# Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 9-16

Niels Abel diceva che la matematica si impara meglio se la si ascolta direttamente dalla bocca dei maestri, piuttosto che da quella degli allievi. Per questo, nelle seguenti dimostrazioni, useremo proprio le parole del maestro Euclide (naturalmente tradotte in italiano corrente) mentre i commenti degli allievi li metteremo tra parentesi. A parte naturalmente le enunciazioni, che l'allievo Nicolò Tartaglia scrisse nel 1565, e che qui useremo come intestazione di ciascun teorema.

## Teorema 9

Siamo di nuovo di fronte ad un teorema che garantisce la bontà di una costruzione (come già i teoremi 1, 2 e 3). Questa volta si tratta di dividere a metà (bisecare) un angolo qualsiasi, chiamiamolo ABC.
A questo proposito Euclide scrive:
    "Fissiamo un angolo che abbia il vertice in B e sia delimitato dai due segmenti AB e BC. Su tali segmenti, di lunghezza qualsiasi e non necessariamente congruenti fra loro, è sempre possibile individuare due punti che taglino i segmenti originali in due segmenti uguali (vedi il Teorema 3). Perciò io taglierò le due linee AB e BC (che contengono l'angolo ABC) in modo che vengano individuati i segmenti BD e BE fra loro uguali. Fatto questo traccerò la linea DE sulla quale costruirò il triangolo equilatero DEF (per il Teorema 1) e quindi traccerò il segmento BF che, lo sostengo, divide l'angolo dato (ABC) in due parti uguali.
    Per dimostrare questo fatto prendo in considerazione i due triangoli DBF e EBF: in essi i due lati BD e BF del triangolo DBF sono rispettivamente uguali ai due lati BE e BF del triangolo EBF; inoltre la base DF è uguale alla base EF (per costruzione) cosicché, per il precedente Teorema 8, l'angolo DBF è uguale all'angolo EBF, che è proprio quello che volevo dimostrare."
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Nota. Bisecare un angolo con gli strumenti previsti dai postulati di Euclide (riga e compasso) non è difficile, come si è visto. È risultato invece impossibile, nell'ambito della geometria euclidea, trisecare un angolo qualsiasi: intere generazioni di geometri si sono appassionati al problema e dopo aver raccolto la sfida, hanno speso molti anni della loro vita nel vano sforzo di riuscire in questo compito apparentemente banale. Tutt'oggi, malgrado nel 1837 Pierre Laurent Wantzel abbia dimostrato l'impossibilità di tale costruzione, alcuni geometri dilettanti provano a trisecare gli angoli con riga e compasso. Ovviamente non ci riescono: altrimenti a cosa servirebbe produrre una dimostrazione?
Per approfondimenti, vedi la trisezione dell'angolo

## Teorema 10

Puotemo diuidere una proposta retta in due parti equale.
Prendiamo una linea retta AB, la dividiamo in due parti uguali costruendo un triangolo equilatero ABC. Dopo questo, dividiamo l'angolo C in due parti uguali, per il teorema precedente, con la linea CD. La linea CD divide la linea AB in due parti uguali individuando il punto D. Per dimostrar questo intendiamo i due triangoli ACD e BCD e intuiamo che i due lati AC e CD del triangolo ACD sono uguali ai due lati BC e CD del triangolo BCD. L'angolo C del triangolo ACD è uguale all'angol C del triangolo BCD, quindi la base AD sarà uquale alla base BD. In conclusione possiamo dire che AD precede BD e che queste due sono divise in due parti uguali dal punto D.
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## Teorema 11

Data una linea retta, da un ponto signato in quella potemo cauarui una perpendicolar sustentata dall'una è l'altra parte da dui angoli equali e retti.
Sia dato il segmento AB sul quale si voglia segnare il punto C, in modo che sia il piede di una delle perpendicolari ad AB. Per ottenere questo risultato è necessario tracciare il segmento BC in modo che sia congruente ad AC e quindi costruire un triangolo equilatero sul segmento AB. Il segmento che collega i due punti C e D è appunto la perpendicolare alsegmento AB.
Per dimostrarlo prenderò in considerazione i due triangoli ACD e BCD nei quali:
* il lato AC del triangolo ACD corrisponde al lato CB del triangolo BCD ed è ad esso congruente per costruzione;
* il lato CD del triangolo ACD corrisponde al lato CD del triangolo BCD ed è ad esso congruente perché coincidenti;
* inoltre lato AD del triangolo ACD corrisponde al lato BD del triangolo BCD ed è ad esso congruente perché sono lati dicversi di uno stesso triangolo equilatero
I due triangoli sono dunque fra loro congruenti (vedi il Teorema 8) e di conseguenza anche l'angolo ACD è congruente all'angolo BCD.
Questo però implica che i due angoli devono essere entranbi retti (vedi Definizione 8) e di conseguenza la retta DC sarà prependicolare al segmento AB. C.V.D.
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## Teorema 12

Puotemo condurre una perpendicolare a una data retta linea de indefinita quantità: da uno ponto signato fora di quella.
Versione 1
Traccio il segmento BC e segno il punto A fuori da esso. Da A vogliamo tracciare una linea perpendicolare al segmento BC. Per eseguire ciò dobbiamo allungare il segmento BC da ciascun estremo, e con centro A traccio una circonferenza di grandezza tale che individua con la retta BC due punti D ed F.
Congiungo poi il punto A con i punti D e F. Le due linee AD ed AF divideranno l'angolo DAF in due parti uguali con la bisettrice AH (per la nona proposizione).
Si può dire che la linea AH è perpendicolare al segmento BC perché i due triangoli AHD ed AHF sono congruenti: ciò si spiega perché i lati AD ed AH del triangolo ADH sono congruenti ai lati AH ed AF del triangolo AHF.
Questo perché i lati AD ed AF sono raggi della stessa circonferenza, il lato AH è in comune ad entrambi i triangoli e l'angolo DAH del triangolo ADH è congruente all'angolo HAF del triangolo AHF.
Per la quarta proposizione i due triangoli ADH e HAF risultano congruenti e quindi la base DH sarà congruente alla base HF mentre l'angolo AHD sarà congruente all'angolo AHF. I due angoli quindi, essendo congruenti e adiacenti, sono retti (per la decima definizione) e la linea AH sarà perpendicolare alla linea BC.
CVD
Versione 2
· OBIETTIVO: Costruire una retta perpendicolare ad un'altra retta, a partire da una retta AB e da un punto C che non si trova su questa retta.
· N.B. – Teorema che utilizza le lettere del disegno della versione in inglese. Vedi Link Versione in Inglese - http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI12.html
COSTRUZIONE:
1. Tracciare una retta AB.
2. Sopra AB definire un punto C che sia esterno alla retta AB.
3. Sotto AB definire un punto D che sia esterno alla retta AB e tracciare una circonferenza con centro C e raggio CD. I punti della circonferenza che intersecano la retta AB prendono i nomi di E e G.
4. Congiungere il punto C sia con il punto G sia con il punto E.
Consideriamo l’angolo ECG:
5. Tracciamo una bisettrice a partire dal punto C fino alla retta AB (così come insegna il Teorema 9). Il punto in cui la bisettrice interseca la retta AB prende il nome di punto H. La bisettrice taglia perfettamente a metà l’angolo ECG.
DIMOSTRAZIONE DELLA PERPENDICOLARITA' DI CH SU AB:
Dopo la costruzione osserviamo che:
* I segmenti CE e CG sono congruenti perché raggi di una stessa circonferenza.
* Il segmento CH è in comune.
* I due angoli ECH e HCG sono congruenti in quanto formati da una bisettrice.
* Per il Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli (Teorema4) possiamo quindi affermare che i due triangoli CHG e CHE sono congruenti.
I due angoli CHG e CHE sono dunque angoli adiacenti e congruenti e quindi, per la definizione 10, sono retti.
Se i due triangoli CHG e CHE sono congruenti e i due angoli alla base sono congruenti, retti e adiacenti, la bisettrice CH coincide con la retta perpendicolare di AB.
CONCLUSIONE:
CH è stata tracciata perpendicolarmente alla retta AB dal punto C che non è su di essa.
CVD
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## Teorema 13

Li duoi angoli constituidi de ogni linea retta, che stia sopra a una linea retta, ouero che sono retti, ouero che son equali a duoi angoli retti.
Li duoi angoli constituidi de ogni linea retta, che stia sopra a una linea retta, ouero che sono retti, ouero che son equali a duoi angoli retti.
[vedi figura 025r.png] Sia che la linea .a.b. stia sopra alla linea .c.d. dico che li duoi angoli constituidi dalla detta linea .a.b. con la linea .c.d. ouer che sono ambiduoi retti. ouer che son equali a duoi angoli retti, liquali angoli l'uno è l'angolo .a.b.d. & l'altro è l'angolo .a.b.c. & per dimostrar questo arguirò in questo modo. Ouer che la linea .a.b. serà perpendicolare sopra la .c.d. ouer non: se la serà perpendicolare sopra la detta linea .c.d. constituerà duoi angoli equali è retti: per lo conuerso modo della ottaua diffinitione, che è il primo propofito. Ma se la non serà perpendicolare, ma che quella sia declinante sopra quella, poniamo uerso .d. all'hora la detta linea .a.b. constituerà duoi angoli, l'uno di quali serà acuto, cioè l'angolo .a.b.d. et l'altro serà ottuso cioè l'angolo .a.b.c. hor dico che questi duoi angoli insieme sono equali a duoi angoli retti, & per dimostrar questo, dal ponto .b. conduro la perpendicolare .b.e. per l'undecima propositione, sopra la linea .c.d. dellaquale li duoi angoli .e.b.c. & .e.b.d. sono retti, per lo conuerso modo della ottaua diffinitione, adonque perche li duoi angoli .d.b.a. et .a.b.e. se equaliano all'angolo .d.b.e. ilqual è retto, giontoli anchora l'angolo .c.b.e. che è retto, tutti tre seranno equali a duoi angoli retti, perche li duoi, cioe .d.b.a. et .a.b.e. sono equali all'angolo .d.b.e. che è retto: il terzo,cioe l'angolo .e.b.c. da se è retto, però tutti tre sono equali a duoi retti, ma l'angolo .a.b.c. ottuso è equale a duoi di quelli tre angoli, cioe all'angolo .c.b.e. che è retto etiam l'angolo .e.b.a. adonque li duoi angoli .a.b.c. & .a.b.d. sono equali a duoi angoli retti, che è il proposito. Et nota che per questa propositione si manifesta che tutto il spacio che circonda un ponto, in qual si uoglia superficie piana, sempre quello serà equale a quattro angoli retti.
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Se da uno ponto de una linea retta usciranno due linee rette in diuerse parti, & farà li duoi angoli attorno in se retti, ouero equali a duoi angoli retti, quelle due linee fra loro sono congionte direttamente, & sono una sol linea.
Se da uno ponto de una linea retta usciranno due linee rette in diuerse parti, & farà li duoi angoli attorno in se retti, ouero equali a duoi angoli retti, quelle due linee fra loro sono congionte direttamente, & sono una sol linea.
Sia la linea retta ,a,b, &, dal ponto ,b, usciano due linee rette in parte opposite, et l'una sia la linea .b.c. & dall'altra parte opposita, sia, la linea .b.d. lequal linee feciano li duoi angoli, liquali son ,c,b,a, & ,d,b,a, equali a duoi angoli retti. hor dico che le due linee .c.b. & .d.b. sono congionte direttamente l'una & l'altra & sono una sol linea, laqual è la linea .c.b.d. & se la non serà una sol linea, per l'auersario, sia protratta la linea ,c,b, in continuo & diretto, & per non esser una linea con la linea ,b,d, transirà ouer di sopra della detta linea .b.d. come fa la ,b,f, ouer di sotto come fa la .b.e. Adonque perche sopra della linea ,c,b,f, gli cade la linea .a.b. li duoi angoli .a.b.c. & .a.b.f. per la precedente seran equali a duoi angoli retti, & perche li angoli retti sono equali fra loro, per la quarta petitione, anchora li duoi angoli .c.b.a. & .d.b.a. son equali a duoi angoli retti, dal presupposito, perilche li duoi angoli ,a,b,c, & ,a,b,f, seran equali alli duoi angoli ,c,b,a, & ,d,b,a, adonque cauando communemente l'angolo ,c,b,a, li duoi rimanenti, per la terza concettione, seranno fra loro equali, cioè l'angolo .d.b.a. seria equal all'angolo ,f,b,a laqual cosa è impossibile che la parte sia equale al tutto, & per la medesima uia tu approuerai, la linea .c.b. protratta per in fina m.e. che l'angolo ,a,b,d, serà equal all'angolo ,a,b,e, che è pur impossibile, per laqual cosa serà constretto l'auersario a confirmare che protratta la linea ,c,b, caderà precise in la linea ,b,d, et la linea ,c,b,d, esser una (11) sol linea, e non due, che è il proposito.
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## Teorema 15

Se da uno ponto de una linea retta usciranno due linee rette in diuerse parti, & farà li duoi angoli attorno in se retti, ouero equali a duoi angoli retti, quelle due linee fra loro sono congionte direttamente, & sono una sol linea.
[15/15] Tutti li angoli contrapositi de ogni due linee rette che si seghino, fra loro sono equali, perilche eglie manifesto che quando due linee rette si seghino fra loro, li quattro angoli che fanno essere equali a quattro angoli retti.
Siano le due linee rette .a.b. & .c.d. lequali se seghino fra loro in ponto .e. Dico che l'angolo .d.e.b. è equal all'angolo .a.e.c. et l'angolo .b.e.c. è equal all'angolo .d.e.a. perche li duoi angoli .a.e.c. (12) & .c.e.b. son equali a duoi [pag. 26r] angoli retti, per la tertiadecima propositione, & similmente li duoi angoli .c.e.b. & .d.e.b. sono pur equali a duoi angoli retti, per la medesima propositione. Adonque li duoi angoli .a.e.c. & .c.e.b. sono equali alli duoi angoli .c.e.b. & b.e.d. perche cosi li duoi primi come li duoi secondi sono equali a duoi angoli retti: hor se communamente leuaremo, cosi alli duoi primi come alli duoi secondi, l'angolo,c,e,b, li duoi rimanenti, che son li duoi angoli .a.e.c. & .b.e.d. seranno fra lor equali, per la tertiadecima concettione, & per lo medesimo modo se approua l'angolo .c.e.b. esser equale all'angolo .d.e.a. che è il proposito.
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## Teorema 16

Essendo protratto direttamente un lato d'un triangolo, qual ne pare, quel farà l'angolo estrinsico maggiore dell'uno e dell'altro angolo intrinsico del triangolo a se opposito.
Sia che 'l triangolo .a.b.c. sia protratto el lato .a.b. per fina in d. Dico che l'angolo .d.b.c. è maggiore di l'uno & dell'altro di duoi angoli di dentro del triangolo a lui oppositi, delliquali l'un è l'angolo .b.a.c. e l'altro è l'angolo .b.c.a. & per dimostrar questo io diuiderò il lato .c.b. in due parti equali, per la dottrina della decima, in ponto .e. & protrarò la linea .a.e. per fin al ponto .f. talmente che la .f.e. sia equale alla .a.e. poi tirarò la linea .f b. & fatto questo io intendo li duoi triangoli .c.e.a. & .b.e.f. & perche li duoi lati .a.e. & .e.c. del triangolo .a.e.c. sono equali alli duoi lati .f.e. & .e.b. del triangolo .f.e.b. & l'angolo .e. dell'uno si è equale all'angolo .e. dell'altro, per la precedente propositione, perche sono angoli contrapositi, & per la quarta propositione, l'angolo .e.c.a. serà equale all'angolo .e.b.f. e per tanto l'angolo .e.b.d. qual è maggiore dell'angolo .e.b.f. sua parte, serà etiam maggiore dell'angolo .a.c.e. per esser l'angolo .a.c.e. equal al .e.b.f. sua parte, & cosi hauemo dimostrato come l'angolo .c.b.d. de fuora del triangolo è maggiore dell'angolo .a.c.b. di dentro del triangolo a lui opposito. Similmente anchora se approua che lui è maggior dell'angolo .c.a.b. Perche diuiderò il lato .a.b. in due parti equale nel ponto .g. per la decima propositione, & protrarrò la linea .c.g. per fin in .h. talmente che la .g.h. sia equale alla .g.c. per la tertia propositione, dapoi protrarrò la .h.b.k. poi intendo li duoi triangoli .a.c.g. & .g.b.h. che li duoi lati .a.g. & g.c. del triangolo .a.g.c. sono equali alli duoi lati .g.b. & .g.h. del triangolo .g.b.h. & l'angolo .g. dell'uno è equale all'angolo .g. dell'altro, per la precedente propositione, & per la quarta propositione, l'angolo .g.a.c. è equale all'angolo .g.b.h. hor perche l'angolo .k.b.d. è equale all'angolo contraposito .g.b.h. per la precedente propositione, serà etiam equale all'angolo .c.a.g. per la prima concettione, & perche l'angolo .c.b.d. è maggiore dell'angolo k.b.d. sua parte, serà etiam maggiore dell'angolo .g.a.c. a quello equale, che è il proposito.
Bisogna aduertir che la linea .h.b. protratta uerso .f. de necessità passa sopra alla linea [pag. 26v] .b.f. perilche la linea ,b,k, non se discerne dalla linea ,b,f, per esser in quella medesima.
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