# Matematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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Dati due insiemi A e B, una funzione è una legge che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B (è tuttavia possibile che a più elementi di A corrisponda lo stesso elemento di B). In questo caso l'insieme A prende il nome di dominio, mentre B è il codominio. Nelle funzioni che siamo abituati a trattare, il dominio è l'insieme delle x (che tipicamente coincide con l'insieme $\mathbb {R}$ dei numeri reali), mentre il codominio è l'insieme delle 'y' (anch'esso coincidente con $\mathbb {R}$).

## Determinazione grafica di una funzione

Attraverso la sua rappresentazione grafica si può stabilire se un'equazione sia una funzione o no: quando lo è ad ogni coordinata x corrisponde una sola y, come avviene nelle rette (esclusa quella verticale) o nelle parabole con asse verticale. Quando, al contrario, ad almeno una x corrispondono più y l'equazione non è una funzione: è il caso della circonferenza o delle parabole con asse orizzontale.

## Dominio e codominio

Il dominio nel grafico di una funzione è uguale all'insieme dei valori per i quali la funzione è calcolabile, si trova sull'asse x, ogni retta verticale passante per ciascun punto del dominio incontra il grafico esattamente in un punto. L'immagine è invece costituita dalle y corrispondenti, ogni retta orizzontale passante per ciascun punto dell'immagine incontra il grafico in almeno un punto. Come codominio puo' essere considerato un qualunque sovrainsieme dell'immagine (si trova, come l'immagine, sull'asse y ed è assegnato da chi introduce la funzione).

## Funzioni pari e funzioni dispari

Quando $f(x)=f(-x)$ la funzione si dice pari. Quando invece $f(-x)=-f(x)$ la funzione è dispari. Una funzione esistente non deve necessariamente essere pari o dispari.
Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y, quelle dispari lo sono invece rispetto all'origine.

## Asintoti

Gli asintoti, presenti solo in alcune funzioni, sono le x per cui le y corrispondenti tendono a + o - infinito. Nel grafico questo si traduce in rapide ascese o discese della curva lungo rette verticali immaginarie (gli asintoti) che non vengono mai toccate.

## Zeri

Gli zeri sono le soluzioni che l'equazione ha per $y=0$. Logicamente nella rappresentazione grafica sono le intersezioni della curva con l'asse delle ascisse (che è proprio $y=0$). Una funzione ha quindi tante soluzioni per $y=0$ quante sono le intersezioni con l'asse x.

## Massimi e minimi

I massimi e i minimi sono i punti rispettivamente più alti o più bassi di tutta la curva o rispetto ad un intervallo. Nel caso in cui un punto sia il più alto (o il più basso) di tutta la curva esso è detto massimo (o minimo) assoluto. Se invece è il più alto (o il più basso) solo in un intervallo il punto prende il nome di massimo (o minimo) relativo. L'intervallo in questione è detto intorno.

## Funzione reciproca

Per disegnare il reciproco ${\frac {1}{f(x)}}$ di una funzione $f(x)$, partendo dal grafico della funzione, si applichino le seguenti regole:
* In corrispondenza degli zeri di $f(x)$ ($y=0$), in $1/f(x)$ ($y=1/0$) si trovano asintoti verticali.
* Viceversa dove $f(x)$ tende ad infinito $1/f(x)$ tende a 0.
* I punti di intersezione con la retta $y=1oy=-1$ non variano (il reciproco di 1 è 1, quello di -1 è -1).
* I massimi diventano minimi e viceversa

## Valori assoluti

Partendo dal grafico di f(x) è possibile tracciare quello di f(|x|) o di |f(x)| in modo non complesso:
* f(|x|): si elimina la parte a sinistra dell'asse y e si esegue una simmetria su quest'asse. Si noti che la funzione risultante è pari.
* |f(x)|: si esegue una simmetria della funzione rispetto all'asse x e si elimina la parte sottostante a quest'asse.