# Meccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze

Meccanica analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Meccanica lagrangiana
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Meccanica hamiltoniana
* Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
* Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
* Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
* Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
* Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
* Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
* Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
* Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
* Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
* Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
* Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
* Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
* Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
* La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
* La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
* Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
* Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
* Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
* Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
* Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
* Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
* Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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L'ipotesi di Einstein che il modulo della velocità della luce è costante in tutti i sistemi di riferimento inerziali ha conseguenze non banali. Come abbiamo già potuto notare dalle trasformazioni di Lorentz, viene a cadere il concetto di tempo assoluto, che fin da Aristotele era il paradigma diffuso e accettato dalla comunità scientifica. Questo è un effetto interessante: in conseguenza dell'ipotesi di Einstein, siamo di fronte a una dilatazione dei tempi quando cambiamo sistema di riferimento.

## Dilatazione dei tempi

Facciamo un esempio, studiando un modello. Consideriamo un'astronave che passa per l'origine del nostro sistema di riferimento con velocità orizzontale $v={\mbox{cost}}$. Su questo razzo sono presenti due specchi, a distanza di un metro l'uno dall'altro; un raggio luminoso parte da uno dei due specchi, viene riflesso dal secondo e torna al laser d'origine. Questo sarà il nostro particolare orologio, che misura il tempo in spazio percorso dal raggio luminoso. Un intervallo fondamentale è un periodo completo, che sarà pari a $\Delta t'={\frac {l}{c}}=2{\mbox{m}}$, posto ovviamente $c=1$. L'apice indica che ci troviamo nel sistema di riferimento del razzo e non a terra.
L'evento che studiamo è proprio il raggio di luce che parte dal laser. Abbiamo quindi:
${\begin{aligned}&\Delta t'=2{\mbox{m}}\\&\Delta x'=0\\&\Delta y'=0\\&\Delta z'=0\end{aligned}}$
Consideriamo ora la grandezza $\Delta s'=\Delta t'^{2}-(\Delta x'^{2}+\Delta y'^{2}+\Delta z'^{2})=4$. Di questa grandezza parleremo in seguito, per ora prendiamola per buona.
Spostiamoci adesso nel sistema a terra. Il raggio luminoso si sposta assieme al razzo (esattamente come nel caso di Michelson-Morley, percorre una traiettoria triangolare, con la base pari a $\Delta x$ e i lati obliqui di dimensione $c$). Avremo le seguenti variazioni:
${\begin{aligned}&\Delta x=v\Delta t\\&\Delta y=0\\&\Delta z=0\\&\Delta t=2{\sqrt {l^{2}+\left({\frac {\Delta x}{2}}\right)^{2}}}=2{\sqrt {l^{2}+\left({\frac {v\Delta t}{2}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$
Notiamo che $\Delta t'\neq \Delta t$. In particolare $\Delta t'={\frac {2}{c}}$, applicando le trasformazioni di Lorentz:
$\Delta t'={\frac {\Delta t-{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,\Rightarrow (\Delta x=0)\quad \Delta t=\Delta t'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
Da questo otteniamo che $\Delta t={\frac {2}{c}}{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$. Ovvero $\Delta t>\Delta t'$, quindi i tempi si dilatano per velocità più basse. Notiamo tuttavia che il $\Delta s$ definito come sopra resta invariato in entrambi i sistemi di riferimento (il calcolo è solo algebra elementare).

## Contrazione delle lunghezze

Adesso passiamo a considerare un altro fenomeno fisico, stavolta di tipo particellare. Attraverso dei particolari rilevatori riusciamo a osservare un gran numero di muoni che arrivano a Terra, formatisi all'inizio dell'atmosfera terrestre (generati dal vento solare che incontra l'atmosfera). Questo fenomeno è di per sé poco interessante, se non fosse che i muoni non potrebbero arrivare a terra.
Infatti, la velocità dei muoni è pari a $v=0.99999c$, molto prossima a quella della luce; tuttavia, la vita media di un muone è pari a $10^{-7}{\mbox{s}}$, dopo i quali decade in un elettrone e un antineutrino. Facendo un breve calcolo, lo spazio percorso, con quella velocità e in quel tempo, è al massimo qualche centinaio di metri (con fluttuazioni statistiche sulla vita del muone). Il limite dell'atmosfera si trova a venti chilometri (all'incirca) da terra.
Un modo di spiegare questo fenomeno è che, nel sistema di riferimento Terra, che ha velocità molto più basse di quelle del muone, il tempo si dilata secondo trasformazioni di Lorentz:
$\Delta t={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$
Poiché ${\frac {v^{2}}{c^{2}}}\to 1$, avremo che $\Delta t>>\Delta t'$: l'intervallo di tempo si dilata così tanto, infatti, da permettere al muone di arrivare a terra con la sua velocità caratteristica.
E se invece ci mettessimo nel sistema di riferimento del muone? Se ci sediamo sul muone, il tempo $10^{-7}{\mbox{s}}$ resta quello che è, e la velocità è quella che è, cioè, dopo qualche centinaio di metri, il muone dovrebbe decadere e noi cadremmo nel vuoto (perché eravamo seduti sul muone). Allora, come è possibile che nel sistema di riferimento Terra i muoni arrivano al suolo, ma nel sistema di riferimento muone no?
Semplicemente, come il tempo si dilata, lo spazio si contrae. Consideriamo la stessa astronave dell'esempio precedente: su questa è presente un metro di lunghezza $l'$. Nell'istante in cui l'astronave passa all'origine, l'astronauta misura in un intervallo $\Delta t'=0$ la lunghezza di un metro a terra. È fondamentale che la misura sia fatta in un istante pressoché nullo (altrimenti l'astronave va via e il metro si trova ad essere lungo qualche chilometro). Questa lunghezza è pari a:
$\Delta x={\frac {\Delta x'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,\Rightarrow \,\Delta x'=\Delta x{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
Risulta quindi essere $\Delta x'<\Delta x$: lo spazio si contrae a seconda del sistema di riferimento. Il muone, quindi, riesce ad arrivare a terra perché lo spazio che percorre è molto minore di quello che vediamo noi.
Queste due conseguenze posero fine all'assolutismo dello spazio e del tempo: queste due misure, infatti, sono relative al sistema di riferimento in cui vengono misurate. C'è una ragione, quindi, se viene chiamata "teoria della relatività".