# Sistema di equazioni lineari

In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, è un sistema composto da più equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Una soluzione del sistema è un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identità.

## Definizione

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di $m$ equazioni lineari in $n$ incognite, che può essere scritto nel modo seguente:
    ${\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}$
Il numero $n$ delle incognite è detto anche ordine del sistema.
Se i termini noti $b_{i}$ sono tutti nulli il sistema è detto omogeneo.
Una $n$-upla $(x_{1},\dots ,x_{n})$ di elementi nel campo è una soluzione del sistema se soddisfa tutte le $m$ equazioni.
Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.

## Forma matriciale

In notazione indiciale il sistema si scrive:
    $\sum _{j}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i}$
Definendo i vettori dei coefficienti:
    $\mathbf {a} _{i}\equiv {\begin{pmatrix}a_{i1}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}}$
e il vettore degli $m$ termini noti:
    $\mathbf {b} \equiv {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$
il sistema è equivalente alla combinazione lineare:
    $\sum _{i}^{n}a^{i}x_{i}=\mathbf {b}$
Definendo $\mathbf {x}$ il vettore delle $n$ incognite:
    $\mathbf {x} \equiv {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$
ciascuna equazione è equivalente ad un prodotto scalare standard:
    $\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} =b_{1}$
    $\cdots$
    $\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} =b_{m}$
Se il sistema è omogeneo il vettore delle incognite è quindi ortogonale ai vettori dei coefficienti.
Usando le matrici ed il prodotto scalare fra matrici (prodotto riga per colonna) si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente:
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$
Ora se$A$ è la matrice $m\times n$ dei coefficienti:
    $A\equiv {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}$
di cui in effetti $\mathbf {a} ^{1},\ldots ,\mathbf {a} ^{n}$ sono le colonne, con le definizioni del vettore delle incognite e di quello dei termini noti il sistema si scrive finalmente in forma matriciale:
    $A\cdot \mathbf {x} =\mathbf {b}$

## Matrice completa

Il sistema può essere descritto usando la matrice completa:
    $(A,\mathbf {b} )=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}&b_{m}\end{matrix}}\right)$
detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti.
Le matrici $A\$ e $(A,\mathbf {b} )$ sono dette rispettivamente matrice incompleta (o matrice dei coefficienti) e completa (o orlata). I numeri $x_{1},\dots ,x_{n}$ sono le incognite, i numeri $a_{ij}$ sono i coefficienti ed i numeri $b_{i}$ i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi.

## Caratteristiche

Il grado di un sistema di equazioni polinomiali è definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare è un sistema polinomiale di primo grado.
In generale, un sistema lineare può essere:
* Determinato, quando ha una sola soluzione.
* Impossibile, quando non ha nessuna soluzione.
* Indeterminato, quando ha infinite soluzioni.
* Numerico, quando le soluzioni sono rappresentate da numeri.
* Letterale, quando le soluzioni sono rappresentate da espressioni letterali.
* Omogeneo, quando i termini noti sono tutti zero.
Se il campo $K$ di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine $n$ è infinito, ci sono tre possibilità: esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema è il teorema di Rouché-Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di $K^{n}$.

## Il sistema omogeneo associato

Si consideri l'operazione lineare:
    $L(\mathbf {x} )=\sum _{i}^{n}x_{i}A^{i}$
Il nucleo di $L$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle colonne $A^{1},\ldots ,A^{n}$. Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni più il rango per colonne di $A$ è pari ad $n$.
Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni è il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di $A$. La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad $n$.
Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango $r$ per righe è pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione $n-r$. Lo spazio delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale di dimensione $n-\rho (A)$.

## Lo spazio delle soluzioni

Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore $\mathbf {b}$ è l'immagine del vettore $\mathbf {x}$ ottenuta mediante l'applicazione lineare $L_{A}\colon K^{n}\to K^{m}$ definita nel seguente modo:
    $L_{A}(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} \$
L'immagine di $L_{A}$ è generata dai vettori dati dalle colonne di $A$, e quindi $\mathbf {b}$ è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di $A$ contiene $\mathbf {b}$, cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di $A$ è uguale allo spazio generato dalle colonne di $(A|\mathbf {b} )$. In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.
Se esiste una soluzione $\mathbf {x} _{0}$, ogni altra soluzione si scrive come $\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v}$, dove $\mathbf {v}$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:
    $A\mathbf {v} =0$
Infatti:
    $A(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} )=A\mathbf {x} _{0}+A\mathbf {v} =\mathbf {b} +\mathbf {0} =\mathbf {b} \$
Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $\mathbf {x} _{0}$, è quindi il sottospazio affine dato da:
    $\operatorname {Sol} (A,\mathbf {b} )=\mathbf {x} _{0}+\operatorname {Sol} (A,\mathbf {0} )$
La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il rango della matrice $A$ è $n$. Altrimenti se il campo $K$ è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di $K^{n}$, avente come dimensione la nullità $t=n-\operatorname {rk} (A)$ della matrice.

## Strumenti per la risoluzione

Dato un sistema lineare nella forma
    $A\cdot \mathbf {x} =\mathbf {b}$
dove $\mathbf {x}$ è il vettore colonna delle incognite, $\mathbf {b}$ è il vettore colonna dei termini noti e $A$ è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:
    $A^{-1}\cdot \mathbf {b}$
dove $A^{-1}$ è l'inversa di $A$. Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.
Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.
Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.

### Il metodo di riduzione

Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero
    ${\begin{cases}A\mathbf {x} =\mathbf {c} \\B\mathbf {x} =\mathbf {d} \end{cases}}$
allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione
    $m\cdot A\mathbf {x} +n\cdot B\mathbf {x} =m\cdot \mathbf {c} +n\cdot \mathbf {d}$.
dove $m$ e $n$ sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.