# Sistemi multipli di correlazione
## Sulla necessità dei sistemi multipli

In un circuito di correlazione, indirizzato alla misura del ritardo di interdipendenza $\tau *$ tra due segnali $f1(t)\ e\ f2(t)$, possono verificarsi due diversi casi operativi:
* Se il rapporto $si/ni$ è elevato, il valore della varianza $Nux$ non perturba il segnale $Sux$, si può quindi ridurre la costante d’integrazione $RC$ al fine di rendere più reattivo il correlatore per poter trovare velocemente il valore di $\tau *$.
* Se il rapporto $si/ni$ è invece molto piccolo, il valore della varianza $Nux$ perturba il segnale $Sux$, si deve quindi aumentare la costante d’integrazione $RC$ al fine di poter trovare molto lentamente, il valore di $\tau *$.
Da questo secondo caso nasce la necessità dell’impiego dei correlatori multipli, ciascuno impostato con valori di $\tau *$ diversi l’uno dall'altro, in modo tale che esplorandone l'uscita velocemente e in successione si possa trovare quello che presentando la $Sux$ più marcata che ci consenta un rilievo veloce di $\tau *$.
I correlatori multipli, in via di principio, sono derivabili dai correlatori digitali che abbiamo esaminato in precedenza.
Il circuito base di partenza è quello che impiega la funzione logica exclusive or data la sua semplice ed economica struttura.

## Struttura di un sistema multiplo di correlazione digitale

Il sistema di correlazione multiplo è un insieme di N correlatori digitali ciascuno predisposto per rilevare la funzione di correlazione incrociata $C(\tau -\tau *)x,1,2$. per un ben determinato valore di $\tau *$ fisso ed immutabile.
Ciascuno degli N correlatori è dotato della propria unità di integrazione, calcolata uguale per tutti.
Tutti gli N correlatori hanno in comune un'unica unità di ritardo.
L'uscita degli N correlatori è scandita velocemente nel tempo da un apposito commutatore elettronico che serializza gli N valori di $C(\tau -\tau *)x,1,2$ in modo da consentirne la visualizzazione su di un oscilloscopio opportunamente sincronizzato.
Lo schema a blocchi di un sistema multiplo e riportato in figura 1:
Nello schema si osserva che la grandezza del tempo $f2(t)$ è applicata, tramite un limitatore e la cellula di campionamento (CC), all'ingresso della catena di ritardo digitale unica che la presenta agli N moltiplicatori digitali rispettivamente ritardata di valori di $\tau$ indicati come $0ra;\ ;\ 1ra\ ;\ 2ra\ ;\ 3ra\ ;4ra\ ;\ ....(n-1)ra.$
La seconda grandezza del tempo $f1(t)$ è applicata, tramite un limitatore e la cellula di campionamento (CC), simultaneamente a tutti gli altri ingressi dei moltiplicatori digitali.
Non è presente il blocco di compensazione dato che è previsto il ritardo $0ra$
All'uscita di ciascun moltiplicatore è collegato il rispettivo circuito integratore; tutti gli integratori sono dimensionati per la stessa frequenza di taglio $Ft.$
I segnali in uscita dagli N integratori; che rappresentano rispettivamente le N funzioni di correlazione:
$C(\tau =0ra)x1,2$
$C(\tau =1ra)x1,2$
$C(\tau =2ra)x1,2$
$C[\tau =(n-1)ra]x1,2$
sono applicati ad un commutatore elettronico che consente di ottenere all'uscita gli N valori delle $C(\tau -\tau *)x,1,2$ in forma serializzata, ciascuno per un tempo costante da definire.
Il comando del serializzatore perviene da una base di tempi esterna opportunamente predisposta.

### Un esempio

Per rendere più chiaro il funzionamento del sistema di correlazione multiplo supponiamo di misurare la funzione di correlazione incrociata tra $f1(t)\ e\ f2(t)$ nell'ipotesi che entrambe siano definite in una banda di frequenze comprese tra $0\ e\ F1$ e che abbiano il massimo grado di interdipendenza per un ritardo $\tau *$ pari a $16ra.$
In questo caso l'uscita del serializzatore si presenterà, su di un oscilloscopio opportunamente sincronizzato, come mostrato in figura 2:
dove le $C(\tau -\tau *)x,1,2$ sono presentate ciascuna per un piccolo intervallo di tempo, ad esempio $to=1\ ms$, all'uscita di un correlatore, nell'ordine:
la $C(\tau =0ra)x1,2\ \ \ \$ da $0\ a\ 1\ ms$
la $C(\tau =1ra)x1,2\ \ \ \$ da $1\ ms\ a\ 2\ ms$
la $C(\tau =2ra)x1,2\ \ \ \$ da $2\ ms\ a\ 3\ ms$
la $C(\tau =3ra)x1,2\ \ \ \$ da $3\ ms\ a\ 4\ ms$
la $C(\tau =4ra)x1,2\ \ \ \$ da $4\ ms\ a\ 5\ ms$
e di seguito le altre.
E' evidente dalla figura 2 che con questo sistema si può misurare istantaneamente, visualizzandola, la funzione di correlazione incrociata tra $f1(t)\ ed\ f2(t)$ che presenterà il suo massimo per $\tau =16ra$.
Dato inoltre che l'azione del serializzatore è ciclica l'immagine di $C(\tau -\tau *)x1,2$ resta fissa sullo schermo dell' oscilloscopio.
In questo caso se $f1(t)\ e\ f2(t)$ hanno carattere stazionario gli integratori di uscita possono assestarsi al valore che compete alla $C(\tau -\tau *)x1,2$ del singolo canale con il valore di varianza prescelto.
Con questo dispositivo si elaborano N punti della funzione di correlazione incrociata mediante N canali di correlazione indipendenti, ciascuno preposto al calcolo di $C(\tau -\tau *)x1,2$ per un ben determinato valore di ritardo in modo tale che, con una relativa indipendenza da $Ft,$ si possa ottenere con immediatezza la rappresentazione della correlazione incrociata tra $fl(t)\ e\ f2(t)$ per tutti i valori voluti di $ra.$
Se si desidera una maggiore definizione della funzione di correlazione incrociata si può ridurre il valore elementare di $ra$ in modo che i valori misurati di $C(\tau -\tau *)x1,2$ siano più vicini tra loro; se si desidera esplorare un più ampio campo di valori di ritardo è necessario aumentare il numero dei canali di correlazione e la lunghezza della catena di ritardo digitale.

## Definizione delle variabili per i sistemi multipli di correlazione

Per impostare un sistema multiplo di correlazione devono essere fissate le variabili che ne costituiscono le caratteristiche fondamentali:
* Le prime due variabili da definire sono il ritardo totale da esplorare e il più piccolo passo del ritardo $ra$ con il quale si vuole analizzare la $C(\tau -\tau *)x1,2.$
* La terza si riferisce al più piccolo valore del rapporto $si/ni$ che si prevede debba essere elaborato dal sistema.
* La quarta è relativa l'entità massima della varianza che si può accettare all'uscita del sistema.
* La quinta riguarda il tempo di esplorazione delle N uscite dei correlatori.
Di seguito un esempio numerico aiuterà il progettista ad impostare un sistema multiplo del tipo descritto.

### Esempio d'impostazione di un sistema di correlazione multiplo

Si considerino due grandezze del tempo $f1(t)\ e\ f2(t)$ contenute in una banda di frequenze compresa fra $0\ e\ 10000\ Hz.$
Calcolo dei ritardi della catena digitale
Supponiamo che $f1(t)\ e\ f2(t)$ siano generate da un'unica sorgente e che $f1(t)$ sia ritardata di $\tau *=20\ \mu s$ rispetto a $f2(t)$ ; il massimo della $C(\tau -\tau *)x1,2$ si evidenzierà pertanto per $\tau =20\ \mu s$ e la funzione di correlazione incrociata dovrà essere definita, per simmetria, tra $\tau =0\ e\ \tau =20\ \mu s$ a sinistra del massimo e tra $\tau =20\ \mu s\ e\ \tau =40\ \mu s$ a destra del massimo per un intervallo totale di $40\ \mu s.$
In questo intervallo sarà ragionevole ricavare almeno $20$ valori di $C(\tau -\tau *)x1,2;$ ciò vuol dire che la catena di ritardo digitale dovrà avere $20$ passi da $ra=2\ \mu s$ ciascuno.
Ciò implica, evidentemente, che anche il numero delle unità di correlazione sia di $N=20$.
Calcolo della costante di tempo RC
Supponiamo ora che il minimo rapporto $si/ni$ dei segnali di ingresso sia dell'ordine di -$9\ dB.$
Se vogliamo, ad esempio, che la $C(\tau -\tau *)x1,2,$ con $Val.=15\ V,$ sia sempre rivelabile sopra la varianza, questa, per quanto già spiegato nelle lezioni precedenti, dovrà essere contenuta entro circa $70\ mVeff.$
Per ottenere un valore di varianza di questa entità ,con $Val.=15\ V,$ il valore di $RC$ dovrà essere calcolato come segue :
da $Nux$ secondo la 1) si calcola $RC$
$Nux=\left[{\frac {15}{\pi \cdot {\sqrt {(6/7)\cdot 4\cdot RC\cdot (10000\ Hz)}}}}\right]=70\ mVeff\ \ \ \$ 1)
si ha : $RC=0.13\ s$
Calcolo del tempo di scansione $Te$ delle $N=20$ unità di correlazione
Per il calcolo di $Te$ si computa inizialmente il valore di $Ft$
$Ft=1/(2\cdot \pi \cdot RC)=1.2\ Hz$
quindi, nel rispetto del teorema sulla campionatura, in base a $Ft,$ fissiamo infine il tempo $Te$ di esplorazione delle uscite dei $20$ correlatori in
$Te\approx 1/(3\cdot Ft\cdot N)=13.9\ ms$.
Misure di laboratorio
Nelle figure 3 e 4 due interessanti immagini di $C(\tau -\tau *)x1,2$ rilevate in laboratorio su di un correlatore multiplo: