# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 17/Paragrafo 108 bis

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§ 108 bis — Integrali superficiali in coordinate generali.
I risultati di questo paragrafo saranno dimostrati più avanti in modo semplice benchè diretto. Noi qui faremo invece delle ipotesi analoghe a quelle fatte ai §§ 103 e seg. che del resto sarebbe facile giustificare in modo diretto.
I risultati a cui giungeremo, si debbono riguardare come l'estensione del metodo di integrazione in coordinate polari a coordinate qualsiasi. Useremo, p. es., i metodi intuitivi del § 108.
Sia $I$ un'area del piano $xy$; e siano due variabili: $X=X(x,y),Y=Y(x,y)$ funzioni delle $x,y$ in $I$.
Viceversa le $x,y$ si possano considerare come funzioni $x(X,Y)$ ed $y(X,Y)$ delle $X,Y$, così che un punto di $I$ si possa determinare tanto dando i corrispondendi valori delle $x,y$, quanto quelli delle X, Y.
Dividiamo $I$ con linee $X={\text{cost.}},Y={\text{cost.}}$, indicando con $dX,dY$ gli incrementi che subisce la $X$ o la $Y$ per passare da una tale linea alla successiva; sostituiamo poi a quelli dei quadrangoli curvilinei tutti interni a $I$ limitati da due linee consecutive $X={\text{cost.}}$, e $Y={\text{cost,}}$ il quadrangolo rettilineo $Q$ che ha gli stessi vertici. L'area $I$ sarà così divisa in
$\alpha$) quadrangoli $Q$ rettilinei tutti interni a $I$,
ed in
$\beta$) poligoni $P$ curvilinei parte del contorno dei quali appartiene al contorno di $I$.
Noi ammetteremo:
1° Il contributo portato alle nostre somme da questi ultimi poligoni $P$ tende a zero, quando i $dX,dY$ tendono contemporaneamente a zero.
2° Per calcolare i limiti che incontreremo (quando i $dX,dY$ tendono contemporaneamente a zero) si possono far tendere a zero prima i $dX$, poi i $dY$ o viceversa.
Uno dei quadrangoli rettilinei $Q$ ha i vertici posti sulle intersezioni di una linea $X={\text{cost.}}$ e $X+dX={\text{cost.}}$ con due linee $Y={\text{cost.}}$ e $Y+dY={\text{cost.}}$. I suoi vertici $A,B,C,D$ saranno perciò i punti
$A=[x(X,Y),y(X,Y)]$;}}
$B=[x(X+dX,Y),y(X+dX,Y)]$;
$C=[x(X,Y+dY),y(X,Y+dY)]$;
$D=[x(X+dX,Y+dY),y(X+dX,Y+dY)]$.
E la sua area sarà la somma delle aree dei traingoli $ABC,BCD$. L'area del 1° vale (per nota formola di geometria analitica) il valore assoluto di
${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x(X,Y)&y(X,Y)&1\\x(X+dX,Y)&y(X+dX,Y)&1\\x(X,Y+dX)&y(X,Y+dY)&1\end{vmatrix}}$
[p. 356 Supposto che le $x,y$ abbiano derivate prime e seconde finite e continue, e ricordando la formola di Taylor
$x(X+dX,Y)=x(X,Y)+x'_{N}(X,Y)dX+{\frac {1}{2}}{x''}_{NN}(X+\theta dX,Y)dX^{2}(0<\theta <1)$.
ed analoghe, si trova che tale area vale il valore assoluto di
${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x'_{N}(X,Y)&x'_{Y}(X,Y)\\x'_{N}(X,Y)&y'_{Y}(X,Y)\end{vmatrix}}dX\,dY+{\frac {\alpha }{2}}\,dX\,dY$
dove $\alpha$ è una quantità che (se con $K$ indichiamo una costante positiva maggiore in valore assoluto di tutti i valori delle derivate prime e seconde delle $x,y$) soddisfa alla
$|\alpha |. Cosicchè l'area del quadrangolo rettilineo $ABCD$ vale il valore assoluto di
$\left({\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}+\beta \right)dX\,dY$,
dove con ${\frac {d(x,y=}{d(X,Y)}}$ indico il valore in $A$ del cosiddetto Jacobiano
${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial X}}&{\frac {\partial y}{\partial X}}\\{\frac {\partial x}{\partial Y}}&{\frac {\partial y}{\partial Y}}\end{vmatrix}}$
e con $\beta$ indico una quantità soddisfacente alla
$|\beta |