# Opere matematiche di Luigi Cremona/Solution de la question 464

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Opere matematiche Luigi Cremona 1914 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Opere matematiche (Cremona) I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Solution_de_la_question_464&oldid=- 20200625154654 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Solution_de_la_question_464&oldid=- 20200625154654
[p. 112
14.
SOLUTION DE LA QUESTION 464.
Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.$^{re}$ série, tome XIX (1860), pp. 149-151.
Soient α, β, γ, δ les distances d’un point quelconque a quatre plans donnés; il est évident que l’équation la plus générale d’une surface du second ordre circonscrite au tétraèdre formé par les quatre plans
sera
Cette surface est coupée par le plan δ = 0 suivant la conique
Soient α’, β’, γ’ les distances d’un point quelconque du plan δ = 0 aux côtés du triangle δ = 0 (α = 0, β = 0, γ = 0): triangle formé par l’intersection du plan δ avec les plans α, β, γ; on a
ou αδ est l’angle des plans α = δ = 0, etc. Donc l’équation de la conique rapportée au triangle inscrit sera
| ${\frac {l}{\alpha '\sin {\alpha \delta }}}+{\frac {m}{\beta '\sin {\beta \delta }}}+{\frac {n}{\gamma '\sin {\gamma \delta }}}=0.$ | (Salmon) |
Les angles du triangle sont βδγ, γδα, αδβ, où βδγ exprime l’angle que fait [p. 113 l’intersection des faces β = δ = 0 avec l’intersection des faces γ = δ = 0. On sait que la conique représentée par l’équation ci-dessus est une circonférence, si l’on a
| l : m : n = sin αδ . sin βδγ : sin βδ . sin γδα : sin γδ . sin αδβ. | (Salmon) |
De même, si les plans α = 0, β = 0, γ = 0 coupent la surface suivant des circonférences, on aura
l : μ : ν = sin δα . sin βαγ : sin γα . sin δαβ : sin βα . sin γαδ,
m : ν : λ = sin δβ . sin γβα : sin αβ . sin δβγ : sin γβ . sin αβδ,
De là on tire immédiatement que l , m , n , λ, μ, ν sont proportionnelles aux quantités
${\frac {\sin {\alpha \delta }}{\sin {\beta \gamma }}}$ sin βαγ . sin βγδ, ${\frac {\sin {\beta \delta }}{\sin {\gamma \alpha }}}$ sin γβα . sin γδα,
${\frac {\sin {\gamma \delta }}{\sin {\alpha \beta }}}$ sin αγβ . sin αδβ, ${\frac {\sin {\beta \gamma }}{\sin {\alpha \delta }}}$ sin αβδ . sin αγδ,
${\frac {\sin {\gamma \alpha }}{\sin {\beta \delta }}}$ sin βγδ . sin βαδ, ${\frac {\sin {\alpha \beta }}{\sin {\gamma \delta }}}$ sin γαδ . sin γβδ,
ce qui démontre le thèorème de M. Prouhet.
* ↑ [p. 493 Le questioni a cui si riferiscono le Memorie 14, 15, 16, 17 sono enunciate come segue, nei Nouv. Annales, tomi XVIII p. 117, XVIII p. 444, e XIX p. 43: 464. Démontrer que l’équation de la sphère circonscrite à un tétraèdre est $\sum {\frac {\alpha \beta \sin(\gamma ,\delta )\sin(\alpha \gamma ,\beta \delta )\sin(\alpha \delta ,\beta \delta )}{\sin(\alpha ,\beta )}}=0,$ α, β, γ, δ, sont les premiers membres des équations des faces mises sous la forme x cos α + y cos α’ + z cos α’’ — p = 0, (γ, δ) représente l’angle que fait la face γ avec la face δ, (αγ, βγ) l’angle que fait l’intersection des faces α et γ avec l’intersection des faces β et γ. (Prouhet). 465. ${\begin{vmatrix}\alpha &\alpha +\delta &\cdots &\alpha +(n-2)\delta &\alpha +(n-1)\delta \\\alpha +\delta &\alpha +2\delta &\cdots &\alpha +(n-1)\delta &\alpha \\\alpha +2\delta &\alpha +3\delta &\cdots &\alpha &\alpha +\delta \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha +(n-1)\delta &\alpha &\cdots &\alpha +(n-3)\delta &\alpha +(n-2)\delta \end{vmatrix}}$ $=\pm {\frac {(n\delta )^{n-1}[2\alpha +(n-1)\delta ]}{2}}.$ Si l’on fait α = δ = 1 on retombe sur la question 432 (tome XVII p. 185). 494. Soient ABC, abc deux triangles dans le même plan; q est un point variable, tel que les droites qa, qb, qc coupent respectivement les côtés BC, AC, AB en trois points qui sont en ligne droite: le lieu du point q est une ligne du troisième ordre. 498. On donne: 1.º une droite fixe; 2.º un point B sur cette droite; 3.º un point fixe A. Trouver une courbe telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point A une parallèle a cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments, comptés du point B, tels que la somme des carrés de ces segments soit égale a un carré donné k$^2$. Mêmes données, mais prenant la différence des carrés, ou bien le produit des segments, ou bien la somme des inverses des segments égale à une constante donnée. [p. 494 499. Soient: 1.º A, B, C, D quatre droites dans un même plan, et m, o, l, s quatre points fixes dans ce plan; par m menons une droite quelconque coupant C et D aux points c et d, par c et o menons la droite co coupant A et B aux points a et b, par a et l menons la droite al et par c et s la droite cs; l’intersection p des droites al et cs decrit une ligne du troisième ordre. 2.º Soit un quadrilatère plan variable ABCD; o, p, q, r quatre points fixes; o sur AB, p sur BC, q sur CD, r sur DA. Les sommets opposés A et C sont sur deux droites fixes données dans le plan du quadrilatère; les sommets opposés B, D décrivent des lignes du troisième ordre.
* ↑ βδγ est l’angle qui, dans l’énoncé de la question, a été désigné par (βδ, γδ). P. [Prouhet]