# Trasformata zeta

In analisi funzionale la trasformata zeta è una trasformata integrale che permette di trasformare una funzione discreta in una funzione più semplice, utilizzata principalmente nella teoria dei segnali.

## Storia

Il concetto di trasformata zeta era già noto a Laplace, ma fu reintrodotto nel 1947 da W. Hurewicz come mezzo utile a risolvere equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti. Il termine "trasformata zeta" fu coniato successivamente, nel 1952, da Ragazzini e Zadeh, ricercatori della Columbia University. Il nome potrebbe esser derivato dall'idea che la lettera "z" sia somigliante a una lettera "s" campionata/digitalizzata, ove "s" è la lettera spesso usata per indicare la variabile indipendente nella trasformata di Laplace. Un'altra possibile origine è la presenza della lettera "Z" in entrambi i nomi Ragazzini e Zadeh. Questa nomenclatura diverge dall'usanza adottata in ambito scientifico, in cui si associa un metodo o un teorema col nome del principale sviluppatore. La terza probabile origine risiede nel dominio dei segnali discreti, che è solito essere $\mathbb {Z}$ o un suo sottoinsieme.

## Definizione
### Trasformata unilatera

Sia $x[n]$ una successione di numeri complessi, indicizzata con $n\in \mathbb {N}$. La sua trasformata unilatera è definita come la serie formale di potenze complesse
    $X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n},\qquad {\mbox{ per }}z\in \mathbb {C} .$
In teoria dei segnali questa definizione è utilizzata per valutare la trasformata della risposta all'impulso unitario di un sistema causale tempo-discreto. Solitamente, in tale ambito la successione $x[n]$ rappresenta il campionamento regolare di un segnale $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ causale (i.e. $f$ è nulla per tempi negativi), in corrispondenza dei tempi della forma $t=n\,\tau$. Il passo di campionamento $\tau >0$ è fissato. In altre parole
$x[n]=f(n\,\tau ),\qquad {\mbox{ per ogni }}n\in \mathbb {N} .$

### Regione di convergenza

La regione di convergenza è la parte di piano complesso dove la serie che definisce la trasformata della funzione converge:
    $ROC=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,\left|\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\,z^{-n}\right|<\infty \right\}$
La serie converge per valori di $z$ in modulo maggiori del raggio di convergenza $R$, definito tramite il criterio della radice come:
    $R=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|x[n]|}}$
Di applicazione meno generale è il criterio del rapporto, poiché esso richiede che i termini siano diversi da zero a partire da un $n$ arbitrario in poi. Nondimeno, spesso è più agevole calcolare il limite tramite tale criterio piuttosto che utilizzando quello della radice. Nel caso entrambi i limiti esistano, essi coincidono. Non bisogna tuttavia prendere il reciproco del limite superiore, in quanto la trasformata zeta unilatera è una serie di potenze con esponente negativo.

### Trasformata bilatera

Talvolta, può essere utile definire la trasformata di una successione $x[n]$ indicizzata su $n\in \mathbb {Z}$. In tal caso, la sua trasformata bilatera è definita come la serie formale di potenze
    $X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$
dove di nuovo $z$ è complesso.

## Formula di inversione

L'espressione della trasformata inversa, che può essere ottenuta utilizzando il teorema integrale di Cauchy, è la seguente:
    $x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz,\qquad n\in \mathbb {N} .$
dove $C$ è un percorso antiorario chiuso che è situato nella regione di convergenza di $X(z)$ e circonda l'origine del piano. La formula precedente diventa particolarmente utile quando $X(z)$ ammette un'estensione a tutto il piano complesso, tranne al più un numero finito di singolarità isolate $z_{1},\dots ,z_{\ell }$. Infatti, in tal caso si può fare appello al Teorema dei Residui ed ottenere
$x[n]=\sum _{j=1}^{\ell }\mathrm {Res} (X(z)\,z^{n-1},z_{j}),\qquad {\mbox{ per ogni }}n\in \mathbb {N}$
Inoltre, nel caso in cui le singolarità isolate $z_{1},\dots ,z_{\ell }$ siano dei poli, il calcolo dei residui nella formula precedente risulta particolarmente agevole, usando la formula
$\mathrm {Res} (X(z)\,z^{n-1},z_{j})={\frac {1}{(m_{j}-1)!}}\,\lim _{z\to z_{j}}{\frac {d^{m_{j}-1}}{dz^{m_{j}-1}}}{\BigX(z)\,z^{n-1}(z-z_{j})^{m_{j}}{\Big )}$
ove $m_{j}$ è l'ordine del polo $z_{j}$.
Un caso di particolare importanza si presenta quando $C$ è la circonferenza unitaria. In tal caso la trasformata zeta inversa assume la forma della trasformata di Fourier discreta inversa:
    $x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .\$

## Proprietà

| | Dominio del tempo | Dominio Z | Dimostrazione | ROC |
| Notazione | $x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$ | $X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$ | | ROC: $r_{2}<|z|<r_{1}\$ |
| Linearità | $a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]\$ | $a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\$ | ${\begin{array}{ll}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}\,x_{1}[n]+a_{2}\,x_{2}[n])\,z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]\,z^{-n}\\&+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]\,z^{-n}\\&=a_{1}\,X_{1}(z)+a_{2}\,X_{2}(z)\end{array}}$ | Almeno la regione di intersezione di ROC$_1$ e ROC$_2$ |
| Espansione temporale | $x_{(k)}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rk\\0,&n\not =rk\end{cases}}$ $r$ intero | $X(z^{k})\$ | ${\begin{array}{ll}X_{k}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{k}[n]\,z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]\,z^{-r\,k}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]\,(z^{k})^{-r}\\&=X(z^{k})\end{array}}$ | $r^{1/k}$ |
| Traslazione temporale | $x[n-k]$ | $z^{-k}X(z)$ | $Z\{x[n-k]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}$ Posto $j=n-k$ si ha: $\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}$ $=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}$ $=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}$ essendo $x[\beta ]=0$ se $\beta <0$. Da cui: $z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}=z^{-k}X(z)$ | ROC, eccetto $z=0\$ se $k>0\,$ e $z=\infty$ se $k<0\$ |
| Segnali periodici | $x[n+m]=x[n]$ | $X(z)={\frac {z^{m}}{z^{m}-1}}\,\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {x[k]}{z^{k}}}$ | | |
| Scalatura nel dominio z | $a^{n}x[n]\$ | $X(a^{-1}z)\$ | ${\begin{array}{lcl}Z\{a^{n}x[n]\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}&\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}&\\=X(a^{-1}z)&\\\end{array}}$ | $|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}\$ |
| Inversione temporale | $x[-n]\$ | $X(z^{-1})\$ | ${\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\ &\\=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\ &\\=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\ &\\=X(z^{-1})&\\\end{array}}$ | ${\frac {1}{r_{1}}}<|z|<{\frac {1}{r_{2}}}\$ |
| Coniugazione complessa | $x^{*}[n]\$ | $X^{*}(z^{*})\$ | ${\begin{array}{lcl}Z\{x^{*}(n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[x(n)(z^{*})^{-n}]^{*}\ &\\=[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\ ]^{*}&\\=X^{*}(z^{*})&\\\end{array}}$ | ROC |
| Parte reale | $\operatorname {Re} \{x[n]\}\$ | ${\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$ | | ROC |
| Parte immaginaria | $\operatorname {Im} \{x[n]\}\$ | ${\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$ | | ROC |
| Differenziazione | $nx[n]\$ | $-z{\frac {dX(z)}{dz}}$ | ${\begin{array}{lcl}Z\{nx(n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\ &\\=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\ &\\=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\ &\\=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\ &\\=-z{\frac {dX(z)}{dz}}&\\\end{array}}$ | ROC |
| Convoluzione | $x_{1}[n]*x_{2}[n]\$ | $X_{1}(z)X_{2}(z)\$ | ${\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}=&\\{\mathcal {Z}}\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)]z^{-n}\ &\\=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}]\ &\\=[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}][\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}]\ &\\=X_{1}(z)X_{2}(z)&\\\end{array}}$ | Almeno la regione di intersezione di ROC$_1$ e ROC$_2$ |
| Cross-correlazione | $r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]\$ | $R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}(1/z^{*})X_{2}(z)\$ | | Almeno la regione di intersezione di ROC of $X_{1}(1/z^{*})$ e $X_{2}(z)$ |
| Prima differenza | $x[n]-x[n-1]\$ | $(1-z^{-1})X(z)\$ | | Almeno la regione di intersezione di ROC of X$_1$(z) e $|z|>0$ |
| Accumulazione | $\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\$ | ${\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)$ | ${\begin{array}{lcl}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\cdot z^{-n}\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+x[n-1]+\\x[n-2]\cdots x[-\infty ])z^{-n}\\=X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{array}}$ | |
| Moltiplicazione | $x_{1}[n]x_{2}[n]\$ | ${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\frac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v\$ | | - |
| Teorema di Parseval | $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\$ | ${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\frac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v\$ | | |

### Teorema del valore iniziale e del valore finale

Analogamente alla trasformata di Laplace, anche per la trasformata zeta si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale del campionamento partendo dalla sua trasformata.
Il teorema del valore iniziale afferma che:
    $x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z)\$
se $x[n]$ è causale (ovvero nulla per n negativi).
Se la successione $x[n]$ ammette limite finito, allora $X(z)$ è una funzione analitica all'esterno del disco di raggio $1$ centrato nell'origine e il teorema del valore finale afferma che:
$x[\infty ]=\lim _{\mathbb {R} \ni z\rightarrow 1^{+}}(z-1)\,X(z)\$
Il risultato è falso senza l'ipotesi che $x[n]$ ammetta limite, come si vede facilmente prendendo la successione $x[n]=(-1)^{n}$, la cui trasformata zeta è data da
    $X(z)={\frac {z}{z+1}}$

## Trasformata di alcune funzioni notevoli

Siano:
* $u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}$
* $\delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$
| Funzione, $x[n]$ | Trasformata Z, $X(z)$ | ROC |
| $\delta [n]\,$ | $1\,$ | ${\mbox{ogni }}z\,$ |
| $\delta [n-n_{0}]\,$ | $z^{-n_{0}}\,$ | $z\neq 0\,$ |
| $u[n]\,$ | ${\frac {1}{1-z^{-1}}}$ | $|z|>1\,$ |
| $\,e^{-\alpha n}u[n]$ | $1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}$ | $|z|>|e^{-\alpha }|\,$ |
| $-u[-n-1]\,$ | ${\frac {1}{1-z^{-1}}}$ | $|z|<1\,$ |
| $nu[n]\,$ | ${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$ | $|z|>1\,$ |
| $-nu[-n-1]\,$ | ${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$ | $|z|<1\,$ |
| $n^{2}u[n]\,$ | ${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$ | $|z|>1\,$ |
| $-n^{2}u[-n-1]\,$ | ${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$ | $|z|<1\,$ |
| $n^{3}u[n]\,$ | ${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$ | $|z|>1\,$ |
| $-n^{3}u[-n-1]\,$ | ${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$ | $|z|<1\,$ |
| $a^{n}u[n]\,$ | ${\frac {1}{1-az^{-1}}}$ | $|z|>|a|\,$ |
| $-a^{n}u[-n-1]\,$ | ${\frac {1}{1-az^{-1}}}$ | $|z|<|a|\,$ |
| $na^{n}u[n]\,$ | ${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$ | $|z|>|a|\,$ |
| $-na^{n}u[-n-1]\,$ | ${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$ | $|z|<|a|\,$ |
| $n^{2}a^{n}u[n]\,$ | ${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$ | $|z|>|a|\,$ |
| $-n^{2}a^{n}u[-n-1]\,$ | ${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$ | $|z|<|a|\,$ |
| $\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$ | ${\frac {z^{2}-z\cos(\omega _{0})}{z^{2}-2z\cos(\omega _{0})+1}}$ | $|z|>1\,$ |
| $\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$ | ${\frac {z\sin(\omega _{0})}{z^{2}-2z\cos(\omega _{0})+1}}$ | $|z|>1\,$ |
| $a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$ | ${\frac {z^{2}-az\cos(\omega _{0})}{z^{2}-2az\cos(\omega _{0})+a^{2}}}$ | $|z|>|a|\,$ |
| $a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$ | ${\frac {az\sin(\omega _{0})}{z^{2}-2az\cos(\omega _{0})+a^{2}}}$ | $|z|>|a|\,$ |

## Relazione con la trasformata di Laplace

La trasformata zeta unilatera è la trasformata di Laplace di un segnale campionato in modo ideale con la sostituzione:
    $z\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{sT}\$
dove $T=1/f_{s}\$ è il periodo di campionamento, con $f_{s}$ la frequenza di campionamento (misurata in campioni per secondo o in hertz).
Sia:
    $\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$
un treno di impulsi e sia:
    ${\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}$
la rappresentazione tempo-continua del segnale $x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)$ ottenuto campionando $x(t)$. La trasformata di Laplace di $x_{q}(t)$ è data da:
    ${\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}\end{aligned}}$
Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discreta $x[n]\$, ovvero:
    $X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$
con la sostituzione $z\leftarrow e^{sT}$. Confrontando le ultime due relazioni si ottiene quindi la relazione tra la trasformata zeta unilatera e la trasformata di Laplace del segnale campionato:
    $X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}$

### Relazione tra il piano s e il piano z

Per quanto detto la variabile s può essere riscritta utilizzando la rappresentazione rettangolare come:
    $z=e^{sT}=e^{T\sigma }e^{jT\omega }=e^{T\sigma }e^{jT(\omega +{\frac {2k\pi }{T}})}\qquad k\in \mathbb {R}$
L'ultima identità deriva dal fatto che l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo i2π.
Da questa relazione si possono fare alcune considerazioni importanti
* ogni punto sul piano s la cui parte immaginaria differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento viene trasformato nello stesso punto sul piano z
* ogni punto sul piano s appartenente al semipiano negativo viene trasformato in un punto interno alla circonferenza di raggio 1 poiché $|z|=e^{T\sigma }$
* ogni punto sul piano s appartenente al semipiano positivo viene trasformato in un punto esterno alla circonferenza di raggio unitario
* ogni punto appartenente all'asse immaginario viene trasformato in un punto sulla circonferenza di raggio unitario
In virtù di queste considerazioni ha senso definire anche una striscia primaria e più strisce complementari nel piano s. La striscia primaria comprende tutti i numeri complessi con parte immaginaria compresa tra $\pm j\omega _{s}/2$, le strisce complementari si ottengono, a partire da quella primaria, per traslazione verticale di un multiplo intero della pulsazione di campionamento. Per quanto detto è possibile far corrispondere ogni punto del piano z con un punto della striscia primaria.
Al pari di quanto avviene nel piano s è possibile, anche nel piano z, tracciare dei luoghi a $\delta$ e $\omega$ costante.

### Campionamento

Si consideri un segnale tempo-continuo $x(t)$, la cui trasformata è:
    $L\{x(t)\}\equiv X(s)\equiv \int _{0}^{\infty }{x(t)e^{-st}dt}$
Se $x(t)$ è campionato uniformemente con un treno di impulsi in modo da ottenere un segnale discreto $x^{*}[k]=x(kT)$ (supponendo il processo ideale), allora può essere rappresentato come:
    $x^{*}[k]=x(kT)=\sum _{k=0}^{\infty }{x(t)\delta (t-kT)}$
dove $T$ è l'intervallo di campionamento. In tale contesto la trasformata di Laplace è data da:
    ${\begin{array}{l l l l l l}L\{x(kT)\}&=&X^{*}(s)&=&\int _{0}^{\infty }{\sum _{k=0}^{\infty }{x(t).\delta (t-kT)}e^{-st}dt}\\&=&\sum _{k=0}^{\infty }{x^{*}(k).z^{-k}},z=e^{sT}\\\left.L\{x(kT)\}\right|_{s={\frac {\ln {(z)}}{T}}}&=&\left.X^{*}(s)\right|_{s={\frac {\ln {(z)}}{T}}}&=&Z\{x^{*}(k)\}\end{array}}$

## Trasformata di Fourier a tempo discreto

La trasformata di Fourier a tempo discreto è un caso particolare della trasformata zeta:
    $X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}$
che si ottiene ponendo $z=e^{i\omega }\,$. Dal momento che $|e^{i\omega }|=1\,$, la trasformata di Fourier a tempo discreto è la valutazione della trasformata zeta sul cerchio unitario nel piano complesso.

## Modello autoregressivo a media mobile

Un sistema basato sul modello autoregressivo a media mobile è rappresentato dall'equazione:
    $\sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}\$
dove entrambi i membri possono essere divisi per $\alpha _{0}\$, se è diversa da zero, normalizzando $\alpha _{0}=1\$. In questo modo l'equazione assume la forma:
    $y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}$
Tale scrittura consente di visualizzare il fatto che l'uscita al tempo attuale $y[{n}]$ è funzione del valore dell'uscita $y[{n-p}]$ a un tempo precedente, dell'ingresso attuale $x[{n}]$ e dei precedenti valori $x[{n-q}]\$. Considerando la trasformata zeta della precedente equazione, dalle proprietà di linearità e traslazione temporale si ha:
    $Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}\$
che può essere scritta in modo da evidenziare la funzione di trasferimento:
    $H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}$
Dal teorema fondamentale dell'algebra il numeratore ha M radici, corrispondenti agli zeri di $H$, e il denominatore ha N radici, corrispondenti ai poli di $H$. Riscrivendo la funzione di trasferimento in modo da evidenziare questo fatto si ha:
    $H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}\$
dove $q_{k}\$ è il k-esimo zero e $p_{k}\$ il k-esimo polo. Se il sistema descritto da $H(z)\$ è pilotato dal segnale $X(z)\$ allora l'uscita è data da $Y(z)=H(z)X(z)$.