# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Nei moduli precedenti sono stati trovati gli autovalori e gli autovettori per l'operatore ${\hat {\mathcal {L}}}$ nel caso di condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann:
* per condizioni al bordo di Dirichlet:
    $\lambda _{n}=\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2},\;f_{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left(k_{n}x\right),\,n\geq 1$
* per condizioni al bordo di Neumann:
    $\lambda _{n}=\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2},\;f_{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos \left(k_{n}x\right),\,n\geq 0$
Avendo poi osservato che la successione degli autovettori, in entrambi i casi, costituiva un sistema ortonormale completo. Anche per ${\hat {\mathcal {L}}}_{R}$ (ovvero con condizioni al bordo di Robin), seppur non si sia in grado di fare esattamente i conti, si potrà concludere che la $\left\lbrace f_{n}\right\rbrace _{n=1}^{+\infty }$ costituisce un sistema ortonormale completo. Questa proprietà degli autovalori discende dal seguente teorema.
Sia $\left\lbrace f_{n}\right\rbrace _{n=1}^{+\infty }$ una successione di autovettori ortonormali nello spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$, nel caso in esame $L^{2}$, e siano $c_{1},c_{2},\dots ,c_{N}$ dei coefficienti numerici. Allora:
$\parallel f-\sum _{n=1}^{N}c_{n}f_{n}\parallel \geq \parallel f-\sum _{n=1}^{N}\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle f_{n}\parallel$
I coefficienti $\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle$ si chiamano coefficienti di Fourier di $f$, rispetto a $\left\lbrace f_{n}\right\rbrace _{n=1}^{+\infty }$.
Il teorema afferma che nell'approssimare $f$ con una somma parziale, l'errore minimo che si introduce è quello in cui l'approssimazione è data in sviluppo in serie di Fourier. Un altro importante punto da sottolineare è il seguente: in virtù del teorema appena enunciato è possibile concludere che la serie $\sum _{n=1}^{N}\mid \left\langle f\mid f_{n}\right\rangle \mid ^{2}$ converge, ma non è detto (a priori) che essa converga a $\parallel f\parallel ^{2}$. Vediamo ora la dimostrazione del teorema.
Si ha che:
$\parallel f-\sum _{n=1}^{N}c_{n}f_{n}\parallel ^{2}=\int _{a}^{b}\left(f-\sum _{n=1}^{N}c_{n}f_{n}\right)^{2}dx=$
$=\int _{a}^{b}f^{2}dx-2\sum _{n=1}^{N}c_{n}\int _{a}^{b}ff_{n}dx+\sum _{n=1}^{N}\sum _{m=1}^{N}c_{n}c_{m}{\underset {\delta _{n,m}}{\underbrace {\int _{a}^{b}f_{n}f_{m}dx} }}=$
$=\parallel f\parallel ^{2}-2\sum _{n=1}^{N}c_{n}\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle +\sum _{n=1}^{N}c_{n}^{2}=\parallel f\parallel ^{2}+\sum _{n=1}^{N}\left(c_{n}-\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle \right)^{2}-\sum _{n=1}^{N}\left(\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle \right)^{2}\geq$
$\geq \parallel f\parallel ^{2}-\sum _{n=1}^{N}\left(\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle \right)^{2}=\parallel f-\sum _{n=1}^{N}\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle f_{n}\parallel ^{2}\geq 0$
Quindi è possibile concludere che:
$\parallel f-\sum _{n=1}^{N}c_{n}f_{n}\parallel \geq \parallel f-\sum _{n=1}^{N}\left\langle f\mid f_{n}\right\rangle f_{n}\parallel$
Concludiamo questo modulo riprendendo l'osservazione fatta in precedenza: il teorema appena dimostrato permette di concludere che $\forall f\in {\mathcal {H}}$ la serie dei suoi coefficienti di Fourier converge. Tuttavia non è possibile affermare, a priori, che essa converga a $\parallel f\parallel$: affinché ciò sia vero è necessario che la successione $\left\lbrace f_{n}\right\rbrace _{n=1}^{+\infty }$ sia un sistema ortonormale completo. In tal caso vale l'identità di Parseval:
$\parallel f\parallel ^{2}=\sum _{n=1}^{+\infty }\mid \left\langle f\mid f_{n}\right\rangle \mid ^{2}$
Si osservi anche che per poter portare avanti il discorso appena fatto non è stato necessario lavorare con un particolare spazio di Hilbert, ma è stato sufficiente usare la nozione di norma, e le sue proprietà, in uno spazio di Hilbert: questo a indicare l'estrema generalità di quanto appena fatto.