# Ricerche di geometria analitica/08

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Ricerche di geometria analitica Eugenio Beltrami 1879 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Beltrami - Ricerche di geometria analitica - 1879.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/08&oldid=- 20250316233412 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/08&oldid=- 20250316233412
[p. 38
§ 8.
Vogliamo ora mostrare come i procedimenti e le formole adoperate nei §§ precedenti possano applicarsi utilmente anche allo studio delle linee piane non razionali; e ciò faremo stabilendo un sistema di equazioni colle quali si può vantaggiosamente trattare la teoria delle curve generali di 3° ordine. [p. 39
Sieno
le equazioni di quattro rette del piano, fra le quali abbia luogo l'unica relazione identica
In virtù di questa, l'equazione
rappresenta la tangente variabile d'una conica inscritta nel quadrilatero fondamentale (1). Questa conica è totalmente individuata quando ne è data una quinta tangente. Sia
$e_{1}u_{1}+e_{2}u_{2}+e_{3}u_{3}+e_{4}u_{4}=0$
l'equazione di questa retta. Ponendo nell'equazione (3)
ed avendo riguardo alla relazione (2), si riconosce che questa quinta tangente è contenuta nel sistema (3) e corrisponde al valore
$\lambda ={\frac {\alpha }{\gamma }}$
del parametro $\lambda$. E siccome ciò ha luogo qualunque sieno le quantità $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, così, anche attribuendo valori arbitrarii (purchè diseguali) a tre delle costanti $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, si può sempre disporre della quarta costante e delle anzidette quantità $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ in guisa che l'equazione (3) rappresenti la tangente variabile d'una qualunque delle coniche inscritte nel quadrilatero (1). (Ciò segue anche dalla dimostrazione data alla fine del § 4.)
Ora poniamo per brevità
$f(\lambda )=(\lambda -a_{1})(\lambda -a_{2})(\lambda -a_{3})(\lambda -a_{4})$.
L’espressione $[\lambda ]$ è (2) una funzione interna del 2° grado in $\lambda$. Facendo $\lambda =a_{k}$ nell’equazione (4) si ha
formola che equivale (§ 5) alla seguente
dove $\lambda '$ e $\lambda ''$ sono i parametri delle due rette del sistema (3) passanti pel punto al quale si riferiscono i valori delle funzioni $u_{k}$.
Premesso ciò consideriamo l’identità:
$\sum _{1}^{8}{\frac {[\lambda _{i}]^{3}}{F'(\lambda _{i})}}=0$,
dove $F$ è funzione di 8° in $\lambda$, e poniamo
$F(\lambda )=f(\lambda )\phi (\lambda ),\qquad \phi (\lambda )=a(\lambda -a_{1})(\lambda -a_{2})(\lambda -a_{3})(\lambda -a_{4})$.
Avuto riguardo a questa forma di $F(\lambda )$ ed alle formole (5), l’identità precedente si trasforma in quest’altra
$\sum _{1}^{4}{\frac {\left\{f'(a_{k})\right\}^{2}u_{k}^{3}}{\phi (a_{k})}}+\sum _{1}^{4}{\frac {[a_{k}]^{3}}{f(a_{k})\phi '(a_{k})}}=0$.
Poniamo di nuovo
${\frac {\left\{f'(a_{k})\right\}^{2}}{\phi (a_{k})}}=A_{k}$,
donde
$\psi (\lambda )$
$\lambda$
$\phi (\lambda )$
$f(\lambda )$
$\phi (\lambda )=af(\lambda )+\psi (\lambda )$
si trae (6)
$\psi (a_{k})=\phi (a_{k})={\frac {\left\{f'(a_{K})\right\}^{2}}{A_{k}}}$,
ossia
${\frac {\psi (a_{k})}{f(a_{k})}}={\frac {f'(a_{k})}{(A_{k})}}$,
talchè dal Lemma (II) si ha
${\frac {\psi (\lambda )}{f(\lambda )}}=\sum _{1}^{4}{\frac {f'(a_{k})}{A_{k}(\lambda -a_{k})}}$
e conseguentemente
$\phi (\lambda )=f(\lambda )\left\{\sum _{1}^{4}{\frac {f'(a_{k})}{A_{k}(\lambda -a_{k})}}+a\right\}$.
Dunque se si prendono per $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$ le radici dell’equazione di 4° grado in $\lambda$
dove $a$ è una costante arbitraria, si ha l’identità
$\sum _{1}^{4}A_{k}u_{k}^{3}+\sum _{1}^{4}{\frac {[a_{k}]^{3}}{f(a_{k})\phi '(a_{k})}}=0$.
Ne risulta che la linea di 3° ordine rappresentata dall’equazione quadrilaterale
dove
$\phi (\lambda )=(\lambda -\alpha _{1})(\lambda -\alpha _{2})(\lambda -\alpha _{3})(\lambda -\alpha _{4})$;
e ciò qualunque siano le costanti $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, $\alpha _{4}$ ed $\alpha$. La relazione identica che tien luogo della (2) per le nuove funzioni $[\alpha _{k}]$ è
È evidente che i due quadrilateri $(a_{1}a_{2}a_{3}a_{4})$ ed $(\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\alpha _{4})$ sono circoscritti ad una medesima conica. Ma vediamo di precisarne meglio le proprietà. A tal fine denotiamo per un momento con $u_{k}^{(12)}$ il valore che prende la funzione $u_{k}$ nel punto comune alle due rette $[a_{1}]=0$, $[\alpha _{2}]=0$. Dalle formole (5)' si ha
$u_{k}^{(12)}={\frac {M_{12}(a_{k}-\alpha _{1})(a_{k}-\alpha _{2})}{f'(a_{k})}}$,
ed analogamente
$u_{k}^{(34)}={\frac {M_{34}(a_{k}-\alpha _{3})(a_{k}-\alpha _{4})}{f'(a_{k})}}$,
donde (6)
$u_{k}^{(12)}u_{k}^{(34)}={\frac {M_{12}M_{34}\phi (a_{k})}{\left\{f'(a)\right\}^{2}}}={\frac {M_{12}M_{34}}{A_{k}}}$.
Le uguaglianze che così si ottengono
combinate colle identità
$u_{1}^{(12)}+u_{2}^{(12)}+u_{3}^{(12)}+u_{4}^{(12)}=0$,
$u_{1}^{(34)}+u_{2}^{(34)}+u_{3}^{(34)}+u_{4}^{(34)}=0$,
[p. 43 mostrano che i due punti $(a_{1}a_{2})$ ed $(a_{3}a_{4})$ sono situati sulla linea rappresentata dall’equazione
Ora questa linea è l’hessiana della cubica (8), e le relazioni (11) definiscono le coppie di punti conjugati di questa hessiana (cioè le copie di punti conjugati rispetto a tutte le coniche polari): dunque il nuovo quadrilatero di riferimento $(\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\alpha _{4})$ è, come il primitivo $(a_{1}a_{2}a_{3}a_{4})$, inscritto nell’hessiana ed i suoi vertici opposti sono punti conjugati di questa curva, vale a dire: il quadrilatero $(\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\alpha _{4})$ è un quadrilatero polare. E poichè la forma quadrilaterale (8) dell’equazione d’una cubica generale involge due costanti arbitrarie, mentre la determinazione delle $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, $\alpha _{4}$ (che definiscono il nuovo quadrilatero) implica appunto due costanti arbitrarie (cioè la costante $\alpha$ ed il rapporto armonico delle costanti $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$), così l’equazione (9) porge il tipo più generale delle equazioni quadrilaterali d’una cubica data.
L’equazione (7), le cui radici definiscono i quadrilateri polari, può essere surrogata da un’altra. Infatti se da essa si sottrae l’identità risultante dal porvi $\lambda =a_{1}$ e si divide il primo membro dell’equazione ottenuta per $\lambda -a_{1}$, si trova
equazione di 3° grado in $\lambda$, in cui si può fissare arbitrariamente il valore di $a_{1}$, e che somministra le altre tre radici $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$. Di qui risulta che ogni retta del piano è lato d’un quadrilatero polare. Infatti, data una retta qualunque, si determinano (nel modo indicato al principio di questo §) le $a_{k}$ in modo ch’essa appartenga al sistema (3), e si assuma per $\alpha _{1}$ il valore di $\lambda$ spettante ad essa. La precedente equazione (7)' fornirà in tal caso i parametri $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, $\alpha _{4}$ delle tre altre rette che, insieme colla data, formano il quadrilatero polare, unico e determinato, cui essa appartiene. Queste tre rette sono le tangenti condotte alla conica inscritta nel quadrilatero fondamentale (1) e toccante la retta data dai tre punti in cui questa retta interseca la cubica hessiana. [p. 44
Si può anche applicare altramente l’equazione (7)', e cioè disponendo delle costanti $a_{k}$ in modo che si abbia
dove $a_{1}$ ed $a_{2}$ sono fissate ad arbitrio. Se si sottrae quest’equazione (la quale esprime che le rette $a_{1}$, $a_{2}$ s’intersecano sull’hessiana) dalla precedente equazione (7)' e si divide il risultato per $\lambda -a_{2}$, si ottiene
equazione del solo 2° grado in $\lambda$, che fornisce le due radici rimanenti $a_{3}$ ed $a_{4}$.
Poniamo ora
$\psi (\lambda )=b(\lambda -b_{1})(\lambda -b_{2})(\lambda -b_{3})$
e consideriamo l’identità
$\sum _{1}^{4}{\frac {(a_{k}-b_{0})[a_{k}]^{2}}{f'(a_{k})\psi (a_{k})}}+\sum _{1}^{3}{\frac {(b_{k}-b_{0})[b_{k}]^{2}}{f(b_{k})\psi '(b_{k})}}=0$,
ossia (5)
$\sum _{1}^{4}{\frac {f'(a_{k})(a_{k}-b_{0})u_{k}^{2}}{\psi (a_{k})}}+\sum _{1}^{3}{\frac {(b_{k}-b_{0})[b_{k}]^{2}}{f(b_{k})\psi '(b_{k})}}=0$,
dove $b_{0}$ è una costante arbitraria. Ponendo
${\frac {f'(a_{k})(a_{k}-b_{o})}{\psi (a_{k})}}=E_{k}$,
ossia
${\frac {\psi (a_{k})}{f'(a_{k})}}={\frac {a_{k}-b_{0}}{E_{k}}},\qquad k=1,2,3,4$
[p. 45 si ha dal Lemma (II)
$\psi (\lambda )=f(\lambda )\sum _{1}^{4}{\frac {a_{k}-b_{0}}{E_{k}(\lambda -a_{k})}}$.
Ne risulta che prendendo per $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$ le radici dell’equazione di 3° grado in $\lambda$
la conica rappresentata dall’equazione quadrilaterale
è ugualmente rappresentata dall’equazione trilaterale
talchè la detta conica è conjugata ad un’infinità di triangoli formati da rette del sistema (3).
L’equazione (13) può essere scritta così:
$(\lambda -b_{0})\sum _{1}^{4}{\frac {1}{E_{k}(\lambda -a_{k})}}=\sum _{1}^{4}{\frac {1}{E_{k}}}$.
Quindi se i coefficienti dell’equazione (14) soddisfano la relazione
una delle radici $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$ diventa eguale a $b_{0}$, e, supponendo che sia $b_{2}=b_{0}$, le due altre radici $b_{1}$, $b_{2}$ sono date dall’equazione [p. 46
che è del solo 2° grado in $\lambda$, per la relazione (16). In questo caso l’equazione trasformata (15) diventa
e rappresenta una coppia di rette. Si può infatti verificare facilmente che la condizione per lo spezzamento della conica (14) in due rette è appunto la (16). Le coordinate del punto doppio sono date da
Le radici $b_{1}$ e $b_{2}$ dell’equazione (16)' sono i parametri delle due rette del sistema (3) che passano da questo punto, e le due rette rappresentate dall’equazione (17) sono le tangenti, nel punto stesso, alle due coniche inscritte nel quadrilatero fondamentale e passanti per questo punto.
Supponiamo ora che la conica (14) sia la prima polare d’un punto del piano. Se $v_{k}$ è il valore di $u_{k}$ in questo punto, bisogna porre
$E_{k}=A_{k}v_{k}$,
donde risulta innanzi tutto che affinchè la conica (14) sia una conica polare dev’essere
${\frac {E_{1}}{A_{1}}}+{\frac {E_{2}}{A_{2}}}+{\frac {E_{3}}{A_{3}}}+{\frac {E_{4}}{A_{4}}}=0$.
Se poi s’indicano con $\lambda '$, $\lambda ''$ i parametri delle due rette (3) passanti pel polo, si ha
$E_{k}={\frac {MA_{k}(a_{k}-\lambda ')(a_{k}-\lambda '')}{f'(a_{k})}}$,
epperò l’equazione (13)
$\sum _{1}^{4}{\frac {(a_{k}-b_{0})f'(a_{k})}{A_{k}(\lambda -a_{k})(\lambda '-a_{k})(\lambda ''-a_{k})}}=0$.
[p. 47 Donde alla costante arbitraria $b_{0}$ uno dei due valori $\lambda '$, $\lambda ''$, ponendo per esempio $b_{0}=\lambda ''$, quest’equazione diventa
e non contiene più traccia di $\lambda ''$. Ne risulta che il triangolo $(b_{1}\,b_{2}\,b_{3})$ determinato da quest’equazione è il triangolo conjugato comune alle coniche polari di tutti i punti della retta $[\lambda ']=0$, la quale è una retta qualunque del piano (per l’arbitrio inerente alle quantità $(a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$). Inoltre confrontanto quest’equazione (18) colla (7)'', si riconosce che le radici $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$ della prima sono i parametri di tre lati d’un quadrilatero polare, il cui quarto lato è la retta di parametro $\lambda '$. Dunque le tre rette che, insieme con una retta data, costituiscono il quadrilatero polare di cui essa fa parte sono i lati del triandolo conjugato comune alle coniche polari di tutti i punti della retta stessa.
La condizione (16) dello spezzamento in due rette diventa, per una conica polare,
$\sum _{1}^{4}{\frac {1}{A_{k}v_{k}}}=0$,
epperò (12) tale spezzamento ha luogo solamente quando il polo è sulla cubica hessiana. Le coordinate $w_{k}$ del punto doppio sono date (17)' da
$A_{1}v_{1}w_{1}=A_{2}v_{2}w_{2}=A_{3}v_{3}w_{3}=A_{4}v_{4}w_{4}$
epperò (11) il polo ed il punto doppio sono punti conjugati dall’hessiana. Indicando con $a_{1}$ ed $a_{2}$ i parametri delle due rette (3) che passano per il polo, si ha (5)'
$v_{k}={\frac {M(a_{k}-a_{1})(a_{k}-a_{2})}{f'(a_{k})}}$,
e, per essere il polo sull’hessiana, si ha pure
$\sum _{1}^{4}{\frac {f'(a_{k})}{A_{k}(a_{k}-a_{1})(a_{k}-a_{2})}}=0$.
[p. 48 Quindi l’equazione analoga alla (16)' è la seguente
$\sum _{1}^{4}{\frac {f'(a_{k})}{A_{k}(\alpha _{1}-a_{k})(\alpha _{2}-a_{k})(\lambda -a_{k})}}=0$.
Ora queste due ultime equazioni sono identiche alle (7)'', (7)''': dunque le radici denotate più sopra con $b_{1}$ e $b_{2}$ sono i parametri $\alpha _{3}$ ed $\alpha _{4}$ delle due rette che formano quadrilatero polare con quelle di parametri $\alpha _{1}$ ed $\alpha _{2}$, epperò l’equazione della conica polare del punto $(\alpha _{1},\alpha _{2})$, ossia della conica polare che ha il punto doppio nel punto $(\alpha _{3},\alpha _{4})$, è
${\frac {[\alpha _{3}]^{2}}{f(\alpha _{3})}}={\frac {[\alpha _{4}]^{2}}{f(\alpha _{4})}}$,
come si può verificare direttamente mediante le equazioni (9), (10).
L’equazione
${\frac {[\alpha _{1}]}{\sqrt {f(\alpha _{1})}}}={\frac {[\alpha _{2}]}{\sqrt {f(\alpha _{2})}}}$
rappresenta una delle due rette costituenti la conica polare il cui punto doppio è $(\alpha _{1},\alpha _{2})$. Se la quantità $\alpha _{1},\alpha _{2}$ variano soddisfacendo sempre all’equazione (7)''', questa retta inviluppa la curva Cayleyana.
Non protrarremo più oltre questa digressione, unico scopo della quale è stato di mostrare la possibilità di spiegare i metodi precedentemente esposti alla trattazione di questioni che parrebbero, a prima giunta, estranee al campo della loro applicazione.