# Matematica per le superiori/Radicali

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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La potenza, non essendo un'operazione commutativa, ha due operazioni inverse:
* operazione diretta $b^{e}=x\,$,
* prima operazione inversa, per calcolare la base: $x^{e}=p\,\;\Rightarrow \;x={\sqrt[{e}]{p}}$,
* seconda operazione inversa per calcolare l'esponente: $b^{x}=p\,\;\Rightarrow \;x=\log _{b}{p}$,
In questo modulo si tratterà della prima di queste due operazioni: la radice.
L'estrazione di radice, non è un'operazione interna nell'insieme dei numeri razionali. Per poter calcolare le radici dei numeri positivi si deve ampliare l'insieme dei numeri razionali con i numeri irrazionali ottenendo così i numeri reali.
Ma per ottenere un insieme chiuso rispetto all'operazione di radice anche i numeri reali non bastano, si devono inventare dei nuovi numeri, i numeri complessi.

## Definizioni e proprietà

La radice quadrata di un numero reale positivo o nullo, è quel numero, positivo o nullo, che, elevato al quadrato, dà come risultato il numero dato.
La radice quadrata si indica con il simbolo: ${\sqrt}$
In generale si definisce radice n-esima di un numero reale, quel numero che elevato alla n da come risultato il numero dato.
In simboli:
Se $a^{n}=b$, dalla definizione di prima otteniamo:
${\sqrt[{n}]{b}}=a$
L'unica proprietà che hanno i radicali è la proprietà invariantiva, che però richiede una dimostrazione.
Definizione
Cioè: ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}={\sqrt[{np}]{a^{mp}}}$
Bisogna dimostrare questa data proprietà:
Eleviamo alla np il primo membro: $({\sqrt[{n}]{a^{m}}})^{np}=[({\sqrt[{n}]{a^{m}}})^{n}]^{p}=(a^{m})^{p}=a^{mp}$
Eleviamo ora il secondo membro alla np: $({\sqrt[{np}]{a^{mp}}})^{np}=a^{mp}$
Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si deduce che è $({\sqrt[{n}]{a^{m}}})^{np}=({\sqrt[{np}]{a^{mp}}})^{np}$ da cui, si ottiene l'uguaglianza delle basi positive di tali potenze aventi lo stesso esponente np e si ha:
${\sqrt[{n}]{a^{m}}}={\sqrt[{np}]{a^{mp}}}$

## Campo di esistenza

Prima di tutto c'è da apprendere questo concetto: in R i radicali con indice pari esistono se e solo se il radicando è maggiore o uguale a 0, mentre i radicali con indice dispari esistono sia quando il radicando è positivo sia quando è negativo sia quando è nullo.
Le condizioni di esistenza dei radicali, o campo di esistenza, (abbreviato si indica con C.E.) sono l’insieme dei valori (numeri) da attribuire alle variabili (ossia le lettere) del radicando, affinché il radicale esista (o abbia significato).
Proprio perché dal C.E. dipende l’esistenza o meno dei radicali, la ricerca del C.E. si fa sempre e subito, cioè all’inizio di ogni tipo di esercizio con i radicali. In un esercizio di ricerca del C.E. dei radicali, non si può fare nessun tipo di operazione nel testo poiché non sappiamo se tale radicale esiste o no.
Ma ora passiamo alle cose più importanti: come si calcola il C.E. di un radicale algebrico?
Per poter fare il C.E. di un radicale algebrico è necessario aver studiato le disequazioni. Infatti nei radicali con indice pari il C.E. è formato da tutti i numeri che rendono positivo o nullo, ossia non negativo (≥0), il radicando. In tal caso il C.E. corrisponde alla soluzione della disequazione: radicando ≥0; ossia deve risolvere una disequazione. Ben diverso, e anche più semplice, è il caso in cui i radicali hanno l’indice dispari, perché il radicando può essere positivo, negativo o nullo, e quindi non si deve risolvere una disequazione; il C.E. è tutto R, tranne nel caso in cui i radicandi sono frazionari perché dobbiamo togliere dal C.E. i valori che annullano i denominatori.

## Potenze a esponente razionale

A noi è già nota la definizione di potenza che ha per esponente un numero naturale. Adesso proveremo a dare una definizione a una potenza con esponente frazionario.
Come visto prima possiamo applicare la proprietà invariantiva dei radicali: moltiplicando o dividendo il radicando e l'indice della radice per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un radicale equivalente a quello dato.
Grazie a questa proprietà, avendo un radicale di indice n e un radicando elevato a m, possiamo dividere per n: ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}={\sqrt[{\frac {n}{n}}]{a^{\frac {m}{n}}}}$; adesso il segno di radice si semplifica, dando come risultato: $a^{\frac {m}{n}}$
Definizione

## Trasporto di un fattore sotto il segno di radice

Può essere utile trasoportare un fattore sotto il segno di radice. Ciò è possibile se e solo se il fattore è maggiore o uguale a zero.
Consideriamo l'espressione: $a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}}}{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}$
Quindi si ha: $a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}$ (se e solo se a ≥ 0 ∧ b ≥ 0)
Nel caso in cui il fattore sia negativo è possibile trasportare il suo valore assoluto sotto il segno di radice e lasciare fuori il meno.
Un esempio può essere:
$-2{\sqrt[{n}]{b}}=-{\sqrt[{n}]{2^{n}b}}$
In generale si può scrivere: $sea<0$ $a{\sqrt[{n}]{b}}=-(-a){\sqrt[{n}]{b}}=-{\sqrt[{n}]{(-a)^{n}b}}$.

## Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice

L'uguaglianza scritta sopra, se letta al contrario diventa: ${\sqrt[{n}]{a^{n}b}}=a{\sqrt[{n}]{b}}$
Ciò ci permette di trasportare fuori dal segno di radice radicandi con esponente uguale all'indice del radicale. Analizziamo adesso la situazione nel caso in cui l'esponente del radicando non è uguale all'indice del radicale. Si dimostra cioè che:
${\sqrt[{n}]{a^{nq}b}}=a^{q}{\sqrt[{n}]{b}}$
Dimostrazione: ${\sqrt[{n}]{a^{nq}b}}={\sqrt[{n}]{a^{nq}}}{\sqrt[{n}]{b}}=a^{q}{\sqrt[{n}]{b}}$
Per generalizzare, posto q il quoziente tra l'esponente del radicando e l'indice del radicale e r il suo resto si ottiene: ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{q}{\sqrt[{n}]{a^{r}}}$
Esempio: ${\sqrt[]{125}}={\sqrt[]{5^{3}}}=5\cdot {\sqrt[]{5}}$

## Prodotto e quoziente di radici

Il prodotto di radicali aventi lo stesso indice è un radicale con lo stesso indice che ha per radicando il prodotto dei radicandi. Se i radicali non hanno lo stesso indice, prima si riducono allo stesso indice, poi si applica la regola detta sopra.
Il quoziente di radicali aventi lo stesso indice è un radicale con lo stesso indice che ha per radicando il quoziente dei radicandi. Se i radicali non hanno lo stesso indice, prima si riducono allo stesso indice, poi si applica la regola precedente.

## Razionalizzazione

Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire trasformarla in una equivalente, che non abbia radicali al denominatore. Per razionalizzare il denominatore, si applica la proprietà invariantiva, moltiplicando il numeratore e il denominatore per un opportuno fattore, detto fattore razionalizzante, che al denominatore dia una quantità priva di radici.
Si possono presentare 5 casi, che ora andremo ad analizzare.
1° caso: Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta solo un fattore radicale quadratico: ${\frac {A}{\sqrt[]{B}}}$ Per razionalizzare si moltiplicano i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è ${\sqrt[]{B}}$.
${\frac {A}{\sqrt[]{B}}}={\frac {A\cdot {\sqrt[]{B}}}{{\sqrt[]{B}}\cdot {\sqrt[]{B}}}}={\frac {A\cdot {\sqrt[]{B}}}{({\sqrt[]{B}})^{2}}}={\frac {A\cdot {\sqrt[]{B}}}{B}}$
2° caso: Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta solo un fattore radicale non quadratico: ${\frac {A}{\sqrt[{n}]{B^{m}}}}$ e $m<n.$ Per razionalizzare si moltiplicano i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è ${\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}$.
${\frac {A}{\sqrt[{n}]{B^{m}}}}={\frac {A{\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}}{{\sqrt[{n}]{B^{m}}}{\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}}}={\frac {A{\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}}{\sqrt[{n}]{B^{m+n-m}}}}={\frac {A{\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}}{\sqrt[{n}]{B^{n}}}}={\frac {A{\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}}{B}}$
3° caso: Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta la somma o la differenza tra due termini, dei quali almeno uno è un radicale quadratico: ${\frac {A}{{\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}}}}$ (N.B. in questo esempio c'è la somma di due radicali, ma potrebbe esserci anche la somma (o differenza) tra un radicale quadratico e un numero intero o un numero razionale.) Per razionalizzare si moltiplicano entrambi i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è la differenza se compare la somma al denominatore, oppure la somma se compare la differenza al denominatore.
Somma: ${\frac {A}{{\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}}}}={\frac {A({\sqrt[]{B}}-{\sqrt[]{C}})}{({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}})({\sqrt[]{B}}-{\sqrt[]{C}})}}={\frac {A({\sqrt[]{B}}-{\sqrt[]{C}})}{({\sqrt[]{B}})^{2}-({\sqrt[]{C}})^{2}}}={\frac {A({\sqrt[]{B}}-{\sqrt[]{C}})}{B-C}}$
Differenza: ${\frac {A}{{\sqrt[]{B}}-{\sqrt[]{C}}}}={\frac {A({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}})}{({\sqrt[]{B}}-{\sqrt[]{C}})({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}})}}={\frac {A({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}})}{({\sqrt[]{B}})^{2}-({\sqrt[]{C}})^{2}}}={\frac {A({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}})}{B-C}}$
4° caso: Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta la somma algebrica di tre o più termini, dei quali almeno due sono radicali quadratici: ${\frac {A}{{\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}}-{\sqrt[]{D}}}}$
Per razionalizzare si riconduce al caso precedente. Vediamo come.
${\frac {A}{{\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}}-{\sqrt[]{D}}}}={\frac {A}{({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}})-{\sqrt[]{D}}}}={\frac {A[({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}})+{\sqrt[]{D}}]}{[({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}})-{\sqrt[]{D}}][({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}})+{\sqrt[]{D}}]}}={\frac {A({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}}+{\sqrt[]{D}})}{({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}})^{2}-({\sqrt[]{D}})^{2}}}=$ $={\frac {A({\sqrt[]{B}}+{\sqrt[]{C}}+{\sqrt[]{D}})}{B+2{\sqrt[]{BC}}+C-D}}$ e da questo punto si continua come nel caso precedente.
5° caso: Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta la somma o la differenza tra due termini, dei quali almeno uno è un radicale cubico: ${\frac {A}{{\sqrt[{3}]{B}}+{\sqrt[{3}]{C}}}}$ (N.B. in questo esempio c'è la somma di due radicali, ma potrebbe esserci anche la somma (o differenza) tra un radicale quadratico e un numero intero o un numero razionale.) Per razionalizzare si moltiplicano entrambi i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è il falso quadrato del denominatore (con prodotto semplice con il segno + se compare la differenza, con il prodotto semplice - se compare la differenza).
Somma: ${\frac {A}{{\sqrt[{3}]{B}}+{\sqrt[{3}]{C}}}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}-{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{({\sqrt[{3}]{B}}+{\sqrt[{3}]{C}})({\sqrt[{3}]{B^{2}}}-{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}-{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{({\sqrt[{3}]{B}})^{3}+({\sqrt[{3}]{C}})^{3}}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}-{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{B+C}}$
Differenza: ${\frac {A}{{\sqrt[{3}]{B}}-{\sqrt[{3}]{C}}}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}+{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{({\sqrt[{3}]{B}}-{\sqrt[{3}]{C}})({\sqrt[{3}]{B^{2}}}+{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}+{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{({\sqrt[{3}]{B}})^{3}-({\sqrt[{3}]{C}})^{3}}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}+{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{B-C}}$