# Matematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
Modifica il sommario
Una disequazione di secondo grado è una disequazione ad una incognita che presenta l'incognita con esponente pari a due, ed eventualmente anche a uno. Ogni disequazione di secondo grado si può scrivere nella forma:
$ax^{2}+bx+c>0$

## Risoluzione algebrica

Partendo dalla nostra disequazione:
    $ax^{2}+bx+c>0$
poniamo una limitazione non restrittiva $a>0\,$ (se $a<0$ basta moltiplicare entrambi i membri per -1)
Raccogliamo $a$:
    $a\left(x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}\right)>0$
    $a\left(x^{2}+{b \over a}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{c \over a}\right)>0$
    $a\left[\left({x+{\frac {b}{2a}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right]>0$
    $a\left({x+{\frac {b}{2a}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}>0$
$b^{2}-4ac$ è la discriminante dell'equazione $ax^{2}+bx+c=0$, quindi scriviamo:
    $a\left({x+{\frac {b}{2a}}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a}}>0$
A questo punto abbiamo tre casi, a seconda del valore della discriminante:
* $\Delta <0\,$
    ${x+{\frac {b}{2a}}}^{2}$ è una quantità sempre positiva e $-{\frac {\Delta }{4a}}$ è sempre positivo (sappiamo infatti che a è positivo e che il discriminante è negativo). Dunque la disequazione è verificata per ogni valore di x.
* $\Delta =0\,$
    $-{\frac {\Delta }{4a}}$ è uguale a zero, quindi possiamo scrivere: ${x+{\frac {b}{2a}}}^{2}>0$. Questo valore è sempre positivo o nullo, quindi l'equazione è verificata per ogni valore della x tranne che per $x=-{\frac {b}{2a}}$, che invece rende il primo membro uguale a zero.
* $\Delta >0\,$
    In questo caso significa che l'equazione $ax^{2}+bx+c=0$ ha due soluzioni e il trinomio $ax^{2}+bx+c$ è quindi scomponibile in $a(x-x_{1})(x-x_{2})$; la nostra disequazione diventa quindi:
       $a(x-x_{1})(x-x_{2})>0$
    Abbiamo posto a maggiore di zero, quindi:
       $(x-x_{1})(x-x_{2})>0$
    Scriviamo il quadro dei segni:
       $f_{1}>0x>x_{1}$
       $f_{2}>0x>x_{2}$
    $x_{1}\,$ $x_{2}\,$ $f_{1}\,$ – + + $f_{2}\,$ – – + $f_{1}\cdot f_{2}\,$ + – +
    A noi interessano i valori positivi, dunque la soluzione sarà:
       $x<x_{1}\lor x>x_{2}$
Se consideriamo invece la disequazione:
    $ax^{2}+bx+c<0$
i nostri risultati saranno invece:
* $\Delta <0\,$
    La disequazione non è verificata per alcun valore di x
* $\Delta =0\,$
    La disequazione non è soddisfatta per nessun valore di x
* $\Delta >0\,$
    Il procedimento è lo stesso che per il segno >, ma alla fine dobbiamo considerare i valori negativi anziché quelli positivi, quindi:
       $x_{1}<x<x_{2}\,$
    (x è compreso tra le due soluzioni).
Se anziché essere $>\,$ o $<\,$ il nostro segno fosse $\geq$ o $\leq$ dovremmo aggiungere alle nostre soluzioni i valori che rendono il trinomio nullo: