# Statistica sulle tensioni idrofoniche (cenni)

Le tensioni idrofoniche sono energia elettrica che si forma ai capi dei sensori idrofonici (idrofoni) una volta colpiti da vibrazioni acustiche presenti in mare.
Le tensioni in oggetto, indicate come aleatorie, sono alla base dei sistemi sonar passivi nelle fasi di scoperta dei bersagli navali; possono essere generate sia dei semoventi navali sia dal rumore del mare.

## I fenomeni aleatori

In tutti i casi ove si debbano studiare o descrivere dei fenomeni a carattere aleatorio, che diano cioè luogo a variabili od a funzioni aleatorie deve essere impiegata un tipo di analisi a carattere statistico.
Un fenomeno aleatorio è mostrato in figura; una tensione di rumore rilevata con oscilloscopio.
Nei fenomeni di tipo aleatorio non è possibile conoscere esattamente il valore che la variabile o la funzione assumeranno ad osservazioni successive t ma è solo possibile predire il loro valore probabile.
Tale predizione è basata sulla assunzione della regolarità del fenomeno in esame.
Se questo viene osservato un numero grande (infinìto) di volte ed, in base a tali osservazioni, è possibile ottenere la frequenza di ricorrenza dei vari valori possibili assunti dalla variabile o dalla funzione aleatoria.
A maggior frequenza di ricorrenza di un dato valore nelle osservazioni dovrà corrispondere maggior probabilità, assunta la regolarità. del fenomeno, che tale valore si ripeta in una osservazione successiva.
Il concetto di probabilità viene quindi introdotto onde assegnare alla variabile od alla funzione aleatoria una misura quantitativa, con un numero compreso tra $0\ ed\ 1$, della frequenza di ricorrenza di un dato valore in un numero grande di eventi.
Si noti che la conoscenza delle probabilità relative ad un determinato fenomeno aleatorio può derivare sia dalla conoscenza a priori derivante dalle proprietà. del fenomeno, sia da misurazioni empiriche su di un numero grande di esperienze.
Si esaminano di seguito alcune definizioni e proprietà delle variabili aleatorie.

## Le variabili aleatorie

Si consideri di operare una osservazione $\epsilon$ di un fenomeno aleatorio; sia $X$ il risultato ad essa associabile, rappresentabile con un valore numerico.
I valori $X=x(\epsilon )$ costituisco la una variabile aleatoria.
La $X$ può essere una variabile continua, discontinua o mista.

### Variabile aleatoria discontinua

Nel caso di variabile discontinua si definisce la probabilità $\ p_{i}$ che la $X$ assuma il valore $X_{i}$ come la frequenza relativa di tale valore, con il seguente simbolismo:
$p_{i}=P[X=X_{i}]$
dove $0\leq p_{i}\leq 1$

#### Esempio

Un esempio di variabile discontinua si ha nel lancio di un dado che può mostrare casualmente una delle sei facce con i valori $X_{i}$:
$X_{1}=1\ ;\ X_{2}=2\ ;\ X_{3}=3\ ;\ X_{4}=4\ ;\ X_{5}=5\ ;\ X_{6}=6$
La probabilità che una qualsiasi di queste $i$ facce sia mostrata é:
$p_{i}=P[X=X_{i}]=1/6$
Se si considera l'insieme $[X_{1}\ ,\ X_{2}\ ,\ \cdot \cdot \cdot \ ,\ X_{6}]$ di possibili valori, la probabilità che $X$ assuma uno di questi valori è data dalla somma delle probabilità di ogni valore, ovvero:
$P[X=X_{1}]$ oppure $P[X=X_{2}]$ oppure $\cdot \cdot \cdot P[X=X_{6}]\cdot =p_{1}+p_{2}+p_{3}+\cdot \cdot \cdot +p_{6}$
Dato che l'insieme sopra considerato racchiude tutti i possibili valori si ha la certezza che la $X$ assuma uno di questi valori, ovvero:
$\sum _{n=1}^{6}p_{n}=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$

### Variabile aleatoria continua

Nel caso di variabile aleatoria $X$ continua, la probabilità che essa assuma un valore stabilito $x$ è nulla.
Si tratterebbe infatti di stabilire che probabilità può avere una data ampiezza nell'insieme delle infinite ampiezze mostrate ad esempio nella figura della prima sessione.
Si può invece parlare della probabilità che $X$ sia compreso in un intervallo di valori: $x\leq X\leq x+dx.$
Per questo si ricorre alla funzione densità di probabilità $p(x)$ mediante la quale la probabilità suddetta è esprimibile come:
$p(x)\ \ dx=P[x\leq X\leq x+dx]$
Si definisce poi la funzione di distribuzione della probabili­tà, o funzione di probabilità cumulativa, come:
$F(x)=P[X\leq x]=\int _{-\infty }^{x}p(x)\ dx$
ovvero:
$\int _{-\infty }^{+\infty }p(x)\ dx=1$

#### Esempio

Si prenda in esame la funzione $X(t)$, ad esempio il segnale elettrico di forma triangolare come tracciato in figura, ove le pendenze dei tratti rettilinei siano aleatorie:
Si consideri la variabile aleatoria associabile alla misurazione dell'ampiezza della $X(t)$ a vari istanti di tempo.
La probabilità che sia $x\leq X\leq x+\$dx è uguale alla probabilità che l'istante di misurazione cada in uno degli intervalli dt corrispondenti.
Essendo poi ognuno di questi intervalli dt indipendente dal valore di $x$, ne consegue che ogni valore $0\leq X\leq 1$ ha la stessa probabilità.

## Probabilità di scoperta di un bersaglio sonar

La probabilità di scoperta di un bersaglio sonar è naturalmente sottoposta alle caratteristiche di causalità delle tensioni idrofoniche.
Nelle operazioni di ricerca dei bersagli con il sonar, il più delle volte, le tracce dei segnali sullo schermo video si confondono con le tracce dei disturbi dovuti al rumore del mare.
In tali condizioni la scoperta dei bersagli non è una cosa certa ma dipende da variabili di carattere probabilistico; in una percentuale x del tempo d'osservazione le tracce dei bersagli saranno visibili, in altra percentuale y del tempo saranno valutate erroneamente come segnali la tracce provocata dal rumore.
La probabilità di scoperta con il sonar è legata a coppie di variabili probabilistiche $Priv.$ e $Pfa.$. e al tempo d’osservazione che l’operatore pone nella conduzione del processo di rivelazione.
Le variabili entrano in gioco nei ricevitori sonar dotati di processori in correlazione nelle fasi di contatto con un bersaglio quando il rumore ambiente è sensibile.