# Elettronica applicata/Sistemi di conversione A/D e D/A

Elettronica applicata
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Un segnale analogico è più facile da elaborare se viene campionato in un segnale numerico, cioè a tempo discreto (campionamento) e discreto in ampiezza (quantizzazione).

## Campionamento

Il campionamento consiste nella moltiplicazione del segnale analogico $x\left(t\right)$ per un treno di impulsi (delta):
* Campionamento nel dominio del tempo
* Campionamento nel dominio della frequenza
* nel dominio del tempo si ottiene una sequenza equispaziata di suoi campioni:
    $x_{S}\left(t\right)=x\left(t\right)\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-nT_{S}\right)$
* nel dominio della frequenza si ottiene una trasformata periodica di periodo ${\frac {2\pi }{T_{S}}}$:
    $X_{S}\left(\omega \right)={\frac {1}{T_{S}}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X\left(\omega -n{\frac {2\pi }{T_{S}}}\right)$

### Teorema del campionamento

Per ricostruire il segnale campionato serve un filtro passa-basso che elimini le repliche dello spettro periodico lasciando solo quella centrata intorno all'origine.
Un segnale a tempo continuo può essere campionato e perfettamente ricostruito a partire dai suoi campioni se la frequenza di campionamento $F_{S}$ è maggiore del doppio della banda $F_{M}$ del segnale:
    $F_{S}\triangleq {\frac {1}{T_{S}}}>2F_{M}$
Il teorema del campionamento (o di Nyquist) garantisce l'assenza di aliasing, ovvero evita che le repliche in frequenza si sovrappongano e quindi il filtro passa-basso non riesca più a isolare lo spettro principale.

### Filtro anti-aliasing

La maggioranza dei segnali utilizzati nella realtà ha banda illimitata: esiste un intervallo al di fuori del quale il segnale è significativamente vicino a zero, ma non è mai identicamente nullo. Il segnale campionato quindi presenterà nel dominio della frequenza delle sovrapposizioni degli spettri (rumore di campionamento) che alla fine non possono essere ricostruite dal filtro passa-basso. Il filtro anti-aliasing serve per eliminare le parti ad alta frequenza prima del campionamento.

### Sample e hold

Un circuito logico non può lavorare su campioni dalla durata infinitesima (delta) → un modulo di sample e hold legge il valore del segnale a tempi prefissati e quindi mantiene stabile tale valore fino al campione successivo.
Il mantenimento ha l'effetto di attenuare le componenti spettrali ad alta frequenza → il filtro di ricostruzione deve tener conto della distorsione spettrale dovuta al mantenimento tramite un peaking verso il limite di banda.

## Quantizzazione

L'operazione di quantizzazione permette di rappresentare un segnale in forma numerica: ogni campione del segnale campionato viene approssimato al livello associato all'intervallo a cui appartiene. L'intervallo di ampiezze $S$ è suddiviso in un numero finito $2^{N}$ intervalli di ampiezza uniforme; al centro di ogni intervallo vi è un livello, che è rappresentato da una sequenza di $N$ bit.
Si definisce errore (o rumore) di quantizzazione $\varepsilon _{q}$ la differenza fra un campione reale e la sua versione quantizzata:
    $\left|\varepsilon _{q}\right|\leq {\frac {S}{2^{N+1}}}$
La qualità del segnale quantizzato è espressa in termini del rapporto segnale/rumore ${\text{SNR}}_{q}$:
    ${\text{SNR}}_{q}={\frac {\sigma _{A}^{2}}{\sigma _{\varepsilon _{q}}^{2}}}$
dove:
* $\sigma _{A}^{2}$ è la potenza del segnale non ancora quantizzato;
* $\sigma _{\varepsilon _{q}}^{2}$ è la potenza del rumore di quantizzazione $\varepsilon _{q}$:
    $\sigma _{\varepsilon _{q}}^{2}={\frac {S^{2}}{12\cdot 4^{N}}}$
A parità di ampiezza $S$, il rapporto segnale/rumore:
* ${\text{SNR}}_{q}$ al variare di $N$
* ${\text{SNR}}_{q}$ al variare di $A$
* aumenta linearmente all'aumentare del numero di bit;
* aumenta linearmente all'aumentare della dinamica $A$ del segnale, ma diminuisce velocemente se la dinamica del segnale supera l'ampiezza $S$ → serve un modulo amplificatore per far sì che la dinamica massima del segnale sia pari all'ampiezza di fondo scala $S$: Elettronica applicata/Condizionamento del segnale#Amplificatore di condizionamentoD5. Condizionamento del segnale#Amplificatore di condizionamento.