# Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Coppia di forze

Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
Dinamica dei sistemi di punti
* Centro di massaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Centro di massa
* Conservazione della quantità di motoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Conservazione della quantità di moto
* Sistema di riferimento del centro di massaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistema di riferimento del centro di massa
* Mutua interazione: problema dei due corpiMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Mutua interazione: problema dei due corpi
* Teorema di König per l'energia cineticaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per l'energia cinetica
* Sistemi a massa variabileMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi a massa variabile
* Moto di un razzoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di un razzo
Seconda legge cardinale
* La seconda legge cardinaleMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/La seconda legge cardinale
* Teorema di König per il momento angolareMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per il momento angolare
* Corpo rigido in rotazioneMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Corpo rigido in rotazione
* Momento d'inerziaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Momento d'inerzia
* Coppia di forzeMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Coppia di forze
* Sistemi di forze paralleleMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi di forze parallele
* Pendolo fisicoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Pendolo fisico
* Moto di una trottolaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di una trottola
Statica, urti e rotolamento
* Sistemi in equilibrioMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi in equilibrio
* Esempi di problemi di staticaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Esempi di problemi di statica
* Moto di rotolamentoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di rotolamento
* Urti elastici e anelasticiMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Urti elastici e anelastici
Appendice
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Trattiamo brevemente il caso in cui, a un corpo rigido, è applicata una coppia di forze parallele di verso opposto. Vettorialmente, ${\vec {f_{2}}}=-{\vec {f_{1}}}$. Nell'esempio più semplice possibile, prendiamo due punti materiali, uniti da una sbarretta rigida di massa trascurabile, ai quali vengono applicate le due forze: il loro effetto è causa una rotazione dell'asta che unisce i due punti con velocità angolare $\omega$.
L'effetto è spiegato dalla seconda legge cardinale. Il momento delle forze esterne non è nullo; chiamata $b$ la lunghezza della corda e $r_{1}=r_{2}$ le distanze dei due punti dal centro di massa, avremo:
${\vec {\tau }}=\sum _{i}{\vec {r_{i}}}\wedge {\vec {f_{i}}}={\vec {r_{1}}}\wedge {\vec {f_{1}}}+{\vec {r_{2}}}\wedge {\vec {f_{2}}}=({\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}})\wedge {\vec {f_{1}}}=b\,f$
Il risultato è, ovviamente, il modulo del momento causato dalla coppia di forze, ovvero il modulo di una delle due forze moltiplicato per la distanza tra i due punti di applicazione. In questo caso abbiamo però considerato le due forze uguali e discordi; se fossero state di modulo differente e verso concorde, andavano calcolati i momenti delle forze, che avrebbero avuto senso discorde (perché avrebbero causato due rotazioni di verso opposto) e il maggiore avrebbe prevalso.
Per chiudere il modulo, sfruttiamo l'esempio del sistema composto da due punti materiali uniti. Calcoliamo allora il momento angolare del sistema:
${\begin{aligned}{\vec {J}}=&\sum _{i}{\vec {r_{1}}}\wedge m{\vec {v_{i}}}={\vec {r_{1}}}\wedge m{\vec {v_{1}}}+{\vec {r_{2}}}\wedge m{\vec {v_{2}}}=\\&{\frac {b}{2}}mv_{1}+{\frac {b}{2}}mv_{2}\end{aligned}}$
Nell'ultimo passaggio abbiamo considerato i moduli. Ricordiamo che $v=\omega r$ e, in questo caso,$v_{1}=v_{2}=\omega {\frac {b}{2}}$; sostituendo:
$|{\vec {J}}|=2\left(\omega m{\frac {b^{2}}{4}}\right)=I\omega$
Infatti il fattore $2m{\frac {b^{2}}{4}}$ corrisponde al momento d'inerzia del sistema, definito dalla somma $\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$. Vettorialmente avremo:
${\vec {J}}=I{\vec {\omega }}$
A questo punto, possiamo scrivere la seconda legge cardinale in un altro modo, che stavolta descrive appieno la rotazione del sistema:
${\vec {\tau }}^{ext}={\frac {d{\vec {J}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(I{\vec {\omega }}\right)=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }}$
Dove ${\vec {\alpha }}$ è l'accelerazione angolare del sistema.