# Fasore

In elettrotecnica un fasore è un numero complesso che rappresenta un'onda sinusoidale di una specifica frequenza. Essendo un numero complesso è rappresentabile nel piano complesso come un vettore sfasato rispetto all'asse reale di un certo angolo o fase, da qui l'origine del termine fasore, parola macedonia composta da fase e vettore. I fasori sono utilizzati dal metodo simbolico quale comoda rappresentazione in campo complesso di grandezze fisiche reali oscillanti come, in particolare, le grandezze elettriche, tensione o corrente.

## Definizione

Un'onda sinusoidale $v(t)$ è caratterizzata da un'ampiezza $V_{\max }$, una frequenza $f$ e una fase iniziale $\phi _{0}$. Alla frequenza, grandezza pari all'inverso del periodo $T$ dell'onda, è possibile associare una pulsazione $\omega =2\pi f$ tale per cui l'equazione dell'onda allora risulta:
    $v(t)=V_{\max }\cos(\omega t+\phi _{0})$
Nell'analisi dei circuiti elettrici in corrente alternata è necessario effettuare diverse operazioni algebriche tra sinusoidi, allora per semplificare i calcoli è possibile associare univocamente a ogni onda sinusoidale un numero complesso detto fasore. Si definisce allora un numero complesso tale che la sua parte reale sia pari alla funzione $v(t)$, e che abbia parte immaginaria tale da poter impiegare direttamente la formula di Eulero, essendo la parte reale una funzione coseno. Si determina allora il numero complesso:
    $V_{\max }\cos(\omega t+\phi _{0})+jV_{\max }\sin(\omega t+\phi _{0})$
In elettrotecnica l'unità immaginaria è indicata con la lettera $j$ al fine di evitare confusione con l'intensità di corrente, generalmente indicata con la lettera $i$. In un sistema di coordinate polari, tramite la formula di Eulero, il numero complesso appena ottenuto è riscrivibile come:
    $V_{\max }e^{j(\omega t+\phi _{0})}=V_{\max }e^{j\phi _{0}}e^{j\omega t}$
Sul piano complesso è possibile rappresentare $V_{\max }e^{j\phi _{0}}=V_{\max }(\cos {\phi _{0}}+j\sin {\phi _{0}})$ come un vettore di modulo $V_{\max }$ sfasato rispetto all'asse reale di angolo $\phi _{0}$. Siccome però il numero ottenuto è $V_{\max }e^{j(\omega t+\phi _{0})}$ si ha che lo sfasamento con l'asse reale varia di un fattore $\omega t$, si ha così nel piano complesso un vettore di che ruota in senso antiorario a velocità angolare $\omega$. Date queste proprietà il numero ottenuto è definito vettore rotante. Se le operazioni algebriche sono da effettuare su circuiti lineari caratterizzati da tensioni e correnti alternate di uguale frequenza allora è conveniente definire il fasore ${\bar {V}}$ come un vettore sul piano complesso di modulo pari al valore efficace $V$ della sinusoide (grandezza tale che $V_{\max }={\sqrt {2}}V$) e fase $\phi _{0}$.
    ${\bar {V}}=Ve^{j\phi _{0}}$
La corrispondenza tra sinusoide e fasore allora è:
    $v(t)={\sqrt {2}}\,\mathrm {Re} ({\bar {V}}e^{j\omega t})$
In modo del tutto equivalente, definito il fasore complesso coniugato ${\bar {V}}^{*}=Ve^{-j\phi _{0}}$si ha che:
    $v(t)={1 \over {\sqrt {2}}}({\bar {V}}e^{j\omega t}+{\bar {V}}^{*}e^{-j\omega t})$

## Proprietà
### Somma e differenza

Definito il fasore ${\bar {V}}_{1}=V_{1}e^{j\phi _{1}}=V_{1}\cos {\phi _{1}}+jV_{1}\sin {\phi _{1}}$ e in modo analogo ${\bar {V}}_{2}$ allora la somma tra i due è:
    ${\bar {V}}_{1}+{\bar {V}}_{2}=V_{1}\cos {\phi _{1}}+V_{2}\cos {\phi _{2}}+j(V_{1}\sin {\phi _{1}}+V_{2}\sin {\phi _{2}})$
Per estensione la sommatoria di $n$ fasori è:
    $\sum _{k=1}^{n}{\bar {V}}_{k}=\sum _{k=1}^{n}{V}_{k}\cos {\phi _{k}}+j\sum _{k=1}^{n}{V}_{k}\sin {\phi _{k}}$
La differenza è realizzabile come la somma di fasori opposti:
    ${\bar {V}}_{1}-{\bar {V}}_{2}={\bar {V}}_{1}+(-{\bar {V}}_{2})$

### Prodotto e rapporto

Definiti i fasori ${\bar {V}}_{1}$ e ${\bar {V}}_{2}$ allora il loro prodotto è:
    ${\bar {V}}_{1}\cdot {\bar {V}}_{2}=V_{1}V_{2}e^{j(\phi _{1}+\phi _{2})}=V_{1}V_{2}(\cos {(\phi _{1}+\phi _{2})}+j\sin {(\phi _{1}+\phi _{2})})$
Per estensione la produttoria di $n$ fasori è:
    $\prod _{k=1}^{n}{\bar {V}}_{k}=\prod _{k=1}^{n}{V}_{k}e^{j\sum _{k=1}^{n}\phi _{k}}$
Considerati i fasori ${\bar {V}}_{1}$ e ${\bar {V}}_{2}$ allora il loro rapporto è:
    ${{\bar {V}}_{1} \over {\bar {V}}_{2}}={V_{1} \over V_{2}}e^{j(\phi _{1}-\phi _{2})}$
Considerato il numero complesso coniugato ${\bar {V}}_{2}^{*}=V_{2}e^{-j\phi _{0}}$ allora il prodotto coniugato è:
    ${\bar {V}}_{1}\cdot {\bar {V}}_{2}^{*}=V_{1}V_{2}e^{j(\phi _{1}-\phi _{2})}$
In particolare se ${\bar {V}}_{1}={\bar {V}}_{2}={\bar {V}}$ allora:
    ${\bar {V}}\cdot {\bar {V}}^{*}=V^{2}$

### Derivata e integrale

Considerato il fasore ${\bar {V}}=Ve^{j\phi _{0}}$ e il suo vettore rotante associato ${\sqrt {2}}{\bar {V}}e^{j\omega t}$ allora simbolicamente si indica la derivata del fasore come il fasore della derivata del vettore rotante:
    ${d \over dt}{\sqrt {2}}{\bar {V}}e^{j\omega t}={\sqrt {2}}{\bar {V}}j\omega e^{j\omega t}\rightarrow {d{\bar {V}} \over dt}=j\omega {\bar {V}}$
Siccome $j\omega {\bar {V}}=\omega Ve^{j{(\phi _{0}+{\pi \over 2})}}$ allora la derivazione moltiplica il modulo di un fattore $\omega$ e introduce uno sfasamento in ritardo di ${\tfrac {\pi }{2}}$.
Analogamente per l'integrale:
    $\int {\sqrt {2}}{\bar {V}}e^{j\omega t}dt={\sqrt {2}}{{\bar {V}} \over j\omega }e^{j\omega t}\rightarrow \int {\bar {V}}dt={{\bar {V}} \over j\omega }$
Siccome ${\tfrac {\bar {V}}{j\omega }}={\tfrac {V}{\omega }}e^{j{(\phi _{0}-{\pi \over 2})}}$ allora l'integrazione moltiplica il modulo di un fattore ${\tfrac {1}{\omega }}$ e introduce uno sfasamento in anticipo di $-{\tfrac {\pi }{2}}$.

## Leggi costitutive dei bipoli
### Resistore

Considerato un resistore di resistenza $R$ su cui è applicata una corrente alternata $i(t)$ allora per la legge di Ohm la tensione $v(t)$ sul resistore è:
    $v(t)=Ri(t)\$
Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:
    ${\sqrt {2}}Ve^{j(\omega t+\phi _{v})}=R{\sqrt {2}}Ie^{j(\omega t+\phi _{i})}$
In particolare si nota che il valore efficace della tensione è $V=RI$ mentre la fase è $\phi _{v}=\phi _{i}$. In termini di fasori allora:
    ${\bar {V}}=R{\bar {I}}$

### Induttore

La relazione costitutiva dell'induttore è:
    $v(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}$
Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:
    ${\sqrt {2}}Ve^{j(\omega t+\phi _{v})}=L{d \over dt}{\sqrt {2}}Ie^{j(\omega t+\phi _{i})}={\sqrt {2}}j\omega LIe^{j(\omega t+\phi _{i})}={\sqrt {2}}\omega LIe^{j(\omega t+\phi _{i}+{\pi \over 2})}$
In particolare si nota che il valore efficace della tensione è $V=\omega LI$ mentre la fase è $\phi _{v}=\phi _{i}+{\pi \over 2}$, si ha quindi che la corrente è in ritardo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:
    ${\bar {V}}=j\omega L{\bar {I}}$

### Condensatore

La relazione costitutiva del condensatore è:
    $i(t)=C{dv(t) \over dt}$
Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:
    ${\sqrt {2}}Ie^{j(\omega t+\phi _{i})}=C{d \over dt}{\sqrt {2}}Ve^{j(\omega t+\phi _{v})}={\sqrt {2}}j\omega CVe^{j(\omega t+\phi _{v})}={\sqrt {2}}\omega CVe^{j(\omega t+\phi _{v}+{\pi \over 2})}$
In particolare si nota che il valore efficace della corrente è $I=\omega CV$ mentre la fase è $\phi _{i}=\phi _{v}+{\pi \over 2}$, si ha quindi che la corrente è in anticipo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:
    ${\bar {I}}=j\omega C{\bar {V}}$