# Il problema di Saint Venant

Il problema di Saint Venant è un particolare problema dell'equilibrio elastico, proposto e risolto da de Saint Venant alla metà del XIX secolo.

## Posizione del problema

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Il problema di Saint Venant si riduce a valutare la soluzione dell'equilibrio elastico di un corpo avente alcune particolari caratteristiche geometriche, statiche e materiali.
Dal punto di vista geometrico il corpo in questione è un cilindro retto (quindi di sezione costante) a sezione trasversale qualsiasi di area $A$, "sufficientemente allungato", intendendo con quest'ultima affermazione che lo sviluppo longitudinale del cilindro sia molto maggiore della sua sezione, e cioè che la dimensione massima della sezione sia trascurabile rispetto all'intera lunghezza del corpo.
Il materiale di cui è composto il corpo è ipotizzato linearmente elastico, isotropo e omogeneo.
Staticamente si suppone che il corpo non sia soggetto a forze di volume (forza peso, forza centrifuga, etc), e abbia la sua superficie laterale scarica, e cioè priva di forze applicate. Le uniche forze applicate, dunque, insistono sulle due basi, le quali possono essere sottoposte ad una qualsiasi generica distribuzione di sforzi (anche differente tra le due basi), a patto che complessivamente le azioni agenti sul sistema siano equilibrate. Il corpo, inoltre, è supposto privo di vincoli, a parte un vincolo che si introduce esclusivamente per evitare traslazioni e rotazioni rigide del corpo stesso, e cioè tutti quei movimenti che lo interessano come se fosse un corpo rigido.
Il problema, dunque, è un problema nelle forze, dal momento che su tutta la frontiera del corpo sono assegnate esclusivamente delle forze e non esistono porzioni di frontiera vincolate.
Questo è il più importante dei problemi dell'equilibrio elastico in campo ingegneristico, dal momento che la quasi totalità delle strutture moderne condivide le caratteristiche geometriche del corpo studiato: in linea generale, infatti, la maggior parte delle strutture portanti moderne è costituita da travi e pilastri, e cioè strutture che effettivamente sono molto allungate e che molto raramente hanno sezioni variabili. La presenza di forze di volume nelle strutture reali (forza peso, azioni sismiche) e l'esistenza dei vincoli sarà tenuta in conto in seguito.

## Le equazioni alla base del problema

Supponendo di considerare un sistema di riferimento $(O,x,y,z)$ tale che $O$ sia il baricentro della sezione di sinistra, $z$ sia coincidente all'asse del cilindro e $x,y$ siano due generiche direzioni appartenenti al piano della sezione trasversale, le equazioni che reggono il problema sono quelle di congruenza, equilibrio, costitutive e al contorno indicate di seguito:
Equazioni di equilibrio: ${\begin{cases}{\frac {\delta \sigma _{x}}{\delta x}}+{\frac {\delta \tau _{xy}}{\delta y}}+{\frac {\delta \tau _{xz}}{\delta z}}=0\\{\frac {\delta \tau _{xy}}{\delta x}}+{\frac {\delta \sigma _{y}}{\delta y}}+{\frac {\delta \tau _{yz}}{\delta z}}=0\\{\frac {\delta \tau _{xz}}{\delta x}}+{\frac {\delta \tau _{yz}}{\delta y}}+{\frac {\delta \sigma _{z}}{\delta z}}=0\end{cases}}$
Equazioni di congruenza: ${\begin{cases}\varepsilon _{x}={\frac {\delta v_{x}}{\delta x}}\\\varepsilon _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta y}}+{\frac {\delta v_{y}}{\delta x}}\right)\\\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}\right)\\\varepsilon _{y}={\frac {\delta v_{y}}{\delta y}}\\\varepsilon _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{y}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}\right)\\\varepsilon _{z}={\frac {\delta v_{z}}{\delta z}}\end{cases}}$
Equazioni costitutive: ${\begin{cases}\varepsilon _{x}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})\right]\\\varepsilon _{y}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{z})\right]\\\varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]\\\gamma _{xy}={\frac {1}{G}}\tau _{xy}\\\gamma _{xz}={\frac {1}{G}}\tau _{xz}\\\gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}\end{cases}}$
Condizioni al contorno sulla superficie laterale (con $n$ direzione normale alla superficie laterale): ${\begin{cases}\sigma _{x}n_{x}+\tau _{xy}n_{y}=0\\\tau _{yx}n_{x}+\sigma _{y}n_{y}=0\\\tau _{zx}n_{x}+\tau _{zy}n_{y}=0\end{cases}}$
Condizioni al contorno sulle due basi: ${\begin{cases}\tau _{zx}=p_{x}\\\tau _{zy}=p_{y}\\\sigma _{z}=p_{z}\end{cases}}(z=l)$
${\begin{cases}\tau _{zx}=-p_{x}'\\\tau _{zy}=-p_{y}'\\\sigma _{z}=-p_{z}'\end{cases}}(z=0)$

## Il metodo risolutivo di Saint Venant

Il problema, posto in questi termini, presenta enormi difficoltà analitiche per la sua risoluzione. Lo stesso de Saint Venant non giunse alla soluzione del problema risolvendo direttamente questi sistemi di equazioni differenziali, ma per mezzo di un metodo seminverso: tale metodo consiste nell'imporre a priori alcune caratteristiche della soluzione cercata per poi ricercarne le altre per mezzo delle equazioni a disposizione. La scelta di tali caratteristiche, naturalmente, deve essere tale da presentare una certa validità fisica.
Le condizioni che de Saint Venant impose essere soddisfatte a priori in ogni punto del corpo furono le seguenti:
$\sigma _{x}=\sigma _{y}=\tau _{xy}=0$
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Per comprendere cosa significa fisicamente questa imposizione matematica si consideri una generica fibra elementare del corpo parallela all'asse $z$ del corpo stesso. Noto che le generiche componenti di tensioni $\sigma _{n\nu }$ possono essere espresse in funzione delle componenti di tensione secondo tre direzioni normali $1,2,3$ nel modo seguente:
$\sigma _{n\nu }=\sum _{i,k=1}^{3}\sigma _{ik}n_{i}\nu _{k}$
Esplicitando le componenti della tensione e applicandolo al nostro caso (in cui gli assi sono $x,y,z$) si ottiene:
${\begin{cases}\sigma _{n}=\sigma _{x}n_{x}^{2}+2\tau _{xy}n_{x}n_{y}+2\tau _{xz}n_{x}n_{z}+\sigma _{y}n_{y}^{2}+\tau _{yz}n_{y}n_{z}+\sigma _{z}n_{z}^{2}\\\tau _{n\nu }=\sigma _{x}n_{x}\nu _{x}+\tau _{xy}n_{x}\nu _{y}+\tau _{xz}n_{x}\nu _{z}+\tau _{yx}n_{y}\nu _{x}+\sigma _{y}n_{y}\nu _{y}+\tau _{yz}n_{y}\nu _{z}+\tau _{zx}n_{z}\nu _{x}+\tau _{zy}n_{z}\nu _{y}+\sigma _{z}n_{z}\nu _{z}\\\tau _{nz}=\sigma _{x}n_{x}z_{x}+\tau _{xy}n_{x}z_{y}+\tau _{xz}n_{x}z_{z}+\tau _{yx}n_{y}z_{x}+\sigma _{y}n_{y}z_{y}+\tau _{yz}n_{y}z_{z}+\tau _{zx}n_{z}z_{x}+\tau _{zy}n_{z}z_{y}+\sigma _{z}n_{z}z_{z}\end{cases}}$
Poiché il cilindro è retto, i coseni direttori delle tre direzioni sono $n(n_{x},n_{y},0)\;\nu (\nu _{x},\nu _{y},0)\;z(0,0,1)$ per cui le equazioni precedenti si trasformano nelle seguenti:
${\begin{cases}\sigma _{n}=\sigma _{x}n_{x}^{2}+2\tau _{xy}n_{x}n_{y}+\sigma _{y}n_{y}^{2}\\\tau _{n\nu }=\sigma _{x}n_{x}\nu _{x}+\tau _{xy}n_{x}\nu _{y}+\tau _{yx}n_{y}\nu _{x}+\sigma _{y}n_{y}\nu _{y}\\\tau _{nz}=\tau _{xz}n_{x}+\tau _{yz}n_{y}\end{cases}}$
Sostituendo le espressioni precedentemente ipotizzate si ottiene:
${\begin{cases}\sigma _{n}=0\\\tau _{n\nu }=0\\\tau _{nz}=\tau _{xz}n_{x}+\tau _{yz}n_{y}\end{cases}}$
L'unica componente di tensione non nulla, cioè, è la $\tau _{nz}$.
Questo equivale a dire, in pratica, che le fibre del corpo non si scambiano tra loro azioni normali, dal momento che la trattazione precedente è stata fatta con il massimo della generalità. Le uniche azioni che le fibre longitudinali del corpo possono offrirsi mutuamente sono esclusivamente azioni tangenziali dirette secondo la direzione parallela all'asse del corpo stesso. Le azioni mutue tra le varie fibre del corpo, cioè, si riducono ad essere solo azioni di attrito.
In virtù di tale ipotesi il tensore di tensione assume la forma seguente:
$[T]={\begin{vmatrix}0&0&\tau _{xz}\\0&0&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{vmatrix}}$
Con tale ipotesi le equazioni di equilibrio e costitutive precedenti si riducono a:
${\begin{cases}{\frac {\delta \tau _{xz}}{\delta z}}=0\\{\frac {\delta \tau _{yz}}{\delta z}}=0\\{\frac {\delta \tau _{xz}}{\delta x}}+{\frac {\delta \tau _{yz}}{\delta y}}+{\frac {\delta \sigma _{z}}{\delta z}}=0\end{cases}}$
${\begin{cases}\epsilon _{x}=-{\frac {1}{E}}\nu \sigma _{z}\\\epsilon _{y}=-{\frac {1}{E}}\nu \sigma _{z}\\\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}\sigma _{z}\\\gamma _{xy}=0\\\gamma _{xz}={\frac {1}{G}}\tau _{xz}\\\gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}\end{cases}}$
Le condizioni al contorno lungo la superficie laterale si riducono a:
${\begin{cases}0=0\\0=0\\\tau _{zx}n_{x}+\tau _{zy}n_{y}=0\end{cases}}$
Le equazioni al contorno lungo le basi e quelle di congruenza si mantengono, invece, inalterate:
${\begin{cases}\tau _{zx}=p_{x}\\\tau _{zy}=p_{y}\\\sigma _{z}=p_{z}\end{cases}}(z=l)$
${\begin{cases}\tau _{zx}=-p_{x}'\\\tau _{zy}=-p_{y}'\\\sigma _{z}=-p_{z}'\end{cases}}(z=0)$
${\begin{cases}\epsilon _{x}={\frac {\delta v_{x}}{\delta x}}\\\epsilon _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta y}}+{\frac {\delta v_{y}}{\delta x}}\right)\\\epsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}\right)\\\epsilon _{y}={\frac {\delta v_{y}}{\delta y}}\\\epsilon _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\delta v_{y}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}\right)\\\epsilon _{z}={\frac {\delta v_{z}}{\delta z}}\end{cases}}$
Volendo esprimere tutte le equazioni in funzione solo delle componenti di spostamento $v_{i}$, basta partire dall'ultima serie di equazioni riportate e sostituire via via tutti i termini.
Dalle equazioni costitutive si ottiene prima di tutto che, dovendo essere $\epsilon _{x}=\epsilon _{y}$, deve essere:
${\frac {\delta v_{x}}{\delta x}}={\frac {\delta v_{y}}{\delta y}}=-\nu {\frac {\delta v_{z}}{\delta z}}$
poi, dovendo essere $\gamma _{xy}=0$:
${\frac {\delta v_{x}}{\delta y}}=-{\frac {\delta v_{y}}{\delta x}}$
e infine:
${\begin{cases}\sigma _{z}=-{\frac {E}{\nu }}{\frac {\delta v_{x}}{\delta x}}=-{\frac {E}{\nu }}{\frac {\delta v_{y}}{\delta y}}=E{\frac {\delta v_{z}}{\delta z}}\\\tau _{xz}=G\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}\right)\\\tau _{yz}=G\left({\frac {\delta v_{y}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}\right)\end{cases}}$
Dalle equazioni di equilibrio si deduce:
${\begin{cases}{\frac {\delta }{\delta z}}\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}\right)=0\\{\frac {\delta }{\delta z}}\left({\frac {\delta v_{y}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}\right)=0\\{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}+2{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta z^{2}}}=0\end{cases}}$
Le condizioni ai limiti sulla superficie laterale impongono:
$\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}\right)n_{x}+\left({\frac {\delta v_{y}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}\right)n_{y}=0$
Sulle basi si ha:
${\begin{cases}G\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}\right)=p_{x}\\G\left({\frac {\delta v_{y}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}\right)=p_{y}\\E{\frac {\delta v_{z}}{\delta z}}=p_{z}\end{cases}}(z=l)$
${\begin{cases}-G\left({\frac {\delta v_{x}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}\right)=p_{x}'\\-G\left({\frac {\delta v_{y}}{\delta z}}+{\frac {\delta v_{z}}{\delta y}}\right)=p_{y}'\\-E{\frac {\delta v_{z}}{\delta z}}=p_{z}'\end{cases}}(z=0)$