# Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane

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Opere matematiche Luigi Cremona 1914 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Opere matematiche (Cremona) I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Altri_teoremi_fondamentali_sulle_curve_piane&oldid=- 20201204233618 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Altri_teoremi_fondamentali_sulle_curve_piane&oldid=- 20201204233618
Art. IX.
Altri teoremi fondamentali sulle curve piane.
42. Fra gli ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ punti, che determinano una curva semplice d’ordine $n$, ve ne possono essere tutt’al più $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ situati in una curva d’ordine $pp$, è $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$.
43. Siano date due curve, l’una d’ordine $p$, l’altra d’ordine $q$, e sia $p+q=n$. Se nel luogo d’ordine $n$, formato da queste due curve, si prendono ad arbitrio ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti, per essi passeranno infinite curve d’ordine $n$, le quali avranno in comune altre ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ intersezioni (41), distribuite sulle due curve date. Nell’assumere ad arbitrio quegli ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti, se ne prendano $np-g$ sulla curva d’ordine $p$ ed $nq-h$ sulla curva d’ordine $q$, ove $g,\,h$ sono due numeri (interi e positivi) soggetti alla condizione:
| 1) | $g+h={\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$. |
Inoltre, affinchè le due curve siano determinate dai punti presi in esse, dovrà essere:
$np-g\geq {\frac {p(p+3)}{2}},\quad nq-h\geq {\frac {q(q+3)}{2}}$,
da cui:
$g\leq {\frac {p(p-3)}{2}}+pq,\quad h\leq {\frac {q(q-3)}{2}}+pq$.
Se in queste due relazioni poniamo per $g$ e per $h$ i valori dati dalla 1), abbiamo:
$h\geq {\frac {(q-1)(q-2)}{2}},\quad g\geq {\frac {(p-1)(p-2)}{2}}$.
Così sono fissati i limiti entro i quali devono essere compresi $g,\,h$. Possiamo dire che $g$ è compreso fra il limite minimo ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ ed il limite massimo [p. 360 ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}+p(n-p)-1$; e che $h$ è dato, mediante $g$, dalla 1). Abbiamo così il teorema:
Tutte le curve d’ordine $n=p+q$, descritte per $np-g$ punti dati di una curva d’ordine $p$ e per $nq-h$ punti dati di una curva d’ordine $q$, segano la prima curva in altri $g$ punti fissi e la seconda curva in altri $h$ punti fissi.
(a) Da questo teorema segue immediatamente:
Affinchè per le $n^{2}$ intersezioni di due curve d’ordine $n$ passi il sistema di due curve d’ordini $p,\,n-p$, è necessario e sufficiente che di queste intersezioni $np-g$ appartengano alla curva d’ordine $p$, ed $n(n-p)-h$ appartengano alla curva d’ordine $n-p$.
(b) Quando il numero $g$ ha il suo minimo valore, il teorema suenunciato può esprimersi così:
Ogni curva d’ordine $n$, descritta per $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ punti dati di una curva d’ordine $pp$, essa taglia ulteriormente $C_{m}$ in $m(n-p)$ punti situati sopra una curva d’ordine $n-p$.
* ↑ Cayley, {On the Intersection of Curves} (Cambridge Mathematical Journal, vol. III, 1843, p. 211).
* ↑ [p. 498 Questo teorema vale solo (come già diceva il Cayley) colla condizione $n\leq m+p-3$. Anzi, esso va modificato così: fra le $mp$ intersezioni di due curve d’ordini $m,\,p$ se ne posson trovare $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ tali che qualunque curva d’ordine $n\leq m+p-3$ descritta per essi passa anche ecc. ecc.
* ↑ Maclaurin, l. c. p. 237.
* ↑ Poncelet, Analyse des transversales, p. 132.
* ↑ Pascal, Essai pour les coniques in Oeuvres de Blaise Pascal, A La Haye. Chez Detune 1779, t. 4, p. 1-7. — Cfr. anche: Weissenborn, Die Projection in der Ebene, Berlin, Weidmannsche Buchhandlung 1862. Vorrede p. VIII-XVII. [Einleitung]
* ↑ Brianchon, Journal de l’Ecole Polytechnique, cah. 13, pag. 301, Paris 1806. [Einleitung]
* ↑ Maclaurin, l.c. p. 237.