# Equazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Vi sono alcune distribuzioni che non sono della forma $T_{f}$ vista nei moduli precedenti. Distribuzioni di questo tipo prendono il nome di distribuzioni singolari. In questo e nel prossimo modulo ci occuperemo di due importanti distribuzioni singolari: la delta di Dirac e il valor principale.
Si consideri $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto e $x_{0}\in \Omega$. Si definisce delta di Dirac la distribuzione
$\delta _{x_{0}}(\phi )=\phi (x_{0})\;\forall \,\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$
È chiaro che essa sia un funzionale lineare, infatti:
$\forall \,\phi _{1},\phi _{2}\in C_{0}^{\infty }(\Omega );\;\delta _{x_{0}}(\phi _{1}+\phi _{2})=(\phi _{1}+\phi _{2})(x_{0})=\phi _{1}(x_{0})+\phi _{2}(x_{0})$
$\forall \phi \in {\mathcal {D}},\,\forall \,c\in \mathbb {R} ;\;\delta _{x_{0}}(c\phi )=c\phi (x_{0})$
Tuttavia è evidente che questa distribuzione non è del tipo $T_{f}$ introdotto nei moduli precedenti. Ci si chiede se sia possibile legare $\delta$ a distribuzioni regolari. Per poter rispondere a questa domanda si consideri il seguente teorema.

## Teorema (1)

Sia $\left\lbrace T_{n}\right\rbrace$ una successione di distribuzioni in ${\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$ e sia $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$. Se $T_{n}(\phi )\rightarrow T(\phi ),\,\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )$, allora:
$T_{n}{\underset {{\mathcal {D}}^{\prime }}{\rightarrow }}T$
In virtù del teorema appena enunciato è possibile concludere che in alcuni casi è possibile definire distribuzioni singolari come limite di distribuzioni regolari, cosa che si può fare anche per la $\delta$ di Dirac.
Si consideri $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\;f\geq 0$. Si consideri poi $f_{s}$ definita come:
$f_{s}(x)={\frac {1}{s^{n}}}f\left({\frac {x}{s}}\right)$
Si assuma poi che $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)dx=1$, ad esempio $f(x)=ce^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$. Sicuramente $f_{s}(x)$ soddisfa le seguenti proprietà:
* $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)dx=1$
* $\lim _{s\rightarrow 0}\int _{\mid x\mid <R}f_{s}(x)dx=1$
* $\lim _{s\rightarrow 0}\int _{\mid x\mid >R}f_{s}(x)dx=0$
Per come è definita $f_{s}$ è certamente possibile associarle una distribuzione regolare; sia essa $T_{f_{s}}$:
$T_{f_{s}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\phi (x)dx$
Si può provare che una distribuzione siffatta soddisfa le ipotesi del teorema precedente e può essere utilizzata per approssimare una delta di Dirac. Più precisamente, vale il seguente teorema.

## Teorema (2)

Sia $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ e sia $f_{s}(x)={\frac {1}{s^{n}}}f\left({\frac {x}{s}}\right)$. Sia $T_{f_{s}}$ la distribuzione regolare associata a $f_{s}$, allora si ha che:
$T_{f_{s}}{\underset {s\rightarrow 0}{\rightarrow }}\delta _{0}(\phi )$

### Dimostrazione

Sia $\phi \in {\mathcal {D}}$. Si vuole provare che $T_{f_{s}}(\phi (x)-\phi (0)){\underset {s\rightarrow 0}{\rightarrow }}0$. Si ha:
$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\left(\phi (x)-\phi (0)\right)dx=\int _{\mid x\mid \leq R}f_{s}(x)\left(\phi (x)-\phi (0)\right)dx+\int _{\mid x\mid >R}f_{s}(x)\left(\phi (x)-\phi (0)\right)$
Per le proprietà di $\phi$ si ha che:
* $\phi (x)-\phi (0)$ è limitata su ${\mathbb {R}}^{n}$ da $M$;
* sia $N(R)=\sum _{\mid x\mid \leq R}\mid \phi (x)-\phi (0)\mid$, e $N(R){\underset {R\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$.
Si può dunque scrivere una disuguaglianza per $T_{f_{s}}(\phi (x)-\phi (0))$:
$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\left(\phi (x)-\phi (0)\right)dx\leq N(R)+M\int _{\mid x\mid >R}f_{s}(x)dx$
Data l'arbitrarietà di $N(R)$ lo si sceglie in modo tale che $N(R)<{\frac {\epsilon }{2}}$. Inoltre si prende $s$ tale che $\int _{\mid x\mid >R}f_{s}(x)dx<{\frac {\epsilon }{2M}}$. Fatte queste scelte la disuguaglianza scritta sopra diventa:
$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\left(\phi (x)-\phi (0)\right)dx\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$
Dalla definizione di limite segue che $\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}$:
$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\phi (x)dx{\underset {s\rightarrow 0}{\rightarrow }}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\phi (0)dx=\phi (0)=\delta _{0}(\phi )$
In definitiva si ha che:
$T_{f_{s}}(\phi ){\underset {s\rightarrow 0}{\rightarrow }}\delta _{0}(\phi )\;\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}$
Chiaramente, seguendo la strategia appena usata, è anche possibile dimostrare che:
${\frac {1}{s^{n}}}f\left({\frac {x-x_{0}}{d}}\right){\underset {s\rightarrow 0}{\rightarrow }}\delta _{x_{0}}(\phi )$
Nei prossimi moduli vedremo come diverse proprietà delle distribuzioni regolari si riportano nel caso di distribuzioni singolari come la delta di Dirac. Prima di proseguire si tenga presente anche la seguente osservazione.
La distribuzione di Dirac ha per supporto $\left\lbrace x_{0}\right\rbrace$. Si osserverà anche che la classe delle distribuzioni con supporto $\left\lbrace x_{0}\right\rbrace$ è data da una combinazione lineare della $\delta$ di Dirac e di tutte le sue derivate.