# Meccanica analitica/Trasformazioni canoniche

Meccanica analitica
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## Trasformazioni canoniche e condizione di Lie

Usciamo per un momento dalla descrizione quantitativa dello stato dinamico di un sistema fisico, tornando alle variabili attraverso cui esso è descritto. Sappiamo che è possibile scrivere, per un sistema, la funzione hamiltoniana $H(q/p/t)$ e si può descrivere l'evoluzione temporale del sistema attraverso le equazioni canoniche, che sono un set di $2n$ equazioni differenziali nelle variabili canoniche.
Se invece volessimo cambiare set di variabili canoniche, passando alle nuove variabili $(Q_{1},\cdots ,Q_{n},P_{1},\cdots ,P_{n})$, in che modo possiamo esser certi che queste rispettino ancora le equazioni canoniche di Hamilton? Purtroppo, non c'è un modo per sapere immediatamente se questo accade; necessitiamo di trovare una trasformazione che ci faccia passare dalle vecchie variabili, in cui valgono le equazioni canoniche, alle nuove, mantenendo invariata la struttura delle equazioni canoniche, ovvero una trasformazione dalle $(q,p)$ alle $(Q,P)$ che gode della proprietà che esista una funzione $H'$ tale che questa descriva l'evoluzione temporale del sistema descritto da $(Q,P)$. Se esiste, questa trasformazione prende il nome di trasformazione canonica:
$(q,p)\leftrightarrow (Q,P)$
Questa trasformazione deve quindi essere biunivoca e devono valere le equazioni canoniche sia nelle variabili $(q,p)$ descritte con la funzione $H$, sia nelle nuove variabili $(Q,P)$ descritte dalla funzione $H'$. Un caso particolare è quanto $H(q(Q,P),p(Q,P))=H'(Q,P)$: in questo caso la trasformazione si dice completamente canonica. Affinché quindi una trasformazione sia canonica deve essere il determinante jacobiano della trasformazione non nullo, ovvero:
$\det \left({\frac {\partial (Q,P)}{\partial (q,p)}}\right)=\det {\begin{Vmatrix}{\frac {\partial q_{1}}{\partial Q_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{1}}}&{\frac {\partial p_{1}}{\partial P_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{1}}}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\{\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{n}}}&\cdots &{\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{n}}}&{\frac {\partial p_{1}}{\partial P_{n}}}&\cdots &{\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{n}}}\end{Vmatrix}}\neq 0$
Detto questo, quale condizione deve soddisfare la trasformazione affinché sia canonica?

### Teorema (condizione di Lie)

Affinché una trasformazione sia canonica, deve valere la condizione di Lie:
$\sum _{h=1}^{n}p_{h}dq_{h}\rightarrow \,\lambda \left(\sum _{h=1}^{n}P_{h}dQ_{h}\right)+\Psi dt+dF$
Questa condizione è necessaria e sufficiente affinché la trasformazione sia canonica. Il coefficiente $\lambda \in \mathbb {R}$ è un numero reale e le due funzioni $\psi ,F$ sono due qualsiasi funzioni dello spazio delle fasi, ovvero funzioni delle variabili $\psi (q/p/t)$ e $F(q/p/t)$.
Osserviamo come la costante $\lambda$ tenga conto delle dimensioni fisiche: nel passaggio dalle $(q,p)$ alle $(Q,P)$ si può passare da qualsiasi dimensione fisica a qualsiasi altra, e la costante $\lambda$ sistema le dimensioni affinché la trasformazione abbia senso dimensionalmente. La condizione di Lie può essere scritta anche nella forma seguente:
$\sum _{h=1}^{n}p_{h}dq_{h}-\lambda \sum _{h=1}^{n}P_{h}dQ_{h}-\Psi dt=dF$
In questo caso notiamo come $dF$ sia un differenziale esatto. La funzione $F$ viene chiamata funzione generatrice della trasformazione canonica.

### Dimostrazione

Dimostriamo solo che la condizione di Lie è sufficiente. Ricordiamo che, se le variabili $(q,p)$ soddisfano le equazioni di Hamilton, queste rendono minimo il funzionale azione ampliata:
$\delta A'=\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left(\sum _{h=1}^{n}p_{h}{\dot {q}}_{h}-H\right)=0$
Nell'espressione del funzionale, sostituiamo al posto di $\sum _{h=1}^{n}p_{h}{\dot {q}}_{h}$ la condizione di Lie; per semplicità di notazione, consideriamo $n=1$, un solo grado di libertà; nel caso generale la dimostrazione è identica, basta tener conto della sommatoria.
$\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left(P{\dot {Q}}-H+\Psi +{\frac {dF}{dt}}\right)$
Chiamo $-(H-\Psi )=H'$; considerato questo:
$\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left(P{\dot {Q}}-H'+{\frac {dF}{dt}}\right)=\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt(P{\dot {Q}}-H')+{\Bigg\delta F{\Bigg ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$
L'ultimo membro dell'addizione è dato dal teorema fondamentale del calcolo: $\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {dF}{dt}}=\delta F{\Bigg |}_{t_{0}}^{t_{1}}$. Consideriamo proprio questo valore. Per l'azione ampliata valgono $\delta q_{0}=\delta q_{1}=0$. Se $\delta F$ è una funzione solo delle $q$, allora $\delta F=0$. Ma se fosse funzione anche delle $p$, studiando l'azione non ampliata, in cui anche $\delta p_{0}=\delta p_{1}=0$, allora si ha che $\delta F=0$ in qualsiasi caso. Allora, il funzionale azione ampliata nelle nuove variabili hamiltoniane è stazionario:
$\delta A'=\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt(P{\dot {Q}}-H')=0$
Quindi le nuove variabili rispettano le equazioni canoniche di Hamilton.
Il calcolo della funzione generatrice di una trasformazione canonica è identico al verificare che un campo vettoriale sia conservativo o meno.

## Funzioni generatrici notevoli

Studieremo ora delle trasformazioni canoniche con diverse funzioni generatrici note. Consideriamo una generica trasformazione $(q,p)\to (Q,P)$, questa sarà canoniche se esiste $H'$ tale che:
${\begin{aligned}&{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}\\&{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}&{\dot {Q}}={\frac {\partial H'}{\partial P}}\\&{\dot {P}}=-{\frac {\partial H'}{\partial Q}}\end{aligned}}$
Inoltre, la condizione necessaria e sufficiente affinché sia canonica è la condizione di Lie:
$\sum _{h=1}^{n}p_{h}dq_{h}=\sum _{h=1}^{n}P_{h}dQ_{h}+\Psi dt+dF$
Consideriamo allora diverse funzioni generatrici. Partiamo dal primo caso, quello in $F_{1}(q,Q,t)$, ovvero funzione solo delle $q$ e $Q$. Da qui in avanti considereremo un solo grado di libertà, con l'osservazione che in più gradi basta aggiungere la sommatoria. Scriviamoci le nuove variabili in funzione delle vecchie:
$Q(q,p,t)\ P(q,p,t)$
Allora possiamo scrivere il differenziale esatto $dF_{1}$:
$dF_{1}={\frac {\partial F_{1}}{\partial q}}dq+{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}}dQ+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}dt$
Sostituendolo nella condizione di Lie:
$pdq-PdQ=\Psi dt+{\frac {\partial F_{1}}{\partial q}}dq+{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}}dQ+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}dt$
Supponiamo che sia soddisfatta la condizione di Lie; devono quindi valere le condizioni:
${\begin{aligned}&p={\frac {\partial F_{1}}{\partial q}}\\&P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}}\\&\Psi =-{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}$
Ricordando che $H'=H-\Psi$ abbiamo che: $H'=H+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}$. Le tre relazioni scritte qui sopra possono essere sfruttate per esplicitare le nuove variabili in funzione delle vecchie.
Cambiamo funzione generatrice e prendiamo $F_{2}(q,P,t)$, funzione delle $q$ e delle $P$. Per far ciò, partiamo da $F_{1}$ e sostituiamo le $Q$ con le $P$ attraverso la trasformata di Legendre:
$F_{2}(q,P,t)=F_{1}(q,Q,t)+PQ$
Da cui otteniamo che:
$dF_{1}=dF_{2}-(PdQ+QdP)$
Sostituendolo nella condizione di Lie (scritta sopra lì):
$pdq-PdQ=\Psi dt+dF_{2}-(PdQ+QdP)$
Otteniamo la nuova condizione
$dF_{2}=pdq-Qdp-\Psi dt$
Esplicitando $dF_{2}$:
${\frac {\partial F_{2}}{\partial q}}dq+{\frac {\partial F_{2}}{\partial P}}dP+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}dt+\Psi dt=pdq-QdP$
Otteniamo le nuove relazioni:
${\begin{aligned}&p={\frac {\partial F_{2}}{\partial q}}\\&Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P}}\\&\Psi =-{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}$
Passiamo adesso alla funzione $F_{3}(p,Q,t)$; con la trasformata di Legendre, vale:
$F_{3}(p,Q,t)=F_{1}-pq$
Da cui:
$dF_{1}=dF_{3}+(pdq+qdp)$
Sostituendo nella condizione di Lie:
$pdq-PdQ=\Psi dt+dF_{1}+pdq\,qdp$
Otteniamo l'espressione:
${\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}dp+{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}dQ+{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}dt+\Psi dt=-qdp-PdQ$
Le relazioni riguardo questa funzione generatrice sono:
${\begin{aligned}&q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}\\&P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}\\&\Psi =-{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}$
La quarta combinazione di variabili si riassume nella funzione $F_{4}(p,P,t)$. Abbiamo:
$F_{4}(p,P,t)=F_{1}+(-pq+PQ$
Il differenziale è:
$dF_{1}=dF_{4}+pdq+qdp-PdQ-QdP$
Sostituendo come al solito nella condizione di Lie:
${\begin{aligned}pdq-PdQ&=\Psi dt+dF_{4}+pdq+qdp-PdQ-QdP\\QdP-PdQ&=\Psi dt+dF_{4}=\Psi dt+{\frac {\partial F_{4}}{\partial dp}}dp+{\frac {\partial F_{4}}{\partial P}}dP+{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}dt\end{aligned}}$
Otteniamo le relazioni:
${\begin{aligned}&q=-{\frac {\partial F_{4}}{\partial p}}\\&Q={\frac {\partial F_{4}}{\partial P}}\\&\Psi =H'-H=-{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}$

## Esempi di trasformazioni canoniche

Diamo qualche esempio di trasformazione canonica e vediamone le caratteristiche; ricordiamo che, per calcolare la funzione generatrice di una trasformazione canonica, il procedimento da usare è lo stesso del dover verificare che un campo sia conservativo o meno. Vediamo un paio di esempi.
Esempio 1. Sia la funzione generatrice $F_{1}(q,Q)=\sum _{l=1}^{n}q_{l}Q_{l}$; valgono allora:
${\begin{aligned}&p_{h}={\frac {\partial F_{1}}{\partial q_{h}}}=Q_{h}\\&P_{h}=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q_{h}}}=-q_{h}&{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}=0=\Psi \ \Rightarrow \,H'=H\end{aligned}}$
Abbiamo quindi che le due hamiltoniane sono le stesse e sono relazionate tra loro come segue:
$H'=H(q(P,Q),p(Q,P))=H(-P,Q)$
Le equazioni canoniche sono inoltre:
$\left|{\begin{aligned}&{\dot {q}}_{h}={\frac {\partial H}{\partial p_{h}}}=-{\dot {P}}_{h}\\&{\dot {p}}_{h}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}={\dot {Q}}\end{aligned}}\right.\qquad \left|{\begin{aligned}&{\dot {P}}_{h}=-{\frac {\partial H'}{\partial Q_{h}}}\\&{\dot {Q}}_{h}={\frac {\partial H'}{\partial P_{h}}}\end{aligned}}\right.$
Ovvero questa trasformazione porta le coordinate canoniche nei rispettivi momenti coniugati e viceversa. Questa è un'altra prova della flessibilità del formalismo hamiltoniano.
Esempio 2. Consideriamo ora la funzione generatrice $F_{1}(q,Q,t)$, e l'evoluzione temporale di un sistema fisico. Se prendiamo come funzione generatrice la funzione principale di Hamilton, ponendo $Q=q_{0}$ e $t_{0}=0$, ovvero $F_{1}(q,Q,t)=S(q,Q,t)$, definita come:
$F_{1}=\int _{0}^{t}d\tau {\big{\dot {q}}p-H(q,p,t){\big )}$
Sappiamo che la funzione principale soddisfa le equazioni di Hamilton-Jacobi, ma che deve anche soddisfare le equazioni della funzione generatrice $F_{1}$; abbiamo quindi che, ricordando ${\frac {\partial S}{\partial t}}=-H$:
$H'-H={\frac {\partial S}{\partial t}}\ \rightarrow H'-H=-H\,\rightarrow H'=0$
Quindi le nuove variabili canoniche sono costanti del moto, ovvero:
${\begin{aligned}&{\dot {Q}}={\frac {\partial H'}{\partial P}}=0\\&{\dot {P}}=-{\frac {\partial H'}{\partial Q}}=0\end{aligned}}$
In generale, per un sistema la cui hamiltoniana è indipendente dal tempo, abbiamo che l'evoluzione temporale del sistema è una trasformazione canonica con funzione generatrice la funzione principale di Hamilton. Questo punto sarà molto importante in seguito.