# Numeri interi

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Conosciamo già l'insieme dei numeri naturali, che in questa sede comprende pure lo 0:
$\mathbb {N} =\{0,1,2,...,n,...\}$
Conosciamo pure le operazioni tra numeri naturali e le loro proprietà. In particolare sappiamo che l'operazione di sottrazione non è sempre eseguibile: la possiamo infatti eseguire se e solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. È questo il motivo che ha portato alla formazione dell'insieme dei numeri interi che indichiamo con $\mathbb {Z}$.

## Costruzione e definizione formale

Nell'insegnamento della scuola elementare, gli interi sono spesso definiti intuitivamente come i numeri naturali (positivi), zero e le negazioni dei numeri naturali. Tuttavia, questo stile di definizione porta a molti casi diversi (ogni operazione aritmetica deve essere definita su ogni combinazione di tipi di interi) e rende noioso dimostrare che gli interi obbediscono alle varie leggi dell'aritmetica. Pertanto, nella moderna matematica insiemistica, viene spesso utilizzata una costruzione più astratta che consente di definire operazioni aritmetiche senza distinzione di caso. Gli interi possono quindi essere formalmente costruiti come classi di equivalenza di coppie ordinate di numeri naturali $(a,b)$.
L'intuizione è che $(a,b)$ sta per il risultato della sottrazione di $b$ da $a$. Per confermare la nostra aspettativa che 1 − 2 e 4 − 5 denotino lo stesso numero, definiamo una relazione di equivalenza $\sim$ su queste coppie con la seguente regola:
    $(a,b)\sim (c,d)$
esattamente quando
    $a+d=b+c.$
L'addizione e la moltiplicazione di interi possono essere definite in termini di operazioni equivalenti sui numeri naturali; usando $[(a,b)]$ per denotare la classe di equivalenza avente $(a,b)$ come membro, si ha:
    $[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].$
    $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].$
La negazione (o inversa additiva) di un intero si ottiene invertendo l'ordine della coppia:
    $-[(a,b)]:=[(b,a)].$
Quindi la sottrazione può essere definita come l'addizione dell'additivo inverso:
    $[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].$
L'ordinamento standard sugli interi è dato da:
    $[(a,b)]<[(c,d)]$ se e solo se $a+d<b+c.$
È facilmente verificabile che tali definizioni sono indipendenti dalla scelta dei rappresentanti delle classi di equivalenza.
Ogni classe di equivalenza ha un membro univoco che è della forma $(n,0)$ o $(0,n)$ (o entrambi contemporaneamente). Il numero naturale $n$ è identificato con la classe $[(n,0)]$ (cioè, i numeri naturali sono incorporati negli interi dalla mappa inviando $n$ a $[(n,0)]$), e la classe $[(0,n)]$ è denotata $-n$ (questo copre tutte le classi rimanenti e fornisce la classe $[(0,0)]$ una seconda volta poiché $-0=0.$
Pertanto, $[(a,b)]$ è indicata con
    ${\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b.\end{cases}}$
Se i numeri naturali sono identificati con gli interi corrispondenti (usando l'incorporamento sopra menzionato), questa convenzione non crea ambiguità.
Questa notazione recupera la rappresentazione familiare degli interi come ${...,-2,-1,0,1,2,...}$. Alcuni esempi sono:
    ${\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}$
Si badi sul significato dei simboli + e -. Se $n$ è un numero naturale ($n\in \mathbb {N}$), allora $+n$ indica un intero positivo, mentre $-n$ è un intero negativo; ma se $k$ è una variabile che indica un intero relativo ($k\in \mathbb {Z}$), allora $k$ può essere o positivo o negativo, e con $-k$ si indica l'opposto di $k$. Pertanto, se $k$ è negativo allora $-k$ è positivo e viceversa.