# Matematiche Fascicolo terzo/Tema terzo - Capitolo II/Caso II

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CASO II.
2 Venendo alla moltiplicazione delle Frazioni noi diciamo, che
Come colla moltiplicazione di un numero intiero, considerato come concreto, per un altro numero intiero, considerato come astratto, si assegna nel prodotto la caratteristica di un multiplo, che si prende sopra di un altro multiplo di tutto il numero sottinteso, così colla moltiplicazione delle frazioni, la quale distingueremo in trè Casi, cioè
1.° Di una frazione considerata come concreta per un numero intiero, considerato come astratto
2.° Di un numero intiero considerato come concreto per una frazione, considerata come astratta
3.° Di una frazione considerata come concreta per un’altra frazione, considerata come astratta [p. 46 s’intende di respettivamente assegnare nel prodotto
1.° La caratteristica di un multiplo, che si prende sopra un altro multiplo di submultiplo del numero sottinteso; ossia la caratteristica di un multiplo, che si prende sopra un altro multiplo di una parte aliquota del numero sottinteso
2.° La caratteristica di un multiplo di submultiplo, che si prende sopra un altro multiplo del numero sottinteso; j ossìa la caratteristica di un multiplo di una parte aliquota, che si prende sopra un altro multiplo del numero sottinteso
3.° La caratteristica di un multiplo di submultiplo, che si prende sopra un altro multiplo di submultiplo del numero sottinteso; ossìa la caratteristica di un multiplo di una certa parte aliquota, che si prende sopra un altro multiplo di una cert’altra parte aliquota del numero sottinteso.
Siccome adunque in virtù della proprietà seconda di sopra (§ precedente n.° 6), moltiplicando per un certo numero il numeratore di una frazione, oppure dividendo per esso (quando si può esattamente) il denominatore, non si fà, che prendere un certo multiplo del valore di cotesta frazione, (il qual valore è un multiplo di submultiplo del numero sottinteso (ivi n.° 4)); e viceversa, moltiplicando per un cert’altro numero il denominatore, oppure dividendo per esso [p. 47 (quando si può esattamente) il numeratore, non si fà che prendere un cert’altro submultiplo dal valore della medesima frazione, (il qual valore è anche un submultiplo d’un multiplo del numero sottinteso (ivi)), così, a tenore della precedente definizione, è facile rilevare, che nel caso.
1.° «La moltiplicazione di una frazione per un numero intiero si farà col moltiplicare il di lei numeratore, oppure col dividere (quando sia possibile esattamente) il di lei denominatore, per cotesto numero intiero
2.° «La moltiplicazione di un numero intiero per una frazione si farà col dare a cotesto numero per denominatore quello della frazione, e poi pel di lei numeratore moltiplicar quello della nuova frazione, che ne risulta
3. ° «La moltiplicazione di una frazione per un’altra si farà col moltiplicare il numeratore e denominatore della prima respettivamente pel numeratore e denominatore della seconda; oppure col dividere (quando sia possibile esattamente) il numeratore della prima pel denominatore della seconda, e nel tempo stesso il denominatore pel numeratore.
«Generalmente la moltiplicazione di più frazioni, ed anche di più numeri intieri tra loro (dando a questi per denominatore la cifra 1 (ivi n.° 5)), si potrà far sempre in ogni caso col moltiplicare respettivamente trà loro tutti [p. 48 i numeratori, e tutti i denominatori. Siccome poi l’uno e l’altro de’ prodotti resultanti è sempre lo stesso, comunque si permutino trà loro i fattori, così cotesta moltiplicazione potrà farsi in quell’ordine, che più ci piacerà.
Passando a degli esempj,
Il prodotto della frazione ${\frac {5}{9}}$, moltiplicata pel numero intiero 3, sarà ${\frac {15}{9}}$, egualmente chè ${\frac {5}{3}}$, ossia $1{\frac {2}{3}}$.
Il prodotto del numero intiero 3, moltiplicato per la frazione ${\frac {5}{9}}$, sarà lo stesso di quello di ${\frac {3}{9}}$ per 5, cioè di ${\frac {1}{3}}$ per 5, che è ${\frac {5}{3}}$, ossia $1{\frac {2}{3}}$.
In generale il prodotto di un numero intiero moltiplicato per una frazione è sempre lo stesso del prodotto di cotesta frazione moltiplicata per cotesto numero intiero.
Il prodotto della frazione ${\frac {5}{7}}$, moltiplicata per la frazione ${\frac {2}{3}}$, sarà la frazione ${\frac {10}{21}}$, e questa, moltiplicata per ${\frac {11}{13}}$, ci darà per prodotto la fraz. ${\frac {110}{273}}$.
Pel prodotto poi delle due frazioni ${\frac {15}{24}}$, ${\frac {3}{5}}$, [p. 49 in lungo della frazione ${\frac {45}{120}}$, si avrà la frazione più semplice ${\frac {3}{8}}$.
Nella frazione, prodotto di più altre frazioni, il numeratore essendo o potendo essere il prodotto dei loro numeratori, ed il denominatore il prodotto dei loro denominatori, in quei casi, nei quali vi fossero per essere de’ fattori comuni a questi due prodotti, è utile sopprimerli prima di eseguir la operazione.
Così per es. nel numeratore della frazione, prodotto delle quattro seguenti
${\frac {2}{3}}$, ${\frac {3}{4}}$, ${\frac {5}{6}}$, ${\frac {4}{5}}$,
${\frac {1}{3}}$
Nel caso, che si debba moltiplicare una frazione, accompagnata da un numero intiero, per un’altra, accompagnata anch’essa o nò, da un altro numero intiero, si può prima riunire il [p. 50 primo intiero alla prima frazione, ed il secondo alla seconda, aggiungendo a ciascun numeratore il prodotto dell’intiero pel denominatore corrispondente, e poi moltiplicar trà loro le due frazioni spurie resultanti. Indi dalla frazione prodotto si estrarranno gl’intieri in essa contenuti.
Così, dovendosi moltiplicar per esempio $7{\frac {2}{3}}$ per $5{\frac {7}{8}}$, si cangerà prima $7{\frac {2}{3}}$ in ${\frac {23}{3}}$, e $5{\frac {7}{8}}$ in ${\frac {47}{8}}$. Il prodotto di ${\frac {23}{3}}$ per ${\frac {47}{8}}$ essendo ${\frac {1081}{24}}$, estraendosene gl'intieri si ottiene $45{\frac {1}{24}}$.
Se si vuole evitare la riunione degl’intieri alle frazioni, ed ottener direttamente il voluto prodotto, disponendo nel nostro esempio il calcolo, come segue
| $7$ | ${\frac {2}{3}}$ |
| $5$ | ${\frac {7}{8}}$ |
| $35$ | |
| $3$ | ${\frac {1}{3}}$ |
| $6$ | ${\frac {1}{8}}$ |
| | ${\frac {7}{12}}$ |
| $45$ | ${\frac {1}{24}}$ |
${\frac {2}{3}}$
${\frac {7}{8}}$
${\frac {7}{8}}$
${\frac {2}{3}}$
${\frac {10}{3}}$
${\frac {49}{8}}$
${\frac {14}{24}}$
$35$
$3{\frac {1}{3}}$
$6{\frac {1}{8}}$
${\frac {7}{12}}$
Generalmente, se si avessero più frazioni accompagnate o nò da numeri intieri, e si trattasse di moltiplicar l’insieme o la somma di alcune per l’insieme o la somma delle altre, prima si potrebbero trasformare, le une separatamente dalle altre coi loro respettivi intieri, in altrettante equivalenti del medesimo denominatore, e poi addizionando pure separatamente le prime e le seconde trasformate si moltiplicherebbero trà loro le due frazioni resultanti per somme. Finalmente dalla frazione prodotto se n’estrarrebbero gl’intieri, che vi potrebbero essere contenuti.
Ma, senza stare a fare tutte coteste operazioni preliminari, noi possiamo qualchè volta giungere più speditamente al definitivo risultato nel modo seguente.
Si riguardino le prime frazioni, egualmentechè i numeri intieri, da’ quali possono essere [p. 52 accompagnate, come Parti separate di un Tutto.
Si riguardino parimente le seconde frazioni, egualmentechè i numeri intieri respettivi, dai quali esse possono essere accompagnate, come Parti separate di un altro Tutto;
Poi sotto le prime Parti scritte le seconde, separate l’una dall’altra da virgole, si moltiplichino le parti superiori tutte di mano in mano per ciascuna delle inferiori, e scrivendo i prodotti successivi, che si ottengono, sotto una linea orizzontale, che siasi tirata, si faccia poi la somma di tutti, previe le opportune riduzioni.
Si debba per es. moltiplicare la somma di $2{\frac {1}{2}}$ e ${\frac {2}{3}}$, per quella di $3{\frac {1}{4}}$ e ${\frac {3}{5}}$.
Ecco il tipo del calcolo
| $2$, | ${\frac {1}{2}}$, | ${\frac {2}{3}}$ | |
| $3$, | ${\frac {1}{4}}$, | ${\frac {3}{5}}$ | |
| $6$, | ${\frac {1}{2}}$ | | |
| $1$ | | | |
| $2$, | ${\frac {1}{2}}$, | ${\frac {1}{8}}$, | ${\frac {1}{6}}$ |
| $1$ | | | ${\frac {1}{5}}$, | ${\frac {3}{10}}$, | ${\frac {2}{5}}$ |
| $11$, | ${\frac {1}{8}}$, | ${\frac {1}{6}}$, | ${\frac {9}{10}}$, | ossia | $12$ | ${\frac {23}{120}}$. |
È poi indifferente cominciar la moltiplicazione da sinistra, piuttostochè da destra; ma l’addizione de’ prodotti si comincerà sempre da destra, per poter dalla somma delle frazioni estrarre gl’intieri, che possono esservi contenuti, e riunirgli cogli altri.
Del resto le frazioni, o numeri intieri, che quì si riguardano come Parti di un Tutto, differiscono dalle Parti, che di sopra (1) abbiamo chiamate aliquote, in quantochè non sono generalmente trà loro uguali, nè si considerano come quozienti esatti di un numero diviso per un altro. Esse si potrebbero chiamare Parti aliquante.