# Sulle serie a termini positivi

1867 Indice:Sulle serie a termini positivi.djvu Matematica Sulle serie a termini positivi Intestazione 19 aprile 2022 100% Da definire
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[13a), 13b)] SULLE SERIE A TERMINI POSITIVI
[Annali delle Università Toscane, IX (1867), p. 41-76 e Nota p. 77-70]
Le serie a termini positivi sono quelle di cui a preferenza si sono occupati i Geometri, e su esse si sono trovati molti importanti teoremi, fra i quali meritano di essere citati quelli che il sig. Kummer ha pubblicato in una memoria inserita nel Vol. 13 del Giornale di Crelle, e che servono in molti casi per giudicare della convergenza o divergenza delle medesime serie. Modificando un poco questi teoremi io ho trovato che da essi si deducono colla massima facilità una gran parte dei teoremi particolari che si hanno sulle medesime serie, e se ne deducono pure alcun altri, e per questo ho creduto bene di pubblicare qui questa Nota.
1. Sia $\sum u_{n}$ una serie a termini positivi
$u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots$
e sia $k_{n}$ una funzione positiva di $n$ che a partire da un certo valore di $n$, col crescere di $n$ decresce continuamente ed ha per limite zero: s'indichi con a una costante arbitraria positiva, e si formi la funzione
$F(n)={\frac {k_{n}}{a}}-{\frac {k_{n+1}}{a}}-u_{n+1}$
Cangiando in questa $n$ in $n+1,n+2,\ldots ,n+s$, e sommando si otterrà
$F(n)+F(n+1)+...+F(n+s)={\frac {k_{n}}{a}}-{\frac {k_{n+s+1}}{a}}-$
$-(u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots +u_{n+s+1});$
e passando al limite, per $s$ ed $n$ infiniti, ed indicando ora e in seguito con $R_{n}$ il resto $u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots$ della serie $\sum u_{n}$, si troverà
$\lim\{F(n)+F(n+1)+\cdots \}=-\lim R_{n}$;
$F(n)$
$R_{n}$
$\lim\{F(n)+F(n+1)+\cdots \}=0,\quad \lim R_{n}=0$,
e la serie $\sum u_{n}$ sarà convergente.
Ora, evidentemente $F(n)$, col crescere di $n$, si manterrà sempre positiva quando a partire da un certo valore di $n$ sino all'infinito si avrà
${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}>a$,
ovvero
${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}>0$,
poichè $a$ è arbitraria; dunque se ne può intanto concludere che la serie $\sum u_{n}$ sarà convergente tutte le volte che l'espressione
${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}$,
per $n=\infty$, avrà un limite differente da zero.
Se questa espressione tenderà verso lo zero, la serie $\sum u_{n}$ potrà essere divergente, anzi la divergenza non potrà avvenire che in questo caso, poiché $k_{n}$ è per ipotesi decrescente, e quindi l'espressione ${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}$ non può mai essere negativa. Per avere un criterio anche in questo caso si ponga
$h_{n}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}$,
$h_{n}$ tenderà a zero, mantenendosi sempre positiva. Si moltiplichi ora tutto per $u_{n+1}$ e si cangi $n$ in $n+1,n+2,\ldots$ e si sommi; si troverà
$h_{n}u_{n+1}+h_{n+1}u_{n+2}+\cdots =k_{n}$,
ovvero
${\frac {k_{n}}{h_{n}}}=u_{n+1}+{\frac {h_{n+1}}{h_{n}}}u_{n+2}+{\frac {h_{n+2}}{h_{n}}}u_{n+3}+\cdots$
Ora, siccome $h_{n}$ tende a zero col crescere di $n$, così i rapporti [p. 31 ${\frac {h_{n+1}}{h_{n}}},{\frac {h_{n+2}}{h_{n}}},\ldots$ in generale saranno finiti e inoltre saranno minori dell'unità; e quindi indicando con $\alpha$ una quantità finita maggiore di tutti questi rapporti, si avrà
${\frac {k_{n}}{h_{n}}}<\alpha R_{n},$
e se ne concluderà che la serie $\sum u_{n}$ sarà divergente se $\lim {\frac {k_{n}}{h_{n}}}$ è differente da zero.
Per questo e per ciò che precede noi possiamo dunque ora enunciare il seguente teorema.
Essendo $k_{n}$ una funzione di $n$ che col crescere di $n$ decresce continuamente ed ha per limite zero, la serie a termini positivi $\sum u_{n}$ sarà convergente se l'espressione
$h_{n}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}},$
per $n=\infty$, ha un limite differente da zero; e sarà divergente se l'espressione
$m_{n}={\frac {k_{n}}{h_{n}}}$
ha un limite differente da zero.
2. Questo criterio lascia il dubbio quando $h_{n}$ ed $m_{n}$ tendono entrambe a zero. È facile però di vedere che per ogni serie $\sum u_{n}$ esistono infinite funzioni $k_{n}$ tali che il criterio riesce decisivo.
Supponiamo infatti dapprima che $\sum u_{n}$ sia convergente; si avrà subito una funzione conveniente $k_{n}$ prendendo $k_{n}=R_{n}$, giacchè, così facendo, si ottiene
$\lim h_{n}=1,\quad \lim m_{n}=0$.
Se poi $\sum u_{n}$ è divergente, si avrà una funzione conveniente $k_{n}$, prendendo
$k_{n}={\frac {1}{S_{n}}},$
$S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n},$
giacchè si troverà allora
$h_{n}={\frac {1}{S_{n}S_{n+1}}},\quad \lim h_{n}=0,$
$m_{n}={\frac {k_{n}}{h_{n}}}=S_{n+1},\quad \lim m_{n}=\infty .$
Di qui risulta intanto che per ogni serie $\sum u_{n}$ esiste una funzione $k_{n}$ per la quale il criterio riesce decisivo. È facile ora di vedere che di tali funzioni ne esiste sempre un numero infinito.
Infatti se $k_{n}$ è una tale funzione, indicando con $p_{n}$ un’altra funzione tale che $\lim k_{n}p_{n}=0$, e prendendo $k_{n}p_{n}$ in luogo della $k_{n}$, si troverà
${\begin{aligned}h'_{n}&={\frac {p_{n}k_{n}-p_{n+1}k_{n+1}}{u_{n+1}}}=p_{n}{\frac {k_{n}-{\dfrac {p_{n+1}}{p_{n}}}k_{n+1}}{u_{n+1}}},\\\\m'_{n}&={\frac {u_{n+1}k_{n}}{k_{n}-{\dfrac {p_{n+1}}{p_{n}}}k_{n+1}}};\end{aligned}}$
e se $\sum u_{n}$ è convergente e si ha $\lim h_{n}>0$, basterà prendere $p_{n}$ decrescente ma che non tenda a zero perchè si abbia ancora $\lim h'_{n}>0$; e se $\sum u_{n}$ è divergente, e si ha $\lim m_{n}>0$, basterà prendere $p_{n}$ crescente perchè si abbia ancora $\lim m'_{n}>0$.
Queste proprietà erano state notate anche dal sig. Kummer. Egli soltanto, invece di introdurre la funzione $k_{n}$ che tenda a zero, introduceva una funzione $\varphi (n)$ tale che $\lim \varphi (n)u_{n}=0$, e quindi i suoi teoremi risultano da questi, facendovi
$k_{n}=\varphi (n)u_{n}.$
Per ora, giova più lasciarli sotto la forma che loro abbiamo dato.
3. Andiamo adesso si vedere come il teorema del numero 1 conduca subito ad altri sulle serie.
Incominciamo intanto dal mostrare con esso il teorema noto che: la serie $\sum (-1)^{n}u_{n}$ i cui termini sono alternativamente positivi [p. 33 e negativi, e sono continuamente e indefinitamente decrescenti è sempre convergente.
Osserviamo perciò che questa serie può scriversi $\sum (u_{2n}-u_{2n+1})$, e così ha i termini positivi. Se ora si prende $k_{n}=u_{2n}$, si trova subito
$h_{n}={\frac {u_{2n}-u_{2n+2}}{u_{2n}-2_{2n+1}}}=1+{\frac {u_{2n+1}-u_{2n+2}}{u_{2n}-u_{2n+1}}}>1$
e quindi la serie è convergente.
4. Dimostriamo adesso il teorema seguente:
Se $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots$ sono quantità positive che decrescono continuamente e indefinitamente la serie
| $\sum {\frac {u_{n}-u_{n+1}}{u_{n}}}={\frac {u_{1}-u_{2}}{u_{1}}}+{\frac {u_{2}-u_{3}}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {u_{n}-u_{n+1}}{u_{n}}}+\cdots$ | (1) |
Si prenda infatti $k_{n}=u_{n+1}$; si troverà
$h_{n}=u_{n+1},\quad m_{n}=1$,
e quindi la serie sarà divergente.
Es. Si prenda $u_{n}={\frac {1}{n}}$, la serie (1) diviene la $\sum {\frac {1}{n}}$; e questa è divergente.
Si prenda ancora $u_{n}=\mathrm {sen} {\frac {x}{n}}$; la (1) diverrà
$2\sum {\frac {\cos \left\{{\dfrac {x}{2}}{\dfrac {2n+1}{n(n+1)}}\right\}\mathrm {sen} {\dfrac {x}{2n(n+1)}}}{\mathrm {sen} {\dfrac {x}{n}}}},$
e se ne concluderà che questa serie è divergente.
5. Se la serie $\sum u_{n}$ è convergente, la serie $\sum v_{n}=\sum {\frac {u_{n}}{R_{n}}}$ sarà divergente. [p. 34
Si prenda infatti $k_{n}=R_{n}$, ciò che può farsi poichè $\sum u_{n}$ è convergente, si avrà
$h_{n}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{v_{n+1}}}=R_{n+1}$
$m_{n}={\frac {R_{n}}{R_{n+1}}}=1+{\frac {u_{n+1}}{R_{n+1}}}$
e quindi $\sum {\frac {u_{n}}{R_{n}}}$ sarà divergente.
6. Servendosi del teorema del numero 1 è facile anche di dimostrare il seguente: Se $\sum u_{n}$ è una serie divergente i cui termini non crescono indefinitamente, la serie $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}^{\mu }}}$ sarà convergente se $\mu >1$ e divergente se $\mu \leq 1$.
Prendiamo infatti $k_{n}={\frac {1}{S_{n}^{\mu '}}}$, ove $\mu '$ è una quantità positiva e
$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n};$
per la serie $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}^{\mu }}}$ si avrà
$h_{n}={\frac {(S_{n+1}^{\mu '}-S_{n}^{\mu '})S_{n+1}^{\mu }}{S_{n}^{\mu '}S_{n+1}^{\mu '}u_{n+1}}}$
ovvero
$h_{n}={\frac {\left(1+{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}\right)^{\mu '}-1}{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}}{\dfrac {S_{n+1}^{\mu -\mu '}}{S_{n}}}={\frac {\left(1+{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}\right)^{\mu '}-1}{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}}\left(1+{\frac {u_{n+1}}{S_{n}}}\right)S_{n+1}^{\mu -\mu '-1}.$
Ma $\lim {\frac {u_{n+1}}{S_{n}}}=0$; quindi per una formola nota, si avrà qualunque sia $\mu '$
$\lim {\frac {\left(1+{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}\right)^{\mu '}-1}{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}}=\mu ';$
$\lim h_{n}=\mu '\lim S_{n+1}^{\mu -\mu '-1}.$
Ora se $\mu$ è maggiore di uno, si potrà prendere $\mu '\leq \mu -1$, e si avrà allora $\lim h_{n}>0$; e quindi la serie $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}^{\mu }}}$ sarà convergente.
Se poi si ha $\mu =1$, allora, prendendo $\mu '=1$, si troverà
$h_{n}={\frac {1}{S_{n}}},\quad m=n=1,$
e quindi $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}}}$, e a fortiori $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}^{\mu }}}$ per $\mu <1$, sarà divergente.
Il teorema dunque è dimostrato.
7. Per il teorema precedente se si pone
$S_{n}'={\frac {u_{1}}{S_{1}}}+{\frac {u_{2}}{S_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}}{S_{n}}},$
$S_{n}''={\frac {u_{1}}{S_{1}S'_{1}}}+{\frac {u_{2}}{S_{2}S'_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}}{S_{n}S'_{n}}},$
$\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}^{1+\mu }}},\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}(S'_{n})^{1+\mu }}},\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}S'_{n}(S''_{n})^{1+\mu }}},\ldots ,\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}S'_{n}S''_{n}\cdots S_{n}^{p-1}(S_{n}^{p})^{1+\mu }}},\ldots$
sono convergenti se $\mu$ è positivo, e divergenti se $\mu$ è negativo o nullo; e da questo risulta che il prodotto $S_{n}'S_{n}''\cdots S_{n}^{p}$, quantunque composto di fattori che crescono indefinitamente con $n$, pure, rispetto ad $S_{n}$ o ad $n$, non diviene infinito che di un ordine minore di qualunque quantità finita, per quanto grande sia il numero finito $p$ dei suoi fattori.
8. Indichiamo con la caratteristica $\mathrm {Log}$ i logaritmi in un sistema la cui base $a$ è maggiore dell’unità, e con $\mathrm {Log} ^{r}\alpha$ l’espressione
$\mathrm {Log} ~\mathrm {Log} \cdots \mathrm {Log} ~\mathrm {Log} ~\alpha ,$
$\mathrm {Log} ^{0}\alpha =\alpha$
$\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}~\mathrm {Log} ~S_{n}~\mathrm {Log} ^{2}S_{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}S_{n}(\mathrm {Log} ^{p}S_{n})^{1+\mu }}},$
ove $p$ è un numero qualunque finito, è convergente se $\mu$ è una quantità positiva e divergente se $\mu$ è negativa o nulla.
Per questo si osservi prima di tutto che indicando con $\log$ i logaritmi neperiani, e con $M$ il modulo dei Logaritmi a base $a$, cioè ponendo
$M={\frac {\mathrm {Log} ~\alpha }{\log \alpha }}$
si ha
${\begin{aligned}\mathrm {Log} ~\alpha &=M\log \alpha ,\\\\\mathrm {Log} ^{2}\alpha &=M\log ^{2}\alpha +\mathrm {Log} ~M=\log ^{2}\alpha \left(M+{\frac {\mathrm {Log} ~M}{\log ^{2}\alpha }}\right)=M_{1}\log ^{2}\alpha ,\\\\\mathrm {Log} ^{3}\alpha &=M\log ^{3}\alpha +\mathrm {Log} ~M_{1}=\log ^{3}\alpha \left(M+{\frac {\mathrm {Log} ~M_{1}}{\log ^{3}\alpha }}\right)=M_{2}\log ^{3}\alpha ,\\&.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;\\\\\mathrm {Log} ^{r}\alpha &=M\log ^{r}\alpha +\mathrm {Log} ~M_{r-2}=\log ^{r}\alpha \left(M+{\frac {\mathrm {Log} ~M_{r-2}}{\log ^{r}\alpha }}\right)=M_{r-1}\log ^{r}\alpha ,\end{aligned}}$
e quindi
$\mathrm {Log} ~\alpha ~\mathrm {Log} ^{2}\alpha \cdots \mathrm {Log} ^{r-1}\alpha (\mathrm {Log} ^{r}\alpha )^{1+\mu }=$
$=MM_{1}M_{2}\cdots M_{r-2}(M_{r-1})^{1+\mu }\log \alpha \log ^{2}\alpha \cdots \log ^{r-1}\alpha (\log ^{r}\alpha )^{1+\mu }.$
Se ora si sostituisce in questa $S_{n}$ in luogo di $\alpha$, evidentemente il prodotto $MM_{1}M_{2}\cdots M_{r-2}(M_{r-1})^{1+\mu }$ sarà una quantità finita e differente da zero, e che, almeno a partire da un certo valore di $n$, sarà positiva; quindi le condizioni di convergenza o divergenza della serie (3) saranno le stesse di quelle della serie
$\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}\log S_{n}\log ^{2}S_{n}\cdots \log ^{r-1}S_{n}(\log ^{r}S_{n})^{1+\mu }}},$
Ora per studiare questa si osservi che, essendo $z$ una quantità positiva, minore di 1, si ha
$\log \left({\frac {1}{1-z}}\right)>z>\log(1+z)$,
e quindi, prendendo $z={\frac {u_{n}}{S_{n}}}$, si avrà
$\log S_{n}-\log S_{n-1}>{\frac {u_{n}}{S_{n}}}>\log(S_{n}+u_{n})-\log S_{n}$
e poichè i termini di $\sum u_{n}$ non sono crescenti, evidentemente in $\log(S_{n}+u_{n})$ ad $u_{n}$ potremo sostituire $u_{n+1}$, e così si troverà
$\log S_{n}-\log S_{n-1}>{\frac {u_{n}}{S_{n}}}>\log S_{n+1}-\log S_{n}$
Facciamo ora in questa $n=2,3,\ldots ,n$ e supponiamo per comodo $u_{1}=1$; allora, sommando le diseguaglianze che ne risultano e l’altra
$1={\frac {u_{1}}{S_{1}}}>\log S_{2}$,
si troverà
$\log S_{n}+1>S'_{n}>\log S_{n+1}$;
e quindi poichè si ha
$\log S_{n}+1=\log S_{n}+\log e=\log eS_{n},\quad S_{n+1}>S_{n}$,
ove $e$ indica la base dei logaritmi neperiani, se ne dedurrà l’altra
| (a) | $\log eS_{n}>S'_{n}>\log S_{n}$; |
Infatti, pel caso di $\mu$ negativa o nulla, si osserverà che da questa si hanno le seguenti
${\begin{aligned}S'_{n}&>\log S_{n},\\S''_{n}&>\log S'_{n}>\log ^{2}S_{n},\\S'''_{n}&>\log S''_{n}>\log ^{3}S_{n},\\&.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;\\S_{n}^{p}&>\log S_{n}^{p-1}>\log ^{p}S_{n};\end{aligned}}$
$\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}\log S_{n}\log ^{2}S_{n}\cdots \log ^{p-1}S_{n}(\log ^{p}S_{n})^{1+\mu }}},$
è divergente se $\mu$ è negativa o nulla.
Pel caso poi di $\mu$ positiva, si osserverà che dalla stessa relazione (a) si hanno le seguenti
${\begin{aligned}S_{n}'&<\log eS_{n}0$
$\mu \leq 0$
$\sum u_{n}$
$\lim\{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}\}=0,$
qualunque sia $p$. [p. 42
Da questo evidentemente risulta subito la parte del teorema relativa alla divergenza di $\sum u_{n}$, giacchè se $\lambda _{p}$ per es. avrà un limite negativo, o sarà sempre negativo fuori del limite, ciò vorrà dire che a partire da un certo valore di $n$ fino all’infinito la quantità sotto il logaritmo del numeratore di $\lambda _{p}$ sarà minore dell’unità, e quindi l’espressione
$u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}$
$\sum u_{n}$
Resta a dimostrarsi la parte del teorema relativa alla convergenza di $\sum u_{n}$.
Per dimostrarla intanto per $\lambda _{0}$ osserviamo dapprima che se $\lambda _{0}$ è sempre positiva e non tende a zero indicando con $\mu$ una quantità positiva e sufficientemente piccola, a partire da un certo valore di $n$ si avrà
$\mathrm {Log} \left\{{\frac {1}{u_{n}\varphi (n)}}\right\}>\mu \sigma _{n}.$
Ma per $n$ sufficientemente grande si ha
${\frac {\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}>1+{\frac {1}{\mu }}\quad$ ovvero $\quad \sigma _{n}>\left(1+{\frac {1}{\mu }}\right)\mathrm {Log} ~\sigma _{n}$
giacchè il rapporto ${\frac {\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}$ cresce indefinitamente con $n$; dunque sarà
$\mathrm {Log} \left\{{\frac {1}{u_{n}\varphi (n)}}\right\}>(1+\mu )\mathrm {Log} ~\sigma _{n},$
$\mathrm {Log} \left\{{\frac {1}{\varphi (n)u_{n}}}\right\}>\mathrm {Log} ~\sigma _{n}^{1+\mu };$
da cui
${\frac {1}{\varphi (n)u_{n}}}>\sigma _{n}^{1+\mu };$
o anche
$u_{n}<{\frac {1}{\varphi (n)\sigma _{n}^{1+\mu }}};$
e quindi, poichè la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\sigma _{n}^{1+\mu }}}$ è convergente, anche $\sum u_{n}$ sarà convergente.
Per dimostrare il teorema per una $\lambda$ qualunque, osserveremo che se $\lambda _{p}$ è positivo e non tende a zero indicando con $\mu$ una quantità positiva sufficientemente piccola a partire da un certo valore di $n$ sino all’infinito, si avrà
$\mathrm {Log} \left\{{\frac {1}{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}}}\right\}>\mu \mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n},$
ovvero
$\mathrm {Log} \left\{{\frac {1}{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}}}\right\}>\mathrm {Log} \{\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}\}^{\mu },$
e quindi
${\frac {1}{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}}}>(\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n})^{\mu };$
da cui
$u_{n}<{\frac {1}{\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-2}\sigma _{n}(\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n})^{1+\mu }}},$
che mostra appunto che $\sum u_{n}$ è convergente, poichè la serie (3) è convergente per $\mu >0$, qualunque sia $p$.
Il teorema è così completamente dimostrato.
Notiamo che la parte di questo teorema relativa alla divergenza di $\sum u_{n}$ avrebbe potuto dimostrarsi anche in modo analogo a quello che ci ha servito pel caso della convergenza.
13. Prendendo nel teorema del numero precedente $\varphi (n)=1$, si ottengono i teoremi di Bertrand; cioè si ha che: Ponendo [p. 44
${\begin{aligned}\lambda _{0}'&={\dfrac {\mathrm {Log} \left({\dfrac {1}{u_{n}}}\right)}{n}}\\\\\lambda _{1}'&={\dfrac {\mathrm {Log} \left({\dfrac {1}{nu_{n}}}\right)}{\mathrm {Log} ~n}},\\\\\lambda _{2}'&={\dfrac {\mathrm {Log} \left({\dfrac {1}{nu_{n}\mathrm {Log} ~n}}\right)}{\mathrm {Log} ^{2}~n}},\\&.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;\\\lambda _{r}'&={\dfrac {\mathrm {Log} \left({\dfrac {1}{nu_{n}\mathrm {Log} ~n\cdots \mathrm {Log} ^{r-1}n}}\right)}{\mathrm {Log} ^{r}~n}};\\\end{aligned}}$
la serie $\sum u_{n}$ è convergente o divergente secondo che la prima delle quantità $\lambda '$ che non si annulla per $n=\infty$ è positiva o negativa; ed è pure divergente quando si trovi che una delle quantità $\lambda$ anche che tenda a zero è sempre negativa fuori del limite.
Osservazione. — Siccome si ha $\lambda _{0}=\mathrm {Log} {\frac {1}{\sqrt[{n}]{u_{n}}}}$, così sì può anche dire in particolare che la serie $\sum u_{n}$ sarà convergente o divergente secondo che ${\sqrt[{n}]{u_{n}}}$ avrà un limite maggiore o minore dell’unità.
14. Notiamo ancora che siccome dalle (2) si ha
$\lambda _{p}={\frac {\mathrm {Log} \left\{{\dfrac {1}{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-2}\sigma _{n}}}\right\}-\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}},$
così si avrà
$\lambda _{p}=\lambda _{p-1}{\frac {\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}}-1;$
$\lambda$
$\lambda '$
$\sum u_{n}$
E quì giova osservare che, siccome le quantità ${\frac {\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}}$ crescono indefinitamente con $n$ (V. nota precedente), così dalla (4) si vede che quando si sarà trovata una quantità $\lambda _{p-1}$ che abbia un limite maggior di zero, tutte quelle che la seguono avranno per limite l’infinito positivo, e quando se ne sarà trovata una che è sempre negativa fuori del limite, quella che la segue immediatamente avrà un limite che sarà al certo negativo e che potrà essere finito o infinito; e tutte le $\lambda$ seguenti avranno per limite l’infinito negativo.
15. Per dare una applicazione del teorema del numero 12 cerchiamo che cosa accada della serie
$\sum {\frac {1}{\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}(\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n})^{1+\mu }}},$
$\mu$
Si ha per questa serie evidentemente
$\lambda _{p+1}=\mu ,$
$\lambda _{p+2}=\mu {\frac {\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p+2}\sigma _{n}}}-1;$
dunque questa serie sarà convergente o divergente secondo che
$\lim \left(\mu {\frac {\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p+2}\sigma _{n}}}\right)\lessgtr 1.$
Questo risultato rende evidentemente più completi i teoremi dei numeri 8, 9.
Se si suppone $\mu ={\frac {a}{\sigma _{n}}}+{\frac {b}{\sigma _{n}^{2}}}+\cdots$ con $a$ positiva, allora evidentemente si ha
$\lim \left\{\mu {\frac {\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p+2}\sigma _{n}}}\right\}=$
$=\lim \left\{\mu \mathrm {Log} ~\sigma _{n}{\frac {\mathrm {Log} ^{2}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}{\frac {\mathrm {Log} ^{3}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{2}\sigma _{n}}}\cdots {\frac {\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}}{\frac {1}{\mathrm {Log} ^{p+2}\sigma _{n}}}\right\}=0,$
e quindi la serie (5) in questo caso è divergente. [p. 46
In particolare si ha dunque che le serie
$\sum {\frac {1}{n^{1+{\frac {a}{n}}+\cdots }}},\quad \sum {\frac {1}{n(\mathrm {Log} ~n)^{1+{\frac {a}{n}}+\cdots }}},\quad \sum {\frac {1}{n\mathrm {Log} ~n(\mathrm {Log} ^{2}n)^{1+{\frac {a}{n}}+\cdots }}},\ldots$
$\ldots ,\sum {\frac {1}{n\mathrm {Log} ~n\mathrm {Log} ^{2}n\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}n(\mathrm {Log} ^{p}n)^{1+{\frac {a}{n}}+\cdots }}},$
ove $a$ è positiva, sono tutte divergenti.
Analogamente si potrebbe vedere che le serie (5) corrispondenti a
$\mu ={\frac {a}{(\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n})^{\nu }}}+{\frac {b}{(\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n})^{\nu +\nu '}}}+\cdots ,$
ove $a$, $\nu$ e $\nu '$ sono positive, sono convergenti se $\nu <1$, divergenti se $\nu \geq 1$.
16. Ritorniamo adesso al criterio del numero 1; questo criterio, come dicemmo, potrà sempre servire poichè, data una serie $\sum u_{n}$, esistono sempre infinite funzioni $k_{n}$ tali che l’applicazione del criterio riesce decisivo. Però queste funzioni dipenderanno dalla natura di $\sum u_{n}$, ed anzi in generale possiamo ora mostrare che non esiste una funzione ${\rm {k_{n}}}$ tale che con essa il criterio riesca decisivo per qualunque serie $\sum {\rm {u_{n}}}$, tale cioè che con essa si trovi sempre
$\lim h_{n}>0$
se la serie è convergente, e
$\lim m_{n}>0$
se la serie è divergente.
Sia infatti, se è possibile, $k_{n}$ una tale funzione; la serie $\sum \left({\frac {k_{n-1}-k_{n}}{k_{n-1}}}\right)$ sarà divergente (num. 4), e quindi indicando con $S_{n}$ la somma dei suoi $n$ primi termini, anche la serie $\sum \left({\frac {k_{n-1}-k_{n}}{k_{n-1}S_{n}}}\right)$ sarà divergente (num. 6), e quindi per essa dovrebbe aversi $\lim m_{n}>0$. Ora invece per essa si trova
$m_{n}={\frac {1}{S_{n+1}}},\quad \lim m_{n}=0;$
e quindi se ne conclude che la funzione voluta non può esistere. [p. 47
17. Il criterio del num. 1 è generale; però la sua applicazione potrebbe riuscire laboriosa quando i termini di $\sum u_{n}$ fossero dei prodotti nei quali il numero dei fattori va continuamente aumentando. È utile per ciò di trasformarlo in un altro che sia di più facile applicazione in questo caso.
Per questo si prenda intanto $k_{n}=\varphi (n)u_{n}$, essendo $\varphi (n)$ una funzione tale che $\lim \varphi (n)u_{n}=0$. Allora si avrà
$h_{n}=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)$
$m_{n}={\frac {\varphi (n)u_{n}}{h_{n}}},$
e il teorema del numero 1, diverrà appunto il teorema di Kummer, cioè si avrà che:
Essendo $\varphi ({\rm {n)}}$ una funzione di ${\rm {n}}$ tale che $\lim \varphi ({\rm {n){\rm {{u_{n}}=0}}}}$, la serie $\sum {\rm {u_{n}}}$ sarà convergente se
$\lim \left\{\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)\right\}>0;$
e sarà divergente se
$\lim {\frac {\varphi (n)u_{n}}{h_{n}}}>0.$
18. Arrestiamoci più specialmente sulla prima parte di questo teorema: e senza occuparci ora della condizione $\lim \varphi (n)u_{n}=0$ supponiamo che $\varphi (n)$ sia una tale funzione che la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ sia divergente; in questo caso, se per una serie $\sum u_{n}$ si troverà che l’espressione
$h_{n}=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)$
ha un limite negativo o è sempre negativa fuori del limite, ciò vorrà dire che $\sum u_{n}$ sarà divergente, giacchè in ambedue i casi a partire da un certo valore di $n$ sino all’infinito si avrà
$\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)<0,$
${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}>{\frac {\dfrac {1}{\varphi (n+1)}}{\dfrac {1}{\varphi (n)}}},$
ciò che mostra appunto che $\sum u_{n}$ è divergente.
Da questo e dal teorema precedente risulta dunque intanto che: Essendo $\varphi ({\rm {n)}}$ una funzione positiva di ${\rm {n}}$ tale che la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ sia divergente, la serie $\sum {\rm {u_{n}}}$ sarà divergente se l’espressione
$h_{n}=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)$
avrà un limite negativo, e anche se tendendo a zero sarà sempre negativa fuori del limite; e sarà convergente se oltre ad aversi $\lim \varphi ({\rm {n){\rm {{u_{n}}=0}}}}$, si avrà altresì
$\lim h_{n}>0.$
Il dubbio si presenterà quando $h_{n}$ tenderà a zero mantenendosi sempre positiva fuori del limite, e quando il segno di $\lim h_{n}$ sarà indeterminato. Quest’ultimo caso sarà assai raro e si presenterà soltanto quando $\varphi (n)u_{n}$ avvicinandosi al suo limite sarà or crescente or decrescente col crescere di $n$ per valori interi: qui però questo caso si intenderà sempre escluso dalle nostre considerazioni.
19. Dico ora che la condizione $\lim \varphi (n)u_{n}=0$, necessaria d’altronde per la convergenza di $\sum u_{n}$ (num. 10), non lo è punto per l’enunciato del teorema precedente: in altri termini se $\varphi (n)u_{n}$ ha un limite differente da zero (nel qual caso già sappiamo che $\sum u_{n}$ è divergente (num. 10)) dico che non si potrà mai avere $\lim h_{n}>0$; e quindi il caso di $\lim h_{n}>0$ resterà da sè soltanto quando $\lim \varphi (n)u_{n}=0$, cioè quando $\sum u_{n}$ è convergente.
Supponiamo infatti che si abbia
$\lim \varphi (n)u_{n}=\alpha ,$
essendo $\alpha$ una quantità diversa da zero; e consideriamo separatamente i casi di $\alpha$ finito, e di $\alpha$ infinito. [p. 49
Consideriamo il primo caso. La serie $\sum u_{n}$ essendo divergente, tale sarà pure (num. 6) la serie
$\sum v_{n}=\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}}},$
e per questa si avrà
$\lim \varphi (n)v_{n}=\lim {\frac {\varphi (n)u_{n}}{S_{n}}}={\frac {\alpha }{\lim S_{n}}}=0;$
dunque, pel teorema di Kummer, l’espressione
$h_{n}'=\varphi (n){\frac {v_{n}}{v_{n+1}}}-\varphi (n+1),$
non potrà avere un limite positivo.
Ma d’altronde si ha
$h_{n}'=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}{\frac {S_{n+1}}{S_{n}}}-\varphi (n+1)$
ovvero
$h_{n}'=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}+{\frac {\varphi (n)u_{n}}{S_{n}}}-\varphi (n+1)=h_{n}+{\frac {\varphi (n)u_{n}}{S_{n}}};$
dunque, poichè ${\frac {\varphi (n)u_{n}}{S_{n}}}$ è positivo ed ha per limite zero, $h_{n}$ avrà lo stesso limite di $h'_{n}$, e quindi $\lim h_{n}$ non potrà essere positivo.
Supponiamo ora $\alpha =\infty$. In questo caso se si avesse
$\lim h_{n}>0,$
$n$
$\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}>\varphi (n+1),$
ovvero
$\varphi (n)u_{n}>\varphi (n+1)u_{n+1},$
e quindi $\varphi (n)u_{n}$ n sarebbe decrescente, e non potrebbe divenire infinita.
Dunque anche in questo caso $h_{n}$ non potrà avere un limite positivo, e quindi si può ora concludere che quando si abbia $\lim h_{n}>0$, la condizione $\lim \varphi (n)u_{n}=0$ viene soddisfatta da per sè, e si ha perciò il teorema generale seguente:
Essendo $\varphi ({\rm {n)}}$ una funzione positiva di ${\rm {n}}$ e tale che la serie $\sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}$ sia divergente, la serie $\sum {\rm {u_{n}}}$ sarà convergente o divergente secondo che la espressione
$h_{n}=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)$
avrà un limite positivo o negativo; e sarà pure divergente quando ${\rm {h_{n}}}$, tendendo a zero, sarà sempre negativa fuori del limite.
Quando ${\rm {h_{n}}}$ sia identicamente nullo, la serie $\sum {\rm {u_{n}}}$ sarà evidentemente divergente, giacchè sarà
$\varphi (n)u_{n}=\varphi (n+1)u_{n+1}=\beta ,$
ove $\beta$ non varia col crescere di $n$ per valori interi; e quindi si avrà
$u_{n}={\frac {\beta }{\varphi (n)}},\qquad$ e $\qquad \sum u_{n}=\beta \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}.$
Il criterio precedente adunque lascerà il dubbio soltanto nel caso in cui $h_{n}$ tenderà a zero essendo sempre positivo fuori del limite.
Osservazione. — È da notarsi che dalla dimostrazione del teorema precedente risulta che, quando la serie $\sum u_{n}$ sia divergente, $h_{n}$ tenderà sempre a zero finchè $\varphi (n)$ è tale che $\lim \varphi (n)u_{n}$ non è infinito.
20. Pel teorema generale precedente ogni serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ di cui sia nota la divergenza conduce subito ad un criterio di convergenza o divergenza di un altra serie qualunque $\sum u_{n}$. [p. 51
Tutte le serie divergenti adunque che abbiam considerate nei numeri 7, 8 e 9, prese per la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, conducono ad altrettanti criterj; e quì prendendo in particolare per $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ la serie
$1+1+1+\cdots$
e le serie logaritmiche del numero 9 corrispondenti a $\mu =0$, cioè facendo
$\varphi (n)=1,\quad =n,\quad =n\mathrm {Log} ~n,\quad =n\mathrm {Log} ~n~\mathrm {Log} ^{2}n,\ldots$
$\ldots ,\quad =n\mathrm {Log} ~n~\mathrm {Log} ^{2}n\cdots \mathrm {Log} ^{r}n,$
si potrà enunciare il seguente teorema: La serie $\sum u_{n}$ sarà convergente o divergente secondochè la prima delle espressioni
${\begin{aligned}h_{n}^{0}&={\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-1,\\\\h_{n}'&=n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-(n+1),\\\\h_{n}''&=n\mathrm {Log} ~n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-(n+1)\mathrm {Log} ~(n+1),\\&.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;\\\\h_{n}^{r+1}&=n\mathrm {Log} ~n~\cdots \mathrm {Log} ^{r}n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-(n+1)\mathrm {Log} ~(n+1)\cdots \mathrm {Log} ^{r}(n+1),\\&.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;\\\end{aligned}}$
che non ha per limite zero, avrà per limite una quantità positiva o negativa; e sarà divergente anche quando si troverà che una di queste espressioni tende a zero essendo sempre negativa fuori del limite.
Così noi vediamo risultare dal teorema (19) una buona parte dei noti criterj di convergenza o divergenza di una serie $\sum u_{n}$ nei quali entra il rapporto di due termini consecutivi della stessa serie.
Moltiplicando le espressioni precedenti per ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}$ il criterio prenderà una forma leggermente differente. [p. 52
21. Il criterio che ora abbiamo dato può trasformarsi facilmente in un altro nel modo seguente. Osserviamo che ponendo
${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}=1+\alpha _{0},$
si ha per $h'_{n}$
$h'_{n}=n\alpha _{0}-1.$
In generale poi per $h_{n}^{(p+1)}$ si ha (supponendo per semplicità che i logaritmi siano neperiani)
$h_{n}^{(p+1)}=(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-1}(n+1)\cdot$
$\cdot \left\{{\frac {n\log n\cdots \log ^{p-1}n}{(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-1}(n+1)}}\log ^{p}n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\log ^{p}(n+1)\right\},$
e ponendo
${\frac {n\log n\cdots \log ^{p-1}n}{(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-1}(n+1)}}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}=1+\alpha _{p},$
si avrà
$h_{n}^{(p+1)}=(n+1)\log(n+1)\cdots$
$\cdots \log ^{p-1}(n+1)\{\alpha _{p}\log ^{p}n+\log ^{p}n-\log ^{p}(n+1)\},$
ovvero
$h_{n}^{(p+1)}=(n+1)\log(n+1)\cdots$
$\cdots \log ^{p-1}(n+1)\{\log ^{p}(n+1)-\log ^{p}n\}\left\{{\frac {\log ^{p}n}{\log ^{p}(n+1)-\log ^{p}n}}\alpha _{p}-1\right\},$
o anche
$h_{n}^{(p+1)}=A_{n}\left\{{\frac {\log ^{p}n}{\log ^{p}(n+1)-\log ^{p}n}}\alpha _{p}-1\right\},$
$A_{n}=(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-1}(n+1)\{\log ^{p}(n+1)-\log ^{p}n\}.$
Ma dalla formola ($0z>\log(1+z),$
$z={\frac {\beta _{n+1}-\beta _{n}}{\beta _{n+1}}}$
$z={\frac {\beta _{n+1}-\beta _{n}}{\beta _{n}}}$
$\log \beta _{n+1}-\log \beta _{n}<{\frac {\beta _{n+1}-\beta _{n}}{\beta _{n+1}}},$
$\log \beta _{n+1}-\log \beta _{n}>{\frac {\beta _{n+1}-\beta _{n}}{\beta _{n}}};$
quindi, supponendo $\beta _{n}=\log ^{p-1}n$, per la prima di queste si avrà
${\begin{aligned}A_{n}&>(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-3}(n+1)\log ^{p-2}(n+1)\{\log ^{p-1}(n+1)-\log ^{p-1}n\}\\\\&>(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-3}(n+1)\{\log ^{p-2}(n+1)-\log ^{p-2}n\}\\&>\;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\\&>1;\end{aligned}}$
e per la seconda
${\begin{aligned}A_{n}&<(n+1)\log(n+1)\cdots {\frac {\log ^{p-1}(n+1)}{\log ^{p-1}n}}\{\log ^{p-1}(n+1)-\log ^{p-1}n\}\\\\&<(n+1)\log(n+1)\cdots {\frac {\log ^{p-2}(n+1)}{\log ^{p-2}n}}{\frac {\log ^{p-1}(n+1)}{\log ^{p-1}n}}\{\log ^{p-2}(n+1)-\log ^{p-2}n\}\\&<\;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot \;\\&<{\frac {n+1}{n}}{\frac {\log(n+1)}{\log n}}{\frac {\log ^{2}(n+1)}{\log ^{2}n}}\cdots {\frac {\log ^{p-1}(n+1)}{\log ^{p-1}n}}.\end{aligned}}$
E poichè quest’ultima espressione è composta di un numero finito di fattori che tendono all’unità, essa pure tenderà all’unità, e quindi si avrà evidentemente $\lim A_{n}=1$, e per la (6) se ne dedurrà
$\lim h_{n}^{(p+1)}=\lim \left\{{\frac {\log ^{p}n}{\log ^{p}(n+1)-\log ^{p}n}}\alpha _{p}-1\right\},$
ove $p$ può avere i valori $1,2,3\ldots$
Questi risultati ci fanno evidentemente concludere che: Ponendo
${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}=1+\alpha ,$
${\frac {n\log n\cdots \log ^{p-1}n}{(n+1)\log(n+1)\cdots \log ^{p-1}(n+1)}}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}=1+\alpha _{p},$
$\lim {\frac {u_{n}}{u_{n+1}}},$
$\lim n\alpha _{0},$
$\lim {\frac {\log n}{\log(n+1)-\log n}}\alpha _{1},$
$\lim {\frac {\log ^{2}n}{\log ^{2}(n+1)-\log ^{2}n}}\alpha _{2}$
che non è eguale all’unità, sarà maggiore o minore dell’unità. (G. Novi, Algebra superiore, (Firenze 1863), num. 235).
Se i logaritmi invece di essere neperiani fossero stati a base qualunque, purchè maggiore dell’unità, saremmo giunti a questi stessi risultati finali.
Questo criterio non è in fondo che una leggera trasformazione del precedente e serve ordinatamente negli stessi casi; però talvolta può essere più comodo di averlo sotto questa forma piuttosto che sotto l’altra.
22. Mediante i teoremi dati in principio ci è facile ora di dimostrare che per ogni serie $\sum u_{n}$ esistono sempre infinite serie divergenti $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ tali che, servendosi della funzione $\varphi (n)$ che ci è somministrata da esse, il criterio del num. 19 riesce decisivo.
Supponiamo infatti dapprima che la serie $\sum u_{n}$ sia convergente; allora la serie $\sum {\frac {u_{n}}{R_{n}}}$ sarà divergente (num. 4), e, prendendo questa per la $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, si avrà
$h_{n}={\frac {R_{n}}{u_{n+1}}}-{\frac {R_{n+1}}{u_{n+1}}}=1,$
e il criterio sarà così decisivo.
Se poi $\sum u_{n}$ è divergente, la serie $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}}}$ sarà pure divergente (num. 5); e, prendendo questa per la $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, il criterio verrà pure [p. 55 decisivo poichè si avrà
$h_{n}={\frac {S_{n}}{u_{n+1}}}-{\frac {S_{n+1}}{u_{n+1}}}=-1.$
Così dunque si vede intanto che per ogni serie $\sum u_{n}$ esiste una serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ che rende decisivo il criterio del num. 19. Per vedere poi come di queste serie divergenti ne esista un numero infinito per ogni serie $\sum u_{n}$, supponiamo che $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ sia una di quelle serie divergenti (che ora abbiamo visto esistere) che danno per $h_{n}$ una espressione avente un limite finito e diverso da zero, e cerchiamo che cosa divenga $\lim h_{n}$ quando invece di servirsi della serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ ci si serve di un’altra serie pure divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$.
Si osservi perciò dapprima che, con questa serie, si avrà
$h'_{n}=\varphi (n)\theta (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)\theta (n+1);$
e poichè colla serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ si ha
$h_{n}=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1),\quad$ ($\lim h_{n}$ finito e diverso da zero),
così si avrà
$h'_{n}=\theta (n)h_{n}-\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}.$
Ciò posto, si distinguano i tre casi di $\theta (n)$ decrescente indefinitamente col crescere di $n$; $\theta (n)$ sempre finito e diverso da zero; $\theta (n)$ crescente indefinitamente con $n$:
In questo caso osserviamo che applicando il criterio del num. 1 alla serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ col prendere $k_{n}=\theta (n)$, si vede che si dovrà avere
$\lim[\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}]=0$
$\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$
$\lim h'_{n}=\lim\{\theta (n)h_{n}\},$
e quindi, se $h_{n}$ ha, come si è supposto un limite finito, la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$, con $\theta (n)$ decrescente indefinitamente, renderà dubbio il criterio poichè si avrà $\lim h'_{n}=0$.
$\sum v_{n}=\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$
$\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$
$\lim \left[{\frac {\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}}{\theta (n)}}\right]=0,$
giacchè la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ è divergente e $\varphi (n)v_{n}={\frac {1}{\theta (n)}}$ ha un limite finito.
Dunque, poichè $\theta (n)$ è sempre finito, si avrà anche
$\lim[\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}]=0,$
e perciò dalla (7) risulterà ancora
$\lim h'_{n}=\lim\{\theta (n)h_{n}\};$
e quindi $h'_{n}$ avrà un limite finito e diverso da zero come $h_{n}$, e la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ servirà appunto come la $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$.
In questo caso dalla (7) si vede subito che, se $h_{n}$ ha un limite differente da zero e negativo, $h'_{n}$ avrà per limite l’infinito negativo; e se $h_{n}$ ha un limite differente da zero e positivo, $h'_{n}$ avrà per limite l’infinito positivo, giacchè siccome la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ è divergente, si avrà per essa
$\lim {\frac {\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}}{\theta (n)}}=0;$
$n$
$\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}(h_{n}-a)\theta (n),$
dalla quale evidentemente si deduce che $\lim h_{n}'=\infty$.
La serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ serve dunque benissimo anche in questo caso; e con questo e con quanto si è detto nel caso precedente resta evidentemente dimostrato che per ogni serie $\sum u_{n}$ esistono sempre infinite serie divergenti $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ tali che con esse l’applicazione del criterio del num. 19 riesce decisivo.
Inoltre, dalla discussione che abbiamo fatta risulta che:
$\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$
$\sum u_{n}$
$\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$
$\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$
$\theta (n)$
$n$
$\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$
$h_{n}$
$\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$
$h_{n}$
$\theta (n)$
$\theta (n)$
$n$
$\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$
$\sum u_{n}$
$n$
$\varphi (n)$
${\frac {R_{n}}{u_{n}}}$
$\sum u_{n}$
${\frac {S_{n}}{u_{n}}}$
$\sum u_{n}$
$\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$
$h_{n}$
$\sum u_{n}$
$n$
$\varphi (n)u_{n}$
$h_{n}$
$\sum u_{n}$
$\varphi (n)u_{n}$
Così per es. se non si sapesse già (numero 6) che la serie $\sum {\frac {1}{n}}$ ha una somma infinita dell’ordine di $\log n$, potremmo dedurlo dalle considerazioni precedenti osservando che per la serie $\sum {\frac {1}{n}}$ il criterio del num. 19 dà $\lim h_{n}=1$ quando si prenda
$\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}=\sum {\frac {1}{n\log n}}.$
23. Nel paragrafo precedente abbiamo veduto che esistono sempre infinite serie divergenti $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ colle quali l’applicazione del criterio del numero 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di una serie $\sum u_{n}$ riesce decisiva. Però queste serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ dipendono dalla natura di $\sum u_{n}$, ed è anzi facile di vedere che non esiste una serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ tale che il criterio riesca decisivo per qualunque serie $\sum u_{n}$, 0, in altri termini, si ha che: Qualunque sia la serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}$ della quale ci si serve, applicando il teorema del num. 19, per giudicare della convergenza o divergenza di un’altra serie $\sum u_{n}$, esisteranno sempre delle serie divergenti e delle serie convergenti per le quali $h_{n}$ tenderà a zero mantenendosi sempre positiva fuori del limite.
Sia infatti $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ una serie divergente qualunque colla quale si applica il teorema del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di altre serie. Allora, siccome questa serie $\sum v_{n}=\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ è divergente, la serie
$V'=\sum v'_{n}=\sum {\frac {v_{n}}{(v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n})^{\mu }}},$
sarà divergente (num. 6) per $\mu \leq 1$ e convergente per $\mu >1$, e pure nell’un caso e nell’altro, qualunque sia $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, $h_{n}$ sarà positiva e si avrà sempre $\lim h_{n}=0$. [p. 59
Se si pone infatti
$\sigma _{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n},$
si avrà per la serie $V'$
$h_{n}=\varphi (n){\frac {v'_{n}}{v'_{n+1}}}-\varphi (n+1)=\varphi (n){\frac {v_{n}}{v_{n+1}}}\left({\frac {\sigma _{n+1}}{\sigma _{n}}}\right)^{\mu }-\varphi (n+1),$
ovvero
$h_{n}=\varphi (n+1)\left(1+{\frac {1}{\sigma _{n}\varphi (n+1)}}\right)^{\mu }-\varphi (n+1),$
e di qui si vede che $h_{n}$ è difatti positiva, e se $\mu \leq 1$ si ha evidentemente $\lim h_{n}=0$. Se poi $\mu >1$, per es. $\mu =2$, si ha ancora
$h_{n}={\frac {2}{\sigma _{n}}}+{\frac {1}{\varphi (n+1)\sigma _{n}^{2}}},\quad$ e $\quad \lim h_{n}=0,$
giacchè $\sigma _{n}$ cresce indefinitamente con $n$, e $\varphi (n)$ non tende a zero.
Da ciò risulta quanto avevamo enunciato.
24. Per il teorema ora dimostrato, si può dunque affermare che, scelta una serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}},$ l’applicazione del criterio del num. 19 ci farà decidere della convergenza e divergenza di alcune serie; ma per altre si troverà
$\lim h_{n}=0,$
[p. 60
$\varphi (n)$
Fermiamoci in particolare sul caso in cui si voglia cangiare la funzione $\varphi (n)$. Le considerazioni fatte al num. 22 ci mostrano subito che se, servendosi della serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, si è trovato
$\lim h_{n}=0,$
la serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ che converrà prendere perchè il criterio del n. 19 riesca decisivo (e che certo dovrà esistere) dovrà essere tale che $\theta (n)$ cresca indefinitamente con $n$; e quindi si può dire che: scelta una serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}$, se applicando con essa il teorema del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di un’altra serie $\sum {\rm {u_{n}}}$, si troverà il caso dubbio, allora, per potere decidere, converrà prendere invece della serie $\sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}$ un’altra serie ancora divergente $\sum {\frac {1}{\psi ({\rm {n)}}}}=\sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)\theta ({\rm {n)}}}}}}$ i cui termini tendano a divenire infinitamente piccoli rispetto a quelli di $\sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}$.
È così che quando non serva il criterio $\lim \left\{{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-1\right\}\gtrless 0$ bisognerà passare ad un altro $\lim \left\{\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)\right\}\gtrless 0$ nel quale $\varphi (n)$ cresca indefinitamente con $n$, e sia tale che la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ sia divergente. Passando allora ad un $\varphi (n)$ ognor più crescente, il criterio finirà per venire decisivo, e le funzioni $\varphi (n)$ le più appropriate saranno successivamente quelle funzioni
${\frac {S_{n}}{u_{n}}},{\frac {S_{n}S'_{n}}{u_{n}}},\ldots ,{\frac {S_{n}S'_{n}S_{n}''\cdots S_{n}^{(p)}}{u_{n}}},\ldots$
e le altre
${\frac {S_{n}}{u_{n}}},{\frac {S_{n}\mathrm {Log} ~S_{n}}{u_{n}}},\ldots ,{\frac {S_{n}\mathrm {Log} ~S_{n}\mathrm {Log} ^{2}S_{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p}S_{n}}{u_{n}}},\ldots$
che deducemmo al num. 6 da una stessa serie divergente rappresentata ivi con $\sum u_{n}$. [p. 61
25. Nella scelta della funzione $\theta (n)$ la quale fa sì che il criterio divenga decisivo, ordinariamente converrà procedere per tentativi. Però può darsi qui una proprietà di questa funzione $\theta (n)$, mediante la quale potranno talvolta risparmiarsi dei tentativi laboriosi e infruttuosi.
Riprendiamo infatti la formola
$h'_{n}=\theta (n)h_{n}-\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\},$
e supponiamo che la serie $\sum u_{n}$ alla quale si applica il criterio sia convergente. È chiaro allora che, siccome la parte $\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}$ di $h'_{n}$ è sempre positiva, $h'_{n}$ non potrà mai avere un limite differente da zero finchè $\theta (n)$ sia tale che $\lim \theta (n)h_{n}=0$, e quindi si può dire intanto che, se $\sum u_{n}$ è convergente, affinchè servendosi della serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ il criterio riesca decisivo, $\theta (n)$ dovrà essere tale che $\lim \theta (n)h_{n}>0$.
Se poi $\sum u_{n}$ è divergente, l’imporre a $\theta (n)$ questa condizione non arreca alcuno svantaggio.
Però bisogna osservare che non sempre sarà possibile trovare una funzione $\theta (n)$ tale che $\lim \theta (n)h_{n}>0$, e che al tempo stesso la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ sia divergente. Ma in questo caso evidentemente la serie $\sum u_{n}$ sarà divergente, e quindi si può concludere che: Scelta una serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}$, se con essa si troverà $\lim {\rm {{h_{n}}=0}}$, la nuova serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)\theta ({\rm {n)}}}}}}$ che converrà scegliere per rendere decisivo il criterio, dovrà essere tale che $\lim \theta ({\rm {n){\rm {{h_{n}}>0}}}}$: e se questa serie divergente non potrà esistere si potrà subito affermare che la serie $\sum {\rm {u_{n}}}$ è divergente.
26. Questa semplice osservazione conduce subito al noto teorema di Gauss che ci dice che: La serie $\sum {\rm {u_{n}}}$ nella quale si ha
${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}={\frac {n^{\lambda }+a_{1}n^{\lambda -1}+\cdots +a_{p}}{n^{\lambda }+b_{1}n^{\lambda -1}+\cdots +b_{q}}}$
ove $\lambda$ è una costante positiva e $a_{1},a_{2},\ldots ,b_{1},b_{2},\ldots$ sono costanti, è convergente se ${\rm {a_{1}-{\rm {b_{1}>1}}}}$, e divergente se ${\rm {a_{1}-{\rm {b_{1}\leq 1}}}}$. [p. 62
Prendendo infatti, per la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, la serie $\sum {\frac {1}{n}}$, si ha
$h_{n}=n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-(n+1)={\frac {(a_{1}-b_{1}-1)+{\dfrac {a'_{n}}{n}}+\cdots }{1+{\dfrac {b_{1}}{n}}+\cdots }};$
e di qui si vede intanto che $\sum u_{n}$ è convergente o divergente secondo che $a_{1}-b_{1}\gtrless 1$.
Nel caso poi di $a_{1}-b_{1}=1$, si vede subito, pel teorema precedente, che $\sum u_{n}$ è ancora divergente, giacchè in questo caso $h_{n}$ tende a zero ed è impossibile trovare una serie divergente $\sum {\frac {1}{n\theta (n)}}$ tale che $\lim \theta (n)h_{n}>0$, poichè dalla espressione di $h_{n}$ si vede che, onde si avesse $\lim \theta (n)h_{n}>0$, $\theta (n)$ dovrebbe divenire infinita almeno del primo ordine rispetto ad $n$, e allora la serie $\sum {\frac {1}{n\theta (n)}}$ verrebbe convergente poichè le serie $\sum {\frac {1}{n^{1+\mu }}}$ sono tutte convergenti qualunque sia la costante positiva $\mu$.
27. Notiamo che al modo stesso si vede anche che: La serie $\sum u_{n}$ nella quale si ha
${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}={\frac {n^{\lambda }+a_{1}n^{\lambda _{1}}+a_{2}n^{\lambda _{2}}\cdots +a_{p}n^{\lambda _{p}}}{n^{\lambda }+b_{1}n^{\lambda _{1}}+b_{2}n^{\nu _{2}}\cdots +b_{q}n^{\nu _{q}}}},$
ove gli esponenti sono costanti e in ordine decrescente, e i coefficienti ${\rm {a}}$ e ${\rm {b}}$ sono funzioni di ${\rm {n}}$ che non crescono indefinitamente con ${\rm {n}}$, sarà convergente o divergente secondochè
$\lim(a_{1}-b_{1})\gtrless 1;$
e sarà divergente anche quando
$\lim(a_{1}-b_{1})=1,$
purchè ${\rm {a_{1}-b_{1}-1}}$ col crescere indefinitamente di ${\rm {n}}$ divenga infinitesimo di ordine finito rispetto ad ${\frac {1}{\rm {n}}}$. [p. 63
Esempio: Si consideri la serie
$\sum u_{n}=\sum {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(n+k_{n})(a_{1}+1)(a_{2}+2)\cdots (a_{n}+n)}},$
ove le $k_{n}$ ed $a_{n}$ sono funzioni finite di $n$: si avrà per essa
${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}={\frac {(a_{n+1}+n+1)(n+1+k_{n+1})}{(n+1)(n+k_{n})}}=$
$={\frac {n^{2}+(k_{n+1}+a_{n+1}+2)n+(a_{n+1}+1)(k_{n+1}+1)}{n^{2}+(k_{n}+1)n+k_{n}}},$
e quindi, seguendo le notazioni precedenti, sarà
$a_{1}-b_{1}=1+k_{n+1}-k_{n}+a_{n+1};$
e se $k_{n}$ è una funzione finita e determinata, si avrà
$\lim(a_{1}-b_{1})=1+\lim a_{n+1};$
e perciò la serie in questione sarà convergente se ${\rm {a_{n}}}$ è una funzione finita e sempre positiva di ${\rm {n}}$, e sarà divergente quando ${\rm {a_{n}}}$ è sempre negativa, e anche quando ${\rm {a_{n}}}$ tende a zero purchè in questo caso l’espressione ${\rm {k_{n+1}-k_{n}+a_{n+1}}}$, tendendo a zero, divenga infinitesima di ordine finito rispetto ad ${\frac {1}{\rm {n}}}$.
Prendendo $k_{n}=k=\mathrm {cost.}$, $a_{n}=a=\mathrm {cost.}$, si ha con Gauss, che la serie
$\sum {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(n+k)(a+1)(a+2)\cdots (a+n)}}$
è convergente se $a$ è positiva, divergente negli altri casi.
Prendendo
$k_{n}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{\log n}},\quad a_{n}={\frac {\log \left(1+{\dfrac {1}{n-1}}\right)}{\log(n-1)\log n}}={\frac {1}{\log(n-1)}}-{\frac {1}{\log n}},$
$\sum {\frac {1}{\left(n+{\dfrac {1}{n}}+{\dfrac {1}{\log n}}\right)}}\times$
$\times {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{\left({\dfrac {\log \left(1+{\dfrac {1}{2}}\right)}{\log 2\log 3}}+3\right)\left({\dfrac {\log \left(1+{\dfrac {1}{3}}\right)}{\log 3\log 4}}+4\right)\cdots \left({\dfrac {\log \left(1+{\dfrac {1}{n-1}}\right)}{\log(n-1)\log n}}+n\right)}}$
è divergente.
28. Supponendo che nella serie $\sum u_{n}$ si abbia
${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1+{\frac {g}{n}}+{\frac {g'}{n^{2}}}+\cdots$
cogli stessi teoremi si trova che essa è convergente o divergente secondochè $\lim g\lessgtr -1$, ed è pure divergente quando $\lim g=-1$ purchè l’ordine di infinitesimo di ${\rm {g+1}}$ sia finito.
In questo caso infatti si ha
$h_{n}=n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-(n+1)={\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\left\{n-(n+1){\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right\}=$
$={\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\left\{-g-1-{\frac {g'}{n}}\cdots \right\}$
e secondochè $\lim g\lessgtr -1$ la serie è convergente o divergente; se poi $\lim g_{n}=-1$, e $g+1$ diviene infinitesimo di ordine finito rispetto ad ${\frac {1}{n}}$, è impossibile trovare una serie divergente $\sum {\frac {1}{n\theta (n)}}$ tale che $\lim \theta (n)h_{n}>0$, e quindi $\sum u_{n}$ è divergente.
29. Termineremo questo lavoro col dimostrare il seguente teorema: Se $\sum {\rm {u_{n}}}$ è una serie divergente i cui termini sono positivi e non crescono indefinitamente con ${\rm {n}}$, e se $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n},\ldots$ sono quantità che non tendono a zero e tali che a partire da un certo valore di ${\rm {n}}$ i binomj $(1-\alpha _{\rm {n}}{\rm {{u_{n}})}}$ siano tutti positivi, la serie
$\sum v_{n}=\sum u_{n}(1-\alpha _{1}u_{1})(1-\alpha _{2}u_{2})\cdots (1-\alpha _{n}u_{n})$
Osserviamo infatti che per essa si avrà
$h_{n}=\varphi (n){\frac {v_{n}}{v_{n+1}}}-\varphi (n+1)={\frac {\varphi (n)u_{n}}{u_{n+1}(1-\alpha _{n+1}u_{n+1})}}-\varphi (n+1),$
ovvero
$h_{n}=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)+\alpha _{n+1}{\frac {\varphi (n)u_{n}}{1-\alpha _{n+1}u_{n+1}}}.$
E poichè la serie $\sum u_{n}$ è divergente, si potrà prendere
$\varphi (n)={\frac {u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}}{u_{n}}}={\frac {S_{n}}{u_{n}}};$
e allora si avrà
$\lim \varphi (n)u_{n}=\infty ,\qquad \varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)=-1;$
e quindi, nelle ipotesi fatte, sarà
$\lim h_{n}=\pm \infty$
secondochè le $\alpha _{n}$ sono positive o negative; e questo evidentemente dimostra il teorema.
Prendendo
$u_{n}={\frac {1}{n}},\quad ={\frac {1}{n\log n}},\quad ={\frac {1}{n\log n\log ^{2}n}},\ldots ,\alpha _{n}=k=\mathrm {cost.} ;$
si può dunque subito dire: che le serie
${\begin{aligned}&\sum {\frac {1}{n}}\left(1-{\frac {k}{1}}\right)\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k}{n}}\right),\\\\&\sum {\frac {1}{n\log n}}\left(1-{\frac {k}{2\log 2}}\right)\left(1-{\frac {k}{3\log 3}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k}{n\log n}}\right),\\\\&\sum {\frac {1}{n\log n\log ^{2}n}}\left(1-{\frac {k}{2\log 2\log ^{2}2}}\right)\left(1-{\frac {k}{3\log 3\log ^{2}3}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k}{n\log n\log ^{2}n}}\right),\\&.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;\end{aligned}}$
sono convergenti se ${\rm {k}}$ è positiva, e divergenti se ${\rm {k}}$ è negativa o nulla (Catalan, Traité sur les séries, Paris 1860, pag. 25). [p. 66
È da notarsi che siccome, se la serie $\sum u_{n}$ è convergente, e se le $\alpha _{n}$ sono positive, la serie $\sum v_{n}$ è evidentemente convergente, così per questo e pel teorema precedente si può anche dire che: Essendo ${\rm {u_{1},{\rm {u_{2},{\rm {u_{3},\ldots ,{\rm {u_{n},\ldots }}}}}}}}$ quantità qualunque positive e finite, la serie
$\sum u_{n}(1-\alpha _{1}u_{1})(1-\alpha _{2}u_{2})\cdots (1-\alpha _{n}u_{n})$
sarà convergente se le $\alpha _{\rm {n}}$ saranno positive e non tenderanno a zero, e se a partire da un certo punto si avrà $\alpha _{\rm {n}}{\rm {{u_{n}}<1}}$.
NOTA
1. La prima parte del teorema del num. 1 può dimostrarsi ben semplicemente nel seguente modo.
Sia $k_{n}$ la funzione considerata nel num. 1 che decresce continuamente e indefinitamente col crescere di $n$; la serie
$\sum (k_{n}-k_{n+1})=(k_{0}-k_{1})+(k_{1}-k_{2})+$
$+(k_{2}-k_{3})+\cdots +(k_{n-1}-k_{n})+(k_{n}-k_{n+1})+\cdots$
avrà i suoi termini positivi, e sarà evidentemente convergente; e quindi tale sarà pure la serie
$\sum {\frac {(k_{n}-k_{n+1})}{a}}={\frac {k_{0}-k_{1}}{a}}+{\frac {k_{1}-k_{2}}{a}}+$
$+{\frac {k_{2}-k_{3}}{a}}+\cdots +{\frac {k_{n-1}-k_{n}}{a}}+{\frac {k_{n}-k_{n+1}}{a}}+\cdots$
ove $a$ è una costante positiva piccola quanto si vuole.
Consideriamo ora la serie a termini positivi $\sum u_{n}$; essa sarà convergente se a partire da un certo punto avrà i suoi termini minori dei corrispondenti della serie precedente, vale a dire se a partire da un certo valore di $n$ si avrà
$u_{n+1}<{\frac {k_{n}-k_{n+1}}{a}}.$
[p. 67
Ma questa diseguaglianza (come dicemmo anche nel numero 1) equivale all’altra
${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}>a,$
ovvero
${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}>0,$
poichè $a$ è arbitrariamente piccola; quindi se ne conclude che la serie $\sum u_{n}$ sarà convergente se l’espressione
${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}$
avrà un limite differente da zero; e questa è appunto la prima parte del teorema del numero 1.
2. Passerò adesso a dare qui il seguente teorema:
Se $\sum {\rm {u_{n}}}$ è una serie a termini positivi e decrescenti; se $\psi ({\rm {n)}}$ è una funzione positiva di ${\rm {n}}$ che ha valori interi per i valori interi di ${\rm {n}}$, che cresce indefinitamente con ${\rm {n}}$ ed è tale che il rapporto ${\frac {\psi ({\rm {n+1)}}}{\psi ({\rm {n)}}}}$ abbia un limite maggiore dell’unità e finito; se $\varphi ({\rm {n)}}$ è un’altra funzione positiva di ${\rm {n}}$ che col crescere di ${\rm {n}}$ cresce anch’essa indefinitamente ma in modo che il rapporto ${\frac {\varphi ({\rm {n)}}}{\psi ({\rm {n)}}}}$ tenda verso una quantità finita differente da zero; le due serie
$U=\sum u_{n},\quad U'=\sum \varphi (n)u_{\psi (n)}$
saranno convergenti o divergenti insieme.
Questo teorema comprende come caso particolare un teorema dato già dal Cauchy, e può dimostrarsi nel modo seguente.
Osserviamo che, nelle ipotesi che abbiamo fatte, esisterà sempre un valore finito e differente da zero $a$ tale che si abbia, qualunque sia $n$,
$\varphi (n)u_{\psi (n)}>a\{u_{\psi (n)+1}+u_{\psi (n)+2}+\cdots +u_{\psi (n+1)}\};$
$u$
$u_{\psi (n)}$
$\varphi (n)u_{\psi (n)}>a\{\psi (n+1)-\psi (n)\}u_{\psi (n)};$
e quindi basta prendere
$a<{\frac {\varphi (n)}{\psi (n+1)-\psi (n)}},$
ovvero
$a<{\frac {\dfrac {\varphi (n)}{\psi (n)}}{{\dfrac {\psi (n+1)}{\psi (n)}}-1}};$
e se ${\frac {\varphi (n)}{\psi (n)}}$ non ha per limite zero, e ${\frac {\psi (n+1)}{\psi (n)}}$ non ha per limite l’infinito si potrà evidentemente sempre prendere per $a$ un valore finito e differente da zero tale che quest’ultima diseguaglianza e quindi anche la (1) resti soddisfatta qualunque sia $n$.
Ciò posto, si cangi nella (1) $n$ in $1,2,3,\ldots ,n$ e si sommi; si otterrà
$U'_{n}>U_{n};$
e se ne concluderà che se la serie $U'$ è convergente lo sarà pure la serie $U$, e se la $U$ è divergente lo sarà pure la $U'$.
Così una parte del teorema è già dimostrata. Per dimostrare ora l’altra parte, osserviamo che esisterà sempre un valore finito e differente da zero $b$ tale che si abbia
$\varphi (n)u_{\psi (n)}{\frac {\dfrac {\varphi (n)}{\psi (n)}}{1-{\dfrac {\psi (n-1)}{\psi (n)}}}};$
[p. 69
${\frac {\varphi (n)}{\psi (n)}}$
${\frac {\psi (n+1)}{\psi (n)}}$
$b$
Ora dalla (2), cangiandovi $n$ in $1,2,3,\ldots ,n$ e sommando, si ottiene
$U'_{n}