# Controlli automatici/Reti di compensazione

Controlli automatici
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Una volta determinata la parte statica della funzione $C(s)$ del controllore, la parte dinamica $C'(s)$ viene costruita in modo che la funzione d'anello $G_{a}(s)$ presenti la forma idonea al soddisfacimento delle specifiche:
    ${\begin{cases}\omega _{c}\simeq {\omega _{c}}_{\text{des}}\\m_{\varphi }\geq {m_{\varphi }}_{\text{min}}\end{cases}}$
* vincoli sulla pulsazione di taglio $\omega _{c}$ vengono imposti da specifiche sulla prontezza di risposta del sistema (tempo di salita $t_{s}$ o $t_{r}$) o sulla banda passante;
* vincoli sul margine di fase $m_{\varphi }$ vengono imposti da specifiche sulla sovraelgonazione massima ${\hat {s}}$ o sul picco di risonanza $M_{r}$.

## Loop shaping (o sintesi per tentativi)

* si valutano alla pulsazione di taglio desiderata ${w_{c}}_{\text{des}}$ il modulo e la fase della funzione d'anello di partenza $G_{a1}(s)$:
    $G_{a1}(s)={\frac {K_{c}}{s^{h}}}F(s)$
* si calcola la variazione di fase $\Delta \varphi$ necessaria per soddisfare il vincolo sul margine di fase $m_{\varphi }$ alla pulsazione di taglio desiderata ${w_{c}}_{\text{des}}$ (solitamente è un anticipo di fase);
* si calcola la variazione di modulo $\Delta m$ necessaria per soddisfare il vincolo sulla pulsazione di taglio $\omega _{c}$ alla pulsazione di taglio desiderata ${w_{c}}_{\text{des}}$:
    ${\Delta m}_{\text{dB}}=-{\left|G_{a1}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)\right|}_{\text{dB}}$
* la parte dinamica $C'(s)$ si costruisce come prodotto di reti di compensazione elementari;
* si procede a una completa verifica delle specifiche dinamiche sulla funzione di trasferimento in catena chiusa $W(s)$, poiché il soddisfacimento dei vincoli individuati sulla funzione d'anello $G_{a}(s)$ non garantisce l'automatico soddisfacimento delle specifiche dinamiche sul sistema in catena chiusa.

## Reti di compensazione

* reti anticipatrici (o derivative): anticipo di fase, aumento di modulo;
* reti attenuatrici (o integrative): perdita di fase, attenuazione di modulo;
* reti integro-derivative (o lead-lag): formate dall'unione di reti dei due tipi precedenti.

## Reti anticipatrici

Una rete anticipatrice (o derivativa) è descritta da una funzione di trasferimento nella forma:
    $R_{d}(s)={\frac {1+\tau _{d}s}{1+{\frac {\tau _{d}}{m_{d}}}s}},\quad {\begin{cases}\tau _{d}>0\\m_{d}>1\end{cases}}$
La rete presenta:
* uno zero in $-{\tfrac {1}{\tau _{d}}}$;
* un polo in $-{\tfrac {m_{d}}{\tau _{d}}}$.
Essendo $m_{d}>1$, il polo si trova ad una pulsazione $m_{d}$ volte maggiore di quella dello zero → è possibile sovrapporre i diagrammi di Bode di varie reti anticipatrici, al variare di $m_{d}$, normalizzandoli alla pulsazione normalizzata $\omega \tau _{d}$:
* lo zero si trova alla pulsazione normalizzata $1=0{\text{ dB}}$;
* il polo si trova alla pulsazione normalizzata $m_{d}$.
L'inserimento di una rete anticipatrice nella funzione $C'(s)$ introduce nella funzione d'anello $G_{a}(s)$:
* un aumento di modulo crescente al crescere di $m_{d}$, che tende al valore massimo ${\left.m_{d}\right|}_{\text{dB}}$ per $\omega \to +\infty$;
* un anticipo (o recupero, cioè aumento) di fase crescente al crescere di $m_{d}$, il cui massimo $\varphi _{\text{max}}$ si trova all'ascissa normalizzata ${\sqrt {m_{d}}}$.
Le reti anticipatrici sono utilizzate quando alla pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$ è necessario un recupero di fase $\Delta \varphi$ per ottenere il margine di fase $m_{\varphi }$ richiesto.

### Sfruttamento del massimo recupero di fase

Solitamente il valore di $m_{d}$ è progettato sfruttando il massimo recupero di fase $\varphi _{\text{max}}$ consentito dalla rete:
    $\varphi _{\text{max}}={\rm {{arcsin}{\frac {m_{d}-1}{m_{d}+1}}\Rightarrow m_{d}={\frac {1+\sin {\varphi _{\text{max}}}}{1-\sin {\varphi _{\text{max}}}}}}}$
La costante di tempo $\tau _{d}$ si determina dai diagrammi di Bode normalizzati imponendo che il punto ad ascissa normalizzata $x_{d}$, corrispondente alla pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$, sia coincidente al punto di massimo recupero di fase della rete:
    $x_{d}={\omega _{c}}_{\text{des}}\tau _{d}={\sqrt {m_{d}}}:\;\angle R_{i}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)=\Delta \varphi =\varphi _{\text{max}}$
Se la variazione di fase $\Delta \varphi$ desiderata è elevata ($>{60}^{\circ }$), si introducono più reti anticipatrici ${R_{d}}_{i}(s)$ scelte in modo che:
    $\Delta \varphi =\sideset{_{i}}\sum {{\varphi _{\text{max}}}_{i}}$
Se in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$ l'aumento di modulo determinato dall'inserimento della rete, pari a:
    ${\left|R_{d}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)\right|}_{\text{dB}},\quad {\omega _{c}}_{\text{des}}={\frac {\sqrt {m_{d}}}{\tau _{d}}}$
risulta inferiore alla variazione di modulo desiderata $\Delta m$, è sufficiente aumentare opportunamente il guadagno stazionario $K_{c}$ in modo che la pulsazione di taglio $\omega _{c}$ della funzione d'anello $G_{a}(s)$ sia pari a quella desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$.

### Contenimento dell'aumento di modulo

Se in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$ l'aumento di modulo determinato dall'inserimento della rete risulta superiore alla variazione di modulo desiderata $\Delta m$, è necessario sovradimensionare il valore di $m_{d}$ della rete in modo che, in un punto ad ascissa normalizzata $x_{d}$ inferiore a quella del punto di massimo recupero di fase, sia la variazione di modulo sia la variazione di fase introdotte siano pari a quelle desiderate $\Delta m$ e $\Delta \varphi$:
    $x_{d}={\omega _{c}}_{\text{des}}\tau _{d}<{\sqrt {m_{d}}}:\;{\begin{cases}\angle R_{i}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)=\Delta \varphi <\varphi _{\text{max}}\\{\left|R_{i}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)\right|}_{\text{dB}}={\left.\Delta m\right|}_{\text{dB}}\end{cases}}$
Il principale svantaggio associato all'utilizzo di reti anticipatrici con $m_{d}$ elevato consiste in un aumento dell'attività sul comando.

## Reti attenuatrici

Una rete attenuatrice (o integrativa) è descritta da una funzione di trasferimento nella forma:
    $R_{i}(s)={\frac {1+{\frac {\tau _{i}}{m_{i}}}s}{1+\tau _{i}s}},\quad {\begin{cases}\tau _{i}>0\\m_{i}>1\end{cases}}$
La rete presenta:
* un polo in $-{\tfrac {1}{\tau _{i}}}$;
* uno zero in $-{\tfrac {m_{i}}{\tau _{i}}}$.
Essendo $m_{i}>1$, lo zero si trova ad una pulsazione $m_{i}$ volte maggiore di quella del polo → è possibile sovrapporre i diagrammi di Bode di varie reti attenuatrici, al variare di $m_{i}$, normalizzandoli alla pulsazione normalizzata $\omega \tau _{i}$:
* il polo si trova alla pulsazione normalizzata $1=0{\text{ dB}}$;
* lo zero si trova alla pulsazione normalizzata $m_{i}$.
L'inserimento di una rete attenuatrice nella funzione $C'(s)$ introduce nella funzione d'anello $G_{a}(s)$:
* un'attenuazione di modulo crescente al crescere di $m_{i}$, che tende al valore minimo $-{\left.m_{i}\right|}_{\text{dB}}$ per $\omega \to +\infty$;
* una perdita (cioè diminuzione) di fase crescente al crescere di $m_{i}$, il cui minimo $\varphi _{\text{min}}$ si trova all'ascissa normalizzata ${\sqrt {m_{i}}}$.
Le reti attenuatrici sono utilizzate quando è necessaria un'attenuazione di modulo ${\left.\Delta m\right|}_{\text{dB}}$ per ridurre la pulsazione di taglio $\omega _{c}$ fino a portarla al valore desiderato ${\omega _{c}}_{\text{des}}$:
    $-{\left.\Delta m\right|}_{\text{dB}}={\left|{G_{a}}_{1}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)\right|}_{\text{dB}}$
Il valore di $m_{i}$ è scelto pari all'attenuazione di modulo $\Delta m$ richiesta:
    $m_{i}=-\Delta m$
La costante di tempo $\tau _{i}$ si determina dai diagrammi di Bode normalizzati imponendo che in corrispondenza del punto ad ascissa normalizzata $x_{i}$, corrispondente alla pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$, l'attenuazione di modulo ${\left.\Delta m\right|}_{\text{dB}}$ tenda a quella massima della rete:
    $x_{i}={\omega _{c}}_{\text{des}}\tau _{i}\gg {\sqrt {m_{i}}}:\;{\left|R_{i}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)\right|}_{\text{dB}}={\left.\Delta m\right|}_{\text{dB}}\to -{\left.m_{i}\right|}_{\text{dB}}$
In corrispondenza del punto ad ascissa normalizzata $x_{i}$:
* la perdita di fase deve essere piccola in modo da contenere la riduzione del margine di fase $m_{\varphi }$;
* il tempo di assestamento $t_{a,\varepsilon \%}$ della risposta del sistema non deve essere troppo elevato, cioè l'ascissa $x_{i}$ non deve essere scelta a pulsazioni troppo elevate.

## Reti integro-derivative

Una rete integro-derivativa (o lead-lag) è descritta da una funzione di trasferimento del secondo ordine, dal prodotto di una rete attenuatrice e di una rete anticipatrice:
    $R_{id}(s)=\underbrace {\frac {1+{\frac {\tau _{i}}{m_{i}}}s}{1+\tau _{i}s}} _{\text{attenuatrice}}\cdot \underbrace {\frac {1+\tau _{d}s}{1+{\frac {\tau _{d}}{m_{d}}}s}} _{\text{anticipatrice}},\quad {\begin{cases}\tau _{i},\tau _{d}>0\\m_{i},m_{d}>1\end{cases}}$
Una rete integro-derivativa è utilizzata quando alla pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$ è necessario introdurre:
* un recupero di fase (anticipatrice) per garantire il margine di fase richiesto;
    e
* un'attenuazione del modulo (attenuatrice) affinché il modulo sia unitario ($0{\text{ dB}}$).
Si progetta prima la rete anticipatrice apportando un recupero di fase maggiore di quanto strettamente necessario, così la fase in eccesso potrà essere persa per effetto della rete attenuatrice.

## Implicazioni sull'attività sul comando

La risposta al gradino della funzione di trasferimento $W_{u}(s)$ del comando $u(t)$:
    $W_{u}(s)={\frac {u(s)}{y_{\text{des}}(s)}}={\frac {C(s)}{1+G_{a}(s)}}$
presenta un valore massimo che aumenta al crescere dell'azione anticipatrice introdotta ($m_{d}$) e diminuisce al crescere dell'azione attenuatrice introdotta ($m_{i}$):
* se la funzione $C(s)$ del controllore è priva di poli nell'origine, il comando $u(t)$ raggiunge il valore massimo per $t=0$:
    $\lim _{t\to 0}u(t)=K_{c}{\frac {\sideset{_{k}}\prod {{m_{d}}_{k}}}{\sideset{_{j}}\prod {{m_{i}}_{j}}}}$

### Ipotesi

La funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore è priva di poli nell'origine:
    $C(s)=K_{c}\cdot \sideset{_{k}}\prod {{R_{d}}_{k}(s)}\cdot \sideset{_{j}}\prod {{R_{i}}_{j}(s)}$
Dal teorema iniziale si ricava il valore massimo in $t=0$ dell'attività sul comando $u(t)$ a fronte di un ingresso a gradino unitario $\varepsilon (t)$:
    $\lim _{t\to 0}u(t)=\lim _{s\to +\infty }su(s)=\lim _{s\to +\infty }sW_{u}(s)\cdot y_{\text{des}}(s)=\lim _{s\to +\infty }s{\frac {C(s)}{1+G_{a}(s)}}\cdot {\mathcal {L}}\left\{\varepsilon (t)\right\}=\lim _{s\to +\infty }{\cancel {s}}{\frac {C(s)}{1+G_{a}(s)}}\cdot {\frac {1}{\cancel {s}}}=$
Poiché $G_{a}(s)$ è la funzione d'anello di un sistema fisicamente realizzabile, essa è strettamente propria:
    $=\lim _{s\to +\infty }C(s)=K_{c}{\frac {\sideset{_{k}}\prod {{m_{d}}_{k}}}{\sideset{_{j}}\prod {{m_{i}}_{j}}}}$
* se la funzione $C(s)$ del controllore contiene almeno un polo nell'origine, il comando $u(t)$ raggiunge il valore massimo per $t>0$.

## Note

* ↑ Il mancato soddisfacimento di una specifica statica indicherebbe la presenza di un errore progettuale.
* ↑ Si noti che la variazione di modulo $\Delta m$ non è qui espressa in dB.