# Processo di nascita e morte

Un processo di nascita e morte è un processo stocastico markoviano a tempo continuo sullo spazio degli stati dato dall'insieme dei numeri naturali, che simula l'andamento di una popolazione i cui unici cambiamenti siano le nascite e le morti. In altre parole, se il processo si trova in uno stato n, può solamente passare o allo stato n+1 (nascita) o allo stato n-1 (morte). I processi di nascita e morte hanno importanti applicazioni in biologia, teoria delle code e demografia.

## Definizione

Un processo di nascita e morte è un processo stocastico su $\mathbb {N}$ che soddisfa le seguenti proprietà:
* Gli incrementi sono indipendenti, ossia la quantità di passaggi di stato in intervalli disgiunti sono indipendenti tra loro.
* Se il processo si trova in n, la probabilità di una nascita in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ossia per $h\to 0$
       $\mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda _{n}h+o(h).$
* Se il processo si trova in n>0, la probabilità di una morte in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ossia per $h\to 0$
       $\mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=-1)=\mu _{n}h+o(h).$
* Se il processo si trova in n, la probabilità che il processo si allontani per più di due stati è trascurabile, ossia per $h\rightarrow 0$
       $\mathbb {P} (|N_{t+h}-N_{t}|\geq 2)=o(h).$
Le quantità λ$_n$ e μ$_n$ sono i coefficienti di natalità e di mortalità.

## Proprietà

* Il processo soddisfa la proprietà di Markov.
* Il processo soddisfa la proprietà di Markov forte.
* La probabilità che il processo resti nello stesso stato in un piccolo intervallo di tempo è data, per $h\rightarrow 0$, da
       $\mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=0)=1-(\mu _{n}+\lambda _{n})h+o(h).$
* Il tempo di attesa tra un passaggio di stato e il successivo ha legge esponenziale di parametro (λ$_n$ + μ$_n$).
* Il processo di Poisson è un caso particolare di processo di nascita e morte nel caso in cui μ$_n$=0 e λ$_n$=λ per ogni n.

## Condizioni per la ricorrenza e la transitorietà

Le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà sono state stabilite da Samuel Karlin e James McGregor..
Un processo di nascita e morte è ricorrente se e solo se
    $\sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty .$
Un processo di nascita e morte è ergodico se e solo se
    $\sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{e}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}<\infty .$
Un processo di nascita e morte è nullo-ricorrente se e solo se
    $\sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{e}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}=\infty .$
Le condizioni per la ricorrenza, la transitorietà, l'ergodicità e la ricorrenza nulla possono essere derivate in una forma più esplicita.
Per ogni intero $K\geq 1$, sia $\ln _{(K)}(x)$ la $K$-esima iterazione del logaritmo naturale, ossia $\ln _{(1)}(x)=\ln(x)$, e per qualsiasi $2\leq k\leq K$, $\ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))$.
Quindi, le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà di un processo di nascita e morte sono le seguenti.
Il processo di nascita e morte è transitorio se esistono $c>1$, $K\geq 1$ e $n_{0}$, tale che per ogni $n>n_{0}$ si ha
    ${\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}+{\frac {c}{n\prod _{j=1}^{K}\ln _{(j)}(n)}},$
dove la somma vuota per $K=1$ si assume che sia 0.
Il processo di nascita e morte è ricorrente se esistono $K\geq 1$ e $n_{0}$, tali che per ogni $n>n_{0}$ si ha
    ${\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}.$
Possono essere trovate classi più ampie di processi di nascita e morte per i quali è possibile stabilire le condizioni per la ricorrenza e la transitorietà.

## Applicazione

Consideriamo il passeggiata aleatoria unidimensionale $S_{t}$, $t=0,1,\ldots$, che è definito come segue. Lasciare $S_{0}=1$ e $S_{t}=S_{t-1}+e_{t}$, $t\geq 1$, dove $e_{t}$ accetta valori $\pm 1$, e la distribuzione di $S(t)$ è definito dalle seguenti condizioni:
       $\mathbb {P} \{S_{t+1}=S_{t}+1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad \mathbb {P} \{S_{t+1}=S_{t}-1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad \mathbb {P} \{S_{t+1}=1|S_{t}=0\}=1,$
dove $\alpha _{n}$ soddisfano la condizione $0<\alpha _{n}<\min\{C,n/2\}$, $C>0$.
    Il passeggiata aleatoria qui descritto è un analogo a tempo discreto del processo di nascita e morte (vedi catena di Markov) con i tassi di natalità
       ${\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{n}}{2}},$
    e i tassi di mortalità
       ${\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{n}}{2}}.$
Quindi, la ricorrenza o la transitorietà del passeggiata aleatoria è associata alla ricorrenza o alla transitorietà del processo di nascita e morte.
    La passeggiata aleatoria è transitorio se esiste $c>1$, $K\geq 1$ e $n_{0}$ tale che per ogni $n>n_{0}$
       $\alpha _{n}\geq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K-1}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}+c\prod _{j=1}^{K}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right),$
    dove la somma vuota per $K=1$ è assunto pari a zero.
La passeggiata aleatoria è ricorrente se esiste $K\geq 1$ e $n_{0}$ tale che per ogni $n>n_{0}$
       $\alpha _{n}\leq \left(1+\sum _{k=1}^{K}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right).$