# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Le equazioni che determinano l'evoluzione di un fenomeno fisico, in realtà, raramente sono esattamente deducibili, ma sono dedotte da modellizzazioni del fenomeno stesso. In questo modulo verranno presentati due modelli che portano alla deduzione dell'equazione delle onde. Il primo di questi due modelli è quello di D'Alembert.
L'idea è quella di fare delle supposizioni che possano condurre a un modello in grado di descrivere in maniera piuttosto soddisfacente i fenomeni fisici ondulatori. Più precisamente, nel caso monodimensionale, si vuole arrivare all'equazione:
$\rho u_{tt}-\tau u_{xx}=0$
Detta $v^{2}={\frac {\tau }{\rho }}$, si può riscrivere:
$u_{tt}-v^{2}u_{xx}=0$
Si supponga che sia nota $u(x,t)$, ovvero la curva che descrive la vibrazione a istante $t$ fissato. Supponiamo di voler dedurre l'equazione di cui sopra nel caso di una corda oscillante. Nel suo moto la corda si deforma: quello che si vuole è una relazione tra l'azione che produce la deformazione e la deformazione stessa. Sia $\Delta x$ l'elemento di prova su cui applicare le equazioni cardinali della dinamica.
In un sistema siffatto entrano in gioco due componenti di forze:
* la risultante delle forze che determina il moto della corda;
* una coppia di forze che ne determina la torsione.
Come prima ipotesi si supponga che non agiscano coppie di forze e dunque che il filo sia perfetto, privo di torsioni. La seconda ipotesi di cui ci si avvale in questo modello consiste nel supporre l'assenza di forze esterne. Chiaramente vi saranno delle forze interne che vanno considerate, infatti tagliando il filo i due lembi si separano. La forza interna responsabile di questo fenomeno è detta tensione. Sempre per l'ipotesi di filo perfetto, essendo nulle le torsioni dello stesso, è lecito supporre che la tensione debba agire tangenzialmente al filo. Detto ${\hat {h}}$ il versore tangente alla curva ed essendo nota la parametrizzazione della curva nel piano, è possibile scrivere che:
${\hat {h}}=\left(1,u_{x}\right){\frac {1}{\sqrt {1+u_{x}^{2}}}}$
La forza di tensione può essere scritta in funzione del versore ${\hat {h}}$:
$T=\tau (x,t){\hat {h}}(u)$
Ai capi di $\Delta x$ agiscono le forze di tensione. Per poter scrivere l'equazione di Newton per l'elemento di prova che si sta considerando è necessario conoscere l'accelerazione a cui esso è sottoposto: si supponga pertanto che il moto della corda sia puramente trasversale.
Prima di continuare è bene notare ancora una volta come la costruzione di un modello per descrivere un fenomeno fisico sia un processo che si basa su un insieme di ipotesi (restrittive o meno) necessarie per poter scrivere delle equazioni matematiche atte a descrivere il fenomeno fisico in questione.
Detto questo, si ha che $\rho \Delta x$ è la massa del tratto di corda che si sta considerando e ${\underline {a}}=u_{tt}{\hat {k}}$ è la sua accelerazione. Dunque, l'equazione di moto dell'elemento di prova $\Delta x$ è:
$\rho \Delta xu_{tt}{\hat {k}}=\tau {\hat {h}}(x+\Delta x)-\tau {\hat {h}}(x)\simeq {\frac {\partial }{\partial x}}(\tau {\hat {h}})\Delta x+o(\Delta x)$
Come ultima ipotesi si supponga che le oscillazioni siano "piccole". Più precisamente questo significa che $u_{x}\simeq o(1)$, dunque:
$u_{x}^{2}\ll u_{x}\ll 1$
Sotto tale ipotesi si ha anche che:
${\hat {h}}=(1,u_{x}){\frac {1}{\sqrt {1+u_{x^{2}}}}}\simeq (1,u_{x})\simeq {\hat {i}}+u_{x}{\hat {k}}$
L'equazione di moto per $\Delta x$ può essere riscritta come:
$\rho u_{tt}{\hat {k}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\tau ({\hat {i}}+u_{x}{\hat {k}})\right)+o(1)$
Proiettando lungo ${\hat {i}}$ si ha:
${\frac {\partial }{\partial x}}(\tau )=0$
Ovvero, la tensione non dipende dal punto della corda su cui è valutata: $\tau (x,t)=\tau (t)$. Proiettando lungo ${\hat {k}}$:
$\rho u_{tt}=\tau {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=\tau u_{xx}$
Ovvero:
$\rho u_{tt}-\tau u_{xx}=0$
Il processo deduttivo appena illustrato è dovuto a D'Alembert. Partendo dall'equazione delle onde così dedotta è possibile estendere a casi più generali.
* Considerando la presenza di forze di richiamo ${\underline {f}}=-\alpha u{\hat {k}}$ e di forze di attrito ${\underline {f}}=-\eta u_{t}{\hat {k}}$ si ottiene l'equazione dedotta da Lord Kelvin per spiegare il passaggio di corrente nei cavi elettrici, prima che fossero note le equazioni di Maxwell. Essa è detta equazione dei cavi telegrafici e ha la seguente forma:
    $\rho u_{tt}-\tau u_{xx}+\alpha u+\beta u_{t}=f(x,t)$
* Nel caso in cui $\beta =f=0$, dette $v^{2}={\frac {\tau }{\rho }}$ e $m^{2}={\frac {\alpha }{\rho }}$ si ricava l'equazione di Klein-Gordon:
    $u_{tt}-v^{2}u_{xx}+m^{2}u=0$
In definitiva, in questo modulo si è derivata un'equazione (quella delle onde) partendo da una modellizzazione del fenomeno fisico da essa descritto. Un approccio di questo tipo ai problemi è molto comune in fisica e per uno stesso problema è possibile avere modellizzazioni differenti. Nel caso della corda oscillante, ad esempio, esiste una seconda metodologia deduttiva dovuta a Lagrange, che vedremo più avanti. Entrambi i modelli, di Lagrange e di D'Alembert, rappresentano un modus operandi che partendo da elementi discreti, tramite opportune ipotesi e semplificazioni, è in grado di dedurre il comportamento di un sistema fisico nel continuo.