# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Nel modulo precedente abbiamo osservato che a ogni funzione integrabile su compatti di ${\mathbb {R}}^{n}$ è possibile associare un funzionale lineare definito come $T_{f}=\int _{\Omega }f\phi dx$, $\forall \phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$. In questo modulo vogliamo capire meglio quali siano le proprietà di questo funzionale lineare per darne una caratterizzazione più dettagliata. Innanzitutto è necessario introdurre il concetto di topologia su $\left(C_{0}^{\infty }(\Omega )\right)^{\star }$ per poter poi definire il concetto di continuità di questo funzionale lineare $T_{f}$. Per poter definire la topologia sul duale si inizia definendo quella su $C_{0}^{\infty }(\Omega )$. Tuttavia, data una successione $\left\lbrace \phi _{n}\right\rbrace$ in $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ si hanno due problemi nel voler definire quando $\phi _{n}\rightarrow \phi$ perché:
* si deve richiedere che anche $\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ e quindi occorre convergenza uniforme su tutte le derivate;
* si deve richiedere che $\phi _{n}$ abbiano tutti lo stesso supporto, altrimenti si rischierebbe di avere $\phi _{n}\rightarrow \phi$ su $\partial \Omega$
Pertanto per definire il concetto di topologia su $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ è necessario richiedere che tutti i $\phi _{n}$ abbiano stesso supporto compatto $K$ e che $\forall x\in K$ si abbia sup $\sup _{x\in K}\mid \partial ^{\alpha }\phi _{n}-\partial ^{\alpha }\phi \mid {\underset {n\rightarrow 0}{\rightarrow }}0,\;\forall \alpha$ multiindice. Avendo definito il concetto di topologia su $C_{0}^{\infty }(\Omega )$, ora è possibile definire quello sul suo duale.
Definizione
Sia $T_{f}\in \left(C_{0}^{\infty }(\Omega )\right)^{\star }$. Si dice che esso è continuo se
$T_{f}(\phi _{n})\rightarrow T_{f}(\phi ),\;\forall \phi _{n}{\underset {C_{0}^{\infty }(\Omega )}{\rightarrow }}\phi$
Da cui segue la definizione di distribuzione:
Definizione
$C_{0}^{\infty }(\Omega )$
Osserviamo che $T_{f}$ definito sopra è effettivamente una distribuzione, infatti si ha che:
$\left|T_{f}(\phi _{n})\right|=\left|\int _{\Omega }f(x)\phi (x)dx\right|\leq \sup _{x\in K}\left|\phi _{n}(x)\right|\int f(x)dx{\underset {n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$
Dunque:
$T_{f}(\phi _{n})\rightarrow T_{f}(0),{\text{ se }}\phi _{n}\rightarrow 0$
Quindi effettivamente $T_{f}$ è una distribuzione.
Lo spazio delle funzioni test, $C_{0}^{\infty }(\Omega )$, spesso si indica con ${\mathcal {D}}(\Omega )$, mentre il suo duale algebrico con ${\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$ ed è detto spazio delle distribuzioni. Nel caso in cui $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$ si omette in ${\mathcal {D}}$ e ${\mathcal {D}}^{\prime }$. Diamo ora la definizione di supporto di una distribuzione:
Definizione
$T\in {\mathcal {D}}^{\prime }$
$A\subset \mathbb {R} ^{n}$
$T_{f}(\phi )=0\,\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}(A)$
$\bigcup A$
$T$
$T$
Nel modulo successivo vedremo che in realtà non tutte le distribuzioni sono come $T_{f}$. $T_{f}$ è detta distribuzione regolare, tuttavia esistono anche delle distribuzioni singolari, come la $\delta$ di Dirac e il valor principale di ${\frac {1}{x}}$ che saranno oggetto di studio del prossimo modulo.