# Elettronica fisica/Semiconduttori

Elettronica fisica
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## Semiconduttori

Con il termine semiconduttori si indicano alcuni elementi delle colonne III, IV e V della tavola periodica, caratterizzati da una resistività elettrica intermedia tra quella molto bassa dei conduttori e quella estremamente elevata degli isolanti (fig. 1.1). I semiconduttori possono essere composti da una singola specie atomica della quarta colonna (semiconduttori elementali: Si, Ge) oppure possono essere combinazioni degli elementi delle colonne III e V oppure II e VI (semiconduttori composti).

## Resistività

La grandissima differenza di resistività che si osserva tra conduttori, semiconduttori e isolanti è dovuta principalmente alla differente concentrazione in volume dei portatori di carica. Infatti la densità di corrente di conduzione J, dovuta al moto di deriva dei portatori in presenza di un campo elettrico E, per i conduttori ohmici, è:
| $J=nq\mu E$(1.1) $nq\mu =\sigma =\rho ^{-1}$(1.2) | J = densità di corrente ($Am^{-2}$) n = Concentrazione dei portatori ($m^{-3}$) q = Carica dei portatori ($C$) μ = Mobilità dei portatori ($m^{2}V^{-1}s^{-1}$) σ = Conducibilità del materiale ($\Omega ^{-1}m^{-1}$) ρ = Resistività del materiale ($\Omega m$) |
La mobilità μ differisce relativamente poco tra materiali diversi, mentre la concentrazione dei portatori di carica tra isolanti e conduttori spazia su oltre 20 ordini di grandezza (10^1 ... 10^22 cm$^{−3}$). Nei semiconduttori si colloca, su scala logaritmica, a metà di questo intervallo (fig. 1.2).

## Germanio e Silicio

Il Germanio è stato utilizzato per la produzione di dispositivi elettronici (diodi e transistor) soprattutto negli anni ’50 e ’60; successivamente è stato sostituito dal Silicio. Attualmente con il Silicio è realizzata la grandissima maggioranza dei dispositivi a semiconduttore (fig. 1.3). Germanio e Silicio appartengono alla IV colonna della tavola periodica, sono tetravalenti e formano cristalli con reticolo tetraedrico. In figura 1.4 è riportata una proiezione in piano del reticolo cristallino tridimensionale, in cui ogni atomo forma quattro legami covalenti con i quattro atomi primi vicini.

## Elettroni e Lacune

Nella figura 1.4a è schematizzata la situazione del reticolo cristallino alla temperatura dello zero assoluto: tutti gli elettroni di valenza risultano stabilmente impegnati nei rispettivi legami; non esistono elettroni liberi all’interno del reticolo e quindi il cristallo è un isolante perfetto. La situazione cambia per temperature diverse dallo zero assoluto: ogni elettrone ha una probabilità piccola ma finita di uscire dalla buca di potenziale corrispondente al legame covalente e trovarsi nel reticolo, disponibile come elettrone di conduzione (figura 1.4b).
Per ogni elettrone che abbandona il proprio legame covalente si formano due cariche libere: una carica negativa (l’elettrone) ed una positiva (la lacuna, cioè la carica positiva rimasta scoperta nel reticolo a seguito dell’allontanamento dell’elettrone). Le lacune sono portatori di carica a tutti gli effetti e danno un contributo al trasporto di carica indipendente da quello degli elettroni di conduzione. In fig. 1.5 una lacuna si trova in A; un elettrone di valenza salta da B in A; la lacuna in A scompare e riappare in B: apparentemente la lacuna si è spostata da A a B. In realtà sono sempre gli elettroni che si muovono, ma poich´e si tratta di elettroni di valenza questo meccanismo fornisce un movimento di carica indipendente da quello degli elettroni di conduzione. Lacune ed elettroni si generano continuamente a coppie in seguito alla rottura di legami covalenti per effetto della agitazione termica e scompaiono a coppie, quando una lacuna ed un elettrone si ricombinano a riformare un legame covalente. Di conseguenza nel semiconduttore intrinseco (cioè non drogato, come si vedrà più avanti) la concentrazione delle lacune (p) sarà sempre eguale a quella degli elettroni (n). Il valore ni di p ed n, detto concentrazione intrinseca, è determinato dall’equilibrio dinamico tra generazione e ricombinazione e dipende dalle caratteristiche del materiale semiconduttore e dalla temperatura T:
| $n_{i}^{2}=n^{2}=p^{2}=BT^{3}e^{-e_{G}/kT}$ | (1.3) |
dove EG è l’energia di rottura di un legame covalente, k la costante di Boltzmann e B una costante caratteristica del materiale. La concentrazione intrinseca ni aumenta rapidamente con la temperatura e questo aumento è la causa della forte diminuzione della resistività dei semiconduttori con il riscaldamento (a differenza dei metalli, la cui resistività cresce con la temperatura).

## Modello a bande di energia

Una descrizione accurata dei meccanismi di trasporto nei semiconduttori si può avere solo facendo uso della meccanica quantistica, tramite la teoria delle bande (banda di conduzione e di valenza) ed esula dallo scopo di queste note. Qui è sufficiente utilizzare i risultati che descrivono fenomenologicamente tali meccanismi. Il risultato più importante è costituito proprio dal fatto che in un semiconduttore si ha un doppio meccanismo di conduzione, legato alla presenza di portatori di carica negativi (gli elettroni di conduzione) e positivi (le lacune), che portano ciascuno una unità di carica elettrica q di segno opposto. In un metallo invece gli unici portatori di carica sono gli elettroni. In presenza di un campo elettrico si stabilisce quindi una corrente di deriva con densità J:
| Metalli | Semiconduttori | |
| $J=qn\mu _{n}E$ | $J=q(n\mu _{n}+p\mu _{p})E$ | (1.4) |
| $\sigma =qn\mu _{n}$ | $\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})$ | (1.5) |
Le caratteristiche chimico-fisiche principali alla base delle proprietà di conduzione di Silicio e Germanio sono riportate in tabella 1.1.

## Semiconduttore estrinseco

Si ha un semiconduttore estrinseco o drogato quando piccole quantità di atomi di elementi trivalenti (es.: boro, gallio, indio) o pentavalenti (es.: antimonio, fosforo, arsenico) vengono sostituite nel reticolo cristallino agli atomi originali del semiconduttore, Germanio o Silicio (fig.1.6). La frazione di atomi sostituiti tipicamente è compresa nell’intervallo 10−3 . . . 10−9, per cui le proprietà chimico-fisiche del reticolo cristallino rimangono sostanzialmente inalterate. Gli atomi estranei si sostituiscono a quelli del semiconduttore originale e portano nel reticolo un eccesso di un elettrone, nel caso degli elementi pentavalenti (atomi donatori, drogaggio di tipo N), o un difetto di un elettrone, cioè una lacuna nel caso degli elementi trivalenti (atomi accettori, drogaggio di tipo P). In entrambi i casi ci troviamo ad avere inserito portatori di carica liberi nel cristallo: gli elettroni in eccesso portati dal drogaggio N hanno una energia di legame con il proprio atomo sufficientemente bassa da trovarsi già a temperatura ambiente tutti disponibili come elettroni di conduzione,
Tabella 1.1: Principali caratteristiche chimico-fisiche di Germanio e Silicio a temperatura ambiente (300 K). :
| | | Ge | Si | |
| numero atomico | | 32 | 14 | uma (g/mole) |
| peso atomico | | 72.6 | 28.1 | |
| densità | | 5.32 | 2.33 | g/cm$^3$ |
| densità atomica | | 4.4 · 10$^{22}$ | 5 · 10$^{22}$ | atomi/cm$^3$ |
| costante dielettrica relativa | | 16 | 12 |
| Energia di legame (bandgap) | E$_G$ | 0.72 | 1.1 | eV |
| concentrazione intrinseca | n$_i$ | 2.5 · 10$^{13}$ | 1.5 · 10$^{10}$ | cm$^{-3}$ |
| 1/n$_i$ · dn$_i$/dT | | 16 | 10 | %/°K |
| dρ /dT | | | | |
| frazione portatori/legami | | 0.14 · 10$^{-9}$ | 0.75 · 10$^{-13}$ | |
| resistività | | 0.45 | 2300 | Ω·m |
| mobilità degli elettroni | μ$_n$ | 0.38 | 0.14 | m$^2$/(V · s) |
| mobilità delle lacune | μp | 0.18 | 0.05 | m$^2$/(V · s) |
| coeff. di diffusione degli elettroni | D$_n$ | 9.9 · 10$^{−3}$ | 3.4 · 10$^{-3}$ | m$^2$/s |
| coeff. di diffusione delle lacune | D$_p$ | 4.7 · 10$^{−3}$ | 1.3 · 10$^{−3}$ | m$^2$/s |
Figura 1.6: Modello di semiconduttore estrinseco e quindi come portatori di carica negativa; analogamente le lacune portate dal drogaggio di tipo P costituiscono altrettanti portatori di carica positivi.

## Legge di Azione di Massa

L’aumento della concentrazione di uno dei due tipi di portatori n o p nel reticolo in seguito al drogaggio porta conseguentemente una diminuzione della concentrazione dell’altro portatore. Infatti la probabilità di ricombinazione delle coppie lacuna-elettrone è legata al prodotto n·p delle due concentrazioni, mentre la probabilità di generazione di nuove coppie per effetto della agitazione termica è legata alla concentrazione di legami non ionizzati e quindi rimane sostanzialmente costante anche in seguito al drogaggio. Questo equilibrio è riassunto nella legge di azione di massa:
| n·p = n$_i$$^2$(T) | (1.6) |
Nell’intervallo di drogaggi usati abitualmente si ha, indicando con N$_A$ ed N$_D$ rispettivamente la concentrazione di atomi accettori e donatori:
| semiconduttore P: | N$_A$ ≫ n$_i$ | p$_p$ ≈ N$_A$ | n$_p$ = n$_i$$^2$/N$_A$ |
| semiconduttore N: | N$_D$ ≫ n$_i$ | n$_n$ ≈ N$_D$ | p$_n$ = n$_i$$^2$/N$_D$ |
Con p$_p$ e n$_n$ sono state indicate le concentrazioni di lacune ed elettroni nelle regioni rispettivamente di tipo P ed N; questi sono i portatori maggioritari, in quanto presenti nella regione in quantità preponderante. I simboli n$_p$ e p$_n$ indicano invece le concentrazioni dei portatori minoritari: l’altra specie di portatori, la cui concentrazione risulta fortemente depressa a causa della abbondante presenza dei maggioritari (fig. 1.7).

## Corrente di diffusione

Nei semiconduttori il trasporto di carica avviene come moto di deriva dei portatori per effetto del campo elettrico (corrente di conduzione), analogamente a quanto avviene nei metalli. Oltre a questo meccanismo ve ne è un secondo, legato alla diffusione, che invece è irrilevante nel caso dei metalli: un gradiente di concentrazione dei portatori di carica dà origine ad un moto di diffusione e quindi ad una densità di corrente elettrica di lacune (J$_p$) e di elettroni (J$_n$) anche in assenza di un campo elettrico:
| J$_p$ = −qD$_p$∇rp | (1.7a) |
| J$_n$ = qD$_n$∇n | (1.7b) |
La densità di corrente totale J è data dalla somma dei contributi di conduzione e diffusione per entrambi i tipi di portatori: J p = q μp p E − q Dp rp J n = q μn n E + q Dn rn (1.8) J = J$_p$+ J$_n$ (1.9) I coefficienti di diffusione D$_p$, D$_n$ e le mobilità μ$_p$, μ$_n$ sono legati dalla relazione di Einstein: D$_p$/μ$_p$ = D$_n$/μ$_n$ = V$_T$ = kT/q (1.10). A temperatura ambiente VT è 26 mV .