# Matematica per le superiori/Prodotti notevoli

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Primo anno
** Elementi di teoria degli insiemiMatematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
*** RadicaliMatematica per le superiori/Radicali
*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
*** Omotetia
*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
** Geometria analitica
*** La rettaMatematica per le superiori/La retta
*** La parabolaMatematica per le superiori/La parabola
*** La circonferenzaMatematica per le superiori/La circonferenza
*** L'ellisseMatematica per le superiori/L'ellisse
*** L'iperboleMatematica per le superiori/L'iperbole
*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
Modifica il sommario

## Quadrato di un binomio

Dato il binomio $(a+b)$ , il suo quadrato $(a+b)^{2}$ è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine moltiplicato per il secondo, più il quadrato del secondo termine.
Regola
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$
Esempi
* $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$
* $(2x+y)^{2}=(2x)^{2}+2*2xy+y^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2}$
* $(2x+2y)^{2}=(2x)^{2}+2*2x*2y+(2y)^{2}=4x^{2}+8xy+4y^{2}$
* $(2xy+3y)^{2}=(2xy)^{2}+2*2xy*3y+(3y)^{2}=4x^{2}y^{2}+12xy^{2}+9y^{2}$

## Quadrato di un polinomio

Dato il polinomio $(a+b+c+\dots )$, il suo quadrato $(a+b+c+\dots )^{2}$ è pari alla somma dei quadrati di ogni termine, e del doppio prodotto di ciascuna coppia di termini misti:
$(a+b+c\dots )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dots +2ab+2ac+2bc+\dots$
Esempi
* $(2a+b+c)^{2}=(2a)^{2}+b^{2}+c^{2}+2\times 2a\times b+2\times 2a\times c+2\times b\times c=$
    $=4a^{2}+b^{2}+c^{2}+4ab+4ac+2bc$
* $(2a+2b+c)^{2}=(2a)^{2}+(2b)^{2}+c^{2}+2\times 2a\times 2b+2\times 2a\times c+2\times 2b\times c=$
    $=4a^{2}+4b^{2}+c^{2}+8ab+4ac+4bc$
* $(3ab+4bc+5ac)^{2}=(3ab)^{2}+(4bc)^{2}+(5ac)^{2}+2\times 3ab\times 4bc+2\times 3ab\times 5ac+2\times 4bc\times 5ac=$
    $=9a^{2}b^{2}+16b^{2}c^{2}+25a^{2}c^{2}+24ab^{2}c+30a^{2}bc+40abc^{2}$

## Cubo di un binomio

Dato un binomio $(a+b)$ il suo cubo $(a+b)^{3}$ è pari al cubo del primo termine, più il triplo del prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo del prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine.
Regola
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

## Prodotto della somma di due termini per la loro differenza

la somma di due termini $(a+b)$ per la loro differenza $(a-b)$ avrà come risultato la differenza dei rispettivi quadrati.
Regola
$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

## Somma di due cubi

La somma dei cubi di due monomi $(a^{3}+b^{3})$ è pari al prodotto della somma dei due monomi, moltiplicato per il polinomio costituito dal quadrato del primo monomio, più il quadrato del secondo monomio, meno il prodotto del primo monomio per il secondo monomio.
Regola
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

### Falso quadrato

N.B. Il termine $(a^{2}-ab+b^{2})$ è detto il falso quadrato di $(a-b)^{2}$.

## Differenza di due cubi

La differenza dei cubi di due monomi $(a^{3}-b^{3})$ è pari al prodotto della differenza dei due monomi, moltiplicato per il polinomio costituito dal quadrato del primo monomio, più il quadrato del secondo monomio, più il prodotto del primo monomio per il secondo monomio.
Regola
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

### Falso quadrato

N.B. Il termine $(a^{2}+ab+b^{2})$ è detto il falso quadrato di $(a+b)^{2}$. Il falso quadrato non è di per sé scomponibile in fattori di primo grado.

## Trinomio Notevole (detto anche Trinomio speciale o trinomio caratteristico)

Regola
$x^{2}+sx+p=(x+a)(x+b)$ se $ab=p$ e $a+b=s$
Esempio
Dato il polinomio $x^{2}+5x+6$, i due numeri $a$ e $b$ tali che $ab=6$ e $a+b=5$ sono $a=3$ e $b=2$... Perciò possiamo scrivere $x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)$.

## Somma e differenza di quadrati di basi quasi uguali

Regola
$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})$ $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$
Nella somma di questi quadrati, nelle basi cambia soltanto il segno di un termine (b). Nel caso si sommino basi quasi uguali bisogna raddoppiare la somma dei quadrati; nel caso si sottraggano bisogna raddoppiare il doppio prodotto.