# Controlli automatici/Diagrammi polari e di Nyquist

Controlli automatici
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## Diagramma polare

Il diagramma polare di una funzione di trasferimento $G(s)$ permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano complesso:
    $G\left(j\omega \right)=\left|G\left(j\omega \right)\right|e^{j\angle G\left(j\omega \right)},\quad \omega >0$
Ogni punto del diagramma polare, corrispondente ad una certa pulsazione $\omega >0$, ha una distanza dall'origine pari al modulo e forma con l'asse reale un angolo pari alla fase.

### Punto iniziale ($\omega \to 0^{+}$)

* Se la funzione di trasferimento $G(s)$ è priva di poli nell'origine, il diagramma polare parte da un punto sull'asse reale.
* Se la funzione di trasferimento $G(s)$ ha $i$ poli nell'origine, il diagramma polare parte da un punto posto all'infinito su un asse cartesiano:
    $G(s)={\frac {1}{s^{i}}}\Rightarrow {\begin{cases}{\left|G\left(j\omega \right)\right|}_{\omega \to 0^{+}}\to +\infty \\{\left.\angle G\left(j\omega \right)\right|}_{\omega \to 0^{+}}=-{90}^{\circ }\cdot i\end{cases}}$

### Punto finale ($\omega \to +\infty$)

* Se la funzione di trasferimento $G(s)$ è strettamente propria, il diagramma polare termina nell'origine con fase multipla di $\pm {90}^{\circ }$:
    ${\begin{cases}{\left|G\left(j\omega \right)\right|}_{\omega \to +\infty }=0\\{\left.\angle G\left(j\omega \right)\right|}_{\omega \to +\infty }={\left.\angle G\left(j\omega \right)\right|}_{\omega \to 0^{+}}-{90}^{\circ }\cdot \left(n_{n}+m_{p}\right)+{90}^{\circ }\cdot \left(n_{p}+m_{n}\right)\end{cases}}$
    dove:
   * $n_{n}$ è il numero di poli a parte reale $\leq 0$ (esclusi i poli nell'origine);
   * $n_{p}$ è il numero di poli a parte reale $>0$;
   * $m_{n}$ è il numero di zeri a parte reale $\leq 0$;
   * $m_{p}$ è il numero di zeri a parte reale $>0$.
* Se la funzione di trasferimento $G(s)$ non è strettamente propria, il diagramma polare termina perpendicolarmente in un punto sull'asse reale diverso dall'origine.

## Diagramma di Nyquist

Il diagramma di Nyquist di una funzione di trasferimento $G(s)$ permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano complesso:
    $G\left(j\omega \right)=\left|G\left(j\omega \right)\right|e^{j\angle G\left(j\omega \right)},\quad \forall \omega$
Ogni polo nell'origine ($j\omega _{0}=0$) determina una rotazione di fase di $-{180}^{\circ }$, rappresentata come una semicirconferenza di raggio infinito percorsa in senso orario da $0^{-}$ a $0^{+}$ in modo che il diagramma di Nyquist sia costituito da una curva chiusa.
Poiché:
    ${\begin{cases}\left|G\left(-j\omega \right)\right|=\left|G\left(j\omega \right)\right|\\\angle G\left(-j\omega \right)=-\angle G\left(j\omega \right)\end{cases}}$
per $\omega >0$ il luogo dei punti $G\left(-j\omega \right)$ risulta simmetrico a quello di $G\left(j\omega \right)$ rispetto all'asse reale → il tracciato di $G\left(j\omega \right)$ per $\omega <0$ si ottiene dal ribaltamento del diagramma polare corrispondente a $\omega >0$.

## Note

* ↑ In realtà questo vale per qualsiasi coppia di poli complessi coniugati appartenenti all'asse immaginario (cioè a parte reale nulla).