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# Sul fondamento logico della matematica/Applicazione del principio della coessenzialità delle operazioni D. U. ad una controversia circa la deduzione e l'intuizione

../Esempio della coessenzialità delle operazioni D. U. tratto dalla geometria ../Cenno sulla Logica del Potenziamento IncludiIntestazione 9 agosto 2015 100% Da definire
Sul fondamento logico della matematica Annibale Pastore 1935 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Pastore - Sul fondamento logico della matematica, 1935.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Sul_fondamento_logico_della_matematica/Applicazione_del_principio_della_coessenzialit%C3%A0_delle_operazioni_D._U._ad_una_controversia_circa_la_deduzione_e_l%27intuizione&oldid=- 20211018103757 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Sul_fondamento_logico_della_matematica/Applicazione_del_principio_della_coessenzialit%C3%A0_delle_operazioni_D._U._ad_una_controversia_circa_la_deduzione_e_l%27intuizione&oldid=- 20211018103757
* § 7. - Applicazione del principio della coessenzialità delle operazioni D. U. ad una controversia circa la deduzione e l’intuizione.
Quest’analisi logica ci porge modo di superare la grave controversia circa la deduzione è l’intuizione, con un atteggiamento di estrema generalità. Avuto riguardo al campo della vecchia logica matematica alcuni, come Poincaré, sostengono l’irriducibilità della Matematica alla Logica; altri, come Russel e Couturat, per contro sostengono l’identità fondamentale della Logica e della Matematica (non della Logica classica, s’intende, ma della Logica matematica moderna).
Secondo la LdP queste due opposte sentenze sono entrambe criticabili: c’è un’esagerazione nella prima, un equivoco nella seconda, e un pregiudizio comune a tutte due.
L’esagerazione di Poincaré è questa che egli afferma l’esclusiva matematicità del processo da n a n+1, mentre si è veduto al § 4 nota 2 che questo processo usato in matematica è in generale fondamentale per la logica
L’equivoco di Couturat è questo che egli confonde la deduttività colla logicità, mentre l’operazione deduttiva concerne solo l’analisi del discorso, prescindendo dall’universo, che concerne la sintesi.
Il pregiudizio comune consiste nell’escludere l’intuizione dalla logica, mentre l’intuizione alogica non impedisce che vi sia un’intuizione logica.
Risulta che le due operazioni logiche (intuitiva e deduttiva) concorrono entrambe e con eguale importanza alla formazione di ogni sistema e allo sviluppo dei medesimi.
Dimostreremo in altra sede che anche le recenti correnti: a) del logicismo iniziato da Russel e sostenuto brillantemente dai neologicisti tedeschi Behmann, Carnap e Hahn; b) del formalismo iniziato da Hilbert e ormai invecchiato ma proseguito con tanta fortuna dai neo-kantiani di Marburg; c) del neo-intuizionismo di Brouwer, Weyl e Heyting in parte riproducono il vecchio dissidio e - in quanto costruiscono - sodisfano alle due condizioni coessenziali anzidette. [p. 10
Tutto si riduce sempre:
o a un rapporto ente-relazione (e. r.) nello sviluppo interno dei sistemi;
o a un rapporto discorso e universo (D. U.) nella formazione e trasformazione dei sistemi.
# Sul fondamento logico della matematica/Conclusione

../Cenno sulla Logica del Potenziamento ../Riassunto IncludiIntestazione 9 agosto 2015 100% Da definire
Sul fondamento logico della matematica Annibale Pastore 1935 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Pastore - Sul fondamento logico della matematica, 1935.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Sul_fondamento_logico_della_matematica/Conclusione&oldid=- 20211018103758 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Sul_fondamento_logico_della_matematica/Conclusione&oldid=- 20211018103758
[p. 11
* § 9. Conclusione.
Così stando le cose anche noi logici, previa la conoscenza dell’indagine scientifica e la correttezza dei calcoli dei quali possiamo eventualmente fare uso, intendiamo procedere con tutta libertà, tenuti soltanto come siamo a rispettare le condizioni fondamentali ad ogni mente atta a ragionare, indipendentemente da ogni contenuto particolare, nel senso anzidetto.
# Vita nuova

1292-1294 Indice:Vita nuova.djvu Letteratura Vita nuova Intestazione 1 agosto 2016 25% Da definire
Vita nuova Dante Alighieri 1292-1294 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Vita nuova.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vita_nuova&oldid=- 20230213162319 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vita_nuova&oldid=- 20230213162319
[p. Frontespizio
LA
VITA NUOVA
PER CURA
DI
MICHELE BARBI
FIRENZE
SOCIETÀ DANTESCA ITALIANA
EDITRICE
Palagio dell’Arte della Lana
1907

## Indice

* Prefazione
introduzione
* I - Criteri fondamentali
* II - Manoscritti
* III - Edizioni
* IV - Classificazione dei testi
** Appendice
* V - Fondamenti e criteri di questa edizione
testo critico
Vita nuova
* Vita nuova
** I · II · III · IV · V · VI · VII · VIII · IX · X · XI · XII · XIII · XIV · XV · XVI · XVII · XVIII · XIX · XX · XXI · XXII · XXIII · XXIV · XXV · XXVI · XXVII · XXVIII · XXIX · XXX · XXXI · XXXII · XXXIII · XXXIV · XXXV · XXXVI · XXXVII · XXXVIII · XXXIX · XL · XLI · XLII

##### Voci correlate

* Wikipedia
Wikipedia ha una voce di approfondimento su Vita nuova
# Vita noiosa pena soffrir láne

Guido Zaccagnini/Amos Parducci XIII secolo Indice:Rimatori siculo-toscani del Dugento.djvu Duecento Vita noiosa pena soffrir láne Intestazione 15 luglio 2020 75% Da definire
Vita noiosa pena soffrir láne Meo Abbracciavacca XIII secolo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Rimatori siculo-toscani del Dugento.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vita_noiosa_pena_soffrir_l%C3%A1ne&oldid=- 20200804231633 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vita_noiosa_pena_soffrir_l%C3%A1ne&oldid=- 20200804231633
VIII
A Monte d’Andrea
Eviti le pene d’amore, mutando luogo.
Vita noiosa pena soffrir láne, dove si spera fine veder porte di gioia porto posandovi, láne con bono tempo fôra tale porte. 5Ma pena grave perder còi e lane, e credensa piò doglia fine porte, ogne ramo di male parmi láne: me non sopporre, ma ben vorria porte. Chi sta nel monte reo vada ’n nel vallo, 10e chi nel vallo simel poggi ai monte, tanto che trovi loco meno reo. Ché bono non è che dir possa: — Vállo, ch’i’ sento loco fermo ch’aggio, Monte, —
cavalieri, baron, conte, né reo.
# Vita nuova/IV

Vita nuova Dante Alighieri 1292-1294 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Vita nuova.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vita_nuova/IV&oldid=- 20230220133833 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vita_nuova/IV&oldid=- 20230220133833
[p. 12 Da questa visione innanzi comenciò lo mio spirito naturale ad essere impedito ne la sua operazione, però che l’anima era tutta data nel pensare di questa gentilissima; onde io divenni in picciolo tempo poi di sì fraile e debole condizione, che a molti amici pesava de la mia vista; e molti pieni d’invidia già si procacciavano di sapere di me quello che io volea del tutto celare ad altrui. Ed io, accorgendomi del malvagio domandare che mi faceano, per la volontade d’Amore, lo quale mi comandava secondo lo consiglio de la ragione, rispondea loro che Amore era quelli che così m’avea governato. Dicea d’Amore, però che io portava nel viso tante de le sue insegne, che questo non si potea ricovrire. E quando mi domandavano: «Per cui t’ha così distrutto questo Amore?», ed io sorridendo li guardava, e nulla dicea loro.

## Commento

[p. 12 non si potea. Il Casini accetta da k non si poria, e osserva: «più regolarmente si direbbe ora non si sarebbe potuto, o, come fu corretto in altri testi, non si patea: ma lo scrittore considerò come presente e generale il fatto che non si nascondono i segni dell’amore, e però scrisse non si poría». Il pensiero dello scrittore non è in questo momento, che in generale non si possono nascondere i segni dell’amore; anzi sembra voler dire, che se questi fossero stati in lui meno visibili, non avrebbe svelato che s’era ridotto così per causa d’Amore: disgraziatamente portava nel viso tante de le sue insegne, che, nel suo caso, non si poteva nascondere la cagione vera. E poria non si trova neppure in b, onde non risale ad α.
# Vite dei filosofi/Libro Ottavo/Vita di Epicarmo

../Vita di Empedocle ../Vita di Archita IncludiIntestazione 20 luglio 2022 75% Da definire
Vite dei filosofi Diogene Laerzio III secolo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Laerzio - Vite dei filosofi, 1842, I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vite_dei_filosofi/Libro_Ottavo/Vita_di_Epicarmo&oldid=- 20220720121627 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vite_dei_filosofi/Libro_Ottavo/Vita_di_Epicarmo&oldid=- 20220720121627
[p. 222
CAPO III.
Epicarmo.
I. Epicarmo figlio di Elotalo era coo, ed esso pure discepolo di Pitagora. Fu portato, che avea tre mesi, di Sicilia a Megara, e di là a Siracusa, siccome racconta egli stesso, nelle sue opere. — Alla sua statua fu posto questo epigramma:
Quanto le stelle il magno sol brillando Vince, e quanto de’ fiumi ha maggior possa Il mare, tanto, affermo, d’Epicarmo La sapienza primeggia, che cotesta Patria siracusana incoronava.
II. Lasciò de’ Commentarj, in cui tratta di cose naturali,di sentenze, di medicina; e a molti di essi fece gli acrostici, da cui si conosce che gli scritti sono suoi. Campato novant’anni, finì di vivere.
# Vite dei filosofi/Libro Ottavo/Vita di Archita

../Vita di Epicarmo ../Vita di Alcmeone IncludiIntestazione 20 luglio 2022 75% Da definire
Vite dei filosofi Diogene Laerzio III secolo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Laerzio - Vite dei filosofi, 1842, I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vite_dei_filosofi/Libro_Ottavo/Vita_di_Archita&oldid=- 20220720122951 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vite_dei_filosofi/Libro_Ottavo/Vita_di_Archita&oldid=- 20220720122951
[p. 223
CAPO IV.
Archita.
I. Archita tarentino, pitagorico anch’egli, era figlio di Mnesagora o, secondo Aristosseno, di Estico.
II. E’ fu quel desso che con una lettera liberò Platone da Dionisio, che voleva ucciderlo.
III. Ammirato da molti per ogni maniera di virtù, sette volte fu comandante de’ suoi cittadini, quando gli altri, vietandolo la legge, non più dell’anno comandavano.
IV. A lui scrisse due lettere Platone, perch’egli primo avea scritto a questo così:
archita a platone salvte.
„Sta bene che tu sia uscito di malattia. Ciò per lettera e tu stesso mi hai significato, e me lo raccontò Lamisco. De’ Commentarj ci siamo dati pensiero e col salire fino a’ Lucani e col tenerne discorso a’ successori di Ocello. Quello che esisteva sulle leggi, il regno, la probità e di qualunque genere, e noi lo abbiamo, e ti fu spedito; nè per ora si è potuto rinvenire il resto. Ritrovandosi verrà da te.“
Così Archita; Platone gli rispose una lettera di questo tenore: [p. 224
platone ad archita prosperità.
„I Commentarj, che per mezzo tuo ci pervennero, li abbiamo ricevuti con maraviglioso piacere, e chi li scrisse, quanto si può, abbiamo lodato e stimato persona degna de’ suoi vetusti progenitori; poichè si dice che cotest’uomini erano mirei; e dessi erano di que’ Trojani espulsi sotto Laomedonte, uomini dabbene, come spiega il racconto che ci fu trasmesso. I nostri Commentarj, intorno a’ quali ci hai scritto, non sono per ancora compiuti; tuttavia, come si trovano, te li ho mandati. In quanto al custodirli siamo entrambi d’accordo, onde non è mestieri di raccomandazione. Sta sano.“
V. Tali sono le lettere ch’e’ si scrissero a vicenda. — Vi furono quattro Archita: Primo quest’esso. — Secondo un musico da Mitilene. — Terzo uno scrittore d’agricoltura. — Quarto un epigrammista. — Ed un quinto, dicono alcuni, architettore, di cui si reca un libro, intorno ad una macchina, il quale principia così: Queste cose udii da Teucro cartaginese. Del musico si racconta anche questo, che taluno insultandolo, perchè non lo si intendeva, rispose: Lo strumento si sforza di parlare per me.
VI. Egli primo trattò metodicamente le meccaniche, servendosi di principii matematici, e primo aggiunse ad una figura geometrica il movimento organico; col mezzo della sezione del semi-cilindro prese le due medie proporzionali cercando la duplicatura del cubo; e, come dice Platone, nella Repubblica, trovò eziandio colla geometria il cubo.
# Vite dei filosofi/Libro Nono/Vita di Senofane

../Vita di Eraclito ../Vita di Parmenide IncludiIntestazione 25 luglio 2022 75% Da definire
Vite dei filosofi Diogene Laerzio III secolo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Laerzio - Vite dei filosofi, 1842, I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vite_dei_filosofi/Libro_Nono/Vita_di_Senofane&oldid=- 20220725103454 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vite_dei_filosofi/Libro_Nono/Vita_di_Senofane&oldid=- 20220725103454
[p. 270
CAPO II.
Senofane.
I. Senofane colofonio figlio di Dexio, o, come scrive Apollodoro, di Ortomeno, è lodato da Timone: dice pertanto:
Non fastoso, censore imperturbato Senofane d’Omero.
Scacciato dalla patria fece dimora in Zancle di Sicilia ed in Catania.
II. Non fu, secondo alcuni, discepolo di nessuno, ma secondo alcuni, di Botone ateniese, o, come affermano altri, di Archelao; e dice Sozione che visse a’ tempi di Anassimandro.
III. Scrisse versi epici ed elegie e jambi contro Esiodo ed Omero, censurandone ciò ch’e’ narrarono intorno agli dei, e verseggiò le proprie cose. — È fama che avesse opinioni contrarie a quelle di Talete e di Pitagora, e che rivedesse le bucce anche ad Epimenide. Fu di lunga vita, come dice egli stesso in qualche luogo:
Sette già sono gli anni oltre i sessanta Che per la terra greca il mio pensiero Sbattono; ed eran venti cinque allora, Dalla nascita mia, prima di questi, Se dire il vero intorno ad essi io seppi.
IV. Demetrio falereo, nel primo libro Della vecchiezza, e Panezio lo stoico, in quello Della tranquillità dell’animo, raccontano aver egli sepolto colle proprie mani i suoi figli, alla maniera di Anassagora; e secondo l’asserzione di Favorino, nel primo Dei commentarj, pare che fosse trovato ladro dai Pitagorici Parmenisco ed Orestade.
V. V’ebbe anche un altro Senofane lesbio, compositore di jambi. — E questi sono gli sparsi.
# Vite dei filosofi/Libro Ottavo

../Libro Settimo/Annotazioni ../Libro Ottavo/Vita di Pitagora IncludiIntestazione 29 luglio 2022 75% Da definire
Vite dei filosofi Diogene Laerzio III secolo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Laerzio - Vite dei filosofi, 1842, I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vite_dei_filosofi/Libro_Ottavo&oldid=- 20220729113406 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vite_dei_filosofi/Libro_Ottavo&oldid=- 20220729113406
LIBRO OTTAVO
* Vita di Pitagora
* Vita di Empedocle
* Vita di Epicarmo
* Vita di Archita
* Vita di Alcmeone
* Vita di Ippaso
* Vita di Filolao
* Vita di Eudosso
* Annotazioni
# Vite dei filosofi/Libro Ottavo/Vita di Alcmeone

../Vita di Archita ../Vita di Ippaso IncludiIntestazione 20 luglio 2022 75% Da definire
Vite dei filosofi Diogene Laerzio III secolo CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Laerzio - Vite dei filosofi, 1842, I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vite_dei_filosofi/Libro_Ottavo/Vita_di_Alcmeone&oldid=- 20220720123321 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Vite_dei_filosofi/Libro_Ottavo/Vita_di_Alcmeone&oldid=- 20220720123321
[p. 225
CAPO V.
Alcmeone.
I. Alcmeone crotoniate. Fu anch’esso discepolo di Pitagora, e tratta, il più, di medicina, sebbene e’ parli talvolta anche di fisica, dicendo: Di due maniere, per la maggior parte, sono le cose umane. Secondo che afferma Favorino, nella Varia istoria, pare ch’egli primo abbia scritto un discorso di fisica, e detto insomma che questa luna ha natura sempiterna.
II. Era figlio di Pirito, siccome scrive egli stesso principiando il suo libro: Alcmeone crotoniate, figlio di Pirito, disse questo a Brontino, a Leonte ed a Batillo: Delle cose invisibili e delle mortali hanno manifesta conoscenza gli iddii; in quanto però gli uomini possono conghietturare; e ciò che segue. Diceva essere anche l’anima immortale, e come il sole muoversi continuamente.
# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/6.6

../6.5 ../7 IncludiIntestazione 29 agosto 2022 100% Da definire
Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/6.6&oldid=- 20220829114222 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/6.6&oldid=- 20220829114222
[p. 78
6.6 I valori estremi di un campione
Sia x una variabile casuale continua, di cui siano note sia la funzione di frequenza $f(x)$ che la funzione di distribuzione $F(x)$; e sia disponibile un campione di dimensione N di valori indipendenti di questa variabile casuale. Supponiamo inoltre, una volta ottenuti tali valori, di averli disposti in ordine crescente: ovvero in modo che risulti $x_{1}\leq x_{2}\leq \ldots \leq x_{N}$. Vogliamo qui, come esercizio, determinare la funzione di frequenza del generico di questi [p. 79 valori ordinati, $x_{i}$: funzione che verrà nel seguito identificata dal simbolo $f_{i}(x)$·
Supponiamo che $x_{i}$ sia compreso nell’intervallo infinitesimo $\left[x,x+\mathrm {d} x\right]$; la scelta di un certo i divide naturalmente il campione (ordinato) in tre sottoinsiemi, ovvero:
* $x_{i}$ stesso, che può essere ottenuto (dall’insieme non ordinato dei valori originariamente a disposizione) in N maniere differenti; si sa inoltre che è compreso nell’intervallo $\left[x,x+\mathrm {d} x\right]$ — evento, questo, che avviene con probabilità $f(x)\,\mathrm {d} x$.
* I primi $(i-1)$ valori: questi possono essere ottenuti, dagli $N-1$ elementi restanti dall’insieme non ordinato dei valori originari, in $C_{i-1}^{N-1}$ modi distinti; ognuno di essi è inoltre minore di x, e questo avviene con probabilità data da $F(x)$.
* I residui $(N-i)$ valori: questi sono univocamente determinati dalle due scelte precedenti; inoltre ognuno di essi è maggiore di x, e questo avviene con probabilità $\left[1-F(x)\right]$.
In definitiva, applicando i teoremi della probabilità totale e della probabilità composta, possiamo affermare che risulta
in particolare, i valori estremi $x_{1}$ e $x_{N}$ hanno densità di probabilità date da
$f_{1}(x)=N\left[1-F(x)\right]^{N-1}f(x)$
e da
$f_{N}(x)=N\left[F(x)\right]^{N-1}f(x)$.
# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/7.1

../7 ../7.1.1 IncludiIntestazione 29 agosto 2022 100% Da definire
Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/7.1&oldid=- 20220829140509 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/7.1&oldid=- 20220829140509
[p. 81
7.1 Variabili casuali bidimensionali
Nel caso multidimensionale più semplice, $N=2$, se supponiamo che la probabilità dP per la coppia di variabili casuali x ed y di trovarsi nell’intorno (infinitesimo) di una certo punto dello spazio bidimensionale sia proporzionale all’ampiezza dell’intorno stesso e dipenda dalla sua posizione, possiamo definire la densità di probabilità (o funzione di frequenza) congiunta, $f(x,y)$, attraverso la
$\mathrm {d} P=f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$;
e, analogamente a quanto fatto nel caso unidimensionale, definire poi attraverso di essa altre funzioni. Ad esempio la funzione di distribuzione congiunta,
$F(x,y)=\int _{-\infty }^{x}\mathrm {d} u\,\int _{-\infty }^{y}\mathrm {d} v\,f(u,v)$
[p. 82 che dà la probabilità di ottenere valori delle due variabili non superiori a quantità prefissate; le funzioni di frequenza marginali
| $g(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\,\mathrm {d} y$ | e | $h(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\,\mathrm {d} x$ |
che rappresentano la densità di probabilità di ottenere un dato valore per una delle due variabili qualunque sia il valore assunto dall’altra; ed infine le funzioni di distribuzione marginali
| $G(x)=\int _{-\infty }^{x}g(t)\,\mathrm {d} t=F(x,+\infty )$ | e | $H(y)=\int _{-\infty }^{y}h(t)\,\mathrm {d} t=F(+\infty ,y).$ |
La condizione di normalizzazione si potrà poi scrivere
$F(+\infty ,+\infty )=1$.
Per un insieme di due variabili si possono poi definire le funzioni di frequenza condizionate, $\pi (x|y)$ e $\pi (y|x)$; esse rappresentano la densità di probabilità dei valori di una variabile quando già si conosce il valore dell’altra. Per definizione deve valere la
$f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=g(x)\,\mathrm {d} x\cdot \pi (y|x)\,\mathrm {d} y=h(y)\,\mathrm {d} y\cdot \pi (x|y)\,\mathrm {d} x$
per cui tra probabilità condizionate, marginali e congiunte valgono la
| $\pi (y|x)={\frac {f(x,y)}{g(x)}}$ | e la | $\pi (x|y)={\frac {f(x,y)}{h(y)}}.$ |
Due variabili casuali sono, come sappiamo, statisticamente indipendenti tra loro quando il fatto che una di esse abbia un determinato valore non altera le probabilità relative ai valori dell’altra: ovvero quando
e questo a sua volta implica che
Non è difficile poi, assunta vera la (7.2), giungere alla (7.1); in definitiva:
Due variabili casuali continue sono statisticamente indipendenti tra loro se e solo se la densità di probabilità congiunta è fattorizzabile nel prodotto delle funzioni marginali.
# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/7.1.1

../7.1 ../7.1.2 IncludiIntestazione 29 agosto 2022 100% Da definire
Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/7.1.1&oldid=- 20220829140520 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/7.1.1&oldid=- 20220829140520
7.1.1 Momenti, funzione caratteristica e funzione generatrice
Analogamente a quanto fatto per le variabili casuali unidimensionali, in uno spazio degli eventi bidimensionale in cui rappresentiamo le due variabili $\left\{x,y\right\}$ aventi densità di probabilità congiunta $f(x,y)$, si può definire la speranza matematica (o valore medio) una qualunque funzione $\psi (x,y)$ come
$E\left[\psi (x,y)\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x\,\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} y\,\psi (x,y)\,f(x,y)$;
i momenti rispetto all’origine come
$\lambda _{mn}=E(x^{m}y^{n})$
e quelli rispetto alla media come
$\mu _{mn}=E\left[(x-\lambda _{10})^{m}(y-\lambda _{01})^{n}\right]$.
Risulta ovviamente:
* $\lambda _{00}\equiv 1$
* $\lambda _{10}=E(x)$
* $\lambda _{01}=E(y)$
* $\mu _{20}=E\left\{\left[x-E(x)\right]^{2}\right\}={\text{Var}}(x)$
* $\mu _{02}=E\left\{\left[y-E(y)\right]^{2}\right\}={\text{Var}}(y)$
* $\mu _{20}=E\left\{\left[x-E(x)\right]\,\left[y-E(y)\right]\right\}$
La quantità $\mu _{11}$ si chiama anche covarianza di x ed y; si indica generalmente col simbolo ${\text{Cov}}(x,y)$, e di essa ci occuperemo più in dettaglio nell’appendice C (almeno per quel che riguarda le variabili discrete). Un’altra grandezza collegata alla covarianza è il cosiddetto coefficiente di correlazione lineare, che si indica col simbolo $r_{xy}$ (o, semplicemente, con r): è definito come
$r_{xy}={\frac {\mu _{11}}{\sqrt {\mu _{20}\mu _{02}}}}={\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}$,
[p. 84 e si tratta di una grandezza adimensionale compresa, come vedremo, nell’intervallo $[-1,+1]$. Anche del coefficiente di correlazione lineare ci occuperemo più avanti, e sempre nell’appandice C.
La funzione caratteristica per due variabili, che esiste sempre, è la
$\phi _{xy}(u,v)=E\left[e^{i(ux+vy)}\right];$
se poi esistono tutti i momenti, vale anche la
$\left.{\frac {\partial ^{m+n}\phi _{xy}}{\partial u^{m}\,\partial v^{n}}}\right|_{\begin{matrix}u=0\\[-1em]v=0\end{matrix}}=(i)^{m+n}\lambda _{mn}$.
La funzione generatrice, che esiste solo se tutti i momenti esistono, è poi definita come
$M_{xy}(u,v)=E\left[e^{(ux+vy)}\right]$
e per essa vale la
$\left.{\frac {\partial ^{m+n}M_{xy}}{\partial u^{m}\,\partial v^{n}}}\right|_{\begin{matrix}u=0\\[-1em]v=0\end{matrix}}=\lambda _{mn}$.