# Analisi matematica/Formule risolutive degli integrali

Analisi matematica
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## Integrali quasi immediati

* $\ \int _{(ax+b)^{n}}dx={\frac {1}{a}}\ \int _(ax+b)^{n}d(ax+b)={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}$
* $\ \int _{\frac {dx}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\ \int _{\frac {d(ax+b)}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\log(ax+b)$
* $\ \int _{\frac {dx}{(ax+b)^{n}}}={\frac {1}{a}}\ \int _{\frac {d(ax+b)}{(ax+b)^{n}}}={\frac {1}{a(1-n)(ax+b)^{n-1}}}$
* $\ \int _{\frac {xdx}{ax^{2}+b}}={\frac {1}{2a}}\ \int _{\frac {d(ax^{2}+b)}{ax^{2}+b}}={\frac {1}{2a}}\log(ax^{2}+b)$
* $\int {dx \over ax^{2}+b}={1 \over a}\int {dx \over x^{2}+c^{2}}={1 \over ac}\int {d({x \over c}) \over ({x \over c})^{2}+1}={1 \over ac}\arctan {x \over c}={1 \over a}{\sqrt[{2}]{a \over b}}\arctan {\sqrt[{2}]{a \over b}}\ x\ ,$
    quando ${b \over a}=c^{2}\ >0\ ,$ cioè $\ a$ e $\ b$ hanno lo stesso segno.
* $\int {dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}={1 \over {\sqrt[{2}]{a}}}\int {dx \over {\sqrt[{2}]{x^{2}\pm c^{2}}}}$ se ${\begin{cases}a>0\\c^{2}=\mid {b \over a}\mid \end{cases}}={1 \over {\sqrt[{2}]{a}}}\log(x+{\sqrt[{2}]{x^{2}\pm c^{2}}})$
* $\int {dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}={1 \over {\sqrt[{2}]{|a|}}}\int {dx \over {\sqrt[{2}]{c^{2}-x^{2}}}}$ se ${\begin{cases}a<0\\c^{2}=|{b \over a}|\end{cases}},={1 \over {\sqrt[{2}]{|a|}}}\int {d({x \over c}) \over {\sqrt[{2}]{1-({x \over c})^{2}}}}={1 \over {\sqrt[{2}]{|a|}}}\arcsin {x \over c}$
* $\int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}dx},$ se si integra per parti, ponendo ${\begin{cases}dv=dx\\u={\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}\end{cases}}$, allora si ha:
    $\int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}\ dx=x{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}-\int {ax^{2}dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}=$
    $=x{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}-\int {{ax^{2}+b \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}dx}+b\int {dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}=$
    $=x{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}-\int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}\ dx}+b\int {dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}\ ,$
    quindi,risolvendo rispetto a $\int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}\ dx}\ ,$ si ha:
       $\int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}\ dx}={x \over 2}{\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}+{b \over 2}\int {dx \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+b}}}\ ;$
    si è così ricondotti all'integrale 6 o 7:
* $\int {{\sqrt[{2}]{ax^{2}+bx+c}}\ dx}=\int {\sqrt[{2}]{a(x+{b \over 2a})^{2}-{\Delta \over 4a}}}\ dx=\int {{\sqrt[{2}]{at^{2}\pm k^{2}}}\ dt}\ ,$
    si è così ricondotti all'integrale 8.

## Integrali non immediati da calcolare con particolari decomposizioni o sostituzioni
### Funzioni razionali

       a) funzione razionale intera (polinomio)
             $\ \int _(a_{o}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+.....+a_{n-1}x+a_{n})dx=a_{o}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+....+a_{n+1}$
       b) funzione razionale fratta $\ :\qquad {A(x) \over B(x)}$
Si suppone $\ A$ di grado inferiore a $\ B,$ altrimenti si farebbe la divisione di $\ A$ per $\ B$ e si avrebbe: $\ {A \over B}=Q+{R \over B}$ dove $\ Q$ è un polinomio e $\ {R \over B}$ una frazione propria: Ora se il denominatore è tale che:
    $\ B(x)=(x-\alpha )(x-\beta )^{r}[(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}][(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s}$
essendo: $\ \alpha$ una radice reale semplice,
       $\ \beta$ una radice reale multipla,
       $\ \epsilon \pm i\delta$ due radici complesse semplici,
       $\ \mu \pm i\nu$ due radici complesse multiple,
dell'equazione: $\ B(x)=0$, la frazione data si decompone nel seguente modo:
    ${\frac {A(x)}{B(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {d_{r}}{(x-\beta )^{r}}}+{\frac {d_{r-1}}{(x-\beta )^{r-1}}}+....+{\frac {d_{1}}{x-\beta }}+{\frac {m_{1}x+n_{1}}{(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}}}+{\frac {p_{s}x+q_{s}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s}}}+$
             $+{\frac {p_{s-1}x+q_{s-1}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s-1}}}+....+{\frac {p_{1}x+q_{1}}{(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}}}$
dove le costanti $\ c_{1},d_{i},m_{i},n_{i},p_{i},q_{i}$, si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della $\ x$ dei due membri. L'integrazione della frazione ${\frac {A_{x}}{B_{x}}}$ è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati
       c formule risolutive notevoli
* $\ \int _{\frac {A(x)dx}{(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})....(x-\alpha _{n})}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\ log(x-\alpha _{i})$
* $\ \int _{\frac {dx}{(ax^{2}+b)^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{i=n}c_{i}\ log(x-\alpha _{i})}{(ax^{2}+b)^{n-1}}}+c_{n}I_{o}(x)$
       dove $\ I_{o}(x)=\ \int _{\frac {dx}{ax^{2}+b}}$
* $\ \int _^{A(x)\ dx \over (ax+b)^{n}}={\sum _{i=1}^{n-1}c_{i}\ x^{i-1} \over (ax+b)^{n-1}}+c_{n}\log(ax+b)\ .$
* $\ \int _^{A(x) \over (x^{2}+b)^{n}}\ dx={\sum _{i=1}^{2n-2}c_{i}\ x^{i-1} \over (ax^{2}+b)^{n-1}}+c_{2n-1}\log(ax^{2}+b)+c_{2n}\ I_{0}(x)\ .$
* $\ \int _^{A(x) \over (ax^{2}+bx+c)^{n}}\ dx={\sum _{i=1}^{2n-2}\ c_{i}\ x^{i-1} \over (ax^{2}+bx+c)^{n-1}}+c_{2n-1}\log(ax^{2}+bx+c)+c_{2n}\ {\bar {I}}_{0}(x)\ ,$
    dove $\ {\bar {I}}_{0}(x)=\int _^{dx \over ax^{2}+bx+c\ .}$
    Per determinare le costanti $\ c_{i}$ si possono derivare i due membri delle formule precedenti, ridurre a forma intera i risultati e confrontare i numeratori per dedurre un sistema da risolvere rispetto alle costanti stesse.

### Funzioni irrazionali

$a)\qquad \int _F[x,(ax+b)^{m \over n},(ax+b)^{p \over q}....(ax+b)^{r \over s}]dx$
con $\ F$ simbolo di funzione razionale.
Ponendo:$\ ax+b=t^{\mu }$ dove $\ \mu =m.c.m(n,q,...s),$ da cui: $a\ dx=\mu t^{\mu -1}dt$, l'integrale diventa:
       $\int _F({t^{\mu }-b \over a},\ t^{mq_{1}},\ t^{pq_{2}},...t^{rq_{k}}){\mu \over a}\ t^{\mu -1}dt$
con:$\ q_{1}={\mu \over n},\ q_{2}={\mu \over q},\ ....q_{k}={\mu \over s},$
e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.
       esempio
$1\qquad \int _{dx \over 1+{\sqrt {x}}}$
Ponendo $\ x=t^{2},\ dx=2\ t\ dt,\ t={\sqrt {x}}$ si ha:
       ${\begin{aligned}\int _{dx \over 1+{\sqrt {x}}}&=2\int _{t\ dt \over 1+t}=2t-2\log(1+t)\\&=2{\sqrt {x}}-2\log(1+{\sqrt {x}})\end{aligned}}$
$2\qquad \int _{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}$
Posto $\ x=t^{3}$ onde $dx=3t^{2}\ dt$ si ha:
       $\ \int _{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=\int _{1 \over t-1}3\ t^{2}dt=3\int _{t^{2} \over t-1}dt$
Ora, ${t^{2} \over t-1}=1+t+{1 \over t-1},$ quindi
       $\ \int _{t^{2} \over t-1}dt=t+{t^{2} \over 2}+\log(t-1);$
allora, per $t={\sqrt[{3}]{x}},$
       $\int _{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=3[{\sqrt[{3}]{x}}+{1 \over 2}{\sqrt[{3}]{x}}^{2}+\log({\sqrt[{3}]{x}}-1)]$
$b)\qquad \int _{F(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\ )dx$
con F simbolo di funzione razionale.
* Se $\ a>0$, si pone: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t-{\sqrt {a}}\ x,$ da cui:
       $x={t^{2}-c \over 2{\sqrt {a}}\ t+b},\qquad dx=2{(t^{2}+c){\sqrt {a}}+bt \over (2t{\sqrt {a}}+b)^{2}}dt,\qquad t=x+{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$
       ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {(t^{2}+c){\sqrt {a}}+bt}{2t{\sqrt {a}}+b}}$
    Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.
       esempio
       $\int{1 \over {\sqrt {x^{2}-4x+5}}}dx$
    Poniamo: ${\sqrt {x^{2}-4x+5}}=t-x$ da cui
       $x={1 \over 2}{t^{2}-5 \over t-2},\qquad dx={t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)^{2}}\ dt,\qquad t=x+{\sqrt {x^{2}-4x+5}};$
       ${\sqrt {x^{2}-4x+5}}={t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)}$
    allora, a meno di una costante:
       $\int _{1 \over {t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)}}\ {1 \over 2}\ {t^{2}-4t+5 \over (t-2)^{2}}dt=\int _{dt \over t-2}=\log(t-2);$
    si ha quindi:
       $\int _{dx \over {\sqrt {x^{2}-4x+5}}}=\log(x+{\sqrt {x^{2}-4x+5}}-2)$
* Se $\ a<0,$ si pone invece: ${\sqrt[{2}]{ax^{2}+bx+c}}=t(x-\alpha ),$ essendo $\ \alpha$ una radice reale dell'equazione: $\ ax^{2}+bx+c=0.$ [Se le radici non fossereo reali, essendo $\ a<0,$ ${\sqrt[{2}]{ax^{2}+bx,+c}}$ sarebbe immaginario]. Si ha quindi: $\ a(x-\beta )=(x-\alpha )t^{2},$
    da cui$\ :\qquad x={a\beta -\alpha t^{2} \over a-t^{2}},\qquad dx=-{2a(\alpha -\beta )t \over (a-t^{2})^{2}}\ dt,$
    ${\sqrt[{2}]{ax^{2}+bx+c}}=-{a(\alpha -\beta )t \over a-t^{2}}.$ Sostituendo tutto in funzione di $\ t$ l'integrale è ridotto a un integrale di funzione razinale di $\ t.$
$\ c)\qquad \int x^{m}(ax^{n}+b)^{p}\ dx$ (integrale di un differenziale binomio) con m, n, p, numeri razionali:
* $\ p$ è intero
    Si sviluppa $\ (ax^{n}+b)^{p}$ con la regola del Binomio di Newton, si moltiplica il risultato per $\ x^{m}$ e si decompone l'integrale in tanti integrali del tipo : $\ \int _^x^{k}\ dx\ .$
* $\ {m+1 \over n}$ è intero.
    Si pone $\ ax^{n}+b=t\ ,$ da cui: $\ x=({t-b \over a})^{1 \over n},\quad dx={1 \over na}$
* ${m+1 \over n}+p$ è intero.
$\ d)$ formule risolutive notevoli:
* $\int {x^{n}dx \over {\sqrt[{k}]{ax+b}}}=[{x^{n} \over a\varphi (n,1)}-{b\varphi (n,0)x^{n-1} \over a^{2}\varphi (n,1)\varphi (n-1,1)}+.....+$
    $+(-1)^{n}{b^{n}\varphi (n,0)..\varphi (1,0) \over a^{n+1}\varphi (n,1)...\varphi (0,1)}]{\sqrt[{k}]{(ax+b)^{k-1}}},$ dove :
             $\varphi (n,m)={k(n+m)-m \over k}.$
* $\int x^{n}{\sqrt[{k}]{(ax+b)}}dx=[{x^{n} \over a\psi (n,1)}-{b\psi (n,0)x^{n-1} \over a^{2}\psi (n,1)\psi (n-1,1)}+....]$
    $\ +(-1)^{n}{b^{n}\psi (n,0)...\psi (1,0) \over a^{n+1}\psi (n,1)...\psi (0,1)}]{\sqrt[{k}]{(ax+b)^{k+1}}}\ ,$
       dove: $\psi (n,\ m)={k(n+m)+m \over k}\ .$
* $\int {P_{n}(x) \over {\sqrt[{2}]{ax^{2}+bx+c}}}\ dx=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{n-1-i}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+c_{n}J_{0}(x)$
    dove: $\ P_{n}(x)$ è un polinomio di grado $\ n$ e $\ J_{0}(x)=\int {dx \over {\sqrt[{2}]{x^{2}+bx+c}}}$ è l'integrale quasi immediato n°1, quindi:
    $\ J_{0}(x)={1 \over 2{\sqrt[{2}]{a}}}=\log {2ax+b+2{\sqrt[{2}]{a(ax^{2}+bx+c)}} \over 2ax+b-2{\sqrt[{2}]{a(ax^{2}+bx+c)}}}$ se : ${\begin{cases}a>0\\b^{2}-4ac>0\end{cases}}$
    $\ J_{0}(x)={1 \over 2{\sqrt[{2}]{a}}}=\log {2{\sqrt[{2}]{a(ax^{2}+bx+c}}+2ax+b \over 2{\sqrt[{2}]{a(ax^{2}+bx+c)}}-(2ax+b)}$ se : ${\begin{cases}a>0\\b^{2}-4ac<0\end{cases}}$
    $\ J_{0}(x)={1 \over {\sqrt[{2}]{|a|}}}=\arcsin {2|a|x-b \over {\sqrt[{2}]{b^{2}+4|a|c}}}$ se : ${\begin{cases}a<0\\b^{2}-4ac>0\end{cases}}\ .$
* $\int P_{n}(x){\sqrt[{2}]{ax^{2}+bx+c}}\ dx=\sum _{i=0}^{n+1}c_{i}x^{n+1-i}{\sqrt[{2}]{ax^{2}+bx+c}}+c_{n+2}I_{0}(x)\ .$
    dove $\ I_{0}(x)$ è l'ntegrale 2 e le costanti $\ c_{i}$ si possono determinare derivando i due membri e confrontando poi i risultati ottenuti.

### Funzioni trascendenti

$a)\qquad \int _F(sen\ x,cos\ x)dx$
con F simbolo di funzione razionale.
Si pone: $\ t=tang\ {x \over 2},$ da cui: $dx={2 \over 1+t^{2}}dt,sen\ x={2t \over 1+t^{2}},cos\ x={1-t^{2} \over 1+t^{2}}$
Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.
          esempio
       $\int _{dx \over sen\ x+cos\ x}$
Ricordato che
       $sen\ x={2\ tang{x \over 2} \over 1+tang^{2}{x \over 2}}\qquad cos\ x={1-tang^{2}{x \over 2} \over {1+tang^{2}{x \over 2}}}$
si porrà: $tang{x \over 2}=t$ da cui ${dt \over dx}={1 \over 2}{1 \over cos^{2}{x \over 2}}={1 \over 2}(1+t^{2});$
allora:$\int _{dx \over sen\ x+cos\ x}=\int _{{2 \over 1+t^{2}} \over {2t \over 1+t^{2}}+{1-t^{2} \over 1+t^{2}}}dt=\int{2dt \over -t^{2}+2t+1},$
con che la funzione da integrare è una funzione algebrica razionale.
$b)\qquad \int _F(tang\ x)dx$
con F simbolo di funzione razionale.
Si pone: $tang\ x=t$, da cui $dx={dt \over 1+t^{2}},$ e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.
          esempio
       $\int _tang\ x\ dx=\int _{t \over 1+t^{2}}\ dt={1 \over 2}\ log_{e}(1+t^{2})={1 \over 2}\log _{e}(1+tng^{2}x)$
$c)\qquad \int _F(e^{ax})dx$
con F simbolo di funzione razionale.
Si pone : $\ e^{ax}=t,$ da cui $x={1 \over a}\ log\ t,\ dx={dt \over dx}$ e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.
          esempio
       $\int{1 \over 1+e^{x}}\ dx$
Posto $\ e^{x}=t,$ da cui ${dt \over dx}=e^{x}=t,$ si ha:
       $\int{dx \over 1+e^{x}}=\int{dt \over t(1+t)}=log\ t-log\ (1+t),$ e
       $\int{dx \over 1+e^{x}}=log\ e^{x}-log\ (1+e^{x})=x-log(1+e^{x})$
$\ d)$ Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.
* $\intF(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\ dx$, con F simbolo di funzione razionale.
    si pone: $\ x=a\ sent,$ onde:
       $\intF(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\ dx=\intF(a\ sent,a\ cost)a\ cost\ dt$
          esempio
       $\int{5 \over {\sqrt {5^{2}-x^{2}}}}\ dx$
    Si pone $x=5\ sen\ t,$ da cui: $\ dx=5\ cost\ dt,$ e $\ t=arc\ sen{x \over 5}.$
    Allora:
       $\int{x \over {\sqrt {5^{2}-x^{2}}}}\ dx=\int{5\ sent \over {\sqrt {5^{2}-5^{2}\ sen^{2}t}}}5\ cost\ dt=-5\ cost$
    Sostituendo i ha: $\ -5\ cos\ arc\ sen{x \over 5}=-{\sqrt {5^{2}-x^{2}}}.$
* $\intF(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})\ dx$
    Si pone: $\ x=a\ tang\ t$ ovvero $\ x=a\ sinh\ x,$ da cui:
       $\ dx=a\ sec^{2}t\ dt\qquad dx=a\ cosh\ t\ dt$
    Allora:
       $\int(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})\ dx=\intF(a\ tang\ t,a\ sec\ t)a\ sec^{2}t\ dt$
                         ovvero
                            $=\intF(a\ senh\ t,\ a\ cosh\ t)a\ cosh\ t\ dt.$
          esempio
* $\intF(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})\ dx$ con $\ F$ simbolo di funzione razionale.
    Si pone: $\ x=a\sec t$ ovvero $\ x=a\cosh t,$ onde:
          $\int F(x,{\sqrt[{2}]{x^{2}-a^{2}}}\ dx=\int F(a\sec \ t,a\tan t)\ a\ sect\ tant\ dt=$
                $\ =\int F(a\cosh t,a\sinh t)a\ \sinh t\ dt.$
$\ e)$ Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo $\ cos\ x=t$ ovvero $\ sen\ x=t$, si ha:
       $\int _sen\ xF(sen^{2}x,cos\ x)dx=-\int _F(t-t^{2},t)dt$
       $\int _cos\ xF(cos^{2}x,sen\ x)dx=\int _F(1-t^{2},t)dt$
con F simbolo di funzione algebrca razionale.
$\ f)$ formule notevoli di riduzione:
Mediante integrazione per parti si trovano facilmente le seguenti formule:
* $\ I_{m,n}=\int \sin ^{m}x\cos ^{n}x\ dx={\sin ^{m+1}x\cos ^{n-1}x \over m+n}+{n-1 \over m+n}I_{m,n-2}\ ;$
* $\ I_{m,n}\int {\sin ^{m}x\ \cos ^{n}x\ dx}={\sin ^{m-1}x\ \cos ^{n+1}x \over m+n}+{m-1 \over m+n}I_{m-2,n}$ quando sia: $m+n\neq 0\ .$
* $\int {x^{m}e^{x}dx}=x^{m}e^{x}-m\int {x^{m-1}e^{x}dx}$
* $\int {x^{m}[\log x]^{n}dx}={x^{m+1}[\log x]^{n} \over m+1}-{n \over m+1}\int {x^{m}[logx]^{n-1}}dx$
* $\int {x^{m}\log[x+{\sqrt[{2}]{1+x^{2}}}]}dx={x^{m+1}\log[x+{\sqrt[{2}]{1+x^{2}}}] \over m+1}-{1 \over m+1}\int {x^{m+1}dx \over {\sqrt[{2}]{1+x^{2}}}}$
$\ g)$ formule risolutive notevoli.
Se $\ n$ è un intero positivo, si ha:
* $\int \sin ^{2n}xdx=\cos x\sum _{i=1}^{n}c_{i}\sin ^{2i-1}x+c_{n+1}x\ .$
* $\int {\sin ^{2n-1}x\ dx}=\cos x\sum _{i=1}^{n}c_{i}\sin ^{2i-2}x\ .$
* $\int {cos^{2n}xdx}=\sin x\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cos ^{2i-1}x+c_{n+1}x$
* $\int {\cos ^{2n-1}x}\ dx=\sin x\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cos ^{2i-2}x$
* $\int\sec ^{2n}xdx=\tan x\sum _{i=1}^{n}c_{i}\sec ^{2i-2}x$