# Teoria della scelta in condizione di incertezza

La Teoria della scelta in condizione di incertezza studia il comportamento economico di agenti razionali di fronte a situazioni di incertezza, ossia situazioni nelle quali le conseguenze delle decisioni da prendere non sono certe.

## Obiettivi della lezione

* Definire cosa è l'incertezza e il modo in cui viene quantificata e la distinzione tra incertezza e rischio
* Presentare la versione classica e soggettivista della probabilità
* Presentare il modello di scelta alla von Neumann-Morgenstern per il rischio
* Accennare i principi di base della teoria soggettivista alla Savage

## Probabilità classica e soggettivista

Come definiamo l'incertezza? Esistono diverse visioni di incertezza a seconda della situazione che il decisore si trova ad affrontare; per comprenderlo bastano questi tre esempi:
* qual è la probabilità che lanciando una moneta non truccata esca testa?
* qual è la probabilità che Tizio vinca le prossime elezioni politiche?
* qual è la probabilità che Napoli sia più a nord di Bari?
La visione classica dice che la probabilità è la frequenza di lungo periodo con cui un certo evento si verifica all'interno di una sequenza di esperimenti indipendenti.
La visione soggettivistica dice che la probabilità è la caratteristica delle preferenze di un decisore di fronte ad una situazione di scelta, ossia la probabilità va dedotta dalle scelte di un decisore.
Dunque dal punto di vista classico solo il primo esempio ha un significato probabilistico, mentre dal punto di vista soggettivista tutte e tre hanno significato; la teoria economica utilizza la visione soggettivista.
Nella teoria del consumatore e del produttore le scelte dei decisori erano tra diversi panieri di beni; nella teoria della scelta in condizioni di incertezza gli oggetti della scelta sono incerti: investimenti in titoli rischiosi, contratti di assicurazione, scommesse, eccetera. Di conseguenza chiameremo lotterie gli oggetti della scelta. In questa lezione vedremo come rappresentare le preferenze di un agente rispetto a tali lotterie.
Un'ulteriore distinzione è quella tra incertezza e rischio:
* il rischio è legato a lotterie le cui probabilità sono esogenamente assegnate, ed in tale caso si fa riferimento al modello di von Neumann-Morgenstern;
* l'incertezza è legata a lotterie le cui probabilità sono valutate soggettivamente, ed in tale caso si fa riferimento al modello di Savage.

## Modello analitico

Gli agenti effettuano delle scelte tra diverse possibili lotterie; il risultato di una lotteria proviene da un insieme di possibili risultati $A\equiv \left\{a_{1},a_{2},...,a_{N}\right\}$. Tali risultati sono degli oggetti deterministici.
Una lotteria semplice o scommessa semplice è una distribuzione di probabilità sull'insieme A, ossia:
* $p_{i}\equiv Prob\left\{a=a_{i}\right\}\quad \forall i\in \left\{1,2,...,N\right\}$
* $p_{i}\geq 0\quad \forall i\in \left\{1,2,...,N\right\}$
* $\sum _{i=1}^{N}p_{i}=1$
Ed una scommessa verrà denotata come $g=\left(p_{1}\circ a_{1},p_{2}\circ a_{2},...,p_{N}\circ a_{N}\right)$.
Dato un insieme di possibili risultati A, l'insieme di tutte le possibili lotterie semplici su A è $G\equiv \left\{\left.\left(p_{1}\circ a_{1},p_{2}\circ a_{2},...,p_{N}\circ a_{N}\right)\right|p_{i}\geq 0,\sum _{i=1}^{N}p_{i}=1\right\}$.
Una lotteria composta è una lotteria i cui risultati sono oggetti deterministici oppure lotterie semplici; a questo punto si noti che un oggetto deterministico può essere definito come una lotteria che assegni l'oggetto con probabilità 1. Dato un risultato $a_{i}$, denotiamo la lotteria che assegna tale risultato con certezza $\delta _{i}$.
Le preferenze del consumatore $\succcurlyeq$ sono definite sull'insieme G. Si assuma che tali preferenze rispettano i seguenti assiomi:
* Completezza:$\forall g,g'\in G,g\succcurlyeq g'\lor g'\succcurlyeq g$
* Transitività:$\forall g,g',g''\in G,\left(g\succcurlyeq g'\land g'\succcurlyeq g''\right)\Rightarrow g\succcurlyeq g''$
* Continuità:$\forall g,g',g''\in G$, gli insiemi $\left\{\left.\alpha \in \left[0,1\right]\right|\alpha g+\left(1-\alpha \right)g'\succcurlyeq g''\right\}$ e $\left\{\left.\alpha \in \left[0,1\right]\right|g''\succcurlyeq \alpha g+\left(1-\alpha \right)g'\right\}$ sono chiusi.
* Indipendenza:$\forall g,g',g''\in G$ e $\forall \alpha \in \left(0,1\right)$, $g\succcurlyeq g'\Leftrightarrow \alpha g+\left(1-\alpha \right)g''\succcurlyeq \alpha g'+\left(1-\alpha \right)g''$.
I primi tre assiomi garantirebbero, da soli, l'esistenza di una funzione di utilità che rappresenta le preferenze; tuttavia tale funzione di utilità potrebbe avere delle proprietà sgradite che la renderebbero intrattabile, per cui viene aggiunto anche il quarto assioma.

## Teorema dell'utilità attesa

Sia U una funzione di utilità che rappresenta $\succcurlyeq$ su G; U ha la proprietà dell'utilità attesa se esiste una funzione $u:A\rightarrow \mathbb {R}$ tale che $U\left(g\right)=\sum _{i=1}^{N}p_{i}u\left(a_{i}\right)\quad \forall g\in G$. In questo caso U si dice funzione di utilità von Neumann-Morgenstern e u si dice funzione di utilità Bernoulli. Dunque in tale caso, l'utilità di una lotteria viene calcolata semplicemente facendo una media ponderata, rispetto alle rispettive probabilità, delle utilità dei risultati possibili.
Una relazione binaria di preferenza $\succcurlyeq$ su G completa e transitiva soddisfa gli assiomi di continuità e indipendenza se e solo se esiste una funzione di utilità $u:A\rightarrow \mathbb {R}$ tale che:
$g\succcurlyeq g'\Leftrightarrow \sum _{n=1}^{N}p_{n}u\left(a_{n}\right)\geq \sum _{n=1}^{N}p'_{n}u\left(a_{n}\right)$.
Inoltre se u ed u' sono due funzioni che soddisfano tale proprietà, allora $u'=\beta u+\gamma$, con $\beta >0$.
Si noti che tale teorema permette una notevole semplificazione dell'analisi di tali tipi di problema. Inoltre abbiamo visto il teorema nel caso in cui A è finito; il teorema è generalizzabile anche al caso in cui A è infinito e quindi ci permette l'utilizzo dei modelli probabilistici convenzionali, quali le funzioni di densità normale, logonormale e così via.

## Avversione al rischio

Assumiamo ora che $A=\mathbb {R_{+}}$ e interpretiamo ciascun $w\in A$ come la ricchezza finale del decisore. Assumiamo, inoltre, che gli assiomi valgano ed esista la funzione di utilità bernoulliana, con $u'>0$, e di utilità attesa.
Il certo equivalente $c\left(g,u\right)$ di una lotteria g per un decisore con funzione di utilità bernoulliana u è definito come: $u\left(c\left(g\right)\right)\equiv \sum _{i=1}^{N}p_{i}u\left(w_{i}\right)$. Il decisore è dunque indifferente tra il certo equivalente e la lotteria data.
A questo punto possiamo valutare l'avversione al rischio di diverse funzioni di utilità confrontando i certi equivalenti di una data lotteria:
* Un decisore si dice avverso al rischio se $c\left(g\right)\leq \sum _{i=1}^{N}p_{i}w_{i}\equiv \mathbb {E} \left(g\right)$ ovvero $u\left(\mathbb {E} \left(g\right)\right)\geq \sum _{i=1}^{N}p_{i}u\left(w_{i}\right)\equiv \mathbb {E} \left(u\left(g\right)\right)$; cioè sei il certo equivalente è non superiore al valore atteso della lotteria ovvero se l'utilità del valore atteso della lotteria è non inferiore al valore atteso dell'utilità della lotteria (come definito dalla funzione von Neumann-Morgenstern).
* Una funzione di utilità u è avversa al rischio se e solo se è concava.
* In maniera opposta si definisce il decisore amante del rischio e la sua funzione di utilità (che è convessa).
Come si vede, l'avversione al rischio dipende dalla concavità della funzione di utilità, quindi è intuitivo misurare la propensità al rischio facendo uso della derivata seconda.

### Avversione al rischio assoluta

La misura di avversione al rischio assoluta, o di Arrow-Pratt, di una funzione di utilità u al livello di ricchezza w è data da $R_{A}\left(w\right)\equiv -{\frac {u''\left(w\right)}{u'\left(w\right)}}$
Inoltre le seguenti proposizioni sono equivalenti:
* $R_{A}\left(w,u\right)\geq R_{A}\left(w,v\right)\quad \forall w$
* $c\left(g,u\right)\leq c\left(g,v\right)\quad \forall g$
* Esiste una funzione concava $\psi \left(\cdot \right)$ tale che $u\left(w\right)=\psi \left(v\left(w\right)\right)$
ossia u è più avversa al rischio di v se e solo se la misura A-P di u è più alta della misura A-P di v a qualunque livello di ricchezza.

### Avversione al rischio relativa

La misura di avversione al rischio relativa di una funzione di utilità u al livello di ricchezza w è data da $R_{R}\left(w\right)\equiv -{\frac {wu''\left(w\right)}{u'\left(w\right)}}$
In sostanza $R_{R}\left(w\right)$ misura l'avversione al rischio in proporzione al livello di ricchezza del decisore. È facile immaginare, infatti, che due soggetti aventi diversa ricchezza iniziale possano avere una diversa avversione al rischio, che però è dovuta solo alla loro ricchezza, non a fattori "psicologici".

### Tipi particolari di funzione

Rispetto alle misure di avversione al rischio definite in precedenza, possiamo introdurre due tipi particolari di funzione di utilità:
* l'utilità con una costante avversione al rischio assoluta (CARA) $u\left(w\right)=-e^{-\gamma w}$, dove $R_{A}\left(w\right)=\gamma \quad \forall w$;
* l'utilità con una costante avversione al rischio relativa (CRRA) $u\left(w\right)={\frac {w^{1-\rho }}{1-\rho }}$, dove $R_{R}\left(w\right)=\rho \quad \forall w$.

## Probabilità definite soggettivamente

Nel caso in cui le probabilità non siano esogene, o stabilite dalla natura, ma siano valutate soggettivamente del decisore, la teoria economica si basa sulla legge di Bayes.
Sia E un evento e sia la probabilità soggettiva $p\left(E\right)$ definita in modo tale che $p\left(E\right)\delta _{am}+\left(1-p\left(E\right)\right)\delta _{ap}$ sia indifferente a ricevere $\delta _{am}$ se E avviene e $\delta _{ap}$ in caso contrario. In tal caso valgono ancora le proprietà ordinarie delle proprietà oggettive, in particolare la legge di Bayes $p\left(\left.H\right|E\right)={\frac {p\left(\left.E\right|H\right)p\left(H\right)}{p\left(E\right)}}$, dove:
* $p\left(H\right)$ è la probabilità a priori, ossia la probabilità che l'ipotesi H sia vera prima di osservare l'evidenza E,
* $p\left(\left.H\right|E\right)$ è la probabilità a posteriori, ossia la probabilità condizionale che l'ipotesi H sia vera dopo aver osservato l'evidenza E.
In sostanza, un agente economico razionale aggiorna le sue aspettative alla luce delle nuove evidenze in base alla legge di Bayes.

## Esercizi

Si definisca la prudenza di una funzione di utilità bernoulliana come $P\left(w\right)\equiv -{\frac {u'''\left(w\right)}{u''\left(w\right)}}$, ossia come la misura A-P di $-u'\left(w\right)$. Si derivino le condizioni per cui l'avversione al rischio assoluta è decrescente e l'avversione al rischio relativa è decrescente in funzione della prudenza e della misura A-P.