# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
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* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Dopo una breve introduzione, vogliamo definire il concetto di trasformata di Fourier. Essa viene definita naturalmente per funzioni di classe $L^{1}$ ma, come si vedrà nel corso di questo modulo, risulta piuttosto delicata l'estensione allo spazio $L^{2}$, che tuttavia è quello di maggior interesse essendo anche spazio di Hilbert.

## Teorema (1)

Sia $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$. Definiamo trasformata di Fourier di $u$ la quantità
${\mathcal {F}}u={\hat {u}}(k)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}u(x)dx,\;k\in \mathbb {R} ^{n}$
Definiamo antitrasformata di Fourier la quantità
${\mathcal {F}}^{-1}u={\check {u}}(k)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}u(x)dx,\;k\in \mathbb {R} ^{n}$
Gli integrali che definiscono la trasformata e l'antitrasformata di Fourier altro non sono che degli integrali di Fourier con un'opportuna costante di normalizzazione. Quella usata nella nostra definizione è solo una delle possibili ed è una delle più comuni in fisica. Sappiamo quindi che la trasformata (l'antitrasformata) di Fourier è una mappa che manda $u\mapsto {\hat {u}}({\check {u}})$. Tuttavia è bene chiedersi quale sia la sua immagine.

## Teorema (2 Di Plancherel)

Sia $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ a quadrato integrabile. Allora
$\parallel {\hat {u}}\parallel _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}=\parallel {\check {u}}\parallel _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}=\parallel u\parallel _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$
Lo spazio $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ è uno spazio di Hilbert, quindi ${\hat {u}}$ e sono isometrie. Si tenga presente che la trasformata di fourier in realtà è definita su $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ e dunque è necessario, per poter rimanere nel campo di validità del teorema appena enunciato, estenderla a $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$. Questa estensione si può fare lavorando in un particolare spazio detto spazio di Schwarz.

## Osservazione (1)

Sia $u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$. Definiamo una successione $\left\lbrace u_{k}\right\rbrace \in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ tale che
$u_{k}{\overset {L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}{\rightarrow }}u$
ovvero
$\parallel u_{k}-u\parallel _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}{\overset {k\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$
Allora per questa successione è ben definita la trasformata di Fourier, perché ogni elemento della stessa sta in $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$. Inoltre si ha che
$\parallel {\hat {u}}_{k}-{\hat {u}}_{j}\parallel _{L^{2}}=\parallel (u_{k}-u_{j})^{\hat}\parallel _{L^{2}}=\parallel u_{k}-u_{j}\parallel _{L^{2}}$
Dal momento che $u_{k}\rightarrow u$ ed essendo $L^{2}$ uno spazio di Hilbert, e dunque anche di Banach, si ha che
$u_{k}-u_{j}\rightarrow 0$
Questo ci porta a concludere che la successione ${u_{k}}$ è una successione di Cauchy. In realtà, in virtù dell'uguaglianza scritta qui sopra si ha che pure la successione ${{\hat {u}}_{k}}$ è di Cauchy. Dunque essa dovrà convergere a una certa funzione $g\in L^{2}(\mathbb {(R)} ^{n})$ che per definizione chiameremo trasformata di Fourier di $u$. Stiamo procedendo per "densità": è fondamentale sapere che quelle che usiamo sono isometrie per poter concludere che ${{\hat {u}}_{k}}$ è una successione di Cauchy.
Possiamo dunque definire la trasformata di Fourier in $L^{2}$

## Teorema (3)

Sia $u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, si definisce trasformata di Fourier di $u$ in $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ la quantità
$g={\hat {u}}=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}u_{k}(x)dx$
Il limite che definisce la trasformata su $L^{2}$ non è un limite puntuale, ma un limite in media. La trasformata di Fourier è un'isometria di $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ in sé stesso.

## Teorema (4)

Calcoliamo la trasformata di Fourier di una gaussiana. Sia $u(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\in L^{1}(\mathbb {R} )$. Dalla definizione abbiamo che:
${\hat {u}}(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-ikx}e^{-x^{2}/2}dx$
Detta $h(xk)=e^{-ikx}e^{-x^{2}/2}$, si ha che
${\frac {\partial h}{\partial k}}=-ixe^{-ikx}e^{-x^{2}/2}$
$\left|{\frac {\partial h}{\partial k}}\right|=\mid x\mid e^{-x^{2}/2}\in L^{1}(\mathbb {R} )$
Derivando rispetto a $k{\hat {u}}(k)$ si ottiene:
${\hat {u}}^{\prime }(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }(-ix)e^{-ikx}e^{-x^{2}/2}dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }ie^{-ikx}{\frac {d}{dx}}\left(e^{-x^{2}/2}\right)dx=$
$=-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }ke^{-ikx}e^{-x^{2}/2}dx=-k{\hat {u}}(k)$
Dunque ${\hat {u}}(k)$ deve soddisfare la seguente equazione differenziale del primo ordine:
${\hat {u}}^{\prime }(k)+k{\hat {u}}(k)=0$
La cui soluzione è
${\hat {u}}(k)={\hat {u}}(0)e^{-k^{2}/2}$
Più precisamente, notando che ${\hat {u}}(0)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-x^{2}/2}dx=1$, si ha che
Ovvero che la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana.
Se la gaussiana non avesse varianza 1, ma un valore arbitrario, poco cambierebbe. Più precisamente, se $u(x)=e^{-\xi \mid x\mid ^{2}}$, avremmo che
${\hat {u}}(k)={\frac {1}{\sqrt {2\xi }}}e^{-{\frac {\mid k\mid ^{2}}{4\xi }}},\;x,k\in \mathbb {R}$
Chiaramente la nostra definizione non è per nulla restrittiva e segue in maniera naturale la sua estensione a ${\mathbb {R}}^{n}$. Sempre con l'esempio della gaussiana avremmo che $u({\underline {x}})=\prod _{i=1}^{n}e^{-\xi x_{i}^{2}}$ (notazione dei multiindici), e la sua trasformata di Fourier sarebbe
${\hat {u}}({\underline {k}})={\frac {1}{(2\xi )^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {\mid {\underline {k}}\mid ^{2}}{4\xi }}}$

## Note

* ↑ Per altro l'unico degli $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ a essere spazio di Hilbert.