# Analisi matematica/Continuità

Analisi matematica
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## Continuità

a) definizioni
* Una funzione f(P) definita in un campo C a una o più dimensioni si dice continua in $\ P_{0}$ quando si ha:
                         $\lim _{P\to P_{0}}f(P)=f(P_{0})$
    cioè quando, dato un numero $\ \epsilon$ arbitrario, esiste un intorno di $\ P_{0}$ tale che, qualunque sia P interno ad esso, si ha:
                         $\ |f(P)-f(P_{0})|<\ \varepsilon$
* Una funzione continua in ogni punto P di un campo C, in cui è definita, si dice continua in C.
* Una funzione continua in un campo C ad eccezione che in un numero finito di punti si dice generalmente continua in C.
* Una funzione continua in un campo C ad eccezione che in un insieme di punti rinchiudibile, cioè tale che esista un numero finito di campi elementari, la somma delle cui misure si possa rendere piccola a piacere, si dice continua quasi dappertutto.
* Una funzione, definita in um campo C, tale che, assegnato un $\ \varepsilon$ arbitrario, in qualunque parte del campo di misura minore di $\ \delta$, l'oscillazione della funzione (differenza fra il limite superiore e inferiore nella parte del campo sia minore di $\ \varepsilon$, si dice uniformemente continua nel campo.
* Una funzione, definita in un campo C, tale che, assegnato un $\ \varepsilon$ arbitraio, e diviso comunque il campo in parti di misura $\ \omega _{n}$, in ciascuna delle quali l'oscillazione sia $\Delta _{n}=L_{n}-l_{n}$, esista un $\delta >0$ per cui si abbia: $\sum _^\delta _{n}$
b) proprietà fondamentali
* Una funzione continua in un campo chiuso, vi è uniformemente continua. (teorema di Cantor).
* Una funzione continua in un campo chiuso è limitata.
* Una funzione continua in un campo chiuso ammette un massimo ed un minimo (assoluti).
* Una funzione continua in un campo chiuso assume almeno in un punto un valore qualsiasi compreso fra il massimo ed il minimo.

## Serie numeriche

a) definizioni
Data la serie: $\ u_{1}+u_{2}+....+u_{n}+...$ e posto:
    $\ S_{1}=u_{1},S_{2}=u_{1}+u_{2},S_{3}=u_{1}+u_{2}+u_{3},...S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n},$
possono presentarsi tre casi:
* ) lim S$_n$=S finito, nel qual caso la serie è convergente;
* ) lim S$_n$=∞, nel qual caso la serie è divergente;
* ) lim S$_n$ non esiste, nel qual caso la serie è indeterminata.
Ne primo caso il numero S si dice somma della serie.
          esempi:
    serie geometrica: $\ a+aq+aq^{2}+...+aq^{n}+...$
          $S_{n}=a{1-q^{n} \over 1-q}={a \over 1-q}-{aq^{n} \over 1-q};$
1° caso) q<1,
                $\lim _{n\to \infty }\ q^{n}=0,\qquad \lim _{n\to \infty }\ S_{n}={a \over 1-q}$
    la serie è convergente.
2° caso) q>1,
                $\lim _{n\to \infty }\ q^{n}=+\infty ,\qquad \lim _{n\to \infty }\ S_{n}=\infty$,
    la serie è divergente.
3° caso) q=1
                $\ a+\ a+\ a+....;\qquad \lim _{n\to \infty }\ S_{n}=\infty ,$
    la serie è divergente.
4° caso) q= -1,
                $\ a\ -a\ +a\ -a\ +a\ -...\;\qquad \lim _{n\to \infty }\ S_{2n}=0,\qquad \lim _{n\to \infty }\ S_{2n+1}=+a;$
    la serie non ha limite, è indeterminata.
5° caso) q< -1,
    il $\lim _{n\to \infty }\ q^{n}$ non esiste; la serie è indeterminata e la serie dei valori assoluti è divergente.
b) Criterio generale di convergenza Criterio generale per le serie a termini qualunque.
Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza è che da un certo n in poi si abbia:$\ |S_{n+p}-S_{n}|\leq \varepsilon$ con $\ \varepsilon$ arbitrariamente piccolo e p intero positivo arbitrario. Per p =1 il criterio da una condizione necessaria ma non sufficiente; per una serie alternata: $\ u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+...,$ se $\ u_{n}$ decresce e tende a 0, la serie converge.
c) Criterio di convergenza per le serie a termini positivi
1) criteri di confronto fra serie:
    a) quando $\ u_{n}\leq v_{v}$ se converge la $\ 2^{a}$, converge la $\ 1^{a}$, se diverge la $\ 1^{a}$, diverge la $\ 2^{a}$ (criterio della serie maggiorante).
    b) se $\ v_{n}=a_{n}u_{n}$ con $\ a_{n}\leq A$, quando converge $\ \sum {u_{n}}$ converge anche $\ \sum {v_{n}}$.
    c) se $\ v_{n}=a_{n}u_{n}$ con $\ a_{n}\geq A$, quando $\sumu_{n}$ diverge, anche $\sum {v_{n}}$ diverge.
2) criterio di Cauchy o della radice
    Se da un certo $\ n$ in poi ${\sqrt[{n}]{u_{n}}}<k<1$ la serie converge, se da un certo $\ n$ in poi ${\sqrt[{n}]{u_{n}}}>1$ la serie diverge.
    Se $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}=1$, il criterio non serve.
3) criterio di d'Alembert o del rapporto.
    Se da un certo n in poi ${u_{n+1} \over u_{n}}\leq k<1$ la serie converge,
    se da un certo n in poi ${u_{n+1} \over u_{n}}>1$ la serie diverge.
    Il criterio non serve quando $\lim _{n\to \infty }{u_{n+1} \over u_{n}}=1$.
4) criteri di Kummer.
    a) se $\ a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n},...$è una successione di numeri positivi,
    e se $\ a_{n}{u_{n} \over u_{n+1}}-a_{n+1}>k>0$ la serie converge.
    b) Se la serie ${1 \over a_{1}}+{1 \over a_{2}}+...+{1 \over a_{n}}+...$ converge o diverge e si ha da un certo $\ n$ in poi: $a_{n}{u_{n} \over u_{n+1}}><0$ la serie converge o diverge.
    Se $\lim _{n\to \infty }(a_{n}{u_{n} \over u_{n+1}}-a_{n+1})=0,$ il criterio non serve.
5) regola di Raabe
    Se da un certo $\ n$ in poi si ha: $\ n({u_{n} \over u_{n+1}})>h>1$ la serie converge; se invece $\ n({u_{n} \over u_{n+1}})\leq 1$ la serie diverge.
    Si ricava dal criterio di Kummer ponendovi $\ a_{n}=n,a_{n+1}=n+1$ e ricordando che la serie armonica è divergente.