# Classe laterale

La classe laterale (in inglese coset) è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.

## Definizione

Sia $(G;\cdot )$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo e $a\in G$. Nel seguito utilizziamo per l'operazione di gruppo la notazione $a\cdot b=ab$. La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ è l'insieme:
    $Ha=\{b\in G\,|\,b=ha,h\in H\}=\{H\ni h=ba^{-1},b\in G\},$
cioè fissato un elemento $a$ di $G$ detto rappresentante della classe, si fa il prodotto $b=ha$ dove $h$ è un qualsiasi elemento del sottogruppo $H.$ Oppure si prende l'elemento opposto di $a$ e si fa il prodotto $ba^{-1}$ con qualsiasi elemento $b$ di $G$ verificando di ottenere un elemento di $H.$
Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ come l'insieme:
    $aH=\{b\in G\,|\,b=ah,h\in H\}=\{H\ni h=a^{-1}b,b\in G\}.$

### Descrizione tramite classi di equivalenza

È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza $\sim _{H\cdot }$ definita in $G$ ponendo per $a,b\in G$:
    $a\sim _{H\cdot }b\Longleftrightarrow ba^{-1}\in H\Longleftrightarrow b\in Ha.$
La classe di equivalenza contenente l'elemento $g$ è proprio $Hg$: infatti $g=eg$, dove $e$ è l'elemento neutro di $G$: quindi $e\in H$ perché $H$ è un sottogruppo.
Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:
    $a\sim _{\cdot H}b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\Longleftrightarrow b\in aH.$
L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi laterali distinte o disgiunte in cui è partizionato $G$ si definisce come:
    $G/\sim _{\cdot H}:=\{xH\,|\,x\in G\},$
    $G/\sim _{H\cdot }:=\{Hx\,|\,x\in G\},$
dove l'elemento $x$ è il rappresentante della classe laterale. Nel caso di un gruppo abeliano $G$ si ha sempre
    $G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot },\qquad \forall H\leq G,$
cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale. Nel caso non abeliano si possono avere sottogruppi normali e non.

## Proprietà

Osserviamo che, a causa delle due equivalenze $\sim _{H\cdot }$ e $\sim _{\cdot H}$, sia i laterali sinistri che i destri del gruppo $G$ sono sottoinsiemi mutuamente disgiunti del gruppo. Quindi le due applicazioni
    ${\begin{aligned}\phi _{\cdot H}\colon H&\to xH\\h&\mapsto xh,\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\phi _{H\cdot }\colon H&\to Hx\\h&\mapsto hx,\end{aligned}}$
sono biunivoche e si possono esprimere con l'unica biiezione naturale
    ${\begin{aligned}\phi _{H}\colon xH&\to Hx\\xh&\mapsto hx^{-1}.\end{aligned}}$
Per cui due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità. Cioè in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo $H$ nel gruppo $G$, e si denota con più simboli a seconda del testo utilizzato
    $i(H)=(G:H)=[G:H].$
In particolare, se $G$ è finito e ha $n$ elementi, e $H$ ha $m$ elementi, si ha $n=m\cdot i(H)$: quindi la cardinalità di ogni sottogruppo $H$ di un gruppo finito $G$ e il suo indice $i(H)$ sono divisori della cardinalità di $G$ (si veda il teorema di Lagrange).
In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo $N$ di $G$ che definisce un'unica partizione, cioè tale che $gN=Ng,$ per ogni $g\in G$, si dice sottogruppo normale di $G$; in genere tale partizione è formata da $i(H)$ classi cioè dal valore dell'indice di $H.$ Quando un sottogruppo forma una partizione che consiste di solo due classi laterali sinistre o destre cioè l'indice del sottogruppo $H$ diventa $[G:H]=2,$ allora $H=N$ cioè è normale ma non vale il viceversa. In qualsiasi gruppo i due sottogruppi banali sono normali. La definizione data consente di passare dall'insieme quoziente alla definizione di gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre. Cioè:
    $G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot }=G/N$
e in tale gruppo abbiamo:
* $xH\circ yH=xyH$ che equivale a $Hx\circ Hy=Hxy$ come legge di composizione interna associativa;
       $(xH\ yH)\ zH=xH\ (yH\ zH)\quad \forall xH,yH,zH\ \in G/N$;
* $eH=He=eN=Ne$ come elemento neutro;
* ${xH}^{-1}=x^{-1}H$ come elemento inverso.
a cui viene associata una tabella di Cayley $i(H)\cdot i(H)$.
       Casi particolari
* Casi particolari sono quelli dei sottogruppi impropri o banali. Sia $H=\{e\}$. In tal caso si ottiene
       $a_{i}H=\{a_{i}\}=Ha_{i},\quad i=1,2,\ldots ,|G|,$
    quindi i laterali destri e sinistri sono uguali e contengono un solo elemento per cui $i(H)=|G|$ e il teorema di Lagrange diventa $|G|=|H|\cdot i(H)=1\cdot |G|$. L'altro caso è $H=G$ e si ottiene
       $a_{i}H=Ha_{i}=G,\quad i=1,2,\ldots ,|G|,$
    quindi i laterali destri e sinistri coincidono con una sola classe di equivalenza per cui $i(H)=1$ e il teorema di Lagrange diventa $|G|=|H|\cdot i(H)=|G|\cdot 1$.
* Se come elemento $x$ rappresentativo della classe prendiamo l'elemento neutro di $G$ si ha
       $eH=\{y\in G|e^{-1}y=ey=y\in H\}=H$
       $He=\{y\in G|ye^{-1}=ye=y\in H\}=H$
       $eH=H=He$
    con $e$ elemento neutro di $G$. Quindi il laterale destro e sinistro sono uguali e coincidenti con $H.$

## Esempi
### Gruppo simmetrico

Questo esempio considera un gruppo non abeliano di ordine finito. Il gruppo simmetrico $S_{3}$ ha legge di composizione non commutativa
    $\alpha \circ \beta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\\alpha (1)&\alpha (2)&\alpha (3)\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3\\\beta (1)&\beta (2)&\beta (3)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\\alpha (\beta (1))&\alpha (\beta (2))&\alpha (\beta (3))\end{pmatrix}}\neq \beta \circ \alpha$
elemento neutro ed opposto
    $\mathrm {id} ={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}$ cioè tutti gli elementi sono punti fissi.
    $\alpha ^{-1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\\alpha ^{-1}(1)&\alpha ^{-1}(2)&\alpha ^{-1}(3)\end{pmatrix}}$ occorre scambiare le righe nella notazione 2-linea.
Consideriamo i sottogruppi di $S_{3}$ il cui ordine sono divisori dell'ordine del gruppo $|S_{3}|=1\cdot 2\cdot 3=6$ per il teorema di Lagrange. Quindi i divisori possibili sono 1, 2, 3, 6. Dalla teoria i divisori che sono numeri primi sono ordini di gruppi ciclici. Da una semplice analisi della tabella Cayley si ottengono:
* due sottogruppi normali banali $\{\mathrm {id} \}=\{C_{3}^{3}\}=\{(1)(2)(3)\}$ ed $S_{3}=C_{3}\times C_{2}=<(1\ 3\ 2),(2\ 3)>$ di ordini 1 e 6;
* il sottogruppo normale alternante $A_{3}=\{\mathrm {id} ,(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}=C_{3}=\{C_{3}^{3},C_{3},C_{3}^{2}\}=<(1\ 3\ 2)>$ che è un gruppo ciclico di ordine 3;
* tre sottogruppi delle riflessioni T$_2$$^′$={id, (2 3)(1)}={C$_3$$^3$, σ$^′$}=C$_2$$^′$=<(2 3)>{\textstyle T_{2}^{'}=\{\mathrm {id} , (2\ 3)(1)\}=\{C_{3}^{3}, \sigma ^{'}\}=C_{2}^{'}=<(2\ 3)>}, $T_{2}^{''}=\{\mathrm {id} ,(1\ 3)(2)\}=\{C_{3}^{3},\sigma ^{''})\}=C_{2}^{''}=<(1\ 3)>$ e $T_{2}^{'''}=\{\mathrm {id} ,(1\ 2)(3)\}=\{C_{3}^{3},\sigma ^{'''}\}=C_{2}^{'''}=<(1\ 2)>$ che sono gruppi ciclici di ordine 2.
Quindi ci sono sei sottogruppi di cui tre normali. Abbiamo utilizzato la notazione ciclica e i simboli dei gruppi ciclici di ordine 2 e 3. Vogliamo conoscere le loro classi laterali. Iniziamo dal caso semplice dei due sottogruppi banali:
    $H=\{\mathrm {id} \},\qquad C_{3}^{3}\ H=H\ C_{3}^{3}=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,\sigma ^{'''}\ H=H\ \sigma ^{'''}=\{\sigma ^{'''}\},$
quindi 6 classi laterali destre e sinistre coincidenti e l'indice diventa $[S_{3}:\{\mathrm {id} \}]=6.$
    $H=S_{6},\qquad C_{3}^{3}\ H=H\ C_{3}^{3}=\cdots =\sigma ^{'''}\ H=H\ \sigma ^{'''}=S_{3},$
quindi una sola classe laterale destra e sinistra coincidente e l'indice diventa $[S_{3}:S_{3}]=1.$
    $H=T_{2}^{'}.$
Utilizziamo la tabella Cayley del gruppo (con la convenzione che il primo fattore è quello della riga) e la tabella seguente dove fissiamo un elemento $x_{i}\in G,$ per $i=1,2,\ldots ,6$, in questo caso $x_{i}=C_{3}^{2}$ e quindi $x_{i}^{-1}=C_{3}$ e poi lo componiamo con qualsiasi elemento $x_{k}\in G,$ per $k=1,2,\ldots ,6$. Per quei prodotti che stanno in H troviamo gli $x_{k}\in x_{i}H$. Stessa procedura per trovare gli $x_{k}\in Hx_{i}$.
       Classe laterale sinistra $x_{i}$$x_{i}^{-1}$$x_{k}$$x_{i}^{-1}\,x_{k}$ $C_{3}^{2}$$C_{3}$$C_{3}^{3}$$C_{3}\ C_{3}^{3}=C_{3}$ $C_{3}^{2}$$C_{3}\ C_{3}^{2}=C_{3}^{3}\in H$ $C_{3}$$C_{3}\ C_{3}=C_{3}^{2}$ $\sigma ^{'}$$C_{3}\ \sigma ^{'}=\sigma ^{''}$ $\sigma ^{''}$$C_{3}\ \sigma ^{''}=\sigma ^{'''}$ $\sigma ^{'''}$$C_{3}\ \sigma ^{'''}=\sigma ^{'}\in H$
       Classe laterale destra $x_{i}$$x_{i}^{-1}$$x_{k}$$x_{k}\,x_{i}^{-1}$ $C_{3}^{2}$$C_{3}$$C_{3}^{3}$$C_{3}^{3}\ C_{3}=C_{3}$ $C_{3}^{2}$$C_{3}^{2}\ C_{3}=C_{3}^{3}\in H$ $C_{3}$$C_{3}\ C_{3}=C_{3}^{2}$ $\sigma ^{'}$$\sigma ^{'}\ C_{3}=\sigma ^{'''}$ $\sigma ^{''}$$\sigma ^{''}\ C_{3}=\sigma ^{'}\in H$ $\sigma ^{'''}$$\sigma ^{'''}\ C_{3}=\sigma ^{''}$
abbiamo ottenuto $x_{i}H=C_{3}^{2}H=\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}$ per il laterale sinistro e $Hx_{i}=HC_{3}^{2}=\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}\neq C_{3}^{2}H$ per quello destro.
Con questo modo di operare si ottengono i seguenti risultati:
    $\sigma ^{'}H=C_{3}^{3}H=H\sigma ^{'}=HC_{3}^{3}=T_{2}^{'},$
    $\sigma ^{''}H=C_{3}H=\{C_{3},\sigma ^{''}\}\neq \{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}=H\sigma ^{''}=HC_{3}^{2},$
    $\sigma ^{'''}H=C_{3}^{2}H=\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\neq \{C_{3},\sigma ^{'''}\}=H\sigma ^{'''}=HC_{3},$
e si può notare che due laterali destri o sinistri possono coincidere ma solo nel caso dell'elemento neutro le classi destra e sinistra coincidono. Comunque le classi sinistre diverse sono tre quanto quelle destre e sono disgiunte. Per cui l'indice di $H$ in $S_{3}$ ha valore $[S_{3}:T_{2}^{'}]=3.$
Stesso metodo si applica ai restanti sottogruppi, ottenendo il risultato:
          Classi laterali dei sottogruppi di $S_{3}$ $|H|$$H$$G/\sim _{\cdot H}$$G/\sim _{H\cdot }$$[S_{3}:H]$ 1$\{\mathrm {id} \}=N$$C_{3}^{3}\ H=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,\sigma ^{'''}\ H=\{\sigma ^{'''}\}$$H\ C_{3}^{3}=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,H\ \sigma ^{'''}=\{\sigma ^{'''}\}$6 2$T_{2}^{'}=\{C_{3}^{3},\sigma _{'}\}$${\begin{matrix}\sigma ^{'}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{'}\\\sigma ^{''}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{''}\}\\\sigma ^{'''}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}$${\begin{matrix}H\sigma ^{'}=HC_{3}^{3}=&T_{2}^{'}\\H\sigma ^{''}=HC_{3}^{2}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}\\H\sigma ^{'''}=HC_{3}=&\{C_{3},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}$3 2$T_{2}^{''}=\{C_{3}^{3},\sigma _{''}\}$${\begin{matrix}\sigma ^{''}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{''}\\\sigma ^{'}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'}\}\\\sigma ^{'''}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}$${\begin{matrix}HC_{3}^{3}=H\sigma ^{''}=&T_{2}^{''}\\HC_{3}^{2}=H\sigma ^{'''}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\\HC_{3}=H\sigma ^{'}=&\{C_{3},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}$3 2$T_{2}^{'''}=\{C_{3}^{3},\sigma _{'''}\}$${\begin{matrix}\sigma ^{'''}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{'''}\\\sigma ^{''}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}\\\sigma ^{'}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}$${\begin{matrix}HC_{3}^{3}=H\sigma ^{'''}=&T_{2}^{'''}\\HC_{3}^{2}=H\sigma ^{''}=&\{C_{3},\sigma ^{''}\}\\HC_{3}=H\sigma ^{'}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}$3 3$A_{3}=\{C_{3}^{3},C_{3},C_{3}^{2}\}=N$${\begin{matrix}C_{3}^{3}H=C_{3}^{2}H=C_{3}H=&A_{3}\\\sigma ^{'}H=\sigma ^{''}H=\sigma ^{'''}H=&\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}\\\end{matrix}}$${\begin{matrix}HC_{3}=HC_{3}^{2}=HC_{3}^{3}=&A_{3}\\H\sigma ^{'}=H\sigma ^{''}=H\sigma ^{'''}=&\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}\\\end{matrix}}$2 6$S_{3}=N$$C_{3}^{3}\ H=\cdots =\sigma ^{'''}\ H=S_{3}$$H\ C_{3}^{3}=\cdots =H\ \sigma ^{'''}=S_{3}$1

### Gruppo additivo

Adesso gli esempi vengono fatti su gruppi infiniti dove l'indice del sottogruppo ha valore finito. Sia $G$ il gruppo additivo degli interi
    $G=\mathbb {Z} =(\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \},+),$
cioè del gruppo interi relativi con la legge di composizione l'usuale addizione. Quindi abbiamo:
    $\mathrm {id} =0$ come elemento neutro;
    $-a$ come elemento opposto rispetto alla legge composizione;
    $a+b=b+a,$ per ogni $a,b\in G$ cioè un gruppo abeliano.
Consideriamo come sottogruppo $H\leq \mathbb {Z}$
    $H=(3\mathbb {Z} ,+)=(\{\ldots ,-6,-3,0,3,6,\ldots \},+).$
Allora le classi laterali destre di $H$ in $G$ sono i tre insiemi
    $G/\sim _{H\cdot }=\{H+0,\ H+1,\ H+2\},$
dove abbiamo utilizzato la notazione per la classe laterale destra
    $H+x=\{\ldots ,-6+x,\ -3+x,\ x,\ 3+x,\ 6+x,\ldots \},\qquad x=0,1,2,$
con $x$ il rappresentante della classe. Questi tre insiemi suddividono l'insieme (o formano una partizione di) $\mathbb {Z} ,$ quindi non ci sono altri laterali destri di $H.$ Essendo l'addizione commutativa si ha pure:
    $H+x=x+H,\qquad x=0,1,2.$
Cioè, ogni laterale sinistro di $H$ è anche un laterale destro, e l'indice di $H$ in $G$ è semplicemente
    $|G/\sim _{\cdot H}|=|G/\sim _{H\cdot }|=[G:H]=3.$
Quindi $H\trianglelefteq G,$ cioè un sottogruppo normale con indice 3. (La stessa citazione mostra che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale.)
Generalizzando, sia $G$ sempre il gruppo additivo degli interi, e consideriamo il generico sottogruppo $H$
    $H=(n\mathbb {Z} ,+)=(\{\ldots ,-2n,-n,0,n,2n,\ldots \},+),$
dove $n$ è un intero positivo. Allora i laterali destro e sinistro di $H$ in $G$ sono gli $n$ insiemi (cioè l'indice di $H$ in $G$ è $[G:H]=n$)
    $G/\sim _{H\cdot }=\{n\mathbb {Z} +0,n\mathbb {Z} +1,\ldots ,n\mathbb {Z} +(n-1)\},$
    $G/\sim _{\cdot H}=\{0+n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\ldots ,(n-1)+n\mathbb {Z} \},$
che sono coincidenti essendo $\mathbb {Z}$ un gruppo abeliano. Una generica classe laterale destra con rappresentante $x$ è un insieme del tipo:
    $n\mathbb {Z} +x=\{\ldots ,-2n+x,-n+x,x,n+x,2n+x,\ldots \}.$
Non ci sono più di $n$ laterali destri e sinistri, infatti $n\mathbb {Z} +n=n(\mathbb {Z} +1)=n\mathbb {Z} .$
Le classe laterale del sottogruppo normale $H=N=n\mathbb {Z}$ forma un sottogruppo
    $(n\mathbb {Z} +x,+)=(x+n\mathbb {Z} ,+)$
e viene detta classe di congruenza di $x$ modulo $n.$ Il sottogruppo $H=n\mathbb {Z}$ è normale nel gruppo $G=\mathbb {Z} ,$ e quindi, ha senso formare il gruppo quoziente
    $G/H=G/N=\mathbb {Z} /(n\mathbb {Z} )=\{n\mathbb {Z} +x=x+n\mathbb {Z} |x\in \mathbb {Z} \},$
detto gruppo additivo degli interi modulo $n$ a cui viene associata una tabella Cayley $n\times n.$

### Spazi vettoriali

Un altro esempio di classi laterali viene dalla teoria degli spazi vettoriali dove l'indice del sottogruppo ha valore infinito. Sia $G$ un gruppo coincidente con uno spazio vettoriale $V$. Gli elementi (vettori) di uno spazio vettoriale formano un gruppo abeliano con legge di composizione l'usuale addizione vettoriale. Quindi abbiamo
    $\mathrm {id} =0_{V}$ il vettore nullo come elemento neutro;
    $-v$ come elemento opposto rispetto alla legge composizione;
    $v_{1}+v_{2}=v_{2}+v_{1},\quad \forall v_{1},\ v_{2}\in G,$ cioè $V$ è un gruppo abeliano.
I sottospazi di uno spazio vettoriale sono i sottogruppi di questo gruppo. Nello spazio $\mathbb {R} ^{3}$ tali sottospazi, dovendo contenere l'elemento neutro $0_{V},$ sono rette e piani passanti per l'origine $O=(0,0,0)=0_{V}$ del sistema di riferimento. Fissiamo allora un sottospazio $W=H$ e un vettore $x$ di $V$, consideriamo le classi laterali di tale elemento fissato:
    $x+W=\{\mathbf {v} \in V\mid \mathbf {v} =\mathbf {x} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\},$
dove $x$ è il rappresentante della classe. Queste classi formano una partizione di $V$, cioè sono digiunti:
    $(x+W)\cap (y+W)=\varnothing ,\quad \forall x,y\in V,x\neq y.$
Tali classi laterali sono detti sottospazi affini di $V$ paralleli a $W$, e i laterali destri $W+x$ e sinistri $x+W$ coincidono essendo il gruppo abeliano, cioè $x+W=W+x$. Quindi $W$ è un sottogruppo normale ed ammette in questo caso:
    $|G/\sim _{\cdot H}|=|G/\sim _{H\cdot }|=[G:H]=\infty .$
Allora definiamo lo spazio vettoriale quoziente (gruppo quoziente) come l'insieme di tutti questi sottospazi affini
    $G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot }=V/W=\{x+W|x\in V\}.$
In $\mathbb {R} ^{3}$ questi sottospazi affini sono tutte le rette o piani paralleli al sottospazio con il vettore nullo $W$, che sappiamo rappresentare una retta o un piano passante per l'origine. Ad esempio, consideriamo il piano $\mathbb {R} ^{2}$. Se $r$ denota una retta passante per l'origine $O,$ allora $r$ è un sottogruppo del gruppo abeliano $\mathbb {R} ^{2}$. Se $P$ è un punto di $\mathbb {R} ^{2}$, allora la classe laterale
    $P+r=r+P$
indica il sottospazio rappresentato da una retta $r'$ parallela a $r$ e passante per il punto $P.$

### Gruppo generale lineare

Con $\mathrm {GL} (n,K)$ oppure con $\mathrm {GL} _{n}(K)$ si indica il gruppo delle matrici sopra un campo $K$ che sono invertibili. Questo esempio è preso dal gruppo generale lineare $\mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )$. Ricordiamo che tale gruppo ha come legge di composizione interna l'usuale moltiplicazione riga per colonna di matrici
    $g_{1}g_{2}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{'}&b^{'}\\c^{'}&d^{'}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}aa^{'}+bc^{'}&ab^{'}+bd^{'}\\ca^{'}+dc^{'}&cb^{'}+dd^{'}\end{pmatrix}}\neq g_{2}g_{1},\quad \forall g_{1}\ g_{2}\in G$
quindi un gruppo non abeliano e faremo vedere che ci sono sottogruppi normali e non. Tale gruppo ammette elemento neutro ed elemento inverso
    $I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad A^{-1}={\frac {1}{|A|}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$
Prendiamo come $G$ il particolare gruppo moltiplicativo delle matrici a due parametri (abbiamo due parametri noti $b=0,\ d=1$),
    $G=\left\{g\in G|{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},$
e consideriamo come sottogruppo $H$ di $G$ ad un parametro (abbiamo tre parametri noti $b=0,\ d=1$ come prima e $a=1$):
    $H=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}.$
Fissiamo una matrice $2\times 2$ da $G$ e vogliamo trovare la generica classe laterale sinistra rispetto H sapendo che non sono in numero finito come nel caso del gruppo S$_3$, cioè:
    ${\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}H=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c+c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon c^{''}\in \mathbb {R} \right\}$
mentre la generica classe laterale destra
    $H{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c+ac^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon c^{''}\in \mathbb {R} \right\}={\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}H.$
Cioè le classi laterali sinistre sono costituite da tutte le matrici di $G$ che hanno lo stesso elemento in alto a sinistra come le classi laterali destre. Quindi il sottogruppo $H$ è normale in $G,$ mentre se consideriamo il sottogruppo
    $K=\left\{{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}$
essendo
    ${\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}K=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}aa^{'}&0\\ca^{'}&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a^{''}&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon a^{''},c^{''}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}$
    $K{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}aa^{'}&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a^{''}&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{''}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}$
ne concludiamo che le classi sinistre hanno due parametri variabili ($a^{''},c^{''}$), mentre quelle destre hanno un parametroo variabile ($a^{''}$) e quindi
    ${\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}K\neq K{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}},$
cioè $K$ è non normale in $G.$

## Azione di gruppo e orbita

Un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ si utilizza per definire l'azione di $H$ su $G$ in due modi naturali. L'azione destra,
    ${\begin{aligned}G\times H&\to G\\(g,h)&\mapsto gh\end{aligned}}$
e l'azione sinistra,
    ${\begin{aligned}H\times G&\to G\\(h,g)&\mapsto hg.\end{aligned}}$
L'orbita dell'elemento $g\in G$ sotto l'azione destra coincide con la classe laterale sinistro $gH\subseteq G$, mentre l'orbita sotto l'azione sinistra è il laterale destro $Hg\subseteq G$.