# Meccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton

Meccanica analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Meccanica lagrangiana
* Introduzione alla meccanica lagrangianaMeccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
* Vincoli, virtualismi, variabili lagrangianeMeccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
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* La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
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* Punti di equilibrioMeccanica analitica/Punti di equilibrio
* Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabiliMeccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili
Meccanica hamiltoniana
* Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
* Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
* Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
* Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
* Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
* Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
* Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
* Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
* Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
* Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
* Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
* Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
* Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
* La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
* La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
* Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
* Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
* Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
* Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
* Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
* Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
* Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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La meccanica hamiltoniana è un'altra riformulazione della meccanica, diversa sia dalla formulazione newtoniana che da quella lagrangiana, pur partendo però dai risultati raggiunti da questa.
Il formalismo hamiltoniano è, come vedremo, uno strumento molto potente; a differenza di quello lagrangiano, la cui potenza stava nel facilitare lo studio dinamico di un sistema, il formalismo hamiltoniano fornisce un altro punto di vista sulla fisica e sul mondo, cambiando totalmente il modo di vedere le cose. Vedremo pian piano come questo sia possibile, anche senza notevoli difficoltà.
Nella meccanica lagrangiana abbiamo visto che le variabili di interesse erano le coordinate lagrangiane $q_{h}$ e le loro derivate, ovvero come evolvono nel tempo, ${\dot {q_{h}}}$. La meccanica hamiltoniana, invece, prende come variabili di interesse sempre le stesse $q_{h}$, ma sostituisce le ${\dot {q_{h}}}$ con i rispettivi momenti coniugati $p_{h}$. Per riuscire a sostituire la dipendenza dalle ${\dot {q_{h}}}$ con la dipendenza dai $p_{h}$ dobbiamo compiere una trasformazione, che viene generalmente chiamata trasformata di Legendre.
Per poter passare dalle ${\dot {q_{h}}}$ ai $p_{h}$ occorre poter scrivere:
${\dot {q_{h}}}=f_{h}(q/p/t)$
quando scriviamo una dipendenza nella forma $f(x/y/z)$, intendiamo che le variabili $x,y,z$ variano negli indici $h=1,\cdots ,n$. Ovviamente, il tempo non ha indici ed è coordinata assoluta. Attraverso questa trasformazione, e partendo dall'energia generalizzata:
${\mathcal {H}}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\dot {q_{h}}}-L=\sum _{h=1}^{n}p_{h}{\dot {q_{h}}}-L$
Dove la lagrangiana è funzione $L(q/{\dot {q}}/t)$. Se invece adesso passo da ${\dot {q_{h}}}$ a $f(q/p/t)$, ottengo:
${\mathcal {H}}(q/{\dot {q}}/t)\Rightarrow {\mathcal {H}}(q/f(q/p/t)/t)$
Questa è la definizione di hamiltoniana, la funzione fondamentale del formalismo hamiltoniano, che sostituisce l'energia generalizzata e che descrive l'evoluzione del sistema fisico. La sua espressione generale è:
$H(q/p/t)=\sum _{h=1}^{n}p_{h}f_{h}(q/p/t)-L(q/f(q/p/t)/t)$
Vediamo ora come è possibile descrivere il sistema a partire dall'hamiltoniana. Studiamone le variazioni rispetto a un $q_{l}$ fissato; l'indice $q_{h}$ è l'indice muto della sommatoria:
${\frac {\partial H}{\partial q_{l}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{h}}{\partial q_{l}}}p_{h}-{\frac {\partial L}{\partial q_{l}}}-\sum _{h=1}^{n}\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}} _{p_{h}}{\frac {\partial L}{\partial q_{l}}}=-{\frac {\partial L}{\partial q_{l}}}$
Dalle equazioni di Eulero-Lagrange, sappiamo che ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{h}}}$; sostituendo nell'espressione sopra:
${\frac {\partial H}{\partial q_{l}}}=-{\frac {d}{dt}}\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{l}}}}} _{p_{l}}=-{\frac {d}{dt}}p_{l}=-{\dot {p_{l}}}$
Adesso vediamo la variazione rispetto al momento coniugato:
${\frac {\partial H}{\partial p_{l}}}=f_{l}(q/p/t)+\sum _{h=1}^{n}p_{h}{\frac {\partial f_{h}}{\partial p_{l}}}-\sum _{h=1}^{n}\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}} _{p_{l}}{\frac {\partial f_{h}}{\partial p_{l}}}=f_{l}(q/p/t)={\dot {q_{l}}}$
Otteniamo le cosiddette equazioni canoniche di Hamilton:
${\begin{cases}&{\dot {p_{l}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{l}}}\\&{\dot {q_{l}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{l}}}\end{cases}}$
Un sistema che compie il suo moto naturale rispetta queste equazioni differenziali; come vedremo, si nascondono molte cose dietro le equazioni canoniche.