# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 113

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_18/Paragrafo_113&oldid=- 20230105201653 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_18/Paragrafo_113&oldid=- 20230105201653
§ 113. — Primi tipi di equazioni lineari alle derivate ordinarie a coefficienti costanti.
Oss. Il lettore, a cui non interessi il caso generale, potrà omettere lo studio dei seguenti tre paragrafi, sostituendo loro questo unico § 113. Paragrafo che invece potrò essere omesso da chi studii senz'altro il caso generale. È in ogni caso raccomandabile la lettura dell'esempio 4° al § 117.
1° Sia data l'equazione di primo ordine
$y'+py=0$
($p=$ cost.).
(1)
Le sue soluzioni sono date dalla
$y=Ce^{-px}$
($C=$ cost. arbitraria).
(2)
Si noti che nell'esponente $-px$ il coefficiente della $x$ è $-p$, e che $-p$ è la radice dell'equazione caratteristica
$c+p=0$
(3)
ottenuta da (1) ponendo al posto di $y'$ e di $y$ la $c^{1}=c$, e la $c^{0}=1$, essendo $c$ la incognita.
2° Sia data l'equazione
$y''+py'+qy=0$
($p,q=$ cost.).
(4)
Se $\alpha ,\beta$ sono le radici dell'equazione caratteristica
$c^{2}+pc+q=0$
(5)
ottenuta scrivendo $1,c,c^{2}$ al posto di $y,y',y''$ ($c$ essendo l'incognita), sarà
$\alpha +\beta =-p$ , $\alpha \beta =q$ ;
$\alpha =-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$ , $\beta =-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$ . [p. 380 La (4) si può scrivere:
$0=y''-(\alpha +\beta )y'+\alpha \beta y$
$=(y'-\alpha y)'-\beta (y'-\alpha y)$.
Cioè posto
$z-y'-\alpha y$.
(6)
la (4) diventa:
$z'-\beta z=0$.
(7)
Da (7) si trae:
($k=$ cost. arb.).
Da (6)
cosicchè:
$y=e^{x}\left\{\int ke^{(\beta -\alpha )x}dx+h\right\}$
($k,h=$ cost. arb.).
I. Se $\alpha =\beta$, cioè se ${\frac {p^{2}}{4}}=q$, se ne deduce
$y=c^{\alpha x}(C_{1}z+C_{2})$
$C_{1}=k$; $C_{2}=h$ cost. arbitrarie).
II. Se $\alpha \not =\beta$
$y=e^{\alpha x}\left\{{\frac {k}{\beta -\alpha }}e^{(\beta -\alpha )x}+h\right\}$
$y=C_{1}e^{\alpha x}+C_{2}e^{\beta x}$
$\left(C_{1}=h\;C_{2}={\frac {k}{\beta -\alpha }}{\text{cost. arbitr.}}\right)$.
Questa formolo, se $\alpha ,\beta$ sono reali, ci dà tutte le soluzioni reali di (4) quando vi si diano a $C_{1}$, $C_{2}$ valori reali arbitrarii. Si noti però che (anche se, come supponiamo, $p$ e $q$ sono reali) le $\alpha ,\beta$ possono essere complesse, ciò che avviene se $q-{\frac {p^{2}}{4}}>0$. L'ultima formola continua però a essere valida anche in questo caso e ci dà, sa noi siamo alle $C_{1},C_{2}$ valori complessi arbitrarii, tutte le soluzioni reali o complesse di (4).
scegliamo quelle di tali soluzioni che sono reali. Bisogna a tal fine che, mutando $i$ in $-i$, la nostra $y$ resti inalterata. Ma, se noi scambiamo $i$ in $-i$, le $\alpha ,\beta$ $\left({\text{che valgono}}-{\frac {p}{2}}\pm i{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}\right)$ si scambieranno tra loro. La nostra soluzione sarà reale allora e allora soltanto che $C_{1}siottengadaC_{2}$ sono immaginarie coniugate.
Posto dunque $C_{2}={\frac {1}{2}}k_{1}+{\frac {1}{2}}ik_{2},C_{1}={\frac {1}{2}}k_{1}-{\frac {1}{2}}ik_{2}$ dove $k_{1},k_{2}$, sono costanti reali arbitrarie, la
$y=\left({\frac {1}{2}}k_{1}-{\frac {1}{2}}ik_{2}\right)e^{-{\frac {p}{2}}x+ix{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}}+\left({\frac {1}{2}}k_{1}+{\frac {i}{2}}k_{2}\right)e^{-{\frac {p}{2}}x-ix{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}}$
$=\left({\frac {1}{2}}k_{1}-{\frac {1}{2}}ik_{2}\right)e^{-{\frac {p}{2}}}\left\{{\text{cos}}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x+i\,{\text{sen}}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x\right\}$
$+\left({\frac {1}{2}}k_{1}+{\frac {1}{2}}ik_{2}\right)e^{-{\frac {p}{2}}x}\left\{{\text{cos}}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x-i\,{\text{sen}}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x\right\}$
$=e^{-{\frac {p}{2}}x}\left[k_{1}{\text{cos}}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x+k_{1}\,{\text{sen}}\,{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x\right]$
dà tutte e sole le soluzioni reali della nostra equazione.