# Numerosità

La numerosità di un insieme infinito, così come introdotta dal matematico italiano Vieri Benci e alcuni collaboratori, è un concetto alternativo alla cardinalità di Cantor. Mentre la cardinalità classica di Cantor classifica gli insiemi in base all’esistenza di una corrispondenza biunivoca con altri insiemi (definendo per esempio $\aleph _{0}$ per i numerabili, $\aleph _{1}$ e così via per gli infiniti di maggior “taglia”), l’idea di numerosità mira a fornire un punto di vista diverso, collegandosi a metodi di analisi non standard.
In breve, Benci e i suoi collaboratori propongono di associare a un insieme infinito un valore numerico che rispecchi la sua “quantità di elementi” in modo più diretto, senza fare ricorso unicamente alle corrispondenze biunivoche. Questo approccio utilizza strumenti di logica e analisi, cercando di dare un significato operativo alla nozione di “contare” anche quando si hanno insiemi infiniti. La numerosità si rivela così utile per lo studio di alcuni problemi di matematica discreta ed è oggetto di ricerche nell’ambito delle teorie alternative (o complementari) alla cardinalità cantoriana tradizionale.

## Principali assiomi

In modo semplificato, per definire una numerosità si assume di avere:
* Un insieme (o classe) di insiemi “etichettati” (detti anche “labelled”).
* Un insieme (o classe) ordinato di “numeri” (i possibili valori di numerosità).
* Una mappa suriettiva $\mathrm {num}$ che associa a ogni insieme il suo valore di numerosità, obbedendo a quattro principi fondamentali:
* Union Principle (principio di unione): se $\mathrm {num} (A)=\mathrm {num} (A')$ e $\mathrm {num} (B)=\mathrm {num} (B')$ e i domini di $A$ e $B$ (così come di $A'$ e $B'$) sono disgiunti, allora $\mathrm {num} (A\sqcup B)=\mathrm {num} (A'\sqcup B')$.
* Cartesian Product Principle (principio di prodotto cartesiano): se $\mathrm {num} (A)=\mathrm {num} (A')$ e $\mathrm {num} (B)=\mathrm {num} (B')$, allora $\mathrm {num} (A\times B)=\mathrm {num} (A'\times B')$.
* Zermelo's Principle (ZP): se $\mathrm {num} (A)<\mathrm {num} (B)$, allora esiste un sottoinsieme proprio $A'\subset B$ con $\mathrm {num} (A')=\mathrm {num} (A)$.
* Asymptotic Principle (AP): se per tutti $n$ la funzione di conteggio di $A$ è minore o uguale a quella di $B$, allora $\mathrm {num} (A)\leq \mathrm {num} (B)$.
Da questi principi discendono diverse proprietà, tra cui la definizione di “somma di numerosità” (come l’unione disgiunta di insiemi) e di “prodotto di numerosità” (come prodotto cartesiano).

## Esempi: insiemi infiniti numerabili

Un classico esempio è l’insieme dei numeri naturali $\mathbb {N}$, che in questo approccio viene associato a un “numero infinito” spesso indicato con $\alpha$. In particolare,
* $\mathrm {num} (\mathbb {N} )=\alpha$;
* Se si considera l’insieme dei numeri pari, nella teoria di Cantor quest’insieme è equipotente a $\mathbb {N}$, ma nella numerosità di Benci e collaboratori esso ha valore $\alpha /2$, in modo che risulti “la metà” dei naturali (e si conserva il principio: l’insieme dei pari è sottoinsieme proprio di $\mathbb {N}$, quindi deve avere numerosità minore).
Naturalmente, $\alpha /2$ non è un numero reale standard ma un elemento di un insieme non-Archimedeo che estende i naturali.

## Collegamento con l'analisi non-standard

Le idee alla base della numerosità si collegano anche all’Analisi non standard di Robinson: si ottengono sistemi numerici che includono infiniti e infinitesimi “coerenti” con operazioni di somma e prodotto. L’infinito $\alpha$ che esprime la numerosità di $\mathbb {N}$ può essere trattato come un elemento non-standard, successivo a tutti i numeri finiti, permettendo dimostrazioni e metodi tipici dell’analisi non-Archimedea.

## Applicazioni e ricerche in corso

La ricerca sulla numerosità è stata applicata o discussa in:
* classificazioni alternative delle dimensioni degli insiemi in alcuni contesti discreti o combinatori.
* Esplorazione rigorosa delle proprietà simili alle misure, a cavallo tra la teoria delle misure e l'aritmetica cardinale.
* Indagini sui fondamenti della matematica, in particolare sulla natura dell'infinito.
* Probabilità e filosofia della scienza.
Nonostante sia relativamente di nicchia, la teoria continua a essere studiata ed estesa da un piccolo gruppo di matematici interessati a questioni fondazionali o a creare un ponte tra intuizioni finite e contesti infiniti.