# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 94

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§ 94. — Funzioni additive d'intervallo e loro derivate.
$\alpha$) Sia $\varphi (x)$ una funzione prefissata della $x$ in un intervallo $I$. Siano $a,b$ due punti di $I$; la differenza (incremento) $\varphi (b)-\varphi (a)$ è un numero determinato, quando siano dati i punti $a,b,$ o, ciò che è lo stesso, l'intervallo $(a,b)$. Prefissata dunque la funzione $\varphi (x)$, noi potremo dire che tale differenza, che indicheremo con $S(a,b)$ è una funzione dell'intervallo $(a,b)$. Essa gode di una proprietà molto notevole; cioè che, se l'intervallo $(a,c)$ è somma degli intervalli (a, b) e $(b,c)$. Noi enuncieremo questa proprietà dicendo che $S(a,b)$ è funzione additiva dell'intervallo $\mathrm {(a,b)}$.
Viceversa sia $S(a,b)$ una funzione dell'intervallo $(a,b)$; sia essa cioè un numero, che ha un valore determinato, appena sia dato l'intervallo $(a,b)$ di $I$.
Essa goda della proprietà additiva: sia cioè identicamente $S(a,b)+S(b,c)=S(a,c)$. Ne seguirà supponendo $c=b$, che $S(b,b)=0$, cioè che una funzione additiva d'intervallo si annulla, se l'intervallo è nullo. E quindi, ponendo poi $c=a$, e osservando che $S(a,a)=0$, ne seguirà:
$S(a,b)=-s(b,a)$.
Sia $C$ una costante arbitraria; e sia $c$ un punto fisso qualsiasi (di $I$), sia$x$ un punto variabile in $I$. Si ponga:
$C+S(c,x)=\varphi (x)$.
[p. 309 Poichè l'intervallo $(c,b)$ è somma degl intervalli $(c,a)$ ed $(a,b)$, sarà:
$S(C,b)=S(C,a)+S(a,b)$
ossia:
$S(a,b)=S(c,b)-S(c,a)=\varphi (b)-\varphi (a)$.
Ogni funzione $\mathrm {S(A,b)}$ additiva di intervallo $\mathrm {(a,b)}$ coincide con l'incremento $\mathrm {\varphi (b)-\varphi (a)}$ di una funzizone $\mathrm {\varphi (x)}$ della variabile $\mathrm {x}$.
Data $S(a,b)$, la $>\varphi (x)$ ha chiaramente soltanto l'indeterminazione dovuta all'arbitrarietò con cui i può scegliere la costante $C$. Infatti due funzioni $\varphi (x),\psi (x)$ che abbiano uguali incrementi nello stesso intervallo, soddisfano per ogni valore di $x$ alla:
$\varphi (x)-\varphi (a)=\psi (x)-\psi (a)$, ossia:
$\varphi (x)-\psi (x)=\varphi (a)-\psi (a)$.
Esse hanno cioè una differenza costante.
In molti problemi si presenta più spontaneo lo studio si una funzione $S$ additiva d'intervallo piuttosto che lo studio di una funzione $\varphi$, di cui la $S$ rappresenti gli incrementi. Così, p. es., se un punto si muove su una retta e la sua velocità $F(x)$ è nota in funzione del tempo, si presenta più spontanea la domanda: Che spazio $S(a,b)$ ha percorso il punto dalle ore $a$ alle ore $b$? piuttosto che l'altra domanda: A che distanza $\varphi (x)$ si trova il punto all'ra $x$ dall'origine? Infatti questa seconda domanda presuppone la scelta di un elemento sovente estraneo alla questione: l'origine.
Di funzioni additive di intervallo possiamo dare numerosi esempi.
Data una sbarra materiale posta sull'asse delle $x$, il peso di quella sua parte che ha per estremi i punti di ascissa $a,b$ è una funzione additiva di tale parte di sbarra, cioè dell'intervallo $(a,b)$. E ciò perchè il peso di un tratto $(a,c)$ di sbarra somma dei tratti $(a,b)$ e $(b,c)$ è evidentemente la somma dei pesi dei tratti parziali $(a,b)$ e $(b,c)$: proprietà che vale, qualunque sia la posizione dei punti $a,b,c$, se si conviene di considerare come uguali, e di segno opposto i pesi dei tratti (a, b) e $(b,a)$.
Se un punto materiale si muove in un dato campo di forza percorrendo un segmento $(a,b)$ dall'asse delle $x$, il lavoro compiuto è uuna funzione additiva di $(a,b)$. [p. 310 $\beta$) Consideriamo ora il caso particolare (che basta ai nostri studii elementari) di una funzione $\varphi (x)$ a derivata $F8x)$ continua. Il teorema della media dice che
$\mathrm {{\frac {S(a,b)}{b-a}}={\frac {\varphi (b)-\varphi (a)}{b-a}}=F(c)}$, (1)
ove $\mathrm {c}$ è un punto opportunamente scelto interno all'intervallo $\mathrm {(a,b)}$.
Se dunque $a,b$ tendono ad uno stesso punto $\alpha$, sarà anche $\lim c=\alpha$, ed, essendo $F(x)$ continua, anche $\lim F(c)=F(\alpha )$. Cioè:
Se l'intervallo $\mathrm {(a,b)}$ tende ad un unico punto $\alpha$, allora il limite di
$\mathrm {\frac {S(a,b)}{b-a}}$
vale $\mathrm {F(x)}$. Perciò:
Se $\mathrm {F(x)=\lim _{a,b=x}{\frac {S(a,b)}{b-a}}}$ è funzione continua, noi la chiameremo derivata della funzione additiva $\mathrm {S(a,b)}$ rispetto all'intervallo $\mathrm {(a,b)}$. Tale derivata è funzione della sola variabile $\mathrm {x}$, e non è più funzione di un intervallo. Evidentemente poi
$S(a,b)=\varphi (b)-\varphi (a)=\int _{a}^{b}F(x)dx$.
Cioè una funzione additiva $\mathrm {S(a,b)}$ conderivata $\mathrm {F(x)}$ (continua) coincide con l'integrale definito $\mathrm {\int _{a}^{b}F(x)dx}$ di tale derivata.
Il teorema della media, che abbiamo scritto nella forma (1), si può anche scrivere così:
$S(a,b)=(b-a)F(c)$.
Se ne deduce:
Siano $\mathrm {M}$ ed $\mathrm {m}$ il massimo ed il minimo valore nell'intervallo $\mathrm {(a,b)}$ della derivata (continua) $\mathrm {F(x)}$ della funzione $\mathrm {S(a,b)}$ additiva d'intervallo; allora $\mathrm {S(a,b)}$ è compreso tra i prodotti di $\mathrm {(b-a)}$ per $\mathrm {M}$ o per $\mathrm {m}$.
Viceversa, se il valore della funzione additiva $\mathrm {S(a,b)}$ è compreso tra $\mathrm {(b-a)M}$ e $\mathrm {(b-a)m}$, dove $\mathrm {M,m}$ sono il massimo e il minimo della funzione continua $\mathrm {F(x)}$, allora $\mathrm {F(x)}$ è la derivata di $\mathrm {S(a,b)}$. [p. 311 Infatti ${\frac {S(a,b)}{b-a}}$ è in tal caso compreso tra $M$ e $m$; ciò vale $F(c)$, ove $c$ è un conveniente prunto sull'intervallo $(a,b)$. perciò, se $a,b$ tendono ad $x$, allora ${\frac {S(a,b)}{b-a}}$ tende ad $F(x)$.