# Radicale di un ideale

In matematica, e più precisamente in algebra, il radicale (o nilradicale) di un ideale $I$ di un anello commutativo è l'ideale formato da tutti gli elementi dell'anello di cui è possibile trovare una potenza contenuta in $I$ o, equivalentemente in un anello commutativo unitario come l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti $I$. Un ideale che coincide con il suo radicale si dice un ideale radicale.
Il radicale di $I$, denotato con ${\sqrt {I}}$ o con $\mathrm {rad} (I)$, è un ideale radicale contenente $I$ e, più precisamente, è il più piccolo ideale radicale contenente $I$.
Il radicale dell'ideale $(0)$ dell'anello $A$ è detto radicale (o nilradicale) di $A$, e viene spesso indicato con $\mathrm {rad} (A)$.
Il radicale di un ideale è collegato molto strettamente con la geometria algebrica attraverso il teorema degli zeri (o "Nullstellensatz") di Hilbert, che afferma che, se $K$ è un campo algebricamente chiuso, gli ideali radicali dell'anello dei polinomi $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ sono in corrispondenza biunivoca con gli insiemi algebrici dello spazio affine $\mathbb {A} _{K}^{n}$.

## Definizione

Sia $I$ un ideale di un anello commutativo $A$. Il radicale di I è l'insieme
    ${\sqrt {I}}:=\{x\in A|\exists n\in \mathbb {N} :x^{n}\in I\}$
${\sqrt {I}}$ è effettivamente un ideale, in quanto
    $x^{n}\in I\Longrightarrow (ax)^{n}\in I$ per ogni $a\in A$
    se $x^{n},y^{m}\in I$, allora $(x+y)^{n+m-1}=\left(x^{n+m-1}+\ldots +c_{n}x^{n}y^{m-1}\right)+\left(c_{m}y^{m}x^{n-1}+\ldots +y^{n+m-1}\right)\in I$
Equivalentemente in un anello commutativo unitario, il radicale di $I$ è l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti $I$: se infatti $x^{n}\in I$, allora $x^{n}\in P$ per ogni ideale primo $P\supseteq I$, e quindi $x\in P$; viceversa, se $x\in P$ per ogni ideale primo contenente $I$, allora l'insieme degli ideali che contengono $I$ ma non contengono alcuna potenza di $x$ ammette un elemento massimale (grazie al lemma di Krull), che è possibile dimostrare essere primo, contro l'ipotesi che $x$ fosse contenuto in tutti gli ideali primi contenenti $I$.
In particolare, il nilradicale di $A$, ovvero il radicale dell'ideale nullo, coincide con l'intersezione di tutti gli ideali primi di $A$.

## Proprietà

La seconda caratterizzazione del radicale è utile per analizzarne il comportamento tramite omomorfismi: se $f:A\longrightarrow B$ è un omomorfismo il cui nucleo è contenuto in $I$, allora $f({\sqrt {}I))={\sqrt {f(I)}}$; in particolare, se $\pi :A\longrightarrow A/I$ è la proiezione canonica, ${\sqrt {I}}$ è la controimmagine del radicale dell'ideale nullo in $A/I$, ovvero del radicale di $A/I$. In particolare, $I$ è un ideale radicale se e solo se $A/I$ è un anello ridotto.
Inoltre, questa caratterizzazione implica che un ideale primo contiene $I$ se e solo se contiene ${\sqrt {I}}$: ne segue che ${\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}$ (in quanto sono l'intersezione degli elementi dello stesso insieme) e, inoltre, che i chiusi $V(J)$ definiti da $I$ e da ${\sqrt {I}}$ nella topologia di Zariski dello spettro dell'anello coincidono.
Altre proprietà legano il radicale di $I$ alle operazioni tra ideali:
* ${\sqrt {I+J}}={\sqrt {{\sqrt {I}}+{\sqrt {J}}}}$
* ${\sqrt {IJ}}={\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}$
* ${\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}$
* ${\sqrt {I}}=A\iff I=A$