# Matematica per le superiori/La retta

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
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*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
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*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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Nella geometria analitica la retta è la rappresentazione grafica di un equazione a due incognite di primo grado.

## Ricavare l'equazione

Tracciando una retta generica r su un piano cartesiano si prendono due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) sulla retta noti e il punto P(x;y), intermedio, incognito. Si tracciano le proiezioni dei punti sugli assi, trovando H1, H e H2 sull'asse delle ascisse e K1, K e K2 su quello delle ordinate.
Secondo il teorema di Talete, valgono le equazioni:
${\frac {H_{1}H}{H_{1}H_{2}}}={\frac {P_{1}P}{P_{1}P_{2}}}$ e ${\frac {K_{1}K}{K_{1}K_{2}}}={\frac {P_{1}P}{P_{1}P_{2}}}$
Quindi, per proprietà simmetrica, si ottiene:
${\frac {H_{1}H}{H_{1}H_{2}}}={\frac {K_{1}K}{K_{1}K_{2}}}$
Riscrivendo l'equazione con le coordinate di P1, P e P2 si ottiene
${\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$
Mettendo a denominatore comune l'equazione, svolgendo i calcoli e ponendo $y_{2}-y_{1}=a$, $x_{1}-x_{2}=b$ e $x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}=c$ si ottiene l'equazione in forma implicita:
$ax+by+c=0$

## Il coefficiente angolare e l'intercetta

Se si ricava la y da quell'equazione e si pone $-{\frac {a}{b}}=m$ e $-{\frac {c}{b}}=q$ si ottiene
$y=mx+q$
dove m è detto coefficiente angolare (o pendenza) e q intercetta od ordinata all'origine.
* Il valore di q corrisponde all'ordinata del punto in cui la retta incontra l'asse delle ordinate, cioè quando x è uguale a 0; le rette passanti per l'origine di conseguenza hanno q uguale a 0 e la loro equazione generica è: $y=mx$ il che è anche logico: se, quando x=0 e annulla il monomio mx, non c'è nessun altro valore a far variare la y, allora anch'essa vale 0, e quindi P(0,0).
* Da m dipende invece l'inclinazione della retta. Trascurando q una retta con m>0 riguarderebbe il 1° e il 3° quadrante, mentre con m<0 il 2° e il 4°. L'inclinazione è il rapporto tra la differenza delle y e la differenza delle x di due punti qualsiasi su una retta: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ Con m = 0 la retta corrispondente sarà orizzontale, infatti: $y_{1}=y_{2}$ $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {0}{\Delta x}}=0$ Al contrario il coefficiente angolare di una retta verticale tenderà ad infinito: $x_{1}=x_{2}$ $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{0}}$ L'equazione di una tale retta cambia pertanto struttura e diventa del tipo $x=k$ dove il parametro k indica l'ascissa (costante) dei suoi infiniti punti. Ad alcuni angoli particolari corrispondono determinati coefficienti angolari:
| $\alpha$ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 135° | 150° |
| m | $0$ | ${\frac {\sqrt {3}}{3}}$ | $1$ | ${\sqrt {3}}$ | $m\rightarrow \infty$ | $-1$ | $-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$ |

## Rette parallele e perpendicolari

I coefficienti angolari delle rette il cui rapporto è definibile sono legati matematicamente.

### Rette parallele

Ip.: $r//r^{\prime }$
Ts.: $m_{r}=m_{r'}$
Dim: I triangoli ABO e A'B'O sono simili, infatti:
* Gli angoli AOB e A'OB' sono uguali perché opposti al vertice.
* Gli angoli ABO e OB'A' sono uguali perché alterni interni.
* Gli angoli BAO e B'A'O sono uguali perché alterni interni.
$m_{r}={\frac {\overline {AO}}{\overline {OB}}}$ $m_{r'}={\frac {\overline {OA'}}{\overline {OB'}}}$ siccome sono simili ${\frac {\overline {AO}}{\overline {OB}}}={\frac {\overline {OA'}}{\overline {OB'}}}$ e quindi: $m_{r}=m_{r'}$ cvd.

### Rette perpendicolari

Ip.: $r\bot r^{\prime }$
Ts.: $m_{r}=-{\frac {1}{m_{r'}}}$
Dim: I triangoli ABO e CDO sono simili. $m_{r}={\frac {\overline {AB}}{\overline {OB}}}$
$m_{r'}={\frac {\overline {CD}}{\overline {OD}}}$
${\overline {AB}}:{\overline {OB}}={\overline {OD}}:{\overline {CD}}$
$m_{r}={\frac {\overline {AB}}{\overline {OB}}}={\frac {-{\overline {OD}}}{\overline {CD}}}=-{\frac {1}{\frac {\overline {CD}}{\overline {OD}}}}=-{\frac {1}{m_{r'}}}$

### Simmetrie

* Simmetria rispetto all'asse y: m -> -m; q -> -q
* Simmetria rispetto all'asse x: m -> -m; q -> q
* Simmetria rispetto all'origine (composizione delle prime due): m -> m; q -> -q

## Lavorare con l'equazione

Partendo dall'equazione di una retta possiamo ottenere informazioni sui punti che la compongono e vice versa; ad esempio si può verificare che un punto appartenga alla retta inserendo una delle sue coordinate nell'equazione:
$r:y=3x+1$ $P(2,3)$ $3=3\cdot 2+1$ $3\neq 7\Rightarrow$ P non appartiene ad r
Lo stesso vale per il contrario: partendo da uno o due punti possiamo trovare l'equazione di un fascio o di una retta:

### Retta per un punto

$y=mx+q$ $P(x_{0},y_{0})$ $y_{0}=mx_{0}+q$ $q=y_{0}-mx_{0}$ $y=mx+y_{0}-mx_{0}$ $y-y_{0}=m(x-x_{0})$
Questa formula è equivalente a quella classica, $y=mx+q$, da cui deriva, ma in molte situazioni è più comoda da utilizzare.

### Retta per due punti

Dati due punti $P_{1}(x_{1},y_{1})$ e $P_{2}(x_{2},y_{2})$, per trovare l'equazione della retta corrispondente si può procedere nel seguente modo:
* Si trova m: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$.
* Si sostituiscono nell'equazione le coordinate di uno dei due punti.
* Si ricava q dalla stessa equazione.

## Distanza di un punto da una retta

Per "distanza di un punto da una retta" (abbreviato in distanza punto-retta) si intende la lunghezza del segmento più breve che unisce il punto alla retta: quello ad essa perpendicolare.
Per calcolare tale misura si può utilizzare una formula la cui validità è provata dalla seguente dimostrazione:
$r:ax+by+c=0$ (Equazione in forma implicita) $y=-{\frac {a}{b}}$ $y={\frac {b}{a}}$ (Retta perpendicolare) $s:y={\frac {b}{a}}x$ $\left\{{\begin{matrix}y={\frac {b}{a}}x\\ax+by+c=0\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}-\\ax+{\frac {b^{2}}{a}}x+c=0\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}-\\{\frac {a^{2}x+bx+ac}{a}}=0\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}-\\x(a^{2}+b^{2})=-ac\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}-\\x=-{\frac {ac}{a^{2}+b^{2}}}\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}y={\frac {b}{a}}{\frac {-ac}{a^{2}+b^{2}}}\\x=-{\frac {ac}{a^{2}+b^{2}}}\end{matrix}}\right.$ ${\overline {OH}}={\sqrt {{\frac {a^{2}c^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}+{\frac {b^{2}c^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}}={\sqrt {\frac {c^{2}(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}}={\frac {\sqrt {c^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
* $={\frac {|c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
Naturalmente a questo punto la formula permette di calcolare solo la distanza dall'origine, ma è possibile estenderla operando una traslazione: r in O: $ax+by+c=0$ $\left\{{\begin{matrix}x'=x-x_{0}\\y'=y-y_{0}\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}x=x'+x_{0}\\y=y'+y_{0}\end{matrix}}\right.$ r in P: $a(x'+x_{0})+b(y'+y_{0})+c=0$ $ax'+by'+ax_{0}+by_{0}+c=0$
* $={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

## Fasci di rette

Un fascio di rette è l'insieme delle infinite rette passanti per uno stesso punto P, detto sostegno del fascio.
Come già visto, il fascio per un punto $P(x_{0},y_{0})$ è ottenibile con la formula $y-y_{0}=m(x-x_{0})$, ma si può anche creare un fascio utilizzando la combinazione lineare a partire da due rette dette generatrici. Per trovare la retta del fascio passante per P naturalmente si impone il passaggio per P sostituendo nell'equazione del fascio le coordinate del punto in questione.
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