# Analisi matematica/Equazioni differenziali di primo ordine

Analisi matematica
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## Equazioni a variabili separabili

Forma tipica:
                $\ A(x)B(y)dx+C(x)D(y)dy=0\qquad ovvero:\ {dy \over dx}=f(x)g(y)$.
Soluzione: Si dividono i due membri per il prodotto $\ C(x)B(y)\ e\ si\ ha\ l'equazione:$
                $\ {A(x) \over C(x)}dx+{D(y) \over B(y)}dy=0$
che è a variabili separate, basta quindi integrare separatamente i due termini (eseguire le quadrature) e cioè scrivere:
                $\ \int {A(x) \over C(x)}dx+\int {D(y) \over B(y)}dy=c$
Esempi:
                $\ xydx+{\sqrt {1-x^{2}}}dy=0$
Si dividono i due membri per: $\ y{\sqrt {1-x^{2}}}\ e\ si\ ha:$
                $\ {x\ dx \over {\sqrt {1-x^{2}}}}+{dy \over y}=0$
da cui, integrando:
                $\ -{\sqrt {1-x^{2}}}+\lg \ y=c\qquad \log \ y={\sqrt {1-x^{2}}}+c$
                         $\ y=C\ e^{\sqrt {1-x^{2}}}$
funzione che dà l' integrale generale.

## Equazione esatta

Forma tipica
                $\ A(x,y)dx+B(x,y)dy=0$
con la condizione: $\ {\partial A \over \partial y}={\partial B \over \partial x}$
Soluzione: Si considera $\ y$ costante e si pone l'integrale generale nella forma:
                $\ u(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\varphi (y),$
si determina poi la funzione $\ \varphi (y)$ con la condizione:
                   $\ {\partial u \over \partial y}=B(x,y)\qquad ovvero:$
          $\ B(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}{\partial A \over \partial y}\,dx+\varphi '(y)=\int _{x_{0}}^{x}{\partial B \over \partial x}\,dx+\varphi '(y)$
Da cui:
          $\ \varphi '(y)=B(x_{0},y)\qquad e\qquad \varphi (y)=\int _{y_{0}}^{y}B(x_{0},y)\,dy.$
Si ha così la formula risolutiva:
          $\ u(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(y_{0},y)\,dy=C$
Esempio: $(x+y)dx+(x+Sin[y])dy=0$
L'equazione è esatta, perché: $\ {\partial (x+y) \over \partial y}={\partial (x+Sin[y]) \over \partial x}=1$
Si ha quindi:
$\ (1)\qquad u(x,y)=\int _{x_{o}}^{x}(x+y)dx+\varphi (y)={x^{2} \over 2}+xy-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y)+\varphi (y)$
con la condizione: $\ {\partial u \over \partial y}=\int _{x_{o}}^{x}{\partial (x+Sin[y]) \over \partial x)}dx+\varphi '(y),$
cioè: $\ x+Sin[y]=x+Sin[y]-(x_{o}+Sin[y])+\varphi '(y)$
da cui si trae: $\ \varphi '(y)=x_{o}+Sin[y],$
ovvero integrando: $\ \varphi (y)=x_{o}y-Cos[y]-(x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}]).$
Sostituendo in (1) si trova infine:
                   $\ u(x,y)={x^{2} \over 2}+xy-Cos[y]-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}]),$
onde l'integrale generale dell'equazione è:
                      $\ {x^{2} \over 2}+xy-Cos[y]-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}])=C.$

## Equazioni riducibili esatte ossia per le quali esiste un fattore integrante
### Caso a

Forma tipica: $Adx+Bdy=0$
Essendo: $\ A(x,y)eB(x,y)$ funzioni omogenee e $\ Ax+By\neq 0;$ il fattore integrante è:$\ {1 \over Ax+By}.$
(I°) metodo di soluzione: Si divide l'equaqzione per $\ Ax+By$, e si ottiene così una equazione esatta che si
risolve come è stato indicato per il $\ 2do$ tipo.
(II°) metodo di soluzione: Si pone: $\ y=t$, onde $\ dy=tdx+xdt$ e l'equazione data diventa:
       $\ {tdx+xdt \over dx}=f(1,t)$ da cui, separando le variabili: $\ {dx \over x}={dt \over f(1,t)-t}$
e integrando: $\ \log cx=\int _{1 \over f(1,t)-t}\,dt.$
Esempio: $2xydx+(y^{2}-x^{2})dy=0$
Risolvendo rispetto a y' si ha:
                $\ {dy \over dx}={2xy \over x^{2}-y^{2}},\qquad ovvero{dy \over dx}={2{y \over x} \over {1-({y \over x})^{2}}}\qquad (y\neq x)$
Poniamo: $\ y=tx$ onde: $\ dy=tdt+xdt$ e l'equazione diviene:
          $\ {tdx+xdt \over dx}={2t \over 1-t^{2}}\qquad ovvero\ :{dx \over x}={1-t^{2} \over t+t^{2}}dt$.
Integrando si ottiene: $\ Cx={xy \over x^{2}+y^{2}}$ ovvero: $\ C(x^{2}+y^{2})=y$ che è l'equazione di una famiglia di circonferenze aventi il centro sull'asse y.

### Caso b

Forma tipica: $f(xy)ydx+g(xy)xdy=0$
Fattore integrante: $\ {1 \over Ax-By},\qquad essendo\ Ax-By\neq 0$
Esempio: $(x^{2}y^{2}+xy)ydx+(x^{2}y^{2}-1)xdy=0,$
Fattore integrante: $\ {1 \over x^{2}y^{2}+xy}.$
Dividendo l'equazione per $\ x^{2}y^{2}+xy$ si ha:
             $\ ydx+(x-{1 \over y})dy=0,$ che è una equazione esatta.
Integrando si ottiene: $\ xy+log\ C=log\ y$ da cui l'integrale generale:
                   $\ y=Ce^{xy}.$

### Caso c

Forma tipica: $Adx+Bdy=0\qquad {1 \over B}({\partial A \over \partial y}-{\partial B \over \partial x})=f(x)$
Quando: ${1 \over B}({\partial A \over \partial y}-{\partial B \over \partial x})=f(x)$
Fattore integrante: $\ \rho =e^{\int _^f(x)dx}.$
Esempio: $(x^{2}+y^{2}+2x)dx+2ydy=0$
Si ha: $\ {1 \over B}({\partial A \over \partial y}-{\partial B \over \partial y})={1 \over 2y}2y=1$
onde il fsattore integrante è: $\ \rho =e^{\int _^dx}=e^{x}.$
Si deduce quindi l'equazione esatta:
             $\ e^{x}(x^{2}+y^{2}+2x)dx+2e^{x}ydy=0,$
da cui integrando si ha: $\ e^{x}(x^{2}+y^{2})=C.$

### Caso d

Forma tipica: $Adx+Bdy=0\qquad {1 \over A}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial x})=\varphi (y)$
Quando: $\ {1 \over A}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y})=\varphi (y),$
Fattore integrante: $\ \rho =e^{\int _^\varphi (y)dy}$
Esempio: $y^{2}dx+(xy+1)=0$
Si ha: $\ {1 \over A}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y})=-{1 \over y},$
onde il fattore integrante è: $\ \rho =e^{\int _^-{1 \over y}dy}={1 \over y}.$
Dividendo quindi l'equazione per y, si ha l'equazione esatta:
                   $\ ydx+(x+{1 \over y})dy=0,$
il cui integrale generale è:
                   $\ xy+logy=C.$