# Dominio e codominio

In matematica il dominio e il codominio di una funzione sono gli insiemi su cui essa è definita. Una funzione, infatti, è una relazione che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

## Definizione di funzione

In matematica una funzione è il dato di tre oggetti: un dominio $X$, un codominio $Y$ e una legge $x\mapsto f(x)$ che associa ad ogni elemento $x$ di $X$ uno e un solo elemento di $Y$ che viene indicato $f(x)$. Una funzione viene definita indicando tutti e tre questi oggetti, che vengono raccolti nella notazione
    ${\begin{array}{ccc}f\colon &X&\to &Y\\&x&\mapsto &f(x)\end{array}}$
o nella notazione equivalente
    $f\colon X\to Y,\quad x\mapsto f(x).$
È importante notare che il dominio e il codominio devono essere definiti prima della legge di applicazione, e che tutti assieme questi oggetti definiscono una funzione. In particolare, senza indicare il dominio e il codominio non può essere definita alcuna funzione.
Ad esempio, per ogni insieme $S$ è ben definita una funzione identità su $S$, con dominio $S$, codominio $S$ e legge di applicazione $x\mapsto x$:
    ${\text{id}}_{S}\colon S\to S,\quad x\mapsto x.$
Omettendo dominio e codominio, la sola legge di applicazione $x\mapsto x$ non è ben definita e non definisce alcuna funzione.

## Insieme di definizione

In alcuni contesti si usa sottintendere il dominio e il codominio di una funzione reale di variabile reale (cioè con dominio e codominio contenuti nell'insieme dei numeri reali) quando il dominio è pari all'insieme di definizione della funzione e il codominio è l'intero insieme dei numeri reali.
Ad esempio,
    nell'ambito delle funzioni reali di variabile reale, $f\colon x\mapsto x^{2}$ potrebbe sottintendere un dominio $\mathbb {R}$ e un codominio $\mathbb {R}$;
    $f\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},\quad x\mapsto x^{2}$ ha certamente dominio $\mathbb {R} ^{+}$ e codominio $\mathbb {R} ^{+}$;
    $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\quad x\mapsto x^{2}$ ha certamente dominio $\mathbb {C}$ e codominio $\mathbb {C}$.
Dunque nel sottintendere dominio e codominio, ci si limita a sottoinsiemi dei numeri reali e si rinuncia a studiare le proprietà di una funzione (come iniettività, suriettività, morfismo).

## Insieme delle immagini

Come il dominio, anche il codominio è parte integrante della definizione di funzione e senza di esso non è possibile definire una legge di applicazione.
Da un punto di vista puramente computazionale, ossia se ci si interessa alle sole immagini $f(x)$ dei singoli elementi del dominio, si considera il solo insieme delle immagini, o immagine $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$, che è un sottoinsieme del codominio.
È sempre possibile definire una nuova funzione
    ${\tilde {f}}\colon X\to f(X),\quad x\mapsto f(x),$
che è talvolta identificata con la funzione stessa, pur avendo diverse proprietà (come suriettività o morfismo).
Ad esempio, nel calcolo di $f(1)={\tilde {f}}(1)$ vengono identificate le due funzioni
    $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto e^{x}$
    ${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+},\quad x\mapsto e^{x}$
anche se solo la seconda è un isomorfismo tra il gruppo $(\mathbb {R} ,+)$ e il gruppo $(\mathbb {R} _{0}^{+},\cdot )$.

## In analisi complessa

In analisi complessa con dominio solitamente si indica un sottoinsieme aperto e connesso di $\mathbb {C} ^{n}$.

## Topologia

In topologia per dominio si intende la chiusura di un insieme aperto. Inoltre, se il suddetto aperto manifesta la proprietà della connessione, anche il dominio può dirsi connesso.