# Meccanica quantistica relativistica/Bispinori: soluzioni a massa nulla

Meccanica quantistica relativistica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Unificazione della meccanica quantistica e della relatività
* Impostazione del problemaMeccanica quantistica relativistica/Impostazione del problema
* Equazione di Klein-GordonMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Klein-Gordon
* Equazione di DiracMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Dirac
Equazione di Dirac: sviluppi e conseguenze
* Formalismo dei bispinori e interazione elettromagneticaMeccanica quantistica relativistica/Formalismo dei bispinori e interazione elettromagnetica
* Bispinori: soluzioni a massa nullaMeccanica quantistica relativistica/Bispinori: soluzioni a massa nulla
* Teoria di Dirac e antiparticelleMeccanica quantistica relativistica/Teoria di Dirac e antiparticelle
* Invarianza per trasformazioniMeccanica quantistica relativistica/Invarianza per trasformazioni
Riscrittura delle equazioni di Maxwell
* Formulazione covariante delle equazioni di MaxwellMeccanica quantistica relativistica/Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell
* Equazioni di Maxwell in forma quantisticaMeccanica quantistica relativistica/Equazioni di Maxwell in forma quantistica
* Operatore energia, impulso e momento angolareMeccanica quantistica relativistica/Operatore energia, impulso e momento angolare
Sistemi di particelle identiche
* IntroduzioneMeccanica quantistica relativistica/Sistemi di particelle identiche
* Formalismo di seconda quantizzazione per bosoniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per bosoni
* Formalismo di seconda quantizzazione per fermioniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per fermioni
Elettrodinamica quantistica
* Quantizzazione del campo elettromagneticoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettromagnetico
* Quantizzazione del campo elettronicoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettronico
* Quantizzazione dell'interazione fotone-elettroneMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione dell'interazione fotone-elettrone
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Torniamo ora a considerare la $\psi$ in termini di bispinori $\left[{\begin{array}{c}\varphi \\\chi \\\end{array}}\right]$.
Abbiamo visto che l'equazione in questo caso fornisce per le due componenti:
${\begin{cases}\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi &={\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\chi +mc\varphi \\[2.0ex]\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\chi &={\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\varphi +mc\chi \end{cases}}$
Cerchiamo ora di disaccoppiare le due equazioni con una opportuna trasformazione unitaria: $\psi '\mapsto u\psi$ e $\gamma '_{\mu }\to u^{\dagger }\gamma _{\mu }u$ in modo che questa lasci l'equazione invariata. Utilizzando le matrici:
$\beta =\left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \\\end{array}}\right)\qquad \qquad \rho =\left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)$
e definendo la trasformazione come $u\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\beta +\rho )$, allora:
$uu^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\beta +\rho ){\frac {1}{\sqrt {2}}}(\beta +\rho )={\frac {1}{2}}(\beta ^{2}+\beta \rho +\rho \beta +\rho ^{2})=\mathbb {I} +{\frac {1}{2}}(\beta \rho +\rho \beta )$
Essendo:
${\begin{aligned}\beta \rho &=\left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}0&-\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)\\\rho \beta &=\left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\-\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)\end{aligned}}$
risulta effettivamente $uu^{\dagger }=\mathbb {I}$ e quindi $u$ è unitaria. Applichiamola quindi alla $\psi$:
$\psi '=u\psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\beta +\rho )\left[{\begin{array}{c}\varphi \\\chi \\\end{array}}\right]$
e denominando $\psi '\equiv \left[{\begin{array}{c}\xi \\\eta \\\end{array}}\right]$, si ricava:
${\begin{cases}\xi &=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi +\chi )\\[2.0ex]\eta &=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi -\chi )\end{cases}}$
Operando ora con la trasformazione $u$ anche su $\alpha$, $\beta$:
${\begin{aligned}\alpha '_{i}&=u\alpha _{i}u^{\dagger }=\left({\begin{array}{cc}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\\\end{array}}\right)\\\beta &=u\beta u^{\dagger }=\left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)\end{aligned}}$
e l'equazione diventa:
$i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\begin{array}{c}\xi \\\eta \\\end{array}}\right]={\frac {\hbar }{i}}\left({\begin{array}{cc}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\\\end{array}}\right)\cdot {\vec {p}}\left[{\begin{array}{c}\xi \\\eta \\\end{array}}\right]+\left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)mc\left[{\begin{array}{c}\xi \\\eta \\\end{array}}\right]$
ovvero, per le singole equazioni:
${\begin{aligned}i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\xi &={\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\,\xi +mc\eta \\[2.0ex]i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\eta &=-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\,\eta +mc\xi \end{aligned}}$
che si disaccoppiano completamente per particelle a massa zero. Si può tentati di interpretare queste soluzioni come neutrini, ma è stato finalmente dimostrato che queste particelle hanno una massa, anche se estremamente piccola. Quindi, anche per i neutrini queste due equazioni non si disaccoppiano perfettamente, ma "quasi".
Occorre fare attenzione al fatto che questa equazione non vale per particella a massa zero come i fotoni, perché questi ultimi sono a spin 1, mentre l'equazione di Dirac vale solo per particelle a spin semintero $\pm 1/2$.