# Equazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Per la risoluzione delle equazioni presentate all'inizio del corso è necessario introdurre un nuovo strumento di calcolo: la trasformata di Fourier. Innanzitutto si nota che presa la funzione $e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$, la sua derivata rispetto alla componente $x_{j}$ ha un comportamento piuttosto particolare, infatti:
${\frac {\partial e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}}{\partial x_{j}}}=ik_{j}e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$
Ovvero, la derivata parziale si comporta in maniera molto semplice e si osserva che rispetto a essa la funzione $e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$ è in realtà una autofunzione, con autovalore associato pari a $ik_{j}$. Consideriamo ora un elemento $\alpha \in \mathbb {N} ^{n},\mathbb {N} =\left\lbrace 0,1,2,\dots \right\rbrace$, che corrisponde a una stringa di n numeri che chiameremo multiindice. La quantità
$\mid \alpha \mid =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}$
si dice modulo del multiindice $\alpha$. Inoltre si ha che:
$\alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\dots \alpha _{n}!$
La notazione dei multiindici è estremamente importante in analisi matematica, ed è utilizzata per indicare particolari elementi, le derivate parziali e gli operatori differenziali:
$\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\xi _{2}^{\alpha _{2}}\dots \xi _{n}^{\alpha _{n}},\;\xi \in \mathbb {R} ^{n}$
$\partial ^{\alpha }={\frac {\partial ^{\mid \alpha \mid }}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\dots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}$
${\mathcal {P}}(\partial )=\sum _{\mid \alpha \mid \leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }$
Un esempio di operatore differenziale agente su $e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$:
${\mathcal {P}}(\partial )e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}=\sum _{\mid \alpha \mid \leq n}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}=$
$=\sum c_{\alpha }(ik)^{\alpha }e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}={\mathcal {P}}(ik)e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$
Prendiamo ad esempio il laplaciano: esso è un operatore differenziale di quelli appena definiti. Dunque, posto ${\mathcal {P}}(\partial )=-\Delta$, si ha:
$-\Delta \left(e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}\right)=-\left[(ik_{1})^{2}+(ik_{2})^{2}+\dots +(ik_{n})^{2}\right]e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}=$
$=\left[k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+\dots +k_{n}^{2}\right]e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}=\mid {\underline {k}}\mid ^{2}e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$
Quindi $e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}$ (onde piane) sono particolari autofunzioni dell'operatore laplaciano; le sfruttiamo per definire $\Psi (x)$, combinazione lineare di onde piane:
$\Psi (x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}A(k)dk,\;A(k){\text{ funzione peso}}$
L'integrale sopra definito altro non è che la trasformata di Fourier di $A(k)$. Applichiamo l'operatore ${\mathcal {P}}(\partial )$ alla $\Psi (x)$:
${\mathcal {P}}(\partial )\Psi (x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {P}}(\partial )e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}A(k)dk=$
$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {P}}(ik)e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}A(k)dk$
Dunque l'effetto di ${\mathcal {P}}(\partial )$ è unicamente quello di modificare il peso di $\Psi (x)$ da $A(k)$ a ${\mathcal {P}}(ik)A(k)$. Nel caso in cui ${\mathcal {P}}(\partial )=-\Delta$ si ha che:
$-\Delta \Psi (x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mid k\mid ^{2}A(k)e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}dk$

## Note

* ↑ Nell'esempio qui proposto ${\mathcal {P}}$ rappresenta un polinomio differenziale, $m$ il massimo ordine di derivazione e $c_{\alpha }$ degli opportuni coefficienti complessi, non necessariamente costanti.