# Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Teoria de' centri armonici

Opere matematiche Luigi Cremona 1914 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Opere matematiche (Cremona) I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Teoria_de%27_centri_armonici&oldid=- 20201204231701 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Introduzione_ad_una_teoria_geometrica_delle_curve_piane/Teoria_de%27_centri_armonici&oldid=- 20201204231701
Art. III.
Teoria de’ centri armonici.
11. Sopra una retta siano dati $n$ punti $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ ed un polo $o$. Sia poi $m$ un punto della retta medesima, tale che la somma dei prodotti degli $n$ rapporti ${\frac {ma}{oa}}$, presi ad $r$ ad $r$, sia nulla. Esprimendo questa somma col simbolo $\sum \left({\frac {ma}{oa}}\right)_{r}$, il punto $m$ sarà determinato per mezzo della equazione:
| 1) | $\sum \left({\frac {ma}{oa}}\right)_{r}=0$, |
che per l’identità $ma=oa-om$, può anche scriversi:
| 2) | $\sum \left({\frac {1}{om}}-{\frac {1}{oa}}\right)_{r}=0$, |
[p. 329 ossia sviluppando:
| 3) | ${\begin{bmatrix}n\\r\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r}-{\begin{bmatrix}n-1\\r-1\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r-1}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}+$ $+{\begin{bmatrix}n-2\\r-2\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r-2}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}-\dots =0;$ |
ove il simbolo ${\begin{bmatrix}n\\r\\\end{bmatrix}}$ esprime il numero delle combinazioni di $n$ cose prese ad $r$ ad $r$.
L’equazione 3), del grado $r$ rispetto ad $om$, dà $r$ posizioni pel punto $m$: tali $r$ punti $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ si chiameranno centri armonici, del grado $r$, del dato sistema di punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$.
Quando $r=1$, si ha un solo punto $m$, che è stato considerato da Poncelet sotto il nome di centro delle medie armoniche.
Se inoltre è $n=2$, il punto $m$ diviene il coniugato armonico di $o$ rispetto ai due $a_{1}\,a_{2}$ (4).
12. Se l’equazione 1) si moltiplica per $oa_{1}.a_{2}\dots oa_{n}$ e si divide per $ma_{1}.ma_{2}\dots ma_{n}$, essa si muta evidentemente in quest’altra:
| 4) | $\sum \left({\frac {oa}{ma}}\right)_{n-r}=0$, |
donde si raccoglie:
Se $m$ è un centro armonico, del grado $r$, del dato sistema di punti rispetto al polo $o$, viceversa $o$ è un centro armonico, del grado $n-r$, del medesimo sistema rispetto al polo $m$.
13. Essendo $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ gli $r$ punti che sodisfanno all’equazione 3), sia $\mu$ il loro centro armonico di primo grado rispetto al polo $o$; avremo l’equazione:
$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{om}}\right)_{1}=0$
analoga alla 2), ossia sviluppando:
${\frac {r}{o\mu }}=\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}$.
Ma, in virtù della 3), è:
$\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}={\frac {r}{n}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$,
[p. 330
${\frac {n}{o\mu }}=\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$,
ossia:
$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa}}\right)_{1}=0$.
Ciò significa che $\mu$ è il centro armonico, di primo grado, del dato sistema di punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$.
Indicando ora con $\mu$ uno de’ due centri armonici, di secondo grado, del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ rispetto al polo $o$, avremo l’equazione analoga alla 2):
$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{om}}\right)_{2}=0$,
ossia, sviluppando:
${\frac {r(r-1)}{2}}\left({\frac {1}{o\mu }}\right)^{2}-(r-1){\frac {1}{o\mu }}\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}+\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{2}=0$,
Ma, in virtù della 3), si ha:
$\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}={\frac {r}{n}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$, $\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{2}={\frac {r(r-1)}{n(n-1)}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}$,
onde sostituendo ne verrà:
${\frac {n(n-1)}{2}}\left({\frac {1}{o\mu }}\right)^{2}-(n-1){\frac {1}{o\mu }}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}+\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}=0$,
vale a dire:
$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa}}\right)_{2}=0$;
dunque $\mu$ è un centro armonico, di secondo grado, del sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$.
Lo stesso risultato si ottiene continuando a rappresentare con $\mu$ un centro armonico, del terzo, quarto, ... $(r-1)^{esimo}$ grado, del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ rispetto al polo $o$. Dunque:
Se $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ sono i centri armonici, di grado $r$, del dato sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$, i centri armonici, di grado $s$ ($s