# Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
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* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Sfruttiamo il teorema di D'Alembert per studiare il problema di Cauchy sulla retta:
${\begin{cases}u_{tt}-v^{2}u_{xx}=0\\u(x,0)=u_{0}(x)\in C^{2}(\mathbb {R} )\\u_{t}(x,0)=v_{0}(x)\in C^{2}(\mathbb {R} )\end{cases}}$
Se $u(x;t)$ è soluzione classica ed è di classe $C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$ allora, in virtù del teorema di D'Alembert, è possibile scrivere:
$u(x;t)=f(x-vt)+g(x+vt)$
Questa espressione di $u(x;t)$ deve chiaramente soddisfare i dati iniziali del problema di Cauchy considerato:
${\begin{cases}u_{0}(x)=f(x)+g(x)\\v_{0}(x)=-vf^{\prime }(x)+vg^{\prime }(x)\end{cases}}$
Da cui segue che:
${\begin{cases}f(x)+g(x)=u_{0}(x)\\-f(x)+g(x)={\frac {1}{v}}\int _{0}^{x}v_{0}(s)ds+\alpha \end{cases}}$
È dunque possibile ricavare l'espressione per $f(x)$ e $g(x)$:
${\begin{cases}f(x)={\frac {1}{2}}\left(u_{0}(x)-{\frac {1}{v}}\int _{0}^{x}v_{0}(s)ds-\alpha \right)\\g(x)={\frac {1}{2}}\left(u_{0}(x)+{\frac {1}{v}}\int _{0}^{x}v_{0}(s)ds+\alpha \right)\end{cases}}$
In definitiva, la soluzione del problema di Cauchy può essere scritta come:
$u(x;t)={\frac {1}{2}}\left[u_{0}(x-vt)+u_{0}(x+vt)+{\frac {1}{v}}\int _{x-vt}^{x+vt}v_{0}(s)ds\right]$
Quanto appena visto in realtà è un'applicazione diretta del seguente teorema.
Sia $u(x;t)\in C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$ soluzione classica del problema di Cauchy:
${\begin{cases}\quad u_{tt}-v^{2}u_{xx}=0\\u(x;0)=u_{0}(x)\\u_{t}(x;0)=v_{0}(x)\end{cases}},\;{\text{con }}u_{0},v_{0}\in C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$
Allora, l'unica soluzione del problema di Cauchy sulla retta è:
$u(x;t)={\frac {1}{2}}\left[u_{0}(x-vt)+u_{0}(x+vt)+{\frac {1}{v}}\int _{x-vt}^{x+vt}v_{0}(s)ds\right]$
Sebbene il teorema precedente abbia una portata molto ampia, è bene notare che nel caso in cui $v_{0}(x)=0$ allora la soluzione del problema di Cauchy sarà data da:
$u(x;t)={\frac {1}{2}}\left[u_{0}(x-vt)+u_{0}(x+vt)\right]$
Che può essere costruita utilizzando una funzione a gradino. In effetti, in questo caso, non si ha più regolarità nei dati iniziali e quindi la soluzione non sarà più classica: infatti viene meno una delle ipotesi del teorema precedente.
Il risultato del teorema precedente è esprimibile in forma ancor più generica, infatti lo studio del seguente problema di Cauchy:
${\begin{cases}\Box u=0\\u(x;t_{0})=u_{0}(x)\\u_{t}(x;t_{0})=v_{0}(x)\end{cases}}$
porta a ricavare la seguente espressione per la soluzione:
$u(x;t)={\frac {1}{2}}\left[u_{0}(x-vt)+u_{0}(x+vt)+{\frac {1}{v}}\int _{x-v(t-t_{0})}^{x+v(t-t_{0})}v_{0}(s)ds\right]$
Quanto appena detto consente di arrivare a un'importante conclusione: la soluzione dell'equazione delle onde non solo è invariante per inversioni temporali, ma anche per traslazioni temporali. Questo implica che la soluzione dell'equazione delle onde è invariante anche per trasformazioni di Lorentz.