# Matematica per le superiori/Trigonometria

Matematica per le superiori
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
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** Introduzione alla logicaMatematica per le superiori/Logica
** Insiemi numerici
*** Numeri naturaliMatematica per le superiori/Numeri naturali
*** Numeri interiMatematica per le superiori/Numeri interi
*** Numeri razionaliMatematica per le superiori/Numeri razionali
*** Introduzione ai numeri realiMatematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali
*** Sistemi di numerazioneMatematica per le superiori/Sistemi di numerazione
** Algebra
*** RelazioniMatematica per le superiori/Relazioni
*** FunzioniMatematica per le superiori/Funzioni
*** Basi di numerazioneMatematica per le superiori/Basi di numerazione
*** I monomiMatematica per le superiori/I monomi
*** I polinomiMatematica per le superiori/I polinomi
*** Prodotti notevoliMatematica per le superiori/Prodotti notevoli
*** Scomposizione di polinomiMatematica per le superiori/Scomposizione di polinomi
*** Frazioni algebricheMatematica per le superiori/Frazioni algebriche
*** EquazioniMatematica per le superiori/Equazioni
*** Sistemi di primo gradoMatematica per le superiori/Sistemi di primo grado
*** Dai problemi alla teoriaMatematica per le superiori/Dai problemi alla teoria
** Geometria euclideaMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi
*** Enti fondamentali e assiomiMatematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi
*** Congruenza nei triangoliMatematica per le superiori/Congruenza nei triangoli
*** Rette perpendicolari e rette parallele
*** Parallelogrammi e trapezi
* Secondo anno
** Algebra
*** Disequazioni lineariMatematica per le superiori/Disequazioni lineari
*** Numeri realiMatematica per le superiori/Numeri reali
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*** Equazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado
*** Sistemi di equazioni di grado superiore al primoMatematica per le superiori/Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
*** Disequazioni di secondo gradoMatematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
*** Le equazioni di grado superiore al secondo
*** Le equazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Le equazioni irrazionali
** Geometria
*** Isometrie
*** Circonferenza
*** Poligoni inscritti e circoscritti
*** Equivalenza dei poligoni
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*** Similitudine
*** Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
*** Geometria nello spazioMatematica per le superiori/Geometria solida
* Terzo anno
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*** SemiconicheMatematica per le superiori/Semiconiche
*** Studio grafico delle funzioniMatematica per le superiori/Studio grafico delle funzioni
** Teoria degli insiemi e strutture algebricheMatematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
** Successioni numericheMatematica per le superiori/Successioni numeriche
** Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionaliMatematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali
* Quarto anno
** TrigonometriaMatematica per le superiori/Trigonometria →
** Funzioni esponenziale e logaritmicaMatematica per le superiori/Funzioni esponenziale e logaritmica →
** Geometria nello spazio a 3 dimensioniMatematica per le superiori/Geometria solida →
** Statistica
* Quinto anno
** LimitiMatematica per le superiori/Limiti →
** Funzioni continue
** DerivateMatematica per le superiori/Derivate
** Teoremi fondamentali del calcolo differenziale in R
** Studio di funzioni →
** IntegraliMatematica per le superiori/Integrali
** Calcolo numerico
* Extra
** Numeri complessiMatematica per le superiori/Numeri complessi
** MatriciMatematica per le superiori/Matrici
** Combinatoria
** ProbabilitàMatematica per le superiori/Probabilità
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## Misura degli Angoli
### Misura in gradi sessagesimali

Il grado è la 360ª parte dell'angolo giro e a sua volta viene diviso in 60 parti, formando un primo che a sua volta può ulteriormente venire diviso in altre 60 parti, formando il secondo. Ad esempio, con 43°15'22" indichiamo un angolo di 43 gradi, 15 primi e 22 secondi.

### Misura in radianti

Consideriamo un angolo α l'arco sotteso corrispondente sulla circonferenza. L'angolo misura un radiante se la lunghezza di quest'arco è uguale al raggio. Se ad esempio consideriamo un angolo arbitrario β e r il raggio, abbiamo la proporzione
$x:2\pi r=\beta ^{\circ }:360^{\circ }$
ne deriva che
$x={\frac {2\pi r\beta ^{\circ }}{360^{\circ }}}$
semplificando il tutto considerando la circonferenza goniometrica con r=1
$x={\frac {\pi \beta ^{\circ }}{180^{\circ }}}$
Si riportano qui alcuni valori in radianti dei corrispondenti gradi sessagesimali.
| Gradi | 0 | 18 | 30 | 45 | 60 | 90 | 135 | 150 | 180 | 270 | 360 |
| Radianti | 0 | ${\frac {\pi }{10}}$ | ${\frac {\pi }{6}}$ | ${\frac {\pi }{4}}$ | ${\frac {\pi }{3}}$ | ${\frac {\pi }{2}}$ | ${\frac {3}{4}}\pi$ | ${\frac {5}{6}}\pi$ | $\pi$ | ${\frac {3}{2}}\pi$ | $2\pi$ |

## Funzioni Goniometriche

Per definire le funzioni goniometriche, consideriamo il seguente grafico, rappresentate una circonferenza goniometrica, cioè una circonferenza di equazione x$^2$+y$^2$=1, vale a dire una circonferenza avente raggio pari a 1.
anche se ovviamente valgono anche per qualsiasi valore del raggio.

### Coseno di un angolo $\alpha$

Osservando il triangolo rettangolo POP', il coseno di un generico angolo $\alpha$ è dato dal rapporto tra il lato OP' e il raggio (nel nostro esempio 1).
$\cos \alpha ={\frac {OP'}{OP}}={\frac {OP'}{r}}$
nel caso della circonferenza goniometrica, $\cos \alpha =OP'$.
La funzione coseno è di tipo sinusoidale, cioè che si ripete ciclicamente. Il coseno inizia con valore 1 per l'angolo giro (o nullo), diminuendo progressivamente fino ad essere 0 quando l'angolo è 90º. Superato l'angolo retto diventa negativo assumendo -1, il suo massimo valore negativo a 180º. Superati i tali risale e diventa 0 a 270º per poi ritornare 1 raggiunti i 360º.

### Seno di un angolo $\alpha$

Considerando lo stesso triangolo, il seno dell'angolo $\alpha$ è dato dal rapporto fra il segmento PP' e il raggio;
$\sin \alpha ={\frac {P'P}{OP}}$
nel caso della circonferenza goniometrica di raggio=1,
$\sin \alpha =P'P$
La funzione seno è di tipo sinusoidale. Il seno inizia con valore 0 per l'angolo giro (o nullo), aumentando progressivamente fino ad essere 1 quando l'angolo è 90º. Superato l'angolo retto si avvia a ritornare nullo, assumento nuovamente il valore 0 a 180º. Superati i tali diventa negativo e raggiunge -1 a 270º, tornando poi 0 a 360º.

### Tangente e cotangente di un angolo $\alpha$

La tangente di un angolo è definita come il rapporto tra il seno ed il coseno del medesimo angolo, quindi
$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$
Possiamo dare anche un'interpretazione geometrica alla funzione tangente. Consideriamo infatti il grafico di una retta
L'equazione di questa retta è, come ben noto, $y=mx$, dove m è il coefficiente angolare. In realtà la tangente è uguale al coefficiente angolare.
Infatti, se $y=mx+q$, allora abbiamo che $m={\frac {y}{x}}$ e quindi, per la definizione data all'inizio di tangente, $m=\tan \alpha$.
Osservando la circonferenza goniometrica, la tangente è il segmento AT. La tangente non può esistere quando $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+k{\pi }$ dal momento che la retta tangente e il raggio vettore sono paralleli e non hanno quindi punti in comune.
La cotangente, come dice la seconda relazione fondamentale, è invece il reciproco della tangente:
$\cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}$
Da ciò deriva che la cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo e nel grafico della circonferenza goniometrica è rappresentato dal segmento BC
$\cot \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}$
Il campo di esistenza della cotangente invece è$\alpha \neq k\pi \forall k\in \mathbb {Z}$
A differenza del seno e del coseno, il grafico delle funzioni tangente e cotangente non formano una sinusoide, ma una tangentoide, pur essendo anch'esse cicliche. Il motivo di questa differenza risiede nel fatto che in alcuni punti la tangente non è definita, e più precisamente nei punti 90º e 270º, dove la funzione assume valori infinitamente grandi.
Il medesimo discorso vale anche per la cotangente, dove assume valore infinito nei punti 0 e 180º.

### Valori delle funzioni goniometriche in alcuni angoli notevoli

Per comodità, si riportano i valori delle funzioni goniometriche in alcuni angoli notevoli.
| Gradi | Radianti | seno | coseno | tangente | cotangente |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | $\varnothing$ |
| 15º | ${\frac {1}{12}}\pi$ | ${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$ | ${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$ | $2-{\sqrt {3}}$ | $2+{\sqrt {3}}$ |
| 18º | ${\frac {\pi }{10}}$ | ${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$ | ${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$ | ${\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}$ | ${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ |
| 30º | ${\frac {\pi }{6}}$ | ${\frac {1}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {3}}{3}}$ | ${\sqrt {3}}$ |
| 45º | ${\frac {\pi }{4}}$ | ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ | 1 | 1 |
| 60º | ${\frac {\pi }{3}}$ | ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | ${\frac {1}{2}}$ | ${\sqrt {3}}$ | ${\frac {\sqrt {3}}{3}}$ |
| 75º | ${\frac {5}{12}}\pi$ | ${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$ | ${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$ | $2+{\sqrt {3}}$ | $2-{\sqrt {3}}$ |
| 90º | ${\frac {\pi }{2}}$ | 1 | 0 | $\varnothing$ | 0 |
Con l'uso di questi valori e con le formule che vedremo in seguito, è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.

## Archi Associati

Abbiamo già visto che il seno ed il coseno assumono valori da -1 a 1 ciclicamente (ovviamente sempre nel caso della circonferenza goniometrica di raggio 1). In questa sezione vediamo come il seno ed il coseno si ripetono e si scambiano al variare dell'angolo e dei quadranti, rendendo quindi così possibile ridurre tutti i valori delle due funzioni al primo quadrante.

### Angoli Complementari

Consideriamo l'angolo $\alpha$ e l'angolo ${\frac {\pi }{2}}-\alpha$;
I due triangoli OHP e OH'P' sono uguali (essendo gli angoli uguali) e uguali sono i loro lati, ovvero seno e coseno. Allora: ${\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}{\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\cot \alpha$

### Angoli Supplementari

Consideriamo ora l'angolo $\alpha$ e l'angolo $\pi -\alpha$;
Anche in questo caso i triangoli sono uguali (OHP e OH'P' hanno il medesimo angolo $\alpha$), e osservando la figura si deduce che
$\sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha$
$\cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha$
$\tan \left(\pi -\alpha \right)={\frac {-\sin \alpha }{\cos \alpha }}=-\tan \alpha$
Se invece consideriamo l'angolo ${\frac {\pi }{2}}+\alpha$, otteniamo un angolo che differisce di un angolo retto da $\alpha$ e la relazione tra seno e coseno è identica a quella di $\pi -\alpha$ e $\alpha$.
Sono due modi di vedere lo stesso angolo, come ad esempio, possiamo vedere un angolo di 110º sia come 180º-70º sia come 90º+20º.

### Angoli che hanno per somma tre angoli retti

Consideriamo l'angolo ${\frac {3\pi }{2}}-\alpha$ e $\alpha$;
Anche in questo caso i triangoli sono uguali e osservando la figura si deduce che
$H'P'=-HP\Rightarrow \cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\sin \alpha$
$OH'=-OH\Rightarrow \sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\cos \alpha$
$\tan \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha$
$\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=\tan \alpha$
Possiamo anche vedere la situazione come angoli che differiscono di un angolo piatto, ed in tal caso considerare $\pi +\alpha$ e $\alpha$ e arrivare ai precedenti risultati nel medesimo modo, ossia osservando il grafico.

### Angoli esplementari

Consideriamo la differenza tra l'angolo giro e un angolo $\alpha$, ossia $2\pi -\alpha$;
Al solito, anche questi triangoli sono uguali e possiamo notare che
$H'P'=-HP\Rightarrow \sin \left(2\pi -\alpha \right)=-\sin \alpha$
$OH'=OH\Rightarrow \cos \left(2\pi -\alpha \right)=\cos \alpha$
$\tan \left(2\pi -\alpha \right)=-\tan \alpha$
$\cot \left(2\pi -\alpha \right)=-\cot \alpha$
Anche qui possiamo vedere le cose in modo diverso, ossia sommando un angolo $\alpha$ a 270°, facendo però attenzione perché il risultato è diverso.
Infatti, osservando il grafico
abbiamo che
$H'P'=HP\Rightarrow \cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=\sin \alpha$
$OH'=-OH\Rightarrow \sin \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cos \alpha$
$\tan \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha$
$\cot \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\tan \alpha$

### Angoli opposti

Infine consideriamo due angoli opposti $\alpha$ e $-\alpha$, ovvero l'angolo $360^{\circ }-\alpha$;
Ovviamente i trinagoli sono uguali e abbiamo che:
$H'P'=-HP\Rightarrow \sin \left(2\pi -\alpha \right)=-\sin \alpha$
$OH'=OH\Rightarrow \cos \left(2\pi -\alpha \right)=\cos \alpha$
$\tan \left(2\pi -\alpha \right)=-\tan \alpha$
$\cot \left(2\pi -\alpha \right)=-\cot \alpha$

## Operazioni algebriche con le funzioni goniometriche

Osserviamo la figura, dove vengono rappresentati un angolo $\alpha$, $\beta$ e la loro differenza $\alpha -\beta$:
Con le funzioni goniometriche abbiamo che
$\sin(\alpha +\beta )\neq \sin \alpha +\sin \beta$
e per rendersene conto è sufficiente un semplice esempio: $\alpha =\beta =30^{\circ }$ il cui seno vale ${\frac {1}{2}}$. È ovvio che $\sin 60^{\circ }\neq \sin 30^{\circ }+\sin 30^{\circ }$ perché i rispettivi risultati sono ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ e 1.
Per avere il coseno e il seno dell'angolo $\alpha -\beta$, è necessario utilizzare delle formule fondamentali da ricordare.

### Formule di Sottrazione e Addizione

Queste formule permettono di ottenere il seno e il coseno di una somma algebrica di due angoli tramite il seno e il coseno dei singoli addendi. Non mi metto a scrivere tutti i calcoli che bisogna fare per arrivare a queste formule (potete ad esempio trovarli nella pagina http://ripmat.it/mate/i/ic/icaaa.html), mi limito a scrivere le formule cosicché puoi memorizzarle e consultarle velocemente.
$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$
Riguardo tangente e cotangente:
$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$
$\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$
$\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \beta +\cot \alpha }}$
$\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}$

### Formule di Duplicazione

Sono formule che derivano dalle formule precedenti, ponendo $\alpha =\beta$.
Il motivo di queste formule deriva dal fatto che in generale:
$2\sin \alpha \neq \sin 2\alpha$
$2\cos \alpha \neq \cos 2\alpha$ ecc...
Valgono allora le seguenti formule che permettono di ottenere il seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo doppio rispetto a quello dato.
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$
$\cos 2\alpha =\left\{{\begin{array}{l}\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \\1-2\sin ^{2}\alpha \\2\cos ^{2}\alpha -1\end{array}}\right.$
$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }},\alpha \neq \pi +2k\pi \wedge \alpha \neq {\frac {\pi }{4}}+k{\frac {\pi }{2}}$
$\cot 2\alpha ={\frac {\cot ^{2}\alpha -1}{2\cot \alpha }},\alpha \neq k{\frac {\pi }{2}}$

### Formule di Bisezione

Le formule di bisezione consentono di ottenere il seno, coseno, tangente e cotangente della metà di un generico angolo $\alpha$, avendo il coseno di $\alpha$.
$\sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\left\{{\begin{array}{l}+\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ I\ o\ II\ quadrante\\-\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ III\ o\ IV\ quadrante\end{array}}\right.$
$\cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\left\{{\begin{array}{l}+\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ I\ o\ IV\ quadrante\\-\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ II\ o\ III\ quadrante\end{array}}\right.$
$\tan {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}\left\{{\begin{array}{l}+\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ I\ o\ III\ quadrante\\-\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ II\ o\ IV\ quadrante\end{array}}\right.$
$\cot {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}}\left\{{\begin{array}{l}+\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ I\ o\ IV\ quadrante\\-\ se\ {\frac {\alpha }{2}}\ II\ o\ III\ quadrante\end{array}}\right.$

### Formule di Prostaferesi

Le formule di prostaferesi permettono di trasformare una somma o sottrazione di seni, coseni, ecc... in un prodotto.
$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}$
$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
$\tan \alpha \pm \tan \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\ ,\ \alpha ,\beta \neq {\frac {(2k+1)\pi }{2}}$
$\cot \alpha \pm \cot \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}\ ,\ \alpha ,\beta \neq k\pi$

### Formule di Werner

Queste formule sono un po' l'inverso delle formule di prostaferesi, ovvero le formule di Werner consentono di trasformare il prodotto di due seni, coseni o un prodotto di seno per un coseno, nelle rispettive somme o differenze.
$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )\right]$
$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right]$
$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right]$

### Formule parametriche

Le formule parametriche consentono di ricavare seno, coseno e cotangente mediante la tangente dell'angolo metà.
$\sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\cot \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\tan {\frac {\alpha }{2}}}}$
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