# Analisi matematica I/I numeri complessi

Analisi matematica I
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Principi di insiemistica e funzioni elementari
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* Numeri reali (seconda parte)
* Numeri complessi
* Funzioni
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* Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in $\mathbb {R}$
* Successioni reali
* Limiti di successioni reali
* Teoremi sulle successioni
* Algebra dei limiti delle successioni
* Esistenza del limite di una successione
* Limiti inferiori e superiori
* Forme indeterminate di successioni
* Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
* Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
* Compattezza di un insieme
* Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
* Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
* Algebra dei limiti
* Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
* Analisi matematica I/Funzioni monotone
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* Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
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Calcolo differenziale in $\mathbb {R}$ e studio di funzioni
* Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
* Analisi matematica I/Algebra delle derivate
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* Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
* Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
* Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
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Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
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Successioni e serie di funzioni
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VECCHIO Elementi di base
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* Funzioni
Serie e successioni
* Successioni: definizione
* Limiti: definizione
* Successioni monotone
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* Limite di successioni
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* Limiti notevoli
* Serie numeriche: definizione
* Serie a termini non negativi
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Funzioni di una variabile, limiti e continuità
* Limiti di funzioni da R a R
* Limiti di funzioni da R$^n$ a R$^m$
* Funzioni numeriche e generalità
* Grafico di una funzione
* Funzioni limitate
* Funzioni simmetriche, pari e dispari
* Funzioni monotone
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* Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
* Introduzione
* Il rapporto incrementale
* Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
* Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
* Le derivate fondamentali
* Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
* Il teorema di de L’Hospital
* Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
* o piccolo
* Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
* Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
* Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
* Proprietà dell'integrale
* Il teorema fondamentale del calcolo integrale
* Metodo di ricerca della primitiva
* Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
* Funzioni integrabili
* integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
* Integrazione di funzioni non limitate
* Criteri di integrabilità al finito
* Integrazione su intervalli illimitati
* Criteri di integrabilità all’infinito
* Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
* Integrazione delle funzioni trigonometriche
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## L'insieme $\mathbb {C}$ dei numeri complessi

L'espressione ${\sqrt {-1}}$ non ha senso all'interno dei reali; non esiste un numero reale che elevato al quadrato dia un numero negativo. Come operammo nel passaggio da $\mathbb {Q}$ a $\mathbb {R}$, estendiamo quest'ultimo insieme per comprendere numeri come ${\sqrt {-1}}$. Introduciamo allora un'unità immaginaria $\imath ={\sqrt {-1}}$.
Fatto questo, possiamo introdurre la classe dei numeri complessi: un numero complesso Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {z}}} si può esprimere come coppia ordinata di numeri reali Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {}a,b)} , oppure nella forma $a+\imath b$. Singolarmente, Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {a}}} e Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {b}}} sono numeri reali, e rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di un numero complesso.
Se $\mathbb {Q}$ finiva per essere incluso in $\mathbb {R}$, nel nostro caso $\mathbb {R}$ può essere inteso come sottoinsieme di un più vasto $\mathbb {C}$ dei numeri complessi; ciascun numero reale può essere infatti visto come un numero complesso a parte immaginaria Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {b}}} nulla.

## Operazioni tra complessi

La somma algebrica nei complessi si può portare a termine come nei reali se si tratta separatamente la parte reale e la parte immaginaria. Così, presi due complessi
$z=a+\imath b$ e $z'=c+\imath d$,
abbiamo che
$z+z'=a+c+\imath (b+d)$.
Stesso discorso per il prodotto, ricordando però che $\imath ^{2}=-1$, e quindi
$z\cdot z'=ac+\imath ad+\imath bc-bd=(ac-bd)+\imath (ad+bc)$
Per il quoziente ci serve qualche definizione in più.

## Modulo, argomento e forma polare di un numero complesso

L'espressione di Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {z}}} come coppia ordinata di numeri reali può essere sfruttata per rappresentare graficamente un numero complesso in un piano. Si può costruire un piano complesso intersecando perpendicolarmente due assi: l'asse reale dove nel piano cartesiano avremmo le ascisse, l'asse immaginario al posto delle ordinate. Tale piano è detto anche Piano di Argand-Gauss, o semplicemente di Gauss.
Chiamiamo modulo del numero complesso Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {z}}} la sua distanza dall'origine, ovvero $\rho =|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.
L'argomento di Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {z}}} è invece definito come l'angolo orientato $\vartheta$ che va dall'asse reale al segmento congiungente il punto Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {z}}} con l'origine.
Dalla trigonometria estrapoliamo poi che
$a=\rho \cdot \cos \vartheta$ e $b=\rho \cdot \sin \vartheta$.
Ora possiamo scrivere z nella sua forma polare: $z=\rho (\cos \vartheta +\imath \sin \vartheta )$.

### Coniugato di un numero complesso

Il numero ${\overline {z}}=a-ib$ è chiamato coniugato del solito Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {z}}=a+\imath b} . Le seguenti proprietà del coniugato risultano molto utili:
$|{\overline {z}}|=|z|$ e $\arg {\overline {z}}=-\arg z$ .
Inoltre, il prodotto di Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {z}}} con il suo coniugato ${\overline {z}}$ dà il quadrato del modulo di Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {z}}} , cioè
$z{\overline {z}}=|z|^{2}$.

## Ancora sulle operazioni, quoziente tra complessi

Mediante semplici considerazioni algebriche, si può dedurre che se abbiamo due numeri complessi $z=\rho (\cos \vartheta +\imath \sin \vartheta )$ e $w=r(\cos \phi +\imath \sin \phi )$ il modulo del loro prodotto sarà il prodotto dei due moduli, e l'argomento la somma degli argomenti. Cioè: $|z\cdot w|=|z|\cdot |w|$ e $\arg(z\cdot w)=\arg z+\arg w$.
Quindi,
$z\cdot w=\rho r(\cos(\vartheta +\phi )+\imath \sin(\vartheta +\phi ))$.
Detto questo, torniamo alla divisione.
Sappiamo che $z^{-1}={1 \over z}={1 \over {a+\imath b}}$ .
Possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per ${\overline {z}}$, ottenendo $z^{-1}={{a-\imath b} \over {a^{2}+b^{2}}}={{\overline {z}} \over {|z|^{2}}}$.
Il modulo di quest'ultima espressione è $\left|{{1} \over {z}}\right|={|{\overline {z}}| \over {|z|^{2}}}={{1} \over {|z|}}$, mentre l'argomento è $\arg {1 \over z}=\arg {\overline {z}}$.
Conseguentemente possiamo interpretare $z \over w$ come
$z\cdot {1 \over w}={{ac+bd+\imath (bc-ad)} \over {a^{2}+b^{2}}}$, oppure, con moduli e argomenti,
$\left|{z \over w}\right|={|z| \over |w|}$ e $\arg {z \over w}=\arg z-\arg w$.

## Teorema di De Moivre e potenze

Un numero complesso elevato all'$n$-esima, con $n\in \mathbb {N}$, è uguale al numero stesso moltiplicato $n$ volte per sè, come al solito. Sia dunque $z=\rho (\cos \vartheta +\imath \sin \vartheta )$. Con $\rho =1$ otteniamo il Teorema di De Moivre:
$(\cos \vartheta +\imath \sin \vartheta )^{n}=\cos {n\vartheta }+\imath \sin {n\vartheta }$. L'uguaglianza è soddisfatta in seguito alla sommabilità degli argomenti di un prodotto tra complessi.
Più in generale,
$z^{n}=\rho ^{n}(\cos(n\vartheta )+\imath \sin(n\vartheta ))$.

## Radici complesse

Nel caso dei numeri reali, avevamo che $x^{2}=4\Rightarrow x=\pm 2$. Si potrebbe chiedersi perché ${\sqrt {4}}$ sia uguale al solo Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {+}}2} , mentre il suo opposto sia escluso. Il problema è di notazione: con ${\sqrt {4}}$ si intende la radice quadrata principale di 4, ovvero precisamente il numero reale positivo che ha per quadrato il radicando. Al contrario, con la notazione ${\sqrt {x}}$, dove $x$ è una variabile reale, si intendono entrambe le sue radici, se la radice è ad indice pari.
La radice di un numero complesso, ${\sqrt {z}}$, assume questo secondo significato.
Sfruttando lo stesso principio di cui ci siamo serviti nel caso della divisione, intendiamo l'operazione di estrazione di radice come un elevamento a potenza all'inverso. Cioè ${\sqrt[{n}]{z}}=z^{1 \over n}$.
Applicando la formula di De Moivre otteniamo proprio la radice principale di Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {z}}} ,
$z^{1 \over n}=\rho ^{1 \over n}(\cos {\vartheta \over n}+\imath \sin {\vartheta \over n})$.
Esistono $n$ radici n-esime per un numero complesso: oltre a questa radice principale, ce ne sono altre $n-1$, che differiscono dalla principale solo nell'argomento. Prendendo la formula di De Moivre all'inverso, si vede che siccome seno e coseno sono periodiche con periodicità $2k\pi$, gli altri argomenti validi al variare di Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {k}}} sono della forma ${\vartheta +2k\pi } \over n$. Di conseguenza
${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{\rho }}(\cos {{\vartheta +2k\pi } \over n}+\imath \sin {{\vartheta +2k\pi } \over n}),$ con Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {k}}=0,1,2,...,n-1} .
La rappresentazione di queste radici sul piano complesso è assai intrigante: si tratta, al crescere di Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {k}}} , del k-esimo vertice in senso antiorario di un poligono regolare con n lati inscritto nella circonferenza di raggio $\rho ^{1 \over n}$.

## Teorema fondamentale dell'algebra, equazioni complesse

Il teorema fondamentale dell'algebra prevede che un polinomio di grado n a coefficienti reali abbia precisamente n radici (da non confondere con le radici di un numero) nell'insieme dei complessi, considerando le loro molteplicità.
Ad esempio, prendiamo l'espressione che abbiamo scelto all'inizio, Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {x}}^{2}+1=0} . Nel campo dei reali questa non ha nessuna soluzione. Nel campo dei complessi, espressioni di secondo grado di questo tipo hanno sempre due soluzioni (o al più una, ma doppia). In questo caso la soluzione è particolarmente semplice:
Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {x}}^{2}=-1\quad x=\pm \imath } .

### Soluzione di equazioni di grado superiore al secondo

Un esempio di esercizio è quello, dato un polinomio $a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}...$ (di norma, non oltre il quinto grado) a coefficienti reali e una radice Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {k}}} del polinomio, di trovare tutte le altre radici.
Si opera scomponendo il polinomio in un prodotto di fattori irriducibili, in particolare in un prodotto di Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {n}}} fattori della forma Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {}z-j)} , dove Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {j}}} è un numero complesso (o reale) e Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {n}}} è il grado del polinomio iniziale.
Sviluppiamo l'esempio con un polinomio di quinto grado e una certa radice complessa data. È dimostrato che se un polinomio ha una radice complessa anche il coniugato della radice è radice, per cui possiamo dividere il polinomio per $(z-k)(z-{\overline {k}})$ fino ad ottenere un polinomio di terzo grado. Ora, il polinomio ha grado dispari. Ha quindi una (o tre) radici reali semplici, di cui quasi sempre una è facilmente individuabile "per tentativi sensati". Se troviamo un numero reale Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {q}}} che soddisfi l'annullamento del polinomio di terzo grado, possiamo dividere quest'ultimo per Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {}z-q)} così da ottenere un polinomio di secondo grado. Trovandoci a dividere il polinomio in questo particolare modo possiamo usare anche la Regola di Ruffini.
Finalmente sappiamo trovare le ultime due radici con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, non dimenticando che le radici quadrate vanno intese come complesse. Questo metodo risolutivo, dove risolutivo, è il più rapido, poiché far ricorso alla formula di Cardano-Tartaglia per le equazioni di terzo (o quarto) grado risulta piuttosto scomodo.