# Cinesi, scuola e matematica/Temi ed aspetti della tradizione matematica cinese/Simbologia e matematica dei quadrati magici

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Cinesi, scuola e matematica Giovanni Giuseppe Nicosia 2010 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Cinesi, scuola e matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Cinesi,_scuola_e_matematica/Temi_ed_aspetti_della_tradizione_matematica_cinese/Simbologia_e_matematica_dei_quadrati_magici&oldid=- 20191004110503 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Cinesi,_scuola_e_matematica/Temi_ed_aspetti_della_tradizione_matematica_cinese/Simbologia_e_matematica_dei_quadrati_magici&oldid=- 20191004110503
[p. 21

## 3.1.1. Le origini mitiche

La storia della matematica in Cina è antica quasi quanto la cultura cinese. Lo sviluppo precocissimo di attività agricole ed artigianali ha posto le basi per lo studio delle quantità, delle forme, dei sistemi di misura, del calcolo, delle modalità di inferenza e di tutte le attività matematiche. Un’ulteriore spinta all’elaborazione di soluzioni matematiche venne posta dalla costituzione sulla fine del II millennio p.E.v.di ampi apparati statali con i loro problemi amministrativi e fiscali. L’elemento che la tradizione mette in maggiore relazione con lo sviluppo della matematica è la gestione delle acque, aspetto centrale di tutta la produzione agricola e dell’economia esattamente come in Egitto od in Mesopotamia.
Un mito riportato in fonti del VII secolo p.E.v. che racconta l’origine del quadrato magico del fiume Luò (洛书 Luò Shu) (Nicosia, 2008) è a questo proposito decisamente rivelatore. Il leggendario eroe Yǔ il Grande (大禹 Dà Yǔ), incaricato di fermare le terribili inondazioni che sconquassavano il mondo, riuscì nell’impresa con una massiccia opera di canalizzazioni (di cui esistono documentazioni storiche) con la quale le acque furono disciplinate e sfruttate per l’irrigazione dei campi. Per questo venne creato imperatore e fondò la dinastia Xià (夏朝 Xià cháo, 2100 – 1600 p.E.v.), prima casa regnante ereditaria. Essa dette inizio alla registrazione storica in Cina. Gli dei, per aiutare Yǔ ad imbrigliare le acque gli avevano fornito alcuni strumenti magici e l’aiuto di due animali mitologici: un drago che poteva risanare la terra ed una gigantesca tartaruga emersa dalle acque del fiume Luò che poteva calmare le piene e che aveva sul carapace un disegno simile a questo: [p. 22 Da Wikipedia con licenza di libero uso I disegnini di linee e punti rappresentano numeri e quindi il disegno generale può essere decodificato in numerali indoarabi come:
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
Questo è appunto il quadrato magico del fiume Luò. Esso presenta notevoli simmetrie e regolarità:
— i numeri dispari cosituiscono una croce che richiama il segno numerale con cui nel disegno originale si rappresenta il 5 centrale;
— sommando due numeri che si trovino in caselle opposte rispetto al centro, come 4 e 6, 3 e 7, o 9 ed 1, si ottiene sempre 10;
— la proprieta più importante, tipica dei quadrati magici, è che sommando i numeri che compaiono riga per riga, colonna per colonna o lungo ciascuna delle sue diagonali si ottiene sempre 15 (la costante magica), che è il numero dei giorni di ogni mese del calendario solare tradizionale.
Quest’ultima caratteristica collega questo schema a significati di ordine cosmico, sistematicità e regolarità. Il controllo umano sulle acque è il trionfo di un ordine vantaggioso sulle caotiche potenze naturali ed è significativamente rappresentato con una simbologia ad alto contenuto matematico, la cui sintassi risiede nell’aritmetica. Cercando un corrispettivo nella cultura greca si può pensare ad Odisseo, che acceca e vince il Ciclope, forza bestiale ed incontrollabile anch’essa legata all’acqua (Polifemo è protetto da Nettuno), per mezzo del suo ingegno, della tecnica della produzione del vino, dell’inganno semantico legato al nome Nessuno e del gesto del fuoco (il palo infilzato nell’occhio viene rigirato così come si rigira strofinando il bastoncino sulla catasta di legnetti e pagliuzze per accendere il fuoco). Nel contesto cinese è, però, più esplicito il riferimento al ruolo preponderante della conoscenza scientifica e matematica, che serve effettivamente alla gestione dei flussi idrici, alla previsione delle piene ed alle canalizzazioni. È interessante notare che l’opera di canalizzazione delle acque dei grandi fiumi cinesi continua tuttora con i mezzi tecnici che le scienze contemporanee mettono a disposizione.
Le storie di Yu̇, personaggio che riunisce ingegno, tenacia e virtù civili, sono ricche di riferimenti numerici. Dato che al momento in cui partì per combattere le inondazioni era sposato da soli cinque giorni, decise di chiamare il figlio che la moglie attendeva con l’insolito nome di Qi (啟), che nel cinese dell’epoca significava 5. La leggenda mette in risalto che la sua avventura durò 13 anni, durante [p. 23 i quali si racconta che si avvicinò a casa sua solo 3 volte, ma non entrò per paura che questioni personali come le doglie della moglie la prima volta, i primi passi del figliolo la seconda, e gli inviti di quest’ultimo la terza, lo distogliessero dall’impresa di salvare il suo popolo dall’annegamento. L’uso di simbologie matematiche testimonia l’alta opinione dedicata a questa scienza nella cultura cinese.

## 3.1.2 L’uso simbolico in Cina e fuori

Per la sua grande carica simbolica il quadrato del fiume Luò è stato collegato esotericamente ad alcune arti divinatorie come l’astrologia, la geomanzia e l’interpretazione dell’I Ching (易經 Yi Jīng).
Nella forma di quadrato di lato “nove unità” è stato anche usato come schema di base in architettura. Città, quartieri ed edifici di particolare importanza sono stati costruiti su sua ispirazione, un po’ come per la proporzione in rapporto aureo in Grecia. Ad esempio ci sono costruzioni classiche quadrate e modulari col giardino al centro, in cui la larghezza dei muri è nove volte la loro altezza, disposte in isolati a blocchi quadrati anche essi modulari di nove per nove con reticoli regolari di stradine.
Anche in altre culture si trovano quadrati magici connessi con usi liturgici (ad esempio nell’India vedica), pratiche divinatorie (antico Egitto), simbologie mistiche (Europa paleocristiana e mondo islamico). Non sempre sembra possibile pensare ad un collegamento con i quadrati magici cinesi e si possono ipotizzare sviluppi indipendenti. La cultura cinese è quella in cui essi hanno avuto più successo anche come passatempo arguto.

## 3.1.3 Melencolia I

La capacità simbolica di questi schemi di numeri ha affascinato, oltre maghi e ciarlatani, anche gli artisti. Uno dei primi quadrati magici di lato 4 raffigurati in Europa è quello che compare nell’incisione Melencolia I dell’artista tedesco Albrecht Dürer (1471 – 1528), che peraltro è testimoniato in fonti cinesi del XIII secolo. In un angolino di questa stampa compare il seguente quadrato magico normale di lato 4: [p. 24
La costante magica 34 si ha sommando:
* (come da definizione) gli elementi di ciascuna riga, di ciascuna colonna e di ciascuna delle due diagonali;
* gli elementi di ognuno dei sottoquadrati esterni di lato 2 di caselle adiacenti e del sottoquadrato centrale;
* gli elementi delle quattro caselle angolari;
| 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 |
| 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 |
| 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 |
| 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 |
| 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 |
| 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 |
| 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 |
| 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 | 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 |
In questo quadrato inoltre:
* compaiono tutti i numeri naturali da 1 a 16 con disposizione alternata di pari e dispari nelle colonne e righe esterne, ma non in quelle interne e nelle diagonali;
* i numeri 15 e 14 che occupano le due caselle inferiori centrali compongono la data di incisione: 1514, il che dimostra che questo quadrato magico non è stato copiato da una fonte casuale, ma è stato scelto o più probabilmente fabbricato dall’autore volontariamente.
Quest’enigmatica composizione è ricca di riferimenti sacri ed esoterici e vi compaiono oggetti strani dal chiaro carattere simbolico, alcuni dei quali fanno riferimento alla matematica: un curioso solido irregolare, una sfera, alcuni strumenti per il disegno geometrico,... Sul loro significato e sul senso di tutta l’opera la discussione è ancora aperta. Quel che è certo è che l’autore conosceva i quadrati magici (anche se non è detto che conoscesse tutte le loro proprietà di quello che raffigurò), aveva una buona competenza scientifica relativa almeno al disegno geometrico e non disdegnava contatti col mondo

## I quadrati magici

Enunciati ed argomentazioni seguono le forme di matrice greco-araba oggi accettate internazionalmente e non sempre coerenti con la tradizione culturale cinese.
Definizioni:
a) un quadrato magico è una tabella quadrata di numeri naturali che sommati per riga, per colonna o lungo ciascuna delle due diagonali danno sempre lo stesso valore;
b) il numero di elementi di ogni lato della tabella viene detto suo lato;
c) il valore che si ottiene da dette somme si dice costante magica.
Il quadrato magico del fiume Luò:
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
ha lato 3 e la sua costante magica è 15:
4 + 9 + 2 = 3 + 5 + 7 = 8 + 1 + 6 = 4 + 3 + 8 = 9 + 5 + 1 = 2 + 7 + 6 = 4 + 5 + 6 = 2 + 5 + 8 = 15
| | 4 9 2 3 5 7 8 1 6 | 4 9 2 3 5 7 8 1 6 | 4 9 2 3 5 7 8 1 6 | 15 |
| | 4 9 2 3 5 7 8 1 6 | 4 9 2 3 5 7 8 1 6 | 4 9 2 3 5 7 8 1 6 | 15 |
| | 4 9 2 3 5 7 8 1 6 | 4 9 2 3 5 7 8 1 6 | 4 9 2 3 5 7 8 1 6 | 15 |
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
Teorema:
1) un quadrato magico di lato n contiene n$^2$ numeri; un quadrato magico che contiene h numeri ha lato ${\sqrt {h}}$, che è un numero naturale.
Ad esempio il quadrato magico del fiume Luò contiene i 9 numeri da 1 a 9.
Definizione:
d) un quadrato magico di lato 1 si dice banale.
Teorema:
2) un quadrato magico banale è costituito da un solo numero; esso coincide col valore della sua costante magica.
Definizione:
e) un quadrato magico non banale è un quadrato magico che non è banale, cioè che ha lato n >2;
Tutti i quadrati magici di cui si parla qui sono non banali per cui questo aggettivo verrà solitamente omesso.
Definizione:
f) un quadrato magico normale di lato n è un quadrato magico che riporta tutti i numeri naturali da 1 a n$^2$ in modo che ogni numero vi compaia una sola volta.
[p. 28
Quindi quello del fiume Luò è un quadrato magico normale. Eccone invece due non normali:
| 3 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
Teoremi:
3) non esistono quadrati magici normali di lato 2; il più piccolo ha dunque lato 3;
4) la costante magica di un quadrato magico normale di lato n vale $M={\frac {n3+n}{2}}$.
Dimostrazione: la somma di tutti gli elementi del quadrato è la somma di tutti i numeri naturali da 1 ad n$^2$. Un teorema di aritmetica ci assicura che tale somma vale $1+2+...+n2={\frac {n2(n2+1)}{2}}$. A noi interessa la somma degli elementi di una sola riga od una sola colonna, che sappiamo essere costante: essa sarà la somma di tutti gli elementi del quadrato diviso il numero delle righe, ossia il lato: $M={\frac {1+2+...+n2}{n}}$ Con qualche passaggio si ottiene:
$M={\frac {1+2+...+n2}{n}}={\cfrac {\cfrac {n2(n2+1)}{2}}{n}}={\frac {n2(n2+1)}{2n}}={\frac {n3+n}{2}}$
Come dovevasi dimostrare.
Nel caso del quadrato magico del fiume Luò si ha effettivamente: ${\frac {33+3}{2}}={\frac {27+3}{2}}={\frac {30}{2}}=15$.
In questo caso si può anche calcolare la costante magica più semplicemente come somma dei 9 elementi divisa per le 3 righe: ${\frac {1+2+3+4+5+6+7+8+9}{3}}={\frac {45}{3}}=15$ In termini più astratti si può parlare di una funzione tra lati e costanti magiche:
* $M:N\setminus \ \{0;1;2\}\to \ N$
* $M(n)={\frac {n3+n}{2}}$
Teorema:
5) dato un quadrato magico, se ne possono ottenere almeno altri 7 con rotazioni e riflessioni.
Ecco tutti i quadrati magici che si possono ottenere in tal modo dal quadrato del fiume Luò: [p. 29
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
| 8 | 3 | 4 |
| 1 | 5 | 9 |
| 6 | 7 | 2 |
| 6 | 1 | 8 |
| 7 | 5 | 3 |
| 2 | 9 | 4 |
| 2 | 7 | 6 |
| 9 | 5 | 1 |
| 4 | 4 | 8 |
| 4 | 3 | 8 |
| 9 | 5 | 1 |
| 2 | 7 | 6 |
| 2 | 9 | 4 |
| 7 | 5 | 3 |
| 6 | 1 | 8 |
| 6 | 7 | 2 |
| 1 | 5 | 9 |
| 8 | 3 | 4 |
| 8 | 1 | 6 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 9 | 2 |
Teorema:
6) ogni quadrato magico normale di lato 3 e ottenuto dal quadrato magico del Fiume Luò per rotazioni o riflessioni; altrimenti detto: non ci sono altri quadrati magici di ordine 3 se non quelli che si possono ottenere dal quadrato magico del Fiume Luò.
Ciò lo rende in qualche modo unico. Si può introdurre nell’insieme dei quadrati magici normali di lato n una relazione di equivalenza, dicendo che due quadrati si equivalgono se si possono ottenere uno dall’altro per rotazioni o riflessioni. In tal modo l’insieme dei quadrati magici normali di lato n viene suddiviso in classi di equivalenza, cioè insiemi di quadrati equivalenti tra loro. Il teorema 6 dice che l’insieme dei quadrati magici normali di lato 3 contiene una sola classe di equivalenza.
Quelli rappresentati sopra sono quindi tutti i quadrati magici normali di lato 3.
Teoremi:
7) dato un quadrato magico (normale o meno), se ne può ottenere un altro sommando ad ogni numero uno stesso numero naturale k;.
8) se k > 0 il quadrato magico cosi ottenuto non e normale;
9) se il quadrato magico di partenza ha lato n e costante magica M, la costante magica del nuovo
quadrato è M'=M + n × k.
Dimostrazione: dato che tutte le righe, tutte le colonne e le due diagonali hanno somma costante ci si può limitare a considerare una sola riga. Siano dunque a$_1$, a$_2$,... a$_n$ gli n elementi di una riga di un quadrato magico di lato n e costante magica M. Sommmando a ciascuno in numero k otteniamo la nuova riga a$_1$+k, a$_2$+k,... a$_n$+k. Sommando tra loro questi nuovi n elementi si ottiene:
M'= (a$_1$ + k) + (a$_2$ + k) + ... + (a$_n$ + k)=(a$_1$ + a$_2$ + ... +a$_n$)+n × k =M + n × k
Ciò accade per tutte le righe e le colonne così ottenute, quindi il nuovo quadrato è effettivamente un quadrato magico e la sua costante magica e quella indicata nella formula.
Come dovevasi dimostrare.
Ad esempio questo quadrato che compare in una decorazione pavimentale a Kubera Kolam in India si può ottenere dal quello del fiume Luò sommando ad ogni elemento il numero 19.
| 23 | 28 | 21 |
| 22 | 24 | 26 |
| 27 | 20 | 25 |
[p. 30
La sua costante magica e 72 = 15 + 3 ×19.

## Costruzione di quadrati magici

Numero dei quadrati possibili
La ricerca matematica in questo campo è legata all’algebra ed ha ottenuto risultati interessanti. Ad esempio si è dimostrato che, contando una sola volta quelli equivalenti, i quadrati magici normali di lato 1 sono solo 1, 0 di lato 2, 1 di lato 3, ben 880 di lato 4, e addirittura 275.305.224 di lato 5. Per lati maggiori il problema è ancora aperto. Con l’eccezione di 2, esistono quadrati magici normali di ogni lato.
Quelli di lato 1 sono banali e non ci interessano. Non esistono quadrati magici normali di lato 2 e tutti i quadrati magici di questa dimensione riportano lo stesso numero in tutte le caselle. Vediamo ora alcuni metodi per ottenere quadrati magici normali. Essi variano a seconda del lato.
Lato 3
Essi sono tutti e soli gli otto indicati sopra, cioè quello del fiume Luò ed i suoi equivalenti. Fingiamo di non saperlo ma ricordiamo che un quadrato magico normale di lato 3 conterrà tutti i numeri naturali da 1 a 32 = 9. La costante magica sarà $\textstyle M={\frac {1+2+...+9}{3}}={\frac {45}{3}}=15$. Ora ci resta da capire come collocare i numeri nel quadrato di nove caselle.
Per comodità denominiamo gli elementi del quadrato col formalismo in uso per le matrici, cioè intendendo con A$_{13}$ l’elemento della casella appartenente alla prima riga ed alla terza colonna. Il quadrato diviene dunque:
Essendo noto il valore di tutte le somme per riga, colonna e diagonale e conoscendo il valore della somma di tutti gli elementi del quadrato potremmo impostare un sistema di nove equazioni in nove incognite e tentare di risolverlo:
$\left\{{\begin{array}{l}A_{11}+A_{12}+A_{13}=15\\A_{21}+A_{22}+A_{23}=15\\A_{31}+A_{32}+A_{33}=15\\A_{11}+A_{21}+A_{31}=15\\A_{12}+A_{22}+A_{32}=15\\A_{13}+A_{23}+A_{33}=15\\A_{11}+A_{22}+A_{33}=15\\A_{31}+A_{22}+A_{13}=15\\A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{21}+A_{22}+\\A_{23}+A_{31}+A_{32}+A_{33}=45\end{array}}\right.$ con vincoli: ${\begin{array}{l}A_{ij}\in \{1,2,3,4,5,6\}\\i,j=1,2,3\\\land \\A_{ij}\neq \;A_{kt}\\i,j,k,t\in \{1,2,3\},\\i\neq \;k\vee j\neq \;t\end{array}}$ [p. 31
Esiste però un metodo più affascinante (Bagni, 1996).
L’elemento della casella centrale A$_{22}$ compare nelle somme degli elementi delle due diagonali e della riga e della colonna centrali. Se facciamo la somma di tutti questi elementi coinvolgiamo tutte le caselle del quadrato una volta, salvo quella centrale che interviene coinvolta quattro volte:
(A$_{11}$+A$_{22}$+A$_{33}$)+(A$_{13}$+A$_{22}$+A$_{31}$)+(A$_{12}$+A$_{22}$+A$_{32}$)+(A$_{21}$+A$_{22}$+A$_{23}$)=

## (A$_{11}$+A$_{12}$+A$_{13}$+A$_{21}$+A$_{22}$+A$_{23}$+A$_{31}$+A$_{32}$+A$_{33}$)+3 × A$_{22}$

le quattro somme nelle parentesi a primo membro valgono tutte 15 mentre la somma nella parentesi a secondo membro è la somma di tutti gli elementi del quadrato magico normale di lato 3, cioè di tutti i numeri naturali da 1 a 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45, per cui l’equazione diviene:
da cui: 60=45+3×A$_{22}$ ⇔ 60-45=3×A$_{22}$ ⇔ 15=3×A$_{22}$ ⇔ A$_{22}$=${\frac {15}{3}}$ ⇔ A$_{22}$=5
Possiamo piazzare il primo numero sicuro:
* 5
Per riempire la altre caselle consideriamo che 5 non compare più, quindi la nostra scelta si limita a 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Inoltre le somme degli elementi che vanno nelle caselle esterne delle due diagonali e della riga e della colonna centrali valgono 10 (A$_{11}$+5+A$_{33}$=15 ⇔ A$_{11}$+A$_{33}$=10 e così analogamente per tutte le altre). Le coppie di numeri disponibili che hanno per somma 10 sono: 1 e 9, 2 e 8, 3 e 7, 4 e 6. proviamo quindi a piazzarle nello schema nelle due caselle esterne di una diagonale o della riga o della colona centrali. Le scelte che si fanno a questo punto determinano quale degli otto quadrati magici normali di lato 3 possibili si otterrà. Prendiamo la prima coppia: 1 e 9 e proviamo a sistemarla:
| 1 | | |
| | 5 | |
| | | 9 |
* 1
* 5
* 9
| | | 1 |
| | 5 | |
| 9 | | |
| 9 | 5 | 1 |
| 9 | | |
| | 5 | |
| | | 1 |
* 9
* 5
* 1
| | | 9 |
| | 5 | |
| 1 | | |
| 1 | 5 | 9 |
In realtà la casistica si riconduce a soli due casi, quello del primo quadrato (con 1 e 9 nella diagonale) e quello del secondo (con 1 e 9 in una riga o colonna centrale); negli altri tutto è analogo.
Nel caso della diagonale, però, incontreremmo insormontabili difficoltà a completare le righe e le colonne con le coppie di numeri disponibili: 2 e 8, 3 e 7, 4 e 6. Infatti per ottenere 15 da 1 possiamo sommarlo, oltre che a 5 e 9, solo ad 8 e 6, che possono essere inseriti in due modi e poi per ognuno anche per l’ultima coppia abbiamo due scelte:
| 1 6 8 7 5 3 2 4 9 | ← | 1 6 8 5 2 4 9 | ← | 1 5 9 | → | 1 8 6 5 4 2 9 | → | 1 8 6 3 5 7 4 2 9 |
| | | $\downarrow \;$ | | | | $\downarrow \;$ | | |
| | | 1 6 8 3 5 7 2 4 9 | | | | 1 8 6 7 5 3 4 2 9 | | |
[p. 32
Tutte, però, portano ad almeno una colonna la cui somma non è 15. Ecco che resta da praticare solo l’opzione con 1 e 9 in una riga o colonna centrali. Qui i completamenti sono più semplici e portano a quadrati non magici solo in due casi:
| 8 1 6 3 5 7 4 9 2 | ← | 8 1 6 5 4 9 2 | ← | 1 5 9 | → | 6 1 8 5 2 9 4 | → | 6 1 8 3 5 7 2 9 4 |
| | | $\downarrow \;$ | | | | $\downarrow \;$ | | |
| | | 8 1 6 7 5 3 4 9 2 | | | | 6 1 8 7 5 3 2 9 4 | | |
Ruotando i quadrati così ottenuti o considerando i loro simmetrici rispetto alle righe od alle colonne centrali si ottengono altri quadrati magici. Lato dispari in generale Cerchiamo ora di generalizzare ad un lato n ≥ 3 naturale dispari qualsiasi. Intanto sappiamo calcolare la costante magica $M={\frac {n3+n}{2}}$. Valgono poi i seguenti due:
Teoremi:
10) l’elemento centrale di un quadrato magico normale di lato n naturale dispari è uguale al numero centrale della successione dei numeri naturali da 1 ad n$^2$, cioè $A_{\frac {nn}{22}}={\frac {n2+1}{2}}$;
11) 1 ed n$^2$ compaiono sempre in caselle esterne simmetriche rispetto alla casella centrale.
Nel quadrato del fiume Luò ad esempio si ha al centro $5={\frac {32+1}{2}}$ ed 1 e 9 sono agli antipodi nella colonna centrale.
Lato dispari – metodo siamese
Questo metodo si chiama così perche venne importato in Europa dal regno del Siam alla fine del XVI secolo da un diplomatico.
Algoritimcamente si può rendere cosi:
I) metti 1 nella casella centrale della prima riga;
II) se hai piazzato il numero t in una casella, piazza il numero t+1 nella casella che trovi spostandoti
in diagonale in alto a destra;
III) se una mossa ti porta fuori, vai alla casella della stessa riga o colonna dal lato opposto come se
sbucassi dall’altra parte;
IV) se muovendo da una casella andresti su di una casella piena, torna indietro e scendi di una casella.
Esempio di lato 3: [p. 33
| | 2 | | | | ↓ | | | |
| 1 | 1 ↓ ↓ | | 1 ← ← | 3 | 1 3 2 | | 1 3 4 2 | 1 3 5 4 2 |
| | Regola III | Regola III | Regola III | | Regola IV | Regola IV | Regola IV | |
| | 7 | | 9 | |
| 1 6 3 5 4 2 | | 1 6 3 5 7 4 2 | 8 1 6 3 5 7 4 2 | 8 1 6 3 5 7 4 9 2 |
| ↑ Regola IV Regola III Regola III Regola III |||||||
Esempio di lato 5:
| | | | 2 | | | | | | | | | | | | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 3 2 | 1 3 2 | 1 3 2 | 1 3 2 | 1 3 2 | | 1 5 4 3 2 | 1 5 4 3 2 | 1 5 4 3 2 | 1 5 4 3 2 | 1 5 4 3 2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 3 2 | 1 3 2 | 1 3 2 | 1 3 2 | 1 3 2 | 4 | 1 5 4 3 2 | 1 5 4 3 2 | 1 5 4 3 2 | 1 5 4 3 2 | 1 5 4 3 2 |
| | | | | 9 | | | | | | | | | | | |
| 1 8 5 7 4 6 3 2 | 1 8 5 7 4 6 3 2 | 1 8 5 7 4 6 3 2 | 1 8 5 7 4 6 3 2 | 1 8 5 7 4 6 3 2 | 1 8 5 7 4 6 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 3 2 9 | | 1 8 5 7 4 6 10 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 10 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 10 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 10 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 10 3 2 9 |
| 1 8 5 7 4 6 3 2 | 1 8 5 7 4 6 3 2 | 1 8 5 7 4 6 3 2 | 1 8 5 7 4 6 3 2 | 1 8 5 7 4 6 3 2 | 1 8 5 7 4 6 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 3 2 9 | 10 | 1 8 5 7 4 6 10 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 10 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 10 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 10 3 2 9 | 1 8 5 7 4 6 10 3 2 9 |
[p. 34
| | | | | | | | | | | | | 18 | | | |
| 1 8 15 5 7 14 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 1 8 15 5 7 14 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 1 8 15 5 7 14 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 1 8 15 5 7 14 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 1 8 15 5 7 14 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 17 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 10 12 3 11 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 10 12 3 11 2 9 |
| | | | | | | | | | | | | 25 | | | |
| 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 |
| 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 1 8 15 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 23 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 2 9 |
| | | | | | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 | 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 |
Lato pari multiplo di 4
È possibile costruire quadrati magici di ogni lato maggiore di 2, ma nel caso di lati genericamente pari gli algoritmi costruttivi si fanno un po’ complessi. L’eccezione è costituita dal lato 4 e dai suoi multipli, per cui esiste un metodo semplicissimo. Con esso si ottengono quadrati in cui 1 e in una casella angolare ed n$^2$ e in quella angolare opposta rispetto all’origine:
I) metti 1 nella casella angolare in alto a destra;
II) da li conta le caselle in ordine da sinistra a destra ed andando a capo alla fine della riga e metti nelle caselle delle diagonali il numero corrispondente al conteggio;
III) riparti a contare le caselle da quella angolare in alta a sinistra, ma conta al contrario da n$^2$ e scrivi i numeri corrispondenti nelle caselle ancora vuote.
[p. 35
Esempio di lato 4:
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | | 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 | 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 | 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 | 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 | | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | → | 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 | 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 | 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 | 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 | ← | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 |
Esempio di lato 8:
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 | ↓ | 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 |
| 1 | 63 | 62 | 61 | 60 | 59 | 58 | 8 |
| 56 | 10 | 54 | 53 | 52 | 51 | 15 | 49 |
| 48 | 47 | 19 | 45 | 44 | 22 | 42 | 41 |
| 40 | 39 | 38 | 28 | 29 | 35 | 34 | 33 |
| 32 | 31 | 30 | 36 | 37 | 27 | 26 | 25 |
| 24 | 23 | 43 | 21 | 20 | 46 | 18 | 17 |
| 16 | 50 | 14 | 13 | 12 | 11 | 55 | 9 |
| 57 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 64 |
Se si parte da una delle altre caselle angolari si ottiene ancora un quadrato magico regolare se si modificano coerentemente i sensi di marcia. Per esempio partiamo dalla casella in altro a destra e da essa andiamo da sinistra a destra nei due conteggi. [p. 36
| 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13 | 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13 | 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13 | 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13 | | 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13 | 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13 | 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13 | 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13 | | 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 | 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 | 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 | 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 |
| 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13 | 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13 | 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13 | 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13 | → | 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13 | 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13 | 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13 | 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13 | ← | 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 | 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 | 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 | 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 |
Se invece partiamo sempre dalla casella in alto a destra e ci limitiamo a cambiare il senso di conteggio si ottiene un quadrato equivalente. Per esempio procediamo dall’altro in basso e dalla prima colonna all’ultima:
| 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 | 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 | 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 | 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 | | 1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16 | 1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16 | 1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16 | 1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16 | | 16 12 8 4 15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 | 16 12 8 4 15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 | 16 12 8 4 15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 | 16 12 8 4 15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 |
| 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 | 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 | 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 | 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 | → | 1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16 | 1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16 | 1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16 | 1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16 | ← | 16 12 8 4 15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 | 16 12 8 4 15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 | 16 12 8 4 15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 | 16 12 8 4 15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 |
Questo è simmetrico del primo di questo paragrafo rispetto alla diagonale principale:
| 1 | 15 | 14 | 4 |
| 12 | 6 | 7 | 9 |
| 8 | 10 | 11 | 5 |
| 13 | 3 | 2 | 16 |
| 1 | 12 | 8 | 13 |
| 15 | 6 | 10 | 3 |
| 14 | 7 | 11 | 2 |
| 4 | 9 | 5 | 16 |
Gli è dunque equivalente. Un altro quadrato magico normale di lato 4 interessante si ottiene contraddicendo le due regole fondamentali dell’algoritmo proposto, cioè partendo dalla casella angolare in basso a destra e spostandosi da destra a sinistra e dal basso in alto:
| 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | | 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 13 14 15 1 | 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 13 14 15 1 | 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 13 14 15 1 | 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 13 14 15 1 | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
| 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | → | 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 13 14 15 1 | 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 13 14 15 1 | 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 13 14 15 1 | 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 13 14 15 1 | ← | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
E’ quello scelto da Dürer per la sua incisione Melancolia I