# Teorema di Green

In matematica il teorema di Green, il cui nome è dovuto a George Green, pone in relazione un integrale di linea attorno a una curva chiusa semplice e un integrale doppio su di una regione piana limitata dalla medesima curva. Si tratta di un caso speciale, ristretto a due dimensioni, del teorema del rotore, a sua volta caso particolare del teorema di Stokes.

## Enunciato

Sia ∂S{\textstyle \partial S} una curva chiusa semplice nel piano positivamente orientata (Diremo che la curva $\partial S$ orientata positivamente è un'orientazione positiva per la frontiera se per ogni $x$ appartenente alla frontiera, l'angolo tra il vettore tangente e il vettore normale alla curva misurato in senso orario è di π/2{\textstyle \pi /2}) regolare a tratti, e sia $S$ la superficie di cui è frontiera. Se $f$ e $g$ sono due funzioni reali di due variabili reali che hanno le derivate parziali continue su una regione aperta che contiene $S$, allora:
    $\int _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )=\iint _{S}\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} x} \mathop {\mathrm {d} y}$
Poiché il punto iniziale ed il punto finale della curva coincidono, essendo essa chiusa, talvolta si preferisce utilizzare la notazione:
    $\oint _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )$

## Interpretazione

Se si considera un campo vettoriale F{\textstyle \mathbf {F} } su R$^2${\textstyle \mathbb {R} ^{2}} definito da:
    $\mathbf {F} (x,y):=(f(x,y),g(x,y))$
la quantità:
    $\oint _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )$
rappresenta l'integrale di $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n}$, dove $\mathbf {n}$ è la normale esterna alla curva $\partial S$ in ogni punto. Dunque tale integrale rappresenta la circuitazione del campo $\mathbf {F}$ lungo la curva $\partial S$.
D'altra parte l'espressione:
    ${\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}$
è il modulo del rotore di $\mathbf {F}$. Infatti, nel caso di un campo planare e di un insieme $S$ del piano, il rotore è un vettore parallelo alla normale alla superficie $S$, e dunque:
    $\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}$
Quindi l'uguaglianza stabilita dal teorema stabilisce che la circuitazione di un campo vettoriale attraverso una curva è uguale al flusso del rotore del campo attraverso la superficie delimitata da tale curva. Questo è ciò che afferma il teorema del rotore, che è una generalizzazione del teorema di Green al caso di $\mathbb {R} ^{3}$.

## Dimostrazione per superficie semplice

Il teorema di Green si dimostra se si provano le due equazioni seguenti:
    $\int _{\partial S}f\mathop \!\mathrm {d} x=-\iint _{S}{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathop \!\mathrm {d} s\qquad \int _{\partial S}g\mathop \!\mathrm {d} y=\iint _{S}{\frac {\partial g}{\partial x}}\mathop \!\mathrm {d} s$
Se si esprime $S$ come la regione:
    $S:=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$
dove $g_{1}$ e $g_{2}$ sono funzioni continue, si può calcolare l'integrale doppio della prima relazione:
    ${\begin{aligned}\iint _{S}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathop \!\mathrm {d} s&=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\mathop {\mathrm {d} y} \mathop {\mathrm {d} x} \right)\\&=\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))-f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned}}$
Avendo utilizzato il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Spezzando il bordo $\partial S$ di $S$ nell'unione delle quattro curve $\partial S_{1}$, $\partial S_{2}$, $\partial S_{3}$ e $\partial S_{4}$, si verifica che:
* Per $\partial S_{1}$ valgono le equazioni parametriche $x=x$, $y=g_{1}(x)$, $a\leq x\leq b$, e quindi si ottiene:
    $\int _{\partial S_{1}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =\int _{a}^{b}f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x}$ .
* Per $\partial S_{3}$ si usano le equazioni parametriche $x=x$, $y=g_{2}(x)$, $a\leq x\leq b$, e si ottiene:
    ${\begin{aligned}\int _{\partial S_{3}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} &=-\int _{-\partial S_{3}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} \\&=-\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned}}$
* Per $\partial S_{2}$ e $\partial S_{4}$ la variabile $x$ è costante poiché ci si muove su un trattino rettilineo perpendicolare all'asse delle ascisse, il che implica:
    $\int _{\partial S_{4}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =\int _{\partial S_{2}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =0$
e quindi:
    ${\begin{aligned}\int _{\partial S}f\mathop {\mathrm {d} x} &=\int _{\partial S_{1}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{2}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{3}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{4}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} \\&=-\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{a}^{b}f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned}}$
Sommando questa con l'integrale doppio della prima relazione definito in precedenza si ottiene:
    $\int _{\partial S}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =-\iint _{S}{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathop {\mathrm {d} s}$
e la seconda relazione si dimostra in modo analogo.

## Relazione con il teorema di Stokes

Il teorema di Green è un caso speciale del teorema di Stokes che si verifica considerando una regione nel piano x-y. Si ponga di avere un campo vettoriale $\mathbf {F}$ in tre dimensioni la cui componente z sia sempre nulla, ovvero $\mathbf {F} =(L,M,0)$. Per il membro alla sinistra del teorema di Green si ha:
    ${\begin{aligned}\oint _{C}(L\mathop {\mathrm {d} x} +M\mathop {\mathrm {d} y} )&=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (\mathop {\mathrm {d} x} ,\mathop {\mathrm {d} y} ,\mathop {\mathrm {d} z} )\\&=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \end{aligned}}$
e per il teorema del rotore (o di Kelvin–Stokes):
    $\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathop {\mathrm {d} \mathbf {r} } =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} S}$
dove la superficie $S$ è la regione nel piano e $\mathbf {\hat {n}}$ è il versore normale in direzione z. L'integrando diventa:
    ${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} &=\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} \\&=\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\end{aligned}}$
sicché si ottiene il membro di destra del teorema di Green:
    $\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} A}$

## Relazione con il teorema della divergenza

Considerando campi vettoriali in due dimensioni il teorema di Green è equivalente alla seguente versione bidimensionale del teorema della divergenza:
    $\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathop {\mathrm {d} A} =\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} s}$
dove $\mathbf {\hat {n}}$ è il versore normale uscente alla frontiera $C$ di $D$. Infatti, dal momento che nel teorema di Green $\mathrm {d} \mathbf {r} =(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)$ è un vettore tangente alla curva, e dato che la curva $C$ è orientata in senso antiorario, il vettore normale $\mathbf {\hat {n}}$ è il vettore $(\mathrm {d} y,-\mathrm {d} x)$. La sua lunghezza è ${\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\mathrm {d} s$, e quindi $\mathbf {\hat {n}} \mathop \!\mathrm {d} s=(\mathrm {d} y,-\mathrm {d} x)$. Detto $\mathbf {F} =(P,Q)$, il membro alla destra diventa:
    $\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} s} =\oint _{C}P\mathop {\mathrm {d} y} -Q\mathop {\mathrm {d} x}$
che con il teorema di Green assume la forma:
    ${\begin{aligned}\oint _{C}-Q\mathop {\mathrm {d} x} +P\mathop {\mathrm {d} y} &=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} A} \\&=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathop {\mathrm {d} A} \end{aligned}}$
L'implicazione inversa si mostra in modo analogo.