# Theoremata circa centrum gravitatis solidorum

1890 Indice:Le opere di Galileo Galilei I.djvu Testi scientifici Theoremata circa centrum gravitatis solidorum Intestazione 25 settembre 2022 75% Da definire
Theoremata circa centrum gravitatis solidorum Galileo Galilei 1890 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Le opere di Galileo Galilei I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Theoremata_circa_centrum_gravitatis_solidorum&oldid=- 20220925181512 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Theoremata_circa_centrum_gravitatis_solidorum&oldid=- 20220925181512
[p. 179
[p. 181
AVVERTIMENTO.
«Queste sono alcune Proposizioni attenenti al centro di gravità de i solidi, le quali in sua gioventù andò ritrovando il nostro Accademico, parendogli che quello che in tal materia haveva scritto Federigo Comandino non mancasse di qualche imperfezzione. Credette dunque con queste Proposizioni, che qui vedete scritte, poter supplire a quello che si desiderava nel libro del Comandino; et applicossi a questa contemplazione ad instanza dell’Illustrissimo Sig. marchese Guid’Ubaldo dal Monte grandissimo matematico de’ suoi tempi, come le diverse sue opere publicate ne mostrano; et a quel Sig. ne dette copia, con pensiero di andar seguitando cotal materia anco ne gli altri solidi non tocchi dal Comandino. Ma incontratosi dopo alcun tempo nel libro del Sig. Luca Valerio, massimo geometra, e veduto come egli risolve tutta questa materia senza niente lasciar in dietro, non seguitò più avanti, ben che le aggressioni sue siano per strade molto diverse da quelle del Sig. Valerio.»
Ai teoremi che seguono, nessuna introduzione migliore di queste parole che Galileo mette in bocca al Salviati in sulla fine del Dialogo Quarto delle «Nuove Scienze», e che precedono la «Appendix, in qua continentur Theoremata, eorumque demonstrationes, quae ab eodem Autore circa centrum gravitatis solidorum olim conscripta fuerunt». Nè altro avremmo voluto aggiungere dal canto nostro, se per più rispetti non ci fosse sembrato opportuno di suffragare con prove l’asserto di Galileo, e di determinare un po’ meglio il posto che a questi teoremi deve essere assegnato tra le Opere di lui, giustificando in pari tempo il luogo che, seguendo l’ordine cronologico, ad essi qui diamo. [p. 182
Afferma per verità il Viviani che s’applicò Galileo «alla contemplazione del centro di gravità de’ solidi, per supplire a quel che ne aveva già scritto il Comandino; e di ventiquattro anni di sua età inventò quello che in tal materia si vede scritto nell’Appendice impressa alla fine de’ suoi Dialoghi delle due nuove scienze»; secondo la quale asserzione, dovrebbero tali studi assegnarsi all’anno 1588. Ma questa data viene contraddetta da altre circostanze, principalissima fra tutte la dichiarazione fatta da Galileo stesso nella lettera ad Elia Diodati, del 6 dicembre 1636, nella quale scrive: «Manderò quanto prima una appendice d’alcune dimostrazioni di certe conclusioni de centro gravitatis solidorum, trovate da me essendo d’età di 21 anno e di 2 di studio di geometria». Notando, per incidenza, che rimane per tal modo confermato quanto narra il Viviani stesso, vale a dire che Galileo sarebbe stato introdotto nello studio della geometria quando «già aveva compiti i diciannove anni», ci pare di non poter rifiutar fede all’affermazione così esplicita del nostro Autore, e di dover quindi assegnare questi suoi studi all’anno 1585, per quanto in tal modo venga ad alterarsi quell’ordine cronologico dei lavori galileiani, il quale finora era stato universalmente accettato per vero.
Oltre che al marchese Guidobaldo Del Monte, come afferma Galileo, aveva egli ancora, ed anzi prima che ad esso, data comunicazione di questi teoremi al P. Cristoforo Clavio, al quale ne lasciò altresì una parte in occasione del primo viaggio da lui compiuto a Roma nella seconda metà dell’anno 1587. Questa circostanza, ed il carteggio da Galileo tenuto intorno a cosiffatti argomenti, oltre che con i due sunnominati, anche con Michele Coignet di Anversa nei primi mesi del successivo anno 1588, determinano con tutta la esattezza desiderabile il tempo al quale questi studi devono farsi risalire, e che rimane confermato da altro documento del quale diremo fra poco.
Di questi teoremi, alcuni dei quali ebbero adunque una certa diffusione, manca l’autografo; e dei parecchi esemplari, che n’andarono attorno manoscritti, giunse sino a noi soltanto uno, conservatoci, tra le carte di Giovanni Vincenzio Pinelli, nel cod. miscellaneo A. 71 Inf. della Biblioteca Ambrosiana, intitolato «Pinelli Collectanea». Questo esemplare contiene soltanto l’ultimo dei teoremi col lemma ad esso relativo, e in capo ad essi l’attribuzione «di Vinc.° Galilei»; nell’indice, però, premesso al codice, e in cui la erronea attribuzione era ripetuta, già una mano del tempo corresse «Galilei de Galileis» [p. 183 in luogo di «Vincentii de Galileis». - Dopo il teorema sono trascritte le seguenti attestazioni:
«Fassi fede per me Giovanni Bardi de’ Conti di Vernio, come le presenti conclusioni e dimostrationi sono state ritrovate da M. Galileo Galilei; e in fede ò fatto la presente questo dì dodici di Decembre 1587, manu propria.
Io Gio. Batta Strozzi affermo il medesimo; e in fede mi sono sottoscritto di mia mano.
Io Luigi di Piero Alamanni affermo il medesimo; et in fede ho soscritto di mia propria mano questo dì 12 Decembre 1587.
Io Gio. Batta da Ricasoli Baroni confermando il medesimo mi sottoscrivo di man propria il dì 12 detto 1587.
Adì 29 di Decembre del 1587.
Io Gioseppe Moleto, Lettor publico delle Mathematiche nello Studio di Padova, dico haver letto i presenti Lemma et Theorema, i quali mi son parsi buoni, e stimo l’autor d’essi esser buono et esercitato Geometra.
Il medesimo Gioseppe ha scritto di man propria.»
Questi documenti, e l’essere la copia Ambrosiana tra le carte del Pinelli, mancato a’ vivi nel 1601, ci tolgono ogni dubbio ch’essa non rappresenti la forma primitiva di tali studi giovanili del Nostro. Pur troppo però essa contiene soltanto, come si disse, l’ultima parte dell’opera; così che per il rimanente fummo costretti ad attenerci unicamente alla edizione dei Dialoghi delle «Nuove Scienze», nei quali per la prima volta Galileo dava alla luce nel 1638 questi teoremi, sebbene, come è assai verosimile, egli dovesse allora ritoccarne alquanto il primo getto, che risaliva a cinquanta e più anni addietro. L’edizione Leidense volemmo però riprodotta fedelmente, anche in certe incostanze della grafia, salvo bensì il correggere gli errori di stampa, i quali notammo a piè di pagina. Nè tenemmo conto delle correzioni ed aggiunte con cui, di mano di Vincenzio Viviani, è postillato un esemplare di tale edizione che fa parte della Collezione Galileiana nella Biblioteca Nazionale di Firenze (Par. V, T. IX); poichè queste non possono rappresentare che ulteriori modificazioni, suggerite dall’Autore negli ultimi anni della sua vita; e profittandone noi ci saremmo anche di più allontanati da quella forma primitiva del 1585, la quale sarebbe stato nostro desiderio poter qui riprodurre. Facendo, invece, tesoro del testo Ambrosiano, ci parve opportuno presentarlo al lettore in maniera che agevolmente potesse farsi il confronto col testo posteriore, dandogli luogo, nella medesima pagina, sotto a questo, ormai dovuto seguire per tutto quanto precede.
Nei Manoscritti Galileiani della Biblioteca Nazionale di Firenze, ad una copia [p. 184 dell’esemplare Ambrosiano, fatta da G. B. Venturi, è allegata una lettera senza firma nè data (P. V. T. II, car. 6), che, conforme si legge, di mano di Galileo, sul tergo del foglio, contiene un «Giudizio sopra una mia Prop.$^{ne}$ fatto in Bologna», la quale proposizione è appunto quella del surriferito esemplare. Anche questo documento stimiamo di dover qui appresso pubblicare:
«Molto Ill.$^{re}$ Sig.$^{re}$
Il mio amico loda infinitamente lo inventore di questa speculatione, et insieme col sig.$^r$ Moleto lo judica molto versato nelle matematiche. Et solo per mostrar ch’egli l’habbia veduta, quanto al Lemma, egli dice che pare che gl’antecedenti et consequenti nella construttione si varijno da quello che erano nella proposta. Et ben che questo lemma non sia il medesimo con la nona d’Archimede, nel 2° trattato del Tartaglia, par non di meno nato di là et sotto la forma di quella propositione constretto, et simile ad una propositione che egli già molti anni fece, nella quale, sì come Archimede toglie i due quinti della massima et l’amico di V. S. un quarto, egli toglieva un ottavo, seguendo, ne l’altre, consimili proportionalità, nel lor genere. Et dice non esser molta fatica, seguendo la forma d’Archimede, formarsene assaissime.
Quanto al Teorema, egli dubita se il centro del pezzo della piramide sia il punto o: per ciò che, stando la deffinitione del centro delle gravità [dei] corpi posta da Pappo et adoprata dal marchese Del Monte nelle Mecaniche, non segue che se per lo centro o supposto passerà un piano, quel pezzo si divida in due parti ugualmente pesanti, come dovria quando fosse veramente il centro. Et il Comandino, che la medesima materia tratta nel libro De centro gravium alla XXVI propositione, molto più s’accosta a trovar il centro, che non par che faccia questa demonstratione, quantunque da quella del Comandino non sia molto differente. Et questo è quanto egli a bocca mi riferisce; et io le bacio la mano».
Circa l’autore di questa lettera, non siamo in grado di formare alcuna ipotesi attendibile. Nell’indice premesso al volume dei Manoscritti Galileiani che la contiene è scritto bensì «Lettera autografa del Marsili, nella quale si dà ragguaglio del giudizio fatto in Bologna sopra questa proposizione di Galileo»; ma tale indicazione è evidentemente erronea: infatti questa lettera non è di certo posteriore all’anno 1588; ed il solo Marsili di Bologna, col quale Galileo sia stato in relazione, fu Cesare, nato il 1° febbraio 1592. [p. 185
Quanto poi all’autore del giudizio riferito in detta lettera, crediamo probabilissimo essere egli stato Pietro Antonio Cataldi, lettore di matematica nello Studio di Bologna fin dall’anno 1582 e che occupò quella cattedra senza alcuna interruzione fino al 1626.
Da tutto ciò noi siamo indotti a pensare che quello stesso documento contenente il giudizio del Moleto sia stato mandato al Cataldi, e che Galileo nel sottoporre quella sua dimostrazione ai lettori di matematica dei due principali Archiginnasi italiani d’allora, non mirasse soltanto ad avere il loro parere, ma ancora cercasse di farsi conoscere in quei celebratissimi centri di studio, con lo scopo di ottenervi una cattedra.
THEOREMATA
CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM.
postulatum.
Petimus, aequalium ponderum similiter in diversis libris dispositorum, si horum quidem compositorum centrum gravitatis libram secundum aliquam rationem diviserit, et illorum etiam gravitatis centrum libram secundum eandem rationem dividere.
Lemma.
Sit linea ab bifariam in e secta, cuius medietas ac divisa sit in e; ita ut quam rationem habet bc ad ea, hanc habeat ae ad ec. Dico, be ipsius ea duplam esse. Quia enim ut be ad ea, ita ea ad ec, erit, componendo et permutando, ut ba ad ac, ita ae ad ec; est autem ut ae ad ec, nempe ut ba ad ac, ita be ad ea: quare be ipsius ea dupla est.
His positis demonstratur: Si magnitudines quoteunque sese aequaliter excedentes, et quarum excessus earum minimae sint aequales, ita in libra disponantur, ut ex distantiis aequalibus pendeant, centrum gravitatis omnium libram ita dividere, ut pars versus minores reliquae sit dupla.
In libra itaque ab ex distantiis aequalibus pendeant quoteunque numero magnitudines f, g, h, k, n, quales dictum est, quarum [p. 188 minima sit n ; sintque puncta suspensionum a, e, d, e, b, sitque omnium magnitudinmn sic dispositarum gravitatis centrmn x. Ostendendum est, partem librae bx, versus minores magnitudines, reliquae xa duplam esse.
Dividatur libra bifariam in puncto d, quod vel in aliquo puncto suspensionum, vel in duarum suspensionum medio cadet necessario; reliquae vero suspensionum distantiae, quae inter a et d intercipiuntur, omnes bifariam dividantur punctis m, i; magnitudines deinde omnes in partes ipsi n aequales dividantur : erunt iam partes ipsius f tot numero, quot sunt quae ex libra pendent magnitudines; partes vero ipsius g erunt una pauciores; et sic de reliquis. Sint itaque ipsius f partes n, o, r, s, t; ipsius g vero, n, o, r, s; ipsius h quoque, n, o, r ; ipsius denique h sint n, o : eruntque magnitudines omnes in quibus n, ipsi f aequales ; magnitudines vero omnes in quibus o, ipsi g aequales ; et magnitudines in quibus r, ipsi h ; illae autem in quibus s, ipsi k; et magnitudo t ipsi n aequalis est. Quia igitur magnitudines omnes, in quibus n, inter se sunt aequales, aeque ponderabunt in signo d, quod libram ab bifariam dividit; et eandem ob causam omnes magnitudines, in quibus o, aeque ponderant in i; illae autem in quibus r, in c ; et in quibus s, in m aeque ponderant; t autem in a suspenditur. Sunt igitur in libra ad, ex distantiis aequalibus d, i, c, m, a, suspensae magnitudines sese aequaliter excedentes, et quarum excessus minimae aequatur : maxima autem, quae est composita ex omnibus n, pendet ex d; minima, quae est t, pendet ex a; et reliquae ordinate dispositae sunt. Estque rursus alia libra ab ; in qua magnitudines aliae, praedictis numero et magnitudine aequales, eodem ordine dispositae sunt : quare librae ab, ad a centris omnium magnitudinum secundum eandem rationem dividentur. Est autem centrum gravitatis dictarum magnitudinum x : quare x dividit libras ba, ad sub eadem ratione, ita ut sicut bx ad xa, ita xa ad xd ; quare bx dupla est ipsius xa, ex lemmate supra posito. Quod erat probandum. [p. 189
Si conoidi parabolico figura inscribatur, et altera circumscribatur ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, et axis dicti conoidis dividitur ita ut pars ad verticem partis ad basin sit dupla ; centrum gravitatis inscriptae figurae basi portionis, dicto puncto divisionis, erit propinquius ; centrum autem gravitatis circumscriptae a basi conoidis eodem puncto erit remotius ; eritque utrorumque centrorum a tali puncto distantia aequalis lineae, quae sit pars sexta altitudinis unius cylindri ex quibhus figurae constant.
Sit itaque conoidale parabolicum, et figurae quales dictae sunt : altera sit inscripta, altera circumscripta ; et axis conoidis, qui sit ae, dividatur in n, ita ut an ipsius ne sit dupla. Ostendendum est, centrum gravitatis inscriptae figurae esse in linea ne, circumscriptae autem centrum esse in an, Secentur figurae ita dispositae plano per axem, et sit sectio parabolae bac ; plani autem secantis, et basis conoidis, sectio sit be linea ; cylindrorum autem sectiones sint rectangulae figurae: ut in descriptione apparet. Primus itaque cylindrus inscriptorum cuius axis est de, ad cylindrum cuius axis est dy, eandem habet rationem quam quadratum id ad quadratum sy, hoc est quam da ad ay; cylindrus autem cuius axis est dy ad cylindrum yz est ut sy ad rz potentia, hoc est ut ya ad az; et eadem ratione cylindrus cuius axis est zy; ad eum, cuius axis est zu, est ut za ad au. Dicti itaque cylindri sunt inter se ut lineae da, ay, za, au : istae autem sunt sese aequaliter excedentes, et est excessus aequalis minimae, ita ut az dupla sit ad au; ay autem eiusdem est tripla, et da quadrupla. Sunt igitur dicti cylindri magnitudines quaedam sese ad invicem aequaliter excedentes, quarum excessus aequantur earum minimae; et est linea xm, in qua ex distantiis aequalibus suspensae sunt (unumquodque enim cylindrorum centrum gravitatis habet in medio axis) : quare, per ea quae superius demonstrata sunt, centrum gravitatis magnitudinis ex omnibus compositae dividet [p. 190 lineam xm, ita ut pars ad x reliquae sit dupla. Dividatur itaque, et sit xα ipsius am dupla ; est ergo α centrum gravitatis inscriptae figurae. Dividatur au bifariam in ε ; erit εx dupla ipsius me : est autem xα dupla ipsius αm; quare εe tripla erit eα. Est autem ae tripla ipsius en; constat ergo, en maiorem esse quam eα, et ideo α, quod est centrum figurae inscriptae, magis accedere ad basin conoidis quam n. Et quia est ut ae ad en ita ablatum εe ad ablatum eα, erit et reliquum ad reliquum, idest aε ad nα, ut ae ad en. Est ergo αn tertia pars ipsius aε, et sexta ipsius au. Eodem autem pacto cylindri circumscriptae figurae demonstrabuntur esse sese aequaliter excedentes, et esse excessus aequales minimo, et habere in linea εm centra gravitatum in distantiis aequalibus. Si itaque dividatur εm in π, ita ut επ reliquae πm sit dupla, erit π centrum gravitatis totius circumscriptae magnitudinis : et, cum επ dupla sit ad πm, aε autem minor sit quam dupla ad em (cum ei sit aequalis), erit tota ae minor quam tripla ipsius eπ; quare eπ maior erit ipsa en. Et cum εm tripla sit ad mπ, et me cum duabus εa similiter tripla sit ad me, erit tota ae cum aε tripla ad επ. Est autem ae tripla ad en ; quare reliqua aε reliquae πn tripla erit. Est igitur nπ sexta pars ipsius au. Haec autem sunt, quae demonstranda fuerunt.
Ex his manifestum est, posse conoidi parabolico figuram inscribi, et alteram circumscribi, ita ut centra gravitatum earum a puncto n minus quacunque proposita linea distent. Si enim sumatur linea propositae lineae sexcupla, fiantque cylindrorum axes, ex quibus figurae componuntur, hac sumpta linea minores ; erunt, quae inter harum figurarum centra gravitatum et signum n cadunt lineae, proposita linea minores.
Aliter idem.
Axis conoidis, qui sit cd, dividatur in o, ita ut co ipsius od sit dupla. Ostendendum est, centrum gravitatis inscriptae figurae esse in linea od; circumscriptae vero centrum esse in co. Secentur figurae plano per axem et c, ut dictum est. Quia igitur cylindri sn, tm, vi, xe sunt inter se ut quadrata linearum sd, tn, vm, xi; haec autem sunt inter se ut lineae nc, cm, ci, ce ; hac autem sunt sese aequaliter [p. 191 excedentes, et excessus aequantur minimae, nempe ce; estque cylindrus tm cylindro qn aequalis; cylindrus autem vi ipsi pn, et xe ipsi ln aequatur ; ergo cylindri sn, qn, pn, ln sunt sese aequaliter excedentes, et excessus aequantur minimo eorum, nempe cylindro ln. Est autem excessus cylindri sn super cylindrum qn • anulus, cuius altitudo est qt, hoc est nd, latitudo autem sq; excessus autem cylindri qn super pn est anulus, cuius latitudo est qp; excessus 10 autem cylindri pn super ln est anulus, cuius latitudo pl. Quare dicti anuli sq, qp, pi sunt inter se aequales et cylindro ln. Anulus igitur st aequatur cylindro xe; anulus qv, qui ipsius st est duplus, aequatur cylindro vi, qui similiter cylindri xe duplus est ; et eamdem ob causam anulus px cylindro tm, et cylindrus le cylindro sn aequalis erit. In libra itaque kf, puncta media rectarum ei, dn connectente, et in partes aequales punctis h, g secta, sunt magnitudines quaedam, nempe cylindri sn, tm, vi, xe; et gravitatis centrum primi cylindri est k, secundi vero est h, tertii g, quarti f. Habemus autem et aliam libram mk, quae est ipsius fk dimidia, totidemque punctis in partes aequas distributa, nempe mh, hi, nk; et in ea aliae magnitudines, illis quae sunt in libra fk numero et magnitudine aequales, et centra gravitatum in signis m, h, n, k habentes, et eodem ordine dispositae, sunt. Cylindrus enim le centrum gravitatis habet in m, et aequatur cylindro sn centrum habenti in k ; anulus vero px centrum habet ìi, et aequatur cylindro tm cuius centrum est ìi; et anulus qv, centrum habens n, aequatur cylindro vi, cuius centrum est g ; et denique anulus st, centrum habens k, aequatur cylindro xe, cuius centrum est f. Igitur centrum gravitatis dictarum magnitudinum libram dividet in eadem ratione : earumdem vero unum est centrum, ac propterea punctum aliquod utrique librae commune, quod sit y. Itaque fy ad yk erit ut ky ad ym; est ergo fy dupla [p. 192 ipsius yk ; et, divisa ce bifariam in z, erit zf dupla ipsius kd, ac propterea zd tripla ipsius dy. Rectae vero do tripla est ed: maior est ergo recta do, quam dy ; ac propterea y centrum inscriptae magis ad basin accedit, quam punctum o. Et, quia ut cd ad do, ita est ablatum zd ad ablatum dy, erit et reliquum cz ad reliquum yo, ut ed ad do : nempe yo tertia pars erit ipsius cz, hoc est pars sexta ipsius cc. Eadem prorsus ratione demonstrabimus, cylindros circumscriptae fìgurae sese aequaliter excedere, et esse excessus aequales minimo, et ipsorum centra gravitatum in distantiis aequalibus librae kz constituta; et, pariter, anulos iisdem cylindris aequales similiter disponi in altera libra kg, ipsius kz dimidia ; ac propterea circumscriptae gravitatis centrum, quod sit r, libras ita dividere, ut zr ad rk sit ut kr ad rg, Erit ergo zr dupla ipsius rk; ez vero rectae kd aequalis est, et non dupla : erit tota ed minor quam tripla ipsius dr ; quare recta dr maior est quam do : scilicet centrum circumscriptae a basi magis recedit, quam punctum o. Et quia zk tripla est ad kr, et kd cum duabus ze tripla ad kd. erit tota cd cum ez tripla ipsius dr. Est autem cd tripla ad do: quare reliqua cz reliquae ro tripla erit; scilicet or sexta pars est ipsius cc. Quod est propositum. His autem praedemonstratis, demonstratur, centrum gravitatis parabolici conoidis axem ita dividere, ut pars ad verticem reliquae ad basin sit dupla.
Esto parabolicum conoidale, cuius axis sit ab, divisus in n ita ut an ipsius nh sit dupla. Ostendendum est, centrum gravitatis conoidis esse n punctum. Si enim non est n, aut infra ipsum, aut supra ipsum, erit. Sit, primum, infra, sitque x; et exponatur linea lo ipsi nx aequalis, et lo contingenter dividatur in s; et quam rationem habet utraque sinml bx, os ad os, hanc habeat conoidale ad solidum r; et inscribatur conoidi figura ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, ita ut quae inter illius centrum gravitatis et punctum n intercipitur, minor sit quam ls; excessus autem, quo a conoide superatur, minor sit solido r. Hoc autem fieri posse, clarum est. Sit itaque inscripta, cuius gravitatis centrum sit i: erit iam ix maior so; et quia est, ut xb cum so ad so, ita conoidale ad r (est autem r maius excessu quo conoidale figuram inscriptam superat), erit conoidalis ad dictum excessum proportio, maior quam utriusque bx, os ad so; et, dividendo, figura inscripta ad dictum excessum maiorem rationem habebit quam [p. 193 bx ad so. Habet autem bx ad xi proportionem adhuc minorem quam ad so : inscripta igitur figura ad reliquas portiones multo maiorem proportionem habebit quam bx ad xi. Quam igitur proportionem habet inscripta figura ad reliquas portiones, alia quaedam linea habebit ad xi: quae necessario maior erit quam bx. Sit igitur mx. Habemus itaque centrum gravitatis conoidis x ; figurae autem in ipso inscriptae centrum gravitatis est i: reliquarum ergo portionum, quibus conoidale inscriptam figuram excedit, gravitatis centrum erit in linea xm, atque in eo ipsius puncto in quo sic terminata fuerit ut, quam proportionem habet inscripta figura ad excessum quo a conoide superatur, eandem ipsam habeat ad xi. Ostensum autem est, hanc proportionem esse illam quam habet mx ad xi; erit ergo m gravitatis centrum earum portionum quibus conoidale excedit inscriptam figuram : quod certe esse non potest ; nam, si per m ducatur planum basi conoidis aequidistans, erunt omnes dictae portiones versus eandem partem, nec ab eo dividentur. Non est igitur gravitatis centrum ipsius conoidis infra punctum n. Sed neque supra. Sit enim, si fieri potest, h ; et rursus, ut supra, exponatur linea lo aequalis ipsi hn, et contingenter divisa in s; et quam proportionem habet utraque simul bn, so ad sl, hanc habeat conoidale ad r; et conoidali circumscribatur figura ex cylindris, ut dictum est, a qua minori quantitate excedatur, quam sit solidum r; et linea Inter centrum gravitatis circumscriptae et signum n sit minor quam so: erit residua uh maior quam ls; et quia est, ut utraque bn, os ad sl, ita conoidale ad r (est autem r maius excessu quo conoidale a circumscripta superatur), ergo bn, so ad sl minorem rationem habet quam conoidale ad dictum excessum. Est autem bu minor quam utraque bn, so ; uh autem, maior quam sl : multo igitur maiorem rationem habet conoidale ad dictas portiones, [p. 194 quam bu ad uh. Quam igitur rationem habet conoidale ad easdem portiones, hanc habebit ad uh linea maior ipsa bu. Habeat, sitque ea mu; et, quia centrum gravitatis circumscriptae figurae est u, centrum vero conoidis est h, atque est ut conoidale ad residuas portiones ita mu ad uh, erit m centrum gravitatis residuarum portionuni : quod similiter est impossibile. Non est ergo centrum gravitatis conoidis supra punctum n: sed demonstratum est, quod neque infra: restat ergo ut in ipso n sit necessario. Et eadem ratione demonstrabitur de conoide plano super axe non erecto secto. Aliter, idem, ut constat in sequenti, centrum gravitatis conoidis parabolici inter cen- trum circumscriptae figurae et centrum inscriptae cadit.
Sit conoidale, cuius axis ab; et centrum circumscriptae sit e, inscriptae vero sit 0. Dico, centrum conoidis inter e, o puncta esse. Nam, si non, infra vel supra vel in altero eorum erit. Sit infra, ut in r: et, quia r est centrum gravitatis totius conoidis, inscriptae autem figurae est gravitatis centrum o, reliquarum ergo portionum, quibus inscripta figura a conoide superatur, centrum gravitatis erit in linea or ad partes r extensa, atque in eo puncto in quo sic terminatur, ut quam rationem liabent dictae portiones ad inscriptam, eandem liabeat or ad lineam 20 inter r et punctum illud cadentem. Sit liaoc ratio illa quam habet or ad rx. Aut igitur x cadet extra conoidem, aut intra, aut in ipsa basi. Si vel extra, vel in basi cadat, iam manifestum est absurdum. Cadat intra: et, quia xr ad ro est ut inscripta figura ad excessum quo a conoide superatur, rationem illam quam habet br ad ro, eandem habeat inscripta figura ad solidum k, quod necessario minus erit dicto excessu ; et inscribatur alia figura, quae a conoide superetur minori quantitate quam sit k, cuius gravitatis centrum cadet intra oc. Sit u: et, quia prima figura ad k est ut br ad ro, secunda autem figura, cuius centrum u, maior est prima, et a conoide exceditur minori quantitate quam sit k, quam rationem habet secunda figura ad excessum quo a conoide superatur, hanc habebit ad ru linea maior ipsa br. Est autem r centrum gravitatis [p. 195 conoidis ; inscriptae autem secundae, u : centrum ergo reliquarum portionum erit extra conoidem, infra b; quod est impossibile. Et eodem pacto demonstrabitur, centrum gravitatis eiusdem conoidis non esse in linea ca. Quod autem non sit alterum punctorum c, o, manifestum est. Si enim dicas esse, descriptis aliis figuris, inscripta quidem maiori illa cuius centrum o, circumscripta vero minore ea cuius centrum c, centrum conoidis extra harum figurarum centrum caderet; quod nuper, impossibile esse, conclusum est. Restat ergo ut inter centrum circumscriptae et inscriptae figurae sit. Quod si ita est, necessario erit in signo illo, quod axem dividit ut pars ad verticem reliquae sit dupla. Cum enim circumscribi et inscribi possint figurae, ita ut quae inter ipsarum centrum et dictum signum cadunt lineae, quacunque linea sint minores, aliter dicentem ad impossibile deduceremus: quod, scilicet, centrum conoidis non intra inscriptae et circumscriptae centra caderet.
Si fuerint tres lineae proportionales, et quam proportionem habet minima ad excessum quo maxima minimam superat, eandem habeat linea quaedam sumpta ad duas tertias excessus quo maxima mediam superat ; et, item, quam proportionem habet composita ex maxima et dupla mediae ad compositam ex tripla maximae et mediae, eandem habuerit alia linea sumpta ad excessum quo maxima mediam excedit ; erunt ambae lineae sumptae simul, tertia pars maximae proportionalium.
Sint tres lineae proportionales ab, bc, bf : et quam proportionem habet bf ad af, hanc habeat ms ad duas tertias ipsius ca ; quam vero proportionem habet composita ex ab et dupla bc ad compositam ex tripla utriusque ab, bc, eandem habeat alia, nempe sn, ad ac. Demonstrandum est, mn tertiam esse partem ipsius ab. Quia itaque ab, bc, bf sunt proportionales, erunt etiam ac, cf in eadem ratione : est igitur ut ab ad bc, ita ac ad cf ; et ut tripla ab ad triplam bc, ita ac ad cf. Quam itaque rationem habet tripla ab cum tripla bc ad triplam cf, hanc habebit ac ad lineam minorem ipsa cf. Sit illa co. Quare, componendo et per conversionem proportionis, oa ad ac eandem habebit rationem, quam tripla ab cum sexcupla bc ad triplam ab cum tripla bc : habet autem ac [p. 196 ad sn eandem rationem quam tripla ab cum tripla be ad ab cum dupla bc : ex aequali igitur oa ad ns eandem habebit rationem, quam tripla ab cum sexcupla bc ad ab cum dupla bc. Verum tripla ab cum sexcupla bc triplae sunt ad ab cum dupla bc ; ergo ao tripla est ad sn. Rursus : quia oc ad ca est ut tripla cb ad triplam ab cum tripla cb ; est autem sicut ca ad cf ita tripla ab ad triplam bc; ex aequali, ergo, in proportione perturbata, ut oc ad cf, ita erit tripla ab ad triplam ab cum tripla bc, et, per conversionem rationis, ut of ad fc, sic tripla bc ad triplam ab cum tripla bc. Est autem, sicut cf ad fb ita ac ad cb, et tripla ac ad triplam bc; ex aequali igitur, in propor- tione perturbata, ut of ad fb ita tripla ac ad triplam utriusque simul ab, bc. Tota igitur ob ad bf erit ut sexcupla ab ad triplam utriusque ab, bc; et, quia fc, ea in eadem sunt ratione et cb, ba, erit sicut fc ad ca, ita bc ad ba et, componendo, ut fa ad ac, ita utraque ba, bc ad ba, et sic tripla ad triplam : ergo ut fa ad ac, ita composita ex tripla ba et tripla bc ad triplam ab ; quare, sicut fa ad duas tertias ipsius ac, sic composita ex tripla ba et tripla bc ad duas tertias triplae ba, hoc est ad duplam ba. Sed sicut fa ad duas tertias ipsius ac, ita fb ad ms ; sicut ergo fb ad ms, ita composita ex tripla ba et tripla bc ad duplam ba. Verum sicut ob ad fb, ita erat sexcupla ab ad triplam utriusque ab, bc: ergo, ex aequali, ob ad ms eandem habebit rationem quam sexcupla ab ad duplam ba ; quare ms erit tertia pars ipsius ob. Et demonstratum est, sn tertiam esse partem ipsius ao: constat ergo, mn ipsius ab tertiam similiter esse partem. Et hoc est quod demonstrandum fuit.
Cuiuslibet frusti a conoide parabolico abscissi centrum gravitatis est in linea reeta quae frusti est axis ; qua in tres aequas partes divisa, centrum gravitatis in media existit, eamque sic dividit, ut pars versus minorem basim ad partem versus maiorem basim, eandem habeat rationem quam maior basis ad basim minorem.
A conoide, cuius axis rb, abscissum sit solidum, cuius axis bc, et planum abscindens sit basi aequidistans ; secetur autem altero plano per axem super basin erectum, sitque sectio parabolae urc ; huius autem et plani secantis et basis sectiones sint lineae rectae lm, uc: erit rb diameter proportionis, vel diametro aequidistans ; lm, uc erunt [p. 197 ordinatim applicatae. Dividatur itaque eb in tres partes aequales, quarum media sit qy; haec autem signo i ita dividatur, ut, quam rationem habet basis cuius diameter uc, ad basin cuius diameter lm, hoc est quam habet quadratum uc ad quadratum lm, eandem habeat qi ad iy. Demonstrandum est, i centrum gravitatis esse frusti lmc. Exponatur linea ns aequalis ipsi br, et sx aequalis sit cr; ipsarum autem ns, sx sumatur tertia proportionalis sg; et quam proportionem habet ng ad gs hanc habeat linea bq ad io. Nihil autem refert, si punctus o supra vel infra lm cadat. Et quia in sectione urc lineae lm, uc ordinatim sunt applicatae, erit ut quadratum uc ad quadratum lm, ita linea br ad re: est autem ut quadratum uc ad quadratum lm, ita qi ad iy et ut br ad re, ita ns ad sx: ergo qi ad iy est ut ns ad sx. Quare ut qy ad yi, ita erit utraque ns, sx ad sx, et ut eb ad yi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad sx: est autem ut eb ad by, ita composita ex tripla utriusque simul ns, sx ad compositam ex ns, sx : ergo ut eb ad bi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad compositam ex ns et dupla sx. Sunt igitur tres lineae proportionales, ns, sx, gs; et quam proportionem habet sg ad gn, hanc habet quaedam sumpta oi ad duas tertias ipsius eb, hoc est ipsius nx; quam autem proportionem composita ex ns et dupla sx, ad compositam ex tripla ns et tripla sx, eandem habet alia quaedam sumpta ib ad be, hoc est ad nx. Per ea igitur, quae supra demonstrata sunt, erunt lineae illae simul sumptae tertia pars ipsius ns, hoc est ipsius rb ; est ergo rh tripla ipsius bo: quare o erit centrum gravitatis conoidis urc. Sit autem a centrum gravitatis conoidis lrm; frusti ergo ulmc centrum gravitatis est in linea ob, atque in eo puncto qui illam sic terminat, ut quam rationem habet ulmc frustum ad lrm portionem, eam habeat linea ao ad eam quae inter o et dictum punctum intercedit. Et quia ro est duae tertiae ipsius rb, ra vero duae tertiae ipsius re ; erit reliqua ao duae tertiae reliquae eb. Et quia est, ut frustum ulmc ad portionem lrm, ita ng ad gs ; ut autem ng ad gs, ita duae tertiae eb ad oi; duabus [p. 198 autem tertiis ipsius eb aequalis est linea ao ; erit ut frustum ulmc ad portionem lrm, ita ao ad oi. Constat igitur, frusti ulmc gravitatis centrum esse punctum i, et axem ita dividere, ut pars versus minorem basin ad partem versus maiorem sit ut dupla maioris basis una cum minori ad duplam minoris una cum malori. Quod est propositum elegantius explicatum.
Si magnitudines quotcunque ita inter se dispositae, ut secunda addat super primam duplum primae, tertia addat super secundam triplum primae, quarta vero addat super tertiam quadruplum primae, et sic unaquaeque sequentium super sibi proximam addat magnitudinem primae multiplicem secundum numerum quem ipsa in ordine retinuerit ; si, inquam, hae magnitudines ordinatim in libra ex distaniiis aequalibus suspendantur ; centrum aequilibrii omnium compositarum libram ita dividet, ut pars versus minores magnitudines reliquae sit tripla.
Esto libra LT ; et magnitudines, quales dictum est, in ea pendeant, et sint A, F, G, H, K, quarum A ex T suspensa sit prima. Dico, centrum aequilibrii libram TL ita secare, ut pars versus T reliquae sit tripla. Sit TL tripla ad LI, et SL tripla LP, et QL ipsius LN, et LP ipsius LO ; erunt IP, PN, NO, OL aequales. Et accipiatur in F magnitudo ipsius A dupla, in G vero alia eiusdem tripla, in H eiusdem quadrupla, et sic deinceps ; et sint sumptae magnitudines illae in quibus a. Et idem fiat in magnitudinibus F, G, H, K : quum enim in F reliqua magnitudo, nempe b, sit aequalis A, sumatur in G ipsius dupla, in H tripla etc; et sint hae magnitudines sumptae, in quibus b : et eodem pacto sumantur illae, in quibus c, et in quibus d, et e. Erunt iam omnes in quibus a, aequales ipsi K ; composita vero ex omnibus b aequabitur ipsi H ; composita ex c, ipsi G ; ex omnibus d vero composita aequabitur F ; et e, ipsi A. Et, quia TI dupla est IL, erit I punctum aequilibrii magnitudinis compositae ex omnibus a; et, similiter, cum SP ipsius PL sit dupla, erit P punctum aequilibrii compositae ex omnibus b ; et, eamdem ob causam, N erit punctum [p. 199 aequilibrii compositae ex omnibus c ; O, vero, compositae ex d ; et L, ipsius e. Est igitur libra quaedam TL, in qua ex distantiis aequalibus pendent magnitudines quaedam K, H, G, F, A ; et, rursus, est alia libra LI, in qua ex distantiis similiter aequalibus pendent totidem numero magnitudines, et eodem ordine praedictis aequales : est enim composita ex omnibus a, quae pendet ex I, aequalis K pendenti ex L ; et composita ex omnibus b, quae pendet ex P, aequatur H pendenti ex P ; et, similiter, composita ex c, quae pendet ex N, aequatur G ; et composita ex d, quae pendet ex O, aequatur F ; et e, pendens ex L, aequalis est A. Quare librae eadem ratione a centro compositarum magnitudinum dividentur : unum est autem centrum compositae ex dictis magnitudinibus : erit ergo punctum commune rectae TL et rectae LI, centrum; quod sit X. Itaque ut TX ad XL, ita erit LX ad XI, et tota TL ad LI : est autem TL ipsius LI tripla : quare et TX ipsius XL tripla erit.
Si magnitudines quotcumque ita sumantur, ut secunda addat super priman triplum primae, tertia vero super secundam addat quintuplum primae, quarta autem super tertiam addat septuplum primae, et sic deinceps uniuscuiusque augmentum super sibi proximam procedat multiplex primae magnitudinis secundum numeros consequenter impares, sicuti procedunt quadrata linearum sese aequaliter excedentium, quarum excessus minimae sit aequalis; et in libra ex distantiis aequalibus suspendantur ; omnium compositarum centrum aequilibrii libram dividet, ut pars versus minor es magnitudines reliquae sit maior quam tripla, eadem vero, dempta una distantia, eiusdem minor sit quam tripla.
Sint in libra BE magnitudines, quales dictum est, a quibus auferantur magnitudines aliquae inter se ut quae in praecedenti dispositae fuerunt; et sint compositae ex omnibus a: erunt reliquae, in quibus c, eodem ordine distributae, sed deficientes maxima. Sit ED tripla DB, et GF tripla FB; erit D centrum aequilibrii compositae ex omnibus a ; F vero, compositae ex omnibus c : quare compositae ex omnibus a, c, centrum cadet inter D [p. 200 et F. Sit O. Manifestum itaque est, EO ipsius OB maiorem esse quam triplam ; GO vero eiusdem OB minorem esse quam triplam. Quod demonstrandum erat.
Si cuicumque cono, vel coni portioni, ex cylindris aequalem altitudinem hahentibus figura una inscrihatur, et altera circumscribatur ; itemque axis eius ita dividatur, ut pars quae inter punctum divisionis et verticem intercipitur, reliquae sit tripla ; erit inscriptae figurae gravitatis centrum propinquius basi coni quam punctum illud divisionis; circumscriptae vero centrum gravitatis eodem' puncto erit vertici propinquius.
Sit itaque conus, cuius axis nm dividatur in s ita ut ns reliquae sm sit tripla. Dico, cuiuscumque figurae cono, ut dictum est, inscriptae centrum gravitatis in axe nm consistere, et ad basin coni magis accedere quam s punctum; circumscriptae vero gravitatis centrum similiter in axe nm esse, et vertici propinquius quam sit s. Intelligatur itaque inscripta figura ex cylindris, quorum axes mc cb, be, ea aequales sint. Primus itaque cylindrus, cuius axis mc, ad cylindrum, cuius axis cb, eamdem habet rationem quam sua basis ad basin alterius (sunt enim eorum altitudines aequales) ; haec autem ratio eadem est ei quam habet quadratum cn ad quadratum nb. Et similiter ostendetur, cylindrum, cuius axis cb, ad cylindrum, cuius axis be, eandem habere rationem quam quadratum bn ad quadratum ne; cylindrum vero, cuius axis be, ad cylindrum circa axem ea, eam quam habet quadratum en ad quadratum na. Sunt autem lineae nc, nb, en, na sese aequaliter excedentes, et earum excessus aequantur minimae, nempe ipsi na, Sunt igitur magnitudines quaedam, nempe inscripti cylindri, eam inter se consequenter rationem habentes, quam quadrata linearum sese aequaliter excedentium et quarum excessus minimae aequantur : suntque ita dispositi in libra ti, ut singulorun centra gravitatum in ea, et in distantiis aequalibus, consistant. Per ea igitur quae supra demonstrata sunt, constat, gravitatis centrum omnium ita [p. 201 compositorum libram ti ita dividere, ut pars versus t sit maior quam tripla reliquae. Sit hoc centrum o ; est ergo to maior quam tripla ipsius oi, Verum tn tripla est ad im ; ergo tota mo minor erit quam pars quarta totius mn cuius ms pars quarta posita est. Constat ergo, signum o basi coni magis accedere quam s. Verum sit iam circumscripta figura constans ex cylindris, quorum axes mc, cb, be, ea, an inter se sint aequales. Similiter, ut de inscriptis, ostendetur, esse inter se sicut quadrata linearum mn, nc, bn, ne, an, quae sese aequaliter excedunt, excessusque aequatur minimae an ; quare, per praemissam, centrum gravitatis omnium cylindrorum ita dispositorum, quod sit u, libram ri sic dividet, ut pars versus r, nempe ru, reliquae ui sit maior quam tripla ; tu vero eiusdem minor erit quam tripla. Sed nt tripla est ipsius im; igitur tota um maior est quam pars quarta totius mn, cuius ms pars quarta posita est. Itaque punctum u vertici propinquius est quam punctum s. Quod ostendendum erat.
Cono dato potest figura circumscribi et altera inscribi, ex cylindris aequalem altitudinem hahentibus, ita ut linea quae inter centrum gravitatis circumscriptae et centrum gravitatis inscriptae intercipitur, minor sit quacumque linea proposita.
Sit datus conus, cuius axis ab; data autem recta sit k. Dico: exponatur cylindrus l aequalis ei qui in cono inscribitur, altitudinem habens dimidium axis ab, et ab dividatur in c, ita ut ac ipsius cb tripla sit, et quam rationem habet ac ad k, hanc babeat cylindrus l ad solidum x: cono autem circumscribatur figura ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, et altera inscribatur, ita ut circumscripta excedat inscriptam minori quantitate quam sit solidum x; sitque circumscriptae gravitatis centrum e, quod cadet supra c; inscriptae vero centrum sit s, cadens sub c. Dico iam, es lineam ipsa k minorem esse. Nam, si non, ponatur ipsi ca aequalis eo : quia igitur oe ad k [p. 202 eandem habet rationem quam l ad x, inscripta vero figura minor non est cylindro l, excessus autem, quo dicta figura a circumscripta superatur, minor est solido x; inscripta igitur figura ad dictum excessum maiorem rationem habebit quam oe ad k. Ratio autem oe ad k non est minor ea quam habet oe ad es, cum es non ponatur minor k; igitur inscripta figura ad excessum, quo a circumscripta superatur, maiorem habet rationem quam oe ad es. Quam igitur rationem habet inscripta ad dictum excessum, hanc habebit ad lineam es linea quaedam maior ipsa eo. Sit illa er ; est autem inscriptae figurae centrum gravitatis s ; circumscriptae vero centrum est e : constat ergo, reliquarum portionum, quibus circumscripta excedit inscriptam, centrum gravitatis esse in linea re, atque in eo puncto, a quo sic terminatur, ut quam rationem habet inscripta ad dictas portiones, eandem habeat linea inter e et punctum illud intercepta, ad lineam es. Hanc vero rationem habet re ad es ; ergo reliquarum portionum, quibus circumscripta superat inscriptam figuram, gravitatis centrum erit r: quod est impossibile; planum enim ductum per r basi coni aequidistans dictas portiones non secat. Falsum igitur est, lineam es non esse minorem ipsa k; erit ergo minor. Haec autem, non dissimili modo, in pyramide fieri posse, demonstrabuntur.
Ex his manifestum est, cono dato posse figuram unam circumscribi et alteram inscribi, ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, ita ut lineae, quae inter earum centra gravitatum, et punctum quod axem coni ita dividit ut pars ad verticem reliquae sit tripla, intercipiuntur, quacunque data linea sint minores. Cum enim, ut demonstratum est, dictum punctum axem dividens, ut dictum est, semper inter circumscriptae et inscriptae gravitatum centra reperiatur ; fierique possit, ut quae inter eadem centra mediat linea, minor sit quacumque linea proposita ; multo minor eadem proposita linea sit, quae inter alterum centrorum et dictum punctum axem dividens inter cipitur.
Cuiuslibet coni vel pyramidis centrum gravitatis axem dividit, ut pars ad verticem reliquae ad basin sit tripla.
Esto conus, cuius axis ab, et in c dividatur, ita ut ac reliquae cb sit tripla : ostendendum est, c esse gravitatis centrum coni. Nam si [p. 203 non est, erit coni centrum aut supra, aut infra punctum c. Sit prius infra, et sit e; et exponatur linea lp aequalis ce, quae contingenter dividatur in n; et quam rationem habet utraque simul be, pn ad pn, hanc habeat conus ad solidum x; et inscribatur cono solida figura ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, cuius centrum gravitatis a puncto c minus distet quam sit linea ln; et excessus, quo a cono superatur, minor sit solido x. Haec enim fieri posse, ex demonstratis manifestum est. Sit iam inscripta figura, qualis petitur, cuius centrum gravitatis sit i. Erit igitur ie linea maior quam np, cum lp sit aequalis ce; et ic, minor ln: et, quia utraque simul be, np ad np est ut conus ad x, excessus autem, quo conus inscriptam figuram superat, minor est solido x, ergo conus ad dictum excessum maiorem rationem habebit quam utraque be, np ad np ; et, dividendo, inscripta figura ad excessum quo a cono superatur, maiorem rationem habebit quam be ad np. Habet autem be ad ei minorem adhuc rationem quam ad np, cum ie maior sit np; ergo inscripta figura ad excessum quo a cono superatur, multo maiorem rationem habet quam be ad ei. Quam igitur rationem habet inscripta ad dictum excessum, hanc habebit ad ei linea quaedam maior ipsa be. Sit illa me : quia igitur me ad ei est ut inscripta figura ad excessum quo a cono superatur, et est e centrum gravitatis coni, i vero est gravitatis centrum inscriptae, ergo m erit centrum gravitatis reliquarum portionum, quibus conus inscriptam sibi figuram excedit; quod est impossibile. Non est ergo centrum gravitatis coni infra c punctum. Sed neque supra. Nam, si potest, sit r ; et rursus sumatur linea lp, contingenter in n secta ; et quam rationem habet utraque simul bc, np ad ni, hanc habeat conus ad x ; et circumscribatur similiter cono figura, a qua minori quantitate superetur, quam sit solidum x ; et linea, quae inter illius centrum gravitatis et c intercipitur, minor sit ipsa np. Sit iam circumscripta, cuius centrum sit o : erit reliqua or maior ipsa nl. Et quia, ut utraque simul bc, pn ad ni, ita conus ad x, excessus vero, quo conus a circumscripta superatur, minor est quam x, ipsa vero bo [p. 204 minor est quam utraque simul bc, pn, ipsa autem or maior quam ln; conus igitur ad reliquas portiones, quibus a circumscripta superatur, multo maiorem rationem habebit quam bo ad or. Habeat rationem illam mo ad or: erit mo maior ipsa bc; et m erit centrum gravitatis portionum, quibus conus a circumscripta superatur figura ; quod est inconveniens. Non est ergo gravitatis centrum ipsius coni supra punctum c : sed neque infra, ut ostensum est : ergo erit ipsum c. Et idem, eodem prorsus modo, in pyramide quacumque demonstrabitur.
Si fuerint quatuor lineae continue proportionales ; et quam rationem habet minima earum ad excessum quo maxima minimam superat, eandem hahuerit linea quaedam sumpta ad ¾ exeessus quo maxima secundam superat ; quam autem rationem habet linea his aequalis, maximae, duplae seeundae, et triplae tertiae, ad lineam aequalem quadruplae maximae, quadruplae secundae, et quadruplae tertiae, candem habuerit alia quaedam sumpta ad excessum quo maxima secundam superat ; erunt istae duae lineae, simul sumptae, quarta pars maximae proportionalium.
Sint enim quatuor lineae proportionales ab, bc, bd, be; et quam rationem habet be ad ea, eandem habeat fg ad ¾ ipsius ac ; quam autem rationem habet linea aequalis ab et duplae bc et triplae bd, ad aequalem quadruplae ipsarum ab, bc, bd, hanc habeat hg ad ac.
Errore nelle note: Sono presenti dei marcatori per un gruppo chiamato " " ma non è stato trovato alcun marcatore corrispondente
* ↑ quocunque
* ↑ f aequatur
* ↑ g aequatur
* ↑ minime
* ↑ 4. est autem αe —
* ↑ 5. quam ex —
* ↑ 9. mx ac xi
* ↑ 20. earum proportionum
* ↑ 22. dictae proportiones
* ↑ 27. conoidale circum scribatur
* ↑ 35. dictas proportiones
* ↑ 1-2. easdem proportiones
* ↑ 4-5. residuas proportiones
* ↑ 16. ergo proportionum'
* ↑ 19. dictae proportiones
* ↑ 31. infra oc
* ↑ 1-2. proportionum
* ↑ 2. conoides
* ↑ 11 cum n circumscribi
* ↑ 13. utriusque ab, ac
* ↑ 16. ut rs ad — ut gy
* ↑ 28. autem centrum
* ↑ 30. quae rationem
* ↑ 31. frusti ad lrm proportionem
* ↑ 34. proportionem lrm
* ↑ 2. proportionem lrm
* ↑ 5. ad es cum es. Non
* ↑ 8. lineam es. Linea
* ↑ 10-11, 15. reliquarum proportionum
* ↑ 13, 18. dictas proportiones
* ↑ 28. media
* ↑ 12. np cum lp. Sit
* ↑ 20. np cum ie. Maior
* ↑ 26. reliquarum proportionum
* ↑ 2. reliquas proportiones
* ↑ 4-5. gravitatis proportionum
[p. 205 Ostendendum est, hf quartam esse partem ipsius ab. Quia igitur ab, bc, bd, be sunt proportionales, in eadem ratione erunt etiam ac, cd, de; et ut quadrupla ipsarum ab, bc, bd ad ab cum dupla bc et tripia bd, ita quadrupla ipsarum ac, cd, de, hoc est quadrupla ipsius ae, ad ac cum dupla cd et tripla de ; et sic est ac ad hg : ergo ut tripla ipsius ac ad ac cum dupla cd et tripla de, ita ¾ ipsius ac ad hg. Est autem ut tripla ae ad triplam eb, ita ¾ ac ad gf; ergo, per conversam vigesimam quartam quinti, ut tripla ae ad ac cum dupla cd et tripla db, ita ¾ ipsius ac ad hf ; et ut quadrupla ae ad ac cum dupla cd et tripla db, hoc est ad ab cum cb et bd, ita ac ad hf; et, permutando, ut quadrupla ae ad ac, ita ab cum cb et bd ad hf; ut autem ac ad ae, ita ab ad ab cum cb et bd; ergo, ex acquali, in proportione perturbata, ut quadrupla ae ad ae, ita ab ad hf. Quare constat, hf quartam esse partem ipsius ab.
Cuiuseumque frusti pyramidis, seu coni, plano basi aequidistante secti, centrum gravitatis in axe eonsistit; eumque ita dividit, ut pars versus [p. 206 [p. 207 et maxima, hoc est ut uo ad od, ita tripla hx cum dupla xk et xl, ad triplam xl cum dupla xk et xh ; et, componendo et convertendo, erit od ad du, ut hx cum dupla xk et tripla xl ad quadruplam ipsarum hx, xk, xl. Sunt igitur 4 lineae proportionales, hx, xk, xl, xs; et quam rationem habet xs ad sh, hanc habet linea quaedam sumpta no ad ¾ ipsius du, nempe ad dm, hoc est ad ¾ ipsius hk; quam autem rationem habet hx cum dupla xk et tripla xl ad quadruplam ipsarum hx, xk, xl, eandem habet alia quaedam sumpta od ad du, hoc est ad hk : ergo (per ea quae demonstrata sunt) dn erit quarta pars ipsius hx, hoc est ipsius ad ; quare punctum n erit gravitatis centrum coni, vel pyramidis, cuius axis ad. Sit pyramidis, vel coni, cuius axis au, centrum gravitatis i. Constat igitur, centrum gravitatis frusti esse in linea in ad partes n extensa, in eoque eius puncto qui cum puncto n lineam intercipiat, ad quam in eam habeat rationem quam abscissum frustum habet ad [p. 208 pyramidem vel conum, cuius axis au. Ostendendum itaque restat, in ad no eandem habere rationem quam frustum ad conum cuius axis au. Est autem ut conus cuius axis da ad conum cujus axis au, ita cubus da ad cubum au, hoc est cubus hx ad cubum xk : haec autem eadem est proportio quam habet hx ad xs: quare, dividendo, ut hs ad sx, ita erit frustum cuius axis du, ad conum vel pyramidem cuius axis ua. Est autem ut hs ad sx, ita etiam md ad on; quare frustum ad pyramidem cuius axis au, est ut md ad no. Et quia an est ¾ ipsius ad; ai autem est¾ ipsius au; erit reliqua in ¾ reliquae ud; quare in aequalis erit ipsi md. Et demonstratum est, md ad no esse ut frustum ad conum au : constat ergo, hanc eandem rationem habere etiam in ad no. Quare patet propositum.
Errore nelle note: Sono presenti dei marcatori per un gruppo chiamato " " ma non è stato trovato alcun marcatore corrispondente

#### Varianti

[p. 204
Lemma.
Si fuerint quatuor lineae proportionales; et quam rationem habet minima earum ad excessum quo maxima minimam superat, eandem habuerit linea quaedam sumpta ad tres quartas excessus quo maxima secundam superat; quam autem rationem habet linea his aequalis, maximae, duplae secundae, et triplae tertiae, ad lineam aequalem quadruplae maximae, quadruplae secundae, et quadruplae tertiae, eandem habuerit alia quaedam sumpta ad excessum quo maxima secundam superat; erunt istae duae lineae, simul sumptae quarta pars maximae proportionalium.
Sint enim quatuor lineae proportionales ab, bc, bd, be; et quam rationem habet bc ad ea, eandem habeat fg ad ¾ ipsius ac; quam autem rationem habet linea aequalis ab, duplae bc, et triplae bd, ad aequalem quadruplae ipsarum ab, bc, bd, hanc habeat hg ad ac. Ostendendum [p. 205 est, hf quartam esse partem ipsius ab. Quia igitur ab, bc, bd, be sunt proportionales, in eadem ratione erunt etiam ac, cd, de; et ut quadrupla ipsarum ab, bc, bd ad ab cum dupla bc et tripla bd, ita quadrupla ipsarum ac, cd, de, hoc est quadrupla ipsius ae, ad ac cum dupla cd et tripla de; et sic est ac ad hg: ergo ut tripla ipsius ae ad ac cum dupla ed et tripla de, ita ¾ ipsius ac ad hg. Est autem ut tripla ae ad triplam eb, ita ¾ ac ad gf : ergo, per conversam 24$^m$5$^i$, ut tripla ae ad ac cum dupla cd et tripla db, ita ¾ ipsius ac ad hf ; et ut quadrupla ae ad ac cum dupla cd et tripla db, hoc est ad ab cum cb et bd, ita ac ad hf; et, permutando, ut quadrupla ae ad ac, ita ab cum cb et bd ad hf; ut autem ac ad ae, ita ab ad ab cum cb et bd: ergo, ex acquali in proportione perturbata, ut quadrupla ae ad ae, ita ab ad hf. Quare constat, hf quartam esse partem ipsius ab.
Cuiuscunque frustri pyramidis, seu coni, plano basi aequidistante abscissi, centrum gravitatis in axe consistit, ita ut, prius ab eo utrinque quarta sui — [p. 206 parte dempta, centrum gravitatis in reliqua consistit; eamque sic dividit, ut pars versus minorem basem ad reliquam eandem habeat rationem, quam spacium quod basium sit medium proportionale cum duplo maioris basis habet ad idem spacium inter bases proportionale cum duplo minoris basis.
A cono vel pyramide, cuius axis ad, secetur plano basi aequidistante frustrum, cuius axis ud ; ab ud autem utrinque quarta sui pars auferatur, et reliqua intermedia sit mr, quae in signo o dividatur ita ut mo ad or eandem habeat rationem, quam dupla maioris basis, cum ea quae inter maiorem et minorem basem est intermedia in ratione, habet ad eandem mediam una cum dupla minoris basis. Ostendendum est, o centrum gravitatis frustri existere. Exponatur linea hx 11 et 12, 6ipsi ad aequalis, sitque kx aequalis au; ipsarum vero hx, xk tertia proportionalis sit xl, et quarta xs: et quam rationem habet hs ad sx, 20, 6, vel 2, 12 vel per 7 conoidum Archim.hanc md ad lineam sumptam ab o versus a; quae sit on. Et [p. 207 quia maior basis ad eam quae inter maiorem et minorem est media proportionalis, est ut da ad au, hoc est ut hx ad xk, dicta autem media ad minorem est ut kx ad xl; erunt maior, media et minor bases in eadem ratione et lineae hx, xk, xl, Quare ut dupla maioris basis cum media, ad mediam cum dupla minoris, hoc est ut mo ad or, ita erit dupla hx cum xk, ad kx cum dupla xs: et, componendo, ut mr ad ro, ita dupla ipsarum hx, xk, xl ad kx cum dupla xl; et ut ud, quae est dupla ipsius mr ad or, ita quadrupla ipsarum hx, xk, xl ad kx cum dupla xl. Est autem ut ud ad dr, ita quadrupla ipsarum hx, xk, xl ad aequalem ipsis hx, xk, xl; ergo ut ud ad do, ita quadrupla ipsarum hx, xk, xl, ad hx cum dupla xk et tripla xl. Sunt itaque quatuor lineae proportionales hx, xk, xl, xs ; et quam rationem habet xs ad sh, hanc habet linea quaedam sumpta no ad ¾ ipsius du, nempe ad dm, hoc est ad ¾ ipsius hk ; quam autem rationem habet hx cum dupla xk et tripla xl ad quadruplam ipsarum hx, xk, xl, eandem habet alia quaedam sumpta od ad du, hoc est ad hk: ergo dn erit quarta pars per lemma superius. ipsius hx, hoc est ipsius ad; quare punctum n erit gravitatis centrum coni, vel pyramidis, cuius axis ad- Sit pyramidis, vel coni, cuius axis au, centrum gravitatis i. Constat igitur, centrum gravitatis frustri esse in linea in ad partes n extensa, in eoque eius puncto qui cum puncto n lineam intercipiat, ad quam in eam habeat rationem quam abscissum [p. 208 frustrum habet ad pyramidem vel conum cuius axis au. Est autem dictum centrum o ; ostendendum itaque restat, in ad no eandem habere rationem quam frustrum ad conum cuius axis au. Est autem ut conus cuius axis da ad conum cuius axis au, ita cubus da ad cubum au, hoc est cubus hx ad cubum xk: haec autem eadem est proportio quam habet hx ad xs: quare, dividendo, ut hs ad sx, ita erit frustrum cuius axis du, ad conum vel pyramidem cuius axis ua. Est autem ut hs ad sx, ita md ad on ; quare frustrum ad pyramidem cuius axis au, est ut md ad no. Et quia an est ¾ ipsius ad; ai autem est ¾ ipsius au; erit reliqua in ¾ reliquae ud; quare in aequalis erit ipsi md. Et demonstratum est, md ad no esse ut frustrum ad conum au : constat ergo, hanc eandem rationem habere etiam in ad no. Quare patet propositum.
Errore nelle note: Sono presenti dei marcatori per un gruppo chiamato " " ma non è stato trovato alcun marcatore corrispondente
* ↑ 26. tertio
* ↑ 29. maxime
* ↑ 30. linee
* ↑ 32. duple
* ↑ 23-24. ergo ut tripla de, ita
* ↑ 25. 34$^m$5i
* ↑ 26-27. quadrupla ac
* ↑ 31. quarta
* ↑ 23. bassium
* ↑ 25-26. aequidistancte
* ↑ 27. dividat
* ↑ 31. fruxtri
* ↑ 16. ut da au
* ↑ 17. ut hx
* ↑ 22-23. demostratum