# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 112

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_18/Paragrafo_112&oldid=- 20230105201622 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_18/Paragrafo_112&oldid=- 20230105201622
§ 112. — Teorema di Cauchy e integrazione per serie.
$\alpha$) Vogliamo ora fermarci un momento a studiare più da vicino il significato delle costanti arbitrarie che figurano nella soluzione di un'equazione differenziale.
Se consideriamo, p. es., l'equazione differenziale più semplice:
${\frac {dy}{dx}}=f(x)$
del primo ordine, la funzione:
$y=\int \,f(x)dx+{\text{cost.}}$
che la soddisfa, contiene una costante arbitraria; ed è noto che, se fissiamo il valore $b$ che questa funzione deve avere per un certo valore $a$ della variabile, allora la costante, e in conseguenza la $y$, restano completamente determinate. Si ha appunto:
$y=\int _{a}^{x}f(x)dx+b$.
In altre parole: nella risolzione di questa equazione compare una costante arbitraria ed esiste una ed una sola funzione che la soddisfi e che per $x=a$ assume il valore di $b$. [p. 377 Negli altri tipi di equazioni del primo ordine da noi considerati, l'integrale generale contiene pure una costante arbitraria; in quelle del secondo ordine l'integrale generale ne contiene due.
Date le equazioni differenziali (del secondo ordine), che definiscono i movimenti in un sistema di punti, le traiettorie sono univocamente determinate quando di ogni punto siano date la posizione la velocità iniziale (cioè sieno dati per un certo istante i valori delle coordinate di ogni punto e delle loro derivate prime). Questo teorema è ben famigliare a chi abbia studiati anche i soli primi elementi della Meccanica Razionale.
Queste osservazioni sono caso particolare di un celebre teorema di Cauchy, che si potrebbe dimostrare col metodo delle approssimazioni successive, già da noi usato al § 84, $\beta$, pag. 279, e in qualche caso col metodo degli sviluppi in serie di potenze, come accenneremo più avanti.
Se è data l'equazione differenziale
$\mathrm {y^{(n)}} =\varphi (x,y,y',.....,y^{(n-1)})$,
dove $\varphi$ è (in qualche campo) una funzione continua e finita insieme alle sue derivate del primo ordine rispetto alle $\mathrm {x,y,y',.....,y^{(n-1)}}$:
1° Esistono infinite funzioni $\mathrm {y}$ che le soddisfano.
2° Esiste (in un intorno abbastanza piccolo di $\mathrm {x=a}$ una ed una sola funzione $\mathrm {y}$ che le soddisfa e tale che per $\mathrm {x=a}$ essa e le successive derivate $\mathrm {y',y'',.....,y^{(n-1)}}$ assumono rispettivamente valori prefissati $\mathrm {b_{0},b_{1},b_{2},.....,b_{n-1}}$, dpve le $\mathrm {a}$ e le $\mathrm {b}$ sono arbitrarie e sottoposte all'unica condizione che in un intorno del punto
$\mathrm {x=a,y=b_{0},y'=b_{1},.....,y^{(n-1)}=b_{n-1}}$
la $\varphi$ e le sue derivate prime sono finite e continue.
È sottinteso che, se la $\varphi$ non soddisfacesse a questa ultima condizione, l'affermazione di questo teorema potrebbe benissimo essere falsa. [p. 378 Si noti che, nell'enunciato di questo teorema, l'equazione si suppone risoluta rispetto alla derivata di ordine massimo.
Questo teorema consta di tre parti: una che afferma l'esistenza l'altra che afferma la unicità di tale funzione $y$.
$\beta$) Vediamo ora pertanto un metodo abbastanza generale di integrazione delle equazioni differenziali, che può riuscire utilissimo quando non siano applicabili altri metodi.
Si abbia l'equazione differenziale:
$y^{(n)}=\varphi (x,y,y',y'',.....,y^{(n-1)})$ (1)
dove il secondo membro possegga finite e continue tutte le derivate, e sia sviluppabile in serie di potenze di $x-a,y-b_{0},y'-b_{1},.....,y^{(n-1)}-b_{n-1}$.
Consideriamo allora il punto $x=a$ e supponiamo sviluppabile l'integrale ignoto $y$ nell'intorno del punto $a$ mediante la serie di aylor:
$y=y_{0}+(x-a)y'_{0}+.....+{\frac {(x-a)^{n}}{n!}}y_{0}^{(n)}+.....$(2)
dove y_0, y'_0 ecc. sono i valori di $y,y'$, ecc. nel pnto $x0a$.
Intanto della nostra equazione differenziale 81) è facile, derivando successivamente, calcolare $y^{(n)},y^{(n+1)},y^{(n+2)}$ in funzione di $x,y,y'.....y^{(n-1)}$.
Infatti, derivando rispetto alla $x$ la (1), si ottengono equazioni del tipo seguente:
$y^{(n+1)}=\varphi _{1}(x,y,y',.....,y^{(n)})$ ($\alpha$)
$y^{(n+2)}=\varphi _{2}(x,y,y',.....,y^{8n+1)})$ ($\beta$)
Ora, se poniamo in $\varphi _{1}$ al posto di $y^{(n)}$ il valore dato dalla (1), in $\varphi _{2}$ al posto di $y^{(n)}$ e $y^{(n+1)}$ i valori dati rispettivamente dalla (1) e dalla ($\alpha$), nella successiva $\varphi _{2}$ al posto di $y^{(n)},y^{(n+1)}$ e $y^{(n+2)}$ i valori dati dalle 81), ($\alpha$), ($\beta$) e così di seguito, otteniamo appunto
$y^{(n)},y^{(n+1)},y^{(n+2)},y^{(n+3)},.....$
espresse solo mediante $y,y',y'',.....,y^{(n-1)}$. Dati quindi ad arbitrio per $x=x_{0}$ i valori $b_{0},b_{1},.....,b_{n-1}$ delle $y,y',.....,y^{(n-1)}$, si potranno calcolare i valori che per $x=a$ assumono $y^{(n)},y^{(n-1)},y^{(n+2)},.....$
Sostituendoli allora nella (2) si ha una funzione $y$ data sotto forma di una serie ordinata secondo le potenze di $x-a$, e nella quale compaiono le $n$ cosanti arbitrarie $b_{0},b_{1},.....,b_{n-1}$. [p. 379 Ora questa serie è convergente (come ha provato Cauchy) in un certo intervallo comprendete il punto $x=a$, si può derivare per serie, e rappresenta precisamente quella soluzione $y$ della (1) tale che $y,y',.....,y^{(n-1)}$ per $x=a$ assumano i valori prescritti <$b_{0},b_{1},.....,b_{n-1}$.
Se la $varphi$ non fosse sviluppabile in serie di potenze, come abbiamo ammesso, si potrebbero ancora in casi generalissimi dimostrare i teoremi di esistenza e di unicità, p. es. col metodo delle successive approssimazioni, di cui abbiamo già trovato una importante applicazione nella teoria delle funzioni implicite.
Esercizi.
1° Integrare per serie l'equazione $y'=y$.
Ris. Si ha $y'=y,y''=y'=y,y'''=y''=y'=y$ ecc. in generale $y^{(n)}=y$. Posto che $y=k$ per $x=0$, si trova $y=k\left(1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{\lfloor {\underline {2}}}}+.....\right)=ke^{x}$, come già sapevamo.
2° Integrare per serie l'equazione $y''\pm y=0$.
* ↑ Cioè per $x=a$ è $y=b_{0},y=b_{1},y''=b_{2},.....,y^{(n-1)}=b_{(n-1)}$.
* ↑ Così, p. es., per un punto $A=(a,b)$ della curva $\Gamma$ dell'es. 1° del § 111, pag. 373, escono due curve (la $\Gamma$, e la retta tangente a $\Gamma$ in $A$) che soddisfano all'equaz. studiata in tale esempio. Ciò esistono due funzioni $y(x)$ soddisfacenti a tale equazione, le quali per $x=a$ assumono il valore $b$. Dunque nell'intorno di $x=a,y=b$ non si può risolvere tale equazione rispetto ad $y'$, deducendone $y'$ come funzione continua con derivate continue delle $x,y$. Abbiamo verificato infatti che in tale punto non si può applicare il teorema delle funzioni implicite.