# Le opere di Galileo Galilei - Vol. II/Il compasso geometrico e militare (Favaro)/Usus et Fabrica Circini cuiusdam proportionis, opera et studio Balthesaris Caprae.

Usus et Fabrica Circini cuiusdam proportionis, opera et studio Balthesaris Caprae. - Con postille di Galileo ../Le operazioni del compasso geometrico e militare (Favaro) ../Difesa contro alle calunnie ed imposture di Baldessar Capra IncludiIntestazione 2 ottobre 2022 75% Da definire
Le opere di Galileo Galilei - Vol. II Galileo Galilei 1891 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Le opere di Galileo Galilei II.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Le_opere_di_Galileo_Galilei_-_Vol._II/Il_compasso_geometrico_e_militare_(Favaro)/Usus_et_Fabrica_Circini_cuiusdam_proportionis,_opera_et_studio_Balthesaris_Caprae.&oldid=- 20221002212047 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Le_opere_di_Galileo_Galilei_-_Vol._II/Il_compasso_geometrico_e_militare_(Favaro)/Usus_et_Fabrica_Circini_cuiusdam_proportionis,_opera_et_studio_Balthesaris_Caprae.&oldid=- 20221002212047
USUS ET FABRICA
CIRCINI CUIUSDAM PROPORTIONIS
OPERA ET STUDIO
BALTHESARIS CAPRAE
CON POSTILLE DI GALILEO.
[p. 427
ILLUSTRISSIMO PRINCIPI AC DOMINO DOMINO
JOACHIMO ERNESTO,
Marchioni Brandenburgensi, Borussiae, Stetini, Pomeraniae, Cassubriorum, Wandalorum
& Silesiae Duci in Crossn & Iegerndorff, &c.
Burggravio Norimhergensi & Principi Bugiae, &c. Domino suo Clementissimo, S. P.'
Philippo macedone Graeciam occupante. Illustrissime Princeps. memoriae proditum est, cum Corinthum clarissimam in faucibus Peloponnessi urhem oppugnaret, Corinthios omnes ad obsidionem eiusmodi repellendam, multiplici bellicarum rerum opere fuisse occupatos : ij nanque arma parabant, aìij urbem muris ac vallis muniehant, illi lapides apportabant, alij aliud quid utile subministrabant, Diogenes vero sinopeius cognomento Cinnicus, eo tempore Corinthum inhabitans in tanto rerum tumultu cum quid ageret nil certi haberet {sua nanque opera nullus aliqua in re utebatur) veste sua accintus, inquo morabatur, doliolum circumquaque volutare festinabat. Interroganti vero amico quamobrem illud ageret, respondisse fertur, voluto & ego dolium, ne unus ipse solus inter tot negociosos viros, ociosus hodie deprehendar. Ego quoque in hoc clamoso seculo {Diogenis exemplo) cum omnes Philosophos, Medicos, atque Iurisperitos maxime occupatos videam, ne solus silentij crimine plectendus sim dolium volutare tentabo, & ni me mea fallit opinio longe aliter ac Diogenes fecerit, ille enim per Dolij volutationem quasi per aenigma quoddam Concives suos docere tentavit, ego vero ut quantum in me est omnibus prodesse possim, totius Geometriae compendium quoddam volutandum praemanibus accipio, de cuius quidem praestantia si verba facere vellem Illustrissime Princeps Mathematicae mihi disciplinae laudandae essent, sicque nuncupatoria epistola in immensum excresceret, Verum enimvero neque mea sunt rudi & inornata oratione dehonestanda, quae vel solo nomine per se satis laudantur, neque Illustrissimus Princeps est prolixiore sermone detinendus. Quare his relictis ad propositum meum magis [p. 430 accedens, ciim satis diu fabricam & usum huius circini proportionis, quem non in merito totius Geometriae compendium nomi navi, volutassem, tandem ut sub C. T. nomine in publicum prodiret decrevi. Sed quoniam mirabitur proculdubio quilibet, quod ego italus inter tot Italiae Principes exterum cui hunc lìbrum dicarem eìegerim, ideo ut eius rei causam reddere possim altius aliquomodo mihi exordiendum erit. Cum primum itaque ex humanarum literarum academia ad logicalem physicamque scientiam, Patris iussu capescendam in Gymnasio Patavino, non solum propter Professorum doctrinam, sed etiam propter exterarum Nationum frequentiam amplissimo, me contulissem, observaremque philosophiae parentes Platonem & Aristotelem abditiora p)hilosophiae arcana per mathematicas demonstrationes nobis proponere, cumque tandem Medicorum dogmata perlustrans incidissem in locum Hippocratis libro de aere, & aqua, & regione dicentis : si ex altissimis consideraveris invenies Astrologiam non esse minimam partem Medicinae, tandem eo redactus sum, ut totis viribus mihi mathematicas disciplinas comparandas esse crediderim, illo eodem tempore praeter omnem expectationem, inter alios Germanos, quos mei amaintissimos esse non semel expertus sum, accessit Simon Marius Guntzenhusanus, is illa qua praeditus est humanitate, & rerum mathematicarum cognitione, quae animus meus maxime desiderabat adeo concinne & miro ordine exposuit, ut si rerum dicere fas est, miJhi potius mirandum sit propter hominis industriam, quam laetandum propter iam adeptam scientiam. Cum itaque hic, licet imperfectus, sit praestantissimi viri colturae fructus, iure ille tibi Illustrissimo Principi debetur, qui qua es erga studiosos omnes benevolentia praeditus munificentissimos sumptus dicto Simoni suppeditans, ut & ipse suam scientiam apud Italos ostenderet & ego quod maxime desiderabam consequerer effecisti. Accedat quod cum dicto Simone narrante singulares C. T. animi dotes percepissem, non potui non maxime me tibi devinctum profiteri, sapientissime enim Philosophorum sapientissimus Plato pronunciavit felicissime actum iri cum Regno, ubi vel Rex ipse philosopharetur, ac doctrina animum suum excoleret, vel sapientes, & eruditos homines constitueret, qui totius Regni administrationem fidelissime & sapientissime gererent, quod utrunque effectum so abstemiro applausu & Gentium omnium acclamatione omnes testantur. Quare cui haec magis offerrem quam tibi ex omnibus quos sol hic vidit unquam de literis, & literarum professoribus merito, videre non potui, quod nullum de Musarum coctu excludere, nec tristem ulla ex parte cum Augusto dimittere, sed in auribus & in [p. 431 oculis Traiani illius optimi exemplo libenter ferre soles, & facilem {quod in Pompeio laudat Cicero) te praehere dignaris. Igitur C. T. hasce ìucubrationes cuiusmodicunque sint ex manu Simonis Marii pacato vultu suscipiat, quod si faciet, non male ille suam operam collocasse apertissime cognoscet.
Valeas, Datum Patavii Nonis Martij. M. DC. VII.
C. T.
deditissimus
Balthasar Capra. [p. 433
ILLUSTRI, AC OPTIMO IUVENI
D. BALTHASAR! CAPRÆ. s. d.
Ego vero illud sane perpulchrum semper esse existimavi, nobilem iuvenem in re literaria anteire aequales : at certe longe pulcherrimum cum maioribus natu, doctioribusque aequari, ad quam metam te amantissime Balthasar pervenisse tua praeclara iam edita testantiir opera, nam tum Quaestiones Logicas, tum Tyrocinia Astronomica adeo dilucide, adeo polite, & graviter conscripsisti, ut merito ea cum sapientissimorum Patrum monimentis conferri posse viderentur. quamobrem de tanto bono tibi summopere gratulor, mihique tui studiosissimo vehementer gaudeo, speroque fore, ut quos tuum faecundum ingenium suaviores indies pepererit fructus, eos pro tua humanitate, ac iuvandi mortales studio omnibus degustandos praebeas. Interim maximopere cupio, cupiuntque communes amici, ut recentem foeturam magnis a te laboribus elucubratam, nempe egregium illud instrumentum Geometricum Arithmeticumque, quod circinum proportionis apte inscribendum putasti in lucem, conspectumque hominum prodire sinas. non vulgarem enim Geometricae & Arithmeticae scientiae studiosis afferes utilitatem, & lumen non exiguum siquidem huius instrumenti ope non solum cuncta propemodum Euclidis proplemata, ac plura alia, ne dicam innumerabilia quaesita brevissime facillimeque resolvent: sed etiam ijsdem ad omnes altitudines, profunditates, nec non locorum intercapedines dimetiendas expeditissima promptissimaque patebit via. ad quod imprimendum, publicandumque, praeter communem utilitatem, cui fere soli vel Platonis testimonio Homo natus esse videtur, & praeter amicorum auctoritatem, nostramque illam dulcem & studiorum, & animorum coniunctionem, quae apud te pro tua benignitate non me latet esse alicuius momenti ; illud quoque non minimum te movere debet, ut qui huiusce Instrumenti inventionem impudenter sibi arrogant, patefacto vero, ac germano effectore, magno suo cum dedecore erubeseant, & coram literatis, & candidis Viris post hac se offerre non amplius [p. 434 audeant. his de caiisis itaque haud diffido te charissime Balthasar omnium votis cumulate satisfacturum. ob quod beneficium qui huic certissimae disciplinae operam navant, ingentes tibi gratias & agent, & habebunt : atque tu inde summum decus, immortalemque gloriam reportabis. Hoc tempore nullum mihi cum aegrotis praepotentis Dei clementia, est negotium. & apud me recto omnia, idem de te faxit Deus semper audiam. Osculor tibi manus, tuoque nobilissimo Patri ex animo me commendo, atque omnibus vitam incolumem, ac summam exopto felicitatem. ex flumine Kal. Ianuarii 1607.
Tuæ Illustri Dominationi
Servus deditissimus
Io: Ant: Petrarolus Astunensis Regni
Neapol. Physicus apud flumenses.
Bonum ipsum ex sua natura communicabile esse, hominemque non sibi ipsi natum iam dudum antea, ni fallor, memoriae proditum est, hoc autem adeo certum esse legimus, ut naturali tantum lumine philosophantes coacti sint dicere Deum ubique diffundi, non alia sane ratione, nisi quia bonum latius patet quam vita, quia pluribus convenit, magis quoque necessarium est, sublata enim vita cessaret mundus moveri, sublato autem bono esse desineret. non dubitarunt ijdem homini publicam utilitatem suo commodo praeferenti in hac vita immortalitatis nomen, in futura autem beatitudinis praemium polliceri, Latinae enim linguae parens Cicero noster lib: vi. Reip:, ut nobis demonstraret quanti sit facienda publica utilitas, aurea illa verba protulit: Quo sis Africane inquit alacrior ad tutandam Remp: sic habeto. Omnibus qui patriam conservaverint, adiuverint, auxerint certum esse in Caelo diffinitum locum, ubi beati aevo sempiterno fruantur. Mirari itaque non parum subit qui fit, ut cum inter omnes homines ob hoc ipsum quod homines sunt intercedere debeat mutua benevolentia, nec enim a natura creati sumus, ut nobis solum nostrisque propinquis, verum etiam alijs, si possibile est, emolumento simus; hac tamen nostra tempestate quam plurimi reperiantur, qui propriae utilitati nimium inservientes, media per quae bonum, quod quidem in hac vita in contemplatione versari nullus est qui ambigat, nobis invidentes, non solum illa ut deberent patefaciunt, verum etiam totis viribus occultare conantur; quod quam recte fiat, manifestum erit, si perpenderint illos, qui literarium studium quantum possunt promovere student hoc privilegio gaudere, ut indies eorum scientiae plus splendoris accedat, e contra vero non desint, qui rempublicam literariam amantes, quod ab osoribus fuit occultatum, patefacere aggrediantur. Quod si mihi accideret dum fabricam usumque circini proportionis hactenus satis occultati molior, haberem sane de quo gloriarer, est enim inventum egregium quod quidem occultum servare, est non parum studiosorum omnium publicam utilitatem retardare. Dum itaque alij de ejus inventione disputant, non nisique summo practio copiam istius faciunt, decrevi ejus structuram & usum [p. 436 publicae utilitatis causa quantum in me erit dilucide promulgare. Licet enim satis sciam non defuturum oblatratorem, qui hos meos labores livido suo morsu lacerare conabitur, nihil tamen moror, modo pluribus prosim, quid si uni non placeam? postquam ab omnibus probari impossibile est. Nec obijciat quispiam me haec non excogitasse; nam istos libenter audire velim quid responsuri sint ad quaestionem qua senex quidam doctus alterum interrogavit: Quot putas (inquit) haberemus hodie in mundo doctos viros, si non uteremur aliorum inventis? Sed quoniam res ipsa detractores istos oportune convincere potest, ideo satius erit non nihil de huius instrumenti utilitate in medium proferre. Primum enim quis poterit dubitare maximam commoditatem exercitatis ipsis instrumentum hoc nostrum allaturum, si viderit huius beneficia omnia fere tum Euclides, tum aliorum omnium mathematicorum problemata maxima cum facilitate resolvi? cum satis iam constet compedia non inutiliter nos a varijs operationibus, sublevare, hinc enim docta antiquitas varia instrumenta & indagavit, & iam inventa excoluit. nec iterum obijciat quispiam in mathematicis versatis superfluum futurum, cum illa omnia unius regulae & circini beneficio praestari possint, nam hac ratione etiam in computationibus astronomicis canon hexacontadon rejiciendus esset, qui tamen ab omnibus tamquam summe utilis recipitur; sed insuper plura sunt, quae istius non dispendiosi compendij opera absolvuntur, quae vix alias summo labore praestari possent, ita ut de eius utilitate dubitare, sit ultro in lumine cecutire velle. Sed quid dicendum de usu, quem Militibus praebet, quibus adeo necessaria est mathesis disciplina, tamen ut plurimum superficietenus illam libare conantur? potest hoc instrumentum talem illis operam praebere, ut ausim dicere, quod istius solum beneficio tantum addiscere possunt quantum illis sufficiat ad commode suam artem tractandam. Quod si verum est, prout in progressu quilibet cernere poterit, non immerito totius Geometriae laudes aliquas sibi arrogare; meque non inutiliter hunc laborem suscepisse, quilibet sibi persuadere poterit. Interim te compello & rogo candide Lector, ut has meas lucubrationes boni aequique consulas, quod si facies ut imposterum maiora his audeam non minimam occasionem pariens.
VALE. [p. 437
Fabrica Circini Proportionis.
Lineam Linearum in Circino proportionis describere. CAPUT I.
Instrumentum quod componendum suscepimus circini formam possidet, prout in apposita figura A notata cernitur, sed crura recte complanata & levigata duorum digitorum latitudinem habent, in utroque crure ex utraque parte a centro per totam circini longitudinem ducuntur quatuor lineae in extrema instrumenti parte aequidistantes, ut apparet in exemplo BCDE & LMNO figurae Caput V. ita ut totum instrumentum sexdecim lineis constituatur. Sed ut primum de anteriori parte sermonem faciamus, suscipimus magis internam lineam explicandam, quae per literam B signata cernitur, haec quia proportione arithmetica in 100, 200, vel 250 aequas partes, vel plures etiam, pro libitu dividi solet, ab aliquibus linea arithmetica nuncupatur, quam denominationem non improbo, tamen magis mihi arridet nomen desumptum ab operationibus, videbimus enim omnes lineas istius instrumenti operationes habere suo nomini congruentes, prout quando circini usum explicabimus manifestum erit; sic cum huius lineae usus potissimum circa lineas versetur, non immerito quis hanc lineam linearum vocandam esse crediderit. Hujus fabrica satis est facilis, postquam nullus est tam rudis artifex, qui non possit lineam aliquam propositam in petitas aequas partes dividere. dividatur itaque vulgari modo in aliquotas aequales partes, numeri de quinque in quinque ascendentes apponantur, & sic haec prima linea perficietur. Quae [p. 438 etiam summa facilitate dividi posset per illa, quae Cap. 3 istius instrumenti usum tradentes, explicabuntur.
Lineam superficierum in instrumento describere.
CAPUT II.
His succedunt duae aliae lineae per literam C notatae, quae ab aliquibus geometricae nuncupantur; cum enim Geometria generali vocabulo illa facultas vocetur, quae in planorum contemplatione versatur, has lineas geometricas vocandas esse crediderunt, usus enim illarum potissimum circa superficies versatur, sed nos has lineas superficierum semper vocabimus, non tantum propter earum constructionem, quam propter usum. Verum antequam ad fabricam istius lineae descendamus necessarium est praemittere hanc tabulam radicum quadratarum, quae extenditur usque ad 200. Si quis tamen in instrumento has lineas longiores desideraret facile sibi ipsi poterit tabellam construere radices quadratas extrahendo prout exemplum in ipsa tabula patere poterit. Vel, & faciliori negotio, illam desumere poterit ex quodam libello Ioannis Hartmanni, cui titulus est: Stereometriae inanium. nova & facilis ratio &c. quem librum si ego venalem reperijssem integram non solum radicum quadratarum sed etiam cubicarum tabulam descripsissem. verum ut dixi cum apud nos hic liber desideretur, tabulaeque praenominatae maxime sint necessariae ad futuram instrumenti fabricam, ne quid mihi benefaciendi ansam arriperet, proprio marte duas sequentes tabulas, alteram usque ad 200 supputatam reliquam usque ad 172 exaravi, quae satis commode ad hoc instrumentum componendum sufficere possunt. [p. 439
Residuum Tabulae radicum quadratarum.
Residuum Tabulae radicum quadratarum.
Delineaturus itaque lineam C dictam superficierum, quod enim de uno circini crure dicam, de altero etiam intelligendum suppono, quae contineat E. g. 100 partes, necessum prius erit duas lamellas ex aurichalco parare, & illas clavo mobili ex una parte ita connectere, ac si circinum construere velles, ubi facto centro per lamellarum longitudinem duces duas lineas rectas in fine aequidistantes, & illas in 100 aequas partes (quod nihil aliud est quam peculiarem lineam linearum construere) divides, hoc autem maxima cum diligentia, nam inde fere tota instrumenti fabrica pendet, hoc facto lamellas in loco plano disponas, ita ut quando libuerit possis illas recto firmare : tunc divides tui instrumenti lineam in decem aequas partes, ut factum vides de linea C notata, post quam 100 partes continere debet, & tabula usque ad 100 habet 10 diametros; secundum unam illarum partium aperies lamellas in 100 accipies enim vulgari aliquo circino decimam propositae lineae partem, & illam punctis lamellarum 100. 100 notatis per transversum applicabis, claviculisque lamellas ita firmabis, ut uUlo modo moveri possint, quo facto videbis tabulam radicum quadratarum iuxta 2 habere 414 ideo vulgari circino ex linea linearum iam iam claviculis firmata per transversum accipies distantiam inter puncta 45 & 4 decimas, hancque in lineam superficierum describendam signabis, firmato enim uno circini pede in primo puncto post instrumenti centrum, & in exemplo signatur littera F, alio pede notabis distantiam, quae in exemplo sit G, mox accipies distantiam inter puncta 73 & duas decimas, & illam in tuam lineam superficierum transferes, ut iam dictum fuit, & ita unam partem huius lineae divisisti ; iterum relinquendo secundam diametrum tabulae accipies distantiam inter puncta 23 & 6 decimas, & illam transferes in tuam lineam, incipiendo a secundo puncto post centrum, quod est initium tertiae partis lineae, sicque successive facies de parte in partem usque ad decimam partem, & videbis lineam superficierum exactissime in 100 partes divisam, modo non oscitanter partes & decimas partium ex linea linearum dieta acceperis. Notatis itaque omnibus divisionibus, appositisque proprijs numeris, properabis ad descriptionem aliarum linearum.
Lineas solidorum in instrumento conficere.
CAPUT III.
Haec linea, quae immediate lineam superficierum sequitur, & litera D notatur, ab aliquibus linea stereometrica appellatur, eo quia cum stereometria sit illa, quae solidorum cognitionem tradit, haec autem linea circa solida corpora versetur, non immerito lineam stereometricam dicendam crediderunt; hanc tamen [p. 442 ego ab ejus usu, vulgari vocabulo lineam solidorum semper vocabo. Recte itague intellecta priori descriptione, haec potest nonnisi manifesta esse, si tamen prius sequens haec tabula radicum cubicarum praemittatur.
Tabula radicum cubicarum pro linea solidorum.
Residuum Tabulae radicum cubicarum.
Residuum tabulae radicum cubicarum.
Pateat ergo quot partes ista linea D notata continere debeat, ut e. g. 125, video tabulam radicum cubicarum usque ad 125 continere quingue diametros, io ideo hanc lineam in quinque aequas partes dividendam dico, prout in exemplo facillime videri potest : secundum unam istarum aperiolamellas iam dictas, ut superius factum fuit in 100 illisque recte firmatis accipio distantiam inter puncta 25 & 9 decimas, & illam in lineam solidorum futuri instrumenti transfero, firmato uno pede circini in primo puncto post centrum instrumenti H notato, quod est initium secundae partis lineae, & alio circini pede notata distantia per punctum I, mox accipio distantiam inter puncta 44 & 2 decimas, & illam vicissim transfero in lineam dictam, hocque successive donec petitas partes habeam. illud solum animadvertendum, ut quando ad secundam diametrum ventum est, incipiamus distantias notare a secundo puncto, quando ad tertiam a tertio, & sic de reliquis. Notatis itaque divisionibus apponantur numeri, & linea solidorum erit perfecta.
Lineas metallicas construere.
CAPUT IV.
Haec linea litteris E, E notata, ut de altero tantum crure loquar, eo quia proportiones metallorum continet, & circa corpora metallica versatur linea metallorum nuncupatur. Ut ea exacte describi possit divitur in octo partes aequales, ut in exemplo videre est, quandoquidem metalla plus faciunt, quam septem diametros. Secundum unam dictarum partium aperies supra dictas lamellas in 100, & illas recte firmabis, postea accipies distantias inter puncta fractionis cuiuscunque metalli, quas proprio diametro applicabis, ut E. g. prò auro accipies distantiam inter puncta 17. 17; & illam applicabis quinto diametro, ibique facto puncto auri characterem describes Pro argento accipies distantiam inter puncta 29. 29, & illam applicabis sexto diametro, ibique facta nota eius characterem caelabis, ut [p. 445 manifestissime in dato exemplo videri potest, & sic de reliquis, prout subiectae proportiones metallorum demonstrant. Hac itaque linea constructa, iam prima instrumenti facies, quam anteriorem nomina vimus, erit absoluta, ideo ad posticam properandum erit.
| Aurum | 5 | $\scriptstyle {\frac {17}{100}}$ |
| Argentum vivum | 5 | $\scriptstyle {\frac {57}{100}}$ |
| Plumbum | 6 | $\scriptstyle {\frac {6}{100}}$ |
| Argentum | 6 | $\scriptstyle {\frac {29}{100}}$ |
| Cuprum | 6 | $\scriptstyle {\frac {58}{100}}$ |
| Ferrum | 6 | $\scriptstyle {\frac {84}{100}}$ |
| Stamnum | 7 | $\scriptstyle {\frac {10}{100}}$ |
Lineam quadrantis geometrice dividere.
CAPUT V.
Hanc posticam instrnmenti partem K notatam, octo alias lineas, hoc est quatuor in unoquoque crure, continere dixi, harum interiores literis 11 notatae lineae quadrantis dicuntur, quia scilicet ad quadrantis divisionem dividuntur. Quod vero spectat ad earum constructionem, describes in loco acquali totam lineae instrumenti tui quantitatem, hanc in duas aequas partes divides, ut in subiecto schemate A, ex hoc puncto A describatur semicirculus BCD: puncto A inquiratur perpendicularis, quae sit CA, quare punctum C erit centrum, ex quo describatur quadrans BED, ut mos est quadrans in 90 partes diligentissime dividatur. His peractis statuimus unum alicuius circini pedem ad unam partem, ubi subtensa BD tangit lineam quadrantis, & alium pedem extendemus ad 89 gradum, quam distantiam transferemus in lineam instrumenti dividendam, mox parum contraete circini pede accipiemus 88 gradum, & sic de reliquis. Notandum tamen quod ubi semel primum pedem circini firmavimus, ibi semper centrum erit, ut in exemplo quoniam prima vice circini pedem in B firmavimus, ideo punctum B semper loco centri accipiemus, donec tota linea iuxta divisionem istius quadrantis sit divisa in 90 partes, quibus divisionibus ascribantur proprij numeri, vel de 5 in 5, vel de 10 in 10 ascendentes. [p. 446
Lineam circidorum in instrumento inscribere.
CAPUT VI.
Succedunt duae aliae lineae M, M notatae, quae tum ab usu, tum etiam a constructione lineae circulorum vocantur, dividuntur enim ad circuli divisionem, nec non etiam earum beneficio circulos in partes petitas secare possumus. Si hanc itaque in hoc instrumento describere cogitas, accipias integram instrumenti tui delineandae lineae magnitudinem, eamque in rem planam transferas, statimque dimidiam partem accipies, & habebis centrum, quod notabis in instrumento : firmato enim uno circini pede in centro instrumenti, alio dictam lineam secabis, sectionemque notabis per 6, nam non solum ostendit dimidium diametri, sed etiam latus hexagoni, mox ex ilio centro describes circulum, quem primum divides in tres partes, tertiamque hanc partem notabis in instrumento non solum per 3, sed etiam per 7, nam non significat solum tertiam circuli partem, sed etiam latus hexaedri, semper scilicet firmato primo pede circini in centro instrumenti, deinde illum divides in quatuor, quartamque partem transferes in tuam lineam circulorum, quod successive facies de quibuslibet alijs partibus. Vel & fortasse melius totum circulum divides in 360 partes, & tunc circino vulgari accipies tertiam, quartam, quintam partem & sic de reliquis, per quas lineam iam dictam satis praecise dividere poteris.
Lineam quadrativam construere.
CAPUT VII.
Tertia linea literis NN notata quadrativa ab eius usu non immerito appellatur, postquam per hanc commode circulum quadrare possumus. Descripturus itaque hanc lineam, portionem istius assumes, utpote KQ hanc dimidiabis in E, & habebis diametrum in Q & semidiametrum in R, quos pro libitu lineola aliqua notabis. Secundum totam itaque diametrum aperies lamellas iam multoties nominatas in 100 & vulgari circino prò quadrato accipies distantiam per transversum inter puncta 88 & 4 decimas, hancque firmato uno pede circini in centro [p. 447 instrumenti, transferes in lineam quadrativam, ubi facta nota describes pro signo figuram quadratam, deinde prò quarta circumferentiae accipies distantiam inter puncta 78 & 5 decimas, & vicissim firmato pede circini ut iam dixi in centro instrumenti, transferatur in lineam iam describendam, haecque distantia notetur ad libitum, pro pentagono autem accipiatur distantia inter puncta 67 & 5 decimas, & haec in linea instrumenti sic notetur 5, prò hexagono accipiatur distantia inter puncta 54 & 9 decimas, & haec in linea instrumenti notetur per 6, pro heptagono accipiatur distantia inter puncta 46 & 5 decimas, & haec in instrumento notetur per 7. Tandem pro octogono accipiatur distantia inter puncta 40 & 3 decimas, haec autem in instrumento notetur per 8 & sic habebis lineam quadrativam exactissime divisam.
Postremam & ultimam lineam quinque solidorum dictam describere.
CAPUT VIII.
Totius istius lineao fabrica pendet ex prob. 6 prop. 18 13 liber Euclidis, quo docet latera quinque figurarum exponere, & inter se comparare. Hanc autem ut recte in tuo instrumento describere possis, accipies integram lineae longitudinem, hanc in loco plano signabis, quam divides primum in duas partes aequales & habebis centrum in C ex quo describes semicirculum AFGHB, iterum secetur in D, ita ut DB sit pars tertia, postremo secetur in E, sic ut EB sit pars quinta, postmodum ipsi AB ad circumferentiam semicirculi ducantur perpendiculares CF, DG, EH, connectantur rectae AF, BF, AG, BG, AH, BH. Post haec, ex HA abscindatur HI, aequalis lateri decagoni in eo circulo descripti, cuius semidiameter, seu latus hexagoni est BH hoc est aperias circinum pro magnitudine BH firmatoque uno circini pede alio duces circulum cuius invenies decagonum, quod facillimum esset, si haberes iam instrumentum factum per ea quae [p. 448 dicentur Cap. 34. Accepta itaque decagoni quantitate, & firmato uno circini pede in puncto H alio secabis lineam HA in I ducesque rectam BI. Tandem linea BG secetur extrema ac media ratione, vel per tradita ab Euclide Prob. 10 prop. 30 VI lib., vel per illa, quae a nobis explicabuntur dum de usu linearum verba faciemus Cap. scilicet x. Postremo puncto A inveniatur perpendicularis, ut in exemplo vides, posito enim uno circini pede in medio semicirculi ut puta in 1 alio extenso usque ad A lineam AB secamus in M, & insuper extra semicirculum arcum N describimus, applicata regula ad punctum M intersectionis lineae, & ad centrum 1 in medio semicirculi factum notabimus intersectionem arcus N, ut inde habeamus punctum correlativum, ex quo describenda est perpendicularis, hanc secabimus pro longitudine totius lineae in O applicata regula ad punctum C & O signabimus intersectionem semicirculi in P, ex quo puncto ducemus rectam ad A, omniaque erunt disposita ad futuram lineam describendam. Circino itaque aliquo accipias quantitatem lineae BK, quae nobis significat latus dodecaedri, firmato uno pede circini in centro instrumenti alio secabis tuam lineam, ubi facta nota illam signabis per 12 , deinde accipies quantitatem lineae BI, quae ostendit latus Icosaedri, firmato uno circini pede in centro instrumenti ubi alius ceciderit ibi facto puncto inscribes 5. Tertio accipies quantitatem lineae AP, quae ostendit latus hexaedri, hunc transferes in tuam lineam & illum signabis per 20. Quarto accipies quan- titatem BG, quae latus cubi praebet, & per hanc secabis lineam instrumenti, & ubi nota erit signabis 2. Quinto accipies quantitatem lineae FA pro latere octoedri, ubi ceciderit alter pes circini ibi inscribes 8. Sexto & ultimo accipies quantitatem G A, quae tetraedri seu piramidis latus exhibet, secundum quam a centro instrumenti secabis lineam quinque solidorum, & in intersectione inscribes 4. [p. 449
Haecque est linearum omnium suscepti instrumenti fabrica, quae licet instrumentum satis perfectum nobis exhibeat, tamen non inutiliter quadrantem etiam illi apponere possumus. Ex aurichalco itaque, vel alio quovis metallo paretur quarta circuli pars, ut pro libitu assumpto semidiametro KS in postica instru- menti parte, describatur quadrans T quod connectendum erit brachijs instrumenti per foramina V V, immissis chocleis ad hoc peculiariter confectis, tunc ex centro K circini beneficio in hac quarta circuli parte describantur quinque arcus, ita ut sex circumferentias contineat, prima in parte exteriore continebit quadratum geometricum, tertia quadrantem astronomicum, quinta scalam libratoriorum, reliquae autem omnes continebunt uniuscuiusque divisionis proprios numeros. Ut autem quadratus geometrici descriptionem in hoc instrumentum transferre va- leamus, nec enim circa quadrantem astronomicum, nec circa scalam dictam im- morandum credo, postquam haec in 12 aequas partes, ille in 90 vulgariter ab omnibus dividi solet, necessum prius erit quadratum geometri- cum exactissime divisum habere, hoc autem non multum excedere debet quantitatem quartae portionis circuli T. Centrum itaque quadrantis sup- ponatur centro instrumenti, lateraque subijciantur arcui T accepto, prout ex K, quod quidem centrum instrumenti significat, VXY cernitur, sicque fir- matis omnibus, applicataque regula centro K & singulis quadratus divisionibus exteriorem periferiam arcus T diligentissime dividemus, prout unico exemplo demonstrare possumus, applicata nanque regula ad punctum K, & ad primam divisionem lateris VX secabimus exteriorem periferiam arcus T in puncto Z sicque successive donec in 200 aequas partes illa fuerit divisa. Haecque est tota instrumenti fabrica, quae modo [p. 450 sedulum artificem inveniat omnino facilis offendetur, si enim aliqua, quod non credo, minus clara prima fronte videbuntur manibus ad opus ad motis, sine dubio omnis difficultas removebitur. His fruere, candide lector, dum ad usum, in cuius gratiam haec omnia compilata sunt, properamus. In cuius explicatione omissa longa verborum serie brevitatem & pro viribus dilucidam perspicuitatem complexus sum; interim tamen ut sedulus lector maiorem utilitatem caperet, quando opportunum mihi visum fuit, Euclidis problemata in medium adduxi, tum ut instrumenti utilitas, tum ut diffusus istius usus ab omnibus conspici posset: si enim quis a nobis haec tradita exempla poterit ex templo resolvere, omnia tum Euclidis, tum aliorum fere omnium problemata nullo negotio etiam conficiet. Sed de his hactenus iam ad usum veniendum. [p. 451
Usus instrumenti proportionis iam explicati, & primum usus lineae linearum.
Qua ratione beneficio istius lineae possimus lineam aliquam partem & partium fractiones continentem construere. CAPUT I.
Explicata instrumenti fabrica iam venimus ad usum; & primo demonstrabimus qua ratione facillime construenda sit linea, quae contineat partes & partium fractiones, quod tamen alias non nisi summa difficultate fieri posset. Proponatur itaque construenda linea aliqua, quae contineat 4 perticas 7 pedes,& $^6$/$_7$ pedis, sit data perticae magnitudo ut puta AB, pro cuius longitudine sit construenda petita mensura, ducatur linea occulta ad libitum CD, circino vulgari in ista accipiantur 4 perticae, quod est facillimum, aperies enim circinum secundum magnitudinem AB, & hanc quater mensurabis supra lineam CD, usque ad E, mox multiplicabis 7 in 12, & hoc quia pertica continet 12 pedes, productum erit 84, iterum accipies quantitatem lineae AB, & hanc per transversum applicabis punctis 84. 84, sicque relicto instrumento immoto multiplicabis 7 per 7 producto addes 6 habebis 55, vulgari itaque circino accipies distantiam inter puncta 55.55, quae additur constructae lineae, ut in exemplo E, F sit enim haec B universalis regula, quod numerus pedum unius perticae debet multiplicari per denominatorem fracturae pedum ultra integram perticam. Et sic habemus lineam CF, quae continet 4 perticas 7 pedes & $^6$/$_7$ pedis, quod fuit propositum.
Lubet autem ulteriori exemplo rem hanc melius exponere. Sit itaque construenda linea secundum datam AB quinque perticarum 11 pedum, & $^1$/$_4$ pedis, sit autem pertica 16 pedum. Multiplicetur 4 in 16 productum erit 64 magnitudo lineae AB quinquies mesuretur supra dictam lineam CD usque in G tum haec eadem perticae quantitas applicetur punctis 64. 64, relicto immoto instrumento multiplicetur fractio 55 $^1$/$_4$ in se productum erit 45, accipiatur distantia [p. 452 inter puncta 45. 45 quae addatur lineae CG & erit GH, sicque erit constructa linea CH continens quinque perticas 11 pedes & $^1$/$_4$ pedis, quod faciendum propositum fuit.
Alicuius datae lineae omnes petitas partes invenire.
CAPUT II.
Haec operatio est solutio probl. 1 prop. 9 VI lib. Euclidis, cuius facilitatem mirabitur quicunque absque hoc instrumento aliquando tentavit hoc problema resolvere, difficillimum enim esset, ne dicam omnino impossibile huiusmodi divisiones invenire, quas tamen statim nobis exhibet instrumentum hoc nostrum. Si enim propositae alicuius lineae requirerentur $^{10}$/$_{13}$ $^{27}$/$_{59}$ $^{87}$/$_{100}$semper aliquo circino accepta magnitudine lineae illa applicetur punctis denominatoris, & immoto instrumento excipiatur intervallum numeratoris, videlicet 10 27 vel 87, ut in exemplo cernitur lineam AB est $^{87}$/$_{100}$ ipsius AC.
Insuper si esset data linea 100 partium, & peterentur $^3$/$_{100}$ vel 4, vel 5, quae prope centrum instrumenti accipi non possunt, illa accipiantur ex altera [p. 453 parte instrumenti videlicet prope 100 ascendendo, haec autem distantia firmato uno pede circini in puncto C, & alio extenso usque ad punctum D nobis abscindet D A $^5$/$_{100}$ videlicet ipsius lineae.
Lineam propositam in aliquot petitas partes secare.
CAPUT III.
Nulli dubium est quod laboriosissimum sit dum aliquam lineam dividimus toties circinum constringere & dilatare, donec voti compotes facti sumus itaque non abre erit faciliorem viam per hoc instrumentum demonstrare. Si lineae ergo magnitudo non excedit instrumenti aperturam hanc facillime sic dividemus, inveniemus numeros vicissim multiplices pro lineae dividendae partium numero, ut si linea AB E. g. dividenda esset in quinque aequas partes, quoniamquinquies in 100 continetur, ideo circino aliquo accipimus integram lineae quantitatem, hanc punctis 100. 100 notatis accomodamus immotoque instrumento accipimus distantiam inter puncta 20. 20, quae erit quinta dictae lineae portio AC.
Sed si data esset minima aliqua linea dividenda in 16 partes, ut puta D E Ducatur occulta linea pro libitu DF, in qua ad placitum aliquoties mensuretur ipsa DE, ut exempli gratia quater, ita ut tota linea DF sit divisa in quinque aequas partes, multi- plicetur numerus partium lineae dividendae DE per numerum partium lineae divisae DF productum erit 80, ideo accipiatur tota lineae D F longitudo illa applicetur punctis 80. 80, & immoto instrumento accipiatur distantia inter puncta 79. 79, quae trasferatur in lineam DF, firmato enim uno pede circini in puncto F alio secetur linea DE in puncto G, mox accipiatur distantia inter puncta 78. 78, & illa in hanc lineam trasferatur, quod toties repetendum erit donec linea DE in 16 aequas partes divisa sit.
Si autem aliqua linea data esset longior, ita ut secundum ipsam in dato numero aperiri non posset. Ut si E. g. esset data linea [p. 454 dividenda in 7 aequales partes, supponamus autem secundum istam lineam instrumentum aperiri non posse, ideo aperiatur circinus aliquis ut cunque, & eius apertura sumatur septies in data linea HK per occultas notas, ut postea notae illae deleri possint, relinquatur autem portio I K. Vulgari circino accipiatur magnitudo lineae dictae IK haec applicetur punctis 70. 70, vel aliquo alio numero multiplici, & immoto instrumento accipiatur una septima illius IK, quae addatur singulis partibus prius acceptis in Linea HK, & sic erit exactissime divisa in 7 eaquales partes, prout propositum fuit faciendum. Sitque in exemplo portio inventa LI$^{nota}$.
Non absimili etiam ratione ab hac linea pendet solutio probl. 3 propr. 3 primi libri Eucl: quo docetur duabus datis rectis lineis inaequalibus de maiore aequalem minori rectam lineam detrahere. Sint enim duae rectae. A & B, propositumque sit detrahere minorem lineam A a maiori B. Accipias totam lineae B quantitatem, secundum hanc aperias A prolibitu, ut puta in 40. 40, mox accipias quantita- tem lineae A & videbis quibus punctis possit accomodari, ut in hoc exemplo punctis 22. 22, ex immoto instrumento excipies distantiam inter puncta differentiae horum numerorum, hoc est inter puncta 18. 18, per quam secabis lineam B in puncto C, linea enim CB erit aequalis ipsi A quae quidem operatio licet exigui momenti videatur, tamen exacte instrumentum constructum demonstrabit.
Hinque etiam sedulus operator facili admodum negotio poterit 1 probl. prop. 3, & probl. 2 prop. 4 lib. x Euclidis, resolvere.
Secundum datam lineam divisam secare aliam non divisam, indeque patet solutio probl. 2 prop. X lib. 6. Eucl.
CAPUT IV.
Sit AB linea divisa in partes ACDB, & sit altera linea non divisa EF, sed dividenda secundum proportionem lineae iam divisae, nulli dubium quod [p. 455 proportiones istas invenire non tam facile esset, quas tamen harum linearum beneficio quilibet statim indagare poterit. Aperiatur enim in hac linea linearum secundum AB, hoc est circino aliquo accipiatur quantitas A lineae A B, haec accomodetur pro libitu aliquibus punctis, ut firmato uno circini pede in 100 tantum aperiatur instrumentum donec alius circini pes in alium 100 cadat, tunc accepta EF quantitas videatur in quem numerum incidat, quod nihil aliud erit quam invenire proportiouem quam habent inter se duae lineae AB & EF, cadat itaque dicta EF in 90. 90. Tunc accipias quantitatem lineae AC hanc mutato instrumento accommodabis punctis 100. 100, immotoque instrumento statim excipies intervallum inter puncta 90. 90, quem transferes in lineam EF firmato enim uno pede circini in puncto E alio secabis lineam EF in G, deinde iterum accipias quantitatem CD, hanc accommodabis punctis 100. 100 & excipies distantiam inter puncta 90. 90, per quam firmato uno, pede circini in puncto G alio secabis lineam FG in H, sicque successive faceres si proposita linea esset dividenda in plures partes.
Qua ratione harum linearum beneficio plures arithmeticas regulas solvere valeamus.
CAPUT V.
Poterit harum linearum auxilio quilibet licet numarare vix sciat, ut ut hoc impossibile videri possit, plures arithmeticas regulas resolvere. Verum ut melius explicare possimus, quae ad hanc operationem pertinent, prius notandum erit quod quotiescunque a centro instrumenti secundum eius longitudinem necessum erit aliquas istius lineae partes assumere, ut in exemplo si posito uno pede circini in centro A figurae cap. I necessum esset alium extendere ad punctum P, semper in hoc casu hanc lineam scalam immobilem vocabimus. Harum itaque, ut diximus linearum auxilio facillimum est omnes quaestiones arithmeticas, quae per regulam proportionum solvuntur determinare; & primum auream regulam vulgariter de tre dictam facili negotio absolvemus, si firmato uno pede vulgaris circini in centro instrumenti extenso alio pede per longitudinem scalae immobilis, usque ad notam secundi numeri in proportione positi accipiemus distantiam, quam per [p. 456 transversum applicabimus punctis primi numeri, & immoto instrumento accipiemus distantiam inter puncta tertij numeri, quam mensurabimus supra scalam immobilem a centro instrumenti, & videbimus quem numerum abscindat. Ut si E. g. sit quaestio 100 dant 60, quot dabunt 80 hi numeri positi in regula proportionum sic habent: 100, 60, 80. Vulgari itaque circino accipiemus distantiam ex scala immobili 60 partium hanc per transversum accommodabimus punctis 100. 100 notatis, & immoto instrumento accipiemus distantiam inter puncta 80. 80 quam iterum mensurabimus sopra dictam scalam, & videbimus abscindere 48 punctum, quare dicendum 48 esse quartum numerum quaesitum.
Secundo si quaestio esset 10 exhibent 30 quot dabunt 80, nec secundus, nec tertius numerus ex scala immobili acceptus potest primo per transversum accommodari, ideo necessum erit secundum, vel tertium numerum ex scala immobili accipere, illamque distantiam duplo vel triplo maiori numero per transversum accommodare, immotoque instrumento distantiam secundi vel tertij numeri accipere prout secundum vel tertium prima vice accepimus, quae distantia supra scalam immobilem mensurata ostendit numerum, cuius duplum vel triplum, quartum numerum demonstrat; ut in dato exemplo ex scala immobili accipio quantitatem 30 partium, hanc per transversum punctis 30.30 notatis apto, & immoto instrumento accipio distantiam inter puncta 80. 80, hanc distantiam supra scalam immobilem mensuratam video abscindere 80 punctum, ideo dico 240 esse quartum numerum quaesitum, si enim meministi pro 10 accepi 30.
Tertio si primus numerus in regula proportionum positus excederet numerum partium ipsius lineae, accipiemus quantitatem secundi numeri ex scala immobili, & hanc punctis dimidiae partis primi numeri accommodabimus, & immoto instrumento accipiemus distantiam inter puncta dimidiae partis tertij numeri, quae supra scalam immobilem mensurata ostendet quartum numerum quaesitum, vel accipiemus distantiam inter puncta totius tertij numeri, quae ut iam dictum fuit, [p. 457 mensurata exhibet numerum cuius medietas quartum numerum indagatum demonstrat. Ut si quis diceret: 150 dant 60, quot dabunt 90. accepta itaque ex dicta scala quantitate 60 partium, hanc per transversum accommodamus punctis 75. 75 hoc est dimidiae partis primi numeri, immoto instrumento vel accipimus distantiam inter puncta 90. 90, quam mensuramus supra scalam immobilem, & offendimus abscindere 72 punctum, cuius medietas nempe 36 absque omni dubio est quartus numerus inquisitus, vel tandem accipimus distantiam inter puncta 45.45, hoc est inter puncta dimidii 90, & haec mensurata praebet 36 pro quarto numero.
Quarto si tertius numerus in regula proportionum positus longe excederet numerum partium ipsius lineae, tamen operatio perficietur, si accepta quantitate partium secundi numeri a centro instrumenti per longitudinem immobilis scalae hanc ccommodabimus punctis primi numeri & ex immoto instrum aliquot partes resoluto tertio numero toties accipiemus distantias donec voti compotes facti sumus. Ut si quis diceret 34 dant 20 quot dabunt 480, accipiemus inquam a centro instrumenti per scalam immobilem quantitatem 20 partium, hanc per transversum punctis 34. 34 disponemus, & immoto instrumento primum accipiemus distantiam inter puncta 100. 100, quae mensurata supra scalam immobilem abscindit 59 partem, qui numerus per 4 ductus, 100 enim in dato numero quater haberi potest, dat 236, tum accipiemus distantiam inter puncta 80. 80, quae iterum mensurata supra dictam scalam abscindet 46 punctum, & aliquid amplius, qui numerus priori additus, ostendit quartum proportionalem numerum 282 $^1$/$_3$ fere.
Quinto & ultimo si numeri in regula proportionum positi adeo essent minimi, ut ullo modo instrumento accomodari possent, tamen operatio perficietur si loco unitatis accipiantur decimae. Ut si quis volens disponere 125 milites, ita ut in unoquoque ordine quinque ponantur, desideraret praescire numerum ordinum. In hac operatione sic esset procedendum, 5 milites faciunt unum ordinem quot facient 125, & secundum hactenus dicta ex scala immobili accipienda esset quantitas unius partis, haec punctis 5. 5 applicanda esset, verum isti numeri in instrumento haberi non possunt, ideo sic numeros disponemus 50 10 12 50 tum ex scala immobili accipiemus quantitatem 10 partium, hanc per transversum punctis 50. 50 aptabimus, & immoto instrumento accipiemus distantiam primum inter puncta 250. 250, hanc supra scalam immobilem mensurabimus, & videbimus illam abscindere punctum 50 qui numerus quinquies acceptus producet [p. 458 summam 250; a quo numero abiecta ultima nota residuatur 25 quartus numerus indagatus.
Non hic iacet huius instrumenti usus, verum ea facilitate arithmeticas illas quaestiones, quae per reiteratas regulas aureas resolvuntur, extricare docet, ut quilibet huius beneficio facile possit exactus supputator videri. Sint igitur E. g. tres homines, qui una 250 libras lucrati sint, alter tamen per 20 dies, alter per 30 alter per 43 laboraverit, quaerant autem singuli debitam sibi nummorum partem, nulli dubium quod in hoc casu sic esset procedendum: dies propositi invicem sunt addendi quorum summa erit 93, tum dicendum esset 93 dant 250 quot dabunt 20, haecque esset prima operatio, tunc iterum 93 dant 250 quot 10 dabunt 30, tandem tertio esset dicendum 93 dant 250 quot dabunt 43, hoc autem an sit laboriosum norunt in hac arte versati, ab hac tamen molestia huius instrumenti ope sublevamur, accipiemus enim ex scala immobili quantitatem 125 partium, hoc autem ut operatio melius perfici posset, non enim satis commodum esset quantitatem 250 partium punctis 93. 93 accommodare, excipiemus itaque ex dicta scala quantitatem dimidij numeri tantum hanc applicabimus punctis 93. 93, nec amplius mutanda erit instrumenti apertura, sed primum accipienda distantia inter puncta 20. 20 haec mensurata supra scalam immobilem abscindet 27 punctum non completum cuius duplum scilicet 54, fere est portio competens illi, qui per 20 dies laboravit, secundo non mutata instrumenti dispositione accipiemus distantiam inter puncta 30. 30, haec mensurata supra scalam immobile abscindet fere 40 $^1$/$_3$ cuius duplum nempe 80 $^2$/$_3$ erit nummorum portio, quae competit illi, qui per 30 dies suam operam locavit. Tertio & ultimo excipiemus distantiam interpuncta 43. 43, quae mensurata supra scalam immobilem abscindet fere 58 puncta cuius duplum 115 $^2$/$_3$ fere est illud, quod debetur illi, qui per 43 dies laboravit.
Non minori facilitate resolvuntur quaestiones illae arithmeticae, quae regulam trium inversa dictam desiderant, in quo casu supra scalam immobilem accipimus quantitatem primi numeri, hanc per transversum applicamus punctis tertij numeri, & accipimus distantiam inter puncta secundi numeri, quam mensuramus [p. 459 supra dictam scalam, & habemus optatum. Ut si quis diceret est triremis quae habens 12 remos spatio 18 dierum potest suum iter perficere, quaeritur si 20 remos habeat quot dierum spatio illud iter absolvet, numeri in regula positi sic se habent 12 18 20. Accipias itaque supra scalam immobilem quantitatem 12 partium, hanc punctis 20. 20 per transversum accommodabis, & immoto instrumento accipies distantiam inter puncta 18. 18, quae mensurata supra scalam immobilem abscindet 10 $^4$/$_5$, quod quaerebatur.
Verum si quis quaereret 100 coronatos quot ungaricos faciant, illud praescire debet coronatum septem ungaricum decem libris aestimari, tum supra scalam immobilem accipiet quantitatem septem partium, post quam iste quaerit pecuniam, quae septem, quantum faciat de illa, quae decem valet, hanc punctis 10. 10 accommodabit, & immoto instrumento accipiet distantiam inter puncta 100. 100 quam mensurabit supra scalam immobilem, & offendet abscindere 70 punctum, quare inquiet 100 coronatos efficere 70 ungaricos. Quod si coronatum E. g. valeret 7 libras & 4 solidos tunc coronatum & ungaricum resolveret ad solida, & in reliquis operatio erit similis priori.
Non absimili negotio possumus mercatorum quaestiones illas resolvere, per quas quaeritur spatio 4 annorum 120 coronatos ad 6 pro 100 quotannis relicta usura supra sortem, & etiam supra usuram, quid sint lucraturi. Primum enim sic dispones numeros 100 dant 106 quod dabunt 120, ex scala immobili statim accipias distantiam a centro instrumenti ad punctum 120 hanc punctis 100. 100 per transversum accommodabis, & immoto instrumento accipies distantiam inter puncta 106. 106 quam parum plus aperto instrumento iterum applicabis punctis 100. 100, & iterum immoto instrumento excipies distantiam inter puncta 106. 106 hoc autem quater repetes, pro numero scilicet annorum, ultimo acceptam distantiam mensurabis supra scalam immobilem & invenies abscindere 152 punctum fere, quare inquies 120 coronatas spatio 4 annorum evasisse 152{#tag:ref|Copiato dall' operazione 7, c. 6, alla nota ♏︎)}.}}.
Si vero libeat possumus etiam semel accommodato instrumento hanc quaestionem determinare, si accipiamus ex scala immobili distantiam 106 puncti a 30 centro instrumenti, & hanc punctis 100. 100 per transversum accommodabimus, ex immotoque instrumento accipiemus distantiam inter puncta 120. 120 si hanc enim supra scalam immobilem mensurabimus habebimus usuram & sortem unius anni nempe 127 $^1$/$_3$ fere, quod si secundo immoto instrumento distantiam inter puncta 127 $^1$/$_3$ accipiemus, & hanc mensurabimus supra scalam immobilem [p. 460 inveniemus 135 fere pro sorte & usura secundi anni, sicque successive per singulos annos procedendum erit.
Insuper sit aliquis cui mercator spatio trium annorum solvere debeat 240 coronatos hic in necessitate constitutus, ut statim possit suam exigere pecuniam relinquit mercatori 10, pro 100, quaeriturque quantum illi Mercator solvere debeat. Haec est conversa operatio prioris, ideo sic statues numeros 110 remanent 100 quot remanebunt 240. Accipias quantitatem 100 partium ex scala immobili, hanc aptabis punctis 110. 110 & immoto instrumento excipies distantiam inter puncta 240. 240, quae mensurata supra scalam immobilem abscindet 218 $^1$/$_5$ & aliquid amplius, iterum ex immoto instrumento excipias distantiam inter puncta 218 $^1$/$_5$ hanc mensurabis supra scalam immobilem abscindet 198 $^1$/$_2$ fere. Tertio & ultimo excipies distantiam inter puncta 198 $^1$/$_2$ & hanc mensurabis supra scalam immobilem & abscindet 180 fere, & haec erit pecuniae summa quam debet iste a mercatore recipere.
E converso etiam quandoque hoc modo quaeritur, est quidam qui accepta [p. 461 certa pecuniae quantitate a Mercatore ad 5 pro 100, spatio duorum annorum illi reddidit 500 coronatos, quaeritur inquam quot coronatos prima vice acceperit. Sic disponantur numeri 110 erant 100, quot ergo erant 500, in reliquis eadem erit methodus iam superius exposita.
Sed ut melius istius instrumenti usus pateat, lubet aliam methodum iam dictas operationes omnes perficiendi aperire, quae licet prima fronte magis laboriosa videri possit, tamen exercitatis sine dubio iocundior erit. Proposita itaque aliqua quaestione arithmetica per auream regulam resolvenda aperiatur instrumentum pro libitu, & vulgari aliquo circino excipiatur distantia inter puncta secundi numeri, haec constricto vel dilatato instrumento pro rei necessitate accommodetur punctis primi numeri, sicque relinquatur instrumentum, nec mutetur per vulgarem circinum accepta divaricatio, sed alio aliquo excipiatur distantia inter puncta tertij numeri, quae servetur, prioris circini divaricatio aptetur iterum punctis secundi numeri, & videatur quo incidat distantia tertij numeri iam iam servata, puncti enim illi quartum numerum inquisitum demonstrabunt. Ut si proponeretur quaestio 50 dant 60 quot dabunt 20 aperirem inquam instrumentum pro libitu & exciperem distantiam inter puncta 60. 60 hanc parum dilatato instrumento accommodarem punctis 50. 50 notatis, alioque circino ex sic immoto instrumento exciperem distantiam inter puncta 20. 20, mox priorem servatam distantiam iterum aptarem punctis 60. 60, postremamque distantiam inter puncta 20. 20 sumptam viderem accommodari punctis 24. 24 praecise, quare dicerem 24 esse quartum numerum indagatum. Eademque fere operatione resolvitur etiam regula trium conversa, si loco secundi numeri accipiamus primum, loco primi tertium, & loco tertij secundum.
Figuram aliquam superficialem adaugere vel diminuere.
CAPUT VI.
Sit triangulus ABC secundum quem alius triangulus constitui debeat, qui sit ter maior. Vulgari circino accipias quantitatem alterius lateris, utputa A B, secundum istam magnitudinem aperies instrumentum in aliquo numero pro libitu, ut E. g. haec circino assumpta quantitas accommodetur [p. 462 punctis 10. 10 & immoto instrumento accipiatur distantia inter puncta 30.30, volumus enim triplum huius lateris secundumque hanc distantiam describatur latus DE homologum AB, tunc iterum accipies quantitatem BC, quam punctis 10. 10 accommodabis, & immoto instrumento excipies distantiam inter puncta 30. 30 pro latere EF, quod iterum facies pro latere CA. Hinque colligere licet instrumenti utilitatem, cum tam facili negotio possimus probl. 6 prop. 18 lib. 6 Eucl. resolvere, quod alias nisi summo labore confici potest.
Nulli itaque dubium est quod hac ratione possumus Urbis seu castri veram delineationem, dispositionemque, ac situm tum maiorem, tum minorem reddere, sed quia quando aliqua figura datur augenda, vel diminuenda non semper datur proportio secundum quam debet augeri vel diminui, quo in casu necessum est habere duas scalas exactissime divisas, quarum una sit immobilis, altera autem mobilis, cum autem hae scalae ex instrumento hoc nostro exactissimae habeantur, ideo per aliud exemplum aliam operandi rationem demonstrare oportunum erit. Detur itaque Urbis vel Castri talis delineatio ABCDEF, insuper detur latus GH homologum CB, per quod describenda sit alia figura minor. Vulgari aliquo circino accipias lateris BC quantitatem hanc supra scalam immobilem iam multoties nominatam mensurabis, & videbis abscindere punctum 20 iterum accipias quantitatem lateris GH, quam aperto instrumento per transversum punctis 20. 20 accommodabis, & haec erit scala mobilis, quae instrumenti dispositio amplius mutanda non erit, quare accipies quantitem lateris CD & hanc supra scalam immobilem mensurabis & invenies abscindere 19 [p. 463 punctum, per transversum ut iam dixi ex immoto instrumento accipies distantiam inter puncta 19. 19 pro latere GI sicque omnia alia propositae figurae latera veniunt describenda, sed quia varia operandi ratio melius instrumenti usum declarare potest, ideo lubet per prioris exempli methodum hoc quoque problema absolvere. Invenias itaque proportionem CB ad GH, & secundum hanc omnia latera propositae figurae describas, ut circino vulgari accipias quantitatem CB, secundum quam pro libitu aperies instrumentum ut E. g., firmato uno pede circini in puncto 100, tantum aperies instrumentum donec alius circini pes cadat in alium punctum 100, tunc accipies quantitatem GH, & videbis, quibus punctis per transversum possit accommodari ut in hoc exemplo punctis 44. 44, quare dices CB habere illam proportionem ad GH, quam habet 100 ad 44. Aperias ergo secundum CD instrumentum in 100, & excipias distantiam inter puncta 44. 44 habebis enim quantitatem lateris GI, iterum aperias instrumentum in 100 pro quantitate lateris DE, & accipias distantiam inter puncta 44. 44, ut habeas quantitatem lateris IK sicque de omnibus alijs lateribus facies donec tota figura secundum datam proportionem sit descripta.
Datis duabus lineis tertiam proportionalem ad iungere ex quo patet solutio probl. 3, prop. 11, lib. vi Eucl.
CAPUT VII.
Sint duae lineae A & B quibus invenienda sit tertia proportionalis continua aperiatur instrumentum in quovis numero secundum quantitatem lineae A, & videatur quo incidat B deinde secundum quantitatem B linea B aperiatur in illo numero in quo fuit apertum secundum A, & excipiatur distantia inter puncta illius numeri in quibus fuit apertum secundum B, & haec ostendet lineae tertiae proportionalis quantitatem. Ut E. g. secundum quantitatem lineae A aperiatur instrumentum in punctis 60. 60 tunc videatur quo incidat quantitas lineae B, ut hic in 71. 71. Aperias itaque instrumentum donec quantitas lineae B accommodari possit punctis 60. 60 & immoto instrumento accipias di30 stantiam inter puncta 75. 75 quae lineae C quantitatem ostendet, quod quaerebatur. [p. 464
Datis duabus lineis tertiam, tertiae quartam, quartae quintam &c. continuas proportionales adinvenire. CAPUT VIII.
Per hanc operationem facillimum erit resolvere probl. 4, prop. 12 lib. VI Eucl.; si nanque propositarum linearum nota sit proportio, ut iam supra docuimus Cap. v, inquiratur differentia inter dictas duas lineas, tunc aperto instrumento secundum quantitatem maioris lineae excipiantur intervalla differentiarum. Ut E. g. dentur lineae A & B in proportione ut 21 ad 28 aperiatur secundum quantitatem lineae B in 21 immotoque instrumento excipiatur distantia inter puncta 35. 35 pro 10 linea C inter puncta 42. 42 pro linea D, & sic de reliquis.
Datis tribus lineis, quartam proportionalem investigare.
CAPUT IX.
Non differt haec operatio a superiori, inquiratur enim proportio inter minorem lineam & mediam, & secundum quantitatem maioris lineae aperiatur instrumentum in punctis numeri minoris lineae, & excipiatur distantia inter puncta numeri mediae lineae, pro quantitate quartae proportionalis: Ut Exempli causa in proximo superiori exemplo dentur tres lineae A, B, C inquiratur proportio lineae A ad lineam B, ut aperiatur secundum quantitatem B in 50.50 A cadet in 38 $^1$/$_2$ itaque circino aliquo accipias quantitatem lineae C, hanc punctis 38 $^1$/$_2$ per transversum accomodabis, & immoto instrumento accipies distantiam inter puncta 50. 50, quae exhibet lineam E, quartam proportionalem, quod nihil aliud erit quam resolvere problema illud Pappi, quo docet tribus [p. 465 datis rectis lineis quartam invenire, quae sit ad tertiam, ut prima ad secundam.
Secare datam rectam quamlibet secundum duo extrema ac media ratione. CAPUT X.
Sit in proximo supra citato exemplo data recta E quae sit secanda secundum duo extrema ac media ratione. Aperiatur pro longitudine eius semper in 100. 100, & immoto instrumento excipiatur intervallum inter puncta 38. 38, quod transferatur in lineam datam, hocque illud est quod docet Euclides, probl. x, prop. 30, lib. VI.
Usus lineae superficierum inter datas duas superficies similes proportionem elicere. CAPUT XI.
Sint A & B duo latera homologa duarum superficierum similium, aperiatur secundum quantitatem A in aliquo numero ut puta in 60. 60, & videatur quo incidat B ut in 25. 25, istique duo numeri indicant proportionem harum superficierum, {{#spaziato|prout superius dictum fuit in prima linea linearum}}. Si autem acceperis distantiam sic immoto instrumento inter puncta 85. 85 habebis alterum latus C ex quo poteris construere figuram aequalem duabus datis. Tandem si accipies intervallum inter puncta 35. 35 habebis latus D aequale differentiae laterum A B. [p. 466
Datum triangulum dividere lineis acquidistantibus in partes aequales. CAP. XII.
Sit triangulus ABC dividendus in quinque partes aequales, aperiatur secundum latus AB in 5.5 & excipiantur numeri ab unitate usque ad quinque, B & imprimantur puncta in linea AB. Deinde iterum aperiatur in quinque secundum AC, & fiat ut iam factum fuit cum AB, ducantur parallelae ad cuncta opposita, & sic triangulus erit divisus in quinque partes aequales. Accommodato enim, ut iam diximus, instrumento excipies distantiam inter c puncta 1. 1, & firmato uno circini pede in puncto A secabis A, B in D, sicque successive usque ad quinque.
Datam aliquam superficiem dividere secundum datam proportionem. CAP. XIII.
Si nulla alia ratione saltem quidem propter hoc admirabilis est huius circini usus. Sint enim tres viri inter quos dividendus sit campus ABCD, quorum [p. 467 primus accipit tres perticas & 7 pedes, secundus accipit 5 perticas & 3 pedes, tertius tandem accipit 7 perticas & pedem unum, nulli dubium est quod difficillimum foret has fractiones reperire, quas tamen harum linearum beneficio per quam minimo negotio possumus determinare. Constituantur enim secundum proportionem uniuscuiusque tres lineae in linea linearum, prout cap. 1 docuimus, quarum singula contineat singuli viri partes petitas. Ut in exemplo videre est lineam E, quae continet tres perticas & septem pedes, lineam F, quae continet 5 perticas & 3 pedes, & lineam G, quae continet 7 petticas & pedem unum, ex omnibus his fiat una recta linea H, & apponantur singuli viri partes, ut patet per I, K, L deinde aperiatur secundum quantitatem huius lineae in 100, & videatur ubi AB alterum tus campi incidat, ut in hoc exemplo in 36. 36 deinde aperiatur secundum singulas partes istius lineae in 100. Ut E. g. accipies partem lineae HI, quae continet 7 perticas & pedem unum, & secundum istam aperies instrumentum in 100. 100, quo immoto excipies distantiam inter puncta 36. 36, per quam, firmato uno pede circini in puncto A secabis latus campi AB in M, iterum accipies partem lineae IK, quae continet quinque perticas & 3 pedes & secundum hanc aperies in 100 immoto instrumento excipies distantiam inter puncta 36.36 firmatoque uno pede circini in puncto M alio secabis dictum latus AB in N; quod si tandem acceperis partem KL, quae continet 3 perticas & 7 pedes, & secundum hanc aperueris instrumentum in 100. 100, & illo immoto exceperis distantiam inter puncta 36. 36, firmato post modum uno circini pede in N, videbis alium circini pedem secare praecise punctum B, si hoc idem facies cum latere CD, totum campum secundum datam divisionem distributum videbis. Notandum etiam quod si loco lateris AB & CD accipies AC & BD operatio & divisio eadem erit. [p. 468
Mediam proportionalem inter datas duas lineas invenire, & consequenter probl. 5, prop. 13, lib. 6, Eucl. resolvere. CAP. XIV.
Sint A & C datae duae lineae inter quas oportet invenire mediam proportionalem, in linea linearum, ut superius dictum fuit, quaeratur proportio inter lineam A & lineam C, quae in hoc exemplo sit ut 66 ad 100. Accipias itaque aliquo circino totam lineae G quantitatem, haec punctis 100. 100, lineae superficierum accommodetur, immotoque instrumento excipiatur distantia inter puncta 66. 66 eiusdem lineae, quae mediam proportionalem B exhibet, quod fuerat propositum.
Hac methodo si inter integram basim & mediam perpendicularem alicuius trianguli quaeremus mediam proportionalem habebimus latus quadrati trianguli. Ut detur triangulus ACB, cuius perpendicularis sit CD, quaeratur proportio inter totam basim AB, & dimidiam perpendicularem CE, quae in hoc exemplo est ut 100 ad 11. Aperiatur itaque in linea superficierum secundum quantitatem AB in 100 & excipiatur distantia inter puncta 11. 11, quae latus F quadrati trianguli demonstrabit.
Datis tribus superficiebus quartam proportionalem adiungere. CAPUT XV.
Sint duo circuli A & B, & figura C cui sit invenienda quarta proportionalis qualem proportionem habet A ad B ex linea superficierum quaeratur proportio A ad B quae hic est ut 100 ad 56, tunc aliquo circino accipias quantitatem alterius lateris figurae C & secundum illam aperias dictas lineas in 100 & immoto instrumento excipies distantiam inter puncta 56. 56 pro latere D alterius figurae describendae ; hocque idem facies de omnibus alijs lateribus. [p. 469
Non absimili ratione etiam si dentur duae superficies possumus tertiam proportionalem invenire. Ut in superiori exemplo dantur duo circuli A & B quorum proportio ut vidimus est ut 100 ad 56, si minorem circulum desideramus aperiatur secundum diametrum vel senidiametrum circuli B in 100, & excipiatur intervallum inter puncta 56. 56 pro minori circulo E. Quod si maiorem desiderares, necessum esset accommodare quantitatem diametri vel semidiametri A punctis 56. 56 & excipere intervallum inter puncta 100. 100 pro majori circulo F. Eadem fere prorsus operatione datis pluribus figuris possumus aliam illi aequalem construere, ut si quaeratur circulus aequalis tribus dutis A, B, E, accipiatur quantitas semidianetri A, secundum quam aperiatur in hac linea pro libitu, ut puta in 20. 20, immoto instrumento accipimus quantitatem semidiametri B, & videbimus quo incidat, ut in exemplo in 11. 11, additis 11 & 20 faciunt 31 tertio accipimus quantitatem semidiametri E, & videbimus quibus punctis possit accom20 modari, & sit punctis 6. 6 his additis prioribus faciunt 37 quare ex immoto instrumento accipiemus distantiam inter puncta 37. 37 pro semidiametro circuli F qui erit aequalis tribus datis A, B, E. Hincque habetur solutio VI probl. quod Doctissimus Clavius ex Pythagora excerpsit, dum scilicet docet propositis quotcunque quadratis sive aequalibus, sive inaequalibus, invenire quadratum omnibus illis aequale, quod cum ex iam dictis satis manifestum sit, hoc insuper declarare superfluum credo. Non abre tamen erit admonere dictam methodum facilem nobis [p. 470 resolutionem sequentis 7 probl. praestare, quo docetur propositis duobus quadratis quibuscunque, alteri illorum adiungere figuram, quae reliquo quadrato sit aequalis, ita ut tota figura composita sit etiam quadrata. Si enim datis duobus quadratis unicum illis aequale invenies, ut iam dictum fuit, & hoc descripseris circa latera alterius quadrati habebis optatum. Haecque proportionum methodus adeo diffusa est, ut qui illam omnino explicare conaretur non satis commode dicendi finem invenire posset, illud tamen silentio involvendum non credo, quod si proposita esset amphora continens mensuram, & quaereret aliquis aliam quae duas, quae tres, vel quatuor contineret, hoc dicto citius poterit absolvi, acceptis enim dimensionibus propositae amphorae, si illas pro libitu applicuerimus aliquibus punctis huius lineae, tum ex immoto instrumento exceperimus duplum, triplum, vel quadruplum habebimus dimensiones amphorae petitae. In super etiam si esset fons E. g. sex laterum, qui per canalem accepta, aqua repleatur spatio duarum horarum, quaeratque aliquis alium construere vellens eiusdem omnino altitudinis, ac similis basis ac orificij, qui spatio unius horae aqua per eundem canalem accepta repleatur, cuius magnitudinis sit futurus. Accipiantur orificij propositi fontis dimensiones, quae pro libitu aptentur aliquibus punctis dictae lineae, & ex immoto instrumento excipiatur dimidium, ut si datae dimensiones aptatae essent punctis 20.20, excipiatur intervallum inter puncta 10. 10 pro futuri fontis dimensionibus.
Datam superficiem immutare in aliam cuius alia sit aequalis primae datae
CAPUT XVI.
Esset equidem haec operatio difficilis, sed omnem difficultatem superat instrumentum hoc nostrum. Sit enim triangulus A, cui rombus aequalis triangulo A [p. 471 moquoad aream, sed rumbo B similis fieri debeat. Primo quaeratur inter basim & dimidiam perpendicularem trianguli A media proportionalis, quae sit C deinde ipsius rombi B media etiam proportionalis, quae sit D denique quaeratur quarta proportionalis ipsarum DC hoc scilicet modo, si latus quadrati quod est D rumbi B dat latus falsum rumbi B, quid dabit latus quadrati veri C trianguli A, & proveniet latus veri rombi. Hoc est videas quam proportionem habeant latera rumbi falsi, ut puta FG & proportionalis D & in hoc exemplo sit ut 100 ad 53, postea secundum quantitatem lateris C aperies in linea superficierum in 100, & excipies distantiam inter puncta 53. 53 pro latere E. Indeque habere poteris solutionem probl. 7 prop. 25 lib. VI Eucl. quo docet dato rectilineo simile, similiterque positum; & alteri dato aequale idem constituere.
Extractio radicis quadratae. CAPUT XVII.
Iam ventum est ad postremam sed per utilem harum linearum operationem, qua facili methodo ni fallor omnem radicem quadratam extrahere docebimus. Duplici itaque via possumus harum linearum auxilio omnem radicem quadratam [p. 472 extrahere, licet postea nonnulla veniant notanda circa utranque methodum, prout numeri erunt maximi, minimi, vel medij. Sit ergo extrahenda radix quadrata mediocris alicuius numeri ut 1600, considerentur in hoc & in quovis alio dato numero centesime, nam numeri centum radix quadrata est 10 habebimus itaque in dato numero decem sedecies, itaque aperiatur instrumentum utcunque, & aliquo circino excipiatur distantia inter puncta 10. 10 lineae linearum, haec accomodetur punctis 1. 1 lineae superficierum, & immoto instrumento accipiatur distantia inter puncta 16. 16 lineae superficierum, quae servetur, prior circini divaricatio denuo accommodetur punctis 10 & 10 lineae linearum, & immoto instrumento videatur quibus punctis lineae linearum possit accommodari posterior circini vulgaris apertura, qua distantiam 16. 16 accepisti, ut in hoc casu punctis 40. 40 quare dices radicem quadratam 1600 esse 40.
Secundo potest hoc idem prestari ac ratione, semper ex scala immobili accipies distantiam 40 puncti a centro instrumenti, hanc punctis 16. 16 lineae superficierum per transversum applicabis constituto sic instrumento a numero dato abijcies duas postremas figuras, & residui accipies intervallum, quod mensuratum supra scalam immobilem dat radicem quadratam. Ut si quis expeteret radicem quadratam 8920. Primum accommodabimus instrumentum ut iam dictum fuit. ex dato numero reiectis duabus postremis figuris relinquitur 89, quare ex immoto instrumento accipimus distantiam inter puncta 89. 89 lineae superficierum, hanc supra scalam immobilem mensurabimus, & abscindet 95 fere, qualem scimus esse proximam radicem quadratam numeti 8920. Circa hactenus dicta notandum, quod si duae ultimae figurae excedunt 50, relicto numero unitas sit addenda, ut si proponeretur numerus 5859 abjectis figuris relinquitur 58 sed quia duae figurae postremae excedunt 50 ideo pro 58 accipimus 59). Secundo, si numeri sint maximi accipiatur ex scala immobili quantitas 100 partium haec per transversum accommodetur punctis 10. 10 lineae superficierum, a proposito numero abijciantur tres ultimae figurae, in reliquis omnia eadem manent ut in superioribus. Si enim consilium esset extrahere radicem quadratam numeri 23130 primum accommodabimus instrumentum ut iam dictum fuit abijciemns tres postremas notas & relinquetur 23, excipiemus distantiam inter puncta 23. 23 lineae superficierum, quam mensurabimus supra scalam immobilem & abscindet 152 proximam radicem quadratam dati numeri. [p. 473
Tandem si numeri sint minimi, accommodabimus instrumentum ut in prioribus exemplis dictum fuit a numero dato nihil abijciendum, sed statim ex lineis superficierum competentem distantiam accipiemus pro radice quadrata, notandum tamen quod in hoc casu lineae linearum decimae unitates nobis significant, unitates autem decimas partium. Ut si constitutum esset radicem quadratam 49 inquirere accommodamus instrumentum, vel enim aperimus utcunque & distantiam inter puncta 10. 10 lineae linearum accommodamus punctis 1. 1 lineae superficierum, vel ex scala immobili accipimus quantitatem 40 partium, & hanc punctis 16. 16 lineae superficierum applicamus, & immoto instrumento excipimus distantiam inter puncta 49. 49 dictarum linearum, quae vel supra scalam immobilem mensurata abscindit 70 partem, vel aptato instrumento ad priorem constitutionem, per transversum applicata punctis 70. 70 praecise convenit, cum itaque, ut dictum fuit decimae istius lineae in hoc casu integras partes denotent, ideo dicendum erit 7 esse radicem quadratam numeri 49. Haecque est methodus extrahendi radicem quadratam, quam quidem utilem futuram militibus neminem dubitaturum credidero, sed quoniam hac ratione possumus quidem facillime acies quadratas disponere verum non alterius figurae, non inconvenit hoc loco per unicum exemplum demonstrare quomodo huius instrumenti beneficio possimus omnes acies cuiuscunque figurae statim disponere. Si quis enim non acies quadratas sed alterius figurae desideraret, ut E. g. aliquis 8516 milites ita disponere vellet, ut ubi in anteriori parte sunt octo ad latera sint quinque, hoc non multo negotio huius circini auxilio absolvare poterit. Primum enim accipiet numeros progressionis traditos nempe 8 & 5, his 0 addet ut pro 8 efficiat 80, pro 5 50, tandem ut possit aciei partem anteriorem invenire aliquo circino ex scala immobili accipiat quantitatem 80 partium, hanc per transversum accommodabit punctis 40. 40, hoc est numero producto ex multiplicatione numerorum progressionis, a numero militum abijciat unitates & decimas, hoc est duas ultimas figuras & reliquetur 85, excipiat distantiam ex immoto instrumento inter puncta 85. 85, quam si mensurabit supra scalam immobilem, videbit illam abscindere 117 punctum, quare merito pronunciabit istius aciei frontem continere dictum militum numerum. Latera etiam non absimili negotio inveniuntur, ex scala enim immobili accipiatur quantitas 50 partium, haec per transversum applicetur punctis 40. 40 lineae superficierum, & immoto instrumento excipiatur distantia inter puncta 85.85, quae supra scalam immobilem mensurata exhibet latera 73 militum. Vel ex scala immobili accipias quantitatem 117 partium, qualis fuit anterior pars aciei, haec [p. 474 per transversum accommodetur punctis 80. 80 lineae linearum, vel si illi numero applicari non possit accommodetur punctis 160. 160, & excipiatur distantia vel inter puncta 50. 50, si prior distantia fuit aptata punctis 80. 80, vel inter puncta 100. 100, si fuit accomodata punctis 160, quae mensurata supra scalam immobilem exhibet praecise eadem latera 73 militum, prout propositum fuerat inquirendum, haecque sufficiant pro explicatione lineae superficierum.
Usus lineae solidorum inter data duo vel plura solida similia proportionem elicere, & aliud illis simile construere. CAPUT XIIX.
Explicatis illis operationibus, quae per lineam superficierum perficiuntur, iam ad lineam solidorum transeundum, in qua primum ut in linea linearum, & in linea superficierum fecimus, inter data duo vel plura solida proportionem invenire docebimus. Sint ergo A, B, C, D latera molo qua uor solidorum similium, latus A aliquo circino accipiatur, & secundum eius quantitatem aperiatur instrumentum in linea solidorum pro libitu ut in 100, tunc accipiatur latus B & videatur quibus punctis possit accommodari, ut in hoc exemplo punctis 76. 76, mox accipies latus C, & videbis aptari punctis 51.51, tandem accipies latus D, quod congruet punctis 31. 31 & sic habebis solidorum proportionem inter se. Quod si desiderares solidum datis aequale, invicem addas numeros omnes proportionum summam excipias ex immoto instrumento ut in exemplo A habet proportionem ad B ut 100 ad 76, ad C ut 100 ad 51, ad D ut 100 ad 31 isti numeri invicem additi faciunt summam 258, verum supponamus lineam nostri instrumenti non excedere primum 100, non enim inconvenit inde enim melius potest illius usus percipi, ideo ex D & C fiat unicum latus, ut apparet in exemplo E, tunc iterum aperiantur dictae lineae pro magnitudine lateris E, sed in minori numero utputa in 30 videatur quo incidat A & sit E. g., in 9 ½ iterum videatur quo incidat B & sit in 7 ⅓ tunc isti tres numeri invicem additi faciunt summam 46 $^5$/$_6$ quare ex immoto instrumento accipimus distantiam inter puncta 46.46 $^5$/$_6$ pro latere F quod aequale erit omnibus datis lateribus. [p. 475
Datis duobus vel pluribus solidis similibus unum ab altero subtrahere. CAPUT XIX.
Si sint plura solida una, quaerantur proportiones alterius ad alterum ut supra dictum fuit; & fiat additio ut omnino factum fuit in superiori exemplo pro latere F sit modo subtrahenda linea lateris homologi G quaeratur proportio inter G & F, quae in superiori schemate sit ut 100 ad 34 subtrahantur 34 ex 100 reliquuntur 66, ex immoto instrumento excipiatur distantia inter puncta 66. 66 pro latere H & ita facta erit subtractio, quae proposita fuit. Similiter propositis duobus solidis quorum alter sit noti ponderis facile possumus alterius pondus indagare, ut si F esset diameter spherae 24 librarum G autem esset diameter spherae ignoti ponderis, accipiemus totam F quantitatem hanc punctis 24. 24 applicabimus, & videbimus quo incidat diameter G ut in hoc casu ut in 8 ⅓, quare pronunciabimus spherae cuius diameter est G pondus esse librarum 8 ⅓.
Dato solido quocunque illud omni multiplici proportione augere & minuere.
CAPUT XX.
In praefato superiori exemplo sit C diameter spherae librarum octo, & desideretur alia librarum quinque & alia librarum quinquaginta, accipiatur quantitas C circino aliquo haec accommodetur per transversum punctis 8. 8 lineae solidorum, & ex immoto instrumento excipiatur distantia inter puncta 5.5 pro 20 linea D quae ostendit diametrum spherae quinque librarum, similiter excipiatur distantia inter puncta 50. 50 pro linea E, quae ostendet diametrum spherae quinquaginta librarum. Non absimili operandi modo possumus probl. 5, prop. 27 lib. XI Eucl. resolvere, quo docet a data recta linea dato solido paralle lepipedo simile & similiter positum solidum paralle lepipedum describere.
Datum solidum in partes petitas dividere, atque etiam datis duobus vel tribus solidis tertium & quartum proportionale ad iungere. CAPUT XXI.
Dividantur superficies solidi ea ratione qua in linea superficierum Cap. X & XI docuimus dividere superficies, nempe in oppositis partibus, coniugantur parallelis lineis divisiones dictumque solidum divisum erit in partes petitas. [p. 476 In super dentur duo vel tria solida, & quaeratur tertium vel quartum proportionale, operatio est illa eadem, quae in linea superficierum fuit explicata, tantum pro lineis superficierum accipi debent lineae solidorum.
Datis duobus solidis duo media proportionalia elicere.
CAPUT XXII.
Sint A & B data duo solida, quibus invenienda sint duo media poportionalia. Aperiatur in linea linearum secundum maius in quovis numero ut in 90 & videatur quo intret B videlicet in 37 deinde aperiatur in solidorum linea in 37 secundum B, & excipiatur distantia inter puncta 90. 90 pro minori medio proportionali C. Deinde aperiatur secundum quantitatem A in 90 & excipiatur distantia inter puncta 37. 37 pro maiori medio proportionali D quod fuit propositum.
Dato parallelepipedo aequalem cubum construere.
CAPUT XXIII.
Sit altitudo paralle lepipedi CD latitudo CB, longitudo AB oporteat cubum aequalem ipsi construere. Quaeratur quadratum basis BA B, idest inter BA & AB [p. 477 CIRCINI CUIUSDAM PROPORTIONIS. 477 quaeratur media proportionalis, ut supra in linea superficierum fuit dictum, sitque recta E. Deinde inter E quadratum basis parallelepipedi, & ipsius altitudinem CD duae mediae proportionales inveniantur, ut in praecedenti monstravimus, quae sint F & G dico quod cubus constructus ex F aequalis sit paralli lepipedo dato, quod est propositum.
Mutare spheram in cubium.
CAPUT XXIV.
Spherae propositae invenias lineam potentem maioris circuli, ut Exempli gratia sit maior circulus spherae ABC, huius circuli invenias quadratum, prout inferius Cap. 38 demonstrabimus, cuius latus sit D inter latus quadrati D & duas tertias diametri ipsius spherae nempe AE inveniantur duo media proportionalia, prout Cap. 22 docuimus, haec autem sint F & G ex 20 secundo nempe ex G scilicet maiori fiat cubus, & habebimus optatum. [p. 478
Duas medias proportionales invenire. CAPUT XXV.
Similiter propositis duabus lineis cognitae magnitudinis harum linearum beneficio facili negotio possumus duas alias proportionales invenire, quod similiter intelligendum si non essent duae lineae, sed duo numeri. Ut si in superiori exemplo Cap. 22, posito A esset 16 partium, D 14 ½ & necessum esset duas medias proportionales vel lineas vel numeros indagare. Primum accipimus quantitatem lineae D quam per transversum accommodamus punctis 16. 16 harum linearum, & ex immoto instrumento excipimus distantiam inter puncta 14. 14 ½ pro linea E, quae supra scalam immobilem mensurata dat 13 primum provenientem numerum proportionalem, hanc distantiam iterum parum constricto instrumento accommodamus punctis 16. 16, & accipimus distantiam inter puncta 14. 14 ½ pro linea F quae supra scalam immobilem mensurata 12 $^3$/$_3$ fere peribet secundum numerum proportionalem provenientem<.
Extractio radicis cubicae. CAPUT XXVI.
Haec, quae alias non exercitatis difficilis videri solet operatio, explebit tractatum lineae solidorum. Duplicem itaque viam extrahendi radicem cubicam, prout de quadrata factum fuit, explicabimus, sit enim extrahenda radix cubica 8000 primo consideretur quoties 1000 contineatur in dato numero, nam eius radix est manifestum autem 1000 in 8000 octies contineri, ideo aperiatur instrumentum pro libitu, & uno vulgari circino accipiatur distantia inter puncta 1. 1 lineae solidorum, haecque servetur, mox alio circino non variato instrumento excipiatur distantia inter puncta 8. 8 earundem linearum, deinde prior accepta distantia accommodetur punctis 10. 10 lineae linearum, & videatur quibus punctis in dicta linea conveniat secunda distantia accepta, ut hic punctis 20. 20 quare dicendum cubicam radicem 8000 esse 20. [p. 479
Alia ratione progredi etiam possumus, sit enim extrahenda radix cubica 59342. Primum ex scala immobili accipias quantitatem 40 partium, hanc per transversum punctis 64. 64 lineae solidorum aptabis, sicque instrumentum accommodatum erit ad extrahendas radices cubicas, a numero dato tres postremas figuras abijcias reliquum erit 59 igitur excerpas distantiam inter puncta 59. 59 lineae solidorum, quae mensurata supra scalam immobilem abscindet 39 punctum fere, quare dices radicem cubicam propositi numeri esse 39. Si autem ex abiectione trium postremarum figurarum relinqueretur maior numerus, quam ex hac linea excerpi possit, ut siquis quaereret radicem cubicam 184231 abiectis tribus ultimis figuris 10 relinquitur 184, qui quidem numerus ex hac linea non potest haberi, ideo accommodato instrumento ut iam dictum fuit accipimus distantiam inter medietatem propositi numeri nempe inter puncta 92. 92 hanc aperto instrumento aptamus aliquo numero cuius duplum in hac linea haberi possit, ut Exempli gratia punctis 40. 40 & immoto instrumento excipimus distantiam inter puncta 80.80, quam mensuramus supra scalam immobilem, & habemus 56 fere, quem dicimus ostendere proximam radicem cubitum propositi numeri 184231, quae quaerebatur. Tandem si numerus propositus sit maximus, ut si propositum esset inquirere radicem cubicam 2000000, tunc ex scala immobili accipias quantitatem 100 partium, hanc accommodabis punctis 100. 100 lineae solidorum, & a proposito numero abijcies quatuor ultimas notas residuum erit 200, qui numerus in hac nostra linea non habetur, ideo accipies distantiam inter puncta 100. 100, & hanc accommodabis punctis 40. 40 & immoto instrumento excipies distantiam inter puncta 80. 80, quae mensurata supra scalam immobilem dabit radicem cubicam 126 fere.
Usus lineae metallicae. Data sphera cuiuscunque metalli magnitudinem alterius spherae eiusdem ponderis ex alio tamen metallo constructae indagare.
CAPUT XXVII.
Iam Deo auspice pervenimus ad postremam lineam metallicam scilicet, quae & ipsa sua utilitate non caret, si enim data diametro alicuius spherae cuiuscunque [p. 480 metalli propositum esset quaerere diametrum eiusdem ponderis spherae, sed alterius metalli, nulli dubium quod absque hac linea difficillimum esset hoc praestare nos tamen si A esset diameter spherae ferreae, quaerereturque cuius magnitudinis futura sit haec sphera si ex cupro construenda esset, circino aliquo accipiemus quantitatem lineae A aperto instrumento hanc accomodabimus punctis lineae metallicae signatis fer: fer:, & immoto instrumento excipiemus distantiam inter puncta signata cup. cup., & haec ostendet diametrum B spherae ex cupro fabrefactae.
Sic etiam si desiderares proportionem metallorum inter se facili negotio hoc cognosces, ut si v. g. desiderares cognoscere proportionem auri ad mercurium, circino aliquo accipias distantiam puncti in linea metallorum signati ar. vi. a centro instrumenti, secundum hanc aperies utcunque in linea solidorum, ut v. g. illam applicabis punctis 100. 100, iterum accipies distantiam puncti aur: notati a centro instrumenti, & videbis quibus punctis lineae solidorum possit aptari, ut in hoc exemplo punctis 80. 80, quare inquies proportionem auri ad mercurium esse ut 100 ad 80, ex quo colligere est aurum esse magis ponderosum ad 20 pro 100.
Non absimili negotio, si quis habens vas aliquod cupreum 30 librarum, volens simile aliud vas ex argento fabricare, peteret quot argenti librae requirantur, possumus statim hoc scire, circino enim aliquo accipimus distantiam puncti in linea metallorum arg. signati a centro instrumenti, & hoc quia vas debet esse argenteum, hanc distantiam accommodamus punctis 30. 30 lineae solidorum, tunc iterum accipimus distantiam puncti cup: signati a centro instrumenti, & videbimus quibus punctis lineae solidorum, non variata tamen prima dispositione instrumenti, possit aptari, ut in hoc exemplo 40. 40, ideo dices 40 argenti libras necessarias esse ad futuram argentei vasis fabricam.
Cognito corporis metallici pondere investigare alterius metalli pondus quod sit simile, & aequale attamen diversi ponderis metallo dato.
CAPUT XXIIX.
Pendet haec operatio a proposita proportione metallorum, fitque hoc modo. Sit ABC cubus repletus mercurio, cuius pondus sit novem librarum, quaeritur [p. 481 si idem cubus impleatur cupro cuius ponderis erit. Accipiatur latus AB uno circino, aperiatur secundum acceptam quantitatem in punctis argenti vivi, & immoto instrumento accipiatur divaricatio cupri deinde aperiatur secundum iam acceptam distantiam cupri in linea solidorum in 9.9 & videatur quo incidat alter circinus accepti spatij inter puncta mercurii, quod fiet fere in 5 ⅔ quod erit pondus cubi impleti cupro, quod quaerebatur .
Dato corpore metallico aliud construere aequalis ponderis, sed diversae magnitudinis. CAPUT XXIX.
In supra notato schemate sit ABC cubus stamneus & desideretur si alius fieri deberet argenteus, cuius magnitudinis sit futurus. Aperiatur in punctis stanni secundum omnia latera cubi, & excipiatur intervallum punctorum argenti, & ex inventis lateribus argenti construatur cubus similis alteri, qui magnitudine erit diversus, sed pondere tamen aequalis. Quod unico exemplo demonstrare possumus, circino aliquo accipiatur quantitas alterius lateris ut puta AB, secundum quam aperiatur in punctis stan. stan., & immoto instrumento excipiatur distantia inter puncta arg. arg. pro latere D, hacque eadem methodo omnia alia latera erunt accipienda, donec totus cubus sit constructus. [p. 482
Quomodo propositae spherae noti ponderis diametro cognita, possimus has lineas accommodare ut liberatoribus exactissime inservire possint.
CAPUT XXX.
Constat omnibus metalla inter se esse diversa ratione ponderis, tum apud diversas Gentes variam esse ponderum quantitatem quare qui instrumentum universale (vulgaliter chalibario dicitur) desiderat, illud absque omni dubio debet esse mobile, ad hoc ut possit diversis ponderibus diversarum gentium, & diversis metallis accommodari, hoc autem istius instrumenti beneficio praestari posse assumpto exemplo facillime demonstrabimus. Si nanque esses Mediolani, & optares instrumentum accommodatum iuxta rationem ponderis illius Civitatis inquiras diametrum alicuius spherae E. g., plumbeae noti ponderis ut puta 20 librarum, hanc diametrum vel in instrumento, vel alibi signabis, ita ut quociescunque libuerit integram eius quantitatem habere possis; quando itaque necessum erit aptare instrumentum, ita ut accepta quantitate oris alicuius tormenti bellici possis scire pondus metalli, puta plumbi, quod inijci debet, statim accipias diametrum spherae 20 librarum supra notatam, secundum quam aperies lineas solidorum in 20. 20 hoc est secundum pondus spherae cuius diametrum assumpsisti tunc accepta oris tormenti bellici quantitate, videatur quo incidat, ex numero enim punctorum cognoscemus pondus spherae requisitae. Sin vero quis quaereret quantum ferri illud idem instrumentum bellicum recipiat, accipies diametrum pilae plumbeae servatam, & pro illius magnitudine aperies in punctis plum. plum. notatis, & immoto instrumento accipies divaricationem ferri, quam accommodabis punctis 20. 20 lineae solidorum, videbisque quo incidat oris tormenti bellici quantitas, ex numero enim punctorum elicies quantitatem ferri requisiti.
Dato corpore metallico dimensiones alterius diversi ponderis, & diversi metalli inquirere.
CAPUT XXXI.
Quaerat aliquis, si data forma tormenti bellici ferrei 14 librarum aliud cupreum 6000 librarum construendum esset, omnes eius dimensiones. Accipias alicuius partis dimensionem, secundum hanc aperies instrumentum in punctis fer: fer:, & immoto instrumento excipies distantiam inter puncta cup: cup:, hanc [p. 483 punctis 14. 14 lineae solidorum aptabis, immoto instrumento excipies distantiam inter puncta 100. 100, quae ostendet futuri tormenti bellici quaesitam dimensionem, quando illius pondus esset 100 librarum, sed postquam ut diximus debet esse 6000, ideo hanc distantiam aptabis alicui numero dictarum linearum, cuius alium 60 maiorem habere possis, ut E. g. punctis 1.1, & immoto instrumento excipies distantiam inter puncta 60. 60 quae ostendet quaesitam dimensionem futuri tormenti bellici cuprei. Hacque ratione omnes alias dimensiones facili negatio invenire poteris. Verum si futurum tormentum bellicum non ex solo cupro, sed stanno mixto componendum esset, ut si E. g. in tribus libris cupri miscenda esset libra stanni, tunc necessum erit portionem illam lineae metallicae in utroque crure instrumenti, quae est a puncto cupri ad punctum stanni in quattuor aequales partes dividere, & relictis tribus partibus versus stannum, aliam partem subtili nota signare, hisque punctis utendum erit loco punctorum cup: cup: reliqua omnia manentut in superiori exemplo. Notandum insuper quod una inventa dimensione ut superius dictum fuit facili negotio lineae linearum beneficio possumus omnes alias indagare, reperta prius proportione dimensionis datae ad inventam. Ut E. g. A erat crassicies posticae partis tormenti bellici B vero dimensio inventa, pro futura fabrica volumus inquirere aliam dimensionem quamcumque; sit itaque alia dimensio C, invenias quam proportionem habeat B ad A, quae in hoc casu est ut 250 ad 29 accipias itaque quantitatem C & secundum hanc aperies in linea linearum in 29 & immoto instrumento excipias distantiam inter puncta 250.250 pro linea D, quae ostendet dimensionem quaesitam.
Usus lineae quadrantis, haecque est interior in postica parte instrumenti. Proportiones inter angulos uniuscuiusque trianguli nullo angulo noto investigare.
CAPUT XXXII.
Explicata anteriori parte instrumenti iam transeundum ad posticam partem, & primum ad lineam quadrantis cuius auxilio quaerimus proportiones inter angulos uniuscuiusque trianguli nullo angulo noto investigare, sit itaque triangulus ABC utcunque ex singulis angulis arcus describantur qualescunque per sua [p. 484 latera, ut apparet per litteras D, F, G, H, I, eadem divaricatione circini aperiatur in hac linea quadrantis in punctis 60. 60 deinde sumatur distantia sectionum arcus facti in lateribus, ut pro angulo B sumatur distantia inter puncta I & F pro angulo C inter H & E, pro angulo A inter D & G & immoto instrumento videatur in quem graduum numerum incidant singuli termini arcuum, qui ostendent magnitudinem angulorum, quae quaerebatur.
Duos arcus similes addere eorumque graduum numerum determinare.
CAPUT XXXIII.
Arcum datum multiplici proportione augere.
CAPUT XXXIV.
Sit datus in superiori exemplo arcus B, & iuxta hunc secundum datam diametrum alius arcus sit construendus triplex, videatur quot gradus contineat arcus B, ut in superiori exemplo dictum fuit, continebat autem si meministi 70 partes, ideo secundum ipsius semidiametrum aperies in 60. 60 & excipies triplum per partes, hoc est primum excipies distantiam inter puncta 90. 90 quae bis accepta in circulo C praebet arcum DE mox accipies distantiam inter puncta 30. 30, & habebis arcum EF, qui duo arcus constituunt arcum DF, qui erit 10 in tripla proportione ad ipsum arcum B. Non absimili etiam negotio possumus arcum propositum in suas partes dividere, si secundum semidiametrum aperiatur in 60. 60, & sumantur partes maiores de decem in decem, deinde de quinque in quinque, & sic deinceps, donec arcus sit divisus in suas omnes partes.
Numerum graduum aperturae instrumenti invenire.
CAPUT XXXV
. Si instrumentum vel linea quadrantis sit aperta ut cunque, & aliquis scire cuperet numerum graduum istius aperturae. Accipiat distantiam inter puncta 60. 60, quae ex centro instrumenti deorsum transferatur, numerus punctorum inquem incidet circinus indicabit numerum graduum aperturae instrumenti. Haecque sufficiant de usu lineae quadrantis[95] .
Usus lineae circulorum secare circulum in quotlibet partes. CAPUT XXXVI.
Transeuntes ad usum lineae circulorum, primum circulum secare in omnes petitas partes demonstremus. Aperiatur itaque instrumentum secundum semidiametrum circuli, & firmato instrumento accipiatur distantia inter puncta illius [p. 486 numeri in quem debet secari circulus. Ut si datus esset circulus A dividendus in quinque partes aequales, accipias semidiametri qnantitatem, haec punctis semidiametri lineae circulorum 6. 6 signatis applicetur, & immoto instrumento excipiatur distantia inter puncta 5.5 quae erit quinta circuli dati pars. Hacque ratione solves etiam 1 probl., prop. 16 lib. 12 Euclidis, quo docet duobus circulis circa idem centrum existentibus in maiori circulo polygonum aequilaterum & parium laterum inscribere, quod non tangat minorem circulum.
Dato latere pentagani invenire suum circucum.
CAPUT XXXVII.
Sit latus pentagoni BC, secundum quod aperiatur in suo numero scilicet 10 in 5.5 & excipiatur semidiameter immoto instrument tunc firmato uno pede circini in B describatur arcus occultus, iterum firmato pede circini in C ducas alium arcum occultum, qui priorem intersecet, in intersectione centrum erit, ex quo ductus circulus dictum latus BC quinquies continebit. Hinc colligitur quod proposita aliqua linea, quae debeat esse latus alicuius figurae multilaterae, facili negotio possumus illam figuram describere. Ut si data esset aliqua linea ex qua describenda esset figura octo laterum, accipimus totam lineae quantitatem, hanc accommodamus punctis 8. 8, nempe punctis laterum figurae, & ex immoto instrumento excipimus distantiam inter puncta semidiametri, firmatoque uno circini pede in altero lineae termino secundum acceptam distantiam describimus arcum occultum, tum iterum firmato pede circini in alio lineae termino describimus alium arcum, in intersectione facto centro describimus occultum circulum incedentem per terminos datae lineae hunc pro magnitudine propositae lineae dividimus in octo partes, ad puncta divisionis ducimus rectas & habemus optatum. Ex quo habes etiam facillimam solutionem probl. 11 prop. 11 lib. 4 Eucl., quo in dato circulo pentagonum aequilaterum & aequiangulum inscribere docet, nec non probl. 15 & 16.
Usus lineae quadratricis dato circulo aequalem triangulum quadratum pentagonum &c. construere.
CAPUT XXXIIX.
Qui aliquando Mathematicorum scripta diligenter pervolvit, potest sine dubio ex praesenti operatione, qua docebimus quadratum circulo aequalem invenire, huius nostri instrumenti utilitatem cognoscere. Si enim propositum esset, [p. 487 dato circulo aequalem triangulum, quadratum, pentagonum &c. construere. Aperiatur in hac linea secundum dimidiam diametrum dati circuli, & immoto instrumento excipiantur intervalla figurarum quaesitarum, & habebimus propositum. Ut si velles heptagonum dati circuli A aperiatur in punctis semidiametri pro quantitate ipsius semidiametri, & excipiatur intervallum inter puncta 7.7, vel inter puncta quadrati pro latere quadrati AD, vel inter puncta trianguli per triangulo AEF.
E converso etiam dato quadrato pentagono &c. aequalem circulum describere possumus, ut si datum esset latus quadrati DA, accipimus quantitatem DA, hanc punctis quadrati harum linearum aptamus, & excipimus distantiam inter puncta semidiametri pro circulo A.
Dato quadrato pentagono triangulum &c. aequalem construere.
CAPUT XXXIX.
Licet haec operatio a superiori non sit dissimilis, tamen supra datum exemplum iterum repetere supervacaneum non credo. Detur itaque latus quadrati DA, 20 cui triangulum aequilaterum aequalem volumus; aperiatur secundum dictum latus in punctis quadrati, & excipiatur distantia inter puncta trianguli pro triangulo AEF.
Data figura quacunque irregulari hoc est circulo, quadrato, &c. ipsi aequalem construere. CAP. XXXX.
Sit ut cap. 14 diximus triangulus qualiscunque ABC cui circulum, quadratum &c. aequale invenire cupio. Primum quaeratur inter totam basim & dimidiam perpendicularem ipsius trianguli media proportionalis, ut ibidem demonstravimus, quae erit latus quadrati aequalis ipsi triangulo ABC, secundum [p. 488 hoc latus vel mediam proportionalem F aperiatur in punctis quadrati in hac linea & excipiatur intervallum punctorum figurae desideratae. Hincque si vides manifestissime pendet solutio problem. 2 prop. 14 lib. 2 Eucl. nam si ex rectilineo constituemus duos triangulos, & inter totam basim & dimidiam perpendicularem uniuscuiusque trianguli inveniemus mediam proportionalem habebimus latera duorum quadratorum quibus si unicum aequale invenerimus, habebimus quadratum dato rectilineo aequale, quod faciendum propositum fuerat.
Lineam aequalem circuli circumferentiae invenire
CAPUT XXXXI.
Aperiatur in punctis semidiametri, secundum semidiametrum dati circuli, & excipiatur spatium punctorum quartae partis circumferentiae, quod intervallum quater mensuratum supra aliquam lineam, constituet illam aequalem toti circumferentiae circuli. E converso etiam si propositum esset datam lineam mutare in circulum, illa dividenda esset in quatuor partes aequales, tunc circino aliquo, accepta quarta pars istius lineae, accommodatur punctis quartae partis circumferentiae, & excipitur distantia inter puncta semidiametri, ex qua describitur circulus, cuius circumferentia aequalis erit lineae datae. [p. 489
Dato circulo pentagono &c. figuram quamcunque ipsi circulo aequalem & alteri similem construere.
CAPUT XXXXII.
Sit A B circulus cuius quaeratur ut supra docuimus aequale quadratum cuius latus sit CD, sitque alia figura FGHIK cui alia figura similis & dato circulo aequalis sit construenda, quaeratur quadratum EFGHIK, reducendo eam in triangula, quod si aequale fuerit quadrato circuli iam intentionem consequutus eris, sin minus detrahatur minus quadratum ex maiore, & ex residuo fiat figura aequalis dato circulo, & similis datae figurae. Si vero minor fuerit, ut in hoc exemplo differentia addatur minori quadrato, ut aequalis fiat quadrato circuli reliqua fiunt iuxta tradita Cap. 16 in linea superficierum al ○, è eguale al □°,{ eguale al rettilineo, è fatto il tutto; se non è eguale, facciasi senz' al30 tro un rettilineo simile al dato ed eguale al □° del ○, e sarà spedito il negozio.}}.
Datis pluribus figuris regularibus licet dissimilibus unicam aequalem omnibus datis constituere.
CAPUT XXXXIII.
Pendet haec operatio a Cap. 15 & 38. per 38 enim inveniemus tot latera quadratorum aequalium quot sunt datae figurae, tum per 15 Cap. inveniemus unicum quadratum aequale omnibus iam inventis, quod sine dubio erit aequale [p. 490 etiam omnibus datis figuris, haecque sufficiant pro explicatione lineae quadratricis.
De Usu lineae quinque solidorum regulatorum Datae sphaerae invenire latus hexaedri tetraedri, octoedri. &c. CAP. XXXXIV.
Aperiatur secundum diametrum, vel semidiametrum ipsius sphaerae, & excipiatur latus petitum: Similiter dato latere hexaedri, vel dodecaedri possumus invenire sphaeram cui sit inscriptibile. Aperiatur enim secundum datum latus in suis punctis, & excipiatur diameter vel semidiameter, ut fiat spaera, hincque patet solutio probl. 2 prop. 2 nec non probl. 5 prop. 5 lib. 16 Euclidis. Haecque sufficiant pro explicatione usus omnium linearum nunc ad quadratum transeundum, cuius beneficio, absque sinuum notitia, longaque triangulorum supputatione facillime quilibet distantias, profunditates & altitudines omnes dimetiri poterit.
Usus quadratus
Ut diximus dum de huius instrumenti fabrica sermonem habuimus, haec quarta circuli pars in interiori circumferentia continet scalam libratoriorum, de qua nec verbum quidem subiungam, satis enim notus est eius usus; in alia habet quadrantem astronomicum, qui licet propter sui angustiam minus conveniens sit rebus Astronomicis tractandis, tamen satis commode potest turrium, fluminum, & huiusmodi proprias dimensiones nobis exhibere, tertio loco ponitur quadratum geometricum, quod ad dictas dimensiones indagandas quam maxime conducere nullus est qui dubitare possit, modo aliquando auctorum monumenta perlustraverit. Verum cum astronomici quadrantis usus, ut plurimum sit laboriosus, notitiamque triangulorum sinuum tangentium & huiusmodi non minimam exigat, ideo solum per quadratum geometricum dimetiendi praxim conscribere decrevi, quae licet a quam pluribus aliis diffuse admodum sit tradita tamen cum ab aliquibus secreti loco hic modus dimetiendarum altitudinum, profunditatum &c. per hoc instrumentum habeatur, cumque illis qui firmam sedem non habentes minus commode quadratum geometricum secum gestare valent, maximam utilitatem sit allaturus, ideo non inutiliter me facturum existimavi, si illa quae ab alijs prolixe de quadrato geometrico fuerunt tradita breviter, dilucide tamen, ad hoc nostrum instrumentum reduxero. [p. 491
Distantiam inter duos terminos in eodem plano ad quorum alterum tantum accedi possit, indagare.
CAPUT L
Notandum imprimis, quod haec extima circunferentia divisa in 200 partes continet umbram rectam & umbram versam ipsius quadratus geometrici, ideo ut illos centenarios distinguere valeamus. E. g. dum per brachium CD cernimus in proxime sequenti figura, qui iuxta mensoris oculum collocatus in superiori parte versus D secundum qui autem illi opponitur primum semper nominabimus, primus enim nobis ostendit umbram versam, secundus autem umbram rectam. Sit itaque investiganda distantia AB, ut puta latitudo alicuius fluvij, a centro instrumenti dimittas perpendiculum libere cadentem, tunc constitutus in puncto A observabis quodcumque signum C, progressus vero ad locum C per instrumenti brachium CD (quod quidem si duo pinnacidia, habebit, ad hoc ut visus aberrare non valeat, observatio erit exactior) respicies terminum B, & observabis quot partes, & cuius nam 100 an primi an secundi, secentur a perpendiculo, nam primo si secantur aliquot partes primi centenarij, ut puta 18 tunc mensurabis distantiam AC & sit E. g. 12 pe20 dum, sicque institues ratiocinium, si partes abscissae hoc est 18 dant 100 quot dabunt 12. facta itaque operatione vel per regulam trium, vel per illa, quae Cap. 5 tradidimus invenies 66 ⅔, quare inquies distantiam AB esse pedum 66 ⅔. Si autem perpendiculum abscindet partes secundi centenarij tunc sic proponenda erit quaestio 100 dant partes abscissas, quot dabit AC hoc est 12 pedes. Si tertio & ultimo perpendiculum inter duos centenarios cadet, tunc AB esset aequalis distantiae AC quod apprime semper notandum erit. [p. 492
Potest hoc idem absolvi hac alia ratione, prout aliqui volunt statuunt enim instrumentum in A ita ut alter brachiorum recta respiciat B alter vero E, tunc progressi ad punctum E ita disponunt instrumentum, ut alter brachiorum recta respiciat A perque centrum instrumenti aspicientes punctum B animadvertunt partes abscissas a radio visuali, per quas postea ratiocinantur ut superius dictum fuit, a quo quidem modo, ut pauca de illo subiungam, in maximam ductus sum admirationem, nec enim satis videre possum an isti revera sic credant, an potius homines adeo crassi cerebri existiment, ut pro libitu illis imponere liceat, quaeso enim qui fieti potest, ut in tanta partium angustia & multitudine, mensoris oculus nulla adhibita dioptra non longe a vero aberret? quod si parvipendunt revera nugantur, similiterque parvi fieri merentur, & ideo utiliora inquirentes, haec missa faciamus.
{{Ct|f=100%|v=1|t=|lh=1.5|Idem interstitium inter duos terminos eiusdem plani} in quorum nullo observari possit, dum tamen in amborum directo accomodari valeat invenire.
CAPUT II.
Sint duo termini A & B in eodem plano quorum cognoscenda sit distantia tametsi ad neutrum illorum accedi possit ob aliquod obstaculum. Converte instrumentum in statione C ita ut brachium CD tendatur secundum rectam terminorum A & B, & per aliud CE observabis quodcunque signum F, cuius distantia per mensurationem possit a te perdisci, sit autem distantia E. g. 30 pedum, progressus in puncto F ita dispones instrumentum), ut per brachium FG primum videas punctum A, deinde terminum B, & in utraque observatione notabis partes abscissas a perpendiculo, quae vel in utroque erunt primi, vel secundi centenarij, vel in una primi, in altera secundi. Sint autem primum in utraque observatione [p. 493 secundi centenarij supponamus itaque quod dum respicimus terminum A abscindantur 80 partes, dum vero terminum B 40, sic procedendum erit, partes abscissae dant 100 quot dabit distantia CF, scilicet 30 duces enim 100 in 30 productum erit 3000 hunc numerum primum divides per 80 quotiens erit 37 ½ mox per 40 habebisque 75, subduces 37 ½ ex 75 residuum erit 37 ½ quare inquies distantiam AB esse pedum 37 ½. Quod si partes abscissae a perpendiculo sint primi centenarij, ut E. g. 10 & 20, 10 horum differentia est 10 quare dicendum esset 100 dant 10 quot dabunt 30 nempe distantia CF. Quod si perpendiculum dum aspicimus terminum A abscinderet partes secundi centenarij, dum vero aspicimus terminum B abscinderet partes primi centenarij, ut pro A 55 pro B 37 primum sic procedes 55 dant 100 quot dabunt 30 scilicet CF productum erit 54 ½ fere, tunc iterum dices 100 dant 37, quot dabunt 30, productum erit 11 fere, subtrahas hoc secundum productum a priori reliquum erit 43 ½ fere quare dices distantiam AB esse pedum 43 ½.
Verum enimvero si liceret quidem usque ad terminum B accedere, non autem esset possibile constituere lineam perpendicularem ad ipsum B, sed propter loci angustiam necessum esset versus D procedere, tunc firmato instrumento in puncto B, ita ut recta etiam respiciat punctum D, per brachium instrumenti BC respiciendo punctum A observabis partes abscissas a perpendiculo, quae sint E. g. 40, progressus vero ad punctum D per brachium DE, iterum aspiciendo terminum A denuo notabis partes abscissas, quae sint 20 sit vero distantia DB pedum 150 Quoniam haec operatio per numeros est satis laboriosa, primus enim numerus in se ipsum ducendus esset, productum esset 1600 cui addendum esset quadratum ipsius BD scilicet 225 summa esset 1825, huius numeri indaganda esset radix 30 quadrata nempe 42, haec ducenda esset per 15, productum erit 630 quod dividendum foret per 20 per differentiam scilicet acceptarum partium, productumque ostenderet distantiam AB. Quod cum ut diximus minus exercitatis laboriosum videri possit, ideo hoc totum per lineas linearum praestare non iniocundum erit. Disponantur itaque hae lineae ad angulos rectos hac ratione scilicet, circino aliquo [p. 494 ex scala immobili accipias quantitatem 100 partium, firmatoque uno circini pede in 80 puncto tamdiu aperiatur instrumentum donec alius praecise abscindat 60 punctum, sicque lineae erunt accommodatae, tunc ex immoto iustrumento excipias distantiam inter puncta BD & BA, hoc est inter 15 & 40, haec constricto instrumento aptetur punctis 20. 20 hoc est differentiae BA & DA, quod si commode hoc numero non possit aptari accommodetur duplo vel triplo maiori numero, ut in hoc casu punctis 40. 40 mox ex immoto instrumento excipiatur distantia inter puncta D B hoc est 15. 15 quae 10 B supra scalam immobilem mensurata abscindet 15 ¾ quare dicendum distantiam AB esse pedum 31 ½.
Insuper si necessum esset observare distantiam AB nec esset possibile per rectam lineam istas duos terminos A B aspicere, ut apparet in exemplo, nec enim ex loco C nec ex loco D id fieri potest ideo sic procedendum erit: constituti in statione D ita ut per lineam rectam videamus terminum A, & per aliam quodcunque signum C per brachium instrumenti D E aspicientes terminum B notabimus partes abscissas a perpendiculo, sint autem E. g. 88 tunc progressi A ad stationem C ita ut linea CD sit ad angulos rectos cum linea DA, per brachium instrumenti CF aspicientes terminum A notabimus partes abscissas a perpendiculo, quae sint 38, ulterius etiam mensurabimus distantiam CD quae sit pedum 60. Cum itaque supponamus partes abscissas esse secundi centenarij, ideo ex scala immobili semper accipies quantitatem 100 partium hanc per transversum aptabis punctis maioris numeri, ut hoc loco punctis 88 excipiesque intervallum inter puncta distantiae CD, hoc est 60. 60 quod aptabis punctis minoris numeri partium abscissarum ut hic 38. 38, quod si non potest duplo vel triplo maiori numero debet accommodari, ut hic punctis 76. 76. ex immoto D instrumento excipiatur distantia inter puncta numeri differentiae 30 partium abscissarum, quae in hoc casu est 50, vel inter duplum, vel triplum, prout prima vice fecimus, ut in hoc exemplo inter 100. 100 quae distantia mensurata supra scalam immobilem abscindet 90 punctum fere, quem numerum servabis, tum dispones has lineas ad angulos rectos, ut supra monuimus ex immotoque instrumento excipies distantiam inter punctum servati numeri, & inter punctum distantiae CD hoc est inter 90 & 60 quae supra scalam immobilem mensurata abscindet 108 partes, [p. 495 quare dices distantiam A B esse pedum 108 fere.}}. Quod si dum volumus praedictam distantiam A B metiri ob loci penuriam minus commodum esset stationes ita ut dictum fuit disponere, tamen illud idem perficietur hac alia ratione. Existentes in puncto D inveniemus distantiam D A, quae sit 240, & distantiam DB, quae sit 523, ut mox dictum fuit aspicientes terminum B notabimus partes abscissas, quae sint 80. Tunc disponemus lineas linearum ad angulos rectos, excipiemusque distantiam inter punctum 100 & inter punctum partis abscissae, hoc est inter 100 & 80 hane distantiam mensurabimus supra scalam immobilem, & abscindet 128 fere, quem numerum servabimus, ex scala immobili iterum accipiemus quantitatem partium abscissarum, hoc est 80, hunc aptabimus punctis numeri 100 & 128 proxime servati, & ex immoto instrumento excipiemus intervallum inter puncta numerorum distantiae DA & DB, hoc est inter 240 & 123, hoc mensuratum supra scalam immobilem abscindet 163 partem quamproxime, quare dicendum erit distantiam AB esse pedum 163.
CAPUT III.
Si quis scalam sufficientis magnitudinis ad turrim BC conscendendam parare 20 vellet, sine dubio iste debet praescire diametralem distantiam alicuius signi utputa A ad ipsum B hoc est debet praescire distantiam alicuius puncti in planitie positi a sumitate turris quod huius instrumenti auxilio indagare poterit. Progressus ad punctum A per brachium AD respiciet punctum B, interim observabit ubi cadat perpendiculum, vel enim intersecabit primum centenarium, vel secundum, vel tandem cadet inter primum & secundum. Primum autem si perpendiculum ceciderit inter duos centenarios, mensurabis distantiam A C, quae sit E. g. pedum 20 hanc in se met ipsam duces productum erit 400, hoc duplicabis proveniet 800, cuius per tradita cap. 17 invenies radicem quadratam scilicet 27 ½ fere, qualis esset diametralis distantia A B. [p. 496
Si vero secuerit primum centenarium, ut E. g. 70, tunc sic procedendum erit, primum debes elicere radicem quadratam ex quadrato perpendiculi ED, dispones itaque lineas arithmeticas ad angulos rectos, ut in superiori cap. diximus, tunc semper firmato uno pede circini in puncto 100 notato alium extendemus ad punctum numeri partium abscissarum, ut in hoc exemplo ad 70, hanc distantiam mensurabimus supra scalam immobilem, & inveniemus abscindete 122 punctum fere, tuncque postea semper dicendum si 100 dant 122 quot dabit distantia AC ut puta 20 pedum, quare facta operatione per tradita cap. 5 provenient pedes 24 ½ fere, distantia AB quaesita.
Tertio & ultimo si perpendiculum abscindet secundum centenarium ut 28, tunc aptatis lineis linearum ut diximus excipies distantiam inter puncta 100 & 28, tot enim supponimus abscindi partes secundi centenarij, hanc mensurabis supra scalam immobilem, & invenies 103 ½ fere, quare inquies si partes abscissae 28 scilicet dant 103 ½ quot dabit distantia AC, & facta operatione offendetur quartus numerus distantiam quaesitam exhibens.
Si non liceret accedere ad basim, sed tantum ad signum plani, geminatis observationibus observare possumus praedictam distantiam. Primum itaque in superiori schemate facta prima observatione in statione F ut diximus, retrocedemus a re visa recto semper tramite pro libitu, ut in A, ibique serum per latus AD observabimus terminum B notando partes abscissas a perpendiculo, quac vel in utraque statione sunt primi, vel secundi centenarij, vel in una primi, in altera secundi. Primo autem ponamus quod in utraque statione perpendiculum intersecet secundum centenarium, in F quidem 93 in A vero 48. Subducas minorem ex maiori differentia erit 45 deinde mensurabis distantiam FA quae sit 15 pedum, his peractis dispones lineas linearum ad angulos rectos ut multoties dictum est, excipies intervallum inter punctum 100 & punctum numeri 30 partium in prima statione abscissarum, hoc est 93, hoc mensurabis supra scalam immobilem abscindet 136 quam praxime, tunc dices differentia partium [p. 497 abscissarum, hoc est 45 dat 136, quot dabunt I S pedes distantia scilicet FA, facta itaque operatione invenies 41 fere, quare dices distantiam FB esse pedum 41.
Secundo supponamus perpendiculum in utraque statione abscindere partes primi centenarij, ut in F 70, in A 46, harum differentia est 24, tunc sic dicendum partes abscissae in secunda statione 46 scilicet dant 100 quot dabit differentia praedictarum partium 24 facta itaque operatione si lubet per lineas linearum invenies 52 $^1$/$_5$ quem numerum servabis, tum denuo dispositis lineis ad angulos rectos excipies intervallum inter 100 & punctum numeri partium primae stationis, hoc est 70 quod mensuratum supra scalam immobilem abscindet 122 fere, tunc dicendum si 52 quam proxime dant 122 quot dabit distantia FA scilicet 15 & facta operatione invenies 35 fere pro quarto numero proportionali.
Tertio supponamus in prima statione filum abscindere partes aliquas secundi centenarij, ut puta 43 in secunda vero statione partes primi centenarij ut 58, accipias ex scala immobili quantitatem 100 partium, hanc per transversum punctis 58.58 hoc est partium abscissarum in secunda statione aptabis, immotoque instrumento excipies intervallum inter puncta 100. 100 quod mensuratum supra scalam immobilem abscindet 172 ½, ex hoc numero demantur partes abscissae in prima statione, residuum nempe 129 ½, servabis, tunc elicias radicem quadratam ex summa quadratorum integri lateris hoc est 10000, & partium abscissarum in secunda statione, prout superius per exempla multoties demonstravimus, haec autem sit fere 115. Tunc ex scala immobili accipias quantitatem 115 partium, hanc aptabis punctis 129 ½ & excipies intervallum inter puncta numeri distantiae FA, hoc est 15. 15 quod mensuratum supra dictam scalam immobilem abscindet 13 ½ fere ex quo numero habebis distantiam quaesitam FB.
Quod si radix turris propter aliquod impedimentum minus videri posset, & in utraque statione perpendiculum abscindit secundum centenarium, dicendum erit si differentia partium abscissarum in prima & in secunda statione dat partes abscissas in prima, quot dabit distantia FA si vero abscindit primum centenarium dicendum differentia partium abscissarum dat partes abscissas in secunda statione, quot dabit distantia FA. Tertio & ultimo, si in prima statione intersecat secundum, in secunda vero primum centenarium accipias ex scala immobili quantitatem 100 partium, hanc aptabis per transversum punctis numeri abscissarum partium in secunda statione, & excipies intervallum inter puncta 100. 100, quod mensuratum supra scalam immobilem dabit quartum numerum, [p. 498 ex quo si subduxeris partes abscissas in prima statione habebis primum numerum ponendum in regula proportionum, quare dices, si hic numerus proxime inventus dat partes abscissas in prima statione, quot dabit distantia FA, sicque semper optatum habebi. (12),
Conspecta aedificii tantum summitate intervallum horizontale inter dictum' aedificium & terminum in plano positum indagare. CAP. IV.
Si forsan cogamur metiri horizontalem distantiam DB, ex intuitu signi C, & ob impeditam retrocessionem termini aliam stationem eligere impossibile esset. Constituti in loco D humili scilicet, per latus DA aspicientes terminum B notabimus partes abscissas a perpendiculo, tunc ascendemus ad punctum E. Cum videlicet eo loci est turris vel quodvis aliud dificium, & per brachium EF iterum aspicientes terminum B notabimus partes abscissas, quae in utraque statione sunt primi, vel secundi centenarij, vel in una sunt primi, in altera secundi. Secet autem primum partes primi centenarij, sic institues ratiocinium; differentia partium abscissarum primae & secundae stationis dat 100 quot dabit distantia DE, quae per mensurationem nota esse debet, quartus autem numerus distantiam quaesitam iudicabit . [p. 499
Secundo, intersecet in utraque statione secundum centenarium, ut in prima 60, in secunda 75 differentia harum partium est 15, ex scala immobili excipias quantitatem 100 partium hanc aptabis punctis partium abscissarum in secunda statione hoc est 75, & excerpes intervallum inter puncta differentiae partium abscissarum hoc est 15 quod mensuratum supra scalam immobilem abscindet 20, quem numerum servabis, mox ex scala immobili accipies quantitatem 60 partium, & sunt abscissae in prima statione, hanc aptabis punctis 20. 20, hoc est nuper invento numero, & excipies intervallum inter puncta distantiae DE, quae in hoc exemplo sit pedum 10, quod mensuratum supra scalam immobilem abscindet 30, 10 quare dicendum distantiam quaesitam esse pedum 30.
Tertio & ultimo intersecet in prima statione secundum centenarium in secunda autem primum, ut in prima 40 in secunda 70. Operatio est omnino eadem ac in proximo superiori casu, quare ab exemplo suprasedendum credo. [p. 500
Data longitudine alicuius turris vel aedificii perpendiculariter alicui plano insistentis, distantiam horizontalem basis percipere.
CAPUT V.
Sit exploranda distantia horizontalis basis B a termino C, ex loco eminentiore turris A B. Constitues instrumentum in stetione A, ita ut per brachium AD aspicias terminum C, perpendiculum enim intersecabit primum centenarium quando distantia BC est maior quam altitudo AB, vel secundum centenarium quando scilicet distantia proposita minor fuerit altitudine turris; vel tandem cadet inter primum & secundum centenarium quando distantia BC altitudini AB aequabitur. Scindat autem primo secundum centenarium, quare dices si 100 dant partes abscissas, quod dabit altitudo BA, quartusque numerus ostendet distantiam BC secundo si abscindit primum centenarium , tunc dicendum si partes abscissae dant 100 quot dabit altitudo A B, & ex quarto numero coliges distantiam BC.
Data turris longitudine distantiam horizontalem duorum terminorum in planitie
positorum ab illius summitate dignoscere.
CAPUT VI.
Proponatur longitudo AG separata a base C turris BC intervallo quovis CA, quae sit perspicienda e loco alto B. Dispones instrumentum in statione B, ita ut centrum illius sit ad perpendiculum turris, tunc per brachium BD seorsim aspicie sterminos A, & G notando partes sectas in utriusque termini observatione, [p. 501 in qua triplex tibi casus accidere potest, vel enim in observatione utriusque termini perpendiculum abscindit primum, vel secundum centenarium, vel in remotiore primum in viciniore secundum. Supponamus primo in utraque observatione intersecare secundum centenarium, itaque dices, si 100 dant differentiam partium abscissarum, quot dabit altitudo CB, quartus numerus ostendet distantiam A G.
Secundo supponamus abscindere primum centenarium, tunc sic procedes si differentia partium abscissarum dat 100 quot dabunt partes abscissae in viciniori distantia A, & habebis quartum quo sic dices, si partes abscissae in remotiori distantia B dant quartum hunc numerum proxime repertum, quot dabit altitudo CB, ex qua operatione habebis distantiam quaesitam A G.
Tertio & ultimo abscindat in remotiori distantia primum centenarium, in viciniori autem secundum, primo itaque sic ratiocinaberis, partes abscissae in remotiori distantia G dant 100 quot dabit altitudo CB quartusque numerus ostendet distantiam CG, iterumque dices, si 100 dant partes abscissas in viciniori distantia A, quot dabit altitudo CB habebisque in quotiente distantiam CA quae a priori CG sublata, relinquit distantiam AG quesitam.
Nulli dubium quod per hactenus dicta nota turris vel aedificij altitudine distantiam horizontalem basis ab aliquo signo huius instrumenti beneficio invenire possumus, verum si propter aliquod impedimentum turris altitudo minus nota esset, pateant tamen duo luca A & G in quibus geminata observatio institui possit, non minus illud idem praestabimus. Sit enim indaganda distantia basis C a puncto B ex utraque statione A & G diligenti observatione facta eiusdem signi B signabis partes 30 in utraque statione sectas, quae quidem erunt in utraque vel primi, vel secundi. Si sint in utraque secundi sic procedendum, partes abscissae in secunda statione, ut puta in G dant 100, quot dabit differentia partium abscissarum in prima & secunda, cum proveniente numero iterum dicendum, si hic quartus numerus dat partes abscissas in prima statione ut puta A quot dabit altitudo AG, exqua [p. 502 operatione habebis distantiam CB. Sed si in utraque statione inter secuerit primum centenarium operatio erit satisfacilis dicendo, si differentia partium abscissarum in prima & secunda statione dat centum, quot dabit altitudo AG. Tertio & ultimo si in statione A intersecet primum centenarium, in statione vero G secundum, sic inquies si partes abscissae in prima statione ut puta A dant 100 quot dabunt 100 a quociente subducas partes abscissas in secunda statione ut puta G cum residuo iterum dices, si hoc residuum dat 100; quot dabit altitudo AG sicque indagasti distantiam CB.
CAPUT VII.
Per praecedens Cap. inveniatur distantia basis turris ab unoquoque termino dato, ut si in superioriexemplo ex duabus stationibus A & G indaganda esset distantia DB dico quod prius inveniri debet distantia CD, tum distantia BC per superius tradita, sublata enim minore CD ex maiore CB relinquetur DB distantia quaesita. Haecque hactenus dicta ni fallor satis commode possunt omnibus distantijs dimetiendis inservire, nunc ad altitudines veniendum.
Altitudinem aliquam ad cuius basim pateat accessus ex loco plano dimetiri. CAP. VIII.
Si metiri volueris altitudinem BC in loco planitiei AC cum ad basim C pateat transitus. Constitutus in A per brachium instrumenti AD respicies sumitatem B turris, vel rei metiendae; notando tamen ubi perpendiculum cadat, vel enim intersecabit primum, vel secundum centenarium, vel tandem cadet inter utrunque. Sit itaque universalis haec regula si cadit inter utrumque altitudo BC erit aequalis distantiae AC. Si autem abscindit secundum centenarium dicendum si partes abscissae dant 100 quot dabit distantia AC. 30 D Tertio, si abscindit primum centenarium, A & tu inquies si 100 dant partes abscissas, quot dabit distantia AC, utrobique enim relinquetur altitudo CB, quae omnia quam facile per lineas linearum praestari possint, non est quod denuo repetam. [p. 503
Altitudinem ex duabus stationibus dimetiri, quando scilicet accessus ad basim non datur.
CAPUT IX.
Si depraehendenda foret altitudo superius posita BC ad quam observator accedere nequiret propter impedimenta vallium, vel fossarum, vel aliarum huiusmodi rerum. Observetur sumitas B in stationibus A & E, in quibus vel perpendiculum secat primum centenarium, vel secundum, vel in una primum in altera secundum. Intersecet autem E. g. secundum, tunc dicendum si differentia partium abscissarum in prima & secunda statione dat 100 quot dabit distantia AE ex quartoque numero habebis altitudinem BC. Notandum tamen non solum in hac operatione, sed in omnibus alijs hactenus dictis, & inferius dicendis, quod cum homo humi prostitutus observare minime possit, sed iuxtam a solo requirat distantiam, quod semper altitudo instrumenti addenda erit inventae altitudini. Intersecet secundo in utraque statione primum centenarium quare dicendum, si partes abscissae in remotiori statione A dant 100, quot dabit differentia partium abscissurum in prima & secunda statione. Iterum postea inquies si quartus numerus mox inventus dat partes abscissas in viciniori statione, quot dabit distantia AE. Tertio & ultimo in viciniori statione E abscindat perpendiculum primum centenarium, in remotiori A secundum, primum dicendum partes abscissae in remotiori statione A dant 100, quot dabunt 100, iterumque dicendum si quartus numerus mox indagatus dat 100 quot dabit distantia AE, & ex proveniente numero habebimus altitudinem quaesitam.
Portionem quampiam alicuius altitudinis ex aliqua planitie percipere cum ad basim dictae altitudinis accedere conceditur.
CAPUT X.
Libeat explorare quanta sit altitudo portionis AB a termino C planitiei, cuius termini distantia a base E haberi possit. 'Observa fines dictae partis eminentis nempe A & B in statione C, & notabis sectionem perpendiculi ad utriusque [p. 504 observationem, quod quidem vel in utraque abscindet primum, vel secundum centenarium, vel in una primum, in altera secundum. Abscindat primo in utraque observatione primum centenarium, ita dicendum.
si differentia partium abscissarum in utraque observatione dat 100 quot dabit distantia CE, ex quarto enim numero elicies altitudinem BA, sed lubet hoc loco uti exemplo, ne dum nimiam breviiatem desideramus obscuritatem consequi videamur. Sit itaque distantia CE per mensurationem nota pedum 86 partes abscissae in prima 10 observatione utputa CA 15 in secunda CB 60. differentia harum partium erit 45, quare ex scala immobili accipies quantitatem 100 partium, hanc aptabis punctis differentiae partium abscissarum, hoc est punctis 45. 45 & immoto instrumento excipies intervallum inter puncta distantiae CE, hoc est 86 quod mensuratum supra scalam immobilem abscindet 191 fere, quare dices altitudinem AB esse pedum 191. Quod si secundo intersecet in utraque statione secundum centenarium, vel tertio si in humiliori observatione intersecet secundum, in remotiori primum centenarium, tunc istae operationes pendent a secundo & tertio casu cap. 9 intelligendo loco 20 distantiae in plano altitudinem partis conspectae in sublimi, quare ulterius has explicare supervacaneum credo.
Si autem turris A E, cuius portionis BA altitudinem inquirimus radix propter aliquod impedimentum minus videri posset, ita ut distantia CE ignota reddatur, possumus nihilominus ex duabus stationibus optatam altitudinem assequi. Per cap. enim 9 inveniemus altitudinem BC, atque etiam AC, tum subducemus altitudinem BC ab altitudine AC relinquiturque mensura altitudinis quaesitae AB.
Altitudinem dimetiri cuius distantia a basi per mensurationem dari minime contingat, neque etiam accedi vel recedi possit per lineam nectam.
CAPUT XI.
Proponatur in proximo superiori exemplo altitudo A E mensuranda, cuius distantia a basi ignota est, nec datur locus accessus aut recessus per rectam lineam [p. 505 a loco stationis C in qua observator collocatur, sed lateraliter tantum moveri possit. Per illa, quae Cap. 1 docuimus inquiratur distantia terminorum C & E qua habita in statione C observabis sumitatem A per illa enim, quae Cap. 8 docuimus nullo fere negotio exquires dictam altitudinem A E.
CAPUT XII.
Insistentes superiori dato exemplo si indaganda esset altitudo AB distan10 tiaque CE esset ignota, nec observator propter impedimenta posset per rectam lineam recedere a statione C per illa, quae Cap. 1 docuimus inquiratur distantia CE qua habita cognosces etiam altitudinem ipsam BA per illa, quae Cap. x tradidimus.
Data aedificii altitudine ex ea minorem aliam altitudinem dimetiri. CAP. XIII.
Sit turris AB ex loco A sit metienda minor altitudo CD. Dispones instrumentum ut eius centrum sit ad perpendiculum cum linea AB, tum per brachium AE respicies signum C & notabis partes abscissas a perpendiculo, iterum deprimendo brachium A E respicies signum D notabisque etiam partes abscissas a penpendiculo, quae vel in utraque observatione sunt primi, vel secundi centenarij, vel in una primi, in altera secundi. Primum autem sint primi, quare dices si partes abscissae in secunda observatione AD dant differentiam partium abscissarum in utraque observatione, quot dabit altitudo BA sint secundo secundi centenarij, primum dices si partes abscissae in prima observatione AC dant 100 quot dabit differentia partium abscissarum in utraque observatione, cum quartoque numero iterum dices, si 100 dant quartum numerum modo inventum, quot dabit altitudo BA. Tertio & ultimo ponamus in prima observatione AC abscindere primum centenarium, in secunda autem AD secundum. Primum [p. 506 dicendum erit si 100 dant partes abscissas in prima observatione AC, quot dabunt partes abscissae in secunda observatione AD quartum inventum numerum subtrahimus ex 100, cum quo residuo iterum dicimus, si 100 dant hoc residuum, quot dabit altitudo BA, utrobique enim habebimus altitudinem CD.
Verum tamen si e converso ex humiliori lo. C investiganda esset maior altitudo AB per Cap. v colligas distantiam BD, iterumque sic accommodabis instrumentum, ut per brachium CF respicias sumitatem ACG autem efficiat quasi unum planum, per cap. 8 venaberis altitudinem GA quae ad iuncta minori altitudini CD per mensurationem cognitae constituit totam AB altitudinem.
A sumitate arcis altitudinem eiusdem aedificii cognita tamen prius distantia horizontali basis eius ab aliquo loco colligere. CAP. XIV.
Sit arx AB e cuius sumitate A, per observationem signi C cuius distantia a basi B habetur, altitudo ipsius BA inquirenda est. Per hoc instrumentum operando ex intuitu signi C perpendiculum intersecare poterit, vel praecise duos centenarios, & tunc altitudo metienda aequatur distantiae BC notae, vel intersecare poterit primum, vel secundum centenarium, ut si primo intersecuerit secundum dicendum erit partes abscissae dant 100, quot dabit distantia CB quod si inter secet primum, e converso 100 dant partes abscissas, quot dabit distantia CB utrobique enim relinquetur altitudo
E duobus locis alicuius altitudinis ipsam altitudinem indagare, observando quodpiam signum in plano licet eius distantia a basi per mensurationem dari non possit. CAP. XV.
Investigaturus altitudinem GC, quae quidem proposita fuit cap. 6, ex duabus stationibus in ea factis G & A. Ut superius dictum fuit tam ex G, quam ex A diligentissime respicies ad punctum B, notando semper partes abscissas a perpendiculo, quae vel in utraque erunt primi, vel secundi centenarij, vel in una [p. 507 primi, in altera secundi. Ponamus primo in utraque statione intersecare secundum centenarium, tunc prout cap. 6 docuimus inquies si partes abscissae in secunda statione utputa in G dant 100 quot dabit differentia partium abscissarum in utraque statione, deinde iterum dices si hic quartus numerus modo repertus dat 100 quot dabit altitudo GA proveniens enim numerus ostendet residuam altitudinem AC cui si cognitam altitudinem GA adieceris habebis quaesitam altitudinem G C. Ponamus secundo intersecare primum centenarium, tunc dices si differentia partium abscissarum in utraque statione dat partes abscissas in secunda statione G quot dabit altitudo G A. Ponamus tertio quod in statione A 10 intersecet primum, in statione G secundum centenarium, tunc primo dicendum ut dicto etiam 6 cap. diximus, si partes abscissae in secunda statione G dant 100 quot dabunt 100, ex proveniente numero subtrahantur partes abscissae in prima statione A, cum quo residuo iterum dices, si hoc residuum dat quartum numerum proxime inventum, quot dabit altitudo G A utrobique enim habebitur tota quaesita altitudo G C.
Cognita distantia duorum signorum in plano altitudinem aedificij in quo observator collocatur prompte adinvenire, CAP. XVI.
Caput hoc est conversum praecedentis cap. 6 observabis itaque (sicut praeallegato cap. dictum fuit) terminos A & G ut illa eadem figura utar, ex loco alto B, animadvertens si in utriusque conspectu abscindit perpendiculum primum, vel secundum, vel primum & secundum centenarium, prout ibi diximus. Abscindat primo secundum, invertas regulam ibi datam, & dicas si differentia partium abscissarum, dat 100, quot dabit distantia AG. Si secundo intersecaret primum centenarium, & tu converteres secundam partem secundae regulae, dices enim si quartus numerus indagatus dat partes abscissas in remotiori distantia BG, quo dabit distantia AG. Quod si tertio loco abscindat in remotiori distantia primum in viciniori secundum centenarium tunc primo dices si partes abscissae in remotiori distantia BG dant 100, quot dabunt 100, ex proveniente subtrahantur partes abscissae in viciniori distantia BA, cum residuo iterum dicatur si hoc residuum dat 100, quot dabit distantia AG, ubique enim habebis altitudinem CB satis superque, quantum ad praesens negotium spectat de altitudinibus loquuti,
Profunditatem perpendiculariter in terram descendentem dimetiri, quando ad eius orificium patet accessus, & potest ipsius orificij latitudo sciri.
CAPUT XVII.
Non differt haec operatio ab illa quam 14 cap. exposuimus intelligendo hic profunditatem, quod ibi altitudinem diximus. Accommodato itaque instrumento, ut in superiori figura vides, ita ut ex puncto A respicias punctum D notabis partes abscissas, quae vel erunt secundi centenarij, quando profunditas maior erit latitudine putei, vel primi centenarij quando profunditas a latitudine superatur, vel tandem cadet perpendiculum inter primum & secundum centenarium quando profunditas aequalis est latitudini. Si intersecat secundum centenarium, sitque nota A C orificij scilicet quantitas, dicendum si partes abscissae dant 100 qnot dabit latitudo AC tandem si intersecat primum, quod tamen raro accidit dicendum si 100 dant partes abscissas, quot dabit latitudo A.C.
Si autem recte percepisti illa, quae cap. 9 tradidimus licet non detur putei latitudo CA ob aliquod obstaculum, poteris nihilominus ad eundem scopum alia via contendere. Erigendo baculum CE notae alicuius magnitudinis in quo respiciendo signum B facies duas stationes, quod si hoc loco transferes illa, quae cap. 6 diximus intelligendo vice altitudinis profunditatem, & vice eminentis altitudinis in qua duae stationes ibi fiunt, baculi longitudinem nullam omnino habebis difficultatem, quare supervacaneum esset ulterius haec explicare.
Profunditatem aliquam oblique descendentem etiam si ad superiorem illius terminum nullo pacto possit accedi depraehendere. CAP. XIIX.
Sit in exemplo vallis ACD cuius profunditas sit exploranda, ex statione A cape distantiam terminorum AC per illa, quae Cap. 1 docuimus, haec autem sit E. g. pedum 48 tum ex puncto A respiciendo signum C videbis ubi cadat perpendiculum, & sit primum inter duos centenarios, quare ut ex datis elicias [p. 509 profunditatem quaesitam, disponas lineas linearum ad angulos rectos, ut Cap. 2 docuimus & excipe intervalum inter dimidium partium abscissarum, hoc est inter puncta 24. 24, quod mensuratum supra scalam immobilem abscindet 34 fere, quanta scilicet erit ipsa profunditas BC intersecet secundo primum centenarium, ut puta 80 dispositis lineis linearum ad angulos rectos ut diximus excipias intervallum inter puncta 100 & 80 quod mensuratum supra scalam immobilem abscindet 128 quam proxime, iterumque dices numerus hic repertus 128 dat partes abscissas 80, quot dabit distantia A & facta operatione vel per dictas lineas, vel per vulgatam regulam auream, habebis profunditatem indagatam. Intersecet tertio secundum centenarium ut puta 47. Ex dispositis lineis linearum ad angulos rectos excipias distantiam inter 100 & 47 quae mensurata supra scalam immobilem abscindet 110 fere, quare iterum dicendum si 110 nempe numerus mox inventus dat 100, quot dabit distantia A C proveniens enim numerus dabit profunditatis dimensionem quaesitam.
Ex altiore loco profunditatem aliquam respectu humilioris loci explorare. CAP. XIX.
Sint in superiori figura duo montes AC & CD inter quos claudatur vallis ACD cuius quidem profunditas respectu minoris montis sit percipienda, quae sane accipitur penes perpendicularem BC. Per tradita Cap. 1 sume utramque distantiam DC & DA, tum ex puncto D respicias terminum C notando partes sectas & cuius nam centenarij sint, nam ex his erues facillime altitudinem ED iuxta tradita cap. 18 nec non etiam ex observatione sumitatis A, ac ex cognita distantia DA habebis portionem FD quae de maiore altitudine DE detracta relinquet minorem montis altitudinem respectu termini C cui aequalis est profunditas CB. Haecque hactenus dicta sufficiant, si quis plura desiderat non desunt qui copiosissime quadratus [p. 510 geometrici usum proposuerunt, ex quibus etiam, modo recte percepta sint quae a nobis fuerunt explicata, facili negotio colligere licet, quomodo per hoc nostrum instrumentum spatium aliquod terrae tum planum tum non planum pro ducendis aquis librare possimus. Interim amice Lector valeas nostrosque conatus boni aequique consulas.
Finis.
[p. 511
1607. die Martis, 27 Mensis Februarij
Patavij.
Ego Ioseph Tinatius, Sac. Theologorum Patav: Collegio cooptatus, ut D. Benedicto de Benedictis, Philosophiae, Medicinaeque Doctori optimo iuxta, atque Eccellentissimo quem plurimas ob causas maximo prosequor amore, rem gratam praestarem, ea, qua potui, diligentia praesens linearum figurarumque vidi Opus, plenum; usus inscriptum (videlicet) & fabrica Circini cuiusdam proportionis, per quem omnia tam Euclidis, &c. Balthasaris Caprae, nobilis Mediolanensis; paginis num. 60 cum dimidia, integris contentum; a prima quidem pagina, usque ad 41 capita 52 a 41 vero pagina, usque ad finem, 19 capita continens, cuius sane operis initium est. Bonum ipsum ex sua natura communicabile esse &c. finit autem. Interim Amice Lector valeas, nostrosque conatus boni aequique consulas: legi etiam duas Epistolas praesentes, dedicatorias nuncupatas, alteram nempe Illustrissimo Principi Ioachimo Ernesto &c. quae incipit Philippo Macedone Graeciam occupante &c. finitque, collocasse apertissime cognoscet. valeas datum Patavij nonis Martij, 1607. Alteram vero D. Balthesari Caprae dedicatam, quae quidem incipit. Ego vero illud sane per pulchrum &c. hoc autem fine perficitur, exopto felicitatem ex flumine Kal. Januarij 1607 in quo profecto opere, epistolisque, ambabus sic existentibus, prout in praesentiarum iacent, quod Christianae fidei, catholicaeque Dogmatibus, bonis sive moribus, seu denique Christianis Principibus, catholicisque aliquo modo adversetur, nihil contineri meo iuditio reperi. Quinimmo id operis doctrina aeque, ac sermonis elegantia refertum, se mente, animoque syncero per lecturis, vel maximo emolumento fore, opinor. Verumenimvero, quoniam saepenumero dormitat Homerus, ideo me submisse cuiuscunque saniori iuditio, praesertimque Sanct. Matr. Ecclesiae Catholicae, & Apostolicae submitto quare &c.
Imprimendi licentiam Concedit Fr. Zaccarias Urceolus de Ravenna Inquisitor Paduae stante suprascripta attestatione accedente de consensu Reverendissimi D. Vicarij G.
Eandem Licentiam concedo ego Alexander Terentius Vic. Episcopalis attenta suprascripta Tinacij attestatione.
Errore nelle note: Sono presenti dei marcatori per un gruppo chiamato "§" ma non è stato trovato alcun marcatore corrispondente
* ↑ vedasi che son pochi anni, che ha cominciato a studiar Matematica.
* ↑ Hic contradicit sibimet: in principiis enim Cap. 2 et 3 inquit, difficillimum et fere impossibile esse, lineam in petitas partes secare.
* ↑ Interrogetur de inventione horum ponderum, et maxime mercurii.
* ↑ Frustra describitur iste semicirculus.
* ↑ non parla mai più di questo punto 7 ; ed oltre a ciò, più a basso pone per il lato dell' esaedro una linea molto minor di questa. Vedi a carte 14, al segno ＋. E questo è il satis diu volutasse.
* ↑ Cum satis diu fabricam hanc volutasset. Si è scordato del lato del Sangolo : e pure, nel venire alle operazioni, nella bella prima ci vuol far costituire il 3angolo eguale al dato cerchio. Questo solo basterebbe a dimostrare quanto costui abia praticate queste operazioni, o pure ad accertarci come, avendole copiate da altri, né intendendo cosa alcuna, le lascia come le ha trovate. Domandisi che trovi il lato del A, da lui tralasciato ; il quale dal lato dell'exagono subito si troverà, crescendolo in sescupla proporzione. Domandisi anco per trovare il lato del □, essendo il diametro del ○ 100.
* ↑ mentre che c'insegna a fabricar lo strumento, dice che ci gioverebbe assai averne un fatto, e lo replica ancora.
* ↑ comincia a domandare perchè per 12, e séguita delli altri.
* ↑ Essendo del Clavio, in luogo del trovare la AP col mezo del 3angolo OA C, posta la BI, il Capra, non avendo inteso niente, mette 30 qui superfluamente l'uno e l'altro.
* ↑ lasciamo andare che è troppo manifesto, dal por questi numeri a sproposito, che costui non intende niente quel che siano questi corpi regolari, e parliamo pure del porre lui qui 6; de i quali, 2 sono il cubo e l' exaedro. Et satis diu volutavit. ex 13a, 14a, 15a, 13¹. Corol. 17$^{ae}$ 13¹. ex 2a 14¹. Diameter sphaerae lateris Pyramidis potentia sesquialtera, Octaedri 2pla, Cubi 3pla rursus maior portio lateris Cubi extrema et media ratione secti est latus Dodecaedri, et idem circulus com- prehendit Dodecaedri pentagonum et icosaedri Δ$^{um}$. Ergo haec omnia per lineas geometricas et per lineas circulorum consequi possunt: ergo frustra ponuntur in instrumento hae lineae.
* ↑ Ha tanto in pratica questo strumento, che non si è ancora accorto, se quelle parti siano eguali o no; e sa tanto di Geometria, che non intende che non possono essere eguali. Et tamen satis diu volutavit.
* ↑ ☽︎ nel copiar da scritti a mano si può essere ingannato, pigliando 55 $^6$/$_7$ quello che deve dire 11 $^6$/$_7$; e non intendendo niente, non si è accorto dell' errore; di più, non sapendo ciò che sia multiplicare un numero in sè stesso, dice che 55 $^6$/$_7$ (o pure 11 $^6$/$_7$, ammettendo l'error di stampa) fa 45; che è falso.
* ↑ ma notisi che questa è la operazione seguente, solamente immascherata: perchè prima, il pigliar la linea AB 4 o 5 volte nella CD non è niente; ed il prenderne poi 7 piedi e , de' quali tutta la A B ne contenga 12, o vero pigliarne 11 e 4, quando si finga contenerne 16, non 20 è altro che pigliare o 55/84 o li 4564 della medesima linea AB; la qual cosa è quella che nella seguente operazione insegna, la quale è copiata dalla seconda del mio libro, posta a carte 2b, sotto questa nota ħ.
* ↑ Copiata da la 2 del mio, ħ.
* ↑ Ha voluto aggiugnere questo caso che segue, oltre a quello che ha tolto da me; ma per intender quello che ha voluto dire, bisogna indovinare; poi che, per esplicar questa operazione, doveva dire « accipiatur residuum illarum partium, nempe 97, vel 96, vel 95, prope 100», e non illae accipiantur ex altera parte instrumenti », il che non si può fare.
* ↑ Ma questa cauzione è pur cavata dalla prima mia operazione, e da quella parte che è contenuta sotto questa nota , carte 2, o vero da quella che è sotto questa ♂, carte 1b.
* ↑ Copiato ad verbum da la parte della mia prima operazione contenuta sotto questa nota .
* ↑ copiato dalla prima del mio, e dalla parte contenuta tra le note ☽︎ .
* ↑ Ha volsuto mascherare un poco questo metodo, preso dall'ultima parte della mia prima operazione, segnata : e volendo un poco allontanarsi dalle mie proprie parole, dà finalmente della bocca in terra; e dove dice « quae addatur singulis partibus etc. », deveria dire « quae addatur primae parti semel, 2$^{ae}$ bis, 3$^{ae}$ ter, etc. »; altrimenti, procedendo come esso scrive, l'operazione è falsa.
* ↑ O questa sì, che voglio che la lassiamo per parto dell' ingegno del Capra.
* ↑ potevasi più speditamente risolvere per la 3 del mio; anzi è l'istessa operazione.
* ↑ questa la dimando io scala retta, contradistinguendola alla trasversale; ma immobile la chiamo ancora (onde costui ne cava il nome) nella operazion 3, car. 2b, incontro alla nota ♈︎.
* ↑ copiato dalla mia 4" operazione, car. 4b, nota ♊︎.
* ↑ nota come dalle parole nec secundus nec tertius si scorge che il Capra non intende nè anco quello che ruba: perchè il dire nec 30 secundus nec tertius dimostra che di sopra sia stato posto in regola che si possa prendere o l'uno o l'altro, sì come da me fu avvertito nel sopra citato luogo; il quale non avendo copiato intero costui, séguita adesso di copiare quel che segue da me sotto l'altra nota ♌︎, e si dichiara ladro ignorante.
* ↑ ♌︎, c. 4b.
* ↑ Copiato da quel che segue nel mio libro, alla nota ♏︎, c. 5 a.
* ↑ Copiato da quel che segue nel mio, ♎︎.
* ↑ Copiato da quel che segue alla nota ☉︎.
* ↑ questa operazione fu data da me in alcuni essempi manuscritti, e tralasciata nello stampato, perchè dalle cose dette facilmente si raccoglieva, essendo che è la regola del 3 replicata 3 volte. Ma perchè nell' aggiustare lo strumento si adoprano sempre i medesimi numeri, però, aggiustato che sia una volta, non si ha più da muovere, ma solamente pigliare li altri 3 numeri a uno a uno, etc.
* ↑ Copiato dalla operazione 5, c. 5b.
* ↑ Copiato dall' operazione 6, c. 5b, al segno ♋︎}.
* ↑ Copiato dall' operazione 7, c. 6b, alla nota ♀.
* ↑ ha volsuto arrisicarsi a non copiare, ed ecco l'ignoranza in campo. Tu, perchè, guadagnando 10 per 100, si dice: Se 100 doventa 110, hai creduto che nel perdere 10 per 100 si deva dire: Se 110 riman 100; ed è una balorderia, perchè se tu vuoi perder 20 10 per cento, devi dire: Se 100 riman 90, etc. Ma se tu vuoi perder più di 99 per 100, séguita di giocar a questo giuoco. È dunque tutta questa operazion falsa. Ma è ben cosa ridicolosissima ed ignorantissima il chiamar questa operazione conversa della precedente, essendo la medesima; perchè essendo in quella dati il numero degli anni, l'interesse, ed il primo capitale nudo, il quesito è il capitale affetto da gli anni e da gl' interessi; sì che chi vuol convertire il problema, bisogna mettere il quesito tra i dati, e fare alcuno dei dati quesito. Ma qui dove tu dici: 240 scudi in tre anni, affetti da usura dannosa di 10 per 100, che doventano? il quesito è il capitale affetto da usura dannosa; onde il problema non è altrimenti convertito. Ma il povero Capra, perchè il perdere è il contrario che 'l guadagnare, ha creduto che questa usura dannosa faccia il problema converso di quello che fu di interessi utili.
* ↑ persiste ne i medesimi errori, e vi aggiugne che prima mette a 5 per 100, e poi a 10 per
* ↑ Questa si lascia intatta all' invenzione dell' autore: ed è un affaticarsi per impoverire; poi che introduce un'altra scala mobile, potendosi servire della stabile; ha da muover lo strumento una volta di più, adoperar 2 compassi, e cercar in fine con tedio il numero desiderato trasversalmente; le quali manifatture son tutte superflue.
* ↑ Non avendo copiata questa insulsissima operazione da alcuna delle mie, ecco la ignoranza in campo; poi che crede di aver fatto il triangolo triplo del triangolo col fare i lati tripli de i lati. Vedi come persiste nel medesimo errore, di sotto, al cap. XI, dove dice che qui da i numeri de i lati si argomenta la proporzione delle superficie, come qui.
* ↑ tutta la seguente operazione è cavata da la mia posta a c. 26, alla nota ♈︎; ma è qui posta imperfetta, come è manifesto a chi le riscontrerà.
* ↑ questa e le due sequenti operazioni non son copiate, e non son false; ma, dependendo da cose poste da me, potevano molto più destramente esser risolute, e senza avere a muover lo strumento più di una volta sola: imperò che, misurata rettamente la linea B, ed applicata poi trasversalmente alla quantità della A misurata su la medesima scala, e preso poi trasversalmente il numero della B, si averà la C. Ma che bisognava perder in queste 3 operazioni tempo, se sono la medesima cosa ad unguem che la regola aurea posta da me?
* ↑ Op. 4, c. 4.
* ↑ modo di parlare che non esplica quello che ha voluto dire, o, per dir meglio, quello che averebbe auto a dire, volendo dir bene.
* ↑ per trovar la C, si deve pigliar 28, e non 35; e starà bene. Se poi per la D si prenderà 35, e per la E 42, le linee non saranno altri- s0 menti proporzionali (come lui propone con Euclide) in proporzion geometrica, ma in aritmetica.
* ↑ Qui è introdotto Pappo a sproposito, perchè questo è un problema di Euclide. Ed è falso che in questo essempio si sia fatto: ut prima ad 2$^{am}$, ita 4a ad 3$^{am}$; ma si è fatto: ita 3a ad 4$^{am}$
* ↑ Fiammingo.
* ↑ questa operazione non è tolta dal mio libro, e però è falsa, e fatta dal Capra alla burchia; nè sa che tal divisione non solamente non è compresa da i numeri che propone, ma da nessuni altri. Ed io ad alcuni la ho insegnata a far sopra 'l mio strumento, con appli30 care traversalmente tutta la linea proposta al lato del decagono delle linee poligrafiche, pigliando poi, pur traversalmente, il lato dell'exagono dalle medesime linee; e l'operazione è giustissima.
* ↑ Copiato.
* ↑ Sono in questo Cap. tre operazioni tolte dal mio libro, ma, per trafugarle, tocche un poco alla sfuggita; ed ascose in questo cantone,
* ↑ Fiammingo. Copiato.
* ↑ Si vis duci parallelas, superfluum est secare AC.
* ↑ Ha volsuto qui mascherare quello che io insegno nella operazione 8, c. 7; e per ingannare altrui, non si è curato che la sua proposizione doventi particolare, essendo che la mia è universale a tutte le superficie. E che altro è dividere il 3angolo ABC in 5 parti eguali, che il trovarne uno che sia la sua quinta parte, uno che sia li $^2$/$_5$, uno li $^3$/$_5$, e l'altro $^4$/$_5$? Ma ho paura che forse tralasci questa mia operazione, parendoli che averebbe replicato il medesimo, che nella sua 6 di sopra; avendosi cacciato nel cervello, che le superficie simili seguitino la medesima proporzione che i loro lati omologi.
* ↑ Fiammingo, ad verbum.
* ↑ Esaggera l'eccellenza dello strumento per la presente, ben che frivolissima, operazione, perchè questa non è rubata da me: ma quanto sono le operazioni quelle che io pongo nella 9, carte 7 b, e nella 10 seguente, e nella 11. Non si è contentato aver fallato una volta, nel dire che i numeri delle linee indicano la proporzione delle superficie, che lo replica qui, e ci rimanda a quello che ne ha scritto di sopra, in linea linearum, al cap. 6. questa sia difettosa ed insipida, è manifesto; poi che la sua proposta è universale, la quale poi si ristringe a pochi particolari, e di questi pochi lui non ne mette se non uno, che è un parallelogrammo. In oltre, che occorreva far qui questo strepito, se questa non aggiugne niente alla prima che ha posta in questo libro? come per la prima del 6 di Euclide è chiaro?
* ↑ leggi di sopra quanto è notato.
* ↑ Copiata dalla 14 del mio libro, c. 11.
* ↑ Copiata da quello che scrivo a c. 21 b, al segno.
* ↑ Fiammingo.
* ↑ quanto questo poverello intenda, anco dal suo modo di parlare si può comprendere. Ma, lasciando le parole, a che proposito vien qui, per aggrandire il libro, a volerci insegnare l'istesso che sopra ci ha mostrato nel cap. 9? perchè, quando si siano trovate le linee proporzionali, sono ancora le lor figure simili proporzionali, Eucl. 22. 6.¹ E notisi una doppia castronaria: ciò è che qui, dove non era necessario, pone differenza dalle proporzioni de i lati a quelle delle figure; ma di sopra, dove era necessariissimo distinguere tra le proporzioni de i lati e quelle delle superficie, le pone senza distinzione alcuna, quasi che siano le medesime.
* ↑ operazione parimente superflua, potendosi fare con le linee delle linee, come di sopra ha mostrato.
* ↑ Copiato dalla operazione X, c. 8.
* ↑ niente di nuovo.
* ↑ Per non mostrare questo infelice d' intender meglio le proporzioni de i solidi che quelle delle superficie, eccoci che con queste anfore si crede, col duplicare o triplicar le superficie, aver duplicati o triplicati i solidi. Dio li renda il conoscimento. Ha auto un poco più del discreto nella fontana, dicendo di voler servare la medesima altezza, che così starà bene: ma da questa sua inconstanza si vede che non intende, e, o ruba quel che dice, o l' indovina per ventura.
* ↑ Bastava il modo del parlar solamente, senza senso ed impropriissimo, di questa proposizione e del resto dell' operazione, a mostrar come costui non intende niente. E mi accorgo che, avendo io alcune volte mostrato ad alcuni il modo del risolver questo problema con lo strumento, bisogna che in voce gli sia stato referto, ma malamente, o malamente da lui compreso; perchè per umbram veggo che ci è qualche vestigio della buona operazione, ma non intesa da colui che l' ha qui voluta spiegare.
* ↑ hoc resolvat. fiat ut c ad d, ita linea a ad aliam x; et erit ut □ c ad □ d, ita figura a ad figuram x: ut vero □ c ad □ d, ita est quoque figura a ad figuram b; ergo figura b est aequalis figurae x.
* ↑ Questo modo è cavato da alcuni miei scritti vecchi; che poi fu tralasciato nello stampato, essendo il seguente più spedito.
* ↑ Copiato dalla operazione XII, c. 9, alla nota ♒︎.
* ↑ copiato da quel che segue, alla nota ☽︎
* ↑ Copiato da quel che segue, alla nota .
* ↑ Copiato dall' operazione 13, c. 10, nota h̄.
* ↑ Copiato da la operazione 13, c. 10, alla nota ♂.
* ↑ Copiata dalla operazione 16, c. 12.
* ↑ Copiata dalla 17, c. 12 b.
* ↑ Tralasciata da me, per esser senz' altro intesa dalle superiori .
* ↑ Copiata dalla 15, c. 12 (2).
* ↑ ignoranza immensa! poi che apresso quest' uomo tutti i solidi son prismi. In oltre, il Cap. X ed XI non hanno che far qui. E se intende di altri solidi, l'operazione è falsa.
* ↑ Erra, perchè deveva dire: solidis similibus. Se li potria proporre un prisma ed una piramide, e far che trovasse dui medii.
* ↑ Questo è il medesimo che l'invenzion delle 2 medie, posta da me alla 19, c. 136.
* ↑ Copiata dalla 20, c. 14.
* ↑ parlare che dimostra la sua ignoranza.
* ↑ inventa io media inter bc, ab, erit prisma is, cuius basis □ aequale parallelogrammo bd; et positis mebasis diis x, z inter io, os, erit ut cubus io ad cubum x, ita prima io ad 4$^{am}$ os: sed ut io ad os, ita est quoque cubus io ad prisma is: ergo patet.
* ↑ poteva più speditamente risolvere questo problema, buttando il diametro AC trasversalmente alli punti 42 delle Linee Stereometriche, e pigliando poi trasversalmente la distanza tra li punti 22 delle medesime. Prisma, cuius basis D, altitudo autem AC, aequatur cylindro circa sphaeram, et ideo est sphaerae sesquialterum; et prisma cuius basis D, altitudo vero / AC, erit aequale sphaerae; ergo, ex antecedenti operatione, inventis inter D et AE duobus mediis, patet propositum. Interrogetur, ergo, deinde de demonstratione praecedentis operationis. Domandisi la ragione di questa operazione. Non si domanda delle mie, ma delle sue solamente.
* ↑ Copiata dalla 19, c. 13b.
* ↑ questo primo modo è cavato da alcuni miei scritti vecchi; che poi fu da me pretermesso, e posto il seguente più spedito: ma però tutto torna in uno.
* ↑ La postilla è riferita alle lin. 1-17.
* ↑ Copiato dalla 18, c. 13.
* ↑ La postilla è riferita alle lin. 17-24.
* ↑ Copiato dalla 18, c. 136
* ↑ La postilla è riferita alle lin. 15-25 della pagina precedente.
* ↑ Copiato dalla 21, c. 146.
* ↑ Copiato dalla 22, c. 15, nota.
* ↑ Copiato dalla 22, c. 15, nota +.
* ↑ questa è la medesima apunto che la passata , del trovare la proporzione del peso de i metalli: e perchè non è copiata, è posta confusamente; e puossi più speditamente risolvere senza prendere il lato AB o altra linea, ut patet per quello che scrivo alla sopracitata nota + .
* ↑ Copiata dalla 21, c. 14b, alla nota . Ma Dio ci guardi pure dal non sapere che cosa sia cubo, e che un solo suo lato ritrovato ci basti, essendo tutti li altri 11 eguali a quello. Ecco qua il nostro bel Geometra)! Ma non si ricorda che, avendo copiata la 13 di sopra da me, e però stando bene, per fare il cubo non nomina altro che un lato solo.
* ↑ Copiato dalla 24, c. 16{{|La postilla è riferita alle lin. 4-24.|group=§}}.
* ↑ Copiato dalla 25, c. 17, 18.
* ↑ Fiammingo. Tale linea non è nel mio strumento. E non avendo auto da copiare da me, considerinsi le seguenti cose: e prima, ecco qui ritrovato li 3 angoli del presente 3angolo contenere gradi 183. Oh ignoranza estrema !
* ↑ per multiplicare il numero delle operazioni, e far che questa non paia la medesima passata, ci fa questa nobilissima aggiunta, di addere duos arcus; e fra tanto ci insegna, come li archi simili son quelli che si tagliano dal medesimo cerchio, se ben siano tra di loro 30 diseguali, non avendo, non che altro, vedute le definizioni del 3⁰ d'Euclide, e come Euclide dimostrò, che de i cerchi eguali li archi simili sono anco eguali. Poveretto!
* ↑ Durar fatica per stentar di bene in meglio, e fare il libro grande col multiplicar assai di queste operazioni.
* ↑ Fiammingo. Questa è la medesima che la passata 32, insegnandosi in quella a trovar la quantità di 3 angoli, ed in questa di un solo.
* ↑ notisi che questo poveretto non si ricorda che, nel fabricar queste linee, non vi pose il lato del 3angolo; ed ora, per sua disgrazia, nella prima oblazione vuol trovare il 3angolo eguale al cerchio.
* ↑ Copiata dalla op. 28, c. 20, alla nota ♈︎.
* ↑ Copiato dalla medesima operazione di sopra, alla nota ♊︎
* ↑ Copiata dalla 30, c. 20 b, ma lacerata, come si vede, prima nel titolo, del quale non si intende il senso; e par che riponga il cerchio ed il quadrato tra le figure irregolari, ma credo che abbia creduto 20 che irregolari voglia dir dissimili: in oltre si vede che costui crede che rettilineo e trapezio sia l'istesso, poi così resolutamente dice: Si ex rectilineo constituemus 2 3angulos.
* ↑ Era meglio lasciar questo punto, ed in suo luogo metter il lato del 3angolo, perchè questo problema si risolve con le semplici linee delle linee; perchè, preso il diametro del dato cerchio, ed accomodatolo alli punti 70 di quelle linee, e non movendo lo strumento, presa la distanza tra li punti 220, si aveva la linea retta eguale alla circonferenza.
* ↑ Qui si propone la medesima operazione che la passata, al Cap. 16; nel venir poi alla resoluzione, non par che ei sappia ciò che si vuol dire.
* ↑ Copiato dalla operazione 29, c. 20 b.
* ↑ Vedi sopra, a carte 14; e vedrai che questo è superfluo.
* ↑ Si desidera il senso di queste 2 parole.
* ↑ Che il Capra non intenda quello che voglia fare in questa operazione, è manifesto dal suo parlare; poi che si vede che lui vuole che li 2 termini A, C siano nel medesimo orizonte, e non il C elevato a perpendicolo sopra l'A, dal che non può cavare niente di vero. E se pure intendesse che la linea AC fosse eretta all'orizonte questa operazione è la medesima che la posta più a basso, al C. V.
* ↑ La postilla è riferita alle lin. 6-12.
* ↑ Se io ho taciuto tutto il resto della fabrica del mio strumento, e solo ho stampati li usi, per dargli insieme con lo strumento a quelli che da me l'imparano, perchè maravigliarsi ora che io tralasci di dire come si preparino i traguardi?
* ↑ ait: 2 terminos in eodem plano; quasi fieri possit ut in eodem plano non sint, inscius quod nec 3 possint non in eodem esse plano.
* ↑ Cfr. pag. 504.
* ↑ Qui nè l'autore, nè altri, credo assolutamente che non intenda niente, quando bene ci si mettesse la figura posta a c. 51 b (2), che ci viene meno a sproposito.
* ↑ Dal suo modo di operare, la distanza EA vien minore della EB.
* ↑ Non credo che uomo del mondo possa intender niente; nè anco credo che l'autore sappia ciò che abbia voluto dire, nè che intenda, non che altro, come lo strumento va tenuto in mano.
* ↑ Copiato dalla operazione posta a c. 29 b, alla nota ♒︎
* ↑ Qui parimente non s'intende cosa alcuna.
* ↑ Copiato dalla operazione posta a c. 32 b, alla nota ☽︎.
* ↑ Copiato da l'ultima mia operazione. Qui tralascia l'operazione naturale, niente intesa da lui, come nè anco cosa alcun'altra in queste misure.
* ↑ 11 Magini.
* ↑ doveria dire: debes invenire radicem aggregati duorum quadratorum, 100 et 70.
* ↑ 14 Magini.
* ↑ È impossibile che in F seghi più punti, ed in A meno; ma è forza che accada tutto l'opposito.
* ↑ ex hac operatione non provenit distantia FB, sed AB.
* ↑ qui, senza dir niente, passa a misurar una distanza orizontale sino alla base della torre.
* ↑ 17 Magini.
* ↑ mette qui la trasmutazione dell'ombra versa in retta, posta da me.
* ↑ 19 Magini.
* ↑ demonstratio operationis primae. Ponatur ln aequalis ig, et iungatur An, et intelligatur Em ipsi DB parallela. Cumque sit ut ol ad lA, ita CB ad BD, idest mE; ut autem Al ad ln, ita Em ad mC; ergo, ex aequali, ut ol ad ln, ita BC ad Cm, et, divisione, ut on ad nl, ita Bm ad mC; ut vero nl ad lA, ita Cm ad mE: ergo, ex aequali, ut on ad Al, ita mB, hoc est ED, ad Em.
* ↑ Demonstratio operationis Caprae. Ponatur no aequalis EI, et iungatur Ao, et sr sit parallela ad An, et CE, BD, coeant in m; erunt 3angula CmB, EmD, Ano, rso similia omnia: quare ut rs ad so, ita ED ad Dm; ut vero os ad sn, ita mD ad DB; ergo, ex aequali, ut rs ad sn, ita ED ad DB. Si itaque detur rs (cum dentur iam sn et ED), dabitur quoque DB quaesita: dabitur autem rs, cum sit ut on ad nA, ita os ad sr. Sed breviori methodo- idem consequi poterat, cum sit ut nota os ad notam sn, ita mD ad quaesitam DB; mD autem innotescit statim ex similitudine 3angulorum FEI, EDm.
* ↑ il Magino dice fere, e lui, non intendendo niente, ha creduto che vogli significare omnino; ed ha fatta la balordaggine.
* ↑ Il 3º caso, malamente posto dal Capra, si può ridurre a qualsivoglia de li due passati, ma bisogna tramutare un'ombra; il che non ha inteso detto Capra. Ecco il suo fiero destino, il quale fa constare, dalla falsità di quanto dice qui, che quello che ha detto di sopra non è sua farina. È tanto falsa questa operazione, che, seguendola, si troverà la distanza DB, secondo il Capra, più di 9; ma secondo il vero è meno di 6.
* ↑ Questa è posta da me a carte 22 Magini.
* ↑ Questa è la medesima che la prima, chi vuol che quella stia bene. E riscontrinsi le note.
* ↑ 24 Magini.
* ↑ 26 Magini.
* ↑ 28 Magini.
* ↑ 3 Magini, de altitudinibus.
* ↑ 6 Magini.
* ↑ non si ha da dir così; ma bisogna dire: ex numero mox invento demantur partes abscissae in viciniori statione, deinde dicatur: si hoc residuum dat 100, quot dabit etc.? Ecco come, per non aver auto da copiare ad verbum, precipita.
* ↑ 9 Magini.
* ↑ pieno di castronerie, non avendo auto le parole formali nel Magini
* ↑ XI Magini.
* ↑ 12 Magini.
* ↑ 15 Magini.
* ↑ 17 Magini.
* ↑ 19 Magini.
* ↑ 21 Magini.
* ↑ 22 Magini.
* ↑ 24 Magini.
* ↑ 2a Magini, de profunditatibus.
* ↑ 4a Magini.
* ↑ 6 Magini.
* ↑ se si piglierà l'intervallo tra la metà delle parti tagliate non si farà niente. Doveva dire l'intervallo tra la metà del numero della profondità AC.
* ↑ 9 Magini.
* ↑ Di fronte alle parole sottolineate è segnato in margine un asterisco.
Errore nelle note: Sono presenti dei marcatori per un gruppo chiamato "#" ma non è stato trovato alcun marcatore corrispondente