# Immagine (matematica)

In matematica, l'immagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio della funzione. L'immagine degli elementi dell'intero dominio è anche detta immagine della funzione, e se la funzione è suriettiva essa coincide col codominio.
Talvolta la nozione di immagine è data per il singolo elemento del dominio. In tal caso, l'insieme contenente le immagini di un sottinsieme del dominio viene chiamato, per l'appunto, insieme delle immagini.

## Definizione

Sia $f\colon A\to B$ una funzione. Si definisce immagine di $A$ tramite $f$, o immagine di $f$, il sottoinsieme di $B$ così definito:
    ${\begin{matrix}f(A)&:=&\left\{b\in B\left|\right.b=f(a)\ {\mbox{per qualche}}\ a\in A\right\}&=\\[1ex]&=&\left\{b\in B\left|\right.\exists \,a\in A\left|\right.b=f(a)\right\}&=\\[1ex]&=&\left\{f(a)\in B\left|\right.a\in A\right\}\subseteq B,\end{matrix}}$
ove l'uguaglianza con $B$ sussiste se e solo se la funzione $f$ è suriettiva.
Si tratta, quindi, di quegli elementi $b$ di $B$ per i quali esiste un elemento di $A$ che venga portato in $B$ da $f$.
Notare che nello scrivere $f(A)$ si è attuato un leggero abuso di notazione, in quanto $f$ è una trasformazione che agisce sugli elementi di $A$, non su $A$ stesso. Tale uso è però talmente diffuso che sarebbe inutile provare a combatterlo. Altre notazioni, che non provocano alcun imbarazzo formale e che trovano comunque un certo seguito, sono: $f[A]$ e $\mathrm {Im} f.$
Più in generale, se $A_{1}\subseteq A$ è un sottoinsieme del dominio $A$ si chiama immagine di $A_{1}$ tramite $f$ l'insieme:
    $f(A_{1}):=\left\{b\in B\left|\right.b=f(a)\ {\mbox{per qualche}}\ a\in A_{1}\right\}\subseteq B.$
Se $a\in A$, si chiama immagine di $a$ tramite $f$ l'unico elemento $f(a)\in B$ associato ad $a$ da $f$.

## Proprietà

Considerata una funzione $f\colon A\to B$, valgono le seguenti proprietà:
* $f(\varnothing )=\varnothing .$
* Se $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A$ allora $f(A_{1})\subseteq f(A_{2})\subseteq f(A).$
* L'immagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due immagini. In simboli: $f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2}).$
** In generale: $f\left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\bigcup _{i}f(A_{i}).$
* L'immagine dell'intersezione di due insiemi è contenuta nell'intersezione delle due immagini. In simboli: $f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ e l'uguaglianza vale se la funzione $f$ è iniettiva.
** In generale: $f\left(\bigcap _{i}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i}f(A_{i}).$
* L'immagine della differenza di due insiemi contiene la differenza delle due immagini. In simboli: $f\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ e l'uguaglianza vale se e solo se $f(A_{2})\cap f(A_{1}\setminus A_{2})=\varnothing .$

## Metodi di calcolo

È un esercizio utile e proposto regolarmente nelle scuole quello, data una funzione, di identificare la sua immagine. Per fare questo, se non si è in grado di farlo a priori (ad esempio, è noto senza fare alcun calcolo che la funzione $x^{2}$ ha come immagine tutta la semiretta positiva delle ordinate $y$, compreso lo zero), ci sono due metodi: o, con gli strumenti dell'analisi matematica, si identificano gli intervalli di monotonia e i massimi e i minimi, o, con calcoli puramente algebrici, si esplicita la $x$ in funzione della $y$, trovando in pratica la funzione inversa; ad esempio, se
    $f(x)=y=e^{x^{2}}-5,$
allora la sua inversa si ottiene mediante:
    $y+5=e^{x^{2}}\Longleftrightarrow \ln(y+5)=x^{2}\Longleftrightarrow \pm {\sqrt {\ln(y+5)}}=x.$
Visto che nei vari passaggi si è applicato prima un logaritmo e poi una radice quadrata, si ottengono delle restrizioni, le uniche, per la $y$, precisamente $y+5>0$ e $\ln(y+5)\geq 0.$ L'intersezione di queste due condizioni dà l'immagine, poiché i valori di $y$ risultanti possiedono, per costruzione, un valore di partenza (dato dall'espressione trovata); in questo caso, dunque, l'immagine è $[-4,+\infty ).$