# Matematiche Fascicolo terzo/Tema terzo - Capitolo III/Caso II - Divisione delle Frazioni

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CASO II.
6. Venendo alla Divisione delle Frazioni, ed intendendo, che il Quoziente di una frazione divisa per un’altra debba essere una terza frazione, la quale moltiplicata per la seconda riproduca la prima, od una frazione equivalente a lei, se si osserva, che il valore di una data frazione non si altera col moltiplicare il suo numeratore, primieramente pel numeratore e poi pel denominatore di una seconda, e nel medesimo tempo il suo denominatore, [p. 64 primieramente pel denominatore e poi pel numeratore di questa seconda medesima, con un pò di reflessione è facile accorgersi, che il quoziente voluto di una data frazione, divisa per una proposta, sarà il prodotto della prima moltiplicata per una terza, inversa alla seconda, cioè per questa co’ suoi termini invertiti (§ prec. n.° 5.); e così la divisione riducesi ad una moltiplicazione.
Avendosi da dividere per esempio la frazione ${\frac {3}{5}}$ per la frazione ${\frac {8}{11}}$, siccome moltiplicando il numeratore 3 della prima per 8 e per 11, termini della seconda, ed insieme il denominatore 5 per 11 e per 8, termini invertiti della seconda medesima; ossia moltiplicando la prima frazione ${\frac {3}{5}}$ prima per ${\frac {8}{11}}$ e poi per ${\frac {11}{8}}$, il di lei valore rimane lo stesso, così il quoziente di ${\frac {3}{5}}$ per ${\frac {8}{11}}$ sarà il prodotto di ${\frac {3}{5}}$ per ${\frac {11}{8}}$, cioè ${\frac {33}{40}}$. Di qui la seguente regola
«Per dividere una frazione per una o più altre successive s’invertano primieramente i termini di queste, e poi si moltiplichi la prima di mano in mano per ciascuna delle inverse ottenute.» [p. 65 e questa regola servirà anche al caso particolare della divisione di una frazione per un numero intiero e viceversa, quando a questo si dia l’aspetto di frazione (§ precedente n.°5)
Così per esempio il quoziente della frazione ${\frac {9}{10}}$ divisa pel numero intiero 3, scrivendosi in luogo di questo ${\frac {3}{1}}$, sarà il prodotto di ${\frac {9}{10}}$ per ${\frac {1}{3}}$, cioè ${\frac {9}{30}}$, oppure ${\frac {3}{10}}$.
Viceversa il quoziente del numero intiero 3 per la frazione ${\frac {9}{10}}$ sarà il prodotto di ${\frac {3}{1}}$ per ${\frac {10}{9}}$, cioè ${\frac {30}{9}}$, oppure ${\frac {10}{3}}$, ossia $3{\frac {1}{3}}$.
Il quoziente poi della frazione ${\frac {3}{5}}$ successivamente divisa per ${\frac {8}{11}}$ e per ${\frac {9}{10}}$ sarà il prodotto di ${\frac {3}{5}}$ per ${\frac {11}{8}}$ per ${\frac {10}{9}}$, cioè ${\frac {330}{560}}$, che si riduce a ${\frac {11}{12}}$.
Sarà qui ben osservare, che, dovendosi fare più divisioni, egualmentechè più moltiplicazioni, di frazioni, o numeri intieri successivamente trà loro, siccome invertendo i termini di quelle frazioni o numeri intieri, messi sotto la forma di frazioni, per cui si devono fare le [p. 66 divisioni, queste si cangiano in moltiplicazioni, e d’altronde per la moltiplicazione di quali e quante mai si vogliano frazioni tra loro basta moltiplicar tra loro separatamente i numeratori, ed i denominatori di tutte, ciascuno in quell’ordine, che più ci pare (2), così è chiaro, che l’ordine delle divisioni, egualmentechè quello delle moltiplicazioni, tralle proposte frazioni, potrà comunque invertirsi, o ciascuno separatamente, o l'uno e l’altro insieme.
Si può anche notare, che come il valor del prodotto di una frazione per un’altra riesce minore o maggiore del valor della prima, secondochè la seconda è propria, od impropria, così il valor del quoziente di una frazione per un’altra riesce viceversa nel medesimo caso maggiore 0 minore.
Quando si hà da dividere una frazione per un’altra accompagnata da un numero intiero, aggiungendo al numeratore di questa il prodotto dell’intiero pel denominatore, per la frazione impropria, che ne risulta, invertita si moltiplicherà la prima, che potrà esser pure anch’essa accompagnata da un’intiero.
Così, se si hà da dividere per esempio $12{\frac {3}{4}}$ per $6{\frac {2}{3}}$, formando di $6{\frac {2}{3}}$ la frazione ${\frac {20}{3}}$, [p. 67 per questa invertita, cioè per ${\frac {3}{20}}$ moltiplicheremo $12{\frac {3}{4}}$.
Ecco il tipo del calcolo
| $12$ | ${\frac {3}{4}}$ |
| ${\frac {3}{20}}$ | |
| $1$ | ${\frac {16}{20}}$ |
| | ${\frac {9}{80}}$ |
| $1$ | ${\frac {73}{80}}$ |
Generalmente, se la somma di più frazioni dee dividersi per la somma di più altre, riguardando le prime come Parti di un Tutto (2) e riunite le seconde trà loro in una frazione sola, per questa invertita si moltiplicherà ciascuna di quelle, e poi si addizioneranno i prodotti.
Così avendosi a dividere $3{\frac {4}{5}}$ e ${\frac {7}{8}}$ per la somma di ${\frac {2}{3}}$ e ${\frac {1}{9}}$, riunite queste due ultime frazioni nella fraz. ${\frac {7}{9}}$, moltiplicheremo $3{\frac {4}{5}}$ e ${\frac {7}{8}}$ per ${\frac {9}{7}}$. [p. 68
Ecco il tipo del calcolo
| $3$, | ${\frac {4}{5}}$, |
| ${\frac {9}{7}}$ | |
| $3$ | ${\frac {6}{7}}$ |
| $1$ | ${\frac {1}{35}}$ |
| $1$ | ${\frac {1}{8}}$ |
| $6$ | ${\frac {3}{280}}$ |
7. Prima di procedere oltre, cade quì in acconcio il far vedere, come per mezzo di successive divisioni si può far prendere ad una frazione una forma assai singolare, degna di essere attentamente esaminata.
A quest’oggetto cominceremo primieramente dall’osservare, che il quoziente del numero intiero 1 per la frazione impropria per es. ${\frac {2961}{799}}$ è, per ciò che precede, la frazione propria inversa ${\frac {799}{2961}}$.
Se dunque, come per semplicemente denotare [p. 69 la operazione della divisione di un numero intiero concreto per un altro qualunque astratto, in conformità a ciò, che abbiamo anche in addietro (§ I n.° 3) insinuato, si scrive il primo sopra ed il secondo sotto al taglio —, così per denotare semplicemente pure la operazione da farsi della divisione del numero intiero concreto 1 per la frazione impropria astratta ${\frac {2961}{799}}$, (ove il taglio denoti divisione da farsi), convenghiamo di scrivere nello stesso modo il primo sopra e la seconda sotto ad un altro taglio , è visibile, che in luogo della frazione ${\frac {799}{2961}}$ potremo anche scrivere ${\frac {1}{\frac {2961}{799}}}$. Ma quì in luogo di ${\frac {2961}{799}}$ scrivendo pur per convenzione $3{\frac {564}{799}}$, accaderà, che in luogo della frazione ${\frac {799}{2961}}$ potremo anche scrivere ${\frac {1}{3{\frac {564}{799}}}}$. Per le stesse convenzioni in luogo di ${\frac {564}{799}}$ scrivendo ${\frac {1}{\frac {799}{564}}}$, oppure ${\frac {1}{1{\frac {335}{564}}}}$; ed in luogo di ${\frac {335}{564}}$ [p. 70 scrivendo ${\frac {1}{\frac {564}{335}}}$, oppure ${\frac {1}{2{\frac {94}{235}}}}$; ed in luogo di ${\frac {94}{235}}$ scrivendo ${\frac {1}{\frac {235}{94}}}$, oppure ${\frac {1}{2{\frac {47}{94}}}}$; ed in luogo di ${\frac {47}{94}}$ scrivendo ${\frac {1}{\frac {94}{47}}}$, oppure ${\frac {1}{2}}$, accaderà pure che in luogo della fraz. ${\frac {799}{2961}}$ proposta (§ prec. n.° 13), potremo successivamente scrivere l’espressioni
${\cfrac {1}{3{\cfrac {564}{799}}}}$, ${\cfrac {1}{3{\cfrac {1}{1{\cfrac {235}{564}}}}}}$, ${\cfrac {1}{3{\cfrac {1}{1{\cfrac {1}{2{\cfrac {94}{235}}}}}}}}$, ${\cfrac {1}{3{\cfrac {1}{1{\cfrac {1}{2{\cfrac {1}{2{\cfrac {47}{94}}}}}}}}}}$
${\cfrac {1}{3{\cfrac {1}{1{\cfrac {1}{2{\cfrac {1}{2{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}$
Nello stesso modo non è diffcil vedere, che in luogo delle due frazioni (ivi) ${\frac {317}{873}}$, ${\frac {16768}{252801}}$ si [p. 71 potranno respettivamente scrivere le due espressioni seguenti
${\cfrac {1}{2{\cfrac {1}{1{\cfrac {1}{3{\cfrac {1}{15{\cfrac {1}{1{\cfrac {1}{1{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}$
${\cfrac {1}{15{\cfrac {1}{13{\cfrac {1}{11{\cfrac {1}{7{\cfrac {1}{5{\cfrac {1}{3}}}}}}}}}}}}$
Questa specie singolare di frazioni, che sono una frazione ordinaria, di cui il numeratore è la unità, ed il denominatore un numero intiero accompagnato da una frazione, di cui il numeratore è parimente la unità ed il denominatore è un numero intiero accompagnato da una frazione, di cui..., diconsi Frazioni continue.
Ci basti l’aver qui soltanto indicata la origine di tali frazioni.