# Opere matematiche di Luigi Cremona/Sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale de la question 498

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[p. 116
16.
SUR LES CONIQUES SPHÉRIQUES ET NOUVELLE SOLUTION GÉNÉRALE DE LA QUESTION 498.
Nouvelles Annales de Mathèmatiques, 1.$^{re}$ série, tome XIX (1860), pp. 269-279.
Dans le n.º 13 (26 mars 1860) des Comptes rendus de l’Académie des Sciences, M. Chasles a communiqué un résumé d’une théorie des coniques sphériques homofocales. L’illustre géomètre déduit ses nombreux théorèmes d’un petit nombre de propositions fondamentales. Ce sont ces propositions fondamentales que nous allons démontrer.
À cause de la dualité constante à laquelle est soumise toute la géometrie de la sphère, la théorie des coniques homofocales donne lieu à une autre série de théorèmes, C’est, comme le dit l’auteur même, la théorie des coniques homocycliques. Dans notre analyse, les variables x, y, z pourront exprimer indifféremment des coordonnées cartésiennes de points ou des coordonnées tangentielles de lignes, Dans la première hypothèse, il s’agira de coniques homocycliques; dans l’autre de coniques homofocales. Pour fixer les idées, nous supposerons que les coordonnées se rapportent à des points; le lecteur en fera mentalement la transformation, s’il veut obtenir les propriétés des coniques homofocales.
1. Soient x : y : z les coordonnées orthogonales d’un point quelconque d’une surface sphérique donnée. L’équation générale d’une conique (ligne de second ordre) est
| 1) | αx$^2$ + βy$^2$ + γz$^2$ + 2δyz + 2εzx + 2φxy = 0. |
La conique est un (petit) cercle si son équation est de la forme qui suit:
| 2) | λ(x$^2$ + y$^2$ + z$^2$) — (ax + by + cz)$^2$ = 0; |
le centre sphérique du cercle est le pôle (absolu) de la ligne géodésique (grand cercle):
Le cercle (2) devient géodésique (grand cercle) si λ = 0.
Pour λ infini on a le cercle imaginaire
| 3) | x$^2$ + y$^2$ + z$^2$ = 0, |
situé à une distance infinie (car il est la ligne du contact idéal entre la sphère et son cône asymptote).
L’équation (2) démontre que:
Tous les cercles (grands ou petits) tracés sur la sphère peuvent être considerés comme des coniques sphériques qui ont un double contact avec le cercle imaginaire à l’infini.
2. Soit
| 4) | ${\frac {x}{x_{0}}}={\frac {y}{y_{0}}}={\frac {z}{z_{0}}}$ |
un point de la surface sphérique. La géodésique polaire relative au cercle imaginaire (3) pris comme courbe directrice est
| 5) | x$_0$x + y$_0$y + z$_0$z = 0, |
et la géodésique polaire du même point, par rapport à la conique (1), est
| 6) | x(αx$_0$ + φy$_0$ + εz$_0$) + y(φx$_0$ + βy$_0$ + δz$_0$) + z(εx$_0$ + δy$_0$ + γz$_0$) = 0. |
Si les deux lignes géodésiques (5) et (6) doivent coïncider, c’est-à-dire si le point (4) a la même polaire par rapport a la conique (1) et au cercle imaginaire (3), on aura
αx$_0$ + φy$_0$ + εz$_0$ = θx$_0$,
φx$_0$ + βy$_0$ + δz$_0$ = θy$_0$,
εx$_0$ + δy$_0$ + γz$_0$ = θz$_0$.
L’élimination de x$_0$ : y$_0$ : z$_0$ de ces équations donne une équation cubique en θ; on sait que cette équation résultante a ses racines réelles, et que si l’on désigne par
| 7) | (x$_1$ : y$_1$ : z$_1$), (x$_2$ : y$_2$ : z$_2$), (x$_3$ : y$_3$ : z$_3$) |
les systèmes de valeurs de (x$_0$ : y$_0$ : z$_0$) qui correspondent aux trois valeurs de [p. 118 l’indéterminée θ, on a:
x$_2$x$_3$ + y$_2$y$_3$ + z$_2$z$_3$ = 0,
x$_3$x$_1$ + y$_3$y$_1$ + z$_3$z$_1$ = 0,
x$_1$x$_2$ + y$_1$y$_2$ + z$_1$z$_2$ = 0.
Donc les trois points (7) sont les sommets d’un triangle trirectangle, et par conséquent la géodésique polaire de chacun d’eux par rapport à la conique (1) et au cercle (3) (ou absolu) passe par les autres deux. En prenant ce triangle pour triangle des coordonnées, c’est-à-dire en posant
| 7’) | y$_1$ = z$_1$ = 0, z$_2$ = x$_2$ = 0, x$_3$ = y$_3$ = 0 |
l’équation (1) deviendra
| 8) | αx$^2$ + βy$^2$ + γz$^2$ = 0. |
La forme de cette équation enseigne que si par l’un quelconque des points (7)’ on mène arbitrairement une corde (géodésique) de la conique (8), elle y est partagée en parties égales.
Donc les points (7)’ sont des centres de la conique sphérique. En supposant α > β > 0 et γ < 0, le point x = y = 0 est le centre intérieur; les autres sont au dehors de la courbe.
Ainsi:
Les centres d’une conique sphérique sont des points dont chacun a la même géodésique polaire par rapport à la conique et au cercle imaginaire situé a l’infini.
3. Le tétragone complet (imaginaire) inscrit à la conique (8) et au cercle imaginaire (3) a deux côtés réels; les autres sont imaginaires. En effet, en combinant les équations (3) et (8), on obtient:
| (α — β)y$^2$ + (α — γ)z$^2$ = 0, | deux géodésiques imaginaires; |
| (γ — β)z$^2$ + (α — β)x$^2$ = 0, | deux géodésiques réelles; |
| (α — γ)x$^2$ + (β — γ)y$^2$ = 0, | deux géodésiques imaginaires. |
Donc la conique (8) et le cercle (3) ont en commun les cordes géodésiques réelles
| 9) | $z{\sqrt {\beta -\gamma }}+x{\sqrt {\alpha -\beta }}=0,$ $z{\sqrt {\beta -\gamma }}-x{\sqrt {\alpha -\beta }}=0.$ |
[p. 119
Une géodésique quelconque
| 10) | ax + by + cz = 0 |
est tangente a la courbe (8), si on satisfait à la condition
| 11) | ${\frac {a^{2}}{\alpha }}+{\frac {b^{2}}{\beta }}+{\frac {c^{2}}{\gamma }}=0.$ |
Soient ω, ω’ les angles que la géodésique (10) fait avec les géodésiques (9); nous aurons
$\cos \omega ={\frac {a{\sqrt {\alpha -\beta }}+c{\sqrt {\beta -\gamma }}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\cdot {\sqrt {\alpha -\gamma }}}},$ $\cos \omega '={\frac {a{\sqrt {\alpha -\beta }}-c{\sqrt {\beta -\gamma }}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\cdot {\sqrt {\alpha -\gamma }}}};$
donc, si l’on pose
${\frac {\gamma }{\alpha }}$
en vertu de la condition (11), on obtient
d’où:
c’est-à-dire la surface du triangle sphérique formé par les trois géodésiques (9) et (10) est constante, quelle que soit la tangente (10).
Les géodésiques (9) sont appelées lignes cycliques de la conique sphérique (8).
Donc:
Les lignes cycliques d’une conique sphérique sont les deux arcs de grands cercles (toujours réels) sur lesquels se trouvent les points d’intersection (imaginaires) de la conique et du cercle imaginaire situé a l’infini.
4. Pour obtenir les géodésiques tangentes communes à la conique (8) et au cercle (3), cherchons les points communs à leurs courbes réciproques:
| 12) | ${\frac {x^{2}}{\alpha }}+{\frac {y^{2}}{\beta }}+{\frac {z^{2}}{\gamma }}=0,$ x$^2$ + y$^2$ + z$^2$ = 0. |
Celles-ci ont en commun les cordes reélles
| 13) | $z{\sqrt {\beta (\alpha -\gamma )}}\pm y{\sqrt {\gamma (\beta -\alpha )}}=0;$ |
donc les pôles (absolus on relatifs au cercle (3), ce qui est la même chose) de ces lignes, savoir les points
| 14) | x = 0, y : z = $\pm {\sqrt {\gamma (\beta -\alpha )}}:{\sqrt {\beta (\alpha -\gamma )}}$ |
sont les sommets réels du quadrilatère complet (imaginaire) circonscrit à la conique (8) et au cercle (3). Les géodésiques (13) sont les lignes cycliques de la conique (12), et par conséquent la somme ou la différence des angles qu’elles forment avec une tangente quelconque de cette courbe est constante. Donc la somme ou la différence des arcs géodésiques qui joignent les points (14) à un point quelconque de la conique (8) est constante.
Ces points (14) sont appelés les foyers de la conique sphérique (8).
Ainsi:
Les foyers d’une conique sphérique sont les points de concours (toujours réels) des géodésiques tangentes communes à la conique et au cercle imaginaire situé a l’infini.
Il s’ensuit:
Deux coniques sphériques homocycliques sont deux coniques dont le tétragone inscrit est aussi inscrit au cercle imaginaire situé à l’infini.
Deux coniques sphériques homofocales sont deux coniques dont le quadrilatère circonscrit est aussi circonscrit au cercle imaginaire situé à l’infini.
5. Les équations:
A = ax$^2$ + by$^2$ + cz$^2$ + λ(x$^2$ + y$^2$ + z$^2$) = 0,
A’ = ax$^2$ + by$^2$ + cz$^2$ + λ’(x$^2$ + y$^2$ + z$^2$) = 0,
représentent deux coniques sphériques homocycliques. Soit
une autre conique quelconque. Les équations
| 15) | B = U + μA = 0, B’ = U + μ’A’ = 0 |
représenteront deux coniques circonscrites, l’une au tétragone U A, l’autre au [p. 121 tétragone U A’. Des équations (15) on tire:
B — B’ = μA — μ’A’,
μ’B — μB’ = (μ’ — μ)U + (λ — λ’)μμ’(x$^2$ + y$^2$ + z$^2$);
donc l’équation
représente une conique circonscrite au tétragone B B’ et homocyclique aux coniques A, A’, et l’equation:
représente une conique circonscrite au tétragone B B’ et homocyclique à U.
Donc:
Théorème I. Étant données deux coniques homocycliques A, A’ et une troisième conique quelconque U, si aux tétragones U A, U A’ on circonscrit deux coniques quelconques B, B’, le tétragone B B’ sera inscrit tout à la fois à une conique homocyclique aux deux A, A’ et à une conique homocyclique à U. (Chasles).
6. Soient encore données les coniques A, A’, U, d’où l’on déduit B, B’. On peut donner à la fonction B + kB’ la forme
x$^2$ + y$^2$ + z$^2$.
Il suffit, en effet, de poser
alors on a:
c’est-à-dire les coniques B, B’ sont homocycliques.
Ainsi:
Théorème II. Étant donnees deux coniques homocycliques A, A’ et une troisième conique quelconque U, si au tétragone U A on circonscrit une conique quelconque B, on pourra circonscrire au tétragone U A’ une conique B’ homocyclique à B. (Chasles).
7. Soient données trois coniques homocycliques:
A = ax$^2$ + by$^2$ + cz$^2$ + λ(x$^2$ + y$^2$ + z$^2$) = 0,
A’ = ax$^2$ + by$^2$ + cz$^2$ + λ’(x$^2$ + y$^2$ + z$^2$) = 0,
A’’ = ax$^2$ + by$^2$ + cz$^2$ + λ’’(x$^2$ + y$^2$ + z$^2$) = 0,
et une quatrième conique quelconque:
d’où nous dérivons les trois coniques qui suivent:
B = U + μA = 0,
B’ = U + μ’A’ = 0,
B’’ = U + μ’’A’’ = 0.
On peut circonscrire au tétragone B B’ une conique qui coïncide avec B’’. En effet, on a:
donc, si nous posons:
$k={\frac {\mu (\lambda ''-\lambda )}{\mu '(\lambda '-\lambda '')}}$ et $\mu ''={\frac {\mu \mu '(\lambda '-\lambda )}{\mu (\lambda ''-\lambda )+\mu '(\lambda '-\lambda '')}}$,
on obtient
Donc:
Théorème III. Étant données trois coniques homocycliques A, A’, A’’ et une quatrième conique quelconque U, si aux deux tétragones U A, U A’ on circonscrit deux coniques B, B’, les deux tétragones U A’’ et B B’ seront inscrits dans une même conique B’’. (Chasles).
8. Soient données trois coniques:
circonscrites à un même tétragone. On décrit une conique
homocyclique à U, et une autre conique
homocyclique à V. Il s’ensuit que la conique
est tout à la fois circonscrite au tétragone U’ V’ et homocyclique à W. De plus, les tétragones U V, U’ V’ sont inscrits dans une même conique
Théorème IV. Quand trois coniques U, V, W sont circonscrites à un même tétragone, si l’on décrit deux coniques U’, V’ homocycliques à U et V respectivement, on pourra circonscrire au tétragone U’ V’ une conique W’ homocyclique a la troisième conique W. Et les deux tétragones U V, U’ V’ auront leurs huit sommets situés dans une même conique. (Chasles).
Il suit d’ici qu’on aura deux faisceaux homographiques de coniques, dont les bases sont les tétragones U V, U’ V’, et les deux coniques correspondantes:
sont toujours homocycliques.
Il est évident qu’à la condition d’être homocycliques on peut substituer celle de rencontrer une conique donnée dans un même système de quatre points réels ou imaginaires. En vertu de cette observation, les quatre théorèmes de M. Chasles ne constituent qu’un théorème unique, auquel on peut dormer l’énoncé suivant:
Étant données plusieurs coniques:
circonscrites à un même tétragone, et une autre conique quelconque
si aux tétragones U C, V C on circonscrit deux coniques U’, V’, on pourra circonscrire aux tétragones W$_r$ C respectivement des coniques W’$_r$ qui soient toutes circonscrites au tétragone U’ V’. Et les deux tétragones U V, U’ V’ auront leurs huit sommets situés sur une même conique
Il s’ensuit encore:
Si deux tétragones U K, U’ K inscrits dans une même conique K sont les bases de deux faisceaux homographiques de coniques, les points d’intersection de deux coniques correspondantes
λW$_r$ = (λ — i$_r$μ)U — i$_r$K = 0,
λW’$_r$ = (λ — i$_r$μ)U’ — i$_r$K = 0
se trouvent toujours dans une même conique:
Afin que toutes les intersections des couples de coniques correspondantes de deux faisceaux homographiques appartiennent à une même conique, il faut que les tétragones, bases des faisceaux, soient inscrits à une même conique.
Ces théorèmes généraux ne cessent pas d’avoir lieu en substituant aux coniques circonscrites à un même tétragone des courbes sphériques de l’ordre n circonscrites à un même polygone sphérique de n$^2$ sommets.
Théorème général comprenant comme cas très-particulier la question 498.
On donne dans un plan: 1. une droite fixe; 2.º un point O sur cette droite; 3.º un point fixe A. Trouver une courbe telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point A une parallèle a cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments comptés du point O, liés entre eux par une relation algébrique du degré n.
On peut considérer ces segments comme des coordonnées tangentielles; donc l’enveloppe demandée est une courbe de la classe n (voir la Géometrie supérieure de M. Chasles, chap. XXIV).
On donne dans l’espace: 1.º une droite fixe; 2.º un point O sur cette droite; 3.º deux points fixes A, B. Trouver une surface telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette surface un plan tangent, et par A, B deux plans parallèles au plan tangent, ces trois plans interceptent sur la droite fixe trois segments comptés du point O, liés entre eux par une relation algébrique du degré n.
L’enveloppe demandée est une surface de la classe n.
* ↑ Pour bien comprendre ce travail, il est nécessaire d’avoir devant soi le n.º 13 des Comptes rendus.
* ↑ [p. 493 Le questioni a cui si riferiscono le Memorie 14, 15, 16, 17 sono enunciate come segue, nei Nouv. Annales, tomi XVIII p. 117, XVIII p. 444, e XIX p. 43: 464. Démontrer que l’équation de la sphère circonscrite à un tétraèdre est $\sum {\frac {\alpha \beta \sin(\gamma ,\delta )\sin(\alpha \gamma ,\beta \delta )\sin(\alpha \delta ,\beta \delta )}{\sin(\alpha ,\beta )}}=0,$ α, β, γ, δ, sont les premiers membres des équations des faces mises sous la forme x cos α + y cos α’ + z cos α’’ — p = 0, (γ, δ) représente l’angle que fait la face γ avec la face δ, (αγ, βγ) l’angle que fait l’intersection des faces α et γ avec l’intersection des faces β et γ. (Prouhet). 465. ${\begin{vmatrix}\alpha &\alpha +\delta &\cdots &\alpha +(n-2)\delta &\alpha +(n-1)\delta \\\alpha +\delta &\alpha +2\delta &\cdots &\alpha +(n-1)\delta &\alpha \\\alpha +2\delta &\alpha +3\delta &\cdots &\alpha &\alpha +\delta \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha +(n-1)\delta &\alpha &\cdots &\alpha +(n-3)\delta &\alpha +(n-2)\delta \end{vmatrix}}$ $=\pm {\frac {(n\delta )^{n-1}[2\alpha +(n-1)\delta ]}{2}}.$ Si l’on fait α = δ = 1 on retombe sur la question 432 (tome XVII p. 185). 494. Soient ABC, abc deux triangles dans le même plan; q est un point variable, tel que les droites qa, qb, qc coupent respectivement les côtés BC, AC, AB en trois points qui sont en ligne droite: le lieu du point q est une ligne du troisième ordre. 498. On donne: 1.º une droite fixe; 2.º un point B sur cette droite; 3.º un point fixe A. Trouver une courbe telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point A une parallèle a cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments, comptés du point B, tels que la somme des carrés de ces segments soit égale a un carré donné k$^2$. Mêmes données, mais prenant la différence des carrés, ou bien le produit des segments, ou bien la somme des inverses des segments égale à une constante donnée. [p. 494 499. Soient: 1.º A, B, C, D quatre droites dans un même plan, et m, o, l, s quatre points fixes dans ce plan; par m menons une droite quelconque coupant C et D aux points c et d, par c et o menons la droite co coupant A et B aux points a et b, par a et l menons la droite al et par c et s la droite cs; l’intersection p des droites al et cs decrit une ligne du troisième ordre. 2.º Soit un quadrilatère plan variable ABCD; o, p, q, r quatre points fixes; o sur AB, p sur BC, q sur CD, r sur DA. Les sommets opposés A et C sont sur deux droites fixes données dans le plan du quadrilatère; les sommets opposés B, D décrivent des lignes du troisième ordre.
* ↑ [p. 494 Sopra una sfera, il cui centro è qui implicitamente supposto nell’origine delle coordinate, i rapporti x : y : z non individuano un punto, ma una coppia di punti diametralmente opposti. Si deve in conseguenza fare qualche modificazione alle affermazioni del testo. Per es. i centri di una conica sferica (n.º 2) sono sei, e non tre. Così la conica sferica rappresentata dall’equazione (2) si spezza (per valori generici di λ) in due cerchi minori; il cono che proietta questi dal centro è bensì bitangente al circolo imaginario all’infinito, ma i due punti di contatto sono doppî per la detta conica.
* ↑ Donné par les six grands cercles joignant les intersections de (3) et (8). Tm.
* ↑ Comme dans les coniques planes. Tm.
* ↑ Donné par l’intersection de U et de A. Tm.
* ↑ [p. 494 Nell’omografia qui considerata tra i due fasci di coniche proposti la conica K, ad essi comune, è omologa di sè stessa. Senza questa condizione, qui non esplicitamente enunciata, la proposizione cesserebbe di esser valida. La stessa condizione deve pure sottintendersi nella proposizione inversa (p. 124).
* ↑ [p. 493 Le questioni a cui si riferiscono le Memorie 14, 15, 16, 17 sono enunciate come segue, nei Nouv. Annales, tomi XVIII p. 117, XVIII p. 444, e XIX p. 43: 464. Démontrer que l’équation de la sphère circonscrite à un tétraèdre est $\sum {\frac {\alpha \beta \sin(\gamma ,\delta )\sin(\alpha \gamma ,\beta \delta )\sin(\alpha \delta ,\beta \delta )}{\sin(\alpha ,\beta )}}=0,$ α, β, γ, δ, sont les premiers membres des équations des faces mises sous la forme x cos α + y cos α’ + z cos α’’ — p = 0, (γ, δ) représente l’angle que fait la face γ avec la face δ, (αγ, βγ) l’angle que fait l’intersection des faces α et γ avec l’intersection des faces β et γ. (Prouhet). 465. ${\begin{vmatrix}\alpha &\alpha +\delta &\cdots &\alpha +(n-2)\delta &\alpha +(n-1)\delta \\\alpha +\delta &\alpha +2\delta &\cdots &\alpha +(n-1)\delta &\alpha \\\alpha +2\delta &\alpha +3\delta &\cdots &\alpha &\alpha +\delta \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha +(n-1)\delta &\alpha &\cdots &\alpha +(n-3)\delta &\alpha +(n-2)\delta \end{vmatrix}}$ $=\pm {\frac {(n\delta )^{n-1}[2\alpha +(n-1)\delta ]}{2}}.$ Si l’on fait α = δ = 1 on retombe sur la question 432 (tome XVII p. 185). 494. Soient ABC, abc deux triangles dans le même plan; q est un point variable, tel que les droites qa, qb, qc coupent respectivement les côtés BC, AC, AB en trois points qui sont en ligne droite: le lieu du point q est une ligne du troisième ordre. 498. On donne: 1.º une droite fixe; 2.º un point B sur cette droite; 3.º un point fixe A. Trouver une courbe telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point A une parallèle a cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments, comptés du point B, tels que la somme des carrés de ces segments soit égale a un carré donné k$^2$. Mêmes données, mais prenant la différence des carrés, ou bien le produit des segments, ou bien la somme des inverses des segments égale à une constante donnée. [p. 494 499. Soient: 1.º A, B, C, D quatre droites dans un même plan, et m, o, l, s quatre points fixes dans ce plan; par m menons une droite quelconque coupant C et D aux points c et d, par c et o menons la droite co coupant A et B aux points a et b, par a et l menons la droite al et par c et s la droite cs; l’intersection p des droites al et cs decrit une ligne du troisième ordre. 2.º Soit un quadrilatère plan variable ABCD; o, p, q, r quatre points fixes; o sur AB, p sur BC, q sur CD, r sur DA. Les sommets opposés A et C sont sur deux droites fixes données dans le plan du quadrilatère; les sommets opposés B, D décrivent des lignes du troisième ordre.