# Fondamenti di automatica/Proprietà e prestazioni

Fondamenti di automatica
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## Proprietà e prestazioni dei sistemi
### Stabilità

Esistono criteri di stabilità esterna che si riferiscono alle uscite del sistema e criteri di stabilità interna che si riferiscono allo stato del sistema;
la stabilità interna implica la stabilità esterna, ma in generale la stabilità esterna non implica la stabilità interna (anche se sotto alcune ipotesi questo è vero )
Si dice perturbazione una variazione di movimento corrispondente a variazioni di ingresso o di condizioni iniziali
un movimento $x(t_{0}\cdots t)$ si dice stabile
se per ogni $\epsilon$ positivo esiste $\delta$ positivo tale che per tutti gli stati iniziali $x(t_{1})$ che soddisfano la relazione $\|x(t_{0})-x(t_{1})\|\leq \delta$ risulta $\|x(t_{0}\cdots t)-x(t_{1}\cdots t)\|\leq \epsilon$ per ogni $t\geq 0$.
Se $\delta$ non dipende da $x(t_{0})$ il sistema è uniformemente stabile, se $\delta$ può essere grande a piacere il movimento è globalmente stabile
Per un sistema lineare, se questo ha un movimento asintoticamente stabile rispetto a perturbazioni, allora anche un altro qualsiasi movimento è globalmente ed uniformemente stabile
un movimento si dice instabile
se non è stabile
un movimento si dice asintoticamente stabile
se è stabile ed inoltre $\lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t_{0}\cdots t)-x(t_{1}\cdots t)\|=0$ per ogni $t\geq 0$
Un sistema lineare stazionario
* è stabile se e solo se tutti i movimenti liberi dello stato sono limitati,
ovvero se tutti i suoi autovalori sono negativi e quelli nulli hanno molteplicità 1
* è asintoticamente stabile se e solo se tutti i movimenti liberi dello stato tendono a $0$ per $t\rightarrow \infty$,
ovvero se e solo se tutti i suoi autovalori hanno parte reale strettamente negativa
* è instabile se e solo se almeno un movimento libero dello stato non è limitato,
ovvero se almeno un autovalore ha parte reale positiva (oppure se ci sono autovalori doppi nulli)
Un sistema asintoticamente stabile ha proprietà utili  : il movimento dello stato per tempi sufficientemente grandi coincide con il movimento forzato, in quanto il movimento libero tende ad essere nullo; la risposta ad un qualunque ingresso di durata finita tende ad annullarsi; l'uscita è limitata ed il sistema è stabile BIBO
Definiamo la matrice di transizione dello stato $\Phi$ tale che $x(t)=\Phi (t,t_{0})x(t_{0})$ (che per un sistema stazionario è $e^{At}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{(sI-A)^{-1}\right\}$)
La matrice di transizione dello stato soddisfa le proprietà seguenti:
$\Phi '(t,t_{0})=A\Phi (t,t_{0})$
$\Phi (t_{0},t_{0})=I$
$\Phi (t_{2},t_{0})=\Phi (t_{2},t_{1})\Phi (t_{1},t_{0})$
$\Phi ^{-1}(t,t_{0})=\Phi (t_{0},t)$
In generale un sistema (strettamente proprio) è stabile BIBS (bounded input - bounded state) se
$\|x(t)\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}\Phi {t,\tau }B(\tau )u(\tau )d\tau \right\|<\epsilon$
mentre è stabile BIBO (bounded input - bounded output) se
$\|y(t)\|=\left\|C(t)\int _{t_{0}}^{t}\Phi {t,\tau }B(\tau )u(\tau )d\tau \right\|<\epsilon$
La definizione di stabilità secondo Lyapunov è applicabile a sistemi in generale anche non lineari

#### Teorema di Lyapunov

Dato $x'=f(x)$ (con $x$ vettore di $n_{x}$ componenti e $f(\cdot )$ campo vettoriale) in cui $x=0\cdots 0$ è punto di equilibrio (a meno di traslazioni dell'origine), si associa $V(x)=x^{T}Px$ (funzione di Lyapunov, quadratica e tale che P è una matrice simmetrica definita positiva, con tutti gli autovalori positivi), allora $V'(x)=2x^{T}Px'=x^{T}(A^{T}P+PA)x$, che è negativa se e solo se $(A^{T}P+PA)_{i}<0$, nel qual caso il sistema è asintoticamente stabile.
Gli autovalori di $A$ hanno parte reale negativa se e solo se esiste $P>0$ simmetrica tale che $A^{T}P+PA+Q=0$ con $Q>0$ (in genere $Q=I$), inoltre se $P$ esiste è unica e il sistema è asintoticamente stabile

#### Stabilità marginale e instabilità

Un sistema è marginalmente stabile se la sua risposta ad un ingresso finito è sempre limitata ma finita; è instabile se la sua risposta ad un ingresso limitato è illimitata; è stabilizzabile se tutte le sue vabiabili instabili sono controllabili

### Osservabilità

Uno stato di un sistema si dice non osservabile se in un tempo finito il movimento libero da esso generato è nullo,
Un sistema è completamente osservabile se è privo di stati non osservabili, se e solo se è massimo il rango della matrice di osservabilità definita come
$M_{o}=[C^{T}\quad A^{T}C^{T}\quad A^{T2}C^{T}\cdots A^{Tn-1}C^{T}]\in \Re ^{n\times pn}$
È condizione necessaria per l'osservabilità che la matrice $C$ non abbia elementi nulli: $C_{1..n_{x}}\not =0$
Se il sistema ha una sola uscita allora la matrice di osservabilità è quadrata e quindi è sufficiente che $det(M_{c})\not =0$
La proprietà di osservabilità di un sistema è associata alla coppia $(A,C)$, inoltre questa coincide con la controllabilità di $(A^{T},C^{T})$
Se il sistema è in coordinate modali, è necessario e sufficiente che ogni variabile di stato non sia mai nulla (???) o che la matrice $C$ trasformata $CT$ non abbia elementi nulli perché il sistema sia osservabile, oppure se il sistema è in forma di Jordan, la matrice $C$ trasformata non deve essere nulla nella prima riga corrispondente al blocco di Jordan (????)
La proprietà di osservabilità coincide per i sistemi lineari con la proprietà di non ricostruibilità consistente nell'impossibilità di distinguere lo stato finale (anziché iniziale) di un sistema da quello nullo mediante l'analisi di un transitorio libero dell'uscita di qualunque durata.
Dato un sistema non completamente osservabile è sempre possibile isolare la sua parte non osservabile (????)

### Controllabilità

un sistema si definisce controllabile se, dati due stati del sistema x(t0) e x(t1), esiste una funzione che possa condurmi il sistema dallo stato x(t0) allo stato x(t1) in un tempo finito pari a t1-t0. Consiste nel poter cambiare lo stato del sistema da un valore arbitrario al valore nullo in un tempo finito mediante un opportunuo ingresso
Un sistema è completamente controllabile se è privo di stati non controllabili, se e solo se è massimo il rango della matrice di controllabilità definita come
$M_{c}=[B\quad AB\quad A^{2}B\cdots A^{n-1}B]\in \Re ^{n\times pn}$
Se il sistema ha un solo ingresso allora la matrice di controllabilità è quadrata e quindi è sufficiente che $det(M_{c})\not =0$
Dato un sistema non completamente controllabile è sempre possibile isolare la sua parte non controllabile (????)

### Causalità

Un sistema è causale se:
* la sua funzione di trasferimento ha tanti zeri quanti poli oppure un numero minore di zeri rispetto ai poli.
* la sua risposta impulsiva è nulla per tempi negativi
* la sua risposta dipende solamente dal segnale in ingresso attuale e da quello precedente, non dal segnale futuro. Non è anticipatore.(y(t0) dipende da x( t<=t0), non da x(t>t0) )
Un sistema causale è fisicamente realizzabile; sistemi non causali sono utili solo al livello accademico

### Risposta al gradino

Si studia la risposta del sistema ad un ingresso gradino unitario
per valutare le proprietà della risposta transitoria del sistema, in quanto la risposta ad un gradino unitario può essere utilizzata per approssimare la risposta ad un ingresso qualunque che sia esprimibile come somma di gradini che siano sufficientemente piccoli rispetto alla rapidità di variazione della risposta (i gradini devono essere separati l'uno dall'altro da un intervallo di tempo pari almeno al tempo di assestamento del sistema).
La risposta transitoria è per definizione la risposta del sistema che diventa trascurabile per tempi molto grandi e corrisponde alla soluzione dell'equazione differenziale omogenea (movimento libero del sistema)
Le caratteristiche della risposta al gradino che vengono valutate generalmente sono:
* sovraelongazione massima $M_{p}$ (oppure $M_{p}\%$ se in percentuale)
* tempo di ritardo $t_{d}$
* tempo di salita $t_{r}$
* tempo di assestamento $t_{s}$

#### Sovraelongazione massima

Si definisce sovraelongazione massima (o maximum overshoot) $M_{p}$ la differenza tra il valore di regime della risposta e il valore massimo che essa raggiunge in fase transitoria; la sovraelongazione massima percentuale $M_{p}\%$ è misurata in percentuale rispetto al valore di regime.
Valori di sovraelongazione bassi sono desiderabili per un sistema $(<5\%)$

#### Tempo di assestamento

Si chiama tempo di assestamento (o settling time) $t_{s}$ il tempo necessario alla risposta a portarsi definitivamente a valori vicini al valore di regime; In genere si misura il tempo dopo cui la risposta non differisce di più del 10% dal valore di regime.
Un valore del tempo di assestamento più basso possibile è desiderabile per un sistema.

#### Tempo di salita

Si chiama tempo di salita (o rise time) $t_{r}$ il tempo necessario alla risposta per portarsi dal 10% al 90% del valore di regime.

#### Tempo di ritardo

Si chiama tempo di ritardo (o delay time) $t_{d}$ il tempo necessario alla risposta per raggiungere il 10% del valore di regime

### Comportamento a regime

Se il sistema è un sistema in retroazione unitaria che ha come scopo che la sua uscita segua il segnale di comando in ingresso il più accuratamente possibile, allora si studia la risposta del sistema a ciascuno degli ingressi canonici (gradino, rampa e parabola) a transitorio esaurito e si valuta la stabilità esterna del sistema, ovvero se il sistema segue l'ingresso oppure diverge da esso.
Se il sistema ha altri scopi (ad esempio mantenere la derivata del segnale in uscita piccola...) o diversa struttura allora l'errore a regime deve essere definito in maniera differente.
L'errore a regime può essere valutato con vari metodi, ad esempio con applicando il teorema del valore finale.

#### Errore a regime

Si chiama errore a regime
(o steady-state error) $\epsilon _{ss}$ o semplicemente $\epsilon$ la differenza tra il segnale in uscita e quello in ingresso in condizioni di regime (per il tempo che tende all'infinito).
L'errore ad un ingresso $u(t)$ si può valutare considerando la funzione di trasferimento ingresso-errore in ciclo chiuso (o funzione di sensitività) del sistema $S(s)=1/(1+G(s))$ moltiplicata per la trasformata di Laplace dell'ingresso $U(s)$ e quindi applicando il teorema del valore finale, per cui $\epsilon _{ss}=\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {1}{1+G(s)}}U(s)$.
Si definiscono le costanti di errore agli ingressi canonici
come:
* $K_{p}=\lim _{s\rightarrow 0}G(s)$: costante di errore al gradino
* $K_{v}=\lim _{s\rightarrow 0}sG(s)$: costante di errore alla rampa
* $K_{a}=\lim _{s\rightarrow 0}s^{2}G(s)$: costante di errore al alla parabola

#### Grado dei sistemi

Un sistema che è stabile in retroazione ha un errore a regime agli ingressi canonici nullo, finito o infinito dipendentemente dal suo numero di poli nulli $g$ (detto grado del sistema) in anello aperto.
* Un sistema di ordine zero ha errore a regime finito non nullo
$1/(1+\lim _{s\rightarrow 0}G(s))$ al gradino unitario ed errore infinito per ingressi a rampa o parabolici
* Un sistema di ordine uno ha errore a regime nullo al gradino, finito alla rampa
$1/\lim _{s\rightarrow 0}sG(s)$ e infinito alla parabola
* Un sistema di ordine due ha errore a regime nullo per rampa e gradino ed errore finito alla parabola
$1/\lim _{s\rightarrow 0}s^{2}G(s)$

### Comportamento in frequenza
#### Margine di guadagno e margine di fase

Si definisce pulsazione di taglio
(o phase-crossover frequency) $\omega _{\pi }$ di un sistema la pulsazione per cui la fase della risposta è in ritardo di $\pi$ radianti (supponendo che questa sia unica, altrimenti si sceglie quella per cui il margine di guadagno è minore)
$\angle G(j\omega _{\pi })=-\pi$
Il guadagno in corrispondenza della pulsazione di taglio è detto margine di guadagno $GM$ (o gain-margin)
$GM=-20\log _{10}|G(j\omega _{\pi })|\qquad {\textrm {dB}}$
Per un sistema stabile il margine di guadagno è positivo.
Il margine di guadagno indica di quanto è possibile aumentare il guadagno d'anello di un sistema retroazionato prima che esso diventi instabile.
Si definisce pulsazione critica
(o gain-crossover frequancy) $\omega _{c}$ di un sistema (ed in sua corrispondenza la frequenza critica $f_{c}$) la pulsazione per cui il modulo della risposta del sistema è unitario (0 dB) (supponendo che sia unica, altrimenti si sceglie quella per cui il margine di fase è minore) $|G(j\omega _{c})|=1$
La differenza tra la fase in corrispondenza della frequenza critica e $-\pi$ è detto margine di fase (o phase-margin) $PM$
$PM=\angle G(j\omega _{c})+\pi \qquad {\textrm {rad}}$
ed è definito in questo modo solo per sistemi a sfasamento minimo
Il margine di fase indica quale è lo sfasamento massimo che dei ritardi di tempo possono inserire nell'anello di reazione prima che il sistema diventi instabile

## Note

* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 604, sezione 14.5: Stability of nonlinear systems
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 52, sezione 2.7: Stabilità
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 97
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 52
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 56, sezione 2.7.2: Regione di attrazione
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 73, sezione 3.3.2: Stabilità e movimento libero
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 53
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 54
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 74, sezione 3.3.3: Stabilità e autovalori
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 80, sezione 3.3.5: proprietà dei sistemi asintoticamente stabili
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione646, sezione 14.2: Lyapunov's stability criterion
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 90, sezione 3.5.3: Osservabilità
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 500, State variable Analysis and Design: Observability
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 92
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 87, sezione 3.5.2: Raggiungibilità
* ↑ Controls systems engineering di I. J. Nagrath, M. Gopal; Wiley International edition, 1982, seconda edizione; pag. 494, State variable Analysis and Design: Controllability
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 385, sezione 7-4: Unit step response and time-domain specifications
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 371
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 365, sezione 7-3: Steady-state error
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 371
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 375, tabella 7-1
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 188, sezione 6.8: Azione filtrante dei sistemi dinamici
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 319, sezione 11.7: Margine di guadagno e margine di fase
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 608, sezione 9-14-1: Gain Margin
* ↑ Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 321, sezione 11.7.2: Margine di fase
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 610, sezione 9-14-2: Phase margin
* ↑ Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 612, phase margin of nonminimum-phase systems