# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Le principali proprietà della trasformata di Fourier sono riassunte dal seguente teorema.

## Teorema (1)

Siano $u,v\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$. Allora valgono le seguenti proprietà:
* la trasformata di Fourier conserva i prodotti scalari, e dunque le norme in spazi di Hilbert:
    $\int _{\mathbb {R} ^{n}}u{\overline {v}}dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {u}}{\overline {\hat {v}}}dx$
* $\left(\partial ^{\alpha }u\right)^{\hat}=(ik)^{\alpha }{\hat {u}}$, $\forall \alpha$ multiindice tale che $\partial ^{\alpha }u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$
* la trasformata di Fourier di una convoluzione è il prodotto delle trasformate di Fourier; ovvero, date $u,v\in L^{1}\cap L^{2}$ e $u\star v(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(y)v(x-y)dy$ si ha che
    $(u\star v)^{\hat}(k)=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\hat {u}}{\hat {v}}$
* proprietà di inversione: ogni funzione è l'antitrasformata della sua trasformata, ovvero
    $u=({\hat {u}})^{\check}={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ikx}{\hat {u}}(k)dk$

### Dimostrazione

$u,v\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\;\alpha \in \mathbb {C} ,\;\parallel u+\alpha v\parallel _{L^{2}}=\parallel {\hat {u}}+{\hat {\alpha v}}\parallel _{L^{2}}$. Questa uguaglianza tra norme può essere scritta esplicitamente come:
$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left[\mid u\mid ^{2}+\mid \alpha v\mid ^{2}+{\overline {u}}(\alpha v)+u({\overline {\alpha v}})\right]dx=$
$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left[\mid {\hat {u}}\mid ^{2}+\mid {\hat {\alpha v}}\mid ^{2}+{\overline {\hat {u}}}({\hat {\alpha v}})+{\overline {u}}({\overline {\alpha {\hat {v}}}})\right]dk$
$\Rightarrow \int _{\mathbb {R} ^{n}}(\alpha {\overline {x}}v+{\overline {\alpha }}u{\overline {v}})dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}(\alpha {\overline {\hat {u}}}{\hat {v}}+{\overline {\alpha }}{\hat {v}}{\overline {\hat {v}}})dk$
Da cui si ottiene $\alpha =1,i$ che combinati linearmente danno proprio il punto 1 del teorema.
Sia $u\in {\mathcal {C}}_{0}^{+\infty }(\mathbb {R} ^{n})$, allora:
$\left(\partial ^{\alpha }u\right)^{\hat}(k)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-ikx}\partial _{x}^{\alpha }u(x)dx=$
$={\frac {(-1)^{\mid \alpha \mid }}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\partial _{x}^{\alpha }(e^{-ikx})u(x)dx=$
$=(ik)^{\alpha }{\hat {u}}(k)$
Nello spostare l'azione di $\partial ^{\alpha }$ su $e^{-ikx}$ si è effettuata un'integrazione per parti, in cui i termini di bordo tendono a zero a $\pm \infty$ grazie al supporto compatto di $u(x)$.
Si ha che
$(u\star v)^{\hat}(k)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-ikx}\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(z)v(x-z)dzdx=$
$=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-ikz}u(z)dz\right){\hat {v}}(k)=(2\pi )^{n/2}{\hat {u}}(k){\hat {v}}(k)$
Si può osservare che se $u,v\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ allora
$\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\check {u}}v=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u{\check {v}}$
Dunque, essendo ${\check {v}}={\overline {({\overline {v}})^{\hat}}}$, si ha che
$\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\hat {u}})^{\check}vdx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {u}}{\check {v}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {u}}{\overline {({\overline {v}})^{\hat}}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u{\overline {\overline {u}}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}uv$