# Gli Elementi d'Euclide/Appendice/Misure del cerchio e della circonferenza

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Gli Elementi d'Euclide Enrico Betti/Francesco Brioschi 1868 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Gli_Elementi_d%27Euclide/Appendice/Misure_del_cerchio_e_della_circonferenza&oldid=- 20170223220740 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Gli_Elementi_d%27Euclide/Appendice/Misure_del_cerchio_e_della_circonferenza&oldid=- 20170223220740
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Misura del cerchio e della circonferenza.
8. Dicesi linea conressa qualunque linea spezzata (composta di rette) o curva, la quale da una retta [p. 402 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/414 [p. 403 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/415 [p. 404 402 APPENDICE AGLI ELEMENTI D’EUCLIDE.
Osservazione. — Che le superficie dei poligoni regolari inscritti o circoscritti possano, col raddoppiare successivamente il numero dei lati, differire dal cerchio meno di una quantità determinata, piccola ad arbitrio, risulta facilmente dal lemma 1° del libro XII. Quanto ai perimetri di due poligoni regolari dello stesso numero di lati, l’uno inscritto e l’altro circoscritto, si può osservare che siccome essi sono tra loro come il raggio è all’apotema del poligono inscritto, così [V, 47] la loro differenza sarà al poligono inscritto come la differenza del raggio e dell’apotema, è all’apotema, e quindi la differenza dei due perimetri sarà uguale alla differenza fra il raggio del cerchio e l’apotema del poligono inscritto moltiplicata per il rapporto del perimetro del poligono inscritto al suo apotema, che è un numero finito; e siccome questa differenza coll’aumentare il numero dei lati può ridursi minore di una quantità piccola ad arbitrio, così potremo dire la stessa cosa della differenza fra i perimetri dei due poligoni; e la stessa cosa, a più forte ragione, della differenza fra la circonferenza e i due perimetri, imperocché quella è sempre compresa fra questi.
10. L'area del cerchio è data dal prodotto della sua circonferenza per la metà del raggio. Siano A e C l’area e la circonferenza del cerchio di raggio R; S e P l’area e il perimetro d’un poligono regolare circoscritto al cerchio: per ciò che sappiamo sarà S=PxR/2. S’immagini ora che il numero dei lati del poligono cresca continuamente; l’uguaglianza precedente sussisterà sempre; e siccome S tende verso il limite A, e P verso il limite C, avremo A=CxR/2
11. Le circonferenze stanno fra loro come i raggi, i [p. 405 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/417 [p. 406 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/418 [p. 407 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/419 [p. 408 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/420 [p. 409 APPENDICE AGLI ELEMENTI D’EUCLIDE. 407
cedenti, quelle dei due ottagoni, inscritto e circoscritto, e successivamente quelle dei poligoni inscritti e circoscritti di 1G, 32, G4, lati. Si calcolino queste aree in guisa da essere sicuri della ennesima cifra decimale, e spingasi il calcolo finche siansi trovati due poligoni, l’uno inscritto e l’altro circoscritto, le di cui aree comincino a differire dopo la ennesima cifra decimale. 1 rapporti che i due poligoni hanno al quadrato del raggio, differiscono fra loro meno di una unità decimale dell’ennesimo ordine; ed essendo il rapporto del cerchio al quadralo del raggio compreso fra quei due (imperocché il cerchio è compreso fra i due poligoni), saremo certi di conoscere il valore di n con n cifre decimali esatte col prendere per n l’uno o l’altro dei due rapporti nominati.
Si trova così il valore di n essere
3,14 15 92 65 35 89 79 32....
Archimede colla considerazione dei perimetri dei poligoni regolari iscritto e circoscritto di 96 lati trovò per limili di questo rapporto 3yj, 3^; si prende cornuto 22 “ 7 355 valore molto più approssimalo (’). nemente il valore 3 ^. Mezio fece conoscere il