# Fondamenti di automatica/Modelli di sistemi comuni

Fondamenti di automatica
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## Modelli di sistemi comuni
### Amplificatore

Consiste in un unico elemento che ha guadagno costante $G_{amp}(s)=k$

### Ritardo di tempo

Un sistema ritardo di tempo
è usato per rappresentare la non immediata risposta dei sistemi reali. Un sistema che ritarda la risposta di $T_{d}$ secondi è rappresentato dalla funzione di trasferimento
$G_{rit}(s)=e^{-T_{d}s}$
Un ritardo puro non introduce variazioni di ampiezza ma diminuisce linearmente la fase al crescere di $\omega$
ed ha effetti negativi sulla stabilità di un sistema in anello chiuso.
È possibile approssimare il ritardo con funzioni razionali fratte scrivendo la funzione esponenziale come serie di Mc Laurin se $T_{d}$ è sufficientemente piccolo
$e^{-T_{d}s}={\frac {1}{1+T_{d}s+T_{d}^{2}s^{2}/2+\cdots }}$

### Integratore

Un sistema integratore
ha un solo polo nell'origine
$G_{int}(s)={\frac {1}{s}}$

### Derivatore

Un sistema derivatore
ha un solo zero e nessun polo,
$G_{der}(s)=1+s\tau =z(s+z)$
non è quindi un sistema causale, ma esistono sistemi reali che si comportano approssimativamente come derivatori ideali, ovvero sistemi del primo ordine (o di ordine superiore) con poli dominanti a frequenze elevate ed un solo zero a bassa frequenza.

### Sistemi del primo ordine

Un sistema del primo ordine ha un solo polo e al massimo uno zero
$G_{I}={\frac {1+\tau s}{1+Ts}}={\frac {z}{p}}\quad {\frac {s+z}{s+p}}$
$G_{I}={\frac {1}{1+Ts}}={\frac {1}{p(s+p)}}$
Dove $T$ è detto tempo caratteristico del sistema.

#### Risposta al gradino

La risposta al gradino di un sistema del primo ordine generico
può essere calcolata esplicitamente; ha un andamento esponenziale
$y(t)=1+(\tau /T-1)e^{t/T}$;
la velocità di risposta del sistema dipende dalla sua costante di tempo $T$, il transitorio si può considerare esaurito dopo circa cinque costanti di tempo; la presenza di uno zero influenza il valore iniziale della risposta e può causare una sovraelongazione iniziale se $\tau >T$.
I parametri della risposta al gradino sono:
* tempo di salita:
$t_{r}=2.2T$
* tempo di ritardo:
$t_{d}=0.7T$
* tempo di assestamento
$t_{s}=3T$

### Sistemi del secondo ordine

Consideriamo un sistema che abbia due poli e nessuno zero. Sono di particolare interesse solo i sistemi con poli stabili complessi coniugati; ci sono altri sistemi con due poli, ma o sono instabili oppure si possono ricondurre a somma di sistemi del primo ordine.
$G_{II}(s)={\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}={\frac {1}{{\frac {s^{2}}{\omega _{n}^{2}}}+2{\frac {\zeta s}{\omega _{n}}}+1}}$
Se i poli sono complessi coniugati negativi stabili, questi valgono
$p_{1},p_{2}=\zeta \omega _{n}\pm j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}=\alpha \pm j\omega$

#### Parametri caratteristici

I simboli usati nella funzione di trasferimento del sistema di secondo grado precedente significano:
* $\omega _{n}$:
pulsazione naturale non smorzata, modulo dei poli se questi sono complessi coniugati
* $\zeta$:
smorzamento, opposto del coseno della fase dei poli se questi sono complessi coniugati negativi
* $\alpha =\zeta \omega _{n}$:
fattore di smorzamento, parte reale dei poli
* $\omega =\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$:
pulsazione smorzata, parte immaginaria dei poli
il tipo dei poli dipende dallo smorzamento $\zeta$
* $\zeta \leq -1$: due poli reali instabili, se $\zeta =-1$ coincidenti: sistema instabile
* $-1<\zeta <0$: due poli complessi coniugati instabili: sistema instabile
* $\zeta =0$: due poli immaginari puri: sistema criticamente smorzato
* $0<\zeta <1$: due poli positivi complessi coniugati stabili: sistema smorzato (è questo il caso di maggiore interesse)
* $\zeta \geq 1$: due poli positivi reali stabili, se $\zeta =1$ coincidenti: sistema sovrasmorzato
Per i sistemi smorzati con smorzamento $0<\zeta <{\sqrt {2}}/2$ esiste un picco di risonanza
il cui valore dipende dallo smorzamento $M_{r}={\frac {1}{2\zeta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$ in corrispondenza della frequenza di risonanza $\omega _{r}=\omega _{n}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}$ L'entità del picco di risonanza è inversamente proporzionale allo smorzamento. Se lo smorzamento è maggiore di $0,707$ allora $M_{r}=1$ e $\omega _{n}=0$
La banda
di un sistema smorzato del secondo ordine è $BW=\omega _{n}\left((1-2\zeta ^{2})+{\sqrt {4\zeta ^{4}-4\zeta ^{2}+2}}\right)$

#### Risposta al gradino dei sistemi smorzati

La risposta di un sistema ad un ingresso gradino unitario o risposta al gradino
può essere usata per valutare le prestazioni di un sistema
* Sovraelongazione massima:
Se il sistema è smorzato ($0<\zeta <1$) la risposta al gradino ha un comportamento oscillatorio periodico con massimi e minimi ai tempi $t_{i}={\frac {i\pi }{\omega }}$ per $i$ intero, il valore della sovraelongazione dipende solo dallo smorzamento $\zeta$ ed è $M_{p}=e^{-|{\frac {\pi \alpha }{\omega }}|}=e^{-{\frac {\pi \zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$ il tempo in cui si raggiunge il massimo è $t_{max}={\frac {\pi }{\omega }}$
* Tempo di ritardo:
Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta a raggiungere la metà del valore di regime $t_{d}={\frac {1+0.7\zeta }{\omega _{n}}}$
* Tempo di salita:
Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta ad andare dal 10\% al 90\% del suo valore di regime $t_{r}={\frac {0.8+2.5\zeta }{\omega _{n}}}$
* Tempo di assestamento:
si calcola un valore approssimato del tempo dopo cui la risposta non differisce di più del 5\% dal valore di regime
$t_{s_{5\%}}=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {3}{\zeta \omega _{n}}}&{\textrm {per}}0<\zeta <0.69\\{\frac {4.5\zeta }{\omega _{n}}}&{\textrm {per}}0.69<\zeta <1\\\end{array}}\right.$
Se si desidera un assestamento al $2\%$ del valore di regime, si considera $t_{s_{2\%}}={\frac {4}{\zeta \omega _{n}}}$

#### Relazioni tra i parametri

Esistono delle dipendenze tra i parametri caratteristici del sistema e i parametri della sua risposta al gradino
* Al crescere di $\omega _{n}$ la distanza dei poli dall'origine aumenta
* Al crescere di $\zeta$ diminuisce l'angolo tra i poli e l'asse reale negativo rispetto all'origine
* Al crescere di $\omega _{n}$ il tempo di ritardo diminuisce e il sistema risponde più rapidamente
* Al crescere di $\zeta$ il tempo di ritardo aumenta e il sistema risponde più lentamente
* La banda è direttamente proporzionale alla pulsazione naturale non smorzata $\omega _{n}$ e inversamente proporzionale al tempo di salita $t_{r}$,
per cui aumentando la banda il sistema risponde più rapidamente
* Al crescere del picco di risonanza aumenta la sovraelongazione massima

### Riduzione dell'ordine dei sistemi
#### Poli dominanti

Si possono trascurare in fase di valutazione delle specifiche poli o zeri a frequenze molto elevate rispetto agli altri \vedilibro{rif:k}{422, sezione 7.8: Dominant poles of transfer function}

## Note

* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 105, sezione 4.2.5: Ritardo di tempo
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 189, sezione 4-8: Systems with transportation lag
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 881, Bode plot: Pure time delay
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; sezione 4.3.3: Integratore
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 107, sezione 4.3.2: Derivatore ideale
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 112, sezione 4.4.4: Sistemi del primo ordine
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 390, figura 7.15
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 108, sezione 4.3.5: Pulsazione naturale e smorzamento
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 544, sezione 9-2-1: Resonant peak and resonant frequency
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 547, sezione 9-2-2: Bandwidth
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 387, sezione 7-5: Transient response of a prototype second-order system
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 119, sezione 4.4.5 parte terza: Sistemi con solo poli complessi coniugati
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 394, sezione 7-5-3: Maximum overshoot
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 398, sezione 7-5-5: Settling time
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 550, figura 9-7