# Porta NOT controllata

Nell'informatica, la porta NOT controllata (anche C-NOT o CNOT) è una porta quantistica; ed è un componente essenziale nella costruzione di un computer quantistico. Può essere utilizzato per entangle e disentangle gli stati EPR. Qualsiasi circuito quantistico può essere simulato con un grado arbitrario di accuratezza utilizzando una combinazione di porte CNOT e rotazioni sul singolo qubit.

## Operazioni

La porta CNOT opera su un registro quantistico costituito da 2 qubit. La porta CNOT inverte il secondo qubit (il qubit target) se e solo se il primo qubit (il qubit di controllo) è $|1\rangle$.
| INPUT | INPUT | OUTPUT | OUTPUT |
| Controllo | Target | Controllo | Target |
| $|0\rangle$ | $|0\rangle$ | $|0\rangle$ | $|0\rangle$ |
| $|0\rangle$ | $|1\rangle$ | $|0\rangle$ | $|1\rangle$ |
| $|1\rangle$ | $|0\rangle$ | $|1\rangle$ | $|1\rangle$ |
| $|1\rangle$ | $|1\rangle$ | $|1\rangle$ | $|0\rangle$ |
Se si consente solo $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ come valori di input per entrambi i qubit, l'uscita TARGET della porta CNOT corrisponde al risultato di una porta XOR classica. Fissando l'ingresso di CONTROLLO a $|1\rangle$, l'uscita TARGET della porta CNOT produce il risultato di una porta NOT classica.
Più in generale, gli input possono essere una sovrapposizione lineare di $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$. La porta CNOT trasforma lo stato quantico:
    $a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle$
in:
    $a|00\rangle +b|01\rangle +c|11\rangle +d|10\rangle$
La porta CNOT può essere rappresentata dalla matrice (forma della matrice di permutazione):
    $\operatorname {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.$
La prima realizzazione sperimentale di una porta CNOT fu compiuta nel 1995. Qui fu usato un singolo ione berillio in una trappola. I due qubit sono stati codificati in uno stato ottico e nello stato vibrazionale dello ione all'interno della trappola. Al momento dell'esperimento, l'affidabilità dell'operazione CNOT è stata misurata nell'ordine del 90%.
Oltre a una normale porta NOT controllata, è possibile costruire una porta NOT controllata dalla funzione che accetta un numero arbitrario n + 1 di qubit come input, dove n + 1 è maggiore o uguale a 2 (un registro quantistico). Questa porta inverte l'ultimo qubit del registro se e solo se una funzione incorporata, con i primi n qubit come input, restituisce un 1. La funzione della porta NOT controllata è un elemento essenziale dell'algoritmo di Deutsch-Jozsa.

## Comportamento nella base trasformata di Hadamard

Se visto solo nella base computazionale $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$, il comportamento del C$_{NOT}$ sembra essere come l'equivalente porta classica. Tuttavia, la semplicità nell'etichettare il qubit di controllo e il target non riflette la complessità di ciò che accade per la maggior parte dei valori di input di entrambi i qubit.
L'intuizione può essere vinta esprimendo la porta C$_{NOT}$ rispetto ad una base trasformata di Hadamard $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$. La base trasformata di Hadamard di un registro di un qubit è data da
    $|+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ),\qquad |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ),$
e la base corrispondente di un registro a 2 qubit è
    $|++\rangle =|+\rangle |+\rangle ={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )$,
ecc. Utilizzando un C$_{NOT}$ su questa base, lo stato del secondo qubit rimane invariato, e lo stato del primo qubit viene capovolto, in base allo stato del secondo bit. (Per i dettagli vedi sotto). Così, in questa base, il senso di quale bit sia il bit di controllo e quale il bit target viene invertito, ma non abbiamo affatto cambiato la trasformazione, solo il modo in cui ci stiamo pensando.
La base computazionale $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ è la base di autovettori per la rotazione nella direzione Z, mentre la base di Hadamard $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ è la base di autovettori per ruotare nella direzione X. Passando a X e Z e ai qubit 1 e 2, quindi, si ripristina la trasformazione originale. Ciò esprime una simmetria fondamentale della porta CNOT.
Osservare che entrambi i qubit sono (ugualmente) influenzati in un'interazione C$_{NOT}$ è importante quando si considera il flusso di informazioni in sistemi quantici correlati.

## Dettagli del calcolo

Lavorando attraverso ciascuno degli stati base di Hadamard, il primo qubit si sposta tra $|+\rangle$ e $|-\rangle$quando il secondo qubit è $|-\rangle$:
| Stato iniziale in base Hadamard | Stato equivalente in base computazionale | Operatore applicato | Stato in base computazionale dopo C$_{NOT}$ | Stato equivalente in base Hadamard |
| $|++\rangle$ | ${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )$ | C$_{NOT}$ | ${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|11\rangle +|10\rangle )$ | $|++\rangle$ |
| $|+-\rangle$ | ${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle )$ | C$_{NOT}$ | ${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle +|11\rangle -|10\rangle )$ | $|--\rangle$ |
| $|-+\rangle$ | ${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle -|10\rangle -|11\rangle )$ | C$_{NOT}$ | ${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle -|11\rangle -|10\rangle )$ | $|-+\rangle$ |
| $|--\rangle$ | ${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle )$ | C$_{NOT}$ | ${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle -|11\rangle +|10\rangle )$ | $|+-\rangle$ |
Un circuito quantistico che esegue una trasformata di Hadamard seguita da C$_{NOT}$ e un'altra trasformata di Hadamard e può essere descritto in termini di operatori matriciali:
(H$_1$ ⊗ H$_1$)$^{−1}$ . C$_{NOT}$ . (H$_1$ ⊗ H$_1$)
La trasformata di Hadamard a singolo qubit, H1, è la sua stessa inversa. Il prodotto tensoriale di due trasformate di Hadamard che operano (indipendentemente) su due qubit è etichettato come H2. Possiamo quindi scrivere le matrici come:
H$_2$ . C$_{NOT}$ . H$_2$
Quando viene moltiplicato, questo produce una matrice che scambia i termini $|01\rangle$ e $|11\rangle$, lasciando invariati i termini $|00\rangle$ e $|10\rangle$. Questo è equivalente a una porta CNOT dove il qubit 2 è il controllo mentre il qubit 1 è il target:
    ${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}&{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

## Costruire uno stato di Bell

Un'applicazione comune del gate C$_{NOT}$ consiste nel correlare al massimo due qubit nello stato di Bell $|\Phi ^{+}\rangle$; questo fa parte della configurazione della codifica superdensa, del teletrasporto quantistico e degli algoritmi di crittografia quantistica.
Nel costruire $|\Phi ^{+}\rangle$, gli ingressi A (controllo) e B (target) alla porta C$_{NOT}$ sono:
${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )_{A}$ e $|0\rangle _{B}$
Dopo aver applicato C$_{NOT}$, lo stato Bell risultante ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$ ha la proprietà che i singoli qubit possono essere misurati usando qualsiasi base e presenteranno sempre una possibilità 50/50 di risoluzione per ciascuno stato. In effetti, i singoli qubit sono in uno stato indefinito. La correlazione tra i due qubit è la descrizione completa dello stato dei due qubit; se scegliamo la stessa base per misurare i due qubit, troveremo che le misurazioni saranno perfettamente correlate.
Osservando i calcoli sembra che il qubit A stia influenzando il qubit B. MA cambiando il nostro punto di vista con la base di Hadamard si dimostra che, in modo simmetrico, il qubit B sta influenzando il qubit A.
Lo stato di input può essere alternativamente visualizzato come:
$|+\rangle _{A}$ e ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle +|-\rangle )_{B}$
Da questo punto di vista, i qubit di controllo e di target sono concettualmente scambiati e il qubit A è invertito quando il qubit B è $|-\rangle _{B}$. Lo stato dell'uscita dopo l'applicazione della porta C$_{NOT}$ diventa${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|++\rangle +|--\rangle )$ che si può dimostrare essere esattamente lo stesso stato di ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$.

## Porta C-ROT

La porta C-ROT (rotazione Rabi controllata) equivale a una porta C-NOT ad eccezione di una rotazione $\pi /2$ del nucleo attorno a asse z.