# Opere matematiche di Luigi Cremona/Solution analytique de la question 344

../Sur les questions 321 et 322 ../Seconde solution de la question 368 (Cayley) IncludiIntestazione 13 maggio 2020 75% Da definire
Opere matematiche Luigi Cremona 1914 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Opere matematiche (Cremona) I.djvu //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Solution_analytique_de_la_question_344&oldid=- 20200513114019 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Opere_matematiche_di_Luigi_Cremona/Solution_analytique_de_la_question_344&oldid=- 20200513114019
[p. 29
5.
SOLUTION ANALYTIQUE DE LA QUESTION 344 (Mannheim).
Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.$^{re}$ série, tome XVI (1857), pp. 79-82.
Soient x$_1$, y$_1$, et x$_2$, y$_2$, les coordonnées des points A, O, celles des points B, C seront de la forme
x$_3$ = x$_1$ + λh, y$_3$ = y$_1$ + λk,
x$_4$ = x$_1$ + μm, y$_4$ = y$_1$ + μn,
h, k, l, m sont des quantités données, λ, μ deux indéterminées; donc
2 ABO = ${\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}=\lambda {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\h&k\end{vmatrix}}$,
et analogiquement
2 AOC = ${\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{4}&y_{4}\\1&x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}=\mu {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&y_{1}-y_{2}\\m&n\end{vmatrix}}$.
Il s’ensuit
${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {ABO} }}+{\frac {1}{\mathrm {AOC} }}\right)={\frac {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\\lambda h-\mu m&\lambda k-\mu n\end{vmatrix}}{\lambda \mu {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\h&k\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&y_{1}-y_{2}\\m&n\end{vmatrix}}}};$
mais les points B, C, O étant en ligne droite, on a
${\begin{vmatrix}1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\\1&x_{4}&y_{4}\end{vmatrix}}=0,$
c’est-a-dire
${\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\\lambda h-\mu m&\lambda k-\mu n\end{vmatrix}}-\lambda \mu {\begin{vmatrix}k&h\\n&m\end{vmatrix}}=0,$
par conséquent,
${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {ABO} }}+{\frac {1}{\mathrm {AOC} }}\right)={\frac {\begin{vmatrix}k&h\\n&m\end{vmatrix}}{{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\h&k\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&y_{1}-y_{2}\\m&n\end{vmatrix}}}}$
quantité indépendante de λ, μ. Donc, etc.
Théorème analogue dans l’espace.
Par un point O situé dans l’intérieur d’un angle trièdre de sommet A, on mène un plan qui coupe lès arêtes du trièdre dans les points B, C, D. Soient ν$_1$, ν$_2$, ν$_3$ le valeurs des trois pyramides AOCD, AODB, AOBC; je dis que la somme
${\sqrt {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}\nu _{3}}}}+{\sqrt {\frac {\nu _{2}}{\nu _{3}\nu _{1}}}}+{\sqrt {\frac {\nu _{3}}{\nu _{1}\nu _{2}}}}$
est constante, de quelque manière qu’on mène le plan sécant.
Soient x$_1$, y$_1$, z$_1$, x$_2$, y$_2$, z$_2$, ..., x$_5$, y$_5$, z$_5$ les coordonnés des cinq ponts A, O, B, C, D; x$_1$, y$_1$, z$_1$, x$_2$, y$_2$, z$_2$, sont des quantités données ainsi que les α, β, γ; on aura
${\frac {x_{3}-x_{1}}{\alpha _{1}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{\beta _{1}}}={\frac {z_{3}-z_{1}}{\gamma _{1}}}=\lambda ,$
${\frac {x_{4}-x_{1}}{\alpha _{2}}}={\frac {y_{4}-y_{1}}{\beta _{2}}}={\frac {z_{4}-z_{1}}{\gamma _{2}}}=\mu ,$
${\frac {x_{5}-x_{1}}{\alpha _{3}}}={\frac {y_{5}-y_{1}}{\beta _{3}}}={\frac {z_{5}-z_{1}}{\gamma _{3}}}=\nu ,$
[p. 31 donc
$6\nu _{1}={\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\\1&x_{5}&y_{5}&z_{5}\end{vmatrix}}=\mu \nu {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\\\alpha _{3}&\beta _{3}&\gamma _{3}\end{vmatrix}}=\mu \nu \mathrm {A} ,$
et par analogie
$6\nu _{2}=\nu \lambda {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\\alpha _{3}&\beta _{3}&\gamma _{3}\\\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\end{vmatrix}}=\nu \lambda \mathrm {B} ,$
$6\nu _{3}=\lambda \mu {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\end{vmatrix}}=\lambda \mu \mathrm {C} ,$
A, B, C sont des quantités connues; d’où
${\frac {1}{6^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}+\nu _{3}}{\sqrt {\nu _{1}\nu _{2}\nu _{3}}}}={\frac {\mu \nu \mathrm {A} +\nu \lambda \mathrm {B} +\lambda \mu \mathrm {C} }{\lambda \mu \nu {\sqrt {\mathrm {ABC} }}}}.$
Mais les points O, A, B, C étant dans un même plan, on a
${\begin{vmatrix}1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\\1&x_{5}&y_{5}&z_{5}\end{vmatrix}}=0,$
remplaçant x$_3$ par λα$_1$ + x$_1$, y$_3$ par λβ$_1$ + y$_1$, z$_3$ par λγ$_1$ + z$_1$, etc., on obtient
μνA + νλB + λμC = λμν ${\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\\\alpha _{3}&\beta _{3}&\gamma _{3}\end{vmatrix}}$ = λμνD,
donc
${\frac {1}{6^{\frac {1}{2}}}}\left({\sqrt {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}\nu _{3}}}}+{\sqrt {\frac {\nu _{2}}{\nu _{3}\nu _{1}}}}+{\sqrt {\frac {\nu _{3}}{\nu _{1}\nu _{2}}}}\right)={\frac {\mathrm {D} }{\sqrt {\mathrm {ABC} }}}$,
quantité indépendante de λ, μ, ν.
C’est ce qu’il fallait prouver.