# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 122

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_19/Paragrafo_122&oldid=- 20230105203723 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_19/Paragrafo_122&oldid=- 20230105203723
§ 122. — Area di una superficie di rotazione.
Se noi poniamo
$x=\rho \,{\text{cos}}\,\theta$, $y=\rho \,{\text{sen}}\,\theta$ (donde $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$)
l'equazione di una superficie si può scrivere nella forma
$z=f(\rho ,\theta )$ (1)
Se essa è di rotazione attorno all'asse delle $z$, l'aumentare di $\theta$ di una costante $\alpha$ qualsiasi, cioè il far rotare di un angolo $\alpha$ la nostra superficie attorno all'asse delle $z$ trasforma la superficie in sè stessa, cioè non ne muta l'equazione 81); cosicchè, qualunque sia $\alpha$, sarà $f(\rho ,\theta )=f(\rho ,\theta +\alpha )$. Cioè $f(\rho ,\theta )$ non varia, qualunque incremento venga dato alla $\theta$, cioè comunque si cambi il valore della $\theta$. Essa p dunque indipendente dalla $\theta$; [p. 406 cioè è una funzione $\varphi (\rho )$ della sola $\rho$. E l'equazione della nostra superficie sarà del tipo:
$z=\varphi (\rho )$ cioè $x=\varphi (+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$ (1)$_{bis}$
la sua intersezione col semipiano (si noti non col piano)
$y=0$ (dove $x$ è positivo). (2)
L'area della nostra superficie vale l'integrale
$\iint {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\,dx\,dy$.
QUesto integrale si deve naturalmente estendere alla proiezione della superficie sul piano $xy$; questa proiezione è la corona circolare ottenuta facendo rotare attorno all'origine e sul piano $xy$ la proiezione sull'asse delle $x$ della curva (2) [o del pezzo di curva (2) considerato].
ora
$p={\frac {\partial z}{\partial x}}=\varphi '(\rho ){\frac {\partial \rho }{\partial x}}=\varphi '(\rho ){\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\varphi '(\rho ){\text{cos}}\,\theta$
$q={\frac {\partial z}{\partial y}}=$ $=\varphi '(\rho ){\text{sen}}\,\theta$
$1+p^{2}+q^{2}=1+{\varphi '}^{2}(\rho )$.
Perciò l'area $A$ di $S$ è data da:
$A=\iint {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\,dx\,dy=\iint {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\,dx\,dy=$
$=\iint {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\,\rho \,d\,\rho \,d\,\theta =\int \,d\,\theta \,\int {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\,\rho \,d\,\rho =$
$=2\,\pi \,\int \,{\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\rho \,d\,\rho$,
che si può scrivere:
$A=2\pi \int {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(x)}}x\,dx=$
$2\,\pi \int {\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}}}\,xdx=2\,\pi \int xds$ (3) [p. 407 dove con $ds={\sqrt {dx^{2}+dz^{2}}}$ indico ora il differenziale dell'arco della curva $C$, e l'integrale si deve estendere all'intervallo, in cui varia la $s$. quando si descrive $C$.
La (3) costituisce la formola fondamentale per il calcolo dell'area di una superficie di rotazione.
Essa si può rendere intuitiva, osservando che ogni pezzetto $ds$ della curva $C$ genera rotando un tronco di cono, le cui sezioni circolari sono cerchi di raggio $x$, e la cui area e quindi $2\,\pi \,xds$. Questa osservazione non ha però, così esposta, alcuna pretesa di rigore. Resa rigorosa, essa dimostra che l'area di una superficie di rotazione è il limite dell'area generata dalla rotazione di un poligono inscritto nel profilo meridiano, quando i lati di esso tendono a zero. Lo studioso deduca la (3) ammettendo questo teorema.
Esercizio.
Si calcoli l'area della sfera di raggio $R$.
Se la sfera ha per centro l'origine, essa è generata dalla rotazione attorno all'asse delle $z$ di un semicerchio $C$ di raggio $R$ posto nel solito semipiano $xz$. Se $\varphi$ è l'angolo che un raggio generico del semicerchio $C$ forma con l'asse delle $x$, e assumiamo come origine degli archi $s$ il punto in cui $C$ incontra l'asse delle $x$, si ha: $s=R\,\varphi$. D'altra parte $x=R\,{\text{cos}}\,\varphi$; e il semicerchio si descrive facendo variare $\varphi$ da $-{\frac {\pi }{2}}$ a $+{\frac {\pi }{2}}$.
L'area della sfera vale dunque
$2\,\pi \,\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\,(R\,{\text{cos}}\,\varphi )\,Rd\,\varphi =2\,\pi \,R^{2}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\,{\text{cos}}\,\varphi \,d\,\varphi =4\,\pi \,R^{2}$,
che coincide col valore dato dalla geometri elementare.
Teor. di Guldino La (1) si può interpretare con un teorema analogo a quello del § 106, pag. 346, osservando che, se $L$ è la lunghezza della curva rotante, $d$ la distanza dell'asse delle $z$ (cioè l'ascissa) del suo centro di gravità, allora $Ld=\int \,x\,ds$.
Esempio.
Centro di gravità di una semicirconferenza. Una semicirconferenza di raggio $R$ e lunghezza $\pi \,R$ descrive, rotando attorno al suo diametro, una sfera di area $4\,\pi \,R^{2}$. La distanz $d$ dal centro di gravità della semicirconferenza al diametro soddisfa perciò alla $4\,\pi \,R^{2}=\pi R.2\,\pi \,d$, e vale dunque $d={\frac {2\,R}{\pi }}$.