# Operatore scaletta

In algebra lineare (e in meccanica quantistica), un operatore di innalzamento o di abbassamento (o, rispettivamente, salita e discesa; noti collettivamente come operatori scaletta) è un operatore che aumenta o diminuisce l'autovalore di un altro operatore. In meccanica quantistica, gli operatori scaletta sono notoriamente applicati nei formalismi dell'oscillatore armonico quantistico e del momento angolare. Gli operatori scaletta sono affini agli operatori di creazione e distruzione della teoria quantistica dei campi.

## Terminologia

C'è un po' di confusione circa la relazione tra gli operatori scaletta e gli operatori di creazione e distruzione comunemente usati nella teoria quantistica dei campi. L'operatore di creazione a$_i$$^†$ incrementa il numero di particelle nello stato i, mentre il corrispondente operatore di distruzione a$_i$ diminuisce il numero di particelle nello stato i. Questo soddisfa chiaramente i requisiti della definizione dell'operatore scaletta di cui sopra: l'incremento o il decremento dell'autovalore di un altro operatore.
La confusione nasce perché il termine operatore scaletta viene tipicamente usato per descrivere un operatore che agisce per incrementare o diminuire un numero quantico che descrive lo stato di un sistema. Per cambiare lo stato di una particella con gli operatori di creazione/distruzione della QFT è necessario usare sia un operatore di distruzione per rimuovere una particella dallo stato iniziale sia un operatore di creazione per aggiungere una particella allo stato finale.
Il termine "operatore scaletta" è talvolta usato in matematica, nel contesto nella teoria delle algebre di Lie, e in particolare per le algebre di Lie affini, per descrivere le sottoalgebre su(2), dalle quali, usando gli operatori scaletta, si possono costruire il sistema di radici e i moduli di peso massimo. In particolare, il peso massimo è distrutto dagli operatori di salita; il resto dello spazio delle radici positive è ottenuto applicando ripetutamente gli operatori di discesa (un insieme di operatori scaletta per sottoalgebra).

## Formulazione generale

Si supponga che due operatori X e N abbiano la relazione di commutazione,
    $[N,X]=cX,\quad$
per qualche scalare c. Se $\scriptstyle {|n\rangle }$ è un autostato di N con l'equazione agli autovalori,
    $N|n\rangle =n|n\rangle ,\,$
allora l'operatore X agisce su $\scriptstyle {|n\rangle }$ in modo tale da cambiare l'autovalore di c:
    ${\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}$
In altre parole, se $\scriptstyle {|n\rangle }$ è un autostato di N con autovalore n allora $\scriptstyle {X|n\rangle }$ è l'autostato di N con autovalore n + c oppure è zero. L'operatore X è di salita per N se c è reale e positivo, mentre è di discesa per N se c è reale e negativo.
Se N è un operatore hermitiano allora c deve essere reale e l'hermitiano aggiunto di X obbedisce alla relazione di commutazione:
    $[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.\quad$
In particolare, se X è un operatore discesa per N allora X$^†$ è un operatore salita per N e viceversa.

## Momento angolare

Un'applicazione particolare del concetto di operatore scaletta si trova nel formalismo quantistico del momento angolare. Per un generico vettore di momento angolare, J, con componenti, J$_x$, J$_y$ e J$_z$ si definiscono gli operatori scaletta, J+ e J$_–$:
    $J_{+}=J_{x}+iJ_{y},\quad$
    $J_{-}=J_{x}-iJ_{y},\quad$
dove i è l'unità immaginaria.
La relazione di commutazione tra le componenti cartesiane di un qualsiasi operatore momento angolare è data da
    $[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},$
dove ε$_{ijk}$ è il simbolo di Levi-Civita e ciascuno dei i, j e k può assumere i valori x, y e z. Da questo, le relazioni di commutazione tra gli operatori scaletta e J$_z$ possono essere facilmente ottenute:
    $\left[J_{z},J_{\pm }\right]=\pm \hbar J_{\pm }.\quad$
    $\left[J_{+},J_{-}\right]=2\hbar J_{z}.\quad$
Le proprietà degli operatori scaletta possono essere determinate osservando come essi modificano l'azione dell'operatore J$_z$ su un dato stato:
    ${\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &=\left(J_{\pm }J_{z}+\left[J_{z},J_{\pm }\right]\right)|j\,m\rangle \\&=\left(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm }\right)|j\,m\rangle \\&=\hbar \left(m\pm 1\right)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}$
Si paragona il risultato precedente con:
    $J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .\quad$
Perciò si conclude che $\scriptstyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }$ equivale a un certo scalare moltiplicato per $\scriptstyle {|j\,m\pm 1\rangle }$,
    $J_{+}|j\,m\rangle =\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\quad$
    $J_{-}|j\,m\rangle =\beta |j\,(m-1)\rangle .\quad$
Questo mette in evidenza la caratteristica che definisce gli operatori scaletta in meccanica quantistica: l'aumento (o la diminuzione) di un numero quantico, mappando quindi uno stato quantico su un altro. Questa è la ragione per cui sono spesso conosciuti come operatori di innalzamento e abbassamento.
Per ottenere i valori di α e β bisogna prima fare la norma di ciascun operatore, riconoscendo che J+ e J$_−$ sono una coppia di coniugati hermitiani ($\scriptstyle {J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}$),
    $\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2}$,
    $\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}$.
Il prodotto degli operatori scaletta può essere espresso in termini della coppia commutante J$^2$ e J$_z$,
    $J_{-}J_{+}=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},$
    $J_{+}J_{-}=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.$
Pertanto è possibile esprimere i valori di |α|$^2$ e |β|$^2$ in termini degli autovalori di J$^2$ e J$_z$,
    $|\alpha |^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),$
    $|\beta |^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).$
Le fasi di α e β non sono fisicamente significativi, quindi possono essere scelte positive e reali (convenzione sulla fase di Condon-Shortley). Si ha quindi:
    $J_{+}|j\,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j\,(m+1)\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j\,(m+1)\rangle ,$
    $J_{-}|j\,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j\,(m-1)\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j\,(m-1)\rangle .$
Confermando che m sia limitato dal valore di j ($\scriptstyle {-j\leq m\leq j}$) abbiamo:
    $J_{+}|j\,j\rangle =0,\,$
    $J_{-}|j\,(-j)\rangle =0.\,$
La dimostrazione di cui sopra è di fatto la costruzione dei coefficienti di Clebsch-Gordan.

## Oscillatore armonico

Un'altra applicazione del concetto di operatore scaletta si trova nel formalismo quantistico dell'oscillatore armonico. Si possono scrivere gli operatori di innalzamento e abbassamento come
    ${\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}$
Essi forniscono un metodo conveniente per estrarre gli autovalori dell'energia senza dover risolvere direttamente l'equazione differenziale del sistema.

## Storia

Molte fonti attribuiscono a Dirac l'invenzione degli operatori scaletta. L'uso di Dirac degli operatori scaletta mostra che il numero quantico $j$ associato all'operatore momento angolare totale deve essere un semintero non negativo multiplo di ħ.