# Di un sistema di formole per lo studio delle linee e delle superficie ortogonali

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Di un sistema di formole per lo studio delle linee e delle superficie ortogonali Eugenio Beltrami 1872 Geometria CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Beltrami - Di un sistema di formole per lo studio delle linee e delle superficie ortogonali - 1872.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Di_un_sistema_di_formole_per_lo_studio_delle_linee_e_delle_superficie_ortogonali&oldid=- 20240730192624 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Di_un_sistema_di_formole_per_lo_studio_delle_linee_e_delle_superficie_ortogonali&oldid=- 20240730192624
DI UN SISTEMA DI FORMOLE
PER LO STUDIO
DELLE LINEE E DELLE SUPERFICIE ORTOGONALI.
NOTA
del prof. EUGENIO BELTRAMI
SOCIO CORRISPONDENTE DEL REALE ISTITUTO LOMBARDO,
letta nell'adunanza del 16 maggio 1872.
Rappresentiamo con $a_{1}$, $b_{1}$, $\dots c_{1}$, (nel modo indicato dalla tavoletta che segue) i nove coseni degli angoli che tre rette ortogonali 1, 2, 3, spiccate da uno stesso punto $(x,y,z)$ dello spazio, fanno con tre assi ortogonali:
Ammettiamo che le direzioni delle tre rette 1, 2, 3 variino con continuità (mantenendosi sempre ortogonali), mentre la loro comune origine $(x,y,z)$ cambia di posizione nello spazio, qualunque sia il moto di questo punto; ammettiamo cioè che i nove coseni anzidetti siano funzioni continue delle tre variabili indipendenti $x$, $y$, $z$. In tale ipotesi le rette 1 relative ai varj punti dello spazio sono tangenti ad un sistema doppiamente infinito di linee, che diremo $(s_{1})$. Si ottiene una di queste linee immaginando un punto il quale, partendo da una posizione qualunque, si muova sempre nella direzione 1 corrispondente a ciascuna delle posizioni che va successivamente occu[p. 2 pando; ed il sistema completo di queste linee è rappresentato dal sistema differenziale
$dx:dy:dz=a_{1}:b_{1}:c_{1}$.
Analogamente si ottengono due altri sistemi ($s_{2}$) ed ($s_{3}$). Quando i punti dello spazio si considerano in relazione al sistema ($s_{i}$), le coordinate $x$, $y$, $z$ di uno qualunque di essi si possono riguardare come funzioni di due parametri indipendenti (le costanti d’integrazione del corrispondente sistema differenziale) atti ad individuare la linea passante per esso nel sistema ($s_{1}$), e dell’arco di questa linea compreso fra un punto individuato e quello che si considera. Indicando per semplicità con $s_{i}$ quest’arco, si può dunque porre, in tal senso,
$ds_{i}$
$(x,y,z)$
$dx$
$dy$
$dz$
Ciò premesso, consideriamo le nove espressioni $K$ che si deducono dalla seguente
$K_{ij}=a_{i}{\bigg{\frac {dc_{j}}{dy}}-{\frac {db_{j}}{dz}}{\bigg )}+b_{i}{\bigg{\frac {da_{j}}{dz}}-{\frac {dc_{j}}{dx}}{\bigg )}+c_{i}{\bigg{\frac {db_{j}}{dx}}-{\frac {da_{j}}{dy}}{\bigg )}$
col dare tanto ad $i$ quanto a $j$ i tre valori 1, 2, 3.
Dalla forma di queste espressioni si deducono immediatamente, in virtù delle notissime relazioni sussistenti fra i nove coseni, le tre equazioni seguenti:
In forza delle medesime relazioni si ha pure:
${\frac {da_{i}}{dx}}a_{j}+{\frac {da_{i}}{dy}}b_{j}+{\frac {da_{i}}{dx}}c_{j}={\frac {da_{i}}{ds_{j}}}$,
$K_{1i}=\left(a_{3}{\frac {da_{i}}{ds_{2}}}+b_{3}{\frac {db_{i}}{ds_{2}}}+c_{3}{\frac {dc_{i}}{ds_{2}}}\right)-\left(a_{2}{\frac {da_{i}}{ds_{3}}}+b_{2}{\frac {db_{i}}{ds_{3}}}+c_{2}{\frac {dc_{i}}{ds_{3}}}\right)$.
Ponendo dunque
$K$
È noto che, supponendo che l’origine $(x,y,z)$ della terna $(1\;2\;3)$ percorra l’elemento $ds_{i}$ con velocità $v_{i}={\frac {ds_{i}}{dt}}$, le tre espressioni
$v_{i}$
$dt$
$(x,y,z)$
$ds_{i}$
Dalle tre equazioni
$a_{1}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{1}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{1}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=0$,
$a_{2}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{2}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{2}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=\omega _{3i}$,
$a_{3}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{3}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{3}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=-\omega _{2i}$,
si ricava
Insieme con questa terna di formole ne sussistono altre due, che si ricavano dalla precedente permutando circolarmente gli indici 1, 2, 3.
I primi membri di queste ultime equazioni, al pari di quelli delle (1), non sono in generale vere derivate rispetto ad $s_{1}$, $s_{2}$, $s_{3}$, (perchè in generale non si ha, per una stessa linea del sistema ($s_{1}$), $s_{2}=cost.$, $s_{3}=cost.$). Ma se si considera una linea individuata di uno dei tre sistemi, per esempio di ($s_{1}$), tanto le (1) quanto le (4) danno, per $i=1$, le espressioni delle vere derivate delle coordinate $x,y,z$ di questa linea rispetto al suo arco. Si ha dunque
e quindi
$s_{1}$
$(x,y,z)$
$\rho _{1}$
${\frac {1}{\rho _{1}^{2}}}={\bigg{\frac {d^{2}x}{ds_{1}^{2}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}{\bigg )}+{\bigg{\frac {d^{2}z}{ds_{1}^{2}}}{\bigg )}^{2}=\omega _{21}^{2}+\omega _{31}^{2}$,
e chiamando $\theta _{1}$, l’angolo che la normale principale fa colla retta 2 (angolo misurato da 2 verso 3), se ne trae pure
Di qui risulta che, decomponendo la curvatura ${\frac {1}{\rho _{1}}}$ nelle due
secondo le rette 2 e 3, si ha
Colla permutazione circolare degli indici si ottiene in tal modo il seguente gruppo d’equazioni:
nelle quali ${\frac {1}{\rho _{ij}}}$ rappresenta la componente secondo $j$ della curvatura dell’arco $s_{i}$. In virtù delle (3) queste equazioni danno il significato geometrico delle sei funzioni $K_{ij}$ (per $i$ diverso da $j$).
Dalle precedenti espressioni delle derivate seconde di $x$, $y$, $z$ si deducono, coll’ajuto delle (4) , le seguenti espressioni delle derivate terze:
${\frac {d^{3}x}{ds_{1}^{3}}}=\alpha _{1}\omega _{11}+a_{2}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-a_{3}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}-{\frac {a_{1}}{\rho _{1}^{2}}}$,
${\frac {d^{3}y}{ds_{1}^{3}}}=\beta _{1}\omega _{11}+b_{2}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-b_{3}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}-{\frac {b_{1}}{\rho _{1}^{2}}}$,
${\frac {d^{3}z}{ds_{1}^{3}}}=\gamma _{1}\omega _{11}+c_{2}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-c_{3}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}-{\frac {c_{1}}{\rho _{1}^{2}}}$.
Moltiplicando ordinatamente queste equazioni per $\alpha _{1}$, $\beta _{1}$, $\gamma _{1}$, e sommando si ottiene
$D_{1}={\frac {\omega _{11}}{\rho _{1}^{2}}}+\omega _{21}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-\omega _{31}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}$,
dove $D_{1}$ rappresenta il determinante
$\sum \left(\pm {\frac {dx}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}{\frac {d^{3}z}{ds_{1}^{3}}}\right)$.
Ora è noto che, designando con ${\frac {1}{r_{1}}}$ la torsione dell’arco $s_{1}$, si ha
${\frac {1}{r_{1}}}=D_{1}\rho _{1}^{2}$;
dunque
formola che, in virtù di relazioni dianzi notate, si può scrivere così
${\frac {1}{r_{1}}}=\omega +{\frac {d\theta _{1}}{^{11}ds_{1}}}$,
prestandosi in tal modo all’immediata verificazione geometrica.
Le nove funzioni K sono legate fra loro da relazioni differenziali che importa stabilire, poichè da esse dipendono le leggi con cui variano da punto a punto le curvature delle linee $(s_{i})$. Per giungere prontamente a queste relazioni conviene adottare alcune regole opportune riguardo alla designazione delle lettere e degli indici che servono a distinguere i nove coseni. Conveniamo dunque di denotare colla lettera e una qualunque delle tre lettere a, b, c e colle tre lettere (i j k) gli indici 1, 2, 3 presi nell’ordine naturale (123), o negli ordini (231), (312) che si deducono da quello colla permutazione circolare. Mercè queste convenzioni le equazioni (4) ed analoghe possono essere compendiate nell’unica seguente:
Osserviamo ora che, qualunque sia la funzione cui si riferiscono le derivazioni, si ha
${\frac {d^{2}}{ds_{i}ds_{j}}}-{\frac {d^{2}}{ds_{j}ds_{i}}}=\left({\frac {da_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {da_{j}}{ds_{i}}}\right){\frac {d}{dx}}+\left({\frac {db_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {db_{j}}{ds_{i}}}\right){\frac {d}{dy}}+\left({\frac {dc_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {dc_{j}}{ds_{i}}}\right){\frac {d}{dz}},$.
dove ${\frac {d^{2}}{ds_{i}ds_{j}}}$ indica il risultato di una operazione ${\frac {d}{ds}}$ fatta prima rispetto ad $s_{i}$ e poi rispetto ad $s_{j}$. Ma dalla (7) si ha
${\frac {de_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {de_{j}}{ds_{i}}}=e_{j}\omega _{kj}-e_{k}\omega _{jj}-e_{k}\omega _{ii}+e_{i}\omega _{ki}$
$=e_{i}K_{ki}+e_{j}K_{ij}+e_{k}K_{kk}$;
quindi, sostituendo nella precedente equazione, si ottiene
Questa formola fondamentale (nella quale i, j, k sono, secondo la convenzione, tre indici differenti disposti in ordine circolarmente progressivo) mostra col fatto non essere vere derivate quelle relative alle s, e diventar tali solamente nel caso particolarissimo che tutte le K siano nulle, cioè che la terna (123) sia dovunque parallela a sè stessa.
Or ecco come dalla formola precedente si possono dedurre tutte le relazioni esistenti fra le nove funzioni K.
Rappresentando con $(lmn)$ una seconda terna d’indici distinti e progressivi, come è già la $(ijk)$, si ha dalla (7)
${\frac {de_{i}}{ds_{i}}}=e_{m}\omega _{mi}-e_{n}\omega _{mi}$,
${\frac {de}{ds_{j}}}=e_{m}\omega _{mj}-e_{n}\omega _{mj}$,
${\frac {de_{k}}{ds_{k}}}=e_{m}\omega _{mk}-e_{n}\omega _{mk}$,
Derivando la prima di queste equazioni rispetto ad $s_{j}$, la seconda rispetto ad $s_{i}$, e sostituendo nei secondi membri al posto delle derivate di $e_{m}$ e di $s$ i valori dati per esse dalle equazioni del tipo (7), si trova
${\frac {d^{2}e_{i}}{ds_{i}ds_{j}}}-{\frac {d^{2}e_{i}}{ds_{j}ds_{i}}}=e_{m}\left({\frac {d\omega _{ni}}{ds_{j}}}-{\frac {d\omega _{nj}}{ds_{i}}}\right)-e_{n}\left({\frac {d\omega _{mi}}{ds_{j}}}-{\frac {d\omega _{mj}}{ds_{i}}}\right)$
$+e_{n}(\omega _{mi}\omega _{ij}-\omega _{ji}\omega _{nj})-e_{m}(\omega _{ji}\omega _{mj}-\omega _{mi}\omega _{ij})$.
L’equazione (8) somministra in tal guisa il risultato seguente:
$e_{m}\left\{{\frac {d\omega _{ni}}{ds_{j}}}-{\frac {d\omega _{nj}}{ds_{i}}}-(\omega _{ii}\omega _{mj}-\omega _{mi}\omega _{ij})-(K_{ki}\omega _{mi}+K_{kj}\omega _{mj}+K_{kk}\omega _{mk})\right\}$
$=e_{n}\left\{{\frac {d\omega _{mi}}{ds_{j}}}-{\frac {d\omega _{mj}}{ds_{i}}}-(\omega _{mi}\omega _{ij}-\omega _{ii}\omega _{nj})-(K_{ki}\omega _{mi}+K_{kj}\omega _{mj}+K_{kk}\omega _{mk})\right\}.$
Questa relazione deve avverarsi per $e=a,b,c$, epperò devono annullarsi separatamente le due espressioni fra parentesi. Ma per l’arbitrio inerente alla scelta del gruppo ($l\,m\,n$), le due equazioni così ottenute non ne fanno che una sola. Si ha dunque, come tipo unico delle relazioni esistenti fra le quantità K (od $\omega$), la formola seguente:
${\frac {d\omega _{ii}}{ds_{j}}}-{\frac {d\omega _{ij}}{ds_{i}}}=\omega _{mi}\omega _{nj}-\omega _{mi}\omega _{mj}+\omega _{ki}\omega _{kj}+\omega _{kj}\omega _{ij}+K_{kk}\omega _{ik}.$
I due indici $i$ ed $l$ sono indipendenti fra loro e possono quindi ricevere, ciascuno separatamente, tutti tre i valori 1, 2, 3; gli altri quattro indici restano determinati in conseguenza. La formola precedente fornisce dunque nove relazioni distinte, che giova scindere in tre gruppi, corrispondenti alle tre ipotesi $l=i$, $l=j$, $l=k$. Sostituendo anche al posto delle $\omega$ aventi indici differenti le curvature componenti ${\frac {1}{\rho }}$, quali risultano dal quadro (5), si ottiene in tal modo:
per $l=i$
${\frac {d{\frac {1}{\rho _{jk}}}}{ds_{i}}}={\frac {1}{\rho _{ji}}}{\bigg{\frac {1}{\rho _{jk}}}-{\frac {1}{\rho _{ik}}}{\bigg )}+{\frac {K_{jj}-K_{ji}}{\rho _{ij}}}+{\frac {K_{ik}}{\rho _{kj}}}+{\frac {d\omega _{ii}}{ds_{j}}}$
per $l=j$
${\frac {d{\frac {1}{\rho _{ik}}}}{ds_{j}}}={\frac {1}{\rho _{ij}}}\left({\frac {1}{\rho _{ik}}}-{\frac {1}{\rho _{jk}}}\right)+{\frac {K_{jj}-K_{ji}}{\rho _{ji}}}-{\frac {K_{kk}}{\rho _{ki}}}+{\frac {d\omega _{jj}}{ds_{i}}}$
e finalmente per $l=k$
${\frac {d{\frac {1}{\rho _{ij}}}}{ds_{j}}}+{\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{ds_{i}}}={\frac {1}{\rho _{ij}^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{ji}^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{ik}\rho _{jk}}}+\omega _{k}\omega _{jj}+\omega _{kk}K_{kk}$
Oltre a queste nove relazioni se ne potrebbero trovare moltissime altre, con altri processi di eliminazione delle a, b, c, ma tutte rientrerebbero nelle precedenti. Fra quelle cui si perviene in modo più semplice citeremo le tre seguenti. Scrivendo le tre espressioni [p. 9 di $K_{1i}$, $K_{2i}$, $K_{3i}$ è facile ricavarne le seguenti equazioni:
${\frac {dc_{i}}{dy}}-{\frac {db_{i}}{dz}}=a_{1}K_{1i}+a_{2}K_{2i}+a_{3}K_{3i}$,
${\frac {da_{i}}{dz}}-{\frac {dc_{i}}{dx}}=b_{1}K_{1i}+b_{2}K_{2i}+b_{3}K_{3i}$,
${\frac {db_{i}}{dx}}-{\frac {da_{i}}{dy}}=c_{1}K_{1i}+c_{2}K_{2i}+c_{3}K_{3i}$,
le quali, derivate ordinatamente rispetto ad x, y, z e sommate, danno, con riguardo alle (2),
${\frac {dK_{1i}}{ds_{1}}}+{\frac {dK_{2i}}{ds_{2}}}+{\frac {dK_{3i}}{ds_{3}}}$
$=K_{1i}(K_{23}-K_{32})+K_{2i}(K_{31}-K_{13})+K_{3i}(K_{12}-K_{21})$.
Facendo $i=1,2,3$ si hanno così tre relazioni. Ma queste non sono effettivamente che combinazioni delle già trovate. Per esempio, l'equazione che risulta dal fare $i=1$ si ottiene ancora prendendo la differenza delle due equazioni (9) corrispondenti alle ipotesi ($i=1$, $l=2$), ($i=3$, $l=3$).
Le precedenti considerazioni comprendono, come caso particolare, la teoria dei sistemi tripli di superficie ortogonali. Infatti se si suppone che le rette 1, 2, 3 siano le normali nel punto ($xyz$) alle tre superficie $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, di un tal sistema, bisogna porre
e, reciprocamente, se queste equazioni sono identicamente soddisfatte, le tre equazioni differenziali
sono integrabili, epperò esiste un sistema triplo di superficie ortogonali le cui normali nel punto (x, y, z) sono le rette 1, 2, 3. Ora le condizioni (10) traggono necessariamente con sè queste altre
le quali esprimono che mentre il punto (x, y, z) si sposta lungo l’intersezione di due delle superficie, ossia secondo la direzione della normale alla terza, l’asse della rotazione istantanea della terna formata dalle tre normali riesce perpendicolare alla direzione della tras[p. 10 lazione della sua origine. Dunque il moto elementare della terna è una rotazione semplice, il cui asse giace nel piano delle normali alle due superficie, epperò esiste sopra ciascuna di queste normali un punto che non cambia di posizione nel moto elementare della terna stessa. Ciò val quanto dire che ciascuna delle due normali è incontrata dalla normale infinitamente vicina, ossia che la linea d’intersezione è linea di curvatura per ambedue le superficie. Si ha così quella che potrebbe dirsi la dimostrazione cinematica del celebre teorema di Dupin.
Del resto si perviene analiticamente allo stesso teorema osservando che le due equazioni $\omega _{33}=0$, $\omega _{22}=0$ si possono scrivere così
Da queste e dalla
$a_{1}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{1}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{1}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=0$
si deducono le seguenti proporzioni
che sono appunto caratteristiche per le linee di curvatura della superficie $S_{1}$. Indicando poi con $\rho _{21}$, $\rho _{31}$ i raggi principali della stessa superficie, relativi alle direzioni principali 2 e 3, i valori dei precedenti rapporti eguali sono rispettivamente $-{\frac {1}{\rho _{21}}}$ e $-{\frac {1}{\rho _{31}}}$ donde è facile concludere che $\omega _{32}=-{\frac {1}{\rho _{21}}}$, $\omega _{23}=-{\frac {1}{\rho _{31}}}$ d’accordo colle (5). Effettivamente, nel caso di cui ci occupiamo, la quantità ${\frac {1}{\rho _{ij}}}$, componente secondo la retta j della curvatura assoluta dell’arco $s_{i}$, coincide colla curvatura principale della superficie $S_{j}$, relativa alla direzione i. Avendo riguardo a questi valori delle curvature principali, le (2) diventano le note espressioni delle loro somme.
Giova osservare che, per le segnature qui adottate, le curvature che Lamé chiama conjugate in arco hanno eguale il primo indice, e quelle ch’egli chiama conjugate in superficie hanno eguale il secondo.
Le torsioni delle linee d’intersezione sono date, in virtù della (7), [p. 11 dalla formola
In forza delle (10), (10)’ le equazioni (9)$_1$, (9)$_2$, (9)$_3$ diventano rispettivamente
${\frac {d{\frac {1}{\rho _{ij}}}}{ds_{j}}}+{\frac {d{\frac {1}{\rho _{ji}}}}{ds_{i}}}={\frac {1}{\rho _{ij}^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{ji}^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{ik}\rho _{jk}}}$,
e coincidono colle nove relazioni differenziali scoperte da Lamé fra le curvature di un sistema triplo di superficie ortogonali, relazioni che vanno annoverate fra i più importanti trovati di quell’insigne geometra (Cfr. il § XLVI delle Leçons sur les coord. curvil.). La semplicità colla quale queste relazioni vengono qui dimostrate potrà forse conciliare qualche attenzione sul processo analitico esposto superiormente.