# Cinesi, scuola e matematica/Temi ed aspetti della tradizione matematica cinese/Opere, personaggi e risultati notevoli della produzione matematica cinese

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Cinesi, scuola e matematica Giovanni Giuseppe Nicosia 2010 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Cinesi, scuola e matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Cinesi,_scuola_e_matematica/Temi_ed_aspetti_della_tradizione_matematica_cinese/Opere,_personaggi_e_risultati_notevoli_della_produzione_matematica_cinese&oldid=- 20191004212657 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Cinesi,_scuola_e_matematica/Temi_ed_aspetti_della_tradizione_matematica_cinese/Opere,_personaggi_e_risultati_notevoli_della_produzione_matematica_cinese&oldid=- 20191004212657
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## 3.2.1 Un filone particolare

Nel corso della sua lunghissima storia la cultura cinese ha sviluppato notevoli conoscenze e pratiche matematiche soprattutto in campo algebrico tra fasi diverse di apice e declino. Si tratta, almeno secondo le fonti storiografiche di origine europea, di una tradizione sostanzialmente autonoma dal filone greco-arabo col quale ha intrattenuto pochissimi scambi indiretti sino all’epoca dell’espansione coloniale del XIX secolo. Tra le cause di tale isolamento si possono ipotizzare due fattori: la situazione geografica del Paese, circondato da aree desertiche, montagne e mari; ed una visione assai alta ed esclusiva della propria identità culturale assai radicata nel popolo cinese da tempi molto antichi. Questa concezione è testimoniata anche dal nome tradizionale della Cina, 中国 (Zhōngguó), che significa Paese di mezzo, anche nel senso di Centro del mondo. Non si tratta di orgoglio nazionalista (che peraltro di tanto in tanto si è affacciato anche nella storia cinese) ma di un’idea generale del ruolo dell’uomo nel mondo che vede la Cina come teatro degli avvenimenti importanti per l’umanità.
Tendenze all’isolamento o addirittura alla diffidenza verso le innovazioni venute dall’estero si possono riscontrare in modo ricorrente nella storia cinese. D’altra parte anche quando il Paese venne conquistato da parte di popolazioni diverse, la cultura cinese seppe sempre prevalere, infine, su quella dei vincitori e trasformarli. Anche oggi la maggior parte dei Cinesi va assai fiera della sua cultura. Naturalmente la circolazione internazionale dei saperi arricchì, attraverso mediazioni culturali complesse, anche la produzione matematica cinese soprattutto suggerendo temi nuovi e campi di ricerca, ma i suoi autori vi dettero impostazioni e contributi originali.
Il calcolo è uno degli interessi principali di questa tradizione. Altri risultati notevoli riguardano i sistemi di rappresentazione dei numeri (alcuni in base 10 ed in grado di rappresentare agilmente numeri molto alti), gli interi negativi, le frazioni (con una ricca lista di regole per il calcolo algebrico), i decimali, diversi teoremi di algebra, geometria ed addirittura analisi. Molti teoremi che siamo soliti associare ai nomi della tradizione greco-araba hanno avuto uno scopritore cinese talora in epoche storiche precedenti. È il caso, ad esempio, del Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo o del Triangolo di Tartaglia-Pascal, che dovrebbe essere ribattezzato premettendo il nome di Yáng Huī (杨辉) a quello dei due scienziati europei.
Uno dei temi ricorrenti della ricerca matematica cinese classica fu quello della stima di π (che naturalmente non era chiamato così). In questo i matematici cinesi superarono in precisione anche Archimede e tutti i loro colleghi greci. Questa tabella illustra alcuni passaggi storici di questa ricerca:
| Opera od autore | Epoca | Valore | Metodo o fonte |
| Tradizione precedente i Nove capitoli dell’arte matematica (九章算术) | Sino al I secolo p.E.v. | $\pi \cong 3$ | tradizione |
| Liu Xīn (刘歆) | 46 p.E.v. – 23 E.v. | $\pi \cong 3,154$ | ignoto |
| Zhāng Heng (张衡) | 78 – 139 | $\pi \cong 3,1724$ | calcoli astronomici |
| Zhāng Heng (张衡) | 78 – 139 | $\pi \cong {\sqrt {1}}0\cong 3,162$ | rapporti tra aree e volumi |
| Liu Huī (刘徽) | III secolo | $3,141024<\pi <3,142074\,\!$ | poligono inscritto di 192 lati |
| Liu Huī (刘徽) | III secolo | $\pi \cong 3,1416={\frac {150}{50}}$ | calcoli sul precedente |
| Liu Huī (刘徽) | III secolo | $\pi \cong 3,1416={\frac {3927}{1250}}$ | poligono inscritto di 3.072 lati |
| Zǔ Chōngzhī (祖冲之) | 429 – 500 | ${\frac {335}{113}}>. Caio dice: <>. Sempronio dice: <>. Quante monete ha ciascuno di loro? Soluzione: si imposta un sistema di tre equazioni in tre incognite ponendo che le monete di Tizio siano t, quelle di Caio c e quelle di Sempronio s: [p. 55
${\begin{cases}t+{\frac {2}{3}}c+{\frac {1}{3}}s=100W{\frac {2}{3}}t+c+{\frac {1}{2}}s=100W{\frac {2}{3}}t+{\frac {2}{3}}c+s=100\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}t-2s=0W2c-3s=0Ws=30\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}t=60Wc=45Ws=30\end{cases}}$
IV) Il cavallo che rallenta: un cavallo ha percorso 700 miglia in 7 giorni, tenendo ogni giorno una velocita che era la meta di quella del giorno precedente. Quante miglia avra percorso in ognuno dei diversi giorni? Soluzione: chiamiamo le lunghezze dei tratti percorsi ogni giorno $\textstyle a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5},\ a_{6},\ a_{7}$ rispettivamente. Dimezzando le velocita il cavallo ha dimezzato anche le distanze via via coperte quindi: $\textstyle a_{7}={\frac {a_{6}}{2}}$, $\textstyle a_{6}={\frac {a_{5}}{2}}$, ...,$\textstyle a_{2}={\frac {a_{1}}{2}}$. Questo significa che ognuna di queste lunghezze si puo scrivere in relazione alla prima: $\textstyle a_{2}={\frac {a_{1}}{2}}$, $\textstyle a_{3}={\frac {a_{2}}{2}}={\frac {\frac {a_{1}}{2}}{2}}={\frac {a_{1}}{22}}$, $\textstyle a_{4}={\frac {a_{3}}{2}}={\frac {a_{1}}{23}}$, $\textstyle a_{5}={\frac {a_{4}}{2}}={\frac {a_{1}}{24}}$, ..., $\textstyle a_{7}={\frac {a_{6}}{2}}={\frac {a_{1}}{26}}$. Dato che in tutto ha percorso 700 miglia: $\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=700$. Possiamo dunque impostare l’equazione: $\textstyle a_{1}+{\frac {a_{1}}{2}}+{\frac {a_{1}}{22}}+...+{\frac {a_{1}}{26}}=700$ da cui raccogliendo a1 si ottiene: $\textstyle a_{1}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{22}}+...+{\frac {1}{26}}\right)=700\Rightarrow a_{1}={\frac {700}{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{22}}+...+{\frac {1}{26}}}}=$$\textstyle ={\frac {700}{\frac {64+32+16+8+4+2+1}{64}}}={\frac {700\times 64}{127}}=352,756$, $\textstyle a_{2}={\frac {352,756}{2}}=176,378$, $\textstyle a_{3}={\frac {176,378}{2}}=88,189$, $\textstyle a_{4}={\frac {88,189}{2}}=44,094$, $\textstyle a_{5}={\frac {44,094}{2}}=22,047$, $\textstyle a_{6}={\frac {22,047}{2}}=11,024$, $\textstyle a_{7}={\frac {11,024}{2}}=5,512$
Nota: l’ultima coppia di parentesi racchiude i primi sette termini della serie geometrica $\textstyle \sum _{n=0}{\infty }{\frac {1}{2n}}$.

## 3.2.14 Zǔ Chōngzhī (祖冲之)

Visse nel l’secolo (429 – 500) provenendo da una famiglia altolocata ed impegnata negli studi astronomici e matematici per più generazioni. Fu matematico, astronomo e funzionario. Pubblicò calendari accuratissimi in cui profuse calcoli complessi e distinzioni astronomiche assai sottili. Pare che fosse in grado di calcolare tutte le aree ed i volumi topici e di estrarre radici quadrate e cubiche. Fonti riferiscono anche della sua grande confidenza col Principio di Cavalieri e di metodi di interpolazione utili per ottenere risultati astronomici senza disporre di una teoria del calcolo differenziale ed integrale. Purtroppo tutto ciò trova solo conferme indirette essendo andata perduta la maggior parte della sua produzione scritta.
Zǔ si occupò della stima di π. Nella sua epoca il problema si poneva come ricerca di due numeri razionali detti mì lǜ (密率, approssimazione precisa) e yue lǜ (約率, approssimazione grossolana) rispettivamente uno minore ed uno maggiore tra cui racchiuderlo. I valori che circolavano erano: [p. 56 $\textstyle {\frac {335}{113}}=3,141593$ e $\textstyle {\frac {22}{7}}=3,1428577$. Zǔ si servi del metodo dei poligoni inscritti in un cerchio di Liú Huī e calcolando il perimetro di un poligono di 12.288 lati ottenne con grande precisione (Bagni, 1996):
$\textstyle 3,1415926<\pi <3,1415927$
cosa stupefacente se si pensa che le sue uniche macchine da calcolo erano le bacchette d’avorio.
3.2.15 Zǔ Gèng (祖暅)
Figlio di Zǔ Chōngzhī, condivise con lui il V secolo e parte del suo lavoro astronomico e matematico. Diede una sistemazione teorica adeguata ad un principio che i matematici cinesi usavano già da secoli in modo non logicamente ben fondato e che in seguito prese il suo nome. Esso stabilisce che due solidi di uguale altezza che abbiano congruenti tutte le sezioni piane staccate alla stessa altezza hanno volumi congruenti. Si tratta del Principio di Cavalieri enunciato con un migliaio di anni di anticipo, e che dunque si dovrebbe ribattezzare Principio di Zǔ Gèng – Cavalieri.
3.2.16 Wáng Xiàotōng (王孝通)
Considerato uno degli iniziatori della fase aurea dell’algebra cinese, visse tra il 580 ed il 640. Si dedicò alla ricerca in matematica ed in astronomia ed anche al loro insegnamento. La sua opera principale è la Continuazione della Matematica antica (算经古继 Suànjìng gǔjì) una raccolta di 20 problemi quasi tutti di natura ingegneristica. In essi si occupò, per primo nella cultura cinese, di equazioni di terzo grado grazie ad un algoritmo per l’estrazione di radice cubica cui era arrivato rielaborando dei procedimenti più antichi per le radici quadrate. Benché le soluzioni siano di natura numerica il linguaggio in cui le esprime è sempre riferito ad oggetti geometrici, in particolare lati di cubi, altezze di parallelepipedi o profondità di vasche e canali di forma regolare. I testi dei problemi sono assai complessi ed il linguaggio e molto suggestivo. Ci sono anche problemi sul triangolo rettangolo. Il testo ebbe notevole fortuna ed ottenne grandi riconoscimenti istituzionali.

## Problemi dalla Continuazione della Matematica antica (算经古继 Suànjìng gǔjì)

(enunciati e soluzioni in forma moderna)
I) a e b sono i cateti di un triangolo rettangolo e c e la sua ipotenusa. Sappiamo che a x b = 706,02 e che c supera a di 37,90 unità. Quanto valgono i tre lati?
Soluzione: sappiamo che a x b = 706,02 , c - a = 37,90 e naturalmente a² + b² = c² . Cercando di impostare delle equazioni che sfruttino queste conoscenze: (ab)² = a² x b² = a² x (c² - a²); qui possiamo applicare il prodotto notevole: c² - a² = (c - a)(c + a). Abbiamo quindi l’equazione: (ab)² = a²(c - a)(c + a). Dividiamo ambo i membri per c - a ed otteniamo:
$\textstyle {\frac {(ab)^{2}}{(c-a)}}=a^{2}(c+a)$,
nella quale a primo membro compaiono solo quantità note: $\textstyle {\frac {(706,02)^{2}}{(37,90)}}=13152,09$ . Per sistemare il secondo membro occorre qualche passaggio: dentro la parentesi sottraiamo e sommiamo a ottenendo: [p. 57
$a2(c+a)=a2(c-a+a+a)=a2(c-a+2a)$, riscriviamo poi le parentesi per isolare il binomio che ci interessa: $a2(c-a+2a)=a2[(c-a)+2a]$ ed applichiamo la proprieta distributiva: $a2[(c-a)+2a]=a2(c-a)+a2\times 2a=2a3+a2(c-a)$; qui possiamo sostituire il termine che conosciamo: $2a3+a2(c-a)=sa3+a2\times 37,90$. L’equazione di partenza puo essere riscritta come: $13152,09=2a3+37,90a2$ ovvero: $2a3+37,90a2-13152,09=0$ che e un’equazione di terzo grado. Il lettore interessato potra risolverla con l’algoritmo di Cardano.
3.2.17 Lǐ Chúnfèng (李淳风)
Matematico, astronomo e storico visse nel VII secolo (602 – 670) in un periodo di grande impulso agli studi matematici. Diresse diverse istituzioni scientifiche dedite in particolare all’astronomia ed alla calendarizzazione e promosse importanti riforme al calendario.
Commento criticamente i Nove capitoli dell’arte matematica e l’opera critica su questo testo di Liú Huī (刘徽) nonché il lavoro di altri matematici. Fu anche manualista coordinando un gruppo di lavoro che scrisse I dieci classici matematici (十部算经 Shíshū suànjìng), una raccolta di dieci trattati di intento didattico che ebbe grande fortuna ma di cui non ci e arrivato granché. Nella sua epoca la matematica era entrata tra le materie di esame per i concorsi del funzionariato.
Un suo risultato è il calcolo 27.720 come minimo comune multiplo di 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

## I dieci classici matematici (十部算经 Shíshū suànjìng)

Ai primi del settimo secolo, agli inizi del regno dei Táng (唐朝, 618 – 907), la comunità scientifica cinese ed una parte culturalmente attiva della sua società di riferimento sentirono la necessità di una sistemazione accurata delle conoscenze matematiche e di uno strumento che ne facilitasse lo studio e la diffusione negli ambienti in cui si sarebbero selezionati i gruppi dirigenti. La matematica era entrata a far parte del bagaglio culturale richiesto ai funzionari. Per ordine imperiale vennero allora riunite in un’unica raccolta le principali opere consegnate dalla tradizione.
La redazione di questa raccolta venne affidata ad un gruppo di lavoro diretto da Lǐ Chúnfèng (李淳风) e duro diversi anni. I testi inseriti erano più di dieci ma ragioni di ordine simbolico od estetico spinsero commentatori più tardi a dare alla raccolta il nome di Dieci classici. La maggior parte dell’opera e pero andata perduta. È probabile che i criteri adottati fossero solo in parte filologici, privilegiando la sistemazione teorica e l’esposizione di risultati e procedimenti.
Ecco alcuni dei testi inseriti:
* Classico aritmetico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo (周髀算经 Zhōu bì suànjìng)
* I nove capitoli dell’arte matematica (九章算术 Jiǔzhāng suànshù)
* Manuale matematico delle isole marine (海岛算经 Hăidăo suànjìng) di Liú Huī (刘徽)
* Manuale di calcolo di Sunzǐ (孙子算经 Sunzǐ suànjìng)
* Manuale matematico dei Cinque Dipartimenti Amministrativi (五曹算经 Wǔcáo suànjìng)
* Manuale matematico di Xiàhóu Yáng (算经陽夏侯 Xiàhóu Yáng suànjìng)
* Manuale matematico di Zhāng Qiūjiàn (张建邱算经 Zhāng Qiūjiàn suànjìng)
[p. 58
8. Cinque classici di metodi aritmetici (五经算术 Wǔjìng suànshù) di Zhēn Luán (甄鸾)
9. Continuazione della Matematica antica (继古算经 Jìgǔ suànjìng) di Wáng Xiàotōng (王孝通)
10. Memorie su metodi algebrici tradizionali (术数记遗 Shùshū jìyí) di Xú Yuè (徐岳)
11. Metodi di interpolazione (缀术 Zhuì shù) di Zǔ Chōngzhī (祖冲之)
12. Arte dei tre gradi numerici (三等术 Sānděng shù) di Dōng Quán (东泉).
Di alcuni di questi si e gia parlato nei capitoli precedenti cui si rimanda. Il quinto e un manuale del V secolo originariamente rivolto a dirigenti provinciali, il cui governo era articolato in cinque diversi uffici, un po’ come gli assessorati odierni; vi compaiono formule geometriche per aree e metodi di approssimazione utili in campo agricolo. Il sesto e una raccolta di problemi. L’ottavo si occupa di questioni calendariali e di grandi numeri. Il decimo risale al terzo secolo e contiene rappresentazioni di numeri assai alti mediante potenze di dieci. Anche l’ultimo testo si occupa di grandi numeri. Buona parte di questa raccolta è andata perduta.
3.2.18 Shěn Kuò (沈括)
Visse nell’XI secolo (1031–1095) e fu un intellettuale quanto mai poliedrico. Scrisse moltissime opere, la lista delle quali ogni tanto si arricchisce di qualche titolo seguendo i progressi della filologia cinese e dell’archeologia. I problemi di attribuzione che lo riguardano sono complicati a causa delle diverse campagne censorie o revisioniste succedutesi nel corso dei secoli che hanno eliminato parte della produzione scritta. Fu un personaggio dall’ingegno decisamente multiforme: funzionario, ministro, consigliere imperiale, diplomatico, direttore di diversi istituti culturali, militare, storico, filosofo, poeta, narratore in prosa, musicista, critico d’arte, archeologo, etnografo, cartografo, botanico, zoologo, geologo, agronomo, meteorologo, farmacologo, idraulico, ingegnere, inventore, astronomo, matematico ed autore addirittura di una guida di viaggio che consiglia anche il tipo di veicolo, il vestiario ed il vettovagliamento più adatti per certi percorsi. Le sue opere ed i numerosi accenni che gli tributano I commentatori successivi sono una immensa fonte di informazioni sulla civiltà cinese della sua epoca. Sebbene molto sia andato perduto, in esse e rappresentato quasi ogni aspetto della vita pratica ed ideale del suo Paese.
Vi compaiono tra le altre cose descrizioni accurate delle orbite della luna e di altri corpi celesti. Da astronomo miglioro la sfera armillare, l’uso dello gnomone e di altri strumenti per l’osservazione astronomica. Formulo, inoltre, diverse ipotesi sulla formazione della terra basate sull’osservazione dei fossili marini trovati nell’entroterra e sui suoi studi geologici. Miglioro sensibilmente la stampa a caratteri mobili che era stata inventata da altri in quel periodo, avendone intuito le potenzialità. Essa pero non ebbe grandissimo successo a causa delle caratteristiche della lingua cinese. Shěn realizzo due atlanti, diversi scritti sull’arte del governo, alcune teorie di arti militari e fortificazioni, alcuni scritti sulla pittura, dei trattati medici e farmacologici, e numerose poesie. Scrisse anche un trattato di musica in cui si parla di armonici in una forma matematica.
$\scriptstyle a=c+{\frac {2s^{2}}{d}}$
A lui fonti più tarde attribuiscono la scoperta di quello che oggì è universalmente chiamato Triangolo di Tartaglia-Pascal, che in effetti è usato nella combinatoria di poco successiva anche se altri lo attribuiscono piuttosto a Jiă Xiàn (贾宪).
3.2.19 Jiă Xiàn (贾宪)
Visse nella prima meta del XI secolo e scoprì il triangolo che porta oggi il nome degli scienziati europei Tartaglia e Pascal. Questi infatti, a lui ben posteriori, appartenevano alla cultura scientifica di quella civiltà che, sbaragliate con la violenza tutte le altre, quasi riuscì a cancellarne le tradizioni culturali. La prima testimonianza scritta di questo schema e di diversi procedimenti ad esso legati è pero in un’opera del matematico Yáng Huī (杨辉) del XIII secolo, cui andrebbe legittimamente ascritto. A Jiă Xiàn questo schema serviva, probabilmente, come strumento per la ricerca di radici quadrate e cubiche e per altre ricerche algebriche. Le sue opere sono andate perdute ma la sua memoria sopravvisse grazie ai commenti dei matematici posteriori.
3.2.20 Lǐ Zhì (李治)
Visse tra mille difficolta nell’epoca dell’occupazione mongola della Cina, tra il 1192 ed il 1279, girovagando in poverta per buona parte della sua vita. Dopo la pubblicazione del suo capolavoro, lo Specchio marino delle misure circolari (測圓海鏡 Cè yuán hǎi jìng, 1248), in cui si occupava di equazioni polinomiali, e dei Nuovi passi nel calcolo (益古演段 yìgǔ yǎnduàn, 1259) in cui si mostrano applicazioni di metodi algebrici alla risoluzione di problemi geometrici, la sua situazione personale migliorò nettamente sino a renderlo consigliere dell’imperatore Kublai Khan (il nipote di Gengis Khan di cui si parla anche nel Milione di Marco Polo). Diresse diverse istituzioni culturali. Probabilmente una parte della sua produzione andò bruciata dietro suo esplicito ordine.
Nelle sue opere compare la prima testimonianza scritta di un procedimento per la costruzione di polinomi di grado arbitrario in una variabile che prevede di sistemarne i coefficienti in una struttura simile ad un vettore colonna.
In termini moderni: [p. 60 $\scriptstyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\ \leftrightarrow \ {\begin{matrix}\scriptstyle a_{0}\\\scriptstyle a_{1}\\\scriptstyle \ldots \\\scriptstyle a_{n-1}\\\scriptstyle a_{n}\end{matrix}}$.
Tale procedimento fa parte di un metodo di risoluzione di equazioni. Per Lǐ i coefficienti possono essere anche numeri negativi o razionali rappresentati in frazioni decimali. Questo incolonnamento fa pensare che i matematici di questa epoca disponessero di metodi di risoluzione o di riduzione del grado simili a quello di Ruffini.
3.2.21 Guō Shǒujìng (郭守敬)

## Scheda

Il Triangolo di Yáng Huī (杨辉) – Tartaglia – Pascal
Si tratta di una tabella di numeri di forma triangolare. Si costruisce mettendo un uno nel vertice; sotto si scrivono sfasati i due uno (1 1), in modo che i tre numeri formino un triangolo; poi si procede nelle altre righe inserendo al principio ed alla fine sempre degli uno e poi i numeri che risultano dalla somma dei due che gli stanno immediatamente al di sopra; in tal modo la riga successiva è 1 2 1, quella dopo e 1 3 3 1 e così via:
| 1 | riga 0 |
| 1 1 | riga 1 |
| 1 2 1 | riga 2 |
| 1 3 3 1 | riga 3 |
| 1 4 6 4 1 | riga 4 |
| 1 5 10 10 5 1 | riga 5 |
| 1 6 15 20 15 6 1 | riga 6 |
| 1 7 21 35 35 21 7 1 | riga 7 |
| 1 8 28 56 70 56 28 8 1 | riga 8 |
| 1 9 36 84 126 84 36 9 1 | riga 9 |
| 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 | riga 10 |
Questa tabella è utilissima per costruire o ricordare elegantemente i coefficienti numerici che intervengono nello sviluppo della potenza di un binomio. Infatti dati due termini (numeri, lettere od altri oggetti cui si possano applicare le operazioni di elevamento a potenza, somma e prodotto) a e b ed un numero naturale n osserviamo che cosa accade elevando il binomio $a+b$ alla n:
${\mbox{se }}n=0\Rightarrow (a+b)0=1$
${\mbox{se }}n=1\Rightarrow (a+b)1=a+b$
${\mbox{se }}n=2\Rightarrow (a+b)2=a2+2ab+b2$
${\mbox{se }}n=3\Rightarrow (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3$.
Nel caso generale cioè per n naturale qualunque vale la seguente formula nota come Binomio di Newton: [p. 62 $\textstyle (a+b)n=\sum _{k=0}{n}{\binom {n}{k}}a{n-k}bk=$
$\textstyle ={\binom {n}{0}}anb0+{\binom {n}{1}}a{n-1}b1+\ldots +{\binom {n}{n-1}}a1b{n-1}+{\binom {n}{n}}a0bn$.
Questa e la somma di $n+1$ monomi tutti contenenti le due lettere a e b elevate ad esponenti la cui somma dà sempre n precedute da certi coefficienti che sono rappresentati dalle coppie di numeri sovrapposti tra parentesi. Ad esempio per n=3 abbiamo:
$\textstyle (a+b)3=\sum _{k=0}{3}{\binom {3}{k}}a{3-k}bk={\binom {3}{0}}a3b0+{\binom {3}{1}}a2b1+{\binom {3}{2}}a1b{2}+{\binom {3}{3}}a0b3=$
$\textstyle =a3+3a2b+3a1b2+b3$
in cui nell’ultimo membro sono stati eliminati i termini uguali ad 1. Il grado di a cala da 3 sino a 0 mentre quello di b cresce da 0 a 3. I simboli con due numeri sovrapposti tra parentesi tonde che indicano i coefficienti si chiamano proprio coefficienti binomiali. Quelli nell’esempio hanno il numero superiore sempre uguale a 3 (cioè all’esponente n) e quello inferiore che parte da 0 ed arriva a 3. Li si calcola con una formula che coinvolge i fattTesto in corsivooriali e che è un po’ macchinosa:
$\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {(n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdot \ldots \cdot n}{2\cdot 3\cdot \ldots \cdot k}}$.
Nell’esempio: $\textstyle {\binom {3}{0}}={\frac {3!}{0!(3-0)!}}={\frac {3!}{1\cdot 3!}}=1$; $\textstyle {\binom {3}{1}}={\frac {3!}{1!\cdot 2!}}={\frac {6}{2}}=3$; $\textstyle {\binom {3}{2}}={\frac {3!}{2!\cdot 1!}}=3$; $\textstyle {\binom {3}{3}}={\frac {3!}{3!(3-3)!}}={\frac {3!}{3!\cdot 0!}}=1$.
Accade però che questi coefficienti siano gli stessi che compaiono nel Triangolo se interpretiamo n come numero di riga e k come posto del coefficiente all’interno della riga. Così ad esempio nella riga numero 3 al secondo posto troviamo proprio 3 che è il risultato del calcolo precedente. Quindi grazie al Triangolo possiamo sviluppare senza troppi calcoli una potenza di un binomio con esponente alto, al prezzo di scrivere Triangolo sino alla riga desiderata:
$\textstyle (a+b)6=1a6b0+6a5b1+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6a1b5+1a0b6=$$\textstyle =a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.$
3.2.23 Qín Jiǔshào (秦九劭)
Altro esponente della ricerca matematica cinese del XIII secolo (1202 – 1261), è l’autore del Trattato matematico in nove parti (数书九章 Shùshū Jiǔzhāng, 1247) che è l’opera cinese più antica pervenutaci in cui compare il simbolo 〇 per lo zero (Bagni, 1996). Si tratta di un libro dai molti interessi (equazioni algebriche, cose militari, cartografia, fisco, agrimensura, scienze delle costruzioni, fenomeni celesti, problemi finanziari su prezzi ed interessi, tecniche di immagazzinamento di cereali) ricco di argomentazioni matematiche). Ognuno dei 9 capitoli contiene 9 problemi.
Si risolvono equazioni algebriche, sistemi lineari e si calcolano somme di serie aritmetiche. Vi compare una riformulazione del Teorema cinese del resto di Sunzǐ (孙子), che infatti gli è talora attribuito, con commenti e nuove applicazioni algoritmiche applicate alla risoluzione di problemi. Ci sono alcune formule per il calcolo di aree, tra cui una analoga a quella di Erone di Alessandria (10 – 70 p.E.v.) che permette di calcolare l’area di un triangolo dalla lunghezza dei tre lati.
Qín non era un ricercatore a tempo pieno essendosi piuttosto impegnato con successo nella carriera amministrativa. Raggiunta una posizione di potere fu corrotto e concussore. Si occupò di astronomia e del calendario per determinare le date dei solstizi.

## Scheda

[p. 63

## Le formule di Erone di Alessandria e Qín Jiǔshào (秦九劭) per l’area di un triangolo

Dato un triangolo di lati a, b, c la Formula di Erone stabilisce che l’area A vale:
$\textstyle (\alpha )\qquad A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ in cui $\textstyle s={\frac {a+b+c}{2}}$ è il semiperimetro.
Esplicitando s si ha: $\textstyle A={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\left({\frac {a+b+c}{2}}-a\right)\left({\frac {a+b+c}{2}}-b\right)\left({\frac {a+b+c}{2}}-c\right)}}=$$\textstyle ={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\left({\frac {a+b+c-2a}{2}}\right)\left({\frac {a+b+c-2b}{2}}\right)\left({\frac {a+b+c-2c}{2}}\right)}}=$$\textstyle ={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\left({\frac {b+c-a}{2}}\right)\left({\frac {a+c-b}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}=$$\textstyle ={\sqrt {\frac {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{2}}}=$$\textstyle ={\frac {\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}{4}}.$ Svolgendo i calcoli e facendo qualche raccoglimento:
$\textstyle (\beta )\qquad A={\sqrt {\frac {-(a4+b4+c4)+2(a2b2+a2c2+b2c2)}{16}}}$ che è un’espressione equivalente.
Qín Jiǔshào (秦九劭) propone la seguente:
$\textstyle (\gamma )\qquad A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a2c2-\left({\frac {a2+c2-b2}{2}}\right)2}}$ che è equivalente a quella di Erone (α). Infatti:
$\textstyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a2c2-\left({\frac {a2+c2-b2}{2}}\right)2}}={\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {4a2c2-(a2+c2-b2)2}{4}}}}=$$\textstyle ={\sqrt {\frac {4a2c2-(a4+c4-b4+2a2c2-2a2b2-2b2c2)}{16}}}=$$\textstyle ={\sqrt {\frac {-a4-c4-b4+2a2c2+2a2b2+2b2c2}{16}}}=$$\textstyle ={\sqrt {\frac {-(a4+b4+c4)+2(a2b2+a2c2+b2c2)}{16}}}$ che è esattamente l’espressione (β) che già sappiamo essere equivalente ad (α). La versione (α) è però più semplice da calcolare.
3.2.24 Zhū Shijie (朱世杰)
Visse a cavallo del XIII e del XIV secolo, viaggiò per anni per tutta la Cina come docente di matematica nei diversi centri di studio e scrisse due opere che sono arrivate sino ai nostri giorni. La prima è il manuale elementare Introduzione allo studio del calcolo (算学启蒙 Suànxué Qǐméng, 1299) in cui quattro problemi iniziali illustrano le operazioni aritmetiche ed algebriche e poi seguono 284 problemi ed esercizi. Vi si espongono anche metodi di misura di aree e volumi. Questo libro ebbe una straordinaria importanza nello sviluppo della matematica in tutta l’Asia estremorientale.
La seconda è il Prezioso specchio di giada dei quattro elementi (四元玉鉴 Sìyuán Yùjiàn, 1303) che è uno dei testi fondamentali dell’algebra cinese. Come nel libro precedente quattro problemi iniziali servono ad illustrare metodi risolutivi (delle quattro incognite) con cui affrontare 288 problemi seguenti. Ci sono pagine interessanti dedicate alla conversione di un problema espresso verbalmente in [p. 64 un sistema di equazioni polinomiali (da una equazione sino a 14) e poi a metodi per ridurre questo ad un’unica equazione in un’incognita. Tutti i problemi sono corredati di equazione finale e soluzione, il che fa pensare che anche questo testo fosse destinato ad un uso didattico più che alla divulgazione di conoscenze tra ricercatori. In questo libro si fa largo uso del Metodo di Ruffini per la fattorizzazione di polinomi e si risolvono equazioni quadratiche e cubiche, trovando anche radici quadrate e cubiche. Compare una classificazione di esse che sfrutta il triangolo di Yáng Huī – Tartaglia – Pascal e c’è la risoluzione di sistemi di equazioni lineari con la diagonalizzazione della matrice dei coefficienti. In seguito la matematica perse la grande attrattiva che aveva esercitato sugli intellettuali cinesi, che si volsero alla calligrafia, alla botanica ed alla farmacologia.

## Scheda

Problemi dal Prezioso specchio di giada dei quattro elementi (四元玉鉴 Sìyuán Yùjiàn) di Zhū Shìjié (朱世杰)
I) Un triangolo rettangolo ha area pari a 30 passi (步 bù, qui nel senso di “passi quadrati”). La somma della base e dell’altezza (cioè rispettivamente del cateto maggiore e del minore) è di 17 passi. Quanto vale la somma della base e dell’ipotenusa?
Soluzione: detto x il cateto maggiore o base, y il minore o altezza e z l’ipotenusa sappiamo che:
$\textstyle (\alpha )\qquad {\begin{cases}\textstyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\\\textstyle {\frac {xy}{2}}=30\\\textstyle x+y=17\end{cases}}$ da cui, eliminando la y come suggerito nella terza equazione $\textstyle (y=17-x)$, la seconda diviene: $\textstyle {\frac {x(17-x)}{2}}=30\Leftrightarrow 17x-x^{2}=60\Leftrightarrow -x^{2}+17x-60=0\Leftrightarrow x^{2}-17x+60=0\qquad (\beta )$.
Quest’ultima è un’equazione di secondo grado con discriminante $\textstyle \Delta =(-17)^{2}-4\cdot 1\cdot 60=47>0$ e che ammette quindi due radici: $\textstyle x_{12}={\frac {-(-17)\pm {\sqrt {49}}}{2\cdot 1}}={\frac {17\pm 7}{2}}=\langle {\begin{matrix}\textstyle 5=x_{1}\\\textstyle 12=x_{2}\end{matrix}}$. Quindi $\textstyle y_{1}=12$ e $\textstyle y_{2}=5$. Si è però detto che x è il cateto maggiore quindi consideriamo solo la soluzione tale che $\textstyle x>y$ cioè: $\textstyle x=12$ e $\textstyle y=5$ . Da qui ricaviamo: $\textstyle z={\sqrt {12^{2}+5^{2}}}={\sqrt {169}}=13$. La somma che cerchiamo è dunque: $\textstyle w=z+x$.
Zhū però mostra qualcosa di più introducendo una variabile che noi indicheremmo con $\textstyle w=z+x$ e che rappresenta la somma richiesta dal quesito; quest’ultima equazione può essere aggiunta al sistema di partenza (α). In tal modo: $\textstyle z=x-w$. Considerando la terza equazione del sistema $\textstyle (\alpha )\ (y=17-x)$ la prima diviene: $\textstyle x^{2}+(17-x)^{2}=(x-w)^{2}\Leftrightarrow x^{2}+289-34x+x^{2}=x^{2}-2xw+w^{2}\Leftrightarrow$ $\textstyle \Leftrightarrow x^{2}-34x+289+2xw-w^{2}=0$.
Sappiamo però che vale l’equazione (β): $\textstyle x^{2}-17x+60=0$ da cui si ha: $\textstyle x^{2}=17x-60$. Sostituendo così il termine quadratico della x nell’equazione (γ) essa diviene: $\textstyle 17x-60-34x+289+2xw-x^{2}=0\Leftrightarrow$ $\textstyle \Leftrightarrow 229-17x+2xw-w^{2}=0$. Si raccoglie ora la x e la si ricava in funzione della w: $\textstyle x(-17+2w)=w^{2}-229\Leftrightarrow x={\frac {w^{2}-229}{2w-17}}\qquad (\delta )$. [p. 65
Sostituendo quest’ultima nella $(\gamma )$ si ottiene: $\textstyle \left({\frac {w2-229}{2w-17}}\right)2-34{\frac {w2-229}{2w-17}}+2w{\frac {w2-229}{2w-17}}-w2=0$ da cui, con qualche passaggio algebrico: $\textstyle {\frac {(w2-229)2-34(w2-229)+289(w2-229)+2w(w2-229)-w2(w2-229)}{(2w-17)2}}=0\Leftrightarrow$$\textstyle \Leftrightarrow w4-34w3+71w2+3706w+3600=0\quad (\varepsilon )$
Zhū ottiene, probabilmente in questo modo, questa equazione di quarto grado in w forse con l’intento di mostrarne metodi risolutivi. Una delle quattro soluzioni di (ε) è quella trovata prima.
II) Una compagnia recluta soldati. Il primo giorno ne arruola il cubo di 3, il secondo il cubo di 4 e così via: se un giorno arruola $n3$ il giorno dopo ne arruola $(n+1)3$. Quanti soldati avrà arruolato in tuto dopo 15 giorni? E dopo n giorni? Soluzione: il numero di soldati arruolati e dato dalle somme parziali della serie: $\textstyle \sum _{k}(k+2)3$ in cui k rappresenta il numero dei giorni. Infatti il giorno 1 ne arruola $27=(1+2)3$; il giorno 2, $64=(2+2)3$ che con quelli del giorno prima fanno 91; e via così. Il testo scompone questa serie in altre più semplici ottenendo per il giorno n la formula: $\textstyle s(n)={\frac {n(n+5)(n2+5n+12)}{4}}$ in cui $s(n)$ sta per soldati arruolati sino al giorno n.
Un’attività interessante collegata a questo problema può essere quella di trasporlo su di un foglio elettronico. Ecco un esempio realizzato con applicativo Microsoft Excel che permette un facile controllo della correttezza della formula proposta da Zhū: [p. 66
| giorni | giorni + 2 | soldati del giorno (giorni + 2)³ | soldati totali | FORMULA |
| 1 | 3 | 27 | 27 | 27 |
| 2 | 4 | 64 | 91 | 91 |
| 3 | 5 | 125 | 216 | 216 |
| 4 | 6 | 216 | 432 | 432 |
| 5 | 7 | 343 | 775 | 775 |
| 6 | 8 | 512 | 1287 | 1287 |
| 7 | 9 | 729 | 2016 | 2016 |
| 8 | 10 | 1000 | 3016 | 3016 |
| 9 | 11 | 1331 | 4347 | 4347 |
| 10 | 12 | 1728 | 6075 | 6075 |
| 11 | 13 | 2197 | 8272 | 8272 |
| 12 | 14 | 2744 | 11016 | 11016 |
| 13 | 15 | 3375 | 14391 | 14391 |
| 14 | 16 | 4096 | 18487 | 18487 |
| 15 | 17 | 4913 | 23400 | 23400 |
| 16 | 18 | 5832 | 29232 | 29232 |
| 17 | 19 | 6859 | 36091 | 36091 |
| 18 | 20 | 8000 | 44091 | 44091 |
| 19 | 21 | 9261 | 53352 | 53352 |
| 20 | 22 | 10648 | 64000 | 64000 |
3.2.25 Chéng Dàwèi (程大位)
Visse dal 1533 al 1606 e rivestì cariche civili che lo portarono ad interessarsi a problemi di commercio e tassazione. Sotto la spinta di tali interessi pratici si occupò di aritmetica, ma non divenne mai un accademico. È noto per aver raccolto problemi e temi matematici direttamente nei mercati e nelle fiere di molte città osservando i commercianti ed intervistandoli. La sua opera fondamentale, il Manuale di riferimento generale per i metodi computazionali (算法统宗 Suànfǎ tǒngzōng, 1592) in dodici capitoli, è un manuale per l’uso del pallottoliere, strumento assai diffuso in diverse aree del mondo. Questo libro ebbe un’influenza internazionale molto ampia durata più di due secoli. Non è rivolto ad un pubblico di studiosi colti ma a persone che avevano necessità di fare dei conti. Esistevano all’epoca un po’ in tutto il mondo, Europa inclusa, dei professionisti del calcolo che lavoravano per lo stato, i proprietari terrieri, i mercanti od i prestatori di denaro per determinare importi di tassazioni, paghe, prezzi, ed interessi. Queste figure erano in parte simili ai commercialisti di oggi dato che dovevano conoscere bene leggi e regolamenti di ordine economico, ma con un maggiore accento sui metodi di calcolo che appartenevano ad una minoranza della popolazione. Sino a che la notazione indo-araba dei numeri e gli algoritmi scritti per le operazioni non presero piede, pallottolieri, tavole e gettoni da calcolo, insieme ad operatori esperti nel loro uso furono necessari.
Il testo contiene 595 problemi ed è ricco di osservazioni e commenti anche su aspetti caratteristici del ruolo dei numeri nella cultura cinese (quadrati magici, trigrammi divinatori,…), metodi di insegnamento e di studio del calcolo col pallottoliere, tavole di somma da imparare a memoria, spiegazioni dei termini tecnici e diverse curiosità matematiche.
L’attività di Chéng riguardò anche metodi di misura ed altri temi sempre provenienti dalla pratica del commercio e della tassazione. [p. 67

## Problema dal Manuale di riferimento generale per i metodi computazionali (算法统宗 Suànfǎ tǒngzōng)

Un pastorello ha una sola pecora e chiede ad un altro: <> L’altro risponde: <> Quante pecore ha questo secondo pastorello?
Soluzione: si tratta di impostare l’equazione: $\textstyle x+x+{\frac {x}{2}}+{\frac {x}{4}}+1=100$ in cui x è il numero di pecore. Con qualche passaggio: $\textstyle {\frac {11}{4}}x=99\Leftrightarrow x=99\cdot {\frac {4}{11}}=36$.
Il metodo usato nel testo e diverso ed implica una falsa posizione: poniamo che le pecore siano 10; in questo caso se svolgiamo le operazioni indicate dal secondo pastorello avremo: $\textstyle 10+10+{\frac {10}{2}}+{\frac {10}{4}}={\frac {55}{2}}$; questo numero (che già è curioso per delle pecore che si suppongono vive e perciò intere) non soddisfa la condizione che con la pecora del primo pastorello si raggiunga cento: anziché $\textstyle {\frac {55}{2}}$ avremmo voluto 99; allora facciamo: $\textstyle \left(10:{\frac {55}{2}}\right)\cdot 99=10\cdot {\frac {2}{55}}\cdot 99=36$.

## 3.2.27 I Méi (梅)

Tutto ciò non bastò a ravvivare gli studi matematici, che ripresero vigore solo alla fine del secolo XIX grazie ai contatti con l’Europa e gli Stati Uniti. I matematici cinesi continuarono a dare contributi ma di minore spessore. È da ricordare la famiglia Méi, il cui più famoso membro fu Méi Wéndǐng (梅文鼎, 1633-1721). Nella sua opera si manifesta una sensibilità occidentale quantomeno nella scelta dei temi. Si occupò infatti della Sezione Aurea. Ciò lo porto a superare la contrapposizione tra la matematica tradizionale e le novità importate dal contatto con i missionari, che in quell’epoca aveva preso la forma di uno scontro ideologico. Méi si dedico all’insegnamento della matematica, che lo porto a viaggiare per il Paese, piuttosto che alla ricerca od alla carriera burocratica. Ebbe molti studenti.
Molti tra i suoi fratelli e nipoti furono matematici ed astronomi. Tra essi Méi Juèchéng (梅瑴成, 1681-1763) che fu per nomina imperiale il curatore responsabile della maggiore enciclopedia matematica della storia cinese, la Raccolta dei principi fondamentali della matematica (数理精蕴 Shùlĭ jīingyùn, 1723) e che curò anche le Opere della Famiglia Mei (丛书辑要梅氏 Méishì cóngshūu jíyào, 1761)

## 3.2.28 Il periodo dei critici

Il XVIII secolo vide alcune raccolte critiche di lavori della tradizione precedente. Dài Zhèn (戴震, 1724 - 1777) curò la Libreria completa delle quattro branche della letteratura (库全书四 Sìkù quánshū, 1773) e fece pubblicare nuove edizioni di alcuni classici del pensiero matematico.
Ruǎn Yuán (阮元,1764 - 1849), nel corso di una vita dedita al servizio dello stato e ad una ricerca matematica molto vasta, scrisse le Biografie di astronomi e matematici (传畴人 Chóurén zhuán), contenente le biografie di 275 scienziati cinesi e di 41 matematici occidentali. Per la verità in questo testo si includono nella categoria dei matematici esperti e studiosi di diverse discipline (astronomi, calendaristi, geografi, ingegneri, economisti,…), compresi alcuni poeti e musicisti. Probabilmente prevale l’intento critico di salvaguardia della cultura cinese dall’infiltrazione di contenuti di origine [p. 69 occidentale e dal confronto con la tecnologia e la scienza europea, cosicché questo libro diviene una celebrazione di tutti i sapienti di riferimento, in senso largo. La tesi fondamentale del testo è l’origine cinese o collegata con la cultura cinese della scienza occidentale. Il problema del rapporto della cultura cinese con quella europea fu in questa epoca sempre più sentito. Ruǎn si occupò anche di studi letterari e della ricostruzione filologica di antichi testi confuciani. Curò inoltre le riedizioni a stampa di diversi classici matematici. Allo stesso tempo divenne un’autorità negli studi di calligrafia.
Il suo collaboratore Lĭ Ruì (李锐 1768 - 1817) commentò moltissimi classici e raccolse diversi risultati propri nelle Opere matematiche di Li Rui (遗书李氏算学 lǐ shì suànxué yíshū) nelle quali si occupò di metodi di calcolo delle lunghezze di archi e segmenti, di argomenti astronomici e di equazioni di grado alto.

## 3.2.29 Lǐ Shànlán (李善蘭) ed il dialogo interculturale nel periodo dei conflitti coloniali

Nel XIX secolo con l’inasprirsi dei conflitti con le grandi potenze coloniali europee via via più aggressive crebbero anche le occasioni di confronto diretto tra sistemi tecnologici e concezioni scientifiche. Molte idee e metodi matematici occidentali si diffusero in Cina in questo periodo. Trattandosi comunque di un’epoca di scontri ed imposizioni, più che una collaborazione tra studiosi si ebbe una contrapposizione tra la cultura cinese e quella europea, affetta da un forte complesso di superiorità. Ebbe un ruolo determinante l’infiltrazione massiccia di missionari protestanti ed, in misura minore, cattolici e l’istituzione di scuole di vario tipo da parte di agenzie occidentali che proponevano curricoli e contenuti assai lontani dalla sensibilità cinese. Esse si rivolgevano a strati sociali diversi da quelli ristrettissimi cui tradizionalmente si era rivolta l’istruzione. Se da un lato in molti casi nella loro opera mostravano una netta sottovalutazione dei saperi scientifici elaborati in Cina, ebbero però il merito di far circolare idee matematiche nuove. La matematica cinese non venne soppiantata completamente dalle produzioni internazionali ma ne subi lentamente l’influenza.
Un personaggio per certi versi anomalo in questo contesto fu Lǐ Shànlán (李善蘭, 1811-1882), matematico di formazione tradizionale che colse la portata rivoluzionaria di novità quali il metodo delle coordinate cartesiane od il calcolo differenziale e, nutrendo una grande fiducia nel dialogo interculturale, tradusse in cinese molti testi scientifici con l’aiuto di alcuni missionari inglesi. Tra le sue traduzioni anche gli ultimi nove libri degli Elementi di Euclide da un’edizione inglese (completando così il lavoro di traduzione e di dialogo iniziato dal Ricci e da Xú Guāngqǐ (徐光启) ai primi del XVII secolo), gli Elementi di Algebra di De Morgan e diversi testi di meccanica newtoniana, geometria analitica ed analisi. Queste branche della matematica facevano così la loro prima apparizione in Cina. In questa occasione venne coniato il lessico tecnico fondamentale della matematica usato ancora oggi nella lingua cinese. Scrisse inoltre raccolte di risultati di propri nelle quali diede sue definizioni e teoremi su logaritmi, serie infinite, combinatoria. In queste opere il suo stile è peraltro assai coerente con quello della tradizione matematica cinese.

## 3.2.30 Il XX secolo e l’apertura alla matematica internazionale

Alla fine del secolo XIX sia per volontà dei dirigenti della società cinese, sia sotto l’impulso della colonizzazione culturale operata da agenti occidentali, presero vita numerose istituzioni accademiche che diedero notevoli contributi alla ripresa degli studi matematici. Molte di esse avevano proprio l’obiettivo di introdurre temi occidentali o di preparare gli studenti a periodi di studio all’estero. Anche grandi scuole esistenti vennero riorganizzate col massiccio inserimento di contenuti matematici e fisici nei loro curricoli sotto la spinta del confronto con la modernità europea. [p. 70 La Tóngwén Guǎn (同文館, Scuola di apprendimenti combinati) venne fondata nel 1864 a Pechino (北京 Běijīng) per opera di Lǐ Shànlán (李善蘭) ed era dedita alle lingue straniere per favorire lo studio dei testi della bibliografia internazionale e le scienze matematiche ed astronomiche occidentali. Nella sua offerta formativa c’erano anche corsi di matematica tradizionale. Dalla riorganizzazione di alcune importanti scuole nacque nel 1898 l’Università Imperiale (师大学堂京 Jīngshī Dàxuétáng) di Pechino, oggi ancora assai attiva come Università di Pechino (北京大学 Běijīng Dàxué). Allo scopo di preparare gli studenti cinesi per periodi di studio negli Stati Uniti venne fondato nel 1911 il Tsinghua College (清華學堂 Qīnghuá Xuétáng) da cui poi si sviluppò in seguito l’Università Tsinghua (清华大学 Qīnghuá Dàxué) che è oggi una delle più importanti ed attive istituzioni accademiche della Repubblica Popolare Cinese (华人民共和国中 Zhōnghuá Rénmín Gònghéguó).
Nel 1928 venne fondata a Pechino l’Academia Sinica (中央研究院 Zhōngbāng Bánjiūyuàn) da cui sono derivate sia l’Accademià Cinese delle Scienze (中国科学院 Zhōngguó Kēxuéyuàn) nella Cina Popolare, sia l’Academia Sinica di Taipei (台北市 Táiběi Shìh) nella Repubblica Cinese (华民国中 Zhōnghuá Mínguó, meglio nota in occidente col nome di Táiwān 台湾). Entrambe le istituzioni sono ancora attivissime negli studi fisici e matematici ed hanno relazioni di ricerca con le principali università del mondo. La Società Matematica Cinese (中国数学会 Zhōngguó shùxúe hùi) venne fondata a Shànghǎi (上海) nel 1935.
Nonostante alcuni periodi di difficoltà nelle relazioni internazionali, col progressivo allargarsi della circolazione degli intellettuali e delle idee, la ricerca matematica cinese del XX secolo si è rivolta alle forme consuete della ricerca internazionale ed alle regole, procedure e requisiti di accettabilità condivisi dagli studiosi di tutto il mondo. I criteri di scientificità caratteristici del pensiero occidentale hanno infine prevalso sulle perplessità degli studiosi cinesi talora evidenziate sotto forma di reazioni tradizionaliste, così come nella seconda meta del secolo si è imposto l’inglese come lingua privilegiata per l’espressione dei contenuti scientifici di rilievo. Ai primi del XX secolo matematici di formazione europea e statunitense tennero lezioni e corsi nelle università e nei più diversi consessi di studiosi cinesi. Tra essi il tedesco Konrad Knopp (1882 – 1957, in Cina tra il 1910 ed il 1917) e l’inglese Herbert Westren Turnbull (1885 – 1961, in Cina tra il 1911 ed il 1915). Nel 1917 il matematico Hú Míng Fù (胡明復 1891-1927) ottenne un dottorato ad Harvard. Nel 1932 a Zurigo venne ammessa per la prima volta una rappresentanza cinese ad un congresso internazionale di matematica.
Una gran parte dei temi topici della ricerca matematica internazionale fu introdotta in Cina da Xióng Qìnglái (熊庆来 1893 — 1969) che, dopo aver studiato in Europa dal 1913 al 1921, riuscì ad innalzare notevolmente il livello dei curricoli universitari cinesi includendovi esami di geometria, algebra, analisi, equazioni differenziali, meccanica analitica e fisica matematica e scrivendo una decina di libri di testo.
Da allora molti altri matematici cinesi frequentarono le università di tanti Paesi in Europa e delle Americhe e vi fecero ricerca dando contributi importanti. Alcuni fecero poi ritorno alle tante istituzioni accademiche e culturali del loro Paese e vi lavorarono. La Guerra Civile (国共内战 Guógong Nèizhàn, 1927 - 1950) ebbe effetti anche sulle università e sugli intellettuali, buona parte dei quali lasciò la Repubblica Popolare Cinese e si recò a Táiwān (台湾) o ad Hong Kong (香港 Xiānggǎng), città-stato sotto sovranità britannica sino al 1997 ed oggi regione a statuto speciale. Le università della Cina Popolare vennero però presto ricostituite e riportate ad un alto livello, per poi seguire le alterne vicende dell’enorme Paese socialista. La divisione del mondo in blocchi contrapposti portò i suoi studiosi a collaborare principalmente con colleghi dell’area filosovietica, con flussi variabili a seconda dei rapporti politici tra i diversi Paesi e fasi di isolamento pressoché completo. [p. 71 Intanto i Paesi di cultura cinese entrati nel blocco capitalista partecipavano agli scambi accademici vieppiù intensi che caratterizzano la ricerca contemporanea. Molti seguirono il flusso che portava gli intellettuali più validi di tutto il mondo negli Stati Uniti, ove trovavano migliori condizioni economiche e di ricerca. I più noti matematici di origine cinese di questa fase hanno seguito percorsi di questo genere. Per quel che riguarda il flusso degli studiosi e gli scambi culturali è da segnalare anche il ruolo della Repubblica di Singapore (新加坡 Xīnjiāpō, in malese Singapura, in tamil சிங்கப்பூர் Cingkappūr), curiosa città-stato dalle quattro lingue ufficiali che è divenuta un crocevia di accademici interessati a dialogare col mondo di cultura cinese ed analizzarlo. Recenti prove comparative internazionali hanno rivelato gli stupefacenti livelli di competenza matematica degli studenti di Singapore.
Oggi matematici di cultura cinese sono tra i protagonisti della ricerca internazionale e le università cinesi sono meta di studenti e professori di tutto il mondo. Conclusasi la fase della contrapposizione internazionale dei blocchi ed apertasi negli anni novanta una stagione di trasformazioni sociali e culturali, la Cina Popolare ha preso a partecipare dei processi internazionali di ricerca con enorme energia e con grande successo. Si può presumere che il flusso che portava molti intellettuali eccellenti verso le università statunitensi od europee si vada invertendo col procedere dei cambiamenti.
Occorre inoltre sottolineare un fattore completamente nuovo: così come in tutti i settori della vita civile cinese e secondo una tendenza mondiale di tutta la ricerca matematica, sono numerose le donne che sono riuscite ad ottenere ruoli di prestigio ed a pubblicare ricerche significative anche nell’ambiente accademico matematico cinese. Forse qui più che altrove, anche solo per il loro numero, l’accesso delle donne a nuovi ruoli dirigenziali ed intellettuali un tempo preclusi costituisce un cambiamento sociale ed antropologico determinante che ha conseguenze epocali.
Vediamo qui solo qualche personaggio particolarmente noto o dalla biografia significativa.
Xŭ Băo-lù (宝騄许 più conosciuto come Pao-Lu Hsu, 1910 – 1970) fu un importante ricercatore della Cina Popolare. Alla fine degli anni trenta, già ricoprendo una buona posizione accademica, trascorse periodi di studio in diverse università nel Regno Unito approfondendo temi di probabilità e statistica e producendo diversi lavori sull’inferenza. Conseguì colà il Ph.D. (il titolo più importante degli studi di post dottorato) e diversi altri titoli. Durante la Seconda Guerra Mondiale rientrò in Cina ove continuò a lavorare a temi di statistica multivariata pur tra grandi difficoltà economiche. Promosse l’innovativa introduzione delle matrici in questo contesto. Dopo la guerra collaborò con varie università statunitensi ove ricoprì anche incarichi accademici pur rimanendo legato alle istituzioni accademiche di Pechino. La sua salute cagionevole non gli impedì di essere un autore assai prolifico ed un insegnante piuttosto apprezzato sino alla morte, nel 1970.
Huà Luógēng (华罗庚, 1910 – 1985) fu uno dei matematici più prolifici, avendo scritto più di duecento lavori, molti dei quali sono divenuti dei riferimenti fondamentali per interi nuovi filoni di ricerca. I suoi studi sui numeri primi diedero nuovo impulso alla ricerca sulla Congettura di Golbach. Questo tema fu in seguito particolarmente frequentato dai matematici cinesi tra cui il suo allievo Chén Jǐngrùn (陈景润 1933 – 1996), lui pure matematico assai importante. Huà spazio in moltissimi campi, in particolare l’aritmetica e l’algebra. Alla fine degli anni cinquanta ebbe anche una funzione importante nella fondazione e promozione di università e di istituti di ricerca nella fase storica in cui la rottura dei rapporti tra la Cina Popolare e l’Unione Sovietica aveva privato la partenza dei tecnici russi che avevano rivestito ruoli nevralgici in tutte le aree scientifiche e tecniche della vita produttiva, economica e sociale. La sua figura è forse una delle più emblematiche degli studiosi della sua generazione nella Cina Popolare: per via delle complesse vicende del suo Paese non ebbe mai occasione di seguire una [p. 72 carriera universitaria regolare neppure come studente e non ebbe mai né laurea né altri titoli accademici se non quelli di direttore di istituzioni accademiche e quelli che gli furono attribuiti honoris causa da varie università del mondo. La sua impressionante biografia assume una particolare connotazione eroica, alla luce delle vicende del contesto, per via del fatto che in seguito ad una malattia contratta nella prima gioventù fu disabile con forti problemi di movimento per gran parte della sua vita.

## La Congettura di Goldbach

Una congettura è una proposizione di carattere matematico di cui non si ha una dimostrazione, e che quindi non è teorema, ma della quale non esistono nemmeno controesempi, ossia dei casi noti in cui non valga. In altre parole è un’affermazione cui siamo tentati di credere perché è verificata in tutti i casi che ci possono venire in mente ma di cui non possiamo affermare la validità generale, cioè in ogni caso possibile. La storia della matematica ha visto molte congetture che sono state dimostrate talora anche dopo secoli di tentativi. Altre, come questa, sono tuttora problemi aperti.
Enunciato (f): ogni numero intero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
La verifica della validità della congettura per numeri piccoli è immediata: $4=2+2$; $6=3+3$; $8=3+5$;…
La congettura non dice che tale modo di scrivere i numeri debba essere unico (anche senza considerare l’inversione dell’ordine degli addendi), infatti non lo è: $10=3+7=5+5$; $14=3+11=7+7$.
La sua origine è in un carteggio del 1742 tra i matematici Christian Goldbach (1690 – 1764) e Leonhard Euler (1707 – 1783). Nel corso di una lunga storia di tentativi di dimostrazione, oltre alle verifiche per numeri assai grandi rese possibili dai calcolatori elettronici (che comunque non risolvono il problema della generalità), si è evidenziata una versione più debole, ossia una proposizione simile con qualche ipotesi aggiuntiva che la rende meno generale. Il rapporto tra una proposizione forte (quella originaria) ed una debole consiste nel fatto che provando la prima si avrebbe una dimostrazione anche per la seconda. Il contrario non vale, ma se si dimostra una proposizione debole almeno si è acquisito un teorema su argomenti simili, seppure in una campo più limitato di quello in cui vale anche la forte. La Congettura debole di Golbach affferma che:
Enunciato (d): ogni numero intero dispari maggiore di 7 può essere scritto come la somma di tre numeri primi dispari eventualmente ripetuti.
Anche in questo caso si vede facilmente come la proposizione valga per numeri piccoli:
$9=3+3+3$; $11=3+3+5$; $13=3+3+7$;…
ma per numeri più grandi le cose si complicano ed anche questo problema rimane aperto nel caso generale.
Chén Xǐngshēn (陳省身, noto come Shiing-Shen Chern, 1911 – 2004) fu uno dei più importanti studiosi di geometria differenziale del secolo passato. Nato nello Zhèjiāng (浙江), dopo la formazione [p. 73 accademica in varie università cinesi, negli anni trenta lavorò in Europa ad Amburgo ed a Parigi ove conseguì altri titoli accademici. Dopo il ritorno in una Cina sconvolta dall’aggressione giapponese fondò a Shànghǎi (上海) l’Istituto Matematico dell’Accademia Sinica. Poco prima della Guerra Civile si trasferì negli Stati Uniti ove insegnò e lavorò a lungo. Divenuto cittadino americano, diresse numerose importanti scuole di alta formazione ed istituti di ricerca a Chicago e Berkeley. Torno nella Cina Popolare ove fondò alcuni centri di ricerca.
Xiàn Zhōng Wáng (宪钟王 1918 - 1978) si laureò in Cina all’Università Tsinghua (清华大学 Qīnghuá Dàxué) di Pechino e completò gli studi nel Regno Unito, sino al Ph.D. nel 1948. Fece poi ritorno in Cina ed in seguito alla Guerra Civile riparò prima nella Repubblica Cinese e poi negli Stati Uniti d’America ove visse sino alla morte. Nel campo della topologia algebrica scoprì le sequenze di Wang che sono particolari insiemi di gruppi di omologie. Risolse alcuni importanti problemi aperti sui sottogruppi di un gruppo di Lie (una struttura algebrica dalle caratteristiche utili in topologia)
Qiū Chéngtóng (丘成桐, 1949 – vivente) è più noto come Shing-Tung Bau che è il modo in cui si leggono i caratteri che compongono il suo nome secondo la pronuncia cantonese. Originario del Guǎngdōng (广东) si trasferì in giovane età ad Hong Kong (香港 Xiānggǎng), allora sotto la sovranità britannica, ed ivi si laureò. Conseguì poi il Ph.D. a Berkeley, negli Stati Uniti e da allora lavora in diverse prestigiose istituzioni di quel Paese. Collabora però anche con diverse istituzioni accademiche cinesi ed internazionali. Nel 1976 dimostrò la Congettura di Calabi su di una classe di varietà complesse che oggi portano anche il suo nome (le Varietà di Calabi-Bau) e che sono una delle basi geometriche della teoria fisica delle stringhe. Nel 1979 dimostrò con Richard Schoen il Teorema dell’energia positiva in Teoria della Relatività Generale. Sono notevoli anche i suoi lavori in Geometria differenziale. Ha collezionato un’impressionante serie di onorificenze e premi accademici internazionali, tra cui la medaglia Fields, la più importante cui un matematico possa aspirare. Raggiunti tali successi si è ricordato del suo Paese d’origine istituendovi fondi, borse di studio e premi e finanziando diverse scuole di alta formazione. Si è inoltre occupato di letteratura cinese ed ha composto diversi poemi nella sua lingua madre.
Lai-Sang Boung (1952 – vivente) nacque ad Hong Kong ed emigrò negli Stati Uniti per concludervi gli studi liceali ed universitari. Giunta al Ph.D. nel 1978, a soli 26 anni, lavorò in diverse istituzioni accademiche degli Stati Uniti ed in Europa. I suoi principali risultati riguardano i sistemi dinamici, argomento al confine tra analisi, geometria, topologia, probabilità e fisica matematica. La Boung ha elaborato complessi metodi di studio per le proprietà ergodiche e statistiche dei sistemi dinamici.
* ↑ “6.25. Il Maestro disse: <>. 13.3. << (…) Un gentiluomo non parla di ciò che non conosce. Se i nomi non sono corretti, il linguaggio è privo di oggetto. Quando il linguaggio è privo di oggetto, agire diventa impossibile. (…) In materia di linguaggio un gentiluomo non lascia nulla al caso>>.” (Leys, 2006) queste citazioni, che sembrano delle prese di posizione polemiche contro le affermazioni moiste e della Scuola dei nomi, appartengono alla tradizione confuciana che pure aborriva la retorica ed i giochi linguistici. Il fatto che lo stesso Confucio (Kǒng Fūzǐ (孔夫子) 551 – 479 p.E.v.), solitamente più interessato a temi etici (l’elaborazione di una morale civile) e politici (la riforma dello Stato), se ne occupi dimostra che, a dispetto della loro successiva scomparsa dal dibattito filosofico e scientifico, le questioni legate alla logica, ai paradossi linguistici ed al rapporto tra nomi, significati ed oggetti avessero una certa importanza. Nella filosofia confuciana esse rimangono marginali, ma non è insensato supporre che il dibattito tra diverse correnti di pensiero nell’Epoca delle Primavere e degli autunni (春秋時代 Chūnqiū Shidai) e nel Periodo degli stati combattenti (战国 Zhanguo Shidai) (cioè tra l’VIII ed il III secolo p.E.v.) fosse ben più articolato di quanto ci è arrivato in seguito ad una lunga storia di censure ed istituzionalizzazioni di saperi e filosofie. Il testo da cui sono tratte le citazioni è di poco precedente al Moismo ed alla Scuola dei Nomi. una certa importanza. Nella filosofia confuciana esse rimangono marginali, ma non è insensato supporre che il dibattito tra diverse correnti di pensiero nell’Epoca delle Primavere e degli autunni (春秋時代 Chūnqiū Shidai) e nel Periodo degli stati combattenti (战国 Zhanguo Shidai) (cioè tra l’VIII ed il III secolo p.E.v.) fosse ben più articolato di quanto ci è arrivato in seguito ad una lunga storia di censure ed istituzionalizzazioni di saperi e filosofie. Il testo da cui sono tratte le citazioni e di poco precedente al Moismo ed alla Scuola dei Nomi.
* ↑ La questione del rapporto tra le caratteristiche della lingua e le elaborazioni logiche nella cultura matematica nel contesto cinese e piuttosto complessa e travalica i limiti di questo libro. Qui la sfioreremo ulteriormente nel capitolo 4. per ulteriori approfondimenti si rimanda a (Spagnolo F., Ajello M., 2008) ed agli altri lavori del GRIM (Gruppo di ricerca sull’Insegnamento/Apprendimento delle Matematiche) di Palermo che ha prodotto una notevole bibliografia di studi dedicati alla cultura matematica cinese.