# Matematica per le superiori/La parabola

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto fuoco ed una retta detta direttrice.

## Equazione generica

Una parabola con vertice nell'origine ha equazione: $y=ax^{2}$
* Il valore di a nella rappresentazione grafica corrisponde all'ampiezza della parabola: più a è grande più stretta sarà la parabola, più è piccolo più la parabola sarà aperta e somigliante ad una retta orizzontale (infatti con a=0 si ottiene y=0, l'asse delle x). Quando a è positivo il vertice è il punto più basso della parabola, quando è negativo il più alto.
Per spostare il vertice dall'origine si può immaginare una traslazione, ottenendo l'equazione generica esplicita della parabola: $(y-y_{v})=a(x-x_{v})^{2}$
Spesso tuttavia l'equazione si trova in forma implicita (con i calcoli sviluppati): $y=a(x-x_{v})^{2}+y_{v}$ $y=ax^{2}+2ax_{v}x+ax_{v}^{2}+y_{v}$ $y=ax^{2}+bx+c$ in cui $b=2ax_{v}$ $c=ax_{v}^{2}+y_{v}$
* c rappresenta l'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate (infatti quando x=0 y=c).
È comunque possibile ricostruire le coordinate del vertice anche a partire dalla forma implicita: $b=-2ax_{v}$ $x_{v}=-{\frac {b}{2a}}$ $c=ax_{v}^{2}+y_{v}$ $y_{v}=c-ax_{v}^{2}=c-a(-{\frac {b}{2a}})^{2}=c-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}=-{\frac {\Delta }{4a}}$ $v\left(-{\frac {b}{2a}};-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$
Per trovare il fuoco e la direttrice si utilizzano invece le seguenti formule:
$F\left(x_{v};y_{v}+{\frac {1}{4a}}\right)$
$d:y=y_{v}-{\frac {1}{4a}}$

## Rette tangenti alla parabola

Una tangente è una retta che incrocia la curva in un punto solo. La si può trovare partendo da un punto della retta esterno o appartenente alla parabola (da un punto interno non possono passare tangenti).
* Punto esterno, due tangenti: l'unico metodo per trovare le tangenti che passano per un punto esterno alla parabola è mettere a sistema la parabola ed il fascio per P imponendo che il delta sia ugualea 0 (un'unica soluzione comune alle due equazioni, che nel grafico corrisponde ad una sola intersezione tra le due funzioni)
* Punto appartenente alla parabola: per trovare le rette tangenti in un punto appartenente alla parabola si può usare una formula apposita, ricavata in questo modo:
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y=ax^{2}+bx+c\\&y-y_{0}=m(x-x_{0})\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$ (sistema tra una parabola generica ed una retta generica)
$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y=ax^{2}+bx+c\\&y=mx-mx_{0}+y_{0}\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$
$mx-mx_{0}+y_{0}=ax^{2}+bx+c$
$ax^{2}+(b-m)x+c+mx_{0}-y_{0}=0$
$x_{1}=x_{2}=x_{0}$ (L'equazione ha due soluzioni coincidenti con $x_{0}$)
$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b-m}{a}}=2x_{0}$
${\frac {m-b}{a}}=2x_{0}$
$m=2ax_{0}+b$
In questo modo si ottiene il coefficiente angolare della retta tangente; per trovare il valore di q sarà sufficiente sostituire le coordinate del punto di tangenza nell'equazione generica $y=mx+q$ e ricavare q ($q=y-mx$).

## Parabole con asse di simmetria parallelo all'asse x

Le parabole con asse orizzontale hanno:
* Equazione generica $x-x_{v}=a(y-y_{v})^{2}$ o $x=ay^{2}+by+c$. a rappresenta sempre l'apertura e l'orientamento, c l'intersezione con l'asse delle ascisse.
* $y_{v}=-{\frac {b}{2a}}$
* $F\left(x_{v}+{\frac {1}{4a}};y_{v}\right)$
* $d:x=x_{v}-{\frac {1}{4a}}$
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