# Teoria dei segnali2/Diagrammi a blocchi

Teoria dei segnali2
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## Diagrammi a blocchi

Un diagramma a blocchi è un sistema LTI costituito da un insieme di sistemi LTI interconnessi tramite dei blocchi fondamentali.
Blocchi fondamentali :
| Sommatore | $y\left(t\right)=x_{1}\left(t\right)+x_{2}\left(t\right)$ $Y\left(f\right)=X_{1}\left(f\right)+X_{2}\left(f\right)$ | $y\left(t\right)=x_{1}\left(t\right)+x_{2}\left(t\right)$ $Y\left(f\right)=X_{1}\left(f\right)+X_{2}\left(f\right)$ |
| Ritardatore | $h\left(t\right)=\delta \left(t-T\right)$ $H\left(f\right)=e^{-j2\pi fT}$ | $y\left(t\right)=x\left(t-T\right)$ $Y\left(f\right)=X\left(f\right)e^{-j2\pi fT}$ |
| Amplificatore | $h\left(t\right)=A\delta \left(t\right)$ $H\left(f\right)=A$ | $y\left(t\right)=Ax\left(t\right)$ $Y\left(f\right)=AX\left(f\right)$ |
Tipi di interconnessione :
| Serie | $y\left(t\right)=x\left(t\right)*h_{1}\left(t\right)*h_{2}\left(t\right)$ $Y\left(f\right)=X\left(f\right)H_{1}\left(f\right)H_{2}\left(f\right)$ |
| Parallelo | $y\left(t\right)=x\left(t\right)*\left[h_{1}\left(t\right)+h_{2}\left(t\right)\right]$ $Y\left(f\right)=X\left(f\right)\left[H_{1}\left(f\right)+H_{2}\left(f\right)\right]$ |
| Retroazione (o feedback) | $y\left(t\right)=\left[x\left(t\right)+y\left(t\right)*h_{2}\left(t\right)\right]*h_{1}\left(t\right)$ $Y\left(f\right)=X\left(f\right){\frac {H_{1}\left(f\right)}{1-H_{1}\left(f\right)H_{2}\left(f\right)}}$ |
    $Y\left(f\right)=\left[X\left(f\right)+Y\left(f\right)H_{2}\left(f\right)\right]H_{1}\left(f\right)$
    $Y\left(f\right)\left[1-H_{2}\left(f\right)H_{1}\left(f\right)\right]=X\left(f\right)H_{1}\left(f\right)$
    $H\left(f\right)={\frac {Y\left(f\right)}{X\left(f\right)}}={\frac {H_{1}\left(f\right)}{1-H_{2}\left(f\right)H_{1}\left(f\right)}}$
Con ritardatori e amplificatori opportunamente concatenati si possono ottenere sistemi LTI con funzioni di trasferimento desiderate nella forma:
* senza retroazione (FIR):
    $H_{\text{FIR}}\left(f\right)=\sideset{_{i}}\sum {{\alpha }_{i}e^{-j2\pi f{\tau }_{i}}}$
* con retroazione (IIR):
    $H_{\text{IIR}}\left(f\right)={\frac {\sideset{_{i}}\sum {{\alpha }_{i}e^{-j2\pi f{\tau }_{i}}}}{\sideset{_{k}}\sum {{\beta }_{k}e^{-j2\pi f{\tau }_{k}}}}}$

## Definizioni di banda

La banda di un segnale o di un sistema può essere definita in vari modi a seconda del contesto applicativo.
Siccome la trasformata di Fourier di un segnale o di un sistema reale è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, spesso si considera solo la parte positiva dell'asse delle frequenze misurando la banda unilatera, che equivale alla metà della banda bilatera.

### Misura del supporto

La larghezza di banda è pari al supporto del segnale nel dominio della frequenza, cioè all'intervallo di frequenze in cui il segnale non è nullo.
Spesso la definizione di banda come misura del supporto della trasformata di Fourier è troppo restrittiva, perché molti segnali e sistemi hanno in realtà una trasformata di Fourier con supporto infinito. Molti sistemi tuttavia presentano un intervallo di frequenze dove la funzione di trasferimento è quasi nulla.

### Banda a 3 dB

Questa definizione è usata in particolare quando si parla di filtri.
| Su scala lineare (${\left|H\left(f\right)\right|}^{2}$) La larghezza di banda $B_{p}$ è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore $f_{1}$ e la frequenza di taglio superiore $f_{2}$: la frequenza di taglio inferiore $f_{1}$ corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo $A$; la frequenza di taglio superiore $f_{2}$ corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo $A$. | Su scala logaritmica (${\left|H\left(f\right)\right|}_{\text{dB}}^{2}=20\log _{10}{\left|H\left(f\right)\right|}$) La larghezza di banda $B_{p}$ è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore $f_{1}$ e la frequenza di taglio superiore $f_{2}$: la frequenza di taglio inferiore $f_{1}$ corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo $A_{\text{dB}}$; la frequenza di taglio superiore $f_{2}$ corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo $A_{\text{dB}}$. |

#### Classificazione dei filtri

* filtro passa-basso (detto banda base): il filtro ha banda finita centrata intorno all'origine (DC);
* filtro passa-banda: il filtro ha banda finita, che non include l'origine;
* filtro passa-alto: il filtro ha banda infinita, che non include l'origine;
* filtro elimina-banda: il filtro ha banda infinita, e non include un certo intervallo di frequenze.
Gli ultimi due tipi di filtri sono ideali perché non esistono filtri a banda infinita.
Per filtro ideale si intende quello che presenta le migliori caratteristiche possibili:
* guadagno unitario nella banda passante;
* guadagno nullo nella banda attenuata (o oscura).
I filtri ideali non sono realizzabili.

### Banda equivalente di rumore

La larghezza di banda $B_{\text{eq}}$ è pari alla larghezza del rettangolo:
* la cui altezza è pari al massimo $A$ di ${\left|H\left(f\right)\right|}^{2}$;
* la cui area è uguale all'energia complessiva $E\left(H\right)$ della funzione di trasferimento, cioè all'area di ${\left|H\left(f\right)\right|}^{2}$ sull'intero asse delle frequenze:
    $B_{\text{eq}}={\frac {E\left(H\left(f\right)\right)}{A}}$

### Banda che contiene una data percentuale di energia

La larghezza di banda $B_{x\%}$ è pari al supporto della parte di grafico la cui energia corrisponde all'$x\%$ dell'energia complessiva $E\left(H\right)$ della funzione di trasferimento, ovvero dell'area di ${\left|H\left(f\right)\right|}^{2}$ sull'intero asse delle frequenze:
    $B_{x\%}=\left|a-b\right|:\,\int _{a}^{b}{\left|H\left(f\right)\right|}^{2}df={\frac {x}{100}}E\left(H\right)$

### Estensione di frequenza

La banda è l'estensione di frequenza $D$:
    $D^{2}=4{\pi }^{2}\int f^{2}{\frac {{\left|X\left(f\right)\right|}^{2}}{E\left(x\right)}}df$

## Distorsione lineare

La distorsione lineare è il fenomeno che modifica la forma del segnale di ingresso di un sistema LTI: le sinusoidi che passano per un sistema LTI non sono tutte moltiplicate per uno stesso valore costante. Un sistema LTI non presenta distorsione lineare se introduce solo un'amplificazione e/o un ritardo, senza modificare la forma:
    $y\left(t\right)=kx\left(t-t_{D}\right)$
cioè la funzione di trasferimento $H\left(f\right)$ del sistema deve avere modulo costante e fase lineare:
    $H\left(f\right)=ke^{-j2\pi t_{D}f}$
I blocchi fondamentali ideali, amplificatore e ritardatore, qualsiasi frequenza si consideri non introducono alcuna distorsione lineare. Nella realtà non è possibile realizzare un sistema non distorcente ideale, ma si possono realizzare dei sistemi che non introducono distorsione limitatamente a una certa banda.
Una distorsione lineare è eliminabile con un equalizzatore posto in serie. Ad esempio, se un segnale $x\left(t\right)$ viene distorto da un canale, cioè un sistema LTI la cui funzione di trasferimento $H_{c}\left(f\right)$ non è modificabile, è possibile porre in serie un equalizzatore che abbia una funzione di trasferimento $H_{e}\left(f\right)$ con a denominatore proprio $H_{e}\left(f\right)$ (che si semplifica nel prodotto delle funzioni di trasferimento nella serie):
    $H_{e}\left(f\right)={\frac {ke^{-j2\pi t_{D}f}}{H_{e}\left(f\right)}}$

## Modulazione e demodulazione
### Modulazione

Si ricorda che la modulazione di un segnale $x\left(t\right)$, cioè la sua moltiplicazione con una cosinusoide, corrisponde nel dominio della frequenza a uno "sdoppiamento" dello spettro:
    ${\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2}}\left[X\left(f-f_{0}\right)+X\left(f+f_{0}\right)\right]$
Grazie alla modulazione è possibile trasferire un segnale $x\left(t\right)$ in banda base attraverso un canale (ad esempio radio) avente una funzione di trasferimento $H_{c}\left(f\right)$ di tipo passa-banda.
Il segnale modulato $X'\left(f\right)$:
    $X'\left(f\right)={\frac {1}{2}}\left[X\left(f-f_{0}\right)+X\left(f+f_{0}\right)\right]$
attraversa il canale e viene ricevuto amplificato (o attenuato) dal filtro passa-banda:
    $Y\left(f\right)={\frac {A}{2}}\left[X\left(f-f_{0}\right)+X\left(f+f_{0}\right)\right]$

### Demodulazione

Il segnale originario può essere ora ricostruito tramite la demodulazione:
* il segnale ricevuto $Y\left(f\right)$ viene modulato di nuovo in base alla stessa frequenza $f_{0}$ di prima:
       $Y'\left(f\right)={\frac {A}{2}}X\left(f\right)+{\frac {A}{4}}\left[X\left(f-2f_{0}\right)+X\left(f+2f_{0}\right)\right]$
Assumendo per semplicità che l'ampiezza del segnale $x\left(t\right)$ sia pari a 1, il segnale modulato vale:
    ${\mathcal {F}}\left\{\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)\right]$
Con un'ulteriore modulazione si ottiene:
    ${\mathcal {F}}\left\{\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}}\right\}=\left\{{\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)\right]\right\}*\left\{{\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)\right]\right\}={\frac {1}{4}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)*\delta \left(f-f_{0}\right)+2\delta \left(f-f_{0}\right)*\delta \left(f+f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)*\delta \left(f+f_{0}\right)\right]$
       $\delta \left(f-f_{0}\right)*\delta \left(f-f_{0}\right)=\delta \left(f-2f_{0}\right)$
       $\delta \left(f-f_{0}\right)*\delta \left(f+f_{0}\right)=\delta \left(f\right)$
       $\delta \left(f+f_{0}\right)*\delta \left(f+f_{0}\right)=\delta \left(f+2f_{0}\right)$
    $={\frac {1}{4}}\left[\delta \left(f-2f_{0}\right)+2\delta \left(f\right)+\delta \left(f+2f_{0}\right)\right]$
    ottenendo nel dominio della frequenza tre repliche, di cui quella centrale è proprio il segnale originario solo amplificato (o attenuato):
* le componenti ad alta frequenza vengono eliminate tramite un opportuno filtro passa-basso, riottenendo così il segnale originario.
Perché il sistema funzioni devono essere rispettate le seguenti condizioni:
* la banda passante del canale deve essere più grande della banda del segnale da trasmettere;
* la banda del filtro in ricezione deve essere più grande della banda del segnale trasmesso;
* la frequenza centrale $f_{0}$ deve essere maggiore della banda unilatera del segnale da trasmettere.
Se la funzione di trasferimento del canale non è piatta, cioè è distorcente, nell'intervallo di frequenze del segnale trasmesso il filtro di ricezione può, oltre a fare da filtro passa-banda, anche compensare la distorsione e quindi servire da filtro di equalizzazione.

### Multiplazione in frequenza

Più segnali con occupazione di banda sovrapposta possono essere multiplati, cioè trasmessi in contemporanea, su un singolo canale modulandoli in base a frequenze $f_{i}$ diverse, in modo che gli spettri non si sovrappongano l'un l'altro.

## Note

* ↑ Per "banda di un sistema" s'intende la banda della sua funzione di trasferimento $H\left(f\right)$.
* ↑ Il canale non dev'essere nullo.
* ↑ Non si considera la componente immaginaria sinusoidale.