# Secante (trigonometria)

In matematica, la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia:
    $\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}.$

## Definizione geometrica

Data una circonferenza unitaria di centro $O$, l'angolo al centro $\theta$ tale che $\theta \not ={\frac {\pi }{2}}+k\pi$, con $k\in \mathbb {Z}$, individua su questa un punto $C$. La retta tangente alla circonferenza in $C$ interseca l'asse $x$ nel punto $B$; si definisce secante di $\theta$ l'ascissa del punto $B$ così definito (vedi Fig. 2).
In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto adiacente: da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora, si ottengono le formule:
    $\sec ^{2}\theta =1+\tan ^{2}\theta ,$
    $\sec \theta ={\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }},$
comunque deducibili dalla definizione di secante.
La funzione secante è definita su tutto $\mathbb {R}$ tranne che nei punti $x={\frac {\pi }{2}}+k\pi$, con $k\in \mathbb {Z}$, mentre la sua immagine è tutto l'insieme $\mathbb {R}$ escluso l'intervallo $\left(-1,1\right)$.
    $\sec :\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}\rightarrow \mathbb {R} \setminus \left(-1,1\right)$

### Dimostrazione

Dimostriamo che $\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}$.
Il triangolo ${\overset {\vartriangle }{AOG}}$ è simile al triangolo ${\overset {\vartriangle }{COB}}$ (vedi fig.1).
Per il teorema di Talete vale la proporzione:
    ${OC \over OB}={OG \over OA}$
Ora
    $OB=\cos \theta ,$
    $OC=1,$
    $OG=\sec \theta ,$
    $OA=1.$
Quindi:
    ${\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {\sec \theta }{1}},$
da cui
    $\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}.$

### Calcolo dell'insieme di definizione e dell'immagine

I punti $x={\frac {\pi }{2}}+k\pi \in \mathbb {R}$ devono essere esclusi dal dominio, poiché la funzione $\cos$ si trova al denominatore e si annulla in questi punti. Per quanto riguarda l'immagine, invece, si ha
    $\forall x\in \mathbb {R} ,\quad -1\leq \cos x\leq 1,$
ossia
    $\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \cos x\geq -1\wedge \cos x\leq 1.$
Pertanto
    $\forall x\in \mathbb {R} ,\quad {\frac {1}{\cos x}}=\sec x\leq -1\wedge {\frac {1}{\cos x}}=\sec x\geq 1,$
ossia
    $\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \sec x\in \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right]=\mathbb {R} \setminus \left(-1,1\right).$

## Valori notevoli

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che $\sec x={1 \over \cos x}$:
| $x$ in radianti | 0 | ${\frac {\pi }{12}}$ | ${\frac {\pi }{6}}$ | ${\frac {\pi }{4}}$ | ${\frac {\pi }{3}}$ | ${\frac {5}{12}}\pi$ | ${\frac {\pi }{2}}$ | $\pi$ | ${\frac {3\pi }{2}}$ | $2\pi$ |
| $x$ in gradi | 0° | 15° | 30° | 45° | 60° | 75° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| $\sec(x)$ | $1$ | ${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$ | ${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$ | ${\sqrt {2}}$ | $2$ | ${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$ | $\nexists$ | $-1$ | $\nexists$ | $1$ |

## Derivate

La derivata prima della secante, e le sue derivate successive, si ottengono ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente:
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x.$
    ${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\tan x}{\cos x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1+\sin ^{2}x}{\cos ^{3}x}}=\sec ^{3}x\left(1+\sin ^{2}x\right).$

## Relazione trigonometrica secante-cosecante

Conseguenza della prima relazione fondamentale della trigonometria $(\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1)$ è la seguente relazione tra secante e cosecante:
    $\mathrm {cosec} ^{2}x+\sec ^{2}x=\mathrm {cosec} ^{2}x\cdot \sec ^{2}x$
per ogni $x\neq k{\pi \over 2}$ con $k\in \mathbb {Z}$.
La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per $\sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x$.