# Fondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

Fondamenti di automatica2
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L'analisi modale studia l'andamento asintotico ($t\to +\infty$) dei modi naturali.

## Modi naturali

Per la formula di Lagrange, un sistema dinamico LTI a tempo continuo con ingressi nulli ha equazione di stato:
    ${\dot {x}}(t)=Ax(t)\Rightarrow x(t)=x_{\ell }(t)=e^{At}x\left(0^{-}\right)=\underbrace {\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}t}&0&\cdots &0&0\\0&e^{\lambda _{2}t}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{\lambda _{n-1}t}&0\\0&0&\cdots &0&e^{\lambda _{n}t}\end{bmatrix}} _{e^{At}}\underbrace {\begin{bmatrix}x_{1}\left(0^{-}\right)\\x_{2}\left(0^{-}\right)\\\vdots \\x_{n-1}\left(0^{-}\right)\\x_{n}\left(0^{-}\right)\end{bmatrix}} _{x\left(0^{-}\right)}={\begin{bmatrix}x_{1}\left(0^{-}\right)e^{\lambda _{1}t}\\x_{2}\left(0^{-}\right)e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\x_{n-1}\left(0^{-}\right)e^{\lambda _{n-1}t}\\x_{n}\left(0^{-}\right)e^{\lambda _{n}t}\end{bmatrix}}$
dove la matrice esponenziale $e^{At}$ è una matrice diagonale sulla cui diagonale si trovano $n$ autovalori $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ reali e distinti.
Ogni funzione del tipo:
    $m_{t}(t)=e^{\lambda _{i}(t)}$
è detta modo naturale (o modo proprio) del sistema associato all'autovalore $\lambda _{i}$.

## Analisi modale

    $x_{\ell }(t)=e^{At}x\left(0^{-}\right)=\underbrace {Te^{{\tilde {A}}t}T^{-1}} _{e^{At}}x\left(0^{-}\right)$
dove a una matrice $A$ qualsiasi (anche non diagonale) è stata applicata la trasformazione di similarità:
    $e^{At}=Te^{{\tilde {A}}t}T^{-1}$
* $T$ è una matrice costante;
* ${\tilde {A}}$ è una matrice in forma di Jordan, cioè è diagonale a blocchi di dimensione pari alla molteplicità dell'autovalore corrispondente:
    ${\tilde {A}}={\begin{bmatrix}{\tilde {A}}_{1}&0&\cdots &0&0\\0&{\tilde {A}}_{2}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &{\tilde {A}}_{n-1}&0\\0&0&\cdots &0&{\tilde {A}}_{n}\end{bmatrix}}$

### Autovalori semplici
#### Autovalori reali semplici

I blocchi di $e^{{\tilde {A}}t}$ corrispondenti a $n$ autovalori reali distinti $\lambda _{i}$ hanno forma diagonale:
    ${\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}t}&0&\cdots &0&0\\0&e^{\lambda _{2}t}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{\lambda _{n-1}t}&0\\0&0&\cdots &0&e^{\lambda _{n}t}\end{bmatrix}}$
e danno origine a modi naturali esponenziali del tipo $e^{\lambda _{i}t}$, che possono essere:
* esponenzialmente convergenti se $\Re {\left(\lambda _{i}\right)}<0$ (es. $e^{-t}$);
* limitati (costanti) se $\Re {\left(\lambda _{i}\right)}=0$ (es. $e^{0t}=1$);
* esponenzialmente divergenti se $\Re {\left(\lambda _{i}\right)}>0$ (es. $e^{t}$).

#### Autovalori complessi semplici

I blocchi di $e^{{\tilde {A}}t}$ corrispondenti a una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria del tipo $\lambda =\sigma \pm j\omega$ hanno la forma:
    $e^{\sigma t}{\begin{bmatrix}\cos {\left(\omega t\right)}&\sin {\left(\omega t\right)}\\-\sin {\left(\omega t\right)}&\cos {\left(\omega t\right)}\end{bmatrix}}$
e danno origine a modi naturali oscillanti del tipo $e^{\sigma t}\cos {\left(\omega t\right)}$ e $e^{\sigma t}\sin {\left(\omega t\right)}$, che possono essere:
* esponenzialmente convergenti se $\Re {\left(\lambda \right)}=\sigma <0$ (es. $e^{-t}\sin {\left(5t\right)}$);
* limitati (oscillanti) se $\Re {\left(\lambda \right)}=\sigma =0\wedge \Im {\left(\lambda \right)}=\omega \neq 0$ (es. $\sin {\left(5t\right)}$);
* esponenzialmente divergenti se $\Re {\left(\lambda \right)}=\sigma >0$ (es. $e^{t}\sin {\left(5t\right)}$).

### Autovalori multipli
#### Autovalori reali multipli

I blocchi di $e^{{\tilde {A}}t}$ corrispondenti a un autovalore reale $\lambda$ con molteplicità algebrica $\mu >1$ sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici triangolari del tipo:
    ${\begin{bmatrix}e^{\lambda t}&te^{\lambda t}&\cdots &{\frac {t^{\mu '-1}}{\left(\mu '-1\right)!}}e^{\lambda t}\\0&e^{\lambda t}&\cdots &{\frac {t^{\mu '-2}}{\left(\mu '-2\right)!}}e^{\lambda t}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&e^{\lambda t}\end{bmatrix}}$
e danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica $\mu '\leq \mu$ del tipo $t^{j}e^{\lambda t}$ ($j=\mu '-1,\ldots ,0$).
Se $\mu '>1$, i modi naturali del tipo $t^{j}e^{\lambda t}$ ($j=\mu '-1,\ldots ,1$) possono essere:
* esponenzialmente convergenti se $\Re {\left(\lambda \right)}<0$ (es. $te^{-t}$);
* polinomialmente divergenti se $\Re {\left(\lambda \right)}=0$ (es. $te^{0t}=t$);
* esponenzialmente divergenti se $\Re {\left(\lambda \right)}>0$ (es. $te^{t}$).

#### Autovalori complessi multipli

I blocchi di $e^{{\tilde {A}}t}$ corrispondenti a una coppia di autovalori complessi $\lambda =\sigma \pm j\omega$ con molteplicità algebrica $\mu >1$ danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica $\mu '\leq \mu$ del tipo $t^{j}e^{\sigma t}\cos {\left(\omega t\right)}$ e $t^{j}e^{\sigma t}\sin {\left(\omega t\right)}$ ($j=\mu '-1,\ldots ,0$).
Se $\mu '>1$, i modi naturali del tipo $t^{j}e^{\sigma t}\cos {\left(\omega t\right)}$ e $t^{j}e^{\sigma t}\sin {\left(\omega t\right)}$ ($j=\mu '-1,\ldots ,1$) possono essere:
* esponenzialmente convergenti se $\Re {\left(\lambda \right)}=\sigma <0$ (es. $te^{-t}\sin {\left(5t\right)}$);
* polinomialmente divergenti se $\Re {\left(\lambda \right)}=\sigma =0$ (es. $t\sin {\left(5t\right)}$);
* esponenzialmente divergenti se $\Re {\left(\lambda \right)}=\sigma >0$ (es. $te^{t}\sin {\left(5t\right)}$).

## Costante di tempo

Per un modo convergente, la costante di tempo misura la rapidità di convergenza a zero del modo:
    $\tau =\left|{\frac {1}{\Re {\left(\lambda \right)}}}\right|$