# Analisi matematica I/Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

Analisi matematica I
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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* Funzioni monotone
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Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
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* Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
* Le derivate fondamentali
* Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
* Il teorema di de L’Hospital
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* Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
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* Integrazione delle funzioni trigonometriche
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## Radici artimetiche

Sia $n\in \mathbb {N}$ fissato, $x\in \mathbb {R} ,\ x\geq 0$. Si chiama radice n-esima aritmetica il numero
$y\in \mathbb {R} \ :\ y^{n}=x$
La radice n-esima di un numero $x$ si indica
${\sqrt[{n}]{x}}\ \ \ x^{\frac {1}{n}}$

### Esistenza delle radici

Si deve provare che dato, $x\in \mathbb {R} ,x\geq 0,\exists y\geq 0t.c.y^{n}=x.$
Se x = 0 ciò è ovvio (basta y=0!)
Sia x > 0. Sia inoltre A = { $a\in \mathbb {R} :a\geq e0a^{n}\leq x$ }. $A\neq \varnothing .$Infatti $0\in A.$A è superiormente limitato.

#### Proposizione

Siano $x,y\in \mathbb {R} ,\ x,y\geq 0$. Allora si ha
* $x^{n}\leq y^{n}\Leftrightarrow x\leq y$
* $x^{n}=y^{n}\Leftrightarrow x=y$
* $x^{n}<y\Rightarrow \exists \varepsilon >0\ :\ (x+\varepsilon )^{n}<y$
* $x^{n}>y\Rightarrow \exists \varepsilon >0\ :\ x-\varepsilon >0,(x-\varepsilon )^{n}>y$

#### Teorema (esistenza della radice n-esime di ogni numero reale)

Ogni numero reale non negativo ha una sola radice n-esima.
TEOREMA(Radice aritmetica)siano dati x>0 e (n appartenente ai reali), n ≥ 2. Allora esiste uno ed un solo numero reale positivo w tale che w^n = x
Dimostrazione dell unicità della soluzione Ragioniamo per assurdo supponiamo che esistono 2 numeri che verificano entrambi l'enunciato
w1,w2 appartenenti ai reali diversi fra loro. 0 < w1 < w2
w1^n = x , w2^n = x
x = w1^n < w2^n = x questo è impossibile, si è giunti a contraddizione:
Deve esserci un'unica soluzione dimostrata l'unicità.
Da fare: ancora da completare ho solamente dimostrato l'unicità

### Funzione radice

Consideriamo la funzione radice $r:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\ \ \ r(x)=x^{n}=y$. Per il teorema di esistenza della radice, esiste una ed una sola radice n-esima per ogni $x\in \mathbb {R}$, dunque $r$ è una funzione biiettiva e quindi invertibile. La sua inversa è
$r^{-1}(y)={\sqrt[{n}]{x}}$