# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 9/Paragrafo 64

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_9/Paragrafo_64&oldid=- 20221230182654 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_9/Paragrafo_64&oldid=- 20221230182654
[p. 203 [p. 204 In particolare:
Condizione necessarie e sufficiente affinchè a sia radice della $\mathrm {f(x)=0}$ di ordine maggiore di 1 è che a sia radice della $\mathrm {f(x)=0}$, e sia radice (di ordine positivo) della $\mathrm {f'(x)=0}$.
Questo teorema ha particolare importanza nel caso dei polinomi $P(x)$. Se $P(x)=\alpha _{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2}).....(x-\alpha _{n})$, uno dei numeri $\alpha _{1},\alpha _{2},....,\alpha _{n}$, p. es., $\alpha _{1}$, sarà radice della $P(x)=0$ di ordine $h$, soltanto se $h$ è un intero positivo, e se tra i numeri $\alpha _{1},\alpha _{2},.....,\alpha _{n}$ ve ne sono $h$ uguali ad $\alpha _{1}$. Il fattore corrispondente $x-\alpha _{1}$ compare $h-1$ volte in $P'(x),h-2$ volte in $P''(x),.....$, una volta in $P^{(h-1)}(x)$, nessuna volta in $P^{(h)}(x)$. È facile dedurne:
Condizione necessaria e sufficiente affinchè $\alpha _{1}$ sia radice di ordine h per un'equazione algebrica $P(x)=0$ è che h sia un intero, e che $\alpha _{1}$ sia radice delle $P(x)=0,P'(x)=0,.....,P^{(h-1)}(x)=0$ e non sia radice della $P^{(h)}(x)=0$.
Quest'ultimo teorema vale anche se $\alpha _{1}$ è un numero complesso ed anche se i coefficienti di $P(x)$ sono complessi.
Se ne deduce anche:
Il massimo comun divisore di $\mathrm {P(x)}$ e $\mathrm {P'(x)}$ contiene tutti e i soli fattori multipli del polinomio $\mathrm {P(x)}$; e precisamente contiene $\mathrm {h-1}$ volte un fattore multiplo di ordine h. Se $\mathrm {Q(x)}$ è il quoziente di $\mathrm {P(x)}$ per tale massimo comun divisore, l'equazione $\mathrm {Q(x)=0}$ ha per radici semplici tutte e solo le radici di $\mathrm {P(x)=0}$.
Si può, del resto, dedurre da quanto precede un metodo più completo per approfondire l'esame di una equaazione algebrica dotata di radici multiple. E noi, per semplicità, lo esporremo in un caso particolare.
Consideriamo un'equazione dotata di radici multiple, p. es., la:
$0=f(z)=(z-a)(z-b)(z-c)^{2}(z-d)^{2}(z-e)^{3}(z-f)^{4}$
Il massimo comune divisore $\varphi (z)$ tra la $f(z)$ e la sua prima derivata $f'(z)$ è:
$\varphi (z)=(z-c)(z-d)(z-e)^{2}(z-f)^{3}$.
Del pari il massimo comune divisore tra $\varphi (z)$ e $\varphi '(z)$ è:
$\varphi _{1}(z)=(z-e)(z-f)^{2}$.
Così il massimo comune divisore tra $\varphi _{1}(z)$ e $\varphi '_{1}(z)$ è:
$\varphi _{2}(z)=(s-f)$;
Infine il M. C. D. tra $\varphi _{2}(z)$ e $\varphi '_{2}(z)$ è:
$\varphi _{3}(z)=1$.
Ciò posto, si formino i quozienti:
$\psi (z)={\frac {f(z)}{\varphi (z)}}=(z-a)(z-b)(z-c)(z-d)(z-e)(z-f)$;
$\psi _{1}(z)={\frac {\varphi (z)}{\varphi _{1}(z)}}=(z-c)(z-d)(z-e)(z-f)($:
$\psi _{2}(z)={\frac {\varphi _{1}(z)}{\varphi _{2}(x)}}=(z-e)(z-f)$;
$\psi _{3}(z)={\frac {\varphi _{2}(z)}{\varphi _{3}(z)}}=z-f$. [p. 205 Indi si formino i quozienti:
$X(z)={\frac {\psi (z)}{\psi _{1}(z)}}=(z-a)(z-b)$;
$X_{2}(z)={\frac {\psi _{2}(z)}{\psi _{3}(x)}}=z-e$;
$x_{z)={\frac {\psi _{1}(z)}{\psi _{2}(z)}}=(z-c)(z-d)$;
$X_{3}(z)={\frac {\psi _{3}(z)}{1}}=z-f$.
Uguagliando a zero questi quattro quozienti si hanno quattro equazioni: la prima ha per radici semplici della proposta $f(z)=0$, la seconda ha per radici le radici doppie, la terza ha per radici le triple e la quarta ha per radici le radici quadruple di $f(z)$, ma tutte come radici semplici.
Il metodo qui applicato vale in generale; e, generalmente, si ottiene il risultato seguente.
Sia data un'equazione intera ad un'incognita:
$f(z)=a_{1}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+.....+a_{n-1}z+a_{n}=0$.
Della $f(x)$ e della sua prima derivata $f'(x)$ si calcoli il massimo comune divisore; indi di questo e della sua prima derivata si calcoli M. C. D. e così si prosegua fino ad ottenere una costante. Ciò fatto si divida $f(z)$ per il primo massimo comune divisore e così via fino a dividere il penultimo M. C. D. trovato per l'ultimo. Finalmente si divida il primo quoziente per il secondo, il secondo per il terzo e così via fino a dividere l'ultimo per l'unità. I quozienti ottenuti uguagliati a zero avranno per radici le radici semplici, doppie, ecc. dell'equazione data, tutte come radici semplici.
Esempio.
Consideriamo l'equazione:
$f(x)=z^{6}-z^{5}-7z^{4}+9z^{3}+10z^{2}-20^{z}+8=0$.
Cercando il massimo comune divisore tra $f(z)$ ed $f'(z)=6z^{5}-5z^{4}-28z^{3}+27z^{2}+20z-20$, si trova:
$\varphi (z)=z^{3}-3z+2$.
Ora $\varphi '(z)=3z^{2}-2$, il M. C. D. tra $\varphi '(z)\,{\text{e}}\,\varphi (z)$ è:
$\varphi _{1}(z)=z-1$.
e il M. C. D. tra $\varphi _{1}(z)$ e $\varphi '_{1}(z)$ è:
$\varphi _{2}(z)=1$.
Ora, dividendo ciascuna delle funzioni $f(z),\varphi (z),\varphi _{1}(z)$ per la seguente, si hanno le funzioni:
$\psi (z)={\frac {f(z)}{\varphi (z)}}=z^{3}-z^{2}-4z+a$;
$\psi _{1}(z)={\frac {\varphi (z)}{\varphi _{1}(z)}}=z^{2}+z-2$;
$\psi _{2}(z)={\frac {\varphi _{1}(z)}{\varphi _{2}(z)}}=z-1$.
Infine eseguendo le divisioni $\psi (z):\psi _{1}(z)$; $\psi _{1}(z):\psi _{2}(z)$; $\psi _{2}(z):1$ si ottengono rispettivamente i quozienti:
$z-2$, $z+2$, $z-1$,
i quali, posti uguali a zero, danno le equazioni:
$z-2=0$, $z+2=0$, $z-1=0$,
che hanno per radici rispettivamente le radici semplici, doppie, triple della proposta (ma tutte come semplici). Dunque l'equazione proposta ha una radice semplice $2$, una radice doppia $-2$, una radice tripla $1$.
$f(z)=0$
$f(z)$
$f'(z)$
Esercizi.
1° Riconoscere coi metodi precedenti se e quando avviene che una delle seguenti equazioni ha una radice doppia, o tripla, o ecc.
$x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$
$x^{4}+px^{2}+qx+r=0$
${\text{cos}}\,x-p=0$
$e^{x}-p=0$
$\log \,x-p=0$
dove le $a_{i},\,p,\,q,\,r$ sono costanti.
2° Risolvere le seguenti equazioni, tutte dotate di radici multiple.
$x^{7}+3x^{6}+5x^{5}+7x^{4}+7x^{3}+5x^{2}+3x+1=0$
(radici $\pm \,i$ doppie e $-1$ tripla);
$x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x+4=0$
(radici $2$ e $-1$ doppie).