# Distribuzione normale

La distribuzione normale (o distribuzione di Gauss dal nome del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, o distribuzione a Campana di Gauss), nella teoria della probabilità, è una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio.
Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è simmetrico e ha una forma a campana, nota come "curva a campana", "curva normale", "curva gaussiana" o "curva degli errori".

## Descrizione

La distribuzione normale è considerata il caso base delle distribuzioni di probabilità continue a causa del suo ruolo nel teorema del limite centrale. Un insieme di valori dato potrebbe essere normale: per stabilirlo si può usare un test di normalità. Più specificamente, assumendo certe condizioni, la somma di $n$ variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione normale al tendere di $n$ all'infinito. Grazie a questo teorema, la distribuzione normale si incontra spesso nelle applicazioni pratiche, venendo usata in statistica e nelle scienze naturali e sociali come un semplice modello per fenomeni complessi.
La distribuzione normale dipende da due parametri, la media $\mu$ e la varianza $\sigma ^{2}$, ed è indicata tradizionalmente con:
    $\ N(\mu ;\sigma ^{2}).$

## Metodologia

La distribuzione normale è caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità, cui spesso si fa riferimento con la dizione curva di Gauss o gaussiana:
    $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}~{\mbox{ con }}~x\in \mathbb {R} ,$
dove $\mu$ è il valore atteso e $\sigma ^{2}$ la varianza.
Per dimostrare che $p_{X}(x)$ è effettivamente una funzione di densità di probabilità si ricorre innanzi tutto alla standardizzazione (statistica) della variabile casuale, cioè alla trasformazione tale per cui risulta:
    $Z={\frac {x-\mu }{\sigma }},$
dove la variabile risultante $-\infty <Z<+\infty$ ha anch'essa distribuzione normale con parametri $\mu =0$ e $\sigma =1$. L'integrale della funzione di densità di probabilità della variabile casuale standardizzata $Z$ è il seguente:
    $S=\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Z}(z)dz=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz.$
Dato che deve necessariamente valere la condizione $S=1$, allora risulta anche $S^{2}=1$, quindi:
    $S^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Z}(z)dz\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Y}(y)dy,$
    $S^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {z^{2}+y^{2}}{2}}}dzdy,$
dove anche la variabile casuale $Y$ ha distribuzione normale standardizzata. Per risolvere questo integrale doppio si ricorre alle coordinate polari $z=\rho \cos \theta$ e $y=\rho \sin \theta$, dove $\rho \geq 0$ e $0\leq \theta \leq 2\pi$. La matrice jacobiana della trasformazione è
    $J(\rho ,\theta )=\left[{\begin{array}{cc}{\frac {\partial z}{\partial \rho }}&{\frac {\partial z}{\partial \theta }}\\\\{\frac {\partial y}{\partial \rho }}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}\cos \theta &-\rho \sin \theta \\\sin \theta &\rho \cos \theta \end{array}}\right],$
il cui determinante è uguale a $|J(\rho ,\theta )|=\rho (\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )=\rho$. Sostituendo nell'integrale di cui sopra si ottiene:
    $S^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{+\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-{\frac {\rho ^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}{2}}}|J(\rho ,\theta )|d\theta d\rho =\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {\rho ^{2}}{2}}}\rho \ d\rho =1.$
La sua funzione generatrice dei momenti è
    $g(x)=e^{\mu x+\sigma ^{2}{\frac {x^{2}}{2}}}.$
Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri di questa variabile casuale) sono appunto $\mu$ e $\sigma ^{2}$.
Non essendo possibile esprimere l'integrale della $p_{X}(x)$ in forma chiusa mediante funzioni elementari, è necessario rendere disponibili in forma tabellare i valori della sua funzione di ripartizione. I più usati sono:
    $68,3\%=P\left\{\mu -1,00\sigma <X<\mu +1,00\sigma \right\};$
    $95,0\%=P\left\{\mu -1,96\sigma <X<\mu +1,96\sigma \right\};$
    $95,5\%=P\left\{\mu -2,00\sigma <X<\mu +2,00\sigma \right\};$
    $99,0\%=P\left\{\mu -2,58\sigma <X<\mu +2,58\sigma \right\};$
    $99,7\%=P\left\{\mu -3,00\sigma <X<\mu +3,00\sigma \right\}.$
Essendo $p_{X}(x)$ una funzione simmetrica, è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).
Dalla variabile casuale Normale si possono ottenere altre variabili casuali, come la t di Student, la Chi Quadrato e la F di Fisher-Snedecor, nonché le loro "varianti" non centrali (t non centrale, chi quadrato non centrale e F non centrale).

## Teoremi
### Combinazione lineare di variabili gaussiane
#### Se

    $X_{1},\,X_{2},\,\cdots ,X_{n}$ sono $n$ variabili casuali Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con valore atteso $\mu _{i}$ e varianza $\sigma _{i}^{2}$,

#### allora

    la variabile casuale $Y=\alpha _{1}X_{1}+\alpha _{2}X_{2}+\cdots +\alpha _{n}X_{n}$ è a sua volta una variabile casuale Normale con valore atteso $\mu =\alpha _{1}\mu _{1}+\alpha _{2}\mu _{2}+\cdots +\alpha _{n}\mu _{n}$ e varianza $\sigma ^{2}=\alpha _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+\cdots +\alpha _{n}^{2}\sigma _{n}^{2}$.
Altri teoremi: teorema di Cochran.

### Relazioni con altre variabili casuali
#### La Normale come derivazione da altre voci

I teoremi del limite centrale sono una famiglia di teoremi che hanno in comune l'affermazione che la somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale.
Se $X$ è distribuita come una variabile casuale binomiale con $n$ molto grande (per dare un'idea di quanto grande, possiamo dire che deve essere $n>30$), e approssimativamente $np>10$, allora la binomiale può essere approssimata con una Normale con valore atteso $np$ e varianza $npq:N(np;npq)$.
Se $X$ è distribuita come una variabile casuale poissoniana con il parametro $\lambda$ molto grande (orientativamente $\lambda >10$), allora la Poissoniana può essere approssimata con una Normale con valore atteso e varianza pari a $\lambda :N(\lambda ;\lambda )$.

#### Variabili casuali derivate dalla Normale

Date $n$ distribuzioni normali $Z_{1}(0;1);\,Z_{2}(0;1);\,\cdots \,Z_{n}(0;1)$ con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. Allora
    $\chi _{n}^{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{n}^{2}$
è una variabile casuale chi quadro con $n$ gradi di libertà.
Siano $Z_{1},Z_{2},\cdots ,Z_{n}$ variabili casuali indipendenti distribuite come una Normale con media nulla e varianza unitaria, e siano inoltre $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ delle costanti tali che
    $\lambda =\sum {a_{i}^{2}},$
allora si indica con $\chi '^{2}$ la variabile casuale chi quadro non centrale con $n$ gradi di libertà costruita come
    $\chi '^{2}=\sum (Z_{i}+a_{i})^{2}.$
Se $Z\sim N(0;1)$ e $X\sim \chi _{n}^{2}$ tra loro indipendenti, allora $T=Z/{\sqrt {X/n}}$ è distribuita come una t di Student con $n$ gradi di libertà.
Se $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}{\text{ i.i.d.}}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ e $\displaystyle {\bar {X}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{n}}$ è la v.c. media campionaria, mentre ${\hat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{n}}$ è la v.c. varianza campionaria non corretta, allora ${\bar {X}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right)$ e ${\frac {n{\hat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}(n-1)$, inoltre ${\bar {X}}$ e ${\hat {\sigma }}^{2}$ sono indipendenti.
Se $Z\sim N(0;1)$ e $T=\beta \left({\tfrac {\alpha Z}{2}}+{\sqrt {{\tfrac {(\alpha Z)^{2}}{4}}+1}}\right)^{2}$, allora $T$ è una v.c. di Birnbaum-Saunders con i parametri $\alpha$ e $\beta$.

### La normale nell'inferenza bayesiana
#### Variabile casuale Gamma come priori coniugati della normale

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la normale e la distribuzione Gamma.
Se $x$ è una distribuzione normale con parametri $\mu$ e $1/\theta$
    $f(x|\theta )=N(x|\mu ;1/\theta )$
e il parametro $\theta$ ha una distribuzione $\Gamma$ con i parametri $a$ e $b$
    $g(\theta )=\Gamma (\theta |a;b),$
allora il parametro $\theta$ è distribuito a posteriori anch'esso come una variabile casuale Gamma, ma con parametri $a+{\frac {1}{2}}$ e $b+{\frac {(\mu -x)^{2}}{2}}$:
    $g(\theta |x)=\Gamma (\theta |a+1/2;b+(\mu -x)^{2}/2).$

#### Priori coniugati normale di una normale

Se $X$ è distribuita come una v.c. normale con parametri $m$ e $\sigma ^{2}$
    $f(x|m)=N(x|m;1/r^{2})$
e il parametro $m$ è distribuito a priori come una v.c. normale con i parametri $\mu$ e $\sigma ^{2}$
    $g(m)=N(m|\mu ;\sigma ^{2}),$
allora il parametro $m$ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Normale, ma con parametri:
    $(\sigma ^{2}\mu +r^{2}x)/(\sigma ^{2}+r^{2})$ e $(\sigma ^{2}r^{2})/(\sigma ^{2}+r^{2})$
    $g(m|x)=N(m|(\sigma ^{2}\mu +r^{2}x)/(\sigma ^{2}+r^{2});(\sigma ^{2}r^{2})/(\sigma ^{2}+r^{2})).$

## Storia

Abraham de Moivre, nell'ambito dei suoi studi sulla probabilità, introdusse per la prima volta la distribuzione normale in un articolo del 1733. Gauss, che a quel tempo non era ancora nato, ne fu invece un grande utilizzatore: egli propose la "distribuzione normale" studiando il moto dei corpi celesti. Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi "curva di Gauss" e "curva degli errori".
Nel 1809 il matematico americano Adrain pubblicò due derivazioni della legge normale di probabilità, simultaneamente e indipendentemente da Gauss I suoi lavori rimasero ampiamente ignorati dalla comunità scientifica fino al 1871, allorché furono "riscoperti" da Cleveland Abbe..
Nel 1835 Quételet pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una "Gaussiana", ma non andò oltre.
Fu Galton a intuire che la curva in questione, da lui detta anche "ogiva", poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine "Normale", in quanto rappresentava un substrato "normale" ovvero la "norma" per qualsiasi distribuzione presente in natura.
Nel tentativo di confrontare curve diverse, Galton - in mancanza di strumenti adeguati - si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza, dando così inizio alla statistica parametrica.