# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Come ultimo esempio di applicazione della formula di rappresentazione per risolvere problemi al bordo si consideri il caso in cui $\Omega =B(0,R)$ in ${\mathbb {R}}^{3}$.
Anche in questo caso il vero problema consiste nella determinazione della funzione di Green. Come visto per i due casi precedente si vuole trovare $x^{\star }$ tale che $\Phi (x-y)-h(y)=0$. In questo caso però occorre introdurre un secondo parametro, oltre a $x^{\star }$, che andrà determinato; altrimenti con la sola scelta $h(y)=\Phi (x^{\star }-y)$ non si riuscirebbe a determinare completamente l'espressione di $G(x,y)$. Pertanto sia $h(y)=h_{x}(y)={\frac {q}{4\pi \mid x^{\star }(x)-y}}$, con $x^{\star }$ e $q$ da determinare. Dunque, se $y\in \partial B(0,R)$ con $\mid {\underline {y}}\mid =R$, deve essere che:
$\Phi (x,y)-q\Phi (x^{\star },y)=0$
Più precisamente, essendo $\Phi (x,y)={\frac {1}{4\pi \mid x-y\mid }}$, si ha:
$q\mid x-y\mid =\mid x^{\star }-y\mid$
Passando ai quadrati, dovendo valere $\forall y\in \partial B(0,R)$ la relazione appena scritta, si ha che:
$\mid {\underline {x}}^{\star }\mid ^{2}\mid +\mid {\underline {y}}\mid ^{2}-2\mid {\underline {x^{\star }}}\mid \mid {\underline {y}}\mid =q^{2}\left(\mid {\underline {x}}\mid ^{2}\mid +\mid {\underline {y}}\mid ^{2}-2\mid {\underline {x}}\mid \mid {\underline {y}}\mid \right)$
Ricordando che $\mid {\underline {y}}\mid =R$ si può riscrivere l'equazione sopra separando i termini che contengono il termine ${\underline {y}}$ da quelli che non lo contengono così da ottenere:
$\mid {\underline {x}}^{\star }\mid ^{2}+R^{2}-q^{2}\left(\mid {\underline {x}}\mid ^{2}+R^{2}\right)=2\left(q^{2}{\underline {x}}-{\underline {x}}^{\star }\right){\underline {y}}$
Dovendo valere $\forall \,y\in \partial B(0,R)$ deve quindi essere che:
$q^{2}{\underline {x}}={\underline {x}}^{\star }$
In definitiva si ottiene:
$q^{4}\mid {\underline {x}}\mid ^{2}+R^{2}-q^{2}\left(\mid {\underline {x}}\mid ^{2}+R^{2}\right)=0$
da cui si possono ricavare i valori di $q^{2}$:
$q^{2}=1\;{\text{v}}\;q^{2}={\frac {R^{2}}{\mid {\underline {x}}\mid ^{2}}}$
Il valore $q^{2}=1$ non è accettabile perché porterebbe a concludere ${\underline {x}}={\underline {x}}^{\star }$, dunque si conclude che $q^{2}={\frac {R^{2}}{\mid {\underline {x}}\mid ^{2}}}$. In definitiva:
$q={\frac {R}{\mid {\underline {x}}\mid }},\;{\underline {x}}^{\star }=\left({\frac {R}{\mid {\underline {x}}\mid }}\right)^{2}{\underline {x}}$
Una riflessione del punto ${\underline {x}}$ in ${\underline {x}}^{\star }$ siffatta è anche detta riflessione di Kelvin. Si conclude che per il caso considerato la funzione di Green, che potrà essere usata per scrivere espressamente $u(x)$ con la formula di rappresentazione, è data da:
$G(x,y)={\frac {1}{4\pi \mid x-y\mid }}-{\frac {R}{\mid x\mid }}{\frac {1}{4\pi \mid {\frac {R^{2}}{\mid x\mid ^{2}}}x-y\mid }}$