# Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
Modifica il sommario
Iniziamo con lo studio di un esempio.
Vogliamo risolvere l'equazione delle onde sul disco circolare di raggio $a$, con condizioni al contorno di Dirichlet. Questo esempio modellizza il tamburo. Dunque abbiamo:
${\begin{cases}\partial _{tt}u-c^{2}\Delta u=0\\u(0,x,y)=\phi (x,y),\;\partial _{t}u(0,x,y)=\phi (x,y)\\u(t,x,y)\vert _{\partial \Omega }=0,\;\Omega =\left\lbrace x^{2}+y^{2}<a^{2}\right\rbrace \end{cases}}$
Il corrispondente problema agli autovalori per il laplaciano sul disco, con condizioni al bordo di Dirichlet, sarà:
${\begin{cases}-\Delta v=\lambda v,\;{\text{su}}\Omega \\v\vert _{\partial \Omega }=0\end{cases}}$
Separando le variabili avremo che:
$u(x,t)=T(t)v(x,y)$
$u(t,x)=\left(A\cos({\sqrt {\lambda }}t)+B\sin({\sqrt {\lambda }}t)\right)v_{\lambda }(x,y)$
Studiamo quindi autovalori e autovettori sul disco. Per simmetria di $\Omega$, scriviamo $\Delta$ in coordinate polari. Questo ci porterà a dover effettuare la sostituzione $v(x,y)\mapsto v(r,\theta )$ e ad avere $\Delta v=\left(\partial _{rr}^{2}+{\frac {1}{r}}\partial _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{\theta \theta }^{2}\right)v(r,\theta )$. Anche nelle variabili angolari è possibile separare le variabili, così da poter scrivere: $v(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$. La corrispondente equazione agli autovalori diventa:
$-\left[\partial _{rr}^{2}+{\frac {1}{r}}\partial _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{\theta \theta }^{2}\right]R(r)\Theta (\theta )=\lambda R(r)\Theta (\theta )$
Che può essere riscritta nella forma:
${\frac {\partial _{\theta \theta }^{2}\Theta (\theta )}{\Theta (\theta )}}=-r^{2}\left(\lambda +{\frac {\partial _{rr}^{2}R(r)+{\frac {1}{r}}\partial _{r}R(r)}{R(r)}}\right)=-\gamma$
Dove l'ultima uguaglianza deriva dalla necessità di dover avere entrambi i termini dell'equazione uguali a una costante, essendo dipendenti da variabili separate. L'equazione in $\theta$ ci porta a: ${\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\Theta +\gamma \Theta =0$. Stiamo cercando soluzioni periodiche di periodo $2\pi$, dunque ci aspettiamo tre casi:
$\gamma {\begin{cases}<0,\;{\text{la soluzione è non periodica}}\\>0\\=0,\;{\text{la soluzione è lineare}}\end{cases}}$
In definitiva:
$\Theta (\theta )=A\cos({\sqrt {\gamma }}\theta )+B\sin({\sqrt {\gamma }}\theta )$
Che ha periodo di $2\pi$ se e solo se $\gamma =n^{2},\;n=0,1,2,\dots$. L'equazione in $r$ ci porta a: ${\frac {d^{2}}{dr^{2}}}R(r)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}R(r)+\left(\lambda -{\frac {n^{2}}{r^{2}}}\right)R(r)=0$ per $0<r<a$. Le soluzioni di questa equazione differenziale devono soddisfare due importanti proprietà: occorre che $\lim _{r\rightarrow 0}R(r)<+\infty$ e che sia soddisfatta la condizione al bordo $R(a)=0$. Dobbiamo aggiungere questa condizione perché le soluzioni del laplaciano è regolare, di classe $C^{2}$ dunque non divergeranno mai nell'origine. La singolarità deriva da una singolarità "fittizia" data dal passaggio in polari, tuttavia era già contenuta implicitamente nel problema di partenza. Di $\lambda$ sappiamo che è positivo, perché autovalore di $\Delta _{D}$, quindi facciamo un cambio di coordinate tale per cui $r\mapsto {\sqrt {\lambda }}r=\rho$. Tramite questo riscalamento di variabili otteniamo una nuova equazione per $R(r)$:
$R^{\prime \prime }+{\frac {1}{\rho }}R^{\prime }+\left(1-{\frac {n^{2}}{\rho ^{2}}}\right)R=0,\;R=R(\rho )$
Le soluzioni di questa equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti non costanti hanno una forma particolare, essendo dei reciproci di monomi. Mi aspetterei dunque di trovare delle soluzioni proporzionali a monomi o a potenze, tuttavia non è possibile farlo in questo caso. Cerchiamo dunque soluzioni per serie, della forma:
$R(\rho )=\rho ^{\alpha }\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}\rho ^{k}$
Dove i valori di $\alpha$ e $a_{k}$ vanno determinati. Presa $R(\rho )$ in questa forma e sostituita nell'equazione differenziale di cui sopra si ottiene:
$\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}(k+\alpha )(k+\alpha -1)\rho ^{k+\alpha -2}+a_{k}(k+\alpha )\rho ^{k+\alpha -2}+a_{k}\rho ^{k+\alpha }-n^{2}a_{k}\rho ^{k+\alpha -2}=$
$=\rho ^{\alpha }\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}\left[(k+\alpha )^{2}-n^{2}\right]\rho ^{k-2}+\rho ^{2}\sum _{k=2}^{+\infty }a_{k-2}\rho ^{k-2}{\overset {!}{=}}0$
Dove impongo che i coefficienti dello stesso grado siano nulli, per poter ottenere una soluzione nulla. Si ha che se $k=0$, $a_{0}(\alpha ^{2}-n^{2})=0$: ma, per ipotesi, $a_{0}\neq 0$; dunque $\alpha =\pm n$, ma non potendo divergere in zero la soluzione, deve necessariamente essere $\alpha =n$. Le altre due relazioni che si ottengono sono:
$k=1,\;a_{1}\left[(1+\alpha )^{2}-n^{2}\right]=0$
$k\geq 2,\;a_{k}\left[(k+\alpha )^{2}-n^{2}\right]+a_{k-2}=0$
Dalla 2, si ottiene $a_{1}=0$; mentre dalla 3 si ottiene a $a_{k}={\frac {a_{k-2}}{(k+n)^{2}-n^{2}}}$, $a_{0}={\frac {1}{2^{n}n!}}$. In definitiva si ha che, l'unica soluzione regolare dell'equazione di Bessel $R^{\prime \prime }+{\frac {1}{\rho }}R^{\prime }+\left(1-{\frac {n^{2}}{\rho ^{2}}}\right)R=0$ è data da
$J_{n}(\rho )=\sum _{j=0}^{+\infty }(-1)^{j}{\frac {({\frac {\rho }{2}})^{n+2j}}{j!(n+j)!}}$
Per cui si ha che se $\rho \gg 1$, $J_{n}(\rho )\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\cos \left(\rho -{\frac {\sqrt {\pi }}{4}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)+{\mathcal {O}}(\rho ^{-3/2})$ che è una funzione oscillante; per $n$ fissato, all'infinito oscilla ancora e quindi è una soluzione con infiniti zeri. Tornando al problema originario del laplaciano sul disco, abbiamo ora la possibilità di affermare che:
$v(r,\theta )=J_{n}({\sqrt {\lambda }}r)\left(A_{n}\cos(n\theta )+B_{n}\sin(n\theta )\right),\;\forall n=0,1,\dots$
Tuttavia il valore di $\lambda$ è ancora impregiudicato: sappiamo soltanto che deve essere un autovalore. Per determinarlo imponiamo la condizione al bordo, ovvero richiediamo che $v(a,\theta ){\overset {!}{=}}0=J_{n}({\sqrt {\lambda }}a)\left(A_{n}\cos(n\theta )+B_{n}\sin(n\theta )\right)$. Dunque ho che i valori di $\lambda$ ammissibili sono tutti quei $\lambda _{n}$ tali che $J_{n}({\sqrt {\lambda _{n}}}a)=0$. La soluzione generale dell'equazione delle onde pertanto sarà data da:
$u(t,r,\theta )=\sum _{m=1}^{+\infty }J_{0}({\sqrt {\lambda _{n}}}r)\left(C_{0m}\cos({\sqrt {\lambda _{0m}}}t)+D_{0m}\sin({\sqrt {\lambda _{0m}}}t)\right)+$
$+\sum _{m,n=1}^{+\infty }J_{n}({\sqrt {\lambda _{nm}}}r)\left(A_{nm}\cos(n\theta )+B_{nm}\sin(n\theta )\right)\left(C_{nm}\cos({\sqrt {\lambda _{nm}t}})+D_{nm}\sin({\sqrt {\lambda _{nm}t}})\right)$