# Receiver operating characteristic

Nella teoria delle decisioni, le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic) sono degli schemi grafici per un classificatore binario. Lungo i due assi si possono rappresentare la sensibilità e (1-specificità), rispettivamente rappresentati da True Positive Rate (TPR, frazione di veri positivi) e False Positive Rate (FPR, frazione di falsi positivi). In altre parole, si studiano i rapporti fra allarmi veri (hit rate) e falsi allarmi.
La curva ROC viene creata tracciando il valore del True Positive Rate (TPR, frazione di veri positivi) rispetto al False Positive Rate (FPR, frazione di falsi positivi) a varie impostazioni di soglia. Il tasso di veri positivi è anche noto come sensibilità, richiamo o probabilità di rilevazione. Il tasso di falsi positivi è anche noto come fall-out o probabilità di falsi allarmi e può essere calcolato come (1 - specificità). Può anche essere pensato come un diagramma della potenza in funzione dell'errore di tipo I :quando la prestazione viene calcolata da un solo campione della popolazione, può essere considerata come una stima di queste quantità. La curva ROC è quindi il tasso dei veri positivi in funzione del tasso dei falsi positivi. In generale, se sono note le distribuzioni di sensibilità e 1-specificità, la curva ROC può essere generata tracciando la funzione di distribuzione cumulativa (area sotto la distribuzione di probabilità da $-\infty$ alla soglia di discriminazione) della probabilità di rilevamento nell'asse y rispetto alla funzione di distribuzione cumulativa della probabilità di falso allarme sull'asse x.
Il ROC è anche noto come curva Receiver Operating Characteristic, poiché è un confronto tra due caratteristiche operative (TPR e FPR) al cambiare del criterio.

## Applicazioni

Le curve ROC furono utilizzate per la prima volta durante la seconda guerra mondiale, da alcuni ingegneri elettrotecnici che volevano individuare i nemici utilizzando il radar durante le battaglie aeree. Recentemente le curve ROC sono utilizzate in medicina, radiologia, psicologia, meteorologia, veterinaria, fisica e altri ambiti, come il machine learning ed il data mining.

## Concetto basilare

Se si considera un problema di predizione a 2 classi (classificatore binario come da figura: distribuzione rossa e azzurra), scelto un valore di soglia (threshold o cut-off), rispetto a cui decidere il risultato, ovvero se appartenente alla classe positiva (p) o negativa (n), dato che le due curve di distribuzione di probabilità risultano in parte sovrapposte, sono possibili quattro risultati a seconda della posizione del valore di cut-off:
* se il risultato della predizione è positivo p e il valore vero è anche positivo p, viene chiamato vero positivo (true positive - TP);
* se invece il valore vero è negativo, il risultato viene chiamato falso positivo (false positive - FP);
* al contrario, si ha un vero negativo (true negative - TN) quando entrambi, il risultato e il valore vero, sono negativi;
* un falso negativo (false negative - FN) invece si ha quando il risultato è negativo e il valore vero è positivo.
È inoltre possibile rappresentare questo tipo di situazione utilizzando una tabella di contingenza di tipo 2×2, dove le colonne rappresentano la distinzione tra soggetti sani e malati; le righe invece rappresentano il risultato del test sui pazienti. Un risultato qualitativo del test potrebbe essere quello di andare a valutare il numero di falsi positivi e negativi; meno ve ne saranno e maggiormente il test sarà valido.
| | | valore vero | valore vero |
| | p | n | totale |
| predizione risultato | p' | Vero Positivo | Falso Positivo | P' |
| predizione risultato | n' | Falso Negativo | Vero Negativo | N' |
| totale | totale | P | N |
Una curva ROC è il grafico dell'insieme delle coppie (FP, TP) al variare di un parametro del classificatore. Per esempio, in un classificatore a soglia, si calcola la frazione di veri positivi e quella di falsi positivi per ogni possibile valore della soglia; tutti i punti così ottenuti nello spazio FP-TP descrivono la curva ROC.
Attraverso l'analisi delle curve ROC si valuta la capacità del classificatore di discernere, ad esempio, tra un insieme di popolazione sana e malata, calcolando l'area sottesa alla curva ROC (Area Under Curve, AUC). Il valore di AUC, compreso tra 0 e 1, equivale infatti alla probabilità che il risultato del classificatore applicato ad un individuo estratto a caso dal gruppo dei malati sia superiore a quello ottenuto applicandolo ad un individuo estratto a caso dal gruppo dei sani.
Le curve ROC passano per i punti (0,0) e (1,1), avendo inoltre due condizioni che rappresentano due curve limite:
* una che taglia il grafico a 45°, passando per l'origine. Questa retta rappresenta il caso del classificatore casuale (linea di «nessun beneficio»), e l'area sottesa AUC è pari a 0,5.
* la seconda curva è rappresentata dal segmento che dall'origine sale al punto (0,1) e da quello che congiunge il punto (0,1) a (1,1), avendo un'area sottesa di valore pari a 1, ovvero rappresenta il classificatore perfetto.

## Alcuni concetti

* $TPR=TP/P=TP/(TP+FN)$
* $FPR=FP/N=FP/(FP+TN)$
* accuratezza $ACC=(TP+TN)/(P+N)$