# Elementi/Libro secondo/Propositione 13

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Theorema .12. Propositione .13.
${\frac {13}{13}}$ Quella linea che riguarda un angolo acuto di ogni triangolo ossigonio, puo tanto meno de ambiduoi li altri lati, che contengono quel angolo acuto, quanto è quello che è contenuto due volte sotto de quello lato alquale sta sopra la perpendicolare di dentro, ed a quella sua parte che giace fra quel angolo acuto e la perpendicolare.
Quello che quivi se prepone del lato risguardante alcun angolo acuto in el triãgolo ossigonio se verifica del lato riguardãte quql si voglia angolo acuto in ogni triãgolo, o sia orthogonio, over ambligonio, over ossigonio.
Sia adonque il triangolo .a.b.c. e sia qual triangolo si voglia che habbia lo angolo .c. acuto sel serà ossigonio ducẽdo la perpendicolare dallo angolo .a. avero dello angolo .b. al suo lato opposito, la detta perpendicolare sempre caderà di dentro del triangolo (come sotto si demostrarà) ma se il ditto triangolo .a.b.c. serà ambligonio, over orthogonio ducendo la perpendicolare dall’angolo ottuso (over dal retto) allato opposito è necessario che quella cada di dentro del triangolo (e questo di sotto se dimostrarà) siando adonque l’angolo .a. retto over ottuso over acuto per lo triangolo ossigonio producendo da quello la perpendicolar al lato .b.c. opposito caderà dentro del triangolo sopra la detta linea, over lato .b.c. quella poniamo sia la linea .a.d. e perchè in ogni triangolo è necessario che gli sia duoi angoli acuti (per la trigesima seconda del primo) dilche stante il presupposito l’angolo .b. seria etiã acuto si come e l’angolo .c. dico adonque chel quadrato de .a.b. (che opposito all’angolo .c. acuto) è tanto minor delli duoi quadrati delle due linee .a.c. e .b.c. quanto è il doppio di quello che vien fatto della .b.c. in la .d.c. over dico che’l quadrato della .a.c. (ilquale etiam è opposito all’angolo .b. ilquale ponessemo etiam acuto) è tanto minor delli duoi quadrati delle due linee .a.b. e .b.c. quanto è il doppio di quello che vien fatto della .c.b. in la .d.b. perche la linea .b.c. divisa in due parti nel põto .d. il [p. 48$^v$ quadrato di tutta la linea .b.c. cõ lo quadrato della parte .d.c. (p la 7. di q̃sto) serà equal a quello che vien fatto della .b.c. in la .d.c. due volte ed al quadrato dell'altra parte (cioe dell .b.d.) dilche agiungendo a l'un e l'altro il quadrato della .a.d. serà etiam il quadrato della .b.c. con li duoi quadrati delle due linee .a.d. e .d.c. equale alli duoi quadrati delle due linee .a.d. e .d.b. ed al doppio di quello che vien fatto della .b.c. in la .c.d. e perche (per la penultima del primo) il quadrato della .a.c. è equale alli quadrati delle due linee .a.d. e .d.c. adonque il quadrato della .b.c. con lo quadrato della .a.c. è equal alli quadrati delle due linee .a.d. et .b.d. ed al doppio di quello rettangolo che vien fatto della .b.c. in la .c.d. (ma per la medesima penultima del primo) il quadrato de .a.b. è equal alli dui quadrati delle due linee .a.d. e .b.d. Adonque il quadrato della .b.c. con lo quadrato della .a.c. si è equal al quadrato della .a.b. ed al doppio di quel che viẽ fatto della .b.c. in la .c.d. per laqual cosa il quadrato solo della .a.b. seria minor delli detti duo quadrati de .b.c. ed .a.c. quanto seria il doppio di quel che vien fatto della detta .b.c. in la .c.d. che è il proposito, per simil modo tu approverai, che'l quadrato del lato .a.c. che opposito all'angolo .b. acuto, esser tanto minor delli quadrati delle due linee .a.b. e .b.c. quanto è il doppio di quello che vien fatto della .c.b. in la la la la la .b.d. Et è da notar che per questa, e per la precedente, e per la penultima del primo, che conosciuto che havemo li lati di ogni triangolo se conosce la area superficial di quello, e con lo aggiunto delle tavole di corda, e arco, se conosce ogni angolo di quello.
Il Tradottore.
Hora per approvare che tirando del l'angolo .a. del proposto triangolo .a.b.c. una perpendicolare al lato .b.c. opposito come le necessario (essendo l'angolo .a. obtuso, over retto, over acuto d'un triangolo ossigonio) che lei cada di dentro del triangolo, poneremo il medesimo triangolo .a.b.c. e prosuponemo (che tirando al detto angolo .a. una perpẽdicolare alla linea .b.c.) che'l sia possibile (per l'adversario) che la cada de fuora del triangolo nel ponto .d. ed alongarò la linea .c.b. per fin al detto ponto .d. e serà costituido il triangolo .a.b.d. se fora del proposto triangolo .a.b.c. e perche li duoi angoli .a.b.c. ed .a.c.b. stante l'angolo .a. secondo il prosupposito (per la trigesima seconda del primo) sono acuti, adonque se l'angolo .a.b.c. è acuto l'angolo .a.b.d. del triangolo .a.b.d. (per la tertia decima del primo) serà obtuso e l'altro angolo .a.b.d. (per esser costituido della perpendicolare .a.d.) serà retto, adõque li duoi angoli .a.b.d. et .a.d.b. (del triangolo .a.b.d.) giunti insieme seriano maggiori de sduoi angoli retti, laqual cosa è impossibile (per la decima settima del primo) seguita adonque che la detta perpendicolar debba cader di dentro de triangolo de necessità, che è il proposito.