# Topologia iniziale

In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia iniziale su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni definite sull'insieme, anche detta topologia debole, topologia limite o topologia proiettiva, è la topologia meno fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.
Negli spazi vettoriali topologici, come gli spazi normati, solitamente la topologia iniziale è detta "topologia debole", e si tratta della topologia iniziale rispetto ai funzionali dello spazio duale.
La topologia di sottospazio e la topologia prodotto sono casi speciali di topologie iniziali. La struttura duale alla topologia iniziale è detta topologia finale.

## Definizione

Sia dato un insieme $X$ ed una famiglia $(Y_{i})_{i\in I}$ di spazi topologici. Si consideri una famiglia di funzioni $f_{i}:X\to Y_{i}$ che ha per dominio l'insieme $X$. Si definisce topologia iniziale $\tau$ su $X$ rispetto alla famiglia di funzioni la topologia meno fine tale per cui le funzioni $f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}$ sono continue.
La topologia iniziale può essere vista come la topologia generata dagli insiemi della forma $f_{i}^{-1}(U)$, dove $U$ è un insieme aperto di $Y_{i}$.

## Proprietà

La topologia iniziale su $X$ può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione $g:Z\to X$ è continua se e solo se $f_{i}\circ g$ è continua per ogni $i\in I$.
Per la proprietà della topologia prodotto ogni famiglia di funzioni continue $f_{i}:X\to Y_{i}$ definisce un'unica mappa:
    $f\colon X\to \prod _{i}Y_{i}\,$
detta in inglese evaluation map. Si dice che una famiglia di funzioni $\{f_{i}:X\to Y_{i}\}$ separa i punti in $X$ se per ogni $x\neq y\in X$ esiste un indice i tale che $f_{i}(x)\neq f_{i}(y)$. Questo avviene se e solo se $f$ è iniettiva. La funzione $f$ è un'immersione topologica se e solo se $X$ ha la topologia iniziale definita dalle funzioni $\{f_{i}\}$, e tale famiglia di mappe separa i punti in $X$.
Se in uno spazio $X$ è definita una topologia è spesso utile sapere se si tratta della topologia iniziale indotta da qualche famiglia di funzioni su $X$. Una famiglia di funzioni $\{f_{i}:X\to Y_{i}\}$ separa i punti dai chiusi in $X$ se per ogni insieme chiuso $A\subset X$ e per ogni $x$ che non appartiene ad $A$ esiste un indice i tale per cui:
    $f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))$
dove $\operatorname {cl}$ è l'operatore di chiusura.
In particolare, si dimostra che una famiglia di mappe continue $\{f_{i}:X\to Y_{i}\}$ separa i punti dai chiusi se e solo se gli insiemi $f_{i}^{-1}(U)$, con $U\subset Y_{i}$ aperto, formano una base per la topologia su $X$. Segue che se $\{f_{i}\}$ separano i punti dai chiusi allora lo spazio $X$ ha la topologia iniziale indotta da tali funzioni. La relazione inversa non è valida, poiché in generale gli insiemi $f_{i}^{-1}(U)$ formano una sottobase per la topologia iniziale.
Se $X$ è uno spazio T0 allora ogni collezione di mappe $\{f_{i}\}$ che separa i punti dai chiusi in $X$ deve anche separare i punti. In tal caso, l'evaluation map è un'immersione.

## Topologia debole in spazi vettoriali topologici

Sia $K$ un campo topologico, ovvero un campo con una topologia tale per cui l'addizione, la divisione e la moltiplicazione sono funzioni continue (nella definizione topologica di continuità). Sia $X$ uno spazio vettoriale topologico su $K$, ovvero uno spazio vettoriale su $K$ con una topologia tale per cui la somma vettoriale e la moltiplicazione per scalare sono continue.
Si possono definire diverse topologie su $X$ utilizzando lo spazio duale continuo $X^{*}$, composto da tutti i funzionali lineari su $X$ (a valori in $K$) continui rispetto alla topologia data. La topologia debole su $X$ è la topologia iniziale rispetto a $X^{*}$. Si tratta della topologia più grezza tale per cui ogni funzionale di X$^*$ è una funzione continua.