# Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 33-40

Niels Abel diceva che la matematica si impara meglio se la si ascolta direttamente dalla bocca dei maestri, piuttosto che da quella degli allievi. Per questo, nelle seguenti dimostrazioni, useremo proprio le parole del maestro Euclide (naturalmente tradotte in italiano corrente) mentre i commenti degli allievi li metteremo tra parentesi. A parte naturalmente le enunciazioni, che l'allievo Nicolò Tartaglia scrisse nel 1565, e che qui useremo come intestazione di ciascun teorema.
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## Teorema 33

Theorema .23. Propositione .33.
[33/33] Se in la sommità de due linee equidistante, & di equal quantità, siano congionte due altre linee, quelle medesime seranno anchora equale, & equidistante.
[pag. 32v] [vedi figura 032v_a.png] Siano le due linee .a.b. & .c.d. equidistante & equale, dellequale congiongerò le sue estremità per le linee .a.c. & .b.d. lequal dico esser equale, & equidistante. Et per dimostrar questo io tirarò la linea .a.d. & perché le due linee .a.b. & .c.d. sono equidistante, dal presupposito, l'angolo .b.a.d. serà equale allo angolo .a.d.c. per la prima parte della uigesimanona propositione: & li duoi lati .a.b. & .a.d. del triangolo .b.a.d. sono equali alli duoi lati .d.c. & .d.a. del triangolo .d.c.a. et l'angolo.d.a.b. del primo si è equale all'angolo .a.d.c. del secondo. Adonque, per la quarta propositione, la basa .b.d. del primo è equale alla basa .a.c. del secondo, & l'angolo .a.d.b. del primo è equale all'angolo .d.a.c. del secondo, ma perché li ditti duoi angoli son coalterni, la linea .a.c. serà equidistante alla linea .b.d. per la uigesima septima propositione, e perché prima fu approuato che le medesime due linee, ouer base .a.c. & .b.d. son equale. l'un e l'altro proposito è manifesto.
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## Teorema 34

Theorema .24. Propositione .34.
[34/34] Ogni superficie contenuta da lati equidistanti, ha le linee, & li angoli contrapositi equali, & lo diametro diuide quella per mezzo.
[vedi figura 032v_b.png] Sia la superficie .a.b.c.d. de lati equidistanti, cioè che la linea .a.b. sia equidistante alla linea .c.d. similmente la linea .a.c. alla linea .b.d. hor dico che le due linee .a.b. & .c.d. sono equale fra lor, similmente le due linee .a.c. & .b.d. sono etiam fra loro equale, cioe ciascun lato si è equale al suo opposito. Anchora dico che l'angolo .a. è equale all'angolo .d. a lui contraposito, similmente l'angolo .b. è equale all'angolo ,c, io tirarò il diametro ,a,d, ilquale etiam diuiderà quella detta superficie ,a,b,c,d, per mezzo cioe in due parti equale, lequal cose demostrerò in questo modo, perché ,a,b, & ,c,d, son equidistante dal presupposito, li duoi angoli .b.a.d. et .c.d.a. son equali, per la prima parte della uigesima nona propositione, perché sono coalterni, ma perché anchora ,a,c, & ,b,d, sono equidistanti li duoi angoli ,c,a,d, & ,b,d,a, son equali per la detta uigesimanona propositione, perché sono coalterni, hor intendo li duoi triangoli .a.d.b. & .d.a.c. & perché li duoi angoli ,a, & ,d, del triangolo ,a,d,b, son equali alli duoi angoli .a. et .d. del triangolo d.a.c. & lo lato .a.d. sopra delquale giaceno quelli angoli equali, in l'uno e l'altro triangolo e commune. Adonque per la uigesima sesta propositione, lo lato .a.b. sarà equale al lato .c.d. et similmente lo lato ,a,c, al lato ,b,d, serà equale, etiam l'angolo .b. serà equale all'angolo .c. e perché li duoi angoli .a. sono equali alli duoi angoli .d. come è dimostrato di sopra adonque per la seconda concettione, tutto l'angolo .a. serà equale .a. tutto (18) l'angolo .d. a lui contraposito. dico anchora che 'l diametro .a.d. com'è detto di sopra, diuide ditta superficie in due parti equale perché .a.b. è equale al .c.d. & .a.d. è commune, adunque li duoi lati .a.b. et .a.d. del triangolo .a.b.d. sono equali alli duoi lati [pag. 33r] d.c. & .d.a del triangolo .d.a.c. & l'angolo d.a.b. è equale all'angolo .a.d.c. adunque per la quarta propositione, la basa .a.c. serà equale alla basa .b.d. etiam tutto il triangolo .a.b.d. serà equale a tutto il triangolo .a.c.d. che è il proposito.
Il Tradottore.
Bisogna notare che ogni superficie contenuta da linee equidistante è detta parallelogramma, e le specie di queste figure paralellogramme, ouer de lati equidistanti, sono solamente quattro, & queste quattro son quelle che furno diffinite in la uigesima prima diffinitione, cioe il quadrato, il tetragono longo, il rhombo, et il rhomboide.
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## Teorema 35

Theorema .25. Propositione .35.
[35/35] Tutte le superfici de lati equidistanti constituide sopra una medesima basa, & in medesime linee equidistante, sono fra loro equale.
[vedi figura 033r_a.png] Siano le due linee .a.b. & .c.d. equidistante intra lequale sia la superficie .a.c.f.e. de lati equidistanti sopra la basa .c.e. & sopra la medesima basa & in tra le medesime linee sia l'altra superficie .g.c.h.e. similmente de lati equidistanti. Dico che le due predette superficie sono equale, laqual cosa se dimostrerà in questo modo. Perché l'una e l'altra delle due linee .a.f. & .g.h. sono equale alla linea .c.e. (per la precedente propositione) adonque per la prima concettione la linea .a.f. serà equale alla linea .g.h. dilche leuando, communemente ad ambedue la linea .g.f. remanerà le due linee .a.g. & .f.h. lequale seranno etiam fra loro equale (per la tertia concettione) anchora perché (per la precedente) il lato .a.c. è equale al lato f.e. & (per la seconda parte della uigesima nona propositione) l'angolo .h.f.e. è equale a l'angolo .g.a.c. cioe lo estrinsico allo intrinsico a se opposito, dilche li duoi lati .a.c. & .a.g. del triangolo .a.c.g. sono equali alli duoi lati .f.e. & .f.h. del triangolo .f.e.h. et l'angolo ,c.a.g. dell'uno è equale a l'angolo e.f.h. adonque (per la quarta propositione) il triangolo ,a,c,g, serà equale al triangolo .f.e.h. [vedi figura 033r_b.png] adonque giongendo a cadauno la irregular figura quadrilatera laquale è .g.c.f.e. (per la prima concettione) la superficie .a.c.f.e. serà equale alla superficie .g.c.h.e. che è il proposito, ma se la linea .c.g. della figura superiore andasse a terminare nel ponto .f. come in questa secondafigura appare dico anchora che la superficie .f.c.h.e. è equale alla superficie .a.c.f.e, che con la medesima augumentatione (19) di sopra fatta se dimostra, perché per la medesima uia li duoi triangoli .f.a.c. & .f.e.h. sono fra loro equali, dilche aggiongendo a ciascun il triangolo .f.e.c. la superficie .a.c.f.e. serà equale alla superficie .f.c.e.h. che è il proposito. [vedi figura 033v_a.png] Ma se per caso la linea .c.g. della prima figura andasse a terminare intra .f. & .b. come in questa tertia figura appar. Similmente dico che la superficie .g.c.e.h. è equale alla superficie [pag. 33v] ,a.c.f.e. che cosi se dimostrerà perché (per la propositione precedente) argumentado come de sopra fu fatto, la linea .a.f. serà equale alla linea .g.h. dilche aggionto a l'una e l'altra linea .f.g. serà etiam tutta la linea a.g. equale a tutta la linea .h.f. & per le medesime rason de sopra adutte il triangolo .a.g.c. serà equal al triangolo .f.e.h. adonque aggionto l'uno e l'altro il triangolo ,c,k,e, & detrattone poi il triangoletto .g.k.f. da l'uno e dall'altro resterà in ultima la superficie .g.c.b.e. equale alla superficie ,a.c.f.e. che è il proposito.
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## Teorema 36

Theorema .26. Propositione .36.
[36/36] Tutte le superficie paralellogramme, costituide in base equale, & fra medesime linee paralelle, sono fra loro equale.
[vedi figura 033v_b.png] Siano adonque le due superficie .a.b.c.d. & .e.f.g.h. paralellogramme ouer de lati equidistanti costituide intra due linee equidistante, lequal son le due linee a.f. et c.h. e sopra equal base, lequal base son .c.d. & .g.h. dico che la superficie .a.b.c.d. le necessario che la sia equale alla superficie ,e.f.g.h. laqual cosa se approuerà in questo modo, io tirarò le due linee .c.e. & .d.f. donde (per la trigesima tertia propositione) la superficie.c.e.d.f. serà de lati equidistanti, per questa rasone, perché.e.f. è equale, & equidistante al .c.d. perché l'uno e l'altro è equale al .g.h. seguita adonque (per la precedente) che l'una e l'altra delle due superficie .a.b.c.d. & .e.f.g.h. è equale alla superficie .c.e.d.f. dilche per la prima concettione seranno etiam fra loro equale, che è il proposito.
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## Teorema 37

Theorema .27. Propositione .37.
[37/37] Tutti li triangoli liquali sono constituidi sopra una medesima basa fra due medesime linee equidistante sono fra loro equali.
[vedi figura 033v_c.png] Siano li duoi triangoli .a.b.c. & .d.b.c. constituidi ambiduoi sopra la basa .b.c. & fra le due linee .a.e. & .b.f. lequal siano equidistante, hor dico che li ditti duoi triangoli .a.b.c. & .d.b.c. sono fra loro equali, perché tirarò la linea .c,g, equidistante alla linea .b.a. similmente la linea .c.h. equidistante alla linea .b.d. per la dottrina della trigesima prima propositione, & per la trigesima quinta propositione, le due superficie .a.b.c.g. & .d.b.h.c. seranno equale, & perché li duoi triangoli .a.b.c. & .d.b.c. sono la mittade di ciascuna di quelle (per lo correlario della trigesima quarta propositione) adonque li detti duoi triangoli sono etiam fra loro equali (per la settima concettione) che è il proposito.
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## Teorema 38

Theorema .28. Propositione .38.
[38/38] Se duoi triangoli seranno constituidi sopra base equale, & fra medesime linee equidistante, seranno fra loro eguali.
[vedi figura 034r_a.png] Siano li duoi triangoli .a.b.c. & .d.e.f. constituidi sopra le base .b.c. & .f.e. equale & fra le linee .a.g. & .b.h. equidistante, hor dico che li detti duoi triangoli sono fra loro equali. Et per dimostrar questo io tirarò la linea .c.k. equidistante alla linea .a.b. (lato del triangolo .a.b.c.) & similmente la linea .f.l. equidistante al lato .e.d. & le due superficie .a.b.c.k. & .d.e.f.l. seranno equale (per la trigesima sesta proposition) & perché li detti duoi triangoli sono la mità di ciascuna di quelle (per lo correlario della trigesima quarta propositione) dilche (per commune sententia) li detti duoi triangoli seranno equali, che è il proposito.
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## Teorema 39

Theorema .29. Propositione .39.
[39/39] Ogni duoi triangoli equali, se seranno constituidi sopra una medesima basa, e da una medesima parte, seranno fra due linee equidistante.
[vedi figura 034r_b.png] Siano li duoi triangoli .a.b.c. & .d.b.c. constituidi sopra la basa .b.c. da una medesima parte, & siano equali. Hor dico che questi duoi triangoli sono fra due linee equidistante. Questo è il conuerso della trigesima settima. Dal ponto .a. tirarò una linea equidistante alla basa .b.c. laquale se quella transirà, per il ponto .d. è manifesto (20) il proposito. Se non quella transirà di sopra, ouer di sotto, transisca prima di sopra, & sia la .a.e. & produrò la linea .b.d. per fina a tanto che seghi la linea .a.e. in ponto .e. & tirarò la linea .e.c. Et perché il triangolo .e.b.c. è equale al triangolo .a.b.c. (& per la trigesima settima propositione) Etiam lo triangolo .d.b.c. fu posto equale al ditto triangolo .a.b.c. Adonque (per la prima concettione) lo triangolo .b.d.c. serà equale al triangolo .b.e.c. laqual cosa è impossibile, che la parte sia equale al tutto (per l'ultima concettione) dilche tirando dal ponto. una linea equidistante alla basa .b.c. non.a puotrà transire di sopra dal ponto .d. [vedi figura 034v_a.png] Anchora dico che non pertransirà di sotto dal detto ponto .d. & se pur fusse possibile (per l'aduersario) poniamo sia la linea ,a.f. segante la linea .d.b. in ponto .f. io tirarò adonque la linea .f.c. e perché il triangolo .f.b.c. (per la trigesima settima propositione) si è equale al triangolo .a.b.c. similmente il triangolo .d.b.c. fu posto equale al ditto triangolo .a.b.c. donde (per la prima concettione) il triangolo .b.f.c. seria equale al triangolo .d.b.c. cioè la parte seria equal al tutto che è impossibile (per l'ultima concettione) adonque perché la linea protratta [pag. 34v] dal ponto .a. equidistante alla basa .b.c. non può transire, ne di sopra, ne di sotto, dallo ponto .d. seguita de necessitade, che quella transisca per esso ponto .d. ilquale è il proposito. Et tu debbi da notare che da questa & dalla precedente ci manifesta che se una linea retta segarà li duoi lati d'un triangolo in due parti equale quella tal linea serà equidistante al terzo lato, laquale cosa se dimostrarà in questo modo, sia il triangolo .a.b.c. che li duoi lati .a.b. & .a.c. di quello siano segati dalla linea .d.e. in due parti equale nelli duoi ponti ,d. & .e. Dico che la linea .d.e. si è equidistante al .b.c. & per demostrar questo io tirarò nel quadrilatero .d.e.b.c. li duoi diametri .d.c. & .b.e. hor dico che 'l triangolo .d.e.b. per la trigesima ottaua propositione, serà equale al triangolo .a.d.e. perché sono sopra due base equale, perché la .d.b, è equale alla .d.a. dal prosupposito e ciascun di loro termina nel ponto .e. dalqual se può tirar una linea che serà equidistante alla basa ouer linea .b.a. per la trigesima prima propositione, dilche se può dir che sono etiam fra due linee equidistante, abenche la linea non gli sia tirata anchora per le medesime ragione il triangolo .c.e.d. serà equale al medesimo triangolo .a.d.e. dilche per la prima concettione, il trianngolo .d.e.b. serà equale al triangolo .d.e.c. liquali sono constituidi sopra la medesima basa .d.e. donde per la presente trigesima nona propositione, seranno fra due linee equidistante, adonque la linea ,d.e. è equidistante alla linea .b.c. che è il proposito.
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## Teorema 40

Theorema .30. Propositione .40.
[40/40] Se duoi triangoli equali seranno constituidi sopra equal base d'una medesima linea, & da una medesima parte egli è necessario quelli esser contenuti fra due linee equidistante.
[vedi figura 034v_b.png] Siano li duoi triangoli .a.b.c. & .d.e.f. equali constituidi sopra le due base .b.c. & e.f. equale, lequal base sono d'una medesima linea, cioè .b.f. & ambidui da una parte medesima, cioe uerso .a. et .d. dico adonque li detti duoi triangoli esser fra due linee equidistante, e questa è il conuerso della trigesima ottaua, et se approua per quella medesima si come etiam la precedente per la trigesima settima, dal ponto .a. sia tirata una linea equidistante alla .b.f. laquale se la transirà per il ponto .d. è manifesto (21) il proposito, se non quella se la transirà di sopra, ouer di sotto come la .a.g. transisca prima di sopra, & sia produtta la .c.d. per fina a quella laqual sia .e.g. & sia tirata la linea .g.f. & per la trigesima ottaua, il triangolo .a.b.c. serà equale al triangolo .g.e.f. per la quale cosa il triangolo .d. [pag. 35r] e.f. serà equale allo triangolo .g.e.f. cioe, la parte seria equale al tutto, laqual cosa è impossibile, adonque non transirà di sopra, transisca adunque di sotto, & seghi la linea .d.e. in ponto .h. & sia dutta la linea .f.h. per la trigesimaottaua il triangolo .b.e.f serà equale al triangolo .a.b.c. per laqual cosa serà etiam equale al triangolo .d.e.f. cioe la parte al tutto, laqual cosa è impossibile. adonque perché quella non transirà se non per il ponto .d. è manifesto il proposito.
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