# Misura e integrale di Lebesgue/Elementi fondamentali, misura di Lebesgue

Misura e integrale di Lebesgue
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Misura di Lebesgue
* Il problema di fondo: dove Riemann fallisceMisura e integrale di Lebesgue/Il problema di fondo: dove Riemann fallisce
* Elementi fondamentali, misura di LebesgueMisura e integrale di Lebesgue/Elementi fondamentali, misura di Lebesgue
* Proprietà della misura di LebesgueMisura e integrale di Lebesgue/Proprietà della misura di Lebesgue
* Insieme di Cantor, insiemi illimitatiMisura e integrale di Lebesgue/Insieme di Cantor, insiemi illimitati
Integrale secondo Lebesgue
* Dalla funzione semplice alle funzioni misurabili: il capovolgimento di pensieroMisura e integrale di Lebesgue/Dalla funzione semplice alle funzioni misurabili: il capovolgimento di pensiero
* Integrale di Lebesgue e proprietàMisura e integrale di Lebesgue/Integrale di Lebesgue e proprietà
* Spazio delle funzioni sommabili a potenza 2Misura e integrale di Lebesgue/Spazio delle funzioni sommabili a potenza 2
* Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integraleMisura e integrale di Lebesgue/Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integrale
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Prima di poter parlare di integrale, misure e lavorare con questi strumenti, abbiamo bisogno di costruire una teoria della misura che possa essere ritenuta tale. In questo modulo daremo tante definizioni e inizieremo a parlare di misure di insiemi, discutendo ogni punto per renderlo il più chiaro possibile. Iniziamo da una definizione che non è una definizione (attenzione a questo punto, non è davvero una definizione).
Definizione
In questo corso parleremo di misura; per quanto ci riguarda, necessitiamo di poter operare con l'infinito, quindi chiameremo retta estesa quella in cui $+\infty$ è considerato al pari di un numero. Questo vuol dire che:
* una funzione può assumere valore $+\infty$ in qualche suo punto, non solo tenderci;
* degli insiemi possono avere misura infinita;
* è corretto scrivere un intervallo (per esempio la semiretta positiva) come $[0,+\infty ]$.
Il termine $\infty$ ha delle belle proprietà; la prima è che questo è maggiore di ogni altro numero reale scrivibile in altra forma diversa da $\infty$. Le operazioni con l'infinito sono le seguenti:
* $a+\infty =\infty$
* $\infty -b=\infty$
* $-a\cdot \infty =-\infty$
* ${\frac {\infty }{a}}=\infty$
* ${\frac {a}{\infty }}=0$
* ${\frac {\infty }{-b}}=-\infty$
* $0\cdot \infty =0$
Poniamo attenzione all'ultima espressione. $0\cdot \infty =0$ resta non vero quando si parla di cose che tendono 0 o $\infty$, ovvero nelle espressioni di limite è ancora una forma indeterminata. Questa espressione è quindi vera quando i valori 0 e $\infty$ sono fissati e valgono esattamente quello che valgono, non tendono a quel valore.
Già con la prima definizione abbia fatto terra bruciata dietro di noi: non dobbiamo dimenticare tutto ciò che abbiamo imparato finora, ma qualcosa deve pur cambiare. Questo non rientrava tra gli elementi utili alla misura, o meglio, non subito; iniziamo con gli iperrettangoli.
Definizione
Chiameremo iperrettangolo un insieme del tipo:
$I=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
Un iperrettangolo non è altro che la moltiplicazione di intervalli; in dimensione uno, ovvero in $\mathbb {R}$, questo è semplicemente un intervallo; in $\mathbb {R} ^{2}$ sarà un rettangolo, in ${\mathbb {R} }^{3}$ un parallelepipedo e così via. La misura dell'intervallo $[a_{1},b_{i}]$è ovviamente $|b_{i}-a_{i}|$.
Definizione
Si definisce plurirettangolo l'unione di più rettangoli disgiunti:
$Y=\bigcup _{i=1}^{n}I_{i}\quad {\mbox{con }}I_{i}\cap I_{j}=\varnothing \;{\mbox{ se }}i\neq j$
Su questo non c'è da discutere molto: presi tanti iperrettangoli, la loro unione è chiamata plurirettangolo. Poiché la misura di un rettangolo la conosciamo (base per altezza), possiamo definire la misura dell'iperrettangolo.
Definizione
Si definisce la misura dell'iperrettangolo:
$m(I)=\prod _{I=1}^{n}(b_{i}-a_{i})$
Così come il rettangolo e il parallelepipedo si misurano moltiplicando le dimensioni, nel caso generale di un iperrettangolo la regola non varia. Siamo adesso pronti per iniziare a definire quelli che, secondo la teoria di Lebesgue, sono insiemi misurabili. Da adesso in poi, tranne dove specificato, per misura intenderemo sempre misura secondo Lebesgue.
Definizione
Siano $A$ un insieme aperto e $K$ un compatto, con $A,K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Si definiscono le misure dei due tipi di insieme:
${\begin{aligned}&m(A)=\sup\{m(Y):\,Y{\mbox{ plurirettangolo}},Y\subseteq A\}\\&m(K)=\inf\{m(Y):\,Y{\mbox{ plurirettangolo}},Y\supseteq K\}\end{aligned}}$
Questo ci inizia a dire qualcosa di importante: tutti gli insiemi aperti e compatti sono misurabili secondo Lebesgue, e la loro misura si approssima con quella del plurirettangolo contenuto nell'aperto o che contiene il compatto. Notiamo come la misura di un aperto può essere $m(A)=+\infty$, mentre quella di un compatto può essere $m(K)=0$. Ora definiamo la misura interna ed esterna di un insieme, a partire proprio da questo.
Definizione
Dato $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, si definiscono misura interna e esterna di $E$ secondo Lebesgue:
${\begin{aligned}&{\overline {m}}(E)=\inf\{m(A),\,A{\mbox{ aperto}},A\supseteq E\}\\&{\underline {m}}(E)=\sup\{m(K),\,K{\mbox{ compatto}},K\subseteq E\}\end{aligned}}$
Osserviamo immediatamente che $\forall E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vale ${\underline {m}}(E)\leq {\overline {m}}(E)$. Ora, detto questo, possiamo finalmente parlare di insiemi misurabili. Date le misure interna ed esterna di un insieme, è logico pensare che, quando queste coincidono, abbiamo a che fare esattamente con la misura di quell'insieme, più o meno come l'area delle partizioni inferiori e superiori per Riemann.
Definizione
Un insieme $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ si dice misurabile secondo Lebesgue se la sua misura interna coincide con l'esterna, ovvero:
$m(E)={\overline {m}}(E)={\underline {m}}(E)$
A volte, indicheremo con $m_{n}(E)$ la misura n-dimensionale di Lebesgue.
A proposito di insiemi misurabili, resta comodo sapere come e quando riconoscere un insieme misurabile da uno non misurabile. Il seguente teorema ci assicura la "misurabilità" di un insieme; non ne forniremo una dimostrazione.

## Teorema

Un insieme $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ è misurabile se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esistono $A_{\varepsilon },K_{\varepsilon }$ aperto e compatto tali che:
$|m(A_{\varepsilon })-m(K_{\varepsilon })|<\varepsilon$
Ovvero un insieme sarà misurabile se esisteranno un aperto e un compatto tali che la differenza tra le loro misure è arbitrariamente piccola, ovvero coincide. Abbiamo appena dato una rigorosa definizione di misura, ora non resta che vederne le proprietà.