# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 59

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_8/Paragrafo_59&oldid=- 20221230161225 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_8/Paragrafo_59&oldid=- 20221230161225
§ 59. — Derivata delle funzioni di funzioni.
Sia $y$ una funzione di una funzione $z$ della $x$. Sia cioè
$y=f(z)$ , $z=\varphi (x)$.
Vale a dire, quando la $x$ varia in un certo intervallo, sia individuato il valore della variabile $z$; e questo valore della $z$ individui alla sua volta il valore di $y$ (§ 29, γ, pag. 97).
Supponiamo che esistano le derivate $y_{z}=f'(z){\text{e}}z'_{x}=\varphi '(x)$ della $y$ rispetto alla $z,edellaz$ rispetto alla $x$. Si vuol trovare la derivata $y'_{x}$ della $y$ (considerata come funzione della $x$) rispetto alla $x$.
L'incremento $\Delta x$ dato alla $x$ individua il corrispondente incremento $\Delta z$ ricevuto dalla $z$; e questo individua l'incremento della $Deltay$ della $y$. [p. 187 Sarà (ricordando che $\lim _{\Delta \,x=0}\Delta \,z=0$)
$y'_{x}=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,y}{\Delta \,x}}=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,y}{\Delta \,z}}\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}=$
$f'\,(z)\varphi '(x)=y'_{z}z'_{x}$.
Cioè: Se y è una funzione derivabile dalla z, e la z è funzione derivabile della x, la derivata y'$_x$ della y rispetto alla x uguaglia il prodotto della derivata di y rispetto alla z per la derivata della z rispetto alla x.
Osserv. Sia $y=f(z),z=\varphi (x)$; e tanto la $y$ che la $z$ si possano considerare come funzioni della $x$. Sarà quindi per definizione in tale ipotesi
$dy=y'_{x}dx$ (1); $dz=z'_{x}dz$ (2)
Ma è $y'_{x}=y'_{z}z'_{x}$. Quindi la (1) equivale alla $dy=y'zz'_{x}dx$, che per (2) si può scrivere:
{{centrato| $dy=y'_{z}dz$ (3)
Questa formola, vera per definizione se $z$ è la variabile indipendete, è vera dunque anche se z non è la variabile indipendente (ma invece le $y,z$ sono pensate come funzioni di una terza variabile $x$).
Si noti che, per il teorema i derivazione delle funzioni inverse, essa è vera anche se la stessa $y$ si assume a variabile indipendente, e si considera come funzione di $y$.
In tal caso infatti, essendo $y'_{z}={\frac {1}{z'_{y}}}$, tale formola si riduce alla $dz=z'_{y}dy$.
Applicazione.
Siano $x=x(t),y=y(t)$ le coordinate di un punto, che al variare della $t$ descrive una curva. Siano $x(t),y(t)$ funzioni con derivata finita; e si possa in un certo intorno del punto $t=\alpha$ [p. 188 considerare $y$ come funzione di $x$. Sarà $y'_{z}={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'(t)dt}{x'(t)dt}}={\frac {y'(t)}{xx'(ty)}}$. L'equazione della retta tangente sarà
$y-y(\alpha )=[x-x(\alpha )]{\frac {y'(\alpha }{x'(\alpha )}}$,
ossia $[y-y(\alpha )]:y'(\alpha )=[z-z(\alpha )]:x'(\alpha )$; questa equazione si può dimostrare direttamente, anche senza ammettere che $y$ si possa considerare come funzione della $x$, e senza usare il linguaggio differenziale. L'allievo applichi tale formola p. es. alla curva $x=a{\text{cost}}\,t,y=b{\text{sen}}\,t$ che coincide con l'ellisse ${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$). (Cfr. Cap. 19, § 117).
* ↑ Questa dimostrazione cessa di essere valida, se per valori di $\Delta \,x\not =0$ è $\Delta \,z=0$. Ma si osservi che $\Delta \,y=y'_{z}\Delta \,z+\epsilon \Delta \,z$, dove $\lim \epsilon =0$. Quindi in ogni caso $y'z=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,y}{\Delta \,x}}=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}+\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}=y'_{z}z'_{x}$
* ↑ Cioè si possa considerare t come funzione della x [inversa della $x=x(t)$]. La y sarà funzione di t, funzione della x, che si considererà come funzione della x.