# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 20/Paragrafo 128

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_20/Paragrafo_128&oldid=- 20230105211610 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_20/Paragrafo_128&oldid=- 20230105211610
§ 128. — Trasformazione di integrali curvilinei nel piano.
Se abbiamo un campo piano $\gamma$ limitato da un contorno ad uno o più pezzi, si dirà $\int \,Xdx$ esteso al contorno di $\gamma$ la somma degli integrali $\int \,Xdx$ estesi ai singoli pezzi del contorno di $\gamma$, percorsi in guisa che un osservatore, camminando sul lato del foglio volto verso il lettore e percorrendo ogni pezzo di detto contorno nel verso indicato dalla freccia lasci a sinistra l'area $\gamma$.
Fig. 44. E notiamo che un tale osservatore, che volgesse la faccia verso la direzione positiva dell'asse delle $x$, avrebbe pre alla sinistra la direzione positiva dell'asse delle $y$. Se noi tiriamo una tangente $t$ a un pezzo del contorno di $\gamma$ volta in verso concorde a quello in si percorre detto pezzo del contorno, e tiriamo quindi la normale $n$ volta verso l'interno di $\gamma$, il solito osservatore avrà la direzione $n$ a sinistra, se volge la faccia verso la direzione $t$ (fig. 44.)
Conserveremo sempre le convenzioni qui fatte.
Teorema 1° — Se $\mathrm {\gamma }$ è la somma di due aree $\mathrm {\gamma ',\gamma ''}$, l'integrale $\mathrm {\int \,X\,dx}$ esteso al contorno di $\mathrm {\gamma }$ è uguale alla somma degli integrali $\mathrm {\int \,X\,dx}$ estesi ai contorni di $\mathrm {\gamma ',\gamma ''}$. Infatti siano [p. 432 $C,C',C''$ i contorni di $\gamma ,\gamma ',\gamma ''$. Siano $C'_{1}$ e $C'_{2}$ quei pezzi del contorno $C'$ (fig. 45), i cui punti rispettivamente appartengono e non appartengono al contorno Fig. 45.$C''$ e siano ${C'''}_{1}$ e ${C'''}_{2}$ quei pezzi di $C''$ i cui punti rispettivamente appartengono al controno $C'$.
Sarà: $\int _{C'}\,X\,dx\,=\,\int _{{C'}_{1}}\,X\,dx+\,\int _{{C'}_{2}}\,X\,dx$ $\int _{C'''}\,X\,dx\,=\,\int _{{C''}_{1}}\,X\,dx\,+\,\int _{{C''}_{2}}\,X\,dx$.
Evidentemente $C'_{1}$ e ${C''}_{1}$ sono archi di curve coincidenti, ma percorsi in verso opposto. Quindi:
$\int _{C'_{1}}\,X\,dx+\,\int _{{C''}_{1}}\,X\,dx=0$,
e perciò dalle precedenti formole si ottiene, sommando:
$\int _{C'_{2}}\,X\,dx+\,\int _{{C''}_{2}}\,X\,dx=\int _{C}\,X\,dx+\,\int _{C'}\,X\,dx$.
Ma $C'_{2}$ e ${C''}_{2}$ formano complessivamente il contorno $C$ di $\gamma =\gamma '+\gamma ''$, e sono percorsi nello sesso verso, sia come appartenenti al contorno di $\gamma '$ o $\gamma ''$, sia come appartenenti al contorno di $\gamma$. L'ultima equazione dà dunque:
$\int _{C}\,X\,dx=\,\int _{C'_{2}}\,X\,dx+\,\int _{C'_{2}}\,X\,dx=\,\int _{C'}\,X\,dx+\,\int _{C''}\,X\,dx$.
c.d.d.
Questo teorema si può enuncaire dicendo:
Lo integrale $\mathrm {\int \,X\,dx}$ esteso al contorno di un campo $\mathrm {\gamma }$ è una funzione additiva di $\mathrm {\gamma }$.
Ciò rende intuitivo che in molti casi tale integrale curvilineo si potrà trasformare in un integrale superficiale esteso a $\gamma$.
Ciò appunto è approvato dal seguente teorema, da cui risulta precisamente che la derivata di tale funzione additiva vale comunemente ${\frac {\partial X}{\partial x}}$. [p. 433 Teorema 2°. — Se $\mathrm {\gamma }$ è un'area del piano $\mathrm {xy}$; e $\mathrm {X(x,y)}$ vi è finita e continua insieme alla $\mathrm {\frac {\partial X}{\partial x}}$, e se $\mathrm {C}$ è il contorno di $\mathrm {\gamma }$, allora:
$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{C}\,X\,dy$.
Supponiamo dapprima che una retta $y=$ cost. incontri $C$ al più in due punti.
Si ha:
$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{m}^{M}\,dy\,\int _{A_{1}}^{A_{2}}\,{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx$,
dove $m,M$ sono il minimo e il massimo di $y$ in $\gamma$, ed $A_{1},A_{2}$ sono i punti ove una retta $y={\text{cost}}.$ (compresa tra le $y=m$ e $y=M$ incontra $C$ (fig. 46).
Fig. 46. Se indichiamo con $X_{2}$ e $X_{1}$ i valori di $X$ in $A_{2},A_{1}$, se ne deduce:
$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{m}^{M}\,dy(X_{2}-X_{1})=\int _{m}^{M}\,X_{2}dy-\int _{m}^{M}\,X_{1}\,dy$.
Ossia, indicando con $C_{1}$ e $C_{2}$ gli archi $HA_{1}K$ e $HA_{2}K$,
$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{C_{2}}\,X_{2}\,dy-\int _{C_{1}}\,X_{1}\,dy=\int _{{\text{arc}}HA_{2}K}\,X\,dx+\int _{{\text{arc}}KA_{1}H}\,X,dx=\int _{C}=\,X\,dx$.
[p. 434 Se invece $C$ fosse incontrata da qualche parallela all'asse delle $x$ in più di due punti, supponiamo $\gamma$ scomponibile in un numero finito di parti $\gamma _{1},\gamma _{2},.....,\gamma _{n}$, i cui contorni $C_{1},C_{2},.....,C_{n}$ siano incontrati da tali parallele al più di due punti. Per il teorema 1° e per quanto abbiamo ora dimostrato si avrà:
$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}dx\,dy=\sum _{i=1}^{n}\,\iint _{\gamma _{1}}{\frac {\partial X}{\partial x}}dx\,dy=\sum _{1}^{n}\int _{C}X\,dy=\int _{C}X\,dy$,
c.d.d.
Teorema 3°. — Se in $\mathrm {\gamma }$ le $\mathrm {Y}$ e $\mathrm {\frac {\partial Y}{\partial y}}$ sono funzioni finite e continue,
$\int _{\gamma }{\frac {\partial Y}{\partial y}}dx\,dy=-\int _{C}\,Y\,dx$.
Questo teorema si dimostra come sopra: il segno $-$, che qui compare al secondo membro, dipende da ciò che, mentre l'asse positivo delle $y$ è a sinistra dell'asse positivo delle $x$, l'asse positivo delle $x$ è a destra dell'asse positivo delle $y$. L'uguaglianza che si ottiene sommando o sottraendo le formole dei teoremi 2° e 3° si suole scrivere così:
$\iint _{\gamma }\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\pm {\frac {\partial Y}{\partial y}}\right)dx\,dy=\int (X\,dy\mp Y\,dx),\,\,\,\,\,$(1)
dove i segni superiori (o inferiori) sono da adottarsi contemporaneamente nei due membri.
Osserviamo che ${\frac {dx}{ds}},{\frac {dy}{ds}}$ sono in valore assoluto e in segno i coseni di direzione della tangente $t$ (volta nel verso sopra definito) quando con $s$ si indichi l'arco del contorno di $\gamma$, o di un suo pezzo, crescente nel verso in cui tal pezzo di contorno si deve percorrere. Poichè gli angoli ${\widehat {tn}}$ e ${\widehat {xy}}$ (nelle nostre convenzioni) sono uguali a ${\frac {\pi }{2}}$, sarà:
${\frac {dx}{ds}}={\text{cos}}\,(xt)={\text{cos}}\,(xy+yn+ny)={\text{cos}}\,(yn)$
${\frac {dy}{ds}}={\text{cos}}\,(yt)={\text{cos}}\,(yx+xn+nt)={\text{cos}}\,(xn-\pi )=-{\text{cos}}\,(xn)$.
[p. 435 Ossia i coseni di direzione della normale $n$ sono rispettivamente $-{\frac {dy}{ds}},{\frac {dx}{ds}}$. E le nostre formole si possono anche scrivere:
$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}dx\,dy=\int _{C}X{\frac {dy}{ds}}ds=-\int X\,{\text{cos}}\,nx\,ds$
$\iint _{\gamma }{\frac {\partial Y}{\partial y}}dx\,dy=\int _{C}Y{\frac {dx}{ds}}\,ds=-\int Y\,{\text{cos}}\,ny\,ds$
$\iint _{\gamma }\left({\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=-\int (X\,{\text{cos}}\,nx+Y\,{\text{cos}}\,ny)\,ds.\,\,\,\,\,$(1)$_{bis}$
Il $ds$ che figura nel secondo membro è positivo, cioè $s$ si intende crescente dal limite inferiore al superiore di detto integrale.
* ↑ I teoremi del § 1228 e seg. sono importanti al tecnico specialmente per le applicazioni alla elettrodinamica, ed anche alla idrodinamica teorica.
* ↑ Al lettore l'enunciato preciso delle condizioni, che si suppongono soddisfatte del contorno. Nel primo campo $\gamma$ della precedente figura, il contorno esterno di $\gamma$ è, si noti, percorso in verso discorde al verso in cui procedono le lancette di un orologio, i contorni interni sono invece percorsi in verso concorde. Qui, si noti, ci riferiamo a campi $\gamma$ limitati. Al lettore l'esame dei campi illimitati.
* ↑ È sempre sottinteso che il campo $\gamma$ e il suo contorno $C$ sieno tali che questi integrali abbiano significato secondo le nostre definizioni.