# Analisi matematica I/Il calcolo differenziale/Le derivate fondamentali

Analisi matematica I
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Principi di insiemistica e funzioni elementari
* Numeri naturali
* Numeri interi
* Numeri razionali
* Numeri reali
* Numeri reali (seconda parte)
* Numeri complessi
* Funzioni
* Funzioni circolari
* Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in $\mathbb {R}$
* Successioni reali
* Limiti di successioni reali
* Teoremi sulle successioni
* Algebra dei limiti delle successioni
* Esistenza del limite di una successione
* Limiti inferiori e superiori
* Forme indeterminate di successioni
* Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
* Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
* Compattezza di un insieme
* Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
* Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
* Algebra dei limiti
* Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
* Analisi matematica I/Funzioni monotone
* Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
* Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
* Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in $\mathbb {R}$ e studio di funzioni
* Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
* Analisi matematica I/Algebra delle derivate
* Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
* Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
* Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
* Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
* Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
* Analisi matematica I/Integrale di Riemann
* Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
* Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
* Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
* Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
* Analisi matematica I/Successioni di funzioni
* Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO Elementi di base
* Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
* Note storiche sugli insiemi
* I numeri reali
* I numeri complessi
* Sommatorie
* progressione geometrica
* fattoriale di n
* formula di Newton
* Potenze e radicali
* Esponenziali e logaritmi
* Insiemi infiniti
* Massimi e minimi
* Funzioni
Serie e successioni
* Successioni: definizione
* Limiti: definizione
* Successioni monotone
* Calcolo dei limiti
* Limite di successioni
* Il numero di Nepero (e)
* Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
* Limiti notevoli
* Serie numeriche: definizione
* Serie a termini non negativi
* Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
* Limiti di funzioni da R a R
* Limiti di funzioni da R$^n$ a R$^m$
* Funzioni numeriche e generalità
* Grafico di una funzione
* Funzioni limitate
* Funzioni simmetriche, pari e dispari
* Funzioni monotone
* Funzioni periodiche
* Limiti, continuità, asintoti
* Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
* Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
* Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
* Introduzione
* Il rapporto incrementale
* Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
* Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
* Le derivate fondamentali
* Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
* Il teorema di de L’Hospital
* Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
* o piccolo
* Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
* Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
* Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
* Proprietà dell'integrale
* Il teorema fondamentale del calcolo integrale
* Metodo di ricerca della primitiva
* Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
* Funzioni integrabili
* integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
* Integrazione di funzioni non limitate
* Criteri di integrabilità al finito
* Integrazione su intervalli illimitati
* Criteri di integrabilità all’infinito
* Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
* Integrazione delle funzioni trigonometriche
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# Derivata di una funzione costante

    La derivata di una funzione costante è uguale a zero.
    $D[k]=0$
Ipotesi
    $y=k$
Tesi
    $y'=0$
Dimostrazione
    Si consideri che se f(x)=k anche f(x+h)=k, quindi
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {k-k}{h}}=0$
Interpretazione grafica
    Il grafico della funzione y=f(x)=k è una retta parallela all'asse x la cui pendenza in ogni suo punto è sempre uguale a zero, quindi la sua derivata deve essere zero.

# Derivata della funzione y=x

$y=x$
    La derivata della funzione $y=x$ è $y'=1$.
    $D[x]=1$
$y=x$
Ipotesi
    $y=x$
Tesi
    $y'=1$
Dimostrazione
    Si consideri che se f(x)=x, allora f(x+h)=x+k, quindi
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x+h-x}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h}{h}}=1$
Interpretazione grafica
    Il grafico della funzione y=x è la retta bisettrice del 1° e del 3° quadrante del piano cartesiano ortogonale quindi, dato che la pendenza di una retta è uguale, per un certo intervallo, al rapporto della differenza delle ordinate per la differenza delle ascisse e dato che, in questo caso, per qualsiasi intervallo, si verifica che
    ${\frac {{\mathcal {4}}y}{{\mathcal {4}}x}}=1$
    allora vuol dire che la derivata della funzione y=x è uguale a 1.

# Derivata della funzione sinusoidale

    La derivata della funzione $y=\sin x\,\!$ è $y'=\cos x\,\!$.
    $D[\sin x]=\cos x\,\!$
Ipotesi
    $y=\sin x\,\!$
Tesi
    $y'=\cos x\,\!$
Dimostrazione
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}$
    Applicando al numeratore la formula di prostaferesi
    $\sin p\pm \sin q=2\sin {\frac {p\pm q}{2}}\cdot \cos {\frac {p\mp q}{2}}$
    si ottiene
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2\sin {\frac {x+h-x}{2}}\cos {\frac {x+h+x}{2}}}{h}}$
    Si moltiplica numeratore e denominatore per ${\frac {1}{2}}$ isolando il fattore con la funzione coseno
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\cdot \cos {\frac {2x+h}{2}}\right]$
    Si applica il teorema del prodotto dei limiti
    $\lim _{h\rightarrow 0}{\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]}=\lim _{h\rightarrow 0}{f\left(x\right)}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{g\left(x\right)}$
    ottenendo
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)$
    Ricordando il limite notevole
    $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {\sin x}{x}}=1$
    si ottiene
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)=\cos x$

# Derivata della funzione cosinusoidale

    La derivata della funzione $y=\cos x\,\!$ è $y'=-\sin x\,\!$.
    $D\left[\cos x\right]=-\sin x\,\!$
Ipotesi
    $y=\cos x\,\!$
Tesi
    $y'=-\sin x\,\!$
Dimostrazione
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}$
    Applicando al numeratore la formula di prostaferesi
    $\cos p-\cos q=-2\sin {\frac {p+q}{2}}\cdot \sin {\frac {p-q}{2}}$
    si ottiene
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {-2\sin {\frac {x+h+x}{2}}\sin {\frac {x+h-x}{2}}}{h}}$
    Si moltiplica numeratore e denominatore per ${\frac {1}{2}}$ isolando il primo fattore del numeratore
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin {\frac {2x+h}{2}}\cdot {\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\right]$
    Si applica il teorema del prodotto dei limiti
    $\lim _{h\rightarrow 0}{\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]}=\lim _{h\rightarrow 0}{f\left(x\right)}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{g\left(x\right)}$
    ottenendo
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right]\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}$
    Ricordando il limite notevole
    $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {\sin x}{x}}=1$
    si ottiene
    $y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right]=-\sin x$