# Fondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

Fondamenti di automatica2
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Il comportamento dinamico di un sistema LTI a tempo continuo è descritto dalle equazioni di ingresso-stato-uscita:
    ${\begin{cases}{\dot {x}}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+Bu\left(t\right)\\y\left(t\right)=Cx\left(t\right)+Du\left(t\right)\end{cases}}$

## Movimento dello stato $x\left(t\right)$

    $x\left(t\right)=x_{\ell }\left(t\right)+x_{f}\left(t\right)$
* movimento libero $x_{\ell }\left(t\right)$: movimento dello stato con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale $x\left(0^{-}\right)$;
* movimento forzato $x_{f}\left(t\right)$: movimento dello stato di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso $u\left(t\right)$.

## Movimento dell'uscita $y\left(t\right)$ (risposta del sistema)

    $y\left(t\right)=y_{\ell }\left(t\right)+y_{f}\left(t\right)$
* risposta libera $y_{\ell }\left(t\right)$: movimento dell'uscita con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale $x\left(0^{-}\right)$;
* risposta forzata $y_{f}\left(t\right)$: movimento dell'uscita di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso $u\left(t\right)$.

## Analisi nel dominio del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
### Formula di Lagrange

    ${\begin{cases}x\left(t\right)=\underbrace {e^{At}x\left(0^{-}\right)} _{x_{\ell }\left(t\right)}+\underbrace {\int _{0}^{t}e^{A\left(t-\tau \right)}Bu\left(\tau \right)d\tau } _{x_{f}\left(t\right)}\\y\left(t\right)=\underbrace {Ce^{At}x\left(0^{-}\right)} _{y_{\ell }\left(t\right)}+\underbrace {C\int _{0}^{t}e^{A\left(t-\tau \right)}Bu\left(\tau \right)d\tau +Du\left(t\right)} _{y_{f}\left(t\right)}\end{cases}}$

## Analisi nel dominio di Laplace di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

La soluzione nel dominio della frequenza si ottiene trasformando le equazioni di ingresso-stato-uscita nel dominio di Laplace e calcolando esplicitamente $X\left(s\right)$ e $Y\left(s\right)$:
    ${\begin{cases}sX\left(s\right)-x\left(0^{-}\right)=AX\left(s\right)+BU\left(s\right)\Rightarrow X\left(s\right)=\underbrace {\overbrace {{\left(sI-A\right)}^{-1}} ^{H_{0}^{x}\left(s\right)}x\left(0^{-}\right)} _{X_{\ell }\left(s\right)}+\underbrace {\overbrace {{\left(sI-A\right)}^{-1}B} ^{H_{f}^{x}\left(s\right)}U\left(s\right)} _{X_{f}\left(s\right)}=H_{0}^{x}\left(s\right)x\left(0^{-}\right)+H_{f}^{x}\left(s\right)U\left(s\right)\\Y\left(s\right)=CX\left(s\right)+DU\left(s\right)=\underbrace {\overbrace {C{\left(sI-A\right)}^{-1}} ^{H_{0}\left(s\right)}x\left(0^{-}\right)} _{Y_{\ell }\left(s\right)}+\underbrace {\overbrace {\left[C{\left(sI-A\right)}^{-1}B+D\right]} ^{H\left(s\right)}U\left(s\right)} _{Y_{f}\left(s\right)}=H_{0}\left(s\right)x\left(0^{-}\right)+H\left(s\right)U\left(s\right)\end{cases}}$
dove:
* la matrice $H\left(s\right)$ è detta matrice di trasferimento;
* la matrice $sI_{n}-A$ deve avere il determinante diverso da 0 perché sia invertibile, quindi non sono ammessi al più $n$ valori distinti di $s$ che sono gli zeri del polinomio caratteristico di grado $n$:
    $\det \left(sI_{n}-A\right)=s^{n}+\alpha _{n-1}s^{n-1}+\cdots +\alpha _{1}s+\alpha _{0}$
* le matrici $H_{0}^{x}\left(s\right)$, $H_{f}^{x}\left(s\right)$, $H_{0}\left(s\right)$ e $H\left(s\right)$ sono matrici complesse i cui elementi sono funzioni razionali fratte (rapporto di polinomi) nella variabile complessa $s$ (a causa della matrice inversa).

### Funzione di trasferimento

Per un sistema a $p$ ingressi e $q$ uscite, la matrice di trasferimento $H\left(s\right)$ è costituita da una matrice a $q$ righe e $p$ colonne di funzioni razionali della variabile $s$:
    ${\begin{bmatrix}Y_{1}\left(s\right)\\Y_{2}\left(s\right)\\\vdots \\Y_{q}\left(s\right)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{11}\left(s\right)&H_{12}\left(s\right)&\cdots &H_{1p}\left(s\right)\\H_{21}\left(s\right)&H_{22}\left(s\right)&\cdots &H_{2p}\left(s\right)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\H_{q1}\left(s\right)&H_{q2}\left(s\right)&\cdots &H_{qp}\left(s\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\left(s\right)\\U_{2}\left(s\right)\\\vdots \\U_{p}\left(s\right)\end{bmatrix}}$
La funzione di trasferimento tra l'uscita $Y_{i}$ e l'ingresso $U_{j}$ è calcolabile supponendo nulli tutti gli altri ingressi:
    $Y_{i}\left(s\right)=H_{i1}\left(s\right)U_{1}\left(s\right)+H_{i2}\left(s\right)U_{2}\left(s\right)+\cdots +H_{ip}\left(s\right)U_{p}\left(s\right)=\sum _{j=1}^{p}H_{ij}\left(s\right)U_{j}\left(s\right)\Rightarrow H_{ij}\left(s\right)={\left.{\frac {Y_{i}}{U_{j}}}\right|}_{\forall k:\;U_{k}\neq 0}$
Se il sistema è a un ingresso ($p=1$) e un'uscita ($q=1$) (SISO), allora la matrice di trasferimento $H\left(s\right)$ si dice funzione di trasferimento.

#### Forma polinomiale

    $H\left(s\right)={\frac {N_{H}\left(s\right)}{D_{H}\left(s\right)}}={\frac {b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}},\quad m\leq n$
In un sistema fisicamente realizzabile la funzione di trasferimento $H\left(s\right)$ è strettamente propria: ha un numero di zeri inferiore al numero di poli ($m<n$).

#### Forma "zeri e poli"

    $H\left(s\right)=K_{\infty }{\frac {\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right)\cdots \left(s-z_{m}\right)}{\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right)\cdots \left(s-p_{n}\right)}}$
dove $K_{\infty }$ è il guadagno infinito e dipende da $n-m$ (eccedenza dei poli rispetto agli zeri):
    $K_{\infty }=\lim _{s\to \infty }s^{n-m}H\left(s\right)$

#### Forma fattorizzata di Bode

    $H\left(s\right)=K{\frac {\left({s \over z_{1}}-1\right)\left({s \over z_{2}}-1\right)\cdots \left({s \over z_{m}}-1\right)}{\left({s \over p_{1}}-1\right)\left({s \over p_{2}}-1\right)\cdots \left({s \over p_{n}}-1\right)}}$

#### Rappresentazione di singolarità complesse

Per ogni radice complessa $s_{1}$ esiste sempre la radice complessa coniugata $s_{2}$:
    $\left(s-s_{1}\right)\left(s-s_{2}\right)=\left(s-\sigma _{0}-j\omega _{0}\right)\left(s-\sigma _{0}+j\omega _{0}\right)=s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}$
dove:
* la pulsazione naturale $\omega _{n}$ è la distanza dall'origine:
    $\omega _{n}={\sqrt {{\sigma _{0}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}}}$
* lo smorzamento $\zeta$ è il seno dell'angolo $\theta$ formato con l'asse immaginario:
    $\zeta =\sin \theta$
** se lo smorzamento $\zeta$ è positivo, le radici complesse si trovano nel semipiano di sinistra;
** se lo smorzamento $\zeta$ è negativo, le radici complesse si trovano nel semipiano di destra.

##### Forma "zeri e poli"

Le radici complesse coniugate si scrivono preferibilmente nella forma con pulsazione naturale e smorzamento.