# Algebra 1/Calcolo Letterale/Frazioni Algebriche

Algebra 1
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## Definizione di frazione algebrica

Diamo la seguente definizione:
Definizione: Si definisce frazione algebrica un’espressione del tipo ${\tfrac {A}{B}}$ dove $A$ e $B$ sono polinomi.
Osserviamo che un’espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi.
Esempio:
Questa operazione si esegue applicando, sulla parte letterale, le proprietà delle potenze e sul coefficiente la divisione tra numeri razionali: $q=5a^{3}b^{2}c^{5}:\left(-3a^{2}bc^{5}\right)=-{\tfrac {5}{3}}ab$. Il quoziente è quindi un monomio.
Esempio:
In questo caso l’esponente della $a$ nel dividendo è minore dell’esponente della stessa variabile nel divisore quindi si ottiene $q_{1}=5a^{3}b^{2}c^{5}:\left(-3a^{7}bc^{5}\right)=-{\tfrac {5}{3}}a^{-4}b$.
Questo non è un monomio per la presenza dell’esponente negativo alla variabile $a$. Quindi: $q_{1}=5a^{3}b^{2}c^{5}:\left(-3a^{7}bc^{5}\right)={\tfrac {5b}{3a^{4}}}$. Il quoziente è una frazione algebrica.
Quando vogliamo determinare il quoziente di una divisione tra un monomio e un polinomio o tra due polinomi, si presentano diversi casi.
Caso I  Monomio diviso un polinomio.
* Determinare il quoziente tra: $D=2a^{3}b$ e $d=a^{2}+b$.
Il dividendo è un monomio e il divisore un polinomio. Questa operazione non ha come risultato un polinomio ma una frazione. $q=2a^{3}b:\left(a^{2}+b\right)={\tfrac {2a^{3}b}{a^{2}+b}}$.
Caso II  Un polinomio diviso un monomio.
* Determinare il quoziente tra: $D=2a^{3}b+a^{5}b^{3}-3ab^{2}$ e $d={\tfrac {1}{2}}ab$.
$q=\left(2a^{3}b+a^{5}b^{3}-3ab^{2}\right):\left({\tfrac {1}{2}}ab\right)=4a^{2}+2a^{4}b^{2}-6b$. Il quoziente è un polinomio.
* Determinare il quoziente tra: $D=2a^{3}b+a^{5}b^{3}-3ab^{2}$ e $d={\tfrac {1}{2}}a^{5}b$.
Dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio assegnato: il quoziente sarà $q=\left(2a^{3}b+a^{5}b^{3}-3ab^{2}\right):\left({\tfrac {1}{2}}a^{5}b\right)={\tfrac {4}{a^{2}}}+2b^{2}-{\tfrac {6b}{a^{4}}}$. Il quoziente è una somma di frazioni algebriche.
Caso III  Un polinomio diviso un altro polinomio.
* Determinare il quoziente tra: $D=x-3$ e $d=x^{2}+1$.
La divisione tra polinomi in una sola variabile è possibile, quando il grado del dividendo è maggiore o uguale al grado del divisore; questa condizione non si verifica nel caso proposto. Il quoziente è la frazione algebrica $q={\tfrac {x-3}{x^{2}+1}}$.
Conclusione  Una frazione algebrica può essere considerata come il quoziente indicato tra due polinomi. Ogni frazione algebrica è dunque un’espressione letterale fratta o frazionaria.

## Condizioni di esistenza per una frazione algebrica

Per discussione di una frazione algebrica intendiamo la ricerca dei valori che attribuiti alle variabili non la rendano priva di significato. Poiché non è possibile dividere per $0$, una frazione algebrica perde di significato per quei valori che attribuiti alle variabili rendono il denominatore uguale a zero. Quando abbiamo una frazione algebrica tipo ${\tfrac {A}{B}}$ poniamo sempre la condizione di esistenza (abbreviato con ${\text{C.E.}}$): $B\neq 0$.
La determinazione della condizione di esistenza richiede una conoscenza dei metodi per risolvere le equazioni, argomento che verrà sviluppato nei prossimi capitoli.
Esempio:
Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla: ${\text{C.E.}}\;x\neq 0$.
Esempio:
Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla: ${\text{C.E.}}\;x-3\neq 0\Rightarrow x\neq -3$.
Esempio:
${\text{C.E.}}\;ab\neq 0$. Sappiamo che un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo, dunque affinché il denominatore non si annulli non si deve annullare né $a$ né $b$, quindi $a\neq 0$ e $b\neq 0$. Concludendo, ${\text{C.E.}}\;a\neq 0\wedge b\neq 0$.
Esempio:
${\text{C.E.}}\;2x+5\neq 0$, per risolvere questa disuguaglianza si procede come per le usuali equazioni: $2x+5\neq 0\Rightarrow 2x\neq -5\Rightarrow x\neq -{\tfrac {5}{2}}$ si può concludere ${\text{C.E.}}\;x\neq -{\tfrac {5}{2}}$.
Esempio:
${\text{C.E.}}\;x^{2}+2\neq 0$, il binomio è sempre maggiore di $0$ perché somma di due grandezze positive. Pertanto la condizione $x^{2}+2\neq 0$ è sempre verificata e la frazione esiste sempre. Scriveremo ${\text{C.E.}}\;\forall x\in \mathbb {R}$ (si legge “per ogni $x$ appartenente a $\mathbb {R}$” o “qualunque $x$ appartenente a $\mathbb {R}$”).
Esempio:
${\text{C.E.}}\;x^{2}-4\neq 0$; per rendere nullo il denominatore si dovrebbe avere $x^{2}=4$ e questo si verifica se $x=+2$ oppure se $x=-2$; possiamo anche osservare che il denominatore è una differenza di quadrati e che quindi la condizione di esistenza si può scrivere come ${\text{C.E.}}\;(x-2)(x+2)\neq 0$, essendo un prodotto possiamo scrivere ${\text{C.E.}}\;x-2\neq 0\wedge x+2\neq 0$ e concludere: ${\text{C.E.}}\;x\neq 2\wedge x\neq -2$.
Procedura: Determinare la condizione di esistenza di una frazione algebrica:
* porre il denominatore della frazione diverso da zero;
* scomporre in fattori il denominatore;
* porre ciascun fattore del denominatore diverso da zero;
* escludere i valori che annullano il denominatore.

## Semplificazione di una frazione algebrica

Semplificare una frazione algebrica significa dividere numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da zero. In questo modo, infatti, la proprietà invariantiva della divisione garantisce che la frazione ottenuta è equivalente a quella data. Quando semplifichiamo una frazione numerica dividiamo il numeratore e il denominatore per il loro ${\text{MCD}}$ che è sempre un numero diverso da zero, ottenendo così una frazione ridotta ai minimi termini equivalente a quella assegnata. Quando ci poniamo lo stesso problema su una frazione algebrica, dobbiamo porre attenzione a escludere quei valori che, attribuiti alle variabili, rendono nullo il ${\text{MCD}}$.
Esempio:
${\text{C.E.}}\;xy^{2}\neq 0\rightarrow x\neq 0\wedge y\neq 0$. Puoi semplificare la parte numerica. Per semplificare la parte letterale applica la proprietà delle potenze relativa al quoziente di potenze con la stessa base: $x^{3}:x=x^{3-1}=x^{2}$ e $y^{2}:y^{2}=1$. Quindi: ${\tfrac {16x^{3}y^{2}z}{10xy^{2}}}={\tfrac {8x^{2}z}{5}}={\tfrac {8}{5}}x^{2}z.$
Esempio:
* Scomponiamo in fattori
** il numeratore: $a^{2}-6a+9=(a-3)^{2}$;
** il denominatore: $a^{4}-81=\left(a^{2}-9\right)\left(a^{2}+9\right)=(a-3)(a+3)\left(a^{2}+9\right)$;
* riscriviamo la frazione ${\tfrac {\left(a-3\right)^{2}}{(a-3)\cdot (a+3)\cdot \left(a^{2}+9\right)}}$;
* ${\text{C.E.}}\;(a-3)\cdot (a+3)\cdot \left(a^{2}+9\right)\neq 0$ da cui ${\text{C.E.}}\;a\neq +3$ e $a\neq -3$, il terzo fattore non si annulla mai perché somma di un numero positivo e un quadrato;
* semplifichiamo: ${\tfrac {(a-3)^{\cancel {2}}}{{\cancel {(a-3)}}\cdot (a+3)\cdot \left(a^{2}+9\right)}}={\tfrac {a-3}{\left(a+3)(a^{2}+9\right)}}$.
Esempio:
* Scomponiamo in fattori
** $x^{4}+x^{2}y^{2}-x^{3}y-xy^{3}=x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-xy\left(x^{2}+y^{2}\right)=x\left(x^{2}+y^{2}\right)(x-y)$;
** $x^{4}-x^{2}y^{2}+x^{3}y-xy^{3}=x^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)+xy\left(x^{2}-y^{2}\right)=x(x+y)^{2}(x-y)$;
* la frazione diventa: ${\tfrac {x^{4}+x^{2}y^{2}-x^{3}y-xy^{3}}{x^{4}-x^{2}y^{2}+x^{3}y-xy^{3}}}={\tfrac {x\left(x^{2}+y^{2}\right)(x-y)}{x(x+y)^{2}(x-y)}}$;
* ${\text{C.E.}}\;x\cdot (x+y)^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})\neq 0$ cioè ${\text{C.E.}}\;x\neq 0\wedge x\neq -y$;
* semplifichiamo i fattori uguali: ${\tfrac {{\cancel {x}}\left(x^{2}+y^{2}\right){\cancel {(x-y)}}}{{\cancel {x}}(x+y)^{2}{\cancel {(x-y)}}}}={\tfrac {x^{2}+y^{2}}{(x+y)^{2}}}$.
Le seguenti semplificazioni sono errate.
* ${\tfrac {{\cancel {a}}+b}{\cancel {a}}}$ questa semplificazione è errata perché $a$ e $b$ sono addendi, non sono fattori;
* ${\tfrac {{\cancel {x^{2}}}+x+4}{{\cancel {x^{2}}}+2}}$ questa semplificazione è errata perché $x^{2}$ è un addendo, non un fattore;
* ${\tfrac {x^{\cancel {2}}+y^{\cancel {2}}}{(x+y)^{\cancel {2}}}}=1$,${\tfrac {{\cancel {3a}}(a-2)}{{\cancel {3a}}x-7}}={\tfrac {a-2}{x-7}}$, ${\tfrac {{\cancel {\left(x-y^{2}\right)}}{\cancel {(a-b)}}}{{\cancel {\left(y^{2}-x\right)}}{\cancel {(a-b)}}}}=1$;
* ${\tfrac {\cancel {(2x-3y)}}{(3y-2x)^{\cancel {2}}}}={\tfrac {1}{3y-2x}}$,${\tfrac {a^{2}+ab}{a^{3}}}={\tfrac {{\cancel {a}}(a+b)}{a^{{\cancel {3}}2}}}={\tfrac {{\cancel {a}}+b}{a^{\cancel {2}}}}={\tfrac {1+b}{a}}$.

## Moltiplicazione di frazioni algebriche

Il prodotto di due frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
Si vuole determinare il prodotto $p={\tfrac {7}{15}}\cdot {\tfrac {20}{21}}$; possiamo scrivere prima il risultato dei prodotti dei numeratori e dei denominatori e poi ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta: $p={\tfrac {7}{15}}\cdot {\tfrac {20}{21}}={\tfrac {{\cancel {140}}^{4}}{{\cancel {315}}^{9}}}={\tfrac {4}{9}}$, oppure prima semplificare i termini delle frazioni e poi moltiplicare: $p={\tfrac {7}{15}}\cdot {\tfrac {20}{21}}={\tfrac {{\cancel {7}}^{1}}{{\cancel {15}}^{3}}}\cdot {\tfrac {{\cancel {20}}^{4}}{{\cancel {21}}^{3}}}={\tfrac {4}{9}}$.
Esempio:
Poniamo le ${\text{C.E.}}\;$ per ciascuna frazione assegnata ricordando che tutti i fattori letterali dei denominatori devono essere diversi da zero, quindi ${\text{C.E.}}\;a\neq 0\wedge b\neq 0\wedge c\neq 0$. Il prodotto è la frazione $f=-{\tfrac {3a^{2}}{10b^{3}c^{4}}}\cdot {\tfrac {25ab^{2}c^{7}}{ab}}=-{\tfrac {15a^{2}c^{3}}{2b^{2}}}$.
Esempio:
L’espressione è in due variabili, i denominatori sono polinomi di primo grado irriducibili; poniamo le condizioni di esistenza: ${\text{C.E.}}\;2b+1\neq 0\wedge a-3\neq 0$ dunque ${\text{C.E.}}\;b\neq -{\tfrac {1}{2}}\wedge a\neq 3$. Il prodotto è la frazione $f=-{\tfrac {3a}{2b+1}}\cdot {\tfrac {10b}{a-3}}=-{\tfrac {30ab}{(2b+1)(a-3)}}$ in cui non è possibile alcuna semplificazione.
Osservazione: $f=-{\tfrac {3{\cancel {a}}}{2{\cancel {b}}+1}}\cdot {\tfrac {10{\cancel {b}}}{{\cancel {a}}-3}}$. Questa semplificazione contiene errori in quanto la variabile $a$ è un fattore del numeratore ma è un addendo nel denominatore; analogamente la variabile $b$.
Esempio:
* Scomponiamo in fattori tutti i denominatori (servirà per la determinazione delle ${\text{C.E.}}\;$) e tutti i numeratori (servirà per le eventuali semplificazioni)
** $f_{1}={\tfrac {2x^{2}-x}{x^{2}-3x+2}}={\tfrac {x\cdot (2x-1)}{(x-1)\cdot (x-2)}}$,
** $f_{2}={\tfrac {5x-5}{x-4x^{2}+4x^{3}}}={\tfrac {5\cdot (x-1)}{x\cdot (2x-1)^{2}}}$;
* poniamo le ${\text{C.E.}}\;$ ricordando che tutti i fattori dei denominatori devono essere diversi da zero: ${\text{C.E.}}\;x-1\neq 0\wedge x-2\neq 0\wedge x\neq 0\wedge 2x-1\neq 0$ da cui ${\text{C.E.}}\;x\neq 1\wedge x\neq 2\wedge x\neq 0\wedge x\neq {\tfrac {1}{2}}$;
* determiniamo la frazione prodotto, effettuando le eventuali semplificazioni:
** $f={\tfrac {{\cancel {x}}\cdot {\cancel {(2x-1)}}}{{\cancel {(x-1)}}\cdot {(x-2)}}}\cdot {\tfrac {5\cdot {\cancel {(x-1)}}}{{\cancel {x}}\cdot (2x-1)^{\cancel {2}}}}={\tfrac {5}{(x-2)(2x-1)}}$.

## Potenza di una frazione algebrica

La potenza di esponente $n$, naturale diverso da zero, della frazione algebrica ${\tfrac {A}{B}}$ con $B{\neq }0$ (${\text{C.E.}}\;$) è la frazione avente per numeratore la potenza di esponente $n$ del numeratore e per denominatore la potenza di esponente $n$ del denominatore: $\left({\tfrac {A}{B}}\right)^{n}={\tfrac {A^{n}}{B^{n}}}$.
Esempio:
Innanzitutto determiniamo le ${\text{C.E.}}\;$ per la frazione assegnata
${\tfrac {x-2}{x^{2}-1}}={\tfrac {x-2}{(x-1)\cdot (x+1)}}\quad \Rightarrow \quad (x-1)\cdot (x+1)\neq 0{\text{,}}$
${\text{C.E.}}\;x\neq 1\wedge x\neq -1$
$\left({\tfrac {x-2}{x^{2}-1}}\right)^{3}={\tfrac {(x-2)^{3}}{(x-1)^{3}\cdot (x+1)^{3}}}.$

### Casi particolari dell’esponente

Se $n=0$ sappiamo che qualsiasi numero diverso da zero elevato a zero è uguale a $1$; lo stesso si può dire se la base è una frazione algebrica, purché essa non sia nulla. $\left({\tfrac {A}{B}}\right)^{0}=1$ con $A\neq 0$ e $B\neq 0$.
Esempio:
* Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore della frazione: $\left({\tfrac {3a-2}{5a\cdot (a+2)}}\right)^{0}$;
* determiniamo le ${\text{C.E.}}\;$ del denominatore: $a\neq 0\wedge a+2\neq 0$ da cui, ${\text{C.E.}}\;a\neq 0\wedge a\neq -2$. Poniamo poi la condizione, affinché la frazione non sia nulla, che anche il numeratore sia diverso da zero. Indichiamo con $C_{0}$ questa condizione, dunque $C_{0}$: $3a-2\neq 0$, da cui $a\neq {\tfrac {2}{3}}$;
* le condizioni di esistenza sono allora $a\neq -2\wedge a\neq 0\wedge a\neq {\tfrac {2}{3}}$.
Se $n$ è intero negativo la potenza con base diversa da zero è uguale alla potenza che ha per base l’inverso della base e per esponente l’opposto dell’esponente. $\left({\tfrac {A}{B}}\right)^{-n}=\left({\tfrac {B}{A}}\right)^{+n}$ con $A\neq 0$ e $B\neq 0$.
Esempio:
* Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore: $\left({\tfrac {\left(x+2\right)\cdot \left(x+3\right)}{x\cdot \left(x^{2}+1\right)}}\right)^{-2}$;
* ${\text{C.E.}}\;$ del denominatore $x\neq 0$ e $x^{2}+1\neq 0$ da cui ${\text{C.E.}}\;x\neq 0$ essendo l’altro fattore sempre diverso da 0. Per poter determinare la frazione inversa dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla e cioè che anche il numeratore sia diverso da zero, quindi si deve avere $C_{0}:(x+2)\cdot (x+3)\neq 0$ da cui $C_{0}:x\neq -2$ e $x\neq -3$;
* quindi se $x\neq 0$, $x\neq -2$ e $x\neq -3$ si ha $\left({\tfrac {(x+2)\cdot (x+3)}{x\cdot \left(x^{2}+1\right)}}\right)^{-2}={\tfrac {x^{2}\cdot \left(x^{2}+1\right)^{2}}{(x+2)^{2}\cdot (x+3)^{2}}}$.

## Divisione di frazioni algebriche

Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima con l’inverso della seconda. Lo schema di calcolo può essere illustrato nel modo seguente, come del resto abbiamo visto nell’insieme dei numeri razionali:
${\tfrac {m}{n}}:{\tfrac {p}{q}}={\tfrac {m}{n}}\cdot {\tfrac {q}{p}}={\tfrac {m\cdot q}{n\cdot p}}.$
Si vuole determinare il quoziente $q={\tfrac {5}{12}}:{\tfrac {7}{4}}$. L’inverso di ${\tfrac {7}{4}}$ è la frazione ${\tfrac {4}{7}}$, dunque
$q={\tfrac {5}{12}}:{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {5}{{\cancel {12}}^{3}}}\cdot {\tfrac {{\cancel {4}}^{1}}{7}}={\tfrac {5}{21}}.$
Esempio:
* Scomponiamo in fattori le due frazioni algebriche:
$f_{1}={\tfrac {3a-3b}{2a^{2}b}}={\tfrac {3\cdot (a-b)}{2a^{2}b}}\quad {\text{e}}\quad f_{2}={\tfrac {a^{2}-ab}{b^{2}}}={\tfrac {a\cdot (a-b)}{b^{2}}}{\text{;}}$
* poniamo le condizioni di esistenza dei denominatori: $2a^{2}b\neq 0\wedge b^{2}\neq 0$ da cui ${\text{C.E.}}\;$ $a\neq 0\wedge b\neq 0$;
* determiniamo la frazione inversa di $f_{2}$. Per poter determinare l’inverso dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla. Poniamo il numeratore diverso da zero, $C_{0}:a\neq 0\wedge a-b\neq 0$ da cui $C_{0}:a\neq 0\wedge a\neq b$;
* aggiorniamo le condizioni ${\text{C.E.}}\;a\neq 0\wedge b\neq 0\wedge a\neq b$;
* cambiamo la divisione in moltiplicazione e semplifichiamo:
${\tfrac {3\cdot (a-b)}{2a^{2}b}}:{\tfrac {a\cdot (a-b)}{b^{2}}}={\tfrac {3\cdot {\cancel {(a-b)}}}{2a^{2}{\cancel {b}}}}\cdot {\tfrac {b^{\cancel {2}}}{a\cdot {\cancel {(a-b)}}}}={\tfrac {3b}{2a^{3}}}.$

## Addizione di frazioni algebriche
### Proprietà della addizione tra frazioni algebriche

Nell’insieme delle frazioni algebriche la somma:
* è commutativa: $f_{1}+f_{2}=f_{2}+f_{1}$;
* è associativa: $(f_{1}+f_{2})+f_{3}=f_{1}+(f_{2}+f_{3})=f_{1}+f_{2}+f_{3}$;
* possiede l’elemento neutro, cioè esiste una frazione $F^{0}$ tale che per qualunque frazione $f$ si abbia $F^{0}+f=f+F^{0}=f$ cioè $F^{0}=0$;
* elemento inverso: per ogni frazione algebrica $f$ esiste la frazione opposta $(-f)$ tale che $(-f)+f=f+(-f)=F^{0}=0.$
Quest’ultima proprietà ci permette di trattare contemporaneamente l’operazione di addizione e di sottrazione con la somma algebrica, come abbiamo fatto tra numeri relativi; $(+1)+(-2)$ omettendo il segno di addizione “$+$” e togliendo le parentesi diventa $1-2$; $(+1)-(-2)$ omettendo il segno di sottrazione “$-$” e togliendo le parentesi diventa $1+2$. Come per i numeri relativi, quando si parlerà di somma di frazioni si intenderà “somma algebrica”.
Esempio:
Poniamo le ${\text{C.E.}}\;$ $x+y{\neq }0$ da cui ${\text{C.E.}}\;x{\neq }-y$, quindi
${\tfrac {2x-3y}{x+y}}+{\tfrac {x+2y}{x+y}}={\tfrac {(2x-3y)+(x+2y)}{x+y}}={\tfrac {3x-y}{x+y}}.$
Osservazione: A questo caso ci si può sempre ricondurre trasformando le frazioni in maniera che abbiamo lo stesso denominatore. Si potrebbe scegliere un qualunque denominatore comune, ad esempio il prodotto di tutti i denominatori ma per semplificare i calcoli scegliamo il ${\text{mcm}}$ dei denominatori delle frazioni addendi.
Esempio:
Dobbiamo trasformare le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore:
* calcoliamo il ${\text{mcm}}(3x^{2}y{\text{, }}2xy^{3})=6x^{2}y^{3}$;
* poniamo le ${\text{C.E.}}\;$ $6x^{2}y^{3}\neq 0$ da cui ${\text{C.E.}}\;x\neq 0$ e $y\neq 0$;
* dividiamo il ${\text{mcm}}$ per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
${\tfrac {2y^{2}\cdot (x+y)}{6x^{2}y^{3}}}-{\tfrac {3x\cdot (2y-x)}{6x^{2}y^{3}}};$
* la frazione somma ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori:
${\tfrac {2y^{2}\cdot (x+y)}{6x^{2}y^{3}}}-{\tfrac {3x\cdot (2y-x)}{6x^{2}y^{3}}}={\tfrac {2xy^{2}+2y^{3}+2x^{2}y-6xy+3x^{2}}{6x^{2}y^{3}}}.$
Esempio:
* Scomponiamo in fattori i denominatori:
${\tfrac {x+2}{x(x-2)}}-{\tfrac {x-2}{x(2+x)}}+{\tfrac {-4x}{(x+2)(x-2)}}{\text{,}}$
il ${\text{mcm}}$ è $x\cdot (x+2)\cdot (x-2)$;
* poniamo le ${\text{C.E.}}\;$ $x(x+2)(x-2)\neq 0$ da cui ${\text{C.E.}}\;$ $x\neq 0$, $x\neq 2$ e $x\neq -2$;
* dividiamo il ${\text{mcm}}$ per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
${\tfrac {(x+2)^{2}-(x-2)^{2}-4x^{2}}{x\cdot (x+2)\cdot (x-2)}};$
* eseguiamo le operazioni al numeratore:
${\tfrac {x^{2}+4x+4-x^{2}+4x-4-4x^{2}}{x\cdot (x+2)\cdot (x-2)}}={\tfrac {8x-4x^{2}}{x\cdot (x+2)\cdot (x-2)}};$
* semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore:
${\tfrac {-4{\cancel {x}}\cdot {\cancel {(x-2)}}}{{\cancel {x}}\cdot (x+2)\cdot {\cancel {(x-2)}}}}={\tfrac {-4}{x+2}}.$
Esempio:
* Scomponiamo in fattori $x^{3}-2x^{2}+2-x$, essendo gli altri denominatori irriducibili: $x^{3}-2x^{2}+2-x=x^{2}(x-2)-1(x-2)=(x-2)\left(x^{2}-1\right)=(x-2)(x+1)(x-1)$ che è anche il ${\text{mcm}}$ dei denominatori;
* poniamo le ${\text{C.E.}}\;$ $(x-2)(x+1)(x-1)\neq 0$ da cui ${\text{C.E.}}\;$ $x\neq 2$, $x\neq -1$ e $x\neq 1$;
* dividiamo il ${\text{mcm}}$ per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
${\tfrac {x(x+1)(x-1)-2x(x-2)(x-1)+x(x-2)(x+1)-(5x^{2}-7)}{(x-2)(x+1)(x-1)}};$
* eseguiamo le operazioni al numeratore:
${\tfrac {\ldots \ldots \ldots }{(x-2)(x+1)(x-1)}};$
* semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore. La frazione somma è: $-{\tfrac {7}{(x-2)(x+1)}}.$