# Teorema di Weierstrass

In analisi matematica, il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo all'esistenza di massimi e minimi di funzioni di variabile reale. Il teorema può essere esteso anche a funzioni reali definite in generale su spazi topologici (e dunque anche su qualsiasi spazio metrico).

## Enunciato, per funzioni reali a una variabile reale

Sia $[a,b]\subset \mathbb {R}$ un intervallo chiuso e limitato non vuoto e sia $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ una funzione continua. Allora $f(x)$ ammette (almeno) un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto nell'intervallo $[a,b]$.

### Dimostrazione con la nozione di compattezza

Poiché $f$ è una funzione continua, essa trasforma insiemi compatti in insiemi compatti. Dato che $[a,b]$ è un intervallo chiuso e limitato, per il teorema di Heine-Borel è un compatto; quindi anche la sua immagine mediante $f$ sarà un compatto di $\mathbb {R}$, e dunque è provvista di massimo e minimo, ovvero $f$ assume un valore massimo e uno minimo in essa. Le loro controimmagini in $[a,b]$ sono rispettivamente un punto di massimo e uno di minimo assoluti.

### Dimostrazione con successioni di punti

Poniamo $s=\sup f([a,b])$ e individuiamo una successione $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $y_{n}\in f[a,b]$, tale che $y_{n}\rightarrow s$ per $n\rightarrow \infty$. Questa successione certamente esiste: infatti dalla definizione di estremo superiore segue che:
* se $s\in \mathbb {R}$, allora $\forall n\in \mathbb {N} \;\exists y_{n}\in f([a,b])$ tale che $s-{\frac {1}{n}}\leq y_{n}\leq s$.
* se $s=+\infty$, allora $\forall n\in \mathbb {N} \;\exists y_{n}\in f([a,b])$ tale che $n\leq y_{n}$.
Per ogni $n$ scegliamo ora $t_{n}\in [a,b]$ tale che $f(t_{n})=y_{n}$. Siccome $[a,b]$ è limitato, la successione $(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ è limitata, quindi per il teorema di Bolzano - Weierstrass ammette una sottosuccessione $(t_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ convergente; sia $x_{2}\in [a,b]$ il suo limite per $k\to \infty .$ Per la continuità di $f$, abbiamo $y_{n_{k}}=f(t_{n_{k}})\rightarrow f(x_{2})$ per $k\rightarrow \infty .$ D'altra parte $y_{n_{k}}\to s$ per $k\rightarrow \infty$. Per il teorema dell'unicità del limite si ha che $s\in \mathbb {R}$ e $s=f(x_{2})$. Abbiamo quindi dimostrato che la funzione $f$ assume in $x_{2}$ il suo valore massimo.
Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto $x_{1}$ dove la funzione assume il suo valore minimo assoluto.

## Necessità delle ipotesi

Chiaramente il fatto che una funzione non soddisfi le ipotesi del teorema di Weierstrass, non implica che non esistano massimo o minimo della funzione; semplicemente, rinunciando alle condizioni di Weierstrass, la loro esistenza non è garantita. Inoltre, come si vedrà nei controesempi, queste sono le ipotesi più larghe possibili per cui vale l'enunciato stesso. Il teorema non vale se cade anche solo una delle tre ipotesi.
* $f$ non continua: Si consideri $f:[-1,1]\to \mathbb {R}$ tale che $f(x)=|x|$ per $x\not =0$ e $f(0)=1$, che non è continua in $x=0$. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un minimo ma solo un estremo inferiore uguale a $0$.
* L'intervallo non è chiuso: Si consideri $f:[0,1)\to \mathbb {R} ,x\mapsto x$. Essa è continua nell'intervallo limitato $[0,1)$, che però non è chiuso. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un massimo ma solo un estremo superiore uguale a $1$.
* L'intervallo non è limitato: Si consideri $f:[0,+\infty )\to \mathbb {R} ,x\mapsto \arctan(x)$. Essa è continua $[0,+\infty )$, tuttavia l'intervallo è illimitato. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un massimo ma solo un estremo superiore uguale a $\pi /2$.

## Spazi topologici

Il teorema nell'ambito degli spazi topologici ha la seguente forma:
Sia $(X,{\mathcal {T}})$ uno spazio topologico e sia $f\colon X\to \mathbb {R}$ continua in $X$. Allora se $X$ è uno spazio compatto, $f(x)$ ammette massimo e minimo assoluti in $X$. Equivalentemente il teorema vale per i sottoinsiemi compatti di $X$. La dimostrazione è quella riportata sopra usando la nozione di compattezza.

## Importante conseguenza

Il teorema rese necessario un cambiamento della definizione originaria di massimo/minimo assoluto, la quale originariamente recitava "$x_{0}$ è il punto di massimo assoluto di una funzione $f(x)$ se $f(x)<f(x_{0})$ per qualsiasi valore di $x$ escluso $x_{0}$" e analogamente per il minimo assoluto. Secondo questa definizione, funzioni come $\sin(x)$ potrebbero non avere massimi né minimi assoluti in un intervallo sufficientemente ampio, in quanto può esserci più di un valore di $x$ che ha come immagine l'estremo superiore o inferiore del codominio. A partire dalla formulazione del teorema di Weierstrass, tutti i valori $x_{0},x_{1},x_{2},\dots$ che hanno come immagine uno stesso valore $y_{max}$ estremo del codominio si considerano tutti egualmente punti di massimo e minimo assoluti, sicché la nuova definizione, ancora adesso adottata, è "$x_{0}$ è un punto di massimo assoluto di una funzione $f(x)$ se $f(x)\leq f(x_{0})$ per qualsiasi valore di $x$" e analogamente per il minimo assoluto.