# Processo d'integrazione numerica nel sonar FALCON

Il processo d’integrazione numerica nel sonar FALCON, necessario per la costruzione dei fasci preformati sul computer, è l'equivalente dell’operazione d'integrazione analogica che si attua con un circuito $RC.$
L'operazione si sviluppa con tante routine di calcolo quanti sono il numero dei fasci preformati del sonar.
L'integrazione è indispensabile per abbattere il rumore (varianza) presente all'uscita dei processi di correlazione che generano i fasci preformati.
Maggiore sarà il tempo d'integrazione minori saranno sia la varianza che la velocità di assestamento dei processi di correlazione.
Minore sarà il tempo d'integrazione maggiori saranno sia la varianza che la velocità di assestamento dei processi di correlazione.

## Nota sui metodi d’integrazione dei segnali

Nel caso d’integrazione analogica i segnali da integrare sono applicati all'ingresso di una cellula $RC$ alla cui uscita si ottiene, secondo una specifica legge, la somma di tutti i contributi di tensione applicati all'ingresso.
Per l’integrazione numerica generica i segnali campionati da integrare sono applicati al computer mediante conversione $A/D$ e la loro somma, secondo la legge classica, è disponibile, dopo conversione $D/A$, all'uscita della macchina.
Il processo d'integrazione del sonar FALCON non necessità di conversione $A/D$ dato che i valori numerici da integrare sono prelevati automaticamente dalle matrici di calcolo per essere processati.
L'integrazione numerica necessita che i segnali da elaborare siano campionati, secondo Nyquist, con frequenza superiore al doppio della frequenza massima dei segnali stessi.

## Le variabili e l’algoritmo del processo d’integrazione del FALCON

Le variabili che strutturano l’algoritmo d’integrazione numerica sono:
* $X$ (identifica il dato numerico campionato che, in tempo reale, viene immesso a calcolo)
* $m$ (identifica il numero di campioni acquisiti)
* $X_{m}$ ( identifica il contenuto della cellula di memoria che conserva il dato precedentemente calcolato dalla routine d’integrazione dopo $m$ campioni di $X$ )
* $X_{m+1}$ ( identifica il contenuto della cellula di memoria che conserva il dato calcolato dalla routine d’integrazione al campione ${m+1}$ )
* $\beta$ ( indica il coefficiente d’integrazione che agisce nella routine di calcolo; questa variabile, contenuta in apposita memoria, ha funzione corrispondente alla costante di tempo $RC$ che caratterizza l’integratore analogico.)
* $X_{m=\infty }=\beta \cdot X$ ( identifica il livello massimo raggiungibile da $X_{m}$ per $m=\infty$ )
L’algoritmo per l’integrazione numerica, da implementare in apposita routine di calcolo iterativo, è il seguente:
$X_{m+1}=X+X_{m}-X_{m}/\beta$
L’algoritmo ha diverse caratteristiche importanti quali:
* Consente la variazione, da tastiera o da pannello di comando, della costante d’integrazione $\beta$ per adattarla al meglio alla situazione operativa del sonar nelle fasi di sorveglianza in mare.
* Esegue l'elaborazione simultanea di $n$ canali d’integrazione indipendenti inserendo nel programma di calcolo altrettante routine d’integrazione con $\beta$ variabile su ciascuna routine.
* Riduce i tempi di calcolo che risultano irrilevanti.
* Produce l'attenuazione della varianza all'uscita di ogni singolo canale di correlazione software similmente all'integrazione $RC.$

## Controllo della risposta dell'algoritmo d'integrazione ad uno scalino numerico

Nelle fasi di studio e sviluppo del sonar FALCON è emersa la necessità di verificare la correttezza degli algoritmi di integrazione numerica nell'ambito del sistema a fasci preformati.
Per tale verifica è stata sviluppata apposita routine di calcolo su P.C. che simula la risposta operativa del sistema d'integrazione all'applicazione di uno scalino numerico.
L'andamento nel tempo del livello numerico dopo integrazione deve seguire la legge esponenziale caratteristica ($y=1-e^{-m/\beta }$) similmente all'esponenziale ($y=1-e^{-t/RC}$) relativo alla cellula RC, il risultato della simulazione al P.C. è mostrato in figura 1 :
L'asse delle ascisse si estende da $m=0$ a $m=10000$; pari a $10000/20=500$ campioni per divisione del reticolo.
L’asse delle ordinate è calibrato per un livello numerico massimo di $X_{m}=4480$ pari a $4480/20=224$ per divisione del reticolo.
La curva, ottenuta applicando all'algoritmo un livello numerico fisso, mostra come al variare di $m$ (numero dei campioni), l'equivalente del tempo d'integrazione in un circuito $RC$, la risposta $X_{m}$ segua il profilo dell'esponenziale citata.
Un riscontro preciso sull'andamento della curva di risposta si determina, assunti un valore della costante di tempo d'integrazione di $\beta =1500$ e uno scalino numerico pari $X=2.33$, come segue:
Dal grafico si osserva che il processo d’integrazione va a regime dopo circa $m=7500$ campioni dal momento che riceve lo scalino numerico $X=2.33$
Il livello massimo di $(X_{m})$, sull'ordinata, è di $X_{7500}$$\approx 15.33$ div. pari ad un valore numerico di $15.33\cdot 224=3434$.
Il livello che si riscontra sull'ordinata per $m=1500$ è pari a $X_{1500}$ $\approx 9.8$ div. corrispondente a un valore numerico di $9.8\cdot 224=2195$.
Il rapporto $2195/3434=0.639$ indica che il livello d’uscita dell’integratore, per $m=\beta$ = $1500$, sia $\approx 63$% del massimo così come restituisce la risposta di un circuito integratore $RC$, sottoposto ad uno scalino di tensione.

## Simulazioni della risposta dell'algoritmo d'integrazione ad un segnale numerico affetto da varianza

Le simulazioni prevedono che all'algoritmo d'integrazione sia applicato ad un livello numerico affetto da una determinata percentuale di varianza; in questo caso, dopo l'assestamento di $X_{m}$ al valore numerico medio di regime, s'instaura un livello numerico ondulante pari al livello di varianza ridotto del coefficiente d'integrazione $\beta$ come mostra la figura 2 il cui reticolo ha le stesse dimensioni del precedente:
L'asse delle ascisse si estende da $m=0$ a $m=10000$; pari a $10000/20=500$ campioni per divisione.
L’asse delle ordinate è calibrato per un livello numerico massimo di $X_{m}=4480$ pari a $4480/20=224$ per divisione.
In questo caso, per mettere in evidenza la varianza a scopo dimostrativo, è stato impostato un valore di $\beta$ relativamente basso: $\beta =200$.
Dalla figura si osserva che con il valore di $\beta$ così basso il tempo di assestamento di $X_{m}$ al livello medio, è molto piccolo: $m\approx 600$ campioni.
Il vantaggio di un coefficiente d'integrazione $\beta$ notevolmente superiore a $200$ è mostrato nella seconda simulazione per $\beta =1000$ come si vede in figura 3:
Nella figura si osserva, rispetto alla precedente, una notevole riduzione della varianza, ma un rallentamento iniziale di $X_{m}$ prima di andare a regime; infatti il numero dei campioni è ora $m\approx 4500$
Il valore del coefficiente d'integrazione $\beta$ può essere incrementato tanto da ridurre la varianza a livelli impercettibili; il prezzo di tale incremento è un aumento, a volte non accettabile, del tempo necessario per andare a regime che può penalizzare il sonar nelle fasi d'inseguimento di bersagli veloci.