# Matematica per le superiori/Scomposizione di polinomi

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
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*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
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*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
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*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
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*** Le equazioni di grado superiore al secondo
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** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
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*** Similitudine
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* Terzo anno
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*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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Quando si affrontano le operazioni tra frazioni algebriche è necessario lavorare con minimi comuni multipli, per cui è indispensabile avere una tecnica per scomporre dei denominatori formati da polinomi esattamente come si scompongono i denominatori numerici in prodotti.
Ci sono varie tecniche di scomposizione in fattori di polinomi.

## Raccoglimento totale

Per usare questo metodo bisogna verificare, innanzitutto, che ci siano 4 fattori con un divisore uguale a tutti e 4.
Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, vale la seguente uguaglianza:
    $x(a+b+c)=xa+xb+xc\,$
Per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza vale anche:
    $xa+xb+xc=x(a+b+c)\,$
È possibile usare quindi l'inversa della proprietà distributiva per scomporre in fattori un polinomio. Scomponiamo ad esempio questo polinomio:
    $4x^{3}+6xy\,$
Mettiamo in evidenza, in ogni monomio il fattore massimo comun divisore:
    $4x^{3}+6xy=2x\cdot 2x^{2}+2x\cdot 3y\,$
Poi lo raccogliamo usando la proprietà inversa della distributiva:
    $2x\cdot 2x^{2}+2x\cdot 3y=2x(2x^{2}+3y)\,$

## Raccoglimento parziale

Consideriamo il polinomio:
    $ax+bx+ay+by\,$
per usare questo metodo devono esserci 4 o piu fattori per eseguirlo. Si raggruppano 2 a 2 i monomi e si trascrive quello più piccolo. Nella prima parententesi si raggruppa la parte uguale, nella seconda quello fuori dalle parentesi.
in questo caso non è possibile individuare un elemento comune a tutti i monomi appartenenti al polinomio, tuttavia è possibile ottenere comunque un prodotto tra polinomi utilizzando una tecnica di raccoglimento che si sviluppa in due momenti diversi:
    $ax+bx+ay+by=\,$
Prima su porzioni del polinomio:
    $x(a+b)+y(a+b)=\,$
Poi su tutto il polinomio:
    $(a+b)(x+y)\,$

### Differenza di due quadrati

Consideriamo questo polinomio:
    $a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}\,$
In questo caso notiamo che ogni monomio è un quadrato perfetto. Riscriviamo dunque il polinomio in un'altra forma:
    $(ax)^{2}-(by)^{2}=\,$
Notiamo quindi che questo polinomio non è altro che il prodotto notevole della differenza di due quadrati.
    $(ax-by)(ax+by)\,$
Facciamo un altro esempio:
    $25x^{2}-9y^{2}=\,$
    $(5x)^{2}-(3y)^{2}=\,$
    $(5x-3y)(5x+3y)\,$

### Quadrato di un binomio

Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di 2 termini, aumenta (o diminuita) del loro prodotto è uguale al quadrato della somma (o differenza) dei 2 termini Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:
    $\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+ab+ba+b^{2}\,$
Consideriamo questo trinomio:
    $x^{2}+6x+9=\,$
poiché si possono individuare i quadrati di due monomi e il loro doppio prodotto:
    $(x)^{2}+2\cdot 3\cdot x+(3)^{2}=$
il trinomio di partenza è equivalente a:
    $(x+3)^{2}\,$

### Cubo di un binomio

Questo metodo viene utilizzato quando ci sono 4 fattori, i quali devono esserci 2 quadrati pefetti. Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:
    $\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$
Consideriamo questo quadrinomio:
    $8x^{3}+12x^{2}y+6xy^{2}+y^{3}=\,$
poiché si possono individuare i due cubi e i due tripli prodotti:
    $\left(2x\right)^{3}+3\left(2x\right)^{2}y+3\left(2x\right)y^{2}+y^{3}=\,$
il quadrinomio di partenza è equivalente a:
    $\left(2x+y\right)^{3}\,$
Analogamente:
    $a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=\left(a-b\right)^{3}\,$

## Scomposizione di trinomi di secondo grado

Se il trinomio è in questa forma:
    $x^{2}+sx+p\,$
se cioè il coefficiente del termine di 2° grado è uno, in alcuni casi il trinomio è facilmente scomponibile.
Bisogna cercare due numeri che moltiplicati diano come risultato $p\,$ e sommati diano $s\,$. Se riusciamo a trovarli, chiamando $n_{1}\,$ e $n_{2}\,$ questi due numeri, il trinomio si può scomporre nel seguente prodotto:
    $x^{2}+sx+p=\left(x+n_{1}\right)\left(x+n_{2}\right)\,$
Ad esempio:
    $x^{2}+7x+6\,$
dato che $6=6\cdot 1\,$ e $7=6+1\,$ si ottiene:
    $x^{2}+7x+6=\left(x+6\right)\left(x+1\right)\,$

## Somma o differenza di due cubi

Come svolgerlo: prima parentesi: - somma/differenza delle basi; seconda parentesi: -quadrato della prima base -prodotto delle basi (ricorda di cambiare segno) -quadrato della seconda base.
Consideriamo un polinomio formato dalla somma di due cubi:
    $a^{3}+b^{3}\,$
è scomponible in:
    $\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)\,$
Infatti:
    $\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}\,$
Facciamo un esempio:
    $8x^{3}-y^{3}=\left(2x-y\right)\left(4x^{2}+2xy+y^{2}\right)\,$
In modo simile si ottiene:
    $a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)\,$
Lasciamo ai lettori volenterosi la semplice dimostrazione.

## Collegamenti esterni

* (IT) La Scomposizione dei Polinomi attraverso i modelli geometrici