# Apotema (geometria)

In geometria, con riferimento ai poligoni regolari, l'apotema (indicato con $a$) è il raggio della circonferenza inscritta e corrisponde alla distanza fissa tra l'incentro e ciascuno dei lati. Il rapporto tra apotema e lato è specifico (e fisso) per ciascun poligono regolare e dipende dal numero dei lati. Il suo utilizzo principale è nel calcolo delle aree, combinato al perimetro, in quanto coincide pure con l'altezza degli $n$ triangoli isosceli congruenti in cui è divisibile il poligono.
Analogamente, nella geometria solida, il termine indica: nelle piramidi regolari, la distanza del vertice dal lato alla base; nei coni retti, la distanza del vertice da un qualsiasi punto della circonferenza di base.

## Nei poligoni regolari

In ogni poligono regolare con $n$ lati l'area totale può essere divisa in $n$ triangoli isosceli congruenti, le cui basi coincidono con i lati del poligono stesso e i lati obliqui con i segmenti che congiungono i vertici con l'incentro dello stesso. L'apotema tocca il lato del poligono sempre nel punto medio ed, essendo il raggio dell'incerchio rispetto a questo sempre perpendicolare, coincide con l'altezza del triangolo isoscele, la cui ampiezza al vertice misura una frazione esatta dell'angolo giro (angolo giro fratto $n$: $2\pi /n$).
Se ne può ricavare, quindi, che il rapporto fra l'apotema e il lato di un poligono regolare $n$-agonale è sempre costante, e può essere ricavato a priori semplicemente sapendo il numero di lati attraverso le relazioni trigonometriche che legano gli elementi del triangolo. In questo caso trattandosi di un triangolo isoscele, l'apotema corrisponde a un cateto di un triangolo rettangolo avente come altro cateto il semilato $l/2$ del poligono e per ipotenusa il circumraggio e angolo adiacente $\alpha$ pari a $\pi /n.$
Considerando quindi $R$ come raggio della circonferenza circoscritta al poligono, $l$ la lunghezza di un lato del poligono e $a_{n}$ l'apotema ($r$ nell'immagine a lato), si ottengono i seguenti rapporti:
    $l=2R\sin {\frac {\pi }{n}};$
    $R={\frac {l}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}};$
    $a_{n}=R\cos {\frac {\pi }{n}}={\frac {l\cos {\frac {\pi }{n}}}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {l}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}.$
Inoltre, grazie alla divisione in triangoli, è anche possibile capire come l'apotema faciliti notevolmente il calcolo delle aree in questi casi; basta infatti calcolare l'area del singolo triangolo e poi moltiplicarla per il numero dei lati.
    $A_{n}=n{\frac {l\cdot a_{n}}{2}}$ oppure $A_{n}=s\cdot a_{n},$
dove $s$ rappresenta il semiperimetro.

### Numeri fissi

Dall'apotema derivano classicamente anche due numeri fissi, che sono vere e proprie costanti tipiche di ciascun poligono regolare e dipendenti unicamente dal numero dei lati:
* $f_{n}={\frac {1}{2\tan {({\frac {\pi }{n}})}}}$ che è il rapporto tra apotema e lato;
* $j_{n}={\frac {nf_{n}}{2}}$ che è il rapporto fra l'area del poligono e il quadrato del lato.
| Poligono | n | f$_n$ | j$_n$ |
| Triangolo | 3 | 0,289 | 0,433 |
| Quadrato | 4 | 0,5 | 1 |
| Pentagono | 5 | 0,688 | 1,720 |
| Esagono | 6 | 0,866 | 2,598 |
| Ettagono | 7 | 1,038 | 3,634 |
| Ottagono | 8 | 1,207 | 4,828 |
| Ennagono | 9 | 1,374 | 6,182 |
| Decagono | 10 | 1,539 | 7,694 |
| Endecagono | 11 | 1,703 | 9,366 |
| Dodecagono | 12 | 1,866 | 11,196 |
| Tridecagono | 13 | 2,029 | 13,186 |
| Tetradecagono | 14 | 2,191 | 15,335 |
| Pentadecagono | 15 | 2,352 | 17,642 |
| Esadecagono | 16 | 2,514 | 20,109 |
| Ettadecagono | 17 | 2,675 | 22,736 |
| Ottadecagono | 18 | 2,836 | 25,521 |
| Ennadecagono | 19 | 2,996 | 28,465 |
| Icosagono | 20 | 3,157 | 31,569 |