# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 11/Paragrafo 72

../Paragrafo 71 ../Paragrafo 73 IncludiIntestazione 31 dicembre 2022 75% Da definire
Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_11/Paragrafo_72&oldid=- 20221231010908 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_11/Paragrafo_72&oldid=- 20221231010908
§ 72. — Metodo di Newton-Fourier.
α) Lemma. Se $\mathrm {AB}$ è un arco di ccurva $\mathrm {y=f(x)}$ e se $\mathrm {f''(x)}$ è finita, non è mai nulla e conserva lo stesso segno nell'arco considerato, allora l'arco $\mathrm {AB}$ è tutto interno al triangolo [p. 235 rettilineo $\mathrm {ABD}$ formato dalla corda $\mathrm {AB}$ e dalle tangenti in $\mathrm {A}$ e in $\mathrm {B}$ (fig. 29).
Questo teorema è geometricamente intuitivo, perchè nelle attuali ipotesi l'arco $y=f(x)$ volge la sua concavità sempre da una stessa parte . Essa si dimostra rigorosamente cosi.
Fig. 29. In due punti distinti dell'arco $AB$ le tangenti dell'arco non possono essere parallele, perchè i valori corrispondenti di $f'(x)$ sarebbero uguali; e, per il teorema di Rolle, in un punto intermedio sarebbe $f''=0$ contro l'ipotesi.
L'arco $AB$ non ha con la corda $AB$ comune (oltre ai p unti $A$, $B$) alcun altro punto $C$; perchè altrimenti per il teorema della media esisterebbe nell'arco $AC$ un punto $E$, e nell'arco $CB$ un punto $F$, in cui le tangenti all'arco sarebbero parallele ad $AB$ e quindi parallele tra di loro.
Così pure l'arco $AB$ non può avere, oltre al punto $A$, comune alcun altro punto $C$ con la tangente in $A$; altrimenti nell'arco $AC$ vi sarebbe un punto intermedio $E$, ove la tangente all'arco sarebbe parallele alla tangente in $A$.
E altrettanto dicasi per la tangente in $B$. Quindi il nostro arco, o è tutto interno al triangolo $ADB$, oppure, pure essendo interno all'angolo $A(D)B$, è posto risoetto ad $AB$ dall'altra parte di $D$. Quest'ultimo caso è però da escludersi, perchè il nostro arco deve essere interno alla striscia limitata dalle normali tirate dai punti $A$, $B$ all'asse delle $x$: e perciò l'intersezione $D$ delle due tangenti in $A$ e in $B$ è interna a tale striscia e cade rispetto alla corda $AB$ dalla stessa banda dell'arco $AB\,\,\,\,\,$ c.d.d.
β) Sia $f(x)$ una funzione finita e continua nell'intervallo da noi considearto con derivate prime e seconde finite e continue.
Fig. 30. I punti $x=a$ che la curva $y=f(x)$ ha comuni con l'asse delle $x$ sono i punti $a$ per cui $f(a)=0$, o, come si suol dire, solo le radici dell'equazione $f(x)=0$ (fig. 30).
Se per $x=b$, ed $x=c$ la funzione $f(x)$ assume valori di segno opposto, essa assumerà (teor. 3°, pag. 135) nell'intervallo ($b$, $c$) ogni valore intermedio e quindi anche il valore zero.
Se cioè $\mathrm {f(b)}$ e $\mathrm {f(c)}$ sono di segno opposto, nell'intervallo $\mathrm {(b,c}$ esiste almeno una radice $\mathrm {A}$ dell'equazione $\mathrm {f(x)=0}$. Questo [p. 236 teorema è geometricamente intuitivo; dall'ipotesi scende infatti che i punti della curva $t=f(x)$ di ascissa $b$, o di ascissa $c$ sono da banda opposta all'asse delle $x$. La curva $y=f(x)$ quindi deve incontrare almeno in un punto dell'intervallo ($b$, $c$) l'asse delle $x$.
γ) Supponiamo: 1° che nell'intervallo ($b$, $c$) la $f''(x)$ conservi un segno variabile, che quindi la curva $y=f(x)$ volga la concavità sempre da una stessa parte in tale intervallo; 2° che $f(b)$ ed $f(c)$ siano di segno opposto; 3° che nell'intervallo ($b$, $c$) esista una sola radice $a$ dell'equa1+\frac{1}{31} e $1+{\frac {1}{5}}$.
Riapplicando a questi due numeri il nostro procedimento, si ha un'approssimazione maggiore; e, così continuando, si può dimostrare che si ottiene una approssimazione grande a piacere.