# Fondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettromeccanici

Fondamenti di automatica2
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I sistemi elettromeccanici operano una conversione elettromeccanica:
* motori elettrici: convertono l'energia elettrica in energia meccanica;
* generatori elettrici (o dinamo elettriche): convertono l'energia meccanica in energia elettrica.
In questo capitolo verrà trattato il motore elettrico alimentato in corrente continua (DC).

## Struttura e modello
### Statore

Lo statore genera il campo magnetico ${\vec {B}}\left(t\right)$ mediante:
* magneti permanenti: sono ingombranti e pesanti;
    e/o
* circuito di eccitazione (solenoide): è necessario alimentarlo con una corrente continua detta corrente di eccitazione $i_{e}\left(t\right)$:
    $v_{e}(t)=R_{e}i_{e}(t)+L_{e}{\frac {di_{e}(t)}{dt}}$

### Rotore

Il rotore è la parte rotante del motore, ed è costituita da una serie di spire conduttrici di superfici $A$, isolate tra loro, che, essendo immerse nel campo magnetico ${\vec {B}}\left(t\right)$ generato dallo statore, per la legge di Faraday-Henry-Lenz dell'induzione elettromagnetica:
    $e\left(t\right)=-{\frac {d\phi \left(t\right)}{dt}}$
sono percorse da una corrente indotta $i_{a}\left(t\right)$, la quale concatenandosi sottopone la spira alla coppia di Lorentz $T\left(t\right)$:
    $T(t)=i_{a}(t)AB\sin {\left(\theta (t)\right)}$
Il modello elettrico del rotore è descritto da:
    $v_{a}(t)=R_{a}i_{a}(t)+L_{a}{\frac {di_{a}(t)}{dt}}+e(t)$
dove la forza elettromotrice indotta $e(t)$ è direttamente proporzionale a $\phi (t)\omega (t)$ tramite una costante di proporzionalità $K$ chiamata costante caratteristica del motore:
    $e(t)=K\phi (t)\omega (t)$

### Collettore a spazzole

La coppia di Lorentz è massima quando il versore normale della spira è perpendicolare al vettore di campo magnetico ${\vec {B}}$ ($\theta =0^{\circ }$), ed è nulla quando il versore normale della spira è parallelo ad esso ($\theta =90^{\circ }$) → ogni spira viene alimentata con la corrente di armatura $i_{a}(t)$ da un interruttore rotante chiamato collettore a spazzole, o anello di Pacinotti, solo quando nella rotazione entra a contatto con le spazzole, cioè nella posizione di massima coppia di Lorentz. Le spazzole sono soggette ad usura perché sono realizzate mediante contatti in carboncino.

### Albero motore

L'albero motore, collegato meccanicamente alla carcassa tramite dei cuscinetti a sfera, trasferisce l'energia meccanica a un carico che oppone una coppia resistente $T_{r}(t)$:
    $J{\ddot {\theta }}(t)=T_{m}(t)-T_{r}(t)-\beta \omega (t)$
dove:
* $T_{m}$ è la coppia motrice del motore:
    $T_{m}(t)=K\phi (t)i_{a}(t)$
* $\beta$ è il coefficiente di attrito equivalente che tiene conto dei fenomeni d'attrito (cuscinetti).

## Modalità di funzionamento
### Comando di armatura

Nel motore DC con comando di armatura, il flusso magnetico dello statore è tenuto costante:
    $\phi (t)={\bar {\phi }},\quad \forall t$
utilizzando magneti permanenti e/o alimentando il circuito di eccitazione con una corrente costante ${\bar {i}}_{e}$ → l'equazione del circuito di eccitazione è di tipo statico:
    $v_{e}(t)=R_{e}{\bar {i}}_{e}+L_{e}{\cancel {\frac {d{\bar {i}}_{e}}{dt}}}=R_{e}{\bar {i}}_{e}={\bar {v}}_{e},\quad \forall t$

#### Equazioni dinamiche

    ${\begin{cases}v_{a}(t)=R_{a}i_{a}(t)+L_{a}{\frac {di_{a}(t)}{dt}}+K{\bar {\phi }}\omega (t)\\J{\ddot {\theta }}(t)=K{\bar {\phi }}i_{a}(t)-T_{r}(t)-\beta \omega (t)\end{cases}}$

#### Variabili di stato

    ${\begin{cases}x_{1}(t)=i_{a}(t)\\x_{2}(t)=\theta (t)\\x_{3}(t)=\omega (t)\end{cases}}$

#### Variabili di ingresso

    ${\begin{cases}u_{1}(t)=v_{a}(t)\\u_{2}(t)=T_{r}(t)\end{cases}}$

#### Matrici dell'equazione di stato

| $A={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{a}}{L_{a}}}&0&-{\frac {k{\bar {\phi }}}{L_{a}}}\\0&0&1\\{\frac {k{\bar {\phi }}}{J}}&0&-{\frac {\beta }{J}}\end{bmatrix}}$ | $B={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{L_{a}}}&0\\0&0\\0&-{\frac {1}{J}}\end{bmatrix}}$ |
Il termine alla prima riga e terza colonna della matrice $A$ la differenzia dalla matrice $A$ del motore a comando di eccitazione, e rappresenta la retroazione interna del sistema.

### Comando di eccitazione

Nel motore DC con comando di eccitazione, la corrente di armatura è tenuta costante:
    $i_{a}(t)={\bar {i}}_{a},\quad \forall t$
utilizzando un generatore ideale di corrente ${\bar {i}}_{a}$ → l'equazione del circuito di armatura è di tipo statico:
    $v_{a}(t)=R_{a}{\bar {i}}_{a}+L_{a}{\cancel {\frac {d{\bar {i}}_{a}}{dt}}}+K\phi (t)\omega (t),\quad \forall t$
Il flusso magnetico dello statore dipende in maniera non lineare dalla corrente di eccitazione $i_{e}(t)$:
La caratteristica non lineare del flusso si può approssimare con la legge lineare:
    $\phi (t)\approx K_{e}i_{e}(t)$

#### Equazioni dinamiche

    ${\begin{cases}v_{e}(t)=R_{e}i_{e}(t)+L_{e}{\frac {di_{e}(t)}{dt}}\\J{\ddot {\theta }}(t)=K\underbrace {\phi (t)} _{\approx K_{e}i_{e}(t)}{\bar {i}}_{a}-T_{r}(t)-\beta \omega (t)\end{cases}}$

#### Variabili di stato

    ${\begin{cases}x_{1}(t)=i_{e}(t)\\x_{2}(t)=\theta (t)\\x_{3}(t)=\omega (t)\end{cases}}$

#### Variabili di ingresso

    ${\begin{cases}u_{1}(t)=v_{e}(t)\\u_{2}(t)=T_{r}(t)\end{cases}}$

#### Matrici dell'equazione di stato

| $A={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{a}}{L_{a}}}&0&0\\0&0&1\\{\frac {k{\bar {\phi }}}{J}}&0&-{\frac {\beta }{J}}\end{bmatrix}}$ | $B={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{L_{a}}}&0\\0&0\\0&-{\frac {1}{J}}\end{bmatrix}}$ |