# La piastra di forma generica

Al contrario dei casi particolari illustrati in precedenza, per tutti gli altri casi non esistono soluzioni analitiche nella forma trovata per la piastra circolare caricata simmetricamente e la piastra ellittica caricata uniformemente e incastrata al contorno. Qualora non ci si ritrovi in uno di questi casi, infatti, è necessario ricorrere a metodi risolutivi di altro tipo. Questi si possono suddividere fondamentalmente nelle seguenti categorie:
* metodi degli sviluppi in serie, per mezzo di serie semplici o doppie;
* metodo delle differenze finite;
* metodo degli elementi finiti.

## Metodo degli sviluppi in serie semplici

Il metodo degli sviluppi in serie semplici consiste nell'esprimere l'equazione della superficie elastica per mezzo di una serie semplice delle funzioni $Y_{n},X_{m}$, in pratica:
$v_{z}=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)Y_{n}$ oppure $v_{z}=\sum _{m=1}^{\infty }f_{m}(y)X_{m}$
dove $f_{n}(x),f_{m}(y)$ sono da calcolare e $Y_{n},X_{m}$ sono delle generiche funzioni che devono essere quanto più possibile rispettose delle condizioni al contorno.
Nota: Inserire immagine che riporti la geometria del problema
A titolo di esempio si riporta la soluzione relativa ad una piastra rettangolare di lati $a<b$ appoggiata al contorno e soggetta ad un carico uniformemente distribuito di valore $p$. Si assume che il sistema di riferimento abbia gli assi $x,y$ paralleli rispettivamente ai lati $a,b$ e di origine nel punto medio di uno dei lati minori.
Si consideri innanzitutto che l'integrale generale dell'equazione della superficie elastica:
${\mathcal {5}}^{4}v_{z}={\frac {p}{B}}$
è esprimibile come somma di un generico integrale particolare dell'equazione $v_{z1}$ e dell'integrale generale $v_{z0}$ dell'equazione differenziale omogenea associata:
${\mathcal {5}}^{4}v_{z}=0$
L'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea è espressa nella forma seguente:
$v_{z0}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{n}(y)\sin {\frac {n\pi x}{a}}$
Si può notare che questa espressione rispetta le condizioni ai limiti $v_{z}=0;d^{2}v_{z}/dx^{2}=0$ lungo i lati paralleli a $y$, dal momento che per $x=0,x=a$ il termine $\sin {\frac {n\pi x}{a}}=0$
Perché sia rispettata la posizione ${\mathcal {5}}^{4}v_{z}=0$ deve essere:
$Y_{n}^{IV}(y)-2a_{n}^{2}Y_{n}^{II}(y)+a_{n}^{4}Y_{n}(y)=0$ avendo posto $a_{n}={\frac {n\pi }{a}}$
L'integrale generale di quest'ultima equazione si scrive nel modo seguente:
$Y_{n}(y)=A_{n}\sinh a_{n}y+B_{n}\cosh a_{n}y+C_{n}a_{n}y\sinh a_{n}y+D_{n}a_{n}y\cosh a_{n}y$
Data la supposta simmetria del sistema rispetto all'asse $x$, i valori di $Y_{n}$ devono essere identici considerando una coppia di valori di $y$ di valore assoluto identico ma di segno opposto $+y,-y$. Per questo motivo l'equazione precedente deve ridursi a considerare solo quei termini che restano uguali cambiando di segno alla $y$:
$Y_{n}(y)=B_{n}\cosh a_{n}y+C_{n}a_{n}y\sinh a_{n}y$
Un integrale particolare dell'equazione differenziale originaria è, ad esempio, il seguente:
$v_{z1}={\frac {p}{24B}}(x^{4}-2ax^{3}+a^{3}x)={\frac {4pa^{4}}{\pi ^{5}B}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}}}\sin a_{n}x$
Si può osservare che anche questa espressione rispetta le condizioni ai limiti nei lati paralleli a $y$, dal momento che come in precedenza compare il termine $\sin a_{n}x$. Come conseguenza di ciò, l'equazione $v_{z}=v_{z1}+v_{z0}$ soddisfa sicuramente queste condizioni.
Unendo le soluzioni ottenute si arriva a:
$v_{z}={\frac {pa^{4}}{B}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4}{n^{5}\pi ^{5}}}+b_{n}\cosh {\frac {n\pi y}{a}}+c_{n}{\frac {n\pi y}{a}}\sinh {\frac {n\pi y}{a}}\right)\sin {\frac {n\pi x}{a}}$
Da tale espressione, tuttavia, è necessario eliminare i valori pari di $n$, dal momento che per essi il termine $\sin n\pi x/a$ assume valori dal segno opposto per una coppia di punti aventi ascisse uguali e di segno opposto $x,-x$.
Da ciò, con le limitazioni esposte, si arriva a:
${\mathcal {5}}^{4}v_{z}={\frac {pa^{2}}{B}}\sum _{n}\left(-{\frac {4}{n^{3}\pi ^{3}}}+2n^{2}\pi ^{2}c_{n}\cosh {\frac {n\pi y}{a}}\right)\sin {\frac {n\pi y}{a}}$
Le espressioni si $b_{n},c_{n}$ sono scelte affinché vengano rispettate le condizioni ai limiti, e risultano essere pari a:
$b_{n}=-{\frac {4+2\phi _{n}\tanh \phi n}{n^{5}\pi ^{5}\cosh \phi _{n}}}$
$c_{n}={\frac {2}{n^{5}\pi ^{5}\cosh \phi _{n}}}$
dove si è posto $\phi _{n}={\frac {n\pi b}{2a}}$
Il risultato ottenuto è, naturalmente, tanto più preciso quando si consideri un numero elevato di termini. Tuttavia l'espressione della linea elastica presenta una convergenza tale che anche considerando solo il primo termine si arriva ad avere un grado di approssimazione in genere sufficiente.
Considerando le espressioni dei momenti flettenti, calcolati in base all'equazione della superficie elastica trovata, la convergenza non è così spiccata come nel caso della superficie elastica; nella maggioranza dei casi, tuttavia, si assume senza grande errore che considerando esclusivamente il primo termine della serie si abbia un risultato abbastanza vicino alla soluzione reale.
Nota: Inserire gli altri metodi