# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 19

../Paragrafo 18 ../Paragrafo 20 IncludiIntestazione 14 dicembre 2022 100% Da definire
Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_5/Paragrafo_19&oldid=- 20221214012729 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_5/Paragrafo_19&oldid=- 20221214012729
§ 19. - Definizione di determinante.
I determinanti si considerano come simboli comodi a scriversi per indicare certe quantità che ora definiremo.
Un determinante $|a|$ del primo ordine si considera come identico al suo unico elemento $a$. Tale nozione non è però usata, perchè con $|a|$ si indica invece di solito non un determinante, ma bensì il valore assoluto o modulo di $a$. Molti dei seguenti teoremi non hanno del resto senso per determinanti di primo ordine.
Un determinante ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$ del secondo ordine si considera come un simbolo equivalente alla differenza $ad-bc$. (Ciò che, come è facile a riconoscere, è conforme alla seguente definizione).
Noi ora, supposto noto il significato di un determinante di ordine $n-1$, definiamo il valore di un determinante di ordine $n$. (Abbiamo così una definizione generale per induzione completa). I determinanti più usati sono quelli del secondo, del terzo e del quarto ordine. [p. 65
Un elemento di un determinante si dirà di posto pari o di posto dispari secondochè è pari o dispari la somma degli indici della riga e colonna cui appartiene l’elemento secondo le convenzioni del § 18 α, pagina 63.
E chiaramente: Di due elementi consecutivi di una stessa linea (riga o colonna) uno è di posto pari, l’altro è di posto dispari.
Sia dato un determinante $D$ di ordine $n$ e ne sia $a$ un elemento; sopprimiamo la riga e la colonna, cui appartiene $a$: otteniamo un determinante (minore) $D'$ di ordine $n-1$, di cui per ipotesi conosciamo il valore. La quantità $+D'$, se $a$ è di posto pari, o la quantità $-D'$, se $a$ è di posto dispari, diconsi il complemento algebrico di $a$.
Se un elemento di un determinante è indicato con una lettera minuscola seguita da uno o più indici, e se non vi è a temere alcuna ambiguità, molto spesso il suo complemento algebrico si indica con la corrispondente maiuscola seguita dagli stessi indici. Così, per esempio, se
si scrive
$A_{1}=+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}=b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3}$,
$B_{3}=-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}=a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}$
$C_{1}={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3}$, eccetera
Teorema I. Se noi cambiamo tutti gli elementi di una linea, i loro complementi algebrici non cambiano.
E ciò perchè per formare il complemento algebrico di un elemento di sopprimono proprio le due linee cui appartiene l’elemento stesso.
Osservazione. Sia data una successione di oggetti, per esempio $a,b,c,d,e,f,g,h,k$.
Scegliamone due, uno di posto $r$, l’altro di posto $\rho \not =r$; per esempio l’elemento $d$ di posto $r=4$, e $g$ di posto $\rho =7$. Sia $r'$ il posto del primo elemento, quando si cancelli il secondo, e $\rho '$ il posto del secondo quando si cancelli il primo. Nell’esempio precedente $r'=4$ è il posto di $d$ nella successione $a,b,c,d,e,f,h,k$ [p. 66 ottenuta dalla precedente sopprimendo $g$; e $\rho '=6$ è il posto di $g$ nella successione $a,b,c,e,f,g,h,k$ ottenuta sopprimendo invece $d$.
Il posto di un elemento non varia se si sopprime un elemento che lo segue, mentre invece diminuisce di uno, se si cancella un elemento che lo precede; perciò:
In ogni caso $r'+\rho$ ed $r+\rho '$ differiscono di una unità; cosicchè, se uno di essi è pari, l’altro è dispari; cioè:
$(-1)^{r'+\rho }=-(-1)^{r+\rho '}$.
Analogamente, se in una matrice si cancella una linea di indice $r$, allora le linee parallele che precedono la linea cancellata (di indice ($\rho r$, avranno nella nuova matrice l’indice $\rho -1$ (appunto perchè la $r^{esima}$ linea precedente è stata cancellata). Anche nel caso delle linee di una matrice si possono pertanto applicare le precedenti considerazioni.
Sia dato un determinante $D$; sia $a$ un suo elemento posto sulla $r^{esima}$ riga e sulla $s^{esima}$ colonna; esso è di posto pari o dispari secondo che $r+s$ è pari o dispari [nel primo caso $(-1)^{r+s}=+1$, nel secondo $(-1)^{r+s}=-1$].
Il complemento algebrico $A$ di $a$ è il minore $\mu$ ottenuto cancellando riga e colonna incrociatisi in $a$ e preceduto dal segno $(-1)^{r+s}$.
Un elemento $b$ di $D$, che appartiene a una riga e una colonna distinte da quelle passanti per $a$, appartiene anche al minore $\mu$. Se $r+s$ è pari, cioè $\mu$ coincide con A, il complemento algebrico di b nel minore $\mu$ si dirà il complemento algebrico di b nel complemento algebrico di A di a (nel determinante iniziale). Se invece $\mathrm {r+s}$ è dispari, cioè $\mathrm {A} =-\mu$, allora il complemento algebrico di b in $\mu$, cambiato di segno, si chiamerà il complemento algebrico di b nel complemento algebrico A di a. Cioè il complemento algebrico di $b$ nel complemento algebrico $A$ di $a$ vale il complemento di $b$ nel minore $\mu$ ottenuto sopprimendo riga e colonna incrociantisi in $a$, cambiato o non di segno secondo che $A$ coincide con $\mu$ o con $-\mu$, [cioè secondo che $a$ ha posto pari o dispari in $D$, cioè secondo che $(-1)^{+s}$ vale $+1$ oppure $-1$]. [p. 67 Siano $\rho ,\delta$ i numeri d’ordine della riga e colonna che $b$ ha in $D$; siano $\rho ',\delta '$ i numeri d’ordine della riga e colonna che $b$ ha in $\mu$ (che si è ottenuto da $D$ cancellando la riga $r^{esima}$ e colonna $s^{esima}$). Il complemento algebrico di $b$ in $\mu$ vale il minore $M$ ottenuto cancellando da $\mu$ la riga e colonna incrociantisi in $b$, preceduto dal segno $+$ o $-$ secondo che $\rho '+\delta '$ è pari o dispari, cioè preceduto dal segno di $(-1)^{\rho +\delta }$.
Quindi il complemento di $b$ in $A$, vale $M$ preceduto dal segno del prodotto $(-1)^{r+s}(-1)^{\rho '+\delta '}$, cioè dal segno di $(-1)^{(r+\rho ')+(s+\delta ')}$.
Ora $M$ non è che il minore ottenuto da $D$ sopprimendo entrambe le righe ed entrambe le colonne che si incrociano in $a$ ed in $b$.
Così pure, se $r'$ ed $s'$ sono i numeri d’ordine della riga e colonna, a cui appartiene $a$ nel minore ottenuto da $D$ sopprimendo le righe e le colonne che si incrociano in $b$, il complemento di $a$ nel complemento di $b$ vale
$(-1)^{r'+s'+\rho +\delta }M$,
dove $M$ è ancora il minore ottenuto sopprimendo in $D$ le righe e colonne che si incrociavano in $a$ e in $b$.
Ora per l’osservazione precedente
$(-1)^{r+\rho '}=-(-1)^{r'+\rho }$.
Analogamente è
$(-1)^{s+\delta '}=-(-1)^{s'+\delta }$.
Moltiplicando, se ne deduce:
$(-1)^{r+s+\rho '+\delta '}=(-1)^{r'+s'+\rho +\delta }$.
Perciò:
Teorema II. Se a, b sono due elementi di un determinante appartenenti a righe e colonne distinte, il complemento algebrico di a nel complemento algebrico di b è uguale al complemento algebrico di b nel complemento algebrico di a.
Definizione Si dice valore di un determinante la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando gli elementi di una linea qualsiasi per i loro complementi algebrici. [p. 68
Così per esempio, nel caso precedente tale valore sarebbe:
$a_{1}A_{1}+b_{1}B_{1}+c_{1}C_{1}$, oppure $a_{2}A_{2}+b_{2}B_{2}+c_{2}C_{2}$, oppure $a_{1}A_{1}+a_{2}A_{2}+a_{3}A_{3}$, eccetera.
Perchè tale definizione non sia contraddittoria in termini bisogna dimostrare che, da qualunque linea si parta, si giunge sempre allo stesso valore (che, per esempio, per il determinante (1) è di $a_{1}A_{1}+b_{1}B_{1}+c_{1}C_{1}=$$a_{1}A_{1}+a_{2}A_{2}+a_{3}A_{3}=$$c_{1}C_{1}+c_{2}C_{2}+c_{3}C_{3}=$ eccetera ...).
Poichè il teorema si verifica tosto per i determinanti del 2° ordine noi potremo dimostrarlo col metodo di induzione completa provando che, ammesso il teorema per i determinanti di ordine $n-1$, e quindi anche per i complementi algebrici degli elementi di un determinante di ordine n, esso si dimostra valido anche per i determinanti di ordine $n$. E così noi faremo. Per provare che, partendo da una linea qualunque, si giunge sempre allo stesso risultato, basterà provare che, partendo da una riga qualsiasi (per esempio la $r^{esima}$) si giunge allo stesso risultato, come partendo da una colonna qualsiasi (per esempio la $s^{esima}$). E, poichè il teorema è stato ammesso per i determinanti di ordine $n-1$, noi, per calcolare i complementi di un elemento qualsiasi, potremo calcolarli partendo da una loro linea qualsiasi.
Se noi sviluppiamo, come abbiamo detto, il determinante iniziale prima secondo gli elementi della riga $r$, poi secondo gli elementi della colonna $s$, troviamo sue somme $S,S'$ di $n$ prodotti (di un elemento per il suo complemento) che hanno un addendo comune: il prodotto dell’elemento $c$ in cui si incrociamo la riga $r$ e la colonna $s$ per il suo complemento $C$. Basterà provare che i risultati $R,R'$ ottenuti sopprimendo dalle due somma $S,S'$ questo addendo comune, risultano uguali. Ogni addendo di $R$ è il prodotto di un elemento $a$ della riga $r$ per il suo complemento $A$; questo complemento si può, come abbiamo detto, calcolare partendo da una sua linea qualsiasi, per esempio da quella sua colonna, che in $D$ aveva il posto $s$; esso è uguale perciò alla somma dei prodotti ottenuti moltiplicando ogni elemento $b$ di questa sua colonna per il suo complemento di tale elemento $b$ in $A$. Quindi $R$ si ottiene così: Si moltiplichi ogni elemento a della $\mathrm {r^{esima}}$ riga per ogni elemento b della $\mathrm {s^{esima}}$ colonna (distinti [p. 69 dall’elemento e di incrocio) e per il complemento algebrico di b nel complemento algebrico A di a e si sommino i risultati così ottenuti.
$R'$ si otterrebbe similmente sommando i prodotti di ogni $a$ per ogni $b$ e per il complemento di $a$ nel complemento $B$ di $b$. Per il teorema II sarà dunque $R=R'$, come dovevasi dimostrare.
Osservazione - Da questa dimostrazione segue che il valore di un determinante si ottiene sommando insieme:
$\alpha )$il prodotto di un suo elemento $c$ scelto ad arbitrio per il suo complemento algebrico;
$\beta )$i prodotti ottenuti moltiplicando un elemento $a$ posto sulla riga di $c$ per un altro elemento $b$ posto sulla stessa colonna di $c$, per il complemento algebrico di $a$ nel complemento di $b$ (o, cioè che è lo stesso, il complemento di $b$ nel complemento di $a$).
Un risultato analogo si ottiene se gli stessi elementi $a$, $b$, descrivono due linee parallele, per esempio due righe, restando però sempre in colonne distinte. In tale caso naturalmente non si parla più di elemento di incrocio.
* ↑ Taluni usano due coppie di sbarre verticali per scrivere un determinante, pensato come matrice quadrata, usando poi due sole sbarre verticali se si vuole indicare il valore che ora definiremo.
* ↑ Applicando questa definizione a un determinante di ordine 2, si ritorna al valore sopra definito di un tale determinante. Se invece moltiplichiamo gli elementi di una linea per i loro complementi algebrici cambiati di segno, e poi sommiamo, troviamo il valore del determinante cambiato di segno.
* ↑ Ciò è evidente se si tratta del complemento di un elemento posto pari (il quale complemento è precisamente un determinante di ordine $n-1$). Se invece si tratta di un elemento di posto dispari, tale complemento è un determinante di ordine $n-1$ cambiato di segno; ma tale cambiamento di segno si ha, per definizione, anche nei complementi algebrici dei suoi elementi.