# Rivista di Scienza - Vol. I/Il valore didattico della Matematica e della Fisica

Guido Castelnuovo Il valore didattico della Matematica e della Fisica ../La scuola classica inglese di economia politica ../Problemi di Chimica organica IncludiIntestazione 21 febbraio 2013 100% Scienze
Rivista di Scienza - Vol. I Autori vari 1907 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Rivista di Scienza - Vol. I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Rivista_di_Scienza_-_Vol._I/Il_valore_didattico_della_Matematica_e_della_Fisica&oldid=- 20130712222939 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Rivista_di_Scienza_-_Vol._I/Il_valore_didattico_della_Matematica_e_della_Fisica&oldid=- 20130712222939
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﻿IL VALORE DIDATTICO
DELLA MATEMATICA E DELLA FISICA.
I.
È opinione diffusa, fin dai tempi più remoti, che la matematica fornisca alla mente la disciplina e l’equilibrio, che essa, meglio di ogni altra scienza, insegni l’arte di ragionare. Ma nel coro di elogi qualche voce discorde si eleva; e, pur trascurando i facili scherni degli spiriti leggieri, si sente talora sostenere da uomini egregi non esservi peggior ragionatore del matematico, fuori del proprio campo.
Accetteremo, senza discutere, la opinione tradizionale? Non daremo nessun peso alle critiche più serie?
Se si fa astrazione dal contenuto della matematica, e si bada solo al metodo con cui essa procede, si deve pur convenire che quella scienza costituisce un’ottima scuola di logica deduttiva, di cui essa è la più brillante applicazione. La questione, che sopra ci siamo proposti, porta dunque a chiedere quale sia il valore didattico della logica, intesa in senso stretto.
Impotente a creare, la logica è un mirabile strumento di trasformazione. Da poche premesse essa fa scaturire una serie di conseguenze inaspettate, così lontane dalle ipotesi da costituire vere conquiste del pensiero. Strumento delicatissimo, però. I suoi ingranaggi si smussano, se la materia a cui esso viene applicato non abbia perduto i grossolani caratteri con cui appare ai nostri sensi, e non abbia assunto un grado di perfezione ideale. Se noi trasformiamo colla logica pura una verità, che ci sia nota in modo impreciso, con contorni nebbiosi, potremo arrivare alle più strane ed assurde conseguenze. Lungi dal dissipare le nebbie, il ragionamento potrà [p. 330 ﻿addensarle così, che ci riesca impossibile di distinguere, nella tesi, il vero dal falso.
Nè ciò può recar meraviglia. Quando noi enunciamo in termini vaghi un fatto che cada immediatamente sotto ai nostri sensi, non corriamo il rischio di dare al linguaggio incerto una interpretazione erronea, perché il confronto costante colla realtà rende impossibili gli equivoci. Ma può accadere che una conseguenza logica di quel fatto non sia assoggettabile in modo immediato all’esperienza. Chi ci suggerirà allora la interpretazione corretta? Chi ci salverà dall’errore? Non certo la logica, di cui non è questo l’ufficio. Nè la logica è responsabile invero dell’imbarazzo in cui ci troviamo. Essa fu adoperata dove non era lecito; perchè lagnarci se ci ha condotto all’assurdo?
Il male si è che la logica pura non può mai applicarsi alle verità forniteci direttamente dai sensi, ma solo a proposizione astratte, simboliche, che da quelle vengono dedotte mediante una depurazione preliminare. Ora, se questo lavoro di sublimazione riesce così agevole nella geometria, che lo compiamo quasi senza avvederci, esso costa una maggior fatica nelle scienze sperimentali, e diviene assai penoso ed incerto nelle scienze morali. Il matematico puro che, non badando a ciò, volesse applicare nelle dottrine economiche i procedimenti logici che gli son famigliari, sarebbe certo il peggiore dei dialettici.
Ricavare dall’osservazione e dall’esperienza una serie di concetti e di relazioni astratte, e trasformar queste mediante il ragionamento rigoroso, rappresenta l’ideale cui le varie scienze aspirano, ideale che solo la matematica (insieme alle sue immediate applicazioni) ha raggiunto sinora. Ma se questo ideale è così remoto per le dottrine che hanno attinenza alla vita, dovremo perciò rinunziare a studiarle? Eppure esse progrediscono di giorno in giorno per opera di numerosi cultori, dei quali soltanto alcuni sommi conciliano le attitudini logiche dei matematico colle facoltà di osservazione e di astrazione, che al matematico sono in gran parte risparmiate dai fondatori della scienza.
La spiegazione di questo apparente contrasto risulta chiara, purchè si esamini quali forme di ragionamento siano adoperate nella vita quotidiana. Si riconosce allora che il ragionamento formalmente perfetto non è nè l’unico, nè, molte [p. 331 ﻿volte, il migliore modo per giungere alla verità. È ben spesso preferibile ricorrere ad un ragionamento approssimato, i cui passi successivi vengano sottoposti al riscontro dei fatti, per sceverare via via il vero dal falso, piuttosto che affidarsi ad una logica impeccabile, chiudendo gli occhi al mondo esterno.
Ora la matematica (come oggi si insegna nelle scuole di cultura generale) disprezza a torto quel primo tipo di procedimento logico, e condanna in tal modo l’unica forma di ragionamento che sia concessa alla maggioranza degli uomini!
La matematica, così intesa, può, per quanto riguarda lo spirito, paragonarsi a ciò che la ginnastica atletica è nei rapporti del corpo. Se questa ottiene risultati mirabili sopra organismi eletti, essa tuttavia è inutile o dannosa ai più, nei quali o riesce inefficace, o sviluppa dei muscoli che non sono adattati alla vita, a spese di organi più necessari.
È dunque opportuno esaminare come l’insegnamento elementare delle scienze esatte debba venir modificato per dare tutti i frutti di cui esso è capace nella sana educazione della mente. Esporrò brevemente il mio pensiero riferendomi alla geometria, che, sotto questo rapporto, sembra avere un ufficio più alto.
Nel trattare una questione concreta colla geometria occorre, come è noto, percorrere tre stadi. Nel primo stadio si sostituiscono ai punti, alle linee, alle superficie materiali della figura considerata certi simboli astratti, cui si applicano in forma precisa (sotto il nome di postulati) le relazioni approssimate che sussistono nella realtà. Nel secondo stadio si opera su questi simboli mediante i procedimenti logici, per dedurre dai postulati nuove proposizioni più riposte. Nel terzo stadio si traducono le proposizioni astratte in risultati reali, pratici, e si esamina con qual grado di approssimazione la previsione teorica risulti verificata.
Ora, di questi tre stadi l’insegnamento geometrico, come oggi vien dato, mette in luce solo il secondo, e lascia in ombra il primo ed il terzo, che hanno un valore filosofico e didattico più elevato.
Non sembra però difficile ovviare a questo grave inconveniente.
Anzitutto, per far rilevare come avvenga il passaggio della realtà allo schema simbolico, conviene ricorrere [p. 332 all’esperienza e all’intuizione (che è poi il frutto di esperienze inconscie, o solo immaginate) molto più spesso di quello che oggi si faccia. Non i soli postulati della geometria classica dovranno attingersi dall’intuizione; giacchè l’origine sperimentale di quelli è così riposta, che sono occorsi più di venti secoli per rivelarla. Tutte le prime proposizioni della geometria giova ricavare dall’osservazione; e di molto tra queste basterebbe far trasparire, nelle stesse dimostrazioni di Euclide, il carattere sperimentale che si cerca invano di nascondere. Col dimostrare logicamente ciò che è evidente all’intuizione, si porta un doppio danno, perchè si scredita insieme il ragionamento, di cui non è quello l’ufficio, e l’intuizione, di cui si disconosco l’immenso valore. Si ha un bel dire che l’intuizione può condurre all’errore; sarà; ma l’intuizione fornisce pure la principale, se non l’unica, guida alla scoperta della verità. Dovremo forse rinunziare alla verità per paura dell’errore?
Dall’osservazione conviene inoltre ricavare una serie di concetti che, sebbene abbiano acquistato, da lungo tempo, diritto di cittadinanza e di dominio nelle scienze esatte, non sono ancora riusciti a penetrare, almeno in Italia, nel territorio della matematica elementare. Alludo al concetto di funzione (che permetterebbe di citare gli innumerevoli esempi forniti dalla fisica), alla rappresentazione grafica colle molte sue applicazioni (strumenti registratori, ecc.), alle nozioni di tangente, perimetro od area di una figura curvilinea..., definite con quel grado di approssimazione che è consentito dai metodi elementari.
Dedotta una verità dall’esperienza, coi caratteri grossolani ad essa inerenti, l’insegnante farà notare come il fatto sperimentale possa tradursi in una proposizione simbolica precisa, cui sia applicabile il ragionamento rigoroso per dedurre nuovi risultati. E questi gioverà porre a riscontro coi fatti, sia ricorrendo a vere esperienze scolastiche, quando sia possibile, sia citando le indirette confermo che seguono dallo applicazioni della matematica (geodesia, astronomia....). Chi ritiene superflue tali verifiche è vittima di una illusione. Infatti solo l’esperienza può valutare il grado di approssimazione, con cui un teorema astratto si traduce in un fatto reale. Inoltre la tesi di un ragionamento può prestarsi più delle ipotesi ad una esatta prova sperimentale; si ha dunque [p. 333 ﻿il vantaggio di confermare indirettamente le premesse mediante la verifica delle conseguenze.
Ma vi è un’altra ragione didattica che dimostra l’utilità del confronto costante fra l’astrazione e la realtà. Esso permette infatti di chiarire un concetto, sopra cui i giovani hanno le più oscure e, direi quasi, mistiche idee. Alludo ai due significati diversi che si dà all’aggettivo esatto nella teoria e nella pratica. È essenziale far rilevare agli allievi che l’esattezza teorica, od assoluta, è una nozione puramente astratta, che non ha, e non può avere, riscontro nelle applicazioni. Qui è lecito parlare soltanto di esattezza pratica, la quale consente un errore, che il perfezionarsi degli strumenti adoperati tende a diminuire, ma non renderà mai nullo. Gioverà notare a tale proposito che una costruzione teoricamente esatta può, in pratica, riuscir meno esatta di una costruzione approssimata. Il pregio della prima consiste solo in ciò, che essa non presenta errori sistematici, all’infuori di quelli inerenti agli strumenti impiegati.
Le applicazioni della matematica possono d’altra parte offrire esempi istruttivi ed attraenti, atti a mettere in luce il valore della scienza. Così uno sguardo sommario sui metodi che servono a misurare gli archi di meridiano, o le altezze delle montagne, o le distanze degli astri, fornirà la prova più efficace della utilità della trigonometria.
Se si terrà conto di questi vari suggerimenti, se si vorrà spogliare la geometria elementare di una serie di acrobatismi intellettuali che a nulla giovano, si riuscirà, io credo, a raggiungere due fini, che, a prima vista, sembrano incompatibili.
Si accrescerà infatti il valore didattico della matematica, coll’educare insieme le varie facoltà della mente, anziché sacrificarle tutte ad una sola. E d’altro lato si renderà attraente ed accessibile a tutti la matematica, smentendo il pregiudizio che gli stessi elementi di questa dottrina siano adatti a pochi intelletti.
II.
I precetti ed i metodi che la geometria, considerata come scienza sperimentale, avrà insegnato ai giovani, troveranno una brillante conferma nei dettami di un’altra scienza, che, non inferiore a quella per valore educativo, più di quella [p. 334 risente il soffio dello spirito moderno. Alludo alla Fisica, di cui ritengo grandissima l’efficacia didattica, purchè l’insegnante si proponga, non già di fornire agli allievi una serie di notizie enciclopediche presto dimenticate, ma di mettere in luce i mezzi che l’uomo impiega per penetrare i misteri della natura.
Lo spirito critico, di cui tanto si è abusato nell’insegnamento della matematica, sembra far difetto in molti corsi di fisica. Usato moderatamente, senza minuzie fuor di proposito, e senza inutili pedanterie, esso può tuttavia dar utili frutti. Ad esso spetta, ad esempio, di chiarire la provenienza dei numerosi concetti che si incontrano nella fisica. Quali sono le convenzioni? quali le ipotesi? quali i dati dell’esperienza o i risultati di un ragionamento?
I fatti che la fisica studia si dimostrano o coll’esperienza, o col ragionamento.
Sul valore didattico delle esperienze nella fisica non occorre insistere; tutti son d’accordo nel riconoscerlo. Qui basti rilevare che una esperienza è tanto più eloquente, quanto più è semplice. Per lo scopo dell’insegnamento, ove non occorre di solito eseguire esatte misure, è spesso preferibile una esperienza grossolana, ottenuta con mezzi volgari, piuttosto che una minuziosa ricerca, ove si adoperino strumenti complicati, i cui organi secondari attraggono l’attenzione degli allievi più delle parti essenziali. Utilissima può riuscire, in certi casi, anche una esperienza schematica, immaginata e non eseguita, giacchè serve a sviluppare quella preziosa dote che è la fantasia scientifica.
Non si disprezzino sopra tutto le osservazioni semplici, direi quasi volgari. Quante volte un tesoro di sapienza è contenuto nella più umile verità!
Occorre invece spender qualche parola intorno alle dimostrazioni matematiche, nei corsi elementari di fisica, l’uso delle quali, non sempre opportuno, fa nascere nelle menti dei giovani le più false e mistiche idee sul potere della logica.
Due tipi di ragionamento conviene qui distinguere.
II primo tipo soddisfa interamente ai precetti della logica deduttiva. Si precisano tutte le ipotesi da cui si parte, e con [p. 335 procedimenti rigorosi si arriva alla conseguenza, che si sottopone alla verifica sperimentale. Si suol dire allora che il ragionamento dimostra un fatto, che l’esperienza conferma: generando così la singolare illusione che un ragionamento fondato sopra ipotesi inverificabili possa meritar più fede del risultato di mille esperienze! Il valore della dimostrazione matematica è ben diverso. Il suo ufficio più immediato è, se mi si permette la parola, retroattivo, in quanto che la dimostrazione rende plausibili le ipotesi mediante la verifica delle conseguenze. Nè deve questa riguardarsi come una pura soddisfazione dello scienziato, che ha stabilito le ipotesi. Partendo da queste, infatti, si riesce a dimostrare un’ampia serie di verità; ove si potessero eliminare, tra le varie dimostrazioni, le ipotesi comuni, si giungerebbe a scoprire delle relazioni logiche tra fatti (astrattamente enunciati), le quali costituirebbero vere conquiste del pensiero.
Disgraziatamente, coi mezzi di cui dispone la matematica elementare, solo in pochi casi si potrà dare una dimostrazione rigorosa di verità fisiche. Allora l’insegnante si limita a dire che si può dimostrare.... Egli non riflette però che il verbo dimostrare nulla significa, se non son dichiarate le premesse da cui si parte. Nella matematica, è vero, le premesse sono sottintese; ma ciò dipende dal fatto che intorno ai postulati di quella scienza regna un accordo universale. Ben diverso è il caso per la fisica, dove ogni teoria ed ogni fisico teorico ha le ipotesi proprie. Occorre dunque enunciarle esplicitamente, anche per evitare il pregiudizio, così comune nei giovani, che la logica abbia il potere divino di creare qualche cosa dal nulla.
Vi è però un secondo tipo di ragionamento che, non ostante le critiche dei logici puri, ha un valore grandissimo nella fisica e in tutte le scienze di osservazione. Si tratta di procedimenti, cui certo manca il rigore matematico; e di questo difetto sarà bene avvertire i giovani. Ma i pericoli, cui un ragionamento scorretto può condurre, son qui eliminati dal fatto che esso non viene impiegato a dimostrare una verità, bensì a prevederla ed a suggerire una esperienza, da cui la previsione resti o confermata, o contraddetta. Si tratta, in breve, di quei procedimenti che vengono detti euristici. Delle varie forme che essi possono assumere basti qui citarne [p. 336 ﻿una, di cui è universalmente nota la fecondità: il ragionamento per analogia, il quale conduce ad estendere ad una nuova teoria i risultati già acquisiti in una teoria anteriore, che colla prima abbia qualche rapporto.
Due ragioni, ben diverse, mettono in luce la grande importanza didattica del ragionamento euristico. La prima, e più elevata, è che quel tipo di ragionamento costituisce il più efficace mezzo per giungere alla verità, non solo nelle scienze sperimentali, ma nella stessa matematica. E questa facoltà creativa lo rende già degno di tutti gli onori.
L’altra ragione sta nell’esser quella l’unica forma di procedimento logico, che sia applicabile nella vita quotidiana ed in tutte le conoscenze che con questa hanno rapporti. Insegnare cogli esempi ad adoperarlo con cautela, mostrarne i pregi ed i difetti, significa fornire alla mente dei giovani quelle doti di giusto equilibrio, che sono più adatte all’esistenza.
Qualunque sia la forma di ragionamento che si voglia adottare, si avrà cura di mettere in chiara luce le ipotesi donde si parte, le quali costituiscono, come si suol dire, una teoria fisica. Se però molte teorie hanno, anche nell’insegnamento, un valore altissimo, perchè servono a collegare fatti in apparenza staccati, bisogna pur convenire che altre teorie, le quali non hanno ancora trovato uno stabile assetto, possono generare più oscurità che luce. Un criterio, che può guidare nella scelta, sembra esser quello di tener sempre presente l’ufficio economico che le teorie sono destinate a compiere. Sarà utile esporre una teoria e valersene, solo quando l’uso di questa (nei limiti ove è contenuto l’insegnamento elementare) porti economia di pensiero o di memoria.
Non si nasconda poi ai giovani il carattere relativo e provvisorio di ogni teoria; e si ricordi loro che questa risulta dal complesso delle ipotesi, le quali, nello stato attuale della scienza, sembrano più atte a spiegar i fatti noti ed a scoprirne dei nuovi. La teoria è destinata a trasformarsi nell’avvenire, come è già mutata nel passato. Anzi il modo più efficace per metter in rilievo questa continua evoluzione delle teorie è forse quello di ricorrere alla storia della scienza. Si osserverà infatti che molte teorie sono cadute in discredito, non tanto perchè contenessero errori insanabili, quanto perchè [p. 337 ﻿fornivano spiegazioni più grossolane, o più antropomorfiche, rispetto a quelle che la scienza oggi sia in grado di dare. Per evitare pericolose illusioni o delusioni, atte a generare il misticismo o lo scetticismo, debbono i giovani tener presente ciò che la scienza può insegnare, e ciò che da essa non è lecito pretendere. Debbono essi ricordare che la grandezza della scienza non consiste già in una perfezione, che è irraggiungibile e priva di senso, ma in una illimitata perfettibilità.
La conclusione di questo scritto, già troppo lungo, risulta spontanea dalle cose dette. Ma vi è un’altra conclusione più larga, la quale sorpassa i limiti dell’insegnamento scientifico, e si estende a tutto l’ordinamento dello nostre scuole di cultura generale.
Lo scopo precipuo che l’insegnante deve proporsi non è quello di dare ai giovani una indigesta ed effimera erudizione, bensì di educare armonicamente tutte le varie attitudini dell’intelligenza, risvegliando le assopite, e disciplinando le esuberanti. Le maggiori cure egli dovrà poi dedicare alla facoltà più nobile, la fantasia creatrice, che risulta da un felice accordo dell’intuizione con lo spirito di osservazione. Mancherà il tempo per estendere la cultura? E che importa? Le sole nozioni che la mente sappia conservare sono quelle che essa è adatta a ricevere, o quelle (oserei dire) che essa è in grado di procurarsi da sè.
Preparare il terreno è la cosa essenziale. La natura è tutta piena di germi fecondi. Se il terreno sarà fertile, non tarderanno a sbocciare i più mirabili fiori.
* G. Castelnuovo
* Prof. all’Università di Roma