# Spazio duale

In matematica, lo spazio duale o spazio duale algebrico di uno spazio vettoriale è un particolare spazio vettoriale che ricorre in molte applicazioni della matematica e della fisica essendo a fondamento della nozione di tensore.

## Definizione

Sia $V$ un $\mathbb {K}$-spazio vettoriale. Lo spazio duale di $V$, indicato con $V^{*}$, è formato da tutti i funzionali lineari
    $f\colon V\to \mathbb {K} .$
La somma fra due funzionali lineari $f$ e $g$, e il prodotto fra $f$ e uno scalare $\alpha$ sono definiti nel modo seguente: per ogni ${\textbf {v}}\in V$ si ha
    $(f+g)({\textbf {v}}):=f({\textbf {v}})+g({\textbf {v}});$
    $(\alpha f)({\textbf {v}}):=\alpha f({\textbf {v}}).$
Con queste operazioni, l'insieme $V^{*}$ assume effettivamente la struttura algebrica di spazio vettoriale. In simboli, si può scrivere:
    $V^{*}={\rm {Hom}}(V,\mathbb {K} ),$
dove la notazione ${\rm {Hom}}(V,W)$ indica, in generale, lo spazio vettoriale formato da tutte le applicazioni lineari fra due spazi vettoriali $V$ e $W$.

## Base duale
### Dimensione finita

Se $V$ ha dimensione finita $n$, allora $V^{*}$ ha la stessa dimensione di $V$. Usando le matrici si dimostra infatti che
    $\dim {\rm {Hom}}(V,W)=\dim V\cdot \dim W.$
In questo caso si ottiene:
    $\dim V^{*}=\dim {\rm {Hom}}(V,\mathbb {K} )=n\cdot 1=n.$
Data una base di $V$, è possibile costruire una base duale di $V^{*}$ nel modo seguente. Se
    $B=\{{\textbf {v}}_{1},\dots ,{\textbf {v}}_{n}\}$
è una base per $V$, la base duale
    $B^{*}=\{{\textbf {v}}_{1}^{*},\dots ,{\textbf {v}}_{n}^{*}\}$
è definita dalle relazioni:
    ${\textbf {v}}_{i}^{*}({\textbf {v}}_{j})={\begin{cases}1,&{\text{se }}i=j,\\0,&{\mbox{se }}i\neq j.\end{cases}}$
In altre parole, il funzionale $v_{i}^{*}$ è definito come l'unico funzionale che manda ${\textbf {v}}_{i}$ in 1 e tutti gli altri elementi ${\textbf {v}}_{j}$ della base in zero.
Quindi l'applicazione:
    ${\begin{matrix}\phi _{B}\colon V\longrightarrow V^{*}\\\qquad \qquad {\textbf {v}}_{i}\longmapsto \phi _{B}({\textbf {v}}_{i})={\textbf {v}}_{i}^{*}\end{matrix}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\}$
è un isomorfismo che però dipende dalla scelta della base, quindi non canonico.
Più concretamente, se $\mathbb {R} ^{n}$ è lo spazio dei vettori colonna con $n$ componenti, lo spazio duale $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ è lo spazio dei vettori riga con $n$ componenti: ciascun vettore riga ${\textbf {v}}$ può essere infatti interpretato come un funzionale che manda il vettore colonna ${\textbf {w}}$ nello scalare ${\textbf {v}}\cdot {\textbf {w}}$ ottenuto moltiplicando ${\textbf {v}}$ e ${\textbf {w}}$ tramite la usuale moltiplicazione fra matrici. In questo caso, se $\{{\textbf {e}}_{1},\dots ,{\textbf {e}}_{n}\}$ è la base canonica di $\mathbb {R} ^{n}$, allora ${\textbf {e}}_{i}^{*}$ è semplicemente la trasposta di ${\textbf {e}}_{i}$.

### Dimensione infinita

Se $V$ ha dimensione infinita, la costruzione di ${\textbf {e}}^{i}$ descritta sopra produce dei vettori indipendenti in $V^{*}$, ma non una base: questi vettori non sono sufficienti per generare tutti i funzionali lineari. Infatti $V^{*}$ ha dimensione maggiore di $V$, nel senso che è infinita con cardinalità maggiore.
Ad esempio, lo spazio $\mathbb {R} ^{\infty }$ delle successioni di numeri reali che hanno solo un numero finito di elementi non nulli ha dimensione numerabile. Lo spazio duale può essere identificato con lo spazio $\mathbb {R} ^{\omega }$ di tutte le successioni di numeri reali, e ha dimensione più che numerabile (ha la stessa cardinalità di $\mathbb {R}$). L'identificazione avviene nel modo seguente: una sequenza ($a_{n}$) di $\mathbb {R} ^{\omega }$ è il funzionale che manda l'elemento ($x_{n}$) di $\mathbb {R} ^{\infty }$ nello scalare $\sum _{n}a_{n}x_{n}$.

## Spazio biduale

Sia $V$ un $\mathbb {K}$-spazio vettoriale. Allora $V^{**}$ è definito in questo modo:
    $V^{**}:=(V^{*})^{*}=\operatorname {Hom} (V^{*},\mathbb {K} )$
e viene detto spazio biduale di $V.$
Quindi lo spazio biduale $V^{**}$ di uno spazio vettoriale $V$ è ottenuto prendendo il duale dello spazio $V^{*}$.
Se ${\displaystyle V^{**}}$ ha dimensione finita, questo ha sempre la stessa dimensione di $V^{*}$.
    ${\begin{aligned}\phi _{B^{*}}\colon V^{*}&\to V^{**},\\{\textbf {v}}_{i}^{*}&\mapsto \phi _{B^{*}}({\textbf {v}}_{i}^{*})={\textbf {v}}_{i}^{**},\end{aligned}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\},$
è un isomorfismo (non canonico) da $V^{*}$ in $V^{**}$.
A differenza di $V^{*}$, se $V$ ha dimensione finita lo spazio $V^{**}$ è canonicamente isomorfo a $V$, tramite un isomorfismo canonico $\Psi :V\to V^{**}$ che non dipende da nessuna scelta della base, definito come segue:
    $(\Psi ({\textbf {v}}))(\phi )=\phi ({\textbf {v}}),$
dove ${\textbf {v}}\in V$ e $\phi \in V^{*}$.
Inoltre per ogni $B$ base $\Psi =\phi _{B^{*}}\circ \phi _{B}$.
Se $V$ ha dimensione infinita, la mappa $\Psi$ è solamente iniettiva.

## Annullatore

Sia $V$ un $\mathbb {K}$-spazio vettoriale, sia $\Psi \colon V\to V^{**}$ l'isomorfismo canonico da $V$ in $V^{**}$ e sia $v$ un elemento di $V$. Allora:
    $\operatorname {Ann} (v)=\operatorname {Ker} (\Psi (v))=\{f\in V^{*}|f(v)=0\}$
e viene detto annullatore di $v$ in $V$.
Se si estende questa definizione a un qualsiasi sottoinsieme $S$ di $V$ si ottiene:
    $\mathrm {Ann} (S)=\bigcap _{s\in S}\mathrm {Ann} (s)=\bigcap _{s\in S}\operatorname {Ker} (\Psi (s))=\{f\in V^{*}|f[S]=\{0\}\}=\{f\in V^{*}|f_{|S}=0\}.$

### Proprietà

* Per ogni $S\subseteq V,$ si ha che $\mathrm {Ann} (S)$ è un sottospazio vettoriale di $V^{*}.$
* Se $S\subseteq T,$ allora $\mathrm {Ann} (T)\subseteq \mathrm {Ann} (S).$
* $\mathrm {Ann} (S)=\mathrm {Ann} (\mathrm {Span} (S)).$
* Se $U$ è un sottospazio vettoriale di $V$ e $\dim U=k,$ allora $\dim \mathrm {Ann} (U)=n-k.$
* Se $f\in V^{*},$ allora $\mathrm {Ann} (f)=\Psi (\operatorname {Ker} f).$
* Se $U$ è un sottospazio vettoriale di $V,$ allora $\mathrm {Ann} (\mathrm {Ann} (U))=\Psi (U).$

## Trasposta di un'applicazione lineare

Se $f\colon V\to W$ è un'applicazione lineare fra spazi vettoriali, si definisce la sua trasposta $f^{T}\colon W^{*}\to V^{*}$ nel modo seguente:
    $(f^{T})(\phi )=\phi \circ f,$
dove $\phi$ è un funzionale in $W^{*}$.
In altre parole, si associa un funzionale su $V$ ad uno su $W$ tramite composizione con $f$. La funzione $f^{T}\colon W^{*}\to V^{*}$ è lineare e $(f^{T})^{T}=f$ a meno dell'identificazione $\Psi _{1}\colon V\to V^{**}$ e $\Psi _{2}\colon W\to W^{**}$, ossia:
    $f=\Psi _{2}^{-1}\circ (f^{T})^{T}\circ \Psi _{1}.$
Inoltre $\operatorname {Ker} f^{T}=\mathrm {Ann} (\operatorname {Im} f)$ e $\operatorname {Im} f^{T}=\operatorname {Ann} (\operatorname {Ker} f)$ e se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto a due basi di $V$ e $W$, allora la trasposta $A^{T}$ è la matrice associata a $f^{T}$ rispetto alle basi duali di $W^{*}$ e $V^{*}$.
Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'operazione che trasforma gli spazi vettoriali e i loro morfismi negli spazi vettoriali duali con i morfismi trasposti è un funtore controvariante dalla categoria degli spazi vettoriali su $\mathbb {K}$ in sé.

## Forma bilineare e spazio biduale

Per quanto detto sopra, se $V$ ha dimensione finita gli spazi $V$ e $V^{*}$ sono isomorfi: l'isomorfismo tra i due spazi non è però canonico, nel senso che per definirlo è necessario fare una scelta, quella di una base per $V$. Scelte diverse danno isomorfismi diversi: ogni isomorfismo $\Phi$ da $V$ in $V^{*}$ definisce una forma bilineare non degenere su $V$ nel modo seguente:
    $\langle {\textbf {v}},{\textbf {w}}\rangle =(\Phi ({\textbf {v}}))({\textbf {w}})$
e analogamente ogni forma bilineare non degenere definisce un isomorfismo tra $V$ e $V^{*}$.

## Spazio duale topologico

Se $V$ è uno spazio vettoriale topologico, ed è quindi dotato di una topologia appropriata (ad esempio se è uno spazio di Hilbert o di Banach), si può generalizzare la precedente nozione introducendo lo spazio duale topologico, anche detto spazio duale continuo di $V$. Lo spazio duale topologico è molto utilizzato nell'analisi matematica, principalmente perché su di esso si possono definire interessanti strutture topologiche.

### Definizione

Lo spazio duale topologico $V'$ dello spazio vettoriale topologico $V$ è definito come lo spazio dei funzionali lineari e continui su $V$. Se $V$ ha dimensione finita, gli spazi duali algebrico $V^{*}$ e topologico $V'$ coincidono, perché tutti i funzionali lineari sono continui. Questo non è vero in generale se $V$ ha dimensione infinita. La definizione data si riduce a quella di spazio duale algebrico anche nel caso in cui si considera lo spazio vettoriale $V$ equipaggiato con la topologia discreta, nella quale tutti i funzionali sono continui. Il duale continuo $V'$ di uno spazio normato (ad esempio uno spazio di Banach o di Hilbert) è uno spazio normato completo, ovvero spazio di Banach, e la norma $\|\phi \|$ di un funzionale lineare continuo $\phi$ su $V$ è definita come:
    $\|\phi \|=\sup\{|\phi (x)|:\|x\|\leq 1\}.$
La continuità di $\phi$ garantisce che $\|\phi \|$ sia un numero finito. $V'$ è sempre uno spazio di Banach, anche se $V$ non lo è. Analogamente, un prodotto scalare su $V$ ne induce uno su $V'$ in modo tale che se il primo è di Hilbert lo sia anche il suo duale.
In uno spazio vettoriale topologico generico, tuttavia, per definire la nozione di limitatezza è necessario ricorrere, invece che a nozioni come la distanza o l'usuale norma, agli intorni dell'origine: dato uno spazio vettoriale topologico $(X,\tau )$ su un campo $F$, un insieme $E\subset X$ è detto limitato nella topologia $\tau$ se e solo se per ogni intorno $D$ dell'origine esiste un numero reale positivo $\alpha$ (dipendente da $D$) tale che $E\subset \alpha D$, ovvero $E$ deve essere contenuto in un opportuno multiplo di ogni intorno dell'origine. In altri termini, un insieme è limitato se è un insieme assorbente per ogni intorno del vettore zero.
La caratterizzazione con una topologia dello spazio duale continuo $V'$ di uno spazio vettoriale topologico $V$, dunque, avviene grazie a una classe ${\mathcal {A}}$ di sottoinsiemi limitati di $V$ in modo che la topologia è generata da una famiglia di seminorme della forma:
    $\|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|,$
dove $\varphi$ è un funzionale lineare continuo definito su $V$, e $A$ spazia nella classe ${\mathcal {A}}$. A questa topologia è associata la convergenza uniforme di funzionali definiti sugli insiemi di ${\mathcal {A}}$:
    $\|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0,\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}.$
Solitamente si suppone che la classe ${\mathcal {A}}$ soddisfi le seguenti condizioni:
* Ogni punto $x$ di $V$ appartiene a qualche insieme $A\in {\mathcal {A}}$.
* Ogni coppia di insiemi $A\in {\mathcal {A}}$ e $B\in {\mathcal {A}}$ è contenuta in qualche insieme $C\in {\mathcal {A}}$.
* La classe ${\mathcal {A}}$ è chiusa rispetto all'operazione di moltiplicazione per scalare.
Se queste condizioni sono soddisfatte allora la corrispondente topologia su $V'$ è di Hausdorff, e gli insiemi:
    $U_{A}=\{x\in V:||\varphi ||_{A}<1\},\qquad A\in {\mathcal {A}}$
costituiscono una sua base locale.

### Esempi

Sia $p$ un numero reale maggiore di 1. Lo spazio l$^p$ è l'insieme di tutte le successioni $\mathbf {a} =(a_{n})$ tali che
    $\|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}$
è finito. Sia $p^{*}$ il numero per cui vale $1/p+1/p^{*}=1$. Allora il duale continuo di $l^{p}$ è identificato in modo naturale con $l^{p^{*}}$ nel modo seguente: dato un funzionale continuo $\phi$ su $l^{p}$, l'elemento corrispondente in $l^{p}$ è la successione $(\phi (\mathbf {e} _{n}))$, dove $\mathbf {e} _{n}$ è la successione il cui $n$-esimo termine è 1 e tutti gli altri sono nulli. D'altra parte, dato un elemento $\mathbf {a} =(a_{n})\in l^{p^{*}}$, il funzionale lineare continuo corrispondente $\phi$ su $l^{p}$ è definito come:
    $\phi (\mathbf {a} )=\sum _{n}a_{n}b_{n},$
per ogni $\mathbf {a} =(a_{n})\in l^{p}$. L'identificazione fa uso della disuguaglianza di Hölder.
Si nota che $p^{**}=p$: anche in questo contesto lo spazio è isomorfo in modo naturale con il suo biduale. Questo non è però sempre vero in generale: il duale continuo di $l^{1}$ è identificato in modo naturale con lo spazio $l^{\infty }$ delle successioni limitate, ma il duale continuo di $l^{\infty }$ è uno spazio "più grande" di $l^{1}$.

### Biduali e spazi riflessivi

Il biduale topologico $V^{**}$ è definito quindi come il duale topologico di $V^{*}$. Analogamente a quanto visto sopra, esiste una mappa canonica iniettiva, detta mappa di James:
    $\Psi \colon V\to V^{**}.$
A differenza di quanto visto sopra, questa mappa può essere suriettiva anche se $V$ ha dimensione infinita: in questo caso lo spazio $V$ si dice riflessivo. In particolare, uno spazio localmente convesso è riflessivo se coincide con il duale continuo del suo duale continuo sia come spazio topologico che come spazio vettoriale.
Ogni spazio di Hilbert è riflessivo. Anche gli spazi di Banach L$^p$ per $p>1$ sono riflessivi, ma $L^{1}$ e $L^{\infty }$ non lo sono.

### Spazio preduale

Se la chiusura di uno spazio $D$ è lo spazio duale di un altro spazio, allora $D$ è detto spazio preduale o semplicemente preduale.