# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 12/Paragrafo 74

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_12/Paragrafo_74&oldid=- 20230102183152 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_12/Paragrafo_74&oldid=- 20230102183152
[p. 239
§ 74. — Primi teoremi.
α) Proponiamoci le seguenti domande fondamentali:
1° È ogni funzione $\mathrm {F(x)}$ la derivata di un'altra funzione $\mathrm {f(x)}$?
2° Tale funzione $\mathrm {f(x)}$ è determinata dall'ipotesi che la sua derivata $\mathrm {f'(x)}$ valga $\mathrm {F(x)}$? E, se non è tale, quale è la sua determinazione?
L'intuizione permette di prevedere le risposte che si dovranno dare a tali domande.
Consideriamo la funzione (da determinarsi) $f(x)$ come il valore che la distanza $OM$ da un punto $M$ mobile su una retta $r$ ad origine fissa $O$ ha all'istante $x$. Se noi ammettiamo lecita questa supposizione, le nostre domande si riducono (§ 47) semplicemente a queste : Può una qualsiasi funzione continua $F(x)$ esiste pensata come misura della velocità che un punto mobile $M$ mobile su una retta $r$ possiede all'istante $x$? Data tale velocità $F(x)$, la distanza $OM=f(x)$ di $M$ dall'origine $O$ resta essa completamente determinata? oppure quale intedeterminazione possiede?
A noi appare come intuitivo che alla prima domanda si debba rispondere affermativamente; e appare pure evidente che, per dare la posizione di M su $r$ all'istante $x$, non basti dare la velocità $F(x)$, ma si debba anche assegnare la posizione di $M$ in un istante almeno, p. es., per $x=a$. E, se anche una tale posizione è nota, sembra intuitivo che ne resti individuata la posizione di $M$ ad ogni altro istante.
Così di un treno $M$ che si muova su una linea nota $r$ noi sappiamo assegnare la posizione ad ogni istante, se conosciamo per ogni istante la velocità del treno $M$, e conosciamo o l'ora e il punto di partenza, o anche, se si vuole, la posizione del treno su $r$ ad un'ora prefissata $x=a$. [p. 240 Se invece non conosciamo per nessun istante la posizione i $M$ (non sappiamo donde e a che ora è partito il treno $M$), allora, pur conoscendone la velocità $F(x)$ ad ogni istante $x$, non possiamo dire dove si trovi $M$ all'istante $x$. ma possiamo ciononostante sapere quale spazio abbia percorso il punto $M$ tra due istanti distinti $a$, $b$; in altre parole tale spazio è perfettamente determinato, quando è nota ad ogni istante $x$ la velocità del punto $M$.
Se $M_{1}$, $M_{2}$ sono due punti mobili sulla stessa retta $r$, e se essi posseggono ugual velocità $F(x)$ all'istante $x$, la distanza $M_{1}M_{2}$ non varia col tempo (è costante); cosicchè le distanze $f_{1}(x)=OM_{1}$, $f_{2}(x)=OM_{2}$ hanno una differenza costante, ossia differiscono solo per una costante additiva.
Analiticamente ciò significa:
Teorema di esistenza.
1° Esiste almeno una funzione $f(x)$ che possiede una derivata continua $F(x)$ prefissata.
2° Data $\mathrm {F(x)}$, per determinare completamente $\mathrm {f(x)}$, si deve dare in più il valore di $\mathrm {f(x)}$ per un qualche valore dela $\mathrm {x}$, p. es., per $\mathrm {x=a}$.
3° Data $\mathrm {F(x)}$, pure non essendo $\mathrm {f(x)}$ completamente determinata, è però univocamente determinata la differenza $\mathrm {f(a)-f(b)}$ dei valori $\mathrm {f(x)}$, assume in due punti $\mathrm {x=a,x=b}$ prefissati arbitrariamente nell'intervallo, ove $\mathrm {F(x)}$ è definita.
4° Se $\mathrm {f_{1}(x),f_{2}(x)}$ sono due funzioni che hanno la stessa derivata $\mathrm {F(x)}$, la differenza $\mathrm {f_{1}(x)-f_{2}(x)}$ è una costante. Cosicchè, per trovare rurre le funzioni che hanno derivata $\mathrm {F(x)}$ basta trovarna una sola $\mathrm {f(x)}$ ed aggiungere poi ad essa una costante arbitraria; la $\mathrm {f(x)+cost.}$ sarà poi la generale funzione che ha $\mathrm {F(x)}$ per derivata.
β) DImostriamo il primo di questi teoremi. Se $F(x)\geq \,0$, l'area $A$ del rettangoloide considerato a pagina 165 (ove si scriva $F$ al posto di $f$)(oppure se tale area non è determinata, la sua area esterna od interna) è proprio (pag. 165) una funzione $f(x)$, la cui derivata vale $F(x)$.
Se poi $F(x)$ assume anche valori negativi, consideriamola in un intervallo finito. Sia $-k$ il suo valore minimo. Allora $\Phi (x)=F(x)+k$ non è mai negativa, e, per quanto si è dimostrato, è perciò la derivata di una qualche funzione $\varphi (x)$. Anche $F(x)$ è quindi una derivata; è precisamente la derivata di
$f(x)=\varphi (x)-kx$.
[p. 241 γ) Per dimostrare le 2a, 3a, 4a precedenti proposizioni, ricordiamo il teorema:
Una funzione costante ha derivata sempre nulla e il teorema reciproco (§ 63, pag. 202):
Una funzione, la cui derivata è identicamente nulla, è una costante.
Ne deduciamo come al 1. cit. (§ 63, ε):
Se $\mathrm {f_{1}(x),f_{2}(x)}$ sono due funzioni aventi la stessa derivata (determinata e finita) $\mathrm {F(x)}$ la loro differenza è una costante.
Infatti la differenza $f_{1}(x)-f_{2}(x)$ ha per derivata
$f'_{1}(x)-f'_{2}(x)=F(x)-F(x)=0$.
Essa, per il teorema citato più sopra, è dunque costante.
Geometricamente questo teor. si enuncia così: Se le tangenti alla curva $\mathrm {y=f_{1}(x),y_{2}(x)}$ in punti di uguali ascissa sono parallele, le due curve si deducono l'una dall'altra con una traslazione parallela all'asse delle $\mathrm {y}$.
Si ha dunque:
$f_{1}(x)=f_{2}(x)+k\mathrm { k=\mathrm {cost.} )$ (teor. 4°).
Ponendo $x=a$, e quindi $x=b$ si ha:
$f_{1}(a)=f_{2}(a)+k$
$f_{1}(b)=f_{2}(b)+k$.
Sottraendo, se ne deduce:
$f_{1}(a)-f_{1}(b)=f_{2}(a)-f_{2}(b)$.
Data cioè la funzione $F(x)$, è completamente individuata la differenza dei valori che in due punti $a$, $b$ assume una funzione $f(x)$, che abbia $F(x)$ per derivata (teor. 3°).
Una funzione $f(x)$ che abbia $F(x)$ per derivata, sarà data (teor. 4°) della formola
$f(x)=f_{1}(x)+C$,
dove $C$ è una costante indeterminata. Se noi vogliamo che per $x=a$ sia $f(x)=A$, sarà
$A=f(a)=f_{1}(a)+C$, ossia $C=A-f_{1}(a)$
e quindi $f(x)=f_{1}(x)-f_{1}(a)+A$.
La funzione $f(x)$ è perciò completamente determinata (teor. 2°).
Sono così completamente dimostrate tutte le proposizioni enunciate qui sopra.
δ) Una conseguenza molto importante si trae da quanto abbiamo dimostrato. [p. 242 Se $F(x)\geq \,0$, consideriamo il rettangoloide, di cui ci siamo già serviti per dimostrare il primo teorema del presente paragrafo. le sue aree esterna ed interna, avendo entrambe la stessa derivata $F(x)$, differiscono per una costante. Ma questa costante è nulla, perchè tutte e due queste are sono nulle per $x=a$. Cosicchè la loro differenza è nulla per $x=a$; ed, essendo costante, è nulla per ogni valore della $x$. Quelle due aree sono perciò uguali.
Se dunque $y=F(x)\geq \,0$ è una funzione continua, il rettangoloide racchiuso tra l'asse delle $x$, la curva e le due ordinate ha uguali l'area esterna ed interna, cioè possiede un'area nel senso più elementare della parola: area (cfr. § 7).
ε) Una funzione $f(x)$, che abbia $F(x)$ per derivata si indica con $\int Fdx$, e si chiama integrale indefinito della $F(x)$.
Questo nome è dovuto a ciò che un tale integrale non è completamente definito, ma è definito soltanto a meno di una costante additiva. Così, poichè $\mathrm {cos} x$ è la derivata di $\mathrm {sen} x$, noi scriveremo.
$\int \mathrm {cos} xdx=\mathrm {sen} x+C$ ($C=$ costante arbitraria). La differenza $f(b)-f(a)$ si dice integrale definito di $F(x)$ nell'intervallo ($a$, $b$, perchè non varia qualunque costante si aggiunga ad $f(x)$, e si indica con $\int _{a}^{b}F(x)dx$. I numeri $a$ e $b$ si dicono rispettivamente i limiti di integrazione (il limite 'inferiore, ed il superiore).
Un tale integrale è completamente definito dalla funzione $F$, e dai limiti $a$, $b$. il suo valore non dipende perciò dal suo nome dato dalla variabile di integrazione. Così, p. es.
$\int _{a}^{b}\mathrm {cos} xdx=\int _{a}^{b}\mathrm {cos} zdz=\mathrm {sen} b-\mathrm {sen} a$
La differenza $f(b)-f(a)$ si indica anche con $[f(x)]_{a}^{b}$ Cosicchè, se
$\int F(x)dx=f(x)$,
sarà $\int _{a}^{b}\,F(x)dx=f(b)-f(a)=[f(x)]_{a}^{b}$
È poi evidente che: (1) $\int _{a}^{b}\,F(x)dx=-\int _{b}^{a}\,F(x)dx$ (2) $\int _{a}^{b}\,F(x)dx+\int _{b}^{c}\,F(x)dx=\int _{a}^{c}\,F(x)dx$; $\int _{a}^{a}\,F(x)dx=0$. [p. 243 Le (1), (2) equivalgono infatti alle identità
$f(b)-f(a)=-[f(a)]-[f(b)]$
$[f(b)-f(a)]+[f(c)-f(b)]=f(c)-f(a)$
$f(a)-f(a)=0$.
Inoltre per il teor. della media:
$\int _{a}^{b}\,\mathrm {F(x)\,d\,x=f(b)-f(a)=(b-a)f(c)=(b-a)F(c)}$,
dove $\mathrm {c}$ è un punto intermedio tra $\mathrm {a}$ e $\mathrm {b}$. Quindi: Se $\mathrm {M}$ è il massimo di $\mathrm {|F(x)|}$, sarà: (3) $|\int _{a}^{b}\mathrm {F(x)dx|\leq \,M\,|b-a|}$.
Se, p. es., $F(x)$ indica la velocitù di nn mobile all'istante $x$, la seconda e la terza di queste uguaglianze (se $a0$, esiste $\log x$; e dalla $(\log x)^{r}={\frac {1}{x}}$ si trae $C+\log x=\int {\frac {dx}{x}}$. Se $x<0$, esiste $\log(-x)$; e dalla $\left[\log(-x)\right]_{x}^{a}={\frac {1}{x}}$ si trae $C+\log(-x)=\int {\frac {dx}{x}}$.
* ↑ Così ${\frac {(x+a)^{m+1}-(1-a)^{m+1}}{m+1}}$ è quell'integrale indefinito che si annulla per $x=1$. Se noi ne cerchiamo il limite per $m+1=0$ (p. Es. ponendo $m+1=z$, derivi num. e den. rispetto $z$, e quindi ponendo $z=0$ secondo la regola del § 63, β) si trova $(x+a)^{c}\log(x+a)-(1+a)^{z}\log(1+a)$, che per $z=0$ diventa $\log(x+a)-\log(1+a)$, cioè precisamente quell'integrale $\int {\frac {dx}{x+a}}$ che si annulla per $x=1$.
* ↑ Dalla quarta riga di questo quadra si trae il valore di $\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}$ quando $m=1$. Ponendo nellì'ultima riga successivamente $m=1,2,3,.....$, se ne deducono successivamente il valore del nostro integrale per ogni valore intero positivo della $m$. Questa formula si dimostra osservano che: $\left({\frac {x}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}\right)={\frac {2ma^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{m+1}}}=-(2m-1){\frac {1}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}$.