# Meccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson

Meccanica analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Meccanica lagrangiana
* Introduzione alla meccanica lagrangianaMeccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
* Vincoli, virtualismi, variabili lagrangianeMeccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
* Equazione simbolica di d'AlembertMeccanica analitica/Equazione simbolica di d'Alembert
* La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
* Quantità conservateMeccanica analitica/Quantità conservate
* Punti di equilibrioMeccanica analitica/Punti di equilibrio
* Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabiliMeccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili
Meccanica hamiltoniana
* Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
* Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
* Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
* Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
* Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
* Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
* Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
* Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
* Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
* Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
* Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
* Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
* Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
* La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
* La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
* Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
* Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
* Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
* Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
* Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
* Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
* Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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Come per la meccanica lagrangiana, anche nella meccanica hamiltoniana si possono trovare quantità che si conservano, ovvero che sono costanti nel tempo. Consideriamo per esempio due funzioni $x(q/p/t)$ e $y(q/p/t)$; dal modulo precedente possiamo scrivere le loro derivate totali:
${\begin{aligned}&{\dot {x}}=[x,H]+{\frac {\partial x}{\partial t}}\\&{\dot {y}}=[y,H]+{\frac {\partial y}{\partial t}}\end{aligned}}$
Ora, consideriamo appunto il caso in cui ${\dot {x}}={\dot {y}}=0$, ovvero le due funzioni $x,y$ sono costanti nel tempo. Possiamo trovare una relazione tra le due che resti ancora costante. Prima, però, ricordiamo che se vale ${\dot {x}}={\dot {y}}=0$ allora varranno:
${\begin{aligned}&{\frac {\partial x}{\partial t}}=-[x,H]\\&{\frac {\partial y}{\partial t}}=-[y,H]\end{aligned}}$
Dimostriamo ora che, sotto queste condizioni, si ha ${\frac {d}{dt}}[x,y]=0$.
Esplicitiamo il termine da dimostrare e svolgiamo i calcoli:
${\Big[x,y],H{\Big ]}+{\frac {\partial }{\partial t}}[x,y]={\Big[x,y],H{\Big ]}+\left[{\frac {\partial x}{\partial t}},y\right]+\left[x,{\frac {\partial y}{\partial t}}\right]$
L'uguaglianza è resa possibile grazie alla bilinearità delle parentesi poissoniane; ora, ricordando le condizioni iniziali e le relazioni scritte sopra, possiamo scrivere:
${\begin{aligned}&{\Big[x,y],H{\Big ]}+{\Big-[x,H],y{\Big ]}+{\Bigx,-[y,H]{\Big ]}=\\=&{\Big[x,y],H{\Big ]}+{\Big[H,x],y{\Big ]}+{\Big[y,H],x{\Big ]}=0\end{aligned}}$
Il passaggio dal primo al secondo passaggio è reso possibile attraverso la proprietà dell'antisimmetria, dove $-[x,H]=[H,x]$; l'ultima riga, come possiamo notare, è proprio un'identità di Jacobi, e quindi, è vero che ${\frac {d}{dt}}[x,y]=0$.

## Quantità compatibili

Attraverso le parentesi di Poisson si può definire una relazione tra due funzioni:
Definizione
Due quantità $x$ e $y$ si dicono compatibili se
$[x,y]=0$
Vediamo due casi immediati di quantità compatibili.
Il primo è quando $x$ e $y$ sono due quantità completamente scollegate tra loro, per esempio:
$x(q_{1},q_{2},p_{3},p_{4})\qquad y(q_{5},q_{6},p_{7},p_{8})$
Se andiamo a esplicitare la parentesi di poisson tra le due:
$[x,y]=\sum _{h=1}^{n}\left({\frac {\partial x}{\partial q_{h}}}{\frac {\partial y}{\partial p_{h}}}-{\frac {\partial x}{\partial p_{h}}}{\frac {\partial y}{\partial q_{h}}}\right)=0$
Questo perché, per $h=1,\cdots ,8$ capita o che la $y$ sia indipendente a $q_{h}$ o $p_{h}$, o il contrario, ottenendo derivate parziali nulle.
Il secondo caso è quando $y=\phi (x)$, ovvero $y$ è una funzione di $x$. Esplicitando anche qui la parentesi:
$[x,y]=\sum _{h=1}^{n}\left({\frac {\partial x}{\partial q_{h}}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial p_{h}}}-{\frac {\partial x}{\partial p_{h}}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial q_{h}}}\right)=0$
I termini nella parentesi sono esattamente uguali (per il teorema della derivata di funzioni composte).
La domanda, lecita, che può venire spontanea è: perché ci interessano così tanto le quantità compatibili? La risposta risiede nel fatto che il formalismo hamiltoniano è la base formale della meccanica quantistica, e in questa le parentesi di Poisson hanno la funzione di commutatori. In quantistica, se due quantità non commutano, ovvero la loro parentesi non è nulla, allora non è possibile determinarle con precisione arbitraria. Da qui deriva il principio di indeterminazione di Heisenberg: gli operatori (in meccanica quantistica non si parla più di coordinate o variabili, ma di operatori) posizione e quantità di moto non commutano, ovvero:
$[{\hat {x}},{\hat {p}}]\neq 0$
Ed è per questo motivo che, se conosco con altissima precisione la posizione, non so quasi nulla della velocità e viceversa. Il formalismo hamiltoniano, come vedremo anche per l'azione, è importante in fisica proprio per il suo utilizzo in meccanica quantistica dove, sebbene il paradigma di base sia completamente diverso (l'invito è a cercare informazione sull'epistemologia di Kuhn), è rimasto qualcosa dalla meccanica classica: la struttura formale. Fondamentalmente, è anche per questo che, dopo un secolo e mezzo, si studia ancora la teoria di Hamilton.