# Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici/Delle congruenze di raggi

../Delle superficie di scorrimento ../Sulla teoria delle superficie IncludiIntestazione 27 marzo 2020 75% Da definire
Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici Guido Fubini 1900 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Il_parallelismo_di_Clifford_negli_spazii_ellittici/Delle_congruenze_di_raggi&oldid=- 20200327212206 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Il_parallelismo_di_Clifford_negli_spazii_ellittici/Delle_congruenze_di_raggi&oldid=- 20200327212206
Delle congruenze di raggi.
§. 10. Le congruenze di rette nello spazio curvo furono studiate dal Fibbi in una sua memoria pubblicata negli “Annali della Scuola Normale Superiore Tomo VII, 1895„; noi senza entrare in casi particolari, studieremo quali conseguenze si possano ottenere dalla considerazione della figura piana, generata tirando per il punto $(1,0,0,0)$ le parallele ai raggi di una congruenza fino ad incontrare il piano polare. Detto $(x_{i})$ il punto generico della superficie scelta come iniziale della congruenza, e $(\xi _{i})$ il piano in esso normale al raggio corrispondente, il Fibbi pose:
${\begin{Vmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}&\xi _{4}\\dx_{1}&dx_{2}&dx_{3}&dx_{4}\end{Vmatrix}}^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}$
${\begin{Vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\d\xi _{1}&d\xi _{2}&d\xi _{3}&d\xi _{4}\end{Vmatrix}}^{2}=E'du^{2}+2F'dudv+G'dv^{2}$
$\sum dx_{i}d\xi _{i}=edu^{2}+(f+f')dudv+gdv^{2}.$
Noi avremo come elemento lineare dell’imagine piana suddetta:
$ds^{2}=\sum \left[d(x,\xi )_{i}\right]^{2}=\sum {\left[dx,\xi \right]_{i}}^{2}+\sum {\left[x,d\xi \right]_{i}}^{2}+2\sum \left[dx,\xi \right]_{i}\left[x,d\xi \right]_{i}=$
$=\sum dx^{2}-\left(\sum \xi dx\right)^{2}+\sum d\xi ^{2}-\left(\sum xd\xi \right)^{2}\pm 2(x,dx,\xi ,d\xi ).$
Con $(x,dx,\xi ,d\xi )$ indichiamo al solito il determinante le cui linee sono $(x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4})$ $(dx_{1},...)$ $(\xi _{1},...)$ $(d\xi _{1},...)$; il doppio segno è dovuto alla solita causa. Quando $(x,dx,\xi ,d\xi )=0$ l’angolo di due generatrici consecutive ha una sola determinazione; quindi (§. 6) [p. 30 $(x,dx,\xi ,d\xi )=0$ è, come già riconobbe direttamente il Fibbi, l’equazione delle sviluppabili della congruenza. La parte di segno costante nella formula precedente è, con le notazioni del Fibbi,
| α) | $(E+E')du^{2}+2(F+F')dudv+(G+G')dv^{2}.$ |
La parte di segno variabile è, a meno del fattore $\pm 2$ uguale a
| β) | $\left\lbrace {\begin{array}{c}{\sqrt {\begin{vmatrix}Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}&edu^{2}+(f+f')dudv+gdv^{2}\\edu^{2}+(f+f')dudv+gdv^{2}&E'du^{2}+2F'dudv+G'dv^{2}\end{vmatrix}}}=\\={\frac {(Ef-Fe)du^{2}+(Eg-F(f'-f)-Ge)dudv+(Fg-Gf')dv^{2}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}=\\={\frac {(E'f'-F'e)du^{2}+(E'g+F'(f'-f)-G'e)dudv+(F'g-G'f)dv^{2}}{\sqrt {E'G'-F'^{2}}}}.\end{array}}\right.$ |
La (α) e la (β) sono due forme quadratiche affatto indipendenti dalla superficie scelta come iniziale.
§§. 11. Teor. Le uniche equazioni cui debbono soddisfare le forme (α) e (β) affinchè le forme del Fibbi (già legate da facili equazioni algebriche notate dal Fibbi stesso) corrispondano realmente a una congruenza sono che la loro somma e la loro differenza siano forme a curvatura $+1$. (Si ricordi il fattore numerico che moltiplica le β).
Questo teorema, che permette di generalizzare alle congruenze le equazioni di Gauss e di Codazzi si deduce ricordando che di una retta e quindi anche di $\infty ^{2}$ rette ossia di una congruenza si possono dare ad arbitrio le immagini piane; ciò che definisce poi la congruenza.
Il determinare i punti di un piano dello spazio curvo (o della sfera euclidea) di cui sia dato l’elemento lineare si riduce all’integrazione di un’equazione di Riccati. Dunque:
Date le forme (α), (β) di una congruenza oppure le forme del Fibbi che soddisfacciano alle predette condizioni, l’integrazione di due equazioni di Riccati basta alla determinazione effettiva della congruenza. [p. 31
Le traccie sul piano rappresentativo delle rette della congruenza si ottengono (§. 4) dimezzando i segmenti unenti punti corrispondenti delle due immagini piane; che, se indichiamo al solito con $(Y_{1}Y_{2}Y_{3}O)$ e $(Z_{1}Z_{2}Z_{3}O)$ punti corrispondenti di tali immagini e con $\varphi$ la loro distanza, l’elemento lineare del piano riferito a tali traccie sarà
$\sum \left[d\left({\frac {Y_{i}+Z_{i}}{\sqrt {2(1+\cos \varphi )}}}\right)\right]^{2}=\sum \left({\frac {dY_{i}+dZ_{i}}{2\cos {\frac {\varphi }{2}}}}+{\frac {Y_{i}+Z_{i}}{4}}{\frac {\operatorname {sen} {\frac {\varphi }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}d\varphi \right)^{2}.$
Esso sarà subito noto quando oltre gli elementi lineari delle immagini piane si conoscano $\varphi$ e le derivate di $\varphi$ rispetto $u,v,u',v'$ dove si immaginino le $(u,v)$ le coordinate definenti $(Y_{i})$, le $(u',v')$ quelle definenti $(Z_{i})$ e tutte e quattro si immaginino in questa derivazione distinte. Infatti
${\frac {\partial \cos \varphi }{\partial u}}=\sum Z{\frac {\partial Y}{\partial u}};{\frac {\partial \cos \varphi }{\partial u'}}=\sum Y{\frac {\partial Z}{\partial u'}}ecc.$
$2\sum dYdZ=d^{2}\sum YZ-\sum (Yd^{2}Z+Zd^{2}Y).$
Questa ultima equazione si riduce subito appena si ricordino le formule che danno $d^{2}Z$, $d^{2}Y$ per $Y$, $Z$ e per i loro differenziali primi.
Può forse interessare l’osservazione che basta conoscere l’elemento lineare del piano riferito a tali traccie (quando le $u=cost.$ $v=cost.$ siano le sviluppabili) se la congruenza è $W$. Infatti con una rappresentazione geodetica sullo spazio euclideo si faccia corrispondere il piano rappresentativo al piano all’infinito. Tale elemento lineare diverrà l’elemento lineare della sfera euclidea riferito alle immagini sferiche delle sviluppabili. Usando delle notazioni del prof. Bianchi (Lezioni, ecc. Cap. 10, §§. 149, 150) dovrà essere
$D_{1}:{D''}_{1}=D_{2}:{D''}_{2}$ cioè posto $\rho =e^{\tau }$
| γ) | ${\frac {\partial \tau }{\partial u}}{\frac {\partial \tau }{\partial v}}+{\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \tau }{\partial u}}+{\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}{\frac {\partial \tau }{\partial v}}+{\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}22\\1\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}=0$ |
[p. 32
mentre l’equazione di Guichard sottratta dalla precedente diventa
| δ) | ${\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u\partial v}}={\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}22\\1\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}-{\frac {\partial {\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}}{\partial v}}-F.$ |
Quest’ultima dà un risultato della forma $\tau =M(u,v)+\int \varphi (u)du+$ $+\int \psi (v)dv$ dove $M$ è noto, $\varphi$ e $\psi$ sono da determinarsi. Sostituendo nella precedente equazione si ha $\psi (v)$ in funzione di $\varphi (u)$; derivando rispetto $(u)$ si ottiene per $\varphi (u)$ un’equazione della forma
$A\varphi ^{2}+B\varphi +C+D\varphi '=0$ con $A,B,C$ note.
Quest’equazione ripetutamente derivata rispetto $v$ dà il mezzo di determinare $\varphi$, e quindi $\tau$ e la congruenza. Senza entrare in facili discussioni minute si osservi ancora che supposto $F=0$ le equazioni precedenti divengono
${\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u\partial v}}={\frac {\partial ^{2}\log {\sqrt {EG}}}{\partial u\partial v}};\,{\frac {\partial \tau }{\partial u}}{\frac {\partial \tau }{\partial v}}+{\frac {\partial \log {\sqrt {E}}}{\partial v}}{\frac {\partial \tau }{\partial u}}+{\frac {\partial \log {\sqrt {G}}}{\partial u}}{\frac {\partial \tau }{\partial v}}=0.$
Mutando i parametri delle $u=cost.$, $v=cost.$ si può fare che $\rho ={\frac {1}{\sqrt {EG}}}$ soddisfi ad ambedue; posto così
$\tau =-\log {\sqrt {EG}}+\int \varphi (u)du+\int \psi (v)dv$
si ha
$\varphi \psi =\varphi {\frac {\partial \log {\sqrt {G}}}{\partial v}}+\psi {\frac {\partial \log {\sqrt {E}}}{\partial u}}+{\frac {\partial (\log {\sqrt {E}},\log {\sqrt {G}})}{\partial (u,v)}}=0$
e poichè $\varphi =\psi =0$ è una soluzione, $E$ è funzione di $G$. Ecco qui il teorema di Weingarten per le superficie $W$. Ma qui osserviamo che se è risolubile l’equazione
$1={\frac {1}{\varphi (u)}}{\frac {\partial \log {\sqrt {G}}}{\partial u}}+{\frac {1}{\psi (v)}}{\frac {\partial \log {\sqrt {E}}}{\partial v}}$
ciò che avviene p. es. per $E=1$, $G=\operatorname {sen} ^{2}u$ si ottengono dall’elemento lineare stesso altre congruenze $W$.
§. 12. Ritorniamo allo spazio curvo e risolviamo la questione di riconoscere se una congruenza è $W$, appena ne siano date le forme fondamentali, o ciò che è lo stesso, gli elementi lineari delle sue immagini piane di Clifford. Perciò basta che noi ricordiamo che una retta è definita dai suoi parametri di scorrimento, che, come sappiamo non sono altro che coordinate proiettive di retta; ora (Darboux Leçons, T. 3.° pag. 345) le coordinate di una retta che descriva una congruenza $W$ sono soluzioni di una medesima equazione a derivate parziali del secondo ordine; cosicchè, se $(\alpha ,\beta ,\gamma ;\alpha _{1},\beta ,\gamma )$, sono i parametri di scorrimento di una retta generica della congruenza, dovrà essere
$O={\begin{vmatrix}\alpha &\beta &\gamma &\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\{\frac {\partial \alpha }{\partial u}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\frac {\partial \gamma _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \alpha }{\partial v}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\frac {\partial \gamma _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial u^{2}}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\frac {\partial ^{2}\gamma _{1}}{\partial u^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial u\partial v}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\frac {\partial ^{2}\gamma _{1}}{\partial u\partial v}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial v^{2}}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\frac {\partial ^{2}\gamma _{1}}{\partial ^{2}v^{2}}}\end{vmatrix}}$
Osserviamo ora che $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1$ e che $d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}+d\gamma ^{2}$ è noto, perchè è l’elemento lineare di una delle immagini piane di una congruenza.
Possiamo dunque concepire $\alpha ,\beta ,\gamma$ come coordinate di un punto variabile su di una sfera euclidea, per cui sia noto l’elemento lineare in funzione di $u,v$; si potranno quindi esprimere le derivate seconde delle $\alpha ,\beta ,\gamma$ in funzione delle loro derivate prime, delle $\alpha ,\beta ,\gamma$ stesse e dei coefficienti di questo elemento lineare; e analogamente per $\alpha ',\beta ',\gamma '$. Sostituiti nel determinante precedente questi valori per le derivate seconde di $(\alpha ,\beta ,\gamma ;\alpha ',\beta ',\gamma ')$ si sviluppi il determinante stesso, facendo la somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando i [p. 34 minori di terz’ordine appartenenti alla matrice formata dalle tre prime colonne per i minori complementari. Se noi indichiamo con $edu^{2}+2fdudv+gdv^{2}$ e con $e'du^{2}+2f'dudv+g'dv^{2}$ gli elementi lineari delle due immagini piane, e poniamo $\Delta ={\sqrt {eg-f^{2}}}$, $\Delta '={\sqrt {e'g'-f'^{2}}}$ (supposti non nulli) facilmente troviamo i valori dei suddetti determinanti del terz’ordine.
Si avrà p. es.
${\begin{vmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\{\frac {\partial \alpha }{\partial u}}&\cdots &\cdots \\{\frac {\partial \alpha }{\partial v}}&\cdots &\cdots \end{vmatrix}}=\Delta \,$ ${\begin{vmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\{\frac {\partial \alpha }{\partial v}}&\cdots &\cdots \\{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial u^{2}}}&\cdots &\cdots \end{vmatrix}}=-{\begin{Bmatrix}11\\1\end{Bmatrix}}\Delta \,$ ecc. ecc.
Indichiamo con $A$ il determinante
${\begin{vmatrix}{\begin{Bmatrix}11\\1\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}&e\\{\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}&f\\{\begin{Bmatrix}22\\1\end{Bmatrix}}&{\begin{Bmatrix}22\\2\end{Bmatrix}}&g\end{vmatrix}}$
e con $(-A)$ quello che se ne ottiene mutando i segni dell’ultima colonna; e analogamente poniamo $A'$ e $(-A')$ uguali ai corrispondenti determinanti per il secondo elemento lineare. Si vede allora subito che la condizione affinchè la nostra congruenza sia $W$ si ottiene ponendo uguali la espressione ottenuta aggiungendo ad $A$ la somma dei termini di $(-A)$ moltiplicati rispettivamente per i minori complementari dei termini corrispondenti di $A'$ e l’espressione che si deduce da questa scambiando $e$ ed $e'$, $f$ ed $f'$, $g$ e $g'$.
Vogliamo ora esporre un’altra applicazione dei nostri principii alla teoria delle congruenze, e precisamente al concetto della “densità„ di una congruenza in un punto. Per definire questa densità in un punto $P$ il Fibbi procedeva nel modo seguente.
Si segni sul piano $\pi$ normale in $P$ al raggio corrispondente della nostra congruenza un intorno $d\omega$ infinitesimo di $P$, e sulle rette della [p. 35 congruenza che escono dai punti $C$ di $d\omega$ si segni il punto $D$ coniugato rispetto all’assoluto del punto $C$; le rette che uniscono il punto $P$ a questi punti $D$ determinano su una sfera di raggio infinitesimo $r$ di centro $P$ un’area infinitesima $r^{2}d\omega '$; il rapporto ${\frac {d\omega '}{d\omega }}$ è ciò che il Fibbi chiamava “densità„ della congruenza nel punto $P$. Noi introdurremo qui a lato della “densità„ definita a modo del Fibbi un nuovo elemento, che chiameremo “densità di Clifford„ di una congruenza, che forse è più adatto all’intima natura dello spazio ellittico, e che in ogni modo ci porterà a uno dei teoremi più importanti del presente lavoro. Tiriamo per un punto $A$ dallo spazio ellittico le parallele, al modo di Clifford, alle rette della congruenza uscenti dai punti di $d\omega$; esse determineranno sul piano polare $A$ un elemento infinitesimo $d\omega ''$; il rapporto ${\frac {d\omega ''}{d\omega }}$ (che avrà naturalmente due determinazioni) misurerà per noi la “densità di Clifford„ (destrorsa o sinistrorsa) della congruenza nel punto $P$; la media aritmetica di queste due densità misurerà ciò che noi chiameremo la densità assoluta di Clifford della congruenza nel punto $P$. Procediamo al calcolo effettivo, osservando che senza scemare la generalità potremo supporre che il punto $P$ sia il punto $(1,0,0,0)$ e il piano $\pi$ normale in $P$ al raggio della congruenza passante per $P$ siano il piano $(0,0,0,1)$. Prendiamo su $d\omega$ due punti $P'$, $P''$ infinitamente vicini a $P$ e consideriamo i piani $\pi '$, $\pi ''$ normali in $P'$, $P''$ ai raggi corrispondenti della congruenza. Ricordando le relazioni che legano le coordinate di un punto, di un piano, e la condizione affinchè un punto e un piano si appartengano, si vedrà che a meno d’infinitesimi d’ordine superiore si potrà porre:
$P'=(1,dx_{2},dx_{3},0)$
$P''=(1,\delta x_{2},\delta x_{3},0)$
$\pi '=(0,d\xi _{2},d\xi _{3},1)$
$\pi ''=(0,\delta \xi _{2},\delta \xi _{3},1)$
dove $d$, $\delta$ siano simboli di differenziali. [p. 36
Conducendo le parallele nel primo verso, otterremo con le formule usuali, che le immagini di Clifford dei raggi per $P$, $P'$, $P''$ avranno per coordinate rispettivamente:
$(-1,0,0,0)\,$ $(-1-dx_{2}d\xi _{3}+dx_{3}d\xi _{2},-dx_{3}-d\xi _{2},0)$
$-1-\delta x_{2}\delta \xi _{3}+\delta x_{3}\delta \xi _{2},-\delta x_{2}+\delta \xi _{3},-\delta x_{3}-\delta \xi _{2},0)$
quando si prende il punto $(0,0,0,1)$ come punto da cui si tirano le parallele. A meno d’infinitesimi trascurabili queste tre immagini hanno dunque per coordinate
$(-1,0,0,0)$
$(-1,-dx_{2}+d\xi _{3},-dx_{3}-d\xi _{2},0)$
$(-1,-\delta x_{2}+\delta \xi _{3},-\delta x_{3}-\delta \xi _{2},0)$
e l’area $d\omega ''$ del triangolo da essi racchiuso è data da
$36d\omega ''^{2}={\begin{Vmatrix}-1&0&0&0\\-1&-dx_{2}+d\xi _{3}&-dx_{3}-d\xi _{2}&0\\-1&-\delta x_{2}+\delta \xi _{3}&-\delta x_{3}-\delta \xi _{2}&0\end{Vmatrix}}^{2}$
cioè da
$6d\omega ''=\pm \left\{{\begin{vmatrix}d\xi _{3}&dx_{3}\\\delta \xi _{3}&\delta x_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}d\xi _{2}&dx_{2}\\\delta \xi _{2}&\delta x_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}d\xi _{3}&d\xi _{3}\\\delta \xi _{3}&\delta \xi _{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}dx_{3}&dx_{3}\\\delta x_{3}&\delta x_{2}\end{vmatrix}}\right\}$
È facile verificare che, con (opportuna scelta dei segni)
$6d\omega ={\begin{vmatrix}dx_{3}&dx_{2}\\\delta x_{3}&\delta x_{2}\end{vmatrix}}$
e che
$6d\omega '={\begin{vmatrix}d\xi _{3}&d\xi _{2}\\\delta \xi _{3}&\delta \xi _{2}\end{vmatrix}}.$
Calcoliamo dunque la somma
${\begin{vmatrix}d\xi _{3}&dx_{3}\\\delta \xi _{3}&\delta x_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}d\xi _{2}&dx_{2}\\\delta \xi _{2}&\delta x_{2}\end{vmatrix}}.$
[p. 37 Ponendo
$d\xi _{i}={\frac {\partial \xi _{i}}{\partial u}}du+{\frac {\partial \xi _{i}}{\partial v}}dv$, $\delta \xi _{i}={\frac {\partial \xi _{i}}{\partial u}}\delta u+{\frac {\partial \xi _{i}}{\partial u}}dv$, ecc.
vediamo subito che questa somma è uguale a
$(du\delta v-\delta udv)\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial v}}{\frac {\partial \xi _{2}}{\partial u}}+{\frac {\partial x_{3}}{\partial v}}{\frac {\partial \xi _{3}}{\partial u}}-{\frac {\partial x_{2}}{\partial u}}{\frac {\partial \xi _{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial x_{3}}{\partial u}}{\frac {\partial \xi _{3}}{\partial v}}\right)$
e ricordiamo che, mutando il verso del parallelismo, tutto resta inalterato, eccettochè questa somma si deve considerare col segno mutato, come dimostra un facile calcolo. Ora (come si notò per calcolare le coordinate di $P'$, $P''$, $\pi '$, $\pi ''$) è per noi
$dx_{1}=dx_{4}=d\xi _{1}=d\xi _{4}=0;$
quindi con le notazioni del Fibbi, ricordate più su, si vede che la somma precedente si può scrivere
$\pm (f-f')(du\delta v-\delta udv)$
dove il doppio segno corrisponde per quanto si è detto al doppio senso del parellelismo. Si ha dunque
| α) | $6d\omega ''=6d\omega +6d\omega '\pm (f'-f)(du\delta v-\delta vdu).$ |
La formula notata più su che dà $d\omega$, diventa, poichè
$EG-F^{2}=\left(x,\xi ,{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial x}{\partial v}}\right)^{2}$
(dove col simbolo tra parentesi si indica al solito un determinante del IV ordine (§. 3)) e poichè $dx_{1}=dx_{4}=d\xi _{1}=d\xi _{4}=0$
| β) | $6d\omega ={\sqrt {EG-F^{2}}}(du\delta v-\delta udv).$ |
La (α) e la (β) danno il seguente teorema:
Una delle due densità di Clifford di una congruenza in un punto differisce dalla corrispondente densità del Fibbi aumentata della [p. 38 curvatura dello spazio ambiente per
$\pm (f-f'){\frac {1}{\sqrt {EG-F^{2}}}}$
a meno d’un fattore numerico.
La densità assoluta di una congruenza in un punto è eguale alla curvatura dello spazio ambiente aumentata della densità del Fibbi nello stesso punto.
Condizione necessaria e sufficiente affinchè le due densità di Clifford siano uguali è che $f=f'$, cioè che la congruenza sia normale (teorema che presto ritroveremo sotto forma più opportuna).
Si trova qui generalizzato a congruenze qualunque il fatto che per una superficie si definiscono due curvature; e noi possiamo dire che:
La curvatura relativa e la curvatura assoluta di una superficie in un punto $P$ non sono altro che la densità del Fibbi e la densità assoluta della corrispondente congruenza normale nel punto $P$. Questa ultima densità è uguale poi alla densità destrorsa e alla sinistrorsa della congruenza stessa nel punto $P$.