# Meccanica quantistica relativistica/Equazioni di Maxwell in forma quantistica

Meccanica quantistica relativistica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Unificazione della meccanica quantistica e della relatività
* Impostazione del problemaMeccanica quantistica relativistica/Impostazione del problema
* Equazione di Klein-GordonMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Klein-Gordon
* Equazione di DiracMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Dirac
Equazione di Dirac: sviluppi e conseguenze
* Formalismo dei bispinori e interazione elettromagneticaMeccanica quantistica relativistica/Formalismo dei bispinori e interazione elettromagnetica
* Bispinori: soluzioni a massa nullaMeccanica quantistica relativistica/Bispinori: soluzioni a massa nulla
* Teoria di Dirac e antiparticelleMeccanica quantistica relativistica/Teoria di Dirac e antiparticelle
* Invarianza per trasformazioniMeccanica quantistica relativistica/Invarianza per trasformazioni
Riscrittura delle equazioni di Maxwell
* Formulazione covariante delle equazioni di MaxwellMeccanica quantistica relativistica/Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell
* Equazioni di Maxwell in forma quantisticaMeccanica quantistica relativistica/Equazioni di Maxwell in forma quantistica
* Operatore energia, impulso e momento angolareMeccanica quantistica relativistica/Operatore energia, impulso e momento angolare
Sistemi di particelle identiche
* IntroduzioneMeccanica quantistica relativistica/Sistemi di particelle identiche
* Formalismo di seconda quantizzazione per bosoniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per bosoni
* Formalismo di seconda quantizzazione per fermioniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per fermioni
Elettrodinamica quantistica
* Quantizzazione del campo elettromagneticoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettromagnetico
* Quantizzazione del campo elettronicoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettronico
* Quantizzazione dell'interazione fotone-elettroneMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione dell'interazione fotone-elettrone
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Consideriamo ora invece le equazioni di Maxwell nel vuoto e lavoriamo in unità naturali:
${\begin{cases}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}&=0\\[1.5ex]{\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}&=\displaystyle {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}&=0\\[1.5ex]{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}&=\displaystyle -{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\end{cases}}$
Poiché non ha senso scriverle come un'equazione d'onda nello spazio delle $x$, passiamo nello spazio delle $k$ tramite la trasformata di Fourier:
${\begin{aligned}{\vec {E}}({\vec {r}})&=\int {\vec {E}}_{k}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}\\{\vec {H}}({\vec {r}})&=\int {\vec {H}}_{k}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}\end{aligned}}$
che sostituite nelle equazioni di Maxwell forniscono:
${\begin{cases}{\vec {k}}\cdot {\vec {H}}_{k}&=0\\i{\vec {k}}\times {\vec {H}}_{k}&={\vec {\dot {E}}}_{k}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}{\vec {k}}\cdot {\vec {E}}_{k}&=0\\[1.5ex]-i{\vec {k}}\times {\vec {E}}_{k}&={\vec {\dot {H}}}_{k}\end{cases}}$
Bisogna ora naturalmente garantire che ${\vec {E}}={\vec {E}}^{\ast }$ e ${\vec {H}}={\vec {H}}^{\ast }$. Siccome vale:
${\vec {E}}^{\ast }({\vec {r}})=\int {\vec {E}}_{k}^{\ast }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}=\int {\vec {E}}_{-k}^{\ast }e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}d{\vec {k}}$
deve quindi risultare:
${\begin{cases}{\vec {E}}_{k}^{\ast }={\vec {E}}_{-k}\\{\vec {H}}_{k}^{\ast }={\vec {H}}_{-k}\end{cases}}$
che rappresentano sei condizioni.
Siccome:
$i{\vec {k}}\times {\vec {H}}_{k}={\vec {\dot {E}}}_{k}\quad \rightarrow \quad i{\vec {k}}\times [{\vec {k}}\times {\vec {H}}_{k}]={\vec {k}}\times {\vec {\dot {E}}}_{k}\quad \rightarrow \quad i({\vec {k}}\cdot {\vec {H}}_{k}){\vec {k}}-ik^{2}{\vec {H}}_{k}={\vec {k}}\times {\vec {\dot {E}}}_{k}$
si deduce senz'altro che:
${\vec {H}}_{k}={\frac {i}{k^{2}}}{\vec {k}}\times {\vec {\dot {E}}}_{k}$
Per svincolarsi ora dalla condizione di realtà si fa la posizione:
${\begin{cases}{\vec {E}}_{k}=N(k)\left({\vec {f}}_{k}+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)\\{\vec {\dot {E}}}_{k}=-ikN(k)\left({\vec {f}}_{k}+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)\end{cases}}$
dove $N(k)$ è una costante di normalizzazione che sarà calcolata fra breve. Questa relazione implica a sua volta:
${\begin{cases}{\vec {E}}_{k}={\vec {\dot {E}}}_{-k}\\{\vec {H}}_{k}={\vec {\dot {H}}}_{-k}\end{cases}}$
Si consideri ora l'equazione di Maxwell:
$i{\vec {k}}\times {\vec {E}}_{k}={\vec {\dot {H}}}_{k}$
sostituendo in questa l'espressione per ${\vec {H}}_{k}$ trovata sopra si trova:
$i{\vec {k}}\times {\vec {E}}_{k}={\frac {i}{k^{2}}}{\vec {k}}\times {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}_{k}\rightarrow i{\vec {k}}\left({\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}_{k}+{\vec {E}}_{k}\right)=0\rightarrow \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+k^{2}\right){\vec {E}}_{k}$
ovvero formalmente:
$\left({\frac {\partial }{\partial t}}+ik\right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}-ik\right){\vec {E}}_{k}=0$
Essendo ora:
$\left({\frac {\partial }{\partial t}}-ik\right){\vec {E}}_{k}={\vec {\dot {H}}}_{k}-ik{\vec {H}}_{k}=ikN(k)\left({\vec {f}}_{k}-{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)-ikN(k)\left({\vec {f}}_{k}+{\vec {f}}_{-k}^{\ast }\right)=-2ikN(k){\vec {f}}_{k}$
si può sostituire questo risultato nella precedente ottenendo:
$-\left({\frac {\partial }{\partial t}}+ik\right)2ikN(k){\vec {f}}_{k}=0$
ovvero:
${\begin{aligned}i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {f}}_{k}=k{\vec {f}}_{k}\end{aligned}}$
Dalle rimanenti equazioni si ricava invece:
${\vec {k}}\cdot {\vec {E}}_{k}=0\rightarrow {\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}+{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{-k}^{\ast }=0$
${\vec {k}}\cdot \left({\frac {{\vec {k}}\times {\vec {\dot {E}}}_{k}}{k^{2}}}\right)=0\rightarrow {\vec {k}}\cdot {\vec {\dot {E}}}=0\rightarrow {\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}+{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{-k}^{\ast }=0$
che implicano:
${\begin{cases}{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=0\\[1.5ex]{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{-k}^{\ast }=0\end{cases}}$
ovvero:
${\begin{aligned}{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=0\end{aligned}}$
Combinando ora le due relazioni di sopra si ricava la seguente:
$i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {f}}_{k}=k{\vec {f}}_{k}-{\frac {\vec {k}}{k}}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}\right)\rightarrow i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {f}}_{k}=k\left[{\vec {f}}_{k}-{\frac {\vec {k}}{k^{2}}}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}\right)\right]$
che scritta per componenti fornisce:
${\begin{aligned}i{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\vec {f}}_{k}\right)_{i}={\hat {W}}_{ij}\left({\vec {f}}_{k}\right)_{j}\qquad \qquad {\hat {W}}_{ij}\equiv k\left(\delta _{ij}-{\frac {k_{i}\cdot k_{j}}{k^{2}}}\right)\end{aligned}}$
Consideriamo ora il prodotto scalare di questa con le $k_{i}$:
$i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=k_{i}{\hat {W}}_{ij}\left({\vec {f}}_{k}\right)_{j}$
ma:
$k_{i}{\hat {W}}_{ij}=k({\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}-{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k})$
e dunque ${\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}$ è soluzione di $i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=0$. In altre parole, imposto il valore ${\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}$ all'inizio, questo si conserva nel tempo.
Le equazioni di Maxwell si riducono quindi in definitiva a:
${\begin{cases}\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=k_{i}{\hat {W}}_{ij}\left({\vec {f}}_{k}\right)_{j}\\[2.5ex]\left.{\vec {k}}\cdot {\vec {f}}_{k}=0\right|_{0}\qquad {\text{Condizione Iniziale}}\\[1.5ex]\displaystyle {\hat {W}}_{ij}=k\left(\delta _{ij}-{\frac {k_{i}\cdot k_{j}}{k^{2}}}\right)\end{cases}}$
che di fatto è un'equazione di tipo Schrodinger con ${\hat {W}}_{ij}$ come operatore.

## Note

* ↑ Il fotone è a massa nulla e viaggia sempre a velocità $v\equiv c$, di conseguenza lo spazio delle $x$, le posizioni, non ha senso per esso.
* ↑ Richiesta necessaria per garantire che i campi siano reali.
* ↑ Si sfrutta qui la relazione del doppio prodotto vettore ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}$.
* ↑ I vettori ${\vec {k}}$, ${\vec {H}}$ e ${\vec {E}}$ sono perpendicolari fra loro.