# Esercizi di fisica con soluzioni/Cristallografia

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## Esercizi
### Primi vicini

Determinare la distanza tra i primi vicini in un cristallo di Alluminio che ha una densità di $2.75\ g/cm^{3}$, il peso molecolare dell'Alluminio è $27\$ in u.a. ed il suo reticolo è cubico a facce centrate.
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### Densità

Determinare la densità del Litio (Li) che ha una struttura cristallina b.c.c. che un peso atomico di 6.9 u.a. ed ha un passo reticolare di 0.35 nm.
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### Tungsteno

Determinare la struttura del Tungsteno (W) che è un materiale cubico che ha p.m. 189 u.a., densità $\rho =19.25\ g/cm^{3}$, passo reticolare $a=0.315\ nm$.
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### Diffrazione

Si usano dei raggi X di lunghezza d'onda $\lambda =0.154\ nm$ e si trova che i due più piccoli angoli di Bragg sono $19.4\ ^{o}$ e $28\ ^{o}$. Determinare il passo reticolare a ed il tipo di reticolo cristallino, nell'ipotesi di reticolo cubico.
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### Legame ionico

Una molecola di $Na^{+}Cl^{-}$ ha un legame puramente ionico espresso dalla legge:
$E_{lm}=-{\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{om}}}+Be^{-r_{om}/\rho }\$
Con $E_{lm}=-5.44\ eV$, $r_{om}=0.228\ nm$
Il cristallo di $Na^{+}Cl^{-}$ ha un numero di primi vicini pari a 6 e una costante di Madelung $\alpha =1.6378$, il legame cristallino per ogni ione è espresso dalla legge:
$E_{lc}=-\alpha {\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{oc}}}+6Be^{-r_{oc}/\rho }\$
Con $E_{lc}=-4.14\ eV$, $r_{oc}=0.282\ nm$.
Determinare $\rho$ e $B$.
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## Soluzioni
### Primi vicini

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La massa nel S.I. di un atomo di Alluminio vale:
$m_{Al}=27\cdot 1.66\cdot 10^{-27}\ kg\$
In una cella convenzionale di un reticolo cubico a facce centrate (f.c.c.), costituito da un cubo di lato $a\$), vi sono quattro elementi quindi la densità vale:
$\rho ={\frac {4m_{Al}}{a^{3}}}$
da cui:
$a={\sqrt[{3}]{4m/\rho }}=0.402\ nm$
La distanza tra i primi vicini nel reticolo f.c.c. dell'Alluminio:
$d={\frac {a}{\sqrt {2}}}=0.284\ nm$

### Densità

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essendo nel b.c.c:
$\rho ={\frac {2m}{a^{3}}}=2\times 6.9\times 1.66\cdot 10^{-27}/(0.35\cdot 10^{-9})^{3}=0.535g/cm^{3}\$

### Tungsteno

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Se fosse cubico semplice avrebbe una densità di:
$\rho _{1}={\frac {m}{a^{3}}}=10\ g/cm^{3}\$
Se fosse bcc:
$\rho _{2}={\frac {2m}{a^{3}}}=20\ g/cm^{3}\$
Mentre se fosse fosse fcc:
$\rho _{3}={\frac {4m}{a^{3}}}=40\ g/cm^{3}$
Quindi è bcc.

### Diffrazione

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Si mostra facilmente come il secondo angolo di Bragg è eguale per tutti i reticoli cubici, quindi semplicemente si ha che, la dimensione del secondo vettore reciproco più corto in dimensioni vale:
${\vec {G}}_{2}={\frac {4\pi }{a}}{\hat {i}}\$
Se riscriviamo la legge di Bragg in funzione del reticolo reciproco:
$2k\sin \theta _{2}=|G_{2}|\$
essendo $k=2\pi /\lambda$ segue che:
$a={\frac {\lambda }{\sin \theta _{2}}}=0,328\ nm$
Essendo:
$\sin \theta _{1}=0.33\$
Per quanto riguarda il reticolo se fosse un reticolo bbc (reciproco fcc):
$|G_{1}|={\frac {2\pi }{a}}{\sqrt {2}}\$
da cui:
$\sin \theta _{1}={\frac {\lambda }{a{\sqrt {2}}}}=0.33\$
quindi è bcc.
Infatti se fosse stato fcc:
$|G_{1}|={\frac {2\pi }{a}}{\sqrt {3}}\$
$\sin \theta _{1}={\frac {\lambda {\sqrt {3}}}{a2}}=0.406$

### Legame ionico

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La parte repulsiva dell'energia di legame nella molecola:
$E_{rm}=Be^{-r_{om}/\rho }=E_{lm}+{\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{om}}}=0.878\ eV\$
Mentre nel caso del cristallo, per ogni primo vicino si ha:
$E_{rc}=Be^{-r_{oc}/\rho }=(E_{lc}+\alpha {\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{oc}}})/6=0.161\ eV\$
Quindi dividendo le due espressioni si ha che:
$\rho ={\frac {r_{oc}-r_{om}}{\log {E_{rm}/E_{rc}}}}=0.0319\ nm\$
$B=E_{rm}e^{r_{om}/\rho }=1120\ eV\$