# Analisi matematica I/Limite/1

Analisi matematica I
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Principi di insiemistica e funzioni elementari
* Numeri naturali
* Numeri interi
* Numeri razionali
* Numeri reali
* Numeri reali (seconda parte)
* Numeri complessi
* Funzioni
* Funzioni circolari
* Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in $\mathbb {R}$
* Successioni reali
* Limiti di successioni reali
* Teoremi sulle successioni
* Algebra dei limiti delle successioni
* Esistenza del limite di una successione
* Limiti inferiori e superiori
* Forme indeterminate di successioni
* Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
* Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
* Compattezza di un insieme
* Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
* Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
* Algebra dei limiti
* Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
* Analisi matematica I/Funzioni monotone
* Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
* Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
* Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in $\mathbb {R}$ e studio di funzioni
* Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
* Analisi matematica I/Algebra delle derivate
* Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
* Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
* Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
* Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
* Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
* Analisi matematica I/Integrale di Riemann
* Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
* Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
* Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
* Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
* Analisi matematica I/Successioni di funzioni
* Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO Elementi di base
* Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
* Note storiche sugli insiemi
* I numeri reali
* I numeri complessi
* Sommatorie
* progressione geometrica
* fattoriale di n
* formula di Newton
* Potenze e radicali
* Esponenziali e logaritmi
* Insiemi infiniti
* Massimi e minimi
* Funzioni
Serie e successioni
* Successioni: definizione
* Limiti: definizione
* Successioni monotone
* Calcolo dei limiti
* Limite di successioni
* Il numero di Nepero (e)
* Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
* Limiti notevoli
* Serie numeriche: definizione
* Serie a termini non negativi
* Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
* Limiti di funzioni da R a R
* Limiti di funzioni da R$^n$ a R$^m$
* Funzioni numeriche e generalità
* Grafico di una funzione
* Funzioni limitate
* Funzioni simmetriche, pari e dispari
* Funzioni monotone
* Funzioni periodiche
* Limiti, continuità, asintoti
* Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
* Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
* Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
* Introduzione
* Il rapporto incrementale
* Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
* Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
* Le derivate fondamentali
* Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
* Il teorema di de L’Hospital
* Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
* o piccolo
* Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
* Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
* Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
* Proprietà dell'integrale
* Il teorema fondamentale del calcolo integrale
* Metodo di ricerca della primitiva
* Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
* Funzioni integrabili
* integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
* Integrazione di funzioni non limitate
* Criteri di integrabilità al finito
* Integrazione su intervalli illimitati
* Criteri di integrabilità all’infinito
* Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
* Integrazione delle funzioni trigonometriche
Modifica il sommario

# Limite di funzioni da $\mathbb {R}$ a $\mathbb {R}$

Lo scopo dell'operazione di limite è di descrivere il comportamento di una funzione vicino ad un punto di accumulazione del suo dominio. Il concetto di limite è utilizzato in analisi per poi poter dare la definizione di continuità e di derivata
Partiamo ora dalla definizione di limite per funzioni del tipo $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!$, per poi espanderla a casi più generali.

## Definizione

Quindi iniziamo con una funzione $f:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!$, dove $X\,\!$ è il suo dominio e $\mathbb {R} \,\!$ la sua immagine. Sia $x_{0}\,\!$ un punto di accumulazione di $X\,\!$. Ora facciamo tendere $x\,\!$ a $x_{0}\,\!$ ($x\rightarrow x_{0}\,\!$), questo significa che è possibile prendere intorni sempre più piccoli di $x_{0}\,\!$ con la proprietà di contenere infiniti punti di $X\,\!$ (questo è garantito dal fatto che $x_{0}\,\!$ è un punto di accumulazione).
Ciò che ci interessa è cosa succede quando $x\rightarrow x_{0}\,\!$. Per poter far meglio comprendere l'utilità di questa operazione è bene chiarire un concetto, se $P\,\!$ è una proprietà di una funzione, si dice che la funzione possiede, o acquista, $P\,\!$ per $x\rightarrow x_{0}\,\!$, se esiste un intorno di $x_{0}\,\!$ che possiede $P\,\!$.
Ora possiamo dare la definizione di limite:
Definizione
Sia $f:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!$ e $x_{0}\in X\,\!$ di accumulazione e $l\in \mathbb {R} \,\!$, diremo che il limite di $f(x)\,\!$ per $x\,\!$ che tende a $x_{0}\,\!$ è $l\,\!$:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!$
se, per ogni intorno $V\,\!$ di $l\,\!$, è possibile trovare un intorno $U\,\!$ di $x_{0}\,\!$ per cui vale :
    $f(x)\in V\,\!$ se $x\in U\cap X\setminus \{x_{0}\}\,\!$
in simboli:
    $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\vert x-x_{0}\vert <\delta \implies \vert f(x)-l\vert <\epsilon ,\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!$
Di rilevante importanza è l'estensione della definizione per l'insieme $\mathbb {R} ^{*}\,\!$ (insieme numeri reali esteso), che è definito come:
    $\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace \,\!$
dove $-\infty \,\!$ e $+\infty \,\!$ non sono numeri, ma nuovi punti. Per fare in modo che $\mathbb {R} ^{*}\,\!$ sia un insieme ordinato, decidiamo che:
    $\forall x\in \mathbb {R} :-\infty <x<+\infty \,\!$
La scrittura in simboli prevende più formule a seconda del valore assunto da $x_{0}\,\!$ e da $l\,\!$.
* Per $x_{0}\in \mathbb {R} ,l\in \mathbb {R}$:
    $\forall \epsilon >0\ \exists \delta =\delta (l)>0\ :\ \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l|f(x)-l|<\epsilon \ \forall x\in A\cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )-x_{0}$
* Per $x_{0}\in \mathbb {R} ,l\in \infty$:
    $\forall k>0,\exists \delta =\delta (l)>0\ \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty \ f(x)>k\ \forall x\in A\cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )-x_{0}$
* Per $x_{0}=\infty \ l\in \mathbb {R}$:
    $\forall \epsilon >0\exists N(\epsilon )\ :\ \lim _{x\to \infty }f(x)=l\ |f(x)-l|<\epsilon \ \forall x\in A\cup {x:x>N(\epsilon )}-x_{0}$.
* Per $x_{0}=\infty \ l=\infty$:
    $\forall k>0\ \exists N(\epsilon )\ :\ \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty \ f(x)>k\ \forall x\in A\cup (x:x>N(\epsilon ))$.
Se il limite di una funzione è il seguente $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=0$ la funzione si dice infinitesima.
Se il limite di una funzione è il seguente $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty$ la funzione si dice infinita.

### Esempio 1

Provare che $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=+\infty \!$
    Prendiamo un intorno di $+\infty \!$, otteniamo:
       $\kappa \leq f(x)\!$
    perciò:
       $\kappa \leq {\frac {1}{x^{2}}}\!$
       $x^{2}\leq {\frac {1}{\kappa }}\!$
    quindi basterà prendere:
       $x\in \left(-{\frac {1}{\sqrt {\kappa }}},+{\frac {1}{\sqrt {\kappa }}}\right)\!$
    che è un intorno di 0, il limite è verificato!.

### Esempio 2

Provare che $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{x+2}}=1\!$
    Prendiamo un intorno di 1, otteniamo:
       $1-\epsilon \leq {\frac {x}{x+2}}\leq 1+\epsilon \!$
    separando la disuguaglianza:
       $1-\epsilon \leq {\frac {x}{x+2}}{\mbox{ e }}{\frac {x}{x+2}}\leq 1+\epsilon \!$
    dalle quali otteniamo direttamente:
       $x\geq 2\left({\frac {1}{\epsilon }}-1\right){\mbox{ e }}x\geq -2\left({\frac {1}{\epsilon }}+1\right)\!$
    dalle quali, per $\epsilon >0\!$:
       $x\geq 2\left({\frac {1}{\epsilon }}-1\right)>-2\left({\frac {1}{\epsilon }}+1\right)\!$
    che è un intorno di $+\infty \,\!$, perciò il limite è verificato.

### Esempio 3

Provare che $\lim _{x\to +\infty }\sin x\!$ non esiste
    Sappiamo che la funzione seno e limitata perciò
       $\sin x\in \left[-1;+1\right]\!$
    dalla quale
       $x\in \left[-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi ;+{\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right]\!$
    che non è un intorno di $+\infty \!$, perciò il limite non esiste.

## Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto

Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro. Prima di procedere ricordiamo la definizione di intorno destro e sinistro.
Definizione
Dato $x\in \mathbb {R} \!$, definiamo intorno destro di $x\!$ qualsiasi intervallo del tipo $[x;x+r)\!$ con $r>0\!$ e intorno sinistro qualsiasi intervallo $(x-r;x]\!$. Da queste definizioni otteniamo che gli intorni di $+\infty \!$ sono sinistri e quelli di $-\infty \,\!$ sono destri.
Possiamo così dare la definizione di limite destro e sinistro, in simboli saranno indicati rispettivamente:
    $\lim _{x\to x_{0}^{+}}\,\!$ e $\lim _{x\to x_{0}^{-}}\,\!$
La definizione sarà:
Definizione
Sia $f:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \!$ e $x_{0}\in X\!$ di accumulazione e $l\in \mathbb {R} \!$, diremo che:
    $\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=l\!$
se, per ogni intorno $V\!$ di $l\!$, è possibile trovare un intorno destro $U^{+}\!$ di $x_{0}\!$ per cui vale :
    $f(x)\in V\!$ se $x\neq x_{0}\in U^{+}\cap X\!$
In simboli:
    $\forall U\in I(l)\ \exists \delta =\delta (x)>0\ \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=l\ \forall x\in A\cap {x_{0},x_{0}+\delta }-x_{0}\!$
La stessa cosa si può ripetere per il limite sinistro.
Se lo stesso ragionamento viene fatto per punti dell'immagine, avremo la definizione di limite per difetto e per eccesso, in simboli, rispettivamente:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l^{+}\,\!$ e $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l^{-}\,\!$
L'esplicitazione della definizione viene lasciata al lettore come esercizio.

## Teorema di unicità

Sia
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\,\!$ e $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}\!$
allora
    $l_{1}=l_{2}\!$

### Dimostrazione

La dimostrazione del teorema procede per assurdo, presi
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\,\!$ e $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}\!$
con $l_{1}\neq l_{2}\,\!$, allora esistono due intorni $V_{1}\,\!$ di $l_{1}\,\!$ e $V_{2}\,\!$ di $l_{2}\,\!$ tali che siano disgiunti ($V_{1}\cap V_{2}=\emptyset \,\!$). Per definizione devono esistere due intorni $U_{1}\,\!$ e $U_{2}\,\!$ di $x_{0}\,\!$ per cui vale:
    $f(x)\in V_{1}\,\!$ se $x\in U_{1}\,\!$
e
    $f(x)\in V_{2}\,\!$ se $x\in U_{2}\,\!$
Dunque prendendo l'intorno di $x_{0}\,\!$ costruito come $U_{1}\cap U_{2}\,\!$, dovrebbe succedere, contemporaneamente, che $f(x)\in V_{1}\,\!$ e $f(x)\in V_{2}\,\!$, il che è assurdo.

## Teorema di limitatezza locale

Sia
    $f:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} \!$
Se
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\in \mathbb {R} \!$
allora esistono, un intorno $V\!$ di $x_{0}\!$ e un numero
    $M>0,M\in \mathbb {R} \!$
tali che
    $|f(x)|<M,\forall x\in V\cap X\setminus \{x_{0}\}\!$

## Teorema di esistenza del limite

Condizione necessaria e sufficiente perché esista il limite
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!$
è che esistano sia il limite destro che quello sinistro e siano uguali
    $\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=l\implies \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!$

## Teorema della permanenza del segno

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.
Sia $f:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} \!$ e $x_{0},l\in \mathbb {R} ^{*}\!$ con $x_{0}\!$ di accumulazione per $X\!$, allora
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l>0\,(<0)\Rightarrow f(x)>0\,(<0){\mbox{ per }}x\to x_{0}\!$

### Dimostrazione

Poniamo $l\in \mathbb {R} ,\,l>0\!$. Preso l'intorno $V=(l-\epsilon ;l+\epsilon )\!$ con $0<\epsilon <l\!$ (Notare bene questa limitazione). Allora, per definizione di limite, esiste un intorno $U\!$ di $x_{0}\!$, per il quale
    $f(x)\in V\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\}\!$
cioè
    $l+\epsilon >f(x)>l-\epsilon >0\!$
È possibile eseguire la stessa dimostrazione per $+\infty \!$ e $-\infty \!$.

### Corollari

Sia $f:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} \!$ e $I(x_{0})\!$ un intorno di $x_{0}\!$ di accumulazione per $X\!$.
Se
    $f(x)\geq g(x)\forall x\in I(x_{0})\cap X\backslash \{{x_{0}}\}\!$
e se
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\!$
    $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l_{2}\!$
allora
    $l_{1}\geq l_{2}$

## Teorema del confronto

Siano
    $f,g,h:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \qquad f,g,h\in C^{0}(X;\mathbb {R} )\!$
e $x_{0}\!$ un punto di accumulazione per $X\!$.
Se
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l\!$
e se esiste un intorno $U\!$ di $x_{0}\!$ tale che risulti
    $f(x)\leq g(x)\leq h(x)\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\}\!$
allora
    $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l\!$

### Dimostrazione

Sia
    $l\in \mathbb {R} \!$
preso un intorno $V\!$ di $l\!$, $(l-\epsilon ,l+\epsilon )\!$ esistono intorni $U_{1}\!$ e $U_{2}\!$ di $x_{0}\!$.
Per definizione abbiamo
    $x\neq x_{0}\in U_{1}\implies f(x)\in V\!$
e
    $x\neq x_{0}\in U_{2}\implies h(x)\in V\!$
Allora, preso l'intorno $U=U_{1}\cap U_{2}\,\!$ di $x_{0}\!$, succede, per ipotesi, che:
    $l-\epsilon \leq f(x)\leq g(x)\leq h(x)\leq l+\epsilon \!$
cioè
    $x\in U\backslash \left\{x_{0}\right\}\implies g(x)\in V\!$
Del tutto analoga la dimostrazione per i casi $l=\pm \infty \!$, ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che stiamo studiando.

### Esempio

L'esempio canonico di applicazione di questo teorema è la verifica del limite
    $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\!$
Prendiamo come riferimento l'immagine a destra. Sia $0<x<{\frac {\pi }{2}}\!$ la misura dell'arco (in radianti) di circonferenza di centro O e raggio
    ${\overline {OA}}=1\!$
Allora
    ${\overline {PH}}=\sin x\!$
    ${\overline {QA}}=\tan x\!$
Si ha dunque
    $\sin x<x<\tan x\!$
da cui, dividendo per $\sin x\!$
    $1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}\!$
prendendo i reciproci
    $\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1\!$
sapendo che la disuguaglianza non cambia per $-x\!$ e che $\lim _{x\to 0}\cos x=1\!$, sfruttando il teorema del confronto otteniamo
    $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\!$

## Calcolo dei limiti
### Teoremi

I teoremi che vengono riportati di seguito potranno sembrare banali e evidenti, ma sono essenziali per lo studio dei limiti. Come vedrete semplificheranno molto l'approccio all'operazione. Nonostante questo, compariranno nuovi problemi che troveranno soluzioni solo con tecniche più raffinate.
Sia $f:X_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,g:X_{g}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,X_{f}\cap X_{g}\neq \varnothing \!$ e $x_{0}\!$ un punto di accumulazione per $X_{f},\,X_{g}\!$.
Se
    $\exists \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}{\mbox{ e }}\exists \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l_{2}\!$
allora
* $\lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=c\cdot l_{1}\qquad c\in \mathbb {R} \!$
* $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=l_{1}\pm l_{2}\!$
* $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=l_{1}\cdot l_{2}\!$
* $\lim _{x\to x_{0}}{1 \over f(x)}={1 \over l_{1}}\qquad {\mbox{se }}l_{1}\neq 0\!$
* $\lim _{x\to x_{0}}{f(x) \over g(x)}={l_{1} \over l_{2}}\qquad {\mbox{se }}l_{2}\neq 0\!$
È evidente la validità dei teoremi per valori di $\mathbb {R} \!$ (numeri reali), invece per elementi appartenenti a $\mathbb {R} ^{*}\!$ (in particolare per i casi $\pm \infty \!$) perdono di significato e quindi necessitiamo di altri teoremi. Di seguito riportiamo sinteticamente le regole di calcolo fondamentali per questi casi. Ma come vedremo avremo a che fare con nuove difficoltà che subito risolveremo.
Sia $f:X_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,g:X_{g}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,X_{f}\cap X_{g}\neq \varnothing \!$ e $x_{0}\!$ un punto di accumulazione per $X_{f},\,X_{g}\!$.
Se
    $\exists \lim _{x\to x_{0}}f(x),\,\exists \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l{\mbox{ (finito) e }}c\in \mathbb {R} \!$
allora
* $f(x)\to \pm \infty ,\,c>0\implies \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=\pm \infty \!$
* $f(x)\to \pm \infty ,\,c<0\implies \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=\mp \infty \!$
* $f(x)\to \pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\pm \infty \!$
* $f(x)\to \pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}(f(x)-g(x))=\pm \infty \!$
* $f(x)\to \pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=0^{\pm }\!$
* $f(x)\to 0^{\pm }\implies \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=\pm \infty \!$
* $f(x)\to \pm \infty ,\,l>0\implies \lim _{x\to x_{0}}(g(x)\cdot f(x))=\pm \infty \!$
* $f(x)\to \pm \infty ,\,l<0\implies \lim _{x\to x_{0}}(g(x)\cdot f(x))=\mp \infty \!$
Questo teorema giustifica l'utilizzo di scritture come:
* $l\cdot \pm \infty =\pm \infty \!$
* $\pm \infty +l=\pm \infty \!$
* $+\infty +\infty =+\infty \!$
* $+\infty \cdot \pm \infty =\pm \infty \!$ (seguendo la regola dei segni convenzionale)
* ${\frac {l}{\pm \infty }}=0^{\pm }\!$
Casi mancanti all'elenco precedente conducono ad esrepssioni del tipo:
* $+\infty -\infty \!$
* $0\cdot \pm \infty \!$
* ${\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\!$
* ${\frac {0}{0}}\!$
Per questi casi si rimanda alla sezione successiva Forme di indecisione.

#### Dimostrazione

La dimostrazione verrà fatta per ogni singolo punto del teorema.
Preso
    $\left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon \!$
otteniamo direttamente
    $c\cdot \left|f(x)-l_{1}\right|<c\cdot \epsilon \to \left|c\cdot f(x)-c\cdot l_{1}\right|<c\cdot \epsilon \!$
a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.
Presi
    $\left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon \!$ e $\left|g(x)-l_{2}\right|<\epsilon \!$
dall'espressione
    $\left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|\!$
per la disuguaglianza triangolare otteniamo
    $\left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|<\left|f(x)-l_{1}\right|+\left|g(x)-l_{2}\right|\!$
    $\left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|<2\cdot \epsilon \!$
a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.
Preso
    $f(x)\cdot g(x)-l_{1}\cdot l_{2}\!$
aggiungiamo e togliamo $g(x)\cdot l_{1}\!$ otteniamo
    $g(x)\cdot \left(f(x)-l_{1}\right)+l_{1}\cdot \left(g(x)-l_{2}\right)\!$
posti
    $\left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon \!$ e $\left|g(x)-l_{2}\right|<\epsilon \!$

### Forme di indecisione

Le forme di indecisione dei limiti di funzioni sono uguali alle forme di indecisione dei limiti di successioni, pertanto si rimanda la lettura al paragrafo dedicato.