# Fondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato

Fondamenti di automatica2
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## Legge di controllo

Tramite la legge di controllo è possibile agire sull'ingresso di un sistema dinamico LTI in modo da cambiare gli autovalori della matrice $A$ al fine di:
* rendere asintoticamente stabile un sistema instabile;
* imporre dei modi naturali convergenti che migliorano alcune proprietà del sistema:
** smorzamento: ad es. un ascensore non può salire con troppa accelerazione;
** rapidità di convergenza: ad es. un ascensore quando arriva al piano deve fermarsi senza oscillare su e giù;
* portare il sistema in uno stato di equilibrio dato.
Per modificare il comportamento dinamico del sistema è necessario applicare un ingresso $u(t)$ che dipende dallo stato $x(t)$ secondo la legge di controllo per retroazione statica dallo stato:
    $u(t)=-Kx(t)+\alpha r(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\;u(t)\in \mathbb {R} ,\;K\in {\mathbb {R} }^{1\times n},\;\alpha \in \mathbb {R}$
dove:
* il contributo $Kx(t)$ rappresenta la retroazione dallo stato (o state feedback), con $K$ chiamata matrice dei guadagni;
* il contributo $\alpha r(t)$ rappresenta l'azione diretta (o feedforward), con l'ingresso esterno $r(t)$ (riferimento) che serve per pilotare il sistema in maniera opportuna.

### Problema di assegnazione degli autovalori mediante retroazione statica dallo stato

Intervenendo sulla matrice $K$ è possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli $n$ autovalori della matrice $A$?

### Teorema di assegnazione degli autovalori

È possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli $n$ autovalori della matrice $A$ intervenendo sulla matrice $K$ se e solo se il sistema è completamente raggiungibile:
    $\rho \left(M_{R}\right)=n$
In particolare si interviene sulla matrice $K$ in modo che gli $n$ autovalori della matrice $A-BK$ coincidano con $n$ numeri fissati arbitrariamente.
Se il sistema non è completamente raggiungibile, la legge di controllo può modificare solo gli $r$ autovalori corrispondenti alla sua parte raggiungibile.

### Quando l'ingresso $u(t)$ segue la legge di controllo, il sistema controllato complessivo ha le seguenti equazioni di ingresso-stato-uscita

    ${\begin{cases}{\dot {x}}(t)=A_{RS}x(t)+B_{RS}u(t)=\overbrace {\left(A-BK\right)} ^{A_{RS}}x(t)+\overbrace {B\alpha } ^{B_{RS}}r(t)\\y(t)=C_{RS}x(t)+D_{RS}u(t)=\underbrace {\left(C-DK\right)} _{C_{RS}}x(t)+\underbrace {D\alpha } _{D_{RS}}r(t)\end{cases}}$
Sostituendo l'espressione della legge di controllo nelle equazioni di ingresso-stato-uscita del sistema da controllare:
    $u(t)=-Kx(t)+\alpha r(t)\Rightarrow {\begin{cases}{\dot {x}}\left(t\right)=Ax(t)+Bu(t)=Ax(t)+B\overbrace {\left[-Kx(t)+\alpha r(t)\right]} ^{u(t)}=\left(A-BK\right)x(t)+B\alpha r(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)=Cx(t)+D\underbrace {\left[-Kx(t)+\alpha r(t)\right]} _{u(t)}=\left(C-DK\right)x(t)+D\alpha r(t)\end{cases}}$
Il coefficiente $\alpha$ assume il ruolo di guadagno della funzione di trasferimento $H(s)$ tra l'uscita $y(t)$ e l'ingresso $r(t)$ nel sistema controllato complessivo:
    $H\left(s\right)=C_{RS}{\left(sI-A_{RS}\right)}^{-1}B_{RS}+D_{RS}=\left\{\left(C-DK\right){\left[sI-\left(A-BK\right)\right]}^{-1}B+D\right\}\alpha$

## Problema della regolazione
### Sistemi LTI a tempo continuo

L'equilibrio $\left({\bar {r}},{\bar {x}},{\bar {y}}\right)$ di un sistema controllato, a tempo continuo e asintoticamente stabile è:
    ${\begin{cases}{\bar {x}}=-{\left(A-BK\right)}^{-1}B\alpha {\bar {r}}\\{\bar {y}}=\left[-\left(C-DK\right){\left(A-BK\right)}^{-1}B+D\right]\alpha {\bar {r}}\end{cases}}$
    ${\dot {x}}\left(t\right)=\left(A-BK\right)x\left(t\right)+B\alpha r(t)\Rightarrow {\dot {\bar {x}}}=0=\left(A-BK\right){\bar {x}}+B\alpha {\bar {r}}\Rightarrow {\bar {x}}=-{\left(A-BK\right)}^{-1}B\alpha {\bar {r}}$
    $y(t)=\left(C-DK\right)x(t)+D\alpha r(t)\Rightarrow {\bar {y}}=\left(C-DK\right){\bar {x}}+D\alpha {\bar {r}}\Rightarrow {\bar {y}}=\left[-\left(C-DK\right){\left(A-BK\right)}^{-1}B+D\right]\alpha {\bar {r}}$

#### Problema della regolazione dell'uscita

È possibile fare in modo che il valore di equilibrio dell'uscita ${\bar {y}}$ coincida con il valore di equilibrio dell'ingresso ${\bar {r}}$?

#### Condizione di regolazione

La scelta del coefficiente $\alpha$ risolve il problema della regolazione:
    $\alpha ={\left[-\left(C-DK\right){\left(A-BK\right)}^{-1}B+D\right]}^{-1}$
    $y(t)=\left(C-DK\right)x(t)+D\alpha r(t)\Rightarrow {\bar {y}}=\left[-\left(C-DK\right){\left(A-BK\right)}^{-1}B+D\right]\alpha {\bar {r}}$
    ${\bar {y}}={\bar {r}}\Rightarrow \left[-\left(C-DK\right){\left(A-BK\right)}^{-1}B+D\right]\alpha =1$

### Sistemi LTI a tempo discreto

L'equilibrio $\left({\bar {r}},{\bar {x}},{\bar {y}}\right)$ di un sistema controllato, a tempo discreto e asintoticamente stabile è:
    ${\begin{cases}{\bar {x}}={\left(A-BK\right)}{\bar {x}}+B\alpha {\bar {r}}\\{\bar {y}}=\left(C-DK\right){\bar {x}}+D\alpha {\bar {r}}\end{cases}}$

#### Condizione di regolazione

    $\alpha ={\left\{\left(C-DK\right){\left[I-\left(A-BK\right)\right]}^{-1}B+D\right\}}^{-1}$

## Note

* ↑ Il termine "statica" indica che la matrice $K$ è costante.
* ↑ Per semplicità si considera un solo ingresso $u(t)$ ($p=1$) e un solo ingresso esterno $r(t)$ ($q=1$).