# Scarica di un condensatore

La scarica di un condensatore in un circuito elettrico è il processo mediante il quale le cariche accumulate sulle armature di un condensatore si disperdono nel circuito in seguito all'applicazione di una resistenza. La corrente elettrica e le leggi di Kirchhoff valgono esattamente solo quando le condizioni sono stazionarie, cioè quando le grandezze in gioco non dipendono dal tempo. Necessariamente però queste condizioni sono ideali: le leggi che ci interessano valgono anche per quelle condizioni che vengono dette quasi-stazionarie, cioè che variano così lentamente nel tempo che le leggi continuano a valere. Due di questi casi notevoli sono la scarica e la carica di un condensatore.

## La legge di scarica del condensatore

Consideriamo allora un circuito come quello in figura in cui l'interruttore è inizialmente aperto, il condensatore è carico (eventualmente caricato da un generatore) e quindi possiede una differenza di potenziale ai capi di C che è $V_{0}$. Al tempo $t=0$, le condizioni iniziali sono: $V(t=0)=V_{0}$ e $Q(t=0)=C\cdot V_{0}$; chiudiamo l'interruttore T. Vediamo come variano nel tempo le grandezze in gioco.
Innanzitutto possiamo trovare il valore istantaneo del potenziale del condensatore:
    $V_{c}(t)={\frac {Q(t)}{C}}$
Dato che sulla resistenza la differenza di potenziale è data da:
    $V_{R}(t)=-R\cdot I(t)$
E sapendo che in un circuito chiuso la somma algebrica delle tensioni è uguale a zero, dunque:
    $V_{c}(t)+V_{R}(t)=0$
Abbiamo che:
    ${\frac {Q(t)}{C}}-R\cdot I(t)=0$
Per definizione, la corrente elettrica è la quantità di carica che attraversa una sezione fissa nell'unità di tempo:
    $I(t)=-{\frac {dQ(t)}{dt}}$
Il segno meno nella precedente equazione deriva dal fatto che, in accordo con la notazione adottata, $Q(t)$ rappresenta la carica accumulata nel condensatore, mentre $I(t)$ è la corrente che fluisce nel circuito. Da ciò segue che quando il condensatore si scarica si ha ${\frac {dQ(t)}{dt}}<0$ mentre la corrente che fluisce nel circuito è $I(t)>0$.
Sostituendo, avremo:
    ${\frac {Q(t)}{C}}+R\cdot {\frac {dQ(t)}{dt}}=0$
A questo punto possiamo separare le variabili, al fine di risolvere l'equazione differenziale, ottenendo:
    ${\frac {dQ(t)}{Q(t)}}=-{\frac {dt}{RC}}$
Dobbiamo dunque integrare l'ultima equazione:
    $\int _{Q_{0}}^{Q}{\frac {dQ(t)}{Q(t)}}=-{\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}dt$
La soluzione sarà:
    $Q(t)=Q_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}$
Ricaviamo l'equazione del potenziale in funzione del tempo per la scarica del condensatore:
    $V(t)={\frac {Q(t)}{C}}\rightarrow V(t)=V_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}=V_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$
dove $\tau =RC$ ha un valore costante ed è detta costante di tempo del circuito.
Ricaviamo l'equazione della corrente in funzione del tempo:
    $I(t)={\frac {dQ(t)}{dt}}=-V_{0}C\cdot {\frac {d}{dt}}\left(e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)=-{\frac {V_{0}\not C}{\not CR}}\cdot (-e^{-{\frac {t}{RC}}})={\frac {V_{0}}{R}}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$
Come si vede dal grafico della corrente essa decresce esponenzialmente a zero e già ad una costante di tempo la corrente dal valore massimo iniziale $I_{0}={\frac {V_{0}}{R}}$ si riduce di 1/e.
In regime di tensione/corrente alternata invece il condensatore si carica e si scarica assecondando le variazioni di tensione/corrente ai suoi capi ovvero con la stessa frequenza di oscillazione dell'eccitazione.

## Bilancio energetico

La variazione di energia potenziale del condensatore è:
    $\Delta U={\frac {Q_{0}^{2}}{2C}}-{\frac {0^{2}}{2C}}$
mentre il calore dissipato per effetto Joule è:
    $\int _{0}^{\infty }R\cdot I(t)^{2}\ dt=R\int _{0}^{\infty }{\frac {V_{0}^{2}}{R^{2}}}e^{-{\frac {2t}{RC}}}dt={\frac {V_{0}^{2}}{R}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {2t}{RC}}}dt={\frac {V_{0}^{2}C}{2}}={\frac {Q_{0}^{2}}{2C}}$
cioè l'energia potenziale del condensatore si trasforma tutta in calore nel processo di scarica:
    $\Delta U=\int _{0}^{\infty }R\cdot I(t)^{2}\ dt$