# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il principio di Dirichlet

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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In questo modulo ci occuperemo di un principio variazionale piuttosto importante che lega le soluzioni di problemi al bordo al teorema del minimo: il principio di Dirichlet. Partiamo dalla seguente definizione.

## Teorema (1 Funzionale di Dirichlet)

Si consideri l'insieme
$A_{h}=\left\lbrace u\in C^{1}(\Omega )\colon u\mid _{\partial \Omega }=h\right\rbrace$
$E:A_{h}\rightarrow \mathbb {R}$ si definisce funzionale di Dirichlet
$E(u)={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\left|\nabla u\right|^{2}dx$
Si ha il seguente teorema.

## Teorema (2 Principio di Dirichlet)

Sia $u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$, $u\in A_{g}$. Essa è soluzione di
${\begin{cases}\Delta u=0\\u\mid _{\partial \Omega }=g\end{cases}}$
Se e solo se minimizza il funzionale di Dirichlet, ovvero:
$E(u)=\min _{w\in A_{g}}E(w)$

### Dimostrazione

Supponiamo che $u$ sia soluzione del problema al bordo, vogliamo dimostrare che $E(u)\leq E(w),\;\forall \,w\in \,A_{g}$. Si ha che:
$0=\int _{\Omega }(\Delta u)(u-w)dx=-\int _{\Omega }\nabla u\nabla (u-w)dx=-\int _{\Omega }\mid \nabla u\nabla ^{2}dx+\int _{\Omega }\nabla u\nabla wdx\leq$
Dalla disuguaglianza di Schwarz:
$\leq -\int _{\Omega }\mid \nabla u\mid ^{2}dx+{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\left(\mid \nabla u\mid ^{2}+\mid \nabla w\mid ^{2}\right)dx=$
$=-{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\mid \nabla u\mid ^{2}dx+{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\mid \nabla w\mid ^{2}dx$
Da cui segue che $E(u)\leq E(w),\;\forall \,w\in A_{g}$. Viceversa, sia $E(u)\leq E(w),\;\forall \,w\in A_{g}$, si vuole dimostrare che $u$ risolve il problema al bordo dato. Si consideri il funzionale $E(w)=E(u+\epsilon v)$, con $v\in A_{0}$. Allora, fissate $u,v$, $E(u+\epsilon v)$ è una funzione della sola variabile $\epsilon$. Inoltre si ha che essa deve avere minimo in $\epsilon =0$, essendo $E(u)$ minima per ipotesi. Pertanto si avrà che tutte le derivate direzionali di $E$ saranno nulle; quindi:
$0={\frac {dE}{d\epsilon }}\mid _{\epsilon =0}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\epsilon }}\int _{\Omega }\left|\nabla \left(u+\epsilon v\right)\right|^{2}dx=$
$={\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\epsilon }}\int _{\Omega }\left(\mid \nabla u\mid ^{2}+2\epsilon \mid \nabla u\mid \mid \nabla v\mid +\epsilon ^{2}\mid \nabla v\mid ^{2}\right)dx=\int _{\Omega }\mid \nabla u\mid \nabla v\mid dx$
Si ha quindi la seguente espressione per la derivata funzionale (o di Gateaux):
$E^{\prime }(\epsilon =0)=\int _{\Omega }\mid \nabla u\mid \mid \nabla v\mid dx$
Dalla prima formula di Green con termine al bordo nullo si ha che:
$0=E^{\prime }(0)=-\int _{\Omega }v(-\Delta u)dx,\;\forall \,v\in A_{0}$
Si conclude quindi che $\Delta u=0$ in $\Omega$.
L'ultima uguaglianza della dimostrazione, così come molti passaggi simili visti durante i moduli precedenti, è giustificata dal teorema di annullamento.

## Teorema (3 Di annullamento)

Se $f\in {\mathcal {L}}^{1}(\Omega )$ e $\int _{\Omega }fgdx=0,\;\forall \,g\in C_{0}^{\infty }(\Omega )$, allora $f=g$ quasi ovunque.
I risultati ottenuti in questo modulo, uniti a quelli del modulo precedente, ci permettono di studiare in maniera piuttosto completa e dettagliata tutti i problemi al bordo visti durante il corso. Infatti ora sappiamo qual è l'espressione esplicita delle soluzioni dell'equazione di Poisson; sappiamo che per ogni problema al bordo è possibile ricavare delle informazioni riguardo la sua risoluzione sfruttando la formula di rappresentazione e infine sappiamo che le proprietà di problemi al bordo di Dirichlet per il laplaciano possono essere studiate grazie al principio di Dirichlet. Nel prossimo modulo cercheremo di dare una panoramica globale dei problemi al bordo per il laplaciano andando a osservare lo stretto legame che essi hanno con i problemi agli autovalori e andando a caratterizzare un poco nel dettaglio la possibilità di usare gli autovalori del laplaciano come sistema ortonormale completo, su cui espandere in serie di Fourier le soluzioni.