# Funzioni derivabili e derivata di una funzione

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## Rapporto incrementale e definizione di derivata

Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.
Siano $A$ un sottoinsieme non vuoto di $\mathbb {R}$ e $D(A)$ il suo insieme derivato. Consideriamo una funzione $f:A\to \mathbb {R} ,A\subseteq \mathbb {R}$ e un punto $x_{0}\in A\cap D(A)$. Definiamo il rapporto incrementale di $f$ nel punto $x_{0}$ la funzione
    ${\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$.
Si dice poi che $f$ è derivabile in $x_{0}$ se esiste ed è reale
    $\lim _{x\to x_{0}}{\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$.
Tale limite si chiama derivata di $f$ nel punto $x_{0}$ e si denota equivalentemente con
    $f'(x_{0})$, ${\mathcal {D}}f(x_{0})$, ${\frac {df(x)}{dx}}_{x=x_{0}}$
Se il limite esiste ma non è reale (è dunque $+\infty$ o $-\infty$, $f$ si dice derivabile in senso esteso in $x_{0}$, o ancora non derivabile in $x_{0}$.
In termini geometrici, il rapporto incrementale di una funzione è il coefficiente angolare della retta secante la funzione e passante per i punti di ascissa $x_{0}$ e $x$. Vediamone un esempio grafico intuitivo.
Dalla geometria analitica sappiamo inoltre che il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente dell'angolo che si viene a formare tra essa e una qualsiasi retta parallela all'asse delle ascisse.
Essendo $f(x)-f(x_{0})=\sin \beta$ e $x-x_{0}=\cos \beta$, la tangente ${\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}$, cioè il coefficiente angolare della nostra retta è ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ che è proprio il rapporto incrementale!

#### Osservazione

Sia $f:A\to \mathbb {R}$ e sia $x_{0}\in A\cap D(A)$.
    $f$ derivabile in $x_{0}\Longrightarrow$ $f$ continua.

##### Dimostrazione

Supponiamo che $f$ sia continua. Allora $f(x)-f(x_{0})$ tende a 0 per $x$ che tende a $x_{0}$. Allora
    $f(x)-f(x_{0})={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}(x-x_{0})$
il rapporto incrementale tende a $f'(x_{0})$ e $x-x_{0}$ tende a $0$ per $x\to x_{0}$. Dunque:
    $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}(x-x_{0})=0$ anch'esso, come volevamo dimostrare.
$\Box$
È interessante notare esplicitamente che l'implicazione inversa non vale in generale. Facciamo un controesempio; $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=\mid x\mid$. La funzione valore assoluto è certamente continua (addirittura è continua in ogni punto del suo dominio, dunque anche in $x_{0}$, tuttavia $f$ non è derivabile nel punto $x_{0}=0$.
Infatti
$\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{x}}={\begin{cases}1&{\mbox{per}}\ x\to 0^{+}\\\\-1&{\mbox{per}}\ x\to 0^{-}\end{cases}}$.
I due limiti sono diversi, dunque non esiste il limite del rapporto incrementale e la funzione non è derivabile.

## Esempi di funzioni derivabili

Vediamo ora alcuni esempi di funzioni notevoli derivabili e ne calcoliamo poi la derivata. Prima un appunto di notazione.
$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ e scriviamo ora $x-x_{0}=h$ . Allora $x=x_{0}+h$ e $x_{0}+h\to x_{0}$ per $h\to 0$. Abbiamo ora che
$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$
Useremo convenientemente i due modi di rappresentare il rapporto incrementale a seconda dei casi.

#### 1 - derivata di una potenza

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=x^{n},n\in \mathbb {N}$. Dimostriamo che $f'(x)=nx^{n-1}$. Infatti, tenendo a mente che $a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\dots +ab^{n-2}+b^{n-1}$) abbiamo:
$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\Rightarrow \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=$ $\lim _{h\to 0}{\frac {\left((x+h)-x\right)\left((x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\dots +(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right)}{h}}$
$\lim _{h\to 0}{\frac {h\left((x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\dots +(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right)}{h}}=$ $\lim _{h\to 0}\left((x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\dots +(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right)=$ $=\sum _{i=1}^{n}x^{n-1}=nx^{n-1}$

#### 2 - derivata di $e^{x}$

Dimostriamo che la derivata di $f(x)=e^{x}$ è uguale a $f'(x)=e^{x}$. Fissiamo $x\in \mathbb {R}$ e sfruttiamo la definizione di derivata intesa come limite del rapporto incrementale centrato in $x$:
$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\Rightarrow \lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}e^{x}{\frac {e^{h}-1}{h}}$.
Quando $h\to 0$ si ha che:
* $e^{x}$ tende a $e^{x}$ perché tale fattore non dipende dalla variabile $h$;
* ${\frac {e^{h}-1}{h}}$ tende a 1 per via del limite notevole associato all'esponenziale;
pertanto il limite precedente è uguale a $e^{x}$. Concludiamo quindi che la derivata della funzione esponenziale $f(x)=e^{x}$ coincide con se stessa, ossia:
$f'(x)=e^{x}$
che è quello che volevamo dimostrare.

#### 3 - derivata di $\log x$

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {\log x-\log x_{0}}{x-x_{0}}}$. Scriviamo $\log x=y\Leftrightarrow e^{y}=x$ e $\log x_{0}=y_{0}\Leftrightarrow e^{y_{0}}=x_{0}$.
${\frac {y-y_{0}}{e^{y}-e^{y_{0}}}}={\dfrac {1}{\frac {e^{y}-e^{y_{0}}}{y-y_{0}}}}$. Abbiamo che $x\to x_{0}\Rightarrow \log x\to \log x_{0}\Rightarrow y\to y_{0}$ e dunque il denominatore tende a $De^{y_{0}}=e_{0}^{y}=x_{0}$. Dunque $D\log x={\frac {1}{x}}$.

### 4-Derivata delle funzioni circolari

Dimostriamo che $D\sin x=\cos x,\forall x\in \mathbb {R}$ e $D\cos x=-\sin x,\forall x\in \mathbb {R}$.
Premettiamo però un limite che non dimostreremo adesso ma che si rivela molto utile: $\lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}=1$.
Ora: $\lim _{h\to 0}{\frac {1-\cos h}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(1-\cos h)(1+\cos h)}{h^{2}(1+\cos h)}}=$ $\lim _{h\to 0}{\frac {1-\cos ^{2}h}{h^{2}(1+\cos h)}}=\lim _{h\to 0}\left({\frac {\sin h}{h}}\right)^{2}{\frac {1}{1+\cos h}}={\frac {1}{2}}$
Adesso procediamo con la dimostrazione della derivata di $\sin x$.
$\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}}=$ $\lim _{h\to 0}\left(\sin x{\frac {\cos h-1}{h}}+\cos x{\frac {\sin h}{h}}\right)$.
$\sin x{\frac {\cos h-1}{h}}$ tende a 0 mentre $\cos x{\frac {\sin h}{h}}$ tende a $\cos x\cdot 1=\cos x$. Dunque ecco dimostrata la derivata notevole del seno.
Analoghe dimostrazioni provano la derivata delle altre funzioni circolari e sono lasciate per esercizio.
Vediamo ora un'ultima osservazione estremamente importante.

#### Osservazione

Sia $f:A\to \mathbb {R}$ e sia $x_{0}\in A\cap D(A)$ e supponiamo $f$ derivabile in $x_{0}$.
Allora ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f'(x_{0}):=\omega (x),\lim _{x\to x_{0}}\omega (x)=0$. Dunque $\omega (x)$ è un infinitesimo.
Quindi $f(x)-f(x_{0})={\Bigf'(x_{0})+\omega (x){\Big )}(x-x_{0})\Leftrightarrow f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\omega (x)(x-x_{0})$
In altri termini, la funzione $f$ differisce da un polinomio lineare del tipo $a_{0}+a_{1}(x-x_{0})$ solo di un infinitesimo. Da questo possiamo anche dedurre che $f$ è derivabile in $x_{0}$ se $a_{0}=f(x_{0})$ e $a_{1}=f'(x_{0})$.

##### Esempi

Consideriamo ad esempio la funzione $f(x)=\sin(x)$ e $x_{0}=0$. Per applicare la relazione
$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\omega (x)(x-x_{0})$
abbiamo la necessità di valutare la derivata prima di $f(x)=\sin(x)$ nel punto $x_{0}=0$. Nel paragrafo relativo alle derivate delle funzioni circolari abbiamo dimostrato che $f'(x)=\cos(x)$ di conseguenza $f'(0)=\cos(0)=1$. Ora disponiamo di tutte le informazioni necessarie per utilizzare la relazione
$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\omega (x)(x-x_{0})$
che diventa
$\sin(x)=\sin(0)+\cos(0)(x-0)+\omega (x)(x-0)$
vale a dire
$\sin(x)=x+\omega (x)\cdot x$
Scriviamo la formula in favore di $\omega (x)$:
$\omega (x)={\frac {\sin(x)-x}{x}}\ \ \ {\mbox{per }}x\neq 0$
e infine ne calcoliamo il limite per $x$ che tende a $x_{0}$
$\lim _{x\to 0}\omega (x)=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)-x}{x}}=\lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin(x)}{x}}-{\frac {x}{x}}\right)=$
$=\lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin(x)}{x}}-1\right)=0$
Il limite è zero perché ${\frac {\sin(x)}{x}}\to 1$ per $x\to 0$, in virtù del limite notevole del seno.