# Analisi matematica I/Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti

Analisi matematica I
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Principi di insiemistica e funzioni elementari
* Numeri naturali
* Numeri interi
* Numeri razionali
* Numeri reali
* Numeri reali (seconda parte)
* Numeri complessi
* Funzioni
* Funzioni circolari
* Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in $\mathbb {R}$
* Successioni reali
* Limiti di successioni reali
* Teoremi sulle successioni
* Algebra dei limiti delle successioni
* Esistenza del limite di una successione
* Limiti inferiori e superiori
* Forme indeterminate di successioni
* Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
* Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
* Compattezza di un insieme
* Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
* Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
* Algebra dei limiti
* Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
* Analisi matematica I/Funzioni monotone
* Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
* Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
* Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in $\mathbb {R}$ e studio di funzioni
* Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
* Analisi matematica I/Algebra delle derivate
* Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
* Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
* Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
* Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
* Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
* Analisi matematica I/Integrale di Riemann
* Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
* Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
* Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
* Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
* Analisi matematica I/Successioni di funzioni
* Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO Elementi di base
* Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
* Note storiche sugli insiemi
* I numeri reali
* I numeri complessi
* Sommatorie
* progressione geometrica
* fattoriale di n
* formula di Newton
* Potenze e radicali
* Esponenziali e logaritmi
* Insiemi infiniti
* Massimi e minimi
* Funzioni
Serie e successioni
* Successioni: definizione
* Limiti: definizione
* Successioni monotone
* Calcolo dei limiti
* Limite di successioni
* Il numero di Nepero (e)
* Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
* Limiti notevoli
* Serie numeriche: definizione
* Serie a termini non negativi
* Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
* Limiti di funzioni da R a R
* Limiti di funzioni da R$^n$ a R$^m$
* Funzioni numeriche e generalità
* Grafico di una funzione
* Funzioni limitate
* Funzioni simmetriche, pari e dispari
* Funzioni monotone
* Funzioni periodiche
* Limiti, continuità, asintoti
* Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
* Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
* Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
* Introduzione
* Il rapporto incrementale
* Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
* Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
* Le derivate fondamentali
* Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
* Il teorema di de L’Hospital
* Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
* o piccolo
* Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
* Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
* Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
* Proprietà dell'integrale
* Il teorema fondamentale del calcolo integrale
* Metodo di ricerca della primitiva
* Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
* Funzioni integrabili
* integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
* Integrazione di funzioni non limitate
* Criteri di integrabilità al finito
* Integrazione su intervalli illimitati
* Criteri di integrabilità all’infinito
* Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
* Integrazione delle funzioni trigonometriche
Modifica il sommario
Quando due funzioni (reali) o due successioni sono entrambe infinitesime o entrambe infinite è utile poter stabilire un confronto tra di esse per poter capire quale delle due tenda più rapidamente a 0 o all'infinito. Diciamo che a$_n$ è un infinito di ordine superiore a b$_n$ (ovvero b$_n$ è un infinito di ordine inferiore ad a$_n$) se $\lim _{n\to +\infty }(a_{n}/b_{n})=+\infty$
Si deduce quindi che a$_n$ va all’infinito più velocemente di b$_n$ ovvero: $\lim _{n\to +\infty }(b_{n}/a_{n})=0$
Invece, diciamo che a$_n$ e b$_n$ sono infiniti dello stesso ordine se vanno all’infinito con la stessa velocità: $\lim _{n\to +\infty }(b_{n}/a_{n})=l$, con l∈R\{0}; se l=1 diciamo che a$_n$ e b$_n$ sono asintotiche e scriviamo a$_n$ ~ b$_n$.

## Gerarchia degli infiniti

Ecco alcuni esempi di funzioni che tendono ad infinito disposte in ordine crescente di velocità:
$\log _{a}{n}<n^{\alpha }<c^{n}$
con a > 1; α > 0; c costante; $n\to +\infty$