# Informatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Calcolare Numericamente un Integrale

Informatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
    CopertinaInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Copertina
* OctaveInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Octave
* MatriciInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Matrici
* Sistema di equazioni lineariInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Sistema di equazioni lineari
* LatexInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Latex
* Istruzioni Programmazione OctaveInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Istruzioni Programmazione Octave
** EserciziInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Istruzioni Programmazione Octave/Esercizi
* Gauss Risoluzione Sistemi LineariInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Gauss Risoluzione Sistemi Lineari
* Jacobi Risoluzione Sistemi LineariInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Jacobi Risoluzione Sistemi Lineari
* Calcolare Numericamente un IntegraleInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Calcolare Numericamente un Integrale
** AreaInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Area
* Risolvere Numericamente una equazione differenzialeInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Risolvere Numericamente una equazione differenziale
** Decadimento RadioattivoInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Decadimento Radioattivo
* Grafici in OctaveInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Grafici in Octave
* Metodo di BisezioneInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Metodo di Bisezione
* FrattaliInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Frattali
* Problemi legati al Calcolo NumericoInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Problemi legati al Calcolo Numerico
* Tecnica di MontecarloInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Tecnica di Montecarlo
* AlgoritmiInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Algoritmi
* Algoritmi Complessità computazionaleInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Algoritmi Complessità computazionale
* Modelli e SimulazioneInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Modelli e Simulazione
** Modelli e SistemiInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Modelli e Sistemi
** Tipi di Modello
** Diagrammi a blocchiInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Diagrammi a blocchi
** Sistemi a microprocessoreInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Sistemi a microprocessore
** Blocchi di condizionamento e Teorema di ShannonInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Blocchi di condizionamento e Teorema di Shannon
** Un po' di elettronicaInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Un po' di elettronica
** Esempi applicativi μP-μCInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Esempi applicativi μP-μC
** AutomiInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Automi
** Distributore BibiteInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Distributore Bibite
** Sistemi Lineari e RetroazionatiInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Sistemi Lineari e Retroazionati
** Simulazione Sistema Retroazionato
** Esempio Lancio del PesoInformatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Esempio Lancio del Peso
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## Integrazione Numerica

Questo simbolo $\int$ e' il simbolo di integrale, quando si scrive un integrale definito bisogna anche specificare due numeri $\int _{a}^{b}$, le due quantita' a e b che saranno sostituite da valori numerici esprimono l'intervallo di integrazione ( estremo inferiore e estremo superiore), dopo il simbolo di integrale viene scritta la funzione che deve essere integrata $\int _{a}^{b}f(x)$ e si aggiunge poi dx che e' un simbolo che indica rispetto a quale variabile si integra la funzione (nel nostro caso x) complessivamente si ha allora $\int _{a}^{b}f(x)dx$, se la funzione f dipende dal tempo allora l'integrale della f(t) assume la forma $\int _{a}^{b}f(t)dt$. Ora prendiamo una funzione f(x) particolare f(x) = 5sin(2x) + x^2, l'integrale proprio puo' assumere la seguente forma
$\int _{0}^{\pi }5sin(2x)+x^{2}\quad dx$
* Qual è il significato dell'integrazione di una funzione f(x) nell'intervallo [a,b]
* Concetto Integrale finito
* essa corrisponde al valore dell'area sottesa alla funzione f(x) nell'intervallo [a,b], cioe' alla parte di area fra l'asse x e i valori assunti dalla f(x), questa area viene considerata positiva se sopra l'asse x e negativa se sotto l'asse x.
* Per calcolare numericamente l'area suddividiamo l'intervallo [a,b] in n parti uguali di ampiezza Δx = (b-a)/n e approssimiamo l'area (sottesa alla funzione f(x) )relativa a ciascun Δx con quella di un rettangolo di base Δx e altezza f( valore x punto iniziale rettangolo).
* Il primo rettangolo ha allora area1=Δx*f(a) il secondo area2= Δx*f(a+Δx) il terzo area3=Δx*f(a+2*Δx) e cosi' via.
* calcolare numericamente un integrale finito scomponendolo in rettangoli
* Otteniamo quindi che l'area complessiva vale
* $\sum _{i=0}^{n-1}\Delta x\cdot f(a+i\cdot \Delta x)$
* Naturalmente l'area ottenuta' e' un valore approssimato dell'area complessiva. Questo metodo di integrazione viene detto integrazione per rettangoli
* Si poteva integrare numericamente anche suddividendi l'intervallo in n parti uguali e approssimando le aree di ciascun intervallo mediante un trapezio, con altezza Δx e nel caso del primo trapezio prima base f(a) e seconda base f(a+Δx), il secondo trapezio avrà invece altezza Δx, prima base f(a+Δx) e seconda base f(a+2*Δx) e l'area complessiva e' allora pari a
* $\sum _{i=0}^{n-1}(f(a+i\cdot \Delta x)+f(a+(i+1)\cdot \Delta x))\cdot \Delta x/2$
* si vede che in questo caso (integrazione mediante trapezi) c'e' una migliore approssimazione rispetto a quella rettangolare,
* Calcolo Integrale definito scomponendolo in trapezi
in entrambi i casi si tratta di un valore dell'area approssimato e con una precisione del calcolo maggiore se n e' grande (Δx piccolo)
Vediamo di scrivere il programma utilizzando octave che ci permette il calcolo. Naturalmente possiamo imporre una certa precisione p e imporre che il programma aumenti via via il numero n finche l'area complessiva calcolata nel passo k differisca da quella calcolata nel passo k-1 della quantita' p
Se la funzione f(x) esprime ad esempio la potenza consumata dagli elettrodomestici della nostra casa l'integrale di detta funzione calcolato fra 2 particolari ore ci permette di valutare l'energia consumata e quindi anche i costi. Se la funzione f(x) esprime l'accelerazione di una macchina possiamo calcolare mediante l'integrazione fra due istanti temporali la variazione della velocita' . Il metodo di suddividere l'area di una figura mediante figure geometriche ci permette di valutarne l'estensione e dall'intensita' della colorazione possiamo risalire alla concentrazione di una sostanza o al tipo della sostanza.
Si e' visto l'approssimazione all'interno di un singolo Δx, prima l'approssimazione della curva f(x) con un tratto orizzontale ( caso dei rettangoli) poi con una retta (caso del trapezio) ma possiamo usare anche una curva parabolica (espressa da una eq di 2 grado), in questo caso l'integrazione numerica avviene con la regola Cavalieri-Simpson
* con octave il comando quad(F,A,B) calcola l'integrale della funzione F nell'intervallo [A,B] con un errore minore a 1.e-6 usando il metodo ricorsivo di Simpson.
* mentre il comando quad(F,A,B,TOL) permette tramite il parametro TOL di specificare una nostra tolleranza