# Algebra lineare e geometria analitica/Applicazioni lineari (esercizi)

Algebra lineare e geometria analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Concetti di base e notazioniAlgebra lineare e geometria analitica/Concetti di base e notazioni
* DimostrazioniAlgebra lineare e geometria analitica/Dimostrazioni
* Spazi vettorialiAlgebra lineare e geometria analitica/Spazi vettoriali
* Applicazioni lineariAlgebra lineare e geometria analitica/Applicazioni lineari
* Sistemi lineariAlgebra lineare e geometria analitica/Sistemi lineari
* MatriciAlgebra lineare e geometria analitica/Matrici
* Operazioni tra matriciAlgebra lineare e geometria analitica/Operazioni tra matrici
* Matrici e sistemiAlgebra lineare e geometria analitica/Matrici e sistemi

## Esercizi

* Applicazioni lineariAlgebra lineare e geometria analitica/Applicazioni lineari (esercizi)
* MatriciAlgebra lineare e geometria analitica/Matrici (esercizi)
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### Problema

Determinare se esiste una applicazione lineare $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ tale che
    $f\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)$
    $f\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}\right)$
    $f\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}3\\1\\3\end{matrix}}\right)$
* Soluzione:
Si trova che i tre vettori del dominio sono linearmente dipendenti:
    $\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)$
essendo l'applicazione f lineare si avra' (proprieta' additiva delle applicazioni lineari):
    $f\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)=f\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)+f\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}}\right)\neq \left({\begin{matrix}3\\1\\3\end{matrix}}\right)$
il che è una contraddizione. Si conclude che non esiste tale applicazione lineare.

### Problema

Proviamo a cambiare le condizioni iniziali del problema precedente:
    $f\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)$
    $f\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}\right)$
    $f\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}}\right)$
* Soluzione:
Completiamo ad una base di R$^3$ due qualsiasi dei vettori del dominio di f aggiungendo un vettore linearmente indipendente:
    ${\mathcal {B}}=\left\{\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)\right\}$
ponendo:
    $f\left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)$
    $v=\alpha \left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)+\beta \left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)+\gamma \left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)$
COMPLETARE

## Problema

    $U=\{\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)\in \mathbb {R} ^{3}|x+y+2z=0\}\qquad U_{1}=\{\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)\in \mathbb {R} ^{3}|x-y-z=0\}$
    $W=\{\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)\in \mathbb {R} ^{3}|x-y-3z=0\}\qquad W_{1}=\{\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)\in \mathbb {R} ^{3}|2x-2y-z=0\}$
Costruire f lineare tale che f (U) = U$_1$ e f (W) = W$_1$.