# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.1

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/13.1&oldid=- 20220902082430 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/13.1&oldid=- 20220902082430
[p. 229
13.1 Un primo esempio
Cominciamo con un esempio didattico: supponiamo che i valori $x_{i}$ si sappiano provenienti da una popolazione normale $N(x;\mu ,\sigma )$ di varianza $\sigma ^{2}$ nota: e che il nostro scopo consista nel discriminare tra due possibili valori $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$ per $\mu$; valori che, senza perdere in generalità, supponiamo siano 0 e 1 (potendosi sempre effettuare un opportuno cambiamento di variabile casuale che ci porti in questa situazione). Riassumendo: siano
| ${\begin{cases}x\sim N(x;\mu ,\sigma )\\H_{0}\equiv \{\mu =0\}\\H_{a}\equiv \{\mu =1\}\\\end{cases}}$ | (con $\sigma >0$ noto) |
[p. 230 le nostre ipotesi.
La densità di probabilità della $x$ vale
$N(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$
e, quindi, la funzione di verosimiglianza ed il suo logaritmo valgono
${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )={\frac {1}{{\bigl\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}^{N}}}\prod _{i=1}^{N}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}$
e, rispettivamente,
| $\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )$ | $=-N\,\ln {\bigl\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}$ |
| | $=-N\,\ln {\bigl\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left({x_{i}}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2}\right);$ |
per cui
$\ln \lambda \;=\;\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};0,\sigma )-\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};1,\sigma )\;=\;{\frac {N}{2\sigma ^{2}}}\left(1-2{\bar {x}}\right)$
${\mathcal {R}}_{k}$
${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;\left\{\;\ln \lambda ={\frac {N}{2\sigma ^{2}}}\left(1-2{\bar {x}}\right)<\ln k\;\right\}$
da cui consegue, con facili passaggi,
${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;\left\{\;{\bar {x}}>{\frac {N-2\sigma ^{2}\ln k}{2N}}=c\;\right\}$;
ed insomma $H_{0}$ va rigettata se la media aritmetica del campione ${\bar {x}}$ risulta superiore a $c$; ed accettata altrimenti.
Come si può scegliere un valore opportuno di $k$ (e quindi di $c$)? Gli errori di prima specie (si faccia riferimento anche alla figura 13a) hanno probabilità
$N(0,\sigma /{\sqrt {N}})$
$N(1,\sigma /{\sqrt {N}})$
per cui si hanno svariate possibilità: ad esempio, se interessa contenere gli errori di prima specie e la dimensione del campione è nota, si fissa un valore opportunamente grande per $\alpha$ e dalla (13.2) si ricava $c$; o, se interessa contenere gli errori di seconda specie e la dimensione del campione è nota, si fissa $\beta$ e si ricava $c$ dalla (13.3); o, infine, se si vogliono contenere gli errori di entrambi i tipi, si fissano sia $\alpha$ che $\beta$ e si ricava la dimensione minima del campione necessaria per raggiungere lo scopo utilizzando entrambe le equazioni (13.2) e (13.3).