# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Vogliamo ora studiare le distribuzioni da un punto di vista più analitico, occupandoci delle operazioni tra distribuzioni. Innanzitutto definiamo il prodotto di una distribuzione per una funzione:
Definizione
Sia $T_{f}\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$ e sia $f\in C^{\infty }(\Omega )$, si definisce $fT(\phi )$ la quantità:
$fT(\phi )=T(f\phi )$
Se $f={\text{cost}}$ la definizione appena data rimanda al caso della definizione di funzionale lineare. Ad esempio, per la delta di Dirac si ha che:
$f\delta _{0}(\phi ){\underset {Def.}{=}}\delta _{0}(f\phi )=\left[f\phi \right](0)=f(0)\phi (0)$
Dunque se $T\equiv \delta$ per poter definire il prodotto tra distribuzione e funzione è sufficiente che $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$ e $f\in C(\mathbb {R} )$
Non è possibile definire il prodotto tra distribuzioni, dal momento che non è possibile dare una definizione consistente per questa operazione. Occupiamoci quindi della derivazione di distribuzioni.
Definizione
Sia $T\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}\mid _{\partial \Omega })$, allora la sua derivata è definita da:
$\partial ^{\alpha }T_{f}(\phi )=(-1)^{\mid \alpha \mid }T_{f}(\partial ^{\alpha }\phi )$
Dalla definizione appena data, che per altro è una generalizzazione della formula di Green, è possibile notare come una distribuzione sia derivabile un numero qualsiasi di volte. Inoltre si osserva che la definizione di derivata di una distribuzione è una proprietà globale, a differenza di quella per una funzione che è locale. Studiamo con il seguente esempio un caso abbastanza particolare.
Sia
$T=\theta (x)={\begin{cases}1,\;x\geq 0\\0,\;x<0\end{cases}},\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} )$
La distribuzione $T_{\theta }(\phi )$ quindi sarà:
$T_{\theta }(\phi )=\theta (\phi )=\int _{\mathbb {R} }\theta (x)\phi (x)dx$
Calcoliamone la derivata applicando la definizione appena data:
${\frac {d}{dx}}T{\theta }(\phi )=(-1)T\left({\frac {d}{dx}}\phi \right)=(-1)\int _{\mathbb {R} }\theta (x)\phi ^{\prime }(x)dx=$
$=(-1)\left[\int _{-\infty }^{0}0\phi ^{\prime }(x)dx+\int _{1}^{+\infty }\phi ^{\prime }(x)dx\right]=$
$=-\int _{1}^{+\infty }\phi ^{\prime }(x)dx=-\left(\phi (+\infty )-\phi (0)\right)=\phi (0)=\delta _{0}(\phi )$
Quindi
${\frac {d}{dx}}T_{\theta }(\phi )=\delta _{0}(\phi )$
Quanto appena visto può essere generalizzato dal seguente teorema.

## Teorema (1)

Sia $f\in C^{1}\left(\mathbb {R} \setminus \left\lbrace x_{0}\right\rbrace \right)$ e sia $T_{f}$ la sua distribuzione associata. Allora:
$T_{f}^{\prime }(\phi )=\int _{\mathbb {R} }\left\lbrace f^{\prime }\right\rbrace \phi dx+\delta _{x_{0}}(\phi )\left[f\right](x_{0})$
dove $\left[f\right]$ rappresenta il salto della funzione nel punto di discontinuità $x_{0}$ e
$\left\lbrace f^{\prime }\right\rbrace ={\begin{cases}f^{\prime }(x),\,\forall x\neq x_{0}\\cost,\,x=x_{0}\end{cases}}$

### Dimostrazione

Applicando la definizione e svolgendo i conti si ottiene:
$T_{f}^{\prime }(\phi )=(-1)T_{f}(\phi ^{\prime })=(-1)\left[\int _{-\infty }^{x_{0}}d\phi ^{\prime }dx+\int _{x_{0}}^{+\infty }f\phi ^{\prime }dx\right]=$
$=-\left[-\int _{-\infty }^{x_{0}}f^{\prime }\phi dx+f(x_{0}^{-})\phi (x_{0})-\int _{x_{0}}^{+\infty }f^{\prime }\phi dx-f(x_{0}^{+})\phi (x_{0})\right]=$
$=\int _{\mathbb {R} }\left\lbrace f^{\prime }\right\rbrace \phi dx+\phi (x_{0})\left[f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})\right]$
Un'interessante osservazione si può fare calcolando le derivate della $\delta$ di Dirac.
Applicando la definizione si ha:
$\delta _{x_{0}}^{\prime }(\phi )=-\delta _{x_{0}}(\phi ^{\prime })=-\phi ^{\prime }(x_{0})$
$\delta _{x_{0}}^{\prime \prime }(\phi )=\phi ^{\prime \prime }(x_{0})$
$\delta _{x_{0}}^{\alpha }(\phi )=(-1)^{\mid \alpha \mid }\phi (x_{0})$
Si osserva che la distribuzione di Dirac e tutte le sue derivate hanno per supporto $\left\lbrace x_{0}\right\rbrace$. Risultato che deriva dal seguente teorema.

## Teorema (2)

La classe delle funzioni con supporto $\left\lbrace x_{0}\right\rbrace$ è data da una combinazione lineare della distribuzione di Dirac $\delta _{x_{0}}(\phi )$ e di tutte le sue derivate.