# Forma modulare

In matematica, una forma modulare è una funzione olomorfa sul semipiano superiore complesso che verifica un'equazione funzionale rispetto all'azione di particolari sottogruppi del gruppo modulare e che soddisfa alcune condizioni di crescita.
La teoria delle forme modulari è parte dell'analisi complessa ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della teoria dei numeri. Le forme modulari compaiono anche in altre aree della matematica e della fisica teorica, come la topologia algebrica e la teoria delle stringhe.
La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle forme automorfe.

## Descrizione informale

Le forme modulari sono oggetti matematici con infiniti gradi di simmetria (rotazione, traslazione). La caratteristica principale delle forme modulari (che determina poi gli infiniti gradi di simmetria) è che esse sono espresse attraverso quattro dimensioni, le cui coordinate sono date da numeri complessi. Infatti se ad un oggetto comune (come un quadrato) corrispondono due dimensioni $(x,y)$, ad una forma modulare corrispondono sì due dimensioni, ma a ciascuna di queste corrisponde un piano complesso, ovvero un piano definito da un asse reale e uno immaginario; avremo quindi il piano $(X_{r};X_{i})$ e $(Y_{r};Y_{i})$. Questo rende impossibile disegnare il grafico di una forma modulare.

## Forme modulari per SL$_2$(Z)

Una forma modulare di peso $k$ per il gruppo
    ${\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )=\left\{\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right),a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ad-bc=1\right\}$
è una funzione $f$ definita sul semipiano superiore complesso ${\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} ,{\text{Im}}(z)>0\}$ a valori nell'insieme dei numeri complessi che soddisfa tre condizioni:
    (1) è una funzione olomorfa su ${\mathcal {H}}$;
    (2) per ogni $z$ in ${\mathcal {H}}$ e per ogni matrice $\gamma =\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)$ in ${\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )$ vale
       $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$
    (3) è olomorfa alla cuspide, cioè $f$ deve essere olomorfa per $z\to i\infty$ (cioè per ${\text{Im}}(z)\to +\infty$). Il termine cuspide è dovuto agli aspetti geometrici della teoria.
Il peso $k$ è solitamente un numero intero e l'insieme delle forme modulari di peso $k$ rispetto a ${\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb {C}$ e si indica con ${\mathcal {M}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } ))$.
La seconda condizione, detta anche condizione di modularità debole, può essere riformulata. Siano
    $S=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)$
    $T=\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)$
Poiché le matrici $T$ e $S$ generano il gruppo ${\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )$, allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:
    $f(-1/z)=z^{k}f(z)\,$
    $f(z+1)=f(z)\,$
Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono funzioni periodiche di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in serie di Fourier. Da questo segue che per $k$ dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.
A volte, invece di ${\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )$, si considera il gruppo modulare, cioè ${\text{PSL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )$, poiché così l'azione su ${\mathcal {H}}$ è fedele.

### Sviluppo in serie di Fourier

Dalla condizione di periodicità delle forme modulari, segue che per ogni forma modulare $f$ esiste uno sviluppo in serie di Fourier
    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n},$
dove $q=e^{2\pi iz}$. I coefficienti $a_{n}$ sono detti coefficienti di Fourier di $f$ e lo sviluppo in serie è detto spesso, in questo contesto, $q$-sviluppo in serie di $f$.

### Forme cuspidali

Una forma cuspidale di peso $k$ è una forma modulare $f$ di peso $k$ che alle tre precedenti condizioni aggiunge quella ulteriore di "annullarsi alla cuspide", cioè
    (4) $a_{0}=0$
dove $a_{0}$ è il primo coefficiente del $q$-sviluppo di $f$. L'insieme delle forme cuspidali è un $\mathbb {C}$-sottospazio vettoriale dello spazio delle forme modulari ${\mathcal {M}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } ))$ e si indica con ${\mathcal {S}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } ))$.

### Condizioni di crescita

La condizione (3) della definizione di forma modulare è equivalente alla seguente condizione di crescita sui coefficienti $a_{n}$ del $q$-sviluppo di una funzione $f$ definita sul semipiano superiore complesso a valori nei numeri complessi che soddisfa le precedenti condizioni (1) e (2)
    (3') esistono due costanti positive $C$ e $b$ tali che $|a_{n}|<Cn^{b}$ per ogni $n>0$.
Questa condizione risulta fondamentale per generalizzare il concetto di forma cuspidale al contesto delle forme automorfe.

### Formule della dimensione

Utilizzando la teoria delle superfici di Riemann e il teorema di Riemann-Roch è possibile calcolare la dimensione degli spazi vettoriali delle forme modulari e cuspidali di peso $k$. Dato $k$ intero, si ha
    $\dim _{\mathbb {C} }({\mathcal {S}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )))={\begin{cases}0&{\text{se }}k{\text{ dispari}}{\text{ oppure }}k<4\\\lfloor {\frac {k}{12}}\rfloor -1&{\text{se }}k\geq 4{\text{ e }}k\equiv 2\mod 12\\\lfloor {\frac {k}{12}}\rfloor &{\text{altrimenti}},\end{cases}}$
    $\dim _{\mathbb {C} }({\mathcal {M}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )))={\begin{cases}0&{\text{se }}k{\text{ dispari}}{\text{ oppure }}k<4\\\dim _{\mathbb {C} }({\mathcal {S}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )))+1&{\text{altrimenti}},\end{cases}}$
dove $\lfloor \cdot \rfloor$ è la funzione parte intera.

## La L-serie e il legame con le curve ellittiche

Ad ogni forma modulare è possibile associare una L-serie. Grazie al teorema di Taniyama-Shimura dimostrato da Andrew Wiles, sappiamo che ad ogni L-serie di una curva ellittica corrisponde una L-serie di una forma modulare.

### Le dimostrazioni conseguenti

Sulla corrispondenza tra curve ellittiche e forme modulari si basa (tra le altre) anche la dimostrazione dell'Ultimo teorema di Fermat, completata da Wiles nel 1995.