# Meccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton

Meccanica analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Meccanica lagrangiana
* Introduzione alla meccanica lagrangianaMeccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
* Vincoli, virtualismi, variabili lagrangianeMeccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
* Equazione simbolica di d'AlembertMeccanica analitica/Equazione simbolica di d'Alembert
* La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
* Quantità conservateMeccanica analitica/Quantità conservate
* Punti di equilibrioMeccanica analitica/Punti di equilibrio
* Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabiliMeccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili
Meccanica hamiltoniana
* Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
* Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
* Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
* Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
* Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
* Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
* Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
* Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
* Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
* Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
* Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
* Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
* Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
* La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
* La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
* Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
* Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
* Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
* Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
* Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
* Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
* Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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## La lagrangiana in relatività

L'equazione del moto in meccanica relativistica, ottenuta come:
${\frac {dP}{dt}}=F\quad \Rightarrow \,P={\frac {m_{0}v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$
Può essere espressa nel formalismo lagrangiano, prendendo come variabili generalizzate le variabili cartesiane (o le componenti spaziali nello spazio di Minkowsky). Tuttavia, la definizione di lagrangiana vista finora $L=T-U$ ha poco significato in relatività. Che valore assume $T$? Per questo motivo, si assume come definizione di lagrangiana in relatività l'espressione:
$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-V(x)$
Dove, ovviamente, $V(x)$ è l'energia potenziale. Non discuteremo dei motivi per i quali la lagrangiana assume questa forma.
Ricordando che $v^{2}=\sum _{\alpha =1}^{3}v_{\alpha }^{2}$, si possono applicare le equazioni di Eulero-Lagrange assumendo come lagrangiana l'espressione scritta sopra per poter ricavare le leggi del moto:
${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial v_{\alpha }}}={\frac {\partial L}{\partial x_{\alpha }}}$
Abbiamo che:
${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial v_{\alpha }}}=-m_{0}c^{2}{\frac {1}{2{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\cdot \left(-{\frac {2v_{\alpha }}{c^{2}}}\right)={\frac {m_{0}v_{\alpha }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=P_{\alpha }\\&{\frac {\partial L}{\partial x_{\alpha }}}=-{\frac {\partial V}{\partial x_{\alpha }}}=F_{\alpha }\\\Rightarrow &{\frac {\partial P_{\alpha }}{\partial t}}=F_{\alpha }\end{aligned}}$
Esattamente come ci aspettavamo.

## Effetto Compton

L'esperimento di Compton è successivo all'esperimento fotoelettrico di Einstein (il quale valse a Einstein il Nobel nel 1921); questo aveva dimostrato la natura corpuscolare della luce, studiando l'interazione tra fotoni ed elettroni. Tuttavia, si notò che l'interazione dipendeva non dall'intensità di radiazione, bensì dalla frequenza: fasci di luce molto intensi, a basse frequenze, interagivano poco con gli elettroni di un metallo, a differenza di fasci poco intensi ma con frequenze molto alte, che permettevano agli elettroni di schizzare fuori dal reticolo metallico.
L'effetto Compton (che valse ad Arthur Compton il premio Nobel nel 1927) studia proprio questo effetto: studiando l'energia del fotone come funzione della sua frequenza, si riesce a spiegare l'effetto fotoelettrico. Nell'immagine qui sotto è ben schematizzato l'effetto Compton, con le grandezze di energie relative ad lato di interesse.
Possiamo quindi ricavare una relazione tra l'angolo di scattering del fotone $\phi$ e la sua frequenza $\nu$, che cambia in $\nu '$ dopo lo scattering. Sfruttando la conservazione della quantità di moto e dell'energia relativistiche si spiega questo fenomeno. La quantità di moto di un fotone è pari a $P={\frac {h\nu }{c}}$, dove $h$ è la costante di Planck di alto interesse e utilizzo in fisica quantistica; l'energia del fotone è proprio $E=h\nu$. Per risolvere il problema, si sfrutta il teorema del coseno:
$\left({\frac {m_{0}v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)^{2}=\left({\frac {h\nu }{c}}\right)^{2}+\left({\frac {h\nu '}{c}}\right)^{2}-2{\frac {h\nu }{c}}{\frac {h\nu '}{c}}\cos \phi$
La conservazione dell'energia, invece, impone, considerata l'energia dell'elettrone come $E=m_{o}c^{2}$ a riposo, poi come energia in movimento:
$h\nu +m_{0}c^{2}=h\nu '+{\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$
Risolvendo il sistema, si ottiene:
${\begin{aligned}&{\frac {c}{\nu '}}-{\frac {c}{\nu }}=\left({\frac {h}{m_{0}c}}\right){\big1-\cos \phi {\big )}\\&\lambda '-\lambda ={\frac {h}{m_{0}c}}(1-\cos \phi )\end{aligned}}$
La differenza tra le frequenze del fotone, o tra le rispettive lunghezze d'onda, è quindi in funzione dell'angolo di scattering. La grandezza ${\frac {h}{m_{0}c}}$ si chiama lunghezza d'onda Compton. Questa lunghezza è equivalente a un fotone avente come energia la stessa energia a riposo della particella: da qui si aprì il dibattito sulla dualità onda-corpuscolo della materia, arrivando poi all'ipotesi di De Broglie.