# Comunicazioni elettriche/Propagazione

Comunicazioni elettriche
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## Introduzione

L'obiettivo di questo corso è permettere la comprensione dei fenomeni che sono alla base della propagazione libera e guidata delle onde elettromagnetiche senza tralasciare il loro impiego nella realizzazione dei sistemi per le telecomunicazioni.
Per ordine di complessità si possono individuare diverse teorie che descrivono i fenomeni elettromagnetici:
* Teoria geometrica
* Teoria ondulatoria
* Teoria elettromagnetica
* Teoria quantistica
Quella che verrà affrontata in seguito è la teoria elettromagnetica, sviluppata da James Clerk Maxwell (1831-1879) che prevede la natura vettoriale del campo, costituito da un campo elettrico e da uno magnetico interagenti tra di loro.

## Teoria elettromagnetica vettoriale

Come tutte le teorie, prevede delle grandezze fondamentali, un modello della materia, alcune leggi fondamentali della teoria e le relazioni costitutive del mezzo materiale.

### Grandezze fondamentali

* Vettore campo elettrico ${\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)$
* Vettore campo magnetico ${\overrightarrow {\mathbf {H} }}\left({P,t}\right)$
* Vettore spostamento elettrico ${\overrightarrow {\mathbf {D} }}\left({P,t}\right)$
* Vettore induzione magnetica ${\overrightarrow {\mathbf {B} }}\left({P,t}\right)$
* Vettore densità di corrente elettrica ${\overrightarrow {\mathbf {J} }}\left({P,t}\right)$
Tutte queste grandezze sono vettoriali e dipendono oltre che dal tempo anche dalla posizione nello spazio P.

### Principi Fondamentali

I principi fondamentali di questa teoria sono i seguenti postulati:
* Carica Elettrica
È descritta da una funzione continua e derivabile, esiste quindi una densità di carica
$\rho \left({P,t}\right)={\frac {dQ\left({P,t}\right)}{dt}}$ definita come la variazione della quantità di carica nel tempo.
Se la carica si muove con velocità ${\overrightarrow {\operatorname {u} }}\left({P,t}\right)$ allora esiste una densità di corrente elettrica definita come
${\overrightarrow {\mathbf {J} }}\left({P,t}\right)=\rho \left({P,t}\right){\overrightarrow {\operatorname {u} }}\left({P,t}\right)$
La corrente elettrica attraverso una superficie S con versore normale ad essa ${\hat {n}}$ sarà ${\mathbf {I} }\left({P,t}\right)=\int _{S}{{\overrightarrow {\mathbf {J} }}\left({P,t}\right)\cdot {\hat {n}}dS}$
* Conservazione della carica
Se in un elemento di volume varia la carica vuol dire che c'è stato un flusso di carica e quindi una corrente, in forma differenziale:
${\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {\mathbf {J} }}\left({P,t}\right)=-{\frac {\partial \rho \left({P,t}\right)}{\partial t}}$
* Forza di Lorentz
Data una carica che si muove con velocità ${\overrightarrow {\operatorname {u} }}\left({P,t}\right)$ in un campo elettromagnetico, descritto da ${\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)$ e ${\overrightarrow {\mathbf {B} }}\left({P,t}\right)$, su di essa agisce una densità di forza detta di Lorentz data dalla:
${\overrightarrow {f}}\left({P,t}\right)=\rho \left({P,t}\right)\left[{{\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)+{\overrightarrow {u}}\left({P,t}\right)\times {\overrightarrow {\mathbf {B} }}\left({P,t}\right)}\right]$
Di conseguenza la densità di lavoro (prodotto scalare della densità di forza per lo spostamento ${\overrightarrow {\operatorname {u} }}\left({P,t}\right)dt$) dipenderà soltanto dal primo termine (il secondo è ortogonale allo spostamento); essendo la potenza ceduta dalla forza di Lorentz alle cariche in moto il rapporto tra lavoro e tempo avremo
${\mathbf {P} }_{L}\left(t\right)=\int _{V}{{\overrightarrow {\mathbf {J} }}\left({P,t}\right)\cdot {\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)dV}$
Il termine delle correnti può essere diviso in due termini, una parte legata alle correnti impresse ${{\overrightarrow {\mathbf {J} }}_{I}\left({P,t}\right)}$ di sorgente e di utilizzatore, una parte legata alle correnti di conduzione ${{\overrightarrow {\mathbf {J} }}_{C}\left({P,t}\right)}$ che dipendono dalle caratteristiche del mezzo.
Il campo quindi per essere mantenuto necessita di una certa potenza che sarà data dalle correnti impresse. $\mathbf {P} \left(t\right)=\int _{V}{{\overrightarrow {\mathbf {J} }}_{I}\left({P,t}\right)\cdot {\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)dV}>0$
* Equazioni di Maxwell
Sono il quarto postulato e si scrivono in forma differenziale
${\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)=-{\frac {\partial {\overrightarrow {\mathbf {B} }}\left({P,t}\right)}{\partial t}}$
${\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {\mathbf {H} }}\left({P,t}\right)={\frac {\partial {\overrightarrow {\mathbf {D} }}\left({P,t}\right)}{\partial t}}+{\overrightarrow {{\mathbf {J} }_{C}}}\left({P,t}\right)+{\overrightarrow {{\mathbf {J} }_{I}}}\left({P,t}\right)$
Da queste due è possibile calcolare le equazioni delle divergenze applicando l'operatore di divergenza.

### Modello e Relazioni costitutive della materia

Il modello della materia è quello continuo, ovvero nel calcolo integrale gli elementi di volume dV si considerano molto maggiori della dimensione delle molecole che costituiscono gli elementi in gioco.
Le relazioni costitutive della materia possono invece essere molto complesse e determinano le relazioni di ${\overrightarrow {\mathbf {D} }}\left({P,t}\right)$ ${\overrightarrow {\mathbf {B} }}\left({P,t}\right)$ e ${\overrightarrow {\mathbf {J} }}\left({P,t}\right)$ con i campi elettrici e magnetici. Tuttavia queste relazioni possono semplificarsi molto in particolari tipi di mezzi, questi, in base a tali relazioni, si dicono:
* dispersivi se ${\overrightarrow {\mathbf {D} }}\left({P,t}\right)$ ${\overrightarrow {\mathbf {B} }}\left({P,t}\right)$ e ${\overrightarrow {\mathbf {J} }}\left({P,t}\right)$ in ogni punto P ed istante t dipendono dal valore dei campi in altri punti (dispersione spaziale) o altri istanti di tempo (dispersione temporale)
* stazionari quanto i valori di ${\overrightarrow {\mathbf {D} }}\left({P,t}\right)$ ${\overrightarrow {\mathbf {B} }}\left({P,t}\right)$ e ${\overrightarrow {\mathbf {J} }}\left({P,t}\right)$ non dipendono dall'istante di tempo in cui si applica il campo ma soltanto dai campi in quel punto
* lineari quando ${\overrightarrow {\mathbf {D} }}\left({P,t}\right)$ ${\overrightarrow {\mathbf {B} }}\left({P,t}\right)$ e ${\overrightarrow {\mathbf {J} }}\left({P,t}\right)$ sono una combinazione lineare dei campi elettrici e magnetici, ovvero dipendono esclusivamente dalla prima potenza di questi ultimi.
* isotropi quando ${\overrightarrow {\mathbf {D} }}\left({P,t}\right)$ ${\overrightarrow {\mathbf {B} }}\left({P,t}\right)$ e ${\overrightarrow {\mathbf {J} }}\left({P,t}\right)$ a parità di cause non dipendono dalla direzione di applicazione dei campi, in caso contrario si parla di mezzi anisotropi
Nel caso di mezzi lineari, non dispersivi e stazionari le relazioni sono costituite da tensori (matrici 2x2), nel caso di mezzi lineari, non dispersivi, stazionari e isotropi (anche detti mezzi normali) i tensori si riducono a degli scalari e le equazioni caratteristiche diventano
${\overrightarrow {\mathbf {D} }}\left({P,t}\right)=\varepsilon \left(P\right){\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)$
${\overrightarrow {\mathbf {B} }}\left({P,t}\right)=\mu \left(P\right){\overrightarrow {\mathbf {H} }}\left({P,t}\right)$
${\overrightarrow {{\mathbf {J} }_{C}}}\left({P,t}\right)=\sigma \left(P\right){\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)$
dove $\varepsilon$ $\mu$ e $\sigma$ sono rispettivamente la permeattività dielettrica, la permeabilità magnetica e la conducibilità elettrica.
Introducendo la permeattività dielettrica relativa dalla seguente formula $\varepsilon \left(P\right)=\varepsilon _{0}\left({{\frac {\varepsilon \left(P\right)}{\varepsilon _{0}}}+1-1}\right)=\varepsilon _{0}+\varepsilon _{0}\left[{\varepsilon _{r}\left(P\right)-1}\right]$ si ottiene
${\overrightarrow {\mathbf {D} }}\left({P,t}\right)=\varepsilon _{0}\left(P\right){\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)+{\overrightarrow {\mathbf {P} }}\left({P,t}\right)$ dove
${\overrightarrow {\mathbf {P} }}=\varepsilon _{0}\left[{\varepsilon _{r}\left(P\right)-1}\right]{\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)$ è il vettore polarizzazione, che in sostanza tiene conto delle disomogeneità del mezzo.
Introducendo le corrente magnetiche (e quindi le cariche magnetiche) per ottenere simmetria nelle equazioni di maxwell otteniamo le quattro equazioni di Maxwell:
${\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)=\mu _{0}{\frac {\partial {\overrightarrow {\mathbf {H} }}\left({P,t}\right)}{\partial t}}+{\overrightarrow {{\mathbf {J} }_{m}}}\left({P,t}\right)$
${\overrightarrow {\nabla }}\times {\overrightarrow {\mathbf {H} }}\left({P,t}\right)=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\overrightarrow {\mathbf {E} }}\left({P,t}\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overrightarrow {\mathbf {P} }}\left({P,t}\right)}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathbf {J} }}\left({P,t}\right)$
${\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {\mathbf {D} }}\left({P,t}\right)=\rho$
${\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {\mathbf {B} }}\left({P,t}\right)=\rho _{m}$

## Strumenti per la soluzione delle equazioni di Maxwell

Lo studio della propagazione di un'onda elettromagnetica in qualsiasi mezzo è sostanzialmente lo soluzione delle equazioni di Maxwell date delle condizioni iniziali, per fare ciò sono di grande utilità i seguenti strumenti

### Teorema di Poynting

Questo teorema è in pratica un bilancio di potenze, partendo dalle equazioni di Maxwell e moltiplicando scalarmente il rotore del campo elettrico con il campo magnetico e viceversa si ottengono le due equazioni
$\mathbf {\overrightarrow {H}} \cdot {\overrightarrow {\nabla }}\times \mathbf {\overrightarrow {E}} =-\mathbf {\overrightarrow {H}} \cdot \mu {\frac {\partial {\mathbf {\overrightarrow {H}} }}{\partial t}}$
$\mathbf {\overrightarrow {E}} \cdot {\overrightarrow {\nabla }}\times \mathbf {\overrightarrow {H}} =\mathbf {\overrightarrow {E}} \cdot \varepsilon {\frac {\partial {\mathbf {\overrightarrow {H}} }}{\partial t}}+{\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot \sigma {\mathbf {\overrightarrow {E}} }+{\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {J}} }_{I}$
Nella seconda equazione si è posto ${\mathbf {\overrightarrow {J}} }_{C}=\sigma {\mathbf {\overrightarrow {E}} }$
Osservando che ${\overrightarrow {\nabla }}\cdot \left({{\mathbf {\overrightarrow {E}} }\times {\mathbf {\overrightarrow {H}} }}\right)={\mathbf {\overrightarrow {H}} }\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\times {\mathbf {\overrightarrow {E}} }-{\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\times {\mathbf {\overrightarrow {H}} }$ facendo la sottrazione membro a membro della prima equazione dalla seconda, ricordando il teorema della derivata di un prodotto, che in questo caso vale ${\frac {\partial \varepsilon {\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {E}} }}{\partial t}}=\varepsilon {\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot {\frac {\partial {\mathbf {\overrightarrow {E}} }}{\partial t}}+\varepsilon {\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot {\frac {\partial {\mathbf {\overrightarrow {E}} }}{\partial t}}$ riordinando i termini si ottiene
$-{\mathbf {\overrightarrow {J}} }_{I}\cdot {\mathbf {\overrightarrow {E}} }={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\varepsilon {\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {E}} }+\mu {\mathbf {\overrightarrow {H}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {H}} }}\right)+\sigma {\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {E}} }+{\overrightarrow {\nabla }}\cdot \left({{\mathbf {\overrightarrow {E}} }\times {\mathbf {\overrightarrow {H}} }}\right)$
Integrando i due termini dell'uguaglianza nel regione V di spazio considerato (e applicando il teorema di Stokes all'ultimo termine del secondo membro) troviamo l'equazione del Teorema di Poynting
$-\int _{V}{{\mathbf {\overrightarrow {J}} }_{I}\cdot {\mathbf {\overrightarrow {E}} }}dV={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}{\left({\varepsilon {\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {E}} }+\mu {\mathbf {\overrightarrow {H}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {H}} }}\right)}dV+\int _{V}{\sigma {\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {E}} }dV}+\int _{S}{\left({{\mathbf {\overrightarrow {E}} }\times {\mathbf {\overrightarrow {H}} }}\right)}\cdot {\hat {ndS}}$
Si può osservare che tutti i termini dell'equazione dimensionalmente sono delle potenze, in particolare
$-\int _{V}{{\mathbf {\overrightarrow {J}} }_{I}\cdot {\mathbf {\overrightarrow {E}} }}dV$ è la potenza dovute alle correnti impresse, in pratica il termine noto fornito dall'esterno
${\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}{\left({\varepsilon {\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {E}} }+\mu {\mathbf {\overrightarrow {H}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {H}} }}\right)}dV$ è una potenza, ma essendo una derivata nel tempo, la grandezza all'interno dell'integrale è una densità di energia che si accumula nello spazio (analoga all'energia di condensatori e induttori)
$\int _{V}{\sigma {\mathbf {\overrightarrow {E}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {E}} }dV}$ è la potenza istantanea ceduta alle cariche libere che viene dissipata dagli elementi con conducibilità non nulla, in sostanza la potenza dissipata per effetto Joule
$\int _{S}{\left({{\mathbf {\overrightarrow {E}} }\times {\mathbf {\overrightarrow {H}} }}\right)}\cdot {\hat {ndS}}$ è il flusso attraverso la superficie S che racchiude il volume V considerato del vettore di Poynting ${\mathbf {\overrightarrow {P}} }={\mathbf {\overrightarrow {E}} }\times {\mathbf {\overrightarrow {H}} }$, rappresenta la potenza che esce dal volume V (o che entra)

### Teorema di unicità

Il teorema di unicità garantisce che la soluzione di Maxwell per un determinato sistema è unica a patto che siano note
* le condizioni a contorno, ovvero il valore della componente tangente del campo elettrico oppure di quello magnetico
* le condizioni iniziali ovvero il valore di entrambi i campi nell'istante iniziale
Questo teorema lo si può dimostrare per assurdo, se infatti ipotizziamo che le stesse correnti impresse a parità di condizioni iniziali e al contorno possano sostenere due campi diversi $\left({{\overrightarrow {\mathbf {E} }}_{1},{\overrightarrow {\mathbf {H} }}_{1}}\right)$ e $\left({{\overrightarrow {\mathbf {E} }}_{2},{\overrightarrow {\mathbf {H} }}_{2}}\right)$ entrambi soluzioni delle equazioni di Maxwell, data la linearità di queste ultime allora anche il campo differenza $\left({{\overrightarrow {\mathbf {e} }},{\overrightarrow {\mathbf {h} }}}\right)$ sarà soluzione delle equazioni, tuttavia sarà generato da correnti impresse nulle ed avrà condizioni al contorno identicamente nulle, per questo motivo il teorema di Poynting si riduce a
$0={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}{\left({\varepsilon {\mathbf {\overrightarrow {e}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {e}} }+\mu {\mathbf {\overrightarrow {h}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {h}} }}\right)}dV+\int _{V}{\sigma {\mathbf {\overrightarrow {e}} }\cdot {\mathbf {\overrightarrow {e}} }dV}+0$
essendo $\sigma$ sempre positivo, affinché il teorema di Poynting sia rispettato deve necessariamente essere negativo il primo integrale, il che significherebbe immagazzinare energie negative, il che è un assurdo.
L'unica condizione a soddisfare il teorema di Poynting è ${\mathbf {\overrightarrow {e}} }={\mathbf {\overrightarrow {h}} }=0$ e quindi $\left({{\overrightarrow {\mathbf {E} }}_{1},{\overrightarrow {\mathbf {H} }}_{1}}\right)=\left({{\overrightarrow {\mathbf {E} }}_{2},{\overrightarrow {\mathbf {H} }}_{2}}\right)$

### Regime Armonico

Un enorme vantaggio delle equazioni di Maxwell è costituito dalla loro linearità. I campi elettrici e magnetici poiché derivano da correnti impresse dipenderanno in maniera del tutto generica dal tempo, questo vuol dire che applicando la trasformazione di Fourier il segnale avrà uno spettro continuo ma finito.
La linearità delle equazioni di Maxwell permette di applicare il principio della sovrapposizione degli effetti e quindi lo studio e la soluzione delle equazioni possono essere condotti frequenza per frequenza.
Limitare lo studio ad una sola frequenza ha anche un altro interesse, in quanto per le alte frequenze (ovvero per rapporti banda, frequenza di centro banda molto bassi) il considerare una sola frequenza è un'ottima approssimazione.

### Polarizzazione

L'utilizzo di un modello vettoriale e di un regime armonico permette l'introduzione di una proprietà del campo molto importante nota come polarizzazione.
Questa è definita per una sola frequenza e rispetto ad un piano, se consideriamo quindi un campo elettrico insistente su un piano (normale all'asse di propagazione) senza perdere in generalità è possibile scrivere
${\mathbf {\overrightarrow {E}} }=E_{x0}\cos \left({\omega t}\right){\hat {x}}+E_{y0}\cos \left({\omega t+\varphi }\right){\hat {y}}$
Posto in un piano cartesiano di ascissa $E_{x0}$ e di ordinata $E_{y0}$ si può osservare che al variare di t il vettore ${\overrightarrow {\mathbf {E} }}_{x0}$ si muove su una linea retta per $\varphi =0$ in questo caso si parla di polarizzazione rettilinea o lineare, su una circonferenza per $E_{x0}=E_{y0}$ e $\varphi ={\frac {\pi }{2}}$ polarizzazione circolare, su un'ellisse in tutti gli altri casi.
Riassumendo
| Polarizzazione | $E_{x0}$,$E_{y0}$ | $\varphi$ |
| Ellittica sinistrorsa | qualsiasi | $\varphi >0$ |
| Circolare sinistrorsa | $E_{x0}=E_{y0}$ | $\varphi ={\frac {\pi }{2}}$ |
| Rettilinea | $E_{x0}E_{y0}=0$ oppure | $\varphi =0$ |
| Circolare destrorsa | $E_{x0}=E_{y0}$ | $\varphi =-{\frac {\pi }{2}}$ |
| Ellittica destrorsa | qualsiasi | $\varphi <0$ |

### Vettore Complesso Rappresentativo

L'utilizzo di vettori non più reali ma complessi permette di eliminare la dipendenza dal tempo di tali vettori (sempre lavorando in un regime armonico e quindi per una frequenza fissata), si può infatti scrivere
${\mathbf {\overrightarrow {E}} }\left(t\right)=E_{x}\cos \left({\omega t+\varphi _{x}}\right){\hat {x}}+E_{y}\cos \left({\omega t+\varphi _{y}}\right){\hat {y}}+E_{z}\cos \left({\omega t+\varphi _{z}}\right){\hat {z}}=$ $=\operatorname {Re} \left\{{E_{x}e^{j\omega t+\varphi _{x}}{\hat {x}}+E_{y}e^{j\omega t+\varphi _{y}}{\hat {y}}+E_{z}e^{j\omega t+\varphi _{z}}{\hat {z}}}\right\}=\operatorname {Re} \left\{{{\bar {E}}\,e^{j\omega t}}\right\}$
avendo posto ${\bar {E}}={E_{x}e^{j\omega t+\varphi _{x}}{\hat {x}}+E_{y}e^{j\omega t+\varphi _{y}}{\hat {y}}+E_{z}e^{j\omega t+\varphi _{z}}{\hat {z}}}$ come vettore complesso rappresentativo del campo elettrico, analogamente è possibile anche definire il vettore complesso rappresentativo del campo magnetico.

#### Operatori

Nello spazio dei numeri complessi gli operatori spaziali si applicano allo stesso modo che nel dominio del tempo, per gli operatori temporali c'è corrispondenza tra la derivata e il prodotto per $j\omega$, e tra l'integrale e il prodotto per ${\frac {1}{j\omega }}$

#### Prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori corrisponde al prodotto algebrico tra i vettori complessi rappresentativi

#### Modulo

Per ottenere una definizione omogenea con quella del vettore reale si definisce modulo la radice del prodotto algebrico tra il vettore complesso rappresentativo e il suo complesso coniugato
$\left|{\bar {E}}\right|={\sqrt {{\bar {E}}\,\cdot {\bar {E}}^{*}}}$

#### Proiezione, Ortogonalità e Parallelismo

Essendo la proiezione di un vettore su se stesso uguale al modulo del vettore, ne segue che due vettori sono ortogonali se ${\bar {E}}\cdot {\bar {F}}^{*}={\bar {F}}\cdot {\bar {E}}^{*}=0$ sono invece paralleli quando ${\bar {E}}=c\cdot {\bar {F}}$ dove c è una grandezza complessa, nel dominio nel tempo il parallelismo corrisponde alla rotazione nello stesso verso (con sfasatura di c)

#### Cambiamento di Base

Considerato un vettore complesso definito nella base $\left({{\hat {m}},{\hat {n}}}\right)$, per scriverlo nella base $\left({{\hat {u}},{\hat {v}}}\right)$ si ottiene
${\frac {E_{v}}{E_{u}}}={\frac {{\hat {m}}\cdot {\hat {v}}^{*}+{\hat {n}}\cdot {\hat {v}}^{*}{\frac {E_{n}}{E_{m}}}}{{\hat {m}}\cdot {\hat {u}}^{*}+{\hat {n}}\cdot {\hat {u}}^{*}{\frac {E_{n}}{E_{m}}}}}$

### Polarizzazione per Vettori Complessi

Analogamente a quanto detto per il vettori nel dominio del tempo, è possibile definire la polarizzazione di un vettore partendo dal suo complesso rappresentativo.
È sempre possibile scrivere ${\bar {E}}=E_{x}{\hat {x}}+E_{y}{\hat {y}}=(A{\hat {x}}_{0}+jB{\hat {y}}_{0})e^{j\gamma }$ con ${\hat {x}}_{0}$ e ${\hat {y}}_{0}$ i versori degli assi maggiori e minori dell'ellisse e $\gamma$ l'angolo di rotazione di questi rispetto ai versori ${\hat {x}}$ e ${\hat {y}}$
Una maniera alternativa è l'utilizzo dei versori di polarizzazione destrorsa e sinistrorsa
${\hat {d}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({{\hat {x}}-j{\hat {y}}}\right)$
${\hat {s}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({{\hat {x}}+j{\hat {y}}}\right)$
e quindi ${\bar {E}}=E_{s}{\hat {s}}+E_{d}{\hat {d}}$
con
${\hat {E}}_{s}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({{\hat {E}}_{x}-j{\hat {E}}_{y}}\right)$
${\hat {E}}_{d}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({{\hat {E}}_{x}+j{\hat {E}}_{y}}\right)$
${\hat {E}}_{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({{\hat {E}}_{d}+{\hat {E}}_{s}}\right)$
${\hat {E}}_{y}=j{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({-{\hat {E}}_{d}+{\hat {E}}_{s}}\right)$
Si definisce rapporto di polarizzazione circolare
$q={\frac {E_{s}}{E_{d}}}$
Utilizzando la formula del cambiamento di base si definisce il rapporto di polarizzazione rettilinea
$p=j{\frac {E_{y}}{E_{x}}}$
$q={\frac {1-p}{1+p}}$
Riassumendo
| Polarizzazione | A,B | q | p |
| Ellittica sinistrorsa | $B>0$ | $\left|{q}\right|>1$ | $\operatorname {Re} \left\{p\right\}<0$ |
| Circolare sinistrorsa | $B=A$ | $\left|{q}\right|=\infty$ | $p=-1$ |
| Rettilinea | $B=0$ | $\left|{q}\right|=1$ | $\operatorname {Re} \left\{p\right\}=0$ |
| Circolare destrorsa | $B=-A$ | $\left|{q}\right|=1$ | $p=1$ |
| Ellittica destrorsa | $B<0$ | $\left|{q}\right|<1$ | $\operatorname {Re} \left\{p\right\}>0$ |