# Esercizi di fisica con soluzioni/L'oscillatore armonico

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## Esercizi
### 1. Oscillatore armonico semplice

Una particella vibra di moto armonico semplice. All'istante iniziale ($t=0$) l'energia potenziale e l'energia cinetica sono eguali e valgono $E_{0}=2\ J$ e la particella si allontana dalla posizione di equilibrio. Il periodo del moto vale $T=0.1\ s$, la massa della particella vale $m=700\ g$.
Determinare a) la costante di richiamo elastico $k$; b) la massima velocità acquistata; d) l'ampiezza di oscillazione; d) dopo quanto tempo la particella passa per il centro di oscillazione;
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## Soluzioni
### 1. Oscillatore armonico semplice

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a)
    $\omega ={\frac {2\pi }{T}}=63\ rad/s$
di conseguenza:
    $k=\omega ^{2}m=2760\ N/m$
b)
Dovendosi conservare l'energia la massima velocità è quella per cui tutta l'energia è cinetica:
    ${\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}=2E_{o}$
    $v_{o}=3.4\ m/s$
c)
Mentre l'ampiezza di oscillazione è quella per cui tutta l'energia è potenziale:
    ${\frac {1}{2}}kx_{o}^{2}=2E_{o}$
    $x_{o}=5.4\ cm$
d)
Essendo un moto armonico posso scrivere:
    $x=x_{o}\cos(\omega t+\varphi )$
    $v=x_{o}\omega \sin(\omega t+\varphi )$
dovendo essere
    ${\frac {1}{2}}kx(0)^{2}={\frac {1}{2}}mv(0)^{2}$
    ${\frac {1}{2}}kx_{o}^{2}\cos ^{2}(\varphi )={\frac {1}{2}}mx_{o}^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}(\varphi )={\frac {1}{2}}mx_{o}^{2}{\frac {k}{m}}\sin ^{2}(\varphi )$
da cui
    $\tan {\varphi }=1$
Che ha due soluzioni la prima se si allontana dalla posizione di equilibrio
    $\varphi =45^{o}=\pi /4$
La seconda soluzione se si avvicina alla posizione di equilibrio:
    $\varphi =135^{o}=5/4\pi \$
è esclusa dalla condizione iniziale.
Quindi imponendo che:
    $\omega t_{1}+\varphi =\pi$
segue che:
    $t_{1}=37\ ms$