# Omologia (topologia)

L'omologia, assieme all'omotopia, è un concetto fondamentale della topologia algebrica. È una procedura con cui viene assegnata a un certo oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo), una successione di gruppi abeliani, che forniscano in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione.
In topologia, l'omologia di uno spazio topologico $X$ è un gruppo abeliano
    $H_{i}(X)$
che informalmente misura il numero di "buchi $i$-dimensionali" dello spazio $X$. Un concetto analogo è il gruppo fondamentale.

## Descrizione

L'omologia di uno spazio topologico $X$ è una successione di gruppi abeliani, che vengono indicati nel modo seguente:
    $H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots$
Informalmente, il gruppo $H_{i}(X)$ descrive i "buchi $i$-dimensionali" di $X$. Esistono vari modi (essenzialmente equivalenti) di definire l'omologia: si parla quindi a seconda del caso di omologia singolare, omologia simpliciale, etc.
Un esempio fondamentale è fornito dalla sfera $n$-dimensionale, indicata in matematica con il simbolo $S^{n}$. Tale "sfera" è in realtà una circonferenza in dimensione $n=1$, ed è l'ordinaria superficie sferica per $n=2$. Può essere descritta come il luogo dei punti dello spazio euclideo $(n+1)$-dimensionale $\mathbb {R} ^{n+1}$ che soddisfa l'equazione seguente:
    $x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=1.$
L'omologia della sfera $S^{n}$ è la seguente:
    $H_{i}(S^{n})=\left\{{\begin{array}{l}\mathbb {Z} {\rm {\ se\ }}i=0{\rm {\ oppure\ }}i=n,\\\{0\}{\rm {\ altrimenti}}.\,\!\end{array}}\right.$
I simboli $\mathbb {Z}$ e $\{0\}$ indicano rispettivamente il gruppo dei numeri interi ed il gruppo banale. L'omologia della sfera $S^{n}$ è quindi banale per ogni $i$, tranne che per i valori 0 e $n$. La non-banalità per $i=0$ è un fatto generale, valido per ogni spazio topologico. L'informazione per $i=n$ registra invece l'esistenza di un "buco" $n$-dimensionale.
Questo buco $n$-dimensionale può essere "tappato" aggiungendo alla sfera la sua parte interna (ovvero la porzione di piano o spazio delimitata dalla sfera). La circonferenza diventa così un cerchio, e la superficie sferica diventa una sfera solida, cioè una palla. In matematica, l'oggetto ottenuto tappando la sfera $S^{n}$ è chiamato disco (o palla): è indicato con il simbolo $D^{n}$ e può essere definito come il luogo dei punti che soddisfa la disequazione seguente:
    $x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\leqslant 1.$
L'omologia del disco risente del fatto che il buco è stato tappato:
    $H_{i}(D^{n})=\left\{{\begin{array}{l}\mathbb {Z} {\rm {\ se\ }}i=0,\\\{0\}{\rm {\ altrimenti}}.\,\!\end{array}}\right.$
Tutti i gruppi di omologia (tranne quello con $i=0$) sono banali: informalmente, il disco non contiene buchi.
Uno spazio topologico può avere più buchi di dimensioni diverse. Ad esempio il toro $T$ ha tutti e tre i primi gruppi di omologia non banali:
    $H_{0}(T)=\mathbb {Z} ,H_{1}(T)=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ,H_{2}(T)=\mathbb {Z} .$
L'omologia è quindi usata in prima istanza come strumento per distinguere oggetti topologici.

## Definizione

L'omologia di uno spazio topologico $X$ è costruita tramite un procedimento algebrico abbastanza raffinato. Si costruisce a partire da $X$ un complesso di catene $C(X)$. Il complesso di catene è una successione di gruppi abeliani $C_{0},C_{1},C_{2},\ldots$ e di omomorfismi $\partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1}$ chiamati operatori di bordo. Tutti questi oggetti possono essere descritti da una catena di simboli nel modo seguente:
    $\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0$
dove $0$ indica il gruppo banale. Si richiede inoltre che la composizione di due operatori di bordo consecutivi sia nulla, cioè che per ogni $n$ valga la relazione
    $\partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0.\,\!$
Ciò è equivalente a chiedere che l'immagine di $\partial _{n+1}$ sia contenuta nel nucleo di $\partial _{n}$:
    $\operatorname {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n}).$
Se immagine e nucleo coincidono per ogni $n$ la sequenza si dice esatta. Generalmente però questo non accade; l'omologia "misura" proprio quanto la successione sia lontana dall'essere esatta.
Poiché ogni gruppo $C_{n}$ è abeliano, le immagini sono tutte sottogruppi normali ed è quindi possibile definire l'$n$-esimo gruppo di omologia come il gruppo quoziente
    $H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1}).$
Viene spesso usata anche la notazione seguente
    $Z_{n}=\ker(\partial _{n}),\,\!$
    $B_{n}=\operatorname {im} (\partial _{n+1}).$
Gli elementi in $Z_{n}$ e $B_{n}$ sono chiamati rispettivamente cicli e bordi. L'omologia è quindi
    $H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X).\,\!$
Il complesso di catene $C(X)$ può essere costruito in vari modi, ma l'omologia che ne risulta è generalmente equivalente. A seconda del metodo scelto per costruire $C(X)$ si parla quindi di omologia simpliciale, singolare, cellulare, etc.

## Proprietà
### Funtorialità

L'omologia è un funtore dalla categoria degli spazi topologici in quella dei gruppi abeliani. In altre parole, l'omologia (ad ogni livello fissato $k$) associa ad ogni spazio $X$ un gruppo $H_{k}(X)$ in modo funtoriale: ogni funzione continua
    $f:X\to Y$
induce un omomorfismo di gruppi
    $f_{*}:H_{k}(X)\to H_{k}(Y)$
che soddisfa alcuni assiomi naturali:
* se $f$ è l'identità allora $f_{*}$ è l'identità,
* l'operazione "commuta" con la composizione: $(f\circ g)_{*}=f_{*}\circ g_{*}$.
Da questi due assiomi discendono ad esempio due fatti non banali:
* se $f$ è un omeomorfismo allora $f_{*}$ è un isomorfismo,
* se $f$ è una retrazione su un sottoinsieme $Y$ di $X$, allora $f_{*}$ è suriettiva (e l'inclusione $i:Y\to X$ induce una mappa $i_{*}$ iniettiva).

### Anello dei coefficienti

L'omologia dipende, oltre che dal parametro $k$, anche dalla scelta di un anello $A$. I gruppi $C_{n}$ del complesso di catene risultano essere dei moduli su $A$. Anche i gruppi di omologia $H_{k}$ sono degli $A$-moduli e vengono indicati con il simbolo
    $H_{k}(X,A).$
Nella maggior parte dei casi $A$ è l'anello degli interi $\mathbb {Z}$ oppure un campo. Se $A$ è un campo i gruppi di omologia $H_{k}$ sono degli spazi vettoriali e la loro dimensione (se finita) è detta numero di Betti:
    $b_{k}=\dim H_{k}(X,A).$
Il numero di Betti $b_{k}$ può essere interpretato grossolanamente come il "numero di buchi $k$-dimensionali" di $X$.
Se $A$ è l'anello degli interi il gruppo di omologia $H_{k}$ è un gruppo abeliano che può generalmente contenere elementi di torsione.

### Omotopia

L'omologia è invariante per omotopia: deformazioni continue di mappe e spazi lasciano l'omologia immutata. Più precisamente, due mappe
    $f,g:X\to Y$
omotope inducono lo stesso omomorfismo
    $f_{*}=g_{*}:H_{k}(X)\to H_{k}(Y).$
Tra le conseguenze di questo fatto:
* Due spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi di omologia isomorfi,
* Se un sottoinsieme $Y$ di $X$ è un retratto di deformazione di $X$, l'inclusione $i:Y\to X$ induce un isomorfismo in omologia.

### Complessi di celle, varietà

Se lo spazio topologico $X$ è descrivibile come un complesso di celle è possibile calcolare l'omologia agevolmente usando l'omologia cellulare. Analogamente, se $X$ è descrivibile come complesso simpliciale può essere usata l'omologia simpliciale.
Se $X$ è un complesso con un numero finito di celle e l'anello di base $A$ è un campo, valgono i fatti seguenti:
* Lo spazio vettoriale $H_{k}(X)$ ha dimensione finita $b_{k}$ per ogni $k$.
* Se $n$ è la dimensione massima delle celle, allora $b_{i}=0$ per ogni $i>n$.
Con queste ipotesi è quindi ben definita la caratteristica di Eulero
    $\chi (X)=b_{0}-b_{1}+b_{2}-\ldots +(-1)^{n}b_{n}.$
La caratteristica di Eulero è un importante invariante dello spazio topologico $X$. A differenza dei numeri di Betti, la caratteristica non dipende dal campo $A$ scelto.
Ad esempio, ogni varietà differenziabile compatta di dimensione $n$ è descrivibile come complesso di celle finito.

### Gruppo di indice zero

Il gruppo di omologia $H_{0}(X)$ è sempre isomorfo a $A^{c}$, dove $c$ è il numero di componenti connesse per archi dello spazio topologico $X$. In particolare, se $X$ è connesso per archi vale l'isomorfismo seguente:
    $H_{0}(X)\cong A.$

### Gruppo di indice uno

Se $X$ è uno spazio connesso per archi, il gruppo di omologia intera di indice 1 è determinato dal gruppo fondamentale $\pi _{1}(X)$ di $X$. Si tratta infatti dell'abelianizzato del gruppo fondamentale:
    $H_{1}(X,\mathbb {Z} )=\pi _{1}(X)/{\left[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)\right]}$
ovvero $\pi _{1}(X)$ quozientato per il suo sottogruppo derivato $[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]$, il più piccolo sottogruppo normale di $\pi _{1}(X)$ che contiene tutti i commutatori dei suoi elementi. Il quoziente è effettivamente un gruppo abeliano: in generale, i gruppi di omologia sono tutti abeliani, mentre il gruppo fondamentale può non esserlo.
L'analogia con i gruppi di omotopia termina a questo livello: il secondo gruppo di omologia $H_{2}$ non è determinato dal secondo gruppo di omotopia $\pi _{2}$.

### Gruppo di indice massimo

Se $X$ è una varietà di dimensione $n$, tutti i gruppi di omologia di indice superiore a $n$ sono banali. Il gruppo di indice massimo $H_{n}(X)$ è inoltre determinato da due condizioni topologiche: l'orientabilità e la compattezza di $X$. Se $A$ è l'anello degli interi o un campo e $X$ è connessa, vale il fatto seguente:
    $H_{n}(X)={\begin{cases}A&{\mbox{ se }}X{\mbox{ compatta e orientabile}}\\\{0\}&{\mbox{ altrimenti }}\end{cases}}$
Per "compatta" si intende "compatta senza bordo" (cioè chiusa).

## Esempi

Una varietà compatta (più in generale, un complesso di celle finito) di dimensione $n$ ha tutti i gruppi di omologia di ordine maggiore di $n$ banali. Per conoscere l'omologia di un tale spazio è quindi sufficiente elencarne i gruppi di ordine fino a $n$. L'omologia è definita su un anello $A$ (generalmente, l'anello degli interi o un campo).

### Sfere

Come già accennato, l'omologia della sfera $n$-dimensionale $S^{n}$ è la seguente:
    $H_{0}(S^{n})=A,\ H_{1}(S^{n})=\ldots =H_{n-1}(S^{n})=\{0\},\ H_{n}(S^{n})=A.$

### Superfici

Una superficie orientabile $\Sigma _{g}$ compatta di genere $g$ ha i seguenti gruppi di omologia:
    $H_{0}(\Sigma _{g})=A,\ H_{1}(\Sigma _{g})=\mathbb {Z} ^{2g},\ H_{2}(\Sigma _{g})=A.$

### Spazi proiettivi

Lo spazio proiettivo complesso $\mathbb {CP} ^{n}$ è una varietà di dimensione $2n$. I suoi gruppi di omologia sono i seguenti.
    $H_{i}(\mathbb {CP} ^{n})={\begin{cases}A&i{\mbox{ pari }}\\\{0\}&i{\mbox{ dispari }}\end{cases}}$
Brevemente, i gruppi di ordine pari sono isomorfi ad $A$ e quelli di ordine dispari sono banali.
L'omologia dello spazio proiettivo reale è più complicata: questa dipende infatti dall'anello $A$. Ad esempio, se $A$ è l'anello degli interi si ottengono i gruppi seguenti:
    $H_{i}(\mathbb {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0{\mbox{ oppure }}i=n{\mbox{ dispari,}}\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &0<i<n,\ i\ {\mbox{dispari,}}\\0&{\mbox{altrimenti.}}\end{cases}}$
I gruppi di indice dispari sono quindi gruppi ciclici di ordine 2, tranne eventualmente l'ultimo. Lo spazio proiettivo reale è orientabile solo per $n$ dispari: solo in questo caso il gruppo di omologia di ordine massimo $n$ è isomorfo a $\mathbb {Z}$.

## Applicazioni
### Teorema di Brouwer

Con l'omologia è possibile dimostrare il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua $f:D^{n}\to D^{n}$ dal disco $n$-dimensionale in sé ha un punto fisso. La dimostrazione procede nel modo seguente: se per assurdo non esistesse un punto fisso, i punti $x$ e $f(x)$ sarebbero distinti per ogni $x$: intersecando la retta passante per questi due punti con il bordo del disco si costruisce una retrazione $F:D^{n}\to S^{n-1}$ dal disco al suo bordo.
Non esiste però nessuna retrazione dal disco al suo bordo: una tale mappa infatti dovrebbe indurre una mappa suriettiva
    $F_{*}:H_{k}(D^{n})\to H_{k}(S^{n-1})$
in omologia. Questo è impossibile, perché per $k=n-1$ l'omologia del disco è banale e quella della sfera no.

### Spazi non omeomorfi

L'omologia è uno strumento utile a distinguere spazi topologici. Ad esempio, la sfera $S^{2n}$ e lo spazio proiettivo complesso $\mathbb {CP} ^{n}$ sono due varietà della stessa dimensione $2n$. Sono entrambe semplicemente connesse. Se $n=1$, gli spazi $S^{2}$ e $\mathbb {CP} ^{1}$ sono effettivamente omeomorfi. Per $n>1$ però non lo sono, perché hanno omologie differenti: quella della sfera è sempre banale (tranne per $k=0,2n$) mentre quella dello spazio proiettivo è non banale per ogni $k$ pari.

## Strumenti
### Successione di Mayer-Vietoris

La successione di Mayer-Vietoris è un importante strumento utile a calcolare l'omologia di uno spazio topologico $X$ a partire da una sua "decomposizione": più precisamente, a partire da un suo ricoprimento in due aperti $U,V$. Similmente al teorema di Van Kampen per i gruppi fondamentali, la successione mette in relazione i gruppi di omologia degli spazi $X$, $U$, $V$ e $U\cap V$. Le omologie di questi spazi formano una successione esatta lunga:
    ${\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(U\cap V)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(U)\oplus H_{0}(V)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}$
Se si conoscono le omologie di $U,V,U\cap V$ e le mappe naturali fra queste è quindi possibile dedurre l'omologia per $X$.

### Formula di Künneth

La formula di Künneth permette di calcolare l'omologia di un prodotto $X\times Y$ a partire dalle omologie dei singoli fattori $X$ e $Y$. Quando l'anello $A$ è un campo, la formula è la seguente:
    $H_{k}(X\times Y)\cong \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X)\otimes H_{j}(Y).$
La formula fa uso del prodotto tensoriale $\otimes$ fra spazi vettoriali.