# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5.3

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/8.5.3&oldid=- 20220830100615 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/8.5.3&oldid=- 20220830100615
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8.5.3 La distribuzione esponenziale
Alla distribuzione di Poisson ne è strettamente legata un’altra, quella esponenziale: sia infatti un fenomeno casuale qualsiasi che segua la distribuzione di Poisson, ovvero tale che la probabilità di osservare x eventi nell’intervallo finito di tempo t sia data dalla 8.13; definiamo una nuova variabile casuale, $\delta$, come l’intervallo di tempo che intercorre tra due eventi successivi.
Visto che in un tempo $\delta$ nessun evento deve venire osservato, la probabilità che $\delta$ risulti maggiore di un valore predeterminato d coincide con la probabilità di osservare zero eventi nel tempo d:
$\Pr(\delta >d)\equiv \Pr(0;d)=e^{-\lambda d}$
e quindi la funzione di distribuzione di $\delta$ è la
$F(d)=\Pr(\delta \leq d)=1-e^{-\lambda d}$
Come conseguenza, la funzione di frequenza è esponenziale:
$\phi _{\delta }(t)={\frac {\lambda }{\lambda -it}}$.
I momenti successivi della distribuzione esponenziale si possono ottenere o integrando direttamente la funzione densità di probabilità (moltiplicata per potenze opportune di $\delta$) o derivando successivamente la funzione caratteristica; troviamo i primi due momenti, speranza matematica e varianza, usando questo secondo metodo:
${\frac {\mathrm {d} \,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)={\frac {i\lambda }{(\lambda -it)^{2}}}$
$\left.{\frac {\mathrm {d} \,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}={\frac {i}{\lambda }}\equiv i\cdot E(\delta )$
per cui la speranza matematica di $\delta$ vale
$E(\delta )={\frac {1}{\lambda }}$;
poi
${\frac {\mathrm {d} ^{2}\,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {-i\lambda \cdot 2(\lambda -it)(-i)}{(\lambda -it)^{4}}}=-{\frac {2\lambda }{(\lambda -it)^{3}}}$
$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}\,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}=-{\frac {2}{\lambda ^{2}}}\;\equiv \;i^{2}\,E{\bigl\delta ^{2}{\bigr )}=-E{\bigl\delta ^{2}{\bigr )}$,
ed infine la varianza è
${\text{Var}}(\delta )=E{\bigl\delta ^{2}{\bigr )}-{\biglE(\delta ){\bigr ]}^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$.
Se una variabile casuale t rappresenta il tempo trascorso tra due eventi casuali successivi che seguono una distribuzione di Poisson, t necessariamente ha una distribuzione di probabilità di tipo esponenziale data dalla (8.19); vogliamo ora calcolare la probabilità che t sia maggiore di una quantità $t_{0}+\Delta t$, condizionata però dal sapere in anticipo che t è sicuramente [p. 126 maggiore di $t_{0}$. Sfruttando la (3.3), abbiamo:
* $={\frac {\Pr(t>t_{0}+\Delta t)}{\Pr(t>t_{0})}}$
* $={\frac {\int _{t_{0}+\Delta t}^{+\infty }e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t}{\int _{t_{0}}^{+\infty }e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t}}$
* $={\frac {\left[-e^{-\lambda t}\right]_{t_{0}+\Delta t}^{+\infty }}{\left[-e^{-\lambda t}\right]_{t_{0}}^{+\infty }}}$
* $={\frac {e^{-\lambda (t_{0}+\Delta t)}}{e^{-\lambda t_{0}}}}$
* $=e^{-\lambda \,\Delta t}$
* $\equiv \Pr \left(t>\Delta t\right)$.
In conclusione, la distribuzione esponenziale (ovvero la cadenza temporale di eventi casuali che seguono la statistica di Poisson) non ricorda la storia precedente: il presentarsi o meno di uno di tali eventi in un tempo $\Delta t$ non dipende in alcun modo da quello che è accaduto nell’arbitrario intervallo di tempo $t_{0}$ precedente; così come ci dovevamo aspettare, vista l’ipotesi numero 2 formulata a pagina 117.