# Esercizi di fisica con soluzioni/Induzione

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## Esercizi
### 1. Una barretta metallica

Una barretta metallica, di massa, $m=1\ kg$, scivola senza attrito su due lunghe guide parallele e conduttrici, poste a distanza $l=1\ m$ l'una dall'altra. Esse sono collegate ad una delle estremità per mezzo di una resistenza $R=10\ \Omega$ (La resistenza della barretta e delle guide è trascurabile rispetto a $R\$) Un campo uniforme di induzione magnetica $|B|=1\ T$ è applicato perpendicolarmente al piano della figura. All'istante $t=0\$, la barretta di massa $m\$ viene lanciata con una velocità di $v_{o}=10\ m/s\$ verso destra.
Determinare: a) L'andamento della velocità in funzione del tempo. b) L'andamento nel tempo della corrente che scorre nel circuito c) Dimostrare come l'energia dissipata per effetto Joule sia in totale pari alla energia cinetica iniziale della barretta.
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### 2. Mutua induzione tra spire quadrate

Determinare la mutua induzione in funzione delle distanza per due spire quadrate(bobina) rispettivamente di $n_{1}=10\$ e $n_{2}=100\$ spire, di lato $l=1\ cm$ a distanza $d\gg l$. Approssimare le spire come dei dipoli magnetici.
a) $d=10l\$ sullo stesso piano
b) $d=10l\$ sullo stesso asse
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### 3. Induttanza con 2 resistenze

All'istante iniziale viene chiuso l'interruttore del circuito mostrato in figura. Determinare la corrente che a regime scorre nei tre rami e quella quando è trascorso un tempo $t_{1}\$ dalla chiusura dell'interruttore.
(dati del problema $f=9\ V$, $R=10\ \Omega$, $L=1\ H$, $t_{1}=50\ ms$)
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### 4. Induttanza con 3 resistenze

All'istante iniziale viene chiuso l'interruttore del circuito mostrato in figura. Determinare la corrente che a regime scorre nei tre rami, la costante di tempo del circuito, e la massima corrente che scorre nel ramo di $\alpha R\$.
(dati del problema $f=21\ V$, $R=10\ \Omega$, $L=19\ H$, $\alpha =9\$)
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### 5. Spira e solenoide

Una spira circolare di raggio $r_{0}\$, resistenza $R_{0}\$, si trova all'interno di un solenoide di lunghezza $l\$ di $N\$ spire e raggio $r_{1}\$. Il piano della spira forma un angolo di $\theta \$ con l'asse del solenoide.
Nel solenoide vi scorre una corrente di $I_{0}\$ e al tempo $t=0\$ viene staccato l'alimentatore e fatta scaricare la corrente su una resistenza $R_{1}\$.
a) Determinare la mutua induzione tra spira e solenoide.
b) Determinare la corrente indotta nella spira al tempo $t=t_{1}\$, trascurando l'induttanza della spira stessa.
c) Determinare l'energia totale dissipata durante il periodo $0-t_{1}\$ nella spira.
(dati del problema $N=3000\$, $r_{1}=10\ cm$, $r_{0}=5\ cm$, $R_{0}=0.1\ \Omega$, $R_{1}=1\ \Omega$, $t_{1}=0.5\ s$, $I_{0}=10\ A$, $\theta =45^{\circ }\$, $l=50\ cm$).
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### 6. Due bobine

Due bobine circolari compatte rispettivamente di raggio $R_{1}\$ ed $R_{2}\$, formate da $N_{1}\$ ed $N_{2}\$ spire, sono coassiali parallele ad una distanza di $d\$.
a) Determinare la loro mutua induzione.
b) La forza che si esercita tra di loro se sono percorse da correnti eguali $I_{1}\$.
dati del problema $R_{1}=20\ cm$, $R_{2}=1\ cm$, $N_{1}=200\$, $N_{2}=20\$, $d=20\ cm$, $I_{1}=10\ A$, il campo generato dalla bobina più grande è praticamente costante lungo il piano della seconda).
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### 7. Spira dentro solenoide

Un solenoide molto lungo ha un numero di spire $N\$ ed è lungo $l\$. La corrente al suo interno cresce linearmente nel tempo secondo la legge: $I(t)=mt\$. Al suo interno è posto un anello conduttore di raggio $r\$ e resistenza $R\$. Determinare la potenza dissipata nell'anello ed il campo magnetico al suo interno trascorso un tempo $t_{1}\$
(dati del problema: $N=1000\$, $l=1\ m$, $m=10^{4}\ A/s$, $R=0.001\ \Omega$, $r=10\ cm$, $t_{1}=1\ ms$)
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### 8. Spira in un campo magnetico ruotante

Una bobina, chiusa, di resistenza $R\$, costituita da $N\$ spire quadrate di lato $a\$, è posta fra le espansioni polari di un magnete che produce un campo magnetico $B\$ costante ed uniforme nella regione occupata dalla bobina. Il magnete viene fatto ruotare con velocità angolare costante $\omega \$ in maniera tale che il campo magnetico ruota con velocità angolare $\omega \$. A regime la corrente massima che scorre nella bobina vale $I_{o}\$. Determinare l'intensità del campo magnetico, la potenza massima istantanea dissipata e la potenza media che deve fornire il motore per mantenere la velocità angolare costante.
(Dati del problema $R=2.5\ \Omega$, $I_{o}=0.5\ A$, $N=200\$, $a=1\ cm$, $\omega =200\ rad/s$, l'induttanza della bobina è trascurabile)
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### 9. Sbarretta ruotante

Una barretta di lunghezza $h\$ è solidale con un perno che ruota a velocità angolare costante $\omega \$ ed è collegata ad una spira circolare mediante un contatto strisciante. La spira è immersa in un campo di induzione magnetica di ampiezza $B\$, perpendicolare al piano in cui giace la spira ed uscente da esso. Il perno e la spira chiudono, tramite un interruttore, il circuito in figura composto da una resistenza e due condensatori scarichi. Si calcoli: 1. la differenza di potenziale su ciascun condensatore a regime (ossia molto tempo dopo la chiusura dell'interruttore), specificando quali sono le facce a potenziale più alto; 2. l'energia dissipata sulla resistenza per effetto Joule durante la carica dei condensatori.
Dati: $h=20\ cm$; $\omega =200\ rad/s$; $B=0.25\ T$; $R=20\ \Omega$; $C_{1}=1\ \mu F$; $C_{2}=2\ \mu F$.
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### 10. Spira in campo variabile

Una spira circolare di raggio $a\$ è immersa in un campo magnetico, normale al suo piano, che varia con la legge:
$B=B_{o}\left(1-e^{-t/\tau }\right)\$
La spira ha una resistenza per unità di lunghezza pari a $\lambda \$. Determinare 1) la corrente massima generata nella spira; 2) l'energia totale dissipata nella spira stessa.
(Dati del problema $a=4\ cm\$, $B_{o}=0.1\ T\$, $\tau =1\ ms\$, $\lambda =0.5\ \Omega /m\$, si trascuri l'induttanza della spira)
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### 11. Due sbarre in moto

Due sbarrette conduttrici, ciascuna di resistenza $R=0.1\ \Omega \$ e massa $m=100\ g\$, poggiano senza attrito su due binari orizzontali di resistenza trascurabile. La distanza tra i binari è $\ell =0.8\ m$. Il sistema é immerso in un campo magnetico uniforme $B=0.7\ T\$, entrante nel piano della figura. La barretta 1 si muove con velocità costante $v_{1}=8\ m/s\$, mentre nell'istante iniziale la barretta 2 è ferma. Determinare a) l'intensità iniziale della corrente circolante; b) la forza agente sulla sbarretta 2 nell'istante iniziale; c) l'equazione della velocità della sbarretta $2\$ in funzione del tempo ed in particolare al tempo $t_{1}=0.1\ s\$; d) l'intensità della corrente che circola nel circuito dopo un tempo molto lungo.
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### 12. Bobina in moto

Una bobina quadrata conduttrice di lato $\ell =10\ cm\$ e massa $m=20\ g\$, con velocità iniziale $v_{o}=5\ m/s\$ e di resistenza totale $R=10\ m\Omega \$ entra in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico $B=0.7\ T\$ uniforme ed uscente dal piano della figura. Determinare a) La forza che inizialmente agisce sulla bobina; b) il tempo che impiega ad entrare nel campo; c) la velocità che ha quando è completamente entrata nel campo; d) l'energia dissipata nella bobina a causa delle correnti di Focault.
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### 13. Bobina e filo

Una spira rigida quadrata di lato $a\$ e di resistenza totale $R\$ è posta come in figura con un lato parallelo ad un filo indefinito a distanza $d\$ dal filo (lato più vicino). Il filo è percorso da una corrente variabile nel tempo con la legge:
    $I(t)={\frac {I_{o}}{1+t/\tau }}\$
Determinare: a) l'espressione della f.e.m. indotta nella spira rigida; b) il verso ed il valore massimo della corrente indotta nella spira; c) il tempo per cui la corrente indotta nella spira vale $I_{1}\$
(Dati del problema $a=10\ cm\$, $d=1\ cm\$, $R=0.001\ \Omega \$, $I_{o}=16\ A\$, $\tau =10\ ms\$, $I_{1}=1.5\ mA\$)
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## Soluzioni
### 1. Una barretta metallica

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Il movimento della sbarretta nel campo magnetico determina una variazione del flusso concatenato al circuito. Quindi si genera una forza elettromotrice pari a, (non occupandosi ancora dei segni):
$|f.e.m.|={\frac {d\phi }{dt}}=|B|{\frac {dS}{dt}}\$
dove $S\$ è la superficie istantanea del circuito, quindi $S=lx\$ (scelta come origine di $x\$ la posizione al tempo $t=0\$ della sbarretta). Per cui:
$f.e.m.=Bl{\frac {dx}{dt}}=Blv_{x}\$
Tale $f.e.m.\$ provoca una corrente $I\$ il cui verso è tale da opporsi alla causa che la genera, cioè opporrà una forza resistente la cui direzione è determinata proprio da tale condizione. La forza risultante sulla sbarretta è:
$F_{x}=-IBl\$
Il verso della corrente è quindi nel disegno antiroario. Il problema dinamico è unidimensionale a questo punto e la II equazione della dinamica è:
$m{\frac {dv_{x}}{dt}}=-IBl\$
Mentre per la maglia:
$f.e.m=RI\$
$Blv_{x}=RI\$
$I={\frac {Blv_{x}}{R}}\$
Sostituita nell'equazione della dinamica:
$m{\frac {dv_{x}}{dt}}=-{\frac {B^{2}l^{2}v_{x}}{R}}\$
Cioè un moto viscoso, che corrisponde ad una velocità che diminuisce esponenzialmente nel tempo:
$v_{x}=v_{o}e^{-B^{2}l^{2}t/mR}\$
Quindi con una costante di tempo pari a:
$\tau ={\frac {mR}{B^{2}l^{2}}}=10\ s$ ( i freni dei treni sono ottenuti avvicinando dei grossi magneti alle ruote conduttrici e le correnti indotte provocano un frenamento dolce proporzionale in tale caso alla velocità angolare istantanea delle ruote, ma con un meccanismo simile a quello descritto qui).
b)
La corrente ovviamente ha lo stesso andamento esponenziale nel tempo:
$I={\frac {Blv_{o}}{R}}e^{-B^{2}l^{2}t/mR}\$
c)
L'energia cinetica iniziale vale:
${\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}=50\ J$
L'energia dissipata per effetto Joule nella resistenza vale:
$E_{d}=\int _{0}^{\infty }I^{2}Rdt=\int _{0}^{\infty }{\frac {B^{2}l^{2}v_{o}^{2}}{R}}e^{-2B^{2}l^{2}t/mR}={\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}=50\ J$

### 2. Mutua induzione tra spire quadrate

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Approssimando e le due spire come due dipoli magnetici di modulo:
$m_{1}=n_{1}I_{1}l^{2}\$
$m_{2}=n_{2}I_{2}l^{2}\$
A causa della reciprocità della mutua induzione possiamo calcolare il campo generato dalla prima sulla seconda.
a) Sul piano l'unica componente dell'induzione magnetica generata da un dipolo magnetico è la componente entrante normale al piano delle spire:
$B_{1z}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {m_{1}}{d^{3}}}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {n_{1}I_{1}l^{2}}{d^{3}}}\$
Quindi il flusso concatenato con la seconda spira vale:
$\phi _{2}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {n_{1}I_{1}l^{2}}{d^{3}}}n_{2}l^{2}\$
$M={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {n_{1}n_{2}l^{4}}{d^{3}}}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}l=1\ nH$
b) Sull'asse l'unica componente dell'induzione magnetica generata da un dipolo magnetico è la componente uscente normale al piano delle spire:
$B_{1z}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {2m_{1}}{d^{3}}}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {2n_{1}I_{1}l^{2}}{d^{3}}}\$
Quindi il flusso concatenato con la seconda spira vale:
$\phi _{2}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {2n_{1}I_{1}l^{2}}{d^{3}}}n_{2}l^{2}\$
$M={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {2n_{1}n_{2}l^{4}}{d^{3}}}={\frac {\mu _{o}}{2\pi }}l=2\ nH\$

### 3. Induttanza con 2 resistenze

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Applicando il teorema di Thevenin alla parte di circuito ai capi dell'induttanza:
    $f_{th}=f-{\frac {f}{R+R}}R={\frac {f}{2}}\$
    $R_{th}=R+{\frac {R}{2}}={\frac {3R}{2}}\$
A regime la corrente nel ramo dell'induttanza come in quello centrale vale quindi:
    $I_{20}=I_{30}={\frac {f_{th}}{R_{th}}}={\frac {f}{3R}}=0.3\ A$
Mentre ovviamente il ramo del generatore fornirà una corrente doppia:
    $I_{10}=0.6\ A$
Scrivendo l'equazione della maglia equivalente nel ramo dell'induttanza la corrente che scorre sarà:
    $I_{3}=I_{30}\left(1-e^{-t/\tau }\right)=0.16\ A$
con $\tau =L/R_{th}=0.066\ s$. Scrivendo la legge di Kirckkoff per il nodo e la prima maglia:
    $I_{1}=I_{2}+I_{3}\$
    $f=RI_{1}+RI_{2}\$
Da cui eliminando $I_{1}\$:
    $I_{2}={\frac {f}{2R}}-{\frac {I_{3}}{2}}=0.37\ A$
    $I_{1}=I_{2}+I_{3}=0.53\ A$

### 4. Induttanza con 3 resistenze

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Applicando il teorema di Thevenin alla parte di circuito ai capi dell'induttanza:
$f_{th}=f-{\frac {f}{R+\alpha R}}R=f{\frac {\alpha }{\alpha +1}}=18\ V$
$R_{th}=R+{\frac {\alpha }{\alpha +1}}R={\frac {2\alpha +1}{\alpha +1}}R=19\ \Omega$
A regime la corrente nel ramo dell'induttanza vale quindi:
$I_{3f}={\frac {f_{th}}{R_{th}}}={\frac {f\alpha }{R(1+2\alpha )}}=1\ A$
Dovendo essere eguali:
$I_{2f}\alpha R=I_{3f}R\$
Si ha che:
$I_{2f}={\frac {f}{R(1+\alpha )}}=0.11\ A$
Quindi nel ramo del generatore a regime:
$I_{1f}=I_{2f}+I_{3f}=1.11\ A$
La costante di tempo vale:
$\tau ={\frac {L}{R_{th}}}={\frac {L}{R}}{\frac {1+\alpha }{1+2\alpha }}=1\ s$
Ovviamente all'istante iniziale comportandosi l'induttanza come un circuito aperto la corrente fornita dal generatore scorre nel solo ramo di $\alpha R$ e quindi la corrente vale:
$I_{20}={\frac {f}{R(1+\alpha )}}=0.17\ A$

### 5. Spira e solenoide

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a) Il campo prodotto al centro del solenoide vale:
$B={\frac {\mu _{o}NI}{l}}\$
e quindi il flusso concatenato con la spira vale:
$\phi =B\pi r_{0}^{2}\cos \theta ={\frac {\mu _{o}NI}{l}}\pi r_{0}^{2}\cos \theta \$
Quindi la mutua induzione vale:
$M={\frac {\phi }{I}}={\frac {\mu _{o}N}{l}}\pi r_{0}^{2}\cos \theta =42\mu H$
b) L'induttanza del solenoide vale
$L_{1}={\frac {\mu _{o}N^{2}\pi r_{1}^{2}}{l}}=0.71\ H$
Il solenoide si scarica secondo la legge:
$I=I_{0}e^{-t/\tau }\$
dove $\tau =L_{1}/R_{1}=0.71\ s$. La corrente indotta, trascurando l'induttanza della spira, vale:
$I_{in}={\frac {1}{R_{0}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {M}{R_{0}}}{\frac {\partial I}{\partial t}}={\frac {MR_{1}}{L_{1}R_{0}}}I_{0}e^{-t/\tau }\$
che per $t=t_{1}\$ quindi:
$I_{in}=2.92\ mA$
c) L'energia totale dissipata nella spira tra $t=0\$ e $t=t_{1}\$:
$E=\int _{0}^{t_{1}}I_{in}^{2}R_{0}dt=\int _{0}^{t_{1}}{\frac {M^{2}R_{1}^{2}}{L_{1}^{2}R_{0}}}I_{0}^{2}e^{-2t/\tau }dt={\frac {M^{2}R_{1}}{2L_{1}R_{0}}}I_{0}^{2}(1-e^{-2t_{1}/\tau })=0.94\ \mu J$

### 6. Due spire

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a) Il campo generato dalla prima bobina sul suo asse, nel punto in cui si trova la prima bobina vale, in modulo:
$|{\vec {B}}_{1}|={\frac {\mu _{o}}{2}}{\frac {R_{1}^{2}I_{1}N_{1}}{\left(R_{1}^{2}+d_{1}^{2}\right)^{3/2}}}\$
Quindi il flusso concatenato sulla seconda vale:
$\Phi _{c}=N_{2}|{\vec {B}}_{1}|\pi R_{2}^{2}\$
quindi la mutua induzione vale:
$M={\frac {\mu _{o}}{2}}{\frac {\pi R_{1}^{2}R_{2}^{2}N_{1}N_{2}}{\left(R_{1}^{2}+d_{1}^{2}\right)^{3/2}}}=1.45\ \mu H$
b) La seconda spira ha un momento di dipolo magnetico di:
$|m_{2}|=\pi R_{2}^{2}N_{2}I_{1}\$
quindi la forza vale:
${\vec {F}}=grad({\vec {m_{2}}}\cdot {\vec {B_{1}}})\$
quindi la forza è diretta secondo l'asse, attrattiva se le bobine sono equiverse, e di valore:
$|F|={\frac {\mu _{o}}{2}}\pi R_{1}^{2}R_{2}^{2}N_{1}N_{2}I_{1}^{2}\left|{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\left(R_{1}^{2}+z^{2}\right)^{-3/2}\right]\right|_{z=d}=3\mu _{o}\pi R_{1}^{2}R_{2}^{2}N_{1}NI_{1}^{2}{\frac {d}{\left(R_{1}^{2}+d^{2}\right)^{5/2}}}=0.002\ N$

### 7. Spira dentro solenoide

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Il numero di spire per unità di lunghezza vale:
    $n={\frac {N}{l}}=1000\ m^{-1}$
Il campo magnetico generato dal solenoide, in assenza dell'anello, vale:
    $B_{s}=\mu _{o}nI=\mu _{o}nmt\$
Quindi il flusso concatenato all'anello vale:
    $\phi _{c}=\mu _{o}nm\pi r^{2}t\$
Quindi la f.e.m. indotta vale:
$f.e.m=-\mu _{o}nm\pi r^{2}=0.39\ V$
quindi la corrente circolante è costante e vale:
$I_{c}={\frac {f.e.m.}{R}}=-{\frac {\mu _{o}nm\pi r^{2}}{R}}=395\ A$
Quindi la potenza dissipata istantaneamente per effetto Joule vale:
$P=I_{c}^{2}R=156\ W$
La corrente circolante genera al centro dell'anello un campo pari a:
$B_{a}={\frac {\mu _{o}I_{c}}{2r}}=-{\frac {\mu _{o}^{2}nm\pi r}{2R}}\$
Quindi il campo totale $B_{t}\$ vale:
$B_{t}=B_{s}+B_{a}=\mu _{o}nm\left(t-{\frac {\mu _{o}\pi r}{2R}}\right)\$
quindi dopo $t_{1}\$:
$B_{t}=0.01\ T\$
(notare come per $t\rightarrow 0\$ il campo, avendo trascurato l'induttanza, diventa negativo, tale risultato non fisico dipende dall'avere trascurato l'induttanza dell'anello, che non può essere trascurata nel momento iniziale)

### 8. Spira in un campo magnetico ruotante

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La f.e.m: massima vale:
$V_{o}=NBa^{2}\omega \$
La corrente massima che scorre è:
$I_{o}={\frac {V_{o}}{R}}={\frac {NBa^{2}\omega }{R}}\$
$B={\frac {RI_{o}}{Na^{2}\omega }}=0.31\ T$
Mentre il valore della massima potenza istantanea vale:
$P_{m}=V_{o}I_{o}=0.62\ W$
Mentre quella media:
$P_{e}={\frac {P_{m}}{2}}=0.31\ W$

### 9. Sbarretta ruotante

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Detta $\theta \$ l'angolo al tempo generico tra la sbarretta ed il filo che va dal perno al circuito. L'area attreversata dal campo magnetico $B\$ vale:
$A={\frac {1}{2}}h^{2}\theta \$
Ma ruotando la sbarretta a velocità angolare costante:
$A={\frac {1}{2}}h^{2}\omega t+\theta _{o}\$
(dove $\theta _{o}\$ è l'angolo al tempo $t=0\$). Quindi il flusso concatenato al circuito istante per istante vale:
$\Phi _{c}=B({\frac {1}{2}}h^{2}\omega t+\theta _{o})\$
La forza elettromotrice (f.e.m.) indotta sulla barretta è data da:
$f={\frac {d\Phi _{c}}{dt}}=(1/2)\omega h^{2}B=1\ V$
1. A regime, nel circuito non scorre corrente, pertanto la tensione del generatore si ripartisce tra i condensatori 1 e 2 nelle proporzioni di $C_{1,2}/C_{1}\$ e $C_{1,2}/C_{2}\$ rispettivamente, essendo $C_{1,2}=C_{1}C_{2}/(C_{1}+C_{2})\$ la capacità equivalente della serie. Dunque:
$V_{C_{1}}={\frac {C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}f=(2/3)f=0.67VeV_{C_{2}}={\frac {C_{1}}{C_{1}+C_{2}}}f=(1/3)f=0.33\ V$
2. L'energia dissipata per effetto Joule si può calcolare come differenza tra il lavoro svolto dal generatore di f.e.m., pari a $L_{gen}=fQ\$, ove $Q=C_{1,2}f\$ è la carica accumulata su ciascun condensatore, e l'energia accumulata nei due condensatori:
$E=fQ-(1/2)C_{1,2}f^{2}=(1/2)C_{1,2}f^{2}=0.33\ \mu J\$

### 10. Spira in campo variabile

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Il flusso concatenato con la spira vale:
$\phi _{c}=B_{o}\pi a^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)\$
Quindi la f.e.m. indotta nella spira vale:
$f(t)={\frac {d\phi _{c}}{dt}}={\frac {B_{o}\pi a^{2}}{\tau }}e^{-t/\tau }\$
Mentre la corrente vale:
$I(t)={\frac {B_{o}\pi a^{2}}{2\pi a\lambda \tau }}e^{-t/\tau }={\frac {B_{o}a}{2\lambda \tau }}e^{-t/\tau }\$
Che è massima all'istante iniziale e vale:
${\frac {B_{o}a}{2\lambda \tau }}=4\ A\$
La potenza dissipata vale:
$P(t)=f(t)I(t)={\frac {B_{o}^{2}\pi a^{3}}{2\lambda \tau ^{2}}}e^{-2t/\tau }\$
Quindi l'energia totale dissipata vale:
$E_{d}={\frac {B_{o}^{2}\pi a^{3}}{2\lambda \tau ^{2}}}\int _{0}^{\infty }e^{-2t/\tau }dt={\frac {B_{o}^{2}\pi a^{3}}{4\lambda \tau }}=1\ mJ\$

### 11. Due sbarre in moto

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a)
Il flusso concatenato alla superficie tra le sbarrette vale:
    $\phi =B\ell (x_{1}-x_{2})\$
Quindi, all'istante iniziale:
    $f_{o}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}=B\ell v_{1}\$
La corrente circolante iniziale (in senso anti-orario) vale:
    $i_{o}={\frac {f}{2R}}=22.4\ A\$
b)
La forza agente sulla sbarretta 2 in $t=0\$ è rivolta verso destra e vale:
    $F_{2}=B\ell i_{o}=12.54\ N\$
c)
L'equazione del moto della sbarretta $2\$ è:
    $m{\frac {dv_{2}}{dt}}=iB\ell \$
Con $i\$ circolante in senso anti-orario e quindi propulsiva, la corrente vale:
    $i={\frac {B\ell (v_{1}-v_{2})}{2R}}\$
quindi:
    $m{\frac {dv_{2}}{dt}}={\frac {B^{2}\ell ^{2}}{2R}}(v_{1}-v_{2})\$
Separando le variabili:
    ${\frac {dv_{2}}{v_{2}-v_{1}}}=-{\frac {dt}{\tau }}\$
con:
    $\tau ={\frac {2Rm}{B^{2}\ell ^{2}}}=0.064\ s\$
    $\int _{0}^{v_{2}(t)}{\frac {dv_{2}}{v_{2}-v_{1}}}=-\int _{0}^{t}{\frac {dt'}{\tau }}\$
La velocità della sbarretta $2\$ dopo $t_{1}\$ è diventata:
    $v_{2}(t_{1})=6.33\ m/s\$
d)
A regime le due barrette si muovono con la stessa velocità, quindi la variazione di flusso è nulla e così pure la corrente.

### 12. Bobina in moto

→ Vai alla traccia
a)
Appena entra nel campo viene generato sul lato di destra una f.e.m pari a
    $f=B\ell v_{o}\$
che determina una corrente iniziale circolante in senso orario:
    $I_{o}={\frac {f}{R}}={\frac {B\ell v_{o}}{R}}=35\ A\$
Quindi vi è inizialmente una forza frenante pari a:
    $F_{x}=-I_{o}B\ell =-2.45\ N\$
b)
La corrente circolante dipenderà dalla velocità istantanea:
    $I(t)={\frac {B\ell v(t)}{R}}\$
Quindi anche la forza frenante dipenderà dalla velocità istantanea:
    $F_{x}(t)=-I(t)B\ell =-{\frac {B^{2}\ell ^{2}v(t)}{R}}\$
La legge della dinamica è:
    $m{\frac {dv}{dt}}=F_{x}(t)=-{\frac {B^{2}\ell ^{2}v(t)}{R}}\$
Definendo: $\tau =(mR)/(B^{2}\ell ^{2})=41\ ms\$ si ha che:
    $\tau {\frac {dv}{dt}}=-v\$
Da cui:
    $v(t)=v_{o}e^{-t/\tau }\$
essendo:
    ${\frac {dx}{dt}}=v_{o}e^{-t/\tau }\$
    $\ell =\int _{0}^{t_{1}}v_{o}e^{-t/\tau }dt=v_{o}\tau \left(1-e^{-t_{1}/\tau }\right)\$
    $t_{1}=-\tau \log[1-l/(v_{o}\tau )]=27.5\ ms\$
c)
Di conseguenza la velocità finale è pari a
    $v_{f}=v_{o}e^{-t_{1}/\tau }=2.5\ m/s\$
d)
L'energia dissipata per le correnti Focault è pari alla variazione di energia cinetica:
    $DE={\frac {1}{2}}m(v_{f}^{2}-v_{o}^{2})=-0.185\ J\$

### 13. Bobina e filo

→ Vai alla traccia
a)
Il campo di induzione magnetica generato ad un distanza generica :$x\$ dal filo vale:
    $|B|={\frac {\mu _{o}I(t)}{2\pi x}}\$
Quindi il flusso che si concatena con la spira vale:
    $\phi _{c}={\frac {\mu _{o}I(t)a}{2\pi }}\int _{d}^{d+a}{\frac {dx}{x}}={\frac {\mu _{o}I(t)a}{2\pi }}\ln {\frac {d+a}{d}}\$
Quindi la f.e.m. indotta vale in modulo:
    $f.e.m.={\frac {\mu _{o}I_{o}a}{2\pi \tau (1+t/\tau )^{2}}}\ln {\frac {d+a}{d}}\$
b) La corrente indotta nella spira deve circolare in senso antiorario per compensare la diminuzione del flusso uscente dal piano e vale:
    $I_{i}={\frac {\mu _{o}I_{o}a}{2\pi \tau R}}\ln {\frac {d+a}{d}}{\frac {1}{(1+t/\tau )^{2}}}=I_{io}{\frac {1}{(1+t/\tau )^{2}}}\$
con $I_{io}=77\ mA\$.
c)
Imponendo che:
    $I_{io}{\frac {1}{(1+t/\tau )^{2}}}=I_{1}\$
    $t=\tau \left({\sqrt {I_{io}/I_{1}}}-1\right)=61.5\ ms\$
d)
La energia totale dissipata nella spira vale:
    $E_{d}=RI_{io}^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(1+t/\tau )^{4}}}=-{\frac {RI_{io}^{2}\tau }{3}}\left[{\frac {1}{(1+t/\tau )^{3}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {\tau RI_{io}^{2}}{3}}=20\ nJ\$