# Fondamenti di automatica/Metodi di analisi

Fondamenti di automatica
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## Metodi di analisi
### Composizioni e Scomposizioni

Se si hanno due sistemi in serie,
in cui uno ha un polo a frequenza pari ad uno zero dell'altro, il sistema risultante risulta non osservabile o non controllabile, dipendentemente da come sono definite le variabili di stato . Se i sistemi sono in forma di funzione di trasferimento:
* una cancellazione zero-polo causa una perdita di controllabilità,
* una cancellazione polo-zero causa una perdita di osservabilità
Nel caso di due sistemi in parallelo
espressi come funzioni di trasferimento, si può avere cancellazione di poli comuni ai due sistemi, la parte corrispondente a tali poli risulta non controllabile e non osservabile.
Se la parte che viene cancellata corrisponde a poli instabili, allora il sistema è instabile.

#### Scomposizione canonica

Per un sistema in variabili di stato non completamente raggiungibile e osservabile esiste una forma di scomposizione detta decomposizione di Kalman
che consente di scomporre il sistema in quattro sottosistemi tali che lo stato interno del sistema è pari all'unione di tutti gli stati interni dei sottosistemi
* non controllabile e non osservabile ($nn$)
* non controllabile ed osservabile ($no$)
* controllabile e non osservabile ($cn$)
* controllabile e osservabile ($co$)
si applica una trasformazione $T_{K}$ (che in generale non è unica) al sistema ottenendo
$\left\{{\begin{array}{l}x_{K}'(t)=T_{K}^{-1}AT_{K}x_{K}(t)+T_{K}^{-1}Bu(t)\\y(t)=CT_{K}x_{K}(t)+Du(t)\\\end{array}}\right.$
dove il vettore di stato trasformato $x_{K}(t)$ (tale che $x(t)=x_{K}(t)T_{K}$) è scomposto in quattro parti
$x_{K}^{T}={\bigx_{cn},x_{co},x_{nn},x_{no}{\big ]}$ a cui corrispondono
$A_{K}=T_{K}^{-1}AT_{K}=\left({\begin{array}{cccccc}A_{cn}&A_{cn-co}&A_{cn-nn}&A_{cn-no}\\0&A_{co}&0&A_{co-no}\\0&0&A_{nn}&A_{nn-no}\\0&0&0&A_{no}\\\end{array}}\right)$
$B_{K}=T_{K}^{-1}B=\left[{\begin{array}{c}B_{cn}\\B_{co}\\0\\0\\\end{array}}\right]$
$C_{K}=CT_{K}=[0,C_{co},0,C_{no}]$
Un sistema raggiungibile ed osservabile si dice essere in forma minima in quanto non è possibile usare un numero di variabili di stato minore del suo ordine per descrivere la relazione ta ingresso e uscita che esso stabilisce.
Un sistema in forma minima lineare tempoinvariante è stabile esternamente se e solo se è asintoticamente stabile.

### Criterio di Routh

È possibile verificare la stabilità di un sistema dal suo polinomio caratteristico, le cui radici determinano i poli del sistema (se il sistema è rappresentato da una funzione di trasferimento razionale, senza ritardi di tempo).
Tutte le radici del polinomio caratteristico devono essere negative o al più nulle, ma per polinomi di grado elevato risulta difficile stabilire il segno delle radici
Se tutti i coefficienti $a_{n}\cdots a_{0}$ del polinomio caratteristico non hanno lo stesso segno, allora alcune radici hanno segno positivo ed il sistema è instabile (ad una variazione di segno tra coefficienti corrisponde un a radice positiva, ad una permanenza di segno una radice negativa ???); se il polinomio è di secondo ordine, allora se tutti i coefficienti hanno lo stesso segno, le radici sono tutte negative.
Per sistemi di ordine superiore al secondo, se la prima colonna della tabella di Routh ha tutti i termini con lo stesso segno, allora le radici sono tutte negative ed il sistema è stabile
La tabella di Routh è composta dai coefficienti del polinomio caratteristico del sistema nelle prime due righe, se il grado del polinomio è pari, allora sono:
${\begin{array}{cccccc}a^{n_{p}}&a^{n_{p}-2}&\cdots &a^{4}&a^{2}&a^{0}\\a^{n_{p}-1}&a^{n_{p}-3}&\cdots &a^{3}&a^{1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{array}}$
se è dispari sono:
${\begin{array}{cccccc}a^{n_{p}}&a^{n_{p}-2}&\cdots &a^{5}&a^{3}&a^{1}\\a^{n_{p}-1}&a^{n_{p}-3}&\cdots &a^{4}&a^{2}&a^{0}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{array}}$
La tabella completa ha tante righe quanti sono i termini del polinomio caratteristico ($n_{p}+1$), ogni due righe di lunghezza uguale, la riga successiva ha un elemento in meno, gli elementi delle righe successive ($e_{r,c}$ se con $r$ riga dell'elemento e $c$ colonna dell'elemento) sono calcolati sulla base dei primi due elementi delle due righe superiori ($e_{r-2,1}$ ed $e_{r-1,1}$) e dei due elementi delle due righe superiori al di sopra dell'elemento stesso ($e_{r-2,c}$ ed $e_{r-1,c}$);
secondo lo schema $e_{r,c}=e_{r-2,c}-{\frac {e_{r-2,1}e_{r-1,c}}{e_{r-1,1}}}=-{\frac {1}{e_{r-1,1}}}\left|{\begin{array}{cc}e_{r-2,1}&e_{r-2,c}\\e_{r-1,1}&e_{r-2,c}\\\end{array}}\right|$
ad esempio:
${\begin{array}{lccc}a_{4}&a_{2}&a_{0}\\a_{3}&a_{1}&\\a_{2}-{\frac {a_{4}a_{1}}{a_{3}}}&a_{0}-{\frac {a_{4}0}{a_{3}}}\\\vdots \\\end{array}}$
Se nel calcolo della tabella compare uno zero a denominatore, si può considerarlo un numero arbitrariamente piccolo e proseguire con il calcolo

### Diagrammi di Bode

Consistono in due diagrammi che rappresentano il modulo (in decibel) e la fase della risposta in frequenza in funzione della pulsazione (in scala logaritmica)
i modulo della risposta in frequenza in decibel è:
$|G(j\omega )|_{dB}=20\log _{10}|G(j\omega )|$
Possono esser usati per sistemi che non abbiano ritardi di tempo
(eventualmente questi possono essere approssimati con funzioni razionali)
Dai diagrammi di Bode è possibile ricavare facilmente il margine di fase e il margine di guadagno, il modulo e la fase della risposta in corrispondenza delle varie frequenze, la posizione di poli e zeri del sistema
Per farne un tracciamento approssimato si considera la risposta in frequenza espressa in forma di Bode o in modulo e fase.

### Diagramma polare

Si tratta del diagramma del modulo e della fase della risposta in frequenza $G(j\omega )$ di un sistema in coordinate rettangolari, Il diagramma rappresenta una curva nel piano complesso con in ascissa $\Re \{G(j\omega )\}$ ed in ordinata $j\Im \{G(j\omega )\}$ al variare di $\omega$ da $0$ a $+\infty$.
Dai diagrammi polari è possibile ricavare facilmente il margine di guadagno e il margine di fase, il numero di poli e zeri del sistema.
Nel diagramma polare del sistema, la pulsazione di taglio è in corrispondenza del punto in cui la curva interseca l'asse reale negativo .
Il diagramma polare ha le seguenti proprietà:
* attraversa $n_{p}-1$ volte gli assi (????),
* se ci sono zeri fa delle ondulazioni in punti dipendenti dal valore dello zero,
* se ci sono solo zeri è nella parte superiore dell'asse reale
È possibile tracciare approssimativamente il diagramma polare a mano, valutando la fase e il modulo della risposta in frequenza per valore nullo e infinito della pulsazione e i punti di intersezioni con gli assi

### Luogo delle radici

Il luogo delle radici
consiste nel tracciamento delle curve descritte dai poli e dagli zeri di un sistema in retroazione unitaria al variare del guadagno d'anello. Ci riferiamo ad un sistema $G(s)$ a guadagno unitario retroazionato con un guadagno d'anello $k$
Si definisce luogo delle radici inverso il diagramma per valori negativi del guadagno d'anello.
Permette di trattare unicamente problemi in cui la funzione di trasferimento in anello chiuso è razionale, e quindi priva di ritardi di tempo che si presentano sempre nei sistemi reali.
Il luogo delle radici consente di valutare facilmente la stabilità di un sistema in ciclo chiuso e le strategie di controllo necessarie a stabilizzare un sistema instabile.
I punti $\sigma +j\omega$ del luogo diretto sono tutti e soli i punti che soddisfano le due condizioni sul modulo e sulla fase:
$|G(\sigma +j\omega )|=1/k$ ovvero il prodotto dei moduli dei vettori tra il punto e i poli diviso il prodotto dei moduli dei vettori tra il punto e gli zeri è pari al guadagno nel punto
$k={\frac {|\sigma +j\omega +p_{1}|\cdots |\sigma +j\omega +p_{n_{p}}|}{|\sigma +j\omega +z_{1}|\cdots |\sigma +j\omega +z_{n_{z}}|}}$
$\angle G(s)=(2i+1)\pi \qquad {\textrm {con}}\quad i\in \int$ ovvero la somma delle fasi dei vettori che uniscono il punto con gli zeri meno la somma delle fasi che uniscono il punto con i poli deve essere $\pm \pi$ a meno di $2\pi$
$\tan ^{-1}{\frac {\omega }{\sigma +z_{1}}}\quad +\cdots +\tan ^{-1}{\frac {\omega }{\sigma +z_{n_{z}}}}$
$-\tan ^{-1}{\frac {\omega }{\sigma +p_{1}}}\quad -\cdots -\tan ^{-1}{\frac {\omega }{\sigma +p_{n_{p}}}}=\pm \pi \qquad (+2i\pi )$
Quest'ultima relazione è sufficiente per caratterizzare il luogo delle radici, la precedente è invece utile per trovare il guadagno corrispondente ad un punto appartenente al luogo

#### Proprietà del luogo delle radici diretto

Le curve del luogo delle radici diretto hanno le seguenti proprietà:
* Il numero di rami del luogo è pari al grado del sistema
* Il luogo è simmetrico rispetto all'asse reale e rispetto agli assi di simmetria dei poli e degli zeri del luogo
* Appartengono al luogo le parti dell'asse reale che hanno un numero dispari di poli e zeri a destra
* Al crescere del modulo del guadagno d'anello si segue il luogo dai poli agli zeri, i rami che non terminano in zeri vanno asintoticamente all'infinito
* Gli $i=n_{p}-n_{z}$ angoli tra gli asintoti e l'asse reale sono multipli dell'angolo giro diviso per l'eccesso poli-zeri
$\theta _{i}={\frac {(2i-1)\pi }{n_{p}-n_{z}}}$
* L'intersezione degli asintoti (centroide $\sigma _{c}$) è sull'asse reale nel punto uguale alla somma dei poli meno la somma degli zeri diviso per l'eccesso poli-zeri
$\sigma _{c}={\frac {p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n_{p}}-z_{1}-z_{2}-\cdots -z_{n_{z}}}{n_{p}-n_{z}}}$
(dove è possibile considerare solo la parte reale di poli e zeri, in quanto le parti complesse di poli o zeri complessi coniugati si annullano)
* Punti di incrocio del luogo sull'asse reale si possono determinare trovando i massimi e i minimi della funzione di trasferimento in anello aperto
* I rami del luogo nei punti di incrocio formano tra loro angoli uguali
* L'angolo $\theta _{t}$ tra la tangente del ramo del luogo nei poli e negli zeri con molteplicità unitaria e l'asse reale è
$\theta _{t}=\pi +{\mathcal {T}}(\theta _{Z1}+\cdots +\theta _{Zn_{z}}-\theta _{P1}-\cdots -\theta _{Pn_{p}})$
dove ${\mathcal {T}}=1$ se il punto è un polo, oppure ${\mathcal {T}}=-1$ se il punto è uno zero; $\theta _{Z(1\cdots n_{z})}$ sono gli angoli tra il punto singolare e gli altri zeri e $\theta _{P(1\cdots n_{p})}$ sono gli angoli tra il punto singolare e gli altri poli (con gli angoli valutati rispetto all'asse reale positivo)

#### Proprietà del luogo delle radici inverso

Il luogo delle radici inverso differisce dal luogo diretto:
* le parti dell'asse reale che appartengono al luogo hanno alla loro destra un numero pari di poli e zeri
* gli angoli tra gli asintoti e l'asse reale sono ruotati in senso orario di $\pi /(n_{p}-n_{z})$ rispetto al luogo diretto,
in pratica il primo asintoto coincide sempre con l'asse reale positivo

### Diagrammi di Nyquist

Il diagramma di Nyquist
si costruisce con il diagramma polare e il suo simmetrico rispetto all'asse reale, se il percorso non si chiude, allora si considera come chiusura la semicirconferenza di raggio infinito che sta nel semipiano di parte reale positivo e che ha centro nell'origine.
Se nel sistema è presente un ritardo puro di tempo $e^{-T_{d}s}$, il diagramma di Nyquist è simile a quello del sistema senza ritardo, con ogni punto corrispondente alla pulsazione $\omega$ ruotato di $\omega T_{d}$ radianti in senso orario
Il diagramma di Nyquist consente di valutare la stabilità di un sistema in ciclo chiuso anche in caso di variazione dei parametri della funzione di trasferimento

### Matlab e Simulink

È possibile utilizzare vari programmi per studiare i sistemi dinamici, tra questi Matlab (www.mathworks.com); per molti dei comandi qui listati è necessaria la toolbox dei controlli (control)
* roots(a): fornisce le radici di un polinomio i cui coefficienti sono a
* eig(A): fornisce gli autovalori della matrice A
* conv(d,c): moltiplica i due vettori d e c
* zpk(z,p,k): consente di definire una funzione di trasferimento inserendo zeri, poli e guadagno
* tf(n,d): consente di definire una funzione di trasferimento inserendo il polinomio a numeratore e a denominatore
* rlocus(f): traccia il luogo delle radici del sistema f
* bode(f): traccia il diagramma di Bode del sistema f
* margin(f): fornisce i margini del sistema f
* nyquist(f): traccia il diagramma di Nyquist del sistema f
* ss2tf(f), tf2zpk(f) ...: consentono di passare da una forma di sistema all'altra (si può usare anche la forma f = zpk(f), f = tf(f) ...)
* ss(A,B,C,D): consente di definire un sistema in variabili di stato
* step(f): traccia la risposta al gradino unitario del sistema f
* simulink: consente di costruire sistemi graficamente
* sisotool: consente di esaminare i sistemi SISO facilmente
* size(a): fornisce le dimensioni di a
* whos: lista tutte le variabili memorizzate
* clear: cancella una variabile, clear all le cancella tutte
* place(A,b,l): assegna al sistema descritto in variabili di stato dalla matrice A e dal vettore b gli autovalori del vettore l utilizzando una reazione totale dello stato

## Note

* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 142, sezione 5.4.1: Stabilità dei sistemi in serie
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 503, Effect of pole-zero cancellation in transfer function
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 144, sezione 5.4.2: Stabilità dei sistemi in parallelo
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 93, sezione 3.5.4: Scomposizione canonica e forma minima
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 94
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 334, sezione 6-5: Routh-Hurwitz Criterion
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 192, sezione 6.4: Routh stability criterion
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 75, sezione 3.3.4: Stabilità e polinomio caratteristico
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 192, sezione 6.4: Routh stability criterion, special cases
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 615, sezione 9-15-1: bode plots of systems with pure time delays
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 613, sezione 9-15: Stability analysis with the Bode plot
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 865, appendice A-1: Polar plots
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 470, capitolo 8: Root locus tecnique
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 389, capitolo 13: Luogo delle radici
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 201, capitolo 7: The root locus technique
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 392
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 391
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 500, tabella 8-2: Properties of the root loci
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 500, tabella 8-2: Properties of the root loci
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 305, sezione 11.5.1: Diagramma di Nyquist
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 565, sezione 9-5-5: Nyquist path