# Elaborazione numerica dei segnali/Trasformata di Fourier a tempo discreto

Elaborazione numerica dei segnali
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## Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)
### Definizione di DTFT

La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) $X\left(e^{j2\pi f}\right)$ è la trasformata di Fourier della sequenza $x\left(n\right)$:
    $X\left(e^{j2\pi f}\right)={\mathcal {F}}\left\{x\left(n\right)\right\}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j2\pi fk}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j\omega k}$
dove $\omega$ è la pulsazione discreta: $\omega =2\pi f$.
Una sequenza $x\left(n\right)$ può essere espressa come la somma pesata dei campioni presi negli istanti di tempo $k$:
    $x\left(n\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)\delta \left(n-k\right)$
La trasformata di Fourier di $x\left(n\right)$ pertanto vale:
    ${\mathcal {F}}\left\{x\left(n\right)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)\delta \left(n-k\right)\right\}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right){\mathcal {F}}\left\{\delta \left(n-k\right)\right\}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j2\pi fk}$
La DTFT viene indicata con $X\left(e^{j2\pi f}\right)$ anziché con $X\left(f\right)$ per distinguerla dalla trasformata di Fourier di un segnale continuo, ma è a tutti gli effetti in funzione della variabile continua $f$.
La DTFT è in realtà il caso particolare per $T_{c}=1$ della trasformata di Fourier di un segnale analogico $x\left(t\right)$ campionato con frequenza di campionamento $f_{c}={\frac {1}{T_{c}}}$:
    $X_{c}\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(kT_{c}\right)\delta \left(t-kT_{c}\right)\right\}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(kT_{c}\right)e^{-j2\pi fkT_{c}}$
che è periodica di periodo $f_{c}$ → la DTFT è periodica di periodo:
    ${\begin{cases}f_{c}={\frac {1}{T_{c}}}=1\\\omega =2\pi f_{c}=2\pi \end{cases}}$

### Inversione della DTFT (IDTFT)

Siccome la DTFT $X\left(e^{j\omega }\right)$ è periodica, i coefficienti $x\left(k\right)$ possono essere interpretati come i coefficienti $\mu _{k}$ dello sviluppo in serie di Fourier della DTFT:
Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa (IDTFT) :
| Tempo continuo | Tempo discreto | Tempo discreto |
| Tempo continuo | in funzione di $f$ | in funzione di $\omega$ |
| $x\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\mu _{k}e^{j{\frac {2\pi }{T}}kt}$ $\mu _{k}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}x\left(t\right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}kt}dt$ | $X\left(e^{j2\pi f}\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j2\pi fk}$ $x\left(k\right)=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}X\left(e^{j2\pi f}\right)e^{j2\pi fk}df$ | $X\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j\omega k}$ $x\left(k\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X\left(e^{j\omega }\right)e^{j\omega k}d\omega$ |
    $\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}X\left(e^{j2\pi f}\right)e^{j2\pi fk}df=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}\left[\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)e^{-j2\pi fn}\right]e^{j2\pi fk}df=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{1 \over 2}}e^{-j2\pi f\left(n-k\right)}df=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right){\frac {1}{-j2\pi \left(n-k\right)}}\left.e^{-j2\pi f\left(n-k\right)}\right\vert _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right){\frac {1}{j2\pi \left(n-k\right)}}\left(e^{j\pi \left(n-k\right)}-e^{-j\pi \left(n-k\right)}\right)=$
Per la formula di Eulero:
    $=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right){\frac {\sin \left(\pi \left(n-k\right)\right)}{\pi \left(n-k\right)}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)\mathrm {sinc} \left(n-k\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)\delta \left(n-k\right)=x\left(k\right)$

### Condizioni di esistenza

Se la sequenza $x\left(k\right)$ è assolutamente sommabile, allora:
* esiste la sua DTFT:
       $\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(k\right)\right|\in \mathbb {R} \Rightarrow \left|X\left(e^{j\omega }\right)\right|\in \mathbb {R} \quad \forall \omega$
    $\left|X\left(e^{j\omega }\right)\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j\omega k}\right|\leq \sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(k\right)e^{-j\omega k}\right|=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(k\right)\right|\in \mathbb {R} \Rightarrow \left|X\left(e^{j\omega }\right)\right|\in \mathbb {R}$
* la sua energia è finita:
       $\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(k\right)\right|\in \mathbb {R} \Rightarrow E_{x}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(k\right)\right|}^{2}\in \mathbb {R}$
    $E_{x}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(k\right)\right|}^{2}\leq {\left(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(k\right)\right|\right)}^{2}\in \mathbb {R} \Rightarrow E_{x}\in \mathbb {R}$

## Proprietà della DTFT
### Linearità

La DTFT è un operatore lineare:
    $z\left(n\right)=a_{1}\cdot x\left(n\right)+a_{2}\cdot y\left(n\right)\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=a_{1}\cdot X\left(e^{j2\pi f}\right)+a_{2}\cdot Y\left(e^{j2\pi f}\right)$

### Ribaltamento

Un ribaltamento della $x\left(n\right)$ corrisponde a calcolare la sua DTFT invertendo il segno della frequenza $f$:
    $z\left(n\right)=x\left(-n\right)\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{-j2\pi f}\right)$

### Ritardo

Una traslazione del tempo della sequenza $x\left(n\right)$ corrisponde a moltiplicare la sua DTFT per un esponenziale complesso:
    $z\left(n\right)=x\left(n-N\right)\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi f}\right)e^{-j2\pi fN}$

### Traslazione in frequenza (modulazione)

Una traslazione in frequenza della DTFT di una sequenza $x\left(n\right)$ corrisponde a moltiplicare la sequenza per un esponenziale complesso:
    $z\left(n\right)=x\left(n\right)\cdot e^{j2\pi f_{0}n}\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi \left(f-f_{0}\right)}\right)$

### Derivazione in frequenza

    $z\left(n\right)=n\cdot x\left(n\right)\Longleftrightarrow -2\pi j\cdot Z\left(e^{j2\pi f}\right)={\frac {d}{df}}X\left(e^{j2\pi f}\right)$

### Convoluzione lineare

La convoluzione tra due sequenze $x\left(n\right)$ e $y\left(n\right)$ corrisponde al prodotto tra le singole DTFT:
    $z\left(n\right)=x\left(n\right)*y\left(n\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)y\left(n-k\right)\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi f}\right)\cdot Y\left(e^{j2\pi f}\right)$

### Prodotto

Il prodotto tra due sequenze $x\left(n\right)$ e $y\left(n\right)$ corrisponde alla convoluzione tra le singole DTFT, con estremi di integrazione $-{\tfrac {1}{2}}$ e $+{\tfrac {1}{2}}$ grazie al fatto che la DTFT è periodica:
    $z\left(n\right)=x\left(n\right)\cdot y\left(n\right)\Longleftrightarrow Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi f}\right)*Y\left(e^{j2\pi f}\right)=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}X\left(e^{j2\pi \eta }\right)Y\left(e^{j2\pi \left(f-\eta \right)}\right)d\eta$

### Relazioni di parità

Se la sequenza $x\left(n\right)$ è reale vale la simmetria hermitiana per le sue DTFT attorno alle frequenze $f=0$ e $f={\tfrac {1}{2}}$:
    ${\begin{cases}X\left(e^{j2\pi f}\right)=X^{*}\left(e^{-j2\pi f}\right)\\X\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)=X^{*}\left(e^{-j2\pi \left(f+{\frac {1}{2}}\right)}\right)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}X_{R}\left(e^{j2\pi f}\right)+jX_{I}\left(e^{j2\pi f}\right)=X_{R}\left(e^{-j2\pi f}\right)-jX_{I}\left(e^{-j2\pi f}\right)\\X_{R}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)+jX_{I}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)=X_{R}\left(e^{-j2\pi \left(f+{\frac {1}{2}}\right)}\right)-jX_{I}\left(e^{-j2\pi \left(f+{\frac {1}{2}}\right)}\right)\end{cases}}$
e quindi entrambe le DTFT hanno le seguenti relazioni di parità:
* la parte reale è pari:
    ${\begin{cases}X_{R}\left(e^{j2\pi f}\right)=X_{R}\left(e^{-j2\pi f}\right)\\X_{R}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)=X_{R}\left(e^{-j2\pi \left(f+{\frac {1}{2}}\right)}\right)\end{cases}}$
* la parte immaginaria è dispari:
    ${\begin{cases}X_{I}\left(e^{j2\pi f}\right)=-X_{I}\left(e^{-j2\pi f}\right)\\X_{I}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)=-X_{I}\left(e^{-j2\pi \left(f+{\frac {1}{2}}\right)}\right)\end{cases}}$
* il modulo è pari:
    ${\begin{cases}{\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|}^{2}=X_{R}^{2}\left(e^{j2\pi f}\right)+X_{I}^{2}\left(e^{j2\pi f}\right)\\{\left|X\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)\right|}^{2}=X_{R}^{2}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)+X_{I}^{2}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)\end{cases}}$
* la fase è dispari:
    ${\begin{cases}\arg {X_{I}\left(e^{j2\pi f}\right)}=\mathrm {arctg} {\frac {X_{I}\left(e^{j2\pi f}\right)}{X_{R}\left(e^{j2\pi f}\right)}}\\\arg {X_{I}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)}=\mathrm {arctg} {\frac {X_{I}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)}{X_{R}\left(e^{j2\pi \left(f-{\frac {1}{2}}\right)}\right)}}\end{cases}}$

### Valore iniziale e somma dei campioni
#### Valore iniziale

    $\left.x\left(n\right)\right\vert _{n=0}=x\left(0\right)=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}X\left(e^{j2\pi f}\right)df$

#### Somma dei campioni

    $\left.X\left(e^{j2\pi f}\right)\right\vert _{f=0}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)$
Ne consegue che sequenze a valor medio nullo hanno DTFT nulla in $f=0$.

### Relazione di Parseval

La relazione di Parseval nel dominio del tempo discreto ha estremi di integrazione finiti:
    $E_{x}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(k\right)\right|}^{2}=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}{\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|}^{2}df$

#### Relazione di Parseval generalizzata

    $\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)y^{*}\left(k\right)=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}X\left(e^{j2\pi f}\right)Y^{*}\left(e^{j2\pi f}\right)df$

### Spettro di energia

Lo spettro di energia $S_{x}\left(f\right)$ dà informazioni sulla distribuzione dell'energia della sequenza $x\left(n\right)$ nel dominio della frequenza:
    $S_{x}\left(f\right)={\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|}^{2}$

#### Proprietà

Lo spettro di energia $S_{x}\left(f\right)$:
* non può essere negativo;
* se $x\left(n\right)$ è reale, è reale e pari;
* è periodico di periodo 1.

## DTFT notevoli

| | Sequenza $x\left(n\right)$ | DTFT $X\left(e^{j2\pi f}\right)$ |
| Sequenza delta | $\delta \left(n\right)$ | $1$ |
| Sequenza costante | $1$ | $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(f-n\right)$ $\delta \left(f\right)\quad f\in \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]$ |
| Sequenza segno | $\operatorname {sgn} \left(n\right)$ | ${\frac {1+e^{-j2\pi f}}{1-e^{-j2\pi f}}}$ |
| Sequenza gradino | $u\left(n\right)$ | ${\frac {1}{2}}\delta \left(f\right)+{\frac {1}{1-e^{-j2\pi f}}}$ |
| Sequenza esponenziale | $e^{j2\pi f_{0}n}$ | $\delta \left(f-f_{0}\right)$ |
| Sequenza cosinusoidale | $\cos \left(2\pi f_{0}n\right)$ | ${\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)\right]$ |
| Sequenza sinusoidale | $\sin \left(2\pi f_{0}n\right)$ | ${\frac {1}{2j}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)-\delta \left(f+f_{0}\right)\right]$ |
| Sequenza sinc | $\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{N}}\right)$ | $N\cdot P_{\frac {1}{N}}\left(f\right)$ |
| Sequenza porta | $p_{2K+1}\left(n\right)$ | ${\frac {\sin \left[\pi f\left(2K+1\right)\right]}{\sin \left(\pi f\right)}}$ |

## Banda di un segnale a tempo discreto
### Banda assoluta

La banda assoluta della sequenza $x\left(n\right)$ è la frequenza $B_{x}\leq {\frac {1}{2}}$, quindi all'interno del singolo periodo della DTFT, per cui la DTFT $\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|$ è identicamente nulla al di fuori dell'intervallo $\left[-B_{x},B_{x}\right]$. È l'equivalente della banda unilatera nel dominio del tempo discreto, però si considera solamente un periodo della funzione nel dominio della frequenza (la DTFT ha sempre supporto infinito).

### Banda equivalente

La larghezza di banda $B_{\text{eq}}$ è pari alla semilarghezza del rettangolo:
* la cui altezza è pari al massimo ${\left|X_{M}\right|}^{2}$ dello spettro di energia $S_{x}\left(f\right)$;
* la cui area è uguale all'energia complessiva $E\left(S_{x}\right)$ della DTFT, cioè all'area sottesa da $S_{x}\left(f\right)$ all'interno del singolo periodo della DTFT:
       $2B_{\text{eq}}{\left|X_{M}\right|}^{2}=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{1 \over 2}}S_{x}\left(f\right)df=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{1 \over 2}}{\left|X\left(e^{2j\pi f}\right)\right|}^{2}df$
    che per la relazione di Parseval è anche uguale all'energia della sequenza $x\left(n\right)$, data dalla somma di tutti i suoi campioni:
       $2B_{\text{eq}}{\left|X_{M}\right|}^{2}=E_{x}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)$

### Banda B$_{x%}$

La banda $B_{x\%}$ è la frequenza per cui l'intervallo $\left[-B_{x\%},B_{x\%}\right]$ corrisponde all'$x\%$ dell'energia complessiva della sequenza $y\left(n\right)$, ovvero all'$x\%$ dell'area sottesa dallo spettro di energia $S_{y}\left(f\right)$ all'interno del singolo periodo della DTFT:
    $\int _{-B_{x\%}}^{+B_{x\%}}S_{y}\left(f\right)df={\frac {x}{100}}\int _{-{1 \over 2}}^{+{1 \over 2}}S_{y}\left(f\right)df={\frac {x}{100}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\left|y\left(n\right)\right|}^{2}$

### Banda a 3 dB

La banda a 3 dB $B_{3{\text{ dB}}}$ è la frequenza a cui l'ampiezza dello spettro di energia $S_{x}\left(f\right)$ si riduce di 3 dB rispetto al suo massimo:
    $S_{x}\left(B_{3{\text{ dB}}}\right)={\frac {{\left|X_{M}\right|}^{2}}{2}}$