# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Affrontiamo ora le proprietà di regolarità delle funzioni armoniche. Prima di tutto però analizziamo le proprietà di una particolare funzione che ci sarà utile nelle dimostrazioni.

## Il mollificatore

Consideriamo la funzione su ${\mathbb {R}}^{n}$:
$\eta (x)={\begin{cases}\displaystyle Ce^{-1/{1-|x|^{2}}}&|x|<1\\0&|x|\geq 1\end{cases}}$
$C$ è una variabile di normalizzazione tale che $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\eta (x)dx=1$ Questa funzione ha diverse proprietà:
* per $|x|\rightarrow 1$, $|x|<1$, $\eta (x)\rightarrow 0$
* qualunque derivata di $\eta (x)$ tende a 0 per $|x|\rightarrow 1^{-}$
* $\eta (x)\in C_{n}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$
Generalizziamo la funzione scalandola e traslandola:
$\eta (x)_{\epsilon ,y}={\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\eta \left({\frac {(x-y)}{\epsilon }}\right)$
il supporto ora ha raggio $\epsilon$ ed è centrata in $y$.

## Teorema (Regolarità delle funzioni armoniche)

Sia $\Omega$ aperto limitato di ${\mathbb {R}}^{n}$ e $u\in C^{0}(\Omega )$ che soddisfi la proprietà della media
$u(x)=\oint _{\partial B(x,r)}u(y)d\sigma (y)\quad \forall B(x,r)\subset \Omega$
Allora $u\in C^{\infty }(\Omega )$

### Dimostrazione

Consideriamo $\epsilon$ tale che $0<\epsilon <dist(x,\partial \Omega )$. Eseguiamo la convoluzione di $u$ con $\eta$, cioè:
$u*\eta _{\epsilon }=\int _{\Omega }u(y)\eta _{\epsilon }(x-y)dy=u_{\epsilon }(x)$
Dimostriamo che:
* $u_{\epsilon }\in C^{\infty }(\Omega )$
* $u_{\epsilon }=u(x)\;\forall x\in \Omega$
Prendiamo $u_{\epsilon }=\int _{\Omega }\eta _{\epsilon }(x-y)u(y)dy$, possiamo passare la derivata rispetto a $x$ sotto l'integrale perché $x$ è in $\eta$ che è a supporto compatto.
${\frac {\partial {u_{\epsilon }(x)}}{\partial {x}}}=\int _{\Omega }{\frac {\partial}{\partial {x}}}\eta _{\epsilon }(x-y)u(y)dy$
Essendo $\eta _{\epsilon }$ una funzione $C^{\infty }(\Omega )$, $u_{\epsilon }$ è analitica.
Ora calcoliamo $u_{\epsilon }$ restingendoci al support di $\eta _{\epsilon }$ che è
${\mathcal {D}}\left(\eta _{\epsilon }(x-y)\right)=\{y|\;|x-y|\leq \epsilon \}=B(x,\epsilon )$
${\begin{aligned}u_{\epsilon }(x)&=\int _{B(x,\epsilon )}\eta _{\epsilon }(x-y)u(y)dy\\&={\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B(x,\epsilon )}\eta \left({\frac {|x-y|}{\epsilon }}\right)u(y)dy\\&={\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{0}^{\epsilon }\left(\int _{\partial B(x,\epsilon )}\eta \left({\frac {|x-y|}{\epsilon }}\right)u(y)d\sigma (y)\right)dr\\&={\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{0}^{\epsilon }\eta \left({\frac {r}{\epsilon }}\right)\left(\int _{\partial B(x,\epsilon )}u(y)d\sigma (y)\right)dr\\&={\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{0}^{\epsilon }\eta \left({\frac {r}{\epsilon }}\right)\omega (n)r^{n-1}{\underset {=u(x)}{\underbrace {\left(\oint _{\partial B(x,\epsilon )}u(y)d\sigma (y)\right)} }}dr\end{aligned}}$
Otteniamo quindi da un lato $u(x)$ e dall'altro la misura della superficie sperica di raggio $\epsilon$. Possiamo quindi ricomporre l'integrale sulla sfera.
${\begin{aligned}&=u(x){\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{0}^{\epsilon }\eta \left({\frac {r}{\epsilon }}\right)\int _{\partial B(x,\epsilon )}1\cdot d\sigma \\&=u(x){\underset {=1}{\underbrace {\left[{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B(x,\epsilon )}\eta \left({\frac {r}{\epsilon }}\right)dr\right]} }}\rightarrow u(x)\end{aligned}}$
Nell'ultimo integrale abbiamo utilizzato la normalizzazione del mollificatore.
Quindi abbiamo dimostrato che $u_{\epsilon }=u(x)$ e $u\in C^{\infty }$.
Osservazione: se consideriamo $u\in C^{2}$ che rispetta la proprietà della media allora $u$ è armonica (vedi Inverso della proprietà della media). L'ultimo teorema dimostra che le funzioni armoniche sono anche analitiche.