# Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistema di riferimento del centro di massa

Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
Dinamica dei sistemi di punti
* Centro di massaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Centro di massa
* Conservazione della quantità di motoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Conservazione della quantità di moto
* Sistema di riferimento del centro di massaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistema di riferimento del centro di massa
* Mutua interazione: problema dei due corpiMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Mutua interazione: problema dei due corpi
* Teorema di König per l'energia cineticaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per l'energia cinetica
* Sistemi a massa variabileMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi a massa variabile
* Moto di un razzoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di un razzo
Seconda legge cardinale
* La seconda legge cardinaleMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/La seconda legge cardinale
* Teorema di König per il momento angolareMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per il momento angolare
* Corpo rigido in rotazioneMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Corpo rigido in rotazione
* Momento d'inerziaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Momento d'inerzia
* Coppia di forzeMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Coppia di forze
* Sistemi di forze paralleleMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi di forze parallele
* Pendolo fisicoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Pendolo fisico
* Moto di una trottolaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di una trottola
Statica, urti e rotolamento
* Sistemi in equilibrioMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi in equilibrio
* Esempi di problemi di staticaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Esempi di problemi di statica
* Moto di rotolamentoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di rotolamento
* Urti elastici e anelasticiMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Urti elastici e anelastici
Appendice
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Nello studio della dinamica dei sistemi di punti è spesso utile considerare il sistema di riferimento del centro di massa. Un tale sistema di riferimento ha queste caratteristiche:
* l'origine degli assi si trova nel centro di massa;
* gli assi sono sempre paralleli rispetto a quelli di un sistema di riferimento inerziale;
* non è in generale un sistema inerziale, poiché in generale non è nulla la risultante delle forze esterne agenti sul sistema.
Indicando con un apice le grandezze riferite al sistema di riferimento del centro di massa possiamo scrivere per ogni punto
${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}'_{i}+{\vec {r}}_{cm}$
dove ${\vec {r}}_{i}$ è il raggio vettore che identifica la posizione dell'i-esimo punto rispetto a un sistema di riferimento inerziale e ${\vec {r}}_{cm}$ è il vettore che unisce le origini dei due sistemi di riferimento. Dal teorema delle velocità relative con $\omega =0$ abbiamo che
${\vec {v}}_{i}={\vec {v}}'_{i}+{\vec {v}}_{cm}$
Poiché abbiamo assunto il centro di massa come riferimento valgono le relazioni
${\vec {r}}'_{cm}=0,\quad {\vec {v}}'_{cm}=0$
da cui
$\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}=0$
ovvero la quantità di moto del sistema, somma delle quantità di moto dei singoli punti, è nulla se viene calcolata nel sistema di riferimento del centro di massa.
Facciamo ora alcune considerazioni energetiche. L'energia cinetica del sistema così come è misurata nel sistema di riferimento inerziale è:
$E_{k}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}$
che possiamo scrivere come
$E_{k}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}\left({\vec {v}}'_{i}+{\vec {v}}_{cm}\right)^{2}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\vec {v}}_{i}^{'2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\vec {v}}_{cm}^{2}+\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}{\vec {v}}_{cm}$
Il primo termine rappresenta l'energia cinetica del sistema di punti così come è misurata nel sistema di riferimento del centro di massa, il secondo termine è l'energia cinetica del centro di massa, misurata nel sistema di riferimento inerziale, e infine l'ultimo termine è nullo, in quanto sappiamo che la quantità di moto del sistema misurata nel sistema del centro di massa è nulla. In definitiva possiamo scrivere
$E_{k}=E'_{k}+{\frac {1}{2}}M{v}_{cm}^{2}$
che rappresenta il teorema di König per l'energia cinetica. L'energia cinetica di un sistema di punti materiali è uguale alla somma dell'energia cinetica del sistema misurata nel sistema di riferimento del centro di massa più l'energia cinetica del centro di massa stesso, misurata nel sistema inerziale.