# Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante

Eugenio Beltrami 1868 Indice:Beltrami - Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante - 1868.pdf geometria matematica Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante Intestazione 10 maggio 2023 100% Da definire
Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante Eugenio Beltrami 1868 geometria CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Beltrami - Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante - 1868.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_fondamentale_degli_spazii_di_curvatura_costante&oldid=- 20230510105122 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_fondamentale_degli_spazii_di_curvatura_costante&oldid=- 20230510105122
TEORIA FONDAMENTALE
DEGLI
SPAZII DI CURVATURA COSTANTE
MEMORIA
DEL
Prof. EUGENIO BELTRAMI
a Bologna.
MILANO
TIPOGRAFIA DI ZANETTI FRANCESCO
Via del Senato, N. 26.
1868.
[p. 1
In una Memoria inserita nel t. VII della prima serie di questi Annali (Roma 1866) ho cercato le superficie dotate della proprietà di avere le loro linee geodetiche rappresentate da equazioni lineari, ed ho trovato che questa proprietà si verifica per le sole superficie di curvatura costante e per certe variabili speciali che l’analisi del problema ha spontaneamente introdotte.
Nel presente scritto espongo i risultati molto più generali a cui mi ha condotto l’ulteriore evoluzione di quel concetto, coordinato ad alcuni principii tracciati da Riemann nell’insigne suo lavoro postumo: Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, non ha guari pubblicato dal sig. Dedekind nel XIII volume delle Memorie di Gottinga. Spero che le mie ricerche possano ajutare l’intelligenza di alcune parti di questo profondo lavoro.
Certe locuzioni di cui per amore di brevità faccio uso frequente non parranno, io credo, nè stentate nè oscure a chi guardi più alla sostanza che alla forma. L’attento lettore non avrà da fare alcuno sforzo per intenderle senz’altra spiegazione, restandogli del resto piena facoltà di non attribuir loro che un significato meramente analitico.
L’espressione differenziale
dove $x$, $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, sono $n+1$ variabili legate dall’equazione
$x^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=a^{2}$,
[p. 2 mentre $R$ ed $a$ sono due costanti, può risguardarsi come rappresentante l’elemento lineare, ossia la distanza di due punti infinitamente vicini, in uno spazio di $n$ dimensioni, ciascun punto del quale è definito da un sistema di valori delle $n$ coordinate $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$. La forma di quell’espressione determina la natura di questo spazio.
Ponendo per brevità
$\Omega ={\sqrt {dx^{2}+dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}}$,
le linee geodetiche dello spazio in quistione sono quelle che soddisfanno all’equazione
$\delta \int {\frac {\Omega }{x}}=0$,
colla condizione $x\delta x+x_{1}\delta x_{1}+\cdots +x_{n}\delta x_{n}=0$. Mercè le solite trasformazioni della variazione dell’integrale, la prima equazione può svilupparsi così:
$\int \left\{\delta x\lceil {\frac {\Omega }{x^{2}}}+d{\bigg{\frac {dx}{x\Omega }}{\bigg )}\rfloor +\delta x_{1}.d{\bigg{\frac {dx_{1}}{x\Omega }}{\bigg )}+\cdots +\delta x_{n}.d{\bigg{\frac {dx_{n}}{x\Omega }}{\bigg )}\right\}=0$,
e, stante la relazione che vincola le variazioni $\delta x$, $\delta x_{1}$, $\ldots$, $\delta x_{n}$, dà luogo alle equazioni seguenti:
dove $k$ è un fattore da determinare. Ora, moltiplicando queste equazioni ordinatamente per $x$, $x_{1}$, $\ldots x_{n}$ e sommando, si ha
$d\left({\frac {xdx+x_{1}dx_{1}+\cdots +x_{n}dx_{n}}{x\Omega }}\right)=k(x^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})$,
quindi, con riguardo alla (2), $k=0$; epperò
dove $c_{1}$, $c_{2}$, $\ldots c_{n}$ sono costanti. Queste ultime $n$ equazioni, quadrate e sommate, danno
$c={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}.}}$
Questo valore di $\Omega$ rende identica la (3), della quale è perciò inutile tener conto; mentre le (4), colla eliminazione di $x\Omega$ e susseguente integrazione, danno
Dunque le linee geodetiche dello spazio considerato sono rappresentate da $n-1$ equazioni lineari fra le $n$ coordinate $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$ $x_{n}$, a simiglianza di ciò che ha luogo nel piano e nello spazio ordinario quando si fa uso di coordinate cartesiane, e nelle superficie di curvatura costante quando si fa uso delle variabili $u$, $v$ della citata Memoria. Fra i sistemi di linee geodetiche sono da notarsi specialmente quelli che si ottengono eguagliando tutte le coordinate, tranne una, ad altrettante costanti. Per ogni punto dello spazio passa una geodetica di ciascuno di questi sistemi, cui appartengono gli stessi assi coordinati delle $x_{1}$, delle $x_{2}$, $\ldots$ delle $x_{n}$, per ciascuno dei quali le restanti coordinate sono tutte nulle: conviene chiamarii sistemi delle $x_{1}$, delle $x_{2}$, $\ldots$ delle $x_{n}$.
Per ottenere la lunghezza dell’arco geodetico $\rho$ compreso fra due punti dati, si osservi che per la (5) si ha
$d\rho =R{\frac {\Omega }{x}}=-{\frac {Rdx}{x{\sqrt {1-c^{2}x^{2}}}}}$,
donde
$cx={\frac {1}{\cosh {\frac {\rho -\rho _{0}}{R}}}}$,
$\rho _{0}$ essendo una costante arbitraria ed $x$ la funzione ${\sqrt {a^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}}}$. Indicando con $x_{1}^{0}$, $x_{2}^{0}$, $\cdots$ $x_{n}^{0}$ i valori delle coordinate al punto $\rho =0$, all'origine dell'arco, e con $x^{0}$ il corrispondente valore della funzione $x$, si ha
$c$
$x={\frac {x^{0}\cosh {\frac {\rho _{0}}{R}}}{\cosh {\frac {\rho -\rho _{0}}{R}}}}$,
equazione cui si può dare la forma
D’altra parte, avendosi dalle equazioni precedenti
$x\Omega ={\frac {x^{2}d\rho }{R}}={\frac {1}{c^{2}}}d{\text{tgh}}{\frac {\rho -\rho _{0}}{R}}$,
le (4) danno
ovvero, sostituendo alle costanti $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$ le $x_{1}^{0}$, $x_{2}^{0}$, $\ldots$,
donde, quadrando e sommando,
$2(a^{2}-x_{1}x_{1}^{0}-x_{2}x_{2}^{0}-\cdots -x_{n}x_{n}^{0})-x^{2}-x^{0^{2}}=c^{2}x^{2}x^{0^{2}}{\text{senh}}^{2}{\frac {\rho }{R}}$.
Quest’equazione, in virtù delle (6) (7), dà finalmente
e questa è la formola generale che porge la lunghezza di un arco geodetico in funzione delle coordinate dei suoi termini.
Supposte reali le variabili $x$, $x_{1}$, $\ldots$ $x_{n}$, e le costanti $R$, $a$, il limite dello spazio di $n$ dimensioni qui considerato è lo spazio di $n-1$ dimensioni dato dall’equazione
Dentro questo limite, cioè per
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}