# Alle origini di una teoria economica della politica/Capitolo1/Paragrafo1 4

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Alle origini di una teoria economica della politica: il teorema dell'elettore mediano a partire dai testi di Black e Downs Carlo Bottai 2009 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Alle_origini_di_una_teoria_economica_della_politica/Capitolo1/Paragrafo1_4&oldid=- 20110416214706 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Alle_origini_di_una_teoria_economica_della_politica/Capitolo1/Paragrafo1_4&oldid=- 20110416214706
A dieci anni di distanza dalla stesura del noto articolo del 1948, Black pubblica un volume, The Theory of Committees and Elections, considerato ancora oggi uno dei lavori fondamentali per tutta la Teoria delle scelte pubbliche e per il Teorema dell'elettore mediano in particolare.
Scopo del testo è quello di studiare la logica delle decisioni di comitato, cioè un gruppo di individui, detti elettori (voters), che giunge ad una decisione attraverso il voto. Ogni proposta che un comitato può adottare o respingere con un metodo di voto è detta mozione: le mozioni in esame devono vertere sullo stesso argomento e si escludono a vicenda.
The Theory of Committees and Elections si presenta come divisa in due parti che possono, a prima vista, sembrate due libri distinti, tanto sono differenti nello stile e nei contenuti: la prima schietta ed assiomatica, la seconda colorata e descrittiva. La prima, basata su una serie di articoli pubblicati da Black fra il 1948 e il 1949, tratta specificamente della costruzione di una scienza pura della politica e comprende i capitoli da I a XVII. Una seconda parte, nata dallo studio di Black dei testi di autori a lui precedenti, in particolare Condorcet e Dodgson, comprende i capitoli da XVIII a XX e tratta di una storia della teoria matematica dei comitati e delle elezioni analizzata nel precedente Paragrafo.
Come ricorda il premio Nobel per l'economia Ronald H. Coase, nella Premessa alla seconda edizione di The Theory of Committees and Elections (Black, 1998:x), la soluzione del problema del voto di comitato fu ricavata da Black a partire dalla teoria dell'impresa2 di Coase stesso. Continua il premio Nobel:
* «[...] Black thought of the firm as a coalition in which different people had different views on policy and in which therefore a decision about the policy had be made. This led directly to a theory of committees. To him, the firm was a committee. I was not unaware of Black's problem. I remember that in considering how much of the capital of the firm would be raised by bonds and how much by shares, I attempted to solve the problem by using collective indifference curves (a device commonly used at that time). I soon saw that if the risk preferences of people were not the same, collective indifference curves could not be employed. As a consequence, I abandoned the problem. Black, however, pushed ahead to solve it. In February, 1942, while in the civil service, he discovered 'the median voter theorem'. A little later he was dismayed, when constructing an arithmetical example, to come across the paradox of voting or intransitivities [...]. Later he come to realize that if the preferences were single-piked, such intransitivities would not occur.»
* (Black, 1998:x-xi)
Coase evidenzia, in questo breve passo, le due grandi intuizioni dello studioso scozzese, il Teorema dell'elettore mediano e l'intuizione del problema delle preferenze a più punte, o dell'intransitività delle preferenze, come risoluzione del Paradosso di Condorcet.
Il legame con il lavoro di Condorcet emerge nel capitolo IV, "A Committee using a Simple Majority: Single-peaked Preference Curves", dove il Metodo di Condorcet è introdotto come "Procedura γ" (Black, 1987:24). Black non rende però in alcun modo esplicito questo collegamento, complicando non poco l'interpretazione del testo.
Nei capitolo da I a VI, Black introduce gli elementi del Teorema dell'elettore mediano, definendo in particolare l'importante proprietà di unimodalità (single-peaked) delle preferenze degli elettori.
Black rappresenta graficamente l'ordine delle preferenze di un membro di un comitato riguardo ad n ipotetiche mozioni con un grafico del tipo di quello sopra riportato (Illustrazione 1.2). L'elettore è chiamato ad esprimere solamente un giudizio di valore relativo fra le proposte in campo, al contrario di quanto accade con il Metodo di Borda. Ciò sta a significare solo e soltanto che ragionevolmente egli voterà per la mozione a$_2$ se messa ai voti contro a$_2$, mentre si asterrà in caso di voto fra a$_3$ ed a$_4$: sia le altezze assolute che i segmenti del grafico sono semplici artifici simbolici.
Una curva che cambia direzione al massimo una volta, divenendo da crescente decrescente, viene detta ad una punta (single-peaked). In taluni casi è possibile ordinare le mozioni in modo che tutti gli insiemi di preferenze siano ad una punta, mentre in altri casi ciò risulta impossibile. Nel caso in cui le preferenze di un elettore siano ad una punta, viene detto ottimo il punto che questi preferisce a tutti gli altri. Graficamente il punto di ottimo è rappresentato da un picco nella curva delle preferenze dell'elettore (mozione a$_2$ dell'Illustrazione 1.2).
Black enuncia dunque il Teorema dell'elettore mediano:
* «In un comitato di n membri, le cui curve sono tutte ad una sola punta, ed n è dispari, la quantità $O_{1/2(n+1)}$ riesce ad ottenere almeno una maggioranza semplice contro ogni altra quantità proposta, ed è l'unico valore che ne è capace.»
Black definisce le mozioni del tipo di $O_{1/2(n+1)}=O_{Me}$ come mozioni maggioritarie. Dimostra, infatti, che se $O_{1/2(n+1)}$ è posto contro ogni altro valore $a_{h}1/2$. In particolare, quando n è dispari ed uguale a 2N+1, il campo di variazione della maggioranza richiesta sarà pari a $1\geq M/n>(n+1)/2n$. Quando n è pari sarà, invece, $1\geq M/n>(1/2n+1)/n$. Black prosegue formalizzando alcune proposizioni che gli saranno utili alla successiva enunciazione del Teorema.

## Lemma 1

quando il punto h è messo ai voti contro k (con h < k) allora tutti in membri con un punto di ottimo al di sotto di h voteranno per h, mentre tutti coloro che hanno un punto di ottimo al di sopra di k voteranno per k; coloro che hanno un punto di ottimo fra i due punti voteranno, invece, per quello che è posizionato più in alto nella loro scala di preferenze.

## Lemma 2

nessun punto di ottimo, ad eccezione di $O_{Me}$, può ottenere una maggioranza semplice contro ogni altra proposta.

## Lemma 3

con $hO_{Me}$, il contrario.

## Lemma 4

se $h\leq O_{n-M+1}$ allora h è in grado di sconfiggere ogni altra proposta al di sotto di tale punto con una maggioranza di almeno M/n. Se $h\geq O_{M}$ allora h è in grado di sconfiggere ogni proposta giacente al di sopra di tale punto con una maggioranza di almeno M/n.

## Lemma 5

non può esistere alcun valore che sia in grado di sconfiggere un punto giacente all'interno o sugli estremi del campo $[O_{n-M+1};O_{M}]$ con una maggioranza tanto elevata quanto M/n.

## Teorema

poiché per sconfiggere h è richiesta una maggioranza pari ad M/n ne segue che:
* se $O_{n-M+1}\leq h\leq O_{M}$ non esiste alcun valore che sia in grado di sconfiggere h;
* se $hO_{M}^{+}$ i punti del segmento $O_{n-M+1}O_{M}$ non possono essere sconfitti da nessuna maggioranza di M/n da nessun altro punto;
* se $h>O_{M}$ possono essere tratte simili conclusioni alle precedenti.
In Economia si dice che due beni sono complementari quando il valore che un individuo assegna ad uno di questi dipende dalla quantità di un altro bene che egli si aspetta di possedere. Allo stesso modo, nella teoria dei comitati, se la classificazione delle mozioni di un membro su un argomento dipende da come egli si aspetta che sarà la sua scala di valori su un altro argomento, le mozioni sono dette essere complementari in relazione a queste valutazioni. Non c'è dubbio che, in politica come in economia, la valutazione complementare è la regola e la valutazione indipendente l'eccezione. Quando ci sono due mozioni (a , b) è possibile rappresentare le valutazioni dei membri di un comitato in uno spazio tridimensionale, mentre con più di due mozioni la rappresentazione grafica diviene impossibile.
In uno spazio tridimensionale il punto di ottimo di un elettore sarà rappresentato dalla punta di una gobba che, se tagliata con un piano orizzontale, diventa un contorno: i punti che giacciono all'interno di questa sagoma, saranno preferiti ai punti sul contorno, e questi a loro volta ai punti esterni. Se, procedendo in questo modo, tagliamo la gobba con infiniti piani paralleli otteniamo contorni concentrici: i punti interni ad un contorno più stretto saranno preferiti a quelli interni solo ad un contorno più largo. Se scegliamo un certo valore della mozione b, il punto di massima preferenza dell'elettore rispetto alla mozione a sarà dato dal punto di tangenza fra il contorno più stretto possibile e una retta perpendicolare alla retta dei b passante per, diciamo, b$_h$. Possiamo operare allo stesso modo scegliendo un certo valore di a. Procedendo così avremo due curve dette rispettivamente degli ottimi-a (se fissiamo i punti di b) e degli ottimi-b (se fissiamo i punti di a).
Se immaginiamo una commissione di tre membri che voti a maggioranza rispetto a due argomenti complementari, allora, fissato b=b$_0$, verrà scelto fra i punti di a preferiti dai tre elettori quello mediano fra i tre. Potremo così costruire una curva "centrale" (midmost) di ottimo-b ed una curva dello stesso tipo per a. Avremo allora che il Teorema dell'elettore mediano può essere esteso al caso multidimensionale solo se esiste un "punto di ottimo in tutte le direzioni" (Mueller, 2003:87-93). Il tracciato più scuro dell'Illustrazione 1.3 rappresenta, quindi, la decisione ottima per una commissione di tre membri: esso rappresenta cioè il luogo dei punti di ottimo in tutte le direzioni del piano ab. Una curva così definita è pertanto composta da tutti i punti tali che, per un dato a$_0$, il punto mediano rispetto a b giace su di essa ed allo stesso tempo, per un dato b$_0$, il punto mediano rispetto ad a giace sempre sulla curva medesima: uno qualunque di questi punti non può essere sconfitto da nessun altro se la commissione decide a maggioranza.

#### Note

* ↑ Le illustrazioni di questo Paragrafo sono tratte dall'originale (Black, 1987).
* ↑ «When there are n members in a committee, all of whose curves are single-peaked, and n is odd, the value $O_{1/2(n+1)}$ can get at least a simple majority against every other, and it is the only value which can do so. When n is even, if the chairman's optimum is at $O_{1/2n}$ or lower, the value $O_{1/2n}$ can get a simple majority against every other, and it is the only value which can do so; or if the chairman's optimum is at $O_{1/2n+1}$ or higher, the value $O_{1/2n+1}$ can get a simple majority against every other.» (Black, 1987:16)
* ↑ Nella teoria economica del consumatore, si intende per completezza un ordinamento delle preferenze che consenta al consumatore di classificare tutte le possibili combinazioni di beni e servizi (Frank, 2007:64).
* ↑ Nella teoria economica del consumatore, si intende per transitività la proprietà per la quale un consumatore che, in presenza di tre panieri A, B, C, preferisce A a B, e B a C, allora preferirà sempre A a C (Frank, 2007:65).
* ↑ Il sistema uninominale a un turno con maggioranza relativa (plurality), consiste nel dichiarare vincitrice la mozione che è capace di collezionare un numero di preferenze superiore a tutte le altre.