# Teorema di Schwarz

In analisi matematica, il teorema di Schwarz è un importante teorema che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.

## Il teorema in due variabili

Sia $f\colon \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ una funzione in due variabili, definita su un aperto $\Omega$ del piano $\mathbb {R} ^{2}$. Se $f$ ammette derivate seconde miste continue, ad esempio se $f\in C^{2}(\Omega )$, allora queste coincidono in ogni punto $p$, ovvero:
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\equiv {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$
In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.
Come conseguenza, se una funzione $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ha derivate seconde miste continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.

## Dimostrazione

Sia $p=(x_{0},y_{0})\in \Omega$. Si scelgono due reali $\varepsilon$, $\delta >0\,$ tali che $(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )\times (y_{0}-\delta ,y_{0}+\delta )\subset \Omega$. Ciò è possibile, poiché $\Omega$ è un aperto di $\mathbb {R} ^{2}$.
Si definiscono due funzioni $F$ e $G$ come segue:
    $F\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$
    $G\colon (-\delta ,\delta )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$
in modo che:
    $F(t)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0}+t,y_{0})\qquad \forall s\in (-\delta ,\delta )$
    $G(s)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0},y_{0}+s)\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$
Si prova facilmente che, fissati $t$ e $s$ nei rispettivi intervalli:
    $F(t)-F(0)=G(s)-G(0).$
Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange:
    $F(t)-F(0)=tF'(\xi _{1})=t\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+s)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0})\right]=ts{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+\sigma _{1})$
e analogamente:
    $G(s)-G(0)=st{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0}+\xi _{2},y_{0}+\sigma _{2}),$
con $\xi _{i}\in (0,t)$ e $\sigma _{i}\in (0,s)$, dove per comodità di scrittura si sono assunti $t,s>0\,$.
Facendo tendere $t$ e $s$ a $0$ (e quindi anche $\xi _{i}$ e $\sigma _{i}$), siccome le derivate seconde miste sono continue, si ha ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})$, cioè la tesi.

## Esempio

Sia:
    $f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}x$
Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente :
    $f_{x}=2xy^{2}+y^{3}$
    $f_{y}=2yx^{2}+3xy^{2}$
queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono:
    $f_{xy}=4xy+3y^{2}$
    $f_{yx}=4xy+3y^{2}$
Quindi $f_{xy}=f_{yx}$.

## Esempio di funzione con derivate parziali miste diverse

L'ipotesi di continuità delle derivate parziali seconde miste è sufficiente. Quindi per avere un esempio di funzione con derivate seconde parziali miste differenti, essa deve avere tali derivate non continue come nel seguente esempio (dovuto a Peano). Data la funzione continua:
    $f(x,y)=\left\{{\begin{matrix}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.$
Si hanno derivate parziali prime continue:
    $f_{x}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}y{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+xy{\frac {2x(x^{2}+y^{2})-2x(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.$
    $f_{y}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}-x{\frac {y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}-xy{\frac {2y(x^{2}+y^{2})-2y(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.$
Ma le derivate seconde miste non sono continue e sono diverse, infatti:
    $f_{xy}(0,0)=\lim _{k\to 0}{\frac {f_{x}(0,k)-f_{x}(0,0)}{k}}=-1$
    $f_{yx}(0,0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f_{y}(h,0)-f_{y}(0,0)}{h}}=+1$
Dunque $f_{yx}\neq \ f_{xy}$.