# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
Modifica il sommario
In questo modulo ci occuperemo di un'altra distribuzione singolare: il valor principale. Si consideri $f=\mathbb {R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace \rightarrow \mathbb {R}$, $f(x)={\frac {1}{x}}$. Si definisce valore principale di ${\frac {1}{x}}$ la quantità
$P_{\frac {1}{x}}(\phi )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mid x\mid >\epsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}dx$
Quella appena usata non è l'unica rappresentazione del valor principale, infatti se si considera $\phi$ con supporto $\left[-r,r\right]$ si ha:
$\int _{\mid x\mid >\epsilon }{\frac {\psi (x)}{x}}dx=\int _{\epsilon }^{r}{\frac {\psi (x)-\psi (-x)}{x}}dx\leq 2r\sup _{x\in \left[-r,r\right]}\mid \phi ^{\prime }(x)\mid <+\infty$
Segue che $\int _{\epsilon }^{r}{\frac {\phi (x)-\phi (-x)}{x}}dx$ è limitato in $\epsilon$. Si può concludere che:
$P_{\frac {1}{x}}(\phi )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{\epsilon }^{r}{\frac {\phi (x)-\phi (-x)}{x}}dx$
La distribuzione di Dirac e il valor principale rientrano nella determinazione di quella che si chiama formula di Plemelj-Sochozki.
Si calcoli
$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\phi (x)}{x\pm i\epsilon }}dx$
La funzione integrata contro $\phi (x)$ è definita in campo complesso, pertanto la si riscrive distinguendo parte reale e immaginaria:
${\frac {1}{x\pm i\epsilon }}={\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\mp {\frac {i\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}$
Per la parte immaginaria si ha che:
${\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}={\frac {1}{\epsilon }}{\frac {1}{\left({\frac {x}{\epsilon }}\right)^{2}+1}}$
Detta ${\frac {x}{\epsilon }}=s$ quella che si ottiene altro non è che una rappresentazione della delta di Dirac:
$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }\mp {\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}=\pm i\pi \delta _{0}(\phi )$
Per la parte regolare occorre calcolare
$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\phi (x)dx$
Si osserva che l'integranda è una distribuzione regolare della forma $T_{f}$. Definiamo $h_{\epsilon }(x)={\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} )$, distribuzione regolare dispari. Moltiplicando e dividendo per $x$, l'integrale che definisce la parte reale della funzione di cui stiamo calcolando il limite si può riscrivere come:
$\int _{0}^{+\infty }xh_{\epsilon }(x){\frac {\left(\phi (x)-\phi (0)\right)}{x}}dx$
Volendo passare al limite sotto il segno di integrale è necessario considerare il problema della convergenza dominata. In realtà si osserva che esiste una maggiorante integrabile per l'integranda:
$\mid xh_{\epsilon }(x)\mid =\mid {\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\mid \leq 1$
Dunque ${\frac {\phi (x)-\phi (-x)}{x}}$ è la maggiorante integrabile che permette di concludere che vi è convergenza dominata e quindi che le operazioni di limite e di integrale possono essere scambiate, quindi:
$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}=P_{\frac {1}{x}}$
Così da poter concludere la formula di Plemelj-Sochozki:
$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{x\pm i\epsilon }}dx=\mp i\pi \delta _{0}(\phi )+P_{\frac {1}{x}}$
L'esempio appena studiato ci ha permesso anche di determinare un'altra espressione per il valore di $P_{\frac {1}{x}}$, infatti si è arrivati a:
$P_{\frac {1}{x}}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}dx$