# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 1/Paragrafo 4

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_1/Paragrafo_4&oldid=- 20221102114243 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_1/Paragrafo_4&oldid=- 20221102114243
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§ 4. — Numeri reali.
Insieme ai numeri positivi l’algebra considera, come è noto, anche i numeri negativi; i quali con le seguenti convenzioni, trovano pure applicazione nel problema della misura dei segmenti.
$\alpha$) Una retta $r$ si dice orientata, se è fissato su di essa un verso che si assume come positivo (nella figura e in quanto segue da sinistra a destra). Un segmento orientato di tale retta $AB$ si ritiene percorso nel verso dal punto $A$ al punto $B$, e si ritengono distinti i segmenti (orientati) $AB$, $BA$ i cui versi sono opposti.
Misura algebrica di un segmento $AB$ di $r$ è il rapporto di tale segmento al segmento unitario, preso col segno + o col segno — , secondo che il verso del segmento (il verso da $A$ a $B$) coincide col verso positivo o col verso negativo di $r$. E se noi indichiamo con uno stesso simbolo un segmento e la sua misura, e per convenzione poniamo in generale $a=-(-a)$, avremo $AB=-BA$, $AB+BA=0$. Cioè:
La misura di un segmento cambia di segno se ne invertiamo gli estremi.
I numeri razionali o irrazionali, positivi o negativi, fin qui definiti, hanno ricevuto complessivamente il nome di numeri reali. Se $a$ è un numero reale, con $|a|$ ne indichiamo il valore assoluto; indichiamo cioè con $|a|$ lo stesso numero $a$, se $a$ è positivo e il numero $a$ cambiato di segno, se $a$ è negativo.
$\beta$) Due segmenti orientati si diranno uguali, se hanno lo stesso verso e sono uguali dal punto di vista della geometria elementare: ossia se hanno misure uguali e dello stesso segno.
Due numeri si diranno uguali se hanno uguale segno e uguale valore assoluto. I numeri negativi si considerano minori di zero e dei numeri positivi. Di due numeri negativi si considera maggiore quello che è minore in valore assoluto.
Siano dati i segmenti $c$, $d$; preso un punto qualsiasi $A$ di $r$, si consideri il segmento $AB$ uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a $c$, e quindi il segmento $BC$ uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a $d$. Il segmento $AC$ (ed ogni segmento ad esso uguale) si dirà somma dei segmenti $c$, $d$. Questa definizione coincide evidentemente con la solita, quando i segmenti, $c$, $d$ sono entrambi positivi. [p. 13
Diremo poi somma di due numeri $x$, $y$ il numero che misura il segmento somma dei due segmenti che hanno per misura $x$ oppure $y$.
Si riconosce facilmente che:
1° Il segno della somma di due numeri è uguale al segno dell'addendo, il cui valore assoluto è più grande.
2° Il valore assoluto della somma di due numeri è uguale alla somma o alla differenza dei valori assoluti dei due addendi, secondo che questi hanno o non hanno lo stesso segno.
Queste proprietà potrebbero servire alla definizione puramente analitica della somma di due numeri.
Si estendono facilmente queste definizioni alla somma di più numeri, e si dimostrano le solite regole del calcolo algebrico.
Se $A$, $B$, $C$, sono tre punti qualsiasi di $r$, è per definizione:
Così se $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$ sono punti qualsiasi di $r$, è:
Più in generale, se $A_{1}\;A_{2}.....,A_{n}$ sono punti qualsiasi di $r$, è $A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+.....A_{n-1}A_{n}+A_{n}A_{1}=0$.
E questa formola vale anche se i punti $A$ non sono tutti distinti.
$\gamma$) Si definisce poi il prodotto di due o più numeri reali (fattori) quel numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei fattori, e il segno + o il segno — secondo che vi è numero pari o dispari di fattori negativi.
Si definiscono poi la sottrazione e la divisione come le operazioni inverse de11’addizione e della moltiplicazione, estendendo quindi le solite regole del calcolo algebrico.
Un numero $a$ è minore o maggiore di un altro numero $b$, secondochè $a-b$ è negativo o positivo.
$\delta$) È poi evidente che se $a$, $b$ sono numeri reali qualsiasi
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$\varepsilon$) Se $G$ è una classe di numeri negativi $-m$, e se $L$, $l$, sono i limiti superiore e inferiore dei numeri $m$, allora $-L$ e $-l$ si dicono rispettivamente il limite inferiore e superiore dei numeri di $G$. Queste definizioni appariranno spontanee a chi pensi che (secondo le proprietà da noi ricordate) di due numeri negativi si considera come minore quello che è maggiore in valore assoluto.
Se $G$ è una classe che contiene sia numeri positivi $p$, sia numeri negativi $n$, si dirà limite superiore (inferiore) di $G$ il limite superiore (inferiore) dei numeri positivi $p$ (negativi $n$) che appartengono a $G$.
Anche in questo caso generale si può ripetere quanto per tali limiti si disse al § 3.
$\zeta$) Se $G$, $\Gamma$ sono due classi di numeri reali tali che il limite $\lambda$ inferiore di $G$ coincida con il limite superiore di $\Gamma$, noi diciamo che le classi $G$, $\Gamma$ sono contigue, che $G$ è la classe superiore e che $\lambda$ è il numero di separazione delle due classi. In tal caso nessun numero di $G$ può essere inferiore ad alcun numero di $\Gamma$; e, preso un intero positivo $k$ arbitrario, esiste tanto in $G$ che in $\Gamma$ almeno un numero che coincide con $\lambda$ fino alla $k^{esima}$ decimale. I due numeri così scelti in $G$ e in $\Gamma$ differiranno al più per $\textstyle {\frac {2}{10^{k}}}$.
Viceversa, se nessun numero della classe $G$ è inferiore ad un numero della classe $\Gamma$, e se per ogni numero intero positivo $k$ esistono un numero di $G$ e un numero di $\Gamma$, la cui differenza non supera $\textstyle {\frac {2}{10^{k}}}$, è ben evidente che le classi $G$, $\Gamma$ sono contigue, e che $G$ è la classe superiore.
$\eta$) La teoria delle potenze e delle radici rapidamente riassunta al § 3 si estende con qualche modificazione ai numeri negativi. Così, se $x$ è negativo, ed $n$ intero positivo, la $x^{n}$ è positiva se $n$ è pari, negativa se $n$ è dispari. Se ne deduce che, se $n$ è pari ed $x$ è negativo, il simbolo ${\sqrt[{n}]{x}}$ si deve considerare come sprovvisto di significato nell’attuale campo dei numeri reali.
E se, pure essendo $n$ pari, la $x$ è positiva, il simbolo ${\sqrt[{n}]{x}}$ ha un doppio significato. Perchè se $y$ è un numero positivo tale che $y^{n}=x$, cosicchè $y={\sqrt[{n}]{x}}$, anche $-y$ soddisfa alla analoga uguaglianza $(-y)^{n}=x$, cosicchè anche $-y$ si può con[p. 15 siderare come radice $n^{esima}$ della $x$. Salvo però avvertenza contraria, col simbolo ${\sqrt[{n}]{x}}$ indicheremo sempre la radice positiva.
Se $n$ è dispari, ${\sqrt[{n}]{x}}$ ha sempre uno e uno solo significato.
Secondo tali convenzioni non si parlerà mai di una potenza $x^{\frac {m}{n}}$, quando $x$ è negativo, e dei due numeri interi $m$, $n$ il secondo è pari. Nè parleremo mai di una potenza $x^{p}$ se $x$ è negativo, $p$ è irrazionale.
Se $n$ è un numero negativo, poniamo $x^{n}={\frac {1}{x^{-n}}}$.
Vale anche nel caso attuale la formola
$x^{p}x^{q}=x^{p+q}$
in tutti i casi in cui i simboli $x^{p}$, $x^{q}$ hanno un significato.
$\theta$) Se tre numeri $a$, $x$, $y$ sono legati dalla $a^{x}=y$, noi diremo che $x$ è il logaritmo di $y$ in base $a$, e scriveremo $x=\log _{a}{y}$. La base $a$ si suppone positiva e quasi sempre maggiore di 1 (anzi assai spesso uguale a 10). Si dimostra:
$y\neq 0$
$y=1$
$y=a$
$a>1$
$y$
$b\neq 1$
$\log _{a}{y}=\log _{a}{b}\log _{b}{y}$
${\text{Log}}_{a}{(y_{1}y_{2})}=\log _{a}{y_{1}}+\log _{a}{y_{2}}$