# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 98

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_15/Paragrafo_98&oldid=- 20230102201741 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_15/Paragrafo_98&oldid=- 20230102201741
§ 98. — Il metodo dei trapezi per il calcolo approssimato degli integrali definiti.
$\alpha$) Tra le tante formole approssimate per il calcolo degli integrali definiti, ricorderemo ancora la seguente, specialmente semplice.
Supponiamo di voler calcolare $\int _{a}^{b}f(x)dx$ (con $af(x) un conveniente polinomio $p_{i}(x)$ di grado $m_{i}-1$, che in $m_{i}$ punti di $l_{i}$ coincida con $f(x)$, e infine calcolare l'integrale di $p_{i}(x)$ esteso ad $l_{i}$, e sommare gli integrali così trovati.
Il metodo dei rettangoli coincide con questo, quando si supponga $m_{i}=1$.
Il metodo dei trapezi si ottiene supponendo $m_{i}=2$.
Il metodo dei trapezi inscritti, da noi svolto più sopra, coincide con questo, quando suppongo $r=2n,m_{1}=2$, e ogni polinomio (di primo grado) $p_{i}(x)$ sia supposto uguale ad $f(x)$ agli estremi del corrispondente intervallino. Il metodo dei trapezi circoscritti si deduce dall'attuale, supponendo $r=n,m_{i}=2$, e facendo tendere al punto di mezzo di $l_{i}=2d_{2i}=2d_{2i-1}$ i due punti di $l_{i}$ ove si suppone $f(x)=p_{i}(x)$. In entrambi i cali le linee $y=p_{i}(x)$ sono rette (corde o tangenti). Se invece $m_{i}=3$, le $y=p_{i}(x)$ sono parabole. Supposti, p. es., gli $l_{i}tuttiugualia{\frac {R}{r}}$, posto $r=n$, supposto $f(x9=p_{i}(x)$ agli estremi $a_{2i-1},a_{2i+1}$ di $l_{i}$ ad al punto di mezzo $a_{2i}$ di $l_{i}$ posto $y_{s}=f(a_{s})$, il contributo portato da $l_{i}$ (cioè l'integrale di $p_{i}(x)$ tra i limiti $a_{2i-1},a_{2i+1}$) si calcola facilmente uguale a ${\frac {B}{6\,n}}[y_{2i-1}+y_{2i+1}+4_{y2i}]$. La somma di questi contributi per $i=1,2,.....,n$ è un nuovo valore approssimato del nostro integrale. Anche questo metodo si può variare nei modi più molteplici.
Il lettore applichi quanto precede a qualche esempio numerico. Per altri metodi meccanici cfr. gli ultimi §§ di questo libro.
* ↑ Supponiamo così che esistano le tangenti alla curva, che esse siano esterne al rettangoloide di cui si calcola l'area; in una parola che sia $f''(x)<0$.
* ↑ Riferendoni alla fig. 36 di questo § 98, $\beta$, pag. 323, si indicheranno con $P$ il punto dell'asse delle $x$, che ha per ascissa $-1$, con $B_{2},B_{4},.....$ le proiezioni di $a_{2},A_{4},.....$ sull'asse delle $y$, con $d_{1},d_{2},d_{3},.....$ si segmaneti $a_{1}a_{2},a_{2}a_{3},a_{3}a_{4},.....$. E si supponga soltanto $d_{1}=d_{2},d_{3}=d_{4}$, ecc. (anche se $d_{1},d_{3},.....$ sono differenti tra loro). Indichiamo con $a_{3}$ il punto ove la parallela tirata da $a_{4}$ a $PB_{3}$ incontra $a_{3}A_{3}$; con $a'_{5}$ il punto ove la parallela tirata da $a'_{3}$ a $PB_{4}$ incontra $a_{5}A_{5}.....$; con $a_{2n+1}$ il punto ove la parallela tirata da $a'_{2n-1}$ alla $PB_{2n}$ incontra $a_{2n+1}A_{2n+1}$. Dico che il segmento $a'_{2n+1}a'_{2n+1}$ vale la somma (2)$_{bis}$. Infatti, posto $a'_{1}=a_{1}$, si tirino da $a'_{2n-1}$ una parallela all'asse delle $x$, da $a'_{2i+1}$ la parallela all'asse delle $y$ (nella figura è $i=2$). Queste rette insieme alla $a'_{2i-1}a'_{2i+1}$ formano un triangolo simile al triangolo $POB_{2i}$ (per $i=1,2,.....,n$). E se ne deduce che la differenza tra le ordinate di $a'_{2i+1}$ e $a'_{2i-1}$ sta a $d_{2i-1}+d_{2i}$ come $OB_{2i}=y_{2i}$ sta a $PO=1$, ossia che tale differenza vale $2y_{2i}d_{2i-1}$, che è un termine di (2)$_{bis}$. La somma di tutte queste differenze, cioè $(a_{2n+1}a'{2n+1}-a_{2n-1}a'_{2n-1})+(a_{2n-1}a'_{2n-1}-a_{2n-3}a'_{2n-3})+.....$ $.....+(a_{5}a'_{5}-a_{3}a'_{3})+(a_{3}a'_{3}-a_{1}-a'_{1})$, cioè $a_{2n+1}a'_{2n+1}$ (il lettore ricordi che $a_{1}a'_{1}=0$) vale dunque la somma (2)$_{bis}$, come dovevasi provare.