# Matematica per le superiori/Le equazioni irrazionali

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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Per equazioni irrazionali si intendono quelle equazioni in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. La forma più semplice è:
    ${\sqrt[{n}]{A(x)}}=B(x)\,$

## Risoluzione

Nel caso n sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice:
    $A(x)=\left[B(x)\right]^{n}\,$
ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente.
La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui n è un numero pari, ai quali è dedicato questo capitolo. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: se consideriamo ad esempio l'equazione $x=-x\,$, la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo $x^{2}=x^{2}\,$, che ha invece infinite soluzioni.
Consideriamo ad esempio questa equazione:
    ${\sqrt {x+1}}=x-5\,$
Elevando entrambi i membri alla seconda per eliminare il radicale otteniamo:
    $x+1=x^{2}-10x+25\,$
    $x^{2}-11x+24=0\,$
    $\Delta =11^{2}-24\cdot 4=25\,$
    $x={\frac {11\pm 5}{2}}\,$
    $x_{1}=8;x_{2}=3\,$
Per verificare i risultati ottenuti utilizziamo la sostituzione:
    $x=8\,$
    ${\sqrt {8+1}}=8-5\,$
    $3=3\,$
    $x=3\,$
    ${\sqrt {3+1}}=3-5\,$
    $2=-2\,$
L'unica soluzione accettabile è quindi $x=8$

### Condizioni di concordanza

Abbiamo visto che con la verifica delle soluzioni possiamo escludere le soluzioni non accettabili semplicemente utilizzando la sostituzione. Per ottenere lo stesso risultato è però possibile porre delle condizioni. Ad esempio nel nostro semplice caso:
    ${\sqrt[{n}]{A(x)}}=B(x)\,$ con n pari
dovremo porre delle condizioni di esistenza affinché sotto radice ci sia una quantità positiva o nulla (quindi $A(x)\geq 0\,$). Se il risultato di ${\sqrt[{n}]{A(x)}}$ è un numero positivo o nullo, in quanto è il risultato di un'estrazione di una radice con indice pari, significa che anche $B(x)\geq 0\,$.
Tornando al nostro esempio
    ${\sqrt {x+1}}=x-5\,$
Le condizioni da porre saranno le seguenti:
    $x+1\geq 0\rightarrow x\geq -1\,$
    $x-5\geq 0\rightarrow x\geq 5\,$
Dovendo considerare entrambe le condizioni contemporaneamente la nostra condizione sarà: $x\geq 5\,$.
Svolgiamo ora l'equazione e otteniamo i due risultati:
    $x_{1}=8;x_{2}=3\,$
Possiamo ora dire in base alle nostre condizioni, senza effettuare le sostituzioni, che l'unica soluzione accettabile è $x=8$ in quanto 3 è minore di 5.

## Altri casi

Il metodo delle condizioni è più veloce e più pulito, ma, con gli strumenti a nostra disposizione, non può essere sempre applicabile in modo corretto. Esamineremo pertanto di seguito i casi risolvibili tramite le condizioni che siamo in grado di risolvere.
Quando in una equazione compaiono più di una radice, la cosa più conveniente è riuscire ad ottenere solo somme e non differenze in modo che, una volta poste le condizioni di esistenza, si possa essere sicuri anche della concordanza del segno:
    ${\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x+6}}=-1\,$
In questo caso potrei dopo aver posto delle condizioni di esistenza non potrei più ragionare sulla concordanza del segno, in quanto la differenza di quantità positive o nulle (cioè ${\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x+6}}$) non si può sapere se sia positiva o nulla.
Portiamo quindi i membri dalle parti opportune in modo da ottenere solo delle somme:
    ${\sqrt {x+1}}+1={\sqrt {x+6}}\,$
Ora poniamo le condizioni di esistenza delle radici:
    $x+1\geq 0\rightarrow x\geq -1\,$
    $x+6\geq 0\rightarrow x\geq -6\,$
    quindi $x\geq -1$
Ora passiamo ai segni: sappiamo che ${\sqrt {x+6}}$ è sempre positivo o nullo così come lo è ${\sqrt {x+1}}$ e a sua volta dunque ${\sqrt {x+1}}+1$ sarà positivo.
Eleviamo entrambi i membri al quadrato:
    $({\sqrt {x+1}}+1)^{2}={\sqrt {x+6}}^{2}\,$
    $x+1+2{\sqrt {x+1}}+1=x+6\,$
    $2{\sqrt {x+1}}=x+6-x-2\,$
    $2{\sqrt {x+1}}=4\,$
    ${\sqrt {x+1}}=2\,$
Siamo quindi ricaduti in un caso precedente. Poniamo di nuovo la condizione che è ancora $x\geq -1$ e procediamo:
    $x+1=4\,$
    $x=3\,$
che è la nostra soluzione.
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