# Fisica nucleare e subnucleare/Cinematica delle particelle elementari

Fisica nucleare e subnucleare
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Fisica nucleare
* Primi fatti e definizioniFisica nucleare e subnucleare/Primi fatti e definizioni
* Proprietà dei nuclei atomiciFisica nucleare e subnucleare/Proprietà dei nuclei atomici
* Il deutoneFisica nucleare e subnucleare/Il deutone
* Riassunto delle principali proprietà dell'interazione fra nucleoniFisica nucleare e subnucleare/Riassunto delle principali proprietà dell'interazione fra nucleoni
* Stabilità dei nuclei e decadimenti radioattiviFisica nucleare e subnucleare/Stabilità dei nuclei e decadimenti radioattivi
* I decadimentiFisica nucleare e subnucleare/I decadimenti
* Modelli per nuclei medi e pesantiFisica nucleare e subnucleare/Modelli per nuclei medi e pesanti
* Il modello a gas di FermiFisica nucleare e subnucleare/Il modello a gas di Fermi
* Il modello a goccia di liquidoFisica nucleare e subnucleare/Il modello a goccia di liquido
* Modello a shellFisica nucleare e subnucleare/Modello a shell
* Introduzione ai decadimentiFisica nucleare e subnucleare/Introduzione ai decadimenti
* Decadimenti alphaFisica nucleare e subnucleare/Decadimenti alpha
* Decadimenti betaFisica nucleare e subnucleare/Decadimenti beta
* Decadimenti gammaFisica nucleare e subnucleare/Decadimenti gamma
Fisica subnucleare
* La fisica subnucleareFisica nucleare e subnucleare/La fisica subnucleare
* Cinematica delle particelle elementariFisica nucleare e subnucleare/Cinematica delle particelle elementari
* CollisioniFisica nucleare e subnucleare/Collisioni
* La scoperta delle particelle elementariFisica nucleare e subnucleare/La scoperta delle particelle elementari
* Da Thomson a RutherfordFisica nucleare e subnucleare/Da Thomson a Rutherford
* I raggi cosmiciFisica nucleare e subnucleare/I raggi cosmici
* I mesoni KFisica nucleare e subnucleare/I mesoni K
* La storia dei leptoniFisica nucleare e subnucleare/La storia dei leptoni
* SimmetrieFisica nucleare e subnucleare/Simmetrie
* Il modello a quarkFisica nucleare e subnucleare/Il modello a quark
* Trattazione quantistica dell'elettromagnetismoFisica nucleare e subnucleare/Trattazione quantistica dell'elettromagnetismo
* Teoria delle interazioni fortiFisica nucleare e subnucleare/Teoria delle interazioni forti
* Teoria delle interazioni deboliFisica nucleare e subnucleare/Teoria delle interazioni deboli
* Unificazione elettrodeboleFisica nucleare e subnucleare/Unificazione elettrodebole
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Rivediamo brevemente quei concetti di cinematica relativistica che ci serviranno in seguito.
Le particelle elementari hanno generalmente una massa molto più piccola della loro energia cinetica (anche quelle più pesanti): insomma, le particelle elementari vanno sempre considerate relativisticamente, e per noi si muoveranno quasi sempre alla velocità della luce.
Sappiamo che in cinematica relativistica possiamo definire:
${\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
Se poi consideriamo due sistemi di riferimento e chiamiamo $P$ un evento, abbiamo:
$x'=\gamma (x-\beta _{r}ct)\quad y'=y\quad z'=z\quad ct'=\gamma (ct-\beta _{r}x)$
ove $\beta _{r}$ è la velocità relativa del sistema di riferimento primato rispetto all'altro. Quelle appena scritte sono, come noto, le trasformazioni di Lorentz per il quadrivettore $(ct,{\vec {r}}$). Questo quadrivettore non sarà tuttavia di grande interesse per noi, visto che vogliamo descrivere le interazioni fra le particelle, e non il loro moto; ci serviremo soprattutto del quadrimpulso:
$\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=(m\gamma c,m\gamma {\vec {v}})$
per il quale:
$p_{x'}=\gamma \left(p_{x}-\beta _{r}{\frac {E}{c}}\right)\quad p_{y'}=p_{y}\quad p_{z'}=p_{z}\quad {\frac {E'}{c}}=\gamma \left({\frac {E}{c}}-\beta _{r}p_{x}\right)$
Sappiamo poi che vale:
$p_{\mu }p^{\mu }={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}\quad \Rightarrow \quad {\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}=m^{2}\gamma ^{2}c^{2}-m^{2}\gamma ^{2}v^{2}\quad \Rightarrow \quad E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$
È una relazione fondamentale che collega l'energia di una particella alla sua massa e al suo impulso, e che utilizzeremo spessissimo.
Normalmente, useremo il sistema di unità di misura naturali, che ci semplificherà notevolmente i conti. In questo sistema di misura si pone $c=1$ e $\hbar =1$, ossia $h=2\pi$; come unità di misura dell'energia, invece, useremo l'eV. Ponendo $c=1$, la relazione precedente può essere scritta come $m^{2}=E^{2}-p^{2}$, che vale per una singola particella. Se invece abbiamo più particelle (che non interagiscono fra loro):
$m^{2}=\left(\sum _{i}E_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\right)^{2}$
pertanto, la massa del sistema non è la somma delle energie delle singole componenti (questa relazione è palesemente non lineare); coinciderà però con l'energia del sistema nel suo centro di massa, perché è un invariante relativistico. Infatti, sfruttando la variabile di Mandelstam $s$:
$s_{\mbox{lab }}^{2}:=m^{2}=\left(\sum _{i}E_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\right)^{2}\quad s_{\mbox{cdm }}^{2}:=m^{2}=\left(\sum _{i}E_{i}^{*}\right)^{2}$
(ricordiamoci che per definizione nel centro di massa si ha $\sum _{i}{\vec {p}}_{i}^{*}=0$).
Per studiare com'è fatta la materia, dall'esperimento di Rutherford in poi usiamo come tattica quella di lanciarci particelle contro. I tipi i esperimenti di questo tipo si dividono nelle seguenti categorie:
* a targhetta fissa: in questo caso il bersaglio è fermo nel sistema di riferimento del laboratorio;
* collider:si fanno scontrare frontalmente due fasci di particelle.
Nel caso della targhetta fissa, si ha:
$s=(E_{1}+m_{2})^{2}-p_{1}^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2E_{1}m_{2}$
mentre nel caso del collider:
$s=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2E_{1}E_{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}-2{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+4E_{1}E_{2}$
ove l'ultimo passaggio è valido nell'ipotesi in cui $E\gg m$ e ${\vec {p}}_{1}$ e ${\vec {p}}_{2}$ siano collineari (e quindi ${\vec {p}}_{2}\cdot {\vec {p}}_{2}=-p_{1}p_{2}$). Da questo calcolo possiamo capire perché in genere si prediligono i collider.
Nei collider, dunque, l'energia a disposizione nel centro di massa cresce molto velocemente con l'energia dei fasci. Pertanto, poiché $s$ è l'energia del sistema nel centro di massa, maggiore è $s$ maggiore è la massa che si ha a disposizione per "creare qualcosa di nuovo".