# Buca di potenziale

In meccanica quantistica la buca di potenziale è un potenziale unidimensionale che commuta tra due valori, in corrispondenza di un certo intervallo $0<x<a$; il più piccolo dei due livelli di potenziale può essere sempre posto uguale a zero. Una funzione del tipo:
    $V(x)={\begin{cases}0&0<x<a\\\infty &x<0;\,x>a\end{cases}}$
costituisce una buca di potenziale infinita, mentre
    $V(x)={\begin{cases}0&0<x<a\\V_{0}&x<0;\,x>a\end{cases}}$
definisce una buca di potenziale finita.
In modo simile, si possono definire delle buche di potenziale in due o tre dimensioni.

## Buca di potenziale infinita

L'equazione di Schrödinger stazionaria in una dimensione è in generale
    $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\,\psi (x)=E\,\psi (x).$
dove m è la massa della particella, E l'energia dello stato $\psi$.
Come mostrato in figura, il potenziale divide la regione in tre zone: la prima per $x<0$, la seconda $0<x<a$ e la terza per $x>a$; allora, il problema va trattato in ognuna delle tre zone e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza dei punti di separazione.
Chiaramente nella zona $x<0$ e nella zona $x>a$ l'unica soluzione per cui $V(x)\to \infty$ si ha per
    $\psi (x)=0,\qquad x<0,x>a.$
Nella zona $0<x<a$, l'equazione di Schrödinger, per $V(x)=0$, coincide con quella di una particella libera:
    $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\,\psi (x),$
in cui le energie devono essere positive, $E>0$, in modo da avere soluzioni continue e normalizzabili. Possiamo, così, introdurre il vettore d'onda k, tale che $k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$, in modo da riscrivere l'equazione di Schrödinger come:
    ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=-k^{2}\,\psi (x)$
Quest'ultima ha soluzione generale in termini degli esponenziali complessi $e^{\pm ikx}$:
    $\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$
con A, B coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Ma per il nostro problema non esistono stati con $E<0$. Quindi imponendo le condizioni al contorno:
    $\psi (0)=\psi (a)=0$
otteniamo
    $\psi (x=0)=A+B=0$
cioè $A=-B$
Inoltre per
    $\psi (x=a)=Ae^{ika}+Be^{-ika}=0$
da cui sostituendo le espressioni reali tramite la formula di Eulero:
    $ka=n\pi$
Dunque le due soluzioni corrispondono a quest'unica soluzione:
    $\psi (x)=2A\sin {(kx)}$
dove $k={\frac {n\pi }{a}}$ a cui corrisponde una quantizzazione dell'energia, cioè la discretizzazione dell'energia della particella dipendente dal numero n = 1, 2, ... intero positivo:
    $k^{2}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\;\;\;\longrightarrow \;\;\;E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}$
Le autofunzioni sono quindi:
    $\psi _{n}(x)=2A_{n}\sin {(k_{n}x)}$
Imponendo la normalizzazione degli stati, si ottiene la costante A:
    $\int _{-\infty }^{+\infty }dx\,{|\psi (x)|}^{2}=1\;\;\;\Longrightarrow \;\;\;\int _{0}^{a}dx\,4{|A_{n}|}^{2}\sin ^{2}{(k_{n}x)}=1$
dalla quale:
    $2a{|A|}^{2}=1$
    $A={\frac {1}{\sqrt {2a}}}$
Le autofunzioni normalizzate
    $\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin \left({\frac {n\pi }{a}}x\right)$
costituiscono una base ortonormale per lo spazio di Hilbert ${\mathcal {L}}^{2}(0,a)$, essendo:
    $\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm}$
Lo stato fondamentale corrisponde alla scelta n = 1. Seguono gli stati eccitati (vedi figura).
La soluzione completa del problema è esprimibile come sviluppo di autofunzioni dell'energia:
    $\Psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\psi _{n}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}{\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin(kx)$
dove i coefficienti $c_{n}$ sono dati da:
    $\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\Psi (x)\,dx=\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\psi _{m}(x)\,dx=c_{n}$
i cui moduli quadri rappresentano la probabilità che una misura dell'energia fornisca come risultato:
    $E=E_{n}$
Il valore medio dell'energia si ricava dalla:
    $\langle H\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x)H\Psi (x)\,dx=\sum _{n}c_{n}E_{n}\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x)\psi _{n}(x)\,dx=\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}$
L'evoluzione temporale della funzione d'onda è la soluzione dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:
    $i\hbar {\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=H\Psi (x,t)$
e quindi è:
    $\Psi (x,t)=\sum _{n}c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }\psi _{n}(x)$

## Buca di potenziale finita

Ridefiniamo la scala delle coordinate in modo che il potenziale sia simmetrico per riflessioni, del tipo $x\to -x$, e ridefiniamo la scala delle energie in modo da avere:
    $V(x)={\begin{cases}-V_{0}&\vert x\vert <a\\0&\vert x\vert >a\end{cases}}.$
In questo caso l'equazione di Schrödinger nelle zone $\vert x\vert >a$ e $\vert x\vert <a$ è del tipo:
    ${\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+|E|\,\psi (x)=0&\,\vert x\vert >a\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)-(V_{0}-|E|)\,\psi (x)=0&\,\vert x\vert <a\end{cases}}$
Poiché
    $V\left(x\right)=V\left(-x\right),$
l'operatore hamiltoniano commuta con l'operatore parità:
    $\left[H,P\right]=0$
Le funzioni d'onda soluzione dell'equazione di Schrödinger sono autofunzioni dell'energia e della parità. Poniamo le due quantità reali:
    $\lambda ^{2}={\frac {2m|E|}{\hbar ^{2}}}$
    $q^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}$
l'equazione di Schrödinger si riscrive:
    ${\begin{cases}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)-\lambda ^{2}\psi (x)=0&\,|x|>a\\{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+q^{2}\psi (x)=0&\,|x|<a\end{cases}}$
Esplicitamente le funzioni d'onda sono date da:
    $\psi (x)={\begin{cases}e^{i\lambda x}+Be^{-i\lambda x}&\,x<-a\\C\psi ^{+}(x)+D\psi ^{-}(x)&\,-a\leq x\leq a\\De^{i\lambda x}&\,x>a\end{cases}}$
dove le autofunzioni:
    $\psi ^{+}\left(x\right)=\psi ^{+}\left(-x\right)$
sono a parità pari, mentre
    $\psi ^{-}\left(x\right)=-\psi ^{-}\left(-x\right)$
sono a parità dispari.
Trattiamo il caso delle autofunzioni pari prendendo gli esponenziali reali:
    $\psi ^{+}(x)={\begin{cases}Be^{\lambda x}&\,x<-a\\C\cos(qx)&\,-a\leq x\leq a\\Be^{-\lambda x}&\,x>a\end{cases}}$
per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in $x=-a$ perché la stessa condizione sia soddisfatta in $x=a$:
    $\psi ^{+}(x)={\begin{cases}Be^{-\lambda a}=C\cos(qa)\\B\lambda e^{-\lambda a}=Cq\sin(qa)\end{cases}}$
da queste due otteniamo:
    $q\tan(qa)=\lambda$
Questa equazione può essere risolta graficamente. Definiamo:
    $y=qa,\qquad y_{0}^{2}={\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}$
da cui:
    $\lambda ^{2}\,a^{2}=y_{0}^{2}-q^{2}\,a^{2}=y_{0}^{2}-y^{2}{\text{.}}$
Rappresentando a grafico i due membri dell'equazione:
    $\tan y={\frac {\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}{y}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}$
otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.
Allo stesso modo nel caso delle autofunzioni dispari:
    $\psi ^{-}(x)={\begin{cases}B^{\prime }e^{\lambda x}&\,x<-a\\C^{\prime }\sin(qx)&\,-a\leq x\leq a\\B^{\prime }e^{-\lambda x}&\,x>a\end{cases}}$
per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in $x=a$ perché la stessa condizione sia soddisfatta in $x=-a$:
    $\psi ^{-}(x)={\begin{cases}B^{\prime }e^{-\lambda a}=-C^{\prime }\sin(qa)\\B^{\prime }\lambda e^{-\lambda a}=C^{\prime }q\cos(qa)\end{cases}}$
da queste due otteniamo:
    $q\cot(qa)=-\lambda$
La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica, graficando i due membri dell'equazione:
    $-\cot y={\frac {\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}{y}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}$
che possiamo riscrivere nella forma:
    $\tan y=-{\frac {y}{\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}$
Otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.
Ad esempio, per $y_{0}=6$, le soluzioni grafiche sono mostrate in figura. Notiamo che ogni autostato è doppiamente degenere.
Le autofunzioni sono quindi:
    $\psi _{E}(x)={\begin{cases}e^{-\lambda |x|}&\,|x|>a\\\psi ^{+}(x)=\cos(qx)&\,|x|\leq a\\\psi ^{-}(x)=\sin(qx)&\,|x|\leq a\end{cases}}$
dove $\lambda$ e $q$ sono definite sopra e legate tra loro.