# Prerequisiti
## Concetto di resistenza e impedenza

Per la realizzazione dei filtri passivi si utilizzano tre componenti: resistenze (unità di misura Ohm, simbolo $\Omega$, si indicano con R), induttanze (unità di misura Henry, simbolo H, si indicano con $L$) e capacità (unità di misura Farad, simbolo F, si indicano con $C$).
Per poter gestire tutti questi componenti come se fossero il medesimo, si introduce il concetto di impedenza, simbolo $X$. Le impedenze (siano esse resistive, induttive o capacitive) si esprimeranno sempre in $\Omega$. Dipendono dal valore del componente e dalla frequenza della tensione ai loro capi. Si ha:
${\begin{cases}R&{\text{Resistenza}}\\X_{L}=\jmath \omega L=\jmath 2\pi f\cdot L&{\text{Reattanza induttiva}}\\X_{C}={\frac {1}{\jmath \omega C}}={\frac {1}{\jmath 2\pi f\cdot C}}&{\text{Reattanza capacitiva}}\end{cases}}$
Dove $f$ è la frequenza e $\omega =2\pi f$ è la pulsazione. Invece $\jmath$ è l'unità immaginaria è vale $\jmath ={\sqrt {-1}}$.

### Numeri complessi

Un numero complesso è costituito da un numero ottenuto sommando una parte reale e una parte immaginaria. In un circuito dove sono presenti componenti resistivi e reattivi (induttanze e capacità), si ottiene:
$Z=R+\jmath X$.
Pertanto:
* le impedenze resistive, essendo numeri reali, sono situate sull'asse reale positivo e mantengono costante la loro impedenza al variare della frequenza;
* le impedenze induttive, essendo il prodotto dell'unità immaginaria, per un numero reale positivo, si collocano nell'asse immaginario positivo;
* infine, le impedenze capacitive, essendo riscrivibili come segue: $Z_{C}={\frac {1}{\jmath \omega C}}={\frac {\jmath }{\jmath ^{2}\omega C}}=-\jmath {\frac {1}{\omega C}}$, si collocano nell'asse immaginario negativo.
L'introduzione dei numeri complessi non avviene per torturare lo studente. Il loro utilizzo consente di trattare diversi componenti elettrici con la medesima unità di misura. Diversamente l'analisi circuitale sarebbe molto più complessa.

### Complesso coniugato

La tecnica del complesso coniugato consente di scrivere un qualsiasi numero complesso nella forma $a+\jmath b$. Questa tecnica è funzionale per separare la parte reale (resistiva) da quella immaginaria (reattiva).
Se il numero complesso è già in questa forma non si deve far nulla. Diversamente, se si presenta in forma di frazione, si procede moltiplicando numeratore e denominatore per il denominatore, dove la parte immaginaria viene cambiata di segno.
${\begin{aligned}Z&={\frac {a+\jmath b}{c+\jmath d}}=\\&={\frac {a+\jmath b}{c+\jmath d}}{\frac {c-\jmath d}{c-\jmath d}}=\\&={\frac {(ac+bd)+\jmath (bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}=\\&={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\jmath {\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\end{aligned}}$

# Filtro passa-basso

In figura abbiamo un filtro passa-basso del prim'ordine.
In uscita, applicando la regola del partitore di tensione, si ha:
$V_{out}=V_{in}{\frac {Z_{C}}{Z_{R}+Z_{C}}}$
sostituendo, si ottiene:
$V_{out}=V_{in}{\frac {\frac {1}{\jmath \omega C}}{R+{\frac {1}{\jmath \omega C}}}}=V_{in}{\frac {\frac {1}{\jmath \omega C}}{\frac {1+\jmath \omega RC}{\jmath \omega C}}}=V_{in}{\frac {1}{1+\jmath \omega RC}}$.
È ora possibile scrive la funzione di trasferimento, il rapporto tra l'uscita e l'ingresso in funzione della pulsazione (quindi, anche della frequenza):
$G(\omega )={\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {1}{1+\jmath \omega RC}}$
la quale, riscritta con la regola del complesso coniugato, diventa:
$G(\omega )={\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {1}{1+\jmath \omega RC}}={\frac {1}{1+(\omega RC)^{2}}}-\jmath {\frac {\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}$.

## Studio del modulo

Il modulo di una generica funzione di trasferimento si calcola attraverso il teorema di Pitagora:
$|G(\omega )|={\sqrt {{\text{Re}}\left[G(\omega )\right]^{2}+{\text{Im}}\left[G(\omega )\right]^{2}}}$
Pertanto, nel caso del filtro passa-basso in oggetto, si ha:
${\begin{aligned}|G(\omega )|&={\sqrt {\left({\frac {1}{1+(\omega RC)^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\right)^{2}}}=\\&={\sqrt {\frac {1+(\omega RC)^{2}}{\left(1+(\omega RC)^{2}\right)^{2}}}}=\\&={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\end{aligned}}$

## Studio della fase

Lo sfasamento generico tra due segnali si calcola estraendo l'arcotangente del rapporto tra la componente reattiva e la componente resistiva della funzione di trasferimento:
$\angle {G(\omega )}=\arctan {\left({\frac {{\text{Im}}[G(\omega )]}{{\text{Re}}[G(\omega )]}}\right)}$
Nel caso specifico del filtro passa-basso, si ha:
$\angle {G(\omega )}=\arctan \left({\frac {-{\frac {\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}}{\frac {1}{1+(\omega RC)^{2}}}}\right)=\arctan(-\omega RC)$
Mentre, a livello pratico, la misurazione si effettua come proporzione tra i due picchi delle onde e un ciclo completo (se si fa riferimento a un angolo giro) o a un massimo-minimo (se si fa riferimento a metà periodo), a seconda di come è più conveniente effettuare la misurazione al fine di ridurre l'errore.

## Calcolo della frequenza di taglio

La banda passante indica quali frequenza passeranno in uscita e quali no. Naturalmente, il filtro ideale non esiste, pertanto vi sarà un decadimento della tensione in uscita. Per convenzione si dice che la frequenza di taglio è quella in cui la componente resistiva e reattiva si equivalgono.
Detta così non è molto di immediata comprensione, ma lo diventerà. Infatti se le componenti resistive e reattive si equivalgono, allora la tensione in uscita è pari a quella reattiva, mentre quella in ingresso è data dalla somma vettoriale delle due componenti (siamo in un piano complesso, questo va sempre ricordato).
Pertanto, relativamente ai moduli, la pulsazione di taglio $\omega _{c}$ si ottiene imponendo l'uguaglianza dei cateti (componente resistiva e reattiva) rispetto alla tensione di ingresso. Tale condizione si verifica quando:
${\text{Re}}\left[G(\omega )\right]={\text{Im}}\left[G(\omega )\right]\quad \Rightarrow \quad \omega _{c}={\frac {1}{RC}}\quad \Rightarrow \quad f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}$
Essere alla frequenza di taglio (ricordando il teorema di Pitagora) implica che
$\left|{\frac {V_{u}}{V_{i}}}\right|={\frac {1}{\sqrt {2}}}$
oppure, che è lo stesso:
$\angle \left({\frac {V_{u}}{V_{i}}}\right)={\frac {\pi }{4}}=45^{\circ }$
Pertanto, per determinare la banda passante - ai fini pratici - tra tensione di ingresso e tensione di uscita si cercherà il punto in cui la tensione d'uscita vale $1/{\sqrt {2}}$ e tra queste vi è uno sfasamento di $45~^{\circ }$.

### Esercizi svolti
#### Esercizio 1

Dimensionare i componenti per un filtro passa-basso avente $f_{c}=4{\text{ kHz}}$.
La formula per il calcolo della frequenza di taglio è:
$f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}$
si tratta di trovare i valori di $R$ e $C$. Pertanto uno dei due parametri si assegna arbitrariamente.
Utilizzando $R=1~{\text{k}}\Omega$, per il calcolo della capacità, si ha:
$C={\frac {1}{2\pi Rf_{c}}}={\frac {1}{2\pi ~1{\text{ k}}\Omega ~4{\text{ kHz}}}}\simeq 40{\text{ nF}}$
Si noti che entrambi i valori dei componenti rientrano negli intervalli richiesti.

#### Esercizio 2

Dati i parametri dell'esercizio 1, determinare modulo e fase in uscita per $f=6~{\text{ kHz}}$.
Mentre per la fase è immediato procedere, poiché:
$\angle {G(\omega )}=\arctan(-\omega RC)$
per il modulo è necessario conoscere la tensione di ingresso. Poiché si ha:
$\left|{\frac {V_{u}}{V_{i}}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\quad \Rightarrow \quad |V_{u}|={\frac {|V_{i}|}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}$
Assegnano a $|V_{i}|=1{\text{ V}}$. Così facendo sarà possibile moltiplicare per qualsiasi valore per ottenere un generico $|V_{u}|$.
Pertanto si ha:
$\omega =2\pi f=2\pi ~6{\text{ kHz}}\simeq 56,5{\text{ k rad/s}}$
Per quanto riguarda il modulo, si ha:
$|V_{u}|={\frac {|V_{i}|}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}={\frac {1{\text{ V}}}{\sqrt {1+(56,5{\text{ k rad/s}}~1~000{\text{ k}}\Omega ~40{\text{ nF}})^{2}}}}\simeq 0,442{\text{ V}}$

## Realizzazione pratica

A questo punto si desidera ottenere un grafico, sia teorico sia pratico, dell'andamento in modulo e fase del filtro passa-basso (o di un generico filtro, nel seguito queste spiegazioni verranno omesse). Le frequenze variano dalle unità sino a valori molto alti (migliaia o milioni di Hz). Questo fatto comporta che i dati a bassa frequenza non verranno ben visualizzati, rispetto a quelli ad alta frequenza. La soluzione è utilizzare, sia per lo studio del modulo, sia della fase, un asse delle ascisse logaritmico, espresso in decibel (dB).
Pure le ordinate dello studio del modulo saranno espresse in dB.
Pertanto, le frequenze da campionare saranno una il doppio dell'altra (o qualsiasi altra successione geometrica si ritenga opportuna).

### Acquisizione dei dati in laboratorio

Durante l'acquisizione dati in laboratorio, la misurazione delle tensioni in ingresso e uscita può essere fatta con due multimetri, e - di conseguenza - il rapporto $V_{u}/V_{i}$ si ricava in maniera indiretta attraverso un semplice rapporto.
Anche se semplice sul piano teorico, non è altrettanto immediato il calcolo dello sfasamento tra segnale in ingresso e segnale in uscita. Esiste lo strumento che misura lo sfasamento tra tensioni, ma non sempre lo si ha a disposizione.
Pertanto, la soluzione più naturale è contare il numero di divisioni occupate da un periodo del segnale di ingresso: queste corrispondono a un angolo giro, 360°. Dopodiché si osserva quante divisioni separano i fronti d'onda tra segnale d'ingresso e segnale d'uscita. Detto questo si applica una semplice proporzione:
${\text{Periodo}}:360^{\circ }={\text{Distanza tra ingresso/uscita}}:\angle G(\omega )$
Pertanto si ottiene
$\angle G(\omega )={\frac {\text{Distanza tra ingresso/uscita}}{\text{Periodo}}}\times 360^{\circ }$
Questo non sempre è il miglior metodo di misurazione. Se possibile (e settando opportunamente la base dei tempi, lo è sempre) è fortemente consigliabile espandere la proiezione del segnale nell'oscilloscopio così da osservare non un periodo, ma un semiperiodo (corrispondente a 180°).
In questo modo cambia il riferimento (non più l'angolo giro, ma l'angolo piatto), però aumentano le divisioni che si riescono a conteggiare e - così facendo - si riduce l'errore di misurazione.
La misurazione dello sfasamento tramite osservazione all'oscilloscopio, infatti, è una delle operazioni più difficili da portare a compimento con un errore di misurazione trascurabile.
Quanto detto, è vero se si lavora con un oscilloscopio analogico. Molti oscilloscopi digitali, come quello mostrato in figura, non solo eseguono un elevano numero di misurazioni per conto dell'utente, ma consentono anche di trasferire i dati acquisiti su memorie USB o addirittura programmi dedicati, dove è possibile fare calcoli di vario genere.
Se si utilizza un oscilloscopio analogico, un metodo per incrementare la precisione nel corso della misurazione dello sfasamento è l'utilizzo di un segnale di ingresso con una forma d'onda a dente di segna, in luogo della forma d'onda sinusoidale. Così è più facile determinare l'intervallo coperto da un semiperiodo, per poi terminare l'analisi con la funzione sinusoidale.

## Diagramma di Bode in modulo e fase

Ipotizzando i seguenti valori di resistenza e capacità, si ottiene
${\begin{cases}R=12~{\text{k}}\Omega \\C=10~{\text{nF}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}={\frac {1}{2\pi ~12~{\text{k}}\Omega \cdot 10~{\text{nF}}}}=1,326~{\text{kHz}}$
ovvero, alla frequenza di taglio $f_{c}$ il modulo della funzione di trasferimento sarà pari a $|G(\omega _{c})|=1/{\sqrt {2}}\simeq 0,707$.
Mentre, sempre alla frequenza di taglio, lo sfasamento tra ingresso e uscita sarà pari a $\angle G(\omega )=-45~^{\circ }$.

### Normalizzazione delle frequenze

Visti così i grafici son chiari, ma non è immediato comprendere dov'è la frequenza di taglio. Questo problema si risolve normalizzando il dominio della frequenza, ovvero dividendo la frequenza per la frequenza di taglio (o la pulsazione per la pulsazione di taglio, ottenendo il medesimo risultato).
Così procedendo, la frequenza di taglio si colloca nell'unità, e - di conseguenza - si visualizzano nell'asse delle ascisse le decadi precedenti e successive alla frequenza di taglio.Analogamente, per la fase si ottiene:

# Filtro passa-alto

Complementare al filtro passa-basso, in figura viene mostrato il filtro passa-alto del prim'ordine. Il suo scopo è far passare le frequenze superiori alla frequenza di taglio $f_{c}$.
Come nel caso precedente, applicando la regola del partitore di tensione, si ottiene la sua funzione di trasferimento:
$G(\omega )={\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {R}{{\frac {1}{\jmath \omega C}}+R}}={\frac {\jmath \omega RC}{1+\jmath \omega RC}}$
${\begin{aligned}G(\omega )&={\frac {V_{u}}{V_{i}}}=\\&={\frac {R}{R+{\frac {1}{\jmath \omega C}}}}=\\&={\frac {\jmath \omega C}{\jmath \omega C}}{\frac {R}{R+{\frac {1}{\jmath \omega C}}}}=\\&={\frac {\jmath \omega RC}{1+\jmath \omega RC}}\\\blacksquare \end{aligned}}$
la quale, riscritta con la regola del complesso coniugato, diventa:
$G(\omega )={\frac {\jmath \omega RC}{1+\jmath \omega RC}}={\frac {(\omega RC)^{2}}{1+(\omega RC)^{2}}}+\jmath {\frac {\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}$
${\begin{aligned}G(\omega )&={\frac {\jmath \omega RC}{1+\jmath \omega RC}}=\\&={\frac {\jmath \omega RC}{1+\jmath \omega RC}}{\frac {1-\jmath \omega RC}{1-\jmath \omega RC}}=\\&={\frac {(\omega RC)^{2}+\jmath \omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\\&={\frac {(\omega RC)^{2}}{1+(\omega RC)^{2}}}+\jmath {\frac {\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\\\blacksquare \end{aligned}}$

## Studio del filtro in modulo e fase

Per conoscere l'andamento teorico del modulo si ricorre al teorema di Pitagora. In questo caso si ha:
$|G(\omega )|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}$
${\begin{aligned}|G(\omega )|&={\sqrt {\left({\frac {(\omega RC)^{2}}{1+(\omega RC)^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\right)^{2}}}=\\&={\sqrt {\frac {(\omega RC)^{2}(1+(\omega RC)^{2})}{\left(1+(\omega RC)^{2}\right)^{2}}}}=\\&={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\\\blacksquare \end{aligned}}$
Per quanto riguarda lo sfasamento tra i segnali di uscita e ingresso si ha:
$\angle {G(\omega )}=\arctan \left({\frac {\frac {\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}{\frac {(\omega RC)^{2}}{1+(\omega RC)^{2}}}}\right)=\arctan \left({\frac {1}{\omega RC}}\right)$

## Calcolo della frequenza di taglio

La pulsazione e - di conseguenza - la frequenza di taglio si hanno quando le tensioni su la componente resistiva e l'impedenza capacitiva si equivalgono, ovvero:
${\text{Re}}\left[G(\omega )\right]={\text{Im}}\left[G(\omega )\right]\quad \Rightarrow \quad \omega _{c}={\frac {1}{RC}}\quad \Rightarrow \quad f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}$

## Diagramma di Bode in modulo e fase

Ipotizzando i seguenti valori di resistenza e capacità, si ottiene
${\begin{cases}R=2,2~{\text{k}}\Omega \\C=10~{\text{nF}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}={\frac {1}{2\pi ~2,2~{\text{k}}\Omega \cdot 10~{\text{nF}}}}=7,234~{\text{kHz}}$
Da cui discendono i seguenti diagrammi di Bode in modulo e fase

## Realizzazione pratica

In laboratorio, si è studiato l'andamento di un filtro passa-alto del prim'ordine. I parametri nominali dei componenti utilizzati erano i seguenti:
${\begin{cases}R=10~{\text{k}}\Omega \\C=10~{\text{nF}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}={\frac {1}{2\pi ~10~{\text{k}}\Omega \cdot 10~{\text{nF}}}}=1,59~{\text{kHz}}$
Tuttavia, prima di iniziare la rilevazione dei dati, con un tester, si sono misurati i valori di resistenza e capacità, così da avere un dato più fedele, relativo alla frequenza di taglio:
${\begin{cases}R=9,90~{\text{k}}\Omega \\C=13,6~{\text{nF}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}={\frac {1}{2\pi ~9,90~{\text{k}}\Omega \cdot 13,6~{\text{nF}}}}=1,18~{\text{kHz}}$
I dati acquisiti sono stati rilevati raddoppiando la frequenza, di acquisizione in acquisizione, poiché l'asse delle ascisse sarà sempre realizzato mediante un asse logaritmico, pertanto si sceglie una progressione geometrica a piacere. Il raddoppio è la cosa più semplice. Naturalmente non occorre cercare una frequenza in particolare, la cosa interessante è avere una successione di frequenze equispaziate nell'asse logaritmico.
In questo caso i dati acquisiti sono stati:
Dati acquisiti in laboratorio :
| $f$ | ${\frac {f}{f_{c}}}$ | $V_{out}$ | $V_{in}$ | ${\frac {V_{out}}{V_{in}}}$ | ${\text{dB}}$ | $\varphi$ |
| 50 | 0,04 | 0,19 | 4,97 | 0,04 | -28,27 | 86,40 |
| 100 | 0,08 | 0,38 | 4,96 | 0,08 | -22,38 | 82,80 |
| 150 | 0,13 | 0,59 | 4,96 | 0,12 | -18,49 | 83,79 |
| 300 | 0,25 | 1,08 | 4,96 | 0,22 | -13,24 | 79,67 |
| 600 | 0,51 | 2,05 | 4,97 | 0,41 | -7,69 | 59,99 |
| 1 200 | 1,01 | 3,32 | 5,00 | 0,66 | -3,56 | 43,55 |
| 2 500 | 2,11 | 4,45 | 5,17 | 0,86 | -1,30 | 31,43 |
| 5 060 | 4,27 | 5,51 | 5,84 | 0,94 | -0,51 | 14,51 |
| 10 060 | 8,50 | 7,66 | 7,96 | 0,96 | -0,33 | 2,86 |
| 20 370 | 17,21 | 12,54 | 12,95 | 0,97 | -0,28 | 2,20 |
In entrambi i grafici la frequenza è stata normalizzata con la frequenza di taglio calcolata mediante i valori misurati dei componenti. Come si nota dall'andamento dei due grafici, la misurazione dello sfasamento è più difficile di quella del modulo e - come tale - introduce maggiori errori di misurazione.

# Filtro passa-banda
## Filtro RLC

La versione del filtro passa-banda RLC di figura è un semplice partitore di tensione. La tensione d'uscita e - pertanto - la sua funzione di trasferimento è pari a:
$G(\omega )={\frac {V_{u}}{V_{i}}}={\frac {\omega R_{L}C}{\omega R_{L}C+\jmath (\omega ^{2}LC-1)}}$
${\begin{aligned}G(\omega )&={\frac {V_{u}}{V_{i}}}={\frac {R_{L}}{X_{L}+X_{C}+R_{L}}}=\\&={\frac {R_{L}}{\jmath \omega L+{\frac {1}{\jmath \omega C}}+R_{L}}}=\\&={\frac {R_{L}}{\jmath \omega L-\jmath {\frac {1}{\omega C}}+R_{L}}}=\\&={\frac {R_{L}}{R_{L}+\jmath \left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)}}=\\&={\frac {\omega R_{L}C}{\omega R_{L}C+\jmath (\omega ^{2}LC-1)}}\\\blacksquare \end{aligned}}$
Da cui si ottiene:
$|G(\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega {\frac {L}{R_{L}}}-{\frac {1}{\omega R_{L}C}}\right)^{2}}}}$
e
$\angle G(\omega )=\arctan {\left({\frac {1}{\omega R_{L}C}}-\omega {\frac {L}{R_{L}}}\right)}$

### Condizione di risonanza

Si ha la condizione di risonanza quando gli effetti di induttanza e capacità si annullano a vicenda, ovvero quando $|X_{L}|=|X_{C}|$. In questo caso tutta la tensione di ingresso viene trasferita in uscita.
Dall'analisi della funzione di trasferimento questa condizione si verifica quando:
$\omega _{r}^{2}LC-1=0\quad \Rightarrow \quad \omega _{r}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$
Pertanto, la frequenza in cui l'uscita corrisponde all'ingresso (valore massimo), è pari a:
$f_{c}={\frac {\omega _{r}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}$

### Banda passante

Il metodo più semplice per il calcolo della banda passante è studiare il fattore di smorzamento (in inglese damping factor), il rapporto tra la componente reale e la componente immaginaria, nel momento in cui queste si eguagliano. E ricordare che le frequenze di taglio sono due, pertanto la banda passante sarà pari al doppio del valore trovato.
Nei testi si legge, semplicemente
$\Delta \omega =2\zeta ={R \over L}\quad \Rightarrow \quad B=\Delta f={\Delta \omega \over 2\pi }={\zeta \over \pi }={R \over 2\pi L}$
Per arrivare a questa conclusione si parte dalla funzione di trasferimento
$G(\omega )={\frac {V_{u}}{V_{i}}}={\frac {\omega R_{L}C}{\omega R_{L}C+\jmath (\omega ^{2}LC-1)}}={\frac {1}{1+\jmath {\frac {\omega ^{2}LC-1}{\omega R_{L}C}}}}$
e porre il modulo della funzione di trasferimento pari a $1/{\sqrt {2}}$. Questo si verifica quando parte reale e parte immaginaria coincidono.
${\frac {\omega ^{2}LC-1}{\omega R_{L}C}}=1$
$\omega ^{2}LC-\omega R_{L}C-1=0$
$\omega ^{2}-\omega {\frac {R_{L}}{L}}-{\frac {1}{LC}}=0$
Questa, altri non è che un'equazione di secondo grado. La sua soluzione, pertanto, è
$\omega _{1,2}={\frac {{\frac {R_{L}}{L}}\pm {\sqrt {\left({\frac {R_{L}}{L}}\right)^{2}-{\frac {4}{LC}}}}}{2}}$
L'equazione appare molto complessa, ma se ricordiamo che la banda passante è data dalla differenza tra le frequenze di taglio massima e minima, si ha
$B={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{2\pi }}={\frac {R_{L}}{2\pi L}}$
$\blacksquare$

### Esercizio

Dimensionare un filtro passa-banda per ascoltare RTL 102.5, sapendo che nel broadcasting radio la banda di ogni singola stazione è pari a $B=100~{\text{kHz}}$ e - in questo caso - la frequenza centrale è $f_{c}=102,5~{\text{MHz}}$.
Si tratta di determinare i parametri opportuni del filtro passa-banda RLC.
Una volta determinato il valore dell'induttanza $L$ si ha:
$f_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}\quad \Rightarrow \quad C={\frac {1}{4\pi ^{2}f_{c}^{2}L}}$
mentre, per la resistenza $R_{L}$, si ottiene:
$B={\frac {R_{L}}{2\pi L}}\quad \Rightarrow \quad R_{L}=2\pi L\cdot B$
Da cui segue:
${\begin{cases}L&=0,1~{\text{mF}}\\C&={\frac {1}{4\pi ^{2}f_{c}^{2}L}}={\frac {1}{4\pi ^{2}\cdot 102,5~{\text{MHz}}^{2}\cdot 0,1~{\text{mF}}}}=0,076~{\text{pF}}\\R_{L}&=2\pi L\cdot B=2\pi \cdot 0,1~{\text{mF}}\cdot 100~{\text{kHz}}=62,8~\Omega \end{cases}}$

## Filtro RC/CR

Il filtro passa-banda può essere realizzato mediante due filtri passa-basso e passa-alto in cascata, sommando i loro effetti.
L'unica attenzione da fare è che il filtro passa-alto deve aver frequenza di taglio inferiore a quella del filtro passa-basso, così da avere una banda passante $B$ pari alla differenza delle due frequenze di taglio:
    $B=F_{c_{1}}-F_{c_{2}}$

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