# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Studiamo alcuni casi particolari di operatori di Sturm-Liouville singolari, per cui non vale rigorosamente la teoria sviluppata nei moduli precedenti.
Iniziamo considerando il caso in cui $p(x)$ abbia degli zeri in $[0,L]$. Un esempio è quello in cui si ha l'operatore di Legendre:
$p(x)=1-x^{2},\;p:[0,L]\rightarrow [-1,1]$
In questo caso l'operatore di Sturm-Liouville assume la forma seguente:
${\mathcal {L}}u=-\left(\left(1-x^{2}\right)u^{\prime }\right)^{\prime },\;\forall \,x\in (-1,1)$
È evidente che in questo caso non siamo in grado di scrivere l'equazione differenziale associata al problema, come invece si fa per l'operatore di Sturm-Liouville regolare. Ciò implica l'impossibilità di scrivere e quindi risolvere per inversione ${\mathcal {L}}u=f$ perché $p(x)=0$ agli estremi del suo intervallo di definizione. Risulta dunque pregiudicata la costruzione di ${\mathcal {L}}^{-1}={\mathcal {G}}$ e quindi anche la risoluzione del problema.
Un secondo caso particolare si ha quando l'intervallo di definizione è illimitato. In tal caso tutta la teoria sviluppata in precedenza non è più applicabile: tutte le disequazioni che sono state usate proprio perché l'operatore era definito su intervalli limitati ora non sono più vere e quindi non sarà più possibile dedurre la compattezza di ${\mathcal {L}}^{-1}$. Generalmente, per risolvere problemi di questo tipo si determinano le informazioni necessarie non dalle condizioni al bordo (ora non presenti) ma dal fatto che la soluzione del problema debba stare nel dominio di definizione dell'operatore di Sturm-Liouville ${\mathcal {D}}({\mathcal {L}})$.
A tal proposito si consideri l'azione dell'operatore:
${\mathcal {L}}u=-u^{\prime \prime }+\mu ^{2}u,\;x\in \mathbb {R} ,\,p=1,\,q=cost$
Ora sarà possibile scrivere l'equazione differenziale $u={\mathcal {L}}^{-1}f$, tuttavia una sua completa risoluzione dovrà essere trovata tenendo presente che si sta lavorando su $\mathbb {R}$ e non su un intervallo limitato. Si ha per l'omogenea:
$-u^{\prime \prime }+\mu ^{2}u=0$
Dunque:
$u_{O}(x)=c_{1}e^{\mu x}+c_{2}e^{-\mu x}$
Una soluzione della non omogenea può essere trovata con il metodo di variazione delle costanti:
${\begin{bmatrix}v_{1}(x)&v_{2}(x)\\v_{1}^{\prime }(x)&v_{2}^{\prime }(x)\end{bmatrix}}\left({\begin{matrix}c_{1}^{\prime }(x)\\c_{2}^{\prime }(x)\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\-f(x)\end{matrix}}\right)$
Da cui si ricava:
$c_{1}(x)=c_{1}+{\frac {1}{2\mu }}\int _{x}^{+\infty }e^{-\mu y}f(y)dy$
$c_{2}(x)=c_{2}+\int _{-\infty }^{x}e^{\mu y}f(y)dy$
Ora, i valori di $c_{1},c_{2}$ non possono essere ricavati richiedendo la validità di particolari condizioni al bordo, dato che si sta lavorando su tutto $\mathbb {R}$, ma si dovranno ricavare imponendo che $u\in {\mathcal {D}}({\mathcal {L}})$. Si trova che $c_{1}=c_{2}=0$ e quindi:
$u(x)={\frac {1}{2\mu }}\int _{\mathbb {R} }e^{-\mu (x-y)}f(y)dy={\mathcal {L}}^{-1}f$
Quindi la funzione di Green per questo particolare operatore di Sturm-Liouville è data da:
${\mathcal {G}}(xy)={\frac {1}{2\mu }}e^{-\mu (x-y)}$
In tutto ciò si ha un problema: l'operatore appena trovato, pur essendo limitato, continuo e simmetrico, non è compatto. Ciò ci porta a concludere che l'operatore inverso non ammette sistema ortonormale completo e quindi non è possibile concludere nulla sulle proprietà di ${\mathcal {L}}$.
Concludiamo presentando un ultimo caso particolare, simile a quello appena visto:
Sia ${\mathcal {L}}u=-u^{\prime \prime }+\mu ^{2}u,\;x\in \mathbb {R} ^{+},\;u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{+}),\;u^{\prime \prime }\in L^{2}(\mathbb {R} ^{+})$. Per definire completamente ${\mathcal {D}}({\mathcal {L}})$ sono necessarie delle considerazioni ulteriori, perché ora l'insieme di definizione (pur essendo illimitato) ha bordo. Pertanto sia:
$u(0)=0,\;u^{\prime \prime }(0)=0,\;\cos \alpha u(0)-\sin \alpha u^{\prime }(0)=0$
Dove l'ultima delle richieste è una rappresentazione equivalente delle condizioni al bordo di Robin. Un problema siffatto, proprio perché ha bordo, potrà essere definito con differenti condizioni al bordo. La trattazione specifica è pressoché la stessa vista nell'esempio precedente, con l'aggiunta della necessità di dover verificare che $u(x)$ rispetti delle opportune condizioni al bordo. Nello specifico si avrà:
$u(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\mu }}\int _{0}^{+\infty }e^{-\mu (\mid x-y\mid )}f(y)dy-{\frac {1}{2\mu }}\int _{0}^{+\infty }e^{-\mu (x+y)}f(y)dy,\;Dirichlet\\{\frac {1}{2\mu }}\int _{0}^{+\infty }e^{-\mu (\mid x-y\mid )}f(y)dy+{\frac {1}{2\mu }}\int _{0}^{+\infty }e^{-\mu (x+y)}f(y)dy,\;Neumann\\{\frac {1}{2\mu }}\int _{0}^{+\infty }e^{-\mu (\mid x-y\mid )}f(y)dy+F(\mu ,\alpha )\int _{0}^{+\infty }e^{-\mu (x+y)}f(y)dy,\;Robin\end{cases}}$
con:
$F(\mu ,\alpha )={\frac {\mu \sin \alpha -\cos \alpha }{2\mu \left[\mu \sin \alpha +\cos \alpha \right]}}$