# Teorema di Zsigmondy

Nella teoria dei numeri, il teorema di Zsigmondy, che prende il nome da Karl Zsigmondy, afferma che se a > b > 0 sono interi coprimi, allora per ogni intero n ≥ 1, esiste un numero primo p (chiamato divisore primitivo primo) che divide a$^n$ − b$^n$, ma non divide a$^k$ − b$^k$ per tutti gli interi positivi k < n, con le seguenti eccezioni:
* n = 1, a − b = 1; a$^n$ − b$^n$ = 1 il quale non ha divisori primi.
* n = 2, con a + b potenza di due; poiché a² - b² = (a + b)(a$^1$ - b$^1$) ed essendo a - b divisibile per 2, a² - b² non può contenere divisori primi diversi da quelli di a - b.
* n = 6, a = 2, b = 1; poiché $a^{6}-b^{6}=2^{6}-1^{6}=63=3^{2}\cdot 7$, ma né 3 né 7 soddisfano la tesi del teorema; infatti, per k = 4, 3 divide $2^{4}-1^{4}=15$, mentre, per k = 3, 7 divide $2^{3}-1^{3}=7$ .
Questo teorema generalizza quello di Bang, il quale afferma che se n > 1 e n non è uguale a 6, allora 2$^n$ − 1 ha un divisore primo che non divide 2$^k$ − 1 per ogni k < n.
Analogamente, a$^n$ + b$^n$ ha almeno un divisore primitivo primo con l'eccezione 2$^3$ + 1$^3$ = 9.
Il teorema di Zsigmondy è spesso utile, specialmente nella teoria dei gruppi, per dimostrare che vari gruppi hanno ordini distinti eccetto quando sono noti essere gli stessi.

## Storia

Il teorema è stato scoperto da Zsigmondy mentre lavorava a Vienna dal 1895 fino al 1925

## Generalizzazioni

Sia $(a_{n})_{n\geq 1}$ una successione di interi diversi da 0. L'insieme di Zsigmondy associato alla successione è l'insieme
${\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ non ha divisori primi primitivi }}p\}.$
L'insieme di Zsigmondy è dunque l'insieme degli indici $n$ tali che ogni numero primo che divide $a_{n}$ divide anche $a_{m}$ per qualche $m<n$. Così il teorema di Zsigmondy implica che ${\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}$, e il teorema di Carmichael afferma che l'insieme Zsigmondy della successione di Fibonacci è $\{1,2,6,12\}$, e quello della successione di Pell è $\{1\}$. Nel 2001 Bilu, Hanrot, e Voutier hanno dimostrato che in generale, se $(a_{n})_{n\geq 1}$ è una successione di Lucas o una successione di Lehmer, allora ${\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}$. Le successioni di Lucas e Lehmer sono esempi di successioni di divisibilità.
È noto anche che se $(W_{n})_{n\geq 1}$ è una successione ellittica di divisibilità, allora l'insieme di Zsigmondy ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ è finito.Tuttavia, il risultato è inefficace, nel senso che la prova non dà un esplicito limite superiore per l'elemento più grande in ${\mathcal {Z}}(W_{n})$, anche se è possibile dare un effettivo limite superiore per il numero di elementi in ${\mathcal {Z}}(W_{n})$.

## Numeri di Mersenne

Un caso specifico del teorema considera $r$-esimo numero di Mersenne $M_{r}=2^{r}-1$, dunque ogni numero $M_{2}$, $M_{3}$, $M_{4}$, ... ha un numero primo nella fattorizzazione che non è presente nella fattorizzazione di un elemento precedente della successione, eccetto $M_{6}$. Ad esempio $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$, ... hanno i fattori 3, 7, 5, 31, (1), 127, 17, 73, 11, 23(89) , ... che non si presentano prima di $M_{n}$. Questi fattori, talvolta, vengono chiamati numeri di Zsigmondy ${\mathcal {Z}}_{s}(n,2,1)$.