# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 11/Paragrafo 70

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_11/Paragrafo_70&oldid=- 20221231010724 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_11/Paragrafo_70&oldid=- 20221231010724
§ 70. — Massimi e minimi (relativi).
α) Una prima applicazione della teoria della derivata è quella della ricerca dei massimi o dei minimi di una funzione.
Per un tale studio è opportuno però precisare un po' il significato della frase: punto di massimo o di minimo, con le seguenti definizioni. Diremo che (cfr. le definizioni del § 62, pag. 193):
Una funzione $\mathrm {f(x)}$ ha nel pnto $\mathrm {a}$, interno all'intervallo ove è definita la funzione, un massimo relativo, se esiste un numero $\mathrm {k}$ tale che in tutto l'intervallo $\mathrm {(a-k,a+k)}$ la funzione assume valori non maggiori di $\mathrm {f(a)}$, ossia se la differenza $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ è negativa nulla per $\mathrm {|h|\leq \,k}$.
Analogamente si dice che nel punto $\mathrm {a}$ la funzione ha un minimo relativo, se esiste un numero $\mathrm {k}$ tale che nell'intervallo $\mathrm {(a-k,a+k)}$ la funzione assume valori non minori di $\mathrm {f(a),}$ ossia se la differenza $\mathrm {(f(a+h)-f(a)}$ è positiva o nulla per $\mathrm {|h|\leq \,k}$.
La funzione $\mathrm {f(x)}$ si dice crescente nel punto $\mathrm {a}$, se esiste un numero $\mathrm {k>0}$ tale che la funzione assume in $\mathrm {(a,a+k)}$ valori maggiori che in $\mathrm {a}$ ed in $\mathrm {(a-k,a)}$ valori minori che in $\mathrm {a}$, ossia se $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha il segno di $\mathrm {h}$ per $\mathrm {|h|\leq \,k}$.
La funzione $\mathrm {f(x)}$ si dice decrescente nel punto $\mathrm {a}$, se esiste un numero $\mathrm {k>0}$ tale che la funzione assume in $\mathrm {(a,a+k)}$ valori minori che in $\mathrm {A}$ ed in $\mathrm {(a-h),a}$ valori maggiori che in $\mathrm {a}$, ossia se $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha segno opposto al segno di $\mathrm {a}$ per $\mathrm {|h|0}$ la differenza $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha per $\mathrm {h}$ abbastanza piccolo, il segno di $\mathrm {h}$, cosicchè $\mathrm {f(x)}$ è crescente nel punto $\mathrm {a}$.
2° Se $\mathrm {f'(a)<0}$, la differenza $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha, per $\mathrm {h}$ abbastanza piccolo, segno opposto a quello di $\mathrm {h}$, cosicchè $\mathrm {f(x)}$ è decrescente nel punto $\mathrm {a}$.
Quindi, se $\mathrm {f'(a)\not =0}$, la funzione in $\mathrm {A}$ non ha nè un massimo nè un minimo. [p. 226 Se quindi per $\mathrm {x=a}$ la funzione ha un massimo o un minimo, è $\mathrm {f'(a)=0}$. (Il teor. reciproco, come già vedemmo, e come proveremo più avanti, non è sempre vero). Fig. 25. Oss. Già qui si vede come sia essenziale l'ipotesi che il punto $a$ sia interno, e non agli estremi dell'intervallo, ove $f(x)$ è definita.
Per es., nel caso della figura 25, il valore minimo di $f(x)$ è all'estremo sinistro, ove $f'(x)\not =0$, perchè la tangente non è vi è parallela all'asse delle $x$.
Questi teoremi sono dimostrati senza ricorrere all'ipostei che $f'(x)$ sia continua per $x=a$; e sono generalizzabili al caso che $f'(x9$ sia infinita per $x=a$, purchè di segno determinato. Si osservi ancora che il precedente risultato si può enunciare così:
In un punto $\mathrm {x=a}$ (interno all'intervallo ove $f(x)$ è definita) che sia un punto di massimo o di minimo per la $\mathrm {f(x)}$, o la $\mathrm {f(x)}$ non possiede derivata determinata e finita, oppure $\mathrm {f'(x)=0}$.
Il lettore può illustrare il primo di questi due casi ricorrendo, p. es., ad una curva $y=f(x)$ formata di due segmenti concorrenti in un punto, ove la $y$ ha il massimo valore, oppure ad una curva $y=f(x)$ formata di due archi di cerchio che si toccano in un punto, ove la tangente comune è normale all'asse delle $x$. (cfr. l'ultima Nota al § 62, pag. 196).
Con metodi analoghi si dimostra:
Se $\mathrm {b}$ è l'estremo sinistro dell'intervallo ove è definita, o dove si studia la $\mathrm {f(x)}$, allora, se $\mathrm {f'(b)>0}$, il valore $\mathrm {f(b)}$ assunto da $\mathrm {f(x)}$ per $\mathrm {x=b} x$ è minore dei valori assunti in un intorno (naturalmente destro) abbastanza piccolo del punto $\mathrm {x=b}$. E, se, $\mathrm {f'(b)<0}$, il valore $\mathrm {f(b)}$ è maggiore dei valori assunti in un tale intorno. Viceversa, se $\mathrm {b}$ è l'estremo destro dell'intervallo ove $\mathrm {f(x)}$ è definita.
Il caso che in un tale estremo sia $f'(b)=0$ si può trattare in modo simile a quello che noi useremo nelle seguenti pagine. Al lettore è lasciato un simile studio, che ha pure una qualche importanza.
2° caso. Esaurito il caso $f'(a)\not =0$, studiamo ciò che avviene se $f'(a)=0$ (supposto naturalmente che $a$ sia interno all'intervallo, ove $f(x)$ è definita). E supponiamo dapprima che $f''(a)\not =0$. La seconda delle formole di Taylor-Lagrange (cfr. la (9) di pag. 214) ci dice che sarà:
$f(a+h)-f(a)={\frac {h^{2}}{\lfloor {2}}}f''(a+\theta h)$.
[p. 227 Se $f''(x)$ è continua per $x=a$, potremo trovare un intervallo $a-k$, $a+k$ tale che in ogni punto di questo intervallo la $f''(x)$ abbia lo stesso segno che $f''(a)$. Se $|h|0}$, la differenza $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha, per $\mathrm {|h|}$ minore di un certo numero $\mathrm {k}$, segno positivo, e quindi $\mathrm {f(x)}$ ha in $\mathrm {a}$ un minimo. Se invece $\mathrm {f'(a)=0,f''(a)<0}$, la $\mathrm {f(x)}$ ha nel punto $\mathrm {x=a}$ un massimo.
|Rimane da esaminare il caso $f'(a)=f''(a)=0$. Per maggiore generalità supponiamo
$f'(a)=f''(a)=.....=f^{(n-1)}(a)=0$; $f^{(n)}(a)\not =0$
E sia $f^{(n)}(x)$ continua per $x=a$. Esisterà un numero $k$ tale che nell'intorno $(a-k),a+k)$ la $f^{(n)}(x)$ conserva lo stesso segno che ha nel punto $a$. La formola di Lagrange dice che:
$f(a+h)-f(a)={\frac {h^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(a+\theta \,h)$.
Se $|h|0$, ha il segno di $h?nf^{(n)}(a)$. Ora $h^{n}$ è sempre positiva se $n$ è pari, ed ha il segno di $h$, se $n$ è dispari.
Quindi $h^{n}f^{(n)}(a)$ ha il segno di $f^{(n)}(a)$, se $n$ è pari; e, se $n$ è dispari, esso ha il segno di $h$ se $f^{(n)}(a)>0$, ed ha segno contrario a quello di $h$ se $f^{(f)}(a)<0$. Se ne deduce tosto il seguente teorema che comprende i precedenti come casi particolari.
Se la derivata $\mathrm {n^{esima}}$ di $\mathrm {f(x)}$ è continua e differente da zero per $\mathrm {x=a}$, mentre le precedenti derivate vi sono nulle, allora:
Se $\mathrm {n}$ è pari, la $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha il segno di $\mathrm {f^{(n)}(a)}$ per $\mathrm {h}$ abbastanza piccolo; e quindi $\mathrm {f(x)}$ ha per $\mathrm {x=a}$ un minimo se $\mathrm {f^{(n)}(a)>0}$, un massimo se $\mathrm {f^{(n)}(a)<0}$. [p. 228 Se $\mathrm {n}$ è dispari, e $\mathrm {f^{(n)}(a)>0}$, la $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha il segno di $\mathrm {h}$, per $\mathrm {h}$ abbastanza piccolo; e quindi $\mathrm {f(x)}$ è crescente nel punto $\mathrm {x=a}$. Se $\mathrm {n}$ è dispari e $\mathrm {f^{(n)}(a)<0}$, la $\mathrm {f(x)}$ è decrescente nel punto $\mathrm {a}$.
L'ipotesi della continuità di $f^{(n)}(x)$ per $x=a$ si potrebbe rendere meno restrittiva, come abbiamo già visto nel primo caso di $n=1$.
Infatti se $f^{(n)}(a)$ è determinato e finito, allora (cfr. oss. a § 63, β pag. 199, ove è scritto $n+1$ al posto di $n$), poichè la funzione $f(x)-f(a)$ ha nel punto $a$ nulle le prime $n-1$ derivate, $f(a+h)-f(a)$ ha il segno di $h^{(n)}f^{(n)}(a)$.
Della derivata $n^{esima}$ basta dunque supporre che essa è determinata e finita nel punto $a$.
Si può dire che la curva $y=f(x)$ e la retta parallela all'asse delle $x$ definita dall'equazione $y=f(a)$, che con la curva precedente ha comune il punto di ascissa $x=a$, si attraversano in un punto ove $f(x)$ è crescente o decrescente, mentre si toccano senza attraversarsi in un punto, ove $f(x)$ ha un massimo o un minimo.
I risultati precedenti si possono provare anche così: Se $f'(a)\not =0$ ed $|f''(x)|$ ammette un limite superiore finito, la $f(a+h)-f(a)=hf'(a)+{\frac {1}{2}}h^{3}f''(a+\theta \,h)$ prova che $f(a+h)-f(a)$ ha per $|h|$ abbastanza piccolo il sefgno di $hf'(a)$, perchè $h^{2}f''(a+\theta \,h)$ è infinitesimo d'ordine superiore e che quindi in $a$ la $f(x)$ è crescente o decrescente secondo che $f'(a)$ è positivo o negativo. Se $f'(a)=0$, se $f''(a)\not =0$, e se $|f'''(x)|$ ha limte superiore finito, la $f(a+h)-f(a)={\frac {h^{2}}{2}}f''(a)+{\frac {h^{3}}{\lfloor {3}}}f'''(a+\theta \,h)$ prova che per $|h|$ abbastanza piccolo il segno di $f(a+h)-f(a)$ è quello di ${\frac {h^{2}}{2}}f''(a)$ [perchè ${\frac {h^{3}}{\lfloor {3}}}f'''(a+\theta \,h)$ è infinitesimo d'ordine superiore] ecc.
Esempi.
1° Trovare il massimo e il minimo della somma $x+y$ di due numeri, di cui è dato il prodotto $xy=1$.
Ris. Si ha $y={\frac {1}{x}}$; per cui
$x+y=x+{\frac {1}{x}}$.
[p. 229 sua prima derivata deve essere nulla. La derivata prima di $x+{\frac {1}{x}}$ è $1-{\frac {1}{x^{2}}}$; deve dunque essere:
$1-{\frac {1}{x^{2}}}=0$,
La derivata seconda della funzione $x+{\frac {1}{x}}$ è ${\frac {2}{x^{3}}}$. Per $x=1$ queste derivata è uguale a 2; perciò, essendo la prima derivata diversa da zero d’ordine (2) pari e positiva, la funzione è data per $x=1$ ammette un minimo che è 2. Per $x=-1$ la seconda derivata della funzione $x+{\frac {1}{x}}$ diventa $-2$; essendo dunque la prima derivata diversa da zero per $x=-1$ di ordine pari e negativa la funzione data ammette nel punto $x=-1$ un massimo che è $-2$. L’allievo illustri col disegno.
Fig. 26La somma $x+y$ ha dunque un solo massimo che è $-2$ (per $x=-1$) e solo un minimo che è $2$ (per $x=1$). Questo risultato può sembrare a prima vista paradossale, perchè il massimo è minore del minimo. Ciò si spiega notando che la funzione $x+{\frac {1}{x}}$ non è continua in tutto l’intervallo da $-1$ a 1, essendovi un questo intervallo il punto 0, in cui la funzione non è neanche definita.
La funzione data $x+{\frac {1}{x}}$ si sdoppia per così dire in due altre: l’una definita per $x<0$, che ha il massimo in $x=-1$; l’altra definita per $x>0$, che ha un minimo per $x=1$.
2° Un raggio di luce va da un punto $A$ al punto $B$ attraverso una retta $r$ complanare con $AB$ (figura 26). Prima di giungere ad $r$ ha la velocità $v$; poi acquista la velocità $w$. Cercare il punto $C$ ove il raggio incontra la retta $r$, in guisa che il tempo $y$ impiegato a percorrere complessivamente i segmenti $AC$, $CB$ sia minimo. [p. 230 Ris. Dette $h$, $k$ la distanza da $A$, $B$ ad $r$ (in valore assoluto), detta $l$ la distanza delle due proiezioni $A'$, $B'$ dei punti $A$, $B$ su $r$, con $x$ la distanza $A'C$, si avrà:
$AC={\sqrt {h^{2}+x^{2}}}$, $BC={\sqrt {(l-x)^{2}+k^{2}}}$
$y={\frac {AC}{v}}+{\frac {BC}{w}}={\frac {\sqrt {h^{2}+x^{2}}}{v}}+{\frac {\sqrt {(l-x)^{2}+k^{2}}}{w}}$.
Affinchè $y$ sia minimo, dev'essere $y'_{x}=o$, ossia:
${\frac {1}{v}}{\frac {x}{\sqrt {h^{2}+x^{2}}}}={\frac {1}{w}}{\frac {l-x}{w{\sqrt {(l-x)^{2}+k^{2}}}}}$,
ossia ${\frac {1}{v}}{\frac {A'C}{AC}}={\frac {1}{w}}{\frac {B'C}{BC}}$
Indicati con $i$, $r$ (cfr. fig. 26) gli angoli (di incidenza e rifrazione) di $AC$, $CB$ con la normae $r$, se ne deduce
${\frac {{\text{sen}}\,i}{v}}={\frac {{\text{sen}}\,r}{w}}$, ossia ${\frac {{\text{sen}}\,i}{{\text{sen}}\,r}}={\frac {v}{w}}$,
che è la nota legge della rifrazione della luce.
Lo studente verifichi che il punto $C$ così determinato rende $y$ effettivamente minimo.
* ↑ Taluni chiamano un punto di $a$ punto di massimo soltanto se $f(a+h)-f(a)$ è positiva; un punto di minimo se $f(a+h)-f(a)$ è negativa (cfr. l'oss. al § 62, pag. 193).
* ↑ Così una catena di monti può avere parecchie cime (massimi) e parecchi colli (minimi); e possono esistere delle cime più basse di qualche colle.
* ↑ Così, p. es., se $f'(a)=f''(a)=0$, $f'''(a)\not =0$, la funzione $f(x)$ è crescente in $x=a$ se $f'''(a)>0$, decrescente se $f'''(a)<0$. Se $f'(a)=f''(a)=f'''(a)=0$, $f^{(4)}(a)\not =0$, la funzione ha nel punto $x=a$ un minimo, se $f^{(4)}(a)>0$, un massimo se $f^{(4)}<0$; e così via. Nulla ci dice il nostro teorema, se nel punto $x=a$ sono nulle tutte le derivate della $f(x)$.