# Fondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI

Fondamenti di automatica2
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## Stabilità interna di sistemi LTI a tempo continuo

La legge secondo cui evolve la perturbazione $\delta x(t)$ dello stato di un sistema LTI a tempo continuo, con ingresso ${\tilde {u}}(t)$ costante, continua a valere al variare dello stato iniziale nominale ${\tilde {x}}_{0}$, e quindi della perturbazione $\delta x_{0}$ dello stato iniziale:
    ${\dot {x}}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+B{\tilde {u}}\left(t\right)\Rightarrow {\dot {\delta x}}\left(t\right)=A\delta x(t)\Rightarrow \delta x(t)=x(t)-{\tilde {x}}(t)=e^{At}\delta x_{0},\quad \forall t\geq 0$
perciò la proprietà di stabilità riguarda l'intero sistema e non i singoli movimenti.
La stabilità del sistema dipende dagli autovalori $\lambda _{i}$ della matrice di stato $A$. Un modo naturale può essere:
* esponenzialmente convergente se $\Re {\left(\lambda _{i}\right)}<0$;
* limitato se $\Re {\left(\lambda _{i}\right)}=0$ e $\mu _{i}'=1$;
* polinomialmente divergente se $\Re {\left(\lambda _{i}\right)}=0$ e $\mu _{i}'>1$;
* esponenzialmente divergente se $\Re {\left(\lambda _{i}\right)}>0$.
L'assenza di autovalori nulli garantisce l'invertibilità della matrice $A$:
    $\det {A}=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}\neq 0$
e quindi, nel caso l'ingresso nominale sia pari all'ingresso di equilibrio ${\bar {u}}$ costante, esiste un solo punto di equilibrio isolato:
    ${\bar {x}}=-A^{-1}B{\bar {u}}$

### Criteri di stabilità
#### Instabilità

Un sistema LTI a tempo continuo è instabile se e solo se almeno un modo naturale è divergente (polinomialmente o esponenzialmente).

##### Criterio di instabilità

Un sistema LTI a tempo continuo è instabile se almeno un modo naturale è esponenzialmente divergente, cioè se almeno un autovalore $\lambda _{i}$ ha parte reale positiva:
    $\exists i:\;\Re {\left(\lambda _{i}\right)}>0\Rightarrow {\text{ sistema instabile}}$

#### Stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo continuo è semplicemente stabile se e solo se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con $\mu '=1$.

##### Criterio di stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo continuo è semplicemente stabile se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con $\mu =\mu '=1$:
    ${\begin{cases}\forall i:\;\Re {\left(\lambda _{i}\right)}\leq 0\\\exists k:\;\Re {\left(\lambda _{k}\right)}=0\\\forall k:\;\Re {\left(\lambda _{k}\right)}=0\longrightarrow \mu _{k}=1\end{cases}}\Rightarrow {\text{ sistema semplicemente stabile}}$

#### Stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo continuo è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono convergenti (esponenzialmente).

##### Criterio di stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo continuo è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono esponenzialmente convergenti, cioè se e solo se tutti gli autovalori $\lambda _{i}$ hanno parti reali negative:
    $\forall i:\;\Re {\left(\lambda _{i}\right)}<0\Leftrightarrow {\text{ sistema asintoticamente stabile}}$
Un sistema LTI asintoticamente stabile è sempre globalmente asintoticamente stabile, perché la perturbazione evolve secondo una legge che vale per qualsiasi perturbazione iniziale $\delta x_{0}$.

#### Caso critico

Dato un sistema LTI a tempo continuo, se:
    ${\begin{cases}\forall i:\;\Re {\left(\lambda _{i}\right)}\leq 0\\\exists k:\;\Re {\left(\lambda _{k}\right)}=0,\;\mu _{k}>1\end{cases}}$
allora il sistema può risultare semplicemente stabile o instabile, a seconda se siano presenti dei modi polinomialmente divergenti.

## Stabilità interna di sistemi LTI a tempo discreto

La legge secondo cui evolve la perturbazione $\delta x(k)$ dello stato di un sistema LTI a tempo discreto, con ingresso ${\tilde {u}}(k)$ costante, continua a valere al variare dello stato iniziale nominale ${\tilde {x}}_{0}$, e quindi della perturbazione $\delta x_{0}$ dello stato iniziale:
    $x\left(k+1\right)=Ax(k)+Bu{\tilde {}k)\Rightarrow \delta x\left(k+1\right)=A\delta x(k)\Rightarrow \delta x(k)=x(k)-{\tilde {x}}(k)=A^{k}\delta x_{0},\quad \forall k\geq 0$
perciò la proprietà di stabilità riguarda l'intero sistema e non i singoli movimenti.
La stabilità del sistema dipende dagli autovalori $\lambda _{i}$ della matrice di stato $A$. Un modo naturale può essere:
* geometricamente convergente se $\left|\lambda _{i}\right|<1$;
* limitato se $\left|\lambda _{i}\right|=1$ e $\mu _{i}'=1$;
* polinomialmente divergente se $\left|\lambda _{i}\right|=1$ e $\mu _{i}'>1$;
* geometricamente divergente se $\left|\lambda _{i}\right|>1$.
L'assenza di autovalori diversi da 1 garantisce l'invertibilità della matrice $I-A$:
    $\det {\left(I-A\right)}=\prod _{i=1}^{n}\left(1-\lambda _{i}\right)\neq 0$
e quindi, nel caso l'ingresso nominale sia pari all'ingresso di equilibrio ${\bar {u}}$ costante, esiste un solo punto di equilibrio isolato:
    ${\bar {x}}={\left(I-A\right)}^{-1}B{\bar {u}}$

### Criteri di stabilità
#### Instabilità

Un sistema LTI a tempo discreto è instabile se e solo se almeno un modo naturale è divergente (polinomialmente o geometricamente).

##### Criterio di instabilità

Un sistema LTI a tempo discreto è instabile se almeno un modo naturale è geometricamente divergente, cioè se almeno un autovalore $\lambda _{i}$ ha modulo maggiore di 1:
    $\exists i:\;\left|\lambda _{i}\right|>1\Rightarrow {\text{ sistema instabile}}$

#### Stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo discreto è semplicemente stabile se e solo se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con $\mu '=1$.

##### Criterio di stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo discreto è semplicemente stabile se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con $\mu =\mu '=1$:
    ${\begin{cases}\forall i:\;\left|\lambda _{i}\right|\leq 1\\\exists k:\;\left|\lambda _{k}\right|=1\\\forall k:\;\left|\lambda _{k}\right|=1\longrightarrow \mu _{k}=1\end{cases}}$

#### Stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono convergenti (geometricamente).

##### Criterio di stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono geometricamente convergenti, cioè se e solo se tutti gli autovalori $\lambda _{i}$ hanno moduli minori di 1:
    $\forall i:\;\left|\lambda _{i}\right|<1\Leftrightarrow {\text{ sistema asintoticamente stabile}}$
Un sistema LTI asintoticamente stabile è sempre globalmente asintoticamente stabile, perché la perturbazione evolve secondo una legge che vale per qualsiasi perturbazione iniziale $\delta x_{0}$.

#### Caso critico

Dato un sistema LTI a tempo discreto, se:
    ${\begin{cases}\forall i:\;\left|\lambda _{i}\right|\leq 0\\\exists k:\;\left|\lambda _{k}\right|=1,\;\mu _{k}>1\end{cases}}$
allora il sistema può risultare semplicemente stabile o instabile, a seconda se siano presenti dei modi polinomialmente divergenti.

## Note

* 1 2 Si ricorda: $1\leq \mu '\leq \mu$.