# Sistemi e tecnologie elettroniche/Il transistore bipolare

Sistemi e tecnologie elettroniche
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Il transistore è un dispositivo elettronico caratterizzato da:
* almeno tre terminali, uno dei quali individua il terminale comune tra la porta di ingresso e la porta di uscita;
* una corrente di uscita $I_{u}$ che dipende, oltre che dalla tensione di uscita $V_{u}$, anche dal segnale di ingresso:
** transistore bipolare: (analogico) la caratteristica di uscita $I_{u}\left(V_{u},I_{i}\right)$ è controllata in corrente $I_{i}$;
** transistore a effetto di campo (FET): (digitale) la caratteristica di uscita $I_{u}\left(V_{u},V_{i}\right)$ è controllata in tensione $V_{i}$.
I transistori trovano applicazione nei generatori pilotati, negli amplificatori, nei circuiti digitali... Per le leggi di Kirchhoff:
    ${\begin{cases}I_{1}+I_{2}+I_{3}=0\\V_{21}=V_{2}-V_{1}=V_{23}-V_{13}\end{cases}}$
Il transistore bipolare a giunzione è un dispositivo caratterizzato da tre terminali detti emettitore, base e collettore, che corrispondono alle tre regioni ottenute unendo due giunzioni pn in antiserie.

## Regioni di funzionamento

A seconda della polarizzazione delle due giunzioni, si hanno quattro regioni di funzionamento:
* regione attiva diretta: giunzione BE in diretta ($V_{BE}>0$), giunzione BC in inversa ($V_{BC}<0$);
* regione attiva inversa: giunzione BE in inversa ($V_{BE}<0$), giunzione BC in diretta ($V_{BC}>0$): le prestazioni da amplificatore sono pessime perché il transistore bipolare non è ottimizzato in termini di livelli di drogaggio per lavorare in regione attiva inversa;
* regione di interdizione: giunzione BE in inversa ($V_{BE}<0$), giunzione BC in inversa ($V_{BC}<0$): approssima il circuito aperto ($I_{C}\approx I_{E}\approx 0$) perché i portatori maggioritari non sono spinti dall'emettitore al collettore;
* regione di saturazione: giunzione BE in diretta ($V_{BE}>0$), giunzione BC in diretta ($V_{BC}>0$): approssima il cortocircuito perché la caduta di potenziale è trascurabile ($V_{CE}=V_{BE}-V_{BC}\approx 0$) con un forte flusso di corrente.
Le regioni attive sono usate per le applicazioni analogiche, le altre due per le applicazioni digitali.

## Regione attiva diretta
### Uso come amplificatore (analogico)

Si collegano un generatore di corrente $I_{i}$ e una resistenza di carico $R_{c}$ a un transistore che lavora in condizioni di piccolo segnale. Un amplificatore richiede una relazione lineare tra ingresso e uscita:
    ${\begin{cases}I_{u}\left(V_{u},I_{i}\right)=I_{u}\left({V_{u}}_{0}+{v_{u}}_{ss}\left(t\right),{I_{i}}_{0}+{i_{i}}_{ss}\left(t\right)\right)\simeq I_{u}\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)+{\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial V_{u}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\cdot {v_{u}}_{ss}\left(t\right)+{\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial I_{i}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\cdot {i_{i}}_{ss}\left(t\right)\\I_{u}\left(V_{u},I_{i}\right)={I_{u}}_{0}+{i_{u}}_{ss}\left(t\right)=I_{u}\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)+{i_{u}}_{ss}\left(t\right)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{i_{u}}_{ss}\left(t\right)={\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial V_{u}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\cdot {v_{u}}_{ss}\left(t\right)+{\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial I_{i}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\cdot {i_{i}}_{ss}\left(t\right)\\{i_{u}}_{ss}\left(t\right)=C\cdot {i_{i}}_{ss}\left(t\right)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}C={\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial I_{i}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\\{\left.{\frac {\partial I_{u}}{\partial V_{u}}}\right|}_{\left({V_{u}}_{0},{I_{u}}_{0}\right)}\cdot {v_{u}}_{ss}\left(t\right)=0\Leftrightarrow I_{u}\left(V_{u}\right)={\text{cost.}}\end{cases}}$
Affinché sia un amplificatore, la caratteristica di uscita $I_{u}$ deve dipendere da $V_{i}$ ma non da $V_{u}$.

### Descrizione qualitativa

Per esempio, nel transistore npn:
* la tensione di polarizzazione diretta applicata sulla giunzione np a sinistra spinge gli elettroni liberi maggioritari dal suo lato n (emettitore) alla regione p (base) in comune con la giunzione pn a destra;
* se la base è abbastanza sottile (in particolare più corta della lunghezza di diffusione), gli elettroni non fanno in tempo a ricombinarsi ed entrano nella regione svuotata della giunzione pn a destra;
* la tensione di polarizzazione inversa della giunzione pn a destra li spinge verso il suo lato n (collettore), creando una corrente di trascinamento.
In questo modo, la corrente di trascinamento generata è molto più alta di quella che si otterrebbe da una giunzione pn isolata, perché ai portatori minoritari della giunzione pn a destra si aggiungono i portatori maggioritari provenienti dalla giunzione np a sinistra; per questo motivo, la corrente di trascinamento generata è fortemente dipendente dalla tensione di polarizzazione diretta applicata alla giunzione pn il cui lato n è l'emettitore, e viceversa per il collettore → il transistore bipolare è un amplificatore perché la corrente di uscita $I_{C}$ è indipendente dalla tensione applicata sull'uscita $V_{CE}$.
Nonostante sia geometricamente simmetrica, la struttura del transistore bipolare non è simmetrica in quanto i livelli di drogaggio dell'emettitore e del collettore differiscono in modo che il transistore sia ottimizzato per lavorare in regione attiva diretta.

### Descrizione quantitativa

Le concentrazioni di portatori minoritari ai confini delle regioni di svuotamento seguono le leggi delle giunzioni:
* regione di svuotamento tra emettitore e base:
    ${\begin{cases}p_{n}'\left({x_{E}}^{-}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{{N_{D}}_{E}}}\left(e^{\frac {V_{BE}}{V_{T}}}-1\right)\\n_{p}'\left({x_{E}}^{+}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{{N_{A}}_{B}}}\left(e^{\frac {V_{BE}}{V_{T}}}-1\right)\end{cases}}$
* regione di svuotamento tra base e collettore:
    ${\begin{cases}n_{p}'\left({x_{C}}^{-}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{{N_{A}}_{B}}}\left(e^{\frac {V_{BC}}{V_{T}}}-1\right)\\p_{n}'\left({x_{C}}^{+}\right)={\frac {{n_{i}}^{2}}{{N_{D}}_{C}}}\left(e^{\frac {V_{BC}}{V_{T}}}-1\right)\end{cases}}$
Poiché i bordi della giunzione sono dei contatti ohmici, non ci sono portatori minoritari in eccesso. Spesso l'emettitore e la base sono lati corti e il collettore è un lato lungo → gli eccessi di portatori minoritari hanno un andamento esponenziale nel collettore e lineare nella base e nell'emettitore → le correnti di diffusione, legate alle derivate degli eccessi di portatori minoritari, sono costanti nella base e nell'emettitore, ed esponenziali ma molto piccole nel collettore.
Il flusso $F$ di portatori è il numero di portatori per unità di tempo e di area che si spostano:
    ${\begin{cases}\left|{J_{\text{diff}}}_{n}\right|=q\left|F_{n}\right|\\\left|{J_{\text{diff}}}_{p}\right|=q\left|F_{p}\right|\end{cases}}$
In totale sono presenti 5 flussi di carica:
    ${\begin{cases}I_{E}=-qA{F_{n}}_{EB}-qA{F_{p}}_{BE}\\I_{C}=qA{F_{n}}_{BC}+\left(qA{{F_{n}}_{BC}}_{0}+qA{{F_{p}}_{CB}}_{0}\right)=qA{F_{n}}_{BC}+{I_{CB}}_{0}\approx qA{F_{n}}_{BC}\end{cases}}$
dove:
* la corrente $I_{E}$ deriva dal moto di portatori in corrispondenza della regione svuotata tra emettitore e base;
* la corrente $I_{C}$ deriva dal moto di portatori in corrispondenza della regione svuotata tra base e collettore.
Il flusso ${F_{n}}_{BC}$ dei portatori maggioritari provenienti dall'emettitore si aggiunge ai flussi ${{F_{n}}_{BC}}_{0}$ e ${{F_{p}}_{BC}}_{0}$ di portatori minoritari che avrebbe il collettore se fosse isolato dall'emettitore, e che danno origine alla piccolissima corrente inversa di saturazione ${I_{CB}}_{0}$.

### Parametri di efficienza del dispositivo a transistore

Il comportamento da amplificatore è accentuabile minimizzando la corrente di ingresso $I_{B}$:
    ${\begin{cases}I_{B}+I_{C}+I_{E}=0\\I_{B}\approx 0\end{cases}}\Rightarrow I_{C}\approx -I_{E}$
cioè minimizzando il flusso di lacune maggioritarie ${F_{p}}_{BE}$ tra base ed emettitore con un differente livello di drogaggio tra base ed emettitore:
    ${\begin{cases}I_{B}=-I_{C}-I_{E}=qA{F_{n}}_{EB}+qA{F_{n}}_{BE}-qA{F_{n}}_{BC}\\I_{C}\approx -I_{E}\\{N_{A}}_{B}\ll {N_{D}}_{E}\Rightarrow {F_{p}}_{BE}\approx 0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}I_{B}\approx 0\\{F_{n}}_{EB}\approx {F_{n}}_{BC}\end{cases}}$
I fattori di merito del transistore sono due parametri che misurano la qualità del dispositivo, perché sono tanto più vicini a 1 quanto più è minimizzata la corrente di ingresso $I_{B}$:
* la condizione ${F_{p}}_{BE}\approx 0$ è misurata dall'efficienza di iniezione di emettitore $\gamma$:
       $\gamma ={\frac {{F_{n}}_{EB}}{{F_{n}}_{EB}+{F_{p}}_{BE}}}\leq 1$
    che per avvicinarsi all'idealità impone la seguente condizione sui livelli di drogaggio di base ${N_{A}}_{B}$ ed emettitore ${N_{D}}_{E}$:
       $\gamma ={\frac {1}{1+{\frac {{D_{p}}_{E}}{{D_{n}}_{B}}}\cdot {\frac {{N_{A}}_{B}}{{N_{D}}_{E}}}\cdot {\frac {w_{B}}{w_{E}}}}}\to 1\Leftrightarrow {N_{A}}_{B}\ll {N_{D}}_{E}$
* la condizione ${F_{n}}_{EB}\approx {F_{n}}_{BC}$ è misurata dal fattore di trasporto di base $b$:
       $b={\frac {{F_{n}}_{BC}}{{F_{n}}_{EB}}}\leq 1$
    che per avvicinarsi all'idealità impone che la base sia un lato corto:
       $b={\frac {1}{\cosh {\frac {w_{B}}{{L_{n}}_{B}}}}}\to 0\Leftrightarrow w_{B}\ll {L_{n}}_{B}$
Altri parametri descrivono l'efficienza del dispositivo:
* l'amplificazione di corrente a base comune $\alpha _{F}$, idealmente pari a 1, lega la corrente $I_{C}$ del collettore alla corrente $I_{E}$ dell'emettitore:
       $\alpha _{F}=\gamma _{b}<1\Rightarrow I_{C}=-\alpha _{F}I_{E}+{I_{CB}}_{0}\approx -\alpha _{F}I_{E}$
    dove la corrente inversa di saturazione ${I_{CB}}_{0}$ è detta corrente di collettore a emettitore aperto (cioè se $I_{E}=0\Rightarrow I_{C}={I_{CB}}_{0}$);
* l'amplificazione di corrente a emettitore comune $\beta _{F}$, idealmente molto grande, lega la corrente $I_{C}$ del collettore alla corrente $I_{B}$ della base:
       $\beta _{F}={\frac {\alpha _{F}}{1-\alpha _{F}}}\Rightarrow I_{C}=\beta _{F}I_{B}+{I_{CE}}_{0}$
    dove ${I_{CE}}_{0}$ è la corrente di collettore a base aperta ($I_{B}=0$):
       ${\begin{cases}{I_{CE}}_{0}={\frac {\beta _{F}}{\alpha _{F}}}{I_{CB}}_{0}\\\alpha _{F}\to 1\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{I_{CE}}_{0}\approx \beta _{F}{I_{CB}}_{0}\\{I_{CB}}_{0}\approx 0\end{cases}}\Rightarrow I_{C}\approx \beta _{F}I_{B}$

## Modello statico di Ebers Moll
### Configurazione a base comune

Il modello statico di Ebers Moll generalizza il funzionamento in regione attiva diretta → vale in ogni regione di funzionamento indipendentemente dalla polarizzazione delle tensioni applicate:
    ${\begin{cases}I_{E}=-I_{F}+\alpha _{R}I_{R}\\I_{C}=-I_{R}+\alpha _{F}I_{F}\end{cases}}$
dove:
* $I_{F}$ e $I_{R}$ sono le caratteristiche statiche delle singole giunzioni:
    ${\begin{cases}I_{F}={I_{E}}_{0}\left(e^{\frac {V_{BE}}{V_{T}}}-1\right)\\I_{R}={I_{C}}_{0}\left(e^{\frac {V_{BC}}{V_{T}}}-1\right)\end{cases}}$
* $\alpha _{R}$ è l'amplificazione di corrente a base comune in regione attiva inversa, legata ad $\alpha _{F}$ dalla condizione di reciprocità:
    $\alpha _{R}{I_{C}}_{0}=\alpha _{F}{I_{E}}_{0}$
Il circuito equivalente sostituisce a ogni giunzione il parallelo tra un diodo, rappresentante il flusso di corrente che la giunzione avrebbe se fosse isolata, e un generatore pilotato di corrente, rappresentante il contributo in corrente proveniente dall'altra giunzione:
* regione attiva diretta: la corrente dei portatori minoritari della giunzione base-collettore $I_{R}$ è trascurabile:
    ${\begin{cases}I_{E}=-I_{F}\\I_{C}=\alpha _{F}I_{F}\\I_{B}=-I_{C}-I_{E}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}I_{C}\approx -\alpha _{F}I_{E}=\alpha _{F}{I_{E}}_{0}\left(e^{\frac {V_{BE}}{V_{T}}}-1\right)\\I_{B}\approx \left(1-\alpha _{F}\right)I_{E}\end{cases}}$
* regione attiva inversa: la corrente dei portatori minoritari della giunzione base-emettitore $I_{E}$ è trascurabile:
    ${\begin{cases}I_{C}=-I_{R}\\I_{E}=\alpha _{R}I_{R}\end{cases}}\Rightarrow I_{E}\approx -\alpha _{R}I_{C}$

### Configurazione a emettitore comune

Il modello statico di Ebers Moll descrive un transistore in configurazione a base comune:
    ${\begin{cases}I_{E}=f\left(V_{BE},V_{BC}\right)\\I_{C}=f\left(V_{BE},V_{BC}\right)\end{cases}}$
Nella configurazione a emettitore comune, l'ingresso è la corrente $I_{B}$ entrante nella base, e l'uscita è la corrente $I_{C}$ entrante nel collettore. Il terminale in comune tra ingresso e uscita è l'emettitore, a cui fanno riferimento tutte le tensioni:
    ${\begin{cases}I_{B}=f\left(V_{BE},V_{CE}\right)\\I_{C}=f\left(V_{BE},V_{CE}\right)\end{cases}}$
In regione attiva diretta ($V_{CE}\geq 0,2\;V$):
* la caratteristica di ingresso $I_{B}\left(V_{BE},V_{CE}\right)$, per ogni tensione $V_{BE}$ fissata, è indipendente dalla tensione $V_{CE}$, e quindi $V_{BC}$, applicata, ed è approssimabile a una "spezzata" nel punto di accensione ($V_{BE}=0,5\div 0,6\;V$ per il silicio);
* la corrente di uscita $I_{C}\left(V_{BE},V_{CE}\right)$, per ogni corrente di ingresso $I_{B}\left(V_{BE},V_{CE}\right)$ fissata, è indipendente dalla tensione $V_{CE}$ applicata, ed è approssimabile con un "pettine" e con una resistenza finita in condizioni di saturazione.

### Uso in commutazione (digitale)

Il circuito in figura impone una retta di carico alla porta di uscita (collettore):
    $V_{CC}=R_{C}I_{C}+V_{CE}$
Il transistore bipolare può essere usato nelle applicazioni digitali commutando, attraverso la scelta della corrente di ingresso $I_{B}$, tra la regione di saturazione ($V_{CE}={V_{CE}}_{\text{sat}}\approx 0$) e quella di interdizione ($I_{C}=0$).
Il punto di funzionamento $\left({I_{C}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)$ del transistore è l'intersezione tra la retta di carico e la caratteristica di uscita $I_{C}=\beta _{F}I_{B}$:
* interdizione (circuito aperto):
    $I_{B}\approx 0\Rightarrow {\begin{cases}{I_{C}}_{0}\approx 0\\{V_{CE}}_{0}\approx V_{CC}\end{cases}}$
* saturazione/conduzione (cortocircuito):
    $I_{B}\geq {\frac {{I_{C}}_{0}}{\beta _{F}}}\Rightarrow {\begin{cases}{I_{C}}_{0}={\frac {V_{CC}-{V_{CE}}_{\text{sat}}}{R_{C}}}\approx {\frac {V_{CC}}{R_{C}}}\\{V_{CE}}_{0}\approx {V_{CE}}_{\text{sat}}\end{cases}}$
Più la corrente $I_{B}$ è elevata, più si garantisce che la tensione ${V_{CE}}_{0}$ sia compresa nella regione di saturazione (${V_{CE}}_{0}<{V_{CE}}_{\text{sat}}$), e più è bassa la potenza dissipata $P={V_{CE}}_{0}\cdot {I_{C}}_{0}\leq {V_{CE}}_{0}\cdot \left({\beta _{F}}_{\text{min}}I_{B}\right)$ → per massimizzare la corrente $I_{B}$ così da minimizzare la tensione ${V_{CE}}_{0}$, conviene scegliere l'estremo inferiore ${\beta _{F}}_{\text{min}}$ della fascia di incertezza di $\beta _{F}$.

### Effetto Early

In regione attiva diretta, a un aumento della tensione $V_{CE}$ corrisponde un aumento della tensione di polarizzazione inversa $V_{BC}$ → la regione svuotata della giunzione base-collettore allarga i propri confini $x_{p}$ e $x_{n}$, in particolare avvicinandosi all'emettitore dalla parte della base → aumenta il flusso di elettroni maggioritari provenienti dall'emettitore → le caratteristiche di uscita $I_{C}\left(V_{CE}\right)$ non sono più idealmente costanti al variare della tensione di uscita $V_{CE}$, ma convergono alla tensione di Early $-V_{A}$ con pendenza ${\frac {{I_{C}}_{0}}{V_{A}+{V_{C}}_{0}}}$.
Per minimizzare l'effetto Early, poiché vale la condizione di neutralità:
    ${N_{A}}_{B}x_{p}={N_{D}}_{C}x_{n}\Rightarrow {\frac {{N_{A}}_{B}}{{N_{D}}_{C}}}={\frac {x_{p}}{x_{n}}}={\text{cost.}}$
si può minimizzare l'estensione del confine $x_{p}$ nella base imponendo un differente livello di drogaggio tra base e collettore:
    ${N_{A}}_{B}\gg {N_{D}}_{C}$
in modo che la regione di svuotamento si estenda di più nel collettore dalla parte del confine $x_{n}$. In definitiva:
    ${N_{D}}_{E}\gg {N_{A}}_{B}\gg {N_{D}}_{C}$

### Fenomeni di breakdown

L'allargamento della regione svuotata verso l'emettitore può portare al breakdown per perforazione diretta (la base "sfora" nella regione svuotata della giunzione base-emettitore) o per effetto valanga: si verifica quindi un forte aumento della tensione $V_{CE}$ e della corrente di uscita $I_{C}$, e quindi della potenza dissipata.

## Modello dinamico di Ebers Moll
### Modello dinamico di ampio segnale

Il modello dinamico di ampio segnale aggiunge al modello statico di Ebers Moll:
* due coppie di condensatori (non lineari) in parallelo, che tengono conto degli effetti capacitivi di ritardo associati alle singole giunzioni (ovvero la capacità di svuotamento $C_{s}\left(v\right)$ e la capacità di diffusione $C_{d}\left(v\right)$);
* tre resistenze parassite collegate ai tre terminali, che tengono conto delle perdite in prestazioni.

### Modello statico di piccolo segnale

Scomponendo, linearizzando e approssimando in piccolo segnale le caratteristiche $I_{C}$ e $I_{B}$ della configurazione a emettitore comune, si trovano le espressioni del doppio bipolo transistore:
    ${\begin{cases}{i_{B}}_{ss}\left(t\right)={\left.{\frac {\partial i_{B}}{\partial v_{BE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}{v_{BE}}_{ss}\left(t\right)+{\left.{\frac {\partial i_{B}}{\partial v_{CE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}{v_{CE}}_{ss}\left(t\right)=g_{11}{v_{BE}}_{ss}\left(t\right)+g_{12}{v_{CE}}_{ss}\left(t\right)\\{i_{C}}_{ss}\left(t\right)={\left.{\frac {\partial i_{C}}{\partial v_{BE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}{v_{BE}}_{ss}\left(t\right)+{\left.{\frac {\partial i_{C}}{\partial v_{CE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}{v_{CE}}_{ss}\left(t\right)=g_{21}{v_{BE}}_{ss}\left(t\right)+g_{22}{v_{CE}}_{ss}\left(t\right)\end{cases}}$
dove, in regione attiva diretta:
* $g_{11}$ e $g_{22}$ sono delle conduttanze:
    ${\begin{cases}g_{11}={\left.{\frac {\partial i_{B}}{\partial v_{BE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}={\frac {g_{21}}{\beta _{F}}}={\frac {{I_{C}}_{0}}{\beta _{F}V_{T}}}\\g_{22}={\left.{\frac {\partial i_{C}}{\partial v_{CE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}={\frac {{I_{C}}_{0}}{V_{A}+{V_{C}}_{0}}}\approx {\frac {{I_{C}}_{0}}{V_{A}}}\end{cases}}$
* $g_{12}$ e $g_{21}$ sono delle trans-conduttanze:
    ${\begin{cases}g_{12}={\left.{\frac {\partial i_{B}}{\partial v_{CE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}={\frac {g_{22}}{\beta _{F}}}\approx {\frac {{I_{C}}_{0}}{\beta _{F}V_{A}}}\\g_{21}={\left.{\frac {\partial i_{C}}{\partial v_{BE}}}\right|}_{\left({V_{BE}}_{0},{V_{CE}}_{0}\right)}={\frac {{I_{C}}_{0}}{V_{T}}}\end{cases}}$
Le equazioni sono interpretabili circuitalmente come il circuito a π in figura, dove:
    ${\begin{matrix}r_{\pi }={\frac {1}{g_{11}}}=\beta _{F}{\frac {V_{T}}{{I_{C}}_{0}}}&&r_{o}={\frac {1}{g_{22}}}={\frac {V_{A}}{{I_{C}}_{0}}}\\r_{\mu }={\frac {1}{g_{12}}}=\beta _{F}{\frac {V_{A}}{{I_{C}}_{0}}}&&g_{m}=g_{21}={\frac {{I_{C}}_{0}}{V_{T}}}\end{matrix}}$
$g_{m}$ è la transconduttanza del transistore nel suo punto di funzionamento a riposo, e lega la corrente di uscita $i_{C}$ e la tensione di ingresso $V_{BE}$ → per avere un'amplificazione elevata, il transistore va polarizzato con una corrente di collettore ${I_{C}}_{0}$ elevata. In assenza di effetto Early, le resistenze $r_{\mu }$ e $r_{o}$ che modellizzano le perdite non hanno più influenza:
    $V_{A}\to +\infty \Rightarrow {\begin{cases}r_{\mu }\to +\infty \\r_{o}\to +\infty \end{cases}}$

### Modello dinamico di piccolo segnale

Gli effetti capacitivi che tengono conto del comportamento dinamico sono dati dai contributi della capacità di svuotamento $C_{s}\left(v\right)$ della giunzione base-collettore e della capacità di diffusione $C_{d}\left(v\right)$ della giunzione base-emettitore. Ad alta frequenza, i condensatori si approssimano al cortocircuito → impediscono al dispositivo di funzionare.

## Note

* ↑ La porta è una coppia di terminali tali che la corrente che esce da uno entra dall'altro.
* ↑ Per i portatori maggioritari si assumono le ipotesi semplificative (condizioni stazionarie e fenomeni di generazione/ricombinazione trascurabili) → il loro contributo in corrente è esprimibile in funzione di quello dei portatori minoritari.
* ↑ La base e l'emettitore sono supposti essere lati corti.
* ↑ Proprio perché $\beta _{F}$ è un valore molto grande rispetto ad $\alpha _{F}$ da cui deriva, l'errore di $\alpha _{F}$ si propaga molto in $\beta _{F}$: ${\frac {\Delta \beta _{F}}{\beta _{F}}}\approx \beta _{F}{\frac {\Delta \alpha _{F}}{\alpha _{F}}}$
* ↑ Anche in regione attiva inversa la corrente di uscita è indipendente, ma essa risulta amplificata molto meno.
* ↑ in valore assoluto
* ↑ Il modello statico è approssimativamente valido, oltre che per il punto di funzionamento a riposo, anche per segnali tempo-varianti a basse frequenze, poiché si possono trascurare gli effetti capacitivi.