# Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 41-48

Niels Abel diceva che la matematica si impara meglio se la si ascolta direttamente dalla bocca dei maestri, piuttosto che da quella degli allievi. Per questo, nelle seguenti dimostrazioni, useremo proprio le parole del maestro Euclide (naturalmente tradotte in italiano corrente) mentre i commenti degli allievi li metteremo tra parentesi. A parte naturalmente le enunciazioni, che l'allievo Nicolò Tartaglia scrisse nel 1565, e che qui useremo come intestazione di ciascun teorema.
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## Teorema 41

Theorema .31. Propositione .41.
[41/41] Se uno paralellogrammo, & uno triangolo saranno constituidi in una medesima basa, & in medeme linee equidistante, el paralellogrammo conuien esser doppio al triangolo.
[vedi figura 035r.png] Sia il paralellogrammo .a.b.c.d. & lo triangolo .e.b.d. sopra la basa .d. fra le due linee .a.c. & .b.d. lequale siano equidistante. Dico che il paralellogrammo .a.b.c.d. è doppio al triangolo .e.b.d. & per questo io tirarò il diametro .a.d.ilquale diuide il detto paralellogrammo in due parte equale, per lo correllario della trigesima quarta propositione, adonque il triangolo .a.b.d. serà la mitade del detto paralellogrammo, & perché 'l triangolo .e.b.d. è equale al triangolo .a.b.d. per la trigesima settima propositione, adonque che 'l triangolo ,e.b.d. sia etiam lui la mità del ditto paralellogrammo .a.b.c.d. che è il proposito. Similmente tu potrai approuare che se un paralellogrammo & uno triangolo seranno constituidi sopra equal base, & fra medesime linee equidistante, il paralellogrammo serà etiam doppio al detto triangolo, laqual cosa Euclide non ha posto, perché liggiermente è manifesta da questa precedente, et dal correlario della trigesima quarta, & per la trigesima ottaua. Diuiso il paralellogrammo, per il diametro in duoi triangoli, & sopra la basa del paralellogrammo, fra le medesime linee equidistante constituido il triangolo, alquale il paralellogrammo serà doppio per il detto corelario, et esso triangolo serà equale all'altro, per la trigesima ottaua.
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## Teorema 42

Problema .11. Propositione .42.
[42/42] Puotemo designar una superficie de lati equidistanti, in un angolo equale a un angolo assignato, & ch'essa superficie sia equale a un triangolo assignato.
[vedi figura 035v_a.png] Sia lo assignato angolo .a. & lo assignato triangolo .b.c.d. uoglio descriuere una superficie de lati equidistanti, che sia equale al dato triangolo ,b.c.d. & che duoi di suoi angoli contrapositi siano equali, al angolo ,a, perché la non può hauer uno angolo solo equale al angolo .a. (per la trigesima quarta propositione ) diuido la basa .c.d. in due parti equale, per la decima propositione, in ponto [pag. 35v] .e. e tiro la linea .b.e. & dal ponto .b. condurò la linea .b.f. equidistante alla linea .c.d. & sopra il ponto .e. della linea .d.e. constituisco l'angolo .d.e.g. eguale a l'angolo ,a. (per la uigesima tertia propositione) e dal ponto .d. tiro la linea .d.f. equidistante alla linea .e.g. e serà constituido il paralellogrammo .g.e.f.d. ilquale contiene in se tutte le cose adimandate, perché il triangolo ,b,c,e, è equale al triangolo .b.e.d. per la trigesima ottaua propositione, per esser la .c.e. equale alla .e.d. adunque tutto il triangolo ,b.c.d. uerrà a esser doppio al triangolo .b.e.d. ma perché il paralellogrammo .g.e.f.d. è anchora lui doppio al medesimo triangolo .b.e.d. per la precedente, perché ambiduoi sono sopra la basa .d.e. & in medesime linee equidistante, seguita adunque per la sesta concettione, che 'l ditto paralellogrammo sia equale al triangolo ,b.c.d. per esser ciascun di loro doppi al triangolo .b.e.d. dilche hauemo descritto il paralellogrammo .g.e.f.d. equale al triangolo .b.c.d. assignato, & l'uno & l'altro di duoi angoli ,g,e,d, & ,d,f,g, (22) di quello contrapositi sono equali all'angolo .a. assignato, che è il proposito.
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## Teorema 43

Speculatione .32. Propositione .43.
[43/43] Li supplementi di quelli paralellogrammi che sono attorno del diametro di ogni paralellogrammo sono fra loro equali.
[vedi figura 035v_b.png] Sia il paralellogrammo ,a,b,c,d, in lo quale tiro lo diametro ,b,c, e similmente tiro la linea ,e,f, equidistante a l'uno & l'altro delli duoi lati ,a,b, & ,c,d, laquale sega il diametro ,b,c, in ponto ,h, dalquale ponto ,h, duco la linea .k.g. equidistante a l'un e l'altro lato, a,c, & b,d, talmente che quella sega l'uno & l'altro delli predetti lati ,a,b, & ,c,d, dilche tutto lo paralellogrammo ,a,b,c,d, serà diuiso in quattro paralellogrammi, cioe ,a,g,h,e: g,b,h.f: e,h.c,k: & ,h,k,f,d, delliquali li duoi (cioe ,e,c,k,h, & ,g,h,b,f.) sono detti stare attorno il diametro ,b,c, perché quello transisse per mezzo di loro, e pero sono attorno il diametro, li altri duoi paralellogrammi, cioe ,a,e,g,h, & ,k,h,f,d, sono detti supplementi, & questi duoi supplementi sono equali l'uno & l'altro. Perché li duoi triangoli,a,b,c, & ,c,d,b, sono equali per il correlario della trigesima quarta. Similmente anchora li duoi triangoli ,g,h,b, & ,f,h,b, sono equali (per lo medesimo correlario della trigesima quarta propositione) & li duoi triangoli ,h,c,e, & ,k,h,c. Similmente sono equali per lo medesimo correlario. Adonque leuando uia li duoi triangoli ,g,h,b, et ,e,h,c, de tutto il triangolo ,a,b,c, e similmente li duoi triangoli ,b,f,h, & k,c,h, de tutto il triangolo [pag. 36r] ,b,c,d, seranno li duoi residui, per la tertia concettione, anchora fra loro equali, liquali residui sono li detti duoi supplementi, che è il proposito.
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## Teorema 44

Problema .12. Propositione .44.
[44/44] Proposta una linea retta, sopra quella puotemo designare una superficie de lati equidistanti, in uno angolo dato, & che essa superficie sia equale à uno triangolo assignato.
[vedi figura 036r.png] Sia la data linea ,a,b, & il dato angolo ,c, & lo dato triangolo ,d,e,f, hor uoglio sopra la linea ,a,b, designarli una superficie de lati equidistanti, talmente che la detta linea ,a,b, sia un di lati di quella, & che l'uno e l'altro de duoi angoli contrapositi sieno equali all'angolo ,c, dato, perché la non può hauer un angolo solo equale all'angolo ,c, per la trigesima quarta propositione, & che tutta la predetta superficie sia equale al triangolo ,d,e,f. Questa tal propositione è differente dalla quadragesima seconda in questo, che qui si dà uno lato della superficie che se ha da descriuere: cioe la linea ,a,b. ma in la detta quadragesima seconda non se ne da niuno, quando adonque uorro descriuerò questa tal superficie sopra la detta linea ,a,b, gli aggiongo la linea ,a,g, ad essa linea ,a,b, in diretto a quella laqual pongo equale alla basa ,e,f, del triangolo dato, sopra dellaquale linea ,a,g, constituisco uno triangolo equale al dato triangole ,d,e,f, et equilatero, laqual cosa faccio in questo modo. constituisco l'angolo ,a,g,k, equale all'angolo ,e, & l'angolo ,g,a,k. equal all'angolo ,f, (per la dottrina della uigesima tertia propositione) & perché la basa .g.a. fu posta equale alla basa ,e,f, adonque il triangolo ,g,a,k, per la uigesima sesta propositione, serà equale & equilatero al triangolo ,d,e,f, hor diuiderò la basa ,g,a, in due parti equale in lo ponto ,h, e tirarò la linea ,k,h, & dal ponto ,k, produrò la linea ,m.k.n. equidistante alla linea .g.b. & per la trigesima ottaua propositione, il triangolo ,a,h,k. serà equale al triangolo ,g,h,k. hor sopra il ponto ,a, con la linea ,g,a, farò l'angolo ,g,a,l, equale all'angolo ,c, dato per la uigesima tertia propositione, & dal ponto ,h, produrò ,h,m, equidistante al ,l,a, & serà constituido il paralellogrammo ,m,h,l,a, fra le due linee ,m,n, & ,g,b, ilqual paralellogrammo ,m,h,l,a, per la quadragesima prima propositione, serà doppio al triangolo ,k,h,a, per laqual cosa serà etiam equale a tutto il triangolo ,k.g.a. & similmente, al triangolo ,d,e,f, proposto (per la prima concettione) tirarò adunque la linea ,b,n, equidistante alla linea ,l,a, per la trigesima prima propositione, constituendo il paralellogrammo ,l,a,n,b. Anchora produco il diametro ,n,a, ilquale tiro per fina a tanto che 'l [pag. 36v] concorra con la linea ,m,h, anchora lei protratta in ponto ,o, ilqual concorso approuaremo in fin di questa propositione, & dal ponto ,o, tiro la linea ,o,q, equidistante alla linea ,h,b, & produco la linea ,n,h, fina che la si intersegha con la linea ,o,p, come fa in ponto .q. & serà constituido il paralellogrammo ,m,o,n,q, hora slongarò la linea ,l,a, per fin al ponto ,p, dilche tutto il grande paralellogrammo serà diuiso in li quattro paralellogrammi ,l,a,n,b, ,l,a,m,h, ,a,h,o,p,a, ,p,b,q. delliquali li duoi ,l,a,n,b, & h,o,a,p, sono attorno al diametro ,n,o, li altri duoi ,m,h,l,a, & a,p,b,q, sono detti supplementi, liquali per la precedente propositione sono equali, & perché il triangolo ,d,e,f, come di sopra fu dimostrato, si è anchora lui equale al supplemento (23) .m.h.l.a. serà etiam (per la prima concettione) equale all'altro supplemento .a.b.p.q. ilquale è constituido sopra la data linea .a.b. E perché l'angolo .b.a.p. per la quinta decima propositione, si è equale all'angolo .l.a.b. & l'angolo .c. dato si è equal aldetto angolo .l.a.h. (perché cosi fu constituido) seguita adonque per la prima concettione, che l'angolo ,b,a,p, sia equal al .c. dato. Eglie adonque manifesto, che sopra la linea ,a,b, datta essergli descritta la superficie de lati equidistanti ,a,b,p,q, equale al dato triangolo .d.e.f.& l'uno e l'altro di duoi angoli a,q, (contrapositi di quella) sono equali al dato angolo ,c, come fu il proposito. Hor ci resta a prouar che producendo le due linee n.a. & .m.h. è necessario che si congiongano, come fu di sopra promesso, hor perché le due linee .n.b. & .m.h. l'una e l'altra è equidistante alla linea .l.a. seranno etiam per la trigesima propositione fra loro equidistante, & per la tertia parte della uigesimanona, li duoi angoli .m.n.b. & .n.m.h. son equali a duoi angoli retti, & perché l'angolo .l.n.a. è menor de tutto l'angolo .m.n.b. per l'ultima concettione, adonque li dui angoli .n.m.h. & .m.n.a. gionti insieme seran minori di duoi angoli retti, seguita adonque per la quarta concettione, che slongarò le due linee .n.a.m.h. in quella parte l'è necessario che concorran insieme, laqual cosa era da demostrare.
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## Teorema 45

Problema .13. Propositione .45.
[0/45] Puotemo constituir un Paralellogrammo, equal a un dato rettilineo in un dato angolo rettilineo.
[vedi figura 036v.png] Siano il dato rettilineo ,a,b,c,d, & lo dato angolo rettilineo, sia .e. hor bisogna costruere uno paralellogrammo equal al predetto rettilineo ,a,b,c,d, ma che sia cosi conditionato che habbiamo uno angolo equale allo angolo .e. ma perché lui non ne può hauere uno senza duoi cioe duoi contrapositi, per la trigesima quarta propositione, diremo adonque che habbia duoi angoli contrapositi equali al ditto angolo ,e, & per concludere questa cosa farò in questo modo, tiro la linea ,d,b, diuidendo il detto rettilineo in li duoi triangoli ,a,b,d, & ,d,b,c, poi per la quadragesima seconda propositione, construisco il paralellogrammo .f.k.h.g. equale al triangolo ,a,b,d, hauente l'angolo .h.k.f. equale al dato angolo .e. & [pag. 37r] sopra la linea, ouer lato ,h,g, per la precedente propositione, constituisco il paralellogrammo ,h,g,m,l, equale all'altro triangolo ,d,b,c, hauente l'angolo ,m,h,g, equale al predetto angolo .e. dato. Et perché li duoi angoli .f.k.h. & .m.h.g. (24)a uno per uno sono stati constituidi equali all'angolo .e. dato, dilche per la prima concettione, seranno etiam fra loro equali. Et aggiongendo communamente a ciascun di loro l'angolo .g.h.k; per la seconda concettione, li duoi angoli .f.k.h. & .g.h.k. seranno etiam equali alli duoi angoli .g.h.k. & .g.h.m. ma perché li duoi angoli .f.k.h. & .k.h.g. per la tertia parte della uigesimanona propositione sono equali a duoi angoli retti li duoi angoli adunque .k.h.g. & .g.h.m. seranno etiam equali a duoi angoli retti, seguita adonque per la quartadecima propositione, che la linea.k.h. & la linea .h. m. siano direttamente congionte insieme et sieno insieme una sol linea. che seria la linea .k.m. hor perché le due linee .k.m. & .f.g. (lequale sono equidistante) sono segate dalla linea .b.g. li duoi angoli .h.g.f. & .m.h.g. alterni sono equali (per la prima parte della uigesimanona proapositione) giongendoli communemente, all'uno e l'altro, l'angolo .h.g.l. li duoi angoli adonque .m.h.g. & .h.g.l. sono equali alli duoi angoli .h.g.f. & .h.g.l. (per la prima concettione) et li duoi angoli .m.h.g. et .h.g.l. per la tertia parte della ditta uigesimanona Propositione, sono equali a duoi angoli retti, seguita adonque che li duoi angoli .h.g.l. & .h.g.f. siano equali a duoi angoli retti, dilche le due linee .f.g. & .g.l. sono indirette congionte, per la quarta decima propositione, & sono fatte una sol linea, che è la linea .f.l. Ma perché .f.k. (per la trigesima quarta propositione) è equale alla .b.g. etiam equidistante, similmente .m.l. è equale, & equidistante alla medesima .h.g. (per la trigesima propositione) .f.k. & .m.l seranno etiam fra loro equale & equidistante, & le due linee .k.m. & .f.l. che le congiongano. (per la trigesimaterza (25) propositione), sono equale, & equidistante. Adonque tutto .k.f.m.l. è paralellogrammo. Et perché il paralellogrammo .k.f.h.g. fu constituido equale al triangolo .a.b.d. & similmente il paralellogrammo .h.g.m.l. al triangolo .d.b.c. Adonque tutto il paralellogrammo .k.f.m.l. serà equale a tutto il rettilineo .a.b.c.d. & perché l'angolo .k. fu constituido equale all'angolo .e. dato, dilche hauemo constituido il paralellogrammo .k.f.m.l. equale al dato rettilineo a.b.c.d. etiam l'angolo .k. equal al dato angolo .e. che è il proposito.
Il Tradottore.
[vedi figura 037r.png] Bisogna notare qualmente il dato rettilineo ,a,b,c,d, può essere contenuto da linee equidistante, & non equidistante, etiam de piu di quattro lati, perché questo nome rettilineo, è un nome generale, sotto alquale se intende ogni specie de figura contenuta da linee rette, per tanto se 'l datto rettilineo fusse contenuto da [pag. 37v] cinque lati quello se doueria risoluere in tre triangoli, & procedere come se fatto di sopra, cioè sopra la linea .l.m. construerui il terzo triangolo (per la quadragesima quarta) & cosi se andaria procedendo quando che 'l ditto rettilineo fusse contenuto da piu de cinque lati.
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## Teorema 46

Problema .14. Propositione .46.
[45/46] Da una data retta linea puotemo descriuere un quadrato.
[vedi figura 037v.png] Sia la data retta linea .a.b. dellaquale uoglio descriuere il quadrato dalle due estremità, ouer ponti .a. & .b. della detta linea .a.b. per la undecima propositione, duco le due perpendicolare .a.c. & .b.d. sopra di quella laquale perpendicolare, per la ultima parte della uigesima ottaua propositione, sono equidistante, perché li duoi angoli .a. & .b. intrinsici sono ambiduoi retti (per la diffinitione ottaua,) hor facio l'una e l'altra di quelle, per la tertia propositione, equale alla medesima linea .a.b. poi tiro la linea .c.d. laqual serà ancor lei equale & equidistante alla linea .a.b. (per la trigesima tertia propositione) & perché li duoi angoli .a. & .b. sono retti, l'uno e l'altro delli altri duoi angoli .c. & .d. seranno etiam retti (per la ultima parte delta uigesima nona propositione, ouer per la trigesima quarta propositione) adonque per la uigesima diffinitione .a.b.c.d. è quadrato che è il proposito. Anchora se poteua far in quest'altro modo, protratta che sia la linea .a.c. indefinita perpendicolare sopra .a.b. in ponto .a. et tagliata che sia la parte .a.c. (per la tertia propositione) equale alla ditta linea .a.b. tirando poi dal detto ponto .c. la linea indefinita .c.d. che sia equidistante alla linea .a.b. per la trigesima prima propositione, & di quella segarne la parte .c.d. (per la tertia propositione) equale alla linea .a.c. ouer .a.b. poi sia congionto il ponto .d. con lo ponto .b. con la linea .d.b. laquale per la trigesima tertia propositione, serà equale alla linea .a.c. etiam equidistante, & tutti li angoli sono retti (per la trigesima quarta propositione) adonque la detta figura .a.b.c.d. si è quadrato per la uigesima diffinitione che è il proposito.
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## Teorema 47

Theorema .33. Propositione .47.
[46/47] In ogni triangolo rettangolo, lo quadrato che uien descritto dal lato opposito all'angolo retto, dutto in se medesimo, è equale alli duoi quadrati che uengono descritti delli altri duoi lati.
[vedi figura 038r.png] Sia il triangolo .a.b.c. dilquale l'angolo .a. sia retto, dico che 'l quadrato del lato b.c. è equal al quadrato del ,a.b. & al quadrato del .a.c. tolti insieme adonque quadrarò questi lati secondo la dottrina della precedente, e per il quadrato del .b.c. sia la superficie .b.c.d.e. & per il quadrato del .b.a. la superficie .b.f.g.a. & per il quadrato [pag. 38r] del a.c. la superficie .a.c.h.k. (26) replico adonque & dico che il quadrato .b.c.d.e. è equale ad ambiduoi li quadrati .a.b.f.g. & .a.c.k.h. gionti insieme, e per dimostrar questo dall'angolo retto .a. produrò alla basa .d.e. del gran quadrato tre linee, cioe la linea .a.l. equidistante all'uno e l'altro lato .b.d. et .c.e. laqual segha il lato .b.c. in ponto .m. & la linea .a.e. & la linea .a.d. Anchora delli altri duoi angoli .b. & .c. tiro alli duoi angoli di duoi quadrati minore le due linee .b.k. et .c.f. lequale se intersegan fra loro dentro lo medesimo triangolo .a.b.c. E perché l'una e l'altra delli duoi angoli .b.a.c. et .b.a.g. è retto seranno adonque le due linee .c.a. & .a.g. in diretto congionte, per la quarta decima propositione, & seranno una linea sola, ch'è la linea .g.c. e per le medesime ragioni le due linee .b.a. & .a.h. seranno pur una sol linea, cioe la linea .b.h. perché li duoi angoli .c.a.b. & .c.a.h. son retti, perché adonque sopra la basa.b.f et fra le due linee .f.b. et .g.c. è constituido il paralellogrammo, ouer quadrato .b.f.g.a. & il triangolo .b.c.f. per la .41. il paralellogrammo .b.f.g.a. serà doppio al ditto triangolo .b.f.c. & il triangolo .b.f.c. è equale al triangolo .b.a.d. per la quarta propositione, perché li duoi lati f,b, & ,b,c, del primo son equali alli duoi lati ,a,b, & ,b,d, del secondo, perché ,b,f, & ,b,a, ciascuno è lato del quadro .b.f.g.a. pero son equali, similmente, li altri duoi, cioe ,b,c, & ,b,d, ciascuno è lato (27) del gran quadrato ,b,d,c,e, & per questo son anchora lor equali & l'angolo ,b, del primo è equale all'angolo ,b, del secondo perché l'uno e l'altro è composto d'un angolo retto, & dell'angolo ,a,b,c, seguita adonque, per la ditta quarta propositione, che 'l ditto triangolo .b.f.c. sia equal al ditto triangolo ,b,a,d, & perché il quadrato ,b,f,g,a, è doppio (come è detto di sopra, al triangolo ,b,f,c,) serà etiam doppia (per commune scientia) al triangolo .b.a.d, Ma perché il paralellogrammo ,b,d,l,m, è anchora lui doppio al medesimo triangolo ,a,b,d, (per la quadragesima prima propositione) perché ambiduoi son constituidi sopra la basa ,b,d, & fra le due linee ,b,d, & ,a,l, equidistante, seguita adonque, per la sesta concettione, che 'l paralellogrammo ,b,f,g,a, sia equale al paralellogrammo ,b,d,l,m, per esser ciascun di loro doppio al triangolo ,a,b,d, Et per questo medesimo modo, & con le medesime propositione prouaremo che li duoi triangoli .k.b.c, & ,a,e,c, sono equal fra loro, & lo paralellogrammo ouer quadrato ,a,c,h,k, è doppio a l'un di loro, qual si uoglia, & similmente il paralellogrammo ,c,e,l,m, serà pur doppio a qual si uoglia, seguiterà poi come di sopra, che 'l paralellogrammo ,c,e,l,m, serà equal al quadrato ,a,c,k,h, (28) dilche tutto il quadratto grande ,b,c,d,e, per esser composto delli predetti duoi paralellogrammi ,b,d,l,m, et ,c,e,l,m, serà equale ad ambiduoi li predetti quadrati insieme gionti, che è il proposito.
Il Tradottore.
[vedi figura 038v_a.png] Da questa propositione si manifesta, che il quadrato del diametro di ciascuno quadrato è doppio al quadrato della sua costa, come, uerbigratia sia il quadrato ,a,b,c,d, [pag. 38v] nelqual tiro il diametro ,a,d, hor dico che 'l quadrato descritto di sopra ,a,d, per la precedente, serà doppio al quadrato descritto sopra la costa ouer lato ,a,c, ouer sopra un delli altri tre lati, laqual cosa si dimostrerà in questo modo, perché il lato ,a,c, è equal al lato ,c,d, per la diffinitione del quadrato; et similmente l'angolo c, è retto adonque (per la presente propositione) il quadrato del lato ,a,d, del triangolo ,a,d,c, per esser opposito all'angolo .c. che retto serà equale alli duoi quadrati delli duoi lati ,a,c, et ,c,d, liquali duoi quadrati seranno equali (per commune scientia) dilche essendo equale ad ambiduoi insieme (per commune scientia) serà doppia a un sol di quelli, perché uno uien a esser la mittà della somma de tutti duoi, per esser equali l'uno all'altro, e questo è quello che uuol inferire.
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## Teorema 48

Theorema .34. Propositione .48.
[47/47] Se il quadrato, che uien descritto da uno lato d'un triangolo, dutto in se medesimo serà equale alli duoi quadrati, che uengon descritti dalli dui restanti lati, l'angolo alqual è opposito quel tal lato è retto.
[vedi figura 038v_b.png] Sia il triangolo .a.b.c. & sia il quadrato del lato .a,c. equale alli duoi quadrati delli duoi lati .a.b. & .b.c, insieme gionti. Dico che l'angolo .b. (alqual si oppone il detto lato .a.c.) è retto. E questa è il conuerso della precedente. Dal ponto .b. tiro la linea .b.d. per la undecima propositione, perpendicolare alla linea .b.c. e pongo quella equale alla linea .a.b. & produco la linea .c.d. Et perché l'angolo .d.b.c. è retto, il quadrato adonque del lato .c.d. serà equale (per la precedente ) alli duoi quadrati delli altri duoi lati .c.b. & .b.d. & perché .b.d. fu posta equale al .b.a. li loro quadrati (per commune scientia) seranno equali, perché sopra linee equale se descriueno quadrati equali, hor giongendo communemente a l'uno e l'altro delli detti duoi quadrati il quadrato della linea .c.b. due somme seranno equale, per la prima concettione, & perché una de queste due somme serà equale al quadrato della .a.c. l'altra serà equale al quadratodella .d.c. Adonque li quadrati delle due ,a,c, & .d.c. seranno equali, & perché li quadrati equali sono contenuti de linee equale, per commune scientia, adonque la linea .c. serà equale alla linea .d.c. dilche li tre lati .a.b.a,c, & .c.b, del triangolo ,a,b,c, sono equali alli tre lati .b,d,b,c, et c.d, del triangolo ,d,b,c, seguita adonque, per l'ottaua proposittione che l'angolo ,a,b,c, sia equale all'angolo ,d,b,c, & perché l'angolo ,d,b,c, è retto, serà etiam retto l'angolo .a.b.c. che è il proposito.
IL FINE DEL PRIMO LIBRO.
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