# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.4.4

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.4.4&oldid=- 20220901085253 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.4.4&oldid=- 20220901085253
11.4.4 Interpolazione lineare nel caso generale
Le condizioni 1) e 2) sugli errori delle grandezze misurate $x$ e $y$ date nel paragrafo 11.4.1 non potranno ovviamente mai essere verificate esattamente; come ci si deve comportare quando nemmeno in prima approssimazione le possiamo considerare vere?
Se gli errori quadratici medi delle $y_{i}$ sono tra loro diversi, non è più possibile raccogliere a fattore comune $1/\sigma ^{2}$ nell’espressione del logaritmo della verosimiglianza; e ciascun addendo sarà diviso per il corrispondente errore $\sigma _{i}$. In definitiva la retta più verosimile si trova cercando il minimo della funzione
$f(a,b)=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {(a+bx_{i})-y_{i}}{\sigma _{i}}}\right]^{2}$.
Questo avviene quando
$\left\{{\begin{array}{ccl}a&=&{\dfrac {1}{\Delta }}\left[\left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {{x_{i}}^{2}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\cdot \left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {y_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)-\left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {x_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\cdot \left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {x_{i}y_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\right]\\b&=&{\dfrac {1}{\Delta }}\left[\left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {1}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\cdot \left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {x_{i}y_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)-\left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {x_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\cdot \left(\sum \nolimits _{i}{\dfrac {y_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\right]\end{array}}\right.$
in cui si è posto
$\Delta \;=\;\left(\sum \nolimits _{i}{\frac {1}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)\cdot \left(\sum \nolimits _{i}{\frac {{x_{i}}^{2}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)-\left(\sum \nolimits _{i}{\frac {x_{i}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\right)^{2}$.
Le varianze di $a$ e di $b$ saranno poi date dalle
$\left\{{\begin{array}{ccl}{\sigma _{a}}^{2}&=&{\dfrac {1}{\Delta }}\,\sum \nolimits _{i}{\dfrac {{x_{i}}^{2}}{{\sigma _{i}}^{2}}}\\{\sigma _{b}}^{2}&=&{\dfrac {1}{\Delta }}\,\sum \nolimits _{i}{\dfrac {1}{{\sigma _{i}}^{2}}}\end{array}}\right.$
Si deve tuttavia osservare che per applicare questo metodo è necessario conoscere, per altra via e preventivamente, tutte le $N$ varianze ${\sigma _{i}}^{2}$. Ciò può essere molto laborioso o addirittura impossibile, e non risulta conveniente rinunciare ad una stima unica e ragionevole ${\sigma _{y}}^{2}$ di queste varianze per tener conto di una variazione, generalmente debole, delle $\sigma _{i}$ in un intervallo limitato di valori della $x$.
Volendo tener conto dell’errore su entrambe le variabili $x$ ed $y$, non è generalmente possibile usare un metodo, descritto in alcuni testi, consistente nel cercare la retta che rende minima la somma dei quadrati delle distanze [p. 187 dai punti, misurate però ortogonalmente alla retta stessa: a prescindere dalla complicazione della soluzione di un sistema di equazioni non lineari, resta il fatto che se $x$ ed $y$ sono due grandezze fisiche diverse, o anche soltanto misurate con strumenti e metodi diversi, i loro errori quadratici medi sono generalmente differenti; mentre la distanza sul piano attribuisce lo stesso peso agli scarti in $x$ ed a quelli in $y$.
Per applicare questo metodo si dovrebbe conoscere, per via indipendente, almeno il rapporto tra $\sigma _{x}$ e $\sigma _{y}$; e rappresentare i valori misurati $(x_{i},y_{i})$ non già sul piano $\{x,y\}$, bensì su quello delle variabili ridotte $\{x/\sigma _{x}\,,\,y/\sigma _{y}\}$.
Per solito nella pratica si preferisce considerare affetta da errore una soltanto delle variabili, ad esempio la $y$, la scelta cadendo generalmente su quella determinata in maniera più indiretta, e che risente perciò degli errori di tutte le altre grandezze misurate direttamente; così, in un diagramma velocità-tempo trascorso o velocità-spazio percorso, si assumerà affetta da errore la sola velocità.
Un eventuale errore sulla $x$ si propagherà attraverso la relazione funzionale anche alla $y$, e, se l’errore quadratico medio $\sigma _{y}$ è stimato dai dati sperimentali, esso congloberà anche l’indeterminazione dovuta alla $x$.
Per meglio chiarire il concetto, consideriamo la legge $v=v(t)=v_{0}+gt$ che descrive la caduta di un grave, e pensiamo di misurare la sua velocità in un certo istante: nell’ipotesi originale $t$ sarebbe determinabile esattamente, ma l’imprecisione nella misura delle velocità ci darebbe valori di $v$ compresi in un intervallo di ampiezza non nulla (dipendente dall’errore quadratico medio $\sigma _{v}$).
Se delle due grandezze, al contrario, fosse la velocità ad essere conoscibile esattamente, l’impossibilità di determinare con precisione l’istante $t$ in cui essa deve essere misurata ci darebbe ugualmente valori di $v$ distribuiti in un intervallo di ampiezza non nulla (legata stavolta a $g\cdot \sigma _{t}$).
Indicando, insomma, con $\sigma _{x}$ e $\sigma _{y}$ gli errori (sempre supposti costanti) di ognuna delle determinazioni (sempre supposte indipendenti) $x_{i}$ e $y_{i}$, la formula dell’errore a posteriori ci permette di ricavare dai dati una ragionevole stima non tanto del solo $\sigma _{y}$ quanto, piuttosto, della combinazione (quadratica) dell’errore intrinseco delle ordinate e di quello intrinseco delle ascisse propagato sulle ordinate:
$\sigma ^{2}\approx {\sigma _{y}}^{2}+\left(b^{*}\sigma _{x}\right)^{2}$
(ove $b^{*}$ è il valore vero della pendenza della retta).