# Quadrimpulso

Nella relatività ristretta il quadrimpulso è la generalizzazione quadrivettoriale della quantità di moto della meccanica classica, cioè un vettore dello spaziotempo quadrimensionale sempre tangente alla traiettoria, o linea d'universo, di una particella.
Come per ogni quadrivettore, è possibile distinguere le componenti spaziali da quella temporale: in un sistema di coordinate ortonormali la parte spaziale del quadrimpulso è formata dalle componenti dell'ordinaria quantità di moto moltiplicata per il fattore di Lorentz, mentre la parte temporale è data dall'energia della particella divisa per la velocità della luce.

## Definizione

Data una particella con velocità $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$, il corrispondente quadrimpulso è dato da:
    $p^{\mu }={\begin{pmatrix}p^{0}\\p^{1}\\p^{2}\\p^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p^{1}\\p^{2}\\p^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma mc\\\gamma p^{x}\\\gamma p^{y}\\\gamma p^{z}\end{pmatrix}}=m\gamma {\begin{pmatrix}c\\v^{x}\\v^{y}\\v^{z}\end{pmatrix}}:=mu^{\mu }$
dove $u^{\mu }=(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3})=\gamma (c,\mathbf {v} )$ sono le componenti della quadrivelocità, $m$ è la massa a riposo, $\gamma$ è il fattore di Lorentz, $\mathbf {v} =(v^{x},v^{y},v^{z})$ e $\mathbf {p} =(p^{x},p^{y},p^{z})$ sono gli usuali vettori tridimensionali velocità e quantità di moto, e c è la velocità della luce. Le componenti spaziali di $p^{\mu }$ sono dunque le componenti della quantità di moto classica $\mathbf {p}$ moltiplicata per il fattore $\gamma$.

## Derivazione

Sia $x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)$ il quadrivettore posizione, che identifica la posizione della particella rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, il sistema del laboratorio. Differenziando si ha:
    ${\mbox{d}}x^{\mu }={\begin{pmatrix}c{\mbox{d}}t\\{\mbox{d}}x\\{\mbox{d}}y\\{\mbox{d}}z\end{pmatrix}}$
Il tempo proprio è il tempo che misurerebbe un orologio posto su una particella in moto vario nello spaziotempo come se si muovesse di moto rettilineo uniforme. In simboli:
    $({\mbox{d}}\tau )^{2}:=-{\frac {({\mbox{d}}s)^{2}}{c^{2}}}=-{\frac {\eta _{\mu \nu }{\mbox{d}}x^{\mu }{\mbox{d}}x^{\nu }}{c^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}({c^{2}{\mbox{d}}t^{2}-{\mbox{d}}x^{2}-{\mbox{d}}y^{2}-{\mbox{d}}z^{2}})=$
    $={\mbox{d}}t^{2}\left(1-{\frac {(v^{x})^{2}+(v^{y})^{2}+(v^{z})^{2}}{c^{2}}}\right)={\frac {{\mbox{d}}t^{2}}{\gamma ^{2}}}$
dove $\eta _{\mu \nu }$ indica il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski, utilizzando la segnatura $(-,+,+,+)$. Si ha pertanto:
    ${\mbox{d}}\tau ={\frac {{\mbox{d}}t}{\gamma }}\qquad {\mbox{d}}t=\gamma {\mbox{d}}\tau$
Il tempo proprio è una grandezza che permette di parametrizzare la traiettoria di un corpo, in quanto è un invariante sotto trasformazioni di Lorentz (poiché $({\mbox{d}}\tau )^{2}$ è proporzionale a $({\mbox{d}}s)^{2}$).
La quadrivelocità è data da:
    $u^{\mu }={\frac {{\mbox{d}}x^{\mu }}{{\mbox{d}}\tau }}$
ed utilizzando la formula di derivazione composta può essere espressa in funzione dell'ordinaria velocità $\mathbf {v}$:
    $u^{\mu }:={\frac {{\mbox{d}}x^{\mu }}{{\mbox{d}}\tau }}={\frac {{\mbox{d}}x^{\mu }}{{\mbox{d}}t}}{\frac {{\mbox{d}}t}{{\mbox{d}}\tau }}=\gamma {\frac {{\mbox{d}}x^{\mu }}{{\mbox{d}}t}}=\gamma {\begin{pmatrix}c\\v^{x}\\v^{y}\\v^{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma c\\\gamma v^{x}\\\gamma v^{y}\\\gamma v^{z}\end{pmatrix}}$
La quadriquantità di moto è dunque definita, similmente al corrispettivo classico, come il prodotto tra la quadrivelocità e la massa a riposo $m$ del corpo.
Dal quadrimpulso si definisce la quadriforza.

## Conservazione dell'energia

L'energia di una particella è definita come la velocità della luce moltiplicata per la componente temporale del quadrimpulso $(p^{0}=\gamma mc,\mathbf {p} =\gamma m\mathbf {u} )$, ovvero:
    $E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}$
ed è una quantità che dipende dalla velocità $|\mathbf {u} |=u$. Analizzando lo scattering elastico tra due particelle identiche, ed espandendo in serie di Taylor per piccoli angoli l'energia del sistema, si giunge a dimostrare che se l'energia si conserva allora:
    $E(u)={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}+E(0)-mc^{2}$
Si tratta dell'estensione relativistica dell'energia cinetica, più una quantità di energia costante pari a $E(0)=mc^{2}$, che rappresenta l'energia a riposo della particella, interpretabile come quell'energia che la particella ferma possiede per il fatto di avere massa.
La velocità è espressa in termini del quadrimpulso con la relazione:
    $\mathbf {u} ={\frac {c^{2}\mathbf {p} }{E}}$
e dal fatto che la quantità:
    $(p^{0})^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} =(mc)^{2}$
è invariante, segue che:
    $E={\sqrt {c^{2}p^{2}+m^{2}c^{4}}}$

## Norma quadra

Nello spaziotempo di Minkowski la norma di un quadrivettore è un invariante di Lorentz:
    $\|\mathbf {p} \|^{2}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}\gamma ^{2}(-c^{2}+((v^{x})^{2}+(v^{y})^{2}+(v^{z})^{2}))=-m^{2}{\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}(c^{2}-v^{2})=-m^{2}c^{2}.$
In modo equivalente:
    $-\|\mathbf {P} \|^{2}=-P^{\mu }P_{\mu }=-\eta _{\mu \nu }P^{\mu }P^{\nu }={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}=m^{2}c^{2}$
Quest'ultima quantità coincide con la massa invariante del sistema. Il risultato è prevedibile considerando il fatto che i quadrivettori velocità hanno norma quadrata $-c^{2}$ e il quadrimpulso è un quadrivettore velocità per uno scalare $m$. La norma quadrata negativa implica che i quadrivettori velocità e impulso siano di tipo tempo, e cambiando il segno alla segnatura $(+,-,-,-)$ la norma quadra cambia di segno.

## Conservazione del quadrimpulso

La conservazione del quadrimpulso nei sistemi isolati è uno dei principi fondamentali della dinamica relativistica. Esso include, per basse velocità, le leggi classiche della conservazione dell'energia e della quantità di moto: si conserva l'energia totale, pari a $p^{0}c$ e si conserva la quantità di moto del sistema, pari alle componenti spaziali del quadrivettore.
Se la massa non cambia, il prodotto interno nello spaziotempo di Minkowski tra il quadrimpulso e la relativa quadriaccelerazione $A^{\mu }$ è nullo. Infatti, l'accelerazione è proporzionale alla derivata del quadrimpulso rispetto al tempo proprio, divisa per la massa della particella, e pertanto:
    $P^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }P^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }P^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {P^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}(-m^{2}c^{2})=0$
Si noti che la massa a riposo può non conservarsi, mentre si conserva la massa relativistica (che non è altro che l'energia). Per esempio, durante un urto tra particelle subatomiche, se due particelle di masse a riposo uguali $m$ che viaggiano l'una a $0.5c$ e l'altra in senso opposto a $0.66c$ si fondono nell'impatto in una sola particella, questa viaggerà ad una velocità pari a $0.127c$ e avrà una massa $M=2.476m$, ben maggiore della somma delle masse iniziali. D'altra parte, la somma delle due masse relativistiche, pari ciascuna a $1.154m$ e $1.342m$ fornisce direttamente per la massa relativistica della particella risultante $2.496m$, correttamente pari alla massa a riposo moltiplicata per il fattore di Lorentz relativo (circa 1.0081).