# Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per l'energia cinetica

Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
Dinamica dei sistemi di punti
* Centro di massaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Centro di massa
* Conservazione della quantità di motoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Conservazione della quantità di moto
* Sistema di riferimento del centro di massaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistema di riferimento del centro di massa
* Mutua interazione: problema dei due corpiMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Mutua interazione: problema dei due corpi
* Teorema di König per l'energia cineticaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per l'energia cinetica
* Sistemi a massa variabileMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi a massa variabile
* Moto di un razzoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di un razzo
Seconda legge cardinale
* La seconda legge cardinaleMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/La seconda legge cardinale
* Teorema di König per il momento angolareMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per il momento angolare
* Corpo rigido in rotazioneMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Corpo rigido in rotazione
* Momento d'inerziaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Momento d'inerzia
* Coppia di forzeMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Coppia di forze
* Sistemi di forze paralleleMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi di forze parallele
* Pendolo fisicoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Pendolo fisico
* Moto di una trottolaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di una trottola
Statica, urti e rotolamento
* Sistemi in equilibrioMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi in equilibrio
* Esempi di problemi di staticaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Esempi di problemi di statica
* Moto di rotolamentoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di rotolamento
* Urti elastici e anelasticiMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Urti elastici e anelastici
Appendice
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Abbiamo visto come, sfruttando il sistema di riferimento del centro di massa, si possano descrivere diverse grandezze fisiche di un sistema. Ma, riguardo all'energia, come possiamo calcolare l'energia cinetica totale di un sistema di punti?
Intuitivamente, vale, per i sistemi discreti, l'espressione:
$\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}$
Mentre per un sistema continuo:
$\int {\frac {1}{2}}v^{2}dm$
Calcolare queste due espressioni può risultare complicato. A semplificare le cose, interviene il teorema di König per l'energia cinetica, che dimostriamo qui di seguito. Il teorema afferma che
L'energia cinetica di un sistema di punti materiali è la somma dell'energia cinetica che avrebbe il corpo se tutta la sua massa fosse concentrata nel centro di massa e l'energia cinetica relativa che possiede il sistema rispetto al centro di massa, ovvero:
$K={\frac {1}{2}}M_{tot}v_{CM}^{2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{'2}$

## Dimostrazione

Prendiamo un sistema di punti materiali; per studiare l'insieme di punti, prendiamo due sistemi di riferimento, uno esterno e inerziale, che chiameremo $S_{0}$, il secondo è il sistema del centro di massa $S'$.
Il primo passo che compiamo è calcolare la velocità $v$ rispetto a $S_{0}$. Nei due sistemi di riferimento, sappiamo valere:
${\begin{cases}&{\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{CM}+{\vec {r}}_{i}^{'}\\&{\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{CM}+{\vec {v}}_{i}^{'}\end{cases}}$
Sostituiamo l'espressione di $v_{i}$ nell'espressione dell'energia cinetica:
${\begin{aligned}K=&\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}\left({\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{i}\right)=\\&\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}\left({\vec {v}}_{CM}+{\vec {v}}_{i}^{'}\right)\left({\vec {v}}_{CM}+{\vec {v}}_{i}^{'}\right)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{CM}^{2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{'2}+\sum _{i}m_{i}v_{CM}v_{i}^{'}\\K=&{\frac {1}{2}}M_{tot}v_{CM}^{2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{'2}+v_{CM}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{'}\end{aligned}}$
Per concludere la dimostrazione, non resta che dimostrare che l'ultimo termine della somma è nullo. Infatti, ricordando che ${\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{CM}+{\vec {v}}_{i}^{'}$, possiamo scrivere l'espressione $m_{i}v_{i}$ come $m_{i}v_{CM}+m_{i}v_{i}^{'}$. Sommando:
${\begin{aligned}&\sum _{i}m_{i}v_{i}=\sum _{i}m_{i}v_{CM}+\sum _{i}m_{i}v_{i}^{'}\\&M_{tot}v_{CM}=M_{tot}v_{CM}+\sum _{i}m_{i}v_{i}^{'}\end{aligned}}$
Ovvero l'ultimo termine è nullo. Per questo, è dimostrato il teorema di König e l'energia cinetica di un sistema di punti sarà uguale a:
$K={\frac {1}{2}}M_{tot}v_{CM}^{2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{'2}$