# Controlli automatici/Inseguimento riferimenti polinomiali

Controlli automatici
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## Caratteristiche di un sistema di controllo in retroazione

Un sistema di controllo in retroazione, in assenza di disturbi, avente una funzione d'anello $G_{a}\left(s\right)=C\left(s\right)F\left(s\right)$ in forma minima e priva di zeri nell'origine, è di tipo $h$ se la sua funzione d'anello $G_{a}\left(s\right)$ ha un polo nell'origine ($s=0$) di molteplicità $h$.
Il guadagno stazionario $K_{Ga}$ della funzione d'anello $G_{a}$ del sistema di controllo in retroazione di tipo $h$ in esame è definito:
    $K_{Ga}=\lim _{s\to 0}s^{h}G_{a}\left(s\right)$
* se il sistema è di tipo 0, il guadagno stazionario $K_{Ga}$ è detto guadagno di posizione:
    $K_{Ga}=G_{a}\left(0\right)$
* se il sistema è di tipo 1, il guadagno stazionario $K_{Ga}$ è detto guadagno di velocità:
    $K_{Ga}=N\left(0\right),\quad G_{a}(s)={\frac {N\left(s\right)}{s}}$
* se il sistema è di tipo 2, il guadagno stazionario $K_{Ga}$ è detto guadagno di accelerazione:
    $K_{Ga}=M\left(0\right),\quad G_{a}(s)={\frac {M\left(s\right)}{s^{2}}}$
La funzione di trasferimento d'errore $W_{e,y}(s)$ del sistema di controllo in retroazione in esame è definita:
    ${\begin{cases}W_{e,y}\left(s\right)={\frac {e(s)}{y_{\text{des}}(s)}}={\frac {1}{1+G_{a}(s)}}\\W_{e}\left(s\right)={\frac {e\left(s\right)}{r\left(s\right)}}=K_{r}W_{e,y}(s)={\frac {K_{r}}{1+G_{a}(s)}}\end{cases}}$

## Segnali canonici di riferimento

Le specifiche relative alla precisione di inseguimento in regime permanente vengono formulate in riferimento a un certo segnale canonico polinomiale $r(t)$:
    $r(t)={\frac {t^{k}}{k!}}\Rightarrow r(s)={\frac {1}{s^{k+1}}},\quad k=0,1,2,\ldots$
dove $k$ è il grado del segnale $r(t)$:
* $k=0$: gradino:
    $r(t)=\varepsilon (t)\Rightarrow y_{\text{des}}(t)=K_{r}r(t)=K_{r}\varepsilon (t)$
    es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: posizione costante pari a $K_{r}$
* $k=1$: rampa:
    $r(t)=t\Rightarrow y_{\text{des}}(t)=K_{r}r(t)=K_{r}t$
    es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: velocità costante pari a $K_{r}$
* $k=2$: arco di parabola:
    $r(t)={\frac {t^{2}}{2}}\Rightarrow y_{\text{des}}(t)=K_{r}r(t)={\frac {K_{r}}{2}}t^{2}$
    es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: accelerazione costante pari a $K_{r}$
Esistono inoltre i segnali canonici di riferimento sinusoidali:
    $r(t)=\sin {\left(\omega _{0}t\right)}\Rightarrow r(s)={\frac {\omega _{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}$

## Inseguimento di riferimenti polinomiali

Errore in regime permanente $e_{\infty }$ :
| | | Riferimento $r(t)$ | Riferimento $r(t)$ | Riferimento $r(t)$ |
| | | grado 0: $\varepsilon (t)$ | grado 1: $t$ | grado 2: ${\tfrac {1}{2}}t^{2}$ |
| S i s t e m a | tipo 0 | ${\frac {K_{r}}{1+K_{Ga}}}$ | $+\infty$ | $+\infty$ |
| S i s t e m a | tipo 1 | 0 | ${\frac {K_{r}}{K_{Ga}}}$ | $+\infty$ |
| S i s t e m a | tipo 2 | 0 | 0 | ${\frac {K_{r}}{K_{Ga}}}$ |
Tramite il teorema del valore finale è possibile valutare l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\infty }$:
    $e_{\infty }=\lim _{t\to +\infty }e(t)=\lim _{s\to 0}se(s)=\lim _{s\to 0}sW_{e}(s)r(s)$
Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale $r(t)$ di grado $k$:
* se il tipo del sistema è pari a $k$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\infty }$ è finito e non nullo, e diminuisce all'aumentare del guadagno stazionario $K_{Ga}$ → anche in assenza di disturbi si ha un errore intrinseco in regime permanente ${e_{r}}_{\infty }$, che può essere ridotto (ma non annullato) aumentando il guadagno stazionario $K_{Ga}$;
* se il tipo del sistema è maggiore di $k$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\infty }$ è sempre nullo → il sistema è in grado di inseguire il segnale canonico di riferimento polinomiale, e l'uscita $y(t)$ del sistema converge perfettamente al valore desiderato $y_{\text{des}}$;
* se il tipo del sistema è minore di $k$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\infty }$ è sempre infinito → il sistema non è in grado di inseguire il segnale canonico di riferimento polinomiale, e la distanza tra l'uscita $y(t)$ del sistema e il valore desiderato $y_{\text{des}}$ cresce indefinitamente.

### Sistemi con zeri nell'origine

Se la funzione d'anello $G_{a}(s)$ presenta almeno uno zero nell'origine ($s=0$), il sistema risulta certamente di tipo 0: essendo in forma minima per ipotesi, la funzione d'anello $G_{a}(s)$ non può presentare poli nell'origine → il sistema non è in grado di inseguire segnali canonici di riferimento polinomiali di grado superiore a zero.
Nel caso del segnale canonico di riferimento polinomiale $r(t)$ di grado zero, l'unico che il sistema è in grado di inseguire:
    $y_{\text{des}}(t)=K_{r}r(t)=K_{r}\varepsilon (t)\Rightarrow {y_{\text{des}}}_{\infty }=\lim _{t\to +\infty }y_{\text{des}}(t)=K_{r}$
l'uscita $y(t)$ del sistema converge a zero in regime permanente:
    $K_{Ga}=G_{a}\left(0\right)=0\Rightarrow e_{\infty }={\frac {K_{r}}{1+{\cancel {K_{Ga}}}}}=K_{r}\Rightarrow y_{\infty }={y_{\text{des}}}_{\infty }-e_{\infty }=K_{r}-K_{r}=0$

## Implicazioni sul progetto del controllore

Le specifiche di precisione relative all'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\infty }$ (riferite a riferimenti polinomiali) possono imporre vincoli sulla funzione d'anello $G_{a}(s)=C(s)F(s)$. Dato un processo ${\mathcal {F}}$ con funzione di trasferimento $F(s)$ (che include il sistema da controllare ${\mathcal {S}}$), i vincoli sono imposti sulla funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore ${\mathcal {C}}$.

### Vincoli sul numero di poli nell'origine

Sia $n_{0,f}$ il numero di poli nell'origine di una generica funzione di trasferimento $f(s)$. Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale $r(t)$ di grado $k$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\infty }$ è finito se il sistema è almeno di tipo $k$:
    $n_{0,G_{a}}=n_{0,F}+n_{0,C}\geq k$
Dato un processo ${\mathcal {F}}$, e quindi noto $n_{0,F}$, per garantire che il sistema sia almeno di tipo $k$:
* se $n_{0,F}\geq k$, non è necessario introdurre poli nell'origine nella funzione di trasferimento $C(s)$ perché l'errore in regime permanente $e_{\infty }$ risulta già finito se $n_{0,F}=k$ o nullo se $n_{0,F}>k$;
* se $n_{0,F}<k$, è necessario che la funzione di trasferimento $C(s)$ abbia un numero $n_{0,C}$ di poli nell'origine pari a $k-n_{0,F}$.
Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale $r(t)$ di grado $k$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\infty }$ è nullo se il sistema è almeno di tipo $k+1$:
    $n_{0,G_{a}}=n_{0,F}+n_{0,C}\geq k+1$
Dato un processo ${\mathcal {F}}$, e quindi noto $n_{0,F}$, per garantire che il sistema sia almeno di tipo $k+1$:
* se $n_{0,F}\geq k+1$, non è necessario introdurre poli nell'origine nella funzione di trasferimento $C(s)$ perché l'errore in regime permanente $e_{\infty }$ risulta già nullo;
* se $n_{0,F}<k+1$, è necessario che la funzione di trasferimento $C(s)$ abbia un numero $n_{0,C}$ di poli nell'origine pari a $k+1-n_{0,F}$.

### Vincoli sul guadagno stazionario

Se il tipo del sistema è pari al grado del riferimento polinomiale $r(t)$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\infty }$, finito e non nullo, si riduce all'aumentare del guadagno stazionario $K_{Ga}$ della funzione d'anello $G_{a}$, e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario $K_{C}$ della funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore:
    $\left|e_{\infty }\left(K_{Ga}\right)\right|\leq e_{\text{max}}\Rightarrow \left|K_{Ga}\right|\geq {K_{Ga}}_{\text{min}}\Rightarrow \left|K_{C}\right|\geq {K_{C}}_{\text{min}}$

## Note

* ↑ Un errore di inseguimento $e_{\infty }$ infinito non significa che l'uscita $y(t)$ del sistema diverge.
* ↑ Teoricamente è possibile introdurre un numero di poli arbitrario tale che $n_{0,C}\geq k-n_{0,F}$, ma limitandosi a $n_{0,C}=k-n_{0,F}$ poli si evita di complicare inutilmente la funzione di trasferimento $C(s)$.
* ↑ Teoricamente è possibile introdurre un numero di poli arbitrario tale che $n_{0,C}\geq k+1-n_{0,F}$, ma limitandosi a $n_{0,C}=k+1-n_{0,F}$ poli si evita di complicare inutilmente la funzione di trasferimento $C(s)$.