# Meccanica razionale/Cinematica/Punto

Meccanica razionale
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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** Definizione di vettore
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** Vettori applicati
** Differenziazione ed integrazione di vettori
* Cinematica
** Cinematica del punto
** Cinematica dei sistemi rigidi
** Cinematica del punto nel moto relativo
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** Teoremi generali sui sistemi di forze
** Teoremi generali sull'equilibrio dei corpi
* Dinamica del punto materiale e dei sistemi dei punti materiali
** Dinamica del punto materiale
** Dinamica dei sistemi di punti
** Energia cinetica e teorema dell'energia
** Teorema dei lavori virtuali
* Dinamica dei sistemi rigidi
** Teoria dei momenti d'inerzia
** Energia cinetica di un corpo rigido
** Equazione della dinamica dei corpi rigidi
** Giroscopio
* Appendice (cap 1°)
** Appendice (cap 1°)
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Il moto di P è noto rispetto alla terna $O_{xyz}$ tutte le volte che sono date le sue coordinate x,y,z, come funzioni dell'ascissa temporale t:
             $\left\{{\begin{matrix}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{matrix}}\right.$
In forma vettoriale potremo dire che le precedenti equazioni si possono riassumere nell'unica
             ${\vec {OP}}={\vec {OP}}(t)$
Consideriamo il caso che il punto P si muova su di una traettoria assegnata l, e scelto un sistema di ascissa curvilinea s, diremo che il moto del punto dal punto P è completamente definito quando diamo le
             $\left\{{\begin{matrix}x=x(s)\\y=y(s)\\z=z(s)\end{matrix}}\right.$
e la legge oraria
             $\ S=S(t)$
Il sistema (2) e (3) è completamente equivalente alle (1). Le equazioni (2) dipendono esclusivamente da come è fatta la traiettoria, mentre la (3) esprime unicamente la legge oraria di 'P' lungo la 'l', cioè in qual maniera nel tempo 'P' percorre gli spazi sulla 'l'.

## Velocità scalare

Se è nota la legge oraria s=s(t) si definisce come velocità scalare la derivata:
             ${ds \over dt}={\dot {s}}(t)$
Si dice che il moto di P è uniforme lungo la traettoria definita dalle (1) quando:
             ${\dot {s}}(t)=cost$

## Velocità vettoriale

Supponendo che la traiettorie di P sia data mediante le equazioni (2) e (3), sono noti i coseni direttori della tangente alla curva nel punto P mediante le seguenti formule:
             $\left\{{\begin{matrix}T_{x}={\frac {dx \over ds}{\sqrt {({dx \over ds})^{2}+({dy \over ds})^{2}+({dz \over ds})^{2}}}}={dx \over ds}\\T_{y}={dy \over ds}\\T_{z}={dz \over ds}\end{matrix}}\right.$
Definiamo quindi il vettore unitario della tangente il vettore:
             ${\vec {T}}={\vec {i}}T_{x}+{\vec {j}}T_{y}+{\vec {z}}T_{z}$
Si chiama quindi velocità vettoriale la quantità
             ${\vec {v}}={\dot {s}}(t)\cdot {\vec {T}}$
che deriva direttamente dalla derivazione rispetto al tempo delle (2), tenendo conto della (4).

## Accelerazione

Si definisce per accelerazione del punto P la derivata rispetto al tempo della velocità vettoriale:
             ${\bar {\mathbf {a} }}={d \over dt}{\bar {\mathbf {v} (t)}}={d \over dt}({\dot {s}}{\bar {\mathbf {T} }})$
Eseguendo la derivazione abbiamo:
             ${\bar {\mathbf {a} }}={\ddot {s}}{\bar {\mathbf {T} }}+{\dot {s}}{d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}$
e ricordando che:
             ${\bar {\mathbf {T} }}={d \over ds}x(s){\hat {\mathbf {i} }}+{d \over ds}y(s){\hat {\mathbf {j} }}+{d \over ds}z(s){\hat {\mathbf {k} }}$
e derivando rispetto a t:
             ${d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}={\hat {\mathbf {i} }}{d^{2} \over ds^{2}}x(s){d \over dt}s(t)+{\hat {\mathbf {j} }}{d^{2} \over ds^{2}}y(s){d \over dt}s(t)+{\hat {\mathbf {k} }}{d^{2} \over ds^{2}}z(s){d \over dt}s(t)$
             ${d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}={\dot {s}}({\hat {\mathbf {i} }}{d^{2} \over ds^{2}}x(s)+{\hat {\mathbf {j} }}{d^{2} \over ds^{2}}y(s)+{\hat {\mathbf {k} }}{d^{2} \over ds^{2}}z(s))$
Il vettore
             ${\hat {\mathbf {i} }}{d^{2} \over ds^{2}}x(s)+{\hat {\mathbf {j} }}{d^{2} \over ds^{2}}y(s)+{\hat {\mathbf {k} }}{d^{2} \over ds^{2}}z(s)$
è un vettore che ha per coseni direttori quelli della normale principale alla curva nel punto P e modulo:
             ${\frac {1}{\rho }}={\sqrt {\left({d^{2} \over ds^{2}}x(s)\right)^{2}+\left({d^{2} \over ds^{2}}y(s)\right)^{2}+\left({d^{2} \over ds^{2}}z(s)\right)^{2}}}$
che è, come noto, la curvatura della curva nel punto P. Per cui in definitiva si ottiene per l'accelerazione vettoriale:
             ${\vec {a}}={\ddot {s}}{\vec {T}}+{\frac {{\dot {s}}^{2}}{\rho }}{\vec {N}}$
Il termine ${\ddot {s}}{\vec {T}}$ è l'accelerazione tengenziale, mentre il termine ${\frac {{\dot {s}}^{2}}{\rho }}{\vec {N}}$ è l'accelerazione normale o centripeta in quanto diretta sempre secondo la normale principale alla curva traiettoria sul punto considerato.
Si chiama moto uniforme quello per cui ${\dot {s}}(t)=cost.$ e quindi ${\ddot {s}}(t)=0$, e di conseguenza l'unica accelerazione presente è quella normale.
I moti rettilinei uniformi sono quelli caratterizzati da
| ${\ddot {s}}=0$ | $\ \rho =inf$ |
per cui ${\vec {a}}=0$.

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* Wikiversità
* Wikiversità contiene lezioni sulla cinematica del punto.