# Fondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici meccanici

Fondamenti di automatica2
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## Rappresentazione in variabili di stato di sistemi meccanici in traslazione

Per rappresentare un sistema dinamico meccanico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:
* scrivere le equazioni del moto per ogni corpo puntiforme di massa $M_{i}$ (eventualmente nulla) in traslazione, avente posizione $p_{i}$ e velocità $v_{i}={\dot {p}}_{i}$;
* introdurre due variabili di stato per ogni corpo $M_{i}$ in traslazione, scegliendo in particolare la posizione $p_{i}$ e la velocità ${\dot {p}}_{i}$, in modo da trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine;
* associare una variabile di ingresso ad ogni forza esterna applicata al sistema meccanico in traslazione;
* ricavare le equazioni di stato del tipo:
    ${\dot {x}}_{i}\left(t\right)=f_{i}\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$
       a partire dalle precedenti equazioni del moto;
* ricavare le equazioni di uscita del tipo:
          $y_{k}\left(t\right)=g_{k}\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$

### Equazioni del moto

In un sistema composto da più corpi puntiformi in traslazione, dopo aver introdotto un sistema di riferimento (assi di riferimento), per ogni corpo $M_{i}$ con posizione $p_{i}$ e velocità $v={\dot {p}}$ vale la seconda legge di Newton:
    $M_{i}{\ddot {p}}_{i}\left(t\right)=\sideset{_{k}}\sum {F_{k}^{\text{est}}\left(t\right)}-\sideset{_{j}^{j\neq i}}\sum {F_{ij}^{\text{int}}\left(t\right)}$
Il segno meno indica che le forze interne $F_{ij}^{\text{int}}$ trasmettono il moto agli altri corpi $M_{j}$, riducendo la forza d'inerzia di $M_{i}$.

#### Forze esterne

Le forze esterne $F_{k}^{\text{est}}$ tengono conto dell'azione del mondo esterno sul corpo $M_{i}$.
L'equazione generale del moto di traslazione di un corpo puntiforme di massa $M$ dovuto a forze esterne $F_{i}\left(t\right)$ agenti sul corpo è:
    $M{\ddot {p}}\left(t\right)=F\left(t\right)=\sideset{_{i}}\sum {F_{i}\left(t\right)}$
Le forze lungo il sistema di riferimento sono positive, mentre le forze in direzione opposta sono negative.

##### Forza elastica di una molla ideale di coefficiente di elasticità $K$

    $F\left(t\right)=K\left[p_{+}\left(t\right)-p_{-}\left(t\right)\right]$

##### Forza di attrito viscoso di uno smorzatore ideale di smorzamento $\beta$

    $F\left(t\right)=\beta \left[{\dot {p}}_{+}\left(t\right)-{\dot {p}}_{-}\left(t\right)\right]$

#### Forze interne

Le forze interne $F_{ij}^{\text{int}}$ tengono conto dell'interazione tra il corpo $M_{i}$ considerato e gli altri corpi $M_{j}$ tramite molle o smorzatori:
* molle ideali $K_{ij}$:
    $F_{ij}^{\text{int}}\left(t\right)=K_{ij}\left[p_{i}\left(t\right)-p_{j}\left(t\right)\right]$
* smorzatori ideali $\beta _{ij}$:
    $F_{ij}^{\text{int}}\left(t\right)=\beta _{ij}\left[{\dot {p}}_{i}\left(t\right)-{\dot {p}}_{j}\left(t\right)\right]$
Si può modellizzare il fenomeno dell'attrito radente mediante uno smorzamento equivalente avente un'estremità fissa e lo smorzamento $\beta _{i}$ uguale al coefficiente d'attrito viscoso.

### Applicazione: levitatore magnetico

Una sfera metallica di massa $M$ è tenuta sospesa dall'equilibrio tra la forza peso e la forza elettromagnetica $f\left(t\right)$ generata da un elettromagnete attraverso cui scorre una corrente $i\left(t\right)$:
    $f\left(t\right)=k_{i}{\frac {i^{2}\left(t\right)}{p^{2}\left(t\right)}}$
Nella realtà basta un infinitesimo spostamento della sfera perché essa cada o venga attirata contro l'elettromagnete → serve un sistema di controllo automatico che, attraverso un trasduttore ottico di posizione, regoli la corrente $i\left(t\right)$ per bilanciare queste oscillazioni infinitesime e mantenere l'equilibrio.

#### Equazioni di stato

    ${\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{2}\\{\dot {x}}_{2}=g-{\frac {k_{1}}{M}}{\frac {u^{2}}{{x_{1}}^{2}}}\end{cases}}$

#### Equazione di uscita

    $y=x_{1}$

## Rappresentazione in variabili di stato di sistemi meccanici in rotazione

Per rappresentare un sistema dinamico meccanico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:
* scrivere le equazioni del moto per ogni corpo puntiforme di inerzia $J_{i}$ (eventualmente nulla) in rotazione, avente posizione angolare $\theta _{i}$ e velocità angolare $\omega ={\dot {\theta }}_{i}$;
* introdurre due variabili di stato per ogni corpo $J_{i}$ in rotazione, scegliendo in particolare la posizione angolare $\theta _{i}$ e la velocità angolare ${\dot {\theta }}_{i}$, in modo da trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine;
* associare una variabile di ingresso ad ogni coppia esterna applicata al sistema meccanico in rotazione;
* ricavare le equazioni di stato del tipo:
    ${\dot {x}}_{i}\left(t\right)=f_{i}\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$
       a partire dalle precedenti equazioni del moto;
* ricavare le equazioni di uscita del tipo:
          $y_{k}\left(t\right)=g_{k}\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$

### Equazioni del moto

In un sistema composto da più corpi puntiformi in rotazione, dopo aver introdotto un sistema di riferimento (versi di rotazione), per ogni corpo $J_{i}$ con posizione angolare $\theta _{i}$ e velocità angolare $\omega ={\dot {\theta }}$ vale la seconda legge di Newton:
    $J_{i}{\ddot {\theta }}_{i}\left(t\right)=\sideset{_{k}}\sum {T_{k}^{\text{est}}\left(t\right)}-\sideset{_{j}^{j\neq i}}\sum {T_{ij}^{\text{int}}\left(t\right)}$
La velocità angolare $\omega ={\dot {\theta }}$ è rappresentata da un vettore non rotazionale determinato dalla regola della mano destra.
Il segno meno indica che le coppie interne $T_{ij}^{\text{int}}$ trasmettono il moto agli altri corpi $J_{j}$, riducendo la coppia d'inerzia di $J_{i}$.

#### Coppie esterne

Le coppie esterne $J_{k}^{\text{est}}$ tengono conto dell'azione del mondo esterno sul corpo $J_{i}$.
L'equazione generale del moto di rotazione di un corpo puntiforme di inerzia $J$ dovuto a coppie esterne $T_{i}\left(t\right)$ agenti sul corpo è:
    $J{\ddot {\theta }}\left(t\right)=T\left(t\right)=\sideset{_{i}}\sum {T_{i}\left(t\right)}$
Le coppie nel verso di rotazione concorde con il sistema di riferimento sono positive, mentre le coppie nel verso di rotazione opposto sono negative.

##### Coppia elastica di una molla ideale di coefficiente di elasticità torsionale $K$

    $T\left(t\right)=K\left[\theta _{+}\left(t\right)-\theta _{-}\left(t\right)\right]$

##### Coppia di attrito di uno smorzatore ideale di smorzamento $\beta$

    $T\left(t\right)=\beta \left[{\dot {\theta }}_{+}\left(t\right)-{\dot {\theta }}_{-}\left(t\right)\right]$

#### Coppie interne

Le coppie interne $T_{ij}^{\text{int}}$ tengono conto dell'interazione tra il corpo $J_{i}$ considerato e gli altri corpi $J_{j}$ tramite molle o smorzatori:
* molle ideali $K_{ij}$:
    $T_{ij}^{\text{int}}\left(t\right)=K_{ij}\left[\theta _{i}\left(t\right)-\theta _{j}\left(t\right)\right]$
* smorzatori ideali $\beta _{ij}$:
    $T_{ij}^{\text{int}}\left(t\right)=\beta _{ij}\left[{\dot {\theta }}_{i}\left(t\right)-{\dot {\theta }}_{j}\left(t\right)\right]$