# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
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* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
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L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
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* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
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L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
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* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Nel modulo precedente si è ricavata un'espressione per le soluzioni dell'equazione di Poisson. Ora ci si chiede se la forma trovata sia l'unica espressione che una soluzione dell'equazione di Poisson può avere. La risposta a questa domanda è data dal seguente teorema.

## Teorema (1)

Sia $f\in C_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ tale che $-\Delta u=f$. Allora tutte le soluzioni limitate dell'equazione di Poisson sono della forma:
$u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x-y)f(y)dy+c$
Abbiamo già provato nel modulo precedente che una funzione della forma $u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x-y)f(y)dy$ risolve l'equazione di Poisson, quindi chiaramente la forma analitica data per $u(x)$ qui sopra, essendo semplicemente una traslazione della soluzione dell'equazione di Poisson, sarà anche essa soluzione. Dimostriamo ora che essa è anche limitata e che tutte le soluzioni devono avere la forma data dal teorema appena enunciato.

### Dimostrazione

Si ha che:
$\left|\int _{mathbb{R}^{n}}\Phi (x-y)f(y)dy\right|\leq \left|\int _{B(x,\epsilon )}\Phi (x-y)f(y)dy+\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B(x,\epsilon )}\Phi (x-y)f(y)dy\right|$
$\leq \left|\int _{B}\Phi (x-y)f(y)dy\right|+\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B}\Phi (x-y)f(y)dy\right|\leq$
$\leq \parallel f\parallel _{B(x,\epsilon )}\int _{B(x,\epsilon )}\left|\Phi (x-y)\right|dy+\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus B(x,\epsilon )}\Phi (x-y)\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B(x,\epsilon )}f(y)dy\leq$
$\leq cost.$
Si ha quindi che $u(x)$ è limitata ed è soluzione dell'equazione di Poisson. Occorre ora provare che tutte le soluzioni hanno la forma di cui parla il teorema. Per farlo si consideri $w(x)=u(x)-{\tilde {u}}(x)$, dove $u(x)$ è quella appena trovata e ${\tilde {u}}(x)$ è una generica soluzione dell'equazione di Poisson. Chiaramente, per costruzione, $w(x)$ è una funzione armonica ed è pure limitata pertanto, dal teorema di Liouville, segue che essa è pure costante. Segue quindi che tutte le soluzioni limitate dell'equazione di Poisson, hanno forma:
$u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x-y)f(y)dy+c$