# Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 25-32

Niels Abel diceva che la matematica si impara meglio se la si ascolta direttamente dalla bocca dei maestri, piuttosto che da quella degli allievi. Per questo, nelle seguenti dimostrazioni, useremo proprio le parole del maestro Euclide (naturalmente tradotte in italiano corrente) mentre i commenti degli allievi li metteremo tra parentesi. A parte naturalmente le enunciazioni, che l'allievo Nicolò Tartaglia scrisse nel 1565, e che qui useremo come intestazione di ciascun teorema.
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## Teorema 25

Theorema .16. Propositione .25.
[25/25] D'ogni dui triangoli, diquali li dui lati dell'un siano equali alli duoi lati dall'altro, & che la basa dell'uno sia maggiore della basa dell'altro. Anchora l'angolo contenuto da quelli lati equali del detto triangolo (che ha la basa maggiore) serà maggior dell'angolo dell'altro triangolo contenuto delli medesimi lati.
[vedi figura 029r_a.png] Siano li duoi traingoli ,a,b,c, & d,e,f, et siano li duoi lati ,a,b, & ,a,c, del primo [pag. 29r] equali alli duoi lati ,d,e, & ,d,f, del secondo,cioe ciascuno allo suo relatiuo, & sia la basa ,b,c, maggiore della basa ,e,f, dico che lo angolo a, serà maggiore dell'angolo d. questa è il conuerso della precedente, laqual cosa se dimostrarà in questo modo. Se l'angolo ,a, non è maggiore, per l'aduersario, dell'angolo ,d, serà adonque equale, ouer minor di lui, equale non può essere, perché se cosi fusse, per la quarta, la basa ,b,c, seria equale alla basa ,e,f, che seria contra il presupposito, Ma dico che anchora el non può essere minore, perché se l'angolo ,a, fusse minore dell'angolo ,d, la basa ,b,c, seria, per la precedente, minor della basa ,e.f. che seria molto contra il presupposito, adunque non possendo l'angolo ,a, esser ne equale ne minor dell'angolo ,d, glie necessario che sia maggiore, che è il proposito.
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## Teorema 26

Theorema .17. Propositione .26.
[26/26] De ogni duoi triangoli di quali li duoi angoli di l'uno seranno equali à duoi angoli di l'altro ciascuno al suo relatiuo, anchora che un lato dell'uno sia equale à un lato dell'altro, ò sia quel tal lato fra li duoi angoli equali oueramente opposito à uno de quelli, anchora li duoi restanti lati di l'uno seranno equali alli duoi restanti lati dell'altro, ciascuno al suo risguardante, ouer relatituo, & similmente l'altro angolo di l'uno serà equale à l'altro angolo dell'altro.
[vedi figura 029r_b.png] Siano li duoi triangoli ,a,b,c, & ,d,e,f, & sia l'angolo ,b, equale allo angolo ,e, & l'angolo .c. equal all'angolo ,f, & sia el lato ,b,c, equale al lato ,ef, ouer l'uno delli altri duoi lati ,a,b, & ,a,c, sia equal a uno delli altri duoi lati ,d,e, et ,d,f, cioe uno di loro al suo relatiuo, cioe che ,a,b, sia equale al d,e, ouer ,a,c, al ,d,f. Dico che li altri duoi lati dell'uno seranno equali alli altri duoi lati dell'altro, & l'altro angolo dell'uno serà equale all'altro angolo dell'altro, cioe l'angolo ,a, serà equale all'angolo ,d. Ponerò adunque primamente che lo lato ,b,c, (sopra delquale giaceno li duoi angoli ,b,c,) sia equale al lato ,e,f, sopra del quale giaceno li duoi angoli ,e,f, liquali sono stati posti equali alli detti duoi angoli ,b.c. hor dico che 'l lato ,a,b, serà equale al lato ,d,e, il lato ,a,c, al lato ,d,f, & l'angolo ,a, all'angolo .d.Perché, se possibil sia per l'aduersario, che 'l lato ,a,b, non sia equale al lato d,e, l'uno di quelli serà adonque maggior, hor poniamo che'l lato ,d,e, sia maggiore del lato ,a,b, io segarò del lato ,d,e, la parte ,g,e, equali al lato ,a,b, per la tertia propositione, e produrò la linea ,g,f, li duoi lati adonque ,e,g, et ,e,f, del triangolo ,e,g,f, son equali [pag. 29v] duoi lati .a.b. & .b.c. del triangolo .a.b.c. & l'angolo .a.b.c. è equale all'angolo g.e.f. dal prosupposito, per laqual cosa l'angolo .g.f.e. seria equale all'angolo .a.c.b. per la quarta propositione, & perché l'angolo .d.f.e. si è anchora lui equale al ditto angolo .a.c.b. dal prosupposito per la prima concettione, serà etiam equale all'angolo .g.f.e. sua parte, che è impossibile, per l'ultima concettione, adonque .d.e. serà equale al .a.b, per la quarta propositione, il lato .d.f. sera etiam equale al lato .a.c. & l'angolo .d. all'angolo .a. serà equale, che è il primo membro della diuision proposita, Sia anchora li duoi angoli .b. & .c. equali alli duoi angoli .e.f. come prima, & sia il lato .a.b. ilquale è opposito all'angolo .c. equale al lato .d.e. ilqual è opposito all'angolo .f. ilqual è posto equale all'angolo .c. dico che lato .b.c. serà equal al lato .e.f. & il lato .a.c. al lato .d.f & l'angolo .a. all'angolo .d. & sel lato .e.f. non fusse equale al lato lato .b.c. per l'aduersario l'uno di loro serà maggior dell'altro, sia adonque .e.f. maggior del .b.c. e per tanto ponerò .e.h. equale al .b.c. per la tertia propositione, & produrò la linea .d.h. & serà constituido il triangolo .d.e.h. che li duoi lati .e.d. & .e.h. son equali alli duoi lati .bc. & .b.a. del triangolo .a.b.c. e l'angolo .e. si è equale all'angolo .b. dal presupposito, dilche l'angolo .e.h.d. seria equale a l'angolo .b.c.a. per la quarta propositione, e l'angolo .f. per esser equale anchora all'angolo .c. serà etiam equale all'angolo .e.h.d. per la prima concettione, laqual cosa è impossibile, per la sestadecima propositione, che l'angolo .e.h.d. estrinsico del triangolo .d.h.f. sia equale allo angolo .h.f.d. intrinsico, & opposito, adonque il lato .e.f. serà equale al lato .b.c. & similmente, per la quarta propositione, il lato .d.f. al lato .a.c. serà equale,e l'angolo .e.d.f. all'angolo .b.a.c. che è il secondo membro della proposita diuisione, dilche tutto il proposito serà manifesto.
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## Teorema 27

Theorema .18. propositione .27.
[27/27] Se una linea retta caderà sopra a due linee rette, & facia li duoi angoli coalterni fra loro equali, quelle due linee seranno equidistante.
[vedi figura 029v.png] Sia come è la linea .a.b. laqual cade sopra le due linee .c.d. & .e.f. & sega la linea .c.d. in ponto .g. & la linea .e.f. in ponto .h. & sia l'angolo .d.g.h. equale all'angolo .e.h.g. Dico che le dette due linee .c.d. & .e.f. sono equidistante, ma se possibile è per lo aduersario, che non siano equidistante, poniamo che protratte dalla parte .c.e. concorrano nel ponto .k. ouero dalla parte .d.f. nel ponto .l. & sia pur come si uoglia, che accaderà lo impossibile, per la decimasesta propositione, perché l'angolo estrinseco seria equale allo intrinseco, & opposito, perché uno delli detti angoli alterni, liquali sono posti equali, serà lo estrinsico, & l'altro serà lo intrinsico, perché concorrendo due linee .d.c. et .e.f. in ponto .k. seria formato uno triangolo, che seria .g.h.k. & seria prodotto il lato .k.g. fina in .d. facendo l'angolo .h.g.d. estrinseco, ilquale è posto equale all'angolo .e.h.g. intrinseco, & opposito, laqual cosa è impossibile per la sopralegata propositione: e perché l'è impossibile che le due linee, protratte da qual parte si uoglia, concorrano [pag. 30r], adonque seranno equidistante per la uigesima secunda diffinitione, che è il proposito.
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## Teorema 28

Theorema .19. Propositione .28.
[28/28] Se una linea retta uegnerà sopra a due linee rette, che l'angolo intrinseco causato da quella sia equal all'angolo estrinseco a se opposito, ouer che li duoi angoli intrinseci da una medesima parte siano equali a duoi angoli retti quelle due linee seranno equidistante.
[vedi figura 030r_a.png] Sia come la linea .a.b. laqual sega le due linee.c.d. & .e.f nelli duoi ponti .g.h. & sia l'angolo .g. estrinseco equale all'angolo .h. intrinseco, dalla medesima parte uerso .d.f. ouer che li duoi angoli .g. & .h. intrinseci, tolti dalla medesima parte, siano equali a duoi angoli retti. Dico che le due linee .c.d. & .e.f. sono equidistante, hor sia primamente l'angolo .d.g.a. equale all'angolo .f.h.g. & perché l'angolo .c.g.h. per la quinta decima propositione serà anchora lui equale all'angolo .d.g.a. (15) per la prima concettione, serà etiam equale all'angolo g.h.f. per la qual cosa la linea .c.d. è equidistante alla linea .e.f. per la precedente propositione, perché li angoli .g.h.f. & ,c,g,h, alterni sono equali. Anchora siano li duoi angoli ,d,g,h, & ,f,h,g, equali a duoi angoli retti, & perché li duoi angoli ,d,g,h, & ,c,g,h, similmente sono equali a duoi angoli retti, per la tertia decima propositione, l'angolo e,g,h, serà equale all'angolo ,f,h,g, per laqual cosa le dette due linee ,c,d, & ,e,f, per la detta propositione precedente, seranno equidistanti, che è il proposito.
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## Teorema 29

Theorema .20. Propositione .29.
[29/29] Se una linea retta caderà sopra a due linee equidistante, li duoi angoli coalterni seranno equali, & l'angolo estrinseco serà equale allo angolo intrinseco a se opposito, & similmente li duoi angoli intrinseci constituidi dall'una e l'altra parte seranno equali a duoi angoli retti.
[vedi figura 030r_b.png] Siano le due linee .a,b, & ,c,d, equidistante, sopra le quale cade la linea ,e,f, segando quelle nelli duoi ponti ,g,h, dico che li duoi angoli ,g,h, coalterni sono equali & e che l'angolo ,g, estrinseco si è equale all'angolo ,h, intrinsico a se opposito tolto dalla medesima parte, & che li dui angoli ,g,h, intrinsici tolti da una medesima parte sono equali, a duoi angoli retti, & questa è il conuerso delle due precedente, hor per dimostrar che l'angolo ,b,g,h, è equale all'angolo ,c,h,g, procederemo cosi, se l'angolo ,b,g,h, non è equal all'angolo ,c,h,g, l'uno de quelli serà maggiore, sia adonque maggiore lo angolo ,c,h,g, & perché li dui angoli ,c,h,g:g,h,d, sono equali [pag. 30v] a duoi angoli retti per la .13. propositione, & perché l'angolo ,b,g,h, e minor del ditto angolo ,c,h,g, ponendolo con lo angolo, d,h,g, in suma serano minori de duoi angoli retti, adonquese le dette due linee, a,b, &, c,d, seranno protratte dalla parte del ,b,d, concorreranno ad alcuno ponto (per la quarta petitione) come seria al ponto ,k, adonque non seriano equidistante (per la uigesima seconda diffinitione) che è contra il proposito, & perché questo è impossibile, seranno adonque li detti dui angoli ,b,g,h, & ,c,h,g, coalterni equali che è il primo proposito, & da questo si manifesta anchora il secondo; perché l'angolo ,b,g,h, si è equale all'angolo ,a,g,e (per la quintadecima) adonque (per la prima concettione) l'angolo ,a,g,e, serà etiam equale all'angolo ,c,h,g, cioe lo estrinsico serà equale allo intrinsico a se opposito ,ch'è il secondo proposito, dal qual similmente si manifesta il terzo, perché li dui angoli ,a,g,e, & ,c,h,g, sono equali, dandoli communemente l'angolo .a.g.h. la suma serà anchora equale, dilche li dui angoli .c.h.g. & .a.g.h. sono equali alli duoi angoli .a.g.h. & .a.g.e. & perché li dui angoli .a.g.e. & .a.g.h. (per la .13.) sono equali a dui angoli retti, adonque li dui angoli ,a,g,h, & ,c,h,g, seranno equali a dui angoli retti, che sono li duoi angoli intrinsici tolti dalla medesima parte uerso ,c,a, che è el terzo proposito.
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## Teorema 30

Theorema. 21. Propositione .30.
[30/30] Se due linee rette seranno equidistante a una medema linea, quelle medesime seranno fra loro equidistante.
[vedi figura 030v.png] Siano le due linee .a.b. & .c.d. delle quale l'una & l'altra siano equidistante dalla linea .e.f. Dico che queste due linee, cioe la ,a.b. & .c.d. fono fra loro equidistante. Et questo è uero uniuersalmente, o siano le dette linee, a.b. & .c.d. in una medema fuperficie con la medesima linea .e.f. oueramente non (tamen in questo loco non se intende altramente, se non secondo che tutte siano in una superficie, & di quelle che sono in diuerse superficie si approua nella nona propositione del .II. che sono equidistante) hor adonque siano tutte tre in una superficie io tirarò la linea .g.h. segando le dette tre linee nelli tre ponti .k.l.m. & perché la .a.b. è equidistante alla .e.f. l'angolo.a.k.l. si è equale all'angolo .k.l.f. (per la prima parte della precedente perché sono coalterni) e perché la .c.d. è etiam equidistante alla .e.f. l'angolo .f.l.k. (estrinsico) serà equale all'angolo .l.m.d. (intrinseco a se opposito, per la seconda parte della precedente) dilche se li duoi angoli .l.m.d. & .a.k.l. ciascun è equale all'angolo .k.l.f. (per la prima concettione) seranno etiam fra loro equali, per laqual cosa se l'angolo .a.k.l. è equal all'angolo .l.m.d. le dette due linee .a.b. & .c.d. sono equidistante (per la uigesimasettima propositione) perché li detti dui angoli sono coalterni, ch'è el proposito.
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## Teorema 31

Problema .10. Propositione .31.
[Questa manca nel Cardano.] [31/31] Da uno ponto dato fora di una proposta retta linea potemo condurre una linea retta equidistante a quella linea proposta.
[fig. 31r] [vedi figura 031r_a.png] Sia il ponto .a. dato de fora della linea .b.c. dalquale bisogni tirare una linea equidistante alla linea .b.c. tirò la linea .a.d. cascante come si uoglia con la linea .b.c. constituendo l'angolo .a.d.c. & l'angolo .a.d.b. Et sopra el ponto .a. constituerò (per la dottrina della uigesima terza propositione) l'angolo .e.a.d. equale all'angolo .a.d.b. ouer l'angolo.f.a.d. equale all'angolo .a.d.c. (che darà quel medesimo) e perché li detti angoli sono coalterni, la linea .f.e. serà equidistante alla linea .b.c. (per la uigesima settima propositione) che è il proposito.
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## Teorema 32

L'angolo estrinsico di ogni triangolo: d'un lato produto, è equale alli duoi intrinsici a lui oppositi, Et tutti li tre angoli intrinsici di quello è necessario esser equali a duoi angoli retti.
Disegnamo un triangolo qualsiasi ABC e prolunghiamo il lato BC fino a D. Io dico che l'angolo esterno ACD è congruente alla somma dei due angoli interni e ad esso opposti A e B. Inoltre sostengo che la somma degli angoli interni di detto triangolo ABC sia uguale a due angoli retti (ovvero ad un angolo piatto).
Per dimostrare questa mia affermazione, a partire dal punto C traccio la semiretta CF parallela al lato AB (vedi il Teorema 31)
In questo modo gli angoli FCA ed A saranno congruenti in quanto alterni interni (per la prima parte del Teorema 29)
D'altra parte, l'angolo esterno FCD sarà congruente all'angolo interno B in quanto ad esso corrispondente (per la seconda parte dello stesso Teorema 29)
Questo significa che l'angolo esterno ACD è congruente alla somma dei due angoli interni A e B ad esso opposti così come avevo sostenuto in principio.
Inoltre, siccome la somma dei due angoli ACB e ACD è congruente ad un angolo piatto (per il Teorema 13) ecco dimostrato anche che la somma dei tre angoli interni A, B e C è congruente ad un angolo piatto.
Corollario 1
Da questo teorema consegue che la somma degli angoli interni di un qualsiasi poligono è uguale alla somma di tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati, meno due.
Infatti, siccome congiungendo uno dei vertici di un poligono con ognuno degli altri vertici è sempre possibile dividere il poligono stesso in un numero di triangoli pari al numero dei suoi lati meno due (provare per credere), la somma dei suoi angoli interni sarà pari a tanti angoli piatti quanti sono i triangoli così individuati.
Ad esempio la somma degli angoli interni di un esagono (6 lati) è uguale alla somma di 6-2= 4 angoli piatti.
Corollario 2
Da questo teorema consegue anche il fatto che la somma degli angoli esterni di un poligono sarà sempre pari a due angoli piatti.
Infatti si può immaginare di trovare la somma degli angoli esterni di un poligono calcolando la differenza fra un numero di angoli piatti pari al numero dei lati del poligono e la somma dei suoi angoli interni (che è pari al numero dei suoi lati meno due). Tale differenza è manifestamente sempre pari a 2 angoli piatti.
Ad esempio, preso l'esagono del Corollario 1, ai 6 angoli piatti che possono essere costruiti sui suoi 6 vertici si dovranno sottrarre i 4 angoli piatti cui corrisponde la somma degli angoli interni. Risultato: 2 angoli piatti
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