# L'ultimo teorema di Fermat/Andrew Wiles

L'ultimo teorema di Fermat
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* Pierre de FermatL'ultimo teorema di Fermat/Pierre de Fermat
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* Sophie GermainL'ultimo teorema di Fermat/Sophie Germain
* Gabriel Lamé e Augustin Luis CauchyL'ultimo teorema di Fermat/Gabriel Lamé e Augustin Luis Cauchy
* Paul WolfskehlL'ultimo teorema di Fermat/Paul Wolfskehl
* Andrew WilesL'ultimo teorema di Fermat/Andrew Wiles
* AppendiceL'ultimo teorema di Fermat/Appendice
* BibliografiaL'ultimo teorema di Fermat/Bibliografia
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Andrew Wiles nacque nel Regno Unito, l'11 aprile 1953. Fin da giovane dimostrò un forte interesse per gli enigmi e i problemi matematici. Quando era ancora un bambino amava andare nelle biblioteche pubbliche alla ricerca di libri contenenti problemi ed enigmi. All'età di 10 anni in una biblioteca trovò il libro The Last Problem di Eric Temple Bell. In questo libro l'autore descriveva il problema di Fermat partendo dai greci fino ad arrivare alle scoperte di fine ottocento. Il giovane Wiles rimase affascinato dal problema, un'equazione così semplice da enunciare non era stata ancora dimostrata dai più abili matematici del mondo ed allora il ragazzo iniziò a fantasticare sperando di trovare la dimostrazione elementare che era sfuggita agli altri.
Wiles ipotizzò che Fermat non avesse conoscenze in campo matematico superiori alle sue e quindi cercò una dimostrazione con le sue limitate conoscenze. Ovviamente non fu in grado di trovarla; il teorema di Fermat lo avrebbe perseguitato per buona parte della sua vita. Wiles divenne un matematico professionista e dovette temporaneamente abbandonare Fermat dato che quel problema era considerato troppo difficile per un giovane matematico e non si riteneva che potesse produrre matematica interessante nell'immediato. Il supervisore al dottorato di Wiles lo indirizzò verso lo studio delle curve ellittiche e questo fu la fortuna di Wiles, infatti queste furono fondamentali per dimostrare il teorema di Fermat.

## Le equazioni ellittiche e l'aritmetica modulare

Nello specifico Wiles analizzò alcune equazioni ellittiche nell'aritmetica modulare. Mentre l'aritmetica classica tratta un numero infinito di numeri, nell'aritmetica modulare si utilizza solo un sottoinsieme di valori. L'aritmetica modulare viene chiamata anche aritmetica dell'orologio, dato che questo utilizza una aritmetica modulare con modulo pari a 24. Tutti sanno infatti che se sono le 18 e se attendo 8 ore non ci si trova alle 26 ma alle 2, dato che quando l'orologio arriva a 24 si parte a contare da 0. L'aritmetica modulare è un'aritmetica completa come quella classica solo che i numeri utilizzati sono limitati. L'aritmetica modulare inoltre dispone di alcune proprietà molto interessanti che la rendono particolarmente utile in alcuni campi della matematica. Quando un matematico analizza una curva ellittica nell'aritmetica modulare estrae una serie di soluzioni che vengono chiamate L-serie. Wiles lavorò molto sulle equazioni ellittiche e sulle loro L-serie accumulando esperienza che gli sarebbe tornata utile in futuro.

## La congettura di Taniyama-Shimura

Verso la fine degli anni 50 i matematici giapponesi Yutaka Taniyama e Goro Shimura formularono una congettura nota come congettura di Taniyama-Shimura. Questa congettura affermava che ogni L-serie di un'equazione ellittica poteva essere associata ad una specifica M-serie di una forma modulare. In sostanza questa congettura asseriva che ogni forma modulare poteva essere messa in corrispondenza biunivoca con una curva ellittica o che, detto in altri termini, le forme modulari e le curve ellittiche erano lo stesso oggetto matematico visto da due punti di vista diversi.
Questa congettura dal punto di vista di un matematico è molto importante: infatti, se si fosse dimostrata vera, avrebbe voluto dire che problemi delle curve ellittiche vecchi di secoli si sarebbero potuti trasportare nelle loro forme modulari e affrontati con nuovi strumenti matematici. Ovviamente sarebbe valso anche l'opposto.

## Il convegno del 1984

Nel 1984 avvenne un fatto che rivoluzionò la vita di Wiles: durante un convegno in Germania Gerhard Frey dimostrò che chi avesse dimostrato la congettura di Taniyama-Shimura avrebbe automaticamente dimostrato anche l'ultimo teorema di Fermat. Frey dimostrò con una serie di passaggi non troppo complessi che un ipotetico controesempio al teorema di Fermat (cioè una soluzione valida dell'equazione a$^n$+b$^n$=c$^n$) si sarebbe potuta scrivere come un'equazione ellittica talmente particolare e atipica da non poter essere associata a nessuna M-serie di una forma modulare. Quindi dimostrando la congettura di Taniyama-Shimura si dimostrava che non esisteva questa equazione degenere e che quindi il teorema di Fermat era vero. In realtà quasi ogni cosa legata al teorema di Fermat non è semplice come sembra, tant'è che lo sviluppo di una dimostrazione che legasse in modo indissolubile il teorema di Fermat alla congettura Taniyama-Shimura fece penare per più di due anni i matematici di mezzo mondo, e difatti la dimostrazione iniziale di Frey era incompleta.

## Il lavoro in segretezza

Nel 1986 Wiles venne a conoscenza del fatto che il legame tra la congettura di Taniyama-Shimura e il teorema di Fermat era stato dimostrato. Questa sembrò a Wiles un'occasione d'oro, poteva far matematica di alto livello (cercando di dimostrare la congettura di Taniyama-Shimura) lavorando al problema della sua vita (il teorema di Fermat).
Wiles decise di seguire una strategia contraria alla filosofia imperante e decise di lavorare in assoluta segretezza. Mentre in molte discipline è comune quando si lavora ad un progetto mantenere uno stretto riserbo per evitare fughe di notizie e la perdita di potenziali brevetti, in matematica si segue l'approccio opposto. I matematici parlano fra di loro costantemente, il confrontarsi a vicenda è un ottimo metodo per affrontare problemi che sembrano insolubili e nella matematica teorica il problema del segreto industriale praticamente non esiste.
Wiles si preparò accuratamente, abbandonò tutte le incombenze non obbligatorie, prese una imponente ricerca che stava per pubblicare, la divise in un buon numero di articoli in modo da poter fornire un flusso costante di lavori mentre lavorava alla congettura e cercò di assimilare tutto il possibile sulle forme modulari e sulle equazioni ellittiche. Wiles rivelò il segreto del suo lavoro solamente a sua moglie.
Nei primi due anni di lavoro Wiles fece dei progressi utilizzando la teoria dei gruppi di Galois, sebbene fosse ancora lontano dalla soluzione. L'8 marzo 1988 Wiles rimase esterrefatto nel leggere sul Washington Post che il matematico giapponese Yoichi Miyaoka aveva dimostrato la congettura di Fermat. In realtà Miyaoka non aveva prodotto una dimostrazione compiuta ma utilizzando la geometria differenziale, una nuova branca della geometria aveva posto delle ottime basi per la soluzione definitiva. Purtroppo per Miyaoka la sua dimostrazione aveva una lacuna che sebbene all'inizio non sembrasse grave, in seguito si dimostrò essere catastrofica e rese impossibile provare il teorema di Fermat tramite quella tecnica.
Intanto Wiles, utilizzando un metodo chiamato Kolyvagin-Flach, riuscì ad associare una particolare equazione ellittica alla sua forma modulare. Il problema di Wiles era che il metodo non poteva essere esteso a tutte le equazioni ellittiche. Wiles allora classificò tutte le equazioni ellittiche in famiglie e modificò il metodo in modo da adattarlo alle singole famiglie. Wiles, per utilizzare il metodo Kolyvagin-Flach, si era dovuto inoltrare profondamente nella geometria algebrica e non essendo molto esperto decise infine di confidarsi con un fidato matematico esperto del settore. Quindi Wiles contattò Nick Katx, un matematico del suo dipartimento. Dato che la dimostrazione era molto complessa e voluminosa una discussione informale nello studio di Katx non sarebbe stata sufficiente per dipanare tutti i dubbi, i due decisero dunque di mascherare i loro incontri con delle lezioni post laurea. Wiles avrebbe tenuto le lezioni mentre Katx avrebbe partecipato tra il pubblico. Wiles svolse le lezioni in modo molto tecnico e noioso in modo da scoraggiare eventuali studenti difatti dopo poche settimane della classe era rimasto solo Katx. Wiles grazie all'aiuto di Katx ripassò la dimostrazione che effettivamente sembrava corretta. Intanto Wiles lavorando alacremente eliminava le famiglie rimaste e infine nel maggio del 1993 Wiles terminò la dimostrazione abbattendo anche l'ultima recalcitrante famiglia.

## La conferenza di Cambridge

A fine di giugno a Cambridge si tenne una conferenza sulle L-funzioni e l'aritmetica. In questo contesto, circondato da alcuni tra i più brillanti matematici del pianeta Wiles presenta in una serie di tre conferenze la sua dimostrazione. Durante le prime due conferenze Wiles presentò dei risultati sorprendenti e sostanziosi: molti matematici spettatori capirono che tale sequenze logiche potevano portate ad un unico risultato, e si presentarono per la ultima conferenza dotati di macchina fotografica per immortalare l'evento. Il 23 giugno si svolse la terza e ultima conferenza ed un lungo applauso concluse l'ultima conferenza di Wiles: il teorema di Fermat era stato dimostrato. I giornali di tutto il mondo parlarono dell'accaduto e in un pomeriggio Wiles divenne il matematico più famoso del pianeta. Wiles spedì la dimostrazione ad una rivista in modo che il direttore della rivista potesse sottoporre la dimostrazione alla verifica di una commissione qualificata. Il direttore delle rivista, vista l'importanza e la complessità della dimostrazione, suddivise il fascicolo in sei parti e le affidò ad altrettanti commissari. Questi mano a mano che analizzavano il manoscritto contattavano Wiles per ottenere delucidazioni su passaggi poco chiari e su presunti errori. Uno dei commissari era Katx, lo stesso matematico che Wiles aveva contattato per verificare la corretta applicazione del metodo Kolyvagin-Flach.
Purtroppo per Wiles, Katx individuò un errore. Inizialmente sembrava uno dei tanti errori di poco conto che costellano una complessa dimostrazione. Questi errori sono paragonabili a sviste e usualmente vengono corrette nel giro di qualche ora ma quell'errore pur essendo molto sottile era anche molto insidioso, infatti Wiles non riusciva ad eliminarlo. Con il passare del tempo notizie sempre più insistenti della lacuna si diffusero nella comunità di matematici e anche fuori arrivando a ottenere articoli su giornali generalisti come il New York Times. Infine Wiles attraverso la posta elettronica comunicò alla comunità matematica che effettivamente la dimostrazione aveva una lacuna ma che era fiducioso di poterla sistemare in poche settimane. I mesi passavano e Wiles non riusciva a risolvere il problema mentre sempre più matematici chiedevano di poter visionare la dimostrazione per poter correggere l'errore e quindi ricevere una parte della fama derivante dal teorema di Fermat. Wiles non voleva distribuire la dimostrazione anche perché sapeva che il flusso di domande e chiarimenti sulla dimostrazione gli avrebbe impedito di lavorare. Su consiglio di un amico decise di farsi aiutare da un esperto del metodo Kolyvagin-Flach e quindi contattò Richard Taylor. Taylor era uno dei revisori della dimostrazione ed era un ex-studente di Wiles quindi era la persona perfetta, conosceva il problema e aveva la fiducia di Wiles.
Il 3 aprile 1994 successe l'incredibile, Noam Elkies annunciò di aver individuato un controesempio valido al teorema di Fermat. Quindi la dimostrazione di Wiles era sbagliata per via della natura stessa della matematica e nessuna tecnica l'avrebbe potuta salvare. Per fortuna di Wiles, si scoprì quasi subito che era un pesce d'aprile e che per via dei fusi orari e del copia e incolla via e-mail aveva una data sbagliata. Intanto Wiles e Taylor lavoravano alacremente al problema ma senza ottenere nessun miglioramento apprezzabile. Verso la fine dell'estate Wiles era demoralizzato al tal punto da proporre a Taylor di dichiarare pubblicamente la sconfitta, ma Taylor lo convinse a perseverare fino a fine settembre almeno.
Il 19 settembre Wiles stava analizzando il metodo Kolyvagin-Flach cercando di capire perché il metodo fallisse quando si rese conto che, sebbene il metodo non fosse sufficiente per ottenere una dimostrazione, permetteva ad un metodo chiamato di Iwasawa di funzionare. Il metodo di Iwasawa era stato utilizzato inizialmente da Wiles per la dimostrazione ma era stato abbandonato in quanto insufficiente. Lo stesso metodo, invece, utilizzato in congiunzione con il metodo Kolyvagin-Flach, forniva una dimostrazione valida.

## La dimostrazione

Il 25 ottobre Wiles diede alle stampe due manoscritti, nel primo vi era la dimostrazione del teorema di Fermat e portava la sua firma. Il secondo manoscritto specificava alcune proprietà di alcune curve ellittiche ed era firmato da Wiles e Taylor. Il secondo manoscritto serviva a dimostrare un passaggio fondamentale del primo manoscritto. La pubblicazione dei manoscritti mise la parola fine a una delle più complesse e difficili dimostrazioni che la matematica abbia mai sviluppato. È da notare che Wiles e Taylor non dimostrarono totalmente la congettura Taniyama-Shimura; difatti, la dimostrazione per tutti i casi arrivò nel 1999 da Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, e lo stesso Taylor, che partendo dal lavoro di Wiles dimostrarono incrementalmente i casi rimanenti.