# Legge di Stefan-Boltzmann

La legge di Stefan-Boltzmann, chiamata anche legge di Boltzmann o legge di Stefan, dai due fisici austriaci Ludwig Boltzmann e Josef Stefan, è una equazione di stato per la radiazione elettromagnetica che stabilisce che l'emittanza di un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura assoluta (espressa in kelvin):
    $u=\sigma \cdot T^{4}$
dove:
* $u$ è l'emittanza termica o energia interna specifica della radiazione,
* $T$ la temperatura assoluta
* $\sigma$ è la costante di Stefan-Boltzmann.
La legge, in questo enunciato, è valida solo per corpi neri ideali.
La legge fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884. Nella trattazione contemporanea è ricondotta alla legge di Planck, di cui costituisce un integrale. Questo legame permette di ricondurre la costante di Stefan-Boltzmann alle costanti fisiche fondamentali:
    $\sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}}$.
Per la dimostrazione e la spiegazione dei termini si rimanda al paragrafo derivazione quantistica.

## Derivazione termodinamica

La legge può essere dedotta a partire da considerazioni di natura termodinamica, senza poter accedere però ad alcuna informazione per il valore della costante di Stefan-Boltzmann. Sono note le relazioni:
    $u={\frac {4}{c}}q$ e $p={\frac {1}{3}}u$
dove:
* $u$ è la densità di energia
* $c$ la velocità della luce
* $q$ l'emittanza di irraggiamento
* $p$ la pressione di radiazione
Quindi dalla relazione fondamentale dell'energia interna si ha, integrando sul volume a temperatura costante:
    $~{\rm {d}}U=T~{\rm {d}}S-p~{\rm {d}}V$
    $\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}$
per le relazioni di Maxwell ciò equivale a:
    $\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p$
    $u={\frac {1}{3}}T{\frac {\partial u}{\partial T}}-{\frac {1}{3}}u$
dove nell'ultima equazione si sono sostituite le relazioni note all'inizio. Integrando l'equazione differenziale si ottiene:
    $u=\sigma ~T^{4}$
essendo $\sigma$ una costante d'integrazione, incorporata a quattro volte l'inverso di $c$ nel valore di sigma, che veniva ricavata sperimentalmente.

### Relazione fondamentale

La continuità, differenziabilità e monotonicità dell’entropia implicano che la funzione di stato energia interna:
    $U=U(S,V)\,$
può essere invertita rispetto all'entropia:
    $S=S(U,V)\,$
La funzione entropia così ottenuta è continua e differenziabile nei suoi argomenti. Questa relazione è nota come relazione fondamentale: nota questa, tutta l'informazione termodinamica sul sistema è nota e qualunque proprietà termodinamica è da essa deducibile. La forma differenziale della relazione fondamentale è chiamata equazione di Gibbs.
Dal primo principio della termodinamica + secondo principio per sistemi in equilibrio termodinamico segue l'equazione di Gibbs:
    $dS={\frac {1}{T}}dU+{\frac {p}{T}}dV$
In generale per le variabili di stato (coordinate generalizzate):$\mathbf {x} =\{x_{i}\}$ l'equazione di Gibbs è:
$dS=\nabla S\cdot \mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\sum _{i}F_{i}dx_{i}$
dove le forze generalizzate sono:
$F_{i}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}$
mentre le relazioni $F_{i}=F_{i}(\{x_{j}\})$ sono le equazioni di stato del sistema. Nel caso di cui sopra le forze generalizzate sono:
    $F_{U}=\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V,\{N_{i}\}}={\frac {1}{T}}$
    $F_{V}=\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{U,\{N_{i}\}}={\frac {p}{T}}$
Talvolta conviene considerare invece i momenti coniugati $\mathbf {p} =\{p_{i}\}$ definiti da:
    $p_{i}={\frac {F_{i}}{T}}$
La relazione fondamentale della radiazione elettromagnetica, che ne caratterizza completamente le proprietà termodinamiche, è:
    $S={\frac {4}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{\frac {1}{4}}$
dove la costante è solo: σ
Per esso:
    $\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V}=\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {1}{4}}V^{-{\frac {1}{4}}}$
    $\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{U}={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{-{\frac {3}{4}}}$
ma siccome queste sono le forze generalizzate viste sopra, si ha che:
    ${\frac {1}{T}}=\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {1}{4}}V^{-{\frac {1}{4}}}$
    ${\frac {p}{T}}={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{-{\frac {3}{4}}}$
Queste sono le due equazioni di stato per la radiazione elettromagnetica. La prima relazione è la legge di Stefan-Boltzmann:
    $U(T,V)=\sigma VT^{4}$
ovvero per l'energia interna volumetrica della radiazione vale:
    $u(T)={\frac {U}{V}}=\sigma T^{4}$
quindi il calore specifico isocoro della radiazione è:
    $c_{v}(T)={\frac {\partial u}{\partial T}}=4\sigma T^{3}$
mentre la seconda equazione di stato è la relazione della pressione di radiazione:
    $p={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{-{\frac {3}{4}}}T={\frac {1}{3}}{\frac {U}{V}}={\frac {1}{3}}u$

## Derivazione quantistica

Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette radiazione elettromagnetica; la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura del corpo e secondariamente dalle sue caratteristiche:
    $q=\int _{0}^{\infty }I(\nu )~d\nu =\int _{0}^{\infty }I(\lambda )~d\lambda$
dove:
* $\nu$ è la frequenza della radiazione elettromagnetica;
* $h$ è la costante di Planck,
* $T$ è la temperatura assoluta,
* $I(\nu )d\nu$ è la densità di energia della radiazione elettromagnetica compresa tra $\nu$ e $\nu +d\nu$.
Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione delle frequenze non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente. Segue la legge di Planck per la radianza spettrale:
$I(T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}$
dove:
* $h$ è la costante di Planck
* $k$ è la costante di Boltzmann
* $c$ è la velocità della luce nel vuoto
* $T$ è la temperatura assoluta
* $\lambda$ è la lunghezza d'onda
* $e$ è il numero di Eulero
viene integrata su tutto il dominio di lunghezza d'onda:
$q=\int _{0}^{\infty }I(T)\operatorname {d} \lambda ={2\pi hc^{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\lambda ^{5}}{\bigle^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1{\bigr )}}}\operatorname {d} \lambda ={\frac {2\pi k^{4}T^{4}}{c^{2}h^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n^{4}}}={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}T^{4}$
si ottiene che la costante di Stefan-Boltzmann definita classicamente si può riesprimere come:
    $\sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}}$.

## Corpo radiante reale

Ovviamente il "corpo nero" è un'idealizzazione e i corpi, anche i più neri, non lo sono mai completamente. Per essere più precisi in fisica per corpo nero si intende un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente; al contrario un corpo di un certo colore (diverso da nero) non lo è perché riflette parte della luce che lo colpisce. I "corpi bianchi" infatti riflettono buona parte della radiazione che li colpisce ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono duali delle caratteristiche in assorbimento: un corpo nero, assorbitore ideale, è anche emettitore ideale. Nell'applicazione a corpi reali della legge di Stefan-Boltzmann si moltiplica la costante σ per l'emissività ε, che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione oltre che dalla sua temperatura ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per cui per i corpi reali (chiamati anche "corpi grigi") si ha:
    $\operatorname {u} =\varepsilon \sigma T^{4}$