# Sistemi e tecnologie elettroniche/La giunzione pn

Sistemi e tecnologie elettroniche
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Una giunzione pn è una regione di semiconduttore perfettamente cristallino nella quale si abbia una parte drogata p ed una drogata n. Si parla idealmente di giunzione brusca quando non c'è alcuna regione di transizione tra le due regioni e le concentrazioni di atomi droganti passano subito da $N_{A}$ a $N_{D}$.

## Condizioni di equilibrio termodinamico

Supponiamo di riuscire idealmente a realizzare una giunzione pn saldando assieme due semiconduttori, sebbene in realtà la tecnologia non consenta tecnicamente tale operazione. I due semiconduttori presi inizialmente isolati sono omogenei e localmente neutri → trascurando il contributo dei portatori minoritari, le cariche dei portatori maggioritari si compensano con quelle degli atomi ionizzati.
Dopo la formazione della giunzione, siccome i portatori minoritari in ciascuna regione sono trascurabili, i portatori maggioritari si spostano per diffusione nel lato opposto, ma l'incontro tra una lacuna e un elettrone libero in corrispondenza della giunzione metallurgica provoca una ricombinazione dei due → tra le regioni inizia a formarsi una regione svuotata (o di carica spaziale).
La regione svuotata è priva di portatori liberi, e quindi la carica degli atomi ionizzati non è più bilanciata → la regione svuotata ha una densità di carica $\rho$ non nulla (in particolare pari a $-qN_{A}$ nella metà verso il lato p, e $qN_{D}$ nella metà verso il lato n), e internamente a essa si crea un campo elettrico ${\vec {\mathcal {E}}}$ detto built-in (o di contatto), associato a un potenziale $V_{\text{bi}}$ non applicato dall'esterno detto built-in (o di contatto). Siccome è negativo, il campo elettrico oppone al moto di diffusione di portatori liberi una forza di trascinamento sempre maggiore, agente sui pochissimi portatori minoritari rimasti nella regione svuotata, fino a raggiungere l'equilibrio dettagliato:
    ${\begin{cases}{J_{\text{diff}}}_{n}+{J_{\text{tr}}}_{n}=0\\{J_{\text{diff}}}_{p}+{J_{\text{tr}}}_{p}=0\end{cases}}$
Non c'è un confine netto tra la regione neutra e la regione svuotata; l'ampiezza della regione di transizione viene però considerata trascurabile nell'approssimazione di completo svuotamento: la regione svuotata è esattamente compresa tra $-x_{p}$ e $x_{n}$.
Applicando il teorema di Gauss:
    $\oint _{\Omega }\rho dV=\oint _{\Sigma }{\vec {D}}\cdot {\hat {n}}d\sigma =\oint _{\Sigma }\epsilon {\vec {\mathcal {E}}}\cdot {\hat {n}}d\sigma$
a un cilindro $\Omega$ che racchiude la regione svuotata:
* le basi tagliano la giunzione in $-x_{p}$ e $x_{n}$, cioè nelle regioni neutre dove il campo elettrico ${\vec {\mathcal {E}}}$ è nullo;
* il vettore normale ${\hat {n}}$ alla superficie cilindrica $\Sigma$ è ortogonale all'asse del cilindro, a sua volta parallelo all'asse $x$ e al campo elettrico ${\vec {\mathcal {E}}}$ → il prodotto scalare ${\vec {\mathcal {E}}}\cdot {\hat {n}}=0$.
La regione racchiusa dal cilindro è quindi in condizione di neutralità globale:
    $\oint _{\Omega }\rho dV=0\Rightarrow \int _{-x_{p}}^{x_{n}}\rho \left(x\right)dx=0$
e ciò impone delle condizioni ai grafici di $\rho \left(x\right)$ e ${\mathcal {E}}\left(x\right)$:
    $\left(-qN_{A}\right)\left(-x_{p}\right)=\left(qN_{D}\right)x_{A}\Rightarrow {\begin{cases}N_{A}x_{p}=N_{D}x_{n}\\{\mathcal {E}}\left(0^{-}\right)={\mathcal {E}}\left(0^{+}\right)=-{\mathcal {E}}_{\text{max}}\end{cases}}$
Se $N_{D}\ll N_{A}\Rightarrow x_{p}\to 0$, si può trascurare la parte di regione svuotata appartenente al campione drogato di tipo p (e viceversa).
In equilibrio termodinamico, la regione svuotata presenta perciò un campo elettrico ${\vec {\mathcal {E}}}\left(x\right)$:
    ${\frac {d{\mathcal {E}}}{dx}}={\frac {\rho }{\epsilon }}\Rightarrow {\mathcal {E}}\left(x\right)={\begin{cases}-{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}\left(x+x_{p}\right)&-x_{p}\leq x\leq 0\\+{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}\left(x-x_{n}\right)&0\leq x\leq x_{n}\end{cases}}$
che, per la condizione di neutralità globale, in corrispondenza della giunzione metallurgica equivale a:
    ${\mathcal {E}}\left(0^{-}\right)={\mathcal {E}}\left(0^{+}\right)\Rightarrow {\mathcal {E}}_{\text{max}}={\frac {qN_{A}}{\epsilon }}x_{p}={\frac {qN_{D}}{\epsilon }}x_{n}$
da cui si ricava un potenziale elettrostatico $\varphi \left(x\right)$ a tratti parabolici:
    ${\frac {d\varphi }{dx}}=-{\mathcal {E}}\Rightarrow \varphi \left(x\right)={\begin{cases}0&x\leq -x_{p}\\+{\frac {qN_{A}}{2\epsilon }}{\left(x+x_{p}\right)}^{2}&-x_{p}\leq x\leq 0\\-{\frac {qN_{D}}{2\epsilon }}{\left(x-x_{n}\right)}^{2}+{\frac {qN_{A}}{2\epsilon }}{x_{p}}^{2}+{\frac {qN_{D}}{2\epsilon }}{x_{n}}^{2}&0\leq x\leq x_{n}\\\varphi \left(x_{n}\right)-\varphi \left(x_{p}\right)={\frac {qN_{A}}{2\epsilon }}{x_{p}}^{2}+{\frac {qN_{D}}{2\epsilon }}{x_{n}}^{2}&x\geq x_{n}\end{cases}}$

### Diagramma a bande

Il diagramma a bande di energia è una rappresentazione grafica dell'energia potenziale $U$ alla quale sono sottoposti gli elettroni. Nella regione svuotata, l'energia potenziale $U(x)$ segue l'andamento inverso del potenziale elettrostatico $\varphi (x)$:
    $U(x)=-q\varphi (x)$
determinando ai capi della regione svuotata una barriera di energia potenziale $qV_{\text{bi}}$, che si oppone al flusso di portatori, con potenziale built-in $V_{\text{bi}}$ pari a:
    $V_{\text{bi}}=\varphi \left(x_{n}\right)-\varphi \left(-x_{p}\right)=-{\frac {U\left(x_{n}\right)}{q}}+{\frac {U\left(-x_{p}\right)}{q}}={\frac {-{E_{F}}_{i}\left(x_{n}\right)+{E_{F}}_{i}\left(-x_{p}\right)}{q}}$
Si può dimostrare che siccome il dispositivo non è attraversato da corrente, il livello di Fermi $E_{F}$ si trova a un livello di energia potenziale costante lungo $x$. Nelle regioni neutre, le equazioni di Shockley legano il livello di Fermi $E_{F}$ al livello di Fermi intrinseco ${E_{F}}_{i}(x)$:
    ${\begin{cases}n=N_{D}=n_{i}\cdot e^{\frac {E_{F}-{E_{F}}_{i}}{k_{B}T}}\\p=N_{A}=n_{i}\cdot e^{\frac {{E_{F}}_{i}-E_{F}}{k_{B}T}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}E_{F}-{E_{F}}_{i}=k_{B}T\ln {\frac {N_{D}}{n_{i}}}&n\geq x_{n}\\{E_{F}}_{i}-E_{F}=k_{B}T\ln {\frac {N_{A}}{n_{i}}}&x\leq -x_{p}\end{cases}}$
Sfruttando anche la condizione di neutralità globale $N_{A}x_{p}=N_{D}x_{n}$, si ricava che le ampiezze $x_{n}$ e $x_{p}$ sono proporzionali alla radice quadrata del potenziale built-in $V_{\text{bi}}=\varphi \left(x_{n}\right)-\varphi \left(-x_{p}\right)$ che sta ai capi della regione svuotata:
    ${\begin{cases}V_{\text{bi}}={\frac {-{E_{F}}_{i}\left(x_{n}\right)+{E_{F}}_{i}\left(-x_{p}\right)}{q}}={\frac {k_{B}T}{q}}\ln {\frac {N_{A}N_{D}}{{n_{i}}^{2}}}\\V_{\text{bi}}=\varphi \left(x_{n}\right)-\varphi \left(-x_{p}\right)={\frac {qN_{A}}{2\epsilon }}{x_{p}}^{2}+{\frac {qN_{D}}{2\epsilon }}{x_{n}}^{2}\\N_{A}x_{p}=N_{D}x_{n}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}x_{n}={\sqrt {\frac {2\epsilon }{q}}}\cdot {\frac {\sqrt {N_{\text{eq}}}}{N_{D}}}\cdot {\sqrt {\varphi \left(x_{n}\right)-\varphi \left(-x_{p}\right)}}\\x_{p}={\sqrt {\frac {2\epsilon }{q}}}\cdot {\frac {\sqrt {N_{\text{eq}}}}{N_{A}}}\cdot {\sqrt {\varphi \left(x_{n}\right)-\varphi \left(-x_{p}\right)}}\\x_{d}=x_{n}+x_{p}={\sqrt {\frac {2\epsilon }{q}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {N_{\text{eq}}}}}\cdot {\sqrt {\varphi \left(x_{n}\right)-\varphi \left(-x_{p}\right)}}\end{cases}}$
dove $N_{\text{eq}}$ è il "parallelo" tra le concentrazioni $N_{A}$ e $N_{D}$:
    $N_{\text{eq}}=N_{A}||N_{D}={\frac {N_{A}\cdot N_{D}}{N_{A}+N_{D}}}$

### Reinterpretazione del diagramma a bande

Per il diagramma a bande viene preso come riferimento assoluto il livello del vuoto $E_{0}$, che è la minima energia che deve assumere un elettrone per liberarsi e uscire all'esterno del cristallo. Si definiscono i seguenti salti di energia:
* affinità elettronica $q\chi _{S}$: il salto di energia rispetto ad $E_{c}$:
    $q\chi _{S}=E_{0}-E_{c}$
* lavoro di estrazione $q\phi _{S}$: il salto di energia rispetto al livello di Fermi $E_{F}$:
    $q\phi _{S}=E_{0}-E_{F}=q\chi _{S}+E_{c}-E_{F}$
Il lavoro di estrazione $q\phi _{S}$ dipende dal drogaggio; l'affinità elettronica è propria del materiale (ad es. per il silicio vale: $q\chi _{S}=4,05\;eV$).
I due campioni presi isolati presentano un diverso livello di Fermi $E_{F}$: il campione drogato di tipo p ha un livello di Fermi inferiore a quello intrinseco ${E_{F}}_{i}$, e l'altro di tipo n lo ha superiore.
Formata la giunzione, l'equilibrio impone che il livello di Fermi $E_{F}$ sia costante → il salto tra i due livelli di Fermi dei campioni isolati deve essere annullato da uno sfalsamento pari a $qV_{\text{bi}}$ del livello del vuoto $E_{0}$ → siccome anche l'affinità elettronica $q\chi _{S}$ dev'essere costante, tutti gli altri livelli di energia subiscono pari sfalsamento. Nella regione svuotata, la variazione del livello di Fermi $E_{F}$ rispetto a quello intrinseco ${E_{F}}_{i}$ determina il flusso di portatori liberi.
Ricordando le equazioni di Boltzmann, i due campioni, aventi uguale affinità elettronica $q\chi _{S}$ perché dello stesso materiale, quando presi isolati hanno i seguenti lavori di estrazione:
    ${\begin{cases}q{\phi _{S}}_{p}=q\chi _{S}+E_{g}-\left(E_{F}-E_{v}\right)=q\chi _{S}+E_{g}-k_{B}T\ln {\frac {N_{v}}{N_{A}}}\\q{\phi _{S}}_{n}=q\chi _{S}+\left(E_{c}-E_{F}\right)=q\chi _{S}+k_{B}T\ln {\frac {N_{c}}{N_{D}}}\end{cases}}$
La barriera di energia potenziale $qV_{\text{bi}}$ all'equilibrio della giunzione coincide con la differenza dei lavori di estrazione:
    $qV_{\text{bi}}=q{\phi _{S}}_{p}-q{\phi _{S}}_{n}\Rightarrow {\begin{cases}qV_{\text{bi}}=E_{g}-k_{B}T\ln {\frac {N_{v}N_{c}}{N_{A}N_{D}}}\\{n_{i}}^{2}=N_{c}N_{v}e^{-{\frac {E_{g}}{k_{B}T}}}\end{cases}}\Rightarrow qV_{\text{bi}}=k_{B}T\left(\ln {\frac {N_{c}N_{v}}{{n_{i}}^{2}}}-\ln {\frac {N_{v}N_{c}}{N_{A}N_{D}}}\right)=k_{B}T\ln {\frac {N_{A}N_{D}}{{n_{i}}^{2}}}$

## Assenza di equilibrio in regime stazionario nel tempo

Applicando dall'esterno una tensione $V$ costante alla giunzione pn si determina una corrente $I$.
Nella giunzione pn si possono riconoscere 3 regioni, che sono in serie perché sono attraversate da una corrente $I$ costante che:
* entra dalla parte a potenziale più alto, senza venire dispersa perché si assume la condizione di contatto ohmico;
* attraversa la regione neutra tra $-w_{p}$ e $-x_{p}$, su cui vi è una caduta di potenziale $V_{1}$;
* attraversa la regione svuotata tra $-x_{p}$ e $x_{n}$, su cui vi è una caduta di potenziale $V_{2}$;
* attraversa la regione neutra tra $x_{n}$ e $w_{n}$, su cui vi è una caduta di potenziale $V_{3}$;
* esce dalla parte a potenziale più basso, sempre in condizione di contatto ohmico, e per la legge di Kirchhoff il suo valore è pari al valore iniziale.
Le regioni neutre sono drogate in modo omogeneo → le conducibilità $\sigma _{n}=qN_{D}\mu _{n}$ e $\sigma _{p}=qN_{A}\mu _{p}$ sono costanti → le regioni neutre sono di tipo resistivo, e vengono chiamate resistenze parassite ${R_{p}}_{n}$ e ${R_{p}}_{p}$:
    $R_{p}={\frac {1}{\sigma }}\cdot {\frac {w-x}{A}}$
Siccome le regioni sono in serie, la somma delle cadute di potenziale $V_{1}$, $V_{2}$ e $V_{3}$ coincide con la tensione applicata $V$:
    ${\begin{cases}V=V_{1}+V_{2}+V_{3}\\R_{p}={R_{p}}_{n}+{R_{p}}_{p}\end{cases}}\Rightarrow V=R_{p}I+V_{2}$
Per semplicità, si trascurerà la corrente che scorre nelle resistenze parassite, in modo che queste ultime non intervengano nella giunzione pn:
    $I\to 0\Rightarrow {\begin{cases}V\simeq V_{2}\\{\mathcal {E}}\to 0\end{cases}}$

### Polarizzazione inversa

Applicando una tensione $V$ negativa, essa si sovrappone nella regione svuotata alla tensione built-in $V_{\text{bi}}$:
    $\varphi \left(x_{n}\right)-\varphi \left(-x_{p}\right)=V_{\text{bi}}-V=V_{\text{bi}}+\left|V\right|>V_{\text{bi}}$
allargando i confini $x_{n}$ e $x_{p}$ della regione stessa e aumentando il campo elettrico ${\vec {\mathcal {E}}}$ di trascinamento e la barriera di energia potenziale $q\left(V_{\text{bi}}-V\right)$ in opposizione al flusso per diffusione dei portatori maggioritari. Prevale quindi la forza di trascinamento che agisce sui pochissimi portatori minoritari rimasti nella regione di svuotamento → si determina una corrente $I$ negativa (cioè positiva verso il lato p) che, poiché il numero di portatori minoritari spostati è molto ridotto, è di intensità molto piccola e indipendente dalla tensione V.

### Polarizzazione diretta

Applicando una tensione $V$ positiva, essa si sovrappone nella regione svuotata alla tensione built-in $V_{\text{bi}}$, restringendo i confini e riducendo la barriera di energia potenziale → viene favorito il flusso per diffusione dei portatori maggioritari → si determina una corrente $I$ positiva (verso il lato n) che, vista la grande disponibilità di portatori maggioritari, è fortemente crescente con la tensione $V$.

### Contributi di trascinamento $J_{\text{tr}}$ dei portatori minoritari

Siccome nelle regioni neutre si suppone che il campo elettrico ${\vec {\mathcal {E}}}$ sia trascurabile e che il livello di iniezione sia basso ($n_{p}\ll p_{p}$ al lato p e $p_{n}\ll n_{n}$ al lato n), i contributi di trascinamento $J_{\text{tr}}$ dei portatori minoritari si possono ignorare:
    ${\begin{cases}x<-x_{p}:\;{\mathcal {E}}\left(x\right)\to 0\wedge n_{p}\left(x\right)\ll p_{p}\left(x\right)\Rightarrow {J_{\text{tr}}}_{n}=qn_{p}\left(x\right)\mu _{n}{\mathcal {E}}(x)\to 0\\x>x_{n}:\;{\mathcal {E}}(x)\to 0\wedge p_{n}(x)\ll n_{n}(x)\Rightarrow {J_{\text{tr}}}_{p}=qp_{n}(x)\mu _{p}{\mathcal {E}}(x)\to 0\end{cases}}$

### Contributi di diffusione $J_{\text{diff}}$ dei portatori minoritari

In equilibrio termodinamico:
    ${\begin{cases}{\begin{cases}{p_{p}}_{0}\left(-x_{p}\right)=N_{A}\\{n_{p}}_{0}\left(-x_{p}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{A}}}\end{cases}}\\{\begin{cases}{n_{n}}_{0}\left(x_{n}\right)=N_{D}\\{p_{n}}_{0}\left(x_{n}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{D}}}\end{cases}}\\V_{\text{bi}}=V_{T}\ln {\frac {N_{A}N_{D}}{{n_{i}}^{2}}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}V_{\text{bi}}=V_{T}\ln {\frac {{p_{p}}_{0}\left(-x_{p}\right)}{{p_{n}}_{0}\left(x_{n}\right)}}\\V_{\text{bi}}=V_{T}\ln {\frac {{n_{n}}_{0}\left(x_{n}\right)}{{n_{p}}_{0}\left(-x_{p}\right)}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{p_{n}}_{0}\left(x_{n}\right)={p_{p}}_{0}\left(-x_{p}\right)e^{-{\frac {V_{\text{bi}}}{V_{T}}}}\\{n_{p}}_{0}\left(-x_{p}\right)={n_{n}}_{0}\left(x_{n}\right)e^{-{\frac {V_{\text{bi}}}{V_{T}}}}\end{cases}}$
Supponendo un basso livello di iniezione:
    ${\begin{cases}n_{n}\left(x_{n}\right)\approx {n_{n}}_{0}\left(x_{n}\right)\\p_{p}\left(-x_{p}\right)\approx {p_{p}}_{0}\left(-x_{p}\right)\end{cases}}$
in assenza di equilibrio termodinamico vale la legge della giunzione:
    $e^{-{\frac {V_{\text{bi}}-V}{V_{T}}}}=e^{-{\frac {V_{\text{bi}}}{V_{T}}}}\cdot e^{\frac {V}{V_{T}}}\Rightarrow {\begin{cases}p_{n}\left(x_{n}\right)\approx \left({p_{p}}_{0}\left(-x_{p}\right)e^{-{\frac {V_{\text{bi}}}{V_{T}}}}\right)\cdot e^{\frac {V}{V_{T}}}={p_{n}}_{0}\left(x_{n}\right)e^{\frac {V}{V_{T}}}={\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{D}}}e^{\frac {V}{V_{T}}}\\n_{p}\left(-x_{p}\right)\approx \left({n_{n}}_{0}\left(x_{n}\right)e^{-{\frac {V_{\text{bi}}}{V_{T}}}}\right)\cdot e^{\frac {V}{V_{T}}}={n_{p}}_{0}\left(-x_{p}\right)e^{\frac {V}{V_{T}}}={\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{A}}}e^{\frac {V}{V_{T}}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}p_{n}'\left(x_{n}\right)=p_{n}\left(x_{n}\right)-{p_{n}}_{0}\left(x_{n}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{D}}}\left(e^{\frac {V}{V_{T}}}-1\right)\\n_{p}'\left(-x_{p}\right)=n_{p}\left(-x_{p}\right)-{n_{p}}_{0}\left(-x_{p}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{A}}}\left(e^{\frac {V}{V_{T}}}-1\right)\end{cases}}$
È possibile vedere ciascun lato della giunzione come un campione drogato uniformemente, in condizione di quasi neutralità, sottoposto a un'iniezione di basso livello di portatori minoritari all'estremità $x=\pm x_{n,p}$ (vedi). Supponendo che i due lati $w_{p}$ e $w_{n}$ siano lunghi rispetto alla lunghezza di diffusione dei portatori minoritari $L_{n,p}={\sqrt {D_{n,p}\tau _{n,p}}}$, la distribuzione è esponenziale:
    ${\begin{cases}p_{n}'(x)\approx p_{n}'\left(x_{n}\right)e^{-{\frac {x-x_{n}}{L_{p}}}}={\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{D}}}\left(e^{\frac {V}{V_{T}}}-1\right)e^{-{\frac {x-x_{n}}{L_{p}}}}\\n_{p}'\left(x\right)\approx n_{p}'\left(-x_{p}\right)e^{\frac {x-\left(-x_{p}\right)}{L_{n}}}={\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{A}}}\left(e^{\frac {V}{V_{T}}}-1\right)e^{\frac {x-\left(-x_{p}\right)}{L_{n}}}\end{cases}}$
Ai confini $-x_{p}$ e $x_{n}$ della giunzione metallurgica:
* polarizzazione inversa: si verifica uno svuotamento di portatori minoritari perché i loro eccessi sono negativi:
    $V<0\Rightarrow {\begin{cases}p_{n}'\left(x_{n}\right)<0\\n_{p}'\left(-x_{p}\right)<0\end{cases}}$
* polarizzazione diretta: si verifica un'iniezione di portatori minoritari perché i loro eccessi sono positivi:
    $V>0\Rightarrow {\begin{cases}p_{n}'\left(x_{n}\right)>0\\n_{p}'\left(-x_{p}\right)>0\end{cases}}$
I portatori minoritari danno perciò ai confini della giunzione i seguenti contributi di diffusione $J_{\text{diff}}$:
    ${\begin{cases}{J_{\text{diff}}}_{p}\left(x_{n}\right)=qD_{p}{\left.{\frac {dp_{n}'}{dx}}\right|}_{x=x_{n}}\\{J_{\text{diff}}}_{n}\left(-x_{p}\right)=qD_{n}{\left.{\frac {dn_{p}'}{dx}}\right|}_{x=-x_{p}}=q{\frac {D_{n}}{L_{n}}}\cdot {\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{A}}}\left(e^{\frac {V}{V_{T}}}-1\right)\end{cases}}$

### Contributi $J_{\text{diff}}+J_{\text{tr}}$ dei portatori maggioritari

Al di fuori della regione svuotata La densità di corrente totale $J_{\text{tot}}$ è costante poiché la corrente $I$ è costante lungo $x$ → i contributi dei portatori maggioritari $J_{p}(x)$ e $J_{n}(x)$ si possono ricavare come i "complementari" dei contributi di diffusione ${J_{\text{diff}}}_{p}$ e ${J_{\text{diff}}}_{n}$ dei minoritari.

#### All'interno della regione svuotata

Trascurando:
* le variazioni nel tempo delle concentrazioni di carica libera perché si suppone di lavorare in condizioni stazionarie:
    ${\begin{cases}{\frac {\partial n}{\partial t}}=0\\{\frac {\partial p}{\partial t}}=0\end{cases}}$
* il contributo dei fenomeni di generazione e ricombinazione nella regione svuotata:
    ${\begin{cases}U_{n}={\frac {n-n_{0}}{\tau _{n}}}=0\\U_{p}={\frac {p-p_{0}}{\tau _{p}}}=0\end{cases}}$
le equazioni di continuità impongono che le densità di corrente $J_{p}$ e $J_{n}$ devono essere costanti:
    ${\begin{cases}{\frac {\partial n}{\partial t}}=+{\frac {1}{q}}{\frac {\partial J_{n}}{\partial x}}-U_{n}\\{\frac {\partial p}{\partial t}}=-{\frac {1}{q}}{\frac {\partial J_{p}}{\partial x}}-U_{p}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{\frac {\partial J_{n}}{\partial x}}=0\\{\frac {\partial J_{p}}{\partial x}}=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}J_{n}\left(x\right)={\text{cost.}}\\J_{p}(x)={\text{cost.}}\end{cases}}$
Graficamente, si ottengono i contributi $J_{p}$ e $J_{n}$ dei portatori maggioritari ai confini $-x_{p}$ e $x_{n}$ della regione svuotata:
    ${\begin{cases}J_{p}\left(-x_{p}\right)={J_{\text{diff}}}_{p}\left(x_{n}\right)=q{\frac {D_{p}}{L_{p}}}\cdot {\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{D}}}\left(e^{\frac {V}{V_{T}}}-1\right)\\J_{n}\left(x_{n}\right)={J_{\text{diff}}}_{n}\left(-x_{p}\right)=q{\frac {D_{n}}{L_{n}}}\cdot {\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{A}}}\left(e^{\frac {V}{V_{T}}}-1\right)\end{cases}}$

### Caratteristica statica $I\left(V\right)$

All'interno della regione svuotata, la densità di corrente totale è costante:
    $J_{\text{tot}}=J_{n}\left(x\right)+J_{p}(x)={J_{\text{diff}}}_{n}(x)+{J_{\text{tr}}}_{n}(x)+{J_{\text{diff}}}_{p}(x)+{J_{\text{tr}}}_{p}(x)=q{\frac {D_{n}}{L_{n}}}\cdot {\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{A}}}\left(e^{\frac {V}{V_{T}}}-1\right)+q{\frac {D_{p}}{L_{p}}}\cdot {\frac {{n_{i}}^{2}}{N_{D}}}\left(e^{\frac {V}{V_{T}}}-1\right)$
e la corrente $I$ che scorre è espressa in funzione della tensione $V$ nella caratteristica statica, definita come la relazione tra la tensione $V$, applicata dall'esterno, e la corrente $I$ in regime stazionario nel tempo, cioè con tensione a transitorio esaurito e con corrente stabilizzata a un valore costante:
    $I\left(V\right)=J_{\text{tot}}\cdot A=\left[qA{n_{i}}^{2}\left({\frac {D_{n}}{L_{n}N_{A}}}+{\frac {D_{p}}{L_{p}N_{D}}}\right)\right]\left(e^{\frac {V}{V_{T}}}-1\right)=I_{s}\left(e^{\frac {V}{V_{T}}}-1\right)$
dove $I_{s}$ è la corrente di saturazione inversa della giunzione:
    $I_{s}=qA{n_{i}}^{2}\left({\frac {D_{n}}{\xi _{n}N_{A}}}+{\frac {D_{p}}{\xi _{p}N_{D}}}\right)={\begin{cases}qA{n_{i}}^{2}\left({\frac {D_{n}}{L_{n}N_{A}}}+{\frac {D_{p}}{L_{p}N_{D}}}\right)&w_{p,n}\gg L_{n,p}{\text{ (lato lungo)}}\\qA{n_{i}}^{2}\left({\frac {D_{n}}{w_{p}N_{A}}}+{\frac {D_{p}}{w_{n}N_{D}}}\right)&w_{p,n}\ll L_{n,p}{\text{ (lato corto)}}\end{cases}}$
che essendo proporzionale a ${{n_{i}}^{2}}{N_{A,D}}$ è molto piccola se il drogaggio è abbastanza grande.
A seconda del tipo di polarizzazione domina il termine esponenziale o la corrente $I_{s}$:
* polarizzazione inversa: $V<0$ → domina la corrente $I_{s}$ → la corrente $I\simeq -I_{s}$ è molto piccola anche con una tensione $V$ elevata;
* polarizzazione diretta: $V>0$ → domina il termine esponenziale → la corrente $I$ è fortemente crescente con la tensione $V$.
Se non si trascura il contributo dei fenomeni di generazione e ricombinazione, la caratteristica statica segue la legge:
    $I=I_{s}\left(e^{\frac {V}{\eta V_{T}}}-1\right)$
dove $\eta$ è il fattore di idealità, e dipende dalla polarizzazione: $\eta =\eta \left(V\right)$ ($\eta =1\div 2$). Per una giunzione al silicio:
* $\eta \approx 2$ per basse tensioni dirette ($V\leq 0,3\;V$) e in polarizzazione inversa;
* $\eta \approx 1$ per tensioni dirette elevate.

### Modello statico

Si alimenti un diodo in DC con un generatore reale $V_{a}$ di resistenza $R$ (che includa la resistenza parassita $R_{p}$). La tensione $V$ sul diodo e la corrente $I$ devono soddisfare due vincoli:
* la caratteristica statica $I\left(V\right)$ (non lineare) del diodo;
* la relazione lineare (detta retta di carico) dovuta alla legge di Kirchhoff:
    $I={\frac {V_{a}-V}{R}}$
La soluzione $\left(I_{0},V_{0}\right)$ costituisce il punto di funzionamento della giunzione, in questo caso a riposo poiché la tensione del generatore è costante.
Si può usare un modello statico semplificato per la caratteristica statica:
* diodo interdetto: in polarizzazione inversa ($V<V_{\gamma }$), il diodo è un circuito aperto → $I=0$;
* diodo in conduzione: in polarizzazione diretta ($I>0$), il diodo è un generatore ideale di tensione con una caduta di potenziale $V_{0}$ costante pari alla tensione di accensione $V_{\gamma }\approx {\tfrac {E_{g}}{2q}}$ (per il silicio: $V_{\gamma }=0,5\div 0,6\;V$).
Nel diodo ideale, i comportamenti della corrente $I$ sono approssimati al circuito aperto e al cortocircuito: la conduzione è permessa solo se la corrente scorre dal catodo verso l'anodo.

### Fenomeni di breakdown

In polarizzazione inversa, esiste un valore negativo di tensione, detto di breakdown $V_{BD}$, in cui avviene un fenomeno di rottura. Dopo il breakdown, la corrente aumenta in modo brusco, più dell'esponenziale, e la giunzione si comporta in modo simile a un generatore ideale di tensione; siccome sia la tensione sia la corrente sono molto elevate, la potenza dissipata $p=v\cdot i>0$ è molto grande e può distruggere il dispositivo (in polarizzazione diretta invece la tensione non è così elevata).

#### Cause di breakdown
##### Perforazione diretta

Una tensione applicata troppo elevata può allargare la regione svuotata fino ai confini della giunzione, annullando la barriera di energia potenziale in uno "scivolo" che favorisce il moto dei portatori maggioritari dai bordi al lato opposto → si determina una corrente molto elevata. Il fenomeno è favorito in diodi con lati sottili.

##### Effetto valanga

L'allargamento della regione svuotata corrisponde a un aumento del valore di picco del campo elettrico. Se la tensione applicata supera la tensione di breakdown per effetto valanga caratteristica del materiale, il campo elettrico supera il valore critico $E_{c}$ a cui è associata, e i portatori liberi in BC durante il loro moto casuale nel cristallo, quando urtano tra di loro, acquisiscono energia cinetica sufficiente a causare la generazione da impatto di una coppia elettrone-lacuna → in BC all'elettrone se ne aggiunge un altro → aumentano gli urti → moltiplicazione a valanga dei portatori → brusco aumento della corrente inversa. Il fenomeno è favorito in giunzioni con lati poco drogati, perché a parità di campo elettrico hanno una regione svuotata più ampia. Al crescere della temperatura, la tensione di breakdown per effetto valanga aumenta.

##### Effetto Zener

Se la regione svuotata è molto sottile e se i livelli di energia $E_{v}$ e $E_{c}$ sono tanto degeneri che il livello $E_{c}$ al lato n è superiore al livello $E_{v}$ al lato p, un campo elettrico superiore al valore critico può indurre il passaggio orizzontale per effetto tunnel di un elettrone dalla BV del lato p alla BC del lato n (viceversa per le lacune). Il fenomeno è favorito da giunzioni con lati molto drogati, quindi aventi una regione svuotata più sottile a parità di campo elettrico. Al crescere della temperatura, la tensione di breakdown per effetto Zener diminuisce.

#### Diodi Zener

I diodi Zener sono appositamente progettati per lavorare in condizioni di breakdown dovuto sia all'effetto Zener sia all'effetto valanga: poiché questi due tipi di breakdown presentano due comportamenti opposti in funzione delle variazioni di temperatura, essi si compensano a vicenda (stabilizzazione in temperatura). La condizione di breakdown è però limitata in tensione e corrente entro la Safe Operating Area (SOA) indicata dal produttore, altrimenti il dispositivo si può distruggere per effetto termico.
Il circuito equivalente di un diodo Zener reale è costituito dalla serie:
* generatore di tensione $V_{Z0}=-V_{BD}$, detta tensione nominale;
* resistore di resistenza $R_{Z}$, detta resistenza parassita.
Nella regione di breakdown, la caratteristica statica $I_{r}\left(V_{r}\right)=-I\left(-V\right)$ è approssimabile a una retta di pendenza ${\tfrac {1}{R_{Z}}}$; idealmente, la retta è verticale → la resistenza parassita $R_{Z}$ è nulla. I diodi Zener trovano applicazione come stabilizzatori di tensione, perché se il carico è in parallelo a un diodo Zener quest'ultimo rende costante la tensione fornita al carico indipendentemente dal suo valore di carico.

## Assenza di equilibrio con tensione applicata tempo-variante
### Capacità di svuotamento $C_{s}\left(v\right)$

Nella regione svuotata vi è la carica fissa $Q_{f}$, costituita dalle coppie di portatori maggioritari ricombinate, a cui è associata la capacità di svuotamento $C_{s}\left(v\right)$:
    $i_{s}\left(t\right)={\frac {dQ_{f}}{dt}}={\frac {dQ_{f}}{dv}}{\frac {dv}{dt}}=C_{s}\left(v\right){\frac {dv}{dt}}\Rightarrow {\begin{cases}C_{s}\left(v\right)={\frac {dQ_{f}}{dv}}\\Q_{f}=-qA\int _{-x_{p}\left(v\right)}^{0}N_{A}dx=-qAN_{A}x_{p}\left(v\right)\\x_{p}\left(v\right)={\sqrt {\frac {2\epsilon }{q}}}\cdot {\frac {\sqrt {N_{\text{eq}}}}{N_{A}}}\cdot {\sqrt {V_{\text{bi}}-v\left(t\right)}}\end{cases}}\Rightarrow C_{s}\left(v\right)=A{\sqrt {\frac {q\epsilon N_{\text{eq}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {V_{\text{bi}}-v\left(t\right)}}}$
Questo modello non vale nella regione di alta iniezione, cioè per $v\left(t\right)\rightarrow V_{\text{bi}}$ o maggiore, perché in polarizzazione diretta una tensione $v$ non sufficientemente bassa comporta una corrente $i\left(v\right)$ molto elevata → la corrente che scorre nelle resistenze parassite $R_{p}$ non è più trascurabile:
    $v\left(t\right)\to V_{\text{bi}}\Rightarrow {\begin{cases}i\left(v\right)=I_{s}\left(e^{\frac {v\left(t\right)}{V_{T}}}-1\right)\to +\infty \Rightarrow x_{p}\propto {\sqrt {V_{\text{bi}}-v\left(t\right)+R_{p}i\left(v\right)}}\to +\infty \\x_{p}\propto {\sqrt {V_{\text{bi}}-v\left(t\right)}}\to 0{\text{ secondo il modello (errato)}}\end{cases}}$

### Capacità di diffusione $C_{d}\left(v\right)$

Nelle due regioni neutre vi è la carica mobile $Q_{m}$, costituita dai portatori minoritari in eccesso spinti dalla tensione di polarizzazione diretta (vd. diapositiva 27), a cui è associata la capacità di diffusione $C_{d}\left(v\right)$, che è proporzionale alla corrente che scorre nella giunzione:
    ${\begin{cases}i_{d}\left(t\right)={\frac {dQ_{d}}{dt}}={\frac {dQ_{d}}{dv}}{\frac {dv}{dt}}=C_{d}\left(v\right){\frac {dv}{dt}}\\Q_{m}=Q_{n}'=-qA\int _{-w_{p}}^{-x_{p}}n_{p}'\left(x\right)dx\approx -qA\int _{-\infty }^{-x_{p}}n_{p}'\left(x\right)dx\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}C_{d}\left(v\right)={\frac {dQ_{m}}{dv}}=qA{\frac {{n_{i}}^{2}}{V_{T}}}\left({\frac {L_{n}}{N_{A}}}+{\frac {L_{p}}{N_{D}}}\right)e^{\frac {v\left(t\right)}{V_{T}}}\\i_{DC}\left(v\right)=I_{s}\left(e^{\frac {v\left(t\right)}{V_{T}}}-1\right)\Rightarrow e^{\frac {v\left(t\right)}{V_{T}}}={\frac {I_{DC}\left(v\right)}{I_{s}}}+1\end{cases}}\Rightarrow C_{d}\left(v\right)\propto e^{\frac {v\left(t\right)}{V_{T}}}\propto i_{DC}\left(v\right)$

### Modello dinamico di ampio segnale

In una giunzione pn, quindi, sono presenti due cariche, la carica fissa $Q_{f}\left(v\right)$ e la carica mobile $Q_{m}\left(v\right)$, dipendenti dalla tensione applicata $v\left(t\right)$ e associate alle due capacità non lineari rispettivamente $C_{s}\left(v\right)$ e $C_{d}\left(v\right)$.
Prevale l'uno o l'altro tipo di carica a seconda del tipo di polarizzazione:
* polarizzazione inversa: prevale la capacità di svuotamento $C_{s}\left(v\right)$ ($v\left(t\right)<0$ → l'esponenziale di $C_{d}\left(x\right)$ tende a zero);
* polarizzazione diretta: prevale la capacità di diffusione $C_{d}\left(v\right)$ ($v\left(t\right)>0$ → l'esponenziale di $C_{d}\left(x\right)$ tende a infinito).
Se la tensione di ingresso è tempo-variante, alla corrente di uscita ottenuta dalla caratteristica statica $i_{DC}\left(v\right)$ (cioè la risposta istantanea con tensione di ingresso costante) si aggiungono degli effetti capacitivi di ritardo, determinati dalla presenza delle cariche fissa e mobile che dipendono da una tensione applicata tempo-variante $v\left(t\right)$:
    $i\left(v\right)=i_{DC}\left(v\right)+C_{s}\left(v\right){\frac {dv}{dt}}+C_{d}\left(v\right){\frac {dv}{dt}}$
Il circuito equivalente di ampio segnale è costituito dal parallelo tra una resistore non lineare e due condensatori non lineari di capacità $C_{s}\left(v\right)$ e $C_{d}\left(v\right)$.

#### Modello statico

Se la tensione è costante nel tempo, gli effetti capacitivi scompaiono e vale la caratteristica statica. Quest'ultima può essere ulteriormente approssimata al modello statico semplificato del diodo.

### Modello dinamico di piccolo segnale

Spesso un dispositivo elettronico è alimentato da una tensione di alimentazione costante e riceve in ingresso un segnale tempo-variante → il segnale tempo-variante di uscita $v\left(t\right)$ o $i\left(t\right)$ può essere decomposto nella somma tra il contributo costante $V_{0}$ o $I_{0}$ e il contributo tempo-variante $v_{ss}\left(t\right)$ o $i_{ss}\left(t\right)$:
    ${\begin{cases}v\left(t\right)=V_{0}+v_{ss}\left(t\right)\\i\left(t\right)=I_{0}+i_{ss}\left(t\right)\end{cases}}$
In condizione di piccolo segnale $\left|v_{ss}\left(t\right)\right|\ll \left|V_{0}\right|$, le componenti della corrente $i\left(v\right)$ possono essere sviluppate in serie di Taylor:
    ${\begin{cases}i_{DC}\left(v\right)\approx i_{DC}\left(V_{0}\right)+{\left.{\frac {\partial i_{DC}}{\partial v}}\right|}_{v=V_{0}}\cdot v_{ss}\left(t\right)=I_{0}+{g_{d}}_{0}\cdot v_{ss}\left(t\right)\\Q_{f}\left(v\right)\approx Q_{f}\left(V_{0}\right)+{\left.{\frac {\partial Q_{f}}{\partial v}}\right|}_{v=V_{0}}\cdot v_{ss}\left(t\right)=Q_{f}\left(V_{0}\right)+{C_{s}}_{0}\cdot v_{ss}\left(t\right)\\Q_{m}\left(v\right)\approx Q_{m}\left(V_{0}\right)+{\left.{\frac {\partial Q_{m}}{\partial v}}\right|}_{v=V_{0}}\cdot v_{ss}\left(t\right)=Q_{m}\left(V_{0}\right)+{C_{d}}_{0}\left(v\right)\cdot v_{ss}\left(t\right)\end{cases}}$
dove:
* ${g_{d}}_{0}$ è la conduttanza differenziale:
    ${\begin{cases}{g_{d}}_{0}={\left.{\frac {\partial i_{DC}}{\partial v}}\right|}_{v=V_{0}}\\i_{DC}\left(v\right)=I_{s}\left(e^{\frac {v}{\eta V_{T}}}-1\right)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{g_{d}}_{0}={\frac {I_{s}}{\eta V_{T}}}e^{\frac {V_{0}}{\eta V_{T}}}\\e^{\frac {V_{0}}{\eta V_{T}}}={\frac {I_{0}}{I_{s}}}+1\end{cases}}\Rightarrow {g_{d}}_{0}={\frac {I_{0}+I_{s}}{\eta V_{T}}}$
* ${C_{s}}_{0}$ è la capacità differenziale di svuotamento:
    ${C_{s}}_{0}={\left.{\frac {\partial Q_{f}}{\partial v}}\right|}_{v=V_{0}}=A{\sqrt {\frac {q\epsilon N_{\text{eq}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {V_{\text{bi}}-V_{0}}}}$
* ${C_{d}}_{0}$ è la capacità differenziale di diffusione:
    ${C_{d}}_{0}={\frac {dQ_{m}}{dv}}_{v=V_{0}}=qA{\frac {{n_{i}}^{2}}{V_{T}}}\left({\frac {L_{n}}{N_{A}}}+{\frac {L_{p}}{N_{D}}}\right)e^{\frac {V_{0}}{V_{T}}}$
La corrente $i\left(v\right)$ è quindi linearizzabile nell'approssimazione di piccolo segnale in questo modo:
    $i\left(v\right)=I_{0}+i_{ss}\left(t\right)=i_{DC}\left(v\right)+\left({\frac {Q_{f}\left(v\right)}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+{\frac {dQ_{m}\left(v\right)}{dt}}{\frac {dv}{dt}}\right)\approx I_{0}+{g_{d}}_{0}\cdot v_{ss}\left(t\right)+\left({C_{s}}_{0}{\frac {dv_{ss}}{dt}}+{C_{d}}_{0}{\frac {dv_{ss}}{dt}}\right)$
da cui si distingue la relazione tra le variazioni di segnale rispetto al punto di funzionamento a riposo $I_{0}$:
    $i_{ss}\left(t\right)={g_{d}}_{0}v_{ss}\left(t\right)+{C_{s}}_{0}{\frac {dv_{ss}}{dt}}+{C_{d}}_{0}{\frac {dv_{ss}}{dt}}$
che è descritta dal circuito equivalente di piccolo segnale (lineare), costituito dal parallelo di un resistore e due condensatori.
Nel circuito di piccolo segnale:
* gli elementi lineari ($R$, $L$, $C$) rimangono invariati;
* i generatori di tensione/corrente costante vengono spenti (tensione → cortocircuito, corrente → circuito aperto).
In polarizzazione diretta la capacità di svuotamento ${C_{s}}_{0}$ è trascurabile e prevale la capacità di diffusione ${C_{d}}_{0}$ grazie al termine esponenziale dominante. La conduttanza ${g_{d}}_{0}$ posta in parallelo, però, è proporzionale anch'essa allo stesso termine esponenziale → l'elemento capacitivo è in parallelo con una resistenza molto piccola → a capacità di diffusione elevate corrispondono elevate perdite di potenza dovute all'elemento resistivo. In polarizzazione inversa, invece, la conduttanza ${g_{d}}_{0}$ posta in parallelo con la capacità di svuotamento ${C_{s}}_{0}$ dominante è molto piccola → si verificano perdite di potenza inferiori.

## Note

* ↑ Si suppone che l'asse $x$ sia orientato dalla regione drogata di tipo p a quella drogata n, con l'origine in corrispondenza della giunzione metallurgica.
* ↑ Tutte le energie definite nelle bande di energia ($E_{c}$, $E_{v}$, $E_{g}$, $E_{F}$, ${E_{F}}_{i}$) seguono l'andamento della generica $U(x)$.
* ↑ Le espressioni di $x_{n}$, $x_{p}$ e $x_{d}$ ricavate qui varranno anche in assenza di equilibrio termodinamico con $\varphi \left(x_{n}\right)-\varphi \left(-x_{p}\right)=V_{\text{bi}}-V$.
* ↑ Si ricorda che la tensione $V$ del generatore si scarica tutta sulla tensione $V_{2}$ della regione svuotata perché si trascurano le regioni neutre.
* ↑ Inoltre, anche all'interno della regione svuotata la densità di corrente totale è costante.
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 in valore assoluto
* ↑ Esse sono state ricavate per brevità considerando solamente il lato p.