# Fascio di circonferenze

In matematica, in particolare geometria euclidea, un fascio di circonferenze è un insieme di infinite circonferenze i cui centri giacciono su una retta (detta retta dei centri o asse centrale), o anche un insieme di infinite circonferenze aventi il medesimo centro. Il fascio è ottenuto utilizzando due circonferenze (dette circonferenze base o generatrici) le cui equazioni, opportunamente parametrizzate, generano l'equazione dell'intero fascio, cioè dalle due generatrici è possibile ottenere le equazioni di tutte le altre circonferenze del fascio.

## Equazione del fascio di circonferenze

L'equazione del fascio di circonferenze si ottiene tramite la combinazione lineare di due equazioni canoniche della circonferenza:
    $\lambda \left(x^{2}+y^{2}+a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right)+\mu \left(x^{2}+y^{2}+a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right)=0$.
Ciascuna circonferenza del fascio è identificata dalla coppia di parametri reali $(\mu ,\lambda )$; le equazioni di partenza si ottengono annullando uno dei due parametri e le circonferenze associate ad esse sono dette circonferenze base (o generatrici) del fascio. La scelta delle generatrici per un dato fascio è comunque arbitraria, e qualunque coppia di circonferenze (distinte) del fascio può essere utilizzata come generatrice. Non è invece possibile annullare entrambi i parametri perché in questo caso l'equazione si trasformerebbe nell'identità $0=0$.
Se a uno dei parametri viene imposta la condizione di non annullarsi, è possibile ricondurre il fascio ad una equazione con un unico parametro; ad esempio, imponendo $\mu \neq 0$ e $k={\frac {\lambda }{\mu }}$ si ha:
    $k\left(x^{2}+y^{2}+a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right)+\left(x^{2}+y^{2}+a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right)=0$.
Il fascio così ottenuto non è però completo perché manca della circonferenza ottenuta con $\mu =0$. Le proprietà descritte possono essere riassunte dicendo che $(\mu ,\lambda )$ è un parametro proiettivo. Utilizzando il linguaggio della geometria proiettiva, quando si scrive l'equazione del fascio dipendente da un solo parametro $k$, l'altra generatrice corrisponde al valore $k=\infty$, cioè corrisponde al punto all'infinito.

## Riduzione dell'equazione e casi particolari

Poiché i coefficienti quadratici della circonferenza valgono 1, è possibile ridurre l'equazione del fascio a una combinazione lineare tra le equazioni di una circonferenza e di una retta (detta anche circonferenza degenere):
    $\lambda _{1}\left(x^{2}+y^{2}+a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right)+\mu _{1}\left(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right)=0$.
Questa riduzione è sempre possibile se non vale la relazione ${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}$; in quest'ultimo caso il fascio è composto di circonferenze concentriche e può essere riscritto come dipendente da un unico parametro:
    $x^{2}+y^{2}+ax+by+k=0$.
La riduzione non è possibile anche nel caso in cui $\lambda +\mu =0$ (o equivalentemente $k=-1$); in questo caso il fascio originario degenera in una retta.

## Asse centrale, asse radicale e punti base

Nel caso di fascio di circonferenze non concentriche, i centri di tutte le circonferenze del fascio giacciono sulla medesima retta chiamata asse centrale.
I punti comuni a tutte le circonferenze del fascio (anche quelle degeneri) sono detti punti base del fascio. Un fascio di circonferenze può avere due, uno o nessun punto base. Le coordinate dei punti base si trovano mettendo a sistema le equazioni delle due circonferenze generatrici (o di due qualunque circonferenze distinte del fascio).
L'asse radicale è la retta la cui equazione si ottiene dalla sottrazione membro a membro delle due equazioni delle circonferenze generatrici (o di qualunque due circonferenze distinte del fascio). L'asse radicale risulta sempre perpendicolare all'asse centrale e passa per i punti base, nel caso essi siano presenti. Nel caso di circonferenze concentriche l'asse radicale non esiste. Esprimendo il fascio come combinazione lineare di una retta e una circonferenza, la retta generatrice risulta essere l'asse radicale del fascio, mentre l'asse centrale è la retta perpendicolare alla retta generatrice e passante per il centro della circonferenza generatrice.

## Classificazione dei fasci di circonferenze

I fasci di circonferenze possono essere classificati usando i centri e i punti base. Ci sono quattro tipologie di fascio:
* Circonferenze concentriche: tutte le circonferenze del fascio hanno lo stesso centro, non esistono asse radicale né punti base.
* Circonferenze esterne: tutte le circonferenze del fascio hanno centri distinti ma giacenti sulla stessa retta (asse centrale), non esistono punti base.
* Circonferenze tangenti: tutte le circonferenze del fascio hanno centri distinti ma giacenti sulla stessa retta (asse centrale) e sono tangenti tra loro (internamente o esternamente) nello stesso punto (unico punto base del fascio) e alla stessa retta (asse radicale).
* Circonferenze secanti: tutte le circonferenze del fascio hanno centri distinti ma giacenti sulla stessa retta (asse centrale) e sono secanti in due punti comuni (i due punti base del fascio), l'asse radicale è la retta secante, cioè quella passante per tali due punti.
Per classificare un fascio è sufficiente quindi studiare la posizione reciproca di due qualunque circonferenze distinte del fascio, ad esempio la posizione reciproca delle generatrici.