# Integrale di Darboux

In analisi matematica, l'integrale di Darboux è una delle possibili definizioni di integrale di una funzione.
La definizione di integrale data da Gaston Darboux è del tutto equivalente a quella data da Bernhard Riemann, tuttavia gli integrali definiti con il metodo di Darboux hanno il vantaggio di essere più semplici da definire rispetto a quelli di Riemann, in virtù dell'approccio più costruttivo della loro definizione.

## Definizione

Si consideri una funzione continua $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione ${\mathcal {P}}=\{x_{0},\ x_{1},\ \dots ,\ x_{n-1},\ x_{n}|x_{0}=a<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b\}$ in $n$ intervalli $[x_{k-1},x_{k}]\subset [a,b]$.
Per ogni intervallo della partizione si definiscono le due quantità:
    $\lambda _{k}:=\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f(x);\qquad \Lambda _{k}:=\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f(x).$
Questi due valori sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore delle ordinate dei punti del grafico della funzione $f(x)$ limitatamente all'intervallo $[x_{k-1},x_{k}]$. Tali valori esistono per il fatto che la funzione è limitata su tutto l'intervallo.
Si definisce somma inferiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione ${\mathcal {P}}$, il numero reale:
    $s({\mathcal {P}},f):=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}(x_{k}-x_{k-1}).$
Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione ${\mathcal {P}}$, il numero reale:
    $S({\mathcal {P}},f):=\sum _{k=1}^{n}\Lambda _{k}(x_{k}-x_{k-1}).$
Esiste un lemma che afferma che, data:
    $m\leq f(x)\leq M,\qquad \forall x\in [a,b],$
allora per ogni coppia di partizioni ${\mathcal {P}},\,{\mathcal {Q}}$ di $[a,b]$ si ha:
    $m(b-a)\leq s({\mathcal {P}})\leq S({\mathcal {Q}})\leq M(b-a).$
Al variare di ogni partizione ${\mathcal {P}}$ di $[a,b],$ siano:
    $\delta =\{s({\mathcal {P}})\}_{\mathcal {P}};\qquad \Delta =\{S({\mathcal {P}})\}_{\mathcal {P}}.$
Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi $\delta$ e $\Delta$ sono separati, cioè:
    $s\leq S,\qquad \forall s\in \delta ,\,\forall S\in \Delta .$
L'assioma di Dedekind sulla completezza di $\mathbb {R}$ afferma allora che esiste almeno un numero reale $\xi \in \mathbb {R}$ tale che:
    $s\leq \xi \leq S,\qquad \forall s\in \delta ,\,\forall S\in \Delta .$
Se vi è un unico elemento di separazione $\xi$ tra $s$ e $S,$ allora si dice che $f(x)$ è integrabile in secondo Darboux o Darboux-integrabile $[a,b]$ e l'elemento $\xi$ si indica con:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

## Integrale multiplo di Darboux

Sia $N\subset \mathbb {R} ^{n}$ un dominio normale, $f\colon N\to \mathbb {R} ^{n}$ limitata e $\mu$ una misura. Sia ${\mathcal {P}}=\{N_{1},\ \dots ,\ N_{k}\}$ una partizione di $N$ in domini normali.
Si definisce somma inferiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione ${\mathcal {P}}$, il numero reale:
    $s({\mathcal {P}},f):=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,\inf {\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.$
Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione ${\mathcal {P}}$, il numero reale:
    $S({\mathcal {P}},f):=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,\sup {\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.$
In virtù di un lemma che riguarda i domani normali e le loro partizioni, si può concludere che:
    $\sup {\underset {\mathcal {P}}{(s({\mathcal {P}},f))}}\leq \inf {\underset {\mathcal {P}}{(S({\mathcal {P}},f))}}.$
Pertanto $f$ si dice Darboux-integrabile in $N$ se $\sup {\underset {\mathcal {P}}{(s({\mathcal {P}},f))}}=\inf {\underset {\mathcal {P}}{(S({\mathcal {P}},f))}}=\xi$ e in tal caso si pone che:
    $\int _{N}f(x)\,dx_{1}\dots dx_{n}:=\xi .$

## Proprietà degli integrali
### Darboux-integrabilità e Riemann-integrabilità

In generale una funzione è Darboux-integrabile se e solo se è Riemann-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.

### Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e siano $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. Allora:
    $\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx$

### Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,b]$ e sia $c\in [a,b]$. Allora:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$

### Monotonia

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e $f(x)\geq g(x)$. Allora:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq \int _{a}^{b}g(x)dx$

### Teorema del confronto

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e tali che $f(x)\leq g(x)$ in $[a,b]$. Allora:
    $\int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$

### Valore assoluto

Sia $f$ integrabile in un intervallo $[a,b]$, allora si ha:
    $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx$

### Integrabilità in un sotto intervallo

Sia $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ integrabile e $\alpha ,\beta \in \mathbb {R} :[\alpha ,\beta ]\subset [a.b]$ Allora $f$ è integrabile in $[\alpha ,\beta ]$

### Spezzamento

Se $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ è integrabile e $c\in ]a,b[$ allora si ha:
$\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx$
Questa proprietà viene talvolta chiamata "Proprietà di additività dell'integrale rispetto all'unione di intervalli disgiunti"

### Osservazione

Le proprietà sono state enunciate nella casistica in qui $a<b$ non tutte le proprietà enunciate valgono nel caso in cui gli estremi vengono scambiati ovvero nel caso $b<a$ in questa situazione molte delle proprietà enunciate necessitano un riadattamento

### Teorema della media integrale

Se $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ è continua allora esiste $c\in [a,b]$ tale che:
    ${{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)$
Limitandosi ad integrali su intervalli di $\mathbb {R}$, sia dato un intervallo $[a,b]$, con $a\leq b\in \mathbb {R}$.
Scrivendo $\Delta x_{i}=x_{1}-x_{i}-1$, se $f$ è una funzione reale limitata definita su $[a,b]$ e ${\mathcal {P}}$ una partizione di $[a,b]$ si pone:
    ${\begin{aligned}&M_{i}=\sup _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x),&m_{i}=\inf _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x);\\&U({\mathcal {P}},f)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i},&L({\mathcal {P}},f)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i};\\&{\overline {\int _{a}^{b}}}fdx=\inf U({\mathcal {P}},f),&{\underline {\int _{a}^{b}}}fdx=\sup L({\mathcal {P}},f)\end{aligned}}$
dove $\inf ,\sup$ sono calcolati al variare di tutte le partizioni di $[a,b]$ , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore. Se i due integrali sono uguali, $f$ si dice Riemann-integrabile ($f\in {\mathcal {R}}([a,b])$), e si definisce l'integrale di Riemann di $f$ su $[a,b]$ il valore comune dei due integrali:
    $\int _{a}^{b}fdx={\overline {\int _{a}^{b}}}f,dx={\underline {\int _{a}^{b}}}fdx$
Dato che ogni funzione limitata esistono $m,M\in \mathbb {R}$ tali che $m\leq f(x)\leq M$ per ogni $x\in [a,b]$ si ha:
    $m(b-a)\leq L({\mathcal {P}},f)\leq U({\mathcal {P}},f)\leq M(b-a)$
gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.
Si mostra che $f\in {\mathcal {R}}([a,b])$ se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste una partizione ${\mathcal {P}}$ tale che $U({\mathcal {P}},f)-L({\mathcal {P}},f)<\varepsilon$. Se tale condizione è verificata, allora:
    $\left|\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}fdx\right|<\varepsilon$