# Funzione gradino di Heaviside

In matematica e fisica, la funzione gradino di Heaviside o funzione a gradino unitaria, il cui nome si deve a Oliver Heaviside, è una funzione discontinua che ha valore zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi. Può essere definita sia come una funzione continua a tratti o come una distribuzione.
La derivata distribuzionale della funzione di Heaviside $H$ è la delta di Dirac $\delta (x)$:
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}H(x)=\delta (x),$
mentre la funzione rampa $R$ ne è la primitiva:
    $R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathop \!\mathrm {d} \xi =xH(x).$
La funzione a gradino è usata nella matematica della teoria del controllo e nell'elaborazione dei segnali per rappresentare un segnale che si attiva a partire da un tempo specificato e rimane attivo indefinitamente.
Inoltre tale funzione è utilizzata in fluidodinamica per lo studio di flussi multifase con interfaccia sharp.

## Definizione

Si indica con:
    $\Theta (x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}$
Spesso, al posto di $\Theta (x)$, si usano le notazioni $\delta ^{(-1)}(x)$, $u(x)$ o $h(x)$, o ancora, con abuso di notazione, $1(x)$.
Se viene definita come una distribuzione, è la funzione $\Theta (x)$ tale per cui:
    $\int \Theta (x)f'(x)\mathop \!\mathrm {d} x=-f(0),$
dove $f'$è la derivata di una funzione sufficientemente liscia che decresce all'infinito con andamento sufficientemente rapido.
Una rappresentazione integrale della funzione gradino è la seguente:
    $\Theta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(-{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +i\varepsilon }e^{-ix\tau }\mathop \!\mathrm {d} \tau \right).$
Si tratta della funzione di ripartizione di una variabile casuale che è quasi sicuramente 0 (vedi variabile casuale degenere).
La funzione di Heaviside è l'integrale della delta di Dirac:
    $\Theta (x)=\int _{-\infty }^{x}{\delta (t)}\mathop \!\mathrm {d} t.$
Il valore di $\Theta (0)$ non è del tutto standard: alcuni scrittori assumono $\Theta (0)=0$, altri $\Theta (0)=1.$ La scelta più utilizzata rimane comunque $\Theta (0)=1/2$ perché permette di ridefinire la funzione di Heaviside attraverso la funzione segno. Questo ne dà una definizione più generale:
    $\Theta (x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn} x\right)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}$
Per rimuovere l'ambiguità sul valore di $\Theta (0)$ da utilizzare, si può scrivere un pedice che lo specifica:
    $\Theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0\\n,&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}$
Tuttavia la stessa notazione è usata per indicare un gradino ritardato:
    $\Theta _{T}(t)=\Theta (t-T).$
Il prodotto di una funzione per la funzione $\Theta$ dà una funzione unilatera.

## Forma discreta

Si può anche definire una forma alternativa del gradino unitario come funzione di una variabile discreta $n$:
    $\Theta [n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0,\end{cases}}$
dove $n$ è intera. Questa funzione è la somma fino a $n$ della delta di Kronecker:
    $\Theta [n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k],$
dove $\delta [k]=\delta _{k,0}$ è la delta di Dirac.

## Trasformata di Fourier

Un altro modo per scrivere il gradino di Heaviside è
    $\Theta (t)=\lim _{\alpha \to 0}\exp(-t\alpha ^{|t|/t})$
la cui trasformata di Fourier è:
    ${\tilde {\Theta }}(t)={\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega ),$
dove $\delta (\omega )$è la delta di Dirac. Cioè lo spettro in frequenza del gradino di Heaviside è $1/(i\omega )$ eccetto che in $\omega =0$, dove è presente una singolarità in cui è concentrato lo spettro.