# Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss

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## Esercizi

===1. Guscio sferico === aiuto
Una carica $Q\$ è distribuita uniformemente su un guscio sferico di raggio interno $R_{1}\$ e raggio esterno $R_{2}\$. Determinare il campo nel punto $R_{3}\$ equidistante tra le due superfici del guscio sferico e la differenza di potenziale tra le due superfici del guscio.
(dati del problema $Q=1\ nC$, $R_{1}=10\ cm$, $R_{2}=30\ cm$. )
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### 2. Guscio sferico con foro

Un guscio sferico isolante di spessore trascurabile di raggio $R\$ e carica $Q\$ ha un piccolo foro di raggio $r_{o}\$. La carica è distribuita con densità superficiale uniforme (se il guscio fosse conduttore la carica sarebbe non uniforme).
Tale foro non modifica la distribuzione uniforme di carica sulla sfera ed ai fini del calcolo si approssima il foro con una carica puntiforme (di valore opportuno e di segno chiaramente negativo). Determinare il campo nel centro della sfera e in che posizione dello spazio il campo elettrico è nullo. Discutere se l'approssimazione con una carica puntiforme sia giusta.
(Dati del problema $Q=1\ \mu C$, $R=1.5\ m$, $r_{o}=5\ cm$)
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### 3. Campo elettrico terrestre

Il campo elettrostatico sulla superficie della terra in condizioni di bel tempo vale circa $E_{t}\$, diretto verso il centro della terra. La terra che ha un raggio $R_{t}\$ è globalmente neutra, per cui fino ad una quota di $h\$ vi è una densità volumetrica approssimativamente distribuita uniformemente, tale carica deve essere uguale e contraria alla carica superficiale. Determinare a) la carica totale sulla superficie della terra, b)La differenza di potenziale tra il punto a quota $h\$ e la superficie della terra. c) la capacità equivalente della terra in senso lato.
(dati del problema $R_{t}=6350\ km$, $h=10\ km$, $E_{t}=100\ V/m$)
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### 4. Tre gusci sferici

Tre gusci sferici concentrici conduttori hanno raggi $R\$, $1.5R\$ e $2R\$. Il guscio esterno ed interno sono allo stesso potenziale nullo (rispetto all'infinito). Sul guscio intermedio è depositata una carica $Q\$. Determinare la d.d.p tra il guscio intermedio e gli altri due, la capacità elettrica del sistema ed il campo elettrico massimo in valore assoluto.
(dati del problema $Q=3\ \mu C\quad R=10\ m$, suggerimento perché il potenziale sia nullo occorre che la carica totale sui tre gusci sia nulla)
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### 5. Nuvola cilindrica

Una nuvola cilindrica di raggio $R\$ ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse secondo la legge:
$\rho =A+Br\$
Se il campo ad $R/2\$ vale in modulo $E_{1}\$ mentre a $5R\$ vale $E_{2}\$. Determinare il campo elettrico sul bordo della nuvola e la d.d.p. tra il bordo della nuvola ed il centro della nuvola.
(Dati del problema: $R=10\ m$, $E_{1}=10^{4}\ V/m$, $E_{2}=5\cdot 10^{3}\ V/m$)
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### 6. Doppio strato

Un doppio strato è costituito da due regioni planari (ai fini dei conti infinite) di densità di carica $\rho \$ e $-\rho \$ e di spessore d. Determinare il campo massimo e la d.d.p. tra -d e d.
(Dati del problema: $\rho =50\ C/m^{3}$, $d=0.3\ \mu m\$)
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### 7. Un guscio spesso isolante

Una sfera non conduttrice di raggio $R_{2}\$ contiene una cavità sferica concentrica di raggio $R_{1}\$. Tra $R_{1}\$ ed $R_{2}\$ è distribuita uniformemente una carica $Q\$. Determinare il valore del campo massimo ed il potenziale del centro della distribuzione di carica rispetto all'infinito.
(dati del problema $Q=18\ nC$, $R_{1}=2\ cm$, $R_{2}=9\ cm$)
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### 8. Differenza di potenziale di una nuvola sferica

Una nuvola sferica carica ha un raggio $R\$ ed ha una densità di carica uniforme, la carica totale della nuvola è $Q\$. Determinare la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il bordo della nuvola.
(Dati del problema: $R=3\ km$, $Q=1\ C$.)

#### La soluzione è approssimata alla prima cifra dopo la virgola.

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### 9. Due sfere lontane

Una sfera conduttrice isolata di raggio $R\$ viene caricata ad un potenziale rispetto all'infinito di $V_{0}\$ (e isolata dall'alimentatore). In seguito viene connessa mediante un filo ad una sfera lontana scarica di raggio la metà: Determinare il potenziale a cui si portano le sfere.
(dati del problema $V_{0}=500\ V$, $R=10\ cm$)
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### 10. Regione tra due piani

In una regione di spazio, limitata da due piani paralleli al piano cartesiano $yz\$ ed infiniti, distanti $d\$ l'uno dall'altro, vi è una distribuzione di carica costante $\rho \$. Calcolare il campo elettrico nella regione di spazio compresa tra i due piani e la differenza di potenziale (in modulo) tra il centro della regione di spazio ed un estremo.
(dati del problema: $\rho =10^{-8}\ C/m^{3}\$, $d=1\ m$)
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### 11. Una goccia d'acqua

Una goccia sferica di acqua, un conduttore liquido, su cui è presente una carica $q_{o}\$,ha un potenziale $V_{0}\$ rispetto all'infinito.
Determinare il raggio della sfera.
(dati del problema $q_{o}=10\ pC$, $V_{0}=100\ V$)
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### 12. Una nuvola sferica carica

Una nuvola sferica carica ha un raggio $R\$. La densità di carica è uniforme tra $0\$ ed $R/2\$ e vale $\rho /2\$, mentre nel resto della nuvola (il guscio esterno restante) la densità è ancora uniforme, ma vale $\rho \$. La carica totale della nuvola è nota e vale Q. Determinare il campo elettrico a distanza $2/3R\$ dal centro della nuvola sferica. (Dati del problema: $R=1\ m\$, $Q=4\cdot 10^{-6}\ C$)
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### 13. Un corpo di massa m e carico

Un corpo di massa $m\$ e carica $-e\$ si muove all'interno di una sfera di raggio $R\$ nella quale è distribuita uniformemente una carica $e\$.
La forza esercitata è di tipo elastico (come si può dimostrare), calcolare la frequenza delle oscillazioni.
(dati del problema $m=9.11\cdot 10^{-31}\ Kg$, $-e=-1.6\cdot 10^{-19}\ C$, $R=10^{-10}\ m$)
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### 14. Giunzione p-n graduale

Una giunzione p-n tra due semiconduttori, che è rappresentabile come un doppio strato (piano) di spessore $2d\$, ha una densità di carica volumetrica che varia secondo la legge: $\rho =At\qquad -d<t<d\$. Al di fuori dello strato la carica è nulla.
Determinare il campo elettrico sulla superficie dello strato e la differenza di potenziale tra i due estremi dello strato
(Dati del problema: $d=1\ \mu m$, $A=1\cdot 10^{7}\ C/m^{4}$)
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### 15. Nuvola sferica con due densità

Una nuvola sferica di raggio $2R=6\ m\$ carica ha una densità di carica $\rho =1\cdot 10^{-8}\ C/m^{3}\$ uniforme a distanza dal centro tra $0\$ ed $R\$ e diventa di segno opposto $-\rho \$, ma sempre uniforme tra $R\$ e $2R\$.
Determinare a) la carica $Q_{2}\$ tra $R\$ e $2R\$; b) il campo elettrico in $4R\$; c) a che distanza dal centro (escludendo il centro e l'infinito) il campo è nullo; d) La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola ($2R\$) ed la regione di transizione ($R\$).
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### 16. Filo su piano

Un filo rettilineo, di lunghezza infinita, uniformemente carico, con una densità di carica lineare $\lambda \$, è parallelo ed è ad una distanza $d\$ da una superficie piana isolante (di spessore trascurabile) uniformemente carica con densità di carica superficiale $\sigma \$.
Deteminare: a) la forza per unità di lunghezza che si ha tra il filo e la superficie. b) la distanza dal piano, sulla verticale passante per il filo, per la quale il campo elettrico è nullo.
(dati del problema $\sigma =10^{-5}\ C/m^{2}\$, $\lambda =-4\cdot 10^{-6}\ C/m\$, $d=3\ cm\$)
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### 17. Moto in nuvola cilindrica

Una nuvola cilindrica molto lunga (lunghezza praticamente infinita) di raggio $R\$, ha una densità di carica uniforme pari a $\rho \$. Una particella di carica $q\$ e massa $m\$ inizialmente ferma va da una posizione a distanza $R_{1}=R/2\$ dall'asse fino a $R_{2}=4R\$. Determinare a) l'accelerazione nel punto $R_{1}\$, b) l'accelerazione nel punto $R_{2}\$, 3) La velocità con cui la particella arriva nel punto $R_{2}\$.
(dati del problema $R=1\ m\$, $\rho =10^{-6}\ C/m^{3}\$, $m=10^{-19}\ kg\$, $q=1.6\cdot 10^{-19}\ C\$)
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### 18. Nuvola sferica con densità cubica

Una nuvola sferica di raggio $R\$, ha una densità di carica variabile rapidamente con la distanza dal centro con legge:
$\rho =Ar^{3}\$
ed una carica totale $Q\$.
Determinare: a) il valore di A; b) il valore del campo elettrico a $R/2\$; c) la differenza di potenziale tra i centro della nuvola e l'infinito.
(dati del problema $Q=1\ nC\$, $R=3\ cm\$)
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### 19. Nuvola sferica con densità variabile

Una nuvola sferica di raggio $R=3\ m\$ ha una densità di carica variabile radialmente secondo la legge:
    $\rho =\rho _{o}\left({\frac {r}{R}}-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)\$
con $\rho _{o}=5.9\cdot 10^{-8}\ C/m^{3}\$.
Determinare a) la carica totale; b) dove il campo elettrico è massimo ed il suo valore; c) la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il suo bordo.
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### 20. Due sfere

Due sfere di raggio $R=40\ cm\$ come in figura sono cariche uniformemente con densità di carica eguale $\rho =6\cdot 10^{-7}\ C/m^{3}\$ e sono a distanza pari a due volte il raggio. Determinare a) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle x all'interno della sfera di destra e in particolare nel punto di coordinate $x=R\$; b) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle y e in particolare nel punto di coordinate $y=R\$; c) la velocità minima che deve avere un protone di massa $m_{p}=1.67\cdot 10^{-27}\ kg\$ e carica $e=1.6\cdot 10^{-19}\ C\$ per riuscire ad attraversare il sistema passando per l'origine delle coordinate provenendo da distanza molto grande (l'infinito).
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### 21. Carica dentro guscio sferico

Al centro di un guscio sferico spesso di raggio interno $a=0.8\ m\$ e raggio esterno $b=1.5\ m\$ è collocata una carica puntiforme $q_{o}=0.3\ \mu C$. All’interno del guscio sferico, per $a\leq r\leq b\$, esiste una distribuzione di carica con densità di volume $\rho =K/r\$, con $K\$ una costante. Il campo elettrico radiale all'interno del guscio sferico è costante in modulo.
Si determini: a) il campo elettrico sul bordo interno del guscio; b) il valore della costante $K\$ che rende all'interno della distribuzione il campo elettrico costante in modulo; c) il valore della carica totale dell’intero sistema; d) la differenza di potenziale tra il bordo esterno ed interno del guscio sferico .
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### 22. Distribuzione esponenziale

Una distribuzione ha simmetria planare ed ha una densità che diminuisce esponenzialmente a partire dalla regione centrale:
    $\rho =\rho _{0}e^{-|x|/a}\$
Con $a=2\ mm\$, $\rho _{0}=1.1\cdot 10^{-5}\ C/m^{3}\$.
Determinare a) il campo elettrico al centro e in $x=a\$; b) il campo elettrico a grande distanza $x>>a\$; c) la differenza di potenziale tra $0\$ e $x=a\$.
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### 23. Doppio strato separato

Due strati piani carichi di spessore $d=2\ cm\$ con densità di carica uniforme eguale e contraria $\rho =3\cdot 10^{-5}\ C/m^{3}\$ sono posti a distanza $d\$. In figura è disegnato l'asse delle $x\$ e la sua origine. Determinare: a) il campo a grande distanza; b) L'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle x e in particolare al centro lungo al centro; c) la velocità minima che deve avere una particella di massa $m=1.67\cdot 10^{-27}\ kg\$ e carica $q=1.67\cdot 10^{-19}\ C\$ per potere attraversare i due strati provenendo da grande distanza ($+\infty \$) da destra nella figura.
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### 24 Sfera con due fori

Una sfera di densità di carica uniforme $\rho \$ e raggio $R\$ contiene due zone prive di carica al suo interno sferiche di raggio $R/2\$ come indicato in figura. Determinare a) l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle $z\$ per $-R\leq z\leq R\$; b) lungo l'asse delle $x\$ per $-R\leq x\leq R\$; c) verificare che all'interno della sfera di destra la divergenza del campo elettrico sia ovunque nulla.
(dati del problema $\rho =1\cdot 10^{-4}\ C/m^{3}\$, $R=10\ cm\$).
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### 25. Guscio concentrico

Una nuvola sferica isolante ha un raggio $R_{1}\$, ha una densità di carica uniforme e una carica totale $3Q\$. Concentrica con questa sfera vi è un guscio sferico metallico di raggio interno $R_{2}\$ e raggio esterno $R_{3}\$, come mostrato in figura con una carica $-Q\$.
Determinare: a) il campo a distanza $2R_{3}\$ dal centro; b) la densità di carica nella superficie interna ed esterna del guscio sferico metallico; c) a che distanza dal centro il campo elettrico è massimo ed il suo valore;
d) la differenza di potenziale tra il guscio metallico e il centro.
(dati del problema $Q=4\ nC\$, $R_{1}=1\ cm\$, $R_{2}=5\ cm\$, $R_{3}=6\ cm\$)
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### 26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga

Una nuvola cilindrica infinitamente lunga e di raggio $R\$ ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse con la legge
    $\rho =\rho _{o}(a-r/R)\qquad 0\leq r\leq R\$
Determinare: a) la carica per unità di lunghezza; b) l'espressione del campo elettrico per $r<R\$ e in particolare ad $R/2\$; c) a che distanza dal centro il campo elettrico ha la massima intensità ed il suo valore; d) se il valore di $a\$ fosse 1.7 dove si troverebbe il massimo del campo elettrico e quale sarebbe la sua intensità?
(dati del problema $\rho _{o}=2\ \mu C/m^{3}$, $R=10\ cm$, $a=0.9\$)
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## Soluzioni
### 1. Guscio sferico

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La densità di carica vale:
$\rho ={\frac {Q}{4/3\pi (R_{2}^{3}-R_{1}^{3})}}$ (la superficie si calcola con la formula $4\pi R^{2}$)
Quindi dal teorema di Gauss ad una distanza generica $R\$ tra $R_{1}\$ ed $R_{2}\$:
$4\pi R^{2}E(R)={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\int _{R_{1}}^{R}\rho 4\pi r^{2}dr={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\rho 4\pi \left[{\frac {r^{3}}{3}}\right]_{R_{1}}^{R}={\frac {\rho 4\pi }{3\varepsilon _{o}}}[R^{3}-R_{1}^{3}]$
$E(r)={\frac {\rho }{3\varepsilon _{o}}}\left(r-{\frac {R_{1}^{3}}{r^{2}}}\right)$
Quindi per $R=R_{3}=(R_{1}+R_{2})/2=20\ cm$:
$E(R_{3})=61\ V/m$
mentre ovviamente la d.d.p. tra i gusci, in modulo vale:
$\Delta V=\int _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {\rho }{3\varepsilon _{o}}}\left(R-{\frac {R_{1}^{3}}{R^{2}}}\right)dR={\frac {\rho }{3\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {1}{2}}(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})+{\frac {R_{1}^{3}}{R_{2}}}-R_{1}^{2}\right]=16\ V$

### 2. Guscio sferico con foro

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Il campo elettrico è quello di una superficie sferica carica con una densità di carica:
$\sigma ={\frac {Q}{4\pi R^{2}}}$
più una carica puntiforme posta sulla superficie esterna di carica:
$q_{o}=-\sigma \pi r_{o}^{2}=-Q{\frac {r_{o}^{2}}{4R^{2}}}=-0.28\ nC$
Quindi il campo al centro è quello dovuto alla sola carica puntiforme (come direzione diretto verso il foro) e vale:
$E(0)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {|q_{o}|}{R^{2}}}=1.1\ V/m$
All'interno del guscio sferico in nessun punto il campo è nullo, all'esterno sulla retta passante per il centro del guscio sferico e per il foro vi è un punto a distanza $x\$ dalla superficie del guscio sferico per cui i campi prodotti dal guscio sferico:
$E(R+x)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {Q}{(R+x)^{2}}}\$
e dalla carica puntiforme:
$E(x)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{o}}{x^{2}}}\$
Si compensano, da cui segue con semplici passaggi che:
$4R^{2}x^{2}=r_{o}^{2}(R+x)^{2}\$
Con due soluzioni, rigettando la negativa che corrisponde a stare dentro il guscio sferico dove non vale il sistema:
$x=0.025\ m$
La distanza trovata di $x=2.5\ cm\$ è chiaramente non trascurabile rispetto alle dimensioni del foro $r_{o}=5\ cm$. Quindi l'esercizio richiedeva un calcolo più sofisticato essendo la combinazione non di una carica puntiforme e di un guscio uniformemente carico, ma il caso più complesso di un disco uniformemente carico e di un guscio sferico.

### 3. Campo elettrico terrestre

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a) Dal teorema di Coulomb:
$\sigma =-E_{t}\varepsilon _{o}=-8.86\cdot 10^{-10}\ C/m^{2}$
Quindi:
$Q_{t}=\sigma 4\pi R_{t}^{2}=-4.6\cdot 10^{5}\ C$
b) Detta la densità di carica nell'atmosfera $\rho _{t}\$, poiché lo spessore dell'atmosfera utile ai fini del calcolo $h\$ è piccolo rispetto al raggio della terra, si può approssimare il suo volume con $4\pi R_{t}^{2}h\$ e quindi:
$\rho _{t}\approx {\frac {-Q_{t}}{4\pi R_{t}^{2}h}}$
Quindi detta $z\$ una quota generica tra $0\$ ed $h\$, considerando una sfera concentrica alla terra all'interno dell'atmosfera, l'applicazione del teorema di Gauss:
$-E_{z}4\pi (R_{t}+z)^{2}={\frac {Q_{t}}{\varepsilon _{o}}}+{\frac {\rho _{t}4\pi R_{t}^{2}z}{\varepsilon _{o}}}$
Trascurando $z\$ rispetto a $R_{t}\$ e sostituendo
$-E_{z}4\pi R_{t}^{2}={\frac {Q_{t}}{\varepsilon _{o}}}-{\frac {Q_{t}z}{h\varepsilon _{o}}}$
Quindi:
$E_{z}={\frac {Q_{t}}{\varepsilon _{o}4\pi R_{t}^{2}}}\left({\frac {z}{h}}-1\right)$
Quindi la d.d.p. tra la quota $h\$ e la superficie della terra vale:
$\Delta V=-\int _{h}^{0}E_{z}dz=-{\frac {Q_{t}}{4\pi \varepsilon _{o}R_{t}^{2}}}\left(h-{\frac {h^{2}}{2h}}\right)=-{\frac {Q_{t}h}{8\pi \varepsilon _{o}R_{t}^{2}}}=500\ kV$
c) Quindi la capacità in senso lato vale:
$C={\frac {Q_{t}}{\Delta V}}=0.9\ F$

### 4. Tre gusci sferici

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Chiamiamo $Q_{1}\$ e $Q_{2}\$ la carica sulle sfere interna ed esterna dovrà essere che:
$Q_{1}+Q_{2}=-Q\$
Inoltre dal teorema di Gauss essendo radiale tra $R_{1}\$ ed $R_{2}\$ vale:
$E={\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}r^{2}}}$
Quindi la d.d.p. tra la sfera interna e quella intermedia vale:
$\Delta V_{1}={\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {R_{1}-R_{2}}{R_{1}R_{2}}}$
mentre tra quella esterna e quella intermedia vale:
$\Delta V_{2}={\frac {Q+Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {R_{3}-R_{2}}{R_{2}R_{3}}}$
Imponendo che:
$\Delta V_{1}=\Delta V_{2}\$
    ${\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {R_{1}-R_{2}}{R_{1}R_{2}}}={\frac {Q+Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {R_{3}-R_{2}}{R_{2}R_{3}}}$
Quindi
    $Q_{1}{\frac {R-1.5R}{1.5R^{2}}}=(Q+Q_{1}){\frac {2R-1.5R}{3R^{2}}}$
    $-2Q_{1}=Q+Q_{1}$
$Q_{1}=-{\frac {Q}{3}}=-1\ \mu C$
$\Delta V={\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {R_{1}-R_{2}}{R_{1}R_{2}}}=3000\ V$
La capacità elettrica vale dunque:
$C={\frac {Q}{\Delta V}}=1\ nF$
La densità di carica sulla sfera interna vale:
$\sigma _{1}={\frac {Q_{1}}{4\pi R^{2}}}$
Quindi nelle immediate vicinanze il campo vale:
$E_{1}={\frac {\sigma _{1}}{\varepsilon _{o}}}=-90\ V/m$
che è il massimo campo presente nello spazio tra le sfere, è facile verificare come nelle immediate vicinanze della sfera intermedia il campo sia minore: $80\ V/m$.

### 5. Nuvola cilindrica

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per r<R si ha dal Teorema di Gauss, detta $h\$ l'altezza di un cilindro Gaussiano, che:
$E_{r}h2\pi r={\frac {1}{\epsilon _{o}}}\int _{0}^{r}(A+Br')2\pi r'dr'h\$
da cui:
$E_{r}={\frac {1}{\epsilon _{o}}}(A{\frac {r}{2}}+B{\frac {r^{2}}{3}})\$
mentre per r>R si ha dal Teorema di Gauss:
$E_{r}h2\pi r={\frac {1}{\epsilon _{o}}}\int _{0}^{R}(A+Br)2\pi rdrh\$
da cui:
$E_{r}={\frac {1}{\epsilon _{o}}}(A{\frac {R^{2}}{2r}}+B{\frac {R^{3}}{3r}})\$
Dai dati iniziali del problema si ha che:
$10^{4}\epsilon _{o}=2.5A+8.3B\$
$510^{3}\epsilon _{o}=A+6.66B\$
Da cui:
$A=2.65\cdot 10^{-8}\ C/m^{3}$
$B=2.65\cdot 10^{-9}\ C/m^{4}$
Quindi per r=R:
$E(R)=25000\ V/m$
Mentre la d.d.p. vale:
$\Delta V=-\int _{0}^{R}E_{r}dr=-{\frac {1}{\epsilon _{o}}}(A{\frac {R^{2}}{4}}+B{\frac {R^{3}}{9}})=-108\ kV$

### 6. Doppio strato

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Consideriamo un solo stato e spostiamo l'origine nel suo centro come mostrato in figura. Distinguiamo tre zone di spazio. La prima è $-d/2<x'<d/2\$ e consideriamo un cilindro perpendicolare al piano di sezione $S\$ ed altezza $2x\$ con il suo centro coincidente con il centro della regione.
Attraverso le basi del cilindro il campo è uscente e vale in modulo $|E|\$. Il flusso attraverso la superficie laterale è identicamente nullo poiché il campo è parallelo alla superficie. Quindi applicando il teorema di Gauss:
$|E^{+}|2S={\frac {\rho S2x'}{\epsilon _{o}}}\qquad per\ -d/2<x'<d/2\$
Quindi:
$E^{+}={\frac {\rho x'}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ -d/2<x'<d/2\$
Mentre se $|x'|>d/2\$:
$|E^{+}|2S={\frac {\rho Sd}{\epsilon _{o}}}\$
Quindi:
$E^{+}={\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x'\geq d/2\$
$E^{+}=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x'\leq -d/2$
Se la densità di carica fosse stata negativa avrei avuto:
$E^{-}=-{\frac {\rho x'}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ -d/2<x'<d/2\$
$E^{-}=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x'\leq -d/2\$
$E^{-}=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x'\geq d/2\$
Ritorniamo al problema reale facendo due cambiamenti di coordinare per $x'\$ in maniera diversa tra + e -.
$x'=x+{\frac {d}{2}}\$
Le equazioni divengono: $E^{+}=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x\leq -d\$
$E^{+}={\frac {\rho (x+d/2)}{\epsilon _{o}}}\qquad per\ -d<x<0\$
$E^{+}={\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x\geq 0$
$x'=x-{\frac {d}{2}}\$
Le equazioni divengono:
$E^{-}={\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x\leq 0\$ $E^{-}=-{\frac {\rho (x-d/2)}{\epsilon _{o}}}\qquad per\ 0<x\ <d$
$E^{-}=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}\qquad per\ x\geq d\$
Quindi il campo totale nelle 4 regioni di spazio diviene:
$E=-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}+{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}=0\qquad per\ x\leq -d$
$E={\frac {\rho (x+d/2)}{\epsilon _{o}}}+{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}={\frac {\rho (x+d)}{\epsilon _{o}}}\qquad per\ -d<x<0$
$E=-{\frac {\rho (x-d/2)}{\epsilon _{o}}}+{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}={\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon _{o}}}\qquad per\ 0<x<d$
$E={\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}-{\frac {\rho d}{2\epsilon _{o}}}=0\qquad per\ x\geq d$
Quindi il massimo di $E\$ si ha nell'origine in cui:
$\lim _{x\rightarrow 0^{-}}{\frac {\rho (x+d)}{\epsilon _{o}}}=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}-{\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon _{o}}}={\frac {\rho d}{\epsilon _{o}}}=3.4\ \cdot 10^{6}\ V/m$
Mentre la d.d.p. tra i due lati vale:
$\Delta V=-\int _{-d}^{0}{\frac {\rho (x+d)}{\epsilon _{o}}}dx-\int _{0}^{d}{\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon _{o}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{o}}}\left\{\left[{\frac {x^{2}}{2}}+xd\right]_{-d}^{0}+\left[xd-{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{d}\right\}={\frac {\rho d^{2}}{\epsilon _{o}}}=1.02\ V$

### 7. Un guscio spesso isolante

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Il campo elettrico, sempre radiale, si ricava dal teorema di Gauss. All'esterno della distribuzione si ha che:
$E_{r}4\pi r^{2}={\frac {Q}{\varepsilon _{o}}}\qquad per\quad r>R_{2}$
$E_{r}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\$
Nella cavità il campo è nullo.
Mentre la densità di carica, nella regione dove è uniforme, vale:
$\rho ={\frac {Q}{4/3\pi (R_{2}^{3}-R_{1}^{3})}}=6\cdot 10^{-6}\ C/m^{3}$
Quindi applicando Gauss:
$E_{r}4\pi r^{2}=\rho {\frac {4\pi }{3\varepsilon _{o}}}\left(r^{3}-R_{1}^{3}\right)\qquad per\quad R_{1}<r<R_{2}$
$E_{r}=\rho {\frac {1}{3\varepsilon _{o}r^{2}}}\left(r^{3}-R_{1}^{3}\right)\qquad per\quad R_{1}<r<R_{2}$
Il campo è ovviamente massimo per $r=R_{2}\$ dove vale:
$E_{m}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}R_{2}^{2}}}=20\ kV/m$
$V=-\int _{\infty }^{0}E_{r}dr=-\int _{\infty }^{R_{2}}E_{r}dr-\int _{R_{2}}^{R_{1}}E_{r}dr=\$ $={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{R_{2}}}+{\frac {\rho }{6\varepsilon _{o}}}\left[R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right]+{\frac {\rho R_{1}^{3}}{3\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right]=2732\ V$

### 8. Differenza di potenziale di una nuvola sferica

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Dal teorema di Gauss essendo il campo elettrico radiale la sua intensità all'interno della sfera vale:
$|E|={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}}}r$
Quindi:
$\Delta V={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}}}\int _{0}^{R}rdr={\frac {Q}{8\pi \epsilon _{o}R}}=1.5\cdot 10^{6}\ V$

### 9. Due sfere lontane

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La carica cui si porta la prima sfera è:
$Q_{0}=4\pi \epsilon _{o}RV_{0}=5.6\ nC$
Dovendo portarsi allo stesso potenziale, detta $Q_{1}\$ e $Q_{2}\$ le cariche finali delle due sfere:
${\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}R}}={\frac {Q_{2}}{4\pi \epsilon _{o}R}}$
ma anche:
$Q_{1}+Q_{2}=Q_{0}\$
da cui:
$Q_{2}={\frac {Q_{0}}{3}}=1.86\ nC$
$Q_{1}={\frac {2Q_{0}}{3}}=3.74\ nC$
Il potenziale finale (comune) vale:
$V_{f}={\frac {Q_{1}}{4\pi \epsilon _{o}R}}=167\ V$

### 10. Regione tra due piani

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Assunta come origine dell'asse delle $x\$ il centro e normale ai piani. Consideriamo un cilindro gaussiano di base $S\$ con asse parallelo all'asse delle $x\$ di altezza $2x<d\$. Applicando il teorema di Gauss, vi è flusso del campo elettrico solo attraverso le due superfici di base ed è eguale ed uscente per entrambe le superfici per cui
$2|E_{x}|(x)S={\frac {\rho S2x}{\varepsilon _{o}}}\$
Quindi:
$E_{x}={\frac {\rho x}{\varepsilon _{o}}}\$
La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'estremo vale:
$|\Delta V|=\int _{0}^{d/2}{\frac {\rho x}{\varepsilon _{o}}}dx={\frac {\rho d^{2}}{8\varepsilon _{o}}}=141\ V$

### 11. Una goccia d'acqua

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Una sfera conduttrice con carica $q_{o}\$ genera un campo radiale di intensità, applicando il teorema di Gauss:
$|E|={\frac {q_{o}}{4\pi \epsilon _{o}r^{2}}}$
Per cui la d.d.p. tra la superficie della goccia e l'infinito: vale:
$V=\int _{R}^{\infty }{\frac {q_{o}}{4\pi \epsilon _{o}r^{2}}}={\frac {q_{o}}{4\pi \epsilon _{o}R}}\$
quindi:
$R={\frac {q_{o}}{4\pi \epsilon _{o}V}}=900\ \mu m$

### 12. Una nuvola sferica carica

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La carica totale vale:
$Q={\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {R}{2}}\right)^{3}{\frac {\rho }{2}}+{\frac {4}{3}}\pi \left[R^{3}-\left({\frac {R}{2}}\right)^{3}\right]\rho ={\frac {5}{4}}\pi \rho R^{3}$
quindi:
$\rho ={\frac {4Q}{5\pi R^{3}}}=1\cdot 10^{-6}\ C/m^{3}$
$Q_{i}={\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {R}{2}}\right)^{3}{\frac {\rho }{2}}={\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {R}{2}}\right)^{3}{\frac {2Q}{5\pi R^{3}}}={\frac {Q}{15}}=2.7\cdot 10^{-7}\ C$
Nel guscio sferico compreso tra $R/2\$ e $2R/3$ vi è una carica:
$Q_{e}={\frac {4}{3}}\pi \left[\left({\frac {2R}{3}}\right)^{3}-\left({\frac {R}{2}}\right)^{3}\right]\rho =7.3\cdot 10^{-7}\ C$
Dal teorema di Gauss:
$E={\frac {Q_{i}+Q_{e}}{4\pi \epsilon _{o}\left({\frac {2}{3}}R\right)^{2}}}=2\cdot 10^{4}\ V/m$

### 13. Un corpo di massa m e carico

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La densità di carica vale:
$\rho ={\frac {3e}{4\pi R^{3}}}$
Dal teorema di Gauss:
$4\pi r^{2}E_{r}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}{\frac {\rho }{\epsilon _{o}}}\qquad r<R$
$E_{r}={\frac {er}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}}}\$
L'equazione del moto per quanto riguarda la componente radiale dello spostamento vale:
$m{\ddot {r}}=-eE_{r}$
$m{\ddot {r}}=-{\frac {e^{2}r}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}}}\$
Che l'equazione di un oscillatore armonico con pulsazione:
$\omega ={\sqrt {\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}m}}}\$
$\nu ={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{o}R^{3}m}}}=2.5\cdot 10^{15}Hz\$

### 14. Giunzione p-n graduale

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Avendo il problema simmetria piana si hanno tre regioni di spazio, di cui due in cui il campo è nullo $x<-d\$, $x>d\$ e una regione centrale $-d<x<d\$ in cui in cui il campo è diverso da 0. La ragione per cui al di fuori dello strato il campo è identicamente nullo dipende dal fatto che la zona carica ha carica totale nulla, e quindi al di fuori della zona le cariche opposte da esse possedute si bilanciano completamente. All'interno della distribuzione invece non si ha un bilanciamento. Per ragioni di continuità sulle superfici dello strato il campo elettrico è nullo.
A partire da questo fatto si calcola mediante il teorema di Gauss il campo elettrico nella regione centrale. Si considera un cilindro gaussiano retto di superficie di base $S\$. Disponiamo il cilindro con le generatrici ortogonali al piano dello strato e con una superficie all'esterno dello strato (dove il campo è nullo) e l'altra in un punto generico della regione centrale (di coordinata x), applicando il teorema di Gauss:
$E_{x}S={\frac {S}{\varepsilon _{o}}}\int _{-d}^{x}\rho dt=S{\frac {Ax^{2}}{2\varepsilon _{o}}}-Cost\$
da cui imponendo che per $x=-d\$ sia $E_{x}=0\$:
$E_{x}(x)={\frac {A}{2\varepsilon _{o}}}(x^{2}-d^{2})\$
La d.d.p. tra un estremo e il centro della distribuzione vale:
$\Delta V(d,0)=\int _{-d}^{d}E_{x}dx=\int _{-d}^{d}{\frac {Ax^{2}dx}{2\varepsilon _{o}}}={\frac {A}{3\varepsilon _{o}}}d^{3}=0.38\ V$
Si risolveva ancora più semplicemente ricorrendo al teorema di Gauss in forma locale che all'interno della nuvola si riduce in:
${\frac {dE_{x}}{dx}}={\frac {Ax}{\varepsilon _{o}}}\$
Che integrato diviene:
$E_{x}={\frac {Ax^{2}}{2\varepsilon _{o}}}+Cost\$
da cui imponendo che per $x=-d\$ sia $E_{x}=0\$:
$E_{x}(x)={\frac {A}{2\varepsilon _{o}}}(x^{2}-d^{2})\$

### 15. Nuvola sferica con due densità

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a)
La carica totale tra $R\$ e $2R\$ vale:
    $Q_{2}=-\rho {\frac {4}{3}}\pi [(2R)^{3}-R^{3}]=-7.9\ \mu C\$
b)
La carica tra $0\$ ed $R\$ vale:
    $Q_{1}=\rho {\frac {4}{3}}\pi R^{3}=1.1\ \mu C\$
Quindi la carica totale tra $0\$ e $2R\$ vale:
    $Q=Q_{1}+Q_{2}=-6.8\ \mu C\$
Quindi per il teorema di Gauss il campo elettrico all'esterno della distribuzione ($r>2R\$) vale:
    $E_{r}(r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\$
Quindi per $r=4R\$:
    $E(4R)=-424\ V/m\$
Cioè punta verso l'interno.
c)
Il campo è nullo nella sfera di raggio $r_{x}\$ all'interno della regione con carica negativa per cui la carica
    $Q_{2}'=-\rho {\frac {4}{3}}\pi [(r_{x})^{3}-R^{3}]\$
è eguale ed opposta a:
    $Q_{2}'=-Q_{1}\$
    $-\rho {\frac {4}{3}}\pi [(r_{x})^{3}-R^{3}]=\rho {\frac {4}{3}}\pi R^{3}\$
    $r_{x}^{3}=2R^{3}\$
    $r_{x}=R{\sqrt[{3}]{2}}=3.8\ m\$
d)
Dal teorema di Gauss per $R\leq r\leq 2R\$:
    $4\pi r^{2}E_{r}={\frac {Q_{1}-4\pi \rho \int _{R}^{r}r'^{2}dr'}{\varepsilon _{o}}}={\frac {Q_{1}-4/3\pi \rho (r^{3}-R^{3})}{\varepsilon _{o}}}\$
    $E_{r}={\frac {Q_{1}+4/3\pi \rho R^{3}}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}-{\frac {\rho r}{3\varepsilon _{o}}}\$
La d.d.p. vale:
    $\Delta V=\int _{R}^{2R}E_{r}dr={\frac {Q_{1}+4/3\pi \rho R^{3}}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{R}^{2R}{\frac {dr}{r^{2}}}-{\frac {\rho }{3\varepsilon _{o}}}\int _{R}^{2R}rdr\$
    $\Delta V={\frac {Q_{1}+Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left[-{\frac {1}{r}}\right]_{R}^{2R}-{\frac {\rho }{6\varepsilon _{o}}}\left[r^{2}\right]_{R}^{2R}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}R}}-{\frac {\rho R^{2}}{2\varepsilon _{o}}}=-1695\ V\$

### 16. Filo su piano

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a) Il campo elettrico generato nella parte superiore della superficie piana, diretto verso l'alto visto il segno di $\sigma \$, vale:
$E_{p}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\$
Quindi la forza che agisce sulla carica $dq\$ posta a distanza $d\$ vale:
$dF=E_{p}dq=E_{p}\lambda dl={\frac {\sigma \lambda dl}{2\varepsilon _{o}}}\$
di conseguenza, la forza attrattiva vale:
${\frac {dF}{dl}}={\frac {\sigma \lambda }{2\varepsilon _{o}}}=2.26\ N/m\$
b) Il campo elettrico, diretto verso il filo per il segno della carica su di esso, creato a distanza $r\$ dal filo vale:
$E_{f}={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{o}r}}\$
Tra il piano ed il filo il campo elettrico generato dalle due distribuzioni di carica sono concordi e quindi la risultante non si annulla mai. Mentre al di sopra del filo, scelta l'origine sul piano, sulla verticale del filo, si ha che $r=z-d\$, per cui il campo risultante vale:
$E_{z}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}+{\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{o}(z-d)}}\qquad z>0\$
Che si annulla per:
$z=d-{\frac {\lambda }{\pi \sigma }}=15.7\ cm\$
Mentre sotto il piano:
$E_{z}=-{\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}+{\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{o}(z-d)}}\qquad z<0\$
che si annulla per:
$z=d+{\frac {\lambda }{\pi \sigma }}=-9.7\ cm\$

### 17. Moto in nuvola cilindrica

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Applicando il teorema di Gauss per $r<R\$ si ha che:
$E={\frac {\rho r}{2\varepsilon _{o}}}\$
$E(r=R/2)={\frac {\rho R}{4\varepsilon _{o}}}\$
$a_{1}={\frac {q\rho R}{4m\varepsilon _{o}}}=4.5\cdot 10^{4}\ m/s^{2}\$
Applicando il teorema di Gauss per $r>R\$ si ha che:
$E={\frac {\rho R^{2}}{2\varepsilon _{o}r}}\$
$E(r=4R)={\frac {\rho (R)^{2}}{2\varepsilon _{o}4R}}={\frac {\rho R}{8\varepsilon _{o}}}\$
$a_{2}={\frac {q\rho R}{8m\varepsilon _{o}}}=2.25\cdot 10^{4}\ m/s^{2}\$
La d.d.p. tra $R\$ e $4R\$ vale:
$V_{1}={\frac {\rho R^{2}}{2\varepsilon _{o}}}\int _{R}^{4R}{\frac {dr}{r}}={\frac {\rho R^{2}}{2\varepsilon _{o}}}\ln 4\$
La d.d.p tra $R/2\$ ed $R\$ vale:
$V_{2}={\frac {\rho }{2\varepsilon _{o}}}\int _{R/2}^{R}rdr={\frac {\rho }{4\varepsilon _{o}}}(R^{2}-R^{2}/4)={\frac {\rho 3R^{2}}{16\varepsilon _{o}}}\$
Quindi:
$DV=V_{1}+V_{2}={\frac {\rho R^{2}}{\varepsilon _{o}}}\left({\frac {\ln 4}{2}}+{\frac {3}{16}}\right)=10^{5}\ V\$
$v={\sqrt {2qDV/m}}=564\ m/s\$

### 18. Nuvola sferica con densità cubica

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a)
La carica in ogni guscio sferico di raggio $r\$ e spessore di $dr\$ vale:
    $dQ=4\pi r^{2}drAr^{3}\$
Quindi la carica totale vale:
    $Q=4\pi A\int _{0}^{R}r^{5}dr={\frac {4\pi A}{6}}R^{6}\$
    $A={\frac {3Q}{2\pi R^{6}}}=0.655\ C/m^{6}\$
b)
Applicando il teorema di Gauss ad una sfera di raggio $0<r<R\$ concentrica alla nuvola:
    $E_{r}4\pi r^{2}={\frac {4\pi A\int _{0}^{r}x^{5}dx}{\varepsilon _{o}}}\$
Segue che:
    $E_{r}={\frac {Ar^{4}}{6\varepsilon _{o}}}\qquad per\ 0<r<R\$
di conseguenza per $r=R/2\$
    $E_{r}(r=R/2)=624\ V/m\$
c)
La differenza di potenziale tra il centro della nuvola e il bordo vale:
    $DV_{1}=\int _{0}^{R}{\frac {Ar^{4}}{6\varepsilon _{o}}}dr={\frac {AR^{5}}{30\varepsilon _{o}}}=60\ V\$
Il campo fuori della nuvola vale:
    $E_{r}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\qquad per\ R<r<\infty \$
Quindi la d.d.p. tra il bordo della nuvola e l'infinito vale:
    $DV_{2}=\int _{R}^{\infty }{\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}dr={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}R}}=300\ V\$
Quindi tra il centro della nuvola e l'infinito:
    $DV=DV_{1}+DV_{2}=360\ V\$

### 19. Nuvola sferica con densità variabile

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a)
    $Q=\int _{0}^{R}\rho 4\pi r^{2}dr=4\pi \rho _{0}\int _{0}^{R}\left({\frac {r}{R}}-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)r^{2}dr=4\pi \rho _{0}\left[{\frac {r^{4}}{4R}}-{\frac {r^{5}}{5R^{2}}}\right]_{0}^{R}={\frac {\pi \rho _{o}R^{3}}{5}}=1\ \mu C\$
b)
Dal teorema di Gauss per $0\leq r\leq R\$:
    $E_{r}4\pi r^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{r}\rho 4\pi x^{2}dx={\frac {4\pi \rho _{0}}{\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{r}\left({\frac {x}{R}}-{\frac {x^{2}}{R^{2}}}\right)x^{2}dx={\frac {4\pi \rho _{0}}{\varepsilon _{o}}}\left({\frac {r^{4}}{4R}}-{\frac {r^{5}}{5R^{2}}}\right)\$
    $E_{r}(r\leq R)={\frac {\rho _{0}}{\varepsilon _{o}R}}\left({\frac {r^{2}}{4}}-{\frac {r^{3}}{5R}}\right)\$
Mentre per $r\geq R\$:
    $E_{r}(r\geq R)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\$
Notare che
    $E_{r}(r\to R-)=E_{r}(r\to R+)={\frac {\rho _{0}R}{20\varepsilon _{o}}}\$
Inoltre il campo elettrico è nullo per $r=0\$, quindi all'interno della distribuzione ha un massimo, quando cioè:
    ${\frac {\partial E_{r}}{\partial r}}=0\$
cioè per:
    ${\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {r^{2}}{4}}-{\frac {r^{3}}{5R}}\right)=0\$
    ${\frac {2r}{4}}-{\frac {3r^{2}}{5R}}=0\$
    $r={\frac {5}{6}}R=2.5\ m\$
    $E_{r}(2.5)=1.15\cdot 10^{3}V/m\$
c) La d.d.p. vale:
    $V=\int _{0}^{R}E_{r}dr={\frac {\rho _{0}}{\varepsilon _{o}R}}\int _{0}^{R}\left({\frac {r^{2}}{4}}-{\frac {r^{3}}{5R}}\right)dr\$
    $V={\frac {\rho _{0}}{\varepsilon _{o}R}}\left({\frac {R^{3}}{12}}-{\frac {R^{4}}{20R}}\right)={\frac {\rho _{0}R^{2}}{30\varepsilon _{o}}}=2000\ V\$

### 20. Due sfere

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a)
La carica di una sfera positiva vale:
    $Q=\rho {\frac {4}{3}}\pi R^{3}=160\cdot 10^{-9}\ C\$
Dal teorema di Gauss il campo generato dalla sola sfera di destra è nullo al centro e vale all'interno:
    $E_{xd}={\frac {\rho (x-R)}{3\varepsilon _{o}}}\qquad 0\leq x\leq 2R\$
(come all'interno di una sfera uniformemente carica ma con origine nel punto $x=R\$). Mentre quello della sfera di sinistra è semplicemente:
    $E_{xs}={\frac {Q}{4\varepsilon _{o}(R+x)^{2}}}\qquad 0\leq x\leq 2R\$
Quindi in totale:
    $E_{x}={\frac {\rho (x-R)}{3\varepsilon _{o}}}+{\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}(R+x)^{2}}}={\frac {\rho }{3\varepsilon _{o}}}\left[x-R+{\frac {R^{3}}{(R+x)^{2}}}\right]={\frac {\rho x(x^{2}+Rx-R^{2})}{3\varepsilon _{o}(R+x)^{2}}}\$
In particolare per $x=R\$:
    $E_{x}={\frac {\rho R}{12\varepsilon _{o}}}=2.26\ kV/m\$
o anche più semplicemente:
    $E_{x}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}(2R)^{2}}}=2.26\ kV/m\$
b)
In questo caso il campo coincide con quello di due cariche $Q\$ puntiformi poste in $(-R,0)\$ e $(R,0)\$. Che generano un campo avente solo componente $y\$ (l'altra componente è nulla) che vale:
    $E_{y}={\frac {2Qy}{4\pi \varepsilon _{o}(y^{2}+R^{2})^{3/2}}}\$
Quindi per $y=R\$:
    $E_{y}={\frac {2Q}{4\pi \varepsilon _{o}R^{2}(2)^{3/2}}}=6.4\ kV/m\$
c)
La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'infinito vale:
    $V=-\int _{\infty }^{0}E_{y}dy=\int _{0}^{\infty }{\frac {2Qy}{4\pi \varepsilon _{o}(y^{2}+R^{2})^{3/2}}}dy={\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ydy}{(y^{2}+R^{2})^{3/2}}}\$
Essendo:
    $\int {\frac {ydy}{(y^{2}+R^{2})^{3/2}}}={\frac {-1}{\sqrt {y^{2}+R^{2}}}}\$
    $V={\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{o}}}\left[-{\frac {-1}{\sqrt {y^{2}+R^{2}}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{o}R}}=7.2\ kV\$
Quindi imponendo che:
    ${\frac {1}{2}}m_{p}v^{2}\geq eV\$
si ha che:
    $v_{min}={\sqrt {\frac {2eV}{m_{p}}}}=1.18\cdot 10^{6}\ m/s\$

### 21. Carica dentro guscio sferico

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a)
Nella regione $r\leq a\$ dal centro vi è solo la carica puntiforme per cui:
    $E(r)={\frac {q_{o}}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}\quad r\leq a\$
Quindi:
    $E(a)=4.2\ KV/m\$
b)
All'interno di una sfera gaussiana di raggio $a\leq r\leq b\$ la carica totale vale:
    $Q(r)=q_{o}+\int _{a}^{r}{\frac {K}{r}}4\pi r'^{2}dr'=q_{o}+2\pi K(r^{2}-a^{2})\$
Quindi dovendo per il teorema di Gauss:
    $4\pi r^{2}E(r)={\frac {Q(r)}{\varepsilon _{o}}}={\frac {q_{o}+2\pi K(r^{2}-a^{2})}{\varepsilon _{o}}}\$
    $E(r)={\frac {q_{o}-2\pi Ka^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}+{\frac {K}{2\varepsilon _{o}}}\$
Perché quindi non dipenda da $r\$ deve essere:
    $q_{o}-2\pi Ka^{2}=0\$
    $K={\frac {q_{o}}{2\pi a^{2}}}=7.5\cdot 10^{-8}\ C/m^{2}\$
c)
La carica totale vale:
    $Q(b)=q_{o}+2\pi K(b^{2}-a^{2})=1.05\ \mu C\$
d)
Essendo costante il campo elettrico la d.d.p. tra b ed a vale:
    $\Delta V=E(a)(b-a)=2950\ V\$

### 22. Distribuzione esponenziale

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a)
Al centro il campo è nullo per ragioni di simmetria, ma anche se viene usato il teorema di Gauss a una regione cilindrica simmetrica attorno al centro di altezza $2x\$ risulta:
    $2SE_{x}={\frac {2S}{\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{x}\rho _{0}e^{-x'/a}dx'\$
    $E_{x}={\frac {\rho _{0}a}{\varepsilon _{o}}}\left(1-e^{-x/a}\right)\$
che è nullo per $x=0\$.
Mentre per $x=a\$ vale:
    $E_{x}(a)=1.57\ kV/m\$
b)
A grande distanza cioè per $x\gg a\$ si ha:
    $E_{x}={\frac {\rho _{0}a}{\varepsilon _{o}}}=2.5\ kV/m\$
c)
La differenza di potenziale tra $x\$ e $0\$:
    $DV(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\rho _{0}a}{\varepsilon _{o}}}\left(1-e^{-x'/a}\right)dx'={\frac {\rho _{0}a^{2}}{\varepsilon _{o}}}e^{-x/a}\$
Quindi se $x=a\$:
    $DV(a)={\frac {\rho _{0}a^{2}}{\varepsilon _{o}}}e^{-1}=1.83\ V\$

### 23. Doppio strato separato

→ Vai alla traccia
L'unica componente del campo elettrico è lungo l'asse delle x.
a)
A grande distanza il campo è nullo in quanto la sovrapposizione di due strati carichi con carica eguale ed opposta.
b)
Per $x\geq 3/2d\$ e $x\leq -3/2d\$:
    $E_{x}=0\qquad x\geq 3/2d\quad e\quad x\leq -3/2d\$
Per $-3/2d\leq x\leq -d/2\$ si ha che cresce in maniera lineare:
    ${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}\$
Quindi (imponendo che sia nullo per $x=-3/2d\$:
    $E_{x}={\frac {\rho x}{\varepsilon _{o}}}+{\frac {3\rho d}{2\varepsilon _{o}}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}(x+3d/2)\qquad -3/2d\leq \quad x\leq -d/2\$
Per $-d/2\leq x\leq d/2\$ è costante:
    $E_{x}={\frac {\rho d}{\varepsilon _{o}}}=6.8\cdot 10^{4}\ V/m\qquad -d/2\leq x\leq d/2\$
Per $d/2\leq x\leq 3d/2\$ diminuisce linearmente:
    $E_{x}={\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}(3d/2-x)\qquad d/2\leq \quad x\leq 3d/2\$
c)
La differenza di potenziale tra $\infty \$ e $-\infty \$ (integrando il campo elettrico tra $x=-3/2d\$ e $x=3/2d\$)
    $\Delta V={\frac {2\rho d^{2}}{\varepsilon _{o}}}=2722\ V\$
Quindi imponendo che:
    ${\frac {1}{2}}mv^{2}\geq q\Delta V\$
si ha che la velocità deve essere maggiore di:
    $v={\sqrt {\frac {2q\Delta V}{m}}}=7.2\cdot 10^{5}\ m/s\$
Si noti che se proveniva dalla direzione opposta non trova nessuna barriera.

### 24 Sfera con due fori

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a)
Una sfera omogenea di raggio $R\$ e densità di carica uniforme $\rho \$, ha in coordinate cartesiane nel punto generico all'interno di coordinate $(0,0,z)\$:
    $E_{z+}(0,0,z)={\frac {\rho z}{3\varepsilon _{o}}}\$
Sovrapponendo due sfere di raggio $R/2\$ e densità di carica uniforme $-\rho \$ centrate nei punti $x=-R/2\$ e $x=R/2\$ si ottiene la stessa distribuzione di carica e anche lo stesso campo.
La carica totale negativa di ognuna delle sfere negative è:
    $Q_{2}=-\rho {\frac {4}{3}}\pi (R/2)^{3}=-{\frac {\pi }{6}}R^{3}\rho \$
i punti sull'asse delle z sono tutti all'esterno di tali regioni per cui (per cui generano il campo di una carica $Q_{2}\$) e la componente lungo l'asse delle $x\$ si elidono a vicenda quindi il campo è pari a:
    $E_{z}(0,0,z)={\frac {\rho z}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {2Q_{2}z}{4\pi \varepsilon _{o}[(R/2)^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\$
    $E_{z}(0,0,z)={\frac {\rho z}{3\varepsilon _{o}}}\left(1-{\frac {R^{3}}{4[(R/2)^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\right)\$
Funzione mostrata di lato.
b)
Lungo l'asse delle $x\$ avremo che la sfera positiva genera un campo
    $E_{x+}(x,0,0)={\frac {\rho x}{3\varepsilon _{o}}}\qquad -R\leq x\leq R\$
Per $0\leq x\leq R\$, la zona a carica negativa di sinistra genera un campo:
    $E_{x-1}(x,0,0)={\frac {Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{o}[(R/2)+x]^{2}}}\qquad 0\leq x\leq R\$
Mentre la regione di destra genera un campo:
    $E_{x-2}(x,0,0)=-{\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon _{o}}}\qquad 0\leq x\leq R\$
Quindi per $0\leq x\leq R\$ sommando i tre termini:
    $E_{x}={\frac {\rho x}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon _{o}}}+{\frac {Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{o}[x+(R/2)]^{2}}}={\frac {\rho R}{6\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}[x+(R/2)]^{2}}}={\frac {\rho R}{6\varepsilon _{o}}}\left[1-{\frac {R^{2}}{4[x+(R/2)]^{2}}}\right]\$
Mentre per $-R\leq x\leq 0\$:
    $E_{x}={\frac {\rho x}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho (x+R/2)}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{o}[x-(R/2)]^{2}}}=-{\frac {\rho R}{6\varepsilon _{o}}}+{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}[x-(R/2)]^{2}}}={\frac {\rho R}{6\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {R^{2}}{4[x-(R/2)]^{2}}}-1\right]\$
Funzione mostrata nella figura qui sopra.
Le componenti $E_{y}\$ ed $E_{z}\$ sono identicamente nulle lungo tale asse.
c)
Nella regione a carica nulla di destra:
    $0\leq x\leq R,\quad -R/2\leq y\leq R/2;\quad -R/2\leq z\leq R/2\$
il campo elettrico nelle sue tre componenti cartesiane può essere calcolato estendendo le formule precedenti:
    $E_{x}(x,y,z)={\frac {\rho x}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon _{o}}}+{\frac {Q_{2}[x+(R/2)]}{4\pi \varepsilon _{o}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}={\frac {\rho R}{6\varepsilon _{o}}}\left[1-{\frac {[x+(R/2)]R^{2}}{4\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}\right]\$
    $E_{y}(x,y,z)={\frac {\rho y}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho y}{3\varepsilon _{o}}}+{\frac {Q_{2}y}{4\pi \varepsilon _{o}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}=-{\frac {\rho R^{3}y}{24\varepsilon _{o}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}\$
    $E_{z}(x,y,z)={\frac {\rho z}{3\varepsilon _{o}}}-{\frac {\rho z}{3\varepsilon _{o}}}+{\frac {Q_{2}y}{4\pi \varepsilon _{o}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}=-{\frac {\rho R^{3}z}{24\varepsilon _{o}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}}}\$
Notiamo che le componenti $E_{y}\$ ed $E_{z}\$ sono nulle lungo l'asse delle $x\$ ma non le derivate parziali:
    ${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}-3[x+(R/2)]^{2}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3}}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {y^{2}+z^{2}-2[x+(R/2)]^{2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{5/2}}}\$
    ${\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}-3y^{2}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3}}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {[x+(R/2)]^{2}+z^{2}-2y^{2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{5/2}}}\$
    ${\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3/2}-3z^{2}\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{3}}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {[x+(R/2)]^{2}+y^{2}-2z^{2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{5/2}}}\$
Sommando:
    ${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=-{\frac {\rho R^{3}}{24\varepsilon _{o}}}{\frac {y^{2}+z^{2}-2[x+(R/2)]^{2}+[x+(R/2)]^{2}+z^{2}-2y^{2}+[x+(R/2)]^{2}+y^{2}-2z^{2}}{\{[x+(R/2)]^{2}+y^{2}+z^{2}\}^{5/2}}}=0\$

### 25. Guscio concentrico

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a)
La carica totale è pari:
    $Q_{tot}=3Q-Q=8\ nC\$
Quindi a distanza $2R_{3}\$ dal centro il campo è radiale e vale:
    $E(2R_{3})={\frac {Q_{tot}}{4\pi \varepsilon _{o}(2R_{3})^{2}}}=5\cdot 10^{3}\ V/m\$
b)
All'interno del guscio metallico il campo è nullo quindi sulla superficie interna deve essere indotta una carica eguale ed opposta a quella della nuvola isolante.
Quindi sulla superficie interna del guscio metallico la densità di carica è:
    $\sigma _{2}=-{\frac {3Q}{4\pi R_{2}^{2}}}=-3.82\cdot 10^{-7}\ C/m^{2}\$
Mentre sulla superficie esterna per la conservazione della carica deve esserci una carica $Q_{tot}=8\ nC\$. Quindi la densità superficiale vale:
    $\sigma _{3}={\frac {Q_{tot}}{4\pi R_{3}^{2}}}=1.77\cdot 10^{-7}\ C/m^{2}\$
c)
Per la legge di Coulomb sull'esterno del guscio metallico il campo vale:
    $E(R_{3})={\frac {\sigma _{3}}{\varepsilon _{o}}}=2\cdot 10^{4}\ V/m\$
Mentre sul bordo della nuvola isolante vi è il valore massimo del campo elettrico:
    $E(R_{1})={\frac {3Q}{4\pi \varepsilon _{o}R_{1}^{2}}}=1.08\cdot 10^{6}\ V/m\$
d)
la densità di carica della sfera interna è:
    $\rho ={\frac {3(3Q)}{4\pi R_{1}^{3}}}=0.0029\ C/m^{3}\$
Quindi il campo per $0\leq r\leq R_{1}\$ vale:
    $E(r)={\frac {\rho r}{3\varepsilon _{o}}}\$
La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola è il centro vale:
    $DV_{1}=\int _{0}^{R_{1}}E(r)dr={\frac {\rho R_{1}^{2}}{6\varepsilon _{o}}}=5.4\ kV\$
mentre il campo per ($R_{1}\leq r\leq R_{2}\$):
    $E(r)={\frac {3Q}{4\varepsilon _{o}\pi r^{2}}}\$
La differenza di potenziale tra l'interno del guscio metallo e il bordo della nuvola:
    $DV_{2}=\int _{R_{1}}^{R_{2}}E(r)dr={\frac {3Q}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)=8.6\ kV\$
In totale la differenza di potenziale vale:
    $DV=DV_{1}+DV_{2}=14\ kV\$

### 26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga

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a)
La carica di un tratto lungo $\ell \$ è pari a:
    $Q=\ell \int _{0}^{R}\rho _{o}(a-r/R)2\pi rdr=2\pi \ell \rho _{o}\left[{\frac {ar^{2}}{2}}-{\frac {r^{3}}{3R}}\right]_{0}^{R}=2\pi \ell R^{2}\rho _{o}\left({\frac {a}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)\$
Quindi la carica per unità di lunghezza vale:
    $\lambda =2\pi R^{2}\rho _{o}\left({\frac {a}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)=14.7\ nC/m\$
b)
Applicando il teorema di Gauss ad una cilindro gaussiano coassiale con la distribuzione e di altezza $\ell \$ (consideriamo solo il flusso attraverso la superficie laterale per ragioni di simmetria):
    $2\pi r\ell E_{r}={\frac {\ell }{\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{r}\rho _{o}(a-r'/R)2\pi r'dr'\$
    $E_{r}={\frac {\rho _{o}}{\varepsilon _{o}r}}\int _{0}^{r}(a-r'/R)r'dr'={\frac {\rho _{o}}{\varepsilon _{o}r}}\left[{\frac {ar'^{2}}{2}}-{\frac {r'^{3}}{3R}}\right]_{0}^{r}={\frac {\rho _{o}}{\varepsilon _{o}}}\left({\frac {ar}{2}}-{\frac {r^{2}}{3R}}\right)\$
    $E_{r}(r=R/2)=3201\ V/m\$
c)
La funzione:
    $f(r)={\frac {ar}{2}}-{\frac {r^{2}}{3R}}\qquad 0\leq r\leq R\$
è crescente per $r\ll R\$, mentre per $r\approx R\$ è decrescente. La sua derivata è nulla per:
    $r_{x}={\frac {3aR}{4}}=6.75\ cm\$
Quindi il campo è massimo a tale distanza dall'asse:
    $E_{max}=3432\ V/m\$
d)
Se $a=1.7\ </math> il valore di
    $r_{x}={\frac {3aR}{4}}\approx 13\ cm\$
è al di fuori della definizione di $f(r)\$, quindi la funzione $f(r)\$ è monotona crescente all'interno e decrescente fuori, in questo caso il massimo del campo si ha sul bordo della distribuzione $r=R\$ e vale:
    $E_{max}=11676\ V/m\$