# Fondamenti di automatica2/Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione

Fondamenti di automatica2
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## Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari a tempo continuo

Considerando due evoluzioni temporali dello stato di un sistema dinamico stazionario a tempo continuo non lineare:
* movimento nominale dello stato ${\tilde {x}}(t)={\bar {x}}$: ingresso nominale ${\tilde {u}}(t)={\bar {u}}$, stato iniziale nominale ${\tilde {x}}\left(t_{0}=0\right)={\bar {x}}$;
* movimento perturbato dello stato $x(t)$: ingresso ${\tilde {u}}(t)={\bar {u}}$, stato iniziale $x_{0}\neq {\bar {x}}$.
la perturbazione $\delta x(t)$ è in generale difficile da trovare:
    ${\dot {\delta x}}(t)=f\left({\bar {x}}+\delta x(t),{\bar {u}}\right),\quad \delta x_{0}=\delta x\left(t_{0}=0\right)=x_{0}-{\bar {x}}$
e inoltre dipende dal particolare punto di equilibrio $\left({\bar {x}},{\bar {u}}\right)$ considerato → la proprietà di stabilità è locale, ovvero vale solo nell'intorno del punto di equilibrio considerato.
Il metodo indiretto di Lyapunov (anche noto come metodo di linearizzazione) permette di risolvere in molti casi questa equazione differenziale non lineare.
Approssimando allo sviluppo di Taylor del primo ordine, lo studio della stabilità dell'equilibrio di un sistema non lineare può essere ricondotto allo studio del seguente sistema LTI:
    ${\dot {\delta x}}(t)=A\delta x(t),\quad \delta x_{0}=x_{0}-{\bar {x}},\;A={\left.{\frac {\partial f\left(x,{\bar {u}}\right)}{\partial x}}\right|}_{x={\bar {x}}}$

### Criteri di stabilità
#### Stabilità asintotica

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti asintoticamente stabile nell'intorno dell'equilibrio $I_{\bar {x}}$ è che:
    $\forall i:\;\Re {\left(\lambda _{i}\left(A\right)\right)}<0$

#### Instabilità

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti instabile nell'intorno dell'equilibrio $I_{\bar {x}}$ è che:
    $\exists i:\;\Re {\left(\lambda _{i}\left(A\right)\right)}>0$

#### Caso critico

Non si può concludere nulla sulla stabilità locale se:
    ${\begin{cases}\forall i:\;\Re {\left(\lambda _{i}\left(A\right)\right)}\leq 0\\\exists k:\;\Re {\left(\lambda _{k}\left(A\right)\right)}=0\end{cases}}$

## Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari a tempo discreto

Considerando due evoluzioni temporali dello stato di un sistema dinamico stazionario a tempo discreto non lineare:
* movimento nominale dello stato ${\tilde {x}}(k)={\bar {x}}$: ingresso nominale ${\tilde {u}}(k)={\bar {u}}$, stato iniziale nominale ${\tilde {x}}\left(k_{0}=0\right)={\bar {x}}$;
* movimento perturbato dello stato $x(k)$: ingresso ${\tilde {u}}(k)={\bar {u}}$, stato iniziale $x_{0}\neq {\bar {x}}$.
la perturbazione $\delta x(k)$ è in generale difficile da trovare:
    $\delta x(k+1)=f\left({\bar {x}}+\delta x(k),{\bar {u}}\right)-{\bar {x}},\quad \delta x_{0}=\delta x\left(k_{0}=0\right)=x_{0}-{\bar {x}}$
e inoltre dipende dal particolare punto di equilibrio $\left({\bar {x}},{\bar {u}}\right)$ considerato → la proprietà di stabilità è locale, ovvero vale solo nell'intorno del punto di equilibrio considerato.
Il metodo indiretto di Lyapunov (anche noto come metodo di linearizzazione) permette di risolvere in molti casi questa equazione alle differenze non lineare.
Approssimando allo sviluppo di Taylor del primo ordine, lo studio della stabilità dell'equilibrio di un sistema non lineare può essere ricondotto allo studio del seguente sistema LTI:
    $\delta x(k+1)=A\delta x(k),\quad \delta x_{0}=x_{0}-{\bar {x}},\;A={\left.{\frac {\partial f\left(x,{\bar {u}}\right)}{\partial x}}\right|}_{x={\bar {x}}}$

### Criteri di stabilità
#### Stabilità asintotica

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti asintoticamente stabile nell'intorno dell'equilibrio $I_{\bar {x}}$ è che:
    $\forall i:\;\left|\lambda _{i}\left(A\right)\right|<1$

#### Instabilità

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti instabile nell'intorno dell'equilibrio $I_{\bar {x}}$ è che:
    $\exists i:\;\left|\lambda _{i}\left(A\right)\right|>1$

#### Caso critico

Non si può concludere nulla sulla stabilità locale se:
    ${\begin{cases}\forall i:\;\left|\lambda _{i}\left(A\right)\right|\leq 1\\\exists k:\;\left|\lambda _{i}\left(A\right)\right|=1\end{cases}}$