# Classi caratteristiche

Le classi caratteristiche sono degli invarianti topologici di fibrati.

## Classi caratteristiche di fibrati vettoriali

Sia $X$ una varietà. Si fissi un campo $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ e un numero naturale $n\in \mathbb {N}$.
È possibile dimostrare che esiste uno spazio topologico, detto classificante, il cui tipo di omotopia è denotato come $BGL(n,\mathbb {K} )$, tale che le classi di isomorfismo di fibrati vettoriali sul campo $\mathbb {K}$ , di rango $n$ e base $X$, sono in bijezione con le classi di omotopia di mappe $X\to BGL(n,\mathbb {K} )$. Più concisamente, denotando con $\mathrm {Vect} (X,n,\mathbb {K} )$ le classi di isomorfismo di detti fibrati vettoriali, esiste una bijezione
    $\Phi :\mathrm {Vect} (X,n,\mathbb {K} )\to [X,BGL(n,\mathbb {K} )].$
Segue, usando $\Phi$, che è possibile pensare ai suddetti fibrati vettoriali (a meno di isomorfismo) come a mappe $X\to BGL(n,\mathbb {K} )$.
Adesso per ogni classe di coomologia $\omega \in H^{k}(BGL(n,\mathbb {K} );R)$ dove $\ k\in \mathbb {N}$ ed $R$ è un anello abeliano, possiamo costruire un invariante di fibrati vettoriali come sopra.
L'invariante associa ad un fibrato $f:X\to BGL(n,\mathbb {K} )$ la classe di coomologia $f^{*}\omega \in H^{k}(X;R)$ (il pull-back di $\omega$). Dato che tale classe dipende solo dal tipo di omotopia della funzione $f$, abbiamo invero ottenuto un invariante del tipo di isomorfismo del fibrato vettoriale associato.
Le classi di coomologia del tipo $f^{*}\omega \in H^{k}(X;R)$ sono dette classi caratteristiche del fibrato.

## Esempi

Nel caso di fibrati in rette complessi, si ha che $H^{*}(BGL(1,\mathbb {C} );\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} [c_{1}]$, ovvero la coomologia dello spazio classificante è isomorfa all'anello dei polinomi in una variabile $c_{1}$ di grado $2$. La classe caratteristica dei fibrati in rette associata a $c_{1}$ è detta prima classe di Chern del fibrato. Un fibrato in rette $E\to X$ è banale se e solo se la prima classe di Chern $c_{1}(E)\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )$ è nulla.
Se $E\to X$ è un fibrato in rette (complesso) su una varietà liscia, orientata. È possibile calcolare $c_{1}(E)\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )$, nel seguente modo. Sia $\sigma :X\to E$ una sezione generica. L'intersezione $S=\sigma (X)\cap X$, dove stiamo identificando $X$ con la zero sezione di $E$, è una sottovarietà orientabile di codimensione due in $X$. Il duale di Poicarè di $S$ è proprio $c_{1}(E)$ (per una opportuna scelta di orientazione di $S$).
Più in generale $H^{*}(BGL(n,\mathbb {C} );\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} [c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}]$ dove $c_{k}$ ha grado $2k$. La classe caratteristica associata a $c_{k}$ è detta $k$-esima classe di Chern del fibrato. Tali classi rappresentano un'ostruzione a banalizzare il fibrato.

## Teoria di Chern-Weyl

Nel caso in cui $E\to X$ sia un fibrato vettoriale su una varietà liscia, è possibile trovare dei rappresentanti delle classi caratteristiche (a coefficienti reali) nella coomologia di de Rham. Tale costruzione, oggetto della cosiddetta teoria di Chern-Weyl, costruisce una forma differenziale chiusa su $X$ a partire dalla curvatura di una connessione (qualunque) sul fibrato tramite speciali polinomi.

## Generalizzazioni

È possibile generalizzare il discorso ai fibrati principali di gruppo $G$. In questo caso lo spazio classificante si denota con $BG$ e le classi caratteristiche sono ottenute considerando il pull-back di elementi di $H^{*}(BG;R)$.
Un'altra possible generalizzazione riguarda la base dei fibrati in questione. Per semplicità ci siamo limitati a supporre che $X$ sia una varietà. Tuttavia è possibile ampliare il discorso a spazi topologici più generali, estendendo in maniera opportuna la definizione di fibrato vettoriale.