# Fondamenti di automatica2/Stabilità esterna e risposta a regime

Fondamenti di automatica2
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Un sistema è in forma minima se e solo se è completamente raggiungibile e completamente osservabile:
* la rappresentazione interna, cioè la rappresentazione in variabili di stato, contiene sempre il numero minimo di variabili di stato;
* la rappresentazione esterna, cioè la funzione di trasferimento, non presenta mai cancellazioni zero-polo → tutti gli autovalori della matrice di stato $A$ compaiono come poli della funzione di trasferimento.

## Stabilità esterna di sistemi dinamici LTI

Un sistema dinamico LTI è esternamente stabile (o BIBO-stabile) se, per ogni ingresso $u\left(t\right)$ limitato, la sua risposta forzata si mantiene sempre limitata nel tempo:
    $\forall {\bar {u}}\in \left(0,+\infty \right),\;\exists {\bar {y}}\in \left(0,+\infty \right):\;\left\|u\left(t\right)\right\|\leq {\bar {u}},\;\forall t\geq 0\Rightarrow \left\|y\left(t\right)\right\|\leq {\bar {y}},\;\forall t\geq 0$
Un sistema dinamico LTI, inizialmente a riposo, è BIBO-stabile se e solo se:
* a tempo continuo: la sua funzione di trasferimento $H\left(s\right)$, una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli $p$ con parte reale $\Re {\left\{p\right\}}<0,\;\forall p$;
* a tempo discreto: la sua funzione di trasferimento $H\left(z\right)$, una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli $p$ con modulo $\left|p\right|<1,\;\forall p$.
La stabilità (interna) asintotica implica la stabilità esterna, perché i modi naturali associati ai poli non cancellati con gli zeri sono sicuramente tutti convergenti. Se il sistema è in forma minima, la stabilità esterna implica la stabilità (interna) asintotica, perché nessun eventuale polo associato a modi naturali non convergenti viene cancellato.

## Risposta in regime permanente

Il movimento $x(t)$ di un sistema dinamico LTI proprio:
    ${\begin{cases}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)\end{cases}}$
può essere espresso come:
    $x(t)=x_{\text{omog}}(t)+x_{\text{part}}(t)$
* $x_{\text{omog}}(t)$ è una soluzione dell'equazione omogenea associata all'equazione di stato, in cui $u(t)=0$ (corrisponde all'evoluzione libera dello stato $x_{\ell }(t)$ per un opportuno stato iniziale $x_{\ell }\left(t=0\right)$);
* $x_{\text{part}}(t)$ è una soluzione particolare dell'equazione di stato e dipende dall'ingresso $u(t)$ applicato.
Se il sistema è asintoticamente stabile, la risposta $y(t)$ ad un qualsiasi ingresso $u(t)$ può essere allora espressa come:
    $y(t)=\underbrace {Cx_{\text{omog}}(t)} _{y_{\text{omog}}(t)}+\underbrace {Cx_{\text{part}}(t)} _{y_{\text{part}}(t)}=y_{\text{omog}}(t)+y_{\text{part}}(t)$
* un transitorio iniziale che risente anche del contributo del termine $y_{\text{omog}}(t)$;
* una risposta in regime permanente coincidente con il solo termine $y_{\text{part}}(t)$.
Il termine $y_{\text{omog}}(t)$ è la combinazione dei modi naturali. Se il sistema è asintoticamente stabile, cioè se tutti i modi naturali sono convergenti, allora il sistema tende a una risposta in regime permanente:
    $\lim _{t\to +\infty }y_{\text{omog}}(t)=0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }y(t)=y_{\text{part}}(t)$
Il termine $y_{\text{part}}(t)$ dipende dal particolare ingresso $u(t)$ applicato. Se il sistema è asintoticamente stabile:
* ingresso costante $u(t)={\bar {u}}\cdot \varepsilon (t)$:
    $y_{\text{part}}(t)={\bar {y}}\varepsilon (t),\quad {\bar {y}}=H\left(0\right){\bar {u}}=-C{A}^{-1}B{\bar {u}}$
* ingresso sinusoidale $u(t)={\bar {u}}\sin {\left(\omega _{0}t+\theta _{0}\right)}\varepsilon (t)$:
    $y_{\text{part}}(t)={\bar {y}}\sin {\left(\omega _{0}t+\varphi \right)}\varepsilon (t),\quad {\begin{cases}{\bar {y}}=\left|H\left(j\omega _{0}\right)\right|\cdot {\bar {u}}\\\varphi =\arg {H\left(j\omega _{0}\right)}+\theta _{0}\end{cases}}$