# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Nei moduli precedenti abbiamo studiato problemi al bordo, cercando di determinare le soluzioni degli stessi. Più precisamente, si era interessati a trovare soluzioni classiche per le equazioni studiate. È importante osservare che però vi sono dei casi in cui ciò non è possibile, ovvero si possono trovare funzioni particolari che soddisfano le richieste dei problemi analizzati: per questo è necessario introdurre il concetto di distribuzione.
Si ricordi, ad esempio, che il teorema di D'Alembert afferma che la soluzione per l'equazione delle onde ha forma:
$u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[f(x-vt)+f(x+vt)\right]+{\frac {1}{2v}}\int _{x-vt}^{x+vt}g(s)ds$
Si nota che però, specie nel caso in cui $g(s)=0$, anche la somma di due funzioni a gradino coincide analiticamente con l'espressione appena data per la soluzione dell'equazione delle onde, ma non sarà soluzione; ovvero, date $f,g$ funzioni a gradino $u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$ non è soluzione dell'equazione delle onde.
Problemi simili si hanno quando si cercano le soluzioni armoniche di $-\Delta u=0$ in ${\mathbb {R}}^{3}$. Infatti, presa $u(x)={\frac {1}{4\pi \mid x\mid }}+c$ l'equazione:
$-\Delta \left({\frac {1}{4\pi \mid x\mid }}\right)=0$
Non può essere risolta su ${\mathbb {R}}^{3}$ ma dovrà essere studiata su $\mathbb {R} ^{3}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace$.
Vediamo quindi che la risoluzione di problemi al bordo talvolta porta a dei problemi, per cui è necessario definire il concetto di distribuzione per cercare di ovviare a questi ed essere in grado di risolvere in maniera completa l'equazione studiata. Iniziamo enunciando il seguente lemma (Fondamentale del calcolo delle variazioni):
Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto. Sia $f\in L_{Loc}^{1}(\Omega )$, ovvero integrabile sui compatti di ${\mathbb {R}}^{n}$. Allora $f$ è nulla quasi ovunque in $\Omega$ se e solo se
$\int _{\Omega }f\phi dx=0,\;\forall \,\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$
Il lemma appena enunciato è estremamente importante perché ci consente, nella sua forma più generale di concludere l'uguaglianza (quasi ovunque) di due funzioni semplicemente sfruttando il fatto che il loro integrale contro una funzione test è nullo, senza doverle confrontare puntualmente. Più precisamente vale la seguente osservazione.
Siano $f,g\in L_{Loc}^{1}(\Omega )$. Se
$\int _{\Omega }(f-g)\phi dx=0,\;\forall \,\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$
Allora $f=g$ quasi ovunque in $\Omega$.
Come già accennato sopra, la funzione $\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ che si usa per definire gli integrali di sopra è detta funzione test. Il risultato dell'osservazione appena fatta inoltre suggerisce che a ogni funzione $f$ integrabile su compatti si può associare un oggetto, che chiameremo $T_{f}$ definito dall'integrale di $f$ contro una funzione di test $\phi$:
$f\mapsto T_{f}=\int _{\Omega }f\phi dx$
Dato che $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ è uno spazio vettoriale, si ha che $\forall \,f$, $T_{f}\in \left(C_{0}^{\infty }\right)^{\star }$, ovvero $T_{f}$ appartiene al duale algebrico di $C_{0}^{\infty }$. Nel prossimo modulo vedremo più nel dettaglio che l'oggetto appena definito in realtà è un funzionale lineare ed è ciò che chiamiamo distribuzione. Daremo inoltre una caratterizzazione più dettagliata delle proprietà di una distribuzione.