# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/C.4.1

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/C.4.1&oldid=- 20220903091000 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/C.4.1&oldid=- 20220903091000
[p. 262
C.4.1 Riscrittura delle equazioni dei minimi quadrati
Sebbene i valori della $x$ siano scelti dallo sperimentatore e privi di errore, e non siano pertanto variabili casuali in senso stretto; e sebbene la variabilità delle $y$ sia dovuta non solo agli errori casuali di misura ma anche alla variazione della $x$, introduciamo ugualmente (in maniera puramente formale) le medie e le varianze degli $N$ valori $x_{i}$ e $y_{i}$, date dalle espressioni
| ${\bar {x}}\;=\;{\frac {\sum _{i}x_{i}}{N}}$ | e | ${\text{Var}}(x)\;=\;{\frac {\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}{N}}\;=\;{\frac {\sum _{i}{x_{i}}^{2}}{N}}-{\bar {x}}^{2}$ |
(e simili per la $y$); e la covarianza di $x$ e $y$, data dalla
${\text{Cov}}(x,y)\;=\;{\frac {\sum _{i}x_{i}\,y_{i}}{N}}\,-\,{\bar {x}}{\bar {y}}$.
Queste grandezze permettono di riscrivere le equazioni (11.9) risolutive del problema dell'interpolazione lineare per un insieme di dati, che abbiamo già incontrato a pagina 181, nella forma
* $\left\{{\begin{array}{lclcl}a&+&b\,{\bar {x}}&=&{\bar {y}}\\[1ex]a\,{\bar {x}}&+&b\,{\bigl{\text{Var}}(x)+{\bar {x}}^{2}{\bigr ]}&=&{\text{Cov}}(x,y)\;+\;{\bar {x}}{\bar {y}}\end{array}}\right.$
La prima equazione intanto implica che la retta interpolante deve passare per il punto $({\bar {x}},{\bar {y}})$ le cui coordinate sono le medie dei valori misurati delle due variabili in gioco; poi, ricavando da essa $a={\bar {y}}-b{\bar {x}}$ e sostituendo nella seconda equazione, dopo aver semplificato alcuni termini si ottiene la soluzione per l'altra incognita:
e la retta interpolante ha quindi equazione
$y\;=\;a+bx\;=\;\left({\bar {y}}-b{\bar {x}}\right)+bx$
o anche
$\left(y-{\bar {y}}\right)\;=\;b\left(x-{\bar {x}}\right)$
(in cui $b$ ha il valore (C.6)). Introduciamo ora le due variabili casuali ausiliarie $\xi =x-{\bar {x}}$ e $\eta =y-{\bar {y}}$, per le quali valgono le
| ${\bar {\xi }}\;=\;0$ | e | ${\text{Var}}(\xi )\;=\;{\text{Var}}(x)$ |
(con le analoghe per $\eta$ ed $y$), ed inoltre la
${\text{Cov}}(\xi ,\eta )={\text{Cov}}(x,y)$
ed indichiamo poi con ${\widehat {y}}_{i}$ il valore della $y$ sulla retta interpolante in corrispondenza dell’ascissa $x_{i}$:
e con $\delta _{i}$ la differenza ${\widehat {y}}_{i}-y_{i}$. Le differenze $\delta _{i}$ prendono il nome di residui, e di essi ci occuperemo ancora più avanti; risulta che
* $=\sum \nolimits _{i}{\Bigl \\left[{\bar {y}}+b\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)\right]-y_{i}{\Bigr \}}^{2}$
* $=\sum \nolimits _{i}\left(b\xi _{i}-\eta _{i}\right)^{2}$
* $=b^{2}\sum \nolimits _{i}{\xi _{i}}^{2}+\sum \nolimits _{i}{\eta _{i}}^{2}-2b\sum \nolimits _{i}\xi _{i}\eta _{i}$
* $=N\,b^{2}\,{\text{Var}}(\xi )+N\,{\text{Var}}(\eta )-2Nb\,{\text{Cov}}(\xi ,\eta )$
* $=N\,b^{2}\,{\text{Var}}(x)+N\,{\text{Var}}(y)-2Nb\,{\text{Cov}}(x,y)$
* $=N\,{\text{Var}}(x)\left[{\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{{\text{Var}}(x)}}\right]^{2}+N\,{\text{Var}}(y)-2N\,{\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{{\text{Var}}(x)}}\,{\text{Cov}}(x,y)$
* $=N\left\{{\text{Var}}(y)-{\frac {\left[{\text{Cov}}(x,y)\right]^{2}}{{\text{Var}}(x)}}\right\}$
* $=N\,{\text{Var}}(y)(1-r^{2})$
in cui $r$ è il coefficiente di correlazione lineare calcolato usando, sempre solo formalmente, i campioni dei valori misurati delle $x$ e delle $y$.
Visto che quest’ultimo, nel calcolo dell’interpolazione lineare fatto con le calcolatrici da tasca, viene in genere dato come sottoprodotto dell’algoritmo, [p. 264 la sua conoscenza permette (usando questa formula) di ottenere facilmente l’errore a posteriori sulle ordinate interpolate (studiato nel paragrafo 11.4.2):
oltre a fornire una grossolana stima dell’allineamento dei punti; quanto più infatti esso è rigoroso, tanto più $r$ si avvicina a $\pm 1$.
Il valore $\mu _{y}$ dell’errore rappresenta sempre anche una stima dell’allineamento dei punti, a differenza del coefficiente di correlazione lineare, per cui $r=\pm 1$ implica allineamento perfetto, ma non inversamente: potendo essere ad esempio (punti su di una retta parallela all’asse $x$) $r=0$ e ${\text{Var}}(y)=0$ ancora con allineamento perfetto.
È opportuno qui osservare che $r$ non è il coefficiente di correlazione fra gli errori delle grandezze $x$ ed $y$; infatti, per ipotesi, la $x$ non è affetta da errore e, se pur lo fosse, la correlazione fra gli errori sarebbe nulla qualora ciascuna $x_{i}$ fosse misurata indipendentemente dalla corrispondente $y_{i}$ o, altrimenti, sarebbe tanto più prossima ai valori estremi $\pm 1$ quanto maggiore fosse il numero di cause d’errore comuni alle misure di $x$ e di $y$.
Invece $r$ è il coefficiente di correlazione per l’insieme dei punti aventi coordinate date dalle coppie di valori misurati, e nell’ipotesi di effettiva dipendenza lineare delle grandezze $x$ ed $y$ sarebbe sempre rigorosamente uguale a $\pm 1$ se non intervenissero gli errori sperimentali.