# Elaborazione numerica dei segnali/Progetto di filtri FIR

Elaborazione numerica dei segnali
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## Rotazione di fase lineare

Un filtro FIR non causale può essere reso causale semplicemente ritardandone la risposta all'impulso $h\left(n\right)$ (che è a supporto finito) in modo che tutti i campioni siano a destra dell'asse delle ordinate ($n>0$). Il ritardo temporale di $k$ campioni conduce ad una nuova sequenza $h\left(n-k\right)$ che introduce in frequenza solo una rotazione di fase lineare:
    ${\mathcal {F}}\left\{h\left(n-k\right)\right\}=H\left(e^{j\omega }\right)e^{-j\omega k}$
senza variare il modulo della risposta in frequenza, e di conseguenza senza variare la maschera del filtro $\left|H_{a}\left(j\Omega \right)\right|$.
La rotazione di fase lineare introdotta introduce un ritardo costante sulla sequenza $x\left(n\right)$ di ingresso:
    $y\left(n\right)=x\left(n\right)*h\left(n-k\right)\Rightarrow Y\left(e^{j\omega }\right)=X\left(e^{j\omega }\right)\cdot \left[H\left(e^{j\omega }\right)e^{-j\omega k}\right]=\left[X\left(e^{j\omega }\right)e^{-j\omega k}\right]\cdot H\left(e^{j\omega }\right)\Rightarrow y\left(n\right)=x\left(n-k\right)*h\left(n\right)$
Nel caso la risposta all'impulso $h\left(n\right)$ abbia simmetria pari o dispari rispetto all'asse delle ordinate, con conseguente simmetria pari della risposta in frequenza $H\left(e^{j\omega }\right)$, allora basta determinare il nuovo asse di simmetria della risposta all'impulso traslata $h\left(n-k\right)$.

## Tecniche a finestra

La risposta all'impulso $h\left(n\right)$, ottenuta mediante IDTFT della risposta in frequenza $H\left(e^{j2\pi f}\right)$, oltre a non essere causale è solitamente di durata infinita → affinché il filtro sia fisicamente realizzabile, la risposta all'impulso deve essere troncata tramite una finestra.

### Finestra rettangolare

Alla risposta in frequenza $H_{\text{id}}\left(e^{j2\pi f}\right)$ del filtro passa-basso ideale (provvista di rotazione di fase lineare):
    $H_{\text{id}}\left(e^{j2\pi f}\right)={\begin{cases}e^{-j2\pi {\frac {M-1}{2}}f}&\left|f\right|\leq f_{c}\\0&\left|f\right|>f_{c}\end{cases}}$
corrisponde una risposta all'impulso $h_{\text{id}}$ a supporto infinito (traslata):
    $h_{\text{id}}=2f_{c}{\text{sinc}}\left[2f_{c}\left(n-{\frac {M-1}{2}}\right)\right]$
La risposta all'impulso $h_{\text{id}}$ viene troncata a un numero finito $M$ di campioni con la moltiplicazione per la porta $p_{M}\left(n\right)$ (finestra rettangolare):
    $h\left(n\right)=h_{\text{id}}\left(n\right)\cdot p_{M}\left(n\right)={\begin{cases}h_{\text{id}}&n=0,\ldots ,M-1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$
Una troncatura così brutale però si manifesta in frequenza con la comparsa di oscillazioni (effetto di Gibbs):
    $H\left(e^{j2\pi f}\right)=H_{\text{id}}\left(e^{j2\pi f}\right)*P_{M}\left(e^{j2\pi f}\right)$
dove:
    $P_{M}\left(e^{j2\pi f}\right)={\frac {1-e^{-j2\pi fM}}{1-e^{-j2\pi f}}}=e^{-j2\pi f{\frac {M-1}{2}}}{\frac {\sin {\left(M\pi f\right)}}{\sin {\left(\pi f\right)}}}$

#### Osservazioni

* L'ampiezza massima delle oscillazioni in banda attenuata coincide con l'ampiezza massima delle oscillazioni in banda passante.
* All'aumentare di $M$ aumenta la frequenza di ripetizione delle oscillazioni, non la loro ampiezza massima → la riduzione dell'oscillazione massima nella risposta in frequenza può essere ottenuta solamente cambiando il tipo di finestra di troncamento, non la sua lunghezza.

### Finestra di Bartlett

La finestra di Bartlett riduce leggermente le oscillazioni:
    $p\left(n\right)={\begin{cases}{\frac {2n}{M-1}}&0\leq n\leq {\frac {M-1}{2}}\\2-{\frac {2n}{M-1}}&{\frac {M-1}{2}}\leq n\leq M-1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$

### Finestra di Hanning

La finestra di Hanning è una funzione triangolo, e riduce ulteriormente le oscillazioni:
    $p\left(n\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left[1-\cos {\left({\frac {2\pi n}{M-1}}\right)}\right]&0\leq n\leq M-1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$

### Finestra di Hamming

La finestra di Hamming è una finestra di Hanning più attenuata verso gli estremi del supporto, e riduce ulteriormente le oscillazioni:
    $p\left(n\right)={\begin{cases}0,54-0,46\cos {\left({\frac {2\pi n}{M-1}}\right)}&0\leq n\leq M-1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$

### Finestra di Blackman

La finestra di Blackman è una finestra di Hamming più attenuata verso gli estremi del supporto, e riduce ulteriormente le oscillazioni:
    $p\left(n\right)={\begin{cases}0,42-{\frac {1}{2}}\cos {\left({\frac {2\pi n}{M-1}}\right)}+0,08\cos {\left({\frac {4\pi n}{M-1}}\right)}&0\leq n\leq M-1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$
Un aumento della minima attenuazione in banda attenuata $A_{s}$ si paga però con l'aumento della banda di transizione $B_{T}$:
| Finestra | Banda di transizione $B_{T}$ | Minima attenuazione in banda attenuata $A_{s}$ |
| Rettangolare | ${\frac {1,8\pi }{M}}$ | $21\;{\text{dB}}$ |
| Bartlett | ${\frac {6,1\pi }{M}}$ | $25\;{\text{dB}}$ |
| Hanning | ${\frac {6,2\pi }{M}}$ | $44\;{\text{dB}}$ |
| Hamming | ${\frac {6,6\pi }{M}}$ | $53\;{\text{dB}}$ |
| Blackman | ${\frac {11\pi }{M}}$ | $74\;{\text{dB}}$ |