# Analisi complessa/Funzioni di variabile complessa

Analisi complessa
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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## Definizione

    Una funzione di variabile complessa è una funzione
       $f:S\subseteq \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$
    dove ovviamente si comprendono come casi particolari le funzioni reali di variabile complessa.

## Osservazioni

    Risulta particolarmente utile sottolineare il legame tra $\mathbb {C}$ ed $\mathbb {R} ^{2}$, perché molte delle proprietà delle funzioni di variabile complessa diventano conseguenze dirette di quelle della funzioni in $\mathbb {R} ^{2}$. Sia $\Phi$ una funzione biunivoca che mappa $\mathbb {C}$ in $\mathbb {R} ^{2}$, ad esempio
       $\Phi :z=x+iy\mapsto \mathbf {w} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j}$
    Possiamo scrivere ogni funzione di variabile complessa
       $f:S\subseteq \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$
    come somma di due funzioni $\Phi (S)\subseteq \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$
       $f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\,$

## Limiti

I limiti sono definiti in modo ovvio, rispetto alla distanza di $\mathbb {C}$; scriviamo
    $\lim _{z\to z_{0}}f(z)=w\iff \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0:|z-z_{0}|<\delta \Rightarrow |f(z)-w|<\varepsilon$
I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un intorno di $\infty$ come
    $|z|>{\frac {1}{\varepsilon }},\varepsilon >0$
    $\lim _{z\to \infty }f(z)=w\iff \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0:|z|>{\frac {1}{\delta }}\Rightarrow \ |f(z)-w|<\varepsilon$
    $\lim _{z\to z_{0}}f(z)=\infty \iff \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0:|z-z_{0}|<\delta \Rightarrow |f(z)|>{\frac {1}{\varepsilon }}$

## Teoremi sui limiti
### Teorema 1.2.2

    Considerando
       $f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\,$
       $z_{0}=x_{0}+iy_{0}\!$
       $w_{0}=u_{0}+iv_{0}\!$
    si ha che:
       $\lim _{z\to z_{0}}f(z)=w_{0}\iff \lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}u(x,y)=u_{0}\qquad$ e $\qquad \lim _{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}v(x,y)=v_{0}$

### Teorema 1.2.3

    Se
       $\lim _{z\to z_{0}}f(z)=f_{0}$ e $\lim _{z\to z_{0}}g(z)=g_{0}$
    allora
* $\lim _{z\to z_{0}}[f(z)+g(z)]=f_{0}+g_{0}$
* $\lim _{z\to z_{0}}[f(z)g(z)]=f_{0}g_{0}$
* $\lim _{z\to z_{0}}[f(z)/g(z)]=f_{0}/g_{0}$
    per $g_{0}\neq 0$

## Continuità
### Definizione

    Anche la definizione di continuità ricalca quella per una funzione in un generico spazio metrico.
    Una funzione $f(z)$ è continua in $z_{0}$ se
       $\lim _{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0})$
    sottointendendo che questa scrittura presupponga l'esistenza del limite e della funzione nel punto.
Una funzione si dice continua in un insieme se è continua per ogni punto di quell'insieme.

## Teoremi sulla continuità
### Teorema 1.2.5

    Una funzione $f(z)$ è continua se e solo se le sue componenti $u$ e $v$ sono continue.

### Teorema 1.2.6

    La funzione composta da due funzioni continue è continua.

### Teorema 1.2.7

    Una funzione continua su un insieme $A$ chiuso e limitato è limitata, e pertanto il suo modulo raggiunge il valore massimo per almeno un punto di $A$.