# Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Nel modulo precedente abbiamo visto come è possibile sfruttare le proprietà della trasformata di Fourier per ricavare l'espressione della soluzione dell'equazione del calore. In questo modulo si sfrutteranno considerazioni analoghe per andare a determinare la soluzione dell'equazione delle onde, con problema di Cauchy associato:
${\begin{cases}u_{tt}-c^{2}\Delta u=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},\,t\in \mathbb {R} ^{+}\\u(0,x)=f(x)\\u_{x}(0,x)=g(x)\end{cases}}$
In analogia con quanto visto per l'equazione del calore si potrà scrivere, passando al corrispondente problema per ${\hat {u}}(x,t)$:
${\hat {u}}(k,t)={\hat {f}}(k)\cos(x\mid k\mid t)+{\hat {g}}(k){\frac {\sin(x\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}$
Chiaramente la soluzione del problema di partenza si potrà trovare applicando l'inverso dell'operatore di Fourier ${\mathcal {F}}^{-1}$ a ${\hat {u}}$. Per poter fare questo passaggio è necessario però che ${\mathcal {F}}$, operatore di Fourier, sia ben definito e sempre invertibile. Queste condizioni sono verificate quando si lavora nello spazio di Schwarz:
$S(\mathbb {R} ^{n})=\left\lbrace \psi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\colon \partial ^{\alpha }\psi {\text{ è a decrescenza rapida }}\forall \alpha \right\rbrace$
Definizione
Si dice che una funzione $\psi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ è a decrescenza rapida se
$\mid \psi (x)\mid \leq {\frac {c}{\mid x\mid ^{p}}},\;\forall p,\mid x\mid \rightarrow +\infty$
Lo spazio di Schwarz $S(\mathbb {R} ^{n})$ è uno spazio vettoriale completo, quindi è anche di Banach. Per esso valgono le seguenti proprietà:
* se $\psi \in S(\mathbb {R} ^{n})$, allora $\forall \,\alpha ,\beta$ si ha che $x^{\beta }\partial ^{\alpha }\psi \in S(\mathbb {R} ^{n})$;
* se $\psi \in S(\mathbb {R} ^{n})$, allora ${\hat {\psi }}\in S(\mathbb {R} ^{n})$
Inoltre si ha che $S(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, da cui segue che ${\mathcal {F}}:S\rightarrow S$ è biettiva ed è un'isometria. Fatta questa necessaria introduzione possiamo partire con lo studio delle soluzioni dell'equazione delle onde, con dati iniziali del corrispondente problema di Cauchy presi di classe Schwarz. Le proprietà della soluzione dell'equazione delle onde sono date dal seguente teorema.

## Teorema (Espressione delle soluzioni dell'equazione delle onde)

La soluzione del problema di Cauchy per l'equazione delle onde con dati iniziali in $S(\mathbb {R} ^{n})$ ha per espressione:
$u(x,t)={\frac {1}{2}}\left(f(x+ct)+f(x-ct)\right)+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds$ in $\mathbb {R}$
$u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {t}{2\pi }}\int _{\mid y\mid \leq 1}f(x+cty){\frac {1}{\sqrt {1-\mid y\mid ^{2}}}}dy\right)+{\frac {t}{2\pi }}\int _{\mid y\mid \leq 1}g(x+cty){\frac {1}{\sqrt {1-\mid y\mid ^{2}}}}dy$ in $\mathbb {R} ^{2}$
$u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {t}{4\pi }}\int _{S^{2}}f(x+cty)d\sigma _{y}\right)+{\frac {t}{4\pi }}\int _{S^{2}}g(x+cty)d\sigma _{y}$ in ${\mathbb {R}}^{3}$

### Dimostrazione

Iniziamo considerando il caso $n=1$. Applicando l'antitrasformata di Fourier a ${\hat {u}}(k,t)$ si ha che:
$u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }\left({\hat {f}}(k)\cos(x\mid k\mid t)+{\hat {g}}(k){\frac {\sin(x\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}\right)e^{ikx}dk=$
$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }\left({\hat {f}}(k){\frac {e^{ic\mid k\mid t}+e^{-ic\mid k\mid t}}{2}}+{\hat {g}}(k){\frac {e^{ic\mid k\mid t}-e^{-ic\mid k\mid t}}{2ic\mid k\mid }}\right)e^{ikx}dk$
che può essere riscritto come:
$u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(k){\frac {e^{ik(x+ct)}+e^{ik(x-ct)}}{2}}dk+$
$+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {g}}(k){\frac {e^{ik(x+ct)}-e^{ik(x-ct)}}{2ikc}}dk=$
Vedendo ciascuno degli addendi del primo integrale come un'antitrasformata di Fourier è possibile riscrivere:
$={\frac {1}{2}}\left(f(x+ct)+f(x-ct)\right)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {g}}(k)\left[\int _{-ct}^{ct}{\frac {e^{ik(x+s)}}{2c}}ds\right]dk=$
$={\frac {1}{2}}\left(f(x+ct)+f(x-ct)\right)+{\frac {1}{2c}}\int _{-ct}^{ct}\int _{\mathbb {R} }{\hat {g}}(n)e^{ik(x+s)}{\frac {dn}{\sqrt {2\pi }}}ds=$ $={\frac {1}{2}}\left(f(x+ct)+f(x-ct)\right)+{\frac {1}{2c}}\int _{-ct}^{+ct}g(x+s)ds$
Non trattiamo il caso $n=2$ perché più complesso degli altri due e, soprattutto, perché si può derivare dal caso $n=3$. Nello spazio tridimensionale, dato un insieme invariante per rotazioni si ha, data una rotazione $R$, che:
$RR^{t}=\mathbb {I} ,\;RS^{2}=S^{2}$
Chiaramente $detR=1$. Se $R\in SO(3)$ si ha che
$\int _{S^{2}}\psi (Ry)d\sigma _{y}=\int _{S^{2}}\psi (y)d\sigma _{y}$
Come per il caso monodimensionale, si vuole ricavare $u(x,t)$ come antitrasformata di Fourier di ${\hat {u}}(k,t)$, ovvero:
$u(x,t)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\left({\hat {f}}(k)\cos(c\mid k\mid t)+{\hat {g}}(k){\frac {\sin(c\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}\right)e^{i{\underline {k}}{\underline {x}}}d^{2}{\underline {k}}$
Si osserva che $\cos(c\mid k\mid t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\sin(c\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}\right)$: quindi è possibile valutare solo il secondo dei due integrali che definiscono $u(x,t)$ e ottenere l'espressione del primo derivando rispetto a $t$. Per valutare il secondo integrale si sfrutta la seguente identità:
$\int _{S^{2}}e^{ictyk}d\sigma _{y}=\int _{S^{2}}e^{ict{\underline {y}}{\underline {k}}}d\sigma _{y}=\int _{S^{2}}e^{ict(R^{t}{\underline {y}}{\underline {k}})}d\sigma _{y}=$
$=\int _{S^{2}}e^{ict(yRk)}d\sigma _{y}=\int _{S^{2}}e^{ic\mid k\mid t({\underline {y}}(0,0,1))}d\sigma _{y}=$
Passando in coordinate sferiche
$=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }e^{ic\mid k\mid t\cos \theta }\sin \theta d\theta d\phi ={\frac {4\pi }{t}}{\frac {\sin(c\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}$
Dunque:
${\frac {1}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\hat {g}}(k){\frac {\sin(c\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}e^{ikx}dk=$
Sfruttando l'identità scritta sopra:
$={\frac {t}{4\pi }}{\frac {1}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\int _{S^{2}}e^{ict{\underline {y}}{\underline {k}}}d\sigma _{y}e^{ikx}dk=$
$={\frac {t}{4\pi }}\int _{S^{2}}{\frac {1}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {g}}(k)e^{ik(x+cty)}d^{3}k\right)d\sigma _{y}=$
Si riconosce nell'integrale in ${\mathbb {R}}^{3}$ la trasformata di Fourier di $g(x+cty)$, quindi:
$={\frac {t}{4\pi }}\int _{S^{2}}g(x+cty)d\sigma _{y}$
Derivando rispetto a $t$ si ottiene la soluzione dell'equazione delle onde in ${\mathbb {R}}^{3}$, anche detta formula delle medie sferiche di Kirchhoff. La soluzione dell'equazione delle onde in $n=2$ si ricava usando il metodo della discesa di Hadamard, in cui si usa la soluzione $u(t,x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ e semplificando si ottiene l'espressione di $u(x,t)$ per $\mathbb {R} ^{2}$
Un'importante conseguenza del teorema appena ricavato è la seguente: un'onda, quindi un segnale, tridimensionale si propaga sul cono dato dall'unione delle sfere di centro $x$ e raggio (variabile) $t$; più precisamente essa si propaga sulla superficie di questo cono, in modo sharp. Più delicata è l'interpretazione fisica di quello che avviene per onde in $\mathbb {R} ^{2}$: analiticamente $u(x,t)$ presenta una discontinuità in $y=\pm 1$; a livello fisico ciò si traduce nel fatto che la propagazione non sarà più sharp, ma avverrà anche all'interno del cono dato dall'inviluppo delle sfere di centro $x$ e raggi $t$, su dischi. In realtà si può dimostrare che questo fatto è ben più generico: ogni propagazione di segnale in spazi di dimensioni pari avverrà in modo discontinuo, mentre avverrà in modo continuo in spazi di dimensione dispari. Questa proprietà si traduce nel dire che l'equazione delle onde propaga le singolarità.