# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/12.2.3

../12.2.2 ../12.2.4 IncludiIntestazione 2 settembre 2022 100% Da definire
Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/12.2.3&oldid=- 20220902081405 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/12.2.3&oldid=- 20220902081405
[p. 210
12.2.3 Test di omogeneità per dati raggruppati
Supponiamo di avere a disposizione $Q$ campioni di dati, indipendenti l’uno dall’altro e composti da $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{Q}$ elementi rispettivamente; e, all’interno di ognuno di tali campioni, i dati siano suddivisi nei medesimi $P$ gruppi: indichiamo infine col simbolo $\nu _{ij}$ il numero di dati appartenenti al gruppo $i$-esimo all’interno del campione $j$-esimo.
Per fare un esempio, i campioni si potrebbero riferire alle regioni italiane e i gruppi al livello di istruzione (licenza elementare, media, superiore, laurea): così che i $\nu _{ij}$ rappresentino il numero di persone, per ogni livello di istruzione, residenti in ogni data regione; oppure (e questo è un caso che si presenta frequentemente nelle analisi fisiche) si abbiano vari istogrammi all’interno di ognuno dei quali i dati siano stati raggruppati secondo le medesime classi di frequenza: allora i $\nu _{ij}$ saranno il numero di osservazioni che cadono in una determinata classe in ogni istogramma.
Il problema che ci poniamo è quello di verificare l’ipotesi che tutti i campioni provengano dalla stessa popolazione e siano perciò compatibili tra loro (test di omogeneità). Indichiamo con il simbolo $N$ il numero totale di dati a disposizione; e con $m_{i}$ (con $i=1,\ldots ,P$) il numero totale di dati che cadono nell’$i$-esimo gruppo in tutti i campioni a disposizione.
Tabella 12.1 - Un esempio delle cosiddette tabelle delle contingenze.
| | Campioni | Campioni | Campioni | Campioni | Campioni | |
| Gruppi | $\nu _{11}$ | $\nu _{12}$ | $\nu _{13}$ | $\ldots$ | $\nu _{1Q}$ | $m_{1}$ |
| Gruppi | $\nu _{21}$ | $\nu _{22}$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\nu _{2Q}$ | $m_{2}$ |
| Gruppi | $\nu _{31}$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $m_{3}$ |
| Gruppi | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| Gruppi | $\nu _{P1}$ | $\nu _{P2}$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\nu _{PQ}$ | $m_{P}$ |
| | $n_{1}$ | $n_{2}$ | $n_{3}$ | $\ldots$ | $n_{Q}$ | $N$ |
È consuetudine che dati di questo genere siano rappresentati in una tabella del tipo della 12.1, che si chiama tabella delle contingenze; e risulta [p. 211 ovviamente
| $n_{j}=\sum _{i=1}^{P}\nu _{ij}$ | $(j=1,2,\ldots ,Q)$; |
| $m_{i}=\sum _{j=1}^{Q}\nu _{ij}$ | $(i=1,2,\ldots ,P)$; |
| $N=\sum _{j=1}^{Q}n_{j}=\sum _{i=1}^{P}m_{i}=\sum _{i,j}\nu _{ij}$. |
Vogliamo ora dimostrare che la variabile casuale
è distribuita come il $\chi ^{2}$ a $(P-1)(Q-1)$ gradi di libertà: a questo scopo supponiamo innanzi tutto sia valida l’ipotesi che i dati provengano tutti dalla medesima popolazione, ed indichiamo con i simboli $p_{i}$ e $q_{j}$ le probabilità che un componente di tale popolazione scelto a caso cada rispettivamente nel gruppo $i$-esimo o nel campione $j$-esimo; e sappiamo inoltre che (ammessa però vera l’ipotesi che tutti i campioni provengano dalla stessa distribuzione) questi due eventi sono statisticamente indipendenti: per cui ognuno dei dati ha probabilità complessiva $p_{i}q_{j}$ di cadere in una delle caselle della tabella delle contingenze.
Possiamo stimare i $P$ valori $p_{i}$ a partire dai dati sperimentali: si tratta in realtà solo di $P-1$ stime indipendenti, perché, una volta ricavate le prime $P-1$ probabilità, l’ultima di esse risulterà univocamente determinata dalla condizione che la somma complessiva valga 1. Analogamente possiamo anche stimare i $Q$ valori $q_{j}$ dai dati sperimentali, e si tratterà in questo caso di effettuare $Q-1$ stime indipendenti.
Le stime di cui abbiamo parlato sono ovviamente
e, applicando le conclusioni del paragrafo precedente (l’equazione (12.9)), la [p. 212 variabile
* $=\sum _{i,j}{\frac {\left(\nu _{ij}-Np_{i}q_{j}\right)^{2}}{Np_{i}q_{j}}}$
* $=\sum _{i,j}\left[{\frac {\left(\nu _{ij}\right)^{2}}{Np_{i}q_{j}}}-2\nu _{ij}+Np_{i}q_{j}\right]$
* $=\sum _{i,j}{\frac {\left(\nu _{ij}\right)^{2}}{Np_{i}q_{j}}}-2N+N$
* $=\sum _{i,j}{\frac {\left(\nu _{ij}\right)^{2}}{Np_{i}q_{j}}}-N$
deve essere distribuita come il $\chi ^{2}$.
Sostituendo in quest’ultima espressione i valori (12.15) per $p_{i}$ e $q_{j}$, essa si riduce alla (12.14); il numero di gradi di libertà è pari al numero di contributi sperimentali indipendenti, $PQ-1$ (c’è il vincolo che la somma totale sia $N$), diminuito del numero $(P-1)+(Q-1)$ di parametri stimato sulla base dei dati: ovverosia proprio $(P-1)(Q-1)$ come anticipato.