# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.3

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/8.3&oldid=- 20220830100348 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/8.3&oldid=- 20220830100348
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8.3 La distribuzione di Cauchy
La distribuzione di Cauchy (o distribuzione di Breit-Wigner, nome con il quale è più nota nel mondo della fisica) è definita da una densità di probabilità che corrisponde alla funzione, dipendente da due parametri $\theta$ e d (con la condizione $d>0$),
Anche se la (8.6) è integrabile, e la sua funzione integrale, ovverosia la funzione di distribuzione della x, vale
$F(x;\theta ,d)\;=\;\int _{-\infty }^{x}\!f(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-\theta }{d}}\right)$
$\theta =0$
$d=1.$
$\theta$ è la mediana della distribuzione e d ne misura la larghezza a metà altezza, come è rilevabile ad esempio dalla figura 8d. La funzione caratteristica della distribuzione di Cauchy è la
$\phi _{x}(t;\theta ,d)=e^{i\theta t-|t|\,d}$;
per la cosiddetta variabile standardizzata,
$u={\frac {x-\theta }{d}}$
funzione di frequenza, funzione di distribuzione e funzione caratteristica valgono rispettivamente
${\begin{cases}f(u)\;=\;{\dfrac {1}{\pi \left(1+u^{2}\right)}}\\[3ex]F(u)\;=\;{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{\pi }}\,\arctan u\\[3ex]\phi _{u}(t)\;=\;\displaystyle e^{-|t|}\end{cases}}$
Secondo la funzione (8.6) sono, ad esempio, distribuite le intensità nelle righe spettrali di emissione e di assorbimento degli atomi (che hanno una ampiezza non nulla); e la massa invariante delle risonanze nella fisica delle particelle elementari. È evidente però come nella fisica la distribuzione di Cauchy possa descrivere questi fenomeni solo in prima approssimazione: infatti essa si annulla solo per $x\to \pm \infty$, ed è chiaramente priva di significato fisico una probabilità non nulla di emissione spettrale per frequenze negative, o di masse invarianti anch’esse negative nel caso delle risonanze.
Per la distribuzione di Cauchy troncata, ossia quella descritta dalla funzione di frequenza (per la variabile standardizzata)
$f(u|-K\leq u\leq K)={\begin{cases}0&\quad |u|>K\\[1ex]{\dfrac {1}{2\,\arctan K}}\,{\dfrac {1}{\left(1+u^{2}\right)}}&\quad |u|\leq K\end{cases}}$
(discontinua in $u=\pm K$), esistono invece i momenti: i primi due valgono
$E(u|-K\leq u\leq K)=0$
e
${\text{Var}}(u|-K\leq u\leq K)={\frac {K}{\arctan K}}-1$
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Se le $x_{k}$ sono N variabili casuali indipendenti che seguono la distribuzione di Cauchy con parametri $\theta _{k}$ e $d_{k}$, una generica loro combinazione lineare
$y=\sum _{k=1}^{N}a_{k}\,x_{k}$
segue la stessa distribuzione: infatti la funzione generatrice per le $x_{k}$ è
$\phi _{x_{k}}(t)=e^{i\theta _{k}t-|t|d_{k}}$
e, definendo $\xi _{k}=a_{k}x_{k}$ e ricordando la (6.17),
$\phi _{\xi _{k}}(t)\;=\;\phi _{x_{k}}(a_{k}t)\;=\;e^{ia_{k}\theta _{k}t-|t|\cdot |a_{k}|\,d_{k}}$;
infine, applicando la (6.11),
$\phi _{y}(t)=\prod _{k=1}^{N}\phi _{\xi _{k}}(t)\;=\;e^{i\theta _{y}t-|t|d_{y}}$
ove si è posto
| $\theta _{y}=\sum _{k=1}^{N}a_{k}\theta _{k}$ | e | $d_{y}=\sum _{k=1}^{N}|a_{k}|d_{k}$. |
Una conseguenza importante è che il valore medio di un campione di misure proveniente da una popolazione che segua la distribuzione di Cauchy con certi parametri $\theta$ e d (in questo caso tutte le $a_{k}$ sono uguali e valgono $1/N$) è distribuito anch’esso secondo Cauchy e con gli stessi parametri; in altre parole non si guadagna nessuna informazione accumulando più di una misura (e calcolando la media aritmetica del campione).