# Meccanica analitica/Quantità conservate

Meccanica analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Meccanica lagrangiana
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* La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
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Meccanica hamiltoniana
* Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
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* Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
* Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
* Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
* Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
* Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
* Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
* Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
* Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
* Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
* La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
* La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
* Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
* Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
* Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
* Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
* Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
* Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
* Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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Esistono, nei sistemi dinamici di cui è possibile scrivere la lagrangiana, alcune quantità che, in casi particolari, restano costanti lungo tutto il moto. Vediamo quali.
Definizione
Si definisce momento coniugato di $q_{r}$ la quantità:
$p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{r}}}}}$
Se nella lagrangiana non è presente la variabile $q_{r}$ ma è presente la sua derivata ${\dot {q_{r}}}$, allora il momento coniugato è una costante del moto. Facciamo un esempio.
Consideriamo un sistema la cui lagrangiana sia la seguente:
$L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-U(r)$
Il momento coniugato di $\theta$ sarà $P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}$ che è il momento angolare rispetto all'asse ${\hat {z}}$; il sistema in questione è un corpo ruotante attorno al proprio asse, e sappiamo che il momento angolare è, in modulo, costante. Inoltre, sapendo questo, sappiamo che il sistema è invariante rispetto a rotazioni. Ciò ci indica che l'assenza di una variabile indica la presenza di una simmetria.
Definizione
Chiamasi energia generalizzata di un sistema la funzione:
${\mathcal {H}}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\dot {q}}_{h}-L$
Il nome energia generalizzata non è casuale; osserviamo come, infatti, nella lagrangiana l'unico dei due fattori tra energia cinetica e energia potenziale dipendente da ${\dot {q_{h}}}$ è l'energia cinetica. Vediamo di esprimerla bene:
${\begin{aligned}&{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{l}}}}}=\sum _{h=1}^{n}a_{hl}{\dot {q_{h}}}\\&{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\dot {q_{h}}}=\sum _{h=1}^{n}a_{hl}{\dot {q_{h}}}{\dot {q_{l}}}=2T\end{aligned}}$
Ricordiamo che, all'inzio del paragrafo scorso, avevamo ottenuto che $T={\frac {1}{2}}\sum _{h,l=1}^{n}a_{hl}{\dot {q_{h}}}{\dot {q_{l}}}$ e quindi il primo fattore dell'energia generalizzata è proprio $2T$. Ricordando la definizione di lagrangiana, otteniamo:
${\mathcal {H}}=2T-(T-U)=T+U=E_{c}$
Esattamente uguale, per definizione, all'energia meccanica del sistema. Ovviamente, non sempre è una costante, l'energia; il valore di $T$ qui sopra utilizzato è quello dei sistemi a vincoli indipendenti dal tempo. È possibile dimostrare, attraverso il seguente teorema, che, se i vincoli sono indipendenti dal tempo, ${\mathcal {H}}$ è una costante del moto.

## Teorema

Se $L(q_{h}/{\dot {q_{h}}})$, ovvero indipendente dal tempo: ${\frac {\partial L}{\partial t}}=0$, allora ${\mathcal {H}}$ è una costante del moto.

### Dimostrazione

Deriviamo totalmente l'energia generalizzata rispetto al tempo:
${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=\sum _{h=1}^{n}\left(\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}\right)\cdot {\dot {q_{h}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\ddot {q_{h}}}\right)-{\frac {dL}{dt}}$
Esprimiamo per intero:
${\frac {dL}{dt}}=\sum _{h=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{h}}}{\dot {q_{h}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\ddot {q_{h}}}\right)$
Otteniamo così che, derivando l'energia generalizzata rispetto al tempo vale:
${\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=&\sum _{h=1}^{n}\left[\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}\right){\dot {q_{h}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\ddot {q_{h}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{h}}}{\dot {q_{h}}}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\ddot {q_{h}}}\right]\\\Rightarrow &\sum _{h=1}^{n}{\dot {q_{h}}}\left[{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{h}}}\right]\end{aligned}}$
Se, quindi, sono soddisfatte le equazioni di Eulero-Lagrange, ovvero i vincoli sono indipendenti dal tempo, ${\mathcal {H}}$ è una costante del moto, la derivata rispetto al tempo è nulla (questo vale anche come teorema dell'energia meccanica). Se, invece, $L$ è indipendente da $t$, ma i vincoli lo sono, ${\mathcal {H}}$ è sempre una costante del moto, ma non è l'energia meccanica.
Abbiamo quindi trovato che due quantità, in casi particolari, restano costanti nel tempo. Saranno proprio queste due quantità che saranno alla base della meccanica hamiltoniana, come vedremo nella prossima parte del corso.