# Formula di de Moivre

La formula di de Moivre è una delle basi dell'analisi dei numeri complessi ed è legata al piano complesso, ovverosia alla rappresentazione dei numeri complessi su un piano, considerando l'asse $x$ l'asse dei reali e l'asse $y$ l'asse degli immaginari. Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.
    $(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx),$
valida per ogni numero reale $x$, con $n$ intero e $i$ unità immaginaria, è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria. Applicando al membro sinistro lo sviluppo del binomio e uguagliando le parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per $\cos(nx)$ e $\sin(nx)$ in termini di $\sin(x)$ e $\cos(x)$. Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici $n$-esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi $z$ tali che $z^{n}=1$.
Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676. La formula di de Moivre può essere derivata dalla formula di Eulero, anche se la precede storicamente, tramite lo sviluppo in serie di Taylor
    $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$
e dalla legge esponenziale
    $\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.$

## Dimostrazione per induzione

Distinguiamo i tre casi relativi a $n>0$, $n=0$ e $n<0$.
Per $n>0$ si procede per induzione. Per $n=1$ la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con se stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo $k$, cioè assumiamo
    $(\cos x+i\sin x)^{k}=\cos(kx)+i\sin(kx).$
Consideriamo poi il caso $n=k+1$:
    $(\cos x+i\sin x)^{k+1}$
    $=(\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{k}$
    $=\left[\cos(kx)+i\sin(kx)\right](\cos x+i\sin x)$ (per l'ipotesi induttiva)
    $=\cos(kx)\cos x-\sin(kx)\sin x+i\left[\cos(kx)\sin x+\sin(kx)\cos x\right]$
    $=\cos \left[(k+1)x\right]+i\sin \left[(k+1)x\right]$ (per le formule di addizione di seno e coseno).
L'ultima identità dice che la formula, se vale per $n=k$ allora è valida per $n=k+1$ e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli $n$ interi positivi.
Per $n=0$ la formula si riduce alla semplice identità $\cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1$, e $z^{0}=1$.
Per $n<0$, si considera l'intero positivo $m=-n$. Di conseguenza
    $(\cos x+i\sin x)^{n}=(\cos x+i\sin x)^{-m}$
    $={\frac {1}{(\cos x+i\sin x)^{m}}}={\frac {1}{(\cos mx+i\sin mx)}}$, per quanto vale per $n>0$; razionalizzando il denominatore
    $={\frac {\cos(mx)-i\sin(mx)}{\cos ^{2}(mx)+\sin ^{2}(mx)}}=\cos(mx)-i\sin(mx),$ e, per le proprietà trigonometriche di seno e coseno,
    $=\cos(-mx)+i\sin(-mx)\,=\cos(nx)+i\sin(nx)$
Dunque la formula è vera per tutti i valori interi di $n$.

## Generalizzazione

La formula di de Moivre viene generalizzata nel modo seguente:
Se $z$ e $w$ sono numeri complessi, allora
    $\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}$
assume più di un valore, mentre
    $\cos(wz)+i\sin(wz)$
ha un solo valore. Comunque sia, $\cos(wz)+i\sin(wz)$ è uno dei valori di $\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}.$

## Radici di un numero complesso

Se $n$ è un intero positivo, le radici $n$-esime di un numero complesso $z$ sono esattamente $n$, calcolabili tramite l'applicazione inversa della formula di de Moivre, che, se il modulo e l'argomento di $z$ sono rispettivamente $r$ e $\theta$, assume la seguente forma:
    ${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\theta +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta +2k\pi }{n}}\right)\right),\qquad k=0,1,\ldots ,n-1.$