# Ricerche di geometria analitica/10

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Ricerche di geometria analitica Eugenio Beltrami 1879 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Beltrami - Ricerche di geometria analitica - 1879.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/10&oldid=- 20250225235129 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/10&oldid=- 20250225235129
[p. 55
§ 10.
Consideriamo ora simultaneamente due cubiche gobbe, l’una inscritta, l’altra circoscritta al tetraedro fondamentale.
Rappresenteremo coll’equazione
${\frac {x}{\lambda -a}}+{\frac {y}{\lambda -b}}+{\frac {z}{\lambda -c}}+{\frac {t}{\lambda -d}}=0$
il piano osculatore variabile della prima cubica, cubica che può essere una qualunque, fra le inscritte, per la presenza delle costanti arbitrarie a, b, c, d; e coll’equazione
${\frac {Ap}{\mu -a}}+{\frac {Bq}{\mu -b}}+{\frac {Cr}{\mu -c}}+{\frac {Ds}{\mu -d}}=0$
il punto variabile della seconda cubica, cubica che può anche essere una qualunque, fra le circoscritte, per la presenza delle nuove costanti A, B, C, D.
L’equazione
${\frac {A}{(\lambda -a)(\mu -a)}}+{\frac {B}{(\lambda -b)(\mu -b)}}+{\frac {C}{(\lambda -c)(\mu -c)}}+{\frac {D}{(\lambda -d)(\mu -d)}}=0$.
esprime manifestamente la condizione perchè il piano osculatore $\lambda$ della prima cubica passi per il punto $\mu$ della seconda, ed è di 3° grado [p. 56 tanto rispetto a $\lambda$ quanto rispetto a $\mu$. Designando con $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ le radici (variabili con $k$) dell’equazione di 4° grado in $x$
${\frac {A}{x-a}}+{\frac {B}{x-b}}+{\frac {C}{x-c}}+{\frac {D}{x-d}}=k$,
ed osservando che fra queste radici hanno luogo sei relazioni del tipo
${\frac {A}{(x_{1}-a)(x_{2}-a)}}+{\frac {B}{(x_{1}-b)(x_{2}-b)}}$
$+{\frac {C}{(x_{1}-c)(x_{2}-c)}}+{\frac {D}{(x_{1}-d)(x_{2}-d)}}=0$
(relazioni delle quali tre sole sono indipendenti, e le altre tre sono conseguenze di queste), si trova, con considerazioni interamente analoghe a quelle del § 3, che ponendo
si ottiene un solo e medesimo tetraedro, le cue faccie sono i piani $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda _{3}$, $\lambda _{4}$ osculatori della prima cubica, i cui vertici opposti sono i punti $\mu _{1}$, $\mu _{2}$, $\mu _{3}$, $\mu _{4}$ della seconda cubica, ed i cui spigoli sono rette in due piani rispetto alla prima cubica, corde rispetto alla seconda. E siccome, variando k, una qualunque delle radici può prendere tutti i valori possibili, così si conclude che per due cubiche gobbe (come per due coniche in un piano) esiste una serie infinita e continua di tetraedri circoscritti all’una ed iscritti all’altra, quando esista un solo di tali tetraedri.
La retta comune ai due piani osculatori $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$ è rappresentata dalle due equazioni
* ${\frac {x}{\lambda _{1}-a}}+{\frac {y}{\lambda _{1}-b}}+{\frac {z}{\lambda _{1}-c}}+{\frac {t}{\lambda _{1}-d}}=0$
* ${\frac {x}{\lambda _{2}-a}}+{\frac {y}{\lambda _{2}-b}}+{\frac {z}{\lambda _{2}-c}}+{\frac {t}{\lambda _{2}-d}}=0$,
le quali possono essere sostituite dalle due seguenti
${\frac {x}{(\lambda _{1}-a)(\lambda _{2}-a)}}+{\frac {y}{(\lambda _{1}-b)(\lambda _{2}-b)}}$
$+{\frac {z}{(\lambda _{1}-c)(\lambda _{2}-c)}}+{\frac {t}{(\lambda _{1}-d)(\lambda _{2}-d)}}=0$
${\frac {ax}{(\lambda _{1}-a)(\lambda _{2}-a)}}+{\frac {by}{(\lambda _{1}-b)(\lambda _{2}-b)}}$
$+{\frac {cz}{(\lambda _{1}-c)(\lambda _{2}-c)}}+{\frac {dt}{(\lambda _{1}-d)(\lambda _{2}-d)}}=0$
ottenute: la prima colla semplice sottrazione delle due equazioni precedenti, la seconda colla sottrazione eseguita dopo aver moltiplicato la prima equazione per $\lambda _{1}$ e la seconda per $\lambda _{2}$. Se i due piani $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, sono faccie d’un tetraedro simultaneamente inscritto e circoscritto, si ha ancora, dietro quanto precede,
${\frac {A}{(\lambda _{1}-a)(\lambda _{2}-a)}}+{\frac {B}{(\lambda _{1}-b)(\lambda _{2}-b)}}$
$+{\frac {C}{(\lambda _{1}-c)(\lambda _{2}-c)}}+{\frac {D}{(\lambda _{1}-d)(\lambda _{2}-d)}}=0$.
Da questa e dalle due precedenti equazioni risulta che si ha
$(\lambda _{1}-a)(\lambda _{2}-a):\lambda _{1}-b)(\lambda _{2}-b):(\lambda _{1}-c)(\lambda _{2}-c):(\lambda _{1}-d)(\lambda _{2}-d)$
$={\frac {1}{\alpha }}:{\frac {1}{\beta }}:{\frac {1}{\gamma }}:{\frac {1}{\delta }}$,
dove $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ sono i complementi algebrici degli elementi della prima linea nel determinante
${\begin{vmatrix}*&*&*&*\\x&y&z&t\\ax&by&cz&dt\\A&B&C&D\end{vmatrix}}$
Di qui, in virtù del Lemma (III), si trae l’equazione
${\frac {1}{\alpha f'(a)}}+{\frac {1}{\beta d'(b)}}+{\frac {1}{\gamma d'(c)}}+{\frac {1}{\delta f'(d)}}=0$
donde sono eliminate le $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, e che, contenendo soltanto le x, y, z, t, è l’equazione locale della superficie rigata luogo degli spigoli di [p. 58 tutti i tetraedri simultaneamente inscritti e circoscritti alle due cubiche. Sviluppandola, si trova, con facile calcolo, il risultato seguente:
$\sum {\frac {(b-c)(c-d)(d-b)}{D(b-c)yz+B(c-d)zt+C(d-b)ty}}=0$,
dove i tre termini susseguenti a quello che sta scritto si ottengono da esso permutando circolarmente tanto le a, b, c, d, quanto le A, B, C, D, quanto le x, y, z, t. La superficie degli spigoli è dunque di 6° ordine e classe. Essa ha per linea tripla la cubica gobba circoscritta, e per sviluppabile tritangente quella id cui la cubica gobba inscritta è spigolo regresso.
L’equazione tangenziale della medesima superficie, dedotta con un procedimento totalmente analogo, è
$\sum {\frac {A(b-c)(c-d)(d-b)}{(b-c)qr+(c-d)rs+(d-b)sq}}=0$.
Accenniamo rapidamente il caso delle radici equali. L’equazione di 4° grado in x dà, pel Lemma (I),
$A={\frac {k(a-x_{1})(a-x_{2})(a-x_{3})(a-x_{4})}{f'(a)}},\quad {\mbox{ecc.}}$
talchè se, per un valore particolare $k'$ di k, le due radici $x_{3}$ e $x_{4}$ diventano eguali fra loro, designando con $x'$ questo valore comune, si ha
$A={\frac {k'(a-x_{1})(a-x_{2})(a-x')^{2}}{f'(a)}},$ ecc.
Di qui si trae
dove $x$ rappresenta uno dei due valori $x_{1}$, $x_{2}$. La prima equazione (derivata della primitiva) definisce sei valori di $x'$ che sono radici doppie dell’equazione in $x$, corrispondenti a certi sei valori $k'$ di $k$. La terza equazione è, in virtù della prima, del solo 2° grado in $x$, e fornisce i valori delle radici diseguali $x_{1}$ e $x_{2}$ associate alla radice doppia $x'$. La seconda e la terza equazione poi, insieme prese, esprimono il [p. 59 carattere peculiare dei tetraedri corrispondenti alle sei quaterne nelle quali son comprese le radici doppie. Infatti ponendo
dove $\lambda '$ è il valore comune di $\lambda _{3}$ e $\lambda _{4}$, come $\mu '$ è il valor comune di $\mu _{3}$ e $\mu _{4}$, e designando con $\lambda$, o $\mu$, uno qualunque dei valori diseguali di $\lambda _{1},\lambda _{2}$, oppure $\mu _{1},\mu _{2}$, si hanno le equazioni seguenti (differenti solo nella segnatura delle due ultime precedenti)
La prima coppia di equazioni esprime che la faccia $\lambda$ contiene il punto $\mu '$ ed il punto contiguo; la seconda, che il punto $\mu$ è contenuto nel piano osculatore $\lambda '$ e nel piano contiguo. Dunque la faccia $\lambda$ contiene la tangente $\mu '$ della seconda cubica, ed il vertice $\mu$ è sulla tangente $\lambda '$ della prima. Ne consegue che lo spigolo $\mu _{1},\mu _{2}$, corda della seconda cubica, cade lungo la tangente $\lambda '$ della prima cubica, e figura come intersezione di due faccie coincidenti nell’unico punto $\lambda '$. Le faccie $\lambda _{1},\lambda _{2}$ sono gli altri due piani osculatori della prima cubica che passano rispettivamente nei punti $\mu _{1},\mu _{2}$ della seconda. Questi due piani s’intersecano nel punto $\mu '$ di questa cubica, lungo una retta che è la tangente ad essa in questo punto, e che rappresenta la direzione dello spigolo $\mu '\mu '$, riducentesi ad un punto. I due anzidetti piani indicano l’orientamento delle due faccie evanescenti del tetraedro.
Questi due risultati possono servire ad indicare le condizioni d’esistenza d’una serie di tetraedri inscritti e circoscritti alle due cubiche; ma l’enunciato di tali condizioni non è così semplice come nel caso di due coniche.
Ragionando come s’è fatto alla fine del § 3, ed invocando le formole stabilite alla fine del § precedente, si trova che la quadrica conjugata con tutti i tetraedri inscritti e circoscritti è quella rappresentata dall’equazione semplicissima
$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dt^{2}=0$.