# Fondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità

Fondamenti di automatica2
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Le proprietà di raggiungibilità e controllabilità descrivono come le variazioni dell'ingresso $u\left(\bullet \right)$ possono modificare lo stato del sistema:
* raggiungibilità: a partire da un particolare stato iniziale, si può raggiungere lo stato finale desiderato agendo sull'ingresso $u\left(\bullet \right)$?
* controllabilità: a partire da un particolare stato finale, si può raggiungere lo stato iniziale desiderato agendo sull'ingresso $u\left(\bullet \right)$?

## Raggiungibilità

Uno stato $x^{*}$ si dice raggiungibile a partire dallo stato zero $x_{0}=x\left(t_{0}\right)$ se esistono:
* un istante di tempo $t^{*}\in \left[t_{0},+\infty \right)$;
* una funzione di ingresso $u^{*}\left(t\right)$ definita in $t\in \left[t_{0},t^{*}\right]$;
tali che il movimento dello stato $x\left(t\right)$ raggiunga al tempo $t^{*}$ lo stato finale $x^{*}$:
    $x\left(t^{*}\right)=x^{*}$
In un sistema LTI con dimensione finita $n$, lo spazio di stato $X$ si divide in due parti:
* parte raggiungibile: il sottospazio di raggiungibilità $X_{R}$ di dimensione $r<n$, a cui sono associati $r$ autovalori della matrice $A$;
* parte non raggiungibile: il sottospazio di non raggiungibilità $X_{NR}$ di dimensione $n-r$, a cui sono associati $n-r$ autovalori della matrice $A$.
L'insieme di raggiungibilità $X_{R}\left(t^{*}\right)$ è l'insieme di tutti gli stati finali $x^{*}$ raggiungibili al tempo $t^{*}$ a partire dallo stato zero $x_{0}$ considerando tutti i possibili ingressi applicabili:
    $X_{R}\left(t^{*}\right)=\left\{x^{*}:\;x^{*}{\text{ raggiungibile dallo stato zero }}x_{0}{\text{ al tempo }}t^{*}\right\}$
L'insieme di raggiungibilità $X_{R}\left(t^{*}\right)$ costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato $X$.
Il sottospazio di raggiungibilità $X_{R}$ è il più grande insieme di raggiungibilità $X_{R}\left(t\right)$:
    $X_{R}=\max _{t\in \left[t_{0},+\infty \right)}{X_{R}\left(t\right)}$
La dimensione $r$ del sottospazio di raggiungibilità $X_{R}$ è pari al rango della matrice di raggiungibilità $M_{R}$:
    $r=\rho \left(M_{R}\right)$
La matrice di raggiungibilità $M_{R}$ rappresenta il legame tra tutte le possibili variazioni degli ingressi in $t\in \left[t_{0},t^{*}\right]$ e tutti i possibili stati finali $x^{*}$:
    $M_{R}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-b}B\end{bmatrix}}$
dove $b$ è il rango della matrice $B$ (è sempre pari a 1 se il sistema ha un solo ingresso):
    $b=\rho {\left(B\right)}$
Si ipotizza per semplicità:
* il sistema LTI è a tempo discreto: $x\left(k+1\right)=Ax\left(k\right)+Bu\left(k\right)$;
* il sistema ha un solo ingresso: $p=1$;
* il tempo iniziale corrisponde all'origine: $t_{0}=0$;
* la condizione iniziale è nulla: $x_{0}=x\left(0\right)=0$.

### Insieme di raggiungibilità $X_{R}\left(\ell \right)$ al tempo $\ell$

Si può ricavare il movimento dello stato al passo $\ell$-esimo:
    ${\begin{array}{l}x\left(1\right)=Ax\left(0\right)+Bu\left(0\right)=Bu\left(0\right)\\x\left(2\right)=Ax\left(1\right)+Bu\left(1\right)=ABu\left(0\right)+Bu\left(1\right)\\x\left(3\right)=Ax\left(2\right)+Bu\left(2\right)=A^{2}Bu\left(0\right)+ABu\left(1\right)+Bu\left(2\right)\\\vdots \\x\left(\ell \right)=A^{\ell -1}Bu\left(0\right)+\cdots +ABu\left(\ell -2\right)+Bu\left(\ell -1\right)=\underbrace {\begin{bmatrix}B&AB&\cdots &A^{\ell -1}B\end{bmatrix}} _{M_{R}\left(\ell \right)}\underbrace {\begin{bmatrix}u\left(\ell -1\right)\\u\left(\ell -2\right)\\\vdots \\u\left(0\right)\end{bmatrix}} _{U\left(\ell \right)}=M_{R}\left(\ell \right)U\left(\ell \right)\end{array}}$
La matrice $M_{R}\left(\ell \right)$ rappresenta il legame tra la sequenza di ingresso e lo stato $x\left(\ell \right)$. Pertanto, l'insieme di raggiungibilità $X_{R}\left(\ell \right)$ corrisponde allo spazio immagine ${\mathcal {R}}\left(\cdot \right)$ generato dalla combinazione lineare delle colonne della matrice $M_{R}\left(\ell \right)$:
    $X_{R}\left(\ell \right)={\mathcal {R}}\left(M_{R}\left(\ell \right)\right)$

### Sottospazio di raggiungibilità $X_{R}$

Determinare la dimensione $\ell$ del sottospazio di raggiungibilità $X_{R}$ significa determinare per quale istante $\ell$ la matrice $M_{R}\left(\ell \right)$ ha rango massimo.
Il calcolo del rango di $M_{R}\left(\ell \right)$ è equivalente al calcolo del rango di $M_{R}\left(n\right)$ (teorema di Caley-Hamilton):
    $X_{R}=X_{R}\left(n\right)={\mathcal {R}}\left(M_{R}\right)={\mathcal {R}}\left(M_{R}\left(n\right)\right)={\mathcal {R}}\left({\begin{bmatrix}B&AB&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}\right)$
Gli stati finali che non si possono raggiungere dallo stato zero costituiscono il sottospazio di non raggiungibilità $X_{NR}$, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di raggiungibilità $X_{R}$:
    $X_{NR}=X_{R}^{\bot }:\;{\begin{cases}X_{NR}\cap X_{R}=\varnothing \\X_{NR}\cup X_{R}=X\end{cases}}$
L'ingresso $u\left(\bullet \right)$ agisce solo sulla parte raggiungibile → la parte raggiungibile non influenza la parte non raggiungibile. Tuttavia, la parte non raggiungibile può disturbare la parte raggiungibile → è possibile regolare opportunamente l'ingresso $u\left(\bullet \right)$ per compensare i disturbi della parte non raggiungibile.
Un sistema è completamente raggiungibile se il sottospazio di raggiungibilità $X_{R}$ coincide con lo spazio di stato $X$, cioè a partire dallo stato zero si può raggiungere qualunque stato finale:
    $X_{R}=X\Leftrightarrow r=\rho \left(M_{R}\right)=n$

## Controllabilità

Uno stato $x^{*}=x\left(t_{0}\right)$ si dice controllabile allo stato zero $x_{0}$ se esistono:
* un istante di tempo $t^{*}\in \left[t_{0},+\infty \right)$;
* una funzione di ingresso $u^{*}\left(t\right)$ definita in $t\in \left[t_{0},t^{*}\right]$;
tali che il movimento dello stato $x\left(t\right)$ raggiunga al tempo $t^{*}$ lo stato zero $x_{0}$:
    $x\left(t^{*}\right)=x_{0}$
L'insieme di controllabilità $X_{C}\left(t^{*}\right)$ è l'insieme di tutti gli stati finali $x^{*}$ controllabili al tempo $t^{*}$ allo stato zero $x_{0}$ considerando tutti i possibili ingressi applicabili:
    $X_{C}\left(t^{*}\right)=\left\{x^{*}:\;x^{*}{\text{ controllabile allo stato zero }}x_{0}{\text{ al tempo }}t^{*}\right\}$
L'insieme di controllabilità $X_{C}\left(t^{*}\right)$ costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato $X$.
Il sottospazio di controllabilità $X_{C}$ è il più grande insieme di controllabilità $X_{C}\left(t\right)$:
    $X_{C}=\max _{t\in \left[t_{0},+\infty \right)}{X_{C}\left(t\right)}$
Un sistema è completamente controllabile se il sottospazio di controllabilità $X_{C}$ coincide con lo spazio di stato $X$, cioè lo stato finale si può raggiungere a partire da un qualunque stato zero:
    $X_{C}=X$
Se il sistema non è completamente controllabile, gli stati iniziali da cui non si può raggiungere lo stato finale costituiscono il sottospazio di non controllabilità $X_{NC}$, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di controllabilità $X_{C}$:
    $X_{NC}=X_{C}^{\bot }:\;{\begin{cases}X_{NC}\cap X_{C}=\varnothing \\X_{NC}\cup X_{C}=X\end{cases}}$
Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di raggiungibilità e controllabilità coincidono:
    $X_{R}=X_{C}$
Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di raggiungibilità $X_{R}$ è incluso nel sottospazio di controllabilità $X_{C}$:
    $X_{R}\subseteq X_{C}$
Se la matrice $A$ è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:
    $X_{R}=X_{C}$

## Problema della realizzazione

Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento $H\left(\bullet \right)$ è univoca:
    $H\left(s\right)={\frac {b_{n}s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+\ldots +b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{0}}}=C{\left(sI-A\right)}^{-1}B+D$
Invece, data la funzione di trasferimento $H\left(\bullet \right)$ di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).
Una possibile realizzazione è la forma canonica di raggiungibilità:
    $H\left(s\right)={\frac {b_{n}s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+\ldots +b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{0}}}={\frac {d_{n-1}s^{n-1}+\ldots +d_{0}}{s^{n}+c_{n-1}s^{n-1}+\ldots +c_{0}}}+d_{n}\Rightarrow A={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&1\\-c_{0}&-c_{1}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}},\;B={\begin{bmatrix}0\\\vdots \\0\\1\end{bmatrix}},\;C={\begin{bmatrix}d_{0}&d_{1}&\cdots &d_{n-1}\end{bmatrix}},\;D={\begin{bmatrix}d_{n}\end{bmatrix}}$
* la matrice $A$ è in forma compagna inferiore → il polinomio caratteristico della matrice $A$ è:
    $p\left(A\right)=\det {\left(\lambda I-A\right)}=\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +c_{1}\lambda +c_{0}$
* il sistema dinamico individuato dalle matrici $A$, $B$, $C$ e $D$ è sempre completamente raggiungibile.