# Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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In analogia con i due casi appena visti (corda vibrante ed equazione del calore con condizioni di Neumann) si vuole ora risolvere il problema dell'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche:
${\begin{cases}u_{t}-Du_{xx}=0\\u(x;0)=u_{0}(x)\\u(-L;t)=u(L;t)\\u_{x}(-L;t)=u_{x}(L;t)\end{cases}},\;x\in \left[-L;L\right],\;t\in \mathbb {R}$
Anche in questo caso la strategia risolutiva che viene adottata è quella del metodo di Fourier, ovvero di separazione delle variabili: sia $u(x;t)=S(x)T(t)$.
Per la parte spaziale, anche in questo caso, si ha:
$S^{\prime \prime }(x)-\alpha S(x)=0$
A differenza dei casi precedentemente studiati, ora si hanno condizioni al bordo periodiche. Questo implica che si avranno stesse soluzioni per $\alpha >0$, $\alpha =0$, $\alpha <0$, cioè che tutti i valori di $\alpha$ sono ora ammissibili. Ancora una volta si ottiene $\alpha =-k_{n}^{2}=-\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}$. Le soluzioni della parte spaziale e di quella temporale sono date da:
$S_{n}(x)={\begin{cases}\cos(k_{n}x)\\\sin(k_{n}x)\end{cases}},\;\forall n\in \mathbb {N}$
$T_{n}(t)=A_{n}e^{-Dk_{n}^{2}t}$
La soluzione del problema di Cauchy, con condizioni al bordo periodiche, può essere scritta come:
$u(x;t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{+\infty }\left(A_{n}\cos(k_{n}x)+B_{n}\sin(k_{n}x)\right)e^{-Dk_{n}^{2}t}$
Il valore dei coefficienti $A_{0}$ e $A_{n}$ è dato dai coefficienti di Fourier di $u_{0}(x)$, fissata dalle condizioni iniziali:
$u(x;0)=A_{0}+\sum _{n=1}^{+\infty }\left(A_{n}\cos(k_{n}x)+B_{n}\sin(k_{n}x)\right)=u_{0}(x)$
Si noti che mentre per le condizioni di Neumann e di Dirichlet si hanno solo seni o coseni, qui si hanno entrambi. Infatti $u(x;0)=0$ implica un prolungamento dispari naturale e $A_{n}=0\,\forall n$, mentre $u_{x}(x;0)=0$ implica un prolungamento pari naturale e $B_{n}=0\,\forall n$. Le condizioni al bordo periodiche invece rappresentano un caso più generale.
Per i valori di $A_{0}$, $A_{n}$ e $B_{n}$ si ha che:
$A_{0}={\frac {\left\langle S\mid u_{0}\right\rangle }{\left\langle 1\mid 1\right\rangle }}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}u_{0}(x)dx$
$A_{n}={\frac {\left\langle \cos(k_{n}x)\mid u_{0}\right\rangle }{\left\langle \cos(k_{n}\cdot )\mid \cos(k_{n}\cdot )\right\rangle }}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}\cos(k_{n}x)u_{0}(x)dx$
$B_{n}={\frac {\left\langle \sin(k_{n}x)\mid u_{0}\right\rangle }{\left\langle \sin(k_{n}\cdot )\mid \sin(k_{n}\cdot )\right\rangle }}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}\sin(k_{n}x)u_{0}(x)dx$
Le soluzioni $S_{n}(x)$ normalizzate dunque sono:
$S_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {L}}}\cos(k_{n}x)\\{\frac {1}{\sqrt {L}}}\sin(k_{n}x)\end{cases}}\;n\in \mathbb {N}$