# Matematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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Per disequazione irrazionale si intende una disequazione in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. Nella forma più semplice:
${\sqrt[{n}]{A_{(x)}}}\geq B_{(x)}\,$

## Esponente dispari

${\sqrt[{3}]{f_{(x)}}}>g_{(x)}\quad \rightarrow \quad f_{(x)}>g_{(x)}^{3}$
La risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali non comporta particolari problemi nel caso in cui l'indice $n$ della radice sia dispari: in tal caso è sufficiente elevare alla $n$ l'intera disequazione, poiché non ci sono problemi legati al segno del radicando, che può essere sia positivo che negativo.

## Esponente pari

${\sqrt {f_{(x)}}}>g_{(x)}$
In caso di indice pari, in cui il radicando dev'essere sempre positivo (non esiste in $\mathbb {R}$ la radice di un numero negativo), è invece necessario considerare:
* I valori di x per cui $g_{(x)}\geq 0$
* I valori di x per cui $g_{(x)}<0\,$
I secondi sono sempre validi, a patto naturalmente che non rendano negativo il radicando, poiché qualsiasi valore della radice sarà sempre maggiore di un numero negativo. Per quanto riguarda i primi invece è necessario verificare che siano effettivamente maggiori di $g(x)$ elevando all'indice della radice di $f(x)$. La soluzione finale sarà l'unione delle due casistiche.
Si avranno quindi i seguenti sistemi:
$\left\{{\begin{matrix}g_{(x)}>0\\f_{(x)}\geq 0\\f_{(x)}>g_{(x)}^{2}\end{matrix}}\right.\quad \cup \quad \left\{{\begin{matrix}g_{(x)}\leq 0\\f_{(x)}\geq 0\\f_{(x)}>g_{(x)}^{2}\end{matrix}}\right.$
Nel primo sistema la seconda disequazione è già presente nella terza (per essere maggiore di $g(x)>0$, $f(x)$ dev'essere per forza positivo), mentre nel secondo sistema, come già detto, i valori, positivi, della radice di f(x) saranno sempre maggiori dei valori, negativi, di $g(x)$; la terza disequazione è quindi superflua.
Eliminando le disequazioni non necessarie si ottiene:
$\left\{{\begin{matrix}g_{(x)}>0\\f_{(x)}>g_{(x)}^{2}\end{matrix}}\right.\quad \cup \quad \left\{{\begin{matrix}g_{(x)}\leq 0\\f_{(x)}\geq 0\end{matrix}}\right.$
In questo modo è possibile risolvere algebricamente ogni disequazione irrazionale.
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