# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 58

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_8/Paragrafo_58&oldid=- 20221230160928 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_8/Paragrafo_58&oldid=- 20221230160928
§ 58. — Regola di derivazione delle funzioni inverse.
α) Tra le due variabili $x$ ed $y$ esiste una corrispondenza biunivoca, in guida cioè che ad ogni valore della $x$ in unc erto intervallo α corrisponda uno ed uno solo valore della $y$ di un certo intervallo β, e viceversa. Vale a dire la $y$ si possa considerare come funzione $f(x)$ della $x$ (per $x$ appartenente all'intervallo α) e viceversa la $x$ si possa considerare come [p. 183 funzione $\varphi (y)$ della $y$ (per $y$ appartenente all'intervallo $\beta$. In altre parole in tali intervalli le
$y=f(x)$ , $x=\varphi (y)$
definiscono una stessa curva. Queste funzioni si diranno inverse l'una dell'altra. Così, p. es., avviene della coppia di funzioni
$y=\log _{a}x$ , $x=a^{y}$ $(a>0;a\not =1)$
[intervallo $\alpha =(0,+\infty )$] [intervallo $\beta =(-\infty ,+\infty )$]
$y={\sqrt[{n}]{x}}$ $x=y^{n}$($n$ intero positivo dispari)
[intervallo $\alpha =(-\infty ,+\infty )$] [intervallo $\beta =(-\infty ,+\infty )$]
$y={\sqrt[{n}]{x}}$ $x=y^{n}$($n$ intero positivo pari)
[intervallo $\alpha =(0,\infty )$] [intervallo $\beta =(0,+\infty )$].
(In questi intervalli si debbono trascurare gli estremi, eccetto l'estremo $0$ dell'ultimo esempio).
Nell'ultimo esempio si suppone $x>0$, affinchè il simbolo ${\sqrt[{x}]{n}}$ non sia privo di significato; e si suppone $y={\sqrt[{n}]{x}}>0$, perchè altrimenti a un valore della $x$ corrisponderebbero due valori distinti per la $y$.
Supposte continue entrambe le $f(x),\varphi (y)$, e supposto che $f'(x)$ esista e sia differenze da zero, si vuol calcolare $\varphi '(y)$. Evidentemente per ipotesi l'incremento $\Delta x$ dato alla $x$ individua l'incremento $\Delta y$ dato alla $y$; e viceversa. Di più (per la supposta continuità delle $f,\varphi$), gli incrementi $\Delta x,\Delta y$ tendono contemporaneamente a zero. ora:
$\varphi '(y)=\lim _{\Delta y=0}{\frac {\Delta x}{\Delta y}}=\lim _{\Delta y=0}{\frac {1}{\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)}}={\frac {1}{\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}}$.
Poichè $\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ esiste ed è uguale a $f'(x)\not =0$, se ne deduce:
$\varphi '(y)={\frac {1}{f'(x)}}$.
Cioè, nelle nostre ipotesi, la derivata φ'(x) è il numero reciproco di f'(x); e viceversa. Così, p. es., si verifica, posto [p. 184 $y=\log _{a}x,x=a^{y}$, che le due derivate $y'_{z}={\frac {1}{x}}\log _{a}e{\text{e}}x'_{y}=a^{y}\log _{e}a$ sono reciproche, perchè $a^{y}=x,\log _{a}e\log _{e}a=1$.
Esercizi.
1° Si derivi $y={\sqrt[{n}]{x}}$.
Ris. Si ha $x=y^{n},x'_{y}=ny^{n-1},y'_{x}={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}=$
$={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x}}^{(n-1)}}}$, cosicchè la derivata $y=x^{n}$ vale:
$y'={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}(x\not =0)$.
2° Si derivi$y=x^{\frac {m}{n}}$.
Ris. È $y=\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{m}$, donde $y'=m\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{m-1}{\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {m}{n}}x^{{\frac {m}{n}}-1}$.
3° Si derivi $y=x^{\frac {m}{n}}$.
Ris. È $y={\frac {1}{x^{\frac {m}{n}}}}$, donde $y'={\frac {-1}{x^{\frac {2m}{n}}}}{\frac {m}{n}}x^{{\frac {m}{n}}-1}=-{\frac {m}{n}}x^{{\frac {m}{n}}-1}$.
4° (Da tutte queste formole si trae che) la derivata di $y=x^{n}$ per ogni valore razionale di $n$ vale $y'=nx^{n-1}$.Più avanti estenderemo questa importante formola anche al caso di $n$ irrazionale. (Il lettore esamini il caso $x\leq 0$).
β) Sia $y={\text{sen}}x$ La curva immagine è la cosidetta sinusoide. Se ne ricava che $x={\text{arcsen}}y(x$x= arco, che ha il seno uguale ad $y$). Osserviamo però che, dato il valore $y$ ($|y|\leq 1$) del seno, l'arco $x$ corrispondente non è univocamente determinato, ma ha infiniti valori, come è ben noto, e come si può verificare dalla figura 21.
Questa rende ben evidente che, p. es., al valore $y={\frac {1}{2}}$ del seno corrispondono infiniti valori dell'arco $x$. La [p. 185 corrispondenza si rende biunivoca, se noi ci limitiamo a considerare, p. es., i valori della $x$ compresi tra $-{\frac {\pi }{2}}$ e ${\frac {\pi }{2}}$. Ad ogni valore possibile $y$ di sen $x$ (cioè ad ogni valore $y$ dell'intervallo $[-1,+1]$ corrisponderà allora un solo valore di $x$; e vicevera. Sarà allora:
$x'_{y}=({\text{arcsen}}y)'_{y}={\frac {1}{y'_{x}}}={\frac {1}{({\text{sen}}x)'_{y}}}={\frac {1}{{\text{cos}}x}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\text{sen}}^{2}x}}}={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$
per $|y|\not =1$.
L'ambiguità di segno dovuta al radicale ${\sqrt {1-y?}}$ è dovuta all'arbitrarietà con cui possiamo scegliere l'arco di sinusoide che rende biunivoca la corrispondenza tra $x,y$. Se adottiamo la convenzione fatta più sopra, siccome ${\sqrt {1-y^{2}}}$ è scritto al posto ${\text{cos}}x$, e ${\text{cos}}x$ per è positivo, si dovrà dare al radicale il segno $+$. Scambiando il significato delle lettere $x,y$ si ha: Se $y={\text{arcsen}}x,|y|<{\frac {\pi }{2}}$, è $y'=+{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.
γ) In modo simile si prova che, se $y={\text{arccos}}x$, e quindi $x={\text{cos}}y$, e se $0y è biunivoca la corrispondenza tra le $x,y$ si deve limitare in qualche modo la variabilità della $y$, p. es., supponendo $-{\frac {\pi }{2}}