# Teorema dell'esperto

Il teorema dell'esperto, noto anche come teorema principale (in inglese master theorem) o teorema del maestro, è un teorema inerente all'analisi degli algoritmi che fornisce una soluzione asintotica ad una famiglia di relazioni di ricorrenza. È stato inizialmente esposto da Jon Bentley, Dorothea Haken, e James B. Saxe nel 1980, dove fu descritto come un metodo unificato per una famiglia di ricorrenze. Il nome di questo teorema è stato popolarizzato dal famoso manuale Introduzione agli algoritmi di Cormen, Leiserson, Rivest e Stein. Non fornisce una soluzione a tutte le possibili relazioni di ricorrenza, ed una sua generalizzazione è il teorema di Akra-Bazzi.
Informalmente, il teorema afferma che, data una relazione di ricorrenza nella forma $T(n)=aT\left({\frac {n}{b}}\right)+f(n)$ con $a\geq 1$ e $b>1$, in alcuni casi si può ottenere una soluzione confrontando $f$ con la funzione $n^{\log _{b}a}$. Se $f$ è asintoticamente polinomialmente più piccola (ovvero più piccola per almeno un fattore polinomiale $n^{\varepsilon }$ allora $T(n)=\Theta (n^{\log _{b}a})$; se le due funzioni hanno asintoticamente la stessa grandezza allora $T(n)=\Theta (n^{\log _{b}a}\log(n))=\Theta \left(f(n)\log(n)\right)$; infine, se $f$ è sufficientemente regolare e polinomialmente più grande allora $T(n)=\Theta \left(f(n)\right)$. Non sono coperti dal teorema i casi in cui $f$ sia asintoticamente più grande o più piccola di $n^{\log _{b}a}$ in modo non polinomiale.

## Enunciato

Sia data una relazione di ricorrenza $T(n)$ nella forma
    $T(n)=aT\left({\frac {n}{b}}\right)+f(n),$
dove $a\geq 1$ e $b>1$ sono costanti e ${\frac {n}{b}}$ si può interpretare sia come $\left\lfloor {\frac {n}{b}}\right\rfloor$ (parte intera) sia come $\left\lceil {\frac {n}{b}}\right\rceil$ (parte intera superiore).
Allora la funzione $\,T(n)$ è limitata asintoticamente secondo uno dei tre seguenti casi:
* se esiste una costante $\varepsilon >0$ tale che $f(n)=O\left(n^{\log _{b}a-\varepsilon }\right)$, allora $T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right)$;
* se $f(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right)$, allora $T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log _{b}n\right)$;
* se esiste una costante $\varepsilon >0$ tale che $f(n)=\Omega \left(n^{\log _{b}a+\varepsilon }\right)$ ed esistono una costante $0<c<1$ e un intero $n_{0}$ tali che $\forall n\geq n_{0}\colon af\left({\frac {n}{b}}\right)\leq cf(n)$, allora $T(n)=\Theta (f(n))$.

## Dimostrazione
### Lemma

La somma $s(n)=\sum _{i=0}^{\log _{b}n}a^{i}f\left({\frac {n}{b^{i}}}\right)$ definita su potenze di $b$, dove $a\geq 1$ e $b>1$ sono costanti e $f$ è non negativa, ha rispettivamente comportamento asintotico:
* sotto l'ipotesi del caso 1 del teorema principale, $s(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right)$;
* sotto l'ipotesi del caso 2 del teorema principale, $s(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log bn\right)$;
* sotto l'ipotesi del caso 3 del teorema principale, se esistono una costante $0<c<1$ e un intero $n_{0}$ tali che $\forall n\geq n_{0}\colon af\left({\frac {n}{b}}\right)\leq cf(n)$, allora $s(n)=\Theta \left(f(n)\right)$.

### Dimostrazione
#### Caso 1

Per il caso 1, l'ipotesi implica
    $f\left({\frac {n}{b^{j}}}\right)=O\left(\left({\frac {n}{b^{j}}}\right)^{\log _{b}a-\varepsilon }\right)$
che sostituita in $s$ porta a
    $s(n)=O\left(\sum _{i=0}^{\log _{b}n-1}a^{i}\left({\frac {n}{b^{i}}}\right)^{\log _{b}a-\varepsilon }\right).$
Raccogliendo i fattori comuni, semplificando e sommando la serie geometrica troncata risultante, si ha
    $s(n)=O\left(n^{\log _{b}a-\varepsilon }\left({\frac {n^{\varepsilon }-1}{b^{\varepsilon }-1}}\right)\right).$
Poiché $\varepsilon$ e $b$ sono costanti, si ha
    $n^{\log _{b}a-\varepsilon }\left({\frac {n^{\varepsilon }-1}{b^{\varepsilon }-1}}\right)=n^{\log _{b}a-\varepsilon }O\left(n^{\varepsilon }\right)=O\left(n^{\log _{b}a}\right),$
e dal fatto che, poiché $f(1)$ è una costante,
    $s(n)\geq a^{\log _{b}n}f(1)=f(1)n^{\log _{b}a}\to s(n)\in \Omega (n^{\log _{b}a})$
che insieme danno
    $s(n)\in \Theta (n^{\log _{b}a})$
da cui la tesi.

#### Caso 2

Analogamente al caso 1, per il caso 2 l'ipotesi implica
    $f\left({\frac {n}{b^{j}}}\right)=\Theta \left(\left({\frac {n}{b^{j}}}\right)^{\log _{b}a}\right)$
che sostituita in $s$ porta a
    $s(n)=\Theta \left(\sum _{i=0}^{\log _{b}n-1}a^{i}\left({\frac {n}{b^{i}}}\right)^{\log _{b}a}\right).$
Si procede analogamente al caso precedente, tuttavia la serie troncata ottenuta non è una serie geometrica, ma una serie a termini costanti
    $n^{log_{b}a}\sum _{i=0}^{\log _{b}n-1}1=n^{\log _{b}a}\log _{b}n$
da cui la tesi.

#### Caso 3

Applicando iterativamente $i$ volte l'ipotesi di regolarità del caso 3, si ha
    $a^{i}f\left({\frac {n}{b^{i}}}\right)\leq c^{i}f(n)$
per valori sufficientemente grandi di $n$. Tale condizione vale dunque per tutti tranne al più un numero costante di termini, per i quali $n$ non è sufficientemente grande. Analogamente ai casi precedenti, si sostituisce nella definizione di $s$, ottenendo
    $s(n)\leq \sum _{i=0}^{\log _{b}n}c^{i}f(n)+O(1)\leq f(n)\sum _{i=0}^{\infty }c^{i}+O(1),$
dove $O(1)$ rappresenta i termini precedentemente citati per i quali non vale la disuguaglianza. Sommando la serie geometrica si ha
    $s(n)=f(n)\left({\frac {1}{1-c}}\right)+O(1)=O\left(f(n)\right)$
e poiché la definizione di $s$ contiene $f$ in una somma a termini non negativi, si ha anche $s(n)=\Omega \left(f(n)\right)$. Combinando le due limitazioni asintotiche, si ha $s(n)=\Theta \left(f(n)\right)$.

### Dimostrazione del teorema principale

Nel caso particolare in cui $T$ sia definita solo su potenze esatte di $b$, analizzando l'albero della ricorsione relativo alla relazione di ricorrenza si osserva che
    $T(n)=\sum _{i=0}^{\log _{b}n}a^{i}f\left({\frac {n}{b^{i}}}\right)+\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right).$
Applicando quindi il lemma dimostrato precedentemente, si ottiene immediatamente la validità del teorema principale nel caso particolare in cui $n$ sia definita su potenze di $b$. Questo ovviamente non è sufficiente a dimostrare il teorema, ma può essere esteso al caso generale considerando il caso in cui compaiano parti intere superiori o inferiori.
Nel caso di una parte intera superiore, nel considerare l'albero di ricorsione alla chiamata $i$-esima l'argomento assume la forma
    $n_{i}={\begin{cases}n,\quad &i=0,\\\lceil {\frac {n_{i-1}}{b}}\rceil ,&i>0.\end{cases}}$
Poiché dalla definizione di parte intera superiore si ha $\lceil x\rceil \leq x+1$, si ottiene
    $n_{i}\leq {\frac {n}{b^{i}}}+\sum _{i=0}^{i-1}{\frac {1}{b^{i}}}<{\frac {n}{b^{i}}}+{\frac {b}{b-1}}.$
Da ciò si osserva che $n_{\lfloor \log _{b}n\rfloor }=O(1)$, quindi alla profondità di ricorsione $\lfloor \log _{b}n\rfloor$ il costo del problema è limitato da una costante. Si generalizza quindi la prima equazione per $n$ arbitrario, non più ristretto alle potenze di $b$
    $T(n)=\sum _{i=0}^{\lfloor \log _{b}n\rfloor }a^{i}f\left(n_{i}\right)+\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right)$
e si può procedere a studiare la somma. Il terzo caso procede in maniera esattamente analoga al terzo caso del lemma. Per il secondo caso, dalla definizione di O-grande e ricordando l'espressione di $n_{i}$ si ha che esiste una costante $c>0$ e un intero $n_{0}$ tali che, per $n\geq n_{0}$
    $f\left(n_{i}\right)\leq c\left({\frac {n}{b^{i}}}+{\frac {b}{b-1}}\right)^{\log _{b}a}\leq c\left({\frac {n^{\log _{b}a}}{a^{i}}}\right)\left(1+{\frac {b}{b-1}}\right)^{\log _{b}a}=O\left({\frac {n^{\log _{b}a}}{a^{i}}}\right).$
Il limite asintotico ottenuto permette di procedere poi in maniera analoga al caso 2 del lemma. Per il primo caso, in maniera analoga a quanto appena fatto si mostra che
    $f\left(n_{i}\right)=O\left(\left({\frac {n}{b^{i}}}\right)^{\log _{b}a-\varepsilon }\right)$
che permette di procedere poi in maniera analoga al caso 1 del lemma. Questo completa la dimostrazione del teorema principale in caso di parte intera superiore, nel caso della parte intera inferiore la dimostrazione è analoga.

## Generalizzazioni

Il secondo caso del teorema principale può essere generalizzato sostituendo solo alla sua ipotesi particolare, $f(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log ^{k}n\right)$ per qualche $k\geq 0$ e alla tesi $T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log ^{k+1}n\right)$. Come si vede il caso non generale è per $k=0$.
Il teorema di Akra-Bazzi generalizza il teorema principale, sotto opportune ipotesi, per relazioni di ricorrenza nella forma $T(x)=g(x)+\sum _{i=1}^{k}a_{i}T(b_{i}x+h_{i}(x))$.

## Esempi
### Caso 1

Sia data la seguente relazione di ricorrenza:
    $T_{A}(n)=9\,T_{A}\left({\frac {n}{3}}\right)+n.$
Si ha $a=9$, $b=3$ e $f(n)=n$. Allora $n^{\log _{b}a}=n^{\log _{3}9}=\Theta \left(n^{2}\right).$ Dato che $f(n)=O\left(n^{\log _{3}9-\varepsilon }\right)$ quando $\varepsilon =1$, è possibile applicare il caso 1 del teorema dell'esperto ottenendo la soluzione
    $T_{A}(n)=\Theta \left(n^{2}\right).$

### Caso 2

Sia data ora la relazione di ricorrenza:
    $T_{A}(n)=T_{A}\left({\frac {2\,n}{3}}\right)+1,$
in cui $a=1$, $b=3/2$ e $f(n)=1$. Essendo $n^{\log _{b}a}=n^{\log _{3/2}1}=\Theta (n^{0})=\Theta (1)$ ed $f(n)=1$, vale il caso 2 del teorema dell'esperto, che porta alla soluzione $T_{A}(n)=\Theta (\log n).$

### Caso 3

Infine sia data la relazione di ricorrenza:
    $T_{A}(n)=3\,T_{A}\left({\frac {n}{4}}\right)+n\log n,$
in cui $a=3$, $b=4$ e $f(n)=n\log n$. Essendo $n^{\log _{b}a}=n^{\log _{4}3}=O\left(n^{0,793}\right)$ ed $f(n)=\Omega \left(n^{\log _{4}3+\varepsilon }\right)$, in cui $\varepsilon \approx 0,2$, il caso 3 del teorema dell'esperto si può applicare solo se vale la condizione di regolarità per $f(n)$. Per $n$ sufficientemente grande si ha $3\left({\frac {n}{4}}\right)\log \left({\frac {n}{4}}\right)\leq \left({\frac {3}{4}}n\log n\right)=cf(n)$ per $c=3/4\leq 1$. Di conseguenza la soluzione della ricorrenza è $T_{A}(n)=\Theta (n\log n).$