# Proprietà dell'integrale di Riemann
## Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e siano $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. Allora:
    $\int _{a}^{b}{\Big\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

### Dimostrazione

Dalla definizione si ha che:
    $\int _{a}^{b}{\Big\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}{\Big\alpha f(t_{i})+\beta g(t_{i}){\Big )}(x_{i+1}-x_{i}),$
da cui:
    $\int _{a}^{b}{\Big\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}{\Big\alpha \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\beta \sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}){\Big )}.$
Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:
    $\int _{a}^{b}{\Big\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\alpha \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\beta \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),$
da cui discende la proprietà di linearità.

## Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,b]$ e sia $c\in [a,b]$. Allora:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.$

### Dimostrazione

Dalla definizione si ha che
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),$
da cui se si ha $c\in [a,b]$ esiste, eventualmente affinando la partizione, un intero $h$ tale che $0\leq h\leq n$ e $x_{h}=c,$ da cui risulti:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\left(\sum _{i=0}^{h-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\sum _{i=h}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right),$
e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:
    $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{h-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=h}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),$
da cui discende la proprietà di additività.

## Monotonia

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e tali che $f(x)\leq g(x)$ in $[a,b]$. Allora:
    $\int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

### Dimostrazione

Infatti se si ha che $f(x)\leq g(x)$ nel compatto $[a,b]$, effettuando una partizione di tale compatto (ovviamente la disuguaglianza permane), per ogni $i=0,\ldots ,n-1,$ si ottiene:
    $f(t_{i})\leq g(t_{i}),$
da cui
    $f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$
A questo punto, poiché la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto, vale:
    $\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$
Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata
    $\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$
Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

## Valore assoluto

Sia $f$ una funzione integrabile in un intervallo $[a,b]$, allora si ha:
    $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx.$

### Dimostrazione

Essendo valida la relazione
    $-|f(t_{i})|\leq f(t_{i})\leq |f(t_{i})|,$
per ogni $i=0,\ldots ,n-1,$ di una partizione di $[a,b]$, è possibile moltiplicare ogni membro per il fattore $(x_{i+1}-x_{i})$
    $-|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq |f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i}),$
e sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:
    $-\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i}).$
Applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:
    $-\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i});$
    $-\int _{a}^{b}|f(x)|dx\leq \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx.$
Quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come
    $\left|\int _{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|dx,$
la quale è proprio la proprietà del valore assoluto degli integrali.