# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 50

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_8/Paragrafo_50&oldid=- 20221230155227 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_8/Paragrafo_50&oldid=- 20221230155227
[p. 168 [p. 169 cosicchè in ogni caso
$Z'=P'(z)=na_{0}z^{n-1}+(n-1)a_{1}z^{n-1}+\cdots +2a_{n-2}z+a_{n-1}$
Salvo avvertenza contraria in quanto segue ci rifaremo esclusivamente alle variabili reali.
§ 51. — Derivate fondamentali.
α) Sia $y={\text{cost.}}$ (p. es. $y=3$, oppure $y=5$). vale a dire la $y$ non varii al variare della $x$. Gli incrementi $\Delta y$ della $y$ saranno sempre nulli; è quindi constantemente ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=0$, e perciò anche $y'=\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=0$.
Ciò che del resto è geometricamente intuitivo, poichè $y={\text{cost.}}$ è una retta parallela all'asse delle $x$.
Le sue tangenti coincidono quindi con essa, e perciò hanno coefficiente angolare $y'$ nullo.
β) Si trovi la derivata di $y={\text{sen}}x$.
Il rapporto incrementale è ${\frac {{\text{sen}}(x+h)-{\text{sen}}x}{h}}$; e perciò $y'=\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}(x+h)-{\text{sen}}x}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}x\cos h+{\text{sen}}h\cos x-{\text{sen}}x}{h}}=$
${\text{sen}}x\lim _{h=0}{\frac {\cos h-1}{h}}+\cos x\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}=$
$=0\cdot {\text{sen}}x+1\cdot \cos x=\cos x$.
Si ricordi che al § 37, p. 122-123, si è dimostrato $\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}=1,\lim _{=0}{\frac {1-\cos h}{h}}=0$.
γ) Si trovi la derivata di $y=\cos x$.
In modo analogo al precedente si trova:
$y'=\lim _{h=0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {\cos x\cos h-{\text{sen}}x{\text{sen}}h-\cos x}{h}}=$
$=\cos x\lim _{h=0}{\frac {\cos h-1}{h}}-{\text{sen}}x\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}=-{\text{sen}}x$.
[p. 170 δ) Si trovi la derivata di $y=a^{x}(a>0)$.
Si ha
$y'=\lim _{h=0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {a^{z}(a^{h}-1)}{h}}=a^{x}\lim _{h=0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=$
$=a^{x}\log _{e}a$ (cfr. § 38, pag. 127).
In particolare la derivata $y=e^{x}$ è uguale a
$y'=e^{x}\log _{e}=e^{x}$.
ε) Si trovi la derivata di $y=\log _{a}x(a>0)(x>0)$.
Si ha $y'?\lim _{h=0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}x}{h}}$.
Posto $h={\frac {x}{m}}$, ossia posto $m={\frac {x}{h}}$, se ne deduce:
$y'=\lim _{m=\infty }{\frac {\log _{a}\left(x+{\frac {x}{m}}\right)-\log _{a}x}{x:m}}={\frac {1}{x}}\lim _{m=\infty }m\log _{a}{\frac {x+{\frac {x}{m}}}{x}}=$
$={\frac {1}{x}}\lim _{m=\infty }\log _{a}\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=\log _{a}e$.
In particolare, se $a=e$, si ha che la derivata di $y=\log _{e}x$ è $y'{\frac {1}{x}}$: coò che del resto avevamo già trovato (pag. 166, es. 1°, γ) per via geometrica.
λ) Derivare $y=x^{n}$ ($n$ intero positivo).
Ris. Si noti che
$(x+h)^{n}=x^{n}+nhx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}x^{n-2}+\cdots$
Si troverà $y'=nx^{n-1}$.
η) Derivare $y={\sqrt {x}}$.
Si ha
$y'=\lim _{h=0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}=\lim {\frac {(x+h)-x}{h|{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}|}}$.
Si trova $y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$. [p. 171 θ) Derivare $y={\text{tg}}x$
Ris. Il rapporto incrementale è
${\frac {{\text{tg}}(x+h)-{\text{tg}}x}{h}}={\frac {1}{\cos x\cos(x+h)}}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}$.
Si trova $y'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$.
Derivare $x={\text{cotg}}x$.
Si trova $y'=-{\frac {1}{{\text{sen}}^{2}x}}$.
La derivata di $y=shx$ vale $chx$; e quella di $y=chx$ vale $shx$ (e non $-shx$) (cfr. pag. 133).