# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 12/Paragrafo 78

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_12/Paragrafo_78&oldid=- 20230102183520 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_12/Paragrafo_78&oldid=- 20230102183520
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§ 78. — Integrali singolari.
$\alpha$) Finora ci siamo limitati ad integrali di funzioni continue nell'intervallo considerato. Vogliamo ora definire gli integrali di una funzione $f(x)$ che nell'intervallo ($a$, $b$) che si considera dappertutto continua, eccettuato un numero finito di punti singolari.
Ciò, per es., avviene se volessimo studiare l'espressione $\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx$, poichè ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$ è singolare per $x=0$. Osserveremo che, se $\epsilon$ è un numero positivo piccolo a piacere, ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$ è continua nell'intervallo $\epsilon .....1$; cosicchè ha un significato perfettamente determinato lo $\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx$, che, calcolato coi soliti metodi, si riconosce uguale a $(2-2{\sqrt {\epsilon }})$.
Calcoliamo ora il
$\lim _{\epsilon =0}\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=\lim _{\epsilon =0}(2-2{\sqrt {\epsilon }})$.
Tale limite esiste ed è uguale a $2$.
E noi porremo per definizione
$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=\lim _{\epsilon =0}\int _{epsilon}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=2$.
Più in generale, se nello $\int _{a}^{b}f(x)dx$ è, per esempio, $a; esista un intorno ($a$, $c$ di $a$ [$c$ compreso tra $a$ e $b$], tale che in esso $|f(x)|0$; ponendo $\Psi (x)=-f(x)$, $\varphi (x)=0$ nei punti ove $f(x)\leq \ ,0$. Le $\varphi (x)$, $\Psi (x)$ saranno funzioni continue positive o nulle (escluso al più il punto $x=a$), non superiori ad $|f(x)|$. Ora sia $\int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx$ che $\int _{a+\epsilon }^{b}\Psi (x)dx$ variano nello stesso verso quando $\epsilon$ (che ha il segno di $b-a$) tende a zero, e perciò tendono per $\epsilon =0$ ad un limite. Poichè p. es. $\int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx=\int _{a+\epsilon }^{c}\varphi (x)dx+\int _{c}^{b}\varphi (x)dx$ e $\varphi (x)$ nell'intervallo ($a+\epsilon$, $c$) non [p. 263 super $|f(x)|\leq \,{\frac {k}{(x-a)^{n}}}$ [se $|\epsilon |<|e-a|$], lo $\int _{a+\epsilon }^{c}\varphi (x)dx$ non supera in valore assoluto l'integrale di ${\frac {k}{(x-a)^{n}}}$, che tende per $\epsilon =0$ a un limite finito. Perciò $\int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx$ tende per $\epsilon =0$ a un limite finito, che sarà il valore di $\int _{a}^{b}\varphi (x)dx$; altrettanto dicasi di $\int _{a+\epsilon }^{b}\Psi (x)dx$. Poichè $f(x)=\varphi (x)-\Psi (x)$, lo integrale $\int _{a}^{b}f(x)dx$ esisterà dunque, se in un intorno di a vale la
$|f(x)|\leq \,{\frac {k}{(x-a)^{n}}}$($k$, $n$ costanti; $n<1$)
ossia, come si suol dire, se $\mathrm {f(x)}$ è per $\mathrm {x-a=0}$ infinito di ordine non maggiore di $\mathrm {n<1}$.
In modo analogo si prova che se, per $x$ abbastanza grande, la funzione continua $f(x)$ soddisfa alla $|f(x)|\leq \,k{\frac {1}{x^{2}}}(k$, $n$ cost.; $n>1$), ossia se $\mathrm {f(x)}$ per $\mathrm {x=\infty }$ diventa infinitesima di ordine non minore di $\mathrm {n>1}$, allora esiste lo $\mathrm {\int _{a}^{\infty }f(x)dx}$.
Osservazione.
Certe frazioni razionali si possono integrare in modo semplice e diretto.
Poniamo, p. es., $I_{n}=\int {\frac {dx}{(x^{2}+1)^{n}}}$ dove $n$ è un intero positivo. Integrando per parti si trova:
$I_{n}={\frac {x}{(x^{2}+1)^{n}}}+2n\int {\frac {x^{2}dx}{(x^{2}+1)^{n+1}}}={\frac {x}{(x^{2}+1)^{n}}}+2n\int {\frac {(1+x^{2})dx}{(x^{2}+1)^{n+1}}}-$
$-2n\int {\frac {dx}{(x^{2}+1)^{n+1}}}={\frac {x}{(x?2+1)^{n}}}+2\,n\,I_{n}-2\,n\,I_{n}+{\text{cost.}}$
donde:
$I_{n+1}={\frac {1}{2n}}{\frac {x}{(x^{2}+1)^{n}}}+{\frac {2n-1}{2n}}I_{n}+{\text{cost.}}$.
Ora, essendo $I_{1}={\text{arctg}}\,x$ la formola precedente per $n=1$, $2$, $3$, ecc. permette di calcolare successivamente $I_{2}$, $I_{3}$, ecc. (cfr. la seconda formola di pag. 245).
* ↑ Si può porre una definizione analoga nel caso che vi sia un numero finito di punti singolari.
* ↑ Si lascia al lettore di completare le precedenti definizioni, per il caso che nell'intervallo ($a$, $+\infty$) o ($-\infty$, $a$) o ($-\infty$, $\infty$), vi fosse un numero finito di punti singolari per $f(x)$.