# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 48

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_8/Paragrafo_48&oldid=- 20221230151911 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_8/Paragrafo_48&oldid=- 20221230151911
§ 48. — Retta tangente a una curva.
Come possiamo definire la retta tangente a una curva in un punto $A$ in modo conforme alla nostra intuizione?
Le seguenti figure dimostrano che non si può definire tale tangente, dicendo che essa è la retta cha il solo punto $A$ comune con la curva, oppure che essa è la retta che ha con la curva a comune il punto $A$, ma che non attraversa la curva in $A$ (figure 12-13).
Noi partiremo dall'osservazione che la retta che congiunge due punti $A,B$ molto vicini di una curva si confonde sensibilmente con la retta, che la nostra intuizione dice tangente alla curva nel punto $A$.
Fig. 14.
Così che un abile disegnatore potrebbe chiamare retta tangente a una curva in suo punto $A$ la retta $AB$ (fig. 14), essendo $B$ il punto della nostra curva più vicino al punto $A$, tale che la retta $AB$ possa venire da lui tracciata con l'approssimazione richiesta (se il punto $B$ fosse troppo vicino al punto $A$, il tracciare con la precisione voluta la retta $AB$ egli presenterebbe difficoltà insormontabili). Una tale definizione non è però accettabile da un matematico, il quale prescinde da ogni possibile disegno, e non può tener conto della maggiore o minore abilità di un disegnatore. [p. 160 Noi, assumendo come punto di partenza i fatti intuitivi ora accennati, porremo la definizione seguente:
Tangente a una curva nel punto A è la posizione limite (se questa posizione esiste) si una secante A B congiungente il punto A con un altro punto B della curva, quando il punto B tende ad A.
Fig. 15.
Bisogna dimostrare che questa definizione coincide nel caso del cerchio con la definizione data dalla geometria elementare.
Sia dato un punto $A$ su un cerchio di centro $O$. Preso un altro punto $B$ su tale cerchio, tiriamo la retta $AB$; essa sarà la perpendicolare tirata da $A$ alla bisettrice $OH$ dell'angolo $A(O)B$ (fig. 15).
Facciamo avvicinare il punto $B$ al punto $A$: allora l'angolo $BOA$ tende a zero, e la bisettrice $OH$ di questo angolo tende al raggio $OA$. La retta $AB$, che è sempre perpendicolare alla bisettrice $OH$, si avvicinerà alla perpendicolare alla retta $OA$ nel punto $A$, e si ha così la posizione limite della retta $AB$, ossia la tangente al cerchio nel punto $A$, nel senso ora definito, è la perpendicolare al raggio del cerchio che ha l'estremo in quel punto $A$, e coincide quindi con la retta che in geometria elementare si chiama “tangente al cerchio nel punto $A$”.
Fig. 16.
Sia la curva data dall'equazione $y=f(x)$. Il coefficiente angolare della retta $Ab$ è la tangente dell'angolo $\omega$ che la direzione positiva dell'asse delle $x$ fa con un raggio di essa, p. es., col raggio $AB$. Sia $AC$ parallela all'asse delle $x$. Dal triangolo $ABC$ (fig. 16) si ha che questo coefficiente angolare vale in grandezza e segno
${\frac {CB}{AC}}={\frac {B'B-B'C}{OB'-OA'}}={\frac {B'B-A'A}{OB'-OA'}}$
dove $B'B$ e $A'A$, $OB'$ ed $OA'$ sono rispettivamente le ordinate e le ascisse dei punti $B,A$. [p. 161 Siano $x_{0}$ ed $x_{0}+h$ le ascisse $OA',OB'$ dei punti $A,B$. Le corrispondenti ordinate $A'A,B'B$ saranno $f(x_{0})f(x_{0}+h)$, cosicchè il coefficiente angolare della nostra retta è
${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{(x_{0}-h)-x_{0})}}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$,
come del resto si poteva trarre direttamente da note formole di Geometria analitica.
E per la definizione precedente avremo che il coefficiente angolare della retta tangente in $A$ esiste ed è uguale a
$\lim _{h=0}{\frac {f(x_{0}+h)-f_{x_{0})}{h}}$,
se questo limite esiste. Se noi vogliamo tener conto che $x_{0}$ può avere un valore qualsiasi dell'intervallo che si considera, possiamo scrivere $x$ al posto di $x_{0}$, e dire così:
La retta tangente alla curva $y=f(x)$ nel punto di ascissa $x$ ha per coefficiente angolare il $\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.