# Analisi matematica I/Esistenza del limite di una successione

Analisi matematica I
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### Successioni monotone

Sia $(a_{n})$ una successione reale tale che
$a_{n}\leq a_{n+1},\ \ \forall n\in \mathbb {N}$
Una successione siffatta si dice monotona crescente. Se $a_{n}<a_{n+1}$ si dice monotona strettamente crescente
Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:
* $a_{n}\geq a_{n+1}$ si dice monotona decrescente;
* $a_{n}>a_{n+1}$ si dice monotona strettamente decrescente;
Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo $(a_{n})\uparrow$ o $(a_{n})\downarrow$ per indicare una successione monotona crescente e decrescente.
Vediamo ora un importante teorema.

#### Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)

Sia $(a_{n})$ una successione monotona. Allora $(a_{n})$ ammette limite e
(i) $a_{n}\uparrow \Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$
(ii) $a_{n}\downarrow \Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$

##### Dimostrazione

(i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di $\mathbb {R}$, sappiamo che esiste $\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\in \mathbb {R}$. Sia $\lambda =\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$.
Allora
$a_{n}\leq \lambda ,\ \forall n\in \mathbb {N}$
$\Downarrow$
$\forall \varepsilon >0,a_{n}<\lambda +\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N}$ $\Downarrow$
$\forall \varepsilon >0,a_{n}-\lambda <\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N}$
Inoltre, per la proprietà dell'estremo superiore,
$\forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :a_{m}+\varepsilon >\lambda ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$
$\Downarrow$
$\forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :a_{m}-\lambda >-\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$
e siccome la successione è crescente, $a_{n}\geq a_{m},\ \forall n>m$ e quindi $\forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :a_{n}-\lambda \geq a_{m}-\lambda >-\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$. Dunque abbiamo verificato che:
$\forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :|a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$
Ossia la tesi.
2)Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè $\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}=+\infty$. Analogamente a prima, abbiamo che $\forall k\in \mathbb {R} \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{m}>k$.
Sempre per la monotonia di $a_{n}$, sappiamo che $a_{n}\geq a_{m},\ \forall n>m$ anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque
$\forall k\in \mathbb {R} \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$
Dunque la successione è divergente e
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}=+\infty$
(ii) Dimostrazione del tutto analoga, omessa per brevità.
$\Box$

#### Teorema (di Bolzano-Weiestrass)

Si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.

##### Dimostrazione

Da fare: problemi con la dimostrazione poco chiara