# Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di un razzo

Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
Dinamica dei sistemi di punti
* Centro di massaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Centro di massa
* Conservazione della quantità di motoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Conservazione della quantità di moto
* Sistema di riferimento del centro di massaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistema di riferimento del centro di massa
* Mutua interazione: problema dei due corpiMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Mutua interazione: problema dei due corpi
* Teorema di König per l'energia cineticaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per l'energia cinetica
* Sistemi a massa variabileMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi a massa variabile
* Moto di un razzoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di un razzo
Seconda legge cardinale
* La seconda legge cardinaleMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/La seconda legge cardinale
* Teorema di König per il momento angolareMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per il momento angolare
* Corpo rigido in rotazioneMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Corpo rigido in rotazione
* Momento d'inerziaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Momento d'inerzia
* Coppia di forzeMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Coppia di forze
* Sistemi di forze paralleleMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi di forze parallele
* Pendolo fisicoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Pendolo fisico
* Moto di una trottolaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di una trottola
Statica, urti e rotolamento
* Sistemi in equilibrioMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi in equilibrio
* Esempi di problemi di staticaMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Esempi di problemi di statica
* Moto di rotolamentoMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di rotolamento
* Urti elastici e anelasticiMeccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Urti elastici e anelastici
Appendice
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Nel modulo precedente abbiamo introdotto i sistemi a massa variabile. Qui vogliamo discutere un esempio esemplare di tali sistemi, analizzando il moto di un razzo. Il fenomeno è semplice: il motore del razzo espelle il carburante a grande velocità, e, per la conservazione della quantità di moto, il razzo si muove nel verso opposto (si noti che non è il motore in sé che spinge il razzo). Vogliamo dare ora una descrizione quantitativa di questo fenomeno.
Fissiamo dunque un sistema di riferimento inerziale con verso positivo nel verso di moto (orizzontale) del razzo, che a un certo istante ha una massa $m$ e che si muove con velocità $v$. Se il razzo espelle una massa infinitesima $dm$ la velocità del razzo diventa $v+dv$, mentre $dm$ si muove con velocità in modulo $v^{*}$ rispetto a quest'ultimo e in senso opposto. Tenendo conto della formula per le velocità relative, la velocità di $dm$ rispetto a un sistema inerziale è pari a $v-v^{*}$. Assumendo che non ci siano forze esterne nella direzione orizzontale, la quantità di moto si conserva:
$mv=(m-dm)(v+dv)+dm(v-v^{*})$
da cui, trascurando il prodotto di quantità infinitesime,
$mdv=v^{*}dm$
cioè
$dv={\frac {dm}{m}}v^{*}$
Supponendo che la massa venga espulsa con un tasso costante possiamo scrivere:
$m(t)=m_{0}-kt$
con differenziale $dm=kdt$ positivo, perché abbiamo considerato $dm$ come valore assoluto della massa espulsa. Integrando
$\Delta v=\int _{v_{0}}^{v}dv=\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v^{*}k}{m_{0}-kt}}dt=-v^{*}\int _{t_{0}}^{t}{\frac {-k}{m_{0}-kt}}dt=v^{*}[\ln {m_{0}}-\ln {(m_{0}-kt)}]$
quindi la legge della velocità è:
$v(t)=v_{0}+v^{*}\ln {\frac {m_{0}}{m_{0}-kt}}$
Supponiamo ora che il razzo venga lanciato verticalmente. Lungo la direzione verticale agisce la forza di gravità, e la quantità di moto del razzo non si conserva. Trascurando la variazione di $g$ con la quota, se prima $dp=mdv-v^{*}dm=0$, ora
$dp=mdv-v^{*}dm=Fdt=-mgdt$
e
$dv=v^{*}{\frac {dm}{m}}-gdt$
Integrando
$\Delta v=\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v^{*}k}{m_{0}-kt}}dt-\int _{t_{0}}^{t}gdt$
E la legge della velocità è:
$v(t)=v_{0}+v^{*}\ln {\frac {m_{0}}{m_{0}-kt}}-gt$
In caso di moto verticale il moto viene rallentato.