# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 10/Paragrafo 68

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_10/Paragrafo_68&oldid=- 20221231005514 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_10/Paragrafo_68&oldid=- 20221231005514
§ 68. — Formole di Mac-Laurin e di Taylor.
Se dunque poniamo entro il cerchio di convergenza
$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+.....$
sarà
$f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+.....$
$f''(x)=\lfloor {2}a_{2}+3\,.\,2a_{3}x+.....$
$f'''(x)=\lfloor {3}a_{3}+4\,.\,3\,.\,2a_{4}x+.....$
$f^{(n)}(x)=\lfloor {n}a_{n}+(n+1)n(n-1).....3\,.\,2a_{n+1}+.....$
$.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.$ [p. 211 Ponendo $x=0$, ne deduciamo
$f(0)=a_{0}$; $f'(0)=a_{1}$; $f''(0)=\lfloor {2}a_{2}$; $f'''(0)=\lfloor {3}a_{3}$; .....
.....$f^{(n)}(0)=\lfloor {n}a_{n}$; ecc.
ossia: $a_{0}=f(0)$; $a_{1}={\frac {f'(0)}{\lfloor {1}}}$; $a_{2}={\frac {f''(0)}{\lfloor {2}}}$; .....; $a_{n}={\frac {f^{(n)}(0)}{\lfloor {n}}}$; ecc.
Quindi:
(4) $f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1}}x+{\frac {f''(0)}{\lfloor {2}}}x^{2}+{\frac {f'''(0)}{\lfloor {3}}}x^{3}+.....$
$.....+{\frac {f^{(n)}(0)}{\lfloor {n}}}x^{n}+.....$
Cioè:
Se $\mathrm {f(x)}$ è una funzione definita da una serie di potenze della x, tale serie di potenze è la serie (4).
Questo celebre teorema si chiama teorema di Mac-Laurin. Esso costituisce, tra l'altro, il punto di partenza del calcolo infinitesimale per le funzioni di variabile complessa. (Cfr. il teorema citato in nota al § 66, pag. 209.).
Una prima conseguenza molto importante è che, se una funzione $f(x)$ è sviluppabile in serie di potenze, questa serie è certo il secondo membro di (4); cioè due serie differenti di potenze della $x$ non possono avere la stessa somma $f(x)$.
Uno studio affatto analogo si può compiere per le funzioni $f(x)$ definite da una serie di potenze della variabile $x-\alpha$($\alpha ={\text{cost.}}$), cioè da una serie
(5) $f(x)=a_{0}+a_{1}(x-\alpha )+a_{2}(x-\alpha )^{2}+.....$
Si troverebbe anche qui un cerchio di convergenza, il quale però ha per centro il punto $\mathrm {x=\alpha }$, anzichè il punto $\mathrm {x=0}$. Si troverenne pure che la (5) è derivabile termine a termine, cosicchè la (5) coincide con
(6) $f(\alpha )+{\frac {f'(\alpha )}{1}}(x-\alpha )+{\frac {f''(\alpha )}{\lfloor {2}}}(x-\alpha )^{2}+...+{\frac {f^{(n)}(\alpha )}{\lfloor {n}}}+...$
La (6) ha il nome di serie di Taylor. Del resto la (6) si deduce dalla (4), ponendo $x-1\alpha$ al posto della z$x$.
Come caso estremamente particolare della serie di potenze noi abbiamo i polinomi $P_{n}(x)$ di grado $n$. Ad essi è dunque applicabile il nostro risultato: essi sono, cioè, sviluppabili in serie (6): anzi in tal serie saranno naturalmente nulli i [p. 212 coefficienti dei termini di grado superiore ad $n$. Ciò che si può verificare, osservando che un polinomio di grado $n$ ha nulle tutte le derivate di ordine superiore ad $n$. per ogni polinomio $P_{n}(x)$ di grado $n$ vale dunque (posto $P=P_{n}$) la:
(7) $P_{n}(x)=P(\alpha )+{\frac {P'(\alpha )}{1}}(x-\alpha )+{\frac {P''(\alpha )}{\lfloor {2}}}(x-\alpha )^{2}+.....$
$.....+{\frac {P^{(n)}(\alpha )}{\lfloor {n}}}(x-\alpha )^{n}$.
il lettore verifichi direttamente che (7) è un'identità, viluppando i singoli termini del secondo membro con la formola del binomio.