# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 96 bis

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_15/Paragrafo_96_bis&oldid=- 20230102201528 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_15/Paragrafo_96_bis&oldid=- 20230102201528
§ 96 bis. — Il metodo dei rettangoli per il calcolo approssimato degli integrali definiti.
$\alpha$ Abbiamo riconosciuto al § 96 che, diviso l'intervallo $(a,b)$ in un numero finito di intervalli parziali $\delta _{i}$, si ha:
$\int _{a}^{b}F(x)dx=\Sigma {\bar {F_{i}}}\delta _{i}$
ove ${\bar {F}}_{1}$ è uno dei valori assunti da mF(x) in $\delta _{i}$, scelto in modo conveniente. Cosicchè, se noi, data $F(x)$, e scelti i $\delta _{i}$, sapessimo scegliere tali valori ${\bar {F}}_{i}$, il calolco dell'integrali sarebbe ridotto a operazioni elementari (somma dei prodotti). Ma poichè invece in generale non sappiamo scegliere tali ${\bar {F}}_{i}$, sostituiamo ad ${\bar {F}}_{i}$ uno qualsiasi $F_{i}$ dei valori che $F(x)$ assume in $\delta _{i}$, assumendo poi la somma $\Sigma F_{i}\delta _{i}$, come valore approssimato del nostro integrale. È questo un procedimento molto usato; la teoria, d'accordo con l'intuizione, lo giustifica, come vedremo in $\beta$), provando che l'approssimazione raggiunta si potrà render grande a piacere, cioè che la differenza $\int _{a}^{b}F(x)dx-\Sigma F_{i}\delta _{i}$ si può render pilla a piacere in valore assoluto, prendendo tutti i $\delta _{i}$ abbastanza piccoli (e ciò indipendentemente dal modo con cui si è scelto il valore $F_{i}$ di $F(x)$ in \delta_1/math>). [p. 316 Ciò, che con una facile estensione del concetto di limite si scrive $\int _{a}^{b}F(x)dx=\lim _{\delta _{i}=0}\Sigma F_{i}\delta _{i}$. L'errore commesso sostituendo $F_{i}$ ad ${\bar {F}}_{i}$ viene cioè eliminato passando al limite per $\delta _{i}=0$.
Tale metodo di calcolo approssimato si può chiamare metodo dei rettangoli.
Infatti il calcolo del nostro integrale equivale a quello dell'area del rettangoloide definito dalla curva $y=F(x)$, che ha per base il segmento $(a,b)$. Diviso $(a,b)$ in segmenti $\delta _{i}$, il rettangoloide resta diviso in rettangoloidi parziali; all'area di uno di questi noi sostituiamo il prodotto $\delta _{i}F_{i}$, cioè l'area di un rettangolo che ha ancora $\delta _{i}$ per base, e che ha per altezza $F_{i}$, essendo $F_{i}$ uno qualsiasi dei valori che $F(x)$ ha in $\delta _{i}$.
Per $F_{i}$ possiamo assumere p. es. il valore di $F(x)$ ad uno degli estremi di $\delta _{i}$, oppure il massimo valore di $M_{i}$ od il minimo valore di $m_{i}$ di $F(x)$ in $\delta _{i}$, oppure un nuero qualsiasi compreso tra $M_{1}$ ed $_{i}$.
$\beta$) Con gli stessi metodi con cui si è provato che l'area esterna di un rettangoloide è uguale all'interna, si può dimostrare intanto che il limite inferiore di $\mathrm {\Sigma M\delta }$ è uguale al limite superiore di $\mathrm {\Sigma m\delta }$; e che quindi entrambi sono uguali al numero $\mathrm {S(a,b)=\int _{a}^{b}F(x)dx}$, che è sompreso tra le due somme citate. Resta così provato che questo integrale si può perciò definire come il numero che separa le classi contigue descritte rispettivamente dalle $\mathrm {\Sigma M\delta ,\Sigma m\delta }$.
È intuitivo poi (come il lettore può riconoscere pensando all'area di un rettangoloide, e ricordando la trattazione elementare per l'area del cerchio) e si può facilmente provare che [p. 317
Si può rendere piccola a piacere (minore di un $\epsilon >0$ piccolo a piacere) la differenza $\mathrm {\Sigma M\delta -\Sigma m\delta }$, considerando degli intervallini $\mathrm {\delta }$ abbastanza piccoli [che tale differenza (non conveniente scelta dei $\delta$] si possa rendere piccola, segue dal precedente teorema; la presente osservazione precisa che i $\delta$ saranno scelti convenientemente, se saranno scelti abbastanza piccoli]. A fortiori, se indichiamo con $F$ uno qualunque dei valori asunti da $F(x)$ [p. 318 in $\delta$, cosicchè $m\geq F\geq M$, allora, poichè $\int _{a}^{b}F(x)dx$ e $\Sigma F\delta$ sono entrambi compresi tra $\Sigma m\delta$ e $\Sigma M\delta$, avremo che:
Dato che un numero $\epsilon$ piccolo a piacere, posso scegliere i $\delta$ così piccoli che
$|\Sigma F\delta -\int _{a}^{b}F(x)dx|<\epsilon$.
Cosicchè con facile estensione della definizione di limite, possiamo enunciare il seguente teorema:
Lo $\mathrm {\int _{a}^{b}F(x)dx}$ non solo è il numero che supera le classi contigue descritte dalle $\mathrm {\Sigma m\delta ,\Sigma M\delta }$, ma è anche il limite di ${\Sigma F\delta }$ quando tutti i $\delta$ tendono a zero, se $\mathrm {F}$ è un qualsiasi numero compreso tra $\mathrm {M}$ ed $\mathrm {m}$ (od eventualmente uguale anche ad $M$ o a $m$).
Se noi confrontiamo quest'ultimo teorema $\int _{a}^{b}F(x)dx=\lim _{\delta =0}\Sigma F\delta$ col teorema dato in ($\alpha$), pag. 315, cioè $\int _{a}^{b}F(x)dx=\Sigma {\bar {F}}\delta$, vediamo che tanto $F$ che ${\bar {F}}$ rappresentano una quantità compresa tra $m$ ed $M$. Ma mentre $F$ è una quantità arbitrariamente scelta tra $m$ e $M$, la ${\bar {F}}$ è un numero convenientemente scelto tra $m$ ed $M$. Cosicchè nella
$\int _{a}^{b}F(x)dx=\lim _{\delta =0}(F_{1}\delta _{1}+F_{2}\delta _{2}+.....+F_{n}\delta _{n})$
si potrebbe quasi dire che il passaggio al limite (quando tutti i $\delta$ tendono a zero) corregge l'errore commesso scegliendo i valori intermedi $F_{i}$ in modo arbitrario tra $m_{i}$ ed $M_{i}$.
$\gamma$) Un caso particolare della nostra formola si ottiene nel modo seguente:
Si divida l'intervallo $(a,b)$ in $n$ intervallini parziali $\delta _{i}$, i cui estremi $a:1=a,a_{2},a_{3},.....,a_{n+1}=b$ formino una progressione aritmetica; tutti questi intervallini saranno uguali tra di loro ed avranno ${\frac {b-a}{n}}$ come lunghezza comune.
Se come $F_{r}$ scegliamo il valore di $F(x)$, p. es., nell'estremo destro $a+r{\frac {b-a}{n}}$ del corrispondente intervallo $\delta _{r}$, otterremo che:
(I) $\int _{a}^{b}F(X)dx=\lim _{n=\infty }{\frac {b-a}{n}}\left\{F\left(a+{\frac {b-a}{n}}\right)+\right.$
$\left.+F\left(a+2{\frac {b-a}{n}}\right)+F\left(a+3{\frac {b-a}{n}}\right)+...+F\left(a+m{\frac {b-a}{n}}\right)\right\$.
[p. 319 Similmente, supposto $b>a$, e posto $k={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}$, i punti $a,ak,ak^{2},.....,ak^{n-1},ak^{n}=b$ formano una progressione geometrica e dividono l'intervallo $(a,b)$ in intervallini che tendono a zero per $n=\infty$, ossia per $k=1$.
Si ritrova (ricordando che $\left.k={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}\right)$:
(II) $\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim a(k-1)\left\{f(a)+kf(ak)+\right.$
$\left.+k^{2}f(ak^{2})+.....+k^{n-1}f(ak^{n-1})\right\$.
Questa è in fondo la formola applicata a pag. 128, es. 3°, quando si è calcolata un'area, il cui valore è, come ora sappiamo, l'integrale di ${\frac {1}{x}}$ tra $a$ e $b$.
Esempio.
1° Si calcoli $\int _{a}^{b}xdx$ col metodo precedente dalla (I).
Si trova:
$\int _{a}^{b}xdx=\lim _{n=\infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{1}^{n}\left[a+r{\frac {b-a}{n}}\right]=$
$=\lim _{n=\infty }{\frac {b-a}{n}}\left\{na+{\frac {n(n+1=}{2}}{\frac {b-a}{n}}\right\}=\lim _{n=-\infty }\left\{a(b-a)+\right.$
$\left.{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)(b-a)^{2}\right\$.