# Algebra 2/Algebra di secondo grado/Disquazioni di secondo grado

Algebra 2
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## Risoluzione delle disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado si presenta in una delle seguenti forme:
$ax^{2}+bx+c>0;\quad ax^{2}+bx+c\geq 0;\quad ax^{2}+bx+c<0;\quad ax^{2}+bx+c\leq 0.$
Per risolverla supponiamo che il coefficiente di $x^{2}$, cioè il coefficiente $a$, sia positivo. Se così non fosse, basterebbe cambiare segno a tutti i termini e quindi il verso della disequazione; per esempio, per risolvere la disequazione $-2x^{2}+3x-1>0$ si può risolvere la disequazione $2x^{2}-3x+1<0$.
Per risolvere una disequazione di secondo grado si risolve l’equazione associata, cioè si sostituisce il segno della disequazione con l’uguale. Si passa cioè dalla disequazione $ax^{2}+bx+c>0$ all’equazione $ax^{2}+bx+c=0$.
Possono presentarsi tre casi.

### Equazione spuria

Sono equazioni senza il termine noto: $ax^{2}+bx=0$.
Questa equazione ammette sempre due radici reali e distinte, di cui una è sempre $0$. Ricordiamo che l’equazione si risolve mettendo $x$ a fattore comune $x(ax+b)=0$ e applicando la legge di annullamento del prodotto, da cui ricaviamo $x=0\ \vee \ ax+b=0\rightarrow x=-{\tfrac {b}{a}}$. Chiamiamo le due radici $x_{1}$ e $x_{2}$. Analogamente a quanto fatto nelle disequazioni di primo grado, poniamo separatamente ogni fattore maggiore di $0$ e confrontiamo i segni dei singoli fattori, come nel seguente grafico.
Dal grafico si evince che le soluzioni saranno:
* $x<x_{1}\vee x>x_{2}$ soluzioni esterne se la disequazione è $ax^{2}+bx>0$, analogamente $x\leq x_{1}\vee x\geq x_{2}$ se la disequazione è $ax^{2}+bx\geq 0$.
* $x_{1}<x<x_{2}$ soluzioni interne se la disequazione è $ax^{2}+bx<0$, analogamente $x_{1}\leq x\leq x_{2}$ se la disequazione è $ax^{2}+bx\leq 0$.
Esempio:
* $3x^{2}-2x>0$. Mettiamo $x$ a fattore comune $x(3x-2)>0$. Poiché il verso della disequazione è “$>0$” la disequazione è verificata per valori esterni alle soluzioni dell’equazione, cioè: $x<0\vee x>{\tfrac {2}{3}}$;
* $5x^{2}+x\leq 0$. Mettiamo $x$ a fattore comune $x(5x+1)\leq 0$. Poiché il verso della disequazione è “$\leq 0$” la disequazione è verificata per valori interni alle soluzioni dell’equazione, cioè: $-{\tfrac {1}{5}}\leq x\leq 0$;
* $x-3x^{2}>0$ cambiamo di segno $3x^{2}-x<0$ da cui $x(3x-1)<0$. Soluzioni: $0<x<{\tfrac {1}{3}}$.

### Equazione pura

Sono equazioni senza il termine con la $x$: $ax^{2}+c=0$.
Possono esserci due situazioni:
* $c<0$: in questo caso l’equazione ammette due radici reali opposte: $x_{1{\text{,}}2}=\pm {\sqrt {-{\tfrac {c}{a}}}}$: si torna al caso precedente e si ha $x<x_{1}\vee x>x_{2}$ (cioè per valori esterni) se la disequazione è $ax^{2}+c>0$ oppure $x_{1}<x<x_{2}$ (cioè per valori interni) se la disequazione è $ax^{2}+c<0$;
* $c>0$: l’equazione non ammette soluzioni reali; il binomio $ax^{2}+c$ è la somma di un quadrato con un numero positivo, pertanto è sempre positivo. Di conseguenza, la disequazione $ax^{2}+c>0$ avrà soluzioni per ogni $x$ reale, mentre $ax^{2}+c<0$ non avrà nessuna soluzione reale.
Esempio:
* $x^{2}-4\geq 0$ soluzioni $x\leq -2\vee x\geq 2$;
* $2x^{2}-18\leq 0$ soluzioni $-3\leq x\leq 3$;
* $x^{2}+4>0$ soluzioni $\forall x\in \mathbb {R}$;
* $x^{2}+9\leq 0$ soluzioni nessun valore reale ${\text{I.S.}}=\emptyset$;
* $1-x^{2}<0$ cambiamo di segno $x^{2}-1>0$ soluzioni $x<-1\vee x>1$.

### Equazione completa

Sono equazioni con tutti i coefficienti diversi da zero: $ax^{2}+bx+c=0$.
Si calcola il valore del discriminante $\Delta =b^{2}-4{ac}$ e a secondo del suo segno possono presentarsi tre casi:
Primo caso: $\Delta >0$  L’equazione ammette due radici reali e distinte $x_{1}$ e $x_{2}$ e il trinomio si scompone in $a(x-x_{1})(x-x_{2})$. Poiché abbiamo supposto $a$ positivo, il segno del trinomio è dato, per il teorema dui Cartsio, dal seguente schema (ponendo $x_{1}<x_{2}$):
Pertanto la disequazione ${ax}^{2}+{bx}+c\geq 0$ è verificata per valori esterni alle soluzioni, cioè $x\leq x_{1}\vee x\geq x_{2}$; mentre la disequazione ${ax}^{2}+{bx}+c\leq 0$ è verificata per valori interni alle soluzioni, cioè $x_{1}\leq x\leq x_{2}$.
Esempio:
* $x^{2}-3x-4>0$. Calcolo il valore del discriminante $\Delta =9+16=25$ e le soluzioni dell’equazione associata $x_{1}=-1\,\vee \,x_{2}=4$. Le soluzioni della disequazione sono: $x<-1\,\vee \,x>4$;
* $x^{2}-3x-4<0$. In questo caso le soluzioni della disequazione sono $-1<x<4$.
Secondo caso: $\Delta =0$
In questo caso le radici dell’equazione associata sono coincidenti $x_{1}=x_{2}$, pertanto il trinomio si scompone in $a(x-x_{1})^{2}$. Poiché $a$ è positivo e il quadrato è positivo o al più nullo, si possono verificare quattro casi:
* $a(x-x_{1})^{2}>0$ è verificata $\forall x\in \mathbb {R} -\{x_{1}\}$;
* $a(x-x_{1})^{2}\geq 0$ è verificata $\forall x\in \mathbb {R}$;
* $a(x-x_{1})^{2}<0$ non è mai verificata;
* $a(x-x_{1})^{2}\leq 0$ è verificata solo per $x=x_{1}$.
Esempio:
* $x^{2}-2x+1>0$. Si ha $(x-1)^{2}>0$ che è verificata $\forall x\in \mathbb {R} -\{1\}$;
* $4x^{2}-4x+1\geq 0$. Si ha $(2x-1)^{2}\geq 0$ che è verificata $\forall x\in \mathbb {R}$;
* $x^{2}+2x+1<0$. Si ha $(x+1)^{2}<0$ che non è mai verificata;
* $4x^{2}+4x+1\leq 0$. Si ha $(2x+1)^{2}\leq 0$ che è verificata solo per $x=-{\tfrac {1}{2}}$.
Terzo caso: $\Delta <0$  Studiamo il segno che assume il trinomio in questo caso. Dobbiamo eseguire i seguenti passaggi:
* mettiamo il coefficiente $a$ a fattore comune, aggiungendo e togliendo ${\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}$ ottenendo
${ax}^{2}+{bx}+c=a\left(x^{2}+{\tfrac {b}{a}}x+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\tfrac {c}{a}}\right);$
* osserviamo che i primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato di un binomio, e riduciamo gli ultimi due allo stesso denominatore ottenendo
$a\left[\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\tfrac {b^{2}-4{ac}}{4a^{2}}}\right];$
* studiamo ora il segno di questa espressione: $a$ è positivo, nella parentesi quadra si ha una somma in cui $\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}$ essendo un quadrato è sempre positivo, come $-{\tfrac {b^{2}-4{ac}}{4a^{2}}}=-{\tfrac {\Delta }{4a^{2}}}$ sempre positivo perché $\Delta <0$. Possiamo allora concludere che il trinomio è sempre positivo.
Si hanno allora le seguenti possibilità con $a>0$:
* ${ax}^{2}+{bx}+c>0$ è verificata $\forall x\in \mathbb {R}$;
* ${ax}^{2}+{bx}+c\geq 0$ è verificata $\forall x\in \mathbb {R}$ (anche se non può mai essere uguale a zero);
* ${ax}^{2}+{bx}+c<0$ non è mai verificata;
* ${ax}^{2}+{bx}+c\leq 0$ non è mai verificata.
Esempio:
* $2x^{2}-3x+4>0$. Si ha $\Delta =9-32=-23<0$, verificata $\forall x\in \mathbb {R} ;$
* $x^{2}-x+1<0$. Si ha $\Delta =1-4=-3<0$, mai verificata per alcun valore reale di $x.$
I seguenti esempi analizzano la risoluzione di disequazioni di secondo grado con $\Delta \geq 0.$
Esempio:
Cambiamo segno per avere il primo coefficiente positivo; la disequazione si trasforma in $3x^{2}-2x<0;$ l’equazione associata è spuria $3x^{2}-2x=0$ con le radici $x_{1}=0\vee x_{2}={\tfrac {2}{3}}$. Pertanto la disequazione assegnata ha ${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<{\tfrac {2}{3}}\right\}.$
Esempio:
L’equazione associata $2x^{2}-5=0$ è pura con soluzioni reali $x=\pm {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$. Razionalizzando otteniamo: $x_{1}=-{\tfrac {\sqrt {10}}{2}}\vee x_{2}=+{\tfrac {\sqrt {10}}{2}}$ e quindi ${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid -{\tfrac {\sqrt {10}}{2}}\leq x\leq +{\tfrac {\sqrt {10}}{2}}\right\}.$
Esempio:
L’equazione associata è completa $2x^{2}+3x-1=0$; $\Delta =9+8=17>0$ è positivo, dunque le soluzioni sono $x_{1}={\tfrac {-3-{\sqrt {17}}}{4}}\vee x_{2}={\tfrac {-3+{\sqrt {17}}}{4}}$. Ci troviamo nel primo caso, quindi l’insieme soluzione della disequazione è ${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x<{\tfrac {-3-{\sqrt {17}}}{4}}\vee x>{\tfrac {-3+{\sqrt {17}}}{4}}\right\}.$
Conclusione Una disequazione di secondo grado si presenta sempre in una delle seguenti forme: ${ax}^{2}+{bx}+c>0$, ${ax}^{2}+{bx}+c\geq 0$, ${ax}^{2}+{bx}+c<0$, ${ax}^{2}+{bx}+c\leq 0$; possiamo sempre supporre positivo il primo coefficiente e, anche se incompleta, per l’equazione associata possiamo sempre pensare ai tre casi generati dal segno del discriminante $\Delta =b^{2}-4{ac}$.
Pertanto l’insieme soluzione ${\text{I.S.}}$ segue lo schema riportato nella seguente tabella:
| Delta | $ax^{2}+bx+c>0$ | $ax^{2}+bx+c\geq 0$ | $ax^{2}+bx+c<0$ | $ax^{2}+bx+c\leq 0$ |
| $\Delta >0^{*}$ | $x<x_{1}\vee x>x_{2}$ | $x\leq x_{1}\vee x\geq x_{2}$ | $x_{1}<x<x_{2}$ | $x_{1}\leq x\leq x_{2}$ |
| $\Delta =0^{**}$ | $\forall x\in \mathbb {R} -\{x_{1}\}$ | $\forall x\in \mathbb {R}$ | ${\text{I.S.}}=\emptyset$ | $x=x_{1}=x_{2}$ |
| $\Delta <0^{***}$ | $\forall x\in \mathbb {R}$ | $\forall x\in \mathbb {R}$ | ${\text{I.S.}}=\emptyset$ | ${\text{I.S.}}=\emptyset$ |
* l’equazione associata ha 2 soluzioni reali distinte: $x=x_{1}\vee x=x_{2}$.
** l’equazione associata ha 2 soluzioni reali coincidenti: $x=x_{1}=x_{2}$.
*** l’equazione associata non ha soluzioni reali.

## Risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado

Ricordiamo che un polinomio in una sola variabile, solitamente indicata con $x$, è di secondo grado se $2$ è il massimo esponente della variabile. Per trinomio di secondo grado intendiamo un polinomio di secondo grado: $ax^{2}+bx+c$ con $a\in \mathbb {R} _{0}$ e $b$, $c\in \mathbb {R}$. Chiamiamo zeri del trinomio i numeri reali soluzione dell’equazione associata $ax^{2}+bx+c=0$.
Definizione: Una funzione $f$ che associa ad ogni numero $x\in \mathbb {R}$ il valore $y=ax^{2}+bx+c$ con $a\in \mathbb {R} _{0}$ e $b$, $c\in \mathbb {R}$ si chiama funzione polinomiale di secondo grado.
Nel riferimento cartesiano ortogonale, il grafico della funzione $f$ è costituito da tutti e soli i punti le cui coordinate soddisfano l’equazione $y=ax^{2}+bx+c$; se $x_{1}$ e $x_{2}$ sono gli zeri reali del trinomio $ax^{2}+bx+c$ significa che attribuendo tali valori alla variabile $x$ si ha $y=0$; essi sono dunque gli zeri della funzione, ossia le ascisse dei punti del grafico appartenenti all’asse $x$.
Esempio:
Determinate gli zeri del trinomio $x^{2}+x-2$.
Risolviamo l’equazione $x^{2}+x-2=0$ che avendo il discriminante positivo ammette due soluzioni reali distinte $x_{1}=-2\vee x_{2}=1$. I due numeri $1$ e $-2$ sono gli zeri della funzione $y=x^{2}+x-2$ (figura [fig:4.1] a pagina ). Nel riferimento cartesiano ortogonale i punti $P_{1}(-2;0)$ e $P_{2}(1;0)$ sono i punti del grafico della funzione appartenenti all’asse $x$.
Esempio:
Determinate gli zeri del trinomio $x^{2}-4x+4$.
Risolviamo l’equazione $x^{2}-4x+4=0$ che avendo il discriminante nullo ammette due soluzioni reali coincidenti $x_{1}=x_{2}=2$, gli zeri del trinomio sono coincidenti nel numero $2$ e il grafico della funzione $y=x^{2}-4x+4$ (figura [fig:4.2] a pagina ) ha quindi due punti coincidenti appartenenti all’asse $x$: $P_{1}\equiv P_{2}(2;0)$.
Esempio:
Determinate gli zeri del trinomio $x^{2}-2x+5$.
Risolviamo l’equazione $x^{2}-2x+5=0$ che avendo il discriminante negativo non ammette soluzioni reali; il trinomio non ha zeri reali e il grafico della funzione $y=x^{2}-2x+5$ non ha punti appartenenti all’asse $x$.
Questi esempi ci hanno permesso di chiarire il collegamento tra il concetto algebrico “zeri di un polinomio” e il concetto geometrico di “punti sull’asse delle ascisse” del grafico della funzione polinomiale di secondo grado. Pertanto studiare il segno di un trinomio di secondo grado equivale a determinare quali sono le ascisse dei punti della funzione $y=ax^{2}+bx+c$ (con $a\in \mathbb {R} _{0}$ e $b$, $c\in \mathbb {R}$) che hanno ordinata positiva oppure ordinata negativa.
Ricordiamo che nel riferimento cartesiano ortogonale i punti ad ordinata positiva si trovano nel I e nel II quadrante (cioè al di sopra dell’asse $x$), i punti ad ordinata negativa si trovano nel III e nel IV quadrante (cioè al di sotto dell’asse $x$) e i punti ad ordinata nulla si trovano sull’asse $x$.
Per studiare il segno del trinomio, dobbiamo quindi tracciare, nel riferimento cartesiano, il grafico della funzione $y=ax^{2}+bx+c$ (con $a\in \mathbb {R} _{0}$ e $b$, $c\in \mathbb {R}$).

### Rappresentazione di una funzione polinomiale di secondo grado nel piano cartesiano

Consideriamo la funzione $y=2x^{2}$ (figura [fig:4.4] a pagina ) di proporzionalità quadratica definita in tutto $\mathbb {R}$; sappiamo che il suo grafico è una parabola che volge la concavità verso l’alto essendo il coefficiente della variabile indipendente positivo e che il punto $O(0;0)$ è il suo vertice. Per tracciarne il grafico compiliamo una tabella e riportiamo i punti nel riferimento cartesiano.
| $x$ | ${-1,5}$ | $-1$ | ${-0,5}$ | $0$ | ${0,5}$ | $1$ | ${1,5}$ |
| $y=2x^{2}$ | ${4,5}$ | $2$ | ${0,5}$ | $0$ | ${0,5}$ | $2$ | ${4,5}$ |
Applichiamo a tutti i punti della tabella la traslazione di vettore ${\vec {u}}(1;1)$. Sappiamo che la traslazione modifica le coordinate dei punti secondo il sistema ${T}(1;1)\left\{{\begin{array}{l}{x'=x+1}\\{y'=y+1}\end{array}}\right.$ quindi possiamo compilare la tabella dei punti corrispondenti di $x$ e $y$ secondo $T(1;1)$ e infine tracciare il grafico della parabola immagine di $y=2x^{2}$.
| $x'$ | ${-0,5}$ | $0$ | ${0,5}$ | $1$ | ${1,5}$ | $2$ | ${2,5}$ |
| $y'$ | ${5,5}$ | $3$ | ${1,5}$ | $1$ | ${1,5}$ | $3$ | ${5,5}$ |
Dal grafico possiamo leggere le seguenti informazioni:
* l’immagine della parabola iniziale $p$, è ancora una parabola $p'$ essendo la traslazione una isometria;
* la parabola $p'$ volge la concavità verso l’alto, come la parabola iniziale $p$;
* il vertice $O(0;0)$ della parabola $p$ ha come immagine il vertice $D(1;1)$ della parabola $p'$, coincidente con l’estremo libero del vettore ${\vec {u}}(1;1)$ che definisce la traslazione;
* il vettore che individua la traslazione è indicato nella figura con ${\vec {u}}$; i vettori ${\vec {v}}$ e ${\vec {w}}$ rappresentano lo stesso vettore applicato a tre punti presi a caso sulla parabola iniziale.
La parabola immagine di $y=2x^{2}$ è rappresentata da una funzione polinomiale di secondo grado che si ottiene ricavando dal sistema ${T}(1;1)$ le coordinate $\left\{{\begin{array}{l}{x=x'-1}\\{y=y'-1}\end{array}}\right.$ che, sostituite nell’equazione di $p$ $(y'-1)=2\cdot (x'-1)^{2}$, permettono di ottenere l’equazione di $p'$: $y=2x^{2}-4x+3$.
Generalizziamo  Data la parabola di equazione $y=ax^{2}$ e la traslazione
${T}(v_{x};v_{y})\left\{{\begin{array}{l}{x'=x+v_{x}}\\{y'=y+v_{y}}\end{array}}\right.{\text{,}}$
per ottenere l’equazione della curva immagine ricaviamo $\left\{{\begin{array}{l}{x=x'-v_{x}}\\{y=y'-v_{y}}\end{array}}\right.$ da sostituire nell’equazione $y={ax}^{2}$. Da $(y'-v_{y})=a\cdot (x'-v_{x})^{2}$ svolgendo i calcoli si ottiene
$y'=a(x')^{2}-(2av_{x})x'+a(v_{x})^{2}+v_{y}.$
Se poniamo $-2{av}_{x}=b$ e $a(v_{x})^{2}+v_{y}=c$ l’equazione della parabola $p'$ immagine di quella data è $y={ax}^{2}+{bx}+c$, espressa attraverso un polinomio di secondo grado.
Viceversa  Assegnata la funzione polinomiale di secondo grado $y={ax}^{2}+{bx}+c$ con $a\neq 0$, sappiamo che il grafico di tale curva è una parabola. In particolare:
* il coefficiente $a$ indica la concavità: verso l’alto se $a>0$, verso il basso se $a<0$;
* il coefficiente $c$ indica l’intersezione della parabola con l’asse delle $y$;
* dalle formule $-2av_{x}=b$ e $a(v_{x})^{2}+v_{y}=c$ ricaviamo le coordinate del suo vertice $v_{x}=-{\tfrac {b}{2a}}$ e $v_{y}=c-a\left(-{\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}={\tfrac {4ac-b^{2}}{4a}}=-{\tfrac {\Delta }{4a}}$;
* risolvendo l’equazione ${ax}^{2}+{bx}+c=0$ determiniamo gli eventuali punti di intersezione con l’asse $x$ (gli zeri della funzione);
* assegnando alla variabile indipendente valori arbitrari, possiamo ottenere altri punti del grafico.
Esempio:
* essendo il coefficiente $a=1$, la concavità è verso l’alto;
* il coefficiente $c=-3$ indica che la parabola incontra l’asse delle $y$ nel punto $(0;-3)$;
* essendo $a=1$, $b=-2$ e $c=-3$, le coordinate del vertice $V$ sono $v_{x}=-{\tfrac {-2}{2}}=1$ e $v_{y}={\tfrac {-12-4}{4}}=-4$;
* le ascisse dei punti $A(-1;0)$ e $B(3;0)$ rappresentano gli zeri della funzione, soluzione dell’equazione $x^{2}-2x-3=0$;
* altri punti della parabola si trovano assegnando alla variabile indipendente valori arbitrari: per $x=2$, per esempio, otteniamo $y=(2)^{2}-2(2)-3=-3$; il punto $P(2;-3)$ è pertanto un punto della parabola.
Dal grafico possiamo affermare che $f$ è l’immagine di $y=x^{2}$ nella traslazione di vettore ${\vec {v}}(1;-4)$.

### Segno di un trinomio di secondo grado per via grafica

Esempio:
Si tratta di stabilire per quali valori di $x$ esso assume segno positivo, per quali segno negativo e per quali eventualmente si annulla.
La richiesta è interpretabile anche come la ricerca degli insiemi soluzioni dell’equazione $x^{2}-2x-3=0$ e delle disequazioni $x^{2}-2x-3>0$ e $x^{2}-2x-3<0.$
Strategia risolutiva: Tracciamo il grafico della funzione $y=x^{2}-2x-3$ e leggiamo dal grafico gli insiemi richiesti (vedi la figura precedente):
* Le ascisse dei punti $A$ e $B$ costituiscono l’insieme soluzione dell’equazione $x^{2}-2x-3=0$ cioè $x_{1}=-1\vee x_{2}=3$;
* I valori di $x$ dell’insieme $H=\{x\in \mathbb {R} \mid x_{A}<x<x_{B}\}$ rendono il trinomio negativo; infatti preso un valore dell’insieme, ad esempio $x=0$, il punto sulla parabola ha ordinata negativa $(-3)$. Per esercizio segnate il punto sul grafico e ripetete per $x=1$, $x={\tfrac {3}{2}}$, $x=2$;
* I valori di $x$ dell’insieme $K=\{x\in \mathbb {R} \mid x<x_{A}\vee x>x_{B}\}$ rendono il trinomio positivo; infatti preso un valore dell’insieme, ad esempio $x={\tfrac {7}{2}}$, il punto sulla parabola ha ordinata positiva. Per esercizio segnatelo sul grafico e ripetete per $x=-{\tfrac {6}{5}}$.
Osservazione: La ricerca dell’insieme soluzione di una disequazione di secondo grado è sempre interpretabile come la ricerca del segno di un trinomio di secondo grado e quindi risolubile per via grafica. In questi casi non è necessario rappresentare in modo preciso la parabola associata al trinomio, ma basta ricordare quanto detto inizialmente sugli zeri di una funzione (vedi la figura).
Esempio:
* $x^{2}+x-2>0$. Risolviamo l’equazione $x^{2}+x-2=0$ che avendo il discriminante positivo ammette due soluzioni reali distinte $x_{1}=-2\vee x_{2}=1$. Tali valori sono gli zeri del trinomio e dunque gli zeri della funzione $y=x^{2}+x-2$; la parabola volge la concavità verso l’alto quindi possiamo grossolanamente rappresentare la sua posizione rispetto all’asse $x$ e dedurre l’insieme soluzione richiesto: ${\text{I.S.}}=\{x\in \mathbb {R} \mid x<-2\vee x>1\}$ o con notazione insiemistica $(-\infty$, $-2)\cup (1$, $+\infty )$;
* $x^{2}-4x+4\leq 0$. Risolviamo l’equazione $x^{2}-4x+4=0$ che avendo il discriminante nullo ammette due soluzioni reali coincidenti $x_{1}=x_{2}=2$: gli zeri del trinomio sono quindi coincidenti nel numero $2$; la parabola $y=x^{2}-4x+4$ ha il vertice sull’asse $x$ e volge la concavità verso l’alto quindi possiamo grossolanamente rappresentare la sua posizione e dedurre l’insieme soluzione richiesto: ${\text{I.S.}}=\{x\in \mathbb {R} \mid x=2\}$, ovvero $\{2\}$. Nessun valore reale rende il trinomio negativo;
* $x^{2}-2x+7>0$. Risolviamo l’equazione $x^{2}-2x+7=0$ che avendo il discriminante negativo non ammette soluzioni reali; il trinomio non ha zeri reali, la parabola $y=x^{2}-2x+7$ volge la concavità verso l’alto e non ha punti appartenenti all’asse $x$ quindi possiamo grossolanamente rappresentare la sua posizione e dedurre l’insieme soluzione richiesto: ${\text{I.S.}}=\mathbb {R}$, ovvero $(-\infty$, $+\infty )$.

## Segno del trinomio a coefficienti letterali

Consideriamo il trinomio $t=kx^{2}+3x-7$ avente il coefficiente del termine di secondo grado dipendente dal parametro $k$.
Come possiamo stabilire il segno del trinomio $t=kx^{2}+3x-7$, al variare di $k$? Sappiamo che stabilire il segno di un trinomio significa determinare i valori reali che attribuiti alla variabile indipendente $x$ rendono il trinomio positivo, nullo o negativo. Evidentemente per i vari valori reali di $k$ avremo una diversa disequazione da risolvere; dobbiamo dunque cercare di analizzare come varia il trinomio al variare dei valori di $k$ e in seguito studiare il segno del trinomio ottenuto.
Questa analisi di situazioni diverse è la discussione del trinomio a coefficienti parametrici.
Esempio:
Prendiamo in considerazione il segno del coefficiente del termine di secondo grado e il segno del discriminante dell’equazione associata $kx^{2}+3x-7=0$. Il coefficiente del termine di secondo grado è maggiore di zero per $k>0$. Il discriminante $\Delta =9+28k$ è positivo per $k>-{\tfrac {9}{28}}$. Rappresentiamo la loro reciproca situazione:
    (A) $k<-{\tfrac {9}{28}}$: il coefficiente del termine di secondo grado è negativo così come il discriminante, la parabola volge la concavità verso il basso e non ha zeri reali: il trinomio è negativo per qualunque valore reale di $x$;
    (B) $k=-{\tfrac {9}{28}}$: il coefficiente del termine di secondo grado è negativo e il discriminante è uguale a zero. La parabola volge la concavità verso il basso e ha due zeri reali coincidenti $x_{1}=x_{2}={\tfrac {14}{3}}$. Il trinomio si annulla per $x={\tfrac {14}{3}}$ mentre per qualunque altro valore di $x$ è negativo;
    (C) $-{\tfrac {9}{28}}<k<0$: il coefficiente del termine di secondo grado è negativo e il discriminante è positivo. La parabola volge la concavità verso il basso e ha due zeri reali distinti: il trinomio si annulla per $x=x_{1}\vee x=x_{2}$; è positivo per $x_{1}<x<x_{2}$; è negativo per $x<x_{1}\vee x>x_{2}$;
    (D) $k=0$: il trinomio diventa un binomio di primo grado: $t=3x-7$ e quindi $t>0$ per $x>{\tfrac {7}{3}}$, $t<0$ per $x<{\tfrac {7}{3}}$, $t=0$ per $x={\tfrac {7}{3}}$;
    (E) $k>0$: Il coefficiente del termine di secondo grado è positivo così come il discriminante. La parabola ha concavità verso l’alto e due zeri reali distinti: il trinomio si annulla per $x=x_{1}\vee x=x_{2}$; è negativo per $x_{1}<x<x_{2}$; è positivo per $x<x_{1}\vee x>x_{2}$.
Esempio:
Prendiamo in considerazione il primo coefficiente (quello del termine di secondo grado) e il discriminante dell’equazione associata $x^{2}+kx+1=0$ e stabiliamo il loro segno: il primo coefficiente è 1 e quindi indipendente dal parametro e sempre positivo quindi la parabola volge sempre la concavità verso l’alto. Essendo il discriminante $\Delta =k^{2}-4$ si hanno soluzioni reali per $k\leq -2\vee k\geq 2$. Rappresentiamo la loro reciproca situazione:
* $k<-2\vee k>2$; il discriminante è positivo. L’equazione ha due zeri reali distinti: $x=x_{1}\vee x=x_{2}$ quindi ${\text{I.S.}}=\{x\in \mathbb {R} \mid x_{1}<x<x_{2}\}$;
* $-2<k<2$; il discriminante è negativo. La parabola non ha zeri reali: ${\text{I.S.}}=\emptyset$;
* $k=-2\vee k=2$; il discriminante è nullo. In ognuno dei due casi la parabola ha un unico zero reale: ${\text{I.S.}}=\{-1$, $1\$.

## Disequazioni polinomiali di grado superiore al secondo

Esempio:
La richiesta del problema implica la ricerca dell’insieme soluzione della disequazione $x^{3}-3x>3x^{2}+4$ di terzo grado nella variabile $x$. Scriviamo la disequazione in forma canonica, applicando i principi di equivalenza: $x^{3}-3x^{2}-3x-4>0$. Si tratta di una disequazione polinomiale di terzo grado.
Procediamo nella scomposizione in fattori del polinomio $p(x)=x^{3}-3x^{2}-3x-4$. Mediante la regola di Ruffini possiamo determinare un suo zero $x=4$ e dunque ottenere $p(x)=(x-4)(x^{2}+x+1)$.
Determiniamo il segno dei singoli fattori: il primo fattore $f_{1}=x-4>0\Rightarrow x>4$; il secondo fattore $f_{2}=x^{2}+x+1>0$ è una disequazione di secondo grado. Il primo coefficiente è positivo, quindi la parabola volge la concavità verso l’alto, e il discriminante $\Delta =1-4=-3$ è negativo, pertanto l’equazione associata non ha zeri reali, dunque $f_{2}$ è positivo per qualunque valore reale di $x$. Costruiamo la tabella dei segni:
${\text{I.S.}}=\{x\in \mathbb {R} \mid x>4\}=(4$, $+\infty )$.
Procedura: Risolvere le disequazioni di grado superiore al primo:
* scomporre il polinomio di grado $n$ in fattori di primo e secondo grado;
* studiare il segno dei singoli fattori;
* costruire la tabella dei segni;
* cercare gli intervalli in cui il polinomio dato assume il segno richiesto.
Esempio:
Osserviamo che la disequazione proposta è polinomiale di terzo grado; eseguiamo i calcoli per portarla alla forma $p(x)\geq 0$. Si ottiene $3x^{3}-8x^{2}-3x\geq 0$ e con la scomposizione si ha $x\cdot (3x^{2}-8x-3)\geq 0$. Procediamo con lo studio dei segni dei singoli fattori: $f_{1}=x\geq 0$ e $f_{2}=3x^{2}-8x-3\geq 0\Rightarrow x\leq -{\tfrac {1}{3}}\vee x\geq 3$ e compiliamo la tabella dei segni, che lasciamo fare al lettore.
Otteniamo: ${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid -{\tfrac {1}{3}}\leq x\leq 0\vee x\geq 3\right\}$.
Esempio:
Il binomio al primo membro è una differenza di quadrati, quindi scomponendolo si ottiene: $64x^{6}-1=(8x^{3}-1)(8x^{3}+1)=(2x-1)(4x^{2}+2x+1)(2x+1)(4x^{2}-2x+1).$
Si tratta allora di studiare il segno dei singoli fattori: $f_{1}=2x-1>0\Rightarrow x>{\tfrac {1}{2}}$; $f_{2}=4x^{2}+2x+1>0\Rightarrow \forall x\in \mathbb {R}$; $f_{3}=2x+1>0\Rightarrow x>-{\tfrac {1}{2}}$; $f_{4}=4x^{2}-2x+1>0\Rightarrow \forall x\in \mathbb {R}$ e di determinare il segno richiesto dopo aver costruito la tabella dei segni.
Esempio:
Il trinomio al primo membro è di quarto grado; sappiamo che con la sostituzione $x^{2}=t$ può essere ricondotto ad un trinomio di secondo grado la cui scomposizione in fattori risulta $(t-9)\cdot (t+5)$ e quindi la disequazione assegnata diventa: $(x^{2}-9)\cdot (x^{2}+5)>0$.
Si tratta allora di studiare il segno dei singoli fattori $f_{1}=x^{2}-9>0\Rightarrow x<-3\vee x>3$ e $f_{2}=x^{2}+5>0\Rightarrow \forall x\in \mathbb {R}$ per poi determinare il segno richiesto dopo aver costruito la tabella dei segni.

## Disequazioni fratte

Ricordiamo che una disequazione è frazionaria o fratta quando il suo denominatore contiene l’incognita.
Procedura: Soluzione di una disequazione frazionaria:
* applicando il primo principio di equivalenza si trasportano tutti i termini al primo membro e si calcola il risultato dell’equazione assegnata $E(x)={\tfrac {N(x)}{D(x)}}$;
* si determinano le condizioni di esistenza ponendo $D(x)\neq 0$;
* impostiamo la disequazione nella forma ${\tfrac {N(x)}{D(x)}}\geq 0$, ${\tfrac {N(x)}{D(x)}}\leq 0$, ${\tfrac {N(x)}{D(x)}}>0$ o ${\tfrac {N(x)}{D(x)}}<0$ a seconda del quesito posto da problema;
* si studia il segno del numeratore e del denominatore, ponendo $N(x)>0$ oppure $N(x)\geq 0$ (a seconda della richiesta) e $D(x)>0$;
* si costruisce la tabella dei segni, segnando con un punto pieno gli zeri della frazione, se richiesti;
* si individuano gli intervalli in cui la frazione assume il segno richiesto.
Vediamo attraverso alcuni esempi come procedere.
Esempio:
Osservazioni preliminari
* L’espressione assegnata è frazionaria, quindi lo studio del segno deve essere circoscritto ai valori di $x$ del dominio ${\mathcal {D}}$ dell’espressione stessa;
* studiare il segno di una espressione letterale significa stabilire in quale insieme si trovano i valori della variabile che la rendono positiva, negativa, nulla;
* ogni espressione contenente operazioni tra frazioni algebriche ha in generale come risultato una frazione algebrica.
Strategia risolutiva
* semplifichiamo l’espressione assegnata: $E={\tfrac {-2x^{2}+x+3}{(2x+1)\cdot (2x-1)}}$;
* determiniamo il dominio: ${\text{C.E.}}\,2x+1\neq 0\;\wedge \;2x-1\neq 0\Rightarrow {\mathcal {D}}=\mathbb {R} -\left\{-{\tfrac {1}{2}}{\text{, }}{\tfrac {1}{2}}\right\}$;
* impostiamo la disequazione: ${\tfrac {-2x^{2}+x+3}{(2x+1)\cdot (2x-1)}}\geq 0$ che ci permetterà di rispondere al quesito posto dal problema;
* studiamo il segno di numeratore $N$ e denominatore $D$:
** segno di $N$: $-2x^{2}+x+3\geq 0$ disequazione di secondo grado, quindi dall’equazione associata $-2x^{2}+x+3=0$, calcoliamo il discriminante: $\Delta =1+24=25$, positivo per cui si hanno due soluzioni reali distinte; la parabola $y=-2x^{2}+x+3$ ha concavità verso il basso, per cui essendo $x_{1}=-1$ e $x_{2}={\tfrac {3}{2}}$ si ha $N\geq 0$ per $-1\leq x\leq {\tfrac {3}{2}}$;
** segno di $D$: il denominatore è composto da due fattori di primo grado $d_{1}$ e $d_{2}$, quindi $d_{1}>0$ per $x>-{\tfrac {1}{2}}$ e $d_{2}>0$ per $x>{\tfrac {1}{2}}$;
* costruiamo la tabella dei segni: Tabella segni disequazione fratta
* dalla tabella dei segni possiamo ottenere la risposta al problema posto:
** l’espressione $E$ si annulla per $x=-1\vee x={\tfrac {3}{2}}$;
** l’espressione $E$ è positiva per $x\in A=\left\{x\in \mathbb {R} \mid -1<x<-{\tfrac {1}{2}}\vee {\tfrac {1}{2}}<x<{\tfrac {3}{2}}\right\}$;
** l’espressione $E$ è negativa per $x\in B=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x<-1\vee -{\tfrac {1}{2}}<x<{\tfrac {1}{2}}\vee x>{\tfrac {3}{2}}\right\}$.
Esempio:
* Trasportiamo al primo membro la frazione del secondo membro $E=3-{\tfrac {1}{2x+1}}-{\tfrac {1}{1-x}}$ ed eseguiamo i calcoli ottenendo: $E={\tfrac {-6x^{2}+2x+1}{(2x+1)\cdot (1-x)}}$;
* determiniamo il dominio: ${\text{C.E.}}\;2x+1\neq 0\;\wedge \;1-x\neq 0\Rightarrow {\mathcal {D}}=\mathbb {R} -\left\{-{\tfrac {1}{2}}{\text{, }}1\right\}$;
* impostiamo la disequazione: ${\tfrac {-6x^{2}+2x+1}{(2x+1)\cdot (1-x)}}\geq 0$ che ci permetterà di rispondere al quesito posto dal problema;
* studiamo il segno del numeratore e del denominatore:
** segno di $N$: $-6x^{2}+2x+1\geq 0$ disequazione di secondo grado, quindi scritta l’equazione associata $-6x^{2}+2x+1=0$, calcoliamone il discriminante: ${\tfrac {\Delta }{4}}=7$, positivo per cui si hanno due soluzioni $x_{1{\text{,}}2}={\tfrac {1\pm {\sqrt {7}}}{6}}$; essendo il primo coefficiente negativo si ha $N\geq 0$ per ${\tfrac {1-{\sqrt {7}}}{6}}\leq x\leq {\tfrac {1+{\sqrt {7}}}{6}}$;
** segno di $D$: $-2x^{2}+x+1>0$ disequazione di secondo grado; il denominatore ha due zeri reali $x=-{\tfrac {1}{2}}$ e $x_{2}=1$, il primo coefficiente è negativo, pertanto $D>0$ per $-{\tfrac {1}{2}}<x<1$ che rispetta le ${\text{C.E.}}$: $x_{1}\neq -{\tfrac {1}{2}}\;\wedge \;x_{2}\neq 1$;
* compiliamo la tabella dei segni: Tabella segni disequazione fratta
* determiniamo ${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x<-{\tfrac {1}{2}}\vee {\tfrac {1-{\sqrt {7}}}{6}}\leq x\leq {\tfrac {1+{\sqrt {7}}}{6}}\vee x>1\right\}$.

## Sistemi di disequazioni

Ricordiamo che risolvere un sistema di disequazioni significa trovare l’insieme dei numeri reali che sono le soluzioni comuni alle disequazioni che lo compongono. Indicate con $d_{1}$, $d_{2}$, …, $d_{n}$ le disequazioni che formano il sistema e ${\text{I.S.}}_{1}$, ${\text{I.S.}}_{2}$, …, ${\text{I.S.}}_{n}$ i rispettivi insieme soluzione, la soluzione del sistema, indicata con ${\text{I.S.}}$, è data da ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cap {\text{I.S.}}_{2}\cap \ldots \cap {\text{I.S.}}_{n}$.
Problema: Nell’equazione $x^{2}-(k-3)x+k^{2}-3k+1=0$, determinare per quali valori del parametro $k$ si ottengono soluzioni reali e concordi.
Abbiamo già affrontato un problema di questo tipo discutendo le equazioni parametriche di secondo grado e dunque sappiamo che la richiesta del problema esige che il discriminante ($\Delta$) sia non negativo affinché le soluzioni siano reali e che il prodotto delle stesse sia positivo. Pertanto il problema è formalizzato con un sistema di disequazioni:
$\left\{{\begin{array}{l}{\Delta \geq 0}\\{{\tfrac {c}{a}}>0}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{k^{2}-6k+9-4k^{2}+12k-4\geq 0}\\{k^{2}-3k+1>0}\end{array}}\right.$
Risolviamo separatamente le due disequazioni del sistema; indicati con ${\text{I.S.}}_{1}$ e ${\text{I.S.}}_{2}$ rispettivamente gli insiemi soluzione della prima e della seconda disequazione, l’insieme soluzione del sistema è dato da ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cap {\text{I.S.}}_{2}$ (insieme intersezione degli insiemi soluzione delle due disequazioni).
* $d_{1}$: $-3k^{2}+6k+5\geq 0$ disequazione di secondo grado avente primo coefficiente negativo e ${\tfrac {\Delta }{4}}=24>0$; la parabola $y=-3k^{2}+6k+5\geq 0$ ha concavità verso il basso e discriminante positivo, per cui essendo $x_{1}={\tfrac {3-2{\sqrt {6}}}{3}}\vee x_{2}={\tfrac {3+2{\sqrt {6}}}{3}}$ si ottiene ${\text{I.S.}}_{1}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid {\tfrac {3-2{\sqrt {6}}}{3}}\leq x\leq {\tfrac {3+2{\sqrt {6}}}{3}}\right\}$.
* $d_{2}$: $k^{2}-3k+1>0$ disequazione di secondo grado avente il primo coefficiente positivo e $\Delta =5>0$; la parabola $y=k^{2}-3k+1>0$ ha concavità verso l’alto e discriminante positivo, quindi $x_{1}={\tfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\vee x_{2}={\tfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\Rightarrow {\text{I.S.}}_{2}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x<{\tfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\vee x>{\tfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right\}$.
Per determinare l’insieme soluzione del sistema rappresentiamo in un grafico gli insiemi soluzioni delle disequazioni risolte e visualizziamo l’insieme formato dai valori che appartengono contemporaneamente ai due: sull’asse reale depositiamo i valori numerici trovati e rappresentiamo su righe distinte i due insiemi soluzione: gli intervalli in cui cadono soluzioni della prima e della seconda disequazione rappresentano l’insieme soluzione del sistema.
${\text{I.S.}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid {\tfrac {3-2{\sqrt {6}}}{3}}\leq x<{\tfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\vee {\tfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}<x\leq {\tfrac {3+2{\sqrt {6}}}{3}}\right\}$.
Problema: Risolvere il seguente sistema di disequazioni: $\left\{{\begin{array}{l}2x^{3}-9x^{2}+10x-3\leq 0\\{\tfrac {x^{2}+x+1}{\ x^{3}-x}}\geq 0\\3-4x<0\end{array}}\right.$.
Il sistema è formato da tre disequazioni; risolviamo separatamente ciascuna disequazione:
* $d_{1}$: $2x^{3}-9x^{2}+10x-3\leq 0$ di terzo grado, scomponiamo in fattori. $x=1$ è uno zero del polinomio quindi con la regola di Ruffini otteniamo $d_{1}$: $(x-1)(2x^{2}-7x+3)\leq 0$. L’equazione di secondo grado $2x^{2}-7x+3=0$ ha soluzioni reali $x_{1}={\tfrac {1}{2}}\;\vee \;x=3$. Si tratta allora di studiare il segno dei singoli fattori e di determinare il segno richiesto dopo aver costruito la tabella dei segni: Tabella segni sistema disequazioni L’insieme soluzione, tenendo conto che cerchiamo i valori per i quali $d_{1}$ risulta minore o uguale a $0$ è ${\text{I.S.}}_{1}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq {\tfrac {1}{2}}\vee 1\leq x\leq 3\right\}$.
* $d_{2}$: ${\tfrac {x^{2}+x+1}{x^{3}-x}}\geq 0$ è una disequazione fratta, per prima cosa scomponiamo in fattori il denominatore: ${\tfrac {x^{2}+x+1}{x(x^{2}-1)}}\geq 0$. Studiamo poi il segno dei singoli fattori o divisori, tenendo conto che $x^{2}+x+1=0$ ha $\Delta <0$, per cui $x^{2}+x+1$ è sempre positivo. Tabella segni sistema disequazioni L’insieme soluzione, per $d_{2}\geq 0$ è ${\text{I.S.}}_{2}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid -1<x<0\vee x>1\right\}$.
* $d_{3}$: $3-4x<0$ è di primo grado per cui l’insieme soluzione è ${\text{I.S.}}_{3}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>{\tfrac {3}{4}}\right\}$.
Ricordiamo che la ricerca dell’insieme soluzione del sistema si effettua determinando l’insieme ${\text{I.S.}}_{1}\cap {\text{I.S.}}_{2}\cap {\text{I.S.}}_{3}$ individuabile attraverso il grafico:
Il sistema è quindi verificato per $1<x\leq 3$.