# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Si è dimostrato che una funzione $u(x)$ modulo integrabile di classe $C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$ può essere scritta, grazie alla formula di rappresentazione, conoscendo i valori che essa assume al bordo di $\Omega$ e il valore di $\Delta u$. Per poter scrivere in modo completo la formula di rappresentazione, come si è visto, è necessario anche conoscere la funzione di Green del problema che si sta studiando. Si è osservato che la funzione di Green è simmetrica ed esiste sempre: l'eventuale difficoltà starà nella sua determinazione. In questo e nei prossimi moduli ci si occuperà di usare la formula di rappresentazione, e dunque di determinare la funzione di Green, per risolvere dei problemi al bordo particolari.
Iniziamo con l'esempio della determinazione della funzione di Green nel semipiano positivo di $\mathbb {R} ^{2}$: questo problema è anche noto con il nome di metodo delle cariche immagine.
Sia $\Omega =\left\lbrace x_{2}>0\right\rbrace$. Consideriamo il problema:
${\begin{cases}-\Delta u=f\\u\mid _{\partial \Omega }=g\end{cases}}$
Dalla formula di rappresentazione si ha che:
$u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial {\hat {n}}}}d\sigma (y)+\int _{\Omega }G(x,y)f(y)dy$
Nello specifico del problema studiato essa equivale a:
$u(x,y)=-\int _{y=0}g(s)G_{\hat {n}}(x,y)ds+\int _{\mathbb {R} \times \mathbb {R} }G(x,y)f(y)dy$
Ci si chiede ora chi sia, e che espressione abbia, la funzione $G(x,y)$. Se esiste, essa deve avere la forma $G(x,y)=\Phi (x-y)-h(y)$. Stiamo quindi cercando $G(x,y)$ tale che:
$G(x,0)=0\,\forall \,x\in \mathbb {R} ,\;G\sim \Phi {\text{ in }}{\mathcal {U}}(x\in \Omega ),\;\Delta G=0\,\forall \,x\neq y$
Nel piano si ha che $\Phi ={\frac {1}{2\pi }}\log \mid x\mid$ e si vuole trovare $h(y)$ tale che annulli $\Phi$ su $(x,y=0),\;\forall \,x\in \mathbb {R}$. Si osserva che prendendo $h(y)$ della forma $h(y)=\Phi (x^{\star }-y)$ con $x^{\star }=\left\lbrace x_{2}<0\right\rbrace =\mathbb {R} _{-}^{2}$; in questo modo si avrà che $\Delta \Phi =0,\;\forall y\in \Omega =\mathbb {R} _{+}^{2}$. Ci si chiede ora se $\exists x^{\star }(x)$ tale che $\Phi (x-y)-\Phi (x^{\star }-y)=0$. In sostanza si vuole determinare $x^{\star }(x)$ tale che
${\begin{cases}-{\frac {1}{2\pi }}\log \mid x-y\mid =-{\frac {1}{2\pi }}\log \mid x^{\star }(x)-y\mid \\{\underline {y}}=(y_{1},0)\end{cases}},\;x\in \mathbb {R} _{+}^{2},\;x^{\star }\in \mathbb {R} _{-}^{2}$
Se ${\underline {x}}=(x_{1},x_{2})$ il sistema appena scritto è risolto dalla scelta:
${\underline {x}}^{\star }=(x_{1},-x_{2})\Rightarrow \,dist(y=0,x)=dist(y=0,x^{\star })$
Si nota quindi che $x^{\star }$, la posizione della carica immagine, corrisponde al simmetrico di $x$ nel semipiano negativo. Avendo determinato $x^{\star }$ è quindi possibile scrivere l'espressione esplicita della soluzione, usando la formula di rappresentazione. Infatti ora la funzione di Green è completamente determinata:
$G(x,y)=-{\frac {1}{2\pi }}\left(\log \mid x-y\mid +\log \mid x^{\star }-y\mid \right)$
Ora riscrivendo l'espressione per $u(x,y)$ con la formula di rappresentazione e la forma analitica appena determinata per la funzione di Green si ha una determinazione completa della soluzione del problema.