# Caratteristiche di direttività e loro trasformazioni

La trasformazione delle caratteristiche di direttività, rilevate sul campo o calcolate con algoritmi trascendenti, si rende indispensabile quando, disponendo di dati tabellari o funzioni molto complesse, sia necessario eseguire su di esse sviluppi di analisi matematica..

## Caratteristica di direttività e sue trasformazioni

La caratteristica di direttività di un sistema acustico indica come varia la sensibilità di ricezione con il variare della direzione di provenienza dell'onda sonora.
Se la sensibilità è la massima possibile in una direzione e diminuisce molto rapidamente con il variare di essa si dice che la base ricevente ha una buona direttività, cioè presenta una direzione preferenziale d'ascolto.
Per la trasformazione delle caratteristiche di direttività vengono presi in esame due casi:

## Direttività misurata con rilievi sul campo

Un insieme di dati relativo alla caratteristica di direttività rilevata per valori angolari discreti è mostrato in tabella:
| $\beta$° | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
| ampiezza (veff) | 8.5 | 7.6 | 7.9 | 7.1 | 6.7 | 4.8 | 3.5 | 2.2 | 1 | 0 |
| ampiezza normalizzata | 1 | 0.88 | 0.92 | 0.82 | 0.77 | 0.56 | 0.41 | 0.26 | 0.12 | 0 |
* nella prima riga sono riportati 10 valori angolari per diversi puntamenti idrofonici ad intervali di $2$°
* nella seconda riga i valori di tensione rilevati, da $8.5\ Veff.\$ a $\ 0\ Veff.$ nelle diverse direzioni di puntamento del sistema di misura
* nella terza riga gli stessi valori della riga precedente trascritti in forma normalizzata; da $1$ a $0$.
La serie dei dati normalizzati è riportata nel grafico di figura 1:
Con l’insieme di tali punti di misura non è consentita alcuna operazione di carattere analitico; per far ciò e necessaria la trasformazione dei dati discreti secondo quanto indicato di seguito.

## Direttività calcolata con l'algoritmo di Stenzel

Da un punto di vista strettamente matematico la direttività di un gruppo di sensori si può ottenere sommando i contributi di tensione generati dai singoli idrofoni opportunamente ritardati: essa è governata da leggi matematiche che consentono di calcolare l'andamento della loro somma in funzione di diverse variabili quali: le dimensioni, la frequenza, la larghezza della banda delle frequenze, l'angolo di provenienza dell'onda acustica rispetto all'asse geometrico della base, il numero dei sensori che la costituiscono; l’algoritmo di Stenzel che segue ne è un esempio:
$R(\alpha )={\sqrt[]{(1/n)+(2/n^{2})\cdot \sum _{m=1}^{j}\left\{(n-m)\cdot [\sin \ (m\cdot p\cdot x)/(m\cdot p\cdot x)]\cdot \cos \ [(p+2)\cdot m\cdot x]\right\}}}$
Dove:
$n=$ numero degli idrofoni
$j=n-1$
$d=L/(n-1)$
$L=$ lunghezza della base in metri
$c=$ velocità del suono in m / s
$x=(\pi \cdot d\cdot f_{1}/c)\cdot \sin \ \beta$°
$f_{1}=$ frequenza inferiore della banda in $Hz$
$f_{2}=$ frequenza superiore della banda in $Hz$
$p=(f_{2}-f_{1})/f_{1}$
Un grafico della direttività secondo Stenzel è riportato in figura 2:
In questo caso, data la complessità dell'algoritmo, non è possibile elaborarlo per via analitica.
In entrambe le forme di rilievo della direttività, per un'elaborazione dei dati, è necessario che dette caratteristiche vengano espresse con una funzione facilmente manipolabile con i mezzi dell'analisi matematica; vedremo quindi come determinare questa particolare funzione.

## La funzione gaussiana

Nella fase di studio delle problematiche connesse con il calcolo del minimo numero dei fasci preformati dei sonar IP70/74, montati sui sottomarini classe Sauro, si è manifestata l'esigenza di trasformare una serie di rilievi strumentali (espressi mediante una tabella) in una funzione matematica che fosse assimilabile all'andamento dei dati disponibili, almeno nei dintorni del massimo.
Visto il profilo della serie dei dati di tabella messi in forma di grafico si è individuato come buona parte del profilo fosse simile alla funzione gaussiana, adatto quindi ad essere assimilato a tale funzione:
$Y(\beta )=e^{-\lambda /\beta ^{2}}$
dove $\beta$ è l'angolo che esprime la direzione del suono e $\lambda$ il parametro distintivo di detta funzione.
Un grafico della funzione gaussiana è mostrato in figura 3:

## Adattamento della funzione gaussiana alla direttività per punti discreti

Per la costruzione della curva gaussiana $Y(\beta )=e^{-\lambda /\beta ^{2}}$ sostitutiva della direttività per punti e per il calcolo di $\lambda$ si utilizza l’algoritmo:
$\lambda =(1/\beta ^{2})\cdot log_{e}{(1/K)}$
Nel quale le variabili $\beta \ ;\ K$ si ottengono valutando, nel diagramma per punti di figura 1, l’ascissa $\beta$ del punto di ordinata $K$
$K=0.7$; ( $-3\ dB$ sotto il massimo)
corrispondente al valore $\beta =4.5$°
Si ha:
$\lambda =(1/4.5^{2})\cdot log_{e}{(1/0.7)}$ = $0.007$
ed infine $Y(\beta )=e^{-0.007/\beta ^{2}}$
come mostra la figura 4, la funzione gaussiana calcolata si adatta bene all'insieme dei punti della direttività misurata sul campo:

## Adattamento della funzione gaussiana alla direttività di Stenzel

Procedendo per la curva di figura 2 in modo analogo a quanto svolto in precedenza per la curva 1 si ha:
$K=0.7$ e $\beta =3.6$°
$\lambda =(1/3.6^{2})\cdot log_{e}{(1/0.7)}$ = $0.027$
ed infine
$Y(\beta )=e^{-0.027/\beta ^{2}}$
con il risultato mostrato in figura 5 nella sovrapposizione delle due curve:
In questo caso la funzione gaussiana si sovrappone alla curva di direttività di Stenzel nel tratto più significativo di questa, dal massimo al primo minimo.