# Teorema di Lagrange

In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica a funzioni di variabile reale e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi.
Questo teorema è usato per provare delle proprietà di una funzione in un intervallo partendo da ipotesi locali sulle derivate nei punti di tale intervallo. È uno dei più importanti risultati dell'analisi matematica.

## Storia

Un caso speciale di questo teorema fu inizialmente descritto da Parameshvara (1370–1460), dalla Scuola del Kerala in India, nei suoi commenti su Govindasvāmi e Bhāskara II. Una forma ristretta del teorema fu poi provata da Rolle nel 1691; il suo risultato fu quello che ora è conosciuto come teorema di Rolle, e fu provato solo per polinomi, senza nessuna tecnica di analisi. Il teorema del valor medio nella sua forma moderna fu formulato e dimostrato da Cauchy nel 1823.

## Enunciato

Sia $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ una funzione continua nell'intervallo chiuso $[a,b]$, con $a<b,$ e derivabile nell'intervallo aperto $(a,b)$. Allora esiste almeno un punto $c\in (a,b)$:
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

## Significato geometrico

Supponiamo di avere una funzione $f$ di variabile reale a valori reali definita nell'intervallo $[a,b]$, come nell'immagine. Supponiamo che essa sia continua e che in ogni punto del suo grafico, esclusi $(a,f(a))$ e $(b,f(b)),$ sia ben definita la retta tangente, quest'ultima non parallela all'asse delle ordinate (supponiamo cioè che la funzione $f$ sia derivabile in $(a,b)$). Tracciamo la retta secante il grafico della funzione, passante per i punti $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$.
Il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità sopra enunciate esiste almeno un punto $c\in (a,b)$, come nell'esempio, tale che la tangente al grafico di $f$ nel punto $(c,f(c))$ abbia la stessa pendenza della retta passante per i punti $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$.

### Osservazioni

* Il teorema di Lagrange può anche essere considerato un caso particolare del teorema di Cauchy.
    Sia $g$ la funzione identità (cioè $g(x)=x$, per ogni $x$). Applichiamo il teorema di Cauchy a $f(x)$ e $g(x)$:
       $\exists c\in (a,b):{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$
    Poiché $g'(x)=1$ per ogni $x\in (a,b)$, si ha che $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$
* Il teorema di Lagrange è inoltre una generalizzazione del teorema di Rolle.
    Sia $f$ una funzione continua nell'intervallo $[a,b]$, derivabile in $(a,b)$ e tale che $f(a)=f(b)$. Applicando il teorema di Lagrange si ha che
       $\exists c\in (a,b):f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0.$
* Da notare che il teorema, come enunciato, è falso se una funzione derivabile è a valori complessi invece che reali. Per esempio, si definisce $f(x)=e^{xi}$ per tutti gli $x$ reali. In tal caso
       $f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0),$
    mentre $f'(x)\neq 0$ per ogni $x\in \mathbb {R}$.

## Dimostrazione

È possibile dimostrare l'asserto mediante un'applicazione del teorema di Rolle.
Sia $g$ la seguente funzione ausiliare:
    $g(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).$
Si tratta della retta passante per i punti $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ della figura.
Sia ora $h$ la differenza tra le due funzioni $f$ e $g$:
    $h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x).$
Si verifica immediatamente che
    $h(a)=f(a)-g(a)=0,\qquad h(b)=f(b)-g(b)=0.$
La funzione $h$ è continua perché somma di funzioni continue (una per ipotesi e una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado).
Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo $[a,b]$, derivabile nell'intervallo aperto $(a,b)$ e assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto $c\in (a,b)$ in cui la sua derivata sia $0$.
Applichiamo quindi il teorema di Rolle alla funzione $h$, dal momento che ne soddisfa tutte le ipotesi:
    $\exists c\in (a,b)\mid h'(c)=0.$
Segue che
    $h'(c)=f'(c)-g'(c)=0.$
Ora si osserva che
    $g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$
Quindi
    $f'(c)=g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$
e il teorema è così dimostrato.

## Estensioni
### Funzioni definite in R$^n$

Il teorema rimane valido considerando funzioni definite in $\mathbb {R} ^{n}$.
Sia $f$ una funzione reale differenziabile su un aperto $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, siano $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ due punti di $U$ tali che il segmento $[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]=\{t\mathbf {x} +(1-t)\mathbf {y} :t\in [0,1]\}\subseteq U,$
allora esiste $\mathbf {\xi } \in [\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]$ tale che
    $f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {D} f(\mathbf {\xi } ),(\mathbf {y} -\mathbf {x} )\mathbf {\rangle } ,$
dove con $\mathbf {D} f$ indichiamo il gradiente di $f.$
Per la dimostrazione è sufficiente considerare la funzione
    $\varphi (t)=f(\mathbf {x} +t(\mathbf {y} -\mathbf {x} ))$ con $t\in [0,1]$
derivabile sull'intervallo unitario perché composizione di due funzioni derivabili.

### Funzioni a valori in R$^m$

Il teorema non è più valido in questa forma per le funzioni a valori in $\mathbb {R} ^{m}$. Infatti sebbene applicabile a ogni singola componente, non è possibile garantire che ciascuna delle uguaglianze del teorema si verifichi contemporaneamente per lo stesso valore della variabile indipendente. In questo caso il teorema è valido se si accetta la seguente formulazione:
Sia $f$ una funzione reale derivabile su un aperto $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, contenente il segmento $[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]$, allora:
    $\|f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )\|\leq \sup _{\mathbf {\mathbf {\xi } } \in U}\left\|\mathbf {D} f(\mathbf {\xi } )\right\|\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|.$

## Esempi di impiego (corollari)
### Funzioni aventi derivata identicamente nulla su un intervallo

Sia $f$ una funzione continua e derivabile definita in un intervallo $I$, sia $f'$ la derivata di $f$. Se $f'(x)=0$ per ogni $x$ interno ad $I$, allora $f$ è costante in tale intervallo, cioè:
    $f(x)=k,\quad \forall x\in I.$

#### Dimostrazione

Prendiamo due punti distinti, $\alpha$ e $\beta$ appartenenti all'intervallo $I$.
Possiamo applicare il teorema di Lagrange all'intervallo $[\alpha ,\beta ]$ ottenendo che
    $\exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f^{\prime }(c).$
Dato che per ipotesi $f'(x)=0$ per ogni $x$, ne segue che
    ${\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=0$
e quindi
    $f(\beta )=f(\alpha ).$
Visto che $\alpha$ e $\beta$ sono due punti arbitrari dell'intervallo, questo vale per ogni coppia di punti e quindi $f(x)=k$ per ogni $x\in I$ (cioè $f(x)$ è costante nell'intervallo).

### Funzioni aventi derivata uguale in un intervallo

Siano $f$ e $g$ due funzioni derivabili in un intervallo $I$ e sia $f'(x)=g'(x)$ per ogni $x\in I$. Allora le due funzioni differiscono per una costante $c\in \mathbb {R}$, cioè
    $f(x)=g(x)+c,\quad \forall x\in I.$

#### Dimostrazione

Si prenda $h(x)=f(x)-g(x)$. Per ipotesi si ha $h'(x)=f'(x)-g'(x)=0$ per ogni $x\in I$. Allora per il corollario precedente sulle funzioni a derivata nulla, la funzione $h(x)$ è costante nell'intervallo $I$, cioè $h(x)=f(x)-g(x)=c$ per un determinato $c\in \mathbb {R}$, e quindi
    $f(x)=g(x)+c,\quad \forall x\in I.$

### Monotonia a partire dalla derivata

Il teorema di Lagrange ci permette di stabilire la monotonia di una funzione derivabile in un certo intervallo, in base al segno della derivata.

#### Derivata non negativa

Sia $f$ una funzione derivabile in $I$. Se $f'(x)\geq 0$, $\forall x\in I$, allora per ogni $x_{1},x_{2}\in I$, con $x_{1}<x_{2}$, si ha che $f(x_{1})\leq f(x_{2})$.

#### Dimostrazione

Prendiamo due generici punti $x_{1}$ e $x_{2}$ appartenenti all'intervallo $I$, con $x_{1}<x_{2}$.
Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a $[x_{1},x_{2}]$ ottenendo che
    $\exists c\in (x_{1},x_{2}):{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=f^{\prime }(c).$
Dato che $f'(x)\geq 0$ per ogni $x\in I$ si ha che
    ${\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\geq 0.$
Ora, dato che $x_{1}<x_{2}$, per essere vera la formula appena scritta deve essere $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ e visto che questo vale per ogni coppia di punti appartenenti a $I$, possiamo concludere che la funzione è monotona crescente nell'intervallo.

#### Derivata positiva

Sia $f'(x)>0$ per ogni $x$ appartenente all'intervallo $[a,b]$. Allora per ogni $x_{1},x_{2}$ appartenenti all'intervallo $[a,b]$ con $x_{1}<x_{2}$ si ha che $f(x_{1})<f(x_{2})$.

##### Dimostrazione

Prendiamo due generici punti $\alpha$ e $\beta$ appartenenti all'intervallo chiuso $[a,b]$ con $\alpha <\beta$.
Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi $\alpha$ e $\beta$ ottenendo che
    $\exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f'(c).$
Dato che $f'(x)>0$ per ogni $x$ si ha che
    ${\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}>0.$
Ora dato che $\alpha <\beta$ per essere vera la formula appena scritta deve essere $f(\alpha )<f(\beta )$ e visto che questo vale per ogni $\alpha$ e $\beta$ appartenenti ad $[a,b]$ possiamo concludere che la funzione è monotona crescente.

#### Derivata non positiva e derivata negativa

Le relative proprietà sono inverse rispetto a quelle ottenute ai due punti precedenti e si ottengono semplicemente invertendo i segni delle diseguaglianze.

### Studio delle funzioni su un intervallo aventi derivata limitata

Se $f$ è una funzione continua e derivabile nell'intervallo $[a,b]$ e la sua derivata prima $f'$ è limitata in $[a,b]$, ossia esiste $k>0:|f'(x)|\leq k$, si ha che $f$ è lipschitziana su $[a,b]$.

#### Dimostrazione

Consideriamo due generici punti $\alpha$ e $\beta$ appartenenti all'intervallo $[a,b]$ tali che $\alpha <\beta$.
Dal momento che l'ipotesi ci garantisce che la funzione sia derivabile in tutti i punti dell'intervallo, cosa che ci garantisce anche la continuità, possiamo applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi i due punti di prima, ottenendo che
    $\exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f'(c).$
Adesso uniamo questa informazione alla limitatezza della derivata, dataci per ipotesi, dunque possiamo scrivere:
    $\left|{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}\right|\leq k.$
Ma siccome i punti possiamo sceglierli a nostro completo arbitrio tra tutti quelli presenti nell'intervallo, allora la pendenza della funzione risulterà limitata, e quindi la funzione soddisferà la condizione di Lipschitz.