# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 12/Paragrafo 77

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_12/Paragrafo_77&oldid=- 20230102183440 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_12/Paragrafo_77&oldid=- 20230102183440
§ 77. — Integrazione di alcune funzioni trascendenti o irrazionali.
$\alpha$) Sia $f$ una funzione razionale (quoziente di polinomi) nella variabile $e^{x}$. Si voglia calcolarne l'integrale $\int f(e^{x})dx$. Posto $e^{x}=z$, $zdx=dz$ questo integrale si riduce all'integrale $\int {\frac {f(z)}{z}}dz$ (che noi sappiamo calcolare) della funzione razionale ${\frac {f(z)}{z}}$.
$\beta$) Sia $F$ una funzione razionale delle funzioni goniometriche ${\text{sen}}\,x$, ${\text{cos}}\,x$, ${\text{tg}}\,x$, ${\text{cotg}}\,x$, ecc. della $x$. Le formole ${\text{tg}}\,x={\frac {{\text{sen}}\,x}{{\text{cos}}\,x}}$, ${\text{cotg}}\,x={\frac {{\text{cos}}\,x}{{\text{sen}}\,x}}$, ecc. ci permettiamo di trasformarla in una funzione razionale $f$ delle sole variabili ${\text{sen}}\,x$, ${\text{cos}}\,x$. Per calcolare [p. 256 l'integrale $\int f({\text{sen}}\,x,{\text{cos}}\,x)dx$ di una tale funzione, si ponga $x={\text{tg}}{\frac {x}{2}}$, cosicchè
$dx=2{\frac {dz}{1+z^{2}}}$,
${\text{sen}}\,x={\frac {2z}{1+z^{2}}}$; ${\text{cos}}\,x={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}$.
Il nostro integrale diventerà:
$2\,\int \,f\left({\frac {2z}{1+z^{2}}},{\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right){\frac {dz}{1+z^{2}}}$.
e si ridurrà così all'integrale, che sappiamo eseguire, della funzione razionale
$f\left({\frac {2z}{1+z^{2}}},{\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right){\frac {dz}{1+z^{2}}}$.
Oss. Se la $f$ è una funzione razionale delle sole ${\text{sen}}^{2}\,x{\text{, cos}}^{2}\,x{\text{, tg}}\,x$, il calcolo diventa più rapido ponendo $z={\text{tg}}\,x$, e quindi $dx={\frac {dz}{1+z^{2}}}$, ${\text{sen}}^{2}x={\frac {z^{2}}{1+z^{2}}}$, ${\text{cos}}^{2}x={\frac {1}{1+z^{2}}}$.
$\gamma$) Si voglia calcolare:
(1) $\int f\left(x{\text{,}}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)dx$ ($a$, $b$, $c=$ cost.)
dove $f$ è una funzione razionale di $x$ e ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$, e quindi irrazionale nella $x$. Distingueremo varii casi:
$\gamma ^{1}$) Supposto $a>0$, porremo $a=k^{2}$, $k={\sqrt {a}}$, e
(2) ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=k(x+z)$,
dove $z$ è una nuova variabile. Quadrando e risolvendo rispetto alla $x$, si trova:
(3) $x={\frac {az^{2}-c}{b-2az}}$; $(a=k^{2})$
e quindi:
(3)$_1$ $dx={\frac {-2a^{2}z^{2}+sabz-2ac}{(b-2az)^{2}}}dz$,
e, per (2):
(3)$_2$ ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=k(x+z)={\sqrt {a}}{\frac {-az^{2}+bz-c}{b-2az}}$.
In virtù delle (3) e della regola di integrazione per sostituzione, l'integrale (1) diventa
$-2a\int f\left({\frac {az^{2}-c}{b-2az}}{\text{,}}{\sqrt {a}}{\frac {-az^{2}+bz-c}{b-2az}}\right){\frac {(az^{2}-bz+c)}{(b-2az)^{2}}}dz$;
[p. 257 cioè diventa l'integrale di una funzione razionale della $z$, che noi sappiamo calcolare.
$\gamma ^{2}$) Si calcoli ora (1) nell'ipotesi $a<0$, Se $\alpha$, $\beta$ sono le radici di $ax^{2}+bx+c=0$, è (posto $a=-k^{2}$):
$ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=-k^{2}(x-\alpha )(x-\beta )$.
Questo polinomio dovendo essere positivo, affinchè (1) abbia significato reale, dovrà essere:
(4) $(x-\alpha )(x-\beta )<0$,
cosicchè le $\alpha$, $\beta$ non potranno essere complesse coniugate, nè uguali e reali. Le $\alpha$ e $\beta$ saranno quindi reali e distinte. Dalla (4) si deduce che $x-\alpha$ e $x-\beta$ sono di segno contrario, e quindi che $x-\alpha$ e $\beta -x$ hanno lo stesso segno, ossia che si può porre
${\frac {x-\alpha }{\beta -x}}=z^{2}$,
dove $z$ è un'altra variabile reale. Risolvendo rispetto ad $x$ si ha:
$x={\frac {\alpha +\beta z^{2}}{1+z^{2}}}$; donde: $dx=2(\beta -\alpha ){\frac {zdz}{(1+z^{2})^{2}}}$,
${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}={\sqrt {-a(x-\alpha )(\beta -x)}}=$
${\sqrt {-a{\frac {x-\alpha }{\beta -x}}(\beta -x)^{2}}}=kz(\beta -x)=kz{\frac {\beta -\alpha }{1+z^{2}}}$,
cosicchè l'integrale (1) diventa:
$2(\beta -\alpha )\int f\left({\frac {\alpha +\beta z^{2}}{1+z^{2}}}0$ $z^{2}=x-\alpha \choose \beta -x$ se $a>0$, ed $\alpha$, $\beta$ sono le radici di $ax^{2}+bx+c=0$. |
| $\int f(x,{\sqrt {ax+b}},{\sqrt {cx+d}}dx$ $a,b,c,d={\text{cost.}}$; $a,c\not =0$ | Si riduce al caso precedente assumendo a variabile di integrazione | $z={\sqrt {ax+b}}$ |
| $\int f(e^{x})dz$ | Si calcola assumendo a variabile di integrazione | $z=e^{x}$ |
| Integrali binomii | | cfr. pag. 258. |
* ↑ Se $\alpha =a+ib$, con $b=0$, o $b\not =0$, allora $(x-\alpha )(x-\beta )=(x-a)^{2}+b^{2}\geq \,0$.
* ↑ In ) e $\gamma ^{2}$) l'indeterminazione del segno per ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ corrisponde all'indeterminazione del segno per $k$.
* ↑ Se capitano parecchi radicali $z={\sqrt[{\mu }]{ax+b}}$, $z={\sqrt[{v}]{ax+b}}$, ecc. si porrà $z={\sqrt[{m}]{ax+b}}$, dove $m$ è il minimo comune multiplo degli indici $\mu$, $v$, ecc.