# Sistemi e tecnologie elettroniche/Circuiti con amplificatori operazionali ideali

Sistemi e tecnologie elettroniche
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## Amplificatori reazionati con elementi reattivi

L'analisi di un circuito amplificatore con elementi reattivi richiede di considerare le loro impedenze equivalenti.
Si può disegnare il diagramma di Bode dell'amplificazione (analisi in frequenza) o studiare la risposta al gradino (analisi nel tempo).

## Sommatori

Il sommatore è uno stadio amplificatore che restituisce in uscita la combinazione lineare di più ingressi $V_{1}$, $V_{2}$...:
    $V_{u}=AV_{1}+BV_{2}+CV_{3}+\cdots$
dove i coefficienti $A$, $B$... sono negativi o positivi a seconda se l'ingresso è collegato al morsetto invertente o non invertente rispettivamente. L'amplificatore differenziale è un caso particolare con $A=-B$ e $C=D=\cdots =0$.

### Sommatore (invertente)

Ogni generatore di tensione $V_{i}$ fornisce la corrente $I_{i}={\tfrac {V_{i}}{R_{i}}}$ per il principio di sovrapposizione degli effetti:
    $I_{f}={\frac {V_{1}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {V_{n}}{R_{n}}}\Rightarrow V_{u}=-R_{f}I_{f}=-{\frac {R_{f}}{R_{1}}}V_{1}-{\frac {R_{f}}{R_{2}}}V_{2}-\cdots -{\frac {R_{f}}{R_{n}}}V_{n}$

### Amplificatore differenziale

Per il principio di sovrapposizione degli effetti:
* spegnendo il generatore $V_{2}$: il parallelo $R_{2}||R_{4}$ non è attraversato da corrente → amplificatore di tensione invertente:
    ${V_{u}}_{1}=V_{1}\left(-{\frac {R_{3}}{R_{1}}}\right)$
* spegnendo il generatore $V_{1}$, la tensione $V_{2}$ si ripartisce in $V_{a}$ su $R_{4}$, e si combina con la reazione all'altro morsetto dell'amplificatore di tensione non invertente:
    ${V_{u}}_{2}=V_{a}\left(1+{\frac {R_{3}}{R_{1}}}\right)=V_{2}{\frac {R_{4}}{R_{2}+R_{4}}}\left(1+{\frac {R_{3}}{R_{1}}}\right)$
Ponendo l'uguaglianza del rapporto delle resistenze:
    ${\begin{cases}V_{u}={V_{u}}_{1}+{V_{u}}_{2}\\{\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{4}}{R_{2}}}=A_{d}\end{cases}}\Rightarrow V_{u}=V_{1}\left(-A_{d}\right)+V_{2}{\frac {A_{d}}{\cancel {1+A_{d}}}}\left({\cancel {1+A_{d}}}\right)=A_{d}\left(-V_{1}+V_{2}\right)=A_{d}V_{d}$

### Sommatore generalizzato

Nel sommatore generalizzato le tensioni sono applicate a entrambi i terminali in ingresso:
    ${\begin{cases}{V_{u}}_{-}=-R_{f}I_{f}=-R_{f}\sideset{_{i-}}\sum {\frac {V_{i}}{R_{i}}}\\{V_{u}}_{+}=A_{V}\cdot \sideset{_{i+}}\sum {{V_{e}}_{i}}=\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1-}||R_{2-}||\cdots }}\right)\cdot \sideset{_{i+,j+}}\sum {V_{i}{\frac {R_{e}||{R_{\text{eq}}}_{j\neq i}}{R_{e}||{R_{\text{eq}}}_{j\neq i}+R_{i}}}}\end{cases}}\Rightarrow V_{u}={V_{u}}_{-}+{V_{u}}_{+}$
* {{subst:Utente:Luca Ghio/Sottolinea|lato invertente:}} il contributo ${V_{u}}_{-}$ è analogo a quello del sommatore invertente, poiché il parallelo delle resistenze al morsetto non invertente, attraversate da corrente nulla, non influisce sulla tensione in uscita;
* {{subst:Utente:Luca Ghio/Sottolinea|lato non invertente:}} lasciando acceso solo il generatore $V_{i+}$, la sua tensione si ripartisce in ${V_{e}}_{i+}$ sul parallelo ${R_{\text{eq}}}_{j+\neq i+}$ costituito dalle altre resistenze applicate al morsetto non invertente, quindi viene amplificata in ${V_{u}}_{+}$ secondo il modello dell'amplificatore non invertente.

## Modo differenziale e modo comune
### Segnale differenziale e di modo comune

Le tensioni $V_{1}$ e $V_{2}$ possono essere espresse come "scostamento" ${\tfrac {V_{D}}{2}}$ dalla media $V_{C}$:
    ${\begin{cases}V_{C}={\frac {V_{1}+V_{2}}{2}}\\V_{D}=V_{2}-V_{1}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}V_{1}=V_{C}-{\frac {V_{D}}{2}}\\V_{2}=V_{C}+{\frac {V_{D}}{2}}\end{cases}}$
dove:
* $V_{C}$ è il segnale di modo comune, cioè la differenza di potenziale tra la media tra $V_{1}$ e $V_{2}$ e la massa;
* $V_{D}$ è il segnale differenziale, cioè la differenza di potenziale tra $V_{1}$ e $V_{2}$.
Un'informazione può essere trasferita in due modi:
* lungo un filo singolo, l'informazione utile dipende solamente dal modo comune: siccome è semplicemente riferito a massa, qualsiasi disturbo (es. fulmine) che si presenta lungo la linea risulta nella perturbazione del segnale di uscita;
* lungo due fili posti a una specifica distanza, l'informazione utile è codificata solamente nel segnale differenziale: la trasmissione nel modo differenziale è meno soggetta a disturbi, soprattutto su lunghe distanze, grazie al fatto che il segnale differenziale non è riferito a massa, e quindi i disturbi perturbano in egual misura i modi comuni dei singoli segnali ma non la differenza di potenziale tra i due.

### Guadagno differenziale e di modo comune

La tensione in uscita di un amplificatore si può esprimere in funzione dei modi comune e differenziale degli ingressi:
    ${\begin{cases}V_{u}=AV_{1}+BV_{2}\\V_{1}=V_{C}-{\frac {V_{D}}{2}},\,V_{2}=V_{C}+{\frac {V_{D}}{2}}\\A_{C}=A+B,\,A_{D}={\frac {B-A}{2}}\end{cases}}\Rightarrow V_{u}=A_{C}V_{C}+A_{D}V_{D}$
dove $A_{C}$ è il guadagno di modo comune e $A_{D}$ è il guadagno differenziale.
Il rapporto di reiezione di modo comune (CMRR), definito come il rapporto tra il guadagno differenziale $A_{D}$ e il guadagno di modo comune $A_{C}$, misura la tendenza a rigettare i segnali d'ingresso di modo comune a favore di quelli differenziali.

### Amplificatore differenziale

Un amplificatore differenziale ideale è caratterizzato da un guadagno di modo comune nullo:
    $A_{C}=0\Rightarrow {\frac {A_{D}}{A_{C}}}\rightarrow +\infty$
L'obiettivo è massimizzare il guadagno $A_{D}$ e minimizzare il guadagno $A_{C}$, in modo che il primo sia trascurabile rispetto al secondo:
    $A_{C}<<A_{D}\Rightarrow {\frac {A_{D}}{A_{C}}}>>1$
Esistono tuttavia delle cause di errore che allontanano l'amplificatore differenziale reale dall'idealità, derivanti dal fatto che i valori nominali di resistenza hanno una certa incertezza:
* è difficile scegliere una combinazione di resistenze che garantisca la condizione ideale dell'uguaglianza dei rapporti:
    ${\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{4}}{R_{2}}}$
* le resistenze interne ai generatori reali in ingresso, se non sono uguali tra loro, convertono una parte del segnale di modo comune (${V_{S}}_{1}={V_{S}}_{2}=V_{S}\Rightarrow V_{D}=0$) in segnale differenziale ($V_{1}\neq V_{2}\Rightarrow V_{D}\neq 0$), che viene così incorrettamente amplificato:
    ${\begin{cases}V_{1}=V_{S}{\frac {{R_{i}}_{1}}{{R_{i}}_{1}+{R_{g}}_{1}}}\\V_{2}=V_{S}{\frac {{R_{i}}_{2}}{{R_{i}}_{2}+{R_{g}}_{2}}}\end{cases}}\Rightarrow V_{D}=V_{1}-V_{2}=V_{S}\left({\frac {{R_{i}}_{1}}{{R_{i}}_{1}+{R_{g}}_{1}}}-{\frac {{R_{i}}_{2}}{{R_{i}}_{2}+{R_{g}}_{2}}}\right)=0\Leftrightarrow {\begin{cases}{R_{g}}_{1}={R_{g}}_{2}\\{R_{i}}_{1}={R_{i}}_{2}\Rightarrow R_{1}=R_{2}+R_{4}\end{cases}}$

## Note

* ↑ Il segnale di uscita si ottiene sommando le uscite parziali che si ottengono applicando uno solo dei generatori quando tutti gli altri sono spenti.