# Esercizi di fisica con soluzioni/Urti

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## Esercizi
### 1. Rimbalzo pallina

Una pallina di massa $m\$ cade sul pavimento da un'altezza $h_{0}\$ e rimbalza dopo avere urtato anelasticamente il pavimento ad una altezza $h_{1}\$ e continua successivamente a rimbalzare a quota sempre più bassa.
Determinare: a) Il coefficiente di restituzione; b) l'impulso dato al pavimento al secondo rimbalzo.
(dati del problema $m=50\ g$, $h_{0}=1.5\ m$, $h_{1}=1.3\ m$ )
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### 2. Urto vario

Una sfera (un oggetto puntiforme) di massa $m\$ con velocità $v_{o}\$ urta in maniera centrale contro una seconda sfera di massa $2m\$. Determinare la velocità finale della II pallina e il rapporto tra energia meccanica finale ed iniziale: a) nel caso di urto completamente anelastico; b) nel caso di urto elastico; c) Nel caso di urto anelastico con coefficiente di restituzione $e\$.
(Dati del problema $v_{o}=3\ m/s\$, $e=0.5\$)
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### 3. Proiettile contro asta

Una sbarra di lunghezza $l\$ e massa $m\$ è incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale e può muoversi liberamente in un piano verticale. Un proiettile di massa $m/90\$ urta in maniera anelastica la sbarra sull'estremo libero andandosi a conficcare all'interno. L'urto si può considerare istantaneo. La sbarra inizia a ruotare fino a fermarsi esattamente ad un quarto di giro. Determinare la velocità del proiettile e l'impulso del vincolo.
(Dati del problema $l=20\ cm\$, $m=1\ kg\$, la massa del proiettile è così piccola che il suo contributo al momento di inerzia si può trascurare come il suo contributo alla massa finale del sistema)
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### 4. Pendolo di Newton

Viene detto pendolo di Newton, un particolare pendolo costituito da in genere 5 sferette come nella animazione a fianco. Nel caso di questo esercizio le sfere sono solo tre, eguali, appese ad altrettanti fili inestensibili di eguale lunghezza, che a riposo sono a contatto.
La prima sfera viene sollevata di $h_{o}\$ e fatta urtare con il sistema delle due sfere. Dopo la successione di urti la prima sfera torna, per la prima volta, ad una altezza massima $h_{1}\$.
Determinare: a) il coefficiente di restituzione; b) l'energia dissipata nel primo urto tra la seconda e la terza sfera; c) L'altezza massima raggiunta dalla terza sfera.
( $h_{0}=0.3\ m\$, $h_{1}=0.2\ m\$, $m=10\ g\$, ovviamente il coefficiente di restituzione è lo stesso in ogni urto).
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### 5. Urto tra punto materiale e disco

Un disco sottile di massa $M\$ e raggio $R\$ è appoggiato su di un piano orizzontale liscio. Il disco è inizialmente fermo quando un corpo di massa $m\$ muovendosi sul piano con velocità $v_{0}\$ diretta come in figura, si conficca sul bordo estremo del disco. Si determini: a) la velocità del centro di massa del sistema disco più corpo dopo l'urto; b) la posizione del centro di massa disco più corpo dopo l'urto; c) la velocità angolare del centro di massa disco più corpo dopo l'urto.
Disco e piano orizzontale sono complanari ed il disco non ha alcun vincolo con il piano stesso.
(Dati del problema $M=1\ kg\$, $R=30\ cm\$, $m=50\ g\$, $v_{0}=5\ m/s\$)
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### 6. Ballerini

In una gara di pattinaggio artistico, due ballerini di massa 70 kg (lui) e 50 kg (lei), si corrono incontro con la stessa velocità di 4 m/s rispetto al suolo. Quando si incontrano,lui solleva lei dal suolo. Con quale velocità proseguono il moto insieme?
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### 7. Urto completamente anelastico

Due punti materiali di massa uguale $m=0.3\ kg\$ si muovono su di un piano liscio urtandosi nel punto $A\$ della figura in modo completamente anelastico. Dopo l’urto, il punto materiale risultante entra in una zona scabra percorrendo una distanza di lunghezza $d=1\ m\$ prima di comprimere una molla di costante elastica $K=10\ N/m\$ di un tratto $x=0.5\ m\$ (dove ancora il piano è scabro). Con riferimento alla figura, sapendo che l’angolo $\alpha =30^{o}\$ e che il modulo delle velocità iniziali vale $v_{1}=v_{2}=v_{in}=4\ m/s\$. Si chiede di determinare: a) La velocità subito dopo l’urto in modulo, direzione e verso; b) il valore del coefficiente di attrito dinamico del tratto scabro; c) la perdita totale di energia meccanica calcolata rispetto all’istante subito prima dell’urto e a quello in cui la molla è stata compressa del tratto $x\$; d)il tratto percorso dai due corpi all’indietro dopo che hanno compresso la molla del tratto $x\$.
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### 8. Impulso su sbarra

Una sbarra di lunghezza $l=40\ cm\$ e massa $m=2.5\ kg\$ è incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale, può muoversi liberamente in un piano verticale ed inizialmente è ferma in basso. Riceve un impulso all'estremo opposto a quello in cui è incernierata e compie un quarto di giro.
Determinare: a) la velocità angolare che assume inizialmente; b) l'impulso che viene applicato; c) l'impulso esercitato dal vincolo quando riceve l'impulso esterno ).
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### 9. Palla da biliardo

Una palla da biliardo, una sfera omogenea piena di massa $m=500\ g\$ e raggio $r=10\ cm\$, è posta su un piano orizzontale scabro; inizialmente la palla è ferma. Viene applicato un impulso parallelo al piano orizzontale $|J|=3\ Ns\$, appartenente al piano verticale che passa per il centro della sfera e la cui retta d'azione passa ad un'altezza $xr\$, con $0<x<2\$, dal piano orizzontale.
Determinare : a) La velocità iniziale della sfera in funzione di $x\$; b) La velocità angolare iniziale della sfera in funzione di $x\$ e nel caso particolare di $x=1\$; c) Il valore di x per cui il moto diventa subito di puro rotolamento.
Si ricorda che il momento di inerzia di una sfera piena riferito ad un asse passante per il centro è ${\frac {2}{5}}mR^{2}\$.
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### 10. Urto elastico tra punto materiale e corpo vincolato

Un punto materiale di massa $m_{0}=0.7\,kg$ urta elasticamente nel punto $A$ un pendolo composto formato da una sbarretta di lunghezza $l=16\,cm$ e massa $m_{1}$ al cui estremo è fissata rigidamente una sfera $S$ di massa $m_{0}$ e raggio $R=4\,cm$. Il sistema composto è incernierato in $B$ ed è libero di ruotare intorno a un asse ivi passante e perpendicolare al foglio.
Il momento d'inerzia rispetto a tale asse è $I_{p}=0.05\,kg\cdot m^{2}$. Subito dopo l'urto, il pendolo composto acquista una velocità angolare $\omega =8.0\,rad/s$.
Calcolare: a)la massa della sbarretta; b) la velocità $v_{1}$ del punto materiale prima dell'urto e la sua velocità $v_{2}$ subito dopo l'urto; c) la distanza da $B$ del centro di massa; d)l'angolo massimo $\phi _{max}$ raggiunto dal pendolo composto.
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### 11. Disco rigido ruotante

Un disco omogeneo di massa $M\$ e raggio $R\$ ruota intorno ad un asse passante per il suo centro con velocità angolare iniziale costante $\omega _{i}\$. Un punto materiale di massa $m\$ è lanciato lungo una direzione parallela al momento angolare del disco come indicato nella figura. Il punto materiale urta in modo completamente anelastico sul bordo del disco con velocità $v_{0}\$. Dopo l’urto si misura che la velocità angolare del sistema fisico disco più punto materiale è uguale a $\omega _{f}\$. Subito dopo l’urto, si applica sull’asse di rotazione un momento frenante costante in modulo uguale a $M_{a}\$ che ferma il disco dopo che questo ha compiuto $n\$ giri completi. Si chiede di determinare: a) la massa $M\$ del disco; b) Il raggio $R\$ del disco; c) La perdita di energia meccanica dovuta al solo processo di urto anelastico; d) La posizione del centro di massa del sistema fisico dopo l’urto .
(dati del problema $\omega _{i}=12\ rad/s\$, $\omega _{f}=6\ rad/s\$, $m=1\ kg\$, $v_{0}=2\ m/s\$, $M_{a}=0.2\ Nm\$, $n=2.5\$ giri)
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## Soluzioni
### 1. Rimbalzo pallina

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a)
Il sistema del centro di massa coincide con quello del laboratorio (essendo la massa della terra immensamente più grande della pallina) quindi:
    ${\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=e^{2}{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}\$
indicando con il pedice 0,1,2.. le velocità iniziale, dopo il primo rimbalzo, il secondo..
    $mgh_{1}=e^{2}mgh_{0}\$
    $e={\sqrt {\frac {h_{1}}{h_{0}}}}=0.93\$
b)
Nell'urto successivo la velocità prima dell'urto vale
    ${\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=mgh_{1}\$
    $v_{1}={\sqrt {2gh_{1}}}=5\ m/s\$
Dopo l'urto:
    ${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}=e^{2}{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}\$
    $v_{2}=-ev_{1}=-4.65\ m\$
Per cui l'impulso dato al pavimento vale:
    $m(v_{2}-v_{1})=-0.48\ Ns\$

### 2. Urto vario

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La velocità del centro di massa (CM) del sistema vale:
$v_{CM}={\frac {mv_{o}}{3m}}={\frac {v_{o}}{3}}\$
Nel sistema del CM la quantità di moto dei due oggetti prima dell'urto vale:
$|p'_{o}|=m(v_{o}-v_{CM})={\frac {2}{3}}mv_{o}\$
Dopo l'urto vale:
$|p'_{f}|=e|p'_{o}|=e{\frac {2}{3}}mv_{o}\$
dove $e\$ è il coefficiente di restituzione che vale $0\$ per urto completamente anelastico, $1\$ urto elastico, e un valore intermedio negli altri casi. Quindi nel sistema del CM la velocità della II sfera dopo l'urto varrà:
$v'_{2f}={\frac {|p'_{f}|}{2m}}=e{\frac {1}{3}}v_{o}\$
Nel sistema del laboratorio:
$v_{2f}=e{\frac {1}{3}}v_{o}+v_{CM}={\frac {v_{o}}{3}}(1+e)\$
Mentre la I sfera:
$v'_{1f}=-{\frac {|p'_{f}|}{m}}=-e{\frac {2}{3}}v_{o}\$
Quindi:
$v_{1f}=-e{\frac {2}{3}}v_{o}+v_{CM}={\frac {v_{o}}{3}}(1-2e)\$
L'energia cinetica iniziale vale:
$E_{o}={\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}\$
Quella finale:
$E_{f}={\frac {1}{2}}mv_{1f}^{2}+{\frac {1}{2}}2mv_{2f}^{2}={\frac {1}{2}}m{\frac {v_{o}^{2}}{9}}[2(1+e)^{2}+(1-2e)]\$
quindi il rapporto tra energia finale e iniziale vale:
$R={\frac {1}{9}}[2(1+e)^{2}+(1-2e)^{2}]={\frac {1+2e^{2}}{3}}\$
a)
Nel caso completamente anelastico $e=0\$:
$v_{f}={\frac {v_{o}}{3}}=1\ m/s\$
$R={\frac {1}{3}}$
b)
Nel caso elastico $e=1\$:
$v_{f}={\frac {2}{3}}v_{o}=2\ m/s$
$R=1\$
c)
Nel caso anelastico $e=0.5\$:
$v_{f}={\frac {1}{2}}v_{o}=1.5\ m/s\$
$R={\frac {1}{2}}\$

### 3. Proiettile contro asta

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Dopo l'urto tutta l'energia cinetica (rotazionale) si trasforma in energia potenziale del centro di massa:
    ${\frac {1}{2}}I\omega ^{2}=mg{\frac {l}{2}}\$
Dove dal teorema di Huygens-Steiner il momento di inerzia del sistema dopo l'urto rispetto al vincolo vale:
    $I={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+{\frac {ml^{2}}{90}}\approx {\frac {1}{3}}ml^{2}\$
quindi:
    $\omega ={\sqrt {\frac {3g}{l}}}=12.12\ rad/s\$
Data la presenza del vincolo, si conserva il momento della quantità di moto rispetto al vincolo stesso:
    ${\frac {m}{90}}vl=I\omega ={\frac {1}{3}}ml^{2}{\sqrt {\frac {3g}{l}}}\$
    $v=30{\sqrt {3gl}}=73\ m/s\$
L'impulso dato dal vincolo è dato dalla differenza tra la q.m. iniziale:
    ${\frac {m}{90}}v=0.81\ Ns\$
e quella finale subito dopo l'urto, trascurando la massa del proiettile che modifica in maniera trascurabile la distanza del centro di massa dal vincolo per questo la distanza è posta pari a ${\frac {l}{2}}\$:
    $m\omega {\frac {l}{2}}=1.21\ Ns\$
Il vincolo subisce un impulso di $0.41Ns\$ in direzione opposta al moto del proiettile.

### 4. Pendolo di Newton

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a)
In ogni urto, essendo eguali le sfere, la sfera che urta si ferma e cede la energia cinetica $e^{2}E'_{k}\$ alla sfera urtata. Dove $e\$ è il coefficiente di restituzione ed $E'_{k}\$ l'energia cinetica nel sistema del centro di massa. Essendo eguali le sfere l'energia del centro di massa è la metà del totale. Detta $E_{ko}\$ l'energia cinetica iniziale dopo il I urto:
    $E_{k1}={\frac {1}{2}}E_{ko}(1+e^{2})\$
Ripetendo il ragionamento nel II urto:
    $E_{k2}={\frac {1}{4}}E_{ko}(1+e^{2})^{2}\$
dopo $n$ urti:
    $E_{kn}={\frac {1}{2^{n}}}E_{ko}(1+e^{2})^{n}\$
Nel caso specifico $n=4\$ quindi:
    $mgh_{1}=E_{k4}={\frac {1}{16}}E_{ko}(1+e^{2})^{4}={\frac {1}{16}}mgh_{o}(1+e^{2})^{4}\$
    $e={\sqrt {2{\sqrt[{4}]{h_{1}/h_{0}}}-1}}=0.9\$
b)
Nel primo urto tra la seconda sfera e la terza sfera viene dissipata;
    $\Delta E=E_{k1}-E_{k2}={\frac {1}{2}}E_{ko}(1+e^{2})-{\frac {1}{4}}E_{ko}(1+e^{2})^{2}={\frac {mgh_{o}}{4}}(1+e^{4})=0.012\ J\$
c)
L'energia cinetica della terza sfera dopo il primo urto diventa potenziale:
    $E_{k}={\frac {1}{4}}E_{ko}(1+e^{2})^{2}={\frac {1}{4}}mgh_{0}(1+e^{2})^{2}=mgh_{x}\$
    $h_{x}={\frac {1}{4}}h_{0}(1+e^{2})^{2}=0.245\ m\$

### 5. Urto tra punto materiale e disco

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a)
L'urto tra il corpo ed il disco avviene in assenza di vincoli e di forze impulsive. Pertanto si conservano la quantità di moto ed il momento angolare. La conservazione della quantità di moto si scrive:
    $(M+m){\vec {v}}_{CM}=m{\vec {v}}_{0}\$
Le componenti scalari sono:
    $(M+m)v_{y,CM}=0\$
    $(M+m)v_{x,CM}=mv_{0}\$
quindi:
    $v_{x,CM}={\frac {m}{m+M}}v_{0}=0.24\ m/s\$
b)
Dato che il corpo si conficca sul bordo del disco, il centro di massa del sistema dopo l'urto si collocherà in una posizione tra il centro O del disco ed il bordo del disco. Ricordando la definizione generale di centro di massa e collocando lo zero dell'asse delle ordinate nel centro del disco si ha:
    $x_{CM}=0\$
    $y_{CM}=m{\frac {R}{m+M}}=0.014\ m\$
c)
L'equazione della conservazione del momento angolare si scrive subito in forma scalare dato che tutto il sistema rimane sul piano orizzontale (x,y):
    $(R-y_{CM})mv_{0}=I_{CM}\omega \$
dove i momenti angolari sono riferiti al centro di massa del sistema dopo l'urto. Il momento di inerzia totale del sistema $I_{CM}\$ è dato dalla somma del momento d'inerzia del disco più quello del corpo, entrambi calcolati rispetto alla posizione del centro di massa. Si ha, applicando il teorema di Huygens-Steiner, la seguente relazione per il momento d'inerzia del disco:
    $I_{d,CM}={\frac {1}{2}}MR^{2}+My_{CM}^{2}=MR^{2}\left[{\frac {1}{2}}+\left({\frac {m}{m+M}}\right)^{2}\right]\$
Il momento d'inerzia del corpo, da parte sua, vale:
    $I_{d,CM}=m(R-y_{CM})^{2}=mR^{2}\left({\frac {M}{m+M}}\right)^{2}\$
Sostituendo si ha per la velocità angolare del centro di massa appena dopo l'urto la seguente espressione:
    $\omega ={\frac {2mv_{0}}{R(3m+M)}}=1.45\ rad/s\$

### 6. Ballerini

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Poniamo:
    $v_{1}=4\ {m \over s}\$
    $v_{2}=-4\ {m \over s}$ (si muove in verso opposto)
Impostiamo poi la conservazione della quantità di moto:
    $m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=(m1+m2)v_{3}$
    $v_{3}={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{(m1+m2)}}={\frac {70\cdot 4-50\cdot 4}{70+50}}=0.66\ {m \over s}$
7. Urto completamente anelastico

### 7. Urto completamente anelastico

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a)
Tenendo conto che le masse dei due punti materiali sono uguali e che le direzioni dei due vettori velocità formano lo stesso angolo rispetto all’asse delle ascisse indicato nella figura, dovendosi conservare la quantità di moto del sistema, le sue componenti y si annullano. Ci si aspetta, di conseguenza, che il punto materiale risultante dopo l’urto proceda lungo l'asse delle ascisse. Infatti, si ha:
    $2mv_{in}\cos \alpha =2mv_{fin,x}\$
    $mv_{in}\sin \alpha -mv_{in}\sin \alpha =2mv_{fin,y}=0\$
Quindi:
    $v_{fin,x}=3.46\ m/s\$
b)
La conservazione dell’energia meccanica dall’istante subito dopo l’urto a quello in cui la molla risulta compressa del tratto x si scrive nel seguente modo:
    ${\frac {1}{2}}Kx^{2}-mv_{fin}^{2}=-2\mu mg(d+x)\$
    $\mu ={\frac {2mv_{fin}^{2}-Kx^{2}}{4mg(d+x)}}\approx 0.27\$
c)
La perdita totale di energia meccanica $\Delta E$ dall’istante prima dell’urto a quello dell’avvenuta compressione della molla si ricava dalla seguente relazione:
    $\Delta E=mv_{in}^{2}-{\frac {1}{2}}Kx^{2}\approx 3.55\ J\$
d)
Il tratto percorso all’indietro dall’insieme dei due corpi si ricava sempre dalla conservazione dell’energia meccanica, ottenendo:
    ${\frac {1}{2}}Kx^{2}=2\mu mg\Delta x\$
    $\Delta x={\frac {Kx^{2}}{4\mu mg}}\approx 0.80\ m\$

### 8. Impulso su sbarra

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a)
Il momento di inerzia rispetto al vincolo vale, utilizzando il teorema di Huygens-Steiner:
    $I={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}\$
Essendo trasformata tutta l'energia cinetica in energia potenziale del centro di massa:
    ${\frac {1}{2}}I\omega ^{2}=mg{\frac {l}{2}}\$
b)
Data la presenza del vincolo, si conserva il momento della quantità di moto rispetto al vincolo stesso nel momento dell'urto:
    $Jl=I\omega \$
    $J={\frac {I\omega }{l}}=m{\sqrt {\frac {gl}{3}}}=2.86\ Ns\$
c)
    $\omega ={\sqrt {\frac {mgl}{I}}}={\sqrt {\frac {3g}{l}}}=8.6\ rad/s\$
La velocità del centro di massa vale:
    $v_{CM}=\omega {\frac {l}{2}}=1.72\ m/s\$
L'impulso opposto dal vincolo durante l'azione della forza impulsiva è tale che la risultante dei due impulsi $R_{v}\$ (vincolo) e quello esterno (appena calcolato) sia pari alla variazione di q.m. del CM:
    $R_{I}=-1.43\ Ns\$

### 9. Palla da biliardo

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a)
Indipendentemente da $x\$, si ha che :
    $mv_{0}=|J|\$
da cui:
    $v_{0}=6\ m/s\$
b)
Inoltre:
    $I_{c}\omega _{o}=|J|(r-xr)\$
con $I_{c}=2/5mr^{2}\$ è il momento di inerzia della sfera.
    $\omega _{o}={\frac {5|J|(1-x)r}{2mr^{2}}}={\frac {5|J|(1-x)}{2mr}}\$
Quindi per $x=1\$:
    $\omega _{o}=0\ rad/s\$
Il moto rotatorio iniziale è in senso orario se $x>1\$, antiorario nel caso opposto
c)
Il moto diventa istantaneamente di puro rotolamento solo se:
    $\omega _{o}r=-v_{CM}\$
cioè se:
    ${\frac {5|J|(1-x)}{2m}}=-{\frac {|J|}{m}}\$
    $x={\frac {7}{5}}\$

### 10. Urto elastico tra punto materiale e corpo vincolato

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a)
Il momento d'inerzia dell'asta rispetto a B è:
    $I_{Asta}={\frac {m_{1}l^{2}}{3}}\$
mentre quello della sfera S è:
    $I_{S}={\frac {2}{5}}m_{0}R^{2}+m_{0}\left(l+R\right)^{2}=0.028\,kg\cdot m^{2}\$
Il momento di inerzia del pendolo composto è quindi:
    $I_{P}=I_{Asta}+I_{S}\$
e, invertendo
    $m_{1}={\frac {3\left(I_{P}-I_{S}\right)}{l^{2}}}=2.5\,kg\$
b)
Per la conservazione dell'energia
    ${\frac {1}{2}}m_{0}v_{1}^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v_{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{P}\omega ^{2}\$
mentre, imponendo la conservazione del momento angolare, si ottiene
    $m_{0}v_{1}\left(l+R\right)=m_{0}v_{2}\left(l+R\right)+I_{P}\omega \$
combinando queste due equazioni:
    $m_{0}\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)=m_{0}\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(v_{1}+v_{2}\right)=I_{P}\omega ^{2}\$
    $m_{0}\left(l+R\right)\left(v_{1}-v_{2}\right)=I_{P}\omega \$
    ${\frac {I_{P}\omega \left(v_{1}+v_{2}\right)}{l+R}}=I_{P}\omega ^{2}\$
    $v_{1}+v_{2}=\omega \left(l+R\right)\$
    $v_{1}-v_{2}={\frac {I_{P}\omega }{m_{0}(l+R)}}\$
    $v_{1}={\frac {\omega \left(l+R\right)}{2}}+{\frac {I_{P}\omega }{2m_{0}(l+R)}}=\omega {\frac {m_{0}\left(l+R\right)^{2}+I_{P}}{2m_{0}(l+R)}}=2.2\,m/s\$
    $v_{2}={\frac {\omega \left(l+R\right)}{2}}-{\frac {I_{P}\omega }{2m_{0}(l+R)}}=\omega {\frac {m_{0}\left(l+R\right)^{2}-I_{P}}{2m_{0}(l+R)}}=-0.6\,m/s\$
c)La distanza del centro di massa da $B$ è:
    $l_{CM}={\frac {m_{1}l/2+m_{0}(l+R)}{m_{0}+m_{1}}}=11\,cm\$
d)Dopo l'urto il pendolo trasforma l'energia cinetica guadagnata in energia potenziale:
    ${\frac {1}{2}}I_{P}\omega ^{2}=\left(m_{0}+m_{1}\right)gl_{CM}(1-\cos \phi _{max})\$
    $I_{P}\omega ^{2}=g\left[m_{1}l+2m_{0}(l+R)\right](1-\cos \phi _{max})\$
    $\cos \phi _{max}=1-{\frac {I_{P}\omega ^{2}}{g\left[m_{1}l+2m_{0}(l+R)\right]}}\$
    $\phi _{max}=58{^{o}}\$

### 11. Disco rigido ruotante

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a)
Il momento angolare dovuto al punto materiale è perpendicolare al momento angolare assiale del disco. Pertanto, il momento angolare assiale (lungo l’asse z) si conserva prima e dopo l’urto e si può porre:
    $I_{z}\omega _{i}=I_{z}\omega _{f}+mR^{2}\omega _{f}\$
Quindi essendo per un disco $I_{z}={\frac {1}{2}}MR^{2}\$:
    ${\frac {1}{2}}MR^{2}\omega _{i}={\frac {1}{2}}MR^{2}\omega _{f}+mR^{2}\omega _{f}\rightarrow M={\frac {2m\omega _{f}}{\omega _{i}-\omega _{f}}}=2\ kg\$
b)
Una volta applicato sull’asse di rotazione il momento frenante $M_{a}\$, il disco si ferma dopo aver compiuto $n=2.5\ giri\$ completi. Allora è possibile scrivere che la perdita istantanea di energia rotazionale è pari al momento frenante per l'angolo infinitesimo $\Delta E_{r}\$:
    $dE_{r}=-M_{a}d\theta \$
L'integrale del primo temine è pari a:
    $\Delta E_{r}={\frac {1}{2}}(I_{z}+mR^{2})\omega _{f}^{2}={\frac {1}{2}}(MR^{2}/2+mR^{2})\omega _{f}^{2}\$
mentre l'integrale del secondo termine:
    $\int _{0}^{n2\pi }M_{a}d\theta =2M_{a}\pi n\$
Quindi:
    ${\frac {1}{2}}(MR^{2}/2+mR^{2})\omega _{f}^{2}=2M_{a}\pi n\rightarrow R={\sqrt {\frac {M_{a}20\pi }{\omega _{f}^{2}(M+2m)}}}=0.29\ m\$
c)
La perdita di energia meccanica relativa solo all’urto anelastico tra il punto materiale e il disco vale:
    $\Delta E_{a}={\frac {1}{2}}[I_{z}\omega _{i}^{2}+mv_{o}^{2}-(I_{z}+mR^{2})\omega _{f}^{2}]=5.14\ J\$
d)
Il centro di massa $x_{CM}\$ del sistema fisico dopo l’urto misurato rispetto all’asse di rotazione è uguale a:
    $x_{CM}={\frac {mR}{m+M}}\approx 0.1\ m\$