# Forma bilineare

In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.

## Definizione

Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali su $K$ e $V\times W$ il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo $K$ è una mappa
    $\phi :V\times W\to K$
che associa ad ogni coppia di elementi $\mathbf {v} \in V$ e $\mathbf {w} \in W$ lo scalare $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in K$ ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:
    $\phi (\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} _{1},\mathbf {w} )+\phi (\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )\qquad \forall \ \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V\quad \forall \ \mathbf {w} \in W$
    $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1})+\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{2})\qquad \forall \ \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in W\quad \forall \ \mathbf {v} \in V$
    $\phi (a\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,a\mathbf {w} )=a\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\qquad \forall \ \mathbf {v} \in V\quad \forall \ \mathbf {w} \in W\quad \forall \ a\in K$
Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.
Se $V$ e $W$ coincidono, la forma si dice bilineare su $V$ (o su $W$).

## Rappresentazione in coordinate

Se $V$ ha dimensione n finita, ogni forma bilineare $\phi$ su $V$ può essere rappresentata come una matrice quadrata di ordine n. Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base $\{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\}$ per $V$, in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.
La matrice $B$ è definita per elementi da:
    $b_{ij}=\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})$
L'azione della forma bilineare su due vettori $\mathbf {u}$ e $\mathbf {w}$ di $V$ si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:
    $\phi (\mathbf {u} ,\mathbf {w} )=\mathbf {\mathbf {u} } ^{T}\mathbf {B\mathbf {w} } =\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}u_{i}w_{j}$
dove $u_{i}$ e $w_{j}$ sono le coordinate di $\mathbf {u}$ e $\mathbf {w}$ rispetto alla base.

## Relazione con lo spazio duale

Ogni forma bilineare $\phi$ su $V$ definisce una coppia di mappe lineari da $V$ nel suo spazio duale $V^{*}$. Si definiscano nel modo seguente:
    $\phi _{1}:V\to V^{*}\qquad \phi _{1}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$
    $\phi _{2}:V\to V^{*}\qquad \phi _{2}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )$
In altre parole, $\phi _{1}(\mathbf {v} )$ è l'elemento di $V^{*}$ che manda $\mathbf {w}$ in $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$.
Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:
    $\phi _{1}(\mathbf {v} )=\phi (\mathbf {v} ,\cdot )$
    $\phi _{2}(\mathbf {v} )=\phi (\cdot ,\mathbf {v} )$
Ogni mappa lineare $T:V\to V^{*}$ definisce analogamente una funzione bilineare:
    $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=T(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )\$

## Forme simmetriche e antisimmetriche

Una forma bilineare $\phi :V\times V\to K$ è detta simmetrica se:
    $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )\$
per ogni $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w}$ in $V$. È invece detta antisimmetrica o alternante se:
    $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=-\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )\$.
Una forma bilineare $\phi$ è simmetrica se e solo se la matrice associata $B$ (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.
Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe $\phi _{1}$ e $\phi _{2}$ definite sopra coincidono.
Se $K$ non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:
    $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0$
per ogni $\mathbf {v} \in V$. In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.

### Prodotto scalare

Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare. Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo $\mathbb {R}$ dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0$ per ogni $\mathbf {v}$ diverso da zero, e $\phi (\mathbf {0} ,\mathbf {0} )=0$.

## Forma degenere

Una forma bilineare $\phi$ definita su uno spazio $V$ di dimensione finita è degenere se la matrice $B$ che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.
I fatti seguenti sono equivalenti:
* La forma bilineare $\phi$ è degenere.
* Esiste un vettore $\mathbf {v}$ non nullo tale che $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$ per ogni $\mathbf {w}$.
* Esiste un vettore $\mathbf {w}$ non nullo tale che $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$ per ogni $\mathbf {v}$.

## Esempi

* Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è una forma bilineare simmetrica.
* Sia $C[0,1]$ lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo $[0,1]$, a valori reali. Un esempio di forma bilineare simmetrica definita su $C[0,1]$ è data da:
    $\phi (f,g)=\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx$