# Analisi matematica I/Numeri naturali

Analisi matematica I
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Principi di insiemistica e funzioni elementari
* Numeri naturali
* Numeri interi
* Numeri razionali
* Numeri reali
* Numeri reali (seconda parte)
* Numeri complessi
* Funzioni
* Funzioni circolari
* Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in $\mathbb {R}$
* Successioni reali
* Limiti di successioni reali
* Teoremi sulle successioni
* Algebra dei limiti delle successioni
* Esistenza del limite di una successione
* Limiti inferiori e superiori
* Forme indeterminate di successioni
* Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
* Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
* Compattezza di un insieme
* Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
* Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
* Algebra dei limiti
* Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
* Analisi matematica I/Funzioni monotone
* Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
* Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
* Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in $\mathbb {R}$ e studio di funzioni
* Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
* Analisi matematica I/Algebra delle derivate
* Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
* Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
* Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
* Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
* Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
* Analisi matematica I/Integrale di Riemann
* Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
* Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
* Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
* Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
* Analisi matematica I/Successioni di funzioni
* Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO Elementi di base
* Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
* Note storiche sugli insiemi
* I numeri reali
* I numeri complessi
* Sommatorie
* progressione geometrica
* fattoriale di n
* formula di Newton
* Potenze e radicali
* Esponenziali e logaritmi
* Insiemi infiniti
* Massimi e minimi
* Funzioni
Serie e successioni
* Successioni: definizione
* Limiti: definizione
* Successioni monotone
* Calcolo dei limiti
* Limite di successioni
* Il numero di Nepero (e)
* Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
* Limiti notevoli
* Serie numeriche: definizione
* Serie a termini non negativi
* Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
* Limiti di funzioni da R a R
* Limiti di funzioni da R$^n$ a R$^m$
* Funzioni numeriche e generalità
* Grafico di una funzione
* Funzioni limitate
* Funzioni simmetriche, pari e dispari
* Funzioni monotone
* Funzioni periodiche
* Limiti, continuità, asintoti
* Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
* Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
* Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
* Introduzione
* Il rapporto incrementale
* Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
* Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
* Le derivate fondamentali
* Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
* Il teorema di de L’Hospital
* Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
* o piccolo
* Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
* Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
* Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
* Proprietà dell'integrale
* Il teorema fondamentale del calcolo integrale
* Metodo di ricerca della primitiva
* Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
* Funzioni integrabili
* integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
* Integrazione di funzioni non limitate
* Criteri di integrabilità al finito
* Integrazione su intervalli illimitati
* Criteri di integrabilità all’infinito
* Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
* Integrazione delle funzioni trigonometriche
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I numeri con cui siamo abituati a contare fin da piccoli, i cosiddetti numeri naturali, il cui insieme viene denotato con $\mathbb {N} ,$ possono sembrare, ad una prima occhiata, tanto banali da far ritenere inutile la loro trattazione in un corso che vuole definirsi di livello universitario.
Ma nel corso dell' '800 e del '900 ulteriori approfondimenti e studi successivi ad opera di matematici e filosofi del calibro di Ludwig Wittgenstein, Richard Dedekind e Giuseppe Peano (per citarne solo alcuni) nell'ambito di quella che oggi viene chiamata teoria dei numeri (lo studio dei fondamenti della matematica, cioè delle strutture che fungono da "pilastri" dell'aritmetica) hanno messo in luce come anche le cose più scontate e "banali" possono a volte presentarsi alquanto problematiche, e che è proprio lo studio di quelli che si possono definire i "fondamenti" dell'aritmetica che ci permette di porre le basi alla comprensione di enti matematici ben più complessi.
A parte queste ragioni, forse un po' filosofiche, c'è un altro motivo che fa ritenere didatticamente interessante la trattazione dei numeri naturali. Aiuta lo studente a non prendere assolutamente niente per scontato: anche le proprietà più banali che abbiamo imparato alle elementari (proprietà commutativa, associativa, distributiva...) non sono per nulla scontate, per come dire, "calate dal cielo", ma hanno bisogno di essere "dimostrate" a partire da proposizioni più universali e astratte quanto empiricamente valide che, nell'ambito della logica matematica, prendono solitamente il nome di "assiomi". Proviamo, dunque, a partire alla ricerca dei più astratti ed importanti concetti su cui si basa l'idea stessa di "numero".

## Concetti primitivi e definizioni: numero, uno, successivo, insieme $\mathbb {N}$

Prima di enunciare gli Assiomi da cui discendono tutte le proprietà che oggi conosciamo dei numeri naturali, bisogna partire da dei concetti primitivi. Sono in effetti dei concetti talmente primitivi (quanto universalmente usati) da risultare molto difficile e problematica la loro definizione.
* Bisogna intanto avere qualche idea circa la definizione stessa di numero. Che cos'è un numero? È un qualcosa, o, se questo termine offende i più accademici, un "oggetto", un "ente" finalizzato ad una precisa operazione pratica: quella del contare e del misurare. Questa definizione è valida per lo meno alle origini delle scienze matematiche: con il progredire della conoscenza umana, nel corso dei secoli, i numeri hanno assunto una posizione ontologica autonoma, sono cioè cominciati ad esistere come concetti logici, in se sussistenti, segnando la loro "autonomia" dal riferimento reale a cui erano associati.
Così sono cominciati ad esistere il numero "3" e il numero "2" indipendentemente che si trattasse di 3 asini o 2 pecore. Ciò nonostante quella "operativa" è ancora una delle più efficaci rappresentazioni del concetto di "numero".
* Non meno problematica risulta la definizione di uno. Il concetto di "uno" esiste fin dalla notte dei tempi e, da Pitagora che lo considerava il "generatore" di tutti gli altri numeri a Plotino che lo identificava con l'Essere da cui si emana tutto il reale, ha sempre assunto lo stesso significato. L'uno è il primo dei numeri, l' "atomo" portante di tutto il sistema numerico che oggi conosciamo e, bisogna aggiungere, non solo di $\mathbb {N} ,$ stesso. Qualunque numero reale, infatti, è scrivibile nella forma $C_{0},C_{1}C_{2}C_{3}C_{4}...C_{n}$ in cui $C_{0},C_{1},C_{2}$ ecc. sono naturali e, quindi, derivati dalla somma di finiti "uni".
* Nell'ambito dei naturali e degli interi particolare importanza ha anche la nozione di successivo.
Il concetto non così banale e scontato come a prima vista potrebbe sembrare: dire che un certo numero viene dopo un altro significa già introdurre un ordinamento, concetto che vedremo più avanti in questa lezione. Ma nel concetto di "successivo" c'è qualcosa che va oltre: il successivo di un numero è quello che viene immediatamente dopo. Il termine "immediatamente" ci fa pensare, cioè, che non esista nessun numero compreso fra il numero stesso e il suo successivo, e questo è proprio l'oggetto di un teorema che a breve dimostreremo. Quando definiremo la somma tra numeri naturali verrà spontaneo associare il successivo di un numero allo stesso numero + 1, ma il perché di ciò potrà essere compreso dal lettore solo in seguito, dopo aver passato in rassegna gli assiomi di Peano. Per ora basta definire il concetto di successivo di un certo numero n quel numero, indicato generalmente con $n^{+}$, tale che non esiste nessun altro numero compreso tra n e $n^{+}$.
* Dopo aver definito i concetti di numero, di uno e di successivo, siamo ora abbastanza maturi per definire $\mathbb {N}$ stesso. Convenzionalmente siamo abituati a rappresentarlo in questa maniera: $\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5...n\}$ ma, ad un'analisi più attenta, appare subito chiaro che quasi tutti gli elementi dell'insieme hanno la particolare proprietà di essere successivi dell'elemento immediatamente precedente (2 successivo di 1; 5 successivo di 4 e così via). L'elemento "1" non corrisponde a questa descrizione perché non è il successivo di alcun numero. In conclusione possiamo definire $\mathbb {N} ,$ in questo modo:
Avendo chiarito questi interessanti aspetti, possiamo calarci nel vivo della materia esaminando meglio le proprietà di $\mathbb {N}$

## Gli Assiomi di Peano e l'Assioma d'Induzione

Nel 1889, usando i concetti primitivi che abbiamo visto sopra, Giuseppe Peano, insigne matematico italiano del XIX secolo, formulò i cosiddetti Assiomi di Peano, che descrivono alcune proprietà dell'insieme $\mathbb {N}$. Elenchiamo bravemente questi cinque assiomi.
* A1. 1 è numero naturale. In altri termini, il primo assioma dice che in questo insieme dei numeri naturali che stiamo considerando esiste un elemento particolare chiamato "1".
* A2. Il successivo di un numero naturale è un numero naturale univocamente determinato. Cioè dato un qualunque naturale, esiste uno ed un solo successivo, e questo è esso stesso un naturale.
* A3 1 non è il successivo di alcun numero.
* A4 Numeri diversi hanno successivi diversi: se il successivo di n è uguale al successivo di m, allora n=m.
* A5. (ASSIOMA D'INDUZIONE). Sia H un insieme. Vale la seguente proprietà: $1$ appartiene ad H, e se n appartiene ad H gli appartiene anche il suo successivo.
Perciò H =$\mathbb {N}$.