# Meccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per bosoni

Meccanica quantistica relativistica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Unificazione della meccanica quantistica e della relatività
* Impostazione del problemaMeccanica quantistica relativistica/Impostazione del problema
* Equazione di Klein-GordonMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Klein-Gordon
* Equazione di DiracMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Dirac
Equazione di Dirac: sviluppi e conseguenze
* Formalismo dei bispinori e interazione elettromagneticaMeccanica quantistica relativistica/Formalismo dei bispinori e interazione elettromagnetica
* Bispinori: soluzioni a massa nullaMeccanica quantistica relativistica/Bispinori: soluzioni a massa nulla
* Teoria di Dirac e antiparticelleMeccanica quantistica relativistica/Teoria di Dirac e antiparticelle
* Invarianza per trasformazioniMeccanica quantistica relativistica/Invarianza per trasformazioni
Riscrittura delle equazioni di Maxwell
* Formulazione covariante delle equazioni di MaxwellMeccanica quantistica relativistica/Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell
* Equazioni di Maxwell in forma quantisticaMeccanica quantistica relativistica/Equazioni di Maxwell in forma quantistica
* Operatore energia, impulso e momento angolareMeccanica quantistica relativistica/Operatore energia, impulso e momento angolare
Sistemi di particelle identiche
* IntroduzioneMeccanica quantistica relativistica/Sistemi di particelle identiche
* Formalismo di seconda quantizzazione per bosoniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per bosoni
* Formalismo di seconda quantizzazione per fermioniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per fermioni
Elettrodinamica quantistica
* Quantizzazione del campo elettromagneticoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettromagnetico
* Quantizzazione del campo elettronicoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettronico
* Quantizzazione dell'interazione fotone-elettroneMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione dell'interazione fotone-elettrone
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Consideriamo $N$ bosoni non interagenti e siano $\varphi _{\alpha _{j}}({\vec {r}}_{p_{j}})$ le funzioni d'onda di singola particella, dove $p_{j}$ indica il numero di particelle nello stato $\alpha _{j}$. Se le particelle non fossero identiche la funzione totale si scriverebbe come:
$\varphi _{1}({\vec {r}}_{1})\cdots \varphi _{1}({\vec {r}}_{p_{1}})\varphi _{2}({\vec {r}}_{p_{1}+1})\cdots \varphi _{2}({\vec {r}}_{p_{1}+p_{2}})\cdots \varphi _{\alpha _{l}}({\vec {r}}_{p_{1}+\cdots p_{l}=N})$
poiché però le particelle sono bosoni identici occorre prendere la somma su tutte le permutazioni non banali, ovvero permettere la permutazione delle prime $p_{1}$ particelle fra loro, delle seconde $p_{2}$ e così via. Queste permutazioni sono in numero di $N!/(p_{1}!\cdots p_{l}!)$ e quindi la funzione totale va anche moltiplicata per ${\sqrt {p_{1}!\cdots p_{l}!/N!}}$ per mantenere la normalizzazione. Si indichi con $|p_{1}\ldots p_{l}\rangle$ lo stato simmetrico ottenuto in questo modo.
Chiamiamo ora operatore collettivo un operatore definito come:
${\hat {O}}=\sum _{i=1}^{N}{\hat {O}}_{i}$
dove il singolo operatore ${\hat {O}}_{i}$ agisce sulla singola particella. Ricerchiamo quindi gli elementi di matrice di questo operatore ${\hat {O}}$. Se si suppone gli ${\hat {O}}_{i}$ diagonali, allora:
${\hat {O}}_{i}\varphi _{\alpha _{h}}({\vec {r_{j}}})=\delta _{ij}o_{h}\varphi _{\alpha _{h}}({\vec {r_{j}}})$
si ricava:
${\hat {O}}|p_{1}\cdots p_{l}\rangle =\sum _{h=1}^{N}o_{h}p_{h}|p_{1}\cdots p_{l}\rangle$
Se questi operatori soddisfano invece la relazione:
${\hat {O}}_{i}\varphi _{\alpha _{l}}({\vec {r_{j}}})=\delta _{ij}\delta _{lr}\varphi _{\alpha _{s}}({\vec {r_{j}}})$
questo agisce solo sulle funzioni d'onda relative alla particella $i=j$ e manda lo stato $\alpha _{r}$ ($l=r$) nello stato $\alpha _{s}$ con autovalore 1. In altre parole, questo operatore sposta $r$ in $s$: se lo stato $r$ manca esso non agisce, ma se è presente almeno una particella la manda nello stato $s$. Se inizialmente lo stato $r$ ha $p_{r}$ particelle e lo stato $s$ ne ha $p_{s}$, dopo l'azione dell'operatore lo stato $r$ si ritrova con $p_{r}-1$ particelle e lo stato $s$ con $p_{s}+1$. Gli elementi di matrice devono allora essere del tipo $\delta _{ps}\delta _{qr}$, a cui va aggiunta la normalizzazione.
Prima dell'azione degli ${\hat {O}}_{i}$ ci sono $N!/{\sqrt {p_{1}!\cdots p_{l}!}}$ addendi in $|p_{1}\cdots p_{l}\rangle$, dopo il numero dei prodotti degli stati per singola particella è:
${\frac {p_{r}N!}{p_{1}!\cdots p_{l}!}}$
con il fattore di normalizzazione ${\sqrt {p_{1}!\cdots p_{l}!/N!}}$. Per azione diretta si ricava il numero di termini:
${\frac {N!}{p_{1}\cdots (p_{r}-1)!(p_{s}+1)!\cdots p_{l}!}}$
con una normalizzazione data da ${\sqrt {p_{1}\cdots (p_{r}-1)!(p_{s}+1)!\cdots p_{l}!/N!}}$. Per confronto:
${\begin{aligned}{\frac {{\dfrac {p_{r}N!}{p_{1}!\cdots p_{l}!}}{\sqrt {\dfrac {p_{1}!\cdots p_{l}!}{N!}}}}{{\dfrac {N!}{p_{1}\cdots (p_{r}-1)!(p_{s}+1)!\cdots p_{l}!}}{\sqrt {\dfrac {p_{1}\cdots (p_{r}-1)!(p_{s}+1)!\cdots p_{l}!}{N!}}}}}=\\={\frac {p_{r}(p_{r}-1)!}{p_{r}!}}{\frac {(p_{s}+1)!}{p_{S}!}}{\sqrt {{\frac {p_{r}!}{(p_{r}-1)!}}{\frac {p_{s}!}{(p_{s}+1)!}}}}=(p_{s}+1){\sqrt {\frac {p_{r}}{p_{s}+1}}}\end{aligned}}$
da cui in definitiva:
${\hat {O}}|p_{1}\cdots p_{r}p_{s}\cdots p_{l}\rangle ={\sqrt {p_{r}(p_{s}+1)}}|p_{1}\cdots (p_{r}-1)(p_{s}+1)\cdots p_{l}\rangle$
L'analogia con gli operatori di creazione e distruzione suggerisce la definizione degli operatori:
${\begin{aligned}{\hat {a}}_{s}^{\dagger }|p_{1}\cdots p_{s}\cdots p_{l}\rangle &={\sqrt {p_{s}+1}}|p_{1}\cdots (p_{s}+1)\cdots p_{l}\rangle \\{\hat {a}}_{r}|p_{1}\cdots p_{r}\cdots p_{l}\rangle &={\sqrt {p_{r}-1}}|p_{1}\cdots (p_{s}+1)\cdots p_{l}\rangle \end{aligned}}$
che soddisfano la relazione $\left[a_{r},a_{s}^{\dagger }\right]=\delta _{rs}$. L'operatore ${\hat {a}}_{s}^{\dagger }$ crea una particella nello stato $s$ e l'operatore ${\hat {a}}_{r}<math>distruggeunaparticellanellostato<math>r$, sono chiamati pertanto rispettivamente operatore bosonico di creazione e operatore bosonico di distruzione.
In termini di questi operatori risulta:
${\hat {O}}=o_{sr}{\hat {a}}_{s}^{\dagger }{\hat {a}}_{r}$
Se si considera il generico operatore ${\hat {O}}$ con elementi di matrice ${\hat {O}}_{pq}$ che soddisfa la ${\hat {O}}_{pq}=\delta _{ps}\delta _{qr}{\hat {O}}_{sr}$, ricordando la definizione di ${\hat {O}}_{i}$ data sopra si può riscrivere come:
${\hat {O}}=\sum _{r,s=1}^{l}o_{sr}{\hat {a}}_{s}^{\dagger }{\hat {a}}_{r}$
Consideriamo infine gli operatori:
${\begin{aligned}{\hat {\Psi }}({\vec {r}})&=\sum _{h=1}^{n}\varphi _{h}({\vec {r}}){\hat {a}}_{h}\\{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')&=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}^{\ast }({\vec {r}}'){\hat {a}}_{k}^{\dagger }\end{aligned}}$
Questi operatori soddisfano le relazioni:
$\left[{\hat {\Psi }}({\vec {r}}),{\hat {\Psi }}({\vec {r}})\right]=\left[{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}),{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}})\right]=0$
e
$\left[{\hat {\Psi }}({\vec {r}}),{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')\right]=\sum _{h,k=1}^{l}\varphi _{h}({\vec {r}})\varphi _{k}^{\ast }({\vec {r}}')\left[{\hat {a}}_{h},{\hat {a}}_{k}^{\dagger }\right]=\sum _{h=1}^{l}\varphi _{h}({\vec {r}})\varphi _{h}^{\ast }({\vec {r}}')$
poiché le $\varphi _{h}({\vec {r}})$ sono anche un sistema completo, vale la relazione:
$\left[{\hat {\Psi }}({\vec {r}}),{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')\right]=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$
Da queste relazioni si deduce che l'operatore ${\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')$ crea una particella nella posizione ${\vec {r}}'$ e l'operatore ${\hat {\Psi }}({\vec {r}})$ distrugge una particella nella posizione ${\vec {r}}$. Questi operatori sono chiamati operatori di campo bosonico.

## Note

* ↑ Per alleggerire la notazione indicheremo d'ora in poi ${\vec {r}}_{p_{j}}$ semplicemente con ${\vec {r}}_{j}$.