# Onde meccaniche elastiche/Interferenza

Onde meccaniche elastiche
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Caratteristiche delle onde
* Onde meccanicheOnde meccaniche elastiche/Onde meccaniche
* Onde sinusoidaliOnde meccaniche elastiche/Onde sinusoidali
* Onde longitudinaliOnde meccaniche elastiche/Onde longitudinali
* Onde trasversaliOnde meccaniche elastiche/Onde trasversali
* Energia e intensità d'ondaOnde meccaniche elastiche/Energia e intensità d'onda
L'interferenza e le onde stazionarie
* InterferenzaOnde meccaniche elastiche/Interferenza
* Onde stazionarieOnde meccaniche elastiche/Onde stazionarie
Appendice
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In questo modulo studieremo cosa accade in un mezzo se si propagano più onde contemporaneamente.
Supponiamo che in una regione di spazio si propaghino due onde di uguale lunghezza d'onda e sfasate tra loro di un fattore $\delta$; queste onde le chiameremo coerenti e, ipotizzando abbiamo la stessa ampiezza, possiamo esprimerle come:
${\begin{aligned}&\alpha _{1}(x,\,t)=A\sin(kx-\omega t)\\&\alpha _{2}(x,\,t)=A\sin(kx-\omega t-\delta )\end{aligned}}$
Vedremo come il risultato delle due onde non sia intuitivo; si è portati a dire che l'ampiezza della risultante sia la somma delle due, e invece vedremo come anche essa non sia uniforme nello spazio. Innanzitutto, le due onde hanno la stessa intensità pari a:
$I_{1}=I_{2}={\frac {1}{2}}A^{2}\rho \omega ^{2}v$
Per il principio di sovrapposizione, possiamo scrivere il fenomeno risultante come:
$\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}=A\sin(kx-\omega t)+A\sin(kx-\omega t-\delta )$
Scritta così, non è proprio il massimo, sfruttando le leggi di prostaferesi, ovvero $\sin a+\sin b=2\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)$, possiamo scrivere la risultante come:
$\alpha (x,\,t)=2A\cos \left({\frac {kx-\omega t-kx+\omega t+\delta }{2}}\right)\sin \left({\frac {kx-\omega t+kx-\omega t-\delta }{2}}\right)$
Svolgendo i calcoli, otteniamo la funzione dell'onda risultante:
$\alpha (x,\,t)=2A\cos {\frac {\delta }{2}}\sin \left(kx-\omega t-{\frac {\delta }{2}}\right)$
Osserviamo che anche la risultante ha una natura ondulatoria. La lunghezza d'onda è pari a quella delle onde generatrici, ma l'ampiezza $\left|2A\cos {\frac {\delta }{2}}\right|$ non è la somma delle ampiezze precedenti, bensì dipende da $\delta$. Avremo allora
* se $\cos {\frac {\delta }{2}}=\pm 1$, interferenza costruttiva
* se $\cos {\frac {\delta }{2}}=0$, interferenza distruttiva
Ricaviamoci adesso l'intensità dell'onda risultante, ovvero:
$I_{r}={\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}vA^{2}={\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}v\left(4A^{2}\cos ^{2}{\frac {\delta }{2}}\right)=4I\cos ^{2}{\frac {\delta }{2}}$
Come l'ampiezza, anche l'interferenza dipende da $\delta$; come prima, si hanno interferenza costruttive o distruttive.
Come possiamo esprimere lo sfasamento $\delta$? Questo si può fare sia temporalmente che spazialmente. Consideriamo l'istante $t=0$; le due onde si esprimono:
${\begin{aligned}&\alpha _{1}(x,\,0)=A\sin kx\\&\alpha _{2}(x,\,0)=A\sin(kx-\delta )=A\sin \left[k\left(x-{\frac {\delta }{k}}\right)\right]\end{aligned}}$
Le due onde hanno la stessa ampiezza, stessa lunghezza d'onda ma sono sfasate spazialmente. Allora possiamo ragionare in termini di spazio, quindi:
* se ${\frac {\delta }{k}}=0,\,2\pi ,\,4\pi ...$ le ampiezze si sommano, interferenza costruttiva
* se ${\frac {\delta }{k}}=\pi ,\,3\pi ,\,5\pi ...$ le ampiezze si sottraggono, interferenza distruttiva
Oltre allo sfasamento spaziale, può esserci il caso del ritardo temporale; scelta una posizione $x=0$, le due onde saranno:
${\begin{aligned}&\alpha _{1}(0,\,t)=-A\sin \omega t\\&\alpha _{2}(0,\,t)=-A\sin \omega \left(t+{\frac {\delta }{\omega }}\right)\end{aligned}}$
Le due onde sono ritardate di un tempo $\tau ={\frac {\delta }{\omega }}$. Questo vuol dire che le due onde sono coerenti e generate da due punti diversi dello spazio $S_{1}$ e $S_{2}$, e giungono con tempi diversi in due punti $P_{1}$ e $P_{2}$. Questo genera un fenomeno di interferenza: in alcune regioni dello spazio si ha un'interferenza costruttiva, in altre distruttiva. La conservazione dell'energia è mantenuta, solo che la densità di energia nello spazio non è più costante, ma varia da regione a regione.

## Battimenti

Anche il fenomeno dei battimenti rientra nelle interferenze; questi si hanno quando i numeri d'onda delle due onde sono diversi, ma di una quantità molto piccola, ovvero:
${\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\approx 10^{-2}$
Possiamo scrivere le due onde come sappiamo fare e ricavarne la risultante sfruttando ancora una volta prostaferesi:
${\begin{aligned}&\alpha _{1}(x,\,t)=A\sin(k_{1}x-\omega _{1}t)\\&\alpha _{2}(x,\,t)=A\sin(k_{2}x-\omega _{2}t)\end{aligned}}$
$\alpha (x,\,t)=2A\cos \left[\left({\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}\right)x-\left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}\right)t\right]\sin \left[\left({\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}\right)x-\left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)t\right]$
Se sono soddisfatte le ipotesi del problema, ovvero che i numeri d'onda differiscano di poco, possiamo allora approssimare:
$\omega _{1}\approx \omega _{2}\approx {\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}=\omega$
$k_{1}\approx k_{2}\approx {\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}=k$
Quindi scriviamo l'onda risultante come:
${\begin{aligned}&\alpha (x,\,t)=2A\cos \left[\left({\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}\right)x-\left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}\right)t\right]\sin(kx-\omega t)\\&\alpha (x,\,t)=B(x,\,t)\sin(kx-\omega t)\end{aligned}}$
L'onda $B(x,\,t)$ ha ampiezza modulata e velocità:
$v_{B}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\omega _{1}\omega _{2}}{k_{1}-k_{2}}}$
Ricordando che $\omega _{1}=k_{1}v$ e $\omega _{2}=k_{2}v$, allora otteniamo che:
$v_{B}={\frac {k_{1}v-k_{2}v}{k_{1}-k_{2}}}=v$
In conclusione, nel fenomeno dei battimenti, l'onda risultante è il prodotto tra un'onda modulata e un'onda modulante, con la stessa velocità; sentiremo quindi un suono che scompare periodicamente.