# Algebra 1/Equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado/Equazioni frazionarie e letterali

Algebra 1
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## Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado

In uno dei capitoli precedenti abbiamo affrontato le equazioni di primo grado. Adesso consideriamo le equazioni di grado superiore al primo che possono essere ricondotte ad equazioni di primo grado, utilizzando la legge di annullamento del prodotto.
Esempio:
Il polinomio al primo membro può essere scomposto in fattori: $(x-2)(x+2)=0$. Per la legge di annullamento, il prodotto dei due binomi si annulla se $x-2=0$ oppure se $x+2=0$. Di conseguenza si avranno le soluzioni: $x=2$ e $x=-2$.
In generale, se si ha un’equazione di grado $n$ scritta in forma normale $P(x)=0$ e se il polinomio $P(x)$ è fattorizzabile nel prodotto di $n$ fattori di primo grado:
$(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})\ldots (x-a_{n-1})(x-a_{n})=0$
applicando la legge di annullamento del prodotto, le soluzioni dell’equazione si ottengono determinando le soluzioni delle singole $n$ equazioni di primo grado, cioè risolvendo:
$x-a_{1}=0{\text{, }}x-a_{2}=0{\text{, }}x-a_{3}=0{\text{, }}\ldots {\text{, }}x-a_{n-1}=0{\text{, }}x-a_{n}=0.$
Pertanto l’insieme delle soluzioni dell’equazione data sarà: ${\text{I.S.}}=\{a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}a_{3}{\text{, }}\ldots {\text{, }}a_{n-1}{\text{, }}a_{n}\}$.
Esempio:
Scomponendo in fattori il polinomio al primo membro, ricercando quei due numeri la cui somma è pari a $-1$ e il cui prodotto è pari a $-2$, si ha: $(x+1)(x-2)=0$. Utilizzando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene il seguente insieme di soluzioni: ${\text{I.S.}}=\{-1{\text{, }}2\}$.
Esempio:
Scomponendo in fattori il polinomio al primo membro, utilizzando la regola della scomposizione del particolare trinomio di secondo grado, si ottiene: $(x^{2}-1)(x^{2}-4)=0$. Scomponendo ulteriormente in fattori si ha:
$(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)=0.$
Per la legge di annullamento del prodotto è necessario risolvere le equazioni:
$x-1=0\Rightarrow x=1{\text{,}}\quad x+1=0\Rightarrow x=-1{\text{,}}\quad x-2=0\Rightarrow x=2{\text{,}}\quad x+2=0\Rightarrow x=-2.$
L’insieme delle soluzioni: ${\text{I.S.}}=\{+1{\text{, }}-1{\text{, }}+2{\text{, }}-2\}$.

## Equazioni numeriche frazionarie

Affrontiamo ora le equazioni in cui l’incognita compare anche al denominatore.
Definizione: Un’equazione in cui l’incognita compare al denominatore si chiama frazionaria o fratta.
Esempio:
Questa equazione si differenzia da quelle affrontate in precedenza per il fatto che l’incognita compare anche al denominatore. Riflettendo sulla richiesta del problema, possiamo senz’altro affermare che, se esiste il valore che rende la frazione al primo membro uguale alla frazione al secondo membro, esso non deve annullare nessuno dei due denominatori, poiché in questo caso renderebbe priva di significato la scrittura, in quanto frazioni con denominatore $0$ sono prive di significato.
Per risolvere un’equazione frazionaria, prima di tutto dobbiamo renderla nella forma
${\tfrac {F(x)}{G(x)}}=0.$
* Determiniamo il ${\text{mcm}}$ dei denominatori, ${\text{mcm}}=(1+x)\cdot (x-2)$. Osserviamo che per $x=-1$ oppure per $x=2$ le frazioni perdono di significato, in quanto si annulla il denominatore;
* imponiamo le condizioni di esistenza: $1+x\neq 0$ e $x-2\neq 0$ cioè ${\text{C.E.}}x\neq -1\wedge x\neq 2$. La ricerca dei valori che risolvono l’equazione viene ristretta all’insieme ${\mathcal {D}}=\mathbb {R} -\{-1{\text{, }}2\}$, detto dominio dell’equazione o insieme di definizione;
* applichiamo il primo principio d’equivalenza trasportando al primo membro la frazione che si trova al secondo membro e riduciamo allo stesso denominatore (${\text{mcm}}$) ${\tfrac {(3x-2)\cdot (x-2)-3x\cdot (1+x)}{(1+x)\cdot (x-2)}}=0;$
* applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando ambo i membri per il ${\text{mcm}}$, certamente diverso da zero per le condizioni poste precedentemente. L’equazione diventa: $(3x-2)\cdot (x-2)-3x\cdot (1+x)=0$;
* eseguiamo le moltiplicazioni e sommiamo i monomi simili per portare l’equazione alla forma canonica: $3x^{2}-6x-2x+4-3x-3x^{2}=0\Rightarrow -11x=-4$;
* dividiamo ambo i membri per $-11$, per il secondo principio di equivalenza si ha: $x={\tfrac {4}{11}}$;
* confrontiamo il valore trovato con le ${\text{C.E.}}$: in questo caso la soluzione appartiene al dominio ${\mathcal {D}}$, quindi possiamo concludere che è accettabile. L’insieme soluzione è: ${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {4}{11}}\right\}$.
Esempio:
* Determiniamo il ${\text{mcm}}$ dei denominatori. Per fare questo dobbiamo prima scomporli in fattori. Riscriviamo: ${\tfrac {x^{2}+x-3}{x\cdot (x-1)}}=1-{\tfrac {5}{2x}}$ con ${\text{mcm}}=2x\cdot (x-1)$;
* condizioni di esistenza: $x-1\neq 0\wedge 2x\neq 0{\text{,}}$ cioè $x\neq 1\wedge x\neq 0$. Il dominio è ${\mathcal {D}}=\mathbb {R} -\{1{\text{, }}0\}$;
* trasportiamo al primo membro ed uguagliamo a zero ${\tfrac {x^{2}+x-3}{x\cdot (x-1)}}-1+{\tfrac {5}{2x}}=0$ e riduciamo allo stesso denominatore (${\text{mcm}}$) ambo i membri ${\tfrac {2x^{2}+2x-6-2x^{2}+2x+5x-5}{2x\cdot (x-1)}}=0;$
* applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando ambo i membri per il ${\text{mcm}}$, certamente diverso da zero per le condizioni poste in precedenza. L’equazione diventa: $2x^{2}+2x-6-2x^{2}+2x+5x-5=0$;
* riduciamo i monomi simili per portare l’equazione alla forma canonica: $9x=11$;
* dividiamo ambo i membri per $9$, otteniamo: $x={\tfrac {11}{9}}$;
* confrontando con le ${\text{C.E.}}$, la soluzione appartiene all’insieme ${\mathcal {D}}$, dunque è accettabile e l’insieme soluzione è: ${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {11}{9}}\right\}$.

## Equazioni letterali
### Equazioni con un solo parametro

Quando si risolvono problemi, ci si ritrova a dover tradurre nel linguaggio simbolico delle proposizioni del tipo: <<Un lato di un triangolo scaleno ha lunghezza pari a $k$ volte la lunghezza dell’altro e la loro somma è pari a $2k$>>. Poiché la lunghezza del lato del triangolo non è nota, ad essa si attribuisce il valore incognito $x$ e quindi la proposizione viene tradotta dalla seguente equazione: $x+kx=2k$.
È possibile notare che i coefficienti dell’equazione non sono solamente numerici, ma contengono una lettera dell’alfabeto diversa dall’incognita. Qual è il ruolo della lettera $k$? Essa prende il nome di parametro ed è una costante che rappresenta dei numeri fissi, quindi, può assumere dei valori prefissati. Ogni volta che viene fissato un valore di $k$, l’equazione precedente assume una diversa forma. Infatti si ha:
| Valore di $k$ | Equazione corrispondente |
| $0$ | $x=0$ |
| $2$ | $x+2x=4$ |
| $-{\tfrac {1}{2}}$ | $x-{\tfrac {1}{2}}x=-1$ |
Si può quindi dedurre che il parametro diventa una costante, all’interno dell’equazione nell’incognita $x$, ogni volta che se ne sceglie il valore.
Si supponga che il parametro $k$ assuma valori all’interno dell’insieme dei numeri reali. Lo scopo è quello di risolvere l’equazione, facendo attenzione a rispettare le condizioni che permettono l’uso dei principi d’equivalenza e che permettono di ridurla in forma normale.
Riprendiamo l’equazione $x+kx=2k$, raccogliamo a fattore comune la $x$ si ha:
$(k+1)x=2k.$
Per determinare la soluzione di questa equazione di primo grado, è necessario utilizzare il secondo principio d’equivalenza e dividere ambo i membri per il coefficiente $k+1$. Si ricordi però che il secondo principio ci permette di moltiplicare o dividere i due membri dell’equazione per una stessa espressione, purché questa sia diversa da zero. Per questa ragione, nella risoluzione dell’equazione $(k+1)x=2k$ è necessario distinguere i due casi:
* se $k+1\neq 0$, cioè se $k\neq -1$, è possibile dividere per $k+1$ e si ha $x={\tfrac {2k}{k+1}}$;
* se $k+1=0$, cioè se $k=-1$, sostituendo tale valore all’equazione si ottiene l’equazione $(-1+1)x=2\cdot (-1)$, cioè $0\cdot x=-2$ che risulta impossibile.
Riassumendo si ha:
$x+kx=2k$ con $k\in \mathbb {R}$ :
| Condizioni sul parametro | Soluzione | Equazione |
| $k=-1$ | nessuna | impossibile |
| $k\neq -1$ | $x={\tfrac {2k}{k+1}}$ | determinata |
Ritorniamo ora al problema sul triangolo, spesso nell’enunciato del problema sono presenti delle limitazioni implicite che bisogna trovare. Infatti, dovendo essere $x$ un lato del triangolo esso sarà un numero reale positivo. Di conseguenza, dovendo essere l’altro lato uguale a $k$ volte $x$, il valore di $k$ deve necessariamente essere anch’esso positivo, ovvero $k>0$. Di conseguenza il parametro $k$ non può mai assumere il valore $-1$ e quindi il problema geometrico ammette sempre una soluzione.
Questa analisi effettuata sui valori che può assumere il parametro $k$, prende il nome di discussione dell’equazione.
Procedura: Stabilire quando una equazione è determinata, indeterminata, impossibile.
In generale, data l’equazione $ax+b=0$ si ha $ax=-b$ e quindi:
* se $a\neq 0$, l’equazione è determinata e ammette l’unica soluzione $x=-{\tfrac {b}{a}}$;
* se $a=0$ e $b\neq 0$, l’equazione è impossibile;
* se $a=0$ e $b=0$, l’equazione è soddisfatta da tutti i valori reali di $x$, ovvero è indeterminata.
Esempio:
Dopo aver fatto i calcoli si ottiene l’equazione $(m-1)\cdot x=-m$ e quindi si ha:
* Se $m-1\neq 0$, cioè se $m\neq 1$, è possibile dividere ambo i membri per $m-1$ e si ottiene l’unica soluzione $x=-{\tfrac {m}{m-1}}$;
* se $m-1=0$, cioè se $m=1$, sostituendo nell’equazione il valore $1$ si ottiene $0\cdot x=-1$, che risulta impossibile.
Esempio:
Effettuando i prodotti si ottiene l’equazione: $(3k+1)x=-k$ e quindi si ha:
* Se $3k+1\neq 0$, cioè se $k\neq -{\tfrac {1}{3}}$, è possibile dividere ambo i membri per $3k+1$ e si ottiene l’unica soluzione $x={\tfrac {-k}{3k+1}}$;
* se $k=-{\tfrac {1}{3}}$, sostituendo questo valore di $k$ nell’equazione si ottiene $0\cdot x={\tfrac {1}{3}}$, che risulta un’equazione impossibile.
Esempio:
Portiamo al primo membro tutti i monomi che contengono l’incognita $a^{2}\cdot x-x=a+1$. Raccogliamo a fattore comune l’incognita $x\cdot \left(a^{2}-1\right)=a+1$. Scomponendo in fattori si ha l’equazione $x\cdot \left(a-1\right)\left(a+1\right)=a+1$.
I valori di $a$ che annullano il coefficiente dell’incognita sono $a=1$ e $a=-1$.
* Se nell’equazione sostituisco $a=1$, ottengo l’equazione $0x=2$ che è impossibile;
* se sostituisco $a=-1$, ottengo l’equazione $0x=0$ che è indeterminata;
* escludendo i casi $a=1$ e $a=-1$, che annullano il coefficiente della $x$, posso applicare il secondo principio di equivalenza delle equazioni e dividere primo e secondo membro per $(a+1)(a-1)$, ottenendo $x={\tfrac {a+1}{\left(a+1\right)\cdot \left(a-1\right)}}={\tfrac {1}{a-1}}$.
Ricapitolando: se $a=1$, allora ${\text{I.S.}}=\emptyset$; se $a=-1$, allora ${\text{I.S.}}=\mathbb {R}$; se $a\neq +1\wedge a\neq -1$, allora ${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {1}{a-1}}\right\}$.

### Equazioni con due parametri

Esempio:
Mettiamo l’equazione in forma canonica: $bx+ax-bx-b-2x-2=-1$. Raccogliamo a fattore comune l’incognita $(a-2)x=b+1$.
* Se $a-2=0$ l’equazione è impossibile o indeterminata. In questo caso:
** se $b+1=0$ è indeterminata;
** se $b+1\neq 0$ è impossibile;
* se $a-2\neq 0$ l’equazione è determinata e la sua soluzione è $x={\tfrac {b+1}{a-2}}$.
Riassumendo: se $a=2\wedge b=-1$ allora ${\text{I.S.}}=\mathbb {R}$; se $a=2\wedge b\neq -1$ allora ${\text{I.S.}}=\emptyset$; se $a\neq 2\wedge b\neq -1$ allora ${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {b+1}{a-2}}\right\}$.

### Equazioni con il parametro al denominatore

${\tfrac {x+a}{2a-1}}-{\tfrac {1}{a-2a^{2}}}={\tfrac {x}{a}}$ con $a\in \mathbb {R}$. :
| Condizioni sul parametro | Insieme Soluzione | Equazione |
| $a=0\vee a={\tfrac {1}{2}}$ | | priva di significato |
| $a=1$ | ${\text{I.S.}}=\emptyset$ | impossibile |
| $a\neq 0\wedge a\neq {\tfrac {1}{2}}\wedge a\neq 1$ | ${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {a^{2}+1}{a-1}}\right\}$ | determinata |
${\tfrac {a-x}{a-2}}+{\tfrac {2ax}{a^{2}-4}}-{\tfrac {2-x}{a+2}}=0$ con $a\in \mathbb {R}$ :
| Condizioni sul parametro | Insieme Soluzione | Equazione |
| $a=-2\vee a=+2$ | | priva di significato |
| $a\neq -2\wedge a\neq +2$ | ${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {a^{2}+4}{2(a-2)}}\right\}$ | determinata |

### Equazioni frazionarie letterali
#### Caso in cui il denominatore contiene solo l’incognita

${\tfrac {x+4a}{3x}}=a-{\tfrac {2x+2a}{6x}}$ con $a\in \mathbb {R}$ :
| Condizioni | Condizioni | | |
| parametro | incognita | Insieme Soluzione | Equazione |
| | $x\neq 0$ | | |
| $a={\tfrac {2}{3}}$ | | ${\text{I.S.}}=\emptyset$ | impossibile |
| $a\neq {\tfrac {2}{3}}$ | | ${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {5a}{3a-2}}\right\}$ | determinata |
| $a\neq {\tfrac {2}{3}}\wedge a\neq 0$ | accettabile | $x={\tfrac {5a}{3a-2}}$ | |

#### Caso in cui il denominatore contiene sia il parametro che l’incognita

${\tfrac {2x+b}{x}}+{\tfrac {2x+1}{b-1}}={\tfrac {2x^{2}+b^{2}+1}{bx-x}}$ con $b\in \mathbb {R}$ :
| Condizioni | Condizioni | | |
| parametro | incognita | Insieme Soluzione | Equazione |
| $b=1$ | | | priva di significato |
| $b\neq 1$ | $x\neq 0$ | | |
| $b={\tfrac {1}{2}}\vee b=-1$ | | ${\text{I.S.}}=\emptyset$ | impossibile |
| $b\neq 1\wedge b\neq {\tfrac {1}{2}}$ | | ${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {b+1}{2b-1}}\right\}$ | determinata |
| $b\neq 1\wedge b\neq {\tfrac {1}{2}}\wedge b\neq -1$ | accettabile | $x={\tfrac {b+1}{2b-1}}$ | |

### Equazioni letterali e formule inverse

Le formule di geometria, di matematica finanziaria e di fisica possono essere viste come equazioni letterali. I due principi di equivalenza delle equazioni permettono di ricavare le cosiddette formule inverse, ossia di risolvere un’equazione letterale rispetto a una delle qualsiasi lettere incognite che vi compaiono.
Esempio:
Questa equazione è stata risolta rispetto all’incognita $A$, ossia se sono note le misure della base $b$ e dell’altezza $h$ è possibile ottenere il valore dell’area $A$.
È possibile risolvere l’equazione rispetto a un'altra lettera pensata come incognita. Note le misure di $A$ e di $b$ ricaviamo $h$. Per il primo principio di equivalenza moltiplichiamo per $2$ entrambi i membri dell’equazione
$A={\tfrac {b\cdot h}{2}}\quad \Rightarrow \quad 2A=b\cdot h$
dividiamo entrambi i membri per $b$ ottenendo ${\tfrac {2A}{b}}=h$. Ora basta invertire primo e secondo membro:
$h={\tfrac {2A}{b}}.$
Esempio:
Depositando un capitale $C$ per un periodo di tempo $t$ (in anni), a un tasso di interesse annuo $i$, si ha diritto al montante $M$.
Risolviamo l’equazione rispetto al tasso di interesse $i$, ossia supponiamo di conoscere il capitale depositato $C$, il montante $M$ ricevuto alla fine del periodo $t$ e ricaviamo il tasso di interesse che ci è stato applicato. Partendo da $M=C(1+it)$, dividiamo primo e secondo membro per $C$, otteniamo
${\tfrac {M}{C}}=1+it;$
sottraiamo $1$ al primo e al secondo membro, otteniamo
${\tfrac {M}{C}}-1=it;$
dividiamo primo e secondo membro per $t$, otteniamo
$i={\tfrac {\left({\tfrac {M}{C}}-1\right)}{t}}\quad \Rightarrow \quad i={\tfrac {1}{t}}\cdot \left({\tfrac {M}{C}}-1\right)\quad \Rightarrow \quad i={\tfrac {M-C}{t\cdot C}}.$
Esempio:
Un corpo in una posizione $s_{0}$, viaggiando alla velocità costante $v$, raggiunge dopo un intervallo di tempo $t$ la posizione $s$.
Calcoliamo $v$ supponendo note le altre misure. Partendo dalla formula $s=s_{0}+v\cdot t$ sottraiamo ad ambo i membri $s_{0}$, otteniamo $s-s_{0}=v\cdot t$; dividiamo primo e secondo membro per $t$, otteniamo
${\tfrac {s-s_{0}}{t}}=v.$