# Meccanica del punto materiale/Energia del pendolo

Meccanica del punto materiale
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
Cinematica del punto materiale
* Cinematica del puntoMeccanica del punto materiale/Cinematica del punto
* Moto rettilineoMeccanica del punto materiale/Moto rettilineo
* Moto circolareMeccanica del punto materiale/Moto circolare
* Moto armonicoMeccanica del punto materiale/Moto armonico
* Moto parabolico dei corpiMeccanica del punto materiale/Moto parabolico dei corpi
Dinamica del punto materiale
* Primo e secondo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Primo e secondo principio della dinamica
* Forza peso e forze vincolariMeccanica del punto materiale/Forza peso e forze vincolari
* Terzo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Terzo principio della dinamica
* Forza d'attrito radenteMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito radente
* Forza d'attrito viscosoMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito viscoso
* Forza elasticaMeccanica del punto materiale/Forza elastica
* Forza centripetaMeccanica del punto materiale/Forza centripeta
* Quantità di moto e impulsoMeccanica del punto materiale/Quantità di moto e impulso
* Momento angolareMeccanica del punto materiale/Momento angolare
* Pendolo sempliceMeccanica del punto materiale/Pendolo semplice
Moti relativi
* Teorema delle velocità relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle velocità relative
* Teorema delle accelerazioni relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle accelerazioni relative
* Relatività galileianaMeccanica del punto materiale/Relatività galileiana
Lavoro ed energia
* Energia cinetica e lavoroMeccanica del punto materiale/Energia cinetica e lavoro
* Energia del pendoloMeccanica del punto materiale/Energia del pendolo
* Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elasticaMeccanica del punto materiale/Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elastica
* Forze conservative ed energia potenzialeMeccanica del punto materiale/Forze conservative ed energia potenziale
* Considerazioni conclusive sull'energiaMeccanica del punto materiale/Considerazioni conclusive sull'energia
Oscillatori armonici
* Oscillatore armonicoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico
* Oscillatore armonico smorzato e forzatoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico smorzato e forzato
* Oscillatori accoppiatiMeccanica del punto materiale/Oscillatori accoppiati
Appendice
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Riprendiamo il discorso del pendolo semplice, stavolta studiandolo sfruttando le conoscenze sul lavoro e l'energia cinetica. Ricordiamo, prima di iniziare lo studio, le formule del lavoro che conosciamo e lo schema del pendolo:
${\begin{aligned}&L=\int _{A}^{B}{\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}\\&K={\frac {1}{2}}mv^{2}\\&L=\Delta K={\frac {1}{2}}m(v_{B}^{2}-v_{A}^{2})\end{aligned}}$
Prendiamo come esempio di riferimento l'immagine qui sopra. Consideriamo il punto iniziale del moto il punto in cui è disegnato il punto materiale, mentre l'estremo finale del moto sarà il centro di oscillazione. Dallo studio sul moto del pendolo abbiamo osservato che il punto ha velocità nulla agli estremi di oscillazione e velocità massima al centro; tuttavia, in quel caso abbiamo dovuto compiere un'approssimazione dell'angolo, ottenendo quindi un valore della velocità approssimato anch'esso. Sfruttiamo il lavoro e l'energia per calcolare con precisione la velocità massima del sistema. Abbiamo quindi:
${\begin{aligned}&v_{i}=0\\&v_{f}=v_{\text{max}}\end{aligned}}$
Poiché sappiamo che $L_{\text{tot}}=\Delta K$, avendo le velocità iniziali e finali possiamo calcolarci il lavoro della forza totale agente sul punto:
${\begin{aligned}&L_{\text{tot}}=\Delta K={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}\\\Leftrightarrow \,&{\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}={\frac {1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}\end{aligned}}$
Quindi abbiamo che $L_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}$; tuttavia possiamo calcolare il lavoro partendo anche dalla definizione stessa:
${\begin{aligned}&L_{\text{tot}}=\int _{i}^{f}{\vec {f_{\text{tot}}}}\cdot d{\vec {s}}=\int _{i}^{f}({\vec {P}}+{\vec {T}})\cdot d{\vec {s}}=\\\Leftrightarrow \,&\int _{i}^{f}{\vec {P}}\cdot d{\vec {s}}\,+\int _{i}^{f}{\vec {T}}\cdot d{\vec {s}}=\int _{i}^{f}{\vec {P}}\cdot d{\vec {s}}\end{aligned}}$
Questo perché sappiamo che ${\vec {T}}$ è perpendicolare allo spostamento lungo tutto il moto, per definizione di ${\vec {T}}$, quindi il prodotto scalare è nullo. Quindi:
$L_{\text{tot}}=\int _{i}^{f}{\vec {P}}\cdot d{\vec {s}}=\int _{i}^{f}mg\cos \phi ds=\int _{i}^{f}mg\sin \theta ds$
Questo perché il coseno di $\phi$, cioè l'angolo formato tra il peso e lo spostamento, è equivalente al seno di $\theta$. Prima di procedere con il calcolo finale, ricordiamo che possiamo scrivere $ds$ come $Ld\theta$, questo per la definizione di angolo. Infine:
${\begin{aligned}&L_{\text{tot}}=\int _{i}^{f}mg(\sin \theta )Ld\theta =mgL\int _{i}^{f}\sin \theta \,d\theta \\\Leftrightarrow &mgL\int _{0}^{\theta _{0}}\sin \theta \,d\theta =-mgL\cos \theta |_{0}^{\theta _{0}}\\\Leftrightarrow &-Lmg(\cos \theta _{0}-\cos 0)=Lmg(1-\cos \theta _{0})\end{aligned}}$
Siamo giunti a calcolare il lavoro compiuto dalle forze del sistema in due modi diversi. Un'analisi immediata: i due risultati sono entrambi positivi perché la forza peso spinge lungo tutto il moto, con verso concorde allo spostamento stesso. Uguagliamo i due risultati ottenuti:
${\begin{cases}L_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}\\L_{\text{tot}}=Lmg(1-\cos \theta _{0})\end{cases}}\quad \Rightarrow {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}mv_{\text{max}}^{2}=Lmg(1-\cos \theta _{0})\\&v_{\text{max}}^{2}=2Lg(1-\cos \theta _{0})\end{aligned}}$
Dallo studio del moto che abbiamo compiuto in qualche modulo fa, trovammo che $v_{\text{max}}=L\omega \theta _{\text{max}}$. Sostituendo a $\omega$ il suo valore, e ricordando che, in questo studio, $\theta _{0}=\theta _{\text{max}}$ perché l'angolo di partenza del moto coincide all'angolo massimo, abbiamo ricavato che:
$v_{\text{max}}^{2}=\theta _{0}^{2}Lg$
Questo perché approssimammo $\sin \theta \approx \theta$. Tuttavia, partendo dal giusto risultato, ovvero quello ottenuto con lo studio delle forze, possiamo anche questa volta approssimare $\cos \theta _{0}$ con il suo sviluppo in serie di Taylor:
$\cos \theta _{0}=1-{\frac {\theta _{0}^{2}}{2}}$
Sostituendo nella formula:
$v_{\text{max}}^{2}=2Lg(1-\cos \theta _{0})\approx 2Lg(1-1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{2}})=\theta _{0}^{2}Lg$
Che è concorde con il risultato ottenuto nel precedente studio. L'idea di compiere approssimazioni per risolvere problemi che non hanno una soluzione analitica è, se l'approssimazione viene fatta con criterio, un ottimo modo per compiere gli studi necessari. Questo era solo un esempio di come sfruttare l'energia e il lavoro per calcolare moti particolarmente complicati.