# Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 17-24

Niels Abel diceva che la matematica si impara meglio se la si ascolta direttamente dalla bocca dei maestri, piuttosto che da quella degli allievi. Per questo, nelle seguenti dimostrazioni, useremo proprio le parole del maestro Euclide (naturalmente tradotte in italiano corrente) mentre i commenti degli allievi li metteremo tra parentesi. A parte naturalmente le enunciazioni, che l'allievo Nicolò Tartaglia scrisse nel 1565, e che qui useremo come intestazione di ciascun teorema.
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## Teorema 17

Duoi angoli di ogni triangolo (tolti come si uoglia) sono minori de duoi angoli retti.
Sia il triangolo .a.b.c. Dico che qualunque duoi angoli di quello sono minori de duoi angoli retti, perché essendo protratto un lato di quello, come seria il lato ,b,c, per fina al d. per la precedente, l'angolo ,c, estrinsico seria maggiore del angolo a, etiam maggiore dell'angolo ,b, ma l'angolo ,c, estrinsico insieme con l'angolo ,c, intrinsico sono equali a duoi angoli retti, per la tertiadecima. Adunque li duoi angoli ,b, & ,c, intrinsici seranno minori de duoi angoli retti, & similmente l'angolo .a. insieme con l'angolo.c. (intrinsico) seranno pur minori di duoi angoli retti, perché all'angolo ,c, intrinsico uolendo equaliare a duoi angoli retti bisognaria accompagnarlo con un altro angolo che fusse equale all'angolo .a.c.d. estrinsico, dilche alcun di quelli duoi intrinsici (a lui oppositi) cioe a, & b, non sono sufficienti, per esser ciascun di loro minori del detto angolo ,a,c,d, estrinsico. Similmente se 'l serà protratto il lato ,b,a, per il medesimo modo el si approuerà che li duoi angoli ,a, & ,b, sono minori de duoi angoli retti, che è il proposito.
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## Teorema 18

Il lato piu longo de ogni triangolo è opposito al maggior angolo.
Sia dato il triangolo ABC il cui lato AC è maggiore del lato AB e AB è maggiore di BC.
Io sostengo che l'angolo ABC sia maggiore dell'angolo BAC.
Infatti, sul lato AC, che è maggiore del lato AB, posso fissare un punto D in modo che AD sia congruente con AB (vedi il Teorema 3)
Fra B e D posso, naturalmente, tracciare il segmento che li unisce (vedi il Postulato 1)
Ora, l'angolo ADB, esterno al triangolo BDC, è maggiore dell'angolo interno BCD che gli è opposto (vedi il Teorema 16).
Siccome il lato AD è congruente col lato AB, anche l'angolo ADB risulta congruente con l'angolo ABD (vedi il Teorema 5).
Quindi anche l'angolo ABD è maggiore dell'angolo BCD, che poi coincide con BCA.
* Certo che, se l'angolo ABD è maggior dell'angolo BCA, a maggior ragione lo sarà l'angolo ABC, che contiene ABD (ABC > BCA).
* Analogamente si può ragionare con i lati AC e BC per dimostrare che anche l'angolo ABC è maggiore dell'angolo CAB(ABC > CAB).
E queste due conclusioni sono proprio ciò che volevo dimostrare.
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## Teorema 19

Il maggior angolo de ogni triangolo, e opposito al piu longo lato.
Sia dato il triangolo ABC avente l'angolo B maggiore dell'angolo C. Io sostengo che il lato AC sia maggiore del lato AB.
Se mi sbagliassi, e il lato AC non fosse maggiore del lato AB, allora AC dovrebbe necessariamente essere uguale o minore di AB. Esploriamo queste due alternative:
- se i due lati fossero congruenti, allora anche gli angoli C e B sarebbero congruenti (vedi il Teorema 5), cosa che però contrasta con la nostra ipotesi relativa al fatto che B sia maggiore di C;
- se invece il lato AC fosse minore del lato AB, allora l'angolo B sarebbe minore dell'angolo C (vedi il Teorema 18), e anche questo sarebbe di molto contrario all'ipotesi.
Pertanto se il lato AC non puo esser né congruente né minore del lato AB è necessario che esso sia maggiore, che è proprio quello che volevo dimostrare.
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## Teorema 20

Duoi lati di ogni triangolo (tolti come si uoglia) gionti insieme sono piu longhi del restante lato.
Sia dato il triangolo ABC.
Io dico che la somma dei suoi lati AB e AC è maggiore del lato BC.
Per dimostrarlo procedo così:
* dalla parte di A prolungo fino a D il lato AB di modo che DA sia congruente con AC, quindi traccio il segmento CD.
* Per il Teorema 5 posso affermare che l'angolo ACD sarà congruente all'angolo D e che l'angolo BCD, di cui l'angolo ACD è una parte, sarà maggiore dell'angolo D (vedi l' Assioma 5).
* Per il Teorema 19 posso quindi affermare il lato BD è maggiore del lato BC.
* Ma il lato BD è equale alla somma dei lati AB e AC (dato che DA è congruente con AC).
Ciò significa chiaramente che la somma dei lati AB e AC è maggiore del terzo lato BC.
Potendo io ripetere questo ragionamento a partire da uno qualsiaisi dei tre lati, ho dimostrato il mio proposito iniziale (la tesi).
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## Teorema 21

Se dalli duoi ponti terminanti un lato d'un triangolo usciranno due linee rette, & che quelle si congiongano in un ponto che sia di dentro del triangolo, quelle medeme due linee certamente seranno piu breue delle altre due linee del triangolo, e conteniranno maggior angolo.
Facciamo che dalle due estremità del lato BC di un triangolo ABC escano le due semirette BD e CD. Io sostengo che, se il loro punto di intersezione D è interno al triangolo ABC, allora la somma dei segmenti BD e CD sia minore della somma dei due segmenti BA e CA (ovvero degli altri due lati del triangolo ABC). Sostengo inoltre che l'angolo BDC, formato dalle due semirette sia maggiore dell'angolo BAC individuato dai predetti due lati.
Per dimostrare che quello che dico è vero, prolungherò il lato BD fino a fargli intersecare il lato AC nel punto E. Il Teorema 20 mi permette di affermare che la somma dei due lati AB ed AE del triangolo ABE è maggiore del lato BE.
In simboli: AB + AE > BE
Ora, per l' Assioma 5, posso anche dire che, se aggiungo il segmento EC ad entrambi termini del confronto, ottengo una disuguaglianza ancora valida nello stesso verso.
Cioè: AB + AE + EC > BE + EC che poi significa: AB + AC > BE + EC
Analogamente posso affermare che la somma dei due lati DE ed EC del triangolo CDE è maggiore del lato DC e che tale disuguaglianza verrà mantenuta se ad entrambe le lunghezze aggiungo il segmento BD
In simboli: DE + EC > DC (per il Teorema 20)
equivale a: DE + EC + BD > DC + BD (in virtù dell' Assioma 5)
cioè a: BE + EC > DC + BD
Ma se, come ho dimostrato all'inizio, la somma dei due lati AB ed AC è maggiore di quella dei segmenti BE ed EC, e se, come ho appena dimostrato, la somma di BE ed EC è maggiore di quella dei segmenti BD e CD, sarà ancor più vero che la somma di AB ed AC è maggiore della somma di BE ed EC.
Ecco dunque dimostrato il primo proposito.
Inoltre, poiché l'angolo BDC è maggiore dell'angolo DEC e l'angolo DEC è maggiore dell'angolo EAB (in entrambi i casi per il Teorema 16) tanto più dovrà essere vero che l'angolo BDC è maggiore dell'angolo BAC, dato che esso è congruente a EAB.
Ecco perciò dimostrato anche il secondo proposito.
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## Teorema 22

Problema .8. Propositione .22.
[22/22] Proposte tre linee rette, dellequalli le due, quale si uogliano, gionte insieme sieno piu longhe dell'altra, puotemo, con altre tre linee, a quelle equale constituire un triangolo.
[vedi figura 027v.png] Siano le tre proposte linee .a.b.c. lequale siano cosi conditionate, che due, quale si uoglia di quelle, gionte insieme siano maggiore dell'altra, perché altramente non se potria di tre equale a quelle constituir triangolo (per la uigesima propositione.) adonque quando uorro constituir un triangolo di tre linee equale alle tre predette, facio la linea .d.e. allaquale dalla parte .e. non gli pono fin determinato, & dalla parte del .d. ne sego la parte .d.f. equale alla linea .c. (per la tertia propositione) & .f.g. equal al .b. & .g.h. equal al .a. & fatto ilponto ,f. centro descriuo il cerchio .d.k. secondo la quantità .f.d. et similmente fatto .g. centro descriuo il cerchio .h.k. liquali duoi cerchi se intersegono in duoi ponti, l'uno di quelli è il ponto .k. altramente seguiria che l'una delle tre linee seria maggiore, ouer equale alle altre due gionte insieme, che seria contra il presupposito. hor dal ponto .k. tiro la linea .k.f. & la linea .k.g. et serà costituido, il triangolo .k.f.g. de tre linee equale alle tre proposite .a.b.c. perché le due linee . f.d. & .f.k. sono equale, perché ambedue uanno dal centro alla circonferentia del cerchio .d.k e perché (14) la linea .c. è equale alla .d.f. per la prima concettione, serà etiam equale alla .f,k, lato del triangolo, similmente ,g,h, & .g.k. sono equale,perché uanno dal centro alla circonferentia del cerchio .h.k. & .g.h. fu posto equale alla linea .a. adonque .g.k. serà equale alla linea .a. per la detta prima commune [pag. 28r] sententia,ouero concettione, & perché ,f,g, fu tolto equale alla linea ,b, adonque li tre lati del triangolo ,f,g,k, sono equali alle tre date linee ,a,b,c, che è il proposito.
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## Teorema 23

Problema .9. Propositione .23.
[23/23] Data una linea retta, sopra un termine di quella, potemo designare un angolo rettilineo equale a qualunque angolo rettilineo proposto.
[vedi figura 028r_a.png] Sia data la linea ,f,e, che è in la figura superiore, & siano le due linee che contengono il dato angolo ,a, & ,b, sotto alqual angolo tirarò la basa ,c, desiderando io di fare sopra il ponto ,f, della linea ,e,f, uno angolo equale all'angolo dato. Agiongo alla linea ,e,f, la linea ,f,d, equale alla ,a, & dalla linea ,f,e, sego, ouer assegno ,f,g, equale alla, b, & dalla ,g,e, assegno etiam la ,g,h, equale alla basa ,c, & sopra li duoi ponti ,f, & ,g, descriuo li duoi cerchi ,d,k, & ,k,h, secondo la quantità delle due linee ,f,d, & ,g,h, li quali se intersegherano fra loro in ponto .k. si come mostra la precedente, e dutte le linee ,k,f, & ,k,g, seranno li duoi lati ,k,f, & ,f,g, del triangolo ,k,f,g, equali alli duoi lati ,a, & ,b, del triangolo ,a,b,c, &, la basa ,g,k, equale alla basa ,c, Adonque, per la ottaua l'angolo ,k,f,g, serà equale all'angolo contenuto dalle due linee ,a, & ,b, che è il proposito.
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## Teorema 24

Theorema .15. Propositione .24.
[24/24] De ogni duoi triangoli, di quali li duoi lati dell'uno seranno equali alli duoi lati dell'altro se l'uno di duoi angoli contenuti sotto di quelli lati equali, serà maggiore dell'altro, Anchora la basa del medesimo serà maggiore della basa dell'altro.
[vedi figura 028r_b.png] Siano li duoi triangoli ,a,b,c, & ,d,e,f, &, siano li duoi lati .a.b. & ,a,c, equali alli duoi lati ,d,e,d,f, cioè ciascun al suo relatiuo ,a,b, al ,d,e, & ,a,c, al ,d,f, & sia l'angolo ,a, maggior dell'angolo ,e,d,f, Dico che la basa ,b,c, serà maggiore della basa ,e,f, & per dimostrar questo farò l'angolo ,e,d,g, per la dottrina della precedente equale all'angolo .a. (delqual l'angolo ,e,d,f, uera a esser sua parte, per esser minor di lui) e ponerò ,d,g, equal al ,a,c, ouer ,d,f, e tirarò la linea ,e,g, laqual transirà di sopra della linea ,e,f, segando la linea .d.f. ouer sopra la medema linea ,e,f, facendo con quella una medesima linea, ouer di sotto di quella, hor poniamo primamente che la transisca di sopra la ,e,f, segando la linea ,d,f, (come appar nella prima figura) tirarò la linea ,f,g, e serà costituito il triangolo ,d,f,g, de duoi lati equali, perché ciascun di quelli è equal al lato ,a,c, dilche l'angolo ,d,f,g, serà equale all'angolo ,d,g,f, per la quinta propositione, per laqual cosa l'angolo ,d,f,g, serà maggior dell'angolo ,e,g,f, parte dell'angolo [pag. 28v] ,d,g,f, a lui equale, delche se l'angolo .d.f.g. da si è maggior dell'angolo ,e,g,f, molto piu maggior serà tutto l'angolo e.f.g. del ditto angolo ,e,g,f. donde seguita che 'l lato .e,g, sia maggior del lato ,e,f, per la decimanona propositione, hor dico che 'l lato ,e.g. si è equale alla basa .b.c. perché li duoi lati .a.b. & a.c. del triangolo ,a,b,c, sono equali alli duoi lati ,d,e, & ,d,g, del triangolo ,d,e,g, & l'angolo ,e,d,g, fu posto equale all'angolo ,b,a,c, onde, per la quarta propositione, la basa ,e,g, serà equale alla basa ,b,c, per laqual cosa se la .e.g. è maggiore alla ,e,f, etiam la ,b,c, a quella equale, serà maggiore della detta ,e,f, che è il proposito. [vedi figura 028v_a.png] Ma se la ,e,g, transirà sopra la medesima linea (come in questa altra seconda figura appare) e siano insieme una medesima linea all'hora la ,e,f, serà parte della e,g, adonque, per la ultima concettione, la ,e,f, serà minor del e,g, che è il proposito. [vedi figura 028v_b.png] Ma se la ,e,g, trasisse di sotto della ,e,f, (come in questa altra figura appare) siano slongate le due lin ee .d,f, & ,d,g, (lequal sono equale) fina in k, & h, & per la seconda parte della quinta propositione, li duoi angoliche sono sotto alla basa ,f,g, seranno equali, cioe lo angolo .k,f,g, serà equale all'angolo ,f,g,h, del che tutto l'angolo ,e,f,g, serà maggior del detto angolo ,f,g,h, ma se l'angolo ,e,f,g, è maggior del ditto ,f,g,h, molto piu maggiore sera dell'angolo ,f,g,e, parte di quello, adonque, per la decimaottaua propositione, il lato ,e,g, serà maggior dell'ato ,e,f. & per consequens ,b,c, serà maggior de ,e,f, che è il proposito. Questo ultimo membro si puoteua anchora prouare per la uigesimaprima, perché per quella in la dispositione della terza figura, le due linee .d,g, & ,e,g, seranno maggiore delle due linee .d.f. & .f.e. & perché la d.g. è equale alla ,d,f, (per questo che ambedue sono equale alla ,a,c,) serà la ,g,e, maggiore della ,e,f, per la qual cosa etiam la ,b,c, serà maggiore della medesima ,e,f, che è il proposito, tamen è meglio dimostrar per il primo modo, accioche in ogni dispositione sia arguito per la quinta.
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