# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 38

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_6/Paragrafo_38&oldid=- 20250113190138 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_6/Paragrafo_38&oldid=- 20250113190138
§ 38. — Un altro limite fondamentale.
$\alpha$) Se un punto $A$ si muove sopra una retta sempre nello stesso verso, per esempio, verso destra, è ben chiaro che possono presentarsi solo due casi:
1° Il punto $A$ finisce con l’allontanarsi indefinitamente a destra.
Oppure
2° Esiste un punto $L$, che il punto $A$ non supera, pure avvicinandosi ad esso indefinitamente. Così, per esempio, se il punto $A$ ha una velocità costante, si presenterà evidentemente il primo caso. Se invece $A$ nel primo minuto percorre cm. 1, nel secondo cm. ${\frac {1}{2}}$, nel terzo cm. ${\frac {1}{4}}$, nel quarto cm. ${\frac {1}{8}}$, $\ldots$ nello $n^{esimo}$ minuto cm. ${\frac {1}{2^{n-1}}}$, esso dopo n minuti avrà percorso
cm. $\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)={\frac {1-{\frac {1}{2^{n}}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}$.
Il punto $A$ non sarà perciò mai riuscito ad allontanarsi al di là di quel punto $L$, che ha una distanza di cm. 2 dal punto di partenza, pure diventando (al crescere di n) la distanza di $AL\left({\text{che è}}{\frac {1}{2^{n}-1}}\right)$ piccola a piacere. [p. 124
Questa osservazione rende intuitivo il teorema che dobbiamo ora esporre.
Si dice che una funzione reale $y=f(x)$ è crescente, se essa cresce al crescere della $x$, o più precisamente, se, indicati con $x_{1}$, $x_{2}$ due punti qualsiasi del gruppo G ove la $f(x)$ è definita tali che $x_{1}>x_{2}$, si ha $f(x_{1})>f(x_{2})$.
La y si dice decrescente, se invece dalla $x_{1}>x_{2}$ segue $f(x_{1})0$). La $y=f(x)$ si dice non crescente, oppure non decrescente se dalla $x_{1}\geq x_{2}$ segue $f(x_{1})\leq f(x_{2})$, oppure $f(x_{1})\geq f(x_{2})$.
Se una funzione non è crescente, o non è decrescente in un dato gruppo G di punti, si dice che la funzione varia sempre nello stesso verso (senso) nel gruppo G.
Teorema Se f(x) è una funzione definita nel gruppo G, che varia sempre nello steso verso e se in ogni intorno (per esempio sinistro) del punto $\mathrm {x=a}$ esistono punti di G distinti da a, esiste il $\mathrm {\lim _{x=a-0}f(x)}$.
Supponiamo per fissar le idee che $f(x)$ non sia decrescente a sinistra del punto a e che si voglia dimostrare l’esistenza del $\lim _{x=a-0}f(x)$. Noi dimostreremo che tale limite è precisamente il limite superiore L dei valori che f(x) assume, quando x assume i valori di G più piccoli (a sinistra) di a.
Distinguiamo due casi:
1° L è finito. Sia n un intero così grande che ${\frac {1}{10^{n}}}$ sia minore di un $\varepsilon$ prefissato. Tra i citati valori di $y$ ne esisterà almeno uno (per esempio quello $f(c)$ assunto da $y$ nel punto $x=ck$. In tutto l’intervallo $(c,a)$ sarà dunque $f(x)\geq f(c)>k$, perchè $f(x)$ non è decrescente. Pertanto
$\lim _{x=a-}f(x)=+\infty$.
Così, per esempio, l’area del poligono regolare di $n$ lati inscritto in un cerchio $C$ è una funzione crescente di $n$, che ha per limite per $n=\infty$ proprio l’area di $C$.
$\beta$) Applicheremo questo teorema allo studio di un limite fondamentale. Dalla formola del binomio si trae che, se $m$ è un intero positivo, allora:
$\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=1+{\frac {m}{1}}{\frac {1}{m}}+{\frac {m(m-1)}{1.2}}{\frac {1}{m^{2}}}+\ldots +{\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-[m-1])}{\lfloor {m}}}{\frac {1}{m^{m}}}=$
$=1+1+{\frac {1-{\frac {1}{m}}}{\lfloor {2}}}+{\frac {\left(1-{\frac {1}{m}}\right)\left(1-{\frac {2}{m}}\right)}{\lfloor {3}}}+\ldots +{\frac {\left(1-{\frac {1}{m}}\right)\left(1-{\frac {2}{m}}\right)\ldots \left(1-{\frac {m-1}{m}}\right)}{\lfloor {m}}}$
donde, osservando che i numeratori degli addendi terzo, quarto, eccetera, non superano l’unità, e che i denominatori sono $\lfloor {2}=2,\lfloor {3}=2.3>2.2=2^{2}$, $\lfloor {4}>2^{3}$, eccetera, si trae che per $m>1$ è:
$2<\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}<2+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.2}}+{\frac {1}{2.2.2}}+\cdots +{\frac {1}{2^{m-1}}}\right)<3$.
D’altra parte il $k^{esimo}$ ($20$; e, poichè per l’ultima delle precedenti formole, è (per ogni valore dell’intero [p. 126 $m>1)$ $2<\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}<3$, sarà pure $20$,
$\lim _{m=\infty }m\log _{a}\left(1+{\frac {1}{m}}\right)=\log _{a}e$,
ossia, posto $m={\frac {1}{x}},\lim _{x=0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e$. [p. 127
Se si pone $\log _{a}(1+x)=z$, e quindi $x=a^{z}-1$, se ne deduce:
$\lim _{x=0}{\frac {z}{a^{z}-1}}=\log _{a}e$, donde $\lim _{x=0}{\frac {a^{z}-1}{z}}={\frac {1}{\log _{a}e}}=\log _{e}a$.
Se esponiamo $a=e$ si trova:
$\lim _{x=0}{\frac {\log _{e}(1+x)}{x}}=1$; $\lim _{x=0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$.
Dalla prima riga di queste formole si vede quanto semplice diventi il $\lim _{x=o}{\frac {\log(1+x)}{x}}$, appena si assuma il numero e come base di un sistema di logaritmi. Poichè questo limite si presenta continuamente nel calcolo, noi adotteremo d’ora in poi (salvo esplicita dichiarazione in contrario) questo numero e come base del sistema di logaritmi. I logaritmi così ottenuti si diranno neperiani, iperbolici, naturali.
Per uno studio geometrico dei limiti precedenti di vegga l’esempio terzo.
* ↑ Questa affermazione è conseguenza dell’ipotesi $L=\infty$.
* ↑ Infatti ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.2}}+\cdots +{\frac {1}{2^{m-1}}}=1-{\frac {1}{2^{m-1}}}<1$.
* ↑ Basta ricordare che $\log _{a}{x}$ è funzione continua nei punti $x>0$.