# Opere matematiche di Luigi Cremona/Intorno ad un teorema di Abel

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Opere matematiche Luigi Cremona 1914 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Opere matematiche (Cremona) I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Intorno_ad_un_teorema_di_Abel&oldid=- 20200503114207 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Intorno_ad_un_teorema_di_Abel&oldid=- 20200503114207
[p. 4
2.
INTORNO AD UN TEOREMA DI ABEL.
Annali di Scienze matematiche e fisiche compilati da B. Tortolini, tomo settimo (1856), pp. 99-105.
Il teorema del quale questa breve nota contiene una dimostrazione, venne enunciato per la prima volta da Abel, in una lettera diretta a Legendre, e in seguito dimostrato dal signor Broch.
Lemma 1.º Siano a$_0$, a$_1$, ... a$_{n—1}$ n quantità qualsivogliano; α una radice primitiva dell’equazione x$^n$ — 1 = 0; e
θ$_r$ = a$_0$ + a$_1$ α$_r$ + a$_2$ α$_r$$^2$ .... + a$_{n—1}$ α$_r$$^{n—1}$
supposto
| 1) | α$_r$ = α$^r$. |
Si moltiplichino fra loro i due determinanti
D = ${\begin{vmatrix}a_{0}&a_{1}&\cdots &a_{\mathrm {n} -1}\\a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{\mathrm {n} -1}&a_{0}&\cdots &a_{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$, Δ = ${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}\\1&\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}^{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\alpha _{1}^{\mathrm {n} -1}&\alpha _{2}^{\mathrm {n} -1}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}^{\mathrm {n} -1}\end{vmatrix}}$.
Eseguendo la moltiplicazione per linee, ed avendo riguardo alla (1), le colonne del [p. 5 determinante prodotto riescono ordinatamente divisibili per θ$_n$, θ$_1$, ... θ$_{n—1}$; e si ha
DΔ = θ$_1$ θ$_2$ ... θ$_n$ ${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha _{\mathrm {n} -1}&\alpha _{\mathrm {n} -1}^{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}^{\mathrm {n} -1}\\1&\alpha _{\mathrm {n} -2}&\alpha _{\mathrm {n} -2}^{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -2}^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{1}^{\mathrm {n} -1}\end{vmatrix}}$,
ma il determinante che entra nel secondo membro di questa equazione è evidentemente eguale a $(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\Delta$; dunque
θ$_1$ θ$_2$ ... θ$_n$ = $(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$ D.
Il teorema espresso in questa formola fu enunciato per la prima volta dal signor Spottiswoode; la dimostrazione è del prof. Brioschi, mio valente maestro.
Lemma 2.º Si considerino le a$_0$, a$_1$, ... a$_{n—1}$ come funzioni di una stessa variabile, derivando rispetto ad essa il determinante D, si ha
D' = D$_1$ + D$_2$ + ... + D$_n$
ove D$_r$ è il determinante che si ottiene dal determinante D, sostituendo agli elementi della r esima colonna le loro derivate. Nel determinante D$_r$ dispongansi le linee (n — r + 2) esima, (n — r + 3) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (n — r + 1) esima in modo che riescano ordinatamente prima, seconda, ... (r — 1) esima, r esima, (r + 1) esima, ... n esima; indi si dispongano le colonne r esima, (r + 1) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (r — 1) esima per modo che divengano prima, seconda, ... (n — r + 1) esima, (n — r + 2) esima, (n — r + 3) esima, ... n esima; si avrà
D$_r$ = D$_1$
dunque
D' = n D$_1$ = n D$_2$ = ... = n D$_n$.
Lemma 3.º Sia
H = ${\begin{vmatrix}m_{0}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\\m_{1}d&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\m_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}d^{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$
[p. 6 Si può dimostrare che l’espressione ${\frac {\mathrm {H} }{d}}$ è razionale rispetto a d$^n$. Infatti, dopo aver divisa la seconda linea del determinante H per d, se si moltiplicano le colonne seconda, terza, ... ultima per d$^n$, d$^{n—1}$, ... d$^2$ e poi si dividono le linee terza, quarta, ... ultima per d$^2$, d$^3$, ... d$^{n—1}$, si ottiene
${\frac {\mathrm {H} }{d}}={\frac {1}{d^{\mathrm {n} }}}{\begin{vmatrix}m_{1}&q_{0}d^{\mathrm {n} }&q_{1}d^{\mathrm {n} }&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} }\\m_{2}&q_{1}d^{\mathrm {n} }&q_{2}d^{\mathrm {n} }&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} }\\m_{2}&q_{2}d^{\mathrm {n} }&q_{3}d^{\mathrm {n} }&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\m_{\mathrm {n} -1}&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} }&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$.
Teorema di Abel. Sia F(x) = 0 l’equazione risultante dalla eliminazione della y fra le due equazioni algebriche
y$^n$ — R (x) = 0, q$_0$ + q$_1$ y + q$_2$ y$^2$ + ... + q$_{n—1}$ y$^{n—1}$ = 0
ove R (x) sia una funzione razionale ed intera di x; q$_0$, q$_1$, ... q$_{n—1}$ n funzioni razionali ed intere della stessa x, nelle quali però i coefficienti delle potenze della variabile siano quantità indeterminate, supposte funzioni di un’arbitraria t. Siano α$_1$, α$_2$, ... α$_n$ e n radici dell’equazione x$^n$ — 1 = 0, e facciasi d = ${\sqrt[{\mathrm {n} }]{\mathrm {R} (x)}}$. Pel lemma 1.º si ha
F (x) = ${\begin{vmatrix}q_{0}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\q_{1}d&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$.
Moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per α$_r$, α$_r$$^2$, ... α$_r$$^{n—1}$, ed aggiungendo agli elementi della prima colonna quelli della seconda, della terza, ... dell’ultima moltiplicati per α$_r$, α$_r$$^2$, ... α$_r$$^{n—1}$, e moltiplicando quindi di nuovo le linee prima, seconda, ... ultima per α$_r$$^n$, α$_r$$^{n—1}$, ... α$_r$ si ha
| 2) | F (x) = θ$_r$${\begin{vmatrix}\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} }&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{\mathrm {r} }&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$ |
[p. 7 posto
| 3) | θ$_r$ = q$_0$ + q$_1$ α$_r$ d + q$_2$ α$_r$$^2$ d$^2$ + ... + q$_{n—1}$ α$_r$$^{n—1}$ d$^{n—1}$. |
Sia x una qualunque delle μ radici, supposte disuguali, dell’equazione F (x) = 0, e sia θ$_r$ il fattore di F (x) che è annullato da quella radice. Derivando rispetto a t la equazione identica F (x) = 0, si ha (lemma 2.º)
F' (x) ${\frac {dx}{dt}}$ + n ${\begin{vmatrix}h_{0}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\h_{1}&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\h_{\mathrm {n} -1}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$ = 0
ove h$_s$ = ${\frac {dq_{s}}{dt}}$ d$^2$; ${\frac {dq_{s}}{dt}}$ indica la derivata di q$_s$, rispetto alla sola t implicita ne’ coefficienti. Trasformisi il determinante nell’equazione che precede, moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per α$_r$, α$_r$$^2$, ... α$_r$$^{n—1}$ ed aggiungendo agli elementi dell’ultima colonna moltiplicati per α$_r$$^{n—1}$ quelli della penultima, terz’ultima, ... seconda moltiplicati per α$_r$$^{n—2}$, α$_r$$^{n—3}$, ... α$_r$; avendo riguardo all’equazione identica θ$_r$ = 0, si ha
| 4) | F' (x) ${\frac {dx}{dt}}$ — nα$_r$H = 0 |
posto
H = (— 1)$^n$ ${\begin{vmatrix}h_{0}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\\h_{1}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\h_{\mathrm {n} -1}&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}d^{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$.
Sia a una quantità costante, f (x) una funzione razionale ed intera di x; e si moltiplichi la (4) per
${\frac {f(x)}{\alpha _{\mathrm {r} }(x-a)d\mathrm {F} '(x)}}$,
si avrà
${\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}{\frac {f(x)}{(x-a)d}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {n\mathrm {H} f(x)}{(x-a)d\mathrm {F} '(x)}}$.
In questa equazione cambio la x successivamente in tutte le radici della F (x) = 0; sommando i risultati ed osservando essere ${\frac {\mathrm {H} }{d}}$ una funzione razionale rispetto ad x [p. 8 (lemma 3.º), si ha, per noti teoremi sullo spezzamento delle frazioni razionali
$\sum _{1}^{\mu }{{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}{\frac {f(x)}{(x-a)d(x)}}{\frac {dx}{dt}}}=\Pi {\frac {n\mathrm {H} (x)f(x)}{(x-a)d(x)\mathrm {F} (x)}}-{\frac {n\mathrm {H} (a)f(a)}{d(a)\mathrm {F} (a)}}$
indicando col simbolo Πφ(x) il cofficiente di ${\frac {1}{x}}$ nello sviluppo di φ(x) secondo le potenze discendenti di x. Quindi, integrando rispetto a t, si ha
| 5) | $\sum _{1}^{\mu }{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}\int {\frac {f(x)}{(x-a)d(x)}}dx=\Pi {\frac {f(x)}{(x-a)d(x)}}\int {\frac {n\mathrm {H} (x)}{\mathrm {F} (x)}}dt$ $-{\frac {f(a)}{d(a)}}\int {\frac {n\mathrm {H} (a)}{\mathrm {F} (a)}}dt+\mathrm {Cost.^{e}} .$ |
Ora derivinsi le n equazioni (3) rispetto alla sola t; poi si moltiplichino le equazioni ottenute dalla derivazione ordinatamente per
α$_1$$^n$, α$_2$$^n$, ... α$_n$$^n$; α$_1$$^{n—1}$, α$_2$$^{n—1}$, ... α$_n$$^{n—1}$; ...; α$_1$, α$_2$, ... α$_n$;
sommando ciascuna volta le risultanti si ha
nh$_s$ = α$_1$$^{n—s}$${\frac {d\theta _{1}}{dt}}$ + α$_2$$^{n—s}$${\frac {d\theta _{2}}{dt}}$ + ... + α$_n$$^{n—s}$${\frac {d\theta _{\mathrm {n} }}{dt}}$;
quindi, essendo
H = h$_0$${\frac {d\mathrm {H} }{dh_{0}}}$ + h$_1$${\frac {d\mathrm {H} }{dh_{1}}}$ + ... + h$_{n—1}$${\frac {d\mathrm {H} }{dh_{\mathrm {n} -1}}}$,
sarà
nH = (— 1)$^n$ $\sum _{\mathrm {r} =1}^{\mathrm {n} }{\frac {d\theta _{\mathrm {r} }}{dt}}{\begin{vmatrix}\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} }&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\\\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{\mathrm {r} }&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}d^{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$
ovvero
nH = — $\sum _{\mathrm {r} =1}^{\mathrm {n} }\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}{\frac {d\theta _{\mathrm {r} }}{dt}}{\begin{vmatrix}\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} }&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{\mathrm {r} }&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$
[p. 9
${\frac {n\mathrm {H} }{\mathrm {F} }}=-\sum _{\mathrm {r} =1}^{\mathrm {n} }{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}{\frac {d\theta _{\mathrm {r} }}{dt}}{\frac {1}{\theta }}_{\mathrm {r} }$,
quindi la (5) diviene
$\sum _{1}^{\mu }{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}\int {\frac {f(x)}{(x-a){\sqrt[{\mathrm {n} }]{\mathrm {R} (x)}}}}dx=-\Pi {\frac {f(x)}{(x-a){\sqrt[{\mathrm {n} }]{\mathrm {R} (x)}}}}\sum _{\mathrm {r} =1}^{\mathrm {n} }{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}\log \theta _{\mathrm {r} }(x)$ $+{\frac {f(a)}{\sqrt[{\mathrm {n} }]{\mathrm {R} (a)}}}\sum _{1}^{\mathrm {n} }{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}\log \theta _{\mathrm {r} }(a)+\mathrm {Cost.^{e}} .$
In questo risultato consiste appunto il teorema di Abel.
* ↑ Crelle, Journal für die Mathematik, Band 6. [Oeuvres de N. H. Abel, nouv. edit., vol. II, p. 276].
* ↑ Crelle, Journal für die Mathematik, Band 20.
* ↑ [p. 491 Nell’originale l’esponente qui e nella riga precedente era invece scritto ${\frac {n(n-1)}{2}}$.
* ↑ Crelle, Journal für die Mathematik, Band 51.
* ↑ [p. 491 Aggiungasi: «intera».
* ↑ [p. 491 Aggiungasi: «intera».
* ↑ [p. 491 In questa formola e in altre successive furono corretti alcuni errori di segno dell’originale.