# Ricerche di geometria analitica/06

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Ricerche di geometria analitica Eugenio Beltrami 1879 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Beltrami - Ricerche di geometria analitica - 1879.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/06&oldid=- 20241231165730 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/06&oldid=- 20241231165730
§ 6.
Riprendiamo l’equazione (3) del § 4
e supponiamo che delle $n-2$ relazioni necessariamente sussistenti fra le $n+1$ funzioni lineari u, alcune soltanto, e non già tutte, abbiano la forma delle equazioni (4) del detto §, e precisamente sieno le $n-m$ seguenti:
dove m è un numero intero che non può mai essere maggiore di n, nè minore di 2. In questo caso l’equazione (1) non ha che m radici $\lambda$ variabili colla posizione del punto $(xyz)$ e rappresenta quindi la tangente variabile di una linea razionale della classe m. [p. 30
Eliminando le $2n-2$ quantità essenzialmente arbitrarie, comprese fra le A e le a, dalle $3(n-m)$ equazioni che si ottengono dalle (2) eguagliando separatamente a zero, in ciascuna, i coefficienti di x, y, z, rimangono
$n+1-(3m-1)$
relazioni fra le sole coordinate delle $n+1$ rette $u=0$. Di queste rette $3m-1$ sono dunque arbitrarie: ogni altra retta deve soddisfare ad una condizione per entrare a far parte d’un’equazione della forma (1), cioè per essere tangente d’una linea di classe m già toccata dalle prime $3m-1$ rette.
Ora una linea razionale tangenti di classe m è determinata da $3m-1$ tangenti arbitrarie: dunque l’equazione (1), accompagnata dalle relazioni (2), è atta a rappresentare la tangente variabile di qualunque linea razionale di classe m, colla sola condizione che il numero $n+1$ delle rette $u=0$ sia sempre maggiore di m.
Quando m è $>2$, le relazioni (2) non costituiscono che una parte delle $n-2$ relazioni lineari che devono sussistere fra le $n+1$ funzioni u. Ne rimangono ancora $m-2$, della forma
$\sum {cu=0}$,
dove le c sono costanti individuate, relazioni delle quali si deve tener conto al bisogno.
Le $n-m$ equazioni (2) si possono, col processo nel § precedente, compendiare in una sola: indicato
dove
$\phi (\lambda )=(\lambda -\lambda ')(\lambda -\lambda '')\ldots (\lambda -\lambda ^{(n-m)})$,
e $\psi (\lambda )$ è una funzione intera di $\lambda$, del grado $n-m-1$, a coefficienti arbitrarii.
Quest’equazione può servire alla determinazione di $n-m$ delle [p. 31 funzioni u per mezzo delle rimanenti $m+1$. Se, per fissare le idee, si vogliono esprimere le funzioni
per mezzo delle
basta porre
$\chi (\lambda )=(\lambda -a_{m+1})(\lambda -a_{m+2})\ldots (\lambda -a_{n})$,
e fare successivamente nell’equazione (3)
$\psi (\lambda )={\frac {\chi (\lambda )}{\lambda -a_{m+1}}},\;={\frac {\chi (\lambda )}{\lambda -a_{m+2}}},\ldots ,={\frac {\chi (\lambda )}{\lambda -a_{n}}}.$
Si ottengono in tal modo le $n-m$ formole che risultano dalla seguente
facendo successivamente $p=m+1,m+2,\ldots n$; e queste permettono appunto di esprimere $u_{p}(p>m)$ per mezzo di $u_{0}$, $u_{1},\ldots u_{m}$.
Dall’equazione (4) si trae
$A_{p}u_{p}={\frac {\phi (a_{p})}{\chi '(a_{p})}}\sum _{0}^{m}{\frac {A_{k}\chi (a_{k})u_{k}}{(a_{p}-a_{k})\phi (a_{k})}}$,
donde, moltiplicando ambidue i membri per
${\frac {1}{\lambda -a_{p}}}$
e summando da $p=m+1$ fino a $p=n$,
$\sum _{m+1}^{n}{\frac {A_{p}u_{p}}{\lambda -a_{p}}}=\sum _{0}^{m}{\frac {A_{k}\chi (a_{k})u_{k}}{\phi (a_{k})}}\sum _{m+1}^{n}{\frac {\phi (a_{p})}{(\lambda -a_{p})(a_{p}-a_{k})\chi '(a_{p})}}$,
[p. 32 ossia
$\sum _{m+1}^{n}{\frac {A_{p}u_{p}}{\lambda -a_{p}}}=$
$=\sum _{0}^{m}{\frac {A_{k}\chi (a_{k})u_{k}}{(\lambda -a_{k})\phi (a_{k})}}\left\{\sum _{m+1}^{n}{\frac {\phi (a_{p}}{(\lambda -a_{p})\chi '(a_{p})-}}\sum _{m+1}^{n}{\frac {\phi (a_{p}}{(a_{k}-a_{p})\chi '(a_{p})}}\right\}$.
Nelle due somme fra parentesi si può scrivere $\phi (a_{p})-\chi (a_{p})$ in luogo di $\phi (a_{p})$, e, siccome la funzione $\phi (\lambda )-\chi (\lambda )$ è d’ordine inferiore a $\chi (\lambda )$, si può applicare alle somme stesse il lemma (II). Si ottiene così
$\sum _{m+1}^{n}{\frac {A_{p}u_{p}}{\lambda -a_{p}}}=\sum _{0}^{m}{\frac {A_{k}(a_{k})u_{k}}{(\lambda -a_{k}\phi (a_{k})}}\left\{{\frac {\phi (\lambda )}{\chi (\lambda )}}-{\frac {\phi (a_{k})}{\chi (a_{k})}}\right\}$
ossia finalmente
Da questa identità risulta che l’equazione primitiva (1), fra le $n+1$ rette $u_{0}=0$, $u_{1}=0,\ldots u_{n}=0$, equivale a quest’altra
fra le sole $m+1$ rette $u_{0}=0$, $u_{1}=0,\ldots u_{m}=0$.
Notiamo che l’identità (5) può scriversi così:
$(\lambda -a_{0})(\lambda -a_{1})\ldots (\lambda -a_{n})\sum _{0}^{n}{\frac {A_{k}u_{k}}{\lambda -a_{k}}}$
$\left\{(\lambda -a_{0})(\lambda -a_{1})\ldots (\lambda -a_{m})\sum _{0}^{m}{\frac {\chi (a_{k})}{\phi (a_{k})}}{\frac {A_{k}u_{k}}{\lambda -a_{k}}}\right\}\times$
$\times (\lambda -\lambda ')(\lambda -\lambda -\lambda '')\ldots (\lambda -\lambda ^{n-m})$,
dalla quale è reso evidente che, ammesse le $n-m$ relazioni (2), il primo membro dell’equazione (1), liberato dai denominatori, si spezza [p. 33 effettivamente in due fattori, l’uno dei quali è il primo membro del l’equazione (6), pure liberato dai denominatori, e l’altro è il prodotto dei fattori lineari corrispondenti alle radici fisse $\lambda '$, $\lambda '',\ldots \lambda ^{(n-m)}$. Questo secondo fattore può essere soppresso, in quanto è indipendente dalle coordinate x, y, z del punto variabile, e così riesce manifesta l'equivalenza delle due equazioni l'una fra $n+1$, l'altra fra sole $m+1$ rette.
Notiamo ancora che se nella seconda di queste due equazioni, cioè nella (6), si fa $\lambda =a_{p}$, dove p è un indice $>m$, l'equazione stessa diventa
$\sum _{0}^{m}{\frac {\chi (a_{k})}{\phi (a_{k})}}{\frac {A_{k}u_{k}}{a_{p}-a_{k}}}=0$,
cioè (4)
$u_{p}=0$;
cosicchè si riconosce, anche a posteriori, che la nuova equazione (6), benchè non contenga più, esplicitamente, le rette $u_{m+1}=0$, $u_{m+2}=0,\ldots u_{n}=0$, non cessa tuttavia di riprodurne le equazioni in corrispondenza ai valori $a_{m+1}$, $a_{m+2},\ldots a_{n}$ di $\lambda$.
Per mostrare con un esempio l'utilità di questo processo, consideriamo il caso di una linea della 3a classe individuata da otto sue tangenti $u_{1}=0$, $u_{2}=0,\ldots u_{8}=0$, e partiamo dall'equazione
${\frac {A_{1}u_{1}}{\lambda -a_{1}}}+{\frac {A_{2}u_{2}}{\lambda -a_{2}}}+\cdots +{\frac {A_{8}u_{8}}{\lambda -a_{8}}}=0$.
Facendo
risulta da quanto precede che quest'equazione ad otto termini è riducibile alla seguente a soli quattro :
$\sum _{1}^{4}{\frac {(a_{k}-a_{5})(a_{k}-a_{6})(a_{k}-a_{7})(a_{k}-a_{8})}{(a_{k}-\lambda ^{I})(a_{k}-\lambda ^{II})(a_{k}-\lambda ^{III})(a_{k}-\lambda ^{IV})}}{\frac {A_{k}u_{k}}{\lambda -a_{k}}}=0$.
Se si introduce ora una relazione lineare arbitraria fra le quattro fun[p. 34 zioni residue $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$, $u_{4}$, quest’equazione, eliminando $u_{4}$, si riduce manifestamente alla forma seguente
${\frac {b_{1}\lambda +c_{1}}{\lambda -a_{1}}}u_{1}+{\frac {b_{2}\lambda +c_{2}}{\lambda -a_{2}}}u_{2}+{\frac {b_{3}\lambda +c_{3}}{\lambda -a_{3}}}u_{3}=0$.
Quest’ultima è dunque un’equazione tipica, atta a rappresentare la tangente variabile di ogni curva razionale della 3a classe.