# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Nel modulo precedente si è messo in evidenza lo stretto legame che c'è tra i problemi al bordo e i problemi agli autovalori. Ora è necessario occuparsi di come trovare gli autovalori dell'operatore laplaciano e chiedersi se le corrispondenti autofunzioni possano costituire un sistema ortonormale completo o meno.
Delle importanti considerazioni in tal senso possono essere fatte grazie a una quantità detta quoziente di Rayleigh e definita come segue:
${\frac {\parallel \nabla u\parallel _{{\mathcal {L}}^{2}(\Omega )}^{2}}{\parallel u\parallel _{{\mathcal {L}}^{2}(\Omega )}}}={\frac {\int _{\Omega }\mid \nabla u\mid ^{2}dx}{\int _{\Omega }\mid u\mid ^{2}dx}}$
Consideriamo $Y={\mathcal {D}}(\Delta _{D})=\left\lbrace w\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }}),\,w\neq 0\colon w\mid _{\partial \Omega }=0\right\rbrace$, anche detto spazio delle funzioni di prova per il problema di Dirichlet.

## Teorema (1)

Sia $u\in Y$ un punto di minimo per il quoziente di Rayleigh, ovvero:
$m={\frac {\parallel \nabla u\parallel ^{2}}{\parallel u\parallel ^{2}}}=\min _{w\in Y}{\frac {\parallel \nabla w\parallel ^{2}}{\parallel w\parallel ^{2}}}$
Allora $m$ è il primo autovalore di $\Delta _{D}$ con autofunzione corrispondente $u(x)$.
Il teorema appena enunciato è di fondamentale importanza nel tentativo di rispondere alla domanda che ci si era posti a inizio modulo. Infatti ora sappiamo che per poter ricavare il primo autovalore dell'operatore laplaciano è possibile cercare il punto di minimo del quoziente di Rayleigh. Rimane però aperta una questione: trovato il primo degli autovalori, esiste un modo per ricavare anche gli autovalori successivi? Effettivamente la risposta a questa domanda è affermativa, grazie al teorema seguente:

## Teorema (2)

Siano $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1}$ i primi $n-1$ autovettori di $\Delta _{D}$ scelti tra loro ortogonali. Sia
$Y_{n}=\left\lbrace w\in Y\colon \left\langle w\mid v_{i}\right\rangle =0,\,\forall \,i=1,\dots ,n-1\right\rbrace$
Se esiste $v_{n}$ che minimizza il quoziente di Rayleigh in $Y_{n}$, ovvero:
$m_{n}=\min _{w\in Y_{n}}{\frac {\parallel \nabla w_{n}\parallel ^{2}}{\parallel w_{n}\parallel ^{2}}}={\frac {\parallel \nabla v_{n}\parallel ^{2}}{\parallel v_{n}\parallel ^{2}}}$
Allora l'n-simo autovalore di $\Delta _{D}$ coincide esattamente con il valore $m_{n}=\lambda _{n}$ e la corrispondente autofunzione associata sarà $v_{n}$.
I due teoremi enunciati hanno una portata estremamente rilevante: grazie a essi non solo possiamo concludere che è possibile determinare autovalori e autofunzioni dell'operatore laplaciano, ma abbiamo anche una maniera esplicita per poterlo fare. Ci rimane ora da chiarire se le autofunzioni che determiniamo nella maniera appena illustrata siano o meno un sistema ortonormale completo.

## Teorema (3 Di monotonia degli autovalori rispetto all'insieme di definizione)

Sia $\Omega _{1}\subset \Omega _{2}$, allora $\lambda _{n}(\Omega _{1})\geq \lambda _{n}(\Omega _{2})\,\forall \,n$
Questo teorema porta immediatamente a un altro teorema che garantisce che gli autovalori che si possono trovare sono effettivamente infiniti:

## Teorema (4)

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto e limitato, con frontiera regolare. Allora l'operatore laplaciano per cui è definito il problema agli autovalori:
${\begin{cases}-\Delta u=\lambda u\\u\mid _{\partial \Omega }=0\end{cases}}$
Ammette una successione infinita di autovalori con $\lambda _{n}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}+\infty$.
Il complesso dei risultati ottenuti in questo modulo ci permette di concludere che effettivamente la successione di autofunzioni dell'operatore di Dirichlet, ma analogamente si potrà dire per quello di Neumann e di Robin, costituiscono un sistema ortonormale completo

## Teorema (5)

Le autofunzioni del problema di Dirichlet sono un sistema ortonormale completo su ${\mathcal {L}}^{2}(\Omega )$.
I risultati ottenuti in questo e nel modulo precedente sono di estrema importanza perché permettono di concludere che: i problemi al bordo considerati possono essere ricondotti a un problema agli autovalori per l'operatore laplaciano, il quale ammette una successione infinita di autofunzioni che costituisce un sistema ortonormale completo sullo spazio delle funzioni modulo-quadro integrabili e possono essere usate per sviluppare in serie di Fourier le soluzioni dei problemi al bordo considerati.