# Fisica per le superiori/Elementi di algebra vettoriale

Fisica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Terzo anno
* Perché studiare la fisica?Fisica per le superiori/Perché studiare la fisica?
* Introduzione alla fisica e al metodo sperimentaleFisica per le superiori/Introduzione alla fisica e al metodo sperimentale
* Grandezze fisiche del SIFisica per le superiori/Grandezze fisiche del SI
* Elementi di algebra vettorialeFisica per le superiori/Elementi di algebra vettoriale
* Di che cosa di occupa la fisica?Fisica per le superiori/Di che cosa di occupa la fisica?
* Cinematica
** SpostamentoFisica per le superiori/Spostamento
** Moto del puntoFisica per le superiori/Moto del punto
** Moto dei sistemi di punti
** Moto rettilineoFisica per le superiori/Moto rettilineo
** Moto armonicoFisica per le superiori/Moto armonico
** Moto piano
** Moto relativo
* Dinamica
** Legge di inerzia o prima legge della dinamicaFisica per le superiori/Legge di inerzia o prima legge della dinamica
** Forza e massa, seconda legge della dinamicaFisica per le superiori/Forza e massa, seconda legge della dinamica
** Terza legge della dinamicaFisica per le superiori/Terza legge della dinamica
** Cenni ai campi di forza
** Classificazione delle forze
** Lavoro ed EnergiaFisica per le superiori/Lavoro ed Energia
** Impulso e Momenti di una Forza
** Dinamica del punto materiale
** Dinamica relativa
** Dinamica dei sistemi
** Urti
Quarto anno
* Forze
** Forza pesoFisica per le superiori/Forza peso
** Forza elasticaFisica per le superiori/Forza elastica
* Corpo rigido
** Equilibrio del punto materiale
*** Corpo rigido su piano inclinato
** Somma di forza su un corpo rigido
** Momento di una forza rispetto a un puntoFisica per le superiori/Momento di una forza rispetto a un punto
** Momento di una coppia di forzeFisica per le superiori/Momento di una coppia di forze
* Fluidi
** PressioneFisica per le superiori/Pressione
** DensitàFisica per le superiori/Densità
** LiquidiFisica per le superiori/Liquidi
*** Legge dei vasi comunicanti
*** Legge di StevinoFisica per le superiori/Legge di Stevino
Quinto anno
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Definizione.
Una quantità che richieda, per essere completamente caratterizzata, una direzione ed una grandezza (un numero reale positivo) è un vettore. Una quantità che è totalmente caratterizzata da un singolo numero reale è uno scalare. Un vettore può venire rappresentato con un segmento orientato, PQ, nello spazio, in cui la lunghezza del segmento è la grandezza del vettore, o modulo, e la direzione da P a Q è la sua direzione. La posizione del punto iniziale P è irrilevante cosicché qualsiasi segmento di retta con la medesima direzione e grandezza è lo stesso vettore. Di frequente è necessario considerare vettori vincolati a un punto; a tale combinazione vettore punto è dato il nome di vettore vincolato.
Due vettori sono considerati uguali se, e soltanto se, hanno la medsima grandezza e direzione. Un vettore zero, O, è definito come un vettore di grendezza zero sicché può essere rappresentato da un punto. |a|=0 se, e solo se, a=0. Il vettore zero può essere ritenuto di essere orientato in tutte le direzioni cosicché da risultare sia parallelo sia normale a qualsiasi altro vettore.
Somma e differenza di vettori.
Con ogni due vettori a e b è associato un terzo vettore c=a+b, chiamato somma di a e b, che è definito nel modo seguente; Si scelga un punto iniziale P ovunque nello spazio e rappresentiamo a e b tramite PQ=a e QR=b; allora c è definito come vettore c' rappresentato da PR. c può essere pensato come il terzo lato del triangolo del quale PQ e PR ne sono due lati, oppure la diagonale del parallelogrammo di cui PQ e QR ne sono due lati non paralleli. Il procedimento per ottenere c e chiamato addizione.
La differenza di due vattori a e b è definita come il vettore c che soddisfa la relazione b +c=a. Il processo per trovare c è denominato sottrazione.
L'addizione e la sottrazione di vettori obbediscono alle seguenti leggi:
                   ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$
                ${\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})=({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}$
                   ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {c}}$
se, e solamente se, ${\vec {b}}={\vec {c}}-{\vec {a}}$, ${\vec {a}}+{\vec {o}}={\vec {a}}$
                   |${\vec {a}}+{\vec {b}}|<|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|$
Prodotti.
1. Prodotto di uno scalare per un vettore. Se h è uno scalare e ${\vec {a}}$ è un vettore, allora $h{\vec {a}}$ è definito come il vettore di modulo $|h||{\vec {a}}|$ la cui direzione è la medesima od opposta alla direzione di ${\vec {a}}$ secondo che h sia positivo o negativo.
Il prodotto di uno scalare per un vettore obbedisce le seguenti leggi
                   $(hk){\vec {a}}=h(k{\vec {a}})=k(h{\vec {a}})\qquad \qquad \qquad (h+k){\vec {a}}=h{\vec {a}}+k{\vec {a}}$
                   $h({\vec {a}}+{\vec {b}})=h{\vec {a}}+h{\vec {b}}\qquad \qquad \qquad \qquad {\vec {a}}+(-{\vec {b}})={\vec {a}}-{\vec {b}}$
2. Prodotto scalare e vettoriale di due vettori. Sia $\ \theta$ l'angolo minore dei due angoli tra ${\vec {a}}={\vec {OA}}$ e ${\vec {b}}={\vec {OB}}$, in cui O è un qualsiasi punto dello spazio e $0\leq \theta \leq \pi$. Il prodotto scalare di ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$ rappresentato da ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$, è definito come lo scalare $|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta$. La quantità $|{\vec {a}}|\cos \theta (|{\vec {b}}|\cos \theta )$ è la componente di ${\vec {a}}$ su ${\vec {b}}$ (${\vec {b}}$ su ${\vec {a}}$) ed è rappresentata da $comp_{b}{\vec {a}}$ ($comp_{a}{\vec {b}}$). $Comp_{a}{\vec {b}}$ misura la lunghezza della proiezione di ${\vec {b}}$ sulla direzione di ${\vec {a}}$.
Il prodotto scalare obbedisce alle seguenti leggi
                      ${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$
                         ${\vec {a}}\cdot (h{\vec {b}})=h({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})=(h{\vec {a}})\cdot {\vec {b}}$
                            ${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}$
Il prodotto scalare ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ se $|{\vec {a}}|=0$ o $|{\vec {b}}=0$ o $\ \theta ={\pi \over 2}$. Poiché il vettore zero è considerato perpendicolare ad ogni altro vettore ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ se, e solamente se, ${\vec {a}}$ è perpendicolare a ${\vec {b}}$.
Sistema di coordinate rettangolari destro. Un sistema di coordinate rettangolari a tre dimensioni con assi x,y e z è detto destro se le direzioni positive di x, y e zsono scelte cosicché una vite destra avanza lungo l'asse z positivo quando, datole un giro di 90°, ruoti l'asse positivo x sull'asse positivo y. Siano i,j e k dei vettori unitari, versori fondamentali, scaturenti dall'origine e diretti rispettivamente lungo gli assi positivi x,y e z. i, j e k soddisfano le relazioni $\ i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=1$ e $\ i\cdot j=j\cdot k=k\cdot i=0$.
Per qualsiasi vettore ${\vec {a}}$ si scriva $\ a_{x}={\vec {a}}\cdot i$, $\ a_{y}={\vec {a}}\cdot j$, $\ a_{z}={\vec {a}}\cdot k.-$ $\ a_{x},a_{y},a_{z}$ sono le componenti cartesiane di ${\vec {a}}$ sugli assi coordinati. Pertanto ${\vec {a}}=a_{x}\cdot i+a_{y}\cdot j+a_{z}\cdot k$. I vettori ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$ soddisfano le relazioni
             ${\vec {a}}\cdot b=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$
             ${\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(a_{x}\pm b_{x})i+(a_{y}\pm b_{y})j+(a_{z}\pm b_{z})k$
             ${\vec {a}}={\vec {b}}$ $\ se,\ e\ soltanto\ se$, $\ a_{x}=b_{x},a_{y}=b_{y},a_{z}=b_{z}$
             ${\vec {a}}={\vec {0}}$ $\ se,\ e\ soltanto\ se$, $\ a_{x}=a_{y}=a_{z}=0$
             ${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}={a_{x}}^{2}+{a_{y}}^{2}+{a_{z}}^{2}$
3. Il prodotto vettoriale di due vettori ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$, presi in tale ordine, è un terzo vettore ${\vec {c}}$, indicato da ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$, e definito nel modo che segue: ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$ siano rappresentati rispettivamente da ${\vec {OA}}$ e ${\vec {OB}}$ e $\ \theta$ sia l'angolo minore dei due angoli da ${\vec {OA}}<math>a<math>{\vec {OB}}$ cosicché $\ 0\leq \theta \leq \pi$. Allora ${\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}$ è il vettore di grandezza $|{\vec {c}}|=|{\vec {a}}||{\vec {B}}|sin\theta$ che è perpendicolare al piano di ${\vec {OA}}$ e ${\vec {OB}}$ orientato nella direzione in cui una vite destra avanza quando sia ruotata di un angolo $\ \theta$ da ${\vec {OA}}$ verso ${\vec {OB}}$.
Il prodotto vettoriale ubbidisce alle leggi
                ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}}\qquad \qquad \qquad {\vec {a}}\times ({\vec {a}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\times b+{\vec {a}}\times {\vec {c}}$
       ${\vec {a}}\times (h{\vec {b}})=(h{\vec {a}})\times {\vec {b}}=h(h({\vec {a}}\times {\vec {b}})\qquad \qquad {\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}$
    ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}i+{\begin{vmatrix}a_{z}&a_{x}\\b_{z}&b_{x}\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}k={\begin{vmatrix}i&j&k\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$
I versori fondamentali i, j e k soddisfano le relazioni
                         $\ i\times j=k\qquad \ j\times k=i\qquad k\times i=j$
                               $\ i\times i=j\times j=k\times k={\vec {0}}$
4. ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot c$ definisce il prodotto scalare triplo di tre vettori nell'ordine ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$. Le parentesi non sono necessarie attorno a ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ in ${\vec {a}}\times b\cdot c$ perché ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\cdot c)$ è senza significato, essendo il prodotto vettoriale definito solamente per due vettori, laddove ${\vec {b}}\cdot c$ è uno scalare.
Il prodotto scalare triplo ubbidisce alle regole
                                                 ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=0$
se e soltanto se ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ possono essere rapprresentati con segmenti di linea orientati complanari.
       ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\times {\vec {c}}={\vec {b}}\times {\vec {c}}\cdot {\vec {a}}={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\times {\vec {a}}={\vec {c}}\times {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {c}}\cdot {\vec {a}}\times {\vec {b}}$
                               ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}$
Conformemente all'ultimo set di relazioni, il prodotto scalare triplo di ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ dipende solamente dall'ordine in cui i vettori si trovano. Nondimeno, se l'ordine ciclico viene trasformato in, diciamo, ${\vec {a}},{\vec {c}},{\vec {b}}$ allora ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=-({\vec {a}}\times {\vec {c}}\cdot {\vec {b}})$.
5. I prodotti vettoriali tripli di ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$, in tale ordine, sono $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}$ e ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$.
Questi prodotti soddisfano le identità
                         ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}$
                         $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=({\vec {c}}\cdot {\vec {a}}){\vec {b}}-({\vec {c}}\cdot {\vec {b}}){\vec {a}}$
Derivata di un vettore
Se ${\vec {u}}(t)$ è un vettore definito per ogni t di un intervallo $t_{1}\leq t\leq t_{2}$, allora ${\vec {u}}$ è un vettore funzione di t in detto intervallo. La derivata di ${\vec {u}}(t)$ rispetto al tempo è definita come
                   $\lim _{|\Delta t|\to 0}{{\vec {u}}(t+\Delta t)-{\vec {u}}(t) \over \Delta t}=\lim _{|\Delta t|\to 0}{\Delta {\vec {u}} \over \Delta t}$
se il limite esiste.
La derivazione ubbidisce alle seguenti regole
                                  ${d({\vec {u}}\pm {\vec {v}}) \over dt}={d{\vec {u}} \over dt}\pm {d{\vec {v}} \over dt}$
                                  ${d({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}) \over dt}={\vec {u}}\cdot {d{\vec {v}} \over dt}+{d{\vec {u}} \over dt}\cdot {\vec {v}}$
                                  ${d({\vec {u}}\times {\vec {v}}) \over dt}={\vec {u}}\times {d{\vec {v}} \over dt}+{d{\vec {u}} \over dt}\times {\vec {v}}$
                                           ${{\vec {a}} \over dt}=0\qquad se\ {\vec {a}}\ costante$
                                  ${df{\vec {u}} \over dt}=f{d{\vec {u}} \over dt}+{\vec {u}}{df \over dt}$
                                  dove f è una funzione scalare di t.
Campi scalare e vettoriale, Gradiente, Divergenza, Rotore
Se in ciascun punto di una porzione S di spazio è assegnato un vettore applicato ${\vec {u}}={\vec {u}}(x,y,z)$ [scalare f=f(x,y,z}, si dice allora che un campo vettoriale (scalare) è definito in S.Lasciamo $\ \Delta$ rappresentare l'operatore differenziale vettoriale ${i{\delta \over \delta x}}+{j{\delta \over \delta y}}+{k{\delta \over \delta z}}$; allora,(ammettendo che tutte le derivate parziali esistano) il gradiente, la divergenza e il rotoresono definiti ed espressi in termini di $\ \Delta$ come segue:
Il gradiente di una funzione scalare $\ f(x,y,x)$ in un campo scalare è definito con la relazione
                               $\ grad\ f={{\delta f \over \delta x}i}+{{\delta f \over \delta y}j}+{{\delta f \over \delta z}k}=\Delta f$
La divergenza di un vettore ${\vec {u}}=u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k$ in un camap vettoriale è definita dalla relazione
                               ${div}\ {\vec {u}}={\delta u_{x} \over \delta x}+{\delta u_{y} \over \delta y}+{\delta u_{z} \over \delta z}=\Delta \cdot {\vec {u}}$
Il rotore di un vettore ${\vec {u}}=u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k$ in un campo vettoriale è definito dalla relazione
          ${rot}\ {\vec {u}}=({\delta u_{z} \over \delta y}-{\delta u_{y} \over \delta z})i+({\delta u_{x} \over \delta z}-{\delta u_{z} \over \delta x})j+({\delta u_{y} \over \delta x}-{\delta u_{x} \over \delta y})k={\begin{vmatrix}i&j&k\\{\delta \over \delta x}&{\delta \over \delta y}&{\delta \over \delta z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}=\Delta \times {\vec {u}}$