# Propulsione aerea/Capitolo IV°

Propulsione aerea
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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* Capitolo II°Propulsione aerea/Capitolo II°
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## Rendimento termodinamico

Un gas ha effettuato un ciclo quando percorrendo una qualsiasi successione di stati fisici ritorna nelle condizioni iniziali.
Poiché le condizioni finali sono uguali alle iniziali non vi è variazione dell'energia interna; tutto il calore sparito durante il ciclo si è trasformato in lavoro (meccanico o energia cinetica).
In accordo col secondo principio della termodinamica non tutto il calore può trasformarsi in lavoro.
Si definisce rendimento termodinamico η$_t$ il rapporto tra il calore trasformato in lavoro ed il calore fornito; esso è quindi la percentuale utilizzata del calore speso.
Se Q$_1$ è il calore speso e Q$_0$ quello non trasformato in lavoro si ha in generale per qualsiasi ciclo:
          $\ (23)\qquad \eta _{t}={\frac {Q_{1}-Q_{0}}{Q_{1}}}=1-{\frac {Q_{0}}{Q_{1}}}$
Quindi η$_t$ è in ogni caso <1.
Necessita che η_t sia il più alto possibile compatibilmente con altre esigenze; questo aspetto verrà meglio chiarito quando si parlerà delle applicazioni.
Se i gas vengono considerati con C_p e C_v costanti ed inoltre senza dissociazione il valore η_t per macchina senza perdite è detto ideale. Tra tutti i calcoli pensabili hanno particolare importanza teorica e pratica quelli composti di trasformazioni alternativamente dello stesso tipo (fig,12); in altre parole le trasformazioni 0-1 e3-2 sono della stessa natura; così pure le trasformazioni 1-2 e 0-3.
Poiché in generale una trasformazione può rappresentarsi come politropica di dato esponente possiamo scrivere:
                   $\ p_{0}v_{0}^{k}=p_{1}v_{1}^{k}$
                   $\ p_{2}v_{2}^{k}=p_{3}v_{3}^{k}$
per le due con esponente k;
                   $\ p_{0}v_{0}^{\gamma }=p_{3}v_{3}^{\gamma }$
                   $\ p_{2}v_{2}^{\gamma }=p_{1}v_{1}^{\gamma }$
per le altre due con esponente γ.
Le condizioni precedenti sono soddisfatte soltanto se
                   $\ p_{0}p_{2}=p_{1}p_{3}\qquad v_{0}v_{2}=v_{1}v_{3}$.
Da queste segue
                   $\ T_{0}T_{2}=T_{1}T_{3}\qquad \rho _{0}\rho _{2}=\rho _{1}\rho _{3}$
cioè, per cicli del tipo definito, vale la proprietà generale che i prodotti in croce dei parametri fisici estremi sono uguali.

## Cicli Carnot, Otto, Brayton

Tra i cicli del tipo precedente rientrano il Carnot e due interessanti alcune categorie di macchine termiche, quello Otto, a volume costante, e quello Brayton a pressione costante; su questi due ultimi sono basate quasi tutte le macchine ed i dispositivi per la propulsione aerea.
I tre cicli sono schizzati rispettivamente nelle fig. 13$_{a,13be13c}$ sia sul piano p, vche sul piano T, S.
Il ciclo Carnot (fig.13$_a$) consta di due isoentropiche e due isotermiche: 0-1 isoentropica di compressione; 1-2 isoterma a temperatura T$_1$ con introduzione del calore Q$_1$; 2-3 isoentropica di espansione; 3-0 isoterma a temperatura T$_0$ con cessione del calore Q$_0$.
Fig.13$_a$
Ricordando la (18) si ha
                   $\ Q_{1}=R\ T_{1}\ \ln {\frac {p_{1}}{p_{2}}}\qquad Q_{0}=R\ T_{0}\ \ln {\frac {p_{0}}{p_{3}}}$
Il rendimento ideale diviene
                   $\ (24)\qquad \eta _{t}=1-{\frac {Q_{0}}{Q_{1}}}=1-{\frac {T_{0}}{T_{1}}}$
poiché p$_0$ p$_2$ = p$_1$ p$_3$.
Il rendimento è funzione solamente del rapporto tra T$_1$ e T$_0$; il ciclo Carnot è quello del massimo rendimento tra le due temperature estreme prefissate T$_1$ e T$_0$.
Per esempio per gli acciai legati inossidabili si può contare su temperature del materiale di 800°C. Supposto T$_0$=273°K si avrebbe
                   $\ \eta _{t}=1-{\frac {273}{273+800}}=0,75$
valore veramente notevole.
Purtroppo in pratica mentre è relativamente facile ed agevole realizzare trasformazioni più o meno isoentropiche è pressoché impossibile realizzare le isoterme pei motivi detti a suo tempo; i numerosi tentativi sono sempre falliti.
E' necessario accontentarsi di rendimenti più bassi relativi ad altri cicli possibili e di effettiva realizzazione pratica.
Il ciclo ideale di Otto, Fig.13$_b$, consta di due isoentropiche e due isometriche: 0-1 isoentropica di compressione; 1-2 isometrica con introduzione del calore Q$_1$ (fase di scoppio); 2-3 isoentropica di espansione; 3-0 isometrica con cessione di calore Q$_0$ (scarico).
                         Figura 13$_b$
Il ciclo ideale Brayton, Fig.13$_c$, è invece costituito da due isoentrtopiche e due isobare: 0-1 isoentropica di compressione; 1-2isobara con introduzione del calore Q$_1$ (fase di combustione); 2-3 isoentropica di espansione; 3-0 isobara con cessione del calore Q$_0$ (scarico).
                            Figura 13$_c$
Si ha:
                   $\ Q_{1}=C_{v}(T_{2}-T_{1})\qquad Q_{0}=C_{v}(T_{3}-T_{0})$
per il ciclo Otto, e
                   $\ Q_{1}=C_{p}(T_{2}-T_{1})\qquad Q_{0}=C_{p}(T_{3}-T_{0})$
per il tipo Brayton.
In entrambi i casi
                   $\ \eta _{1}=1-{\frac {Q_{0}}{Q_{1}}}=1-{\frac {T_{3}-T_{0}}{T_{2}-T_{1}}}=1-{\frac {T_{0}}{T_{1}}}{\frac {{\frac {T_{3}}{T_{0}}}-1}{{\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1}}$
ma per la proprietà dimostrata $\ {\frac {T_{3}}{T_{0}}}={\frac {T_{2}}{T_{1}}}$, quindi
                   $\ \eta _{t}=1-{\frac {T_{0}}{T_{1}}}$.
Il rendimento ideale dei due cicli dipende dal rapporto tra la temperatura finale ed iniziale della compressione.
Poiché
                   $\ {\frac {T_{1}}{T_{0}}}=({\frac {v_{0}}{v_{1}}})^{k-1}=({\frac {p_{1}}{p_{0}}})^{\frac {k-1}{k}}$
si ha anche
$\ (25)\qquad \eta _{t}=1-{\frac {1}{\frac {T_{1}}{T_{0}}}}=1-{\frac {1}{({\frac {v_{0}}{v_{1}}})^{k_{1}-1}}}=1-{\frac {1}{({\frac {p_{1}}{p_{0}}})^{\frac {k-1}{k}}}}$.
Il rendimento ideale dipende quindi dal rapporto volumetrico di compressione
                   $\ {\frac {v_{0}}{v_{1}}}$
o dal rapporto di compressione
                   $\ {\frac {p_{1}}{p_{0}}}$
e dalla natura del fluido in gioco rappresentata dal valore k; sul grafico di fig.14 è riportato η$_t$ in funzione di $\ {\frac {p_{1}}{p_{0}}}$ per k=1,4.
Il rendimento ideale dei tre semplici cicli esaminati è lo stesso a parità di $\ {\frac {T_{1}}{T_{0}}}$ o, il che è lo stesso, a parità di rapporto di compressione.
Vi è però una differenza sostanziale tra il Carnot e gli altri due: infatti il Carnot T$_0$ e T$_1$ sono le temperature estreme (T$_0$=T$_3$ : T$_1$=T$_2$) mentre per gli altri due risulta T$_0$ < T$_3$ e T$_2$ > T$_1$; il ciclo Carnot è il solo ciclo di massimo rendimento tra due temperature prefissate e ci e facile vedere sul piano T-S (fig.15).
Le aree racchiuse dai cicli sulpiano p-v rappresentano il lavoro ideale L; le aree sul piano T-S, rappresentano il calore utilizzato Q$_1$-Q$_0$; evidentemente J(Q$_1$-Q$_0$=L per due rappresentazioni corrispondenti.

## Rendimento termodinamico limite e reale

I rendimenti ideali avanti definiti si riferiscono a gas ideali, con calori specifici costanti al variare della temperatura e senza dissociazione; in verità i calori specifici e la dissociazione variano con la temperatura (in generale crescono con essa). Se nel calcolo del rendimento dei cicli si tiene conto di questo effetto (usualmente non rilevante) si trovano altri rendimenti detti limiti perché sarebbero effettivamente raggiungibili con gas reali ma con macchine ideali senza perdite.
Il rapporto tra lavoro effettivamente sviluppato e calorie introdotte in una data macchina è il rendimento tertmodinamico reale di quella data macchina; questo rendimento per le macchine a combustione interna si ottiene concretamente misurando il lavoro sviluppato dal motore ed il combustibile consumato di noto potere calorifico.

## Consumo specifico

Sia H il potere calorifico del combustibile (calorie sviluppate per Kg. di combustibile); la potenza di un CV per la durata di un'ora equivale a
                   $\ {\frac {75\ 3600}{427}}=630cal.$
per ogni CV utile necessitano però $\ {\frac {630}{\eta _{t}}}$ cal. se η$_t$ è il rendimento termodinamico. Indicato con q il peso in Kg. del combustibile necessario per CV utile si ha
                   $\ q\ H={\frac {630}{\eta _{t}}}$
ed in grammi
                   $\ q={\frac {630000}{H\ \eta _{t}}}$.
Per i normali combustibili liquidi (benzine, petroli, kerosene, ecc.) H=10000 cal/Kg; ne deriva la nota formula
                   $\ q={\frac {63}{\eta _{t}}}{\frac {grammi}{CV.h}}$.
Per esempio se per un normale motore Otto si ha η$_t$=0,28 il consumo è q= 225 gr/CV.h.