# Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Tutti i connettivi

Logica matematica
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Date due sentenze, abbiamo quattro combinazioni. Poiché ad ogni combinazione può corrispondere un valore di Vero o Falso, tutte le possibili combinazioni sono sedici. Quindi esistono 16 possibili connettivi per sentenze composte da due frasi.
Costruiamo la tavola di verità per tutti i connettivi possibili.
| A | B | 00 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Vero | Vero | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T |
| Vero | Falso | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T |
| Falso | Vero | F | F | F | F | T | T | T | T | F | F | F | F | T | T | T | T |
| Falso | Falso | F | F | F | F | F | F | F | F | T | T | T | T | T | T | T | T |
Questo è l'elenco completo. Possiamo notarne alcuni che già conosciamo, o comunque interessanti.
* 01: è la congiunzione AND ($\land$).
* 07: è la disgiunzione OR ($\lor$).
* 13: è l'implicazione ($\to$).
* 09: è l'equivalenza o doppia implicazione ($\leftrightarrow$), cioè $(A\to B)\land (B\to A)$.
* 00: è la costante Falso ($\bot$).
* 15: è la costante Vero ($\top$).
Altri connettivi interessanti:
* 14: NAND ($\uparrow$), cioè la negazione della congiunzione, chiamato anche connettivo di Sheffer.
* 06: XOR ($\veebar$), disgiunzione esclusiva, vera se e solo se una e una sola delle due sentenze è vera.
* 08: NOR ($\downarrow$), la negazione della disgiunzione.
Il connettivo NAND è funzionalmente completo, cioè da questo solo connettivo è possibile derivare tutti gli altri.
$A\uparrow A\equiv \neg A$
$A\uparrow A\equiv \neg A$
$(A\uparrow B)\uparrow (A\uparrow B)\equiv A\land B$
$(A\uparrow A)\uparrow (B\uparrow B)\equiv A\lor B$
$(A\uparrow B)\uparrow (A\uparrow B)\equiv A\land B$
$(A\uparrow B)\uparrow A\equiv A\to B$
Potete provare con le tavole di verità che questo sia effettivamente vero. Provate anche a cercare altri connettivi che hanno la stessa proprietà.

## Voci correlate

* Dimostrazione di completezza di insiemi di connettivi