# Matematica per le superiori/La circonferenza

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. PC= r

## Equazione generica

$PC={\sqrt {(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}}}$ ${\sqrt {(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}}}=r$ $(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}\!$
L'equazione generica di una circonferenza è un'applicazione della distanza fra due punti in cui una distanza ($r$) ed un punto ($C(x_{c};y_{c})$) rimangono costanti.
Spesso tuttavia l'equazione si trova in forma implicita (con i calcoli sviluppati):
$x^{2}-2x_{c}x+x_{c}^{2}+y^{2}-2yy_{c}+y_{c}^{2}-r^{2}=0$
$x^{2}+y^{2}-2x_{c}x-2y_{c}y+x_{c}^{2}+y_{c}^{2}-r^{2}=0$
È comunque possibile ricostruire i dati fondamentali di una circonferenza (centro e raggio) anche a partire dalla forma implicita:
$a=-2x_{c}\quad \rightarrow \quad x_{c}=-{\frac {a}{2}}$
$b=-2y_{c}\quad \rightarrow \quad y_{c}=-{\frac {b}{2}}$
$\rightarrow C(-{\frac {a}{2}};-{\frac {b}{2}})$ $c=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}-r^{2}\quad \rightarrow \quad r={\sqrt {x_{c}^{2}+y_{c}^{2}-c}}$ $\rightarrow \quad r={\sqrt {(-{\frac {a}{2}})^{2}+(-{\frac {b}{2}})^{2}-c}}$

## Circonferenza per tre punti

Per tre punti qualsiasi passa una ed una sola circonferenza. Per definirla e trovarne l'equazione si può procedere per via geometrica o algebrica:
* Metodo algebrico: si mettono a sistema tre equazioni generiche di circonferenze sostituendo in ciascuna equazione le coordinate di uno dei tre punti e si risolve tale sistema.
* Metodo geometrico: si ricostruisce l'equazione a partire dal centro, intersezione degli assi dei due segmenti formati dai tre punti, e dal raggio, distanza di uno dei tre punti dal centro.

## Rette tangenti alla circonferenza

Una tangente è una retta che incrocia la curva in un punto solo. La si può trovare partendo da un punto della retta esterno o appartenente alla circonferenza (da un punto interno non possono passare tangenti).
Rimane valido il metodo di mettere a sistema la circonferenza e il fascio per P imponendo che il delta sia uguale a 0, ma in entrambi i casi è preferibile utilizzare metodi alternativi e più veloci:
* Punto esterno alla circonferenza, due tangenti: Si applica la formula della distanza punto-retta considerando come punto il centro della circonferenza e come retta il fascio per P.
* Punto appartenente alla circonferenza, una tangente: Si trova la perpendicolare al raggio CP passante per P.

## Fasci di circonferenze

Come per le rette, per creare una fascio di circonferenze si parte da due generatrici $\gamma _{1}$ e $\gamma _{2}$. Per le loro due intersezioni passano le infinite circonferenze che costituiscono il fascio.
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