# Controlli automatici/Analisi delle specifiche

Controlli automatici
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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* Criterio di NyquistControlli automatici/Criterio di Nyquist
* Margini di stabilitàControlli automatici/Margini di stabilità
* Risposta transitoria e in frequenzaControlli automatici/Risposta transitoria e in frequenza
* Diagrammi e carta di NicholsControlli automatici/Diagrammi e carta di Nichols
* Riferimenti e disturbi sinusoidaliControlli automatici/Riferimenti e disturbi sinusoidali
* Analisi delle specificheControlli automatici/Analisi delle specifiche
* Reti di compensazioneControlli automatici/Reti di compensazione
* Funzione di sensibilitàControlli automatici/Funzione di sensibilità
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* Sistemi di controllo digitaliControlli automatici/Sistemi di controllo digitali
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Data $F(s)$, la funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore da progettare può essere espressa:
    $C(s)={\frac {K_{c}}{s^{h}}}C'(s)$
dove:
* $K_{c}$ è il guadagno stazionario del controllore;
* $h$ è il numero di poli nell'origine;
* $C'(s)$ rappresenta la parte dinamica del controllore:
** è di tipo zero ($C(s)$ deve avere $h$ poli nell'origine);
** ha guadagno stazionario unitario (il guadagno stazionario di $C(s)$ dev'essere pari a $K_{c}$).

## Sequenza di progetto del controllore

* si soddisfano le specifiche statiche;
* si determina il segno del guadagno stazionario $K_{c}$;
* si soddisfano le specifiche dinamiche.

## Implicazioni delle specifiche statiche
### Specifiche statiche

* errore di inseguimento in regime permanente a segnali di riferimento polinomiali;
* reiezione o attenuazione di disturbi polinomiali in regime permanente.
Le specifiche statiche impongono vincoli su:
* numero $h$ di poli nell'origine;
* valore minimo del modulo del guadagno stazionario $K_{c}$.
L'inserimento di poli nell'origine nell'espressione di $C(s)$ causa una perdita di ${90}^{\circ }$ riducendo il margine di fase $m_{\varphi }$ → non vanno inseriti poli non necessari.

## Stabilizzabilità del sistema

Il segno del guadagno stazionario $K_{c}$ viene determinato tramite il diagramma di Nyquist della funzione ${\tfrac {F(s)}{s^{h}}}$: si sceglie il semi-asse reale dove in seguito all'inserimento di $C'(s)$ si avranno possibilità di avere l'asintotica stabilità in catena chiusa del sistema.

## Implicazioni delle specifiche dinamiche
### Specifiche dinamiche

* caratteristiche in transitorio della risposta nel tempo a segnali di riferimento canonici, quali il gradino;
* risposta in frequenza del sistema in catena chiusa;
* inseguimento di segnali sinusoidali;
* attenuazione di disturbi sinusoidali.
Le specifiche nel tempo implicano vincoli sulla funzione di trasferimento in catena chiusa $W\left(j\omega \right)$, che a loro volta implicano vincoli sulla funzione d'anello $G_{a}\left(j\omega \right)$ (in particolare sul margine di fase $m_{\varphi }$ e sulla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$).

### Specifiche sulla risposta al gradino

Le specifiche sulla risposta al gradino unitario impongono vincoli sulla risposta in frequenza del sistema in catena chiusa:
* una specifica sulla sovraelongazione massima ${\hat {s}}$ impone un vincolo sul picco di risonanza $M_{r}$:
    ${\hat {s}}\leq {\hat {s}}_{\text{max}}\Rightarrow {\begin{cases}M_{r}\leq {\frac {\left(1+{\hat {s}}_{\text{max}}\right)}{0,9}}\\{M_{r}}_{\text{dB}}\leq 20\log _{10}{\frac {\left(1+{\hat {s}}_{\text{max}}\right)}{0,9}}\end{cases}}$
* una specifica sul tempo di salita $t_{s}$ o $t_{r}$ impone un vincolo sulla banda passante $\omega _{B}$ (un'eccessiva ampiezza di banda passante diminuisce la reiezione ai disturbi):
    $t_{s}\leq {t_{s}}_{\text{max}}\Rightarrow {\begin{cases}\omega _{B}\geq {\frac {3}{{t_{s}}_{\text{max}}}}\end{cases}}$
    $t_{r}\leq {t_{r}}_{\text{max}}\Rightarrow {\begin{cases}\omega _{B}\geq {\frac {2}{{t_{r}}_{\text{max}}}}\end{cases}}$

### Specifiche sulla risposta in frequenza

Le specifiche sulla risposta in frequenza (formulate direttamente sulla funzione di trasferimento in catena chiusa $W\left(j\omega \right)$ o ricavate da specifiche sulla risposta nel tempo) impongono vincoli sulla funzione d'anello $G_{a}(s)$:
* una specifica sul picco di risonanza $M_{r}$ impone un vincolo sul margine di fase $m_{\varphi }$:
    $M_{r}\leq {M_{r}}_{\text{max}}\Rightarrow m_{\varphi }\leq {m_{\varphi }}_{\text{min}},\quad {m_{\varphi }}_{\text{min}}\cong {\frac {{60}^{\circ }}{{M_{r}}_{\text{max}}}}\cong {60}^{\circ }-5{\left.{M_{r}}_{\text{max}}\right|}_{\text{dB}}$
* una specifica sulla banda passante $\omega _{B}$ impone un vincolo sulla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$:
    $\omega _{B}\lesseqgtr {\omega _{B}}_{\text{lim}}\Rightarrow \omega _{c}\lessgtr 0,63{\omega _{B}}_{\text{lim}}$

### Specifiche sull'errore di inseguimento in regime permanente

Le specifiche sull'errore massimo di inseguimento in regime permanente $E$ di segnali sinusoidali impongono vincoli sulla funzione d'anello $G_{a}(s)$, in particolare sulla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$ rispetto alla pulsazione del segnale $\omega _{0}$:
    $E\leq E_{\text{max}}\Rightarrow G_{a}\left(j\omega _{0}\right)\gg 1\Rightarrow \omega _{c}\gg \omega _{0}$

### Specifiche sull'attenuazione di disturbi sinusoidali

Le specifiche sull'attenuazione di disturbi sinusoidali impongono vincoli sulla funzione d'anello $G_{a}(s)$, in particolare sul valore della pulsazione di cross-over $\omega _{c}$ rispetto alla pulsazione del disturbo $\omega _{d}$, che variano a seconda del punto di ingresso del disturbo.

## Note

* ↑ {{subst:/sub|58-59-60}} In questo corso non verranno trattati i casi in cui è necessaria una funzione $C(s)$ non internamente stabile.
* ↑ {{subst:/sub|65}} In questo corso non saranno considerate esplicite specifiche sul tempo di assestamento $t_{a}$.
* ↑ Il margine di fase minimo ${m_{\varphi }}_{\text{min}}$ è ricavabile anche dalla carta di Nichols.
* ↑ Il margine di fase $m_{\varphi }$ viene supposto approssimativamente tra ${30}^{\circ }$ e ${60}^{\circ }$. Se, una volta ottenuta la pulsazione di cross-over $\omega _{c}$ a partire dalla banda passante $\omega _{B}$ desiderata, la banda passante $\omega _{B}$ non risulta più quella desiderata sarà necessario modificare per tentativi il coefficiente 0,63.
* 1 2 {{subst:/sub|70-73}} Questa specifica deve essere compatibile con le precedenti affinché il controllore sia progettabile.