# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
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* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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In questo modulo definiremo il concetto di convoluzione e ne daremo una caratterizzazione nel contesto della teoria delle distribuzioni.
Definizione
Date $f,g\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n})$ si definisce convoluzione la quantità:
$f\star g=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)dy$
Così come per la trasformata di Fourier, anche l'estensione di questo concetto in teoria delle distribuzioni risulta leggermente problematico. Infatti, definendo per estensione la distribuzione associata alla convoluzione $f\star g$ si avrebbe:
$(f\star g)\phi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}(f\star g)(x)\phi (x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)dy\right)\phi (x)dx=$
$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(y)\phi (x+y)dxdy$
Tuttavia non si ha la possibilità di concludere che se $\phi (x)$ è a supporto compatto, anche $\phi (x+y)$ lo sia e quindi non si può concludere che quella scritta sopra sia una distribuzione. Essa lo è a patto che almeno una tra $f$ e $g$ sia a supporto compatto.
Definizione
Siano $S,T$ due distribuzioni, di cui almeno una a supporto compatto. Si definisce convoluzione di $S$ e $T$ la quantità:
$S_{y}\star T_{x}(\phi )=S_{y}\left(T_{x}(\phi (x+y))\right)$
$T$
Nella definizione, a pedice delle due distribuzioni, è indicata la variabile da cui esse dipendono.
Per esempio, sia $S_{y}$ una generica distribuzione e $T_{x}=\delta _{0}$. In questo caso si ha:
$S_{y}\star \delta _{0}(\phi )=S_{y}\delta _{0}\left(\phi (x+y)\right)=S_{y}\phi (y)$
Ovvero: $S\star \delta =S,\;\forall \,\phi \in C_{0}^{\infty }$. Si può provare che pure $\delta \star S=S$, così da poter concludere che la delta di Dirac è l'unità rispetto alla convoluzione di distribuzioni.
Le convoluzioni sono assai utili nella risoluzione di particolari equazioni differenziali alle derivate parziali. Innanzitutto si consideri la seguente definizione:
Definizione
Dato un qualsiasi operatore differenziale $P(\partial )$, una funzione $\Phi$ si definisce soluzione fondamentale per $P(\partial )$ se si ha
$P(\partial )\Phi =\delta _{0}$
Vediamo l'utilità di quanto appreso in questo modulo. Data
$P(\partial )\left[\Phi \star f\right]={\underset {\delta _{0}}{\underbrace {\left(P(\partial _{x})\Phi _{x}\right)} }}\star f=f$
dove il secondo passaggio è giustificato dal fatto che l'operatore $P(\partial )$ vedrà solo una tra $\Phi$ e $f$, a seconda di quale sia la variabile su cui esso agisce. In sostanza si ha che
$P(\partial )\left[\Phi \star f\right]=f$
Dunque, se $\Phi$, soluzione fondamentale di $P(\partial )$, è nota, si potrà concludere che pure $u=\Phi \star f$ è soluzione di $P(\partial )u=f$.