# Meccanica analitica/Spazi delle fasi

Meccanica analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Meccanica lagrangiana
* Introduzione alla meccanica lagrangianaMeccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
* Vincoli, virtualismi, variabili lagrangianeMeccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
* Equazione simbolica di d'AlembertMeccanica analitica/Equazione simbolica di d'Alembert
* La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
* Quantità conservateMeccanica analitica/Quantità conservate
* Punti di equilibrioMeccanica analitica/Punti di equilibrio
* Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabiliMeccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili
Meccanica hamiltoniana
* Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
* Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
* Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
* Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
* Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
* Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
* Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
* Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
* Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
* Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
* Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
* Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
* Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
* La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
* La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
* Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
* Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
* Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
* Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
* Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
* Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
* Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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Abbiamo visto che nel formalismo hamiltoniano si studia l'evolvere di un sistema fisico al variare delle coordinate lagrangiane $q_{h}$ e dei rispettivi momenti coniugati $p_{h}$. È allora interessante graficare proprio queste variabili, ottenendo quello che si definisce spazio delle fasi, ovvero un grafico $(p,q)$ con i momenti sulle ordinate. Questo è un esempio di spazio delle fasi, di un sistema instabile:
Vediamo qualche esempio di spazi delle fasi. Iniziamo con l'oscillatore armonico: scriviamone la lagrangiana.
$L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}$
L'energia generalizzata ${\mathcal {H}}$, in questo caso particolare, coincide con l'energia totale del sistema. Il momento coniugato di $x$ sarà $P_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}$; l'hamiltoniana è:
$H=T+U={\frac {p_{x}^{2}}{2m}}+U(x)={\frac {p_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}$
Questa formula è simile a un'espressione del tipo ${\frac {p_{x}^{2}}{b^{2}}}+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}$, che è l'equazione di un'ellisse. Ciò significa che, nello spazio delle fasi, il moto normale del sistema sarà descritto da una traiettoria elissoidale; le curve di livello del grafico, ovvero le varie ellissi, variano di dimensioni a seconda dell'energia del sistema.