# Opere matematiche di Luigi Cremona/Rivista bibliografica - O. Hesse

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31.
RIVISTA BIBLIOGRAFICA.
O. Hesse — Vorlesungen uber analytische Geometrie des Raumes insbesondere uber Oberflächen zweiter Ordnung. Leipzig 1861.
Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo IV (1861), pp. 109-111.
Il signor Hesse, sì noto ai matematici pe’ suoi lavori analitici, coi quali ha potentemente cooperato al progresso della scienza in vari rami di essa, ha ora pubblicato un libro che riassume le lezioni date dall’autore alle università di Königsberg, di Halle e di Heidelberg. Questo libro di geometria analitica, nel quale sono specialmente studiate le superficie di second’ordine, rappresenta nel modo più degno lo stato attuale della scienza. L’autore fa uso dei metodi più perfetti che oggi si posseggano, svolge le sue formole con elegante simmetria, e con facilità sorprendente dimostra i più belli ed importanti teoremi relativi all’argomento. I quali metodi e teoremi, m’affretto a dirlo, sono in buona parte dovuti allo stesso signor Hesse, che già da parecchi anni ne arricchì la scienza, come è attestato dai volumi del giornale matematico di Berlino, in cui egli ha inserito le sue memorie. Pochi libri ci hanno inspirato quella viva gioia che abbiamo sentita nel leggere queste elegantissime pagine; e crediamo fermamente che il nostro entusiasmo sarà diviso da qualunque abbia la fortuna di studiare il libro del signor Hesse.
Non ci è possibile di offrire, coll’inabile nostra parola, un’immagine abbastanza esatta de’ singoli pregi di quest’opera. Ci limiteremo a indicare per sommi capi le materie svolte ne’ vari capitoli, che l’autore chiama lezioni.
Dopo i preliminari esposti nelle prime due lezioni, la terza comprende le più essenziali proprietà armoniche ed involutorie di un sistema di piani: proprietà che l’autore trasporta ai circoli massimi di una sfera. Queste proprietà sono dimostrate con quel metodo sì semplice, già usato da Plücker e da altri, che consiste nel rappresentare il primo membro dell’equazione di un piano (il secondo essendo lo zero) con una sola [p. 473 lettera e nel combinare le equazioni analoghe di più piani per via di somma o sottrazione. Collo stesso metodo simbolico sono dimostrati nella quarta lezione parecchi eleganti teoremi relativi alle figure sferiche, e nominatamente all’esagono di Pascal.
In quelle quattro lezioni l’autore non fa uso che delle ordinarie coordinate cartesiane ortogonali. Nella quinta lezione sono introdotte le coordinate planari e tangenziali, già inventate da Chasles e Plücker, e col mezzo di esse l’autore sviluppa, rispetto ad un sistema di punti nello spazio, le proprietà analoghe a quelle precedentemente esposte per un sistema di piani.
Nella sesta lezione troviamo le coordinate omogenee, ossia quattro coordinate per rappresentare sì un punto che un piano, onde l’equazione di un luogo o di un inviluppo, con tali coordinate, riesce omogenea. Il signor Hesse, co’ suoi scritti, ha molto contribuito a divulgare e rendere popolari queste coordinate omogenee, che alcuni tenaci del passato guardano con sospetto e disprezzo, e che pur giovano tanto alla simmetria ed alla facilità del calcolo. Nelle successive lezioni, l’autore fa uso quasi esclusivamente di coordinate omogenee per rappresentare sì i punti che i piani.
Affinchè i giovani suoi uditori o lettori non fossero costretti a cercare altrove quelle teorie analitiche sulle quali egli fonda i suoi metodi, l’autore ha consacrato la settima lezione all’esposizione de’ principali teoremi relativi ai determinanti, e l’ottava alle funzioni omogenee.
Nelle lezioni successive s’incontrano le fondamentali proprietà delle superficie di second’ordine; le relazioni fra le coordinate di un polo e quelle del piano polare, la doppia rappresentazione di una superficie di second’ordine come luogo di punti e come inviluppo di piani, il principio di reciprocità (teoria delle polari reciproche di Poncelet), le proprieta de’ coni e delle coniche considerati come caso particolare de’ luoghi e degl’inviluppi di secondo grado, ecc. Le lezioni sedicesima e diciassettesima (come anche la ventiduesima), sono tra le più belle in questo libro che è tutto bello da capo a fondo. Vi si considerano i tetraedri polari relativi ad una o a due o a più superficie, di secondo grado; il lettore troverà qui dimostrati con ammirabile e luminosa spontaneità quei molti teoremi che già furono trovati dall’autore e pubblicati nel giornale di Crelle.
La ricerca del tetraedro polare comune a due superficie di second’ordine conduce, com’è noto, alla riduzione delle equazioni di queste superficie ai soli termini quadrati, mediante un solo sistema di sostituzioni lineari. Questo importante problema analitico, che già fu scopo alle ricerche di Jacobi, di Cayley e di Weierstrass, e trattato dal sig. Hesse, con evidente predilezione. La lezione diciottesima è consacrata alla trasformazione delle funzioni omogenee di un numero qualunque di variabili, ed invero: dapprima sono sviluppate le relazioni che sussistono fra i coefficienti delle sostituzioni lineari, in generale; poi seguono le proprietà di quelle sostituzioni lineari che [p. 474 riducono una funzione omogenea di secondo grado a contenere i soli quadrati; e da ultimo si determinano le sostituzioni lineari che trasformano simultaneamente due date funzioni quadratiche in altre due prive de’ termini rettangoli.
La lezione decimanona tratta del problema generale della trasformazione delle coordinate tetraedriche, cioè delle coordinate, per le quali un punto o un piano è riferito ad un tetraedro fondamentale. Come caso particolare, se una faccia del tetraedro va a distanza infinita, si hanno le formole per passare da una ad un’altra terna di assi coordinati, siano essi rettangoli od obliqui.
Il tetraedro polare comune ad una data superficie di second’ordine qualsivoglia e ad un’arbitraria superficie sferica concentrica alla prima, ha una faccia all’infinito e le altre tre ortogonali fra loro; onde la ricerca di quel tetraedro conduce agli assi principali della superficie data. Questa ricerca, con l’analoga relativa alle coniche, è eseguita in due diverse maniere nelle tre lezioni seguenti. La seconda maniera è sopratutto notevole perchè somministra le coordinate ellittiche, ed è mirabile che l’autore deduca le formole differenziali per le coordinate ellittiche dalle equazioni in termini finiti fra le coordinate ordinarie, con semplice scambio di lettere. Il qual processo semplice e fecondo è compreso in un teorema assai generale, dato dal prof. Chelini a pag. 70 della sua interessante memoria Sull’uso simmetrico de’ principj relativi al metodo delle coordinate rettilinee.
Interessantissima è pur la ventesimaterza lezione che ha per oggetto le linee geodetiche dell’ellissoide. Nella lezione successiva si considerano le curve focali di una data superficie di second’ordine, come quelle coniche che fanno parte del sistema di superficie confocali alla data; in seguito si dimostra che quelle curve sono anche il luogo de’ vertici de’ coni rotondi circoscritti alla superficie medesima.
Nella lezione ventesimasesta si stabiliscono le condizioni necessarie perchè una data equazione quadratica fra le coordinate rappresenti una superficie di rotazione. Tali condizioni, com’è noto, sono due: mentre, in generale, la condizione dell’eguaglianza di due radici in un’equazione algebrica è unica. Di qui un apparente paradosso, che l’autore scioglie mostrando, come aveva fatto Kummer, che il discriminante dell’equazione cubica relativa agli assi principali è la somma di sette quadrati.
La lezione seguente contiene la determinazione degli assi principali della sezione fatta da un piano in una superficie di second’ordine e la ricerca, in due modi diversi, delle sezioni circolari della superficie medesima. Finalmente, le ultime tre lezioni trattano de’ raggi di curvatura delle sezioni piane, normali ed oblique, delle superficie in generale e delle loro linee di curvatura. [p. 475
Concludendo, il libro del signor Hesse è un prezioso dono fatto ai cultori della geometria; esso fa nascere nel lettore un solo ma vivo desiderio, ed è che l’illustre geometra pubblichi presto un libro simile per le altre teorie, come quelle delle curve piane di terzo e quart’ordine, in cui egli ha già fatto sì mirabili scoperte.
Felice la gioventù alemanna che è educata nelle matematiche da tali professori! E felici anche i giovani italiani, se fra noi si saprà trar profitto dello splendido lavoro del signor Hesse!