# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 37

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_6/Paragrafo_37&oldid=- 20250103092708 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_6/Paragrafo_37&oldid=- 20250103092708
§ 37. - Un limite fondamentale.
$\alpha$) È ben evidente che, se due punti $A_{1}$, $A_{2}$ si avvicinano indefinitamente nello stesso tempo ad uno stesso punto $L$, un punto $A$, il quale sia sempre compreso nell’intervallo $A_{1}A_{2}$, dovrà pure tendere ad $L$. Questa osservazione rende intuitivo il
Teorema Se y, $\mathrm {y_{1}}$, $\mathrm {y_{2}}$, sono tre funzioni reali della x definite in uno stesso gruppo G, se per ogni valore di x in G la y è compresa tra $\mathrm {y_{1}}$ ed $\mathrm {y_{2}(y_{1}\leq y\leq y_{2}} )$ oppure $\mathrm {y_{1}\geq y\geq y_{2}}$), e se $lim\mathrm {y} _{1}=\lim _{x=a}y_{2}$, anche $\lim _{x=a}=\lim _{x=a}y_{1}=\lim y_{2}$.
Supponiamo, per esempio, $\lim _{z=a}y_{1}=\lim _{x=a}y_{2}=A=$ numero finito. Come al § 35 si dimostra che, dato un numero $\varepsilon >0$ piccolo a piacere, esiste un intorno $\alpha$ di a, in cui valgono entrambe le $|y_{1}-A|<\varepsilon _{1}$ $|y_{2}-A|<\varepsilon$. Poichè y è compreso tra $y_{1}$ ed $y_{2}$, sarà in $\alpha$ anche $|y-A|<\varepsilon$. Ne segue quindi che, dato $\varepsilon$ piccolo a piacere, esiste un intorno $\alpha$ di a, in cui vale la $|y-A|<\varepsilon$. Perciò sarà $\lim _{x=a}y=A$.
Il lettore troverà un utile esercizio, completando questa dimostrazione per il caso $A=\infty$.
$\beta$) Applicheremo ora questo teorema alla dimostrazione della
$\lim _{x=0}{\frac {\operatorname {sen} x}{x}}=1$.
Per una retta interpretazione di questa formola si ricordi che l’angolo $x$ deve essere misurato in radianti. Lo studente farà bene a rendersi intuitiva della formola costruendo un diagramma della curva $y={\frac {\operatorname {sen} x}{x}}$.
Noi ci accontenteremo di scrivere varii valori approssimati di detta funzione: ciò che basterà a rendere sensibile il fatto che, quanto più $x$ si avvicina a zero, tanto più $y={\frac {\operatorname {sen} x}{x}}$ si avvicina ad 1. [p. 122
Per $x=\pm {\frac {\pi }{2}}$, $y={\frac {2}{\pi }}={\frac {2}{3,14159\ldots }}=0,63662\ldots$
Per $x=\pm {\frac {\pi }{4}}$, $y={\frac {2{\sqrt {2}}}{3,14159\ldots }}=0,90032\ldots$
Per $x=\pm {\frac {\pi }{180}}$, $y=0,99995\ldots$
Per $x=\pm {\frac {\pi }{60.180}},y=0,99999\ldots$
Se con $z$ indichiamo la misura in gradi dell’angolo di $x$ radianti, sarà: $z={\frac {180x}{\pi }}$; e quindi $\lim _{z=0}{\frac {\operatorname {sen} z}{z}}={\frac {\pi }{180}}\lim {\frac {\operatorname {sen} x}{x}}={\frac {\pi }{180}}={\frac {3,141519\ldots }{180}}=0,01745\ldots$
La misura in radianti è appunto per ciò fondamentale, perchè, se misurassimo gli angoli in gradi, dovremmo continuamente nelle corrispondenti formole di calcolo introdurre la costante ${\frac {3,14159\ldots }{180}}$ testè determinata.
La dimostrazione della nostra formola si compie facilmente. Per $0