# Meccanica del punto materiale/Moto rettilineo

Meccanica del punto materiale
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
Cinematica del punto materiale
* Cinematica del puntoMeccanica del punto materiale/Cinematica del punto
* Moto rettilineoMeccanica del punto materiale/Moto rettilineo
* Moto circolareMeccanica del punto materiale/Moto circolare
* Moto armonicoMeccanica del punto materiale/Moto armonico
* Moto parabolico dei corpiMeccanica del punto materiale/Moto parabolico dei corpi
Dinamica del punto materiale
* Primo e secondo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Primo e secondo principio della dinamica
* Forza peso e forze vincolariMeccanica del punto materiale/Forza peso e forze vincolari
* Terzo principio della dinamicaMeccanica del punto materiale/Terzo principio della dinamica
* Forza d'attrito radenteMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito radente
* Forza d'attrito viscosoMeccanica del punto materiale/Forza d'attrito viscoso
* Forza elasticaMeccanica del punto materiale/Forza elastica
* Forza centripetaMeccanica del punto materiale/Forza centripeta
* Quantità di moto e impulsoMeccanica del punto materiale/Quantità di moto e impulso
* Momento angolareMeccanica del punto materiale/Momento angolare
* Pendolo sempliceMeccanica del punto materiale/Pendolo semplice
Moti relativi
* Teorema delle velocità relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle velocità relative
* Teorema delle accelerazioni relativeMeccanica del punto materiale/Teorema delle accelerazioni relative
* Relatività galileianaMeccanica del punto materiale/Relatività galileiana
Lavoro ed energia
* Energia cinetica e lavoroMeccanica del punto materiale/Energia cinetica e lavoro
* Energia del pendoloMeccanica del punto materiale/Energia del pendolo
* Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elasticaMeccanica del punto materiale/Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elastica
* Forze conservative ed energia potenzialeMeccanica del punto materiale/Forze conservative ed energia potenziale
* Considerazioni conclusive sull'energiaMeccanica del punto materiale/Considerazioni conclusive sull'energia
Oscillatori armonici
* Oscillatore armonicoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico
* Oscillatore armonico smorzato e forzatoMeccanica del punto materiale/Oscillatore armonico smorzato e forzato
* Oscillatori accoppiatiMeccanica del punto materiale/Oscillatori accoppiati
Appendice
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Iniziamo con una definizione:
Definizione
Il moto rettilineo si svolge su una traiettoria rettilinea. Il punto si muove dunque lungo una retta, su cui vengono arbitrariamente fissati origine e verso, e il moto di questo è descrivibile tramite la sola coordinata $x=x(t)$ (moto a una dimensione).
Attraverso lo studio delle variazioni della posizione del punto nel tempo è possibile definire la velocità del punto; una variazione di velocità nel tempo, invece, fa acquisire al punto un'accelerazione.

## Velocità

Definizione
Si definisce velocità media il rapporto tra lo spostamento e l'intervallo di tempo in cui esso si verifica:
$v_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta x_{12}}{\Delta t_{12}}}={\frac {x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$
Questo dato è però insufficiente a descrivere il moto di un punto.
Esempio. Un punto che parte dalla posizione $x_{0}$ con velocità $v$ e nella posizione $x_{1}$ inverte il verso del moto per poi fermarsi in $x_{0}$, ha $\left\langle v\right\rangle =0$ poiché posizione iniziale e finale coincidono.
Per definire le caratteristiche effettive del moto è quindi necessario ridurre l'intervallo di tempo considerato, facendolo tendere a zero. Si calcola cioè la derivata dello spazio in funzione del tempo
Definizione
Si definisce velocità istantanea il seguente limite:
$v=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}v_{m}(t,t+\Delta t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {dx}{dt}}$
Nota la velocità istantanea, si può ricavare la funzione $x(t)$ (legge oraria o equazione del moto) attraverso l'operazione inversa della derivazione, l'integrazione.
Se la velocità non è costante ma varia nel tempo, il punto possiede un'accelerazione.

## Accelerazione

Definizione
Si definisce come accelerazione media il rapporto tra la variazione di velocità in un intervallo di tempo e l'intervallo di tempo stesso:
$a_{m}(v_{1},v_{2})={\frac {\Delta v_{12}}{\Delta t_{12}}}$
Anche in questo caso l'accelerazione media non è sufficiente a descrivere accuratamente il moto, pertanto è opportuno calcolare tale variazione in un intervallo di tempo tendente a zero.
Definizione
Si definisce come accelerazione istantanea la quantità:
$a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

## Velocità e accelerazione a "confronto"

| | $v$ | $a$ |
| 0 | quiete | moto uniforme |
| costante | moto uniforme | moto uniformemente accelerato |
| + | il punto si muove nello stesso verso dell'asse | la velocità cresce |
| - | il punto si muove nel verso opposto dell'asse | la velocità decresce |
Posso correlare tra loro spostamento, velocità iniziale, velocità finale e accelerazione tramite il seguente procedimento:
${\frac {dv}{dt}}={\frac {dv}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}\quad a={\frac {dv}{dx}}v\quad a\cdot dx=dv\cdot$
$\int _{x_{0}}^{x}adx=\int _{v_{0}}^{v}vdv\quad \int _{x_{0}}^{x}adx=[{\frac {v^{2}}{2}}]_{v_{0}}^{v}$
$\int _{x_{0}}^{x}adx={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2}}\quad 2\int _{x_{0}}^{x}adx=v^{2}-v_{0}^{2}$
Se a è costante (moto rettilineo uniformemente accelerato) si ha $a_{0}=a(x)$, quindi:
$v^{2}-v_{0}^{2}=2a\Delta x$

## Tipi di moto
### Moto rettilineo uniforme

Il moto è rettilineo uniforme con $v_{0}=\left\langle v\right\rangle =v(t)$, cioè con velocità costante.
In questo caso la legge oraria è:
$v=v_{0}\ ;\quad {\frac {dX}{dt}}=v_{0}\ ;\quad dx=v_{0}\cdot dt\ ;$
$\int _{x_{0}}^{x_{t}}dx=\int _{0}^{t}v_{0}dt\ ;\quad \int _{x_{0}}^{x_{t}}dX=v_{0}\int _{0}^{t}dt\ ;$
$[x]_{x_{0}}^{x(t)}=v_{0}[t]_{0}^{t}\ ;\quad x(t)-x_{0}=v_{0}(t-0)\ ;$
$\Rightarrow x(t)=x_{0}+v_{0}\cdot t$

### Moto uniformemente accelerato

Se l'accelerazione è costante ($\left\langle a\right\rangle =a(t)$), il moto è detto uniformemente accelerato.
L'equazione di tale moto è ricavabile attraverso una doppia integrazione dell'accelerazione istantanea. La legge oraria è:
$a_{0}=a\quad a_{0}={\frac {dv}{dt}}\quad dv=a_{0}\cdot dt$
$\int _{v_{0}}^{v(t)}dv=\int _{0}^{t}a_{0}dt\quad \int _{v_{0}}^{v(t)}dv=a_{0}\int _{0}^{t}dt$
$\left[v\right]_{v_{0}}^{v(t)}=a_{0}\left[t\right]_{0}^{t}\quad v(t)-v_{0}=a_{0}\cdot \left(t-0\right)$
$v(t)=v_{0}+a_{0}\cdot t$
$v(t)={\frac {dx}{dt}}\quad v_{0}+a_{0}\cdot t={\frac {dx}{dt}}\quad dx=\left(v_{0}+a_{0}\cdot t\right)dt$
$\int _{x_{0}}^{x(t)}dx=\int _{0}^{t}\left(v_{0}+a_{0}\cdot t\right)dt\quad \int _{x_{0}}^{x(t)}dx=v_{0}\int _{0}^{t}dt+a_{0}\int _{0}^{t}t\cdot dt$
$\left[x\right]_{x_{0}}^{x(t)}=v_{0}\left[t\right]^{t_{0}}+a_{0}\left[{\frac {t^{2}}{2}}\right]^{t_{0}}$
$x(t)-x_{0}=v_{0}\cdot t+a_{0}{\frac {t^{2}}{2}}$
$\Rightarrow x(t)=x_{0}+v_{0}\cdot t+a_{0}{\frac {t^{2}}{2}}$

### Moto di un grave in una dimensione

$\left|{\vec {a}}\right|=9,8{\frac {m}{s^{2}}}=g$
Lascio cadere un corpo dall'altezza $h$ (trascuro la resistenza dell'aria):
$y=y_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}a\cdot t^{2}$
Si considerino $y_{0}=h$ in cui $h$ è l'altezza da cui si lascia cadere il corpo, $v_{0}=0$ e $a=g$. Si ottiene in tal modo:
$y=h-{\frac {g}{2}}t^{2}$
Per ricavare il tempo d'impatto $t_{i}$ pongo $y=0$:
$y=0\quad h-{\frac {g}{2}}t^{2}=0\quad t^{2}={\frac {2h}{g}}$
$t_{i}={\sqrt {\frac {2h}{g}}}$
Per ricavare la velocità d'impatto $v_{i}$ pongo $t={\sqrt {\frac {2h}{g}}}$ nell'equazione $v=v_{0}+a_{0}t$. Considero inoltre $v_{0}=0$ e $a=g$:
$v=-gt=-g{\sqrt {\frac {2h}{g}}}=-{\sqrt {2hg}}$

### Moto in una dimensione con attrito viscoso

Nel moto in una dimensione con attrito viscoso agisce una forza $k>0$ che frena il moto, causando una diminuzione dell'accelerazione $a$ che quindi è direttamente proporzionale alla costante $-k$: più è grande $k$, più sarà frenato il moto.
$a=-kv\quad k>0$
Sapendo anche che $a={\frac {dv}{dt}}$, si può dedurre la seguente equazione:
${\frac {dv}{dt}}=-kv\quad {\frac {dv}{v}}=-kdt$
$\int _{v_{0}}^{v(t)}{\frac {1}{v}}dv=-k\int _{0}^{t}dt\quad [lnv]_{v_{0}}^{v(t)}=-k[t]_{0}^{t}$
$\ln v(t)-\ln v_{0}=-k(t-0)\quad \ln {\frac {v(t)}{v_{0}}}=-kt$
$e^{\ln {\frac {v(t)}{v_{0}}}}=e^{-kt}\quad {\frac {v(t)}{v_{0}}}=e^{-kt}$
$v(t)=e^{-kt}\cdot v_{0}$
Diagramma orario della funzione $v(t)$: $e^{-kt}={\frac {1}{e^{kt}}}$, quindi $\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{e^{kt}}}=0$. Posso dedurre da ciò che il grafico della funzione $v(t)$ è una curva esponenziale, con $v(t)$ che tende a 0 al tendere di $t$ all'infinito.
La velocità a un tempo $t=\tau ={\frac {1}{k}}$ è:
$v(\tau )={\frac {1}{e^{{\frac {1}{k}}k}}}\cdot v_{0}\simeq {\frac {1}{2,7}}v_{0}$
Quindi $v(\tau )$ è pari a circa ${\frac {1}{3}}$ della velocità iniziale $v_{0}$
Per quanto riguarda la legge oraria, sapendo che $v(t)={\frac {dx}{dt}}$, si ricava che:
${\frac {dx}{dt}}=v_{0}e^{-kt}\quad dx=v_{0}e^{-kt}dt$
$\int _{0}^{x(t)}dx=\int _{0}^{t}v_{0}\cdot {\frac {1}{e^{kt}}}dt$
$x(t)=v_{0}\cdot (1-e^{-kt})$