# Spazi di probabilità

$(\Omega ,F)$
$\Omega$
$F$
$\Omega$
$F$
$\Omega$
$m$
$\sigma$
$F$
    $m=F\rightarrow [0,\infty ]$
è una misura se
    $\forall A_{k}\in F,k\in [0,\infty ],\ A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \ \forall i\neq j$
e vale
    $m\left(\bigcup _{k}A_{k}\right)=\sum _{k}m(A_{k})$
$A_{k}$
$(\Omega ,F)$
$P$
$\sigma$
$F$
    $P(\Omega )=1$
$(\Omega ,F,P)$
    $B\subseteq A\Rightarrow P(B)\leq P(A)$
    $A=B\cup (A\cap {\bar {B}})\Rightarrow P(A)=P(B\cup A\cap {\bar {B}})=P(B)+P(A\cap {\bar {B}})$
    $P({\bar {A}})=1-P(A)$
    $A\cup {\bar {A}}=\Omega$, $A\cap {\bar {A}}=\varnothing$
da qui si ha
    $P(A\cup {\bar {A}})=P(A)+P({\bar {A}})=P(\Omega )=1$
    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
    $A\cup B=A\cup ({\bar {A}}\cap B)\rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P({\bar {A}}\cap B)$
    $B=(A\cap B)\cup ({\bar {A}}\cap B)\rightarrow P(B)=P(A\cap B)+P({\bar {A}}\cap B)$
Da qui si ottiene
    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
    $P(A\cap B)\leq \min(P(A),P(B))$
    $B=(A\cap B)\cup ({\bar {A}}\cap B)$
    $P(B)=P(A\cap B)+P({\bar {A}}\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)\leq P(B)$
    $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap {\bar {B}})\Rightarrow P(A\cap B)\leq P(A)$
Sia $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ una successione di eventi di $F$ con
    $\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=A$
Allora
    $\lim _{n\rightarrow \infty }P(A_{n})=P(\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n})$.
Assegnata una coppia $(\Omega ,F)$, si dice probabilità la funzione $P$ su $F$, a valori non negativi, tale che:
* $P(A)\geq 0\ \forall A\in F$, assioma della non negatività;
* $P(\Omega )=1$, assioma di normalizzazione
* La successione
       $S\equiv \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$
    è una successione di eventi mutualmente esclusivi, quindi
       $P\left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\sum _{n}P(A_{n})$
    $P(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n_{A}}{n}}$
    $P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}$
$A$
$\Omega$

### Spazi di probabilità discreti

Sia
    $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\cdots ,\omega _{k},\cdots \}$
un insieme discreto, con cardinalità finita o infinita numerabile. In tal caso, si può scegliere come $\sigma$-algebra la collezione delle parti
    $F=2^{\Omega }$
Un evento è definito come
    $A=\bigcup _{i\in I_{A}}\{\omega _{i}\},\ \forall A\in F$
dove gli $\omega _{i}$ sono gli eventi elementari e disgiunti:
    $\omega _{i}\neq \omega _{j}\ \forall i\neq j$)
Allora, la probabilità viene definita come
    $P(A)=\sum _{i\in I_{A}}P(\omega _{i})$
Per caratterizzare in modo completo uno spazio di probabilità discreto è sufficiente, quindi, calcolare soltanto le probabilità dei singoli elementi di $\Omega$,
    $P(\omega _{i}),\ \forall i$
    Spazio campione $\Omega =\{T,C\}$
    Insieme delle parti $F=\{\varnothing ,\Omega ,\{T\},\{C\}\}$
    $P(T)=0,5$
    $P(C)=0,5$
Con $T$ e $C$ che indicano se esce testa o croce. Scrivendo questa definizione del problema, abbiamo usato l'approccio classico
    ${\frac {|A|}{|\Omega |}}$
Se la probabilità dei singoli eventi non è uniforme, allora il metodo classico introduce un errore.
    Spazio campione $\Omega =\{TT,CC,TC,CT\}$
    $P(TT)=P(CC)=P(CT)=P(TC)=1/4$
$T$
$1/2$
    Spazio campione $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$
    $F_{1}=\{\varnothing ,PARI,DISPARI,\Omega \}$
    $F_{2}=\{\varnothing ,1,3,\{1,3\},\Omega \}$
    $F_{3}=\{\varnothing ,1,2,\{1,4\},\Omega \}$
$F$
$\sigma$
$F_{1}$
$A$
$B$
$\sigma$
$F$
$A,B\in F$
$(\Omega ,F,P)$
$P(A\setminus B)$
    $P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$

### Spazi di probabilità continui

Se $\Omega$ è un insieme continuo, la sua dimensione $|\Omega |$ è infinita non numerabile. In questo caso, l'insieme delle parti $F=2^{\Omega }$ è troppo ricco per poter definire una misura di probabilità sul suo contenuto.
Le successioni di insiemi $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ possono essere
* decrescenti (rispetto alla relazione di inclusione), cioè
    $A_{n}\supseteq A_{n+1}\ \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}$.
* crescenti, cioè
    $A_{x}\subseteq A_{n+1}\ \ \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$

#### Spazio di Borel

Dato lo spazio campione
    $\Omega =\mathbb {R} \ (-\infty ,+\infty )$
si consideri l'insieme $G$, formato da tutti i sottoinsiemi di $\mathbb {R}$ dati dalla somma finita di intervalli disgiunti
    $(a,b]=\{x\in \mathbb {R} \ |\ a<x\leq b\}{\text{ con }}-\infty <a<b<+\infty$
Allora
    $G=\bigcup _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]{\text{ con }}n<\infty$
$G$
$\sigma$
    $A_{n}=\left(0,1-{\frac {1}{n}}\right]\in G$
In questo caso, si ha
    $\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\bigcup _{i=1}^{n}A_{n}=(0,1)\not \in G$
$G$
$\sigma$

#### Algebra di Borel

L'algebra di Borel in $\mathbb {R}$ è definita come la più piccola $\sigma$-algebra generata dalla collezione di tutti gli intervalli della forma $(a,b]$ e viene indicata come $\mathbb {B} (\mathbb {R} )$.
$\mathbb {B} (\mathbb {R} )$
* $[a,b]$
* $(a,b)$
* $(-\infty ,b]$
* $\{a\}$
* $(-\infty ,b)$
    $[a,b]=\bigcap _{n}\left(a-{\frac {1}{n}},b\right],\ a<b$
    $\{a\}=\bigcap _{n}\left(a-{\frac {1}{n}},a\right]$
Lo spazio di Borel è definito come $(\mathbb {R} ,\mathbb {B} (\mathbb {R} ))$. La restrizione di $(\mathbb {R} ,\mathbb {B} (\mathbb {R} ))$ ad un insieme $A\in \mathbb {B} (\mathbb {R} )$ è la $\sigma$-algebra di tutti gli insiemi della forma $B\cap A$ con $B\in \mathbb {B} (\mathbb {R} )$.
$\left([0,1],\mathbb {B} ([0,1])\right)$
dove $\mathbb {B}$ è uno spazio di Borel. Allora
    $B\cap [0,1]{\text{ con }}B\in \mathbb {B} (\mathbb {R} )$

#### Metodi per l'introduzione di misure su spazi misurabili

In generale è più semplice definire una misura di sottoinsiemi di $\Omega$ e poi estenderla alla $\sigma$-algebra $F$. Nel caso continuo, si procede definendo la misura di sottoinsiemi di $\Omega$ appartenenti ad un'algebra tale che $F$ possa essere generata.
Consideriamo $(\Omega ,F)$. Sia $a$ un'algebra di $\Omega$ tale che $F=o(a)$. Allora, si può definire una premisura
    $m_{0}:a\rightarrow [0,\infty ]$
in modo tale che gli insiemi siano
    $A_{k}\in a,\ \forall k=1,2,\cdots$
sono disgiunti a coppie e
    $\left(\bigcup _{k}A_{k}\in a\right)$
Allora, la misura dell'algebra è
    $m\left(\bigcup _{k}A_{k}\right)=\sum _{k}m_{0}(A_{k})$
    $m:F\rightarrow [0,\infty ]\ |\ m(A)=m_{0}(A)\ \forall A\in a$
è unica, sotto l'ipotesi che $m_{0}$ sia $\sigma$-finita, ossia che esista una sequenza di insiemi
    $B_{k}\in a,\ k=1,2,\cdots$
tale che
* $\bigcup _{k}B_{k}=\Omega$
* $m(B_{k})<\infty \ \forall k$.
$\sigma$
$a$
$\Omega$
$m$
$m_{0}$

#### Probabilità su spazi misurabili

Consideriamo $\Omega =\mathbb {R}$, $F=\mathbb {B} (\mathbb {R} )$. Definiamo la probabilità
    $P_{0}\ |\ P(\Omega )=1$
sull'algebra $G$ di tutti i sottoinsiemi di $\mathbb {R}$ del tipo
    $\bigcup _{k=1}^{n}(a_{k},b_{k})$
con
    $(a_{i},b_{i})\cap (a_{j},b_{j})=\varnothing \ \forall i\neq j$
Nota: si ha $o(G)=\mathbb {B} (\mathbb {R} )$.
Per definire $P_{0}$ definiamo la funzione di distribuzione $F_{X}$.
    $F_{X}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]$
tale che:
* $F_{X}$ non è decrescente
* $\lim _{x\rightarrow -\infty }F_{X}(x)=0$
* $\lim _{x\rightarrow +\infty }F_{X}(x)=1$
* $F_{X}$ è continua a destra, cioè $\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}F_{X}(x+\epsilon )=F(x)\ \forall x\in \mathbb {R}$
* $F_{X}$ ammette limite sinistro, cioè $\exists \lim _{\epsilon \rightarrow 0^{-}}F_{X}(x+\epsilon )\ \forall x\in \mathbb {R}$
Definiamo $P_{0}:G\rightarrow [0,1]$ come la probabilità
    $P_{0}(A)=\sum _{k=1}^{m}[F(b_{k})-F(a_{k})]\ \forall A\in G\ |\ A=\bigcup _{k=1}^{m}(a_{k},b_{k})$
dove gli $(a_{k},b_{k})$ sono disgiunti a coppie. Si può dire che $P_{0}$ è $\sigma$-finita,
    $P_{0}(\Omega )=1$
Dal teorema di Caratheodory segue che $P_{0}$ si estende in modo univoco alla misura $P$ su $(\mathbb {R,B(R)} )$ tale che
    $P((a,b])=F_{X}(b)-F_{X}(a)$
Anche $P$ è una probabilità, perché
    $P(\Omega )=F_{X}(\infty )-F_{X}(-\infty )=1$
La $F_{X}(x)$ può essere assegnata come:
    $F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(\alpha )d\alpha$
con
    $f_{X}(x)\geq 0\ \forall x\in \mathbb {R}$
e dove vale
    $\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(\alpha )d\alpha =1$
La $f(\cdot )$ è detta funzione di densità di probabilità, o densità della funzione di distribuzione $F$.
Se esiste la $f_{X}(x)$, allora si ha
    $P\left((a,b]\right)=\int _{a}^{b}f(\alpha )d\alpha$
    $f(x)={\frac {1}{\sigma _{x}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {(x-\mu _{x})^{2}}{2\sigma _{x}}}}=N(\mu ,\sigma )$
    $f(x)={\frac {1}{b-a}}\ \ \forall x\in [a,b],\ a<b$
    $\left(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {B(R} ^{2})\right)$
con
    $\mathbb {R} ^{2}=\{(\alpha ,\beta )|\alpha \in \mathbb {R} ,\beta \in \mathbb {R} \}$
è la più piccola $\sigma$-algebra su $\mathbb {R} ^{2}$ che contiene insiemi del tipo
    $(a_{1},b_{1}]\times (a_{2},b_{2}]=\{(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}|\alpha \in (a_{1},b_{1}],\ \beta \in (a_{2},b_{2}]\}$
Analogamente al caso monodimensionale, si può definire una misura di probabilità assegnando un'opportuna densità di probabilità
    $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow [0,\infty ]$
integrabile e tale per cui
    $f(\alpha ,\beta )\geq 0\ \forall (\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$
con
    $\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(\alpha ,\beta )d\alpha d\beta =1$
Il metodo visto si applica anche ai seguenti casi:
* $(A,\mathbb {B} (A))$ con $A\in \mathbb {B(R)}$. In tal caso
       $\int _{A}f\left(\alpha \right)d\alpha =1$
* $\mathbb {R} ^{n},\mathbb {B(R} ^{n})$, con
       $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})d\alpha _{1}d\alpha _{2}\cdots d\alpha _{n}=1$
* $(A,\mathbb {B} (A))$ con $A\in \mathbb {B(R} ^{n})$ e
       $\int _{A}f(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})d\alpha _{1}d\alpha _{2}\cdots d\alpha _{n}=1$
$\theta$
$(\Omega ,F,P)$
* $\Omega =[0,2\pi ]$
* $F=\{A\in \Omega |A=B\cap \Omega ,B\in \mathbb {B(R)} \}$
* $f(\theta )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2\pi }}&\theta \in [0,2\pi ]\\0&{\text{altrove}}\end{matrix}}\right.$
Si definiscono i casi:
* $A_{1}=\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$
* $A_{2}=\left[\pi ,2\pi \right]$
* $A_{3}=\left[{\frac {\pi }{4}}\right]$
Si ha:
* $P(A_{1})=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(\theta )d\theta =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{2\pi }}d\theta ={\frac {1}{2\not \pi }}\cdot {\frac {\not \pi }{2}}={\frac {1}{4}}$
* $P(A_{2})=\int _{\pi }^{2\pi }{\frac {1}{2\pi }}d\theta ={\frac {1}{2\pi }}(2\pi -\pi )={\frac {1}{2}}$
* $P(A_{3})=\int _{\frac {\pi }{4}}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {1}{2\pi }}d\theta =0$
* Definire lo spazio di probabilità;
* Calcolare la probabilità che Luca arrivi prima di Giorgio;
* Sapendo che arrivati al bar si fermano per un tempo pari a $\Delta \mathrm {T} _{L}=5$ minuti e $\Delta \mathrm {T} _{G}=5$ minuti, calcolare la probabilità che si incontrino.
Per la soluzione dell'esercizio, si veda la pagina della soluzione.