# Teoria dei segnali2/Medie temporali ed ergodicità

Teoria dei segnali2
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Se il processo è ergodico, è sufficiente una sua qualunque realizzazione per estrarne le statistiche. Il sistema che genera il processo può evolvere attraverso tutti i suoi possibili stati partendo da una qualsiasi condizione iniziale.

## Media
### Media d'insieme di un processo casuale

Dato un processo casuale $X\left(t\right)$ ed una qualsiasi funzione $g$, la media d'insieme:
    $E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }g\left(x\left(t\right)\right)f_{X}\left(x\left(t\right)\right)dx$
su un insieme "discreto" di realizzazioni si può interpretare come la media pesata delle realizzazioni del processo $X\left(t\right)$, e a differenza della media temporale restituisce un valore dipendente dal tempo:
    $E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=\sideset{_{i}}\sum {g\left[x\left(t;s_{i}\right)\right]P\left[x\left(t;s_{i}\right)\right]}$

### Media temporale
#### Media temporale di un segnale determinato

Dato un segnale determinato $x\left(t\right)$ ed una qualsiasi funzione $g$, l'operatore di media temporale è definito:
    $\langle g\left[x\left(t\right)\right]\rangle \triangleq \lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}g\left[x\left(t\right)\right]dt$

##### Valor medio

    ${\overline {x}}=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}x\left(t\right)dt=\langle x\left(t\right)\rangle$

##### Potenza media

    $P\left(x\right)=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt=\langle {\left|x\left(t\right)\right|}^{2}\rangle$

#### Media temporale di più segnali determinati

La media temporale di una funzione $g$ di $n$ segnali $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, valutati a istanti di tempo anche differenti, è una funzione di $n-1$ variabili $\tau _{1},\tau _{2},\ldots ,\tau _{n-1}$ (la variabile $t$ viene integrata):
    $\langle g\left[x_{1}\left(t\right),x_{2}\left(t+\tau _{1}\right),\ldots ,x_{n}\left(t+\tau _{n-1}\right)\right]\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}g\left[x_{1}\left(t\right),x_{2}\left(t+\tau _{1}\right),\ldots ,x_{n}\left(t+\tau _{n-1}\right)\right]dt$

#### Media temporale di una realizzazione

Siccome una specifica realizzazione $g\left[x\left(t;s_{0}\right)\right]$ di un processo casuale $X\left(t\right)$ è un segnale determinato, anche ad esso è possibile applicare l'operatore di media temporale:
    $\langle g\left[x\left(t;s_{0}\right)\right]\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}g\left[x\left(t;s_{0}\right)\right]dt$
Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.

##### Esempio: Potenza

La media temporale è la potenza istantanea di una certa realizzazione:
    $\langle g\left[x\left(t\right)\right]\rangle =\langle {\left|x\left(t;s_{0}\right)\right|}^{2}\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}{\left|x\left(t;s_{0}\right)\right|}^{2}dt$
La media d'insieme è legata alla potenza media del processo:
    $\left.E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]\right\vert _{t=t_{i}}=E\left({\left|X\left(t_{i}\right)\right|}^{2}\right)$

### Ergodicità per la media

Un processo $X\left(t\right)$ è ergodico per la media se la sua media d'insieme coincide con la media temporale di una sua qualsiasi realizzazione:
    $E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=\langle g\left[x\left(t;s_{i}\right)\right]\rangle \quad \forall i$
Nel caso di $g$ funzione identità, se l'autocovarianza $K_{X}\left(\tau \right)$ è modulo integrabile il processo $X\left(t\right)$ è ergodico per la media.

#### Ergodicità per la media e stazionarietà

* Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.
* Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1 se la sua media d'insieme è costante nel tempo.
L'ergodicità per la media implica la stazionarietà per la media, ma la stazionarietà per la media non implica l'ergodicità per la media.

##### Esempi

* se il processo ${\mathcal {P}}$ contiene tutte le traslazioni di un segnale $x\left(t\right)$, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo è ergodico:
       ${\mathcal {P}}=\left\{x\left(t+t_{1}\right)\quad \forall t_{1}\right\}$
* se il processo ${\mathcal {P}}$ contiene tutte le traslazioni di due segnali diversi $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo non è ergodico perché una qualsiasi realizzazione può essere la traslazione o di $x\left(t\right)$ o di $y\left(t\right)$:
       ${\mathcal {P}}=\left\{x\left(t+t_{1}\right),y\left(t+t_{2}\right)\quad \forall t_{1},t_{2}\right\}$
* segnale vocale: non è ergodico perché una persona non può fisicamente generare tutti i segnali generabili da un qualunque essere umano;
* rumore termico a una temperatura data: è ergodico perché non dipende dalla resistenza scelta.

## Autocorrelazione

Si ricorda che esistono due diverse definizioni per l'autocorrelazione a seconda se si parli di segnali determinati o di processi casuali:
* autocorrelazione per segnali determinati a potenza finita:
    $\Phi _{x}\left(\tau \right)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{G_{x}\left(f\right)\right\}=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(t+\tau \right)x^{*}\left(t\right)dt=\langle x\left(t+\tau \right)x^{*}\left(t\right)\rangle$
* autocorrelazione per processi casuali:
    $R_{X}\left(\tau \right)\triangleq E\left(X\left(t\right)X^{*}\left(t+\tau \right)\right)$

### Ergodicità per l'autocorrelazione

Un processo $X\left(t\right)$ è ergodico per l'autocorrelazione se la sua autocorrelazione $R_{X}\left(\tau \right)$ coincide con l'autocorrelazione $\Phi _{x}\left(\tau \right)$ di una sua qualsiasi realizzazione:
    $R_{X}\left(\tau \right)=\Phi _{x}\left(\tau \right)\quad \forall i$
dove $\Phi _{x}\left(\tau \right)$ è l'autocorrelazione della realizzazione $X\left(t;s_{i}\right)$:
    $\Phi _{x}\left(\tau \right)=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}X\left(t+\tau ;s_{i}\right)X^{*}\left(t;s_{i}\right)dt$
Se il processo $X\left(t\right)$ è ergodico per l'autocorrelazione, allora lo spettro di potenza $S_{X}\left(f\right)$ può essere valutato a partire da una sua qualsiasi realizzazione:
    $S_{X}\left(f\right)\triangleq {\mathcal {F}}\left\{R_{X}\left(\tau \right)\right\}=G_{x}\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{\Phi _{x}\left(\tau \right)\right\}$

#### Ergodicità per l'autocorrelazione e stazionarietà

* Il processo è stazionario per la sua autocorrelazione $\Phi _{x}\left(\tau \right)$ se questa non dipende dalla realizzazione.
* Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2 se la sua autocorrelazione $R_{X}\left(\tau \right)$ dipende solo da $\tau$.
L'ergodicità per l'autocorrelazione implica la stazionarietà per l'autocorrelazione, ma la stazionarietà per l'autocorrelazione non implica l'ergodicità per l'autocorrelazione.

## Note

* ↑ Da non confondere con l'operatore di prodotto scalare.
* ↑ Un segnale vocale è l'insieme dei segnali generabili dall'apparato fonatorio di un umano.
* ↑ Il rumore termico è l'insieme dei segnali generabili da una qualsiasi resistenza posta a temperatura $T$.