# Meccanica analitica/Cinematica relativistica

Meccanica analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Meccanica lagrangiana
* Introduzione alla meccanica lagrangianaMeccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
* Vincoli, virtualismi, variabili lagrangianeMeccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
* Equazione simbolica di d'AlembertMeccanica analitica/Equazione simbolica di d'Alembert
* La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
* Quantità conservateMeccanica analitica/Quantità conservate
* Punti di equilibrioMeccanica analitica/Punti di equilibrio
* Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabiliMeccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili
Meccanica hamiltoniana
* Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
* Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
* Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
* Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
* Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
* Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
* Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
* Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
* Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
* Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
* Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
* Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
* Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
* La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
* La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
* Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
* Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
* Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
* Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
* Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
* Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
* Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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Come abbiamo accennato nel precedente paragrafo, possiamo descrivere le linee di universo come funzioni del tempo proprio $\tau$. Ora iniziamo a fare considerazioni di meccanica relativistica, introducendo le grandezze fondamentali con le quali si studiano eventi nello spazio di Minkowsky. Breve precisazione di notazione: l'indice $i$ sulle coordinate dei quadrivettori indica tutte le coordinate, quindi $i=0,1,2,3$, al contrario, l'indice $\alpha$ indica solo le coordinate spaziali, ovvero $\alpha =1,2,3$.
Definizione
Siano le coordinate di un quadrivettore $(x_{0}=ct,x_{1}=x,x_{2}=y,x_{3}=z)$, si definisce quadrivelocità:
$U_{i}={\frac {dx_{i}(\tau )}{d\tau }}0$
Notiamo che la quadrivelocità non può essere di genere spazio: se così fosse, infatti, avremmo che la sua norma $|{\underline {U}}|>c$ supera la velocità della luce, e non è possibile. Risulta quindi essere un vettore di tipo tempo e, quindi, interno al cono di luce.
Data la velocità classica di coordinate $v_{\alpha }=v_{x},v_{y},v_{z}$, scriviamo le coordinate del vettore ${\underline {U}}$ in funzione di queste. Ricordiamo la relazione delle trasformazioni di Lorentz:
$dt={\frac {d\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\quad \Rightarrow \,d\tau =dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
Da questo, sostituendo il valore trovato di $d\tau$ nella definizione di quadrivelocità, otteniamo:
$U_{i}={\frac {dx_{i}(\tau )}{d\tau }}={\frac {dx_{i}(\tau )}{dt}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\begin{cases}&U_{0}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\&U_{\alpha }={\frac {v_{\alpha }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{cases}}$
Inoltre, la norma quadra della quadrivelocità risulta essere costante:
${\begin{aligned}|{\underline {U}}|^{2}&=U_{0}^{2}-U_{1}^{2}-U_{2}^{2}-U_{3}^{2}=\left({\frac {d(ct)}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {dz}{d\tau }}\right)^{2}=\\&={\frac {(c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2})}{d\tau ^{2}}}={\frac {ds^{2}}{d\tau ^{2}}}=c^{2}{\frac {d\tau ^{2}}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\end{aligned}}$
Come anticipato, quindi, la norma quadra è costante, positiva, e quindi la quadrivelocità è un vettore di genere tempo in ogni sistema di riferimento inerziale.
La scelta di definire la quadrivelocità è portata dall'utilizzo delle trasformazioni di Lorentz. La matrice di trasformazione, infatti, è una matrice $4\times 4$, mentre la velocità classica è un vettore in tre coordinate spaziali. Inoltre, la comodità di lavorare in uno spazio quadri-dimensionale rende comodo lo studio di come variano tempo e spazio lungo tutto lo spazio.
Definizione
Si definisce il vettore quadriaccelerazione:
${\underline {A}}={\frac {d{\underline {U}}}{d\tau }}$
Notiamo che, posto $U_{\alpha }={\frac {v_{alpha}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$, possiamo esplicitare le componenti $A_{\alpha }$ della quadriaccelerazione:
${\begin{aligned}A_{\alpha }&={\frac {dU_{\alpha }}{d\tau }}={\frac {dU_{\alpha }}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\\&={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\left({\frac {\frac {dv_{\alpha }}{dt}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}+v_{\alpha }\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-{\frac {v_{\alpha }^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\cdot {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {dv_{\alpha }v_{\alpha }}{dt}}\right)=\\&={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\left({\frac {a}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {v_{\alpha }^{2}}{c^{2}}}{\frac {a}{\sqrt {\left(1-{\frac {v_{\alpha }^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}}}}\right)\end{aligned}}$
In relatività, si usa passare a due parametri noti, $\beta$ e $\gamma$, che valgono:
$\beta ={\frac {v}{c}}\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
Utilizzando questi parametri, l'espressione qui sopra può essere scritta in forma più elegante (come molte altre espressioni della teoria).

## Paradosso dei gemelli

Il paradosso dei gemelli è un semplice esperimento mentale proposto da Einstein. Alla luce di ciò che abbiamo detto finora, potrà essere chiaro.
Il problema è semplice: due gemelli vengono messi su due astronavi e sottoposti agli stessi effetti accelerativi (ovvero subiscono le stesse variazioni di velocità), solo che uno dei due trascorre nello spazio più tempo, viaggiando a velocità più elevate di quelle della Terra. Quindi, un gemello atterra prima dell'altro e, una volta arrivati entrambi a terra, confrontano i loro tempi propri: il risultato finale è che, essendo stato uno dei due più tempo nello spazio a velocità elevate, questo sarà più giovane del fratello.