# Fondamenti di automatica2/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto

Fondamenti di automatica2
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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   * Classificazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Classificazione di sistemi dinamici
   * Modellistica di sistemi dinamici elettriciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettrici
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   * Modellistica di sistemi dinamici termiciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici termici
   * Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
   * Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
   * Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discretoFondamenti di automatica2/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto
   * Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
   * Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
   * Equilibrio di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Equilibrio di sistemi dinamici
   * Linearizzazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Linearizzazione di sistemi dinamici
   * Stabilità interna di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici
   * Stabilità interna di sistemi dinamici LTIFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI
   * Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazioneFondamenti di automatica2/Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione
   * Raggiungibilità e controllabilitàFondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità
   * Retroazione statica dallo statoFondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato
   * Osservabilità e rilevabilitàFondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità
   * Stima dello stato e regolatore dinamicoFondamenti di automatica2/Stima dello stato e regolatore dinamico
   * Stabilità esterna e risposta a regimeFondamenti di automatica2/Stabilità esterna e risposta a regime
   * Risposte di sistemi del I e II ordineFondamenti di automatica2/Risposte di sistemi del I e II ordine
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I sistemi dinamici a tempo discreto sono descritti dalle seguenti equazioni di stato (equazione alle differenze) e di uscita:
    ${\begin{cases}x_{i}\left(k+1\right)=f_{i}\left(k,x(k),u(k)\right)\\y_{l}(k)=g_{l}\left(k,x(k),u(k)\right)\end{cases}}$

## Sistemi dinamici a classi di età

I modelli a classi di età permettono di sapere il numero degli elementi di una certa classe $i$-esima nell'istante temporale $k$. L'evoluzione di ogni classe dall'istante $k$ all'istante $k+1$ è descritta tenendo conto del tasso di mortalità $\gamma$ e del tasso di sopravvivenza $1-\gamma$ degli elementi della classe.
Lo stato $x_{i}(k)$ è il numero di elementi della classe $i$-esima, l'ingresso $u(k)$ rappresenta l'ingresso di nuovi elementi in una classe.

### Equazioni di stato e di uscita

    ${\begin{cases}x\left(k+1\right)=Ax(k)+Bu(k)\\y(k)=Cx(k)+Du(k)\end{cases}}$

## Sistemi dinamici a dati campionati

* Sistema di controllo a tempo continuo
* Sistema di controllo a tempo discreto

### Discretizzazione

Il processo di discretizzazione avviene attraverso un campionatore con passo di campionamento $T_{s}$:
    ${\begin{cases}x(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}x\left(k+1\right)=A_{d}x(k)+B_{d}u(k)\\y(k)=C_{d}x(k)+D_{d}u(k)\end{cases}}$
dove le matrici $A_{d}$ e $B_{d}$ sono ricavabili dalla formula di Lagrange:
    $x(t)=e^{A\left(t-t_{0}\right)}x\left(t_{0}\right)+\int _{t_{0}}^{t}e^{A\left(t-t_{0}-\tau \right)}Bu\left(\tau \right)d\tau \Rightarrow x\left(k+1\right)=\underbrace {e^{AT_{s}}} _{A_{d}}x\left(k\right)+\underbrace {\left(\int _{0}^{T_{s}}e^{A\left(T_{s}-\tau \right)}d\tau \right)} _{B_{d}}Bu(k)$

## Note

* ↑ Si ipotizza che il filtro di tenuta a partire da un ingresso discreto $u(k)$ produca un ingresso $u(t)$ costante a tratti: