OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Scienza in cucina e l'arte di mangiar bene/Umidi/258. Pollo disossato ripieno

../257. Cibreo ../259. Soufflet di pollo IncludiIntestazione 17 settembre 2008 75% letteratura
La scienza in cucina e l'arte di mangiar bene Pellegrino Artusi 1891 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/258._Pollo_disossato_ripieno&oldid=- 20110421104633 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/258._Pollo_disossato_ripieno&oldid=- 20110421104633
Per disossare un pollo il modo più semplice è il seguente:
Tagliategli il collo a metà, la punta delle ali e le zampe alla giuntura della coscia; poi, senza vuotarlo, apritelo lungo il dorso superficialmente, dalle ali al codrione, e con un coltellino ben tagliente cominciate a levar dall’interno le ossa delle ali scarnendole bene. Dopo, sempre dall’interno, levate quelle delle anche e delle coscie, quindi, radendo via via col coltello le ossa esterne della carcassa, vi riescirà di levarla tutta intera, comprese le interiora. I piccoli ossicini della stizza lasciateli, oppure levatela tutta e levate la forcella del petto.
Fatto questo, rovesciate le coscie e le ali, già spoglie d’ossa, ritirandole all’interno e portate via tutti i tendini che trovate framezzo alla carne.
Ora che il pollo è disossato, se fosse alquanto grosso, formate il composto per riempirlo, con grammi 300 circa di magro di vitella di latte; se piccolo, regolatevi in proporzione. Tritatelo prima, poi pestatelo nel mortaio per ridurlo ben fine, e a questa carne aggiungete una grossa midolla di pane inzuppata nel brodo, un pugno di parmigiano grattato, tre rossi d’uovo, sale, pepe e, se vi piace, odore di noce moscata. Per ultimo mescolate nel composto, grammi 20 di prosciutto grasso e magro, e grammi 20 di lingua salata, tagliati l’uno e l’altra a piccoli dadi; riempito che abbiate il pollo cucitelo, involtatelo stretto in un pannolino e legatelo. Mettetelo a cuocere nell’acqua per un paio d’ore a fuoco lento, poi toglietegli l’involucro e fatelo prender colore prima col burro poi in un sugo tirato nella seguente maniera:
Spezzate tutte le ossa levate dal pollo, il collo e la testa compresi, e con carnesecca a pezzetti, burro, cipolla, sedano e carota mettetele al fuoco in una cazzaruola, condite con sale e pepe, tiratene il sugo con l’acqua in cui ha bollito il pollo, la quale è già divenuta un buon brodo. Prima di mandarlo in tavola, da solo o con un contorno, levategli il filo con cui fu cucito.
# Scienza in cucina e l'arte di mangiar bene/Umidi/260. Pollastra in umido col contorno di riso

../259. Soufflet di pollo ../261. Braciuola di manzo ripiena in umido IncludiIntestazione 17 settembre 2008 75% letteratura
La scienza in cucina e l'arte di mangiar bene Pellegrino Artusi 1891 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/260._Pollastra_in_umido_col_contorno_di_riso&oldid=- 20110421104636 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/260._Pollastra_in_umido_col_contorno_di_riso&oldid=- 20110421104636
* Una pollastra del peso, vuota, di circa grammi 700.
* Riso, grammi 300.
* Burro, grammi 100.
* Prosciutto grasso e magro, grammi 40.
* Una cipolla più che di mezzana grandezza.
* Un pezzo di carota.
* Un pugnello di funghi secchi.
Legate la pollastra per tenerne unite le parti, poi ponete in una cazzaruola grammi 30 del detto burro e il prosciutto tagliato a striscioline; trinciateci sopra la cipolla e la carota, indi collocateci la pollastra dalla parte del petto condendola con sale e pepe. Tenetela coperta e, colorita che sia da ambedue le parti, bagnatela via via con acqua calda fino a cottura completa, lasciandoci il sugo sufficiente per dar sapore al riso, ma il sugo passatelo.
Il riso mettetelo al fuoco così naturale con la metà del burro rimasto, poi tiratelo a cottura con acqua calda e per ultimo col sugo della pollastro. A cottura completa aggiungete il resto del burro e dategli maggior sapore con un buon pugno di parmigiano grattato.
Il fegatino e il ventriglio cuoceteli insieme con la pollastra e tagliati a pezzetti, mescolateli fra il riso. Il risotto così preparato può anche servire per minestra e bastare a tre persone, ma allora servite la pollastra a parte con alquanto del suo sugo e i funghi per contorno.
# Scienza in cucina e l'arte di mangiar bene/Umidi/254. Stracotto alla bizzarra

../253. Stracotto di vitella ../255. Fricandò IncludiIntestazione 17 settembre 2008 75% letteratura
La scienza in cucina e l'arte di mangiar bene Pellegrino Artusi 1891 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/254._Stracotto_alla_bizzarra&oldid=- 20110421104626 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/254._Stracotto_alla_bizzarra&oldid=- 20110421104626
Se avete, puta caso, un pezzo di magro di vitella del peso, senz’osso, di grammi 700 a 800 steccatelo con grammi 100 di lardone i cui lardelli, grossi un dito, avrete prima conditi con sale e pepe, e così anche la carne. Legatela onde stia raccolta e ponetela al fuoco mezzo coperta d’acqua con due foglie di salvia, una ciocca di ramerino e mezzo spicchio d’aglio; se la carne è molto frolla metteteci meno acqua. Quando, nel bollire, sarà rimasta asciutta, fatele prender colore con un cucchiaino di farina; aggiungete un pezzetto di burro, poi bagnatela con un ramaiuolo di brodo e con un dito (di bicchiere) di marsala. Passate il sugo senza spremerlo e versatelo sul pezzo della carne quando lo mandate in tavola.
# Scienza in cucina e l'arte di mangiar bene/Umidi/256. Fricassea

../255. Fricandò ../257. Cibreo IncludiIntestazione 17 settembre 2008 75% letteratura
La scienza in cucina e l'arte di mangiar bene Pellegrino Artusi 1891 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/256._Fricassea&oldid=- 20110421104629 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/256._Fricassea&oldid=- 20110421104629
La fricassea si può fare di petto o di muscolo di vitella di latte, d’agnello e di pollo. Prendiamo ad esempio il primo, cioè il petto, e questo, in proporzioni all’incirca eguali, serva per le altre qualità di carne indicata.
* Petto di vitella di latte, grammi 500.
* Burro, grammi 50.
* Farina, grammi 5, ossia una cucchiaiata scarsa.
* Acqua calda, non bollente, decilitri 2.
* Due rossi d’uovo.
* Mezzo limone.
* Un mazzetto odoroso.
Spezzettate il petto lasciandolo con tutte le sue ossa. Mettete una cazzaruola al fuoco colla metà del burro e, quando comincia a liquefarsi, versate la farina mescolando finché questa abbia preso il color nocciuola. Allora cominciate a versare a poco per volta l’acqua e poi il mazzetto che potete comporre di alcune strisce di cipolla e di carota, di fili di prezzemolo, di sedano e di basilico, il tutto legato insieme, escluse le foglie perché queste potrebbero disfarsi e far bruttura alla fricassea, un pregio della quale è di avere un bel colore paglia unito. Quando l’acqua bolle gettate giù la carne e il resto del burro e condite con sale e pepe bianco, il quale è il fiore del pepe comune. Coprite la cazzaruola con un foglio tenuto fermo dal coperchio e fate bollire adagio. A due terzi di cottura levate il mazzetto e, se fosse la stagione dei funghi freschi, la potete rendere più grata con grammi 100 o 150 di questi tagliati a fette sottili; se no, un pizzico di funghi secchi.
Quando siete per mandarla in tavola ritirate la cazzaruola dal fuoco e versateci a poco per volta, mescolando, i rossi d’uovo frullati coll’agro di limone.
Se la fricassea fosse di pollo, tagliatelo a pezzi nelle giunture, escludendo la testa, il collo e le zampe; pel resto regolatevi nello stesso modo.
La fricassea fatta in questa maniera è un piatto sano e delicato che piace specialmente a chi non ha il gusto viziato a sapori forti e piccanti.
# Scienza in cucina e l'arte di mangiar bene/Umidi/262. Braciuola di manzo alla sauté

../261. Braciuola di manzo ripiena in umido ../263. Pollo alla contadina IncludiIntestazione 17 settembre 2008 75% letteratura
La scienza in cucina e l'arte di mangiar bene Pellegrino Artusi 1891 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/262._Braciuola_di_manzo_alla_saut%C3%A9&oldid=- 20110421104639 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/262._Braciuola_di_manzo_alla_saut%C3%A9&oldid=- 20110421104639
Quando, per colazione, vi piacesse di sostituire alla bistecca una braciuola di manzo, che cotta in gratella, potrebbe riuscire troppo arida, cucinatela nella seguente maniera, che riesce molto bene. Battetela ben bene con la costola di un coltello e mettetela al fuoco con un pezzetto di burro proporzionato. Conditela con sale e pepe, voltatela spesso onde ròsoli da ambedue le parti e quando avrà ritirato quasi tutto il burro bagnatela per due volte con un gocciolo d’acqua e, cotta che sia, spargetele sopra un pizzico di prezzemolo tritato, tenetela ancora un momento sul fuoco e servitela col suo sugo.
Potete contornarla, piacendovi, con patate fritte.
# Scienza in cucina e l'arte di mangiar bene/Umidi/255. Fricandò

../254. Stracotto alla bizzarra ../256. Fricassea IncludiIntestazione 17 settembre 2008 75% letteratura
La scienza in cucina e l'arte di mangiar bene Pellegrino Artusi 1891 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/255._Fricand%C3%B2&oldid=- 20110421104628 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/255._Fricand%C3%B2&oldid=- 20110421104628
Prendete un pezzo di vitella di latte tutto unito, levato dalla coscia, e lardellatelo con prosciutto grasso e magro. Legate il pezzo e salatelo poco o meglio punto perché il troppo salato è il peggior difetto delle vivande. Steccate una cipolla con due chiodi di garofani e componete un mazzetto con carota tagliata a strisce, sedano e prezzemolo. Mettete ogni cosa in una cazzaruola con un pezzetto di burro, fate rosolare la carne e tiratela a cottura col brodo.
Quando è cotta gettate via la cipolla e il mazzetto, passate il sugo, digrassatelo e restringetelo a parte fino a ridurlo una gelatina che unirete al fricandò quando lo mandate in tavola.
Qui è bene avvertire che il brodo (il quale ha tanta parte alla preparazione delle pietanze) può talvolta mancare: perciò alcuni stanno provvisti dell’estratto di carne Liebig che, lì per lì, sciolto nell’acqua, può sostituirlo. Ogni sorta di carne va lardellata per il lungo della fibra, dovendosi scalcare per traverso.
# Scienza in cucina e l'arte di mangiar bene/Umidi/261. Braciuola di manzo ripiena in umido

../260. Pollastra in umido col contorno di riso ../262. Braciuola di manzo alla sauté IncludiIntestazione 17 settembre 2008 75% letteratura
La scienza in cucina e l'arte di mangiar bene Pellegrino Artusi 1891 CC BY-SA 3.0 GFDL //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/261._Braciuola_di_manzo_ripiena_in_umido&oldid=- 20110421104637 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Scienza_in_cucina_e_l%27arte_di_mangiar_bene/Umidi/261._Braciuola_di_manzo_ripiena_in_umido&oldid=- 20110421104637
La braciuola di manzo ripiena arrosto del n. 537 potete cuocerla anche in umido col burro tirandola a cottura con acqua e sugo di pomodoro e servirla con un contorno qualunque.
# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.4.3

../11.4.2 ../11.4.4 IncludiIntestazione 1 settembre 2022 100% Da definire
Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.4.3&oldid=- 20220901085251 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.4.3&oldid=- 20220901085251
[p. 184
11.4.3 Interpolazione con una retta per l'origine
Se conosciamo altri vincoli cui debba soddisfare la legge che mette in relazione i valori delle variabili misurate $x$ e $y$, possiamo imporre che la retta corrispondente appartenga ad un particolare sottoinsieme delle rette del piano; ad esempio, un caso che si può presentare è che la retta sia vincolata [p. 185 a passare per una posizione particolare, che supporremo qui essere l’origine degli assi coordinati.
Una generica retta per l’origine ha equazione $y=mx$; ammesso ancora che gli errori commessi riguardino soltanto la misura della $y$ e non quella della $x$, che tutti i vari $y_{i}$ abbiano errori distribuiti secondo la legge normale e tra loro uguali, e che le misure siano tra loro indipendenti, il problema dell’interpolazione lineare si riduce a trovare tra le infinite rette passanti per l’origine quella che rende massima la funzione di verosimiglianza
${\mathcal {L}}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},\ldots ,x_{N},y_{N};m)\;=\;\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sigma _{y}\,{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {mx_{i}-y_{i}}{\sigma _{y}}}\right)^{2}}$.
Passando al logaritmo naturale di ${\mathcal {L}}$, è facile vedere che la soluzione ricercata è sempre quella che rende minima la somma dei quadrati dei residui dai punti misurati: che cioè minimizza la funzione
$f(m)=\sum _{i=1}^{N}\left(mx_{i}-y_{i}\right)^{2}$.
La derivata prima di $f$ vale
${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} m}}=2\sum _{i=1}^{N}\left(mx_{i}-y_{i}\right)x_{i}\;=\;2\left(m\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}\;-\;\sum _{i=1}^{N}x_{i}y_{i}\right)$
e, imponendo che essa sia nulla, l’estremante si ha per
$m={\frac {\sum _{i}x_{i}y_{i}}{\sum _{i}{x_{i}}^{2}}}$
e corrisponde in effetti ad un minimo. La legge di propagazione degli errori è esatta anche in questo caso, perché $m$ è una combinazione lineare delle variabili affette da errore (le $y_{i}$); il coefficiente di $y_{i}$ nella combinazione vale
${\frac {x_{i}}{\sum _{k}{x_{k}}^{2}}}$
e quindi
${\sigma _{m}}^{2}\;=\;\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{\sum _{k}{x_{k}}^{2}}}\right)^{2}{\sigma _{y}}^{2}\;=\;{\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{\left(\sum _{k}{x_{k}}^{2}\right)^{2}}}\,\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}\;=\;{\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{\sum _{k}{x_{k}}^{2}}}$
e la formula per il calcolo degli errori a posteriori diventa
${\sigma _{y}}^{2}={\frac {\sum _{i}\left(mx_{i}-y_{i}\right)^{2}}{N-1}}$
visto che il parametro da cui l’errore quadratico medio dipende e che deve essere stimato sulla base dei dati è uno soltanto: $m$.
# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.5.3

../11.5.2 ../11.5.4 IncludiIntestazione 1 settembre 2022 100% Da definire
Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.5.3&oldid=- 20220901085344 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.5.3&oldid=- 20220901085344
[p. 191
11.5.3 Range di una popolazione uniforme
Sia una variabile casuale $x$ distribuita uniformemente tra un estremo inferiore noto, che senza perdere in generalità possiamo supporre sia lo zero, ed un estremo superiore ignoto $A$; in questo caso dobbiamo innanzi tutto osservare sia che il dominio di definizione della funzione di frequenza $f(x)$ della $x$ dipende dal parametro che dobbiamo stimare, sia che $f(x)$ e la sua derivata prima hanno dei punti di discontinuità: e non possiamo in conseguenza garantire a priori né la consistenza, né la massima efficienza asintotica del metodo usato.
Comunque, introducendo la cosiddetta funzione gradino (o step function) $S(x)$, definita attraverso la
${\begin{cases}S(x)=0&\qquad (x<0)\\[1ex]S(x)=1&\qquad (x\geq 0)\end{cases}}$
$f(x)$
$f(x)\;=\;{\frac {1}{A}}\;S(x)\;S(A-x)$
e la funzione di verosimiglianza
${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N};A)={\frac {1}{A^{N}}}S(x_{\min })\;S(A-x_{\max })$.
Come sappiamo, ammesso noto il valore del parametro $A$ essa rappresenta la densità di probabilità di ottenere gli $N$ valori $x_{i}\in [-\infty ,+\infty ]$; se invece si considera $A$ come l’unica variabile e si ammettono noti gli $N$ valori $x_{i}$, rappresenta la densità di probabilità che un dato $A$ abbia prodotto i dati osservati. Ma in quest’ultimo caso $S(x_{\min })\equiv 1$, e la funzione di verosimiglianza si riduce alla
$A
# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.4.5

../11.4.4 ../11.5 IncludiIntestazione 1 settembre 2022 100% Da definire
Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.4.5&oldid=- 20220901085259 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.4.5&oldid=- 20220901085259
[p. 188
11.4.5 Interpolazione non lineare
Formule analoghe a quelle trovate si possono ricavare per risolvere il problema dell’interpolazione di curve di ordine superiore al primo (parabole, cubiche, polinomiali in genere) ad un insieme di dati sperimentali, sempre usando il metodo della massima verosimiglianza.
Nel caso poi ci si trovasse di fronte ad una curva di equazione diversa da un polinomio, in parecchi casi è possibile linearizzare la relazione cambiando variabile: così, ad esempio, se due grandezze hanno tra loro una relazione di tipo esponenziale, il logaritmo naturale ne avrà una di tipo lineare:
| $y=Ke^{-bx}$ | $\Longleftrightarrow$ | $\ln y=\ln K-bx\;=\;a-bx$. |
# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.5.1

../11.5 ../11.5.2 IncludiIntestazione 1 settembre 2022 100% Da definire
Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.5.1&oldid=- 20220901085339 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.5.1&oldid=- 20220901085339
[p. 188
11.5.1 Stima di probabilità
Supponiamo che un fenomeno casuale possa dare origine ad un numero finito $M$ di eventualità, ognuna delle quali sia associata ad un valore $p_{i}$ ignoto della probabilità; se, eseguite $N$ prove indipendenti, indichiamo con $n_{i}$ la frequenza assoluta con cui ognuna delle $M$ eventualità si è presentata nel corso di esse, quale è la stima di massima verosimiglianza, ${\widehat {p}}_{i}$, per le incognite probabilità $p_{i}$?
La funzione di verosimiglianza è, visto che la generica delle $M$ eventualità, di probabilità $p_{i}$, si è presentata $n_{i}$ volte, data da
${\mathcal {L}}({\boldsymbol {n}};{\boldsymbol {p}})=\prod _{i=1}^{M}{p_{i}}^{n_{i}}$
(in cui abbiamo indicato sinteticamente con due vettori, n e p, entrambi di dimensione $M$, l'insieme degli $M$ valori $n_{i}$ e quello degli $M$ valori $p_{i}$ rispettivamente); ed il suo logaritmo da
Il problema della ricerca del massimo della (11.12) è complicato dal fatto che i valori delle $p_{i}$ non sono liberi, ma vincolati dalla condizione
Usiamo quindi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, costruendo la funzione
e risolvendo il sistema delle $M+1$ equazioni, nelle $M+1$ incognite $p_{i}$ e $\lambda$, composto dalla (11.13) e dalle altre $M$ ottenute derivando la (11.14) rispetto ad ognuna delle $p_{k}$:
| ${\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}\;=\;n_{k}\,{\frac {1}{p_{k}}}-\lambda \;=\;0$ | $(k=1,2,\ldots ,M)$. |
Da quest’ultima si ricava
${\widehat {p}}_{k}={\frac {n_{k}}{\lambda }}$
e, sostituendo nella (11.13),
$\sum _{i=1}^{M}{\widehat {p}}_{i}\;=\;{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{M}n_{i}\;=\;{\frac {N}{\lambda }}\;=\;1$
si ottiene
$\lambda =N$
per cui in definitiva la soluzione di massima verosimiglianza è (cosa non sorprendente) data dalle
${\widehat {p}}_{i}={\frac {n_{i}}{N}}$.
# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.5

../11.4.5 ../11.5.1 IncludiIntestazione 1 settembre 2022 100% Da definire
Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.5&oldid=- 20220901085338 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.5&oldid=- 20220901085338
[p. 188
11.5 Altre applicazioni della stima di massima verosimiglianza
Per concludere il capitolo, presentiamo altre tre applicazioni del metodo della massima verosimiglianza: la stima delle probabilità ignote di un insieme di modalità esclusive ed esaurienti cui può dar luogo un fenomeno casuale; la stima sia della media che della varianza di una popolazione normale; e la stima del range di una popolazione uniforme.
# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.5.2

../11.5.1 ../11.5.3 IncludiIntestazione 1 settembre 2022 100% Da definire
Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.5.2&oldid=- 20220901085342 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/11.5.2&oldid=- 20220901085342
[p. 190
11.5.2 Media e varianza di una popolazione normale
Abbiamo già visto nel paragrafo 11.3 che, ammessa nota la varianza $\sigma ^{2}$ di una popolazione normale, il suo valore medio $\mu$ ha come stima di massima verosimiglianza la media aritmetica ${\bar {x}}$ di un campione di stime indipendenti; vogliamo ora stimare contemporaneamente sia $\mu$ che $\sigma$ dai dati, usando sempre il metodo della massima verosimiglianza.
La densità di probabilità vale
$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$
ed il suo logaritmo
$\ln f(x;\mu ,\sigma )\;=\;-\ln \sigma -\ln {\sqrt {2\pi }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}$.
Il logaritmo della funzione di verosimiglianza è
$\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )\;=\;\sum _{i=1}^{N}\ln f(x_{i};\mu ,\sigma )$
e dunque
$\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )\;=\;-N\ln \sigma -N\,\ln {\sqrt {2\pi }}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}$;
e le sue derivate parziali prime sono
${\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln {\mathcal {L}}\;=\;{\frac {1}{\sigma ^{2}}}\,\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)\;=\;{\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}-N\mu \right)$
e
${\frac {\partial }{\partial \sigma }}\ln {\mathcal {L}}\;=\;-{\frac {N}{\sigma }}+{\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}\;=\;{\frac {1}{\sigma ^{3}}}\,\left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}-N\sigma ^{2}\right].$
Il sistema ottenuto annullando le due derivate parziali prime ha l'unica soluzione (in effetti un massimo) data da
| ${\widehat {\mu }}={\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$ | e | ${\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}$. |
In sostanza il fatto che la varianza della popolazione abbia un determinato valore (come assunto nel paragrafo 11.3) non cambia il fatto che la nostra migliore stima del valore medio della popolazione sia comunque data dalla media aritmetica del campione: vedremo poi nel paragrafo 12.1 che il valore medio del campione e la sua varianza sono variabili casuali statisticamente indipendenti tra loro.