# Numero plastico

Il numero plastico (anche noto come costante plastica) è l'unica soluzione reale $\rho$ dell'equazione
    $x^{3}=x+1,$
ed ha il valore
    $\rho ={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}},$
il cui sviluppo decimale inizia con 1,324717957...
Il numero plastico è il limite del rapporto dei termini successivi della successione di Padovan e della successione di Perrin.
Il numero plastico è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan.

## Proprietà
### Successioni

Le potenze del numero plastico A(n) = ρ$^n$ soddisfano la relazione di ricorrenza lineare del terzo ordine A(n) = A(n − 2) + A(n − 3) per n > 2. Quindi è il rapporto limite di termini successivi di qualsiasi successione di interi (diversi da zero) che soddisfa questa ricorrenza come i numeri di Cordonnier (più conosciuti come termini della successione di Padovan), i numeri di Perrin e i numeri di Van der Laan, ed è correlato a queste successioni come il numero aureo con la successione di Fibonacci e con i numeri di Lucas, così come il numero d'argento è correlato alla successione di Pell.
Il numero plastico può essere scritto come radicale continuo nel seguente modo:
    $\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}.$

### Teoria dei numeri

Siccome il numero plastico ha come polinomio minimo $x^{3}-x-1,$ è anche una soluzione dell'equazione polinomiale $p(x)=0$ per ogni polinomio $p$ che è multiplo di $x^{3}-x-1,$ ma non per qualunque altro polinomio a coefficienti interi. Poiché il discriminante del suo polinomio minimo è uguale a $-23$ il suo campo di spezzamento è $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}},\rho ).$ Questo campo è anche il campo di classe di Hilbert di $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}}).$
Esso è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan. I suoi coniugati algebrici sono
    $\left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0,662359\pm 0,56228i,$
di modulo circa $0,868837.$ Questo valore corrisponde anche a ${\frac {1}{\sqrt {\rho }}}$ visto che il prodotto delle tre radici del polinomio minimo è 1.

### Trigonometria

Il numero plastico può essere scritto in termini di coseno iperbolico e del suo inverso:
    $\rho ={\tfrac {1}{c}}\cosh \left({\tfrac {1}{3}}\cosh ^{-1}(3c)\right),\qquad {\text{con}}\quad c=\cos \left({\tfrac {2\pi }{12}}\right)=\sin \left({\tfrac {2\pi }{6}}\right)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.$

### Geometria

Esistono esattamente tre modi per suddividere un quadrato in tre rettangoli simili:
* La soluzione banale che consiste in tre rettangoli congruenti con rapporto d'aspetto 3:1.
* La soluzione in cui due dei tre rettangoli sono congruenti e un terzo rettangolo con i lati lunghi il doppio della coppia congruente e in cui i rettangoli hanno rapporto d'aspetto 3:2.
* La soluzione in cui i tre rettangoli sono reciprocamente non congruenti (tutti di dimensioni diverse) e in cui hanno rapporto d'aspetto $\rho ^{2}.$ I rapporti delle dimensioni lineari dei tre rettangoli in questo caso sono: $\rho$ (grande:medio); $\rho ^{2}$ (medio:piccolo); e $\rho ^{3}$ (grande:piccolo). Il lato lungo, posto internamente, del rettangolo più grande (la linea di faglia del quadrato) divide due dei quattro bordi del quadrato in due segmenti che si trovano ciascuno in rapporto $\rho$ con l'altro. Il lato corto del rettangolo medio coincidente con il lato lungo del piccolo rettangolo divide il lato del quadrato in due segmenti che si trovano nel rapporto $\rho ^{4}.$
Il fatto che un rettangolo di proporzioni $\rho ^{2}$ possa essere utilizzato per dissezioni di un quadrato in rettangoli simili equivale a una proprietà algebrica del numero $\rho ^{2}$ relativo al teorema di Routh – Hurwitz per la quale tutti i suoi coniugati hanno una parte reale positiva.

## Storia e nome

L'architetto olandese e monaco benedettino Dom Hans van der Laan ha dato il nome numero di plastica (in olandese het plastische getal) a questo numero nel 1928. Nel 1924, l'ingegnere francese Gérard Cordonnier aveva già scoperto il numero e lo aveva chiamato "il numero radiante" (ancora in francese si usa l'espressione le nombre radiante). A differenza dei nomi di numero aureo e numero d'argento, la parola plastico non è stata intesa da van der Laan per riferirsi a una sostanza specifica, ma piuttosto nel suo senso aggettivale di qualcosa a cui si può dare una forma tridimensionale. Questo, secondo Richard Padovan, è perché i rapporti caratteristici del numero, 3/4 e 1/7, si riferiscono ai limiti della percezione umana nel mettere in relazione una dimensione fisica con un'altra. Van der Laan progettò nel 1967 la chiesa abbazia di Mamelis con queste proporzioni numeriche.

## Curiosità

Il matematico Donald Knuth, raccogliendo una proposta di chiamare questo numero phi-alto ha creato un carattere simile al greco phi ("φ") ma con il cerchio alto sul gambo così da somigliare alla lettera pari ("Ⴔ") dell'alfabeto Asomtavruli.