# Forma differenziale

In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.
Su una $n$-varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$, una forma differenziale $\omega$ ha una dimensione $k$ minore o uguale a $n$. Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come $k$-forma. Nel caso $k=0$, la forma $\omega$ è un'ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza $\omega$ è la possibilità di effettuare l'integrale di $\omega$ su un qualsiasi oggetto geometrico $\Gamma$, di analoga dimensione $k$, di una generica $n$-varietà differenziabile. Il risultato di questa integrazione è indicato con
    $\int _{\Gamma }\omega$
Pertanto, una 1-forma è integrabile su una curva, una 2-forma su una superficie, e così via.
Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa.

## Definizione

La nozione di forma differenziale può essere introdotta in modi diversi.
In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo. Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.
Le forme differenziali possono però essere definite in modo più intrinseco usando l'algebra lineare ed i concetti di tensore e fibrato tangente. In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$, ma una qualsiasi varietà differenziabile.

### Definizione come scrittura formale

Sia $A$ un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$. Sia $k$ un intero con
    $0\leqslant k\leqslant n.$
Una $k$-forma differenziale è una scrittura del tipo:
    $\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$
dove
    $a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}:A\to \mathbb {R}$
è una funzione differenziabile e:
    $\wedge$
è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale $\times$, che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch'esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà. In particolare, il prodotto wedge è associativo, il prodotto vettoriale no. A volte, per brevità, i simboli $\wedge$ sono omessi.

#### Esempi

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su $A$. Una 1-forma in $\mathbb {R} ^{n}$ si scrive come
    $\omega =a_{1}(x_{1},...,x_{n})dx_{1}+\ldots +a_{n}(x_{1},...,x_{n})dx_{n},\,\!$
dove le $a_{i}$ sono opportune funzioni differenziabili. Per esempio le scritture seguenti sono 1-forme definite su $\mathbb {R} ^{2}$.
    $\omega _{1}=2dx-3dy,\quad \omega _{2}=e^{x}dx,\quad \omega _{3}=xydx-y^{2}dy.$
dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti. Una 2-forma in $\mathbb {R} ^{3}$ si scrive come
    $\omega =a(x,y,z)dx\wedge dy+b(x,y,z)dy\wedge dz+c(x,y,z)dx\wedge dz.$
Per esempio la scrittura seguente è una 2-forma su $\mathbb {R} ^{3}$:
    $\omega =2dx\wedge dy-xzdy\wedge dz.$
In generale una $n$-forma su $\mathbb {R} ^{n}$ si scrive sempre usando un unico addendo
    $\omega =a(x_{1},...,x_{n})dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$
dove $a(x_{1},...,x_{n})$ è una funzione differenziabile.

### Definizione come tensore

Una $k$-forma è una sezione liscia della $k$-esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile $M$:
    $\omega :M\rightarrow \Lambda ^{k}(T^{*}(M)).$
In altre parole, per ogni punto $x$ di $M$ è data una funzione multilineare antisimmetrica
    $\omega (x)\colon \underbrace {T_{x}M\times \cdots \times T_{x}M} _{k}\to \mathbb {R}$
dove $T_{x}M$ è lo spazio tangente a $M$ in $x$. La funzione $\omega (x)$ varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di $x$. Equivalentemente, $\omega$ è un campo tensoriale che associa ad ogni punto $x$ di $M$ un tensore antisimmetrico di tipo $(0,k)$.
Ad esempio, una 1-forma è un campo tensoriale di tipo $(0,1)$, cioè una sezione del fibrato cotangente.

#### Aperti dello spazio euclideo

Se $M$ è un insieme aperto di $\mathbb {R} ^{n}$, in ogni punto lo spazio tangente $T_{x}(M)$ è identificato con $\mathbb {R} ^{n}$. La base canonica per $\mathbb {R} ^{n}$ induce quindi una base per lo spazio vettoriale $\Lambda ^{k}((\mathbb {R} ^{n})^{*})$ del tipo
    ${\mathcal {B}}={\big \dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\ |\ 1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n{\big \}}$
dove l'elemento $dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$ rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica. Quindi l'elemento $\omega (x)$ è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base
    $\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$
tramite dei coefficienti
    $a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)$
che variano in modo liscio rispetto a $x$. La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.
Ad esempio, se $k=1$ allora
    $\Lambda ^{1}((\mathbb {R} ^{n})^{*})=(\mathbb {R} ^{n})^{*}$
è lo spazio duale dei funzionali lineari su $\mathbb {R} ^{n}$ e ${\mathcal {B}}$ è la base duale $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto $x$ un funzionale lineare.

#### Carte

Se $M$ è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto $x$, ogni $k$-forma $\omega$ è rappresentata come sopra. La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

## Operazioni algebriche
### Somma e prodotto per scalare

Due $k$-forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova $k$-forma. Una $k$-forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare. Con queste operazioni l'insieme delle $k$-forme su un aperto $A$ forma uno spazio vettoriale.

### Prodotto esterno

Il prodotto esterno
    $\omega \wedge \eta$
di una $k$-forma $\omega$ e di una $h$-forma $\eta$ è una $(k+h)$-forma. L'operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno. Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:
    $dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}\,\forall i,\,j$
La proprietà anticommutativa implica che
    $dx_{i}\wedge dx_{i}=0.$
I coefficienti dei $dx_{i}$ però commutano fra loro e con i $dx_{i}$. Ad esempio, se
    $\omega =xdy-ydx,\quad \eta =xdx\wedge dz$
sono una 1-forma e una 2-forma su $\mathbb {R} ^{3}$, il loro prodotto esterno è
    $\omega \wedge \eta =(xdy-ydx)\wedge (xdx\wedge dz)=x^{2}dy\wedge dx\wedge dz-xydx\wedge dx\wedge dz=-x^{2}dx\wedge dy\wedge dz.$
Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ siano definiti come tensori. Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale $\otimes$, ma non è ad esso equivalente. Ad esempio, nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ sono due 1-forme, è definita nel modo seguente
    $\omega \wedge \eta ={\frac {1}{2}}(\omega \otimes \eta -\eta \otimes \omega ).$
Nel caso generale la definizione è un po' più complicata:
    $\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{k}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}(\operatorname {sgn} \sigma )\omega _{\sigma 1}\otimes \dots \otimes \omega _{\sigma k}.$

### Proprietà

Il prodotto wedge è associativo: per questo motivo si possono omettere le parentesi nella scrittura.
Il prodotto è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a sinistra):
    $h\wedge (f+g)=h\wedge f+h\wedge g.$
L'anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo $k$ e $h$, con un segno che però dipende dal prodotto $kh$:
    $f\wedge g=(-1)^{kh}g\wedge f.$

## Derivata di una forma differenziale

La derivata di una $k$-forma è una $(k+1)$-forma. Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna. La derivata esterna $d\omega$ di una $k$-forma differenziale
    $\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$
è la $(k+1)$-forma
    $d\omega =\sum _{i=1}^{n}\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{i}}}(x)dx_{i}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}.$

### Proprietà

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.
La derivazione esterna è un'operazione lineare. In altre parole,
    $d(a\omega +b\mu )=a\cdot d\omega +b\cdot d\mu$
dove però $a,b$ sono scalari e non funzioni. Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:
    $d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge d\eta ).$
Infine, la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente
    $d^{2}=0$
che segue dal teorema di Schwarz.

## Forme chiuse ed esatte

Una forma differenziale $\omega$ è chiusa se la sua derivata esterna è nulla:
    $d\omega =0$
Ad esempio, ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.
Una $k$-forma $\omega$ è invece esatta se esiste una $(k-1)$-forma $\eta$ tale che
    $d\eta =\omega .$
La forma $\eta$ è detta primitiva di $\omega$.
Le forme differenziali chiuse e le forme differenziali esatte sono rispettivamente nel nucleo e nell'immagine della derivata esterna.
Poiché $d^{2}\eta =0$, ogni forma esatta è chiusa. D'altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l'esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell'aperto $A$ di definizione. A tal proposito, il lemma di Poincaré stabilisce che se $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su $X$ è una forma differenziale esatta per ogni intero $p>0$.

### Forme lineari

Una 1-forma differenziale
    $\omega =a_{1}dx_{1}+\ldots +a_{n}dx_{n},$
è chiusa se e solo se vale l'uguaglianza
    ${\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}$
per ogni $i,j$.

#### Forme lineari e domini semplicemente connessi

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l'aperto $A$). La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell'aperto $A$, ovvero dalla sua topologia.
Se $A$ è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta. Questo accade ad esempio se $A$ è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in $\mathbb {R} ^{n}$. In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.
D'altra parte, la forma seguente
    $\omega ={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy$
definita nell'aperto del piano
    $A=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$
è chiusa ma non esatta. L'aperto $A$ non è semplicemente connesso: ha un "buco", ed il suo gruppo fondamentale è $\mathbb {Z}$. Questa forma è nota come "vortice", per la particolare forma assunta dai vettori del campo vettoriale associato.

#### Forme lineari e analisi complessa

Le 1-forme nel piano $\mathbb {R} ^{2}$ sono uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Dopo aver identificato $\mathbb {R} ^{2}$ con il piano complesso $\mathbb {C}$, è possibile definire una 1-forma complessa
    $f(z)dz=f(x+iy)dx+if(x+iy)dy$
a partire da una qualsiasi funzione
    $f:A\to \mathbb {C} .$
definita su un aperto $A$ del piano complesso. Si tratta di un'usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali. Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se $f$ è una funzione olomorfa su un aperto $A$ del piano, allora la forma $f(z)dz$ risulta essere chiusa. Inoltre $f(z)dz$ è esatta con primitiva $g(z)$ se e solo se $g(z)$ è anch'essa olomorfa con derivata complessa $g'(z)=f(z)$ pari a $f(z)$.
In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma
    $f(z)={\frac {1}{z}}dz$
definita sull'aperto
    $A=\mathbb {C} \setminus \{0\}$
è chiusa (perché $1/z$ è olomorfa) ma non esatta: la funzione $1/z$ non ammette infatti una primitiva su tutto $A$, ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso. In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di $1/z$, può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.
Valgono le uguaglianze seguenti
    $f(z)dz={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {y+ix}{x^{2}+y^{2}}}dy=$
    $=\left[{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dy\right]+i\left[-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\right]$
che mostrano che l'esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di $f(z)dz$.

## Integrazione di una forma differenziale

La proprietà più importante che caratterizza una $k$-forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile $S$ di dimensione $k$ dell'aperto $A$ su cui è definita. L'integrale di $\omega$ è indicato con il simbolo
    $\int _{S}\omega$
ed il risultato di questa operazione è un numero reale.
Se $k=0$, la forma è una funzione, $S$ è un'unione di punti e l'integrale di $\omega$ su $S$ è semplicemente la somma dei valori di $f$ assunti sui punti.
In generale la forma è del tipo
    $\omega =\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}$
Se $S$ ha una parametrizzazione del tipo
    $S(u)=(x_{1}(u),\dots ,x_{k}(u))$
con $u$ variabile in un dominio $D$ di $\mathbb {R} ^{k}$, l'integrale è definito come
    $\int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(S(u)){\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}\,du_{1}\ldots du_{k}$
dove
    ${\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}$
è il determinante dello jacobiano. Con questa definizione, il risultato dell'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno. Per ottenere un segno univoco si deve fissare un'orientazione su $S$ e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l'orientazione.
Se la sottovarietà $S$ è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in $\mathbb {R} ^{3}$), l'integrale su $S$ è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l'orientazione) che coprono $S$ a meno di un insieme di misura nulla.

### Proprietà di base

Valgono le proprietà seguenti. Come tutti gli integrali, l'integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:
    $\int _{S_{1}\sqcup S_{2}}\omega =\int _{S_{1}}\omega +\int _{S_{2}}\omega .\,\!$
L'integrale è inoltre lineare (i coefficienti $a,b$ sono costanti):
    $\int _{S}(a\omega +b\eta )=a\int _{S}\omega +b\int _{S}\eta .$
L'integrale cambia di segno se l'orientazione della varietà è modificata:
    $\int _{-S}=-\int _{S}.\,\!$

### Teorema di Stokes

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l'integrazione. Se $\omega$ è una $(n-1)$ forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta $M$, vale la relazione
    $\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .$
Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l'integrale di una $k$-forma esatta su una varietà chiusa è nullo. In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

### Integrale di linea

Una 1-forma $\omega$ è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva $\gamma$. L'integrale di $\omega$ lungo $\gamma$ può essere calcolato con la formula seguente:
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{c}^{d}\left\langle \omega (\gamma (t)),{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle dt$
e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l'orientazione). Nel caso in cui l'aperto $A$ sia contenuto nel piano $\mathbb {R} ^{2}$, la forma è del tipo
    $\omega =a(x,y)dx+b(x,y)dy$
e l'integrale si calcola nel modo seguente:
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{c}^{d}[a(x(t),y(t))\cdot x^{\prime }(t)+b(x(t),y(t))\cdot y^{\prime }(t)]\cdot dt$
L'integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta. Valgono infatti i fatti seguenti.
* Se $\omega$ è esatta, l'integrale di $\omega$ su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
* Conseguentemente, se $\omega$ è esatta, l'integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.
Ad esempio, la funzione $1/z$ su $\mathbb {C} ^{*}$ non è esatta, poiché
    $\int _{\gamma }{\frac {1}{z}}=2\pi i$
per ogni curva $\gamma$ avente indice di avvolgimento 1 con l'origine.