# Matematica per le superiori/L'ellisse

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

## Equazione generica

L'equazione generica dell'ellisse può essere dedotta dal suo significato geometrico: $PF_{1}=a-(-c)=a+c$ $PF_{1}={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$ $PF_{2}=a-(c)=a-c$ $PF_{2}={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$ $PF_{1}+PF_{2}=a+c+a-c=2a$
${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a$ ${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$ $(x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}+(x+c)^{2}+y^{2}-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$ $x^{2}+c^{2}-2cx=4a^{2}+x^{2}+c^{2}+2cx-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$ $-4cx-4a^{2}=-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$ $-cx-a^{2}=-a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$ $c^{2}x^{2}+a^{4}+2a^{2}cx=a^{2}((x+c)^{2}+y^{2})$ $c^{2}x^{2}+a^{4}+2a^{2}cx=+a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+2a^{2}cx+a^{2}y^{2}$ $c^{2}x^{2}+a^{4}=a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}$ $x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{4}-a^{2}c^{2}$ $x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$ Ponendo:
$b^{2}=a^{2}-c^{2}$
si ha: $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$
${\frac {b^{2}x^{2}}{a^{2}b^{2}}}+{\frac {a^{2}y^{2}}{a^{2}b^{2}}}={\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}}}$
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
È quindi possibile operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:
* ${\frac {(x-x_{c})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{c})^{2}}{b^{2}}}=1$
* Nel grafico il valore di a corrisponde a metà dell'estensione orizzontale dell'ellisse, mentre il valore di b a metà di quella verticale.
* c può essere ricavato dall'equazione $se(a>b)allora:c^{2}=a^{2}-b^{2}quindi:c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$.
$se(a<b)allora:c^{2}=b^{2}-a^{2}quindi:c={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}$.
* Un altro valore chiamato eccentricità indica quanto l'ellisse è allungata.
Se i fuochi sono sull'asse x allora $e={\frac {c}{a}}$.
Se invece i fuochi sono sull'asse y allora $e={\frac {c}{b}}$.

### Completamento del quadrato

A volte capita che l'equazione si trovi espressa in forma implicita, come nel caso seguente: $x^{2}-2xx_{c}+y^{2}-2yy_{c}=0$ Bisogna allora ricostruire i quadrati aggiungendo i termini mancanti: $x^{2}-2xx_{c}+x_{c}^{2}+y^{2}-2yy_{c}+y_{c}^{2}=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}$ Occorre prestare attenzione a portare fuori dalle parentesi eventuali coefficienti di x e y, che determinano il valore di a e b, e quindi dividere il tutto per il valore a destra.
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