# Analisi matematica/Esempi di integrali non immediati

Analisi matematica
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## Esercizio 1°

    $\ \int _{\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}dx$
    Si ha: $\ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$ ,
    ${\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}={\frac {c_{1}}{x-2}}+{\frac {c_{2}}{x-3}}$ ,
    $\ x+1=(c_{1}+c_{2})x-3c_{1}-2c_{2}$ ,
da cui:
    $\left\{{\begin{matrix}c_{1}+c_{2}=1\\-3c_{1}-2c_{2}=1\end{matrix}}\right.$
Risolvendo il sistema si ha:$\ c_{1}=-3$ e $\ c_{2}=4$
Quindi:
    $\int _{\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}dx=\ \int _{\frac {-3}{x-2}}dx+\ \int _{\frac {4}{x-3}}dx=log{\frac {(x-3)^{4}}{(x-2)^{3}}}$

## Esercizio 2°

    $\ \int _{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}dx$
    Eseguendo la divisione si ha:
    $\ \int _{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}=1+{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}+x-1}}=1+{\frac {x^{2}+2}{(x-1)(x^{2}+1)}}$
    Scomponendo la seconda frazione ottenuta e determinando le costanti come nell'esempio prescedente si trova:
    ${\frac {x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}+x-1}}={\frac {c_{1}}{x-1}}+{\frac {c_{2}x+c_{2}}{x^{2}+1}}={\frac {3}{2}}{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{2}}{\frac {x+1}{x^{2}+1}}$
    Quindi:
    $\ \int _{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}dx=x+{\frac {3}{2}}log(x-1)-{\frac {1}{4}}log(x^{2}+1)-{\frac {1}{2}}arc\ tang(x)=$
                         $=x+log{\sqrt {\frac {(x-1)^{3}}{{\sqrt {}x^{2}+1)}}}-{\frac {1}{2}}arc\ tang(x)$

## Esercizio 3°

       $\int{x^{3}-x^{2}+1 \over (1+x^{2})^{3}}dx$
Applicando la formula notevole $\int{A(x) \over (ax^{2}+b)^{n}}dx={\sum _{i=1}^{2n-2}c_{i}x^{i-1} \over (ax^{2}+n)^{n-1}}+c_{2n-1}\log(ax^{2}+b)+c_{2n}I_{0}(x)$
Derivando i due membri, riducendo i risultati allo stesso denominatore e confrontando poi i numeratori, si trovano i valori:
          $\ c_{1}={1 \over 4}\quad c_{2}={-1 \over 2}\quad c_{3}={3 \over 4}\quad c_{4}={-1 \over 4}\quad c_{5}=0\quad c_{6}={1 \over 4}$

## Esercizio 4°

       $\int{x-1 \over {\sqrt[{2}]{x}}+{\sqrt[{3}]{x}}}dx$
ponendo $:\qquad x=t^{6}\qquad dx=6t^{5}dt\qquad si\ ha$
       $\int{x-1 \over {\sqrt[{2}]{x}}+{\sqrt[{3}]{x}}}dx=6\int{(t^{6}-1)t^{3} \over t+1}dt=6\int(t^{5}-t^{4}+t^{3}-t^{2}+t-1)t^{3}dt$
       $=6\int(t^{8}-t^{7}+t^{6}-t^{5}+t^{4}-t^{3})dt={2 \over 3}t^{9}-{3 \over 4}t^{8}+{6 \over 7}t^{7}-t^{6}+{6 \over 5}t^{5}-{3 \over 2}t^{4}=$
       $={2 \over 3}x^{3 \over 2}-{3 \over 4}x^{4 \over 3}+{6 \over 7}x^{7 \over 6}-x+{6 \over 5}x^{5 \over 6}-{3 \over 2}x^{2 \over 3}.$

## Esercizio 5°

       $\int _{a \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}}dx$
Si può eseguire con la posizione:${\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}=t-2x$ in virtù della quale si riduce razionale in t; ma più rapidamente si risolve con la formula .....sugli integrali non immediati di funzioni irrazionali:
       $\int _{x \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}}dx=c_{1}{\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}+c_{2}\int{dx \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}}.$
Derivando i due membri si ha:
       ${x \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}}={c_{1}(4x+{1 \over 2}) \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}}+{c_{2} \over {\sqrt[{2}]{4x^{2}+x-3}}},$
da cui risulta$:\qquad c_{1}={1 \over 4},\qquad c_{2}=-{1 \over 8}.$

## Esercizio 6°

       $\int _{x^{2}-3x+1 \over {\sqrt[{3}]{3x+2}}}dx$
Applicando la formula notevole $\ D)\ 1$ sugli integrali di funzioni irrazionali si ha :

## Esercizio 7°

          $\int{\sqrt[{2}]{x}}{\sqrt[{2}]{{\sqrt[{6}]{x}}+1}}\ dx$
          essendo $\ m={1 \over 2}\quad n={1 \over 6,}$ si ha: $\ {m+1 \over n}=({1 \over 2}+1)\ :{1 \over 6}=9\ ,$
e perciò ponendo : ${\sqrt[{6}]{x}}+1=t$ da cui : $\ x=(t-1)^{6}\ ,\quad dx=6(t-1)^{5}dt\ ,$ l'integrale diventa :
       $\int {\sqrt[{2}]{x}}{\sqrt[{2}]{{\sqrt[{6}]{x}}+1}}\ dx=6\int {(t-1)^{8}}{\sqrt[{2}]{t}}\ dt\ ,$ che è di facile esecuzione.

## Esercizio 8°

       $\int\sin ^{3}{x}dx$
       $\int \sin ^{3}xdx=-\int \sin ^{2}x\ d\cos x=-\int (1-\cos ^{2}x)d\cos x=-(\cos x-{\cos ^{3}x \over 3})\ .$

## Esercizio 9°

       $\int \cos ^{3}x\ dx=\int (1-\sin ^{2}x)\ d\sin x=\sin x-{\sin ^{3}x \over 3}\ .$