# Meccanica del punto materiale/Teorema delle velocità relative

Meccanica del punto materiale
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
Cinematica del punto materiale
* Cinematica del puntoMeccanica del punto materiale/Cinematica del punto
* Moto rettilineoMeccanica del punto materiale/Moto rettilineo
* Moto circolareMeccanica del punto materiale/Moto circolare
* Moto armonicoMeccanica del punto materiale/Moto armonico
* Moto parabolico dei corpiMeccanica del punto materiale/Moto parabolico dei corpi
Dinamica del punto materiale
* Primo e secondo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Primo e secondo principio della dinamica
* Forza peso e forze vincolariMeccanica del punto materiale/Forza peso e forze vincolari
* Terzo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Terzo principio della dinamica
* Forza d'attrito radenteMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito radente
* Forza d'attrito viscosoMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito viscoso
* Forza elasticaMeccanica del punto materiale/Forza elastica
* Forza centripetaMeccanica del punto materiale/Forza centripeta
* Quantità di moto e impulsoMeccanica del punto materiale/Quantità di moto e impulso
* Momento angolareMeccanica del punto materiale/Momento angolare
* Pendolo sempliceMeccanica del punto materiale/Pendolo semplice
Moti relativi
* Teorema delle velocità relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle velocità relative
* Teorema delle accelerazioni relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle accelerazioni relative
* Relatività galileianaMeccanica del punto materiale/Relatività galileiana
Lavoro ed energia
* Energia cinetica e lavoroMeccanica del punto materiale/Energia cinetica e lavoro
* Energia del pendoloMeccanica del punto materiale/Energia del pendolo
* Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elasticaMeccanica del punto materiale/Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elastica
* Forze conservative ed energia potenzialeMeccanica del punto materiale/Forze conservative ed energia potenziale
* Considerazioni conclusive sull'energiaMeccanica del punto materiale/Considerazioni conclusive sull'energia
Oscillatori armonici
* Oscillatore armonicoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico
* Oscillatore armonico smorzato e forzatoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico smorzato e forzato
* Oscillatori accoppiatiMeccanica del punto materiale/Oscillatori accoppiati
Appendice
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Il concetto stesso di moto è un concetto relativo. Se una mamma porta il figlio nel passeggino, il bambino avrà per esempio una velocità di 2 m/s rispetto al marciapiede, ma avrà velocità nulla rispetto al passeggino. In generale, in due sistemi di riferimento in moto relativo il moto di un punto materiale viene descritto con leggi diverse. Consideriamo dunque due sistemi di riferimento, uno fisso, costituito da una terna cartesiana $xyz$ con centro in $O$, e uno mobile, con centro in $O'$ e assi $x'y'z'$. Il sistema mobile si sposta con velocità ${\vec {v}}_{O'}$ rispetto al sistema fisso, e i suoi assi possono ruotare, cosa che non avviene per il sistema fisso. I due sistemi di riferimento osservano il moto di un punto $P$. Dalla regola di somma tra vettori otteniamo la relazione tra le posizioni del punto $P$, misurate rispetto ai due sistemi di riferimento:
${\vec {r}}={\vec {OO'}}+{\vec {r}}'\qquad \qquad (1)$
con
${\vec {r}}=x{\hat {i}}+y{\hat {j}}+z{\hat {k}};\quad {\vec {r}}'=x'{\hat {i'}}+y'{\hat {j'}}+z'{\hat {k'}};\quad {\vec {OO'}}=x_{O'}{\hat {i}}+y_{O'}{\hat {j}}+z_{O'}{\hat {k}}$
La velocità di $P$ rispetto al sistema fisso è
${\vec {v}}={\frac {dx}{dt}}{\hat {i}}+{\frac {dy}{dt}}{\hat {j}}+{\frac {dz}{dt}}{\hat {k}}$
La velocità di $P$ misurata dal sistema mobile è
${\vec {v}}'={\frac {dx'}{dt}}{\hat {i'}}+{\frac {dy'}{dt}}{\hat {j'}}+{\frac {dz'}{dt}}{\hat {k'}}$
Infine, la velocità dell'origine $O'$ rispetto al sistema fisso è
${\vec {v}}_{O'}={\frac {dx_{O'}}{dt}}{\hat {i}}+{\frac {dy_{O'}}{dt}}{\hat {j}}+{\frac {dz_{O'}}{dt}}{\hat {k}}$
Andiamo ora a derivare la (1) rispetto al tempo. Otteniamo
${\vec {v}}={\frac {d{\vec {OO'}}}{dt}}+{\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}={\frac {dx_{O'}}{dt}}{\hat {i}}+{\frac {dy_{O'}}{dt}}{\hat {j}}+{\frac {dz_{O'}}{dt}}{\hat {k}}+{\frac {dx'}{dt}}{\hat {i'}}+{\frac {dy'}{dt}}{\hat {j'}}+{\frac {dz'}{dt}}{\hat {k'}}+$
$+x'{\frac {d{\hat {i'}}}{dt}}+y'{\frac {d{\hat {j'}}}{dt}}+z'{\frac {d{\hat {k'}}}{dt}}$
ovvero
${\vec {v}}={\vec {v}}'+{\vec {v}}_{O'}+x'{\frac {d{\hat {i'}}}{dt}}+y'{\frac {d{\hat {j'}}}{dt}}+z'{\frac {d{\hat {k'}}}{dt}}\qquad \qquad (2)$
I versori, per definizione, hanno modulo costante. Nel nostro caso possono ruotare, diciamo con velocità angolare $\omega$. Quindi possiamo scrivere le loro derivate come
${\frac {d{\hat {i'}}}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\hat {i'}};\quad {\frac {d{\hat {j'}}}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\hat {j'}};\quad {\frac {d{\hat {k'}}}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\hat {k'}}$
Gli ultimi tre termini della (2) diventano allora
$x'({\vec {\omega }}\times {\hat {i'}})+y'({\vec {\omega }}\times {\hat {j'}})+z'({\vec {\omega }}\times {\hat {k'}})={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'$
In definitiva abbiamo ottenuto la seguente equazione
${\vec {v}}={\vec {v}}'+{\vec {v}}_{O'}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'$
nota come teorema delle velocità relative: le misure di velocità compiute in sistemi di riferimento in moto rispetto all'altro sono diverse.