# L'equazione della superficie elastica della piastra

Si può notare a questo punto che tutte le quantità sono state espresse in funzione del parametro $v_{z}$, la cui variazione all'interno della piastra ne identifica la superficie elastica. Quindi appare ovvio che una volta nota la superficie elastica della piastra sono automaticamente note tutte le caratteristiche della sollecitazione agenti su ogni elemento della piastra
Si considera un generico carico distribuito verticale agente sulla piastra di entità $p=p(x,y)$. Per l'equilibrio alla traslazione verticale del generico elemento di dimensioni $dx\;dy\;s$ si ottiene:
$p_{z}dxdy+T'_{x}dy-T_{x}dy+T'_{y}dx-T_{y}dx=0\to$
$\to p_{z}dxdy+\left(T_{x}+{\frac {\delta T_{x}}{\delta x}}dx\right)dy-T_{x}dy+\left(T_{y}+{\frac {\delta T_{y}}{\delta y}}dy\right)dx-T_{y}dx=0\to$
$\to p_{z}dxdy+{\frac {\delta T_{x}}{\delta x}}dxdy+{\frac {\delta T_{y}}{\delta y}}dydx=0\to p_{z}+{\frac {\delta T_{x}}{\delta x}}+{\frac {\delta T_{y}}{\delta y}}=0\to$
$\to -B{\frac {\delta ^{2}}{\delta x^{2}}}\left({\frac {\delta v_{z}}{\delta x^{2}}}+\nu {\frac {\delta v_{z}}{\delta y^{2}}}\right)-B{\frac {\delta ^{2}}{\delta y^{2}}}\left({\frac {\delta v_{z}}{\delta y^{2}}}+\nu {\frac {\delta v_{z}}{\delta x^{2}}}\right)+p_{z}=0\to$
$\to {\frac {\delta ^{4}v_{z}}{\delta x^{4}}}+2{\frac {\delta ^{4}v_{z}}{\delta x^{2}\delta y^{2}}}+{\frac {\delta ^{4}v_{z}}{\delta y^{4}}}={\frac {p}{B}}$
Quest'ultima relazione è anche esprimibile in forma ridotta come:
${\mathcal {5}}^{4}v_{z}={\frac {p}{B}}$
Il problema principale nell'analisi delle piastre è rappresentato esattamente da quest'ultima equazione differenziale, la cui risoluzione in maniera esatta è possibile soltanto in alcuni limitatissimi casi. Può essere interessante notare che l'equazione è lineare, approssimazione che non è assolutamente vera quando diventano importanti le tensioni normali nel piano medio e, in pratica, quando l'abbassamento della generica sezione è paragonabile al suo spessore.

## Le condizioni di vincolo

L'andamento della linea elastica non è solo funzione del carico agente sulla piastra, ma anche della sua forma e dei vincoli presenti nel contorno. Si deve studiare, dunque, come rappresentare matematicamente le condizioni di vincolo in modo da poter risolvere correttamente l'equazione differenziale della linea elastica.

### Bordo incastrato

Se il bordo è incastrato lungo lo stesso sono impossibili sia gli abbassamenti che le rotazioni. Se si considera il bordo rettilineo e normale ad esempio all'asse $x$, queste condizioni si esprimono, per ogni punto $P$ del contorno, nel modo seguente:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&v_{z}\,=\,0\\&{\frac {\delta v_{z}}{\delta x}}=0\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

### Bordo semplicemente appoggiato

Nel caso in cui il bordo della piastra sia appoggiato, i punti del contorno non potranno abbassarsi e in essi non potrà svilupparsi alcun momento flettente. Se si considera il bordo rettilineo e normale ad esempio all'asse $x$, queste condizioni si esprimono, per ogni punto $P$ del contorno, nel modo seguente:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&v_{z}\,=\,0\\&M_{x}={\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}=0\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
D'altro canto, poiché lungo tutto il bordo è stato già assegnato il valore di $v_{z}$, appare scontato che il suo valore non cambia secondo la direzione del bordo, e cioè secondo la direzione $y$, per cui la sua derivata rispetto a quella direzione è nulla e le condizioni possono essere scritte semplicemente nel modo seguente:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&v_{z}\,=\,0\\&{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}=0\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

### Bordo libero

Nota: Inserire immagine esplicativa
Definire matematicamente la condizione di bordo libero, al contrario di quanto accaduto finora, è un po' più complesso. Infatti, perché sia possibile risolvere analiticamente l'equazione differenziale della linea elastica, è necessario che siano poste due condizioni nei punti del contorno. La condizione di bordo libero, invece, impone che siano nulle tutte le caratteristiche della sollecitazione in quei punti, cioè impone tre condizioni.
Si consideri un tratto del contorno di una generica piastra di normale $\mathbf {n}$ e di direzione $\mathbf {m}$. Sia, inoltre, questo tratto di lunghezza infinitesima $dm$. Su di esso agiscono il momento flettente $M_{n}$, il momento torcente $M_{nm}$ e il taglio $T_{n}$. Si dimostra che è possibile ricondurre il momento torcente e il taglio ad un'unica quantità che le racchiuda entrambe.
Si immagini di applicare lungo quel tratto infinitesimo del contorno una coppia di momenti: l'uno causato da una distribuzione di forze tangenziali $-\tau _{nm}$, dirette parallelamente al bordo ed opposte alle $\tau _{nm}$ che formano il momento torcente $M_{nm}$; l'altro generato da una coppia di forze poste alle estremità del tratto di lunghezza infinitesima. Perché sia mantenuta comunque invariata la situazione statica del sistema, queste azioni devono non solo fornire risultante nulla, ma devono anche generare momenti tra loro equilibrati. Cioè, detto $-M'_{nm}$ il momento unitario generato dalle tensioni tangenziali e $\pm V_{n}$ la coppia di forze supposte, deve essere:
$M'_{nm}\,dm\,=\,V_{n}\,dm\to M'_{nm}\,=\,V_{n}$
Operando allo stesso modo per il tratto infinitesimo contiguo, supponendo di considerare un valore del momento $\left(M'_{nm}+dM'_{nm}\right)dm$, per l'equilibrio del tratto si dovrà avere ai suoi estremi una coppia di forze $\left(V_{n}+dV_{n}\right)dm$. Nel lato comune ai due tratti, cioè, agiranno due forze $V_{n}$ e $\left(V_{n}+dV_{n}\right)$, la cui risultante è naturalmente pari a $dV_{n}$.
Se si sceglie un valore del momento $M'_{nm}=M_{nm}$, cioè uguale al momento torcente effettivamente agente nel tratto, le tensioni tangenziali si annullano reciprocamente, e restano soltanto le forze verticali $dV_{n}$, le quali forniscono un valore per unità di lunghezza pari a:
${\frac {dV_{n}}{dm}}={\frac {\delta M_{nm}}{\delta m}}$
Di conseguenza è possibile sintetizzare in un'unica quantità sia il taglio sia il momento torcente, dal momento che abbiamo riportato quest'ultimo ad una serie di forze verticali. Tale quantità è la reazione verticale del vincolo:
$R_{n}=T_{n}+{\frac {\delta M_{nm}}{\delta m}}$
Se il contorno è parallelo alla direzione di uno dei due assi si ottiene:
$R_{x}=T_{x}+{\frac {\delta M_{xy}}{\delta y}}=-B\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+\left(2-\nu \right){\frac {\delta ^{3}v_{z}}{\delta x\delta y^{2}}}\right)$
$R_{y}=T_{y}+{\frac {\delta M_{xy}}{\delta x}}=-B\left({\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}+\left(2-\nu \right){\frac {\delta ^{3}v_{z}}{\delta y\delta x^{2}}}\right)$
Secondo il postulato di Saint Venant tale sostituzione non genera una variazione del comportamento complessivo della piastra: dal momento che le risultanti delle azioni prima e dopo la sostituzione sono uguali, infatti, gli effetti della differente configurazione degli sforzi agenti si risentono nella struttura solo ad una distanza ridotta dal suo contorno, cioè di una quantità pari allo spessore della piastra, che per definizione è trascurabile rispetto alle dimensioni della piastra.
Per comprendere meglio la sostituzione che è stata fatta, si immagini che al bordo della piastra siano stati inseriti dei pendoli con mutua distanza pari a $dm$ invece della continuità della materia realmente agente: in questa situazione, infatti, l'unico modo che il sistema ha per reagire ai momenti torcenti è proprio attraverso una reazione nel verso dei pendoli, e cioè verticale, risultando impossibile avere azioni tangenziali.
Di conseguenza la condizione di bordo libero ad esempio parallelo all'asse $x$ viene espressa nel modo seguente:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+\nu {\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta y^{2}}}=0\\&{\frac {\delta ^{2}v_{z}}{\delta x^{2}}}+\left(2-\nu \right){\frac {\delta ^{3}v_{z}}{\delta x\delta y^{2}}}=0\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

## Punti singolari del contorno

Nota: Inserire immagine esplicativa
In presenza di punti singolari nel contorno, ad esempio un punto angoloso, la situazione è diversa rispetto agli altri punti. In quel punto, infatti, si possono identificare due normali, ciascuna delle quali identifica la direzione delle due facce che in quel punto si incontrano. In linea generale il momento torcente in questo punto subisce una discontinuità. Perché sia preservato l'equilibrio, è necessario che nel lato in comune tra le due facce si instauri una forza concentrata $R$, il cui valore è pari alla differenza tra i momenti torcenti agenti nelle due facce:
$R\,=\,M_{1}\,-\,M_{2}$
Se le due direzioni considerate formano tra loro un angolo retto, i rispettivi momenti torcenti sono uguali in modulo ma di verso opposto, per cui si ha:
$R\,=\,2M_{1}\,=\,2M_{2}$
Se le due facce sono parallele agli assi si ha:
$R=-2\left(1-\nu \right)B{\frac {\delta v_{z}}{\delta x\delta y}}$
Questa reazione, che a differenza di tutte quelle viste in precedenza è una forza e non una forza per unità di lunghezza, è dovuta al fatto che considerando come prima un tratto di lunghezza infinitesima lungo una faccia, questo non ha un tratto contiguo che possa equilibrare parte della reazione $V_{n}$, e lo stesso accade considerando l'altra faccia. Ne deriva la formazione della forza $R$, la quale è diretta verso il basso perché si oppone al sollevamento dell'angolo della piastra.