# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Continuiamo a occuparci dell'equazione delle onde: si vuole studiare il problema di Cauchy per un dominio limitato $\left[0;L\right]$. Dalla limitatezza del dominio segue la necessità di condizioni al bordo di Dirichlet. Quindi, il problema studiato è:
${\begin{cases}\Box u=0\\u(x;0)=u_{0}(x)\\u_{t}(x;0)=v_{0}(x)\\u(0;t)=u(L;t)=0\end{cases}},\;x\in \left[0;L\right],\;t\in \mathbb {R}$
Si procede alla risoluzione di questo problema di Cauchy usando il metodo di separazione delle variabili. Pertanto sia $u(x;t)=S(x)T(t)$ l'espressione attesa per la soluzione. Deve valere:
${\frac {1}{v^{2}}}{S(x){\ddot {T}}(t)}-S^{\prime \prime }(x)T(t)=0$
Si osserva che $u(x;t)\neq 0$ perché non avrebbe senso fisico e non soddisferebbe le condizioni iniziali. Pertanto è lecito dividere ambo i lati dell'equazione appena scritta per $u(x;t)$ e ottenere:
${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {{\ddot {T}}(t)}{T(t)}}-{\frac {S^{\prime \prime }(x)}{S(x)}}=0$
Ovvero:
${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {{\ddot {T}}(t)}{T(t)}}={\frac {S^{\prime \prime }(x)}{S(x)}}=\alpha$
Dove è necessario imporre l'uguaglianza ad una costante dal momento che i due membri dell'uguaglianza appena scritta dipendono da due variabili distinte. In definitiva si ottengono due equazioni differenziali, una per la parte spaziale e una per quella temporale di $u(x;t)$:
${\begin{cases}{\ddot {T}}(t)-\alpha v^{2}T(t)=0\\S^{\prime \prime }(x)-\alpha S(x)=0\end{cases}}$
Iniziamo risolvendo l'equazione per la parte spaziale: $\alpha$ può essere maggiore, minore oppure uguale a zero. I casi $\alpha >0$ e $\alpha =0$ non sono ammissibili; infatti se $\alpha >0$ avremmo:
$S(x)=A\cosh({\sqrt {\alpha }}x)+B\sinh({\sqrt {\alpha }}x)$
Tuttavia questa soluzione implicherebbe che $u(x;t)=0$, che è l'unica possibilità per far si che vengano soddisfatte sia le condizioni iniziali che quelle al bordo. Chiaramente una soluzione di questo tipo è priva di significato, dal momento che rappresenta una funzione d'onda identicamente nulla nello spazio e nel tempo, pertanto viene scartata.
Se $\alpha =0$ avremmo:
$S(x)=Ax+B$
Tuttavia, sempre per dover soddisfare le condizioni iniziali al bordo, anche in questo caso si avrebbe $u(x;t)=0$.
Necessariamente si dovrà avere $\alpha <0$. Sia $\alpha =-k^{2}$. Per la parte spaziale si ottiene:
$S(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)$
Per le condizioni al bordo si ha:
$S(0)=A=0$
$S(L)=B\sin(kL)=0\;\Rightarrow kL=n\pi$
Si conclude quindi che, posto $\alpha <0$, esistono infinite soluzioni, tuttavia quantizzate, per la parte spaziale. Esse corrispondono a tutti quei $k_{n}={\frac {n\pi }{L}}$:
$S_{n}(x)=B\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$
Per la parte temporale occorre risolvere:
${\ddot {T}}(t)-\alpha v^{2}T(t)=0$
Procedendo in maniera del tutto analoga a quanto si è fatto per la parte spaziale si ricava:
$T_{n}(t)=A_{n}\cos(k_{n}vt)+B_{n}\sin(k_{n}vt)$
Si conclude quindi che una soluzione del problema di Cauchy studiato è:
$u_{n}(x;t)=\left[A_{n}\cos(k_{n}vt)+B_{n}\sin(k_{n}vt)\right]\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right),\;\forall \,n$
Si osserva che anche combinando tra loro le varie $u_{n}(x;t)$ si trova una soluzione del problema di Cauchy che soddisfa le condizioni iniziali e quelle al bordo. Pertanto anche la seguente è soluzione:
$u(x;t)=\sum _{n\geq 1}\left(\left[A_{n}\cos(k_{n}vt)+B_{n}\sin(k_{n}vt)\right]\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)\right)$
con condizioni iniziali soddisfatte per:
${\begin{cases}u(0;x)=\sum _{n\geq 1}A_{n}\sin(k_{n}x)=u_{0}(x)\\u_{t}(0;x)=\sum _{n\geq 1}vk_{n}B_{n}\sin(k_{n}x)=v_{0}(x)\end{cases}}$
Ovvero, la soluzione trovata soddisfa le condizioni iniziali quando è risolvibile il sistema appena scritto. Questo significa che è sufficiente determinare i coefficienti di Fourier delle funzioni, per ipotesi note, $u_{0}(x)$ e $v_{0}(x)$. Richiedendo inoltre che le soluzioni della parte spaziale siano tra loro ortogonali si ricava che:
$\int _{0}^{L}S_{n}(x)S_{m}(x)dx={\begin{cases}1,\;n=m\\0,\;n\neq m\end{cases}}\equiv \delta _{n,m}$
Ovvero:
$S_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$
Si conclude quindi che $\left\lbrace S_{n}\right\rbrace _{n=1}^{\infty }$ rappresenta un sistema ortonormale in $L^{2}([0;L])$. Concludiamo osservando che, come già detto sopra, è possibile prendere $u(x;t)$ nella forma:
$u(x;t)=\sum _{n\geq 1}\left(\left[A_{n}\cos(k_{n}vt)+B_{n}\sin(k_{n}vt)\right]\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)\right)$
Tuttavia, affinché questa espressione soddisfi anche le condizioni iniziali, è necessario che $A_{n}$ e $B_{n}$, che come già detto sono coefficienti di Fourier, siano dati da:
$A_{n}=\left\langle u_{0}\mid S_{n}\right\rangle$
$B_{n}={\frac {1}{vk_{n}}}\left\langle v_{0}\mid S_{n}\right\rangle$