# Controlli automatici/Reiezione disturbi polinomiali

Controlli automatici
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
    CopertinaControlli automatici/Copertina
* Introduzione ai sistemi di controlloControlli automatici/Introduzione ai sistemi di controllo
* Schemi a blocchiControlli automatici/Schemi a blocchi
* Specifiche di progettoControlli automatici/Specifiche di progetto
* Inseguimento riferimenti polinomialiControlli automatici/Inseguimento riferimenti polinomiali
* Reiezione disturbi polinomialiControlli automatici/Reiezione disturbi polinomiali
* Diagrammi di BodeControlli automatici/Diagrammi di Bode
* Diagrammi polari e di NyquistControlli automatici/Diagrammi polari e di Nyquist
* Criterio di NyquistControlli automatici/Criterio di Nyquist
* Margini di stabilitàControlli automatici/Margini di stabilità
* Risposta transitoria e in frequenzaControlli automatici/Risposta transitoria e in frequenza
* Diagrammi e carta di NicholsControlli automatici/Diagrammi e carta di Nichols
* Riferimenti e disturbi sinusoidaliControlli automatici/Riferimenti e disturbi sinusoidali
* Analisi delle specificheControlli automatici/Analisi delle specifiche
* Reti di compensazioneControlli automatici/Reti di compensazione
* Funzione di sensibilitàControlli automatici/Funzione di sensibilità
* Regolatori PIDControlli automatici/Regolatori PID
* Realizzazione dei controllori analogiciControlli automatici/Realizzazione dei controllori analogici
* Sistemi di controllo digitaliControlli automatici/Sistemi di controllo digitali
Modifica il sommario
Un disturbo è costituito da un segnale indesiderato che agisce sul sistema modificandone il comportamento dinamico e quindi l'andamento dell'uscita. I disturbi possono essere generati da:
* il rumore dei dispositivi elettronici interni al sistema da controllare e/o presenti negli attuatori e trasduttori impiegati;
* elementi fisici del sistema, quali il carico variabile di un braccio robotico, il vento per un'antenna radar, l'attrito in un sistema meccanico, ecc.

## Tipi di disturbo

* disturbi polinomiali: rappresentano offset o derive nel tempo;
* disturbi sinusoidali: rappresentano la componente principale di rumore di un dispositivo.

## Effetti di disturbi polinomiali sull'uscita in regime permanente
### Tipi di disturbo polinomiale

* disturbo costante (polinomio di grado zero): rappresenta un offset:
    $d(t)=D\Rightarrow d(s)={\frac {D}{s}}$
* disturbo a rampa (polinomio di primo grado): rappresenta una deriva nel tempo:
    $d(t)=\alpha _{d}t\Rightarrow d(s)={\frac {\alpha _{d}}{s^{2}}}$
Un disturbo polinomiale è caratterizzato da:
* posizione nell'anello;
* tipo e guadagno stazionario dei blocchi sull'anello.
Per ogni disturbo $d_{j}(t)$:
* si pongono a zero il riferimento $r(t)$ (e quindi l'uscita desiderata $y_{\text{des}}(t)$) e tutti gli altri eventuali disturbi;
* si determina l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente ${y_{d_{j}}}_{\infty }$, cioè il valore dell'uscita in regime permanente in presenza del solo disturbo $d_{j}(t)$, tramite il teorema del valore finale:
    ${y_{d_{j}}}_{\infty }=\lim _{t\to +\infty }y_{d_{j}}(t)=\lim _{s\to 0}sy_{d_{j}}(s)=\lim _{s\to 0}sW_{d_{j}}(s)d_{j}(s)$
    dove $W_{d_{j}}$ è la funzione di trasferimento fra il disturbo e l'uscita:
       $W_{d_{j}}(s)={\frac {y_{d_{j}}(s)}{d_{j}(s)}}$
* si determina l'errore in regime permanente ${e_{d_{j}}}_{\infty }$ dovuto alla sola presenza del disturbo $d_{j}(t)$:
    $e(t)={\cancel {y_{\text{des}}(t)}}-y(t)\Rightarrow {e_{d_{j}}}_{\infty }=-{y_{d_{j}}}_{\infty }$
Un sistema si dice astatico ad un disturbo $d_{j}(t)$ se l'effetto ${y_{d_{j}}}_{\infty }$ di tale disturbo sull'uscita in regime permanente è nullo (reiezione totale).
Per il principio di sovrapposizione degli effetti, l'errore totale in regime permanente $e_{\infty }$ corrisponde alla somma degli errori dovuti ad ogni disturbo $d_{j}(t)$ e dell'eventuale errore di inseguimento in regime permanente ${e_{r}}_{\infty }$:
    $e_{\infty }={e_{r}}_{\infty }+\sideset{_{j}}\sum {{e_{d_{j}}}_{\infty }}$

### Effetti di un disturbo posto sull'uscita

Effetto sull'uscita in regime permanente ${y_{d_{y}}}_{\infty }$ :
| | | Disturbo $d_{y}(t)$ posto sull'uscita | Disturbo $d_{y}(t)$ posto sull'uscita |
| | | costante: $D_{y}$ | rampa: $\alpha _{d_{y}}t$ |
| S i s t e m a | tipo 0 | ${\frac {D_{y}}{1+K_{Ga}}}$ | $+\infty$ |
| S i s t e m a | tipo 1 | 0 | ${\frac {\alpha _{d_{y}}}{K_{Ga}}}$ |
| S i s t e m a | tipo 2 | 0 | 0 |
Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello $G_{a}(s)=C(s)F(s)$ in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento $W_{d_{y}}(s)$ fra un disturbo polinomiale $d_{y}(t)$ posto sull'uscita e l'uscita è data da:
    $W_{d_{y}}(s)={\frac {y_{d_{y}}(s)}{d_{y}(s)}}={\frac {1}{1+G_{a}(s)}}=W_{e,y}(s)$
Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente ${y_{d_{y}}}_{\infty }$ (reiezione totale):
    ${y_{d_{y}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}sW_{d_{y}}(s)d_{y}(s)$
* il sistema è astatico ad un disturbo costante $D_{y}$ posto sull'uscita se è almeno di tipo 1:
    ${y_{d_{y}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {1}{1+G_{a}(s)}}{\frac {D_{y}}{\cancel {s}}}=0,\quad G_{a}(s)={\frac {N\left(s\right)}{s}}$
* il sistema è astatico ad un disturbo a rampa $\alpha _{d_{y}}t$ posto sull'uscita se è almeno di tipo 2:
    ${y_{d_{y}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {1}{1+G_{a}(s)}}{\frac {\alpha _{d_{y}}}{s^{\cancel {2}}}}=0,\quad G_{a}(s)={\frac {M\left(s\right)}{s^{2}}}$

### Effetti di un disturbo posto lungo il ramo diretto

Effetto sull'uscita in regime permanente ${y_{d_{i}}}_{\infty }$ :
| | | Disturbo $d_{i}(t)$ posto lungo il ramo diretto | Disturbo $d_{i}(t)$ posto lungo il ramo diretto | Disturbo $d_{i}(t)$ posto lungo il ramo diretto |
| | | costante: $D_{i}$ | costante: $D_{i}$ | rampa: $\alpha _{d_{i}}t$ |
| $G_{1}(s)$ | tipo 0 | $G_{2}(s)$ tipo 0: ${\frac {K_{G2}D_{i}}{1+K_{G1}K_{G2}}}$ | $G_{2}(s)$ tipo > 0: ${\frac {D_{i}}{K_{G1}}}$ | $+\infty$ |
| $G_{1}(s)$ | tipo 1 | 0 | 0 | ${\frac {\alpha _{d_{i}}}{K_{G1}}}$ |
| $G_{1}(s)$ | tipo 2 | 0 | 0 | 0 |
Sia $d_{i}(t)$ un disturbo entrante in un punto intermedio del ramo diretto, precisamente fra dei blocchi a monte aventi funzione di trasferimento $G_{1}(s)$ e dei blocchi a valle aventi funzione di trasferimento $G_{2}(s)$:
* se $d_{i}(t)$ è un disturbo sul comando ($d_{u}(t)$): $G_{1}(s)=C(s)$, $G_{2}(s)=F(s)$;
* se $d_{i}(t)$ è un disturbo interno al sistema: $G_{1}(s)=C(s)F_{1}(s)$, $G_{2}(s)=F_{2}(s)$.
Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello $G_{a}(s)=C(s)F(s)$ in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento $W_{d_{i}}(s)$ fra un disturbo polinomiale $d_{i}(t)$ posto lungo il ramo diretto e l'uscita è data da:
    $W_{d_{i}}(s)={\frac {y_{d_{i}}(s)}{d_{i}(s)}}={\frac {G_{2}(s)}{1+G_{a}(s)}},\quad G_{a}(s)=G_{1}(s)G_{2}(s)$
Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente ${y_{d_{i}}}_{\infty }$ (reiezione totale):
    ${y_{d_{i}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}sW_{d_{i}}(s)d_{i}(s)$
* il sistema è astatico ad un disturbo costante $D_{i}$ posto lungo il ramo diretto se $G_{1}(s)$ è almeno di tipo 1 indipendentemente dalla tipologia di $G_{2}(s)$:
    ${y_{d_{i}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)}}{\frac {D_{i}}{\cancel {s}}}=0,\quad G_{1}(s)={\frac {N\left(s\right)}{s}}$
* il sistema è astatico ad un disturbo a rampa $\alpha _{d_{i}}t$ posto lungo il ramo diretto se $G_{1}(s)$ è almeno di tipo 2 indipendentemente dalla tipologia di $G_{2}(s)$:
    ${y_{d_{i}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)}}{\frac {\alpha _{d_{i}}}{s^{\cancel {2}}}}=0,\quad G_{1}(s)={\frac {M\left(s\right)}{s^{2}}}$

## Implicazioni sul progetto del controllore
### Specifica di reiezione

Una specifica di reiezione totale in regime permanente di un disturbo polinomiale può imporre vincoli sul numero di poli nell'origine della funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore ${\mathcal {C}}$: affinché un disturbo polinomiale di grado $h$ sia reiettato completamente in regime permanente, è necessario che la funzione di trasferimento $G_{1}(s)$ risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo abbia (almeno) $h+1$ poli nell'origine.

### Specifica di attenuazione

Una specifica di attenuazione minima in regime permanente di un disturbo polinomiale può essere formulata in termini di effetto massimo del disturbo sull'uscita, o equivalentemente sull'errore massimo generato, e può imporre vincoli sia sul numero di poli nell'origine, sia sul guadagno stazionario $K_{C}$ minimo della funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore ${\mathcal {C}}$.

#### Vincoli sul numero di poli nell'origine

Affinché l'effetto di un disturbo polinomiale $d(t)$ di grado $h$ sull'uscita in regime permanente ${y_{d}}_{\infty }$ sia finito e non nullo, è necessario che la funzione di trasferimento $G_{1}(s)$ risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo abbia (almeno) $h$ poli nell'origine:
* disturbo costante $D$: non richiede mai l'inserimento di poli nell'origine nella funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore;
* disturbo a rampa $\alpha _{d}t$: può richiedere l'inserimento di un polo nell'origine nella funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore nel caso in cui la funzione di trasferimento $G_{1}(s)$ non ha poli nell'origine.

#### Vincoli sul guadagno stazionario minimo

Se il numero di poli della funzione di trasferimento $G_{1}(s)$ è uguale al grado del disturbo polinomiale $d(t)$, l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente ${y_{d}}_{\infty }$ si riduce all'aumentare del guadagno stazionario $K_{G1}$ della funzione di trasferimento $G_{1}(s)$, e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario $K_{C}$ della funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore:
    $\left|{y_{d}}_{\infty }\left(K_{G1}\right)\right|\leq {y_{d}}_{\text{max}}\Rightarrow \left|K_{G1}\right|\geq {K_{G1}}_{\text{min}}\Rightarrow \left|K_{C}\right|\geq {K_{C}}_{\text{min}}$

## Note

* 1 2 $G_{1}(s)$ coincide con l'intera $G_{a}(s)$ se il disturbo entra sull'uscita del sistema.