# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/C.2

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/C.2&oldid=- 20220903090932 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/C.2&oldid=- 20220903090932
[p. 259
C.2 La correlazione lineare
Per due variabili casuali qualunque si definisce poi il coefficiente di correlazione lineare ${\text{Corr}}(x,y)$ (anche indicato col simbolo $r_{xy}$, o semplicemente come $r$) nel modo seguente:
$r_{xy}\;\equiv \;{\text{Corr}}(x,y)\;=\;{\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{\sqrt {{\text{Var}}(x)\,{\text{Var}}(y)}}}\;=\;{\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{\sigma _{x}\,\sigma _{y}}}$.
Il coefficiente di correlazione di due variabili è ovviamente adimensionale; è nullo quando le variabili stesse sono statisticamente indipendenti (visto che è zero la loro covarianza); ed è comunque compreso tra i due limiti $-1$ e $+1$. Che valga quest’ultima proprietà si può dimostrare calcolando dapprima la varianza di una variabile casuale ausiliaria $z$ definita attraverso la relazione $z=\sigma _{y}\,x-\sigma _{x}\,y$, ed osservando che essa deve essere una quantità non negativa:
| ${\text{Var}}(z)$ | $={\sigma _{y}}^{2}\,{\text{Var}}(x)+{\sigma _{x}}^{2}\,{\text{Var}}(y)-2\,\sigma _{x}\,\sigma _{y}\,{\text{Cov}}(x,y)$ |
| | $=2\,{\text{Var}}(x)\,{\text{Var}}(y)-2\,\sigma _{x}\,\sigma _{y}\,{\text{Cov}}(x,y)$ |
| | $\geq 0$; |
da cui
${\text{Corr}}(x,y)\leq 1$.
Poi, compiendo analoghi passaggi su un’altra variabile definita stavolta come $z=\sigma _{y}\,x+\sigma _{x}\,y$, si troverebbe che deve essere anche ${\text{Corr}}(x,y)\geq -1$.
Se il coefficiente di correlazione lineare raggiunge uno dei due valori estremi $\pm 1$, risulta ${\text{Var}}(z)=0$; e dunque deve essere
$z\;=\;\sigma _{y}\,x\mp \sigma _{x}\,y\;=\;{\text{costante}}$
cioè $x$ ed $y$ devono essere legati da una relazione funzionale di tipo lineare. [p. 260
Vale anche l’inverso: partendo infatti dall’ipotesi che le due variabili siano legate da una relazione lineare data da $y=a+bx$, con $b$ finito e non nullo, ne consegue che:
| $E(y)$ | $=a+b\,E(x)$ |
| ${\text{Var}}(y)$ | $=b^{2}\,{\text{Var}}(x)$ |
| $E(xy)$ | $=E(a\,x+b\,x^{2})$ |
| | $=a\,E(x)+b\,E(x^{2})$ |
| ${\text{Cov}}(x,y)$ | $=E(xy)-E(x)\cdot E(y)$ |
| | $=a\,E(x)+b\,E(x^{2})-E(x){\bigla+b\,E(x){\bigr ]}$ |
| | $=b\left\{E(x^{2})-{\biglE(x){\bigr ]}^{2}\right\}$ |
| | $=b\cdot {\text{Var}}(x)$ |
| ${\text{Corr}}(x,y)$ | $={\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{\sqrt {{\text{Var}}(x)\,{\text{Var}}(y)}}}$ |
| | $={\frac {b\,{\text{Var}}(x)}{\sqrt {b^{2}{\bigl{\text{Var}}(x){\bigr ]}^{2}}}}$ |
| | $={\frac {b}{|b|}}$ |
| | $=\pm 1$. |
Il segno del coefficiente di correlazione è quello del coefficiente angolare della retta. Sono da notare due cose: innanzi tutto il rapporto $b/|b|$ perde significato quando $b=0$ o quando $b=\infty$, cioè quando la retta è parallela ad uno degli assi coordinati: in questi casi ($x=$ costante o $y=$ costante) una delle due grandezze non è in realtà una variabile casuale, e l’altra è dunque indipendente da essa; è facile vedere che tanto il coefficiente di correlazione tra $x$ e $y$ quanto la covarianza valgono zero, essendo $E(xy)\equiv E(x)\cdot E(y)$ in questo caso.
Anche quando esiste una relazione funzionale esatta tra $x$ e $y$, se questa non è rappresentata da una funzione lineare il coefficiente di correlazione non raggiunge i valori estremi $\pm 1$; per questa ragione appunto esso si chiama più propriamente “coefficiente di correlazione lineare”.