# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.4

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/8.4&oldid=- 20220830100421 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/8.4&oldid=- 20220830100421
[p. 108
8.4 La distribuzione di Bernoulli
Consideriamo un evento casuale ripetibile E, avente probabilità costante p di verificarsi; indichiamo con $q=1-p$ la probabilità del non verificarsi di E (cioè la probabilità dell’evento complementare ${\bar {E}}$). Vogliamo ora determinare la probabilità $P(x;N)$ che in N prove ripetute E si verifichi esattamente x volte (deve necessariamente risultare $0\leq x\leq N$).
L’evento casuale costituito dal presentarsi di E per x volte (e quindi dal presentarsi di ${\bar {E}}$ per le restanti $N-x$) è un evento complesso che può verificarsi in diverse maniere, corrispondenti a tutte le diverse possibili sequenze di successi e fallimenti; queste sono ovviamente mutuamente esclusive, ed in numero pari a quello delle possibili combinazioni di N oggetti a x a x, che vale
$C_{x}^{N}={\binom {N}{x}}={\frac {N!}{x!\,(N-x)!}}$.
Essendo poi ognuna delle prove statisticamente indipendente dalle altre (infatti la probabilità di E non cambia di prova in prova), ognuna delle possibili sequenze di x successi ed $N-x$ fallimenti ha una probabilità di presentarsi che vale $p^{x}q^{N-x}$; in definitiva
Questa distribuzione di probabilità $P(x;N)$ per una variabile casuale discreta x si chiama distribuzione binomiale o di Bernoulli; vogliamo ora determinarne alcune costanti caratteristiche.
Verifichiamo per prima cosa che vale la condizione di normalizzazione: sfruttando la formula per lo sviluppo delle potenze del binomio, risulta
$\sum _{x=0}^{N}P(x;N)=\sum _{x=0}^{N}{\frac {N!}{x!\,(N-x)!}}\,p^{x}q^{N-x}={(p+q)}^{N}\;\equiv \;1$.
Vogliamo ora calcolare la speranza matematica della variabile x (ossia il numero di successi attesi, in media, in N prove): per questo useremo la stessa variabile casuale ausiliaria già considerata nel paragrafo 5.6.3, y, che rappresenta il numero di successi nella generica delle N prove eseguite.
Avevamo a suo tempo già calcolato, sempre nel paragrafo 5.6.3, la speranza matematica della y
$E(y)=1\cdot p+0\cdot q=p$;
e, osservando che anche $y^{2}$ può assumere i due soli valori 1 e 0, sempre con le probabilità rispettive p e q,
$E\left(y^{2}\right)=1\cdot p+0$
e quindi la varianza della y esiste e vale
Il numero totale x di successi nelle N prove è legato ai valori y_i della y in ognuna di esse dalla
$x=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$
e risulta quindi, per speranza matematica e varianza della distribuzione binomiale,
$E(x)=E\left(\,\sum _{i=1}^{N}y_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}E\left(y_{i}\right)=Np$
${\text{Var}}(x)={\sigma _{x}}^{2}={\text{Var}}\left(\sum _{i=1}^{N}y_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}{\text{Var}}\left(y_{i}\right)=Npq$.
$N=50$
Come è evidente dalla figura 8e, la forma della distribuzione binomiale è molto simile a quella di una curva di Gauss; si può in effetti dimostrare che [p. 111 quando N tende all’infinito la distribuzione di probabilità dei possibili valori tende ad una distribuzione normale avente la stessa media Np e la stessa varianza Npq. Infatti la funzione generatrice dei momenti della distribuzione di Bernoulli è
* $=E\left(e^{tx}\right)$
* $=\sum _{x=0}^{N}e^{tx}\,{\binom {N}{x}}\,p^{x}q^{N-x}$
* $=\sum _{x=0}^{N}{\binom {N}{x}}\!\left(pe^{t}\right)^{x}\!q^{N-x}$
* $=\left(pe^{t}+q\right)^{N}$
o anche, ricordando che $q=1-p$,
$M_{x}(t)=\left[1+p\left(e^{t}-1\right)\right]^{N}$
e se, per semplificare i calcoli, ci riferiamo alla variabile standardizzata
$z={\frac {x-E(x)}{\sigma _{x}}}={\frac {x-Np}{\sqrt {Npq}}}=ax+b$
ove si è posto
| $a={\frac {1}{\sqrt {Npq}}}$ | e | $b=-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}$ |
applicando la (6.16) si trova
| $M_{z}(t)$ | $=e^{tb}\,M_{x}(at)$ |
| | $=e^{-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}t}\left[1+p\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)\right]^{N}$ |
da cui, passando ai logaritmi naturali, [p. 112
* $=-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}\,t+N\,\ln \left[1+p\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)\right]$
* $=-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}\,t+N\left[p\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)-{\frac {p^{2}}{2}}\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)^{2}+\right.$
* $\qquad \left.+{\frac {p^{3}}{3}}\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)^{3}+\cdots \right]$
* $=-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}\,t+N\left\{p\left[{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {t^{2}}{Npq}}+{\frac {1}{6}}\,{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]-\right.$
* $\qquad -{\frac {p^{2}}{2}}\left[{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {t^{2}}{Npq}}+{\frac {1}{6}}\,{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]^{2}+$
* $\qquad \left.+{\frac {p^{3}}{3}}\left[{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {t^{2}}{Npq}}+{\frac {1}{6}}\,{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]^{3}+\cdots \right\$
* $=N\left\{p\left[{\frac {1}{2}}\,{\frac {t^{2}}{Npq}}+{\frac {1}{6}}\,{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]-\right.$
* $\qquad \left.-{\frac {p^{2}}{2}}\left[{\frac {t^{2}}{Npq}}+{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]+{\frac {p^{3}}{3}}\left[{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]\right\$
* $=N\left[{\frac {1}{2}}\,{\frac {t^{2}}{Npq}}\,p(1-p)+{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}\left({\frac {p}{6}}-{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}\right)+{\mathcal {O}}\left(t^{4}N^{-2}\right)\right]$
* $={\frac {1}{2}}t^{2}+{\mathcal {O}}\left(t^{3}N^{-{\frac {1}{2}}}\right)$
ove si è sviluppato in serie di McLaurin prima
$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+\cdots$
e poi
$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$
e si sono svolti i prodotti tenendo solo i termini dei primi ordini.
Chiaramente quando $N$ viene fatto tendere all'infinito tutti i termini eccetto il primo tendono a zero, per cui
$\lim _{N\to \infty }M_{z}(t)=e^{\frac {t^{2}}{2}}$
e $M_{z}(t)$ tende quindi alla funzione generatrice dei momenti di una distribuzione normale standardizzata; in conseguenza si è effettivamente provato, visto uno dei teoremi citati nel paragrafo 6.4, che la distribuzione binomiale tende ad una distribuzione normale.
In pratica, quando il numero di prove N è elevato e la probabilità p non è troppo vicina ai valori estremi 0 ed 1, la distribuzione binomiale è bene approssimata da una distribuzione normale; in generale si ritiene che l’approssimazione sia accettabile quando entrambi i prodotti Np e Nq hanno valore non inferiore a 5.