# Il filtro passa basso a più cellule

Per ottenere filtri passa basso con attenuazioni fuori banda aventi pendenze superiori a quelle ottenibili con filtri ad una cellula, si possono realizzare strutture con più cellule uguali tra loro.

## La nuova configurazione

Un esempio di questa nuova configurazione a due cellule, derivata dalla struttura del passa basso descritta nella prima lezione di questa materia, è riportata in figura 1
Il nuovo filtro è composto dalle due resistenze di terminazione $R1\ e\ R2$ di valore uguale , le induttanze $L1\ e\ L2$ uguali tra loro, i condensatori $C1\ e\ C2$ anch'essi di valore uguale tra loro ed infine il condensatore $C3$ di valore doppio rispetto a $C1.$
Le formule di calcolo dei componenti sono:
$C1=C2=1/(2\cdot \pi \cdot f1\cdot R)$
$L1=L2=R/(\pi \cdot f1)$
$C3=2\cdot C1$
dove
le capacità sono espresse in Farad
le induttanze espresse in Henry
le resistenze espresse in Ohm
Si deve osservare che in questa configurazione compaiono soltanto 5 componenti reattivi dato che, a seguito dell’unione tra due cellule, il condensatore $C3$ ne sostituisce due; il circuito è pertanto è da considerarsi, al fine dei calcoli, come se avesse 6 componenti reattivi.
La nuova struttura consente un’attenuazione fuori banda con una pendenza di ${-}36\ dB$ per ottava, con un taglio di ${-}6\ dB,$ rispetto alla banda passante, in corrispondenza della frequenza di taglio $f1.$
Sintetizzando:
Perdita d’inserzione nella zona passante $Att.={-}6\ dB$
Attenuazione alla frequenza di taglio rispetto al livello della zona passante $Att.={-}6\ dB$
Attenuazione totale alla frequenza di taglio $Att.={-}6\ dB{-}6\ dB={-}12\ dB$
Pendenza della curva d’attenuazione ben oltre il valore di $f1;Att.={-}36\ dB/ottava$ (pari alla riduzione dell’ampiezza del segnale di $63$ volte ad ogni raddoppiamento della frequenza)

## Esempio di progetto del filtro

Dati di progetto:
Sia da realizzare un filtro passa basso in grado di essere accoppiato ad un generatore di tensione avente una $Zu=10\ \Omega$, si voglia una frequenza di taglio $f1=5000\ Hz$ ed una pendenza di -$36\ dB/ottava.$
Dimensionamento della resistenza d’ingresso:
Il dati di progetto prevedono una configurazione circuitale come quella di figura 1 per cui:
Il valore di $R1$ deve essere commisurato al valore di $Zu=10\ \Omega$, quindi dovrà essere:
$R1>>Zu$
ovvero $R1>>10\ \Omega$
per ottenere questa condizione è opportuno, se possibile , che $R1$ sia almeno $100$ volte il valore di $Zu$ quindi
$R1=1000\ \Omega .$ con $R1=R2$
Calcolo di $L1;L2;C1;C2;C3:$
Dati $f1=5000\ Hz\ e\ R1=R2=1000\Omega$
il calcolo dei componenti reattivi si effettua con le formule:

### Tracciamento della curva di risposta

La curva di risposta universale di questo filtro ha un profilo diverso di quella tracciata per il passa basso ad una cellula ed è riportata in figura 2
La curva di risposta ha in ascisse il rapporto $f/f1,$ ed in ordinate l’attenuazione del filtro ad intervalli di $4\ dB$ per divisione per un totale di $80\ dB.$
Per utilizzare la curva di figura 2 dobbiamo determinare il rapporto $f/f1$ per ciascuna frequenza per la quale desideriamo stabilire l’attenuazione prodotta dal filtro; se vogliamo ad esempio conoscere l’attenuazione del nostro filtro alla frequenza
$f=15000\ Hz$ dobbiamo:
1) calcolare il rapporto:
$f/f1=15000\ Hz/5000\ Hz=3$
2) tracciare una perpendicolare dall'ascissa d’ampiezza $3$ e trovare il punto d’incontro con la curva.
3) tracciare una perpendicolare dal punto d’incontro all'asse delle ordinate sul quale si leggerà il valore d’attenuazione di circa $64\ dB.$
A questo proposito si deve osservare che tra i valori d’attenuazione teorici, rilevati con l’ausilio della curva di figura 2 , e valori misurati in laboratorio si potranno trovare differenze dell’ordine di circa $2\ dB$ a causa, sia dell’incertezza delle misure, sia per le perdite naturali che si hanno nelle due induttanze.

### Osservazioni generali

Il progetto della doppia cellula passa basso si conclude con alcune osservazioni che ne chiariscono meglio il funzionamento:
Del filtro di cui abbiamo trattato s’è detto che nella zona d’attenuazione la pendenza è di –$36\ dB/ottava$ , questa caratteristica è controllabile soltanto per valori di frequenza lontani dalla frequenza di taglio $f1.$
Un’idea quantitativa di questo comportamento si ha immediatamente dall'esame della curva di risposta di figura 2; se consideriamo l’attenuazione al punto d’ascissa 1 con il punto d’ascissa 2 , corrispondenti rispettivamente a due frequenze l'una il doppio dell'altra, si vede che nel primo punto l’attenuazione è di ${-}12\ dB$ e nel secondo punto di ${-}42.4\ dB$ con un salto di $30.4\ dB$ contro i $36\ dB$ che sono la caratteristica teorica della doppia cellula.
Se ora esaminiamo altri due punti della curva più lontani da $f1,$ il punto di ascissa $1.8$ e il punto di ascissa $3.6,$ riscontriamo per il primo un’attenuazione di ${-}36.8\ dB$ e per il secondo un’attenuazione di circa ${-}72\ dB$ con un salto di $35.2\ dB$ che si avvicina sensibilmente al valore teorico della pendenza di ${-}36\ dB/ottava$ dichiarata per questo tipo di configurazione.
Per ottenere, nella zona d'attenuazione, pendenze più elevate dell'esempio precedente si possono formare, con lo stesso criterio già espresso, filtri a tre o più cellule; tenendo comunque presente che per ottenere pendenze elevate sono suggerite diverse configurazioni circuitali.