# Matematica allegra/1310

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Matematica allegra Angelo Luigi Fiorita 1958 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Matematica_allegra/1310&oldid=- 20160426001550 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Matematica_allegra/1310&oldid=- 20160426001550
Anzi, se avete il papà o lo zio ingegnere o professore di matematica, o un cugino studente di quelle materie all’Università, o anche maturando del liceo scientifico o dell’Istituto Tecnico o del Nautico, mettetelo alla prova. Questo problemone che vi sottopongo si dovrebbe risolvere risolvendo un sistema di 12° grado (roba stratosferica) di 4 equazioni a 4 incognite. Non fatevi venire il mal di pancia! Forse non lo risolveranno neanche l’ingegnere o il professore... o il cugino studente... A meno che... non prendano una certa scorciatoia che io indicherò a voi, o almeno a quei pochissimi di voi che sono uno o due anni avanti rispetto alla 3a media. Quanto agli altri... forse sarebbe bene che per ora facessero un bel salto a piedi giunti... e passassero subito agli esercizi seguenti.
Ed ecco il razzo stratosferico:
«Quando Cheope ordinò l’inizio dei lavori della Piramide - al riguardo della quale già vi ho detto tante cose - vennero subito disposti i servizi per il rifornimento dei viveri e dei materiali alle squadre innumerevoli degli operai. Furono costruiti fra l’altro 4 edifici, allineati, sopra un molo lungo il Nilo, su un allineamento totale di 600 piedi, ivi compresi i 41 piedi di distanza fra ogni edificio e il seguente. Erano di forma cubica esternamente ed internamente, e lo spessore dei muri era in tutti di 6 piedi. Diverse erano però le dimensioni dei quattro edifici, e le loro altezze erano tali che, nell’ordine, formavano una proporzione (e cioè che l’altezza del 1° stava a quella del 2°, come quella del 3° stava a quella del 4°). Il pavimento dei quattro magazzini venne coperto con 9265 lastre di pietra levigata, di forma rettangolare e di dimensioni piedi 2 x 2½. Il volume interno complessivo dei magazzini venne calcolato in piedi cubici 5.036.031. Qual era la lunghezza di ogni magazzino espressa in piedi?».
Non c’è dubbio: si tratta proprio di un affare complicato piuttosto che no. Intanto vediamo: erano quattro magazzini, allineati su 600 piedi, con intervallo di 41 piedi fra magazzino e magazzino. Poiché gli intervalli erano tre, la lunghezza complessiva dei quattro magazzini era di (600 - 41 x 3 = 600 - 123) piedi 477. Questo era il fronte esterno, ma per avere la somma delle lunghezze interne dovremo togliere ancora lo spessore delle 8 pareti (due per ogni magazzino) ossia (8 x 6) piedi 48. La somma delle larghezze interne sarà perciò di (477 - 48) piedi 429. Se noi chiamiamo x$_1$, x$_2$, x$_3$, x$_4$ rispettivamente le 4 larghezze interne avremo: x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ + x$_4$ = 429. E questa sarà la prima equazione.
Trattandosi di locali cubici, per ogni magazzino lunghezza e altezza saranno tutti uguali, e avremo, da quanto dice il testo del problema: x$_1$ : x$_2$ = x$_3$ : x$_4$, e questa sarà la 2$_a$ equazione, che si potrà scrivere anche cosí: x$_1$ x$_4$ = x$_2$ x$_3$ o, ciò che è lo stesso: x$_1$ x$_4$ - x$_2$ x$_3$ = 0 o infine, che è sempre lo stesso: x$_2$ x$_3$ - x$_1$ x$_4$ = 0. Non dovete credere che quest’ultima forma della 2$_a$ equazione sia messa qui solo per mio capriccio. No; c’è il suo motivo, che poi vedremo.
Il pavimento di ogni magazzino ha forma di quadrato, e la sua area sarà x$^2$$_1$, x$^2$$_2$ ecc... La somma delle superfici dei quattro pavimenti sarà uguale a quella di tutte le 9265 lastre che li hanno pavimentati, ossia (9265 x 2 x 2½) piedi quadrati 46325. Ed ecco spuntare la 3a equazione: x$^2$$_1$ + x$^2$$_2$ + x$^2$$_3$ + x$^2$$_4$ = 46325.
La 4a equazione è poi facilmente ricavata dall’ultimo dato del problema che precisa il volume complessivo dei quattro vani, ossia dei quattro cubi: x$^3$$_1$ + x$^3$$_2$ + x$^3$$_3$ + x$^3$$_4$ = 5036031.
Abbiamo cosí il seguente sistema di 12° grado, di 4 equazioni a 4 incognite:
x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ + x$_4$ = 429 (1)
x$_1$ x$_4$ - x$_2$ x$_3$ = 0 (2) oppure x$_2$ x$_3$ - x$_1$ x$_4$ = 0 (2$^{bis}$)
x$^2$$_1$ + x$^2$$_2$ + x$^2$$_3$ + x$^2$$_4$ = 46325 (3)
x$^3$$_1$ + x$^3$$_2$ + x$^3$$_3$ + x$^3$$_4$ = 5036031 (4)
Poiché la strada grande sarebbe molto complicata, vediamo un po’ quella tale scorciatoia.
Moltiplichiamo per 2 ambi i membri della (2): 2x$_1$ x$_4$ - 2x$_2$ x$_3$ = 0 (5)
Sommiamo ora la (5) con la (3) membro a membro, e con opportuni spostamenti troviamo: (x$^2$$_1$ + 2x$_1$x$_4$ + x$^2$$_4$) + (x$^2$$_2$ - 2x$_2$x$_3$ + x$^2$$_3$) = 46325
(x$_1$ + x$_4$)$^2$ + (x$_2$ - x$_3$)$^2$ = 46325 (6).
Se questi stessi passaggi li avessimo fatti con la (2 $^{bis}$) avremmo ottenuto:
(x$_2$ + x$_3$)$^2$ + (x$_1$ - x$_4$)$^2$ = 46325 (6$^{bis}$).
Sia la (6) che la (6$^{bis}$) ci dicono che 46325 è la somma di due quadrati di cui uno - (x$_1$ + x$_4$)$^2$ o (x$_2$ + x$_3$)$^2$ - ha la base molto prossima a 200, anzi presumibilmente maggiore di 200 (le misure dei lati non possono differire molto dalla misura media 429 : 4); e allora basterà che noi cerchiamo questi due quadrati per poter determinare la somma di due dimensioni, e la differenza delle altre due. Il numero 46325, come si trova praticamente, è uguale a 214$^2$ + 23$^2$ ed è pure uguale a 215$^2$ + 10$^2$, e non esiste alcun’altra combinazione di quadrati oltre il numero 40.000 (200$^2$) che lo riproduca. Prendendo in esame la 1a somma di quadrati (vedremo poi, che la 2a la equivale col solo mutamento dell’ordine dei rapporti nella proporzione e cioè: x$_3$ : x$_4$ = x$_1$ : x$_2$, invece di x$_1$ : x$_2$ = x$_3$ : x$_4$), possiamo scrivere :
x$_1$ + x$_4$ =214 (7)
x$_2$ - x$_3$ = 23 (8)
e prendendo in esame la 2a:
x$_2$ + x$_3$ = 215 (9)
x$_4$ - x$_1$ = 10 (10)
Sommando e poi sottraendo la (7) con la (10) e a loro volta la (8) con la (9) otteniamo:
x$_4$ = 112; x$_1$ = 102
x$_2$ = 119; x$_3$ = 96
La soluzione del sistema è dunque data da quelle quattro altezze, o lunghezze interne, nei due ordini seguenti: 102, 119, 96, 112, oppure 96, 112, 102, 119. A queste lunghezze interne dobbiamo aggiungere lo spessore dei due muri ognuna, per cui le soluzioni del problema sono due: 1°) la lunghezza dei 4 magazzini è rispettivamente: piedi 114, 131, 108, 124; 2°) la lunghezza dei magazzini è rispettivamente 108, 124, 114, 131. Come vedete, ci siamo arrivati, e senza troppa fatica: la scorciatoia ci ha portato alla meta. Per vostro divertimento potrete verificare se la somma dei quadrati di 102, 119, 96, 112 dà proprio 46.325, e se la somma dei loro cubi dà proprio 5.036.031. Per coloro che mi hanno potuto seguire, dirò ancora che essendo il sistema di 12° grado, esistono certamente altre 10 soluzioni che potranno essere reali o immaginarie, ma che comunque non ci interessano e non interessano il problema, che vuole solo soluzioni reali e positive.