# Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 1-8

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## Teorema 1

Possiamo sopra una data retta linea costituir un triangolo equilatero.
Poniamo di tracciare un segmento AB.
* Per il Postulato 3 sappiamo che puntando il compasso in A con ampiezza AB disegnamo un Cerchio di raggio AB e Centro A.
* Sempre per il Postulato 3 possiamo puntare il compasso in B e disegnare un altro Cerchio di raggio AB ma di centro B.
Le due circonferenze si intersecano in due punti tra i quali noi scegliamo D (sebbene si possano indifferentemente scegliere C o D):
Ora possiamo tracciare sia il segmento che unisce A con D sia quello che unisce B con D. In entrambi i casi ci appoggiamo al Postulato 1
Il triangolo ABD così ottenuto è composto dai tre lati AB, BD e DA e la nostra Tesi è che sia un triangolo equilatero.
Ma per quale motivo dovremmo essere convinti che i tre lati del triangolo sono congruenti?
Vediamo un po':
* AB e AD sono entrambi raggi di una certa circonferenza e in quanto tali, per la Definizione 15, sono congruenti;
* BA e BD sono entrambi raggi di una diversa circonferenza ma anch'essi, sempre per la Definizione 15, sono fra loro congruenti;
* AB e BA, d'altra parte, coincidono cioè sono già perfettamente sovrapposti e quindi, più che mai, sono congruenti;
* per l'Assioma 1 possiamo dedurre che AD (che è congruente ad AB) è anche congruente a BD (che era risultato congruente a BA, il quale altri non era se non AB)
** Questo significa che il triangolo ABD, costruito a partire da un segmento, è equilatero, in accordo con la Definizione 20.
Questa deduzione discende necessariamente dalle Definizioni, dai Postulati e dagli Assiomi precedentemente presentati. L'unico modo per potersi opporre alla conclusione ottenuta è ricusarne le premesse.
Chi vuole lo faccia pure qui ma, per favore, offra in cambio un'alternativa.
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## Teorema 2

Da un dato punto possiamo condurre una linea retta equale a qualunque proposta retta linea.
Così come il Teorema 1, anche il Teorema 2 è un teorema di costruzione.
Questa volta si tratta di costruire un segmento che sia lungo come un altro (dato) e che abbia come estremo un certo punto (dato). La questione si potrebbe semplicemente risolvere prendendo la misura del segmento dato e quindi trasportarla in una direzione qualsiasi attorno al punto dato.
Ma così facendo non potremmo convincere gli scettici che il segmento trovato è davvero congruente a quello di partenza. Sarebbe come affidarsi ancora una volta all'intuizione, efficace e sintetica quanto si vuole ma non infallibile e comunque non difendibile.
Questo teorema dimostra che possiamo evitare di ricorrere all'intuizione: dimostra cioè che è possibile derivare questa verità dalle altre già viste (Postulati, Assiomi e Teorema 1).
Ma tu devi esserne convinto. Perciò prendi carta, matita, riga e compasso e prova a seguire le spiegazioni di Tartaglia. Alla fine potrai confrontare il tuo disegno con il disegno di Tartaglia (che però non è chiarissimo), o con quello che ti proponiamo alla fine con un link. Forse farai un po' di fatica ma alla fine vedrai che sarai soddisfatto: tra il dire e il fare c'è di mezzo il capire!
* 1) Disegna dunque un punto A (dove ti pare)
* 2) disegna quindi un segmento BC (dove ti pare ma, non ti conviene andare troppo lontano da A né andare in cerca di casi particolari - quelli con la migliore estetica)
* 3) congiungi poi il punto A con un estremo del segmento BC, poniamo C. Così facendo ottieni il segmento AC la cui lunghezza dipende dalla posizione reciproca di A e di C (se la lunghezza di AC ti risulta molto simile a quella di BC, ti sei cacciato - come Tartaglia - in uno dei casi particolari di cui dicevamo prima)
* 4) disegna ora il triangolo equilatero ACD di base AC seguendo le istruzioni indicate al Teorema 1 e poi cancella le circonferenze di lavoro che altrimenti confondono troppo il disegno. Il fatto che ACD sia equilatero implica che i segmenti AD e DC sono congruenti.
* 5) Ora punta il compasso in C e disegna una cerchio di raggio BC
* 6) se prolunghi il segmento DC oltre C, cosa che il Postulato 2 ti consente di fare, incontrerai, prima o poi la circonferenza che hai appena disegnato. In quel punto puoi tracciare il punto E
* 7) siccome, per la Definizione 15, tutti i punti di tale circonferenza sono congruenti a BC potrai affermare che CE è uguale a BC (in LIC: CE = BC).
* 8) Ora potresti tracciare la circonferenza del cerchio di centro D e raggio DE;
* 9) poi potresti prolungare il segmento DA oltre A per il Postulato 2 e chiamare F il punto di incontro tra la nuova circonferenza ed il prolungamento di DA
* 10) sempre in virtù della Def. 15 potrai affermare che DE = DF
Ci siamo, ora basta ricapitolare:
* 11) DE = DF (per la 10)
* 12) DA = DC (per la 4)
* 13) CE = BC (per la 7)
e quindi concludere che:
* 14) DE - DC = DF - DA (per l'Assioma 3)
cioè:
* 15) CE = AF
che poi è proprio quello che volevamo dimostrare, cioè che
* 16) BC = AF (per la 13 e la 15)
ovvero che abbiamo disegnato, a partire da A un segmento lungo come BC.
Fiiiiu! È stata lunga ma ce l'abbiamo fatta!
Per caso, ora vorresti vedere un disegno da confrontare con il tuo? Allora clicca qui Immagine:Euclid Ip2.png.
Se invece vuoi giocare con un'immagine interattiva, clicca qui
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## Teorema 3

Proposte due linee rette .a.b. & .c.d. inequali, dalla piu longa di quelle possiamo tagliarne una parte equale alla minore.
I segmenti AB e CD sono diseguali: vogliamo scorporare dal più lungo una parte che sia lunga quanto il segmento più corto. Per farlo siamo autorizzati ad utilizzare solo la riga (non graduata), il compasso e la zucca.
Tu come pensi di muoverti?
Provo a rispondere per te:
* punto il compasso sull'estremo A e lo allargo fin quando l'altra sua punta coincide con l'estremo B;
* poi, mantenendo l'apertura ottenuta, punto il compasso sull'estremo C e disegno una circonferenza di centro C e di raggio AB
* chiamo F il punto in cui la circonferenza interseca il segmento CD
* infine affermo che CF è la parte di CD che è lunga quanto AB
Questa è una bella proposta!
Adesso però ti domando di spiegarmi perché dovrei credere a questa tua conclusione (chiamiamola Tesi) e lo faccio dandoti un avvertimento: sappi che troverò convincenti solo le motivazioni che si avvalgono dei Postulati e degli Assiomi (che ho già accettato) e delle loro conseguenze logiche.
Insomma, per convincermi devi fornire di pedigree i singoli passi della proposta che hai appena formulato.
Scommetto che adesso dirai:
* 1. Siccome, per il Teorema 2, è possibile disegnare un segmento lungo quanto un segmento dato a partire da un punto scelto a piacere, io ora disegno un segmento di lunghezza pari a quella del segmento corto a partire da un vertice qualsiasi di quello lungo (scelgo di farlo partire da C ed individuo quindi CE.
* 2. Siccome, per il Postulato 3, si può disegnare una circonferenza di raggio dato a partire da un punto, io ora disegno una circonferenza di centro C e raggio CE (che, non me lo dimentico, è lungo quanto AB)
* 3. Siccome, per Ipotesi (assunto di partenza), il segmento CD è maggiore di AB (e quindi di CE) la circonferenza avrà con esso un punto di intersezione che io chiamerò F.
* 4. Siccome, per la Definizione 15, i punti di una circonferenza sono tutti equidistanti dal centro, io so che CF è lungo quanto CE (che, al solito, è lungo quanto AB).
* 5. Siccome, per l'Assioma 1, due cose uguali ad una stessa cosa sono anch'esse uguali fra loro, concludo che CF è lungo quanto AB.
* 6. Siccome, per costruzione, CF è parte di CD, concludo di aver disegnato una parte di CD che è lunga come AB.
Bravo! Hai dimostrato la tua Tesi partendo da presupposti condivisi e ottenendo conclusioni necessarie. La nostra disputa è chiusa: mi hai convinto.
Dimenticavo: li hai fatti davvero i disegni che di cui hai parlato dal punto 1 al punto 6?
Vediamo!
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## Teorema 4

De ogni duoi triagoli, deliquali li duoi lati dell'uno seranno equal alli duoi lati dell'altro: e li duoi angoli di quelli, contenuti da quelli lati equali, seranno equali l'uno all'altro; Anchora le base di quelli seranno equal: & li altri angoli dell'uno alli altri angoli dell'altro: & tutto il triangolo a tutto il triangolo sera equale.
Prendiamo in considerazione i due triangoli ABC e DEF che risultano affiancati nel disegno di Tartaglia. L'enunciato li descrive come due triangoli che rispondono ad un paio di requisiti particolari:
* due dei tre lati corrispondenti sono uguali (ovvero: AB = DE e AC = DF)
* e gli angoli compresi fra detti lati sono a loro volta uguali (ovvero: A = D)
In tutti i casi in cui si presentano tali requisiti, che poi vuol dire: nell'Ipotesi che tali requisiti si presentino, allora si può sostenere la Tesi che i due triangoli debbano essere complessivamente uguali.
Per sostenere una Tesi e far sì che abbia un certo successo di pubblico bisogna, naturalmente, dimostrarla.
E per dimostrarla bisogna, come abbiamo visto, fondare il proprio argomento su presupposti condivisi (Definizioni, Postulati, Assiomi o Teoremi già dimostrati) e ricavare da essi conclusioni necessarie (a cui nessuno si possa ragionevolmente opporre). Se tali conclusioni necessarie coincidono con la Tesi ci si può fermare sostenendo di aver dimostrato il Teorema; altrimenti si dovranno trattare le conclusioni ottenute come se fossero presupposti condivisi e giungere un po' alla volta alla conclusione che dimostra il Teorema.
Ma se per caso si giunge ad una conclusione che sia in contraddizione con la tesi da dimostrare, allora si sarà dimostrato che il teorema è falso, ovvero che la Tesi è solo un'idea balzana.
Nel nostro caso i presupposti condivisi sono le ipotesi elencate all'inizio e l'Assioma 4, che stabilisce la congruenza per sovrapposizione delle figure geometriche (noi superiamo il limite visto a proposito di tale assioma assumendo che la sovrapposizione sia un principio applicabile anche alle singole parti di due oggetti posti a confronto).
Ora io provo ad argomentare e tu controlla se ti convinco:
* se AB = DE (per ipotesi) allora posso sovrapporre AB a DE (per l'Assioma 4)
* se A = D (per ipotesi) allora posso sovrapporre A a D (per l'Assioma 4)
* se AC = DF (per ipotesi) allora posso sovrapporre AC a DF (per l'Assioma 4)
* il risultato di tali sovrapposizioni è che A coincide con D, B coincide con E e C coincide con F e da ciò risulta evidente che i due triangoli sono congruenti perché è stato possibile sovrapporli perfettamente. E questo è proprio quello che volevo dimostrare (CVD).
La controprova è che se provi a sovrapporre a DEF l'altro triangolo ABC (quello in basso nel disegno) non avrai alcuna possibilità di utilizzare l'Assioma 4 e dunque non potrai mai dimostrare che quel triangolo è congruente a DEF.
Se hai obiezioni da fare, inseriscile pure nella pagina di discussione: prima o poi qualcuno ti risponderà, contaci.
Ma è importante che tu sia convinto perché, vedi, questo Teorema è il Primo Principio di Congruenza dei Triangoli (magari l'hai anche riconosciuto) e tantissimi teoremi successivi lo utilizzano come presupposto condiviso. Senza di lui sarebbe impossibile dimostrare ciascuna delle loro Tesi e questo, geometricamente parlando, sarebbe un bel guaio.
Dunque opponiti pure (ragionevolmente) alla dimostrazione in modo da arrivare a condividerla con convinzione.
Probabilmente ti piacerà giocherellare con questo disegno interattivo
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## Teorema 5

Li angoli che sono sopra la basa, de ogni triangolo de duoi lati equali, è necessario esser fra loro equali, & se li duoi lati equali siano protratti direttamente, saranno anchora sotto alla basa duoi angoli fra loro equali.
Ipotizza di avere per le mani il triangolo ABC in cui il lato AB sia uguale al lato AC (si tratta cioè di un triangolo isoscele di base BC).
Se ti dico che i due angoli alla base di questo triangolo sono uguali, tu mi credi? E se sì, perché? Altrimenti, perché? Guarda che non mi accontento della spiegazione: "si vede benissimo". Potrei sempre ribattere: "Un astigmatico non lo vedrebbe affatto" e tu dovresti comunque motivare meglio.
Prova quindi a sostenere la Tesi per cui gli angoli alla base di tale triangolo siano uguali (ovvero che l'angolo ABC è uguale all'angolo ACB) mostrando che è una conseguenza inevitabile di tutte le affermazioni fatte o dimostrate fino ad ora.
Obiettivamente non è una faccenda semplice. Tuttavia, prova a cercare ispirazione nel disegno di Tartaglia e scrivi la tua dimostrazione. Poi confrontala con quella che ho chiuso nel cassetto.
Se prolunghiamo di un'eguale misura il lato AB fino a D ed il lato AC fino ad E (cosa che possiamo fare con la benedizione del Postulato 2 e dell'Assioma 2) e uniamo con un segmento sia il punto D al punto C sia il punto E al punto B (per il Postulato 1) otteniamo, oltre al triangolo ABC, altri quattro nuovi triangoli: ADC, DBC, ABE e ECB.
Di questi triangoli possiamo osservare alcune particolarità:
* 1. I lati AB e AC di ABC sono congruenti (per Ipotesi)
* 2. Il lato BD di DBC è congruente al lato CE di ECB (per costruzione)
* 3. Il lato AD di ADC è congruente al lato AE di ABE (perché somma di cose uguali, Assioma 2)
* 4. L'angolo A di ADC è congruente all'angolo A di ABE (perché sovrapposti, Assioma 4)
Da questo consegue necessariamente che:
* 5. i triangoli ADC e ABE sono congruenti (per il primo criterio di congruenza dei triangoli, Teorema 4).
E da questo che:
* 6. l'angolo ADC e l'angolo AEB sono congruenti in quanto angoli corrispondenti di triangoli congruenti.
* 7. DC di ACD è congruente al lato BE di ABE in quanto lati corrispondenti di triangoli congruenti.
Dati i presupposti 2, 6 e 7 si può concludere che:
* 8. i triangoli BDC e CBE sono congruenti (per il Teorema 4).
E da questo che:
* 9. gli angoli BCD e CBE sono congruenti in quanto angoli corrispondenti di triangoli congruenti.
Ma, operando con gli angoli si ottiene che:
* 10. ABE - CBE = ABC
* 11. ACD - BCD = ACB
Il che implica (essendo la differenza di cose uguali con cose uguali, Assioma 3) che gli angoli ABC e ACB sono uguali.
Come al solito potrai scrivere le tue osservazioni nella pagina di discussione. Se lo fai, affronta il contraddittorio senza timore: in geometria la verità vince sempre.
Ah, una domanda: noti qualcosa di ridondante nei disegni di Tartaglia? Torna in cima

## Teorema 6

Se dui angoli de alcun triangolo saranno equali, etiam, li dui lati risguardante quelli angoli saranno equali.
Questo teorema è l'inverso del precedente: lì si è dimostrato che l'uguaglianza di due lati di un triangolo implica l'uguaglianza degli angoli ad essi opposti mentre qui si proverà a sostenere che l'uguaglianza di due angoli in un triangolo implica l'uguaglianza dei lati ad essi opposti.
L'esito di questa dimostrazione non è affatto scontato perché le affermazioni inverse non sono sempre logicamente equivalenti. Ad esempio, se è vera l'affermazione: "se è un uomo allora ha due occhi" non è sempre vera la sua inversa: "se ha due occhi allora è un uomo".
Euclide quindi, che era un fine logico e in fondo anche un esteta, deve aver pensato: "Trattandosi di un teorema inverso, voglio ricorrere ad un procedimento dimostrativo inverso."
Vediamo dunque cosa ha fatto.
È partito mettendo fra le ipotesi, a titolo di provocazione, la negazione della sua stessa tesi:
* Ipotesi innocente: nel triangolo ABC gli angoli ABC ed ACB sono tra loro congruenti;
* Ipotesi provocatoria: i lati a loro opposti (rispettivamente AC ed AB) sono tra loro diversi.
Nella fattispecie Euclide propone che AB sia maggiore di AC (AB > AC) di modo che, per il Teorema 3, è possibile individuare su AB un segmento BD lungo quanto AC.
Eccoci dunque con due lati uguali (AC e BD) e un triangolo nuovo di zecca, il triangolo DBC, costruito disegnando il segmento che unisce il vertice C al punto D.
Ora, i due trangoli ABC e DBC hanno alcune caratteristiche interessanti:
* 1. DB = AC per costruzione
* 2. BC = BC per sovrapposizione (Assioma 4)
sappiamo inoltre che
* 3. gli angoli ABC ed DCB sono uguali per sovrapposizione (Assioma 4)
e possiamo quindi concludere che
* 4. i triangoli BDC e ABC sono congruenti per il primo criterio di isometria dei triangoli (Teorema 4)
Questo, tuttavia, significa affermare che la parte sia uguale al tutto, cosa che è in contraddizione con l'Assioma 5.
Una tale conclusione è palesemente assurda ed è dovuta all'ipotesi provocatoria posta da Euclide relativamente all'idea che il lato AB possa essere diverso dal lato AC.
L'ipotesi aggiuntiva viene quindi rigettata ed al suo posto viene assunta l'idea contraria secondo cui, in un triangolo, i lati opposti a due angoli congruenti devono essere congruenti.
Ma questa non è altro che la tesi, che Euclide ha provato essere vera mostrando che è impossibile trovarle un'alternativa sensata. C.V.D.
Questo stile dimostrativo viene detto reductio ad absurdum (o più semplicemente dimostrazione per assurdo) ed è sempre stato molto molto apprezzato per la sua efficacia e per la sottile astuzia di cui è impregnato.
Per un disegno interattivo
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## Teorema 7

Se dalli duoi ponti terminanti alcuna linea retta usciranno due linee rette, lequale concorrino a uno medesimo ponto è impossibile dalli medesimi ponti esser dutte altre linee equale alle sue conterminale che concorrino ad altro ponto da quella medesima parte.
Al fascino delle dimostrazioni per assurdo è difficile resistere: ecco infatti che Euclide si cimenta subito in un nuovo processo di reductio ad absurdum, questa volta per mostrare che una certa costruzione è effettivamente impossibile.
L'idea si sviluppa così:
* Euclide prende un segmento AB e dai suoi estremi conduce due semirette che si incontrano in un punto qualsiasi, detto C, generando i segmenti AC e BC;
* sempre partendo dal segmento AB e restando nel semipiano occupato da C, egli prova a tracciare un'altra coppia di semirette che si incontrano in un punto D e tali che il segmento AD sia congruente al segmento AC mentre il segmento BD è congruente con il segmento BC (cioè AC = AD ∧ BC = BD).
Siccome, dopo qualche prova, comincia a sospettare che la cosa sia impossibile, Euclide decide di dimostrare che è inutile perdere tempo con ulteriori tentativi e suggerisce di impostare la dimostrazione aggiungendo l'ipotesi provocatoria secondo cui è vero che AC = AD e che BC = BD.
Noi proviamo a seguire il suo suggerimento ed otteniamo le seguenti necessarie conseguenze:
* 1. Con AC congruente ad AD, si verifica che gli angoli ACD e ADC sono tra loro congruenti (Teorema 5);
* 2. analogamente, con BC congruente a BD, si verifica anche che gli angoli BCD e BDC sono tra loro congruenti (Teorema 5).
Inoltre,
* 3. Siccome l'angolo ADC è solo una parte dell'angolo BDC si può affermare, per l'Assioma 5, che ADC è minore di BDC (cioè ADC < BDC).
* 4. Ma l'angolo BCD, che è congruente all'angolo BDC (vedi punto 2) è solo una parte dell'angolo ACD, a sua volta congruente con ADC (vedi punto 1). Questo permette di affermare, sempre per l'Assioma 5, che BDC è minore di ADC, (cioè che BDC < ADC)
Ricapitolando possiamo concludere che:
* 5. ADC < BDC (per il punto 3)
e che:
* 6. BCD < ADC (per il punto 5)
Orrore! Queste due conclusioni si negano a vicenda.
Allora l'ipotesi provocatoria da cui esse discendono deve assolutamente essere falsa, mentre deve essere vera la sua negazione. D'altra parte la sua negazione altro non è se non la tesi del Teorema 7, secondo cui è impossibile realizzare la costruzione descritta in partenza. C.V.D.
Attenzione, però: qui abbiamo sfruttato un principio logico mai stabilito. Quello secondo cui: quando qualcosa è maggiore di qualcos'altro e questo qualcos'altro è uguale ad una terza cosa allora possiamo dire che la prima cosa è maggiore della terza (se x < y e y = z, allora x < z). Il buon senso ci dice che l'affermazione è vera (e la stessa cosa deve averla detta ad Euclide), e ci dice anche che questo sistema di assiomi e postulati mostra qui un buchino (cosa che invece non deve aver detto ad Euclide, o altrimenti egli avrebbe provveduto a fissare un opportuno assioma).
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## Teorema 8

De ogni dui triangoli delli quali li dui lati di l'uno siano equali alli duoi lati dell'altro & la basa dell'uno sia equale alla basa di l'altro, li angoli contenuti dalli lati equali è necessario esser equali.
Niels Abel diceva che la matematica si impara meglio se la si ascolta direttamente dalla bocca dei maestri, piuttosto che da quella degli allievi. Ecco dunque che, da questa dimostrazione in avanti, useremo proprio le parole del "maestro" Euclide (naturalmente tradotte in italiano corrente) mentre i commenti degli "allievi" li metteremo tra parentesi.
Siano dati due triangoli ABC e DEF nei quali il lato AC sia uguale al lato DF, il lato BC sia uguale al lato EF mentre la base AB è uguale alla base DE (ecco le ipotesi).
Io dico che l'angolo C è uguale all'angolo F, che l'angolo A è uguale all'angolo D ed infine che l'angolo B è uguale all'angolo E (non è bello annunciare una tesi così, facendosene personalmente carico?).
Per poterlo dimostrare io porrò mentalmente la base AB sulla base DE e, dal momento che esse sono uguali, potrò affermare che nessuna di esse eccede l'altra - lo garantisce una lettura a ritroso dell'Assioma 4 (la prima persona singolare è sempre di Euclide).
Per parte sua, il punto C potrebbe cadere sul punto F o potrebbe non farlo ma, nel caso che vi cada, l'angolo C risulterà sovrapposto all'angolo F. Infatti se i due segmenti AC e BC si porranno sopra ai corrispondenti DF ed EF, che per ipotesi sono fra loro uguali, ne risulterà che l'angolo C non potrà eccedere né essere minore dell'angolo F. I due angoli saranno dunque fra loro uguali - ancora una volta in virtù di una lettura a ritroso dell'Assioma 4.
Analogo ragionamento si può condurre per gli altri angoli, deducendone che anch'essi sono fra loro uguali.
D'altra parte, se il punto C cadesse fuori dal punto F, allora si potrebbe immaginare un punto G situato in un luogo tale che il segmento AC si sovrapporrebbe al segmento GD e questo, per ipotesi, sarebbe uguale al segmento DF; a sua volta il segmento BC si sovrapporrebbe ad EG e risulterebbe uguale a EF. Ma ciò significherebbe che il segmento EF e tutti gli altri segmenti tracciati da una medesima parte della base DE potessero incontrarsi in due punti diversi, cioè nel punto G e nel punto F, restando a due a due uguali. Ma questo è impossibile e tale impossibilità è stata dimostrata nel Teorema precedente a questo.
Pertanto il punto C cadrà necessariamente sul punto F e l'angolo C si sovrapporrà all'angolo F mentre gli altri due angoli si sovrapporranno ai loro corrispondenti e saranno dunque a loro uguali in virtù dell'Assioma 4.
(Ecco dimostrato quello che noi chiamiamo il Terzo Criterio di Congruenza dei triangoli, cioè quello che stabilisce che è sufficiente la congruenza a due a due dei tre lati di un triangolo per poter scommettere anche sulla congruenza a due a due dei tre angoli ed, in definitiva, sulla congruenza dei due triangoli in oggetto. Si nota il fatto che Euclide parla di uguaglianze mentre noi parliamo di congruenze?).
(Ma se questo Teorema è il Terzo Criterio mentre il Teorema 4 è il Primo, dove si trova il Secondo?)
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