# Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Definizione e proprietà fondamentali delle curve polari

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Opere matematiche Luigi Cremona 1914 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Opere matematiche (Cremona) I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Definizione_e_propriet%C3%A0_fondamentali_delle_curve_polari&oldid=- 20201204234652 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Definizione_e_propriet%C3%A0_fondamentali_delle_curve_polari&oldid=- 20201204234652
[p. 379
Sezione II.
TEORIA DELLE CURVE POLARI.
Art. XIII.
Definizione e proprietà fondamentali delle curve polari.
68. Sia data una linea piana ${\rm {C_{n}}}$ dell’ordine $n$, e sia $o$ un punto fissato ad arbitrio nel suo piano. Se intorno ad $o$ si fa girare una trasversale che in una posizione qualunque seghi ${\rm {C_{n}}}$ in $n$ punti $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$, il luogo de’ centri armonici, di grado $r$, del sistema $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$ (11) sarà una curva dell’ordine $r$, perchè essa ha $r$ punti sopra ogni trasversale condotta per $o$. Tale curva si dirà polare $(n-r)$$^{esima}$ del punto $o$ rispetto alla curva data (curva fondamentale).
Così il punto $o$ dà origine ad $n-1$ curve polari relative alla linea data. La prima polare è una curva d’ordine $n-1$; la seconda polare è dell’ordine $n-2$; ecc. L’ultima od $(n-1)$$^{ma}$ polare, cioè il luogo dei centri armonici di primo grado, è una retta.
69. I teoremi altrove dimostrati (Art. III), pei centri armonici di un sistema di $n$ punti in linea retta, si traducono qui in altrettante proprietà delle curve polari relative alla curva data.
(a) Il teorema (12) può essere espresso così: se $m$ è un punto della polare $(n-r)$$^{ma}$ di $o$, viceversa $o$ è un punto della polare $(r)$$^{ma}$ di $m$.
Ossia:
Il luogo di un polo, la cui polare $(r)$$^{ma}$ passi per un dato punto $o$, è la polare $(n-r)$$^{ma}$ di $o$.
Per esempio: la prima polare di $o$ è il luogo de’ poli le rette polari de’ quali passano per $o$; la seconda polare di $o$ è il luogo de’ poli le cui coniche polari passano per questo punto; ecc. [p. 380
(b) Dal teorema (13) segue immediatamente che:
Un polo qualsivoglia $o$ ha la stessa polare d’ordine $s$ rispetto alla data linea ${\rm {C_{n}}}$ e rispetto ad ogni curva polare d’ordine più alto, dello stesso punto $o$, considerata come curva fondamentale.
Dunque: la seconda polare di $o$ rispetto a ${\rm {C_{n}}}$ è la prima polare di $o$ relativa alla prima polare del punto stesso presa rispetto a ${\rm {C_{n}}}$; la terza polare è la prima polare relativa alla seconda polare ed anche la seconda polare relativa alla prima polare; ecc.
(c) Il teorema (14) somministra il seguente:
La polare $(r')$$^{ma}$ di un punto $o'$ rispetto alla polare $(r)$$^{ma}$ di un altro punto $o$ (relativa a ${\rm {C_{n}}}$) coincide colla polare $(r)$$^{ma}$ di $o$ rispetto alla polare $(r')$$^{ma}$ di $o'$ (relativa a ${\rm {C_{n}}}$).
Questo teorema è, come apparirà in seguito, fecondo di molte conseguenze. Ecco intanto una proprietà che emerge spontanea dal confrontarlo col teorema (69, a).
(d) Supponiamo che la polare $(r')$$^{ma}$ di $o'$ rispetto alla polare $(r)$$^{ma}$ di $o$ passi per un punto $m$, ossia che la polare $(r)$$^{ma}$ di $o$ rispetto alla polare $(r')$$^{ma}$ di $o'$ passi per $m$. Dal teorema (69, a) segue che la polare $((n-r')-r)$$^{ma}$ di $m$ rispetto alla polare $(r')$$^{ma}$ di $o'$ passerà per $o$, ossia che la polare $(r')$$^{ma}$ di $o'$ rispetto alla polare $((n-r')-r)$$^{ma}$ di $m$ passa per $o$. Dunque:
Se la polare $(r')$$^{ma}$ di $o$ rispetto alla polare $(r)$$^{ma}$ di $o$ passa per $m$, la polare $(r')$$^{ma}$ di $o'$ rispetto alla polare $(n-r-r')$$^{ma}$ di $m$ passa per $o$.
70. Tornando alla definizione (68), se il polo $o$ è preso nella curva fondamentale, talchè esso tenga luogo di uno degli $n$ punti $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$, il centro armonico di primo grado si confonderà con $o$. Ma se la trasversale è tangente alla curva in $o$, due de’ punti $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ coincidono con $o$; onde, riuscendo indeterminato il centro armonico di primo grado, può assumersi come tale un punto qualunque della trasversale (17). Questa è dunque, nel caso attuale, il luogo de’ centri armonici di primo grado; vale a dire: la retta polare di un punto della curva fondamentale è la tangente in questo punto.
Quando il polo non giaccia nella curva fondamentale, ma la trasversale le sia tangente, due de’ punti $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ coincidono nel punto di contatto; epperò questo sarà (16) un centro armonico di grado $n-1$, ossia un punto della prima polare. Dunque: la prima polare di un punto qualunque sega la curva fondamentale ne’ punti ove questa è toccata dalle rette tangenti che passano pel polo.
La prima polare è una curva dell’ordine $n-1$, talchè segherà ${\rm {C_{n}}}$ in $n(n-1)$ [p. 381 punti. Donde s’inferisce che da un punto qualunque si possono condurre $n(n-1)$ tangenti alla curva fondamentale, ossia:
Una curva dell’ordine $n$ è, in generale, della classe $n(n-1)$.
71. Se il polo $o$ è preso nella curva fondamentale, qualunque sia la trasversale condotta per $o$, una delle intersezioni $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ coincide con $o$ medesimo; onde (17) $o$ sarà un centro armonico, di ciascun grado, del sistema $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$. E ciò torna a dire che tutte le polari di $o$ dalla prima sino all’$(n-1)$$^{ma}$ passano per questo punto.
Ma v’ha di più. Se la trasversale è tangente a ${\rm {C_{n}}}$ in $o$, in questo sono riuniti due punti $a$, quindi anche (17) due centri armonici di grado qualunque; cioè la curva fondamentale è toccata in $o$ da tutte le polari di questo punto.
Dallo stesso teorema (17) segue ancora che la prima polare di un punto $o$ della curva fondamentale è il luogo de’ centri armonici di grado $n-2$, relativi al polo $o$, del sistema di $n-1$ punti in cui ${\rm {C_{n}}}$ è incontrata da una trasversale variabile condotta per $o$. Gli $n(n-1)-2$ punti in cui la prima polare di $o$ sega ${\rm {C_{n}}}$ (oltre ad $o$, ove queste curve si toccano) sono i punti di contatto delle rette che da $o$ si possono condurre a toccare altrove la curva data.
72. Supponiamo che la curva ${\rm {C_{n}}}$ abbia un punto $d$ multiplo secondo il numero $r$. Ogni retta condotta per $d$ sega ivi la curva in $r$ punti coincidenti, epperò (17) $d$ sarà un punto $(r)$$^{plo}$ per ciascuna polare del punto stesso.
Ciascuna delle tangenti agli $r$ rami di ${\rm {C_{n}}}$ incontra questa curva in $r+1$ punti coincidenti in $d$ (31); onde considerando la tangente come una trasversale (68), in $d$ coincidono $r+1$ punti $a$, epperò anche $r+1$ centri armonici di qualunque grado, rispetto al polo $d$ (17). Dunque le $r$ tangenti di ${\rm {C_{n}}}$ nel suo punto multiplo $d$ toccano ivi anche gli $r$ rami di qualunque curva polare di $d$.
Ne segue che le polari $(n-1)$$^{ma}$, $(n-2)$$^{ma}$, ... $(n-r+1)$$^{ma}$ del punto $d$ sono indeterminate, e la polare $(n-r)$$^{ma}$ del punto stesso è il sistema delle $r$ tangenti dianzi considerate (31).
Quest’ultima proprietà si rende evidente anche osservando che, risguardata la tangente in $d$ ad un ramo di ${\rm {C_{n}}}$ come una trasversale condotta pel polo $d$ (68), vi sono $r+1$ punti $a$ coincidenti insieme col polo, onde qualunque punto della trasversale potrà [p. 382 essere assunto come centro armonico di grado $r$ (17). Cioè il fascio delle tangenti agli $r$ rami di ${\rm {C_{n}}}$ costituisce il luogo dei centri armonici di grado $r$, rispetto al polo $d$.
73. Sia $o$ un polo dato ad arbitrio nel piano della curva ${\rm {C_{n}}}$, dotata di un punto $d$ multiplo secondo $r$. Condotta la trasversale $od$, $r$ punti $a$ coincideranno in $d$; quindi (16) questo medesimo punto terrà luogo di $r-s$ centri armonici del grado $n-s$ ($s1]$ rami di ${\rm {C_{n}}}$ hanno in $d$ la tangente comune, questa tocca ivi $s-1$ rami della prima polare di $o$ (74); onde, se ${\rm {R}}$ è questa tangente, le rimanenti sue intersezioni colla prima polare di $o$ saranno in numero $(n-1)-(r-1)-1$; dunque la classe dell’inviluppo è in questo caso $n-(r+1)$.
82. Come la teoria de’ centri armonici di un sistema di punti in linea retta serve di base alla teoria delle curve polari relative ad una curva fondamentale di dato ordine, così le proprietà degli assi armonici di un fascio di rette divergenti da un punto (19, 20), conducono a stabilire un’analoga teoria di inviluppi polari relativi ad una curva fondamentale di data classe.
Data una curva ${\rm {K}}$ della classe $m$ ed una retta ${\rm {R}}$ nello stesso piano, da un punto qualunque $p$ di ${\rm {R}}$ siano condotte le $m$ tangenti a ${\rm {K}}$; gli assi armonici, di grado $r$, del sistema di queste $m$ tangenti rispetto alla retta fissa ${\rm {R}}$ inviluppano, quando $p$ muovasi in ${\rm {R}}$, una linea della classe $r$. Così la retta ${\rm {R}}$ dà luogo ad $m-1$ inviluppi polari, le cui classi cominciano con $m-1$ e finiscono con $1$. L’inviluppo polare di classe più alta tocca le rette tangenti a ${\rm {K}}$ ne’ punti comuni a questa linea e ad ${\rm {R}}$; onde segue che ${\rm {R}}$ incontra ${\rm {K}}$ in $m(m-1)$ punti, cioè una curva della classe $m$ è generalmente dell’ordine $m(m-1)$. Ma questo è diminuito di due unità per ogni tangente doppia e di tre unità per ogni tangente stazionaria di cui sia dotata la curva fondamentale; ecc. ecc.
* ↑ Grassmann, Theorie der Centralen (Giornale di Crelle, t. 24, Berlino 1842, p. 262).
* ↑ Il teorema relativo ai centri armonici di primo grado è di Cotes; vedi Maclaurin, l. c. p. 205.
* ↑ Bobillier, Théorèmes sur les polaires successives (Annales de Gergonne, t. 19, Nismes 1828-29, p. 305).
* ↑ [p. 499 Si è corretto «polare $(s)^{ma}$», in «polare d’ordine $s$».
* ↑ [p. 499 Si sostituisca questo ragionamento insufficiente con quello contenuto nei nn. 5-7 della Memoria 53, gia citata in.
* ↑ Plücker, Ueber ein neues Coordinatensystem (Giornale di Crelle, t. 5, Berlino 1830, pag. 34).
* ↑ Poncelet, Solution ... suivie d’une théorie des polaires réciproques etc. (Annales de Gergonne, t. 8, Nismes 1817-18, p. 214).
* ↑ {Viceversa, se le polari $(n-1)$$^{ma}$, $(n-2)$$^{ma}$, ... $(n-r+1)$$^{ma}$ di un punto $d$ sono indeterminate, la polare $(n-r)$$^{ma}$ sarà il sistema di $r$ rette incrociate in $d$, e questo punto sarà multiplo secondo $r$ per la curva fondamentale.}
* ↑ [p. 499 Applicando il n. 20, ossia la parte (a) dell’attuale n. 73, che il Cremona contava (in una nuova edizione) di anticipare, ponendola subito dopo il n. 68.
* ↑ [p. 499 Il ragionamento precedente, fra { }, riportato da (A) (ove l’Autore l’aveva inserito per riempire una lacuna della Memoria originale), ha anche assegnato, alla fine, le tangenti nel punto $(r-s)$$^{plo}$ a quella polare $(s)$$^{ma}$, anticipando così la proposizione che, per $s=1$, si troverà in principio del n. 74.
* ↑ A questa retta si dà il nome di polare del punto $o$ rispetto all’angolo $a_{1}da_{2}$.
* ↑ Plücker, Solution d’une question fondamentale concernant la théorie générale des courbes (Giornale di Crelle, t. 12, Berlino 1834, p. 107).
* ↑ Salmon, A treatise on the higher plane curves, Dublin 1852, p. 54.
* ↑ Maclaurin, l. c. p. 201.
* ↑ Cayley, Sur quelques théorèmes de la géométrie de position (Giornale di Crelle, t. 34, Berlino 1847, p. 274).
* ↑ [p. 499 {Più generalmente: il punto, in cui la retta polare di $o$ rispetto ad $r$ delle $n$ rette incontra la retta polare relativa alle altre $n-r$, giace nella retta polare di $o$ rispetto alle $n$ rette. Beltrami, Intorno alle coniche dei nove punti ecc., [1863. V. Opere matematiche di E. Beltrami, t. I, p. 45].}
* ↑ Bobillier, Démonstrations de quelques théorèmes sur les lignes etc. (Annales de Gergonne, t. 18, Nismes 1827-28, p. 97).
* ↑ Steiner, Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven (Giornale di Crelle, t. 47, Berlino 1853, p. 4).
* ↑ {Tutte le polari d’un flesso hanno questo punto per flesso, colla medesima tangente stazionaria.}
* ↑ [p. 499 Nell’originale, invece di questo numero, stava scritto $(n-1)-(r-1)-(s-1)$; e quindi nella riga seguente stava $n-(r+s-1)$. La correzione è stata indicata dallo stesso Cremona nell’elenco dei «Druckfehler» alla fine della Einleitung, e nel § 2.º della Rivista bibliografica: Sulla teoria delle coniche (Queste Opere, n. 52). — Pare che in una nuova edizione l’Autore avrebbe soppressa questa parte (c) del n. 81.