# Opere matematiche di Luigi Cremona/Solution de la question 465

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Opere matematiche Luigi Cremona 1914 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Opere matematiche (Cremona) I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Solution_de_la_question_465&oldid=- 20200630105641 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Solution_de_la_question_465&oldid=- 20200630105641
[p. 114
15.
SOLUTION DE LA QUESTION 465.
Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.$^{re}$ série, tome XIX (1860), pp. 151-153.
Soient a$_0$, a$_1$, ..., a$_{n—1}$, n quantités quelconques; α une racine primitive de l’équation binôme
et
en supposant α$_r$ = α$^r$.
Multiplions entre eux les deux déterminants
$\mathrm {D} ={\begin{vmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{0}\\a_{2}&a_{3}&a_{4}&\cdots &a_{1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n-1}&a_{0}&a_{1}&\cdots &a_{n-2}\end{vmatrix}}$
$\Delta ={\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n-1}\\1&\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\cdots &\alpha _{n-1}^{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\alpha _{1}^{n-1}&\alpha _{2}^{n-1}&\cdots &\alpha _{n-1}^{n-1}\end{vmatrix}}.$
En exécutant la multiplication par lignes, les colonnes du déterminant produit [p. 115 deviennent divisibles respectivement par θ$_1$, θ$_2$, ..., θ$_n$ , et l’on a
$\mathrm {D} \Delta =\theta _{1}\theta _{2}...\theta _{n}{\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha _{n-1}&\alpha _{n-1}^{2}&\cdots &\alpha _{n-1}^{n-1}\\1&\alpha _{n-2}&\alpha _{n-2}^{2}&\cdots &\alpha _{n-2}^{n-1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{1}^{n-1}\end{vmatrix}}.$
Or le determinant du second membre est évidemment égal a $(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\Delta$; donc
$\mathrm {D} =(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\theta _{1}\theta _{2}...\theta _{n}.$
Le théorème, mentionné par M. Michael Roberts (Nouvelles Annales, cahier de mars 1859, p. 87), est de M. Spottiswoode (Journal de Crelle, t. LI); la démonstration ci-dessus m’a été communiquée par M. Brioschi, et je l’ai publiée comme lemme dans une petite Note Intorno ad un teorema di Abel (Annali di Tortolini, 1856).
En supposant
il s’ensuit
$\theta _{r}={\frac {nd}{\alpha _{r}-1}}$
et
${\frac {n(n-1)}{2}}$
donc
et, par conséquent,
$\mathrm {D} ={\begin{vmatrix}a&a+d&\cdots &a+(n-1)d\\a+d&a+2d&\cdots &a\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a+(n-1)d&a&\cdots &a+(n-2)d\end{vmatrix}}$ $=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(nd)^{n-1}\left[a+{\frac {(n-1)d}{2}}\right],$
ce qui est bien la question 465.
* ↑ [p. 493 Le questioni a cui si riferiscono le Memorie 14, 15, 16, 17 sono enunciate come segue, nei Nouv. Annales, tomi XVIII p. 117, XVIII p. 444, e XIX p. 43: 464. Démontrer que l’équation de la sphère circonscrite à un tétraèdre est $\sum {\frac {\alpha \beta \sin(\gamma ,\delta )\sin(\alpha \gamma ,\beta \delta )\sin(\alpha \delta ,\beta \delta )}{\sin(\alpha ,\beta )}}=0,$ α, β, γ, δ, sont les premiers membres des équations des faces mises sous la forme x cos α + y cos α’ + z cos α’’ — p = 0, (γ, δ) représente l’angle que fait la face γ avec la face δ, (αγ, βγ) l’angle que fait l’intersection des faces α et γ avec l’intersection des faces β et γ. (Prouhet). 465. ${\begin{vmatrix}\alpha &\alpha +\delta &\cdots &\alpha +(n-2)\delta &\alpha +(n-1)\delta \\\alpha +\delta &\alpha +2\delta &\cdots &\alpha +(n-1)\delta &\alpha \\\alpha +2\delta &\alpha +3\delta &\cdots &\alpha &\alpha +\delta \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha +(n-1)\delta &\alpha &\cdots &\alpha +(n-3)\delta &\alpha +(n-2)\delta \end{vmatrix}}$ $=\pm {\frac {(n\delta )^{n-1}[2\alpha +(n-1)\delta ]}{2}}.$ Si l’on fait α = δ = 1 on retombe sur la question 432 (tome XVII p. 185). 494. Soient ABC, abc deux triangles dans le même plan; q est un point variable, tel que les droites qa, qb, qc coupent respectivement les côtés BC, AC, AB en trois points qui sont en ligne droite: le lieu du point q est une ligne du troisième ordre. 498. On donne: 1.º une droite fixe; 2.º un point B sur cette droite; 3.º un point fixe A. Trouver une courbe telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point A une parallèle a cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments, comptés du point B, tels que la somme des carrés de ces segments soit égale a un carré donné k$^2$. Mêmes données, mais prenant la différence des carrés, ou bien le produit des segments, ou bien la somme des inverses des segments égale à une constante donnée. [p. 494 499. Soient: 1.º A, B, C, D quatre droites dans un même plan, et m, o, l, s quatre points fixes dans ce plan; par m menons une droite quelconque coupant C et D aux points c et d, par c et o menons la droite co coupant A et B aux points a et b, par a et l menons la droite al et par c et s la droite cs; l’intersection p des droites al et cs decrit une ligne du troisième ordre. 2.º Soit un quadrilatère plan variable ABCD; o, p, q, r quatre points fixes; o sur AB, p sur BC, q sur CD, r sur DA. Les sommets opposés A et C sont sur deux droites fixes données dans le plan du quadrilatère; les sommets opposés B, D décrivent des lignes du troisième ordre.
* ↑ [p. 494 Qui si è corretto l’esponente di (— 1), che nell’originale era ${\frac {n(n-1)}{2}}$. Così poi, alla fine, stava per esponente${\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$, mentre dev’essere ${\frac {n(n-1)}{2}}$. Cfr. la nota.