# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 2/Paragrafo 7

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[p. 21
§ 7. — Aree e volumi.
Quando si studia in geometria elementare il problema della misura dell’area o del volume di una figura piana o solida, si sceglie un poligono o un poliedro come unità di misura; il quale (secondo l’uso universale) è il quadrato o il cubo, il cui lato è l’unita di misura delle lunghezze.
$C$
$F$
$h$
$C$
$h$
$p$
$C$
Ecco una proprietà delle aree, che vale anche per le aree esterna ed interna.
Se i punti comuni a due figure piane F$_1$, F$_2$ formano un segmento rettilineo r, ed F$_1$, F$_2$ giacciono da bande opposte rispetto ad r, l’area esterna (interna) della figura F = F$_1$ + F$_2$, vale la somma delle aree esterne (interne) delle F$_1$, F$_2$.
Per l’area interna si osservi che un poligono $p$ tutto interno ad $F$ è diviso da $r$ in due poligoni $p_{1}$, $p_{2}$ interni rispettivamente a $F_{1}$, $F_{2}$. E viceversa la somma di due tali poligoni $p_{1}$, $p_{2}$ si può considerare come un poligono $p$ (eventualmente non connesso) interno ad $F$. Tanto basta per asserire che il limite superiore dell’area dei $p$ (area interna di $F$) vale la somma dei limiti superiori delle aree dei $p_{1}$, $p_{2}$ (cioè delle aree interne di $F_{1}$, $F_{2}$).
$F_{i}$
$i=1,2$
$P_{i}$
$F_{i}$
$r$
$F_{i}$
$P_{1}$
$P_{2}$
$P$
$F$
$p$
$p_{1}$
$p_{2}$
Osservazioni critiche.
Il concetto intuitivo di dominio si può precisare nel modo seguente, in cui per brevità ci riferiremo a dominii piani (confronta la prima nota a piè di pagina 21).
Sia $C$ una classe di punti. Sia $A$ un punto di questa classe. Noi diremo che esso è interno a $C$, se esiste un cerchio di centro $A$, i cui punti appartengono tutti a $C$; diremo che un punto $B$ non appartenente a $C$ è esterno a $C$, se esiste un cerchio di centro $B$, nessun punto del quale appartiene a $C$.
$L$
$C$
$L$
$C$
Diremo che una classe $C$ di punti del piano è un dominio se:
$\alpha )$ Ogni punto di $C$ o è interno a $C$, o appartiene al contorno di $C$.
$\beta )$ Ogni punto che non appartiene a $C$ è esterno a $C$.
$\gamma )$ Esiste almeno un punto interno a $C$.
Diremo che il dominio è connesso, se, scelti ad arbitrio due suoi punti interni $E$, $F$ si può trovare un numero finito di cerchi $\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n}$ tali che:
$\alpha )$ Due cerchi consecutivi hanno infiniti punti comuni (cioè le loro periferie si incontrano in due punti).
$\beta )$ Il primo cerchio contiene $E$, l’ultimo contiene $F$.
$\gamma )$ I punti di ogni cerchio sono tutti interni a $C$.
I poligoni, i cerchi, eccetera della geometria elementare sono dominii connessi; l’insieme di due cerchi esterni l’uno all’altro è un dominio non connesso. Le precedenti definizioni si possono porre per ogni dominio connesso.
I poligoni $p$ saranno quei poligoni, i cui punti (esclusi al più i punti del perimetro) sono tutti punti interni al dominio considerato. I poligoni $P$ saranno quei poligoni che contengono ogni punto interno o posto sul contorno del dominio considerato. La differenza di due poligoni $P$, $p$ è un poligono (dominio limitato da segmenti) che contiene tra i suoi punti tutti i punti del contorno del dominio dato. Il dominio dato avrà un’area, se esisterà almeno un poligono $P$ (ciò che si esprime dicendo che il dominio dato è finito) e se le aree dei poligoni $P$, $p$ formeranno due classi contigue. Ciò avviene soltanto quando i poligoni che contengono tutti i punti del suo contorno hanno aree, il cui limite inferiore è nullo.
* ↑ Qui e nel seguito usiamo la parola figura piana (sarebbe più preciso dire dominio connesso) (confronta l’osservazione critica in fine del § 7). Nei casi più comuni delle applicazioni si tratta di figure limitate da tratti di rette, cerchi, ellissi, eccetera. Osservazioni analoghe valgono per i solidi di cui ci occuperemo.
* ↑ Vedremo che sovente potremmo parlare soltanto di plurirettangoli (cioè poligoni somma di un numero finito di rettangoli parziali). Ciò che rende più evidente ancora l’analogia tra i due problemi: quello della misura delle aree, quello della misura dei volumi.
* ↑ Si potrebbe anche parlare di piramidi, o di poliedri. Ma per noi basta parlare di pluricilindri (cioè di un solido somma di un numero finito di cilindri).
* ↑ Cioè ogni punto interno a $p$ è interno ad $F$, ed ogni punto interno ad $F$ è interno a $P$.
* ↑ Naturalmente se è prefissata l’unità di misura.
* ↑ Si noti ancora che nel caso del cerchio $S$ i poligoni $p$ si suppongono inscritti in $S$, i poligoni $P$ circoscritti. E ciò perchè i poligoni inscritti in $S$ sono interni ad $S$, i poligoni circoscritti ad $S$ contengono $S$ all’interno. Nel caso generale non si può più parlare di poligoni inscritti e circoscritti; perchè (anche ammessa l’esistenza di tali poligoni) i poligoni $p$ inscritti possono essere non tutti interni a $S$, e i poligoni $P$ circoscritti possono non contenere $S$ tutto all’interno, come dimostrano le seguenti figure 3-4. Fig. 3. Fig. 4.
* ↑ Veramente nei trattati elementari ci si limita a considerare generalmente dei pluricilindri inscritti o circoscritti (confronta Nota precedente).
* ↑ È noto che, se $\pi$ è il piano della figura $F$, allora $C$ è il luogo dei punti posti da una stessa banda di $\pi$, i quali distino da $\pi$ non più di $h$, e che abbiano per proiezione su $\pi$ un punto di $F$.
* ↑ Infatti sia $F$, per esempio, una figura piana somma di due figure $F_{1}$, $F_{2}$ senza punti interni comuni. Tra i poligoni $p$ interni ad $F$ vi sono quelli (ad uno o più pezzi), che sono somma di un poligono $p_{1}$ relativo ad $F_{1}$ e di un poligono $p_{2}$ relativo ad $F_{2}$. Quindi il limite superiore $\lambda$ delle aree dei poligoni $p$ vale almeno la somma dei limiti superiori $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$ delle aree dei poligoni $p_{1}$, $p_{2}$, cioè $\lambda \geq \lambda _{1}+\lambda _{2}$. Sia $P_{1}$ un poligono che contiene $F_{1}$ all’interno, e $P_{2}$ un poligono analogo per $F_{2}$; sia $\pi$ la parte comune. Il poligono $P_{1}+P_{2}-\pi$ contiene $F$ all’interno, ed è perciò un poligono $P$ relativo ad $F$. La sua area non supera la somma delle aree dei poligoni $P_{1}$, $P_{2}$. Perciò, sommando insieme l’area di un poligono $P_{1}$ con l’area di un poligono $P_{2}$, si trova un numero, che non è inferiore all’area di qualche poligono $P$ relativo alla figura $F$. Quindi il limite inferiore $\Lambda$ delle aree dei poligoni $P$ non può superare la somma $\Lambda _{1}+\Lambda _{2}$ dei limiti analoghi per $F_{1}$, $F_{2}$. Perciò $\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\geq \Lambda \geq \lambda \geq \lambda _{1}+\lambda _{2}$. Poichè $\lambda _{1}=\lambda _{1}$, $\lambda _{2}=\Lambda _{2}$ per ipotesi, sarà $\Lambda _{1}+\Lambda _{2}=\lambda _{1}+\lambda _{2}=\Lambda =\lambda$, come volevasi provare.
* ↑ È noto che, se $\pi$ è il piano della figura $F$, allora $C$ è il luogo dei punti posti da una stessa banda di $\pi$, i quali distino da $\pi$ non più di $h$, e che abbiano per proiezione su $\pi$ un punto di $F$.