# Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Curve descritte da un punto, le indicatrici del quale variino con legge data

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Opere matematiche Luigi Cremona 1914 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Opere matematiche (Cremona) I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Curve_descritte_da_un_punto,_le_indicatrici_del_quale_variino_con_legge_data&oldid=- 20201205000119 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Curve_descritte_da_un_punto,_le_indicatrici_del_quale_variino_con_legge_data&oldid=- 20201205000119
[p. 419
Art. XIX.
Curve descritte da un punto, le indicatrici del quale variino con legge data.
112. Riprendendo il caso generale d’una curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ d’ordine qualsivoglia $n$, cerchiamo di condurre per un dato punto $p$ una retta che tocchi ivi la prima polare d’alcun punto $o$ della retta medesima. Le prime polari passanti per $p$ hanno i loro poli nella retta polare di questo punto. Se inoltre $p$ dev’essere il punto di contatto della prima polare con una tangente condotta dal polo $o$, anche la seconda polare di $o$ dovrà passare per $p$ (70); talchè $o$ sarà una delle intersezioni della retta polare colla conica polare di $p$, cioè $po$ dev’essere tangente alla conica polare di $p$.
Dunque le rette che risolvono il problema sono le due tangenti che da $p$ si possono condurre alla conica polare di questo punto, ossia le due indicatrici del punto $p$ (90, c).
(a) Se $p$ è un punto dell’Hessiana, la sua conica polare è un pajo di rette incrociantisi nel corrispondente punto $o$ della Steineriana, pel quale passa anche la retta polare di $p$. I punti di questa retta sono poli di altrettante prime polari passanti per $p$ ed ivi aventi una comune tangente (90, a); donde segue che questa è un’indicatrice del punto $p$. Ma le indicatrici di $p$ sono insieme riunite nella retta $po$ (90, c); dunque (98, b):
La retta che unisce un punto dell’Hessiana al corrispondente punto della Steineriana tocca nel primo di questi punti tutte le prime polari passanti per esso.
Ond’è che la linea della classe $3(n-1)(n-2)$, inviluppo delle tangenti comuni ne’ punti di contatto fra le prime polari (91, b), può anche essere definita come l’inviluppo delle rette che uniscono le coppie di punti corrispondenti dell’Hessiana e della Steineriana (98, b).
(b) Data una retta ${\rm {R}}$, in essa esistono $2(n-2)$ punti, ciascun dei quali, $o$, è il polo d’una prima polare tangente ad ${\rm {R}}$ in un punto $p$ (103, c); epperò in una retta qualunque vi sono $2(n-2)$ punti, per ciascuno de’ quali essa è un’indicatrice.
Se ${\rm {R}}$ è una tangente della curva fondamentale, nel punto di contatto sono riuniti due punti $o$ ed i due corrispondenti punti $p$.
113. Quale è il luogo del punto $p$, se una delle sue indicatrici passa per un punto fisso $i$? Ciascuna retta condotta per $i$ contiene $2(n-2)$ posizioni del punto $p$ (112,b); ed $i$ rappresenta altri due punti $p$, corrispondenti alle due indicatrici dello stesso punto $i$. Dunque il luogo richiesto è una curva ${\rm {L^{ii}}}$ dell’ordine $2(n-2)+2=2(n-1)$, che passa due volte per $i$. [p. 420
Considerando una tangente della curva fondamentale, nel punto di contatto sono riuniti due punti $p$; dunque la linea ${\rm {L^{ii}}}$ tocca ${\rm {C_{n}}}$ negli $n(n-1)$ punti di contatto delle tangenti condotte a questa dal punto $i$.
Quando il polo $o$ (112) prende il posto del punto $i$, le $(n-1)(n-2)$ intersezioni della prima colla seconda polare di $i$ sono altrettante posizioni del punto $p$. Viceversa, se $p$ è nella seconda polare di $i$, la conica polare di $p$ passa per $i$; ma $i$ dee giacere in una tangente condotta da $p$ alla conica polare di quest’ultimo punto, dunque anche la retta polare di $p$ passerà per $i$, e conseguentemente $p$ giacerà nella prima polare di $i$. Quegli $(n-1)(n-2)$ punti sono pertanto i soli che la curva ${\rm {L^{ii}}}$ abbia comuni colla seconda polare di $i$; ond’è che in tutti quei punti le due curve si toccano. Concludiamo adunque che la curva ${\rm {L^{ii}}}$ tocca la curva fondamentale e la seconda polare del punto $i$ ovunque le incontra, e gli $n(n-1)+(n-1)(n-2)$ punti di contatto giacciono tutti nella prima polare di $i$.
Siccome la prima polare di $i$ presa due volte può considerarsi come una linea dell’ordine $2(n-1)$, e siccome la curva fondamentale e la seconda polare di $i$ costituiscono insieme un’altra linea dello stesso ordine; così (41) per i $2(n-1)^{2}$ punti ne’ quali la prima polare di $i$ sega ${\rm {C_{n}}}$ e la seconda polare, si può far passare un fascio di curve dell’ordine $2(n-1)$, ciascuna delle quali tocchi la curva fondamentale e la seconda polare di $i$ in tutti quei punti. Fra le infinite curve di questo fascio, quella che passa per $i$ è ${\rm {L^{ii}}}$.
114. Di qual classe è l’inviluppo delle indicatrici dei punti di una data curva ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$? Ossia, quanti punti di questa curva hanno un’indicatrice passante per un punto $i$ fissato ad arbitrio? Il luogo di un punto $p$, un’indicatrice del quale passi per $i$, è (113) una curva dell’ordine $2(n-1)$, che segherà ${\rm {C_{m}}}$ in $2m(n-1)$ punti; dunque in $i$ concorrono $2m(n-1)$ tangenti dell’inviluppo richiesto.
Si noti poi che quest’inviluppo tocca la curva fondamentale ovunque essa è incontrata da ${\rm {C_{m}}}$; e ciò perchè ciascuna di queste intersezioni ha le sue indicatrici confuse insieme nella relativa tangente di ${\rm {C_{n}}}$. Dunque:
Le indicatrici dei punti di una linea d’ordine $m$ inviluppano una linea della classe $2m(n-1)$, che tocca la curva fondamentale ne’ punti ove questa è incontrata dalla linea d’ordine $m$.
(a) Di qui per $m=1$ si ricava che le indicatrici dei punti di una retta data inviluppano una curva della classe $2(n-1)$, la quale tocca in $2(n-2)$ punti la retta medesima, perchè questa è indicatrice di $2(n-2)$ suoi punti (112, b). [p. 421
(b) In virtù del teorema generale or dimostrato, se il punto $p$ percorre l’Hessiana che è una curva dell’ordine $3(n-2)$, le indicatrici di $p$ inviluppano una linea della classe $6(n-1)(n-2)$; ma siccome in questo caso, per ogni posizione di $p$ le due indicatrici si confondono in una retta unica (90, c), così la classe dell’inviluppo si ridurrà a $3(n-1)(n-2)$: risultato già ottenuto altrimenti (91, b; 112, a).
A quest’inviluppo arrivano $3(n-1)(n-2)$ tangenti da ogni dato punto $i$; onde ciascuno dei $3(n-1)(n-2)$ punti $p$ dell’Hessiana, le indicatrici de’ quali sono le anzidette tangenti, rappresenta due intersezioni dell’Hessiana colla curva ${\rm {L^{ii}}}$ superiormente determinata (113).
Riunendo questa proprietà colle altre già dimostrate (113), si ha l’enunciato:
Dato un punto $i$, il luogo di un punto $p$ tale che la retta $pi$ sia tangente alla conica polare di $p$ è una linea dell’ordine $2(n-1)$, che passa due volte per $i$ e tocca la curva fondamentale, l’Hessiana e la seconda polare di $i$ ovunque le incontra.
115. Cerchiamo ora di determinare l’ordine del luogo di un punto $p$, un’indicatrice del quale sia tangente ad una data curva ${\rm {K_{r}}}$ della classe $r$, cioè indaghiamo quanti punti sianvi in una retta ${\rm {R}}$, dotati di un’indicatrice tangente a ${\rm {K_{r}}}$. Se il punto $p$ si muove nella retta ${\rm {R}}$, le sue indicatrici inviluppano (114, a) una linea della classe $2(n-1)$, la quale avrà $2r(n-1)$ tangenti comuni colla data curva ${\rm {K_{r}}}$. Dunque il luogo richiesto è dell’ordine $2r(n-1)$.
Se consideriamo una tangente comune a ${\rm {K_{r}}}$ ed a ${\rm {C_{n}}}$, nel contatto con quest’ultima linea sono riuniti due punti $p$, pei quali la tangente fa l’ufficio d’indicatrice; donde s’inferisce che il luogo richiesto tocca la curva fondamentale negli $rn(n-1)$ punti ove questa è toccata dalle tangenti comuni a ${\rm {K_{r}}}$, ovvero (ciò che è la stessa cosa) ne’ punti in cui la curva fondamentale è incontrata dalla prima polare di ${\rm {K_{r}}}$ (104, d).
La curva ${\rm {K_{r}}}$ ha $3r(n-1)(n-2)$ tangenti comuni coll’inviluppo delle indicatrici dei punti dell’Hessiana; talchè $3r(n-1)(n-2)$ è il numero dei punti comuni all’Hessiana ed al luogo dell’ordine $2r(n-1)$, di cui qui si tratta. Dunque:
Il luogo di un punto dal quale tirate le tangenti alla sua conica polare, una di queste riesca tangente ad una data curva della classe $r$, è una linea dell’ordine $2r(n-1)$ che tocca la curva fondamentale e l’Hessiana ovunque le incontra.
116. Dati due punti fissi $i$, $j$, cerchiamo il luogo di un punto $p$ tale che le rette $pi$, $pj$ siano polari coniugate (108) rispetto alla conica polare di $p$. È evidente che questo luogo passa per $i$ e per $j$.
Sia ${\rm {R}}$ una retta condotta ad arbitrio per $j$, e $p$ un punto di ${\rm {R}}$. Le rette polari di $p$, $i$ rispetto alla conica polare di $p$ incontrino ${\rm {R}}$ ne’ punti $a$, $b$; i quali se coincidessero in un punto solo, questo sarebbe il polo della retta $pi$ relativamente alla detta conica, talchè si avrebbe in $p$ un punto del luogo richiesto. Assunto ad arbitrio [p. 422 il punto $a$ come intersezione di ${\rm {R}}$ con una retta polare, gli corrispondono $n-1$ posizioni del polo $p$ (i punti comuni ad ${\rm {R}}$ e alla prima polare di $a$), e quindi altrettanti punti $b$. Se invece si assume ad arbitrio $b$, come incontro di ${\rm {R}}$ colla retta polare di $i$ rispetto ad una conica polare indeterminata, il polo $p$ di questa è nella prima polare di $i$ relativa alla prima polare di $b$ (69, d), cioè in una curva d’ordine $n-2$, le intersezioni della quale con ${\rm {R}}$ sono le posizioni di $p$ corrispondenti al dato punto $b$; ond’è che a questo punto corrisponderanno $n-2$ punti $a$. Dunque il numero de’ punti $p$ in ${\rm {R}}$, pei quali $a$ e $b$ coincidono, è $(n-1)+(n-2)$; e siccome anche $j$ è un punto della curva cercata, così questa è dell’ordine $(n-1)+(n-2)+1$ $=2(n-1)$. La designeremo con ${\rm {L^{ij}}}$, perchè, ove $j$ coincida con $i$, essa rientra nella curva ${\rm {L^{ii}}}$, già considerata (113).
Sia $p$ il punto di contatto della curva fondamentale con una tangente uscita da $i$; la retta polare di $p$ è $pi$, tangente in $p$ alla conica polare dello stesso punto $p$, onde, qualunque sia $j$, la retta $pj$ passa pel polo di $pi$. Dunque $p$ è un punto di ${\rm {L^{ij}}}$, cioè questa linea passa per gli $n(n-1)$ punti di contatto della curva fondamentale colle tangenti che le arrivano da $i$; e per la stessa ragione passerà anche per gli $n(n-1)$ punti in cui ${\rm {C_{n}}}$ è toccata da rette condotte per $j$.
Cerchiamo in quanti e quali punti la curva ${\rm {L^{ij}}}$ incontri la prima polare di $i$ relativa alla prima polare di $j$, la quale chiameremo per brevità seconda polare mista de’ punti $ij$. Se questa seconda polare mista passa per $p$, viceversa (69, d) la retta polare di $i$ rispetto alla conica polare di $p$ passa per $j$, ossia i punti $i$, $j$ sono poli coniugati (108) relativamente alla conica polare di $p$. In tal caso, affinchè le rette $pi$, $pj$ siano polari coniugate rispetto alla medesima conica, basta evidentemente che la retta polare di $p$ passi per $i$ o per $j$; epperò $p$ dovrà trovarsi o nella prima polare di $i$ o in quella di $j$. Dunque la curva ${\rm {L^{ij}}}$ passa pei punti in cui la seconda polare mista de’ punti $ij$ è segata dalle prime polari de’ punti medesimi. [p. 423
Ora siano $p$, $o$ due punti corrispondenti dell’Hessiana e della Steineriana, tali che la retta $po$ passi per $i$. Per esprimere che, rispetto alla conica polare di $p$, le rette $pi$, $pj$ sono coniugate, basta dire che le rette polari di $p$ e $j$ (relative alla conica) concorrono in un punto di $pi$. Ma nel caso attuale, la conica polare di $p$ è un pajo di rette incrociatisi in $o$ (90, a), talchè per questo punto passano le polari di $p$ e $j$ (relative alla conica medesima). E siccome anche $pi$ contiene, per ipotesi, il punto $o$, così $p$ appartiene ad ${\rm {L^{ij}}}$, ossia questa curva passa pei $3(n-1)(n-2)$ punti dell’Hessiana, le cui indicatrici concorrono in $i$. Analogamente la curva ${\rm {L^{ij}}}$ passa anche pei $3(n-1)(n-2)$ punti dell’Hessiana, le indicatrici de’ quali partono da $j$. Dunque:
Dati due punti $i$, $j$, il luogo di un punto $p$, tale che le rette $pi$, $pj$ siano coniugate rispetto alla conica polare di $p$, è una linea dell’ordine $2(n-1)$, che passa: 1.º pei punti $i$, $j$; 2.º pei punti in cui la curva fondamentale è toccata dalle tangenti condotte per $i$ o per $j$; 3.º pei punti in cui la prima polare di $i$ (o di $j$) è toccata da rette concorrenti in $j$ (o in $i$); 4.º pei punti dell’Hessiana, le indicatrici de’ quali convergono ad $i$ o a $j$.
(a) In altre parole, la linea ${\rm {L^{ij}}}$ sega la curva fondamentale e l’Hessiana ne’ punti ove queste sono toccate dalle due linee ${\rm {L^{ii}}}$, ${\rm {L^{jj}}}$, che dipendono separatamente dai punti $i$, $j$ (113).
(b) Se il punto $i$ è dato, mentre $j$ varii descrivendo una retta ${\rm {R}}$, la linea ${\rm {L^{ij}}}$ genera un fascio. Infatti, essa passa, qualunque sia $j$, per $4(n-1)^{2}$ punti fissi, i quali sono: 1.º il punto $i$; 2.º gli $n(n-1)$ punti in cui ${\rm {C_{n}}}$ è toccata dalle tangenti che passano per $i$; 3.º i $3(n-1)(n-2)$ punti dell’Hessiana, le cui indicatrici concorrono in $i$; 4.º i $2n-3$ punti nei quali (oltre a $j$ che è variabile) ${\rm {R}}$ sega ${\rm {L^{ji}}}$; questi ultimi non variano, perchè sono i punti comuni a due involuzioni proiettive, indipendenti dal punto $j$ (vedi la nota *) a pag. 422).
Questa proprietà si dimostra anche cercando quante curve ${\rm {L^{ij}}}$ passino per un dato punto $q$, quando $i$ sia fisso e $j$ debba trovarsi in una retta ${\rm {R}}$. Siccome le rette $qi$, $qj$ devono essere coniugate rispetto alla conica polare di $q$, così il punto $j$ sarà l’intersezione di ${\rm {R}}$ colla retta che congiunge $q$ al polo di $qi$ relativo a quella conica. Dunque ecc.
Nello stesso modo si dimostra che, se $i$ è fisso, le curve ${\rm {L^{ij}}}$ passanti per uno stesso punto $q$ formano un fascio; cioè per due punti dati $q$, $q'$ passa una sola curva ${\rm {L}}$ relativa al punto fisso $i$; ecc.
117. La precedente ricerca (116) può essere generalizzata, assumendo una curva-inviluppo invece del punto $j$, od anche una seconda curva invece di $i$, ovvero una sola curva in luogo del sistema dei due punti.
Data una curva ${\rm {K_{r}}}$ della classe $r$ e dato un punto $i$, vogliasi determinare il luogo di un punto $p$ tale che la retta $pi$ sia, rispetto alla conica polare di $p$, coniugata ad [p. 424 alcuna delle tangenti che da $p$ ponno condursi a ${\rm {K_{r}}}$: ovvero con altre parole, la retta $pi$ passi per alcuno de’ punti in cui la retta polare di $p$ taglia la curva polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ rispetto alla conica polare di $p$ (110).
La curva richiesta passa $r$ volte per $i$, giacchè se il punto $p$ cade in $i$, sonvi $r$ rette $pi$ sodisfacenti all’anzidetta condizione: quelle cioè che da $i$ vanno agli $r$ punti in cui la retta polare di $p$ taglia la polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ (relativa alla conica polare di $i$).
Sia $p$ un punto di ${\rm {C_{n}}}$; la retta polare di $p$ sarà la tangente alla curva fondamentale nel punto medesimo. Laonde se questa retta tocca anche ${\rm {K_{r}}}$, $p$ sarà un punto della polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ (relativa alla conica polare di $p$); e siccome, qualunque sia $i$, la retta $pi$ passa per $p$, punto comune alla detta polare reciproca ed alla retta polare di $p$, così questo punto apparterrà al luogo richiesto. Ond’è che questo luogo contiene gli $rn(n-1)$ punti di contatto della curva fondamentale colle tangenti comuni a ${\rm {K_{r}}}$.
Se invece $p$ appartiene a ${\rm {C_{n}}}$ e $pi$ è tangente a questa curva in $p$, la stessa retta $pi$ è la polare di $p$; ma essa incontra in $r$ punti la polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$, dunque $p$ è un punto multiplo secondo $r$ per la curva richiesta. Questa ha pertanto $n(n-1)$ punti $(r)$$^{pli}$, e son quelli ove ${\rm {C_{n}}}$ è toccata da tangenti che concorrono in $i$.
Sia $p$ un punto dell’Hessiana, $o$ il corrispondente punto della Steineriana. Se $po$ è tangente alla data curva ${\rm {K_{r}}}$, essa sarà coniugata alla retta $pi$ rispetto alla conica polare di $p$; infatti, sì quella tangente che le polari dei punti $p$, $i$, relative a questa conica, concorrono nel punto $o$. Donde s’inferisce che $p$ è un punto del luogo che si considera; vale a dire, questo luogo passa pei $3r(n-1)(n-2)$ punti dell’Hessiana, le indicatrici de’ quali toccano ${\rm {K_{r}}}$.
Siano ancora $p$, $o$ punti corrispondenti dell’Hessiana e della Steineriana; ma $po$ passi per $i$. Allora, siccome la conica polare di $p$ è un pajo di rette incrociate in $o$, così la polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ rispetto a tale conica sarà (110, a) un fascio di $r$ rette concorrenti in $o$. Ond’è che il punto $o$ rappresenta $r$ intersezioni sì della retta $pi$ che della retta polare di $p$ colla polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$, e per conseguenza $p$ tien luogo di $r$ punti consecutivi comuni alla curva richiesta ed all’Hessiana. Dunque il luogo geometrico, del quale si tratta, ha un contatto $(r)$$^{punto}$ coll’Hessiana in ciascuno dei $3(n-1)(n-2)$ punti le cui indicatrici passano per $i$.
Passiamo da ultimo a determinare l’ordine della curva in questione. Sia ${\rm {R}}$ una retta arbitraria condotta per $i$, e $p$ un punto in ${\rm {R}}$. La retta polare di $p$ incontri ${\rm {R}}$ in $a$, e la polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ (rispetto alla conica polare di $p$) seghi ${\rm {R}}$ in $r$ punti $b$. Se si assume ad arbitrio $a$, vi corrispondono $n-1$ posizioni di $p$ (le intersezioni di ${\rm {R}}$ colla prima polare di $a$) e quindi $r(n-1)$ posizioni di $b$. Se invece si assume ad arbitrio $b$, come incontro di ${\rm {R}}$ colla polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ rispetto alla conica polare [p. 425 di un polo indeterminato, questo polo giace (104, k) nella prima polare di ${\rm {K_{r}}}$ relativa alla prima polare di $b$; la qual curva essendo (104, d) dell’ordine $r(n-2)$ sega ${\rm {R}}$ in altrettanti punti $p$, ed a ciascuno di questi corrisponde un punto $a$. Così ad ogni punto $a$ corrispondono $r(n-1)$ punti $b$, ed ogni punto $b$ individua $r(n-2)$ punti $a$; onde la coincidenza di un punto $a$ con uno dei corrispondenti punti $b$ avverrà $r(n-1)+r(n-2)$ volte. Ma ove tale coincidenza si verifichi, il punto $p$ appartiene alla curva cercata. Questa ha dunque $r(2n-3)$ punti in ${\rm {R}}$, oltre al punto $i$ che è multiplo secondo $r$; vale a dire, essa è dell’ordine $2r(n-1)$.
(a) Analogamente si dimostra che:
Date due curve ${\rm {K_{r}}}$, ${\rm {K_{s}}}$, le cui classi siano $r$, $s$, il luogo di in punto $p$ tale che due tangenti condotte per esso, l’una a ${\rm {K_{r}}}$, l’altra a ${\rm {K_{s}}}$, siano coniugate rispetto alla conica polare dello stesso punto $p$, è una linea dell’ordine $2rs(n-1)$, la quale 1.º passa $s$ volte per ciascuno degli $rn(n-1)$ punti in cui la curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ è toccata da rette tangenti di ${\rm {K_{r}}}$; 2.º passa $r$ volte per ciascuno degli $sn(n-1)$ punti in cui ${\rm {C_{n}}}$ è toccata da rette tangenti di ${\rm {K_{s}}}$; 3.º ha coll’Hessiana un contatto $(s)$$^{punto}$ in ciascuno dei $3r(n-1)(n-2)$ punti le cui indicatrici toccano ${\rm {K_{r}}}$; 4.º ha coll’Hessiana medesima un contatto $(r)$$^{punto}$ in ciascuno dei $3s(n-1)(n-2)$ punti le indicatrici dei quali sono tangenti a ${\rm {K_{s}}}$.
(b) Se invece è dato un solo inviluppo ${\rm {K_{r}}}$ della classe $r$, e si cerca il luogo di un punto $p$ tale che due tangenti condotte da esso a ${\rm {K_{r}}}$ siano coniugate rispetto alla conica polare di $p$, si trova una linea dell’ordine $rn(r-1)(n-1)$, la quale passa $r-1$ volte per ciascuno degli $rn(n-1)$ punti ove la curva fondamentale è toccata da rette tangenti di ${\rm {K_{r}}}$, ed ha un contatto $(r-1)$$^{punto}$ coll’Hessiana in ciascuno de’ $3r(n-1)(n-2)$ punti di questa curva, le indicatrici de’ quali toccano ${\rm {K_{r}}}$.
* ↑ Clebsch, l. c. p. 280-285.
* ↑ {Quella curva è dell'ordine $8n-14$, e contiene, oltre ai $2(n-2)$ punti suddetti, anche le $3(n-2)+n$ intersezioni della retta data colla Hessiana e colla curva fondamentale.}
* ↑ [p. 505 Quest’asserzione non è esatta (la deduzione non regge, perchè la corrispondenza fra $p$ e $b$ non è univoca in ambi i sensi); e così pure l’analoga che vien subito dopo, sugli $n-2$ punti $a$ corrispondenti a uno stesso $b$. Si può dire invece che: quando un punto varia su ${\rm {R}}$, e lo si prende successivamente, o come punto $a$, o come $b$, i gruppi dei suoi corrispondenti ($n-1$, od $n-2$) punti $p$ descrivono due involuzioni dei gradi $n-1$, $n-2$, le quali risultano riferite proiettivamente (alla punteggiata descritta dal punto variabile, e quindi anche) fra loro. A queste involuzioni proiettive il lettore riferisca la fine della nota (che occorre poi in (b)).
* ↑ Variando il punto $a$ nella retta ${\rm {R}}$, la prima polare di $a$ genera un fascio (77), le curve del quale determinano in ${\rm {R}}$ un’involuzione del grado $n-1$. Ma ad ogni punto $p$ corrisponde un punto $b$; dunque, col variare di $a$, il gruppo de’ corrispondenti $n-1$ punti $b$ genera un’involuzione del grado $n-1$. Anche la prima polare di $b$, rispetto alla prima polare del punto fisso $i$, quando $b$ corra sopra ${\rm {R}}$, dà luogo ad un fascio; epperò, col variare di $b$, il gruppo de’ corrispondenti $n-2$ punti $a$ genera un’involuzione del grado $n-2$. Dunque, variando simultaneamente i punti $a$, $b$ producono due involuzioni projettive, l’una del grado $n-2$, l’altra del grado $n-1$. I $2n-3$ punti comuni a queste involuzioni (24, b), insieme con $j$, sono quelli in cui ${\rm {R}}$ incontra il richiesto luogo geometrico.
* ↑ {${\rm {L^{ij}}}$ sega la retta $ij$ nei $2(n-2)$ punti le cui coniche polari toccano quella retta: punti che appartengono anche alle curve ${\rm {L^{ii}}}$, ${\rm {L^{jj}}}$.}
* ↑ [p. 505 In ognuno dei punti $p$ dell’Hessiana che qui si son considerati, il luogo geometrico di cui si tratta avrà un punto $r$-plo. Perciò invece che contatto $r$-punto si deve leggere: incontro $r$-punto. Per analoghe ragioni va fatta la stessa sostituzione della parola «incontro» alla parola «contatto» le altre volte che questa s’incontra nel seguito di questo numero, in (a) e in (b).