# Lente sottile

In ottica, una lente sottile è una lente che ha uno spessore trascurabile (ovvero, la distanza tra le due superfici della lente, misurata lungo l'asse ottico), rispetto ai raggi di curvatura delle sue superfici e rispetto alla lunghezza focale (la quale determina anche il rapporto tra le distanze dell’immagine e dell’oggetto, dalla lente stessa). In genere, è usata anche come esempio equivalente di un gruppo di lenti, aventi uno spessore non più trascurabile (come ad esempio, gli obiettivi fotografici). Le lenti singole il cui spessore non è trascurabile, sono talvolta chiamate lenti spesse e necessitano di calcoli più complessi, poiché l'approssimazione della lente sottile non tiene conto degli effetti ottici dovuti allo spessore, semplificando i calcoli di tracciamento dei raggi. Spesso è combinata con l'approssimazione parassiale in applicazioni come l'analisi della matrice di trasferimento dei raggi.

## Lunghezza focale

La lunghezza focale $(f)$ di una lente (in aria), è data dall'equazione:
    ${\frac {1}{f}}=(n-1)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {(n-1)d}{nR_{1}R_{2}}}\right],$
dove $n$ è l'indice di rifrazione del materiale della lente e $R_{1}$ e $R_{2}$ sono i raggi di curvatura delle due superfici. Per una lente sottile $d$ è molto più piccolo di uno dei raggi di curvatura. In queste condizioni, l'ultimo termine dell'equazione diventa trascurabile e la lunghezza focale di una lente sottile in aria, può essere approssimata a:
    ${\frac {1}{f}}\approx \left(n-1\right)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right].$
In questo caso $R_{1}$ è considerato positivo se la prima superficie è convessa, oppure negativo se la superficie è concava. I segni sono invertiti per la superficie posteriore della lente: $R_{2}$ è positivo se la superficie è concava e negativo se convessa. Questa convenzione di segno è del tutto arbitraria ed alcuni autori scelgono segni diversi per i raggi, il che modifica l'equazione.

## Formazione dell'immagine

Quando passano attraverso una lente sottile, i raggi parassiali seguono alcune semplici regole, talvolta riunite nella dicitura metodo dei tre raggi:
* Qualsiasi raggio che incide con traiettoria parallela all'asse da un lato della lente viene rifratto verso il punto focale $F$ dall'altro lato (raggio rosso).
* Qualsiasi raggio che incide sulla lente dopo aver attraversato il punto focale da un lato, esce parallelo all'asse sull'altro lato della lente (raggio giallo).
* Qualsiasi raggio che incide sulla lente attraversandone il centro verrà rifratto in modo tale che non cambi la sua direzione (raggio azzurro).
Il punto in cui i tre raggi si incontrano, sarà il punto in cui si forma l'immagine.
La relazione tra la distanza dell'oggetto che funge da sorgente $s$ e la distanza dell'immagine $s'$ può essere rappresentata come:
    ${1 \over s}+{1 \over s'}={1 \over f}$ ,
dove $f$ prende il nome di lunghezza focale (o distanza focale) ed è la distanza tra il punto $F$ e il centro della lente.
Tale relazione è conosciuta come equazione della lente sottile o equazione degli ottici.

### Tipi di immagine

Quando i raggi luminosi (emessi da una sorgente luminosa o riflessi da un oggetto illuminato) colpiscono una lente, il risultato ottico (l'immagine) che si ottiene può avere caratteristiche differenti:
* l'immagine può formarsi oppure no
* l'immagine può essere ingrandita positivamente o negativamente (impiccolita)
* l'immagine può essere dritta oppure capovolta
* l'immagine può essere reale o virtuale.
Il risultato dipende dal tipo di lente (convergente o divergente) e dal punto in cui viene posizionata la sorgente:
* Lente convergente:
** se la sorgente è posizionata ad una distanza maggiore del doppio della distanza focale $(s>2f)$, allora l'immagine sarà reale, capovolta e rimpicciolita (figura 1)
** se la sorgente è posizionata esattamente a una distanza pari al doppio della distanza focale $(s=2f)$, allora l'immagine sarà reale, capovolta e delle stesse dimensioni della sorgente
** se la sorgente è posizionata tra la distanza focale e il doppio della distanza focale $(f<s<2f)$, l'immagine sarà reale, capovolta e ingrandita
** se la sorgente si trova esattamente in $F$ $(s=f)$, l'immagine non si formerà (figura 2)
** se la sorgente si trova tra il fuoco e il centro della lente, allora l'immagine sarà dritta, ingrandita e virtuale.
* Lente divergente:
** in qualsiasi punto si posizioni la sorgente, l'immagine sarà sempre virtuale, dritta e rimpicciolita.

## Ottica fisica

Nell'ottica ondulatoria una lente è una componente che sposta la fase del fronte d'onda. Matematicamente questo può essere inteso come un prodotto del fronte d'onda per la seguente funzione:
    $\exp \left({\frac {2\pi i}{\lambda }}{\frac {r^{2}}{2f}}\right)$ .