# Termodinamica classica/Cicli termodinamici

Termodinamica classica
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Un ciclo termodinamico è definito come una serie di trasformazioni termodinamiche che riportano il sistema allo stato iniziale. Ci sono diversi tipi di cicli, ne studieremo due tipi caratteristici.

## Ciclo di politropiche

Consideriamo un ciclo composto da quattro trasformazioni a due a due accoppiate, che siano politropiche, ovvero del tipo $pV^{\alpha }={\text{cost}}$. Consideriamo le quattro trasformazioni singolarmente; distingueremo i due tipi di politropiche con diversi esponenti $a$ e $b$. Le leggi che regolano le quattro trasformazioni, che passano per i quattro stati termodinamici $A,B,C,D$ sono dunque:
${\begin{aligned}&p_{A}V_{A}^{a}=p_{B}V_{B}^{a}\\&p_{B}V_{B}^{b}=p_{C}V_{C}^{b}\\&p_{C}V_{C}^{a}=p_{D}V_{D}^{a}\\&p_{D}V_{D}^{b}=p_{A}V_{A}^{b}\end{aligned}}$
Moltiplichiamo tutte queste espressioni, ottenendo $V_{A}^{a}V_{B}^{b}V_{C}^{a}V_{D}^{b}=V_{A}^{b}V_{B}^{a}V_{C}^{b}V_{D}^{a}$; rimettendo le cose in ordine:
$V_{A}^{(a-b)}V_{C}^{(a-b)}=V_{B}^{(a-b)}V_{D}^{(a-b)}\,\Rightarrow \,V_{A}V_{C}=V_{B}V_{D}$
Ovvero il prodotto dei volumi opposti nel ciclo è uguale a due a due, così come resta uguale il fattore di compressione del ciclo, ovvero ${\frac {V_{B}}{V_{A}}}={\frac {V_{D}}{V_{C}}}$. Questa è una caratteristica di tutte le politropiche e dei cicli formati da quattro politropiche accoppiate.
Prima di procedere, vediamo l'espressione del calore specifico di una politropica generica. Data la legge $pV^{k}={\text{cost}}$, quale sarà il rispettivo calore specifico $c_{k}$? Ricordiamo che vale
$c_{k}=\left({\frac {\delta Q}{\partial T}}\right)_{k}={\frac {dU}{dt}}+\left({\frac {pdV}{dT}}\right)_{k}$
Valutiamo l'espressione di $pdV$ per la politropica:
$kpV^{k-1}dV+V^{k}dp=0\quad kpdV+Vdp=0$
Ora sfruttiamo questa espressione sostituendola nella legge del gas perfetto, opportunamente differenziata:
${\begin{aligned}&pV=nRT\\&pdV+Vdp=nRdT\\&pdV-kpdV=nRdT\\&pdV={\frac {nRdT}{1-k}}\end{aligned}}$
Sostituendola nella formula per $c_{k}$ otteniamo:
$c_{k}={\frac {nc_{V}dT}{dT}}+{\frac {nRdT}{(1-k)dT}}=nc_{V}+{\frac {nR}{1-k}}$

## Ciclo di Carnot

Il più famoso dei cicli termodinamici è il ciclo di Carnot, composto da due isoterme e due adiabatiche tutte reversibili. Nel piano $(p,V)$ è rappresentato come nell'immagine seguente.
Le isoterme sono a temperatura $T_{1}$ e $T_{2}$, con $T_{1}>T_{2}$.
Calcoliamoci lavoro compiuto/subito e calore ceduto/assorbito per ogni trasformazione:
${\begin{aligned}&AB\quad L=nRT_{1}\log \left({\frac {V_{B}}{V_{A}}}\right)=Q>0\\&BC\quad Q=0\quad L=-\Delta U=-nc_{V}(T_{2}-T_{1})>0\\&CD\quad L=nRT_{2}\log \left({\frac {V_{D}}{V_{C}}}\right)=Q<0\\&DA\quad Q=0\quad L=-\Delta U=-nc_{V}(T_{1}-T_{2})<0\end{aligned}}$
Il lavoro totale compiuto dal ciclo sarà pari a:
$L_{\text{tot}}=nRT_{1}\log {\frac {V_{B}}{V_{A}}}+nRT_{2}\log {\frac {V_{D}}{V_{C}}}$
Sfruttando la caratteristica dei cicli di politropiche discussa poco sopra, abbiamo che ${\frac {V_{D}}{V_{C}}}={\frac {V_{B}}{V_{A}}}$, quindi otteniamo che il lavoro totale del ciclo è pari a
$L_{\text{tot}}=nR(T_{1}-T_{2})\log {\frac {V_{B}}{V_{A}}}$
Per compiere questo lavoro, ovviamente, è stato ceduto al sistema del calore, che assorbe calore solo nella trasformazione $AB$. Quando si ha a che fare con un ciclo termodinamico è ininfluente parlare di lavoro compiuto, in quanto si deve cedere del calore al sistema per compierlo; allora un termine di confronto tra cicli è il rendimento, un numero adimensionale definito come:
$\eta ={\frac {L_{\text{tot}}}{Q_{\text{ass}}}}$
Questo valore è compreso $0<\eta <1$. Il ciclo di Carnot, in particolare, lavora tra due sorgenti, per essere più precisi, lavora con sole due sorgenti, ed è reversibile; per queste caratteristiche, è unico nel suo genere e presenta un rendimento altissimo. Infatti, in base a quanto calcolato prima, possiamo esprimere il rendimento come:
$\eta ={\frac {nR(T_{1}-T_{2})\log {\frac {V_{B}}{V_{A}}}}{nRT_{1}\log {\frac {V_{B}}{V_{A}}}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{1}}}=1-{\frac {T_{2}}{T_{1}}}$
Come vedremo col secondo principio, questo valore è il limite superiore per il rendimento di macchine termiche.
Discutiamo brevemente la validità del rendimento. Questo è definito bene per valori del lavoro positivi $L>0$, dall'espressione vista poco fa abbiamo che
$\eta ={\frac {L_{\text{tot}}}{Q_{\text{ass}}}}={\frac {|Q_{\text{ass}}|-|Q_{\text{ced}}|}{|Q_{\text{ass}}|}}=1-{\frac {|Q_{\text{ced}}|}{|Q_{\text{ass}}|}}$
Ora, sul calore assorbito c'è libertà assoluta, ma sul calore ceduto no. Infatti, se il lavoro è negativo, il rendimento non è ben definito, o meglio, ha poco senso una macchina termica a rendimento negativo. Per questo abbiamo due casi limite:
${\begin{aligned}&Q_{\text{ced}}=0\quad \eta =1\\&Q_{\text{ced}}=Q_{\text{ass}}\quad \eta =0\end{aligned}}$
Quindi otteniamo che $0\leq \eta \leq 1$; come vedremo col secondo principio, non potremo però avere un rendimento esattamente uguale a 1.