# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 10/Paragrafo 66

../../Capitolo 10 ../Paragrafo 67 IncludiIntestazione 30 dicembre 2022 75% Da definire
Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_10/Paragrafo_66&oldid=- 20221231005401 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_10/Paragrafo_66&oldid=- 20221231005401
§66. — Cerchio di convergenza.
Diciamo serie di potenze' una serie del tipo
(1) $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+.....+a_{n}x^{n}+.....$
dove le $a_{n}$ sono costanti, $x$ si considera variabile.
Non escludiamo che le $a,x$ possano anche essere numeri complessi. Tali serie sono la più naturale generalizzazione dei polinomi.
Teor. Se (1) converge per $\mathrm {x=\alpha \not =0}$, e se $\mathrm {\beta }$ è un numero positivo minore di $\mathrm {|\alpha |}$, allora la serie (1) converge totalmente nel campo definito dalla:
$|x|\leq \beta$.
Se (1) non converge per $\mathrm {x=A}$, essa non può convergere per nessun valore di x, di modulo superiore ad A.
Dem. Se (1) converge per $x=\alpha$ allora (§ 42, ε, pag. 142)
$\lim _{n=\infty }|a_{n}\alpha ^{n}|=0$.
Si potrà trovare un numero positivo $k$ maggiore di tutte le $|a_{n}\alpha ^{n}|$. Ora per $|x|\leq \beta$ si ha
$|a_{n}x^{n}|=\left|a_{n}\alpha ^{n}{\frac {x^{n}}{\alpha ^{n}}}\right|=|a_{n}\alpha ^{n}|\left|{\frac {x^{n}}{\alpha ^{n}}}\right|R$ la serie (1) non converge.
Osserviamo che il luogo dei punti $x$ per cui $|x|\leq \,k$ è un cerchio per ha per centro l'origine e per raggio $k$.
Riassumento, concludiamo:
Per ogni serie (1) esiste un numero positivo R tale che, se x varia dentro un qualsiasi cerchio, che per centro l'origine e per raggio un numero k minore di R, ivi la serie è totalmente convergente
Invece la (1) non può convergere per i valori di x tali che il punto immagine sia esterno al cerchio che ha per centro l'origine e raggio R.
Questo cerchio (che ha per centro l'origine e per raggio $R$) si dirà il cerchio di convergenza di (1).
Nei punti interni la (1) converge, nei punti esterni non converge.
Naturalmente, se $R=0$m non si può parlare di cerchi interni al cerchio di convergenza (che è ridotto al solo centro). E, se $R=\infty$, non si può parlare di punti esterni al cerchio di convergenza. Salvo questa limitazione, il precedente teorema è vero in ogni caso.
Nulla si può dire in generale per il completamento di (1) sulla periferia del cerchio di convergenza.
Poichè $\sum a_{n}x^{n}$ converge e quindi ha uno e un solo valore per ogni numero $x$ realte o complesso, interno al cerchio di [p. 209 convergenza, noi potremo dire e diremo che, dentro tale cerchio, tale serie è funzione della variabile x reale complessa.
Poichè le nostre serie sono la più naturale estenzione dei polinomi, la precedente definizione è la più naturale generalizzione delle definizioni date al § 50, pag. 168.
* ↑ Infatti, preso un numero $\epsilon >0$ ad arbitrio, si troverà nu $m$ tale che per $n>m$ sia $|a_{n}\alpha ^{n}|<\epsilon$. Sarà soddisfatta la condizione del testo se si assume come numero $k$ un numero maggiore della pù grande tra le seguenti quantità: $|a_{0}|,|a_{1}\alpha |,|a_{2}\alpha _{2}|,.....,|a_{m}a^{m}|,\epsilon$.
* ↑ Per dare almeno un cenno del perchè si considerino come funzione di una variabile complessa $x$ soltanto i polinomi e le serie di potenze, ricorderò l'enunciato di un celebre e meraviglioso teorema di Cauchy:↵Se y è un numero (reale o complesso) che ha un valore determinato per ogni valore reale o complesso di una variabile x, quando il punto immagine di x è interno ad una regione R, se cioè la y è in R funzione della x, e se esiste ed è continua la sua derivata prima y', allora, se α è un qualsiasi punto di R, la y è sviluppabile in serie di potenze di $\mathrm {x-\alpha }$. E tale sviluppabilità vale in tutti i punti interni al massimo cerchio che ha per centro il punto α e non contiene punti esterni ad ↵Il lettore, che si diletta di questioni teoriche, confronti questo semplice teorema coi teoremi ben più complicati che troveremo più avanti per la sviluppabilità in serie di potenze di una funzione di variabile reale x.