# Comunicazioni digitali/Sistemi analogico-digitali

· Sistemi di comunicazione PAM in banda base · Sistemi di comunicazione in banda passante · Sistemi analogico-digitali

# Sistemi analogico-digitali

Sono sistemi che consentono la trasmissione di un segnale analogico con sistemi di trasmissione digitali

## Quantizzazione

Un segnale discreto $x(nT_{c})$ viene quantizzato quando i suoi valori sono ricondotti ad un insieme finito di dimensione $Q$ (numero di livelli di quantizzazione) di valori interi multipli di un valore base $\Delta$ (passo di quantizzazione) aaa in generale l'insieme di valori quantizzati è scelto simmetrico rispetto a 0 ed in numero pari; il quantizzatore è detto midriser quantizer $x[n]\in \left\{-{\frac {Q-1}{2}}\Delta ,-{\frac {Q-3}{2}}\Delta ,\ldots ,-{\frac {3}{2}}\Delta ,-{\frac {1}{2}}\Delta ,+{\frac {1}{2}}\Delta ,+{\frac {3}{2}}\Delta ,\ldots ,+{\frac {Q-3}{2}}\Delta ,+{\frac {Q-1}{2}}\Delta \right\}$ e gli intervalli di quantizzazione sono $x(nT_{c})\in \left\{{\begin{array}{c}\left[-{\frac {Q}{2}}\Delta ,-{\frac {Q-2}{2}}\Delta \right]\\\vdots \\\left[-2\Delta ,-\Delta \right]\\\left[-\Delta ,0\right]\\\left[0,\Delta \right]\\\left[\Delta ,2\Delta \right]\\\vdots \\\left[{\frac {Q-2}{2}}\Delta ,{\frac {Q}{2}}\Delta \right]\\\end{array}}\right.$
se i valori sono scelti in numero dispari il quantizzatore è detto midtread quantizer (tread è la faccia superiore dello scalino)
Il segnale quantizzato differisce dal segnale originario di un errore di quantizzazione $\epsilon _{q}[n]=x[n]-x(nT_{c})$ che non è eliminabile e può essere ridotto aumentando il numero di livelli di quantizzazione

### Quantizzatore uniforme

Un quantizzatore è uniforme se gli intervalli a cui deve appartenere il valore del segnale $x(nT_{c})$ per essere quantizzato ad un valore $x[n]$ sono della stessa dimensione, ovvero per un quantizzatore uniforme si ha $x(n-{0}T_{c})\Rightarrow x[n_{0}]\qquad {\mbox{se}}\qquad \left|x(n-{0}T_{c})-x[n_{0}]\right|<{\frac {\Delta }{2}}$ in questo modo valori del segnale campionato al di fuori di un intervallo di dinamica $\left[ -\frac{Q}{2}\Delta , \frac{Q}{2}\Delta \right]$ di dimensioni $D_{u} = Q \Delta$ (dinamica del quantizzatore uniforme) non hanno un corrispondente valore possibile del segnale quantizzato; si ha un errore di sovraccarico ed in genere il valore del campione è supposto essere pari al valore estremo dell'intervallo.
\`E conveniente utilizzare quantizzatori uniformi quando ha probabilità uguale di trovarsi in ciascuno degli intervalli di quantizzazione (dinamica del segnale uniforme nella dinamica del quantizzatore); quando invece un segnale è distribuito in maniera non uniforme si utilizzano quantizzatori non uniformi

### Quantizzatori non uniformi

Nel caso che un segnale abbia maggiore probabilità di assumere valori bassi piùttosto che valori elevati, il quantizzatore è scelto in modo che gli intervalli di quantizzazione per le ampiezze basse siano più stretti e quelli per le ampiezze alte siano più larghi; in questo modo n numero maggiore di valori del segnale quantizzato è dedicato a rappresentare valori bassi del segnale campionato, aumentando l'accuratezza della ricostruzione del segnale per piccole ampiezze e diminuendo l'accuratezza per grandi ampiezze (che sono supposte meno probabili)
Un quantizzatore non uniforme si può ottenere dalla serie di un compressore di dinamica e di un quantizzatore uniforme; il compressore di dinamica varia l'ampiezza del segnale aumentando le ampiezze basse e diminuendo le ampiezze elevate secondo una funzione ingresso-uscita a forma di sigmoide
In fase di ricostruzione del segnale, il ricevitore deve essere preceduto da un decompressore che svolge l'operazione inversa del compressore ricostruendo le ampiezze del segnale originario
Esistono due standard principali che stabiliscono la forma della funzione di ingresso-uscita del compressore; lo standard europeo (A-Law) prevede $\left|{\frac {y}{y_{max}}}\right|=\left\{{\begin{array}{cl}{\frac {A\left|{\frac {x}{x_{max}}}\right|}{1+\log A}}&{\text{per }}\left|{\frac {x}{x_{max}}}\right|\leq {\frac {1}{A}}\\{\frac {1+\log \left(A\left|{\frac {x}{x_{max}}}\right|\right)}{1+\log A}}&{\text{per }}{\frac {1}{A}}<\left|{\frac {x}{x_{max}}}\right|<1\end{array}}\right.$ dove $A$ è un parametro che consente di variare il livello di compressione, che è nullo per $A=1$ ed aumenta incrementando $A$, in genere fino a circa $A=100$
lo standard americano ($\mu$-Law) prevede invece $\left|{\frac {y}{y_{max}}}\right|={\frac {\ln \left(1+\mu \left|{\frac {x}{x_{max}}}\right|\right)}{\ln(1+\mu )}}$ dove $\mu$ è il parametro che consente di variare il livello di compressione, che è nulla per $\mu =0$, la funzione è scelta in modo tale che per $x$ piccolo sia quasi lineare e che per $x$ grande sia quasi logaritmica

## Sistemi PCM

Un sistema PCM (Pulse Code Modulation, modulazione ad impulsi codificati) converte un segnale analogico in ingresso in una sequenza di simboli codificati su $n_{b}$ bit che possono poi essere trasmessi con un qualsiasi sistema di trasmissione numerica e quindi riconvertiti in una replica simile al segnale originario
Un convertitore PCM è composto da un filtro anti-aliasing $H_{aa}(f)$ passa basso che elimina le frequenze del segnale che non sono codificabili dal sistema, quindi da un campionatore e da un quantizzatore che discretizza il valore dei campioni ad un insieme finito di valori multipli di un valore fondamentale; infine un codificatore traduce i campioni quantizzati in simboli binari utilizzando una codifica di Gray
Quando si va a ricostruire il segnale originario $x(t)$ con un interpolatore, non è possibile una ricostruzione esatta nemmeno con un interpolatore cardinale, in quanto i campioni trasmessi differiscono dal segnale originario dell'errore di quantizzazione; questo errore è causa di un rumore di quantizzazione sul segnale ricostruito (che è un rumore additivo)

### Parametri caratteristici

* il rapporto segnale - rumore di quantizzazione $SQNR$
* la probabilità di errore da sovraccarico $Pr(SOV)$

### Dimensionamento del sistema

Il codificatore deve tradurre i $Q$ simboli del quantizzatore su $n_{b}$ bit, il numero di bit utilizzati dipende dal sistema di comunicazioni usato per la trasmissione, che avrà generalmente a disposizione una banda limitata $\mathrm {B} _{T-MAX}$ ed una efficienza in banda massima $\mathrm {effb} _{T-MAX}$; quindi visto che la frequenza del segnale campionato è $f_{c}$ si ha che $2^{n_{b}}f_{c}<\mathrm {B} _{T-MAX}\mathrm {effb} _{T-MAX}$ è poi possibile, scelto $n_{b}$, diminuire l'efficienza in banda del sistema o la banda occupata
Se si modellizza l'errore di quantizzazione come un processo aleatorio stazionario con distribuzione di probabilità $f_{\epsilon -{q}}(\epsilon _{q})$ si può valutare la potenza del rumore di quantizzazione: $N_{q}=\operatorname {Esp} {\epsilon _{q}^{2}[n]}=\int \epsilon _{q}^{2}f_{\epsilon _{q}}(\epsilon _{q})$ che supponendo che l'errore abbia distribuzione di probabilità uniforme nell'intervallo di dinamica del quantizzatore è $N_{q-unif}={\frac {\Delta ^{2}}{12}}$
il rapporto tra la potenza del rumore di quantizzazione e la potenza del segnale utile è detto SQNR (signal to quantization noise ratio) $SQNR={\frac {\operatorname {Esp} {x^{2}(t)}}{\operatorname {Esp} {\epsilon _{q}^{2}[n]}}}$ che supponendo che anche il segnale $x(t)$ sia un processo aleatorio uniforme nella dinamica del quantizzatore, quindi con potenza $S_{u}={\frac {D^{2}}{12}}$, vale $SQNR_{u}=Q^{2}=20n_{b}\log _{10}{\sqrt {Q}}\qquad {\mbox{dB}}$ se il segnale era codificato in binario su $n_{b}$ bit
Nel caso di sistemi di trasmissione dell'audio, per non perdere l'intellegibilità del parlato, si deve avere un ${\sqrt {\geq }}30\quad {\mbox{dB}}$
si dice rumore granulare il rumore che si ha quando la variazione del segnale è minore di $\Delta$ ed il segnale ricostruito presenta delle oscillazioni che non sono presenti nel segnale di ingresso

#### Trasmissioni DPCM

Un sistema DPCM è equivalente ad un sistema PCM in cui si trasmette la variazione quantizzata di un campione del segnale in ingresso rispetto al precedente
Il segnale in ingresso al quantizzatore $d(nT_{c})$ è ricavato dalla differenza tra il segnale in ingresso ed il campione quantizzato precedente ritardato di un tempo $T_{c}$; $d(nT_{c})=x(nT_{c})-x[n-1]$
Il vantaggio che si ha è che normalmente la rapidità di variazione del segnale in ingresso è limitata, quindi i valori assunti dal segnale differenza sono con maggiore probabilità piccoli ed è possibile utilizzare un quantizzatore con una dinamica minore e circa la metà dei bit per la trasmissione del segnale, oppure avere un rumore di quantizzazione più basso.
Un miglioramento ulteriore si ha con il sistema ADPCM (adaptive DPCM) in cui i livelli di quantizzazione sono adattati al segnale in ingresso in ogni istante; è possibile in questo modo dimezzare ulteriormente il numero di bit di codifica.

### Modulatore delta

Un sistema di trasmissione a modulazione delta è costituito da un quantizzatore a due soli livelli $\pm \Delta$; il sistema trasmette impulsi a gradino di ampiezza $\Delta$, la somma degli impulsi trasmessi viene sottratta al segnale in ingresso al quantizzatore
$d[n]=\left\{{\begin{array}{cl}\Delta &{\text{se }}m(nT_{c})-m[n-1]>0\\-\Delta &{\text{se}}m(nT_{c})-m[n-1]<0\end{array}}\right.$
Si possono avere delle distorsioni sul segnale se questo ha pendenza troppo elevata o se presenta delle zone piatte.
Si dice rumore da sovraccarico il rumore causato dalla non corretta trasmissione di un segnale che ha pendenza troppo elevata rispetto ad un treno di gradini di ampiezza $\Delta$ ogni tempo $T_{c}$, ovvero se $\left|{\frac {dx(t)}{dt}}\right|>{\frac {\Delta }{T_{c}}}$ dove la derivata massima di un segnale è la pendenza della cosinusoide corrispondente alla frequenza più elevata $f_{x(t)-MAX}$ appartenente alla banda del segnale in ingresso, ovvero $f_{x(t)-MAX}>{\frac {\Delta }{2\pi T_{c}|X(f_{x(t)-MAX})|}}$ supponendo che il modulo del segnale in ingresso in corrispondenza della frequenza massima sia sufficientemente elevato
La banda utilizzata da un sistema a modulazione delta è molto più elevata di quella richiesta da un sistema PCM