# Aperti e Chiusi

Uso: Topologia > Aperti e Chiusi
* Indice delle lezioni di:
** Topologia
* Torna al corso:
Abbiamo già visto nella prima lezione cos'è una topologia e come si possa introdurre utilizzando i concetti di base. In questa lezione approfondiremo meglio il concetto di aperto e dualmente di chiuso, le caratterizzazioni che di essi si possono dare e la loro importanza nella topologia.

# Aperti

Abbiamo già visto che gli aperti sono gli elementi di una topologia, sono cioè particolari sottoinsiemi dello spazio che godono di certe proprietà. Rivediamo un attimo questa definizione
Dato uno spazio topologico $(X,\tau )$, un sottoinsieme $A\subseteq X$ si dice aperto se $A\in \tau$
Dalle proprietà della topologia, segue immediatamente la seguente
Dato uno spazio topologico $(X,\tau )$, gli aperti godono delle seguenti proprietà:

## (A1)

    Se $(A_{i})_{i\in I}$ è una famiglia (anche infinita) di aperti allora $\bigcup _{i\in I}A_{i}$ è un aperto.

## (A2)

    Se $A_{1},\dots ,A_{n}$ sono aperti allora $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ è un aperto.
La dimostrazione non è nient'altro che l'applicazione della definizione di topologia.
Quindi la proposizione ci dice che unire un numero arbitrario di aperti dà luogo ad un aperto, mentre per l'intersezione questo è garantito solo se sto intersecando un numero finito di aperti. Provate per esercizio a trovare un'intersezione arbitraria di aperti che non sia un aperto.
Corollario immediato della proposizione precedente è che $\emptyset$ e $X$ sono aperti. Provate per esercizio a trovare gli aperti che intersecati, o uniti danno questi due insiemi (suggerimento: usare la proprietà 3 della topologia per una risoluzione immediata oppure cercare di lavorare su famiglie "furbe" di aperti).

# Chiusi

Analogamente a quanto fatto per gli aperti si possono definire i loro complementari, ovvero i chiusi. Si avrà dunque la seguente

## Definizione

Dato uno spazio topologico $(X,\tau )$ un sottoinsieme $F\subseteq X$ si dice chiuso (rispetto alla topologia $\tau$) se $F^{c}=X\setminus F\in \tau$. Indicheremo in seguito con ${\mathcal {F}}_{\tau }={\mathcal {F}}=\{F\subseteq X\mid F$ è chiuso in $\tau \$
Poiché i chiusi sono definiti a partire dagli aperti è lecito aspettarsi che le proprietà degli aperti si riflettano in qualche modo in proprietà per i chiusi e in effetti è proprio così. Vale la seguente

## Proposizione

Dato uno spazio topologico $(X,\tau )$ e detta ${\mathcal {F}}$ la famiglia dei chiusi valgono le seguenti proprietà:

### (F1)

    $\emptyset ,X\ \in \ {\mathcal {F}}$;

### (F2)

    $F_{1},\dots ,F_{n}\ \Rightarrow \ \bigcup _{i=1}^{n}F_{i}\in {\mathcal {F}}$

### (F3)

    $\{F_{i}\}_{i\in I}\in {\mathcal {F}}\ \Rightarrow \ \bigcap _{i\in I}F_{i}\ \in {\mathcal {F}}$
Si vede molto chiaramente come queste proprietà per i chiusi siano duali rispetto a quelle degli aperti. Questo non è un caso, esse infatti seguono dalle leggi di De Morgan e più in generale dal fatto che l'operazione di passaggio al complementare commuta con le operazioni booleane di intersezione e somma.
Infatti per la dimostrazione basta osservare che valgono le seguenti relazioni:

### $(\bigcap _{j\in J}Y_{j})^{c}=\bigcup _{j\in J}(Y_{j})^{c}$

dove $X_{i}$ e $Y_{j}$ sono arbitrarie famiglie di insiemi. Da queste regole e dalle proprietà degli aperti segue immediatamente la dimostrazione della proposizione.
Il legame tra chiusi e aperti è così profondo che una volta determinati gli uni anche gli altri sono fissati. Sebbene questo sia ovvio una volta fissati gli aperti, ovvero determinata la topologia, meno ovvio è che fissare i chiusi equivale a fissare gli aperti, e quindi a dare una topologia. Vale infatti la seguente

## Proposizione

Dato uno spazio $X$ e definita una famiglia di sottoinsiemi ${\mathcal {F}}$ che verifica (F1), (F2), (F3), esiste un'unica topologia $\tau$ tale che i chiusi per questa topologia siano tutti e soli gli elementi di ${\mathcal {F}}$.

### Dimostrazione

È sufficiente costruire una topologia tale che i suoi aperti siano esattamente i complementari dei chiusi di ${\mathcal {F}}$. Definiamo $\tau :=\{A\mid X\setminus A\in {\mathcal {F}}\}$ e verifichiamo che è effettivamente una topologia. Preliminariamente osserviamo che se riusciamo a dimostrare che $\tau$ è una topologia sarà immediato che ${\mathcal {F}}$ è la famiglia dei chiusi per questa topologia. Verifichiamo ora che $\tau$ è una topologia.
* Poiché $\emptyset$ e $X$ sono elementi di ${\mathcal {F}}$ essi (ovvero i loro complementari) appartengono anche a $\tau$;
* Sia data una famiglia $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset \tau$. Dobbiamo verificare che la sua unione è ancora in $\tau$. Ma $\forall i\in I\ \exists F_{i}\in {\mathcal {F}}$ tale che $A_{i}=X\setminus F_{i}$. Allora si ottiene che $\bigcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}(X\setminus F_{i})=X\setminus \bigcap _{i\in I}F_{i}\in \tau$. Infatti, poiché gli $F_{i}$ sono chiusi, la loro intersezione è ancora un elemento di ${\mathcal {F}}$ e quindi il suo complementare è un elemento di $\tau$ per costruzione.
* Siano ora $A_{1},\dots ,A_{n}\in \tau$. Dobbiamo verificare che la loro intersezione è ancora un elemento di $\tau$. Con lo stesso ragionamento del punto precedente, esistono $F_{1},\dots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}$ tali che $A_{i}=X\setminus F_{i}$ per ogni $i=1,2,\dots ,n$. Allora si ottiene che $A_{1}\cap \dots \cap A_{n}=(X\setminus F_{1})\cap \dots \cap (X\setminus F_{n})=X\setminus (F_{1}\cup \dots \cup F_{n})\in \tau$ per lo stesso motivo.$\Box$
Dalla proposizione precedente segue che, per dare una topologia, è sufficiente specificare la famiglia dei chiusi. L'importanza del concetto di chiuso si capirà in seguito con le definizioni di compattezza e completezza. Per il momento è sufficiente notare come teoremi fondamentali dell'analisi quali il Teorema di Weierstrass sui massimi e minimi di funzioni continue abbiano come ipotesi fondamentale nel loro enunciato il fatto che l'intervallo che si sta considerando sia chiuso. In seguito analizzeremo in dettaglio perché.

# Parte interna, Chiusura e Frontiera

Con i concetti introdotti fino a questo momento siamo in grado di descrivere degli importanti spazi legati ad insiemi in spazi topologici.

## Definizione

Dato un sottoinsieme $Y\subset (X,\tau )$ di uno spazio topologico sono definiti i seguenti insiemi:
* $intY={\stackrel {o}{Y}}=\bigcup _{\stackrel {A{\text{ aperto}}}{A\subset Y}}A$ detto la parte interna di $Y$;
* $clY={\overline {Y}}=\bigcap _{\stackrel {F{\text{ chiuso}}}{F\supset Y}}F$ detto la chiusura di $Y$;
* $frY=\partial Y=clY\setminus intY$ detto la frontiera di $Y$

## Esempio grafico

Vediamo ora un esempio per capire meglio gli insiemi appena definiti. Supponiamo che $(X,\tau )$ sia un sottoinsieme del piano e disegniamo con dei cerchi i suoi aperti e con dei quadrati i suoi chiusi. Allora avremo le seguenti situazioni:
Prendiamo come $Y$ il seguente insieme
Per costruire la parte interna di$Y$ dobbiamo considerare tutti gli aperti che sono contenuti in $Y$. Per convenzione abbiamo disegnato gli aperti come dei dischi. Avremmo allora una situazione di questo tipo
La parte interna sarà allora l'unione di tutti questi aperti. Osserviamo che poiché unione di aperti è ancora un aperto la parte interna sarà un aperto.
Analogamente possiamo fare lo stesso ragionamento per trovare la chiusura di $Y$. Dobbiamo quindi considerare tutti i chiusi che contengono $Y$. Per convenzione abbiamo disegnato i chiusi come dei quadrilateri. Avremmo allora una situazione di questo tipo
La chiusura sarà allora l'intersezione di tutti questi chiusi. Osserviamo che poiché intersezione di chiusi è ancora un chiuso la chiusura sarà un chiuso.
Da questo semplice esempio possiamo trarre delle conclusioni interessanti: la parte interna e la chiusura di un insieme possono essere viste come delle approssimazioni dell'insieme. La parte interna è l'approssimazione dell'insieme dal suo interno fatta con insiemi aperti; mentre la chiusura è l'approssimazione dell'insieme fatta dall'esterno con insiemi chiusi.

## Proprietà

Valgono le seguenti proprietà per gli insiemi appena definiti:
* La parte interna di un insieme è un aperto;
* La chiusura di un insieme è un chiuso;
* Per ogni insieme $Y$ vale che $\partial Y={\overline {Y}}\cap (X\setminus {\stackrel {o}{Y}})$;
* La frontiera di un insieme è un chiuso;
* La parte interna di un insieme coincide con il massimo aperto contenuto nell'insieme;
* La chiusura di un insieme coincide con il minimo chiuso che contiene l'insieme;
* Per ogni insieme $Y$ vale che ${\stackrel {o}{Y}}\subset Y\subset {\overline {Y}}$;
* Per ogni insieme $Y$ vale che ${\overline {Y}}={\stackrel {o}{Y}}\cup \partial Y$.
Lasciamo le dimostrazioni per esercizio. Non bisogna far altro che seguire le definizioni e l'intuizione data dall'esempio precedente.

## Densità

Un sottoinsieme $Y\subset (X,\tau )$ di uno spazio topologico si dice denso se $clY={\overline {Y}}=X$.
La proprietà di densità sarà molto importante quando analizzeremo gli assiomi di numerabilità per gli spazi. Per ora osserviamo che esiste almeno un insieme "importante" che è denso: i razionali.

### Esempio: i razionali

Consideriamo la retta reale con la topologia euclidea (già definita nella prima lezione). Allora posso pensare all'insieme dei numeri reali come a un sottoinsieme dello spazio topologico euclideo. Vediamo che i razionali sono un insieme denso.
Per mostrare questa importante proprietà dei razionali faremo uso delle proprietà di corpo dei numeri reali (per una trattazione più esaustiva rimandiamo al corso di analisi del dipartimento). In particolare tra le varie caratterizzazioni dei numeri reali c'è la seguente proprietà:
$\forall x,y\in \mathbb {Q} \ \exists r\in \mathbb {R} \ \mid \ x<r<y$
Questo ci dice che tra ogni due numeri razionali c'è sempre un numero reale. È quindi abbastanza facile osservare come ogni chiuso (cioè ogni intervallo chiuso) che voglia contenere tutti i razionali deve per forza contenere ogni reale. Ovvero il più piccolo chiuso che contiene $\mathbb {Q}$ è soltanto $\mathbb {R}$ e quindi ${\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R}$.