# Gravitazione/Legge di gravitazione

Gravitazione
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Legge di gravitazione universale
* Legge di gravitazioneGravitazione/Legge di gravitazione
* Campo gravitazionaleGravitazione/Campo gravitazionale
* Teorema di Gauss per il campo gravitazionaleGravitazione/Teorema di Gauss per il campo gravitazionale
* Energia di campo gravitazionaleGravitazione/Energia di campo gravitazionale
Moto dei pianeti
* Moto dei corpi celesti e leggi di KepleroGravitazione/Moto dei corpi celesti e leggi di Keplero
* Considerazione col problema dei due corpiGravitazione/Considerazione col problema dei due corpi
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Fin dall'antichità gli uomini hanno seguito il corso degli astri nel cielo; fin dall'antichità l'uomo ha dovuto lottare contro la gravità, affinché potesse costruire edifici stabili. La legge di gravitazione universale, studiata già da Galileo e poi enunciata da Newton, lega i due fenomeni, unendo le cause del moto degli astri a quelle della gravità in un'unica forza universale della natura.

## La legge di gravitazione

La legge di gravitazione universale afferma che tra due punti materiali si esercita una forza attrattiva direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
Il modulo di questa forza attrattiva, che chiameremo forza di gravitazione, è:
$\left|f_{g}\right|=G\,{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$
Dove $m_{1,2}$ indicano le masse dei punti materiali e $r$ la distanza tra essi. $G$ è la costante di gravitazione universale, ovvero è valida in tutti i fenomeni fisici della natura, e vale:
$G=6.667259\cdot 10^{-11}\;\;\;N{\frac {m^{2}}{kg^{2}}}$
La direzione della forza è la retta congiungente i due punti materiali; il verso è attrattivo, va quindi verso la massa generatrice della forza. Quindi, per scrivere vettorialmente la formula della forza:
${\vec {f_{g}}}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,{\hat {r}}$
Un altro modo per esprimere la forza è tramite le sue componenti cartesiane. Preso un sistema di riferimento con origine nel punto in cui si trova la massa generatrice, avremo che:
${\vec {r}}=(x,\,y,\,z)\quad {\hat {r}}={\frac {\vec {r}}{r}}\,\rightarrow {\vec {r}}={\hat {r}}\,r\quad {\vec {f_{g}}}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{3}}}{\vec {r}}$
Possiamo quindi scrivere le componenti della forza, che saranno:
${\vec {f_{g}}}=-Gm_{1}m_{2}\left({\frac {x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}},\,{\frac {y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}},\,{\frac {z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)$
Un'ultima considerazione sulla forza di gravitazione: anche il corpo che subisce la forza la esercita sul corpo generatrice. Questo può essere spiegato in due modi:
* sfruttando il terzo principio della dinamica;
* dallo stesso enunciato della legge di gravitazione si può intuire che i due punti materiali esercitano l'uno sull'altro una forza attrattiva.

## L'esperienza di Cavendish

È immediato chiedersi come sia stato possibile calcolare con precisione il valore della costante $G$, anche alla luce del suo valore, nettamente inferiore alle masse con cui di solito si ha a che fare in esperimenti diretti. Il calcolo preciso è stato effettuato grazie all'esperienza di Cavendish, sfruttando il meccanismo in figura.
Il meccanismo è formato da un cavo inestensibile con una costante elastica di torsione $K$ conosciuta; al cavo è legata una semplice bilancia a due bracci, alle cui estremità sono legate due piccole masse. Avvicinando delle masse più grandi, le due piccole masse subiranno la forza attrattiva gravitazionale, e produrranno una coppia di forze sulla bilancia, che la farà ruotare. A questo punto entra in gioco la costante $K$, la quale impedirà al cavo di torcersi all'infinito e facendolo fermare in posizione di equilibrio a un determinato angolo $\theta$. Del problema sono noti tutti i parametri: le due masse, la loro distanza, la costante di torsione e l'angolo finale, per cui è possibile calcolarsi la forza di gravitazione e, quindi, la costante $G$.