# Calcoli scientifici con Julia/Mutui e prestiti

Calcoli scientifici con Julia
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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## Trattazione matematica

Al tempo t=0 viene erogato un mutuo d'importo $M_{0}$ . Tale somma viene restituita con rate costanti di importo R pagate a partire dal tempo t=1 pertanto se si considera l'anno come unità di misura allora R è la rata annuale (conoscendo la rata mensile basta moltiplicarla per 12).
Indicando con r il tasso di interesse costante con il quale viene calcolato l'interesse su debito residuo $M_{t}$ si ha che:
    $\ M_{t+1}=M_{t}+rM_{t}-R=(1+r)M_{t}-R$
Calcolando $M_{1}$ cioè il mutuo dopo 1 anno si ha:
    $\ M_{1}=(1+r)M_{0}-R$
Calcolando $M_{2}$ cioè il mutuo dopo 2 anni si ha:
    $\ M_{2}=(1+r)M_{1}-R=(1+r)^{2}M_{0}-R(1+r)-R$
Calcolando $M_{3}$ cioè il mutuo dopo 3 anni si ha:
    $\ M_{3}=(1+r)M_{2}-R=(1+r)^{3}M_{0}-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R$
Pertanto il mutuo al tempo t sarà:
    $\ M_{t}=(1+r)M_{t-1}-R=(1+r)^{t}M_{0}-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R$
Posto:
    $\ S_{t}=:-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R$
Riscriviamo $M_{t}$ come:
    $\ M_{t}=(1+r)^{t}M_{0}+S_{t}$
Moltiplicando ambo i membri dell'equazione $S_{t}$ per $-(1+r)$ si ha:
    $\ -(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}+....+R(1+r)^{3}+R(1+r)^{2}+R(1+r)$
Sommando membro a membro le 2 equazioni si ottiene:
    $\ S_{t}-(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}-R$
Da cui si ricava:
    $\ S_{t}=-{\dfrac {R}{r}}\left((1+r)^{t}-1\right)$
Allora il mutuo al tempo t risulta uguale a:
    $\ M_{t}=(1+r)^{t}M_{0}+S_{t}=(1+r)^{t}\left(M_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)+{\dfrac {R}{r}}$
Considerando la successione $M_{t}$ continua se ne può calcolare la derivata per vedere quando è crescente o decrescente. Pertanto risulta:
$\ {\dfrac {d(M(t))}{dt}}=(1+r)^{t}log(1+r)\left(M_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)$
per cui la derivata è positiva e la funzione è crescente per $R<=M_{0}r$ e quindi in tal caso il mutuo non si estinguerebbe mai, mentre per $R>M_{0}r$ la derivata è negativa, la funzione è decrescente per cui dopo un certo tempo il mutuo si estingue.
Volendo calcolare dopo quanto tempo il mutuo si estingue bisogna imporre la condizione:
    $M_{t}=(1+r)^{t}\left(M_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)+{\dfrac {R}{r}}=0$
da cui si ottiene l'equazione esponenziale:
    $(1+r)^{t_{*}}=\left({\dfrac {R}{R-M_{0}r}}\right)$
pertanto passando ai logaritmi si ottiene che il tempo $t_{*}$ in corrispondenza del quale il mutuo si estingue è:
    $t_{*}={\dfrac {\log \left({\dfrac {R}{R-M_{0}r}}\right)}{\log(1+r)}}$
mentre la rata annuale per estinguere il mutuo in un tempo annuale $t_{*}$ al tasso di interesse r è:
    $R={\frac {{M_{0}}r\,{{\left(r+1\right)}^{t_{*}}}}{{{\left(r+1\right)}^{t_{*}}}-1}}$

## Esempio di calcolo con Julia

Calcolare la rata mensile di un mutuo di 100.000€ al tasso del 2% in 20 anni. Si ottiene una rata mensile di 505,88€ :
Calcolare gli anni necessari affinché un mutuo di 136.000€ al tasso del 3,5% con una rata mensile di 616€ si estingua. Si ottiene un tempo di 30 anni:
Volendo infine calcolare il tasso di interesse annuo di un mutuo di 136.000€ con una rata mensile di 616€ per 30 anni, utilizzando la libreria Roots si ottiene un tasso pari a r=0,035 = 3,5%: