# Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Alcune proprietà della curva Hessiana e della Steineriana

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Art. XX.
Alcune proprietà della curva Hessiana e della Steineriana.
118. Sia $p$ un punto dell’Hessiana ed $o$ il corrispondente punto della Steineriana. L’ultima polare di $p$ è una retta passante per $o$, i punti della quale sono poli d’altrettante prime polari toccate in $p$ dalla retta $po$; ma fra esse ve n’ha una dotata d’un punto doppio in $p$, e il suo polo è $o$ (88, d; 90, a; 112, a).
(a) Siano $o,\,o'$ due punti della Steineriana; i poli della retta $oo'$ saranno le $(n-1)^{2}$ intersezioni delle prime polari di quei due punti, le quali hanno rispettivamente per punti doppi i corrispondenti punti $p,\,p'$ dell’Hessiana. Assumendo $o'$ infinitamente vicino ad $o$, la retta $oo'$ ossia la tangente in $o$ alla Steineriana avrà un polo in $p$; [p. 426 dunque le tangenti della Steineriana sono le rette polari dei punti dell’Hessiana. Ovvero (90, b):
La Steineriana è l’inviluppo di una retta che abbia due poli coincidenti.
(b) Questo teorema ci mena a determinare la classe della Steineriana. Le tangenti condotte a questa curva da un punto arbitrario $i$ hanno i loro poli nella prima polare di $i$, e questa sega l’Hessiana in $3(n-1)(n-2)$ punti. Dunque la Steineriana è della classe $3(n-1)(n-2)$.
(c) Siccome i flessi della curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ sono punti dell’Hessiana (100), così le rette polari dei medesimi, cioè le tangenti stazionarie di ${\rm {C_{n}}}$, sono anche tangenti della Steineriana.
I punti della Steineriana che corrispondono ai flessi di ${\rm {C_{n}}}$, considerati come punti dell’Hessiana, giacciono nelle tangenti stazionarie della curva fondamentale; queste tangenti adunque toccano anche la curva della classe $3(n-1)(n-2)$, inviluppo delle indicatrici dei punti dell’Hessiana (114, b).
(d) Secondo il teorema generale (103), l’$(n-1)$$^{ma}$ polare dell’Hessiana, cioè l’inviluppo delle rette polari de’ punti dell’Hessiana, è una curva ${\rm {K}}$ della classe $3(n-1)(n-2)$ e dell’ordine $3(n-2)(5n-11)$, della quale fa parte la Steineriana.
Se $i$ è l’intersezione di due rette tangenti alla Steineriana, ciascuna di esse ha un polo nell’Hessiana, e per questi due poli passa la prima polare di $i$. Se le due tangenti vengono a coincidere, i due poli si confondono in un sol punto, nel quale l’Hessiana sarà toccata dalla prima polare di $i$; epperò quest’ultimo sarà un punto dell’$(n-1)$$^{ma}$ polare dell’Hessiana, riguardata come il luogo dei poli delle prime polari tangenti all’Hessiana medesima. Ma i punti $i$, ne’ quali può dirsi che coincidano due successive tangenti della Steineriana, sono, oltre ai punti di questa curva, quelli situati in una qualunque delle tangenti stazionarie della curva medesima. Per conseguenza la linea ${\rm {K}}$, $(n-1)$$^{ma}$ polare dell’Hessiana, è composta della Steineriana e delle tangenti stazionarie di questa. Ossia, la Steineriana ha $3(n-2)(5n-11)-3(n-2)^{2}=3(n-2)(4n-9)$ tangenti stazionarie.
Della Steineriana conosciamo così l’ordine $3(n-2)^{2}$, la classe $3(n-1)(n-2)$ ed il numero $3(n-2)(4n-9)$ de’ flessi. Onde, applicandovi le formole di Plücker (99, 100), troveremo che la Steineriana ha $12(n-2)(n-3)$ cuspidi, ${\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-9n-5)$ punti doppi e ${\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-3n-8)$ tangenti doppie.
Se al numero delle cuspidi s’aggiunge due volte quello de’ flessi, se al numero delle tangenti doppie si aggiunge quello delle stazionarie, e se il numero de’ punti doppi è sommato col numero de’ punti in cui le tangenti stazionarie segano la Steineriana e [p. 427 si segano fra loro; si ottengono rispettivamente i numeri delle cuspidi, delle tangenti doppie e de’ punti doppi della complessiva curva ${\rm {K}}$ d’ordine $3(n-2)(5n-11)$, $(n-1)$$^{ma}$ polare dell’Hessiana, in accordo coi risultati generali (103).
119. Sia $oo'$ una retta tangente alla Steineriana; $o$ il punto di contatto; $p$ il corrispondente punto dell’Hessiana. Le prime polari dei punti di $oo'$ formano un fascio di curve, che si toccano fra loro in $p$, avendo per tangente comune $po$. Fra le curve di questo fascio ve n’ha una, la prima polare di $o$, per la quale $p$ è un punto doppio, e ve ne sono altre $3(n-2)^{2}-2$, cioè le prime polari de’ punti in cui $oo'$ sega la Steineriana, le quali hanno un punto doppio altrove.
(a) Se $oo'$ è una tangente doppia della Steineriana; $o$, $o'$ i punti di contatto; $p$, $p'$ i corrispondenti punti dell’Hessiana; allora le prime polari di tutti i punti di $oo'$ si toccheranno fra loro sì in $p$ che in $p'$. Dunque (118, d):
In una rete geometrica di curve d’ordine $n-1$, vi sono ${\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-3n-8)$ fasci, in ciascuno dei quali le curve si toccano fra loro in due punti distinti.
(b) Se nella tangente doppia $oo'$ i punti di contatto si riuniscono in $o$, per modo che essa divenga una tangente stazionaria della Steineriana, anche i punti $p$, $p'$ si confonderanno in un solo, e le prime polari dei punti di $oo'$ avranno fra loro un contatto tripunto in $p$, punto doppio della prima polare del flesso $o$.
Inoltre quelle prime polari toccano in $p$ l’Hessiana, perchè le tangenti stazionarie della Steineriana fanno parte (118, d) del luogo de’ poli delle prime polari tangenti all’Hessiana. Donde segue che, se $o$ è un flesso della Steineriana e $p$ è il punto doppio della prima polare di $o$, la retta $po$ è tangente all’Hessiana in $p$.
Così è anche dimostrato che in una rete geometrica di curve d’ordine $n-1$, v’hanno $3(n-2)(4n-9)$ fasci, in ciascun de’ quali le curve hanno fra loro un contatto tripunto, cioè si osculano in uno stesso punto.
120. Consideriamo una prima polare dotata di due punti doppi $p$, $p'$, e sia $o$ il polo di essa. Condotta per $o$ una retta arbitraria ${\rm {R}}$, le prime polari dei punti di ${\rm {R}}$ formano un fascio, nel quale trovansi $3(n-2)^{2}$ punti doppi (88), cioè i $3(n-2)^{2}$ punti comuni ad ${\rm {R}}$ ed alla Steineriana sono i poli d’altrettante prime polari dotate di un punto doppio. Ma, siccome due punti doppi esistono già nella prima polare di $o$, così quel fascio avrà solamente $3(n-2)^{2}-2$ altre curve dotate di un punto doppio; donde s’inferisce che ${\rm {R}}$ taglia la Steineriana non più che in $3(n-2)^{2}-2$ punti, oltre ad $o$, cioè $o$ è un punto doppio della Steineriana.
Quando ${\rm {R}}$ prenda la posizione di ${\rm {P}}$ retta polare di $p$, le prime polari dei suoi punti passano tutte per $p$, epperò questo punto conta per due fra i $3(n-2)^{2}$ punti doppi del fascio (88, a). I punti $p$, $p'$ equivalendo così a tre punti doppi, il fascio [p. 428 conterrà soltanto altre $3(n-2)^{2}-3$ curve aventi un punto doppio; e ciò torna a dire che la retta ${\rm {P}}$ non ha che $3(n-2)^{2}-3$ punti comuni colla Steineriana, oltre ad $o$. Questo punto equivale dunque a tre intersezioni della curva con ${\rm {P}}$; e lo stesso può ripetersi per ${\rm {P'}}$, retta polare di $p'$.
Per conseguenza: se una prima polare ha due punti doppi $p$, $p'$, il suo polo $o$ è un punto doppio della Steineriana, la quale è ivi toccata dalle rette polari di $p$, $p'$.
Ed avuto riguardo al numero de’ punti doppi della Steineriana (118, d), si conclude:
In una rete geometrica dell’ordine $n-1$, vi sono ${\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-9n-5)$ curve, ciascuna delle quali ha due punti doppi.
121. Imaginisi ora una prima polare dotata di una cuspide $p$, e siane $o$ il polo. Una retta qualunque ${\rm {R}}$ condotta per $o$ determina un fascio di prime polari, una delle quali ha una cuspide in $p$; perciò il numero di quelle dotate di un punto doppio (88, b) sarà $3(n-2)^{2}-2$. Dunque ${\rm {R}}$ incontra la Steineriana in due punti riuniti in $o$.
Ma se si considera la retta ${\rm {P}}$ polare di $p$, le curve prime polari dei suoi punti passano tutte per $p$, e fra esse ve n’ha soltanto $3(n-2)^{2}-3$, che siano dotate di un punto doppio (88, c). Cioè il punto $o$ rappresenta tre intersezioni della retta ${\rm {P}}$ colla Steineriana; ed è evidente che tale proprietà è esclusiva alla retta ${\rm {P}}$.
Dunque: se una prima polare ha una cuspide $p$, il suo polo $o$ è una cuspide della Steineriana, la quale ha ivi per tangente la retta polare di $p$.
Ed in causa del numero delle cuspidi della Steineriana (118, d):
In una rete geometrica dell’ordine $n-1$, vi sono $12(n-2)(n-3)$ curve, ciascuna delle quali è dotata di una cuspide.
122. Una curva ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$ incontri l’Hessiana in $3m(n-2)$ punti; le rette polari di questi punti saranno tangenti sì all’$(n-1)$$^{ma}$ polare di ${\rm {C_{m}}}$ (103, e) che alla Steineriana (118, a). Sia $p$ uno di quei punti, ed $o$ quello in cui la Steineriana è toccata dalla retta polare di $p$. La prima polare di $o$ ha un punto doppio in $p$, onde ha ivi due punti coincidenti comuni con ${\rm {C_{m}}}$; dunque, siccome l’$(n-1)$$^{ma}$ polare di ${\rm {C_{m}}}$ è il luogo dei poli delle prime polari tangenti a ${\rm {C_{m}}}$ (103), così $o$ è un punto di questa $(n-1)$$^{ma}$ polare. Ossia:
L’$(n-1)$ma polare di una data curva d’ordine $m$ tocca la Steineriana in $3m(n-2)$ [p. 429 punti, che sono i poli d’altrettante prime polari aventi i punti doppi nelle intersezioni della curva data coll’Hessiana.
Se $m=1$, abbiamo:
Una retta arbitraria ${\rm {R}}$ sega l’Hessiana in $3(n-2)$ punti, che sono doppi per altrettante prime polari; i poli di queste sono i punti di contatto fra la Steineriana e l’$(n-1)$$^{ma}$ polare di ${\rm {R}}$.
Ed è evidente che:
Se ${\rm {R}}$ è una tangente ordinaria dell’Hessiana, l’$(n-1)$$^{ma}$ polare di ${\rm {R}}$ avrà colla Steineriana un contatto quadripunto e $3n-8$ contatti bipunti.
Se ${\rm {R}}$ è una tangente stazionaria dell’Hessiana, l’$(n-1)$$^{ma}$ polare di ${\rm {R}}$ avrà colla Steineriana un contatto sipunto e $3(n-3)$ contatti bipunti.
E se ${\rm {R}}$ è una tangente doppia dell’Hessiana, l’$(n-1)$$^{ma}$ polare di ${\rm {R}}$ avrà colla Steineriana due contatti quadripunti e $3n-10$ contatti bipunti.
* ↑ Steiner, l. c. p. 4-5.
* ↑ Steiner enunciò che la Steineriana (da lui chiamata Kerncurve) ha $12(n-2)(n-3)$ cuspidi (G. di Grelle, t. 47, p. 4). Poi Clebsch, avendo trovato lo stesso numero di polari cuspidate, sospettò che i poli di queste fossero le cuspidi della Steineriana, e dimostrò questa proprietà pel caso di $n=4$ (Ueber Curven vierter Ordnung, Giornale Crelle-Borchardt, t. 59, Berlino 1861, p. 131).