# Meccanica del punto materiale/Teorema delle accelerazioni relative

Meccanica del punto materiale
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
Cinematica del punto materiale
* Cinematica del puntoMeccanica del punto materiale/Cinematica del punto
* Moto rettilineoMeccanica del punto materiale/Moto rettilineo
* Moto circolareMeccanica del punto materiale/Moto circolare
* Moto armonicoMeccanica del punto materiale/Moto armonico
* Moto parabolico dei corpiMeccanica del punto materiale/Moto parabolico dei corpi
Dinamica del punto materiale
* Primo e secondo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Primo e secondo principio della dinamica
* Forza peso e forze vincolariMeccanica del punto materiale/Forza peso e forze vincolari
* Terzo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Terzo principio della dinamica
* Forza d'attrito radenteMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito radente
* Forza d'attrito viscosoMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito viscoso
* Forza elasticaMeccanica del punto materiale/Forza elastica
* Forza centripetaMeccanica del punto materiale/Forza centripeta
* Quantità di moto e impulsoMeccanica del punto materiale/Quantità di moto e impulso
* Momento angolareMeccanica del punto materiale/Momento angolare
* Pendolo sempliceMeccanica del punto materiale/Pendolo semplice
Moti relativi
* Teorema delle velocità relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle velocità relative
* Teorema delle accelerazioni relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle accelerazioni relative
* Relatività galileianaMeccanica del punto materiale/Relatività galileiana
Lavoro ed energia
* Energia cinetica e lavoroMeccanica del punto materiale/Energia cinetica e lavoro
* Energia del pendoloMeccanica del punto materiale/Energia del pendolo
* Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elasticaMeccanica del punto materiale/Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elastica
* Forze conservative ed energia potenzialeMeccanica del punto materiale/Forze conservative ed energia potenziale
* Considerazioni conclusive sull'energiaMeccanica del punto materiale/Considerazioni conclusive sull'energia
Oscillatori armonici
* Oscillatore armonicoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico
* Oscillatore armonico smorzato e forzatoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico smorzato e forzato
* Oscillatori accoppiatiMeccanica del punto materiale/Oscillatori accoppiati
Appendice
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Nel modulo precedente abbiamo visto come varia la descrizione della velocità di un punto osservato in diversi sistemi di riferimento. Il passo successivo è naturalmente osservare cosa accade per l'accelerazione. L'accelerazione del punto $P$ rispetto al sistema fisso è
${\vec {a}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\hat {i}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\hat {j}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\hat {k}}$
L'accelerazione di $P$ misurata dal sistema mobile è
${\vec {a}}'={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}{\hat {i'}}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}{\hat {j'}}+{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}{\hat {k'}}$
Infine, l'accelerazione dell'origine $O'$ rispetto a $O$ è
${\vec {a}}_{O'}={\frac {d{\vec {v}}_{O'}}{dt}}$
Andiamo ora a derivare rispetto al tempo il teorema delle velocità relative
${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d{\vec {v}}_{O'}}{dt}}+{\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'+{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}$
Calcoliamo $d{\vec {v}}'/dt$:
${\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx'}{dt}}{\hat {i'}}+{\frac {dy'}{dt}}{\hat {j'}}+{\frac {dz'}{dt}}{\hat {k'}}\right)={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}{\hat {i'}}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}{\hat {j'}}+{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}{\hat {k'}}+$
$+{\frac {dx'}{dt}}{\frac {d{\hat {i'}}}{dt}}+{\frac {dy'}{dt}}{\frac {d{\hat {j'}}}{dt}}+{\frac {dz'}{dt}}{\frac {d{\hat {k'}}}{dt}}$
Ricordando ora che la derivata del versore si può scrivere come prodotto vettoriale tra $\omega$ e il versore possiamo scrivere
${\frac {d{\vec {v}}'}{dt}}={\vec {a}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$
Dal modulo precedente sappiamo poi che
${\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}={\vec {v}}-{\vec {v}}_{O'}={\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'<math>quindi<math>{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}'}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)$
Pertanto l'equazione che lega le accelerazioni misurate in due sistemi di riferimento in moto relativo è:
${\vec {a}}={\vec {a}}'+{\vec {a}}_{O'}+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'+2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$
che esprime il teorema delle accelerazioni relative.
Quindi l'accelerazione che misura un osservatore del sistema mobile è
${\vec {a}}'={\vec {a}}-{\vec {a}}_{O'}-{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$
Il termine
${\vec {a}}_{t}={\vec {a}}_{O'}-{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}'$
si chiama accelerazione di trascinamento, mentre l'ultimo termine
${\vec {a}}_{c}=-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$
si chiama accelerazione di Coriolis, di cui parleremo ampiamente nel modulo sulle forze apparenti.