# Equazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Nel modulo precedente si è osservata l'importanza delle soluzioni fondamentali del laplaciano in ${\mathbb {R}}^{n}$ nella definizione delle soluzioni delle equazioni differenziali di cui ci stiamo occupando. Più precisamente si è dimostrato che le soluzioni dell'equazione di Poisson possono essere scritte in funzione della soluzione fondamentale del laplaciano. In questo modulo si metterà in luce l'estrema importanza di $\Phi (x-y)$ nel definire quella che viene chiamata formula di rappresentazione.

## Teorema (1)

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto con frontiera regolare e sia $u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$ tale che $\int _{\Omega }\left|\Delta u\right|<+\infty$, ovvero $u\in L^{1}(\Omega )$. Allora si ha la formula di rappresentazione:
$u(x)=\int _{\partial \Omega }\left(\Phi (x-y){\frac {\partial u(y)}{\partial {\hat {n}}}}-u(y){\frac {\partial \Phi (x-y)}{\partial {\hat {n}}}}\right)dy-\int _{\Omega }\Phi (x-y)\Delta u(y)dy$
Prima di procedere con la dimostrazione si tengano presenti la seguenti osservazioni:
Innanzitutto si nota che per funzioni armoniche, essendo $\Delta u=0$, la formula di rappresentazione assume la forma:
$u(x)=\int _{\partial \Omega }\left(\Phi (x-y){\frac {\partial u(y)}{\partial {\hat {n}}}}-u(y){\frac {\partial \Phi (x-y)}{\partial {\hat {n}}}}\right)dy$
In cui si nota che, essendo $\Phi (x-y)\in C^{\infty }$, anche l'integranda lo sarà. Pertanto quella appena scritta è un'altra rappresentazione di $u(x)$ come funzione di classe $C^{\infty }$
Se si vuole usare la formula di rappresentazione per risolvere $-\Delta u=f$ si nota che essa in realtà ci dà l'espressione di una funzione che è quasi una soluzione dell'equazione di Poisson. Più precisamente, si ha che per poter usare $u(x)$, scritta con la formula di rappresentazione, per risolvere $-\Delta u=f$ si dovrebbero conoscere due valori al bordo: quello di $u(y)$ e quello di ${\frac {\partial u(y)}{\partial {\hat {n}}}}$ ma il problema al bordo con condizione di Dirichlet fissa solo uno di questi due valori.
Veniamo ora alla dimostrazione del teorema.

### Dimostrazione

Sia, per comodità, $\Psi (y)=\Phi (x-y)$. Si ha che $\Psi (y)$ è localmente integrabile nell'intorno della singolarità, quindi si avrà:
$\int _{B(x,\epsilon )}\Psi (y)dy<+\infty$
Dunque $\Psi (y)\Delta u(y)\in L^{1}(\Omega )$. Allora si ha che:
$\int _{\Omega }\Psi (y)\Delta u(y)dy=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{\Omega \setminus B(x,\epsilon )}\Psi (y)\Delta u(y)dy$
Calcolando esplicitamente il limite si ha che:
$\int _{\Omega \setminus B(x,\epsilon )}\Psi (y)\Delta u(y)dy=\int _{\partial \Omega }\left(\Psi {\frac {\partial u}{\partial {\hat {n}}}}-u{\frac {\partial \Psi }{\partial {\hat {n}}}}\right)d\sigma (y)+\int _{\partial B}\left(\Psi {\frac {\partial u}{\partial {\hat {n}}}}-u{\frac {\partial \Psi }{\partial {\hat {n}}}}\right)d\sigma (y)$
Per scrivere questa uguaglianza si è usata la prima identità di Green è si è osservato che
$\int _{\Omega \setminus B(x,\epsilon )}\delta \Psi (y)u(y)dy=0$
Il secondo degli addendi scritti sopra è già stato calcolato nel lemma che si è usato nel modulo riguardo alle soluzioni dell'equazione di Poisson e si è osservato che il risultato di quell'integrale è $-u(x)$. In definitiva, passando al limite $\epsilon \rightarrow 0$, si ottiene:
$\int _{\Omega }\Psi (y)\Delta u(y)dy=\int _{\partial \Omega }\left(\Psi u_{\hat {n}}-\Psi _{\hat {n}}u\right)d\sigma (y)-u(x)$
Da cui segue la tesi.
In realtà vale una versione ben più generica della formula di rappresentazione. Si consideri una funzione $h\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$, armonica in $\Omega$. Si consideri poi la funzione ${\mathcal {G}}(x,y)=\Phi (x-y)\pm h(y)$. La formula di rappresentazione continuerà a valere anche per lo scambio $\Psi \mapsto {\mathcal {G}}$. Infatti, data:
$\int _{\Omega }h\Delta udy={\underset {=0}{\underbrace {\int _{\Omega }u\Delta hdy} }}+\int _{\partial \Omega }\left(h{\frac {\partial u}{\partial {\hat {n}}}}-u{\frac {\partial h}{\partial {\hat {n}}}}\right)$
Sommando membro a membro con la formula di rappresentazione data dal teorema enunciato sopra si ottiene:
$u(x)=\int _{\partial \Omega }\left(G(x,y)u_{\hat {n}}-G(x,y)_{\hat {n}}u(y)\right)d\sigma (y)-\int _{\Omega }G(x,y)\Delta u(y)dy$
La funzione $G(x,y)$ prende il nome di funzione di Green. Sostanzialmente l'uso della formula di rappresentazione, nella sua forma più generale, ci permette di sistematizzare il problema al bordo da cui partiamo, ma non garantisce che esso sia risolvibile. Più precisamente, nell'uso della formula di rappresentazione non si è certi del fatto che il problema in $h(y)$ che si ottiene sia risolvibile. Sebbene qui non verrà fatto esplicitamente, è possibile provare che la funzione di Green $G(x,y)$ esiste sempre. Nel modulo successivo ci occuperemo di sfruttare i risultati ora ottenuti per andare a illustrare alcuni esempi di casi particolari in cui è conveniente usare la formula di rappresentazione.