# Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Del rapporto anarmonico

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Opere matematiche Luigi Cremona 1914 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Opere matematiche (Cremona) I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Del_rapporto_anarmonico&oldid=- 20201204230318 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Del_rapporto_anarmonico&oldid=- 20201204230318
[p. 319
Sezione I.
PRINCIPII FONDAMENTALI
Art. I.
Del rapporto anarmonico.
1. In una retta siano dati quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$; i punti $a,\,b$ determinano col punto $c$ due segmenti, il cui rapporto è ${\frac {ac}{cb}}$, e col punto $d$ due altri segmenti, il rapporto de’ quali è ${\frac {ad}{db}}$. Il quoziente dei due rapporti,
${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}$
dicesi rapporto anarmonico de’ quattro punti $a,b,c,d$ e si indica col simbolo $(abcd)$. Mutando l’ordine, nel quale i punti dati sono presi in considerazione, si hanno ventiquattro rapporti anarmonici, quante sono le permutazioni di quattro cose. Ma siccome:
${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}={\frac {bd}{da}}:{\frac {bc}{ca}}={\frac {ca}{ad}}:{\frac {cb}{bd}}={\frac {db}{bc}}:{\frac {da}{ac}}$,
ossia:
$(abcd)=(badc)=(cdab)=(dcba)$,
così que’ ventiquattro rapporti anarmonici sono a quattro a quattro eguali fra loro. [p. 320 Ossia, fra essi, sei soli sono essenzialmente diversi: tali sono i seguenti:
| 1) | $(abcd),\,(acdb),\,(adbc)$, $\,(abdc),\,(acbd),\,(adcb)$. |
Si ha poi:
$\left({\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}\right)\left({\frac {ad}{db}}:{\frac {ac}{cb}}\right)=1$,
ossia:
$(abcd)(abdc)=1$,
ed analogamente:
$(acdb)(acbd)=1$,
$(adbc)(adcb)=1$,
ossia i sei rapporti anarmonici 1) sono a due a due reciproci. Chiamati fondamentali i tre rapporti
$(abcd),\,(acdb),\,(adbc)$,
gli altri tre sono i valori reciproci de’ precedenti.
Fra quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$ in linea retta ha luogo, com’è noto, la relazione:
$bc.ad+ca.bd+ab.cd=0$,
dalla quale si ricava:
${\frac {ca}{bc}}.{\frac {bd}{ad}}+{\frac {ab}{bc}}.{\frac {cd}{ad}}=-1$
ossia:
$(abcd)+(acbd)=1$,
e così pure:
$(acdb)+(adcb)=1$,
$(adbc)+(abdc)=1$;
cioè i sei rapporti anarmonici 1), presi a due a due, danno una somma eguale all’unità (rapporti anarmonici complementari).
Dalle precedenti relazioni segue che, dato uno de’ sei rapporti anarmonici 1), gli altri cinque sono determinati. Infatti, posto $(acbd)=\lambda$, il rapporto reciproco è $(abdc)={\frac {1}{\lambda }}$. I rapporti complementari di questi due sono $(acbd)=1-\lambda$, $(adbc)={\frac {\lambda -1}{\lambda }}$. Ed i rapporti reciproci degli ultimi due sono $(acbd)={\frac {1}{1-\lambda }}$, $(adcb)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}$. [p. 321
2. Congiungansi i dati punti $a,\,b,\,c,\,d$ ad un arbitrario punto $o$ situato fuori della retta $ab$ (fig. 1.ª), cioè formisi un fascio $o(a,b,c,d)$ di quattro rette che passino rispettivamente per $a,\,b,\,c,\,d$ e tutte concorrano nel centro $o$. I triangoli $aoc,\,cob$ danno:
${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ao}{bo}}={\frac {\operatorname {sen} aoc}{\operatorname {sen} cob}}$.
Fig.ª 1ªFig.ª 1ª
Similmente dai triangoli $aod,dob$ si ricava:
${\frac {ad}{db}}:{\frac {ao}{bo}}={\frac {\operatorname {sen} aod}{\operatorname {sen} dob}}$,
epperò:
${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}={\frac {\operatorname {sen} aoc}{\operatorname {sen} cob}}:{\frac {\operatorname {sen} aod}{\operatorname {sen} dob}}$;
ovvero, indicando con $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D}$ le quattro direzioni $o(a,b,c,d)$ e con $\mathrm {AC} ,\,\mathrm {CB} ,\dots$ gli angoli da esse compresi:
${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}={\frac {\operatorname {sen} \mathrm {AC} }{\operatorname {sen} \mathrm {CB} }}:{\frac {\operatorname {sen} \mathrm {AD} }{\operatorname {sen} \mathrm {DB} }}$,
eguaglianza che scriveremo simbolicamente così:
$(abcd)=\operatorname {sen}(\mathrm {ABCD} )$.
All’espressione del secondo membro di quest’equazione si dà il nome di rapporto anarmonico delle quattro rette $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D}$. Dunque: il rapporto anarmonico di quattro rette $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D}$ concorrenti in un centro $\mathrm {o}$ è eguale al rapporto anarmonico de’ quattro punti $\mathrm {a} ,\,\mathrm {b} ,\,\mathrm {c} ,\,\mathrm {d}$ in cui esse sono incontrate da una trasversale. Per conseguenza, se le quattro rette $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D}$ sono segate da un’altra trasversale in $a',\,b',\,c',\,d'$, il rapporto anarmonico di questi nuovi punti sarà eguale a quello de’ primi $a,\,b,\,c,\,d$. E così pure se i punti $a,\,b,\,c,\,d$ vengono uniti ad un altro centro $o'$ mediante quattro rette $\mathrm {A} ',\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {C} ',\,\mathrm {D} '$, il rapporto anarmonico di queste sarà eguale a quello delle quattro $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D}$.
3. Dati quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$ in linea retta e tre altri punti $a',\,b',\,c'$ in un’altra [p. 322 retta, esiste in questa un solo e determinato punto $d'$, tale che sia:
$(a'b'c'd')=(abcd)$.
Ciò riesce evidente, osservando che il segmento $a'b'$ dev’esser diviso dal punto $d'$ in modo che si abbia:
${\frac {a'd'}{d'b'}}=\left({\frac {ad}{db}}:{\frac {ac}{cb}}\right).{\frac {a'c'}{c'b'}}$.
Donde segue che, se i punti $a\,a'$ coincidono (fig. 2.ª), le rette $bb',\,cc',\,dd'$ concorreranno in uno stesso punto $o$.Fig.ª 2.ªFig.ª 2.ª
Analogamente: dati due fasci di quattro rette $\mathrm {ABCD} ,\,\mathrm {A'B'C'D'}$, i centri de’quali siano $o,\,o'$ ed i rapporti anarmonici
$\operatorname {sen}(\mathrm {ABCD} ),\,\,\operatorname {sen}(\mathrm {A'B'C'D'} )$
siano eguali, se i raggi $\mathrm {AA'}$ coincidono in una retta unica (passante per $o$ e per $o'$), i tre punti $\mathrm {BB'} ,\,\mathrm {CC'} ,\,\mathrm {DD'}$, sono in linea retta.
Dati quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$ in una retta ed altri quattro punti $a',\,b',\,c',\,d'$ in una seconda retta (fig. 3.a), se i rapporti anarmonici $(abcd),\,(a'b'c'd')$ sono eguali, anche i Fig.ª 3.ªFig.ª 3.ªdue fasci di quattro rette $a(a'b'c'd'),\,a'(abcd)$ avranno eguali rapporti anarmonici (2). Ma in questi due fasci i raggi corrispondenti $aa',\,a'a$ coincidono; dunque i tre punti [p. 323 $(ab',\,a'b)$, $(ac',\,a'c)$, $(ad',\,a'd)$ sono in linea retta. Questa proprietà offre una semplice regola per costruire il punto $d'$, quando siano dati $abcd,\,a'b'c'$.
Ed in modo somigliante si risolve l’analogo problema rispetto a due fasci di quattro rette.
4. Quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$ in linea retta diconsi armonici quando sia:
$(abcd)=-1$,
epperò anche:
$(badc)=(cdab)=(dcba)=(abdc)=(bacd)=(cdba)=(dcab)=-1.$
I punti $a,\,b$ e così pure $c,\,d$ diconsi coniugati fra loro.
Se il punto $d$ si allontana a distanza infinita, il rapporto ${\frac {ad}{db}}$ ha per limite $-1$; quindi dall’equazione $(abcd)=-1$ si ha ${\frac {ac}{cb}}=1$, ossia $c$ è il punto di mezzo del segmento $ab$.
La relazione armonica $(abcd)=-1$, ossia
${\frac {ac}{cb}}+{\frac {ad}{db}}=0$
mostra che uno de’ punti $c,\,d$, per esempio $c$, è situato fra $a$ e $b$, mentre l’altro punto $d$ è fuori del segmento finito $ab$. Laonde, se $a$ coincide con $b$, anche $c$ coincide con essi. E dalla stessa relazione segue che, se $a$ coincide con $c$, anche $d$ coincide con $a$.
La relazione armonica individua uno de’ quattro punti, quando sian dati gli altri tre. Ma se questi sono coincidenti, il quarto riesce indeterminato.
Analogamente: quattro rette $\mathrm {A,\,B,\,C,\,D}$, concorrenti in un punto, diconsi armoniche quando si abbia:
$\operatorname {sen}(\mathrm {ABCD} )=-1$,
cioè quando esse siano incontrate da una trasversale qualunque in quattro punti armonici.
5. Sia dato (fig. 4.a) un quadrilatero completo, ossia il sistema di quattro rette Fig.ª 4.ªFig.ª 4.ª [p. 324 segantisi a due a due in sei punti $a,\,b,\,c$, $a',\,b',\,c'$. Le tre diagonali $aa',\,bb',\,cc'$ formano un triangolo $\alpha \beta \gamma$. Sia $x$ il punto coniugato armonico di $\beta$ rispetto a $c,\,c'$ e sia $y$ il coniugato armonico di $\gamma$ rispetto a $b,\,b'$. La retta coniugata armonica di $aa'$ rispetto alle $acb',\,ac'b$ ed anche la retta coniugata armonica di $a'a$ rispetto alle $a'bc,\,a'b'c'$ dovranno passare per $x$ e per $y$. Dunque questi punti coincidono insieme con $\alpha$, punto comune alle $bb',\,cc'.$ Donde segue che ciascuna diagonale è divisa armonicamente dalle altre due.
Di qui una semplice regola per costruire uno de’ quattro punti armonici $\alpha ,\,\gamma ,b,b'$, quando siano dati gli altri tre.
Una somigliante proprietà appartiene al quadrangolo completo (sistema di quattro punti situati a due a due in sei rette) e dà luogo alla costruzione di un fascio armonico di quattro rette.
6. Quattro punti $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,m_{4}$ in linea retta, riferiti ad un punto $o$ della retta medesima, siano rappresentati dall’equazione di quarto grado:
| 2) | $\mathrm {A} .{\overline {om}}^{4}+4\mathrm {B} .{\overline {om}}^{3}+6\mathrm {C} .{\overline {om}}^{2}+4\mathrm {D} .{\overline {om}}+\mathrm {E} =0$, |
cioè siano $om_{1},\,om_{2},\,om_{3},\,om_{4}$ le radici dell’equazione medesima.
Se il rapporto anarmonico $(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})$ è eguale a $-1$, si avrà:
$m_{1}m_{3}.m_{4}m_{2}+m_{2}m_{3}.m_{4}m_{1}=0$,
ovvero, sostituendo ai segmenti $m_{1}m_{3},\dots$ le differenze $om_{3}-om_{1},\dots$ ed avendo riguardo alle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un’equazione:
$\mathrm {A} (om_{1}.om_{2}+om_{3}.om_{4})-2\mathrm {C} =0$.
Analogamente: le equazioni $(m_{1}m_{3}m_{4}m_{2})=-1,\,(m_{1}m_{4}m_{2}m_{3})=-1$ danno:
$\mathrm {A} (om_{1}.om_{3}+om_{4}.om_{2})-2\mathrm {C} =0$,
$\mathrm {A} (om_{1}.om_{4}+om_{2}.om_{3})-2\mathrm {C} =0$.
Moltiplicando fra loro queste tre equazioni si otterrà la condizione necessaria e sufficiente, affinchè uno de’ tre sistemi $(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})$, $(m_{1}m_{3}m_{4}m_{2})$, $(m_{1}m_{4}m_{2}m_{3})$ sia armonico. Il risultato è simmetrico rispetto ai segmenti $om_{1},\,om_{2},\,om_{3},\,om_{4}$, epperò si potrà esprimere coi soli coefficienti dell’equazione 2). Si ottiene così:
$\mathrm {ACE} +2\mathrm {BCD} -\mathrm {AD} ^{2}-\mathrm {EB} ^{2}-\mathrm {C} ^{3}=0$
come condizione perchè i punti rappresentati dalla data equazione 2), presi in alcuno degli ordini possibili, formino un sistema armonico.
* ↑ Chasles, Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie (présenté à l’Académie de Bruxelles en janvier 1830). Bruxelles 1837, pag. 34.
* ↑ Möbius, Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, pag. 244 e seg. — Witzschel, Grundlinien der neueren Geometrie, Leipzig 1858, pag. 21 e seg.
* ↑ Il punto $b$ dicesi coniugato armonico di $a$ rispetto ai due $c,\,d$, ecc.
* ↑ Salmon, Lessons introductory to the modern higher algebra, Dublin 1859, p. 100.