# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 27

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§ 27 - Sistemi di equazioni lineari omogenee.
Se le $\alpha _{i}$ sono nulle, le nostre equazioni del § 24 si dicono, come è noto, omogenee. I determinanti orlati (4) sono tutti nulli, perchè l’ultima colonna è tutta formata di elementi nulli. E il nostro sistema è dunque sempre risolubile; cosa, del resto, evidente a priori, perchè ognuna delle sue equazioni è soddisfatta, ponendo uguale a zero ognuna delle $x$. Se la caratteristica $h$ del sistema è proprio uguale al numero $n$ delle incognite, allora, come sappiamo dal § 26, il sistema di equazioni ammette un unico sistema di soluzioni: quello che si ottiene uguagliando ogni incognita a zero. Quindi:
Un sistema di m equazioni lineari omogenee in n incognite ammette sempre un sistema di soluzioni, almeno quello formato imponendo il valore zero ad ogni incognita. Esso ammette ulteriormente altre soluzioni soltanto se la caratteristica h del sistema è inferiore al numero n delle incognite, perchè in tal caso si possono scegliere $\mathrm {n-1}$ incognite a cui si possono dare valori arbitrari (restando poi univocamente determinati i valori delle residue $h$ incognite).
In particolare, un sistema di n equazioni lineari omogenee in $n$ incognite ammette uno e quindi infiniti sistemi di soluzioni non tutte nulle soltanto se il determinante del sistema è nullo. [p. 89
Sia per esempio:
il dato sistema di equazioni, che supponiamo di caratteristica $h=n-1$. Il determinante $D$ di ordine $n$ formato con tutti i loro coefficienti sarà nullo; e noi potremo supporre che sia differente da zero il seguente minore di ordine $n-1$
${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &\cdots &a_{1,n-1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &\cdots &a_{2,n-1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&\cdots &\cdots &a_{n-1,n-1}\end{vmatrix}}$
che è il complemento algebrico $A_{nn}$ di $a_{nn}$ nel determinante $D$. Noi sappiamo in tal caso che, scelto ad arbitrio il valore $\mu$ di ne risulteranno determinati i valori delle altre $x$.
Posto $\lambda ={\frac {\mu }{A_{nn}}}$ (ricordo che $A_{n}n\not =0$), il valore dato ad $x$ sarà $\lambda A_{nn}$, dove $\lambda$ è una quantità arbitraria. Con questo valore della $x_{n}$, restano fissati i valori di $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}$, e senza nessun calcolo si può verificare che questi valori sono
$\lambda A_{n1},\lambda A_{n2},\ldots ,\lambda A_{n,n-1}$.
Infatti se si pone:
nella $r^{esima}(r=1,2,\dots n)$ delle nostre equazioni, il suo primo membro diventa $\lambda (a_{r1}A_{n1}+a_{r2}A_{n2}+\ldots +a_{rn}A_{nn})$, che è zero se $r\not =n$ (pag. 70, § 20, teorema V°), ed è pure nullo se $r=n$, perchè per $r=n$ esso diventa $\lambda D$, che è nullo per ipotesi.
Le (2) danno dunque nel caso attuale la più generale soluzione di (1).
Esempi.
1° Se $\Delta ,\Delta ',\Delta ''$ sono i discriminanti delle equazioni
allora, se $\Delta \not =0,\Delta '\not =0$, si ha che ${\frac {\Delta ''}{\Delta \Delta '}}$ è il quadrato del risultante delle
2° Dimostrare direttamente che un polinomio $P(x)$ di grado $n-1$ è univocamente determinato, quando se ne conoscano i valori $P(a_{1}),P(a_{2}),\cdots ,P(a_{n})$ che esso assume in n punti distinti $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$; e calcolare tale polinomio. [p. 90
Posto
sarà
Le (2) costituiscono un sistema di $n$ equazioni lineari nelle $n$ incognite $b_{0},b_{1},\ldots ,b_{n-2},b_{n-1}$, (i coefficienti di $P(x)$). Il determinante dei coefficienti di tali incognite è il determinante di Vandermonde dei numeri $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}$; il quale è differente da zero, perchè tali numeri sono distinti. Il teorema di Leibniz-Cramer ci assicura che le $b$ e quindi anche $P(x)$ sono univocamente determinati. Si potrebbe così dalle (2) dedurre i valori delle $b$, e sostituire in (1). Ma più direttamente, considerando le (1), (2) come un sistema di $n+1$ equazioni nelle $n$ incognite $b_{0},b_{1},\ldots ,b_{n-1}$, si trae:
${\begin{vmatrix}P(x)&x^{n-1}&x^{n-2}&\cdots &x&1\\P(a_{1})&a_{1}^{n-1}&a_{1}^{n-2}&\cdots &a_{1}&1\\P(a_{2})&a_{2}^{n-1}&a_{2}^{n-2}&\cdots &a_{2}&1\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\P(a_{n})&a_{n}^{n-1}&a_{n}^{n-2}&\cdots &a_{n}&1\end{vmatrix}}=0$
Sviluppando secondo gli elementi della prima colonna ed indicando con $V(a,b,\cdots ,c)$ il determinante di Vandermonde delle quantità $a_{1},b_{1},\ldots ,c$ si ottiene
$0=-P(a_{1})V(a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},x)+P(a_{2})V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},x)+\cdots$
$+(-1)^{n}P(a_{n})V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n-1},x)+(-1)^{n+1}P(x)V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$
donde
$P(x)=-P(a_{1})(-1)^{n}{\frac {V(a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},x)}{V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}}+$
$+P(a_{2})(-1)^{n}{\frac {V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},x)}{V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}}+\cdots +P(a_{n}){\frac {V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n-1},x}{V(a_{1},a_{2}\cdots ,a_{n})}}$.
Sopprimendo in ogni frazione del secondo membro i fattori comuni al numeratore e al denominatore si ritrova la formola del § 14 (pag. 49).