# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Da questo punto in poi, per buona parte del corso, ci si occuperà della terza delle equazioni presentate inizialmente, ovvero l'equazione di Laplace:
$\Delta u=0$
Si studieranno anche alcune proprietà di una equazione strettamente legata a quella appena scritta, ovvero l'equazione di Poisson:
$-\Delta u=f$
Di entrambe le equazioni si è interessati a determinare le equazioni su un aperto $\Omega \subset \mathbb {R}$. Se $\Omega$ è limitato, si potrà inoltre assumere che $\partial \Omega$ sia regolare. Iniziamo col presentare delle formule di importanza fondamentale per il resto della trattazione: le formule di Green.

## Teorema di Gauss-Green

Sia $u\in C^{1}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$. Allora:
$\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}dx=\int _{\partial \Omega }u{\hat {n}}_{i}d\sigma$
Come diretta conseguenza del teorema di Gauss-Green si ha la formula di integrazione per parti in $\mathbb {R} ^{n}$:
$\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}vdx=-\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}dx+\int _{\partial \Omega }uv{\hat {n}}_{i}d\sigma$
Sia $F:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},\;F\in C^{1}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$, allora si ha la formula di integrazione per parti per funzioni a valori vettoriali, nota anche come teorema della divergenza.

## Teorema della divergenza

Sia $F:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},\;F\in C^{1}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$. Allora:
$\int _{\Omega }\nabla {\underline {F}}d{\underline {x}}=\int _{\partial \Omega }{\underline {F}}{\hat {n}}dr$
Sfruttando i teoremi appena enunciati è possibile scrivere le formule di Green. Più precisamente siano $f\in C^{1}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$ e $g\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$, allora $f\cdot \nabla g$ è un campo vettoriale di classe $C^{1}(\Omega )$. La sua divergenza è data da:
$\nabla (f\cdot \nabla g)=\nabla f\nabla g+f\Delta g$
Integrando su $\Omega$ e applicando il teorema della divergenza si ottiene:
$\int _{\Omega }\nabla \left(f\nabla g\right)dx=\int _{\partial \Omega }\left(f\nabla g\right){\hat {n}}d\sigma =\int _{\partial \Omega }f{\underset {\nabla g{\hat {n}}}{\underbrace {\frac {\partial g}{\partial n}} }}d\sigma =$
$=\int _{\Omega }\nabla f\nabla gdx+\int _{\partial \Omega }f\Delta gdx$
Da cui si ha la prima formula di Green:
$\int _{\partial \Omega }f{\frac {\partial g}{\partial n}}d\sigma =\int _{\Omega }\nabla f\nabla gdx+\int _{\partial \Omega }f\Delta gdx$
Se, al contrario, si avesse che $f\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }}),\,g\in C^{1}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$ si potrebbe scrivere:
$\int _{\partial \Omega }g{\frac {\partial f}{\partial n}}d\sigma =\int _{\Omega }\nabla f\nabla gdx+\int _{\Omega }g\Delta fdx$
Supponendo che $f,g\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$ e sottraendo membro a membro l'espressione ottenuta con la prima formula di Green si ottiene la seconda formula di Green:
$\int _{\Omega }\left(f\Delta g-g\Delta f\right)dx=\int _{\partial \Omega }\left(f{\frac {\partial g}{\partial n}}-g{\frac {\partial f}{\partial n}}\right)d\sigma$

## Simmetria del laplaciano

Definiamo ${\mathcal {D}}(\Delta _{D})$ il dominio del laplaciano di Dirichlet:
${\mathcal {D}}(\Delta _{D})=\left\lbrace u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})\,\colon \,u\mid _{\partial \Omega }=0\right\rbrace$
Dalla seconda formula di Green si ricava che il laplaciano di Dirichlet è simmetrico, essendo il lato destro dell'uguaglianza che la definisce nullo:
$\int _{\Omega }f\Delta gdx=\int _{\Omega }g\Delta fdx$
In maniera analoga si osserva che anche il laplaciano di Neumann, definito su:
${\mathcal {D}}(\Delta _{N})=\left\lbrace f\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})\,\colon \,{\frac {\partial f}{\partial n}}\mid _{\Omega }=0\right\rbrace$
e il laplaciano di Robin, definito su:
${\mathcal {D}}(\Delta _{R})=\left\lbrace f\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})\,\colon \,\left[{\frac {\partial f}{\partial n}}+\alpha f\right]_{\partial \Omega }=0,\,\alpha \in C^{0}(\partial \Omega )\right\rbrace$
sono simmetrici.
Le considerazioni fatte in questo modulo sono di fondamentale importanza per la trattazione dell'equazione di Laplace e per la sua risoluzione. Nei prossimi moduli ci si occuperà di una particolare classe di funzioni, soluzioni dell'equazione di Laplace: le funzioni armoniche.