# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.4

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/5.4&oldid=- 20220904084732 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/5.4&oldid=- 20220904084732
[p. 51
5.4 La varianza delle combinazioni lineari
Dimostriamo ora un altro teorema generale che riguarda la varianza di una combinazione lineare di più variabili casuali, che supporremo però [p. 52 statisticamente indipendenti. Usando gli stessi simboli già introdotti nel paragrafo 5.3, e dette $x$ ed $y$ due variabili casuali che godano di tale proprietà, sappiamo dall’equazione (3.4) che la probabilità $P_{jk}$ che contemporaneamente risulti sia $x=x_{j}$ che $y=y_{k}$ è data dal prodotto delle probabilità rispettive $p_{j}$ e $q_{k}$.
Per semplificare i calcoli, dimostriamo questo teorema dapprima nel caso particolare di due popolazioni $x$ e $y$ che abbiano speranza matematica nulla; estenderemo poi il risultato a due variabili (sempre statisticamente indipendenti) aventi speranza matematica qualunque. Ciò premesso, la combinazione lineare
$z=ax+by$
ha anch’essa speranza matematica zero: infatti applicando l’equazione (5.2) risulta
$E(z)=E(ax+by)=aE(x)+bE(y)=0$
e si può allora ricavare (indicando con i simboli ${\sigma _{x}}^{2}$, ${\sigma _{y}}^{2}$ e ${\sigma _{z}}^{2}$ le varianze di $x$, $y$ e $z$ rispettivamente):
| $=$ | $E\left\{{\biglz-E(z){\bigr ]}^{2}\right\}$ |
| $=$ | $E\left\{z^{2}\right\}$ |
| $=$ | $E\left\{\left(ax+by\right)^{2}\right\}$ |
| $=$ | $\sum \nolimits _{jk}P_{jk}\left(ax_{j}+by_{k}\right)^{2}$ |
| $=$ | $\sum \nolimits _{jk}p_{j}q_{k}{\bigla^{2}{x_{j}}^{2}+b^{2}{y_{k}}^{2}+2abx_{j}\,y_{k}{\bigr )}$ |
| $=$ | $a^{2}\sum \nolimits _{k}q_{k}\sum \nolimits _{j}p_{j}{x_{j}}^{2}+b^{2}\sum \nolimits _{j}p_{j}\sum \nolimits _{k}q_{k}{y_{k}}^{2}+2ab\sum \nolimits _{j}p_{j}x_{j}\sum \nolimits _{k}q_{k}y_{k}$ |
| $=$ | $a^{2}{\sigma _{x}}^{2}\,\sum \nolimits _{k}q_{k}+b^{2}{\sigma _{y}}^{2}\sum \nolimits _{j}p_{j}+2abE(x)E(y)$ |
ed infine
Allo scopo di estendere la validità dell’equazione (5.4) appena dimostrata a due variabili casuali $x$ e $y$ aventi speranza matematica anche differente da zero, dimostriamo ora il seguente
Teorema: due variabili casuali che differiscano per un fattore costante hanno la stessa varianza. [p. 53
Infatti, se le due variabili casuali $x$ e $\xi$ soddisfano questa ipotesi, allora deve risultare:
| $~\xi$ | $=$ | $x+K$ |
| $E(\xi )$ | $=$ | $E(x)+K$ |
| ${\sigma _{\xi }}^{2}$ | $=$ | $E\left\{{\bigl\xi -E(\xi ){\bigr ]}^{2}\right\}$ |
| | $=$ | $E\left\{{\biglx+K-E(x)-K{\bigr ]}^{2}\right\}$ |
| | $=$ | $E\left\{{\biglx-E(x){\bigr ]}^{2}\right\}$ |
| | $=$ | ${\sigma _{x}}^{2}$. |
Ora, date due variabili casuali $x$ e $y$ qualsiasi, ed una loro generica combinazione lineare $z=ax+by$, basta definire altre due variabili casuali ausiliarie
(che ovviamente soddisfano l’ipotesi di avere speranza matematica zero): pertanto la loro combinazione lineare $\zeta =a\xi +b\eta$, che differisce anch’essa da $z$ per un fattore costante e pari ad $aE(x)+bE(y)$, avrà varianza che, in conseguenza della (5.4), sarà data dalla
${\sigma _{\zeta }}^{2}=a^{2}{\sigma _{\xi }}^{2}+b^{2}{\sigma _{\eta }}^{2}$.
Ma per quanto detto, $x$ e $\xi$ hanno la stessa varianza; così $y$ ed $\eta$, e $z$ e $\zeta$. Ne consegue come per qualsiasi coppia di variabili casuali (purché però statisticamente indipendenti) vale la relazione (5.4), che possiamo enunciare nel modo seguente:
Una combinazione lineare, a coefficienti costanti, di due variabili casuali statisticamente indipendenti ha varianza uguale alla combinazione lineare delle rispettive varianze, con coefficienti pari ai quadrati dei coefficienti rispettivi.
È ovvio poi estendere (per induzione completa) questo risultato alla combinazione lineare di un numero finito qualsivoglia di variabili casuali, che siano però sempre tra loro tutte statisticamente indipendenti: se
$F=ax+by+cz+\cdots$
[p. 54 allora