# Teorema di Babuška-Lax-Milgram

In matematica, il teorema di Babuška-Lax-Milgram è un risultato di analisi funzionale che generalizza il lemma di Lax-Milgram e fornisce le condizioni per cui una forma bilineare può essere "invertita" per mostrare l'esistenza e l'unicità di una soluzione debole per determinate condizioni al contorno.
Il teorema ha rilevanti applicazioni nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, e anche in analisi numerica per lo studio del metodo degli elementi finiti.

## Introduzione

Nell'approccio tipico dell'analisi funzionale allo studio delle equazioni alle derivate parziali si utilizza frequentemente la struttura di spazio vettoriale dell'insieme delle possibili soluzioni, ad esempio spesso si ha a che fare con spazi di Sobolev. Si considerino due spazi normati $U$ e $V$ con i loro duali continui $U^{*}$ e $V^{*}$, dove spesso $U$ è lo spazio delle possibili soluzioni. Dato un operatore differenziale parziale $\Lambda :U\to V^{*}$ ed una funzione conosciuta $f\in V^{*}$, l'obiettivo è trovare un vettore $u\in U$ tale che:
    $\Lambda u=f$
Nella formulazione debole si richiede che questa equazione valga soltanto anche per tutti gli altri elementi di $V$. Per "testare" queste funzioni si utilizza una forma bilineare $B:U\times V\to \mathbb {R}$ che "codifica" l'operatore differenziale in modo che una soluzione al problema debole si ottiene trovando $u\in U$ tale che:
    $B(u,v)=\langle f,v\rangle \qquad \forall v\in V$
Per ottenere il risultato del 1954 di Lax e Milgram bisogna fare in modo, specificando sufficienti condizioni al contorno, che tale formulazione debole abbia una soluzione unica e che dipende con continuità dalla funzione data $f\in V^{*}$. Nello specifico, $U=V$ deve essere uno spazio di Hilbert e $B$ è una funzione continua e fortemente coercitiva, cioè:
    $|B(u,u)|\geq c\|u\|^{2}$
per qualche costante $c>0$ e per ogni $u\in U$.
Ad esempio, nella soluzione dell'equazione di Poisson su un dominio aperto e limitato $\Omega \in \mathbb {R} ^{n}$:
    ${\begin{cases}-\Delta u(x)=f(x)&x\in \Omega \\u(x)=0&x\in \partial \Omega \end{cases}}$
lo spazio $U$ può essere preso come lo spazio di Sobolev $H_{0}^{1}(\Omega )$ con duale $H^{-1}(\Omega )$. La forma bilineare $B$ associata a $-\Delta$ è il prodotto interno in $L^{2}$ delle derivate:
    $B(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x$
Quindi la formulazione debole dell'equazione di Poisson, data $f\in L^{2}$, è trovare $u_{f}$ tale che:
    $\int _{\Omega }\nabla u_{f}(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f(x)v(x)\,\mathrm {d} x\qquad \forall v\in H_{0}^{1}(\Omega )$

## Enunciato

Nel 1971 Babuška dimostrò la seguente generalizzazione della prima formulazione del lemma di Lax-Milgram, che comincia col fornire la richiesta che $U$ e $V$ siano due spazi di Hilbert reali e $B:U\times V\to \mathbb {R}$ una forma bilineare continua. Sia inoltre $B$ debolmente coercitiva, ovvero per una costante $c>0$ e per tutti gli $u\in U$ si verifica:
    $\sup _{\|v\|=1}|B(u,v)|\geq c\|u\|$
e, per $0\neq v\in V$ si ha:
    $\sup _{\|u\|=1}|B(u,v)|>0$
Allora, per tutte le funzioni $f\in V^{*}$ nel duale $V^{*}$ di $V$ esiste un'unica soluzione $u=u_{f}\in U$ alla formulazione debole del problema:
    $B(u_{f},v)=\langle f,v\rangle \qquad \forall v\in V$
Inoltre, la soluzione dipende con continuità da $f$:
    $\|u_{f}\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|$