# Morfismo étale

In geometria algebrica, un morfismo étale (dal francese: calmo, immobile, qualcosa lasciato a stabilirsi.) è un morfismo di schemi che è formalmente étale ed è localmente di presentazione finita. Un morfismo étale è l'analogo algebrico della nozione di isomorfismo locale nella topologia euclidea. I morfismi étale soddisfano le ipotesi del teorema della funzione implicita, ma poiché gli aperti nella topologia di Zariski sono grandi, tali morfismi non sono necessariamente isomorfismi locali. Nonostante ciò, i morfismi étale conservano molte delle proprietà degli isomorfismi analitici locali e sono utili per definire il gruppo fondamentale algebrico e la topologia étale.

## Definizione

Sia $\phi \colon R\to S$ un omomorfismo di anelli. Allora $S$ è una $R$-algebra. Sia $f$ un polinomio monico in $R[x]$ e $g$ un polinomio in $R[x]$ tale che la derivata $f'$ di $f$ è un'unità in $(R[x]/fR[x])_{g}.$ Si dice che $\phi$ è standard étale se $f$ e $g$ possono essere scelti in modo che $S$ sia isomorfo a $(R[x]/fR[x])_{g}$ come $R$-algebra e che $\phi$ sia la mappa canonica.
Sia $f\colon X\to Y$ un morfismo di schemi. Si dice che $f$ è étale se e solo se soddisfa una delle seguenti proprietà equivalenti:
* $f$ è piatto e non ramificato.
* $f$ è liscio e non ramificato.
* $f$ è piatto, localmente di presentazione finita e, per ogni $y\in Y,$ la fibra $f^{-1}(y)$ è unione disgiunta di punti ciascuno dei quali è lo spettro di un'estensione di campo finita separabile del campo residuo $\kappa (y).$
* $f$ è piatto, localmente di presentazione finita e per ogni $y\in Y$ e per ogni chiusura algebrica $K$ del campo residuo $\kappa (y),$ la fibra geometrica $f^{-1}(y)\otimes _{\kappa (y)}K$ è unione disgiunta di punti ciascuno dei quali isomorfo a $\mathrm {Spec} \,K.$
* $f$ è liscio di dimensione relativa zero.
* $f$ è liscio e localmente quasi finito.
* $f$ è localmente di presentazione finita ed è localmente étale standard, cioè:
    per ogni $x\in X,$ esiste un intorno aperto affine $\mathrm {Spec} \,R$ di $f(x)$ e un intorno aperto affine $\mathrm {Spec} \,S$ di $x$ tale che $f(\mathrm {Spec} \,S)\subset \mathrm {Spec} \,R$ e tale che l'omomorfismo di anelli $R\to S$ indotto da $f$ è standard étale.
* $f$ è localmente di presentazione finita e formalmente étale.
* $f$ è localmente di presentazione finita e formalmente étale per mappe da anelli locali, cioè:
    sia $J$ un ideale di un anello locale $A$ tale che $J^{2}=0,$ sia $Z=\mathrm {Spec} \,A,$ sia $Z_{0}=\mathrm {Spec} \,(A/J)$ con punto chiuso $z_{0}$ e con $i\colon Z_{0}\to Z$ l'immersione chiusa canonica e siano $h\colon Z\to Y$ e $g_{0}\colon Z_{0}\to X$ morfismi tali che $f(g_{0}(z_{0}))=h(i(z_{0})),$ allora esiste un unico $Y$-morfismo $g\colon Z\to X$ tale che $gi=g_{0}.$
Sia $Y$ localmente noetheriano e $f$ localmente di tipo finito. Dato $x\in X,$ sia $y=f(x)$ e sia ${\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}\to {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}$ la mappa indotta sugli anelli locali completati. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
* $f$ è étale.
* Per ogni $x\in X,$ la mappa indotta sugli anelli locali completati è formalmente étale per la topologia adica.
* Per ogni $x\in X,$ il fascio ${\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}$ è un ${\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}$-modulo libero e la fibra ${\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}/m_{y}{\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}$ è un campo che è un'estensione di finita separabile del campo residuo $\kappa (y).$ Qui $m_{y}$ è l'ideale massimale di ${\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}.$
* $f$ è formalmente étale per mappe di anelli locali tali che l'anello locale $A,$ con ideale massimale $m,$ è artiniano, $mJ=0,$ dove $J$ è un ideale di $A$ tale che $J^{2}=0,$ e il morfismo tra campi residui $\kappa (y)\to A/m$ è un isomorfismo.
Inoltre, se tutte le mappe sui campi residui $\kappa (y)\to \kappa (x)$ sono isomorfismi o se $\kappa (y)$ è separabilmente chiuso, allora $f$ è étale se e solo se per ogni $x\in X$ la mappa indotta sugli anelli locali completati è un isomorfismo.

## Esempi

* Ogni immersione aperta è étale perché è localmente un isomorfismo.
* I rivestimenti sono esempi di morfismi étale. Ad esempio, se $d\geq 1$ è un numero intero invertibile nell'anello $R,$ allora
       ${\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])$
    è un morfismo étale di grado $d.$
* Ogni rivestimento ramificato $\pi \colon X\to Y$ ha un luogo non ramificato
       $\pi \colon X_{\text{un}}\to Y_{\text{un}}$
    che è étale.
* I morfismi del tipo
       $\mathrm {Spec} (L)\to \mathrm {Spec} (K)$
    indotti da estensioni di campo finite separabili sono étale, essi formano rivestimenti aritmetici con gruppi di trasformazioni su $\mathrm {Spec} (K)$ dati da $\mathrm {Gal} (L/K).$
* Qualsiasi omomorfismo di anelli della forma $R\to S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots ,f_{n}),$ dove tutti gli $f_{i}$ sono polinomi e dove il determinante jacobiano $\det(\partial f_{i}/\partial x_{j})$ è un'unità in $S,$ è étale. Ad esempio il morfismo $\mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)$ è etale e corrisponde a un rivestimento di grado $n$ di $\mathbb {G} _{m}\in \mathrm {Sch} /\mathbb {C}$ con il gruppo $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ delle trasformazioni su $\mathbb {C} .$
* Estendendo l'esempio precedente, supponiamo di avere un morfismo $f$ di varietà algebriche complesse lisce. Poiché $f$ è dato da equazioni, possiamo interpretarlo come una mappa di varietà differenziabili complesse. Ogni volta che lo jacobiano di $f$ è diverso da zero, $f$ è un isomorfismo locale di varietà differenziabili complesse per il teorema della funzione implicita. Dall'esempio precedente, avere jacobiano diverso da zero equivale a essere étale.
* Sia $f\colon X\to Y$ un morfismo dominante di tipo finito con $X$ e $Y$ localmente noetheriani e irriducibili e con $Y$ normale. Se $f$ è non ramificato, allora è étale.
* Dato un campo $K,$ qualsiasi $K$-algebra $A$ è necessariamente piatta. Pertanto, $A$ è un'algebra étale se e solo se è non ramificata, il che è anche equivalente a
       $A\otimes _{K}{\bar {K}}\cong {\bar {K}}\oplus \ldots \oplus {\bar {K}},$
    dove ${\bar {K}}$ è la chiusura separabile del campo $K$ e il membro di destra è una somma diretta finita di cui tutti gli addendi sono ${\bar {K}}.$ Questa caratterizzazione delle $K$-algebre étale è un passo fondamentale verso la reinterpretazione della teoria classica di Galois.

## Proprietà

* I morfismi étale sono preservati dalla composizione e dal cambiamento di base.
* I morfismi étale sono locali nel dominio e nel codominio. In altre parole, $f\colon X\to Y$ è étale se e solo se per ogni ricoprimento di $X$ di sottoschemi aperti, la restrizione di $f$ a ciascuno dei sottoschemi aperti del ricoprimento è étale; e anche se e solo se per ogni ricoprimento di $Y$ di sottoschemi aperti, i morfismi indotti $f_{(U)}\colon X\times _{Y}U\to U$ sono étale per ogni sottoschema $U$ del ricoprimento. In particolare è possibile verificare la proprietà di essere étale su aperti affini $V=\operatorname {Spec} (B)\to U=\operatorname {Spec} (A).$
* Il prodotto di una famiglia finita di morfismi étale è étale.
* Data una famiglia finita di morfismi $\{f_{\alpha }\colon X_{\alpha }\to Y\},$ l'unione disgiunta $\coprod f_{\alpha }\colon \coprod X_{\alpha }\to Y$ è étale se e solo se ogni $f_{\alpha }$ è étale.
* Dati $f\colon X\to Y$ e $g\colon Y\to Z,$ se $g$ è non ramificato e $gf$ è étale, allora $f$ è étale. In particolare, se $X$ e $X'$ sono étale su $Y,$ allora ogni $Y$-morfismo tra $X$ e $X'$ è étale.
* I morfismi étale quasi compatti sono quasi finiti.
* Un morfismo $f\colon X\to Y$ è un'immersione aperta se e solo se è etale e radiciale.
* Se $f\colon X\to Y$ è étale e suriettivo, allora $\dim X=\dim Y$ (finito o meno).

## Teorema della funzione inversa

I morfismi étale $f\colon X\to Y$ sono la controparte algebrica dei diffeomorfismi locali. Più precisamente, un morfismo tra varietà lisce è étale in un punto se e solo se il differenziale tra i corrispondenti spazi tangenti è un isomorfismo. Questa è a sua volta precisamente la condizione necessaria per assicurare che una mappa tra varietà sia un diffeomorfismo locale, ossia per ogni punto $y\in Y,$ esiste un intorno aperto $U$ di $x$ tale che la restrizione di $f$ a $U$ sia un diffeomorfismo. Questa conclusione non vale nella geometria algebrica, perché la topologia è troppo grossolana. Si consideri ad esempio la proiezione $f$ della parabola $y=x^{2}$ sull'asse $y.$ Questo morfismo è étale in ogni punto tranne che nell'origine $(0,0),$ perché il differenziale è dato da $2x,$ che non si annulla in questi punti. Tuttavia non esiste un inverso (Zariski-)locale di $f$ perché la radice quadrata non è un morfismo algebrico, non essendo data dai polinomi. Ma, considerando la topologia étale, esiste una soluzione a questo problema. Il risultato preciso è il seguente: se $f\colon X\to Y$ è finito étale, allora per ogni punto $y\in Y$ esiste un morfismo étale $V\to Y$ che contiene $y$ nella sua immagine ($V$ può essere pensato come un intorno aperto étale di $y$), tale che $X\times _{Y}V\to V$ è unione disgiunta finita di sottoinsiemi aperti isomorfi a $V$ (l'insieme $X\times _{Y}V$ sarebbe la controimmagine di $V$ rispetto a $f$ se $V$ fosse un intorno aperto di Zariski). In altre parole, étale-localmente in $Y,$ il morfismo $f$ è un rivestimento topologico finito.
Per un morfismo liscio $f\colon X\to Y$ di dimensione relativa $n,$ étale-localmente in $X$ e in $Y,$ il morfismo $f$ è un'immersione aperta in uno spazio affine $\mathbb {A} _{Y}^{n}.$ Questa è la versione étale del teorema di struttura delle summersioni.