# Signoraggio e modello di Gagan
## Signoraggio e modello di Cagan

Il modello tradizionale per spiegare la dinamica dell'iperinflazione dovuta al signoraggio si deve al contributo pionieristico di Phillip Cagan (1956). L'analisi che segue è tratta principalmente dal testo di Obstfeld e Rogoff e dal testo di David Romer. Poiché siamo interessati ai redditi derivanti dalla creazione di base monetaria, di seguito per "moneta" si intenderà sempre la "base monetaria".

### Contesto teorico

La domanda di moneta in termini reali sia definita nella forma di Keynes (1936) e Hicks (1937):
${\frac {M_{t}^{d}}{P_{t}}}=L\left(Y_{t},i_{t+1}\right)$
dove
    $M_{t}^{d}\;$ è la domanda di moneta in termini nominali al tempo $t\;$
    $P_{t}\;$ è l'indice generale dei prezzi al tempo $t\;$
    $Y_{t}\;$ è il reddito al tempo $t\;$
    $i_{t+1}\;$ è il tasso d'interesse nominale dal tempo $t\;$ al tempo $t+1\;$
Come consueto, la domanda di moneta in termini reali è funzione positiva del reddito e negativa del tasso d'interesse nominale. Infatti un aumento nel reddito fa aumentare la domanda di moneta per transazioni; un aumento del tasso d'interesse nominale causa invece un aumento nel costo-opportunità di tenere moneta.
Occorre osservare che sotto l'ipotesi di perfette aspettative razionali nel senso di John Fraser Muth (1961), la relazione tra tasso d'interesse nominale ed inflazione è la nota parità di Irving Fisher:
$1+i_{t+1}=\left(1+r_{t+1}\right){\frac {E_{t}\left\{P_{t+1}\right\}}{P_{t}}}$
dove
    $r_{t+1}\;$ è il tasso d'interesse reale dal tempo $t\;$ al tempo $t+1\;$
    $E_{t}\left\{\cdot \right\}\;$ è l'operatore aspettative condizionato all'insieme di informazioni disponibili al tempo $t\;$
    $E_{t}\left\{P_{t+1}\right\}\;$ è il valore atteso dell'indice generale dei prezzi al tempo $t+1\;$
    ${\frac {E_{t}\left\{P_{t+1}\right\}}{P_{t}}}$ è pertanto l'inflazione attesa al tempo $t\;$ per il tempo $t+1\;$.
In un contesto caratterizzato da elevata inflazione, il tasso d'interesse reale può essere considerato a tutti gli effetti costante e trascurabile rispetto al tasso d'inflazione. Anche il reddito $Y_{t}\;$ può essere trascurato per lo stesso motivo. Pertanto la domanda di moneta in termini reali può essere riscritta come
${\frac {M_{t}^{d}}{P_{t}}}=L\left(i_{t+1}\right)=L\left[E_{t}\left\{{\frac {P_{t+1}}{P_{t}}}\right\}\right]$
Supponiamo pertanto che la domanda di moneta sia della forma
${\frac {M_{t}^{d}}{P_{t}}}=E_{t}\left\{{\frac {P_{t+1}}{P_{t}}}\right\}^{-\eta }$
dove $\eta \;$ è la semielasticità della domanda di moneta reale rispetto all'inflazione attesa.
Passando ai logaritmi, assumendo che l'offerta di moneta sia esogenamente determinata dal governo ed imponendo la condizione di equilibrio $M_{t}^{d}=M_{t}$, l'equazione risultante può essere scritta come segue:
$m_{t}-p_{t}=-\eta E_{t}\left\{p_{t+1}-p_{t}\right\}$
dove le variabili in minuscolo rappresentano i logaritmi delle variabili in maiuscolo. Per risolvere l'equazione basta risolvere ricorsivamente il sistema
$\left\{{\begin{matrix}p_{t}={\frac {1}{1+\eta }}m_{t}+{\frac {\eta }{1+\eta }}p_{t+1}\\\\p_{t+1}={\frac {1}{1+\eta }}m_{t+1}+{\frac {\eta }{1+\eta }}p_{t+2}\\\end{matrix}}\right.$
da cui si ottiene
    $p_{t}={\frac {1}{1+\eta }}\left(m_{t}+{\frac {\eta }{1+\eta }}m_{t+1}\right)+\left({\frac {\eta }{1+\eta }}\right)^{2}p_{t+1}$
Applicando lo stesso metodo ricorsivamente, si ottiene infine
$p_{t}={\frac {1}{1+\eta }}\sum _{s=t}^{\infty }\left({\frac {\eta }{1+\eta }}\right)^{s-t}m_{s}+\lim _{T\to \infty }\left({\frac {\eta }{1+\eta }}\right)^{T}p_{t+T}$
Escludendo l'ipotesi di bolle speculative autogenerantesi, occorre porre
    $\lim _{T\to \infty }\left({\frac {\eta }{1+\eta }}\right)^{T}p_{t+T}=0$
e pertanto l'indice dei prezzi sarà determinato dalla media ponderata dei valori attesi delle infinite offerte monetarie del futuro:
$p_{t}={\frac {1}{1+\eta }}\sum _{s=t}^{\infty }\left({\frac {\eta }{1+\eta }}\right)^{s-t}m_{s}$
Occorre notare che i pesi sono caratterizzati da un fattore di discesa esponenziale e sommano ad uno:
    ${\frac {1}{1+\eta }}\left[1+{\frac {\eta }{1+\eta }}+\left({\frac {\eta }{1+\eta }}\right)^{2}+\ldots \right]={\frac {1}{1+\eta }}\left({\frac {1}{1-{\frac {\eta }{1+\eta }}}}\right)=1$
Ciò implica la completa neutralità della moneta (il modello infatti non contiene rigidità nominali o illusione monetaria).

### I tentativi da parte del governo di massimizzare il signoraggio

Definiamo il signoraggio in tempo discreto come
$\sigma _{t}={\frac {M_{t}-M_{t-1}}{P_{t}}}={\frac {M_{t}-M_{t-1}}{M_{t}}}{\frac {M_{t}}{P_{t}}}$
Ricordiamo dalla sezione precedente che l'emissione di moneta fa aumentare l'inflazione attesa e ciò abbatte la domanda di moneta da parte del pubblico poiché quando l'inflazione aumenta la moneta "scotta". Riprendiamo pertanto l'equilibrio sul mercato della moneta:
${\frac {M_{t}}{P_{t}}}=\left({\frac {P_{t+1}}{P_{t}}}\right)^{-\eta }$
ed ipotizziamo che il tasso di crescita della moneta e tasso d'inflazione siano uguali e costanti:
$1+\mu ={\frac {M_{t}}{M_{t-1}}}={\frac {P_{t}}{P_{t-1}}}$
Il signoraggio reale può pertanto essere riscritto come
$\sigma _{t}=\left(1-{\frac {M_{t-1}}{M_{t}}}\right)\left({\frac {P_{t+1}}{P_{t}}}\right)^{-\eta }=\mu \left(1+\mu \right)^{-\eta -1}$
che è una curva di Laffer. La funzione è infatti senz'altro concava. Pertanto, al fine di trovarne il massimo, bastano le condizioni del primo ordine:
${\frac {d\sigma }{d\mu }}=\left(1+\mu \right)^{-\eta -1}-\mu \left(\eta +1\right)\left(1+\mu \right)^{-\eta -2}=0$
Moltiplicando per $\left(1+\mu \right)^{\eta +2}$ si ottiene:
$\left(1+\mu \right)-\mu \left(\eta +1\right)=1+\mu -\eta \mu -\mu =1-\eta \mu =0$
Pertanto, la soluzione ottimale per il governo è:
$\mu ^{*}={\frac {1}{\eta }}$
cioè il tasso di crescita della moneta deve essere fissato pari al reciproco della semielasticità della domanda, che è esattamente la classica condizione di massimizzazione dei profitti del monopolista con costi marginali di produzione nulli (per una trattazione matematica vedi anche la voce sul monopolio).

#### La curva di Laffer in forma generale

David Romer fa notare che l'equazione della curva di Laffer può essere ricavata in forma più generale. Ponendo la domanda di moneta pari a
${\frac {M}{P}}=L\left({\bar {r}}+\mu ,{\bar {Y}}\right)$
l'equazione del signoraggio in funzione del tasso di inflazione (cioè l'equazione della curva di Laffer) può essere riscritta come
$\sigma ={\frac {\dot {M}}{P}}=\mu {\frac {M}{P}}=\mu L\left({\bar {r}}+\mu ,{\bar {Y}}\right)$
Per individuare il massimo basterà la condizione del primo ordine:
${\frac {d\sigma }{d\mu }}=L\left({\bar {r}}+\mu ,{\bar {Y}}\right)+\mu L_{i}\left({\bar {r}}+\mu ,{\bar {Y}}\right)=0$
dove $L_{i}\left(\cdot \right)$ è la derivata di $L\;$ rispetto al suo primo argomento (cioè il tasso d'interesse nominale). Il primo termine, $L\left({\bar {r}}+\mu ,{\bar {Y}}\right)$, è strettamente positivo, il secondo termine, $\mu L_{i}\left({\bar {r}}+\mu ,{\bar {Y}}\right)$, è negativo. Il secondo termine tende a zero quando $\mu \;$ tende a zero, pertanto il signoraggio è inizialmente crescente per valori crescenti del tasso d'inflazione. Ma è ragionevole supporre che, per valori molto elevati del tasso d'inflazione, il secondo termine domini sul primo, e che quindi la tendenza della curva si inverta dando luogo alla classica concavità della curva di Laffer.

### Questioni aperte

Se dunque il reddito da signoraggio può essere efficientemente massimizzato dal governo, perché l'esperienza storica mostra che, al contrario, molti governi tendono a porsi sul lato sbagliato della curva di Laffer, a destra del valore che massimizza il signoraggio (nella figura μ$_2$ > μ*)? Cagan suggerisce che i governi scelgono di abusare del signoraggio quando sono alla disperata ricerca di fondi per coprire vasti deficit, e questo avviene quando la spesa da finanziare (G nella figura) è maggiore del massimo ottenibile (σ* nella figura). In questi casi i governi tendono a fidarsi eccessivamente dei redditi da signoraggio ed attivano spirali iperinflazionistiche. Un'ulteriore ipotesi che Cagan avanza è che le aspettative sul futuro da parte del settore privato siano imperfette, nella fattispecie di natura adattiva, cioè "backward-looking": in questo caso il governo potrebbe avere benefici di breve periodo da un ricorso al signoraggio maggiore del massimo consigliabile in quanto gli operatori starebbero sempre in ritardo nell'aggiustare le proprie aspettative. Gli economisti contemporanei non sono soddisfatti da quest'ultima spiegazione perché ritengono che, almeno sul piano dei modelli teorici, l'ipotesi che il governo sia in grado di ingannare sistematicamente il mercato non sia accettabile. Ciò tuttavia non toglie che il governo, spinto da esigenze contingenti, possa ugualmente tentarvi.
Nonostante la generale diffidenza degli economisti, Stanley Fischer ha osservato che «forse la semplice ipotesi di aspettative razionali qui non funziona, perché è difficile credere che gli agenti economici durante le iperinflazioni capiscano i processi dinamici ai quali stiano partecipando senza passare per qualche processo di apprendimento che sarebbe l'equivalente delle aspettative adattive».
Ma anche sotto l'ipotesi di perfette aspettative razionali "forward-looking" - ipotesi a cui, innanzitutto per motivi metodologici, gli economisti non sono disposti a rinunciare - il modello di Cagan riesce a spiegare un problema sottile associato all'analisi del signoraggio. Il governo ha infatti l'interesse ad annunciare una politica monetaria coerente con l'analisi svolta sopra, comunicando al mercato la propria intenzione di attenersi ad un'offerta di moneta pari a $\left({\frac {M}{P}}\right)^{*}=\left({\frac {1+\eta }{\eta }}\right)^{-\eta }$, ma poi, una volta incassata la fiducia del pubblico, ha piuttosto interesse a tradirlo fissando ${\frac {M}{P}}>\left({\frac {M}{P}}\right)^{*}$. Questo fenomeno è noto come "incoerenza intertemporale della politica economica" (per approfondimenti vedi l'analisi dei premi Nobel Finn Kydland e Edward Prescott e la letteratura che ne è originata). Se il pubblico è credulone e continua a credere agli annunci del governo, lo stesso trucco può essere ripetuto con successo indefinitamente, ed in questo caso il governo riuscirà effettivamente ad ottenere benefici dall'abuso di signoraggio, senza subire la punizione del mercato. Ma quest'ipotesi, almeno su un piano modellistico-formale, è inaccettabile. Molto più probabilmente gli operatori, dopo essere stati ingannati dal governo una prima volta, non gli concederanno altra fiducia e ne anticiperanno la tentazione di barare ulteriormente tramite la formazione di aspettative pessimiste sul futuro (per approfondimenti circa le strategie degli agenti si consiglia di consultare la voce sulla teoria dei giochi). Pertanto il governo, se si troverà nella necessità di massimizzare i redditi da signoraggio, prima dovrà necessariamente riconquistarsi una credibilità presso il pubblico. Per ottenere questo risultato, il governo potrebbe decidere di "legarsi le mani" legislativamente, ma questa scelta è spesso considerata troppo rigida, quindi non auspicabile. L'alternativa è allora quella di riguadagnarsi una buona reputazione presso il mercato con scelte di politica economica continuativamente coerenti e credibili: ciò tuttavia richiede molto tempo ed occorre considerare che, se è lungo e difficile il percorso di riconquista della reputazione, una sola scelta incoerente o non credibile può farla perdere nuovamente. Esistono quindi dei costi di cui il governo deve tenere conto, se vuole servirsi utilmente dello strumento del signoraggio, e senza causare danni economici. Per approfondimenti circa gli "equilibri di reputazione" si veda il modello di Robert J. Barro e David B. Gordon e la letteratura che ne è originata.