# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
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* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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In questo modulo ci si occuperà di dare una caratterizzazione delle funzioni che risolvono l'equazione di Laplace, anche dette funzioni armoniche.
Definizione
Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ e sia $u\in C^{2}(\Omega )$. La funzione $u$ è detta armonica se soddisfa l'equazione di Laplace, ovvero se:
$\Delta u=0{\text{ in }}\Omega$
Segue direttamente dalla definizione che ogni funzione armonica $u\in ker\left\lbrace \Delta \right\rbrace$. Per capire quale sia la forma analitica di $u$ studiamo il caso monodimensionale e quello di dimensione $n=2$:
Per il caso monodimensionale non si ricavano particolari informazioni. Infatti se $\Omega =(a,b)$ si avrà che:
$\Delta u={\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=0$
Che significa semplicemente trovare:
$u(x)=c_{1}x+c_{2}$
Il caso $n=2$ è piuttosto interessante invece. Infatti sarà possibile osservare che, in virtù dell'isomorfismo $\mathbb {R} ^{2}\simeq \mathbb {C}$, vi è uno stretto legame tra funzioni olomorfe e soluzioni dell'equazione di Laplace, ovvero funzioni armoniche.
Si ricorda che se $f$ è olomorfa in $\Omega$ essa coincide con il suo sviluppo di Taylor nell'intorno di un qualsiasi punto $x_{0}\in \Omega$ ed è di classe $C^{\infty }(\mathbb {C} )$. Si potrà quindi scrivere $f=u(x,y)+iv(x,y)$ e dovrà soddisfare le condizioni di Cauchy-Riemann:
${\begin{cases}u_{x}=v_{y}\\u_{y}=-v_{x}\end{cases}}$
Il legame tra funzioni olomorfe e funzioni armoniche di cui si parlava sopra è esplicitato dal seguente teorema.

## Teorema

Sia $f$ una funzione olomorfa in $\Omega \subset \mathbb {C}$. Allora $f=u(x,y)+iv(x,y)$ e le funzioni $u(x,y),\,v(x,y)$ sono armoniche in $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$.

### Dimostrazione

Per ipotesi $f$ è olomorfa, dunque soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann:
${\begin{cases}u_{x}=v_{y}\\u_{y}=-v_{x}\end{cases}}$
Derivando rispetto a $x$ la prima equazione e rispetto a $y$ la seconda si ottiene:
${\begin{cases}u_{xx}=v_{yx}\\u_{yy}=-v_{xy}\end{cases}}$
Sottraendo membro a membro:
$u_{xx}+u_{yy}=0$
Quindi $\Delta u=0$, ovvero $u(x,y)$ è armonica in $\Omega$. Dove si può concludere che $v_{xy}=v_{yx}$ in virtù del teorema di Schwarz, essendo $f\in C^{\infty }(\mathbb {C} )$. Analogamente, derivando la prima delle equazioni di Cauchy-Riemann rispetto a $y$ e la seconda rispetto a $x$, si può provare che anche $v(x,y)$ è armonica in $\Omega$.

## Soluzioni fondamentali radiali del laplaciano

Un'importante semplificazione nello studio delle funzioni armoniche si ottiene andando a considerare funzioni armoniche radiali. In $\mathbb {R} ^{n}$ si considerano le funzioni armoniche tali per cui è vero che:
$u({\underline {x}})=v(\mid x\mid )=v(r)$
Da definizione si ha che $u$ deve essere $C^{2}(\Omega )$. Si nota che il passaggio alle funzioni armoniche radiali può far sorgere dei problemi in $x=0$, pertanto (almeno preliminarmente) si richiede che $x\neq 0$. Dovendo lavorare con funzioni radiali è necessario derivare l'espressione per il laplaciano:
$u_{x_{i}}={\frac {x_{i}}{\mid x\mid }}v^{\prime }(\mid x\mid ),\;\forall \,x\neq 0$
$u_{x_{i},x_{i}}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {x_{i}}{\mid x\mid }}v^{\prime }(\mid x\mid )\right)={\frac {1}{\mid x\mid }}v^{\prime }(\mid x\mid )-{\frac {x_{i}^{2}}{\mid x\mid ^{3}}}v^{\prime }(\mid x\mid )+{\frac {x_{i}^{2}}{\mid x\mid ^{2}}}v^{\prime \prime }(\mid x\mid )$
In definitiva:
${\begin{aligned}\Delta u&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}={\frac {v^{\prime }}{\mid x\mid }}\sum _{i=1}^{n}+{\frac {v^{\prime }}{(\mid x\mid )^{3}}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+{\frac {v^{\prime \prime }}{(\mid x\mid )^{2}}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\\&={\frac {n-1}{\mid x\mid }}v^{\prime }(\mid x\mid )+v^{\prime \prime }(\mid x\mid )\end{aligned}}$
La cosa interessante che si nota è che il passaggio alle funzioni armoniche radiali consente di riscrivere l'equazione di Laplace come un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine:
${\frac {n-1}{r}}v^{\prime }(r)+v^{\prime \prime }(r)=0,\;r\neq 0$
$\Rightarrow v^{\prime \prime }(r)={\frac {1-n}{r}}v^{\prime }(r)$
Da cui si ricava integrando una volta:
${\begin{aligned}\log(v^{\prime }(r))&={\frac {1-n}{\log }}{r}+C\\v^{\prime }(r)&={\frac {C}{r^{n-1}}}\end{aligned}}$
Integrando di nuovo e tornando in $x$ si ricavano le soluzioni fondamentali del laplaciano in $n=2,\,n=3$:
$u(x)={\begin{cases}c_{1}\log(\mid x\mid )+c_{2},\;n=2,x\neq 0\\\displaystyle {\frac {c_{1}}{(2-n)\mid x\mid ^{n-2}}}+c_{2},\;n=3,x\neq 0\end{cases}}$
In genere si utilizzano questi parametri (soprattutto nei problemi di elettromagnetismo):
$u(x)={\begin{cases}-\log(\mid x\mid )\;n=2\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi \mid x\mid }}\;n=3\end{cases}}$
L'oggetto di studio dei prossimi moduli dunque saranno le funzioni armoniche, le loro proprietà e la risoluzione esplicita delle equazioni di Laplace e di Poisson.