# Serie di Kempner

La serie di Kempner è una variante della serie armonica, costruita omettendo tutti i termini il cui denominatore contiene la cifra $9$ espressa in base decimale. Cioè, è la somma
    ${\sideset{'}\sum _{n=1}^{\infty }}{\frac {1}{n}}$
dove l'apice indica che $n$ assume solo i valori la cui espansione decimale non contiene dei $9$. La serie fu per la prima volta studiata da A. J. Kempner nel 1914. La serie è interessante a causa del risultato controintuitivo che, a differenza della serie armonica, la serie di Kempner converge. Kempner mostrò che il valore di questa serie è minore di $80$. Baillie dimostrò che, arrotondata alla 20ª cifra decimale, la somma reale è $22,92067\,66192\,64150\,34816$.
Euristicamente, questa serie converge perché gli interi molto grandi hanno più probabilità di possedere qualunque cifra. Per esempio, è davvero molto probabile che un intero casuale di $100$ cifre contenga almeno un $9$, causandone l'esclusione dalla precedente somma.
Schmelzer e Baillie trovarono un algoritmo efficiente per il problema dell'omissione di stringhe di cifre. Per esempio, la somma di $1/n$ dove $n$ non contiene "42" è all'incirca $228,4463$. Un altro esempio: la somma di $1/n$ dove in $n$ non appare la stringa "314159" (le prime cifre del π) è approssimativamente $2302582,334$.

## Convergenza

La dimostrazione della convergenza di Kempner viene riportata in molti manuali, per esempio Hardy e Wright e Apostol. Si raggruppano i termini della serie in base al numero di cifre del denominatore. Il numero degli interi di $n$ cifre che non contengono il $9$ è uguale a $8\cdot 9^{n-1}$, poiché ci sono $8$ scelte (da 1 a 8) per la prima cifra, e $9$ scelte indipendenti (da 0 a 8) per ognuna delle altre $n-1$. Ognuno di questi numeri senza $9$ è maggiore o uguale di $10^{n-1}$, quindi il contributo di questo gruppo alla somma dei reciproci è minore di $8(9/10)^{n-1}$. Pertanto l'intera serie dei reciproci è al massimo
    $8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80.$
Lo stesso ragionamento funziona per ogni cifra omessa diversa da zero. Il numero degli interi di $n$ cifre che non contengono lo $0$ è $9^{n}$, quindi la relativa serie di Kempner è al massimo
    $9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90.$
La serie converge anche se vengono omesse delle stringhe di $k$ cifre, per esempio togliendo tutti i denominatori che hanno in base $10$ la sottostringa "42". Si può dimostrare nella stessa maniera. Prima si osserva che si può lavorare con numeri in base $10^{k}$ e togliere tutti i denominatori che hanno tale stringa come "cifra". Il ragionamento analogo al caso della base $10$ mostra che questa serie converge. Ora ritornando alla base decimale, si osserva che la serie non toglie proprio tutti i denominatori che contengono la stringa data, infatti alcune certe configurazioni vengono considerate nella somma. Per essere più precisi, se si raggruppano le cifre in blocchi di $k$ cifre a partire da destra, il numero non viene omesso se la data stringa attraversa il confine fra un blocco e un altro. Per esempio, se si vuole omettere "42", la serie in base $100$ toglierà $4217$ e $1742$, ma non $1427$. Dal momento che la serie in base 100 converge ed è più grande di quella omette tutti i "42", allora, per il teorema del confronto, anche quest'ultima converge.
Farhi considerò serie di Kempner, cioè le somme $S(d,n)$ dei reciproci degli interi positivi che hanno esattamente $n$ istanze della cifra $d$, dove $0\leq d\leq 9$ (quindi la serie originale di Kempner è $S(9,0)$). Dimostrò anche che per ogni $d$ e con $n\geq 1$, la successione dei valori di $S(d,n)$ è decrescente e converge a $10\ln 10$. È interessante notare che la successione in generale non è decrescente partendo da $n=0$; per esempio, per la serie originale di Kempner si ha
    $S(9,0)\approx 22,921<23,026\approx 10\ln 10<S(9,n),$
con $n\geq 1$.

## Metodi di approssimazione

La serie converge molto lentamente. Baillie osserva che dopo aver sommato $10^{27}$ termini, il resto è ancora maggiore di $1$. Il limite superiore di $80$ è molto grossolano, e Irwin mostrò da un'analisi delle stime leggermente più accurata che il valore della serie di Kempner è circa $23$, dopo migliorato a $22,92067$.
Baillie sviluppò una ricorsione che esprime il contributo di ogni blocco di $k+1$ cifre in termini del gruppo di lunghezza $k$, per ogni scelta della cifra omessa. Questo permette una stima molto accurata con una piccola quantità di calcolo.

## Nome della serie

La maggior parte degli autori non dà un nome a questa serie. Il nome "serie di Kempner" viene usato in MathWorld e nel libro Gamma di Havil sulla costante di Eulero-Mascheroni.