# Fenomeno di Gibbs

Il fenomeno di Gibbs si presenta quando viene ricostruito un segnale dalla serie di Fourier troncata. Prende il nome dal fisico statunitense Willard Gibbs.
Data una funzione periodica $f$ che presenta dei punti di discontinuità di prima specie, il suo sviluppo tramite la serie di Fourier è formato da infiniti termini. Quando si ricostruisce il segnale, se questa serie viene troncata si ottengono delle sovraelongazioni del valore della funzione ricostruita nell'intorno del punto di discontinuità: all'aumentare del numero delle componenti della serie il valore di picco di detta sovraelongazione rimane costante, mentre le oscillazioni alle quali tali sovraelongazioni si riferiscono si avvicinano al punto di discontinuità.

## Introduzione

Le tre figure a destra descrivono il fenomeno per un'onda quadra, la quale espansa secondo Fourier è:
    $\sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+{\frac {1}{5}}\sin(5x)+\dots$
Più precisamente questa è una funzione $f$ che per ogni n intero assume il valore $\pi /4$ tra $2n\pi$ e $(2n+1)\pi$ ed il valore di $-\pi /4$ tra $(2n+1)\pi$ e $(2n+2)\pi$. Si ha quindi una discontinuità alta $\pi /2$ ogni multiplo di $\pi$, e la funzione ha periodo $2\pi$
Se si considerano più termini l'errore di approssimazione si riduce in ampiezza, ma converge ad un'altezza fissa (che si può calcolare attraverso una formula). Il valore della sovraelongazione, rispetto all'altezza nominale dell'onda ($\pi /4$), risulta quindi di:
    ${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\,dt-{\frac {\pi }{4}}={\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots$
Più in generale, data una funzione periodica differenziabile tranne dove presenta un punto di discontinuità di altezza $a$, la serie di Fourier troncata ha una sovraelongazione di circa $a\cdot 0.089490$ ad ogni estremità. Ovvero, la funzione che deriva dalla serie di Fourier troncata presenta una discontinuità del 18% più grande della funzione originale.
La quantità:
    $\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\ dt={1.851937052\dots }={\frac {\pi }{2}}+\pi \cdot 0.089490\dots$
è conosciuta come la costante di Wilbraham-Gibbs.

## Descrizione

Data una funzione $f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }$ continua a tratti, differenziabile e periodica con periodo $L>0$, si supponga che in un punto $x_{0}$ la funzione è discontinua e il limite $f(x_{0}^{-})$ per $x$ che tende ad $x_{0}$ da sinistra sia diverso dal limite $f(x_{0}^{+})$ da destra. In particolare, sia $a$ la differenza tra i limiti destro e sinistro:
    $f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=a\neq 0$
Per ogni numero intero positivo $N\geq 1$, sia $S_{N}f$ la serie di Fourier di $f$ troncata al N-esimo termine:
    $S_{N}f(x):=\sum _{-N\leq n\leq N}{\hat {f}}(n)e^{2\pi inx/L}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)$
dove i coefficienti di Fourier ${\hat {f}}(n)$, $a_{n}$ e $b_{n}$ sono calcolati tramite le usuali formule:
    ${\hat {f}}(n):={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)e^{-2\pi inx/L}\ dx$
    $a_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\ dx$
    $b_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\ dx$
Si ha che:
    $\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{+})+a\cdot 0.089490\dots$
e:
    $\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{-})-a\cdot 0.089490\dots$
ma:
    $\lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0})={\frac {f(x_{0}^{-})+f(x_{0}^{+})}{2}}$
In generale, se $x_{N}$ è una sequenza di numeri reali che converge ad $x_{0}$ per $N\to \infty$ e se il salto $a$ è positivo, allora:
    $\limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\leq f(x_{0}^{+})+a\cdot 0.089490\dots$
e:
    $\liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\geq f(x_{0}^{-})-a\cdot 0.089490\dots$
Se invece il salto $a$ è negativo si deve cambiare il limite superiore con il limite inferiore e cambiare i segni di disuguaglianza ≤ con ≥ e viceversa, ovvero:
    $\liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\geq f(x_{0}^{+})+a\cdot 0.089490\dots$
e:
    $\limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\leq f(x_{0}^{-})-a\cdot 0.089490\dots$

## Esempio

Nell'esempio relativo al fenomeno nell'onda quadra, descritto in precedenza, il periodo $L$ è pari a $2\pi$, la discontinuità $x_{0}$ è nello 0 ed il salto $a$ è uguale a $\pi /2$. Per semplicità, si considerano solo i casi con N pari (se N è dispari la trattazione è molto simile). Si ha:
    $S_{N}f(x)=\sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin((N-1)x)$
sostituendo $x_{0}$ si ottiene:
    $S_{N}f(0)=0={\frac {-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{4}}}{2}}={\frac {f(0^{-})+f(0^{+})}{2}}$
come si è visto sopra. Ora si può calcolare:
    $S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)$
Se si definisce la funzione sinc $\operatorname {sinc} (x):=\sin(x)/x$ si può riscrivere la precedente equazione come:
    $S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)\right]$
Ma l'espressione all'interno delle parentesi quadre è un'approssimazione dell'integrale $\int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt$. Dato che la funzione sinc è continua, l'approssimazione converge all'integrale con $N\to \infty$. Quindi si ha:
    $\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots$
che è ciò che si era trovato nel paragrafo precedente. In modo analogo si trova:
    $\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(-{\frac {2\pi }{2N}}\right)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt=-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots$