# Appunti di relatività/Seconda parte

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Appunti di relatività Lucio F. Ossino 2009 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Ossino - Appunti di relatività.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Appunti_di_relativit%C3%A0/Seconda_parte&oldid=- 20250211092040 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Appunti_di_relativit%C3%A0/Seconda_parte&oldid=- 20250211092040
Seconda parte
LA MECCANICA DI MINKOWSKI
PREMESSA
Nel 1908, tre anni dopo la pubblicazione della Teoria della Relatività, il prof. H. Minkowski presentava la sua versione, in cui per la prima volta spazio e tempo erano concepiti come parti di un continuum spazio-tempo a quattro dimensioni.
La quarta dimensione allarma sempre il profano, poiché teme di incontrare concetti difficili e procedimenti matematici inaccessibili. Siamo certi che il lettore che ha seguito fino a questo punto non troverà particolari difficoltà, purché abbia senso critico e mente aperta e disponibile anche al cambiamento delle proprie convinzioni.
L’introduzione dello spazio-tempo a quattro dimensioni si è rivelata molto importante, poiché coglie aspetti profondi della realtà fisica. Tuttavia vedremo che l’impostazione di Minkowski è sbagliata, e risulta in contraddizione con la realtà e con principi fondamentali della Fisica.
HERMANN MINKOWSKI
Raramente nei testi di Fisica si trovano riferimenti storici e biografici, la grande Madame Curie diceva: “in Fisica contano le cose, non le persone!”. Ci permettiamo di dissentire parzialmente, alcuni riferimenti personali possono aiutare a comprendere la formazione e l’evoluzione delle idee scientifiche, e rendono più umani i grandi personaggi della Scienza.
Hermann Minkowski era un buon matematico che insegnava al Politecnico di Zurigo dove Einstein era stato suo allievo. È noto che non patrocinò l’assunzione di questo allievo nel corpo docente del Politecnico, per cui alla fine del corso di studi Albert Einstein trovò impiego all’Ufficio Brevetti di Berna. Tuttavia l’allontanamento dal mondo accademico non sarebbe stato sufficiente a spegnere il suo interesse per la Fisica, infatti nel 1905 pubblicò quella che sarebbe diventata la teoria più popolare della Fisica moderna. Minkowski commentò:
“..nate dal suolo della fisica sperimentale..” .
Attribuendo la scoperta al fisico olandese H. A. Lorentz, riservava a se stesso il merito del suo pieno e definitivo sviluppo. Vi sono due sole possibilità: non aveva capito affatto il contenuto nuovissimo e rivoluzionario della teoria di Einstein, o era completamente in malafede. Lorentz aveva dedotto le trasformazioni basandosi sul vecchio modello di propagazione della luce attraverso l’etere, Einstein aveva dato una interpretazione rivoluzionaria delle misure di spazio e di tempo che sconvolgeva per sempre gli stessi fondamenti della Fisica. Le nuove idee erano sintesi di trecento anni di ricerche sperimentali e di studi teorici, ma Minkowski sostenne che si poteva arrivare a questo risultato seguendo:
“..una linea di pensiero puramente matematica..”.
Non poteva ignorare che questa proprietà fondamentale era stata stabilita alcuni decenni prima da Maxwell, essendo conseguenza di quello straordinario trionfo della Fisica che sono le sue famose equazioni. Einstein ha affermato più volte che la teoria della Relatività non sarebbe mai nata senza la teoria di Maxwell. Ignorando le proprietà fisiche della luce la teoria di Minkowski non ha alcun senso. Nonostante il trionfalismo matematico le contraddizioni non mancano:
L’Elettromagnetismo è forse parte della Matematica?
L’INVARIANTE DI POINCARÉ
Membro dell’Accademia delle Scienze di Francia, apprezzato letterato e filosofo, Henrì Poincaré era considerato il più grande matematico del suo tempo. Egli concepiva una gerarchia in cui la Fisica era parte della Fisica Teorica, e salendo attraverso la Fisica-Matematica, fino al livello più alto occupato dalla Matematica pura. Sicuramente condivideva la presuntuosa affermazione del matematico D. Hilbert:
È noto che Poincaré irrise al primo tentativo di trasmissione trans-oceanica di onde radio organizzato da Guglielmo Marconi, ma occorre anche ricordare che l’esperimento dell’italiano ebbe completo successo.
Le trasformazioni di Lorentz derivano dall’invarianza della velocità della luce, Poincaré deduce l’invarianza della velocità della luce dalle trasformazioni di Lorentz. [p. 55 Seguendo liberamente il suo pensiero, si considera che nel tempo $t$ un raggio di luce percorre la distanza $x=ct$. Quadrando e applicando le trasformazioni di Lorentz si ottiene:
$(x')^{2}-(ct')^{2}=\gamma ^{2}(x-ut)^{2}-c^{2}\gamma ^{2}\left(t-{\frac {u}{c^{2}}}x\right)^{2}=$
$=\gamma ^{2}\left[x^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)-c^{2}t^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\right]=x^{2}-c^{2}t^{2}$
Essendo per la luce $x^{2}-c^{2}t^{2}=0$, si ricava $x/t=x'/t'=\pm c$. Con ciò è dimostrato che la velocità della luce è indipendente dal sistema di riferimento.
$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}$.
$i={\sqrt {-1}}$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}$.
Nello spazio cartesiano, la distanza del punto $P(x,y,z)$ dall’origine è data dall’espressione pitagorica: $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.
Se consideriamo il termine $(ict)$ come quarta coordinata, allora l’espressione di Poincaré $r^{2}+(ict)^{2}$ si può interpretare come quadrato della distanza dall’origine del punto $P(x,y,z;ict)$.
L’interpretazione pitagorica è possibile soltanto introducendo il coefficiente immaginario, ma di questo non viene data alcuna giustificazione fisica. Questo è il primo di una lunga serie di artifizi e manipolazioni matematiche del tutto arbitrari, finalizzati a trattare il tempo come quarta dimensione. La teoria di Minkowski si basa sulla forma pitagorica dell’espressione di Poincaré, ma invano si cercherà una sua citazione di Poincaré. [p. 56
LO SPAZIO-TEMPO ED IL CONO DI LUCE
Minkowski definisce la struttura dello spazio-tempo con questa frase:
Il continuum spazio-tempo così definito è uno spazio matematico a quattro dimensioni senza proprietà fisiche, i cui punti sono definiti punti-evento. Il moto degli oggetti è rappresentato da linee-di-universo, che uniscono i punti-evento corrispondenti alle coordinate istantanee degli oggetti stessi. Sul principio di Relatività, evidentemente troppo legato al nome di Einstein, Minkowski proclama:
L’idea è originale di Minkowski, ma è assolutamente sbagliata dal punto di vista fisico, e fra breve vedremo che porta a conseguenze assurde. Da questo identico trattamento si ottiene un elegante formalismo matematico molto apprezzato dai teorici, ma trattando spazio e tempo allo stesso modo implicitamente si attribuiscono al tempo le stesse proprietà fisiche dello spazio. Attribuire al tempo le stesse proprietà dello spazio fisico è in evidente conflitto con la realtà: possiamo spostarci in ogni direzione dello spazio ma non possiamo fare lo stesso con il tempo. In altre parole possiamo scegliere dove vivere, ma non quando, e non possiamo fermarci né tornare indietro nel tempo! Se l’idea di Minkowski fosse giusta si potrebbero fare viaggi nel tempo, ma la macchina del tempo rimane soltanto una invenzione della letteratura fantascientifica.
L’equazione $r^{2}=c^{2}t^{2}$ rappresenta la superficie sferica di un’onda luminosa, l’invarianza di Poincaré dimostra che questa superficie è la stessa per qualsiasi riferimento. Questo è un fatto fisico connesso all’indipendenza della velocità della luce dal sistema di riferimento dell’osservatore. [p. 57 Spazi e tempi non sono grandezze omogenee quindi non si possono sommare insieme, per questo le co-ordinate del punto-evento si scrivono $(x,y,z,t)$, ma in realtà sono $(x,y,z,ct)$, essendo sottinteso $c=1$ (per maggiore chiarezza nel seguito espliciteremo sempre il fattore $c$).
Considerando $(ct)$ come quarta coordinata cartesiana, l’espressione di Poincaré rappresenta un cono di uno spazio matematico a quattro dimensioni definito cono di luce di Minkowski, rappresentato (solo in tre dimensioni) nella figura successiva.
Il vertice coincide con l’origine degli assi, mentre l’asse del cono rappresenta la dimensione temporale. In questa rappresentazione lo spazio di Minkowski è diviso in due parti:
- nella zona interna al cono vale la relazione $r^{2}c^{2}t^{2}$. [p. 58 Poiché nella zona esterna vale la relazione $(ut)^{2}>(ct)^{2}\Rightarrow u>c$, i punti di quella zona non possono essere in relazione causale col vertice, quindi la zona esterna viene definita “altrove”. Nello spazio a quattro dimensioni l’espressione della distanza dall’origine del punto $P(x,y,z,w)$ è ${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}}$. Posto $w=ct$ abbiamo:
${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+c^{2}t^{2}}}$.
Questa distanza non è invariante. L’espressione di Poincaré ${\sqrt {r^{2}-c^{2}t^{2}}}$ è invariante, ma non è accettabile perché per i punti interni al cono abbiamo $r^{2}