# Meccanica quantistica relativistica/Impostazione del problema

Meccanica quantistica relativistica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Unificazione della meccanica quantistica e della relatività
* Impostazione del problemaMeccanica quantistica relativistica/Impostazione del problema
* Equazione di Klein-GordonMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Klein-Gordon
* Equazione di DiracMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Dirac
Equazione di Dirac: sviluppi e conseguenze
* Formalismo dei bispinori e interazione elettromagneticaMeccanica quantistica relativistica/Formalismo dei bispinori e interazione elettromagnetica
* Bispinori: soluzioni a massa nullaMeccanica quantistica relativistica/Bispinori: soluzioni a massa nulla
* Teoria di Dirac e antiparticelleMeccanica quantistica relativistica/Teoria di Dirac e antiparticelle
* Invarianza per trasformazioniMeccanica quantistica relativistica/Invarianza per trasformazioni
Riscrittura delle equazioni di Maxwell
* Formulazione covariante delle equazioni di MaxwellMeccanica quantistica relativistica/Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell
* Equazioni di Maxwell in forma quantisticaMeccanica quantistica relativistica/Equazioni di Maxwell in forma quantistica
* Operatore energia, impulso e momento angolareMeccanica quantistica relativistica/Operatore energia, impulso e momento angolare
Sistemi di particelle identiche
* IntroduzioneMeccanica quantistica relativistica/Sistemi di particelle identiche
* Formalismo di seconda quantizzazione per bosoniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per bosoni
* Formalismo di seconda quantizzazione per fermioniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per fermioni
Elettrodinamica quantistica
* Quantizzazione del campo elettromagneticoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettromagnetico
* Quantizzazione del campo elettronicoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettronico
* Quantizzazione dell'interazione fotone-elettroneMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione dell'interazione fotone-elettrone
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Nella meccanica quantistica non relativistica a ogni osservabile è associato un operatore hermitiano. Valgono il principio di corrispondenza e di sovrapposizione (che deriva dalla linearità dell'equazione):
${\begin{aligned}{\begin{cases}{\hat {x}}&\rightarrow x\\[1.25ex]{\hat {p}}&\rightarrow {\dfrac {\hbar }{i}}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\end{cases}}\qquad \qquad \psi =\sum _{n}a_{n}\psi _{n}\end{aligned}}$
e la media di un operatore ${\hat {\Omega }}$ è data da:
$\langle {\hat {\Omega }}\rangle =\int \psi ^{\ast }{\hat {\Omega }}\psi d^{3}x$
L'interpretazione probabilistica della meccanica quantistica ci fornisce inoltre un'equazione di continuità per le probabilità:
$\psi ^{\ast }\psi =\varrho \qquad {\frac {\partial }{\partial t}}=i\hbar {\vec {\nabla }}\cdot \left[({\vec {\nabla }}\psi ^{\ast })\psi -\psi ^{\ast }{\vec {\nabla }}\psi \right]={\vec {\jmath }}$
dove la densità $\varrho$ è definita positiva.
La conseguenza fondamentale della meccanica quantistica è la relazione di indeterminazione $\Delta x\Delta p\geq \hbar /2$. A questo, la relatività aggiunge "solo" la condizione $v<c$ e la relazione $E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$. Questo ha tuttavia grosse implicazioni sullo scarto indotto da $p$ (e quindi da $q$) su $E$:
$\Delta E=\Delta \left({\sqrt {m^{2}c^{4}-p^{2}c^{2}}}\right)$
Lo scarto indotto su $E$ da $p$ è esprimibile anche come $\Delta E={\frac {\partial E}{\partial p}}\Delta p<math>,percui:<math>\Delta E={\frac {c^{2}p}{\sqrt {m^{2}c^{4}-p^{2}c^{2}}}}\Delta p={\frac {c^{2}p}{E}}\Delta p$
Ricordando che $p={\frac {Ev}{c^{2}}}$ e utilizzando il principio di indeterminazione:
$\Delta E={\frac {c^{2}p}{E}}\Delta p=v\Delta p\rightarrow {\frac {\delta q\Delta E}{v}}\simeq \hbar \rightarrow \Delta q\Delta E\simeq v\hbar$
e $v\hbar$ è una costante che al massimo vale $c\hbar$, per cui se $\delta q\to 0$, $\Delta E\to \infty$. Ma sappiamo che l'energia contribuisce alla massa, per cui all'aumentare di $\Delta E$ ci si deve aspettare la creazione di nuove particelle. Una trattazione uniparticellare non è quindi più valida, il numero di particelle deve essere una variabile dinamica e questo non è come trattare un sistema a più particelle.
Vediamo ora cosa accade se cerchiamo direttamente una funzione d'onda che soddisfi la relazione relativistica fra energia e impulso: questo conduce all'equazione di Klein-Gordon.