# Equazioni di London

Le equazioni di London sono le più semplici relazioni costitutive per descrivere la superconduttività. Il maggiore risultato di tali equazioni è quello di riuscire a descrivere l'effetto Meissner-Ochsenfeld, che non è spiegabile semplicemente con le equazioni di Maxwell. Sono state sviluppate nel 1935 dai due fratelli Fritz e Heinz London.

## Formulazione

Una possibile formulazione delle equazioni di London è:
${\begin{cases}\displaystyle {{\frac {d{\vec {J}}}{dt}}={\frac {\vec {E}}{\mu _{0}\lambda _{L}^{2}}}}\\\displaystyle {\nabla \times {\vec {J}}=-{\frac {\vec {H}}{\lambda _{L}^{2}}}}\end{cases}}$
nelle quali $\mu _{0}$ è la permeabilità magnetica del vuoto, mentre $\lambda _{L}$ è detta lunghezza di penetrazione di London, che ha le dimensioni di una lunghezza. Tale parametro è definito come
$\lambda _{L}={\sqrt {\frac {m}{n_{s}e^{2}\mu _{0}}}}$
con $e$ pari alla carica elettrica elementare, $m$ pari alla massa dell'elettrone mentre $n_{s}$ è un parametro fenomenologico detto densità volumica di superportatori.

## La prima equazione

La prima equazione di London descrive la prima delle due caratteristiche di un superconduttore, cioè l'assenza di resistenza DC. Per ricavare tale equazione, è sufficiente considerare il modello di Drude per la conducibilità elettrica nei metalli.

### Derivazione dell'equazione

Il modello di Drude per le correnti DC propone la seguente equazione che descrive il movimento degli elettroni:
$m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-e{\vec {E}}-{\frac {m{\vec {v}}}{\tau }}$
dove $e$ è pari alla carica elettrica elementare, $m$ è pari alla massa dell'elettrone e $\tau$ viene detto tempo di rilassamento, e rappresenta il tempo medio che separa due collisioni distinte di un elettrone all'interno del reticolo di ioni del metallo.
Essendo la conducibilità elettrica $\sigma$ direttamente proporzionale a $\tau$, si può immaginare che in un materiale in cui non c'è resistenza il tempo di rilassamento sia molto grande, tendente all'infinito. Se $\tau \rightarrow \infty$, l'equazione di Drude si semplifica in
$m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-e{\vec {E}}$
Immaginando che solo una densità volumica $n_{s}$ degli elettroni del materiale sia superconduttiva, e ricordando la definizione di ${\vec {J}}=-n_{s}e{\vec {v}}$, si ottiene:
${\frac {d{\vec {J}}}{dt}}={\frac {n_{s}e^{2}}{m}}{\vec {E}}$
che è proprio la prima equazione di London.

## La seconda equazione

La seconda equazione fu introdotta dai fratelli London per ovviare alle limitazioni imposte dalla prima equazione in termini di diamagnetismo perfetto.

### Insufficienza della prima equazione

La prima equazione modella bene l'assenza di resistenza ma non può descrivere l'effetto Meissner-Ochsenfeld. Difatti, applicando le equazioni di Maxwell ad essa si ottiene:
$\nabla ^{2}{\frac {d{\vec {H}}}{dt}}={\frac {1}{\lambda _{L}^{2}}}{\frac {d{\vec {H}}}{dt}}$
Integrando tale relazione nel tempo in un intervallo $[0,t]$ si ricava:
$\nabla ^{2}({\vec {H}}-{\vec {H}}_{0})={\frac {({\vec {H}}-{\vec {H}}_{0})}{\lambda _{L}^{2}}}$
con ${\vec {H}}_{0}$ campo magnetico all'istante $t=0$. Tale equazione ammette una soluzione particolare ${\vec {H}}={\vec {H}}_{0}$, cioè un campo costante, che è incompatibile con l'effetto Meissner-Ochsenfeld, in quanto esso prevede un diamagnetismo perfetto, quindi assenza totale di campi magnetici.

### Descrizione del diamagnetismo perfetto

Venne quindi proposta l'equazione:
$\nabla \times {\vec {J}}=-{\frac {\vec {H}}{\lambda _{L}^{2}}}$
Tale equazione descrive perfettamente l'effetto Meissner-Ochsenfeld. Difatti, applicando la legge di Ampere $\nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}$ al primo membro, e ricordando $\nabla ^{2}{\vec {H}}=-\nabla \times \nabla \times {\vec {H}}$ si ricava:
$\nabla ^{2}{\vec {H}}={\frac {\vec {H}}{\lambda ^{2}}}$
Considerando la soluzione particolare in una dimensione $x$ (con $x=0$ sulla superficie del conduttore e $x>0$ all'interno del materiale):
$H(x)=H(0)e^{-x/\lambda _{L}}$
si vede come il campo magnetico si riduca esponenzialmente con la distanza dalla superficie, modellando un diamagnetismo perfetto. Si capisce così anche il significato fisico di $\lambda _{L}$, che è la distanza dalla superficie del conduttore in cui il campo si è ridotto di un fattore $1/e$.

### Riscrittura della seconda equazione

La seconda equazione di London può essere scritta anche in un'altra forma, ricordando la definizione di potenziale vettore:
$\nabla \times {\vec {A}}={\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}$
Sostituendo nella seconda equazione di London si ricava:
${\vec {J}}=-{\frac {\vec {A}}{\mu _{0}\lambda _{L}^{2}}}$
in cui si nota una diretta proporzionalità tra la densità di corrente e il potenziale vettore magnetico.