# Meccanica quantistica/Concetti fondamentali

Meccanica quantistica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Concetti fondamentaliMeccanica quantistica/Concetti fondamentali
* Equazione di SchrödingerMeccanica quantistica/Equazione di Schrödinger
* Momento angolareMeccanica quantistica/Momento angolare
* Teoria delle perturbazioniMeccanica quantistica/Teoria delle perturbazioni
* AtomiMeccanica quantistica/Atomi
* Molecole biatomicheMeccanica quantistica/Molecole biatomiche
* FormalismoMeccanica quantistica/Formalismo
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### Funzione d'onda

Nella meccanica classica il comportamento di un sistema avente coordinate q è descritto dalla funzione q(t)', nota come legge oraria del moto. Tale funzione è la soluzione dell'Equazione del moto del sistema (ad esempio la seconda legge di Newton). Nella meccanica quantistica lo stato di un sistema è descritto da una funzione d'onda Ψ(q,t) complessa che è ottenuta risolvendo l'Equazione di Schrödinger.

### Interpretazione statistica

Mentre l'equazione del moto della meccanica classica fornisce direttamente le informazioni sul comportamento di un sistema nel tempo in termini delle sue coordinate q, per la meccanica quantistica è possibile solo una descrizione statistica del sistema a partire dalla funzione d'onda. Ciò significa che se Ψ(q,t) è la funzione d'onda che descrive lo stato del sistema, si avrà che
$|\Psi (\mathbf {q} ,t)|^{2}d\mathbf {q}$
è la probabilità che le coordinate assumano valori tra q e q + dq all'istante di tempo t. In altre parole,
$|\Psi (\mathbf {q} ,t)|^{2}$
è la funzione densità di probabilità delle coordinate q all'istante t. In virtù di questa interpretazione, è necessario quindi che la Ψ sia normalizzata:
$\int _{Q}|\Psi (\mathbf {q} ,t)|^{2}d\mathbf {q} =1$
dove Q è lo spazio delle coordinate q (l'integrale è da intendersi nel senso di Lebesgue). Ciò significa che le funzioni d'onda devono in generale essere funzioni "a quadrato integrabili" perché siano normalizzabili mediante moltiplicazione per una costante.

### Operatori

In meccanica quantistica un operatore è una trasformazione lineare applicabile ad una funzione d'onda. Gli operatori della meccanica quantistica sono composizioni di somme, prodotti e derivazioni rispetto alle coordinate o al tempo. Ad ogni grandezza fisica della meccanica classica è associato un operatore hermitiano (o autoaggiunto). Dato un insieme di sistemi tutti nello stato $f(\mathbf {q} )$, a causa dell'interpretazione statistica ogni misura della stessa grandezza $A$ (a cui è associato l'operatore ${\hat {A}}$) può dare un risultato diverso. Tuttavia il valore di aspettazione di queste misure può essere calcolato a partire da $f$ :
$\langle A\rangle =\int _{V}f^{*}{\hat {A}}fd\mathbf {q}$
Poiché gli operatori associati ad una grandezza fisica sono hermitiani, per definizione
$\int _{V}{\hat {A}}f^{*}fd\mathbf {q} =\int _{V}f^{*}{\hat {A}}fd\mathbf {q}$
quindi $\langle A\rangle ^{*}=\langle A\rangle$, cioè i valori di aspettazione delle misure delle grandezze fisiche sono reali. Gli operatori più importanti sono ovviamente l'operatore posizione:
${\hat {\mathbf {q} }}=\mathbf {q} \cdot$
e l'operatore quantità di moto:
${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla _{\mathbf {q} }\cdot$
Se $G(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ è una grandezza dinamica il suo operatore associato è ricavabile dai due operatori posizione e momento, sostituendone le occorrenze nella definizione di $G$. Ad esempio, l'energia cinetica
$T={p^{2} \over 2m}$
è rappresentata dall'operatore
${\hat {T}}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\nabla _{\mathbf {q} }^{2}\cdot$

### Notazione bra-ket

(28 marzo 2008)

### Spettro discreto

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza $f$ con uno spettro discreto:
    $\Psi =\sum a_{n}\Psi _{n}\qquad a_{n}=\int \Psi _{n}^{*}\Psi \,dq$

### Spettro continuo

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza $f$ con uno spettro continuo:
    $\Psi (q)=\int a_{f}\Psi _{f}(q)\,df\qquad a_{f}=\int \Psi _{f}^{*}(q)\Psi (q)\,dq$

### Operatore impulso

Operatore dell'impulso di una particella:
    ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$
Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:
    $[{\hat {p}}_{i},x_{j}]=-i\hbar \delta _{ij}$
Relazioni di indeterminazione:
    $\Delta p_{i}\Delta x_{i}\sim \hbar$
Il valore minimo dell'indeterminazione è $\hbar /2$, e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.

### Operatore hamiltoniano

Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:
    ${\hat {\mathcal {H}}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$
Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i livelli energetici ${\mathcal {E}}_{n}$. A questi valori corrispondono gli stati stazionari del sistema. Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:
    $\Psi _{n}(q,t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {E}}_{n}t\right)\psi _{n}(q)$
Lo stato fondamentale corrisponde al valore minimo ${\mathcal {E}}_{0}$ dell'energia che il sistema può assumere.
A un livello degenere corrispondono diversi stati stazionari. Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.

### Matrici

Gli elementi di matrice di una grandezza $f$ sono definiti dallo sviluppo delle funzioni ${\hat {f}}\psi _{n}$ secondo le autofunzioni dell'energia:
    $f_{mn}=\int \psi _{m}^{*}{\hat {f}}\psi _{n}\,dq$
Gli elementi diagonali $f_{nn}$ sono i valori medi della grandezza $f$ negli stati $\psi _{n}$
Elementi di matrice dipendenti dal tempo:
    $f_{mn}(t)=f_{mn}e^{i\omega _{mn}t},\qquad \omega _{mn}={\frac {{\mathcal {E}}_{m}-{\mathcal {E}}_{n}}{\hbar }}$