OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Le rime di M. Francesco Petrarca/Sonetto CCVIII

Le rime di M. Francesco Petrarca (Bortoli) Francesco Petrarca 1739 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Le rime di M. Francesco Petrarca I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Le_rime_di_M._Francesco_Petrarca/Sonetto_CCVIII&oldid=- 20120409013039 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Le_rime_di_M._Francesco_Petrarca/Sonetto_CCVIII&oldid=- 20120409013039
SONETTO CCVIII.
Soavemente sospirando move; Fa con sue viste leggiadrette, e nove 4L’anime da’ lor corpi pellegrine. Candida rosa nata in dure spine! Quando fia chi sua pari al mondo trove? Gloria di nostra etate! O vivo Giove, 8Manda prego il mio in prima che ’l suo fine; Sicch’io non veggia il gran pubblico danno, E ’l mondo remaner senza ’l suo Sole: 11Nè gli occhi miei, che luce altra non hanno; Nè l’alma, che pensar d’altro non vole; Nè l’orecchie, ch’udir altro non sanno 14Senza l’oneste sue dolci parole.
# Le rime di M. Francesco Petrarca/Sonetto CCXCI

Le rime di M. Francesco Petrarca (Bortoli) Francesco Petrarca 1739 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Le rime di M. Francesco Petrarca I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Le_rime_di_M._Francesco_Petrarca/Sonetto_CCXCI&oldid=- 20120409013815 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Le_rime_di_M._Francesco_Petrarca/Sonetto_CCXCI&oldid=- 20120409013815
SONETTO CCXCI.
Ch’è vento et ombra, et à nome beltate, Non fu già mai se non in questa etate 4Tutto in un corpo, et ciò fu per mie pene: Chè Natura non vòl, nè si convene, Per far ricco un, por li altri in povertate; Or vèrso in ogni sua largitate 8(perdonimi qual è bella, o si tene). Non fu simil bellezza anticha o nova, Nè sarà, credo; ma fu sì converta, 11Ch’a pena se n’accorse il mondo errante. Tosto disparve: onde ’l cangiar mi giova La poca vista a me dal cielo offerta 14Sol per piacer a le sue luci sante.
# Lidi beati, ove immortal si vede

Indice:Zappi, Maratti - Rime I.pdf Sonetti Letteratura Lidi beati, ove immortal si vede Intestazione 10 maggio 2022 100% Da definire
Lidi beati, ove immortal si vede Antonio Ottoboni Sonetti CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Zappi, Maratti - Rime I.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lidi_beati,_ove_immortal_si_vede&oldid=- 20220510171606 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lidi_beati,_ove_immortal_si_vede&oldid=- 20220510171606
III
Lidi beati, ove immortal si vede La maestà, la libertà Latina: Sponde felici, ove del Mar risiede Madre d’Eroi, la Veneta Reina. 5Voi ferme basi alla Romana Sede: Voi gran ripari all’Itala ruina: Argini al Trace voi, Rocche alla Fede, Cui vasta Terra, ed ampio Mar s’inchina. Scogli non foste mai per mio periglio, 10E sparser gli Avi miei sul vostro lembo Fregi d’onor col sangue e col consiglio. Siatemi porto or che più soffia il nembo: Debbonsi al patrio Suol l’ossa del Figlio: Io nacqui e vissi, e vuò morirvi in grembo.
# Licenza

Licenza è il titolo di molte poesie e capitoli in chiusura di opere di ampio respiro e si può riferire a
* Licenza in chiusura di Alchimia Spirituale di Luigi Novarini (1646)
* Diverse tragedie di Pietro Metastasio si chiudono con una Licenza:
** Demofoonte
** La clemenza di Tito
** Olimpiade
* Licenza da Il Misogallo di Vittorio Alfieri (1789-1798)
* Licenza in chiusura del 3º volume delle Tragedie di Vittorio Alfieri
* Licenza in chiusura di Juvenilia di Giosuè Carducci (1850)
# Lied 119. Bog deprimi was dustu da

Oswald von Wolkenstein Lied 119. Bog deprimi was dustu da Intestazione 19 marzo 2016 50% Da definire
Lied 119. Bog deprimi was dustu da Oswald von Wolkenstein CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lied_119._Bog_deprimi_was_dustu_da&oldid=- 20200402163908 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lied_119._Bog_deprimi_was_dustu_da&oldid=- 20200402163908
Lied 119.
Bog deprimi was dustu da
cū bonavnor
Dut mi sperancz
baß calt
qo po pēsar
flor
gramer si ci ty
sum preß
neg[u]m maluat
cū bon wan- an
sit tutel rot
# Licenza pubblica generica (GPL) del progetto GNU

Licenza pubblica generica del progetto GNU è un documento presente in più versioni:
* GPL versione 2 di Free Software Foundation (1991)
* GPL versione 3 di Free Software Foundation (2007)
# Lidia, il bianco monton ch'io ti donai

Indice:AA. VV. - Lirici marinisti.djvu Madrigali Letteratura XIX. Il montone vezzoso Intestazione 31 luglio 2022 100% Da definire
XIX. Il montone vezzoso Tommaso Stigliani Madrigali CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:AA. VV. - Lirici marinisti.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lidia,_il_bianco_monton_ch%27io_ti_donai&oldid=- 20220731185456 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lidia,_il_bianco_monton_ch%27io_ti_donai&oldid=- 20220731185456
XIX
IL MONTONE VEZZOSO
Lidia, il bianco monton ch’io ti donai, oh quanto per suoi vezzi merita che tu ’l prezzi! Ecco, per roder ora la ghirlanda di fronde, che la fronte gli onora sí ch’un occhio gli asconde, egli ha in tutto obliato di pascolar sul prato; e, perch’ella è tropp’alta, erge il grifo, e s’affanna, e par che tenti la stessa fronte sua giunger co’ denti.
# Lied 119. Bog deprimi was dustu da (grafia moderna)

Lied 119. Bog deprimi was dustu da (grafia moderna) Intestazione 12 aprile 2016 25% Da definire
Lied 119. Bog deprimi was dustu da (grafia moderna) Oswald von Wolkenstein CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lied_119._Bog_deprimi_was_dustu_da_(grafia_moderna)&oldid=- 20200402163908 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lied_119._Bog_deprimi_was_dustu_da_(grafia_moderna)&oldid=- 20200402163908
Lied 119. Bog deprimi was dustu da
cun bon amor
Dut mi speranza
bas y aut
co po pensé
flëur
granmercé a ti
sum prëis
degun melfat
cun bon bon ann
jit ju tl rot ﻿
# La vita sul pianeta Marte/Il pianeta Marte (1893)

../ ../La vita sul pianeta Marte IncludiIntestazione 20 luglio 2008 75% astronomia
La vita sul pianeta Marte Giovanni Virginio Schiaparelli 1893 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=La_vita_sul_pianeta_Marte/Il_pianeta_Marte_(1893)&oldid=- 20111207152802 //it.wikisource.org/w/index.php?title=La_vita_sul_pianeta_Marte/Il_pianeta_Marte_(1893)&oldid=- 20111207152802
Estratto dai fascicoli N.° 5 e 6 - Anno II° della rivista "Natura ed Arte" Febbraio 1893

## Indice

* Capitolo I
* Capitolo II
* Capitolo III
* Capitolo IV
# La vita sul pianeta Marte/La vita sul pianeta Marte

../Il pianeta Marte (1893) ../Il pianeta Marte (1909) IncludiIntestazione 20 luglio 2008 75% astronomia
La vita sul pianeta Marte Giovanni Virginio Schiaparelli 1893 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=La_vita_sul_pianeta_Marte/La_vita_sul_pianeta_Marte&oldid=- 20111207152808 //it.wikisource.org/w/index.php?title=La_vita_sul_pianeta_Marte/La_vita_sul_pianeta_Marte&oldid=- 20111207152808
Estratto dal fascicolo N.° 11 - Anno IV° della rivista "Natura ed Arte" Maggio 1895

## Indice

* Capitolo I
* Capitolo II
* Capitolo III
# Libro di sentenze/Santo Iobbe

../Santo Luca ../Santo Isidoro IncludiIntestazione 25 luglio 2023 75% Da definire
Libro di sentenze Anonimo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Libro di sentenze, a cura di Giuseppe Manuzzi, Firenze, Tipografia del Vocabolario, 1863.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Santo_Iobbe&oldid=- 20230725183329 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Santo_Iobbe&oldid=- 20230725183329
santo iobbe.
Orgoglio monta insino al cielo e tocca col capo le nuvole, alla fine gli conviene cadere e tornare a perdita e a niente.
Carità è d’amare Iddio e ’l suo prossimo.
L’amore è più forte che la morte.
La via, per la quale viene la chiarità, si è quella delle virtù.
Chi sarà umile, sarà in gloria.
Lo piccolo uomo è morto dalla ’nvidia.
Maggiormente debbi lasciare lo dolore, che da lui sia lasciato.
Chi puote, in questo secolo mutabile, avere cosa stabile?
Niente è all’uomo buono sanza sé buono.
# Libro di sentenze/Santo Isidoro

../Santo Iobbe ../Santo Iacopo Zebedeo Apostolo IncludiIntestazione 25 luglio 2023 75% Da definire
Libro di sentenze Anonimo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Libro di sentenze, a cura di Giuseppe Manuzzi, Firenze, Tipografia del Vocabolario, 1863.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Santo_Isidoro&oldid=- 20230725183349 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Santo_Isidoro&oldid=- 20230725183349
santo isidoro.
A’ vecchi si conviene menomare la fatica del corpo e crescere quella del cuore.
L'uomo vecchio debbo mettere intendimento a consigliare i giovani amici.
Sono vizii che portano somiglianza di virtù.
Li vecchi si debbono guardare di non abbandonarsi a pigrizia né a lussuria.
Se la tua opera non è casta, sia celata.
Ricorda l’altrui virtù e non le tue.
Sia lento a ira, e ratto a misericordia.
L'uomo non debba già tal cosa cominciare, nella quale non sia buono perseverare.
La tua oppinione sia altresì come sentenzia.
Sia piacevole a servire lo tuo possente amico.
Chi pensa nella passion di Cristo, volentieri sosterrà ogni pena per lo suo amore.
Molti veggono gli vizii altrui, ma non gli loro.
Segno è di nobile animo d’amare l’utilità della fama.
Lo Signore non ti costrigne d’amare più altrui che te.
Quando tu prieghi Domenedio, per nulla non ti variare da lui.
Sempre la paura e l'amore ti sottoponga a Dio.
La mala mente non ha mai allegrezza di pace.
La faccia più volte è specchio della mente.
Intendi maggiormente alla conscienzia, ch’alla fama.
# Libro di sentenze/Santo Luca

../Santo Girolamo Cardinale ../Santo Iobbe IncludiIntestazione 25 luglio 2023 75% Da definire
Libro di sentenze Anonimo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Libro di sentenze, a cura di Giuseppe Manuzzi, Firenze, Tipografia del Vocabolario, 1863.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Santo_Luca&oldid=- 20230725183243 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Santo_Luca&oldid=- 20230725183243
santo luca.
Assidetevi nella città, tanto che voi siate vestiti di virtù.
L’uomo forte guarda la sua casa, e le sue cose sono in pace.
L’uomo forte acquista lo regno di Dio.
Gli uomini potenti e superbi sono abbassati, e gli umìli sono fatti grandi.
Corona de’ vecchi è molto sapere, e la gloria di coloro è timore del Signore.
# Libro di sentenze/Santo Paolo

../Santo Ambrogio ../Santo Agostino vescovo IncludiIntestazione 25 luglio 2023 75% Da definire
Libro di sentenze Anonimo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Libro di sentenze, a cura di Giuseppe Manuzzi, Firenze, Tipografia del Vocabolario, 1863.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Santo_Paolo&oldid=- 20230725182926 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Santo_Paolo&oldid=- 20230725182926
santo paolo.
O tu, uomo, che giudichi, in quello che tu giudichi, condanni te medesimo, perciò che tu sai quello che giudichi.
Nel nome di Gesù ogni uomo si debba inginocchiare e fargli riverenza.
Tu insegni agli altri, e non insegni a te.
Questa è la gloria nostra: lo testimonio della conscienza nostra.
Non fare niente contra la verità, ma per la verità.
Chi fa le villane parole, egli è malvagio.
Le male parole corrompono gli buoni costumi.
Né una mala parola esca della tua bocca.
Buono uomo non debba ricordare laidura ne’ folli detti.
Le vostre parole siano tuttavolta condite del sale della grazia di Dio in tal maniera, che voi sappiate come vi converrà a ciascuno rispondere.
Chi fa noia, averà quello ch’ha fatto di male, et attendi da altrui quello che tu fai a lui.
Nelle tribolazioni si conoscono gli amici di Dio.
Sia presto a udire, e tardo a rispondere.
Chi semina in carne, miete in corruzione, e chi semina in spirito, miete in vita eterna.
Non vi lasciate vincere al male, ma vincete il male in bene.
Provate le cose, e tenete quello ch’è meglio.
# Libro di sentenze/Tavola

../Santo Iacopo Zebedeo Apostolo IncludiIntestazione 25 luglio 2023 75% Da definire
Libro di sentenze Anonimo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Libro di sentenze, a cura di Giuseppe Manuzzi, Firenze, Tipografia del Vocabolario, 1863.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Tavola&oldid=- 20230725183438 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Tavola&oldid=- 20230725183438
TAVOLA
BONTADIOSO. Lunga prosperità non fa l’uomo bontadioso. Pag. 6.
CADEVOLE. Tutte l’altre cose sono cadevoli, ma virtù è ficcata molto in entro. Pag. 11.
COMUNANZA. Gli malvagi si debbono cacciare fuora della comunanza, perchè non guastino gli altri. Pag. 12.
COSTUME. Costume si è uno cortese e piacevole e gentilesco portamento. Pag. 8.
FELICITA. Felicità si è un atto che procede da perfetta virtù dell’anima, e non del corpo. Pag. 3.
ORNATO. Sust. La temperanza è ornato di tutta la vita. Pag. 2.
OTTONE. Meglio vale turbo oro, che rilucente ottone. Pag. 60.
PROFITTABILE. Niuna cosa, ch’e corrotta da’ vizii, può essere profittabile. Pag. 11.
SBARRA. Lo cuor del savio è isbarra di virtù, altresì come di muro e di fortezza. Pag. 7.
SCHERNITORE. Chi biasima lo schernitore, fa noia a se medesimo; e chi biasima lo malvagio, acquista delle sue tacche. Pag. 15.
TACCA. Chi biasima lo schernitore, fa noia a se medesimo; e chi biasima lo malvagio, acquista delle sue tacche. Pag. 15.
# Libro di sentenze/Teofrasto filosofo

../Democrito filosofo ../Salustio filosofo IncludiIntestazione 25 luglio 2023 75% Da definire
Libro di sentenze Anonimo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Libro di sentenze, a cura di Giuseppe Manuzzi, Firenze, Tipografia del Vocabolario, 1863.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Teofrasto_filosofo&oldid=- 20230725172839 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Teofrasto_filosofo&oldid=- 20230725172839
teofrasto filosofo.
Mestieri fa d’amare gli amici provati, e gli non amati provare.
La vendetta del nimico hai perdata, se ti scuopri al nemico.
Lo nemico per sicurtà più grave s’inganna.
Le sentenzie degli amici sono cieche.
Corrompono gli buoni costami le scipidezze di male favellare.
In amistà né in fede non ricevera' l'uomo folle.
Non è di ragione quello che per paura non si priega, ma priegasi per cupidità.
Da schifare è la cupidità dell’avere, perché neuna cosa fa r animo più angoscioso, che amare ricchezze.
Guardati di non chinare l'orecchie a’ lusinghieri né agli viziatori, che ingannano leggiermente.
Ottima cosa è la mezzana nel vestire.
Nell'andare de’ l’uomo tenere ordinata regola, acciò che non si mostri fuori delle virtù.
Ne’ costumi la ventura non ha ragione.
Naturale vizio si è, che ciascuno disidera che gli altrui vizii siano ripresi, e non i suoi.
Lo principe che vuole sapere tutte le cose, mestieri è di perdonare a molti.
Il vantare è grande vizio, e non solamente ne cade l'uomo in disdegno, ma in odio e in disgrazia alle genti. [p. 26 Questa è la condizione de' superbi, che ciò che fanno pare che comandino.
Neono in guerra posto, paote essere assai ricco.
Nelle cose che sono da dare, lo savio pensa così gli luoghi come gli tempi.
Sopra tutte le cose cessa li damni della tua fama.
Lo senno è da porre innanzi alle parole.
# Libro di sentenze/Socrate filosofo

../Pitagora primo filosofo ../Aristotile filosofo IncludiIntestazione 14 luglio 2023 75% Da definire
Libro di sentenze Anonimo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Libro di sentenze, a cura di Giuseppe Manuzzi, Firenze, Tipografia del Vocabolario, 1863.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Socrate_filosofo&oldid=- 20230714191614 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Socrate_filosofo&oldid=- 20230714191614
socrate filosofo
Quello che tu hai, usalo in tal maniera, che non ti bisogni l’altrui.
Quello ch’è laido a fare, non credo che sia buono a dire.
L’affrettare e l’ira sono contrarie al buono consiglio.
A se medesimo niega lo servigio colui,^ ch’addimanda cosa, che è malagevole a donare.
La temperanza è ornato di tutta la vita, perciò che per essa gli turbamenti del mondo sono posti in pace.
Cominciamento d’amistà è il ben parlare.
Se farai bene, tu a te darai autorità di persona.
Niuna cosa è più malagevole, che coprire e indugiare l’allegrezza. [p. 3
Sotto la temperanza sono tutte le virtù.
Costume si è uno cortese e piacevole e gentilesco portamento.
La pazienzia è porto delle miserie.
Chiunche è amato per gli doni che ha fatto, riceve più che ha dato.
Acciò che più giovi, sia umile lo tuo castigamento.
Non sarai da credere, se tu loderai te medesimo.
Catune soperchio cose sodo grevemente acquistate.
Gli bugiardi fanno non credere coloro che parlano le vere cose.
Non credere alle loda di colui, a cui hai ben fatto.
La falsa fama, e lo falso romore tosto discorre.
Invano t’affatichi d’essere sicuro e ricco insieme.
Tutte le cose hanno tempo, e tutte le cose passano sotto lo cielo per gli suoi temporali.
Sanza grande cagione non permette la ragione naturale che sia abbandonato lo conforto della natura.
# Libro di sentenze/Stazio poeta di Tolosa

../Pamfilo ../Giesù Sirach IncludiIntestazione 25 luglio 2023 75% Da definire
Libro di sentenze Anonimo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Libro di sentenze, a cura di Giuseppe Manuzzi, Firenze, Tipografia del Vocabolario, 1863.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Stazio_poeta_di_Tolosa&oldid=- 20230725173902 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Libro_di_sentenze/Stazio_poeta_di_Tolosa&oldid=- 20230725173902
statio poeta di tolosa.
Niuna cura è così grave all’uomo, come la lunga speranza.
Coloro sono pessimi e maliziosi nemici, che sono nella fronte allegri, e nel cuor tristi.
Con coloro usa che ti faccian migliore, e coloro ricevi, cui tu puoi fare migliore.
Malagevole è a trovare la virtù, perché disidera guida e maestro; ma gli vizii sanza maestro s’apprendono.
L’uomo sanza lettera è morte e sepoltura d’uomo vivo.
Virtù è d’astenersi dalle cose che dilettano in mala parte.
La buona fama dà all’uomo una seconda vita, ché perch’egli muoia, non muore lo suo pregio.
Non essere biasimatore dell’altrui poco senno.
# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 14/Paragrafo 92

../Paragrafo 91 ../Paragrafo 93 IncludiIntestazione 2 gennaio 2023 75% Da definire
Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_14/Paragrafo_92&oldid=- 20230102193804 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_14/Paragrafo_92&oldid=- 20230102193804
§ 92. — Differenziali in tre variabili.
Il problema analogo per funzioni di tre variabili $x,y,z$ è quello di determinare una funzione $f(x,y,z)$, di cui sono prefissate le tre derivate prime $M=f'_{x},N=f'_{y},P=f'_{z}$, o in altre parole è prefissato il differenziale
$df=Mdx+Ndy+Pdz$
($M,N,P$ funzioni di $x,y,z$) Questo problema non è sempre risolubile; se supponiamo infatti che le derivate parziali del primo ordine delle $M,N,P$ esistano, siano finite e continue, esisteranno e saranno finite e continue le
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial M}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial x\partial z}}={\frac {\partial M}{\partial z}}$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$; ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial N}{\partial z}}$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial P}{\partial x}}$; ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}}={\frac {\partial P}{\partial y}}$.
Donde, per il teorema sull'invertibilità dell'ordine delle derivazioni, si trova che condizioni necessarie affinchè il nostro problema sia risolubile, o, come si suol dire, affinchè
$Mdx+Ndy+Pdz$
sia un differenziale esatto, sono le:
${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$; ${\frac {\partial M}{\partial z}}={\frac {\partial P}{\partial x}}$; ${\frac {\partial P}{\partial y}}$
[p. 306 Come nel problema precedente si dimostra che queste condizioni sono sufficienti almeno per il caso che il campo di variabilità per le $M,N,P$ sia un parallelepipedo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati, ed anche in casi assai più generali.
# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 86

../Paragrafo 85 ../Paragrafo 87 IncludiIntestazione 2 gennaio 2023 75% Da definire
Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_13/Paragrafo_86&oldid=- 20230102190828 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_13/Paragrafo_86&oldid=- 20230102190828
§ 86. — Formola di Taylor-Lagrange per le funzioni di due variabili.
Ricordiamo le formole di Taylor-Lagrange per le funzioni di una sola variabile
$\varphi (\alpha +h)=\varphi (\alpha )+h\varphi (\alpha +\theta h)=\varphi (\alpha )+h\varphi '(\alpha )+$
$+{\frac {h^{2}}{\lfloor {2}}}\varphi ''(\alpha +\theta h)$,
dove $0<\theta <1$, e $\theta$ può variare dal secondo al terzo membro. Vogliamo estendere queste formole al caso di na funzione $f(x,y)$ di due variabili. Consideriamo a tale oggetto la $f(a+ht,b+kt)$; la quale, se $a$ e $b$, $h$ e $k$ si considerano come costanti, è una funzione $\varphi (t)$ della sola $t$. Potremo quindi scrivere
$\varphi (t)=f(a+ht,b+kt)$. (1)
Posto successivamente $t=0$ e $t=1$, si trae
$\varphi (0)=f(a,b)$ $\varphi (1)=f(a+h,b+k)$. (1)$^{bis}$
Applicheremo alla $\varphi (t)$ la precedente formola di Taylor, la quale, posto $\alpha =0,h=1$, diventa:
$\varphi (1)=\varphi (0)+\varphi '(\theta )=\varphi (0)+\varphi '(0)+{\frac {1}{2}}\varphi ''(\theta )$. (2)
[p. 291 Vogliamo ora trasformare queste formole in altre, in cui compaiono esclusivamente la $f(x,y)$ e le sue derivate. A tal fine si osservi che le successive derivate della $\varphi (t)$ si calcolano coi metodi del § 83, $\delta$, pag. 278, dove è posto $x=a+ht,y=b+kt$. Ricordando poi che il porre $t=0$ equivale a porre $x=a,y=b$ e che il porre $t=\theta$ equivale a scrivere $a+h\theta$ e $b+k\theta$ al posto di $x,y$, si ottiene da (2) in virtù delle (1), (1)$^{bis}$:
$f(a+h,b+k)=f(a,b)+\left[h{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}+k{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y)}}\right]_{x=a+h\theta y=b+k\theta }=$
$=f(a,b(+[hf'_{x}(a,b)+kf'_{y}(a,b)]+$
$+{\frac {1}{2}}\left[h^{2}{\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}+2\,hk{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}+k^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right]_{x=a+h\theta \,y=b+k\theta }$
($0<\theta <1$) $\theta$ varia generalmente dal secondo al terzo membro.
La prima di queste uguaglianze è un'altra forma del teorema della media. Ma mentre la formola del § 81 è ottenuta passando dal punto $(x,y)$ al punto $(x+h,y+k)$ mediante una spezzata coi lati paralleli agli assi (e senza supporre la continuità delle $f'_{x},f'_{y}$), questa è ottenuta eseguendo tale passaggio con un segmento rettilineo (e supponendo $f'_{x},f'_{y}$ continue).
Utile esercizio sarà di generalizzare in modo analogo le precedenti formole sia a funzioni di più che due variabili, sia alla formola e alla serie di Taylor, quando non ci si fermi già ai termini contenenti derivate seconde.
# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 14

../Capitolo 13/Paragrafo 87 ../Capitolo 14/Paragrafo 88 IncludiIntestazione 2 gennaio 2023 75% Da definire
Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_14&oldid=- 20230102193952 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_14&oldid=- 20230102193952
CAPITOLO XIV.
PRIMA ESTENSIONE DEL CALCOLO INTEGRALE ALLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
* § 88. — Considerazioni preliminari
* § 89. — Derivazione sotto il segno d'integrale
* § 90. — Differenziali esatti in due variabili
* § 91. — Integrali curvilinei
* § 92. — Differenziali in tre variabili
* § 93. — Cenno di un problema analogo ai precedenti