# Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Formulario

Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
Dinamica dei sistemi di punti
* Centro di massaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Centro di massa
* Conservazione della quantità di motoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Conservazione della quantità di moto
* Sistema di riferimento del centro di massaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistema di riferimento del centro di massa
* Mutua interazione: problema dei due corpiMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Mutua interazione: problema dei due corpi
* Teorema di König per l'energia cineticaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per l'energia cinetica
* Sistemi a massa variabileMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi a massa variabile
* Moto di un razzoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di un razzo
Seconda legge cardinale
* La seconda legge cardinaleMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/La seconda legge cardinale
* Teorema di König per il momento angolareMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per il momento angolare
* Corpo rigido in rotazioneMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Corpo rigido in rotazione
* Momento d'inerziaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Momento d'inerzia
* Coppia di forzeMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Coppia di forze
* Sistemi di forze paralleleMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi di forze parallele
* Pendolo fisicoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Pendolo fisico
* Moto di una trottolaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di una trottola
Statica, urti e rotolamento
* Sistemi in equilibrioMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi in equilibrio
* Esempi di problemi di staticaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Esempi di problemi di statica
* Moto di rotolamentoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di rotolamento
* Urti elastici e anelasticiMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Urti elastici e anelastici
Appendice
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## Sistemi

Centro di massa:
${\vec {r}}_{CM}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {r}}_{i}}{M}}$
${\vec {v}}_{CM}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {v}}_{i}}{M}}$
${\vec {a}}_{CM}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}}$
Prima equazione cardinale:
${\vec {F}}_{CM}^{tot}={\frac {d{\vec {Q}}}{dt}}$

## Problema dei due corpi

Massa ridotta:
$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

## Teorema di Koenig

$K={\frac {1}{2}}M_{tot}v_{CM}^{2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}$
Il secondo fattore è l'energia cinetica del sistema rispetto al centro di massa.

## Seconda equazione cardinale

${\vec {\tau }}^{ext}={\frac {d{\vec {J}}}{dt}}$

### Coppia di forze

$C=bf$
Dove $b$ è la distanza tra le due forze applicate e $f$ il modulo di una delle due (si considerano forze che producono momento concorde e di modulo uguale)

### Rispetto a un polo qualsiasi

Dato un polo $\Omega \neq$ centro di massa:
${\vec {\tau }}_{\Omega }^{ext}={\frac {d{\vec {J}}_{\Omega }}{dt}}+{\vec {v}}_{\Omega }\wedge M{\vec {v}}_{CM}$

## Momenti di inerzia
### Rispetto al centro di massa

Anello omogeneo o cilindro cavo di massa $M$ e raggio $R$ (valido per tutti i prossimi casi):
$I_{c}=MR^{2}$
Disco omogeneo o cilindro pieno omogeneo:
$I_{c}={\frac {MR^{2}}{2}}$
Sbarretta omogenea di lunghezza $l$:
$I_{c}={\frac {Ml^{2}}{12}}$
Disco di raggio $r_{2}$ con buco di raggio $r_{1}$ (dove si considera $r_{1}+r_{2}=r$, ovvero il raggio totale del disco se fosse pieno):
$I_{c}={\frac {M}{2}}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})$
Sfera omogenea:
$I_{c}={\frac {2}{5}}MR^{2}$

### Teorema di Huygens-Steiner

$I_{a}=I_{c}+Md^{2}$
Dove $d$ è la distanza tra l'asse $c$ passante per il centro di massa e l'asse a a generico rispetto al quale si calcola il momento d'inerzia.

## Corpi rotanti

Abbiamo:
$J=I\omega$
Vettorialmente:
${\vec {J}}=I{\vec {\omega }}$
Energia cinetica di un corpo ruotante:
$K={\frac {1}{2}}Mv_{CM}^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

## Pendolo fisico

Equazione del moto:
${\ddot {\theta }}+{\frac {lMg}{2I}}\theta =0$
Dove
$\omega ={\sqrt {\frac {lMg}{2I}}}$
Caso particolare: sbarretta omogenea ruotante attorno a un estremo:
$\omega ={\sqrt {{\frac {3}{2}}{\frac {g}{l}}}}$

## Urti

Urto elastico: si conservano quantità di moto e energia cinetica:
${\begin{cases}&m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}={\text{ cost}}\\&{\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}={\text{ cost}}\end{cases}}$
Se l'urto è anelastico si conserva solo la quantità di moto, mentre l'energia cinetica viene ridotta di un fattore percentuale.