# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 95

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_15/Paragrafo_95&oldid=- 20230102201413 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_15/Paragrafo_95&oldid=- 20230102201413
§ 95. — Illustrazioni varie.
Abbiamo riconosciuto che la funzione additiva $S(a,b)$, che ha la derivata continua $F(x)$, coincide con$\int _{a}^{b}F(x)dx$. Questo teorema si può illustrare in molti modi:
$\alpha$) Se p. es. $F(x)\geq \,0$, l'area $S(a,b)$ del rettangoloide definito dall'asse delle $x$, dalla curva $y=F(x)$ e dalle rette $x=a,x=b$ è evidentemente funzione additiva dell'intervallo $(a,b)$ (almeno se l'area si considera positiva se $ab$). Tale rettangolide è contenuto nel rettangolo che ha per base l'intervallo $(a,b)$ dell'asse delle $x$ e per altezza il massimo valore $M$ di $F(x)$ in tale intervallo, e contiene il rettangolo di ugual base, avente per altezza il minimo valore $m$ di $F(x)$. Perciò $S(a,b)$ è compreso tra $(b-a)M$ e $(b-a)m$, ed ha quindi $F(x)$ per derivata. Esso vale pertanto $\int _{a}^{b}F(x)dx$. Questo ragionamento è, in altre parole, la ripetizione di considerazioni svolte da noi altrove (pag. 165).
$\beta$) Se $F(x)$ indica la velocitò che un punto mobile $N$ su una retta $r$ ha all'istante $x$, e $\varphi (x)$ indica lo spazio percorso da $N$, o anche la distaza $ON$, che $N$ ha all'istante $x$ da un'origine fissa $O$, si riconosce immediatamente che $\varphi (x)=\int F(x)dx$ e che quindi $\varphi (b)-\varphi (a)$ (spazio percorso dall'stante $a$ all'istante $b$) è la funzione additiva, che ha $F(x)$ per derivata, e perciò vale precisamente l'integrale definito da $F(x)$ esteso all'intervallo $(a,B)$. Basta osservare che lo spazio percorso $\varphi (b)-\varphi (a)$ gode delle due seguenti proprietà:
1) Se $\alpha$ è un intervallo di tempo, somma di due intervallini $\alpha _{1},\alpha _{2}$, lo spazio percorso in $\alpha$ è uguale alla somma degli spazi percorsi in $\alpha _{1}$ e in $\alpha _{2}$; cioè òo spazio percorso è funzione additiva degli intervalli di tempo.
2) Lo spazio $\varphi (b)-\varphi (a)$ percorso da $N$ nell'intervallo di tempo $(a,b)$ è compreso tra gli spazi, che sarebbero percorsi [p. 312 da $N$, quando esso fosse in tale intervallo dotato sempre della velocità minima $m$ o massima $M$, che raggiunge in tale intervallo, ossia è compreso tra $(b-a)m$ e $(b-a)M$.
$\gamma$) Se $F(x)$ indica il valore della froza agente su un punto $N$ mobile su una retta $r$, quando $N$ dista $x$ dall'origine, e se $F(x)$ è diretto secondo $r$, il lavoro corrispondente al passaggio di $N$ dal punto $x=a$ al punto $x=b$ è l'integrale definito di $F(x)$ esteso all'intervallo $(a,b)$. Infatti esso gode delle due seguenti proprietà:
1) Se un intervallo $\alpha$ è somma di due intervallini $\alpha _{1},\alpha _{2}$, il lavoro corrispondente all'intervallo $\alpha$ è somma dei lavoro corrispondenti agli intervalli $\alpha _{1},\alpha _{2}$, cioè tale lavoro è funzione additiva degli intervalli $\alpha$.
2) Tale lavoro è compreso tra i valori $(b-a)m$ e $(b-a)M$ corrispondenti al caso che la forza $F(x)$ nell'intervallo $(a,b)$ conservasse costantemente il valore minimo $m$ o massimi $M$m che raggiunge in tale intervallo.
$\delta$) Indichiamo con $\rho ,\theta$ coordinate polari; si voglia calcolare l'area $A$ della figura racchiusa tra i raggi $\theta =a,\theta =b(\leq \,a