# Spazio delle successioni

In matematica, in particolare in analisi funzionale, lo spazio delle successioni è uno spazio funzionale formato da tutte le successioni reali o complesse. Si tratta dell'insieme delle funzioni definite sull'insieme dei numeri naturali $\mathbb {N}$ a valori in $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$.
Definendo una somma, detta puntuale:
    $(x_{n})_{n=1}^{\infty }+(y_{n})_{n=1}^{\infty }:=(x_{n}+y_{n})_{n=1}^{\infty }$
e un prodotto per scalari:
    $\lambda (x_{n})_{n=1}^{\infty }:=(\lambda x_{n})_{n=1}^{\infty }$
lo spazio delle successioni viene dotato della struttura di spazio vettoriale.
Solitamente, vengono studiati appropriati sottospazi dello spazio di tutte le successioni. Un caso importante è dato dagli spazi l$^p$, solitamente denotati con $\ell ^{p}$, cioè gli spazi delle successioni tali che:
    $\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}<\infty$
Essi infatti risultano essere spazi di Banach per $1\leq p\leq \infty$. Due sottocasi importanti del precedente sono lo spazio delle successioni limitate $\ell ^{\infty }$ e lo spazio delle successioni $\ell ^{2}$, che è uno spazio di Hilbert.
Un sottospazio vettoriale di $\ell ^{\infty }$ è lo spazio c delle successioni convergenti, formato da tutti gli $x\in K^{N}$ tali che $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ esiste. Si tratta di uno spazio chiuso rispetto alla norma $\|\cdot \|_{\infty }$, ed è pertanto uno spazio di Banach. Lo spazio c$_0$ delle successioni convergenti a zero è un sottospazio chiuso di c, e dunque anch'esso uno spazio di Banach.

## Spazi ℓ$^p$

Per $0<p<\infty$, $\ell ^{p}$ è il sottospazio di $K^{N}$ formato dalle successioni $x=(x_{n})$ tali che:
    $\sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty$
Se $p\geq 1$ allora l'operazione $\|\cdot \|_{p}\to \mathbb {R}$ definita da:
    $\|x\|_{p}=\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$
definisce una norma su $\ell ^{p}$. Lo spazio $\ell ^{p}$ è uno spazio metrico completo rispetto a tale norma, e dunque è uno spazio di Banach.
Se $0<p<1$ lo spazio $\ell ^{p}$ non è munito di una norma, ma è caratterizzato da una distanza:
    $d(x,y)=\sum _{n}|x_{n}-y_{n}|^{p}$
Se $p=\infty$ allora $\ell ^{\infty }$ è lo spazio di tutte le successioni limitate. Rispetto alla norma:
    $\|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|$
è anche uno spazio di Banach.

### Lo spazio ℓ$^2$

Si definisce spazio $\ell ^{2}$ lo spazio delle successioni reali o complesse definito nel modo seguente:
    $\ell ^{2}(\mathbb {R} )=\left\{\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },x_{i}\in \mathbb {R} \ {\Bigg |}\ \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}<\infty \right\}$
Lo spazio $\ell ^{2}$ è uno spazio vettoriale. Inoltre è uno spazio metrico se definiamo la distanza come:
    $d({\vec {x}},{\vec {y}})=\left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}-y_{k}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$
La dimostrazione è fatta utilizzando la disuguaglianza di Minkowski e la disuguaglianza di Hölder. Inoltre è uno spazio che ammette sottoinsiemi numerabili densi e ciò ci dice che è anche separabile.

### I sottospazi c e c$_0$

Lo spazio c è lo spazio vettoriale formato da tutte le successioni convergenti $(x_{n})$ di numeri reali o complessi.
Definendo una norma uniforme:
    $\|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|$
lo spazio c diventa uno spazio di Banach. Si tratta di un sottospazio vettoriale chiuso dello spazio delle successioni limitate $\ell ^{\infty }$, e contiene a sua volta (come suo sottospazio chiuso) lo spazio di Banach c$_0$ delle successioni che convergono a zero.
Lo spazio duale c* di c è isometricamente isomorfo a $\ell ^{1}$, come lo è il duale c*$_0$ di c$_0$. In particolare, né c né c$_0$ sono riflessivi. L'isomorfismo di $\ell ^{1}$ con c* è dato dal fatto che se $(x_{0},x_{1},\dots )\in \ell ^{1}$ allora l'accoppiamento con un elemento $(y_{1},y_{2},\dots )$ di c è dato da:
    $x_{0}\lim _{n\to \infty }y_{n}+\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}$
Si tratta di una versione del teorema di rappresentazione di Riesz. Per c$_0$ l'accoppiamento tra $(x_{i})\in \ell ^{1}$ e $(y_{i})$ in c$_0$ è invece definito da:
    $\sum _{i=0}^{\infty }x_{i}y_{i}$

## Spazio delle serie limitate

Lo spazio delle serie limitate, denotato con bs, è lo spazio delle successioni $x$ tali che:
    $\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty$
Definendo la norma:
    $\|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert$
lo spazio bs è uno spazio di Banach isometricamente isomorfo a $\ell ^{\infty }$ mediante la corrispondenza lineare:
    $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }$
Il sottospazio cs è composto da tutte le serie convergenti. Lo spazio Φ o c$_{00}$ è inoltre definito come lo spazio delle successioni infinite che possiedono un numero finito di termini non nulli (a supporto finito).

## Esempi

* Lo spazio delle successioni convergenti:
    $c=\{(x_{n})_{n=1}^{\infty }:\exists M{\mbox{ tale che }}\lim _{n}|x_{n}-M|=0\}$
* Lo spazio delle successioni infinitesime $c_{0}$, un sottocaso del precedente che si ottiene con $M=0$.
* Lo spazio $\Phi$ delle funzioni a supporto finito (cioè non nulle solo per un numero finito di indici).
* Lo spazio di Baire delle successioni di numeri naturali.