# Alle origini di una teoria economica della politica/Capitolo2/Paragrafo2 1

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Alle origini di una teoria economica della politica: il teorema dell'elettore mediano a partire dai testi di Black e Downs Carlo Bottai 2009 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Alle_origini_di_una_teoria_economica_della_politica/Capitolo2/Paragrafo2_1&oldid=- 20190821015833 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Alle_origini_di_una_teoria_economica_della_politica/Capitolo2/Paragrafo2_1&oldid=- 20190821015833
In presenza di un bene pubblico potremmo chiedere ad ogni cittadino in quale quantità desidera che tale bene sia fornito. Dobbiamo aspettarci un numero di risposte pari a quanti sono i contribuenti. Poiché però i beni pubblici sono per loro natura non rivali e non escludibili, sarà efficiente dal punto di vista sociale che siano forniti in quantità uguale a tutti i cittadini.
Per risolvere il problema della mancanza di consenso intorno ad un'unica quantità, possiamo chiedere da ogni cittadino di votare, stabilendo che sia la maggioranza uscente a determinare il livello di spesa per quel bene pubblico. Alla domanda del tipo "quale livello di spesa per il bene pubblico desiderate?" otterremo nuovamente risposte discordanti, nessuna delle quali dobbiamo aspettarci raccoglierà la maggioranza dei consensi. Riformulando la domanda nella forma "Siete favorevoli ad un aumento di spesa per il bene pubblico?" sottoporremo i contribuenti ad una scelta decisamente più ristretta, avendo a disposizione solamente due alternative.
Se in tale circostanza immaginiamo tre elettori (1, 2, 3) che dividono il costo del bene pubblico (P) in quantità uguali (P/3) e ipotizziamo che abbiano curve di benefico marginale ($MB_{i}$) come quelle rappresentate nell'Illustrazione 2.2 allora, se la spesa iniziale è pari a $G_{1}$, l'elettore 1 voterà contro un aumento della spesa, mentre 2 e 3 voteranno a favore determinando una maggioranza favorevole all'incremento di spesa per il bene pubblico.
Nell'Illustrazione 2.2, infatti, in corrispondenza della quantità $G_{1}$:
$MB_{1}(G_{1})=T,\quad MB_{2}(G_{1})>T,\quad MB_{3}(G_{1})>T$
Una tale situazione si verificherà per tutti in livelli di spesa inferiori a $G_{2}$ quando anche 2 voterà contro un ulteriore aumento. Infatti, in corrispondenza di $G_{2}$:
$MB_{1}(G_{2})T$
Dunque il livello di spesa $G_{2}$, ossia quello preferito dall'elettore mediano (l'elettore 2, nell'esempio), è quello di equilibrio se si impiega la regola della maggioranza semplice (Hillman, 2009:413-416).

### Elettore mediano e valutazione Costi - Benefici

L'elettore 2 dell'esempio di cui sopra, detto elettore mediano, è dunque strumentale alla determinazione di un equilibrio in caso di voto a maggioranza riguardo a scelte allocative. Il livello di spesa $G_{2}$, tuttavia, non riflette un consenso unanime di tutti gli elettori: è troppo elevato per il contribuente 1 ed insufficiente secondo il contribuente 3. Benefici e costi degli elettori 1 e 3 non si compensano ed entrambi subiscono delle "perdite" nette. Il cittadino 1 ha perdite per un valore in termini di utilità pari a ($0FH$$G_{2}$ - $0AJ$$G_{2}$), mentre 3 di un ammontare pari a $JSV$.
Nel chiederci se un progetto pubblico debba o meno essere finanziato dovremmo assicurarci che i suoi benefici siano maggiori dei suoi costi, che cioè $B$ – $C>0$. In questo caso e soltanto in questo, infatti, il progetto dovrebbe essere realizzato. Sfortunatamente il voto a maggioranza non garantisce questo risultato: un progetto pubblico votato dalla maggioranza non necessariamente è giustificabile socialmente attraverso un analisi Costi-Benefici (Illustrazione 2.3) e, d'altra parte, non per forza un progetto socialmente giustificabile sarà scelto dai contribuenti attraverso un voto a maggioranza (Illustrazione 2.4).
Ciò è da imputarsi a due caratteristiche del voto a maggioranza. In primo luogo, questo sistema di voto si basa su valutazioni personali di benessere, che non tengono conto dei costi e benefici altrui. Inoltre, il voto a maggioranza non incamera ed elabora informazioni riguardo al valore dei benefici e dei costi personali dei singoli. Possono dunque esistere situazioni nelle quali una mozione approvata dalla maggioranza porti benefici a coloro che hanno votato a favore minori dei costi spettanti a coloro che erano contrari, ovvero la situazione opposta. Differentemente dal voto a maggioranza, una valutazione della spesa pubblica basata su un criterio Costi-Benefici necessita di informazione riguardo all'entità di guadagni e perdite spettanti rispettivamente ai membri della maggioranza e della minoranza (Hillman, 2003:172-175).

### Elettore mediano ed efficienza paretiana

Considerando quanto appena visto possiamo dunque affermare che il voto a maggioranza porta a risultati non efficienti nel senso di Pareto con una certa probabilità. Non c'è infatti ragione di aspettarsi che le preferenze dell'elettore mediano siano efficienti per la società nel suo complesso. Il problema risiede nel fatto che l'elettore mediano sceglie considerando di dover pagare un prezzo pari a P/n (con n=numero di contribuenti). Se, infatti, l'elettore mediano fosse anche quello medio, allora la sua scelta sarebbe efficiente. Se, ad esempio, consideriamo una popolazione di n membri, il benefico marginale medio sarà:
$MB^{medio}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {MB_{i}}{n}}$.
Con un eguale divisione dei costi e P = MC per il bene pubblico, la quantità fornita preferita dall'elettore, che valuti il bene pubblico come la media della popolazione, è data da:
$MB^{medio}={\frac {P}{n}}={\frac {MC}{n}}$.
Se dunque l'elettore mediano risulta anche essere quello cui corrisponde il MB medio della popolazione, allora, poiché risulta
$nMB^{medio}=\sum _{i}MB_{i}=MC,$ la quantità di spesa pubblica scelta sarà anche efficiente dal punto di vista della collettività nel suo complesso (Hillman, 2009:419n5).
Dunque la possibilità che l'elettore mediano scelga una quantità socialmente efficiente del bene pubblico dipende dalla distribuzione dei MB nella popolazione, che è il risultato di differenti preferenze o differenti redditi percepiti.
Mentre, solitamente, come mostrato nell'Illustrazione 2.5 la distribuzione delle preferenze degli individui si distribuisce approssimando in distribuzione una Normale di media pari alla scelta preferita dall'elettore mediano ($\mu$=Me). In questo caso, scelte collettive prese a maggioranza portano ad un risultato ottimo nel senso di Pareto.
La distribuzione dei redditi in una popolazione tende invece, nella maggioranza dei casi, ad avere una distribuzione asimmetrica (Illustrazione 2.6), con Me <$\mu$. In questo caso l'elettore mediano sceglierà una quantità inferiore a quella che sarebbe stata efficiente per la società nel suo complesso e, dunque, il voto a maggioranza non garantisce il raggiungimento di un risultato che sia efficiente nel senso di Pareto. Un'asimmetria distributiva di tipo opposto (Me >$\mu$) può portare allo stesso modo ad un eccesso di spesa pubblica: si pensi al caso in cui i membri di una popolazione con reddito relativamente basso traggono maggiore benefico dal consumo di beni pubblici rispetto ai contribuenti con un reddito relativamente più elevato (Hillman, 2009:419-420).

### L'identità dell'elettore mediano

Fino ad ora abbiamo osservato figure nelle quali l'elettore 2 era ovunque mediano, ne senso che per ogni livello dei prezzi P del bene pubblico, la quantità di spesa mediano coincideva con quella desiderata da 2. Ciò accadeva perché le funzioni di beneficio marginale ($MB_{i}$) dei tre soggetti non si intersecavano mai. Quando invece le curve $MB_{i}$ si intersecano – e poiché le valutazioni degli elettori sono fra loro indipendenti non c'è ragione di aspettarsi che ciò non accada – allora l'identità dell'elettore mediano dipende dal livello dei prezzi del bene pubblico. Nell'Illustrazione 2.7, ad esempio, al livello dei prezzi $P_{1}$ l'elettore mediano è 2, mentre al livello $P_{2}$, l'elettore mediano risulta il contribuente 1. Questa caratteristica di "instabilità" dell'identità dell'elettore mediano impedisce che, non potendo essere mai sicuro di esserlo, l'elettore mediano divenga un "dittatore" pericoloso.
Un altro problema che complica l'individuazione del elettore mediano è il sistema di ripartizione dei costi dei beni pubblici. Fino ad ora abbiamo infatti preso in considerazione solo casi nei quali la tassazione fosse costante al crescere dalla quantità domandata (P/n). Se prendessimo in considerazione invece il caso di un'imposta progressiva (che aumenta cioè all'aumentare del MB) allora non sarà più il votante 2 ad essere quello mediano. Ad esempio nell'Illustrazione 2.8 l'elettore mediano risulta ora essere il contribuente 3. In tal caso la scelta dell'elettore mediano sarà solo fortuitamente efficiente nel senso di Pareto. Solamente nel caso in cui il "governo" sia capace di individuarlo ed assegnarli un imposta à la Lindahl, infatti, il risultato sarebbe quello socialmente efficiente. Ma, anche nel caso in cui il governo fosse in grado di individuare correttamente l'elettore mediano, quest'ultimo trarrebbe vantaggio a mascherare il reale beneficio derivantegli dal consumo del bene pubblico così da inficiare il tentativo del governo di applicargli un tale tipo di imposta (Hillman, 2009:417-418).

### Instabilità del voto maggioritario

Uno dei problemi del voto a maggioranza è che può fallire nel realizzare una decisione collettiva stabile a causa di cicli indefiniti fra le alternative. Questa prospettiva, se è certa in presenza di giochi a somma zero puramente redistributivi, può non realizzarsi, invece, nel caso di problemi allocativi: in quest'ultimo caso, infatti, sono valide le conclusioni del Teorema dell'elettore mediano dimostrato da Duncan Black.
Black (1948; 1958) dimostrò che solo quando le preferenze di tutti gli elettori, riguardo ad alternative ordinabili secondo un ordine progressivo crescente, sono unimodali (single-peaked) esiste un'alternativa vincitrice à la Condorcet. Quando anche solo uno dei contribuenti ha preferenze plurimodali potrà sorgere un ciclo per cui ogni alternativa potrà sconfiggerne un'altra: potrà, cioè, non esistere un vincitore/vincitrice à la Condorcet.
Se questo può spesso non rivelarsi un problema nel caso di decisioni riguardanti la spesa da destinare ad un bene pubblico, lo è invece quasi sicuramente nel caso di scelte riguardanti progetti pubblici alternativi, quando cioè i termini del quesito non sono strettamente ordinabili in senso crescente o decrescente di valore. Se infatti nel primo caso è raro, anche se non impossibile o illogico, trovare persone che preferiscono € 15 di un bene a € 5, ma € 5 a € 10 del medesimo bene, è invece del tutto ordinario pensare di poter preferire che si spenda di più in nuovi parchi naturali che in istruzione pubblica e preferire d'altronde che si spenda di più in istruzione pubblica che in difesa nazionale.
Le figure viste fino a questo punto sottendevano tutte l'ipotesi che le preferenze di tutti gli elettori fossero ad una punta: solo così si è potuto ignorare il problema di possibili cicli che impediscono il sorgere di un risultato stabile in corrispondenza della scelta preferita dell'elettore mediano.

### Elettore mediano su più dimensioni

Il Teorema dell'elettore mediano afferma che la regola di maggioranza conduce con certezza ad un equilibrio di Nash. Ciò è vero solo nel caso in cui ci limitiamo a questioni unidimensionali e se tutti gli elettori hanno preferenze ad una punta.
Se tutte le questioni fossero unidimensionali, preferenze a più punte potrebbero essere considerate piuttosto improbabili tanto da poter considerare i cicli un'eventualità di scarsa rilevanza. In un mondo multidimensionale tuttavia, preferenze a più punte sono piuttosto probabili.
Quali sono le condizioni per cui la regola di maggioranza conduce ad un equilibrio? Il punto m (Illustrazione 2.9) emerge come equilibrio perché gli altri elettori si bilanciano vicendevolmente (Teorema di Plott).
Se immaginiamo che i beni pubblici da fornire siano due, possiamo costruire uno spazio a tre dimensioni: quantità del bene pubblico X, quantità del bene pubblico Y e livello di utilità dei contribuenti. Il livello di benessere degli elettori sarà rappresentato da un grafico simile ad un dosso la cui cima corrisponde al paniere ($X_{i},Y_{j}$) preferito. L'utilità di tale elettore decrescerà al crescere della distanza dal punto preferito e potremo così definire delle curve di indifferenza come il luogo dei punti di uguale utilità per l'elettore. Queste curve, se proiettate sul piano XY, possono essere rappresentate da circonferenze concentriche di centro ($X_{i},Y_{j}$) (Illustrazione 2.10).
Prendiamo in considerazione un comitato di tre membri i cui punti ideali giacciono rispettivamente in A, B, C (Illustrazione 2.11), allora i segmenti (${\overline {AB}},{\overline {AC}},{\overline {BC}}$) sono le tre possibili curve dei contratti, ovvero i tre possibili insiemi Pareto-efficienti delle coalizioni di maggioranza che possono venirsi a creare. Poiché non c'è alcun punto in comune ai tre segmenti, non c'è alcun punto che sia Pareto-efficiente per ogni possibile coalizione di maggioranza.
Ogni punto appartenente ad una curva dei contratti può sconfiggere un punto che non vi appartiene dal momento che vi sarà una qualche maggioranza che preferisce il primo al secondo.
Questo stretto legame esistente fra punti Pareto-efficienti e punti di equilibrio con la regola di maggioranza porta allora alla conclusione che non esiste un punto di equilibrio con la regola di maggioranza in un caso come quello nell'Illustrazione 2.11.
Se prendiamo in considerazione alcuni casi particolari, la regola di maggioranza può tornare a produrre un equilibrio stabile anche in comitati di più di due membri. Ad esempio, nel caso in Illustrazione 2.12, essendo verificate le condizioni necessarie al verificarsi del Teorema dell'elettore mediano, l'equilibrio torna a corrispondere al punto preferito da tale votante (E). In questo particolare caso, infatti, gli insiemi di Pareto ${\overline {AE}},{\overline {EB}},{\overline {AB}}$ hanno un punto comune proprio in E. Impiegando il Teorema di Plott potremmo altrimenti dire che gli interessi degli elettori A e B sono, infatti, diametralmente opposti rispetto al punto E. Ovvero ancora potremmo osservare che, in questo caso il problema multidimensionale ($X_{i},Y_{j}$) si riduce ad uno unidimensionale ($X_{ij}$).
Anche nel caso di cinque elettori come nell'Illustrazione 2.13 il Teorema dell'elettore mediano è verificato in un senso più generale. In questo caso gli insiemi efficienti nel senso di Pareto sono
$A{\hat {E}}F,A{\hat {E}}G,G{\hat {E}}B,B{\hat {E}}F,{\overline {AEB}},{\overline {GEF}}$
che hanno come unico punto in comune il punto E. Sempre servendoci del Teorema di Plott possiamo semplicemente notare che i punti A, B e G, F rispettivamente si bilanciano. In questo caso si dice che E è un punto mediano "in tutte le direzioni" (Hillman, 2009:447-450; Mueller, 2003:87-92).

#### Note

* ↑ Affinché un bene pubblico venga fornito in una quantità che risulti efficiente nel senso di Pareto, la condizione di Samuelson (Samuelson, 1954) afferma che la somma dei saggi marginali di sostituzione individuali ($MRS_{i}$) deve essere uguale al saggio marginale di trasformazione ($MRT$). $\sum _{i}{\frac {\delta U_{i}/\delta G}{\delta U_{i}/\delta X_{i}}}$ In equilibrio, la sostituzione di un'unità del bene pubblico con una di quello privato comporterebbe una riduzione di utilità sociale e, dunque, una riduzione di utilità per almeno un individuo. Poiché in tal caso verrebbe meno la condizione di efficienza-Paretiana, allora la condizione di Samuelson individua un punto che è efficiente nel senso di Pareto ed è l'unica a farlo. Un bene pubblico puro, o bene pubblico nel senso di Samuelson, è dunque un bene il cui consumo da parte di un individuo non comporta una riduzione nel suo consumo per qualunque altro individuo. Ovvero, come abbiamo detto sopra, è un bene che deve essere consumato in eguale quantità da parte di tutti i membri della comunità (Mueller, 2003:10).
* ↑ Le persone con redditi più elevati potrebbero infatti desiderare quantità di beni pubblici maggiori, se il bene pubblico è un bene normale.
* ↑ La sottostima in questo caso è causata dal fatto che il reddito mediano è inferiore a quello medio e non, come nel caso dei beni pubblici a contribuzione volontaria (v. Mueller, 2003:9-25), da un comportamento di tipo free-riding da parte dei contribuenti.
* ↑ Spesso si parla, infatti, di dittatura dell'elettore mediano come risultato del voto a maggioranza, ma la dittatura dell'elettore mediano è una dittatura innocua se confrontata con le altre proprio perché spesso l'elettore mediano non sa di esserlo (Hillman, 2009:418).
* ↑ Questo metodo, proposto da Erik Lindahl nel 1919 (Lindahl, 1958), prevede di costruire la domanda aggregata di un bene pubblico puro sommando le disponibilità a pagare dei singoli individui e di assegnare un prezzo individuale sostituendo la quantità efficiente nelle singole domande inverse.
* ↑ Ciò non significa che non esisterà certamente, ma che potrà non esistere. Solo nel caso di preferenze ad una punta la relazione è biunivoca.
* ↑ Un particolare caso in cui il ragionamento contrario appare, a ragione, logico può essere quello di un genitore che, di fronte alla scelta dell'ammontare di un imposta che vada a finanziare i costi dell'istruzione del proprio figlio, preferisca spendere € 15 per una buona istruzione presso una scuola pubblica che € 5 per un istruzione decisamente scadente. Se però lo stesso genitore fosse messo di fronte alla scelta di spendere € 10 per un livello di istruzione intermedio o € 5 per un livello scadente, allora questi potrebbe propendere per la seconda possibilità nell'ottica di iscrivere poi figlio ad una scuola privata ad un costo aggiuntivo.
* ↑ Preferenze a più punte sono per la verità da attendersi anche in presenza di problemi ad una dimensione, se introduciamo fattori redistributivi. Come dimostrato da Poole e Rosenthal (1997), è comunque possibile che problemi multidimensionali si riducano ad un unico problema giacente su una sola dimensione che sintetizzi tutte le altre. Un esempio in tal senso può essere l'asse destra - sinistra utilizzato nei sistemi democratici per descrivere la posizione ideologica dei partiti e sintetizzare la piattaforma delle loro proposte politiche.
* ↑ Un equilibrio emerge, in una popolazione di n individui, con n dispari, con la regola di maggioranza quando corrisponde al punto preferito da un individuo, ed uno solo, mentre tutti gli altri sono suddivisibili in coppie per cui all'interno delle singole coppie ogni volta che una questione avvantaggia uno dei membri deve necessariamente portare uno svantaggio all'altro (Plott, 1967).
* ↑ Nell'originale al posto dei cappelli sono riportati dei triangoli. In ogni caso stanno a significare che le tre lettere contraddistinguono i vertici di un triangolo (n.d.a.).