# Fondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità

Fondamenti di automatica2
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Le proprietà di osservabilità e rilevabilità descrivono come stimare lo stato $x\left(\bullet \right)$ mediante la misura del movimento dell'uscita $y\left(\bullet \right)$ e dell'ingresso $u\left(\bullet \right)$ su un dato intervallo di tempo:
* osservabilità: stima dello stato iniziale del sistema;
* rilevabilità: stima dello stato finale del sistema.

## Osservabilità

Uno stato $x^{*}\neq 0$ si dice non osservabile nell'intervallo $\left[t_{0},t^{*}\right]$ se, per qualunque $t^{*}\in \left[t_{0},+\infty \right]$, il movimento libero $y_{\ell }\left(t\right)$ che parte dallo stato iniziale $x\left(t_{0}\right)=x^{*}\neq 0$ risulta:
    $y_{\ell }\left(t\right)=0,\quad \forall t\in \left[t_{0},t^{*}\right]$
In un sistema LTI con dimensione finita $n$, lo spazio di stato $X$ si divide in due parti:
* parte osservabile: il sottospazio di osservabilità $X_{O}$ di dimensione $o<n$, a cui sono associati $o$ autovalori della matrice $A$;
* parte non osservabile: il sottospazio di non osservabilità $X_{NO}$ di dimensione $n-o$, a cui sono associati $n-o$ autovalori della matrice $A$.
L'insieme di non osservabilità $X_{NO}\left(t^{*}\right)$ è l'insieme di tutti gli stati iniziali $x^{*}$ non osservabili nell'intervallo $\left[t_{0},t^{*}\right]$, cioè gli stati iniziali $x^{*}\neq 0$ che non possono essere stimati (perché il movimento libero $y_{\ell }\left(t\right)$ è sempre nullo).
L'insieme di non osservabilità $X_{NO}\left(t^{*}\right)$ costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato $X$. L'insieme di non osservabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo $t^{*}$ perché sempre più stati iniziali diventano osservabili → il sottospazio di non osservabilità $X_{NO}$ è il più piccolo insieme di non osservabilità $X_{NO}\left(t\right)$:
    $X_{NO}=\min _{t\in \left[t_{0},+\infty \right)}{X_{NO}\left(t\right)}$
Il sottospazio di non osservabilità $X_{NO}$ è pari allo spazio nullo ${\mathcal {N}}\left(\cdot \right)$ della matrice di osservabilità $M_{O}$:
    $X_{NO}={\mathcal {N}}{\left(M_{O}\right)}$
dove la matrice di osservabilità $M_{O}$ è definita:
    $M_{O}={\begin{bmatrix}C\\CA\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}$
Si ipotizza per semplicità:
* il sistema LTI è a tempo discreto: $x\left(k+1\right)=Ax\left(k\right)+Bu\left(k\right)$;
* il sistema ha una sola uscita: $q=1$;
* il tempo iniziale corrisponde all'origine: $t_{0}=0$;
* l'ingresso è nullo: $u\left(k\right)=0,\quad \forall k$.

### Insieme di osservabilità $X_{O}\left(\ell \right)$ al tempo $\ell$

Si può ricavare il movimento dell'uscita al passo $\ell$-esimo:
    ${\begin{array}{l}y\left(0\right)=y_{\ell }\left(0\right)=Cx\left(0\right)\\y\left(1\right)=y_{\ell }\left(1\right)=Cx\left(1\right)=CAx\left(0\right)\\y\left(2\right)=y_{\ell }\left(2\right)=Cx\left(2\right)=CAx\left(1\right)=CA^{2}x\left(0\right)\\\vdots \\x\left(\ell \right)=y_{\ell }\left(\ell \right)=Cx\left(\ell \right)=CAx\left(\ell -1\right)=\ldots =CA^{\ell }x\left(0\right)\end{array}}$
La matrice $M_{O}\left(\ell \right)$ rappresenta il legame tra la sequenza di uscita e lo stato $x\left(0\right)$:
    $Y\left(\ell \right)={\begin{bmatrix}y\left(0\right)\\y\left(1\right)\\y\left(2\right)\\\vdots \\y\left(\ell \right)\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{\ell }\end{bmatrix}} _{M_{O}\left(\ell \right)}x\left(0\right)=M_{O}\left(\ell \right)x\left(0\right)$
Pertanto, l'insieme di non osservabilità $X_{NO}\left(\ell \right)$ corrisponde allo spazio nullo (o kernel o nucleo) ${\mathcal {N}}\left(\cdot \right)$ generato dalla combinazione lineare delle colonne della matrice $M_{O}\left(\ell \right)$ (infatti ogni stato iniziale non osservabile corrisponde a una sequenza di uscita interamente nulla):
    $X_{NO}\left(\ell \right)={\mathcal {N}}\left(M_{O}\left(\ell \right)\right)=\ker {\left(M_{O}\left(\ell \right)\right)}=\left\{x:\;Y\left(\ell \right)=M_{O}\left(\ell \right)\cdot x={\vec {0}}\right\}$

### Sottospazio di osservabilità $X_{O}$

Si può dimostrare che la dimensione del sottospazio di non osservabilità $X_{NO}$ è minima all'istante $\ell$ in cui la matrice $M_{O}\left(\ell \right)$ è quadrata, cioè $\ell =n-1$.
Gli stati iniziali $x^{*}$ osservabili nell'intervallo $\left[t_{0},t^{*}\right]$ costituiscono il sottospazio di osservabilità $X_{O}$, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di osservabilità $X_{NO}$, che per le proprietà dell'algebra lineare è pari allo spazio immagine ${\mathcal {R}}{\left(\cdot \right)}$ della trasposta della matrice di osservabilità $M_{O}$:
    $X_{O}=X_{NO}^{\bot }={\left[{\mathcal {N}}\left(M_{O}\right)\right]}^{\bot }={\mathcal {R}}\left(M_{O}^{T}\right)={\mathcal {R}}\left({\begin{bmatrix}C^{T}&A^{T}C^{T}&\cdots &{A^{T}}^{n-1}C^{T}\end{bmatrix}}\right):\;{\begin{cases}X_{O}\cap X_{NO}=\varnothing \\X_{O}\cup X_{NO}=X\end{cases}}$
La dimensione $o$ del sottospazio di osservabilità $X_{O}$ è pari al rango della matrice di osservabilità $M_{O}$:
    $o=\rho {\left(M_{O}\right)}$
L'uscita $y\left(\bullet \right)$ è influenzata solo dalla parte osservabile → la parte non osservabile non influenza la parte osservabile. Tuttavia, la parte osservabile può disturbare la parte non osservabile.
Un sistema è completamente osservabile se il sottospazio di osservabilità $X_{O}$ coincide con lo spazio di stato $X$, cioè è possibile stimare qualunque stato iniziale $x^{*}\neq 0$:
    $X_{O}=X\Leftrightarrow o=\rho \left(M_{O}\right)=n$

## Rilevabilità

Uno stato $x^{*}=x\left(t^{*}\right)$ si dice non rilevabile nell'intervallo $\left[t_{0},t^{*}\right]$ se, per qualunque $t^{*}\in \left[t_{0},+\infty \right]$, il movimento libero $y_{\ell }\left(t\right)$ che ha come stato finale $x\left(t^{*}\right)=x^{*}\neq 0$ risulta:
    $y_{\ell }\left(t\right)=0,\quad \forall t\in \left[t_{0},t^{*}\right]$
L'insieme di non rilevabilità $X_{ND}\left(t^{*}\right)$ è l'insieme di tutti gli stati finali $x^{*}$ non rilevabili nell'intervallo $\left[t_{0},t^{*}\right]$, cioè gli stati finali $x^{*}\neq 0$ che non possono essere stimati (perché il movimento libero $y_{\ell }\left(t\right)$ è sempre nullo).
L'insieme di non rilevabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo $t^{*}$ perché sempre più stati finali diventano rilevabili → il sottospazio di non rilevabilità $X_{ND}$ è il più piccolo insieme di non rilevabilità $X_{ND}\left(t\right)$:
    $X_{ND}=\min _{t\in \left[t_{0},+\infty \right)}{X_{ND}\left(t\right)}$
Un sistema è completamente rilevabile se il sottospazio di rilevabilità $X_{D}$ coincide con lo spazio di stato $X$, cioè è possibile stimare qualunque stato finale $x^{*}\neq 0$:
    $X_{D}=X$
Se il sistema non è completamente rilevabile, gli stati finali che possono essere stimati costituiscono il sottospazio di rilevabilità $X_{ND}$, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di rilevabilità $X_{D}$:
    $X_{D}=X_{ND}^{\bot }:\;{\begin{cases}X_{D}\cap X_{ND}=\varnothing \\X_{D}\cup X_{ND}=X\end{cases}}$
Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di osservabilità e rilevabilità coincidono:
    $X_{O}=X_{D}$
Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di osservabilità $X_{O}$ è incluso nel sottospazio di rilevabilità $X_{D}$:
    $X_{O}\subseteq X_{D}$
Se la matrice $A$ è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:
    $X_{O}=X_{R}$

## Problema della realizzazione

Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento $H\left(\bullet \right)$ è univoca:
    $H\left(s\right)={\frac {b_{n}s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+\ldots +b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{0}}}=C{\left(sI-A\right)}^{-1}B+D$
Invece, data la funzione di trasferimento $H\left(\bullet \right)$ di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).
Una possibile realizzazione è la forma canonica di osservabilità:
    $H\left(s\right)={\frac {b_{n}s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+\ldots +b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{0}}}={\frac {d_{n-1}s^{n-1}+\ldots +d_{0}}{s^{n}+c_{n-1}s^{n-1}+\ldots +c_{0}}}+d_{n}\Rightarrow A={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&-c_{0}\\1&\ddots &\ddots &-c_{1}\\0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}},\;B={\begin{bmatrix}d_{0}\\d_{1}\\\vdots \\d_{n-1}\end{bmatrix}},\;C={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}},\;D={\begin{bmatrix}d_{n}\end{bmatrix}}$
* la matrice $A$ è in forma compagna destra (è la trasposta della matrice $A$ compagna inferiore della forma canonica di raggiungibilità) → il polinomio caratteristico della matrice $A$ è:
    $p\left(A\right)=\det {\left(\lambda I-A\right)}=\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +c_{1}\lambda +c_{0}$
* il sistema dinamico individuato dalle matrici $A$, $B$, $C$ e $D$ è sempre completamente osservabile.

## Principio di dualità

Il principio di dualità si basa sulle analogie tra le proprietà di raggiungibilità e di osservabilità.
Dato un sistema primale $S^{P}\left(A,B,C,D\right)$:
    ${\begin{cases}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{cases}},\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\;u(t)\in \mathbb {R} ^{p},\;y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$
si può ottenere il sistema duale $S^{D}\left(A^{T},C^{T},B^{T},D^{T}\right)$ scambiando i ruoli degli ingressi e delle uscite:
    ${\begin{cases}{\dot {w}}(t)=A^{T}w(t)+C^{T}v(t)\\z(t)=B^{T}w(t)+D^{T}v(t)\end{cases}},\quad w(t)\in \mathbb {R} ^{n},\;v(t)\in \mathbb {R} ^{q},\;z(t)\in \mathbb {R} ^{p}$
Si ricorda che il sistema primale $S^{P}$ ha il seguente sottospazio di raggiungibilità $X_{R}^{P}$:
    $X_{R}^{P}={\mathcal {R}}\left(M_{R}^{P}\right)={\mathcal {R}}\left({\begin{bmatrix}B&AB&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}\right)$
e ha il seguente sottospazio di osservabilità $X_{O}^{P}$:
    $X_{O}^{P}={\mathcal {R}}\left({\left(M_{O}^{P}\right)}^{T}\right)={\mathcal {R}}\left({\begin{bmatrix}C^{T}&A^{T}C^{T}&\cdots &{A^{T}}^{n-1}C^{T}\end{bmatrix}}\right)$
Il sottospazio di osservabilità $X_{O}^{D}$ del sistema duale $S^{D}$ coincide con il sottospazio di raggiungibilità $X_{R}$ del sistema primale $S^{P}$:
    $X_{O}^{D}={\mathcal {R}}\left({\left(M_{O}^{D}\right)}^{T}\right)={\mathcal {R}}\left({\begin{bmatrix}B&AB&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}\right)=X_{R}$
e il sottospazio di raggiungibilità $X_{R}^{D}$ del sistema duale $S^{D}$ coincide con il sottospazio di osservabilità $X_{O}^{P}$ del sistema primale $S^{P}$:
    $X_{O}^{P}=X_{R}^{D}$

### Principio di dualità

* Il sistema primale $S^{P}$ è completamente raggiungibile se e solo se il sistema duale $S^{D}$ è completamente osservabile.
* Il sistema primale $S^{P}$ è completamente osservabile se e solo se il sistema duale $S^{D}$ è completamente raggiungibile.

## Note

* ↑ Lo spazio immagine di una matrice è la combinazione lineare delle sue colonne.