# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 60

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_8/Paragrafo_60&oldid=- 20221230162211 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_8/Paragrafo_60&oldid=- 20221230162211
§ 60. — Derivata logaritmica.
Sia $y=\log f(x)$, dove $f(x)$ è una funzione positiva derivabile. Posto $z=f(x)$, è $y=\log z$, dove $z=f(x)$. Sarà
$y'_{x}={\frac {1}{z}}z'_{x}={\frac {1}{f(x)f'(x)}}$.
Cioè:
La derivata del logaritmo di una funzione derivabile f(x)>0 o, come si suol dire, la derivata logaritmica di f(x) si ottiene dividendo la derivata f'(x) d f(x) per la stessa funzione f(x).
Viceversa sia
$y=e^{\varphi (x)}$, ossia $\varphi (x)=\log y$
Sarà $y=e^{z}$ dove $z=\varphi (x)$; e quindi $y'_{x}=y'_{z}z'_{x}=e^{x}\varphi '(x)$ ossia $y'x=y\varphi '(x)$.
Se il logaritmo di una funzione è derivabile), la derivata della funzione è uguale alla derivata del suo logaritmo moltiplicata per la funzione stessa.
Quest'ultimo teorema è spesso molto utile, perchè è talvolta più facile derivare il logaritmo di una funzione che la funzione stessa.
Se ne deduce che la derivata di $e^{e\,x}$ vale $ce^{e\,x}$. Questa formola vale anche se la costante e è complessa (così che risulta [p. 189 ancora una volta l'opportunità della definizione di Eulero). Infatti, se
$c=a+ib$
allora
$e^{ex}=e^{ax}({\text{cos}}\,bx+i\,{\text{sen}}\,bx)$.
Derivando con le regole abituali si prova facilmente l'asserto.
Esempi.
1° Si derivi $y=x^{n}$.
Ris.$\log \,y=n\,\log \,x,\,(\log \,y)'_{x}={\frac {n}{x}},y'_{x}=x^{n}{\frac {n}{x}}=nx^{n-1}$.
Questo risultato fondamentale era stato già da noi dimostrato per $n$ razionale (pag. 184 del § 58, eserc. 4°). Il lettore esamini il caso di $x\,\leq \,o$.
2° Si derivi $y=[f(x)]^{n}$.
Ris. $\log \,y=n\,\log \,f(x);(\log \,y)'_{x}=n[\log \,f(x)]';x=n{\frac {f'(x)}{f(x)}}$, donde $y'_{x}=my{\frac {f'(x)}{f(x)}}=n[f(x)]^{n-1}$. Si esamini il caso di $f(x)\,\leq \,0$.
Con altro e più semplice metodo si ponga $z=f(x)$. Sarà $y=z^{n},z=f(x)$ donde $y'_{x}=nz^{n-1}\,z'_{x}=n[f(x)]^{n-1}f'(x)$.
Anche questa formola ci era già nota per il caso di $n$ intero positivo (eserc. 2° del § 56, pag. 181).
3° Si derivi $y=[f(x)]^{\varphi (x)}$.
Si ha $\log \,y=\varphi (x)\,\log \,f(x)$; e perciò
$y'_{x}=f^{\varphi }[\varphi (x)\,\log \,f(x))]'_{x}=f^{\varphi }{\begin{Bmatrix}\varphi \,{\frac {f'(x)}{f(x)}}+\varphi '(x)\,\log \,f(x)\end{Bmatrix}}$.
Riassunto.
Si possono riassumere così i precedenti risultati:
Teorema.
Se $y$ è una funzione della $x$, che si può calcolare con somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, innalzamenti a potenza, consultazioni di tavole logaritmiche, e trigonometriche, altrettanto avviene generalmente per $y'$. [p. 190
Il calcolo di $y'$ si esegue con le regole riassunti dai quadri seguenti:
QUADRO DELLE REGOLE DI DERIVAZIONE.
QUADRO DELLE DERIVATA DELLE FUNZIONI ELEMENTARI.
ALTRE DERIVATA NOTEVOLI (a=cost.). :
| $y={\text{cost}}$; $y'=0$ | |
| $y=[f(x)]^{n}$; $y'=n[f(x)]^{n-1}f'(x)$ | $y={\sqrt[{n}]{x}}$; $y'={\frac {1}{n}}{\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{a-1}}}}}$ |
| $y={\text{arctg}}{\frac {x}{a}}$; $y'={\frac {a}{x^{2}+a^{2}}}$ | $y={\sqrt {x}}$ $y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ |
| $y={\text{arcsen}}{\frac {x}{a}}$; $y'={\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$ | $y={\sqrt[{n}]{f(x)}}$; $y'={\frac {f'(x)}{n{\sqrt[{n}]{f)x=^{n-1}}}}}$ |
| $y=a\,\varphi \,(x)$; $y'=a\,\varphi '(x)$ | $y={\sqrt {f(x)}}$; $y'={\frac {1}{2{\sqrt {f(x)}}}}f'(x)$ |