# Analisi vettoriale/Circolazione di un vettore, rotore, teorema di Stoke

Analisi vettoriale
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La trasformazione dell'integrale di superficie chiusa di un vettore in un integrale di volume ha portato al concetto di divergenza di un vettore. Consideriamo ora l'integrale di linea chiusa di un vettore.
Assumiamo che una linea L sia data nel campo di un vettore $\mathbf {a} (R)$ e che pure sia data la direzione positiva, delle due possibili del moto lungo questa linea. Dividiamo la curva L in infinitamente piccoli elementi $d\mathbf {s}$ la cui direzione coincida con quella del moto lungo la curva, e moltiplichiamo ciascun elemento $d\mathbf {s}$ scalarmente per il valore del vettore $\mathbf {a}$ nel corrispondente punto del campo. Il limite della somma di questi prodotti $\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =a_{s}\ ds$ quando ds<0 comprendente tutti gli elementi della curva è denominato integrale di linea del vettore $\mathbf {a}$ lungo la linea L:
             $\int _{L}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\int _{L}a_{s}\ ds$
Se la linea è chiusa, la qual cosa è indicata da un cerchio sul simbolo di integrazione, allora l'integrale di linea del vettore $\mathbf {a}$ lungo di essa è chiamato rotazione o circolazione di $\mathbf {a}$ lungo L:
             $C_{(a)}=\oint _{L}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\oint _{L}a_{s}\ ds\ \ \ (E.23)$
Assumiamo che il contorno L sia quello di un rettangolo piano ABCD e scegliamo gli assi x e y di un sistema di coordinate cartesiane così che siano paralleli ai lati del rettangolo ed intersechino al suo centro.
Siano Δx e Δy, rispettivamente, i lati del rettangolo. Se si sceglie la direzione positiva attorno al perimetro così che la corrispondente normale positiva allìarea del rettangolo sia diretta lungo l'asse z, allora
             $C=\oint a_{s}\ ds=\int _{A}^{B}a_{x}\ dx+\int _{B}^{C}a_{y}\ dy+\int _{C}^{D}a_{x}\ dx+\int _{D}^{A}a_{y}\ dy$
Facendo ricorso al teorema del valore medio del calcolo infinitesimale, si ottiene (quando \mathbf{n}</math> è parallela all'asse z)
             $\oint a_{s}\ ds=a'_{x}\Delta x+a_{y}''\Delta y-a'''_{x}\Delta x-a''''_{y}\Delta y$
dove $a'_{x},a''_{y}$ sono i valori medi delle componenti $a_{x}$ e $a_{y}$ sui lati primo, secondo etc. del rettangolo. Il segno negativo, per esempio, sull'ultimo termine della somma è giustificato dal fatto che la integrazione sul lato AD è eseguita nella direzione riducente la coordinata y.
Facciamo ora tendere a zero la lunghezza dei lati del rettangolo. Il valore medio del componente $a_{y}$ sul segmento BC ad una distanza Δx dal segmento AD nella direzione dell'asse x differirà dal valore di $a_{y}$ sul segmento AD di un ammontare $({\delta a_{y} \over \delta x}\Delta x$ con una accuratezza pari ad un infinitesimo di secondo ordine:
             $a''_{y}=a''''_{y}+{\delta a_{y} \over \delta x}\Delta x$
In corrispondenza,
             $a'''_{x}=a'_{x}+{\delta a_{x} \over \delta y}\Delta y$
dato che CD si trova alla distanza Δy da AB nella direzione dell'asse y.
Al limite, con un rettangolo di dimensioni infinitamente piccole, ${\delta a_{y} \over \delta x}$ e ${\delta a_{x} \over \delta y}$ possono venire considerate i valori di queste quantità al centro 0 del rettangolo. Introducendo queste espressioni nella precedente equazione, si ottiene (quando $\mathbf {n}$ sia parallela all'asse z)
    $dC=\oint a_{s}ds=(a''_{y}-a''''_{y})\Delta y-(a'''_{x}-a'_{x})\Delta x={\delta a_{y} \over \delta x}\Delta x\ \Delta y-{\delta a_{x} \over \delta y}\Delta x\ \Delta y$
dove è stato sostituito C da dC per far notare che questa relazione è valida solamente per rettangoli infinitamente piccoli. (Naturalmente, dC non è per nulla il differenziale totale di C). Denotando, alla fine, l'area del rettangolo $\Delta \Delta y$ con dS, otteniamo
             $dC=\oint a_{s}ds=({\delta a_{y} \over \delta x}-{\delta a_{x} \over \delta y})dS\ \ \ (E.24)$
Siccome gli assi x, y e x formano un sistema destrorso, allora, ruotando i pedici x, y e z evidentemente otteniamo la circolazione del vettore $\mathbf {a}$ lungo il perimetro di un rettangolo infinitamente piccolo, la cui normale positiva è diretta lungo gli assi x o y:
quando $\mathbf {n}$ è parallela all'asse x
             $dC=\oint a_{s}ds=({\delta a_{z} \over \delta y}-{\delta a_{y} \over \delta y})dS\ \ \ (E.24a)$
quando $\mathbf {n}$ è parallela all'asse y
             $dC=\oint a_{s}ds=({\delta a_{x} \over \delta z}-{\delta a_{z} \over \delta x})dS\ \ \ (E.24b)$
Vogliamo dimostrare che la combinazione delle derivate delle componenti del vettore $\mathbf {a}$ nelle equazioni E.24, E.24a e 24b sono componenti di un certo vettore che viene comunemente denominato $rot\ \mathbf {a}$:
             $(E.25)\ \ \ \left\{{\begin{matrix}rot_{x}\ \mathbf {a} ={\delta a_{z} \over \delta y}-{\delta a_{y} \over \delta z}\ \\rot_{y}\ \mathbf {a} ={\delta a_{x} \over \delta z}-{\delta a_{z} \over \delta x}\ \\rot_{z}\ \mathbf {a} ={\delta a_{y} \over \delta x}-{\delta a_{x} \over \delta y}\ \end{matrix}}\right.$
Il vettore $rot\ \mathbf {a}$ la derivata spaziale vettoriale del vettore $\mathbf {a}$ (differente dalla sua derivata spaziale scalare $div\ \mathbf {a}$).
Usando i simboli (E.25), le espressioni (E.24) possono venire scritte come segue:
             $dC=\oint _{L}\ a_{s}\ ds=curl_{n}\ \mathbf {a} \ dS\ \ \ (E.26)$
Qui con n intendiamo una normale dell'elemento di area dS positiva che forma un sistema destrorso con la direzione positiva attorno al contorno di questo elemento. Consecutivamente assumendo che n sia parallela agli assi x, y e z, si ottengono le equazioni $(E.24),(E.24_{a}),(E.24_{b})$ dalle Equazioni E.26) e E.25).
Poiché gli assi coordinati possono sempre essere scelti in modo tale che uno di loro sia perpendicolare all'elemento di area dS, allora E.26 permane ovviamente corretta per la circolazione di a lungo il contorno di un rettangolo arbitrariamente infinitamente piccolo.
Ora passiamo a considerare la circolazione di un vettore su un contorno avente forma e dimensione qualsiasi. Arrangiamo la superficie S in modo tale che L ne sia il proprio contorno. Poi dividiamo la superficie in un insieme di infinitamente piccoli elementi che possano essere considerati piani per la loro piccolezza con due sistemi mutuamente perpendicolari di linee parallele. Applicando la E.26 a ciascuno di questi elementi e sommando le espressioni ottenute, troviamo che<
             $\sum dC=\sum \oint a_{s}\ ds=\sum curl_{n}\mathbf {a} \ dS=\int _{S}curl_{n}\mathbf {a} \ dS$
in cui n è la normale al lato esterno della superficie dS. Il lato esterno della superficie S deve essere scelto secondo la direzione positiva di circolazione sul contorno (metodo della mano destra).
Al momento della integrazione sui contorni delle aree elementari, ciascun confine fra due elementi adiacenti sarà passato due volte e in direzione opposta. Conseguentemente, la somma $\sum \oint a_{s}\ ds$ conterrà entrambi i termini $\int _{A}^{B}a_{s}ds$ e $\int _{B}^{A}a_{s}ds$, i quali quando presi assieme si azzerano.
Pertanto, $\oint a_{s}\ ds$ consiste della somma dei termini che sono in relazione soltanto con le frontiere esterne degli elementi superficiali, cioè in relazione all'integrale del vettore a lungo il contorno L esterno dell'area S, da cui
             $\sum dC=\sum \oint a_{s}\ ds=\oint a_{s}\ ds=C$
dove C sta per la circolazione del vettore $\mathbf {a}$ sul contorno L. Usando questa espressione nella equazione precedente, si ottiene:
             $C=\oint _{S}a_{s}\ ds=\int _{S}curl_{n}\ \mathbf {a} \ dS\ \ \ \ (E.27)$
Nel derivare questa formula, non abbiamo tenuto in considerazione che gli elementi di superficie esterni (confinanti con il contorno L), generalmente parlando, non saranno rettangolari, laddove la correttezza della equazione (E.26) è stata dimostrata solo per elementi rettangolari. In seguito ad riduzione drastica della dimensione dei rettangoli, tuttavia, la linea tratteggiata formata dai lati esterni dei rettangoli estremi coinciderà tanto vicino quanto desiderato con il contorno L della superficie S.
Su questa base si può dare alla equazione E.27 una forma assolutamente accurata. Quindi, per la correttezza della E.27 consiste nel solo requisito di differenziabilità e continuità del vettore $\mathbf {a}$ in tutti i punti della superficie S.
Questa espressione esprime il teorema di Stokes secondo il quale la circolazione di un qualunque vettore $\mathbf {a}$ attorno ad una curva chiusa L uguaglia il flusso del rotore di questo vettore attraverso la superficie S indipendente dalla curva L.
La forma della superficie S rimane qui assolutamente ambigua. Quindi, attraverso due superfici S$_1$ e S$_2$ passa l'identico flusso del rotore di un qualsiasi vettore continuo $\mathbf {a}$ soltanto se hanno lo stesso contorno L. Questo flusso uguaglia la circolazione del vettore attorno al contorno comune delle due superfici.
A proposito, segue immediatamente dalla E.27, che
             $\oint curl_{n}\mathbf {a} \ dS=0\ \ \ \ (E.28)$
poiché quando la superficie è chiusa, il contorno L si contrae in un punto e C=0.
Tornando dalla E.27 all' elemento $dS$ talmente piccolo della superficie S che può venire considerato come un elemento piano, in tutti punti del quale il $rot_{n}\ \mathbf {a}$ conserva un valore costante, possiamo tirare fuori il rotore dall'integrale e scrivere
             $dC=\oint a_{s}\ \ ds=curl_{n}\ \mathbf {a} \ dS$
che coincide con l'equazione E.26. Dato che E.27 può essere impiegata su una superficie avente qualsiasi forma, allora E.26 può pure venire impiegata su elementi di superficie infinitamente piccola e di qualunque forma.
             $\lim _{dS\to 0}{\oint a_{s}\ ds \over dS}\ \ \ \ (E.29)$
Pertanto, la componente del vettore $rot\mathbf {a}$ in un dato punto P di un campo in direzione data n uguaglia il limite del rapporto fra la circolazione del vettore a lungo il contorno di un elemento arbitrario di area $dS$che passa attraverso P e ortogonale a n ed il valore dell'area di questo elemento $dS$.
Da qui ne segue che il valore della componente $curl\ \mathbf {a}$ non dipende affatto dalla scelta dei sistemi di coordinate, cioè che $curl\ \mathbf {a}$ è infatti un vero vettore. Possiamo così considerare la invariabilità del vettore$curl\ \mathbf {a}$ provata.
Questa asserzione non è del tutto vera in sostanza, poiché, prima, nel derivare le equazioni E.26 e E.27 abbiamo già usato la proprietà di invariabilità del vettore $curl\ \mathbf {a}$ in relazione alla trasformazione delle coordinate che vogliamo utilizzare. È esattamente a questa invariabilità del$curl\ \mathbf {a}$ a cui ci riferiamo quando asseriamo che la equazione A.26 può essere applicata ad una superficie che abbia una direzione arbitraria. In secondo luogo, abbiamo omesso una prova esatta della applicabilità della equazione E.27 [e, conseguentemente della E.26] ad un contorno che abbia una forma casuale. La correttezza di queste affermazioni può venire dimostrata col calcolare direttamente la circolazione di un vettore attorno al contorno di una superficie arbitraria in coordinate Cartesiane. Tuttvia, è più semplice e corretto di considerare la relazione E.29, che è invariante rispetto alla trasformazione delle Coordinate, come la definizione del concetto di $rot\ \mathbf {a}$. Non è difficile dimostrare tutte le formule derivate sopra sulla base di questa definizione invertendo l'ordine del nostro ragionamento.
Concludendo, per spiegare il significato geometrico del rotore, consideriamo la rotazione di un corpo solido con velocità angolare omega. Come al solito, consideriamo il vettore omega diretto lungo l'asse di rotazione così che la direzione di rotazione formi con il vettore omega un sistema destrorso. Scegliamo l'asse z in modo che coincida con l'asse di rotazione e sia diretto lungo omega. Quindi, la velocità lineare V di un punto (x,y,z) del corpo uguaglierà numericamente
             $v=r\ \omega =\omega {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
e le sue componenti lungo gli assi coordinati saranno
             $v_{x}=-{xy \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=-y\omega$
             $v_{y}=vx \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=x\omega$
             $v_{z}=0$
Le componenti del vettore $rot\mathbf {V}$, secondo la E.25, sono
             $rot_{x}\mathbf {V} =rot_{y}\mathbf {V} =0\ \ \ \ rot_{z}\mathbf {V} ={dv_{y} \over dx}-{dv_{x} \over dy}=2\omega$
quindi
             $rot\ \mathbf {V} =2\omega \ \ \ \ (E.30)$
Pertanto, il rotore della velocità lineare dei punti di un corpo solido ha il medesimo valore in tutti i punti del corpo ed uguaglia il doppio della velocità angolare della sua rotazione.
L'equazione E.30 vale pure se un corpo a parte il moto di rotazione sta esguendo anche un moto di traslazione. Infine, nella teoria dell'elasticità è dimostrato che E.30 vale non solamente per i corpi rigidi, ma pure per i corpi che si deformano genericamente (per esempio un liquido), ed n questo caso con $\omega$ intendiamo la velocità angolare di rotazione di un elemento di liquido infinitamente piccolo che si trova nel punto dello spazio in considerazione.
Perciò $rot\ \mathbf {v} \not =0$ solamente nei punti del corpo che appartengonoai ai suoi elementi ruotanti.