# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Nei moduli precedenti è stata derivata l'equazione delle onde nel caso monodimensionale:
$u_{tt}-v^{2}u_{xx}=0$
Ora si vuole capire come è possibile studiare questa equazione per determinarne le soluzioni. In sostanza si vuole determinare $u(x;t)$ che la soddisfi. Per farlo non si risolverà esplicitamente l'equazione, ma si sfrutterà un teorema dovuto a D'Alembert.
Sia $u(x;t)\in C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$ soluzione dell'equazione delle onde. Allora:
$u(x;t)=f(x-vt)+g(x+vt)$
Con $f,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\;f,g\in C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$.
Il teorema di D'Alembert dunque afferma che ogni soluzione dell'equazione delle onde può sempre essere scritta come somma di un'onda progressiva, $f(x-vt)$, e di un'onda regressiva, $g(x+vt)$. Inoltre è possibile provare che, se $f,g\in C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$, anche $u_{+}=f(x-vt)$ e $u_{-}=g(x+vt)$ soddisfano l'equazione delle onde. Dimostriamo il teorema di D'Alembert.
Si consideri la seguente trasformazione di coordinate:
${\underline {\xi }}={\underline {x}}+{\underline {v}}t,\;{\underline {\eta }}={\underline {x}}-{\underline {v}}t$
Si nota che ${\underline {\xi }}$ e ${\underline {\eta }}$ sono lineari e invertibili. Ora si vuole scrivere l'azione dell'operatore di D'Alembert in funzione di $\xi {\text{ e }}\eta$. Essendo ${\tilde {u}}({\underline {\xi }},{\underline {\eta }})=u(x(\xi ,\eta ),t(\xi ,\eta ))$, si ha che:
$\Box _{\xi ,\eta }={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}=\left({\frac {1}{v}}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left({\frac {1}{v}}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=2{\frac {\partial }{\partial \xi }}2{\frac {\partial }{\partial \eta }}$
Infatti:
$2{\frac {\partial }{\partial \xi }}={\frac {\partial x}{\partial \xi }}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial vt}{\partial \xi }}{\frac {\partial }{\partial vt}}={\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {1}{v}}{\frac {\partial }{\partial t}}$
In modo analogo si prova che $2{\frac {\partial }{\partial \eta }}={\frac {1}{v}}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}$. L'equazione delle onde, espressa in funzione di $\xi$ e $\eta$, può essere dunque scritta come:
$4{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi \partial \eta }}{\tilde {u}}(\xi ,\eta )=0$
Ovvero:
${\frac {\partial }{\partial \xi }}{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\tilde {u}}(\xi ,\eta )=0$
Dato che ${\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \eta }}$ non dipende da $\xi$, la si può scrivere come $F(\eta )$ e si ottiene:
${\tilde {u}}(\xi ,\eta )=\int F(\eta )+g(\xi )$
Da cui segue che:
${\tilde {u}}(\xi ,\eta )=f(\eta )+g(\xi )$
Tornando in $x,t$ si conclude che:
$u(x;t)=f(x-vt)+g(x+vt)$