# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 124

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_19/Paragrafo_124&oldid=- 20230105203836 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_19/Paragrafo_124&oldid=- 20230105203836
§ 124. — Cerchio osculatore.
$\alpha$) Sia $x=x(t)$ , $y=y(t)$ (1)
una curva piana $Gamma$; le $x(t),y(t)$ posseggano derivate prime e seconde finite e continue in un certo itorno $\gamma$ di $t=a$. Sia $A$ il punto $t=a$: siano $B$ e $C$ due punti $t=a+h,t=a+k$ dell'intorno $\gamma$. Supposto che i tre punti $A,B,C$ di $\Gamma$ non siano allineati, per essi passerà un cerchio di equazione
$(x-\xi )^{2}+(y-\nu )^{2}-R^{2}=0$ (2)
se $(\xi ,\nu )$ ne è il centro, $R$ il raggio. I punti comun alla curva e al cerchio, soddisferanno all'equazione dedotta sostituendo nella equazione (2) del cerchio i valori delle $\mathrm {x,y}$ dati dalle equazioni (1) di $\Gamma$:
$[x(t)-\xi ]^{2}+[y(t)-\nu ]^{2}-R^{2}=0$.
Il primo membro è una funzione $F(t)$ della $t$, che dovrà esser nulla almeno nei punti $t=a,t=a+h,t=a+k$ [p. 411 (perchè i punti $A,B,C$ appartengono alla curva e al cerchio). I valori $a,a+h,a+k$ determinano due intervalli, ai cui estremi $F(t)$ si anetalla; entro ciascuno di essi esisterà almeno un punto ove $F'(t)$ è etallo (per il teorema di Rolle); e dentro l'intervallo , ci dui questi due punti sono gli estremi, esisterà almeno un punto, ove sarà etalla la derivata $F''(t)$ di $F'(t)$. Sia $t=b$ uno dei punti citati ove si anetalla $F8t)$ e sia $t=c$ uno dei punti ove si anetalla $F''(t)$ [Questi punti, appartenendo agli intervalli, di cui $a,a+h,a+k$ sono gli estremi, hanno (si ricordi) per limite il punto $a$, quando $h,k$ tendono a zero].
Sarà:
$F(a)=[x(a)-\xi ]^{2}+[y(a)-\eta ]^{2}-R^{2}=0$ (3)
${\frac {1}{2}}F'(b)=[x(b)-\xi ]x'(b)+[y'(b)-\eta ]y'(b)=0$ (4)
${\frac {1}{2}}F''(c)=[x(c)-\xi ]x''(c)+[y(c)-\eta ]y'')c)+{x'}^{2}(c)+$
$+{y'}^{2}(c)=0$. (5)
Supponiamo ora:
$x'y''-x''y'\not =0$ per $t=a$ (nel punto $A$). (6)
Sarà anche $x'(b)y''(c)-y'(b)x''(c)\not =0$, quando $b$ e $c$ sono abbastanza vicini ad $a$, ossia quando $|h|,|k|$ sono abbastanza piccoli (come noi ora supporremo).
Supposte note le $b,c$, le (4), (5) costituiscono un sistema di due equazioni lineari nelle due incognite $\xi ,\eta$; che si possono risolvere perchè il determinante $x'(b)y''(c)-y'(b)x''(c)$ dei coefficienti delle incognite è diverso da zero. Determinate così le $\xi ,\eta$, la (3) ci permette di dedurne tosto il valore di $R$. È facile dedurne che da questa ultima ipotesi (6) segue lì'ipotesi iniziale che $A,B,C$ non sono in linea retta, che possiamo perciò non enunciare esplicitamente [perchè inclusa nella (6)].
I limiti di $\xi ,\eta ,R$ per $h=k=0$ sono evidentemente le quantità $\xi ,\eta ,R$ determinate dalle equazioni che si ottengono da (3), (4), (5) passando il limite per $h=k=0$, cioè, per quanto abbiamo già osservato, ponendo in (3), (4), (5) $b=c=a$; [p. 412 tali equazioni sono le
$(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}-R^{3}=0$ (7)
$(x_{0}-\xi )x'_{0}+(y_{0}-\eta )y'_{0}=0$ (8)
$(x_{0}-\xi ){x''}_{0}+(y_{0}-\eta ){y''}_{0}+{x'}_{0}^{2}+{y'}_{0}^{2}=0$ (9)
dove, per semplicità, abbiamo indicato con $x_{0},y_{0}$ le coordinate $x(a),y(a)$ di $A$, e con $x'_{0},{x''}_{0},.....$ i valori corrispondenti (per $t=a$ di $x'(t),x''(t),.....$
Il cerchio che ha il centro in $(\xi ,\eta )$ e il raggio $R$ definiti da queste equazioni si considererà come il cerchio limite del cerchio $ABC$ e si dirà il cerchio osculatore alla nostra curva nel punto $A$ di coordinate $x_{0},y_{0}$.
Dalle (8), (9) si deducono i valori $\xi ,\eta$; donde per $(7)sitraeilvalorediR$. Sarà pertanto, abolendo per brevità l'indice $0$,
$\xi =x-{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}y'$ ; $\eta =y+{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}x'$ (10)
$B={\frac {({x'}^{2}+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}{|x'y''-x''y'|}}={\frac {({x'}^{2}+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}{x'y''-x''y'}}\epsilon$ (11)
ove $\epsilon =+1$, oppure $\epsilon =-1$ secondo che $x'y''-x''y'$ è positivo o negativo.
Le (10) si possono scrivere:
$\xi =x-R\left[\epsilon {\frac {y'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}\right]$, $\eta =y+R\left[\epsilon {\frac {x'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}\right]$.
Ora la somma dei quadrati di $\epsilon {\frac {y'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}$ ed $\epsilon {\frac {x'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}$ vale $1$; esiste perciò un angolo $\theta$ tale che:
(12)$\left\{{\begin{matrix}{\text{cos}}\,\theta =\epsilon {\frac {x'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}},&{\text{sen}}\,\theta =\epsilon {\frac {y'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}},\\{\text{donde}}\,{\text{tg}}\,\theta ={\frac {y'}{x'}}={\frac {dy}{dx}}\end{matrix}}\right.$
Questo angolo $\theta$ è dunque l'angolo che la direzione positiva dell'asse delle $x$ forma con la retta tangente: angolo che la [p. 413 terza delle (12) definisce a meno di multipli di $\pi$ (com'è naturale, perchè non è data a priori la direzione positiva della retta tangente) e che invece con le prime due delle (12) noi abbiamo definito ora completamente (cioè a meno di multipli di $2\,\pi$, perchè ne abbiamo dato seno e coseno). È così:
$\xi =-x-R\,{\text{sen}}\,\theta$ ; $\eta =y+R\,{\text{cos}}\,\theta$. (13)
Notiamo che la
$ds=\epsilon {\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}dt$
definisce l'arco $s$ della curva (a meno di una costante additiva) in grandezza e verso (dipendente dal segno di $\epsilon$); le (12) diventano così $\left({\text{posto}}\,s'={\frac {ds}{dt}}\right)$: ${\text{cos}}\,\theta ={\frac {x'}{s'}}={\frac {dx}{dx}}$ , ${\text{sen}}\,\theta ={\frac {y'}{s'}}={\frac {dy}{ds}}$ (14)
Posto $\theta '={\frac {d\theta }{dt}}$, si ottiene derivando lpultima delle (12)
$\theta ={\text{arctg}}\,{\frac {y'}{x'}}$,
$\theta '={\frac {y''x'-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}$.
[p. 414 Quindi
${\frac {d\theta }{ds}}={\frac {\theta '}{s}}=\epsilon {\frac {y''s'-y'x''}{({x'}^{2}+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}$, cioè:
(15) ${\frac {d\theta }{ds}}={\frac {1}{R}}$.
Differenziano (13), ricordando (14) e (15), si ha:
$d\xi =dx-R\,{\text{cos}}\,\theta d\theta -{\text{sen}}\,\theta dR={\text{sen}}\,\theta dR$
$d\eta ={\text{cos}}\,\theta dR$,
donde:
${\frac {d\eta }{d\xi }}=-{\text{cotg}}\,\theta ={\frac {y-\eta }{x-\xi }}$ (16)
$d\xi ^{2}+d\eta ^{2}=dR^{2}$. (17)
Le (15), (16), (17), hanno interpretazioni notevolissime. Si noti che l'incremento $\Delta 0$ subito dall'angolo $\theta$, quando si passa da una ad un'altra tangente, vale proprio l'angolo di queste due tangenti. Il rapporto ${\frac {1}{R}}$ dicesi curvatura della linea. Quindi la (15) di dice:
La curvatura in un punto $\mathrm {A}$ è il limite del rapporto $\mathrm {\frac {\Delta \theta }{\Delta s}}$ ottenuto dividendo l'angolo $\mathrm {\Delta \theta }$ formato dalle rette tangenti alla curva data nel punto $\mathrm {A}$ ed in un altro punto $\mathrm {B}$ della curva, per la lunghezza $\mathrm {\Delta s}$ dell'arco $\mathrm {AB}$, quando il punto $\mathrm {B}$ tende al punto $\mathrm {A}$.
Al variare del punto $(x,y)$ sulla curva data, il punto $(\xi ,\eta )$ descrive un'altra curva: la cosidetta evoluta della data curva.
L'evoluta è dunque il luogo dei centri $\mathrm {(\xi ,\eta )}$ dei cerchi osculatori.
La tangente all'evoluta in un suo punto $\mathrm {(\xi ,\eta )}$ è la retta che congiunge $\mathrm {(\xi ,\eta )}$ al punto $\mathrm {(x,y)}$ corrispondente slla curva iniziale, cioè è la normale alla curva data.
Infatti il coefficiente angolare di tale tangente ${\frac {d\eta }{d\xi }}$ è per (16) uguale a $-{\frac {1}{{\text{tg}}\,\theta }}$ (coefficiente angolare della normale alla curva [p. 415 data) od anche a ${\frac {\eta -y}{\xi -x}}$ coefficiente angolare dela congiungente i punti $(x,y)$ e $(\xi ,\eta )$. Cioè in altre parole:
Le rette normali a una curva sono le tangenti della evoluta, o, come si suol dire, sviluppano l'evoluta.
Infine si noti che, se $\sigma$ è l'arco dela evoluta, è per (17)
$d\sigma ^{2}=d\xi ^{2}+d\eta ^{2}=dR^{2}$.
Fissando in modo opportuno il verso di $\sigma$, sarà dunque
$d\sigma =dR$, donde $\sigma =\int \,dR$ , $\sigma =R+$ cost.
Cioè l'arco dell'evoluta e, a meno d'una costante additiva, uguale al corrispondente raggio math>\mahrm{R}: in altre parole l'arco di evoluta compreso tra due punti di questa è uguale alla differenza dei corrispondenti raggi dei cerchi osculatori della curva data.
Una curva $C$ si dice l'evolvente della propria evoluta $C_{1}$. Il precedente teorema dà un metodo assai comodo per costruire le evolventi $C$ di una data curva $C_{1}$. Se un filo di lunghezza costante avvolto attorno a $C_{1}$ si svolge, in modo che la parte svolta rimanga tesa (lungo la tangente di quel punto di $C_{1}$ ove il filo si stacca da $C_{1}$), l'estremità libera del filo descriverà l'evolvente $C$; anzi ciò rende intuitivo il teorema che una curva $C_{1}$ ha infinite evolventi, le quali si ottengono tutte, variando la lunghezza del filo, o il verso in cui è avvolto su $C_{1}$. Ci basti ancora osservare che, se un pendolo $M$ è retto da un filo flessibile $OM$, il quale, mentre $M$ oscilla, deve avvolgersi su una curva $C$, allora $M$ descrive durante tale oscillazione una evolvente $C$. Su tale principio è fondato il pendolo cicloidale il quale è perfettamente isocrono, e impiega tempi uguali a fare oscillazioni qualsiasi, per quanto ampie.
$\gamma$)Per dimostrare effettivamente che una curva $C_{1}$ possiede infinite evolventi $C$, si proceda nel modo seguente. Siano $\xi ,\eta$ le coordinate di un punto di $C_{1}$ e ne sia $\sigma$ l'arco, che è individuato a meno del segno, e aeno di una costante additiva. Per ogni particolare scelta di $\sigma$ si otterrà una particolare evolvente. Infatti, fissato $\sigma$, e posto $R=\sigma$, le $d\xi =-{\text{sen}}\,\theta \,d\,R$ e $d\eta ={\text{cos}}\,\theta \,d,R$ individuano un angolo $\theta$, e le (13) ci dànno il punto $(x,y)$. Ed è ben evidente che questo punto $(x,y)$ descrive una delle evolventi cercate. Esso soddisfa infatti a (16) e perciò esso si trova sulla retta uscente da $(\xi ,\eta )$ col coefficiente angolare $-{\text{cotg}}\,\theta ={\frac {d\eta }{d\xi }}$, cioè sulla tangente
* ↑ Di tali punti $b$ ce ne sono almeno due; di punti $c$ almeno uno.
* ↑ Le seguenti equazioni si esprimono per così dire, che $t=a$ sarà una radice almeno tripla dell'equazione $[x(t)-\xi ]^{2}+[y(t)-\eta ]^{2}=R^{2}$; ciò che si suol enunciare dicendo che il cerchio osculatore ad una curva $C$ in un suo punto $A$ è quel cerchio, che ha con la $C$ almeno un contatto tripunto nel punto $A$.
* ↑ L'aver fissato $\theta$ (a meno di moltipli di $2\,\pi$) corrisponde ad aver fissato sulla retta tangente il verso $t$ da considerarsi come positivo. Le (14) provano che il verso fissato come positivo per $s$ concorda al verso $t$ assunto come positivo sulla tangente deve rotare (nel verso positivo) di un angolo retto ${\frac {\pi }{2}}$ per sovrapporsi a quella semiretta $n$ (normale) che dal punto ($x,y$) va al centro ($\xi ,\eta$) del cerchio osculatore; cioè guardando dal punto ($x,y$) la direzione $t$ scelta come positiva della tangente, si ha a sinistra il centro $(\xi ,\eta )$ del centro osculatore (che rimane evidentemente dalla parte, a cui la curva volge la concavità). Infatti i coseni direttori di $n$ sono ${\frac {\xi -x}{R}}=-{\text{sen}}\,\theta ={\text{cos}}\,\left(xt+{\frac {\pi }{2}}\right)$ e ${\frac {\eta -y}{R}}={\text{cos}}\,\theta ={\text{cos}}\,\left(yt+{\frac {\pi }{2}}\right)$ perchè l'angolo $xt=\theta$, e l'angolo $yt=yx+xt=-{\frac {\pi }{2}}+\theta$. $\left({\text{Si suppone che, secondo le convenzioni usuali, si abbia:}}xy={\frac {\pi }{2}}\,{\text{ed}}\,yx=-{\frac {\pi }{2}}\right)$.
* ↑ Che varia, quando si cambia il punto dell'evoluta scelto come origine degli archi $\sigma$.