# Meccanica analitica/Dinamica relativistica

Meccanica analitica
Copertina Tutti i moduli · Sviluppo
Meccanica lagrangiana
* Introduzione alla meccanica lagrangianaMeccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
* Vincoli, virtualismi, variabili lagrangianeMeccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
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* La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
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* Punti di equilibrioMeccanica analitica/Punti di equilibrio
* Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabiliMeccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili
Meccanica hamiltoniana
* Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
* Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
* Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
* Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
* Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
* Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
* Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
* Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
* Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
* Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
* Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
* Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
* Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
* La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
* La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
* Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
* Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
* Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
* Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
* Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
* Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
* Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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Dopo aver definito le grandezze fondamentali della cinematica, lo studio si sposta alla dinamica dei corpi in relatività. Procediamo con calma, ragionando su quel che abbiamo finora osservato. Possiamo iniziare col dire che i quadrivettori velocità e accelerazione sono ortogonali secondo Minkowsky, ovvero il loro prodotto scalare di Minkowsky è nullo ${\underline {U}}\cdot {\underline {A}}=0$. Poiché vale $|{\underline {U}}|^{2}=c^{2}$, possiamo anche scrivere:
$0={\frac {d|{\underline {U}}|^{2}}{d\tau }}={\frac {dU\cdot U}{d\tau }}=2\cdot U\cdot {\frac {dU}{d\tau }}=2U\cdot A=0$
Ricordiamo che la derivata di $c^{2}$ è 0 perché è una costante.
Detto questo, e ricordando che $U$ è un vettore di genere tempo, la quadriaccelerazione $A$ risulta essere di genere spazio.

## Quantità di moto e energia a riposo

Definizione
$m_{0}$
Questa definizione è molto ambigua. Che senso ha descrivere la massa propria? Ovvero, la massa non è costante in ogni sistema di riferimento? Questa era l'ipotesi posta da Newton per poter studiare la dinamica degli oggetti, ma, in relatività, cade anche questo assunto: la massa varia in base al sistema di riferimento in cui la si misura. Passiamo alla definizione di quantità di moto relativistica.
Definizione
Si definisce quadrivettore quantità di moto:
${\underline {P}}=m_{0}\cdot {\underline {U}}$
Note le coordinate della quadrivelocità, possiamo esplicitare le coordinate della quantità di moto. Le sue coordinate spaziali valgono:
$P_{\alpha }=m_{0}{\frac {v_{\alpha }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=v_{\alpha }\cdot m$
Dove $m$ è la massa vista da un altro sistema di riferimento, e si chiama massa dinamica o relativa. L'espressione generale è $m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m(v)$ ed è una funzione della velocità del sistema di riferimento in cui la si misura.
La componente temporale della quantità di moto, invece, vale
$P_{0}={\frac {cv_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=c\cdot m$
Definizione
Si definisce energia a riposo e si indica con $E_{0}$:
$E_{0}=cP_{0}={\frac {m_{0}c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}c=mc^{2}$
L'energia a riposo indica che, solo perché esiste una massa, questa ha una sua energia a riposo. Questa energia, come possiamo notare, ha un valore molto alto. È stato sviluppato un modo per poterla sfruttare, ed è la fissione nucleare, che riesce a trasformare questa energia a riposo di atomi radioattivi in energia utilizzabile. Inoltre, l'espressione dell'energia a riposo ci dice anche che la massa è solo un'altra forma di esprimere l'energia.

## Leggi del moto

Passiamo ora a studiare le leggi della dinamica che regolano il moto.
Definizione
Si definisce quadriforza:
${\underline {K}}=m_{0}{\underline {A}}$
Questa, se è nota la definizione operativa di ${\underline {K}}$, è già un'equazione del moto. Tuttavia, la definizione operativa della quadriforza non ci interessa. Ricordando che la teoria della relatività resta ancora una teoria deterministica (a differenza della teoria quantistica), possiamo passare dalla quadriforza alla velocità e alla forza classiche del nostro sistema di riferimento. Infatti:
${\underline {K}}=m_{0}{\underline {A}}=m_{0}{\frac {dU}{d\tau }}=m_{0}{\frac {dU}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=m_{0}{\frac {dU}{dt}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$
Nell'ultima uguaglianza abbiamo sfruttato le trasformazioni di Lorentz per cui $dt={\frac {d\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$. Da questa ricaviamo che:
${\underline {K}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=m_{0}{\frac {dU}{dt}}$
Vediamo ora le componenti spaziali:
$K_{\alpha }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=F_{\alpha }=m_{0}{\frac {dU_{\alpha }}{dt}}=m_{0}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\alpha }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)={\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{0}v_{\alpha }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)$
Formalmente, questa è uguale alla legge di Newton, con la sottile differenza che la massa dipende dalla velocità. Possiamo infine scrivere:
$F_{alpha}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}v_{\alpha }\right)={\frac {d}{dt}}{\bigP_{\alpha }{\big )}$
La componente temporale, invece, posto ${\underline {U}}\cdot {\underline {A}}=0\rightarrow {\underline {U}}\cdot {\underline {K}}=0$, vale:
$U_{0}K_{0}-U_{\alpha }K_{\alpha }=0\quad \Rightarrow \,k_{0}={\frac {U_{\alpha }k_{\alpha }}{U_{0}}}$
Ricordando l'espressione di $U_{0}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$, riprendiamo la generica espressione di ${\underline {K}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=m_{0}{\frac {dU}{dt}}$ e vediamo quanto vale questa per la coordinata temporale:
$K_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=m_{0}{\frac {d}{dt}}{\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,\rightarrow \,cK_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {dE}{dt}}$
Valgono sempre $U_{\alpha }={\frac {v_{\alpha }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ e $U_{0}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$; da queste otteniamo che ${\frac {U_{\alpha }}{U_{0}}}={\frac {v_{\alpha }}{c}}$; il nostro obiettivo è sempre quello di esplicitare $K_{0}={\frac {U_{\alpha }}{U_{0}}}K_{\alpha }$; andiamo a sostituire questo valore nell'espressione trovata qui sopra:
$c{\frac {U_{\alpha }}{U_{0}}}\underbrace {\left(K_{\alpha }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)} _{F_{\alpha }}={\frac {dE}{dt}}\,\Rightarrow \,v_{\alpha }F_{\alpha }={\frac {dE}{dt}}$
Che è il rispettivo del teorema delle forze vive in meccanica classica. Notiamo anche che $v_{\alpha }\cdot F_{\alpha }=v\cdot F$ ovvero il prodotto scalare euclideo. Abbiamo ottenuto due leggi fondamentali, simili alle leggi della meccanica classica:
${\begin{aligned}&F_{\alpha }={\frac {dP_{\alpha }}{dt}}\\&F_{\alpha }v_{\alpha }={\frac {dE}{dt}}\end{aligned}}$
Ricordiamo che queste valgono nella teoria della relatività, dove abbiamo considerato $E=m(v)c^{2}$.
Inoltre, ci sono due regole generali che dominano la dinamica relativistica: come la dinamica classica, valgono sia la conservazione della quantità di moto che la conservazione dell'energia, ovvero:
${\begin{aligned}&\sum _{h=1}^{n}m_{0h}{\underline {U}}_{h}=\sum _{h'=1}^{n}m_{0h'}{\underline {U}}_{h'}\\&\sum _{h=1}^{n}m_{h}c^{2}=\sum _{h'=1}^{n}m_{h'}c^{2}\end{aligned}}$
La conservazione della quantità di moto, ad esempio, permette di rilevare le particelle neutre. La presenza dei neutrini, infatti, è stata ipotizzata proprio per una violazione della conservazione della quantità di moto: prima di affermare che non sia vero, infatti, si è ipotizzato che esistessero piccolissime particelle neutre, i neutrini appunto, che non fossero osservabili da rilevatori magnetici ma che prendessero una piccola parte della quantità di moto al decadere di una particella, così da equilibrare il totale.