# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 87

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_13/Paragrafo_87&oldid=- 20230102190853 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_13/Paragrafo_87&oldid=- 20230102190853
§ 87. — Massimi e minimi delle funzioni di due o più variabili.
$\alpha$) Lemma. Un trinomio omogeneo di 2° grado di due variabili $\mathrm {h,k}$ mai contemporeaneamente nulle
$\mathrm {ah^{2}+2bhk+ck^{2}}$
è sempre differente da zero ed ha costantemente il segno di $\mathrm {a}$, o, ciò che è lo stesso, quello di $\mathrm {c}$, se $\mathrm {ac-b^{2}>0}$. Può invece assumere valori di segno arbitrario se $\mathrm {ac-b^{2}<0}$; ed infine, se il trinomio non è identicamente nullo, esso ha costantemente il segno di $\mathrm {a}$ o di $\mathrm {c}$, ma può annullarsi, quando $\mathrm {ac-b^{2}=0}$
Infatti, se $a=c=0$ e $b\not =0$ allora $a\,c-b^{2}<0$ e al trinomio, che vale $2\,b\,h\,k$ può farsi assumere un segno qualunque, scegliendo per $h,k$, valori di rango opportuno. [p. 292 Se invece p. es. $a\not =0$, allora, se $\alpha ,\beta$ sono le radici di $az^{2}+2bx+c=0$, il nostro trinomio vale identicamente $a(h-\alpha k)(h-\beta k)$. Se $a\,c-b^{2}=0$ allora $\alpha =\beta$ e quindi il trinomio vale il prodotto di $a$ per un quadrato perfetto, ha quindi il segno di $a$, a meno che $h=\alpha \,k$, nel qual caso il trinomio si annulla. Se $ac-b^{2}<0$. e quindi $\alpha ,\beta$ sono numeri reali distinti (p, es, $\alpha <\beta$), allora $(h-\alpha k)(h-\beta k)$ è positivo se ${\frac {h}{k}}$ è minore di $\alpha$, ed è negativo ${\frac {h}{k}}$ è compreso tra $\alpha$ e $\beta$. Il trinomio può dunque assumere un valore di segno arbitrario.
Infine se $ac-b^{2}>0$ [e perciò $ac0$; $f'_{x},f'_{y},f''_{xx},f''_{xy},f''_{yy}$ finite e continue (nel punto $x_{0},y_{0}$). (Si noti che $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}\geq 0$ è condizione necessaria, mentre $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}>0$ è condizione sufficiente).
E, se tali condizioni sufficienti sono soddisfatte, il punto $\mathrm {(x_{0},y_{0})}$ è punto di massimo se $\mathrm {f''_{xx},f''_{yy}}$ sono nel punto considerato negative; esso è un punto di minimo, se $\mathrm {f''_{xx},f''_{yy}}$ sono positive. (Dalla $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}>0$ segue che $f''_{xx}f''_{yy}$ hanno lo stesso segno). Infatti, supposto che in $A=(x_{0},y_{0})$ sia $f'_{x}=f'_{y}=0$, la formola di Taylor-Lagrange dà
ove il soprassegno indica che le derivate seconde sono calcolare in un punto $x_{0}+\theta h,y_{0}+\theta k$ con $0<\theta <1$.
Ora, essendo tali derivate seconde continue, basterà scegliere $|h|,|k|$ abbastanza piccolo perchè ${\bar {f''}}_{x}x$ abbia il segno di $f''_{xx}$ e ${\bar {f''}}_{xx}{\bar {f''}}_{yy}-{\bar {f''}}_{xy}^{2}$ abbia il segno di $f''_{xx}-f''_{xy}-{f''}_{xy}^{2}$ cioè sia positivo. Il trinomio posto al 2° membro di (1), e quindi anche [p. 294 il primo membro di (1), avranno pertanto (confronta il lemma) il segno di ${\bar {f''}}_{xx}$, cioè di $f''_{xx}$, come dovevasi dimostrare.
Se $f'_{x}=f'_{y}=0$, ma $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}<0$, il punto considerato non è di massimo nè di minimo.
Nulla si può affermare senza studii più minuti per un punto, in cui $f'_{x}=f'_{y}=f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}=0$.
Il teorema relativo alle condizioni sufficienti si dimostra anche osservando che (1) si può scrivere nella forma
$f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})={\frac {1}{2}}\left\{f''_{xx}(x_{0},y_{0})h^{2}+2f''_{xy}hk+f''_{yy}k^{2}\right\}+$
$+\epsilon h^{2}+2\gamma hk+\delta k^{2}$,
ove $\varepsilon ,\gamma ,\delta$ tendono a zero per $h=k=0$. Posto $h=\rho \cos \theta ,k=\rho \operatorname {sen} \theta$, il secondo membro diventa la somma di
Il coefficiente di $\rho ^{2}$ nel primo addendo ha il segno di $f''_{xx}$ e il suo minimo valore assoluto è maggiore di zero. Il coefficiente di $\rho ^{2}$ nel secondo membro è invece infinitesimo (per $h=k=0$). Dunque per $|h|,|k|$ abbastanza piccoli la (2) ha il segno del primo addendo, cioè ha il segno di $f''_{xx}$.