# Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (Favaro)/Del violento, o vero de i proietti. Giornata quarta

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Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze Galileo Galilei 1638 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Le opere di Galileo Galilei VIII.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Discorsi_e_dimostrazioni_matematiche_intorno_a_due_nuove_scienze_(Favaro)/Del_violento,_o_vero_de_i_proietti._Giornata_quarta&oldid=- 20220819083046 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Discorsi_e_dimostrazioni_matematiche_intorno_a_due_nuove_scienze_(Favaro)/Del_violento,_o_vero_de_i_proietti._Giornata_quarta&oldid=- 20220819083046
[p. 268 GIORNATA QUARTA.
SALV. Attempo arriva ancora il Sig. Simplicio; però, senza interpor quiete, venghiamo al moto: ed ecco il testo del nostro Autore.
DE MOTU PROIECTORUM.
Qme in motu aequabili contingmt accidentia, itemque in motu natth raliter accelerato super guascunque planorum incUnationes, supra conside- ravimus. In haCy.guam modo aggredior/contemplatione/praecipua.qtmedam symptomata^ ^aque scitu digna^ in medium afferre conaboTy eademque firmis demonstrationibus stabilir e, quae mobili accidunt dum motu ex duplici la- tione composito j aequabili nempe^ et naturaliter accelerala, movetw : huiusmodi io autem videtur esse motus ille, quem de proiectis dicimus ; cuius generatio- nem talem constituo.
Mobile quoddam super planum horizontale proiectum mente concipio, omni secluso impedimento : iam constai, ex his quae fusius alibi dieta sunt, illius motum aequabilem et perpetuum super ipso plano futtirum esse, si planum in infinitum extendatur ; si vero terminatum et in sublimi positum intelligamus, mobile, qmd gravitate praeditum concipio, ad plani terminum delatum, ulterius progrediens, aequabili atque indelebili priori lattoni su- peraddet illam quam a propria gravitate habet deorsum propensionem, in- deque motus quidam emerget cmnpositus ex aequabili horizontali et ex deor- 20 sum naturaliter accelerato, quem proiectionem voco. Cuius accidentia nonnulla demonstrabimus : quorum primum sit,
2. però, sensa, s — [p. 269 STarorema I, Proposrmio I.
Proiectum, dum fertur motu composito ex horizontali. aequabili e ex naturaliter accelerato deorsum, lineam semiparabolicam describit in sua latione.
AGR. È forza, Sig. Salviati, in grazia di me, ed anco, credo io, del Sig. Simplicio, far qui un poco di pausa; avvenga che io non mi son tanto inoltrato nella geometria, che io abbia fatto studio in Apollonio, se non in quanto so ch’ei tratta di queste parabole e dell’altre sezzioni coniche, senza la cognizione delle quali e delle lor passioni non credo che intendersi possano le dimostrazioni di altre proposizioni a quelle aderenti. E perché già nella bella prima proposizione ci vien proposto dall’Autore, doversi dimostrare, la linea descritta dal proietto esser parabolica, mi vo imaginando che, non dovendosi trattar d’altro che di tali linee, sia assolutamente necessario avere una perfetta intelligenza, se non di tutte le passioni di tali figure dimostrate da Apollonio, almeno di quelle che per la presente scienza son necessarie.
SALV. V. S. si umilia molto, volendosi far nuovo di quelle cognizioni le quali non è gran tempo che ammesse come ben sapute, allora, dico, che nel trattato delle resistenze avemmo bisogno della notizia di certa proposizione d’Apollonio, sopra la quale ella non mosse difficoltà.
SAGR. Può essere o che io la sapessi per ventura o che io la supponessi per una volta tanto che ella mi bisognò in tutto quel trattato: ma qui, dove mi imagino d’avere a sentir tutte le dimostrazioni circa tali linee, non bisogna, come si dice, bever grosso, buttando via il tempo e la fatica.
SIMP. E poi, rispetto a me, quando bene, come credo, il Sig. Sagredo fusse ben corredato di tutti i suoi bisogni, a me cominciano già a giugner come nuovi gli stessi primi termini; perché, se bene i nostri filosofi hanno trattata questa materia del moto de’ proietti, non mi sovvien che si siano ristretti a definire quali siano le linee da quelli descritte, salvo che assai generalmente sian sempre linee curve, eccetto che nelle proiezzioni perpendicolari sursum. Però, quando [p. 270 quel poco di geometria che io ho appreso da Euclide, da quel tempo in qua che noi avemmo altri discorsi, non sia bastante per rendermi capace delle cognizioni necessarie per l’intelligenza delle seguenti dimostrazioni, mi converrà contentarmi delle sole proposizioni credute, ma non sapute.
SALV. Anzi voglio io che le sappiate mercé dell’istesso Autor dell’opera, il quale, quando già mi concesse di veder questa sua fatica, perché io ancora in quella volta non aveva in pronto i libri di Apollonio, s’ingegnò di dimostrarmi due passioni principalissime di essa parabola, senza veruna altra precognizione, delle quali sole siamo bisognosi nel presente trattato: le quali son ben anco provate da Apollonio, ma dopo molte altre, che lungo sarebbe a vederle; ed io voglio che abbreviamo assai il viaggio, cavando la prima immediatamente dalla pura e semplice generazione di essa parabola, e da questa poi pure immediatamente la dimostrazione della seconda. Venendo dunque alla prima:
Intendasi il cono retto, la cui base sia il cerchio ibkc, e vertice il punto l, nel quale, segato con un piano parallelo al lato lk, nasca la sezzione bac, detta parabola; la cui base bc seghi ad angoli retti il diametro ik del cerchio ibkc, e sia l’asse della parabola ad parallelo al lato lk; e preso qualsivoglia punto f nella linea bfa, tirisi la retta fe parallela alla bd: dico che il quadrato della bd al quadrato della fe ha la medesima proporzione che l’asse da alla parte ae. Per il punto e intendasi passare un piano parallelo al cerchio ibkc, il quale farà nel cono una sezzione circolare, il cui diametro sia la linea geh: e perché sopra il diametro ik del cerchio ibk la bd è perpendicolare, sarà il quadrato della bd eguale al rettangolo fatto dalle parti id, dk; e parimente nel cerchio superiore, che s’intende passare per i punti g, f, h, il quadrato della linea fe è eguale al rettangolo delle parti geh; adunque il quadrato della bd al quadrato della fe ha la medesima proporzione che il rettangolo idk al rettangolo geh. E perché la linea ed è parallela alla hk, sarà la eh eguale alla dk, che pur son parallele: e però il rettangolo idk al rettangolo geh arà [p. 271 la medesima proporzione che la id alla ge, cioè che la da alla ae: adunque il rettangolo idk al rettangolo geh, cioè il quadrato bd al quadrato fe, ha la medesima proporzione che l’asse da alla parte ae: che bisognava dimostrare.
SIMP. Voi procedete nelle vostre dimostrazioni troppo alla grande, ed andate sempre, per quanto mi pare, supponendo che tutte le proposizioni [p. 272 di Euclide mi siano così familiari e pronte, come gli stessi primi assiomi, il che non è. E pur ora l’uscirmi addosso, che 4 rettangoli ead son minori del quadrato de, perché le parti ea, ad della linea ed non sono equali, non mi quieta, ma mi lascia sospeso.
SALV. Veramente tutti i matematici non vulgari suppongono che il lettore abbia prontissimi al meno gli Elementi di Euclide: e qui, per supplire al vostro bisogno, basterà ricordarvi una proposizione del secondo, nella quale si dimostra, che quando una linea è segata in parti eguali ed in diseguali, il rettangolo delle parti diseguali è minore del rettangolo delle parti eguali (cioè del quadrato della metà) quanto è il quadrato della linea compresa tra i segamenti; onde è manifesto che il quadrato di tutta, il quale contiene 4 quadrati della metà, è maggiore di 4 rettangoli delle parti diseguali. Ora, di queste due proposizioni dimostrate, prese da gli elementi conici, conviene che tenghiamo memoria per l’intelligenza delle cose seguenti nel presente trattato: ché di queste sole, e non di più, si serve l’Autore. Ora possiamo ripigliare il testo, per vedere in qual maniera ei vien dimostrando la sua prima proposizione, dove egli intende di provarci la linea descritta dal mobile grave, che mentre ci descende con moto composto dell’equabile orizontale e del naturale descendente, sia una semiparabola.
Intelligatur horizontalis linea seu planum ab in sublimi positum, super quo ex a in b motu aequabili feratur mobile ; deficiente vero plani fulci- mento in b, superveniat ipsi S d € b 4 mobili, a propria gravita ì te, motus naturalis deorsum iuxta perpendicularem bn. Intelligatur insuper pleno ab in directum posita linea be, 80 tanquam temporis efflucus seu mensura, super qua ad libitum notentur partes quot- libet temporis aequales, be, cd, de; atque ex punctis b, c, d, e intelligantur productae lineae perpen- diculo bn aequidistantes : in quarum prima accipiatur quaelibet. pars ci ; [p. 273 cuius quadrupla sumatur in sequenti, df; nonupla, eh; et consequenter in reliquis secundum rationem quadratorum ipsarum cb, db, eb, seu ‘dicamus in ratione carundem lincarum duplicata. Quod si mobili ultra b versus c aequabili latione lato descensum perpendicularem secundum quantitatem ci superadditum intelligamus, reperietur tempore bc in termino i constitutum. Ulterius autem procedendo, tempore db, duplo scilicet be, spatium descensus deorsum erit spatii primi ci quadruplum; demonstratum enim est in primo tractatu, spatia peracta a gravi, motu naturaliter accelerato, esse in duplicata ratione temporum : pariterque consequenter spatium eh, peractum tempore be,
10 erit ut 9: adeo ut manifeste constet, spatia eh, df, ci esse inter se ut quadrata linearum eb, db, ch. Ducantur modo a punctis i, f, hi rectae io, fg, hl, ipsi eb uequidistantes : erunt hl, fg, io lineae lineis eb, db, cb, singulae singulis, aequales; nec non ipsae bo, bg, bl ipsis ci, df, eh aeguales; eritque quadratum hl ad quadratum fg ut linea Ib ad bg, et quadratum fg ad quadratum io ut gb ad bo; ergo puncta i, f, h sunt in una cademque linea parabolica. Similitergue demonstrabitur, assumptis quibuscunque tem- poris particulis aequalibus cuiuslibet magnitudinis, loca mobilis simili motu composito lati iisdem temporibus in ecadem linea parabolica reperiri. Ergo patet propositum.
SALV. Questa conclusione si raccoglie dal converso della prima delle due proposizioni poste di sopra. Imperò che, descritta, per esempio, la parabola per li punti b, h, se alcuno delli 2 f, i non fusse nella descritta linea parabolica, sarebbe dentro o fuori, e, per conseguenza, la linea fg sarebbe o minore o maggiore di quella che andasse a terminare nella linea parabolica; onde il quadrato della hl non al quadrato della fg, ma ad altro maggiore o minore, arebbe la medesima proporzione che ha la linea lb alla bg: ma la ha al quadrato della fg: adunque il punto f è nella parabolica: e così tutti gli altri, etc.
SAGR. Non si può negare che il discorso sia nuovo, ingegnoso e concludente, argomentando ex suppositione, supponendo cioè che il moto traversale si mantenga sempre equabile, e che il naturale deorsum parimente mantenga il suo tenore, d’andarsi sempre accelerando secondo la proporzion duplicata de i tempi, e che tali moti e loro velocità, nel mescolarsi, non si alterino perturbino ed impedischino, sì che finalmente la linea del proietto non vadia, nella continuazion del moto, a degenerare in un’altra spezie: cosa che mi si rappresenta [p. 274 come impossibile. Imperò che, stante che l’asse della parabola nostra, secondo ’l quale noi supponghiamo farsi il moto naturale de i gravi, essendo perpendicolare all’orizonte, va a terminar nel centro della terra; ed essendo che la linea parabolica si va sempre slargando dal suo asse; niun proietto andrebbe già mai a terminar nel centro, o, se vi andrebbe, come par necessario, la linea del proietto tralignerebbe in altra, diversissima dalla parabolica.
SIMP. Io a queste difficoltà ne aggiungo dell’altre: una delle quali è, che noi supponghiamo che il piano orizontale, il quale non sia né acclive né declive, sia una linea retta, quasi che una simil linea sia in tutte le sue parti egualmente distante dal centro, il che non è vero; perché, partendosi dal suo mezo, va verso le estremità sempre più e più allontanandosi dal centro, e però ascendendo sempre; il che si tira in conseguenza, essere impossibile che il moto si perpetui, anzi che né pur per qualche spazio si mantenga equabile, ma ben sempre vadia languendo. In oltre, è, per mio credere, impossibile lo schivar l’impedimento del mezo, sì che non levi l’equabilità del moto trasversale e la regola dell’accelerazione ne i gravi cadenti. Dalle quali tutte difficoltà si rende molto improbabile che le cose dimostrate con tali supposizioni incostanti possano poi nelle praticate esperienze verificarsi.
SALV. Tutte le promosse difficoltà e instanze son tanto ben fondate, che stimo essere impossibile il rimuoverle, ed io, per me, le ammetto tutte, come anco credo che il nostro Autore esso ancora le ammetterebbe; e concedo che le conclusioni così in astratto dimostrate si alterino in concreto, e si falsifichino a segno tale, che né il moto trasversale sia equabile, né l’accelerazione del naturale sia con la proporzion supposta, né la linea del proietto sia parabolica, etc.: ma ben, all’incontro, domando che elle non contendano al nostro Autor medesimo quello che altri grandissimi uomini hanno supposto, ancor che falso. E la sola autorità d’Archimede può quietare ogn’uno, il quale, nelle sue Mecaniche e nella prima Quadratura della parabola, piglia come principio vero, l’ago della bilancia o stadera essere una linea retta in ogni suo punto equalmente distante dal centro commune de i gravi, e le corde alle quali sono appesi i gravi esser tra di loro parallele: la qual licenza viene da alcuni scusata, perché nelle nostre pratiche gli strumenti nostri e le distanze le quali vengono [p. 275 da noi adoperate, son così piccole in comparazione della nostra gran lontananza dal centro del globo terrestre, che ben possiamo prendere un minuto di un grado del cerchio massimo come se fusse una linea retta, e due perpendicoli che da i suoi estremi pendessero, come se fussero paralleli. Che quando nelle opere praticali si avesse a tener conto di simili minuzie, bisognerebbe cominciare a riprendere gli architetti, li quali col perpendicolo suppongono d’alzar le altissime torri tra linee equidistanti. Aggiungo qui, che noi possiamo dire che Archimede e gli altri supposero nelle loro contemplazioni, esser costituiti per infinita lontananza remoti dal centro, nel qual caso i loro assunti non erano falsi, e che però concludevano con assoluta dimostrazione. Quando poi noi vogliamo praticar in distanza terminata le conclusioni dimostrate col suppor lontananza immensa, doviamo diffalcar dal vero dimostrato quello che importa il non esser la nostra lontananza dal centro realmente infinita, ma ben tale che domandar si può immensa in comparazione della piccolezza de gli artificii praticati da noi: il maggior de i quali sarà il tiro de i proietti, e di questi quello solamente dell’artiglierie, il quale, per grande che sia, non passerà 4 miglia di quelle delle quali noi siamo lontani dal centro quasi altrettante migliara; ed andando questi a terminar nella superficie del globo terrestre, ben potranno solo insensibilmente alterar quella figura parabolica, la quale si concede che sommamente si trasformerebbe nell’andare a terminar nel centro.
Quanto poi al perturbamento procedente dall’impedimento del mezo, questo è più considerabile, e, per la sua tanto moltiplice varietà, incapace di poter sotto regole ferme esser compreso e datone scienza; atteso che, se noi metteremo in considerazione il solo impedimento che arreca l’aria a i moti considerati da noi, questo si troverà perturbargli tutti, e perturbargli in modi infiniti, secondo che in infiniti modi si variano le figure, le gravità e le velocità de i mobili. Imperò che, quanto alla velocità, secondo che questa sarà maggiore, maggiore sarà il contrasto fattogli dall’aria; la quale anco impedirà più i mobili secondo che saranno men gravi: talché, se bene il grave descendente dovrebbe andare accelerandosi in duplicata proporzione della durazion del suo moto, tuttavia, per gravissimo che fusse il mobile, nel venir da grandissime altezze sarà tale l’impedimento dell’aria, che gli torrà il poter crescere più la sua [p. 276 velocità, e lo ridurrà ad un moto uniforme ed equabile; e questa adequazione tanto più presto ed in minori altezze si otterrà, quanto il mobile sarà men grave. Quel moto anco che nel piano orizontale, rimossi tutti gli altri ostacoli, devrebbe essere equabile e perpetuo, verrà dall’impedimento dell’aria alterato, e finalmente fermato: e qui ancora tanto più presto, quanto il mobile sarà più leggiero. De i quali accidenti di gravità, di velocità, ed anco di figura, come variabili in modi infiniti, non si può dar ferma scienza: e però, per poter scientificamente trattar cotal materia, bisogna astrar da essi, e ritrovate e dimostrate le conclusioni astratte da gl’impedimenti, servircene, nel praticarle, con quelle limitazioni che l’esperienza ci verrà insegnando. E non però piccolo sarà l’utile, perché le materie e lor figure saranno elette le men soggette a gl’impedimenti del mezo, quali sono le gravissime e le rotonde, e gli spazii e le velocità per lo più non saranno sì grandi, che le loro esorbitanze non possano con facil tara esser ridotte a segno; anzi pure ne i proietti praticabili da noi, che siano di materie gravi e di figura rotonda, ed anco di materie men gravi e di figura cilindrica, come frecce, lanciati con frombe o archi, insensibile sarà del tutto lo svario del lor moto dall’esatta figura parabolica. Anzi (e voglio pigliarmi alquanto più di licenza) che ne gli artifizii da noi praticabili la piccolezza loro renda pochissimo notabili gli esterni ed accidentarii impedimenti, tra i quali quello del mezo è il più considerabile, vi posso io con due esperienze far manifesto. Io farò considerazione sopra i movimenti fatti per l’aria, ché tali son principalmente quelli de i quali noi parliamo; contro i quali essa aria in due maniere esercita la sua forza: l’una è coll’impedir più i mobili men gravi che i gravissimi; l’altra è nel contrastar più alla velocità maggiore che alla minore dell’istesso mobile. Quanto al primo, il mostrarci l’esperienza che due palle di grandezza eguali, ma di peso l’una 10 o 12 volte più grave dell’altra, quali sarebbero, per esempio, una di piombo e l’altra di rovere, scendendo dall’altezza di 150 o 200 braccia, con pochissimo differente velocità arrivano in terra, ci rende sicuri che l’impedimento e ritardamento dell’aria in amendue è poco: che se la palla di piombo, partendosi nell’istesso momento da alto con l’altra di legno, poco fusse ritardata, e questa molto, per assai notabile spazio [p. 277 devrebbe il piombo, nell’arrivare in terra, lasciarsi a dietro il legno, mentre è 10 volte più grave; il che tutta via non accade, anzi la sua anticipazione non sarà né anco la centesima parte di tutta l’altezza; e tra una palla di piombo ed una di pietra, che di quella pesasse la terza parte o la metà, appena sarebbe osservabile la differenza del tempo delle lor giunte in terra. Ora, perché l’impeto che acquista una palla di piombo nel cadere da un’altezza di 200 braccia (il quale è tanto, che continuandolo in moto equabile scorrerebbe braccia 400 in tanto tempo quanto fu quello della sua scesa) è assai considerabile rispetto alle velocità che noi con archi o altre machine conferiamo a i nostri proietti (trattone gl’impeti dependenti dal fuoco), possiamo senza errore notabile concludere e reputar come assolutamente vere le proposizioni che si dimostreranno senza il riguardo dell’alterazion del mezo. Circa poi all’altra parte, che è di mostrare, l’impedimento che l’istesso mobile riceve dall’aria, mentre egli con gran velocità si muove, non esser grandemente maggiore di quello che gli contrasta nel muoversi lentamente, ferma certezza ce ne porge la seguente esperienza. Sospendansi da due fili egualmente lunghi, e di lunghezza di 4 o 5 braccia, due palle di piombo eguali, e attaccati i detti fili in alto, si rimuovano amendue le palle dallo stato perpendicolare; ma l’una si allontani per 80 o più gradi, e l’altra non più che 4 o 5: sì che, lasciate in libertà, l’una scenda e, trapassando il perpendicolo, descrive archi grandissimi di 160, 150, 140 gradi, etc., diminuendogli a poco a poco; ma l’altra, scorrendo liberamente, passi archi piccoli di 10, 8, 6 etc., diminuendogli essa ancora a poco a poco: qui primieramente dico, che in tanto tempo passerà la prima li suoi gradi 180, 160 etc., in quanto l’altra li suoi 10, 8 etc. Dal che si fa manifesto, che la velocità della prima palla sarà 16 e 18 volte maggiore della velocità della seconda; sì che, quando la velocità maggiore più dovesse essere impedita dall’aria che la minore, più rade devriano esser le vibrazioni ne gli archi grandissimi di 180 e 160 gradi etc., che ne i piccolissimi di 10, 8, 4, ed anco di 2 e di 1: ma a questo repugna l’esperienza; imperò che se due compagni si metteranno a numerare le vibrazioni, l’uno le grandissime e l’altro le piccolissime, vedranno che ne numereranno non pur le decine, ma le centinaia ancora, senza discordar d’una sola, anzi d’un sol punto. E questa osservazione ci assicura congiuntamente delle 2 proposizioni, [p. 278 cioè che le massime e le minime vibrazioni si fanno tutte a una a una sotto tempi eguali, e che l’impedimento e ritardamento dell’aria non opera più ne i moti velocissimi che ne i tardissimi; contro a quello che pur dianzi pareva che noi ancora comunemente giudicassimo.
SAGR. Anzi, perché non si può negare che l’aria impedisca questi e quelli, poi che e questi e quelli vanno languendo e finalmente finiscono, convien dire che tali ritardamenti si facciano con la medesima proporzione nell’una e nell’altra operazione. Ma che? l’avere a far maggior resistenza una volta che un’altra, da che altro proced’egli fuor che dall’esser assalito una volta con impeto e velocità maggiore, ed un’altra con minore? E se questo è, la quantità medesima della velocità del mobile è cagione ed insieme misura della quantità della resistenza. Adunque tutti i moti, siano tardi o veloci, son ritardati e impediti con l’istessa proporzione: notizia, par a me, non disprezzabile.
SALV. Possiam per tanto anco in questo secondo caso concludere, che le fallacie nelle conclusioni le quali astraendo da gli accidenti esterni si dimostreranno, siano ne gli artifizii nostri di piccola considerazione, rispetto a i moti di gran velocità, de i quali per lo più si tratta, ed alle distanze, che non sono se non piccolissime in relazione alla grandezza del semidiametro e de i cerchi massimi del globo terrestre.
SIMP. Io volentieri sentirei la cagione per la quale V. S. sequestra i proietti dall’impeto del fuoco, cioè, come credo, dalla forza della polvere, da gli altri proietti con frombe archi o balestre, circa ’l non essere nell’istesso modo soggetti all’alterazione ed impedimento dell’aria.
SALV. Muovemi l’eccessiva e, per via di dire, furia soprannaturale con la quale tali proietti vengono cacciati; ché bene anco fuora d’iperbole mi par che la velocità con la quale vien cacciata la palla fuori d’un moschetto o d’una artiglieria, si possa chiamar sopranaturale. Imperò che, scendendo naturalmente per l’aria da qualche altezza immensa una tal palla, la velocità sua, mercé del contrasto dell’aria, non si andrà accrescendo perpetuamente: ma quello che ne i cadenti poco gravi si vede in non molto spazio accadere, dico di ridursi finalmente a un moto equabile, accaderà ancora, dopo la [p. 279 scesa di qualche migliara di braccia, in una palla di ferro o di piombo; e questa terminata ed ultima velocità si può dire esser la massima che naturalmente può ottener tal grave per aria: la qual velocità io reputo assai minor di quella che alla medesima palla viene impressa dalla polvere accesa. Del che una assai acconcia esperienza ci può render cauti. Sparisi da un’altezza di cento o più braccia un archibuso con palla di piombo all’in giù perpendicolarmente sopra un pavimento di pietra, e col medesimo si tiri contro una simil pietra in distanza d’un braccio o 2, e veggasi poi qual delle 2 palle si trovi esser più ammaccata: imperò che, se la venuta da alto si troverà meno schiacciata dell’altra, sarà segno che l’aria gli avrà impedita e diminuita la velocità conferitagli dal fuoco nel principio del moto, e che, per conseguenza, una tanta velocità non gli permetterebbe l’aria che ella guadagnasse già mai venendo da quanto si voglia subblime altezza; ché quando la velocità impressagli dal fuoco non eccedesse quella che per se stessa, naturalmente scendendo, potesse acquistare, la botta all’ingiù devrebbe più tosto esser più valida che meno. Io non ho fatto tale esperienza, ma inclino a credere che una palla d’archibuso o d’artiglieria, cadendo da un’altezza quanto si voglia grande, non farà quella percossa che ella fa in una muraglia in lontananza di poche braccia, cioè di così poche, che ’l breve sdrucito, o vogliam dire scissura, da farsi nell’aria non basti a levar l’eccesso della furia sopranaturale impressagli dal fuoco. Questo soverchio impeto di simili tiri sforzati può cagionar qualche deformità nella linea del proietto, facendo ’l principio della parabola meno inclinato e curvo del fine; ma questo, poco o niente può esser di progiudizio al nostro Autore nelle praticali operazioni: tra le quali principale è la composizione d’una tavola per i tiri che dicono di volata, la quale contenga le lontananze delle cadute delle palle tirate secondo tutte le diverse elevazioni; e perché tali proiezzioni si fanno con mortari, e con non molta carica, in questi non essendo sopranaturale l’impeto, i tiri segnano le lor linee assai esattamente.
Ma in tanto procediamo avanti nel trattato, dove l’Autore ci vuole introdurre alla contemplazione ed investigazione dell’impeto del mobile, mentre si muove con moto composto di due; e prima, del composto di due equabili, l’uno orizontale e l’altro perpendicolare. [p. 280 Tarorewa II, Prorosimo IL
Si aliquod mobile duplici motu aequabili moveatur, nempe orizontali et perpendiculari, impetus seu momentum lationis ex utroque motu com- positae erit potentia aequalis ambobus momentis priorum motuum.
Moveatur enim aliquod mobile aequabiliter duplici latione, et mutationi
perpendiculari respondeat spatium ab, lationi vero horizontali codem tem- a Dore confectae respondeat bc. Cum igitur per motus
aequabiles conficiantur codem tempore spatia ab, be,
« ali erunt harum lationum momenta inter se ut ipsae ab, be: mobile vero, quod secundum lasce duas mutationes
movetur, describit diagonalem ac; erit momentum suae velocitatis ut ac. Verum ac potentia aequatur ipsis ab, be; ergo momentum compositum ex
utrisque momentis ab, bc est potentia tantum illis simul sumptis aequale : quod erat ostendendum.
SIMP. È necessario levarmi un poco di scrupolo che qui mi nasce, parendomi che questo, che ora si conclude, repugni ad un’altra proposizione del trattato passato, nella quale si affermava, l’impeto del mobile venente dall’a in b essere eguale al venente dell’a in c; ed ora si conclude, l’impeto in c esser maggiore che in b.
SALV. Le proposizioni, Sig. Simplicio, sono amendue vere, ma molto diverse tra di loro. Qui si parla d’un sol mobile, mosso d’un sol moto, ma composto di due, amendue equabili; e là si parla di 2 mobili, mossi di moti naturalmente accelerati, uno per la perpendicolare ab, e l’altro per l’inclinata ac. In oltre, i tempi quivi non si suppongono eguali, ma il tempo per l’inclinata ac è maggiore del tempo per la perpendicolare ab; ma nel moto del quale si parla al presente, i moti per le ab, bc, ac s’intendono equabili e fatti nell’istesso tempo.
SIMP. Mi scusino, e seguano avanti, ché resto acquietato.
Delle lin. 2-14 si ha una bozza, della mano giovanile di Gar1rxo0, nel cod. A, a car.91l., la quale presenta le seguenti varianti:
5. Tra acqualiliter e duplici si legge, cancellato, în perpendicuto ab uno motu, et codem tempore feratur aequabiliter per orizontem cb. — 6. orizontali —9. ipsac lineae ab — 11-12, mo- vetur, describet diametrum ac codem tempore quo facit mutationem perpendieularem ab et orizontalem be, critque momentum suac velocitatis ut ac; nc autem potentia — 14. quod erat demonstrandun. — [p. 281
SALV. Séguita l’Autore per incaminarci a intender quel che accaggia intorno all’impeto d’un mobile mosso pur d’un moto composto di 2, uno cioè orizontale ed equabile, e l’altro perpendicolare ma naturalmente accelerato, de i quali finalmente è composto il moto del proietto e si descrive la linea parabolica, in ciaschedun punto della quale si cerca di determinare quanto sia l’impeto del proietto. Per la cui intelligenza ci dimostra l’Autore il modo, o vogliàn dir metodo, di regolare e misurar cotale impeto sopra l’istessa linea nella quale si fa il moto del grave descendente con moto naturalmente accelerato, partendosi dalla quiete, dicendo:
TEOREMA 3. PROPOSIZIONE 3
Tueorema III, Proposimio II.
Fiat motus per lineam ab er quiete in a, et accipiatur in ca quodlibet punctum c; e ponatur ipsamet ac esse tempus, seu temporis Mensura, casus ipsius per spatium ac, nec non mensura quoque impetus seu momenti in puncto c ex descensu ac acquisiti. Modo sumatur in cadem linea ab quodcunque aliud punctum, utputa b, in quo determinan- dum est de impetu acquisito a mobili per
20 descensum ab, in ratione ad impetum quem obtinuit inc, cuius mensura posita est ac. Ponatur as media proportionalis inter ba, ac: demonstrabimus, impetum in b ad impetum in c esse ut lineam sa ad ac. Sumantur horizontales cd, dupla ipsius ac, be vero dupla ba: constat, ex dlemonstratis, cadens per ac, conversum in horizonte cd, atque iuxta impetum
Delle lin. 12 e seg., fino alla lin. 13 della pag. 282, si ha nel cod. A, a car. 91t., una bozza della mano giovanile di GatLEO e con aggiunte posteriori, pure autografe, le quali indichiamo qui abbasso tra le varianti, racchiudendole tra i segni { 4, posti il primo dove l'aggiunta comincia e il secondo dove finisce. Tale bozza comineia:
In motu ex quiete eadem ratione intenditur velocitatis momentum et tempus ipsius motus; e appresso presenta le seguenti varianti :
12. Fiat enim motus per ab ex — accipiatur quodlibet — 13-23. ponatur, ac esse tempus casus per ac, et momentum celeritatis in © { acquisitae | esse { pariter | ut ac, sumaturque rursus quodlibet punctum b: dico, momentum velocitatia in b ad momentum in c esse ut tempus casus per ab ad tempus per ac. Sumatur as media inter ba, ac; et cum positum sit, tempus casus per ac esse nc, erit as tempus per ab: demonstrandum igitur est, momentum celeritatis in e ad momentum caeleritatis [sic] in D esse ut ac ad as. Sumantur orizontales cd, dupla ad ca, De vero dupla ad ba — 24 e lin. 1-2 della pag. 282. orizonte cd, conficere cd $ motu aequabili 1 [p. 282
in c aoquwitum motu aequabili delaimn, conficere spaUum ed aequali tem- pore, atque ipsum ac motu accelerato confecit ; similiterque, ba confici eodem tempore atque ^h : sed tempus ipsius descemus ab est as : ergo ìiorizontalis be conficitur tempore as. Fiat ut tempus sa ad tempus ac, ita eb ad bl; cum- que ^notus per be sit aequabilis, erit spatiumhì peractum tepipore ac secun- dum momentum celeritatis in b : sed tempore eodem ac conficitur spatium ed secundy^m momentum celeritatis in e ; mome^nta autem celeritatis sunt inter se ut spatia, quae iuxta ipsa momenta eodem conficiuntur tempore : ergo momentum celeritatis in e ad momentmi celeritatis in b est ut de ad bl. Quia vero ut de ad be, ita ipsarum dimidia, nempe ea ad ab ; ut autem eb io ad bl, ita ba ad as ; ergo, ex aequali, ut de ad bl, ita ca a/:? as : hoc est, ut momentum celeritatis in e ad momentum celeritatis in b, ita ca ad! as, hoc est, tempus per ca ad tempus per ab.
Patet itaque ratio mensurandi impetum seu celeritatis momentum super linea in qua fit nyÉus descemus ; qui quidem impetus ponitur augeri prò ratione temporis.
Sic autem, antequam ulterius progrediamur, praemonendum est, quod
cum de motu composito ex aequaUli hori^ontali et ex natmraliter accelerato
deorsum futurus sit sermo (ex tali enim mixtione conflatur ac designatur
linea proiecti, nempe parabola), necesse habemus defi^nire aliquam commu- 20
e nem mensuram, iuxta quam utriusque motus velo-
citatem, impetum, seu momentum, dimetiri valeamus ;
cumque lationis aequabilis innumeri sint velocitatis
gradus, quorum non quilibet fortuito, sed unus ex
illis innu/meris, cum gradu celeritatis per motum
nat'uraliter acceleratum acquisito sit conferendus et
coniungendus, nullam facilimxm viam excogitare
potili prò eo eligendo atque determinando, quam
alium eiusdem generis assumendo. Ut autem clarius
me expUcem, intelligatur perpendicularis ac ad hori- 30
zontalem eb ; ac vero esse altitudinem, eb autem
amplitudinem semiparabolae ab, quae describitur a
cmnpositione duarum lationum, quarum una est mo-
aequali tempore atque ipsa j confecit motu accelerato naturaliter | ac ; ei similitery be confici — 3. ipsiiis ab est — orizontaUs — 6-7. sed secundum momentum caeleritatis [sic] in e eodem tempore ac conficitur spacium ed ; momenta — 8. ipsa f momento, | eodem — 10. dimidia, f nempe | ca ad — 13. Dopo « tempus per ab » nella bozza autografa si legge : quod^ erat demonstrandum. [p. 283 bilis descendentis per ac motu naturaliter accelerato ex quiete in a, altera est motus transversalis aequabilis iurta horizontalem ad. Impetus aciuisitus in c per descensum au determinatur a quantitate eiusdem altitudinis ac; unus enim atque idem est semper impetus mobilis ex eadem altitudine ca- dentis: verum in horizontali non unus, sed innumeri ussignari possunt gradus velocitatis motuum aequabilium. Ex quorum multitudine ut illum quem elegero a reliquis segregare et quasi digito monstrare possim, altitu- dinem ca in sublimi extendam, in qua, prout opus fuerit, sublimitatem ae firmabo : ex qua si cadens ex quiete in e mente concipiam, patet, impetum eius în termino a acquisitum, unum esse cum quo idem mobile, per hori- zontalem ad conversum, ferri concepero; eiusque gradum celeritatis esse illum, quo, in tempore descensus per ea, spatium in horizontali duplum ipsius ea conficiet. Haec praemonere necessarium visum est.
Advertatur insuper; semiparabolae ab « amplitudinem » a me vocari horizontalem ch;
« altitudinem », ac nempe, eiusdem parabolae arem :
lineam vero ea, ex cuius descensu determinatur impetus horizontalis, « sublimitatem » appello.
His declaratis ac definitis, ad demonstrandum me confero.
SAGR. Fermate, in grazia, perché qui mi par che convenga adornar questo pensiero dell’Autore con la conformità del concetto di Platone intorno al determinare le diverse velocità de i moti equabili delle conversioni de i moti celesti. Il quale, avendo per avventura auto concetto, non potere alcun mobile passare dalla quiete ad alcun determinato grado di velocità, nel quale ei debba poi equabilmente perpetuarsi, se non col passare per tutti gli altri gradi di velocità minori, o vogliam dire di tardità maggiori, che tra l’assegnato grado e l’altissimo di tardità, cioè della quiete, intercedono, disse che Iddio, dopo aver creati i corpi mobili celesti, per assegnar loro quelle velocità con le quali poi dovessero con moto circolare equabile perpetuamente muoversi, gli fece, partendosi loro dalla quiete, muover per determinati spazii di quel moto naturale e per linea retta secondo ’l quale noi sensatamente veggiamo i nostri mobili muoversi dallo stato di quiete accelerandosi successivamente; e soggiugne che, avendogli fatto guadagnar quel grado nel quale gli piacque che poi dovessero mantenersi perpetuamente, convertì il moto loro retto in [p. 284 circolare, il quale solo è atto a conservarsi equabile, rigirandosi sempre senza allontanarsi o avvicinarsi a qualche prefisso termine da essi desiderato. Il concetto è veramente degno di Platone; ed è tanto più da stimarsi, quanto i fondamenti taciuti da quello e scoperti dal nostro Autore, con levargli la maschera o sembianza poetica, lo scuoprono in aspetto di verace istoria. E mi pare assai credibile, che avendo noi per le dottrine astronomiche assai competente notizia delle grandezze de gli orbi de i pianeti e delle distanze loro dal centro intorno al quale si raggirano, come ancora delle loro velocità, possa il nostro Autore (al quale il concetto Platonico non era ascosto) aver tal volta per sua curiosità auto pensiero d’andare investigando se si potesse assegnare una determinata sublimità, dalla quale partendosi, come da stato di quiete, i corpi de i pianeti, e mossisi per certi spazii di moto retto e naturalmente

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accelerato, convertendo poi la velocità acquistata in moti equabili, si trovassero corrispondere alle grandezze de gli orbi loro e a i tempi delle loro revoluzioni.
SALV. Mi par sovvenire che egli già mi dicesse, aver una volta fatto il computo, ed anco trovatolo assai acconciamente rispondere alle osservazioni, ma non averne voluto parlare, giudicando che le troppe novità da lui scoperte, che lo sdegno di molti gli hanno provocato, non accendessero nuove scintille. Ma se alcuno avrà simil desiderio, potrà per se stesso, con la dottrina del presente trattato, sodisfare al suo gusto. Ma seguitiamo la nostra materia, che è di dimostrare:
PROBLEMA 1. PROPOSIZIONE 4
Quomodo in datae parabolae, a proiecto descriptae, punctis singulis im-
petus sit determinandus.
Sit semiparabola bec, cuius amplitudo cd, altitudo db, quae extensa in sublimi occurrat tangenti parabolum ca in a; et per verticem b sit hori- 30 zonti et cd parallela bi. Quod si amplitudo cd sit aequalis toti altitudini da, erit bi aequalis ba et bd; et si temporis casus per ab, et momenti veloci- tatis acquisiti in b per descensum ab er quiete in a, ponamus mensuram esse ipsammet ab, erit de (dupla nempe bi) spatium quod per impetum ab, per horizontalem conversum, conficiet codem tempore : sed eodem tempore [p. 285 8
30
INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE. — GIORNATA QUARTA. 285
cadens per bd ex quiete in b conficit altitudinem bA : ergo mobile cadens ex quiete in a, per ab conversum cum impetu ab, per horizontalem conficit spatium aequale«dc. Superveniente vero casu per bd, conficit altitudinem bd, et parabola be designatur, cuius impetus a in termino c est compositus ex aequabili transversali, cuius momentum est ut ab, et ex altero momento acquisito in descensu bd in termino d seu c; quae momenta aequalia sunt. Sì ergo intelligamus, ab alterius illo rum esse mensuram, ut puta transversalis aequabilis ; bi vero, quae ipsi bd est aequa- lis, esse mensuram impetus acquisiti in A seu c; subtensa ia erit quantitas momenti compositi ex ambobus : erit ergo quantitas seu mensura integri momenti, quo proîectum veniens per parabolam be impetum facit in.c. His retentis, accipiatur in parabola quodlibet punctum e, in quo de impetu proiecti determinandum sit. Ducatur horizontalis ef, et accipiatur bg media proportionalis inter bd, bf: cumque posita sit ab, seu bd, esse mensura temporis et momenti velocitatis in casu bd em quiete in b, erit bg tempus seu mensura temporis et impetus in f venientis ex b. Sì igitur ponatur bo aequalis bg, iuncta diagonalis ao erit quantitas impetus in puncto e: est enim ab determinatrix posita temporis et impetus in Db, qui conversus in horizontali semper servatur idem; bo vero deter- minat impetum in f seu e per descensum ex quiete in b in altitudine bf; his autem ab, bo potentia aequipollet ao. Patet ergo quod quaerebatur.
SAGR. La contemplazione del componimento di questi impeti diversi, e della quantità di quell’impeto che da tal mistione ne risulta, mi giugne tanto nuova, che mi lascia la mente in non piccola confusione: non dico della mistione di due movimenti equabili, benché tra di loro diseguali, fatti uno per la linea orizontale e l’altro per la perpendicolare, ché di questi resto capacissimo farsi un moto in potenza eguale ad amendue i componenti; ma mi nasce confusione nel mescolamento dell’orizontale equabile, e perpendicolare naturalmente accelerato. Però vorrei che insieme digerissimo meglio questa materia.
38. equabile perpendicolare, s — � [p. 286
SIMP. Ed io tanto più ne son bisognoso, quanto che non sono ancor totalmente quietato di mente, come bisogna, nelle proposizioni che sono come primi fondamenti dell’altre che gli seguono appresso. Voglio inferire che anco nella mistione de i due moti equabili, orizontale e perpendicolare, vorrei meglio intendere quella potenza del lor composto. Ora, Sig. Salviati, V. S. intende il nostro bisogno e desiderio.
SALV. Il desiderio è molto ragionevole, e tenterò se l’aver io più lungo tempo potuto pensarvi sopra, può agevolare la vostra intelligenza. Ma converrà comportarmi e scusarmi, se nel discorrere andrò replicando buona parte delle cose sin qui poste dall’Autore.
Discorrer determinatamente circa i movimenti e lor velocità o impeti, siano quelli o equabili o naturalmente accelerati, non possiamo noi senza prima determinar della misura che usar vogliamo per misurar tali velocità, come anco della misura del tempo. Quanto alla misura del tempo, già abbiamo la comunemente ricevuta per tutto, delle ore, minuti primi e secondi etc.; e come per misura del tempo ci è la detta comune, ricevuta da tutti, così bisogna assegnarne una per le velocità, che appresso tutti sia comunemente intesa e ricevuta, cioè che appresso tutti sia l’istessa. Atta per tale uso ha stimato l’Autore, come si è dichiarato, esser la velocità de i gravi naturalmente descendenti, de i quali le crescenti velocità in tutte le parti del mondo serbano l’istesso tenore; sì che quel grado di velocità che (per esempio) acquista una palla di piombo d’una libra nell’esser, partendosi dalla quiete, scesa perpendicolarmente quanto è l’altezza di una picca, è sempre e in tutti i luoghi il medesimo, e per ciò accomodatissimo per esplicar la quantità dell’impeto derivante dalla scesa naturale. Resta poi il trovar modo di determinare anco la quantità dell’impeto in un moto equabile in guisa tale, che tutti coloro che circa di quello discorrino, si formino l’istesso concetto della grandezza e velocità sua, sì che uno non se lo figuri più veloce e un altro meno, onde poi nel congiugnere e mescolar questo da sé concepito equabile con lo statuito moto accelerato, da diversi uomini ne vengano formati diversi concetti di diverse grandezze d’impeti. Per determinare e rappresentare cotal impeto e velocità particolare, non ha trovato il nostro Autore altro mezo più accomodato, che ’l servirsi dell’impeto che va acquistando il mobile nel moto naturalmente accelerato del quale qualsivoglia momento acquistato, convertito [p. 287 in moto equabile, ritien la sua velocità limitata precisamente, e tanta, che in altrettanto tempo quanto fu quello della scesa passa doppio spazio dell’altezza dalla quale è caduto. Ma perché questo è punto principale nella materia che si tratta, è bene con qualche esempio particolare farsi perfettamente intendere.
A quanto sin qui è considerato circa questi impeti, colpi o vogliam dir percosse, di tali proietti, convien aggiugnere un’altra molto necessaria considerazione: e questa è, che non basta por mente alla sola velocità del proietto per ben determinare della forza ed energia della percossa, ma convien chiamare a parte ancora lo stato e condizione di quello che riceve la percossa, nell’efficacia della quale esso per più rispetti ha gran participazione e interesse. E prima, non è chi non intenda che la cosa percossa intanto patisce violenza dalla velocità del percuziente, in quanto ella se gli oppone, e frena in tutto o in parte il moto di quello: ché se il colpo arriverà sopra tale che ceda alla velocità del percuziente senza resistenza alcuna, tal colpo sarà nullo; e colui che corre per ferir con lancia il suo nimico, se nel sopraggiugnerlo accaderà che quello si muova fuggendo con pari velocità, non farà colpo, e l’azzione sarà un semplice toccare senza offendere. Ma se la percossa verrà ricevuta in un oggetto che non in tutto ceda al percuziente, ma solamente in parte, la percossa danneggerà, ma non con tutto l’impeto, ma solo con l’eccesso della velocità di esso percuziente sopra la velocità della ritirata e cedenza del percosso: sì che, se, v. g., il percuziente arriverà con 10 gradi di velocità sopra ’l percosso, il quale, cedendo in parte, si ritiri con gradi 4, l’impeto e percossa sarà come di gradi 6. E finalmente, intera e massima sarà la percossa, per la parte del percuziente, quando il percosso nulla ceda, ma interamente si opponga, e fermi tutto ’l moto del percuziente; se però questo può accadere. Ed ho detto per la parte del percuziente, perché quando il percosso si movesse con moto contrario verso ’l percuziente, il colpo e l’incontro si farebbe tanto più gagliardo, quanto le 2 velocità contrarie unite son maggiori che la sola del percuziente. Di più, conviene anco avvertire che il ceder più o meno può derivare non solamente dalla qualità della materia più o meno dura, come se sia di ferro, di piombo o di lana etc., ma [p. 292 dalla positura del corpo che riceve la percossa: la qual positura se sarà tale che ’l moto del percuziente la vadia a investire ad angoli retti, l’impeto del colpo sarà il massimo; ma se ’l moto verrà obbliquamente e, come diciamo noi, a scancìo, il colpo sarà più debole, e più e più secondo la maggiore obbliquità; perché in oggetto in tal modo situato, ancor che di materia sodissima, non si spegne e ferma tutto l’impeto e moto del percuziente, il quale, sfuggendo, passa oltre, continuando almeno in qualche parte a muoversi sopra la superficie del resistente opposto. Quando dunque si è di sopra determinato della grandezza dell’impeto del proietto nell’estremità della linea parabolica, si deve intendere della percossa ricevuta sopra una linea ad angoli retti ad essa parabolica o vero alla tangente la parabola nel detto punto; perché, se ben quel moto è composto d’un orizontale e d’un perpendicolare, l’impeto né sopra l’orizontale né sopra ’l piano eretto all’orizonte è il massimo, venendo sopra amendue ricevuto obbliquamente.
SAGR. Il ricordar V. S. questi colpi e queste percosse mi ha risvegliato nella mente un problema o vogliam dire questione mecanica, della quale non ho trovato appresso autore alcuno la soluzione, né cosa che mi scemi la maraviglia o al meno in parte mi quieti l’intelletto. E ’l dubbio e lo stupor mio consiste nel non restar capace onde possa derivare, e da qual principio possa dependere, l’energia e la forza immensa che si vede consistere nella percossa, mentre col semplice colpo d’un martello, che non abbia peso maggiore di 8 o 10 libre, veggiamo superarsi resistenze tali, le quali non cederanno al peso d’un grave che, senza percossa, vi faccia impeto, solamente calcando e premendo, benché la gravità di quello passi molte centinaia di libre. Io vorrei pur trovar modo di misurar la forza di questa percossa; la quale non penso però che sia infinita, anzi stimo che ella abbia il suo termine da potersi pareggiare e finalmente regolare con altre forze di gravità prementi, o di leve o di viti o di altri strumenti mecanici, de i quali io a sodisfazione resto capace della multiplicazione della forza loro.
SALV. V. S. non è solo, nella maraviglia dell’effetto e nella oscurità della cagione di così stupendo accidente. Io vi pensai per alcun tempo in vano, accrescendo sempre la confusione, sin che finalmente, incontrandomi nel nostro Academico, da esso ricevei doppia consolazione: [p. 293 prima, nel sentire come egli ancora era stato lungo tempo nelle medesime tenebre; e poi nel dirmi che, dopo l’avervi in vita sua consumate molte migliara di ore specolando e filosofando, ne aveva conseguite alcune cognizioni lontane dai nostri primi concetti, e però nuove e per la novità ammirande. E perché ormai so che la curiosità di V. S. volentieri sentirebbe quei pensieri che si allontanano dall’opinabile, non aspetterò la sua richiesta, ma gli do parola che, spedita che avremo la lettura di questo trattato de i proietti, gli spiegherò tutte quelle fantasie, o vogliàn dire stravaganze, che de i discorsi dell’Accademico mi son rimaste nella memoria. In tanto seguitiamo le proposizioni dell’Autore.
Propositio V, ProBLEMA.
In are extenso datae parabolae punctum sublime reperire, ex quo cadens
parabolam ipsam describit.
Sit parabola ab, cuius amplitudo hb, et axis extensus he, in quo repe- rienda sit sublimitas, cx qua cadens, et impetum in a conceptum in horizon- talem convertens, parabolam ab de- e scribat. Ducatur horizontalis ag, quae erit parallela ipsi bh, et posita af
20 aequali ah, ducatur recta fb, quae pa- Sf rabolam tanget in b, et horizontalem ag in g secabit ; accipiaturque ipsarum fa,
ag tertia proportionalis ae: dico, e 4 a esse punctum sublime quaesitum, ex quo cadens ex quiete in e, et con- b K
ceptum impetum in a în horizontalem convertens, superveniente impetu descensus in h ex quiete in a, parabo- lam ab describet. Si enim intelligumus, ca esse mensuram temporis descensus ex e in a, nec non impetus acquisiti in a, erit ag (media nempe inter ea, af) 30 tempus et impetus venientis ex Î in a, seu ex a in h: et quia veniens ex e, tempore ca, cum impetu acquisito in a, conficit in latione horizontali, motu aequabili, duplam ea, ergo ctiam latum ecodem impetu conficiet in tempore ag duplam ga, mediam nempe bh (spatia enim confecta eodem motu aequabili sunt inter se ut eorundem motuum tempora), et in perpendiculari motu ex quiete, eodem tempore ga, conficitur ah; ergo codem tempore con- � [p. 294 294
DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE
ficiunkir a mobili amplikido lib et altitudo ali. Describitur ergo parabola ab ex casti venientis a sublimitate e : gmd quaerebatur,
COROLLARIUM.
Hinc constai, cUmidiam basim, seu ampUttidinem, semiparabolae (quae est cjuarta pars amplitudinis integrae parabolae) esse mediam proportio- nalem inter altitudinem eitis et stiblimitatem ex qua cadens eam designat.
Propositio VIj Problema.
Data stiblimitate et altitudine semiparabolae, aniplUudinem reperire,
Sit ad ìiorizontalem Uneani de ^;e>-
pendicularis ac, in qua data sit altitudo io cb et suhlimitas ba : oportet, in ìiorizon- tali ed amplitudinem semiparabolae re- perire^ quae ex sublimitate ba cum alti- tudine bc designatur. Accipiatur media proporti/malis inter cb, ba, cuius ed po- natur dupla : dico, ed esse amplitudinem quaesitam, Id autem ex praecedenti ma- nifestum est.
Theorema, Propositio VII.
In proiectis a quibus semiparabolae eiusdem amplitudinis describuntur, 20 minor requiritur impetus in eo quod describit Ulani cuius amplitudo suae altitudinis est dupla, quam in quolihet alio. Sit enim semiparabolahd, cuius amplitudo ed dupla sit altitudinis suae eb, et in axe in sublimi extenso ponatur ba altitudini bc aequalis, et iunga- tur adj quae semiparabolam tanget in d et ìiorizontalem be secahit in e, eritque be ipsi be, seu ba, aequalis : constat, ipsam describi a proiecto, cuius impetus aequabilis korizontalis sit qualis est in b cadentis ex quiete in a, impetus vero naturalis deorsum qualis est venientis in e ex quiete in b ; ex quo constat, impetum ex istis compositum, quodque in termino d im- pingit, esse ut diagonalem ae, potentia nempe ipsis ambobus aequalem. Sit 30 nuKÌo quaelibet alia semiparabola gd, cuius amplitudo eadem ed, altitudo [p. 295 INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE. — GIORNATA QUARTA.
295
vero cg minor vel maior altitudine bc, eamque tangat hd, secans hori^on- talem per g ductam in punto k ; et fiat ut hg ad gk, ita kg ad gì : erit, ex antedemonstratisy altitudo gì, ex qua cadens describet paraholam gd. Inter ab et gì media propoìiionalis sii gm : erit gm tempus et momentum, sive impetus, in g cadentis ex 1 {positum enim est, ab esse mensuram tem-
poris et impetus), Sit rursus inter bc, cg media gn, quae erit temporis et impetus mensura cadentis ex g in e. Si igitur iungatur mn, erit ipsa im- petus mensura proiecti per paraholam dg, illidentis in termino d : quem quidem impetum, maiorem esse dico impetu proiecti per parabolani bd, cuius 10 quantitas erat ut ae. Quia enim gnposita est media inter bc, cg ; est autem bc aequalis be, hoc est kg {est enim unaquaeque subdupla de); erit ut cg ad gn, ita ng a6? gk, et ut cg, S6^f hg, tó gk, ito quadratum ng tó g«(a- dratum gk : ^if a^iem hg a(? gk, ita facta est kg ad gì : er^o ^^ ng ad quadratum gk, ito kg ad gì. /Sie^? «*^ kg ad gì, ito quadratum kg a^ g^^a- dratum gm ; me^^ia mm esf gm inter kg, gì : er^o tria quadrata ng, kg, gm sunt continue proportionalia, et duo extrema ng, gm simul sumpta, id est quadratum mn, maius quam duplum quadrati kg, cuius quadratum ae du- plum est : ergo quadratum mn maius est quadrato ae, et linea mn maior linea ea : quod erat demonstrandum.
8. paraholam bd, illidentis, s — 11. 7ioc esi hg, s • [p. 296 296 DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE
COROLLAEIUM.
Hinc apparet^ quod^ conversimi in proiecto ex termino d per semipara- hdam db minor impetus requiritur, quam per quamcunque aliam iuxta eie- vationem maiorem seu minorem elevatione semiparabolae bd, quae est iuxta tangentem ad, angulum semirectum supra liorkonte continentem. Quod cum ita sit^ constat quod, si cum eodem impetu fiant proiectiones ex termino d iuxta diversas elevationes, maxima proiectio, seu amplitudo semiparaholae sive integrae paraholae, erit quae cmisequitur ad elevationem anguli se- mirecti; reliquae vero iuxta maiores sive minores angulos factae, mino- res erunt, io
SAGR. Piena di maraviglia e di diletto insieme è la forza delle dimostrazioni necessarie, quali sono le sole matematiche. Gia sapevo io, per fede prestata alle relazioni di più bombardieri, che di tutti i tiri di volata dell’artiglieria, o del mortaro, il massimo, cioè quello che in maggior lontananza caccia la palla, era il fatto all’elevazione di mezo angolo retto, che essi dicono del sesto punto della squadra; ma l’intender la cagione onde ciò avvenga, supera d’infinito intervallo la semplice notizia auta dalle altrui attestazioni, ed anco da molte replicate esperienze.
SALV. V. S. molto veridicamente discorre: e la cognizione d’un solo effetto acquistata per le sue cause ci apre l’intelletto a ’ntendere ed assicurarci d’altri effetti senza bisogno di ricorrere alle esperienze, come appunto avviene nel presente caso; dove, guadagnata per il discorso dimostrativo la certezza dell’essere il massimo di tutti i tiri di volata quello dell’elevazione dell’angolo semiretto, ci dimostra l’Autore quello che forse per l’esperienza non è stato osservato: e questo è, che de gli altri tiri, quelli sono tra di loro eguali, le elevazioni de i quali superano o mancano per angoli eguali dalla semiretta: sì che le palle tirate dall’orizonte, una secondo l’elevazione di 7 punti e l’altra di 5, andranno a ferir su l’orizonte in lontananze eguali, e così eguali saranno i tiri di 8 e di 4 punti, di 9 e di 3, etc. Or sentiamone la dimostrazione. [p. 297 . INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE. — GIORNATA QUARTA.
297
Theorema, Propositio vili,
Amplitudines parabolarum a proiedis eodem impetu explosis fadarum^ iuxta elevationes per angulos aequales supra et infra a semiredo distantes, aequales sunt inter se. Trianguli mcb circa angulum redum e sint ìiorizontalis bc et perpen-
dicularis cm aequales ; sic enim angulus mbc semirectus erit : et extensa cm
in d, stipra et infra diagonalem mb constituantur
in b duo anguli aequales^ mbe, mbd : demonstran-
dum est; amplitudines parabolarmn a proiedis explosis 10 eodsm impetu ex termino b iuxta elevationes angu-
loriim ebc, dbc, esse aequales. Quia enim angulus
externus bmc internis mdb, dbm est aequalis, iisdem
aequabitur quoque angulus mbc : quod si loco an-
guli dbm ponamus mbe, erit idem angulus mbc
duobus mbCj bdc aequalis; et dempto communi mbe,
reliquus bdc reliquo ebc erit aequalis : sunt igitur f
trianguli deb, bce similes, JDividantur rectae de, ec
hifariam in h et f, et ducantur hi, fg Iwrizontali cb aequidistantes, et ut dh
ad hi, ita fiat ih ad hi : erit triangulus ihl similis triangulo ihd, cui etiam 20 similis est egf ; cumque ih, gf sint aequales (dimidiae nempe ipsius bc),
erit fé, id est fc, aequalis hi ; et addita communi fh, erit eh ipsi fi aequalis.
Si itaque intelligamus, per h e^ b semiparaholam esse descriptam, cuius
altitudo erit he, suUimitas vero hi, erit amplitudo eius cb, quae dupla est
ad hi, media scilicet inter dh, seu eh, et hi ; eamque tanget db, aequalibus
existentihus eh, hd. Qwc? st'^, rursus, parabolam per fb descriptam conci-
piamtis a sublimitate fi cum altitudine fc, quarum media proportionalis est fg,
Delle lin. 2 e seg., fino alla lin. 3 della pag. 298, si ha una bozza autografa nel cod. A, a car. 82r., in capo alla quale, pur di mano di Galileo, si legge : « Paràboìarum quarum anguli eìevationum aequaìiter differunt a semirecto », e un po' più sotto : « Scritta ». La bozza comincia così : « In Sanguìo reetangulo bcm sint latera me, cb aequalia, et supra et infra U* neam mb constituantur utcumque anguli aequales mbe, mbd; et quia semirectus m aequaiur internis d, b Sanguli mdb, iisdem aequabitur alter semirectus mbc : quod si loco dbm suma^ tur mbe, erit idem semirectus mbc aequalis duobus d, mbe, et dempto communi mbe, erit reliquus ebc aequalis ipsi d. Dividantur ed, ce hifariam » ; dopo di che continua, conforme al testo della stampa (lin. 18), in h et f, et ducantur ecc., presentando le seguenti varianti :
18. fg parallelae ipsi cb, et — 22. et b parabolam esse — 23. vero hi, erit eius amplitudo cb, quae — 25-26. Tra concipianius e a erano state scritte alcune parole, le quali furono poi
VIIT. ss [p. 298 298
DISCOKSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE
cuius dupla est hm'imntalis cb, erit pariter cb eius mnplitudo, iUamque tanget eb, cum ef, fc sint aequales : distant autem anguli dbc, ebc (eleva- tiones scilicet ipsarum) aequaliter a semirecto : ergo patet propositum.
Theorema, Propositio IX.
Aequales sunt amplitudines paraholarum, quarum altitudines et suhli-
mitates e contrario sibi respondent, Paraholae fh altitudo gf ad altitudinem cb parabolae bd eandem ìiaheat rationem, quam suNimitas ba ad' sublimitatem fé : dico, amplittidinem hg
d amplitudini de esse aequa- lem. Cum enim prima gi ad io secundam cb eandem ìiaheat rationem quam terfia ba ad quartamte, rectangulum gfe, t primae et quartae, acquale erit rectangulo cba, secundae et tertiae; ergo quadrata quae hisce rectangulis aequalia sunt, aequalia erunt inter se : rectangulo vero gfe acquale est quadratum dimidiae gh ;. rectangulo autem cba acquale est quadratum dimidiae ed : ergo quadrata haec, et corum latera, et laterum dupla, aequalia erunt. Haec 20 autem sunt amplitudines gh, ed : ergo patet proposittim.
LEMMA PRO SEQUENTI.
Si recta linea secta fuerit utcumquc, quadrata mediarum inter tMam et partes aequalia sunt quadrato totius.
i^ ^ Secta sit ab utcunque in e : dico, quadrata li-
nearum mediarum inter totani ab et partes ac, cb^
simul sumpta, aequ '^«"-
vono invece tener dietro fmmed LT T T'"^ '^' ^ '^ ^-««^^'^'^ ^ ^-
alle parole C^^::rStXTt .t^^^Sr;"^' 'T "'^^ "
Ì2 l:^ —ciata separatament: Ì::7j::^ZlZ:!^:^Z:
Gr. Gr. Gr. Gr. 45 10000 69 6692 21 46 9994 44 70 6428 20 47 9976 43 71 6157 19 48 9945 42 72 5878 18 49 9902 41 73 5592 17 50 9848 40 74 5300 16
51 9782 39 75 5000 15 52 9704 38 76 4694 14 53 9612 37 77 4383 13 54 9511 36 78 4067 12 55 9396 35 79 3746 11 56 9272 34 80 3420 10 57 9136 33 81 3090 9 58 8989 32 82 2756 8 59 8829 31 83 2419 7 60 8659 30 84 2079 6 61 8481 29 85 1736 5 62 8290 28 86 1391 4 63 8090 27 87 1044 3 64 7880 26 88 698 2 65 7660 25 89 349 1 66 7431 24
67 7191 23
68 6944 22
Gr. Gr. Gr. Gr.
1 3 46 5173 25 1786 70 8830
2 13 47 5346 26 1922 71 8940
3 28 48 5523 27 2061 72 9045
4 50 49 5698 28 2204 73 9144
5 76 50 5868 29 2351 74 9240
6 108 51 6038 30 2499 75 9330
7 150 52 6207 31 2653 76 9415
8 194 53 6379 32 2810 77 9493
9 245 54 6546 33 2967 78 9567
10 302 55 6710 34 3128 79 9636
11 365 56 6873 35 3289 80 9698
12 432 57 7033 36 3456 81 9755
13 506 58 7190 37 3621 82 9806
14 585 59 7348 38 3793 83 9851
15 670 60 7502 39 3962 84 9890
16 760 61 7649 40 4132 85 9924
17 855 62 7796 41 4302 86 9951
18 955 63 7939 42 4477 87 9972
19 1060 64 8078 43 4654 88 9987
20 1170 65 8214 44 4827 89 9998
21 1285 66 8346 45 5000 90 10000
22 1402 67 8474
23 1527 68 8597
24 1685 69 8715
INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE. — GIORNATA QUARTA. 305
Problema, Pkopositio XIII.
Ex datis semiparabolarum amplitudinihus, in praecedenti tabula digestis^ retentoque communi impetu quo unaquaeque descrihitur, singularum semiparabolarum altitudines elicere, Sit amplitudo data bc ; impetus vero, qui semper idem intelligatur, men- sura sit ob/^^ aggregatum nempe altitudinis et sublimitatis : reperienda est ac djstinguenda ipsamet altitudo ; quod quidem tunc ^
consequemm% cum bo ita divisa fuerit, ut rectangulum J
sub eius partibus contentum acquale sit quadrato di- io midiae amplitudinis bc. Incidat talis divisio in f] et ìitraque ob, bc secetur bifariam in d, i. Est igitur qua- dratum ib acquale rcctangulo bfo ; quadratum vero do aequatur eidem rcctangulo cum quadrato fd: si igitur "ex quadrato do auferatur quadratum bi, qu^d rectan- ^ i gulo bfo est acquale, remanebit quadratum fd, cuius * latus df additum lineae bd dabit quaesitam altitudinem bf. Componitur itaque sic ex datis :
Ex quadrato dimidiae bo notae aufer quadratum bi, pariter notae ; re- sidui sume radicem quadratam, quam adde notae db, et habebis altitudinem 20 quaesitam bf.
Exemplum. Invenicnda sit altitudo semiparabolae ad elevationem gr. 55 descriptae. Amplitudo, ex praecedenti tabula, est 9396 ; eius dimidium est 4698; quadratum ipsius 22071204; hoc dempto ex quadrato dimidiae bo,
1. Propos. Propos. XIII, s —
Delle lin. 2-20 si lia una bozza autografa nel cod. A, a car. 122r., la quale comincia con queste parole cancellate : Data amplitudine et, e presenta le seguenti varianti :
2-3. Ex datis ampìitudinibus semiparabolarum , in praecedenti tabula digestis, retenctoque [sic] — 3-4. singularum altitudines — 5-6. idem, ob, hoc est aggregatum altitudinis — 7-8. alti- tudo ; id autem consequemur — 8-11. ut bi, dimidia amplitudinis, media fuerit inter partes ipsius ob. Factum iam sit, et cadat punctus divisionis in f. Est — 14-15. rcctangulo bfd [sic] est — 16-18. dabit altitudinem bf quaesitam. Ex datis itaque intentum assequimur, Operatio itaque talis erit. Ex — 18-19. bo datae aufer quadratum bi notae ; residui accipe radicem, quae erit fd ; hanc adde — 19-20. altitudinem bf quaesitam —
23. hoc demptum ex, h —
^^^ Nella figura dell'edizione originale, posizione la predetta edizione ha sempre o;
al posto della lettera a è segnata (a quanto e o ha pure la bozza autografa, così nel testo
pare ; che la stampa è riuscita molto imper- come nella figura, nella quale pertanto ab-
fetta) la lettera a. Nel testo però della Pro- biamo corretto in o V a della stampa, vili. 39 [p. 306 306 PISCOKSI E DIMOSTEAZIONI MATEMATICHE
quod semper idem est, nempe 25000000, residuum est 2928796, cuius ra- dix quadrata 1710 proxme, Haec dimidiae bo, nempe 5000, addita, exìii- het 6710 ; tantaque est altitudo bf.
Non erit inuiUe, tertiam exponere tabulam, aMUudines et sublimUates contmentmi semiparabdamm, qmrum eadem futura sit amplUudo,
SAGR. Questa vedrò io molto volentieri, mentre che per essa potrò venir in cognizione della differenza de gl’impeti e delle forze che si ricercano per cacciar il proietto nella medesima lontananza con tiri che chiamano di volata; la qual differenza credo che sia grandissima secondo le diverse elevazioni: sì che, per esempio, se altri volesse alla elevazione di 3 o 4 gradi, o di 87 o 88, far cader la palla dove fu cacciata alla elevazione di 45 (dove si è mostrato ricercarsi l’impeto minimo), credo si ricercherebbe un eccesso immenso di forza.
SALV. V. S. stima benissimo; e vedrà che per eseguire l’opera intera in tutte l’elevazioni, bisogna andar a gran passo verso l’impeto infinito. Or veggiamo la costruzzione della tavola. [p. 307 INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE. — GIORNATA QUARTA.
307
Tabula continens altitudine» et sublimitates semiparabolarum, quarum amplitudines eaedem sint, partium scilicet 10000, ad singulos gradus elevationis calculata.
Gr. Altit. Subl. Gr. Altit. Subl.
1 87 286533 46 5177 4828
2 175 142450 47 5363 4662
3 262 95802 48 5553 4502
4 349 71531 49 5752 4345
5 437 57142 50 5959 4196
6 525 47573 51 6174 4048
7 614 40716 52 6399 3906
8 702 35587 53 6635 3765
9 792 31565 54 6882 3632
10 881 28367 55 7141 3500
11 972 25720 56 7413 3372
12 1063 23518 57 7699 3247
13 1154 21701 58 8002 3123
14 1246 20056 59 8332 3004
15 1339 18663 60 8600 2887
16 1434 17405 61 9020 2771
17 1529 16355 62 9403 2658
18 1624 15389 63 9813 2547
19 1722 14522 64 10251 2438
20 1820 13736 65 10722 2331
21 1919 13024 66 11230 2226
22 2020 12376 67 11779 2122
23 2123 11778 68 12375 2020
24 2226 11230 69 13025 1919
25 2332 10722 70 13237 1819
26 2439 10253 71 14521 1721
27 2547 9814 72 15388 1624
28 2658 940473 16354 1528
29 2772 9020 74 17437 1433
30 2887 8659 75 18660 1339
31 3008 8336 76 20054 1246
32 3124 8001 77 21657 1154
33 3247 7699 78 23523 1062
34 3373 7413 79 25723 972
35 3501 7141 80 28356 881
36 3633 6882 81 31569 792
37 3768 6635 82 35577 702
38 3906 6395 83 40222 613
39 4049 6174 84 47572 525
40 4196 5959 85 57150 437
41 4346 5752 86 71503 349
42 4502 5553 87 95405 262
43 4662 5362 88 143181 174
44 4828 5177 89 286499 87
45 5000 5000 90 infinita
Propositio XIV.
AUitudines atqiie suUimitates semiparaholarum. quarum ampliUidims aequales futurae sint, per singulos elevationis gradus reperire,
Haec omnia facili negotio consequemur : posila enim semiparabolae am- plitudine partitim semper 10000, medietas tangentis cuiuslibet gradus ele- vationis altitudinem exhibet. Ut, exempli grafia, semiparabolae, cuiiis elevatio slt gr, 30, amplitudo vero, ut ponitur, partium 10000, altitudo erit 2887 ; tanta enim est proxime medietas tangentis. Inventa autem altitudine, sèMi- mitatem eliciemus tali pacto, Cum demonstratum sit, dimidiam amplifudinem semiparabolae mediam esse proportionalem inter altitudinem et sublimitatem, io sitque altitudo iam reperta, medietas vero amplitudinis semper eadem, par- tium scilicet 5000, si huius quadratum per altitudinem datam diviserimus, sublimitas quaesita exurget. Ut, in exemplo, altitudo reperta fuit 2887 ; qua- dratum partium 5000 est 25000000 ; quod divisum per 2887, dat 8659 proxime prò sublimitate quaesita.
SALV. Or qui si vede, primieramente, come è verissimo il concetto accennato di sopra, che nelle diverse elevazioni, quanto più si allontanano dalla media, o sia nelle più alte o nelle più basse, tanto si ricerca maggior impeto e violenza per cacciar il proietto nella medesima lontananza. Imperò che, consistendo l’impeto nella mistione de i due moti, orizontale equabile e perpendicolare naturalmente accelerato, del qual impeto vien ad esser misura l’aggregato dell’altezza e della sublimità, vedesi dalla proposta tavola, tale aggregato esser minimo nell’elevazione di gr. 45, dove l’altezza e la sublimità sono eguali, cioè 5000 ciascheduna, e l’aggregato loro 10000: che se noi cercheremo ad altra maggiore altezza, come, per esempio, di gr. 50, troveremo l’altezza esser 5959, e la sublimità 4196, che giunti insieme sommano 10155; e tanto troveremo parimente esser l’impeto di gr. 40, essendo questa e quella elevazione egualmente lontane dalla media. Dove doviamo secondariamente notare, esser vero che eguali impeti si ricercano a due a due delle elevazioni distanti egualmente dalla media, con questa bella alternazione di più, che l’altezze e le sublimità delle superiori elevazioni contrariamente rispondono alle sublimità ed altezze delle inferiori; sì che dove, nell’esempio [p. 309 proposto, nell’elevazione di 50 gr. l’altezza è 5959 e la sublimità 4196, nell’elevazione di gr. 40 accade all’incontro l’altezza esser 4196 e la sublimità 5959: e l’istesso accade in tutte l’altre senza veruna differenza, se non in quanto, per fuggir il tedio del calcolare, non si è tenuto conto di alcune frazzioni, le quali in somme così grandi non sono di momento né di progiudizio alcuno.
SAGR. Io vo osservando, come delli due impeti orizontale e perpendicolare, nelle proiezzioni, quanto più sono sublimi, tanto meno vi si ricerca dell’orizontale, e molto del perpendicolare; all’incontro, nelle poco elevate grande bisogna che sia la forza dell’impeto orizontale, che a poca altezza deve cacciar il proietto. Ma se ben io capisco benissimo, che nella totale elevazione di gr. 90, per cacciar il proietto un sol dito lontano dal perpendicolo, non basta tutta la forza del mondo, ma necessariamente deve egli ricadere nell’istesso luogo onde fu cacciato; non però con simil sicurezza ardirei di affermare, che anco nella nulla elevazione, cioè nella linea orizontale, non potesse da qualche forza, ben che non infinita, esser in alcuna lontananza spinto il proietto, sì che, per esempio, né anco una colubrina sia potente a spignere una palla di ferro orizontalmente, come dicono, di punto bianco, cioè di punto niuno, che è dove non si dà elevazione. Io dico che in questo caso resto con qualche ambiguità: e che io non neghi resolutamente il fatto, mi ritiene un altro accidente, che par non meno strano, e pure ne ho la dimostrazione concludente necessariamente. E l’accidente è l’esser impossibile distendere una corda sì, che resti tesa dirittamente e parallela all’orizonte; ma sempre fa sacca e si piega, né vi è forza che basti a tenderla rettamente.
SALV. Adunque, Sig. Sagredo, in questo caso della corda cessa in voi la maraviglia circa la stravaganza dell’effetto, perché ne avete la dimostrazione; ma se noi ben considereremo, forse troveremo qualche corrispondenza tra l’accidente del proietto e questo della corda. La curvità della linea del proietto orizontale par che derivi dalle due forze, delle quali una (che è quella del proiciente) lo caccia orizontalmente, e l’altra (che è la propria gravità) lo tira in giù a piombo. Ma nel tender la corda vi sono le forze di coloro che orizontalmente la tirano, e vi è ancora il peso dell’istessa corda, che naturalmente inclina al basso. Son dunque queste due generazioni [p. 310 assai simili. E se voi date al peso della corda tanta possanza ed energia di poter contrastare e vincer qual si voglia immensa forza che la voglia distendere drittamente, perché vorrete negarla al peso della palla? Ma più voglio dirvi, recandovi insieme maraviglia e diletto, che la corda così tesa, e poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai si avvicinano alle paraboliche: e la similitudine è tanta, che se voi segnerete in una superficie piana ed eretta all’orizonte una linea parabolica, e tenendola inversa, cioè col vertice in giù e con la base parallela all’orizonte, facendo pendere una catenella sostenuta nelle estremità della base della segnata parabola, vedrete, allentando più o meno la detta catenuzza, incurvarsi e adattarsi alla medesima parabola, e tale adattamento tanto più esser preciso, quanto la segnata parabola sarà men curva, cioè più distesa; sì che nelle parabole descritte con elevazioni sotto a i gr. 45, la catenella camina quasi ad unguem sopra la parabola.
SAGR. Adunque con una tal catena sottilmente lavorata si potrebbero in un subito punteggiar molte linee paraboliche sopra una piana superficie.
SALV. Potrebbesi, ed ancora con qualche utilità non piccola, come appresso vi dirò.
SIMP. Ma prima che passar più avanti, vorrei pur io ancora restar assicurato almeno di quella proposizione della quale voi dite essercene dimostrazione necessariamente concludente; dico dell’esser impossibile, per qualunque immensa forza, fare star tesa una corda drittamente ed equidistante all’orizonte.
SAGR. Vedrò se mi sovviene della dimostrazione; per intelligenza della quale bisogna, Sig. Simplicio, che voi supponghiate per vero quello che in tutti gli strumenti mecanici, non solo con l’esperienza, ma con la dimostrazione ancora, si verifica: e questo è, che la velocità del movente, ben che di forza debole, può superare la resistenza, ben che grandissima, di un resistente che lentamente debba esser mosso, tutta volta che maggior proporzione abbia la velocità del movente alla tardità del resistente, che non ha la resistenza di quel che deve esser mosso alla forza del movente.
SIMP. Questo mi è notissimo, e dimostrato da Aristotele nelle sue Quistioni Mecaniche; e manifestamente si vede nella leva e nella stadera, dove il romano, che non pesi più di 4 libre, leverà un peso di 400, [p. 311 mentre che la lontananza di esso romano dal centro, sopra ’l quale si volge la stadera, sia più di cento volte maggiore della distanza dal medesimo centro di quel punto dal quale pende il gran peso: e questo avviene, perché, nel calar che fa il romano, passa spazio più di cento volte maggiore dello spazio per il quale nel medesimo tempo monta il gran peso; che è l’istesso che dire, che il piccolo romano si muove con velocità più che cento volte maggiore della velocità del gran peso.
SIMP. Io resto satisfatto a pieno: però potrà il Sig. Salviati, conforme alla promessa, esplicarci qual sia l’utilità che da simile catenella si può ritrarre, e, dopo questo, arrecarci quelle specolazioni che dal nostro Accademico sono state fatte intorno alla forza della percossa.
SALV. Assai per questo giorno ci siamo occupati nelle contemplazioni passate: l’ora, che non poco è tarda, non ci basterebbe a gran segno per disbrigarci dalle nominate materie; però differiremo il congresso ad altro tempo più opportuno.
SAGR. Concorro col parere di V. S., perché da diversi ragionamenti auti con amici intrinseci del nostro Accademico ho ritratto, questa materia della forza della percossa essere oscurissima, né di quella [p. 313 sin ora esserne, da chiunque ne ha trattato, penetrato i suoi ricetti, pieni di tenebre ed alieni in tutto e per tutto dalle prime immaginazioni umane; e tra le conclusioni sentite profferire me ne resta in fantasia una stravagantissima, cioè che la forza della percossa è interminata, per non dir infinita. Aspetteremo dunque la commodità del Sig. Salviati. Ma intanto dicami che materie sono queste, che si veggono scritte dopo il trattato de i proietti.
SALV. Queste sono alcune proposizioni attenenti al centro di gravità de i solidi, le quali in sua gioventù andò ritrovando il nostro Accademico, parendogli che quello che in tal maniera aveva scritto Federigo Comandino non mancasse di qualche imperfezzione. Credette dunque con queste proposizioni, che qui vedete scritte, poter supplire a quello che si desiderava nel libro del Comandino; ed applicossi a questa contemplazione ad instanza dell’Illustrissimo Sig. Marchese Guid’Ubaldo Dal Monte, grandissimo matematico de’ suoi tempi, come le diverse sue opere publicate ne mostrano, ed a quel Signore ne dette copia, con pensiero di andar seguitando cotal materia anco ne gli altri solidi non tocchi dal Comandino; ma incontratosi, dopo alcun tempo, nel libro del Sig. Luca Valerio, massimo geometra, e veduto come egli risolve tutta questa materia senza niente lasciar in dietro, non seguitò più avanti, ben che le aggressioni sue siano per strade molto diverse da quelle del Sig. Valerio.
SAGR. Sarà bene dunque che in questo tempo che s’intermette tra i nostri passati ed i futuri congressi, V. S. mi lasci nelle mani il libro, che io tra tanto anderò vedendo e studiando le proposizioni conseguentemente scrittevi.
SALV. Molto volentieri eseguisco la vostra domanda, e spero che V. S. prenderà gusto di tali proposizioni.
APPENDIX
30 in qua continentur theoremata eorumque demonstratimes, quae ab eodem Autoìx circa centrum gravitatis solidorum olim conscripta fuerunt}^^
Finis.
<^^ Questi Teoì-emi furono pubblicati nel voi. I della presente edizione, pag. 187-208.
vili. 40