# Radicale doppio

Si definisce radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:
    ${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}},$
oppure
    ${\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}.$
I radicali doppi si trovano nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

## Proprietà

Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare due numeri $x$ e $y$ tali che:
    ${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.$
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:
    $a+{\sqrt {b}}=x+y+{\sqrt {4xy}}.$
Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:
    $\left\{{\begin{matrix}x+y=a\\4xy=b\end{matrix}}\right.$
cioè:
    $\left\{{\begin{matrix}x+y=a\\xy={\dfrac {b}{4}}\end{matrix}}\right.$
Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica
    $t^{2}-at+{\dfrac {b}{4}}=0.$
Risolvendo quest'equazione si ottiene
    $t={\dfrac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b}}}{2}},$
e quindi:
    $x={\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}\,,\,y={\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}.$
Si ottiene così l'identità cercata:
    ${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}+{\sqrt {\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}.$
Analogamente si può ottenere:
    ${\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}.$
D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che $a$, $b$ ed $a^{2}-b$ siano positivi).
Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se $a^{2}-b$ è un quadrato perfetto. Ad esempio:
    ${\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}},$
e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:
    ${\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\dfrac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}}{2}}.$
Invece il radicale doppio ${\sqrt {3+{\sqrt {2}}}}$ non si può semplificare, dal momento che $3^{2}-2=7$ non è un quadrato perfetto.
Esempio di "quadrato perfetto razionale". Dato che $5,5^{2}-10=4,5^{2}$ in quanto $5,5^{2}-4,5^{2}=(5,5+4,5)(5,5-4,5)=10$, si ha:
    ${\sqrt {5,5-{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}}}={\sqrt {{\dfrac {11}{2}}-{\sqrt {10}}}}={\sqrt {\dfrac {11-2{\sqrt {10}}}{2}}}={\dfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {10}}+1}}{\sqrt {2}}}={\dfrac {\sqrt {({\sqrt {10}}-1)^{2}}}{\sqrt {2}}}={\dfrac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {5}}-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}={\dfrac {{\sqrt {20}}-{\sqrt {2}}}{2}}.$
Ramanujan scoprì che
    $x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\cdots }}}}}}$,
ad esempio
    ${\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.$,
ha soluzione 3 che si ottiene ponendo x = 2, n = 1, e a = 0.

## Esempi

Per calcolare un radicale quadratico doppio, quando è possibile, è conveniente in termini di tempo e chiarezza trasformare il radicando in una potenza ad esponente pari:
    ${\sqrt {5+2{\sqrt {6}}}}={\sqrt {2+3+2{\sqrt {2\cdot 3}}}}={\sqrt {\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}.$
La formula può essere usata per dimostrare che
    $\cos {\frac {\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}.$
Ecco come si procede:
    $\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos \left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{6}}\right)={\sqrt {\frac {1+\cos {\frac {\pi }{6}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}},$
adesso applicando la formula:
    ${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {4-3}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {2-{\sqrt {4-3}}}{2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},$
equivalente a
    ${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {\sqrt {\frac {4+2{\sqrt {3}}}{2}}}{2}}={\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {3}}}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {3+2{\sqrt {3}}+1}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {({\sqrt {3}}+1)^{2}}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}.$

## Esempio di radicale cubico doppio

    ${\sqrt[{3}]{{\sqrt {5}}-2}}={\sqrt[{3}]{\frac {8{\sqrt {5}}-16}{8}}}={\sqrt[{3}]{\frac {5{\sqrt {5}}-15+3{\sqrt {5}}-1}{8}}}={\sqrt[{3}]{\frac {({\sqrt {5}}-1)^{3}}{8}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$