# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 117

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_18/Paragrafo_117&oldid=- 20230105213323 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_18/Paragrafo_117&oldid=- 20230105213323
§ 117. — Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti.
$\alpha$) Supposte ora le $p_{i}$ costanti, cerchiamo se una funzione $y=e^{ex}$ (dove $c=$ cost.) può soddisfare alla: {{centrato|$y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+p_{2}y^{(n-2)}+.....+p_{n}y=0$. (1) Si osservi che dalla $y=ce^{ex}$ si deduce:
$y'=ce^{cx}$; $y''=c^{2}e^{cx}$; .....; $y^{(n)}=c^{n}e^{cx}$.
Sostituendo in (1) si trova che deve essere:
$e^{cx}(c^{n}+p_{1}c^{n-1}+p_{2}c^{n-2}+.....+p_{n-1}c+p_{n})=0$,
e, poichè $e^{cx}$ non può essere zero, dovrò essere nullo l'altro fattore; dunque, affinchè $y=e^{cx}$ rappresenti una soluzione particolare dell'equazione, è necessario e sufficiente che $c$ sia una delle $n$ radici dell'equazione algebrica (detta equazione caratteristica):
$c^{n}+p_{1}c^{n-1}+p_{2}c^{n-2}+.....+p{n-1}c+p_{n}=0$, (2)
la quale si forma dall'equazione differenziale, ponendo in luogo di $y$ e delle sue derivate successive le potenze successive delle incognite $c$. Si noti che al posto di $y'$ è posto $c^{1}=c$, ed al posto di $y$ la $c^{0}=1$.
Se dunque noi risolviamo la (2) e supponiamo che le sue $n$ radici siano tutte reali e disuguali,
$c_{1},c_{2},.....,c_{n}$,
le funzioni:
$e^{c_{1}x},e^{c_{2}x},.....,e^{c_{n}x}$
rappresentano altrettante soluzioni particolari distinte dall'equazione differenziale. [p. 387 E perciò, se dimostriamo che il loro Wronskiano, cioè il determinante formato con queste soluzioni e le loro derivate sino a quelle di ordine $n-1$, è diverso sa zero, potremo affermare, giusta la teoria sviluppata di sopra, che lìintegrale generale della (1) è:
$y=k_{1}e^{c_{1}x}+.....+k_{n}e^{c_{n}x}$ ($k_{i}=$ cost.).
Ora il determinante di cui si parla è effettivamente diverso da zero, perchè esso è:
${\begin{vmatrix}c^{c_{1}x}&e^{c_{2}x}&\cdots &e^{c_{n}x}\\c_{1}e^{c_{1}x}&c_{2}e^{c_{2}x}&\cdots &c_{n}e^{c_{n}x}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\c_{1}^{n-1}e^{c_{1}x}&c_{2}^{n-1}e^{c_{2}x}&\cdots &c_{n}^{n-1}e^{c_{n}x}\end{vmatrix}}$
che (raccogliendo a fattor comune le $e^{c_{1}x},.....,e^{c_{n}x}$ che compaiono nelle singole colonne) si dimostra uguale a:
$e^{c_{1}x}e^{c_{2}x}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot e^{c_{n}x}{\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\c_{1}&c_{2}&\cdots &c_{n}\\c_{1}^{2}&c_{2}^{3}&\cdots &c_{n}^{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\c_{1}^{n-1}&c_{2}^{n-1}&\cdots &c_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$
di cui il primo fattore è un esponenziale, e il secondo fattore, che è il così detto determinante di Vandermonde o di Cauchy, è uguale (§ 23, pag. 76) al prodotto delle differenze delle $c$ combinare a due a due fra loro in tutti i modi possibili; quindi esso non può essere zero, a meno che due delle $c$ non siano fra loro uguali, ciò che noi abbiamo escluso supponendo le radici della 82) tutte distinte.
Esercizio.
Sia per esempio l'equazione:
$y''-3y'+2y=0$.
Le radici dell'equazione caratteristica
$c^{2}-3c+2=0$
sono i numeri $1,\,2$. [p. 388 Due integrali particolari sono perciò:
$e^{x},e^{2x}$,
e l'integrale generale dell'equazione è:
$a\,e^{x}+b\,e^{x}$,
dove $a,b$ sono costanti arbitrarie.
$\beta$) Immaginiamo ora che le $n$ radici $c_{1},c_{2},.....,c_{n}$ (che ancora supponiamo reali) non siano tutte distinte. In tal caso, col metodo precedente si ottengono $n$ integrali particolari, che non sono distinti ed hanno quindi un Wronskiano nullo. Non si trova perciò più l'integrale generale per la via precedentemente seguita.
Ora si può mostrare che, se $c_{1}=c_{2}$, allora è vero che si perde un integrale particolare, perchè $e^{c_{2}x}$ diventa uguale a $e^{c_{1}x}$, ma se ne acquista un altro, e cioè: {{centrato|$y=x\,e^{c_{1}x}$. Infatti dalla precedente uguaglianza si deduce
$y'=e^{c_{1}x}+xc_{1}e^{c_{1}x}$
$y''=2c_{1}e^{c_{1}x}+xc_{1}^{2}e^{c_{1}x}$
$y'''=3c_{1}^{2}e^{c_{1}x}+xc_{1}^{2}e^{c_{1}x}$
$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
$y^{(n)}=nc_{1}^{n-1}e^{c_{1}x}+x{c}_{1}^{n}e^{c_{1}x}$
E, sostituendo nell'equazione differenziale data, si trova:
$(xc_{1}^{n}e^{c_{1}x}+.....+p_{n-2}c_{1}^{2}xe^{c_{1}x}+p_{n-1}c_{1}xe^{c_{1}x}+p_{n}xe^{c_{1}x})+$
$+(nc_{1}^{n-1}e^{c_{1}x}+.....+2\,p_{n-2}c_{1}e^{c_{1}x}+p_{n-1}e^{c_{1}x})=$
$=xe^{c_{1}x}(c_{1}^{n}+.....+p_{n-2}c_{1}^{2}+p_{n-1}c_{1}+p_{n})+$
$+e^{c_{1}x}(nc_{1}^{n-1}+.....+2\,p_{n-2}c_{1}+p_{n-1})=0$.
La quale relazione è effettivamente verificata se $c_{1}$ è radice doppia, perchè allora per $c=c_{1}$ si annulla non solo il primo membro dell'equazione caratteristica, ma anche (§ 64) la sua prima derivata rispetto alla $c$, cosicchè ciascuna delle
$c_{1}^{n}+p_{1}c_{1}^{n-1}+.....+p_{n-1}c_{1}+p_{n}$,
$nc_{1}^{n-1}+(n-1)p_{1}c_{1}^{n-2}+.....+p_{n-1}$
è nulla. [p. 389 Così, in generale, si può dimostrare che, se $c_{1}$ è radice multipla d'ordine $k$,
$e^{c_{1}x},xe^{c_{1}x},x^{2}e^{c_{1}x},.....,x^{k-1}e^{c_{1}x}$
sono tutti integrali particolari dell'equazione.
Riassumento: ogni radice d'ordine $k$ dà luogo a $k$ integrali particolari, che, insieme con gli altri integrali derivanti dalle altre radici, sia multiple, sia semplici, costituiscono $n$ integrali particolari dell'equazione.
Di più si potrebbe far vedere che gli integrali così ottenuti hanno il Wronskiano non nullo: con le loro combinazioni lineari si ottengono quindi tutti e soli gli integrali dell'equazione.
$\gamma$) Dobbiamo finalmente considerare il caso che le radici dell'equazione caratteristica non siano tutte reali.
Se ci limitassimo a considerare funzioni reali, la soluzione $y=e^{ex}$, dove $c=a+i\,b$ è una radice complessa dell'equazione caratteristica, non avrebbe per noi alcun significato.
Ma se teniamo conto anche di funzioni complesse, potremo dimostrare che $e^{(a+ib)x}$ è ancora un integrale (complesso) della nostra equazione. Infatti tutti i nostri ragionamenti hanno usato soltanto delle regole del calcolo algebrico, delle regole di derivazione di una somma, di un prodotto, e dell'esponenziale $e^{cx}$ ($c=$ cost.), che continuano a valere (cfr. §§ 55-60 e particolarmente pag. 188) anche nel campo delle funzioni complesse della $x$.
Cosicchè, anche nel caso di radici complesse dell'equazione caratteristica (2) vale il teorema: Se $\mathrm {c_{1},c_{2},.....,c_{n}}$ sono le radici tutte distinte di (2), la più generale funzione (complessa) che soddisfi alla (1) è $\mathrm {k_{1}e^{c_{1}x}+k_{2}e^{c_{2}x}+.....+k_{n}e^{c_{n}x}}$ dove le $\mathrm {k}$ sono costanti arbitrarie (complesse). Se invece vi sono radici multiple, e, per es., $\mathrm {c_{1}}$ è radice di ordine $\mathrm {r}$, si devvono assumere a integrali particolari corrispondenti
$\mathrm {e^{c_{1}x},xe^{c_{1}x},.....x^{r-1}e^{c_{1}x}}$.
[p. 390 Per questa via abbiamo trovato tutti gli integrali, anche complessi, di (1). Vogliamo trovare quelli di essi che sono reali, supposto naturalmente che le $p_{i}$ sieno costanti reali- In tal caso, se (2) ha una radice complessa semplice $a+i\,b$, essa ha anche la radice complessa coniugata $a-i\,b$; cosicchè insieme all'integrale $e^{(a+ib)x}$ vi sarà anche l'integrale $e^{(a-ib)x}$. Si debbono ora scegliere le costanti $k_{1}=l_{1}+i\,m_{1},k_{2}=l_{2}+i\,m_{2}$ ($l,m=$ cost. reali) in guisa che $k_{1}e^{(a+ib)x}+k_{2}e^{(a-ib)x}$ sia reale, ossia non muti mutando $i$ in $-i$. Si debbono in altre parole scegliere le costanti $l,m$ in guisa che
$(l_{1}+im_{1})e^{(a+ib)x}+(l_{2}+im_{2})e^{(a-ib)x}=$
$=(l_{1}+im_{1})e^{(a-ib)x}+(l_{2}-im_{2})e^{(a+ib)x}$.
Ciò avviene allora e allora soltanto che $k_{1}$ e $k_{2}$ sono immaginarie coniugate, ossia che $l_{1}=l_{2},m_{1}=-m_{2}$; nel qual caso
$k_{1}e^{(a+ib)x}+k_{2}e^{(a-ib)x}=2e^{ax}(l_{1}\,{\text{cos}}\,bx-m_{1}\,{\text{sen}}\,bx)$.
Posto $2l_{1}=h_{1},-2m_{1}=h_{2}$, questo integrale diventa
$h_{1}e^{ax}{\text{cos}}\,bx+h_{2}e^{ax}\,{\text{sen}}\,bx$ ($h_{1},h_{2}$, costanti reali arbitrarie).
In modo analogo si vede che, se $a+ib$ fosse radice doppia di (2) e quindi altrettanto avvenisse di $a-i\,b$, si trovano anche gli integralii
$h_{3}xe^{ax}\,{\text{cos}}\,bx+h_{4}xe^{ax}\,{\text{sen}}\,bx$ ($h_{3},h_{4}$ costati reali arbitrarie)
e così via. In modo simile si trattano le altre coppie di radici complesse coniugate; e si vede facilmente che così si ottengono tutti gli integrali reali di (1). In conclusione l'integrale reale generale di (1) è una combinazione lineare a coefficienti costanti reali arbitrari di integrali particolari del tipo
$x^{r}e^{cx},x^{r}e^{ax}\,{\text{cos}}\,bx,x^{r}e^{ax}\,{\text{sen}}\,bx$.
Esempi.
1°) L'equazione $y''+2y'+3y=0$ ha $-1\pm i{\sqrt {2}}$ per radici dell'equazione caratteristica $c^{2}+2c+3=0$. Il suo integrale reale generale è quindi $e^{-x}$ ($h_{1}{\text{cos}}{\sqrt {2}}x+h_{2}\,{\text{sen}}{\sqrt {2}}x$), dove $h_{1},h_{2}$ sono costanti reali arbitarie.
2°) L'equazione $y''-2y'+y=x$ ha le radici dell'equazione $c^{2}-2c+1=0$ caratteristica della corrispondente equazione omogenea
$y''-2y'+y=0$
[p. 391 uguali entrambe $a+1$, cosicchè $c_{1}e^{x}+c_{2}xe^{x}$ ($c_{1},c_{2}=$ cost. arbitrarie) è l'integrale generale di tale equazione omogenea, perchè il Wronskiano
${\begin{vmatrix}e^{x}&xe^{x}\\e^{x}&e^{x}+xe^{x}\end{vmatrix}}=e^{2x}$
delle soluzioni $x,xe^{x}$ è differente da zero. Quindi l'integrale generale dell'equazione proposta è
$y=c_{1}e^{x}+c_{2}xe^{x}$,
dove le $c_{1},c_{2}$ sono funzioni della $x$ determinate dalle:
$c'_{1}e^{x}+c'_{2}xe^{x}=0$
$c'_{1}e^{x}+c'_{2}(e^{x}+xe^{x})=x$
donde si trae:
$c'_{1}=-x^{2}e^{-x},c'_{2}=xe^{-x}$
e quindi:
$c_{1}=-\int x^{2}e^{-x}dx=x^{2}e^{-x}+2xe^{-x}+2e^{-x}+k_{1}$;
$c_{2}=-xe^{-x}-e^{-x}+k_{2}$ ($k_{1},k_{2}=$ cost.)
l'integrale più generale dell'equazione proposta. Esso si sarebbe potuto scrivere senz'altro, appena fosse stato noto l'integrale particolare $x+2$, che si sarebbe potuto ottenere più rapidamente coi metodi dati nel seguente esempio 2°.
Altri Esempi.
1° Formare l'equazione lineare omogenea alle derivate ordinarie di $n^{esimo}$ ordine, che ammette gli integrali particolari $y_{1},y_{2},.....,y_{n}$.
Ris. ${\begin{vmatrix}yy'y''&\cdots &y^{(n)}\\y_{1}y'_{1}y''_{1}&\cdots &y_{1}^{(n)}\\y_{2}y'_{2}y''_{2}&\cdots &y_{2}^{(n)}\\\cdots &\cdots &\cdots \\y_{n}y'_{n}y''_{n}&\cdots &y_{n}^{(n)}\end{vmatrix}}=0$;}} la quale non si riduce ad una identità, nè ad una equazione di ordine minore di $n$, se il Wronskiano delle $y_{i}$ è differente da zero. [p. 392 Il primo membro di questa equazione è il Wronskiano delle $y,y_{1},y_{2},.....,y_{n}$. Dunque:
Se il Wronskiano delle $\mathrm {y,y_{1},y_{2},.....,y_{n}}$ è sempre nullo, ma il Wronskiano delle $\mathrm {y_{1},y_{2},.....,y_{n}}$ è differente da zero, la $\mathrm {y}$ è una combinazione lineare $\mathrm {k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}+.....+k_{n}y_{n}}$ a coefficienti $\mathrm {k}$ costanti delle $\mathrm {y_{1},y_{2},.....,y_{n}}$
2° Integrare l'equazione
$y^{(n)}+p_{3}t^{(n-1)}+p_{2}y^{(n-2)}+...+p_{n}y=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+...+a_{m}$
($p_{1}=$ cost; $a_{i}=$ cost.; $n,m$ interi positivi).
Ris. Anzichè col metodo generale, si può ottenere più brevemente un integrale particolare ponendo:
$y=b_{0}+b_{1}x+.....+b_{m}x^{m}$ ($b_{1}=$ cost.).
Sostituendo nella nostra equazione, e uguagliando nei due membri i coefficienti di $x^{m},x^{m-1}$, ecc., si trova:
$p_{n}b_{m}=a_{0}$; $p_{n}b_{m-1}+mb_{m}p_{n-1}=a_{1}$;
$p_{n}b_{m-2}+(m-1)p_{n-1}b_{m-1}+m(m-1)p_{n-3}b_{m}=a_{2}$;
$p_{n}b_{0}+p_{n-1}b_{1}+2p_{n-2}b_{2}+...+p_{1}\lfloor {\underline {n-1}}b_{n-1}+\lfloor {\underline {n}}b_{n}=a_{m}$,
dove sono supposte nulle le $b_{i}$, il cui indice $i$ supera $m$. Queste equazioni permettono di determinare successivamente le $b_{m},b_{m-1},.....,b_{0}$.
Fa eccezione il solo caso $p_{n}=0$; ma noi possiamo sempre supporre $p_{n}\not =0$, purchè si assuma una conveniente derivata della $y$ come funzione incognita, ecc., ecc.
3° Integrare l'equazione
$y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+.....+p_{n}y=ke^{hx}$ ($p_{i},h,k=$ cost.9 ($k\not =0$)
dove $h$ non è raice dell'equazione caratteristica {{centrato|$h^{n}+p_{1}h^{n-1}+.....+p_{n}=0$. Ris. Anzichè col metodo generale, si può ottenere più brevemente un integrale particolare ponendo
$y=l\,e^{hx}$ ($l=$ cost.).
Sostituendo nella nostra equazione si trova
$l\left\{h^{n}+p_{1}h^{n-1}+.....+p_{n}\right\}=k$,
che determina la $l$, se $h$ non è radice dell'equazione caratteristica relativa al primo membro della nostra equazione differenziale. [p. 393 4° Si discuta l'equazione
$y''+py'+qy=o$ ($p,q=$ cost.).
Ris. L'equazione caratteristica è $c^{2}+pc+q=0$, e ha per radici ${\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$. Se ${\frac {p^{2}}{4}}-q=0$ queste radici coincidono e l'integrale generale della nostra equazione è
$\lambda e^{-{\frac {p}{2}}x}+\mu xe^{-{\frac {p}{2}}x}$ ($\lambda ,\mu =$ cost.).
Escluso questo caso limite di scarso interesse, trattiamo gli altri.
Se ${\frac {p^{2}}{4}}-q>0$, l'equazione ha due radici reali che potremo indicare con $\alpha ,\beta$; l'integrale generale è $\lambda e^{\alpha x}+\mu e^{\beta x}$ ($\lambda ,\mu =$ cost.) il quale, se $\alpha ,\beta$ sono negativi, tende a zero per $x=+\infty$.
Se invece ${\frac {p^{2}}{4}}-q<0$, si ponga $q-{\frac {p^{2}}{4}}=k^{2}$; le radici dell'equazione caratteristica saranno $-{\frac {p}{2}}\pm ik$; e hli integrali della nostra equazione saranno
$e^{-{\frac {p}{2}}x}|\lambda \,{\text{cos}}\,kx+\mu \,{\text{sen}}\,kx|$ ($\lambda ,\mu =$ cost.).
Essi si ridurranno a sole funzioni trigonometriche se $p=0$, e quindi $q=k?2$ .
Questi risultati sono stati trovati per via diretta al § 113.
Questo studio ha numerosissime applicazioni fisiche.
In molti problemi (scarica elettrica di un condensatore, vibrazione di un pendolo, ecc.) si preesnta una quantità $y$ (intensità di corrente, angolo di un pendolo con la posizione di equilibrio) variabile col tempo $x$, che la fisica dimostra soddisfare a un'equazione del tipo precedente, dove le costanti $p,q$ sono positive. Allora, se ${\frac {p^{2}}{4}}-q>0$, le $\alpha ,\beta$ sono negative, e quindi $y=\lambda e^{\alpha x}+\mu e^{\beta x}$ ci definisce una $y$ che per $x=\infty$ tende a zero. Si tratta in tal caso di un semplice fenomeno [p. 394 smorzato (p. es., un pendolo che torna alla posizione di equilibrio in un mezzo che presenta tale attrito da impedirgli ogni ulteriore oscillazione).
Se $p=0$, allora $q=k^{2}$; abbiamo in questo caso un puro fenomeno vibratorio; quando $kx$ è aumentato di $2\pi$, ossia quando il tempo $x$ è aumentato di ${\frac {2\,\pi }{k}}$ il sistema riprende le condizioni iniziali; cosicchè $\mathrm {\frac {2,\pi }{k}}$ è la derivata di una oscillazione completa.
Se $p>0$, e se $k$ è reale, allora abbiamo ancora un fenomeno vibratorio. Però l'esponenziale $e^{-{\frac {p}{2}}x}$, che tende a zero al crescere di $x$, ci avverte che le vibrazioni vanno diminuendo di ampiezza, o come si suol dire si smorzano. La durata di una oscillazione è sempre $\mathrm {\frac {2\,\pi }{k}}$. Per fissare le idee, il lettore può pensare alla scarica di un condensatore di capacità $C$ in un filo di resistenza $R$ il cui coefficiente di autoinduzione sia $L$. Se $y$ è l'intensità della corrente all'istante $x$, la fisica insegna che $y''+py'+q=0$ dove sia posto:
$p={\frac {R}{L}}$; $q={\frac {1}{LC}}$.
Per $p=0$ si ha $k={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$.
Dunque in tal caso si ha con Thomson che $2\,\pi {\sqrt {LC}}$ è la durata di una vibrazione, e, se $c$ è la velocità di propagazione delle onde elettriche, che $2\,\pi \,c{\sqrt {LC}}$ è la lunghezza d'onda.
Un esempio di equazioni a derivate parziali.
Se abbiamo un equazione alle derivate parziali, cioè se la funzione incognita dipende da più variabili indipendenti, allora, come si può verificare sugli esempi dei §§ 93 e 110, una soluzione di tale equazione non si può più definire, prefissando un numero finito di costanti (le $b_{0},b_{1},...,b_{n-1}$ del teorema di Cauchy a pag. 377), perchè la soluzione più generale di tale equazione dipende da funzioni arbitrarie. [p. 395 il seg. teorema, che si può generalizzare a tutte le equazioni alle derivate parziali del primo ordine. Sia data l'equazione $X{\frac {\partial f}{\partial x}}+Y{\frac {\partial f}{\partial y}}=o$, ove $X,Y$ sono funzioni note di $x,y$, e dove $f$ è la funzione incognita. Sia $X\not =0$. Consideriamo l'equazione ${\frac {dy}{dx}}={\frac {Y}{X}}$ alle derivate ordinarie; e la $\varphi (x,y)=$ cost. definisca la sua soluzione più generale. Sarà $X{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+Y{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=0$, perchè ${\frac {Y}{X}}={\frac {dy}{dx}}$ deve essere uguale a quel valore di $y'$, che dalla $\varphi =$ cost. si deduce in virtù del teorema delle funzioni implicite. Poniamo $x=x_{1},\varphi (x,y)=y_{1}$ e assumiamo $x_{1}y_{1}$ come nuove variabili indipendenti, come sarà generalmente possibile. Sarà:
${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y_{1}}}$; ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial f}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}$.
La nostra equazione diventa perciò ${\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}=0$. Cioè le funzioni $f$ cercate sono tutte e sole le funzioni della $y_{1}$, cioè della $\varphi$. (Cfr. § 110, pag. 368).
Così p. es. le soluzioni di ${\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0$ ($X=Y=1$) sono le funzioni di $x-y$, perchè le soluzioni di ${\frac {dy}{dx}}=1$ si pttengono risolvendo la $x-y=$ cost.
In modo simile (cfr. il § 110, pag. 369) le soluzioni di
$X{\frac {\partial f}{\partial x}}+X_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+X_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+.....+X_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=0$,
ove le $X,X_{1},...,X_{n}$ sono funzioni di $x,x_{1},x_{2},.....,x_{n}$, sono tutte e sole le funzioni di $\varphi _{1},\varphi _{2},.....,\varphi _{n}$, se le soluzioni del sistema
${\frac {dx}{X}}={\frac {dx_{1}}{X_{1}}}={\frac {dx_{2}}{X_{2}}}=.....={\frac {dx_{n}}{X_{n}}}$
si ottengono risolvendo le $\varphi _{1}=$ cost., $\varphi _{2}=$ cost., ....., $\varphi _{n}=$ cost. Ma non è nostro scopo approfondire e precisare simili studii.
* ↑ Si noti che, se $c_{2}\not =c_{1}$, evidentemente alla soluzioni $e^{c_{1}x},e^{c_{2}x}$ possiamo sostituire la $e^{c_{1}x}$ e la ${\frac {e^{c_{2}x}-e^{c_{1}x}}{c_{2}-c_{1}}}$. La seconda, pensata come funzione di $c_{2}$, tende precisamente ad $x\,e^{c_{1}x}$ per $c_{2}=c_{1}$.
* ↑ Riferiamoci all'ultima nota a piè di pagina, in cui si sono supposte due sole radici uguali $c_{1}=c_{2}$. Alle soluzioni $e^{c_{1}x},e^{c_{2}x}$ si sono (se $c_{1}\not =c_{2}$) sostituite le $e^{c_{1}x},{\frac {e^{c_{2}x}-e^{c_{1}x}}{c_{2}-c_{1}}}$. Il Wronskiano delle nuove soluzioni è uguale al quoziente ottenuto dividendo per $c_{2}-c_{1}$ il Wronskiano delle soluzioni iniziali. Questo valeva il prodotto di $e^{(c_{1}+c_{2}+...+c_{n})x}$ per il prodotto delle differenze a due a due $c_{r}$; esso perciò, divido per $c_{2}-c_{1}$, ha un quoziente, che per $c_{2}-c_{1}$ tende a un limite diverso sa zero. Questo limite è il Wronskiano delle $e^{c_{1}x},xe^{c_{1}x}$, ecc. c.d.d. Dimostrazione analoga vale nel caso generale.
* ↑ Si può porre $\lambda =a\,{\text{cos}}\,\varphi ,\mu =a\,{\text{sen}}\,\varphi$, e, invece di dire che $\lambda ,\mu$ sono costanti arbitrarie, dire che $a,\varphi$ sono costanti arbitrarie; la soluzione della nostra equazione diventa $a\,e^{-{\frac {p}{2}}x}{\text{cos}}\,(hx+\varphi )$, dove $\varphi$ è la cosidetta fase.