# Matematica per le superiori/L'iperbole

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
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*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
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*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
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*** Le equazioni di grado superiore al secondo
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*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
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** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
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** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

## Equazione generica

Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro:
    $F_{1}(-c;0)\,$
    $F_{2}(c;0)\,$
L'equazione generica dell'iperbole può essere quindi dedotta dal suo significato geometrico:
    $\left|PF_{1}-PF_{2}\right|=2a$
Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo $2a$.
Sviluppando avremo:
    $\left|{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\right|=2a$
    ${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
    $(x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}+(x+c)^{2}+y^{2}+4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
    $x^{2}+c^{2}-2cx-4a^{2}-x^{2}-c^{2}-2cx=4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
    $-4cx-4a^{2}=4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
    $c^{2}x^{2}+a^{4}+2a^{2}cx=a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+2a^{2}cx+a^{2}y^{2}\,$
    $x^{2}(c^{2}-a^{2})-a^{2}y^{2}=a^{2}c^{2}-a^{4}\,$
    ${\frac {x^{2}(c^{2}-a^{2})}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}-{\frac {a^{2}y^{2}}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}={\frac {a^{2}(c^{2}-a^{2})}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}$
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1$
Per comodità possiamo porre:
    $b^{2}=c^{2}-a^{2}\,$
e avremo quindi:
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
Questa è detta equazione canonica dell'iperbole.

## Centro e punti notevoli

Chiamiamo centro dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione:
    ${\frac {(-x)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(-y)^{2}}{b^{2}}}=1$
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
Chiamiamo poi vertici dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo:
    $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\\&y=0\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$
    $x^{2}=a^{2}$
    $x=\pm a$
I vertici saranno pertanto: $V(a;0)$ e $V(-a;0)$

## Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate

Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta $y=x$. L'equazione diventerà quindi:
    ${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$
Si può quindi operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:
${\frac {(x-x_{c})^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-y_{c})^{2}}{b^{2}}}=1$
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