# Determinante (algebra)

In algebra lineare, il determinante di una matrice quadrata è un numero che descrive alcune proprietà algebriche e geometriche della matrice. Si tratta di un potente strumento usato in vari settori della matematica, ad esempio nello studio dei sistemi di equazioni lineari, nel calcolo infinitesimale a più dimensioni (ad esempio nello Jacobiano), nel calcolo tensoriale, nella geometria differenziale, o nella teoria combinatoria.
Il significato geometrico principale del determinante si ottiene interpretando la matrice quadrata $A$ di ordine $n$ come trasformazione lineare di uno spazio vettoriale a $n$ dimensioni: con questa interpretazione, il valore assoluto di $\det(A)$ è il fattore con cui vengono modificati i volumi degli oggetti contenuti nello spazio (anche se ciò è improprio senza considerare il significato di misura). Se è diverso da zero, il segno del determinante indica inoltre se la trasformazione $A$ preserva o cambia l'orientazione dello spazio rispetto agli assi di riferimento.
Esso viene generalmente indicato con $\det(A)$ e, a volte, con $|A|$. Quest'ultima notazione è più compatta, ma anche più ambigua, in quanto utilizzata talvolta per descrivere una norma della matrice.

## Definizione

Il determinante di una matrice 2 × 2 è pari a:
    $\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc.$
Per definire il determinante di una generica matrice quadrata $n\times n$ si possono seguire due approcci: quello assiomatico, che definisce il determinante come l'unica quantità che soddisfa alcuni assiomi, e quello costruttivo tramite una formula esplicita. Esistono poi vari metodi di calcolo che risultano più agevoli a seconda del contesto.

### Definizione tramite assiomi

Sia $K^{n\times n}$ lo spazio vettoriale delle matrici quadrate $n\times n$ a valori nel campo $K$ (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).
Il determinante è l'unica funzione $\det \colon K^{n\times n}\to K$ avente le proprietà seguenti:
* $\det I=1$ dove la matrice $I$ è la matrice identità di ordine $n$.
* Si comporta nel modo seguente rispetto all'algoritmo di Gauss-Jordan:
** se $B$ è ottenuta scambiando due righe o due colonne di $A$, allora $\det B=-\det A;$
** se $B$ è ottenuta moltiplicando una riga o una colonna di $A$ per $k\in K$, allora $\det B=k\det A;$
** se $B$ è ottenuta sommando un multiplo di una riga o di una colonna rispettivamente di $A$ a un'altra, allora $\det B=\det A.$
Le proprietà elencate hanno un significato geometrico: sono le proprietà che deve verificare una funzione il cui valore assoluto è il volume del poliedro individuato dai vettori riga della matrice $B$ e il cui segno è positivo se e solo se tali vettori sono equiorientati alla base canonica.

### Definizione costruttiva

Il determinante di una matrice $A_{n\times n}$ può essere definito in un modo più costruttivo, tramite la formula di Leibniz:
    $\det(A):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}.$
Nella formula, $S_{n}$ è l'insieme di tutte le permutazioni $\sigma$ dell'insieme numerico $\{1,2,\ldots ,n\}$, $\operatorname {sgn}(\sigma )$ denota il segno della permutazione ($+1$ se $\sigma$ è una permutazione pari, $-1$ se è dispari) e $\sigma (i)$ indica l'$i$-esimo elemento della permutazione.
Da questa formula si vede che il numero di elementi della sommatoria è uguale a $n!$ (la cardinalità di $S_{n}$).
Per esempio, il determinante di una matrice $3\times 3$ (cioè $n=3$) è
    ${\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}&=\operatorname {sgn}([1,2,3])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,2,3]_{i}}+\operatorname {sgn}([1,3,2])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,3,2]_{i}}+\operatorname {sgn}([2,1,3])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,1,3]_{i}}+\operatorname {sgn}([2,3,1])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,3,1]_{i}}+\operatorname {sgn}([3,1,2])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,1,2]_{i}}+\operatorname {sgn}([3,2,1])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,2,1]_{i}}\\&=\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,2,3]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,3,2]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,1,3]_{i}}+\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,3,1]_{i}}+\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,1,2]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,2,1]_{i}}\\&=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}.\end{aligned}}$
In particolare:
* Se $n=1$, il determinante di $A$ è semplicemente:
       $\det(A):=a_{1,1}.$
* Se $n=2$, si ottiene la formula già vista:
       $\det(A):=a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2}.$
* Se $n=3$, si ottiene:
       $\det(A):=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}.$
Quest'ultima formula può essere memorizzata tramite la regola di Sarrus (che non è però estendibile ai casi $n>3$).
La complessità della definizione costruttiva (comprese la generazione delle permutazioni) è elevata:
    $n!\cdot (2n+1)=O(N\cdot N!).$

## Metodi di calcolo

La definizione costruttiva del determinante è spesso complicata da usare per un calcolo concreto, perché si basa su una somma di ben $n!$ addendi. Esistono altri algoritmi che consentono di calcolare il determinante più facilmente. Ciascun metodo ha una efficienza variabile, dipendente dalla grandezza della matrice e dalla presenza di zeri.

### Matrici quadrate di ordine 2

Il determinante di una matrice 2 × 2 è:
    $\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:=ad-bc.$
Il valore assoluto di questa espressione è uguale all'area del parallelogramma con vertici in $(0,0),(a,c),(b,d)$ e $(a+b,c+d)$. Il segno del determinante (se diverso da zero) dipende invece dall'ordine ciclico con cui compaiono i vertici del parallelogramma (il segno è negativo se il parallelogramma è stato "ribaltato", e positivo altrimenti).
Come spiegato più sotto, questa proprietà geometrica si estende anche in dimensioni maggiori di 2: il determinante di una matrice $3\times 3$ è ad esempio il volume del poliedro i cui vertici si ricavano dalle colonne della matrice con lo stesso procedimento visto.

### Matrici quadrate di ordine 3

Il determinante di una matrice 3 × 3 è:
    $\det {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb.$
Un metodo mnemonico per ricordare questa formula, espresso dalla regola di Sarrus (questo metodo non si estende a matrici più grandi), prevede di calcolare i prodotti dei termini sulle diagonali "continue". Ripetendo a destra della matrice le sue prime due colonne:
    ${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}}$
I prodotti delle componenti sulle 3 "diagonali" che partono dall'alto a sinistra (diagonali principali) sono $aei$, $bfg$ e $cdh$, mentre sulle 3 "diagonali" che partono dal basso a sinistra (diagonali secondarie) si trovano $gec$, $hfa$, $idb$. Il determinante della matrice è esattamente la differenza tra la somma dei primi tre termini $(aei+bfg+cdh)$ e la somma degli ultimi tre $(gec+hfa+idb)$.
Notare che il valore del determinante equivale in questo caso al prodotto misto tra i vettori:
    ${\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}.$
e il suo valore assoluto è uguale al volume del parallelepipedo che ha i tre vettori come spigoli.

### Sviluppo di Laplace

Lo sviluppo di Laplace è un metodo di calcolo del determinante, che risulta efficiente solo per matrici molto piccole o contenenti un gran numero di zeri. Si procede scegliendo una riga, la $i$-esima, tramite la formula:
    $\det(A)=\sum _{j=1}^{n}\ a_{i,j}C_{i,j},$
dove $C_{i,j}$ è il complemento algebrico della coppia $(i,j)$, cioè $C_{i,j}$ è data da $(-1)^{i+j}$ per il determinante (minore) di ordine $n-1$ ottenuto dalla matrice $A$ eliminando la riga $i$-esima e la colonna $j$-esima.
Esiste uno sviluppo analogo anche lungo la $j$-esima colonna.

### Algoritmo di Gauss

La definizione assiomatica fornisce un altro utile strumento di calcolo del determinante, che si basa su questi due principi:
* Il determinante di una matrice triangolare è semplicemente il prodotto degli elementi sulla diagonale, cioè:
       $\det(A)=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.$
* Usando l'algoritmo di Gauss, è possibile trasformare ogni matrice in una matrice triangolare attraverso operazioni elementari su righe e colonne della stessa ; il cui effetto sul determinante è prescritto dagli assiomi.

### Esempio

Supponiamo di voler calcolare il determinante di:
    $A={\begin{pmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{pmatrix}}.$
Si può procedere direttamente tramite la definizione costruttiva:
    ${\begin{aligned}\det(A)&=(-2)\cdot 1\cdot (-1)+(-3)\cdot 0\cdot (-1)+2\cdot 3\cdot 2-(-3)\cdot 1\cdot 2-(-2)\cdot 3\cdot 0-2\cdot (-1)\cdot (-1)\\&=2+0+12-(-6)-0-2=18.\end{aligned}}$
Alternativamente si può utilizzare lo sviluppo di Laplace secondo una riga o una colonna. Conviene scegliere una riga o una colonna con molti zeri, in modo da ridurre gli addendi dello sviluppo; nel nostro caso sviluppiamo secondo la seconda colonna:
    ${\begin{aligned}\det(A)&=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \det {\begin{pmatrix}-1&3\\2&-1\end{pmatrix}}+(-1)^{2+2}\cdot 1\cdot \det {\begin{pmatrix}-2&-3\\2&-1\end{pmatrix}}\\&=(-2)\cdot ((-1)\cdot (-1)-2\cdot 3)+1\cdot ((-2)\cdot (-1)-2\cdot (-3))=(-2)(-5)+8=18.\end{aligned}}$
Lo sviluppo di Laplace può essere combinato con alcune mosse di Gauss. Ad esempio qui risulta particolarmente vantaggioso sommare la seconda colonna alla prima:
    ${\begin{pmatrix}0&2&-3\\0&1&3\\2&0&-1\end{pmatrix}}.$
Questa mossa non cambia il determinante. Sviluppando lungo la prima colonna si ottiene quindi ancora:
    $\det(A)=(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot \det {\begin{pmatrix}2&-3\\1&3\end{pmatrix}}=2\cdot (2\cdot 3-1\cdot (-3))=2\cdot 9=18.$

## Proprietà
### Proprietà elementari

Dalle proprietà elencate nella definizione assiomatica, è facile dedurre che:
* Se tutti gli elementi di una riga (o colonna) sono nulli, allora $\det(A)=0.$
* Se $A$ ha due righe (o colonne) eguali, o proporzionali, allora $\det(A)=0.$
* Se una riga (o colonna) è combinazione lineare di due o più altre righe (o colonne) a essa parallele, allora $\det(A)=0.$
* Se $A$ viene modificata tramite mosse di Gauss sulle colonne (invece che sulle righe), l'effetto è sempre quello descritto nella definizione assiomatica.
* In particolare, scambiando tra di loro due righe o due colonne il determinante cambia segno, restando uguale in valore assoluto. Ne consegue che un numero pari di scambi non varia né il segno né il modulo del determinante.
* Se una riga (o una colonna) è somma di due righe (o colonne), $\det(A)$ è la somma dei due determinanti che si ottengono sostituendo a quella riga (o colonna) rispettivamente le due righe (o colonne) di cui è somma.

### Moltiplicazione di matrici

Il determinante è una funzione moltiplicativa, nel senso che vale il teorema di Binet:
    $\det(AB)=\det(A)\det(B).$
Una matrice quadrata $A$ con valori in un campo $K$ è invertibile se e solo se $\det(A)\neq 0$. In caso affermativo vale l'uguaglianza:
    $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.$
Le proprietà appena elencate mostrano che l'applicazione:
    $\det \colon \mathrm {GL} _{n}(K)\to K^{*}$
dal gruppo generale lineare negli elementi non nulli di $K$ è un omomorfismo di gruppi.
Come conseguenza del teorema di Binet, è facile verificare che $\det(rA)=r^{n}\det(A)$, dove $r$ è uno scalare. Infatti, se $I$ è la matrice identità di tipo $n\times n$, poiché $\det(rI)=r^{n}$, si ha:
    $\det(rA)=\det(rI\cdot A)=r^{n}\det(A).$

### Trasposte, matrici simili

Una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante:
    $\det(A)=\det(A^{T}).$
Se $A$ e $B$ sono simili (cioè esiste una matrice invertibile $X$ tale che $A=X^{-1}BX$) allora per il teorema di Binet $\det(A)=\det(B)$
Questo significa che il determinante è un invariante per similitudine. Da questo segue che il determinante di una trasformazione lineare $f\colon V\to V$ è ben definito (non dipende dalla scelta di una base per lo spazio vettoriale $V$).
D'altra parte, esistono matrici con lo stesso determinante che non sono simili.
Nel campo dei numeri reali, il segno del determinante è anche invariante per congruenza.

### Autovalori

Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi nella diagonale.
Se $A$ è di tipo $n\times n$ con valori reali o complessi e ha tutti gli autovalori $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ nel campo (contati con molteplicità), allora:
    $\det(A)=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.$
Questa uguaglianza segue dal fatto che $A$ è sempre simile alla sua forma normale di Jordan, che è una matrice triangolare superiore con gli autovalori sulla diagonale principale.
Dal collegamento fra determinante e autovalori si può derivare una relazione fra la funzione traccia, la funzione esponenziale e il determinante:
    $\det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}.$

### Derivata

Il determinante può considerarsi una funzione polinomiale:
    $\det \colon \mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R} ,$
quindi essa è differenziabile rispetto a ogni variabile corrispondente al valore che può assumere in una casella e per qualunque suo valore. Il suo differenziale può essere espresso mediante la formula di Jacobi:
    $d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {cof^{T}} (A)dA),$
dove $\operatorname {cof^{T}} (A)$ denota la trasposta della matrice dei cofattori (detta anche dei complementi algebrici) di $A$, mentre $\operatorname {tr} (A)$ ne denota la traccia. In particolare, se $A$ è invertibile si ha:
    $d\det(A)=\det(A)\operatorname {tr} (A^{-1}dA),$
o, più colloquialmente, se i valori della matrice $X$ sono sufficientemente piccoli:
    $\det(A+X)-\det(A)\approx \det(A)\operatorname {tr} (A^{-1}X).$
Il caso particolare di $A$ coincidente con la matrice identità $I$ comporta:
    $\det(I+X)\approx 1+\operatorname {tr} (X).$

## Applicazioni
### Sistemi lineari

Il determinante è utile a calcolare il rango di una matrice e quindi a determinare se un sistema di equazioni lineari ha soluzione, tramite il teorema di Rouché-Capelli. Quando il sistema ha una sola soluzione, questa può essere esplicitata usando il determinante, mediante la regola di Cramer.

### Matrici e trasformazioni invertibili

Una matrice è detta singolare se ha determinante nullo. Una matrice singolare non è mai invertibile, e se è definita su un campo vale anche l'inverso: una matrice non singolare è sempre invertibile.
Una trasformazione lineare del piano, dello spazio, o più in generale di uno spazio euclideo o vettoriale (di dimensione finita) $f\colon V\to V$ è rappresentata (dopo aver scelto una base) da una matrice quadrata $A.$ Il determinante è una quantità che non dipende dalla base scelta, e quindi solo dalla funzione $f$: si può quindi parlare di determinante di $f$, che si indica con $\det(f)$.
Le seguenti affermazioni su $f$ sono equivalenti:
    $f$ è una corrispondenza biunivoca $\Leftrightarrow$ $f$ è un isomorfismo $\Leftrightarrow$ $f$ è iniettiva $\Leftrightarrow$ $f$ è suriettiva $\Leftrightarrow$ $\det(A)=\det(f)\neq 0.$
Quindi ciascuna di queste affermazioni equivalenti è vera se e solo se il determinante non è zero.

### Autovalori e autovettori

Il determinante consente di trovare gli autovalori di una matrice quadrata $A$ mediante il suo polinomio caratteristico:
    $p(x)=\det(A-xI),$
dove $I$ è la matrice identità avente stesso ordine di $A.$

### Basi, sistemi di riferimento

Dati $n$ vettori nello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$, sia $A$ la matrice avente come colonne questi vettori. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
    i vettori sono indipendenti $\Leftrightarrow$ i vettori generano $\mathbb {R} ^{n}$ $\Leftrightarrow$ i vettori formano una base $\Leftrightarrow$ $\det(A)\neq 0.$
Se gli $n$ vettori formano una base, allora il segno di $\det(A)$ determina l'orientazione della base: se positivo, la base forma un sistema di riferimento destrorso, mentre se è negativo si parla di sistema di riferimento sinistrorso (in analogia con la regola della mano destra).

### Volumi

Il valore assoluto $|\det A|$ del determinante è uguale al volume del parallelepipedo sotteso dai vettori dati dalle colonne di $A$ (il parallelepipedo è in realtà un parallelogramma se $n=2$, e un solido di dimensione $n$ in generale). Più in generale, data una trasformazione lineare:
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$
rappresentata da una matrice $A$, e un qualsiasi sottoinsieme $S$ di $\mathbb {R} ^{n}$ misurabile secondo Lebesgue, il volume dell'immagine $f(S)$ è dato da:
    $\left|\det(A)\right|\cdot \operatorname {volume} (S).$
Ancora più in generale, se la trasformazione lineare $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ è rappresentata da una matrice $A$ di tipo $m\times n$ e $S$ è un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{n}$ misurabile secondo Lebesgue, allora il volume di $f(S)$ è dato da:
    ${\sqrt {\det(A^{T}A)}}\cdot \operatorname {volume} (S).$

## Generalizzazioni
### Pfaffiano

Lo pfaffiano è un analogo del determinante per matrici antisimmetriche di tipo $2n\times 2n.$ Si tratta di un polinomio di grado $n$ il cui quadrato è uguale al determinante della matrice.

### Infinite dimensioni

Per gli spazi a infinite dimensioni non si trova alcuna generalizzazione dei determinanti e della nozione di volume. Sono possibili svariati approcci, inclusa la utilizzazione dell'estensione della traccia di una matrice.

### Determinante di un endomorfismo

Se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$ sul campo $\mathbb {K} ,$ allora è possibile definire il determinante di un endomorfismo $f\colon V\to V$ direttamente, senza fare ricorso a una base di $V$. Sia $\Lambda ^{n}(V)$ lo spazio vettoriale degli $n-$vettori di $V$. Consideriamo l'endomorfismo $T_{f}$ di $\Lambda ^{n}(V)$ definito di modo che:
    $T_{f}(x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{n})=f(x_{1})\wedge f(x_{2})\wedge \cdots \wedge f(x_{n}),$
per ogni $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in V$, ed esteso per linearità a tutto $\Lambda ^{n}(V)$. Poiché $\Lambda ^{n}(V)$ ha dimensione uguale a 1 risulta che $T_{f}$ altro non è che la moltiplicazione per uno scalare. Quindi possiamo definire il determinante di $f$ attraverso l'equazione:
    $f(x_{1})\wedge f(x_{2})\wedge \cdots \wedge f(x_{n})=\det(f)(x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{n}),$
per ogni $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in V$. A questo punto seguono tutte le proprietà del determinante, in particolare è immediato che $\det(\operatorname {id} )=1$ dove $\operatorname {id}$ è l'endomorfismo identità di $V$. Se $g$ è un altro endomorfismo di $V,$ allora:
    ${\begin{aligned}\det(g\circ f)(x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{n})&=(g\circ f)(x_{1})\wedge (g\circ f)(x_{2})\wedge \cdots \wedge (g\circ f)(x_{n})\\&=\det(g)(f(x_{1})\wedge f(x_{2})\wedge \cdots \wedge f(x_{n}))=\det(f)\det(g)(x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{n}),\end{aligned}}$
da cui $\det(g\circ f)=\det(g)\det(f)$. Se $f$ non è un isomorfismo allora l'immagine di $f$ ha dimensione strettamente minore di $n$ e quindi $f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots ,f(x_{n})$ sono sicuramente linearmente dipendenti, essendo che $\wedge$ è una forma multilineare alternante segue che $f(x_{1})\wedge f(x_{2})\wedge \cdots \wedge f(x_{n})=0$ e quindi $\det(f)=0$. Si verifica che fissata una base su $V$ il determinante della matrice associata a $f$ rispetto a tale base coincide con il determinante di $f$.