# Decremento della probabilità di scoperta sonar in funzione della distanza del bersaglio

La determinazione del decremento della probabilità di scoperta sonar in funzione della distanza del bersaglio è quel processo matematico che consente di valutare le incertezze della localizzazione in dipendenza dell'allontanamento del bersaglio da un punto a distanza stabilita.

## Il problema del calcolo della probabilità di scoperta Priv. = f( R)

Il problema del calcolo di $Priv.=f(R)$ inizia con la determinazione di una portata di scoperta di riferimento per sistemi di ricezione sonar in correlazione; questa sarà la base di partenza di tutti gli sviluppi successivi che impiegano le funzioni sotto indicate, ciascuna con il proprio grafico ,necessario per la soluzione del problema stesso:
* $d=f(Priv.)$: parametro probabilistico (curve ROC), con $Pfa.=costante$
* $DT=f(d)$: differenziale di riconoscimento
* $R=f(DT)$ : distanza del bersaglio
dalle quali, infine, ricavare la funzione che risolve il problema posto:
$Priv.=f(R)$: probabilità di rivelazione

## Determinazione della portata di scoperta di riferimento

Per risolvere il problema posto i computi iniziano con la determinazione della portata di scoperta di riferimento, $Rf$:
Nel caso di sonar passivo secondo le equazioni:
${\begin{cases}TL=60+20\cdot \log _{10}{R}+\alpha \cdot R\\TL=SL+DI-NL-DT+10\cdot \log _{10}{BW}\end{cases}}$
La soluzione grafica del sistema trascendente si ottiene assumendo, ad esempio, le variabili:
* $SL=140\ dB/\mu Pa/Hz$
* $NL=58\ dB/\mu Pa/Hz$
* $\alpha =0.1\ dB/km$
* $DI=10\ dB$
* $DT=27.2\ dB$
* $BW=2000\ Hz$
* $RC=0.1\ s$
* $d=28\ (Priv.=99\%;Pfa.=0.1\%)$
La soluzione in base alle variabili assunte è mostrata in figura 1:
in cui:
* la retta rossa rappresenta la prima equazione del sistema
* la curva blu rappresenta la seconda equazione del sistema
* l'ascissa del loro punto d'intersezione indica la portata calcolata:
$Rf=46\ km$
Da questa distanza di riferimento si considera l'allontanamento del bersaglio e la conseguente riduzione della probabilità di scoperta $Priv.=f(R)$ con la probabilità di falso allarme costante $Pfa=0.1\%$.

## Calcolo della funzione d = f(Priv.)

La funzione $d=f(Priv.)$, per $Pfa=0.1$% costante, dipendente dalle curve ROC, è calcolata per valori discreti impiegando un particolare sistema di computazione.
L'andamento del $d=f(Priv.)$ riportato in figura 2

## Calcolo della funzione DT = f(d)

La funzione $DT=f(d)$, per $Pfa=0.1$% costante, dipendente dalla curva $d=f(Priv.)$, è tracciata secondo l'equazione :
$DT=5\cdot log_{10}{[(BW\cdot d)/(2\cdot RC)]}$
nella quale le variabili sono le stesse impiegate per il calcolo di $Rf$; la funzione è mostrata in figura 3:

## Calcolo della funzione R = f(DT)

La funzione trascendente $R=f(DT)$ per $Pfa=0.1$% costante.:
$60+20\cdot \log _{10}{R}+\alpha \cdot R=SL+DI-NL-DT+10\cdot \log _{10}{BW}$
dipende dalla curva $DT=f(d)$ precedentemente tracciata.
In figura 4 l'andamento di $R$ in funzione di $DT$ dove le variabili sono le stesse impiegate per il calcolo di $Rf$

## Calcolo della funzione Priv. = f(R)

Con il calcolo della funzione $Priv.=f(R)$, per $Pfa=0.1$% costante, si ottiene la soluzione del problema posto.
I punti di $Priv.=f(R)$ seguono le corrispondenze dei punti delle tre curve precedenti secondo la successione numerica d'esempio nelle uguaglianze:
* da $d=f(Priv.)$ si ha la coppia:
$Priv.=10\%$; $d=2.9$
* da $DT=f(d)$ si ha la coppia:
$d=2.9$; $DT=\ 22.3\ dB$
* da $R=f(DT)$ si ha la coppia:
$DT.=22.3\ dB$; $R=65\ km$
* di conseguenza varrà la coppia $Priv.=f(R)$ :
$Priv.=10\%$; $R=65\ km$
Con questa procedura per tutti i punti di $Priv$ si determinano le coppie che generano la curva di figura 5:
La curva mostra il degrado della probabilità di scoperta, per $Pfa=0.1$% costante, $Priv.$ con l'aumentare della distanza $R$; da $Rf=46\ km$ di riferimento, con $Priv=99\%$ a $R=70\ km$ con $Priv=4\%.$.