# Numero triangolare

In matematica, un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di triangolo, ossia, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) uguale al numero in oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo equilatero o un triangolo isoscele, come nella figura sotto.
| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 |

## Formula di Gauss

L'$n$-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss; essa porta il nome del matematico per una mera questione di consuetudine storica, ma secondo i canoni dell'assegnazione prioritaria in uso nella matematica, data la sua semplicità e l'antichità dell'argomento, andrebbe certamente attribuita a terzi:
    $T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.$
Da questa formula segue che nessun numero triangolare per $n$ maggiore di 2 è primo. Osservando, poi, che ciascuna riga del triangolo è costituita da un numero di elementi uguale all'indice della riga, e contiene quindi un elemento in più della riga precedente, si verifica facilmente che la formula corrisponde a quella della somma dei primi $n$ termini della progressione aritmetica di ragione 1:
    $T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n.$
È possibile ottenere anche una giustificazione geometrica della formula: avvicinando all'$n$-esimo triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati $n$ e $n+1$, che è formato da $n(n+1)$ punti, il doppio di quelli del triangolo.
| 2 | 6 | 12 | 20 | 30 | 42 |
L'$n$-esimo numero triangolare corrisponde al numero di possibili coppie non ordinate estratte da un insieme di $n$ elementi.

### Dimostrazione

Dimostriamo per induzione su $n.$ Occorre verificare che la formula:
    $T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$
sia valida per $n=1$, e per ogni successore di $n$, ossia $n+1.$ Il primo caso, per $n=1$, si verifica facilmente:
    $T_{1}={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.$
Per gli $n$ successori occorre dimostrare che:
    $T_{n+1}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}.$
Infatti
    $T_{n+1}=T_{n}+(n+1)={\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}.$

## Elenco di numeri triangolari

I primi numeri triangolari sono:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, 3240 ecc.
e rappresentano la successione A000217 dell'OEIS.

## Relazioni con altri numeri figurati

* La somma di due numeri triangolari successivi è un numero quadrato:
    $n^{2}={n(n-1) \over 2}+{n(n+1) \over 2};$
| 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
* esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati;
* ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari (eventualmente ripetuti, come in $20=10+10$; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel 1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali;
* la somma dei primi $n$ numeri triangolari è uguale all'$n$-esimo numero tetraedrico;
* l'$n$-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per $3n-1$; ogni altro numero triangolare è un numero esagonale;
* la differenza tra l'$n$-esimo numero $m$-gonale e l'$n$-esimo numero $(m+1)$-gonale è uguale all'$(n-1)$-esimo numero triangolare.

## Altre proprietà

* $T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab$ (somma di numeri triangolari);
* $T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},$ (prodotto di numeri triangolari);
* tutti i numeri perfetti sono triangolari;
* i reciproci dei numeri triangolari formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2, la loro somma vale pertanto 2;
* il quadrato dell'$n$-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi $n$ cubi:
    $T_{n}^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{3},$
    questo risultato è noto sotto il nome di teorema di Nicomaco.
* i numeri triangolari si susseguono sempre alternando due numeri dispari a due numeri pari.

## Test per i numeri triangolari

Per stabilire se il numero $n\in \mathbb {N}$ è triangolare si può calcolare l'espressione:
    $m={\frac {{\sqrt {8n+1}}-1}{2}}.$
Se, $m$ è intero, allora $n$ è l'$m$-esimo numero triangolare, altrimenti $n$ non è triangolare.
Tale test trova la sua legittimazione nel fatto che: $8\cdot T_{n}+1=8\cdot {n\cdot (n+1) \over 2}+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}.$
Molto evidente e semplice anche la dimostrazione grafica, tanto da essere già nota fin dall'antichità e pertanto precedente all'introduzione dell'algebra simbolica. Tra le fonti accreditate che riportano il teorema spicca anche il nome di Plutarco, motivo per il quale talvolta l'identità è citata come identità di Plutarco.