# Analisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert

Analisi complessa
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## Prodotto scalare
### Definizione

    Sia $X$ uno spazio lineare sul campo $\mathbb {K} (=\mathbb {R}$ o $\mathbb {C} )$, si definisce prodotto scalare, l'applicazione
       $<\cdot ,\cdot >:X\times X\longrightarrow \mathbb {K}$
    che possiede le seguenti proprietà:
   * $<x+y,z>=<x,z>+<y,z>\!$
   * $<\alpha x,y>=\alpha <x,y>\!$
   * $<x,y>={\overline {<y,x>}}$
   * $<x,x>\geq 0\quad \forall x\in X$
   ** $<x,x>=0\iff x=0$

### Osservazioni

Le proprietà 1. e 2. indicano che il prodotto scalare è lineare rispetto alla prima componente. Inoltre se ci trovassimo nel caso reale allora la proprietà 3. si esprime come: $<x,y>=<y,x>\!$ (simmetria).
Il prodotto scalare induce una norma
    $||\cdot ||:X\longrightarrow \mathbb {R} ^{+}$
definita come
    $||x||:={\sqrt {<x,x>}}$
La funzione su scritta è ben definita grazie alla proprietà 4. del prodotto scalare. Inoltre si può definire una distanza (o metrica)
    $d_{||\cdot ||}:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} ^{+}$
come segue:
    $d_{||\cdot ||}(x,y)=||x-y||={\sqrt {<x-y,x-y>}}$

#### Teorema

    Dalle proprietà sopra elencate per il prodotto scalare ne seguono altre:
   * $<0,y>=0\quad \forall y\in X$
   * $<x,\alpha y>={\bar {\alpha }}<x,y>$
Si dimostrano altre proprietà che valgono sulla norma $||x||:={\sqrt {<x,x>}}$:
* $|<x,y>|\leq ||x||||y||$ (Disuguaglianza di Schwartz)
* $||x+y||\leq ||x||+||y||$ (disuguaglianza triangolare)
* $||\alpha x||=|\alpha |||x||\!$

## Spazio di Hilbert
### Definizione

    Lo spazio di Hilbert è uno spazio:
   * su cui è definito un prodotto scalare
   * completo rispetto alla metrica indotta dalla norma indotta a sua volta dal prodotto scalare.
Esempi: Sono spazi di Hilbert $\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n}$. Per verificarlo, è sufficiente mostrare la validità delle proprietà scritte in precedenza.

## Identità del parallelogramma
### Teorema

    Siano $x,y\in X$, dove X è uno spazio di Hilbert, allora vale l'uguaglianza:
       $||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2(||x||^{2}+||y||^{2})\!$ (identità del parallelogramma)

### Dimostrazione

    Utilizzando le proprietà del prodotto scalare si ha che:
       $||x+y||^{2}=<x+y,x+y>=<x,x+y>+<y,x+y>={\overline {<x+y,x>}}+{\overline {<x+y,y>}}$
    mentre
       $||x-y||^{2}=<x-y,x-y>=<x,x-y>-<y,x-y>={\overline {<x-y,x>}}-{\overline {<x-y,y>}}$
    pertanto sommando ed elaborando i risultati, si ottiene che:
       $||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2<x,x>+2<y,y>=2||x||^{2}+2||y||^{2}=2(||x||^{2}+||y||^{2})\!$
    Che è quello che si voleva dimostrare.
Questa proprietà contraddistingue le norme indotte dal prodotto interno, si può dimostrare infatti che:
La norma $||\cdot ||$ soddisfa l'identità del parallelogramma se e solo se:
    $<x,y>={\frac {1}{4}}\left[||x+y||^{2}-||x-y||^{2}+i\left(||x+iy||^{2}-||x-iy||^{2}\right)\right]$
ha le proprietà del prodotto scalare.

## Teoremi

Consideriamo ora la funzione lineare che associa per un $y\in X$ fissato ad ogni $x\in X$ il numero complesso $(x,y)$

### Teorema

    Per ogni $y\in X$, l'applicazione:
   * $x\longrightarrow <x,y>$ è lineare e continua.
Inoltre anche $x\longrightarrow ||x||$ è continua.

### Definizione

    Se $<x,y>=0$ diciamo che x ed y sono ortogonali e scriviamo che $x\bot y$, la relazione di ortogonalità è simmetrica.
    Definiamo
       $x^{\bot}:=\left\{y\in X:y\bot x\right\}$
Se $M\subset X$ è un sottospazio di $X\!$ definiamo
    $M^{\bot}=\left\{y\in X:y\bot x\quad \forall x\in M\right\}$
Uno spazio di Hilbert si dice chiuso se le successioni convergenti di elementi del sottospazio convergono ad elementi del sosttospazio.In altre parole:
    Se $\lim _{n\to \infty }x_{n}={\bar {x}}$ e $x_{n}\in M$ implica che ${\bar {x}}\in M$ allora M si dice chiuso.

### Teorema

    Se M è un sottospazio di Hilbert H allora $M^{\bot}$ è un sottospazio chiuso di H.
Si dimostrano una serie di importanti teoremi che riguardano i sottspazi di Hilbert:

### Teorema 2.5.8

    Ogni sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso E di uno spazio di Hilbert X contiene un solo elemento di norma minima, ${\bar {y}}\in E$ tale che $||{\bar {y}}||=\inf _{x\in E}||x||$

### Teorema 2.5.9

    Sia M un sottospazio di X. Esiste una ed una sola coppia di applicazioni lineari:
   * $P:X\longrightarrow M$
   * $Q:X\longrightarrow M^{\bot}$
    Con le seguenti proprietà:
   * $\forall x\in X\quad x=Px+Qx$
   * $\forall x\in M\quad x=Px,Qx=0$ $\forall x\in M^{\bot}\quad x=Qx,\quad Px=0$
   * $\forall x\in X\quad ||x-Px||=\inf _{y\in M}||x-y||$
   * $||x||^{2}=||Px||^{2}+||Qx||^{2}\!$
Si dice che P e Q proiettano x sui sottospazi $M{\mbox{ e }}M^{\bot}$.

### Corollario 2.5.10

    Se $M\neq X$ allora $M^{\bot}$ non è vuoto e contiene almeno un elemento diverso da 0.
Abbiamo mostrato che $<x,y>\!$ è un funzionale lineare continuo; un teorema molto importante mostra come tutti i funzionali lineari su X possano essere espressi in questo modo.

### Teorema 2.5.11

    Se L è un funzionale lineare su X, e $\ker {L}\neq X$, allora:
       $\dim(\ker(L))^{\bot}=1$.

### Teorema 2.5.12

    Se L è un funzionale lineare continuo su X, allora vi è uno ed uno solo $y\in X$ tale che:
       $Lx=<x,y>,\quad \forall x\in X$

## Insieme ortonormale

Delta di Kronecker
$\alpha$
$\beta$
    $\delta _{\alpha ,\beta }:=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se }}\alpha =\beta \\0&{\mbox{se }}\alpha \neq \beta \end{matrix}}\right.$

### Definizione

    Un insieme $u_{\alpha }$ di vettori di uno spazio di Hilbert H, dove $\alpha \in A$ è un indice (discreto o continuo), è detto ortonormale se
       $\forall \alpha ,\beta \in A\quad <u_{\alpha },u_{\beta }>=\delta _{\alpha ,\beta }$

### Teorema 2.5.14.

    Se $U=\left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ è un insieme ortonormale, $\left\{u_{i}\right\}_{i=1}^{k}$ un qualsiasi sottoinsieme finito di vettori di U e $x=\sum _{i=0}^{k}c_{i}u_{i}$ è una combinazione lineare di vettori di tale sottoinsieme, allora $c_{i}=<x,u_{i}>\!$ e $||x||^{2}=\sum _{i=1}^{k}|c_{i}|^{2}$

### Corollario

    Dato che $x=0\iff c_{i}=0\quad \forall i$ e per ogni sottoinsieme finito $\left\{u_{i}\right\}_{i=1}^{k}$ ogni insieme ortonormale è indipendente.
Sia $V=\left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{k}$ un insieme finito di vettori linearmente indipendenti appartenenti allo spazio di Hilbert X, si cercano i coefficienti che minimizzano:
    $\left\Vert x-\sum _{i=1}^{k}c_{i}v_{i}\right\Vert$.
Se si considera che ogni sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert X è chiuso allora il teorema 2.5.9 ci garantisce l'esistenza di un unico elemento che minimizza tale norma, $x_{0}=Px\!$ e che
    $x-x_{0}\in <V>^{\bot}$
Da queste semplici considerazioni è possibile ricavare il seguente teorema:

### Teorema 2.5.17

    Sia $\left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ un insieme ortonormale in X, e $x\in X$ allora:
       $\left\Vert x-\sum _{i=1}^{k}<x,u_{i}>u_{i}\right\Vert \leq \left\Vert x-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}u_{i}\right\Vert$,
    e l'uguaglianza vale solo se $\lambda _{i}=<x,u_{i}>\!$;
       $\sum _{i=1}^{k}<x,u_{i}>u_{i}$
    è la proiezione ortogonale di x sul sottospazio generato dagli $u_{i}$,$\delta$ la distanza tra x ed il sottospazio allora
       $\sum _{i=1}^{k}|<x,u_{i}>|^{2}=||x||^{2}-\delta ^{2}$

### Definizione

    Sia $U=\left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ un insieme ortonormale di vettori di X, ed x appartenente a X. Definiamo
       ${\tilde {x}}(\alpha )=<x,u_{\alpha }>$
    come il coefficiente di Fourier del vettore x, rispetto all'insieme U.
Inoltre, se $0\leq \phi (\alpha )\leq \infty$ è una funzione da un insieme di indici A, definiamo:
    $\sum _{\alpha \in A}\phi (\alpha )=\sup \left\{\sum _{i=1}^{k}{\phi (a_{i})}|\left\{a_{j}\right\}_{j=1}^{k}\subseteq A\right\}$
cioè il sup delle somme su tutti i sottoinsiemi finiti di A.

### Teorema 2.5.19

    Se $\sum _{\alpha \in A}|\phi (\alpha )|=K<\infty$, l'insieme degli elementi $\beta \in A$ per i quali $|\phi (\beta )|>0\!$ è al più numerabile.

## Teorema (Disuguaglianza di Bessel)

Riferendosi alla definizione data sopra, se $U=\left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ è un insieme ortonormale,
    $\sum _{\alpha \in A}|{\tilde {x}}(\alpha )|^{2}\leq ||x||^{2}$

### Definizione

    Definiamo l'insieme:
       $l^{2}(A):=\left\{f:A\longrightarrow \mathbb {C} :\sum _{\alpha \in A}|f(\alpha )|^{2}<\infty \right\}$
Si può dimostrare che definendo somma, prodotto per uno scalare e prodotto interno come:
* $(f+g)(\alpha )=f(\alpha )+g(\alpha )\!$
* $(\lambda f)(\alpha )=\lambda f(\alpha )\!$
* $<f,g>:=\sum _{\alpha \in A}f(\alpha ){\overline {g(\alpha )}}$
questo insieme è uno spazio di Hilbert. Abbiamo notato sopra che ad ogni vettore x di uno spazio di Hilbert H, considerando un insieme ortonormale $U=\left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$, corrisponde un elemento ${\tilde {x}}(\alpha )\in l^{2}(A)$, grazie alla disuguaglianza di bessel, siamo sicuri che la somma:
    $\sum _{\alpha \in A}|{\tilde {x}}(\alpha )|^{2}<\infty$.
Ci si può chiedere se questa corrispondenza sia suriettiva, cioè se ogni elemento di $l^{2}(A)$ cosrrisponda un elemento di H; la risposta è affermativa:

## Teorema di Riesz-Fischer

Sia $U=\left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ un insieme ortonormale in H. Se $\phi (\alpha )\in l^{2}(A)$ allora $\exists x\in H:\phi (\alpha )=<x,u_{\alpha }>$.

### Definizione

    Un insieme ortonormale $U=\left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ si dice massimale, o base Hilbertiana o base ortonormale completa se $\not \exists x\in H:x\neq 0$ e $<x,u_{\alpha }>=0\quad \forall \alpha \in A$

### Teorema

    Sia $U=\left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ un insieme ortonormale in H. Allora ognuna delle seguenti affermazioni implica le altre tre.
   * $\left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$
   * L'insieme S di tutte le combinazioni lineari finite dei membri :di U è denso in H
   * Per ogni $x\in H$ vale che $||x||^{2}=\sum _{\alpha \in A}|{\tilde {x}}(\alpha )|^{2}$
   * Se $x,y\in H$ allora
          $<x,y>=\sum _{\alpha \in A}{\tilde {x}}(\alpha ){\overline {{\tilde {y}}(\alpha )}}$ (uguaglianza di Parseval)

### Teorema

    Ogni spazio di Hilbert che non sia composto solo dall'elemento 0 ammette una base Hilbertiana.

### Definizione

    Diciamo che due spazi di Hilbert $H_{1},H_{2}$ sono isomorfi se esiste una applicazione lineare e suriettiva $\Phi :H_{1}\longrightarrow H_{2}$ che conservi i prodotti scalari cioè se :
   * $x,y\in H_{1}\Rightarrow <x,y>_{H_{1}}=<\Phi x,\Phi y>_{H_{2}}$.

### Teorema

    Due spazi di Hilbert sono isomorfi se e solo se hanno basi Hilbertiane della stessa cardinalità

### Definizione

    Uno spazio di Hilbert H si dice separabile se contiene un sottoinsieme numerabile denso, cioè se esiste una successione di elementi di H, $\left\{x_{n}\in H\right\}_{n=1}^{\infty }$, tale che per ogni $x\in H$ esiste una sottosuccessione $x_{n_{k}}$ che tende a x.

### Teorema

    Uno spazio di hilbert H ha una base Hilbertiana al più numerabile se e solo se è separabile.

### Teorema

    In ogni spazio di Hilbert esiste una base di Hamel B, un insieme $\left\{x_{\alpha }\right\}$, indipendente tale che:
       $\forall x\in H\quad x=\sum _{i=1}^{N_{x}}c_{i}x_{\alpha _{i}}$.