# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
Modifica il sommario
Nei moduli precedenti è stata derivata l'equazione delle onde a partire dal modello di D'Alembert. In questo modulo ci si sofferma su un modello differente da quello già presentato, che però permette di giungere alle medesime conclusioni: il modello di Lagrange.
In questo approccio la corda vibrante è idealizzata a un sistema continuo costituito da $N$ particelle identiche, tra loro collegate e interagenti da molle, tutte con la medesima costante elastica $k$. In tale modello si assumono anche le seguenti ipotesi:
* il moto delle particelle è unicamente trasversale;
* si suppone che le particelle interagiscano tra loro tramite forze elastiche. Tutte le forze elastiche sono tra loro identiche, avendo le particelle stessa massa e le molle stessa costante elastica, e le interazioni avvengono solo tra primi vicini.
Partendo da questa approssimazione discreta, l'equazione delle onde si otterrà passando al limite per $N\rightarrow \infty$ e $a\rightarrow 0$.
Il sistema si studia usando la meccanica lagrangiana, pertanto è necessario calcolare il contributo di energia cinetica e di energia potenziale totale del sistema. Ogni particella sarà descritta dalla coppia di coordinate $(ia,u_{i}),\;i=0,\dots ,N+1$. Si ha:
$T=\sum _{i=1}^{N}{\frac {m}{2}}{\dot {u}}_{i}^{2}(t)$
Mentre per l'energia potenziale:
$V=\sum _{i=1}^{N}r_{i,i+1}^{2}=\sum {\frac {k}{2}}\left[((i+1)a-ia)^{2}+(u_{i+1}-u_{i})^{2}\right]$
Sapendo che i contributi costanti di $V$ non hanno effetto sulle equazioni di Eulero-Lagrange del sistema e quindi possono essere trascurati, si può scrivere che il valore di $V$ è:
$V={\frac {k}{2}}\sum _{i=0}^{N}(u_{i+1}-u_{i})^{2}$
In definitiva, la lagrangiana del sistema è data da:
${\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}\sum _{i=0}^{N+1}{\dot {u}}_{i}^{2}(t)-{\frac {k}{2}}\sum _{i=0}^{N}(u_{i+1}-u_{i})^{2}$
L'evoluzione del sistema è studiabile grazie alle equazioni di Eulero-Lagrange:
$m{\ddot {u}}_{i}=-k\left[(u_{i}-u_{i+1})+(u_{i}-u_{i-1})\right],\;\forall i=1,\dots ,N$
Dividendo per $a$ si ottiene:
${\frac {m{\ddot {u}}_{i}}{a}}=ak{\frac {\left({\frac {u_{i+1}-u_{i}}{a}}-{\frac {u_{i}-u_{i-1}}{a}}\right)}{a}}$
Il fattore che compare al lato destro dell'equazione appena scritta, può essere pensato come il rapporto incrementale che definisce la derivata seconda. Ovvero:
$\lim _{a\rightarrow 0,N\rightarrow +\infty }{\frac {\left({\frac {u_{i+1}-u_{i}}{a}}-{\frac {u_{i}-u_{i-1}}{a}}\right)}{a}}=u_{xx}$
Questo passaggio al limite consente di definire ${\frac {m}{a}}\rightarrow \rho$ e $ak\rightarrow \tau$. In realtà questi due limiti sono ipotesi che è necessario, e sensato, fare affinché il sistema abbia significato fisico.Questo passaggio al limite porta a poter riscrivere l'equazione di moto vista sopra come:
$\rho u_{tt}-\tau u_{xx}=0$
Abbiamo dunque derivato l'equazione delle onde, nel caso monodimensionale, partendo da un modello, e dunque da un impianto di ipotesi, differente da quello di D'Alembert già visto.
Concludiamo questo modulo osservando che la derivazione appena effettuata si basa su un passaggio al limite, cosa che non avveniva nel modello di D'Alembert. Questo passaggio al limite è estremamente importante perché consente di giungere alla seguente osservazione.
Data la lagrangiana:
${\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}\sum _{i=0}^{N+1}{\dot {u}}_{i}^{2}(t)-{\frac {k}{2}}\sum _{i=0}^{N}(u_{i+1}-u_{i})^{2}$
L'equazione delle onde si ricava passando al limite per $N\rightarrow +\infty$ e $a\rightarrow 0$, che equivale a scrivere:
$\lim _{N\rightarrow +\infty }{\mathcal {L}}=\int _{a}^{b}\left({\frac {\rho }{2}}u_{t}^{2}-{\frac {\tau }{2}}u_{x}^{2}\right)dx$
Ovvero, è possibile concludere che un sistema continuo ammette lagrangiana. Questa breve osservazione ci porta anche a poter concludere che un sistema continuo ammette pure equazioni di Eulero-Lagrange.