# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 29

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_6/Paragrafo_29&oldid=- 20221229112411 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_6/Paragrafo_29&oldid=- 20221229112411
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§ 29. — Funzioni; funzioni di funzioni.
$\alpha )$ Assai spesso avviene di dover considerare nei calcoli un simbolo (lettera), a cui nel ragionamento si dànno valori distinti: Un tale simbolo si dirà essere una variabile; i simboli, a cui conserviamo in tutto il discorso lo stesso valore, si diranno essere una costante. Uno stesso simbolo potrà in un certo ragionamento essere costante, in un ragionamento successivo variabile.
Molto spesso avviene pure che di due variabili reali $x$,$y$, una, per esempio la $y$, sia determinata, appena sia dato il valore della $x$. Così, per esempio:
1° Se non varia la temperatura, il volume $y$, che occupa un grammo di ossigeno, è completamente determinato dal valore $x$ della pressione, a cui è sottoposto;
2° La lunghezza $y$ di una data sbarra di ferro è completamente determinata dalla temperatura $x$ (se si trascurano le variazioni dovute alla pressione, cui è assoggettata la sbarra, o se si opera a pressione o tensione costante);
3° Lo spazio $y$ percorso nel vuoto da un grave che cade senza velocità iniziale in un certo luogo, è completamente determinato dal numero $x$ dei secondi impiegati nella caduta;
4° L’area $y$ di un poligono regolare inscritto in un dato cerchio è perfettamente determinata dal numero $x$ dei lati;
5° Il logaritmo decimale $y$ di un numero positivo $x$ è determinato dal valore di $x$, eccetera.
Noi diciamo in questi casi che $y$ è funzione della $x$. Non é però detto che la $x$ possa ricevere valori arbitrari. Nel 1° esempio $x$ non può avere che valori positivi (perchè non ha senso parlare di un gas sottoposto a una pressione negativa); nel 4° esempio $x$ non può che ricevere valori interi maggiori di 2; nel 5° esempio la $x$ non può ricevere valori negativi, perchè non esistono (nel campo dei numeri reali) i logaritmi decimali dei numeri negativi.
L’insieme $G$ dei valori della $x$, per cui esiste il corrispondente valore della $y$, si dirà il campo di esistenza della funzione $y$. [p. 96
Definizione Una variabile (reale) $y$ si dice funzione della variabile (reale) $x$ per i valori di $x$ che appartengono a un certo insieme $G$ (campo di esistenza della $y$) se ad ogni valore dato alla $x$ nell’insieme $G$ corrisponde uno e un solo valore della $y$.
Se poi $y$ e $z$ sono due tali funzioni della $x$, definite nello stesso insieme $G$, allora $y+iz$ si dirà funzione complessa della variabile reale $x$ definita nel campo $G$.
Salvo avvertenza contraria, noi parleremo soltanto di funzioni reali.
$\beta$) Si hanno spessissimo funzioni definite analiticamente. Così per esempio $y=mx+n$ ($m$, $n$ costanti arbitrarie) rappresenta una variabile $y$ che ha un valore determinato, qualunque sia il valore dato allo $x$ [cioè il campo di esistenza della $y$ è formato da tutto l'intervallo $(-\infty ,+\infty )$]. Altrettanto avviene della $y=\operatorname {sen} x$.
La $y=+{\sqrt {x-3}}$ definisce una funzione (reale) $y$ della $x$ nell’intervallo $(3,+\infty )$.
La $y=+{\sqrt {x-3}}+{\sqrt {4-x}}$ definisce una funzione (reale) della $x$ nell’intervallo $(3,4)$.
Invece la $y=+{\sqrt {x-3}}+{\sqrt {2-x}}$ non definisce nessuna funzione (reale) della $x$. Infatti, qualunque sia il valore dato alla $x$, uno almeno dei binomii $x-3$, $2-x$ è negativo, così che non esiste (nel campo dei numeri reali) la sua radice quadrata.
La $\textstyle y={\frac {1}{x}}$ definisce una funzione della $x$ nel campo formato da tutti i valori della $x$ differenti da zero.
Per indicare che $y$ è una funzione della $x$ si suole scrivere $y=f(x)$. Se poi si considera $x$ come un numero dato, lo stesso simbolo indica il valore corrispondente della funzione; in altri termini si fa la convenzione di rappresentare con $f(a)$ il valore che la funzione assume per il valore particolare $a$ della variabile: così $\textstyle \operatorname {sen} {\frac {\pi }{2}}$ è il valore, che la funzione $\operatorname {sen} x$ assume per $\textstyle x={\frac {\pi }{2}}$.
L’uguaglianza $y=f(x)$ esprime dunque semplicemente che $y$ [p. 97 è una funzione di $x$, ossia che $y$ per ciascun valore $x=a$ di $x$ (almeno compreso in un certo gruppo $G$) assume un valore determinato che si indicherà con $f(a)$. Si può benissimo adoperare anche un’altra lettera diversa da $f$, scrivere per esempio:
$F(x),\varphi (x),\Phi (x),\Psi (x),g(x),\ldots$;
e l’uso di questi diversi simboli è conveniente, quando si deve parlare di più funzioni distinte.
Si suole anche considerare una classe estremamente particolare di funzioni $y$ della $x$: quelle funzioni cioè che conservano uno stesso valore (sono costanti), qualunque sia il valore dato alla $x$. Così, per esempio, il volume $y$ di un prisma di data base ed altezza conserva uno stesso valore al variare dell’angolo $x$, che gli spigoli del prisma formano con la base (o, come si dice anche, è indipendente da $x$).
$\gamma )$ Talvolta si presentano quantità $y$, funzioni di una variabile $z$, la quale è a sua volta funzione di una terza variabile $x$. Così per esempio, il volume $y$ di un kg. di una certa sostanza è una funzione della densità $z$, la quale è funzione della temperatura $x$. E spesso avviene, come risulta chiaro da questo esempio, che si possa senz’altro considerare la $y$ come funzione della stessa $x$. Così, per esempio, $y=\log z$ è una funzione della $z$; e, se $z=\operatorname {sen} x$, è $y=\log \operatorname {sen} x$ una funzione della $x$. Ma si osservi che, mentre $z$ è definita per ogni valore della $x$, la $y$ è definita soltanto per i valori positivi di $z$. E quindi la $y$, come funzione della $x$, è definita solo per gli angoli $x$ dei primi due quadranti. In generale, se $y=f(x)$, $z=\varphi (x)$, potrà darsi che la $y$ si possa considerare come funzione $f[\varphi (x)]$ della $x$. E una tal funzione esisterà per quei valori della $x$, tali che il corrispondente valore della $z=\varphi (x)$ appartenga al campo ove è definita la $f(z)$. Una tal funzione $f[\varphi (x)]$ si suol anche chiamare una funzione di funzione della $x$. Se fosse, per esempio, $f(z)={\sqrt {z}}$, $z=\varphi (x)=-x^{2}-1$ non esisterebbe la $f\left[\varphi (z)\right]$, perchè, essendo sempre $-x^{2}-1$ negativo, il simbolo ${\sqrt {-x^{2}-1}}$ è privo di significato (nel campo dei numeri reali).
* ↑ Se noi studiamo, per esempio, come variano il volume $v$, la pressione $p$, la temperatura $t$ di una certa massa di gas, allora in una serie di esperienze, in cui non si faccia variare la temperatura, si considereranno $p$ e $v$ come variabili; e in una successiva serie di esperienze, in cui non facciamo variare $v$, considereremo $t$ e $p$ come variabili.
* ↑ In sostanza dunque l’idea di funzione non è che l’idea di corrispondenza tra due classi di numeri $x$,$y$ (univoca in un senso), ossia coincide con l’idea di classe di coppie di numeri $(x,y)$ tale che per ogni $x$ di $G$ esista una e una sola coppia che lo contenga.