# Tensore di Einstein

Il tensore di Einstein esprime la curvatura dello spaziotempo nell'equazione di campo di Einstein per la gravitazione in teoria della relatività generale.

## Definizione

Il tensore di Einstein è definito come
    $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }.$
In questa espressione $R_{\mu \nu }$ è il tensore di Ricci, $g_{\mu \nu }$ è il tensore metrico e $R$ è la curvatura scalare. Per ottenere il tensore di Einstein si contrae due volte la seconda identità di Bianchi
    $g^{\beta \nu }g^{\alpha \mu }\left(\nabla _{\lambda }R_{\alpha \beta \mu \nu }+\nabla _{\mu }R_{\alpha \beta \nu \lambda }+\nabla _{\nu }R_{\alpha \beta \lambda \mu }\right)=0$
Contraendo gli indici e tenendo conto dell'antisimmetria del tensore di Riemann, si ottiene
    $\nabla _{\lambda }R_{\nu }^{\nu }-\nabla _{\mu }R_{\lambda }^{\mu }-\nabla _{\nu }R_{\lambda }^{\nu }=0$
Contraendo l'indice $\nu$, assimilando il secondo e il terzo termine e cambiando i segni abbiamo
    $2\nabla _{\mu }R_{\lambda }^{\mu }-\nabla _{\lambda }R=0$
Facendo uso della relazione $\nabla _{\mu }\left(2R_{\lambda }^{\mu }-\delta _{\lambda }^{\mu }R\right)=2\nabla _{\mu }R_{\lambda }^{\mu }-\nabla _{\lambda }R$, possiamo riscrivere l'equazione precedente come
    $\nabla _{\mu }\left(2R_{\lambda }^{\mu }-\delta _{\lambda }^{\mu }R\right)=0$
che è detta seconda identità di Bianchi contratta due volte. Moltiplicando entrambi i membri per $g^{\nu \lambda }$ abbiamo
    $\nabla _{\mu }\left(2R^{\nu \mu }-g^{\nu \mu }R\right)=0$
ovvero
    $\nabla _{\mu }\left(R^{\nu \mu }-{\frac {1}{2}}g^{\nu \mu }R\right)=0$
Abbassando gli indici, e tenendo conto che sia il tensore metrico che il tensore di Ricci sono simmetrici, possiamo scrivere
    $\nabla ^{\mu }\left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)=0$
La quantità tra parentesi coincide con la definizione di $G_{\mu \nu }$ data sopra.

## Proprietà
### Derivata covariante

La proprietà cruciale che caratterizza il tensore di Einstein è l'identità
    $\nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0$
conseguenza della seconda identità di Bianchi. In altre parole, il tensore di Einstein ha divergenza nulla.
Questa proprietà può essere dimostrata nel modo seguente. La seconda identità di Bianchi recita:
    $\nabla _{\lambda }R_{\rho \sigma \mu \nu }+\nabla _{\rho }R_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla _{\sigma }R_{\lambda \rho \mu \nu }=0,\,\!$
Possiamo contrarre due volte questa uguaglianza usando il tensore metrico inverso:
    $g^{\nu \sigma }g^{\mu \lambda }(\nabla _{\lambda }R_{\rho \sigma \mu \nu }+\nabla _{\rho }R_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla _{\sigma }R_{\lambda \rho \mu \nu })=0$
e otteniamo
    $\nabla ^{\mu }R_{\rho \mu }-\nabla _{\rho }R+\nabla ^{\nu }R_{\rho \nu }=0.$
In altre parole:
    $2\nabla ^{\mu }R_{\rho \mu }-\nabla _{\rho }R=0.$
L'ultima equazione è possibile riscriverla nella forma:
    $\nabla _{\rho }{R^{\rho }}_{\mu }={1 \over 2}\nabla _{\mu }R\,,$
che risulta essere identica alle classiche identità di Bianchi contratte pubblicate per la prima volta dal matematico tedesco Aurel Voss nel 1880.

### Traccia

La traccia del tensore di Ricci è la curvatura scalare $R$. La traccia $G$ del tensore di Einstein in dimensione $n$ può essere calcolata nel modo seguente:
    ${\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)\\G&={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}$
In dimensione $n=4$ il tensore di Einstein ha quindi traccia $-R$, opposta a quella del tensore di Ricci.
In dimensione $n=2$ (varietà conformemente piatta) il tensore di Einstein ha traccia nulla.