# Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Nei moduli precedenti è stata data una panoramica introduttiva riguardo alla teoria sulla trasformata di Fourier. Si è anche detto che essa è uno strumento estremamente importante nello studio dei problemi al bordo. In questo modulo (e nei due seguenti) verranno illustrati degli esempi in cui l'uso della trasformata di Fourier è fondamentale per la determinazione esplicita delle soluzioni delle equazioni delle onde e del calore.
Proviamo a risolvere l'equazione del calore
${\begin{cases}u_{t}-\Delta u=0,\;{\text{in }}(0,+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\\u(0,x)=g(x)\end{cases}}$
Ricordando che l'operatore $\Delta$ si "comporta bene" con la trasformata di Fourier, cerchiamo un'equazione per la trasformata di Fourier spaziale di $u$.
$u(t,x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(t,x)e^{-ikx}dx={\hat {u}}(t,k)$
Otteniamo un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine:
${\begin{cases}{\hat {u}}_{t}(t,k)+\mid k\mid ^{2}{\hat {u}}(t,k)=0\\{\hat {u}}(0,k)={\hat {g}}(k)\end{cases}}$
la cui soluzione è una gaussiana:
${\hat {u}}(t,k)={\hat {u}}(0,k)e^{-t\mid k\mid ^{2}}={\hat {g}}(k)e^{-t\mid k\mid ^{2}}$
Quindi per trovare la soluzione nelle coordinate spaziali dobbiamo applicare l'antitrasformata di Fourier:
$u(t,x)=\left({\hat {g}}(k)e^{-t|k|^{2}}\right){\check}$
Possiamo usare la proprietà della convoluzione poiché sappiamo che:
$(g\star F){\hat}=(2\pi )^{n/2}({\hat {g}}(k)\cdot {\hat {F}})$
Quindi usando:
${\hat {F}}=e^{-t|k|^{2}}\rightarrow F={\frac {1}{(2t)^{n/2}}}e^{\frac {-|x|^{2}}{4t}}$
$u(t,x)=\left({\hat {g}}(k)e^{-t|k|^{2}}\right){\check}={\frac {(g(x)\star F)}{(2\pi )^{n/2}}}$
Esplicitando la convoluzione si ottene la formula risolutiva:
$u(t,x)={\frac {1}{(4\pi t)^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{\frac {\mid x-y\mid ^{2}}{4t}}g(y)dy$
che definisce la soluzione dell'equazione del calore in ogni dimensione.