# Meccanica del punto materiale/Oscillatore armonico

Meccanica del punto materiale
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
Cinematica del punto materiale
* Cinematica del puntoMeccanica del punto materiale/Cinematica del punto
* Moto rettilineoMeccanica del punto materiale/Moto rettilineo
* Moto circolareMeccanica del punto materiale/Moto circolare
* Moto armonicoMeccanica del punto materiale/Moto armonico
* Moto parabolico dei corpiMeccanica del punto materiale/Moto parabolico dei corpi
Dinamica del punto materiale
* Primo e secondo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Primo e secondo principio della dinamica
* Forza peso e forze vincolariMeccanica del punto materiale/Forza peso e forze vincolari
* Terzo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Terzo principio della dinamica
* Forza d'attrito radenteMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito radente
* Forza d'attrito viscosoMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito viscoso
* Forza elasticaMeccanica del punto materiale/Forza elastica
* Forza centripetaMeccanica del punto materiale/Forza centripeta
* Quantità di moto e impulsoMeccanica del punto materiale/Quantità di moto e impulso
* Momento angolareMeccanica del punto materiale/Momento angolare
* Pendolo sempliceMeccanica del punto materiale/Pendolo semplice
Moti relativi
* Teorema delle velocità relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle velocità relative
* Teorema delle accelerazioni relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle accelerazioni relative
* Relatività galileianaMeccanica del punto materiale/Relatività galileiana
Lavoro ed energia
* Energia cinetica e lavoroMeccanica del punto materiale/Energia cinetica e lavoro
* Energia del pendoloMeccanica del punto materiale/Energia del pendolo
* Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elasticaMeccanica del punto materiale/Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elastica
* Forze conservative ed energia potenzialeMeccanica del punto materiale/Forze conservative ed energia potenziale
* Considerazioni conclusive sull'energiaMeccanica del punto materiale/Considerazioni conclusive sull'energia
Oscillatori armonici
* Oscillatore armonicoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico
* Oscillatore armonico smorzato e forzatoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico smorzato e forzato
* Oscillatori accoppiatiMeccanica del punto materiale/Oscillatori accoppiati
Appendice
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L'oscillatore armonico semplice è un sistema fisico il cui stato dinamico è descritto dall'equazione differenziale:
${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0$
dove $x$ è una grandezza fisica che oscilla con legge armonica.
I fenomeni periodici sono frequentissimi in natura. Nei moduli precedenti abbiamo visto alcuni esempi: il pendolo (semplice e composto) e il sistema molla-punto materiale. Per il pendolo, il moto è armonico semplice solo per piccoli spostamenti dalla verticale. Se gli angoli sono grandi il moto è ancora periodico, ma non armonico. Allo stesso modo, la legge di Hooke è un'approssimazione del comportamento di una molla, tanto migliore quanto gli allungamenti sono piccoli. È quindi importante rendersi conto che la condizione di oscillatore armonico semplice si verifica per un sistema che si allontana di poco da una posizione di equilibrio.
Con i metodi dell'analisi matematica si può dimostrare che la soluzione più generale dell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico semplice è:
$x(t)=a\sin \omega t+b\cos \omega t$
che può essere riscritta come
$x(t)=A\sin(\omega t+\phi )$
ponendo $a=A\cos \phi$ e $b=A\sin \phi$. L'ampiezza $A$ e la fase $\phi$ sono determinate dalle condizioni iniziali del moto.
Può capitare che in alcune situazioni ci si trovi di fronte all'equazione differenziale non omogenea
${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=f(t)$
dove $f(t)$ è una qualsiasi funzione del tempo. In questo caso la soluzione più generale è:
$x(t)=a\sin \omega t+b\cos \omega t+x_{p}(t)$
dove $x_{p}(t)$ è una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Un esempio chiarirà le idee. Consideriamo una molla appesa verticalmente al soffitto, a cui è appesa una massa $m$. La molla viene tirata leggermente e lasciata andare. Vogliamo trovare la legge oraria del moto. Per la seconda legge della dinamica abbiamo che:
$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=mg-kx$
ponendo $\omega ^{2}=k/m$ ci riconduciamo all'equazione differenziale non omogenea
${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=g$
Una soluzione particolare di questa equazione è $x_{p}={\frac {mg}{k}}$. Dalle condizioni iniziali abbiamo che:
$x(0)={\frac {2mg}{k}}=A\sin \phi +{\frac {mg}{k}};\qquad v(0)=0=\omega A\cos \phi$
Quindi la legge oraria è:
$x(t)={\frac {mg}{k}}(1+\cos \omega t)$