# Elettronica pratica/Moltiplicatori analogici

Elettronica pratica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo

## Introduzione

* Scopo di questo libroElettronica pratica/Scopo
* PrerequisitiElettronica pratica/Prerequisiti
* PrefazioneElettronica pratica/Prefazione

## Capitolo 1. Basi di elettrotecnica

* Carica elettrica e legge di CoulombElettronica pratica/Carica elettrica e legge di Coulomb
* Celle elettricheElettronica pratica/Celle elettriche
* ResistoriElettronica pratica/Resistori
* CondensatoriElettronica pratica/Condensatori
* InduttoriElettronica pratica/Induttori
* PileElettronica pratica/Pile
* Altri componentiElettronica pratica/Altri componenti
* Leggi delle tensioni e correnti CCElettronica pratica/Leggi delle tensioni e correnti CC
* Analisi nodaleElettronica pratica/Analisi nodale
* Analisi di reteElettronica pratica/Analisi di rete
* Circuiti equivalenti Thevenin e NortonElettronica pratica/Circuiti equivalenti Thevenin e Norton
* Analisi circuitale in CCElettronica pratica/Analisi circuitale in CC
* Strumenti di misuraElettronica pratica/Strumenti di misura
* Rumore nei circuiti elettroniciElettronica pratica/Rumore nei circuiti elettronici

## Capitolo 2. Circuiti in CA

* Corrente e tensione in CAElettronica pratica/Corrente e tensione in CA
* FasoriElettronica pratica/Fasori
* ImpedenzaElettronica pratica/Impedenza
* Stato stazionarioElettronica pratica/Stato stazionario

## Capitolo 3. Analisi transitoria

* Circuito RCElettronica pratica/Circuito RC
* Circuito RLCElettronica pratica/Circuito RLC

## Capitolo 4. Circuiti analogici

* Circuiti analogiciElettronica pratica/Circuiti analogici
* Valvole elettronicheElettronica pratica/Valvole elettroniche
* DiodiElettronica pratica/Diodi
* AmplificatoriElettronica pratica/Amplificatori
* Amplificatori operazionaliElettronica pratica/Amplificatori operazionali
* Moltiplicatori analogiciElettronica pratica/Moltiplicatori analogici

## Capitolo 5. Circuiti digitali

* Circuiti digitaliElettronica pratica/Circuiti digitali
* Algebra BooleanaElettronica pratica/Algebra Booleana
* TTLElettronica pratica/TTL
* CMOSElettronica pratica/CMOS
* Circuiti integratiElettronica pratica/Circuiti integrati

## Elementi dei circuiti digitali

* TransistoreElettronica pratica/Transistore
* Porte logiche fondamentaliElettronica pratica/Porte logiche fondamentali
* Flip-FlopElettronica pratica/Flip-Flop
* ContatoriElettronica pratica/Contatori
* SommatoriElettronica pratica/Sommatori
* MultiplatoriElettronica pratica/Multiplatori

## Architettura dei computer

* RAM e ROMElettronica pratica/RAM e ROM
* RegistriElettronica pratica/Registri
* ALUElettronica pratica/ALU
* Unità di controlloElettronica pratica/Unità di Controllo
* I/O

## Appendice

* DefinizioniElettronica pratica/Definizioni
* FormuleElettronica pratica/Formule
* Passo di elaborazioneElettronica pratica/Passo di elaborazione (da collocare)
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Un moltiplicatore analogico è un circuito con un'uscita che è proporzionale al prodotto di due ingressi:
    $v_{out}=Kv_{1}\cdot v_{2}$
in cui K è un valore costante la cui dimensione è l'inverso di una tensione. In generale ci si può attendere che i due ingressi siano entrambi positivi oppure negativi, e così possano essere le uscite. In ogni modo, la maggior parte delle realizzazioni funziona soltanto se entrambe le entrate sono esattamente positive: ciò non è un tale limite dato che si può cambiare l'entrata e l'uscita per avere un nucleo che lavora con segnali positivi solamente ma interfacce esterne che operano con qualsiasi polarità (all'interno di certi limiti a seconda della configurazione particolare).
Verranno mostrate due possibili realizzazioni. Entrambe useranno amplificatori operazionali, ma la prima ricorrera ai diodi per ottenere le richieste relazioni, la seconda ai transistori MOSFET.

## realizzazione a diodi

Come è noto, usando amplificatori operazionali e diodi è molto facile ottenere il logaritmo e l'esponenziale di un certo ingresso. Ricordando la proprietà del logaritmi:
    $\log(a\cdot b)=\log a+\log b$
due segnali possono essere moltiplicati prima calcolando i loro logaritmi, poi sommandoli ed alla fine calcolando l'esponenziale di una tale somma. Dal punto di vista dei matematici, un tale approccio funziona purché i due ingressi siano positivi, poiché il logaritmo di un numero negativo non esiste (nel dominio del reale). Vedremo che questo limite è altrettanto valido per i circuiti reali, anche se la ragione sarà più fisica. Il diagramma a blocchi di questa realizzazione è il seguente:
Volendo semplicemente il circuito per il logaritmo, per la somma e per l'esponenziale otteniamo la seguente configurazione:
per una rapida esamina del comportamento del circuito, assumeremo che tutti i resistori "R" abbiano il medesimo valore. Per ottenere risultati diversi si possono ovviamente usare valori differenti, ma ciò non verrà trattato qui. La seguente notazione verrà impiegata per la relazione tra corrente e tensione in un diodo:
    $i=I_{s}\left(e^{\frac {v}{V_{T}}}-1\right)$
in cui $V_{T}\simeq 25mV$ è la tensione termica assunta a temperatura ambiente e I$_s$ è la corrente che scorre attraverso il diodo se è polarizzato inversamente. Analizzando il circuito senza introdurre alcuna approssimazione si ottiene:
    $v_{a}=-\left[-V_{T}\ln \left({\frac {v_{1}}{RI_{s}}}+1\right)-V_{T}\ln \left({\frac {v_{2}}{RI_{s}}}+1\right)\right]=V_{T}\ln \left[\left({\frac {v_{1}}{RI_{s}}}+1\right)\left({\frac {v_{2}}{RI_{s}}}+1\right)\right]$
cosicché l'uscita finale è:
    $v_{b}=-RI_{s}\left(e^{\frac {v_{a}}{V_{T}}}-1\right)=-{\frac {v_{1}\cdot v_{2}}{RI_{s}}}-(v_{1}+v_{2})$
come è chiaro, nell'uscita c'è la moltiplicazione che cerchiamo, ma cè anche un altro termine che non si vuole. Non può venire considerato semplicemente un errore poiché può essere grande quanto l'elemento moltiplicativo, sicché deve venire rimosso. In ogni caso, questo è un compito facile dato che è necessario soltanto aggiungere un ulteriore stadio per sommare esattamente $v_{1}+v_{2}$, e non avere così nessun errore. Il circuito moltiplicatore completo è il seguente:
in cui la tensione d'uscita è data da:
    $v_{out}=-\left(-{\frac {v_{1}\cdot v_{2}}{RI_{s}}}-(v_{1}+v_{2})+(v_{1}+v_{2})\right)={\frac {v_{1}\cdot v_{2}}{RI_{s}}}$
che è esattamente ciò che si voleva. Il circuito funziona finché la seguente relazione è soddisfatta:
    $v_{1},v_{2}>-RI_{s}$,
perciò gli ingressi possono essere zero o leggermente negativi ma, dato che $RI_{s}$ vuole essere una tensione molto piccola, ci è concesso di riscrivere la relazione semplicemente come $v_{1},v_{2}\geq 0$. Dal punto di vista matematico ciò è dovuto al fatto che non si può calcolare il logaritmo di un numero negativo, mentre dal punto di vista fisico il limite è dovuto al fatto che è possibile ottenere solamente delle correnti molto piccole polarizzando i diodi in senso inverso.
Nele applicazioni pratiche, i diodi sono sostituiti dai BJT così collegati da funzionare da diodi.
    $v_{out}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}{\frac {v_{1}v_{2}}{V_{ref}}};\qquad V_{ref},v_{1},v_{2}>0$

## Configurazione a MOS

Giacché è possibile usare un transistore MOSFET come resistore controllato da una tensione, quando questo viene fatto lavorare nella propria regione ohmica, questa caratteristica può essere usata per creare un moltiplicatore analogico. Riferiamoci alla figura alla destra. Indichiamo con le lettere i differenti piedini: Drain (pozzo), Source (sorgente) e Gate (porta). I transistori MOS sono dispositivi simmetrici, quindi possiamo sostituire il Drain alla Source senza influire sul comportamento del dispositivo. Comunque, chiamiamo Source il terminale a tensione più bassa e Drain il terminale con tensione maggiore.
Quando la tensione fra Gate e Source è più alta della tensione di soglia, cioè $V_{GS}>V_{T}$, e la tensione Drain-Source è piccola, cioè $V_{DS}<V_{GS}-V_{T}$, il dispositivo è in posizione ohmica, e la relazione fra corrente e tensione è la seguente:
    $I_{DS}=K[2(V_{GS}-V_{T})V_{DS}-V_{DS}^{2}]\simeq 2K(V_{GS}-V_{T})V_{DS}$.
Purché si possa usare sempre questa relazione, la configurazione del moltiplicatore analogico è la seguente:
in cui il Source e il Drain di entrambi i dispositivi sono mostrati. Se $v_{2}$ and $V_{ref}$ sono positivi, allora i Source rimarranno a potenziale nullo, poiché sono in contatto con la terra virtuale degli operazionali. La corrente che scorre attraverso $R_{1}$ è definita in questo modo: un lato del resistore ha la tensione $v_{1}$, l'altro è messo a terra. La medesima corrente scorrerà attraverso il MOS $M_{2}$ (perché l'amplificatore operazionale ha resistenza di ingresso infinita), definendo così la tensione $V_{G}$. Osserviamo che $V_{DS2}=V_{ref}$ e $V_{DS1}=v_{2}$.
La corrente è data da:
    ${\frac {v_{1}}{R_{1}}}=-I_{DS2}=-2K(V_{GS}-V_{T})V_{ref}$
Sostituendo e calcolando otteniamo:
    $V_{G}=V_{T}-{\frac {v_{1}}{2KR_{1}V_{ref}}}$.
Considerando l'altro MOS $M_{1}$ abbiamo:
    $\;I_{DS1}=2K(V_{GS}-V_{T})v_{2}=-{\frac {v_{out}}{R_{2}}}$
Da tutto questo otteniamo finalmente la tensione d'uscita:
    $v_{out}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}{\frac {v_{1}v_{2}}{V_{ref}}};\qquad V_{ref},v_{1},v_{2}>0$
e ciò è quello che si voleva. Le differenze tra le precedenti configurazioni sono:
* l'attuazione con MOS è più semplice e richiede meno dispositivi
* nei calcoli per la configurazione a diodi non abbiamo introdotto alcuna approssimazione, mentre lo abbiamo fatto nella configurazione MOS.
In altre parole, la realizzazione a diodi è più complicata ma opera meglio per una escursione maggiore degli ingressi.