# Algebra lineare e geometria analitica/Operazioni tra matrici

Algebra lineare e geometria analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Concetti di base e notazioniAlgebra lineare e geometria analitica/Concetti di base e notazioni
* DimostrazioniAlgebra lineare e geometria analitica/Dimostrazioni
* Spazi vettorialiAlgebra lineare e geometria analitica/Spazi vettoriali
* Applicazioni lineariAlgebra lineare e geometria analitica/Applicazioni lineari
* Sistemi lineariAlgebra lineare e geometria analitica/Sistemi lineari
* MatriciAlgebra lineare e geometria analitica/Matrici
* Operazioni tra matriciAlgebra lineare e geometria analitica/Operazioni tra matrici
* Matrici e sistemiAlgebra lineare e geometria analitica/Matrici e sistemi

## Esercizi

* Applicazioni lineariAlgebra lineare e geometria analitica/Applicazioni lineari (esercizi)
* MatriciAlgebra lineare e geometria analitica/Matrici (esercizi)
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Sulle matrici si definiscono in maniera naturale tre operazioni, che andremo adesso ad analizzare in dettaglio.

## Somma

Date $A,B\in M(m,n,\mathbb {R} )$ si definisce $A+B\in M(m,n,\mathbb {R} )$ nel seguente modo:
$(A+B)_{i,j}:=(A)_{i,j}+(B)_{i,j}\ \quad \forall \,i,j$
La definizione è molto naturale e non è nient'altro che la somma fatta componente per componente. Vediamone alcuni esempi.

### Esempi

${\begin{pmatrix}5&1\\4&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5&6\\1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&7\\5&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a'&b'&c'\\d'&e'&f'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+a'&b+b'&c+c'\\d+d'&e+e'&f+f'\end{pmatrix}}$
Da questi esempi e dalla definizione si deduce che la somma di matrici è una funzione
$+:\ M(m,n,\mathbb {R} )\times M(m,n,\mathbb {R} )\to M(m,n,\mathbb {R} )$
$(A,B)\mapsto A+B$
Si osservi inoltre che la somma è definita soltanto per matrici con lo stesso numero di righe e di colonne. Non è definita invece per matrici con rige diverse o colonne diverse.

## Prodotto per uno scalare

Per scalare si intende un numero appartenente allo stesso campo dei coefficienti delle matrici. Ad esempio nel caso di $M(m,n,\mathbb {R} )$, uno scalare sarà un numero reale.
Dato $\lambda \in \mathbb {R}$ e $A\in M(m,n,\mathbb {R} )$ definiamo la matrice $\lambda \cdot A\in M(m,n,\mathbb {R} )$ nel seguente modo:
$(\lambda \cdot A)_{i,j}=\lambda \cdot (A)_{i,j}\,\forall i,j$
Scriveremo spesso $\lambda A$ al posto di $\lambda \cdot A$.
Anche in questo caso la definizione è molto naturale e non è nient'altro che la moltiplicazione di ogni componente per lo scalare. Vediamo ora qualche esempio

### Esempi

$-4{\begin{pmatrix}5&1\\4&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-20&-4\\-16&0\end{pmatrix}}$
$3{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3a&3b&3c\\3d&3e&3f\end{pmatrix}}$
Da questi esempi e dalla definizione si deduce che la moltiplicazione per scalare è una funzione
$\cdot :\ \mathbb {R} \times M(m,n,\mathbb {R} )\to M(m,n,\mathbb {R} )$
$(\lambda ,A)\mapsto \lambda \cdot A$

## Prodotto righe per colonne
### Prodotto di una riga per una colonna

Data la matrice riga
$A={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{pmatrix}}\ \in \ M(1,n,\mathbb {R} )$
e la matrice colonna
$B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\ \in \ M(n,1,\mathbb {R} )$
definiamo il prodotto $A\cdot B$ nel seguente modo:
$A\cdot B=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}=\sum _{r=1}^{n}a_{r}b_{r}\in \mathbb {R}$
Sebbene questa definizione possa sembrare un po' artificosa non lo è affatto, chi abbia qualche nozione di Analisi o Fisica ha certamente notato come la formula non sia nient'altro che un prodotto scalare tra due vettori. Torneremo più avanti su questo concetto. Per il momento è utile osservare due cose: la prima è che il prodotto appena introdotto è definito solo se la matrice colonna ha tante righe quante sono le colonne della matrice riga, altrimenti "avanzano" alcuni elementi; la seconda cosa da osservare è che il prodotto tra una riga e una colonna dà come risultato un numero reale.
È possibile estendere questa definizione al prodotto di matrici qualsiasi, in cui il numero di colonne della prima sia uguale al numero di righe della seconda. Vale la seguente definizione

### Prodotto tra due matrici

Data la matrice
$A={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{m}\end{pmatrix}}\ \in \ M(m,n,\mathbb {R} )$
e la matrice
$B={\begin{pmatrix}B^{1}&B^{2}&\dots &B^{p}\end{pmatrix}}\ \in \ M(n,p,\mathbb {R} )$
dopo aver osservato che $A_{i}\in M(1,n,\mathbb {R} )$ e $B^{j}\in M(n,1,\mathbb {R} )$, e quindi che è possibile fare il prodotto di una riga di $A$ per una colonna di $B$ si pone
$A\cdot B={\begin{pmatrix}A_{1}\cdot B^{1}&A_{1}\cdot B^{2}&\dots &A_{1}\cdot B^{p}\\A_{2}\cdot B^{1}&A_{2}\cdot B^{2}&\dots &A_{2}\cdot B^{p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{m}\cdot B^{1}&A_{m}\cdot B^{2}&\dots &A_{m}\cdot B^{p}\\\end{pmatrix}}\ \in \ M(m,p,\mathbb {R} )$
Esplicitamente, se chiamiamo $C=A\cdot B$, si ha che
$c_{i,j}=A_{i}\cdot B^{j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\dots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$

### Esempi

${\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\in \mathbb {R} =M(1,\mathbb {R} )$
${\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\end{pmatrix}}\in M(3,\mathbb {R} )$
${\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}\ \qquad$ non è definito
${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&3\\7&7\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}4&6\\4&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$

### Proprietà del prodotto tra matrici

Per il prodotto valgono sempre le proprietà...
* associativa $A\cdot \left(B\cdot C\right)=\left(A\cdot B\right)\cdot C$
* distributiva
** a sinistra della somma $A\cdot \left(B+C\right)=A\cdot B+A\cdot C$
** a destra della somma $\left(B+C\right)\cdot A=B\cdot A+C\cdot A$
* commutativa se e solo se il prodotto è la matrice identità: $A\cdot B=B\cdot A\Leftrightarrow A\cdot B=I$ cioè se e solo se le matrici sono una l'inversa dell'altra.