# Analisi complessa/Spazi metrici

Analisi complessa
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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## Spazi metrici
### Definizione 2.2.1

    Un insieme $X\neq \emptyset$, assieme ad una funzione distanza
       $d:X^{2}\rightarrow \mathbb {R}$
    è uno spazio metrico, e si indica con la coppia (X,d) se per ogni $x,y,z\in X$ sono verificate le seguenti proprietà:
   * $d(x,y)\geq 0\!$
   * $d(x,y)=d(y,x)\!$ (simmetria)
   * $d(x,y)=0\iff x=y\!$
   * $d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)\!$ (disuguaglianza triangolare)
La distanza induce una topologia di aperti, e di conseguenza è possibile definire un concetto che ritorna spesso in analisi matematica e topologia:

### Definizione

    Si dice intorno di un punto $x\in X$ l'insieme $N_{r}(x)=\{y\in X|d(x,y)<r\}$.
Osservate che, dato un punto $x_{0}\in X$, l'intorno di raggio r centrato in $x_{0}$ è l'insieme dei punti che distano r dal punto $x_{0}$.

### TEOREMA 2.2.2.

    Dalla disuguaglianza triangolare si ricava immediatamente che
       $d(x,y)-d(x,z)\leq d(y,z)$

## Successioni
### Definizione 2.2.3.

    Una funzione $a:\mathbb {N} \rightarrow X$ si dice successione in $X$, ed i suoi elementi si indicano come $a_{n}$. È una legge che associa ad ogni numero naturale, un elemento dell'insieme X

### Successione convergente

* Si dice che una successione $a_{n}$ converge ad un valore $\alpha \in X$ se
       $\forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} :n>N\Rightarrow d(a_{n},\alpha )<\varepsilon$,
    cioè se $\alpha$ è il limite della successione rispetto alla distanza $d$.

### Successione di Cauchy

* Una successione la quale
$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} :n,m>N\Rightarrow d(a_{n},a_{m})<\varepsilon$
si dice successione di Cauchy;

#### Definizione

    Uno spazio metrico nel quale ogni successione di Cauchy è convergente si dice completo.

## Insieme denso

Un insieme $Y$ si dice denso nello spazio metrico $X$ se $Y\subseteq X$ e $\forall x\in X,\forall N_{r}(x):N_{r}(x)\cap Y\neq \emptyset$.

### Teorema

    Ogni spazio metrico ammette un completamento: dato uno spazio metrico $(X,d)$ esiste sempre uno spazio metrico completo $({\tilde {X}},{\tilde {d}})$, ed una mappa
       $\Phi :X\rightarrow {\tilde {X}}$
con le seguenti proprietà:
* $\Phi \!$ è iniettiva;
* $d(x,y)={\tilde {d}}(\Phi (x),\Phi (yz))\!$;
* $\Phi (X)\!$ è denso in ${\tilde {X}}$

### Definizione 2.2.5

    Una funzione
       $f:X\rightarrow X$
    definita su uno spazio metrico è una contrazione se per ogni $x,y\in X$ è verificata la disuguaglianza
       $d(f(x),f(y))\leq kd(x,y)$
    con $0<k<1\!$.

## Teorema del punto fisso

Punto fisso
$f:A\longrightarrow A$
$f$
$x\in A$
    $f({\tilde {x}})={\tilde {x}}$

### Teorema 2.2.6 o del punto fisso

    Se $(X,d)$ è uno spazio metrico completo e se $f$ è una contrazione su $X$, allora
       $\exists !{\bar {x}}\in X:f({\bar {x}})={\bar {x}}$

## Serie di funzioni

Consideriamo in questo paragrafo le funzioni definite tra due spazi metrici,
    $f:(X,d)\rightarrow (Y,h)\,$

### Definizione 2.2.7.

    Diremo che la successione di funzioni $f_{n}$ converge puntualmente ad $f$ se
       $\forall x\in X,\varepsilon >0\quad \exists N(x,\varepsilon ):n>N\Rightarrow h(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon$.
    Diremo che una successione converge uniformemente se
       $\forall \varepsilon >0\quad \exists N(\varepsilon ):n>N\Rightarrow h(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon$ per ogni $x\in X$.
L'importante differenza rispetto al caso precedente è che qui è possibile trovare un $N$ valido per tutti gli $x$.

### Teorema 2.2.8

    Nel caso di funzioni da uno spazio metrico $X$ a $\mathbb {C}$, una serie di funzioni $f_{n}$ converge uniformemente a $f$ se e solo se
       $\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} :n>N\Rightarrow \sup _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon .$
Mentre la convergenza puntuale non comunica alla funzione limite le proprietà eventualmente possedute dalle funzioni della successione, la convergenza uniforme ne trasmette alcune; in particolare si ha che

### Teorema 2.2.9

    Il limite uniforme di funzioni continue è continuo.