# Comunicazioni digitali/Sistemi di comunicazione in banda passante

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## Sistemi di comunicazione in banda passante
### Modulazione di segnali in banda passante

Si moltiplica il segnale per una cosinusoide a frequenza molto maggiore della banda del segnale. Si utilizza una oscillazione a frequenza elevata e si varia frequenza (FSK), fase (PSK) o ampiezza (PAM/DSB) di essa a seconda dei simboli trasmessi.
La banda utilizzata è doppia rispetto al segnale in banda base, quindi l'efficienza in banda, in generale si dimezza.
Nello studio di questi sistemi supponiamo che: \begin{itemize} \item il canale sia ideale, \item i simboli siano equiprobabili e indipendenti, \item la fase della portante sia nota \item si utilizzi un sistema in banda stretta con impulsi a coseno rialzato \item il numero $M$ dei simboli sia una potenza di due \end{itemize}

### Sistemi M-PAM/DSB

Un sistema \emph{M-PAM/Double side band} (o M-PD) è corrispondente ad un sistema M-PAM con l'aggiunta di un modulatore in trasmissione e di un filtro di prerivelazione e di un demodulatore in ricezione
L'energia mutua del prodotto tra il segnale e la portante è nulla, in quanto sono praticamente disgiunti in frequenza
La BER di un sistema M-PD è la stessa di un sistema M-PAM, \begin{equation} BER_{M-PD} = \frac{2}{\log_{2}M} \left( 1 - \frac{1}{M} \right)
\end{equation} ma la banda utilizzata è doppia e l'efficienza in banda è dimezzata; \begin{equation} B_{M-PD} = \frac{1+ \rolloff}{T} \phantom{30} \effb_{M-PD} = \frac{1}{1 + \rolloff} \end{equation}

### Sistemi M-QAM

Un sistema \emph{Quadrature amplitude modulation} o M-QAM consiste il due sistemi M-PAM in fase/quadratura a $\sqrt{M}$ simboli che trasmettono in parallelo sullo stesso canale ($M$ è scelta potenza pari di due)
Il ramo in quadratura è modulato con una cosinusoide ritardata di $\pi/2$ rispetto alla cosinusoide del ramo in fase
i simboli emessi dalla sorgente sono codificati come simboli complessi con $\sqrt{M}$ simboli per la parte reale ed altrettanti per la parte immaginaria, un simbolo complesso $(a_{i},b_{i})$ viene trasmesso con un trasmettitore QAM che ricava il segnale trasmesso dalla differenza di due segnali PAM modulati: \begin{equation} s_{T}(t) = a_{i}g_{T}(t) \cos(2 \pi f_{pM} t) -
\end{equation}
il ricevitore QAM è composto da un filtro di prerivelazione $H_{R}(f)$ che limita il rumore nella banda del segnale, quindi da due ricevitori simili a ricevitori PAM che demodulano il segnale e restituiscono un valore complesso $(z_{c}(iT_{c}),z_{s}(iT_{c})$ che è passato al decisore che decide per i simbolo più vicino al campione \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} z_{c}(t) = \big(s_{T}(iT_{s}) \conv h_{R}(t) \big)
z_{s}(t) = \big(s_{T}(iT_{s}) \conv h_{R}(t) \big)
\end{array} \right. \end{equation}
il segnale utile dopo il campionamento è uguale al valore dei simboli trasmessi ma ad essi si è sommato un rumore \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} w_{c}(iT_{c}) \in \gaus{0}{N_{0} \intI \mid G_{R}(f) \mid^{2}} \\ w_{s}(iT_{c}) \in \gaus{0}{N_{0} \intI \mid G_{R}(f) \mid^{2}} \\ \end{array} \right. \end{equation}
poiché i simboli in fase ed in quadratura sono indipendenti è possibile scomporre il decisore in due decisori simili che decidono separatamente la parte reale e la parte immaginaria del simbolo trasmesso
La banda occupata da un sistema M-QAM è pari a quella di un sistema $\sqrt{M}$-PD, ma per ogni simbolo si trasmettono 2 bit contemporaneamente, quindi il bit-rate è doppio e l'efficienza in banda è maggiore e pari a quella di una M-PAM \begin{equation} B_{M-QAM} = \frac{1+ \rolloff}{T_{b} \log_{2} \sqrt{M}} \phantom{30} \effb_{M-PD} = \frac{\log_{2}M}{1 + \rolloff} = \effb_{M-PAM} \end{equation}
la potenza di un sistema M-QAM dipende dal simbolo trasmesso e quindi questo metodo di trasmissione può essere utilizzato in casi in cui l'alimentazione dei dispositivi non causa problemi

### Sistemi PSK

Un sistema di comunicazioni PSK varia la fase della cosinusoide portante per trasmettere l'informazione
l'alfabeto utilizzato è \begin{displaymath} a_{i} \in A_{M} = \{ 1, 2 , 3 , 4 , \ldots , M \} \end{displaymath}
Il trasmettitore M-PSK è composto da un \emph{modulatore di fase} che riceve in ingresso il simbolo da trasmettere e fornisce in uscita un segnale a impulsi rettangolari modulati con fase dipendente dal simbolo $\alpha_{i}$, seguito da un filtro sagomatore $h_{sag}(t)$ che limita la banda del segnale \begin{equation} s_{T}(t) = \sumI{i} g_{T}(t-iT_{c}) \cos(2 \pi f_{pM} t + \alpha_{i}) \end{equation} dove \begin{displaymath} g_{T}(t)=\rect{t-T_{c}/2}{T_{c}} \conv h_{sag}(t) \end{displaymath} e la fase può essere scelta in due modi differenti \begin{equation} \alpha_{i} = \frac{2 \pi a_{i}}{M} \phantom{30} \alpha_{i} = \frac{2 \pi a_{i} + \pi}{M} \end{equation}
un trasmettitore PSK è simile ad un trasmettitore QAM, poiché la cosinusoide modulante con fase variabile è equivalente a \begin{displaymath} \cos (2 \pi f_{pM} t + \alpha_{i}) = \cos(\alpha_{i}) \cos(2 \pi f_{pM} t) - \sin(\alpha_{i}) \sin(2 \pi f_{pM} t) \end{displaymath} che corrispondono alle sinusoidi modulanti di un trasmettitore QAM dove il valore dei simboli è $\cos(\alpha_{i})$ e $\sin(\alpha_{i})$; quindi un sistema PSK corrisponde ad un sistema QAM con simboli dipendenti e tali che la loro energia è uguale ed unitaria \begin{equation} E = \cos^{2}(\alpha_{i} + \sin^{2}(\alpha_{i}) = 1 \end{equation}
quindi banda ed efficienza in banda sono uguali al sistema QAM ed anche la struttura del ricevitore è uguale
La differenza sta nel decisore che deve decidere tra due simboli dipendenti e quindi sceglie il simbolo complesso che è a minore distanza angolare dal campione
L'energia media per bit di un sistema PSK è maggiore dell
Un sistema di trasmissione 2-PSK (o BPSK) è uguale ad un sistema PD ed un sistema 4-PSK (o QPSK) è uguale ad un sistema QAM

### Sistemi FSK

Un sistema di trasmissione FSK utilizza una variazione della frequenza dell'oscillazione portante per trasmettere l'informazione
ad ogni simbolo $a_{i}$ è associata una frequenza $f_{i}=f_{pM}a_{i}$
il trasmettitore FSK è composto da un modulatore di frequenza che riceve in ingresso il simbolo $a_{i}$ e dà in uscita un impulso rettangolare $g_{T}(t)$ modulato con un'oscillazione cosinusoidale a frequenza $f_{i}$, in serie ad un filtro sagomatore $H_{sag}(f)$ per limitare la banda del segnale trasmesso
il segnale trasmesso è quindi \begin{equation} s_{T}(t) = \sumI{i} \rect{t-T_{s}/2}{T_{s}} \cos(2 \pi f_{pM}a_{i}) \end{equation}
l'energia associata ad ogni simbolo è la stessa in quanto la frequenza della cosinusoide non influisce su di essa \begin{displaymath} E = \intI g_{T}^{2}(t) \cos(2 \pi f t)
\end{displaymath} quindi \begin{equation} E = \frac{E_{g_{T}(t)}}{2} \end{equation}
la banda occupata da ogni singola frequenza è pari alla banda di un sistema PAM, le frequenze sono scelte in modo che i loro spettri siano adiacenti, quindi la banda occupata da una trasmissione FSK è \begin{equation} \B_{M-FSK} = M \frac{1 + \rolloff}{T_{s}} \end{equation} che è $M$ volte la banda occupata da una trasmissione M-PAM. L'efficienza in banda è quindi $M$ volte minone di un sistema M-PAM, \begin{equation} \effb_{M-FSK} = \frac{\log_{2}M}{M(1+\rolloff)} \end{equation}
il ricevitore è composto da $M$ elementi simili a ricevitori PAM, ognuno composto da un filtro passa-banda $H(f)$ di banda $f_{i \in [1,M]}$ seguito da un demodulatore e dal filtro in ricezione; il segnale da campionare è quindi composto da $M$ componenti, $z(t) = z_{1}(t) , \ldots , z_{M}(t)$
\begin{equation} z_{1 \cdots M}(t) = \big( s_{T}(t) + w(t) \big) \conv H_{BP f_{1 \cdots M}}(f)
\end{equation}
ciascuno degli elementi riceventi è quindi sensibile ad una delle frequenze trasmesse, il decisore sceglie il simbolo associato all'elemento ricevente che ha valore maggiore
\`E possibile utilizzare per la ricezione di un sistema FSK un ricevitore non coerente