# Teorema di Ascoli-Arzelà

In analisi matematica, il teorema di Ascoli-Arzelà fornisce una condizione sufficiente affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta una sottosuccessione convergente, nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende $C([a,b])$, lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo $[a,b]$, uno spazio completo, ovvero uno spazio di Banach. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il teorema di Heine-Borel).
Il teorema è di fondamentale importanza in analisi funzionale. Prende il nome dai matematici italiani Giulio Ascoli e Cesare Arzelà.

## Il teorema

Una successione di funzioni continue $\{f_{n}\}_{n\in N}$ definite su un intervallo $[a,b]\subset \mathbb {R}$ è detta uniformemente limitata se esiste un numero $M>0$ tale che:
    $|f_{n}(x)|\leq M$
per ogni funzione $f_{n}$ della successione e per ogni $x\in [a,b]$. Una tale successione è uniformemente equicontinua se per ogni $\varepsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che:
    $|f_{n}(t)-f_{n}(\tau )|<\varepsilon \quad {\text{se}}\quad |t-\tau |<\delta$
per ogni funzione $f_{n}$ della successione. In modo equivalente, una successione è equicontinua se e solo se tutti i suoi elementi hanno il medesimo modulo di continuità.
Il teorema di Ascoli-Arzelà considera una successione $f_{n}$ di funzioni continue a valori reali definite su $[a,b]$. Se la successione è equicontinua e uniformemente limitata allora esiste una sottosuccessione $f_{n_{k}}$ convergente uniformemente.

### Generalizzazione

Una versione più generale del teorema considera gli spazi metrici. Come definizione preliminare, un insieme è relativamente compatto se la sua chiusura è compatta. Siano $X,Y$ spazi metrici, $X$ compatto ed $E$ un sottoinsieme di $C(X,Y)$. Se $E$ è equicontinuo e l'insieme $E(t)=\{f(t):f\in E\}$ è relativamente compatto per ogni $t$ in $X$, allora $E$ è relativamente compatto.

## Dimostrazione

Si consideri un ordinamento dei numeri razionali dell'intervallo $[a,b]$ ed una successione $f_{n}$. Allora essa è limitata sul primo razionale $q_{1}$, ma poiché $[-M,M]$ è un compatto (dove $M$ è la costante di uniforme limitatezza), essa ammetterà una sottosuccessione convergente su $q_{1}$, che indichiamo con $f_{1,n}$. La sottosuccessione $f_{1,n}$ è limitata sul secondo razionale $q_{2}$ e ammette dunque una sotto-sottosuccessione convergente su $q_{2}$, indicata con $f_{2,n}$. Questa a sua volta sarà limitata su $q_{3}$, e così via. Procedendo in questo modo si costruisce una successione di sottosuccessioni $f_{m,n}$ tali che $f_{m,n}$ converge per ogni $q_{i}$, con $i$ minore o uguale a $m$. A questo punto è possibile costruire una sottosuccessione estraendo la diagonale delle $f_{m,n}$, cioè prendendo la successione $f_{n,n}$ che converge su ogni razionale contenuto in $[a,b]$.
Si vuole dimostrare che la successione $f_{n,n}$ è di Cauchy su $[a,b]$, poiché la completezza dello spazio consente di concludere ciò. Si fissi dunque $\varepsilon$ e si ricavi dall'equicontinuità il $\delta$ corrispondente. Ricoprendo quindi $[a,b]$ con $N$ intervallini $I_{n}$, tutti di ampiezza minore di $\delta$, ogni $t$ dell'intervallo $[a,b]$ appartiene a un $I_{n}$. Quindi si ha:
    $|f_{n,n}(t)-f_{m,m}(t)|<|f_{n,n}(t)-f_{n,n}(q_{i})|+|f_{n,n}(q_{i})-f_{m,m}(q_{i})|+|f_{m,m}(q_{i})-f_{m,m}(t)|\$
Il primo e il terzo termine al secondo membro sono minori di $\varepsilon$, basti scegliere $q_{i}$ in $I_{j}$ ($I_{j}$ tale che $t\in I_{j}$), in virtù dell'equi-uniforme-continuità delle $f_{n}$. Il termine centrale al secondo membro è invece minore di $\varepsilon$ per $m,n$ sufficientemente grandi, poiché $f_{n,n}$ converge su tutti i razionali. $f_{n,n}$ converge puntualmente ad una $f(x)$, la successione $f_{n,n}$ è equiuniformemente continua in $[a,b]$, quindi $f_{n,n}$ converge uniformemente ad $f(x)$ in $[a,b]$, quindi in particolare $f(x)$ è continua in $[a,b]$.