# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.2

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/13.2&oldid=- 20220902082431 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/13.2&oldid=- 20220902082431
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13.2 Il lemma di Neyman-Pearson
L’essere ricorsi per la definizione della regione di rigetto ${\mathcal {R}}$ al calcolo del rapporto delle funzioni di verosimiglianza non è stato casuale; esiste infatti un teorema (il cosiddetto lemma di Neyman— Pearson) il quale afferma che
Se si ha a disposizione un campione di N valori indipendenti $x_{i}$ da utilizzare per discriminare tra un’ipotesi nulla ed un’ipotesi alternativa entrambe semplici, e se è richiesto un livello fisso $\alpha$ di significanza, la massima potenza del test (ovvero la minima probabilità di errori di seconda specie) si raggiunge definendo la regione di rigetto ${\mathcal {R}}_{k}$ attraverso una relazione del tipo
Infatti, indicando con $f=f(x;\theta )$ la densità di probabilità della variabile $x$ (che supponiamo dipenda da un solo parametro $\theta$), siano $H_{0}\equiv \{\theta =\theta _{0}\}$ e $H_{a}\equiv \{\theta =\theta _{a}\}$ le due ipotesi (semplici) tra cui decidere; la funzione di verosimiglianza vale, come sappiamo,
${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};\theta )$.
Indichiamo con $\Re$ l’insieme di tutte le regioni ${\mathcal {R}}$ per le quali risulti
$\alpha$
$\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$
$\mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{N}$
$\beta \;=\;1-P_{II}\;=\;\int _{\mathcal {R}}\!{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$.
Ora, per una qualsiasi regione ${\mathcal {R}}\neq {\mathcal {R}}_{k}$, valgono sia la
${\mathcal {R}}_{k}\;=\;({\mathcal {R}}_{k}\cap {\mathcal {R}})\cup ({\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}\,)$
che la
${\mathcal {R}}\;=\;({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {R}}_{k})\cup ({\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k})$;
e quindi, per una qualsiasi funzione $\phi ({\boldsymbol {x}})$, risulta sia
$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}\!\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;=\;\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\mathcal {R}}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}+\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$
che
$\int _{\mathcal {R}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=\int _{{\mathcal {R}}\cap {\mathcal {R}}_{k}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}+\int _{{\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$
e, sottraendo membro a membro,
Applicando la (13.6) alla funzione ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})$ otteniamo:
ma, nel primo integrale del secondo membro, essendo la regione di integrazione contenuta in ${\mathcal {R}}_{k}$, deve valere la (13.4); e quindi risultare ovunque
${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\;>\;{\frac {1}{k}}\cdot {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})$
mentre, per lo stesso motivo, nel secondo integrale
${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\;\leq \;{\frac {1}{k}}\cdot {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})$
e quindi la (13.7) implica che
* $\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}>$
* $>{\frac {1}{k}}\cdot \left[\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{{\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\right]$.
Ricordando la (13.6),
$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;>\;{\frac {1}{k}}\cdot \left[\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\right]$
e, se ${\mathcal {R}}\in \Re$ e quindi soddisfa anch’essa alla (13.5),
$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}\!{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;>\;{\frac {1}{k}}\cdot \left[P_{I}-P_{I}\right]\;=\;0$
che era la nostra tesi.