# Misura e integrale di Lebesgue/Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integrale

Misura e integrale di Lebesgue
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Misura di Lebesgue
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* Insieme di Cantor, insiemi illimitatiMisura e integrale di Lebesgue/Insieme di Cantor, insiemi illimitati
Integrale secondo Lebesgue
* Dalla funzione semplice alle funzioni misurabili: il capovolgimento di pensieroMisura e integrale di Lebesgue/Dalla funzione semplice alle funzioni misurabili: il capovolgimento di pensiero
* Integrale di Lebesgue e proprietàMisura e integrale di Lebesgue/Integrale di Lebesgue e proprietà
* Spazio delle funzioni sommabili a potenza 2Misura e integrale di Lebesgue/Spazio delle funzioni sommabili a potenza 2
* Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integraleMisura e integrale di Lebesgue/Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integrale
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## Integrale di limiti

La teoria di Lebesgue è uno strumento potente, molto più di Riemann. La potenza si nota in tre teoremi della teoria, che ci mostrano come si può passare al limite sotto il segno di integrale.

### Teorema (di Beppo Levi sulla convergenza monotona)

Supponiamo sia $\{f_{n}\}$ una successione di funzioni misurabili definite: $f_{n}:E\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to [0,+\infty ]$, con $E$ misurabile; supponiamo inoltre che siano:
* funzioni monotone crescenti, ovvero $0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots f_{n}(x)$ valido $\forall x\in E$, con $x$ fissato;
* la successione tende al limite: $f_{n}(x)\to f_{0}(x)\ \forall x\in E$.
Allora:
* $f_{0}$ è misurabile;
* vale: $\lim _{n\to +\infty }\int _{E}f_{n}(x)dx=\int _{E}\lim _{n\to +\infty }f_{n}(x)dx=\int _{E}f_{0}(x)dx$
Ovvero si può invertire arbitrariamente il segno di limite con quello di integrale.
Questo è già un risultato notevole: sotto opportune condizioni di positività e crescenza monotona, limite e integrale si possono scambiare. Esiste un corollario che permette anche al simbolo di sommatoria di poter essere scambiato.

### Corollario (del teorema di Beppo Levi)

Sia $\{f_{n}\}$ successione di funzioni non negative; supponiamo sia $F_{n}(x)=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)$ una funzione monotona non decrescente; allora vale:
$\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}\int _{E}f_{j}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{E}\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)dx=\int _{E}\sum _{j=1}^{\infty }f_{j}(x)dx$
Ovvero, se $f_{n}>0$, possiamo scambiare sommatoria con integrale.
Questo risultato è molto importante: risulta più comodo studiare una serie di funzioni, invece che sommare infiniti integrali.
Il teorema di Beppo Levi permette anche di dimostrare il seguente teorema.

### Teorema (di Fatou)

Supponiamo di avere una successione di funzioni misurabili non negative $\{f_{n}\}$ (unica ipotesi); allora vale la tesi:
$\int _{E}{\big\liminf f_{j}(x){\big )}dx\leq \liminf \int _{E}f_{j}(x)dx$
Il termine $\liminf$, chiamato minimo limite, è definito come segue.
Definizione
Prendiamo una successione di reali $a_{k}=\{a_{0},a_{1},a_{2}\cdots \}$; questa ha sicuramente un $\inf$, che sia finito o meno, che chiameremo $b_{0}$. Adesso, eliminiamo il termine $a_{0}$ dalla successione, ottenendo:
$a_{k1}=\{a_{1},a_{2},\cdots \}$
Anche questa successione ha un $\inf$, che chiameremo $b_{1}$. Iterando il processo all'infinito, otteniamo la successione $b_{n}$ degli $\inf$, che risulta essere monotona crescente, o meglio, non decrescente, quindi è regolare e ammette limite:
$\lim b_{n}=\liminf a_{k}$
Per la definizione di $\limsup$ il procedimento è lo stesso, ottenendo una successione dei $\sup$ monotona non crescente.
Il teorema di Fatou permette di dimostrare il più importante di questa terna, il teorema di Lebesgue.

### Teorema (di Lebesgue sulla convergenza dominata)

Supponiamo $\{f_{n}\}$ sia una successione di funzioni misurabili, che convergono $f_{n}\to f$ quasi ovunque; inoltre, queste sono tali che:
$|f_{n}(x)|\leq \psi (x)\ {\mbox{quasi ovunque}}$
Ovvero la funzione $\psi (x)$ domina la convergenza dall'alto. Su questa funzione dominante poniamo l'ipotesi di sommabilità, ovvero $\int _{E}\psi (x)dx<+\infty$. Allora si ha che:
$\lim _{j\to \infty }\int _{E}f_{j}(x)dx=\int _{E}\left(\lim _{j\to \infty }f_{j}(x)\right)dx$
La tesi è identica a quella del teorema di Levi, solo cambiano le ipotesi, che in questo caso sono nettamente più interessanti: raramente si ha a che fare con una successione monotona crescente, mentre è più facile maggiorare una successione convergente con una funzione sommabile. L'importanza di questo teorema sta nelle sue applicazioni.

## Derivabilità sotto il segno di integrale
### Lemma (di Lebesgue)

Supponiamo di avere una funzione $F(t)$ così definita:
$F(t)=\int _{E}f(x,t)dx$
e che esista una funzione $g(x)$ sommabile tale che $|f(x,t)|\leq g(x)$ quasi ovunque. Supponiamo inoltre che $f(x,t)$ sia integrabile (per la condizione imposta a $g(x)$, risulta essere anche sommabile) e che sia continua nella variabile $t$ a ogni $x$ fissato (non ci interessa il suo comportamento in $x$, può anche essere discontinua). La tesi è che $F(t)$ è continua.
Il punto di approdo più importante è racchiuso nel seguente teorema.

### Teorema (di derivazione sotto il segno di integrale)

Supponiamo $f(x,t)$ sia sommabile in $E$ per ogni $t$, e che sia anche derivabile nella variabile $t$ per quasi ogni $x$ in $E$. Inoltre, sia $g(x)$ una funzione misurabile tale che:
$\left|{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)\right|\leq g(x)$
Definita la funzione $F(t)=\int _{E}f(x,t)dx$, allora $F(t)$ è derivabile e vale:
$F'(t)=\int _{E}{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)dx$
Ovvero, la teoria di Lebesgue permette di portare il segno di derivata sotto il segno di integrale (sotto opportune condizioni).