# Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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In questo modulo ci si occuperà dello studio di un operatore piuttosto comune, al cui problema agli autovalori associato sono riconducibili pressoché tutti i problemi studiati sino ad ora. L'operatore in questione è quello di derivata seconda:
${\hat {\mathcal {L}}}=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$
Questo operatore agisce su $f\in C^{2}((a,b))$. Il problema agli autovalori per ${\mathcal {L}}$ può essere scritto come:
${\hat {\mathcal {L}}}f=\lambda f$
A esso, trattandosi di un'equazione differenziale, può essere associato il problema con condizioni al bordo:
${\begin{cases}{\hat {\mathcal {L}}}f=\lambda f\\B.C.\end{cases}}$
Definito ${\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}})=\left\lbrace f\in C^{2}((a,b)),\,B.C.\right\rbrace$, si assume che per i problemi che verranno studiati $f\in {\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}})$.
Dai moduli precedenti si possono derivare alcune particolari espressioni per ${\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}})$, corrispondenti a differenti condizioni al bordo:
* condizioni al bordo di Dirichlet implicano:
    ${\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}}_{Dir})=\left\lbrace f\in C^{2}((a,b)),\,f(a)=f(b)=0\right\rbrace$
* condizioni al bordo di Neumann implicano:
    ${\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}}_{Neu})=\left\lbrace f\in C^{2}((a,b)),\,f^{\prime }(a)=f^{\prime }(b)=0\right\rbrace$
* condizioni al bordo di Robin implicano:
    ${\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}}_{Rob})=\left\lbrace f\in C^{2}((a,b)),\,f^{\prime }(a)+\alpha f(a)=0,\;f^{\prime }(b)+\alpha f(b)=0\right\rbrace$
Tutte e tre le condizioni appena scritte sono locali. È possibile anche definire una condizione al bordo molto più generale, così da includere anche quelle non locali (e.g. periodiche). Nello specifico si avrebbe:
${\begin{cases}\alpha _{1}f(a)+\beta _{1}f(b)+\gamma _{1}f^{\prime }(a)+\delta _{1}f^{\prime }(b)=0\\\alpha _{2}f(a)+\beta _{2}f(b)+\gamma _{2}f^{\prime }(a)+\delta _{2}f^{\prime }(b)=0\end{cases}}$
Questo tipo di condizioni sono estremamente generali, anche troppo per gli scopi di questo corso. Nei casi che verranno studiati si suppone di prendere condizioni al bordo simmetriche, ovvero:
$\left\lbrace f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)\right\rbrace \mid _{a}^{b}=0,\;f,g\in C^{2}((a,b))$
Come già è stato accennato se si considera ${\hat {\mathcal {L}}}f=\lambda f,\;f\in {\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}})$, esso può essere visto, essendo il dominio uno spazio lineare e l'operatore un operatore lineare, come un problema agli autovalori. Ci si chiede se sia lecito aspettarsi, essendo ${\hat {\mathcal {L}}}$ simmetrico, che $\left\lbrace f\right\rbrace$ sia un sistema ortonormale completo per tale operatore. Per provare a dare risposta a questa domanda si inizi considerando il seguente teorema.
Sia $f\in C^{2}((a,b))$ soluzione del seguente problema al bordo:
${\begin{cases}{\hat {\mathcal {L}}}f=\lambda f\\f\in C^{2}((a,b))\\{\text{B.C. simmetriche}}\end{cases}}$
Allora:
* $\lambda \in \mathbb {R}$
* la soluzione del problema, $f$, può essere presa reale;
* se $f_{1}$ ha per autovalore associato $\lambda _{1}$ e $f_{2}$ ha $\lambda _{2}$ allora le due funzioni sono ortogonali in $L^{2}((a,b))$, ovvero:
    $\left\langle f_{1}\mid f_{2}\right\rangle =0$
* se $f(x)f^{\prime }(x)\mid _{a}^{b}\leq 0$, allora $\lambda \geq 0$
Dimostrazione: per ipotesi si ha che ${\hat {\mathcal {L}}}f=\lambda f$. Passando ai coniugati si ha che ${\hat {\mathcal {L}}}{\overline {f}}={\overline {\lambda }}{\overline {f}}$. Quindi è possibile scrivere:
$\left(\lambda -{\overline {\lambda }}\right)\int _{a}^{b}f{\overline {f}}dx=\int _{a}^{b}\left[\left({\mathcal {L}}f\right){\overline {f}}-\left({\mathcal {L}}{\overline {f}}\right)f\right]dx=$
$=\int _{a}^{b}\left[\left(-{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}\right){\overline {f}}+\left({\frac {d^{2}{\overline {f}}}{dx^{2}}}\right)f\right]dx={\text{per parti}}$
$=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}\left(-f^{\prime }{\overline {f}}+f{\overline {f}}^{\prime }\right)dx=\left(f{\overline {f}}^{\prime }-f^{\prime }{\overline {f}}\right)\mid _{a}^{b}=0$
Dove l'ultima uguaglianza è giustificata dalle condizioni al bordo di simmetria. Rimane così provato il primo punto del teorema.
Si consideri la rappresentazione complessa di $f$: $f=f_{R}+if_{I}$. Sia la parte reale che quella immaginaria devono soddisfare l'equazione agli autovalori:
${\begin{cases}{\mathcal {L}}f_{R}=\lambda f_{R}\\i{\mathcal {L}}f_{I}=\lambda if_{I}\Rightarrow {\mathcal {L}}f_{I}=\lambda f_{I}\end{cases}}$
Da cui segue che $f$ può essere presa reale, provando così anche il secondo punto del teorema.
Si considerino $f_{1},f_{2}$, entrambe autofunzioni di ${\mathcal {L}}$ con autovalori distinti $\lambda _{1},\lambda _{2}$; si può scrivere:
$\left(\lambda _{1}-\lambda _{2}\right)\int _{a}^{b}f_{1}f_{2}dx=0$
Essendo $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$, deve necessariamente essere:
$\int _{a}^{b}f_{1}f_{2}dx=0=\left\langle f_{1}\mid f_{2}\right\rangle =0$
Provando così anche il terzo punto del teorema.
Per ora non dimostriamo il quarto punto del teorema per soffermarci su alcune importanti osservazioni. Innanzitutto si noti che la dimostrazione si basa su un'importante relazione, detta identità di Lagrange:
$\int _{a}^{b}\left[\left({\mathcal {L}}f\right){\overline {g}}-\left({\mathcal {L}}g\right){\overline {f}}\right]dx=\left(f^{\prime }{\overline {g}}-{\overline {g}}^{\prime }f\right)\mid _{a}^{b}$
Si noti anche che quando il secondo membro dell'identità di Lagrange è nullo, e nel caso delle condizioni al bordo simmetriche questo si verifica, si ha che essa è equivalente alla definizione di operatore simmetrico, infatti si avrebbe:
$\int _{a}^{b}\left({\mathcal {L}}f\right){\overline {g}}dx=\int _{a}^{b}\left({\mathcal {L}}g\right){\overline {f}}dx$
Se valgono le condizioni di Robin in $a$ e quelle di Dirichlet in $b$ si ha che:
$f^{\prime }(b)f(b)-f^{\prime }(a)f(a)=f^{\prime }(a)f(a){\underset {Robin}{=}}-\alpha f^{2}(a)\geq 0\Leftrightarrow -\alpha \geq 0$
Quindi:
$\lambda \int _{a}^{b}f^{2}dx=-\alpha f^{2}(a)$
Si noti anche che:
$\int _{a}^{b}\left({\mathcal {L}}f\right)gdx=\int _{a}^{b}f^{\prime \prime }gdx=\int _{a}^{b}f^{\prime }g^{\prime }dx-f^{\prime }(b)g(b)-f^{\prime }(a)g(a)\geq \left\langle f^{\prime }\mid g^{\prime }\right\rangle$
In particolare, se $f=g$ la relazione appena scritta equivale ad affermare che ${\hat {\mathcal {L}}}$ è un operatore positivo, infatti si avrebbe:
$\lambda \left\langle f\mid f\right\rangle \geq \parallel f^{\prime }\parallel ^{2}\geq 0$
Sfruttando quanto visto nell'osservazione precedente è anche possibile dimostrare l'ultima delle proprietà del teorema di cui sopra.