# Fondamenti di automatica2/Stima dello stato e regolatore dinamico

Fondamenti di automatica2
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## Stimatore asintotico

Lo stimatore (o ricostruttore, o osservatore) dello stato è un sistema dinamico che serve per trovare, a partire dall'uscita $y(t)$ e dall'ingresso $u(t)$, una stima ${\hat {x}}\left(t\right)$ dello stato $x(t)$.
Per uno stimatore dello stato si definisce l'errore di stima $e(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ come la differenza tra lo stato stimato ${\hat {x}}\left(t\right)$ e lo stato $x\left(t\right)$:
    $e(t)={\hat {x}}(t)-x(t)$
Lo stimatore dello stato è detto asintotico se l'errore di stima si annulla al tendere del tempo all'infinito:
    $\lim _{t\to +\infty }\left\|e(t)\right\|=\lim _{t\to +\infty }\left\|{\hat {x}}(t)-x(t)\right\|=0$

### Stimatore asintotico 1

Il comportamento dinamico dell'errore di stima $e(t)$ coincide con il movimento libero dello stato del sistema:
    ${\dot {e}}(t)={\dot {\hat {x}}}(t)-{\dot {x}}(t)=Ae(t)\Rightarrow e(t)=\exp {\left(At\right)}e\left(0\right)$
    ${\dot {e}}(t)={\dot {\hat {x}}}(t)-{\dot {x}}(t)=A{\hat {x}}(t)+Bu(t)-\left(Ax(t)+Bu(t)\right)=A\left({\hat {x}}(t)-x(t)\right)=Ae(t)$
Per ottenere la condizione dello stimatore asintotico:
    $\lim _{t\to +\infty }\left\|e(t)\right\|=0$
occorre che:
* tutti i modi naturali associati agli autovalori di $A$ siano convergenti (sistema asintoticamente stabile);
    oppure
* l'errore di stima iniziale sia nullo:
    $e\left(0\right)=0$

### Stimatore asintotico 2

Per tenere conto della misura dell'uscita $y(t)$ si può aggiungere il termine di correzione:
    $-L\left({\hat {y}}(t)-y(t)\right)$
che dipende dall'errore tra l'uscita $y(t)$ e l'uscita stimata ${\hat {y}}\left(t\right)$:
    ${\dot {\hat {x}}}(t)=A{\hat {x}}(t)+Bu(t)-L\left({\hat {y}}(t)-y(t)\right)$
dove $L\in \mathbb {R} ^{n\times 1}$ è detta matrice dei guadagni dello stimatore.
Il comportamento dinamico dell'errore di stima $e(t)$ è quindi governato dal movimento libero del sistema:
    ${\dot {e}}(t)=\left(A-LC\right)e(t)\Rightarrow e(t)=\exp {\left[\left(A-LC\right)t\right]}e\left(0\right)$
    ${\dot {e}}(t)={\dot {\hat {x}}}(t)-{\dot {x}}(t)=A{\hat {x}}(t)+{\cancel {Bu(t)}}-L\left({\hat {y}}(t)-y(t)\right)-\left(Ax(t)+{\cancel {Bu(t)}}\right)=A{\hat {x}}(t)-L\left[C{\hat {x}}(t)+{\cancel {Du(t)}}-\left(Cx(t)+{\cancel {Du(t)}}\right)\right]-Ax(t)=A{\hat {x}}(t)-LC{\hat {x}}(t)-Ax(t)+LCx(t)=\left(A-LC\right)\left({\hat {x}}(t)-x(t)\right)=\left(A-LC\right)e(t)$
Per ottenere la condizione dello stimatore asintotico:
    $\lim _{t\to +\infty }\left\|e(t)\right\|=0$
occorre che tutti i modi naturali associati agli autovalori di $A-LC$ siano convergenti (sistema asintoticamente stabile).

#### Teorema (duale al teorema di assegnazione degli autovalori)

Se il sistema dinamico risulta completamente osservabile:
    $\rho {\left(M_{O}\right)}=n$
allora è sempre possibile trovare una matrice $L$ tale da assegnare ad arbitrio tutti gli autovalori della matrice $A-LC$ per realizzare lo stimatore asintotico dello stato.
Per il principio di dualità, si può applicare il teorema di assegnazione degli autovalori al sistema duale: l'assegnazione ad arbitrio degli $n$ autovalori della matrice ${\left(A-LC\right)}^{T}=A^{T}-C^{T}L^{T}$ perché il sistema duale sia completamente raggiungibile garantisce che il sistema primale sia completamente osservabile. In particolare si interviene sulla matrice $L^{T}$ in modo che gli $n$ autovalori della matrice $A^{T}-C^{T}L^{T}$ coincidano con $n$ numeri fissati arbitrariamente.
Se il sistema non è completamente osservabile, è possibile modificare in maniera arbitraria solo gli $o$ autovalori corrispondenti alla sua parte osservabile.

## Regolatore dinamico

La legge di controllo per retroazione statica dallo stato richiede che tutti gli stati siano accessibili (misurabili).
Quando non tutti gli stati sono accessibili, è possibile realizzare una legge di controllo per retroazione statica dallo stato stimato usando lo stato stimato ${\hat {x}}(t)$ fornito dallo stimatore asintotico:
    $u(t)=-K{\hat {x}}\left(t\right)+\alpha r(t)$
Il sistema controllato complessivo si compone di:
* sistema da controllare;
* regolatore dinamico, che si compone di:
** stimatore asintotico dello stato (progetto di $L$);
** legge di controllo (progetto di $K$).
Il sistema controllato complessivo è descritto da $2n$ equazioni di stato:
    ${\begin{cases}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)&{\text{(equazione di stato del sistema)}}\\y(t)=Cx(t)+Du(t)&{\text{(equazione di uscita del sistema)}}\\{\dot {\hat {x}}}(t)=A{\hat {x}}(t)+Bu(t)-L\left({\hat {y}}(t)-y(t)\right)&{\text{(equazione di stato dello stimatore)}}\\{\hat {y}}(t)=C{\hat {x}}(t)+Du(t)&{\text{(stima dell'uscita)}}\\u(t)=-K{\hat {x}}(t)+\alpha r(t)&{\text{(legge di controllo)}}\end{cases}}$
in $2n$ variabili di stato:
* $n$ variabili di stato del sistema da controllare;
* $n$ variabili di stato dello stimatore asintotico.
Introducendo come vettore di stato:
    $x_{\text{tot}}^{I}(t)={\begin{bmatrix}x(t)\\{\hat {x}}(t)\end{bmatrix}}$
e assumendo $r(t)$ e $y(t)$ rispettivamente come ingresso e uscita, si possono scrivere le equazioni:
    ${\begin{cases}{\dot {x}}_{\text{tot}}^{I}(t)=A_{\text{reg}}^{I}x_{\text{tot}}^{I}(t)+B_{\text{reg}}^{I}r(t)\\y(t)=C_{\text{reg}}^{I}x_{\text{tot}}^{I}(t)+D_{\text{reg}}^{I}r(t)\end{cases}}$
dove:
    $A_{\text{reg}}^{I}={\begin{bmatrix}A&-BK\\LC&A-BK-LC\end{bmatrix}}$
    $B_{\text{reg}}^{I}={\begin{bmatrix}B\\B\end{bmatrix}}\alpha$
    $C_{\text{reg}}^{I}={\begin{bmatrix}C&-DK\end{bmatrix}}$
    $D_{\text{reg}}^{I}={\begin{bmatrix}D\end{bmatrix}}\alpha$
Introducendo come vettore di stato:
    $x_{\text{tot}}^{II}(t)={\begin{bmatrix}x(t)\\{\hat {x}}(t)-x(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x(t)\\e(t)\end{bmatrix}}$
e assumendo $r(t)$ e $y(t)$ rispettivamente come ingresso e uscita, si possono scrivere le equazioni:
    ${\begin{cases}{\dot {x}}_{\text{tot}}^{II}(t)=A_{\text{reg}}^{II}x_{\text{tot}}^{II}(t)+B_{\text{reg}}^{II}r(t)\\y(t)=C_{\text{reg}}^{II}x_{\text{tot}}^{II}(t)+D_{\text{reg}}^{II}r(t)\end{cases}}$
dove:
    $A_{\text{reg}}^{II}={\begin{bmatrix}A-BK&-BK\\0_{n\times n}&A-LC\end{bmatrix}}$
    $B_{\text{reg}}^{II}={\begin{bmatrix}B\\0_{n\times 1}\end{bmatrix}}\alpha$
    $C_{\text{reg}}^{II}={\begin{bmatrix}C-DK&-DK\end{bmatrix}}$
    $D_{\text{reg}}^{II}={\begin{bmatrix}D\end{bmatrix}}\alpha$
La matrice $A_{\text{reg}}^{II}$ è triangolare a blocchi, e per i suoi $2n$ autovalori vale la proprietà di separazione:
* $n$ autovalori dipendono solo da $K$;
* $n$ autovalori dipendono solo da $L$.
La proprietà di separazione rende la seconda soluzione preferibile rispetto alla prima per il progetto del regolatore:
* il progetto della legge di controllo determina la matrice dei guadagni $K$;
* il progetto dello stimatore asintotico dello stato determina la matrice dei guadagni $L$.

### Proprietà
#### Sistemi LTI a tempo continuo

La funzione di trasferimento $H\left(s\right)$, definita per condizioni iniziali nulle, rappresenta solo il legame tra la parte raggiungibile dell'uscita $y(t)$ e la parte osservabile dell'ingresso $r(t)$. La funzione di trasferimento $H\left(s\right)$ tra l'ingresso $r\left(t\right)$ e l'uscita $y(t)$ del sistema controllato complessivo risulta coincidente a quella ottenuta nel caso della retroazione statica dallo stato, poiché l'errore di stima iniziale $e\left(0\right)$ è posto nullo, e nel caso SISO i poli di $H\left(s\right)$ sono solo gli autovalori di $A-BK$ perché i poli associati agli autovalori di $A-LC$ si cancellano con gli zeri:
    $H\left(s\right)=\left\{\left(C-DK\right){\left[sI-\left(A-BK\right)\right]}^{-1}B+D\right\}\alpha$
In realtà, vi è un transitorio iniziale dovuto alla parte non raggiungibile, cioè l'errore di stima $e(t)$ inizialmente non nullo, che costituisce la differenza rispetto al sistema privo di stimatore asintotico.
Il problema della regolazione si risolve con la scelta dello stesso $\alpha$ del caso della retroazione statica dallo stato:
    $\alpha ={\left[-\left(C-DK\right){\left(A-BK\right)}^{-1}B+D\right]}^{-1}$

#### Sistemi LTI a tempo discreto
##### Matrice di trasferimento $H\left(z\right)$ tra l'ingresso $r\left(k\right)$ e l'uscita $y\left(k\right)$

    $H\left(z\right)=\left\{\left(C-DK\right){\left[zI-\left(A-BK\right)\right]}^{-1}B+D\right\}\alpha$

##### Condizione di regolazione

    $\alpha ={\left\{\left(C-DK\right){\left[I-\left(A-BK\right)\right]}^{-1}B+D\right\}}^{-1}$