# Timeo/Nota del Martin

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NOTA AL CAPITOLO V
NEL QUALE SI RAGIONA DELL’ANIMA DEL MONDO.
division arithmétique de l’ame. — musique ancienne. — harmonie du monde
§ I. Solution du probleme arithmétique.
Pour expliquer ce passage obscur, il faut d’abord trouver, d’après le texte de Platon, les nombres qui expriment les parties de l’âme, ensuite chercher ce qu’ils signifient.
Proclus et la plupart des commentateurs ont voulu trouver des nombres entiers pour expression de toutes ces parties.
Le faux Timée de Locres dit de prendre pour premier nombre 384; alors, en effet, si l’on exécute bien tous les calculs indiqués, on ne trouve que des nombres entiers. Le même auteur donne la somme de tous les nombres qu’on obtiendrait en continuant jusqu’au trentesixième terme inclusivement: c’est le nombre 114,665. Macrobe part du nombre 6, qui, s’il achevait le calcul, le conduirait à des fractions; mais il s’est arrêté avant la dernière insertion que Platon indique: Plutarque a fait de même, et Louis Leroy a suivi leur exemple. Macrobe ajoute cependant qu’on peut partir de l’unité: c’est la marche prescrite par le texte mê[p. 130 me du Timée; c’est la plus naturelle, la plus simple; c’est celle que nous suivrons. Résolvons donc méthodiquement ce problême si controversé des nombres de l’àme d’après Platon, en prenant pour uniques données les expressions mêmes de notre auteur. Ensuite, si l’on tient à n’avoir que des nombres entiers, on n’aura qu’à multiplier par 384 chacun des nombres obtenus.
Voici la suite des premières parties représentées en nombres: 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27. Dans cette suite de nombres, on distingue deux progressions géométriques, qui ont pour premièr terme commun l’unité, savoir une progression: 1, 2, 4, 8, dont la raison est 2, et une progression 1, 3, 9, 27, dont la raison est 3. Crantor, Plutarque et Chalcidius, veulent que l’on construise un triangle, qu’on mette au sommet l’unité; le long d’un côté, les termes de la progression des doubles; le long de l’autre, ceux de la progression des triples, afin de voir ces deux progressions sortir, comme un large fleuve, de l’unité, qui représente Dieu, être simple, auteur de toutes choses: cette construction de triangle, que Platon n’indique pas, a été faite presque par tous les commentateurs.
Revenons à Platon. Il nous dit que Dieu intercala, dans chacun des intervalles de chacune des deux progressions trouvées plus haut, deux moyennes différentes, dont il donne la définition. L’une surpassait le primier extrême, et était surpassée par le second d’une même fraction de chacun d’eux. Nous donnerons, comme Théon de Smyrne, Plutarque et Proclus, au nombre qui satisfait à cette double condition le nom de moyen proportionnel harmonique, et à cette frac tion le nom de raison harmonique. L’autre moyenne [p. 131 sait autant en nombre l’un des deux extrêmes qu’elle même était surpassée par l’autre: c’est là ce qu’on nomme un moyen proportionnel arithmétique. Ainsi, pour opérer les insertions indiquées, il faut trouver, 1o la raison harmonique, 2o la raison arithmétique. D’abord, soit a le premier extrême, b le second, et représentons par ${\tfrac {1}{y}}$ la raison harmonique cherchèe. Le moyen proportionnel harmonique, sera $a+{\tfrac {a}{y}}$ il sera aussi $a+{\tfrac {a}{y}}=b-{\tfrac {b}{y}}$ donc $a+b=(b-a)y$; donc ${\tfrac {a+b}{y}}=b-a$; donc ${\tfrac {1}{y}}$; donc $y={\tfrac {a+b}{a-b}}$; donc enfin ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {b-a}{a+b}}$. Maintenant, comme cest entre tous les termes d’une progression géométrique que nous avons des moyens proportionnels armoniques à insérer, soit la raison de la progression. Nous avons math>b=az: donc ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {az-a}{a+za}}=tfrac{z-1}{z+1}$. Ainsi, la raison harmonique reste toujours la même, quels que soient les extrêmes , puisqu’ elle est exprimée seulement en fonction de la raison de la progression géométrique. Or, pour la premiére progression, $z=2$; donc ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {2-1}{2+1}}={\tfrac {1}{3}}$. Pour la seconde progression, $z=3$; donc ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {3-1}{3+1}}={\tfrac {1}{2}}$.
Pour trouver la raison arithmétique, soit a le premier extrême, b le second, x la différence cherchèe. Le moyen proportionnel sera $a+x$: il sera aussi $b-x$; donc $a+x=b-x$; donc $2x=b-a$; donc enfin $x={\tfrac {b-a}{2}}$. Maintenant, comme c’est entre tous les termes d’une progression géométrique que nous avons des moyens proportionnels arithmétiques à insérer, soit z la raison de cette progression: nous avons $b=ax$; donc $x={\tfrac {az-a}{2}}={\tfrac {a(x-1)}{2}}$. Or, prou [p. 132 la première progression, la raison $z=2$; donc $x={\tfrac {a}{2}}$. Pour la seconde, $z=3$: donc $x=a$.
Maintenant considérons à part, pour plus de facilité, chacune des deux progressions, et faisons dans chacune d’elles les insertions indiquées. Pour la première, nous avons les deux formules ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {1}{3}}$: le moyen proportionnel harmonique est donc ${\tfrac {4a}{3}}$, et le moyen proportionnel arithmétique ${\tfrac {3a}{2}}$
Pour la seconde progression, nous avons les deux formules ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {1}{2}}$, et $x=a$. Le moyen proportionnel harmonique est ${\tfrac {3a}{2}}$ et le moyen proportionnel arithmétique est $2a$ [p. 133 II. Résultat de l’insertion des moyens proportionnes harmcniques et arithmétiques dans la seconde progression géométrique.
L’auteur dit qu’il faut encore, dans tous les intervalles Is qu’un nombre vaille le précédent multiplié par $1{\tfrac {1}{3}}$, insérer des nombres, de manière à former des intervalles dont la raison géométrique soit $1{\tfrac {1}{8}}$. Or: dans le résultat n° 1, l’intervalle de chaque premier extrême au moyen proportionnel harmonique a pour raison géométrique $1{\tfrac {1}{3}}$; car ${\tfrac {4a}{3}}=a(1+{\tfrac {1}{3}})$. Du moyen proportionnel harmonique au moyen proportionnel arithmétique, l’intervalle a pour raison $1{\tfrac {1}{8}}$; car ${\tfrac {3a}{2}}={\tfrac {4a}{3}}\times {\tfrac {9}{8}}$. Du moyen proportionnel arithmétique à l’autre extrême, l’intervalle a pour raison $1{\tfrac {1}{8}}$; car $b=2a={\tfrac {3a}{2}}\times {\tfrac {4a}{3}}$. Dens chacun des intervalles dont la raison est $1{\tfrac {1}{3}}$, on peut intercaler deux nom. bres, de manière à former deux nouveaux intervalles ayant pour raison géométrique $1{\tfrac {1}{8}}$, et entre le dernier de ces deux nombres et le nombre suivant, le rapport géométrique se trouve être constamment celui de 243 à 256, comme le dit l’auteur. Voici le résultat de cette insertion, divisé en [p. 134 134 trois séries de huit nombres, dont chacune se termine par un nombre de la progression primitive, répété au commencement de la série suivante:
Il est aisé de voirque $243:256$::${\tfrac {81}{64}}$:${\tfrac {4}{3}}$:${\tfrac {243}{128}}$:2::${\tfrac {81}{32}}$:${\tfrac {8}{3}}$::${\tfrac {243}{64}}$:4::${\tfrac {31}{16}}$:${\tfrac {16}{3}}$::${\tfrac {243}{32}}$:8, et qu’ entre tous les autres nombres consécutifs, le rapport est constamment celui de 1 à ${\tfrac {9}{8}}$
Quant au résultat n° II, tous les nombres Ꭹ offrent entre eux le rapport de 1 à ${\tfrac {3}{2}}$, ou celui de 1 à ${\tfrac {9}{8}}$; il n’y a donc aucune nouvelle insertion à y faire. Mais il suffit d’un coup d’œil pour s’apercevoir qu’il ne s’y trouve pas un nombre au-dessous de 8 qui ne fasse double emploi avec un nombre des trois séries ci dessus: il suffit donc d’ajouter à la suite de ces trois séries les quatre nombres au-dessus de 8, savoir:
parties dont parle Platon; car évidemment il n’entend désigner qu’une suite de nombres croissants, dans laquelle seulement il considère, par abstraction, deux progressions distinctes, afin de rendre les insertions plus faciles à effectuer. La seule difficulté qui reste est relative au nombre 9, qui, dans l’ordre des sept nombres indiqués en premier lieu, a été nommé avant 8. Mais il paraît bien improbable que Platon ait voulu interrompre ainsi l’ordre des nombres croissants, et détruire la similitude de la troisième série avec les précédentes. D’ailleurs, l’application qu’il fait plus tard de ces nombres aux cercles décrits par les corps célestes prouve qu’en effet il ne l’a pas voulu. Il est donc certain que; d’aprés lui, dans la suite complète des nombres représentant les parties dont se compose l’âme du monde, 9 doit venir après 8; et il y a même encore entre 8 et 9 le rapportde1á9 응. Dans le traité attribué à Timée de Locres, on dit de continuer cette suite de nombres jusqu’au trente-sixième terme. Alors les quatre nombres mis de côté trouvent leur emploi ’ et l’on a deux nouvelles séries.