# Fisica classica/Campi elettromagnetici nei conduttori

Fisica classica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo

## Meccanica

* Cinematica del puntoFisica classica/Cinematica
* Dinamica del puntoFisica classica/Dinamica
* Energia e lavoroFisica classica/Energia e lavoro
* Moti relativiFisica classica/Moti relativi
* Dinamica dei sistemi di punti materialiFisica classica/Dinamica dei sistemi di punti materiali
* Dinamica del corpo rigidoFisica classica/Dinamica del corpo rigido
* UrtiFisica classica/Urti
* GravitazioneFisica classica/Gravitazione

## Termodinamica

* Definizioni della termodinamicaFisica classica/Definizioni termodinamica
* CaloreFisica classica/Calore
* Trasformazioni termodinamicheFisica classica/Trasformazioni termodinamiche
* Gas perfetti e realiFisica classica/Gas ideali e reali
* Primo principio della termodinamicaFisica classica/Primo principio della termodinamica
* Secondo principio della termodinamicaFisica classica/Secondo principio della termodinamica
* EntropiaFisica classica/Entropia

## Elettromagnetismo

* Carica elettricaFisica classica/Carica elettrica
* Campi elettriciFisica classica/Campi elettrici
* Legge di GaussFisica classica/Legge di Gauss
* Potenziale elettricoFisica classica/Potenziale elettrico
* ConduttoriFisica classica/Conduttori
* DielettriciFisica classica/Dielettrici
* ElettrodinamicaFisica classica/Elettrodinamica
* Le leggi di KirchhoffFisica classica/Le leggi di Kirchhoff
* Campi magneticiFisica classica/Campi magnetici
* Leggi di LaplaceFisica classica/Leggi di Laplace
* Legge di AmpèreFisica classica/Legge di Ampère
* Magnetismo della materiaFisica classica/Magnetismo della materia
* Induzione e legge di FaradayFisica classica/Induzione e legge di Faraday
* Correnti alternateFisica classica/Correnti alternate
* Equazioni di MaxwellFisica classica/Equazioni di Maxwell

## Onde

* Proprietà generali delle ondeFisica classica/Proprietà generali delle onde
* SuonoFisica classica/Suono
* Corda vibranteFisica classica/Corda vibrante
* Onde del mareFisica classica/Onde del mare
* Linea di trasmissioneFisica classica/Linea di trasmissione
* Onde elettromagneticheFisica classica/Onde elettromagnetiche
* Il vettore di PoyntingFisica classica/Il vettore di Poynting
* Campi elettromagnetici nei dielettriciFisica classica/Campi elettromagnetici nei dielettrici
* Campi elettromagnetici nei conduttoriFisica classica/Campi elettromagnetici nei conduttori
* Spettro delle onde elettromagneticheFisica classica/Spettro delle onde elettromagnetiche

## Ottica

* La luceFisica classica/La luce
* Leggi dell'ottica geometricaFisica classica/Leggi dell'ottica geometrica
* Lenti e specchiFisica classica/Lenti e specchi
* Strumenti otticiFisica classica/Strumenti ottici
* PolarizzazioneFisica classica/Polarizzazione
* Ottica ondulatoriaFisica classica/Ottica ondulatoria
* Interferenza

## Relatività

Modifica il sommario
Se si riscrivono le equazioni di Maxwell in presenza di conduttori reali bisogna tenere conto della legge di Ohm che stabilisce che :
| ${\vec {E}}=\rho {\vec {J}}$ | (1) |
Questo implica che la IV equazione di Maxwell, aggiungendo la possibilità che vi sia una densità di corrente elettrica, diventa:
| ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\mu _{o}}{\rho }}{\vec {E}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\$ | (2) |
Da tale equazione, con passaggi simili a quelli fatti nel vuoto si ricavano, l'equazione delle onde, per il campo elettrico, con in più la presenza di un termine aggiuntivo:
| $\nabla ^{2}{\vec {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\mu _{o}}{\rho }}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$ | (3) |
ed analogamente per il campo di induzione magnetica:
| $\nabla ^{2}{\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\mu _{o}}{\rho }}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$ | (4) |
Limitiamo le considerazioni al caso unidimensionale di una onda e.m. piana che incide sulla superficie del conduttore in questo caso l'equazione di una delle componenti normali del campo elettrico (eliminiamo il simbolo di vettore) nel conduttore diviene:
| ${\frac {\partial ^{2}E}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}+{\frac {\mu _{o}}{\rho }}{\frac {\partial E}{\partial t}}\$ | (5) |
Una soluzione possibile vale:
    $f(x,t)=Ae^{j(kx-\omega t)}\$
Con $k\$ complessa, sostituendo tale soluzione generica nella (5) si ha:
    $-k^{2}Ae^{j(kx-\omega t)}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Ae^{j(kx-\omega t)}-j\omega {\frac {\mu _{o}}{\rho }}Ae^{j(kx-\omega t)}\$
    $k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}+j\omega {\frac {\mu _{o}}{\rho }}\$
Ponendo $k=k_{1}+jk_{2}\$ si ha:
    $k_{1}^{2}+2jk_{1}k_{2}-k_{2}^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}+j\omega {\frac {\mu _{o}}{\rho }}\$
Eguagliando i termini immaginari e reali:
    $2k_{1}k_{2}=\omega {\frac {\mu _{o}}{\rho }}$
    $k_{1}^{2}-k_{2}^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$
Se:
    ${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\ll \omega {\frac {\mu _{o}}{\rho }}\$
    $\omega \ll {\frac {c^{2}\mu _{o}}{\rho }}\$
Praticamente qualsiasi frequenza per conduttori con resistività ragionevolmente bassa, di conseguenza:
    $k_{1}\approx k_{2}\$
    $2k_{2}^{2}\approx \omega {\frac {\mu _{o}}{\rho }}\$
    $k_{2}={\sqrt {\frac {\omega \mu _{o}}{2\rho }}}\$
Se chiamiamo lo spessore (skin depth) $\delta =1/k_{2}\$ si ha che:
    $\delta ={\sqrt {\frac {2\rho }{\omega \mu _{o}}}}\$
Quindi il campo elettrico all'interno dei conduttori ha l'espressione:
| $E(x,t)=E_{o}e^{-x/\delta }e^{j(x/\delta -\omega t)}\$ | (6) |
| Frequenza | $\delta \$ Rame (mm) |
| 60 Hz | 8.47 |
| 10 kHz | 0.66 |
| 100 kHz | 0.21 |
| 1 MHz | 0.066 |
| 10 MHz | 0.021 |
| 100 MHz | 0.0066 |
Quindi una onda elettromagnetica che incide normalmente ad un conduttore viene attenuata in maniera esponenziale. In tabella viene dato l'effetto pelle per il conduttore più comune, il rame.
L'effetto pelle non riguarda solo le onde elettromagnetiche, ma anche la corrente elettrica alternata che invece di distribuirsi uniformemente all'interno di un conduttore come avviene in corrente continua si distribuisce in un sottile spessore dell'ordine di grandezza di $\delta \$. Per questa ragione ad alte frequenze è inutile utilizzare conduttori pieni e di grande diametro: è solo uno spreco di materiale dato che l'interno non contribuisce alla conduzione, ricorrendo a soluzioni quali le guide d'onda.