# Costruzione di Poinsot

La costruzione di Poinsot, dal nome del matematico e fisico francese Louis Poinsot, è un metodo geometrico per descrivere la dinamica rotazionale di un corpo rigido in assenza di momenti esterni. Tale costruzione evidenzia l'analogia tra la rotazione fisica del corpo in esame e quella di un ellissoide che rotola senza strisciare su una superficie tangente.

## L'ellissoide di Poinsot

L'ellissoide d'inerzia di un corpo rigido può essere scritto attraverso la forma quadratica
    $\mathbf {x} {\bar {I}}\mathbf {x}$
dove ${\bar {I}}$ è il tensore d'inerzia del corpo.
Si consideri ora un piano $\pi$ tangente all'ellissoide.
L'energia cinetica rotazionale, anch'essa conservata, può essere invece scritta nella seguente maniera:
    $2E=\mathbf {\Omega } I\mathbf {\Omega }$
dove $\mathbf {\Omega }$ è la velocità angolare di rotazione del corpo.
Confrontando le due espressioni, si ottiene
    $\mathbf {x} ={\frac {\Omega }{\sqrt {2E}}}$
Inoltre, $\pi$ è ortogonale al vettore momento angolare del corpo. Infatti
    $\nabla (\mathbf {x} I\mathbf {x} )=2I\mathbf {x} ={\frac {2\mathbf {{\bar {I}}\mathbf {\Omega } } }{\sqrt {2E}}}={\frac {{\sqrt {2}}\mathbf {L} }{\sqrt {E}}}$
dove si è fatto uso della ben nota relazione $\mathbf {L} ={\bar {I}}\mathbf {\Omega }$.
Dunque, essendo il gradiente dell'ellissoide normale al piano tangente nel punto $\mathbf {x}$ e parallelo al momento angolare, segue che $\mathbf {L}$ è ortogonale a $\pi$.
Ora, la distanza $h$ del centro di massa dal piano tangente è uguale alla proiezione della distanza tra il centro e il punto di tangenza lungo il vettore momento angolare ed è quindi data dal prodotto scalare
    $h=\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {L}} ={\frac {\mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {L} }{L{\sqrt {2E}}}}={\frac {2\mathbf {L} }{\sqrt {2E}}}$
In virtù della conservazione dell'energia e del momento angolare, tale quantità rimane costante durante il moto, quando il piano $\pi$ è fisso.
Infine, il punto di tangenza si trova sull'asse di rotazione, quindi ha velocità nulla. Pertanto l'ellissoide rotola senza strisciare.
Le curve descritte dal punto di tangenza sull'ellissoide e sul piano possono essere utilizzate per parametrizzare la dinamica del corpo rigido. In particolare, il moto può essere descritto da due coordinate curvilinee associate a tali traiettorie.
Il moto è periodico se l'angolo descritto dal punto di tangenza sul piano nel tempo necessario a compiere un intero giro dell'ellissoide è commensurabile con $2\pi$

## Costruzione dell'ellissoide

Consideriamo un punto $O$ qualsiasi all'interno di un corpo rigido e assumiamo un sistema di riferimento con tre assi ($x,y,z$) in $O$, solidali al corpo.
Il versore $\mathbf {\hat {u}}$ dell'asse di rotazione si ottiene
    $\mathbf {\hat {u}} =\alpha \mathbf {\hat {i}} +\beta \mathbf {\hat {j}} +\gamma \mathbf {\hat {k}}$
dove $\alpha ,\beta ,\gamma$ sono i coseni direttori dell'asse.
Prendiamo un punto $\mathbf {P_{i}}$ del corpo distante $|\mathbf {r_{i}} |$ da $O$
    $\mathbf {OP_{i}} =\mathbf {r_{i}} =x_{i}\mathbf {\hat {i}} +y_{i}\mathbf {\hat {j}} +z_{i}\mathbf {\hat {k}}$
e consideriamo la sua distanza $R_{i}$ dall'asse di rotazione
    $R_{i}=|\mathbf {\hat {u}} \times \mathbf {r_{i}} |=(\beta z_{i}-\gamma y_{i})\mathbf {\hat {i}} +(\gamma x_{i}-\alpha z_{i})\mathbf {\hat {j}} +(\alpha y_{i}-\beta x_{i})\mathbf {\hat {k}}$
Allora il momento di inerzia $I$ del corpo rispetto all'asse di rotazione sarà
    $I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{R_{i}}^{2}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {\hat {u}} \times \mathbf {r_{i}} )^{2}$
    $I=I_{x}\alpha ^{2}+I_{y}\beta ^{2}+I_{z}\gamma ^{2}-2I_{xy}\alpha \beta -2I_{yz}\beta \gamma -2I_{zx}\gamma \alpha$
dove
| $I_{x}=\sum _{n=1}^{n}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})$ | ; | $I_{y}=\sum _{n=1}^{n}m_{i}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})$ | ; | $I_{z}=\sum _{n=1}^{n}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})$ |
sono, rispettivamente, i momenti di inerzia rispetto all'asse $x$ , $y$ e $z$; mentre
| $I_{xy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}y_{i}$ | ; | $I_{yz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}z_{i}$ | ; | $I_{zx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}x_{i}$ |
vengono detti prodotti di inerzia.
Adesso consideriamo la distanza $d={\frac {1}{\sqrt {I}}}$ sull'asse di rotazione, le coordinate saranno date da
| $x={\frac {\alpha }{\sqrt {I}}}$ | ; | $y={\frac {\beta }{\sqrt {I}}}$ | ; | $z={\frac {\gamma }{\sqrt {I}}}$ |
Andando a sostituire le coordinate nel momento di inerzia otteniamo come risultato finale
    $I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}-2I_{xy}xy-2I_{yz}yz-2I_{zx}zx=1$
che corrisponde a un ellissoide nello spazio, con centro nel punto $O$.
Grazie a questo ellissoide è possibile calcolare il momento di inerzia di un qualsiasi asse di rotazione rispetto a un punto $O$ del corpo, indipendentemente dalla forma o dalla distribuzione della massa. Prendendo la retta di un asse di rotazione passante per $O$ e calcolando la distanza da $O$ all'intersezione con la conica otteniamo ${\frac {1}{\sqrt {\bar {I}}}}$, dove ${\bar {I}}$ sarà proprio il momento di inerzia per quell'asse.