# Analisi matematica/Numeri complessi

Analisi matematica
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## Nomenclatura

Iniziamo introducendo gli elementi fondamentali necessari per definire i numeri complessi e le loro rappresentazioni
$\ a$ = parte reale $\ \left(a\in R\right)$;
$\ b$ = parte immaginaria $\ \left(b\in R\right)$;
$\ \rho$ = modulo;
$\ \theta$ = fase (o argomento);
$\ i$ = unità immaginaria

## Definizioni

Una coppia ordinata $\ (a,b)$ di numeri reali, tali che:
$a):\qquad (a,b)=(a^{,},b^{,})$ se $\ a=a^{,},b=b^{,},$
$b):\qquad (a,0)=a$ numero reale,
$c):\qquad (a,b)+(a^{,},b^{,})=(a+a^{,},b+b^{,}),$
$d):\qquad (a,b)\cdot (a^{,},b^{,})=(aa^{,}-bb^{,},ab^{,}+a^{,}b),$
definisce un numero detto numero complesso.
Esso può rappresentarsi in varie forme:
* algebrica:$\ (a,b)=a+ib,$ dove $\ i=(0,1)=$ unità immaginaria;
* trigonometrica: $\ a+ib=\rho (cos\theta +i\ sin\theta )$
* geometrica: mediante un punto $\ P\equiv (a,b)$ di coordinate $\ (a,b)$ in un sistema cartesiano; il punto $\ P$ si dice indice del numero ed il piano dei numeri complessi è detto piano di Gauss.

## Operazioni
### Addizione

La somma di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la somma delle parti reali, e la parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie.
$\ z_{1}=a+ib$
$\ z_{2}=a'+ib'$
             $\ z_{3}=z_{1}+z_{2}=(a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')$

### Sottrazione

La sottrazione di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la differenza delle parti reali, e la parte immaginaria è la differenza delle parti immaginarie.
$\ z_{1}=a+ib$
$\ z_{2}=a'+ib'$
             $\ z_{3}=z_{1}-z_{2}=(a+ib)-(a'+ib')=(a-a')+i(b-b')$

### Moltiplicazione

             $\ (a+ib)\cdot (a'+ib')=aa'-bb'+i(ab'+a'b),$
ovvero:
             $\ [\rho (cos\theta +i\sin \theta )]\cdot [\rho '(\cos \theta '+i\sin \theta ')]=\rho \rho '[cos(\theta +\theta ')+i\sin(\theta +\theta ')],$
cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.

### Divisione

             ${a+ib \over a'+ib'}={(a+ib)(a'-ib') \over a'^{2}+b'^{2}}={aa'+bb'+i(a'b-ab') \over a'^{2}+b'^{2}}$
ovvero:
             ${\rho (\cos \theta +i\sin \theta ) \over \rho '(cos\theta '+i\sin \theta ')}={\rho \over \rho '}[cos(\theta -\theta ')+i\sin(\theta -\theta ')]$

### Elevazione a potenza

             $\ (a+ib)^{n}=[\rho (cos\theta +i\sin \theta )]^{n}=\rho ^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )$
(formula di Moivre).
In particolare:
             $i^{4k+1}=i\qquad i^{4k+2}=-1\qquad i^{4k+3}=-i\qquad i^{4k+4}=1$

### Potenza con esponente immaginario

          $\ e^{ix}=cos\ x+i\ sin\ x$
(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:
          $\rho (cos\ \theta +i\ sin\ \theta )=\rho e^{i\theta }=e^{log\rho +i\theta }$

### Estrazione di radice

             ${\sqrt[{n}]{a+ib}}={\sqrt[{n}]{\rho \ (cos\theta +i\ sin\theta )}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\ [cos{\theta +2k\pi \over n}+i\ sin{\theta +2k\pi \over n}]$
con$:\qquad \ k=0,1,2...n-1.$
Questi $\ n$ numeri sono le soluzioni dell'equazione binomia: $\ x^{n}=a+ib.$
In particolare:
             ${\sqrt[{n}]{1}}=cos{2k\pi \over n}+i\ sin{2k\pi \over n},\qquad {\sqrt[{n}]{-1}}=cos{(2k+1)\pi \over n}+i\ \sin {(2k+1)\pi \over n}$
                            dove $:\qquad k=0,1,2...n-1$

### Logaritmo di un numero complesso

          $\log[\rho (cos\ \theta +i\ sin\ \theta )]=log\ \rho +i\theta +2k\pi i,\qquad k=0,1,2...$
Questa formula da per il logaritmo infinite soluzioni.

## Legami particolari tra numeri complessi
### Numeri complessi coniugati

Due numeri:
$\ z_{1}=a+ib$
$\ z_{2}=a-ib$
si dicono: complessi coniugati e si indica $\ z_{2}={\overline {z_{1}}}$.
I numeri complessi coniugati hanno le proprietà che:
* la loro somma è $\ 2a$;
* il loro prodotto è $\ a^{2}+b^{2}$;
* i loro indici sono due punti simmetrici rispetto all'asse $\ x$

### Numeri contrari

Due numeri:
$\ z_{1}=a+ib$
$\ z_{2}=-a-ib$
si dicono contrari. Due numeri contrari hanno gli indici simmetrici rispetto all'origine.

### Numeri reciproci

Due numeri complessi si dicono reciproci se:
* i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse $\ x$
* i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro $\ 0$ e raggio $\ 1$