# Variabili casuali

Le variabili casuali sono funzioni che permettono di associare un numero al risultato di un esperimento. Questo viene fatto per riportare tutto in uno spazio matematico, in cui poter usare tutti gli strumenti matematici noti.
$\Omega =\{{\text{aperta}},{\text{chiusa}}\}$
Considerando lo spazio a 100 dimensioni,
    $\Omega ^{\prime }=\{(P_{1},P_{2},\cdots ,P_{100})\in \Omega _{1}\times \Omega _{2}\times \cdots \times \Omega _{100}\}$
$\mathbb {R}$
$\mathbb {N}$
$(\Omega ,F)$
$(\Omega ',F')$
    $g:\Omega \rightarrow \Omega '$
si dice misurabile se $\forall A'\in F'$, la controimmagine di $A'$ attraverso $g(\cdot )$ appartiene ad $F$.
Un boreliano $B\in \mathbb {B} (\mathbb {R} )$ è ad esempio un insieme della forma $(a,b],[a,b],(a,b)$ con $a<b$. La condizione di misurabilità
    $\{s\in \Omega \ t.c.\ X(s)\in B'\}\in F\ \forall B'\in \mathbb {B} (\mathbb {R} )$
consente di attribuire una probabilità agli eventi specificati dai valori assunti dalla variabile casuale.
* $X<b$
* $a<X<b$
Questo perché $X\leq b$ va inteso come
    $\{s\in \Omega \ |\ X(s)\leq b\}$
e la condizione di misurabilità di $X$ sommato al fatto che $(-\infty ,b]$ è un boreliano assicurano che $\{s\in \Omega \ |\ X(s)\leq b\}$ sia un evento in $F$. Allora, si potrà scrivere che
    $P(X\leq b){\hat {=}}P(\{s\in \Omega t.c.X(s)\in (-\infty ,b]\})$
Questo è ben definito, perché
* $P:F\rightarrow [0,1]$
* $A\in F$.
Se la funzione misurabile è effettivamente una variabile casuale, per ogni evento nello spazio di arrivo possiamo trovare una controimmagine nello spazio di probabilità originario. Nella controimmagine $A$ abbiamo definito la probabilità, quindi è possibile trovare sempre un valore di probabilità associato al valore della variabile casuale e viceversa. Quello che non deve succedere è che, tornando indietro, venga generata una controimmagine che non appartiene ad $F$.

## Funzione indicatrice

$\{\Omega ,F,P\}$
$A\in F$
    $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$
come
    $X(s)=\left\{{\begin{matrix}1&s\in A\\0&s\in {\bar {A}}\end{matrix}}\right.$
Verifichiamo che $X$ è una variabile casuale.
Consideriamo il generico boreliano $B'\in \mathbb {B} (\mathbb {R} )$ e determiniamo la controimmagine data da $\{s\in \Omega \ |\ X(s)\in B'\}$. Graficamente...
Avremo che
$B=\{s\in \Omega \ t.c.\ X(s)\in B^{\prime }\}=\left\{{\begin{matrix}A&0\not \in B,1\in B^{\prime }\\{\bar {A}}&0\in B^{\prime },1\not \in B^{\prime }\\\varnothing &0,1\not \in B^{\prime }\\\Omega &0,1\in B^{\prime }\end{matrix}}\right.$
$X(s)$ è indicata anche come $I_{A}(s)$ ed è detta funzione indicatrice dell'evento A.
A conclusione di questo, dato che
    $B\in F\ \forall B'\in F'$
allora $I_{A}(\cdot )$ è una variabile casuale.
Notare che l'immagine di $\Omega$ attraverso $I_{A}(\cdot )$ è un insieme finito, quindi $X$ è una variabile casuale discreta.
    $\Omega =\{T,C\}$
    $F=\{T,C,\Omega ,\varnothing \}$
    $P:F\rightarrow [0,1]$ con $P(\{T\})=P(\{C\})={\frac {1}{2}}$
Consideriamo X come:
    $X(s)=\left\{{\begin{matrix}1&s=T\\0&s=C\end{matrix}}\right.$
    $B=\{s\in \Omega \ t.c.\ X(s)\in B\}=\left\{{\begin{matrix}\Omega &0,1\in B'\\\varnothing &0,1\not \in B'\\T&1\in B',0\notin B'\\C&0\in B',1\not \in B'\end{matrix}}\right.$
    $B\in F\ \ \forall B'\in \mathbb {B(R)} =F'\Rightarrow X{\text{ è una variabile casuale }}$
Come si può verificare che $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ definita su uno spazio di probabilità sia una variabile casuale? La verifica basata sulla definizione appena vista è onerosa, perché bisogna considerare tutti i boreliani $B'\in \mathbb {B(R)}$ e calcolare le controimmagini attraverso $X$, verificando che appartengano a $F$. Il seguente lemma permette di restringere la verifica ad un sottoinsieme di boreliani.
$\xi$
$\mathbb {R}$
$\sigma (\xi )=\mathbb {B(R)} =F'$
$\{\Omega ,F,P\}$
$X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$
    $\{s\in \Omega \ t.c.\ X(s)\in E\}\in F\ \ \forall E\in \xi$
Se uno spazio è discreto, basta definire le probabilità sugli eventi elementari della $\sigma$-algebra. Se $\Omega$ è continuo, è impossibile definire le probabilità per ogni elemento della $\sigma$-algebra. Avevamo definito una probabilità su un'algebra che ci permette di generare la $\sigma$-algebra di interesse, in modo tale da estendere la misura di probabilità alla $\sigma$-algebra. La stessa cosa accade qui: andiamo a trovare la controimmagine per un sottoinsieme di boreliani, e possiamo poi estendere a tutti gli eventi che sono nell'insieme boreliano. È la stessa cosa. Usiamo la funzione X per generare il nostro sottoinsieme di eventi, verifichiamo che esistano le controimmagini sul sottoinsieme definito ed abbiamo finito.
Abbiamo visto che $\mathbb {B(R)}$ può essere costruita come la più piccola $\sigma$-algebra che contiene insiemi del tipo $(-\infty ,b]\in \mathbb {R}$. Dati quindi $\{\Omega ,F,P\}$ e $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$, $X$ è una variabile casuale se
    $\{s\in \Omega \ t.c.\ X(s)\leq b\}\in F\ \forall b\in \mathbb {R}$
    $\{\Omega ,F,P\}$
    $A\in F$
    $X(s)=I_{A}(s)=\left\{{\begin{matrix}1&s\in A\\0&s\in {\bar {A}}\end{matrix}}\right.$
    $B=\{s\in \Omega t.c.X(s)\leq b\}=\left\{{\begin{matrix}\Omega &b\geq 1\\{\bar {A}}&0\leq b<1\\\varnothing &b<0\end{matrix}}\right.$
$(\mathbb {R} ,\mathbb {B(R)} ,P)$
$X(s)=s^{2}$
Aprire il cassetto sottostante per visualizzare la soluzione dell'esercizio.
$X(s)=s^{2}$
Attenzione: questa è soltanto una traccia di soluzione.
$E\in \xi$
$E=\{s\in \mathbb {R} |X(s)\leq b\}=\left\{{\begin{matrix}\{s\in \mathbb {R} |s^{2}<b\}&0\leq b<r^{2}\\\varnothing &b<0\end{matrix}}\right.$
Se abbiamo una variabile casuale n-dimensionale, allora abbiamo n variabili casuali e viceversa. Questo non vuol dire che se abbiamo la densità congiunta di due variabili casuali possiamo verificare l'indipendenza: bisogna prima calcolare le marginali e lavorare su quelle.
    $\{\Omega ,F,P\}|X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$
misurabile da $(\Omega ,F)$ a $(\mathbb {R,B(R} ^{n}))$, X ha n componenti lungo gli assi coordinati
    $X=(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})$ con $X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$
allora ogni componente $X_{i}$ è una variabile casuale.
$B\in \mathbb {B(R)}$
    $\{s\in \Omega |X(s)\in B\}\in F\rightarrow (l,F,P)$
Vale
    $X_{i}(s)\in B\Leftrightarrow X_{1}(s)\in \mathbb {R} ,X_{2}(s)\in \mathbb {R} ,\cdots X_{n}(s)\in \mathbb {R}$
Questo è vero se e solo se
    $X(s)=(X_{1}(s),X_{2}(s),\cdots X_{n}(s))\in \mathbb {R\times R\times \cdots \times R}$
Da cui si deve avere
    $B=\mathbb {R\times \cdots \times B\times \cdots R} \in \mathbb {B(R} ^{n})\Rightarrow \{s\in \Omega |X(s)\in B'\}\in F$
cioè
    $\{s\in \Omega |X_{i}(s)\in B\}=\{s\in \Omega |X(s)\in B'\}\in F$
    $X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$
definite su
    $(\Omega ,F,P)|X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$
misurabili da $(\Omega ,F)$ a $(\mathbb {R,B(R} ^{n}))$, allora il vettore
    $(X_{1},X_{2},\cdots X_{n})$

## Distribuzioni delle variabili casuali

$(\Omega ,F,P)$
$X$
$X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$
$X$
    $F_{X}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]$
data da
    $F_{X}(\alpha )=P(X\leq \alpha )=P(\{s\in \Omega |X(s)\leq \alpha \})$
Nella maggior parte dei casi la $F_{X}$ si definisce direttamente nella definizione di variabile casuale.
La distribuzione di probabilità $F_{X}$ soddisfa le seguenti proprietà:
* $F_{X}$ è non decrescente
* $F_{X}(-\infty )=\lim _{\alpha \rightarrow -\infty }F_{X}(\alpha )=0$
* $F_{X}(\infty )=\lim _{\alpha \rightarrow \infty }F_{X}(\alpha )=1$
* $F_{X}(\alpha ^{+})=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}F_{X}(\alpha +\epsilon )=F_{X}(\alpha )\ \forall \alpha \in \mathbb {R}$, cioè $F_{X}$ è continua a destra;
* $F_{X}$ ammette limite sinistro, ossia
       $\exists \lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}F_{X}(\alpha -\epsilon )=F_{X}(\alpha ^{-})$
Tutte le funzioni che soddisfano queste proprietà sono funzioni di distribuzione della variabile casuale $X$.
Abbiamo visto che ad ogni funzione di distribuzione $F_{X}$ su $\mathbb {R}$ è associata una ed una sola misura di probabilità $P$ che soddisfa $P\left(\left(a,b\right)\right)=F(b)-F(a)$. Per estensione, indichiamo con $P_{X}$ la misura di probabilità associata alla $F_{X}$,
    $P_{X}:\mathbb {B(R)} \rightarrow [0,1]$
è la misura di probabilità su $(\mathbb {R,B(R)} )$ tale che
* $P_{X}((a,b])=F_{X}(b)-F_{X}(a)$
* $P_{X}((-a,b))=F_{X}(b)$
Proprietà di $P_{X}$ e $F_{X}$:
* $P_{X}\left(\left\{a\right\}\right)=F_{X}(a)-F_{X}(a^{-})$
* $P_{X}\left(\left[a,b\right]\right)=F_{X}(b)-F_{X}(a^{-})$
* $P_{X}\left(\left(a,b\right)\right)=F_{X}(b^{-})-F_{X}(a)$
* $P_{X}\left(\left[a,b\right)\right)=F_{X}(b^{-})-F_{X}(a^{-})$
$F$
$\mathbb {R}$
$(\mathbb {R,B(R)} )$
$P$
$(\mathbb {R,B(R)} ,P)$
$X$
$F$
$P$
$(\mathbb {R,B(R)} )$
    $P((a,b])=F(b)-F(a){\text{ con }}a,b\in \mathbb {R} \ a<b$
Sappiamo che essa esiste ed è unica. Definiamo
    $X:\mathbb {R\rightarrow R}$
come
    $X(s)=s\ \forall s\in \mathbb {R}$
X è una variabile casuale su $\{\mathbb {R,B(R)} ,P\}$; inoltre,
    $F_{X}(b)=P(\{s\in \mathbb {R} |X(s)=s\leq b\})=P((-\infty ,b])\ \forall b\in \mathbb {R}$
$F$
$\{\Omega ,F,P\}$
* $\Omega =\mathbb {R}$
* $F=\mathbb {B(R)}$
* $P|P((a,b])=F(b)-F(a)\ \forall a,b\in \mathbb {R} ,\ a<b$.
$P$
$X(s)=s\ \forall s\in \mathbb {R}$
$F$
$\{\Omega ,F,P\}$
$f:\mathbb {R\rightarrow R} ^{+}$
    $F(b)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\alpha )d\alpha$
$F$
$f$
Consideriamo l'evento
* $B\in \mathbb {B(R)}$
* $P(X\in B)=P(\{s\in \Omega |X(s)\in B\})=\int _{B}f(\alpha )d\alpha$
Solitamente, si caratterizza la variabile casuale X indicando la densità di probabilità.
$X$
$(a,b),\ -\infty <a<b<\infty$
       $f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&x\in (a,b)\\0&{\text{altrove}}\end{matrix}}\right.$
       $f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
con $\sigma >0$. Si ha
       $F(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\alpha )d\alpha =G({\frac {x-\mu }{\sigma }})$
con
       $G(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {\beta ^{2}}{2}}}d\beta$
$Q(x)=1-G(x)$
$F_{X}$
* $P_{i}=F_{X}(X_{i})-F_{X}(X_{i}^{-})$
* $\sum P_{i}=1$
* $F(x)=\sum _{i:x_{i}\leq x}P_{i}$
In questo caso conviene introdurre
* $\Omega =\{x_{1},x_{2}\}$
* $F=2^{\Omega }$
* $P(\{x_{i}\})=P_{i}$
Consideriamo lo spazio $\{\Omega ,F,P\}$ e definiamo la funzione
    $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} |X(s)=s\ \forall s\in \Omega$
$X$ è una variabile casuale discreta con funzione di distribuzione
* $F_{X}=F$
* $P(x=x_{i})=P_{i}$
A questo punto, possiamo scrivere che
    ${\begin{aligned}F_{X}(\alpha )&=P(x\leq \alpha )\\&=P(\{s\in \Omega |X(s)\leq \alpha \})\\&=P(\{s\in \Omega |s\leq \alpha \})\\&=\left\{{\begin{matrix}P_{1}+P_{2}&\alpha >x_{2}\\P_{1}&x_{1}\leq \alpha <x_{2}\\0&\alpha <x_{1}\end{matrix}}\right.\\&=\sum _{i:x_{i}\leq \alpha }P_{i}\end{aligned}}$
* $X(T)=1$
* $X(C)=0$
con
* $P(T)=p$
* $P(C)=q$
Allora la funzione di distribuzione è
    $F_{X}(\alpha )=\left\{{\begin{matrix}1&\alpha >1\\q&0\leq \alpha <1\\0&\alpha <0\end{matrix}}\right.$
$\{\Omega ,F,P\}$
$\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\cdots ,\omega _{6}\}$
* $X(\omega _{1})=2$
* $X(\omega _{2})=10$
* $X(\omega _{3})=2$
* $X(\omega _{4})=4$
* $X(\omega _{5})=0$
* $X(\omega _{6})=-2$
Il risultato è quello in figura:

### Variabili casuali notevoli continue
#### Esponenziale di parametro $\lambda >0$

    $f(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&\forall x\leq 0\\0&{\text{altrove}}\end{matrix}}\right.\ \lambda >0$

#### Esponenziale bilatera, o di Laplace

    $f(x)={\frac {\lambda }{2}}e^{-\lambda |x|}\ \ \lambda >0$
La codifica predittiva utilizza parecchio la variabile casuale di Laplace. Si vuole comprimere un video, una serie di fotogrammi
    $[i-1,i,i+1]$
In generale, la funzione di densità di probabilità dei pixel sarà uniforme; al contrario, però, la funzione di densità di probabilità di
    $E=I_{i}-I_{i-1}$
$E$

#### Variabile casuale di Rayleigh di parametro $b>0$

    $f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {2x}{b}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{b}}}&x\geq 0\\0&{\text{altrimenti}}\end{matrix}}\right.$

#### Mixture gaussiane

Sono le variabili casuali le cui densità di probabilità si possono scrivere come combianzione lineare di gaussiane pesate.
$C_{1}$
$C_{2}$
* $N(\mu _{1},\sigma _{1})$
* $N(\mu _{2},\sigma _{2})$
$\mu _{i},\sigma ,_{i}$
$3000\times 3000$

### Variabili casuali notevoli discrete
#### Variabile casuale di Bernoulli

La variabile casuale di Bernoulli è di parametro $p$.
    $p^{x}\cdot (1-p)^{1-x}=p\delta (x-1)+(1-p)\delta (x)$
ed è valida soltanto per $x=0,1$

#### Binomiale di parametri $p$ e $n$

    $f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\binom {n}{x}}\cdot p^{x}(1-p)^{n-x}&x\\0&{\text{altrimenti}}\end{matrix}}\right.$
    $f_{X}(x)=\sum _{k=0,n}{\binom {n}{x}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

#### Variabile casuale poissoniana

    $f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}&x\\0&{\text{altrimenti}}\end{matrix}}\right.$
da cui
    $f_{X}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\delta (x-k)$
Questa variabile casuale è utile per le prove ripetute con $np=\lambda$ e $n\to \infty$