# Commutatore (matematica)

Per commutatore, in matematica, si intende una composizione di due elementi di una struttura algebrica, riferita a un'operazione binaria che fornisce un terzo elemento diverso dall'elemento neutro quando i due elementi dati non soddisfano la proprietà commutativa. I commutatori sono ampiamente usati nella teoria dei gruppi, nella teoria degli anelli, nelle algebre di Lie. Nella meccanica quantistica sono usati per formulare il principio di indeterminazione.
L'anticommutatore è un operatore usato specialmente in meccanica quantistica che prende in ingresso due operatori. L'anticommutatore tra $a$ e $b$ è definito come:
    $\{a,b\}=ab+ba.$

## Teoria dei gruppi
### Definizione

Sia $G$ un gruppo la cui unità denotiamo con $e$. Il commutatore di due elementi $a$ e $b$ del gruppo è l'elemento
    $[a,b]:=a^{-1}b^{-1}ab.$

### Proprietà

Si dice che due elementi $a$ e $b$ del gruppo $G$ commutano quando $ab=ba$. Questo accade se e solo se il loro commutatore è l'unità:
    $[a,b]=e.$

### Sottogruppo commutatore

Il sottogruppo generato da tutti i commutatori di $G$ è detto sottogruppo dei commutatori o sottogruppo derivato di $G$, e spesso si indica con $[G,G]$ (o anche $K(G)$). Gli elementi di $[G,G]$ sono prodotti di un numero finito di commutatori e loro inversi, ossia ogni elemento di $[G,G]$ è della forma:
    $[a_{1},b_{1}]\cdot \ldots \cdot [a_{n},b_{n}],\quad {\text{con }}a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n}\in G.$
Un gruppo è abeliano se e solo se questo sottogruppo è triviale, ossia costituito dalla sola unità di $G$.
Il sottogruppo commutatore è caratteristico (dunque normale), quindi è sempre definibile il gruppo quoziente $G/[G,G]$. Informalmente si può dire che, nella costruzione di questo quoziente, si considerano trascurabili gli elementi che non commutano: risulta infatti che $G/[G,G]$ è abeliano. Più precisamente, $[G,G]$ è il più piccolo sottogruppo normale di $G$ tale che il quoziente risulti essere abeliano. Questo quoziente viene chiamato l'abelianizzato di $G$.
Va segnalato che, in vari testi, il commutatore di due elementi è definito in modo lievemente differente:
    $[a,b]_{2}:=aba^{-1}b^{-1}=[a^{-1},b^{-1}].$
Anche con questa definizione due elementi commutano se e solo se il commutatore è l'unità e si ottiene lo stesso sottogruppo derivato individuato in precedenza.

## Teoria degli anelli
### Definizione

Sia $A$ un anello. Il commutatore di due suoi elementi $a$ e $b$ è l'elemento
    $[a,b]:=ab-ba.$

### Proprietà

Due elementi $a$ e $b$ commutano se $ab=ba$. Questo accade se e solo se il commutatore si annulla:
    $[a,b]=0.$
Il commutatore è una funzione bilineare sull'anello:
    $[a,b+c]=[a,b]+[a,c];$
    $[a+b,c]=[a,c]+[b,c].$
Il commutatore è anticommutativo, ossia è una funzione bivariata antisimmetrica:
    $[a,b]=-[b,a].$
Il commutatore è una composizione nilpotente:
    $[a,a]=0.$
Il commutatore soddisfa l'identità di Jacobi:
    $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0.$
Il commutatore soddisfa una versione della regola di Leibniz:
    $[a,bc]=[a,b]c+b[a,c].$
Quest'ultima espressione è interpretabile come regola di Leibniz per la mappa
    $D_{a}\colon A\to A,$
    $D_{a}\colon b\mapsto [a,b].$
che per la suddetta formula si dice rivestire il ruolo di derivazione sull'anello.
Altre relazioni:
    $[ab,c]=a[b,c]+[a,c]b;$
    $[a,bc]=[a,b]c+b[a,c];$
    $[abc,d]=ab[c,d]+a[b,d]c+[a,d]bc.$

### Algebra di Lie

Se $A$ è un'algebra associativa, la bilinearità espressa sopra vale anche per la moltiplicazione di uno scalare:
    $[\lambda a,b]=\lambda [a,b]=[a,\lambda b].$
Da tutte le proprietà elencate segue che, sostituendo il prodotto in $A$ con l'operazione binaria
    $(a,b)\mapsto [a,b]$
si ottiene una nuova struttura di algebra per $A$: più precisamente, si ottiene una struttura di algebra di Lie. I commutatori possono quindi essere utilizzati per trasformare una qualsiasi algebra associativa in un'algebra di Lie.

### Esempi
#### Spazi di matrici

Le matrici $n\times n$ su un campo fissato formano un'algebra associativa. Sostituendo l'usuale prodotto fra matrici con l'operazione di commutazione si ottiene quindi una struttura di algebra di Lie.

### Operatori su spazi di Hilbert

Le matrici reali $n\times n$ agiscono sullo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$. Più in generale, si possono considerare varie algebre formate da operatori che agiscono su un determinato spazio di Hilbert $H$.
In meccanica quantistica, gli operatori descrivono gli osservabili e i loro commutatori misurano la precisione con cui due osservabili possono essere misurati simultaneamente. Generalmente $H$ è un determinato spazio di funzioni.
Ad esempio, se $H$ è uno spazio di funzioni di una variabile $x$ a valori complessi, l'operatore posizione moltiplica ogni funzione per $x$:
    ${\hat {x}}:f\mapsto x\cdot f$
mentre l'operatore di momento è una derivata:
    ${\hat {p}}:f\mapsto -i\hslash {\frac {\partial f}{\partial x}}.$
I due operatori non commutano. Il loro commutatore è infatti
    $\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right)-\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right){\hat {x}}.$
Per verificare che tale operatore è diverso da zero, lo si applica su una funzione $f(x)$ e si ottiene il seguente risultato:
    $\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]f(x)=x\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right)f(x)+i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}{\bigxf(x){\big )}=$
          $-i\hslash \left[x{\frac {\partial }{\partial x}}f(x)-f(x)-x{\frac {\partial }{\partial x}}f(x)\right]=+i\hslash f(x).$
Poiché la relazione vale per ogni funzione $f$ di $H$, si conclude che il commutatore è l'operatore che moltiplica ogni funzione per la costante $i\hslash$:
    $\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]:f\mapsto i\hslash f.$
La generalizzazione di questa relazione in tre dimensioni, con:
    ${\hat {\textbf {x}}}=\left\{{{\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}}\right\},{\hat {\textbf {p}}}=\left\{{{\hat {p}}_{1},{\hat {p}}_{2},{\hat {p}}_{3}}\right\}$
è la seguente:
    $\left[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}\right]=i\hslash \delta _{ij},$
dove $\delta _{ij}$ è la delta di Kronecker.
Altre relazioni di commutazione utili in meccanica quantistica sono le seguenti, dove $n$ è un intero maggiore o uguale a zero e $f(p)$ e $g(x)$ due funzioni sviluppabili in serie di Taylor:
* $\left[{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}\right]=i\hslash n{\hat {p}}^{n-1}$
* $\left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}\right]=i\hslash n{\hat {x}}^{n-1}$
* $\left[{\hat {x}},f({\hat {p}})\right]=i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}$
* $\left[g({\hat {x}}),{\hat {p}}\right]=i\hslash {\frac {\partial g}{\partial x}}$

#### Dimostrazioni

Dimostriamo prima la relazione
* $\left[{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}\right]=i\hslash n{\hat {p}}^{n-1}$
La dimostrazione procede per induzione: la relazione è vera per $n=1$, supponiamo che sia vera per qualunque $n$ e dimostriamo allora che vale anche per $n+1$
    $\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n+1}}\right]={\hat {p}}\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}}\right]+\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}}\right]{\hat {p}}^{n}=i\hslash n{\hat {p}}{\hat {p}}^{n-1}+i\hslash {\hat {p}}^{n}=i\hslash \left({n+1}\right){\hat {p}}^{n}$
La dimostrazione di
* $\left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}\right]=i\hslash n{\hat {x}}^{n-1}$
è analoga alla precedente.
Dimostriamo ora la relazione
* $\left[{\hat {x}},f({\hat {p}})\right]=i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}$
Utilizzando lo sviluppo di Taylor possiamo scrivere
    $f\left(p\right)=\sum \limits _{n}{\alpha _{n}p^{n}}$
da cui otteniamo
    $\left[{{\hat {x}},f\left({\hat {p}}\right)}\right]=\left[{{\hat {x}},\sum \limits _{n}{\alpha _{n}{\hat {p}}^{n}}}\right]=\sum \limits _{n}{\alpha _{n}\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}}\right]=i\hslash \sum \limits _{n}{\alpha _{n}n{\hat {p}}^{n-1}=i\hslash {\frac {\partial }{\partial p}}\sum \limits _{n}{\alpha _{n}{\hat {p}}^{n}}=}}i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}$
La dimostrazione di
* $\left[g({\hat {x}}),{\hat {p}}\right]=i\hslash {\frac {\partial g}{\partial x}}$
è analoga alla precedente.