# Poliedro sferico

In matematica, un poliedro sferico o tassellatura sferica è una tassellatura della sfera in cui la superficie è divisa o partizionata da archi di un cerchio massimo in regioni chiuse chiamate poligoni sferici.
Tra questi poliedri figurano casi di poliedri impropri, come gli osoedri e i loro duali, i diedri, i quali esistono come poliedri sferici ma risultano essere casi degeneri se si considerano i loro equivalenti a facce piane.

## Storia

Il primo studio significativo sui poliedri sferici è quello scritto nel X secolo dal matematico e astronomo persiano Abu l-Wafa Muhammad al-Buzjani.
L'utilizzo dei poliedri sferici fu di grande aiuto all'elaborazione della geometria dei poliedri simmetrici e di quelli uniformi e al loro studio. Così, ad esempio, circa duecento anni fa, all'inizio del XIX secolo, Poinsot utilizzò i poliedri sferici per arrivare alla scoperta dei quattro poliedri stellati regolari, detti anche poliedri di Keplero-Poinsot. A metà del XX secolo, invece, Harold Coxeter utilizzò tali poliedri per poter enumerare tutti tranne uno i poliedri uniformi esistenti, attraverso la costruzione di Wythoff (l'unico poliedro che rimase fuori fu il grande dirombicosidodecaedro).
La formula di Eulero vale anche per i poliedri sferici, ossia anche nel loro caso, indicando con $F$, $S$ e $V$ rispettivamente i numeri di facce, spigoli e vertici del poliedro, si ha che: $F+V-S=2\,\!$ oppure $F+V=S+2\,\!$.

## Esempi

Tutti i poliedri regolari e semiregolari, e i loro duali, possono essere proiettati su una sfera come tassellature:
| Simbolo di Schläfli | {p,q} | t{p,q} | r{p,q} | t{q,p} | {q,p} | rr{p,q} | tr{p,q} | sr{p,q} |
| Incidenza vertici | p$^q$ | q.2p.2p | p.q.p.q | p.2q.2q | q$^p$ | q.4.p.4 | 4.2q.2p | 3.3.q.3.p |
| Simmetria tetraedrica (3 3 2) | 3$^3$ | 3.6.6 | 3.3.3.3 | 3.6.6 | 3$^3$ | 3.4.3.4 | 4.6.6 | 3.3.3.3.3 |
| Simmetria tetraedrica (3 3 2) | 3$^3$ | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | 3$^3$ | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
| Simmetria ottaedrica (4 3 2) | 4$^3$ | 3.8.8 | 3.4.3.4 | 4.6.6 | 3$^4$ | 3.4.4.4 | 4.6.8 | 3.3.3.3.4 |
| Simmetria ottaedrica (4 3 2) | 4$^3$ | V3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | 3$^4$ | V3.4.4.4 | V4.6.8 | V3.3.3.3.4 |
| Simmetria icosaedrica (5 3 2) | 5$^3$ | 3.10.10 | 3.5.3.5 | 5.6.6 | 3$^5$ | 3.4.5.4 | 4.6.10 | 3.3.3.3.5 |
| Simmetria icosaedrica (5 3 2) | 5$^3$ | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | 3$^5$ | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
| Esempio diedrico p=6 (2 2 6) | 6$^2$ | 2.12.12 | 2.6.2.6 | 6.4.4 | 2$^6$ | 2.4.6.4 | 4.4.12 | 3.3.3.6 |
| n | ... |
| n-Prisma (2 2 p) | ... |
| n-Bipiramide (2 2 p) | ... |
| n-Antiprisma | ... |
| n-Trapezoedro | ... |

## Casi impropri

Come detto la tassellatura sferica permette di ottenere poliedri sferici che non sono ottenibili in geometria euclidea se non come casi degeneri, ossia gli osoedri, aventi simbolo di Schläfli {2,n}, e i diedri, aventi simbolo di Schläfli {n,2}. Nelle due tabelle seguenti sono riportati alcuni osoedri e diedri regolari.
Osoedri regolari · Mutazioni di simmetria *n22 di tassellature osoedriche regolari: nn :
| Spazio | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Euclideo |
| Nome della tassellatura | Osoedro monogonale | Osoedro digonale | Osoedro trigonale | Osoedro tetragonale | Osoedro pentagonale | Osoedro esagonale | Osoedro ettagonale | Osoedro ottagonale | Osoedro ennagonale | Osoedro decagonale | Osoedro undecagonale | Osoedro dodecagonale | ... | Osoedro apeirogonale |
| Immagine della tassellatura | | | | | | | | | | | | | ... | |
| Simbolo di Schläfli | {2,1} | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8} | {2,9} | {2,10} | {2,11} | {2,12} | ... | {2,∞} |
| Diagramma di Coxeter-Dynkin | | | | | | | | | | | | | ... | |
| Facce e spigoli | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
| Vertici | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ... | 2 |
| Incidenza dei vertici | 2 | 2.2 | 2$^3$ | 2$^4$ | 2$^5$ | 2$^6$ | 2$^7$ | 2$^8$ | 2$^9$ | 2$^{10}$ | 2$^{11}$ | 2$^{12}$ | ... | 2$^∞$ |
Famiglia di diedri regolari · Mutazioni di simmetria *n22 di tassellature diedrali regolari: nn :
| Spazio | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Sferico | Euclideo |
| Nome tassellatura | Diedro monogonale | Diedro digonale | (Triangolare) Diedro trigonale | (Tetragonale) Diedro quadrato | Diedro pentagonale | Diedro esagonale | ... | Diedro apeirogonale |
| Immagine tassellatura | | | | | | | ... | |
| Notazione di Schläfli | {1,2} | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2} | ... | {∞,2} |
| Diagramma di Coxeter-Dynkin | | | | | | | ... | |
| Facce | 2 {1} | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} | ... | 2 {∞} |
| Spigoli e vertici | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... | ∞ |
| Incidenza dei vertici | 1.1 | 2.2 | 3.3 | 4.4 | 5.5 | 6.6 | ... | ∞.∞ |

## Relazione con le tassellature del piano proiettivo

I poliedri sferici che hanno almeno una simmetria inversiva sono connessi ai poliedri proiettivi (ossia tassellature del piano proiettivo reale) - proprio come la sfera è un rivestimento universale dello spazio proiettivo (esiste infatti il rivestimento con due fogli $p:S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}$ dalla sfera unitaria allo spazio proiettivo reale) i poliedri proiettivi corrispondono tramite una mappa a 2 fogli a poliedri sferici che sono centralmente simmetrici. Inoltre, poiché un rivestimento è un omeomorfismo locale (in questo caso un'isometria locale), sia i poliedri sferici che i poliedri proiettivi corrispondenti hanno la stessa figura al vertice astratta.
Ad esempio, il rivestimento a due fogli di un emi-cubo (proiettivo) è il cubo sferico. L'emi-cubo ha 4 certici, 3 facce e 6 spigoli, ognuno dei quali è rivestito da due copie nella sfera, e di conseguenza il cubo ha 8 vertici, 6 facce e 12 spigoli, mentre entrambi questi poliedri hanno figura al vertice 4.4.4 (tre quadrati che si incontrano a un vertice).
Gli esempi meglio conosciuti di poliedri proiettivi sono i poliedri proiettivi regolari, i quozienti dei solidi platonici centralmente simmetrici, così come due classi infinite di diedri e osoedri:
* Emi-cubo, {4,3}/2
* Emi-ottaedro, {3,4}/2
* Emi-dodecaedro, {5,3}/2
* Emi-icosaedro, {3,5}/2
* Emi-diedro, {2p,2}/2, p>=1
* Emi-osoedro, {2,2p}/2, p>=1