# Composizione di funzioni

In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione. Più precisamente, una funzione $f$ tra due insiemi $X$ e $Y$ associa ogni elemento di $X$ a uno di $Y$: in presenza di un'altra funzione $g$ che associa ogni elemento di $Y$ a un elemento di un altro insieme $Z$, si definisce la composizione di $f$ e $g$ come la funzione che associa ogni elemento di $X$ a uno di $Z$ usando prima $f$ e poi $g$. Il simbolo Unicode dell'operatore è ∘ (U+2218).

## Definizione

Formalmente, date due funzioni $f\colon X\to Y$ e $g\colon Y\to Z$ definiamo la funzione composta:
    $g\circ f\colon X\rightarrow Z$
    $(g\circ f)(x)=g(f(x))\ \forall x\in X$
applicando prima $f$ ad $x$ e quindi applicando $g$ al risultato $f(x)$.
Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo $t$ sia data da una funzione $h(t)$ e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza $x$ sia data da un'altra funzione $c(x)$. Allora $(c\circ h)(t)=c(h(t))$ descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo $t$.
Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere $xfg$ invece di $g(f(x))$.
Per comporre due funzioni è strettamente necessario che il dominio di $g$ coincida con il codominio di $f$. In alcuni ambiti, tuttavia, identificando impropriamente due funzioni che hanno la stessa legge di applicazione, ma diversi domini e codomini, si ritiene sufficiente che l'immagine di $f$ e il dominio di $g$ abbiano un'intersezione non vuota.

## Proprietà

La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se $f$, $g$ e $h$ sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$. Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.
La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.
L'insieme delle funzioni biettive $f\colon X\to X$, con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità $(f(x)=x$ per ogni $x$) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive. Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di $X$. Se l'insieme $X$ contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.

## Derivata delle funzioni composte

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione "esterna" moltiplicata per la derivata della funzione "interna":
    $D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$
dove le notazioni $D[f(x)]$ e $f'(x)$ indicano il medesimo significato di derivata.
La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:
    $\mathbf {x} (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{n}(t))\quad t\in \mathbb {R}$
è un vettore di $\mathbb {R} ^{n}$ le cui componenti sono funzioni derivabili:
    $\mathbf {x} '(t)=(x'_{1}(t),x'_{2}(t),\dots ,x'_{n}(t))$
e se $f$ è una funzione differenziabile in $\mathbf {x} (t)$, allora la funzione composta:
    $F(t)=f(\mathbf {x} (t))$
è differenziabile nella variabile $t$ e si ha:
    $F'(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(\mathbf {x} (t))}{\partial x_{i}}}x'_{i}(t)=(\nabla F(\mathbf {x} ),\mathbf {x} '(t))$
dove $\nabla$ è il gradiente di $f$ e $(,)$ è il prodotto scalare euclideo standard.
Infine, se $\mathbf {f}$ e $\mathbf {g}$ sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:
    $J[(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )(x)]=J[\mathbf {f} (\mathbf {g} (x))]\cdot J[\mathbf {g} (x)]$
dove $\cdot$ è la moltiplicazione di matrici e $J[\mathbf {f} (x)]$ è la matrice jacobiana di $\mathbf {f}$.

## Composizioni iterate

Una funzione $f\colon X\to X$ (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa $n$ volte, ed il risultato, detto iterata $n$-esima di $f$, può essere scritto $f^{n}$ quando non genera ambiguità. Ad esempio con $\sin ^{2}(x)$ si denota comunemente il quadrato del seno di $x$, cioè $\sin(x)^{2}=\sin(x)\cdot \sin(x)$, anziché il valore in $x$ della composizione del seno con se stesso, cioè $(\sin \circ \sin )(x)=\sin(\sin(x))$.
Lo studio delle composizioni iterate di una funzione è argomento comune nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e in particolare nella definizione dei frattali, che si possono trovare iterando infinite volte una funzione.