# Duration

La duration di un singolo titolo, o di un portafoglio di titoli, indica la media delle scadenze dei flussi del titolo (o del portafoglio) ponderata per i flussi scontati.
È applicabile esclusivamente ad una obbligazione di cui sia noto il refixing.
Normalmente una duration maggiore si accompagna ad un rischio finanziario maggiore del titolo; ciò significa che ad un movimento dei tassi si accompagna un movimento del prezzo del titolo tanto più pronunciato quanto più alta è la duration del titolo stesso.

## Definizione formale

Sia $P(0)$ il valore al tempo $0$ di un portafoglio, con flussi finanziari $\{c_{t}\}_{t=\tau }^{T},\tau \geq 0$, dove l'indice $T$ denota la scadenza; la sua duration, nel caso che la struttura sia piatta al tasso $r$, è definita come:
    $D={\frac {1}{P(0)}}\sum _{t=\tau }^{T}t{\frac {c_{t}}{(1+r)^{t}}}$
dove $\ r$ è il tasso d'interesse utilizzato per scontare i flussi finanziari (in caso in cui la struttura non sia piatta, occorre sostituire a $r$ lo yield to maturity del portafoglio). Poiché:
    $\ P(0)=\sum _{t=\tau }^{T}{\frac {c_{t}}{(1+r)^{t}}}$
la duration può essere interpretata come una media delle scadenze dei flussi finanziari del portafoglio, ponderata per il valore attuale delle somme corrisposte.

## Duration come indice di sensibilità a variazioni dei tassi

La duration, detta anche Macaulay duration, è nella prassi utilizzata come misura di sensibilità del valore di un portafoglio titoli rispetto a variazioni dei tassi d'interesse. Tale uso della duration può essere giustificato come segue; si consideri la derivata parziale di $P(0)$ rispetto al tasso d'interesse $r$:
    ${\frac {\partial P}{\partial r}}=-\sum _{t}t{\frac {c_{t}}{(1+r)^{t+1}}}=-{\frac {P}{1+r}}D$
L'espressione $D^{*}={\frac {1}{1+r}}D$ è spesso chiamata duration "modificata". Prendendo per buona un'approssimazione del primo ordine e passando dalle differenze infinitesimali a quelle discrete, si ha:
    $\Delta P=-D^{*}P\Delta r$
Dunque la variazione nel valore del portafoglio $\Delta P$ in risposta a una variazione $\Delta r$ è (approssimativamente) proporzionale a −D$^∗$P{\textstyle -D^{*}P}. Questo risultato è alla base del teorema di immunizzazione di Fisher e Weil.

## Duration modificata

La duration modificata permette il calcolo della durata media finanziaria (duration), non in funzione di un solo tasso, ma di un'intera curva.
A differenza della duration "semplice", il risultato ottenuto non è un valore assoluto in anni, ma un valore che permette di conoscere quanto varia il prezzo del titolo (o portafoglio) in esame, al variare del suo rendimento interno.
Partendo dalla formula della duration:
    $D={\frac {1}{P(0)}}\sum _{t=\tau }^{T}t{\frac {c_{t}}{(1+r)^{t}}}$
Otteniamo la duration modificata (DM):
    $DM={\frac {D}{(1+r)}}$
dove r è il tasso interno di rendimento del titolo, ovvero il tasso di rendimento effettivo a scadenza (TRES).

## Casi particolari

I titoli zero coupon hanno duration pari alla loro vita residua.
Il rendimento a scadenza (o yield to maturity) dei titoli a cedola variabile non è calcolabile in quanto non sono conosciuti i flussi di cassa generati nel futuro dalle cedole di questi titoli. La loro duration sarà invece molto bassa (vicina a 0) ed è calcolata sull'ipotesi che ogni indicizzazione corrisponda ad un reinvestimento di tutto il capitale al "nuovo tasso variabile" e quindi il rischio (duration) esiste di fatto solo per il tempo intercorso tra una indicizzazione e l'altra (solitamente tale intervallo è approssimativamente pari alla periodicità del pagamento delle cedole).