# Meccanica del punto materiale/Moto armonico

Meccanica del punto materiale
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
Cinematica del punto materiale
* Cinematica del puntoMeccanica del punto materiale/Cinematica del punto
* Moto rettilineoMeccanica del punto materiale/Moto rettilineo
* Moto circolareMeccanica del punto materiale/Moto circolare
* Moto armonicoMeccanica del punto materiale/Moto armonico
* Moto parabolico dei corpiMeccanica del punto materiale/Moto parabolico dei corpi
Dinamica del punto materiale
* Primo e secondo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Primo e secondo principio della dinamica
* Forza peso e forze vincolariMeccanica del punto materiale/Forza peso e forze vincolari
* Terzo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Terzo principio della dinamica
* Forza d'attrito radenteMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito radente
* Forza d'attrito viscosoMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito viscoso
* Forza elasticaMeccanica del punto materiale/Forza elastica
* Forza centripetaMeccanica del punto materiale/Forza centripeta
* Quantità di moto e impulsoMeccanica del punto materiale/Quantità di moto e impulso
* Momento angolareMeccanica del punto materiale/Momento angolare
* Pendolo sempliceMeccanica del punto materiale/Pendolo semplice
Moti relativi
* Teorema delle velocità relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle velocità relative
* Teorema delle accelerazioni relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle accelerazioni relative
* Relatività galileianaMeccanica del punto materiale/Relatività galileiana
Lavoro ed energia
* Energia cinetica e lavoroMeccanica del punto materiale/Energia cinetica e lavoro
* Energia del pendoloMeccanica del punto materiale/Energia del pendolo
* Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elasticaMeccanica del punto materiale/Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elastica
* Forze conservative ed energia potenzialeMeccanica del punto materiale/Forze conservative ed energia potenziale
* Considerazioni conclusive sull'energiaMeccanica del punto materiale/Considerazioni conclusive sull'energia
Oscillatori armonici
* Oscillatore armonicoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico
* Oscillatore armonico smorzato e forzatoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico smorzato e forzato
* Oscillatori accoppiatiMeccanica del punto materiale/Oscillatori accoppiati
Appendice
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Proiettando il moto circolare uniforme sugli assi cartesiani, è evidente come questo risulti essere la composizione di due moti armonici semplici. La legge oraria di questo particolare moto vario è:
$x(t)=A\cos(\omega t+\phi )$
dove:
* $A$= ampiezza
* $\omega$ = pulsazione
* $\omega t+\phi$ = fase del moto
* $\phi$ = fase iniziale
Essendo il moto descritto dalla funzione coseno o seno, ha delle caratteristiche spaziali ben precise:
* il coseno è una funzione limitata superiormente e inferiormente, dunque assume dei valori estremi ($\pm 1$). Un punto che si muove di moto armonico quindi oscilla tra due posizioni limite corrispondenti a $\pm A$;
* la funzione coseno inoltre è periodica, pertanto anche il moto armonico è un moto periodico.
Definizione
Per calcolare il periodo di un moto armonico, ovvero il tempo dopo cui il moto si ripete, basta ricordare che il periodo di $\sin x$ è $2\pi$ e sfruttare la definizione.
Si considerino due istanti, $t$ e $t'=t+T$, con $T$ periodo del moto. Per la definizione di moto periodico, la posizione del punto in $t$ è uguale alla posizione $t'$, per cui $x(t)=x(t')$. Essendo il periodo di $\cos \theta \ 2\pi$, deve valere $\omega t+\phi =\omega t'+\phi +2\pi$, quindi $\omega (t-t')=2\pi$
Ecco quindi il periodo
$T={\frac {2\pi }{\omega }}$
L'inverso del periodo si definisce frequenza
$\upsilon ={\frac {1}{T}}={\frac {\omega }{2\pi }}$
La frequenza si misura come $[\upsilon ]=[T^{-1}]$ ovvero ${\frac {1}{s}}=1Hz={\frac {1ciclo}{s}}$
Periodo e frequenza sono indipendenti dall'ampiezza e dalla fase iniziale, dipendono invece dalla pulsazione $\omega$. In particolare possiamo fare le seguenti considerazioni: più la pulsazione è grande, più il moto è lento ($T$ grande e $\nu$ piccolo), più la pulsazione è piccola, più il moto è veloce ($T$ piccolo e $\nu$ grande).
Velocità e accelerazione si ricavano per derivazione dalla legge oraria:
$v(t)={\frac {dx}{dt}}=-A\omega \sin(\omega t+\phi )$
$a(t)={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t+\phi )$
Da qui si ricava che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento con segno negativo:
$a=-\omega ^{2}x$
${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0$ (equazione del moto armonico)
Questa, definita equazione del moto armonico, è la condizione necessaria e sufficiente affinché un moto sia armonico. Soffermiamoci sul significato di questa affermazione. Se nello studio di un moto si trova un'accelerazione proporzionale allo spostamento con segno negativo e costante di proporzionalità $C$, si può immediatamente dedurre che la legge oraria del moto sarà quella di un moto armonico $x(t)=A\cos(\omega t+\phi )$, con pulsazione $\omega ={\sqrt {C}}$. Un ottimo esempio è costituito dal moto di un corpo sottoposto a una forza elastica. Viceversa se si conosce l'equazione di un moto ed essa rappresenta un moto armonico si può dire che l'accelerazione a cui il corpo è sottoposto è della forma $a=-\omega ^{2}x$.
Sovrapponendo i grafici di posizione, velocità e accelerazione, è possibile notare come questi differiscano tra loro solo per una differenza di fase:
* posizione e velocità sono in quadratura di fase (cioè sfasate di $T/4$ quindi di $\pi /2$);
* posizione e accelerazione in opposizione di fase (cioè sfasate di $T/2$ e quindi di $\pi$).
$A$ e $\phi$ sono costanti, e una volta note permettono di calcolare le condizioni iniziali ($t=0$):
${\begin{aligned}{\begin{cases}x_{0}=A\sin \Phi \\v_{0}=\omega A\sin \Phi \\\end{cases}}\end{aligned}}$
Viceversa tali costanti possono essere ricavate conoscendo le condizioni iniziali $x_{0}$ e $v_{0}$.

## Note

* ↑ È analogo esprimere il moto tramite un $x(t)=A\sin(\omega t+\phi )$ o $x(t)=A\cos(\omega t+\phi ')$. Infatti usando gli archi associati $\sin(\phi )=\cos({\frac {\pi }{2}}-\phi )$ e basta porre $\phi '={\frac {\pi }{2}}-\phi$ per avere perfetta equivalenza. Le due funzioni differiscono solo per la fase iniziale.