# Matematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
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*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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Gli assiomi enunciati di seguito costituiscono la base di tutta la geometria euclidea e si basano sugli enti primitivi punto, retta e piano.

## Gli assiomi di appartenenza ed alcune definizioni derivate

Questi assiomi sono così chiamati perché determinano le relazioni di appartenenza fra punti e rette, punti e piani, rette e piani e di punti, rette e piani con lo spazio.
Si fissino due punti su un foglio di carta. Si provi quindi a far passare alcuni fili ben tesi per questi due punti. Ci si accorge, intuitivamente, che i vari fili si sovrappongono. Si può, quindi, enunciare il seguente assioma, ricordando dell'analogia tra retta e filo teso e tra foglio e piano (Figura 1):
Definizione

### Assioma 1

Supponendo che nel piano ci siano altri punti che non appartengono alla retta (è sufficiente fissare sul foglio altri punti con una matita per rendersene conto) si ottiene il seguente assioma (Figura 2):
Definizione

### Assioma 2

    Data una retta r, esiste almeno un punto che non appartiene ad r.
Quando tre punti appartengono ad una stessa retta si dicono allineati. Per esempio, i punti A, B e C della figura 3 sono allineati perché appartengono alla stessa retta a, i punti D, E ed F no, così come non lo sono i punti A, B, C e D.
Si prendano ora tre matite affilate, di diversa altezza, e le si pongano verticalmente su un tavolo. Un ipotetico foglio rigido poggerà su tutte e tre le matite, comunque siano disposte sotto il foglio. Se si aggiunge una quarta matita, però, il foglio non poggerà in generale su tutte e quattro le matite. Si può quindi dedurre il seguente assioma:
Definizione

### Assioma 3

    Tre punti non allineati appartengono ad uno ed un solo piano
È intuitivo verificare, poi, sempre con "fili e foglio", che:
Definizione

### Assioma 4

    Se due punti di una retta appartengono ad un piano, la retta giace interamente sul piano.
Definizione

### Assioma 5

    Il piano contiene infiniti punti ed infinite rette.
Definizione

### Assioma 6

    Dato un piano α, esiste almeno un punto che non appartiene ad α.
Definizione
Alla luce della precedente definizione, scaturisce naturalmente il seguente assioma:
Definizione

### Assioma 7

    Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette ed infiniti piani.
Definizione
Dato che i punti, le rette ed i piani sono insiemi di punti, quindi, sono figure geometriche.
La geometria del piano studia solo le figure geometriche che appartengono allo stesso piano.
La geometria dello spazio a 3 dimensioni studia solo le figure geometriche che appartengono allo stesso spazio a 3 dimensioni. D'ora in poi parlando di spazio sarà sottinteso a 3 dimensioni. N.B. Ai fini della trattazione non è indispensabile sapere cosa significhi spazio a n dimensioni.
Definizione
Considerando due rette complanari, in base all'assioma A1 è evidente che due rette che hanno almeno due punti in comune si dicono coincidenti.
In caso contrario (sempre considerando due rette complanari) si possono avere due situazioni:
* Rette incidenti: le rette hanno un solo punto in comune, detto di intersezione.
* Rette parallele: le rette non hanno alcun punto in comune.
Per esempio, le rette a e b della figura 4 sono coincidenti in quanto passano per dei punti (A e D, B ed E) che sono coincidenti. Le rette a e d sono incidenti, così come le rette d e c, mentre le rette a e c, così come le rette b e c, sono parallele.

## Gli assiomi di ordinamento ed alcune definizioni e teoremi derivati

Definizione
Si immagini di camminare sulla retta orientata della figura 5 nel verso indicato dalla freccia: si incontrerà prima il punto A, poi il punto B ed, infine, C.
Considerati due punti distinti A e B sulla retta se, percorrendo la retta nella direzione stabilita, si incontra prima A e poi B, si dice che A precede B e si scrive A < B.
Definizione
La relazione "A precede B", definita come sopra, è una relazione d'ordine stretto perché
* è antiriflessiva: ∀ A ∈ r, A non precede se stesso.
* è antisimmetrica: se A precede B, allora B non precede A.
* è transitiva: se A precede B e B precede C anche A precede C.
Da ciò deriva la:
Definizione
Legge di tricotomia
    Dati due punti A e B su una retta r, si verifica una sola delle seguenti possibilità:
   * A coincide con B
   * A precede B
   * B precede A
Ciò comporta che la relazione "precedere" tra i punti di una retta orientata è una relazione di ordine totale. Da questo scaturisce il seguente assioma:
Definizione
Assioma 8
    La retta è un insieme di punti totalmente ordinato.
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