# Elettrotecnica/Grandezze periodiche non sinusoidali

Elettrotecnica
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La ammissione, implicitamente fatta sin ora, che i problemi relativi alle grandezze periodiche si limitino alla trattazione di circuiti interessati da grandezze semplicemente sinusoidali, trova nella pratica scarso riscontro. In effetti, per quanto si faccia, le inevitabili dissimetrie costruttive e di funzionamento del macchinario generatore, specie quello a poli salienti, comportano sempre un certo discostarsi della forma di onda della tensione da esso ottenibile dalla desiderata forma d'onda sinusoidale pura. D'altro canto la già notevole difficoltà della trattazione dei problemi in corrente alternata verrebbe talmente aggravata dalla considerazione della forma d'onda effettiva, che, in tutti quei casi, e sono la maggioranza, nei quali lo scarto tra l'andamento effettivo della tensione e l'andamento sinusoidale non è molto sensibile, si rinuncia ad ogni ulteriore precisione di indagine.
Esistono però dei casi nei quali non è assolutamente lecito confondere l'effettivo andamento nel tempo delle grandezze elettriche con funzioni sinusoidali; è con riferimento a questi casi che, in questa sede, verranno brevemente dati i cenni generali di come possono essere trattate grandezze elettriche periodiche di forma qualsiasi.
La trattazione prende lo spunto dal noto teorema di Fourier secondo il quale qualsiasi funzione continua di una variabile indipendente può essere sviluppata in una serie indefinita di termini, ciascuno dei quali è una funzione sinusoidale della variabile, di frequenza crescente secondo la serie naturale dei numeri. Ciò che, con riferimento ad una funzione del tempo y(t), può esprimersi affermando che:
* $\ y(t)=A_{0}+A_{1}sen(\omega t+\alpha _{1})+A_{2}sen(2\omega t+\alpha _{2})+.....$
dove:
* $\ A_{0}={1 \over T}\int _{0}^{T}y\ dt$
è il valore medio della funzione.
I successivi termini della serie prendono ordinatamente il nome di armonica fondamentale, seconda, terza ecc. armonica.
Per la completa conoscenza della funzione y, comunque variabile nel tempo, risulta pertanto necessario e sufficiente conoscere le ampiezze e le fasi delle singole armoniche.
Senza entrare nel merito della trattazione analitica del problema diremo qui solo che, posto:
* $\ S_{n}=A_{n}\ sen(\alpha _{n})\qquad C_{n}=A_{n}\ cos(\alpha _{n})$
la funzione y(t) può esprimersi nella forma:
* $\ y(t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{n=\infty }C_{n}\ sen(n\omega t)+\sum _{n=1}^{n=\infty }S_{n}\ cos(n\omega t)$
e che la coscienza dei termini C$_n$ e S$_n$ relativi all'armonica di ordine n è sufficiente alla completa definizione dell'armonica stessa.
Infatti è chiaramente:
* $\ A_{n}={\sqrt {S_{n}^{2}+C_{n}^{2}}}\qquad tg\ \alpha ={S_{n} \over C_{n}}$
Nello stesso teorama di Fourier precedentemente citato, è dimostrato che i termini C$_n$ e S$_n$ assumono le seguenti espressioni in funzione della y(t):
* $\ C_{n}={2 \over T}\int _{0}^{T}y(t)\ sen(n\omega t)\ dt$
* $\ S_{n}={2 \over T}\int _{0}^{T}y(t)cos(n\omega t)\ dt$
così che, nota la espressione analitica della y(t), la integrazione delle espressioni precedenti consente il calcolo dei coefficienti C$_n$ e S$_n$ per le armoniche di qualsiasi ordine e, per quel che si è visto, la determinazione della ampiezza e della fase di una armonica di ordine qualsiasi della funzione data.
In pratica è raro il caso in cui sia nota la espressione analitica della funzione y(t). Più frequente è il caso che della funzione in parola si conosca graficamente l'andamento nel tempo: ciò che può aversi, ad esempio, ogni qualvolta della funzione data possa ottenersi l'oscillogramma.
Si ricorre allora a metodi grafico-analitici tra i quali ricordiamo quello di Thompson in cui si usa, essenzialmente, per il calcolo dei coefficienti C$_n$ e S$_n$, l'artificio di ricondurre gli integrali a sommatorie di un numero finito di addendi.
Non abbiamo qui il tempo necessario alla completa esposizione del metodo e rinviamo ai testi di elettrotecnica per un più approfondito esame dell'argomento.
Notiamo solo che la laboriosità di metodi simili ha portato, nella tecnica delle misure elettriche, allo sviluppo di speciali apparecchi che prendono, appunto, il nome di analizzatori di armoniche, per mezzo dei quali è possibile di una data tensione o corrente, individuare il contenuto armonico fino ad ordini sufficientemente elevati e con precisioni che tenuto conto dei possibili errori di graficismo sono spesso dell'ordine di grandezza, se non maggiori, di quelli ottenibili con i citati metodi grafico-analitici.
Per qualsiasi via si pervenga ad esprimere una grandezza elettrica funzione periodica non sinusoidale del tempo in una serie di Fourier, interessa estendere a queste grandezze quelle definizioni fondamentali che furono a suo tempo date per le grandezze sinusoidali.
Anche qui per valore massimo o ampiezza si intende l'ordinata massima della curva rappresentativa.
Per il valore medio, la media delle ordinate di un periodo. Risulta:
* $\ y_{med}={2 \over T}\ \int _{0}^{T \over 2}y\ dt$
e non ha bisogno di particolari spiegazioni l'osservazione che le armoniche d'ordine pari non danno alcun contributo al valore medio, così definito.
Quanto al valore efficace esso è dato dalla espressione:
* $\ y={\sqrt {{1 \over T}\int _{0}^{T}y^{2}\ dt}}$
ed, esprimendo in serie di Fourier la funzione y=y(t), si deduce semplicemente che è:
* $\ y={\sqrt {y_{1}^{2}+y_{3}^{2}+y_{5}^{2}+...}}=y_{1}{\sqrt {1+({y_{3} \over y_{1}})^{2}+({y_{5} \over y_{1}})^{2}}}...$
Non è più possibile, evidentemente, affermare che esista una proporzionalità tra valore medio, valore efficace e valore massimo, fattore di vertice e fattore di forma mantengono inalterate la propria definizione, ma variano, ovviamente, il proprio valore.
Si intende, infine, per sinusoide equivalente quella funzione sinusoidale che abbia lo stesso periodo e lo stesso valore efficace della funzione data e per coefficiente di deformazione il rapporto tra la differenza massima tra le ordinate dell'area considerata e della sinusoide equivalente.
Per la determinazione del coefficiente di deformazione la sinusoide equivalente deve essere sovrapposta alla curva effettiva in modo tale da ridurre al minimo la differenza predetta.
Vediamo ora come sia possibile risalire al calcolo della corrente che circola in un circuito sottoposto ad una f.e.m.alternativa non sinusoidale. Sia:
* $\ e=E_{1m}\ sen(\omega t+\alpha _{1})+E_{3m}\ sen(3\ \omega t+\alpha _{3})+...$
la f.e.m. in questione di valore efficace:
* $\ E_{eff}=E_{1}{\sqrt {1+({E_{3} \over E_{1}})^{2}+...}}$
Nel caso più generale di circuito contenente resistenza, induttanza e capacità, la relazione tra i valori istantanei della f.e.m. e della corrente sarà del tipo:
* $\ e_{i}-L{di \over dt}-{1 \over C}\int i\ dt-R\ i=0$
Anche la corrente avrà in generale un andamento non sinusoidale e la sua espressione sarà del tipo:
* $\ i=I_{1m}\ sen(\omega t+\alpha _{1}+\phi _{1})+I_{3m}\ sen(3\ \omega t+\alpha _{3}+\phi _{3})+....$
ed il problema è risolto non appena siano determinate le ampiezze e le fasi delle singole armoniche che compaiono nella espressione della corrente.
Sostituendo nella equazione che lega i valori istantanei le due espressioni della f.e.m. e della corrente si vede subito che essa si scinde in tante equazioni indipendenti quante sono le sinusoidi di frequenza diversa nella f.e.m. e nella corrente.Così che in definitiva, dalla soluzione di queste equazioni si ottiene, per ogni armonica della tensione, l'ampiezza e la fase nella generica forma seguente (riferita alla ennesima armonica):
* $\ I_{n,m}={E_{n,m} \over {\sqrt {R^{2}+(n\omega L-{1 \over n\omega C})^{2}}}}\qquad tg\ \phi _{n}={n\omega L-{1 \over n\omega C} \over R}$
Da questa espressione si trae immediatamente che l'ampiezza di una armonica di corrente è definita in funzione della ampiezza della armonica di tensione di pari ordine e delle caratteristiche elettriche e magnetiche del circuito alla frequenza che caratterizza l'armonica in questione. Se ne deduce che in generale, salvo il caso di circuiti puramente ohmici, la forma d'onda della corrente risulterà diversa da quella della tensione: e non è difficile accorgersi che in circuiti prevalentemente induttivi la corrente risulterà meno deformata della tensione, laddove in circuiti prevalentemente capacitivi il contenuto armonico percentualre della corrente risulterà più accentuato di quello della tensione.
Ciò posto, se tensione e corrente in un circuito assumono la forma:
* $\ e=E_{1m}\ sen(\omega t+\alpha _{1})+E_{3m}\ sen(3\ \omega t+\alpha _{3})+...$
* $\ i=I_{1m}\ sen(\omega t+\alpha _{1}-\phi _{1})+I_{3m}\ sen(3\ \omega t+\alpha _{3}-\phi _{3})+...$
la potenza istantanea, che è data dal prodotto
* $\ p=e\ i$
assume ovviamente una forma analitica quanto mai complessa, contenendo oltre che tutte le frequenze dispari, anche quelle pari e dei termini costanti.
Più semplice è, fortunatamente, la espressione analitica della potenza attiva, in quanto si ha:
* $\ P={1 \over T}\int _{0}^{T}ei\ dt=E_{1}I_{1}\ cos(\phi _{1})+E_{3}I_{3}\ cos(\phi _{3})+...$
Se ne deduce l'importante conseguenza che, in circuiti nei quali resistenza induttiva e capacitiva siano costanti ogni armonica di corrente deriva dalla corrispondente armonica di tensione e compare a lato di questa a definire la potenza attiva: ciò che in sostanza significa che ogni armonica agisce sul circuito come se tutte le altre non esistessero.
La potenza apparente mantiene la forma P$_a$=E I ove E$_e$ ed I$_e$ rappresentano, come si è visto, i valori efficaci delle onde, non sinusoidali, di tensione e di corrente e il fattore di potenza può essere ancora espresso come rapporto tra potenza attiva e potenza apparente. La sua espressione analitica diviene una funzione molto complicata degli elementi del circuito.