# Matematica per le superiori/Limiti

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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Per limite si intende il valore, $l\,$, al quale una funzione $f(x)$ si avvicina quando la variabile indipendente si avvicina a un determinato valore $a\,$. Si scrive quindi:
    $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=l$
e si legge: Il limite per $x$ che tende a $a\,$ di $f(x)$ è uguale a $l\,$.
Sia $a\,$ sia $l\,$ possono essere dei valori numerici oppure $\infty$.
Il valore $a\,$ deve essere un punto di accumulazione per l'insieme di definizione della funzione $f(x)\,$, non deve essere un punto isolato, cioè per quanto piccolo prenda un intorno di $a\,$ questo deve contenere altri punti dell'insieme di definizione della funzione.
Sulla base del concetto di limite si possone definire la continuità, la derivata e gli asintoti di una funzione, aspetti fondamentali per studiarne l'andamento.

## Definizione

Se $a\,$ è un punto di accumulazione per un insieme di esistenza della funzione $f(x)\,$ allora diremo che $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=l$ se per qualunque intorno di $l\,$ esiste un intorno di $a\,$ tale che per ogni $x\,$ appartenente all'intorno di $a\,$ tranne $a\,$ stesso, $f(x)\,$ appartiene all'intorno di $l\,$.
Quindi, chiamando $I_{l}\,$ e $I_{a}\,$ rispettivamente un intorno di $l\,$ e un intorno di $a\,$:
    $\forall I_{l}\ \exists I_{a}\ |\ \forall x\in (I_{a}-a)\rightarrow f(x)\in I_{l}$
Per verificare il limite bisogna verificare che:
    $\forall \epsilon >0\ \exists \delta \ |\ \forall x\ |x-a|<\delta \land x\neq x_{0}\rightarrow |f(x)-l|<\epsilon$
Dalla precedente definizione si ricavano i casi in cui il valore a cui tende $x\,$ o il limite siano finiti o infiniti:
Un limite finito per $x\,$ che tende a un valore finito:
    $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=l$.
Un limite infinito per $x\,$ che tende a un valore finito:
    $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=\infty$.
Un limite finito per $x\,$ che tende a un valore infinito:
    $\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=l$.
Un limite infinito per $x\,$ che tende a un valore infinito:
    $\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$.

## Infiniti

La funzione $f(x)\,$ si dice un infinito per $x\,$ che tende a $c\,$ se $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty$
Dati due infiniti $f(x)\,$ e $g(x)\,$ si possono avere i seguenti casi:
* $\lim _{x\rightarrow \infty }$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=n\,$ con $n\neq 0\,$ allora gli infiniti sono dello stesso ordine.
* $\lim _{x\rightarrow \infty }$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=0\,$ allora $g(x)\,$ è un infinito di ordine superiore a $f(x)\,$
* $\lim _{x\rightarrow \infty }$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=\infty \,$ allora $f(x)\,$ è un infinito di ordine superiore a $g(x)\,$

## Infinitesimi

La funzione $f(x)\,$ si dice un infinitesimo per $x\,$ che tende a $c,$ se $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=0$
Dati due infinitesimi $f(x)\,$ e $g(x)\,$ si possono avere i seguenti casi:
* $\lim _{x\rightarrow 0}$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=n\,$ con $n\neq 0\,$ allora gli infinitesimi sono dello stesso ordine.
* $\lim _{x\rightarrow 0}$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=0\,$ allora $f(x)\,$ è un infinitesimo di ordine superiore a $g(x)\,$
* $\lim _{x\rightarrow 0}$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}=\infty \,$ allora $g(x)\,$ è un infinitesimo di ordine superiore a $f(x)\,$

### Limiti e infinitesimi

teorema
Chiamando $\alpha (x)\,$ un infinitesimo per $x\rightarrow c$, se:
    $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=l$
allora:
    $f(x)=l+\alpha (x)\,$
e viceversa.
dimostrazione
q.e.d.

### Somma di infinitesimi

Se $\alpha (x)\,$ e $\beta (x)\,$ sono due infinitesimi allora $\alpha (x)+\beta (x)\,$ è un infinitesimo.

### Prodotto di infinitesimi

Se $\alpha (x)\,$ e $\beta (x)\,$ sono due infinitesimi allora $\alpha (x)\cdot \beta (x)\,$ è un infinitesimo.

## Calcolo con i limiti
### Limite di una costante
### Prodotto di funzioni

teorema
Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti.
Se $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=l$ e $\lim _{x\rightarrow a}g(x)=m$ allora $\lim _{x\rightarrow a}(f(x)\cdot g(x))=l\cdot m$
Dimostrazione
Dobbiamo dimostrare che:
    1. $\left|f(x)\cdot g(x)-l\cdot m\right|<\epsilon$
Tenendo conto del teorema su limiti e infinitesimi e cioè che:
$f(x)=l+\alpha (x)\,$
e
$g(x)=m+\beta (x)\,$
con $\alpha (x)\,$ e $\beta (x)\,$ due infinitesimi per $x\rightarrow a$.
L'espressione 1. diventa:
    2. $\left|(l+\alpha (x))\cdot (m+\beta (x))-l\cdot m\right|<\epsilon$
Svolgendo i calcoli si ottiene:
    $\left|l\cdot m+l\cdot \alpha (x)+m\cdot \beta (x)+\alpha (x)\cdot \beta (x)-l\cdot m\right|<\epsilon$
e:
    3. $\left|l\cdot \alpha (x)+m\cdot \beta (x)+\alpha (x)\cdot \beta (x)\right|<\epsilon$
Ora:
* i prodotto di valori finiti per infinitesimi ($l\cdot \alpha (x)$ e $m\cdot \beta (x)$) sono infinitesimi,
* il prodotto tra due infinitesimi ($\alpha (x)\cdot \beta (x)$) e un infinitesimo,
* la somma tra questi infinitesimi è un infinitesimo.
Quindi il contenuto del modulo è minore di qualunque $\epsilon$ dato per $x\rightarrow a$.
q.e.d.

### Limite di una funzione polinomiale
## Risoluzione di alcune forme di indecisione
## Limiti notevoli
### Limiti notevoli di funzioni goniometriche

    $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$
    $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {\epsilon (x)}}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$
    Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin {{\emph {a}}x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}{\emph {a}}}
    $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan {x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$
    $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos {x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}0$
    $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos {x}}{x^{2}}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}{\frac {1}{2}}$

### Limiti notevoli di funzioni esponenziali

    $\lim _{x\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}e$
    $\lim _{x\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{\epsilon (x)}}\right)^{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}e$
    Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\left(1+{\frac {\emph {a}}{x}}\right)^{x}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}e^{\emph {a}}}
    $\lim _{x\to \infty }{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}{\frac {1}{e}}$
    $\lim _{x\to 0}{\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}}{\stackrel {\left[1^{\infty }\right]}{=}}e$
    $\lim _{x\to 0}{\left(1+\epsilon (x)\right)^{\frac {1}{\epsilon (x)}}}{\stackrel {\left[1^{\infty }\right]}{=}}e$
    $\lim _{x\to 0}{\left(1-x\right)^{\frac {1}{x}}}{\stackrel {\left[1^{\infty }\right]}{=}}{\frac {1}{e}}$
    $\lim {f(x)^{g(x)}}=\lim {e^{g(x)\cdot \ln {f(x)}}}$

### Limiti notevoli di funzioni contenenti logaritmi o esponenziali

    $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln {(1+x)}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$
    Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{\emph {a}}{(1+x)}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\log _{a}{e}={\frac {1}{\ln {a}}}}
    $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln {(1+\epsilon (x))}}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$
    $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$
    Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\emph {a}}^{x}-1}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\ln {\emph {a}}}
    $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{\epsilon (x)}-1}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}1$
    Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\emph {a}}^{\epsilon (x)}-1}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\ln {\emph {a}}}

## I limiti nello studio di funzioni

Lo studio dei limiti di una funzione consente di esaminarne il comportamento nei pressi di alcuni punti, detti punti notevoli, nei quali la funzione non è ben definita (discontinuità, zeri, estremi del dominio) o all'infinito (asintoti).
Particolare importanza riveste la risoluzione di forme di indeterminazione ($+\infty -\infty$, ${\frac {0}{0}}$, ${\frac {\infty }{\infty }}$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$): laddove la funzione assuma una di queste forme, è necessario trasformarla opportunamente (ad esempio mediante scomposizione) per risolvere la forma indeterminata ed arrivare al calcolo del limite.