# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Sappiamo che i sistemi descritti dalle equazioni di moto dedotte dalle leggi cardinali della dinamica implicano, sotto alcune ipotesi, la definizione di una quantità conservata, detta energia. È opportuno chiedersi se vi sia un analogo per i fenomeni descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde appena dedotta.
Dalla seconda equazione di Newton
$m{\ddot {x}}=-{\mathcal {U}}^{\prime }(x)$
si può ricavare il valore dell'energia totale (meccanica) del sistema in maniera piuttosto naturale:
$m{\ddot {x}}{\dot {x}}=-{\mathcal {U}}^{\prime }(x){\dot {x}}$
${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}(t)+{\mathcal {U}}(x(t))\right)=0$
Dunque, per un sistema descritto da $m{\ddot {x}}=-{\mathcal {U}}^{\prime }(x)$, esiste una quantità conservata, che verrà chiamata energia, definita da:
$E(t)={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}(t)+{\mathcal {U}}(x(t))$
Ci chiediamo se qualcosa di simile possa valere per l'equazione delle onde in una dimensione:
$\rho u_{tt}-\tau u_{xx}=0$
Procedendo in modo analogo a quanto fatto per derivare l'espressione classica dell'energia si ha:
$\rho u_{tt}u_{t}-\tau u_{xx}u_{t}=0$
riscrivibile come:
${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\rho u_{t}^{2}\right)-\tau u_{xx}u_{t}=0$
Occorre capire come trattare il secondo addendo. Si nota che:
${\frac {\partial }{\partial x}}(u_{x}u_{t})=u_{xx}u_{t}+u_{x}u_{xt}=u_{xx}u_{t}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2}}u_{x}^{2}\right)$
E quindi è possibile riscrivere:
${\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {1}{2}}\left(\rho u_{t}^{2}+\tau u_{x}^{2}\right)\right]+\tau {\frac {\partial }{\partial x}}(-u_{x}u_{t})=0$
Quella appena ottenuta è un'equazione di continuità, nella quale è possibile identificare una densità di energia:
$\epsilon ={\frac {1}{2}}\left(\rho u_{t}^{2}+\tau u_{x}^{2}\right)$
A cui è associato un flusso pari a:
$J=-\tau u_{x}u_{t}$
È anche possibile definire la relazione di cui sopra in forma integrale, passando al continuo, ottenendo:
${\frac {d}{dt}}\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}\left(\rho u_{t}^{2}+\tau u_{x}^{2}\right)dx=\left[u_{x}(b)u_{t}(b)-u_{x}(a)u_{t}(a)\right]\tau$
La densità di energia, o l'energia stessa se $\epsilon$ viene integrata sull'insieme di definizione del nostro problema, è una quantità conservata del sistema considerato nel caso in cui $J=0$. Questa condizione si verifica per differenti condizioni al bordo, tutte applicabili all'equazione delle onde considerata. Esse sono:
* condizioni al bordo di Dirichlet, equivalenti al problema di una corda vibrante con estremi fissi:
    $u(a;t)=0=u(b;t)$
* condizioni al bordo di Neumann:
    $u_{x}(a)=u_{x}(b)=0$
* condizioni al bordo periodiche:
    $u_{x}(a;t)=u_{x}(b;t),\;\;u(a;t)=u(b;t)\;\forall t\in \mathbb {R}$
    che equivalgono a studiare il problema dell'equazione delle onde su un cerchio (o su un toro in $\mathbb {R} ^{n}$).
Le condizioni al bordo di periodicità sono delle condizioni non locali, dal momento che mettono in relazione tra loro punti distanti del sistema.
È possibile definire delle condizioni al bordo più complesse, o comunque più generali, di quelle appena presentate. Un esempio sono le condizioni al bordo di Robin (o del terzo tipo):
$u_{x}(b)+\alpha (x)u(b)=0$
Volendo descrivere un fenomeno non confinato, in una dimensione ciò significa che il fenomeno si estende su tutta la retta reale, continuerebbe a valere la conservazione dell'energia perché è lecito supporre che le soluzioni siano tutte tali da svanire all'infinito. In generale è possibile enunciare la seguente proposizione:
Per ogni soluzione dell'equazione delle onde $\rho u_{tt}-\tau u_{xx}=0$, valgono le seguenti proprietà:
* detta $\epsilon$ la densità di energia e detto $J$ il suo flusso, ovvero la densità di corrente di energia, vale che:
    ${\frac {\partial }{\partial t}}\epsilon +{\frac {\partial }{\partial x}}J=0$
* la relazione precedente vale anche nel passaggio al continuo:
    ${\frac {d}{dt}}\int _{a}^{b}\epsilon dx=\tau \left[u_{x}(b)u_{t}(b)-u_{x}(a)u_{t}(a)\right]$
* l'energia è una quantità conservata del sistema quando il problema è definito con condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann oppure periodiche;
* la soluzione è di tipo classico, ovvero si richiede che sia $u\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2})$. Nel caso unidimensionale appena considerato è sufficiente anche solo che $u\in C^{2}((a,b)\times \mathbb {R} )$.
Queste considerazioni riguardo l'energia mettono in evidenza come la risoluzione di un'equazione alle derivate parziali abbia delle proprietà che vanno oltre la semplice estensione delle proprietà della soluzione di un'equazione differenziale ordinaria.