# Termine spettroscopico

In fisica il termine atomico, anche chiamato termine spettroscopico di Russell-Saunders, sintetizza il numero quantico azimutale di un sistema di particelle.
In fisica atomica, il termine atomico è usato per caratterizzare gli elettroni in un atomo, e determina un livello energetico della configurazione elettronica basandosi sull'accoppiamento di Russell-Saunders. Per il termine atomico dello stato fondamentale valgono le regole di Hund.

## Notazione

Il termine spettroscopico ha la forma
       $^{2S+1}\!L_{J}$
    dove
    $L$ è il numero azimutale, in notazione spettroscopica.
    $S$ è il numero quantico di spin, $2S+1$ è la degenerazione di spin, cioè il massimo numero di possibili stati $J$ per una data configurazione di $L$ e $S$.
    $J$ è il numero del momento angolare totale.
I primi $17$ simboli $L$ sono:
| $L$ = | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ | $12$ | $13$ | $14$ | $15$ | $16$ | ... |
| | $S$ | $P$ | $D$ | $F$ | $G$ | $H$ | $I$ | $K$ | $L$ | $M$ | $N$ | $O$ | $Q$ | $R$ | $T$ | $U$ | $V$ | (continuano in ordine alfabetico) |

## Termini, livelli e stati

Il termine spettroscopico viene usato anche per sistemi composti come nuclei atomici o molecole. Nel caso degli elettroni in un atomo, per una data configurazione elettronica si ha:
* Una combinazione dei possibili valori di $S$ e $L$ è chiamata termine, e il numero di combinazioni possibili è $(2S+1)(2L+1)$ (detti microstati).
* Una combinazione dei possibili valori di $S$, $L$ e $J$ è chiamata livello, e il numero di combinazioni possibili è $(2J+1)$.
* Una combinazione di $L,S,J$ e $M_{J}$ determina univocamente un singolo stato.
Il prodotto $(2S+1)(2L+1)$ è il numero degli autostati compositi $|S,M_{S},L,M_{L}\rangle$ per ogni assegnato valore di S e L, ma è anche il numero degli stati di base nella rappresentazione non accoppiata, dove $S$, $M_{S}$, $L$, $M_{L}$ ($M_{S}$ e $M_{L}$ sono le componenti lungo l'asse $z$ dello spin totale e del momento angolare totale rispettivamente) sono Good quantum number, ai quali corrispondono operatori mutuamente commutanti. Assegnati $S$ e $L$, gli autostati $|S,M_{S},L,M_{L}\rangle$ in questa rappresentazione (detta disaccoppiata) generano uno spazio di funzioni di dimensione $(2S+1)(2L+1)$, siccome $M_{S}=S,S-1,\dots ,-S+1,-S$ e $M_{L}=L,L-1,...,-L+1,-L$. Nella rappresentazione accoppiata, dove si tratta il momento angolare totale (momento di spin + momento orbitale), gli autostati sono $|J,M_{J},S,L\rangle$ e questi stati generano uno spazio di fnzioni di dimensione
$\sum _{J=J_{\min }=|L-S|}^{J_{\max }=L+S}(2J+1)$
siccome $M_{J}=J,J-1,\dots ,-J+1,-J$. Ovviamente, la dimensione dello spazio di funzioni nelle due rappresentazioni deve essere la stessa.
Ad esempio, per $S=1,L=2$, ci sono $(2\cdot 1+1)(2\cdot 2+1)=15\;$ stati diversi, corrispondenti al termine $^3$D, dei quali $1=(2\cdot 3+1)=7$ appartengono al livello $^3$D$_3$ (J = 3). La somma dei valori $(2J+1)$ per ogni livello appartenente allo stesso termine, deve essere uguale a $(2S+1)(2L+1)$, siccome le dimensioni, nelle due rappresentazioni, coincidono (come anticipato sopra); in questo caso, J può essere 1, 2, o 3, e dunque $3+5+7=15$.

## Grado di parità

La parità del termine atomico è data da:
    $P=(-1)^{\sum _{i}l_{i}}$
dove $l_{i}$ è il numero quantico azimutale del singolo elettrone.
Nel caso sia dispari, la parità del termine spettroscopico è indicata dall'apice "$o$", altrimenti l'apice è omesso
    $^{2}\!\mathrm {P} _{1/2}^{o}$ ha parità dispari, $^{3}\!\mathrm {P} _{0}$ ha parità pari.
In alternativa la parità può essere indicata con i pedici "$g$" o "$u$", che indicano rispettivamente gerade (termine tedesco che sta per "pari") e ungerade ("dispari"):
    $^{2}\!\mathrm {P} _{1/2,u}$ ha parità dispari, $^{3}\!\mathrm {P} _{0,g}$ ha parità pari.

## Stato fondamentale

Il termine spettroscopico dello stato fondamentale è quello dello stato con massimi $S$ e $L$.
* Considerata la configurazione elettronica più stabile, le shell complete non contribuiscono al momento angolare totale. Se tutte le shell sono complete, il termine spettroscopico è $^{1}\!S_{0}$.
* Gli elettroni si distribuiscono seguendo il principio di esclusione di Pauli, e riempiono gli orbitali partendo da quelli con il massimo numero quantico magnetico $m_{l}$ con un solo elettrone. Si assegna il massimo valore del numero quantico di spin $m_{s}$ ad ogni orbitale, ovvero $+1/2$. Quando tutti gli orbitali hanno un elettrone essi vengono completati con il secondo elettrone di spin $-1/2$ con lo stesso metodo.
* Lo spin totale $S$ è pari alla somma degli $m_{s}$ di ogni elettrone. Il momento angolare orbitale totale $L$ è pari alla somma degli $m_{l}$ di ogni elettrone.
* Il momento angolare totale è pari a $J=|L-S|$ se la shell è meno di metà completa, $J=L+S$ se la shell è più di metà completa. Se la shell è esattamente riempita a metà $L$ è nullo e $J=S$ (terza regola di Hund).

## Generalizzazione

Per calcolare il termine spettroscopico di una data configurazione elettronica si procede nel modo seguente:
* Si calcola il numero $N$ di possibili microstati di una data configurazione elettronica, si riempiono parzialmente le subshell e per un dato numero quantico orbitale $l$. Il numero totale di elettroni che possono essere disposti è $t=2(2l+1)$. Se vi sono $e$ elettroni in una data subshell il numero di possibili microstati è:
       $N={t \choose e}={t! \over {e!\,(t-e)!}}.$
    Si prenda ad esempio la configurazione elettronica del carbonio: $1s^{2}2s^{2}2p^{2}$. Dopo aver rimosso le subshell piene vi sono due elettroni nel livello $p\;(l=1)$, così che si hanno:
       $N={6! \over {2!\,4!}}=15$
    differenti microstati.
* Si disegnano quindi nel modo seguente i possibili microstati e si calcola $M_{L}$ e $M_{S}$ per ciascuno di essi, con $M=\sum _{i=1}^{e}m_{i}$, dove $m_{i}$ è o $m_{l}$ oppure $m_{s}$ per l'$i$-esimo elettrone e $M_{L,S}$ rappresenta rispettivamente il $M_{L}$ o il $M_{S}$ risultante:
    $m_{l}$     $+1$ $0$ $-1$ $M_{L}$ $M_{S}$ tutti "su" ↑ ↑ $+1$ $+1$ ↑ ↑ $0$ $+1$ ↑ ↑ $-1$ $+1$ tutti "giù" ↓ ↓ $+1$ $-1$ ↓ ↓ $0$ $-1$ ↓ ↓ $-1$ $-1$ uno "su" uno "giù" ↑↓ $+2$ $0$ ↑ ↓ $+1$ $0$ ↑ ↓ $0$ $0$ ↓ ↑ $+1$ $0$ ↑↓ $0$ $0$ ↑ ↓ $-1$ $0$ ↓ ↑ $0$ $0$ ↓ ↑ $-1$ $0$ ↑↓ $-2$ $0$
* Si conta quindi il numero di microstati per ogni combinazione di $M_{L}-M_{S}$
    $M_{S}$   $+1$ $0$ $-1$ $M_{L}$ $+2$ $1$ $+1$ $1$ $2$ $1$ $0$ $1$ $3$ $1$ $-1$ $1$ $2$ $1$ $-2$ $1$
* Si estrae la più piccola tabella rappresentante ogni possibile termine. Ogni tabella ha dimensione $(2L+1)(2S+1)$ e tutte le sue entrate saranno $1$. La prima ad essere estratta corrisponde a $M_{L}$ che varia tra $-2$ a $+2$ (cioè $L=2$), con un solo valore per $M_{S}$ (cioè $S=0$): questo corrisponde al termine $^{1}D$. Il resto della tabella è 3×3. Si estrae quindi la seconda tabella, rimuovendo le entrate per $M_{L}$ e $M_{S}$, entrambe variano tra $-1$ a $+1$ (cioè $S=L=1$, il termine $^{3}P$). La restante parte della tabella è 1×1, con $L=S=0$, cioè il termine $^{1}S$.
    $\mathbf {S=0,\;L=2\;J=2}$ $\mathbf {^{1}D_{2}}$   $M_{s}$   $0$ $M_{l}$ $+2$ $1$ $+1$ $1$ $0$ $1$ $-1$ $1$ $-2$ $1$ $\mathbf {S=1,\;L=1,\;J=2,\;1,\;0}$ $\mathbf {^{3}P_{2},\;^{3}P_{1},\,^{3}P_{0}}$   $M_{s}$   $+1$ $0$ $-1$ $M_{l}$ $+1$ $1$ $1$ $1$ $0$ $1$ $1$ $1$ $-1$ $1$ $1$ $1$ $\mathbf {S=0,\;L=0,\;J=0}$ $\mathbf {^{1}S_{0}}$   $M_{s}$   $0$ $M_{l}$ $0$ $1$
* Infine, applicando le regole di Hund, si ricava lo stato fondamentale.