# Funzione lineare

In matematica, per funzione lineare si intende:
* Nel calcolo infinitesimale, una funzione polinomiale di grado zero o uno.
* In algebra lineare e analisi funzionale, una trasformazione lineare.

## Funzione polinomiale

Quando si introduce il calcolo infinitesimale e quando si trattano le funzioni polinomiali, in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale $x$ a valori reali della forma:
    $f(x)=mx+c,$
con $m$ e $c$ costanti reali. Se $m>0,$ la funzione è strettamente crescente; se $m<0,$ la funzione è strettamente decrescente. Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione:
    $y=mx+c.$
La costante $m$ viene detta coefficiente angolare, pendenza o gradiente, invece $c$ è chiamata intercetta con l'asse delle $y$. In effetti la retta interseca l'asse $Oy$ nel punto $(0,c)$; la retta inoltre interseca l'asse $Ox$ nel punto $(-{\tfrac {c}{m}},0)$, come si ricava imponendo $y=0$ e risolvendo la equazione $0=mx+c$; quando però $m=0$ la retta è orizzontale e si può dire che "incontra" l'asse $Ox$ solo all'infinito (per formalizzare opportunamente questa idea è necessario introdurre il piano proiettivo).

### Esempi

    ${\begin{aligned}f(x)&=2x+1,\qquad &&(m=2;\ c=1);\\f(x)&=x,\qquad &&(m=1;\ c=0);\\f(x)&=9,\qquad &&(m=0;\ c=9);\\f(x)&=-3x+4,\qquad &&(m=-3;\ c=4).\end{aligned}}$
Si osserva che al crescere di $m$ a partire da 0, la retta da orizzontale ruota in senso antiorario aumentando la propria pendenza, invece facendo assumere a $m$ valori negativi la retta ruota in senso orario. Cambiando la costante $c$ la retta trasla verso l'alto o verso il basso, rispettivamente all'aumentare oppure al diminuire di $c$ partendo da 0.

### Generalizzazioni

La definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali $x$ e $y$ a valori reali si intende una funzione della forma:
    $f(x,y)=mx+ny+c.$
Essa nello spazio tridimensionale riferito a una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale $Oz$ nel punto $(0,0,c)$, l'asse $Ox$ in $(-{\tfrac {c}{m}},0,0)$, o all'infinito se $m=0,$ e l'asse $Oy$ in $(0,-{\tfrac {c}{n}},0)$, o all'infinito se $n=0$.

## Trasformazione lineare

Per trasformazione lineare (o applicazione lineare), solitamente definita in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$, si intende una funzione che soddisfa le due proprietà:
    $f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad \forall x,y\in V,$
    $f(ax)=af(x),\qquad \forall a\in K,\quad \forall x\in V,$
rispettivamente di additività e omogeneità.
Equivalentemente si può chiedere che:
    $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})=a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2}),\qquad \forall x_{1},x_{2}\in V,\quad \forall a_{1},a_{2}\in K.$
In questa definizione $x$, $y$, $x_{1}$ e $x_{2}$ possono essere elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo $K$ o anche elementi arbitrari di un modulo su un anello commutativo $R$. La funzione $f$ a sua volta ha come codominio uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, $\mathbb {R} ^{n}$, $\mathbb {C} ^{n}$.
Per la funzione considerata inizialmente
    $f(x)=mx+c$
i due membri dell'uguaglianza sono
    $m(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})+c\qquad {\text{e}}\qquad a_{1}(mx_{1}+c)+a_{2}(mx_{2}+c)$
e questi sono uguali se e solo se $c=0$.
Dunque il termine "funzione lineare" viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine funzione affine, ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.

### Esempi

    ${\begin{aligned}f(x)&=x;\\f(x)&=-5x;\\f(x)&=(4x,0,-x);\\f(x,y)&=3x+7y;\\f(x,y)&=(x-4y,2x,9x+2y).\end{aligned}}$