# Connessione di Levi Civita

In geometria differenziale, la connessione di Levi-Civita è, su una varietà riemanniana, l'unica connessione senza torsione che preserva la metrica. Il suo nome è dovuto a Tullio Levi-Civita.
Grazie alla connessione di Levi-Civita, il tensore metrico della varietà riemanniana risulta essere quindi ingrediente sufficiente per definire univocamente concetti più elaborati come derivata covariante, geodetica, trasporto parallelo.

## Definizione

Sia $(M;g)$ una varietà riemanniana. Una connessione $\nabla$ è di Levi-Civita se valgono le proprietà seguenti:
* non ha torsione, ossia, si ha: $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$
* preserva la metrica, cioè:
       $\nabla _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)\,.$
Ovvero, equivalentemente
    $\nabla _{X}g=0\,.$
Entrambe le proprietà possono essere espresse usando la notazione con indici. Una connessione è di Levi-Civita se in ogni carta valgono le proprietà seguenti:
* i simboli di Christoffel sono simmetrici negli indici in basso, cioè:
       $\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$
* la derivata covariante del tensore metrico è nulla, cioè:
       $\nabla _{k}g_{ij}=0\,.$

## Proprietà
### Esistenza e unicità

Il seguente fatto è un risultato fondamentale della geometria riemanniana.
Una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana ha un'unica connessione di Levi-Civita.
La dimostrazione di questo fatto può essere svolta nel modo seguente. I simboli di Christoffel definiscono il termine da aggiungere in una carta alla usuale derivata parziale per ottenere la derivata covariante. Per ogni connessione e in ogni carta vale quindi la relazione
    $\nabla _{k}g_{ij}=\partial _{k}g_{ij}-\Gamma _{kj}^{h}g_{hi}-\Gamma _{ik}^{h}g_{jh}.$
Supponiamo che la connessione sia di Levi-Civita. Questa quantità è quindi zero, perché si richiede che la derivata covariante della metrica sia nulla. Permutando i tre indici $i,j,k$ in modo ciclico si ottengono tre uguaglianze. Sottraendo le ultime due uguaglianze dalla prima, e usando la simmetria dei simboli di Christoffel (la torsione è nulla) si ottiene:
    $\partial _{i}g_{jk}-\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}+2\Gamma _{jk}^{h}g_{hi}=0.$
Il simbolo di Christoffel può essere esplicitato moltiplicando questa relazione per $g^{li}$. Il risultato è
    $\Gamma _{jk}^{l}={\frac {1}{2}}g^{li}(\partial _{j}g_{ki}+\partial _{k}g_{ij}-\partial _{i}g_{jk}).$
Questo dimostra l'unicità della connessione. D'altra parte, questa uguaglianza può essere usata per definire una connessione di Levi-Civita: è sufficiente verificare che una tale definizione fornisca effettivamente una connessione, e cioè che i simboli $\Gamma _{jk}^{l}$ così definiti cambino al mutare delle coordinate come i simboli di Christoffel.

### Innalzamento e abbassamento degli indici

Una connessione di Levi-Civita ha delle buone proprietà rispetto all'operazione di innalzamento e abbassamento degli indici, effettuata tramite contrazione con il tensore metrico o il suo inverso. Innanzitutto, anche il tensore metrico inverso ha derivata covariante nulla:
    $\nabla _{k}g^{ij}=0.$
Perciò la derivata covariante commuta con l'innalzamento o abbassamento degli indici. Ad esempio, se $V^{i}$ è un campo vettoriale:
    $\nabla _{k}(g_{ij}V^{j})=(\nabla _{k}g_{ij})V^{j}+g_{ij}(\nabla _{k}V^{j})=g_{ij}(\nabla _{k}V^{j}).$