# Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Paragrafo 14

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Lezioni di analisi matematica Guido Fubini 1920 CC BY-SA 3.0 GFDL Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_4/Paragrafo_14&oldid=- 20221207004021 //it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_4/Paragrafo_14&oldid=- 20221207004021
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§ 14. — Relazioni tra coefficienti e radici di un’equazione algebrica.
$\alpha )$ Dedurremo più tardi dalla teorie delle funzioni continue in più variabili il teorema fondamentale dell’algebra (teorema di Gauss).
Ogni polinomio $\mathrm {P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}}$ di grado n nella x è decomponibile in uno e in un solo modo nel prodotto di $\mathrm {a_{0}}$ e di n fattori di primo grado $\mathrm {x-\alpha _{1},x-\alpha _{2},\ldots x-\alpha _{n}}$ dove le $\alpha$ sono numeri distinti o no, reali o complessi.
[Ricordo che, dicendo che $P(x)$ è di grado $n$, si è detto anche che $a_{0}\not =0$].
Questa decomposizione in fattori ha qualche analogia con la decomposizione di un numero intero in fattori primi. Nell’algebra dei polinomii, che noi studiamo, i polinomii di primo grado hanno così un ufficio analogo a quello che i numeri primi hanno nell’aritmetica dei numeri interi.
Gli n numeri $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}$ sono tutte e solo le radici dell’equazione $\mathrm {P(x)=0}$ (perchè $P(x)$ può essere nullo soltanto se uno dei fattori $x-\alpha$ è nullo).
Ciò che rende intuitivo il teorema del Ruffini relativo al caso in cui il polinomio $P(x)$ è divisibile per un binomio $x-\alpha$.
Le formole del § 11 (pagina 44) ci dicono allora che:
La somma delle radici $\alpha$ vale $\mathrm {\frac {a_{1}}{a_{0}}}$.
La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando a due a due le radici $\alpha$ vale $\mathrm {\frac {a_{2}}{a_{0}}}$.
La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando ad h ad h (se $h\geq n$) le radici $\alpha$ vale $\mathrm {(-1)^{h}{\frac {a_{h}}{a_{0}}}}$.
Il prodotto delle n radici $\alpha$ vale $\mathrm {(-1)^{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}}$.
Questi teoremi sono la generalizzazione di quelli ricordati nel § 10 per le equazioni di secondo e terzo grado. [p. 49
$\beta )$ Dal teorema sopra enunciato si deduce anche che, se $P(x)$ è un polinomio di (apparente) grado $n$, e se l’equazione $P(x)=0$ ammette più di $n$ radici, allora $P(x)$ è identicamente nullo, e ogni numero della radice della $\mathrm {P(x)=0}$ (in altre parole tutti i coefficienti di $\mathrm {P(x)}$ sono nulli).
Se due polinomi $P(x)$, $Q(x)$ sono uguali per tutti i valori della $x$, allora l’equazione $P(x)-Q(x)=0$ ammette infinite radici (perchè ogni numero ne è radice). Quindi il polinomio $P(x)-Q(x)$ ha nulli tutti i suoi coefficienti; cioè il grado di $\mathrm {P(x)}$ è uguale al grado di $\mathrm {Q(x)}$; ed ogni potenza della $x$ ha coefficienti uguali in $P(x)$ e in $Q(x)$: in una parola i polinomii $P(x)$, $Q(x)$ sono identicamente uguali.
Più precisamente due polinomii $P_{1}(x)$, $P_{2}(x)$ di grado $n-1$ sono uguali identicamente, se assumono gli stessi valori in $n$ punti distinti $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$. Cioè è completamente determinato un polinomio $P(x)$ di grado $n-1$, quando sieno dati i valori $P(a_{1}),P(a_{2}),\ldots ,P(a_{n})$, che esso assume in $n$ punti distinti $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$. Ed è facile intuire e verificare che un tale polinomio è dato che dalla
$\gamma )$ Alle formole di § 14, $\alpha$, possiamo dare un altro aspetto notevole (Newton). Se noi nel secondo e terzo membro di (1) poniamo $x+h$ al posto della $x$, i coefficienti di $h$ nelle espressioni che se ne deducono saranno uguali. Si trova così con facile calcolo che:
Se noi calcoliano i quozienti dell’ultimo membro di (2) con le regole del § 13 troviamo:
dove con $s_{h}$ ho indicato la somma $\alpha _{1}^{h}+\alpha _{2}^{h}+\ldots +\alpha _{n}^{h}$ delle $h^{esime}$ potenze delle radici $\alpha$. Se ne deduce, confrontando primo e terzo membro:
Le quali formole permettono di calcolare successivamente le $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots s_{n-1}$. Moltiplicando $P(x)$ per $x^{h}(h=0,1,2,.....)$, sostituendo nel prodotto una delle $\alpha$ al posto di $x$ (col che tale prodotto si annulla) e sommando tali prodotti si trova: (posto $m=n+h=n,n+1,n+2,.....$)
che permette di calcolare successivamente $s_{n},s_{n+1},s_{n+2},.....$
Cosicchè: Si possono calcolare le ${\text{s}}_{h}$ appena sono noti i coefficienti ${\text{a}}_{i}$ dell’equazione $\mathrm {P(x)=0}$.
$\delta$) Si calcoli la somma ${\text{s}}_{\alpha ,\beta }$ dei prodotti ottenuti moltiplicando la potenza $\alpha ^{esima}$ di una radice di una data equazione per la potenza $\beta ^{esima}$ di un’altra radice.
Basta osservare che il prodotto $s_{\alpha }s_{\beta }=s_{\alpha ,\beta }+s_{\alpha +\beta }$ se $\alpha \not =\beta$ e che $s_{\alpha }s_{\alpha }=s_{2\alpha }+2s_{\alpha ,\alpha }$.
Cosicchè $s_{\alpha ,\beta }=s_{\alpha }s_{\beta }-s_{\alpha +\beta }$, se $\alpha \not =\beta$, e $s_{\alpha ,\alpha }={\frac {1}{2}}(s_{\alpha }s_{\alpha }-s_{\alpha \alpha })$.
Le formole di Newton permettono così di esprimere in ogni caso $s_{\alpha ,\beta }$ per mezzo dei coefficienti dell’equazione. In modo analogo si deduce all’esame del prodotto $s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }$ che: La somma ${\text{s}}_{\alpha ,\beta ,\gamma }$ dei prodotti ottenuti moltiplicando la $\alpha ^{esima}$ potenza d’una radice di una equazione per la $\beta ^{esima}$ potenza di una seconda radice, e la $\gamma ^{esima}$ potenza d’una terza radice è esprimibile razionalmente mediante i coefficienti dell’equazione stessa.
In modo simile si definiscono e si insegnano a calcolare le $s_{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$, eccetera, eccetera.
Tanto le $s_{\alpha }$ che le $s_{\alpha ,\beta },s_{\alpha ,\beta ,\gamma },$ eccetera, sono funzioni simmetriche delle radici d’una equazione (cioè non cambiano di valore, quando tali radici si permutino tra di loro in un modo qualsiasi). Ed è facile persuadersi che ogni polinomio simmetrico delle radici d’un equazione si ottiene come combinazione lineare delle somme $s_{\alpha },s_{\beta ,\gamma },s_{\alpha ,\beta ,\gamma }.....$ testè calcolate, ed è quindi esso stesso calcolabile razionalmente mediante i coefficienti dell’equazione (senza che sia necessario risolverla).
Così, per esempio, se $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4}$ sono le quattro radici di una equazione di quarto grado, l’espressione:
Il suo calcolo è ridotto a quello di $s_{1},s_{2},s_{3},s_{4},s_{5}$, che noi sappiamo eseguire per mezzo delle formole di Newton. Ma, naturalmente, speciali artifici potrebbero abbreviarlo di gran lunga.
* ↑ Ricordo che le $\alpha$ possono anche essere non tutte distinte.
* ↑ Vale a dire con sole addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni.