# Analisi complessa/Serie di potenze

Analisi complessa
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Analisi complessa
** Numeri complessiAnalisi complessa/Numeri complessi
** Funzioni di variabile complessaAnalisi complessa/Funzioni di variabile complessa
** Funzioni elementariAnalisi complessa/Funzioni elementari
** DerivateAnalisi complessa/Derivate
** Integrali nel campo complessoAnalisi complessa/Integrali nel campo complesso
** Serie di potenzeAnalisi complessa/Serie di potenze
** Calcolo dei residuiAnalisi complessa/Calcolo dei residui
* Spazi di Hilbert
** Insiemi finiti, numerabili, non numerabiliAnalisi complessa/Insiemi finiti, numerabili, non numerabili
** Spazi metriciAnalisi complessa/Spazi metrici
** Campi e spazi vettorialiAnalisi complessa/Campi e spazi vettoriali
** Norma e spazi di BanachAnalisi complessa/Norma e spazi di Banach
** Prodotto scalare e spazi di HilbertAnalisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert
** Serie trigonometricheAnalisi complessa/Serie trigonometriche
** Operatori lineari in HAnalisi complessa/Operatori lineari in H
* Trasformata di Fourier
** Definizione e proprietà della trasformata di FourierAnalisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier
** ConvoluzioneAnalisi complessa/Convoluzione
* Integrale di Lebesgue
** Integrale di RiemannAnalisi complessa/Integrale di Riemann
** Misura di LebesgueAnalisi complessa/Misura di Lebesgue
** Integrale di LebesgueAnalisi complessa/Integrale di Lebesgue
Modifica il sommario

## Successioni nel campo complesso

Per introdurre le successioni ed i concetti di convergenza nel campo complesso ci limitiamo a declinare le definizioni per un generico spazio metrico, utilizzando la distanza e la nomenclatura di $C$.
In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in $C$ e le successioni in $R$.

### Successione e Serie

Una successione in $\mathbb {C}$ è una funzione $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$, che indichiamo come un insieme di valori con indice, $z_{n}$.
* Diciamo che una successione converge a $z$, o che $\lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=z$ se
    $\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} :n>N\Rightarrow |z_{n}-z|<\varepsilon$
* Una serie è una somma infinita
       $\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}$
    e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali
       $s_{N}=\sum _{n=1}^{N}z_{n}\qquad N\in \mathbb {N}$

### Teorema 1.5.2.

Sia $z_{n}=x_{n}+iy_{n}$ una successione in $\mathbb {C}$, e $z=x+iy$ allora
    $\lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=z\iff \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ e $\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}=y$
In modo analogo, se $S=x+iy$, la serie
    $\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}=S\iff \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}=x$ e $\sum _{n=1}^{\infty }y_{n}=y$

### Teorema sulla convergenza assoluta

Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se
    $\sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|$
converge, allora converge anche
    $\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}$.

## Serie di potenze
### Definizione 1.5.4

Una serie di potenze è una serie dipendente da un parametro $z$, della forma
    $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

### Teorema

Se una serie di potenze
    $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$
converge per $z=z_{1}\neq z_{0}$ allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto
    $|z-z_{0}|<R_{1}=|z_{1}-z_{0}|\!$
Definendo il raggio di convergenza $R$ come il
    $\sup |z-z_{0}|$
tra tutti gli $z$ per cui la serie converge, abbiamo che la serie converge assolutamente all'interno di un disco di raggio $R$ centrato in $z_{0}$, ed in nessun punto all'esterno del cerchio.
Se $R=\infty$ la serie converge su $C$, se è zero converge soltanto in $z_{0}$.
Una serie di potenze definisce quindi una funzione sul suo cerchio di convergenza,
    $S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\qquad (|z-z_{0}|<R)$

#### Teorema 1.5.6.

    Una serie di potenze con raggio di convergenza $R$ converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio $R'<R$ centrato in $z_{0}$, ed è uniformemente continua entro tale cerchio.

#### Teorema 1.5.7.

    Sia $S(z)$ una serie di potenze definita come sopra, e $C$ un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia $g(z)$ una funzione continua sul percorso $C$. Allora
       $\int _{C}g(z)S(z)dz=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{C}g(z)(z-z_{0})^{n}dz$

### Teorema 1.5.8.

$S(z)$ è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè
    $S'(z)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-z_{0})^{n-1}$
Inoltre
    $a_{n}={\frac {S^{(n)}(z_{0})}{n!}}$

## Teorema 1.5.9 (di Taylor)

Sia $f$ una funzione analitica in un cerchio aperto $|z-z_{0}|<R$. Allora la serie di potenze definita come
    $S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}$
converge a $f(z)$ per ogni punto interno al cerchio.
Tale sviluppo è unico, cioè
    $S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$
converge a $f(z)$ solo se i suoi coefficienti sono
    $a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}\!$

## Teorema 1.5.10 (di Laurent)

Sia $f$ una funzione analitica in una corona circolare
    $R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}\!$
e sia $C$ un contorno semplice chiuso orientato positivamente, interamente contenuto nel dominio anulare in cui $f$ è analitica.
Allora, in ogni punto del dominio,
    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$
e i coefficienti dello sviluppo valgono
    $a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz\qquad b_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}}dz$
Tale sviluppo è unico.

## Prodotto di serie
### Definizione

    Date due serie $\sum a_{n}$ e $\sum b_{n}$ è possibile definire il prodotto di Cauchy delle due serie come
       $\sum _{n}c_{n}\,$
    con $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$.

### Teorema 1.5.11

Se $f$ e $g$ sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno di due cerchi
       $|z-z_{f}|<R_{f}\!$
e
       $|z-z_{g}|<R_{g}\!$
rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi di convergenza.