# Elaborazione numerica dei segnali/Trasformata zeta

Elaborazione numerica dei segnali
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## Vantaggio rispetto alla DTFT

La trasformata zeta converge in modo uniforme per una classe di segnali più vasta.

## Utilità

La trasformata zeta trasforma le equazioni alle differenze in equazioni algebriche più semplici.

## Definizione

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ della sequenza $x\left(n\right)$ è un polinomio nella variabile $z^{-1}$ e con i campioni della sequenza $x\left(n\right)$ per coefficienti:
    $X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)z^{-n}$
dove $z$ è una variabile complessa di modulo $\rho$ e fase $\omega =2\pi f$, che può assumere valori in tutto il piano complesso:
    $z=\rho \cdot e^{j\omega }$

### Relazione con la DTFT

La DTFT $X\left(e^{j\omega }\right)$ è un caso particolare della trasformata zeta perché, nel piano complesso, percorre al variare di $\omega$ una circonferenza di raggio unitario:
    $X\left(e^{j\omega }\right)=\left.X\left(z\right)\right\vert _{z=e^{j\omega }}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)e^{-j\omega n}$
Come nel dominio del tempo continuo la trasformata di Laplace è la generalizzazione della trasformata di Fourier, così nel dominio del tempo discreto la trasformata zeta è la generalizzazione della DTFT.

### Relazione con la DFT

A partire dai campioni della DFT di una sequenza $x\left(n\right)$ a supporto limitato $\left[0,N-1\right]$ si può risalire alla sua trasformata zeta tramite interpolazione:
    $X\left(z\right)={\frac {1}{N}}\left(1-z^{-N}\right)\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {X\left(k\right)}{1-e^{j{\frac {2\pi }{N}}k}z^{-1}}}$
    $X\left(z\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)z^{-n}=$
Sostituendo l'espressione della IDFT:
    $=\sum _{n=0}^{N-1}\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)e^{-j{\frac {2\pi }{N}}kn}\right]z^{-n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)\sum _{n=0}^{N-1}{\left(e^{j{\frac {2\pi }{N}}k}z^{-1}\right)}^{n}=$
    $\sum _{k=0}^{N-1}x^{k}={\frac {1-x^{N}}{1-x}}\Rightarrow ={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right){\frac {1-e^{j{\frac {2\pi }{N}}kN}z^{-N}}{1-e^{j{\frac {2\pi }{N}}k}z^{-1}}}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right){\frac {1-e^{j2\pi k}z^{-N}}{1-e^{j{\frac {2\pi }{N}}k}z^{-1}}}=$
    $e^{j2\pi k}=1\Rightarrow ={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right){\frac {1-z^{-N}}{1-e^{j{\frac {2\pi }{N}}k}z^{-1}}}$

## Analisi della regione di convergenza

L'espressione della trasformata zeta è detta serie di Cauchy-Laurent. La regione di convergenza (ROC) della serie è il luogo dei punti per cui essa converge in modo uniforme. Nella regione di convergenza, la trasformata zeta $X\left(z\right)$ è una funzione analitica, ossia continua e infinitamente derivabile con derivate continue.
La serie della trasformata zeta converge se e solo se la sequenza $x\left(n\right)\rho ^{-n}$ è assolutamente sommabile:
    $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(n\right)\right|{\rho }^{-n}\in \mathbb {R}$
La trasformata zeta $X\left(z\right)$ della sequenza $x\left(n\right)$ equivale alla DTFT della sequenza $x\left(n\right){\rho }^{n}$:
    $z=\rho e^{j\omega }\Rightarrow X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right){\left[\rho e^{j\omega }\right]}^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left[x\left(n\right){\rho }^{-n}\right]e^{-j\omega n}$
Per la condizione di esistenza della DTFT:
    $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(n\right){\rho }^{-n}\right|=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(n\right)\right|{\rho }^{-n}\in \mathbb {R}$
Le regioni di convergenza nel piano complesso sono delimitate da circonferenze (ossia luoghi dei punti a modulo costante), perché non dipendono dalla fase $\omega$ ma solo dal modulo $\rho$.

### Esempio

    $x\left(n\right)=\delta \left(n-n_{0}\right)\Rightarrow X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(n-n_{0}\right)z^{-n}=z^{-n_{0}}$
* se $n_{0}=0$ converge su tutto il piano complesso:
    $X\left(z\right)=1$
* se $n_{0}>0$ diverge per $z=0$:
    $X\left(z\right)={\frac {1}{z^{n_{0}}}}$
* se $n_{0}<0$ diverge per $z\to +\infty$:
    $X\left(z\right)=z^{\left|n_{0}\right|}$

### Sequenze unilatere e sequenze bilatere

La ricerca della regione di convergenza di $X\left(z\right)$ equivale alla ricerca della regione in cui la serie $x\left(n\right)\rho ^{-n}$ risulta assolutamente sommabile:
    $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(n\right)\right|\rho ^{-n}=\overbrace {\sum _{n=-\infty }^{-1}\left|x\left(n\right)\right|\rho ^{-n}} ^{\text{anti-causale}}+\overbrace {\sum _{n=0}^{+\infty }\left|x\left(n\right)\right|\rho ^{-n}} ^{\text{causale}}=\sum _{n=1}^{+\infty }\left|x\left(-n\right)\right|\rho ^{n}+\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {\left|x\left(n\right)\right|}{\rho ^{n}}}$
* la parte anti-causale converge all'interno della circonferenza avente un raggio $\rho _{1}$ sufficientemente piccolo;
* la parte causale converge all'esterno di una circonferenza di raggio $\rho _{2}$ sufficientemente grande.

#### Sequenze unilatere anti-causali

La parte causale è nulla → la trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge all'interno della circonferenza di raggio $\rho _{1}$:

#### Sequenze unilatere causali

La parte anti-causale è nulla → la trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge all'esterno della circonferenza di raggio $\rho _{2}$:

#### Sequenze bilatere

Esistono sia la parte causale sia la parte anti-causale:
* se $\rho _{1}<\rho _{2}$, la trasformata zeta $X\left(z\right)$ non converge (l'intersezione tra le due regioni è nulla);
* se $\rho _{1}>\rho _{2}$, la trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge nella corona circolare tra $\rho _{2}$ e $\rho _{1}$:

### Regione di convergenza delle sequenze gradino

Il gradino e il gradino anti-causale hanno la stessa trasformata zeta:
    $X\left(z\right)={\frac {1}{1-z^{-1}}}$
ma regioni di convergenza differenti:
* il gradino $u\left(n\right)$ converge all'esterno della circonferenza unitaria: $\left|z\right|>1$;
    $X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }u\left(n\right)z^{-n}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(z^{-1}\right)}^{n}={\frac {1}{1-z^{-1}}}\quad \left|z^{-1}\right|<1$
* il gradino anti-causale $-u\left(-n-1\right)={\begin{cases}-1&n\leq -1\\0&n>-1\end{cases}}$ converge all'interno della circonferenza unitaria: $\left|z\right|<1$.
    $X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left[-u\left(-n-1\right)\right]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}{\left(z^{-1}\right)}^{n}=-\sum _{m=1}^{+\infty }z^{m}=-\sum _{m=0}^{+\infty }z^{m}+1=-{\frac {1}{1-z}}+1=-{\frac {z}{1-z}}={\frac {1}{1-{z}^{-1}}}\quad \left|z\right|<1$

### Regione di convergenza di sequenze a supporto finito

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ di sequenze a supporto finito $\left[n_{1},n_{2}\right]$:
    $X\left(z\right)=\sum _{k=n_{1}}^{n_{2}}x\left(k\right)z^{-k}$
    $X\left(z\right)=\sum _{n-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)z^{-n}=\sum _{n-\infty }^{+\infty }\sum _{k=n_{1}}^{n_{2}}x\left(k\right)\delta \left(n-k\right)z^{-n}=\sum _{k=n_{1}}^{n_{2}}x\left(k\right)\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(n-k\right)z^{-n}=\sum _{k=n_{1}}^{n_{2}}x\left(k\right)z^{-k}$

#### Sequenze unilatere causali ($n_{1}\geq 0$)

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge in qualunque punto del piano complesso eccetto l'origine ($z=0$). La regione di convergenza è all'esterno di una circonferenza di raggio infinitesimo.

#### Sequenze unilatere anti-causali ($n_{2}<0$)

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'infinito ($z\to \infty$). La regione di convergenza è all'interno di una circonferenza di raggio infinito.

#### Sequenze bilatere

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'origine e l'infinito.

### Regione di convergenza di sequenze con trasformata zeta espressa come rapporto di polinomi

Nella maggior parte dei casi la trasformata zeta è espressa come rapporto di polinomi:
    $X\left(z\right)={\frac {N\left(z\right)}{D\left(z\right)}}={\frac {\sum _{i=0}^{p_{n}}b_{i}z^{-i}}{\sum _{i=0}^{p_{d}}a_{i}z^{-i}}}=z^{p_{d}-p_{n}}{\frac {\sum _{i=0}^{p_{n}}b_{i}z^{p_{n}-i}}{\sum _{i=0}^{p_{d}}a_{i}z^{p_{d}-i}}}={\frac {b_{0}}{a_{0}}}z^{p_{d}-p_{n}}{\frac {\prod _{i=1}^{p_{n}}z-c_{i}}{\prod _{i=1}^{p_{d}}z-d_{i}}}$
* le radici $c_{1},\ldots ,c_{p_{n}}$ del numeratore sono gli zeri di $X\left(z\right)$;
* le radici $d_{1},\ldots ,d_{p_{d}}$ del denominatore sono i poli di $X\left(z\right)$.

#### Sequenze unilatere causali

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge all'esterno della circonferenza che racchiude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'interno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più vicino all'origine. La circonferenza esiste sempre perché non possono esistere poli per $z\to \infty$.

#### Sequenze unilatere anti-causali

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge all'interno della circonferenza che esclude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'esterno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più distante dall'origine.

#### Sequenze bilatere

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge nella corona circolare tra la circonferenza del polo più distante e quella del polo più vicino.

## Proprietà della trasformata zeta

Proprietà della trasformata zeta :
| | Sequenza | Trasformata zeta | Regione di convergenza |
| Linearità | $a_{1}x\left(n\right)+a_{2}y\left(n\right)$ | $a_{1}X\left(z\right)+a_{2}X\left(z\right)$ | $R_{x}\cap R_{y}$ |
| Ritardo nel tempo | $x\left(n-N\right)$ | $z^{-N}X\left(z\right)$ | $R_{x}-\left\{0\right\}$ |
| Anticipo nel tempo | $x\left(n+N\right)$ | $z^{N}X\left(z\right)$ | $R_{x}\in \mathbb {R}$ |
| Ribaltamento nel tempo | $x\left(-n\right)$ | $X\left(z^{-1}\right)$ | ${\frac {1}{R_{x}}}$ |
| Coniugazione complessa | $x^{*}\left(n\right)$ | $X^{*}\left(z^{*}\right)$ | $R_{x}$ |
| Scalamento nel dominio trasformato | $a^{n}x\left(n\right)$ | $X\left({\frac {z}{a}}\right)$ | $\left|a\right|R_{x}$ |
| Derivata nel dominio trasformato | $nx\left(n\right)$ | $-z{\frac {d}{dz}}X\left(z\right)$ | $R_{x}$ |
| Convoluzione nel tempo | $x\left(n\right)*y\left(n\right)$ | $X\left(z\right)Y\left(z\right)$ | $R_{x}\cap R_{y}$ |
| Parte reale | $\Re {\left\{x\left(n\right)\right\}}$ | ${\frac {1}{2}}\left[X\left(z\right)+X^{*}\left(z^{*}\right)\right]$ | $R_{x}$ |
| Parte immaginaria | $\Im {\left\{x\left(n\right)\right\}}$ | ${\frac {1}{2j}}\left[X\left(z\right)-X^{*}\left(z^{*}\right)\right]$ | $R_{x}$ |
| Sequenza cosinusoidale | $\cos \left(2\pi fn\right)x\left(n\right)$ | ${\frac {1}{2}}\left[X\left(ze^{j2\pi f}\right)+X\left(ze^{-j2\pi f}\right)\right]$ | — |
| Sequenza sinusoidale | $\sin \left(2\pi fn\right)x\left(n\right)$ | ${\frac {j}{2}}\left[X\left(ze^{j2\pi f}\right)-X\left(ze^{-j2\pi f}\right)\right]$ | — |

### Trasformata zeta unilatera

La trasformata zeta unilatera $X^{+}\left(z\right)$ è la trasformata della parte causale della sequenza $x\left(n\right)$:
    $X^{+}\left(z\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }x\left(n\right)z^{-n}$
Per le sequenze unilatere causali, la trasformata zeta $X\left(z\right)$ coincide con la trasformata zeta unilatera $X^{+}\left(z\right)$.
Proprietà di traslazione nel tempo per trasformate zeta unilatere :
| | Sequenza $y\left(n\right)$ | Trasformata zeta $X^{+}\left(z\right)$ |
| Ritardo nel tempo | $x\left(n-N\right)$ | $z^{-N}\left[X^{+}\left(z\right)+\sum _{n=1}^{N}x\left(-n\right)z^{n}\right]$ |
| Anticipo nel tempo | $x\left(n+N\right)$ | $z^{N}\left[X^{+}\left(z\right)-\sum _{n=0}^{N}x\left(n\right)z^{-n}\right]$ |
    $\sum _{n=0}^{+\infty }x\left(n-N\right)z^{-N}=\sum _{m=-N}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m-N}=z^{-N}\left[\sum _{m=-N}^{-1}x\left(m\right)z^{-m}+\sum _{m=0}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m}\right]=z^{-N}\left[X^{+}\left(z\right)+\sum _{n=1}^{N}x\left(-n\right)z^{n}\right]$
    $\sum _{n=0}^{+\infty }x\left(n+N\right)z^{-n}=\sum _{m=N}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m+N}=z^{N}\left[\sum _{m=0}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m}-\sum _{m=0}^{N-1}x\left(m\right)z^{-m}\right]=z^{N}\left[X^{+}\left(z\right)-\sum _{n=0}^{N}x\left(n\right)z^{-n}\right]$

#### Teorema del valore iniziale

Se $x\left(n\right)$ è una sequenza causale:
    $\lim _{z\to +\infty }X\left(z\right)=x\left(0\right)$
    $\lim _{z\to +\infty }X\left(z\right)=\lim _{z\to +\infty }\left[x\left(0\right)+\underbrace {x\left(1\right)} _{=0}z^{-1}+\underbrace {x\left(2\right)} _{=0}z^{-2}+\ldots \right]$

## Trasformata zeta di sequenze elementari

| Sequenza $x\left(n\right)$ | Trasformata zeta $X\left(z\right)$ | Regione di convergenza | Poli e zeri |
| $\delta \left(n\right)$ | $1$ | $\forall z$ | |
| $\delta \left(n-N\right),\;N>0$ | $z^{-N}$ | $z\neq 0$ | |
| $\delta \left(n+N\right),\;N>0$ | $z^{N}$ | $z\in \mathbb {R}$ | |
| $a^{n}u\left(n\right)$ | ${\frac {1}{1-az^{-1}}}$ | $\left|z\right|>\left|a\right|$ | $z=a$: polo |
| $-a^{n}u\left(-n-1\right)$ | ${\frac {1}{1-az^{-1}}}$ | $\left|z\right|<\left|a\right|$ | |
| $na^{n}u\left(n\right)$ | ${\frac {az^{-1}}{{\left(1-az^{-1}\right)}^{2}}}$ | $\left|z\right|>\left|a\right|$ | |
| $na^{n-1}u\left(n\right)$ | ${\frac {z^{-1}}{{\left(1-az^{-1}\right)}^{2}}}$ | $\left|z\right|>\left|a\right|$ | |
| $\left(n-1\right)a^{n}u\left(n\right)$ | ${\frac {2az^{-1}-1}{{\left(1-az^{-1}\right)}^{2}}}$ | $\left|z\right|>\left|a\right|$ | |
| $n^{2}a^{n}u\left(n\right)$ | ${\frac {az^{-1}\left(1+az^{-1}\right)}{{\left(1-az^{-1}\right)}^{3}}}$ | $\left|z\right|>\left|a\right|$ | |
| $-na^{n}u\left(-n-1\right)$ | ${\frac {az^{-1}}{{\left(1-az^{-1}\right)}^{2}}}$ | $\left|z\right|<\left|a\right|$ | |
| $a^{n}\sin {\left(\omega _{0}n\right)}u\left(n\right)$ | ${\frac {a\sin {\omega _{0}}z^{-1}}{1-2a\cos {\omega _{0}}z^{-1}+a^{2}z^{-2}}}$ | $\left|z\right|>a$ | $z=0$: zero $z=ae^{j\omega _{0}}$: polo $z=ae^{-j\omega _{0}}$: polo |
| $a^{n}\cos {\left(\omega _{0}n\right)}u\left(n\right)$ | ${\frac {1-a\cos {\omega _{0}}z^{-1}}{1-2a\cos {\omega _{0}}z^{-1}+a^{2}z^{-2}}}$ | $\left|z\right|>a$ | $z=a\cos {\omega _{0}}$: zero $z=ae^{j\omega _{0}}$: polo $z=ae^{-j\omega _{0}}$: polo |
| $a^{n}\left[u\left(n\right)-u\left(n-N\right)\right]$ | ${\frac {1-a^{N}z^{-N}}{1-az^{-1}}}$ | $\left|z\right|>0$ | |

## Inversione della trasformata zeta

L'antitrasformata zeta è definita attraverso un integrale di circuitazione:
    $x\left(n\right)={\frac {1}{j2\pi }}\oint _{\gamma }X\left(z\right)z^{n-1}dz$
dove $\gamma$ è una curva di Jordan:
* percorsa in senso antiorario;
* appartenente alla regione di convergenza della trasformata zeta $X\left(z\right)$;
* comprendente l'origine;
* comprendente $N_{p}$ poli della funzione $X\left(z\right)z^{n-1}$.
    $X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)z^{-n};\;{\frac {1}{j2\pi }}\oint _{\gamma }X\left(z\right)z^{n-1}dz={\frac {1}{j2\pi }}\oint _{\gamma }\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)z^{-k}z^{n-1}dz={\frac {1}{j2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)\oint _{\gamma }z^{n-k-1}dz=$
Per il teorema di Cauchy:
    ${\frac {1}{j2\pi }}\otimes _{\gamma }z^{n-1}dz=\delta \left(n\right)\Rightarrow =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)\delta \left(n-k\right)=x\left(n\right)$
Per il teorema dei residui, l'integrale di linea si può esprimere come somma dei residui dovuti agli $N_{p}$ poli:
    $x\left(n\right)={\frac {1}{j2\pi }}\oint _{\gamma }X\left(z\right)z^{n-1}dz=\sum _{i=1}^{N_{p}}{\text{Res}}_{X\left(z\right)z^{n-1}}\left({z_{0}}_{i}\right)$