# Traslazione nel piano complesso

In geometria, dati il numero complesso $v=p+iq$ e il suo corrispondente nel piano cartesiano, il punto $Q(v)=Q(p,q)$, per traslazione di vettore ${\vec {v}}=(p,q)$ si intende la trasformazione:
    ${\begin{aligned}\tau _{\vec {v}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=z+v\end{aligned}}$
che associa al numero complesso $z$ il numero complesso $z'=z+v$.

## Proprietà

Dalla definizione si deduce che se il punto $P(z)$, di coordinate $(x,y)$, rappresenta $z$, allora la sua immagine sarà il punto $P'(z')$ di coordinate $(x',y')$, con $(x',y')=(x+p,y+q)$, che corrisponde alle equazioni che determinano la traslazione nel piano di vettore ${\vec {v}}=(p,q)$,
    $\tau _{\vec {v}}:{\begin{cases}x'=x+p\\y'=y+q.\end{cases}}$
Quindi:
sommare a un numero complesso $z=x+iy$ il numero complesso $v=p+iq$ equivale ad applicare una traslazione di vettore $(p,q)$ al punto $P$ di coordinate $(x,y)$.

## Esempi
### Esempio 1

La trasformazione
    ${\begin{aligned}\tau _{\vec {v}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z-3+i\end{aligned}}$
è la traslazione $\tau _{\vec {v}}$ di vettore ${\vec {v}}=(-3,1)$.

### Esempio 2

Per determinare la scrittura complessa della traslazione $\tau$ che porta il punto $P(1+i)$ in $P'(-2-i)$ è sufficiente osservare che $P(1+i)$ è il punto associato al numero complesso $z=1+i$, e che $P'(-2-i)$ è il punto associato al numero complesso $z'=-2-i$. Poiché sommare ad un numero complesso $z=x+iy$ il numero complesso $v=p+iq$ equivale applicare una traslazione di vettore ${\vec {v}}=(p,q)$ al punto $P(z)$ di coordinate $(x,y)$, si ha che $-2-i=1+i+p+iq,$ da cui si ottiene che $p+iq=-3-2i$.
Quindi
    ${\begin{cases}p=-3\\q=-2.\end{cases}}$
La traslazione richiesta è:
    ${\begin{aligned}\tau _{\vec {v}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z-3-2i.\end{aligned}}$

## Casi particolari

Si consideri il caso in cui ${\vec {v}}=(p,0)$. La traslazione di vettore ${\vec {v}}=(p,0)$ è la trasformazione:
    ${\begin{aligned}\tau _{(p,0)}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=z+v\end{aligned}}$
che associa al numero complesso $z$ il numero complesso $z'=z+v=(x+p)+iy$.
È immediato osservare che questa è una traslazione orizzontale, ossia modifica solo la parte reale di $z$, mentre lascia invariata la parte immaginaria.
In modo analogo se ${\vec {v}}=(0,q)$. La traslazione di vettore ${\vec {v}}=(0,q)$ è la trasformazione:
    ${\begin{aligned}\tau _{(0,q)}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=z+v\end{aligned}}$
che associa al numero complesso $z$ il numero complesso $z'=z+v=x+i(y+q)$.
È immediato osservare che questa è una traslazione verticale, ossia che modifica solo la parte immaginaria di $z$, mentre lascia invariata la parte reale.

## Composizione di traslazioni

Date due traslazioni di vettori ${\vec {v}}=(p,q)$ e ${\vec {u}}=(r,s)$, la trasformazione composta
    $\tau =\tau _{\vec {u}}\circ \tau _{\vec {v}}$
è una traslazione di vettore ${\vec {w}}={\vec {v}}+{\vec {u}}$.
Si osservi che la composizione di traslazioni gode della proprietà commutativa: $\tau =\tau _{\vec {u}}\circ \tau _{\vec {v}}=\tau _{\vec {v}}\circ \tau _{\vec {u}}$, poiché è commutativa la somma di vettori ${\vec {w}}={\vec {v}}+{\vec {u}}={\vec {u}}+{\vec {v}}$.
In particolare una qualsiasi traslazione $\tau _{\vec {v}}$ di vettore ${\vec {v}}=(p,q)$ è data dalla composizione delle traslazioni $\tau _{(p,0)}$ e $\tau _{(0,q)}$. Infatti, ricordando la somma di numeri complessi si ha che $(p,q)=(p,0)+(0,q)$.