# Meccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato

Meccanica analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Meccanica lagrangiana
* Introduzione alla meccanica lagrangianaMeccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
* Vincoli, virtualismi, variabili lagrangianeMeccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
* Equazione simbolica di d'AlembertMeccanica analitica/Equazione simbolica di d'Alembert
* La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
* Quantità conservateMeccanica analitica/Quantità conservate
* Punti di equilibrioMeccanica analitica/Punti di equilibrio
* Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabiliMeccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili
Meccanica hamiltoniana
* Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
* Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
* Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
* Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
* Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
* Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
* Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
* Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
* Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
* Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
* Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
* Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
* Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
* La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
* La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
* Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
* Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
* Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
* Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
* Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
* Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
* Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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Abbiamo dimostrato, nei moduli precedenti, il principio variazionale di Hamilton, osservando come un sistema di cui è possibile scrivere la lagrangiana compie una traiettoria che rende stazionario, generalmente minimo, il funzionale formale azione. Questo principio - in realtà un teorema, perché abbiamo potuto dimostrarlo (per altri esempi famosi di teoremi dimostrabili passati alla storia sotto il nome di principio, ci rifacciamo al principio di indeterminazione) - parla di lagrangiana, ma viene studiato nel formalismo hamiltoniano. È immediato quindi chiedersi se una cosa simile è possibile anche riguardo l'hamiltoniana; la risposta è positiva e va sotto il nome di principio variazionale di Hamilton ampliato. L'aggettivo ampliato si riferisce al metodo utilizzato per studiare la variazione del funzionale formale: non varieremo solo la traiettoria $q(t)$, ma anche il suo momento coniugato $p(t)$. Procediamo per gradi.
Siano $q_{h},p_{h}$ le variabili canoniche di un sistema, prese indipendenti tra loro, che soddisfano le equazioni canoniche di Hamilton. Studiamo di questo sistema le variazioni $\delta q_{h}$ e $\delta p_{h}$. Per poter visualizzare al meglio le variazioni, prendiamo lo spazio delle fasi dell'oscillatore armonico.
Come per il principio non ampliato, non facciamo variare $q_{1}$ né $q_{2}$, ovvero $\delta q_{1}=\delta q_{2}=0$. Si definisce azione ampliata il funzionale:
$A'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left(\sum _{h=1}^{n}p_{h}{\dot {q}}_{h}-H(q/p/t)\right)$
La prima osservazione, non banale, è che l'azione ampliata non è uguale all'azione, ovvero $A\neq A'$. Procediamo come nel caso precedente, studiandone la variazione. In questo non varia solo la traiettoria $q(t)$ ma varia anche $p(t)$. Nella seguente dimostrazione ci limitiamo, per semplicità di notazione, al caso unidimensionale (gradi di libertà $n=1$); nel caso multidimensionale è del tutto identica, basta aggiungere la sommatoria. Scriviamo le funzioni che variano come:
${\begin{aligned}&q(t)=q(t)+\delta q(t)\\&p(t)=p(t)+\delta p(t)\end{aligned}}$
Possiamo ora scrivere la variazione del funzionale:
$\delta A'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left(p\delta {\dot {q}}+{\dot {q}}\delta p-{\frac {\partial H}{\partial q}}\delta q-{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta p\right)$
Sviluppiamo per parti il fattore $\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,p\delta {\dot {q}}$, ottenendo $p\delta q{\Bigg |}_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,{\dot {p}}\delta q$; sostituendo:
$p\delta q{\Bigg |}_{t_{0}}^{t_{1}}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left(-{\dot {q}}\delta q+{\dot {q}}\delta p-{\frac {\partial H}{\partial q}}\delta q-{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta p\right)$
Ricordiamo ora che come condizioni abbiamo posto $\delta q(t_{1})=\delta q(t_{0})=0$, e che il nostro sistema soddisfa le equazioni canoniche di Hamilton, che compaiono qui. Sostituendo e raggruppando, otteniamo:
$\delta A'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left[\left(-{\dot {p}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}\right)\delta q+\left({\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}\right)\delta p\right]=0$
Tutto questo sempre tenendo in considerazione che $\delta q,\delta p$ sono arbitrari. Abbiamo appena dimostrato che, per un sistema che compie il suo moto normale, di cui è possibile scrivere l'hamiltoniana e le cui variabili canoniche soddisfano le equazioni canoniche, il funzionale formale azione ampliata è stazionario. Per meglio esprimerci:
Principio di Hamilton ampliato
Se un sistema segue la sua traiettoria normale, allora l'azione ampliata è stazionaria, generalmente minima. Ciò vuol dire che, tra tutte le traiettorie possibili, il sistema compie la particolare $q(t)$, di momento coniugato $p(t)$, tali che questi due elementi minimizzino l'azione ampliata.
Esattamente come per il principio variazionale non ampliato, questo risultato è di notevole interesse, seppur aspettato (poiché l'hamiltoniana deriva direttamente dalla lagrangiana, era auspicabile ottenere un risultato simile).