# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.3

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/5.3&oldid=- 20220418004439 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/5.3&oldid=- 20220418004439
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5.3 Il valore medio delle combinazioni lineari
Consideriamo due variabili casuali $x$ e $y$, aventi speranza matematica $E(x)$ ed $E(y)$ rispettivamente; ed una loro qualsiasi combinazione lineare a coefficienti costanti $z=ax+by$. Vogliamo dimostrare ora che la speranza matematica della nuova variabile $z$ esiste, ed è data dalla combinazione lineare delle speranze matematiche di $x$ e di $y$ con gli stessi coefficienti $a$ e $b$.
Indichiamo con $x_{j}$ i possibili valori della prima variabile, e con $y_{k}$ quelli della seconda; indichiamo poi con $p_{j}$ e $q_{k}$ le probabilità di ottenere un determinato valore rispettivamente per la $x$ e per la $y$. Chiamiamo poi $P_{jk}$ la probabilità che simultaneamente si abbia $x=x_{j}$ ed $y=y_{k}$; un particolare valore per la $x$ potrà essere associato ad uno qualsiasi dei diversi valori della $y$, che sono tra loro mutuamente esclusivi: in definitiva, applicando la legge della probabilità totale (equazione (3.2)) risulterà
Per la speranza matematica $E(z)$ di $z$ avremo poi
| $=$ | $\sum \nolimits _{jk}P_{jk}\left(ax_{j}+by_{k}\right)$ |
| $=$ | $\sum \nolimits _{jk}aP_{jk}x_{j}+\sum \nolimits _{jk}bP_{jk}y_{k}$ |
| $=$ | $a\sum \nolimits _{j}\left(\sum \nolimits _{k}P_{jk}\right)x_{j}+b\sum \nolimits _{k}\left(\sum \nolimits _{j}P_{jk}\right)y_{k}$ |
| $=$ | $a\sum \nolimits _{j}p_{j}x_{j}+b\sum \nolimits _{k}q_{k}y_{k}$ |
| $=$ | $aE(x)+bE(y)~$. |
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È immediato poi estendere, per induzione completa, questa dimostrazione alla combinazione lineare di un numero qualsiasi di variabili casuali: se abbiamo
$F=ax+by+cz+\cdots$
allora
Una importante conseguenza può subito essere ricavata applicando l’equazione (5.2) alla media aritmetica ${\bar {x}}$ di un campione di $N$ misure: essa infatti si può considerare come una particolare combinazione lineare delle misure stesse, con coefficienti tutti uguali tra loro e pari ad $1/N$.
Prendendo dalla popolazione un differente campione di $N$ misure, la loro media aritmetica ${\bar {x}}$ sarà anch’essa in generale diversa: quale sarà la speranza matematica di ${\bar {x}}$, ovverosia il valore medio delle varie ${\bar {x}}$ su un numero molto elevato di campioni di $N$ misure estratti a caso dalla popolazione — e, al limite, su tutti i campioni (aventi la stessa dimensione fissa $N$) che dalla popolazione è possibile ricavare?
| $E\left({\bar {x}}\right)$ | $=E\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)$ |
| | $={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}E\left(x_{i}\right)$ |
| | $={\frac {1}{N}}\cdot NE(x)$ |
ed infine
cioè:
Il valore medio della popolazione delle medie aritmetiche dei campioni di dimensione finita N estratti da una popolazione coincide con il valore medio della popolazione stessa.