# Numeri complessi

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## Insieme dei numeri complessi

L'insieme dei numeri complessi, denotato con $\mathbb {C}$, è un anello così composto:
$\mathbb {C} :=(\mathbb {R} ^{2},+,\cdot )$
cioè un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto definite nel modo seguente : $\forall (x,y),(x',y')\in \mathbb {C}$,
${\begin{array}{l}(x,y)+(x',y'):=(x+x',y+y')\\(x,y)\cdot (x',y'):=(xx'-yy',xy'+yx')\end{array}}$
In definitiva, $(\mathbb {C} ,+,\cdot )$ è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma invitiamo a farla come esercizio.

## $\mathbb {R}$ come sottocampo di $\mathbb {C}$

Poniamo $\mathbb {R} ^{*}:=\{(x,0),\ x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {C}$. È immediato verificare che $\mathbb {R} ^{*}$ è un sottocampo di $\mathbb {C}$, ma la cosa interessante è che $\mathbb {R} ^{*}$ è isomorfo a $\mathbb {R}$, dunque in particolare esiste una funzione $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{*}$ tale che $f(x)=(x,0)$. Quindi $\mathbb {C}$ è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo $\mathbb {R} ^{*}$ con $\mathbb {R}$ e dunque,
$(x,0)=x,\ \forall x\in \mathbb {R}$

## Unità immaginaria

Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso
$i:=(0,1)$
Con la definizione che abbiamo dato di $i$, possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè
$(x,y)=x+iy$
Infatti:
    $(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy$
L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi: $i$ è una radice dell'equazione
$x^{2}+1=0$
Infatti:
    $i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1$.
Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di $\mathbb {C}$. Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.

#### Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in $\mathbb {C}$)

$\mathbb {C}$ non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine $\leq$ tale che
$a\leq b\Rightarrow a+c\leq b+c,\ \ \forall c\in \mathbb {C}$
$a\leq b\Rightarrow ac\leq bc,\ \ \forall c\in \mathbb {C} ,c\geq 0$

##### Dimostrazione

Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe
    $aa=a^{2}\geq 0,\ \forall c=a\geq 0\in \mathbb {C}$.
dunque non esiste in $\mathbb {C}$ una radice negativa e questo è falso, perché $i^{2}=-1<0$.
$\Box$

## Parte reale e coefficiente dell'Immaginario

Consideriamo un numero complesso $z=x+iy$. Si definisce
* parte reale il numero reale $x:=\Re (z)$;
* coefficiente dell'immaginario il numero reale $y:=\Im (z)$;
* $x-iy:={\overline {x+iy}}$ coniugato di $x+iy$.

#### Proposizione (algebra dei coniugati)

* ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$
* ${\overline {ab}}={\overline {a}}{\overline {b}}$
* $a+{\overline {a}}=2\Re (a)$
* $a-{\overline {a}}=2i\Im (a)$
* $a{\overline {a}}=\left(\Re (a)\right)^{2}+\left(\Im (a)\right)^{2}$
* ${\overline {\overline {a}}}=a$

##### Dimostrazione

Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio. $a+{\overline {a}}=(x+iy)+(x-iy)=2x=2\Re (a)$

## Valore assoluto di un numero complesso

Definiamo il valore assoluto di $a\in \mathbb {C}$
$|a|={\sqrt {a{\overline {a}}}}={\sqrt {(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}}}=|{\overline {a}}|\in \mathbb {R}$
Tenete presente che $a{\overline {a}}=(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}\in \mathbb {R}$ e $(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}\geq 0$. Questo ne garantisce l'esistenza.

#### Proposizione (proprietà del valore assoluto)

(i) $|a|\geq 0$ (ii) $|ab|=|a||b|$ (iii) $|\Re a|,|\Im a|\leq |a|$ (iv) $|a+b|\leq |a|+|b|$ (v) $||a|-|b||\leq |a-b|$ (vi) $|a|=0\Rightarrow a=0$

##### Dimostrazione

Nota: dimostrarlo brevemente