# Costanti trigonometriche esatte

Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.
Tutti i valori delle funzioni seno, coseno e tangente di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.

## Tavola delle espressioni

I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo $\left[0,{\tfrac {\pi }{4}}\right]$ si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.

### 0° - valori fondamentali

    $\sin 0^{\circ }=0;$
    $\cos 0^{\circ }=1;$
    $\tan 0^{\circ }=0.$

### 3° - Esacontagono (60 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}(1-{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)}{16}};$
    $\cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)}{16}};$
    $\tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\frac {\left[(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}.$

### 6° - Triacontagono (30 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-({\sqrt {5}}+1)}{8}};$
    $\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}};$
    $\tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})}{2}}.$

### 9° - Icosagono (20 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}{8}};$
    $\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}{8}};$
    $\tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\;(2+{\sqrt {5}})+({\sqrt {5}}+1).$

### 12° - Pentadecagono (15 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}};$
    $\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+({\sqrt {5}}-1)}{8}};$
    $\tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}(2+{\sqrt {5}})+({\sqrt {5}}+1)}{2}}.$

### 15° - Dodecagono (12 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)}{4}};$
    $\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)}{4}};$
    $\tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}};$
    $\cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}.$

### 18° - Decagono (10 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}};$
    $\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}};$
    $\tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}};$
    $\cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.$

### 21° = 9° + 12°

    $\sin {\frac {7}{60}}\pi =\sin 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}({\sqrt {3}}+1)-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})}{16}};$
    $\cos {\frac {7}{60}}\pi =\cos 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}({\sqrt {3}}-1)+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}};$
    $\tan {\frac {7}{60}}\pi =\tan 21^{\circ }={\frac {{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}(1+2{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})+(2+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-3)+2}{2}}.$

### 22,5° - Ottagono (8 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22,5^{\circ }={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}};$
    $\cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22,5^{\circ }={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}};$
    $\tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22,5^{\circ }={\sqrt {2}}-1;$
    $\cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22,5^{\circ }={\sqrt {2}}+1.$

### 24° = 12° + 12°

    $\sin {\frac {2}{15}}\pi =\sin 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}(1-{\sqrt {5}})+2{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {5}}))}{16}};$
    $\cos {\frac {2}{15}}\pi =\cos 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}({\sqrt {5}}-1)+2(1+{\sqrt {5}}))}{16}};$
    $\tan {\frac {2\pi }{15}}\pi =\tan 24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {3}}\right)(3+{\sqrt {5}})}{4}};$
    $\cot {\frac {2\pi }{15}}\pi =\cot 24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+2{\sqrt {3}}\right)({\sqrt {5}}-1)}{4}}.$

### 27° = 12° + 15°

    $\sin {\frac {3}{20}}=\sin 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {5}})}{8}};$
    $\cos {\frac {3}{20}}=\cos 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}};$
    $\tan {\frac {3}{20}}=\tan 27^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {5}}-1).$

### 30° - Esagono (6 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}};$
    $\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}};$
    $\tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}};$
    $\cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}.$

### 33° = 15° + 18°

    $\sin {\frac {11}{60}}\pi =\sin 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}(-1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)(1+{\sqrt {3}})}{16}};$
    $\cos {\frac {11}{60}}\pi =\cos 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}(+1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)(1-{\sqrt {3}})}{16}};$
    $\tan {\frac {11}{60}}\pi =\tan 33^{\circ }={\frac {{\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}\left(-15+10{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}+4{\sqrt {15}}\right)+5\left((-2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})+2\right)}{10}}.$

### 36° - Pentagono (5 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}};$
    $\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}};$
    $\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}})}}.$

### 39° = 18° + 21°

    $\sin {\frac {13}{60}}\pi =\sin 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}(1-{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}(+1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}};$
    $\cos {\frac {13}{60}}\pi =\cos 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}\,(-1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}};$
    $\tan {\frac {13}{60}}\pi =\tan 39^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-2\right)\left((2-{\sqrt {3}})(-3+{\sqrt {5}})+2\right)}{4}}.$

### 42° = 21° + 21°

    $\sin {\frac {7}{30}}\pi =\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}(1+{\sqrt {5}})+2(1-{\sqrt {5}})}{16}};$
    $\cos {\frac {7}{30}}\pi =\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}(1+{\sqrt {5}})+2{\sqrt {3}}(-1+{\sqrt {5}})}{16}};$
    $\tan {\frac {7}{30}}\pi =\tan 42^{\circ }={\frac {-{\sqrt {1-2{\sqrt {1}}}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {5}})}{2}}.$

### 45° - Quadrato (4 lati)

    $\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}};$
    $\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}};$
    $\tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1;$
    $\cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1.$

### Uso delle costanti

Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:
    $V=5e^{3}\cos 36^{\circ }/\tan ^{2}36^{\circ }.$
Usando
    $\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}},$
    $\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}},$
l'espressione precedente può essere semplificata nella:
    $V={\frac {e^{3}(15+7{\sqrt {5}})}{4}}.$

### Dimostrazioni delle espressioni mediante triangoli

La derivazione dei valori particolari delle funzioni seno, coseno e tangente nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice $V,$ il punto medio $M$ di un lato che ha come estremo $V$ e il centro $C$ del poligono. Per $N=3,4,5,\ldots$ si considera un $N$-agono regolare suddiviso in $2N$ triangoli rettangoli aventi angoli di $180^{\circ }/N$ (vertice $C$), $90^{\circ }$ (vertice $M$) e $90^{\circ }-180^{\circ }/N$ (vertice $V$).
Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di 2.
* Costruibili
** Poligoni regolari con $3\cdot 2^{n}$ lati, $n=0,1,2,3,\ldots$
*** 30°-60°-90° triangolo - triangolo (3 lati)
*** 60°-30°-90° triangolo - esagono (6 lati)
*** 75°-15°-90° triangolo - dodecagono (12 lati)
*** 82,5°-7,5°-90° triangolo - tetracosagono (24 lati)
*** 86,25°-3,75°-90° triangolo - ottatetracontagono (48 lati)
** Poligoni regolari con $4\cdot 2^{n}$ lati
*** 45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati)
*** 67,5°-22,5°-90° triangolo - ottagono (8 lati)
*** 88,75°-11,25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati)
** Poligoni regolari con $5\cdot 2^{n}$ lati
*** 54°-36°-90° triangolo - pentagono (5 lati)
*** 72°-18°-90° triangolo - decagono (10 lati)
*** 81°-9°-90° triangolo - icosagono (20 lati)
*** 85,5°-4,5°-90° triangolo - tetracontagono (40 lati)
*** 87,75°-2,25°-90° triangolo - ottacontagono (80 lati)
** Poligoni regolari con $15\cdot 2^{n}$ lati
*** 78°-12°-90° triangolo - pentadecagono (15 lati)
*** 84°-6°-90° triangolo - triacontagono (30 lati)
*** 87°-3°-90° triangolo - esacontagono (60 lati)
*** 88,5°-1,5°-90° triangolo - ettoicosagono (120 lati)
*** 89,25°-0,75°-90° triangolo - diettotetracontagono (240 lati)
** ... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...)
* Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note.
** Poligoni regolari con $9\cdot 2^{n}$ lati
*** 70°-20°-90° triangolo - ennagono (9 lati)
*** 80°-10°-90° triangolo - ottadecagono (18 lati)
*** 85°-5°-90° triangolo - esatriacontagono (36 lati)
*** 87,5°-2,5°-90° triangolo - doeptacontagono (72 lati)
** Poligoni regolari con $45\cdot 2^{n}$ lati
*** 86°-4°-90° triangolo - pentatetracontagono (45 lati)
*** 88°-2°-90° triangolo - ennacontagono (90 lati)
*** 89°-1°-90° triangolo - ettaottacontagono (180 lati)
*** 89,5°-0,5°-90° triangolo - triettoesacontagono (360 lati)

### Espressioni non singole

La semplificazione di un radicale doppio non è banale e non sempre può essere effettuata.
Esempio:
    $4\sin 18^{\circ }={\sqrt {2(3-{\sqrt {5}})}}={\sqrt {5}}-1.$
Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti. Però si ha
    ${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}}}=d+e{\sqrt {c}}\quad {\mbox{se}}\quad a^{2}-b^{2}c$  è un quadrato perfetto.