# Fondamenti di automatica/Sistemi

Fondamenti di automatica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* SistemiFondamenti di automatica/Sistemi
* Sistemi lineari tempoinvariantiFondamenti di automatica/Sistemi lineari tempoinvarianti
* Proprietà e prestazioniFondamenti di automatica/Proprietà e prestazioni
* Metodi di analisiFondamenti di automatica/Metodi di analisi
* Modelli di sistemi comuniFondamenti di automatica/Modelli di sistemi comuni
* Controllo di sistemi lineariFondamenti di automatica/Controllo di sistemi lineari
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## Forma canonica dei sistemi

Un sistema generico non lineare MIMO (Multiple-Input Multiple-Output), variante nel tempo e proprio è descritto dalle equazioni:
$\left\{{\begin{array}{l}x'(t)=f_{s}(x(t),u(t),t)\\y(t)=f_{u}(x(t),u(t),t)\\\end{array}}\right.$
dove:
* $x(t)\in \Re \rightarrow \Re ^{n_{x}}$ è il vettore di stato;
* $u(t)\in \Re \rightarrow \Re ^{n_{u}}$ è il vettore di ingresso;
* $t\in \Re$ è il tempo;
* $y(t)\in \Re \rightarrow \Re ^{n_{y}}$ è il vettore di uscita;
* $f_{s}(\cdot )$ e $f_{u}(\cdot )$ sono campi vettoriali (che si suppongono normalmente analitici).
Si considera poi $t_{0}$ l'istante iniziale e $x(t_{0})$ lo stato iniziale (che spesso si suppone noto).
$x'(t)=f_{s}(x(t),0,t)$ è detto movimento libero dello stato (l'evoluzione dello stato a partire da uno stato iniziale per ingresso nullo);
$x'(t)=f_{s}(0,u(t),t)$ è detto movimento forzato dello stato (l'evoluzione dello stato a partire da uno stato iniziale nullo);

## Classificazione dei sistemi

I sistemi dinamici descritti precedentemente in forma canonica possono essere classificati in vari modi sulla base delle proprietà delle funzioni $f_{s}(\cdot )$ e $f_{u}(\cdot )$
Si dicono sistemi monovariabili o SISO i sistemi dotati di una sola variable di ingresso e di una sola variabile di uscita scalari ( $y(t)\in \Re \rightarrow \Re ,u(t)\in \Re \rightarrow \Re$ );
i sistemi con più ingressi o uscite si dicono sistemi multivariabili o MIMO
Sono sistemi strettamente propri
i sistemi la cui uscita dipende solo dallo stato e non dipende dall'ingresso ($y(t)=f_{u}(x(t),t)$); sistemi per cui l'uscita dipende anche dall'ingresso direttamente sono detti sistemi propri; sistemi propri possono essere trasformati in un sistema strettamente proprio equivalente aggiungendo una variabile allo stato
Un sistema è tempo-invariante o stazionario
se l'evoluzione dell'uscita e dello stato in un dato istante non dipende dal tempo in cui quell'istante si colloca, ovvero le funzioni $f_{s}(\cdot )$ e $f_{u}(\cdot )$ non dipendono dalla variabile tempo $t$;
Un sistema è lineare
quando sia l'uscita che la variazione dello stato sono combinazioni lineari dell'ingresso e dello stato; per un sistema lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti

## Linearizzazione

È spesso preferibile trattare problemi lineari, esistono metodi per ricondurre sistemi non lineari a sistemi lineari
Se supponiamo che le funzioni $f_{s}$ e $f_{u}$ siano sufficientemente regolari nell'intorno di un punto $(x(t_{0}),0,t_{0})$ è possibile approssimarle nell'intorno di quel punto con il loro sviluppo di Taylor arrestato al termine di primo grado.
Se ci troviamo a trattare problemi non lineari, ci si restringe nell'intorno di un punto di equilibrio del sistema, ovvero tale che $x'(t)=0$, e si approssimano tutte le funzioni a funzioni lineari.
Si suppone che i coefficienti del sistema non varino nel tempo.
Sistemi lineari che abbiano più di un ingresso o più di un'uscita possono sempre essere espressi come composizione di sistemi SISO, in quanto è valido il principio di sovrapposizione degli effetti
Quando è possibile ci si riconduce a sistemi lineari tempoinvarianti SISO.

## Note

* 1 2 3 Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; 35 Sezione 2.3: Classificazione dei sistemi dinamici
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; 37
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; 37
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; 45, sezione 2.5: Sistemi lineari
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; pagina 183, section 4-7: Linearization of nonlinear systems
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pagina 48, sezione 2.6: Linearizzazione