# Ricerche di geometria analitica/07

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Ricerche di geometria analitica Eugenio Beltrami 1879 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Beltrami - Ricerche di geometria analitica - 1879.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/07&oldid=- 20250130195736 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/07&oldid=- 20250130195736
[p. 34
§ 7.
Poniamo, ritenendo le segnature dei §§ precedenti,
$f(\lambda )\sum {\frac {Au}{\lambda -a}}=[\lambda |$.
Nel supposto che reggano sempre le equazioni di condizione (2) del § precedente, questa $[\lambda ]$ è una funzione intera di $\lambda$, del grado m. Ora dal Lemma (II) si ha
Ne risulta che l’equazione della tangente variabile d’una linea razionale di classe m, adoperata precedentemente sotto la forma
$\sum {\frac {Au}{\lambda -a}}=0$,
può anche porsi sotto questa forma equivalente
$\sum _{k=0}^{k=n}{\frac {[\lambda _{k}]}{(\lambda -\lambda _{k})F'(\lambda _{k})}}=0$.
Questa trasformazione equivale, come è chiaro, al sostituire le $n+1$ tangenti $\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots \lambda _{n}$ in luogo delle primitive tangenti $a_{0}$, $a_{1}$, $\ldots a_{n}$. Le citate condizioni (2) sono sostituite dalle identità
Or ecco la conclusione importante che si può trarre da questa trasformazione. Col variare di $\lambda$ la retta $[\lambda ]=0$ varia essa pure, [p. 35 cioè prende varie posizioni nel piano. Se avviene che per due valori diversi di $\lambda$, per esempio per $\lambda =\lambda _{0}$, e per $\lambda =\lambda _{1}$, cioè per due punti generalmente distinti della curva (giacchè le coordinate locali di questa sono funzioni di $\lambda$), la retta $[\lambda ]=0$ riprenda la medesima posizione, vuol dire che questa retta è tangente alla linea tanto nel punto $\lambda _{0}$, quanto nel punto $\lambda _{1}$, vuol dire, cioè, ch’essa è una tangente doppia della linea stessa. Ora l’essere le due equazioni $[\lambda _{0}]=0$, $[\lambda _{1}]=0$ rappresentative d’una sola e medesima retta, importa necessariamente la relazione seguente fra le due funzioni $[\lambda _{0}]$ e $[\lambda _{1}]$:
$[\lambda _{1}]=c[\lambda _{0}]+c'[\lambda ']+c''[\lambda '']+\ldots +c^{(n-m)}[\lambda ^{(n-m)}]$,
dove le c sono costanti indeterminate. Se questo valore di $[\lambda _{1}]$ si sostituisce nell’ultima equazione trovata e si tien conto delle identità sopra notate, la funzione $[\lambda _{0}]$ risulta moltiplicata per la seguente funzione di $\lambda$
${\frac {1}{(\lambda -\lambda _{0})F'(\lambda _{0})}}+{\frac {c}{(\lambda -\lambda _{1})F'(\lambda _{1})}}$,
ossia per
${\frac {\lambda \left\{F'(\lambda _{1})+cF'(\lambda _{0})\right\}-\lambda _{1}F'(\lambda _{1})-c\lambda _{0}F'(\lambda _{0})}{(\lambda -\lambda _{0})(\lambda -\lambda _{1})F'(\lambda _{0})F'(\lambda _{1})}}$,
ossia, in sostanza, per una funzione della forma seguente
${\frac {A\lambda +B}{(\lambda -\lambda _{0})(\lambda -\lambda _{1})}}$,
dove A e B sono costanti.
Ora questa conclusione, così stabilita per le $n+1$ tangenti $\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots \lambda _{n}$, sussiste naturalmente anche per le primitive $n+1$ tangenti $u_{0}=0,u_{1}=0,\ldots u_{n}=0$, le quali coincidono colle prime quando si supponga $\lambda _{0}=a_{0}$, $\lambda _{1}=a_{1}$, ecc. Dunque, riportandoci di nuovo alla primitiva forma dell’equazione della tangente variabile, possiamo stabilire questa regola: che, come una tangente semplice $u=0$ dà luogo, nell’equazione della tangente variabile, ad un termine della forma
${\frac {Au}{\lambda -a}}$,
[p. 36 così una tangente doppia $u=0$ dà luogo ad un termine della forma
${\frac {(A\lambda +B)u}{(\lambda -a)(\lambda -b)}}$,
e, possiamo subito aggiungere (senza che occorra speciale dimostrazione), una tangente stazionaria od inflessionale dà luogo ad un termine della forma
${\frac {(A\lambda +B)u}{(\lambda -a)^{2}}}$.
Per mostrare subito come questa semplice osservazione permetta di comporre, a priori, in modo facilissimo, l’equazione della tangente variabile d’una linea razionale contraddistinta da certi caratteri tangenziali, basterà citare i seguenti esempii:
Le due equazioni
${\frac {Ax}{\lambda -a}}+{\frac {By}{\lambda -b}}+{\frac {(C\lambda +C)z}{(\lambda -c)(\lambda -c')}}=0$,
${\frac {Ax}{\lambda -a}}+{\frac {By}{\lambda -b}}+{\frac {(C\lambda +C)z}{(\lambda -c)^{2}}}=0$
rappresentano le tangenti variabili di due linee razionali di 3a classe, rispetto alle quali le rette $x=0$, $y=0$ sono tangenti semplici, e la retta $z=0$ è tangente doppia per la prima linea, stazionaria per la seconda.
Così le sette equazioni
${\frac {Ax}{\lambda -a}}+{\frac {(B\lambda +B')y}{(\lambda -b)(\lambda -b')}}+{\frac {(C\lambda +C')z}{(\lambda -c)(\lambda -c')}}=0$,
${\frac {Ax}{\lambda -a}}+{\frac {(B\lambda +B')y}{(\lambda -b)(\lambda -b')}}+{\frac {(C\lambda +C')z}{(\lambda -c)^{2}}}=0$,
${\frac {Ax}{\lambda -a}}+{\frac {(B\lambda +B')y}{(\lambda -b)^{2}}}+{\frac {(C\lambda +C')z}{(\lambda -c)^{2}}}=0$,
${\frac {Ax}{(\lambda -a)(\lambda -a')}}+{\frac {(B\lambda +B')y}{(\lambda -b)(\lambda -b')}}+{\frac {(C\lambda +C')z}{(\lambda -c)(\lambda -c')}}=0$,
${\frac {Ax}{(\lambda -a)(\lambda -a')}}+{\frac {By}{(\lambda -b)(\lambda -b')}}+{\frac {Cz}{(\lambda -c)^{2}}}=0$,
${\frac {Ax}{(\lambda '-a)(\lambda -a')}}+{\frac {By}{(\lambda -b)^{2}}}+{\frac {Cz}{(\lambda -c)^{2}}}=0$,
${\frac {Ax}{(\lambda -a)^{2}}}+{\frac {By}{(\lambda -b)^{2}}}+{\frac {Cz}{(\lambda -c)^{2}}}=0$
rappresentano le tangenti variabili di sette linee di 4a classe, rispetto alle quali
la retta $x=0$ è tangente semplice per le prime tre, doppia per le tre seguenti, stazionaria per l’ultima;
la retta $y=0$ è tangente doppia per la prima, seconda, quarta e quinta, stazionaria per le altre;
la retta $z=0$ è tangente doppia per la prima e quarta, stazionaria per tutte le altre.
Notiamo che procedendo con questo metodo si incontrano naturalmente quelle equazioni che si prestano colla maggiore semplicità ed eleganza alla trattazione di ciascuna delle linee rappresentate. Per esempio, l’ultima delle equazioni precedenti, la cui simmetria è perfetta, conduce alle formule più adatte per lo studio della linea di 3° ordine e di 4a classe. Le coordinate locali di questa linea sono date da
$x:y:z={\frac {b-c}{A}}(\lambda -a)^{3}:{\frac {c-a}{B}}(\lambda -b)^{3}:{\frac {a-b}{C}}(\lambda -c)^{3}$.
Per determinare i due valori di $\lambda$ che corrispondono al punto doppio di questa linea basta evidentemente trovare quei valori di $\lambda '$ e di $\lambda ''$ pei quali l’equazione
$(\lambda -\lambda ')^{3}+\mu (\lambda -\lambda '')^{3}=0$
ha le radici a, b, c, disponendo convenientemente di $\mu$; problema la cui soluzione, facile a trovarsi anche direttamente, è fornita senz’altro dalla notissima teoria delle forme binarie cubiche.
$\sum _{0}^{n}{\frac {(A_{k}+A'_{k}\lambda )u_{k}}{(\lambda -a_{k})(\lambda -a_{k}')}}=0$,
$\sum _{0}^{n}{\frac {A_{k}u_{k}}{(\lambda -a_{k})(\lambda -a_{k}')}}=0$,
$\sum _{0}^{n}{\frac {(A_{k}+A'_{k}\lambda )u_{k}}{(\lambda -a_{k})^{2}}}=0$,
$\sum _{0}^{n}{\frac {A_{k}u_{k}}{(\lambda -a_{k})^{2}}}=0$,
si giunge facilmente a riconoscere che il numero n, il quale dev’essere naturalmente eguale almeno a 2, non deve superare $m-3$ nella prima e terza equazione, $m-2$ nella seconda e quarta; e che, ammesse queste limitazioni, è sempre possibile ridurre l’equazione della tangente variabile d’una linea di classe m alle prime tre forme, qualunque sieno le $n+1$ rette fondamentali, mentre la riduzione alla quarta forma non è possibile che per
$n\leq {\frac {3m-2}{4}}$
ossia per
$n\leq m-2-{\frac {m-6}{4}}$,
cosicchè per $m>6$ i limiti di n sono, rispetto a tale riduzione, più ristretti che rispetto alle altre tre.