# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 40

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_6/Paragrafo_40&oldid=- 20221229112614 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_6/Paragrafo_40&oldid=- 20221229112614
§ 40. — Proprietà fondamentali delle funzioni continue.
α) I teoremi di cui ci occuperemo nel seguente paragrafo, possono sembrare intuitivi; e del resto per molto tempo furono ammessi come evidenti. Una critica accurata dimostrò però la necessità di una precisa dimostrazione; chi poco si occupi di questioni teoriche può forse, appena abbia compreso l'enunciato di tali teoremi, non approfondire lo studio delle dimostrazioni; le quali però costituiscono un utile esempio di deduzione logica.
Il primo dei teoremi di cui qui ci occuperemo, risponde alle seguenti domande: Tra i valori che una funzione continua $f(x)$ assume un intervallo finito (a, b), estremi inclusi esiste un valore M massimo [che non sia minore di alcun altro valore di $f(x)$ in (a, b)]? esiste un valore minimo m?
A queste domande si deve rispondere affermativamente. Ciò ammesso, si deve ancora domandare: Se μ è un numero compreso tra m ed M, vi è qualche valore della nostra funzione, che sia uguale a μ? E anche a questa domanda si deve rispondere affermativamente.
Nè i teoremi qui accennati si debbono ritenere come intuitivi a priori. I valori di una funzione continua $f(x)$ in (a, b) sono (se la $f(x)\not ={\text{cost.}}$) in numero infinito. Ora, se abbiamo infiniti numeri, può darsi benissimo, come sappiamo, che nessuno di essi sia un numero più grande di tutti gli altri, cioè che il limite superiore non suna un massimo. Il nostro teorema ci assicura che questo non può avvenire per i valori assunti da una funzione continua; cosicchè, p. es., se ne dedurrà in particolare che una funzione $f(x)$ cotinua in (a, b) (estremi inclusi) è limitata; che cioè si può trovare una costante (positiva) H, che $f(x)$ non supera mai in valore assoluto in tale intervallo. Basta, p. es., porre H uguale al più grande dei due numeri |M|, |m|.
la risposta affermativa all'ultima domanda può essere giustificata intuitivamente. Un disegnatore di curve e di diagrammi troverebbe forse superfluo il dimostrare che, muovendoci su una [p. 135 curva continua $y=f(x)$, la distanza y dall'asse x non possa passare da M a m senza riceve tutti i valori intermedi. Ma, appena si ricodi che esistono curve continue $y=f(x)$ che in (a, b) fanno infinite oscillazioni, e non sono quindi disegnabili, si vedrà quanto sia insufficiente per nostri studi una intuizione, che assume a punto di partenza i diagrammi e le curve continue disegnabili.
ecco qui gli enunciati dei teoremi in discorso:
Sia y una funzione continua f(x) nell'intervallo finito (a, b), estremi inclusi. (Sia, p. es. a\lambda$). Sia $c$ il limite superiore dei punti $x$ dell'intervallo (a, b) tali che $L(a,x)\lambda$. Sarà $a0$, ed è pure $\tau _{2}\geq 0$, essendo $\tau _{2}=0$ soltanto se $c=b$. Per la stessa definizione di c è
$L(a,c-\tau _{1})<\lambda$
$L(a,c+\tau _{2})\geq \lambda$.
Ora $L(a,c+\tau _{2})$ è uguale al massimo dei due numeri $L(a,c-\sigma _{1})$, e $L(c-\sigma _{1},c+\sigma _{2})$ corrispondenti ai due intervalli parzial in cui si può dividere l'intervallo $(a,c+\tau _{2})$. E non potendo essere per le precedenti disuguaglianze $L(a,c-\tau _{1})\geq L(a,c+\tau _{2})$ sarò $L(c-\tau _{1},c+\tau _{2})=L(a,c+\sigma _{2})$. Dunque $La,c+\sigma _{2})\geq \lambda$ è compreso tra $f(c)+\epsilon$ ed $f(c)-\epsilon$. Cosicchè $\lambda \leq f(c)+\epsilon$, qualunque sia $\tau$. Dunque $\lambda \leq f(c)$. D'altra parte $f(c-\tau _{1})<\lambda$. Quindi $f(c)=\lim _{\tau _{1}=0}f(c-\tau _{1})\leq \lambda$. Unendo queste disuguaglianze si deduce che $f(c)=\lambda$, così come si doveva dimostrare.
Dimostrazione del 4° teorema e osservazioni critiche.
Supponiamo che il teorema non sia vero; che cioè l'intervallo (a, b) non sia divisibile in un numero finito di tali intervalli $j$. Se $\beta$ è un punto di (a, b) così vicino ad a che in ($a,\beta$) l'oscillazione di $f(x)$ sia minore di ε, l'intervallo ($a,\beta$) è divisibile in un umero finito di intervalli $j$, perchè esso stesso ed ogni sua parte è un intervallino $j$. [Che un tale punto $\beta$ esiste è conseguenza del fatto che $f(x)$ è continua per $x=a$. Se $\beta$ è un punto qualsiasi di 8$a,b$) tale che ($a,\beta$) sia divisbile nel modo voluto, altrettanto avverrà a fortiori di ogni intervallo ($a,\beta '$), se $a<\beta '<\beta$. E quindi, se$\daleth$ è un punto di (a, b) tale che $a,\daleth$) non sia divisibile in un numero finito di intervalli $j$, allora neanche ($a,\daleth '$) sarà divisibile in tal modo se $\beta \geq \daleth >\daleth$ Dividiamo i punti di (a, b), in due classi: ponendo in una classe i punti $\beta$ tali che ($a,\beta$) sia divisibile nel modo voluto, e nell'altra classe i punti di $\daleth$ tali che ($a,\daleth$) non sia così divisibile. Sia c il punto di divisione di tali due classi ($c\leq b$). Costruiamo se $c