# Meccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana

Meccanica analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Meccanica lagrangiana
* Introduzione alla meccanica lagrangianaMeccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
* Vincoli, virtualismi, variabili lagrangianeMeccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
* Equazione simbolica di d'AlembertMeccanica analitica/Equazione simbolica di d'Alembert
* La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
* Quantità conservateMeccanica analitica/Quantità conservate
* Punti di equilibrioMeccanica analitica/Punti di equilibrio
* Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabiliMeccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili
Meccanica hamiltoniana
* Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
* Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
* Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
* Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
* Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
* Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
* Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
* Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
* Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
* Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
* Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
* Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
* Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
* La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
* La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
* Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
* Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
* Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
* Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
* Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
* Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
* Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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La meccanica newtoniana è un ottimo studio dei sistemi meccanici e, tramite una strutturazione lineare e concisa, descrive appieno la realtà che ci circonda. Tuttavia, per sistemi particolari, utilizzare la meccanica newtoniana può rilevarsi una tortura. Sono i casi in cui sono presenti sistemi vincolati: il sistema si evolve nel tempo, variando le sue caratteristiche spaziali, ma queste sono vincolate a soddisfare equazioni particolari. Per questo motivo, a volte, utilizzare la meccanica newtoniana comporta uno studio lungo e faticoso, e non sempre diventa possibile scrivere le equazioni del moto.
L'obiettivo del formalismo lagrangiano è, invece, riuscire a studiare un sistema che si evolve nel tempo trascurando i vincoli; questo è possibile attraverso variabili che includano i vincoli nella loro stessa definizione, chiamate variabili lagrangiane. Queste variabili non sono sempre variabili spaziali: possono anche avere dimensioni totalmente diverse. Facciamo un esempio per capire meglio.
Consideriamo un punto materiale che è vincolato a muoversi lungo una guida circolare che soddisfa l'equazione $x^{2}+y^{2}=1$. Si chiede di determinare la posizione del punto materiale in ogni tempo, ovvero si richiede di scrivere le equazioni del moto.
Già da primo impatto, non sembra una cosa davvero facile, se si considerano come variabili $x(t)$ e $y(t)$. Per poter scrivere le equazioni del moto, dobbiamo scrivere la relazione $F^{tot}=ma$. Il problema sorge quando dobbiamo includere il vincolo: la reazione vincolare della guida, infatti, non è un valore fisso, ma varia a seconda della velocità del punto materiale. Quindi diventa particolarmente complicato riuscire a ricavare le equazioni del moto.
Se invece consideriamo come variabile del moto $\theta (t)$ (ovvero l'angolo di rotazione) non serve calcolare forze vincolari: a ogni tempo sappiamo dove si trova il nostro punto materiale. In questo caso, $\theta$ è una variabile lagrangiana. Inoltre, $\theta$ non ha dimensioni spaziali ma, essendo un angolo, è un numero adimensionale. Questo dimostra come, cambiando variabile di studio, che non abbia per forza le stesse dimensioni delle precedenti, si riesca a studiare il sistema al meglio e in maniera semplice. Inoltre, si presti attenzione al fatto che, se prima si avevano due variabili corrispondenti a due gradi di libertà, ora ne abbiamo solo una. Nel prossimo modulo approfondiremo la questione delle variabili lagrangiane.
Lo scopo della meccanica lagrangiana è proprio semplificare lo studio di sistemi meccanici vincolati che evolvono nel tempo.