# Curva di Bézier

Una curva di Bézier è una particolare curva parametrica, che ha grande applicazione nella computer grafica. Un metodo numericamente stabile per calcolare le curve di Bézier è l'algoritmo di de Casteljau.
Una generalizzazione delle curve di Bézier in tre dimensioni è chiamata superficie di Bézier di cui il triangolo di Bézier è uno specifico caso.

## Storia

Le curve di Bézier furono largamente pubblicizzate nel 1962 dall'ingegnere francese Pierre Bézier che le usò per disegnare le carrozzerie delle automobili. Le curve furono realizzate nel 1959 da Paul de Casteljau usando l'algoritmo di de Casteljau.
Bézier stabilì un modo di realizzare le curve a partire da due punti e una linea vettoriale, un sistema innovativo che permette ancora oggi agli operatori grafici di realizzare disegni curvilinei precisi. Le curve di Bézier possono essere realizzate da molti programmi di grafica vettoriale come Inkscape, GIMP, Corel Draw, Adobe Illustrator, Adobe After Effects o FreeHand, di modellazione 3D come Rhinocers e Grasshopper, Blender, o di cartografia piana come OCAD.

## Analisi dei casi
### Curve di Bézier lineari

Dati i punti $P_{0}$ e $P_{1}$, una curva di Bézier lineare è il segmento avente come estremi i punti dati. Tale curva è data da
    $\mathbf {B} (t)=(1-t)P_{0}+tP_{1},\quad t\in [0,1].$

### Curve di Bézier quadratiche

Una curva di Bézier quadratica è il percorso tracciato tramite la funzione $\mathbf {B} (t)$ dati i punti $P_{0}$, $P_{1}$, e $P_{2}$,
    $\mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2},\quad t\in [0,1].$
I fonts TrueType così come la grafica vettoriale di Adobe Flash usano le spline di Bézier composte da curve di Bézier quadratiche.

### Curve di Bézier cubiche

I quattro punti $P_{0}$, $P_{1}$, $P_{2}$ e $P_{3}$ nel piano o in uno spazio tridimensionale definiscono una curva di Bézier cubica. La curva ha inizio in $P_{0}$ si dirige verso $P_{1}$ e finisce in $P_{3}$ arrivando dalla direzione di $P_{2}$. In generale, essa non passa dai punti $P_{1}$ o $P_{2}$; questi punti sono necessari solo per dare alla curva informazioni direzionali. La distanza tra $P_{0}$ e $P_{1}$ determina quanto la curva si muove nella direzione di $P_{2}$ prima di dirigersi verso $P_{3}$.
La forma parametrica della curva è:
    $\mathbf {B} (t)=P_{0}(1-t)^{3}+3P_{1}t(1-t)^{2}+3P_{2}t^{2}(1-t)+P_{3}t^{3},\quad t\in [0,1].$
I moderni sistemi di imaging come PostScript, METAFONT e GIMP usano le spline di Bézier composte da curve di Bézier cubiche per disegnare forme curve. Anche uno strumento semplice come Paint incluso in Windows dispone di semplici curve di Bézier cubica.

## Generalizzazione

La curva di Bézier di grado $n$ può essere generalizzata come segue. Dati i punti $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n},$ La curva di Bézier è:
    $\mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}P_{i}(1-t)^{n-i}t^{i}=P_{0}(1-t)^{n}+{n \choose 1}P_{1}(1-t)^{n-1}t+\cdots +P_{n}t^{n},\quad t\in [0,1].$
Per esempio, per $n=5$:
    $\mathbf {B} (t)=P_{0}(1-t)^{5}+5P_{1}t(1-t)^{4}+10P_{2}t^{2}(1-t)^{3}+10P_{3}t^{3}(1-t)^{2}+5P_{4}t^{4}(1-t)+P_{5}t^{5},\quad t\in [0,1].$
La derivata prima della curva di Bézier di grado $n$ può essere generalizzata come segue:
    $\mathbf {B} '(t)=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}P_{i}(1-t)^{n-i-1}t^{i-1}(i-nt)=n\sum _{i=0}^{n-1}b_{i,n-1}(t)(P_{i+1}-P_{i}),\quad t\in [0,1].$

### Terminologia

Queste curve parametriche possono essere descritte tramite una specifica terminologia. Data:
    $\mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}P_{i}(1-t)^{n-i}t^{i},\quad t\in [0,1]$
I polinomi:
    ${n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}$
sono conosciuti come polinomi di base di Bernstein di grado $n$ e sono definiti da:
    $b_{i,n}(t):={n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i},\quad i=0,\ldots ,n,$
dove $\scriptstyle {n \choose i}$ è il coefficiente binomiale di $n$ su $i$.
I punti $P_{i}$ sono chiamati punti di controllo per la curva di Bézier. Il poligono formato connettendo i punti attraverso linee rette, iniziando da $P_{0}$ e finendo con $P_{n}$, è chiamato poligono di Bézier (o poligono di controllo). L'inviluppo convesso del poligono di Bézier contiene la curva di Bézier.