# Elaborazione numerica dei segnali/Campionamento e quantizzazione

Elaborazione numerica dei segnali
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## Quantizzazione

Un quantizzatore con risoluzione $n_{q}$ suddivide l'intervallo di ampiezze $\left[-V,V\right]$ in un numero finito $L=2^{n_{q}}$ intervalli di ampiezza uniforme:
    $\Delta ={\frac {2V}{L}}$
Al centro di ogni intervallo vi è un livello, che è rappresentato da una sequenza di $n_{q}$ bit.
L'operazione di quantizzazione permette di rappresentare un segnale in forma numerica: ogni campione della sequenza reale $x\left[n\right]$ campionata viene approssimato al livello associato all'intervallo a cui appartiene:
    $y=Q\left[x\left(nT_{c}\right)\right]={\begin{cases}-V+{\frac {1}{2}}\Delta &{\text{se }}x\left(nT_{c}\right)\in \left(-V,-V+\Delta \right)\\-V+{\frac {3}{2}}\Delta &{\text{se }}x\left(nT_{c}\right)\in \left(-V+\Delta ,-V+2\Delta \right)\\\vdots &\vdots \\V-{\frac {3}{2}}\Delta &{\text{se }}x\left(nT_{c}\right)\in \left(V-2\Delta ,V-\Delta \right)\\V-{\frac {1}{2}}\Delta &{\text{se }}x\left(nT_{c}\right)\in \left(V-\Delta ,V\right)\end{cases}}$
La caratteristica ingresso/uscita di un quantizzatore $Q$ è una scalinata a $L$ livelli:

### Errore di quantizzazione

Si definisce errore (o rumore) di quantizzazione $\varepsilon _{Q}\left[n\right]$ la differenza fra un campione reale $x\left[n\right]$ e la sua versione quantizzata $x_{Q}\left[n\right]$:
    $\varepsilon _{Q}\left[n\right]=x\left[n\right]-x_{Q}\left[n\right]$

### Rapporto segnale rumore

La qualità del segnale quantizzato è espressa in termini del rapporto segnale rumore ${\text{SNR}}$:
    ${\text{SNR}}_{Q}={\frac {P_{S}}{P_{N}}}$
dove:
* $P_{S}$ è la potenza del segnale non ancora quantizzato $x\left[n\right]$:
    $P_{S}=\lim _{N\to +\infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\left|x\left[n\right]\right|}^{2}={\frac {V^{2}}{3}}$
* $P_{N}$ è la potenza del rumore di quantizzazione $\varepsilon _{Q}\left[n\right]$:
    $P_{N}=\lim _{N\to +\infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\left|\varepsilon _{Q}\left[n\right]\right|}^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{12}}$
Se il segnale $x\left[n\right]$ ha una distribuzione delle ampiezze uniforme nell'intervallo $\left[-V,V\right]$:
nell'ipotesi di impiegare un numero sufficientemente elevato di livelli di quantizzazione, l'errore di quantizzazione $\varepsilon _{Q}\left[n\right]$ può essere modellato come un processo casuale bianco, ergodico, stazionario in senso lato, statisticamente indipendente (scorrelato) dal segnale $x\left[n\right]$, e distribuito uniformemente nell'intervallo $\left[-{\frac {\Delta }{2}},{\frac {\Delta }{2}}\right]$:
    $f\left(\varepsilon \right)={\begin{cases}{1 \over \Delta }&{\text{se }}\varepsilon \in \left[-{\Delta \over 2},{\Delta \over 2}\right]\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$
Siccome l'errore di quantizzazione $\varepsilon _{Q}\left[n\right]$ è ergodico:
    $P_{N}=\sigma _{\varepsilon }^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\varepsilon ^{2}f\left(\varepsilon \right)d\varepsilon ={\frac {1}{\Delta }}\int _{-{\frac {1}{\Delta }}}^{\Delta \over 2}\varepsilon ^{2}d\varepsilon ={\frac {\Delta ^{2}}{12}}$
e la potenza del segnale $x\left[n\right]$:
    $P_{S}={\frac {1}{2V}}\int _{-V}^{V}x^{2}dx={\frac {1}{2V}}\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert _{-V}^{V}={\frac {V^{2}}{3}}$
Assumendo che la dinamica del quantizzatore $D$ sia uguale alla dinamica del segnale ($D=2V$), si ricava che il rapporto segnale rumore ${\text{SNR}}$ si riduce all'aumentare del numero di livelli $L$:
    ${\text{SNR}}_{Q}=L^{2}$
    $\Delta ={\frac {D}{L}}={\frac {2V}{L}}\Rightarrow {\text{SNR}}_{Q}={\frac {P_{S}}{P_{N}}}={\frac {\frac {V^{2}}{3}}{\frac {\Delta ^{2}}{12}}}=4{\frac {V^{2}}{4{\frac {V^{2}}{L^{2}}}}}=L^{2}$
Ogni bit aggiuntivo di risoluzione incrementa di 6 dB il rapporto segnale rumore:
    $\left.{\text{SNR}}_{Q}\right\vert _{\text{dB}}\cong 6n_{Q}$
    $\left.{\text{SNR}}_{Q}\right\vert _{\text{dB}}=10\log _{10}{\left(L^{2}\right)}=10\log _{10}{\left(2^{2n_{Q}}\right)}=n\cdot 20\log _{10}{2}\cong 6n_{Q}$
Se invece la dinamica del quantizzatore $D$ è sganciata da quella del segnale ($D<2V$), compare un addendo logaritmico:
    $\left.{\text{SNR}}_{Q}\right\vert _{\text{dB}}\cong 6n_{Q}+10\log _{10}\left({\frac {4V^{2}}{D^{2}}}\right)$
    $P_{N}={\frac {\Delta ^{2}}{12}}={\frac {D^{2}}{12L^{2}}}$
    $\left.{\text{SNR}}_{Q}\right\vert _{\text{dB}}=10\log _{10}{\frac {P_{S}}{P_{N}}}=10\log _{10}\left({\frac {V^{2}}{3}}{12L^{2} \over D^{2}}\right)=10\log _{10}\left(L^{2}\right)+10\log _{10}\left({\frac {4V^{2}}{D^{2}}}\right)\cong 6n_{Q}+10\log _{10}\left({\frac {4V^{2}}{D^{2}}}\right)$