# La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce/Paragrafo 6

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La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce Antonio Garbasso 1893 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Garbasso - La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce, Torino 1893.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=La_teoria_di_Maxwell_dell%27elettricit%C3%A0_e_della_luce/Paragrafo_6&oldid=- 20200430230832 //it.wikisource.org/w/index.php?title=La_teoria_di_Maxwell_dell%27elettricit%C3%A0_e_della_luce/Paragrafo_6&oldid=- 20200430230832
§ 6.
Esiste per l’energia di un campo elettromagnetico un’equazione analoga a quelle che vanno sotto il nome di principio di Hamilton e principio della minima azione nella dinamica ordinaria: si può dimostrare cioè la relazione
$\delta \textstyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {W_{em}} \,dt=0,$
Per vedere questo si scriva:
| [1] | $x_{1}=\mathrm {A} \varepsilon {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}+{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}$ | $l_{1}=\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}+{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}}$ |
| [1] | $x_{2}=\mathrm {A} \varepsilon {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}$ | $l_{2}=\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}-{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}+{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}}$ |
| [1] | $x_{3}=\mathrm {A} \varepsilon {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}$ | $l_{3}=\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}+{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial x}}$ |
$x_{1}=x_{2}=x_{3}=l_{1}=l_{2}=l_{3}=0;$
$X.Y.Z.L.M.N$
Facciamo le variazioni di queste funzioni: moltiplichiamo la prima delle [1] per $\delta \,X$, la seconda per $\delta \,Y$...... la sesta per $\delta \,N$; sommiamo membro a membro, moltiplichiamo per $dt$ e integriamo fra $t_{0}$ e $t_{1}$ otterremo:
$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint \,dv\left[\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}\delta \,X+\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}\delta \,Y+\cdots +\mathrm {A} \,\mu {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}\delta \,N\right.$
$-{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}\delta \,X-{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}\delta \,Y-\quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad -{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}\delta \,N$
$\left.+{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}\delta \,X+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}\delta \,Y+\quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad +{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}\delta \,N\right]=0.$
Ora è evidente che si può scrivere:
$\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}\delta \,X=\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathrm {X} \,\delta \,X\right)-\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\delta \,X\right)$
${\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}\cdots {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}$
$\textstyle _{t_{0}}^{t_{1}}\left[\iiint \,dv(\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \,X+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \,Y+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {N} \,\delta \,N)\right]$
$-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint dv\left[\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \cdot {\frac {\partial X}{\partial t}}+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \cdot {\frac {\partial Y}{\partial t}}+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {N} \,\delta \cdot {\frac {\partial Z}{\partial t}}\right.$
$+{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}\delta \,X+{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}\delta \,Y+\quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad +{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}\delta \,N$
$\left.-{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}\delta \,X-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}\delta \,Y-\quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad -{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}\delta \,N\right]=0.$
Ora si osservi, in modo simile a quanto si è fatto più su, che:
${\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}\delta \,X=-\mathrm {M} \,\delta \cdot {\frac {\partial X}{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathrm {M} \,\delta \,X\right)$
$_{t_{0}}^{t_{1}}\textstyle [\iiint \,dv(\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \,X+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \,Y+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {N} \,\delta \,N)$
$-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint dv\left[\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \cdot {\frac {\partial X}{\partial t}}+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \cdot {\frac {\partial Y}{\partial t}}+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {N} \,\delta \cdot {\frac {\partial Z}{\partial t}}\right.$
$-\mathrm {M} \,\delta \cdot {\frac {\partial X}{\partial z}}-\mathrm {N} \,\delta \cdot {\frac {\partial Y}{\partial x}}-\cdots -\mathrm {Y} \,\delta \cdot {\frac {\partial N}{\partial x}}$
$+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathrm {M} \,\delta \,X\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mathrm {N} \,\delta \,Y\right)+\cdots +{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mathrm {Y} \,\delta \,N\right)$
$+\mathrm {N} \,\delta \cdot {\frac {\partial X}{\partial y}}+\mathrm {L} \,\delta \cdot {\frac {\partial Y}{\partial z}}+\cdots +\mathrm {X} \,\delta \cdot {\frac {\partial N}{\partial y}}$
$\left.-{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mathrm {N} \,\delta \,X\right)-{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathrm {L} \,\delta \,Y\right)-\cdots -{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mathrm {X} \,\delta \,N\right)\right]=0.$
Se si ammette che $X.Y...N$ siano nulle sulla superficie che racchiude il campo si possono cancellare i 12 termini dell’integrale che sono derivate parziali rispetto alle coordinate.
Ordinando ciò che resta rispetto ad $X.Y...N$ si trova:
$_{t_{0}}^{t_{1}}\textstyle [\iiint \,dv(\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \,X+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \,Y+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {Z} \,\delta \,Z)]$
$-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint dv\left[\mathrm {X} \,\delta \cdot \left(\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial X}{\partial t}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\right.$
$+\mathrm {Y} \,\delta \cdot \left(\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial Y}{\partial t}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}+{\frac {\partial L}{\partial z}}\right)$
$+\cdots \cdots$
$\left.+\mathrm {N} \,\delta \cdot \left(\mathrm {A} \,\mu {\frac {\partial L}{\partial t}}-{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial z}}\right)\right]=0.$
Le $X.Y...N$ sono ancora in nostro arbitrio, le assoggetteremo alle equazioni seguenti.
$\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial X}{\partial t}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}=-{\frac {\varepsilon }{4\pi }}\mathrm {X}$
$\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial Y}{\partial t}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}+{\frac {\partial L}{\partial z}}=-{\frac {\varepsilon }{4\pi }}\mathrm {X}$
$\cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot$
$\mathrm {A} \,\mu {\frac {\partial N}{\partial t}}-{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}=-{\frac {\mu }{4\pi }}\mathrm {Z} .$
Ciò posto l'equazione (*) diventa:
$_{t_{0}}^{t_{1}}\textstyle [\iiint \,dv(\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \,X+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \,Y+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {Z} \,\delta \,Z)]$
$+\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint dv\left[{\frac {\varepsilon }{8\pi }}\left(\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} \right)+{\frac {\mu }{8\pi }}\left(\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}} \right)\right]=0;$
$\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint dv\left[{\frac {\varepsilon }{8\pi }}\left(\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} \right)+{\frac {\mu }{8\pi }}\left(\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}} \right)\right]=0;$
vale a dire
$\delta \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {W_{\mathrm {em} }} \,dt=0,$
Questo teorema si deve al prof. Vito Volterra.