# Analisi complessa/Integrale di Riemann

Analisi complessa
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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** Insiemi finiti, numerabili, non numerabiliAnalisi complessa/Insiemi finiti, numerabili, non numerabili
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** Definizione e proprietà della trasformata di FourierAnalisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier
** ConvoluzioneAnalisi complessa/Convoluzione
* Integrale di Lebesgue
** Integrale di RiemannAnalisi complessa/Integrale di Riemann
** Misura di LebesgueAnalisi complessa/Misura di Lebesgue
** Integrale di LebesgueAnalisi complessa/Integrale di Lebesgue
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Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di $\mathbb {R}$.

## Definizione 4.1.1.

    Sia dato un intervallo $[a,b]$, con $a\leq b\in \mathbb {R}$. Si definisce partizione di $[a,b]$ un insieme finito di punti,$P$, tali che
       $a=x_{0}\leq x_{1}\leq \ldots \leq x_{n}-1\leq x_{n}=b$
    Scriveremo inoltre $\Delta x_{i}=x_{1}-x_{i}-1\!$.
Se ora $f$ è una funzione reale limitata definita su $[a,b]$, e $P$ una partizione di $[a,b]$ poniamo
* $M_{i}=\sup _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x)\qquad m_{i}=\inf _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x)\qquad$
* $U(P,f)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}\qquad L(P,f)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}$
* ${\overline {\int _{a}^{b}}}fdx=\inf U(P,f)\qquad {\underline {\int _{a}^{b}}}fdx=\sup L(P,f)$
dove $\inf ,\sup$ sono calcolati al variare di tutte le partizioni di $[a,b]$, e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.
Se i due integrali sono uguali, $f$ si dice Riemann-integrabile ( $f\in {\mathcal {R}}([a,b])$ ), e definiamo l'integrale di Riemann di $f$ su $[a,b]$ il valore comune dei due integrali,
       $\int _{a}^{b}fdx={\overline {\int _{a}^{b}}}f,dx={\underline {\int _{a}^{b}}}fdx$
Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono $m,M\in \mathbb {R}$ tali che $m\leq f(x)\leq M$ per ogni $x\in [a,b]$, $m(b-a)\leq L(P,f)\leq U(P,f)\leq M(b-a)$ gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

## Teorema

$f\in {\mathcal {R}}([a,b])$ se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste una partizione $P$ tale che $U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$
Se tale condizione è verificata per la partizione $P=\left\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}$ e $t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ allora
       $\left|\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}fdx\right|<\varepsilon .$