# Elettrotecnica/Sistemi polifasi

Elettrotecnica
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È di grande interesse, nel campo degli impianti e delle macchine elettriche, lo studio dei sistemi polifasi.
Sistema polifase è l'insieme di più grandezze alternative le quali possono o meno essere tra loro legate da relazioni di grandezza o di fase.
* Pari o dispari - verrà detto il sistema a seconda che pari o dispari sia il numero delle grandezze che lo costituiscono.
* Puro o spurio - a seconda che la somma vettoriale dei vettori rappresentativi delle grandezze alternative abbia una somma nulla o diversa da zero.
Particolarmente importante è il caso in cui gli m vettori costituenti il sistema siano uguali in grandezza e sfasati l'uno rispetto al successivo di angoli uguali tra loro ed ognuno di valore 2π/m.
Un simile sistema si dice simmetrico o equilibrato; esso è sempre, evidentemente, anche puro.
Nelle considerazioni che seguono ci si riferirà esclusivamente al sistema trifase; esso è infatti il più interessante dal punto di vista industriale assumendo in sé, nella maggioranza dei casi, i vantaggi degli altri sistemi polifasi, senza averne, peraltro, la maggiore complicazione.
Se si considera, dunque, il caso di un generatore trifase, in ogni fase del quale, cioè, si generi una delle tensioni del sistema e lo si vuole connettere con una utenza pure trifase (costituita da tre impedenze) è facile rendersi conto del fatto che, nel caso più generale, sono necessari allo scopo sei conduttori. Von riferimento alla figura seguente, nella quale del generatore sono state distintamente indicate le tre fasi ciascuna individuata dal proprio principio P e dalla propria fine F, le tre correnti che devono essere considerate in un sistema del genere sono: I$_1$, I$_2$. I$_3$, che costituiscono un sistema trifase, in generale spurio e che circolano nelle tre fasi del generatore come pure nelle tre impedenze dell'utilizzatore; e le sei correnti di linea, I$_{p1}$, I$_{f1}$, I$_{p2}$,I$_{f2}$, I$_{p3}$, I$_{f3}$, le quali transitano nei sei conduttori di collegamento e costituiscono in ogni caso un sistema trifase puro.
Per la potenza complessiva inerente al sistema si ha, ovviamente, l'espressione:
* $\ P=V_{1}\ I_{1}\ cos(\phi _{1})+V_{2}\ I_{2}\ cos(\phi _{2})+V_{3}\ I_{3}\ cos(\phi _{3})$
L'indubbia complicazione del collegamento tramite sei conduttori, può in qualche caso, con opportuni collegamenti essere notevolmente ridotta senza che, peraltro, abbia con questo a turbarsi il regime elettrico preesistente nelle tre fasi del generatore e dell'utilizzatore.
I concatenamenti che prenderemo in considerazione sono due: concatenamento a triangolo e quello a stella.
Per ciascuno dei due esamineremo quali condizioni debbano essere verificate perché la semplificazione che esso comporta non turbi in alcun modo il regime elettrico preesistente nelle fasi. Riprendiamo dunque la figura precedente che per semplice comodità presentiamo in un nuovo assetto topografico. (vedi figura sotto).
e domandiamoci se non sia possibile collegare elettricamente tra loro i punti come P$_1$, F$_3$; F$_1$, P$_2$; P$_3$, F$_2$ e relativi dal lato dell'utilizzatore. Se ciò fosse possibile il collegamento tra generatore e utilizzatore ne risulterebbe notevolmente semplificato passando i conduttori necessari dal numero di 6 al numero di 3.
Il circuito si presenterebbe allora come nella figura seguente
Si vede subito che tale connessione non è in ogni caso possibile senza che per questo si alteri il regime elettrico del generatore. Infatti, eseguendo materialmente le connessioni progettate, le tre fasi del generatore vengono a costituire un circuito chiuso (che prima non esisteva) nel quale può circolare una corrente di circolazione. Poiché peraltro è chiaro che tale corrente in ogni caso si annulla se nulla è la somma delle f.e.m. delle tre fasi (somma che è, in effetti, l'unica possibile causa della corrente medesima) ne concluderemo che il concatenamento a triangolo è possibile sempre che il sistema trifase delle tensioni generate sia un sistema a risultante nulla e cioè puro.
In questa ipotesi e sotto questa unica condizione il regime elettrico che si stabilisce nelle tre fasi del generatore come pure nelle tre impedenze dell'utilizzatore è lo stesso di quello che si avrebbe col più generale collegamento a 6 conduttori. Le relazioni che si stabiliscono tra le tensioni e le correnti di linea e quelle delle fasi del generatore sono, invece,le seguenti:
* $\ per\ le\ tensioni={\begin{cases}V_{ac}=V_{1}\\V_{ab}=V_{2}\\V_{bc}=V_{3}\end{cases}}$
* $\ per\ le\ correnti={\begin{cases}I_{a}=I_{1}-I_{2}\\I_{b}=I_{2}-I_{3}\\I_{c}=I_{3}-I_{1}\end{cases}}$
Di queste, quelle relative alle tensioni sono immediate, mentre quelle relative alle correnti sono chiarissime non appena si pensi che il conduttore a, ad esempio, risulta ora dalla unione dei conduttori f$_1$ e p$_2$ della disposizione più generale così che la corrente che in esso transita può sempre intendersi come somma delle correnti che nella disposizione allora considerata transitavano, appunto, nei conduttori f$_1$ e p$_2$; e analogamente per gli altri conduttori.
E' importante notare che le tre correnti di linea costituiscono in ogni caso un sistema puro.
A relazioni particolari tra le grandezze elettriche di linea e quelle di fase si perviene in quei casi nei quali particolari relazioni intercorrono tra i tre vettori del sistema di tensioni generato: è facile vedere, ad esempio, che, ove il sistema delle tensioni del generatore sia oltreché puro anche simmetrico e ove si possa fare la ipotesi che le tre impedenze dell'utilizzatore siano tra loro uguali, le relazioni che intercorrono tra tensioni e correnti di linea e tensioni e correnti di fase sono le seguenti, con riferimento ai soli valori numerici:
* $\ {\begin{cases}V_{l}=F_{f}\\I_{l}={\sqrt {3}}\ I_{f}\end{cases}}$
La potenza complessiva assume allora l'espressione:
* $\ P=3\ V_{f}\ I_{f}\ cos(\phi )$
o anche:
* $\ P={\sqrt {3}}\ V_{l}\ I_{l}\ cos(\phi )$
Il secondo dei concatenamenti ai quali si è a suo tempo accennato nasce dalla possibilità di vincolare i tre inizi delle fasi del generatore, ed i punti corrispondenti delle tre impedenze di utilizzazione ad avere il medesimo potenziale. Si vedano le seguenti figure:
E' chiaro che nessuna nuova condizione si introduce, per tal via, nel sistema elettrico del generatore; ed è chiaro pertanto che, in ogni caso, un generatore trifase richiede per essere connesso ad un utente trifase una conduttura con non più di quattro fili. Quanto alle relazioni che intercorrono tra le grandezze elettriche di linea e quelle di fase si ha:
* $\ per\ le\ correnti={\begin{cases}I_{a}=I_{1}\\I_{b}=I_{2}\\I_{c}=I_{3}\\I_{0}=-(I_{f_{1}}+I_{f_{2}}+I_{f_{3}})=-(I_{1}+I_{2}+I_{3})=-(I_{a}+I_{b}+I_{c})\end{cases}}$
Quanto alle tensioni si deve distinguere tra il sistema di tensioni esistenti tra ogni conduttore ed il neutro ( è questo il nome che si dà al conduttore 0 che unisce i punti centrali delle due stelle), per il quale valgono evidentemente le relazioni:
* $\ {\begin{cases}V_{a0}=V_{1}\\V_{b0}=V_{2}\\V_{c0}=V_{3}\end{cases}}$
e quello che si stabilisce tra i conduttori di collegamento per il quale valgono le seguenti relazioni:
* $\ {\begin{cases}V_{ab}=V_{1}-V_{2}\\V{bc}=V_{2}-V_{3}\\V{ca}=V_{3}-V_{1}\end{cases}}$
Ad una ulteriore semplificazione si previene qualora sia rispettata la condizione che le tre correnti I$_1$, I$_2$ e I$_3$ costituiscano un sistema puro. In tal caso il neutro, che verrebbe ad essere percorso da una corrente nulla, può essere semplicemente soppresso.
Con i simboli già a suo tempo utilizzati la espressione della potenza in un sistema trifase concatenato a stella, nella ipotesi che il sistema delle tensioni di fase sia simmetrico e che le impedenze di utilizzazione Z$_1$, Z$_2$ e Z$_3$ siano tutte uguali tra loro, non differisce da quella a suo tempo trovata per il concatenamento a triangolo:
* $\ P={\sqrt {3}}\ V_{l}\ I_{l}\ cos(\phi _{f})$
Infatti, si ha chiaramente in questo caso che il sistema delle correnti di fase quindi di linea risulta equilibrato mentre simmetrico risulta il sistema delle tensioni di linea. Si ha allora, con riferimento ai valori assoluti:
* $\ {\begin{cases}I_{l}=I_{f}\\V_{l}=3\ V_{f}\\P=3\ V_{f}\ I_{f}\ cos(\phi _{f})\end{cases}}$
o anche:
* $\ P={\sqrt {3}}V_{l}\ I_{l}\ cos(\phi _{f})$
A conclusione di queste brevi note sui sistemi polifasi noteremo che la loro caratteristica peculiare è quella di consentire la creazione di campi magnetici rotanti.
Per rendersi conto della questione supponiamo che due spire disposte su due piani tra loro ortogonali siano percorse da due correnti sinusoidali uguali in ampiezza ed in frequenza ma sfasate fra loro di 90°. Col che le due correnti assumono l'espressione:
* $\ i_{1}=I_{m}\ sen(\omega t)\qquad i_{2}=I_{m}\ cos(\omega t)$
Con riferimento alla figura seguente il campo magnetico indotto dalla spira 1 nel punto 0, con direzione OX può essere espresso con la
* $\ H_{x}=G\ I_{m}\ sen(\omega t)$
mentre quello indotto dalla spira 2 nello stesso punto dello spazio con direzione 0Y può esprimersi con:
* $\ H_{y}=G\ I_{m}\ cos(\omega t)$
G è una costante di proporzionalità che dipende dalla forma delle spire.
Il campo magnetico totale nel punto 0 risulta allora dalla composizione vettoriale delle due componenti:
* $\ H={\sqrt {H_{x}^{2}+H_{y}^{2}}}=G_{\ }I_{m}$
Esiste pertanto nel punto 0 un campo magnetico di intensità G I$_m$ la cui direzione è chiaramente variabile nel tempo essendo diverse da istante a istante le sue componenti ortogonali.
Può anzi specificarsi che, in funzione del tempo, la forza magnetica avrà una direzione definibile in funzione dell'angolo α che essa forma con l'asse delle Y, secondo la relazione:
* $\ tg\ \alpha ={H_{x} \over H_{y}}=tg\ \omega t$
dalla quale derivano:
* $\ \alpha =\omega \ t\qquad {d\alpha \over dt}=\omega$
Si può pertanto concludere che in conseguenza del fatto che un sistema bifase di corrente attraversa due spire disposte a 90° nello spazio si genera un campo magnetico di intensità costante e di direzione variabile ruotante con velocità costante ed uguale alla pulsazione.
Sarebbe facile dimostrare che tali considerazioni si estendono con facilità a casi di campi polifasi più complessi per giungere alla conclusione generale che: se si combinano q campi magnetici sinusoidali di uguale ampiezza H$_q$ e uguale pulsazione ω, le cui direzioni formino a due a due l'angolo 2π/q e le cui fasi differiscono di 2π/q, (quale appunto possono ottenersi facendo circolare un sistema polifase di corrente d'ordine q in q bobine disposte nello spazio secondo piani formanti tra loro a due a due angoli 2π/q), si otterrà sempre un campo risultante di ampiezza (q/2)H$_q$ e di direzione ruotante uniformemente nello spazio con velocità angolare ω.