# Opere matematiche di Luigi Cremona/Sopra un problema generale di geometria

../Solution des questions 494 et 499, méthode de Grassmann et propriété de la cubique gauche ../Sulle superficie di second'ordine omofocali IncludiIntestazione 11 luglio 2020 75% Da definire
Opere matematiche Luigi Cremona 1914 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Opere matematiche (Cremona) I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Sopra_un_problema_generale_di_geometria&oldid=- 20200711004110 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Sopra_un_problema_generale_di_geometria&oldid=- 20200711004110
[p. 129
18.
SOPRA UN PROBLEMA GENERALE DI GEOMETRIA.
Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo III (1860), pp. 169-171.
1. Nel fascicolo di gennaio 1860 del periodico: Nouvelles Annales de Mathématiques del sig. Terquem, a pag. 43, trovasi enunciato un problema, caso particolarissimo del seguente:
Data una retta OA, un punto O in essa ed un punto B fuori della medesima, trovare una curva (nel piano OAB) tale che conducendo una sua tangente qualsivoglia, e per B la parallela a questa, i segmenti della OA intercetti fra queste rette e il punto O siano legati da una data relazione algebrica del grado n.
Siano OM, ON i due segmenti compresi il primo fra il punto O e una tangente qualunque della curva, il secondo fra O e la parallela alla tangente. Sia:
la relazione data. Posto OB = b ed assunte le rette OA, OB per assi delle coordinate rettilinee y, x avremo:
${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$
${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$
ove x, y sono le coordinate del punto di contatto. Arriviamo così all’equazione alle derivate:
| 1) | $\mathrm {F} \left(y-x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},\,-b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)=0$ |
la primitiva singolare della quale sarà evidentemente l’equazione della curva domandata.
Ma questa curva può essere ottenuta anche senza ricorrere alle derivate. Infatti, siano u, v le coordinate tangenziali della retta tangente la curva, cioè siano $-{\frac {1}{u}}$, $-{\frac {1}{v}}$ [p. 130 i segmenti degli assi OB, OA compresi fra l’origine O e la tangente suddetta. Avremo:
$-{\frac {1}{v}}$
${\frac {bu}{v}}$
quindi:
| 2) | $\mathrm {F} \left(-{\frac {1}{v}},\,{\frac {bu}{v}}\right)=0$ |
sarà l’equazione in coordinate tangenziali della curva domandata. Resta a dedurne l’equazione in coordinate cartesiane. A tale uopo, osservo che l’equazione in coordinate tangenziali del punto di contatto della tangente (u, v) è:
| 3) | ux + vy + 1 = 0 |
e che la richiesta equazione cartesiana della curva sarà la condizione, che il punto (x, y) appartenga alla curva. Rendo omogenea in u, v la (2) mediante la (3), onde avrò:
$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy}{v}},\,{\frac {bu}{v}}\right)=0.$
Le radici di questa equazione sono i valori del rapporto u : v corrispondenti a tutte le tangenti della curva che passano pel punto (x, y): dunque l’equazione cartesiana della curva sarà la condizione che l’equazione precedente abbia due radici eguali, ossia avrà per primo membro il discriminante della funzione omogenea in u, v:
$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy}{v}},\,{\frac {bu}{v}}\right).$
Sia Δ(x, y) questo discriminante: sarà:
la primitiva singolare della (1), mentre la primitiva completa è data da una tangente qualunque della curva, cioè è la (3) ove i parametri u, v sono legati dalla condizione (2).
La curva domandata è dunque algebrica della classe n (e dell’ordine n(n — 1)).
Siccome l’equazione (3) si può desumere dall’eliminazione di ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ fra le due:
$y-x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {1}{v}}$, $-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {u}{v}}$
così è manifesto che il precedente processo geometrico d’integrazione coincide col notissimo di Lagrange.
2. L’analogo problema nello spazio è il seguente: [p. 131
Data una retta OA, un punto O in essa, e due punti B, C fuori di essa, trovare una superficie tale che conducendo un suo piano tangente qualunque, e per B e C i piani ad esso paralleli, i segmenti di OA intercetti fra questi piani e il punto O abbiano fra loro una data relazione algebrica del grado n.
Siano OL, OM, ON i tre segmenti anzidetti, e sia:
la relazione data. Assumo OA, OB, OC per assi delle coordinate rettilinee x, y, z; posto OB = b, OC = c, avremo:
$\mathrm {OL} =x-y{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}-z{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}},$ $\mathrm {OM} =-b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}},$ $\mathrm {ON} =-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}$
ove x, y, z sono le coordinate del punto di contatto del piano tangente che si considera. Avremo dunque l’equazione alle derivate parziali:
| 1) | $\mathrm {F} \left(x-y{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}-z{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}},\,-b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}},\,-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}\right)=0$ |
la primitiva singolare della quale sarà l’equazione della superficie domandata.
Siano u, v, w le coordinate tangenziali del piano tangente la superficie, cioè siano $-{\frac {1}{u}}$, $-{\frac {1}{v}}$, $-{\frac {1}{w}}$ i segmenti degli assi compresi fra questo piano e l’origine. Avremo:
$-{\frac {1}{u}}$
${\frac {bv}{u}}$
${\frac {cw}{u}}$
epperò:
| 2) | $\mathrm {F} \left(-{\frac {1}{u}},\,{\frac {bv}{u}},{\frac {cw}{u}}\right)=0$ |
sarà l’equazione in coordinate tangenziali della superficie domandata.
L’equazione in coordinate tangenziali del punto di contatto del piano (u, v, w) è:
| 3) | ux + vy + wz + 1 = 0. |
Per esprimere la condizione che il punto (x, y, z) appartenga alla superficie, rendo la (2) omogenea in u, v, w mediante la (3); si avrà:
$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy+wz}{u}},\,{\frac {bv}{u}},{\frac {cw}{u}}\right)=0.$
Questa equazione rappresenta, insieme colla (3), la superficie conica inviluppo de’ piani tangenti condotti alla superficie (2) dal punto (3). Se questo punto appartiene alla [p. 132 superficie (2), quel cono avrà un piano tangente doppio; epperò l’equazione in coordinate x, y, z della superficie domandata avrà per primo membro il discriminante della funzione omogenea in u, v, w:
$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy+wz}{u}},\,{\frac {bv}{u}},\,{\frac {cw}{u}}\right).$
Sia Δ (x, y, z) questo discriminante; sarà:
la primitiva singolare della (1). La primitiva completa è evidentemente somministrata da un piano tangente qualsivoglia della superficie, cioè è la (3), ove i parametri arbitrari u, v, w siano legati dalla condizione (2).
La superficie domandata è dunque algebrica della classe n (e dell’ordine n(n — 1)$^2$).
L’equazione (3) si ottiene eliminando ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}$, ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}$ fra le tre:
$x-y{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}-z{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}=-{\frac {1}{u}},$
$-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\frac {v}{u}},$
$-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}={\frac {w}{u}},$
epperò il metodo geometrico seguito nella precedente integrazione coincide coll’analitico usato ordinariamente.