# Ricerche di geometria analitica/09

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Ricerche di geometria analitica Eugenio Beltrami 1879 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Beltrami - Ricerche di geometria analitica - 1879.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/09&oldid=- 20250223181203 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/09&oldid=- 20250223181203
[p. 48
§ 9.
Passando ora allo spazio, denoteremo con x, y, z, t le coordinate omogenee d’un punto, e con p, q, r, s quelle d’un piano, le une e le altre collegate fra loro dall’equazione
$px+qy+rz+st=0$
quando il punto $(x\,y\,z\,t)$ è nel piano $(p\,q\,r\,s)$. [p. 49
Senza ripetere le deduzioni del § 1, possiamo addirittura stabilire che l’equazione
nella quale $\lambda$ è un paramento variabile, rappresenta un piano variabile, tangente ad una sviluppabile di 3a classe, ossia osculatore di una cubica gobba. Le A, B, C, D, a, b, c, d sono otto costanti, delle quali quattro soltanto sono essenziali: le A, B, C, D devono essere tutte diverse da zero, le a, b, c, d tutte diverse fra loro. I quattro piani fondamentali
sono compresi nella schiera dei piani tangenti, e corrispondono ai valori a, b, c, d del paramento variabile $\lambda$.
Ponendo l’equazione (1) sotto la forma
essa rappresenta il piano osculatore variabile della cubica gobba determinata dai sei piani osculatori fissi
Infatti questi sei piani si ottengono dall’equazione (1)' ponendo ordinatamente
Le coordinate d’un settimo piano osculatore qualunque sono date dalle formole
$p:q:r:s={\frac {p'p''}{p'\lambda +p''}}:{\frac {q'q''}{q'\lambda +q''}}:{\frac {r'r''}{r'\lambda +r''}}:{\frac {s's''}{s'\lambda +s''}}$,
[p. 50 donde si conclude che le condizioni necessarie e sufficienti acciocchè i sette piani
* $px+qy+rz+st=0$,
* $p'x+q'y+r'z+s't=0$,
* $p''x+q''y+r''z+s''t=0$
sieno osculatori d’una cubica gobba sono le due contenute nell’equazione simbolica
${\begin{vmatrix}{\frac {1}{p}}&{\frac {1}{q}}&{\frac {1}{r}}&{\frac {1}{s}}\\{\frac {1}{p'}}&{\frac {1}{q'}}&{\frac {1}{r'}}&{\frac {1}{s'}}\\{\frac {1}{p''}}&{\frac {1}{q''}}&{\frac {1}{r''}}&{\frac {1}{s''}}\end{vmatrix}}=0$.
Ragionando in egual modo sulle coordinate di piani, si viene medesimamente a concludere che l’equazione del punto variabile d’una cubica gobba circoscritta al tetraedro
può sempre essere posta sotto la forma
dove $\mu$ è il parametro variabile; che per la cubica determinata dai sei punti
* $px'+qy'+rz'+st'=0$,
* $px''+qy''+rz''+st''=0$,
l’equazione del punto variabile è
$x:y:z:t={\frac {x'x''}{\mu x'+x''}}:{\frac {y'y''}{\mu y'+y''}}:{\frac {z'z''}{\mu z'+z''}}:{\frac {t't''}{\mu t'+t''}}$;
e finalmente che le condizioni necessarie e sufficienti acciocchè i sette punti
* $px+qy+rz+at=0$,
* $p'x+q'y+r'z+s't=0$,
* $p''x+q''y+r''z+s''t=0$
siano in una cubica gobba sono le due contenute nell’equazione simbolica
${\begin{vmatrix}{\frac {1}{x}}&{\frac {1}{y}}&{\frac {1}{z}}&{\frac {1}{t}}\\{\frac {1}{x'}}&{\frac {1}{y'}}&{\frac {1}{z'}}&{\frac {1}{t'}}\\{\frac {1}{x''}}&{\frac {1}{y''}}&{\frac {1}{z''}}&{\frac {1}{t''}}\end{vmatrix}}=0$.
La forma di quest’equazione mostra che operando una trasformazione steineriana o quadratica nello spazio, cioè facendo corrispondere ad ogni punto $(xyzt)$ un punto $(\xi \epsilon \zeta \vartheta )$ mediante le ralzioni
$\xi x=\eta y=\zeta z=\vartheta t$,
ai tre punti $(x,y,z,t),(x'y'z't'),(x''y''z''t'')$ corrispondono tre punti in linea retta. In base a quest’osservazione, la relazione precedente trova la sua spiegazione immediata nella nota teoria della trasformazione steineriana nello spazio, e l’analoga equazione simbolica fra i sette piani osculatori d’una cubica gobba risulta in egual modo dalla trasformazione medesima, operata fra coordinate di piani.
Tornando alle equazioni (1) e (2) che somministrano il tipo generale del piano osculatore variabile e del punto variabile d’una cubica gobba rispettivamente inscritta o circoscritta al tetraedro fondamentale, noteremo le formole seguenti, dedotte coi soliti procedimenti: [p. 52
Rispetto al caso della cubica inscritta, le coordinate del piano osculatore variabile sono date da
$p:q:r:s={\frac {A}{\lambda -a}}:{\frac {B}{\lambda -b}}:{\frac {C}{\lambda -c}}:{\frac {D}{\lambda -d}}$,
e le coordinate del punto pel quale passano i tre piani osculatori $\lambda '$, $\lambda ''$, $\lambda '''$ sono date da
* $px={\frac {(\lambda '-a)(\lambda ''-a)(\lambda '''-a)}{Af'(a)}}$,
* $py={\frac {(\lambda '-b)(\lambda ''-b)(\lambda '''-b)}{Bf'(b)}}$,
* $pz={\frac {(\lambda '-c)(\lambda ''-c)(\lambda '''-c)}{Cf'(c)}}$,
* $pt={\frac {(\lambda '-d)(\lambda ''-d)(\lambda '''-d)}{Df'(d)}}$,
dove $\rho$ è un fattore di proporzionalità ed
$f(\lambda )=(\lambda -a)(\lambda -b)(\lambda -c)(\lambda -d)$.
Da queste ultime formole risulta che le coordinate del punto comune al piano osculatore $\lambda '$ ed alla retta tangente della cubica nel punto $\lambda$ sono date da
$x:y:z:t$
$={\frac {(\lambda -a)^{2}(\lambda '-a)}{Af'(a)}}:{\frac {(\lambda -b)^{2}(\lambda '-b)}{Bf'(b)}}:{\frac {(\lambda -c)^{2}(\lambda '-c)}{Cf'(c)}}:{\frac {(\lambda -d)^{2}(\lambda -d)}{Df'(d)}},$
mentre quelle del punto $\lambda$ della cubica sono date da
$x:y:z:t={\frac {(\lambda -a)^{3}}{Af'(a)}}:{\frac {(\lambda -b)^{3}}{Bf'(b)}};{\frac {(\lambda -c)^{3}}{Cf'(c)}}:{\frac {(\lambda -d)^{3}}{Df'(d)}}.$
Se poi, essendo $(pqrs)$, $(p'q'r's')$ i due piani osculatori di parametri [p. 53 $\lambda$ e $\lambda '$, si pone
| $\alpha =qr'-q'r$, | $\alpha '=ps'-p's$, |
| $\beta =rp'-r'p$, | $\beta '=qs'-q's$, |
| $\gamma =pq'-p'q$, | $\gamma '=rs'-r's$, |
cioè se si designano con $\alpha$, $\beta$, $\gamma$; $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ le sei coordinate omogenee della retta secondo cui s’intersecano i detti due piani, si trova
* $p\alpha =BC(b-c)(\lambda -a)(\lambda -d)(\lambda '-a)(\lambda '-d)$,
* $p\beta =CA(c-a)(\lambda -b)(\lambda -d)(\lambda '-b)(\lambda '-d)$,
* $p\gamma =AB(a-b)(\lambda -c)(\lambda -d)(\lambda '-c)(\lambda '-d)$,
* $p\alpha '=AD(a-d)(\lambda -b)(\lambda -c)(\lambda '-b)(\lambda '-c)$,
* $p\beta '=BD(b-d)(\lambda -c)(\lambda -a)(\lambda '-c)(\lambda '-a)$,
* $p\gamma '=CD(c-d)(\lambda -a)(\lambda -b)(\lambda '-a)(\lambda '-b)$,
donde emergono le due equazioni
${\frac {\alpha \alpha '}{(a-d)(b-c)}}={\frac {\beta \beta '}{(b-d)(c-a)}}={\frac {\gamma \gamma '}{(c-d)(a-b)}}$
quali rappresentanti la conguenza formata dalla totalità di tali rette in due piani. Facendo $\lambda =\lambda '$ si hanno di quì le coordinate della tangente variabile della cubica gobba.
Considerando invece la cubica gobba circoscritta al tetraedo fondamentale, di ottengono formole del tutto simili per la rappresentazione algebrica delgi enti geometrici duali ai precedenti. Altrettanto si può dire delle formole che ancora vogliamo quì aggiungere, riferendoci sempre al caso della cubica inscritta.
Ponendo
$f(\lambda )\left({\frac {Ax}{\lambda -a}}+{\frac {By}{\lambda -b}}+{\frac {Cz}{\lambda -c}}+{\frac {Dt}{\lambda -d}}\right)=[\lambda ]$,
ed osservando che $[\lambda ]$ è una funzione intera e di 3° grado rispetto a $\lambda _{1}$ si ha l’identità
$\sum _{k=1}^{k=5}{\frac {[\lambda _{k}]}{F'(\lambda _{k})}}=0$,
[p. 54 dove
$F(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})(\lambda -\lambda _{3})(\lambda -\lambda _{4})(\lambda -\lambda _{5})$,
$\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda _{3}$, $\lambda _{4}$, $\lambda _{5}$ essendo cinque valori arbitrarii ma distinti di $\lambda$. Questa è una relazione identica fra cinque piani osculatori arbitrarii e distini, la quale permette di esprimere un piano osculatore arbitrario per mezzo di quattro piani osculatori fissi. Ora avendosi in particolare
è chiaro che, col mezzo della precedente relazione, si possono ottenere le espressioni di x, y, z, t in funzione di $[\lambda _{1}],[\lambda _{2}],[\lambda _{3}],[\lambda _{4}]$; basta fare successivamente $\lambda _{5}=a,b,c,d$.
Più generalmente si ha l’identità:
$\sum _{k=1}^{k=n}{\frac {\psi (\lambda _{k})[\lambda _{k}]^{n}}{F'(\lambda _{k})}}=0$.
dove
$F(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})\ldots (\lambda -\lambda _{n})$
e $\psi (\lambda )$ è una funzione intera di $\lambda$, del grado $n-3m-2$ al più, a coefficienti arbitrarii. Quando si fa $m-1$, il grado di $\psi$ non può superare $n-5$, e, se si fa appunto $n=5$, si ricade sull’identità considerata dianzi. Quando si fa $m=2$, il grado di $\psi$ non può superare $n-8$, e, se di fa appunto $n-8$, si trova, collo stesso procedimento usato nel § 2, che le due equazioni
* ${\frac {[\lambda _{1}]^{2}}{\phi '(\lambda _{1})\psi (\lambda _{1})}}+{\frac {[\lambda _{2}]^{2}}{\phi '(\lambda _{2})\psi (\lambda _{2})}}+{\frac {[\lambda _{3}]^{2}}{\phi '(\lambda _{3})\psi (\lambda _{3})}}+{\frac {[\lambda _{4}]^{2}}{\phi '(\lambda _{4})\psi (\lambda _{4})}}=0$,
* ${\frac {[\lambda ']^{2}}{\phi (\lambda ^{I})\psi '(\lambda ^{I})}}+{\frac {[\lambda ^{II}]^{2}}{\psi (\lambda ^{II})\psi '(\lambda ^{II})}}+{\frac {[\lambda ^{III}]^{2}}{\phi (\lambda ^{III})\psi '(\lambda ''')}}+{\frac {[\lambda ^{IV}]^{2}}{\phi (\lambda ^{IV})\psi '(\lambda ^{IV})}}=0,$
dove
* $\phi (\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})(\lambda -\lambda _{3})(\lambda -\lambda _{4})$,
* $\psi (\lambda )=(\lambda -\lambda ^{I})(\lambda -\lambda ^{II})(\lambda -\lambda ^{III})(\lambda -\lambda ^{IV}),$
$\phi (\lambda )+k\psi (\lambda )=0$.
Quando poi si fa $m=3$, il grado di $\phi$ non deve superare $n-11$, e, se si fa appunto $n=11$, si ottengono formole che possono essere applicate con vantaggio alla teoria del pentaedro polare delle superficie di 3° ordine, come ho mostrato in una Nota comunicata recentemente al R. Istituto Lombardo .
* ↑ Formole sostanzialmente eguali a queste vennero da me comunicate al R. Istituto Lombardo fin dal 1868 (Adunanza del 20 Febbraio).
* ↑ Adunanza del 2 Gennajo 1879.