# Fondamenti di automatica/Controllo di sistemi lineari

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## Controllo di sistemi lineari
### Specifiche di progetto

Ci si riferisce alle specifiche di progetto intendendo la descrizione di ciò che un sistema deve o non deve fare e come
Queste sono riferite in termini di stabilità relativa, accuratezza ed errore a regime, risposta transitoria, caratteristiche della risposta in frequenza, sensibilità alla variazione dei parametri; di queste fanno parte la sovraelongazione massima, il tempo di salita, il tempo di assestamento, il margine di guadagno, il margine di fase, il picco di risonanza.
se viene dato un vincolo sulla sovraelongazione massima, in caso di sistema del secondo ordine con poli complessi coniugati si ha che
$\xi ={\frac {\ln M_{p}}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}M_{p}}}}$

### Controllo in anello aperto

È applicabile solo se il sistema è noto con precisione, poiché una piccola variazione del sistema non è gestita dal controllore

### Controllo in ciclo chiuso
#### Polinomio caratteristico in ciclo chiuso

Per un sistema $G(s)=P_{N}(s)/P_{D}(s)$ in retroazione unitaria negativa con un guadagno $K$ si ha:
$P_{CC}=P_{D}(s)+KP_{N}(s)$

#### Guadagno critico

Se il sistema è del secondo ordine i coefficienti del polinomio caratteristico in ciclo chiuso devono essere tutti dello stesso segno
Per sistemi di ordine superiore non è sufficiente che i coefficienti siano tutti dello stesso segno, si usa il criterio di Routh

#### Funzione di trasferimento in ciclo chiuso

Se $G(s)$ è la funzione di trasferimento in anello aperto di un sistema, allora la funzione di trasferimento in retroazione negativa è
$G_{cc}(s)={\frac {G(s)}{1+G(s)}}$

### Schema di controllo standard

Definiamo schema di controllo standard il controllo di un sistema con funzione di trasferimento $G(s)$ lineare tempoinvariante e causale stabile o meno conosciuto a meno di approssimazioni rispetto al sistema reale $G_{R}(s)$ retroazionato negativamente (retroazione unitaria) con l'aggiunta in serie di un controllore PID $K(s)$ indicando con $C(s)$ la funzione di trasferimento del sistema totale quando lo scopo del controllore è quello di far si che il sistema segua esattamente l'ingresso $(C(s)\approx 1)$
definiamo i segnali:
* $r(t)$: il segnale di riferimento in ingresso al sistema globale
* $y(t)$: il segnale in uscita dal sistema e che viene retroazionato all'ingresso
* $\epsilon (t)$: il segnale di errore $y(t)-r(t)$ che entra in ingresso al controllore
* $u(t)$: il segnale in uscita dal controllore e in ingresso al sistema
chiamiamo:
* $G(s)$: funzione di trasferimento in anello aperto del sistema (da $u(t)$ a $y(t)$);
* $L(s)$: pari a $K(s)G(s)$ funzione di trasferimento in anello aperto del sistema controllato (da $\epsilon (t)$ a $y(t)$);
* $C(s)$: pari a ${\frac {L(s)}{1+L(s)}}$ funzione di trasferimento in anello chiuso del sistema controllato (da $r(t)$ a $y(t)$)
detta anche funzione di sensitività complementare ;
* $S(s)$: pari a ${\frac {1}{1+L(s)}}$, funzione di trasferimento ingresso-errore o funzione di sensitività
* $Q(s)$: pari a ${\frac {K(s)}{1+L(s)}}$ funzione di sensitività del controllo
Una struttura di controllo di questo tipo consente di gestire la variazione di parametri del sistema
in caso di errori di modello o di approssimazioni (cosa che non è garantita da un sistema di controllo in anello aperto)
Se la funzione di trasferimento del sistema non è nota con precisione, e la funzione di trasferimento reale è $G_{R}(s)=G(s)+\Delta G(s)$ in uscita si ha un errore pari a ${\frac {\Delta y}{y}}={\frac {\Delta G(s)}{G(s)}}$ tale che se l'uscita $y$ aumenta anche l'errore aumenta.
In presenza di un controllore $K(s)$ in retroazione si ha che l'errore diventa
$\Delta y={\frac {G_{R}(s)K(s)}{1+G_{R}(s)}}r(t)-{\frac {G(s)K(s)}{1+G(s)K(s)}}r(t)$
e quindi
${\frac {\Delta y}{y}}={\frac {\Delta G(s)}{G(s)}}{\frac {1}{1+G(s)K(s)}}$
Il guadagno nel controllo in ciclo chiuso è talvolta limitato dalla stabilità del sistema; si definiscono sistemi a stabilità condizionata
sistemi che se retroazionati con un guadagno troppo elevato diventano instabili; esiste quindi un intervallo limitato di guadagni possibili.
Ad esempio sono tali sistemi con tre poli in eccesso agli zeri, per cui si nota dal luogo delle radici che per guadagni elevati i tre asintoti del sistema portano i poli nel semipiano positivo; oppure sistemi con poli positivi instabili e zeri vicini all'origine, in cui lo zero tende ad attrarre solo limitatamente i poli. Alcuni sistemi possono avere due punti corrispondenti alla pulsazione critica del margine di guadagno, per cui quest'ultimo deve essere positivo in entrambi

### Differenti schemi di controllo

Non è detto che il sistema di controllo standard sia sempre il più corretto, è anche possibile posizionare più controllori in posizioni differenti

### Specifiche qualitative di un sistema di controllo

Si sceglie il tipo di controllore a seconda delle proprietà intrinseche dell'impianto: controllabilità e osservabilità del sistema limitano l'azione del controllore; la stabilità del sistema controllato consente di mantenere il sistema in equilibrio, consentendo una maggiore precisione e sicurezza delle operazioni, oltre ad una riduzione del carico di lavoro dell'impianto
Il controllore deve gestire i poli del sistema, i comandi sono dati al sistema in funzione di ingressi esterni e sono riferiti al sistema nominale (a meno di approssimazioni)
Deve controllare il comportamento del sistema rispetto al comando o riferimento in ingresso, controllare i valori dell'uscita a regime, gestire il tipo della funzione di trasferimento in anello aperto
Si stabilisce prima il denominatore del sistema controllato per garantirne la stabilità
Devono essere gestiti i disturbi, idealmente l'uscita del sistema rispetto ad un disturbo dovrebbe essere nulla, comunque il guadagno ($|G(j\omega )|$) del sistema controllato rispetto ad un disturbo deve essere negativo (in decibel); la forma del guadagno in funzione della frequenza si cambia con poli e zeri, l'altezza con un guadagno puro
Il controllore deve essere in grado di operare anche se il sistema reale differisce dal sistema nominale
Idealmente il sistema controllato dovrebbe avere $G(s)=1$ rispetto al segnale di riferimento o al controllo, e $G(s)=0$ rispetto ai disturbi; ovvero, più realisticamente $|G(j\omega )|$ "grande" rispetto al segnale di riferimento o al controllo, e $|G(j\omega )|$ "piccolo" rispetto ai disturbi
Per evitare i rumori in alta frequenza (tipicamente associati agli strumenti di misura dell'uscita) la banda del sistema non deve essere troppo "grande"
Un controllore deve essere causale, il suo guadagno non deve essere troppo elevato rispetto alla complessità del sistema, deve rendere il sistema stabile se non lo è, deve rispettare le specifiche di progetto per quanto possibile, deve rendere il sistema sensibile al segnale di riferimento e insensibile ai disturbi

### Struttura del sistema

Poli complessi coniugati nella funzione di trasferimento in ciclo chiuso danno una risposta al gradino oscillatoria smorzata, se tutti i poli sono reali, la risposta al gradino è sovrasmorzata (non oscillante), ma se ci sono degli zeri non è detto che la sovraelongazione massima sia nulla
La risposta del sistema è dominata dai poli più vicini all'origine, poli dominanti lontani dall'origine rendono più veloce la risposta del sistema e più ampia la sua banda, ma è probabile che il sistema abbia un'implementazione più costosa e inoltre i segnali al suo interno saranno più irregolari e a maggiore potenza
Quando un polo e uno zero di un sistema sono vicini rispetto agli altri, questi tendono a cancellarsi a la risposta a loro associata diventa piccola
Le specifiche nel dominio del tempo sono vagamente correlate con quelle in frequenza, il tempo di salita e la banda sono inversamente proporzionali, il margine di fase, il margine di guadagno, il picco di risonanza e lo smorzamento sono inversamente proporzionali (??)

#### Aggiunta di poli e zeri

Aggiungere uno zero aumenta la banda del sistema in ciclo chiuso
Aggiungere un polo rende il sistema meno stabile e diminuisce la banda
Il luogo delle radici può essere usato per valutare l'effetto dell'aggiunta di poli e zeri al sistema

### Controllori PID

Un controllore PID
è un controllore che è composto da una componente proporzionale $K_{P}$, una componente derivativa $K_{D}s$ ed una integrale $K_{S}/s$ connesse in parallelo; la sua funzione di trasferimento è quindi
$G_{PID}(s)={\frac {K_{D}s^{2}+K_{P}s+K_{I}}{s}}=K_{P}+K_{D}s+{\frac {K_{I}}{s}}$
$=K_{P}{\big1+{\frac {1}{T_{I}s}}+T_{D}s{\big )}=K_{P}{\frac {T_{I}T_{D}s^{2}+T_{I}s+1}{T_{I}s}}$
dove $T_{I}=K_{P}/K_{I}$ è il tempo integrale e $T_{D}=K_{D}/K_{P}$ è il tempo derivativo;
la sua uscita in funzione dell'ingresso è
$y(t)=K_{P}u(t)+K_{I}\int _{t_{0}}^{t}u(\nu )d\nu +K_{D}{\frac {du(t)}{dt}}$
Il controllore PID ideale non è un sistema causale, nella pratica l'azione derivativa è ottenuta aggiungendo un polo per $s=-N/T_{D}$ con $N\approx 5\ldots 20$
Un controllore PID implementato con un semplice circuito elettronico con condensatori, resistenze e due amplificatori operazionali, ha una funzione di trasferimento del tipo
$K_{PID}(s)={\frac {R_{4}}{R_{1}C_{2}R_{3}}}\quad {\frac {(1+C_{1}R_{1}s)(1+R_{2}C_{2}s)}{s}}$
È possibile anche una struttura equivalente meccanica di un PID costituita da una molla e da uno smorzatore

#### Controllore proporzionale derivativo

Un controllore proporzionale derivativo
$K_{PD}(s)=K_{P}+K_{D}s=K_{P}\left(1+{\frac {K_{D}}{K_{P}}}s\right)$
è composto da una componente proporzionale ed una proporzionale alla derivata del segnale di ingresso; ha un solo zero in corrispondenza di $K_{P}/K_{D}$ e nessun polo (le implementazioni reali di questo controllore hanno ovviamente almeno un polo, ma si suppone che questo sia a frequenza elevata tale da non alterare il sistema)
Un controllore derivativo non modifica il tipo della funzione di trasferimento, ma varia la risposta transitoria del sistema diminuendo il tempo di assestamento, tende però a causare sovraelongazioni anche pronunciate e non è indicato se l'ingresso del controllore ha variazioni rapide, che verrebbero accentuate dal controllore
La struttura di un PD implementato come circuito elettronico è pari a quella del PID con $C_{1}$ sostituito con un circuito aperto,
$K_{PD}(s)={\frac {R_{4}R_{2}}{R_{1}R_{3}}}\quad {\frac {1+C_{1}R_{1}s}{s}}$

#### Controllore proporzionale integrale

Un controllore proporzionale integrale
$K_{PI}(s)=K_{P}+K_{I}/s={\frac {K_{I}\left(1+{\frac {K_{P}}{K_{I}}}s\right)}{s}}$
è composto da una componente proporzionale ed una proporzionale all'integrale del segnale di ingresso; ha un solo zero in corrispondenza di $K_{P}/K_{I}$ e un polo nell'origine; si comporta come un filtro passa-basso
È conveniente in fase di progetto mettere lo zero relativamente vicino all'origine e lontano dagli altri poli del sistema, mantenendo le due costanti $K_{P}$ e $K_{I}$ piccole
La struttura di un PI implementato come circuito elettronico è pari a quella del PID con $C_{2}$ sostituito con un circuito chiuso,
$K_{PI}(s)={\frac {R_{4}}{R_{1}C_{2}R_{3}}}\quad {\frac {1+R_{2}C_{2}s}{s}}$
Un integratore può causare effetti indesiderati se la sua uscita è collegata ad un sistema che ha un livello di saturazione
nel caso che il sistema controllato vada in saturazione, l'integratore continua ad accumulare energia, quando il sistema esce dalla saturazione, spesso l'integratore è più lento nella sua scarica e resiste alla variazione, il fenomeno è detto carica integrale o wind-up ed il suo effetto è un aumento del tempo di assestamento del sistema (è un comportamento non lineare)

#### Metodi di taratura automatica
### Criterio di Nyquist

In un sistema di controllo standard in ciclo chiuso, dove il sistema da controllare $G(s)$ è conosciuto solo a meno di approssimazioni rispetto al sistema reale, è possibile valutare la stabilità del sistema reale per mezzo del criterio di Nyquist. Questo nel caso che l'aprossimazione di $G(s)$ sia a meno di incertezze moltiplicative non strutturali (ad esempio se si trascura la dinamica degli attuatori di un sistema).
Una funzione $F(s)\qquad \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ analitica in un insieme $\Omega$ (ovvero esiste nell'insieme ed esistono le sue derivate, $F(s)$ è continua e derivabile infinite volte, $F(s)\in C^{\infty }$) soddisfa il teorema di Cauchy: dato un percorso chiuso $\Gamma$ che racchiude poli e zeri di $F(s)$, percorrendo $\Gamma$ in senso orario una volta, $F(s)$ mappa $\Gamma$ in $\Omega$ (è detta trasformazione conforme)
Applichiamo una particolare trasformazione conforme alla funzione di trasferimento $G(s)$ di un sistema, dove il percorso $\Gamma$ è tale da racchiudere tutti i poli e gli zeri instabili, ovvero il semipiano reale positivo del luogo delle radici (esclusi poli e zeri immaginari puri); in questo modo si ottiene il diagramma di Nyquist.
Ad esempio, per escludere poli nell'origine, si sceglie il percorso ${\frac {1}{\epsilon }}e^{j\theta }\qquad {\textrm {per}}\quad \theta =-\pi /2\ldots \pi /2$
Il criterio di Nyquist stabilisce che un sistema è asintoticamente stabile in ciclo chiuso se il suo diagramma di Nyquist accerchia tante volte il punto $-1,0j$ quanti sono i poli instabili del sistema in anello aperto
Se il sistema controllato non ha poli instabili in anello aperto, per verificare l'asintotica stabilità in retroazione è sufficiente che il punto critico $-1,0j$ non sia circondato dalla curva nel diagramma di Nyquist, se il sistema ha guadagno unitario per una sola frequenza (il diagramma di Bode attraversa una sola volta l'asse a 0 dB) allora è necessario e sufficiente per l'asintotica stabilità del sistema che il guadagno in anello aperto sia positivo e il margine di fase positivo (questo è detto criterio di Bode )

### Reti stabilizzatrici

Esistono dei modelli standard di controllori che sono disponibili in commercio; questi sono i controllori che possono essere più facilmente utilizzati nella sintesi di un sistema di controllo e che sono sviluppati con varie tecnologie

#### Rete anticipatrice di fase

Una rete anticipatrice
messa in serie ad un sistema aggiunge uno zero e un polo a maggiore frequenza al sistema, aumentando la banda passante e il margine di fase del sistema È descritta dalla funzione di trasferimento $G(s)_{ra}={\frac {1+\tau s}{1+Ts}}$ con $z<p$ ($\tau >T$) e quindi con uno zero a pulsazione $\omega _{z}=1/\tau$ e un polo a pulsazione $\omega _{p}=1/T$
L'anticipo di fase massimo $\Phi$ si ha in corrispondenza della pulsazione media dei due poli $\omega _{zp}=1/{\sqrt {T\tau }}$ (media geometrica in quanto si intende in scala logaritmica) e si può ricavare tracciando il diagramma di Nyquist della rete (che è una semicirconferenza al di sopra dell'asse reale positivo che va dal punto $\tau /T$ al punto $1$) $\Phi _{ra}=\sin ^{-1}{\frac {\tau /T-1}{\tau /T+1}}=\sin ^{-1}\left|{\frac {\tau -T}{\tau +T}}\right|$ Esiste un limite all'anticipo di fase che può essere ottenuto con una semplice rete di questo genere fatta con resistenze e condensatori (e quindi a guadagno unitario) che è circa $\pi /3$ con tipicamente zero e polo a distanza di circa una decade
La rete aumenta anche il guadagno a frequenze superiori alla frequenza del polo, questo guadagno in decibel è $A_{ra}=20\log _{10}{\frac {\tau }{T}}$
Non si può usare una rete di questo genere se la fase nella frequenza di taglio scende più velocemente del minimo possibile (20 dB/dec)
Per dimensionare una rete anticipatrice nell'ottica di un normale progetto di un controllore per un sistema stabile si procede come segue:
** si trova il guadagno del controllore necessario per soddisfare le specifiche sull'errore a regime in ciclo chiuso
** si costruisce il diagramma di bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
** si trova il margine di fase e si valuta di quanto questo deve essere aumentato (meglio abbondare un poco), questo è lo sfasamento massimo $\Phi _{ra}$ della rete
** si ricava il rapporto $\tau /T={\frac {1+\sin \Phi }{1-\sin \Phi }}$ della rete dato lo sfasamento massimo
** si ricava il guadagno aggiunto dalla rete $A_{ra}=20\log _{10}\tau /T$
** si cerca nel diagramma del modulo del sistema la frequenza per cui il guadagno è $-A_{ra}$,
con una certa approssimazione questa sarà la nuova frequenza di taglio $\omega _{\pi }$ del sistema controllato
Una semplice implementazione elettrica di una rete anticipatrice è composta da due resistenze $R_{1},R_{2}$ e da un condensatore $C_{1}$, in questo caso la funzione di trasferimento risulta $G_{ra}={\frac {R_{1}C_{1}s+1}{{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}C_{1}s+1}}$

#### Rete ritardatrice di fase

Una rete ritardatrice
messa in serie ad un sistema aggiunge un polo e uno zero a maggiore frequenza al sistema, migliorando la precisione statica e garantendo una maggiore attenuazione dei disturbi in bassa frequenza
È descritta dalla funzione di trasferimento $G(s)_{rr}={\frac {1+\tau s}{1+Ts}}$ con $p<z$ ($\tau >T$) e quindi con un polo a pulsazione $\omega _{p}=1/T$ e uno zero a pulsazione $\omega _{z}=1/\tau$
La rete introduce un ritardo di fase indesiderato $\Phi$ che ha il suo massimo in corrispondenza della pulsazione media dei due poli $\omega _{pz}=1/{\sqrt {T\tau }}$ (media geometrica in quanto si intende in scala logaritmica) e si può ricavare tracciando il diagramma di Nyquist della rete (che è una semicirconferenza al di sotto dell'asse reale positivo che va dal punto $\tau /T$ al punto $1$) $\Phi _{ra}=-\sin ^{-1}{\frac {T/\tau -1}{T/\tau +1}}=-\sin ^{-1}\left|{\frac {\tau -T}{\tau +T}}\right|$
Per evitare che il ritardo di fase introdotto si ripercuota troppo sul margine di fase, occorre scegliere il polo (????): $T>1/\omega _{c}$
Per dimensionare una rete ritardatrice nell'ottica di un normale progetto di un controllore per un sistema stabile si procede come segue:
* si trova il guadagno del controllore necessario per soddisfare le specifiche sull'errore a regime in ciclo chiuso
* si costruisce il diagramma di Bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
* si stima la nuova frequenza di taglio $\omega _{c}$ valutando sul diagramma della fase la pulsazione per cui la fase è $-180+PM+5$ gradi, dove $PM$ è il margine di fase desiderato e circa 5 gradi sono aggiunti per considerare la diminuzione del guadagno introdotta dalla rete
* si sceglie lo zero $1/\tau$ una decade circa prima della frequenza di taglio stimata
* si stima sul diagramma del modulo l'ampiezza $A$ (in dB) della risposta in corrispondenza della frequenza di taglio stimata
* si sceglie $T=10^{-{\frac {A}{20}}}\tau$ dall'equazione $A=20\log _{10}\tau /T$
Una semplice implementazione elettrica di una rete ritardatrice è composta da due resistenze $R_{3},R_{4}$ e da un condensatore $C_{2}$, in questo caso la funzione di trasferimento risulta $G_{rr}={\frac {R_{4}C_{2}s+1}{(R_{3}+R_{4})C_{2}s+1}}$

#### Rete a sella

Una rete a sella (detta anche rete di anticipo-ritardo)
consiste nella serie di una rete anticipatrice e di una rete ritardatrice ed è descritta dalla seguente funzione di trasferimento $G(s)_{rs}={\frac {1+\tau _{1}s}{1+T_{1}s}}{\frac {1+\tau _{2}s}{1+T_{2}s}}$ dove si scelgono $T_{1}>\tau _{1}>\tau _{2}>T_{2}$ ed ha due poli con due zeri nel mezzo
Se si sceglie il prodotto dei poli uguale al prodotto degli zeri $T_{1}T_{2}=\tau _{1}\tau {2}$ la rete ha guadagno unitario; oppure si possono scegliere in modo da avere un guadagno maggiore in alta frequenza
in una rete a sella i poli sono esterni agli zeri.. è particolarmente usata quando abbiamo dei poli molto vicini tra loro

#### Filtro a spillo

il filtro a spillo o filtro notch è una particolare rete a sella in cui i due zeri sono coincidenti e agisce da filtro elimina-banda; è usato per eliminare disturbi localizzati in una particolare frequenza

### Assegnamento di poli e zeri

Ad un sistema completamente controllabile
e osservabile, stabile in ciclo chiuso (le condizioni dull'errore a regime devono essere soddisfatte dal sistema) è possibile assegnare i poli con un sistema di controllo in retroazione
Si valuta il grado del controllore necessario per rispettare le specifiche di progetto, quindi si scrive numeratore e denominatore del controllore come due polinomi generici del grado richiesto;
A questo punto è possibile scrivere il denominatore del sistema in retroazione, che sarà $D_{cc}(s)=N_{k}(s)N(s)+D_{k}(s)D(s)$ dove numeratore e denominatore del controllore sono espressi in forma generica
Si assegnano poi i coefficienti del controllore in modo che il polinomio caratteristico del sistema abbia il grado desiderato
Il metodo della reazione dello stato può essere visto anche applicato ad un sistema MIMO descritto variabili di stato; si retroaziona (moltiplicato per una matrice K) l'intero stato del sistema in ingresso (è detta reazione totale), imponendo $u(t)=-Kx(t)+r(t)$; ottenendo il sistema $\left\{{\begin{array}{l}x'(t)=(A-BK)x(t)+Br(t)\\y(t)=Cx(t)\\\end{array}}\right.$ dove $K\in \Re ^{n_{u}\times n_{x}}$ è una matrice di guadagni costanti
Si può dimostrare che se il sistema $(A,B)$ è controllabile, allora esiste una matrice $K$ che consente di assegnare arbitrariamente gli autovalori della matrice della dinamica del sistema $A-BK$ (le $n_{x}$ radici dell'equazione caratteristica $(sI-A+BK)=0$)
Se si considera il sistema precedente scritto in forma canonica di controllo (vedi \ref{par:fcc}) supponendo che l'ingresso sia unico (quindi $u(t)\in \Re$ e $B=[0\cdots 01]$) si ha che posto $K=[k_{0}k_{1}\cdots k_{n-1}]$ la matrice $A-BK$ è del tipo $A-BK=\left({\begin{array}{cccccc}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&&0\\\vdots &&&\ddots &\\0&0&0&&1\\-a_{0}-k_{0}&-a_{1}-k_{1}&-a_{2}-k_{2}&\cdots &-a_{n-1}-k_{n-1}\\\end{array}}\right)$ ed il polinomio caratteristico del sistema diventa $P_{C}=x^{n}+(a_{n-1}+k_{n-1})x^{n-1}+\cdots +(a_{1}+k_{1})x+(a_{0}+k_{0})$ quindi scegliendo appositamente gli elementi $k_{0}\ldots k_{n-1}$ della matrice $K$ è possibile variare a piacere i coefficienti del polinomio caratteristico del sistema, e quindi gli autovalori della matrice della dinamica e di conseguenza il comportamento transitorio del sistema. Se il sistema ha un solo ingresso, la matrice $K$ che consente di ottenere i poli desiderati è unica, altrimenti ci sono infinite soluzioni possibili poiché è necessario combinare gli ingressi, se un ingresso solo è sufficiente per controllare completamente il sistema si possono anche considerare gli altri nulli
Il problema pratico di questa tecnica è che richiede la conoscenza completa istante per istante del vettore di stato del sistema, che in generale non è accessibile direttamente ma solo attraverso le uscite del sistema; è quindi necessario che il sistema sia completamente osservabile (ovviamente se $C=[1\cdots 1]$ l'uscita corrisponde esattamente allo stato)
La tecnica della reazione totale è utilizzabile facilmente nel caso di sistemi a sfasamento non minimo, per cui utilizzanre un sistema di controllo standard valutato con il luogo delle radici può condurre a fissare guadagni troppo elevati che rendono il sistema instabile
Se ci sono condizioni sull'errore a regime che il sistema deve soddisfare, bisogna considerare che questa tecnica non consente di stabilirlo con sicurezza nel caso che questo sia finito; è necessario eventualmente aggiungere integratori in serie al sistema,
(aggiungendo quindi una o più variabili di stato $x_{n+1}'=x_{1}$) ottenendo l'asintotica stabilità per il tipo di ingresso desiderato; quindi valutare la matrice $K$
il sistema con l'aggiunta di un integratore diventa $\left\{{\begin{array}{l}x'(t)=(A-BK)x(t)+Br(t)\\y(t)=Cx(t)\\z'(t)=r-y\\u(t)=-k_{0..n-1}x-k_{n}\int _{0}^{t}(r(t)-y(t))dr+r(t)\\\end{array}}\right.$ oppure $\left[{\begin{array}{c}x'(t)\\z'(t)\\\end{array}}\right]=\left({\begin{array}{cc}A-BK&-BK_{int}\\-C&0\\\end{array}}\right)=\left[{\begin{array}{c}x(t)\\z(t)\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}B\\1\\\end{array}}\right]r(t)$

#### Osservatore di Luenberger

Quando l'intero stato del sistema non è disponibile in uscita (ad esempio se le uscite sono meno degli ingressi $n_{y}<n_{x}$) si inserisce in serie a valle del controllore totale $K$ un sistema in grado di ricostruire il vettore di stato a partire dalle uscite del sistema (il sistema deve essere completamente osservabile) e dagli ingressi.
Tale sistema è detto osservatore di Luenberger
(il sistema composto dall'osservatore e dalla matrice di guadagni $K$ è detto compensatore dinamico ed è tale da fornire in uscita un vettore $\zeta (t)$ tale che $\lim _{t\rightarrow \infty }\zeta (t)-x(t)=0$ ovvero $\zeta$ rappresenta una stima dello stato del sistema che tende ad essere esatta; la struttura dell'osservatore è la seguente: $\zeta '(t)=A\zeta (t)+Bu(t)+K_{F}(y(t)-C\zeta (t))$ dove la matrice $K_{F}$ è l'unico parametro di costruzione e le altre matrici $A,B,C$ sono le stesse del sistema da osservare
L'errore che si commette sostituendo lo stato allo stato osservato è $\epsilon _{os}(t)=\zeta (t)-x(t)$ ed è indipendente dall'ingresso $u(t)$ del sistema; la dinamica dell'errore è: $\epsilon _{os}(t)=\epsilon _{os}(0)e^{(A-K_{F}C)t}$ dove l'errore iniziale dipende dalle condizioni iniziale dell'osservatore, che possono essere poste arbitrariamente a 0 o a qualunque altro valore, mentre l'errore ad ogni altro istante $t$ tende ad annullarsi dipendentemente dagli autovalori della matrice della dinamica dell'errore $A-K_{F}C$; è quindi necessario assegnare i poli della matrice in modo che questi siano a frequenza maggiore dei poli del sistema da osservare, perché l'errore tenda ad essere nullo prima che il sistema osservato sia a regime, e quindi la retroazione dello stato sia efficace (altrimenti si introdurrebbe una dipendenza tra il sistema e l'osservatore)
Il sistema controllato in retroazione totale in ciclo chiuso con l'osservatore ha lop stato interno che è dato dallo stato del sistema e dallo stato dell'osservatore, $x_{SO}(t)^{T}=(x(t),\epsilon _{os}(t))$ (dove si potrebbe anche considerare come stato il vettore $\zeta (t)$ al posto dell'errore) e quindi il sistema diventa $x_{SO}'(t)=\left({\begin{array}{cc}A&0\\0&A-K_{F}C\\\end{array}}\right)x_{SO}(t)+\left[{\begin{array}{c}B\\0\\\end{array}}\right]u(t)$ che in retroazione è $x_{SO}'(t)=\left({\begin{array}{cc}A-BK&-BK\\0&A-K_{F}C\\\end{array}}\right)x_{SO}(t)$ le due matrici della dinamica del sistema e dell'osservatore sono indipendenti (principio di separazione); la funzione di trasferimento del compensatore dinamico è $K(sI-A+BK+K_{F}C)^{-1}K_{F}$
Nel caso (frequente) che alcune variabili di stato siano disponibili in uscita, l'osservatore è ovviamente un cortocircuito rispetto ad esse (osservatore ridotto con dinamica $n_{x}-n_{y}$)

## Note

* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 665, sezione 10-1-1: Design specifications
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 366, sezione 10.6: Feedback compensation
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 488, sezione 8-3-8: Intersection of the root loci with the imaginary axis
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 329, sezione 11.8: Analisi della funzione di sensitività complementare
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 342, sezione 11.9: Analisi della funzione di sensitività
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 346, sezione 11.10: Analisi della funzione di sensitività del controllo
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 349, sezione 11.11: Prestazioni in condizioni perturbate
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 618, sezione 9-16-1: Conditionally stable system
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 443, capitolo 15: Schemi di controllo avanzati
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 670, sezione 10-2-3: Fundamental principes of design
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 551, sezione 9-3: Effects of adding a zero to the forward-path transfer function
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 555, sezione 9-4: Effects of adding a pole to the forward-path transfer function
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 509, sezione 8-5-1: Effect of adding poles and zeros to $G(s)H(s)$
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 708, sezione 10-4: Design with the PID controller
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 415, capitolo 14: Regolatori PID
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 671, sezione 10-2: Design with the PD controller
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 691, sezione 10-3: Design with the PI controller
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 423: sezione 14.3.2: Desaturazione dell'azione integrale
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 430, sezione 14.4: Metodi di taratura automatica
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 567, sezione 9-5-6: Nyquist criterion and the L(s) plot
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 327, sezione 11.7.5: Criterio di Bode
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 328, sezione 10.3: Realization of basic compensators
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 382, sezione 12.5.1: Rete anticipatrice
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 384, sezione 12.5.2: Rete ritardatrice
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 386, sezione 12.5.3: Rete a sella
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 273, sezione 5-10: Controllability of Lynear Systems
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 796, sezione 10-13: Pole-placement design through state feedback
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 802, sezione 10-14: Stat feedback with integral control
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 509, State variable analysis and design, Observer System