# Matematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
Modifica il sommario

## Cos'è un insieme

Un qualsiasi raggruppamento, raccolta o collezione di oggetti prende il nome di insieme, e gli oggetti si dicono elementi dell'insieme. Un insieme può essere finito, quando è possibile elencare tutti i suoi elementi; un insieme è infinito, invece, quando non è possibile elencarli tutti. Un insieme può anche essere vuoto, se non ha elementi. Un insieme vuoto si rappresenta con uno dei seguenti simboli:
    Ø oppure { }
Due insiemi sono uguali quando hanno gli stessi elementi, nello stesso numero.

## Rappresentazione di un insieme

Un insieme si può rappresentare in diversi modi, ma i metodi principali di rappresentazione sono: la rappresentazione tabulare, o per elencazione; la rappresentazione mediante proprietà caratteristica; i diagrammi di Eulero-Venn.

### Rappresentazione tabulare o per elencazione

In questo tipo di rappresentazione, bisogna elencare tutti gli elementi dell'insieme, separandoli con una virgola, e racchiudendoli fra una coppia di parentesi graffe, ad esempio:
* A = {cane, gatto, volpe, lupo}
* B = {1, 2, 4, 6, 8, 10 }

### Rappresentazione mediante proprietà caratteristica

In questo tipo di rappresentazione, bisogna individuare innanzitutto una proprietà che caratterizza gli elementi del nostro insieme, e che prende il nome di caratteristica dell'insieme, poi si sceglie un nome generico per gli elementi del nostro insieme, di solito una lettera minuscola dell'alfabeto, e si scrivono entrambe le cose in una coppia di parentesi graffe, separate da una barra verticale, ad esempio:
* A = {x | x è una razza di cane}
    x è il nome generico dato agli elementi dell'insieme, e la frase x è una razza di cane esprime la nostra proprietà caratteristica. Il tutto si legge "x tale che x è una razza di cane"
Spesso, si ricorre all'utilizzo anche di un insieme ambiente, e sarebbe l'insieme dal quale andiamo a prendere gli elementi che costituiranno il nostro insieme. Esso si indica nella prima parte della rappresentazione, prima della barra verticale, ad esempio:
* A = {x ∈ C | x è un pitbull}
    L'insieme C in questo caso sarebbe:
       C = {x | x è una razza di cane}

### Diagrammi di Eulero-Venn

Questo tipo di rappresentazione, consiste nel racchiudere gli elementi del nostro insieme in una linea chiusa non intrecciata, indicando all'esterno di essa il nome del nostro insieme, ad esempio:

## Predicati e operazioni con gli insiemi

Un predicato è una frase che esprime una proprietà caratteristica che soddisfano alcuni elementi di un insieme, o tutti. Esso si indica di solito con una lettera minuscola dell'alfabeto, ad esempio p.

### La negazione e l'insieme complementare

Dato un predicato p in un insieme U, la negazione di p si indica in uno dei seguenti modi:
e si legge non p. Inoltre, se A è il sottoinsieme di U individuato dal predicato p eB il sottoinsieme di U individuato dal predicato ¬p, si dice che B sia l'insieme complementare di A rispetto ad U. In simboli:
Negli ultimi due casi non si hanno dubbi su quale sia l'insieme U.

## Elementi di teoria degli insiemi

Simbolo Significato
N Insieme dei numeri naturali
Z Insieme dei numeri interi
Q Insieme dei numeri razionali
R Campo dei numeri reali
C Campo dei numeri complessi
∪ unione degli elementi di un insieme A e quelli di un insieme B
∩ (intersezione) indica gli elementi comuni in due o più insiemi
⊂ (inclusione propria) gli elementi del primo insieme sono presenti anche nel secondo
⊆ (inclusione impropria) gli stessi elementi sono presenti in entrambi gli insiemi e questi possono essere uguali
∈ indica che l'elemento appartiene ad un determinato insieme
∉ indica che l'elemento non appartiene ad un determinato insieme
∅ indica che l'insieme è vuoto, privo di qualsiasi elemento
∃ indica l' esistenza di un determinato insieme o elemento
∀ indica che l'operazione verra svolta su tutti gli elementi dell' insieme