# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.2

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/8.2&oldid=- 20220830100339 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/8.2&oldid=- 20220830100339
8.2 La distribuzione normale
La funzione normale (o funzione di Gauss), che esamineremo poi in dettaglio nel prossimo capitolo mettendo l'accento sui suoi legami con le misure ripetute delle grandezze fisiche, è una funzione di frequenza per la x che dipende da due parametri $\mu$ e $\sigma$ (con la condizione $\sigma >0$) definita come
$N(x;0,1)$
$f(x)\equiv N(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$.
L’andamento della funzione normale è quello delineato nella figura 8c: quando $x=\mu$ si ha un punto di massimo, nel quale la funzione ha il valore [p. 102 ${\widehat {y}}=(\sigma {\sqrt {2\pi }})^{-1}\approx 0.4/\sigma$. La larghezza a metà altezza è pari all’ampiezza dell’intervallo che separa i due punti $x_{1}$ ed $x_{2}$ di ascissa $\mu \pm \sigma {\sqrt {2\ln 2}}$ e di ordinata $y_{1}=y_{2}={\widehat {y}}/2$: e vale quindi $2\sigma {\sqrt {2\ln 2}}\approx 2.35\sigma$.
La funzione generatrice dei momenti è definita attraverso l’equazione (6.4) e, nel caso della distribuzione normale, abbiamo
* = $\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{tx}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\,\mathrm {d} x$
* $={\frac {e^{t\mu }}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{t(x-\mu )}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\,\mathrm {d} x$
* $={\frac {e^{t\mu }}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{\left[{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-{\frac {(x-\mu -\sigma ^{2}t)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}\,\mathrm {d} x$
* $=e^{\left(t\mu +{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}{\bigl{\frac {x-(\mu +\sigma ^{2}t)}{\sigma }}{\bigr ]}^{2}}\,\mathrm {d} x$.
Riconoscendo nell’argomento dell’integrale la funzione $N(x;\mu +\sigma ^{2}t,\sigma )$, ovverosia la funzione normale relativa ai parametri $\mu +\sigma ^{2}t$ e $\sigma$, è immediato capire che esso vale 1 in conseguenza della condizione di normalizzazione; quindi la funzione generatrice dei momenti, per la distribuzione normale, è data da
e, con passaggi simili, si potrebbe trovare la funzione caratteristica della distribuzione normale: che vale
Sfruttando la (8.2) è facile calcolare la speranza matematica della distribuzione normale:
$E(x)=\left.{\frac {\mathrm {d} \,M_{x}(t)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\;=\;\mu$;
la funzione generatrice dei momenti rispetto alla media $\mu$ vale allora
e dalla (8.4) si ricava poi la varianza della x,
${\text{Var}}(x)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\overline {M}}_{x}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}\;=\;\sigma ^{2}$.
[p. 103
Vista la simmetria della funzione, tutti i suoi momenti di ordine dispari rispetto alla media sono nulli; mentre quelli di ordine pari soddisfano alla formula generale (valida per qualsiasi intero k)
con
$\mu _{2}\;=\;E\left\{{\biglx-E(x){\bigr ]}^{2}\right\}\;=\sigma ^{2}$.
Nel caso particolare di una variabile normale con valore medio $\mu =0$ e varianza $\sigma ^{2}=1$ (variabile normale standardizzata), la funzione generatrice dei momenti diventa
$M_{x}(t)\equiv {\overline {M}}_{x}(t)=e^{\frac {t^{2}}{2}}$
e la funzione caratteristica
$\phi _{x}(t)=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$.
Dimostriamo ora il seguente importante
Teorema: combinazioni lineari di variabili casuali normali e tutte statisticamente indipendenti tra loro sono ancora distribuite secondo la legge normale.
Siano N variabili normali $x_{k}$ (con $k=1,\ldots ,N$), e siano $\mu _{k}$ e ${\sigma _{k}}^{2}$ i loro valori medi e le loro varianze rispettivamente; consideriamo poi la nuova variabile casuale y definita dalla
$y=\sum _{k=1}^{N}a_{k}\,x_{k}$
(ove le $a_{k}$ sono coefficienti costanti). La funzione caratteristica di ognuna delle $x_{k}$ è, dalla (8.3),
$\phi _{x_{k}}(t)=e^{\left(it\mu _{k}-{\frac {{\sigma _{k}}^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
e quella della variabile ausiliaria $\xi _{k}=a_{k}x_{k}$, dall’equazione (6.17),
$\phi _{\xi _{k}}(t)\;=\;\phi _{x_{k}}(a_{k}t)\;=\;e^{\left(ia_{k}t\mu _{k}-{\frac {{\sigma _{k}}^{2}{a_{k}}^{2}t^{2}}{2}}\right)}$.
Infine, la funzione caratteristica della y vale, essendo
$y=\sum _{k=1}^{N}\xi _{k}$
e ricordando l’equazione (6.11), applicabile perché anche le $\xi _{k}$ sono indipendenti tra loro, otteniamo
* = $\prod _{k=1}^{N}\phi _{\xi _{k}}(t)$
* = $\prod _{k=1}^{N}e^{\left(ita_{k}\mu _{k}-{\frac {1}{2}}t^{2}{a_{k}}^{2}{\sigma _{k}}^{2}\right)}$
* = $e^{\left[it\left(\sum _{k}a_{k}\mu _{k}\right)-{\frac {1}{2}}t^{2}\left(\sum _{k}{a_{k}}^{2}{\sigma _{k}}^{2}\right)\right]}$
* $=e^{\left(it\mu -{\frac {t^{2}\sigma ^{2}}{2}}\right)}$
ove si è posto
| $\mu =\sum _{k=1}^{N}a_{k}\,\mu _{k}$ | e | $\sigma ^{2}=\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}^{2}{\sigma _{k}}^{2}$. |
Questa è appunto la funzione caratteristica di una nuova distribuzione normale; e, in virtù di uno dei teoremi enunciati nel paragrafo (6.4), quanto dimostrato prova la tesi.