# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Torniamo al problema da cui siamo partiti:
${\begin{cases}{\mathcal {L}}u=-\left(pu^{\prime }\right)^{\prime }+qu\\B.C.\end{cases}},\;p\in C^{1}((0,L)),\,p(x)>0\,\forall \,x\in [0,L],\;q\in C^{0}([0,L])$
Abbiamo osservato come questo problema si possa risolvere nella forma più generale ${\mathcal {L}}u=f\in L^{2}([0,L])\cap C^{0}([0,L])$. In quest'ottica diventa un'equazione differenziale ordinaria, che può essere risolta tramite l'inversione dell'operatore ${\mathcal {L}}$. Ovvero, supponendo che $\lambda =0$ non sia autovalore di ${\mathcal {L}}$, si giunge a:
$u={\mathcal {L}}^{-1}f$
Avendo risolto esplicitamente questo problema, si è in grado di concludere che:
${\mathcal {L}}^{-1}f=\int _{0}^{L}{\mathcal {G}}(xy)f(y)dy$
Con ${\mathcal {G}}$ funzione di Green dell'operatore di Sturm-Liouville, data da:
${\mathcal {G}}(xy)=-{\frac {1}{pW}}{\begin{cases}v_{1}(x)v_{2}(y),\;0<x<y\leq L\\v_{1}(y)v_{2}(x),\;0<y<x\leq L\end{cases}}$
Si è anche osservato che ${\mathcal {G}}$ è una funzione continua, differenziabile su $[0,L]\times [0,L]$ ma non sulla diagonale $x=y$ e simmetrica. Come operatore ${\mathcal {G}}$ pertanto è simmetrico e compatto e, in virtù dell'ipotesi preliminare, non ammette autovalore nullo. Si è anche osservato che se ${\mathcal {L}}^{-1}$ è simmetrico e compatto, ammette un sistema ortonormale completo. Da ciò segue che anche ${\mathcal {L}}$ ammette autovalori: essi saranno corrispondenti ai reciproci degli autovalori di ${\mathcal {L}}^{-1}={\mathcal {G}}$ con stessi autovettori. Questi autovettori, per altro comuni, dunque costituiranno un sistema ortonormale completo sullo spazio di Hilbert su cui si lavora.
Completiamo il discorso sull'operatore di Sturm-Liouville andando ad analizzare il caso, scartato per ipotesi, in cui $\lambda =0$. Innanzitutto si osserva che ${\mathcal {L}}$ è limitato dal basso, e dunque che:
$\left\langle {\mathcal {L}}u\mid u\right\rangle \geq q_{min}$
Si ha che tutti gli autovalori di ${\mathcal {L}}$ saranno maggiori, o al più uguali, a questo valore $q_{min}$:
$\left\langle \lambda u\mid u\right\rangle =\lambda \left\langle u\mid u\right\rangle \geq q_{min}$
Segue quindi che esisterà sicuramente un numero reale $\mu _{0}$ che non sarà autovalore di ${\mathcal {L}}$. Definendo l'operatore ${\mathcal {L}}_{1}={\mathcal {L}}-\mu _{0}\mathbb {I}$ si ha che esso conserva tutte le proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville, ma non ammetterà mai autovalore nullo. Possiamo quindi applicare tutta la teoria sviluppata per ${\mathcal {L}}$ a ${\mathcal {L}}_{1}$ trattandolo come una traslazione di ${\mathcal {L}}$. Tutti i risultati sino ad ora ottenuti continuano a essere applicabili, col vantaggio che ${\mathcal {L}}_{1}$ non può ammettere autovalore nullo: quindi viene risolto anche il problema iniziale per cui era necessario supporre $\lambda _{\mathcal {L}}\neq 0$. In definitiva, non avendo nemmeno problemi per l'autovalore nullo, è possibile concludere che l'operatore di Sturm-Liouville ammette sempre sistema ortonormale completo costituito dai suoi autovalori.