# Spazio proiettivo

In geometria, lo spazio proiettivo è lo spazio ottenuto da uno spazio euclideo (ad esempio, la retta o il piano) aggiungendo i "punti all'infinito". A seconda della dimensione, si parla quindi di retta proiettiva, piano proiettivo, ecc.
Lo spazio proiettivo è stato introdotto nel XVI secolo per modellizzare lo spazio visto dall'occhio umano, negli studi sulla prospettiva. Dal punto di vista geometrico, è uno spazio che presenta numerosi vantaggi rispetto a quello euclideo o affine: nello spazio proiettivo ci sono meno "casi particolari" da considerare (ad esempio, nel piano due rette si intersecano sempre), e molti concetti profondi vengono espressi in modo più sintetico ed elegante.

## Definizioni
### Punti all'infinito

Sia $\mathbb {R} ^{n}$ lo spazio euclideo $n$-dimensionale. Ad esempio, per $n=2$ questo è semplicemente il piano cartesiano. Un "punto all'infinito" è la direzione indicata da una retta nello spazio, e da tutte le rette parallele ad essa. Quindi due rette definiscono lo stesso punto all'infinito se e solo se sono parallele.
Lo spazio proiettivo $n$-dimensionale è l'unione di $\mathbb {R} ^{n}$ e di tutti i suoi "punti all'infinito".
A questo punto si possono estendere allo spazio proiettivo molti concetti geometrici usuali. Ne risulterà, ad esempio, che due rette di uno stesso piano si intersecano sempre: se hanno la stessa direzione (cioè erano parallele prima dell'ampliamento), il loro punto di intersezione è quello all'infinito.

### Rette passanti per l'origine

Una definizione come quella appena data ha però il difetto di trattare i punti all'infinito come "punti speciali", mentre la filosofia della geometria proiettiva è quella di non distinguere questi punti dagli altri in nessun modo. In effetti si può parlare sia di ampliamento proiettivo di uno spazio affine (si ottiene lo spazio proiettivo aggiungendo i punti all'infinito), oppure più facilmente si usa la seguente definizione.
Lo spazio proiettivo $n$-dimensionale è definito come l'insieme delle rette in $\mathbb {R} ^{n+1}$ passanti per l'origine.
Intuitivamente, è lo spazio che vede un occhio posizionato nell'origine. Questa definizione descrive chiaramente le relazioni con la prospettiva.

### Campo arbitrario

Le definizioni appena date possono essere estese al caso in cui lo spazio di partenza sia uno spazio vettoriale su un campo $K$ arbitrario, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi. Questa estensione è utile, perché molti teoremi di geometria proiettiva sono più potenti ed eleganti se il campo base è algebricamente chiuso come i complessi.
Lo spazio proiettivo $n$-dimensionale su $K$ è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in $K^{n+1}$. Cioè,
    $\mathbb {P} ^{n}(K)={\frac {K^{n+1}\setminus \{0\}}{\sim }}$
dove $\sim$ è la relazione d'equivalenza che identifica due punti se e solo se stanno sulla stessa retta passante per l'origine, cioè se e solo se sono multipli:
    $v\sim w\Longleftrightarrow v=kw$ per qualche $k\in K,k\neq 0$.
Ad esempio, $(1,2,-3)$ e $(-2,-4,6)$ sono multipli e danno quindi luogo allo stesso punto.
Nel resto di questa voce lo spazio proiettivo è supposto definito in questo modo, dipendente da un campo $K$.

### Invarianti

Le omografie sono il gruppo fondamentale della geometria proiettiva.
Sono proprietà proiettive:
* essere sottospazi lineari aventi una certa dimensione,
* le proprietà di incidenza,
* il birapporto di quattro punti.
L'assoluto è il cerchio immaginario all'infinito, in coordinate omogenee $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0,x_{4}=0$, cioè il luogo dei punti ciclici per cui passano tutte e sole le sfere (superfici quadriche sferiche) dello spazio proiettivo.

## Sottospazi
### Definizione

Poiché uno spazio proiettivo è l'immagine di uno spazio vettoriale tramite la proiezione
    $p:K^{n+1}\to \mathbb {P} ^{n}(K)$
indotta dalla relazione di equivalenza, molte nozioni degli spazi vettoriali si trasferiscono senza problemi sullo spazio proiettivo.
Un sottospazio proiettivo di $\mathbb {P} ^{n}(K)$ è definito come l'immagine $p(W)$ di un sottospazio vettoriale $W$ di $K^{n+1}$ tramite $p$.
La dimensione del sottospazio proiettivo $p(W)$ è definita come
    $\dim p(W)=\dim W-1.$
In geometria, la codimensione di un sottospazio è generalmente definita come la dimensione dello spazio che lo contiene meno quella del sottospazio: ne segue che $W$ e $p(W)$ hanno la stessa codimensione
    ${\rm {codim\,}}W=n+1-\dim W=n-\dim p(W)={\rm {codim\,}}p(W).$
Un iperpiano proiettivo è un sottospazio di codimensione uno.
Dati due sottospazi $S$ e $T$, è possibile definire i sottospazi intersezione e somma in modo analogo, come immagini tramite $p$ dei sottospazi intersezione e somma in $K^{n+1}$.

### Formula di Grassmann

Una delle proprietà basilari valide in uno spazio proiettivo, ereditata dagli spazi vettoriali, ma che non è valida in uno spazio affine, è la formula di Grassmann per i sottospazi. Dati due sottospazi $S$ e $T$, vale cioè l'uguaglianza
    $\dim(S+T)=\dim S+\dim T-\dim(S\cap T)$
dove si intende che il punto ha dimensione 0 (come sempre) e l'insieme vuoto ha dimensione $-1$.

### Rette parallele

Come conseguenza della formula di Grassmann, due rette nel piano si intersecano sempre. Infatti
    $\dim(S\cap T)=\dim S+\dim T-\dim(S+T)=1+1-\dim(S+T)\geq 0$
poiché $S+T$ ha dimensione al più 2 (ogni sottospazio del piano ha dimensione al massimo 2, e 2 solo se è tutto il piano).

## Coordinate omogenee e carte affini
### Coordinate omogenee

Ogni punto dello spazio proiettivo è una classe di equivalenza di punti in $K^{n+1}$. Come è usuale in matematica, una classe di equivalenza viene descritta tra parentesi quadre: in questo modo,
    $[(x_{0},\ldots ,x_{n})]$
definisce la classe a cui appartiene il vettore $(x_{0},\ldots ,x_{n})$. Per brevità, tale classe si indica con
    $[x_{0},\ldots ,x_{n}].$
Questa espressione fra parentesi quadre definisce le coordinate omogenee del punto. Due vettori di coordinate determinano la stessa classe (cioè lo stesso punto)
    $[x_{0},\ldots ,x_{n}]=[y_{0},\ldots ,y_{n}]$
se e solo se sono uno multipli dell'altro, cioè se esiste un $k$ in $K$ tale che $y_{i}=kx_{i}$ per ogni $i$.

### Punti impropri

Con le coordinate omogenee è possibile recuperare la definizione originaria di spazio proiettivo come spazio affine a cui si aggiungono dei punti. Basta definire $E$ come il sottoinsieme formato dai punti $[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ tali che $x_{0}\neq 0$. Ogni punto in $E$ si scrive come
    $[1,x_{1},\ldots ,x_{n}]$
in modo univoco, e quindi tramite la funzione
    $[1,x_{1},\ldots ,x_{n}]\mapsto (x_{1},\ldots ,x_{n})$
definiamo una corrispondenza biunivoca tra $E$ e lo spazio affine $K^{n}$. I punti dello spazio proiettivo che non sono in $E$ hanno in questo contesto il ruolo dei "punti all'infinito". Ciascuno di questi punti è del tipo
    $[0,x_{1},\ldots ,x_{n}]$
e la funzione
    $[0,x_{1},\ldots ,x_{n}]\mapsto [x_{1},\ldots ,x_{n}]$
definisce una corrispondenza biunivoca tra i punti all'infinito e lo spazio proiettivo $\mathbb {P} ^{n-1}(K)$ di dimensione più piccola di uno. Quindi i "punti all'infinito" ad esempio del piano proiettivo formano una retta proiettiva, detta retta all'infinito o retta impropria. In dimensione arbitraria, si parla di iperpiano improprio.

### Carte e atlante

La stessa descrizione è fattibile per ogni $i=0,\ldots ,n$ definendo $E_{i}$ come l'insieme dei punti la cui $i$-esima coordinata è non nulla. Per ogni $i$ si ottiene quindi un differente iperpiano improprio, e una differente carta affine $E_{i}$.
Il nome "carta" deriva dalla proprietà seguente: l'unione degli $E_{i}$ è tutto lo spazio, quindi le carte "ricoprono" tutto lo spazio proiettivo, mentre ciascuna di esse ne descrive solo una parte, proprio come le carte geografiche.
Agli $E_{i}$ possono essere associate le mappe $f_{i}:E_{i}\to \mathbb {R} ^{n}$, che rendono $\mathbb {P} ^{n+1}$ una varietà differenziabile. L'insieme delle coppie
    $\{(E_{0},f_{0}),\ldots ,(E_{n},f_{n})\}$
è detto atlante affine.
Le mappe $f_{i}$ sono, banalmente, le affinizzazioni degli $E_{i}$: ad esempio, il punto $(x_{0}:x_{1}:...:x_{n+1})\in E_{0}$, viene mandato tramite $f_{0}$ in $(x_{1}/x_{0},x_{2}/x_{0},...,x_{n+1}/x_{0})\in \mathbb {R} ^{n}$

## Definizione più astratta

Lo spazio proiettivo può essere definito in modo analogo a partire da un qualsiasi spazio vettoriale $V$ su un campo $K$:
Lo spazio proiettivo associato a $V$ è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in $V$. Cioè,
    $\mathbb {P} (V)={\frac {V\setminus \{0\}}{\sim }}$
dove
    $v\sim w\Longleftrightarrow v=kw$ per qualche $k\in K,k\neq 0$.
In questo contesto, la definizione data precedentemente corrisponde al caso in cui $V=K^{n}$. In generale, lo spazio $V$ può avere anche dimensione infinita.
Esiste uno strumento simile alle basi che permette di assegnare ad ogni punto di $\mathbb {P} (V)$ delle coordinate omogenee, nel caso in cui $V$ abbia dimensione finita $n$. Come per gli spazi vettoriali, non esiste un modo univoco di assegnare tali coordinate: queste dipendono dalla scelta di un riferimento proiettivo, l'analogo proiettivo delle basi.