# Dimostrazione della trascendenza di e

La prima dimostrazione della trascendenza di e sul campo dei numeri razionali $\mathbb {Q}$ fu completata nel 1873 ad opera di Charles Hermite. Successivamente David Hilbert (1862–1943) ne fornì una versione semplificata.

## La dimostrazione di Hilbert

Supponiamo per assurdo che ${\text{e}}$ sia un numero algebrico e cioè che esista un insieme finito di coefficienti razionali non nulli $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}$ che soddisfano l'equazione
    $c_{0}+c_{1}{\text{e}}+c_{2}{\text{e}}^{2}+\cdots +c_{n}{\text{e}}^{n}=0.$
A meno di moltiplicare per il denominatore comune dei coefficienti, non è restrittivo supporre che tali coefficienti siano interi. Si può inoltre supporre che $n$ sia il minimo intero per cui esistano dei tali coefficienti.
Per ogni coppia di interi $k$ e $l$, siano $G$ e $H$ le funzioni definite da
    $G(k,l):=\int _{l}^{+\infty }x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}{\text{e}}^{-x}\,{\text{d}}x,$
    $H(k,l):=\int _{0}^{l}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}{\text{e}}^{-x}\,{\text{d}}x.$
Per ogni $k$ consideriamo l'equazione ottenuta moltiplicando per $G(k,0)$ ambo i membri dell'equazione
    $c_{0}+c_{1}{\text{e}}+c_{2}{\text{e}}^{2}+\cdots +c_{n}{\text{e}}^{n}=0$
in modo da ottenere
    $G(k,0)(c_{0}+c_{1}{\text{e}}+c_{2}{\text{e}}^{2}+\cdots +c_{n}{\text{e}}^{n})=0.$
Dalla definizione di $G$ e $H$ discende che $G(k,0)=G(k,l)+H(k,l)$ per ogni coppia di interi $k$, $l$ e dunque l'equazione precedente può anche essere scritta nella forma
    $P_{1}(k)+P_{2}(k)=0$
dove
    $P_{1}(k)=c_{0}G(k,0)+c_{1}{\text{e}}G(k,1)+c_{2}{\text{e}}^{2}G(k,2)+\cdots +c_{n}{\text{e}}^{n}G(k,n)$
    $P_{2}(k)=c_{1}{\text{e}}H(k,1)+c_{2}{\text{e}}^{2}H(k,2)+\cdots +c_{n}{\text{e}}^{n}H(k,n).$
Per completare la dimostrazione basta dunque mostrare che per $k$ sufficientemente grande
    ${\frac {P_{1}(k)}{k!}}$
è un intero non-nullo mentre
    ${\frac {P_{2}(k)}{k!}}$
non è intero, in quanto tali fatti sono in contraddizione con l'equazione
    $P_{1}(k)+P_{2}(k)=0.$
Il fatto che il primo numero sia un intero risulta dall'identità
    $\int _{0}^{+\infty }x^{j}{\text{e}}^{-x}\,{\text{d}}x=j!$
che è valida per ogni intero positivo $j$ e può essere dimostrata per induzione usando l'integrazione per parti.
Per mostrare che per $k$ sufficientemente grande il secondo numero non è intero, è sufficiente provare che $\exists k_{0}\;:\;\forall k>k_{0}$ si ha
    $0<\left|{\frac {P_{2}(k)}{k!}}\right|<1.$
A questo scopo, notiamo dapprima che
    $x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}{\text{e}}^{-x}$
è il prodotto delle funzioni
    $[x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\quad$e$\quad (x-1)(x-2)\cdots (x-n){\text{e}}^{-x}.$
Osserviamo poi che, se denotiamo rispettivamente con $R$ e $S$ i massimi di
    $|x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|,\quad |(x-1)(x-2)\cdots (x-n){\text{e}}^{-x}|$
sull'intervallo $[0,n]$, si ha
    $|P_{2}(k)|\leq |c_{1}|{\text{e}}SR^{k}+|c_{2}|2{\text{e}}^{2}SR^{k}+\cdots +|c_{n}|n{\text{e}}^{n}SR^{k}\leq TR^{k}$
per un'opportuna costante $T$. Di conseguenza
    $\lim _{k\to +\infty }\left|{\frac {P_{2}(k)}{k!}}\right|\leq \lim _{k\to +\infty }{\frac {TR^{k}}{k!}}=0$
e dunque
    $\lim _{k\to +\infty }{\frac {P_{2}(k)}{k!}}=0.$
Quindi, per la definizione di limite, $\exists k_{0}\,:\,\forall k>k_{0}$ risulta
    $\left|{\frac {P_{2}(k)}{k!}}\right|<1.$
Per concludere la dimostrazione basta quindi mostrare che questo numero è diverso da zero, e ciò segue dalla minimalità di $n$ in quanto $\forall k$ risulta $H(k,n)\neq 0$.
Una strategia simile, differente dall'approccio originale di Lindemann, può essere usata per mostrare che π è trascendente.