# Trattato delle sezioni coniche e dei luoghi geometrici/Parte I° capitolo I°

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Trattato delle sezioni coniche e dei luoghi geometrici Gianfrancesco Malfatti CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Malfatti- Trattato Coniche.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Trattato_delle_sezioni_coniche_e_dei_luoghi_geometrici/Parte_I%C2%B0_capitolo_I%C2%B0&oldid=- 20220926094233 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Trattato_delle_sezioni_coniche_e_dei_luoghi_geometrici/Parte_I%C2%B0_capitolo_I%C2%B0&oldid=- 20220926094233
CAP. I
Esposta la natura delle Sezzioni Coniche, si dichiarano alcune proprietà degli assi, dei fochi, e delle direttrici, ed insieme si producono tre stromenti atti a descrivere le curve.
Pappo d’Alessandria, geometra insigne, nell’ultima proposizione del libro 7 dimostra una elegante e bella proprietà di quelle curve la cui natura riconobbero gli antichi geometri dalla Sezzione del Cono, onde è, che son chiamate Sezzioni Coniche. A me è paruto, che non si possa far cosa più elegante di quello che sia il servirsi come di fondamento di quella proprietà da Pappo dimostrata: poichè da questa si fa chiara e facile la generazione di queste curve, e le altre loro principali proprietà con uno spedito metodo si deducono. Laonde per non perder tempo io comprendo il teorema di Pappo con questa definizione.
Definizione Ia
Fig.a 1a. 2a. 3a.Sopra una data linea $D_{2}D$ si conduca primieramente una normale FA, la quale si divida a piacere in V: di poi con qualunque DE, che sia normale alla retta $D_{2}D$ concorra la linea FE in maniera, che sia $DE:EF=AV:VF$. La Curva, che passerà per tutti i punti E similmente determinati chiamisi Sezzion Conica, la retta indefinita AD chiamisi la direttrice, il punto F il foco, il punto [p. 2 $V$, poiché ancor questo appartiene alla curva, chiamisi il vertice della Sezzione.
Corollario 1o. Da questa generazione chiaramente si vede, che la Sezzion Conica hà due rami $VE$, $V_{2}E$ situati dall’una e dall’altra parte della perpendicolare $FA$, l’uno de’ quali se all’altro si sovraponga, a quello perfettamente s’adatta. Imperochè dal punto $E$ si conduca $E_{2}0$ normale ad $AF$ prodotta, se fa d’uopo, la quale si produca fino che $2O_{2}E=E_{2}O$: indi congiungasi $2EF$; finalmente si conduca $2E_{2}D$ parallela alla retta $FA$. È facile a dimostrarsi, che $F_{2}E=FE$, e $DE=2D_{2}E$. Dunque $AV:VF=2D_{2}E:2EF$: dunque il punto $2E$ è nella curva. Il che potendosi similmente di tutti i punti dimostrare, si rende evidente, avere la curva due rami simili ed eguali.
Corollario 2o. La linea $E_{2}E$, che taglia perpendicolarmente $AF$, benché si produca in infinito, non ha altro punto commune colla curva trattine i due $E$, $2E$. La quale proprietà, poiché una contraria supposizione non può condurre in assurdo, io lascio, che la dimostri l’industria de’ leggitori.
Corollario 3o. Le rette linee $E_{2}E$ parallele alla direttrice, che toccano l’uno e l’altro ramo della curva sono tagliate per metà dalla linea $AF$, se v’è il bisogno, prodotta. Perilche $AF_{2}O$ chiamisi il primo asse della Sezzion Conica.
Definizioni, e Determinazioni.
[p. 3
Fig.1a.Se $AV$ è maggiore di $VF$, la sezione chiamisi un'Elissi. Che se $AV$ è infinitamente maggiore di $VF$, ovvero, se la direttrice $AD$ sia infinitamente distante dal vertice $V$, ne vien'egli, che le rette $AV$, $DE$, le quali non hanno il divario, che d'una quantità, la quale ad esse hà una ragione minore di qualunque data, siano tra loro eguali. Dunque le linee $FV$, $FE$ proporzionali alle prime saranno eguali. Perciò il circolo è una certa specie d'elissi, la cui direttrice infinitamente è lontana dal vertice; ed il cui foco è lo stesso che il centro del cerchio.
Fig.2a.Se la abscissa $AV$ è eguale ad $VF$ la Sezzione si chiami una parabola.
Fig.3a.Se è $AV$ minore di $VF$, la Sezzione si denomini un'Iperbola. All'Iperbola appartiene il caso, quando $VF$ è infinitamente maggiore di $VA$. Nella qual supposizione $FV$, $FE$, la differenza delle quali hà ad esse una minore ragione di qualunque data, bisogna che siano eguali: dunque le loro proporzionali $AV$, $DE$ parimente sono eguali; la quale proprietà è della linea retta equidistante dalla direttrice.
Definizione della tangente
Fig.4a.Quella linea dicesi toccare la curva, la quale talmente cade nella curva, che tutta è fuor della curva, cioè che tutta è dalla parte convessa della curva. Perchè si faccia più chiara la teoria delle tangenti, tornerà in acconcio concepire la cosa [p. 4 in tal maniera. Si figuri che la linea $K_{2}K$, che taglia la curva ne’ due punti $E$, $2E$, si mova talmente, che la corda $E2E$ vada sempre più diminuendosi. Quando avviene che la corda $E2E$ sia nulla, la secante si cambierà in tangente: poichè giacerà tutta fuor della curva, e sarà posta nella sua parte convessa. Benchè qualunque moto a talento si possa dare alla secante $K_{2}K$; pure nelle Sezzioni Coniche supporremo, che ella proceda sempre parallela a se stessa. In ogni caso però valerà questo, che io giudico doversi premettere.
Lemma
Fig. 4a.Se la retta $AF$, che taglia la curva nel punto $V$, divida per mezzo tutte le corde parallele alla corda $E2E$, e per il punto $V$ si conduca $Q_{2}Q$ parallela a questa istessa corda, dico, che da questa vien toccata la curva nel punto $V$.
Dimostro. Figurisi, che la retta $K_{2}K$, la quale taglia la curva ne’ punti $E$, $2E$ cammini parallela a se stessa, fino che sarà arrivata nel luogo $Q_{2}Q$: nel qual luogo talmente concorre colla curva, che tutta è fuor della curva, e toltone $V$ non hà altro punto con essa commune. Perchè se fosse altrimente, la linea $AV$ non taglierebbe per mezzo la corda parallela ad $E2E$: il che è contrario all’ipotesi. Dunque è necessario, che $Q_{2}Q$ tocchi la curva nel punto $V$. C.D.D.
Proposizione I
[p. 5
Quella linea, che per il vertice della Sezzione $V$ si conduce parallela alla direttrice, tocca nello stesso punto la curva.
Fig.a 1a. 2a. 3a. Dimostro. Poichè il primo asse $AF$, che taglia la curva nel vertice $V$, divide per metà tutte le corde parallele alla direttrice, quella linea, che si conduce parallela alla stessa direttrice per il punto $V$, cioè $Q_{2}Q$, per il lemma premesso tocca la Sezzion Conica nel punto $V$. C.D.D.
Proposizione II
Fig.a 1a. 2a.Data una Sezione Conica, ed il primo asse, che la taglia nel vertice $V$, trovar l’altro punto $V$, dove l’asse cade nuovamente nella Sezione.
Sia la direttrice della data Sezzione la retta $D_{2}D$, il vertice $V$, il foco $F$. Chiamisi $AV=a$, $VF=b$, $Vv=z$. Dunque $Av=a+z$, ed $Fv=Z-b$: sarà dunque per la prima proprietà della Sezzione Conica
$AV:VF=Av:vF$ cioè analiticamente
$a:b=a+z:z-b$: Dunque dividendo
$a-b:b=a+b:z-b$, ed alternando
$a-b:a+b=b:z-b$, e componendo
$a-b:2a=b:z={\frac {2ab}{a-b}}$.
Corollario 1.o S’è trovata
$Vv={\frac {2ab}{a-b}}$: Dunque dividendo $Vv$ egualmente in $C$,
$CV={\frac {ab}{a-b}}$, e tolta $FV=b$, sarà [p. 6 $CF={\frac {b^{2}}{a-b}}$, ed aggiunta la $VA=a$ alla retta $CV$, sarà $CA={\frac {a^{2}}{a-b}}$. Onde essendo i termini ${\frac {b^{2}}{a-b}}$, ${\frac {ab}{a-b}}$, ${\frac {a^{2}}{a-b}}$ in proporzione continua, ancora le linee, cui essi si agguagliano $CF$, $CV$, $CA$ saranno in proporzione continua. In seguito il punto $C$ chiamerasi il centro della Sezzione, la linea $Vv$, il primo asse, poichè questo vocabolo asse significa una qualche linea determinata.
Corollario 2o. La retta $q2q$, la quale è parallela alla direttrice, e passa per il punto $v$, nello stesso punto tocca la sezzione.
Determinazioni
Fig. 1a.Nella Elisse, poichè è $ab$, sarà sempre positiva $a-b$; perciò i punti $C$, $v$ saranno sempre posti dopo i punti $A$, $V$, $F$. Nota, che nel circolo, il quale è un’Elissi, la cui direttrice è infinitamente distante da esso, la retta $FC$ è la terza proporzionale dopo l’infinita $CA$, e la finita $CV$. Dunque sarà nulla: perciò il foco $F$, ed il centro $C$ nel circolo cadono nello stesso punto.
Fig. 2a.Nella parabola $a=b$, ed $a-b=0$: dunque tutte le linee, che s'esprimono col divisore $a-b$ sono infinite: dunque i punti $C$, $v$ sono in una infinita distanza dai punti $A$, $V$, $F$, cioè il primo asse non taglia più la Sezzione. [p. 7
Fig. 3a.Nella Iperbola $a