# Chimica per il liceo/Le leggi dei gas
## I gas ideali e la teoria cinetica dei gas

Lo stato di aggregazione di una sostanza, solido, liquido o aeriforme, dipende, oltre che dal tipo e dall'intensità dei legami primari tra i vari atomi del composto e dalle forze intermolecolari tra le molecole vicine, dai valori che assumono la pressione P, la temperatura T ed il volume V. Per questo motivo tali grandezze sono dette variabili di stato.
Nello stato gassoso le distanze tra le molecole risultano molto elevate, si possono considerare indipendenti le une dalle altre come inoltre si muovono a velocità molto elevata.
Per poter studiare adeguatamente lo stato gassoso bisogna fare delle approssimazioni e immaginare un gas perfetto. Un gas perfetto deve possedere alcune caratteristiche:
* Le particelle che lo compongono devono essere in costante e perenne movimento e le loro dimensioni devono essere trascurabili rispetto al volume totale.
* Le molecole o atomi, particelle, che compongono il gas non devono interagire tra di loro, non devono esistere legami deboli di nessuna natura.
* Gli urti tra le particelle devono essere elastici, anche con le pareti del recipiente che contiene il gas, cioè durante l’urto si conserva l'energia meccanica totale del sistema, ed in particolare l'energia cinetica.
* Le particelle si muovono tutte con velocità diversa ma la loro energia cinetica media è proporzionale alla temperatura del gas espressa in Kelvin.
* Un gas occupa sempre tutto lo spazio a sua disposizione e presenta per questo motivo forma e volume del recipiente che lo contiene.

## Le grandezze fisiche importanti dei gas

Definiamo adesso delle grandezze che ci consentiranno di studiare lo stato gassoso:

### Volume

Il Volume è definito come la porzione di spazio occupata da un corpo. Esso viene misurato in m$^3$ ed in chimica, più spesso in litri (dm$^3$).

### Temperatura

La temperatura misura la capacità di un corpo di trasferire il calore. Un corpo caldo trasferirà spontaneamente il suo calore solo ad un corpo che abbia una temperatura più basso. Più precisamente essa è una misura dell'energia cinetica media delle particelle che costituiscono un corpo. Attenzione il calore è un energia, si misura in calorie o Joule, la temperatura indica la possibilità di trasferire calore e si misura in:
1) gradi Celsius (°C), che ha come riferimento il punto di congelamento (0°C) e di ebollizione (100°C) dell'acqua pura a 1 atm.
2) Kelvin (K), che ha come riferimento lo zero assoluto, 0 K = - 273,15°C.
Per trasformare i gradi Celsius in Kelvin è sufficiente utilizzare la seguente relazione di conversione:
$T=t+273,15$
così, ad esempio, lo zero della scala Celsius corrisponde a 273,15 °K, mentre l'acqua bolle a 373,15 °K.
Importante: la temperatura determina la direzione del flusso di calore.

### Pressione

La pressione è definita come il rapporto tra una forza e la superficie sulla quale la forza agisce.
Le unità di misura della pressione sono diverse. Le più utilizzate sono:
Atmosfera (atm)
Un'atmosfera corrisponde alla pressione esercitata dall'aria a livello del mare, ad una latitudine di 45°, alla temperatura di 0°C, con un'umidità relativa dello 0%.
Il primo a misurare la pressione atmosferica a livello del mare fu Torricelli, in un famoso esperimento del 1644, in cui misurò che tale valore corrisponde alla pressione esercitata da una colonna di mercurio di 760 mm sulla superficie di 1 cm$^2$
$1\ atm=760\ mm\ Hg\ (o\ torr)$
Pascal (Pa)
E' l'unità di misura della pressione nel Sistema Internazionale. 1 Pa (pascal) corrisponde alla forza esercitata da 1 N (newton) sulla superficie di 1 m$^2$. Si tratta di una quantità troppo piccola per essere utilizzata in pratica, normalmente si utilizzano dei suoi multipli.
$1\ Pa=1\ N/m^{2}$
$1\ atm=101325\ Pa$
Bar
1 bar è uguale a 10$^5$ Pa. Molto utilizzati anche i sottomultipli, ad esempio in meteorologia il millibar.
$1\ atm=1013\ millibar=1013\ hPa$
Si definiscono condizioni normali (c.n.) di temperatura e pressione, la temperatura di 0 °C e la pressione di 1 atm.

## Legge di Boyle

(relazione tra P e V con T costante)
Boyle dimostrò che mantenendo costante la temperatura il volume di una data massa di gas è inversamente proporzionale alla pressione esercitata su di esso:
$P_{1}\cdot V_{1}=P_{2}\cdot V_{2}=K$
ed in definitiva
$P\cdot V=K$
La curva che si ottiene ponendo in ascisse il volume ed in ordinata la temperatura è naturalmente un ramo di iperbole equilatera detta isoterma.
Poiché $P\cdot V=costante$, se consideriamo due stati: uno iniziale con V$_i$ e P$_i$ e dopo una trasformazione a temperatura costante V$_f$ e P$_f$, avremo
$P_{i}V_{i}=P_{f}V_{f}$

#### Esercizio 1

Calcolare la pressione finale se un gas viene compresso isotermicamente da un volume iniziale di 1 litro ad uno finale di 4 litri, la pressione iniziale vale 2 atm.
Per poter risolvere il problema basta rifarsi all’equazione: $P_{i}V_{i}=P_{f}V_{f}$, dalla quale ricaviamo: $P_{f}=P_{i}V_{i}/V_{f}$.
Sostituendo i valori otteniamo: $P_{f}=2\cdot 1/4=0,5\ atm$

#### Esercizio 2

Calcolare la pressione finale di un gas se questi viene lasciato espandere da una $P_{i}=2\ atm$ fino a decuplicare il volume iniziale.
Per poter risolvere il problema basta rifarsi all’equazione: ${\displaystyle P_{i}V_{i}=P_{f}V_{f}}$, i dati dicono che $V_{f}=10V_{i}$
dalla quale ricaviamo: $P_{f}=P_{i}V_{i}/V_{f}=P_{i}V_{i}/10V_{i}=P_{i}/10$.
Sostituendo i valori otteniamo: $P_{f}=2/10=0,2\ atm$.

## Legge di Charles o prima legge di Gay-Lussac

(relazione tra V e T con P costante)
Gas diversi mantenuti a pressione costante subiscono la stessa dilatazione, aumentano di volume quando vengono portati a temperature più alte. Se inizialmente abbiamo a disposizione un gas avente un volume V$_o$ a temperatura iniziale T$_o$, se questo viene scaldato alla temperatura T esso assumerà un volume V$_t$.
Per ogni grado di temperatura aumentata il volume aumenterà di 1/273,15 del volume iniziale. Questo coefficiente, detto di dilatazione, vale per tutti i gas ideali e viene indicato con la lettera α.
$\alpha =1/273,15$
in formula
$V_{t}=V_{o}\cdot (1+\alpha T)$
Mantenendo costante la pressione, ogni aumento di 1° della temperatura produce un aumento del volume pari ad 1/273 del volume che il gas occupava alla temperatura di 0°C. Infatti:
$V_{t}=V_{0}+T/\alpha \cdot V_{0}$
Poiché infine il volume a pressione costante (P = K) e alla temperatura di 0°C assume sempre lo stesso valore, il rapporto$V_{o}/273$ è una costante.
Se quindi esprimiamo la temperatura assoluta, la legge di Gay-Lussac afferma che il volume a t °C è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta.
Ma poiché $V/T=costante$, se consideriamo due stati, uno iniziale, con V$_i$ e T$_i$, e dopo una trasformazione a pressione costante, V$_f$ e T$_f$, avremo:
$V_{i}/T_{i}=V_{f}/T_{f}~$

#### Esercizio 1

Un gas avente un volume di 10 litri, viene riscaldato a pressione costante dalla T$_i$ = 0°C a T$_f$ = 100°C. Calcolare il V$_f$.
Per poter risolvere il problema basta rifarsi all’equazione: $V_{i}/T_{i}=V_{f}/T_{f}~$, risolvendo $V_{f}=V_{i}\cdot T_{f}/T_{i}$.
Bisogna ricordarsi che le temperature devono essere espresse in Kelvin, quindi:
T$_i$ = 0°+273,15 = 273,15 K;
T$_f$ = 100°C + 273,15 = 373,15 K.
La K si scrive senza lo ° sopra.
Dall'equazione, inserendo i dati, si ricava:
$V_{f}=10\cdot 373,15/273,15=13,67\ litri$

## Seconda legge di Gay-Lussac

(relazione tra P e T a V costante)
Analogamente a quanto avviene nella prima legge di Gay-Lussac, la pressione di un gas a volume costante è direttamente proporzionale alla temperatura.
Se si utilizza la scala di temperatura Celsius si ha
$P_{t}=P_{0}(1+\alpha t)$
con
α = 1/273
P$_t$ = Pressione alla temperatura di t °C
P$_0$ = Pressione alla temperatura di 0 °C
In altre parole, mantenendo costante il volume, ogni aumento di 1° della temperatura produce un aumento della pressione pari a 1/273 della pressione che il gas esercitava alla temperatura di 0 °C.
Infatti
$P_{t}=P_{0}+{\frac {T}{\alpha }}\cdot P_{0}~$
Ma poiché $P/T=costante$, se consideriamo due stati, uno iniziale con P$_i$ e T$_i$ e, dopo una trasformazione a pressione costante, P$_f$ e T$_f$, avremo:
$P_{i}/T_{i}=P_{f}/T_{f}$

#### Esercizio

Una bombola di ossigeno a 12 atm si trova a temperatura ambiente (20°C). Viene messa al Sole e la temperatura della bombola aumenta di 67°. Calcola la pressione interna del gas.
Usando la formula $P_{i}/T_{i}=P_{f}/T_{f}$ l'incognita da trovare è la pressione finale P$_f$.
La formula inversa sarà:
$P_{f}=P_{i}\cdot T_{f}/T_{i}$
La temperatura va espressa in Kelvin, T$_i$ = 293 K, T$_f$ = 360 K.
$P_{f}=12\ atm\cdot 360\ K/293\ K$
$P_{f}=14,7\ atm$

## Equazione di stato dei gas perfetti

Le tre leggi dei gas possono combinarsi in un'unica relazione in cui compaiono contemporaneamente tutte e tre le variabili di stato.
$p\cdot V=n\cdot R\cdot T$
Dove R è la costante dei gas $R=0,082\ atm\cdot l/mol\cdot K$
n = numero di moli = g/MM

#### Esercizio

Dati 3 g di O$_2$ (MM = 32) calcolare la pressione esercitata se questa quantità di O$_2$ è contenuta in una bombola di 0,5 l alla temperatura di 25 °C
ris: l’equazione per poter risolvere l’esercizio è ovviamente quella di stato dei gas $PV=nRT$, ma prima bisogna calcolare n e aggiustare la T
$n=m/M=3/32=0,0938$
$T=(25+298,15)\ K=298,15\ K$
$P={\frac {nRT}{V}}={\frac {0,0938\cdot 0,082\cdot 298,15}{0,5}}=4,5865\ atm$.

#### Esercizio

Una bombola di CH$_4$ avente pressione di 200 atm e un volume pari a 30 litri, calcolare i grammi di metano in essa contenuti a T = 18 °C.
ris: l’equazione per poter risolvere l’esercizio è ovviamente quella di stato dei gas $PV=nRT$, ma prima bisogna ricordarsi che:
$n=m/M$, dove m = massa in grammi e M = massa molare
$T=(18+273,15)\ K=291,15\ K$
e la MM del metano vale 16 g.
Possiamo quindi risolvere
$PV=nRT={\frac {mRT}{M}}$ quindi ricavando la massa: $m={\frac {PVM}{RT}}$
sostituendo i valori
$m={\frac {200\cdot 30\cdot 16}{0,082\cdot 291,15}}=4021\ g$
cioè circa 4 Kg. Questo dato ci fa pensare, infatti per poter immagazzinare poche quantità di metano occorrono pressioni elevate e recipienti adatti a sopportare tali pressioni.

## Volume molare

PV = nRT, l’equazione di stato, rileva che lo stato di un gas è determinato dalle grandezze T,P,V e dal numero di moli ossia dal numero di particelle, ma non dal tipo di particelle. Da ciò possiamo dedurre che qualsiasi gas nelle stesse condizioni di T,P,V devono per forza contenere lo stesso numero di particelle. questa è una delle leggi più tradizionali della chimica la legge di Avogadro.
Legge di Avogadro: moli uguali di gas diversi in condizioni normali (STP) occupano lo stesso volume.
Ricordiamoci che una mole contiene un numero di Avogadro di particelle ($N_{A}=6,022\cdot 10^{23}$). Proviamo a calcolare il volume che occupa una mole di un gas qualsiasi in una condizione di T, P, V definita normale ossia:
T = 273,15 K;
P = 1 atm;
n ovviamente = 1.
$PV=nRT$ quindi $V=nRT/P$. Sostituendo i valori:
$V=1\cdot 0,082\cdot 273,15/1=22,4\ L$
il valore si chiama volume molare e a c.n. una mole di qualsiasi gas occupa questo volume.

## Teoria cinetica: velocità delle particelle e legge di Graham

Le particelle che compongono il gas devono essere in costante e perenne movimento e le loro dimensioni devono essere trascurabili rispetto al volume totale. L’energia cinetica media delle particelle dipende dalla temperatura, tanto più alta è la temperatura tanto più energetiche sono le particelle. Se ripassiamo un poco di fisica ci ricordiamo che energia cinetica e velocità sono strettamente connesse, infatti $E_{c}={\frac {1}{2}}\cdot mv^{2}$. Quindi a parità di temperatura qualsiasi particella di un gas possiede la medesima energia cinetica. Se consideriamo due gas diversi, ad esempio H$_2$ (M = 2 g/mol) e O$_2$ (M = 32 g/mol) nelle stesse condizioni di temperatura, entrambi avranno la stessa Ec.
$E_{c}={\frac {1}{2}}\cdot m_{O_{2}}\cdot v_{O_{2}}^{2}={\frac {1}{2}}\cdot m_{H_{2}}\cdot v_{H_{2}}^{2}$
quindi se O$_2$ ha una massa maggiore di H$_2$ deve necessariamente avere una velocità minore di H$_2$. Particelle aventi massa maggiore si muovono più lentamente di particelle aventi massa minore.
Infatti, dall'equazione precedente ricaviamo:
$m_{O_{2}}/m_{H_{2}}=v_{H_{2}}^{2}/v_{O_{2}}^{2}$ o, generalizzando,
$m_{2}/m_{1}=(v_{1}/v_{2})^{2}$
questa equazione esprime la legge di Graham: la velocità con cui un gas fuoriesce da un foro di piccole dimensioni è inversamente proporzionale alla radice quadrata della propria massa.
Questa legge particolarmente importante da un punto di vista ingegneristico. Si può sfruttare questa proprietà anche per la separazione di gas diversi in un miscuglio.

## Legge di Dalton delle pressioni parziali

Spessissimo i gas non sono sostanze pure, ad esempio l'aria è un miscuglio di N$_2$, O$_2$, Ar, CO$_2$. Quando abbiamo miscele di gas contenuti all’interno di una bombola ognuno si comporta come se gli altri non ci fossero. Ogni gas esercita una pressione indipendentemente dalla presenza degli altri. Questa pressione è detta parziale, la pressione totale della miscela è determinata dalla somma delle singole pressioni parziali.
Supponendo che la miscela sia composta da tre componenti, la pressione totale sarà $P=p_{1}+p_{2}+p_{3}$. Più in generale, per una miscela di n gas diversi:
$P=\sum _{i=1}^{n}p_{i}=p_{1}+p_{2}+...+p_{n}$

## Attività

Esercizi: in questa pagina si trovano esercizi su questo argomento