# Commutatività

In matematica, un'operazione binaria $*$ definita su un insieme $S$ è commutativa se e solo se
    $x*y=y*x,\quad \forall x,y\in S.$
Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione $*$ è quindi detta non commutativa.
In particolare, se è vera la proprietà
    $x*y=-y*x,\quad \forall x,y\in S.$
l'operazione $*$ è detta anticommutativa.
Due elementi $x$ e $y$ commutano se $x*y=y*x$. Quindi l'operazione $*$ è commutativa se e solo se due elementi di $S$ commutano sempre.

## Esempi
### Operazioni commutative

I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'addizione ($a+b$) e la moltiplicazione ($a\times b$), considerate sull'insieme di tutti i numeri reali, o solo sui numeri positivi, naturali o razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:
    $4+5=5+4\qquad$ (poiché entrambe le espressioni sono uguali a 9);
    $2\times 3=3\times 2\qquad$ (poiché entrambe le espressioni valgono 6).
Altre operazioni binarie commutative sono:
* minimo comune multiplo e massimo comun divisore applicati a coppie di interi positivi;
* minimo e massimo applicati a coppie di numeri reali o in generale a coppie di elementi di insiemi parzialmente ordinati;
* addizione di vettori;
* intersezione e unione di insiemi;
* congiunzione logica e disgiunzione inclusiva;
* composizioni di traslazioni nel piano, nello spazio tridimensionale o in un qualsiasi spazio vettoriale;
* composizioni di rotazioni intorno ad un dato punto nel piano.

### Operazioni non commutative

Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione ($a-b$), la divisione ($a/b$) e l'elevamento a potenza ($a^{b}$), definite su insiemi opportuni di numeri reali.
Anche la composizione di funzioni ($f(g(x))$) in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali $f(x)=x+3$ e $g(y)=y^{2}$ non commutano, in quanto
    $g(f(x))=x^{2}+6x+9,$
    $f(g(x))=x^{2}+3.$
Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate. Ad esempio:
    ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}};$
    ${\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}.$
Il prodotto vettoriale, invece, rappresenta un esempio di operazione anticommutativa. Siano $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$. Si ha:
    $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} .$

## Strutture algebriche con operazioni commutative

Un gruppo è abeliano, o anche commutativo, se l'operazione che vi è definita è commutativa.
Un anello ha definite due operazioni, chiamate generalmente "somma" e "prodotto" in analogia con i numeri interi. L'operazione di "somma" è sempre commutativa, ma l'operazione "prodotto" no. Un anello è chiamato abeliano o commutativo se anche la moltiplicazione è commutativa.
Generalmente, le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane.

## Tavola di composizione

Un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono
    ${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&2&6&4&10&6\\3&6&3&12&15&6\\4&4&12&4&20&12\\5&10&15&20&5&30\\6&6&6&12&30&6\\\end{bmatrix}}$
e
    ${\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&2&1&2&1&2\\1&1&3&1&1&3\\1&2&1&4&1&2\\1&1&1&1&5&1\\1&2&3&2&1&6\\\end{bmatrix}}.$