso in cui i bracci della bilancia siano equilibrati la pallina diversa sarà la 6 e risulterà essere più leggera. Se così non fosse, la bilancia sarà penderà verso la pallina diversa nonché la più pesante.