# Dipolo elettrico

Un dipolo elettrico, in elettrostatica, è un sistema composto, da due cariche elettriche uguali e di segno opposto e separate da una distanza costante nel tempo. È uno dei più semplici sistemi di cariche che si possano studiare e rappresenta il primo termine dello sviluppo in multipoli del campo elettrico generato da un insieme di cariche globalmente neutro.

## Momento elettrico di dipolo

Dato un sistema di cariche, si definisce momento elettrico, o momento di dipolo, una grandezza vettoriale in modulo eguale al prodotto della carica positiva per la distanza tra le cariche e il cui verso va dalla carica negativa a quella positiva. Le dimensioni sono quella di una carica per una lunghezza e quindi nel S.I. si misura in Coulomb per metro. Quindi se ci sono due cariche uguali ma di segno opposto $+q$ e $-q$ a distanza $d$, il momento di dipolo vale:
    $\mathbf {p} =q\mathbf {d}$
dove $\mathbf {d}$ è il vettore posizione dalla carica negativa alla carica positiva e, in elettrostatica, si ipotizza che $\mathbf {\dot {d}} =\mathbf {0}$ cioè la derivata del vettore $\mathbf {d}$ rispetto al tempo deve essere nulla, ovvero il vettore $\mathbf {d}$ si mantiene costante (in modulo, direzione e verso) nel tempo.

## Potenziale elettrico

In un punto situato a grande distanza dal centro del dipolo (grande, va inteso, rispetto all'estensione fisica d del dipolo stesso), il potenziale elettrostatico generato dal dipolo è molto ben approssimato dalla seguente formula:
$V_{\mathbf {p} }(\mathbf {r} )={\frac {qd\cos \theta }{4\pi \varepsilon r^{2}}}={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{4\pi \varepsilon r^{3}}}$dove:
* p{\textstyle \mathbf {p} } è il vettore momento dipolo (secondo la definizione p=qd{\textstyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} });
* r{\textstyle \mathbf {r} } è il vettore che identifica il generico punto P nello spazio rispetto al punto medio del dipolo (con |r|≫|d|{\textstyle |\mathbf {r} |\gg |\mathbf {d} |} ovvero $r\gg d$) ;
* ε{\textstyle \varepsilon } è la permittività elettrica del mezzo (questa equazione vale anche in un mezzo diverso dal vuoto).
Da tale formula risulta evidente che il valore del potenziale elettrostatico nel punto P dipende dai vettori p{\textstyle \mathbf {p} } (momento di dipolo) e r{\textstyle \mathbf {r} } (posizione del punto P rispetto al punto medio tra le due cariche) e quindi anche dal loro rispettivo orientamento.
In particolare il potenziale:
* diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza del punto P dal centro del dipolo;
* è nullo sul piano perpendicolare al dipolo (θ=± π/2 {\textstyle \theta =\pm {\frac {\pi }{2}}}) e passante per il suo centro;
* a parità di distanza, è massimo (in valore assoluto) lungo la direzione di r{\textstyle \mathbf {r} } (quindi quando r{\textstyle \mathbf {r} } è parallelo a p{\textstyle \mathbf {p} } ovvero quando θ=0{\textstyle \theta =0});
Le considerazioni riguardanti il dipolo valgono formalmente sia nel vuoto che in presenza di materia quando $d\ll r$.

### Derivazione della formula del potenziale del dipolo

Il potenziale elettrostatico generato da una distribuzione discreta di N cariche puntiformi è dato da:$V(\mathbf {r} ;\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},q_{1},\dots ,q_{N})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|}}$dove:
* r{\textstyle \mathbf {r} } identifica un generico punto P nello spazio rispetto all'origine O;
* r$_i${\textstyle \mathbf {r} _{i}} è il vettore che identifica la posizione della i-esima carica rispetto all'origine O;
* q$_i${\textstyle q_{i}} è il valore della i-esima carica;
* ε{\textstyle \varepsilon } è la permittività elettrica del mezzo (questa equazione vale anche in un mezzo diverso dal vuoto).
Da tale formula generale è possibile ricavare il caso particolare del potenziale generato da un dipolo ovvero da un sistema di due (N=2) cariche uguali in valore assoluto ma di segno opposto (q$_1$=q{\textstyle {q_{1}}=q} e q$_2$=−q{\textstyle {q_{2}}=-q}, con q>0{\textstyle q>0}) le cui posizioni nello spazio siano identificate rispettivamente da r$_1${\textstyle \mathbf {r_{1}} } e r$_2${\textstyle \mathbf {r_{2}} }. Il vettore distanza tra le due cariche sarà quindi dato da d=r$_1$−r$_2${\textstyle \mathbf {d} =\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }e, di conseguenza, il vettore momento di dipolo p=qd=q(r$_1$−r$_2$){\textstyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} =q(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}. Con tali posizioni, si ottiene quindi che in un generico punto P identificato da r{\textstyle \mathbf {r} }, il potenziale è dato dalla sovrapposizione dei potenziali (e quindi dalla loro somma) delle singole cariche:
    ${\begin{aligned}V(\mathbf {r} )&={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}||\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\end{aligned}}$
Definendo il vettore r$_o$=(r$_1$+r$_2$)/2 {\textstyle \mathbf {r} _{o}={\frac {\mathbf {r_{1}} +\mathbf {r_{2}} }{2}}} che identifica la posizione del centro del dipolo (ovvero il punto medio tra le 2 cariche) e servendosi della definizione di d{\textstyle \mathbf {d} }, è possibile riscrivere i vettori r$_1${\textstyle \mathbf {r_{1}} } e r$_2${\textstyle \mathbf {r_{2}} } rispettivamente come:
r$_1$=r$_o$+d/2 {\textstyle \mathbf {r_{1}} =\mathbf {r_{o}} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}} e r$_2$=r$_o$−d/2 {\textstyle \mathbf {r_{2}} =\mathbf {r_{o}} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}}
Da qui
${\begin{aligned}V(\mathbf {r} )&={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}+{\frac {\mathbf {d} }{2}}|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}-{\frac {\mathbf {d} }{2}}|}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}-{\frac {\mathbf {d} }{2}}||\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}+{\frac {\mathbf {d} }{2}}|}}\end{aligned}}$
Senza perdere di generalità, per comodità si fissa l'origine degli assi nel centro del dipolo r$_o${\textstyle \mathbf {r_{o}} }, ponendolo quindi convenzionalmente a 0{\textstyle \mathbf {0} }. In virtù di tale scelta, la posizione delle cariche risulteranno quindi rispettivamente r$_1$=d/2 {\textstyle \mathbf {r_{1}} ={\frac {\mathbf {d} }{2}}} e r$_2$=−d/2 {\textstyle \mathbf {r_{2}} =-{\frac {\mathbf {d} }{2}}} (mantenendosi comunque sempre consistenti con la definizione per cui d=r$_1$−r$_2${\textstyle \mathbf {d} =\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }) e ora r{\textstyle \mathbf {r} }, che continua a rappresentare la posizione del punto P rispetto all'origine, identifica anche la sua posizione rispetto al centro del dipolo.
${\begin{aligned}V(\mathbf {r} )&={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {|\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}|-|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}|}{|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}||\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}|}}\end{aligned}}$
Ora, ponendosi a grande distanza dal dipolo (ovvero scegliendo $r\gg d$), per il denominatore, si avrà che :
    $|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}||\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}|\approx r^{2}$
Mentre per il numeratore, denominando θ{\textstyle \theta } l'angolo tra il vettore r{\textstyle \mathbf {r} } e il vettore d{\textstyle \mathbf {d} } (e di conseguenza anche tra r{\textstyle \mathbf {r} } e p{\textstyle \mathbf {p} }), si ottiene che
${\begin{aligned}\left|\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}\right|-\left|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}\right|={\sqrt {\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}\right)\cdot \left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}\right)}}-{\sqrt {\left(\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}\right)\cdot \left(\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}\right)}}=\\\left[r^{2}+rd\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}-\left[r^{2}-rd\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}=\\r\left(\left[1+{\frac {d}{r}}\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}-\left[1-{\frac {d}{r}}\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\right)\end{aligned}}$
Considerando che secondo lo sviluppo di Taylor troncato al prim'ordine, ovvero trascurando i termini di ordine (d/r)$^2${\textstyle \left({\frac {d}{r}}\right)^{2}}, vale l'approssimazione √(1±ϵ)≈1± ϵ/2 {\textstyle {\sqrt {1\pm \epsilon }}\approx 1\pm {\frac {\epsilon }{2}}}, al numeratore si avrà |r−r$_2$|−|r−r$_1$|≈dcos⁡θ{\textstyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|\approx d\cos \theta }
Si ottiene quindi finalmente l'attesa espressione per il potenziale di dipolo:
    $V_{\mathbf {p} }(\mathbf {r} )={\frac {qd\cos \theta }{4\pi \varepsilon r^{2}}}={\frac {\mathbf {\mathbf {r} } \cdot \mathbf {p} }{4\pi \varepsilon r^{3}}}$
dove si è contratta la notazione avvalendosi del prodotto scalare:
    $\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} =\,rp\cos \theta =\,(q\,d)r\cos {\theta }=q\,\,d\,r\cos {\theta }$

## Campo elettrico

Essendo il campo elettrostatico conservativo si ha che:
    $\mathbf {E} _{0}=-\mathbf {\nabla } V_{0}$
possiamo ricavare il campo elettrico in coordinate polari sferiche oppure in coordinate cartesiane (il dipolo è orientato secondo l'asse z):
    ${\begin{cases}E_{0r}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial r}}={\dfrac {2p\cos \theta }{4\pi \varepsilon r^{3}}}\\\\E_{0\theta }=-{\dfrac {1}{r}}{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial \theta }}={\dfrac {p\sin \theta }{4\pi \varepsilon r^{3}}}\\\\E_{0\phi }=-{\dfrac {1}{r\sin \theta }}{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial \phi }}=0\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}E_{0x}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial x}}={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}{\dfrac {3xz}{r^{5}}}\\\\E_{0y}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial y}}={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}{\dfrac {3yz}{r^{5}}}\\\\E_{0z}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial z}}={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}\left[{\dfrac {3z^{2}}{r^{5}}}-{\dfrac {1}{r^{3}}}\right]={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}{\dfrac {3z^{2}-r^{2}}{r^{5}}}\end{cases}}$
con intensità pari a:
    $|\mathbf {E} _{0}(r,\phi ,\psi )|=|\mathbf {E} _{0}(x,y,z)|={\frac {p{\sqrt {1+3\cos ^{2}\theta }}}{4\pi \varepsilon r^{3}}}={\frac {p{\sqrt {(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}+3z^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}}{4\pi \varepsilon r^{5}}}$.
Si può ancora scrivere il campo come gradiente del prodotto tra il momento elettrico e il versore della distanza ridotto del quadrato della stessa. Il calcolo di tale quantità porta alla seguente espressione, più compatta:
    $\mathbf {E} ={\frac {3\left(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon r^{5}}}$

## Energia potenziale elettrostatica

Se un dipolo è sottoposto a forze in un campo elettrico esterno qualunque, l'energia potenziale elettrostatica del dipolo è data dalla differenza di potenziale tra le due cariche, supposte come al solito molto vicine:
    ${\begin{aligned}U&=q\left[V(x+dx,y+dy,z+dz)-V(x,y,z)\right]\\&=q\left[V(x,y,z)+\mathbf {\nabla } V\cdot \mathbf {{\mbox{d}}\delta } -V(x,y,z)\right]\\&=q\mathbf {{\mbox{d}}\delta } \cdot \mathbf {\nabla } V(x,y,z)\\&=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} (x,y,z)\end{aligned}}$
dove $\mathbf {{\mbox{d}}\delta } =(dx,dy,dz)$ e $\mathbf {p} =q\mathbf {{\mbox{d}}\delta }$ è il momento elettrico del dipolo. Esplicitando il prodotto scalare:
    $U=-pE\cos \theta$
con $\theta$ che rappresenta l'angolo compreso tra i due vettori.

## Azione meccanica

Il lavoro infinitesimo compiuto da un sistema rigido che compie una traslazione ${\mbox{d}}\mathbf {r}$ e una rotazione ${\mbox{d}}{\boldsymbol {\theta }}$ vale:
    ${\mbox{d}}L=\mathbf {F} \cdot {\mbox{d}}\mathbf {r} +\mathbf {M} \cdot {\mbox{d}}{\boldsymbol {\theta }}$
Dove $\mathbf {F}$ è la risultante della forza ed $\mathbf {M}$ il momento meccanico risultante.
D'altro canto, differenziando l'energia del dipolo:
    ${\mbox{d}}U={\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {{\mbox{d}}r} +{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\mbox{d}}\theta =\mathbf {\nabla } U\cdot \mathbf {{\mbox{d}}(r,\theta )}$
dove si è fatto uso della derivata direzionale poiché per definizione l'energia potenziale appartiene alla prima classe di continuità. A questo punto si possono confrontare le due espressioni precedenti in particolare per il campo elettrico e, tenendo presente che il gradiente agisce solo sulle coordinate x,y,z e la dipendenza da $\theta$ è contenuta solo nel prodotto scalare:
    $\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U=(\mathbf {p} \cdot \nabla )\mathbf {E} \qquad \mathbf {M} =\mathbf {p} \times \mathbf {E}$
Se il campo elettrico è uniforme e quindi $\nabla \cdot \mathbf {E} =0$ vi è solo un momento meccanico che tende a fare ruotare il dipolo nella direzione del campo elettrico. Mentre se il campo elettrico è variabile spazialmente, una volta che il dipolo si è allineato con le linee del campo locale, su di esso agisce una forza che lo trascina nella regione dove il campo è più intenso.

## Distribuzione di carica

Nel caso di una distribuzione continua di carica che occupa un volume $\mathrm {T}$, si può generalizzare la definizione di dipolo definendo il momento di dipolo come:
    $\mathbf {p} =\int \limits _{\mathrm {T} }\rho (\mathbf {r'} )\,\mathbf {r'} \ d^{3}\mathbf {r'}$
dove $\mathbf {r} '$ è il vettore che individua l'elemento infinitesimo di volume $d^{3}\mathbf {r} '$ in $V$ e $\rho (\mathbf {r} ')$ è la densità volumetrica della distribuzione continua di carica.
Per una distribuzione discreta di carica, la densità di carica viene descritta attraverso le delta di Dirac:
    $\rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$
dove $\mathbf {r} _{i}$ è la posizione della carica $q_{i}$, ed integrando sul volume si ha:
    ${\begin{aligned}\mathbf {p} &=\int \limits _{V}\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta (\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{i})\,\mathbf {r'} \ d^{3}\mathbf {r'} \\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int \limits _{V}\delta (\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{i})\,\mathbf {r'} \ d^{3}\mathbf {r'} \\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\mathbf {r} _{i}\end{aligned}}$
Si dimostra che a grande distanza dal volume $\mathrm {T}$ le distribuzioni di carica si comportano a tutti gli effetti come un dipolo $\mathbf {p}$ sia per quanto riguarda il potenziale elettrico sia le azioni meccaniche. Mentre a piccola distanza bisogna utilizzare la formule integrali (o la sommatoria nel caso discreto) che tengono conto delle distribuzione locale della carica.

## Radiazione di dipolo oscillante

Un dipolo elettrico oscillante è un dipolo che ha polarizzazione elettrica dipendente periodicamente dal tempo, che può essere descritto da serie di Fourier formate da fattori della forma:
    $\mathbf {p} =\mathbf {p'(\mathbf {r} )} e^{-i\omega t}$
dove $\omega$ è la frequenza angolare. Nel vuoto i campi prodotti sono:
    $\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} )\times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left[3{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} \right]\right\}e^{i\omega r/c}$
    $\mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}$
In una posizione distante dal dipolo, per $\scriptstyle r\omega /c\gg 1$, i campi tendono a formare un'onda sferica nella configurazione limite:
    $\mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}\qquad \mathbf {E} =c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}$
che produce una potenza totale, mediata nel tempo, data da:
    $P={\frac {\omega ^{4}}{12\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}|\mathbf {p} |^{2}$
L'energia associata alla radiazione emessa non viene distribuita in modo isotropo, essendo concentrata intorno alla direzione perpendicolare al momento di dipolo, e tale equazione viene spesso descritta tramite l'utilizzo delle armoniche sferiche.
Il campo elettromagnetico associato al dipolo oscillante è alla base di numerose applicazioni tecnologiche, a partire dall'antenna a dipolo.

## Molecole

In chimica il momento di dipolo elettrico di una molecola può in genere essere misurato o anche calcolato con metodi quantomeccanici e può essere riferito alla somma vettoriale di tutti i momenti di dipolo di legame presenti nella molecola stessa. Una molecola avente momento elettrico uguale a zero è detta apolare: questo è il caso, ad esempio, del metano o del biossido di carbonio le cui strutture geometriche (rispettivamente tetraedrica e lineare) annullano l'effetto dei singoli momenti dipolari di legame (il risultante è nullo). Legami omogenei, come quelli tra due atomi di cloro per formare una molecola Cl$_2$, non sono polari, essendo la differenza di elettronegatività nulla, e quindi non originano un momento elettrico. Comunemente si orienta il vettore momento elettrico delle entità chimiche con il verso rivolto verso la carica negativa, che corrisponde all'elemento più elettronegativo.