# Quantizzazione del momento angolare

La quantizzazione del momento angolare rappresenta uno dei risultati fondamentali della meccanica quantistica e ha una enorme portata nella trattazione dei principali problemi di fisica delle particelle, oltre che condurre alla predizione dell'esistenza dello spin.

## Definizione del momento angolare

In meccanica quantistica il momento angolare è un'osservabile, quindi è rappresentato da un operatore hermitiano che chiamiamo ${\vec {L}}$.
In meccanica classica la definizione di momento angolare è la seguente:
    ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$
dove ${\vec {r}}$ e ${\vec {p}}$ sono rispettivamente il vettore posizione e quantità di moto o momento lineare. Attraverso il principio di corrispondenza è possibile definire il momento angolare in meccanica quantistica come:
    ${\vec {L}}={\vec {r}}\times (-i\hbar {\vec {\nabla }})$
da cui si possono esplicitare le componenti nel modo seguente:
    $L_{x}=-i\hbar \left(y{\frac {\partial }{\partial z}}-z{\frac {\partial }{\partial y}}\right)$
    $L_{y}=-i\hbar \left(z{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$
    $L_{z}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)$
Osserviamo immediatamente che $L_{x},L_{y},L_{z}$ sono operatori hermitiani, infatti sono combinazioni lineari di operatori hermitiani tra loro commutanti (posizione e impulso riferiti a coordinate diverse, ad esempio $y$ e $p_{x}$, commutano).

## Algebra degli operatori di momento angolare

1.In generale vale la relazione
    $[L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}$
dove $\varepsilon _{ijk}$ è il simbolo di Levi-Civita. Dimostriamo tale relazione nel seguente caso particolare:
    $[L_{x},L_{y}]=[(yp_{z}-zp_{y}),(zp_{x}-xp_{z})]\,\!=$
    $=[yp_{z},zp_{x}]-[yp_{z},xp_{z}]-[zp_{y},zp_{x}]+[zp_{y},xp_{z}]\,\!=$
    $=[yp_{z},zp_{x}]+[zp_{y},xp_{z}]\,\!=$
    $=yp_{x}[p_{z},z]+p_{y}x[z,p_{z}]\,\!=$
    $=-i\hbar yp_{x}+i\hbar p_{y}x=$
    $=i\hbar (xp_{y}-yp_{x})=i\hbar L_{z}$
2.Vale inoltre:
    $[L^{2},L_{i}]\,\!=0$
dove l'indice i può essere x, y oppure z. Dimostriamo il caso particolare
    $[L^{2},L_{z}]\,\!=0$
infatti:
    $[{L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2}+{L_{z}}^{2},L_{z}]=[{L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2},L_{z}]=$
    $[{L_{x}}^{2},L_{z}]+[{L_{y}}^{2},L_{z}]={L_{x}}^{2}L_{z}-L_{z}{L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2}L_{z}-L_{z}{L_{y}}^{2}=$
Sommiamo e sottraiamo:$L_{x}L_{z}L_{x}$ e $L_{y}L_{z}L_{y}$
    ${L_{x}}^{2}L_{z}-L_{x}L_{z}L_{x}+L_{x}L_{z}L_{x}+{L_{y}}^{2}L_{z}-L_{z}{L_{x}}^{2}-L_{y}L_{z}L_{y}+L_{y}L_{z}L_{y}-L_{z}{L_{y}}^{2}=$
    $L_{x}(L_{x}L_{z}-L_{z}L_{x})+(L_{x}L_{z}-L_{z}L_{x})L_{x}+L_{y}(L_{y}L_{z}-L_{z}L_{y})+(L_{y}L_{z}-L_{z}L_{y})L_{y}=$
    $L_{x}[L_{x},L_{z}]+[L_{x},L_{z}]L_{x}+L_{y}[L_{y},L_{z}]+[L_{y},L_{z}]L_{y}=$
    $L_{x}(-i\hbar L_{y})+(-i\hbar L_{y})L_{x}+L_{y}(i\hbar L_{x})+(i\hbar L_{x})L_{y}=0$
Da 1. si conclude che l'algebra delle componenti del momento angolare è non commutativa.
Da 2. si conclude che gli operatori $L^{2}$ e $L_{z}$ diagonalizzano nello stesso sistema ortonormale completo di stati.

## Soluzione dell'equazione agli autovalori: via algebrica

Per affrontare il problema dell'equazione agli autovalori è conveniente utilizzare la notazione bra-ket creata da Dirac. Si cercano dunque gli autoket simultanei degli operatori $L^{2}$ e $L_{z}$.
    $L^{2}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}|\lambda m\rangle$
    $L_{z}|\lambda m\rangle =m\hbar |\lambda m\rangle$

### Operatori scala

Si introducono a questo punto dei nuovi operatori, detti operatori scala:
    $L_{+}=L_{x}+iL_{y}\qquad L_{-}=L_{x}-iL_{y}$
* $L^{2}$ commuta sia con $L_{x}$ che con $L_{y}$ e quindi commuta anche con $L_{\pm }$;
* Se $|\lambda m\rangle$ è un autovettore di $L^{2}$ appartenente all'autovalore $\lambda \hbar ^{2}$, $L_{+}|\lambda m\rangle$ e $L_{-}|\lambda m\rangle$ sono autovettori appartenenti allo stesso autovalore $\lambda \hbar ^{2}$:
    $L^{2}L_{+}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}L_{+}|\lambda m\rangle$
    $L^{2}L_{-}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}L_{-}|\lambda m\rangle$
* $L_{+}|\lambda m\rangle$ è anche autovettore di $L_{z}$ ma appartenente all'autovalore $(m+1)\hbar$, così come $L_{-}|\lambda m\rangle$ appartiene all'autovalore $(m-1)\hbar$:
    $L_{z}L_{+}|\lambda m\rangle =(m+1)\hbar L_{+}|\lambda m\rangle$
    $L_{z}L_{-}|\lambda m\rangle =(m-1)\hbar L_{-}|\lambda m\rangle$

### Calcolo degli autovalori

$L^{2}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}|\lambda m\rangle$ e ${L_{z}}^{2}|\lambda m\rangle =m^{2}\hbar ^{2}|\lambda m\rangle$
    $(L^{2}-{L_{z}}^{2})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}|\lambda m\rangle$
    $({L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}|\lambda m\rangle$
    ${\frac {1}{2}}(L_{+}L_{-}+L_{-}L_{+})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}|\lambda m\rangle$
    ${\frac {1}{2}}\langle \lambda m|(L_{+}L_{-}+L_{-}L_{+})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}$
Da cui segue che:
    $-{\sqrt {\lambda }}<m<{\sqrt {\lambda }}$
cioè m è limitato sia inferiormente che superiormente.
Con l'uso degli operatori a scala è facile trovare i valori massimo e minimo di m, risolvendo:
    $L_{-}L_{+}|\lambda m_{max}\rangle =0$
    $L_{+}L_{-}|\lambda m_{min}\rangle =0$
Si ottengono così le relazioni fondamentali
    $m_{max}=-m_{min}={\frac {n}{2}}=j$
    $\lambda =j{\bigj+1)$
dove n è un intero qualsiasi e dunque j può assumere qualsiasi valore intero o semintero.

### Conclusioni

Le equazioni agli autovalori sono così risolte
    $L^{2}|jm\rangle =j(j+1)\hbar ^{2}|jm\rangle$
    $L_{z}|jm\rangle =m\hbar |jm\rangle$
e si è ottenuto il risultato fondamentale della quantizzazione del momento angolare. Inoltre si è scoperto che la teoria quantistica ammette valori di j e di m seminteri: vedi spin.