# Teoria di Newton-Cartan

La teoria di Newton-Cartan (o gravitazione newtoniana geometrizzata) è una riformulazione geometrica della gravità newtoniana introdotta per la prima volta da Élie Cartan e Kurt Friedrichs e successivamente sviluppata da Dautcourt, Dixon, Dombrowski e Horneffer, Ehlers, Havas, Künzle, Lottermoser, Trautman, e altri. In questa riformulazione, le somiglianze strutturali tra la teoria di Newton e la teoria della relatività generale di Albert Einstein sono facilmente visibili, ed è stata usata da Cartan e Friedrichs per dare una formulazione rigorosa del modo in cui la gravità newtoniana può essere vista come un limite specifico della relatività generale, e da Jürgen Ehlers di estendere questa corrispondenza a soluzioni specifiche della relatività generale.

## Spaziotempo classico

Nella teoria di Newton-Cartan, si inizia con una varietà quadridimensionale liscia $M$ e definisce due metriche (degeneri). Una metrica temporale $t_{ab}$ con segnatura $(1,0,0,0)$, utilizzato per assegnare lunghezze temporali ai vettori su $M$ e una metrica spaziale $h^{ab}$ con segnatura $(0,1,1,1)$ . Si richiede anche che queste due metriche soddisfino una condizione di trasversalità (o "ortogonalità"), $h^{ab}t_{bc}=0$ . Pertanto, si definisce uno spaziotempo classico come un quadrupla ordinata $(M,t_{ab},h^{ab},\nabla )$, dove $t_{ab}$ e $h^{ab}$ sono come descritti, $\nabla$ è un operatore di derivata covariante compatibile con le metriche; e le metriche soddisfano la condizione di ortogonalità. Si potrebbe dire che uno spaziotempo classico è l'analogo di uno spaziotempo relativistico $(M,g_{ab})$, dove $g_{ab}$ è una metrica lorentziana liscia sulla varietà $M$ .

## Formulazione geometrica dell'equazione di Poisson

Nella teoria della gravità di Newton, l'equazione di Poisson si scrive come
    $\Delta U=4\pi G\rho \,$
dove $U$ è il potenziale gravitazionale, $G$ è la costante gravitazionale e $\rho$ è la densità di massa. Il principio di equivalenza debole motiva una versione geometrica dell'equazione del moto per una particella puntiforme nel potenziale $U$
    $m_{t}\,{\ddot {\vec {x}}}=-m_{g}{\vec {\nabla }}U$
dove $m_{t}$ è la massa inerziale e $m_{g}$ la massa gravitazionale. Poiché, secondo il principio di equivalenza debole $m_{t}=m_{g}$, la corrispondente equazione del moto
    ${\ddot {\vec {x}}}=-{\vec {\nabla }}U$
non contiene più un riferimento alla massa della particella. Seguendo l'idea che la soluzione dell'equazione è quindi una proprietà della curvatura dello spazio, si costruisce una connessione in modo che l'equazione geodetica
    ${\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0$
rappresenta l'equazione del moto di una particella puntiforme nel potenziale $U$ . La connessione che ne risulta è
    $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }=\gamma ^{\lambda \rho }U_{,\rho }\Psi _{\mu }\Psi _{\nu }$
insieme a $\Psi _{\mu }=\delta _{\mu }^{0}$ e $\gamma ^{\mu \nu }=\delta _{A}^{\mu }\delta _{B}^{\nu }\delta ^{AB}$ ( $A,B=1,2,3$ ). La connessione è stata costruita in un sistema inerziale ma può essere dimostrata valida in qualsiasi sistema inerziale mostrando l'invarianza di $\Psi _{\mu }$ e $\gamma ^{\mu \nu }$ sotto trasformazioni di Galileo. Il tensore di curvatura di Riemann nelle coordinate del sistema inerziale di questa connessione è quindi dato da
    $R_{\kappa \mu \nu }^{\lambda }=2\gamma ^{\lambda \sigma }U_{,\sigma [\mu }\Psi _{\nu ]}\Psi _{\kappa }$
dove le parentesi $A_{[\mu \nu ]}={\tfrac {1}{2!}}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]$ stanno a significare la combinazione antisimmetrica del tensore $A_{\mu \nu }$. Il tensore di Ricci è dato da
    $R_{\kappa \nu }=\Delta U\Psi _{\kappa }\Psi _{\nu }\,$
che porta alla seguente formulazione geometrica dell'equazione di Poisson
    $R_{\mu \nu }=4\pi G\rho \Psi _{\mu }\Psi _{\nu }$
Più esplicitamente, se gli indici i e j spaziano sulle coordinate spaziali 1, 2, 3, allora la connessione è data da
    $\Gamma _{00}^{i}=U_{,i}$
il tensore di curvatura di Riemann è dato da
    $R_{0j0}^{i}=-R_{00j}^{i}=U_{,ij}$
e il tensore di Ricci e lo scalare di Ricci è dato da
    $R=R_{00}=\Delta U$
dove tutti i componenti non elencati sono uguali a zero.
Si noti che questa formulazione non richiede l'introduzione del concetto di metrica: la sola connessione fornisce tutte le informazioni fisiche.