# Teorema di Riemann-Dini

In matematica, il teorema di Riemann-Dini è un teorema sulle serie a valori reali semplicemente convergenti, chiamato così in onore dei matematici Bernhard Riemann e Ulisse Dini.
Il teorema afferma che se una serie è (semplicemente) convergente, ma non assolutamente convergente, allora, dato un qualsiasi numero reale, esiste una permutazione dei suoi termini che la rende convergente a tale numero; inoltre, esistono permutazioni dei termini che rendono la serie divergente a $+\infty$ e a $-\infty$.

## Enunciato

Sia $\left\{u_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:
    $\sum _{k=0}^{n}u_{k}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\longrightarrow }}\ell \in \mathbb {R} ,$
ma non assolutamente convergente,
    $\sum _{k=0}^{n}|u_{k}|{\underset {n\longrightarrow +\infty }{\longrightarrow }}+\infty .$
Sia inoltre $\alpha \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$. Allora esiste una permutazione
    $\sigma :\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
tale che
    $\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\longrightarrow }}\alpha .$

## Dimostrazione
### Lemma

Per ogni $n\in \mathbb {N}$ si ponga
    ${\begin{aligned}a_{n}:=&\max\{u_{n},0\},\\b_{n}:=&\min\{0,u_{n}\}.\end{aligned}}$
(queste serie non sono altro che le serie dei termini, rispettivamente, positivi e negativi estratti dalla serie originaria; ovviamente tutti quelli uguali a 0 possono essere rimossi).
Allora
    $\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\longrightarrow }}+\infty \quad {\text{e}}\quad \sum _{k=0}^{n}b_{k}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\longrightarrow }}-\infty .$
Infatti, dato che la serie $\sum u_{n}$ converge e che
    ${\begin{aligned}u_{n}&=a_{n}+b_{n}\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\\|u_{n}|&=a_{n}-b_{n}\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\end{aligned}}$
allora le serie $\sum a_{n}$ e $\sum b_{n}$ o sono entrambe convergenti o entrambe divergenti. Ma se le due serie convergessero, allora anche $\sum (a_{n}-b_{n})=\sum |u_{n}|$ dovrebbe convergere, il che è assurdo. Inoltre, poiché per ogni $n\in \mathbb {N}$ $a_{n}\geq 0$ e $b_{n}\leq 0$, allora le due serie associate a tali successioni devono divergere rispettivamente a $+\infty$ e $-\infty$.

### Dimostrazione del teorema

Per semplicità si supponga che $\alpha \in \mathbb {R}$, il caso $\alpha =\pm \infty$ è analogo.

#### Costruzione della permutazione

Una possibile costruzione della permutazione σ di $\mathbb {N}$ procede nel modo seguente: si sommano i termini non negativi fino ad oltrepassare il valore $\alpha$ e in seguito si aggiungano i termini strettamente negativi fino a quando la somma parziale diventa strettamente inferiore ad $\alpha$ (questo procedimento è sempre possibile grazie al lemma). Si itera quindi la procedura, sommando i termini positivi a partire da dove ci si è fermati, in seguito i termini negativi, e via discorrendo. La permutazione σ si definisce quindi come la permutazione associata all'ordinamento dei termini utilizzato in tale procedura.

#### Convergenza

Dato che la serie $\sum u_{n}$ è convergente allora per ogni $\varepsilon >0$ esiste $N_{0}\in \mathbb {N}$ tale che
    $|u_{n}|<\varepsilon \qquad \forall n\geq N_{0}.$
Di conseguenza, prendendo $N_{1}=1+\max\{\sigma ^{-1}(0),\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}(N_{0})\}$, si ha che
    $|u_{\sigma (n)}|<\varepsilon \qquad \forall n\geq N_{1}$
(infatti certamente σ(n) > N$_0$). Sia ora $N_{2}$ il più piccolo intero maggiore di $N_{1}$ tale che $u_{\sigma (N_{2})}$ e $u_{\sigma (N_{2}+1)}$ siano di segno opposto. Per come è stata costruita la permutazione σ , si ha che
    $\left|\alpha -\sum _{k=0}^{N_{2}}u_{\sigma (k)}\right|\leq |u_{\sigma (N_{2})}|\leq \varepsilon .$
Si definisca ora, per $n\geq 2$, la proposizione
    ${\mathcal {P}}(n):\left|\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .$
È chiaro che ${\mathcal {P}}(N_{2})$ è verificata. Si supponga ora che sia vera per $n\geq N_{2}$. Distinguiamo a questo punto i due casi che seguono.

##### Primo caso

    Se
       $0<\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\leq \varepsilon ;$
    allora
       $0\leq u_{\sigma (n+1)}\leq \varepsilon$
    e dunque
       $\left|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .$

##### Secondo caso

    Se
       $-\varepsilon \leq \alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\leq 0;$
    allora
       $-\varepsilon \leq u_{\sigma (n+1)}<0$
    perciò
       $\left|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon .$
Per il principio d'induzione, risulta dimostrato che
    $\forall \varepsilon >0,\ \exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ n\geq N_{2}\Longrightarrow \left|\alpha -\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\right|\leq \varepsilon ;$
e dunque la serie converge ad $\alpha$.

## Esempio

Si prenda in esame la serie armonica a segni alterni, denotando con $\,u_{n}$ il suo termine n-esimo,
    $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ u_{n}:={\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.$
La serie $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ converge per il criterio di Leibniz, ma non converge assolutamente in quanto la serie armonica diverge positivamente.
È noto che:
    $\sum _{k=1}^{+\infty }u_{k}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots =\log(2).$
(si veda la dimostrazione fatta nella voce serie armonica a segni alterni ).
Riordinando la successione nel modo seguente,
    $1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\ +\ {\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots ,$
ossia scomponendo la serie in blocchi da tre della forma:
    ${\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{4k}}.$
Sommando i primi due termini si ha
    ${\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}={\frac {1}{2(2k-1)}},$
pertanto la successione delle somme parziali può essere riscritta come:
    $={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\cdots$
che raccogliendo il fattore 1/2 non è altro che
${\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\ldots \right)={\frac {1}{2}}\log 2,$
ossia la metà del valore della serie armonica a segni alterni.

## Teoremi derivati
### Teorema di Sierpiński

Nel teorema di Riemann, la permutazione usata per riarrangiare una serie semplicemente convergente per ottenere un certo $\mathbf {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ potrebbe avere un numero arbitrario di punti non fissi, cioè tutti gli indici dei termini della serie potrebbero essere permutati. Ci si potrebbe chiedere se è possibile riarrangiare solo gli indici in un insieme più piccolo in modo che la serie converga a un arbitrario numero reale o diverga a $\pm \infty$. La risposta a questa domanda è positiva: Sierpiński dimostrò che permutando solo i termini positivi e lasciando fissi quelli minori o uguali a zero è possibile ottenere una serie convergente a qualunque assegnato valore minore o uguale a quello della serie originale.
Questa domanda è stata inoltre esplorata usando il concetto di ideale: per esempio, Wilczyński provò che è sufficiente riarrangiare solo gli indici nell'ideale degli insiemi di densità asintotica zero. Filipów e Szuca dimostrarono che anche altri ideali hanno questa proprietà.

### Teorema di Steinitz

Data una serie convergente $\sum a_{n}$ di numeri complessi, parecchi casi possono accadere quando si considera l'insieme delle possibili somme per tutte le serie $\sum a_{\sigma (n)}$ ottenute permutando i suoi termini:
* la serie $\sum a_{n}$ potrebbe convergere assolutamente; allora tutte le serie riarrangiate convergono e inoltre allo stesso valore: l'insieme delle somme delle serie permutate si riduce ad un punto.
* la serie $\sum a_{n}$ potrebbe non convergere assolutamente; se $S$ denota l'insieme delle somme $\sum a_{\sigma (n)}$ che convergono, allora o $S$ è una retta $L$ nel piano complesso $\mathbb {C}$, della forma
       $L=\{a+tb:t\in \mathbb {R} \},\quad a,b\in \mathbb {C} ,\ b\neq 0,$
    oppure è l'intero piano complesso $\mathbb {C}$.
Più in generale, data una serie convergente di vettori in uno spazio vettoriale $E$ su $\mathbb {R}$ di dimensione finita, l'insieme delle somme delle serie permutate convergenti è uno sottospazio affine di $E$.

## Enunciato più generale

Si dimostra che il teorema può essere enunciato, in modo più potente, nella seguente forma:
Sia $\left\{u_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:
    $\sum _{k=0}^{n}u_{k}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\longrightarrow }}\ell \in \mathbb {R} ,$
ma non assolutamente convergente,
    $\sum _{k=0}^{n}|u_{k}|{\underset {n\longrightarrow +\infty }{\longrightarrow }}+\infty .$
Siano inoltre $\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ con $\alpha \leq \beta$. Allora esiste una permutazione
    $\sigma :\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$
tale che
    $\liminf _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (n)}}=\alpha$
    $\limsup _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (n)}}=\beta$.
Data la definizione di limiti inferiore e superiore, questo enunciato si riduce al precedente nel caso si scelga α = β.
Scegliendo invece α ≠ β si ha un risultato non previsto dall'enunciato precedente, ovvero che il riarrangiamento della serie sia oscillante fra α e β.