# La Risoluzione di un Triangolo Qualunque (superiori)

Le funzioni trigonometriche possono essere calcolate anche su angoli maggiori di $90{\text{°}}$. Poiché, al momento, siamo interessati alle applicazioni sui triangoli, ci basterà estendere le nostre considerazioni agli angoli compresi fra $90{\text{°}}$ e $180{\text{°}}$, essendo $180{\text{°}}$ la misura limite superiore di un angolo interno di un triangolo.
ESEMPIO 1. Analizziamo la tabella con i valori approssimati alla quarta cifra decimale delle funzioni seno e coseno per alcuni angoli da $0{\text{°}}$ a $180{\text{°}}$.
${\begin{array}{cccccccccccc}\hline \alpha &0{\text{°}}&30{\text{°}}&45{\text{°}}&60{\text{°}}&90{\text{°}}&120{\text{°}}&135{\text{°}}&150{\text{°}}&180{\text{°}}\\\hline \sin(\alpha )&0&{0,5}&{0,7\,071}&{0,8\,660}&1&{0,8\,660}&{0,7\,071}&{0,5}&0\\\cos(\alpha )&1&{0,8\,660}&{0,7\,071}&{0,5}&0&{-0,5}&{-0,7\,071}&{-0,8\,660}&-1\\\hline \end{array}}$
Dalla tabella si nota che la funzione seno si mantiene positiva nell’intervallo ($0{\text{°}}$, $180{\text{°}}$), nei cui estremi si annulla. Inoltre essa assume il valore massimo, uguale a 1, quando l’angolo è di $90{\text{°}}$. La funzione coseno, invece, è negativa per angoli compresi tra $90{\text{°}}$ e $180{\text{°}}$. Più precisamente essa decresce da $1$ a $0$ man mano che l’angolo su cui è calcolata cresce da $0{\text{°}}$ a $90{\text{°}}$, si annulla quando l’angolo è esattamente $90{\text{°}}$, dopodiché continua a decrescere, da $0$ a $-1$ man mano che l’angolo passa da $90{\text{°}}$ a $180{\text{°}}$. Osserviamo anche che angoli supplementari (la cui somma è l’angolo piatto, cioè $180{\text{°}}$) hanno lo stesso seno ma coseno opposto. Queste considerazioni saranno chiarite con lo studio delle funzioni circolari.
Affrontiamo ora il problema della risoluzione di un triangolo qualsiasi. Come sappiamo, gli elementi caratteristici di un triangolo sono le misure dei suoi lati e dei suoi angoli. Sappiamo anche che per determinare univocamente un triangolo sono, in linea di massima, necessari solo tre di questi elementi purché uno almeno di questi sia un lato. Ciò deriva dai tre criteri di congruenza dei triangoli che andiamo a ricordare.
Primo criterio di congruenza  Due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso sono congruenti.
Secondo criterio di congruenza  Due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti un lato e due angoli ugualmente posti rispetto al lato sono congruenti.
Terzo criterio di congruenza  Due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti i tre lati sono congruenti.
OSSERVAZIONE. Ricordiamo che due triangoli che abbiano ordinatamente uguali tutti gli angoli non sono, in generale, congruenti, bensì sono simili.
Quello che ci chiediamo è se la trigonometria, finora usata solo per i triangoli rettangoli, ci possa venire in aiuto per la determinazione delle misure degli elementi incogniti di un triangolo qualunque, quando conosciamo i tre elementi che lo determinano univocamente. Ad esempio, se è assegnata la lunghezza di due lati e l’ampiezza dell’angolo compreso, la geometria euclidea ci aiuta a costruire il suddetto triangolo tramite riga e compasso ma non ci dice nulla delle misure degli elementi incogniti.
Disegniamo un triangolo avendo cura di indicare con la stessa lettera vertice e lato opposto e di nominare con $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ le ampiezze degli angoli di vertice rispettivamente $A$, $B$ e $C$.

## Caso I: due lati e l’angolo compreso congruenti

Come abbiamo premesso, assegnati due lati e l’angolo tra essi compreso, la geometria euclidea ci assicura l’esistenza di un solo triangolo che soddisfi i dati, ma non ci permette di determinare la misura del terzo lato, né le ampiezze degli altri angoli. Abbiamo bisogno di altri strumenti come il teorema di Carnot.
TEOREMA 1. (del coseno o di Carnot). In un triangolo qualsiasi di cui siano note le lunghezze di due lati e l’ampiezza dell’angolo compreso, il quadrato della lunghezza del lato incognito è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze note diminuita del loro doppio prodotto per il coseno dell’angolo compreso.
A seconda di quali siano i due lati noti, traducendo in linguaggio matematico quanto afferma l’enunciato si ha:
${\begin{aligned}&c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma );\\&a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha );\\&b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos(\beta ).\end{aligned}}$
PROBLEMA 1. Risolvete il triangolo $ABC$ dati $a=20{\text{cm}}$, $b=10{\text{cm}}$ e $\gamma =36{\text{°}}$.
Dati: $a=20{\text{cm}}$,$\quad b=10{\text{cm}}$,$\quad \gamma =36{\text{°}}$.
Obiettivo: $c$,$\quad \alpha$,$\quad \beta$.
Procedura risolutiva: per il teorema di Carnot possiamo scrivere
${\begin{aligned}&c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma )\\\Rightarrow \quad &c^{2}=20^{2}+10^{2}-2\cdot 20\cdot 10\cdot \cos(36{\text{°}})\simeq 400+100-400\cdot {0,809}\simeq {176,4}\\\Rightarrow \quad &c\simeq {\sqrt {176,4}}\simeq [cm]{13,281}.\end{aligned}}$
Ora dobbiamo determinare gli altri due angoli; utilizzando ancora il teorema di Carnot ricaviamo $\alpha$
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha )\quad \Rightarrow \quad \cos(\alpha )={\tfrac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$
conoscendo $a$, $b$ e $c$ rimane come incognita $\cos(\alpha )$. Sostituiamo i valori noti:
$\cos(\alpha )\simeq {\tfrac {10^{2}+{176,4}-20^{2}}{2\cdot 10\cdot {13,281}}}\simeq {\tfrac {{276,4}-400}{265,62}}\simeq {-0,4\,653}$
da cui
$\alpha \simeq \cos ^{-1}({-0,4\,653})\simeq 117{\text{°}}\quad \Rightarrow \quad \beta =180{\text{°}}-\alpha -\gamma \simeq 180{\text{°}}-117{\text{°}}-36{\text{°}}\simeq 27{\text{°}}$
Il triangolo è ottusangolo, i suoi lati misurano rispettivamente $a=20{\text{cm}}$, $b=10{\text{cm}}$ e $c\simeq {13,2\,815}{\text{cm}}$; i suoi angoli hanno ampiezza $\alpha \simeq 117{\text{°}}$, $\beta \simeq 27{\text{°}}$ e $\gamma =36{\text{°}}$.

## Caso II: tre lati congruenti

Sappiamo dalla geometria euclidea che assegnati tre segmenti affinché si possa costruire il triangolo che li ha come lati deve essere verificato il teorema della disuguaglianza triangolare: “in qualsiasi triangolo, ogni lato deve essere minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza”.
PROBLEMA 2. Determinate le ampiezze degli angoli di un triangolo note le misure dei suoi lati $a=5{\text{m}}$, $b=12{\text{m}}$, $c=13{\text{m}}$.
Dati: $a=5{\text{m}}$,$\quad b=12{\text{m}}$,$\quad c=13{\text{m}}$.
Obiettivo: $\alpha$,$\quad \beta$,$\quad \gamma$.
Procedura risolutiva: utilizziamo almeno due volte il teorema del coseno per determinare due angoli. Per trovare $\cos(\gamma )$ utilizziamo
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma )\quad \Rightarrow \quad \cos(\gamma )={\tfrac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$}}
sostituendo i dati si ottiene
$\cos(\gamma )={\tfrac {5^{2}+12^{2}-13^{2}}{2\cdot 5\cdot 12}}={\tfrac {25+144-169}{120}}=0\quad \Rightarrow \quad \gamma =\cos ^{-1}(0)=90{\text{°}}.$
Per trovare $\cos(\alpha )$ utilizziamo ancora il teorema di Carnot nella formula
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha )\quad \Rightarrow \quad \cos(\alpha )={\tfrac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$
sostituendo i valori noti si ottiene
$\cos(\alpha )={\tfrac {12^{2}+13^{3}-5^{2}}{1\cdot 13\cdot 13}}={\tfrac {169+144-25}{312}}\simeq {0,9\,230}\quad \Rightarrow \quad \alpha \simeq \cos ^{-1}({0,9\,230})\simeq 22{\text{°}}.$
Quindi $\alpha \simeq 22{\text{°}}$, $\gamma =90{\text{°}}$ e $\beta =180{\text{°}}-\alpha -\gamma \simeq 180{\text{°}}-90{\text{°}}-22{\text{°}}\simeq 68{\text{°}}$.

## Caso III: un lato e gli angoli congruenti

Occorre un altro teorema per il problema della risoluzione di un triangolo qualunque.
TEOREMA 2. (dei seni o di Eulero). In qualsiasi triangolo risulta costante il rapporto fra la lunghezza di un lato e il seno dell’angolo che gli è opposto. In formule:
${\tfrac {a}{\sin(\alpha )}}={\tfrac {b}{\sin(\beta )}}={\tfrac {c}{\sin(\gamma )}}.$
PROBLEMA 3. Risolvete il triangolo $ABC$ sapendo che $a={7,52}{\text{m}}$, $\beta =98{\text{°}}$ e $\gamma =27{\text{°}}$.
Dati: $a={7,52}{\text{m}}$,$\quad \beta =98{\text{°}}$,$\quad \gamma =27{\text{°}}$.
Obiettivo: $b$,$\quad c$,$\quad \alpha$.
Procedura risolutiva: Possiamo immediatamente determinare il terzo angolo:
$\alpha =180{\text{°}}-\beta -\gamma =180{\text{°}}-98{\text{°}}-27{\text{°}}=55{\text{°}}.$
Per determinare i lati $b$ e $c$ applichiamo il teorema di Eulero.
Per la prima uguaglianza del teorema otteniamo:
${\tfrac {7,52}{\sin(55{\text{°}})}}={\tfrac {b}{\sin(98{\text{°}})}}\quad \Rightarrow \quad b={\tfrac {7,52}{\sin(55{\text{°}})}}\cdot \sin(98{\text{°}})\simeq {\tfrac {7,52}{0,8\,192}}\cdot {0,9\,902}\simeq {9,0\,897}{\text{m}}.$
Considerando l’uguaglianza tra il primo e l’ultimo rapporto del teorema otteniamo:
${\tfrac {7,52}{\sin(55{\text{°}})}}={\tfrac {c}{\sin(27{\text{°}})}}\quad \Rightarrow \quad c={\tfrac {7,52}{\sin(55{\text{°}})}}\cdot \sin(27{\text{°}})\simeq {4,1\,674}{\text{m}}.$

## Riflessioni sull’uso del teorema dei seni

PROBLEMA 4. Risolvete il triangolo $ABC$ sapendo che $a=20{\text{cm}}$, $c=13{\text{cm}}$ e $\gamma =36{\text{°}}$.
Dati: $a=20{\text{cm}}$,$c=13{\text{cm}}$,$\gamma =36{\text{°}}$.
Obiettivo: $b$,$\alpha$,$\beta$.
Gli elementi noti non rispecchiano nessuna delle le condizioni sufficienti espresse dai criteri di congruenza, ma possiamo usare il teorema dei seni che ci assicura che in qualunque triangolo si ha
${\tfrac {a}{\sin(\alpha )}}={\tfrac {b}{\sin(\beta )}}={\tfrac {c}{\sin(\gamma )}}$
e quindi
${\tfrac {20}{\sin(\alpha )}}={\tfrac {13}{\sin(36{\text{°}})}}\quad \Rightarrow \quad \sin(\alpha )={\tfrac {20\cdot \sin(36{\text{°}})}{13}}\simeq {0,9\,043}$
e dunque con la funzione inversa $\sin ^{-1}({0,9\,043})$ possiamo ricavare l’angolo $\alpha \simeq 64{\text{°}}$. Di conseguenza $\beta \simeq 80{\text{°}}$.
Sembrerebbe tutto corretto, ma abbiamo trascurato il fatto che angoli supplementari hanno lo stesso seno dunque da $\sin ^{-1}({0,9\,043})$ si può ottenere $\alpha \simeq 64{\text{°}}$ oppure $\alpha \simeq 116{\text{°}}$ quindi il triangolo non è univocamente determinato. Proseguendo nel ragionamento avremmo:
Caso I  $\alpha \simeq 64{\text{°}}$, quindi il triangolo è acutangolo e $\beta \simeq 80{\text{°}}$; possiamo determinare $b$ applicando nuovamente il teorema dei seni
${\tfrac {13}{\sin(36{\text{°}})}}={\tfrac {b}{\sin(80{\text{°}})}}\quad \Rightarrow \quad b\simeq {\tfrac {13\cdot {0,9\,848}}{0,5\,877}}\simeq 21{\text{cm}}.$
Caso II  $\alpha \simeq 116{\text{°}}$, quindi il triangolo è ottusangolo e $\beta \simeq 28{\text{°}}$; possiamo determinare $b$ con il teorema dei seni
${\tfrac {13}{\sin(36{\text{°}})}}={\tfrac {b}{\sin(28{\text{°}})}}\quad \Rightarrow \quad b\simeq {\tfrac {13\cdot {0,4\,694}}{0,5\,877}}\simeq 10{\text{cm}}.$
Il problema ha pertanto due soluzioni.
PROBLEMA 5. Risolvete il triangolo $ABC$ sapendo che $a=26{\text{m}}$, $b=12{\text{m}}$, $\alpha =124{\text{°}}$.
Dati: $a=26{\text{m}}$,$\quad b=12{\text{m}}$,$\quad \alpha =124{\text{°}}$.
Obiettivo: $c$,$\quad \beta$,$\quad \gamma$.
Applichiamo il teorema dei seni:
${\tfrac {13}{\sin(124{\text{°}})}}={\tfrac {12}{\sin(\beta )}}\quad \Rightarrow \quad \sin(\beta )={\tfrac {12\cdot \sin(124{\text{°}})}{26}}\simeq \ldots \ldots \ldots .$
In questo caso non ci sono dubbi: un triangolo non può avere due angoli ottusi. Potete completare voi la soluzione e otterrete $\beta \simeq \ldots \ldots$ quindi $\gamma \simeq \ldots \ldots$ e infine $c\simeq \ldots \ldots$
PROBLEMA 6. Risolvete il triangolo $ABC$ sapendo che $a=9{\text{m}}$, $b=2{\sqrt {3}}{\text{m}}$, $\beta =30{\text{°}}$.
Come nel caso precedente abbiamo la misura di due lati e l’angolo opposto ad uno di essi; dunque per il teorema dei seni si ha
${\tfrac {a}{\sin(\alpha )}}={\tfrac {b}{\sin(\beta )}}\quad \Rightarrow \quad {\tfrac {9}{\sin(\alpha )}}={\tfrac {2{\sqrt {3}}}{\sin(30{\text{°}})}}\quad \Rightarrow \quad \sin(\alpha )={\tfrac {9}{2{\sqrt {3}}}}sin(30{\text{°}})\simeq {1,29}$
Impossibile! Il seno di un angolo ha come valore massimo 1. Il problema non ha alcuna soluzione.
* ↑ dal nome del fisico, ingegnere e matematico francese (1796 - 1832), anche se il teorema è dovuto al matematico e politico francese François Viète (1540 - 1603).