# Teoria degli errori e fondamenti di statistica/9.2

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica Maurizio Loreti 2006 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/9.2&oldid=- 20220831180816 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Teoria_degli_errori_e_fondamenti_di_statistica/9.2&oldid=- 20220831180816
[p. 142
9.2 Proprietà della legge normale
$W(z)$
$\int _{-\infty }^{+\infty }\!W(z)\cdot f(z)\,\mathrm {d} z$
dove per $f(z)$ si intende la funzione densità di probabilità dello scarto dal valore vero, che supporremo qui essere la distribuzione normale (9.1).
Se vogliamo ad esempio calcolare il valore medio dello scarto z, questo è dato dalla
$E(z)\;=\;{\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!z\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z=0$.
Il risultato è immediato considerando che $f(z)$ è una funzione simmetrica mentre z è antisimmetrica: in definitiva, ad ogni intervallino centrato su un dato valore $z>0$ possiamo associarne uno uguale centrato sul punto $-z$, in cui il prodotto $z\,f(z)\,\mathrm {d} z$ assume valori uguali in modulo ma di segno opposto; così che la loro somma sia zero. Essendo poi
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abbiamo così dimostrato quanto assunto nel paragrafo (5.2), ossia che
Il valore medio della popolazione delle misure di una grandezza fisica affette solo da errori casuali esiste, e coincide con il valore vero della grandezza misurata.
Cerchiamo ora il valore medio del modulo dello scarto $E{\bigl|z|{\bigr )}$:
* $=\int _{-\infty }^{+\infty }\!|z|\,f(z)\,\mathrm {d} z$
* $=2\int _{0}^{+\infty }\!z\,f(z)\,\mathrm {d} z$
* $={\frac {2h}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }\!z\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z$
* $={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }\!e^{-h^{2}t}\,\mathrm {d} t$
* $=-{\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}\left[e^{-h^{2}t}\right]_{0}^{+\infty }$
* $={\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}$
dove si è eseguito il cambio di variabile $t=z^{2}$. [p. 145
Il valore medio del modulo degli scarti è quella grandezza che abbiamo definito come “errore medio”: qui abbiamo ricavato la relazione tra l’errore medio di misure affette solo da errori casuali ed il modulo di precisione della misura h.
Il rapporto invece tra l’errore quadratico medio ed h si trova calcolando il valore medio del quadrato degli scarti:
* $={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!z^{2}\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z$
* $={\frac {1}{h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!t^{2}\,e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} et$
* $=-\,{\frac {1}{2h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!t\cdot \mathrm {d} {\bigle^{-t^{2}}{\bigr )}$
* $=-\,{\frac {1}{2h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\,\left\{\left[te^{-t^{2}}\right]_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}\mathrm {d} t\right\}$
* $={\frac {1}{2h^{2}}}$.
$t=hz$
$\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{-t^{2}}\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}$
come si può ricavare dalla condizione di normalizzazione della funzione di Gauss per il particolare valore $h=1$.
Concludendo:
${\frac {\sigma }{a}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}=1.2533\ldots ~~$.
$\sigma ={\frac {1}{h{\sqrt {2}}}}$.
$a={\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}$.
[p. 146
Sostituendo nella (9.1) il valore di h in funzione di $\sigma$, la legge di Gauss si può quindi anche scrivere nella forma equivalente