# Limite di funzioni a più variabili

In analisi matematica, il limite di funzioni a più variabili è un caso particolare del concetto generale di limite di una funzione, applicato a funzioni del tipo:
    $f:X\to \mathbb {R} ^{m}$
dove $X$ è un sottoinsieme dello spazio euclideo $n$-dimensionale $\mathbb {R} ^{n}$.
Il limite di una funzione a più variabili è spesso calcolato con criteri ad hoc e presenta aspetti specifici, non presenti per una funzione qualsiasi.

## Definizione

La definizione di limite per una funzione a più variabili segue da quella più generale per funzioni fra spazi metrici. In particolare, una funzione $f:X\to \mathbb {R} ^{m}$ definita su un insieme $X$ di $\mathbb {R} ^{n}$ ha limite $l$ in un punto di accumulazione $x_{0}$ per $X$ se per ogni numero reale $\epsilon >0$ esiste un numero reale $\delta >0$ tale che:
    $\|f(x)-l\|<\epsilon$ per ogni $x$ in $X$ con $0<\|x-x_{0}\|<\delta$.
La definizione fa uso della norma per vettori in $\mathbb {R} ^{n}$ e di una notazione vettoriale compatta per il punto $x$. Se esiste il limite $l$, questo è unico per il teorema di unicità del limite, e si indica ugualmente con:
    $l=\lim _{x\to x_{0}}f(x)$
In due variabili si possono ancora scrivere tutte le componenti senza creare una notazione troppo pesante e quindi si troverà scritto, per un limite in $\mathbb {R} ^{2}$:
    $l=\lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)$

## Componenti

Può risultare utile scrivere le componenti $f_{1},f_{2},\dots f_{m}$ della funzione $f$ e notare che la nozione:
    $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$
è equivalente a:
    $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{1}(\mathbf {x} )=l_{1}$
    $\vdots$
    $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{m}(\mathbf {x} )=l_{m}$
dove $l=(l_{1},\ldots ,l_{m})$.

## Esempio

Il limite seguente non esiste:
    $\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$
Infatti si ottengono valori diversi del limite avvicinandosi al punto $(0,0)$ da direzioni diverse. Ponendo $y=0$ e calcolando il limite destro, si ottiene:
    $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+0^{2}}}}=1$
Mentre sulla retta $x=0$ si ricava:
    $\lim _{y\to 0}{\frac {0}{\sqrt {0^{2}+y^{2}}}}=0$
Nel caso in più variabili la "direzione", ovvero la curva lungo la quale si calcola un limite è di fondamentale importanza: se una funzione ha limite nel punto, questo non deve dipendere dalla "direzione scelta".

## Calcolo

Per calcolare il limite di una funzione di due variabili $z=f(x,y)$ in un punto $(x_{0},y_{0})$, un primo metodo consiste nel fare un cambiamento di variabili in coordinate polari:
    ${\begin{cases}x=x_{0}+\rho \cos \theta \\y=y_{0}+\rho \sin \theta \end{cases}}$
e si compone la funzione:
    $f(x,y)=F(x_{0}+\rho cos\theta ,y_{0}+\rho \sin \theta )$
Inoltre vale il teorema:
    $\lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)=\lim _{\rho \to 0}F(x_{0}+\rho \cos \theta ,y_{0}+\rho \sin \theta )=L$
in modo però uniforme rispetto a $\theta$, cioè l'ampiezza dell'intervallo di $\rho$ tale che le immagini siano tutte contenute in un qualsiasi intorno dello 0 deve essere indipendente da $\theta$.
Un altro metodo invece è quello di calcolare il limite secondo le diverse curve passanti per $(x_{0},y_{0})$, cioè, all'avvicinarsi a $(x_{0},y_{0})$, secondo diverse direzioni:
    ${\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}$
componendo la funzione $f(x,y)=F[x(t),y(t)]$
    $\lim _{t\to t_{0}}F[x(t),y(t)]=L$
dove $(x_{0},y_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}))$.
In generale, con quest'ultimo metodo è estremamente difficile calcolare il limite, poiché si dovrebbe calcolarlo per tutte le infinite direzioni che avvicinano $(x_{0},y_{0})$; perciò il metodo è utile per negare l'esistenza di un ipotetico limite (come fatto nell'esempio precedente), usando il teorema delle restrizioni.