# Lettera del p.d. Roberto Gaeta al signor abate d. Paolo Frisi/Problema I

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Lettera del p.d. Roberto Gaeta al signor abate d. Paolo Frisi Roberto Gaeta 1783 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lettera del p.d. roberto gaeta al signor abate d. paolo frisi.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lettera_del_p.d._Roberto_Gaeta_al_signor_abate_d._Paolo_Frisi/Problema_I&oldid=- 20150918123024 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lettera_del_p.d._Roberto_Gaeta_al_signor_abate_d._Paolo_Frisi/Problema_I&oldid=- 20150918123024
Problema I.
Supponendo le probabilità della vita decrescere in progressione aritmetica, trovare il valore di un’Annualità sopra la vita di una data età.
Soluzione.
La Rendita o l’Annualità sia supposta = 1, la rata d’interesse = r, il compimento della vita = n, il valore di un’Annualità certa per continuare durante il numero n d’anni = P; il valore della vita sarà
${\frac {n-1}{nr}}+{\frac {n-2}{nr^{2}}}+{\frac {n-3}{nr^{3}}}+{\frac {n-4}{nr^{5}}}+ec.=$${\frac {{1}{{\frac {r}{n}}P}}{r-1}}$.
Quest’è il Problema dell’Autore, e la di lui soluzione. Ma ecco questo stesso Problema esposto nella maggiore generalità possibile, e sciolto collo stesso metodo.
Problema Generale.
Data una Tavola, in cui per es. di 1000. fanciulli nati nello stesso giorno sia notato il numero di quegli, [p. 8 che si trovano vivi dopo un anno, dopo due, dopo tre, ec. trovare il valore di una Annualità accordata sopra qualunque numero di vite, vale a dire, per tanto tempo, quanto quelle vite continueranno ad esistere tutte insieme.
Soluzione.
Date quante si vogliano vite A, B, C, ec., il numero dei viventi corrispondente nella Tav. alla età di A sia rappresentato da a, e quelle corrispondenti alle immediatamente seguenti età nella Tav. lo siano rispettivamente da a’, a’’, a’’’, ec.; e parimente il numero dei viventi corrispondente alla età di B sia rappresentato da b, e quelli corrispondenti nella Tav. alle età, che seguono immediatamente quella di B, lo siano da b’, b’’, b’’’, ec.; così il numero dei viventi corrispondente alle età di C sia rappresentato da c, e quelli corrispondenti nella Tav. alle età, che seguono immediatamente quella di C, lo siano da c’, c’’, c’’’, ec. ne seguirà, che ${\frac {a'b'c'ec.}{r\ abc\ ec.}}+{\frac {a''b''c''ec.}{r^{2}\ abc\ ec.}}+{\frac {a'''b'''c'''ec.}{r^{3}\ abc\ ec.}}+ec.$ sarà il valore presente dell’Annualità di 1 l. da continuarsi, finchè tutte le vite A, B, C, ec. esistano insieme.
Corollario I.
Quindi se sia una volta computato il valore P delle vite unite A, B, C ec., si potrà facilmente derivare [p. 9 il valore Q delle seguenti più giovani vite A’, B’, C’, ec.; le di cui età siano rispettivamente minori di un anno di quelle di A, B, C, ec. Poichè siano, a’,b’, c’, ec. i numeri ritrovati nella Tav. di osservazioni in faccia a quelle seguenti più giovani vite, si avrà $Q=1+Px{\frac {abc\ ec.}{r\ a'b'c'\ ec.}}$
Corollario II.
Parimente se sia una volta computato il valore Q delle vite unite A’, B’,C’, ec. si avrà il valore R delle seguenti più giovani vite A’’, B’’, C’’, ec.; le di cui età siano rispettivamente minori di un anno di quelle di A’, B’,C’, ec. Poichè essendo a’’,b’’, c’’, ec. i numeri ritrovati nella Tav. di osservazione in faccia a quelle seguenti più giovani vite, sarà $R=1+Qx{\frac {a'b'c'\ ec.}{r\ a''b''c''\ ec.}}$.
Scolio.
Questi due Corollarj si troveranno utilissimi per computar Tavole per la valutazione delle Annualità sopra una vita separata, ovvero sopra 2, 3, o più [p. 10 vite unite, che si potranno dedurre da osservazioni reali. Nei nostri paesi mi pare, che debban essere appresso a poco i decrementi delle nostre vite come quelli delle vite, che si osservano in Parigi, e ne’ suoi villaggi. Le Tavole, che indicano i decrementi delle vite degli abitanti in Parigi, e suoi villaggi, sono inserite nella grand’opera della Storia Naturale di Buffon, opera al giorno d’oggi nelle mani di chiunque. Di queste Tavole parmi, che si potrà far uso per calcolare le Annualità o Vitalizj, finchè se ne construiscono delle migliori, e più proprie per la nostra Lombardia, siccome si può facilmente eseguire con aggiugnere alla Tavola, che annualmente forte e disposta veramente con lodevole metodo a tenore di quanto si costuma ne’ paesi ben regolati d’Europa, anche il numero de’ morti in ciascuna età.