# Logica matematica

Logica matematica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* InsiemiLogica matematica/Insiemi
* Sistemi formaliLogica matematica/Sistemi formali
* Calcolo delle proposizioniLogica matematica/Calcolo delle proposizioni
** Il sistema di Frege-HilbertLogica matematica/Calcolo delle proposizioni/Sistema di Hilbert
** La deduzione naturaleLogica matematica/Calcolo delle proposizioni/La deduzione naturale
** Il calcolo dei sequenti
** I tableaux semanticiLogica matematica/Calcolo delle proposizioni/I tableaux semantici
** La risoluzioneLogica matematica/Calcolo delle proposizioni/La risoluzione
** Esercizi su tavole di veritàLogica matematica/Calcolo delle proposizioni/Esercizi su tavole di verità
* Calcolo dei predicatiLogica matematica/Calcolo dei predicati
* Teoria dei modelliLogica matematica/Teoria dei modelli
* Computabilità
* IncompletezzaLogica matematica/Incompletezza
** Teoremi di incompletezza di GödelLogica matematica/Incompletezza/Teoremi di incompletezza di Gödel
* Intermezzo: EuclideLogica matematica/Intermezzo Euclide
* Intermezzo: i paradossiLogica matematica/Intermezzo paradossi
* Risorse internetLogica matematica/Risorse internet
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## Finalità

La logica non ha fini precisi, ma può essere applicata negli ambiti più disparati, dalla matematica alla filosofia, dall'informatica alla grammatica, dalla fisica all'elettronica, proprio perché è ciò che studia il ragionamento nelle sue fondamenta.

## Introduzione

La logica è lo studio delle regole del pensiero. Sin dall' antichità filosofi e matematici hanno inseguito il sogno di identificare le vie di ragionamento corretto, che partendo da premesse corrette possano derivare conclusioni corrette.
Il primo grande che ricordiamo è il filosofo Aristotele, da cui ci arriva il termine "sillogismo", per millenni sinonimo di ragionamento.
Euclide ci ha lasciato la geometria derivata da 5 soli assiomi, erigendo un monumento all' arte delle conseguenze logiche.
Leibniz sognava un calcolo del ragionare, la sua speranza era che i filosofi per dirimere i problemi si esortassero con un "calculemus" anziché un "disquisimus".
È nel 1800, con il lavoro di Boole, che la logica diventa anche una branca della matematica. Boole si accorge che le regole del pensiero possono essere esplorate con metodi matematici, e inventa l' algebra che porta il suo nome.
Verso la fine dell' 800, Frege compie il primo tentativo di dare una fondazione completamente basata su regole logiche all' intero edificio della matematica. Ma quando la sua monumentale opera era già in stampa Russell identificò dei paradossi che la invalidavano. Se questo fu un terribile smacco per Frege, lo fu ancora di più per la matematica: la casa era costruita sulla sabbia!
La risposta fu il programma formalista di Hilbert. Il sogno: il metodo assiomatico è corretto, Frege ha solo scelto male gli assiomi, ma con una scelta più attenta e regole logiche finitistiche, si può ricostruire l' intero edificio, questa volta saldamente posato sulla roccia.
Ma Goedel, nel 1931 con il suo famoso teorema di incompletezza, spezza questo sogno: ogni sistema sufficientemente ricco da contenere l' aritmetica non può essere esplorato completamente partendo da pochi assiomi e regole finitistiche. Ci sarà sempre qualche verità che sfugge a questo tipo di analisi.
Nonostante questa grande storia sulla ricerca dei fondamenti, il resto della matematica è stato solo sfiorato da questi metodi. Se apriamo un testo di analisi non troviamo assiomi e derivazioni formali, ma dimostrazioni discorsive e sicuramente convincenti, ma stilizzate nei passaggi principali e con i passaggi formali lasciati come esercizio al lettore.
L' invenzione e la diffusione del computer, macchina logica per eccellenza, sta cambiando la situazione. Da un lato l' informatica utilizza i metodi della logica, questa volta come disciplina applicata, sia per la costruzione dell' hardware che per lo studio delle caratteristitiche e della progettazione del software, dall' altro il sogno formalista trova nei dimostratori automatici di teoremi e nei più semplici "proof assistants" quel complemento alla natura umana, ben attenta alla sostanza e sommersa dai dettagli, indispensabile per portarne a termine il programma.