# Equazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali

Equazioni differenziali alle derivate parziali
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Introduzione
* Scopo del corsoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso
* L'equazione dei fluidi perfettiEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti
L'equazione delle onde
* Modello di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert
* Considerazioni sull'energia cineticaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica
* Modello di LagrangeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange
L'equazione di Fourier e l'equazione del calore
* L'equazione di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier
* L'equazione del caloreEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore
* Considerazioni sull'inversione temporaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale
* Il moto brownianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano
Soluzioni e proprietà nel caso monodimensionale
* Il teorema di D'AlembertEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert
* L'equazione delle onde sulla rettaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta
* Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di DirichletEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet
* L'energia per la corda vibranteEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante
* L'equazione del calore con condizioni al bordo di NeumannEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann
* L'equazione del calore con condizioni al bordo periodicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche
Problemi agli autovalori
* L'operatore derivata secondaEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda
* Sviluppi di Fourier e identità di ParsevalEquazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval
Il problema di Sturm-Liouville
* Proprietà dell'operatore di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville
* Le soluzioni del problema di Sturm-LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville
* Richiami sulla teoria operatorialeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale
* Operatore di Hilbert-SchmidtEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt
* ConclusioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni
* Alcuni casi particolariEquazioni differenziali alle derivate parziali/Alcuni casi particolari
L'equazione di Laplace
* Formule di GreenEquazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green
* Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche
Le funzioni armoniche
* Proprietà generali delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche
* Proprietà della mediaEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della media
* Principio del massimoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo
* Regolarità delle funzioni armonicheEquazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche
* Teorema di LiouvilleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville
L'equazione di Poisson
* Le soluzioni dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Poisson
* Soluzioni limitate dell'equazione di PoissonEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson
Formula di rappresentazione
* La formula di rappresentazioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione
* Il metodo delle cariche immagine nel semipianoEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano
* Il metodo delle cariche immagine in più dimensioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni
* Cariche immagine per la sfera: la riflessione di KelvinEquazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin
Principio di Dirichlet
Gli autovalori del laplaciano
* Proprietà generaliEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali
* Il quoziente di RayleighEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh
L'equazione delle onde sul disco
* L'equazione delle onde sul discoEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco
* Dipendenza dai dati inizialiEquazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali
La trasformata di Fourier
* La trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier
* Definizione della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier
* Proprietà della trasformata di FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier
* L'equazione del calore con FourierEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier
* L'equazione delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde
* Considerazioni sull'energia delle ondeEquazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
Teoria delle distribuzioni
* IntroduzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione
* Caratterizzazione delle distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni
* La delta di DiracEquazioni differenziali alle derivate parziali/La delta di Dirac
* Il valor principaleEquazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale
* Operazioni con le distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni
* Soluzioni fondamentali e distribuzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni
* Trasformata di Fourier di una distribuzioneEquazioni differenziali alle derivate parziali/Trasformata di Fourier di una distribuzione
* ConvoluzioniEquazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
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Sino ad ora ci siamo occupati prevalentemente dello studio di problemi al bordo, ad esempio:
${\begin{cases}u_{tt}-\Delta u=0,\left({\text{oppure }}u_{t}-\Delta u=0\right)\\u\mid _{\partial \Omega }=0\end{cases}}$
Avevamo inoltre notato che i problemi al bordo studiati potevano in qualche modo essere ricondotti a equazioni agli autovalori, per l'operatore di derivata seconda ${\mathcal {L}}=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$. Ora ci si vuole occupare dello studio dei problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano. Più precisamente vorremmo capire quali sono, e come si trovano, i numeri $\lambda$ tali che:
${\begin{cases}-\Delta u=\lambda u,\,\in \Omega \\B.C.\end{cases}}$
Con condizioni al bordo di Dirichlet, di Neumann oppure di Robin.
Innanzitutto si osserva che i problemi al bordo si possono ricondurre a problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano quando si lavora su spazi limitati. Infatti, detta $u(x,t)=e^{i\lambda t}v(x)$ la soluzione (o presunta tale) dell'equazione $u_{tt}-\Delta u=0$, si ricava:
$\Delta v(x)=-\lambda ^{2}v(x)$
che è esattamente un'equazione agli autovalori per l'operatore laplaciano. Un discorso simile vale anche per l'equazione di Schroedinger:
$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \psi +V(x)\psi ,\;\psi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {C} ,\;V:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$
Posto $\psi (x,t)=e^{-iEt}\phi (x)$ si ottiene:
$\left(-{\frac {1}{2}}\nabla +V\right)\phi =E\phi$
Detto ${\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}V+H$, si ottiene l'equazione agli autovalori per l'operatore hamiltoniana:
${\hat {H}}\psi =E\psi$
Con condizione al bordo sostituita dalla richiesta che $\psi \in {\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})$.
Tornando al problema di partenza, ovvero alla determinazione degli autovalori del laplaciano, possiamo osservare che:
* l'operatore laplaciano è un operatore lineare quando definito su ${\mathcal {D}}(\Delta _{D,N,R})$;
* l'operatore laplaciano è un operatore simmetrico su ${\mathcal {L}}^{2}(\Omega )$.
Da queste due proprietà seguono due teoremi, in realtà estensione di proprietà già viste nel caso finito dimensionale.

## Teorema (1)

Per l'operatore laplaciano valgono le seguenti proprietà:
* gli autovalori di $\Delta _{D,N,R}$ sono reali;
* le autofunzioni possono essere prese reali;
* ad autovalori distinti corrispondono autofunzioni ortogonali;
* gli autovettori possono costituire un sistema ortonormale completo.
Una caratterizzazione più precisa degli autovalori è data dal seguente teorema:

## Teorema (2)

* gli autovalori di $\Delta _{D}$ sono positivi;
* gli autovalori di $\Delta _{N}$ sono non negativi, e $\lambda =0$ è autovalore;
* gli autovalori di $\Delta _{R}$ sono non negativi se $\alpha (x)\geq 0$
Pertanto risulta ora chiaro che ciascuno dei problemi visti sino ad ora può essere ricondotto a un problema agli autovalori per l'operatore laplaciano. Vogliamo capire, e sarà oggetto di studio del prossimo modulo, come trovare questi autovalori e se essi possano costituire un sistema ortonormale o meno.