# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 7/Paragrafo 43

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_7/Paragrafo_43&oldid=- 20221230131913 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_7/Paragrafo_43&oldid=- 20221230131913
§43. — Serie a termini positivi.
α) È specialmente importante lo studio delle serie, i cui termini sono reali ed hanno tutti lo stesso segno, sono cioè tutti positivi o tutti negativi.
A noi basterà studiare, p. es., le serie i cui termini sono tutti positivi, perchè le proprietà delle serie, i cui termini sono tutti negativi, se ne dedurranno immediatamente. È evidente infatti che la serie $k_{1}+k_{2}+\cdots$ e la serie $(-k_{1})+(-k_{2})+\cdots$, che si ottiene cambiando i segni di tutti i termini della precedente, sono contemporaneamente convergenti, o divergenti, od indeterminate. Ed anzi, se la prima converge ed ha per somma S, la seconda converge ed ha per somma $-S$.
Lo studio dunque delle serie di termini tutti negativi è equivalente allo studio della serie con tutti i termini positivi.
Se i termini della serie $a_{1}+a_{2}\cdots$ sono tutti positivi, la somma $s_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ dei primi termini è una funzione crescente di $n$, e quindi (pag. 124, § 38) tende ad un limite per $n=\infty$.
Una serie a termini positivi non è mai indeterminata.
β) Se
(1) $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$
(2) $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots$
sono due serie a termini positivi, e se per tutti i valori di n si ha
(3) $a_{n}\leq b_{n}$,
allora, se la serie (2) converge, anche la serie (1) converge; e la somma s di (1) non può superare la somma $\sigma$ di (2).
E quindi, se la serie (1) diverge, diverge anche la (2).
Infatti, se $s_{n},\sigma _{n}$ sono rispettivamente la somma dei primi n termini della (1) e della (2), allora dalla (3) segue
(4) $s_{n}\leq \sigma _{n}$.
Se la (2) converge, allora $\sigma =\lim _{n=\infty }\sigma _{n}$ è finito; dalla (4) segue che in tal caso $s_{n}$ non può tendere all'infinito, ossia che la (1) [p. 144 non può divergere. Quindi, per il teorema precedente, la (1) converge (perchè nè diverge, nè è indeterminata). Di più dalla (4) segue che $s=\lim _{n=\infty }s_{n}\leq \sigma$.
γ) In particolare se $b_{n}=bq^{n}$, dove $00$, ossia se la (2) è una progressione geometrica decrescente (che noi sappiamo già convergente), si ha:
Se i teoremi della serie
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$
sono positivi, ed esistono due numeri positivi b, q, tali che $q<1$ e che
$a_{n}\leq bq^{n}$,
allora la nostra serie converge.
E in modo analogo si vede che, se fosse
$a_{n}\geq bq^{n}$,
dove $q\geq 1,b>0$,
la serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$
sarebbe divergente.
δ) Supponiamo ora che esista un numero $k<1$, tale che per tutti i valori di $n$ sia
${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k<1$.
Ciò equivale a supporre che il limite superiore dei rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sia un numero minore di 1. [p. 145
Allora sarebbe
donde, moltiplicando membro a membro:
${\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}\leq k^{n}$,
I termini della nostra serie
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots$
sarebbero ordinatamente minori o uguali dei termini della progressione geometrica decrescente
$a_{1}+a_{1}k+a_{1}k^{2}+\ldots$
Quindi la nostra serie sarebbe convergente.
In modo analogo si prova che, se per tutti i valori di $n$ è ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1$, la nostra serie è divergente.
Per il primo caso, per esempio, invece di ammettere che fosse
per tutti i valori di $n$, basterebbe ammettere che questa disuguaglianza valesse a partire da un certo valore di $n$ in poi, per esempio, per $n\geq m$. La serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$ sarebbe ancora convergente.
Infatti, essendo soddisfatta la (5) per $n\geq m$, è convergente la serie
$a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots$
e quindi anche (§ 42, γ, pagina 142) la serie
$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{m-1}+a_{m}+a_{m+1}+\ldots$
Considerazioni analoghe valgono pel secondo caso.
Concludendo si ha il teorema: Se in una serie a termini positivi
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$
il rapporto $\mathrm {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ di un termine al precedente, da un certo punto in poi (ossia per $n$ maggiore o uguale ad un certo $m$), è uguale o minore di un numero fisso k minore di 1, la serie è [p. 146 convergente; se detto rapporto è maggiore od uguale ad 1, la serie è divergente.
Se ne deduce facilmente il seguente corollario, molto utile in pratica: Se in una serie a termini tutti positivi (o tutti negativi) il rapporto di un termine al precedente ha un limite minore di 1 la serie è convergente; se ha un limite maggiore di 1, la serie è divergente. Sia $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\alpha <1$. Sia k un numero compreso tra $\alpha$ ed $1$. Poniamo $\epsilon =k-\alpha$. Esisterà oer definizione di limite un intero m tale che per $n\geq m$ (cioè quando n è nell'intorno $<8m,\infty )$ di $\infty$), valgono le
${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-\alpha =\epsilon$ , $\alpha -{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<\epsilon$ .
e in particolare quindi la ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<\alpha +\epsilon =k<1$. Quindi per il teorema precedente la serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ sarà convergente.
Se invece $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1$, allora ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ finirà per diventare e restare maggiore od uguale a 1; pel teorema precedente, la serie sarà divergente.
Se $\lim {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ non esiste, o vale $1$ nulla si può affermare in generale.
Un altro criterio di convergenza sarà dato al § 63, δ.
Es. La serie $1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+\cdots$ è convergente. [p. 147 Infatti in questo caso
$a_{n}={\frac {1}{\lfloor {n-1}}},{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {1}{\lfloor {n}}}:{\frac {1}{\lfloor {n-1}}}={\frac {1}{n}}$
e quindi
$\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=0$.
Vedremo in seguito che la somma di questa serie è proprio il numero e.
Si voglia calcolare la somma $S$ di questa serie con l'approssimazione di ${\frac {1}{4000}}$. Si osservi che la somma di tutti i termini sono lo $n^{mo}$ termine uguaglia.
${\frac {1}{\lfloor {n}}}{\begin{Bmatrix}1+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+\cdots \end{Bmatrix}}=<{\frac {1}{\lfloor {n}}}{\begin{Bmatrix}1+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}+\cdots \end{Bmatrix}}$
${\frac {1}{\lfloor {n}}}-{\frac {1}{1-{\frac {1}{n+1}}}}={\frac {n+1}{n\lfloor {n}}}$.
Se dunque scegliamo n così grande che ${\frac {n+1}{n\lfloor {n}}}<{\frac {1}{4000}}$, la somma dei primi n termini della nostra serie differisce dal valore vero della serie per meno di ${\frac {1}{4000}}$. Ora questa disuguaglianza è soddisfatta per $n=7$. Quindi si può scrivere:
$S=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{\lfloor {2}}}+{\frac {1}{\lfloor {3}}}+{\frac {1}{\lfloor {4}}}+{\frac {1}{\lfloor {5}}}+{\frac {1}{\lfloor {6}}}$ con un errore (in difetto) minore di ${\frac {1}{4000}}$. Con tre cifre decimali esatte è quidni $S=2,718$.
Oss. In generale la somma $s_{n}$ dei primi n termini di una serie convergenze rappresenta la somma $S$ della serie con un errore che si può rendere piccolo a piacere scegliendo n abbastanza grande. Una serie è tanto più convergente al calcolo effettivo (converge tanto più rapidamente) quanto maggiore è l'approssimazione che si ottiene dando ad n valori non troppo grandi. Così, p. es., se i termini di $a_{n}$ di una serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ sono positivi, e se ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k<1$ la serie, come sappiamo, [p. 148 è convergente; ed essa sarà generalmente tanto più comoda al calcolo numerico, quanto più piccolo si può scegliere k in modo da soddisfare alle precedenti disuguaglianze. Lo studioso può illustrare questo fatto con esempi numerici, e anche ricorrendo soltanto a progressioni geometriche decrescenti.
* ↑ Da questo segue che i rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sono minori di 1. Non è però vero viceversa che, se tutti questi rapporti sono minori di 1, allora esista necessariamente una tale numero k minore di 1, e non minore dei nostri rapporti (come avverrebbe se i rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ fossero in numero finito); e ciò perchè potrebbe avvenire che il limite superiore di tali rapporti fosse proprio uguale ad 1. Infatti, per esempio, nella serie divergente ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots$ è $u_{n}={\frac {1}{n}},{\frac {u_{n}+1}{u_{n}}}={\frac {n}{n+1}}=\left[1-{\frac {1}{n+1}}\right]$. Tutti questi rapporti sono minori di 1. Ciò nonostante, se k è un qualsiasi numero positivo minore di 1, si può trovare un intero h così grande che per $m>h$ sia $1-{\frac {1}{m+1}}>k$. Dunque, pure essendo tutti i nostri rapporti minori di 1, ciò nonostante, preso un qualsiasi numero $k<1$, infiniti dei nostri rapporti sono maggiori di k, perchè il loro limite superiore è proprio uguale ad 1.
* ↑ Si potrebbe dire anche: minore di un numero k minore di 1. Ma questa frase più complicata sarebbe nel caso attuale equivalente a quella più semplice del testo.
* ↑ La convergenza di $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ nel caso che $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<1$ si può anche in modo meno completo, ma più intuitivo, esporre così. Se ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ tende ad $\alpha <1$, esso finisce col diventare e restare tanto vicino quanto si vuole ad $\alpha$: cioè, se k è un numero compreso tra α ed 1, il rapporto ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$, da un certo valore di n in poi, sarà minore di $k<1$. E quindi la serie converge. Del resto (oss. 6, pag. 109) sappriamo già che dalla $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\alpha