# Matematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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Un insieme è una raccolta di elementi anche non uniformi.
Un insieme è indicato con una lettera, i suoi elementi (o icriteri per stabilirli) si trovano invece espressi in parentesi graffe separati da virgole; se invece è definito un criterio con cui selezionare i membri, la virgola significa "tale che":
$A=\{1,2,3\}$ L'insieme A è formato dai numeri 1, 2 e 3
$B=\{x\in N,x<10\}$ L'insieme $B$ è formato dai numeri naturali inferiori di 10 (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
Gli insiemi numerici hanno diverse proprietà:
* La numerabilità di un insieme è data dalla possibilità di assegnare un posto ad ogni elemento dell'insieme.
* Quando è formato da punti isolati, l'insieme si dice discreto, viceversa, quando è impossibile stabilire l'elemento successivo l'insieme si dice denso.

## Sottoinsiemi

Un sottoinsieme è un insieme formato da elementi tutti appartenenti ad un altro insieme più vasto.
L'esistenza di un sottoinsieme $S$ in un insieme $A$ implica l'eseisteza di:
* Il 'sottoinsieme complementare' di $S$, formato dagli elementi di $A$ non appartenenti a $S$.
* L'insieme delle parti P(A), formato da tutti i sottoinsiemi di $A$.
* L'insieme unione (U) (Se più di un sottoinsieme), sottoinsieme costituito dagli elementi appartenenti ad almeno uno degli altri sottoinsiemi.
* L'insieme intersezione (Se più di un'intersezione), sottoinsieme costituito dagli elementi appartenenti ad entrambi i sottoinsiemi.
* Il prodotto cartesiano (a·b), insieme delle coppie ordinate di $A$ e $S$.

## Insiemi numerici fondamentali

Gli insiemi numerici fondamentali sono insiemi aventi le seguenti caratteristiche:
* Sono infiniti
* Sono rappresentabili su una retta
* È possibile definirvi addizione e moltiplicazione e stabilire delle proprietà
Essi sono
* L'insieme N dei numeri naturali, 'discreto'.
* L'insieme Z, 'discreto' ma senza un primo elemento.
* L'insieme Q dei numeri irrazionali, 'denso'.
* L'insieme R dei numeri reali, 'denso'.

## Strutture algebriche

Le strutture algebriche sono particolari strutture che si ottengono associando almeno un'operazione ad un insieme.

### Gruppi

Un'operazione $\cdot$ applicata ad un insieme $A$ può costituire un gruppo. Ciò avviene se:
* · è chiuso in A
* Vale la proprietà associativa
* Esiste un elemento neutro
* Esiste un inverso di un elemento rispetto a ·.
Nel caso valga anche la proprietà commutativa il gruppo si dice commutativo, o abeliano

### Campi

Per definire un campo sono necessari un insieme A e due operazioni · e ×. Questi costituiscono un campo se:
* (A,·) è un gruppo
* (A,×) è un gruppo
* Vale la proprietà distributiva

### Anelli

Per definire un anello sono necessari un insieme A e due operazioni · e ×. Questi costituiscono un anello se:
* (A,·) è un gruppo commutativo
* (A,×) è un gruppo commutativo
* Vale la proprietà distributiva

## Principio di induzione

Il principio di induzione è il quinto dei cinque assiomi di Peano, relativi all'insieme N dei numeri naturali:
* 0 è un numero naturale
* Ogni numero naturale ha un successivo
* Due numeri naturali diversi hanno successivi diversi
* 0 non è il successivo di nessun numero naturale
* Data una proprietà P, se essa si verifica per n=0 (o n=1) e, supposta vera per n, si dimostra vera per n+1 allora la proprietà è vera.
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