# Urti (superiori)

Gli urti sono una categoria speciale di interazione tra due o più corpi. Questi fenomeni comprendono diversi casi, ma come regola generale sono caratterizzati da una forza o un momento della forza che si esercita tra i corpi in un tempo molto breve rispetto ai tempi caratteristici in cui cambia lo stato dinamico del sistema complessivo.

## Urti tra punti materiali

In questo caso è possibile trascurare ogni forza esterna al sistema, in quanto durante l'urto la forza è così intensa che ogni forza esterna al sistema è trascurabile, ma non è necessario che le forze impulsive dell'urto siano forze di contatto.
Consideriamo due punti materiali 1 e 2 con velocità iniziale (prima dell'urto) ${\vec {v}}_{10}$ e ${\vec {v}}_{20}$ e con velocità finale (dopo l'urto) ${\vec {v}}_{1f}$ e ${\vec {v}}_{2f}$. L'assenza di forze esterne durante l'urto implica la conservazione della quantità di moto:
    $m_{1}{\vec {v}}_{10}+m_{2}{\vec {v}}_{20}=m_{1}{\vec {v}}_{1f}+m_{2}{\vec {v}}_{2f}\$
Al contrario della conservazione della quantità di moto in genere non vale la conservazione dell'energia in quanto le forze impulsive che agiscono durante l'urto possono essere non conservative. Questo implica che l'energia cinetica totale del sistema possa variare. Infatti seppure l'energia totale del sistema sia data dalla somma della energia cinetica e dell'energia potenziale (dovuta alle forze esterne) durante la breve durata dell'urto potendosi trascurare le forze esterne anche la variazione della loro energia potenziale è trascurabile. Quindi solo l'energia cinetica non si conserva. In ogni caso ricordando il secondo teorema di König solo l'energia cinetica rispetto al centro di massa può essere dissipata in quanto la dissipazione è provocata da forze interne. Le forze dissipative vengono chiamate anelastiche per distinguerle dalle forze tipicamente conservative elastiche.

## Urto completamente anelastico

In un urto di questo genere l'energia cinetica rispetto al centro di massa viene dissipata nella deformazione permanente dei due corpi. Nell'urto completamente anelastico i due corpi proseguono insieme nel loro moto con la velocità che aveva inizialmente il centro di massa ${\vec {v}}_{CM}\$:
    $m_{1}{\vec {v}}_{10}+m_{2}{\vec {v}}_{20}=(m_{1}+m_{2}){\vec {v}}_{CM}\$
Quindi:
    ${\vec {v}}_{CM}={\frac {m_{1}{\vec {v}}_{10}+m_{2}{\vec {v}}_{20}}{m_{1}+m_{2}}}\$
L'energia cinetica prima dell'urto vale:
    $E_{k0}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{10}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{20}^{2}\$
mentre
    $E_{kf}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})v_{CM}^{2}\$
Sempre minore di quella iniziale.
Nel caso particolare mostrato nella animazione in alto che le masse sono equali e che il corpo 2 è inizialmente fermo, dalla conservazione della quantità di moto segue che la velocità del centro di massa (che non cambia nell'urto) è la metà della velocità della massa e che l'energia cinetica totale del sistema si dimezza. In generale nell'urto totalmente anelastico tra un oggetto in moto ($m_{1}$, ${\vec {v}}$) ed uno ($m_{2}$) inizialmente fermo:
    ${\vec {v}}_{CM}={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {v}}\$
    $E_{k0}={\frac {1}{2}}m_{1}v^{2}\$
    $E_{kf}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{1}^{2}}{m_{1}+m_{2}}}v^{2}\$
    ${\frac {E_{kf}}{E_{k0}}}={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\$
Quindi più grande è la massa $m_{2}\$ rispetto alla massa $m_{1}\$ maggiore sarà l'energia dissipata. Nel pendolo balistico il proiettile si conficca in un oggetto di grande massa perdendo quasi totalmente la sua energia cinetica e quindi permette una facile misura della velocità iniziale dei proiettili.

## Sistema di riferimento del centro di massa

Tranne il caso dell'urto completamente anelastico, negli altri casi è opportuno considerare cosa succede nel sistema di riferimento del centro di massa. Cioè un sistema di riferimento che ha origine nel centro di massa, non ruotante. Il sistema di riferimento di partenza viene chiamato sistema di laboratorio, che non necessariamente è un sistema di riferimento inerziale, in quanto anche le forze apparenti eventualmente presenti, durante l'urto sono trascurabili rispetto alle forze impulsive. Poiché per definizione la velocità del centro di massa è pari a:
    ${\vec {v}}_{CM}={\frac {m_{1}{\vec {v}}_{10}+m_{2}{\vec {v}}_{20}}{m_{1}+m_{2}}}\$
Quindi la velocità dei due punti materiali rispetto alla velocità del centro di massa è:
    ${\vec {v}}_{10}^{'}={\vec {v}}_{10}-{\vec {v}}_{CM}\$
    ${\vec {v}}_{20}^{'}={\vec {v}}_{20}-{\vec {v}}_{CM}\$
Se moltiplichiamo la prima per $m_{1}\$ e la seconda per $m_{2}\$ otteniamo le quantità di moto dei due punti materiali nel sistema del centro di massa:
    $m_{1}{\vec {v}}_{10}^{'}=m_{1}\left({\vec {v}}_{10}-{\frac {m_{1}{\vec {v}}_{10}+m_{2}{\vec {v}}_{20}}{m_{1}+m_{2}}}\right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}({\vec {v}}_{10}-{\vec {v}}_{20})\$
    $m_{2}{\vec {v}}_{20}^{'}=m_{2}\left({\vec {v}}_{20}-{\frac {m_{1}{\vec {v}}_{10}+m_{2}{\vec {v}}_{20}}{m_{1}+m_{2}}}\right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}({\vec {v}}_{20}-{\vec {v}}_{10})\$
Quindi nel sistema del centro di massa le due quantità di moto sono eguali ed opposte. La cosa è vera sia prima che dopo l'urto e indipendentemente dal fatto che l'energia cinetica si conservi o meno. Quindi un osservatore posto sul centro di massa osserva che i due punti materiali si scontrano con la stessa quantità di moto apparente. Notiamo che in ogni caso la velocità del centro di massa non cambia nell'urto.
L'energia cinetica iniziale rispetto al centro di massa, l'unica che può cambiare nell'urto, si può esprimere quindi in funzione della velocità iniziale di una sola massa in quanto:
    ${\vec {v}}_{20}^{'}=-{\vec {v}}_{10}^{'}{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\$
    $E_{k0}^{\ '}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{10}^{'2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{20}^{'2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{10}^{'2}(1+m_{1}/m_{2})\$
Analogamente quella finale:
    $E_{kf}^{\ '}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1f}^{'2}(1+m_{1}/m_{2})\$

## Urto elastico

Un urto si dice elastico quando l'energia cinetica rispetto al centro di massa viene conservata nell'urto cioè:
    $E_{kf}^{\ '}=E_{k0}^{\ '}\$
e quindi:
    $v_{1f}^{'2}=v_{10}^{'2}\$
ma anche:
    $v_{2f}^{'2}=v_{20}^{'2}\$
Nel caso tridimensionale o bidimensionale queste equazioni non bastano a determinare le velocità finali delle particelle che urtano, e bisogna specificare in qualche maniera altre informazioni sulla velocità dopo l'urto per determinare lo stato finale del sistema. Infatti nel caso tridimensionale le velocità finali sono in totale sei incognite e le equazioni che abbiamo sono solo quattro (conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia). Lo stesso anche nel caso bidimensionale in cui le velocità finali sono in totale quattro incognite e le equazioni che abbiamo sono solo tre (conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia). Solo nel caso unidimensionale il problema è risolvibile senza condizioni aggiuntive, tranne il fatto ovvio che, nel sistema del centro di massa le velocità debbono invertirsi nell'urto:
    $v_{1f}^{'}=-v_{10}^{'}\$
    $v_{2f}^{'}=-v_{20}'\$
Queste equazioni si traducono nel sistema di laboratorio in:
    ${\begin{aligned}v_{1f}&=v_{1f}^{'}+v_{CM}=-v_{10}^{'}+v_{CM}=-(v_{10}-v_{CM})+v_{CM}=-v_{10}+2v_{CM}=\\&=-v_{10}+2{\frac {m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {(m_{1}-m_{2})v_{10}+2m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}\$
    ${\begin{aligned}v_{2f}&=v_{2f}^{'}+v_{CM}=-v_{20}^{'}+v_{CM}=-(v_{20}-v_{CM})+v_{CM}=-v_{20}+2v_{CM}=\\&=-v_{20}+2{\frac {m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {(m_{2}-m_{1})v_{20}+2m_{1}v_{10}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}\$

## Urto anelastico

Questo è il caso più comune in cui l'energia cinetica rispetto al centro di massa viene conservata solo in parte cioè:
    $E_{kf}^{\ '}=e^{2}E_{k0}^{\ '}\$
Dove la costante adimensionale $e\,\!$ viene detta coefficiente di restituzione ed è compresa tra 0 ed 1. Cioè vale 1 per urto elastico e 0 per urto completamente anelastico. In realtà il coefficiente di restituzione è pari al rapporto nel sistema di riferimento del centro di massa (cambiato di segno):
    $e=-{\frac {p_{1f}^{'}}{p_{10}^{'}}}=-{\frac {p_{2f}^{'}}{p_{20}^{'}}}\$
Di conseguenza si ha che nel caso unidimensionale:
    $v_{1f}^{'}=-ev_{10}^{'}\$
    $v_{2f}^{'}=-ev_{20}'\$
Nel sistema di laboratorio:
    ${\begin{aligned}v_{1f}&=v_{1f}^{'}+v_{CM}=-ev_{10}^{'}+v_{CM}=-e(v_{10}-v_{CM})+v_{CM}=-ev_{10}+(1+e)v_{CM}=\\&=-ev_{10}+(1+e){\frac {m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {(m_{1}-em_{2})v_{10}+(1+e)m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}\$
    $v_{2f}={\frac {(m_{2}-em_{1})v_{20}+(1+e)m_{1}v_{10}}{m_{1}+m_{2}}}\$
Notare come le due espressioni precedenti che valgono nel caso unidimensionale. Nel caso di e=0 cioè urto completamente anestatisco diventano:
    $v_{1f}=v_{2f}={\frac {m_{2}v_{20}+m_{1}v_{10}}{m_{1}+m_{2}}}=v_{CM}\$
Mentre nel caso di e=1 si riducono alle formule viste nel caso dell'urto elastico.

# Urto tra punti materiali e corpi rigidi

Consideriamo per semplicità che il problema sia possibile trattarlo in maniera unidimensionale, ed il corpo rigido è fermo prima dell'urto, mentre il punto materiale ha una velocità iniziale $v_{o}\$. Vi sono vari casi possibili. Usiamo il simbolo $M\$ per la massa del corpo rigido ed $m\$ per quella del punto materiale.

## Urto completamente anelastico e corpo rigido vincolato

Questo è il caso più semplice, caso tipico di un proiettile che si conficca su un corpo rigido a distanza $h\$ dal vincolo. Il moto finale è un moto rotatorio con velocità angolare $\omega \$ del sistema complessivo attorno al vincolo. Definiamo $I_{o}\$ il momento di inerzia attorno al vincolo del corpo rigido per l'asse normale al piano formato dalla retta di impatto e il vincolo. Se $v_{o}\$ è la velocità iniziale del punto materiale di massa $m\$. Nel caso che il punto materiale si muova prima dell'urto con direzione perpendicolare alla congiungente il punto di impatto e il vincolo, dalla conservazione del momento angolare rispetto al vincolo segue che:
    ${\vec {L}}_{o}={\vec {L}}_{f}\$
Dove $|{\vec {L}}_{o}|=mv_{o}h\$ e definita $\omega \$ la velocità angolare subito dopo l'impatto:
    $|{\vec {L}}_{f}|=I_{o}\omega +mv_{f}h=I_{o}\omega +m\omega h^{2}\$
Il punto materiale conficcatosi a distanza $h\$ dal vincolo ha una velocità pari a $v_{f}=\omega h\$. Quindi sostituendo le espressioni del momento angolare rispetto al vincolo nella legge di conservazione:
    $mv_{o}h=I_{o}\omega +m\omega h^{2}\$
Di conseguenza la velocità angolare vale:
    $\omega ={\frac {v_{o}/h}{1+I_{o}/(mh^{2})}}\$
La variazione della quantità di moto del punto materiale vale:
    $\Delta P_{m}=m\omega h-mv_{o}=mv_{o}\left({\frac {1}{1+I_{o}/(mh^{2})}}-1\right)=-{\frac {v_{o}I_{o}/h^{2}}{1+I_{o}/(mh^{2})}}\$
La variazione della quantità di moto del corpo rigido:
    $\Delta P_{M}=Mv_{CM}=M\omega r_{OC}={\frac {Mv_{o}r_{OC}/h}{1+I_{o}/(mh^{2})}}\$
Avendo indicato con $r_{OC}\$ la distanza tra centro di massa e vincolo e avendo sostituito ad $\omega \$ l'espressione calcolata prima. Possiamo quindi trovare l'impulso $J_{v}\$ che al momento dell'impatto il vincolo deve fornire al corpo rigido:
    $J_{v}=\Delta P_{m}+\Delta P_{M}\$
    $J_{v}=-{\frac {v_{o}I_{o}/h^{2}}{1+I_{o}/(mh^{2})}}+{\frac {Mv_{o}r_{OC}/h}{1+I_{o}/(mh^{2})}}=\left(Mr_{OC}-{\frac {I_{o}}{h}}\right){\frac {v_{o}/h}{1+I_{o}/(mh^{2})}}=\left(Mr_{OC}-{\frac {I_{o}}{h}}\right)\omega \$
Si nota come l'espressione dentro la parentesi tonda possa cambiare di segno passando da valori di $h\$ piccoli a grandi e in particolare il punto di impatto in cui: .
    $Mr_{OC}-{\frac {I_{o}}{h_{s}}}=0\quad \Rightarrow h_{s}={\frac {I_{o}}{Mr_{OC}}}\$
Viene chiamato sweet spot: la sua posizione non dipende dal fatto che l'urto sia completamente anelastico o elastico. La posizione di tale punto è importante negli attrezzi di molti sport nel quale si riceve e si rilancia un oggetto quali il tennis o il baseball.
L'energia dissipata nell'urto è pari a:
    $E_{ko}-E_{kf}={\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}-{\frac {1}{2}}I_{o}\omega ^{2}+m(\omega h)^{2}={\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}\left(1-{\frac {1}{1+I_{o}/(mh^{2})}}\right)={\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}{\frac {I_{o}/(mh^{2})}{1+I_{o}/(mh^{2})}}\$

## Urto elastico e corpo rigido vincolato

Qui il corpo rigido è vincolato e viene urtato da un punto materiale, che dopo l'urto rimbalza elasticamente senza dissipare energia. Il moto che ne deriva è un moto rotatorio attorno al vincolo, ma bisogna seguire anche il moto del punto materiale dopo l'urto. Chiamiamo $h\$ la distanza tra la retta di impatto ed il centro di massa. Il punto materiale dopo l'urto ha una velocità $v_{f}\$. In questo caso si conservano sia l'energia che il momento angolare, usando in parte le stesse notazioni del caso precedente:
    ${\vec {L}}_{o}={\vec {L}}_{f}\$
    $E_{ko}=E_{kf}\$
Che si traducono in:
    $mv_{o}h=mv_{1}h+I_{c}\omega \$
    ${\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{o}\omega ^{2}\$
Questo sistema di secondo grado ha sia le soluzioni banali: $v_{f}=v_{o}\$,$\omega =0\$ cioè non vi è urto!, che quelle cercate, con passaggi matematici non riportati si trova che sono:
    $\omega ={\frac {2mv_{o}h}{mh^{2}+I_{o}}}\$
    $v_{f}=v_{o}{\frac {mh^{2}/I_{o}-1}{mh^{2}/I_{o}+1}}\$
La velocità finale del punto materiale può essere nella stessa direzione iniziale se $mh^{2}>1\$ (cioè se la massa del punto materiale è grande e la distanza di impatto è grande), mentre se il punto materiale ha una piccola massa rimbalza indietro.
Notiamo che la reazione vincolare ha una espressione simile al caso completamente anelastico:
    $J_{v}=\Delta P_{m}+\Delta P_{M}\$
    $J_{v}=m(v_{o}-v_{f})+M\omega r_{OC}\$
Dalla conservazione del momento angolare si ha che $m(v_{o}-v_{f})=-(I_{o}\omega )/h\$, quindi:
    $J_{v}=-{\frac {I_{o}\omega }{h}}+M\omega r_{OC}=\omega \left(Mr_{OC}-{\frac {I_{o}}{h}}\right)\$
Notiamo che seppure sembra la stessa espressione del caso anelastico, il valore di $\omega \$ è diverso. Ma la posizione dello sweet spot è la stessa:
    $h_{s}={\frac {I_{o}}{Mr_{OC}}}\$

## Urto completamente anelastico e corpo rigido non vincolato

E' il caso in cui non vi è nessun vincolo sul corpo rigido su cui si conficca un oggetto andandogli ad urtare contro, il moto che ne consegue è rototraslazionale. In questo caso essendo il corpo non vincolato il polo da considerare è il centro di massa, che però non è il centro di massa del corpo rigido, in quanto la presenza dell'oggetto conficcato ne altera la posizione iniziale, ponendosi il centro di massa nuovo ad una distanza $r_{c}\$ dal centro di massa del corpo rigido urtato, in una posizione tra l'originario centro di massa ed la retta di impatto:
    $r_{c}={\frac {mh}{m+M}}\$
Se quindi il momento di inerzia del corpo rigido per l'asse passante per il centro di massa del corpo rigido prima dell'urto, asse normale al piano formato dalla retta di impatto e il centro di massa era $I_{c}\$, per il teorema di Huygens-Steiner diventa:
    $I_{o}=I_{c}+Mr_{c}^{2}\$
In questo caso si conservano sia la quantità di moto che il momento angolare. Per la conservazione della quantità di moto:
    $mv_{o}=(M+m)v_{f}\$
Quindi la velocità con cui trasla:
    $v_{f}={\frac {v_{o}}{m+M}}\$
Mentre per la conservazione del momento angolare, rispetto al centro di massa del sistema:
    $mv_{o}(h-r_{c})=I_{o}\omega +m\omega (h-r_{c})^{2}=I_{c}\omega +Mr_{c}^{2}\omega +m\omega (h-r_{c})^{2}\$
    $\omega ={\frac {mv_{o}(h-r_{c})}{I_{c}+Mr_{c}^{2}+m(h-r_{c})^{2}}}\$
L'energia cinetica finale è data da:
    $E_{kf}={\frac {1}{2}}I_{o}\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}(M+m)v_{f}^{2}+m\omega ^{2}(h-r_{c})^{2}\$

## Urto completamente elastico e corpo rigido non vincolato

In questo caso il moto che ne deriva è rototraslatorio ed i parametri finali sono tre: la velocità angolare ($\omega \$ ), la velocità del centro di massa del corpo rigido ($v_{C}\$ ) e quella finale del punto materiale ($v_{1}\$ ). Il polo è il centro di massa e il momento di inerzia del corpo rigido per l'asse passante per il centro di massa normale al piano formato con la retta di impatto è $I_{c}\$. In questo si conserva la quantità di moto:
    $mv_{o}=mv_{1}+Mv_{C}\$
L'energia:
    ${\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}={\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{c}\omega ^{2}\$
Il momento angolare rispetto al centro di massa:
    $mv_{o}h=mv_{1}h+I_{o}\omega \$
Le soluzioni di questo sistema di equazioni sono:
    $\omega ={\frac {2Mhmv_{o}}{Mmh^{2}+mI_{o}+MI_{o}}}\$
    $v_{C}={\frac {2I_{o}mv_{o}}{Mmh^{2}+mI_{o}+MI_{o}}}\$
    $v_{1}=v_{o}{\frac {Mmh^{2}+mI_{o}-MI_{o}}{Mmh^{2}+mI_{o}+MI_{o}}}\$
Dall'ultima è chiaro come il punto materiale rimbalzi indietro se la sua massa è abbastanza più piccola della massa del corpo rigido.

## Pendolo balistico

Il pendolo balistico è un esempio classico di urto: un proiettile di massa $m_{1}\$ di velocità ignota $v\$ viene sparato contro un corpo rigido di massa $m_{2}\$ appeso con un filo inestensibile ad un supporto fisso. Il proiettile si conficca nel punto di impatto con un urto completamente anelastico. Si conserva la quantità di moto del sistema, detta $V\$ la velocità di insieme del proiettile più corpo rigido dopo l'urto:
    $m_{1}v=(m_{1}+m_{2})V\$
Mentre la velocità $V\$ non è facilmente misurabile, l'altezza massima che viene raggiunta dopo è facilmente misurabile. Infatti per la conservazione dell'energia, dopo l'urto, la velocità di insieme si ricava dalla massima quota $h\$ raggiunta eguagliando energia cinetica (subito dopo l'urto) e l'energia potenziale alla massima quota:
    ${\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})V^{2}=(m_{1}+m_{2})gh\$
da cui:
    $V={\sqrt {2gh}}\$
Quindi, sostituendo a ritroso nell'equazione della conservazione della quantità di moto nell'urto, si riesce a conoscere la velocità iniziale del proiettile:
    $v={\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{1}}}{\sqrt {2gh}}\$
Questo metodo è usato in balistica per misura la velocità dei proiettili da cui il nome.