# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/B

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/B&oldid=- 20220903085004 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/B&oldid=- 20220903085004
Appendice B
L’errore della varianza
Può a volte essere utile valutare l’errore della stima della varianza ricavata da un campione di dati sperimentali. Facendo un esempio concreto, supponiamo di disporre di un ampio insieme di valutazioni della stessa grandezza fisica: $N\cdot M$ misure ripetute $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N\cdot M}$. Dividiamo questi valori in $M$ sottoinsiemi costituiti da $N$ dati ciascuno, e per ognuno di questi $M$ sottocampioni calcoliamo la media aritmetica dei dati; otterremo così $M$ medie parziali, che indicheremo con i simboli ${\bar {x}}_{1},\ldots ,{\bar {x}}_{M}$.
Lo scopo di queste operazioni può essere quello di verificare che le medie di questi sottocampioni sono distribuite su un intervallo di valori più ristretto di quello su cui si distribuisce l’insieme dei dati originali: in sostanza, per verificare che le medie di $N$ dati hanno errore quadratico medio inferiore a quello dei dati di partenza.
L’errore delle medie dei sottocampioni può essere stimato sperimentalmente calcolandone la varianza:
| ${\sigma _{\bar {x}}}^{2}={\frac {1}{M-1}}\,\sum _{i=1}^{M}\left({\bar {x}}_{i}-\langle {\bar {x}}\rangle \right)^{2}$ | (sperimentale) |
intendendo con $\langle {\bar {x}}\rangle$ la media delle $M$ medie parziali, che coinciderà necessariamente con la media complessiva dell’intero campione di $N\cdot M$ dati.
Questo valore può essere poi confrontato con quello previsto dalla teoria per la varianza della media di un gruppo di dati, allo scopo di verificare in pratica l’adeguatezza della teoria stessa; tale previsione teorica è come sappiamo data dal rapporto tra la varianza di ognuno dei dati che [p. 250 contribuiscono alla media ed il numero dei dati stessi:
| ${\sigma _{\bar {x}}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{N}}$ | (teorico). |
Come stima di $\sigma$ si può usare l'errore quadratico medio dell'insieme di tutti gli $N\cdot M$ dati; ma, naturalmente, perché il confronto tra questi due numeri abbia un significato, occorre conoscere gli errori da cui sia la valutazione sperimentale che la previsione teorica di $\sigma _{\bar {x}}$ sono affette.
Consideriamo (come già fatto precedentemente) una popolazione a media zero per semplificare i calcoli:
$E(x)\;\equiv \;x^{*}\;=\;0$;
i risultati si potranno in seguito facilmente estendere ad una popolazione qualsiasi, tenendo presente il teorema di pagina 52 ed i ragionamenti conseguenti. La varianza di una qualsiasi variabile casuale $x$, indicata di seguito come ${\text{Var}}(x)$, si può scrivere come
${\text{Var}}(x)=E\left(x^{2}\right)-\left[E(x)\right]^{2}$
e, usando questa formula per calcolare la varianza della varianza di un campione di $N$ misure $s^{2}$, avremo
${\text{Var}}\left(s^{2}\right)=E\left(s^{4}\right)-\left[E\left(s^{2}\right)\right]^{2}$.
Ora
| $s^{4}$ | $=\left[{\frac {\sum _{i}{x_{i}}^{2}}{N}}-\left({\frac {\sum _{i}x_{i}}{N}}\right)^{2}\right]^{2}$ |
| | $={\frac {1}{N^{2}}}\left(\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}\right)^{2}-{\frac {2}{N^{3}}}\left(\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}\right)\left(\sum \nolimits _{i}x_{i}\right)^{2}+{\frac {1}{N^{4}}}\left(\sum \nolimits _{i}x_{i}\right)^{4}.$ |
Sviluppiamo uno per volta i tre termini a secondo membro; per il primo risulta
* $=\left(\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}\right){\Bigl\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}{\Bigr )}$
* $=\sum \nolimits _{i}\left({x_{i}}^{2}\sum _{j=i}{x_{j}}^{2}\right)+\sum \nolimits _{i}\left({x_{i}}^{2}\sum _{j\neq i}{x_{j}}^{2}\right)$
* $=\sum _{i}{x_{i}}^{4}+\sum _{\begin{array}{c}i,j\\j\neq i\end{array}}{x_{i}}^{2}{x_{j}}^{2}$
* $=\sum _{i}{x_{i}}^{4}+2\sum _{\begin{array}{c}i,j\\j