# Ricerche di geometria analitica/11

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Ricerche di geometria analitica Eugenio Beltrami 1879 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Beltrami - Ricerche di geometria analitica - 1879.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/11&oldid=- 20250301212432 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Ricerche_di_geometria_analitica/11&oldid=- 20250301212432
[p. 60
§ 11.
Consideriamo l’equazione
nella quale le u sono $n+1$ funzioni lineari delle coordinate x, y, z, t d’un punto dello spazio, le $A$ e le $a$ sono costanti e $\lambda$ è un parametro arbitrario. Quest’equazione rappresenta un piano il quale, al variare di $\lambda$, inviluppa una sviluppabile della classe $n$ al più. Fra i piani tangenti di questa sviluppabile, o fra i piani osculatori della linea gobba che ne è lo spigolo regresso, vi sono gli $n+1$ piani fondamentali $u=0$, che corrispondono ai valori $\lambda =a_{0}$, $a_{1},\ldots a_{n}$. Ma se, designando con $\lambda '$, $\lambda '',\ldots \lambda ^{(n-m)}$ $n-m$ valori particolari (fissi) di $\lambda$, si stabiliscono fra le $n+1$ funzioni lineari u le seguenti relazioni identiche
la classe della sviluppabile discende evidentemente da $n$ ad $m$. Il numero $n-m$ di tali relazioni non può mai superare $n-3$, epperò $m$ non può mai essere minore di $3$ nè maggiore di $n$.
Eliminando le $2n-2$ costanti essenzialmente arbitarie dell’equazione (1) dalle $4(n-m)$ equazioni che si ottengono dalle (2) eguagliando separatamente a zero, in ciascuna, i coefficienti di x, y, z, t, rimangono
$2(n+1-2m)$
relazioni fra le sole coordinate degli $n+1$ piani $u=0$. Di questi piani $2m$ sono dunque arbitrarii; ogni altro piano deve soddisfare a due condizioni per entrare a far parte d’un equazione della forma (1), cioè per essere osculatore d’una linea di classe m già osculata dai [p. 61 primi $2m$ piani. E poichè una linea gobba razionale di classe $m$ è generalmente determinata da $2m$ piani osculatori arbitrarii, così l’equazione (1), accompagnata delle condizioni (2), è generalmente atta a rappresentare il piano osculatore variabile d’una linea gobba razionale di classe m, colla sola restrizione che il numero $n+1$ dei piani $u=0$ sia sempre maggiore di $m$.
Quando m è $>3$ le relazioni (2) non costituiscono che una parte delle $n-3$ relazioni lineari che devono sussistere fra le $n+1$ funzioni $u$. Ne rimangono ancora $m-3$, della forma
$\sum cu=0$,
dove le $c$ sono costanti; relazioni delle quali si deve tener conto al bisogno.
Le riduzioni svolte nel § 6 si applicano senz’altro anche al caso attuale.
E parimente sussistono le condizioni del § 7, che ora debbonsi invece riferire ai piani tangenti doppii o stazionarii.
Il caso più semplice dell’uso dei piani stazionatii come piani fondamentali è offerto dall’equazione
la quale si presenta nel modo più semplice e naturale allo studio della linea gobba di 4° ordine e di 2a specie.
Se in questa equazione si sostituiscono al posto di x, y, z, t i valori dati dalle formole
essa risulta identicamente soddisfatta, qualunque sieno le qualità $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$, talchè queste formole rappresentano le coordinate, variabili con $\mu _{1}$ e con $\mu _{2}$, d’un punto qualunque del piano osculatore $\lambda$ della quartica. [p. 62
Se si fa $\mu _{2}=\lambda$, ossia se si pone
sono soddisfatte a un tempo, qualunque sia $\mu _{1}$, l’equazione (3) e la sua derivata rapporto a $\lambda$, talchè queste formole rappresentano le coordinate, variabili con $\mu _{1}$, d’un punto qualunque della tangente $\lambda$ della quartica, ossia d’un punto della sviluppabile di cui questa curva è spigolo regresso.
E finalmente, se si fa anche $\mu _{1}=\lambda$ ossia se si pone
sono soddisfatte a un tempo l’equazione (3) e le sue derivate, prima e seconda, rapporto a $\lambda$, talchè queste formole rappresentano le coordinate nel punto $\lambda$ nella quartica.
Per conoscere il significato delle variabili denotate dinanzi con $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$, consideriamo l’equazione
Tenendo $\lambda$ costante e lasciando variare $\mu$, quest’equazione rappresenta il piano osculatorio variabile d’una cubica gobba che diremo cubica $lambda$. Fra questi piani osculatori vi sono sempre i quattro piani fondamentali, cioè i piani stazionarii della quartica. Inoltre la cubica $\lambda$ e la quartica hanno in comune il punto $\lambda$ e la tangente in esso. Sieno ora $\mu _{1}$, $\mu _{2}$, $\mu _{3}$ i parametri dei tre piani osculatori della cubica $\lambda$ che passano pel punto qualunque $(xyzt)$: dalle formole del § 9 si ha
$px={\frac {(\lambda -a)(\mu _{1}-a)(\mu _{2}-a)(\mu _}}{Af'(a)}},\qquad {\text{ecc.}}$
[p. 63 Se il punto $(xyzt)$ è preso nel piano $\lambda$, una delle quantità $\mu _{1}$, $\mu _{2}$, $\mu _{3}$, per esempio $\mu _{3}$, è $=\lambda$, e si ottengono così le formole (4). Dunque $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$ sono i paramenti dei due piani osculatori, distinti da $\lambda$, che si possono condurre alla cubica $\lambda$ dal punto $(xyzt)$ del piano $\lambda$. Se poi si fa anche $\mu _{2}=\lambda$, si ottengono le formole (5), epperò la variabile $\mu _{1}$ rappresenta in queste formole il paramento dell’unico piano, distinto da $\lambda$, che si può condurre alla cubica $\lambda$ dal punto $(xyzt)$ della tangente $\lambda$ della quartica.
Facendo nelle formole (4) $\mu _{1}=\mu _{2}=\mu$, cioè ponendo
si ottengono le coordinate del punto d’intersezione del piano osculatore $\lambda$ della quartica colla tangente $\mu$ della cubica $\lambda$, punto che al variare di $\mu$ genera nel piano anzidetto una conica, com’è notissimo, e come d’altronde risulta dalle formole stesse. Stante la simmetria di queste formole rispetto a $\lambda$ ed a $\mu$, il detto punto è anche l’intersezione del piano osculatore $\mu$ della quartica colla tangente $\lambda$ della cubica $\mu$. Se nelle formole (8) si considerano come simultaneamente variabili $\lambda$ e $\mu$, le coordinate x, y, z, t appartengono al punto variabile d’una superficie. Questa superficie, che può essere considerata come l’inviluppo del piano (7), qualora nell’equazione di questo si facciano variare ad un tempo $\lambda$ e $\mu$, contiene per intero la quartica, la quale è rappresentata sovr’essa dall’equazione $\lambda =\mu$, ed è il luogo di tutte le coniche secondo le quali ciascun piano osculatore $\lambda$ della quartica è intersecato dalle corrispondenti sviluppabili $\lambda$. L’equazione locale di questa superficie è
${\sqrt {\frac {Ax}{f'(a)}}}+{\sqrt {\frac {By}{f'(b)}}}+{\sqrt {\frac {Cz}{f'(c)}}}+{\sqrt {\frac {Dt}{f'(d)}}}=0$,
e la sua equazione tangenziale
${\frac {A}{pf'(a)}}+{\frac {B}{qf'(b)}}+{\frac {C}{rf'(c)}}+{\frac {D}{sf'(d)}}=0$.
[p. 64
È più comodo scrivere
in luogo rispettivamente di
Così facendo, l’equazione del piano osculatore della quartica prende la forma
e le coordinate del punto variabile di questa linea sono date da
Se le quantità a, b, c, d variano in modo che il rapporto armonico $(abcd)$ rimanga costante, la quartica rimane inalterata. Infatti sieno $a'$, $b'$, $c'$, $d'$ quattro nuove quantità tali che si abbia
$(a'b'c'd')=(abcd)$.
In tal caso è notissimo che si ppossono determinare le costanti $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ in modo che, designando con $e$ una qualunque delle quantità a, b, c, d e con $e'$ la corrispondente fra le quantità $a'$, $b'$, $c'$, $d'$, si abbia
$e'={\frac {\alpha e+\beta }{\gamma e+\delta }}$;
e reciprocamente. Da questa relazione si deduce
$a'-b'={\frac {a-b}{(\gamma a+\delta )(\gamma b+\delta )}}(a\delta -\beta \gamma ),\qquad {\text{ecc.}}$
epperò
$f'(e')={\frac {f'(e)}{(\gamma e+\delta )^{2}}}{\frac {(a\delta -\beta \gamma )^{3}}{(\gamma a+\delta )(\gamma b+\delta )(\gamma c+\delta )(\gamma d+\delta )}}$,
[p. 65 ossia
$f'(e')={\frac {Mf'(e)}{(\gamma e+\delta )^{2}}}$,
dove $M$ è un fattore simmetrico rispetto ad a, b, c, d. Di qui si trae
${\frac {f'(e')}{(\lambda '-e')^{2}}}={\frac {Mf'(e)}{\left\{\gamma '(\gamma e+\delta )-(\alpha e+\beta )\right\}^{2}}}$
ossia
${\frac {f'(e')}{(\lambda '-e')^{2}}}={\frac {Nf'(e)}{(\lambda -e)^{2}}}$,
dove $N$ è un nuovo fattore simmetrico rispetto ad a, b, c, d e $\lambda$ è una variabile legata a $\lambda '$ nella relazione
Ne risulta che sostituendo le quantità $a'$, $b'$, $c'$, $d'$ alle a, b, c, d senza mutare la variabile $\lambda$, si ottiene lo stesso risultato (nella formazione dell’equazione (3)') che tenendo immutate quelle quantità sostituendo
${\frac {\delta \lambda -\beta }{\alpha -\gamma \lambda }}$
al posto di $\lambda$, con che il sistema dei piani (3)' resta inalterato.
Se invece il rapporto armonico $(abcd)$ cambia, la quartica cambia anch’essa, restando però sempre sulla superfici rappresentata dall’equazione locale
${\sqrt {Ax}}+{\sqrt {By}}+{\sqrt {Cz}}+{\sqrt {Dt}}=0$,
o dall’equazione tangenziale
${\frac {A}{p}}+{\frac {B}{q}}+{\frac {C}{r}}+{\frac {D}{s}}=0$.
Questa superficie è lìinviluppo del piano rappresentato dall’equazione [p. 66
nella quale $\mu$ e $\nu$ sono due parametri indipendenti; e le coordinate dei punti di questa superficie sono date da
Siccome poi, per $\mu =\lambda ,\nu =\lambda$, le formole (7)' ed (8)' coincidono rispettivamente colle (3)' e (6)', così ognuna delle quartiche considerate è tal linea della superficie, che i punti tangenti a questa nei punti di quella sono al tempo stesso piani osculatori della linea. Ne consegue che ognuna di quelle quartiche è una limea assintotica della superficie luogo di esse. Facendo variare le a, b, c, d in modo che il rapporto anarmonico $(abcd)$ prenda tutti i valori possibili, si ottengano tutte le line assintotiche della superficie, e da quest’osservazione è facile concludere che ogni piano tangente sega la superficie secondo due coniche.
Questa superficie è dunque la celebre superficie di Steiner, detta anche superficie romana, alla quale è più specialmente consacrato il § seguente. Il metodo seguito in esso, oltre servire di esemplificazione al concetto generale formulato al principio del § stesso, conduce nel modo più semplice e più elementare allo studio delle superficie in discorso, e rende ragione a priori delle formole (7)' (8)' trovate incidentalmente nel presente §; formole che contengono, apparentemente, un numero di parametri arbitrarii maggiore del bisogno, e che, per tal ragione, possono forse sembrare meno idonee all’uopo.