# Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Si consideri ancora il problema di Dirichlet per la corda vibrante:
${\begin{cases}u_{tt}-v^{2}u_{xx}=0\\u(x;0)=u(x)\\u_{t}(x;0)=u_{t}(x)\\u(0;t)=u(L;t)=0\end{cases}}$
È stato già dimostrato che la soluzione del problema può essere scritta sfruttando la serie di Fourier:
$u(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}(t)s_{n}(x)$
Sappiamo che l'energia totale può essere scritta, da definizione, come:
$E=E(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\left[u_{t}^{2}(x;t)+v^{2}u_{x}^{2}(x;t)\right]dx$
Si vuole ora ricavare l'espressione esplicita per questa grandezza. Per farlo si sfrutta un'importante proprietà del sistema studiato: l'energia totale è una grandezza conservata. Dunque:
$E(t)=E(0)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\left[u_{t}^{2}(x)+v^{2}u_{x}^{2}(x)\right]dx$
Per scrivere esplicitamente $E$ in funzione dell'espressione di $u(x;t)$ scritta sopra, è necessario calcolare esplicitamente $u_{t}$ e $u_{x}$.
Per $u_{t}$ si ha che:
$u_{t}=u_{t}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}(t)s_{n}(x)$
Per $u_{x}$ si ha che $u_{x}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}(t)s_{n}^{\prime }(x)$. Essendo $s_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)$ si ha:
$s^{\prime }(x)=k_{n}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)=k_{n}{\tilde {s}}_{n}(x)$
Da cui segue che $u_{x}(x;t)$ può essere scritta come:
$u_{x}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}(t)k_{n}{\tilde {s}}_{n}(x)$
È ora possibile calcolare i quadrati di queste due funzioni, necessari per poter determinare l'espressione esplicita dell'energia totale del sistema:
$u_{t}^{2}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\sum _{m=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}(t)s_{n}(x){\dot {q}}_{m}(t)s_{m}(t)$
Integrando tra 0 e $L$ si ottiene:
$\int _{0}^{L}u_{t}^{2}(x;t)dx=\sum _{n=1}^{+\infty }\sum _{m=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}(t){\dot {q}}_{m}(t){\underset {\delta _{n,m}}{\underbrace {\int _{0}^{L}s_{n}(x)s_{m}(x)dx} }}=\sum _{n=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}^{2}(t)$
Con conti del tutto analoghi si ricava il valore del termine di energia potenziale:
$\int _{0}^{L}v^{2}u_{x}^{2}(x;t)dx=v^{2}\sum _{n=1}^{+\infty }\sum _{m=1}^{+\infty }q_{n}(t)q_{m}(t){\underset {\delta _{n,m}k_{n}k_{m}}{\underbrace {\int _{0}^{L}{\tilde {s}}_{n}(x){\tilde {s}}_{m}(x)k_{n}k_{m}dx} }}=v^{2}\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}^{2}(t)k_{n}^{2}$
In definitiva, l'energia totale del sistema può essere scritta come:
$E(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\left(u_{t}^{2}+v^{2}u_{x}^{2}\right)dx={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{+\infty }\left({\dot {q}}^{2}+{\underset {\omega _{n}^{2}}{\underbrace {v^{2}k_{n}^{2}} }}q_{n}^{2}\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left({\frac {1}{2}}{\dot {q}}_{n}^{2}+{\frac {1}{2}}\omega _{n}^{2}q_{n}^{2}\right)$
Si è arrivati a un risultato piuttosto importante: la corda vibrante può essere idealizzata a un sistema di infiniti oscillatori armonici. Inoltre l'analisi di Fourier, che ci ha permesso di scrivere $u(x;t)=\sum q_{n}(t)s_{n}(x)$, permette di trovare una base ortonormale rispetto a cui l'energia è diagonale.