# Gravitazione/Moto dei corpi celesti e leggi di Keplero

Gravitazione
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Lo studio dei moti degli astri è sempre stata una delle attività che l'uomo ha compiuto, spesso legandole a mitologie o a religioni. Ci si è sempre chiesti che moto seguissero i corpi celesti; fino all'età moderna, il sistema astronomico prevalentemente accettato era quello aristotelico-tolemaico, anche chiamato geocentrico, che vedeva la Terra al centro dell'universo e tutti i corpi celesti ruotare attorno a essa. Per descrivere con cura i moti osservati empiricamente e, allo stesso tempo, restare fedeli al sistema geocentrico, le orbite dei pianeti assumevano traiettorie strane, compiendo giri larghi, poi più corti, poi restando a girare attorno a un punto. Evidentemente, non era il sistema astronomico giusto.
Fu nel 1543 che venne pubblicato lo scritto di Niccolo Copernico in cui l'astronomo poneva fine alla centralità della Terra, sia fisicamente che filosoficamente, asserendo e dimostrando matematicamente come al centro del sistema solare, e dell'universo fino ad allora conosciuto, vi fosse il Sole e non la Terra.
Gli studi di Copernico vennero continuati da celebri studiosi; nel regno papale, la difesa dell'eliocentrismo da parte di Galileo gli costò il famoso processo che portò all'abiura. Fu Keplero, contemporaneo di Galileo, che diede un forte impulso alla teoria geocentrica: proseguendo nello studio degli astri, giunse a formulare tre leggi empiriche che descrivono il moto dei corpi celesti. Isaac Newton, quando studiò la gravitazione dei corpi, riuscì a dimostrare le tre leggi matematicamente, sfruttando le leggi della meccanica che aveva studiato.

## Le tre leggi di Keplero

Enunciamo ora le tre leggi di Keplero per il moto dei corpi celesti:
* le orbite descritte dai pianeti attorno al Sole sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi;
* il raggio vettore che congiunge il centro del Sole al pianeta spazza aree proporzionali ai tempi impiegati per descriverle;
* i quadrati dei periodi di rivoluzione del moto attorno al Sole sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.
Come detto nel paragrafo precedente, Isaac Newton riuscì a dimostrare le tre leggi di Keplero semplicemente partendo dallo studio della meccanica. Forniremo adesso una dimostrazione matematica delle tre leggi.

### Dimostrazione della seconda legge

Partiamo col dimostrare la seconda legge di Keplero. Sia $m$ il pianeta e $M$ il Sole; per semplicità, trattiamo il caso in cui $m<<M$. Sappiamo che sul pianeta il Sole esercita la forza di gravità, pari a ${\vec {f_{g}}}=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,{\hat {r}}$. Come primo passo, calcoliamo il momento della forza, prendendo come polo il centro del Sole. Si avrà che:
${\vec {\tau }}={\vec {r}}\wedge {\vec {f}}=\left(-G{\frac {Mm}{r^{2}}}\right)\,{\vec {r}}\wedge {\hat {r}}=0$
Questo perché il vettore ${\vec {r}}$ e il versore ${\hat {r}}$ hanno la stessa direzione e lo stesso verso, quindi il loro prodotto vettoriale è nullo. Su questo dobbiamo soffermarci; dal teorema del momento, sappiamo che:
${\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {j}}}{dt}}={\frac {dm{\vec {v}}}{dt}}$
Quindi, se il momento della forza è nullo, il momento angolare deve necessariamente essere costante. Ma il momento angolare è un vettore, che ha modulo, direzione e verso; se il vettore è costante, vuol dire che queste tre grandezze lo sono a loro volta: quindi direzione e verso sono costanti. Poiché il vettore momento è perpendicolare al piano formato dai vettori ${\vec {r}}$ e ${\vec {v}}$, anche questo piano sarà a sua volta costante. La conclusione, fondamentale, è che la traiettoria dell'orbita è sempre contenuta in un piano.
Il vettore ${\vec {r}}$ ha spazzato un infinitesimo di area $dA$, il cui valore è:
$dA={\frac {|{\vec {r}}|h}{2}}={\frac {|{\vec {r}}||d{\vec {r}}|\sin \theta }{2}}={\frac {|{\vec {r}}\wedge d{\vec {r}}|}{2}}$
Ricordando che ${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$, da cui ricaviamo che ${\vec {r}}={\vec {v}}dt$, otteniamo che:
$dA={\frac {|{\vec {r}}\wedge {\vec {v}}|}{2}}dt$
Come ultimo passaggio moltiplico e divido per $m$, la massa del pianeta:
$dA={\frac {|{\vec {r}}\wedge m{\vec {v}}|}{2m}}dt={\frac {|{\vec {j}}|}{2m}}dt$
La conclusione è immediata:
${\frac {dA}{dt}}={\frac {|{\vec {j}}|}{2m}}$
Il termine ${\frac {dA}{dt}}$ viene chiamato velocità areolare, e abbiamo appena dimostrato che essa è costante (poiché lo sono sia ${\vec {j}}$ che $m$); questo vuol dire che il raggio vettore spazza aree uguali in intervalli di tempo uguali, concludendo la dimostrazione della seconda legge di Keplero.

### Dimostrazione della prima legge

Passiamo alla prima legge con una breve introduzione alla dimostrazione: questa viene spesso fatta utilizzando il calcolo integrale. Forniremo qui una dimostrazione alternativa ma la cui conclusione è la stessa, sfruttando le equazioni differenziali.
L'obiettivo è dimostrare che la traiettoria dell'orbita è un'ellisse, quindi dovremo ricavarci la funzione $r(\phi )$, essendo passati allo studio del piano in coordinate polari. Facciamo delle considerazioni preliminari. Valgono anche qui le conclusioni della dimostrazione scorsa, tra cui l'assunzione che $m<<M$.
Il pianeta non possiede la stessa velocità lungo tutta la sua traiettoria; possiamo quindi scrivere il vettore velocità come somma di due componenti, una parallela al versore ${\hat {r}}$ e una normale a esso:
${\begin{aligned}&{\vec {r}}=r{\hat {r}}\\&{\vec {v}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\frac {d{\hat {r}}}{dt}}\end{aligned}}$
Dove con ${\dot {r}}$ si è indicata la derivata del raggio rispetto al tempo; dallo studio del moto circolare, si è visto che la derivata di un versore corrisponde alla derivata dell'angolo percorso lunga una direzione normale, ovvero ${\frac {d{\hat {r}}}{dt}}={\dot {\varphi }}{\hat {n}}$, dove ${\hat {n}}\perp {\hat {r}}$. Possiamo quindi scrivere la formula vettoriale della velocità come:
${\vec {v}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {n}}$
Dalla precedente dimostrazione, abbiamo visto come il momento angolare del pianeta sia costante nel tempo; possiamo esplicitarlo:
${\vec {j}}={\vec {r}}\wedge m{\vec {v}}={\vec {r}}\wedge m({\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {n}})$
Ricordiamo ancora una volta che ${\hat {r}}\wedge {\hat {r}}=0$ e che ${\vec {r}}=r{\hat {r}}$, quindi:
${\vec {j}}=r{\hat {r}}\wedge mr{\dot {\varphi }}{\hat {n}}=mr^{2}{\dot {\varphi }}({\hat {r}}\wedge {\hat {n}})$
I versori ${\hat {n}}$ e ${\hat {r}}$ sono perpendicolari tra loro per definizione di ${\hat {n}}$; il loro prodotto vettoriale sarà quindi un versore perpendicolare al piano formato da entrambi, ovvero l'ultimo vettore della terza disponibile, che chiameremo ${\hat {k}}$. Il momento angolare ha quindi espressione:
${\vec {j}}=mr^{2}{\dot {\varphi }}{\hat {k}}$
Il cui modulo $|{\vec {j}}|=mr^{2}{\dot {\varphi }}$, ovvero costante. Definiamo a questo punto una nuova grandezza del moto del pianeta, anch'essa costante, che chiameremo momento angolare per unità di massa:
$l={\frac {|{\vec {j}}|}{m}}=r^{2}{\dot {\varphi }}={\mbox{ cost}}$
Da questa definizione posso ricavarmi la derivata dell'angolo ${\dot {\varphi }}={\frac {l}{r^{2}}}$, che dipende da una costante del moto, $l$, e da una funzione del tempo $r(t)$.
Passiamo alla seconda parte della dimostrazione. Calcoliamo l'energia meccanica del pianeta lungo il moto; sappiamo che essa è la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale gravitazionale (per semplicità, consideriamo che il pianeta non subisca altre forze):
$E=K+U={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}$
Per sfruttare questa espressione, dobbiamo calcolare $v^{2}$, che possiamo anche scrivere come $v^{2}={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}$. Svolgiamo i calcoli, ricordando che ${\vec {v}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {n}}$:
$v^{2}={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}={\dot {r}}^{2}+2{\dot {r}}r{\dot {\varphi }}\underbrace {({\hat {r}}\cdot {\hat {n}})} _{=0}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}$
Ricordando che ${\dot {\varphi }}={\frac {l}{r^{2}}}$, sostituiamo nella formula dell'energia questo valore trovato per $v^{2}$:
$E={\frac {1}{2}}m\left(|{\dot {r}}|^{2}+{\frac {l^{2}}{r^{2}}}\right)-G{\frac {mM}{r}}$
Questa è l'espressione dell'energia in funzione del tempo. A noi interessa trovare l'equivalente in funzione dell'angolo; per far ciò dobbiamo compiere qualche cambio di variabile.
Per prima cosa, diciamo che la derivata rispetto al tempo viene indicata col punto, quindi ${\dot {r}}$ e ${\dot {\varphi }}$ sono derivate rispetto al tempo; per indicare la derivata del raggio rispetto all'angolo, ovvero ${\frac {dr}{d\varphi }}$, useremo l'apicetto, quindi
${\begin{aligned}&r'={\frac {dr}{d\varphi }}\\&{\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}\end{aligned}}$
Possiamo esprimere ${\dot {r}}$ in funzione dell'angolo, ovvero:
${\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}={\frac {dr}{d\varphi }}\,{\frac {d\varphi }{dt}}=r'{\dot {\varphi }}=r'\,{\frac {l}{r^{2}}}$
Definiamo a questo punto una funzione dell'angolo:
$u(\varphi )={\frac {1}{r(\varphi )}}$
La cui derivata è $u'={\frac {du}{d\varphi }}=-{\frac {r'}{r^{2}}}$
Poiché, dal calcolo fatto poco fa, abbiamo trovato ${\dot {r}}=r'\,{\frac {l}{r^{2}}}$, possiamo infine scrivere:
${\dot {r}}=-u'\,l$
Alla luce di tutto quel che abbiamo detto finora, andiamo a fare le dovute sostituzioni nell'espressione dell'energia:
${\begin{aligned}&E={\frac {1}{2}}m\left(\underbrace {|{\dot {r}}|^{2}} _{=u'^{2}l^{2}}+\underbrace {\frac {l^{2}}{r^{2}}} _{=l^{2}u^{2}}\right)-\underbrace {G{\frac {mM}{r}}} _{=GMm\,u}\\&E={\frac {1}{2}}m(l^{2}u'^{2}+l^{2}u^{2})-GMm\,u\end{aligned}}$
che, finalmente, è l'espressione dell'energia in funzione dell'angolo. Da questa espressione posso semplificare la massa del pianeta $m$: come si è ormai visto, essa non influenza il moto del pianeta; inoltre, poiché l'energia è costante, avremo semplicemente che:
${\frac {1}{2}}(l^{2}u'^{2}+l^{2}u^{2})-GM\,u={\frac {E}{m}}={\mbox{ cost}}$
Quest'espressione finale è tutto ciò di cui avevamo bisogno. Ora, non ci resta che derivarla.
${\begin{aligned}&{\frac {d}{d\varphi }}\left({\frac {1}{2}}(l^{2}u'^{2}+l^{2}u^{2})-GM\,u\right)=0\\&{\frac {1}{2}}l^{2}\,(2u')\,u''+{\frac {1}{2}}l^{2}\,(2u)\,u'-GMu'=0\\&l^{2}u''u'+l^{2}uu'-GMu'=0\\&u''+u={\frac {GM}{l^{2}}}\end{aligned}}$
Scritta così non è proprio il massimo; quel che voglio vedere, in realtà, è:
$\left(u-{\frac {GM}{l^{2}}}\right)''+\left(u-{\frac {GM}{l^{2}}}\right)=0$
Questa espressione la riconosciamo tutti: è la classica espressione di un oscillatore armonico. Sappiamo la sua soluzione:
$u-{\frac {GM}{l^{2}}}=c\,\cos(\varphi -\varphi _{0})$
La costante $\varphi _{0}$, in realtà, è arbitraria: essa dipende dalla scelta del sistema di riferimento. Poiché si può scegliere il sistema in qualsiasi modo lo si voglia, ne prendiamo uno tale che $0\varphi _{0}=0$, in modo da poterla non considerare nell'espressione. La costante $c$ invece è un numero reale qualsiasi: quella che abbiamo scritto sopra non è la soluzione particolare al problema, bensì la generale, che comprende tutte le possibili soluzioni.
Dalla scorsa espressione mi ricavo $u(\varphi )$:
$u(\varphi )={\frac {GM}{l^{2}}}(1+e\cos \varphi )$
Cosa è quella $e$? Da dove è uscita? Non è la costante di Nepero, bensì viene chiamata eccentricità, e il suo valore, in questo caso, è:
$e={\frac {c\,l^{2}}{GM}}$
È giunto finalmente il momento di ritornare a $r(\varphi )={\frac {1}{u(\varphi )}}$:
$r(\varphi )={\frac {1}{u(\varphi )}}=a\,{\frac {1-e^{2}}{1+e\cos \varphi }}$
La costante $a={\frac {l^{2}}{GM(1-e^{2})}}$ rappresenta, come vedremo tra poco, il semiasse maggiore dell'ellisse. Abbiamo finito con i cambi di variabile in questa dimostrazione.
L'equazione finale di $r(\varphi )$ è la funzione che definisce la traiettoria del moto del pianeta. È stata ardua, ma ce l'abbiamo fatta. Ora dobbiamo solo fare alcune considerazioni.
Per l'eccentricità $e$ si distinguono tre casi:
${\begin{aligned}0\leq &e<1\\&e=1\\&e>1\end{aligned}}$
Nel primo caso, la traiettoria sarà un' ellisse; in particolare, una circonferenza nel caso $e=0$. Nel secondo caso avremo invece una parabola, mentre nel terzo un'iperbole. Poiché l'unica di queste traiettorie a essere chiusa è l'ellisse, e sappiamo che i pianeti non vanno in altri sistemi solari, possiamo concludere che l'orbita dei pianeti è un'ellisse. È dimostrata la prima legge di Keplero.
Prima di chiudere la dimostrazione, vediamo come $a$ è il semiasse maggiore; ricordando l'espressione $r(\varphi )$ di sopra:
* se $\varphi =0$, allora avremo $r=a(1-e)=r_{-}$, la minima distanza dal Sole, chiamata perielio;
* se $\varphi =\pi$, allora avremo $r=a(1+e)=r_{+}$, la massima distanza dal Sole, chiamata afelio.
Per tutto il moto, avremo che $r_{-}\leq r\leq r_{+}$; inoltre
$r_{-}+r_{+}=a(1-e)+a(1+e)=a(1-e+1+e)=2a$
Quindi, in conclusione, $a={\frac {r_{-}+r_{+}}{2}}$ è il semiasse maggiore dell'ellisse.

### Dimostrazione della terza legge

La dimostrazione della terza legge sarà veloce. Valgono tutte le considerazioni e le soluzioni trovate nelle precedenti dimostrazioni. Per semplicità di calcolo prendiamo il caso in cui $e=0$, ovvero la traiettoria è una circonferenza. Con qualche calcolo in più è possibile compiere questa dimostrazione anche nel caso generale dell'ellisse, ma non sentiamo la necessità di farlo.
Se la traiettoria è una circonferenza, il moto del pianeta sarà un moto circolare uniforme. La sua accelerazione centripeta sarà:
$a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r$
La forza centripeta, nel moto di un pianeta, corrisponde alla forza di gravitazione:
${\begin{aligned}&f_{c}=f_{g}=ma_{c}\\&G{\frac {Mm}{r^{2}}}=m\omega ^{2}r\\&\omega ^{2}r^{3}=GM={\mbox{ cost}}\end{aligned}}$
Ricordando l'espressione che lega periodo e velocità angolare $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$, avremo che:
${\begin{aligned}&{\frac {4\pi ^{2}}{T^{2}}}r^{3}=GM\\&{\frac {r^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}={\mbox{ cost}}\end{aligned}}$
Questo vuol dire che $r^{3}\propto T^{2}$, come volevasi dimostrare.