# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.4

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/13.4&oldid=- 20220902082441 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/13.4&oldid=- 20220902082441
[p. 235
13.4 Il rapporto delle massime verosimiglianze
Nel caso generale in cui sia l'ipotesi nulla che quella alternativa siano composte, la situazione è più complicata: non esiste normalmente un test di massima potenza uniforme, e, tra i vari criteri possibili per decidere tra le due ipotesi, bisogna capire quali abbiano caratteristiche (significanza e potenza) adeguate; un metodo adatto a costruire una regione di rigetto dotata asintoticamente (per grandi campioni) di caratteristiche, appunto, desiderabili, è quello seguente (metodo del rapporto delle massime verosimiglianze). [p. 236
Sia una variabile casuale $x$, la cui densità di probabilità supponiamo sia una funzione $f(x;\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{M})$ dipendente da $M$ parametri: indicando sinteticamente la $M$-pla dei valori dei parametri come un vettore ${\boldsymbol {\theta }}$ in uno spazio a $M$ dimensioni (spazio dei parametri), consista $H_{0}$ nell'essere ${\boldsymbol {\theta }}$ compreso all'interno di una certa regione $\Omega _{0}$ di tale spazio; mentre $H_{a}$ consista nell'appartenere ${\boldsymbol {\theta }}$ alla regione $\Omega _{a}$ complementare a $\Omega _{0}$: $\Omega _{a}\equiv {\bar {H}}_{0}$, così che $(\Omega _{0}\cup \Omega _{a})$ coincida con l'intero spazio dei parametri ${\mathcal {S}}$.
In particolare, $\Omega _{0}$ può estendersi, in alcune delle dimensioni dello spazio dei parametri, da $-\infty$ a $+\infty$; e, in tal caso, il vincolo sulle $\theta _{i}$ cui corrisponde l'ipotesi nulla riguarderà un numero di parametri minore di $M$.
Scritta la funzione di verosimiglianza,
indichiamo con ${\mathcal {L}}({\widehat {S}})$ il suo massimo valore nell'intero spazio dei parametri; e con ${\mathcal {L}}({\widehat {R}})$ il massimo valore assunto sempre della (13.8), ma con i parametri vincolati a trovarsi nella regione $\Omega _{0}$ (quindi limitatamente a quei casi nei quali $H_{0}$ è vera). Il rapporto
deve essere un numero appartenente all'intervallo $[0,1]$; se si fissa un arbitrario valore $k$ ($0-{\frac {2\sigma ^{2}\ln k}{N}}\;\right\}$
e, posto
$c=\sigma {\sqrt {-{\frac {2\ln k}{N}}}}$
si accetterà $H_{0}$ se $|{\bar {x}}|\leq c$ (e la si rigetterà se $|{\bar {x}}|>c$).
In questo caso il teorema precedentemente citato afferma che
$-2\ln \lambda ={\frac {{\bar {x}}^{2}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{N}}}$
è distribuito asintoticamente come il $\chi ^{2}$ ad un grado di libertà (cosa che del resto già sapevamo, vista l’espressione di $-2\ln \lambda$); per cui, indicando [p. 238 con $F(t;N)$ la densità di probabilità della distribuzione del $\chi ^{2}$ a $N$ gradi di libertà, avremo
$P_{I}\;=\;\alpha \;=\;\int _{0}^{k}g(\lambda |H_{0})\,\mathrm {d} \lambda \;=\;\int _{-2\ln k}^{+\infty }F(t;1)\,\mathrm {d} t$
della quale ci possiamo servire per ricavare $k$ se vogliamo che la significanza del test abbia un certo valore: ad esempio un livello di confidenza del 95% corrisponde ad $\alpha =0.05$ e, dalle tabelle della distribuzione del $\chi ^{2}$, ricaviamo
| $-2\ln k=3.84$ | e quindi | $c=1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}$. |
Anche senza dover ricorrere al teorema sul comportamento asintotico di $-2\ln \lambda$, allo stesso risultato si può pervenire per altra via: in questo caso si conosce infatti esattamente $\alpha$, che vale
$P_{I}\;=\;\alpha \;=\;\Pr {\Bigl|{\bar {x}}|>c{\bigl |}H_{0}{\bigr .}{\Bigr )}\;=\;2\int _{c}^{+\infty }\!N\left(t;0,{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}\right)\,\mathrm {d} t$
e, dalle tabelle della distribuzione normale standardizzata, si ricava che un'area two-tailed del 5% corrisponde ad un valore assoluto dello scarto normalizzato $t_{0}=1.96$; per cui, ancora, si ricaverebbe $|{\bar {x}}|>1.96(\sigma /{\sqrt {N}})$ come test per un livello di confidenza del 95%.