# Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Applicazione alle curve di second'ordine

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Opere matematiche Luigi Cremona 1914 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Opere matematiche (Cremona) I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Applicazione_alle_curve_di_second%27ordine&oldid=- 20201205000000 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Applicazione_alle_curve_di_second%27ordine&oldid=- 20201205000000
[p. 412
Art. XVIII.
Applicazione alle curve di second’ordine.
107. Se ne’ teoremi generali suesposti si fa $n=2$, si ottengono i più interessanti risultati per la teoria delle coniche.
Dato un polo $o$ nel piano della curva fondamentale ${\rm {C_{2}}}$ di second’ordine, il luogo del punto coniugato armonico di $o$, rispetto alle due intersezioni della curva con una trasversale mobile intorno ad $o$, è la retta polare di $o$ (68). Se la polare di $o$ passa per un altro punto $o'$, viceversa (69, a) la polare di $o'$ contiene $o$; ossia tutte le rette passanti per un punto dato hanno i loro poli nella retta polare di questo punto, e reciprocamente tutt’i punti di una data retta sono poli di rette incrociantisi nel polo della data.
Siccome ogni punto ha una determinata retta polare, e viceversa ogni retta ha un polo unico, così i punti di una retta costituiscono una punteggiata projettiva alla stella formata dalle loro rispettive polari. Donde segue che il rapporto anarmonico di quattro rette divergenti da un punto è eguale al rapporto anarmonico dei loro poli.
La retta polare di un punto $o$ sega la conica fondamentale ne’ punti in cui questa è toccata da rette uscenti da $o$ (70).
Considerando la conica fondamentale come una curva di seconda classe, se da un punto qualunque di una retta data si tirano le due tangenti alla curva, la retta coniugata armonica della data, rispetto a queste due tangenti, passa per un punto fisso (82) che è il polo della retta data.
Due figure, l’una delle quali contenga i poli e le polari delle rette e dei punti dell’altra, diconsi polari reciproche. Sui pochi principii or dichiarati si fonda il celebre metodo di Poncelet per passare dalle proprietà dell’una a quelle dell’altra figura. [p. 413
| 108. Due punti $o,\,o'$, l’un de’ quali giaccia nella polare dell’altro, diconsi poli coniugati. Le infinite coppie di poli coniugati esistenti in una trasversale formano un’involuzione (quadratica), i cui punti doppi sono le intersezioni della conica colla trasversale; cioè i punti della conica fondamentale sono coniugati a sè medesimi. | Le polari di due poli coniugati, ossia due rette passanti ciascuna pel polo dell’altra, diconsi coniugate. Le infinite coppie di polari coniugate passanti per uno stesso punto dato formano un’involuzione (quadratica), i raggi doppi della quale sono le tangenti che dal punto dato si possono condurre alla conica; cioè le tangenti di questa sono rette coniugate a sè medesime. |
(a) Due poli coniugati ed il polo della retta che li unisce (ovvero due rette coniugate e la polare del punto ad esse comune) individuano un triangolo (o un trilatero), nel quale ciascun lato è la polare del vertice opposto. Siffatto triangolo o trilatero dicesi coniugato alla conica data.
| (b) Se da un punto $p$ si conducono due trasversali a segare la conica data ne’ quattro punti $bc,\,ad$, e se $q,\,r$ sono le intersezioni delle coppie di rette $(ca,\,bd),\,(ab,\,cd)$, la retta $qr$ sarà la polare del punto $p$; anzi nel triangolo $pqr$ ciascun vertice è polo del lato opposto. Ciò è una immediata conseguenza della proprietà armonica del quadrangolo completo $abcd$ (5). Dunque tutte le coniche circoscritte a questo quadrangolo sono coniugate al triangolo formato dai punti diagonali $pqr$. | (b') Se per due punti di una data retta ${\rm {P}}$ si tirano quattro tangenti ${\rm {BC,\,AD}}$ alla conica data, e se ${\rm {Q,\,R}}$ sono le rette passanti per le coppie di punti ${\rm {(CA,\,BD),\,(AB,CD)}}$, il punto ${\rm {QR}}$ sarà il polo della retta ${\rm {P}}$; anzi nel trilatero ${\rm {PQR}}$ ciascun lato è la polare del vertice opposto, come segue immediatamente dalla proprietà armonica del quadrilatero completo ${\rm {ABCD}}$ (5). Dunque tutte le coniche inscritte nel quadrilatero sono coniugate al trilatero formato dalle diagonali ${\rm {PQR}}$. |
(c) In generale (89), se un punto ha la stessa retta polare rispetto a due curve d’un fascio, esso è doppio per una curva del fascio medesimo. Ciò torna a dire che due coniche non ammettono alcun triangolo coniugato comune, oltre quello che ha i vertici ne’ tre punti doppi del fascio da esse determinato; ossia i punti diagonali del quadrangolo completo formato dai punti comuni a due coniche, e le rette diagonali del quadrilatero completo formato dalle tangenti comuni alle stesse coniche sono i vertici e i lati dell’unico triangolo coniugato ad entrambe le curve.
(d) Il teorema di Pascal relativo ad un esagono inscritto in una conica (45, c), se si assume il secondo vertice infinitamente vicino al primo, ed il quinto al quarto, somministra la seguente relazione fra quattro punti di una conica e le tangenti in due di essi:
Se un quadrangolo è inscritto in una conica, le tangenti in due vertici concorrono sulla retta che unisce due punti diagonali.
Donde si conclude facilmente che le diagonali del quadrilatero formato da quattro tangenti di una conica sono i lati del triangolo avente per vertici i punti diagonali del quadrangolo formato dai quattro punti di contatto. [p. 414
(e) Se di un quadrangolo completo $abcd$ sono dati i tre punti diagonali $pqr$ ed un vertice $a$, il quadrangolo è determinato ed unico. Infatti, il vertice $b$ è il coniugato armonico di $a$ rispetto ai punti in cui $pq,\,pr$ segano $ar$; ecc. Dunque le coniche passanti per uno stesso punto $a$ e coniugate ad un dato triangolo $pqr$ formano un fascio, ossia (92):
Tutte le coniche coniugate ad un dato triangolo formano una rete.
(f) Le curve di questa rete che dividono armonicamente un dato segmento $oo'$ formano un fascio. Infatti, se $i$ è un punto arbitrario, tutte le coniche della rete passanti per $i$ hanno altri tre punti comuni, epperò incontrano la retta $oo'$ in coppie di punti in involuzione (49). Ma anche le coppie di punti che dividono armonicamente $oo'$ costituiscono un’involuzione (25, a), e le due involuzioni hanno una coppia comune di punti coniugati; dunque per $i$ passa una sola conica della rete, la quale sodisfaccia alla condizione richiesta, c. d. d. In altre parole, la rete contiene un fascio di coniche, rispetto a ciascuna delle quali i punti $oo'$ sono poli coniugati.
In una rete due fasci hanno sempre una curva comune; dunque, se si cerca la conica della rete rispetto alla quale il punto $o$ sia coniugato sì ad $o'$ che ad $o''$, cioè $o$ abbia per polare $o'o''$, il problema ammette una sola soluzione; vale a dire: vi è una sola conica, rispetto alla quale un dato triangolo sia coniugato, e un dato punto sia polo di una data retta.
(g) Siano $pqr,\,p'q'r'$ due triangoli coniugati alla conica fondamentale; $s,\,t$ i punti in cui le rette $p'q',\,p'r'$ segano $qr$; $s',\,t'$ quelli ove $q'r'$ è incontrata dalle $pq,\,pr$. Le polari de’ punti $q,\,r,\,s,\,t$ sono evidentemente le rette $p(r,q,r',q')$, che incontrano $q'r'$ in $t',\,s',\,r',\,q'$. Ma il sistema di queste quattro rette e quello de’ loro poli hanno lo stesso rapporto anarmonico (107), dunque:
$(qrst)=(t's'r'q')$,
ossia (1):
$(qrst)=(s't'q'r')$;
$pq,\,pr,\,p'q',\,p'r'$
$qr,\,q'r'$
$p'(q,r,q',r')$
$p(q,r,q',r')$
Se due triangoli sono circoscritti ad una conica, essi sono inscritti in un’altra; e viceversa.
Affinchè due triangoli siano coniugati ad una stessa conica, è necessario e sufficiente che essi siano circoscritti ad un’altra conica, ovvero inscritti in una terza conica.
Questa proprietà si può esprimere eziandio dicendo che la conica tangente a cinque de’ sei lati di due triangoli coniugati ad una conica data tocca anche il sesto; e la conica determinata da cinque vertici passa anche pel sesto. Donde s’inferisce che:
| Se una conica tocca i lati di un triangolo coniugato ad una seconda conica, infiniti altri triangoli coniugati a questa saranno circoscritti alla prima; cioè le tangenti condotte alle due coniche dal polo (relativo alla seconda) di ciascuna retta tangente alla prima formeranno un fascio armonico. | Se una conica passa pei vertici di un triangolo coniugato ad un’altra conica, sarà pur circoscritta ad infiniti altri triangoli coniugati alla medesima; cioè ogni punto della prima conica sarà, rispetto alla seconda, il polo di una retta segante le due curve in quattro punti armonici. |
109. Le coniche circoscritte ad un quadrangolo $abcd$ sono segate da una trasversale arbitraria in coppie di punti che formano un’involuzione (49). Fra quelle coniche vi sono tre paja di rette; dunque le coppie di lati opposti $(bc,ad)$, $(ca,bd)$, $(ab,cd)$ del quadrangolo incontrano la trasversale in sei punti $a'a_{1}$, $b'b_{1}$, $c'c_{1}$ accoppiati involutoriamente. Viceversa, se i lati di un triangolo $abc$ sono segati da una trasversale ne’ punti $a'b'c'$, e se questi sono accoppiati in involuzione coi punti $a_{1}b_{1}c_{1}$ della stessa trasversale, le tre rette $aa_{1}$, $bb_{1}$, $cc_{1}$ concorreranno in uno stesso punto $d$.
Sia or dato un triangolo $abc$, i cui lati $bc$, $ca$, $ab$ seghino una trasversale in $a',\,b',c'$; e sia inoltre data una conica, rispetto alla quale i punti $a_{1},\,b_{1},\,c_{1}$ situati nella stessa trasversale siano poli coniugati ordinatamente ad $a',\,b',\,c'$. Le tre coppie di punti $a'a_{1}$, $b'b_{1}$, $c'c_{1}$ sono in involuzione (108), epperò le rette $aa_{1}$, $bb_{1}$, $cc_{1}$ passano per uno stesso punto $d$. Se di più si suppone che $a$, $b$ siano poli ordinatamente coniugati ad $a'$, $b'$, le polari di $a'$, $b'$ sono le rette $aa_{1}$, $bb_{1}$, talchè il polo della trasversale sarà il punto $d$. Dunque la polare di $c'$ è $cc_{1}$, ossia anche i punti $c$, $c'$ sono poli coniugati. Abbiamo così il teorema:
Se i termini di due diagonali $aa'$, $bb'$ d’un quadrilatero completo formano due coppie di poli coniugati rispetto ad una data conica, anche i termini della terza diagonale $cc'$ sono coniugati rispetto alla medesima conica.
110. Se un polo percorre una data curva ${\rm {C_{m}}}$ dell’ordine $m$, avente $\delta$ punti doppi [p. 416 e $\chi$ cuspidi, la retta polare (relativa alla conica fondamentale ${\rm {C_{2}}}$) inviluppa una seconda curva della classe $m$, dotata di $\delta$ tangenti doppie e $\chi$ flessi, la quale è anche il luogo dei poli delle rette tangenti a ${\rm {C_{m}}}$ (103). Le due curve diconsi polari reciproche.
| (a) Se la conica fondamentale ${\rm {C_{2}}}$ è il sistema di due rette concorrenti in un punto $i$, la polare d’ogni punto $o$ passa per $i$, ed invero essa è la coniugata armonica di $oi$ rispetto al pajo di rette costituenti la conica (73, b); ma la polare del punto $i$ è indeterminata (72), cioè qualunque retta nel piano può essere considerata come polare di $i$. Donde segue che ogni retta passante per $i$ ha infiniti poli tutti situati in un’altra retta passante per $i$, mentre una retta non passante per $i$ ha per unico polo questo punto. Perciò se è data una curva della classe $r$, considerata come inviluppo di rette, la sua polare reciproca, ossia il luogo dei poli delle sue tangenti, sarà il sistema di $r$ rette passanti per $i$ e ordinatamente coniugate armoniche (rispetto alle due rette onde consta ${\rm {C_{2}}}$) di quelle $r$ tangenti che si possono condurre da $i$ alla curva data. | (a') Se la conica fondamentale ${\rm {C_{2}}}$, risguardata come inviluppo di seconda classe, è una coppia di punti $oo'$, il polo di ogni retta ${\rm {R}}$ giace nella retta $oo'$, e questa è divisa armonicamente dal polo e dalla polare. Però il polo della retta $oo'$ è indeterminato, cioè qualunque punto del piano può essere assunto come polo di quella retta. Ond’è che ogni punto della retta $oo'$ ha infinite polari tutte incrociantisi in un altro punto della medesima retta; mentre un punto qualunque esterno alla $oo'$ non ha altra polare che questa retta. Dunque, se è data una curva dell’ordine $r$, la sua polare reciproca, cioè l’inviluppo delle polari de’ suoi punti, è il sistema di $r$ punti situati in linea retta con $oo'$, i quali sono, rispetto a questi due, i coniugati armonici di quelli ove la curva data incontra la retta $oo'$. |
(b) Nell’ipotesi (a) è evidente che ogni trilatero coniugato avrà un vertice in $i$, e due lati formeranno un sistema armonico colle due rette costituenti la conica fondamentale. Viceversa, se un trilatero dato è coniugato ad una conica che sia un pajo di rette, queste dovranno tagliarsi in un vertice e formare un fascio armonico con due lati del trilatero medesimo; e in particolare, un lato di questo, considerato come il sistema di due rette coincidenti, terrà luogo di una conica coniugata al trilatero. Per conseguenza, le tre rette costituenti il trilatero contengono i punti doppi delle coniche ad esso coniugate, ossia (92; 108, e) l’Hessiana della rete formata dalle coniche coniugate ad un trilatero dato è il trilatero medesimo.
111. In virtù del teorema generale (110), la polare reciproca di una conica ${\rm {K}}$ rispetto ad un’altra conica ${\rm {C_{2}}}$ è una terza conica ${\rm {K'}}$; le due curve ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ avendo tra loro tal relazione che le tangenti di ciascuna sono le polari dei punti dell’altra rispetto a ${\rm {C_{2}}}$. Ne’ quattro punti comuni a ${\rm {K}}$, la conica fondamentale ${\rm {C_{2}}}$ è toccata dalle quattro [p. 417 tangenti comuni a ${\rm {K'}}$; dunque (108, d) le tre coniche ${\rm {C_{2},\,K,\,K'}}$ sono coniugate ad uno stesso triangolo.
(a) Se ${\rm {R}}$ è la polare di un punto $r$ rispetto a ${\rm {K}}$, e se $r'$, ${\rm {R'}}$ sono il polo e la polare di ${\rm {R}}$, $r$ rispetto a ${\rm {C_{2}}}$, è evidente che $r'$ sarà il polo di ${\rm {R'}}$ rispetto a ${\rm {K'}}$.
(b) I punti comuni a ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ sono i poli, rispetto a ${\rm {C_{2}}}$, delle tangenti comuni alle medesime coniche. Donde segue che, se più coniche sono circoscritte ad uno stesso quadrangolo, le loro polari reciproche saranno inscritte in uno stesso quadrilatero. E siccome le prime coniche sono incontrate da una trasversale arbitraria in coppie di punti formanti un’involuzione, così le tangenti condotte da un punto qualunque alle coniche inscritte in un quadrilatero sono pur accoppiate involutoriamente.
(c) Se sono date a priori entrambe le coniche ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$, le quali si seghino ne’ punti $abcd$ ed abbiano le tangenti comuni ${\rm {ABCD}}$, la conica rispetto alla quale ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ sono polari reciproche dovrà essere coniugata (111) al triangolo formato dai punti diagonali del quadrangolo $abcd$ e dalle diagonali del quadrilatero ${\rm {ABCD}}$ (108, c). Per determinare completamente questa conica, basterà aggiungere la condizione che il punto $a$ sia, rispetto ad essa, il polo di una delle quattro rette ${\rm {ABCD}}$ (108, f). Donde segue esservi quattro coniche, rispetto a ciascuna delle quali due coniche date sono polari reciproche.
(d) Date due coniche ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ la prima di esse sia circoscritta ad un triangolo $pqr$ coniugato alla seconda. Se ${\rm {C_{2}}}$ è una conica rispetto a cui le date siano polari reciproche, e se le rette ${\rm {PQR}}$ sono le polari de’ punti $pqr$ rispetto a ${\rm {C_{2}}}$, il trilatero ${\rm {PQR}}$ sarà circoscritto a ${\rm {K'}}$. Ma il triangolo $pqr$ è supposto coniugato a ${\rm {K'}}$; dunque (a) il trilatero ${\rm {PQR}}$ sarà coniugato a ${\rm {K}}$. Ossia:
Se una conica è circoscritta ad un triangolo coniugato ad una seconda conica, viceversa questa è inscritta in un trilatero coniugato alla prima; e reciprocamente.
Quindi, avuto riguardo al doppio enunciato (108, g):
Se una conica è inscritta in un triangolo coniugato ad un’altra conica (ossia, se questa è circoscritta ad un triangolo coniugato a quella), la polare reciproca della seconda conica rispetto alla prima è l’inviluppo di una retta che tagli armonicamente le due coniche date; e la polare reciproca della prima rispetto alla seconda è il luogo di un punto dal quale tirate le tangenti alle due coniche date, si ottenga un fascio armonico.
(e) In generale, date due coniche ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ proponiamoci le seguenti quistioni: [p. 418
| Quale è l’inviluppo di una retta che seghi le coniche date in quattro punti armonici? Quante rette dotate di tale proprietà passano per un punto qualunque, ex. gr. per uno de’ punti $abcd$ comuni alle coniche date? Affinchè una retta condotta per $a$ seghi ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ in quattro punti armonici, tre di questi dovranno coincidere in $a$, cioè le sole tangenti che per $a$ si possano condurre all’inviluppo richiesto sono le due rette che ivi toccano l’una o l’altra conica. Dunque l’inviluppo è una conica ${\rm {F}}$ tangente alle otto rette che toccano in $abcd$ le curve date. | Quale è il luogo di un punto dal quale si possa condurre un fascio armonico di tangenti alle coniche date? Quanti punti dotati di questa proprietà esistono in una retta qualunque, ex. gr. in una delle tangenti ${\rm {ABCD}}$ comuni alle coniche date? È evidente che le sole intersezioni della retta ${\rm {A}}$ col luogo di cui si tratta sono i punti in cui la retta medesima tocca l’una o l’altra conica data. Il luogo richiesto è dunque una conica ${\rm {F'}}$ passante per gli otto punti in cui le curve date sono toccate dalle loro tangenti comuni. |
| Di queste otto rette, le quattro che toccano ${\rm {K'}}$ sono anche tangenti (111) alla conica ${\rm {H}}$, polare reciproca di ${\rm {K}}$ rispetto a ${\rm {K'}}$; ossia le coniche ${\rm {K'}}$, ${\rm {H}}$, ${\rm {F}}$ sono inscritte nello stesso quadrilatero. Dunque, se una tangente di ${\rm {H}}$, non comune a ${\rm {K'}}$, sega armonicamente ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$, le coniche ${\rm {H}}$, ${\rm {F}}$ coincidono. Ciò accade quando ${\rm {K}}$ è circoscritta ad un triangolo coniugato a ${\rm {K'}}$ (d). | Di questi otto punti, i quattro situati in ${\rm {K}}$ appartengono anche alla conica ${\rm {H'}}$, polare reciproca di ${\rm {K'}}$ rispetto a ${\rm {K}}$; vale a dire, le coniche ${\rm {K}}$, ${\rm {H'}}$, ${\rm {F'}}$ appartengono ad uno stesso fascio. Dunque, se un punto di ${\rm {H'}}$, non comune a ${\rm {K}}$, è centro d’un fascio armonico di rette tangenti a ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$, le coniche ${\rm {H'}}$, ${\rm {F'}}$ si confondono in una sola. Ciò accade quando ${\rm {K'}}$ è inscritta in un triangolo coniugato a ${\rm {K}}$ (d). |
Se ${\rm {C_{2}}}$ è una conica rispetto alla quale ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ siano polari reciproche, evidentemente le coniche ${\rm {F}}$, ${\rm {F'}}$ (come pure ${\rm {H}}$, ${\rm {H'}}$) sono polari reciproche rispetto a ${\rm {C_{2}}}$.
(f) Siano ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$, ${\rm {K''}}$ tre coniche circoscritte ad uno stesso quadrangolo $abcd$, e le prime due siano separatamente circoscritte a due triangoli coniugati ad una medesima conica ${\rm {C_{2}}}$. Le coniche ${\rm {H}}$, ${\rm {H'}}$, ${\rm {H''}}$, polari reciproche di quelle prime tre rispetto a ${\rm {C_{2}}}$, saranno tutte toccate dalle rette ${\rm {ABCD}}$, polari de’ punti $abcd$ rispetto a ${\rm {C_{2}}}$ (b). Dunque (d) la retta ${\rm {A}}$ sega armonicamente sì le due coniche ${\rm {C_{2}}}$, ${\rm {K}}$, che le due ${\rm {C_{2}}}$, ${\rm {K'}}$; cioè le intersezioni di ${\rm {C_{2}}}$ con ${\rm {A}}$ sono i punti doppi dell’involuzione (quadratica) che le coniche del fascio ${\rm {(KK')}}$ determinano sopra ${\rm {A}}$. Di qui si trae che ${\rm {A}}$ taglia armonicamente anche ${\rm {C_{2}}}$, ${\rm {K''}}$, ossia (e):
Se in due coniche sono separatamente inscritti due triangoli coniugati ad una conica data, qualunque altra conica descritta pei punti comuni alle prime due sarà pur circoscritta ad un triangolo coniugato alla conica data.
* ↑ Chasles, Mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science etc. (Mémoires couronnés par l’Académie R. de Bruxelles, t. 11, 1837, p. 582).
* ↑ Poncelet, {Solution ..., citato al n. 70.} — Traité des propriétés projectives des figures, Paris 1822, p. 122. — Mémoire sur la théorie des polaires réciproques (Giornale di Crelle, t. 4, Berlino 1829, p. 1).
* ↑ Steiner, Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander, Berlin 1832, p. 308 (Aufg. 46). — Chasles, Mémoìre sur les lignes conjointes dans les coniques (Journal de M. Liouville, août 1838, p. 396).
* ↑ [p. 505 Qui, nella Einleitung, è posta a pie di pag. la nota seguente: Fallen die Puncte $a,\,b,\,c,\,d$ paarweise zusammen, das heiszt, berühren sich die Kegelschnitte des Büschels in zwei Puncten $a$ und $c$, so reducieren sich die beiden Paare von Gegenseiten des Vierecks auf die Berührungssehne $ac$, als das System zweier zusammenfallender Geraden betrachtet. Das dritte Paar Gegenseiten wird durch die den beiden gegebenen Kegelschnitten gemeinschaftlichen Tangenten gebildet. Folglich bestimmen, wenn ein Kegelschnitt und zwei seiner Tangenten von einer Transversale geschnitten werden, die vier Durchschnittspuncte eine quadratische Involution, deren einer Doppelpunct auf der Berührungssehne liegt.
* ↑ Hesse, De octo punctis intersectionis trium superficierum secundi ordinis (Dissertatio pro venia legendi), Regiomonti 1840, p. 17.
* ↑ Hesse, Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes, Leipzig 1861, p. 175.
* ↑ Staudt, Ueber die Kurven 2. Ordnung, Nürnberg 1831, p. 25.
* ↑ [p. 505 Nella Einleitung è stata qui inserita, come n. 111 bis (a pag. 167-175), la traduzione, con poche varianti, dei due articoli «Sulla teoria delle coniche» che si troveranno nel seguito di queste Opere, come n.$^i$ 47, 48.