# Analisi complessa/Operatori lineari in H

Analisi complessa
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
* Analisi complessa
** Numeri complessiAnalisi complessa/Numeri complessi
** Funzioni di variabile complessaAnalisi complessa/Funzioni di variabile complessa
** Funzioni elementariAnalisi complessa/Funzioni elementari
** DerivateAnalisi complessa/Derivate
** Integrali nel campo complessoAnalisi complessa/Integrali nel campo complesso
** Serie di potenzeAnalisi complessa/Serie di potenze
** Calcolo dei residuiAnalisi complessa/Calcolo dei residui
* Spazi di Hilbert
** Insiemi finiti, numerabili, non numerabiliAnalisi complessa/Insiemi finiti, numerabili, non numerabili
** Spazi metriciAnalisi complessa/Spazi metrici
** Campi e spazi vettorialiAnalisi complessa/Campi e spazi vettoriali
** Norma e spazi di BanachAnalisi complessa/Norma e spazi di Banach
** Prodotto scalare e spazi di HilbertAnalisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert
** Serie trigonometricheAnalisi complessa/Serie trigonometriche
** Operatori lineari in HAnalisi complessa/Operatori lineari in H
* Trasformata di Fourier
** Definizione e proprietà della trasformata di FourierAnalisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier
** ConvoluzioneAnalisi complessa/Convoluzione
* Integrale di Lebesgue
** Integrale di RiemannAnalisi complessa/Integrale di Riemann
** Misura di LebesgueAnalisi complessa/Misura di Lebesgue
** Integrale di LebesgueAnalisi complessa/Integrale di Lebesgue
Modifica il sommario

## Operatore lineare
### Definizione 2.7.1

    Definiamo ${\mathcal {L}}(H)$ l'insieme degli operatori lineari di uno spazio di Hilbert $H$ in se stesso
    ${\mathcal {L}}(H)=\{L:H\rightarrow H;x,y\in H,\quad \alpha ,\beta \in C\Rightarrow L(\alpha x+\beta y)=\alpha Lx+\beta Ly\}$.
Un operatore lineare si dice
* continuo
    se $\forall x_{0}\in H,\forall \varepsilon >0:\exists \delta >0:\Vert x-x_{0}\Vert <\delta \Rightarrow \Vert Lx-Lx_{0}\Vert <\varepsilon ;$
* limitato se
    $\exists k>0:\forall x\in H\Vert Lx\Vert <k\Vert x\Vert$ .
Per un operatore $L\in {\mathcal {L}}(H)$le seguenti affermazioni sono equivalenti:
* $L$ è continuo in $0$;
* $L$ è continuo in tutto $H$;
* $L$ è limitato $\forall {x_{n}}:x_{n}\rightarrow {\bar {x}}\Rightarrow Lx_{n}\rightarrow L{\bar {x}}$

## Norme di operatori
### Definizione

    Sia ${\mathcal {B}}(H)$ l'insieme degli operatori lineari limitati su $H$; definiamo
       $\Vert L\Vert _{{\mathcal {B}}(H)}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\Vert Lx\Vert }{\Vert x\Vert }}=\sup _{x\neq 0}\left\Vert L{\frac {x}{\Vert x\Vert }}\right\Vert =\sup _{\Vert x\Vert =1}\Vert Lx\Vert$
${\mathcal {B}}(H)$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb {C}$, ponendo
* $(L_{1}+L_{2})x=L_{1}x+L_{2}x\!$
* $(\lambda L)x=\lambda Lx\!$.

### Teorema

    $\Vert \cdot \Vert _{{\mathcal {B}}(H)}$ è una norma, e ${\mathcal {B}}(H)$ è completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.

### Teorema

    Siano:
   * $H$ uno spazio di Hilbert,
   * $\left\{x_{n}\right\}$ una successione in $H$ con $\Vert x_{n}\Vert \leq K<\infty$,
   * $\left\{y_{n}\right\}$ un'altra successione in $H$ con $\Vert y_{n}\Vert \leq K<\infty$
   * $\left\{\alpha _{n}\right\}$ una successione in $\mathbb {C}$ con $\sum _{n}|\alpha _{n}|\leq K<\infty$
    Allora l'applicazione
       $x\rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}y_{n}$
    è lineare e continua.

### Definizione2.7.6.

    Consideriamo una successione di operatori
       $\left\{L_{n}\right\}\subseteq {\mathcal {L}}(H)$
    Diciamo che $L_{n}\rightarrow L$
   * In norma se
       $\forall \varepsilon >0\exists N:n>N\Rightarrow \Vert L_{n}-L\Vert _{{\mathcal {B}}(H)}<\varepsilon$,
       cioè se
          $\sup _{\Vert x\Vert =1}\Vert L_{n}x-Lx\Vert <\epsilon$ .
   * Fortemente se
       $\forall x\in H\quad L_{n}x\rightarrow Lx$,
       cioè se
          $\forall \varepsilon >0,x\in H\quad \exists N_{x}:n>N_{n}\Rightarrow \Vert L_{n}x-Lx\Vert <\varepsilon$
   * Debolmente se
       $\forall x,y\in H\;<L_{n}x,y>\longrightarrow <Lx,y>$.

### Teorema

    La convergenza in norma implica la convergenza forte, che implica a sua volta la convergenza debole, ma non vale il viceversa.

### Definizione 2.7.8.

    Definiamo kernel (nocciolo) di un operatore $L\in {\mathcal {L}}(H)$ l'insieme degli $x\in H$ tali che $Lx=0$. Questa definizione corrisponde a quella data per i funzionali lineari.
    Definiamo rango di un operatore l'insieme degli $y\in H$ tali che $Lx=y$ per qualche $x\in H$:
       $\ker L=\left\{x\in H:Lx=0\right\}$
       $r(L)=\left\{y\in H:\exists x\in H:Lx=y\right\}$

## Operatori aggiunti
### Definizione 2.7.9.

    Sia $L\in {\mathcal {L}}(H)$; definiamo l' operatore aggiunto $L^{\star }$ come l'operatore che $\forall x,y\in H$ soddisfa
       $<Lx,y>=<x,L^{\star }y>$.

### TEOREMA 2.7.10.

    Se $L\in {\mathcal {B}}(H)$ anche $L^{\star }\in {\mathcal {B}}(H)$; inoltre
       $\Vert L^{\star }\Vert _{\mathcal {B}}=\Vert L\Vert _{\mathcal {B}}$
    e
       $(L^{\star })^{\star }=L$.
Nel caso finito-dimensionale, per $\mathbb {C} ^{N}$, si può mostrare che tutti gli operatori lineari si possono rappresentare con matrici, $A=(a_{ij})$, con $a_{ij}\in \mathbb {C}$, in modo tale che
    $L\mathbf {x} =A\mathbf {x} =\sum _{ij}a_{ij}x_{j}{\hat {e}}_{i}$,
dove ${\hat {e}}_{i}$ sono i vettori della base rispetto alla quale sono date le componenti $x_{i}$ dei vettori dello spazio.
Inoltre, con il prodotto scalare definito come
    $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}$
è facile mostrare che $L^{\star }$ è rappresentato dalla matrice aggiunta
    $A^{\star }=({\overline {a_{ji}}})$

## Operatori compatti

Introduciamo per prima cosa alcune nozioni topologiche su spazi metrici (valide quindi in particolare su spazi di Hilbert).

### Definizione 2.7.11.

    Sia $A\subseteq X$, dove $X$ è uno spazio metrico.
    $A$ si dice compatto se per ogni successione
       $\left\{x_{n}\right\}\subseteq A$
    esiste una sottosuccessione che converge ad un punto $x\in A$.
    Un insieme si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione; la chiusura ${\bar {A}}$ di un insieme $A$ è l'unione dell'insieme e dell'insieme dei suoi punti di accumulazione; chiaramente ${\bar {A}}=A$ se $A$ è chiuso.
    Un insieme si dice precompatto se la sua chiusura è compatta.

### TEOREMA 2.7.12

    Sia $A\subseteq J$ dove $J$ è uno spazio normato; allora se
$A$ è compatto, è anche chiuso e limitato ($\exists K>0:\Vert x\Vert _{J}<K\forall x\in A$).
Se $J=\mathbb {R} ^{N},\mathbb {C} ^{N}$ (finito-dimensionale) $A\subseteq J$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

### Teorema di Bolzano-Weierstrass

    In $\mathbb {C} ^{N}$ ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente, e ogni insieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione.
Questi teoremi non si possono però estendere al caso infinito-dimensionale, infatti sussiste il seguente teorema:
    Sia $H$ spazio di Hilbert, con $\dim H=\infty$,allora l'insieme $S=\left\{x:\Vert x\Vert =1\right\}$ è chiuso e limitato ma non compatto.
Siamo ora pronti a definire la nozione di operatori compatti.

### Definizione 2.7.16

    Un operatore $L\in {\mathcal {L}}(H)$ si dice compatto se per $\forall C\subseteq H$ limitato, $L(C)$ è precompatto; in altre parole, se
    $\forall x_{n}\in H,\Vert x_{n}\Vert <K\quad \exists \left\{x_{n_{k}}\right\}:\left\{Lx_{n_{k}}\right\}$ converge.

### TEOREMA 2.7.17.

    Se $\dim r(L)<\infty$, $L$ è compatto.
    Se $H$ è separabile, ogni operatore compatto è limite in norma di una successione di operatori $A_{n}$ con $\dim r(A_{n})<\infty$.

## Spettro di operatori
### Definizione 2.7.18.

    Definiamo il prodotto di due operatori
       $L_{1},L_{2}\in {\mathcal {B}}(H)$
    come
       $(L_{1}L_{2})x=L_{1}(L_{2}x)\forall x\in H$.
È facile notare che
    $\Vert L_{1}L_{2}\Vert \leq \Vert L_{1}\Vert \Vert L_{2}\Vert$.
Questo fatto, unito alla completezza di ${\mathcal {B}}(H)$ ed alla presenza di un funzionale lineare continuo $E:x\rightarrow x$ tale che
    $LE=EL=L:\forall L\in {\mathcal {B}}(H)$
e
    $\Vert E\Vert =1$
fa di ${\mathcal {B}}(H)$ un'algebra di Banach.
Definiamo l' operatore inversodi un operatore $L:H\rightarrow H$ l'operatore $L^{-1}$ tale che
    $\forall y\in HL^{-1}y=x\iff Lx=y$
L'operatore inverso esiste se e solo se $L$ è biunivoco: se $L$ non fosse suriettivo, $L^{-1}$ non sarebbe definito per qualche $y\in H$, e se non fosse iniettivo, $Lx_{1}=Lx_{2}=y$ e quindi $L^{-1}y$ non sarebbe univocamente definito;
    $L^{-1}L=LL^{-1}=E$
L'inversa di un'applicazione lineare è lineare.

## Teorema della mappa aperta

Siano $G$ e $W$ due spazi di Banach su $\mathbb {C}$, e $L:G\rightarrow W$ lineare. Se
    $L(G)=W$ (se $L$ è suriettiva)
allora sia
    $S_{G}\subseteq G=\left\{x\in G:\Vert x\Vert \leq 1\right\}$
la sfera unitaria in $G$, allora
    $\delta S_{W}\subseteq L(S_{G})$
dove $\delta S_{W}$ è la sfera di raggio $\delta >0$ in $W$.

### Corollario.

    Se $L\in {\mathcal {B}}(H)$ ed è biunivoca, allora
       $\Vert Lx\Vert \geq \delta \Vert x\Vert$;
    pertanto
       $\Vert x\Vert =\Vert LL^{-1}x\Vert \geq \delta \Vert L^{-1}x\Vert$
    quindi
       $\Vert L^{-1}x\Vert \leq 1\delta \Vert x\Vert$
    e dunque
       $L^{-1}\in {\mathcal {B}}(H)$.

### Definizione di spettro.

    Definiamo lo spettro $\sigma (L)$ di un operatore $L\in {\mathcal {B}}(H)$ come l'insieme dei $\lambda \in \mathbb {C}$ tali che
       $L-\lambda E\!$
    non ammette inverso continuo.
Se esiste un vettore $v\neq 0$ tale che per un ${\bar {\lambda }}\in \sigma (L)$ vale che $Lv-{\bar {\lambda }}v=0$ (in altri termini se $\ker(L-{\bar {\lambda }}E)\neq 0$) si dice che ${\bar {\lambda }}$ è un autovalore di $L$. L'insieme degli autovalori si dice spettro discreto $\sigma _{D}(L)$;chiaramente $\sigma _{D}\subseteq \sigma$ .

### TEOREMA 2.7.23

    Per ogni operatore $L\in {\mathcal {B}}(H)$,$\sigma (L)$ è chiuso e limitato.

### TEOREMA 2.7.24

    Sia $T\in {\mathcal {L}}(H)$ operatore compatto. Allora è vero che:
   * $\forall \lambda \neq 0\dim \ker(T-\lambda I)<\infty$
   * Se $\dim H=\infty$ allora $0\in \sigma (T)$
   * $\forall S\in {\mathcal {B}}(H)$
   * sia $ST$ che $TS$ sono compatti.

### TEOREMA 2.7.25.

    Sia $T\in {\mathcal {L}}(H)$ operatore compatto. Per ogni $n>0$ esiste solo un numero finito di elementi di $\sigma (T)$ che siano maggiori di $0$; in altri termini gli elementi dello spettro sono al più numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione è lo $0$.Inoltre $\sigma (T)=\sigma _{D}(T)$.

### Operatori autoaggiunti.

    Un operatore si dice autoaggiunto se $L^{\star }=L$.Se $L\in {\mathcal {B}}(H)$è autoaggiunto, allora i suoi autovalori sono reali, e gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.

### Teorema

    Se $T\in {\mathcal {B}}(H)$ è compatto ed autoaggiunto, e $H$ è separabile, allora gli autovettori di $T$ costituiscono una base Hilbertiana per $H$.