# Tempo proprio

In fisica, la durata di un fenomeno misurata in un sistema di riferimento solidale al fenomeno si chiama intervallo di tempo proprio o, in breve, tempo proprio. È dunque indipendente dalle coordinate ed è uno scalare di Lorentz, ossia invariante per trasformazioni di Lorentz.
Il concetto, introdotto nel 1908 da Hermann Minkowski, è l’analogo spaziotemporale della lunghezza di un arco nello spazio euclideo tridimensionale. Esso consente di parametrizzare il tempo misurato da un osservatore fermo rispetto ad un altro osservatore in moto ed è informalmente definito come il tempo trascorso tra due eventi misurato da un orologio che passa attraverso entrambi.
La necessità di utilizzare questa grandezza è sorta in seguito alla teoria della relatività ristretta, in cui la misura di un intervallo temporale in un sistema di riferimento in quiete è minore della stessa misura compiuta a sistema incipiente, ovvero in un sistema di riferimento in accelerazione (dilatazione del tempo).

## Definizione
### Relatività ristretta

Si consideri un orologio che si muove con velocità costante e un sistema di riferimento cartesiano inerziale solidale con esso. Rispetto ad un secondo sistema di riferimento a riposo, in un tempo $dt$ l'orologio compie un percorso la cui lunghezza è data da ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$, dove $dx$, $dy$ e $dz$ sono variazioni infinitesime della posizione dell'orologio nel sistema fermo. Poiché in relatività speciale l'intervallo spazio-temporale che resta invariato tra due sistemi in moto relativo uniforme è dato da:
    $ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=c^{2}d\tau ^{2}$
dove $d\tau$ è l'intervallo temporale nel sistema in moto, l'intervallo di tempo misurato dall'orologio in moto è dato dall'integrale di $ds/c$ lungo la sua linea di universo. Tale integrale è massimo se la linea di universo interessata è una retta. Dalla precedente relazione si ricava:
    $d\tau =dt{\sqrt {1-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}dt^{2}}}}}=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
dove:
    $v^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}$
è la velocità del sistema in moto. Si ha pertanto:
    $d\tau ={\frac {ds}{c}}=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\qquad {\tau }_{2}-{\tau }_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
Il tempo proprio $\tau$ misurato dall'orologio in moto è definito per una velocità arbitraria nel seguente modo:
    $\tau =\int {\frac {dt}{\gamma }}=\int {\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}\,dt=\int {\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}\,dt$
dove $v(t)$ è la velocità al tempo $t$, mentre $x$, $y$ e $z$ sono le coordinate spaziali.
Se il tempo e le coordinate spaziali sono parametrizzate da $\lambda$, si può scrivere:
    $\tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda$
In forma differenziale tale espressione diventa un integrale di linea:
    $\tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-{dx^{2} \over c^{2}}-{dy^{2} \over c^{2}}-{dz^{2} \over c^{2}}}}$
dove $P$ è il cammino seguito dall'orologio nel sistema di riferimento.
La quantità $ds=cd\tau$ è così invariante in seguito ad una trasformazione di Lorentz. Una grandezza che si conserva in tal modo è detta invariante di Lorentz, e l'insieme di trasformazioni che lasciano invariato $ds^{2}$ è il gruppo di Lorentz.

### Relatività generale

La teoria della relatività generale consente di generalizzare i risultati della relatività ristretta utilizzando il formalismo tensoriale. Si consideri uno spaziotempo descritto da una varietà pseudo-riemanniana, caratterizzata da un tensore metrico $g_{\mu \nu }$, nella quale è definito un sistema di coordinate $x^{\mu }$. L'intervallo $ds$ tra due eventi distanti $dx^{\mu }$ è dato da:
    $ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }$
dove $s$ può essere di genere spazio, di genere luce o di genere tempo a seconda che $s^{2}$ sia rispettivamente minore, uguale o maggiore di zero. Nel primo caso l'intervallo non può essere attraversato poiché richiederebbe una velocità superiore alla velocità della luce $c$, nel secondo caso la velocità necessaria è esattamente $c$ e la conversione al tempo proprio è banale, nel terzo caso è consentito l'attraversamento di oggetti massivi. Considerando la radice quadrata di entrambi i membri dell'elemento di linea si ha che il tempo proprio $\tau$ misurato dall'orologio in moto lungo un cammino di genere tempo $P$ è dato dall'integrale di linea:
    $\tau =\int _{P}\,d\tau$
dove:
    $d\tau ={\sqrt {dx_{\mu }\;dx^{\mu }}}={\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }\;dx^{\nu }}}$
in cui si è usata la notazione di Einstein.

## Esempio

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. Inoltre, la sua norma è solitamente posta uguale alla velocità della luce c, e cambia solo la direzione.
In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate $x^{i}(t)$, con $i\in \{1,2,3\}$, espresse in funzione del tempo $t$:
    $\mathbf {x} =x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}$
dove $x^{i}(t)$ è l'i-esima componente della posizione al tempo $t$. Le componenti della velocità ${\mathbf {u} }$ nel punto $p$ tangente alla traiettoria sono:
    ${\mathbf {u} }=(u^{1},u^{2},u^{3})={\mathrm {d} \mathbf {x} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}=\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)$
dove le derivate sono valutate in $p$.
Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono $x^{\mu }(\tau )$, con $\mu \in \{0,1,2,3\}$, in cui $x^{0}$ è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio $\tau$:
    $x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}$
Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:
    $t=\gamma \tau \,$
la quadrivelocità relativa a $\mathbf {x} (\tau )$ è definita come:
    $U^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }(\tau )}{\mathrm {d} \tau }}$