# Meccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettromagnetico

Meccanica quantistica relativistica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Unificazione della meccanica quantistica e della relatività
* Impostazione del problemaMeccanica quantistica relativistica/Impostazione del problema
* Equazione di Klein-GordonMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Klein-Gordon
* Equazione di DiracMeccanica quantistica relativistica/Equazione di Dirac
Equazione di Dirac: sviluppi e conseguenze
* Formalismo dei bispinori e interazione elettromagneticaMeccanica quantistica relativistica/Formalismo dei bispinori e interazione elettromagnetica
* Bispinori: soluzioni a massa nullaMeccanica quantistica relativistica/Bispinori: soluzioni a massa nulla
* Teoria di Dirac e antiparticelleMeccanica quantistica relativistica/Teoria di Dirac e antiparticelle
* Invarianza per trasformazioniMeccanica quantistica relativistica/Invarianza per trasformazioni
Riscrittura delle equazioni di Maxwell
* Formulazione covariante delle equazioni di MaxwellMeccanica quantistica relativistica/Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell
* Equazioni di Maxwell in forma quantisticaMeccanica quantistica relativistica/Equazioni di Maxwell in forma quantistica
* Operatore energia, impulso e momento angolareMeccanica quantistica relativistica/Operatore energia, impulso e momento angolare
Sistemi di particelle identiche
* IntroduzioneMeccanica quantistica relativistica/Sistemi di particelle identiche
* Formalismo di seconda quantizzazione per bosoniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per bosoni
* Formalismo di seconda quantizzazione per fermioniMeccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per fermioni
Elettrodinamica quantistica
* Quantizzazione del campo elettromagneticoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettromagnetico
* Quantizzazione del campo elettronicoMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettronico
* Quantizzazione dell'interazione fotone-elettroneMeccanica quantistica relativistica/Quantizzazione dell'interazione fotone-elettrone
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Si consideri il campo elettromagnetico $A_{\mu }$ in assenza di sorgenti. Esso soddisfa l'equazione $\square A_{\mu }=0$. Data l'arbitrarietà della scelta dei potenziali, si consideri la gauge di Lorenz in cui $\phi =0$ e di conseguenza il campo elettromagnetico è descritto solo dal potenziale vettore ${\vec {A}}$ che verifica le equazioni:
$\square {\vec {A}}=0\qquad \nabla \cdot {\vec {A}}=0$
Si osservi subito che:
$\square e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}=\left(-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}+|{\vec {k}}|^{2}\right)e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}$
per cui se vale la relazione:
${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\vec {k}}^{2}$
una soluzione della prima delle equazioni sul potenziale vettore è proprio ${\vec {e}}({\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}$, dove ${\vec {e}}({\vec {k}})$ è il versore indipendente dalla direzione di polarizzazione. Siccome poi vale anche:
${\begin{aligned}&{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {e}}({\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {e}}({\vec {k}})\right]e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}+{\vec {e}}({\vec {k}})\left[{\vec {\nabla }}\cdot e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\right]=\\&=0+{\vec {e}}({\vec {k}})\left[{\vec {\nabla }}\cdot e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\right]=ie^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}{\vec {k}}\cdot {\vec {e}}\end{aligned}}$
si ha che questa relazione soddisfa anche la seconda equazione sul potenziale vettore se vale ${\vec {k}}\cdot {\vec {e}}=0$, ovvero se le onde elettromagnetiche sono trasverse. In uno spazio tridimensionale i vettori ortogonali a uno dato sono solo due, per cui è più esplicito sostituire ${\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}})$ a ${\vec {e}}({\vec {k}})$, dove l'indice $\alpha$ può assumere solo due valori in corrispondenza delle due possibili polarizzazioni. Per questo, e siccome la prima è lineare omogenea, la sua soluzione generale reale si scrive:
${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\left[a(\alpha ,{\vec {k}}){\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}}e^{i({\vec {k}})\cdot {\vec {r}}-\omega t)}+a^{\ast }(\alpha ,{\vec {k}}){\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}})e^{-i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\right]$
dove $a(\alpha ,{\vec {k}})$ sono dei coefficienti da determinare in base alle condizioni al contorno. Il fattore $1/{\sqrt {V}}$ è un conveniente fattore di normalizzazione, essendo $V$ il volume di spazio in cui si sta considerando il campo elettromagnetico. Introduciamo le variabili dinamiche:
$a_{\alpha ,{\vec {k}}}=a(\alpha ,{\vec {k}})e^{-i\omega t}$
e le loro complesse coniugate. In questo modo, la soluzione generale di sopra si scrive in maniera più concisa:
${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}})\left[a_{\alpha ,{\vec {k}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right]$
Dalle relazioni per $\phi =0$ si possono poi ricavare i campi elettrico e magnetico:
${\begin{aligned}{\vec {\mathcal {E}}}&={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\frac {\omega }{c}}{\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}})\left[ia_{\alpha ,{\vec {k}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-ia_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right]\\{\mathcal {H}}&={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\vec {k}}\times {\vec {e}}_{\alpha }({\vec {k}})\left[ia_{\alpha ,{\vec {k}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-ia_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right]\end{aligned}}$
Si vuole ora calcolare esplicitamente l'hamiltoniana del campo elettromagnetico che, come è noto, è data da:
$H={\frac {1}{8\pi }}\int _{V}\left({\mathcal {E}}^{2}+{\mathcal {H}}^{2}\right)d{\mathcal {V}}$
e a questo fine occorre calcolare a partire dalle equazioni precedenti ${\mathcal {E}}^{2}$ e ${\mathcal {H}}^{2}$. Per fare questo si osservi che in queste equazioni i campi sono scritti in termini di serie di Fourier complessa per la quale vale l'uguaglianza di Bessel e quindi:
${\begin{aligned}{\vec {\mathcal {E}}}^{2}&={\frac {1}{V}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}2{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }={\frac {2}{V}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left[\left(\Re {\mathfrak {e}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}+\left(\Im {\mathfrak {m}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}\right]\\{\vec {\mathcal {H}}}^{2}&={\frac {1}{V}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}2{\vec {k}}^{2}a_{\alpha ,{\vec {k}}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }={\frac {2}{V}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\vec {k}}^{2}\left[\left(\Re {\mathfrak {e}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}+\left(\Im {\mathfrak {m}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}$
per cui, non dipendendo da ${\vec {\mathcal {E}}}^{2}$, ${\vec {\mathcal {H}}}^{2}$ e da ${\vec {r}}$, si ha immediatamente:
$H={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\omega ^{2}\left[\left(\Re {\mathfrak {e}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}+\left(\Im {\mathfrak {m}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)^{2}\right]$
Introducendo ora le variabili dinamiche:
${\begin{aligned}Q_{\alpha ,{\vec {k}}}&=a_{\alpha ,{\vec {k}}}+a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }=2\Re {\mathfrak {e}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\\P_{\alpha ,{\vec {k}}}&=Q_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }=-i\omega \left(a_{\alpha ,{\vec {k}}}+a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\ast }\right)=2\omega \Im {\mathfrak {m}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}\end{aligned}}$
l'hamiltoniana del campo magnetico si scrive come:
$H={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\left(P_{\alpha ,{\vec {k}}}^{2}+\omega ^{2}Q_{\alpha ,{\vec {k}}}^{2}\right)$
Questa forma è probante: essa si interpreta dicendo che l'energia del campo elettromagnetico è data dalla somma delle energie di tanti oscillatori armonici di frequenze $\omega$ corrispondenti ai modi normali. A questo punto, la quantizzazione del campo elettromagnetico può effettuarsi introducendo le relazioni di commutazione:
$\left[Q_{\alpha ,{\vec {k}}},P_{\alpha ',{\vec {k}}'}\right]=i\hbar \delta _{\alpha ,\alpha '}\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}'}$
Da queste relazioni e dalle relazioni su $Q_{\alpha ,{\vec {k}}}$ e $P_{\alpha ,{\vec {k}}}$, che si possono anche scrivere nella forma:
${\begin{aligned}a_{\alpha ,{\vec {k}}}&={\frac {1}{2}}\left(Q_{\alpha ,{\vec {k}}}+iP_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)\\a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\dagger }&={\frac {1}{2}}\left(Q_{\alpha ,{\vec {k}}}-iP_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)\end{aligned}}$
si ricava l'altra relazione di commutazione:
$\left[a_{\alpha ,{\vec {k}}},a_{\alpha ',{\vec {k}}'}^{\dagger }\right]={\frac {\hbar }{2\omega }}\delta _{\alpha ,\alpha '}\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}'}$
Quantisticamente, il campo elettromagnetico è quindi descritto dall'operatore:
${\vec {A}}({\vec {r}},t)=\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\left[a(\alpha ,{\vec {k}})\,{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}+a^{\dagger }(\alpha ,{\vec {k}})\,{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{-(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\right]$
Si osservi che essendo:
${\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}&=\hbar \omega {\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\\-i\hbar {\vec {\nabla }}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}&=\hbar {\vec {k}}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\\i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{-(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}&=-\hbar \omega {\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{-(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\\-i\hbar {\vec {\nabla }}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{-(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}&=-\hbar {\vec {k}}{\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{-(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\end{aligned}}$
il termine ${\vec {e}}(\alpha ,{\vec {k}})e^{\pm i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}$ si può interpretare come la funzione d'onda del quanto del campo elettromagnetico (fotone), corrispondente rispettivamente a energia $\pm \hbar \omega$ e impulso $\pm \hbar {\vec {k}}$. Ancora, si può considerare $a^{\dagger }(\alpha ,{\vec {k}})$ e $a(\alpha ,{\vec {k}})$ rispettivamente come l'operatore di creazione e distruzione di un fotone di energia $\hbar \omega$. Così il campo elettromagnetico è scritto come una somma di operatori di distruzione per la funzione d'onda del fotone $\hbar \omega$ più un operatore di distruzione del fotone $-\hbar \omega$. Analogamente a quanto fatto per l'energia, si può poi calcolare l'impulso ${\vec {P}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\vec {\mathcal {E}}}\times {\vec {\mathcal {H}}}}{2}}d{\mathcal {V}}$ del campo elettromagnetico, si trova in maniera analoga:
${\vec {P}}={\frac {1}{8\pi c^{2}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}{\vec {k}}\left(a_{\alpha ,{\vec {k}}}a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\dagger }+a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\dagger }a_{\alpha ,{\vec {k}}}\right)$
Gli autovalori di energia e impulso sono allora dati da:
${\begin{aligned}H&={\frac {1}{4\pi c^{2}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\hbar \omega \left(n_{\alpha ,{\vec {k}}}+{\frac {1}{2}}\right)\\{\vec {P}}&={\frac {1}{4\pi c^{2}}}\sum _{\alpha ,{\vec {k}}}\hbar {\vec {k}}\left(n_{\alpha ,{\vec {k}}}+{\frac {1}{2}}\right)\end{aligned}}$
Il termine $n_{\alpha ,{\vec {k}}}$, come noto, è un numero intero che in questo caso andrà interpretato come numero di fotoni di energia $\hbar \omega$, impulso $\hbar {\vec {k}}$ e polarizzazione $\alpha$. Si osservi che l'energia in assenza di fotoni anziché essere nulla è infinita, questa incongruenza si può risolvere elimininando (rigorosamente) il termine $1/2$. Questo inconveniente invece non si ha per l'impulso, in quanto se un fotone può avere impulso $\hbar {\vec {k}}$, ha anche $-\hbar {\vec {k}}$ e così per $n_{\alpha ,{\vec {k}}}$ si ha ${\vec {P}}=0$.

## Note

* ↑ In generale, in maniera più corretta, al posto della sommatoria in ${\vec {k}}$ si sarebbe dovuto utilizzare un integrale in $dk$, in quanto ${\vec {k}}$ può appunto assumere valori continui. Tuttavia, per semplicità formale si assumerà che possa assumere solo valori discreti che fra l'altro è il caso di una cavità risonante, come noto.
* ↑ Il quadrato della somma di una serie di Fourier è uguale alla somma dei moduli quadri dei coefficienti dello sviluppo di Fourier stesso.
* ↑ Dalla relazione di dispersione $\omega ^{2}={\vec {k}}^{2}c^{2}$.
* ↑ O, inversamente, un operatore rispettivamente di distruzione e creazione di un fotone di energia $-\hbar \omega$.
* ↑ Naturalmente, si intende che gli operatori $a_{\alpha ,{\vec {k}}}$ e $a_{\alpha ,{\vec {k}}}^{\dagger }$ non agiscano sulle funzioni d'onda per le quali sono moltiplicati a sinistra.
* ↑ Vale la relazione: ${\vec {P}}={\frac {k}{c}}{\hat {k}}$.