# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/3.3.4

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/3.3.4&oldid=- 20220417185744 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/3.3.4&oldid=- 20220417185744
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3.3.4 Il teorema di Bayes
Supponiamo che un dato fenomeno casuale $A$ possa dare luogo a $N$ eventualità mutuamente esclusive $A_{j}$, che esauriscano inoltre la totalità delle possibilità; e sia poi un differente fenomeno casuale che possa condurre o al verificarsi o al non verificarsi di un evento $E$. Osservando la realizzazione di entrambi questi fenomeni, se $E$ si verifica, assieme ad esso si dovrà verificare anche una ed una sola delle eventualità $A_{j}$; applicando prima la legge della probabilità totale (3.2) e poi l’equazione (3.3), si ottiene
Ora, riprendendo la legge fondamentale delle probabilità condizionate (3.3), ne ricaviamo
$p(A_{i}\vert E)={\frac {p(A_{i})\cdot p(E\vert A_{i})}{p(E)}}$
e, sostituendovi la (3.5), si giunge alla
L’equazione (3.6) è nota con il nome di Teorema di Bayes, e viene spesso usata nel calcolo delle probabilità; talvolta anche, come adesso vedremo, quando le $A_{j}$ non siano tanto eventi casuali in senso stretto, quanto piuttosto ipotesi da discutere per capire se esse siano o meno rispondenti alla realtà.
Facendo un esempio concreto, si abbiano due monete: una “buona”, che presenti come risultato la testa e la croce con uguale probabilità (dunque pari a 0.5); ed una “cattiva”, con due teste sulle due facce. Inizialmente si sceglie una delle due monete; quindi avremo due eventualità mutuamente esclusive: $A_{1}$ (è stata scelta la moneta “buona”) e $A_{2}$ (è stata scelta la moneta “cattiva”) con probabilità rispettive $p(A_{1})=p(A_{2})=0.5$. Se lʼevento casuale $E$ consiste nellʼuscita di una testa, ovviamente $p(E\vert A_{1})=0.5$ e $P(E\vert A_{2})=1$. [p. 26
Se ora facciamo un esperimento, lanciando la moneta una volta e ottenendo una testa, quale è la probabilità che nellʼeffettuare la scelta iniziale si sia presa quella “buona”? La risposta è data dal teorema di Bayes, da cui si ottiene:
| $=$ | ${\frac {p(A_{1})\cdot p(E\vert A_{1})}{p(A_{1})\cdot p(E\vert A_{1})+p(A_{2})\cdot p(E\vert A_{2})}}$ |
| $=$ | ${\frac {0.5\cdot 0.5}{0.5\cdot 0.5+0.5\cdot 1}}$ |
| $=$ | ${\frac {0.25}{0.75}}$ |
| $=$ | ${\frac {1}{3}}.$ |
Ovviamente, se si volesse progettare un esperimento reale, sarebbe meglio associarlo al lanciare la moneta $N$ volte (con $N>1$): o si ottiene almeno una croce, ed allora è sicuramente vera $A_{1}$; o, invece, si presenta lʼevento $E$ consistente nellʼottenere $N$ teste in $N$ lanci. In questʼultimo caso, $p(E\vert A_{2})=1$ e $p(E\vert A_{1})=1/2^{N}$ se i lanci sono indipendenti tra loro; utilizzando ancora lʼequazione (3.6), si ricava che la probabilità di aver scelto la moneta “buona”, $p(A_{1})$, è data da $1/(1+2^{N})$ — e di conseguenza $p(A_{2})=2^{N}/(1+2^{N})$ è la probabilità che si sia scelta la moneta “cattiva”.
Qui il teorema di Bayes viene utilizzato per verificare una ipotesi statistica: ovvero per calcolare la probabilità che lʼuna o lʼaltra di un insieme di condizioni $A_{j}$ che si escludono a vicenda sia vera, sulla base di osservazioni sperimentali riassunte dal verificarsi di $E$; ma questo ci risulta possibile solo perché si conoscono a priori le probabilità di tutte le condizioni stesse $p(A_{j})$.
Se, viceversa, queste non sono note, la (3.6) ci dà ancora la probabilità che sia vera lʼuna o lʼaltra delle ipotesi $A_{j}$ se sappiamo che si è verificata la condizione sperimentale $E$; ma essa non si può ovviamente calcolare, a meno di fare opportune ipotesi sui valori delle $p(A_{j})$: ad esempio assumendole tutte uguali, il che è chiaramente arbitrario. Per essere più specifici, non potremmo servirci di un esperimento analogo a quelli delineati e del teorema di Bayes per calcolare la probabilità che una particolare moneta da 1 euro ricevuta in resto sia o non sia “buona”: a meno di non conoscere a priori $p(A_{1})$ e $p(A_{2})$, le probabilità che una moneta da 1 euro scelta a caso tra tutte quelle circolanti nella nostra zona sia “buona” o “cattiva”.