# Basi di spazi vettoriali
## Base di uno spazio vettoriale

Dato uno spazio vettoriale $V\,$, si dice che l'insieme di vettori ${\mathcal {B}}=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}$ è una base di $V\,$ se e solo se
* $v_{1},\dots ,v_{n}\,$ sono linearmente indipendenti
* $v_{1},\dots ,v_{n}\,$ generano il sottospazio $V\,$, cioè $V={\mathcal {L}}(v_{1},\dots ,v_{n})$.
Il concetto di base unisce i concetti precedentemente introdotti di indipendenza lineare e di generatori di uno spazio vettoriale.
La nozione di base di uno spazio vettoriale (o analogamente di un sottospazio) è fondamentale nelle caratterizzazioni successive di spazi vettoriali, in primis perché permette la definizione di uno degli invarianti più importanti in algebra lineare e cioè la dimensione.
Dalla definizione segue la seguente osservazione:
Siano $v_{1},\dots ,v_{n}$ vettori linearmente indipendenti di $V$. Supponiamo che
    $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},\mu _{1},\dots ,\mu _{n}\in \mathbb {R}$ tali che
    $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}v_{i}$.
Allora si ha che $\lambda _{i}=\mu _{i}$ con $1\leq i\leq n$.

#### Dimostrazione

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}v_{i}$ si può riscrivere come $\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\mu _{i})v_{i}=0$. Essendo per ipotesi i $v_{i}$ linearmente indipendenti, i coefficienti $(\lambda _{i}-\mu _{i})$ devono essere per forza tutti nulli, quindi $\lambda _{i}=\mu _{i}$.
$\Box$
Si può dimostrare poi che ogni spazio vettoriale possiede una base, applicando il lemma di Zorn all'insieme di tutti gli insiemi di vettori indipendenti dello spazio con l'inclusione come ordine parziale.

## Esistenza delle basi

Definizione: Sia $A\subseteq V$ un sottoinsieme di uno spazio vettoriale $V$. Si dice che ${\mathcal {B}}\subseteq V$ è un sottoinsieme massimale in $A$ di vettori linearmente indipendenti se e solo se
* tutti gli elementi di ${\mathcal {B}}$ sono vettori linearmente indipendenti;
* aggiungendo a ${\mathcal {B}}$ un qualunque altro vettore di $A$ si ottiene un insieme di vettori linearmente dipendenti.

#### Proposizione

${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$
$V$
${\mathcal {B}}$
$V$

##### Dimostrazione

Per ipotesi i vettori $v_{1},\dots ,v_{n}$ sono linearmente indipendenti. Dimostriamo allora che aggiunto qualsiasi altro vettore $v\in V\neq 0$ a ${\mathcal {B}}$ otteniamo un insieme di vettori linearmente dipendenti. Ma sappiamo che ogni vettore di $V$ è generato dai $v_{1},\dots ,v_{n}$, essendo $V={\mathcal {L}}(v_{1},\dots ,v_{n})$, quindi
    $v=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{1}$ ma
    $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{1}-v=0$
ed è una relazione di dipendenza lineare, visto il vettore nullo è dato da una combinazione lineare di vettori con coefficienti non tutti nulli (il coefficiente di $v$ è -1).
$\Box$

#### Lemma

Vediamo ora un lemma che ci serve per dimostrare un significativo teorema.
Sia ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{r}\}$ un sottoinsieme di uno spazio vettoriale $V$ e supponiamo che ${\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$ contenga un sistema di generatori di $V$. Allora
    $V={\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$
cioè anche ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{r}\}$ genera $V$.

##### Dimostrazione

Sia ${\mathcal {A}}$ un sistema di generatori di $V$ contenuto in ${\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$. Possiamo dunque scrivere $v\in V$ come combinazione lineare dei vettori di ${\mathcal {A}}$ e siccome ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$, possiamo scrivere gli elementi di ${\mathcal {A}}$ come combinazione di elementi di ${\mathcal {B}}$ e di conseguenza, possiamo scrivere ogni elemento di $V$ come combinazione di elementi di ${\mathcal {B}}$. Dunque $V={\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$.
$\Box$

#### Teorema

Sia ${\mathcal {A}}=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ un sistema di generatori di uno spazio $V$. Sia ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}$ un sottoinsieme massimale in ${\mathcal {A}}$ di vettori linearmente indipendenti.
Allora ${\mathcal {B}}$ è una base di $V$.

##### Dimostrazione

Esplicitiamo ${\mathcal {B}}$ come ${\mathcal {B}}=\{v_{1},\dots ,v_{k}\},k\leq n$.
Per ipotesi, i vettori di ${\mathcal {B}}$ sono linearmente indipendenti, dunque per dimostrare che ${\mathcal {B}}$ è una base di $V$ dobbiamo solo mostrare che essi generano $V$ e possiamo farlo grazie al Lemma precedente.
Preso $u\in {\mathcal {A}}\setminus \{{\mathcal {B}}\}$, per l'ipotesi di massimalità assunta, $v_{1},\dots ,v_{k},u$ formano un insieme di vettori linearmente dipendenti. Dunque
    $\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}v_{i}+\mu u=0$
$\mu$ dev'essere per forza non nullo, altrimenti avremmo scritto una relazione di dipendenza lineare di vettori che sappiamo essere linearmente indipendenti per ipotesi. Allora
    $u=\sum _{i=1}^{k}-{\frac {\lambda _{i}}{\mu }}v_{i}$
Dunque $u\in {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$ ed essendo $u$ generico elemento di ${\mathcal {A}}$ non appartenente a ${\mathcal {B}}$, abbiamo per il lemma precedente che ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$ e dunque ${\mathcal {B}}$ genera $V$ ed essendone anche gli elementi linearmente indipendenti, è una base di $V$.

###### Corollario

Ogni spazio vettoriale contenente un sistema finito di generatori ammette una base.

## Metodi per trovare una base

Studiamo ora dei metodi operativi per trovare una base di uno spazio vettoriale.

### Metodo degli scarti

È un metodo abbastanza semplice per trovare una base da un insieme di generatori $v_{1},\dots ,v_{n}$ eliminando o tenendo elementi ed essendo algoritmico, si presta bene anche per essere implementato in un calcolatore. Esso consiste nei seguenti passaggi:
* se $v_{1}$ è il vettore nullo lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
* se $v_{2}$ è proporzionale a $v_{1}$ lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
* se $v_{i},3\leq i\leq n$ è combinazione lineare dei precedenti vettori tenuti lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
* così fino alla fine.
L'insieme di vettori che ci resta è un insieme di vettori linearmente indipendenti, quindi è una base di $V$.

### Teorema del Completamento o Teorema di Steinitz

Sia V(K) uno spazio vettoriale e sia ${\mathcal {B}}=\{e_{1},...,e_{n}\}$ una sua base finita. Se ${\mathcal {A}}=\{v_{1},...,v_{p}\}$ è un insieme di ${\mathcal {p}}$ (con ${\mathcal {p}}<{\mathcal {n}}$) vettori linearmente indipendenti, allora è possibile formare una nuova base aggiungendo ai vettori di A n-p vettori di B opportunamente scelti.

##### Dimostrazione
## Dimensione di uno spazio vettoriale

$V\,$
$V\,$
$V\,$
Mostriamo ora che la dimensione è effettivamente un invariante per gli spazi vettoriali e non dipende quindi dalla scelta della base. Vale infatti il seguente

### Teorema

${\mathcal {B}}_{1},{\mathcal {B}}_{2}\,$
$V\,$
$\vert {\mathcal {B}}_{1}\vert =\vert {\mathcal {B}}_{2}\vert$

#### Dimostrazione

Sia ${\mathcal {B}}_{1}=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}\,$ e ${\mathcal {B}}_{2}=\{w_{1},w_{2},\dots ,w_{m}\}\,$. Vogliamo mostrare che $n=m\,$; supponiamo dunque per assurdo che sia $n<m\,$. Per definizione di base sappiamo che ${\mathcal {L}}({\mathcal {B}}_{1})=V\,$, in particolare ogni vettore di ${\mathcal {B}}_{2}$ può essere scritto come combinazione lineari dei vettori di ${\mathcal {B}}_{1}$. Siano dunque
$w_{1}=\alpha _{1,1}v_{1}+\dots +\alpha _{1,n}v_{n}$
$w_{2}=\alpha _{2,1}v_{1}+\dots +\alpha _{2,n}v_{n}$
$\quad$
$\quad$
$w_{m}=\alpha _{m,1}v_{1}+\dots +\alpha _{m,n}v_{n}$
Mostriamo ora che se ciò accade i vettori $w_{1},\dots ,w_{n}\,$ non possono essere linearmente indipendenti.
Infatti, detta $A=(\alpha _{ij})\,$ la matrice $m\times n\,$ formata dai coefficienti $\alpha _{i,j}\,$, si ha che il sistema
${\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{pmatrix}}A{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=0$
è un sistema sovradimensionato (ci sono cioè più incognite, $m\,$, che equazioni, $n\,$) ed ammette quindi soluzioni non banali.
Esistono cioè $y_{1},\dots ,y_{m}\in \mathbb {K} \,$ non tutti nulli tali che $\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}=0$ il che è assurdo perché per ipotesi ${\mathcal {B}}_{2}\,$ è una base e quindi un insieme di vettori linearmente indipendenti. $\Box$
Dal teorema precedente segue immediatamente che la dimensione di uno spazio vettoriale non dipende dalla particolare scelta della base.

### Esempi

* Lo spazio vettoriale $\mathbb {R} ^{3}$ ha dimensione 3, infatti i vettori ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ formano una base per l'intero spazio.
* Più in generale si può dimostrare che $\forall n\in \mathbb {N}$ lo spazio $\mathbb {R} ^{n}$ ha dimensione $n\,$. Questo mostra in maniera informale come la nozione precedentemente introdotta di dimensione è in accordo con la nozione intuitiva di dimensione che deriva dall'esperienza.
* Lo spazio vettoriale $\mathbb {C}$ su campo $\mathbb {C}$ ha dimensione 1, mentre come spazio vettoriale su $\mathbb {R}$ ha dimensione 2. Questo esempio mostra come la dimensione dipenda dal campo su cui è costruito lo spazio vettoriale.
* Analogamente al caso reale, la dimensione di $\mathbb {C} ^{n}$ (come spazio vettoriale su $\mathbb {C} \,$) è $n\,$.

## Intersezione e somma di sottospazi vettoriali
#### Formula di Grassmann

Siano U e W sottospazi di dimensione finita dello spazio vettoriale V. Risulta
$dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)$

##### Dimostrazione
### Somma diretta

Nel caso in cui, per ogni v di U + W esiste un’unica coppia di vettori u di U e w di W tali che v=u+w, allora diciamo che la somma U + W è diretta e scriviamo U⊕W.

##### Teorema

La somma U+W è diretta se e solo se U∩W ={0}.

##### Dimostrazione

⇒ Se v ∈ U ∩ W fosse un vettore non nullo, allora la somma non sarebbe diretta perché v= v+0= 0+v, cioè v= v+0 con v∈U, 0∈W e v = 0 + v con 0 ∈ U, v ∈ W .
⇐ Scrivendo v= u1+w1= u2+w2 con u1, u2∈ U e w1, w2∈ W, si ricava che il vettore u1 − u2 = w2 − w1 è nell’intersezione U ∩ W ;
dunque, se U∩W ={0}, risulta u1=u2 e w2=w1, cioè la somma è diretta.