# Secondo teorema di Euclide

In geometria, il secondo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al primo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide.

## Enunciato

Il teorema di Euclide può essere enunciato in due modi diversi ma equivalenti a seconda della proprietà che si desidera sottolineare.
Considerando l'equiestensione tra figure il teorema afferma che:
    in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.
Se si vuole considerare invece il rapporto tra la lunghezza dei segmenti, il teorema afferma che:
    In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.
Le due enunciazioni sono equivalenti e mutuamente dimostrantisi.

## Dimostrazione del primo enunciato

Guardando la figura, sia $CL$ congruente e perpendicolare a $CA$ e $CR$ congruente a $CH$.
Si vuole dimostrare che il quadrato $HPQB$ è equivalente al rettangolo $RLMS$.
Si consideri il triangolo rettangolo $BCH$ e ad esso si applichi il teorema di Pitagora. Si ottiene che il quadrato $CBDE$ è equivalente alla somma dei quadrati $HPQB$ e $CRSH$.
Si consideri ora il triangolo rettangolo $ABC$, e ad esso si applichi il primo teorema di Euclide. Si ottiene che il quadrato $CBDE$ è equivalente al rettangolo $CLMH$, ma tale rettangolo può essere considerato come la somma del quadrato $CRSH$ e del rettangolo $RLMS$.
Allora la somma di $HPQB$ e $CRSH$ è equivalente alla somma di $CRSH$ e $RLMS$, quindi, per differenza, $HPQB$ è equivalente a $RLMS$.

## Dimostrazione del secondo enunciato

In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura il teorema afferma che $CH:BH=BH:AH$. In modo equivalente: $BH^{2}=CH\cdot AH$.
Si considerino i triangoli $BCH$ e $ABH$. Dato che l'angolo $BAH$ è complementare di $BCA$, si può concludere che gli angoli $HCB$ e $ABH$ sono congruenti, e quindi i triangoli $BCH$ e $ABH$ sono simili per il primo criterio di similitudine. Si può quindi scrivere la proporzione $CH:BH=BH:AH$.

### Dimostrazione con il teorema di Pitagora

Applicando il teorema di Pitagora, al triangolo $ABC$ abbiamo
    $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}.$
Applicandolo invece al triangolo $CHB$ abbiamo
    $CH^{2}+BH^{2}=BC^{2}$
e applicandolo al triangolo $AHB$ abbiamo
    $AH^{2}+BH^{2}=AB^{2}.$
Unendo le due uguaglianze abbiamo che:
    $AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+BH^{2}=AH^{2}+2BH^{2}+CH^{2}=AC^{2}.$
Ma $AC=CH+AH$ e dunque
    $AH^{2}+2BH^{2}+CH^{2}=(CH+AH)^{2}=CH^{2}+AH^{2}+2AH\cdot CH.$
Togliendo i quadrati da entrambi i lati si ha
    $2BH^{2}=2AH\cdot CH,$
ossia
    $BH^{2}=AH\cdot CH$
che è l'equivalenza desiderata.

## Equivalenza fra gli enunciati

È facile mostrare che i due enunciati sono fra loro equivalenti, una volta introdotto il concetto di misura. Infatti, con riferimento alla figura, il primo enunciato si può esprimere anche dicendo che l'area della superficie del quadrato $HPQB$ è equivalente all'area della superficie del rettangolo $RLMS$. In formule: $BH\cdot BH=RS\cdot RL$. Avendo costruito la figura in modo che $RS=CH$ e che $LR=AH$, si può scrivere che $BH\cdot BH=CH\cdot AH$, il che significa che $CH:BH=BH:AH$, che infine dimostra l'equivalenza fra i due.