# Analisi matematica I/Numeri reali (seconda parte)

Analisi matematica I
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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Limiti di funzioni reali a una variabile reale
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## I numeri reali
#### Proprietà di $\mathbb {R}$

* $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )$ è un campo commutativo e totalmente ordinato.
* $(\mathbb {R} ,\leq )$ è completo.
La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutative e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio. La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato $A\subseteq \mathbb {R}$, esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

### Valore assoluto

Sia $x\in \mathbb {R}$. Si definisce il valore assoluto (o modulo) di $x$ il numero reale denotato con $|x|$ tale che
$|x|=\max\{x,-x\}$

#### Proposizione (proprietà del valore assoluto)

$\forall x\in \mathbb {R}$, si ha
* $\pm x\leq |x|$
* $|x|\geq 0$
* $|xy|=\left|x\right|\left|y\right|$
* $|x+y|\leq \left|x\right|+\left|y\right|$ (disuguaglianza triangolare)

##### Dimostrazione

Le proprietà 1 e 3 sono molto facili e ne omettiamo la dimostrazione per brevità.
La 2 afferma che il valore assoluto è sempre non negativo. Infatti:
* $|x|=0\Leftrightarrow \max\{x,-x\}=0$
* $|x|<0\Rightarrow \max\{x,-x\}<0$ ed è ovviamente assurdo, perché se $x$ è positivo, il massimo tra $x$ e $-x$ è $x>0$. Se $x$ è negativo, il massimo tra $x<0$ e $-x>0$ è $-x$, che è appunto maggiore di 0.
Riguardo alla disuguaglianza triangolare, abbiamo:
* se uno dei due è nullo (ad esempio $y$ otteniamo
       $|x+y|=|x|$
* altrimenti
       $|x+y|\leq \left|x\right|+\left|y\right|\Leftrightarrow |x+y|^{2}\leq (\left|x\right|+\left|y\right|)^{2}\Leftrightarrow |x|^{2}+2xy+|y|^{2}\leq |x|^{2}+2|xy|+|y|^{2}$ $\Box$

### Parte intera

Sia $x\in \mathbb {R}$. Si definisce parte intera di $x\,$ il numero intero, denotato con $[x]\,$, tale che:
$[x]=\max\{a\in \mathbb {Z} |a\leq x\}$

### Mantissa

Sia $x\in \mathbb {R}$ e $[x]\,$ parte intera di $x\,$. Si definisce il mantissa di $x\,$ il numero reale, denotato con $(x)\,$, tale che:
$(x)=x-[x]\,$

### Induzione matematica e insiemi induttivi

Consideriamo un insieme $I\subseteq \mathbb {R}$. Si dice induttivo se
* $1\in I$
* $x\in I\Rightarrow x+1\in I$
Denotiamo con ${\mathcal {I}}$ l'insieme di tutti i sottoinsiemi induttivi di $\mathbb {R}$.

#### Insieme dei numeri naturali

$\mathbb {N} =\{x\in \mathbb {R} \ :\ x\in I,\forall I\in {\mathcal {I}}\}$
In altre parole, $\mathbb {N}$ è il più piccolo degli insiemi induttivi.

#### Teorema (principio di induzione matematica)

Sia $P(n)$ una proposizione logicamente significativa. Se
* $P(1)$ è vera
* $P(n)\Rightarrow P(n+1)$
allora $P(n)$ è vera per ogni $n\in \mathbb {N}$.

##### Dimostrazione

Sia $M\subseteq \mathbb {N}$ l'insieme degli $n\in \mathbb {N}$ per cui valgano le condizioni 1 e 2. $M$ è allora un insieme induttivo e sappiamo che $\mathbb {N}$ è il più piccolo degli insiemi induttivi, dunque $\mathbb {N} \subseteq M$. D'altra parte si ha, per ipotesi, che $M\subseteq \mathbb {N}$. Dunque $M=\mathbb {N}$.
$\Box$

### Importanti considerazioni finali
#### Lemma

$\mathbb {N}$ non è superiormente limitato.

##### Dimostrazione del Lemma

Infatti, se lo fosse, per la completezza di $\mathbb {R}$ esisterebbe un reale $m$ tale che $m=\sup \mathbb {N}$. Però, siccome $m$ è il minore di tutti i maggioranti, $m-1$ non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno $n\in \mathbb {N}$ si ha che $m-1<n$ e dunque $m<n+1\in \mathbb {N}$ e abbiamo finito, perché l'ipotesi che $m$ sia un maggiorante è contraddetta.
$\Box$

#### Teorema (proprietà di Archimede)

$\mathbb {R}$ è archimedeo, cioè
$\forall x>0,y\in \mathbb {R} \exists n\in \mathbb {N} \ :\ nx>y$

##### Dimostrazione

Per assurdo, $nx\leq y,\ \forall n\in \mathbb {N}$. Dunque $n\leq {\frac {y}{x}}$ ed $\mathbb {N}$ sarebbe superiormente limitato. Impossibile.
$\Box$

#### Teorema (densità dei razionali nei reali)

$x,y\in \mathbb {R} \$
$x<y$
$\exists z\in \mathbb {Q} \ :\ x<z<y$

##### Dimostrazione

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che $x<y$ da cui si evince facilmente che $y-x>0$. Poniamo, per alleggerire le notazioni, $t=y-x$. Poiché $\mathbb {R}$ è archimedeo allora esisterà un $n\in \mathbb {N}$ tale che
$nt>1\,\!$
$t>{\frac {1}{n}}$
. Sia ora
$m=[nx]+1\in \mathbb {Z}$
$[nx]\leq nx<[nx]+1=m\,\!$
${\frac {[nx]}{n}}\leq x<{\frac {m}{n}}$
. Osserviamo ora che $y$ può essere riespresso come
$y=x+t>x+{\frac {1}{n}}\geq {\frac {[nx]}{n}}+{\frac {1}{n}}={\frac {m}{n}}$
. Deduciamo quindi che
$x<{\frac {m}{n}}<y$
con $m,n\in \mathbb {Z}$ e di conseguenza ${\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$.
$\Box$