# Teorema di Helmholtz

In matematica e fisica, il teorema di Helmholtz, anche detto teorema fondamentale del calcolo vettoriale o decomposizione di Helmholtz, il cui nome è dovuto a Hermann von Helmholtz, afferma che un campo vettoriale sufficientemente regolare è completamente determinato quando sono noti la sua divergenza e il suo rotore in ogni punto del suo dominio. In tal caso esso può essere espresso come somma di un campo vettoriale conservativo e di un campo vettoriale solenoidale.
La decomposizione di Hodge può essere vista come una generalizzazione di questo risultato, laddove, invece che campi vettoriali in $\mathbb {R} ^{3}$, si considerino forme differenziali su una varietà riemanniana. Diverse formulazioni, tuttavia, richiedono che la varietà sia un insieme compatto. Poiché $\mathbb {R} ^{3}$ non è compatto, la decomposizione di Hodge generalizza quella di Helmholtz se, invece della compattezza, si impongono determinate condizioni alla decrescita all'infinito delle forme differenziali presenti.

## Il teorema

Sia $\mathbf {F}$ un campo vettoriale differenziabile con continuità fino al secondo ordine e definito su un dominio $V\subset \mathbb {R} ^{3}$. Allora $\mathbf {F}$ può essere scritto come la somma di un campo vettoriale irrotazionale $\nabla \varphi$ e di un campo vettoriale solenoidale $\nabla \times \mathrm {A}$:
    $\mathbf {F} =-\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A}$
dove $\nabla$ è il gradiente, $\nabla \times$ il rotore e:
    $\varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}$
    $\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}$
sono detti potenziali. In particolare, $\varphi$ è il potenziale scalare, $\mathbf {A}$ il potenziale vettore.
Nel caso in cui $V$ coincida con $\mathbb {R} ^{3}$ e $\mathbf {F}$ si annulla all'infinito rapidamente, l'integrale di superficie si annulla:
    $\varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'$
Scrivendo esplicitamente i potenziali si ha la decomposizione di Helmholtz:
    $\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}\,\nabla \left(\int _{V}{{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|}}\,\operatorname {d} V'}\right)+{\frac {1}{4\pi }}\,\nabla \times \left(\int _{V}{{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|}}\,\operatorname {d} V'}\right)$
dove l'operatore nabla agisce rispetto alle coordinate $\mathbf {r'}$ all'interno degli integrali e rispetto alle coordinate $\mathbf {r}$ all'esterno. Inoltre, l'integrazione avviene sulle coordinate $\mathbf {r'}$.
Si può quindi affermare che se si ha un campo vettoriale $\mathbf {F}$ definito e regolare in tutto lo spazio di cui si conoscono $\nabla \cdot \mathbf {F}$ e $\nabla \times \mathbf {F}$, e vale la condizione:
    $\lim _{r\to \infty }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right|=\mathbf {F} _{\infty }\qquad \left|\mathbf {F} _{\infty }\right|<\infty$
allora $\mathbf {F}$ è completamente determinato dalla sua divergenza e dal suo rotore:
    $\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}\,\int _{V}{\nabla {\Biggl{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|}}{\Biggr )}\;\operatorname {d} V'}+{\frac {1}{4\pi }}\,\int _{V}{\nabla \times {\Biggl{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|}}{\Biggr )}\;\operatorname {d} V'}$

## Formulazione debole

La decomposizione di Helmholtz può essere generalizzata riducendo le assunzioni di regolarità del campo: si supponga che $\Omega$ sia un dominio lipschitziano semplicemente connesso e limitato. Ogni campo vettoriale a quadrato sommabile $\mathbf {u} \in (L^{2}(\Omega ))^{3}$ possiede una decomposizione ortogonale:
    $\mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A}$
dove $\varphi$ appartiene allo spazio di Sobolev $H^{1}(\Omega )$ delle funzioni a quadrato sommabile su $\Omega$ le cui derivate parziali (nel senso delle distribuzioni) sono a quadrato sommabile, mentre $\mathbf {A}$ appartiene allo spazio di Sobolev $H(\operatorname {curl} ,\Omega )$ dei campi vettoriali a quadrato sommabile con rotore a quadrato sommabile. Per campi $\mathbf {u} \in H(\operatorname {curl} ,\Omega )$ leggermente più lisci vale una decomposizione del tipo:
    $\mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v}$
dove $\varphi \in H^{1}(\Omega )$ e $\mathbf {v} \in (H^{1}(\Omega ))^{d}$.