# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Nei moduli precedenti abbiamo visto che il problema della risoluzione di ${\mathcal {L}}u=f$ può essere pensato come un problema di inversione dell'operatore ${\mathcal {L}}$ e, usando questa interpretazione, ottenere la funzione di Green per l'operatore di Sturm-Liouville:
${\mathcal {G}}u(x)=\int _{0}^{L}{\mathcal {G}}(xy)u(y)dy$
Questa strategia risolutiva in realtà è un caso particolare, ottenuto partendo da una forma molto più generale:
$Tu(x)=\int _{\Omega }K(xy)u(y)dy$
Con $\Omega$ compatto in $\mathbb {R} ^{n}$ e $K:\Omega \times \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$. L'operatore appena scritto prende il nome di operatore di Hilbert-Schmidt. Il seguente teorema dà una caratterizzazione più dettagliata di questo operatore.

## Teorema

Sia $K(xy)$ continua in $\left[0,L\right]\times [\left[0,L\right]$ e sia ${\mathcal {H}}=L^{2}(\left[0,L\right])$. Allora:
* $T:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ è compatta;
* se $u\in {\mathcal {H}}\rightarrow \,Tu$ è continua e $Tu\in C^{0}([0,L])$;
* se $K(xy)=K(yx)$, ovvero se il nucleo integrale dell'operatore di Hilbert-Schmidt è simmetrico, allora $T$ è simmetrica in ${\mathcal {H}}$.

### Dimostrazione

Sia $u\in {\mathcal {H}}$. Dalla disuguaglianza di Holder segue che:
$\int _{0}^{L}1\mid u(y)\mid dy\leq \left(\int _{0}^{L}1^{2}dy\right)^{\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{L}\mid u(y)\mid ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=L^{\frac {1}{2}}\parallel u\parallel _{\mathcal {H}}$
È dunque possibile controllare una norma in $L^{1}$, cioè quella di $\mid u(y)\mid$, con una norma su un limitato di $L^{2}$, cioè quella di $\parallel u\parallel$. Sia ora $v=Tu=\int _{0}^{L}K(xy)f(y)dy$, con $K$ uniformemente continua su $[0,L]\times [0,L]$. Dunque si ha che:
$\forall \,\epsilon >0\;\exists \,\delta \,\colon \,Se\,x,z\in [0,L],\,\mid x-z\mid <\delta ,\;\alpha =\max _{y\in [0,L]}\mid K(xy)-K(yz)\mid <\epsilon$
Dunque si ha che:
$\mid v(x)-v(z)\mid \leq \alpha \int _{0}^{L}u(y)dy\leq \epsilon L^{\frac {1}{2}}\parallel u\parallel _{\mathcal {H}},\;\forall \,x,z\in [0,L],\,\mid x-z\mid <\delta$
Si è dunque provato che $Tu$ è continua; in realtà si osserva che essa è uniformemente continua, dunque si ha:
$\max _{x\in [0,L]}v(x)\leq \max _{x,y\in [0,L]}\mid K(xy)\mid \int _{0}^{L}\mid u(y)\mid dy\leq cost\parallel u\parallel _{\mathcal {H}}^{2}$
È dunque possibile concludere che:
$\parallel Tu\parallel _{\mathcal {H}}=\left[\int _{0}^{L}\mid v(x)\mid ^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}\leq cost\parallel u\parallel$
Ovvero che $T$ è limitato.
Si consideri ora una famiglia ${\mathcal {F}}$ di funzioni limitate su ${\mathcal {H}}$. Sia $\parallel u\parallel \leq N,\,\forall \,u\in {\mathcal {F}}$, con $N$ indipendente da $u$. Dalle disuguaglianze scritte sopra discende che $v$ è una famiglia equilimitata nello spazio delle funzioni continue e che è equicontinua. Dal teorema di Ascoli-Artzelà è possibile concludere che $Tu$ converge in $C^{0}([0,L])$, e quindi anche in ${\mathcal {L}}^{2}([0,L])$. Dunque $u$ è limitata in $C^{0}$; il che implica che $v$ è una famiglia equilimitata ed equicontinua in $C^{0}$ e dovrà ammettere una sottosuccessione uniformemente convergente in $C^{0}$ stesso e perciò anche in ${\mathcal {L}}^{2}$. Pertanto si ha:
$v_{n}\rightarrow v,\;{\text{dunque:}}$
$\parallel v_{n}-v\parallel _{L^{2}([0,L])}=\left(\int _{0}^{L}\left(v_{n}-v\right)^{2}dx\right)^{\frac {1}{2}}\leq c\max _{x\in [0,L]}\mid v_{n}(x)-v(x)\mid {\underset {n\rightarrow 0}{\rightarrow }}0$
Dunque se ${\mathcal {F}}=\left\lbrace f_{n}\right\rbrace$ è una successione limitata in $L^{2}([0,L])$ la corrispondente $T({\mathcal {F}})=\left\lbrace Tf_{n}\right\rbrace$ ammette sottosuccessione convergente in $L^{2}([0,L])-$
Per concludere si vuole dimostrare che se $K(xy)=K(yx)$ allora $T$ è simmetrico. Si ha che:
$\left\langle Tu\mid v\right\rangle _{L^{2}}=\int _{0}^{L}v\left(\int _{0}^{L}K(xy)u(y)dy\right)dx=$
$=\int _{0}^{L}\left(\int _{0}^{L}K(xy)v(x)dx\right)u(y)dy=\int _{0}^{L}\int _{0}^{L}K(yx)v(x)dxu(y)dy=\left\langle u\mid Tv\right\rangle _{L^{2}}$
Da cui segue non solo che $T$ è simmetrico e compatto, ma anche che (in virtù del teorema spettrale) esso ammette una successione di autovalori reali convergente a zero e la corrispondente successione di autovettori forma un sistema ortonormale completo su $L^{2}([0,L])$.