# Generalizzazione della formula di Simpson

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Generalizzazione della formula di Simpson Giuseppe Peano 1892 CC BY-SA 3.0 GFDL indice:Generalizzazione della formula di Simpson.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Generalizzazione_della_formula_di_Simpson&oldid=- 20200402155142 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Generalizzazione_della_formula_di_Simpson&oldid=- 20200402155142
GENERALIZZAZIONE
DELLA
FORMULA DI SIMPSON
NOTA
DI
GIUSEPPE PEANO
TORINO
CARLO CLAUSEN
Libraio della R. Accademia delle Scienze
1892
[p. 4
[p. 5
Fra le formule per le quadrature sono notevoli quella dei trapezii
| (α) | $\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\left[f(a)+f(b)\right]+R$ | , |
ove
$R=-{\frac {\left(b-a\right)^{3}}{12}}f^{''}(u)$
e quella di Simpson:
| (β) | $\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]+R$ |
ove
$R=-{\frac {\left(b-a\right)^{5}}{4!5!}}f^{IV}(u)$
rappresentando costantemente con u un valore intermedio fra a e b. Il resto nella (α) è nullo, se f(x) è intera di primo grado, e nella (β) il resto è nullo, se f(x) è intera di grado non superiore al terzo. [p. 6 Parallelamente a queste formule si hanno quelle di Gauss. L'analoga alla (β) è
| (β') | $\left\{{\begin{array}{lcl}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&=&{\frac {b-a}{2}}\left[\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)\right.\\&&+\left.f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)\right]+R\end{array}}\right.$ |
ove
$R=-{\frac {\left(b-a\right)^{5}}{180.4!}}f^{IV}(u)$
e il resto è nullo per le funzioni di grado non superiore al terzo.
Paragonando le formule (β) e (β'), che si possono considerare come egualmente approssimate, risulta che è più semplice, in generale, il calcolo dei tre valori $f\left(a\right)$, $f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$, $f\left(b\right)$ che esige la formula (β), che il calcolo dei due
$f\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)$
$f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)$
che esige la formola (β'). Questo spiega il maggior uso della formula (β) di Simpson sulla corrispondente (β') di Gauss.
Le formule di Gauss costituiscono una successione infinita, mentrechè le formule dei trapezii e di Simpson erano finora isolate. Io mi propongo di esporre qui una successione di infinite formule di quadrature, di cui le due prime sono appunto la (α) e la (β).
Per semplicità supporremo i limiti dell'integrale eguali a -1 e +1; poiché basta fare il cambiamento
$x={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{2}}x'$
onde ridurci a questo caso.
La questione che ci proponiamo è questa: Determinare gli [p. 7 n + 1 coefficienti A$_0$, A$_1$, ... A$_n$ e gli n - 1 valori x$_1$ x$_2$ ... x$_{n-1}$ compresi fra -1 e +1 in guisa che la formula
| (1) | $\left\{{\begin{array}{lcl}\int _{-1}^{+1}f(x)\,dx&=&A_{0}f\left(-1\right)+A_{1}f\left(x_{1}\right)+A_{2}f\left(x_{2}\right)+...\\&&+A_{n-1}f\left(x_{n-1}\right)+A_{n}f\left(1\right)\end{array}}\right.$ |
sussista, qualunque sia la funzione f(x) intera di grado 2n - 1.
La soluzione è la seguente. Pongasi.
| (2) | $Y_{n}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-1}\left(x^{2}-1\right)^{n}$. |
Avendo la funzione (x$^2$ - 1)$^n$ le radici -1 ed 1 multiple d'ordine n, la sua derivata (n-1)$^{ma}$, Y$_n$, avrà le radici x$_0$=-1, x$_n$=1, semplici, ed n - 1 radici x$_1$ x$_2$ ... x$_{n-1}$ distinte e comprese fra -1 e +1. Si calcolino i coefficienti A$_0$, A$_1$, ... colla formola
| (3) | $A_{r}=\int _{-1}^{+1}{\frac {\left(x-x_{0}\right)...\left(x-x_{r-1}\right)\left(x-x_{r+1}\right)...\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{r}-x_{0}\right)...\left(x_{r}-x_{r-1}\right)\left(x_{r}-x_{r+1}\right)...\left(x_{r}-x_{n}\right)}}dx.$ |
Allora sussisterà la formula (1).
Infatti, si divida la f(x), funzione intera di grado 2n - 1, per Y$_n$, di grado n + 1; siano φ(x) il quoziente, ψ(x) il resto, onde:
| (4) | $f(x)=\psi (x)+Y_{n}\varphi (x).$ |
Sarà ψ(x) di grado n, e φ(x) di grado n - 2. Attribuendo ad x gli n + 1 valori x$_0$, x$_1$, ... x$_n$, per cui si annulla Y$_n$, si avrà
$f(x_{0})=\psi (x_{0})$
$f(x_{1})=\psi (x_{1})$
$f(x_{n})=\psi (x_{n})$
Quindi la funzione ψ(x), intera, di grado n, di cui si conoscono i valori per n + 1 valori della variabile, si può esprimere colla formola d'interpolazione di Lagrange:
| (5) | $\psi (x)=\sum _{r}{\frac {\left(x-x_{0}\right)...\left(x-x_{r-1}\right)\left(x-x_{r+1}\right)...\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{r}-x_{0}\right)...\left(x_{r}-x_{r-1}\right)\left(x_{r}-x_{r+1}\right)...\left(x_{r}-x_{n}\right)}}f(x_{r})$ |
| (6) | $\int _{-1}^{+1}f(x)dx=\int _{-1}^{+1}\psi (x)dx+\int _{-1}^{+1}Y_{n}\varphi (x)dx$ |
Ora, dalle (5) e (3), si ricava
| (7) | $\int _{-1}^{+1}\psi (x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r}),$ |
Riguardo al secondo integrale, coll'integrazione per parti si ha:
${\begin{array}{lcl}\int Y_{n}\varphi (x)dx&=&\int \varphi (x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-1}(x^{2}-1)^{n}dx=\\&=&\varphi (x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-2}(x^{2}-1)^{n}-\varphi '(x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-3}(x^{2}-1)^{n}+...\\&\pm &\varphi ^{(n-2)}{x}.(x^{2}-1)^{n}\mp \int \varphi ^{(n-1)}(x)(x^{2}-1)^{n}dx.\end{array}}$
Mettendo i limiti -1 e +1, tutti i termini integrati nel secondo membro si annullano, perchè contengono il fattore x$^2$ - 1; e siccome φ(x) è di grado n - 2, sarà φ$^{(n-1)}$(x)=0, onde:
| (8) | $\int _{-1}^{+1}Y_{n}\varphi (x)dx=0$ |
Sostituendo nella (6) ai due integrali del secondo membro i loro valori dati dalle (7) ed (8), si ha la formola (1) che si voleva dimostrare.
La formola (1), esatta se f(x) è intera di grado 2n - 1, è approssimata se f(x) è una funzione arbitraria. Per calcolare l'errore R, tale che si abbia:
| (9) | $\int _{-1}^{+1}f(x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})+R.$ |
$F(x_{0})=f(x_{0}),F(x_{1})=f(x_{1}),F(x_{2})=f(x_{2}),$
$F(x_{n-1})=f(x_{n-1}),F(x_{n})=f(x_{n})$
$F'(x_{1})=f'(x_{1}),F'(x_{2})=f'(x_{2}),...F'(x_{n-1})=f'(x_{n-1}),$
Si avrà, com'è noto:
| (10) | $f(x)=F(x)+(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}(x-x_{2})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n}){\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}$ |
Integrando si avrà appunto $\int _{-1}^{+1}F(x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})$, onde
| (11) | $R=\int _{-1}^{+1}(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n}){\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}dx.$ |
Portando fuori del segno integrale il fattore ${\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}$, cosa lecita, poiché il fattore rimanente ha un segno costante nell'intervallo di integrazione, si ha:
| (12) | $R={\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}\int _{-1}^{+1}(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n})dx.$ |
Facendo n = 1, si ha la formula dei trapezii (α). Per n = 2 si ha la formula di Simpson (β). Per n = 3, fatti i calcoli, si ha:
$\int _{-1}^{+1}f(x)dx={\frac {1}{6}}f(-1)+{\frac {5}{6}}f\left(-{\sqrt {\frac {1}{5}}}\right)+{\frac {5}{6}}f\left({\sqrt {\frac {1}{5}}}\right)+{\frac {1}{6}}f(1)+R,$
ove
$R=-{\frac {2^{5}}{3.5^{2}.7.6!}}f^{(6)}(u)$
e il resto è nullo per le funzioni di grado inferiore al 6º. [p. 10 Per n = 4 si ha:
$\int _{-1}^{+1}f(x)dx={\frac {1}{10}}f(-1)+{\frac {49}{90}}f\left(-{\sqrt {\frac {3}{7}}}\right)+{\frac {32}{45}}f(0)+$
$+{\frac {49}{90}}f\left({\sqrt {\frac {3}{7}}}\right)+{\frac {1}{10}}f(1)+R$
ove
$R=-{\frac {f^{(8)}(u)}{2^{2}.3^{4}.5^{2}.7^{3}}}=-{\frac {f^{(8)}(u)}{2778300}}$
Nota. — La stessa questione fu già trattata dal compianto D. Turazza, nel suo scritto: «Intorno all'uso dei compartimenti diseguali nella ricerca del valore numerico di un dato integrale » (Memorie I. R. Istituto Veneto, vol. V, 1855, pag. 277-298). Credo però nuove le espressioni di Y$_n$ e dei resti.