# Funzioni monotone

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Si dice che una funzione $f:A\to \mathbb {R}$ è monotona
* crescente quando $f(x_{1})\leq f(x_{2}),\ \forall x_{1}\leq x_{2}\in A$
* strettamente crescente quando $f(x_{1})<f(x_{2}),\ \forall x_{1}<x_{2}\in A$
* decrescente quando $f(x_{1})\geq f(x_{2}),\ \forall x_{1}\leq x_{2}\in A$
* strettamente decrescente quando $f(x_{1})>f(x_{2}),\ \forall x_{1}<x_{2}\in A$
* nota
* Per indicare una funzione monotona crescente o decrescente, a volte scriveremo $f\uparrow$ e $f\downarrow$.

### Esistenza del limite per le funzioni monotone

Sia $f:A\to \mathbb {R} ,\ f\uparrow$. Allora:
* $x_{0}\in D(A)\cap ]x_{0},+\infty [\ \exists \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)$ e $\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\inf _{A\cap ]x_{0},+\inftyf$
* $x_{0}\in D(A)\cap ]-\infty ,x_{0}[\ \exists \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)$ e $\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\sup _{A\cap ]-\infty ,x_{0}f$
* $+\infty \in D(A)\ \exists \lim _{x\to +\infty }f(x)$ e $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\sup _{A}f$
* $-\infty \in D(A)\ \exists \lim _{x\to -\infty }f(x)$ e $\lim _{x\to -\infty }f(x)=\inf _{A}f$
In conclusione: ogni funzione monotona ha limite in ogni punto del suo dominio.

##### Dimostrazione

Dimostriamo solo la prima come titolo di esempio. Supponiamo dapprima $\inf _{A\cap ]x_{0},+\inftyf=\lambda \in \mathbb {R}$. Per definizione di estremo inferiore, se $\lambda$ è l'estremo inferiore, allora è il più grande dei minoranti (in $f$, non dimentichiamolo) di $A\cap ]x_{0},+\infty [$. Dunque, se aggiungiamo qualcosa a $\lambda$, non è più un minorante e dunque esiste in $A\cap ]x_{0},+\infty [$ un qualche valore che chiamiamo $x'$ tale che $f(x')$ sia minore di $\lambda +\varepsilon$, cioè
    $\forall \varepsilon >0\exists x'\in A\cap ]x_{0},+\infty [\ :\ f(x')<\lambda +\varepsilon$.
D'altra parte, per la monotonia (crescente) di $f$,
    $f(x)\leq f(x'),\forall x\in A\cap ]x_{0},+\infty [,x\leq x'$ ed in particolare se $x<x'$. Conseguentemente
    $f(x)<\lambda +\varepsilon ,\forall x\in A\cap ]x_{0},+\infty [,x<x'$ e questo vale quindi, per ogni $x$ tale che $x_{0}<x<x'$.
D'altra parte, poiché $\lambda =\inf _{A\cap ]x_{0},+\inftyf$, abbiamo che
    $\lambda \leq f(x),\ \forall x\in A\cap ]x_{0},+\infty [$ e conseguentemente
    $\lambda -\varepsilon <f(x),\forall x\in A\cap ]x_{0},+\infty [$.
Dunque abbiamo visto che $f(x)$ è compresa tra $\lambda -\varepsilon$ e $\lambda +\varepsilon$ per degli opportuni $x$ e sentiamo già odore di definizione di limite! Infatti
$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ \lambda -\varepsilon <f(x)<\lambda +\varepsilon ,\ \forall x\in A,x\in ]x_{0},x'[$
Volendo trovare una definizione più simile a quella a cui siamo abituati, poniamo $\delta =x'-x_{0}$ (che è maggiore di zero) si ha
$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ \lambda -\varepsilon <f(x)<\lambda +\varepsilon ,\ \forall x\in A,x\in ]x_{0},x_{0}+\delta [$
che è la definizione di questo limite:
$\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\lambda =\inf _{A\cap ]x_{0},+\inftyf$
Se invece $\inf _{A\cap ]x_{0},+\inftyf=-\infty$, abbiamo che
    $\forall y\in \mathbb {R} \exists x'A\cap ]x_{0},+\infty [\ :\ f(x')<y\in$.
Poiché $f$ è monotona crescente, si ha $f(x)\leq f(x'),\ \forall x<x'$ (e naturalmente $x\in A\cap ]x_{0},+\infty$. Dunque, ponendo anche qui $\delta =x'-x_{0}$, abbiamo:
$\forall y\in \mathbb {R} \exists \delta >0\ :\ f(x)<y,\ \forall x\in A,x\in ]x_{0},x_{0}+\delta [$
che è la definizione di questo limite:
$\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=-\infty =\inf _{A\cap ]x_{0},+\inftyf$
$\Box$

## Esempi conclusivi
### Esempio 1
#### 1

$\lim _{x\to \infty }\ln x=+\infty$
La funzione logaritmo è monotona crescente strettamente in quanto se $x<x'\in A=\mathbb {R} ^{+}$, si ha che $y=\ln x<y'=\ln x'$ perché $e^{y}<e^{y'},\forall y<y'$.
Dunque, per il Teorema visto prima, dovremmo avere $\lim _{x\to \infty }\ln x$ esiste ed è uguale al $\sup _{\mathbb {R} ^{+}}\ln$. d'altra parte, $\ln e^{n}=n,\forall n\in \mathbb {N}$ che diverge, dunque non ci può essere estremo superiore reale (visto che non converge) e $\sup _{R^{+}}\ln =+\infty$. Dunque, per il precedente Teorema,
$\lim _{x\to \infty }\ln x=+\infty$
come si voleva dimostrare.

#### 2

$\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$
Per quanto visto prima, la funzione logaritmo è strettamente crescente, dunque ci aspettiamo che il limite che vogliamo dimostrare sia effettivamente $-\infty$ (sempre per il Teorema). Per il Teorema precedente, dovremmo avere $\lim _{x\to 0^{+}}\ln x$ esiste ed è uguale al $\inf _{\mathbb {R} ^{+}}\ln$. Ora, come abbiamo fatto prima, notiamo che $\ln e^{-n}=\ln {\frac {1}{e^{n}}}=-n,\forall n\in \mathbb {N}$ e siccome $(a_{n})=-n$ è una successione divergente a $-\infty$, allora certamente $\inf _{\mathbb {R} ^{+}}\ln$ sarà anche lui $-\infty$. Dunque, per il Teorema precedente, $\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$.