# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 121

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_19/Paragrafo_121&oldid=- 20230105203651 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_19/Paragrafo_121&oldid=- 20230105203651
§ 121. — Area di una superficie sghemba ed integrali estesi ad una superficie sghema.
$\alpha$) Affatto analogo è lo studio dell'area di una superficie $R$ sghemba. Se tale superficie $R$ è in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione $I$ sul piano $xy$, ed è quindi rappresentabile con un'equazione $z=f(x,y)$, l'area $\mathrm {s}$ di quel suo pezzo $\mathrm {s}$, che si proietta in un pezzo $\sigma$ di $\mathrm {I}$ si definirà nel modo più semplice come quella funzione additiva di $\sigma$, la cui derivata in un punto $\mathrm {A}$ di $\mathrm {I}$ è identica a quella che si otterrebbe sostituendo ala $\mathrm {R}$ il suo piano tangente nel punto che si proietta in $\mathrm {A}$. Tale derivata (che supporremo finita e continua) vale dunque ${\frac {1}{{\text{cos}}\,\alpha }}$, se $\alpha$ è l'angolo del primo quadrante che tale piano tangente forma col piano $xy$, cioè l'angolo $nz$ del primo quadrante che la normale ad $R$ nel punto considerato forma con [p. 404 l'asse delle $z$. Poichè con le notazioni del § 119 si ha ${\text{cos}}\,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$, l'area $s$ del pezzo $s$ di $R$ sarà:
$\int {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}d\sigma$
esteso alla proiezione di $\sigma$ di $s$ sul piano $xy$.
Si noti che ciò equivale appunto alla
${\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {1}{{\text{cos}}\,\alpha }}={\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}$.
Ed è facile verificare direttamente che tale integrale ha un significato indipendente dalla posizione degli assi coordinati, ed estendere tale formola a superfici composte di un numero finito di pezzi, ciascuno dei quali sia in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione su un qualche piano, p. es., su uno dei tre piani coordinati.
Noi, anzichè occuparci di tali questioni, vogliamo aggiungere una sola importante osservazione.
$\beta$) Sia $S$ una funzione additiva dei pezzi $s$ di una tale superficie $R$. Se, com'è la convenzione più spontanea, adottiamo come misura $s$ di un pezzo $s$ l'area testè definita, la derivata $F$ di $S$ sarà ${\frac {dS}{ds}}$. Se consideriamo il valore di $S$ corrispondente a un pezzo $s$ di $R$ come funzione della proiezione $\sigma$ di $s$ suk piano $xy$, pssia, se adottiamo come misura di $s$ l'area $\sigma$ di tale proiezione, la derivata di $S$ sarà
${\frac {dS}{d\sigma }}={\frac {dS}{ds}}{\frac {ds}{d\sigma }}=={\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}F$.
Cosicchè:
$S=\int {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}F\,d\,\sigma =\int dx\int {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}Fdy$.
$S$
Esempio.
Sia $R$ una superficie, parte della parete di un recipiente pieno d'acqua (un bacino di carenaggio, p. es.). A pag. 332, es. 3°, abbiamo studiato il caso che $R$ fosse piano e verticale; qui studiamo il caso generale. Ricordando che la pressione subita da $R$, se $R$ fosse un piano comunque inclinato, sarebbe normale ad $R$ e avrebbe per intensità il peso della colonna liquida che gravita su $R$, si induce la seguente proposizione generale.
Se l'asse delle $z$ è verticale, e la $z$ rappresenta proprio la distanza di un punto del recipiente dal pelo libero del liquido, le componenti secondo l'asse delle $x$ o delle $y$ o delle $z$ della pressione subìta da una pezzo $s$ di $R$ sono funzioni additive di $s$, la cui derivata vale rispettivamente $z\,{\text{cos}}\,(nx)$ o $z\,{\text{cos}}\,(ny)$, o $z\,{\text{cos}}\,(nz)$.
Se $R$ è in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione sul piano $xy$, tali componenti valgono dunque
$\int \,z\,{\text{cos}}\,(nx){\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}d\,\sigma =\iint \,zp\,dz\,dy$,
oppure $\iint \,zq\,dx\,dy$, oppure $\iint \,z\,dx\,dy$.
la componente $\iint \,z\ dx\,dy$ verticale della pressione è evidentemente il volume del cilindroide generato dai segmenti proiettanti i punti di $R$ sul piano $xy$ (pelo libero del liquido).