# Integrale di Riemann

In analisi matematica, l'integrale di Riemann è un operatore integrale tra i più utilizzati in matematica. Formulato da Bernhard Riemann, si tratta della prima definizione rigorosa di integrale di una funzione su un intervallo a essere stata formulata.

## Definizione

Si consideri una funzione continua $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione ${\mathcal {P}}=\{x_{0},\ x_{1},\ \dots ,\ x_{n-1},\ x_{n}|x_{0}=a<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b\}$ in $n$ intervalli $[x_{i},x_{i+1}]\subset [a,b]$. Si definisce il calibro di una partizione ${\mathcal {P}}$ il massimo tra le ampiezze di tutti gli intervalli della partizione scelta, cioè
    $c_{\mathcal {P}}:=\max _{i=0,\ldots ,n-1}\{x_{i+1}-x_{i}\}.$
Per ogni intervallo $[x_{i},x_{i+1}]$ si scelga arbitrariamente un elemento $t_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]$ e si definisca la somma di Riemann come:
    $\sigma _{n}=\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$
Alcune scelte comuni sono
* $t_{i}=x_{i},$ in tal caso si ha una somma sinistra di Riemann;
* $t_{i}=x_{i+1},$ in tal caso si ha una somma destra di Riemann;
* $t_{i}={\frac {x_{i+1}+x_{i}}{2}},$ in tal caso si ha una somma media di Riemann.
La funzione $f$ è integrabile secondo Riemann o Riemann-integrabile in $[a,b]$ se esiste finito il limite (che si dimostra non dipendere dalla scelta dei $t_{i}$):
    $\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sigma _{n}=:\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.$

## Integrale multiplo di Riemann

Sia $N\subset \mathbb {R} ^{n}$ un dominio normale, $f\colon N\to \mathbb {R} ^{n}$ limitata e $\mu$ una misura. Sia ${\mathcal {P}}=\{N_{1},\ \dots ,\ N_{k}\}$ una partizione di $N$ in domini normali.
Si definisce la somma di Riemann-Darboux come:
    $\sigma _{k}=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,{\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.$
In generale la funzione $f$ è integrabile in $N$ se esiste finito il limite:
    $\lim _{\mu (N_{i})\to 0}\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,{\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}=\int _{N}\!f(x)\,\mathrm {d} x_{1}\dots \mathrm {d} x_{n}.$

## Proprietà
### Riemman-integrabilità e Darboux-integrabilità

In generale una funzione è Riemann-integrabile se e solo se è Darboux-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.

### Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e siano $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. Allora:
    $\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

### Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,b]$ e sia $c\in [a,b]$. Allora:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.$

### Monotonia

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e $f(x)\leq g(x)$. Allora:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)dx.$

### Valore assoluto

Sia $f$ integrabile in un intervallo $[a,b]$, allora si ha:
    $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx.$

### Integrabilità in un sotto intervallo

Sia $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ integrabile e $\alpha ,\beta \in \mathbb {R} :[\alpha ,\beta ]\subset [a.b]$ Allora $f$ è integrabile in $[\alpha ,\beta ]$

### Spezzamento

Se $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ è integrabile e $c\in ]a,b[$ allora si ha:
$\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx$
Questa proprietà viene talvolta chiamata "Proprietà di additività dell'integrale rispetto all'unione di intervalli disgiunti"

### Osservazione

Le proprietà sono state enunciate nella casistica in qui $a<b$ non tutte le proprietà enunciate valgono nel caso in cui gli estremi vengono scambiati ovvero nel caso $b<a$ in questa situazione molte delle proprietà enunciate necessitano un riadattamento

## Integrale di Stieltjes

Una possibile generalizzazione dell'integrale di Riemann è data dall'integrale di Riemann-Stieltjes, che rende possibile estendere la nozione di integrale utilizzando come variabile di integrazione sotto il segno di differenziale una funzione (detta integratrice):
    $\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g.$
Se la funzione $g$ è differenziabile, vale la formula $\mathrm {d} g(x)=g^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x$, e l'integrale di Riemann-Stieltjes coincide con quello di Riemann di $fg^{\prime }$, cioè:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x.$
L'integrale di Riemann-Stieltjes è tuttavia definito anche nel caso di funzioni integratrici più generiche, che non possiedono derivata, o che sono discontinue.
L'integrale di Riemann-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann in maniera diversa da quello di Lebesgue, e gli insiemi delle funzioni integrabili tramite i due metodi non sono sovrapponibili. È possibile tuttavia ottenere una generalizzazione di entrambi i metodi tramite l'integrale di Lebesgue-Stieltjes.