# Teorema della divergenza

In matematica e fisica, il teorema della divergenza, detto anche teorema di Ostrogradskij per il fatto che la prima dimostrazione è dovuta a Michail Ostrogradskij, è la generalizzazione a domini $n$-dimensionali del teorema fondamentale del calcolo integrale. A sua volta, esso è un caso speciale del più generale teorema di Stokes.
Talvolta il teorema è meno propriamente detto teorema di Gauss poiché fu storicamente congetturato da Carl Gauss, da non confondere col teorema di Gauss-Green, che invece è un caso speciale (ristretto a 2 dimensioni) del teorema del rotore, o con il teorema del flusso.

## Storia

Il teorema è stato enunciato per la prima volta da Joseph-Louis Lagrange nel 1762; Carl Friedrich Gauss (1813) e George Green (1825) ne forniscono formulazioni equivalenti in maniera del tutto indipendente. La prima dimostrazione appare però solo nel 1831 ad opera di Michail Ostrogradskij.

## Enunciato

Si consideri un insieme $V\subset \mathbb {R} ^{n}$ compatto delimitato da una superficie liscia $\partial V$. Se $\mathbf {F}$ è un campo vettoriale differenziabile con continuità (di classe $C^{1}$) definito in un intorno di $V$, si ha:
    $\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,dV=\oint _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,$
dove $d\mathbf {S} =\mathbf {n} \ dS$ è l'elemento di superficie. In altri termini, il flusso di $\mathbf {F}$ attraverso la superficie chiusa $\partial V$ coincide con l'integrale della divergenza di $\mathbf {F}$ svolto nel volume $V$ di cui la superficie è frontiera. Il termine a sinistra è pertanto un integrale di volume su $V$, quello a destra è un integrale di superficie. Il vettore $\mathbf {n}$ è il versore uscente normale alla superficie.
In modo più generale, si può utilizzare il teorema di Stokes per uguagliare l'integrale su un volume n-dimensionale della divergenza di un campo vettoriale $\mathbf {F}$ definito sulla regione $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ all'integrale di $\mathbf {F}$ sulla superficie (di dimensione n-1) che costituisce il bordo di $U$:
    $\int _{U}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV_{n}=\oint _{\partial U}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS_{n-1}.$
In una notazione più concisa si può scrivere:
    $\int _{V}{\dfrac {\partial F_{i}}{\partial x_{i}}}dV=\int _{S}F_{i}n_{i}\,dS,$
sicché rimpiazzando $\mathbf {F}$ con un campo tensoriale $T$ di ordine n si ottiene la generalizzazione:
    $\int _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}dV=\int _{S}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,dS,$
dove si verifica la contrazione degli indici in entrambi i membri della relazione, per almeno un indice. Si può estendere la precedente relazione, che vale in tre dimensioni, a varietà di dimensione arbitraria.

### Corollari

Applicando il teorema della divergenza in altri contesti si ottengono utili identità matematiche.
* Nel caso del prodotto di una funzione scalare $g$ ed un campo vettoriale $\mathbf {F}$ si ha:
    $\int _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]dV=\oint _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ dS.$
    Un caso speciale è $\mathbf {F} =\nabla f$, in cui il teorema è alla base delle identità di Green.
* Nel caso del prodotto vettoriale di due campi vettoriali $\mathbf {F} \times \mathbf {G}$, si ha:
    $\int _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,dV=\oint _{\partial V}\mathbf {F} \times \mathbf {G} \cdot d\mathbf {s} .$
* Nel caso del prodotto di una funzione scalare $f$ ed un vettore non nullo costante, si può mostrare che vale il seguente teorema:
    $\int _{V}\nabla f\,dV=\oint _{\partial V}fd\mathbf {S} .$
* Nel caso del prodotto vettoriale di un campo vettoriale $\mathbf {F}$ ed un vettore non nullo costante, si può mostrare che vale il seguente teorema:
    $\int _{V}\nabla \times \mathbf {F} \,dV=\oint _{\partial V}d\mathbf {S} \times \mathbf {F} .$

### Applicazioni geometriche

Dal teorema della divergenza si possono ricavare le formule per trovare la misura di un dominio piano $\Omega$ racchiuso da $\partial \Omega$:
    $\mu (\Omega )={\begin{cases}\displaystyle \oint x\,dy,\\-\displaystyle \oint y\,dx,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}\oint (x\,dy-y\,dx).\end{cases}}$
La terza relazione risulta molto utile quando si utilizzano le coordinate polari, dove $x\,dy-y\,dx=r^{2}\,d\vartheta$.
Dato uno spazio $n$-dimensionale, la divergenza del vettore posizione è $\mathrm {div} \,{\bf {x}}=\displaystyle {\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{1}}}+\ldots +{\frac {\partial x_{n}}{\partial x_{n}}}=n$. Per una palla di dimensione $n$ e raggio $R=\|{\bf {{x}\|}}$ segue che:
    $\oint _{S}{\bf {x}}\cdot {\hat {n}}\,dS={\begin{cases}\displaystyle \int _{V}n\,dV=nV\\\displaystyle \oint _{S}{\bf {x}}\cdot {\frac {\bf {x}}{R}}\,dS=RS\end{cases}}$
da cui segue
    $S={\frac {nV}{R}}.$
Quindi, se la palla è una sfera vera e propria, conoscendo il suo volume (${\frac {4}{3}}\pi R^{3}$) è possibile ricavarne la superficie ($4\pi R^{2}$), così come per un cerchio ($\pi R^{2}$) ricavarne la circonferenza ($2\pi R$).

## Dimostrazione

Sappiamo valere la seguente affermazione: sia $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{3}$ un aperto G-ammissibile. Sia $i\in \{1,2,3\}$ e sia $\mathbf {f} \in {\mathcal {C}}^{1}({\bar {\Omega }})$ con ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\in {\mathcal {C}}^{0}({\bar {\Omega }})$
Allora $\int _{\Omega }{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}dxdydz=\int _{\partial \Omega }\mathbf {f} n_{i}d\sigma$ dove $n_{i}$ è la componente $i$-esima della normale esterna a $\partial \Omega$
Sommando su $i$ si ottiene $\int _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {f} dxdydz=\int _{\partial \Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {n} d\sigma$ che è l'enunciato del teorema.

## Divergenza in coordinate curvilinee

Il teorema della divergenza può essere usato per esprimere la divergenza in un sistema di coordinate curvilinee. Si consideri un riferimento sferico: ogni volta che si varia una coordinata di una quantità infinitesima viene percorso un arco di lunghezza opportuna $dh$. Al variare della distanza radiale $r$ si ha $dh_{r}=h_{r}\,dr=dr$, al variare dell'angolo $\theta$ si ha $dh_{\theta }=h_{\theta }\,d\theta =r\,d\theta$ mentre al variare dell'angolo $\psi$ si ha che $dh_{\psi }=h_{\psi }\,d\psi =r\sin \theta \,d\psi$. Si possono così calcolare i contributi di flusso come nel caso delle coordinate cartesiane. Ad esempio, il flusso attraverso le facce del cubo in figura normali alla direzione radiale è:
    $dh_{\theta }(r+dr)dh_{\psi }(r+dr)F_{r}(r+dr)-dh_{\theta }(r)dh_{\psi }(r)F_{r}(r)={\frac {\partial dh_{\theta }dh_{\psi }F_{r}}{\partial r}}dr$
e formule analoghe valgono per le altre componenti. La divergenza del campo si ottiene dividendo il flusso totale per il volume $dv=h_{r}h_{\theta }h_{\psi }\,drd\theta d\psi$ del cubo:
    $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{r}h_{\theta }h_{\psi }}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(h_{\theta }h_{\psi }F_{r}\right)+{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(h_{r}h_{\psi }F_{\theta }\right)+{\frac {\partial }{\partial \psi }}\left(h_{r}h_{\theta }F_{\psi }\right)\right].$
Questa uguaglianza vale in un generico sistema di riferimento, ma nel caso considerato può essere esplicitata sostituendovi le espressioni che definiscono i coefficienti metrici $h$ in coordinate sferiche (essi rappresentano le lunghezze degli archi elementari rapportate agli incrementi delle coordinate che li hanno prodotti):
    $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} =\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial r^{2}F_{r}}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sin \theta F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\psi }}{\partial \psi }}\right]$
e relazioni simili sono valide, ad esempio, in coordinate cilindriche.

## Equazione di continuità

La forma differenziale dell'equazione di continuità può essere derivata utilizzando il teorema della divergenza. Si supponga che una quantità $q$ sia contenuta in una regione di volume $V$ il cui contorno è $\partial V$, e che la sua densità sia $\varphi$.
    $q(t)=\int _{V}\varphi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} V$
La variazione di $q$ rispetto al tempo è espressa dalla derivata temporale:
    ${\frac {\partial q(t)}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\varphi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} V=-\oint _{\partial V}\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\Sigma (t)$
ed usando il teorema della divergenza:
    $\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} V=-\int _{V}{\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}\mathrm {d} V+\int _{V}\sigma (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} V.$
Tale relazione è vera solo se gli integrandi sono uguali, ossia:
    $\nabla \cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}+\sigma (\mathbf {r} ,t).$

## Connessione con altri operatori

Si consideri un campo scalare $f$ ed un versore $\mathbf {j}$. Applicando al campo $f\mathbf {j}$ il teorema della divergenza si ottiene:
    $\oint _{\partial V}f\mathbf {j} \cdot \ d\mathbf {s} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot f\mathbf {j} \ dv=\int _{V}\mathbf {\nabla } f\cdot \mathbf {j} \ dv,$
dove nell'ultima uguaglianza compare l'operatore gradiente. Questo risultato rimane valido se si sostituisce a $\mathbf {j}$ un qualunque altro versore della terna ortonormale. Quindi si ha:
    $\oint _{\partial V}fd\mathbf {s} =\int _{V}\mathbf {\nabla } fdv$
e la relazione ottenuta riveste una certa utilità in alcuni contesti. Se invece si considera un campo tridimensionale $\mathbf {F}$ e il corrispondente prodotto vettoriale $\mathbf {j} \times \mathbf {F}$, procedendo in maniera analoga si ottiene una formula simile in funzione del rotore:
    $\oint _{\partial V}d\mathbf {s} \times \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} dv.$