# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Si è visto che le soluzioni fondamentali dell'equazione di Laplace e dell'equazione del calore possono essere scritte nella forma:
$\Phi (x)={\begin{cases}-{\frac {1}{2\pi }}\log \mid x\mid ,\;n=2\\{\frac {1}{n(n-2)\alpha _{n}}}{\frac {1}{\mid x\mid ^{n-2}}},\;n\geq 3\end{cases}}$
$E(x,t)={\begin{cases}{\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {\mid x\mid ^{2}}{4t}}},\;t>0\\0,\;t\leq 0\end{cases}}$
Vogliamo chiederci quale sia il significato degli operatori laplaciano $\Delta$ e ${\mathcal {H}}=\partial _{t}-\Delta$, ovvero gli operatori che definiscono le equazioni di cui le funzioni appena scritte sono soluzioni fondamentali, in teoria delle distribuzioni.
Iniziamo considerando il caso di $\Delta$. $\Phi (x,y)\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, dunque è possibile associarle la distribuzione $T_{\Phi }(v)$:
$T_{\Phi }(v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x)v(x)dx$
Ora, su $T_{\Phi }$ si vuole studiare l'azione di $\Delta$:
$\Delta T_{\Phi }(v)=T_{\Phi }(v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x)\Delta v(x)dx=$
$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B(0,\epsilon )}\Phi (x)\Delta v(x)dx=-v(0)=\delta _{0}(v)$
Si conclude quindi che, in teoria delle distribuzioni, l'azione dell'operatore laplaciano su una sua soluzione fondamentale corrisponde a una distribuzione singolare: la delta di Dirac. Ovvero:
$-\Delta \Phi (x)=\delta _{0}(v(x))$
Chiaramente varrà la stessa proprietà anche nel caso in cui si consideri $\Phi (x-x_{0})$:
$-\Delta \Phi (x-x_{0})=\delta _{x_{0}}(v(x))$
Si consideri ora il caso dell'equazione del calore:
${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial t}}-\Delta u=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},\,t\in \mathbb {R} \\\lim _{t\rightarrow 0^{+}}u(x,t)=\phi (x)\end{cases}}$
Con $u(x,t)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {\mid x-y\mid ^{2}}{4t}}}\phi (y)dy$. Definiamo $E(x,t)$ come:
$E(x,t)={\begin{cases}{\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {\mid x\mid ^{2}}{4t}}},\;t>0\\0,\;t\leq 0\end{cases}}$
Essa è detta soluzione fondamentale dell'equazione del calore perché si ha la possibilità di scrivere:
${\mathcal {H}}E=\left(\partial _{t}-\Delta \right)E=0,\;t>0,\forall \,x$
Ci si chiede quale sia il significato di ${\mathcal {H}}E$ in teoria delle distribuzioni. In analogia con il caso dell'equazione di Laplace è lecito aspettarsi che ${\mathcal {H}}E=\delta _{(0,0)}$.
$E(x,t)$ è localmente integrabile, dunque:
${\mathcal {H}}E(\phi )=-E(\partial _{t}\phi +\Delta \phi )=-\int _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} }E(x,t)\left[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\Delta \phi \right]dxdt$
Dunque:
$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\epsilon }^{+\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}-E(x,t)\left[-{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\Delta \phi \right]dxdt=$
Integrando per parti:
$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\epsilon }^{+\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left[-{\frac {\partial E\phi }{\partial t}}+\phi {\underset {=0}{\underbrace {\left[{\frac {\partial E}{\partial t}}-\Delta E\right]} }}\right]=$
$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left[-E(x,t)\phi (x)\right]_{\epsilon }^{+\infty }dx=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}E(x,\epsilon )\phi (x,\epsilon )dx=$
$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{(4\pi \epsilon )^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4\epsilon }}}\phi (x,\epsilon )dx=$
Effettuando la sostituzione ${\frac {x}{2{\sqrt {\epsilon }}}}=y$
$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{(4\pi \epsilon )^{\frac {n}{2}}}}e^{-\mid y\mid ^{2}}\phi (2{\sqrt {2}}y,\epsilon )(2{\sqrt {2}})^{n}dy=$
$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {e^{-\mid y\mid ^{2}}}{\pi ^{\frac {n}{2}}}}\phi (0,0)dy=\delta _{(0,0)}$
Rimane quindi provato che:
${\mathcal {H}}E(x,t)=\delta _{(0,0)}(\phi ),\;\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )$
Si osserva inoltre che:
$\lim _{t\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {\mid x-y\mid ^{2}}{4t}}}\phi (y)dy=\phi (x)=\delta _{x}(\phi ),\;\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$
Si ha che la soluzione fondamentale soddisfa l'equazione del calore con dato iniziale $\delta _{x}(\phi )$ .