# Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici/Il parallelismo di Clifford e la teoria delle curve

../Prime formule ../Delle superficie di scorrimento IncludiIntestazione 27 marzo 2020 75% Da definire
Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici Guido Fubini 1900 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Il_parallelismo_di_Clifford_negli_spazii_ellittici/Il_parallelismo_di_Clifford_e_la_teoria_delle_curve&oldid=- 20200327210351 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Il_parallelismo_di_Clifford_negli_spazii_ellittici/Il_parallelismo_di_Clifford_e_la_teoria_delle_curve&oldid=- 20200327210351
Il parallelismo di Clifford e la teoria delle curve.
§. 7. Il prof. Bianchi (loc. cit.) dimostrò le seguenti formule che sono la generalizzazione delle formule di Frenet per le curve di uno spazio piano:
${\frac {dx_{i}}{d\sigma }}=\xi _{i},\,{\frac {d\xi _{i}}{d\sigma }}={\frac {\eta _{i}}{\rho }}-x_{i},\,{\frac {d\eta _{i}}{d\sigma }}=-{\frac {\xi _{i}}{\rho }}-{\frac {\zeta _{i}}{\tau }},\,{\frac {d\zeta _{i}}{d\sigma }}={\frac {\eta _{i}}{\tau }}$
dove $\sigma ,\,{\frac {1}{\rho }},\,{\frac {1}{\tau }}$ rappresentano rispettivamente l’arco, la prima e la seconda curvatura nel punto $(x_{i})$ generico di una curva, e dove con $(\xi _{i})$, $(\eta _{i})$, $(\zeta _{i})$ si indicano rispettivamente i coseni di direzione della tangente, della normale principale e della binormale alla curva nel punto $(x_{i})$.
Nei calcoli che seguono, come anche in tutto il resto del lavoro, noi, partendo da quanto s’è visto al §. 3, faremo i calcoli con una sola terna di parametri di scorrimento. Tiriamo dal punto $(1,0,0,0)$ le parallele alle tangenti fino a incontrare il piano polare; l’arco della così ottenuta indicatrice delle tangenti è dato da
$ds^{2}=\sum \{d[x,\xi ]_{i}\}^{2}=\sum {[dx,\xi ]_{i}}^{2}+\sum {[x,d\xi ]_{i}}^{2}+2\sum [dx,\xi ]_{i}[x,d\xi ]_{i}.$
Sostituiamo in queste formule ai differenziali $dx,\,d\xi$ i valori dati dalle succitate formule del prof. Bianchi; e sviluppiamo, ricordando le identità (8) del §. 3. Otterremo
$ds^{2}={\frac {d\sigma ^{2}}{\rho ^{2}}}$
[p. 20
che vale anche per le parallele nell’altro senso, perchè (§. 3) mancano termini col doppio segno; ciò che si spiega osservando che tangenti consecutive sono complanari e ricordando il teor. del §. 6. Dunque:
“Il rapporto di uno qualunque degli angoli formati da due tangenti consecutive all’arco compreso tra i punti di contatto è uguale alla curvatura della curva nel punto corrispondente.
Consideriamo ora invece una retta generica normale nel punto $(x_{i})$ alla curva e ne siano $(\eta _{i}\cos \varphi +\zeta _{i}\operatorname {sen} \varphi )$ i coseni di direzione, dove $\varphi$ è costante; l’immagine di Clifford della rigata formata da esse, ha l’arco $s$ definito dalla: $ds^{2}=\Sigma \{d{[\eta \cos \varphi +\zeta \operatorname {sen} \varphi ,x]_{i}}^{2}\}$, cioè, differenziando e ricordando le formule del prof. Bianchi dalla:
$ds^{2}=d\sigma ^{2}\sum \left[\operatorname {sen} \varphi \left\{\left[{\frac {\eta }{\tau }},x\right]_{i}+[\zeta \xi ]_{i}\right\}+\cos \varphi \left\{[\eta _{i}\xi ]_{i}+\left[-{\frac {\xi }{\rho }}-{\frac {\zeta }{\tau }},x\right]_{i}\right\}\right]^{2}$
$=\left\{{\frac {\cos ^{2}\varphi }{\rho ^{2}}}+\left({\frac {1}{\tau }}\pm 1\right)^{2}\right\}d\sigma ^{2}.$
Dove, per le più volte citate identità e considerazioni del §. 3, il doppio segno si deve al doppio senso del parallelismo.
Per $\varphi ={\frac {\pi }{2}}$ si ha $ds^{2}=\left({\frac {1}{\tau }}\pm 1\right)^{2}d\sigma ^{2}$; noi porremo
${\frac {1}{T}}={\frac {1}{\tau }}+1$, ${\frac {1}{T'}}={\frac {1}{\tau }}-1$
ritenendo però che spesso indicheremo con ${\frac {1}{T}}$ tutte e due queste espressioni, e chiameremo ${\frac {1}{T}}$ e ${\frac {1}{T'}}$ le due torsioni di Clifford di una curva in un punto. Abbiamo allora:
“Il rapporto dell’angolo di due binormali consecutive misurato in un senso determinato all’arco compreso tra i loro piedi è uguale alla torsione di Clifford corrispondente„. Donde si ha, sotto una forma lievemente differente, un teorema del prof. Bianchi (loc. cit.) che qui risulta dedotto in maniera diretta: [p. 21
“Condizione necessaria e sufficiente affinchè le binormali a una curva siano parallele in un verso, è che la corrispondente torsione di Clifford sia nulla.
Affinchè la retta uscente dal punto $(x_{i})$ d’una curva e con coseni di direzione $(a\xi _{i}+b\eta _{i}+c\zeta _{i})$ con $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ (dove $a,b,c$ sono costanti, generi al variare del punto $x_{i}$ una rigata di Clifford, deve essere uguale a zero l’arco di una delle sue immagini di Clifford; cioè
$\sum \left\{ad[x,\xi ]+bd[x,\eta ]+cd[x,\zeta ]\right\}^{2}=0$
e coi soliti procedimenti
| α) | $......\left({\frac {a}{\rho }}+{\frac {c}{T}}\right)^{2}+b^{2}\left({\frac {1}{\rho ^{2}}}+{\frac {1}{T^{2}}}\right)=0$ cioè ${\frac {\rho }{T}}=cost.;\,b=0$ |
dove ${\frac {1}{T}}$ indica la corrispondente torsione di Clifford. La curva è quindi un’elica; ma qui si aggiunge un’interpretazione nuova della condizione ${\frac {\rho }{T}}=cost.$, dicendo che deve essere costante il rapporto della prima curvatura a una torsione di Clifford.
Se noi esprimessimo invece che la nostra rigata è a curvatura nulla si troverebbero le
$b=0;\left({\frac {a}{\rho }}+{\frac {c}{\tau }}-c\right)\left({\frac {a}{\rho }}+{\frac {c}{\tau }}+c\right)=0$
che non coincidono con la (α) che per elementi reali. Se ne deduce l’esistenza di “rigate singolari immaginarie generabili come le rigate di Clifford da rette invariabilmente unite al triedro principale di una curva, che non sono a curvatura nulla sebbene abbiano nulla una delle indicatrici di Clifford; le loro generatrici sono perciò tangenti all’assoluto„.
Aggiungerò di volo che invece tutte e sole le curve per cui ${\frac {\rho }{\tau }}=cost.$ sono tali che esiste una retta invariabilmente unita al triedro principale generante una sviluppabile. [p. 22
Basta infatti esprimere (§. 6) che le immagini di Clifford della rigata generata da questa retta si corrispondono con uguaglianza di lunghezza d’arco per trovare, con le notazioni precedenti
${\frac {b^{2}+c^{2}}{\tau }}+{\frac {ac}{\rho }}=0.$
§.8. Queste considerazioni preliminari ci suggeriscono immediatamente un’idea, che ci servirà a stabilire una nuova forma assai notevole, a mio parere, delle formule del prof. Bianchi già citate. A queste formule il prof. Bianchi giunse esaminando i coseni di direzione della tangente, della normale principale, della binormale. Noi esamineremo invece i parametri di scorrimento delle stesse, che indicheremo rispettivamente con
$(\alpha ,\beta ,\gamma ;\alpha ',\beta ',\gamma ');\,(\xi ,\eta ,\zeta ;\xi ',\eta ',\zeta ');\,(\lambda ,\mu ,\nu ;\lambda ',\mu ',\nu ').$
Per quanto s’è visto è
| 13) | $\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=.....=1\\\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \zeta =\alpha '\xi '+\beta '\eta '+\gamma '\zeta '=\xi \lambda +\eta \mu +\zeta \nu =.....=0\\d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}+d\gamma ^{2}={\frac {d\sigma ^{2}}{\rho ^{2}}}=d\alpha '^{2}+d\beta '^{2}+d\gamma '^{2}\\d\lambda ^{2}+d\mu ^{2}+d\nu ^{2}=d\sigma ^{2}{\frac {1}{T^{2}}}\\d\lambda '^{2}+d\mu '^{2}+d\nu '^{2}={\frac {1}{T'^{2}}}d\sigma ^{2};\,\lambda d\alpha +\mu d\beta +\nu d\gamma =\lambda 'd\alpha '+.....=0.\end{array}}\right.$ |
Queste formule basterebbero col procedimento identico a quello che si segue per le formule di Frenet nello spazio piano a dare le seguenti formule:
| 14) | $\left\lbrace {\begin{array}{l}{\frac {d\alpha }{d\sigma }}={\frac {\xi }{\rho }};\,{\frac {d\xi }{d\sigma }}=-{\frac {\alpha }{\rho }}-{\frac {\lambda }{T}};\,{\frac {d\lambda }{d\sigma }}={\frac {\xi }{T}}\\{\frac {d\alpha '}{d\sigma }}={\frac {\xi '}{\rho }};\,{\frac {d\xi '}{d\sigma }}=-{\frac {\alpha '}{\rho }}-{\frac {\lambda '}{T'}};\,{\frac {d\lambda '}{d\sigma }}={\frac {\xi '}{T'}}\end{array}}\right.$ |
[p. 23
e le analoghe per $\beta ,\gamma ,\beta ',\gamma ',\eta ,\zeta$ ecc. Però vi sarebbe l’ambiguità di segno nei secondi membri delle (14) proveniente dal fatto che nelle (13) comparisce solo ${\frac {1}{\rho ^{2}}},\,{\frac {1}{T^{2}}}$ e noi estraendo le radici quadrate saremmo incerti se dovessimo tenere ${\frac {1}{\rho }},\,{\frac {1}{T}}$ oppure $-{\frac {1}{\rho }},\,-{\frac {1}{T}}$ Ma le formule (14) si verificano facilmente partendo dalle formule del prof. Bianchi. Quanto alle
${\frac {d\alpha }{d\sigma }}={\frac {\xi }{\rho }};\,{\frac {d\alpha '}{d\sigma }}={\frac {\xi '}{\rho }}$
basta ricordare i valori effettivi dei nostri parametri e la loro dimostrazione riesce immediata; osserviamo ora p. es. la
| γ) | ${\frac {d\xi }{d\sigma }}=-{\frac {\alpha }{\rho }}-{\frac {\lambda }{T}}.$ |
Ricordiamo che
$\xi =\eta _{1}x_{2}-\eta _{2}x_{1}+\eta _{3}x_{4}-\eta _{4}x_{3}.$
Per le formule del prof. Bianchi si deduce, ricordando che $\alpha =[x\xi ]_{1}$ e che $\lambda =[x\zeta ]_{1}$,
${\frac {d\xi }{d\sigma }}=-{\frac {\alpha }{\rho }}-{\frac {\lambda }{\tau }}+\eta _{1}\xi _{2}-\eta _{2}\xi _{1}+\eta _{3}\xi _{4}-\eta _{4}\xi _{3}$
Ora $\eta _{1}\xi _{2}-\eta _{2}\xi _{1}+\eta _{3}\xi _{4}-\eta _{4}\xi _{3}$ non è altro che un parametro di scorrimento della retta polare della binormale; e quindi per un teorema già dimostrato (§. 2) è uguale a $\pm \lambda$ a seconda del senso del parallelismo; e la (γ) è dimostrata. In modo analogo si dimostrerebbero le altre formule (14).
Dalle (14), che così singolarmente si avvicinano alle formule di Frenet per lo spazio piano, deduciamo alcuni risultati, a mio credere, degni di nota. [p. 24
Poichè l’integrazione di ciascuno dei due gruppi (14) di formule, si riduce a un’equazione di Riccati, otteniamo:
“La effettiva costruzione di una curva di cui siano nate la curvatura e la torsione in funzione dell’arco si riduce all’integrazione di due equazioni di Riccati„.
Così se due curve si corrispondono punto a punto con parallelismo in un verso del triedro principale e per cui siano $(\rho ,T,\sigma )$ e $(\rho _{1},T_{1},\sigma _{1})$ la prima curvatura, la torsione di Clifford corrispondente e l’arco in punti corrispondenti, si ha
${\frac {\rho }{\rho _{1}}}={\frac {T}{T_{1}}}={\frac {d\sigma }{d\sigma _{1}}};$
ciò che permette (come già osservò il prof. Bianchi per lo spazio piano) di ridurre la costruzione di una curva di cui siano date le equazioni intrinseche a quella di una curva per cui sia $\rho =cost.$ oppure $T=cost.$
L’analogia delle (14) con le formule di Frenet dà immediatamente alcuni teoremi, per la cui dimostrazione basta ripetere parola per parola quanto si fa per dimostrare gli analoghi nello spazio piano. Così p. es.
Se due curve hanno parallele le normali principali in punti corrispondenti, è costante l’angolo di tangenti corrispondenti e le curvature dell’una sono funzioni lineari di quelle dell’altra (ciò che può servire per lo studio delle curve di Bertrand nello spazio curvo).
Così si può dedurre in altro modo da quanto si è fatto sopra tutta la teoria delle eliche, ecc. ecc. Quanto m’importa d’osservare, è che spesso i calcoli riescono più semplici nello spazio curvo, che nello spazio piano. Se noi p. es. volessimo trovare le evolute di una curva, basterebbe che noi cercassimo quando la rigata generata da una normale alla curva con coseni di direzione $(\xi _{i}\cos \varphi +\lambda _{i}\operatorname {sen} \varphi$ dove $\varphi$ è funzione di $\sigma$) genera una sviluppabile, cioè quando le due immagini di Clifford della rigata si corrispondono con uguaglianza d’arco “$s$„. Ora è
$ds^{2}=\sum {[d\xi \cos \varphi +d\lambda \operatorname {sen} \varphi -\xi \operatorname {sen} \varphi d\varphi +\lambda \cos \varphi d\varphi ,x]_{i}}^{2}.$
[p. 25
Partendo dalle solite osservazioni del §. 3, usando delle (14) e ricordando che ${\frac {1}{T}}$ ammette due determinazioni, si vede che basta annullare i termini con doppio segno della precedente espressione per trovare la condizione voluta; e calcolando si ottiene così: $\varphi =\int {\frac {d\sigma }{\tau }}.$
Il risultato più notevole e di cui vedremo in seguito alcune applicazioni è dato dalla seguente proposizione:
A ogni curva $C$ dello spazio ellittico corrispondono due curve $C'$, $C''$ dello spazio piano che corrispondono alla $C$ (e quindi anche tra di loro) punto per punto con uguaglianza d’arco e di prima curvatura, e le cui torsioni in punti corrispondenti differiscono di una costante. Viceversa, due curve $C'$, $C''$ dello spazio piano che si corrispondono punto a punto con uguaglianza d’arco e di prima curvatura, mentre le loro torsioni in punti corrispondenti differiscono di una costante $\pm 2$, danno senza quadrature una curva $C$ di uno spazio ellittico a curvatura $+1$ che loro corrisponde punto a punto con uguaglianza di arco e di prima curvatura e che ha per torsioni di Clifford in un punto le torsioni di $C'$ e di $C''$ nei punti corrispondenti.
La prima parte di questo teorema è evidente per le (14); dimostriamo la seconda parte. Se noi chiamiamo $(\alpha ,\beta ,\gamma )$, $(\xi ,\eta ,\zeta )$, $(\lambda ,\mu ,\nu )$ i coseni di direzione della tangente, della normale principale e della binormale in un punto di $C'$ e con $(\alpha ',\beta ',\gamma ')$, $(\xi ',\eta ',\zeta ')$, $(\lambda ',\mu ',\nu ')$ i coseni delle rette corrispondenti di $C''$, se noi indichiamo con $s$, ${\frac {1}{\rho }}$ l’arco e la curvatura di $C'$ e $C''$ (in punti corrispondenti) e con ${\frac {1}{T}}$ e ${\frac {1}{T'}}$ le corrispondenti torsioni, avremo per le formule di Frenet nello spazio piano
| α) | $\left\lbrace {\begin{array}{l}{\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\xi }{\rho }};\,{\frac {d\xi }{ds}}={\frac {\alpha }{\rho }}-{\frac {\lambda }{T}};\,{\frac {d\lambda }{ds}}={\frac {\xi }{T}}\,ecc.\\{\frac {d\alpha '}{ds}}={\frac {\xi '}{\rho }};\,{\frac {d\xi '}{ds}}={\frac {\alpha '}{\rho }}-{\frac {\lambda '}{T'}};\,{\frac {d\lambda '}{ds}}={\frac {\xi '}{T'}}\,ecc.\\\end{array}}\right.$ |
[p. 26
Poichè $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=....=1$ noi potremo immaginare le $(\alpha ,\beta ,\gamma ;\alpha ',\beta ',\gamma ')$, le $(\xi ,\eta ,\zeta ;\xi ',\eta ',\zeta ')$ e e le $(\lambda ,\mu ,\nu ,\lambda ',\mu ',\nu ')$ come parametri di scorrimento di tre rette dello spazio curvo. Poichè per le (α) si ha $d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}+d\gamma ^{2}=d\alpha '^{2}+d\beta '^{2}+d\gamma '^{2}$ la retta $(\alpha ,\beta ,\gamma ;\alpha ',\beta ',\gamma ')$ descrive (§. 6) una sviluppabile, cioè inviluppa una curva $C$; e, poichè per le (α)
$\lambda \alpha +\mu \beta +\nu \gamma =\lambda '\alpha '+\mu '\beta '+\nu '\gamma '=\lambda d\alpha +\mu d\beta +\nu d\gamma =\lambda 'd\alpha '+\mu 'd\beta '+\nu 'd\gamma '=0$
la retta $(\lambda ,\mu ,\nu ;\lambda ',\mu ',\nu ')$ è precisamente la binormale a questa curva $C$ nel suo punto generico; e poichè
$\xi \alpha +\eta \beta +\zeta \gamma =\xi '\alpha '+\eta '\beta '+\zeta '\gamma '=\xi \lambda +\eta \mu +\zeta \nu =\xi '\lambda +\eta '\beta '+\zeta '\gamma '=0$
la retta $(\xi ,\eta ,\zeta ;\xi ',\eta ',\zeta ')$ è precisamente la normale principale alla curva $C$ nel suo punto generico.
Questi ultimi ragionamenti si potrebbero fare anche se nulla si sapesse circa alle torsioni di $C'$ e di $C''$; ma in tal caso non si potrebbe più dire che, se $\sigma$ è l’arco della $C$, si ha $d\sigma =ds$. Se noi supponiamo invece che ${\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T'}}=cost.$ e per maggior semplicità supponiamo che ${\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T'}}=\pm 2$, allora si vede subito che $d\sigma =ds$; infatti si è visto che in uno spazio a curvatura $+1$, l’arco $\sigma$ è definito da
$d\sigma ={\frac {\pm 1}{2}}\left\{\lambda d\xi +\mu d\eta +\nu d\zeta )-(\lambda 'd\xi '+\mu 'd\eta '+\nu 'd\zeta ')\right\}.$
Che la differenza costante ${\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T'}}$ sia $\pm 2$ non toglie la generalità; che se ${\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T'}}$ fosse una costante distinta da $\pm 2$ si avrebbe, come si intende facilmente, una curva $C$ di uno spazio ellittico a curvatura differente da $+1$. (Del resto con una similitudine si può sempre passare da una tal coppia di curve a una coppia di curve, per cui sia ${\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T'}}=\pm 2$).
Dimostrato che la $C$ corrisponde alle $C'$, $C''$ con uguaglianza di arco, le (α) confrontate con le (14) dimostrano il nostro teorema completamente. [p. 27
Un corollario che ci sarà di grande utilità è il seguente:
“A una coppia di curve dello spazio piano a torsione costante, ma distinta, che si corrispondano con uguaglianza di arco e di prima curvatura corrisponde una curva a torsione costante dello spazio curvo e viceversa„.
E qui appare sotto nuova luce il teorema che con quadrature si possono trovare tutte le curve a torsione costante dello spazio piano; perchè dal teorema poco fa dimostrato si deduce:
“Il problema di trovare le curve a torsione costante dello spazio piano e quello di trovare tutte le curve piane degli spazii ellittici sono equivalenti. Quindi poichè la risoluzione dell’uno è immediata, l’altro è completamente risoluto„.
Infine osserviamo che la generalizzazione agli spazii curvi, ottenuta recentemente dal prof. Razzaboni, della trasformazione delle curve a torsione costante si può per questi teoremi interpretare nella metrica euclidea come una trasformazione di quelle coppie di curve a torsione costante, ma distinta, che si corrispondono con uguaglianza d’arco e di prima curvatura.
* ↑ Qui si sono usate le $(\lambda ,\mu ,\nu )$ per indicare ambedue le terne $(\lambda ,\mu ,\nu )$, $(\lambda ',\mu ',\nu ')$, ciò che certo non genera confusione; si ricordi pure di non confondere la $\xi$ con le $\xi _{i}$.
* ↑ Bianchi. Giornale di Battaglini, 1884.