# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Paragrafo 11

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§ 11. — Calcolo combinatorio. Prodotti di binomii e formola del binomio.
$\alpha$) Ricordiamo rapidamente una ben nota formola di calcolo combinatorio.
Sia ${\binom {n}{h}}$ il numero delle combinazioni di $n$ oggetti ad $h$ ad $h$, cioè il numero dei modi possibili, in cui possiamo scegliere un gruppo di $h$ elementi tra $n\geq h$ elementi prefissati.
Per $h=1$ è evidentemente ${\binom {n}{1}}=n$. Se poi $G_{h-1}$ è un gruppo di $h-1$ elementi scelti tra i dati, noi potremo dedurne un gruppo $G_{h}$ di $h$ elementi, aggiungendo a $G_{h-1}$ uno dei residui $n-(h-1)$ elementi; otteniamo così da ogni $G_{h-1}$ proprio $n-(h-1)$ gruppi $G_{h}$. Operando però in tal modo sui vari $G_{h-1}$, otteniamo ogni $G_{h}$ precisamente $h$ volte, perchè ogni $G_{h}$ contiene $h$ gruppi $G_{h-1}$. Perciò il numero ${\binom {n}{h}}$ dei $G_{h}$ è uguale al prodotto di ${\frac {n-(h-1)}{h}}$ per il numero ${\binom {n}{h-1}}$ dei $G_{h-1}$. Quindi
[p. 43 che si può scrivere ${\binom {n}{h}}={\frac {\lfloor {\underline {n}}}{\lfloor {\underline {h}}\lfloor {\underline {n-h}}}}$. Ne risulta in particolare ${\binom {n}{h}}={\binom {n}{n-h}}$.
Il numeratore $n(n-1)(n-2)\ldots (n-h+1)$ della (1) dà il numero delle disposizioni di $n$ oggetti ad $h$ ad $h$ cioè il numero dei modi con cui si possono scegliere ed ordinare $h$ oggetti tra $n$ oggetti dati, quando si considerino come distinti due gruppi, anche se differiscono soltanto per l’ordine in cui si susseguono i dati oggetti. Infatti il primo oggetto di una di tali disposizioni si può scegliere ad arbitrio tra gli $n$ oggetti dati; il secondo si potrà scegliere tra i residui $n-1$; scelti i primi due oggetti, il terzo si può scegliere tra i residui $n-2$; e così via; lo $h^{\text{esimo}}$ ultimo oggetto della disposizione si può scegliere tra $n-h+1$ oggetti.
Così il denominatore $\lfloor {\underline {h}}=h(h-1)(h-2)...(h-h+a)$ è il numero delle disposizioni di $h$ oggetti ad $h$ ad $h$, cioè il numero delle permutazioni di $h$ oggetti.
La formola precedente dimostra dunque che, come si può dimostrare direttamente nel modo più semplice, il numero ${\binom {\text{n}}{\text{h}}}$ delle combinazioni di n oggetti ad h ad h è uguale al quoziente ottenuto dividendo il numero delle disposizioni di n oggetti ad h ad h per il numero delle permutazioni di h oggetti.
$\beta$) Siano $x_{1},a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ numeri qualsiasi. Consideriamo il prodotto:
$(x+a_{1})(x+a_{2})\ldots (x+a_{n})$.
L’algebra elementare insegna che questo prodotto è uguale alla somma di tutti i prodotti $P$ ottenuti moltiplicando tra di loro un addendo del binomio $x+a_{1}$, un addendo del binomio $x+a_{2}$, ..., un addendo del binomio $x+a_{n}$. Tra questi prodotti $P$ ve ne saranno alcuni che non contengono la $x$ (o, come si dice, che contengono il solo fattore $x^{0}$, altri che contengono il fattore $x$ e non il fattore $x^{2}$, altri che contengono il fattore $x^{2}$ e non il fattore $x^{3}$, eccetera, altri che contengono il fattore $x^{n}$. Per formare quelli dei prodotti $P$, che contengono il fattore $x^{h}$ e non il fattore $x^{h+1}(0\leq h\leq n)$, si dovrà scegliere in $h$ dei binomii $x+a_{1},x+a_{2},\ldots ,x+a_{n}$, il primo addendo $x$, e negli altri $n-h$ binomii si dovrà scegliere il secondo addendo, per fare poi il prodotto degli $n$ addendi così scelti. Ognuno di questi prodotti $P$ sarà dunque il prodotto di $x^{h}$ per un prodotto di $n-h$ fattori scelti tra le $n$ quantità $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$. La somma di questi prodotti $P$ sarà dunque il prodotto di $x^{h}$ per la [p. 44 somma $b_{n-h}$ di tutti i possibili prodotti ad $n-h$ ad $n-h$ delle $n$ quantità $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$.
Si avrà così:
$(x+a_{1})(x+a_{2})\ldots (x+a_{n})=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+b_{2}x{n+2}+\ldots$
$+b_{n-1}x+b_{n}$
dove il coefficiente $b_{k}$ di $x^{n-k}(k=1,2,\ldots ,n)$ è la somma degli $\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}$ prodotti, che si ottengono moltiplicando a $k$ a $k$ in tutti i modi possibili le $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$. Se $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=a$, questi prodotti sono tutti uguali ad $a^{k}$. E perciò:
$(x+a)^{n}=x^{n}+{\binom {n}{1}}ax^{n-1}+{\binom {n}{2}}a^{2}x^{n-2}+\ldots +{\binom {n}{n-1}}a^{n-1}x+{\binom {n}{n}}a^{n}$.
Come si riconosce dal teorema di questo § 11 a pagina 43, i coefficienti del 2° membro equidistanti dagli estremi sono uguali tra di loro, ciò che si poteva prevedere a priori, osservando che il 1° e quindi anche il 2° membro non mutano scambiando $x$ con $a$. Se nella formola iniziale poniamo $-a_{i}$ al posto di $a_{i}$ troviamo, indicando ancora con $b_{h}$ la somma degli $\textstyle {\binom {n}{h}}={\binom {n}{n-h}}$ prodotti ad $h$ ad $h$ delle $n$ quantità $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$:
$(x-a_{1})(x-a_{2})\ldots (x-a_{n})=$
$x^{n}-b_{1}x^{n-1}+b_{2}x^{n-2}+\ldots +(-1)^{h}b_{h}x^{n-h}+\ldots +(-1)^{n}b_{n}$.
* ↑ Questa uguaglianza diventa intuitiva per chi consideri che ogni gruppo di $h$ elementi determina un gruppo di $n-h$ elementi: quello formato con gli $n-h$ elementi residui. E viceversa. Dunque tanti sono i gruppi di $h$ elementi, quanti i gruppi di $n-h$ elementi.
* ↑ Infatti, permutando nei $\lfloor {\underline {h}}$ modi possibili gli $h$ oggetti di ogni combinazione, si ottengono tutte le disposizioni