# Analisi matematica I/I numeri reali

Analisi matematica I
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Principi di insiemistica e funzioni elementari
* Numeri naturali
* Numeri interi
* Numeri razionali
* Numeri reali
* Numeri reali (seconda parte)
* Numeri complessi
* Funzioni
* Funzioni circolari
* Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in $\mathbb {R}$
* Successioni reali
* Limiti di successioni reali
* Teoremi sulle successioni
* Algebra dei limiti delle successioni
* Esistenza del limite di una successione
* Limiti inferiori e superiori
* Forme indeterminate di successioni
* Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
* Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
* Compattezza di un insieme
* Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
* Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
* Algebra dei limiti
* Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
* Analisi matematica I/Funzioni monotone
* Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
* Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
* Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in $\mathbb {R}$ e studio di funzioni
* Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
* Analisi matematica I/Algebra delle derivate
* Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
* Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
* Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
* Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
* Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
* Analisi matematica I/Integrale di Riemann
* Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
* Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
* Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
* Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
* Analisi matematica I/Successioni di funzioni
* Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO Elementi di base
* Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
* Note storiche sugli insiemi
* I numeri reali
* I numeri complessi
* Sommatorie
* progressione geometrica
* fattoriale di n
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* Potenze e radicali
* Esponenziali e logaritmi
* Insiemi infiniti
* Massimi e minimi
* Funzioni
Serie e successioni
* Successioni: definizione
* Limiti: definizione
* Successioni monotone
* Calcolo dei limiti
* Limite di successioni
* Il numero di Nepero (e)
* Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
* Limiti notevoli
* Serie numeriche: definizione
* Serie a termini non negativi
* Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
* Limiti di funzioni da R a R
* Limiti di funzioni da R$^n$ a R$^m$
* Funzioni numeriche e generalità
* Grafico di una funzione
* Funzioni limitate
* Funzioni simmetriche, pari e dispari
* Funzioni monotone
* Funzioni periodiche
* Limiti, continuità, asintoti
* Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
* Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
* Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
* Introduzione
* Il rapporto incrementale
* Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
* Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
* Le derivate fondamentali
* Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
* Il teorema di de L’Hospital
* Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
* o piccolo
* Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
* Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
* Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
* Proprietà dell'integrale
* Il teorema fondamentale del calcolo integrale
* Metodo di ricerca della primitiva
* Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
* Funzioni integrabili
* integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
* Integrazione di funzioni non limitate
* Criteri di integrabilità al finito
* Integrazione su intervalli illimitati
* Criteri di integrabilità all’infinito
* Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
* Integrazione delle funzioni trigonometriche
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## Definizione

L'insieme R è l'insieme dei numeri in cui sono definite le operazioni già definite in Q (cioè Somma, Prodotto e la relazione di Ordinamento), sono verificate le proprietà su tali operazioni e relazioni, e in cui vale un nuovo assioma, chiamato Assioma di Continuità.

## L'insieme $\mathbb {Q}$ e l'insieme $\mathbb {R}$

I numeri razionali si scrivono nella forma $m \over n$, dove $n\neq 0$ e $m,n\in \mathbb {Z}$. L'insieme dei numeri razionali $\mathbb {Q}$ risulta essere limitato; se consideriamo un quadrato di lato 1, la sua diagonale (che per il teorema di Pitagora varrebbe radice di 2) non è misurabile in $\mathbb {Q}$ : ${\sqrt {2}}$ non può mai essere scritto sotto forma di frazione razionale.
Per rappresentare questi numeri, detti irrazionali, l'insieme $\mathbb {Q}$ è stato esteso, ed è nato l'insieme dei numeri reali $\mathbb {R}$ (unione dei numeri razionali e irrazionali). Le 11 proprietà che erano definite per l'insieme $\mathbb {Q}$ (9 per le Operazioni Somma e Prodotto e 2 per la Relazione di Ordinamento) sono anche qui verificate.

## Proprietà di Q che valgono in R

Proprietà Somma e Prodotto:
S1 Commutativa : ∀x,y ∈ R, x+y = y+x
S2 Associativa : ∀x,y,z ∈ R, (x+y)+z = x+(y+z)
S3 Elemento Neutro : ∀x ∈ R, x+0 = x
S4 Elemento Opposto : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R tale che x+y = 0 (x = -y)
P1 Commutativa : ∀x,y ∈ R, xy = yx
P2 Associativa : ∀x,y,z ∈ R, (xy)z = x(yx)
P3 Elemento Neutro : ∀x ∈ R, x×1 = x
P4 Reciproco (Inverso) : ∀x ∈ R, x ≠ 0, ∃y ∈ R tale che xy = 1 (y = 1/x)
SP Distributiva : ∀x,y,z ∈ R, (x+y)z = xz+yz
Relazioni di Ordinamento:
SO Rispetto alla Somma : ∀x,y ∈ R, x ≤ y, ∃z ∈ R tale che x+z ≤ y+z
PO Rispetto al Prodotto : ∀x,y ∈ R, x ≤ y, ∃z ∈ R, z ≥ 0 tale che xz ≤ yz

## Assioma di Continuità

Nell'insieme R è verificato un importante assioma, chiamato Assioma di Continuità, che è alla base di tutti i teoremi dell'Analisi Matematica. Quest'assioma afferma che: Se prediamo un insieme limitato superiormente contenuto in R, questo insieme ammette Estremo Superiore, e viceversa, se prendiamo un insieme limitato inferiormente contenuto in R, allora l'insieme ammette Estremo Inferiore.