# Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (Favaro)/Scienzia nuova altra, de i movimenti locali, cioè dell'equabile, del naturalmente accelerato. Giornata terza

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Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze Galileo Galilei 1638 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Le opere di Galileo Galilei VIII.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Discorsi_e_dimostrazioni_matematiche_intorno_a_due_nuove_scienze_(Favaro)/Scienzia_nuova_altra,_de_i_movimenti_locali,_cio%C3%A8_dell%27equabile,_del_naturalmente_accelerato._Giornata_terza&oldid=- 20220818235635 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Discorsi_e_dimostrazioni_matematiche_intorno_a_due_nuove_scienze_(Favaro)/Scienzia_nuova_altra,_de_i_movimenti_locali,_cio%C3%A8_dell%27equabile,_del_naturalmente_accelerato._Giornata_terza&oldid=- 20220818235635
GIORNATA TERZA.
DE MOTU LOCALI.
De suhiedo vetustissimo novissimam promovemus scientiam. MOTU nil forte antiquius in natura^ et circa eum volumina nec pauca nec parva a philosopMs conscripta reperiuntur; symptomatum tameng quae complura et scitu digna insunt in eo, adhuc inosservata, necdum indemonstrata^ comperio. • Leviora quaedam adnotantiir, ìit, gratia exempli, naturalem motum gravium descendentium continue accelerari; verum, iuxta qtiam proportionem eius fiat accelerano, proditum hucusque non est: nulliis enim, quod sciam, demonstravit, spatia a mobili descendente ex quiete peracta in temporibus io aequalihus, eam inter se retinere rationem, quam hahent numeri impares ab unitale consequentes. Observatitm est, missilia, seu proiecta, lineam qualiter cunque curvam designare; veruntamen, eam esse parabolam, nemo pròdidit Haec ita esse, et alia non pauca nec minus scitu digna, a me demonstrabuntur, et, quod pluris faciendum censeo, aditus et accessus ad amplissimam praestantissimamque scientiam, cuius hi nostri labores erunt elementa, recludetur, in qua ingenia meo perspicaciora abditiores recessus penetrabunt.
Tripartito dividimus liane tractationem: in prima parte consideramus ea quae spectant ad motum aequabilem, seu uniformem; in secunda de 20 motte naturaliter accelerato scriiimus; in tertia, de motu violento, seu de proiectis.
17. elementa j recludet, in, s — [p. 191
DE MOTU AEQUABILI.
Circa motum aequahilem, seti uniformem^ tmica opus habemus defini’ tione^ quam eiusmodi profero:
DEFINITIO.
Aequalem, seu uniformem, motum ìntelligo eum, cuius partes quibuscunque temporibus aequalibus a mobili peractae, sunt inter se aequales.
ADMONITIO.
Visum est addere veteri definitioni {quae simpliciter appellat motum aequdbilem, dum temporibus aequalibus aequalia transiguntur spatia) parto ticulam quibuscunque, hoc est omnibus temporibus aequalibus: fieri enim potestj ut temporibus aliquibus aequalibus mobile pertranseat spatia aequalia^ dum tamen spatia transacta in partibus eorundem temporum minoribus, licet aequalibus, aequalia non sint. Ex aliata definitione quatuor pendent axiomata, scilicet:
AXIOMA I.
Spatium transactum tempore longiori in eodem motti aequalili maius esse spatio transacto tempore breviori.
AXIOMA II.
Tempus quo maius spatium conficitur in eodem motu aequabili, longius 20 est tempore quo conficitur spatium minus,
AXIOMA III.
Spatium a maiori velocitate confectum tempore eodem, maius est spatio confecto a minori velocitate. [p. 192 AxiOMA IV.
Velocitas qua tempore eodem conflcitur maitts spatium^ maior est velo- citate qua conflcitur spatium minus,
Theorema Ij Propositio I.
Si mobile aequaUliter latum eademque cimi velocitate duo pertranseat spatia^ tempora lationum erunt inter se ut spatia peracta,
Pertranseat enim moUle aequaUliter latum eadem cum velocitate duo spaila AB, BC, et sit tempus motus per AB, DE ; tempus vero motus per BC esto EF : dico, ut spatium AB ad spatium BC, ita esse tempus DE
ad tempus EF. Protrahantur utrinque spatia et tempora versus G, H et I; K, io et in AG sumantur quotcunque spatia ipsi AB aequalia, et totidem tempora in DI, tempori DE similiter aequalia; et rursus in OH sumantur secun- dum quamcunque multitudinem spatia ipsi GB aequalia, et totidem tempora in FK, tempori EF aequalia : erunt iam spatium BG et tempus EI acque multiplicia spatii BA et temporis ED iuxta quamcunque multiplicationem accepta, et similiter spatium HB et tempus KE spatii CB temporisque FÉ aeque multiplicia in qualibet multiplicatione. Et quia DE est tempus lationis per AB, erit totum EI tempus totius BG, cum motus ponatur aequaUlis sintque in EI tot tempora ipsi DE aequalia quot sunt in BG spatia aequa- lia BA ; et similiter concludetur, KE esse tempus lationis per HB. Cum autem 20 motus ponatur aequabilis, si spatium GB esset acquale ipsi BH, tempus quoque lE tempori EK foret acquale; et si GB maiiis sit quam BH, etiam lE [p. 193 quam EK maius erit; et si mìniis, minus. Sunt itaque quatuor magnitudineSy AB pima, BC secunda, DE tertia, EF quarta, et primae et tertiae, nempe spatii AB et temporis DE, siimpta sunt aeque multiplicia iuxta quamcunque mulliplicationem tempus lE et spatitim GB; ac demonstrattim est, liaec vel una aequari, vel una deficere, vel una excedere, tempus EK et spatium BH; aeque multiplleia scilicet secundae et quartae: ergo prima ad secundam, nempe spatium AB ad spatium BC, eandem hahet rationem quam tertia et quarta, nempe tempus DE ad tempus EF: quod erat demostrandum.
10 Theorema li, Peopositio II.
Si mobile temporibus aequalibus duo pertranseat spatia, erunt ipsa spatia Inter se ut velocitates. Et si spatia sint ut velocitates, tempora erunt aequalia.
Assumpta enim superiori figura, sint duo spatia AB, BC transacta aequalibus temporihus, spatitim quideni AB eum velocitate DE, et spatium BC cum velocitate EF: dico, spatium AB ad spatium BC esse ut DE velocitas ad velocitatem EF. Sumptis enim utrinque, ut supra, et spatiorum et velocitafum aeque midtiplicibus secuncllim quamcunque midtiplicationem, scilicet GB et lE ipsorum AB et DE, pariferque HB, KE ipsorum BC, EF, 20 concludetur, eodem modo ut supra, midtiplicia GB, lE vel tma deficere, vel acquari, vel excedere, aeque multiplicia BH, EK. Igitur et manifestìim est propositum,
Theorema III, Propositio III.
Inaequalibus velocitatibus per idem spatium latorum tempora, velocita tihus e contrario respondent.
Sint velocitates inaequales A maior, B minor, et secundum tdramque fiat motus per idem spatium CD: dico, tempus quo A velocitas permeat spa [p. 194 tium CD, ad tempus quo velocitas B idem, spatkim permeata esse ut velocitas B ad velocitatem A. Fiat enim ut A ad B, ita CD ad CE; erit igitur, ex praeeedenti, tempus, quo A velocitas conficit CDj idem cum tempore quo B conficit CE: sed tempus quo velocitas B (conficit CE, «(^ temptis quo eadem conficit CD, 6si5 ^^i CE arf CD; ergo tempus quo velocitas A conficit CD, ad tempus quo velocitas B i(^em CD conficit, est ut CE ad CD, /^oc ^5^ e/^
velocitas B ar? velocitatem A: quod eraif intentum.
Theorema IV, Propositio IV.
Si duo molllia ferantur motu aeqtiahili, inacquali tamen velocitate, spatia temporibus inaequalibus ab ipsis peracta lialebunt rationem compositam ex ratione vélocitatum et ex ratione temporum.
Mota sint duo molllia E, F motu aequabili, et ratio velocitatis mohilis E ad velocitatem mohilis F sit ut A a^Z B; temporis vero quo movetur E, ad tempus quo movetur F, ratio sit ut C ad D: dico, spatium peractmn ab E cum velocitate A in tempore C, ad spatium peractum’ab F cum velocitate B in tempore D, habere rationem
compositam ex ratione velocitatis A ad velocitatem B e^ ex ratione temporis C ad tempus D. /S^i^ spatium ab E c^^m velocitate A m tempore C peractum G, e^ «^i velocitas A ad velocitatem B, ito j^ai G ar? I; ^^^ m^ie^?? tempus C ar? tempus D, ito sii I arf’ L: constat, I ess^^^ spatium quo movetur F i/^ tempora eodem in quo E motum est per G, c«^m spazia G, I smi 2/i velocitates A, B. J?i c^^w^ sii?4 tempus C a/^ tempus D, ito I ar? L; sii a«^tem I spatium quod conficitur a mobili F i^ tempore C; erii Ij spatium quod conficitur ab F in tempore D c^/7i^ velocitate B. i?aiio a^rf^?7^ G arZ L componitur ex rationibus G adv 1 et 1 ad L, nempe ex rationibus 30 velocitatis A ac? velocitatem B ei temporis C arZ tempus D: ergo patet propositum. [p. 195
Theorema Vj Propositio V.
Si duo mobilia aequabili moki ferantur, sint tamen velocitates inaequales, et inaequalia spatia peracta, ratio temporum composita erit ex ratione spatiorum et ex ratione velocitatum contrarie sumptarum,
Sint duo mobilia A, B, sitque velocitas ipsius A ad velocitatem ipsius B tit Y adT; spatia autem peracta sint ut S ad R: dico^ rationem temporis quo motum est A, ad tempus y ^ ^^ qtio motum est B, composi- ^ tam esse ex ratione velo10 citatis T ad velocitatem V ^ et ex ratione spatii S ad spatium R. Sit ipsius motus A tempus C, et ut velocitas T ad velocitatem V, ita sit tempus C ad tempus E; et cum C sit tempus in quo A cum velocitate V conficit spatium S, sitque ut velocitas T mobilis B ad velocitatem V, ita tempus G ad tempus E, erit tempus E illud in qux) nwbile B conficeret idem spatium S. Fiat modo ut spatium S ad spatium R, ite tempus E ^^6? tempus G: constata G esse tempus quo B conficeret spatium R. jE^ gma r(Xi5io G a^ G componitur ex rationibus G ad ’E et Yi ad G; est autem ratio G ad H eadem cum ratione velocitatum mobilium A, B con20 trarie stimptarum, hoc est cum ratione T ad V; ratix) vero E ad G est eadem cum ratione spatiorum S, R; ergo patet propositum. [p. 196 Theohema VIj Propositio VI.
Si duo mobilia aequahili moki ferantur^ ratio velocitatum ipsonmi composita erit ex ratione spatiorum peractorum et ex ratione tempomni coìitrarie siimptonim. Sint duo mobilia A, B, aequabili motti lata; sint autem spatia ab illis perada in ratione V ad T, tempora vero sint tit S ^6? R: dico, velocitatem mobilis A ad velocita tem ipsius B habere rationem compositam ex ratione spatii V ad spatium T et tempo- ris Pt ad tempus S. Sit velocitas C ea ctim qua mobile A conficit spatium V in tempore S, et quam rationem habet spatium V aA spatium T, ìianc habeat velocitas C ad aliam E; erit E velocitas cum qua mobile B conficit spatium T in tempore eodem S: quod si fiat, ut tempus R ad tempus S, ita velocitas E ad aliam G, erit velocitas G illa secundum quam mobile B conficit spatium T in tempore R. Habemus itaque velocitatem G, cimi qua mobile A conficit spatium V in tempore S, e^ velocitatem G, (j?^m r/^^^r^ mobile B conficit spatium T it^ tempore R, ef es(( ratóo C ar? G composita ex rationilms C r^^^? E cf E ad G; 20 ratio mdem C f^c? E 2^osita est eadem cum ratione spatii V ad spatium T; ratio vero E «r? G est eadem cum ratione R ad S: cr//o patet 2)rop)osit’mn.
Salv. Questo che abbiamo veduto, e quanto il nostro Autore ha scritto del moto equabile. Passeremo dunque a più sottile e nuova contemplazione intorno al moto naturalmente accelerato, quale è quello che generalmente è esercitato da i mobili gravi descendenti: ed ecco il titolo e l'introduzione. [p. 197 DE MOTU NATURALITER ACCELERATO.
Qtme in motu aequallU contingtmt accidentia, in praecedenti libro considerata sunt: modo de motu accelerato perir actandum.
Et primo, definitionem ei, qtio utitur natura, apprime congruentem investigare atque esplicare convenit. Quamvis enim aliquam lationis speciem ex arlltrio con fingere, et consequentes eius passiones contemplari, non sii inconveniens (ita, enim, qui helicas aut conclioides lineas ex motibus quibusdam exortas, licet talibus non utatur natura, sibi finxerunt, earum symptomata ex suppositione demonstrarunt cum laude), tamen, quandoqui 10 dem quadam accelerationis specie gravium descendentium utitur natura, eorundem speculari passiones decrevimus, si eam, quam allaturi sumus de nostro motu accelerato definitionem, cum essentia rmtus naturaliter accelerati congruere contigerit, Quod tandem, post diuturnas mentis agitationes, repperisse confidimus; ea potissimum ducti ratione, quia symptomatis, deinceps a nobis demonstratis, apprime respondere atque congruere videntur ea, qiiae naturalia experimenta sensui repraesentant. Postremo, ad investigationem motus naturaliter accelerati nos quasi manu duxit animadversio consuetudinis atque instituti ipsiusmet naturae in ceteris suis operibus omnibus, in quibus exercendis uti consuevit mediis primis, simplicissimis, facillimis,
20 Neminem enim esse arbitror qui credat, natatum aut volatum simpliciori aut faciliori modo exerceri posse, quam co ipso, quo pisces et aves instinctu naturali utuntur.
Bum igitur lapidem, ex sublimi a quiete descendentem, nova deinceps velocitatis acquirere incrementa animadverto, cur talia additamenta, simplicissima atque omnibus magis obvia ratione, fieri non credam? Quod si attente inspiciamus, nullum additamentum, nullum incrementum, magis simplex inveniemus, quam illud, quod semper eodem modo superaddit. Quod facile intelligemus, maximam temporis atque motus affinitatem inspicientes: sicut enim motus aequabilitas et uniformitas per temporum spatiorumque
30 aequabilitates definitur ac concipitur (lationem, enim, tunc aequabilem appellamus, cum temporibus aequalibus aequalia conficiuntur spatia), ita per easdem aequalitates partium temporis, incrementa celeritatis simpliciter fada
19. quibus exerendis uti, s — [p. 198 percipere possumus; mente concipientes, motum illum uniformiter codemque modo continue acceleratum esse, dum temporibus quibuscumque acqualibus aequalia ci superaddantur celeritatis additamenta. Adeo ut, sumptis quot cumque temporis particulis aequalibus a primo instanti in quo mobile recedit a quiete et descensum aggreditur, celeritatis gradus in prima secunda temporis particula acquisitus, duplus sit gradus quem acquisivit mobile in prima particula; gradus vero quem obtinet in tribus temporis particulis, triplus; quem in quatuor, quadruplus ciusdem gradus primi temporis
ita ut (clarioris intelligentiue causa), si mobile lationem suam continuaret iurta gradum seu momentum velocitatis in prima temporis particula 10 acquisitae, motumque suum deinceps aequabiliter cum tali gradu extendoret, latio haec duplo esset tardior ca, quam iurta gradum velocitatis in duabus temporis particulis acquisita obtineret. Et sic a recta ratione absonum nequaquam esse videtur, si accipiamus, intentionem velocitatis fieri inata tem is extensionem; ec quo definitio motus, de quo acturi sumus, talis accipi
Motum aequabiliter, seu uniformiter, acceleratum dico illum, qui, a quieto recedens, temporibus aequalibus aequalia celeritatis momenta sibì superaddit.
SAGR. Io, sì come fuor di ragione mi opporrei a questa o ad altra definizione che da qualsivoglia autore fusse assegnata, essendo tutte arbitrarie, così ben posso senza offesa dubitare se tal definizione, concepita ed ammessa in astratto, si adatti, convenga e si verifichi in quella sorte di moto accelerato che i gravi naturalmente descendenti vanno esercitando. E perché pare che l’Autore ci prometta che tale, quale egli ha definito, sia il moto naturale de i gravi, volentieri mi sentirei rimuover certi scrupoli che mi perturbano la mente, acciò poi con maggior attenzione potessi applicarmi alle proposizioni, e lor dimostrazioni, che si attendono.
SALV. È bene che V. S. ed il Sig. Simplicio vadano proponendo le difficoltà; le quali mi vo immaginando che siano per essere quelle stesse che a me ancora sovvennero, quando primieramente veddi questo trattato, e che o dall’Autor medesimo, ragionandone seco, mi furon sopite, o tal una ancora da me stesso, co ’l pensarvi, rimosse.
SAGR. Mentre io mi vo figurando, un mobile grave descendente partirsi dalla quiete, cioè dalla privazione di ogni velocità, ed entrare
27. alle proporzioni, e, 8 — [p. 199 nel moto, ed in quello andarsi velocitando secondo la proporzione che cresce 'l tempo dal primo instante del moto, ad avere, v. g., in otto battute di polso acquistato otto gradi di velocità, della quale nella quarta battuta ne aveva guadagnati quattro, nella seconda due, nella prima uno, essendo il tempo subdivisibile in infinito, ne séguita che, diminuendosi sempre con tal ragione l'antecedente velocità, grado alcuno non sia di velocità così piccolo, o vogliamo dir di tardità così grande, nel quale non si sia trovato costituito l'istesso mobile dopo la partita dall'infinita tardità, cioè dalla quiete: tal che, se quel grado di velocità ch'egli ebbe alle quattro battute di tempo, era tale che, mantenendola equabile, arebbe corso due miglia in un'ora, e co 'l grado di velocità ch'ebbe nella seconda battuta arebbe fatto un miglio per ora, convien dire che ne gl'instanti del tempo più e più vicini al primo della sua mossa dalla quiete si trovasse così tardo, che non arebbe (seguitando di muoversi con tal tardità) passato un miglio in un'ora, né in un giorno, né in un anno, né in mille, né passato anco un sol palmo in tempo maggiore; accidente al quale pare che assai mal agevolmente s'accomodi l'immaginazione, mentre che il senso ci mostra, un grave cadente venir subito con gran velocità.
SALV. Questa è una delle difficoltà che a me ancora su 'l principio dette che pensare, ma non molto dopo la rimossi; ed il rimuoverla fu effetto della medesima esperienza che di presente a voi la suscita. Voi dite, parervi che l'esperienza mostri, che a pena partitosi il grave dalla quiete, entri in una molto notabile velocità; ed io dico che questa medesima esperienza ci chiarisce, i primi impeti del cadente, benché gravissimo, esser lentissimi e tardissimi. Posate un grave sopra una materia cedente, lasciandovelo sin che prema quanto egli può con la sua semplice gravità: è manifesto che, alzandolo [p. 200 quattro braccia lo ficca in terra, v. g., quattro dita, venendo dall'altezza di duo braccia lo caccerà assai manco, e meno dall'altezza di uno, e manco da un palmo; e finalmente, sollevandolo un dito, che farà di più che se, senza percossa, vi fusse posto sopra? certo pochissimo: ed operazione del tutto impercettibile sarebbe, se si elevasse quanto è grosso un foglio. E perché l'effetto della percossa si regola dalla velocità del medesimo percuziente, chi vorrà dubitare che lentissimo sia 'l moto e più che minima la velocità, dove l'operazione sua sia impercettibile? Veggano ora quanta sia la forza della verità, mentre l'istessa esperienza che pareva nel primo aspetto mostrare una cosa, meglio considerata ci assicura del contrario. Ma senza ridursi a tale esperienza (che senza dubbio è concludentissima), mi pare che non sia difficile co 'l semplice discorso penetrare una tal verità. Noi abbiamo un sasso grave, sostenuto nell'aria in quiete; si libera dal sostegno e si pone in libertà, e, come più grave dell'aria, vien descendendo al basso, e non con moto equabile, ma lento nel principio, e continuamente dopo accelerato: ed essendo che la velocità è augumentabile e menomabile in infinito, qual ragione mi persuaderà che tal mobile, partendosi da una tardità infinita (ché tal è la quiete), entri immediatamente in dieci gradi di velocità più che in una di quattro, o in questa prima che in una di due, di uno, di un mezo, di un centesimo? ed in somma in tutte le minori in infinito? Sentite, in grazia. Io non credo che voi fuste renitenti a concedermi che l'acquisto de i gradi di velocità del sasso cadente dallo stato di quiete possa farsi co 'l medesimo ordine che la diminuzione e perdita de i medesimi gradi, mentre da virtù impellente fusse ricacciato in su alla medesima altezza; ma quando ciò sia, non veggo che si possa dubitare che nel diminuirsi la velocità del sasso ascendente, consumandola tutta, possa pervenire allo stato di quiete prima che passar per tutti i gradi di tardità.
SIMP. Ma se i gradi di tardità maggiore e maggiore sono infiniti, già mai non si consumeranno tutti; onde tal grave ascendente non si condurrà mai alla quiete, ma infinitamente si moverà, ritardandosi sempre: cosa che non si vede accadere.
SALV. Accaderebbe cotesto, Sig. Simplicio, quando il mobile andasse per qualche tempo trattenendosi in ciaschedun grado; ma egli vi passa solamente, senza dimorarvi oltre a un instante; e perché in ogni [p. 201 tempo quanto, ancor che piccolissimo, sono infiniti instanti, però son bastanti a rispondere a gl'infiniti gradi di velocità diminuita. Che poi tal grave ascendente non persista per verun tempo quanto in alcun medesimo grado di velocità, si fa manifesto così: perché se, assegnato qualche tempo quanto, nel primo instante di tal tempo ed anco nell'ultimo il mobile si trovasse aver il medesimo grado di velocità, potrebbe da questo secondo grado esser parimente sospinto in su per altrettanto spazio, sì come dal primo fu portato al secondo, e per l'istessa ragione passerebbe dal secondo al terzo, e finalmente continuerebbe il suo moto uniforme in infinito.
SAGR. Da questo discorso mi par che si potrebbe cavare una assai congrua ragione della quistione agitata tra i filosofi, qual sia la causa dell'accelerazione del moto naturale de i gravi. Imperò che, mentre io considero, nel grave cacciato in su andarsi continuamente diminuendo quella virtù impressagli dal proiciente; la quale, sin che fu superiore all'altra contraria della gravità, lo sospinse in alto; giunte che siano questa e quella all'equilibrio, resta il mobile di più salire e passa per lo stato della quiete, nel quale l'impeto impresso non è altramente annichilito, ma solo consumatosi quell'eccesso che pur [p. 202
SIMP. Non è dubbio che sì.
SAGR. E non meno potrà cotal virtù impressa di così poco superar la resistenza della gravità, che non l'alzi più d'un dito; e finalmente può la virtù del proiciente esser solamente tanta, che pareggi per l'appunto la resistenza della gravità, sì che il mobile sia non cacciato in alto, ma solamente sostenuto. Quando dunque voi reggete in mano una pietra, che altro gli fate voi che l'imprimerli tanta virtù impellente all'in su, quanta è la facoltà della sua gravità, traente in giù? e questa vostra virtù non continuate voi di conservargliela impressa per tutto il tempo che voi la sostenete in mano? si diminuisce ella forse per la lunga dimora che voi la reggete? e questo sostentamento che vieta la scesa al sasso, che importa che sia fatto più dalla vostra mano, che da una tavola, o da una corda dalla quale ei sia sospeso? Certo niente. Concludete pertanto, Sig. Simplicio, che il precedere alla caduta del sasso una quiete lunga o breve o momentanea, non fa differenza alcuna, sì che il sasso non parta sempre affetto da tanta virtù contraria alla sua gravità, quanta appunto bastava a tenerlo in quiete.
SALV. Non mi par tempo opportuno d'entrare al presente nell'investigazione della causa dell'accelerazione del moto naturale, intorno alla quale da varii filosofi varie sentenzie sono state prodotte, riducendola alcuni all'avvicinamento al centro, altri al restar successivamente manco parti del mezo da fendersi, altri a certa estrusione del mezo ambiente, il quale, nel ricongiugnersi a tergo del mobile, lo va premendo e continuatamente scacciando; le quali fantasie, con altre appresso, converrebbe andare esaminando e con poco guadagno risolvendo. Per ora basta al nostro Autore che noi intendiamo che egli ci vuole investigare e dimostrare alcune passioni di un moto accelerato (qualunque si sia la causa della sua accelerazione) talmente, che i momenti della sua velocità vadano accrescendosi, dopo la sua partita dalla quiete, con quella semplicissima proporzione con la quale cresce la continuazion del tempo, che è quanto dire che in tempi eguali si facciano eguali additamenti di velocità; e se s'incontrerà che gli accidenti che poi saranno dimostrati si verifichino nel moto de i gravi naturalmente descendenti ed accelerati, potremo reputare che l'assunta definizione comprenda cotal moto de i gravi, e che vero [p. 203 sia che l'accelerazione loro vadia crescendo secondo che cresce il tempo e la durazione del moto.
SAGR. Per quanto per ora mi si rappresenta all'intelletto, mi pare che con chiarezza forse maggiore si fusse potuto definire, senza variare il concetto: Moto uniformemente accelerato esser quello, nel qual la velocità andasse crescendo secondo che cresce lo spazio che si va passando; sì che, per esempio, il grado di velocità acquistato dal mobile nella scesa di quattro braccia fusse doppio di quello ch'egli ebbe sceso che e' fu lo spazio di due, e questo doppio del conseguito nello spazio del primo braccio. Perché non mi par che sia da dubitare, che quel grave che viene dall'altezza di sei braccia, non abbia e perquota con impeto doppio di quello che ebbe, sceso che fu tre braccia, e triplo di quello che ebbe alle due, e sescuplo dell'auto nello spazio di uno.
SALV. Io mi consolo assai d'aver auto un tanto compagno nell'errore; e più vi dirò che il vostro discorso ha tanto del verisimile e del probabile, che il nostro medesimo Autore non mi negò, quando io glielo proposi, d'esser egli ancora stato per qualche tempo nella medesima fallacia. Ma quello di che io poi sommamente mi maravigliai, fu il vedere scoprir con quattro semplicissime parole, non pur false, ma impossibili, due proposizioni che hanno del verisimile tanto, che avendole io proposte a molti, non ho trovato chi liberamente non me l'ammettesse.
SIMP. Veramente io sarei del numero de i conceditori: e che il grave descendente vires acquirat eundo, crescendo la velocità a ragion dello spazio, e che 'l momento dell'istesso percuziente sia doppio venendo da doppia altezza, mi paiono proposizioni da concedersi senza repugnanza o controversia.
SALV. E pur son tanto false e impossibili, quanto che il moto si faccia in un instante: ed eccovene chiarissima dimostrazione. Quando le velocità hanno la medesima proporzione che gli spazii passati o da passarsi, tali spazii vengon passati in tempi eguali; se dunque le velocità con le quali il cadente passò lo spazio di quattro braccia, furon doppie delle velocità con le quali passò le due prime braccia (sì come lo spazio è doppio dello spazio), adunque i tempi di tali passaggi sono eguali: ma passare il medesimo mobile le quattro braccia e le due nell'istesso tempo, non può aver luogo fuor che nel [p. 204 moto instantaneo: ma noi veggiamo che il grave cadente fa suo moto in tempo, ed in minore passa le due braccia che le quattro; adunque è falso che la velocità sua cresca come lo spazio. L'altra proposizione si dimostra falsa con la medesima chiarezza. Imperò che, essendo quello che perquote il medesimo, non può determinarsi la differenza e momento delle percosse se non dalla differenza della velocità: quando dunque il percuziente, venendo da doppia altezza, facesse percossa [p. 205 Per ora, continuando il nostro filo, parmi che sin qui abbiamo fermata la definizione del moto uniformemente accelerato, del quale si tratta ne i discorsi che seguono; ed è:
Moto equabilmente, ossia uniformemente accelerato, diciamo quello che, a partire dalla quiete, in tempi eguali acquista eguali momenti di velocità.
SALV. Fermata cotal definizione, un solo principio domanda e suppone per vero l'Autore, cioè:
Assumo che i gradi di velocità, acquistati da un medesimo mobile su piani diversamente inclinati, siano eguali allorché sono eguali le elevazioni di quei piani medesimi.
SAGR. Veramente mi par che tal supposto abbia tanto del probabile, che meriti di esser senza controversia conceduto, intendendo sempre che si rimuovano tutti gl'impedimenti accidentarii ed esterni, e che i piani siano ben solidi e tersi ed il mobile di figura perfettissimamente rotonda, sì che ed il piano ed il mobile non abbiano scabrosità. Rimossi tutti i contrasti ed impedimenti, il lume naturale mi detta senza difficoltà, che una palla grave e perfettamente rotonda, scendendo per le linee CA, CD, CB, giugnerebbe ne i termini A, D, B con impeti eguali.
SAGR. Il discorso mi par concludentissimo, e l'esperienza tanto accomodata per verificare il postulato, che molto ben sia degno d'esser conceduto come se fusse dimostrato.
SALV. Io non voglio, Sig. Sagredo, che noi ci pigliamo più del dovere, e massimamente che di questo assunto ci abbiamo a servire principalmente ne i moti fatti sopra superficie rette, e non sopra curve, nelle quali l'accelerazione procede con gradi molto differenti da quelli con i quali noi pigliamo ch'ella proceda ne' piani retti. Di modo che, se ben l'esperienza addotta ci mostra che la scesa per l'arco CB conferisce al mobile momento tale, che può ricondurlo alla medesima altezza per qualsivoglia arco BD, BG, BI, noi non possiamo con simile evidenza mostrare che l'istesso accadesse quando una perfettissima palla dovesse scendere per piani retti, inclinati secondo le inclinazioni delle corde di questi medesimi archi; anzi è credibile che, formandosi angoli da essi piani retti nel termine B, la palla scesa per l'inclinato secondo la corda CB, trovando intoppo ne i piani ascendenti secondo le corde BD, BG, BI, nell'urtare in essi perderebbe del suo impeto, né potrebbe, salendo, condursi all'altezza della linea CD: ma levato l'intoppo, che progiudica all'esperienza, mi par bene che l'intelletto resti capace, che l'impeto (che in effetto piglia

### no matchno match

vigore dalla quantità della scesa) sarebbe potente a ricondurre il mobile alla medesima altezza. Prendiamo dunque per ora questo come postulato, la verità assoluta del quale ci verrà poi stabilita dal vedere altre conclusioni, fabbricate sopra tale ipotesi, rispondere e puntualmente confrontarsi con l'esperienza. Supposto dall'Autore questo solo principio, passa alle proposizioni, dimostrativamente concludendole; delle quali la prima è questa:
TEOREMA1. PROPOSIZIONE 1
Il tempo in cui uno spazio dato è percorso da un mobile con moto uniformemente accelerato a partire dalla quiete, è eguale al tempo in cui quel medesimo spazio sarebbe percorso dal medesimo mobile mosso di moto equabile, il cui grado di velocità sia sudduplo [la metà] del grado di velocità ultimo e massimo [raggiunto dal mobile] nel precedente moto uniformemente accelerato.
TEOREMA 2. PROPOSIZIONE 2
Se un mobile scende, a partire dalla quiete, con moto uniformemente accelerato, gli spazi percorsi da esso in tempi qualsiasi stanno tra di loro in duplicata proporzione dei tempi [in un rapporto pari al rapporto dei tempi moltiplicato per se stesso], cioè stanno tra di loro come i quadrati dei tempi.
COROLLARIO 1
Di qui è manifesto che, se dal primo istante o inizio del moto avremo preso successivamente un numero qualsiasi di tempi eguali, come ad esempio AD, DE, EF, FG, nei quali siano percorsi gli spazi HL, LM, MN, NI, questi spazi staranno tra di loro come i numeri impari ab unitate, cioè come 1, 3, 5, 7: questa è infatti la proporzione tra gli eccessi dei quadrati delle linee che si eccedono egualmente e il cui eccesso è eguale alla minima di esse, o vogliam dire tra i numeri quadrati consecutivi ab unitate. Pertanto, mentre i gradi di velocità aumentano in tempi eguali secondo la serie dei numeri semplici, gli spazi percorsi nei medesimi tempi acquistano incrementi secondo la serie dei numeri impari ab unitate.
SIMP. Io veramente ho preso più gusto in questo semplice e chiaro discorso del Sig. Sagredo, che nella per me più oscura dimostrazione dell'Autore; sì che io resto assai ben capace che il negozio deva succeder così, posta e ricevuta la definizione del moto uniformemente accelerato. Ma se tale sia poi l'accelerazione della quale si serve la natura nel moto de i suoi gravi descendenti, io per ancora ne resto dubbioso; e però, per intelligenza mia e di altri simili a me, parmi che sarebbe stato opportuno in questo luogo arrecar qualche esperienza di quelle che si è detto esservene molte, che in diversi casi s'accordano con le conclusioni dimostrate.
SALV. Voi, da vero scienziato, fate una ben ragionevol domanda; e così si costuma e conviene nelle scienze le quali alle conclusioni naturali applicano le dimostrazioni matematiche, come si vede ne i perspettivi, negli astronomi, ne i mecanici, ne i musici ed altri, li quali con sensate esperienze confermano i principii loro, che sono i fondamenti di tutta la seguente struttura: e però non voglio che ci paia superfluo se con troppa lunghezza aremo discorso sopra questo primo e massimo fondamento, sopra 'l quale s'appoggia l'immensa machina d'infinite conclusioni, delle quali solamente una piccola parte ne abbiamo in questo libro, poste dall'Autore, il quale arà fatto assai ad aprir l'ingresso e la porta stata sin or serrata agl'ingegni specolativi. Circa dunque all'esperienze, non ha tralasciato l'Autor di farne; e per assicurarsi che l'accelerazione de i gravi naturalmente descendenti segua nella proporzione sopradetta, molte volte mi son ritrovato io a farne la prova nel seguente modo, in sua compagnia.
In un regolo, o vogliàn dir corrente, di legno, lungo circa 12 braccia, e largo per un verso mezo bracio e per l'altro 3 dita, si era in questa minor larghezza incavato un canaletto, poco più largo d'un dito; tiratolo drittissimo, e, per averlo ben pulito e liscio, incollatovi dentro una carta pecora zannata e lustrata al possibile, si faceva in esso scendere una palla di bronzo durissimo, ben rotondata e pulita; costituito che si era il detto regolo pendente, elevando sopra il piano orizontale una delle sue estremità un braccio o due ad arbitrio, si lasciava (come dico) scendere per il detto canale la palla, notando, nel modo che appresso dirò, il tempo che consumava nello scorrerlo tutto, replicando il medesimo atto molte volte per assicurarsi bene della quantità del tempo, nel quale non si trovava mai differenza né anco della decima parte d'una battuta di polso. Fatta e stabilita precisamente tale operazione, facemmo scender la medesima palla solamente per la quarta parte della lunghezza di esso canale; e misurato il tempo della sua scesa, si trovava sempre puntualissimamente esser la metà dell'altro: e facendo poi l'esperienze di altre parti, esaminando ora il tempo di tutta la lunghezza col tempo della metà, o con quello delli duo terzi o de i 3/4, o in conclusione con qualunque altra divisione, per esperienze ben cento volte replicate sempre s'incontrava, gli spazii passati esser tra di loro come i quadrati e i tempi, e questo in tutte le inclinazioni del piano, cioè del canale nel quale si faceva scender la palla; dove osservammo ancora, i tempi delle scese per diverse inclinazioni mantener esquisitamente tra di loro quella proporzione che più a basso troveremo essergli assegnata e dimostrata dall'Autore. Quanto poi alla misura del tempo, si teneva una gran secchia piena d'acqua, attaccata in alto, la quale per un sottil cannellino, saldatogli nel fondo, versava un sottil filo d'acqua, che s'andava ricevendo con un piccol bicchiero per tutto 'l tempo che la palla scendeva nel canale e nelle sue parti: le particelle poi dell'acqua, in tal guisa raccolte, s'andavano di volta in volta con esattissima bilancia pesando, dandoci le differenze e proporzioni de i pesi loro le differenze e proporzioni de i tempi; e questo con tal giustezza, che, come ho detto, tali operazioni, molte e molte volte replicate, già mai non differivano d'un notabil momento.
SIMP. Gran sodisfazione arei ricevuta nel trovarmi presente a tali esperienze: ma sendo certo della vostra diligenza nel farle e fedeltà nel referirle, mi quieto, e le ammetto per sicurissime e vere.
SALV. Potremo dunque ripigliar la nostra lettura, e seguitare avanti.
COROLLARIO 2
In secondo luogo si ricava che, se si prendono, a partire dall'inizio del moto, due spazi qualsiasi percorsi in tempi qualsiasi, i rispettivi tempi staranno tra di loro come uno dei due spazi sta al medio proporzionale tra i due spazi dati.
SCOLIO
Ora, quanto si è dimostrato riguardo ai moti verticali, si intenda verificarsi similmente anche nei moti sopra piani comunque inclinati: si è infatti assunto che, in questi ultimi, il grado di accelerazione aumenti sempre secondo la medesima proporzione, ossia secondo l'incremento del tempo, o vogliam dire secondo la prima serie semplice dei numeri.
Salv.(1) Qui vorrei, Sig. Sagredo, che a me ancora fosse permesso, se ben forsi con troppo tedio del Sig. Simplicio, il differir per un poco la presente lettura, fin ch'io possa esplicare quanto dal detto e dimostrato fin ora, e congiuntamente dalla notizia d'alcune conclusioni mecaniche apprese già dal nostro Academico, sovviemmi adesso di poter soggiugnere per maggior confermazione della verità del principio che sopra con probabili discorsi ed esperienze fu da noi esaminato, anzi, quello più importa, per geometricamente concluderlo, dimostrando prima un sol lemma, elementare nella contemplazione de gl'impeti.
SAGR. Mentre tale deva esser l'acquisto quale V. S. ci promette, non vi è tempo che da me volentierissimo non si spendesse, trattandosi di confermare e interamente stabilire queste scienze del moto: e quanto a me, non solo vi concedo il poter satisfarvi in questo particolare, ma di più pregovi ad appagare quanto prima la curiosità che mi avete in esso svegliata; e credo che il Sig. Simplicio abbia ancora il medesimo sentimento.
SIMP. Non posso dire altrimenti.
SALV. Già che dunque me ne date licenza, considerisi in primo luogo, come effetto notissimo, che i momenti o le velocità d'un istesso mobile son diverse sopra diverse inclinazioni di piani, e che la massima è per la linea perpendicolarmente sopra l'orizonte elevata, e che per l'altre inclinate si diminuisce tal velocità, secondo che quelle più dal perpendicolo si discostano, cioè più obliquamente s'inclinano; onde l'impeto, il talento, l'energia, o vogliamo dire il momento, del descendere vien diminuito nel mobile dal piano soggetto, sopra il quale esso mobile s'appoggia e descende.
E per meglio dichiararmi, intendasi la linea AB, perpendicolarmente eretta sopra l'orizonte AC; pongasi poi la medesima in diverse inclinazioni verso l'orizonte piegata, come in AD, AE, AF, etc.: dico, l'impeto massimo e totale del grave per descendere esser per la perpendicolare BA, minor di questo per la DA, e minore ancora per la EA, e successivamente andarsi diminuendo per la più inclinata FA, e finalmente esser del tutto estinto nella orizontale CA, dove il mobile si trova indifferente al moto e alla quiete, e non ha per se stesso inclinazione di muoversi verso alcuna parte, né meno alcuna resistenza all'esser mosso; poiché, sì come è impossibile che un grave o un composto di essi si muova naturalmente all'in su, discostandosi dal comun centro verso dove conspirano tutte le cose gravi, così è impossibile che egli spontaneamente si muova, se con tal moto il suo proprio centro di gravità non acquista avvicinamento al sudetto centro comune: onde sopra l'orizontale, che qui s'intende per una superficie egualmente lontana dal medesimo centro, e perciò affatto priva d'inclinazione, nullo sarà l'impeto o momento di detto mobile.
Appresa questa mutazione d'impeto, mi fa qui mestier esplicare quello che in un antico trattato di mecaniche, scritto già in Padova dal nostro Academico sol per uso de' suoi discepoli, fu diffusamente e concludentemente dimostrato, in occasione di considerare l'origine e natura del maraviglioso strumento della vita; ed è con qual proporzione si faccia tal mutazione d'impeto per diverse inclinazioni di piani: come, per esempio, del piano inclinato AF tirando la sua elevazione sopra l'orizonte, cioè la linea FC, per la quale l'impeto d'un grave ed il momento del descendere è il massimo, cercasi qual proporzione abbia questo momento al momento dell'istesso mobile per l'inclinata FA; qual proporzione dico esser reciproca delle dette lunghezze: e questo sia il lemma da premettersi al teorema, che dopo io spero di poter dimostrare. Qui è manifesto, tanto essere l'impeto del descendere d'un grave, quanta è la resistenza o forza minima che basta per proibirlo e fermarlo: per tal forza e resistenza, e sua misura, mi voglio servire della gravità d'un altro mobile. Intendasi ora, sopra il piano FA posare il mobile G, legato con un filo che, cavalcando sopra l'F, abbia attaccato un peso H; e consideriamo che lo spazio della scesa o salita a perpendicolo di esso è ben sempre eguale a tutta la salita o scesa dell'altro mobile G per l'inclinata AF, ma non già alla salita o scesa a perpendicolo, nella qual sola esso mobile G (sì come ogn'altro mobile) esercita la sua resistenza. Il che è manifesto. Imperoché considerando, nel triangolo AFC il moto del mobile G, per esempio all'in su da A in F, esser composto del trasversale orizontale AC e del perpendicolare CF; ed essendo che quanto all'orizontale, nessuna, come s'è detto, è la resistenza del medesimo all'esser mosso (non facendo con tal moto perdita alcuna, né meno acquisto, in riguardo della propria distanza dal comun centro delle cose gravi, che nell'orizonte si conserva sempre l'istessa); resta, la resistenza esser solamente rispetto al dover salire la perpendicolare CF. Mentre che dunque il grave G, movendosi da A in F, resiste solo, nel salire, lo spazio perpendicolare CF, ma che l'altro grave H scende a perpendicolo necessariamente quanto tutto lo spazio FA, e che tal proporzione di salita e scesa si mantien sempre l'istessa, poco o molto che sia il moto de i detti mobili (per esser collegati insieme); possiamo assertivamente affermare, che quando debba seguire l'equilibrio, cioè la quiete tra essi mobili, i momenti, le velocità, o le lor propensioni al moto, cioè gli spazii che da loro si passerebbero nel medesimo tempo, devon rispondere reciprocamente alle loro gravità, secondo quello che in tutti i casi de' movimenti mecanici si dimostra: sì che basterà, per impedire la scesa del G, che lo H sia tanto men grave di quello, quanto a proporzione lo spazio CF è minore dello spazio FA. Sia fatto, dunque, come FA ad FC, così il grave G al grave H; ché allora seguirà l'equilibrio, cioè i gravi H, G averanno momenti eguali, e cesserà il moto de i detti mobili. E perché siamo convenuti, che di un mobile tanto sia l'impeto, l'energia, il momento, o la propensione al moto, quanta è la forza o resistenza minima che basta a fermarlo, e s'è concluso che il grave H è bastante a proibire il moto al grave G, adunque il minor peso H, che nella perpendicolare FC esercita il suo momento totale, sarà la precisa misura del momento parziale che il maggior peso G esercita per il piano inclinato FA; ma la misura del total momento del medesimo grave G è egli stesso (poiché per impedire la scesa perpendicolare d'un grave si richiede il contrasto d'altrettanto grave, che pur sia in libertà di muoversi perpendicolarmente); adunque l'impeto o momento parziale del G per l'inclinata FA, all'impeto massimo e totale dell'istesso G per la perpendicolare FC, starà come il peso H al peso G, cioè, per la costruzione, come essa perpendicolare FC, elevazione dell'inclinata, alla medesima inclinata FA: che è quello che per lemma si propose di dimostrare, e che dal nostro Autore, come vedranno, vien supposto per noto nella seconda parte della sesta proposizione del presente trattato.
SAGR. Da questo che V. S. ha concluso fin qui, parmi che facilmente si possa dedurre, argumentando ex æquali con la proporzione perturbata, che i momenti dell'istesso mobile per piani diversamente inclinati, come FA, FI, che abbino l'istessa elevazione, son fra loro in reciproca proporzione de' medesimi piani.
SALV. Verissima conclusione. Fermato questo, passerò adesso a dimostrare il teorema, cioè che:
I gradi di velocità d'un mobile descendente con moto naturale dalla medesima sublimità per piani in qualsivoglia modo inclinati, all'arrivo all'orizonte son sempre eguali, rimossi gl'impedimenti.
Qui devesi prima avvertire, che stabilito che in qualsivoglino inclinazioni il mobile dalla partita dalla quiete vada crescendo la velocità, o la quantità dell'impeto, con la proporzione del tempo (secondo la definizione data dall'Autore al moto naturalmente accelerato), onde, com'egli ha per l'antecedente proposizione dimostrato, gli spazii passati sono in duplicata proporzione de' tempi, e conseguentemente de' gradi di velocità; quali furono gl'impeti nella prima mossa, tali proporzionalmente saranno i gradi delle velocità guadagnati nell'istesso tempo, poiché e questi e quelli crescono con la medesima proporzione nel medesimo tempo.
Ora sia il piano inclinato AB, la sua elevazione sopra l'orizonte la perpendicolare AC, e l'orizontale CB; e perché, come poco fa si è concluso, l'impeto d'un mobile per la perpendicolare AC, all'impeto del medesimo per l'inclinata AB, sta come AB ad AC, prendasi nell'inclinata AB la AD, terza proporzionale delle AB, AC: l'impeto dunque per AC all'impeto per la AB, cioè per la AD, sta come la AC all'AD; e perciò il mobile nell'istesso tempo che passerebbe lo spazio perpendicolare AC, passerà ancora lo spazio AD nell'inclinata AB (essendo i momenti come gli spazii), ed il grado di velocità in C al grado di velocità in D averà la medesima proporzione della AC alla AD. Ma il grado di velocità in B al medesimo grado in D sta come il tempo per AB al tempo per AD, per la definizione del moto accelerato, ed il tempo per AB al tempo per AD sta come la medesima AC, media tra le BA, AD, alla AD, per l'ultimo corollario della seconda proposizione; adunque i gradi in B ed in C al grado in D hanno la medesima proporzione della AC alla AD, e però sono eguali: che è il teorema che intesi di dimostrare.
Da questo potremo più concludentemente provare la seguente terza proposizione dell'Autore, nella quale egli si vale del principio; ed è che il tempo per l'inclinata al tempo per la perpendicolare ha l'istessa proporzione di essa inclinata e perpendicolare. Imperoché diciamo: quando BA sia il tempo per AB, il tempo per AD sarà la media tra esse, cioè la AC, per il secondo corollario della seconda proposizione; ma quando AC sia il tempo per AD, sarà anco il tempo per AC, per essere le AD, AC scorse in tempi eguali; e però quando BA sia il tempo per AB, AC sarà il tempo per AC; adunque, come AB ad AC, così il tempo per AB al tempo per AC.
Col medesimo discorso si proverà, che il tempo per AC al tempo per altra inclinata AE sta come la AC alla AE; adunque, ex æquali, il tempo per l'inclinata AB al tempo dell'inclinata AE sta omologamente come la AB alla AE, etc.
Potevasi ancora dall'istesso progresso del teorema, come vedrà benissimo il Sig. Sagredo, dimostrar immediatamente la sesta proposizione dell'Autore: ma basti per ora tal digressione, che forsi gli è riuscita troppo tediosa, benché veramente di profitto in queste materie del moto.
SAGR. Anzi di mio grandissimo gusto, e necessarissima alla perfetta intelligenza di quel principio.
SALV. Ripiglierò dunque la lettura del testo.
TEOREMA 3. PROPOSIZIONE 3
Se un medesimo mobile si muove, a partire dalla quiete, su un piano inclinato e lungo una perpendicolare, che abbiano eguale altezza, i tempi dei moti staranno tra di loro come le lunghezze [rispettivamente] del piano e della perpendicolare.
SAGR. Parmi che assai chiaramente e con brevità si poteva concludere il medesimo, essendosi già concluso che la somma del moto accelerato de i passaggi per AC, AB è quanto il moto equabile il cui grado di velocità sia sudduplo al grado massimo CB; essendo dunque passati li due spazii AC, AB con l'istesso moto equabile, già è manifesto, per la proposizione prima del primo, che i tempi de' passaggi saranno come gli spazii medesimi.
COROLLARIO
Di qui si ricava che i tempi impiegati a scendere su piani diversamente inclinati, purché però abbiano la medesima elevazione, stanno tra di loro come le rispettive lunghezze.
TEOREMA 4. PROPOSIZIONE 4
I tempi dei moti su piani di eguale lunghezza, ma di diversa inclinazione, stanno tra di loro in sudduplicata proporzione delle elevazioni dei medesimi piani permutatamente prese [in un rapporto pari alla radice quadrata del rapporto inverso tra le elevazioni].
TEOREMA 5. PROPOSIZIONE 5
La proporzione tra i tempi delle discese su piani di diversa inclinazione e lunghezza e di elevazione pure diseguale, è composta dalla proporzione tra le rispettive lunghezze e della sudduplicata proporzione delle elevazioni permutatamente prese.
TEOREMA 6. PROPOSIZIONE 6
Se dal più alto o dal più basso punto di un cerchio eretto sull'orizzonte si conducono piani inclinati qualsiasi fino alla circonferenza, i tempi delle discese lungo tali piani saranno eguali.
COROLLARIO 1
Di qui si ricava che i tempi delle discese lungo tutte le corde condotte dagli estremi C o D, sono tra di loro eguali.
COROLLARIO 2
Si ricava inoltre che, se da un medesimo punto partono una perpendicolare e un piano inclinato tali, che i tempi di discesa lungo di essi siano eguali, quella perpendicolare e quel piano inclinato risultano [inscrivibili] in un semicerchio, il cui diametro è la perpendicolare medesima.
COROLLARIO 3
Si ricava anche che i tempi dei moti sopra piani inclinati sono eguali allorché le elevazioni di tratti eguali di tali piani staranno tra di esse come le lunghezze dei piani medesimi: si è infatti mostrato, nella penultima(2) figura, che i tempi delle discese per CA e DA sono eguali, quando l'elevazione del tratto AB, eguale ad AD, ossia BE, sta alla elevazione DF come CA sta a DA.
SAGR. Sospenda in grazia V. S. per un poco la lettura delle cose che seguono, sin che io mi vo risolvendo sopra certa contemplazione che pur ora mi si rivolge per la mente; la quale, quando non sia una fallacia, non è lontana dall'essere uno scherzo grazioso, quali sono tutti quelli della natura o della necessità.
SALV. La contemplazione è veramente bellissima, e proporzionata all'ingegno del Sig. Sagredo.
SIMP. Io, restando al meno capace della contemplazione sopra le due maniere del prodursi, con li due diversi moti naturali, i cerchi e le sfere, se bene della produzzione dependente dal moto accelerato e della sua dimostrazione non son del tutto intelligente, tuttavia quel potersi assegnare per luogo di tale emanazione tanto il centro infimo quanto l'altissima sferica superficie, mi fa credere che possa essere che qualche gran misterio si contenga in queste vere ed ammirande conclusioni; misterio, dico, attenente alla creazione dell'universo, il quale si stima essere di forma sferica, ed alla residenza della prima causa.
SALV. Io non ho repugnanza al creder l'istesso. Ma simili profonde contemplazioni si aspettano a più alte dottrine che le nostre: ed a noi deve bastare d'esser quei men degni artefici, che dalle fodine scuoprono e cavano i marmi, ne i quali poi gli scultori industri fanno apparire maravigliose immagini, che sotto roza ed informe scorza stavano ascoste. Or, se così vi piace, seguiremo avanti.
TEOREMA 7. PROPOSIZIONE 7
Se le elevazioni di due piani avranno tra di loro una proporzione doppia di quella posseduta dalle lunghezze dei medesimi piani, su di questi i moti a partire dalla quiete si compiranno in tempi eguali.
TEOREMA 8. PROPOSIZIONE 8
Tra i piani delimitati da un medesimo cerchio eretto sull'orizzonte, su quelli, che terminano nell'estremo inferiore o superiore del diametro perpendicolare, i tempi delle discese sono eguali al tempo della caduta lungo il diametro; invece sui piani che non raggiungono il diametro, i tempi sono più brevi; infine, sui piani che tagliano il diametro, sono più lunghi.
TEOREMA 9. PROPOSIZIONE 9
Se a partire da un punto di una linea parallela all'orizzonte si conducono due piani comunque inclinati, e questi sono tagliati da una linea, che formi con essi angoli permutatamente [inversamente] eguali agli angoli racchiusi dai medesimi piani e dalla orizzontale, i moti lungo i tratti intersecati dalla suddetta linea si compiranno in tempi eguali.
TEOREMA 10. PROPOSIZIONE 10
I tempi dei moti sopra piani di diversa inclinazione ma di elevazione eguale, stanno tra di loro come le lunghezze dei piani medesimi, sia che i moti si svolgano a partire dalla quiete, sia che li preceda un moto [iniziato] da una medesima altezza [cfr. figura 48.gif|center]].
TEOREMA 11. PROPOSIZIONE 11
Se il piano, sul quale si svolge il moto a partire dalla quiete, viene diviso in un modo qualsiasi, il tempo del moto lungo il primo tratto sta al tempo del moto lungo il tratto successivo, come quel medesimo primo tratto sta all'eccesso che, su di esso, ha la media proporzionale tra l'intero piano e il suo primo tratto.
TEOREMA 12. PROPOSIZIONE 12
Se una perpendicolare e un piano comunque inclinato si intersecano tra di loro [nello spazio compreso] tra due medesime linee orizzontali, e se si prendono le medie proporzionali tra ciascuno di essi e la rispettiva parte compresa tra il punto comune di intersezione e la linea orizzontale superiore, il tempo del moto lungo la perpendicolare starà al tempo del moto [complessivo] lungo la parte superiore della perpendicolare e poi lungo la parte inferiore del piano secante, nella medesima proporzione che l'intera lunghezza della perpendicolare ha alla linea composta della media proporzionale presa sulla perpendicolare, e dell'eccesso dell'intero piano inclinato sulla propria media proporzionale.
PROBLEMA 1. PROPOSIZIONE 13
Data una perpendicolare, condurre ad essa un piano inclinato tale, che, avendo esso elevazione eguale a quella della perpendicolare, il moto su di esso dopo la caduta lungo la perpendicolare si compia in un tempo eguale a quello della caduta lungo la perpendicolare data a partire dalla quiete.
PROBLEMA 2. PROPOSIZIONE 14
Data una perpendicolare e dato un piano ad essa inclinato, determinare nella parte superiore della perpendicolare un tratto tale, che il tempo impiegato a percorrerlo a partire dalla quiete risulti eguale al tempo impiegato a percorrere il piano inclinato con moto successivo alla caduta lungo il suddetto tratto di perpendicolare.
PROBLEMA 3. PROPOSIZIONE 15
Dati una perpendicolare e un piano ad essa inclinato, determinare sul prolungamento inferiore della perpendicolare un tratto tale, che il tempo impiegato a percorrerlo risulti eguale al tempo impiegato a percorrere il piano inclinato con moto successivo alla caduta lungo la perpendicolare data.
TEOREMA 13. PROPOSIZIONE 16
Se in un punto convergono i tratti di un piano inclinato e di una perpendicolare, tali che risultino eguali i tempi dei moti lungo di essi a partire dalla quiete, un mobile che cada da una qualsiasi altezza più elevata percorrerà più presto il tratto del piano inclinato che non quello della perpendicolare.
COROLLARIO
Da questa e dalla precedente proposizione si ricava che, dopo una caduta dall'alto, lo spazio, che viene percorso lungo la perpendicolare nel medesimo tempo impiegato a percorrere un dato piano inclinato, è minore dello spazio che viene percorso in tempo eguale a quello impiegato a percorrere il piano inclinato senza una precedente caduta dall'alto; tuttavia è maggiore del piano inclinato stesso.
PROBLEMA 4. PROPOSIZIONE 17
Dati una perpendicolare e un piano ad essa inclinato, segnare su questo un tratto tale, che un mobile, dopo essere caduto lungo la perpendicolare data, lo percorra in un tempo eguale a quello impiegato a percorrere la medesima perpendicolare a partire dalla quiete.
PROBLEMA 5. PROPOSIZIONE 18
Preso sulla perpendicolare, dall'inizio del moto, uno spazio qualsiasi, il quale sia percorso in un dato tempo, e dato un altro tempo minore qualsiasi, determinare, sulla medesima perpendicolare, un altro spazio [eguale in lunghezza al precedente], il quale venga percorso nel tempo minore dato.
PROBLEMA 6. PROPOSIZIONE 19
Dato su una perpendicolare uno spazio qualsiasi percorso dall'inizio del moto, e dato il tempo della caduta, trovare il tempo in cui il medesimo mobile percorre successivamente un altro spazio eguale, preso in una parte qualsiasi della medesima perpendicolare.
COROLLARIO
Di qui si ricava che, se si pone che il tempo, impiegato a percorrere un qualche spazio a partire dalla quiete, sia eguale allo spazio stesso, il tempo impiegato a percorrerlo, dopo che si sia già percorso un altro spazio, sarà eguale all'eccesso del medio proporzionale tra la somma dello spazio aggiunto più lo spazio dato e il medesimo spazio dato, sul medio proporzionale tra il primo spazio e lo spazio aggiunto: ad esempio, posto che il tempo del moto per AB a partire dalla quiete in A sia AB, qualora si aggiunga lo spazio AS, il tempo del moto per AB dopo il moto per SA sarà eguale all'eccesso del medio proporzionale tra SB e BA sul medio proporzionale tra BA e AS.
PROBLEMA 7. PROPOSIZIONE 20
Dato uno spazio qualsiasi e preso su di esso un tratto a partire dall'inizio del moto, determinare un altro tratto, alla fine [del moto], che sia percorso nello stesso tempo del primo tratto dato.
TEOREMA 14. PROPOSIZIONE 21
Se ha luogo una caduta lungo la perpendicolare a partire dalla quiete, e se si prende, dall'inizio del moto, un tratto, percorso in un tempo qualsiasi, cui segua un moto deviato su un piano comunque inclinato, lo spazio che, su tale piano, viene percorso in un tempo eguale a quello della caduta precedentemente svoltasi lungo la perpendicolare, sarà più del doppio, ma meno del triplo, dello spazio già percorso lungo la perpendicolare.
PROBLEMA 8. PROPOSIZIONE 22
Dati due tempi diseguali, e dato lo spazio che viene percorso lungo la perpendicolare a partire dalla quiete nel più breve dei due tempi dati, condurre dall'estremo superiore della perpendicolare fino all'orizzonte un piano inclinato, sul quale il mobile scenda in un tempo eguale al più lungo dei tempi dati.
PROBLEMA 9. PROPOSIZIONE 23
Preso sulla perpendicolare uno spazio percorso in un tempo qualsiasi a partire dalla quiete, condurre dall'estremo inferiore di questo spazio un piano inclinato, sul quale, dopo la caduta lungo la perpendicolare, venga percorso nel medesimo tempo uno spazio eguale a uno spazio dato qualsiasi, purché superiore al doppio, ma inferiore al triplo, dello spazio percorso lungo la perpendicolare.
SCOLIO
Se si considera attentamente, apparirà manifesto che, quanto meno manca alla linea data IR per raggiungere il triplo della AC, tanto maggiormente il piano inclinato, sul quale deve svolgersi il secondo movimento, come ad esempio CO, si avvicina alla perpendicolare, e finalmente, lungo quest'ultima, viene percorso in un tempo eguale ad AC uno spazio che è tre volte AC. Infatti, allorché IR sarà prossima al triplo di AC, IM sarà quasi eguale ad MN; e poiché, per costruzione, come IM sta ad MN così AC sta a CE, ne risulta che la medesima CE si trova ad essere di poco maggiore della CA, e, di conseguenza, il punto E si trova ad essere prossimo al punto A, e CO forma con CS un angolo molto acuto, coincidendo quasi l'una con l'altra. Viceversa, se la linea data IR sarà di pochissimo superiore al doppio della medesima AC, IM sarà una linea brevissima; ne verrà che anche la AC sarà minima rispetto alla CE, la quale sarà lunghissima e quanto più prossima alla parallela orizzontale passante per C. E di qui possiamo ricavare che, se nella figura accanto dopo la discesa sul piano inclinato AC il moto viene riflesso lungo la linea orizzontale, quale sarebbe CT, lo spazio che il mobile successivamente percorrerebbe in un tempo eguale al tempo della discesa per AC, sarebbe esattamente doppio dello spazio AC. Sembra inoltre che qui sia anche adatto un consimile ragionamento: infatti, è chiaro, dal fatto che OE sta ad EF come FE ad EC, che proprio la FC determina il tempo della discesa per CO. Se poi il tratto orizzontale TC, doppio di CA, vien diviso a metà in V, prolungato verso X si estenderà all'infinito prima che possa incontrare il prolungamento di AE, e la proporzione della linea infinita TX all'infinita VX non sarà diversa dalla proporzione dell'infinita VX all'infinita XC.
Inoltre, è lecito aspettarsi che, qualunque grado di velocità si trovi in un mobile, gli sia per sua natura indelebilmente impresso, purché siano tolte le cause esterne di accelerazione o di ritardamento; il che accade soltanto nel piano orizzontale; infatti nei piani declivi è di già presente una causa di accelerazione, mentre in quelli acclivi [è già presente una causa] di ritardamento: da ciò segue parimenti che il moto sul piano orizzontale è anche eterno; infatti, se è equabile, non scema o diminuisce, né tanto meno cessa. E per di più, poiché esiste un grado di velocità acquistato dal mobile nella discesa naturale, e poiché esso è, per sua natura, indelebile ed eterno, bisogna considerare che, se dopo la discesa per un piano declive il moto viene riflesso su un altro piano acclive, su quest'ultimo interviene già una causa di ritardamento: su tale piano, infatti, il medesimo mobile scende naturalmente; perciò ne nasce una certa mescolanza di proprietà contrarie, cioè del grado di velocità che è stato acquistato nella precedente discesa, il quale [grado di velocità] di per se stesso porterebbe il mobile a muoversi all'infinito di moto uniforme, e della naturale propensione al moto deorsum secondo quella medesima proporzione di accelerazione con la quale sempre si muove. Perciò, investigando su che cosa accade allorché il mobile, dopo la discesa per un piano declive, viene riflesso su un piano acclive, sembrerà oltremodo ragionevole ammettere che il massimo grado di velocità acquistato nella discesa per sé si conservi sempre lo stesso sul piano ascendente; e che tuttavia nella ascesa gli si aggiunga la naturale inclinazione deorsum, cioè un moto accelerato a partire dalla quiete sempre secondo una proporzione data. Se poi tali cose risulteranno troppo oscure da intendere, si faranno più chiare con l'aiuto di qualche disegno.
Si intenda pertanto che la discesa si sia svolta sul piano declive AB, e che in séguito il moto continui riflesso su un altro piano acclive BC; e, in primo luogo, i piani siano eguali ed elevati sull'orizzonte GH con angoli [di inclinazione] eguali: già sappiamo che il mobile, che discende per AB a partire dalla quiete in A, acquista gradi di velocità secondo il crescere del tempo; inoltre [sappiamo] che il grado di velocità acquistato in B è il massimo, e per sua natura immutabilmente impresso, rimosse beninteso le cause di nuova accelerazione o di ritardamento: vogliam dire, di accelerazione, se [il mobile] procede ancora sul prolungamento del medesimo piano; di ritardamento, allorché viene riflesso sul piano acclive BC: ma sul piano orizzontale GH il moto continuerebbe equabile all'infinito, col grado di velocità acquistato in B nella discesa da A; e la velocità sarebbe tale, che in un tempo eguale al tempo della discesa per AB [il mobile] percorrerebbe sull'orizzonte uno spazio doppio del medesimo AB. Immaginiamo ora che il medesimo mobile con il medesimo grado di velocità si muova equabilmente sul piano BC, sì che, anche su questo, in un tempo eguale al tempo della discesa per AB, percorrerebbe sul prolungamento di BC uno spazio doppio del medesimo spazio AB; intendiamo tuttavia che, non appena comincia a salire, per sua medesima natura gli sopravviene ciò stesso che gli accadde [nel muoversi] da A sul piano AB, cioè un moto di discesa a partire dalla quiete secondo medesimi gradi di accelerazione, in virtù dei quali, come già accadde sul piano AB, in uno stesso tempo scenderebbe sul piano riflesso per uno spazio eguale a quello percorso in discesa su AB: è manifesto che, per tale mescolanza di moto ascendente equabile e di moto discendente accelerato, il mobile verrà spinto sul piano BC fino all'estremo C secondo i medesimi gradi di velocità, che risulteranno eguali. Presi infatti due punti qualsiasi D ed E, ad eguale distanza dall'angolo B, potremo ricavare che la discesa per DB avverrà in un tempo eguale al tempo del moto riflesso per BE. Tracciata la DF, essa sarà parallela alla BC; è noto infatti che il moto di discesa per AD viene riflesso lungo la DF: ora, se dopo D il mobile si muovesse sull'orizzontale DE, l'impeto in E sarebbe eguale all'impeto in D; dunque, da E salirebbe fino in C; dunque, il grado di velocità in D è eguale al grado [di velocità] in E.
TEOREMA 15. PROPOSIZIONE 24
Siano dati, [nello spazio compreso] entro le medesime parallele orizzontali, una perpendicolare e un piano inclinato innalzato dall'estremo inferiore di essa: lo spazio, che il mobile dopo la caduta lungo la perpendicolare percorre sul piano ascendente in un tempo eguale al tempo della caduta, è maggiore della stessa perpendicolare, ma minore del doppio di essa.
TEOREMA 16. PROPOSIZIONE 25
Se, dopo la caduta lungo un piano inclinato, il moto prosegue sul piano dell'orizzonte, il tempo della caduta lungo il piano inclinato starà al tempo del moto lungo un qualsiasi tratto dell'orizzonte, come il doppio della lunghezza del piano inclinato sta al tratto orizzontale preso.
PROBLEMA 10. PROPOSIZIONE 26
Data una perpendicolare [compresa] tra linee parallele orizzontali, e dato uno spazio maggiore della medesima perpendicolare, ma minore del doppio di essa, dall'estremo inferiore della perpendicolare innalzare, [nello spazio compreso] tra quelle medesime parallele, un piano tale che il mobile, se riflesso su questo piano dopo la discesa lungo la perpendicolare, percorra uno spazio eguale a quello dato, e in un tempo eguale al tempo della discesa lungo la perpendicolare.
TEOREMA 17. PROPOSIZIONE 27
Se un mobile scende su piani diseguali, ma aventi la medesima elevazione, lo spazio, che viene percorso nella parte inferiore del piano più lungo in un tempo eguale a quello impiegato a percorrere l'intero piano più breve, è eguale allo spazio composto dello stesso piano più breve e di quel tratto rispetto al quale il medesimo piano più breve ha una proporzione pari a quella che il piano più lungo ha rispetto all'eccesso del più lungo sul più breve.
PROBLEMA 11. PROPOSIZIONE 28
La linea orizzontale AG sia tangente a un cerchio, e dal punto di contatto si conduca il diametro AB; si considerino inoltre due corde qualsiasi AEB: bisogna determinare la proporzione del tempo della caduta lungo AB al tempo della discesa lungo ambedue le corde AEB.
TEOREMA 18. PROPOSIZIONE 29
Sia dato uno spazio orizzontale qualsiasi, e dal suo estremo sia innalzata la perpendicolare, sulla quale si prenda un tratto eguale alla metà dello spazio orizzontale dato; il mobile, che scenda da tale altezza e sia deviato sul piano orizzontale, percorrerà lo spazio orizzontale e la perpendicolare, presi insieme, in più breve tempo di [quello che impiegherebbe a percorrere] un qualsiasi altro tratto della perpendicolare insieme al medesimo spazio orizzontale.
TEOREMA 19. PROPOSIZIONE 30
Se da un punto di una linea orizzontale scende una perpendicolare e da un altro punto, preso sulla medesima orizzontale, si deve condurre fino alla perpendicolare un piano inclinato, sul quale il mobile impieghi il tempo più breve per scendere fino alla perpendicolare; tale piano sarà quello che stacca dalla perpendicolare un tratto eguale alla distanza che intercorre tra il [secondo] punto preso sull'orizzontale e l'estremo della perpendicolare.
TEOREMA 20. PROPOSIZIONE 31
Se, tracciata una linea retta comunque inclinata sull'orizzontale, si conduce da un dato punto dell'orizzontale fino alla linea inclinata il piano, sul quale la discesa si svolge nel tempo più breve, tale piano sarà quello che divide a metà l'angolo compreso tra le due perpendicolari che, dal punto dato, vengano condotte, l'una alla linea orizzontale, l'altra alla linea inclinata.
LEMMA
Date due circonferenze tangenti internamente l'una all'altra, se una retta qualsiasi è tangente alla circonferenza interna e interseca la circonferenza esterna, le tre linee condotte dal punto di contatto delle circonferenze ai tre punti della linea retta tangente - cioè al punto di contatto di essa con la circonferenza interna e ai due punti di intersezione di essa con la circonferenza esterna - formeranno angoli eguali [aventi per vertice] il punto di contatto delle circonferenze.
TEOREMA 21. PROPOSIZIONE 32
Se sull'orizzontale si prendono due punti e, a partire da uno di essi, si traccia una qualsiasi linea inclinata verso la parte dell'altro punto, e se a partire da quest'ultimo si conduce una linea retta, la quale incontri la predetta inclinata determinando su di essa un tratto eguale alla distanza fra i due punti dati sull'orizzontale, la caduta lungo questa retta si compirà più presto che non lungo qualsiasi altra retta condotta da quel medesimo punto fino a incontrare la medesima inclinata. Prese poi due rette qualsiasi, che formino con la retta data due angoli eguali da una parte e dall'altra, i tempi di caduta lungo di esse saranno eguali tra di loro.
PROBLEMA 12. PROPOSIZIONE 33
Dati una perpendicolare e un piano ad essa inclinato, che abbiano la medesima altezza e lo stesso estremo superiore, trovare lungo la perpendicolare, al di sopra dell'estremo in comune, un punto tale, che se da esso si lascia cadere un mobile, il quale venga poi fatto deviare sul piano inclinato, [quel mobile] percorra questo piano nello stesso tempo in cui percorrerebbe la perpendicolare a partire dalla quiete.
PROBLEMA 13. PROPOSIZIONE 34
Dati un piano inclinato e una perpendicolare, che abbiano il medesimo estremo superiore, trovare sul prolungamento della perpendicolare un punto più alto [dell'estremo comune], tale che un mobile, il quale cada da esso e sia deviato sul piano inclinato, li percorra entrambi in un tempo eguale a quello in cui percorrerebbe il solo piano inclinato [se partisse] dalla quiete nell'estremo superiore di questo.
PROBLEMA 14. PROPOSIZIONE 35
Data una perpendicolare e data una retta inclinata su di essa, determinare sull'inclinata un tratto, il quale da solo, [con movimento] a partire dalla quiete, sia percorso in un tempo eguale a quello impiegato a percorrere la medesima inclinata insieme alla perpendicolare.
TEOREMA 22. PROPOSIZIONE 36
Se in un cerchio, eretto sull'orizzonte, dal suo punto più basso si innalza un piano inclinato, il quale sottenda un arco non maggiore di un quadrante, e se dagli estremi di tale piano si conducono due altri piani inclinati a un qualsiasi punto dell'arco, la discesa lungo [il sistema di] questi due ultimi piani inclinati si compirà in minor tempo che lungo il solo primo piano inclinato, o che lungo uno soltanto di questi due ultimi piani, e precisamente l'inferiore.
SCOLIO
Da quanto si è dimostrato sembra si possa ricavare che il movimento più veloce da estremo ad estremo non avviene lungo la linea più breve, cioè la retta, ma lungo un arco di cerchio. Infatti, nel quadrante BAEC, il cui lato BC sia eretto sull'orizzonte, si divida l'arco AC in un numero qualsiasi di parti eguali AD, DE, EF, FG, GC; da C si conducano le corde ai punti A, D, E, F, G, e si traccino pure le corde AD, DE, EF, FG, G C: è manifesto che il movimento lungo [il sistema del]le due corde ADC si compie più presto che lungo la sola AC, o lungo DC a partire dalla quiete in D. Ma a partire dalla quiete in A, DC viene percorsa più presto di ADC: ma lungo le due DEC a partire dalla quiete in A, è verisimile che la discesa si compia più presto che non lungo la sola CD: dunque, la discesa lungo le tre corde ADEC si compie più presto che non lungo le due ADC. E similmente, dopo la discesa lungo ADE, il movimento si svolge più presto lungo le due corde EFC che non lungo la sola EC; dunque, lungo le quattro corde ADEFC il movimento si svolge più presto che non lungo le tre ADEC. E infine, lungo le due corde FGC, dopo la discesa lungo ADEF, il movimento si compie più presto che non lungo la sola FC; dunque, lungo le cinque corde ADEFGC la discesa si svolge in un tempo ancora più breve che non lungo le quattro ADEFC. Pertanto, quanto più, con poligoni inscritti [poligonali iscritte] ci avviciniamo alla circonferenza, tanto più presto si compie il moto tra i due segnati estremi A e C.
Ciò che si è mostrato in un quadrante, accade anche in un arco di circonferenza minore di un quadrante; e identico è il ragionamento.
PROBLEMA 15. PROPOSIZIONE 37
Dati una perpendicolare e un piano inclinato, che abbiano la medesima elevazione, trovare sul piano inclinato un tratto, il quale sia eguale alla perpendicolare e venga percorso nello stesso tempo di quest'ultima.
PROBLEMA 16. PROPOSIZIONE 38
Dati due piani orizzontali intersecati da una perpendicolare, trovare su questa, in alto, un punto tale, che due mobili, i quali cadano da quel punto e vengano deviati sui piani orizzontali, percorrano su di questi, cioè sul piano orizzontale superiore e su quello inferiore, in tempi eguali a quelli della loro [rispettiva] caduta, spazi tali che abbiano tra loro una proporzione eguale a una qualsiasi proporzione data fra una [grandezza] minore e una maggiore.
SAGR. Parmi veramente che conceder si possa al nostro Accademico, che egli senza iattanza abbia nel principio di questo suo trattato potuto attribuirsi di arrecarci una nuova scienza intorno a un suggetto antichissimo. Ed il vedere con quanta facilità e chiarezza da un solo semplicissimo principio ei deduca le dimostrazioni di tante proposizioni, mi fa non poco maravigliare come tal materia sia passata intatta da Archimede, Apollonio, Euclide e tanti altri matematici e filosofi illustri, e massime che del moto si trovano scritti volumi grandi e molti.
SALV. Si vede un poco di fragmento d'Euclide intorno al moto, ma non vi si scorge vestigio che egli s'incaminasse all'investigazione della proporzione dell'accelerazione e delle sue diversità sopra le diverse inclinazioni. Tal che veramente si può dire, essersi non prima che ora aperta la porta ad una nuova contemplazione, piena di conclusioni infinite ed ammirande, le quali ne i tempi avenire potranno esercitare altri ingegni.
SAGR. Io veramente credo, che sì come quelle poche passioni (dirò per esempio) del cerchio, dimostrate nel terzo de' suoi Elementi da Euclide, sono l'ingresso ad innumerabili altre più recondite, così le prodotte e dimostrate in questo breve trattato, quando passasse nelle mani di altri ingegni specolativi, sarebbe strada ad altre ed altre più maravigliose; ed è credibile che così seguirebbe, mediante la nobiltà del soggetto sopra tutti gli altri naturali.
Lunga ed assai laboriosa giornata è stata questa d'oggi, nella quale ho gustato più delle semplici proposizioni che delle loro dimostrazioni, molte delle quali credo che, per ben capirle, mi porteranno via più d'un'ora per ciascheduna: studio che mi riserbo a farlo con quiete, lasciandomi V. S. il libro nelle mani, dopo che avremo veduto questa parte che resta intorno al moto de i proietti; che sarà, se così gli piace, nel seguente giorno.
SALV. Non mancherò d'esser con lei.
Finisce la terza Giornata [p. 208 vigore dalla quantità della scesa) sarebbe potente a ricondurre il mobile alla medesima altezza. Prendiamo dunque per ora questo come postulato, la verità assoluta del quale ci verrà poi stabilita dal vedere altre conclusioni, fabbricate sopra tale ipotesi, rispondere e puntualmente confrontarsi con l'esperienza. Supposto dall'Autore questo solo principio, passa alle proposizioni, dimostrativamente concludendole; delle quali la prima è questa:
Theorema I, Propositio I.
Tempus in quo aliqtiod spatium a mobili conficitur latione ex quiete uniformiter accelerata^ est acquale tempori in qtio idem spatium con- io ficeretur ab eodem mobili motti aequabili delato, cuius velocitatis gradus subduplus sit ad stimmum et tdtimum gradum velocitatis prioris motus uniformiter accelerati, Bepraesentetur per extensionsm AB tempus in quo a mobili latione uniformiter accelerata ex quiete in C conficiatur spatium CD; graduum autem Q velocitatis adauctae in instantibus tempmis AB maximtis et tdtimus repraesentetur per EB, utcunque super AB constitutam; iunctaque AE, lineae omnes ex singuUs punctis lineae AB ipsi BE aequidistanter actae, crescentes velocitatis gradus post instans A repraesentabtmt. Di- 20 visa deinde BE bifariam in F, ductisque parallelis FG, AG ipsis BA, BF, parallelogrammimi AGFB erit constitutum, triangtdo AEB acquale, dividens suo latere GF bifariam AE in I: qmdsi parallelae trianguìi AEB usque ad IG extendantur, liabeUmus aggregatum parallelarum mnnium in quadrilatero contentarmn aequalem aggregatui compreliensarum in triangulo AEB; quae enim sunt in triangulo lEF, ^^ares sunt cum contentis in triangulo GIÀ; eae vero quae hahentur in trape^ do AIFB, cmnmunes sunt, Cumque singulis et amnibus ao instantibus temporis AB respondeant singula et omnia puncta lineae AB, ex quibus actae parallelae in triangulo AEB coniprehensae crescentes gradus velocitatis adauctae repraesentant, parallelae vero intra paraUelogrammum contentae totidem gradus velocitatis nmi adauctae, sed aequahilis, itidem
18. constitutam; iunctaeqiie, s— 25. ad IGF cxkndaniur, s — 28. lEF, paria siwt, s —
< I,
J J
/ [p. 209 INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE. — GIORNATA TERZA.
209
repraesentent ; apparet^ totidem velocitatis momenta ahsumpta esse in motu aeeelerato mxta creseentes paraUelas trianguli AEB, ac in motu aequa- bili iuxta parallélas parallelogrammi GB : qmd enim momentorum deficit in prima motus accelerati medietate (deficiimt enim momenta per parallé- las triangtdi AGI repr aesentata), reficitiir a momentis per parallélas trian- guli lEF repraesentatis, Patet igitur, aequalia futura esse spatia tempore eodem a duobus mobilihus peracta, quorum unum motti ex quiete uniformiter accelerato moveatur, alterum vero motu aequahili iuxta momentum suldu- plum momenti maximi velocitatis accelerati motus : quod erat intentum.
10
Theorema il Propositio IL
D "-
Si aliquod molile motu tmiformiter accelerato descendat ex quiete, spatia quibuscunque temporibus ab ipso peracta, sunt inter se in duplicata ratkme eorundem temporum, nempe ut eorundem temporum quadrata. Intelligatur, fluxus temporis ex aliquo primo instanti A A H
repraesentari per extensionem AB, in qua sumantur duo quaelibet tempora AD, AE ; sitque HI linea, in qua mobile ex puncto LI, tanquam primo motus principio, descendat uni- formiter acceleratum; sitque spatium HL peractum primo tempore AD, HM vero sit spatium per quod descenderit in
20 tempore AE : dico, spatium MH ad spatium HL esse in du- plicata ratione eius quam liabet tempus EA ad tempus AD ; seu dicamus, spatia MH, HL eandem habere rationem quam Jiabent quadrata EA, AD. Ponatur linea AC, quemcunque angulum cum ipsa AB continens; ex punctis vero D, E ductae sint parallelae DO, EP : quartini DO rep^aesentabit maximum gradum velocitatis acquisitae in instanti D temporis AD ; PE vero, maximum gradum velocitatis acquisitae in instanti E temporis AE. Quia vero supra demonstratum est, quod attinet ad spatia peracta, aequalia esse inter se illa, quorum alterum
80 conficittir a mobili ex quiete motu uniformiter accelerato, aite- rum vero quod tempore eodem conficitur a mobili motu aequa- bili delato, cuius velocitas subdupla sit maximae in motu accelerato acquisitae; constat, spatia MH, LH esse eadem quae motibtis aequalibus, quorum velocitates essent ut dimidiae PE, OD, conficerentur in temporibtis EA, DA. Si igittir ostensum fuerit, haec spatia MH, LH esse in
B
vili.
27 [p. 210 210 DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE
duplicata ratione temporum EA, DA, intentum probatmn erit. Verum in quarta propositione primi libri demonstratum est, mobilium aequabili motu latorum spatia peracta liabere inter se rationem compositam ex ratione ve- locitatum et ex ratione temporum : Me autem ratio velocitatum est eadem cum ratione tempormn (qiiam enim rationem^ ìiabet dimidia PE ad dimidiam OD, seu tota PE ad totani OD, Itane habet AE ad AD) : ergo ratio spatiorum peractorum dupla est rationis temporum : quod erat demonstrandum.
Patet etiam Mnc, eandem spatiorum rationem esse duplam rationis maxi- morum gradtmm velocitatisi nempe linearum PE, OD, cmn sii PE ad OD ut EA ad DA. io
COROLLARIUM I.
Hinc manifestum est, quod si fuerint quMcunque tempora aequalia con- sequenter sumpta a primo instanti seu principio lationis, utputa AD, DE, EF, FG, quibus conficiantur spatia HL, LM, MN, NI, iptsa spatia erunt inter se ut nmneri impares ab imitate, scilicet ut 1, 3, 5, 7 : liaec enim est ratio excesstmm quadratorum linearum sese aequaliter excedentium et quarum excessus est aequalis minimae ipsarum, seti dicamus quadratorum sese ab unitate consequentium. Bum igitur gradus velocitcdis augentur iuxta seriem- simplicem numerm^um in temporibus aequalibus, spatia peracta iisdem tempo- ribus incrementa suscipiunt iuxta seriem numerorum imparium ah unitate. 20
SIMP. Io veramente ho preso più gusto in questo semplice e chiaro discorso del Sig. Sagredo, che nella per me più oscura dimostrazione dell'Autore; sì che io resto assai ben capace che il negozio deva succeder così, posta e ricevuta la definizione del moto uniformemente accelerato. Ma se tale sia poi l'accelerazione della quale si serve la natura nel moto de i suoi gravi descendenti, io per ancora ne resto dubbioso; e però, per intelligenza mia e di altri simili a me, parmi che sarebbe stato opportuno in questo luogo arrecar qualche esperienza di quelle che si è detto esservene molte, che in diversi casi s'accordano con le conclusioni dimostrate.
SALV. Voi, da vero scienziato, fate una ben ragionevol domanda; e così si costuma e conviene nelle scienze le quali alle conclusioni naturali applicano le dimostrazioni matematiche, come si vede ne i perspettivi, negli astronomi, ne i mecanici, ne i musici ed altri, li quali con sensate esperienze confermano i principii loro, che sono i fondamenti di tutta la seguente struttura: e però non voglio che ci paia superfluo se con troppa lunghezza aremo discorso sopra questo primo e massimo fondamento, sopra 'l quale s'appoggia l'immensa machina d'infinite conclusioni, delle quali solamente una piccola parte ne abbiamo in questo libro, poste dall'Autore, il quale arà fatto assai ad aprir l'ingresso e la porta stata sin or serrata agl'ingegni specolativi. Circa dunque all'esperienze, non ha tralasciato l'Autor di farne; e per assicurarsi che l'accelerazione de i gravi naturalmente descendenti segua nella proporzione sopradetta, molte volte mi son ritrovato io a farne la prova nel seguente modo, in sua compagnia.
In un regolo, o vogliàn dir corrente, di legno, lungo circa 12 braccia, e largo per un verso mezo bracio e per l'altro 3 dita, si era in questa minor larghezza incavato un canaletto, poco più largo d'un dito; tiratolo drittissimo, e, per averlo ben pulito e liscio, incollatovi dentro una carta pecora zannata e lustrata al possibile, si faceva in esso scendere una palla di bronzo durissimo, ben rotondata e pulita; [p. 213 costituito che si era il detto regolo pendente, elevando sopra il piano orizontale una delle sue estremità un braccio o due ad arbitrio, si lasciava (come dico) scendere per il detto canale la palla, notando, nel modo che appresso dirò, il tempo che consumava nello scorrerlo tutto, replicando il medesimo atto molte volte per assicurarsi bene della quantità del tempo, nel quale non si trovava mai differenza né anco della decima parte d'una battuta di polso. Fatta e stabilita precisamente tale operazione, facemmo scender la medesima palla solamente per la quarta parte della lunghezza di esso canale; e misurato il tempo della sua scesa, si trovava sempre puntualissimamente esser la metà dell'altro: e facendo poi l'esperienze di altre parti, esaminando ora il tempo di tutta la lunghezza col tempo della metà, o con quello delli duo terzi o de i 3/4, o in conclusione con qualunque altra divisione, per esperienze ben cento volte replicate sempre s'incontrava, gli spazii passati esser tra di loro come i quadrati e i tempi, e questo in tutte le inclinazioni del piano, cioè del canale nel quale si faceva scender la palla; dove osservammo ancora, i tempi delle scese per diverse inclinazioni mantener esquisitamente tra di loro quella proporzione che più a basso troveremo essergli assegnata e dimostrata dall'Autore. Quanto poi alla misura del tempo, si teneva una gran secchia piena d'acqua, attaccata in alto, la quale per un sottil cannellino, saldatogli nel fondo, versava un sottil filo d'acqua, che s'andava ricevendo con un piccol bicchiero per tutto 'l tempo che la palla scendeva nel canale e nelle sue parti: le particelle poi dell'acqua, in tal guisa raccolte, s'andavano di volta in volta con esattissima bilancia pesando, dandoci le differenze e proporzioni de i pesi loro le differenze e proporzioni de i tempi; e questo con tal giustezza, che, come ho detto, tali operazioni, molte e molte volte replicate, già mai non differivano d'un notabil momento.
SIMP. Gran sodisfazione arei ricevuta nel trovarmi presente a tali esperienze: ma sendo certo della vostra diligenza nel farle e fedeltà nel referirle, mi quieto, e le ammetto per sicurissime e vere.
SALV. Potremo dunque ripigliar la nostra lettura, e seguitare avanti. [p. 214 COROLLARIUM li.
(JoUigitu)% secundo, quoti si a principio lationis stmiantur duo spatia quae- lihet, quibusUbet temporibus peracta, tempora ipsorum erunt inter se ut al- j terum eorum ad spatitim medium proportionale inter ipsa. Sumptis enim a principio lationis S duóbus spatiis ST, SV, quorum medium sit propùrtionale SX, tempus casus per ST ad tempus casus per SV erit ut ST ad SXj seu dicamus, temjMS per SV ad tempus per ST esse ' m utYS ad SX. Cum enim demonstratum sit^ spatia peracta esse in du- -•XI P^^^^^^ ratione temporum, seu (quod idem est) esse ut temporum qua- drata; ratio autem spatii VS ad spatium ST sit dupla rationis VS io ad SX, seu sit eadem quam Jiabent quadrata VS, SX ; ])(dety rationem ^ temporum latimiumper SV, ST esse ut spatiorum, seu linearum, VS, SX.
SCHOLIUM.
Id autem quod demonstratum est in lationibus peractis in perpendiculis, intelligatur etiam itidem contingere in planis utcunque inclinatis : in iisdem enim assumptum est, accelerationis gradus eadem ratione aligeri, nempe secundum temporis incrementum, seu dicas secundum simplicem ac primam numerorum seriem} ' '
(^^ Era intenzione di Galileo (come più Proposizione fosse inserita la seguente ag-
particolarmente diciamo nell'Avvertimento) giunta alla stampa originale; la quale ag-
che, quando si stampassero di nuovo i suoi giunta fu distesa in dialogo da Vincenzio
Discorsi, dopo questo Scolio della seconda Yiyiani :
Salv.(1) Qui vorrei, Sig. Sagredo, che a me ancora fosse permesso, se ben forsi con troppo tedio del Sig. Simplicio, il differir per un poco la presente lettura, fin ch'io possa esplicare quanto dal detto e dimostrato fin ora, e congiuntamente dalla notizia d'alcune conclusioni mecaniche apprese già dal nostro Academico, sovviemmi adesso di poter soggiugnere per maggior confermazione della verità del principio che sopra con probabili discorsi ed esperienze fu da noi esaminato, anzi, quello più importa, per geometricamente concluderlo, dimostrando prima un sol lemma, elementare nella contemplazione de gl'impeti.
SAGR. Mentre tale deva esser l'acquisto quale V. S. ci promette, non vi è tempo che da me volentierissimo non si spendesse, trattandosi di confermare e interamente stabilire queste scienze del moto: e quanto a me, non solo vi con[p. 215 Theorema III, Propositio III.
Si super plano inclinato afque in perpendiculo, quorum eadem sii alti- tudOy feratur ex quiete idem mobile^ tempora ìationum erunt inter se ut plani ipsius et perpendiculi longitudines.
Bit planum inclinatum AC, et perpendiculum AB, quorum eadem sit alti- ^ tudo supra hori^ontem CB, nempe ipsamet linea BA : dico^ tempus deseensus
cedo il poter satisfarvi in questo particolare, ma di più pregovi ad appagare quanto prima la curiosità che mi avete in esso svegliata; e credo che il Sig. Simplicio abbia ancora il medesimo sentimento.
SIMP. Non posso dire altrimenti.
SALV. Già che dunque me ne date licenza, considerisi in primo luogo, come effetto notissimo, che i momenti o le velocità d'un istesso mobile son diverse sopra diverse inclinazioni di piani, e che la massima è per la linea perpendicolarmente sopra l'orizonte elevata, e che per l'altre inclinate si diminuisce tal velocità, secondo che quelle più dal perpendicolo si discostano, cioè più obliquamente s'inclinano; onde l'impeto, il talento, l'energia, o vogliamo dire il momento, del descendere vien diminuito nel mobile dal piano soggetto, sopra il quale esso mobile s'appoggia e descende.
E per meglio dichiararmi, intendasi la linea AB, perpendicolarmente eretta sopra l'orizonte AC; pongasi poi la medesima in diverse inclinazioni verso l'orizonte piegata, come in AD, AE, AF, etc.: dico, l'impeto massimo e totale del grave per descendere esser per la perpendicolare BA, minor di questo per la DA, e minore ancora per la EA, e successivamente andarsi diminuendo per la più inclinata FA, e finalmente esser del tutto estinto nella orizontale CA, dove il mobile si trova indifferente al moto e alla quiete, e non ha per se stesso inclinazione di muoversi verso alcuna parte, né meno alcuna resistenza all'esser mosso; poiché, sì come è impossibile che un grave o un composto di essi si muova naturalmente all'in su, discostandosi dal comun centro verso dove conspirano tutte le cose gravi, così è impossibile che egli spontaneamente si muova, se con tal moto il suo proprio centro di gravità non acquista avvicinamento al sudetto centro comune: onde sopra l'orizontale, che qui s'intende per una superficie egualmente lontana dal medesimo centro, e perciò affatto priva d'inclinazione, nullo sarà l'impeto o momento di detto mobile. [p. 216 eiusdem mobilis super plano AC, ad tempus casus in perpendiculo AB, eam hahere rationem^ quami hahet longitudo plani AC ad ipsius perpendicidi AB
longitudinem, Intelligantur enim quotlihet lineae DG, EI, FL, ìiorìzonti CB parallelae : constai ex assumpto^ gradus velocitatis mobilis ex A, primo motus initio^ in punctis G, D acquisitosi esse aequales^ cum accessus ad horizontem aequales sint ; similiter^ gradus in punctis I, E iidem erunt, nec non gradus in L et F. Quod si non liae tantum parallelae, sed ex punctis omnibus lineae AB usqiie ad lineam AC protractae io intelligantur. momenta seu gradus velocitatum in ter- minis singularum p^arallelarum semper e/nmt inter se paria, Conftciuntur itaque spatia duo AC, AB iisdem gradtbus velocitatis. Sed demonstratum
12. La stampa originale ha Confieiiintiir, e nella Tavola de f/ìi errori^ che ò in line della stampa stessa, ò indicato, evidentemente a torto, di correggerlo in Conficiantuf .
Appresa questa mutazione d'impeto, mi fa qui mestier esplicare quello che in un antico trattato di mecaniche, scritto già in Padova dal nostro Academico sol per uso de' suoi discepoli, fu diffusamente e concludentemente dimostrato, in occasione di considerare l'origine e natura del maraviglioso strumento della vita; ed è con qual proporzione si faccia tal mutazione d'impeto per diverse inclinazioni di piani: come, per esempio, del piano inclinato AF tirando la sua elevazione sopra l'orizonte, cioè la linea FC, per la quale l'impeto d'un grave ed il momento del descendere è il massimo, cercasi qual proporzione abbia questo momento al momento dell'istesso mobile per l'inclinata FA; qual proporzione dico esser reciproca delle dette lunghezze: e questo sia il lemma da premettersi al teorema, che dopo io spero di poter dimostrare. Qui è manifesto, tanto essere l'impeto del descendere d'un grave, quanta è la resistenza o forza minima che basta per proibirlo e fermarlo: per tal forza e resistenza, e sua misura, mi voglio servire della gravità d'un altro mobile. Intendasi ora, sopra il piano FA posare il mobile G, legato con un filo che, cavalcando sopra l'F, abbia attaccato un peso H; e consideriamo che lo spazio della scesa o salita a perpendicolo di esso è ben sempre eguale a tutta la salita o scesa dell'altro mobile G per l'inclinata AF, ma non già alla salita o scesa a perpendicolo, nella qual sola esso mobile G (sì come ogn'altro mobile) esercita la sua resistenza. Il che è manifesto. Imperoché considerando, nel triangolo AFC il moto del mobile G, per esempio all'in su da A in F, esser composto del trasversale orizontale AC e del perpendicolare CF; ed essendo che quanto all'orizontale, nessuna, come s'è detto, è la resistenza del medesimo al[p. 217 INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE. — GIORNATA TERZA. 217
est, qmd si duo spatia conficiantur a mobili qmd iisdem velocitatis gradihus feratur, quam ratiónem hahent ipsa spaila^ eamdem liahent tempora lationmn ; ergo tempus lationis per AC ad tempus per AB est ut longitudo plani AC ad longitudinem perpendiculi AB : quod erat demostrandum.
l'esser mosso (non facendo con tal moto perdita alcuna, né meno acquisto, in riguardo della propria distanza dal comun centro delle cose gravi, che nell'orizonte si conserva sempre l'istessa); resta, la resistenza esser solamente rispetto al dover salire la perpendicolare CF. Mentre che dunque il grave G, movendosi da A in F, resiste solo, nel salire, lo spazio perpendicolare CF, ma che l'altro grave H scende a perpendicolo necessariamente quanto tutto lo spazio FA, e che tal proporzione di salita e scesa si mantien sempre l'istessa, poco o molto che sia il moto de i detti mobili (per esser collegati insieme); possiamo assertivamente affermare, che quando debba seguire l'equilibrio, cioè la quiete tra essi mobili, i momenti, le velocità, o le lor propensioni al moto, cioè gli spazii che da loro si passerebbero nel medesimo tempo, devon rispondere reciprocamente alle loro gravità, secondo quello che in tutti i casi de' movimenti mecanici si dimostra: sì che basterà, per impedire la scesa del G, che lo H sia tanto men grave di quello, quanto a proporzione lo spazio CF è minore dello spazio FA. Sia fatto, dunque, come FA ad FC, così il grave G al grave H; ché allora seguirà l'equilibrio, cioè i gravi H, G averanno momenti eguali, e cesserà il moto de i detti mobili. E perché siamo convenuti, che di un mobile tanto sia l'impeto, l'energia, il momento, o la propensione al moto, quanta è la forza o resistenza minima che basta a fermarlo, e s'è concluso che il grave H è bastante a proibire il moto al grave G, adunque il minor peso H, che nella perpendicolare FC esercita il suo momento totale, sarà la precisa misura del momento parziale che il maggior peso G esercita per il piano inclinato FA; ma la misura del total momento del medesimo grave G è egli stesso (poiché per impedire la scesa perpendicolare d'un grave si richiede il contrasto d'altrettanto grave, che pur sia in libertà di muoversi perpendicolarmente); adunque l'impeto o momento parziale del G per l'inclinata FA, all'impeto massimo e totale dell'istesso G per la perpendicolare FC, starà come il peso H al peso G, cioè, per la costruzione, come essa perpendicolare FC, elevazione dell'inclinata, alla medesima inclinata FA: che è quello che per lemma si propose di dimostrare, e che dal nostro Autore, come vedranno, vien supposto per noto nella seconda parte della sesta proposizione del presente trattato.
SAGR. Da questo che V. S. ha concluso fin qui, parmi che facilmente si possa dedurre, argumentando ex æquali con la proporzione perturbata, che i momenti dell'istesso mobile per piani diversamente inclinati, come FA, FI, che abbino l'istessa elevazione, son fra loro in reciproca proporzione de' medesimi piani. [p. 218 SAGR. Parmi che assai chiaramente e con brevità si poteva concludere il medesimo, essendosi già concluso che la somma del moto accelerato de i passaggi per AC, AB è quanto il moto equabile il
SALV. Verissima conclusione. Fermato questo, passerò adesso a dimostrare il teorema, cioè che:
I gradi di velocità d'un mobile descendente con moto naturale dalla medesima sublimità per piani in qualsivoglia modo inclinati, all'arrivo all'orizonte son sempre eguali, rimossi gl'impedimenti.
Qui devesi prima avvertire, che stabilito che in qualsivoglino inclinazioni il mobile dalla partita dalla quiete vada crescendo la velocità, o la quantità dell'impeto, con la proporzione del tempo (secondo la definizione data dall'Autore al moto naturalmente accelerato), onde, com'egli ha per l'antecedente proposizione dimostrato, gli spazii passati sono in duplicata proporzione de' tempi, e conseguentemente de' gradi di velocità; quali furono gl'impeti nella prima mossa, tali proporzionalmente saranno i gradi delle velocità guadagnati nell'istesso tempo, poiché e questi e quelli crescono con la medesima proporzione nel medesimo tempo.
Ora sia il piano inclinato AB, la sua elevazione sopra l'orizonte la perpendicolare AC, e l'orizontale CB; e perché, come poco fa si è concluso, l'impeto d'un mobile per la perpendicolare AC, all'impeto del medesimo per l'inclinata AB, sta come AB ad AC, prendasi nell'inclinata AB la AD, terza proporzionale delle AB, AC: l'impeto dunque per AC all'impeto per la AB, cioè per la AD, sta come la AC all'AD; e perciò il mobile nell'istesso tempo che passerebbe lo spazio perpendicolare AC, passerà ancora lo spazio AD nell'inclinata AB (essendo i momenti come gli spazii), ed il grado di velocità in C al grado di velocità in D averà la medesima proporzione della AC alla AD. Ma il grado di velocità in B al medesimo grado in D sta come il tempo per AB al tempo per AD, per la definizione del moto accelerato, ed il tempo per AB al tempo per AD sta come la medesima AC, media tra le BA, AD, alla AD, per l'ultimo corollario della seconda proposizione; adunque i gradi in B ed in C al grado in D hanno la medesima proporzione della AC alla AD, e però sono eguali: che è il teorema che intesi di dimostrare.
Da questo potremo più concludentemente provare la seguente terza proposizione dell'Autore, nella quale egli si vale del principio; ed è che il tempo per l'inclinata al tempo per la perpendicolare ha l'istessa proporzione di essa incli[p. 219 cui grado di velocità sia sudduplo al grado massimo CB; essendo dunque passati li due spazii AC, AB con l'istesso moto equabile, già è manifesto, per la proposizione prima del primo, che i tempi de' passaggi saranno come gli spazii medesimi.
COROLLARIUM.
Hinc cdligitufy tempora descensuum super planis diversimode inelinatis, dum tamen eorum eadem sit elevatw, esse Inter se ut eorum longitudines. Si enim intelligatur aliud planum AM ex A ad eundem hori^ontem CB termina- tum, demonstrabitur paritery tempus descensus per AM ad tempus per AB 10 esse ut linea AM ad AB ; ut autem tempus AB ad tempus per AC, ita linea AB ad AC ; ergo^ ex aequali, ut AM ad AC, ita tempus per AM ad tempus per AC.
Theorema IV, Propositio IV.
Tempora lationum super planis aequalibus, sed inaequaliter inelinatis,
sunt inter se in suhdupla ratione elevationum eorumdem planorum
permutatim aecepta.
Sint ex eodem termino B plana aequalia, sed inaequaliter inclinata, BA,
BC ; et ductis AE, CD, lineis horizontalihus, ad perpendiculum usque BD,
nata e perpendicolare. Imperoché diciamo: quando BA sia il tempo per AB, il tempo per AD sarà la media tra esse, cioè la AC, per il secondo corollario della seconda proposizione; ma quando AC sia il tempo per AD, sarà anco il tempo per AC, per essere le AD, AC scorse in tempi eguali; e però quando BA sia il tempo per AB, AC sarà il tempo per AC; adunque, come AB ad AC, così il tempo per AB al tempo per AC.
Col medesimo discorso si proverà, che il tempo per AC al tempo per altra inclinata AE sta come la AC alla AE; adunque, ex æquali, il tempo per l'inclinata AB al tempo dell'inclinata AE sta omologamente come la AB alla AE, etc.
Potevasi ancora dall'istesso progresso del teorema, come vedrà benissimo il Sig. Sagredo, dimostrar immediatamente la sesta proposizione dell'Autore: ma basti per ora tal digressione, che forsi gli è riuscita troppo tediosa, benché veramente di profitto in queste materie del moto.
SAGR. Anzi di mio grandissimo gusto, e necessarissima alla perfetta intelligenza di quel principio.
SALV. Ripiglierò dunque la lettura del testo. [p. 220 220
DISCOESI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE
esto plani BA elevatio BE, plani vero BC elevatio sit BD ; et ipsanmi eleva- tiomim DB, BE media proportionalis sit BI : constai, rationem DB ad BI
esse subduplam rationis DB ad BE. Dico iani, rationem temporum descensuum seu lationum su- per planis BA, BC esse eamdem eum ratione DB ad BI permutatim assimipta, tit scilicet temporis per BA homologa sit elevatio alterius plani BC, nempe BD, temporis vero per BC homologa sit BI. JDemonstrandum proinde est, tempus per BA ad tempus per BC esse ut DB ad BI. Bucatur IS, io ijjsi DC aequidistans : et quia iam demonstratum est, tempus descensus per BA ad tempus casus per perpendiculum BE esse ut ipsa BA ad BE, tempus vero per BE ad tempus per BD ut BE arf BI, tempus vero per BD a(i tempus per BC «tó BD ad BC, 5e^^ BI a^? BS, ergo, ex acquali, tempus per BA ad tempus per BC erìt ut BA at? BS, seu CB rtc? BS ; est autem CB ^6? BS ut DB ac? BI ; ergo patet propositum.
Theokema V, Pkopositio V.
Balio temporum descensuum super planis, quorum diversae sint indi- nationes et longitudines, nec non elevationes inaequales, componitur 20 ex ratione longitudinum ipsorum planorum et ex ratione subdupla elevationum eorumdem permutatim accepta,
Sint plana AB, AC diversimode inclinata, quorum longitudines sint inaequales, et inaequales quoque ele- vationes : dico, rationem temporis descensus per AC ad tempus per AB compositam esse ex ratione ipsius AC ad AB et ex subdupla elevationum earumdem permu- tatim accepta. Bucatur enim perpendiculum AD, cui occurrant ìiorizontales BC, CD, et inter elevationes DA, AG media sit AL ; ex puncto vero L ducta parallela 80 liorizonti occurrat plano AC in F : erit quoque AF media inter CA, AE. Et quia tempus per AC ad tempus per AE est ut, linea FA ad AE, tempus vero per AE ad tempus per AB ut eadem AE ad eamdem AB ; patet, tempus per AC ad tempus per AB esse ut AF ad AB : demonstrandum itaque [p. 221
restai, rationem AF ad AB componi ex ratione CA ad AB et ex ratione GA ad AL;, quae est ratio subdupla elevationum DA, AG permutatim accepta, Id autem manifestum fit, posila CA inter FA, AB : ratio enim FA ad AC est eadem cum ratione LA ad AD, seu GA ad AL, quae est subdupla rationis elevationum GA, AD ; et ratio CA ad AB esi ipsamet ratio longitudinum ; ergo patet propositum,
Theorema vi, Propositio VL
Si a puncto sublimi vel imo circuii ad horkontem erecti ducantur quae- libet plana usque ad circumferentiam inclinata, tempora descensuum
10 per ipsa erunt aequalia.
Sit circulus ad Jwri^ontem GH erectus, cuius ex imo puncto, nempe ex contactu cum horizontali, sit erecta diameter FA, et ex punto sublimi A plana quaelibet inclinentur usque ad circumferentiam AB, AG: dico, tempora descensuum per ipsa esse aequalia. Du- cantur BD, CE ad diametrum perpen- diculares, et inter planorum EA, AD altitudines media sit proportionalis AI : et quia rectangula FAE, FAD aequalia
20 sunt quadratis AC, AB ; ut autem rectan- gulum FAE ad rectangulum FAD, ita EA ad AD ; ergo ut quadratum CA ad quadratum AB, ita EA linea ad lineam AD. Veruni ut linea E A ad DA, ita qua- dratum lA ad quadratum AD; ergo quadrata linearum CA, AB sunt inter se ut quadrata linearum lA^ AD, et ideo ut CA linea ad AB, ita lA ad AD. At in praecedenti deìnonstratum est, rationem temporis descensus per AC ad tempus descensus per AB componi ex rationibus C A ad AB et DA ad AI, quae est eadem cum ratione BA ad AC ; ergo ratio temporis descensus per AC ad
30 tempus descensus per AB componitur ex rationibus C A ad AB et BA ad AC ; est igitur ratio eorumdem temporum ratio aequalitatis : ergo patet propositum. Idem aliter demonstratur ex mechanicis : nempe, in sequenti figura, mo- bile temporibus aequalibus pertransire CA, DA.
Delle lin. 32-33 della presente pagina e lin. 1-24 della pag. 222 si ha una bozza auto- grafa nel cod. A, a car. 160r. ; delle lin. 1-24 della pag. 222, un' altra bozza, pure autografa e che apparisce posteriore, nello stesso cod. A, a car. 172r. ; e di quest' ultima, una esatta copia, di mano del Guinucci, nel medesimo cod. A, a car. 47r. Le bozze autografe presentano le seguenti varianti, che raccogliamo contrassegnando con 1 quelle della prima, e con 2 quelle della seconda:
Sit enim BA aequalis ipsi DA, et ducantur perpendiculares BE DF : constai ex elementis mechanicis, momentum ponderis super plano secundtmi
lineam ABC elevato ad niomentum suum totale esse ut BE ad BA eiusdemque ponderis niomentum super elevatione AD ad totale suum momen- tum esse ìd DF ad DA vel BA ; ergo eiusdem ponderis momentum super plano secundum DA inclinato ad momentum super inclinatione secun- io dtm ABC est ut linea DF ad li- neam BE ; quare spatia, quae per- transibit idem pondus temporibus aequalibus super inclinationibus CA, DA, erunt inter se ut lineae BE, DF, ex propositione secunda primi libri. Verum ut BE ad DF, ita demonstratur se Jiabere AC ad DA ; ergo idem mobile temporibus aequalibus pertransibit lineas CA, DA.
Esse autem ut BE ad DF, Uà CA ad DA, ita demonstratur : lungatur CD, et per D et B, ipsi AF parallelae, agantur DGL, se- cans CA in puncto I, et BH : eritque angidus ADI aequalis angulo DCA, 20 cum circumferentiis LA, AD aequalibus insistant, estque angulus DAC com- munis. Ergo triangulorum aequiangulorum CAD, DAI latera circa aequales angulos proportionalia erunt, et ut CA ad AD, ita DA ad AI, ic^ esf BA ad AI, 56«^ HA ad AG, /^oc e^f BE ad DF : gw^^? era^J probandum, Aliter idem magis expedite demonstrabitur sic : Sit ad hori^ontem AB erectus circulus, cuius diameter CD ad hori^on- tem sit perpendicularis ; ex termino autem sublimi D inclinetur ad circum- ferentiam usque quodlibet planum DF : dico, descensum per planum DF, et casum per diametrum DC eiusdem^ mobilis, temporibus aequalibus absolvi. Ducatur enim FG horizonti AB parallela, quae erit ad diametrum DC per- 30 pendicularis, et connectatur FC : et quia tempus casus per DC ad tempus
cis, 1, 2 — 5. eiusdemque vero ponderis, 1, 2 — 6-7. momentum, eamdem oh causam, esse, 1, 2 — 15-16. lineae be, df. At ut, 1, 2 — 18. ita prohatur, 2 — 20. in i, et, 1, 2 ~ 20-21. Fra « dea » e cum leggesi, cancellato, nella bozza prima : extensan [sic] dg usque ad circumferentiam. — 23. *^a m« da ad, 1,2. — 24. Tanto nella seconda bozza autografa, a car. 172r., quanto nella copia del Guiducci, a car. 47r., dopo quod erat prohandum si legge : CoUige, existen- tibus planis inaequaliter indinatis ad, ac, atque data longitudine ad, inveniri posse in plano ac portionem, quae eodem tempore cum da peragatur : ducto enim perpendiculo df, et posita ab acquali ad, ductoque perpendiculo be, fiat ut df ad eb, «^a da ad ac ; er^f <2«ic ^empt*^ per ca acquale tempori per da. [p. 223 INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE. — GIORNATA TERZA.
223
casus per DG est ut media proportionalis inter CD, DG ad ipsam DG ; inedia autem inter CD, DG est DF, cum angulus DFC in semicirculo sit rectus, et - FG perpendicularis ad DC ; tempus itaque casus per DC ad tem- pus casus per DG est ut linea FD ad DG. i)
Sed iam demonstratum est, tempus descen- sus per DF ad tempus casus per DG esse ut eadem linea DF ad DG ; tempora igitur descensus per DF et casus per DC ad idem p tempus casus per DG eamdem habent ra- to tionem ; ergo sunt aequalia. Similiter de- monstrahitur, si ab imo termino C elevetur chorda CE, ducta EH hori^onti parallela et iuncta ED, tempus descensus per EC acquari tempori casus per diametrum DC
COROLLARIUM I.
Sinc coUigitur, tempora descensuum per chordas omnes ex terminis C seu D perductas, esse inter se aequalia.
COROLLARIUM IL
Colligitur etiam, quod si ab eodem puncto descendant perpendiculum et 20 planum inclinatum, super quae descensus fiant temporibus aequalibus, eadem esse in semicirculo, cuius diameter est perpendiculum ipsum,
COROLLARIUM III.
Hinc colligitur, lationum tempora super planis inclinatis tunc esse aequa- lia, quando elevationes partium aequalium eorumdem planorum fuerint inter se ut eorumdem planorum longitudines : ostensum enim est, tempoì^a per CA, DA, in penultima figura, esse aequalia, dum elevatio partis AB, aequa- lis AD, nempe BE, ad elevationem DF fuerit ut CA ad DA.
SAGR. Sospenda in grazia V. S. per un poco la lettura delle cose che seguono, sin che io mi vo risolvendo sopra certa contemplazione che pur ora mi si rivolge per la mente; la quale, quando non sia [p. 224 una fallacia, non è lontana dall'essere uno scherzo grazioso, quali sono tutti quelli della natura o della necessità.
SALV. La contemplazione è veramente bellissima, e proporzionata all'ingegno del Sig. Sagredo.
SIMP. Io, restando al meno capace della contemplazione sopra le due maniere del prodursi, con li due diversi moti naturali, i cerchi e le sfere, se bene della produzzione dependente dal moto accelerato e della sua dimostrazione non son del tutto intelligente, tuttavia quel potersi assegnare per luogo di tale emanazione tanto il centro infimo quanto l'altissima sferica superficie, mi fa credere che possa essere che qualche gran misterio si contenga in queste vere ed ammirande conclusioni; misterio, dico, attenente alla creazione dell'universo, il quale si stima essere di forma sferica, ed alla residenza della prima causa.
SALV. Io non ho repugnanza al creder l'istesso. Ma simili profonde contemplazioni si aspettano a più alte dottrine che le nostre: ed a noi deve bastare d'esser quei men degni artefici, che dalle fodine scuoprono e cavano i marmi, ne i quali poi gli scultori industri fanno [p. 226 apparire maravigliose immagini, che sotto roza ed informe scorza stavano ascoste. Or, se così vi piace, seguiremo avanti.
Theoeema vii, Propositio VII.
Si elevationes duorum planorum duplam habuerint rationem eiiis quani habeant eonmidem planorum longiUidines, lationes ex quiete in ipsis^ temporibus aeqimlibus absolventur, Sint plana inaequalia et inaequaliter inclinata AE, AB, quorum eleva- tiones sint FA, DA ; et qtiam rationem habet AE ad AB, eamdem duplicatam
j^ habeat FA ad DA : dico, tempmxt lationum stipcr planis AE, AB ex quiete in A esse io aequalia. JDuctae sint parallelae horimntales ad lineam elevationum EF et DB quae secet AE in G : et quia ratio FA ad AD dupla est rationis EA ad AB, et ut FA ad AD, ita EA ad AG-, ergo ratio EA ad AG dupla est ra- tionis EA ad AB ; ergo AB media est inter p EA, AG. Et qtiia tempus descensus per AB ad tempus per AG est ut AB ad AG, tempus auiem descensus per AG ad tempus per AE est ìd AG ad mediam inter AG, AE, qtme est AB, ergo, ex acquali, tempus per AB ad tempus per AE est ut AB ad se ipsam ; sunt 20 igiiur tempora aequalia: quod crai demonstrandum.
ThEOREMA VIII, Pl^OPOSITIO Vili.
In planis ah eodem sectis circido ad ìiorimntem erecto, in iis quae cum termino diametri erecti conveniunt, sive imo sive sublimi, lationum tem- poì^a sunt aequalia tempori casus in diametro ; in illis vero quae ad diametrum nonpertingunt, tempm^a sunt hreviora ; in eis tandem quae so diametrum secant, sunt longiora.
Circuii ad horimntem erecti esto dia- meter perpendiadaris AB. De planis ex term/mis A, B ad circumferentiam usque productis, quod tempora lationum [p. 227 INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE. — GIORNATA TERZA.
227
super eis sint aequalia, imn demonstrattim est. De plano DF ad diametrum non pertingente, qmd tempus descensus in eo sit hrevius, demonstratur dueto plano DB, qmd et longius erit et mimis declive quam DF ; ergo tempus per DF brevius quam per DB, hoc est per AB. De plano vero diametrum secante^ ut CO, qttod tempus descensus in eo sit longius, itidem constat ; est enim et longius et minus declive quam CB. Ergo patet propositum.
Theorema IX, Propositio IX.
Si a puncto in linea liorizonti parallela duo plana utcunque inclinenttir, et a linea secentur, quae cum ipsis angulos faciat permutatim aequales
10 angulis ab iisdem planis et Imrizontali contentis, lationes in partibus
a dieta linea sectis, temporibus aequalibus absolventur. Ex puncto C horizontalis lineae X du^ plana utcumque inflectantur CD, CE, et in quolibet puncto lineae CD constituatur angulus CDF, angulo XCE aequalis ; secet autem linea DF phnum CE in F, adeo ut an- guli CDF, CFD angulis XCE, LCD permutatim sumptis sint aequales : dico, tempora descen- suum per CD, CF esse aequalia.
20 Quod autem (posilo angulo CDF acquali angulo XCE) angulus CFD sit aequalis angulo DCL, manifest'iim est. JDempto enim an- gulo communi DCF, ex tribus angulis trianguli CDF, aequalibus duobus rectis, quibus aequantur anguli omnes ad lineam LX in puncto C consti- tutis, remanent in triangulo duo CDF, CFD, duoòus XCE, LCD aequales; positus autem est CDF ipsi XCE aequalis ; ergo reliquus CFD reliquo DCL. Ponatur planum CE acquale plano CD, et ex punctis D, E perpendiculares agantur DA, EB ad horizontalem XL, ex C vero ad DF ducatur perpefh
30 dicularis CG ; et quia angulus CDG angulo ECB est aequalis, et recti sunt DGC, CBE, erunt triangidi CDG, CBE aequianguli, et ut DC ad CG, ita CE ad EB : est autem DC aequalis CE: ergo G(j aequalis erit BE : cumque triangulorum DAC, CGF angtdi C, A angulis F, G sint aequales, erit ut CD ad DA, ita FC ad CG, et, permutando, ut DC ad CF, ita DA ad CG seu BE. Ratio itaque elevationum planorum aequalium CD, CE est [p. 228 eadem cum ratione longitudinum DC, CF ; ergo^ ex corollario primo praece- dentis propositionis sextae, tempora descenstmm in ipsis enmt aequalia : quod erat probandum,
Aliter idem : ducta FS perpendiculari ad hori^mttalem AS. Quia trian- gultim CSF simile est triangulo DGC, erit ut SF ad FC, ita GC ad CD ; j^ A C & :5C ^^ ^^^^ triangulum CFG si-
mile est triangulo DCA, erit utFG ad GG, ita CD ad DA', ergo, ex aequali, ut SF ad CG, ita CG ad DA : media est io igitur CG inter SF, DA, et ^ ut DA ac? SF, ita quadra- tmu DA ad quadratum CG. Bursus, cum triangtdum AGB simile sit triangulo CGF, erit ìit DA ^(^ DC, ita GC ac? CF, e/^, permutando, ut DA a(^ CG, ita DC afZ CF, e^ ut quadratum DA ar? quadratum CG, ^te quadratum DC ar? quadratum CF ; ser^ ostensum est, quadratum DA ac? quadrattim CG esse ^(^ ?i^^ert DA ar? ?^?^ea)?^ FS ; err/o, ut quadratum DC «e? quadratum CF, ^^rt ^i/ieft DA ac^ FS ; ergo, ex praecedenti septima, cum planorum CD, CF 20 elevationes DA, FS duplam habeant rationem eorumdem planorum, tempora lationum per ipsa erunt aequalia.
Theorema X, Propositio X.
Tempora lationum super diversas planorum inclinationes, quorum ele- vationes sint aequales, sunt inter se ut eorumdem planorum longi- tudines, sive fiant lationes ex quiete, sive praecedat illis latio ex eadem altitudine, Fiant lationes per ABC et per ABD usque ad horiàontem DC, adeo ut Mio per AB praecedat lationibus per BD et per BC : dico, tempus lationis per BD ad tempus per BC esse ut BD longitudo ad BC. Bucatur AF 30
Del tratto clie va dalle parole Quia triangulum della lin. 4 fino a tutta la lin. 22 si ha una bozza autografa nel cod. A, a car. 89«^., la quale presenta le seguenti varianti :
4-5. Sanguliwi csf est simile Sangulo dgc, ergo ut — 6-8. Sanguìim cfg est simile A"" dea, ^.ygo ^^l _ 9_ii. ut sf ad cg, ita cg ad da : ergo cg est media inter — 19. ad fs ; ergo ~ 20. prae- cedenti, cum —
24-25. inclinationes, quarum elevationes, s — [p. 229 INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE. — GIORNATA TERZA. 229
horùonti parallela^ ad qtiam extendatur DB occurrens in F, et ipsarum DF, FB media sit FÉ ; et ducta EO ipsi DC parallela^ erit AO media inter CA, AB. Qwd si intelligatur, tempus per AB esse ut AB, erit tempus per FB ut FB, et tempus per totam AC erit ut media AO, per totam vero FD erit FÉ ; quare tempus per reliquam BC erit BO, per reliquam vero BD erit BE : ^eram «/i BE ad BO, ^to esi BD ad BC : er^ro tempora per BD, BC J90SÌ casus per AB, FB, se^^^, quod idem est, 10 per communem AB, erunt inter se ut longitu- dines BD, BC. Esse autem tempus per BD ad ^ tempus per BC eo; quiete in B «^i longitudo BD c^c? BC, sempre* demonstra- tum est, Sunt igitur tempora lationum per plana diversa, quorum aequales sint elevationes, inter se ut eorumdem planorum longitudines, sive motus fiat in ipsis ex quiete, sive lationibus iisdem praecedat alia latio ex eadem altitudine : quod erat ostendendum.
Theoeema XI, Propositio XI.
Si planum, in qm flt motus ex quiete, dividatur utcunque, tempus la- tionis per priorem partem ad tempus lationis per sequentem est ut 20 ipsamet prima pars ad excessum qux) eadem pars superatur a media
proportionali inter totum planum et primam eamdem partem. Fiat latio per totam AB ex quiete in A, quae in C divisa sit jA utcumque; totius autem BA et prioris partis AC media sit propor- tionalis AF ; erit CF excessus mediae FA super partem AC : dico, tempus lationis per AC ad tempus sequentis lationis per CB esse ut AC ad CF. Qux)d patet : nam tempus per AC ad tempus per to- tani AB est ut AC ad mediam AF ; ergo, dividendo, tempus per AC ad tempus per reliquam CB erit ut AC ad CF. Si itaque intelligatur, tempus per AC esse ipsamet AC, tempus per CB erit CF : quod est 30 propositum. ^^
Delle lin. 18-30 si ha una bozza autografa nel cod. A, a car. idr,, la quale presenta le seguenti varianti:
18. Si linea, in qua fiat latio e^c — 18-19. lationis prioris partis ad tempus lationis ^ [sic] 2)artis est — 20-21. media inter totam et ipsam primam paHem — 22-23. quae utcumque divisa sit in e ; totius — 23. et partis — 23-24. sit af, clvero excessus eiusdem mediae super primam ac : dico — 25. ad tempus per reliquam cb esse ~ 29. esse ac — 29-30. quod est propositiim manca nella bozza. —
--P [p. 230 230 DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE
Qmd si motus non fiat per contimiatam ACB, sed per iuflexas ACD tisque ad ìiorùontem BD, cui .ex F parallela duda sit FÉ, denwnstrahitur
pariter, tempus per AC ad tempus per re- flexam CD esse ut AC ad CE, Nam tempus per AC ad tempus per CB est ut AC ad CF ; tempus vero per CB post AC ad tempus per CD post eumdem descensum per AC demonstratum est esse ut CB ad CD, hoc est ut CF ad CE ; ergo, ex acquali, tempus per AC ad tempus - per CD erit ut AC /mec^ ar? CE. io
jDX
Theoeema XIIj Propositio XII.
Si perpendiculum et planum utcunque inclinatum secentur Inter easdem hori^ontales lineas, sumanturque media proportionaUa ipsorum et par- tiimi suarum a communi sectione et ìiorizontali supieriori comprelien- sarum, tempus lationis in perpendiculo ad tempus lationis factae in parte superiori perpendiculi, et consequenter in inferiori secantis plani^ eam hahebit rationem^ quam liabet tota perpendiculi longitudo ad 11- neam compositam ex media in perpendicMlo sumpta et ex excessii quo totum planum inclinatum suam mediam superat. Sint horizontes superior AF, inferkr CD, inter quos secentur perpen- 20 diculum AG et planum inclinatum DF in B, et totius perpendiculi CA et
superioris partis AB media sit AR, totius verojyF et superioris partis^'F media sit FS : dico, tempus casus per totum perpendicu- lum AC ad tempus per suam superior em par- tem AB cum inferiori plano, nempe cum BD, eam liahere rationem, quam ìiahet AC ad mediam perpendiculi, sciUcet AR, cum SD, quae est excessus totius plani DF super suam mediam FS. Connedatur RS, quae 30 erit horizontalihus parallela ; et quia tempus casus per totam AC ad tempus per partem AB est tit CA ad mediam AR, si intdligamus, AC esse tempus casus per AC, erit AR tempus casus per AB, et RC per reliquam BC. Quod si tempus per AC ponatur, uti factum est, ipsa AC, temptis per FD erit FD, et pariter concludetur, DS esse tempus per BD post FB, seu post AB. [p. 231 INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE. — GIORNATA TERZA.
231
Tempus igittir per totani AC est AR ami RC ; per inflexas vero ABD erit AR cmn SD : quod erat probandum.
Idem accidit si loco perpendiculi ponatur aliud planum, quale, v. gr., NO ; eademque est demonstratio.
Problema I, Propositio XIII.
Dato perpendiculo, ad ipsum planum inflectere, in quo , cum ipsum haheat cum dato perpendiculo eandem elevationem, fiat motus post casum in perpendiculo eodem tempore, ac in eodem perpendiculo ex quiete. Sii datum perpendiculum AB, cui, extenso in C, ponatur pars BC acqua- io lis, et ducantur harizontales CE, AG : oportet, ex B planum usque ad hori- ^ontem CE inflectere, in qico fiat ìnotus j^ Q
post casìim ex A eodem tempore, ac in AB ex quiete in A. Ponatur CD aequalis CB, et ducta BD, applicetur BE aequalis utris- qiie BD, DC : dico, BE esse planum quae-
situm. Producatur FjBj occurrens horizonti AG in G, et ipsarum EG, GB media sit GF ; JB erit EF ad FB ut EG ad GF, et quadra-
la C
tum EF ad quadratum FB ut quadratum EG ad quadratum GF, hoc est 20 ut linea EG ad GB : est autem EG dupla GB : ergo quadratum EF duplum quadrati FB. Verum quadratum quoque DB duplum est quadrati BC ; ergo ut linea EF ad FB, ita DB ac^ BC, et, componendo et permutando, ut EB ad duas DB, BC, ita BF ac? BC : sed BE duabus DB, BC esi aequalis : ergo BF ipsi BC^ sm BA, aequalis est. Si igittir intelligatur^ AB esse tempus casus per AB, erit GB tempus per GB, ei GF tempus per totam GÈ ; 6r^o BF en^ tempus per reliquam BE ^osi casum ex G, se^ eo; A : quod erat propositum.
Delle lin. 6-27 si La nel cod. A, a car. 145r., una bozza autografa, della quale è poi una copia esatta, di mano delPARRiGHETTi, a car. 39n dello stesso codice. La bozza auto- grafa presenta le seguenti varianti:
6-7. ad ipsum lineani inflectere, in qua, cum ipsa haheat eandem cum dato perpendiculo altitudinem, fiat — 9-10. Sit datus perpendiculus ab, qui protrahatur, et ponatur bc aequalis ipsi ab, et ducantur orizontes ce — 10-11. a^Z orizontem — 13-16. in a. Sumatur ed aequalis cb, et ponatur he utrique bd, do aequalis : dico iam, per he post casum ab fieri motum eodem tempore ac in ab. Producatur — 16-17. orizonti superiori in g, et. Tra g ed et si legge, can- cellato : et secetur bf aequalis bc; erit reliqua fé ipsi bd aequalis, et fé duplum Q' f b ; sed. — 19-20. gf, est ut eg ad — 20-24. dupla ad gb, quia aequales sunt ab, bc : ergo Q] ef duplum est Q ' f b, et linea bf aequalis bc, cum tota he duahus bd, bc aequalis posita sit. Si igitur — 25. erit gb tempus casus per gb, et — [p. 232 Pagina:Le opere di Galileo Galilei VIII.djvu/230 [p. 233 tempore eodem atque BC ex eodem casu ah A. Bucatur ìiorìzontalis AD, mi occ'urrat CB extensa in D, et ipsanim CD, DB media sit DE, et BF ponatur aequalis BE ; deinde ipsanim BA, AF tertia proportionaUs sit AG : dico^ BG esse spatiiim quod post caèum AB confieitur tempore eodem ac planum BC post eundem casum. Si enim ponamus, tempus per AB esse ut AB, erit tempus per DB ut DB; et quia DE est media inter BD, DC, erit eadem DE 10 tempus per totam DC, et BE tempus per re- liquam BC e^ g^^i^te m D, seu ex casu AB. Et similiter concludetur, BF esse tempus per BG, j9osif cas^m eundem ; est autem BF aegualis BE ; er^o j^ri^ei propositum.
Theorema XIII, Propositio XVI.
20
Si plani inclinati et perpendiculi
partes, quarum tempora lationum
ex quiete sint acquatta^ ad idem
punctum componantur^ mobile ve-
niens ex qualihet alUtìidine su-
hlimiori, citius ahsolvet eandem
partem plani inclinati^ quam
ipsam partem perpendiculi, Sit perpendiculum EB et planum inclinatum CE, ad idem punctum E q composita^ quorum tempora lationum ex quiete in E sint aequalia ; et in perpendiculo extenso sumptum sit quod- lihet punctum sublime A, ex quo de- 30 mittantur mobilia : dico, tempore bre- viori absolvi planum inclinatum EC, qìiam perpendiculum EB post casum AE. lungatur CB, et ducta hori.wn- B
tali AD, extendatur CE, illi occurrens in D, et CD, DE media propmiio-
32-33. post casus AE. lungatur, s —
vili.
80 [p. 234
nalis sit DF, ipsarum vero BA, AE media sit AG, et ducankir FG, DG : et quia tempora lationum per EC, EB ex quiete in E sunt aequalia^ erit angulus C rectus, ex corollario seamdo propositionis sextae; estque rectus A, et anguli ad vertieeni E aequales; triangula igitur AED, CEB sunt aequian- gula^ et latera circa aequales angulos propmiimialia ; ergo ut BE ad EC, ita DE ad EA. Bectangulum ergo BEA est acquale rectangido CED ; ei quia rectanguUim ODE superai rectangulmn CED quadrato ED, rectangu- lum vero BAE superat rectangulum BEA quadrato EA, excessus rectan- guli ODE super rectangido BAE, Tioc est quadrati FD super quadrato AG, (3l^^*^ idem ctim excessu quadrati DE super quadrato AE, ^'«^i excessus est io quadratum DA. ^8^ i^i^^r quadratum FD acquale duobus quadratis GA, AD, gm6^^s 6S^ quoque acquale quadratum GD ; er^o linea DF ips^ DG es^ aequalis, et angulus DGF aequalis angulo DFG, (3j^ angtdus EGF i/?mor angulo EFG, ei^ /a^w5 oppósitum EF ^>^^>^MS lacere EG. Iforfo si intclligamus. tempus casus per AE esse ^i5 AE, erU tempus per DE «/^ DE ; cumque AG merKfi^ sit Inter BA, AE, eri^ AG tempus per totani AB, et reliqua EG enY tempus p^er reliquam EB e.r gm'^fe in A ; é*^ similiter concludetm% EF ^5Sé3 tempus per EC jjos^ descensum DE, se?^ j9os«5 cas^m AE : demonstra- tum autem est, EF minorem esse quam EG : ^r.90 2^(det propositum.
COROLLARIUM.
20
Ex hac atqiie ex pr accedenti cmistat, spatium quod conficitur in per- pendiculo post casum ex sublimi, tempm'c codem qu^ conficitur planum in- j^ 3> clinatum, minus esse co quod conficitur tempore
codem atque in inclinato non praecedente casu ex sublimi, maius tamen quam idem planum inclinatum, Cum enim modo demonstratum sit, quod mohilium venientium ex termino sublimi A, tempus conversi per EC brevius sit tempore procedentis per EB, constai, spatium quod con- ficitur per EB tempore aeqiiali tempori per EC, 80 minus esse toto spatio EB. Quod autem' idem spatium perpendicidi maius sit quam EC, ma- nifesttmi fit sumpta figura praecedentis propo- sitionis, in qua partem perpendiculi BG confici demonstratum est tempore codem cum BC post casum AB : hanc atdem BG [p. 235
minor BD, maiorem rationem hahet FB ad BA qiiam EB ad BD, et, com- ponendo, FA ad AB maiorem hahet quam ED ad DB ; est autem ut FA ad AB, ^to GF ad FB (esi5 e/^im AF media inter BA, AG), ^^^ similiter, ut ED a6? BD, ita est CE ac? EB; ergo GB a^ BF maiorem habet ratimem quam GB acl BE : est igitur GB maior BC.
Problema IV, Propositio XVIL
Dato perpendiculo et plano ad ipsum inflexo, in dato plano partem si- gnare, in qua post casum in perpendiculo fiat motus tempore acquali 10 ei, quo mobile datum perpendiculum ex quiete confecit.
Sit perpendiculum AB, et ad ipsum planum A. D
inflexum BE : oportet, in BE spatium signare, per quod mobile post casum in AB moveatur tempore acquali ci, quo ipsum perpendiculum AB ex quiete confecit,
Sit hori^ontalis linea AD, cui occurrat in D planum extensum, et accipiatur FB aequalis BA, et fiat ut BD ad DF, ita FD ad DE : dico, tem- pus per BE post casum in AB acquari tempori ^/ 20 per AB ex quiete in A. Si enim intelligatur, A5 esse tempus per AB erit DB tempus per DB ; cumque sit ut BD ad DF, ita FD ad DE, erit DF femj9«^s ^er fo^«^m planum DE, ei BF j^er partem BE 6.r D : sed tempus per BE j^os^ DB est idem ac post AB: ergo tempus per BE post AB enY BF, acquale scilicet tempori AB e^ gme^e in A : g^^(^ 6m^ propositum.
Delle lin. 8-25 si ha nel cod. A, a car. 143r., una bozza autografa, della quale è una copia esatta, di mano del Guiduoci, a car. 40Y. dello stesso codice. La bozza autografa presenta le seguenti varianti :
9-10. motus eodem tempore, quo mobile 'perpendiculum confecit. — 11-12, ad ispsum [sic] infexa [sic] be : oportet — 13-17 . mobile moveatur post casum ab eodem tempore quo confecit ipsum ab. Extenso plano eb, occurrat orizonti in d, et accipiatur - 19-20. postdh acquari tem- pori per ab. 5^ — 20. intelligatur ab tempus — 22. per totam de, et — 2L tempori ab : quod — [p. 236
Problema V, Propositio XVIII .
Bato in perpendimilo quovis spatio a principio kiiionis signato, quod in dato tempore conficiatur^ datoqtie quocunqiie alio tempore minori, alittd spatium in perpendiculo eodem reperire, quod in dato tempore minori conficiatm Sit perpendiculìim A, in qm detiir spatiiDu AB, cuius tempiis ex prin- cipio A sit AB; sitane liorizon CBE^ et detiir tempus ipso AB mimis, ctd j^ in Jwrizonte notetur aequale BC : oportet, in eodem,
perpendimlo spatium eidem AB acquale reperire^ quod tempore BG confìciatur. lungatur linea AC, ciimqiie BC io ^ minor sit BA^ erit angulns BAC minor angido BCA ; constituatur ei aequalis CAE, et linea AE liorizonti occurrat in puncto E, ad quam perpendicularis pò- natur ED, seeans ^mpendiculiim in D, et linea DF ipsi BA secettir aequalis : dico, ipsam FD esse perpen- diculi partem, in qua latio ex principio motus in A absolvitur tempore BC dato. Cimi enim in triangulo rectangulo AED ah angido recto E perpendicularis ad latus opposittmi AD ducta sit EB, erit AE media inter DA, AB, et BE media inter DB, BA, seu ifder Fii, AB {est enim FA 20 ipsi DB aequalis) ; cumque KQpositum sit esse tempus per A, erit AE, seu EC, tempus per totam AD, et EB tempus per AF ; ergo reliqua BC erit tempus per reliquam FD : qtiod erat intentum.
Delle lin. 2-23 si ha nel cod. A, a car. 143^.^ una bozza autografa, della quale è una copia, di mano dell'AREiGHETTi, a car. 67r. dello stesso codice. La copia porta due corre- zioni autografe di Galileo, l' una nella figura, V altra nel testo, le quali tolgono le sole difformità eh' ella avesse dall' originale. La detta copia ò segnata, superiormente a destra, col numero 12, traccia forse d' un ordinamento. La bozza autografa presenta le seguenti varianti :
2. Dato qiiolibet spacio in perpendiculo a principio ~ 3. qiiocunque tempore — 3-4. aliud aequale spaciUm, priori accepto acquaie, in eodem perpendiculo reperire — 4-5. tempore confì- ciatur — 6. perpendiculum ab, in — 7. orizon — 7-8. minus^ quod sit bc : oportet — 9. acquale invenire, quod — 12. constituatur ipsi aequalis — 12-13. orizonti in e signo occurrat, ad — 15-17. ipsam fd ex a confici in tempore bc. Cum- — 18-19. perpendicularis ducta sit ad ad, erit — 20-21. ba, hoc est inter fa, ab, erit {est enim fa aequalis db); cumque — 21-22. tempus per ab, erit ae tempus per totam — 22-23. af ; cumque ae sit aequalis ipsi ce, oh aequalitatem angulorum eac, eca, relinquitur ut bc tempus sit ipsius fd: quod erat ostendendum. — [p. 237
Problema VI, Proposito XIX.
Dato inperpendiculo spatio qtwcunqtie a principio lationis peracto^ datoque
tempore casus, temptis reperire, quo aliud acquale spatium, uhicunque in
eodem perpendiculo acceptmn, ah eodem mobili consequenter conficiatur,
Sit in perpendiculo AB quodcunque spa-
tium AC ex principio lationis in A acceptum,
cui acquale sit aliud spatitim DB uhicunque
acceptum, sitque datum tempus lationis per
AC, sitque illud AC : oportet, reperire tempus 10 lationis per DB post casum ex A. Circa
totani AB semicirculus descrihatur AEB, et
ex C ad AB perpendicularis sit CE, et iun-
fjatur AE, quae maior erit quam EC ; sece-
tur EF ipsi EC aequalis: dico, reliqumnFA jD
esse tempus lationis per DB. Quia enim AE
est media inter BA, AC, estque AC tempus
casus per AC, erit AE tempus per totam AB ;
cumque CE media sit inter DA, AC {est enim
DA aequalis ipsi BC); erit CE, hoc est EF, 20 tempus per AD ; ergo reliqua AF est tempus
per reliquam DB : quod est propositum.
1^
COROLLARIUM.
Hinc colligitur, quod si alicuius spatii ponatur, tempus ex quiete esse ,. ut ipsummet spaiium, tempus illius post aliud spatium adiunctum erit excessus meda inter adiunctum una cum spatio, et ipsum spatium super medium inter primum et adiunctum: veluti, posilo quod tempus per AB ex quiete in A sit AB, addito AS, tempus per AB post SA erit excessus meda inter SB, BA super medium inter BA, AS.
Delle lin. 5-21 si ha nel cod. A, a car. 143r.; una bozza autografa, della quale è una copia esatta, di mano del Guiducoi, a car. 89"r. dello stesso codice. In calce di questa copia è aggiunto, di mano di Galileo, V enunciato della Proposizione (lin. 2-4). Gli auto- grafi presentano le seguenti varianti:
3-4. in perpendiculo — 4. conflcitur — 5-10. perpendiculo ab accepta pars ac, cuius tem- pus ac; accepta rersus uhicunque parte db, ipsi ac acquali, quaeritur tempus quo eadem db 230st casum ex a conficietur. Circa— -11-12. et orizon ducatur ce, et — 13-15. quam ce; sit dif- ferentia af : dico, af esse tempus per — 16-17. tempus per ac, erit — 19-21. erit ce temptis per totam ad ; est autem ce aequalis ef ; ergo ae est tempus per totam ab, ef vero per ad ; ergo af erit tempus per db — 21. quod est propositum manca nella bozza autografa. [p. 238
-rC
Problema VII, Propositio XX.
Dato quolihet spatio et parte in eo post principium lationis^ parteni
atteram versus finem reperire^ qtme conficiatur tempore eodem ac
prima data,
Sit spatium CB, et in eo pars CD, data post principium lationis
in C : oportet, partem alteram versus fmem B reperire, quae conficiatur
tempore eodem ac data CD. Sumatur media inter BC, CD, cui aequalis
1j ponatur BA ; et ipsarum BC, CA tertia propartionalis sit CE : dico, EB
esse spatium quodpost casimi ex C conficitur tempore eodem ac ipsum CD.
Si enim intelligamus, tempus per totam CB esse ut CB, erit BA {media io
scilicet inter BC, CD) tempus per CD ; cumque CA media sit inter BC,
CE; erit CA tempus per CE : est autem tota BC tempus per totam CB ;
ergo reliqua BA erit tempus per reliquam EB post casum ex C : eadem
vero BA fuit tempus per CD ; ergo temporibus aequxilibus conficiun-
IB
tur CD et EB ex quiete in A : quod erat faciendum.
Theorema IV, Propositio XXI.
Si in perpendiculo fiat casus ex quiete, in quo a principio lationis su- matur pars, quovis tempore peracta, post quam sequatur motus inflexus
per aliquod planum utcunque inclinatum, spatium quod in 20 tali plano conficitur in tem- pore acquali tempori casus iam peracti in perpendicido, ad spatium iam peractum in perpendiculo, maius erit quam duplum, minus vero quam triplum. Infra horizontem AE sit per- pendiculum AB, in quo ex princi- pio A fiat casus, cuius sumatur quadibet pars AC ; inde ex C inclinetur utcun- 3o que planum CG, super qim post casum in AC continuetur motus : dico, quod
Delle lin. 17 e seg., fino alla Un. 12 della pag. 239, si ha una bozza di mano del Gui- Ducoi, con una coiTezione e tre aggiunte della mano di Galileo, nel cod. A, a car. 65r. Essa presenta le seguenti varianti :
17. Si fiat casus in perpendiculo ^ in quo — 19-20. planum inclinatum — 20-21. in plano — 28-29. pcrpendiculus — 30-31. inclinetur planum — 31. casum ac inflectatur motus — [p. 239 spatmm tali motu peractum per CG in tempore aequali tempori casus per AC, est plus quam duphm^ minus vero quam triplum, eiusdem spatii AC. Po- natur enim CF aequalis AC, et extenso plano GC usque ad horizontem in E, fiat ut CE ad EF, ita FÉ ad EG. Si itaque ponatur^ tempus casus per AC esse ut linea AC, erit CE tempus per EC, et CF, seu CA, tempus m^tus 2)er CG : ostendendum itaque est, spatium CG ipsius CA maius esse quam duplum^ minus vero quam triplum. Cum enim sit ut CE ad EF, ita FÉ ad EG, enY etiapi ita CF a^ FG ; minor autem est EC ^«^amEF; quare et CF mmor m^ qtiam FG, e^ GC maior quam dupla ad FC, sm AC. Cumque 10 rursus FÉ mmor sii g«/am 6?^(pk a^? EC (est enim EC inaior CA, seu CF), e^"/^ quoque GF mizor gwam 6?2/pte a4 FC, et GC mmor g'^^am tripla ad CF; see/ CA : quod erat demonstrandum.
Poter at autem universalius idem proponi: quod enim accidit in perpen- dicidari et plano inclinato^ cmitingit etiam si post motum in plano quodam inclinato inflectatur per magis inclinatum^ ut videtur in altera figura; eademque est demonstratio.
2. Le parole « eiusdem $pacii ac » sono aggiunte di mano di Galileo. — 3-4. enim unaqiiaeque
ipsarum cf, ed ipsi ac aequalis, et ut ca ad ad, ita fiat da ad ab, ut vero ce ad ef, ita fé
ad eg : erit iam ipsa cb tripla ca, et tempus casus per ac aequahitur
tempori casus per Gh post 0,0,. Si itaque. Le parole <(. unaquaeque
ipsarum », « ed », « ca ad ad, ita fiat da ad ab, ut vero », « cri^
trtm ipsa cb tripla ca.^ et tempus casus per ac aequabitur tempori
caèus per cb » sono sottolineate » ; «post ac » è aggiunto di mano
di Galileo. — 5. erit ed tempus casus per cb, et ce tempus per ec,
ci cf tempus motus. Le parole « ed tempus casus per cb, et » sono
sottolineate. — 7. Le parole Oww m«»i sit sono rifatte di mano
di Galileo sopra At dum sit, che prima si leggeva. — - 8. erit
et ita — 9. erit fg, et — 12. erat ostendendum. Segue di mano del
GuiDucci : Ex liis constat, quod si inflexio post casum ac fieret
in horizontali icx, in tempore aequali tempori ac conficeret spa-
cium ci, diiplum ad ca: positis enim eh, hi inter se et ipsi ca
aequalibus, et extensis icx in infinitum, erit ut ix ad xh, ita hx ad xc ef ih a^ he; quare fj^ g tempus motus per ci e?'«i eh, 5ew ca. Indi prosegue di mano di
Galileo : Potest haec proposltio universalius proferri : idem enim X accidit si ab non sit perpendicularis, sed utcumque inclinata. At- tende quod si in inclinata eg motus acceleratur in infinitum, vi- detur posse demonstrari, in orizontali extendi dehere equàbiliier [sic] etiam in infinitum; quod etiam constat, si est equabilis [sic], esse etiam infinitum. — Avvertasi che le due figure, che abbiamo ri- prodotto dal manoscritto, sono relative anche a quei tratti che nel manoscritto sono sottolineati e che furono omessi nella stampa. Alla lin. 6 così la bozza manoscritta come la stampa leggono « ipso ca », che abbiamo
corretto in « ipsius ca ». [p. 240
Problema Vili, Propositio XXII.
JDatis duobus temporibus inaequalihus, et spatio qiiod in perpendiculo
ex quiete conficltur tempore hreviori ex datis, a puncto supremo per-
pendimli tisque ad liorizontem planum inflectere, super quo molile
descendat tempore aequali ìongiori ex datis,
Tempom inaequaUa sint A maius, B vero minus ; spatium autem qiiod
in pjerpendicuìo eonfieitur ex quiete in tempore B, sit CD: oportet, ex ter-
mino C planum usque ad ìiorkontem inflectere^ quod tempmx A conficiatur.
B
Fiat ut B ad A, ita CD ad aliam lineam, cui linea CX aequalis ex C ad horkontem descendat : manifestum est, planum CX esse illud super qUÀ) io mohile descendit tempore dato A. JDemonstratum enim est, tempus per pla- num incUnatum ad tempus in sua elevatione eam ìiabere rationem, quam liahet plani longitudo ad longitudinem elevationis suae ; tempus igitur per CX ad tempus per CD est ut CX ad CD, lioc est td tempus A ad tempus B : tempus vero B est illud quo eonfieitur perpendiculum CD ex quiete : ergo tempus A est illud quo eonfieitur planum CX.
Problema IX, Propositio XXIII.
Dato spatiOy quovis tempore perado ex quiete in perpendicido, ex termino imo huius spatii planum infleetere, super quo post casum in perpen-
Delle lin. 2-5 si ha una bozza autografo nel cod. A, a car. 65t, la quale presenta le seguenti varianti :
3. eonfieitur in tempore — 4. ad orizontem — 5. tempore acquale —
Delle lin. 18 e seg., fino alla lin. 23 della pag. 241, si ha una bozza autografo nel cod. A, a car. 85r., la quale presenta le seguenti varianti :
18. Dato spaciOy in quovis tempore peracto in perpendiculo. Qui segue, cancellato, quanto appresso : dataque proportione quacunque aìterins spacii ad spacium peractum in 'perpendiculo, quae tamen maior sii quam dupla, minor vero quam tripla. — 18-19. termino huius — lin. 19 e lin, 1 della pag. 241, quo, tempore eodem, conficiaiur spacium cuilibet spacio dato equale [sic] — [p. 241
r >r N
diculo tempore eodem conficiatur spatimn cuilibet spatio dato acquale, quod tanien maitis sit qtiam duplum, minus vero quam tripltm, spatii peracti in perpendiculo. Sit in ])erpendiculo AS tempore AC peractum spatium AC ex quiete in A, cuius IR maius sit quam duplum, minus vero quam triplum : opor- tety ex termino C planum inflectere super quo mobile eodem tempore AC confieiat post casum per AC spa- tium ipsi IR acquale. Sint RN, NM
10 ipsi AC aeqiialia, et quam rationem hahet residuum IM ar^ MN, eamdem haheat AC linea ad aliam, cui aequalis applicetur CE ex C ad ìiorizontcm AE, quac extcndatur versus 0, et accipiantur CF, FG, GO aequalcs ipsis RN, NM, MI : dico, tempus super inflexa CO ]}^^'t casum AC esse acquale tempori AC ex quiete in A. Cum enim sit tit OC ad GF, ita FC ad CE, crU, compo- nendo, ut OF ad FG, scu FC, ita FÉ ad EC, et ut unum antecedentium ad unum conscquentium, ita omnia ad omnia, nempe tota OE ad EF; ut FÉ
20 ad EC. Sunt itaque OE, EF, EC continue proportionales : quod cum pò- situm sit, tenipiis per AC esse ut AC, erit CE tempus per EC, et EF tempus per totam EO, et reliquum CF per reliquam CO ; est autem CF aequalis ipsi CA ; ergo factum est qmd fieri opmiebat. Est enim tempus CA tempus casus per AC ex quiete in A, CF vero {quod aequatur CA) est tempus per CO j^^ost descensum per EC, seu post casum per AC : quod est propositum,
Notandum autem est, quod idem accidet, si praecedens latio non in per- pendiculo fiat, sed in plano inclinato, ut in sequenti figura, in qua latio
2-3. Le parole spacìi peracti in perpendiculo nella bozza autografa si leggono tra tamen e maius (ìin. 2). — 4-5. spacium ac, cuius — 8-9. confieiat spaciuni ipsi — 11-14. eandem haheat ac ad aliam, cui aequalis sit ce, occurrens in e orizonti ae, qiiae — 15. versus g, et — 16. co esse ~ lG-17. tempori ac. Ctim -—19-20. nempe ut tota oe ad ef, ita fé ad ec. Sunt — 21-23. et cf tempus per co ; est autem cf acquale ipsi — 23. quod facere oportébat. Qui la bozza seguita : Rine patetj quod quo magis oc accedit ad triplicitatem ipsius ca, eo planum co mrgit versus perpendicidum, in quo tandem spacium peractum tempore acquali tempori ac est triplum ipsius ac ; quo vero magis eadem oc accedit ad duplicitatem eiusdem ca, eo planum oc accedit ad aequi- distantiam cum orisonte ae, in quo tandem cum desinet, spacium oc peractum tempore ca erit duplum spacii ac.
Alla lin. 10 la stampa originale legge ipsi AE aequalia, dove abbiamo corretto, con- forme alla bozza autografa, AE m AC.
vili. [p. 242
praecedens facta sit per planum indinattim AS infra hormntem AE ; et demonstratio est prorsm eadem.
SCHOLIUM.
Si diligenter attendatur, manifestiim erit^ quod quo minus data linea IR deficit a tripla ipsius AC, eo planum inflexmn, super quod facienda est
secunda latio, puta CO,
I M
N
K
accedit vicinius ad per- pendieulum^ in quo tan- dem in tempore aequali AC eonficitur spatium ad io AC triplum. Cum enimIR proxima fuerit ad tripli- eitatem AC, erit IM aequa- lis fere ipsi MN ; cum- que ut IM ad MN, in constructione^ ita fiat AC ad CE, constata ipsam CE paulo maiorem reperiri quam CA, et^ quod con- sequens esty punctum E proximum reperiri puncto A, et CO cum CS acu~ tissimum angulum continere^ et fere mutuo coincidere, E contra vero^ si data IR minimum quid maior fuerit quam dupla eiusdem AC, erit IM 20 brevissima linea; ex qm accidet, minimam quoque futuram esse AC respectu CE, quae longissima erit et quam proxime accedei ad paralMam horizon-- talem per C productam. Indeque colligere possumus^ quod si, in apposita figura^ post descensum p)er planum inclinatmn AC fiat reflexio per lineam Jiorimntalem^ qualis esset CT, spatium^ tempore acquali tempori descensus per AC, jjcr quod mohile consequenter moveretur^ esset dtiplum spatU AC exacte, Videtur autem et Me accommodari consimilis ratiocinatio : apparet enim ex eo^ cum OE ad EF sit ut FÉ ad EC, ipsam FC determinare tempus per CO. Quod si p)ars horizontalis TC, dupla CA, divisa sit hifa- riam in V, extensa versus X in infinitum elongata erit^ dum occursum cmn 30 prodìicta AE quaerit^ et ratio infinitae TX ad infinitam VX non erit alia a ratione infinitae VX ad infinitam XC.
Tstud idem alia aggressione concludere poterimus, consimile resumentes ratiocinium ei^ quo usi sumus in propositionis primae demonstratione, Resu- mentes enim triangidum ABC, nohis repraesentans in suis parali elis basi BC [p. 243 velocitatis gradus continue adauctos iuxta tem^oris incrementa^ ex quihus, cum infinitae sint, veluti infinita sunt pimcta in linea AC et instantia in quovis tempore, exurget stiperficies ipsa trianguli ; si intel- d ligamus, motum per alterum tantum temporis continuar^ sed non amplius motu accelerato, verum aequabili, iuxta maximum gradum velocitatis acquisitae, qui gradus reprae- sentatur per lineam BC ; ex talihus gradihus conflabitur aggregatum consimile parallelogrammo ADBC, quod duplum est trianguli ABC : quare spatium qmd cum gradihus con- io similihus tempore eodem conficietur, duplum erit spatii peracti B '
cum gradihus velocitatis a triangulo ABC repraesentatis. At in plano ìiori- zontali motus est aequdbilis, cum nulla ibi sit causa accelerationis aut re- tar dationis ; ergo concluditur, spatium CD peractum tempore acquali tem- pori AC, duplum esse spatii AC : hoc enim motu ex quiete accelerato, iuxta parallelas trianguli, conficitur ; illud vero, iuxta parallelas parallelogrammi, quae, dum fuerint infinitae, duplae sunt ad parallelas infinitas trianguli. Attendere insuper licet, qwd velocitatis gradus, quicunque in mobili re])eriatur, est in ilio suapte natura indelebiliter impressus, dum externae causae accelerationis aut retardationis tollantur, qux)d in solo liorizontali 20 plano contingit ; nam in planis declivibus adest iam causa accelerationis maioris, in acclivihus vero retardationis : ex quo pariter sequitur, motum in horizontali esse quoque aeternum ; si enim est aequahilis, non debilitatur aut remittitur, et multo minus tollitur. Amplius, existente gradu celeritatis per naturalem descensum a mobili acquisito, suapte natura indelebili atque aeterno, considerandum occurrit, quod si post descensum per planum de- clive fiat reflexio per aliud planum acclive, iam in isto occurrit causa re- tardationis : in tali enim plano idem mobile naturaliter descendit ; quare mixtio quaedam contrariarum affectionum exurgit, nempe gradus illius cele- ritatis acquisitae in praecedenti descensu, qui per se uniformiter mobile in 30 infinitum abduceret, et naturalis propensionis ad motum deorsum iuxta illam eandem proportionem accelerationis iuxta quam semper movetur, Quare admodum rationabile videbitur si, inquirentes quaenam contingant acciden- tia dum mobile post descensum per aliquod planum inclinatum refi^ectatur per planum aliquod acclive, accipiamus, gradum illum maximum in descensu acquisitimi, idem per se perpetuo in ascendente plano servari ; attamen in ascensu ci supervenire naturalem inclinationem deorsum, motum nempe ex
3-4. intelligamusj motus per, s — [p. 244 quiete acceleratum iuxta semper acceptam proportionem. Quoti si forte haec intelligere fuerit szibohscurum, clarius per aliquam delimationem expli-
oahitur.
IntelUgatiir itaque, faetum esse deseensum per planum deelive AB, ex
quo per aliud aeclive BC cantimetur motus reflexus, et sint, primo, plana
p, p X aequalia, et ad aequales
_._^ ..-- — -— —7 angulos super ìiorizontem
N. **'«..^ y^ GH elevata: eonstat iam,
^v *'*•♦.. y^ quod mobile ex quiete in A
jN^ -^X^D descendens per AB, gradus io
(j — -^ — — —" H aequirit veloeitatis iuxta
temporis ipsius incrementum; gradimi vero in B esse maximum acquisito- rum, et suapte natura immutabiliter impressum, suUatis scilicet causis ac- celerationis novae aut retardationis : aecelerationis, inquani, si adirne super extenso plano ulterius progrederetur ; retardationis vero, dum super planum acclive BC fit reflexio : in Jiori^ontali autem GH aequaUlis motus, iuxta gradum veloeitatis ex A in B aequisitae, in infmitum extenderetur ; esset autem talis velocitas, ut in tempore acquali tempori descensus per AB in horizonte conficeret spatium duplum ipsius AB. Modo fingamus, idem mo- lile eodem celeritatis gradu aequaUliter moveri per planum BC, adeo ut, 20 etiam in hoc, tempere acquali tempori descensus per AB conficeret super BC extenso spatium duplum ipsius AB ; verum intelligamus, statini atque ascen- dere incipit, ci suapte natura supervenire illud idem quod ci contigit ex A super planum AB, nempe descensus quidam ex quiete secundum gradus eosdem acceleratioms, vi quorum, ut in AB contigit, tempmx eodem tan- tumdem descendat in palano reflexo, quantum descendit per AB : manife- stum est, quod ex eiusmodi mixtione motus aequaUlis ascendentis et acce- lerati descendentis perducetur mobile ad terminum G per planum BC i/iixta eosdem veloeitatis gradus, qui erunt aequales, Quod vero sumptis idcimque duobus pundis D, E, aequaliter ab angulo B remotis, transitus per DB fiat 30 tempore acquali tempori reflexionis per BE, Une colligerepossumus, DuctaBF, erit parallela ad BC ; eonstat enim, deseensum per AD reflecU per DE : quod si post D mobile feratur per hormntalem DE, impettis in E erit idem cum impetu in D ; ergo ex E ascendet in C ; ergo gradus veloeitatis in D est aequalis gradui in E.
Ex Us igitur rationabiliter asserere possumus, quod si per aliquod pla- nimi iMclimdum fiat descensus, post quem sequatur reflexio per planum [p. 245 elevatum, mobile per impetum concepttim ascendet usque ad eandem altitu-
dineniy seu elevationem ab ìwri^onte ; ut si fiat descenstis per AB, feretur
mobile per planum re-
flexum BO usque ad
horizontalem ACD, non
tantum si inclinationes
planorum sint aequales,
verum etiam si inae- B
qtmles sint, qualis est plani BD : assumptum enim prius est, gradus ve-
10 locitatis esse aequales, qui super planis inaequaliter inelinatis aequirun- tur, dum ipsorum planorum eadem fuerit supra ìiorizmtem elevatio. Si autem, existente eadem inelinatione planorum EB, BD, deseensus per EB impellere valet mobile per planum BD usque ad D ; cum talis impulsus fiat propter coneeptum veloeitatis impetum in puneto B, sitque idem impetus in B, seu descendat mobile per AB seu per EB ; constai, quod expelletur pariter mobile per BD post descensum per AB, atque per EB. Aceidet vero, quod tempus ascensus per BD longius erit quam per BC, prout de- seensus quoque per EB longiori fit tempore quam per AB ; ratio autem eorundem temporum iam demonstrata est eadem ao longitudinum ipsorum
20 planorum, Sequitur modo ut inquiramus proportionem spatiorum temporibus aequalibiis peraetorum in planis, quorum diversae sint inclinationes, eaedem tamen elevationes, hoc est, quae inter easdem parallelas horizontales com- jyreJiendantur. Id autem contingit iuxta sequentem rationem.
Theorema XV, Propositio XXIV.
Dato inter easdem parallelas horizontales perpendiculo et plano elevato
ab eius imo termino, spatium quod a mobili, post casum in perpen-
dicido, super plano elevato cmificitur in tempore acquali tempori casus,
maius est ipso perpendicido^ minus tamen quam duplum eiusdem per-
pendicidi,
30 Inter easdem parallelas horimntales BC, HG sint perpendicidmn AE
et planum elevatum EB, super quo, post casum in perpendiculo AE, ex
termino E fiat reflexio versus B : dico, spatium per quod mobile ascendit
in tempore acquali tempori deseensus AE, maius esse quam AE, minus
vero quam duplum eiusdem AE. Ponatur ED ipsi AE acquale, et ut EB
ad BD, ita fiat DB ad BF ; ostendetur, primx), punctum F esse signum, [p. 246 quo mobile motti reflexo per EB perveniet tempore aequali tem])ori AE ; deinde, EF maim esse qumn EA, minus vero quani duplum eiusdem. Si
intelligamuSy tempus de-
B
H E
seensus per AE esse ut AE, erit tempus descensus per BE, seu aseensus per EB, ut ipsa linea BE; cumque DB media sit In- ter EB, BF, sitqiie BE
tempus descensus per totam BE, erit BD tempus descensus per BF, et re- io liqiia DE tempus descensus per reliquam FÉ : verum idem est tempus per FÉ ex quiete in B, atque tempus aseensus per EF, dum in E f^^en^ velocitatis gradus per descensum BE, seu AE, acquisitus : ergo idem tempus DE e; ^Y ir? in quo mobile^ post casum ex A per AE, mo^«^ reflexo per EB^ pervenit ad signum F ; positum autem est, ED esse acquale ipsi AE : quod erat primo ostendendum. Et quia, ut tota EB ad totam BD, ita ablata DB ad ablatam BF, eri^ «tó tota EB ar^ fc^a?/^ BD, ita reliqua ED ac? DF : est autem EB maior BD : ergo et ED mawr DF, (3j5 EF i/?mor quam dupla DE, 56^ AE : quod erat ostendendum. Idem autem accidet si motus praece- denSy non in perpendicido, sed in plano inclinato, fiat ; eademque est de- 20 monstratio, dummodo planum reflexum sit minus acclive, nempe longius plano declivi.
Theorema XVI, Propositio XXV.
Si post casum per aliquod planum inclinatum sequatur motus per pla- num ìiorimntis, erit tempms casus per planum inclinatum ad tempus motus per quamlibet lineam ìiorizontis ut dupla longitudo plani in- clinati ad lineam acceptam ìiorkontis.
Sit linea horbontis CB, planum inclinatum AB, et post casum per AB sequatur motus per hori^ontem, in quo 30 jy ^ / sumatur quodlibet spatium BD : dico,
' tempus casus per AB ad tempus motus per BD esse ut dupla AB ad BD. Sumpta enim BC ipsius AB dupla, constat ex praedemonstratis, tempus casus per AB acquari tempori motus per BC : sed tempus motus per BC ad tempus motus per DB est ut linea CB
.-.™,^ [p. 247 ad lineam BD : ergo tempus motus per AB ad tempus per BD est ut du- pla AB ad BD : quod erat probandum.
Problema X, Propositio XXVI.
Baio perpendiculo inter lineas paraìlelas horizontales^ datoque spatio malori eodem perpendiculo^ sed minori quam duplum eiusdem, ex imo termino perpendicuU pìanum attollere inter easdem paraìlelas, super quo motu refleoco post descensum in perpendicido conficiat mobile spa- tium dato acquale, et in tempore acquali tempori dcscensus in per- pendiculo, 10 Inter paraìlelas horimntales AO, BC sit perpendiculum AB ; FÉ vero maior sit quam BA, minor vero quam dupla ciusdem : oportet, ex B pla-
+-H
num inter horizontalcs erigere, super quo molile, post casum ex A in B, motu reflcxo, in- tempore acquali tempori dcscensus per AB, conficiat ascen- dendo spatium acquale ipsi EF. Ponatur ED aequalis AB; erit reliqua DF minor, cum tota EF minor sit quam dupla ad AB : sit DI aequalis DF, et ut EI ad ID, ita fiat DF ad aliam FX, atque ex B reflectatur recta BO aequalis EX : dico, planum per BO esse illud, super quo post casum AB mohile in tempore acquali tempmi casus per AB pertransit ascendendo spa- tium acquale dato spatio EF. Ipsis ED, DF aequales ponantur BR, RS: 20 cum enim sit ut EI ad ID, ita DF ad FX, erit, componendo, ut ED ad DI, ita DX ad XF ; ìioc est, ut ED ad DF, ita DX ad XF, et EX
5. qiiam duplo eiusdem, s —
Delle lin. 10 e seg., fino alla lin. 7 della pag. 248, si ha una bozza autografa nel cod. A, a car. 170r., la quale comincia così: Sit data qì maior ba, minor vero quam dupla eiusdem ba; accipiatur ed aequalis ba, et reliquae df ponatur aequalis di, et ut ei ad id, ita fiat df ad aliam fx, atque ex h reflectatur planum bo, acquaie ex : dico, planum bo esse illud super quo post descensum ab mòbile in tempore acquali tempori dcscensus per ab pertransit ascendendo spatium equale [sic] dato ef. Cum enim ; dopo di che continua, conforme al testo della stampa (lin. 20), sit ut ei ad ecc., presentando le seguenti varianti :
lin. 21 e lin. 1 della pag. 248. et, permutando, ut ed ad dx, ita df ad fx, et, componendo. [p. 248 ad XD ; hoc esty ut BO ad OR, ita RO ad OS. Quod siponamus^ tempus per AB esse AB, erit tempus per OB ipsa OB, et RO tempus per OS, e?^ reliqua BR tempus per reliqumn SB, deseendendo ex it?. B : s^r? fei/i- j?e/5 descensus per SB e^ g^(^e^^e i^? es/5 aequaìe tempori ascensus ex B in S j)0Si5 descensmn AB : er^o BO ^s*^ planum ex B eleimtmn, super quo post descensum per AB conficitur tempore BR, sez/ BA, spatium BS, aequaìe spatio dato EF : g^fOf;? facere oportehat.
Theorema XVII, Propositio XXVII.
Si in planis inaequalihuSy quorum eadem sit eìevatio, deseendat mobile, spatium quod vìi ima parte ìongioris conficitur in tempore aequali ei io in quo conficitur totum pìanum hreviMS, est acquale spatio quod coni- ponitur ex ipso hreviori piano et ex ptarte ad quam idem hrevkis planum eam hahet rationem, quam hahet planum ìongius ad exces- sum quo ìongius hrevius superai,
A Sit pìanum AC ìongius, AB vero
hrevius, quorum eadem sit eJevatio AD, et ex ima parte AC stimaiur CE aequaìe ipsi AB, et quam rationem hahet totum CA ad AE, riempe ad excessum piani CA super AB, hanc 20 B haheat CE ad EF : dicOy spatium FC esse illud quod conficitur, post discessmn ex A, tempore acquali tempori descensus per AB. Gum cnim totum CA ad totum AE sit td ahìatum CE ad ahìatum EF, erit reìiqtmm EA ad reìiqtium AF id totum CA ad totum AE; sunt itaque tres CA, AE, AF continue prop)ortionaìes : cquod si ponatur, tempus per AB esse tit AB, erit tempus per AC td AC ; tempus vero per AF erit ut AE, et per reliquum FC erit td EC : est aidem EC ipsi AB acquale : ergo patet propositum.
ut ex ad xd, ita dx ad xf ; 7ioc est — 5. Tra ^r^o e « bo » leggesi, cancellato, « br, seu ba, est tempus, bs est sp — ». — 7. Dopo oportehat V autografo seguita : Si post casiim in perpen- dicnìo fiat reflexus moius in linea orizoniali
Delle lin. 9-28 si ha una bozza autografa nel cod. A, a car. 87r., in capo alla quale si legge, di mano di Galileo : Scritta. Essa presenta le seguenti varianti :
9. deseendat vióbile è stato sostituito a fiat motus, che Galileo aveva scritto e poi cancellò. — 10-11. conficitur tempore aequali tempori quo — 11. Tra hrevius ed est leggesi, cancellato, ad planum hrevius eandem. hahet rationem. — La parola spalio è scritta sopra plano, che non è cancellato. — 14. Tra longius e hrevius leggesi, cancellato, planum, — 22. con- ficitur ex discessìi ex — 27. reliquum £c tempus erit —
Alla lin. 28 la stampa originale legge ergo fit propositum, che abbiamo corretto, con- forme alla bozza autografa, in ergo patet proposìtum. [p. 249 Problema XI, Propositio XXVIII.
Tangat horizontalis linea AG circuliim, et a contactu sit diameter AB, et duae chordae utcunque AEB : determinanda sit ratio temporis casus per AB ad tempus descensus per ambas AEB. Extendatur BE usque ad tangentem in G, et angulus BAE bifariam j^ G
secetur^ ducta AF : dico^ tempus per AB ad tempus per AEB esse ut AE ad AEF. Cum enim angulus FAB aequalis sit angulo FAE, angulus vero EAG angulo ABF, erit totus
10 GAF duohus FAB, ABF aequalis ; quibus aequatur quoque angulus GFA; ergo linea GF ipsi GA est aeqìialis : et quia rectan- gulum BGE aequatur quadrato GA, erit quoque aequale quadrato GF, et tres li- B
neae BG, GF, GYi proportionales, Qmd siponatur^ AE esse tempus per AE, erit GÈ tempus per GÈ, e^ GF tempus per totam GB, 6^ EF temptts per EB, j^osi^ descensum ex G se?^ 6^ A per AE : tempus igitur per AE, 56^ ^er AB, ad tempus per AEB est ut AE aci AEF : quod erat deter- minandum,
20 Aliter brevius, Secetur GF aequalis GA ; constata GF esse medium proportionalem inter BG, GÈ. Beliqua ut supra.
Theorema XVIII, Propositio XXIX.
Dato quolihet spatio hori^ontali^ ex cuius termino erectum sit perpendi- culum, in quo sumatur pars aequalis dimidio spatii in horizmitali dato, mobile ex tali altitudine descendens et in horizontali conversimi con-
Nella stampa originale la Propositio XXVIII è intitolata, per errore, Theorema XVIII, e la Propositio XXIX è intitolata Problema XI.
Delle lin. 2-21 si ha una bozza autografa nel cod. A, a car. 84?'., in capo alla quale si legge, di mano di Galileo : Scritta. Essa presenta le seguenti varianti :
2. horizontalis ag circulum — 3. et 2 cordae — 18-19. quod erat determinandum manca nella bozza autografa. — 20-21. mediani inter —
Delle lin. 23 e seg., fino alla lin. 2 della pag. 250, si ha una bozza autografa nel cod. A, a car. l'Or., e delle lin. 3-31 della pag. 250 si ha un' altra bozza, pure autografa, nel me- desimo codice, a car. 78?*. .* in capo a quest' ultima si legge, di mano di Galileo : Scritta. Tali bozze presentano le seguenti varianti :
23. Dato in horizontali quolihet spatio, ex — 24-25. horizontali signati, mobile —
VITI. 32 [p. 250
quodcunqiie cdiud spatium perpendimli cum eodem spatio liorìzontali.
Sii plamim horkontaley in quo datum sii qtiodUhet s])atium BC, et ex
termimo B sit perj^ndiculmm, in quo BA sit dimidium ipsius BC : dico,
^ E tempm, quo mobile ex A demis-
O sum conficiet ambo spatia AB,
BC, esse temporum omnium bre-
vissimum, quibus idem spatium
BC cum parte perpendiculi,
sive maimi sive minofi parie io
B AB, conficeretm Sit sumpta
maior, ut in prima figura, vel
minoì tit in secunda, EB : ^ ^ ^
"C "D" ostendendum est, tempus quo
conficiuntur spatia EB, BC, longius esse tempore quo conficiuntur AB, BC. InteUigatur, tempus per AB esse ut AB ; erit quoque tempus motus in kori- mntali BC, cum BC dupla sit ad AB, et per ambo spatia ABC tempus erit dupla BA. SU BO media inter EB, BA; erit BO tempus casus per EB: sit praeterea Jiorij^ontale spatium BD duplum ipsius BE ; constai, tempus ipsius post casum EB esse idem BO. Fiat ut DB ad BC, seu ut EB ad BA, 20 ita OB ad BN, et cum motus in ìiorizontali sit aequabiUs, sitque OB tem- pus per BD post casum ex E : erit NB tempus per BC post casum ex eadem altitudine E. Ex quo constat, OB cum BN esse tempus per EBC ; cumque dupla BA sit tempus per ABC, ostendendum relinquitur, OB 01^7?^- BN maiora esse quam dupla BA. Cum autem OB mecfe'a s^Y inter EB, BA, ra^io EB ad BA r?«^^/c^ es^ rationis OB ar? BA ; c^ cum EB ac? BA s?*^ td OB at? BN, en^ quoque ratio OB ac? BN dupla rationis OB a^Z BA : ve- rum ipsa ratio OB ad BN componitur ex rationibus OB ac? BA e^ AB ad BN : er^o ratio AB a^ BN es^ eadem cum ratione OB ar? BA. Sunt igitur BO, BA, BN tres continue proportionales, et OB cum BN maiores so quam dupla BA : ^^ quo patet proposittim.
3. 5ii horizontale planum, in. Tra jpZanujn ed in leggesi, cancellato, « bd ». — 4. perpendicu- lum he in ^-dimidium bc — 11-14. Sit sumpta maior vel minor eb : ostendendum. Tra Sit e sumpta leggesi, cancellato, primum. — 17-18. tempus erit ut bc. Sit — 20-21. Fiat ut eh ad ba, ita — 23-24. cMW^we bc, nempe dupla ba, sii. Le parole nempe dupla ba sono aggiunte fra le righe. — 25. Dopo (fwpZa ba leggesi, cancellato : Cum autem db dupla sit be, ef cb dupla ba, ani wf. — 27. t*i ob a^^ bn, ratio autem he ad ba dupla sit rationis ob ad ba, mi — 30. igitur 4 eb, bo, ba, bn continue — 31. Le parole ex quo patet propositum mancano nella bozza autografa. — [p. 251
Theobema XIX, Peopositio XXX.
Si ex aliqiio puncto lineae hyrizontalis descendat perpendiculum^ ex alio vero puncto in eadem ìiorìzontali sumpto ducendum sitplanum usque ad perpendicìdum^ per qiiod molile tempore hrevissimo usqtie ad per- pendiculum descendat; tale planum erit illud qtiod de perpendiculo ahscindit partem aequalem distantiae ptmcti accepti in horimntali a termino perpendicuU, Sit perpendiculum BD, ex puncto B horimntalis lineae AC descendens,
in qua sit quodlibet punctmn C, et in perpendiculo ponatur distantia BE 10 aequalis distantiae BC, et ducatur CE :
dicOy planorum omnium ex puncto C
usque ad perpendiculum inclinatorum,
CE esse illud super quo tempore omnium
hrevissimo fit descensus usque ad per- pendiculum, Inclinentur enim, supra et
infra, plana CF, CG, et ducatur IK,
circulum semidiametro BC descriptum
tangens in C, quae erit perpendiculo
aequidistans ; et ipsi CF parallela sifEK^ 20 usque ad tangentem protracta, secans
circumferentiam circuii in L : constai,
tempus casus per L'È esse acquale tempori
casus per CE : sed tempus per KE est lon-
gius quam per LE : ergo tempus per KE
longius est qtiwm per CE. Sed tempus
per KE aequatur tempori per CF, cum
sint aequales et secundum eandem inclinationem ductae ; similiter, cum CG
et lE sint aequales et iuxta eandem inclinationem inclinatae, tempora la-
tionum per ipsas erunt aequalia : sed tempus per HE, breviorem ipsa lE, 30 est brevius tempore per lE : ergo tempus quoque per CE {quod aequatur
tempori per HE) brevius erit tempore per lE. Fatet ergo propositum.
Theorema XX, Propositio XXXI.
Si linea recta super liorizontalem fuerit utcunque inclinata, planum a dato puncto in hori^mtali mque ad inclinatam extensum, in quo de[p. 252 scensiis fit tenipore omnium hrevissimo^ est Uhid quod bifariam divicUt
angulum contentum a duabus perpendicularibus a dato pimcto eoctensis,
una ad ìiorìzontalem lineami altera ad incUnatam,
SU CD linea supra lìorizontalem AB utcunque inclinata, datoque in
horizontali quocunque pundo A, educantur ex eo AC perpendicularis ad x4B,
AE vero perpendicìilaris ad CD, et angtdum CAE bifariam dividat FA linea : dico^ planorum omnium ex quibtislibet punctis lineae CD ad punctum A inelinatorum^ extensum io 2)er FA esse in quo, tempore omnium brevissimo fiat descensus, Ducatur FG ipsi AE parallela ; erunt an- guli GFA, FAE coalterni aequa- les : est autem EAF ipsi FAG aequalis: ergo trianguli latera FG, GA aequalia erunt. Si itaque cen- tro G, intervallo GA, circulus de- scribatur, transibit per F, et ìiorizontalem et inclinatam tanget in punctis A, F ; est enim angulus GFC rectus, cum GF ipsi AE sit aequidistans : ex 20 qu^ constata lineas omnes usque ad inclinatam ex puncto A prodìictas extra circumferentiam extendi, et, quod consequens est, lationes per ipsas longiori tempore absolvi quam per FA. Qux)d erat demonstrandum.
LEMMA.
Si duo circuii se se intus contingant, quorum interiorem quaelibet linea recta contingat, exteriorem vero se- cet, tres lineae a contactu circulorum ad triapuncta rectae lineae tangen- tis, nempe ad contactum interioris so circuii et ad sectiones exterioris, prò- tractae, angulos in contactu circu- lorum aequales continebunt.
Tangant se intus in puncto A du/) cir- cuii, quorum centra, B minor is, C maioris;
24. Nel cod. A, a car. 33*., si trova, disegnata di mano di Galileo (come si arguisce dalla forma delle lettere), la figura relativa a questo Lemma. [p. 253
interiorem vero circulum contingat recta quaelihet linea FG in pundo H, ììiaiorem autem secet in punctis F, G ; et connectantur tres lineae AF, AH, AG : dicOy angulos ab illis contentos FAH, GAH esse aequales, Extendatur AH tisque ad circumferentiam in I, et ex centris producantur BH, CI, et per eadem centra ducta sit BC, quae extensa cadet in contactum A et in cir- cumferentias circulorum in et 'N : et quia anguli ICN, HBO aequales simty cum quilibet ipsorum duplus sit anguli lAN, erunt lineae BH, CI pa- rallelae. Gumque BH, ex centro ad contactum^ sit perpendicularis ad FG, erit quoque ad eandem perpendicularis CI, et arcus FI arcui IG aequaliSy 10 ety quod conseqmns est, angulus FAI angulo lAG. Quod erat ostendendum.
Theorema XXI, Propositio XXXII.
Si in Iwrizonte sumantur duo puncta, et ab altero ipsorum quaelibet linea versus alterum inclinetur, ex quo ad inclinatam recta linea dur catur, ex ea partem abscindens aequalem ei quae inter puncta Jiori- zontis intercipitur, casus per hanc ductam citius absolvetur quam per quascunque alias rectas ex eodem puncto ad eandem inclinatam prò- tractas. In aliis autem, quae B A
per angulos aequales hinc inde ab hac distiterint, casus fiunt 20 temporibus inter se aequalibus.
Sint in Jiorizonte duo puncta A,
B, et ex B inclinetur recta BC, in
qua ex termino B sumatur BD, ipsi
BA aequalis, et iungatur AD: dico,
casum per AD velocius fieri quam
per quamlibet ex A ad inclinatam BC
productam. Ex punctis enim A, D
Delle lin. 12 e seg., fino alla lin. 13 della pag. 254, si ha nel cod. A, a car. 168r., della mano giovanile di Galileo, una bozza autografa, della quale è una copia esatta, di mano del GuiDucci, a car. 33r. dello stesso codice. La bozza autografa presenta le seguenti varianti :
12-14. quaelihet linea inclinetur , ad quam ex altero ^puncto orizontis altera recta ducatur, ex ea secans partem aequalem. Tra inclinetur e ad si legge, cancellato : in qua sumatur a termino in orizonte pars aequalis ei quae inter puncta in orizonte signata intercipiturj et ad, — 14-15. ori- zontis— 16. ahsolvitur — 16. eandem lineam inclinatam — 18-19. aequales supra et infra ah. Tra infra ed ah si legge, cancellato, liane— -20. temporibus aequalibus — 21. in linea orizon- tali duo — 22. et a h inclinetur — 24. Dopo «iungatur ad» leggesi, cancellato, a qua per angulos aequales dirimanttir duae ag, ac. — 27. Dopo productam si legge, cancellato, et in- super tempora casuum per ag, ac esse aequalia. — pag. 254, lin. 3. intervallo autem ea — [p. 254 ad ipsas BA, BD per;pendiculares ducantwr AE, DE, se se m E secantes : et quia in triangulo aeqtdcruri ABD angttli BAD, BDA sunt aeq^mles, erunt reliqui ad rectos DAE, EDA aequales ; ergo, centro E, intervallo EA, de- scriptus circtdus per D quoque transiUt, et lineas BA, BD tanget in punctis A, D. Et cum A sit terminus perpendicuU AE, casus per AD citim absol- vetur quam per quamcunque aliam ex eodem termhio A usque ad lineam BC ultra circumferentiam circuii extensam: quod erat pmmo ostendendum.
Qmd si, extenso perpendicido AE, in eo smnatur quodms centrum F, et secundum intervallum FA circulus AGC descrihatur, tangenfem lineam in punctis G, C secans, iunctae AG, AC j:>er angulos aequales a media AD, io ex ante demonstratis, dirimentur; et per ipsas, ìationes temporibus aequaJihus ahsoìventur, cimi ex puncto sublimi A ad circumferentiam circìdi AGC ter- minentur.
Problema XII, Propositio XXXIII .
Dato perpendiculo et plano ad ipsum inclinato, quorum eadem sit alti-
tudo idemque terminus suUimis, punctum in perpendiculo supra ter-
minum communem' reperire, ex quo si demittatur ìnobile, qiwd postea
convertatur per planum inclinatum, ipsum planum conficiat tempore
eodem, qtw ipsum perpendiculum ex quiete conficeret.
Sint perpendiculum et planum inclinatum, quorum eadem sit alti- 20
tudo, AB, AC : oportet, in perpendiculo BA, producto ex parte A, punctum
reperire, ex quo descendens mobile conficiat spatium AC eodem tempore,
quo conficit datum perpendiculum AB ex quiete in A. Ponatur DCE ad
angulos rectos ad AC, et secetur CD aequalis AB, et iungatur AD: erit
angulus ADC maior angulo CAD (est enim CA maior quam AB, seu CD).
Fiat angulus DAE aequalis angulo ADE, et ad ipsam AE perpendicularis
6. quamcumque — 7-8. primo demonstrandum. Quod si in perpendiculo ae sumatur infra e quodcumqiie centrum — 9-10. describatiir, lineam bc m punctis. Tra descrihatur e lineam si legge, cancellato, iunctis. — 10-13. aeqiiales, ex antedemonstratis, a media ad dirimentur; et patet, per ipsas eodem tempore fieri motum, cum ex apice perpendicuU ad circumferentiam agc sint ductae. —
Alla lin. 12 la stampa origioale legge, per errore, circuii AGO.
Delle lin. 15 e seg., fino alla lin. 21 della pag. 255, si ha nel cod. A, a car. 161t, una bozza autografa, la quale presenta le seguenti varianti :
18-19. ipsum planum inclinaium confkiat eodem tempore^ quo — 20. perpendiculus — 21-22. ex a in h, punetum invenire, ex quo demissum mobile — 23. confìeit perpendiculum — 23-24. ad rectos angulos ad — 24-26. iungatur ad, quae maior erit ipsa de, et angulus ade [p. 255
sit EF, plano inclinato et utrinqm exknso occurrens in F, et utraque AI, AG
ponatur ipsi CF mquulis, et per G ducatnr GH, horizonti aequidistans :
Mm, H esse punctum quod
quaeritiir.
Intelligatiir enim, tem"
pus casus per perpendi-
culum AB esse AB; erit
tempus per AC ex quiete
in A ipsamet AC : cum- 10 que in triangulo rectangido
AEF ah angulo recto E
perpendicularis ad basini
AF sit acta EC, erit AE
media inter FA, AC, et CE
media inter AC, CF, Jioc
est inter CA, AI : et cum
ipsius AC tempus ex A sit AC, enY AE tempus totius AF, 6^ EC tempus
ipsius AI. Q^(m ^ero in triangulo aequicruri AED /a^^^5 AE est acquale
lateri ED, erit ED tempus per AF : e^ es^ EC tempus per AI : 6r^o CD, 20 hoc est AB, en^ tempus per IF e;r gme^^ m A: quod idem est ac si dicamus^
AB esse tempus per AC ex G, sm ex H : gwii eraif faciendtim.
Problema XIII, Propositio XXXIV.
Dato plano inclinato et perpendiculOy quorum idem sit sublimis terminus, punctum suMimius in perpendiculo extenso reperire, ex quo mobile de- cidens, et per planum inclinatum conversum, utrumque conficiat tempore eodem ac solum planum inclinatum ex quiete in eius superiori termino.
Sint planum inclinatum et perpendiculum AB, AC, quorum idem sit ter- minus A : opmiet, in perpendiculo ad partes A extenso punctum sublime repe-
maior angulo cad. Fiat — 1. inclinato et extenso — 2-3>. per g orizonti aequidistans gh : dico — 8-10. ex a ipsa ac : èumque — 21. quod erat determinandum.
Delle lin. 23 e seg., fino alla lin. 33 della pag. 257, si ha, nel cod. A, a car. 93*., una bozza autografa, la quale porta, sempre della mano di Galileo, l' indicazione « Scritta » ; e delle lin. 23-26 di questa pag. 255 si ha una bozza, pure autografa, nel medesimo cod. A, a car. 74*., con premessavi l'intitolazione <^ Propositio » . Le due bozze sono, nella parte comune^ interamente conformi, e presentano le seguenti varianti a confronto della stampa:
23-24. quorum eadem sit elevatio, punctum sublime in perpendiculo reperire — 27-28. quo- rmn eadem sit elevatio, newpe ac : oportet — pag. 256, lin. 2-3. ac si ex quiete in a per [p. 256
rire^ ex quo mobile decidens et per planum AB conversum^ partem assumptmn perpendiculi et planum AB confidai tempore eodem ac solum planum AB ex quiete in A. Sit horizontalis linea BC, et secetur AN aequalis AC; et ut AB ad BN, ita fiat AL ad LG ; et 4psi AL ponatur aequalis AI, et ipsarum AC, BI tertia proportionalis sit CE, i^ perpendiculo AC producto signata: dicOy CE ^556 spatium quaesikmi, adeo uty extenso perpendiculo supra A ei5 assumpta parte AX ipsi CE acquali^ mobile ex X conficiet ìdrumque spatium XAB acquali tempore ac solum AB e^ A.
Ponatur ìwrizontaUs XR aequidistans BC, cm occurrat BA extensa in R ; deinde, producta AB m D, ducatur ED aequidistans CB, eif s«{pra AD sew^i- io circulus describatur, et ex B ip^i DA perpendicularis erigatur BF ^^g'^/^ a^^? circumferentiam : patet, FB esse mediam inter AB, BD, e^ ductam FA mediam inter DA, AB. Ponatur BS aequalis BI; ei5 FH aequalis FB: e^ g^m ^^ AB
soZwwi 'planum ab dcscenderet Sit — i^lira et ed ipsarum si legge, cancellato, ^f(3r AC, CE, erit tempus per CE, seu per XA e;r quiete in X : cumque inter DA, AB, S6^^ RB, BA, media sit A¥, inter vero AB, BD, id est RA, AB, media sit BF, m aequatur FH, enY^ 6^ praedemonstratisj excessus AH tempus per AB e^ gamete m R, sm ^osif
30 casum ex X, ^^m tempus eiusdem AB e;r gamete in A fuerit AB.. Tempus igitur per XA es^ IB ; per AB '2;6ro i?05i RA, seu post XA, esi AI ; ergo tempus per XAB erit ut AB, i^Z^m nempe cum tempore per solam AB ex quiete in A. Quod erat propositum.
« cg et ad». — 2. sew an, ita — 8. Tra « ita fb ad» e « bi » leggesì, cancellato, « cg, idest ad ». — 11. nempe duobus aib cum — Comune — 14. Comuniter — 22. comune — aequalis ipsi ai: si — 26, per ac erit ac, ef — 31. seu xa, est — 31-33. ergo patet propositum —
vili. [p. 258 DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE
Problema XIV, Propositio XXXV.
Bota inflexa ad datum perpendicìdum, partem in inflexa acdpere, in
qua sola, ex quiete, fiat motus eodem tempore atque in eadem cmn
perpendiculo.
Sii perpendicuium AB, et ad ipsum inflexa BC : oportet, in BC partem
accipere, in qua sola, ex quiete, fiat motus eodem tempore ae in eadem eum
perpendiculo AB. Du- catur Jiorizon AD, cui inclinata CB extensa occurrat in E, pona- io turqueBF aequalisBA, et, centro E, intervallo EF, circulus descriha- tur FIG, et FÉ ad
circumferentiam usque protrahatur in G, et ut GB ad BF, ita fiat BH ad HF, et HI circulum tangat in I ; deinde ex B perpendicularis ad 20 FC erigatur BK, cui occwrrai in L linea EIL ; tandem ipsi EL perpendicularis ducatm LM, occurrens BC in M.: dico, in linea BM ex quiete in B fieri motum eodem tempore ac ex quiete in A per ambas AB, BM. Ponatur EN aequalis EL ; cumque ut GB ad BF, ita sit BH ad HF, erit, permutando, ut GB ad BH, ita BF a6? FH, et, dividendo, GH ac? HB, utBEadBF; quare rectangulum GHF ge^a- drato HB enif acquale : sed idem rectangulum aequatur quoque quadrato HI : ergo BH ipsi HI es^ aequalis, Cumque in quadrilatero ILBH Zafera HB, HI sint aequalia, et anguli B, I recti, erit latus quoque BL ipsi LI acquale :
Belle lin. 2 e seg., fino alla lin. 12 della pag. 259, si ha nel cod. A, a car. 142r., una bozza autografa, della quale è, di mano del Guiduoci, una copia, diversa soltanto in due luoghi, nello stesso cod. A, a car. 5 Ir. Questi manoscritti presentano le seguenti varianti a con- fronto della stampa:
3. sola fiat — 5. perpendiculus ■— 6. sola fiat — 8. orizon — 9-10. cb occurrat. Nella copia del Guiduoci tra « cb s> e occurrat è aggiunto fra le linee, della sua stessa mano, extensa. — 11-12. Tra « ba » ed et si legge, cancellato, et extensa fc, fiat eg aequalis ef. Et ut gb ad bf, ita fiat bc ad hf -— 22. in 1 eil ; tandem — 23. ex b ^n — 24. eoj a jper amòas abm. Ponatur — [p. 259 est autem EI aequalis EF : ergo tota LE, seu NE, duabus LB, EF est aequalis, Auferatur communis EF ; erit reliqua FN ipsi LB aequalis : at posita est FB aequalis ipsi BA : ergo LB duabus AB, BN aequatw, Bursus, si intdligatur, tempm per AB esse ipsam AB, m^ tempus per EB ij?5i EB aequale ; tempus autem per totam EM erit EN, mec?m scilicet inter ME, EB ; quare reliquae BM tempus casus post EB, 5e«^ j905^ AB, erit ipsa BN : j?o- situm autem est, tempus per AB esse AB : er^o tempus casus per amhas ABM est ABN. Cwm aetóem tempus per EB ^ìzj g^ie^e m E sit EB, tempus per BM e^ g^^^ieie m B erit media proportionalis inter BE, BM ; haec autem est BL ;
10 tempus igitur per amhas ABM ex quiete in A est ABST : tempus vero per BM so?aw ex quiete in B 65^ BL ; ostensum autem est, BL es^e aequalem dua- hus AB, BN ; ergo patet propositum. Aliter, magis expedite,
Sit BC planum inclinatum, BA perpendiculum. Buda perpendiculari per B ad EC, 6i utrinque extensa, ponatur BH aequalis excessui BE 5^(- jp^r BA, 6i angulo BHE jpo- A
^aifM" aequalis angulus BJ^h; ipsa vero EL extensa occur- rat BK m L, et ex L em-
20 tetur perpendicularis ad EL, LM, occurrens BC m M : dicOj BM esse spatium in plano BC quaesitum. Quia enim angulus MLE rectus est, erit BL me^m inter MB, -^C BE, e^ LE media inter ME, EB, cui EL secetur aequalis EN ; e^ erw^^ fres /meae NE, EL, LH aequales, et HB erit excessus NE swj^er BL : verum eadem HB est etiam excessus NE 5^(per NB, BA : ergo duae NB, BA aequales sunt BL. Quod si ponatur, EB esse tempus per EB, eri^ BL
30 tempus per BM e;r quiete in B, ef BN erit tempus eiusdem post EB, seu post AB, eif AB erit tempus per AB : ergo tempora per ABM, ^empe ABN, aequalia sunt tempori per solam BM ex quiete in B : quod est intentum.
2. Auferat [sic] communis ef; er^o reliqua fn ips» Ib ami [sic] aequalis — 3, est fb ij?si ba aequalis : ergo — 6. Tra tempus e casus leggesi, cancellato, erit bn. — Tra « eb » e seu si legge, cancellato, erit ipsa bn, seu, — 6-7. positum est autem, tempus. La copia del Gtjiducoi è conforme alla stampa. — 11-12. aequalem élmbus — [p. 260
LEMMA.
SU DC ad dianietrum BA perpendicularis^ et a termino B educatur BED utcunque^ et connectatur FB : dico^ FB inter DB, BE esse mediani, Connectatur EF, et per B ducatur tangens BG, quae erit ipsi CD parallela; quare angulus DBG angulo FDB m^ aequa- lis : at eidem GBD aequatur quoque angulus EFB m portione alterna : ergo similia sunt triangula FBD, FEB, et ut BD ad BF, ita FB io ad BE.
LEMMA,
6?i linea AC maio/ ^psa DF, et haheat AB ad! BC maiorem rationem quam DE ac? EF : dico^ AB i^^sa DE esse maiorem. Quia enim AB ad BC A B C maiorem rationem habet quam DE a(l EF; quam
rationem hahet AB ad BC, J^a^c habebit DE a^i minor em quam EF. Haheat ad EG: e^ gma AB a<^ BC es^ ^(i DE ad EG, eriif^ componendo et per converswnem ratmnis, ut CA ad AB, ^te GD ac? DE: est autem CA maio^^ GD : ergo BA i^sa DE maix)r erit.
-H ♦-
B
■H—
F
LEMMA.
20
Sit circuii quadrans ACIB ; et ex B, i^5i AC parallela, BE ; e^ e;:i^ quovis centro in ea sumpto circulus BOES descriptus, tangens AB in B, e^ secat^s
Delle lin. 2-11 si ha una bozza autografa, interamente conforme alla stampa, nel cod. A, a car. 172*.
Delle lin. 13-19 si ha una bozza nel cod. A, a car. 185f., ed un'altra nello stesso codice, a car. 172*. Tutt' e due sono della mano giovanile di Galileo ; ma per la forma del ca- rattere, e soprattutto per il fatto che a car. 185r. si legge soltanto tale Lemma, mentre a car. 172*. esso è scritto di séguito all' altro Lemma che anche nella stampa gli precede, si può tenere questa bozza come posteriore a quella. Esse sono tra di loro conformi (fuorché la bozza a car. 185r. presenta, come noteremo, due cancellature, che non sono nel!' altra), ed offrono le seguenti varianti a confronto della stampa:
14. ipsa de maiorem esse. Quia — 15-16. Kella prima bozza, dopo « ad ef » si legge, can- cellato, quam rationem JiaheUt^ e dopo rationem (lin. 16) è ripetuto (e pur cancellato) Ttafee^^'^ — 17. quam ef. Sit eg: et — 18. erit ut ca — 19. ergo et ba ipsa —
Delle lin. 21-22 della presente pagina e 1-28 della pag. 261 si ha una bozza autografa nel cod. A, a car. 163r., la quale presenta le seguenti varianti :
lin. 21-22 e lin. 1-3 della pag. 261. parallela, ducatur be; et in ea assumpto centro, circulus boes descrihat [sic], ita ut secet circumferentiam quadrantis, quod sit in ì ; et connectatur cb et ci, quae usque ad s extendatur : dico, lineam ci ipsa co semper esse minorem. lungatur — [p. 261
circumferentiam quadrantis in 1; et iuncta sit CB, et CI usque ad S
extensa : dicOy lineam CI minorem semper jfiL B
esse ipsa CO. lungatur AI, quae circth
lum BOE tanget. Si enim ducatur DI,
erit aequalis ipsi DB ; cum vero DB qua-
drantem tangat, tanget etiam eumdem DI
et ad diametrum AI erit perpendicularis ;
quare et ipsa AI circulum BOE tanget
in I. Et quia angulus AIC maior est an- 10 gulo ABC, c^^m maiori insistat peripheriae^
ergo angulus quoque SIN ipso ABC maior
erit : quare portio lES maior est portione BO,
ei /mea CS, centro vicinior^ maior ipsa CB :
quare et CO maior CI, c^*m SC ac? CB sit
ut OC a^? CI.
Idem autem magis aceidet, si {ut in
altera figura) BIC quadrante fuerit mi- nor. Nam perpendicularis DB circulum
secdbit CIB ; quare DI quoque, cum ipsi 20 DB sit aequalis; et angulus DIA eritK
obtusus, et ideo AIN circulum qmque
BIE secdbit. Cumque angulus ABC mi- nor sit angulo AIC, qui aequatur ipsi
SIN ; iste autem est adhuc minor eo
qui ad contactum in 1 fieret per lineam q
SI ; ergo portio SEI est longe maior por- tione BO : unde etc. Qux)d erat demon-
strandum.
Theorema XXII, Propositio XXXVL
30 Si in circulo ad horizontem erecto ab imjo puncto elevetur planum non maiorem subtendens circumferentiam quadrante, a terminis cuius duo
4-5. enimiungatur di, erit — 5-7. vero db tangat quadrantemy tanget etiam di; ergo ad — 8-9. tanget. Et — 10. periferiae — 14-16. maior ci, cum □ beo sit aequale □ sci. Idem. Si noti che le parole da cum a « sci » sono cancellate, e che dopo « maior ci » è richiamata un'aggiunta marginale, la quale forse conteneva il testo della stampa, ma è così cancellata da non potersi leggere. — Alla lin. 22 abbiamo corretto BIE in luogo di BIN, che si legge nella stampa. Anche la bozza autografa ha « bin », ma nella figura della bozza la lettera « n » designa P in- tersezione del prolungamento di « ai » col cerchio. [p. 262
alia plana ad qmdlìhet circunferentiae punctum inflectantur, desceu- sus in planis ambohus inflexis breviari tempore ahsolvetur^ quam in solo priori plano elevato^ vd quam in altero tantum ex Ulis duSus^ nempe in inferiori. Sii circuii ad ìiorizontem eredi db imo puncto C circunferentia CBD, non maior quadrante, in qua sit planum elevatum CD, et duo plana a ter- jy ^ minis D, C inflexa ad quodlibet
punctum B, in circunferentia sumptum : dico, tempus descen- sus per ambo plana DBC bre- io vius esse tempore descensusper solum DC, vel per unicum BC ex quiete in B. Buda sit per D ìiorizontalis MDA, cui CB ex- tensa occurrat in A ; sintque DN, MC ad MD, d BN ad BD
I , , perpendiculares, et circa trian-
T G S ^ P (5r^?^eM redangulum DBN se-
micirculus describatur DFBN, secans DC m F ; et ipsarum CD, DF media sit proportionalis DO, ipsarum autem CA, AB media sit AV. Sit autem PS 20 tempus qu^o peragitur tota DC, vel BC {constai enim, tempore eodem peragi utramque), et quam rationem habet CD ad DO, hanc habeat tempus SP ad tempus PR : erit tempus PR id, in qux) mobile ex D peragit DF ; RS vero id, in quo reliquum FC. Cum vero PS sit quoqus tempus quo mobile ex B peragit BC, si fiat ut BC ad CD, ita SP ad PT, erit PT tempus casus ex A in C, cum DC media sit inter AC, CB, ex ante demonstratis. Fiat tandem ut CA ad AV, ita TP ^6? PG : erit PG tempus quo mobile ex A
2;e^ii in B, GT ^ero tempus residuum motus BC consequentis post mxÉum
ex A in B, Cum vero DN, circuii DFN diameter, ad horizontem sit creda, temporibus aequalibus peragentur DF et DB /i^^eae ; quare si demonstratum so
Delle lin. 5 e seg., fino alla lin. 19 della pag. 263, si ha nel cod. A, a car. 163r., una bozza autografa, della quale è una copia esatta, di mano del Guinucci, a car. 59? e t, dello stesso codice. La bozza autografa presenta le seguenti varianti:
5-14. Sit circuii circumferentia cbd, et diameter me ad orizontem erecta, et dìicaiur de, non maior subtendente quadrantem, et a terminis d, e aìiae duae ad quodcumque punctum b : dico, molile ex termino d ferri [tra « d » e ferri leggesi, cancellato, vélodus] per duas db, bc lineas tempore breviori quam per de ex eodem termino d, vel per solam bc ex termino b. JDucta sit per d, ipsi cm perpendicularis, mda, cui — 15-17. in a ; sitque dn ipsi me parallela, et bn ad hd per- pendicularis, et — 20, autem ca, ab, av. Sit — 21, enim, eodem tempore peragi — 30. df, db — [p. 263
fuerìtj mobile citius permeare BC post casum DB, quam FC post pera- ctam DF, Jiabebimm intentum. At eadem temparis celeritate conficit mobile veniens ex D per DB ipsam BC, ae si venerit ex A per AB, cum ex tetro- que casu DB, AB aeqmlia accipiat velocitatis momenta ; ergo demonstran- dum erity breviari tempore peragi BC post AB, quam FC post DF. Expli- catum est autem, tempus quo peragitur BC post AB, esse GT ; tempus vero ipsius FC post DF esse KS : ostendendum itaque est, RS maius esse quam GT. Qw)d sic ostenditur : quia ut SP ad PR, ita CD ad DO, j^^r conversionem rationis et convertendo, ut RS a^ SP, ita OC ac? CD, ut autem SP a^^ PT, 10 ita DC a(^ CA ; et quia est ut TP ad PG, ^'te CA ad AV, _per conver- sionem rationis erit qmque ut PT ad TG, ito AC at? CV ; ergo, ex acquali, ut RS ad GT, ite OC ad CV : esif autem OC maior g^^am CV, ut mox demon- strabitur : ergo tempus RS maius est tempore GT : qu^d demonstrare oportebat. Cum vero CF maior sit CB, FD vero minor BA, habebit CD a6? DF maiorem rationem quam CA a6? AB ; ut autem CD ad DF, ite quadratum CO at? quadratum OF, c^^m 5i^^ CD, DO, DF proportionales ; ut vero CA at? AB, ite quadratum CV at? quadratum VB ; er^o CO at? OF maiorem rationem habet quam CV at? VB : i^i^^^r^ 6^ lemmate praedicto, CO maior es^ g'^^am CV. Constai insuper, tempus per DC ad tempus per DBC es^e ut DOC at? DO c«^m CV.
20
SCHOLIUM.
Ex Jiis quae demonstrata sunt, colligi posse videtur, lationem omnium vélocissimam ex termino ad terminum non per brevis- simam lineam, nempe per rectam, sed per circuii portionem, fieri. In quadrante enim BAEC, cuius latus BC sit ad hori^ontem erectum, divisus sit arcus AC in quotcun- quepartes aequales, AD, DE, EF, FG, GC, et ductae sint rectae ex C ad puncta A, D, 30 E, F, G, et iunctae sint rectae quoque AD, DE, EF, FG, GC : manifestum est, lationem
1. citius conficere bc — 2-3. celeritate conflciet mobile bc veniens ex db, ac si veniret ex ab, cum — 8. sic demonstratur : quia enim ut — 10. ita ed ad ca ; et — 12. Tra « cv » ed est si legge, cancellato : oste . . . cum vero cf sit maior cb — 14. sit quam cb — 18. lemmate praedemonstrato, co — 18-19. Constai igitur, tempus — [p. 264
per duas ADC citius absolvi qumn per unam AC^ vel DC ex quiete in D. Sed ex quiete in A citius ahsolvitur DC quam duae ADC : sed per duas DEC ex quiete in A verisimile est, citius absolvi descensum quam per solam CD : ergo descensus per tres ADEC ahsolvitur citius quam per duas ADC. Verum similiter, pr accedente descensu per ADE, citius fit latio per duas EFC quam per solam EC ; ergo per quatuor ADEFC citius fit motus quam per tres ADEC. Ac tandem per duas FGC, post praece- dentem descensum per ADEF, citius absolvitur latio quam per solam FC ; ergo per quinque ADEF6C breviari adhuc tempore fit descensus quam per quatuor ADEFC. Quo igitur per inscriptos polygonos magis ad cir- io cumferentiam accedimus, co citius absolvitur motus inter duos terminos si- gnatos A, C.
Quod autem in quadrante explicatum est, cmìtingit etiam in circumfe- rentia quadrante minori; et idem est ratiocinium.
Problema XV, Propositio XXXVII.
Dato perpendiculo et plano inclinato, quorum eadem sit elevatio, partem in inclinato reperire, quae sit aequalis perpendiculo et conficiatur eodem tempore ac ipsum perpendiculum, Sint AB perpendiculum et AC planum inclinatum : oportet, in inclinato partem reperire aequalem perpendiculo AB, quae post quietem in A con- 20
. ficiatur tempore acquali tempmi quo ^ conficitur perpendiculum. Ponatur AD aequalis AB, et reliqua DC bifariam secetur in 1; et ut AC ad CI, ita fiat CI ad aliam AE, cui ponatur aequalis DG : patet, EG aequalem esse AD et AB. Dico insuper, hanc EG Cam esse, quae conficitur a mobili, ve- niente ex quiete in A, tempore acquali tempori quo mobile cadit per AB. Quia, enim, ut AC ad CI, ita CI ad AE, seu ID ad DG, erit, per con- 30
6. solam FC ; ergo, s —
Delle lin. 16 e seg., fino alla lin. 12 della pag. 265, si ha una bozza autografa nel cod. A, a car. 79r., la quale porta superiormente, sempre della mano di Galileo, la indi- cazione : « Scritta », e presenta le seguenti varianti :
18-22. eodem tempore. Sint ac, ab, et ponatur — 24-30. ita sit ci ad ae, cui ponatur aequalis dg: erit eg aequalis ad et ab. Dico, hanc confici tempore aequàli tempori ab. Quia — [p. 265 versiommratimky «^ CA ad Kl^ita DI MIGr: éum:'UaqUe sii ut totum CA ad totum AI, ita aUaùum CI ad aUatum IG, erU reUquum lA ad reli-^ quum AG ut totum CA ad totum AL Est itaque Al msdia inter CA^ AG, et CI meclia m^er CA, AE. Si itaque ponatur, tempus per AB esse ut AB^ erìt AC tempus per AC, eif CI, 5e«^ ID, tempus per AE ; cumque AI m6- c?ia si^ mfer CA, AG, sitque CA tempus per totam AC ; mi AI tempus per AG, 6i reliquum IC jper reliquum GC : /^(^i a^efem DI tempus per AE : s«^^i ite2^^(^ DI, IC tem^pora per utrasque AE, CG : ergo reliquum DA erit tempus per EG, aequale nempe. tempori per A^. Quod faciendum -fuit.
10 COROLLAEIUM.
Ex Ms constata spatium quaesitum esse intermedium inter partes su- per am et inferam, quae temporibus aequalihus conficiuntur.
Problema XVI, Propositio XXXVIII. . ^ .
Datis duohus pUnis liorizontalibus a perpendiculo sectis, in perpen-
dieulo puncftmb sMims reperire^ ex qm cadentia mcMia, et In pìanh^
h^izmitaWbìfs refiexa^ confidante in tempor^us uéqìmlìòuis teiàjùoriìms
casuum^ in iisdem horizontalihuB, m' mipmiore nempe atquè i/d iìife-
rimre, spatia quae inier se haheant qtmmmnqm datam rationem minori$
ad maiorem,
20 Secta sint plana horizontalia CD) BE a perpendiculo A(JB, sitque data
ratio minoris ad maiorem^ N ad FG : opartet, iwperpendiculo AB pmietum
sublime r eperir e^ ex qm mobile eadms^ et in plano CD reftexuMy tempore
aeqadi tempori $m casus spatimn confidata quod ad ^timm confeetuìk
ab altero mobili^ ex eodem puncto sublimi veniente, tempore acquali Umpori
sm casus, motu feflexo per BE planum, habeat rat^em eoMdém ctm
1. ig, seu ci ad. ìg : cum — 6. sii eag, sitque — 9. tempus eg ^ Le paròle Qu&d fàcierv^'m fuit mancano nella hozz^, — Vi. qucbesitum mediare inter —
Delle lin» 14 e seg., fino alla lin. 9 della pag. 266, si ha nna bozza autografa nel cod. A, a car. M2r., la quale presentai le seguenti vaiolanti :
14. ofimnialibus — se€tv»f èetìs&qtie ^aUhet p¥Oportii)né minons ai fìiàioi^eni, oporiéi irt — 15-20. quo mobilia eadenUa, et in honzontaMMs réfleM, teinporihus' easuum sùofum spatia m horizontalihus eonficiant datam inter se hàbentia rationem. Siscènhtr piana ^ 20-^21 .éàMprdpóritò n minoris ad maiorem fg. Tra- i»a*or^w ed « f g » si legge^ cancellato, « n ad ». — 2.perpen- dienlo punctum — 22. cadens, in — 24. ptmcto suhblimi vèìiienti — 25. Tra, plannm ed habeat si legge, sottolineato, conficeret. — pag. 266, lin. 2. punctum quaesitum — 2-3. dupla ci, ditcatur —
VITI. 31 [p. 266
data N ad FG. Fonatm GH aequalis ipsi ^ ; et td FìL ad HG, ita fiat BC ad CL : dico^ L esse punctum sublime quaesittim. Accepta enim CM dupla ad CL, ducatur LM, plano BE occurrens in ; mi BO c?^i??a BL : et quia ut FH ad HG, ito BC ad CL, mi; componendo et convertendo^ ut HG,
/wc e^i N, a^ GF, ita CL tó LB, hoc est CM ad! BO. Cum autem CM (^t(pto sii ad LC, ^ai6i; spatium CM esse ^7i^^cj! gw(? a mo&i/i veniente ex L ^si casum LC conficitur in plano CD, ei eadem ratione BO esse iZZ^^ gwc? conficitur post casum LB m tempore acquali tempori casus per LB, c^^m BO sit dupla ad BL. J5r^o patet propositum.
SAGR. Parmi veramente che conceder si possa al nostro Accademico, che egli senza iattanza abbia nel principio di questo suo trattato potuto attribuirsi di arrecarci una nuova scienza intorno a un suggetto antichissimo. Ed il vedere con quanta facilità e chiarezza da un solo semplicissimo principio ei deduca le dimostrazioni di tante proposizioni, mi fa non poco maravigliare come tal materia sia passata intatta da Archimede, Apollonio, Euclide e tanti altri matema-
4-5. componendo, ut fg ad gh, idest ad n, itahì ad le, et bo ad cm. Cum — 6. venienti — 7. ca^um lo [sic] conficitur — 9. Nella bozza autografa, dopo Ergo patet propositum con- tinua: QuodsiintelligamuSyCm et bo esse circulorum circumferentias circa centrum quo grave tendit descriptorum, habébimus distantiam 1, unde deducitur ratio velocitatum in illis circulis la- forum : ex qua et ex ratione conversionum distantia centri elici ... E così in tronco finisce. — Alla lin. 6 la stampa originale legge LG, fit, spatium^ che abbiamo corretto, conforme alla bozza autografa, in L(7, patet, spatium. [p. 267 tici e filosofi illustri, e massime che del moto si trovano scritti volumi grandi e molti.
SALV. Si vede un poco di fragmento d'Euclide intorno al moto, ma non vi si scorge vestigio che egli s'incaminasse all'investigazione della proporzione dell'accelerazione e delle sue diversità sopra le diverse inclinazioni. Tal che veramente si può dire, essersi non prima che ora aperta la porta ad una nuova contemplazione, piena di conclusioni infinite ed ammirande, le quali ne i tempi avenire potranno esercitare altri ingegni.
SAGR. Io veramente credo, che sì come quelle poche passioni (dirò per esempio) del cerchio, dimostrate nel terzo de' suoi Elementi da Euclide, sono l'ingresso ad innumerabili altre più recondite, così le prodotte e dimostrate in questo breve trattato, quando passasse nelle mani di altri ingegni specolativi, sarebbe strada ad altre ed altre più maravigliose; ed è credibile che così seguirebbe, mediante la nobiltà del soggetto sopra tutti gli altri naturali.
Lunga ed assai laboriosa giornata è stata questa d'oggi, nella quale ho gustato più delle semplici proposizioni che delle loro dimostrazioni, molte delle quali credo che, per ben capirle, mi porteranno via più d'un'ora per ciascheduna: studio che mi riserbo a farlo con quiete, lasciandomi V. S. il libro nelle mani, dopo che avremo veduto questa parte che resta intorno al moto de i proietti; che sarà, se così gli piace, nel seguente giorno.
SALV. Non mancherò d'esser con lei.
Finisce la terza Giornata
* ↑ Delle lin. 5 e seg., fino alla lin. 9 della pag. 193, si ha una bozza della mano giovanile di Galileo nel cod. A, a car. 138r., la quale presenta le seguenti varianti : 5-6. latum duo pertranseat spada, erunt tempora lationum inter — 6. tit spada: e così le bozze autografe hanno, di regola, spadum, spada, ecc., in luogo di spatium, spatia, ecc., della stampa.— 7-8. latum duo spada — 8-9. et sii tempus motus ex A in B, DE ; tempus vero lationis BG esto — 10-11. ad tempus EF. Protractis enim utrinque spaciis et temporibus, sumantur quotcunque spada in AG ipsi— 13. Dopo multitudinem segue, cancellato dalla mano di Galileo, tempora ip...— 14. erunt itaque spacium — 16. similiter HB spacium et KE temp>us spacii — - 20. similiter estende- tur, KE — 21-22. ipsi BH, et tempus lE tempori EK esset aequaìe — 22 e lin. 1 , pag. 193. quam BH, et lE quam EK. — In luogo del tratto da Sunt a tempus (lin. 1-5) si legge: Tempus igitur lE et spacium GB aequae [sic] miilliplicia sunt, iuxta qiiamcumque miilliplicationem accepta, temporis DE et spacii AB, et vel una aeqiiantur vel una deficiunt vel una excedunt tempus. Le parole iuxta quameumque mulliplicationem, accepta sono aggiunte in margine. ~ In luogo del tratto ài. scilicet il tempus (lin. 6-8) si legge: temporis EF et spacii BC in qualihet multiplicatione: ergo ut spacium AB ad spacium BC, ita tempus —
* ↑ Delle lin. 2-21 si ha una bozza autografa e, a quanto pare, della mano giovanile di Galileo, nel cod. A, a car. 139r., in capo alla quale si legge, pur di mano di Galileo: Scritte. Essa presenta le seguenti varianti: 3. inaequalia quoque spada — Tra ex e ratione si legge, cancellato, velocitatibus et spaciis — 4. velocitatum ò sostituito a temporum, che era stato scritto prima, e poi fu cancellato. — 10-11. ad velocitatem v (sic enim contrarie smnitur) et — 12. Sit tempus motus A cd et — 16. Fra ut e spacium leggesi, cancellato, tempus. — Alle lin. 8-9 la stampa legge compositum, e alla lin. 16 Fiat tertio, ut, che abbiamo corretto, conforme alla bozza autografa, in compositam e Fiat modo ut. ↑ Le rette rappresentanti i tempi dei negli autografi respettivaraente con c(?, e/*, 51^, moti, le quali nella figura della stampa sono tanto nella figura relativa alla Proposizione distinte con le lettere C, E, G, sono indicate quinta, quanto in quella relativa alla sesta.
* ↑ Delle lin. 2-22 si lia una bozza della mano (giovanile, a quanto pare) di Galileo, nel cod. A, a car. 139r.. in capo alla quale si legge, pur della mano di lui: Scritte. Essa presenta le seguenti varianti: 2. mobilia motu aequaMU feraniur. A ferantur segue, cancellato, quorum velocitates sint inaequaìes. — 2-3. ratio ipsarum velocitatum composita — 3. Tra ex e ratione spatiorum ieggesi, cancellatd, ratione temporum et. — 3-4. Da et a sumptorum è scritto in margine. — 5. Tra motu e lata leggasi, cancellato, sed inacquali velocitate. — 13. Dopo velocitas si legge, cancellato mohilis A ut ed, et quam rationem habet spacium v ad spacium s, liane lidbeat velocitas ed ad aliam, ef —