# Misura di Jordan

In matematica, la misura di Peano-Jordan è un'estensione della nozione di dimensione (lunghezza, area, volume) di figure più complesse, per esempio, di un triangolo, disco, o un parallelepipedo.
Risulta che un insieme per essere misurabile secondo Jordan deve essere "a buon comportamento" (dall'inglese well-behaved) in un certo senso restrittivo. Per questa ragione, è più comune lavorare con la misura di Lebesgue, che è un'estensione della misura di Peano-Jordan in una più ampia classe di insiemi. Storicamente parlando, anche se è nata prima la misura di Jordan verso la fine del XIX secolo, si preferisce utilizzare quelle che sono misure che risultano essere più precise rispetto a quest'ultima.
La misura di Peano-Jordan prende il nome dai suoi autori, il matematico francese Camille Jordan, e il matematico italiano Giuseppe Peano.

## Misura di Jordan per "insiemi semplici"

Consideriamo lo spazio euclideo R$^n$. Consideriamo il prodotto di insiemi limitati:
    $C=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})$
che sono chiusi a sinistra e aperti a destra (lavorare con intervalli semiaperti è una scelta tecnica; come vedremo più avanti, si possono usare sia insiemi sia aperti sia chiusi). Tale insieme sarà chiamato rettangolo N-dimensionale, o più semplicemente N-rettangolo. Si definisce misura di Jordan di tale rettangolo il prodotto della lunghezza dei seguenti intervalli:
    $m(C)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots (b_{n}-a_{n}).$
Consideriamo, ora, i cosiddetti insiemi semplici, talvolta chiamati polirettangoli, che sono una unione finita di rettangoli,
    $S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{k}$
per ogni k≥ 1.
Non si può definire la misura di Jordan di S come semplice somma delle misure dei singoli rettangoli, perché una tale rappresentazione di S è ben lontana dall'essere unica, e ci potrebbero essere significative intersezioni tra i rettangoli. Fortunatamente, ogni insieme S di questo tipo può essere riscritto come unione di un'altra famiglia di rettangoli, rettangoli che questa volta sono mutuamente separati, e si definisce la misura di Jordan m(S) la somma delle misure di tali rettangoli separati. Si può dimostrare che questa definizione della misura di Jordan di S è indipendente dalla rappresentazione di S come un'unione finita di rettangoli separati. È nella "riscrittura" che si usa l'ipotesi che i rettangoli siano formati da intervalli semi-aperti.

## Estensione a insiemi più complessi

Si noti che un insieme il quale è prodotto di intervalli chiusi,
    $[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$
non è un insieme semplice, così come neppure una sfera lo è. Quindi, per ora l'insieme degli insiemi misurabili secondo Jordan è ancora molto limitato. Il passo chiave è quindi definire che un insieme limitato è misurabile secondo Jordan se è "ben-approssimato" da insiemi semplici, esattamente allo stesso modo di una funzione che è integrabile secondo Riemann se è ben-approssimata da funzioni costanti a tratti.
Formalmente, per un insieme limitato B, definire la sua misura interna di Jordan come
    $m_{*}(B)=\sup _{S\subset B}m(S)$
e la sua misura esterna come
    $m^{*}(B)=\inf _{S\supset B}m(S)$
dove l'estremo inferiore e superiore sono presi sugli insiemi semplici S. L'insieme B si dice misurabile secondo Jordan se la misura interna di B è uguale alla misura esterna. Il valore delle due misure, dunque, è semplicemente chiamato "la misura di Jordan di B".
Risulta che tutti i rettangoli (aperti o chiusi), sfere, simplessi, etc..., sono misurabili secondo Jordan. Inoltre, se si considerano due funzioni continue, l'insieme dei punti dei grafici delle due funzioni è anch'esso misurabile secondo Jordan fintanto che tale insieme è limitato ed il dominio comune delle due funzioni è misurabile secondo Jordan. Tutte le unioni finite e le intersezioni di insiemi misurabili sono anch'esse misurabili secondo Jordan, come la differenza di due insiemi misurabili qualsiasi. Un insieme compatto non è necessariamente misurabile. Per esempio, l'insieme di Smith-Volterra-Cantor non lo è. La sua misura interna cessa di esistere, quando il suo complementare è denso; comunque, la sua misura esterna non cessa di esistere, dato che non può essere inferiore (infatti, è uguale) alla sua misura di Lebesgue. Inoltre, un insieme aperto e limitato non è necessariamente misurabile. Per esempio, il complementare dell'insieme di Cantor non lo è. Un insieme limitato è misurabile secondo Jordan se e solo se la sua funzione indicatrice è integrabile secondo Riemann.
Equivalentemente, per un insieme limitato B la misura interna di tale insieme è la misura di Lebesgue dell'interno di B e la misura esterna è la misura di Lebesgue della chiusura. Da ciò segue che un insieme limitato è misurabile secondo Jordan se e solo se la frontiera ha misura di Lebesgue nulla (O equivalentemente, se la frontiera ha misura di Jordan nulla; l'equivalenza vale grazie alla compattezza della frontiera).

## La misura di Lebesgue

Quest'ultima proprietà limita grandemente il tipo di insiemi che sono misurabili secondo Jordan. Per esempio, l'insieme dei numeri razionali contenuti nell'intervallo [0,1] non è misurabile secondo Jordan, dato che la frontiera è [0,1] che non ha misura nulla. Intuitivamente, l'insieme dei numeri razionali è un insieme "piccolo", dato che è numerabile, e dovrebbe avere "dimensione" zero. Questo è vero solo se si sostituisce la misura di Jordan con la misura di Lebesgue. La misura di Lebesgue di un insieme è la medesima di quella di Jordan finché l'insieme ammette una misura di Jordan. Inoltre, la misura di Lebesgue è definita per una classe più ampia di insiemi, come l'insieme dei numeri razionali sopra menzionato, e in più per tutti gli insiemi che potrebbero essere illimitati o frattali. La misura di Lebesgue, al contrario di quella di Jordan, è una vera misura, nel senso che ogni unione numerabile di insiemi misurabili secondo Lebesgue è misurabile secondo Lebesgue, mentre non vale il medesimo discorso per la misura di Jordan.