# Formulario operativo essenziale di matematica e statistica/Integrazione per scomposizione, per sostituzione e per parti

Formulario operativo essenziale di matematica e statistica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Matematica elementare
* Operazioni con monomi e polinomi
* Relazioni e funzioni
Limiti e derivate
* Limite di una funzioneFormulario operativo essenziale di matematica e statistica/Limite di una funzione
* Derivata di una funzione
* Studio di funzione
Integrali
* Integrali calcolabili immediatamente
* Integrazione per scomposizione, per sostituzione e per partiFormulario operativo essenziale di matematica e statistica/Integrazione per scomposizione, per sostituzione e per parti
Equazioni differenziali e alle differenze
* Equazioni differenziali ordinarie del primo ordineFormulario operativo essenziale di matematica e statistica/Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine
* Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine e superiore
* Equazioni alle differenze
* Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine
* Sistemi di equazioni alle differenze
Statistica
* Calcolo delle probabilità
* Panoramica delle principali variabili casuali
* Verosimiglianza
* Stima intervallare
Appendici
* Tavola dei valori della distribuzione normale standardizzata
* Tavola dei valori della distribuzione chi quadrato
* Tavola dei valori della distribuzione t di Student
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## Integrazione per scomposizione

Si usa quando si deve integrare un rapporto di polinomi, cioè una funzione $f(x)={\frac {P(x)}{D(x)}}$ . L'obiettivo è trasformare la frazione in una somma di frazioni tali da essere risolvibili elementarmente.

### Grado $P(x)$ minore di quello di $D(x)$

Si ha un integrale tipo $\int {\frac {3x-4}{x^{2}-6x+8}}dx$.
* Trovare le radici del denominatore (che sono 2 e 4) ed esprimerlo come $(x-2)(x-4)$;
* $\int {\frac {3x-4}{(x-2)(x-4)}}dx=\int {\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x-4}}dx$, cioè una somma di integrali elementari con $a$ e $b$ costanti opportune da trovare;
* Calcolare $a$ e $b$, come da esempio: ${\frac {a(x-4)+b(x-2)}{(x-2)(x-4)}}={\frac {ax-4a+bx-2b}{(x-2)(x-4)}}$, poi raccogliendo $x$ in questo modo: ${\frac {x(a+b)-4a-2b}{(x-2)(x-4)}}$;
* Siccome il coefficiente di $x^{1}$ è 3, allora $a+b=3$, mentre il termine noto è $-4$, di conseguenza $-4a-2b=-4$. Allora, per trovare le due costanti, risolvere il seguente sistema: ${\begin{cases}a+b=3\\-4a-2b=-4\end{cases}}$, che ha soluzioni ${\begin{cases}a=-1\\b=4\end{cases}}$.
* Risolvere infine l'integrale equivalente $\int {\frac {-1}{x-2}}dx+\int {\frac {4}{x-4}}dx=-\int {\frac {1}{x-2}}dx+4\int {\frac {1}{x-4}}dx$, risolvibile elementarmente e pari a $-\ln |x-2|+4\ln |x-4|$.

### Grado $P(x)$ maggiore di quello di $D(x)$

Risolvere $\int {\frac {x^{5}-3x^{4}+x+3}{x^{2}-1}}dx$.
* L'obiettivo è rappresentare la frazione nella forma ${\frac {Q(x)D(x)+R(x)}{D(x)}}={\frac {Q(x)D(x)}{D(x)}}+{\frac {R(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}$, dove $Q(x)$ è un semplice integrale di un polinomio, e la seconda frazione è riconducibile è una frazione con numeratore di grado inferiore rispetto al denominatore.
* Facciamo la divisione tra polinomi per trovare $Q(x)$, ottenendo $Q(x)=x^{3}-3x^{2}+x-3$ e $R(x)=2x$. L'integrale diventa dunque $\int x^{3}-3x^{2}+x-3dx+2\int {\frac {x}{x^{2}-1}}dx$.
* Il primo integrale è elementare. Il secondo è della forma ${\frac {f'(x)}{f(x)}}$, dunque la soluzione è $\ln(x^{2}-1)$
* Risolviamo anche il primo integrale $\int x^{3}-3x^{2}+x-3dx+\ln(x^{2}-1)={\frac {x^{4}}{4}}-x^{3}+{\frac {x^{2}}{2}}-3x+\ln(x^{2}-1)$

## Integrazione per sostituzione

Si usa per risolvere integrali della forma
$\int g\left(f(x)\right)dx$
* Porre $f(x)=u$ e differenziare entrambi i membri, ricavando $x=\mu (u)$ e poi differenziando ambo i membri $dx=\mu '(u)du$;
* riscrivere l'integrale come $\int g(u)\mu '(u)du$, sperando che sia più facile da risolvere rispetto a quello di partenza;
* trovata la soluzione, riscrivere tutto in funzione di $x$.

## Integrazione per parti

Per risolvere integrali della forma $\int f(x)g(x)dx$ si può ricorrere alla formula di integrazione per parti
$\int f(x)g(x)dx=\int \Phi (x)dx\Gamma (x)-\int \left(\int \Phi (x)\Gamma '(x)dx\right)dx$
dove $\Phi (x)$ è tra le due la funzione più facile da integrare e che integrata non risulta una funzione ancora più difficile di quella di partenza, mentre $\Gamma (x)$ è tra le due quella facile da derivare che consente di ottenere una funzione più facile da derivare rispetto a quella di partenza.
* ↑ E' della forma $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln |f(x)|$.
* ↑ Si noti che per il secondo addendo non sarebbe necessario il valore assoluto poiché $4\ln |x-4|=\ln(x-4)^{4}$, che ha ovviamente argomento sempre positivo.