# La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce/Paragrafo 5

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La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce Antonio Garbasso 1893 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Garbasso - La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce, Torino 1893.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=La_teoria_di_Maxwell_dell%27elettricit%C3%A0_e_della_luce/Paragrafo_5&oldid=- 20200421101339 //it.wikisource.org/w/index.php?title=La_teoria_di_Maxwell_dell%27elettricit%C3%A0_e_della_luce/Paragrafo_5&oldid=- 20200421101339
§5.
Perchè in uno spazio preventivamente in quiete si producano delle polarizzazioni dielettriche e magnetiche è necessario che le forze elettriche e magnetiche, qualunque sia la loro origine, compiano un certo lavoro; all’elemento di questo lavoro corrisponderà un incremento infinitamente piccolo dell’energia potenziale del campo.
Consideriamo dapprima il caso delle forze elettriche; su una delle faccie dell’elemento $x.y.z$ normali all’asse $x$ starà una quantità d’elettricità positiva $f\,dy\,dz$: una deformazione elementare del sistema corrisponde ad un incremento $d\,\left(f\,dy\,dz\right)$ di tale quantità.
Quindi il lavoro per ciò che riguarda X è misurato da
$\mathrm {X} \,d\,\left(f\,dy\,dz\right)=\mathrm {X} \,dx\,dy\,dz\,df=\mathrm {X} \,df\,dv$.
Un calcolo analogo ripetuto per $\mathrm {Y}$ e $\mathrm {Z}$ ci porterebbe a conchiudere che le forze per quanto riguarda $dv$ compiono un lavoro
$\left(\mathrm {X} \,df+\mathrm {Y} \,dg+\mathrm {Z} \,dh\right)\,dv$;
$\iiint \left(\mathrm {X} \,df+\mathrm {Y} \,dg+\mathrm {Z} \,dh\right)\,dv.$
Ora, per le equazioni della polarizzazione dielettrica:
$df={\frac {\varepsilon }{4\pi }}\,d\mathrm {X}$
$dg={\frac {\varepsilon }{4\pi }}\,d\mathrm {Y}$
$hf={\frac {\varepsilon }{4\pi }}\,d\mathrm {Z}$
${\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,d\iiint \left(\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right)\,dv$;
$\mathrm {W_{e}}$
$d\mathrm {W_{e}} ={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,d\iiint \left(\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}\mathrm {Z} ^{2}\right)\,dv$;
$\mathrm {W_{e}}$
$\mathrm {W_{e}} ={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,\iiint \left(\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right)\,dv$.
In modo affatto identico si troverebbe che l’energia magnetica, $\mathrm {W_{m}}$, che il sistema possiede è data da:
$\mathrm {W_{m}} ={\frac {\mu }{8\pi }}\,\iiint \left(\mathrm {L} ^{2}+\mathrm {M} ^{2}+\mathrm {N} ^{2}\right)\,dv$.
Un campo elettromagnetico contiene dunque una quantità d’energia elettromagnetica:
| [1] | $\mathrm {W_{em}} =\mathrm {W_{e}} +\mathrm {W_{m}} ={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,\iiint {\boldsymbol {E}}^{2}\,dv+{\frac {\mu }{8\pi }}\iiint {\boldsymbol {M}}^{2}\,dv$. |
La terza ipotesi della teoria del Maxwell consiste nell’ammettere che «l’energia elettromagnetica di un campo racchiuso da una superficie sulla quale le forze elettriche e magnetiche sono costantemente nulle è costante», cioè che in tale ipotesi
${\frac {\partial }{\partial t}}\mathrm {W_{em}} =0$.
In causa della [1] si dovrà scrivere:
${\frac {1}{4\pi }}\iiint \left[\varepsilon \left(\mathrm {X} {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}+\mathrm {Z} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}\right)+\mu \left(\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}+\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}\right)\right]\,dv=0.$
Per mezzo delle [2] § 4 si possono eliminare ${\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}.{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}.{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}$, e si ottiene:
${\frac {1}{4\pi }}\iiint \left\{{\frac {1}{\mathrm {A} }}\left[\mathrm {X} \left({\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}-{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}\right)+\mathrm {Y} \left({\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}\right)\right.\right.$
$\left.\left.+\mathrm {Z} \left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}\right)\right]+\mu \left(\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}+\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}\right)\right\$.
Nella ipotesi enunciata innanzi questa equazione è equivalente all’altra: [p. 12 ${\frac {1}{4\pi }}\iiint \left[{\frac {1}{\mathrm {A} }}\left(\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}-\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial z}}+\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}}-\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}\right.\right.$
$\left.\left.+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}}-\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}\right)+\mu \left(\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}+\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}\right)\right]\,dv=0.$
${\frac {1}{4\pi \mathrm {A} }}\iiint \left[{\mathrm {L} }\left(\mathrm {A} \mu {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}}\right)+{\mathrm {M} }\left(\mathrm {A} \mu {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial z}}+{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}}\right)\right.$
$\left.+{\mathrm {N} }\left(\mathrm {A} \mu {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}\right)\right]\,dv=0.$
L’equazione si verifica se si ammette che sia:
| [2] | ${\begin{cases}\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}},\\\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial z}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}},\\\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}-{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}};\end{cases}}$ |
Le equazioni [2] § 4 e le [2] § 5 sono dovute ad Hertz.
* ↑ Un vero incremento (positivo) trattandosi di forze esterne
* ↑ H. Hertz. Ueber die Beziehungen zwischen den Maxwellschen electrodynamischen Grundgleichungen und den Grundgleichungen der gegnerischen Elektrodynamik. (Wied. Ann. XXIII, p. 84).