# Analisi matematica I/Forme indeterminate di successioni

Analisi matematica I
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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* Esistenza del limite di una successione
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* Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
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Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
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Successioni e serie di funzioni
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Serie e successioni
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Funzioni di una variabile, limiti e continuità
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Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
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* Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
* Le derivate fondamentali
* Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
* Il teorema di de L’Hospital
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* Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
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Quando ci troviamo di fronte a successioni che divergono in senso opposto, non possiamo a priori stabilire la convergenza o meno della somma delle due successioni.
Cioè, se $(a_{n})\to +\infty$ e $(b_{n})\to -\infty$, non possiamo sapere a cosa tenda $(a_{n}+b_{n})$. Infatti, dipende tutto dalla situazione particolare: può essere convergente, può essere divergente positivamente, negativamente o addirittura essere oscillante!
Una forma di questo tipo si chiama forma indeterminata di tipo $\infty -\infty$. Altre forme indeterminate sono
* ${\frac {\infty }{\infty }}$
* ${\frac {0}{0}}$
Facciamo qualche esempio:

## Teorema di Cesaro

Forme ${\frac {\infty }{\infty }}$
Siano $(a_{n}),\ (b_{n})$ successioni reali e supponiamo che $b_{n}$ diverga positivamente. Inoltre sia $b_{n}$ una successione monotona strettamente crescente e positiva.
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$
Forme ${\frac {0}{0}}$
Siano $(a_{n}),\ (b_{n})$ successioni reali tali che entrambe le successioni convergono a $0$ e $b_{n}$ sia monotona strettamente crescente o decrescente.
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$