# Meccanica razionale/Sistemi rigidi/Energia cinetica

Meccanica razionale
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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** Cinematica del punto
** Cinematica dei sistemi rigidi
** Cinematica del punto nel moto relativo
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** Teoremi generali sui sistemi di forze
** Teoremi generali sull'equilibrio dei corpi
* Dinamica del punto materiale e dei sistemi dei punti materiali
** Dinamica del punto materiale
** Dinamica dei sistemi di punti
** Energia cinetica e teorema dell'energia
** Teorema dei lavori virtuali
* Dinamica dei sistemi rigidi
** Teoria dei momenti d'inerzia
** Energia cinetica di un corpo rigido
** Equazione della dinamica dei corpi rigidi
** Giroscopio
* Appendice (cap 1°)
** Appendice (cap 1°)
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### Energia cinetica di un corpo rigido

Se abbiamo un corpo rigido la velocità di ogni suo singolo punto è data, rispetto ad una terna di riferimento generico solidale con il corpo, dalla nota formula(6)
             ${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{o}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}$
Se prendiamo la terna di riferimento con origine nel baricentro (terna centrale) 'G', abbiamo:
             ${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{G}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}$
L'energia cinetica che compete quindi alla massa 'dm' con centro nel punto 'P' è data secondo la definizione da:
             $dT={\frac {dm}{2}}({\vec {v_{G}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}$
Ora possiamo anche scrivere:
                            ${\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}$
cioè
             $dT={\frac {dm}{2}}[{\vec {v_{G}}}+({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})]^{2}={\frac {dm}{2}}[{\vec {v_{G}}}^{2}+({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}+2{\vec {v_{G}}}\times ({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})]$
ed ancora
             $dT={\frac {dm}{2}}v_{G}^{2}+{\frac {dm}{2}}({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}-{\vec {v_{G}}}\times ({\vec {v_{p}}}dm-{\vec {v_{G}}}dm)$
ed integrando
             $T={\frac {v_{G}^{2}}{2}}\int _{V}^{.}dm+{\frac {1}{2}}\int _{V}^{.}({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}-{\vec {v_{G}}}\times (\int _{V}^{.}{\vec {v_{p}}}dm-{\vec {v_{G}}}\int _{V}^{.}dm)$
avremo quindi in definitiva:
             $T={\frac {1}{2}}M{v_{G}}^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{V}^{.}({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}dm$
in quanto per definizione di quantità di moto totale di un sistema
             $\int _{V}^{.}{\vec {v_{p}}}dm-\int _{V}^{.}{\vec {v_{G}}}dm=M{\vec {v_{G}}}-M{\vec {v_{G}}}=0$
Considerando che :
             ${\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}=(qz-ry){\vec {i}}+(rx-pz){\vec {j}}+(py-qx){\vec {k}}$
abbiamo di conseguenza:
             $({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}=({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}=(qz-ry)^{2}+(rx-pz)^{2}+(py-qx)^{2}=$
             $\ (z^{2}+x^{2})q^{2}+(z^{2}+y^{2})p^{2}+(x^{2}+y^{2})r^{2}-2qrzy-2rpxz-2pqxy$.
E quindi eseguendo l'integrale abbiamo:
             ${\frac {1}{2}}[q^{2}\int _{V}^{.}(z^{2}+x^{2})\rho dv+p^{2}\int _{V}^{.}(z^{2}+y^{2})\rho dv+r^{2}\int _{V}^{.}(x^{2}+y^{2})\rho dv-$
             $2qr\int _{V}^{.}zy\rho dv-2rp\int _{v}^{.}xzdv-2pq\int _{V}^{.}xydv]=$
             ${\frac {1}{2}}(Ap^{2}+Bq^{2}+Cr^{2}-2qrA_{1}-2rpB_{1}-2pqC_{1})$.
Se la terna di riferimento è principale di inerzia $A_{1}=B_{1}=C_{1}=0$ l'energia cinetica totale del corpo rigido è data da:
                                     $T={\frac {1}{2}}(Ap^{2}+Bq^{2}+Cr^{2})+{\frac {1}{2}}M{v_{G}}^{2}$