# Analisi matematica I/Limite/I limiti notevoli

Analisi matematica I
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Principi di insiemistica e funzioni elementari
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Le successioni e le serie numeriche in $\mathbb {R}$
* Successioni reali
* Limiti di successioni reali
* Teoremi sulle successioni
* Algebra dei limiti delle successioni
* Esistenza del limite di una successione
* Limiti inferiori e superiori
* Forme indeterminate di successioni
* Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
* Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
* Compattezza di un insieme
* Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
* Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
* Algebra dei limiti
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Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
* Analisi matematica I/Funzioni monotone
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Calcolo differenziale in $\mathbb {R}$ e studio di funzioni
* Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
* Analisi matematica I/Algebra delle derivate
* Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
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* Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
* Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
* Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
* Analisi matematica I/Integrale di Riemann
* Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
* Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
* Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
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Successioni e serie di funzioni
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VECCHIO Elementi di base
* Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
* Note storiche sugli insiemi
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* I numeri complessi
* Sommatorie
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* formula di Newton
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* Insiemi infiniti
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* Funzioni
Serie e successioni
* Successioni: definizione
* Limiti: definizione
* Successioni monotone
* Calcolo dei limiti
* Limite di successioni
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* Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
* Limiti notevoli
* Serie numeriche: definizione
* Serie a termini non negativi
* Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
* Limiti di funzioni da R a R
* Limiti di funzioni da R$^n$ a R$^m$
* Funzioni numeriche e generalità
* Grafico di una funzione
* Funzioni limitate
* Funzioni simmetriche, pari e dispari
* Funzioni monotone
* Funzioni periodiche
* Limiti, continuità, asintoti
* Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
* Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
* Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
* Introduzione
* Il rapporto incrementale
* Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
* Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
* Le derivate fondamentali
* Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
* Il teorema di de L’Hospital
* Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
* o piccolo
* Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
* Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
* Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
* Proprietà dell'integrale
* Il teorema fondamentale del calcolo integrale
* Metodo di ricerca della primitiva
* Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
* Funzioni integrabili
* integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
* Integrazione di funzioni non limitate
* Criteri di integrabilità al finito
* Integrazione su intervalli illimitati
* Criteri di integrabilità all’infinito
* Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
* Integrazione delle funzioni trigonometriche
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# Limite notevole con funzione esponenziale - 2

    $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln a$
Ipotesi
    Nessuna.
Tesi
    $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln a$
Dimostrazione
    $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {a^{x}-1}{x}}\Longrightarrow {\begin{matrix}a^{x}-1=t\ ;\ a^{x}=t+1\\x=\operatorname {lg} _{a}\left(t+1\right)\\x\rightarrow 0\Rightarrow t\rightarrow 0\end{matrix}}\Longrightarrow \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{\operatorname {lg} _{a}\left(t+1\right)}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{\frac {\operatorname {lg} _{a}\left(t+1\right)}{t}}}=$
    $=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{{\frac {1}{t}}\cdot \operatorname {lg} _{a}\left(t+1\right)}}={\frac {1}{\operatorname {lg} _{a}{\underset {t\rightarrow 0}{\lim }}\left(t+1\right)^{\frac {1}{t}}}}=$
    In base al limite notevole $\lim _{x\rightarrow x_{0}}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e$
    ${\frac {1}{\operatorname {lg} _{a}{\underset {t\rightarrow 0}{\lim }}\left(t+1\right)^{\frac {1}{t}}}}={\frac {1}{\operatorname {lg} _{a}e}}=\ln a$