# Meccanica quantistica relativistica/Sistemi di particelle identiche

Meccanica quantistica relativistica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Unificazione della meccanica quantistica e della relatività
* Impostazione del problemaMeccanica quantistica relativistica/Impostazione del problema
* Equazione di Klein-GordonMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Klein-Gordon
* Equazione di DiracMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Dirac
Equazione di Dirac: sviluppi e conseguenze
* Formalismo dei bispinori e interazione elettromagneticaMeccanica quantistica relativistica/Formalismo dei bispinori e interazione elettromagnetica
* Bispinori: soluzioni a massa nullaMeccanica quantistica relativistica/Bispinori: soluzioni a massa nulla
* Teoria di Dirac e antiparticelleMeccanica quantistica relativistica/Teoria di Dirac e antiparticelle
* Invarianza per trasformazioniMeccanica quantistica relativistica/Invarianza per trasformazioni
Riscrittura delle equazioni di Maxwell
* Formulazione covariante delle equazioni di MaxwellMeccanica quantistica relativistica/Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell
* Equazioni di Maxwell in forma quantisticaMeccanica quantistica relativistica/Equazioni di Maxwell in forma quantistica
* Operatore energia, impulso e momento angolareMeccanica quantistica relativistica/Operatore energia, impulso e momento angolare
Sistemi di particelle identiche
* IntroduzioneMeccanica quantistica relativistica/Sistemi di particelle identiche
* Formalismo di seconda quantizzazione per bosoniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per bosoni
* Formalismo di seconda quantizzazione per fermioniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per fermioni
Elettrodinamica quantistica
* Quantizzazione del campo elettromagneticoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettromagnetico
* Quantizzazione del campo elettronicoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettronico
* Quantizzazione dell'interazione fotone-elettroneMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione dell'interazione fotone-elettrone
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Si consideri un sistema di particelle identiche e siano dati i due eventi:
* evento A: la particella 1 si trova nella posizione 1, la particella 2 nella posizione 2,
* evento B: la particella 1 si trova nella posizione 2, la particella 2 nella posizione 1
In meccanica quantistica, non potendosi definire una traiettoria, non è possibile distinguere gli eventi A e B, per cui indicate le rispettive funzioni d'onda con $\varphi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})$ e $\varphi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})$ deve risultare:
$|\varphi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})|^{2}=|\varphi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})|^{2}$
da cui discende immediatamente che:
$\varphi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\pm \varphi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})$
cioè le due funzioni d'onda devono possedere proprietà definite di simmetria nello scambio delle due particelle.
Le particelle che hanno il segno meno sono dette fermioni, mentre quelle che soddisfano il segno positivo sono dette bosoni.
Ne consegue subito che due fermioni non possono trovarsi nello stesso posto contemporaneamente in quanto risulta:
$\varphi ({\vec {r}},{\vec {r}})=-\varphi ({\vec {r}},{\vec {r}})\qquad \Rightarrow \qquad \varphi ({\vec {r}},{\vec {r}})=0$
Più in generale quindi la funzione d'onda dei fermioni deve avere la forma:
$\varphi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\varphi _{\alpha }({\vec {r}}_{1})\varphi _{\beta }({\vec {r}}_{2})-\varphi _{\alpha }({\vec {r}}_{2})\varphi _{\beta }({\vec {r}}_{1})$
Dove le $\varphi _{\alpha }$ e $\varphi _{\beta }$ sono le funzioni d'onda dei singoli fermioni, supposti non interagenti.