# Analisi complessa/Funzioni elementari

Analisi complessa
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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Definiremo ora una serie di funzioni sul campo complesso, corrispondenti alle funzioni esponenziale, logaritmica ed alle funzioni trigonometriche sul campo reale. Vedremo in seguito che il requisito di analiticità e la richiesta di coincidere con le controparti reali per $z=0$ rende univoca la nostra scelta, e stabilisce un nesso tra l'espansione in serie della funzione reale e quella della funzione complessa.
Inoltre quando è possibile stabilire relazioni tra le varie funzioni (es. relazioni trigonometriche), in modo tale che i due membri dell'uguaglianza siano funzioni analitiche in un dominio, le relazioni sono verificate su tutto il dominio a patto che siano verificate sull'asse reale. Questo permette in genere di estendere a tutto il campo complesso la validità delle usuali relazioni nel campo reale.

## Esponenziale

La funzione esponenziale sul campo complesso $e^{z}$ è definita come
    $e^{z}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}e^{iy}\,$
ricordando la formula di Eulero. Si dimostra facilmente che valgono le usuali proprietà della funzione esponenziale,
    $e^{z1+z2}=e^{z1}e^{z2}\,$
    $(e^{z})^{n}=e^{nz}\,$
Inoltre $e^{z}$ è periodica con periodo 2i$\pi$, infatti si ha:
    $e^{z+2k\pi i}=e^{z}\!\quad \forall k\in \mathbb {Z}$.

## Funzioni trigonometriche ed iperboliche
### Seno e coseno

Le funzioni trigonometriche si definiscono a partire dall'esponenziale, come:
    $\sin {z}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\qquad \cos {z}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$;
sono analitiche ed hanno rispettivamente derivate
    $(\sin {z})'=\cos {z}\!\qquad (\cos {z})'=-\sin {z}\!$.
Valgono le formule di addizione, duplicazione, prostaferesi formalmente uguali a quelle del campo reale.
Osservazione: Le funzioni Tangente, cotangente, secante e cosecante sono definite come nel caso reale.

### Funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche sono definite da:
    $\sinh {z}={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}\qquad \cosh {z}={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}$
Le rispettive derivate sono:
    $(\sinh {z})'=\cosh {z}\qquad (\cosh {z})'=\sinh {z}$;
oltre alle solite relazioni valide sul campo reale, si hanno
* $-i\sinh {iz}=\sin {z}\!$
* $\cosh {iz}=\cos {z}\!$
* $-i\sin {iz}=sinh{z}\!$
* $\cos {iz}=cosh{z}\!$
Queste relazioni legano le funzioni trigonometriche ed iperboliche sul campo complesso.

## Logaritmo

Definiamo la funzione logaritmo come la soluzione $w$ dell'equazione $e^{w}=z$.
Scrivendo $z={\mathcal {j}}z{\mathcal {j}}e^{i\arg z}$ è chiaro come esistano più soluzioni, della forma
    $\log z=ln{\mathcal {j}}z{\mathcal {j}}+i(\arg z+2k\pi );k\in \mathbb {Z}$
Ciascuna delle soluzioni, con k fissato, costituisce una branca della funzione logaritmo, che è in effetti una funzione a più valori. La branca principale della funzione è quella presa con k = 0. Ciascuna branca della funzione logaritmo è analitica su $\mathbb {C}$ tranne che nell'origine e lungo un raggio (branch cut), ed ha derivata
    $(\log z)'={\frac {1}{z}}$.

## Potenze con esponenti complessi

Per $z\neq 0$ e $c\in \mathbb {C}$ definiamo
    $z^{c}=e^{c\log {z}}\!$.
Tale funzione coincide, per $c\in \mathbb {N}$, con i valori di $z^{n}$ definiti sulla base delle proprietà algebriche dei numeri complessi; in generale è però una funzione a molti valori, con branche che corrispondono alla branca scelta per la funzione logaritmo,
    $\log {z}=\ln {|z|}+i\arg {z}\quad (\alpha <\arg {z}<\alpha +2\pi )$.
$z^{c}$ è analitica nel dominio in cui è analitica la funzione logaritmo, e ha derivata:
    $(z^{c})'=cx^{c-1}\!$

### Funzione esponenziale con base c

La funzione esponenziale con base c si definisce come
    $c^{z}=e^{{z}\log {c}\!}$
ed è una funzione intera quando venga scelta una qualsiasi branca di $\log {c}$ ed ha derivata:
    $(c^{z})'=c^{z}\log {c}\!$