# Opere matematiche di Luigi Cremona/Sur les questions 321 et 322

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4.
SUR LES QUESTIONS 321 ET 322.
Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.$^{re}$ série, tome XVI (1857), pp. 41-43.
Question 321.
Soient a$_r$, b$_r$, c$_r$ les coordonnées du sommet r$^{rième}$ de l’hexagone; l$_r$ la longueur du côté (r, r + 1); α$_r$, β$_r$, γ$_r$ les cosinus des angles du même côté avec les axes. On a, par les données du problème,
| a$_2$ = a$_1$ + α$_1$ l$_1$ | , | b$_2$ = b$_1$ + β$_1$ l$_1$ | , | c$_2$ = c$_1$ + γ$_1$ l$_1$ |
| a$_3$ = a$_1$ + α$_1$ l$_1$ + α$_2$ l$_2$ | , | ... | , | ... |
| a$_4$ = a$_1$ + α$_1$ l$_1$ + α$_2$ l$_2$ + α$_3$ l$_3$ | , | ... | , | ... |
| a$_5$ = a$_1$ + α$_2$ l$_2$ + α$_3$ l$_3$ | , | ... | , | ... |
| a$_6$ = a$_1$ + α$_3$ l$_3$ | , | ... | , | ... |
Par conséquent, l’équation du plan passant par les milieux des côtés (1, 2), (2, 3), (3, 4) sera
${\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2x&2a_{1}+\alpha _{1}l_{1}&2a_{1}+2\alpha _{1}l_{1}+\alpha _{2}l_{2}&2a_{1}+2\alpha _{1}l_{1}+2\alpha _{2}l_{2}+\alpha _{3}l_{3}\\2y&2b_{1}+\beta _{1}l_{1}&2b_{1}+2\beta _{1}l_{1}+\beta _{2}l_{2}&2b_{1}+2\beta _{1}l_{1}+2\beta _{2}l_{2}+\beta _{3}l_{3}\\2z&2c_{1}+\gamma _{1}l_{1}&2c_{1}+2\gamma _{1}l_{1}+\gamma _{2}l_{2}&2c_{1}+2\gamma _{1}l_{1}+2\gamma _{2}l_{2}+\gamma _{3}l_{3}\end{vmatrix}}=0,$
ou, en transformant ce déterminant par des théorèmes très-connus,
${\begin{vmatrix}1&0&1&0\\4(x-a_{1})&\alpha _{2}l_{2}+\alpha _{3}l_{3}&\alpha _{3}l_{3}+\alpha _{1}l_{1}&\alpha _{1}l_{1}+\alpha _{2}l_{2}\\4(y-b_{1})&\beta _{2}l_{2}+\beta _{3}l_{3}&\beta _{3}l_{3}+\beta _{1}l_{1}&\beta _{1}l_{1}+\beta _{2}l_{2}\\4(z-c_{1})&\gamma _{2}l_{2}+\gamma _{3}l_{3}&\gamma _{3}l_{3}+\gamma _{1}l_{1}&\gamma _{1}l_{1}+\gamma _{2}l_{2}\end{vmatrix}}=0.$
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Question 322.
Soient 2n le nombre des côtés du polygone; a$_r$, b$_r$, c$_r$ les coordonnées du sommet r$^{ième}$; l$_r$ la longueur du côté (r, r + 1); α$_r$, β$_r$, γ$_r$ les cosinus des angles de ce côté avec les axes. En supposant que r soit un des nombres 1, 2, 3, ..., n, on a
a$_r$ = a$_1$ + α$_1$ l$_1$ + α$_2$ l$_2$ + ... + α$_{r—1}$ l$_{r—1}$,
a$_{n+r}$ = a$_1$ + α$_r$ l$_r$ + α$_{r+1}$ l$_{r+1}$ + ... + α$_n$ l$_n$,
donc
a$_r$ + a$_{n+r}$ = 2a$_1$ + α$_1$ l$_1$ + α$_2$ l$_2$ + ... + α$_n$ l$_n$,
c’est-à-dire a$_r$ + a$_{n+r}$ est indépendant de r; analoguement pour b$_r$ + b$_{n+r}$ et c$_r$ + c$_{n+r}$.
Je considère le point dont les coordonnes sont
$x={\frac {1}{2}}\left(a_{\mathrm {r} }+a_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }\right),$ $y={\frac {1}{2}}\left(b_{\mathrm {r} }+b_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }\right),$ $z={\frac {1}{2}}\left(c_{\mathrm {r} }+c_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }\right);$
ces coordonnées satisfont évidemment aux équations de la droite (r, n + r), qui sont
${\frac {x-a_{\mathrm {r} }}{a_{\mathrm {r} }-a_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }}}={\frac {y-b_{\mathrm {r} }}{b_{\mathrm {r} }-b_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }}}={\frac {z-c_{\mathrm {r} }}{c_{\mathrm {r} }-c_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }}}$
et satisfont aussi aux équations de la droite qui joint les milieux des côtés (r, r + 1), (n + r, n + r+ 1), savoir
* ${\frac {2x-a_{\mathrm {r} }-a_{\mathrm {r} +1}}{a_{\mathrm {r} }+a_{\mathrm {r} +1}-a_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }-a_{\mathrm {n} +\mathrm {r} +1}}}={\frac {2y-b_{\mathrm {r} }-b_{\mathrm {r} +1}}{b_{\mathrm {r} }+b_{\mathrm {r} +1}-b_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }-b_{\mathrm {n} +\mathrm {r} +1}}}=$$={\frac {2z-c_{\mathrm {r} }-c_{\mathrm {r} +1}}{c_{\mathrm {r} }+c_{\mathrm {r} +1}-c_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }-c_{\mathrm {n} +\mathrm {r} +1}}};$
donc le point nommé est commun à toutes les droites qui joignent les sommets oppoés et à celles qui joignent les milieux des côtés opposés, et le même point est le milieu de chacune de ces droites.