# Analisi complessa/Numeri complessi

Analisi complessa
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Analisi complessa
** Numeri complessiAnalisi complessa/Numeri complessi
** Funzioni di variabile complessaAnalisi complessa/Funzioni di variabile complessa
** Funzioni elementariAnalisi complessa/Funzioni elementari
** DerivateAnalisi complessa/Derivate
** Integrali nel campo complessoAnalisi complessa/Integrali nel campo complesso
** Serie di potenzeAnalisi complessa/Serie di potenze
** Calcolo dei residuiAnalisi complessa/Calcolo dei residui
* Spazi di Hilbert
** Insiemi finiti, numerabili, non numerabiliAnalisi complessa/Insiemi finiti, numerabili, non numerabili
** Spazi metriciAnalisi complessa/Spazi metrici
** Campi e spazi vettorialiAnalisi complessa/Campi e spazi vettoriali
** Norma e spazi di BanachAnalisi complessa/Norma e spazi di Banach
** Prodotto scalare e spazi di HilbertAnalisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert
** Serie trigonometricheAnalisi complessa/Serie trigonometriche
** Operatori lineari in HAnalisi complessa/Operatori lineari in H
* Trasformata di Fourier
** Definizione e proprietà della trasformata di FourierAnalisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier
** ConvoluzioneAnalisi complessa/Convoluzione
* Integrale di Lebesgue
** Integrale di RiemannAnalisi complessa/Integrale di Riemann
** Misura di LebesgueAnalisi complessa/Misura di Lebesgue
** Integrale di LebesgueAnalisi complessa/Integrale di Lebesgue
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## Definizione 1.1.1.

    Definiamo l'insieme dei numeri complessi $\mathbb {C}$ come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ con somma e prodotto definiti come
       $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\,$
       $(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2})\,$
È facile convincersi che con queste definizioni, l'insieme dei numeri complessi ha le proprietà algebriche di un campo . Inoltre, assimilando i numeri della forma $(x,0)$ ai numeri reali, è possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
    $(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy\,$
dove i = (0,1).
L'analogia tra $\mathbb {C}$ ed $\mathbb {R} ^{2}$ (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero
    $z\in \mathbb {C} =x+iy=(x,y)$
definiamo:
       ${\bar {z}}=x-iy$
       $Re\,z=x=(z+{\bar {z}})/2$
       $Im\,z=y=(z-{\bar {z}})/2$
       $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}$
Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari. Si può quindi scrivere $z\in \mathbb {C}$ come
    $z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )\,$
Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. $\rho$ è il modulo di $z$ e $\theta$ l'argomento $\theta =\arg z$, che è definito a meno di multipli interi di $2\pi$. Il valore principale dell'argomento è il valore scelto in $(-\pi ,\pi )$, $\arg z$.
Definendo poi tramite la formula di Eulero
    $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \!$
(relazione che sarà giustificata in seguito) avremo
    $z=\rho e^{i\theta }\!$

## Proprietà
### Teorema 1.1.2

Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$, con $z_{1}=x_{1}+iy_{1}=\rho _{1}e^{i\theta _{1}}$ e $z_{2}=x_{2}+iy_{2}=\rho _{2}e^{i\theta _{1}}$. Avremo:
* $\rho _{1}=|z_{1}|\,$
* $|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|$
* $z_{1}z_{2}=\rho _{1}\rho _{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$
* $z_{1}/z_{2}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}$
* $z_{1}^{n}=\rho _{1}^{n}e^{in\theta _{1}}\qquad n\in \mathbb {Z}$
* ${\sqrt[{n}]{z_{1}}}={\sqrt[{n}]{\rho _{1}}}e^{i({\frac {\theta _{1}}{n}}+{\frac {k2\pi }{n}})}\qquad k=0,1,\ldots n-1$
Inoltre si nota che $|\cdot |$ soddisfa le definizioni di una distanza, e di conseguenza si può considerare $\mathbb {C}$ uno spazio metrico.